A modification of Poincare's construction and its application to the CR geometry of hypersurfaces in {\bf C}^4
aa r X i v : . [ m a t h . C V ] F e b Модификация конструкции Пуанкареи её применение в
C R -геометриигиперповерхностей в C Белошапка В.К.
Аннотация
Обобщение гомологического оператора Пуанкаре – модифици-рованная конструкция Пуанкаре – была использована для оценкиразмерности локальных автоморфизмов произвольного ростка ве-щественно аналитической гиперповерхности пространства C . Вработе доказана следующая альтернатива: либо эта размерностьбесконечна, либо она не превосходит 24-х. При этом 24 реализует-ся лишь для невырожденной гиперквадрики (одной из двух). Ес-ли гиперповерхность 2-невырождена в точке общего положения,то оценку можно улучшить до 17, а если 3-невырождена, то до 20. Введение
Ведущим элементом метода модельной поверхности является кон-струкция Пуанкаре, которую он применял как в небесной механике, таки в CR -геометрии (гомологический оператор Пуанкаре или Пуанкаре-Дюлака). Применение в CR -геометрии дано в работе 1907-го года [1].Эта конструкция, по существу, представляет собой версию теоремы онеявном отображении в классе формальных степенных рядов.Обычно в CR -геометрии эта конструкция используется так. Пустьимеется некторое нелинейное дифференциальное или функциональное Механико-математический факультет Московского университета им.Ломоносова,Воробьевы горы, 119992 Москва, Россия, [email protected] F ( x, φ ( x )) = 0 . Пусть в кольце формальных степенных ря-дов от x введена некоторая градуировка (вес), причем µ -я компонентанашего соотношения имеет вид L ( x, φ µ ( x )) = выражению, зависящему от φ ν при ν ≤ µ − , где L ( x, y ) линейно зависит от y . Тогда, очевидно, размерность линейно-го пространства решений уравнения L ( x, φ ( x )) = 0 мажорирует размер-ность семейства решений исходного уравнения F ( x, φ ( x )) = 0 .В работе [2] для оценки размерности алгебры Ли инфинитезимальныхавтоморфизмов произвольной голоморфно невырожденной веществен-ной гиперповерхности пространства C была использована некотораямодификация этой конструкции (редукция на глубину два). А именно,пусть µ -я компонента нашего соотношения F ( x, φ ( x )) = 0 имеет вид L ( x, φ µ ( x ))+ L ( x, φ µ − ( x )) = выражению, зависящему от φ ν при ν ≤ µ − , где L ( x, y ) и L ( x, y ) линейно зависят от y . Тогда, очевидно, размерностьлинейного пространства решений уравнения L ( x, φ ( x )) + L ( x, φ ( x )) = 0 мажорирует размерность семейства решений исходного уравнения F ( x, φ ( x )) =0 . Аналогично определяется обобщение этой конструкции – редукция напроизвольную глубину k .В данной работе мы даем еще одну демонстрацию применения редук-ции на глубину два и три. С помощью этой модификации конструкцииПуанкаре дается оценка сверху на размерность алгебры Ли инфините-зимальных автоморфизмов произвольной голоморфно невырожденнойвещественной гиперповерхности пространства C (теорема 16).Этот результат подтверждает старую гипотезу [6]: либо размерностьгруппы автоморфизмов произвольного ростка вещественно аналитиче-ской гиперповерхности не превышает размерности для любой невырож-денной стандартной гиперквадрики (в C она равна 24), либо она беско-нечна.Отметим, что для получения известной оценки для гиперповерхно-стей пространства C достаточно обычной (однократной) конструкцииПуанкаре. Для получения же такой оценки в пространстве размерности ( n + 1) потребуется использование всех вариантов редукции на глубинуот 1 до n .Поскольку k -кратная конструкция Пуанкаре отличается от класси-2еской, изложим схему её применения в общем виде. Пусть V - линей-ное пространство бесконечных последовательностей вещественных чи-сел, пусть x ∈ V . Пусть, далее, эта последовательность разбита на ко-нечные отрезки, которые мы будем обозначать x j . Соответственно x =( x , x , . . . ) , при этом x j – элемент некоторого конечномерного веществен-ного линейного пространства. Фиксируем некоторое натуральное число k . Вот общая формулировка, которую естественно назвать схемой рекур-сии на глубину k . Теорема 1:
Пусть имеется бесконечная система полиномиальных со-отношений вида Θ j ( x , . . . , x j ) = L j ( x j ) + . . . + L jk ( x j − k +1 ) + θ j ( x j − k , x j − k − , . . . , x ) = 0 , (1) j = k, ( k + 1) , . . . , где ( L j , . . . , L jk ) – линейны, причем L j ( x ) = L j ( x j ) + L j ( x j − ) + . . . + L jk ( x j − k +1 ) и L ( x ) = ( L ( x ) , L ( x ) , . . . ) . И пусть известно, что
Ker L содержится в конечномерном подпростран-стве пространства V вида ˜ V l = { ( x , . . . , x l , , , . . . ) } . Тогда число пара-метров, от которых зависит общее решение (1), не превосходит размер-ности Ker L . Доказательство:
Пусть W – прямое дополнение Ker L до V . Это до-полнение можно определить так. В конечномерном пространстве ˜ V l про-извольно выберем прямое дополнение ˜ W к Ker L и дополним его под-пространством V l = { (0 , . . . , , x l +1 , x l +2 , . . . ) } . Таким образом, уравнение L ( x ) = 0 имеет в пространстве W единственное решение x = 0 . Просмат-ривая последовательно уравнения Θ j ( x ) = L j ( x )+ θ j ( x ) = 0 , убеждаемся,что эта система также имеет в W не более одного решения. Произволь-ный вектор x ∈ V имеет вид x + a , где x ∈ W, a ∈ Ker L . Рассмотрим нашусистему при фиксированном a . Получаем Θ j ( x + a ) = L j ( x )+ θ j ( x + a ) = 0 .Также видим, что эта система имеет не более одного решения. Такимобразом, совокупность решений (1) параметризуется некторым подмно-жеством Ker L . Теорема доказана.Пусть Γ – вещественно аналитическая гиперповерхность в областипространства C , Γ ξ – росток этой гиперповерхности в точке ξ . Пусть,далее, aut Γ ξ – алгебра Ли, состоящая из ростков вещественных веще-ственно аналитических векторных полей в точке ξ , касательных к Γ ξ . Ес-ли Γ вне собственного аналитического подмножества Леви-невырождена,3о в рамках стандартного подхода (однократная редукция) мы получа-ем стандартную оценку: dim aut Γ ξ не превосходит размерности алгеб-ры автоморфизмов касательной невырожденной гиперквадрики, кото-рая, независимо от сигнатуры, равна 24.