Language
Country/Area
No result found
طريقة الانتثار العكسية: كيف يمكن لهذه الأداة الرياضية الرائعة حل معادلة KDV؟
في العالم الرياضي ، تستخدم معادلة Korteweg -De Vries (KDV) على نطاق واسع لوصف سلوك موجات المياه الضحلة.هذه المعادلة التفاضلية الجزئية ليست مجرد نموذج للمعادلات المتكاملة ، ولكنها تثير أيضًا لافتة للنظر بسبب حلولها المتنوعة ، بما في ذلك حلول للأمواج المعزولة.تم تقديم هذه المعادلة لأول مرة من قبل جوزيف فالنتين بوسينيس في عام 1877 ، وتم اكتشافها لاحقًا من قبل ديديريك كورتيويغ وغوستاف دي فريز في عام 1895 وأعطت أبسط الحلول.
ما هو خاص في هذه المعادلة هو أنه على الرغم من أن خصائصها غير الخطية تجعل المعادلات التفاضلية الجزئية العامة في كثير من الأحيان يصعب التعامل معها ، إلا أنها تظهر عددًا كبيرًا من الحلول الواضحة.
في عام 1965 ، قام نورمان زابوسكي و Krsukal بتعمق فهمهم لهذه المعادلة من خلال عمليات المحاكاة الحاسوبية ، وتوفير التحول العكسي اللاحق الذي تم تطويره في عام 1967 طريقة جديدة لحل معادلة KDV.يعد التناثر العكسي ، الذي طوره كليفورد غاردنر ، جون م. غرين ، مارتن كروسكال وروبرت ميورا ، الأداة الرياضية الأساسية لحل هذه المعادلات.
تعريف معادلة KDV
معادلة KDV في النموذج:
∂t منقص
هنا ، يمثل ∂x³ول تأثير التشتت ، في حين أن المصطلح غير الخطي 6ائن هو مصطلح الحمل الحراري.توفر هذه المعادلة نموذجًا رياضيًا يصف موجات المياه الضحلة ، حيث تمثل الإزاحة من سطح الماء إلى ارتفاع التوازن.
حل الموجة المعزولة
ميزة واحدة رائعة لمعادلة KDV هي محلول الموجة المعزولة ، وخاصة محلول الموجة المعزولة.يمكن كتابة هذا النوع من الحلول على النحو التالي:
ϕ (x ، t) = f (x - ct - a) = f (x)
هنا ، يمثل F (x) الحل الذي يحافظ على شكل موجة ثابتة مع مرور الوقت.عند تبادل متغيراتها ، يمكن العثور على أن مثل هذه الحلول يمكن اعتبارها حركة جزيئات الكتلة الكبيرة في إمكانات معينة.
إذا كانت A = 0 و C> 0 ، تصل الوظيفة المحتملة إلى الحد الأقصى المحلي عند F = 0 ، ويصف سلوك هذا الحل الخصائص النموذجية للموجات المعزولة.
حل الموجة المعزولة المتعددة
من مزيد من البحث على حلول الموجة المعزولة المفردة ، يمكننا الحصول على حلول موجة معزولة.يمكن كتابة هذا الحل:
ϕ (x ، t) = -2 ∂²/∂x² log [det a (x ، t)]
a (x ، t) هنا مصفوفة تتضمن مكوناتها سلسلة من المعلمات الإيجابية المخفضة.سوف تتحلل هذه الحلول إلى موجات مختلفة معزولة على مدار فترة زمنية طويلة ، مما يدل على الاستخدامات المذهلة وخصائص معادلة KDV.
نقاط التمرين
معادلة KDV لها أيضًا قدر لا حصر له من تكاملات الحركة ، والتي تتوافق مع وظائف محددة وتبقى دون تغيير مع مرور الوقت.يمكن التعبير عنها بوضوح على أنها:
∫p₂n - 1 (ϕ ، ∂x منقص
إن وجود هذه الكميات من الحركة يجعل معادلة KDV لا تطرد فقط في الرياضيات ، ولكن لها أيضًا أهمية مهمة في الفيزياء.
<
