Language
Country/Area
No result found
السلاح السري في البرمجة الخطية: ما هو المفهوم الأساسي لطريقة السمبلكس؟
تاريخ طريقة السمبلكس
قام جورج دانزيجر، مبتكر طريقة السمبلكس، بتصميم خطط للقوات الجوية الأمريكية خلال الحرب العالمية الثانية، وكان هدفه الأصلي هو تخصيص الموارد بكفاءة. في عام 1946، طلب زملاء دانزيجر منه أن يجعل عملية التخطيط آلية، وهو التحدي الذي قاده إلى تحويل المشكلة إلى تباينات خطية. ورغم أنه لم يتضمن دالة موضوعية في ذلك الوقت، إلا أن هذه الخطوة أدت إلى تطوير الأساليب لاحقا.وفي النهاية، أدرك أن معظم "القواعد الأساسية" للجيش يمكن تحويلها إلى دالة هدف خطية تحتاج إلى تعظيمها.
كيف تعمل طريقة سيمبلكس
تعمل طريقة السمبلكس على برامج خطية ذات شكل قياسي، بهدف تعظيم دالة الهدف مع تلبية مجموعة من القيود. في الهندسة، تشكل جميع الحلول الممكنة متعدد السطوح محدبًا، وكل رأس من رؤوس هذا متعدد السطوح (أو "الحل الأساسي الممكن") هو أفضل حل ممكن.جوهر هذه الطريقة هو زيارة حواف متعدد السطوح والعثور تدريجيًا على القيمة القصوى لدالة الهدف. تبدأ طريقة السمبلكس من النقطة المتطرفة الأولية، فإذا لم تكن النقطة المتطرفة الحالية هي الحل الأمثل، فإنها تتحرك على طول الحافة إلى نقاط متطرفة أخرى ذات قيم دالة هدف أعلى حتى تصل إلى الحل الأمثل أو تجد أن دالة الهدف لها لا يوجد حد اعلى.
لا تضمن هذه العملية إنهاء الخوارزمية فحسب، بل تتوقع أيضًا أن يكون عدد الأقطاب التي يتعين زيارتها صغيرًا نسبيًا.
الشكل القياسي للبرمجة الخطية
لتحويل برنامج خطي إلى شكل قياسي، نحتاج أولاً إلى معالجة كل قيد. يتم تقديم متغيرات جديدة لتمثيل الفرق بين المتغيرات الأصلية وحدودها، وبالتالي تبسيط جميع القيود على الشروط غير السلبية. الخطوة المهمة في عملية التحويل هذه هي تحويل قيود عدم المساواة إلى قيود المساواة.
على سبيل المثال، بالنظر إلى قيود عدم المساواة التالية:
x1 ≥ 5
يمكننا تقديم متغير جديد y1 بحيث:
y1 = x1 - 5
يؤدي هذا إلى تحويل القيد إلى شكل المعادلة.
شكل بسيط
بمجرد تحويل البرنامج الخطي إلى النموذج القياسي، يمكن تقييمه باستخدام جداول بسيطة. يمثل كل صف في الجدول قيدًا، ويحدد الصف الأول دالة الهدف. إذا كان من الممكن إعادة ترتيب الجدول إلى نموذج يحتوي على مصفوفة الهوية، فيُسمى الجدول بالجدول القياسي.
في هذا الجدول، يعد التمييز بين المتغيرات الأساسية والمتغيرات غير الأساسية مهمًا بشكل خاص. ومن خلال تعيين المتغيرات غير الأساسية إلى الصفر، يمكن حساب قيم المتغيرات الأساسية بسهولة، وهي أيضًا خطوة أساسية في عملية الحل.
خاتمة مع تطور الرياضيات وتكنولوجيا الحوسبة، لعبت طريقة السمبلكس دورًا مهمًا في التطبيقات العملية المختلفة. وفي مجالات مثل الأعمال، والنقل، وتحسين الشبكات، فإن آثار هذا النهج لا تقتصر على إيجاد حلول رياضية. واليوم، مع التطور المستمر للتكنولوجيا، فإن إمكانية استخدام هذه الخوارزمية الكلاسيكية لتحقيق أفضل النتائج في بيئة متغيرة سوف يكون اتجاها مهما للأبحاث المستقبلية. ما هي الاستراتيجيات المبتكرة التي تعتقد أنها ستظهر في مشاكل التحسين المستقبلية لتحل محل أو مساعدة التطبيق التقليدي لطريقة السمبلكس؟وبالتالي، من خلال عمليات الصف المتكررة، يمكن لطريقة السمبلكس أن تجد الحل الأمثل بشكل متكرر.