Рассчитывать на получение оценки мы можем только в случае, если Γ – голоморфно невырождена. Для гиперповерхности в C голоморф-ная невырожденность эквивалентна l -невырожденности вне собственно-го аналитического подмножества, причем l ≤ (см.[3]). Таким образом,для получения общей оценки нам необходимо рассмотреть две разныхситуации. Первая: Γ равномерно 2-невырождена в окрестности ξ . Вто-рая: Γ равномерно 3-невырождена в окрестности ξ .Примеров равномерно 2-невырожденных гиперповерхностей в C до-статочно много. Например, они содержатся в известной работе Г.Фелсаи В.Каупа [16]. В частности, там описаны трубчатые гиперповерхно-сти над вещественными конусами и их голоморфные автоморфизмы. В C группы таких конусов имеют размерность 15. Примеров равномер-но 3-невырожденных гиперповерхностей в C нам известно два. Одинот В.Каупа [16] и один от А.Санти [15]. Оба – голоморфно однородные,причем в примере Санти известна размерность автоморфизмов, котораяравна 8.Рассмотрим оба случая – 3-невырожденный и 2-невырожденный –последовательно. Отметим, что для получения оценки нам пришлось нетолько использовать гомологический оператор на глубину больше чемодин. Также для анализа 2-невырожденных мы использовали двухкрат-ную процедуру. А именно, рекуррентная процедура с одним весом, затем– смена веса и анализ ядра старого гомологического оператора с точкизрения новой весовой рекурсии, что ведет к новому гомологическому опе-ратору. Затем для анализа специального случая (большое ядро) – ещеодна смена веса и новая рекурсия.В итоге мы получим две оценки размерности. Для 2-невырожденных- 17, а для 3-невырожденных - 20. При этом для 2-невырожденных нашатехника дает оценку 18, но использование недавнего результата И.Зеленкои Д.Сайкса [12] позволило улучшить ее до 17.4 -невырожденные гиперповерхности Обозначим координаты в C через ( z, ζ , η, w = u + i v ) . Пусть Γ – равномерно 3-невырождена в окрестности ξ ∈ Γ . Имея ввиду нашу цель– получение оценки на размерность группы автоморфизмов, – мы мо-жем ограничиться так называемыми "жесткими" гиперповерхностями.Действительно, если алгебра автоморфизмов содержит поле, трансвер-сальное комплексной касательной, то после локального распрямлениямы можем полагать, что группа содержит сдвиги вдоль оси u и, темсамым, локальное уравнение Γ имеет вид v = F ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ, η, ¯ η ) , т.е. правая часть не зависит от u . В силу 3-невырожденности ранг формыЛеви в общей точке равен 1, и мы можем записать локальное уравнение Γ в виде v = | z | + F + F + . . . , где F j ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ, η, ¯ η ) – это однородныйполином степени j . При этом простыми преобразованиями мы можемудалить все плюригармонические компоненты правой части уравнения,а также все члены, линейные по z и ¯ z , за исключением | z | .Необходимым условием равномерной 3-невырожденности является усло-вие, что ранг комплексного гессиана F ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ, η, ¯ η ) всюду не превосхо-дит единицы. Это условие, учитывая, что F z ¯ z в нуле равна единице ,можно записать как условие равенства нулю трех миноров второго по-рядка. А именно δ ( F ) = F z ¯ z F ζ ¯ ζ − | F z ¯ ζ | = 0 ,δ ( F ) = F z ¯ z F ζ ¯ η − F ζ ¯ z F z ¯ η = 0 ,δ ( F ) = F z ¯ z F η ¯ η − | F z ¯ η | = 0 . (2) Лемма 2:
Если Γ равномерно 3-невырождена, то уравнение этой ги-перповерхности после линейной замены можно записать в виде v = | z | + F + F + F + F + O (7) , (3)где F = 2 Re( z ¯ ζ ) , F = 2 Re( z ¯ η ) + 4 | z | | ζ | ,F = 2 Re( r ¯ z ζ + r ¯ z η + r z ¯ ζ ¯ η + r z ¯ η + 4 z ζ ¯ ζ + 6 z ¯ z ζ ¯ η ) ,F = 2 Re(8 ¯ r z ¯ z ζ ¯ ζ + 8 ¯ r z ¯ z ζ ¯ η + 2 r zη ¯ ζ ζ + 2 r zη ¯ ζ + s z ¯ z ζ + s ¯ z ζ + s z ¯ z η + s ¯ z η + s ¯ z ζ + s ¯ z ζ η + s ¯ z η + s ¯ zη +12 ¯ z ζ ¯ ζ η + 12 z ¯ z ζ ¯ η ) + 16 | z | | ζ | + 9 | z | | η | оказательство: Запишем общий вид F с учетом наших упрощений.Выделяя в соотношениях (2) компоненту степени один, получаем, что F = 2 Re( a ζ + a η ) ¯ z . Поскольку F не есть тождественный ноль, то ( a , a ) = 0 и мы можем заменить a ζ + a η на новую переменную ζ . Те-перь простым преобразованием мы можем удалить из всех последующихкомпонент F слагаемые вида A ( z, ζ , η ) ¯ z ) с голоморфным коэффи-циентом A .Запишем общий вид F с учетом наших упрощений. Выделяя в соот-ношениях (2) компоненту степени два, получаем, что F = 2 Re ¯ z ( a η + a ζ )+4 | z | | ζ | . Из равномерной 3-невырожденности следует, что ( a , a ) =0 и мы можем заменить a η + a ζ на новую переменную η . Простым пре-образованием удаляем из всех последующих компонент F слагаемые ви-да B ( z, ζ , η ) ¯ z ) с голоморфным коэффициентом B . Выделяя компо-ненту степени три, получаем указанный вид F . А затем из компонентыстепени четыре – вид F . Лемма доказана.Рассмотрим отображение ростка одной гиперповерхности Γ в началекоординат вида (3) на другую такую гиперповерхность ˜Γ . Пусть коорди-наты ростка отображения в начале координат имеют вид Φ = ( z → f ( z, ζ , η, w ) , ζ → g ( z, ζ , η, w ) , η → h ( z, ζ , η, w ) , w → e ( z, ζ , η, w )) . Будем считать эти гиперповерхности фиксированными. Введем в про-странстве степенных рядов от ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ, η, ¯ η, u ) , а также от ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ, η, ¯ η, w, ¯ w ) градуировку, назначая веса переменным [ z ] = [¯ z ] = [ ζ ] = [ ¯ ζ ] = [ η ] = [¯ η ] = 1 , [ w ] = [ ¯ w ] = [ u ] = 2 . Набор весовых компонент ( f µ − , g µ − , h µ − , e µ ) обозначим через φ µ ( µ -явесовая компонента Φ ). Запишем соотношение, отражающее тот факт,что Φ отображает Γ на ˜Γ . Θ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ, u ) = − e ( z, ζ , η, w ) + 2 | f | + 4 Re( f ¯ g ) + 4 Re( f ¯ h ) + 8 | f | | g | +2 F ( f, ¯ f , g, ¯ g, h, ¯ h ) + 2 F ( f, ¯ f , g, ¯ g, h, ¯ h ) + 2 F ( f, ¯ f , g, ¯ g, h, ¯ h ) + . . . при w = u + i ( | z | + 2 Re( z ¯ ζ ) + 2 Re( z ¯ η ) + 4 | z | | ζ | + . . . ) (4)Среди всех голоморфных в начале координат отображений выделимкласс отображений вида V = { Φ = Id + φ + . . . = ( z + O (4) , ζ + O (3) , η + O (2) , w + O (5)) } (5)6ценку размерности семейства таких отображений Γ на ˜Γ проведемпо схеме кратной рекурсии глубины k = 3 (см. теорему 1). Для это-го выделим в Θ µ – µ -й весовой компоненте (4) – члены, зависящие от ( φ µ , φ µ − , φ µ − ) , т.