Language
Country/Area
No result found
ما هو تصميم الكتل؟ ما هو دوره الغامض في الرياضيات؟
في التصميم التوافقي الرياضي، يعد تصميم الكتل عبارة عن بنية متداخلة تتضمن مجموعة ومجموعاتها الفرعية (تسمى الكتل). يلبي اختيار هذه المجموعات الفرعية شروطًا معينة من أجل جعل مجموعة الكتل بأكملها تتصرف بشكل متماثل وتوازن. يحتوي تصميم الكتل على مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك التصميم التجريبي، والهندسة المحدودة، والكيمياء الفيزيائية، واختبار البرمجيات، والتشفير، والهندسة الجبرية وغيرها من المجالات. بشكل عام، يشير تصميم الكتل المذكور عادةً إلى تصميم الكتل غير المكتملة المتوازنة (BIBD)، وهو تصميم خاص كان تاريخيًا هو النوع الأكثر دراسة بشكل مكثف ويستخدم بشكل أساسي في التصميمات التجريبية.
يُظهر تصميم الكتل مجموعة العناصر وترتيبها، مما يفتح العديد من الجوانب الغامضة في الرياضيات.
المفاهيم الأساسية لتصميم الكتل
من الناحية الرياضية، إذا كان التصميم متوازنًا (حتى t)، فهذا يعني أن جميع المجموعات الفرعية t من المجموعة الأصلية تحدث في عدد متساوٍ من الكتل. عندما لا يتم تحديد t، يُفترض عادةً أن t = 2، مما يعني أن كل زوج من العناصر يحدث في نفس عدد الكتل ويكون التصميم متوازنًا. بالنسبة لـ t=1، يظهر كل عنصر في نفس عدد الكتل (وهذا ما يسمى بعدد التكرارات)، ويسمى هذا التصميم بالتصميم العادي. علاوة على ذلك، يُقال إن التصميم الذي تكون فيه جميع الكتل من نفس الحجم موحدًا أو صحيحًا. التصميمات التي تمت مناقشتها في هذه المقالة كلها موحدة، وأساس تصميم الكتلة ليس موحدًا، لذلك يطلق عليها التصميمات المتوازنة الزوجية (PBDs).
تصميم الزي الرسمي
يسمى التصميم "المتوازن" الأساسي (t=1) بالتكوين التكتيكي أو التصميم 1. في الهندسة، تسمى هياكل الحوادث المقابلة بالتكوينات. هذا التصميم موحد ومنتظم: تحتوي كل كتلة على عناصر k، وكل عنصر موجود في كتل r. هناك علاقة بين عدد v من العناصر في التصميم وعدد الكتل b، إجمالي عدد مرات ظهور العنصر، مثل bk = vr. كل مصفوفة ثنائية ذات مجاميع ثابتة للصفوف والأعمدة هي مصفوفة عرضية لتصميم كتلة منتظم منتظم.
تصميم موحد متوازن (تصميمين أو BIBD)
نظرًا لمجموعة محدودة. في هذا التصميم، يتم تضمين أي x في X في كتل r، وأي نقطتين متميزتين x وy في X موجودة أيضًا في كتل lect. الشرط هنا يعني أنه ليس من الضروري احتواء أي x في كتل r في X، كما يتبين من الاشتقاق السابق. يمكننا أن نسمي هذا التصميم تصميمًا (v، k، lect) أو تصميمًا (v، b، r، k، lect).
بسبب وجود توازن غير كامل، يظهر تصميم الكتل غموض وجمال الرياضيات التوافقية.
تصميم التناظر 2 (SBIBD)
في كلا التصميمين، عندما يكون عدد الكتل والنقاط متساويًا، يسمى التصميم تصميمًا متماثلًا. هذا النوع من التصميم يلبي متطلبات التصميمين الآخرين مع أقل عدد من الكتل، وفي التصميم المتماثل r=k، وb=v. من بينها، أي كتلتين مختلفتين تتقاطعان عند النقطة lect. توفر نظرية رايسر الشروط اللازمة للتصميم المتماثل.
أمثلة وتطبيقات
تصميم فريد (6,3,2)-يحتوي على 10 كتل وكل عنصر يتكرر 5 مرات. ممثلة باستخدام الترميز 0-5، هذه الكتل هي الثلاثية التالية: 012، 013، 024، 035، 045، 125، 134، 145، 234، 235. مصفوفة الحوادث المقابلة هي مصفوفة ثنائية مع v×b. أمثلة تصميمات الكتل غنية ومتنوعة، بدءًا من الرياضيات وحتى التطبيقات العملية.
هل يمكن أن يزودنا تطوير وتطبيق تصميم الكتل بطرق جديدة للتفكير في الأنظمة المعقدة؟
