Language
Country/Area
No result found
أصل طريقة المربعات الصغرى: كيف ظهرت هذه السحر الرياضي؟
في تحليل البيانات ونماذج الانحدار، تعتبر طريقة المربعات الصغرى واحدة من أكثر طرق تقدير المعلمات شيوعًا. إن جوهر هذه الطريقة هو تقليل مجموع الأخطاء التربيعية بين القيم الملاحظة والقيم المتوقعة في النموذج. إن ولادة طريقة المربعات الصغرى متجذرة بعمق في التطورات العلمية في القرن الثامن عشر، وخاصة في مجالات علم الفلك والمساحة. احتاج العلماء في ذلك الوقت إلى بيانات دقيقة للملاحة، مما أدى إلى النضج التدريجي لطريقة المربعات الصغرى.
وُلدت طريقة المربعات الصغرى في محاولة لحل تحديات الملاحة في محيطات الأرض.
تطوير طريقة المربعات الصغرى
يمكن إرجاع أصول طريقة المربعات الصغرى إلى أدريان ماري ليجيندر الذي اقترح هذه الطريقة علنًا لأول مرة في عام 1805. جوهر هذه التقنية هو ملاءمة المعادلة الخطية للبيانات من خلال إجراء جبري. في مقالته المنشورة، استخدم ليجيندر البيانات التي استخدمها سابقًا بيير سيمون لابلاس لتحليل شكل الأرض.
قبل ليجيندر، في وقت مبكر من عام 1671، بدأت آيفي نيوتن في استكشاف مجموعة من الملاحظات المختلفة، مقترحة وجود أفضل التقديرات، حيث تتناقص أخطاء هذه الملاحظات تدريجيًا بدلاً من الزيادة بعد التجميع. وقد تم تطوير هذا المفهوم بشكل أكبر في عامي 1700 و1722. وقد تم تجسيد العديد من الأساليب حول هذه المبادئ في الاكتشافات اللاحقة، بما في ذلك "طريقة المتوسطات" و"طريقة أقل الانحرافات المطلقة". وتؤكد كل هذه الأساليب على الجمع بين البيانات الرصدية في ظل ظروف مختلفة.
كان تطوير طريقة المربعات الصغرى بمثابة استجابة للعديد من التحديات في علم الفلك في ذلك الوقت، وخاصة في التنبؤ بالحركات السماوية.
محطات مهمة في التاريخ
في عام 1810، قام كارل فريدريش جاوس بتحسين طريقة المربعات الصغرى، وربطها بنظرية الاحتمالات والتوزيع الطبيعي. ويزعم غاوس في أعماله أنه اكتسب هذه الطريقة منذ عام 1795 وأنه استخدمها على نطاق واسع في أبحاثه. وعلى الرغم من وجود نزاع حول الأولوية بينه وبين ليجاندر، فإن غاوس يستحق التقدير لنجاحه في الجمع بين طريقة المربعات الصغرى ونظرية الأخطاء في إطار رياضي أوسع. تكمن ميزة جاوس في أنه جمع المتوسط الحسابي مع نموذج الانحدار التقديري الأمثل لمعامل الموقع، وحول أساس طريقة المربعات الصغرى، وأوضح تفوقه في تحليل الانحدار. وقد قام بتحسين هذه الطريقة من خلال اكتشاف التوزيع الطبيعي. بعد جاوس، قام لابلاس أيضًا بالتحقق من طريقة المربعات الصغرى في عام 1810، مما أدى إلى ترسيخ مكانتها في الإحصاء.أثبت عمل جاوس الإمكانات القوية لطريقة المربعات الصغرى في التنبؤ بالأحداث المستقبلية، وخاصة فيما يتعلق بدقة الملاحظات الفلكية.
تطبيقات وتحديات طريقة المربعات الصغرى
كما يشير مصطلح نموذج يعتمد على المربعات الدنيا، فإن الهدف هو تعديل معلمات النموذج لتناسب بشكل أفضل مجموعة من البيانات المرصودة. في السيناريوهات الأكثر شيوعًا، قد تأتي نقاط البيانات هذه من تحليلات فردية أو متعددة المتغيرات. على الرغم من استخدام طريقة المربعات الصغرى على نطاق واسع في العديد من المواقف العملية، إلا أنها تعاني أيضًا من قيود خوارزمية، وخاصة في مواجهة أخطاء الملاحظة. إذا لم يكن من الممكن تجاهل أخطاء المتغيرات المستقلة، فيمكن استخدام طريقة المربعات الصغرى الإجمالية للحصول على تقديرات أكثر قوة.
تظل طريقة المربعات الصغرى حجر الزاوية للعديد من عمليات المحاكاة وتحليلات البيانات الحديثة اليوم. ومع ذلك، فإن هذا النهج ليس محصناً تماماً ضد الصعوبات التي تنشأ مع زيادة المتغيرات المعقدة. على سبيل المثال، تتطلب طرق المربعات الصغرى غير الخطية غالبًا تقريبات تكرارية، وهو ما قد يكون مكلفًا من الناحية الحسابية.إن نجاح طريقة المربعات الصغرى لا يكمن فقط في تطبيقها الواسع في ملاءمة البيانات، بل أيضًا في إمكانياتها غير المحدودة لاستكشاف البيانات في المستقبل.خاتمة
إن طريقة المربعات الصغرى ليست مجرد تقنية رياضية فحسب، بل إن ميلادها وتطورها يمثلان رحلة التقدم العلمي. لقد تطورت هذه الطريقة على مر القرون من ملاحظات بسيطة إلى نماذج رياضية معقدة وتظل أداة لا غنى عنها في علم البيانات اليوم. وهذا يجعلنا نتساءل كيف ستغير تكنولوجيا الرياضيات المستقبلية فهمنا واستخدامنا للبيانات؟