е. от ( e µ , e µ − , e µ − , f µ − , f µ − , f µ − , g µ − , g µ − , g µ − , h µ − , h µ − , h µ − ) . Введем обозначения ∆ ψ ( u ) = i F ψ ′ ( u ) , ∆ ψ ( u ) = i F ψ ′ ( u ) . Выделимпоследовательно в слагаемых выражения Θ , начиная от − e до F ,члены указанного вида, получим следующий результат. Лемма 3:
Для всех µ ≥ µ -я компонента Θ имеет вид Θ µ = L ( φ µ ) + L ( φ µ − ) + L ( φ µ − ) + θ µ ( φ ν<µ − ) , где w = u + i | z | ,L ( φ ) = 2 Re( i e + 2 ¯ z f + 2 ¯ z g + 2 ¯ z h ) ,L ( φ ) = ∆ ( L ( φ )) + l ( φ ) , L ( φ ) = ∆ ( L ( φ )) + ∆ ( L ( φ )) + ∆ ( L ( φ )) + l ( φ ) ,l ( φ ) = 2 Re { z ¯ ζ f + 8 z ¯ z ¯ ζ η g + (4 ¯ z r + 4 ¯ z ζ η r + 8 ¯ z η r + 12 ¯ ζ ¯ z z ) h } ,l ( φ ) = 2 Re { (8 ¯ ζ ¯ z ζ + 6 ¯ η z ) f + (4 ¯ z r + 4 ¯ z ζ η r + 12 ¯ η ¯ z z +8 ¯ ζ z + 16 ¯ ζ ¯ z ζ ) g + (16 ¯ ζ ¯ z z r + 8 ¯ ζ ζ η z r + 16 ¯ ζ η z r + 2 ¯ z s + 2 ¯ z ζ s +4 ¯ z η s + 2 ¯ z z s + 10 ¯ z η s + 24 ¯ ζ cz z + 24 ¯ ζ ¯ z ζ + 18 ¯ η ¯ z z ) h } . Отметим, что выражение L ( φ ) = L ( φ ) + L ( φ ) + L ( φ ) линейно по φ и не зависит от µ .Пусть V - линейное пространство, состоящее из ростков формальныхстепенных рядов в начале координат вида Φ = φ + φ + . . . = ( f + f + . . . , g + g + . . . , h + h + . . . , e + e + . . . ) Тогда, в соответствии с теоремой 1, размерность семейства отображений Γ на ˜Γ из V не превосходит размерности ядра L на V .Перейдем к оценке размерности ядра оператора L , т.е. пространстварешений соотношения L ( φ ) = 0 , где φ ∈ V (6)Обозначим f (0 , , , u ) = a ( u ) , g (0 , , , u ) = b ( u ) , h (0 , , , u ) = c ( u ) , e (0 , , , u ) = d ( u ) . ¯ z = ¯ ζ = ¯ η = 0 , получим соотношение, из которого сразунаходим e ( z, ζ , η, u ) = (7) d ( u ) + 2 i z ¯ a ( u ) + 2 i z ¯ b ( u ) + 2 i z ¯ c ( u ) + 4 i z (¯ r ¯ c ( u ) + ¯ r ¯ b ( u )) + 2 i ¯ s z ¯ c ( u ) , причем d ( u ) – вещественна.Обозначим f ′ z (0 , , , u ) = k ( u ) , g ′ z (0 , , , u ) = k ( u ) , h ′ z (0 , , , u ) = k ( u ) ,f ′ ζ (0 , , , u ) = m ( u ) , g ′ ζ (0 , , , u ) = m ( u ) , h ′ ζ (0 , , , u ) = m ( u ) ,f ′ η (0 , , , u ) = n ( u ) , g ′ η (0 , , , u ) = n ( u ) , h ′ η (0 , , , u ) = n ( u ) . Подставляем полученное значение e в L (обозначение L сохраняем). Под-ставим ¯ z = ¯ ζ = ¯ η = 0 в L ¯ z , L ¯ ζ , L ¯ η , получаем (8) z ¯ k ( u ) + 2 z ¯ k ( u ) + 10 η s h ( z, ζ , η, u ) + 24 ¯ c ( u ) ζ z +2 z ¯ s ¯ k ( u ) + 8 h ( z, ζ , η, u ) η ¯ r + 4 z ¯ r ¯ k ( u ) + 2 ¯ c ( u ) z ¯ s +4 z ¯ r ¯ k ( u ) − a ( u ) + 2 z ¯ k ( u ) + 8 ζ ¯ b ( u ) + 4 ζ ¯ a ( u ) − d ′ ( u ) z + 2 f ( z, ζ , η, u ) + 12 ζ z ¯ c ( u ) − i z a ′ ( u ) − (4 i ) z ¯ c ′ ( u ) − i z ¯ b ′ ( u ) + 4 h ( z, ζ , η, u ) ζ η r + 16 ¯ c ( u ) ζ z ¯ r − i z ¯ r ¯ c ′ ( u ) − i ¯ r z ¯ b ′ ( u ) − i ¯ s z ¯ c ′ ( u ) + 4 ζ η r g ( z, ζ , η, u ) = 016 h ( z, ζ , η, u ) η z r − i z ¯ c ′ ( u ) − i z ¯ s c ′ ( u ) − i z ¯ r ¯ b ′ ( u ) +2 z ¯ m ( u ) + 2 z ¯ m ( u ) + 2 z ¯ m ( u ) − z e ′ ( u ) +4 z f ( z, ζ , η, u ) + 8 h ( z, ζ , η, u ) ζ η z r + 2 ¯ c ( u ) z ¯ s + 24 ¯ c ( u ) ζ z − i z ¯ b ′ ( u ) − i z a ′ ( u ) − i z ¯ r ¯ c ′ ( u ) + 4 z ¯ r ¯ m ( u ) + 2 z ¯ s ¯ m ( u ) +8 ζ z ¯ a ( u ) + 16 ζ z ¯ b ( u ) + 4 z ¯ r ¯ m ( u ) = 04 z ¯ r ¯ n ( u ) + 4 z ¯ s ¯ c ( u ) + 2 z ¯ s ¯ n ( u ) + 6 z f ( z, ζ , η, u ) +4 z ¯ r ¯ n ( u ) − i z ¯ b ′ ( u ) − i z a ′ ( u ) − i z ¯ r ¯ c ( u ) − z e ′ ( u ) − i z ¯ r ¯ b ′ ( u ) − i z ¯ s ¯ c ′ ( u ) − i z ¯ c ′ ( u ) +2 z ¯ n ( u ) + 2 z ¯ n ( u ) + 2 z ¯ n ( u ) = 0 .
8з третьего соотношения (8) следует, что n ( u ) = 0 и что f ( z, ζ , η, u ) = − ¯ n ( u ) + z ( e ′ ( u ) − ¯ n ( u )) + (9) z ( − ¯ r ¯ n ( u ) − ¯ s ¯ c ( u ) − ¯ r ¯ n ( u ) + i ¯ a ′ ( u )) + z (2 i ¯ b ′ ( u ) − ¯ s ¯ n ( u )) + 2 i z ¯ c ′ ( u )+2 i z (¯ r ¯ c ′ ( u ) + ¯ r ¯ b ′ ( u )) + i z ¯ s ¯ c ′ ( u ) . Подставляя полученное значение f в первое и второе из соотношений (8)и выделяя старшую компоненту по η , получаем, что r ζ g ( z, ζ , η, u ) + (2 r ζ + 5 s η ) h ( z, ζ , η, u ) = 0 , ( r ζ + 2 r η ) h ( z, ζ , η, u ) = 0 . (10)Оставшиеся после выполнения (10) условия, обеспечивающие выполне-ние (8), сводятся к следующей системе соотношений a = b = c = n = n = k = 0 , (11) d ′ = − n , k = 23 r n , m = 13 ( n − ¯ n ) , m = 43 r n ,r r n = 0 , s n = 0 , ( r − s + 4 r ) n = r ¯ n . Отметим, что при этом e ( z, ζ , η, u ) = d ( u ) , f ( z, ζ , η, u ) = d ′ ( u ) − ¯ n ( u )3 z −
23 ¯ r ¯ n ( u ) z − ¯ s ¯ n ( u )3 z . Рассмотрим несколько случаев.
Случай 1:
Пусть r = 0 , тогда из (10) сразу следует, что g = h = 0 .Оставшиеся соотношения позволяют заключить, что f = 0 и что d - этовещественная константа. Итак, в этом случае Ker L = V = { (0 , , , d ) } ,причём d ∈ R . Случай 2:
Пусть r = 0 . Пусть ( r , s ) = 0 , ( случай 2.1 ), тогда из (10)следует, что h = 0 . Возвращаясь к соотношениям (8), получаем n = n = d ′ = 0 . Откуда f = 0 , а e - вещественная константа. Обозначим g ′′ zz (0 , , , u ) через k ( u ) . Вычисляя теперь L ′′ ¯ z ¯ z при ¯ z = ¯ ζ = ¯ η = 0 , полу-чаем g ( z, ζ , η, u ) = 2 i z ¯ r ¯ k ′ ( u ) − z ¯ r ¯ k ( u )+ i z ¯ k ′ ( u ) − (1 / z ¯ k ( u ) − ζ ¯ k ( u ) . Подставляя это значение g в L и приравнивая к нулю коэффциенты при z ¯ ζ и z ¯ z | ζ | , получаем, что k = k = 0 , т.е. g = 0 . Т.е. Ker L = V .9усть r = s = 0 , ( случай 2.2 ). Обозначим h ′′ zz (0 , , , u ) = k ( u ) , h ′′′ zzz (0 , , , u ) = k ( u ) . Вычисляя L ′′ ¯ z ¯ z при ¯ z = ¯ ζ = ¯ η = 0 , как и ранее, получаем выражение для g , вычисляя L ′′′ ¯ z ¯ z ¯ z при ¯ z = ¯ ζ = ¯ η = 0 , получаем выражение для h . Послечего анализ младших коэффициентов L даёт n = d ′ = k = k = k = k = 0 , откуда получаем f = g = h = 0 , e - вещественная константа. Т.е. Ker L = V .Таким образом нами доказана следующая лемма. Лемма 4:
