Researchain Square Logo

كيف تعيد طريقة بتروف جالركين تعريف عملية الحل في شكل ضعيف؟

Share
Copy link
Facebook
Twitter

في الرياضيات ، كانت الأساليب التقريبية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية دائمًا موضوعًا ساخنًا في البحث.في السنوات الأخيرة ، جذبت طريقة Petrov-Galerkin انتباهًا واسعًا ، وهي طريقة تستخدم خصيصًا للتعامل مع المعادلات التفاضلية الجزئية التي تحتوي على مصطلحات ترتيب غريبة.خاصتها هي أن وظيفة الاختبار ووظيفة الحل تنتمي إلى مساحات وظائف مختلفة ، مما يجعلها امتدادًا لطريقة Bubnov-Galerkin.ستستكشف هذه المقالة كيف تعيد طريقة Petrov-Galerkin تعريف الحل في شكل ضعيف.

خلفية الشكل الضعيفة

في الرياضيات ، توفر الأشكال الضعيفة إطارًا أكثر مرونة لتحديد المعادلات التفاضلية الجزئية.تخيل مشكلة تهدف إلى العثور على وظيفة u في v ، ورضية العلاقات التالية للجميع w تنتمي إلى w .

a (u ، w) = f (w)

هنا ، A (⋅ ، ⋅) هو شكل ثنائي ، و F هو وظيفي خطية حدودية.يتيح هذا الإعداد التبسيط التدريجي وتحليل المشكلة الأصلية لتسهيل الحسابات العددية.

عملية تقليل الأبعاد في بتروف جالركين

تتضمن طريقة Petrov-Galerkin أولاً تحديد مساحة فرعية v_n مع Dimension N وفضاء فرعي W_M مع Dimension M ، ويحل مشكلة الإسقاط من خلال الصيغة التالية:

a (v_n ، w_m) = f (w_m)

هذا يدل على أن أبعاد تغيير المساحة فقط ، في حين تظل المعادلة نفسها دون تغيير.يتيح لنا تبسيط المشكلة على مساحة Vector Vector المحدودة إجراء حسابات رقمية لـ u_n كمجموعة خطي محدود من متجهات الأساس في v_n .

التعامد المعمم من Petrov-Galerkin

تتمثل الميزة الرئيسية لطريقة Petrov-Galerkin في أن الخطأ هو "متعامد" إلى الفضاء الفرعي المحدد.حتى لو كان w_m متجهًا اختبارًا في المعادلة الأصلية ، فيمكننا استخدامها لتحليل الأخطاء:

ε_n = v - v_n

يوضح هذا الخطأ بين حل المشكلة الأصلي v وحل معادلة Galerkin v_n .

يتيح لنا الحفاظ على هذه المعادلة توحيد استقرار الحل وصحته.في هذه العملية ، نستخرج العلاقات الرياضية المتعلقة بالأخطاء لضمان دقة حلولنا.

بناء نموذج المصفوفة

لتبسيط الحساب ، نقوم ببناء شكل المصفوفة للمشكلة.افترض v^1 ، v^2 ، ... ، v^n و w^1 ، w ^2 ، ... ، w^m هي نطاقات القاعدة الخاصة بها ، ثم يمكن حل الصيغة التالية:

a^t x = f

هنا ، A هي المصفوفة التي نبنيها ، وبسبب تعريف عناصر المصفوفة ، إذا كانت V = W والشكل الثنائي A (⋅ ، ⋅) متماثل ، فإن المصفوفة A أيضًا متماثل .ولكن على عكس طريقة Bubnov-Galerkin ، عندما لا تكون الأبعاد متساوية ، فإن مصفوفة النظام A ليست بالضرورة مصفوفة مربعة.

التحليل العام

إن طريقة Petrov-Galerkin ليست فقط امتدادًا لطريقة Bubnov-Galerkin ، ولكنها تقدم أيضًا العديد من طرق التفكير الجديدة في تطبيق الرياضيات.مرونة هذه الطريقة تجعلها مناسبة لمشاكل أكثر تنوعًا ولديها استقرار عددي جيد.من خلال مناقشة متعمقة للأشكال الضعيفة ، يمكن للباحثين فهم الحلول لمختلف المعادلات التفاضلية الجزئية.

باختصار ، أعادت طريقة Petrov-Galerkin تعريف حل المشكلة من خلال تحديد وظائف الاختبار ووظائف الحل في مساحات مختلفة ، حتى نتمكن من الحصول على حلول تقريبية تدريجيًا في خطوات معقولة.في هذا السياق ، أصبحت كيفية تعزيز تطبيق وتطوير هذه الطريقة تحديًا مهمًا في البحث الحالي؟

Trending Knowledge

السر الرياضي وراء طريقة بيتروف-جاليركين: كيف تختلف عن الطرق التقليدية؟
في النماذج الرياضية، غالبًا ما يمثل حل المعادلات التفاضلية الجزئية تحديًا لا مفر منه في البحث العلمي. باعتبارها تقنية مبتكرة، جذبت طريقة بيتروف-جاليركين الكثير من الاهتمام في السنوات الأخيرة لأنها لا
كشف لغز بتروف-جاليركين: لماذا هو مهم جدًا بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ذات الترتيب الفردي؟
بالنسبة للعديد من الطلاب والمحترفين الذين يدرسون الرياضيات والهندسة، تبدو طريقة بتروف-جاليركين مفهومًا معقدًا وغامضًا. ومع ذلك، عندما نكتسب فهمًا أعمق لهذه الطريقة، سنجد أن تطبيقها في المعادلات التفاض
ما هي طريقة بتروف-جاليركين؟ وكيف تغير طريقة حل المعادلات الرياضية؟
في مجالات الرياضيات والهندسة، بدأت طريقة بتروف-جاليركين، باعتبارها تقنية حل مهمة، تجذب انتباه العلماء تدريجياً. تُستخدم هذه الطريقة بشكل أساسي لحل المعادلات التفاضلية الجزئية ذات المشاكل التفردية وعدم

Responses

Responses
Einstein Avatar
Copy link
Facebook
Twitter