Language
Country/Area
No result found
ل تعلم؟ هذا الاختبار يمكن أن يساعدنا في اتخاذ خيار مستنير بين نموذجين متنافسين
وبالتالي، فإن الغرض من اختبار نسبة الاحتمالية هو اختبار ما إذا كانت نسبة الاحتمالية هذه تختلف بشكل كبير عن واحد، أو بشكل أكثر تكافؤًا، ما إذا كان اللوغاريتم الطبيعي الخاص بها يختلف بشكل كبير عن الصفر.
يعد هذا الاختبار، المعروف أيضًا باسم اختبار ويلكس، أقدم طرق اختبار الفرضيات التقليدية الثلاثة، والطريقتان الأخريان هما اختبار مضاعف لاجرانج واختبار والد. يمكن النظر إلى الاثنين باعتبارهما تقريبات لاختبار نسبة الاحتمالية وهما متكافئان بشكل مقارب. في النماذج التي لا تحتوي على معلمات غير معروفة، يمكن تبرير استخدام اختبار نسبة الاحتمالية باستخدام مبرهنة نيمان-بيرسون. ومن الجدير بالذكر أن الفرضية تظهر أنه بين جميع الاختبارات المتنافسة، يتمتع هذا الاختبار بأعلى قوة اكتشاف.
التعريف العام
افترض أن لدينا نموذجًا إحصائيًا مع مساحة المعلمات Θ. تنص الفرضية الصفرية عادةً على أن المعلمة θ موجودة في مجموعة فرعية محددة Θ0، بينما تنص الفرضية البديلة على أن θ موجودة في Θ0 المكمل لـ . وهذا يعني أن الفرضية البديلة تنص على أن θ تنتمي إلى Θ \ Θ0. إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة، فإن صيغة الحساب لإحصائية اختبار نسبة الاحتمالية هي:
λLR = −2 ln [
supθ∈Θ0 L(θ)/supθ∈Θ L(θ)]
هنا sup تعني الأعلى. نظرًا لأن جميع الاحتمالات إيجابية، فإن نسب الاحتمالية لها قيم بين الصفر والواحد، نظرًا لأن الحد الأقصى المقيد لا يمكن أن يتجاوز الحد الأقصى غير المقيد. غالبًا ما يتم التعبير عن إحصائية اختبار نسبة الاحتمالية على أنها الفرق بين اللوغاريتم والاحتمالية:
λLR = −2 [
ℓ(θ0)−ℓ(θ^)]
هنا، مفتاح اختبار نسبة الاحتمالية هو الاختبار المتبادل بين النماذج المختلفة. إذا كانت النماذج متداخلة (أي أنه يمكن تحويل النموذج الأكثر تعقيدًا إلى نموذج أبسط من خلال فرض قيود على معلماته)، فيمكن اعتبار العديد من إحصاءات الاختبار الشائعة بمثابة اختبارات نسبة الاحتمالية اللوغاريتمية التناظرية. ويتضمن ذلك اختبار Z، واختبار F، واختبار G، واختبار مربع كاي لبيرسون، وغيرها.
حالة افتراضية بسيطة
في اختبار الفرضيات البسيطة مقابل البسيطة، يتم تحديد توزيع البيانات بالكامل في ظل كل من الفرضيات الصفرية والبديلة. لذلك، يمكن استخدام تنويعة من اختبار نسبة الاحتمالية، على سبيل المثال:
Λ(x) =
L(θ0 | x)/L(θ1 | x)
إذا كانت Λ > c، فلا ترفض الفرضية الصفرية H0؛ إذا كانت Λ < c، فارفض الفرضية الصفرية >H0. في هذه الحالة، تظهر نظرية نيمان-بيرسون أن اختبار نسبة الاحتمالية هذا هو الأقوى من بين جميع اختبارات مستوى ألفا.
فهم اختبار نسبة الاحتمالية
نسبة الاحتمالية هي دالة للبيانات وهي مؤشر لأداء نموذج واحد مقارنة بنموذج آخر. إذا كانت قيمة نسبة الاحتمالية صغيرة، فهذا يعني أن احتمال النتيجة الملاحظة في ظل الفرضية الصفرية أقل بكثير من احتمال النتيجة في ظل الفرضية البديلة، وبالتالي رفض الفرضية الصفرية. وعلى العكس من ذلك، تشير نسبة الاحتمالية العالية إلى أن النتيجة الملاحظة هي بنفس احتمالية حدوثها في ظل الفرضية الصفرية كما هي في ظل الفرضية البديلة، وبالتالي لا يمكن رفض الفرضية الصفرية.
مثال فعلي
افترض أن لدينا n عينة من التوزيع الطبيعي. نريد أن نختبر ما إذا كان متوسط μ للسكان هو قيمة معينة μ0. في هذا الوقت، يمكن التعبير عن الفرضية الصفرية على النحو التالي H0: μ = μ0، والفرضية البديلة هي H1: μ ≠ μ0. بعد إجراء الحسابات المقابلة، يمكن الحصول على تعبير نسبة الاحتمالية:
λLR = n ln [ 1 + t^2 / (n - 1) ]
ثم يتم استخدام التوزيع المحدد لتوجيه الاستدلالات اللاحقة.
التوزيع المقارب: نظرية ويلكس
على الرغم من صعوبة تحديد التوزيع الدقيق لنسبة الاحتمالية في كثير من الحالات، تنص نظرية ويلكس على أنه إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة وكان حجم العينة n يميل إلى اللانهاية، فإن إحصائية الاختبار ستكون اتبع توزيع مربع كاي بشكل مقارب. وهذا يمكّننا من حساب نسبة الاحتمالية ومقارنتها بمستوى الأهمية المطلوب.
هل من الممكن تحسين عملية الاختيار بين النماذج الإحصائية من خلال طرق أخرى؟