Если L ( φ ) = 0 , то φ = (0 , , , d ) , где d - вещественнаяпостоянная. В частности, на пространстве V ядро тривиально.Выясним, как устроены младшие струи отображения Γ на ˜Γ , сохра-няющего ноль на месте. Выделяя компоненты (4) веса один и два, сразуполучаем, что e = 0 , e = | λ | w, f = λ z, λ ∈ C ∗ . Пусть, далее, e = | λ | ( d + d w ) , f = λ ( a w + a ) , g = b , где d , d , a , b - однородные голоморфные формы от ( z, ζ , η ) соответ-ствующих степеней, a - постоянная. Третья весовая компонента (4) имеетвид | λ | Im[ i z ¯ ζ + d ( z, ζ , η ) ( u + i | z | ))] = | λ | a ( u + i | z | ) + a ( z, ζ , η )) ¯ z ] + 2 Re[ λ z ¯ b (¯ z, ¯ ζ, ¯ η )] . Выделяя члены, линейные по u , получаем d = 2 i ¯ a z . Теперь среди чле-нов бистепени (2 , выпишем по отдельности компоненты, линейные по ¯ z , по ¯ ζ и по ¯ η . Получим a ( z, ζ , η ) = (2 i ¯ a − λ ¯ λ ¯ b ) z , b = λ ¯ λ , b = 0 , где b = b z + b ζ + b η . Здесь и далее верхними индексами указываемна связь коэффициентов и переменных. Пусть b = α λ/ ¯ λ , получаем e = 2 i | λ | ¯ a z w, f = λ ( a w + (2 i ¯ a − ¯ α ) z ) , g = λ ¯ λ ( α z + ζ ) . e = | λ | ( d + d w + d w ) , f = λ ( a + a w ) ,g = λ ¯ λ ( b + b w ) , h = λ ¯ λ c , где коэффициенты – это голоморфные однородные формы от ( z, ζ , η ) со-ответствующих степеней. Выпишем компоненту (4) веса четыре (общиймножитель | λ | убираем). Im[ d ( z, ζ , η ) + d ( z, ζ , η ) ( u + i | z | ) + d ( u + 2 i | z | u − | z | ) + − a z ( z ¯ ζ + ¯ z ζ ) + i ( z ¯ η + ¯ z η ) + 4 | z | | ζ | )] =2 Re[( a ( z, ζ , η ) + a ( z, ζ , η ) ( u + i | z | )) ¯ z ] + (12) | a | ( u + | z | ) − a ( u + i | z | ) (2 i a + α ) ¯ z )] + | i a + α | | z | +2 Re[ a (2 i Re( z ¯ ζ ))] + 2 Re[2 ( a ( u + i | z | ) + (2 i ¯ a − ¯ α ) z ) z ( ¯ α ¯ z + ¯ ζ )] +2 Re[( b ( z, ζ , η ) + b ( u + i | z | )) ¯ z ] + 2 Re[ c ( z, ζ , η ) ¯ z ] + 4 | z | | α z + ζ | . Отделяя в (12) коэффициент при u , получаем Im d = | a | . Положим d = γ + i | a | . Отделяя в (12) коэффициент при u , получаем Im[ d ( z, ζ , η )] + | a | | z | = 2 Re[ a ( z, ζ , η ) ¯ z ] − a (2 i a + α ) ¯ z ] + 2 Re[ a z ( ¯ α ¯ z + ¯ ζ )] + 2 Re[ b ¯ z ] Откуда получаем d = (2 i ¯ a − ¯ a ¯ α + ¯ β ) z ,a = (( | a | − a ¯ α )) + i δ ) z + ¯ a ζ , где β = b , δ = Im a . Компонента бистепени (4 , сразу дает d = 0 . Вбистепени (3 , получаем i d ( z, ζ , η ) | z | − ¯ a z ¯ ζ + z ¯ ζ = a ( z, ζ , η ) ¯ z + i ¯ a ( − i ¯ a + ¯ α ) z ¯ z − i ¯ β z ¯ z + z c ( z, ζ , η ) . Откуда получаем a = ( − a − i ¯ a ¯ α + 2 ¯ β − ¯ ν ) z ,c = ν z − a ζ + η, ν = c . В бистепени (2 , имеем − i ¯ az ζ ¯ z + i a z ¯ z + 2 i a z ¯ z ( ¯ α ¯ z + ¯ ζ ) + b ¯ z + 4 α z ¯ z ¯ ζ ] +( | a | + 4 | α | + | i a + α | ) | z | = 0 . Откуда получаем b = ( δ − | α | − | a | − | i a + α | − i a ¯ α + i κ )) z + ( i a + 2 α ) z ζ ,c = ν z − a ζ + η, где κ = Im b .Итак, нами доказана следующая лемма. Лемма 5: (a) Всякое локально обратимое отображение Γ на ˜Γ , сохра-няющее начало координат, представимо в виде композиции отображениявида z → λ ( z + a w + (2 i ¯ a − ¯ α ) z + ( − a + 2 i ¯ a ¯ α + 2 ¯ β − ¯ ν ) z +(( | a | − a ¯ α ) + i δ ) z + ¯ a ζ ) w ) ,ζ → λ ¯ λ ( ζ + α z + τ z + ( i a + 2 α ) z ζ + β w ) ,η → λ ¯ λ ( η + ν z − a ζ ) ,w → | λ | ( w + 2 i ¯ a z w + (2 i ¯ a − ¯ a ¯ α + ¯ β ) z w + ( γ + i | a | ) w ) , где τ = ( δ − | α | − | a | − | i a + α | − i a ¯ α + i κ )) и отображения z → z + O (4) , ζ → ζ + O (3) , η → η + O (2) , w → w + O (5) . (b) Причём λ ∈ C ∗ , a, α, β, ν ∈ C , γ, δ, κ ∈ R . Что дает 13 вещественных параметров.(c) Такое отображение однозначно определяется заданием 3-струи в на-чале координат.Теперь мы готовы доказать следующее утверждение.12 тверждение 6:
Если Γ – вещественно аналитическая гиперповерх-ность пространства C , которая в точке общего положения является 3-невырожденной, то размерность группы локальных голоморфных авто-морфизмов в любой точке не превосходит 20. Доказательство:
Размерность группы в призвольной точке не превосхо-дит суммы размерности гиперповерхности и размерности стабилизаторав точке общего положения. Размерность гиперповерхности равна 7. Раз-мерность стабилизатора, в силу теоремы 1 и лемм 2,3,4 и 5 не превосходит13. Поскольку , утверждение доказано.
Общие 2-невырожденные гиперповерхности
Обозначим координаты в C через ( z = ( z , z ) , ζ , w = u + i v ) и перей-дем к рассмотрению случая.Так же как и выше, мыможем ограничиться "жесткими" гиперповерхностями. Пусть Γ – рав-номерно 2-невырождена в окрестности ξ ∈ Γ . Форма Леви равномерно2-невырожденной гиперповерхности повсюду имеет имеет минимальноевырождение, а именно, ее ранг ранг равен 2. Таким образом мы можемзаписать локальное уравнение Γ в виде v = < z, ¯ z > + F ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ ) + F ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ ) + . . . (13)где F j – однородный вещественный полином степени j , а < z, ¯ z > – невы-рожденная эрмитова форма от переменного z ∈ C . Простыми треугольно-полиномиальными заменами переменных z и w можно добиться того, чтоправая часть уравнения Γ F = < z, ¯ z > + F + F + . . . не будет содержать плюригармонических слагаемых (т.е. слагаемых би-степеней ( m, и (0 , m ) ) и слагаемых, линейно зависящих от z и ¯ z , заисключением формы < z, ¯ z > . Выпишем слагаемые, которые после этогоостанутся в F и F . Имеем F = 2 Re( K ( z, z ) ¯ ζ + A ( z ) | ζ | + A ζ ¯ ζ ) , (14) F = 2 Re(( P ( z, z, ¯ z ) + Q ( z, z, z )) ¯ ζ + R ( z, z ) ¯ ζ ) + S ( z, ¯ z ) | ζ | + T ( z, z, ¯ z, ¯ z ) +2 Re( B ( z, z ) | ζ | + B ( z ) ζ ¯ ζ + B ( z ) ζ ¯ ζ ) . Γ следует, что форма K ( z, z ) не равна нулю тождественно. Для дальнейших вычислений нампотребуется приведение пары форм ( < z, ¯ z >, K ( z, z )) на C комплекснолинейными заменами к виду, содержащему минимум параметров. Имеетместо следующая классификация. Лемма 7:
