Language
Country/Area
No result found
سحر معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن: هل تعلم كيف تفسر سلوك الجسيمات؟
معادلة شرودنجر ودالة الجهد
يمكن التعبير عن معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن على النحو التالي:
H ^ ψ(x) = [ - ℏ² / (2m) d² / dx² + V(x) ] ψ(x) = E ψ(x)
هنا، H هو هاميلتونيان، ℏ هو ثابت بلانك المختزل، m هي كتلة الجسيم، وE هي طاقة الجسيم. بالنسبة لطاقة الجهد الخطوة أحادية البعد، يتم التعبير عن دالة الجهد عادةً على أنها دالة خطوة هيفيسايد:
V(x) = { 0 , x < 0; V0 , x ≥ 0
هذا يعني أنه عندما يكون x أقل من 0، فإن الجسيم ليس له أي إمكانات، وعندما يكون x أكبر من أو يساوي 0، يتحرك الجسيم تحت تأثير الإمكانات V0. يسمح لنا هذا الإعداد بتحليل سلوك الجسيمات في مناطق مختلفة ويضع الأساس لأبحاثنا.
الحل
في خطوة الإمكانات، يتم تقسيم الفضاء إلى منطقتين: x < 0 و x > 0. في كلتا المنطقتين، تكون الطاقة الكامنة ثابتة، مما يعني أن الجسيمات حرة تقريبًا في هاتين المنطقتين. هنا، يمكن التعبير عن حلول معادلة شرودنجر على أنها تراكبات للموجات المتحركة اليسرى واليمنى، والتي يمكن كتابتها على النحو التالي:
ψ₁(x) = (A→ e^(ik₁x) + A← e^(-ik₁x)) x < 0
ψ₂(x) = (B→ e^(ik₂x) + B← e^(-ik₂x)) x > 0
هنا، يمثل A وB سعة الموجة، وتمثل الأسهم الاتجاهية اتجاه الحركة، وk₁ وk₂ هما أرقام الموجة المقابلة للطاقات المختلفة، على التوالي.
شروط الحدود
يجب تحديد معاملات A وB لدالة الموجة بناءً على الشروط الحدودية عند x=0. ولضمان استمرارية الدالة الموجية ومشتقاتها عند الحدود، من الضروري وضع الشروط التالية:
توفر مثل هذه الشروط الحدودية قيودًا صريحة على معاملاتنا، مما يسمح لنا بحساب احتمالات الانعكاس (R) والانتقال (T).ψ₁(0) = ψ₂(0)
dψ₁/dx|_{x=0} = dψ₂/dx|_{x=0}
الانتقال والانعكاس
في ميكانيكا الكم يمكننا أن نرى تباينًا مع الوضع الكلاسيكي. يمكن أن ينعكس الجسيم أو ينتقل عن بعد عندما يتلامس مع جهد متدرج. بالافتراض أن طاقة الجسيم E أكبر من V0، فإن الجسيم الساقط من الجانب الأيسر A يمكن أن ينعكس (A←) أو ينتقل (B→).ر = (ك₁ - ك₂)/(ك₁ + ك₂)
ت = 2√(ك₁*ك₂)/(ك₁ + ك₂)
تكشف هذه الصيغ عن طبيعة تفاعل الجسيمات الكمومية مع الإمكانات، وخاصة سلوكها عندما تكون طاقة الجسيم أعلى من الإمكانات، مما يجعل حساب احتمالية النقل والانعكاس مثيرًا للاهتمام بشكل خاص.
تحليل متعمق
لا يقتصر التحليل على الحالة المذكورة أعلاه. فعندما تكون الطاقة أقل من ارتفاع الخطوة (E < V0)، فإن دالة الموجة على اليمين سوف تتلاشى بشكل كبير. ولا يظهر هذا السلوك في الفيزياء الكلاسيكية. علاوة على ذلك، عندما تكون الطاقة أكبر من ارتفاع الخطوة، تكون نتائج النقل والانعكاس مخالفة للرؤى الكلاسيكية، مما أدى إلى استكشاف ظواهر مثل مفارقة كلاين.
التطبيق والتمديد
يستخدم نموذج جهد الخطوة بشكل أساسي في الكتب المدرسية التمهيدية لميكانيكا الكم لمساعدة الطلاب على فهم العديد من المفاهيم المهمة مثل تنظيم وظائف الموجة، والظروف الحدودية، وسعات الدخول/الانعكاس/الانتقال واحتمالاتها. علاوة على ذلك، فإن المتغيرات من هذه المشكلة تجد أيضًا مكانًا في فيزياء واجهة المعادن الفائقة التوصيل، حيث تنتشر الجسيمات شبه الذرية على إمكانات الاقتران مع شكل خطوة، والتي لها أوجه تشابه رياضية مع مشكلة الإمكانات المتدرجة المعنية.
مع تطور ميكانيكا الكم، أصبحت معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن واحدة من الأدوات المهمة لاستكشاف العالم المجهري. مع تعمق فهمنا للظواهر الكمومية، هل تتساءل أيضًا كيف تؤثر هذه الظواهر على قوانين الفيزياء في حياتنا اليومية؟