Пусть < z, ¯ z > невырождена, а K ( z, z ) отлична от тожде-ственного нуля, тогда невырожденным комплексно линейным преобра-зованием можно привести эту пару к одной из следующего списка: (1 . ) ( | z | + | z | , k z + m z ) , k, m > , k = m, (2 . ) ( | z | + | z | , k ( z + z )) , k > , (3 . ) ( | z | + | z | , k z ) , k > , (4 . ) ( | z | − | z | , k z + m z ) , k, m > , k = m, (5 . ) ( | z | − | z | , k ( z + z )) , k > , (6 . ) ( | z | − | z | , k z ) , k > , (7 . ) (2 Re ( z ¯ z ) , z + m z ) , m / ∈ R , (8 . ) (2 Re ( z ¯ z ) , z + m z ) , m ∈ R ∗ , (9 . ) (2 Re ( z ¯ z ) , z ) . Доказательство:
Пусть < z, ¯ z > положительно определена и ν – соб-ственный вектор оператора, заданного матрицей k ll m . Выбирая в качестве первого вектора нового базиса вектор ν √ < ν, ¯ ν > и, подбирая второй из условия ортонормированности, получаем в зави-симости от ранга K пары (1.), (2.) и (3.). Положительности параметров k и m можно добиться поворотами в плоскостях z и z .Пусть < z, ¯ z > – имеет сигнатуру (1 , . Если оператор имеет собствен-ный вектор ν , т.ч. < ν, ¯ ν > = 0 , то годится то же самое рассуждение и14то дает пары (4.), (5.) и (6.).Пусть ( e , e ) – базис C , в котором K ( z, z ) – диагональна, т.е. K ( z, z ) = k z + m z причем < e , ¯ e > = < e , ¯ e > = 0 . Тогда если z = z e + z e ,то < z, ¯ z > = 2 Re( < e , ¯ e > z ¯ z ) . После растяжения по z эрмитова форма принимает вид < z, ¯ z > =2 Re( z ¯ z ) . Используя преобразование z → λ z , z → z ¯ λ , λ ∈ C ∗ , которое не меняет эрмитовой формы получаем пары (7.), (8.) и (9.). Лем-ма доказана. Лемма 8:
Если форма Леви гиперповерхности Γ , заданной уравне-нием (13), тождественно вырождена, то F и F можно записать в виде(14), причем A = A = B = B = B = 0 , а форма S в зависимости отномера пары из леммы 2 имеет следующий вид: (1 . ) S = 4 ( k | z | + m | z | ) , (2 . ) S = 4 k ( | z | + | z | ) , (3 . ) S = 4 k | z | , (4 . ) S = 4 ( k | z | − m | z | ) , (5 . ) S = 4 k ( | z | − | z | ) , (6 . ) S = 4 k | z | , (7 . ) S = 4 ( ¯ m z ¯ z + m z ¯ z ) , (8 . ) S = 4 m ( z ¯ z + z ¯ z ) , (9 . ) S = 0 . Доказательство:
Вычисляя определитель матрицы комплексного гесси-ана по переменным ( z , z , ζ ) и отделяя в нем компоненты степени один,получаем, что A = A = 0 . Отделяя, далее, компоненты степени два,получаем, что B = B = B = 0 и указанный вид формы S . Леммадоказана.Теперь можем написать F = 2 Re[ K ( z, z ) ¯ ζ ] ,F = 2 Re[( P ( z, z, ¯ z ) + Q ( z, z, z )) ¯ ζ + R ( z, z ) ¯ ζ ] + S ( z, ¯ z ) | ζ | + T ( z, z, ¯ z, ¯ z ) . т.е. уравнение гиперповерхности имеет вид v = < z, ¯ z > +2 Re[ K ( z, z ) ¯ ζ ] +2 Re[( P ( z, z, ¯ z ) + Q ( z, z, z )) ¯ ζ + R ( z, z ) ¯ ζ ] + S ( z, ¯ z ) | ζ | + T ( z, z, ¯ z, ¯ z ) + O (5) . (15)15ведем в пространстве степенных рядов от ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ, u ) , а также от ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ, w, ¯ w ) , градуировку, назначая веса переменным [ z ] = [¯ z ] = [ ζ ] = [ ¯ ζ ] = 1 , [ w ] = [ ¯ w ] = [ u ] = 2 . Пусть Γ и ˜Γ – гиперповерхности, заданные уравнениями v = < z, ¯ z > +2 Re ( K ( z, z ) ¯ ζ ) + O (4) , (16) v = < z, ¯ z > +2 Re ( ˜ K ( z, z ) ¯ ζ ) + O (4) и φ = ( z → f = f + f + O (3) , ζ → g = g + O (2) , w → h = h + h + h + O (4) ) – локально обратимое голоморфное отображение первой на вторую, остав-ляющее начало координат на месте. Причем компоненты координат отоб-ражения – это компоненты фиксированного веса и O ( j ) – это сумма сла-гаемых веса не ниже j .То, что это отображение переводит Γ в ˜Γ , аналитически можно запи-сать в виде следующего соотношения Θ = − h + 2 < f, ¯ f > +4 Re ( ˜ K ( f, f ) ¯ g ) + ˜ F + . . . при w = u + i ( < z, ¯ z > +2 Re ( K ( z, z ) ¯ ζ ) + F + O (5)) . (17)Отделяя в этом соотношении компоненту веса 1, получаем h = A ( z ) + B ζ = 0 .Пусть h = Φ ( z, ζ ) + ρ w, f = C z + d ζ , где Φ – форма степени дваот ( z, ζ ) . Отделяя в (17) компоненту веса 2, получаем Φ ( z, ζ ) = 0 ,
Рассматриваются вполне аналогично с учетом то-го, что U - псевдоунитарная матрица вида p q ¯ q ¯ p , где | p | − | q | = 1 . Свободные параметры – те же.
Пары (7.),(8.),(9.) . Для этой эрмитовой формы псевдоунитарная мат-рица с единичным определителем, близкая к единичной, имеет вид p i σ p i r (1+ rσ ) p rσ ) p , где r, σ ∈ R , p > . ( λ, p ) , для (8.) – ( λ, r ) , для (9.) – ( λ, p ) . Лемма доказана.Зафиксируем гиперповерхности Γ и ˜Γ вида (16) и дадим оценку числапараметров, от которых зависит отображение одной на другую вида (19)в соответствии со схемой рекурсии глубины k = 2 (теорема 1). С этойцелью опишем вид µ -й компоненты соотношения (17). При этом явновыпишем слагаемые, зависящие от φ µ и φ µ − , игнорируя члены, завися-щие от φ ν при ν ≤ µ − . Пусть f = ( f , f ) . Введем также следующееобозначение: ∆ ψ ( u ) = 2 i Re( K ( z, z ) ¯ ζ ) ψ ′ ( u ) . Лемма 11: µ -я весовая компонента выражения (17) Θ µ имеет вид Θ µ = L ( φ µ ) + L ( φ µ − ) + θ µ ( φ ν<µ − ) , причем L ( φ ) = 2 Re( i h + 2 < f, ¯ z > +2 ¯ K (¯ z, ¯ z ) g ) , L ( φ ) = ∆ L ( φ ) +2 Re { K ( f, z ) ¯ ζ + 2 ( ¯ P (¯ z, ¯ z, z ) + ¯ Q (¯ z, ¯ z, ¯ z ) + 2 ¯ R (¯ z, ¯ z ) ζ + S ( z, ¯ z ) ¯ ζ ) g } , где w = u + i < z, ¯ z > . (21)Отметим, что выражение L ( φ ) = L ( φ ) + L ( φ ) линейно по φ и независит от µ . Пусть V – линейное пространство, состоящее из ростковформальных степенных рядов в начале координат вида Φ = φ + φ + . . . = ( f + f + . . . , g + g + . . . , h + h + . . . ) В соответствии с теоремой 1 число параметров, от которых может за-висеть отображение вида (19) Γ на ˜Γ не превосходит размерности Ker L на пространстве V . Это, вместе с оценкой числа параметров в 3-струе,даст общую оценку числа прараметров, от которых может зависеть отоб-ражение и, в частности, оценку размерности группы локальных автомор-физмов гиперповерхности Γ . Таким образом, для получения оценки раз-мерности автоморфизмов 2-невырожденной гиперповерхности нам оста-лось дать оценку размерности Ker L на V .Оператор L содержит большое число произвольных постоянных. Длятого, чтобы упростить работу по оценке размерности ядра применим куравнению L ( f, g, h ) = 0 тот же самый прием, т.е. рекурсию на глубину19ва, но предварительно поменяв веса основных переменных. Зададимновые веса так: [ z ] = [¯ z ] = 2 , [ ζ ] = [ ¯ ζ ] = 1 , [ w ] = [ u ] = 4 . Если теперь, используя новое весовое разложение φ = ( f, g, h ) , положить φ µ = ( f µ − , g µ − , h µ ) , то µ -я весовая компонента L ( φ ) = 0 имеет вид L µ = 2 Re[ i h µ + i ∆( h µ − )] +2 Re[2 < f µ − , ¯ z > +2 < ∆( f µ − ) , ¯ z > +4 K ( f µ − , z ) ¯ ζ ] +2 Re[2 ¯ K (¯ z, ¯ z ) g µ − + 2 ¯ K (¯ z, ¯ z ) ∆( g µ − ) + (2 ¯ R (¯ z, ¯ z ) ζ + S ( z, ¯ z ) ¯ ζ ) g µ − +(2 ¯ P (¯ z, ¯ z, z ) + ¯ Q (¯ z, ¯ z, ¯ z )) g µ − ] , где w = u + i < z, ¯ z > = 0 . (22) Лемма 12:
Размерность пространства решений (22) не превосходитразмерности пространства решений L ( f, g, h ) = 0 , где L ( f, g, h ) = 2 Re[ i h + i ∆( h )] + 2 Re[2 < f, ¯ z > +2 < ∆ f, ¯ z > +4 K ( f, z ) ¯ ζ ] +2 Re[2 ¯ K (¯ z, ¯ z ) g + 2 ¯ K (¯ z, ¯ z ) ∆( g ) + 2 ¯ R (¯ z, ¯ z ) ζ g + S ( z, ¯ z ) ¯ ζ g ] , где w = u + i < z, ¯ z > = 0 . (23) Доказательство:
Это сразу следует из теоремы 1.Отметим при этом, что рекурсия, описанная оператором L , стар-тует с µ = 5 . При этом нас интересует размерность ядра L на про-странстве V в старой весовой градуировке. Поэтому лемма 12 нужда-ется в небольшой коррекции. Пусть ˜ V состоит из наборов ( f, g, h ) , где f = ˜ O (3) , g = ˜ O (2) , h = ˜ O (5) в соответствии с новым весом. Непосред-ственно убеждаемся в справедливости следующей леммы. Лемма 13:
Если φ = ( f, g, h ) ∈ V ∩ Ker L , то φ ∈ ˜ V . Доказательство:
Если φ ∈ V , то φ = χ + ψ , где ψ ∈ ˜ V , а χ = (0 , , γ ζ ) .Отделяя в соотношении L ( χ + ψ ) = 0 компоненту веса четыре, получаем L ( χ ) = 0 . Откуда сразу следует, что χ = 0 .Переходя к оценке размерности ядра оператора L , отметим, что опе-ратор зависит от параметров ( k, m ) , ограничения на которые содержатсяв лемме 5 (допустимые значения), и от трех коэффициентов квадратич-ной формы R ( z, z ) = r z + r z z + r z , которые не связаны никакими20граничениями. Также отметим, что независимо от значений параметров Ker L содержит двумерное подпространство (тривиальные решения), ко-торое, впрочем, не пересекается с ˜ V . ( f = f = g = 0 , h = t ) , t ∈ R , (24) ( f = t z , f = t z , g = 0 , h = t w ) , t ∈ R . Лемма 14:
Пусть φ = ( f, g, h ) ∈ φ ∈ ˜ V ∩ Ker L .(a) Если ( k = 1 , m = 0) (пара номер 9 из леммы 8) и R ( z, z ) = r z , то f = i ¯ n z , f = 2 i ¯ n z z − ¯ n z + n w,g = n z − i n z + 2 i ¯ n z ζ r ζ , h = 2 i ¯ n z w, где n и n – комплексные числа. Соответственно dim( ˜ V ∩ Ker L ) = 4 .(b) Во всех остальных случаях φ = 0 . Соответственно dim( ˜ V ∩ Ker L ) = 0 . Доказательство:
Доказательство представляет собой рутинное, но объ-емное вычисление, которое осуществляется средствами компьютернойалгебры (Maple). Это вычисление проводится отдельно для пар с номе-рами (1,2,3,4,5,6). И отдельно для номеров (7,8,9). Для единообразногорассмотрения пар (1,2,3) и (4,5,6) вводится параметр ε = ± , учитываю-щий сигнатуру формы Леви. Введем также обозначения ( f (0 , , , u ) , f (0 , , , u )) = ( a ( u ) , a ( u )) = a ( u ) ,g (0 , , , u ) = b ( u ) , h (0 , , , u ) = c ( u ) ,∂ f ∂ z (0 , , , u ) = a ( u ) , ∂ f ∂ z (0 , , , u ) = a ( u ) ,∂ f ∂ z (0 , , , u ) = a ( u ) , ∂ f ∂ z (0 , , , u ) = a ( u ) ,∂ g∂ z (0 , , , u ) = b ( u ) , ∂ g∂ z (0 , , , u ) = b ( u ) , ∂ g∂ z (0 , , , u ) = B ( u ) . Схема вычисления в первом и втором случаях отличается мелкими дета-лями. Опишем её на примере второго случая – пар (7,8,9).
Шаг первый .Положим в соотношении L ( f , f , g, h ) = 0 (25)21 z = 0 , ¯ ζ = 0 , получим выражение h ( z , z , ζ , u ) через ( a ( u ) , a ( u ) , b ( u ) , c ( u )) .Это выражение имеет вид h ( z , z , ζ , u ) = ¯ c ( u ) + 2 i < z, ¯ a ( u ) > +2 i ¯ b ( u ) K ( z, z ) При этом, подставляя ( z = 0 , ζ = 0) , убеждаемся, что ¯ c ( u ) = c ( u ) . Шаг второй . Подставляем полученное значение h в (25), вычисляем L ′ ¯ z и L ′ ¯ z , подставляем ¯ z = 0 , ¯ ζ = 0 и из этих соотношений получаем выраже-ния для f и f через ( a ( u ) , a ( u ) , b ( u ) , c ( u ) , a , a , a , a ) . Они имеютвид f = a ( u ) + 2 i ¯ b ′ ( u ) m z z + 2 i ¯ b ′ ( u ) z − m z ζ ¯ b ( u ) + c ′ ( u ) z +2 i ¯ a ′ ( u ) z + 2 i ¯ a ′ ( u ) z z − ¯ b ( u ) m z − ζ ¯ a ( u ) ¯ m − ¯ b ( u ) z − ¯ a ( u ) z − ¯ a ( u ) z ,f = a ( u ) + 2 i ¯ b ′ ( u ) m z + 2 i ¯ b ′ ( u ) z z − ¯ b ( u ) m z − m z ζ ¯ b ( u ) + c ′ ( u ) z + 2 i ¯ a ′ ( u ) z z + 2 i ¯ a ′ ( u ) z − ¯ b ( u ) z − ¯ a ( u ) z − ¯ a ( u ) z − ζ ¯ a ( u ) . Подставляя ( z = 0 , ζ = 0) , получаем a ( u ) = c ′ ( u ) − ¯ a ( u ) , Re a ( u ) = Re a ( u ) = 0 . Шаг третий.
Подставим полученные значения f и f в (25), вычислим L ′′ ¯ z , подставим ¯ z = 0 , ¯ ζ = 0 и из этого соотношения получим выражениедля g через ( a ( u ) , a ( u ) , b ( u ) , c ( u ) , a , a , a , a , b ( u ) , b ( u ) , B ( u )) . g = 12 (2 ¯ r ζ + 1) (2 b ( u ) + 4 i ¯ b ′ ( u ) z z − ¯ B ( u ) m z + 12 i ζ ¯ a ′ ( u ) z − c ′ ( u ) ζ +4 a ( u ) ζ + 2 b ( u ) z − ¯ B ( u ) z + 2 b ( u ) z − b ( u ) m ζ z − i ¯ a ′ ( u ) z z + 2 i ¯ a ′ ( u ) z z + 4 i ¯ a ′ ( u ) ζ z + 20 i m z ζ ¯ b ′ ( u ) − i a ( u ) z +4 i ¯ b ′ ( u ) ζ z + 4 ¯ b ′′ ( u ) z m + 4 ¯ b ′′ ( u ) z z + 4 ¯ a ′ ( u ) z z +2 i ¯ a ′ ( u ) z + 4 i ¯ b ′ ( u ) z m + 2 ¯ a ′′ ( u ) z ) Подставляя ( z = 0 , ζ = 0) , получаем B = − ¯ B , откуда следует, что B = 0 . Шаг четвертый.
После подстановки в (25) полученного выражения для g мы получаем соотношение, которое имеет вид вещественного полинома22о ( z, ¯ z, ζ , ¯ ζ ) , коэффициенты которого суть дифференциальные полино-мы от введенных функций переменного u и их производных. Приравнив-няем к нулю все коэффициенты. Анализ полученной системы обыкновен-ных дифференциальных уравнений позволяет завершить доказательстволеммы. В соответствии с лемой 14 нетривиальное ядро имеется только длянекоторого специального класса 2-невырожденных гиперповерхностей.Т.е. таких, что в каждой своей точке они могут быть заданы уравнениемвида v = 2 Re( z ¯ z ) + 2 Re( z ¯ ζ ) + 2 Re( r z ¯ ζ ) + ... После замены ζ → ζ + ¯ r ζ уравнение принимает вид v = 2 Re( z ¯ z ) + 2 Re( z ¯ ζ ) + мономы нового веса 7 и выше (26)Для изучения таких гиперповерхностей нам будет удобно сделать пе-рестановку координат и еще раз поменять веса. Пусть теперь [ z ] = 2 , [ z ] = [ ζ ] = 1 , [ w ] = [ u ] = 3 . Тогда гиперповерхность (взвешенная модельная поверхность) задаётсясоотношением Q = { v = 2 Re( z ¯ ζ + z ¯ ζ ) } (27)при таком выборе весов Q – это график квазиоднородного вещественногополинома веса 3. Это позволяет применить рекурсию на глубину одини получить исчерпывающий ответ. Отметим также, что использованиевзвешенных модельных поверхностей применяется достаточно давно ([6],[9], [10]) и эта техника вполне стандартна.Подгруппа Q автоморфизмов гиперповерхности Q , которая обеспечи-вает голоморфную однородность Q , состоит из преобразований вида z → a + z , z → b + 2 ¯ a ζ + z , ζ → c + ζ ,w → d + 2 i ( a ¯ b + a ¯ c + (¯ b + 2 a ¯ c ) z + ¯ a z + ¯ a ζ + ¯ c z ) + w, (28)где ( a, b, c, d ) – произвольная точка Q .23усть Γ – росток гиперповерхности в начале координат вида v = 2 Re( z ¯ ζ + z ¯ ζ ) + O (4) , (29)где O (4) - это слагаемые веса четыре и выше. Рассмотрим отображение φ = ( f, g, h, e ) этого ростка на другой росток такого же вида. Причем f = z + f + . . . , g = z + g + . . . , h = ζ + h + . . . , e = w + e + . . . (30)(нижние индексы обозначают веса компонент). Тогда, записывая в видеаналитического соотношения тот факт, что это отображение переводитпервую гипеповерхность во вторую и отделяя в нем µ -ю весовую компо-ненту, получаем − Im e µ + 2 Re( f µ − ¯ ζ + g µ − ¯ ζ + h µ − (¯ z + 2 ¯ z ζ )) = . . . где w = u + 2 i Re( z ¯ ζ + z ¯ ζ ) } , а многоточие означает выражение, зави-сящее от компонент с меньших весов (т.е. для f – меньше µ − , для g и h – меньше µ − , для e – меньше µ .Таким образом мы видим, что размерность семейства отображенийвида (30) контролируется размерностью ядра гомологического операто-ра. L ( f, g, h, e ) = 2 Re( i h + 2 f ¯ ζ + 2 g ¯ ζ + 2 h (¯ z + 2 ¯ z ζ )) (31)при w = u + 2 i Re( z ¯ ζ + z ¯ ζ ) .С другой стороны, если X = 2 Re f ∂∂z + g ∂∂z + h ∂∂ζ + e ∂∂w ! – росток векторного поля в начале координат, т.ч. ( f, g, h, e ) - голоморф-но в нуле, тогда равенство L ( f, g, h, e ) = 0 равносильно тому, что X –элемент алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов Q в началекоординат – aut Q .Веса, введенные нами для координат пространства, естественно про-должаются и на дифференцирования по этим координатам. Дифферен-цирование по z имеет вес (-2), по z и по ζ – вес (-1), по w – вес (-3).Это превращает aut Q в градуированную алгебру Ли вида g − + g − + . . . .Подалгебра g содержит градуирующее поле X = 2 Re ∂∂z + 1 ∂∂z + 1 ∂∂ζ + 3 ∂∂w ! .
24 такой ситуации если некоторое поле есть элемент алгебры, то каждаяего градуированная компонента – тоже. Рассуждение из работы В.Каупа[11], позволяет утверждать, что алгебра aut Q , в таком случае, обязанабыть конечно градуированной (полиномиальной). Но мы не будем ис-пользовать это утверждение, а вычислим алгебру явно.Переходим к вычислению алгебры aut Q , которая совпадает с ядромоператора (31). Процедура вычисления аналогична той, что описана вдоказательстве леммы 14. Однако само вычисление проще.Введем обозначения f (0 , , , u ) = a ( u ) , g (0 , , , u ) = b ( u ) , h (0 , , , u ) = c ( u ) ,e (0 , , , u ) = d ( u ) , ∂ f∂ z (0 , , , u ) = a ( u ) , ∂ f∂ ζ (0 , , , u ) = a ( u ) ,∂ g∂ z (0 , , , u ) = b ( u ) , ∂ g∂ ζ (0 , , , u ) = b ( u ) ,∂ h∂ z (0 , , , u ) = c ( u ) , ∂ h∂ ζ (0 , , , u ) = c ( u ) , ∂ g∂ z (0 , , , u ) = B ( u ) . Положим в соотношении L ( f, g, h, e ) = 0 (32) ¯ z = 0 , ¯ z = 0 , ¯ ζ = 0 , получим выражение для h . Это полином степенидва от ( z , z , ζ ) с коэффициентами, зависящими от ( a ( u ) , b ( u ) , c ( u ) , d ( u )) .Подставляя это значение h в (32), вычисляем L ′ ¯ ζ , подставляем ¯ z = 0 , ¯ ζ =0 и из найденного соотношения получаем выражение для f , которое яв-ляется полиномом степени три с коэффициентами, зависящими от ( a, a ′ , b ′ , c ′ , d, a , b , c ) .Вычисляем L ′ ¯ z , подставляем ¯ z = 0 , ¯ ζ = 0 и из этого соотношенияполучаем выражение для h , которое является полиномом степени двас коэффициентами, зависящими от ( a, a ′ , b ′ , c, c ′ , a , b , c ) . Подставляяэти значения f и h в (32), вычисляем L ′′ ¯ ζ , положим ¯ z = 0 , ¯ ζ = 0 и из найденного соотношения получим выражение для g , которое яв-ляется полиномом степени четыре с коэффициентами, зависящими от ( a ′ , a ′′ , b, b ′ , b ′′ , c ′ , c ′′ , d ′ , a ′ , b , b , b ′ , c ′ , c ′ , B ) .Дальнейший анализ соотношения (32) дает Im d = Re c = Re B = 0 , b = i c ′ , c = d ′ − ¯ a ,a ′ = b ′ = c ′′ = d ′′ = a ′ = a = b ′ = c ′ = B ′ = 0 . a − , b − , c − , d − , a − , a − , b − , b − , c − , c − , B − . Таким образом, получаем, что размерность aut Q не превосходит 16.С другой стороны не трудно выписать несколько младших весовыхкомпонент aut Q . Вот эти компоненты: g − = { (0 , , , d ) } , d ∈ R , (33) g − = { ( a, , , i ¯ a ζ ) } , a ∈ C ,g − = { ( − c z + i k ζ , b, c, i ¯ c z + 2 i ¯ b ζ ) } , b, c ∈ C , k ∈ R ,g = { ( M z + m ζ (2 M − l ) z − ¯ m ζ (3 l − ¯ M ) ζ , l w ) } , M, m ∈ C , l ∈ R ,g = { (2 i ¯ N z ζ + N w, i ¯ N z ζ − i N z + i n ζ , i ¯ N ζ , i ¯ N ζ w ) } , N ∈ C , n ∈ R . И мы видим, что размерность суммы этих пяти компонент равна 16.Таким образом алгебра вычислена. Для дальнейшего нам будет удобнопредставить g − в виде прямой суммы g ′− + g ′′− , где g ′− = { ( − c z , b, c, i ¯ c z + 2 i ¯ b ζ ) } ,g ′′− = { ( i k ζ , , , } . Сформулируем полученный результат.
Теорема 15: (a) Алгебра aut Q – это сумма пяти градуированных компонент g − + g − + g − + g + g , сами компоненты выписаны выше (33). dim aut Q = 16 .(b) При этом aut Q , стабилизатор начала координат в aut Q (т.е. поля изалгебры, обращающиеся в ноль в начале координат) – это g ′′− + g + g ,его размерность равна 9.(c) Подалгебра g − + g − + g ′− – это алгебра Ли подгруппы Q – груп-пы ” сдвигов ” . Причем Q находится в естественном взаимно-однозначномсоответствии с Q . Это позволяет перенести на Q структуру вложеннойгиперповерхности.(d) Если Γ - росток гиперповерхности вида (33), имеет место оценка какдля всей алгебры, так и отдельно для стабилизатора начала координат . dim aut Γ ≤ , dim aut Γ ≤ . g ′′− + g + g порождают Q .Поле ( i ζ , , , из g ′− порождает преобразование z → z + i t ζ , z → z , ζ → ζ , w → w. Аналогично поле (0 , i ζ , , из g порождает преобразование z → z , z → z + i t ζ , ζ → ζ , w → w. Для вычисления преобразований, порожденных g , положим M =2 − µ/ . Тогда получаем z → z + m e µt − µ ! ζ ! e (2 l − µ/ t ,z → z − ¯ m e µt − µ ! ζ ! e ( l − µ/ t ,ζ → ζ e ( l + µ/ t , w → w e lt . И, наконец преобразования из g при n = 0 имеют вид z → z (1 − i ¯ N ζ t ) , z → z − i N z t (1 − i ¯ N ζ t ) ,ζ → ζ − i ¯ N ζ t , w → w (1 − i ¯ N ζ t ) . Гипеповерхность Q замечательна во многих отношениях. Она пред-ставляет собой общее начало двух последовательностей гипеповерхно-стей пространства C N при N ≥ (больше у них персечений нет) . Перваяпоследовательность была рассмотрена в работе А.Лабовского ([8], 1997)как пример голоморфно однородных l -невырожденных гиперповерхно-стей с произвольным l . Если эта гиперповерхность расположена в C N ,то она равномерно ( N − -невырождена.С другой стороны, в недавней работе И.Зеленко и Д.Сайкса [12] былаописана серия голоморфно однородных 2-невырожденных гиперповерх-ностей пространства C N с алгеброй голоморфных автоморфизмов раз-мерности ( N − + 7 и доказано, что эти гиперповерхности оптимальныв классе голоморфно однородных. Т.е. никакая голоморфно однородная27иперповерхность не может иметь автоморфизмы большей размерности.Отметим, что эта работа использует технику, весьма далекую от нашей.Это дифференциальная геометрия в стиле Э.Картана и Н.Танаки. Утверждение 16: (a) Если вещественная гиперповерхность Γ всюду,кроме собственного аналитического подмножества, является 2-невырожденной,то для любой ее точки ξ размерность алгебры автоморфизмов ростка ги-перповерхности в этой точке aut Γ ξ не превосходит 17.(b) Если же эта гиперповерхность в точке общего положения принад-лежит специальному классу (26) (или более широкому классу (29)), то dim aut Γ ξ ≤ . Доказательство:
Размерность aut Γ не превосходит размерности гипер-поверхности, которая равна 7 плюс размерность стабилизатора точки.Для оценки стабилизатора в произвольной точке достаточно провестиоценку в точке 2-невырожденности. В соответствии с теоремой 1 и все-ми последующими леммами размерность стабилизатора оценивается че-рез размерность младшей струи (леммы 4 и 8) и размерность ядра L на ˜ V (которая равна нулю). Размерность группы параметров ( C, ρ, β ) не превышает 3. Прараметры ( a, α ) дают еще 8. Итого .Однако, что бы получить 18 надо, чтобы орбита начала координат была7-мерной. Это означает голоморфную однородность. Но тогда, в соответ-ствии с [12], размерность не выше 16-ти. Поэтому мы можем считать, чторазмерность орбиты меньше 7. Откуда получаем оценку .В случае (b) мы можем воспользоваться теоремой 15 (d). Утверждениедоказано. Теорема 17:
Пусть Γ – голоморфно невырожденная вещественноаналитическая гиперповерхность в C , точка ξ ∈ Γ и Γ ξ – росток Γ вточке ξ . Пусть aut Γ ξ – алгебра Ли инфинитезимальных голоморфныхавтоморфизмов ростка. Тогда:(1) dim aut Γ ξ ≤ . (2) Если известно, что Γ dim aut Γ ξ ≤ . (3) Если известно, что Γ dim aut Γ ξ ≤ . Теорема 18:
Пусть Γ ξ – росток произвольной вещественно анали-тической гиперповерхности в C т.ч dim aut Γ ξ = 24 , тогда Γ ξ эквива-лентен одной из двух стандартных невырожденных гиперквадрик (т.е.Леви-невырожден и сферичен). Доказательство:
Если Γ ξ не является Леви-невырожденной в общей точ-ке, то, как следует из теоремы 17, размерность не превосходит 20. Такимобразом, Γ ξ Леви-невырождена в общей точке. Если она там не сферична,то, как доказано в [14], размерность не превосходит 13-ти. Поэтому онасферична. Но тогда, в соответствии с другим результатом Б.Кругликова[13], если Γ ξ не эквивалентна гиперквадрике (произвольной сигнатуры),то размерность не выше 17. Теорема доказана.Аналогичные оценки для C и C – это 8 и 15. Они также достига-ются только на гиперквадриках. Проблемными, как и в C , являютсягиперповерхности, которые в общей точке являются сферическими. Ре-зультат для C – это работа И.Коссовского и Р.Шафикова [4], а для C – А.Исаева и Б.Кругликова [5].Эти результаты вместе с известным критерием конечномерности да-ют следующий список возможностей. Пусть d = dim aut Γ ξ . Тогда(1) d = ∞ тогда и только тогда, когда Γ голоморфно вырождена.(2) d = 24 тогда и только тогда, когда Γ эквивалентна одной из двухневырожденных стандартных гиперквадрик.(3) Если Γ ξ несферичен, но Γ сферична в точке общего положения, то d ≤ .(4) Если Γ в точке общего положения 1-невырождена (Леви-невырождена)и несферична, то d ≤ .(5) Если Γ – 2-невырождена в точке общего положения, то d ≤ .(6) Если Γ – 2-невырождена в точке общего положения и однородна (вокрестности ξ ), то d ≤ .(7) Если Γ – 3-невырождена в точке общего положения, то d ≤ .29 этом списке пункты (1) и (2) вполне конкретны. То же следуетсказать и о пункте (3). Действительно, в работе [13] имеется пример ги-перповерхности такого типа, для которой оценка 17 реализуется. То жесамое касается и пункта (4). В [14] имеется пример такой гиперповерх-ности, у которой размерность алгебры автоморфизмов равна 13. Пункт(6) также точен. Как было показано, он подкреплен примером. Поэто-му для точной оценки из пункта (5) есть ровно две возможности – 16и 17. Последний пункт (7) самый неопределенный. Пока можно сказатьтолько, что максимум не меньше 8 и не больше 20. Вопрос 19:
Каковы точные значения максимумов из пунктов (5) и(7)?
Вопрос 20:
Верно ли, что альтернатива остается верной для гипер-поверхностей в размерности выше, чем 4? Т.е. либо бесконечность, либоне больше, чем у гиперквадрики, у которой в C N размерность ( N +1) − .У этого довольно старого вопроса [6] есть более свежая версия ([7],conjecture (5.a),(5.b)). Список литературы [1] H.Poincare, Les fonctions analytiques de deux variables et larepresentation conforme, Rend. Circ. Mat., Palermo, 1907, pp.185 – 220.[2] В.К.Белошапка, “Симметрии вещественных гиперповерхностейтрехмерного комплексного пространства”, Матем. заметки, т.78, №2 (2005), сс.171–179.[3] M.S.Baouendi, P.Ebenfelt, L.P.Rothschild, CR automorphisms of realanalytic manifolds in complex space, Comm. Anal. Geom. 6 (1998), no.2, 291–315.[4] I.Kossovskiy, R.Shafikov, Analytic differential equations and sphericalreal hypersurfaces. J. Differential Geom. 102 (2016), no. 1, pp.67 –126.[5] A.Isaev, B. Kruglikov, On the symmetry algebras of 5-dimensional CR-manifolds. Adv. Math. 322 (2017), 530–564.306] V.K.Beloshapka, Automorphisms of Degenerate Hypersurfaces in C and a Dimension Conjecture // Russian Journal of Mathematical Physic,1996, vol.4, no.3, p.393 – 396.[7] V.K.Beloshapka, CR-Manifolds of Finite Bloom–Graham Type: theMethod of Model Surface // Russian Journal of Mathematical Physicsvol. 27, no.2, pp.155–174 (2020).[8] А.С.Лабовский, О размерности группы биголоморфных автомор-физмов вещественно-аналитических гиперповерхностей, Матем. за-метки, 61:3 (1997), 349–358.[9] А.Е.Ершова, Автоморфизмы 2-невырожденных гиперповерхностейв C3