A two-parameter Hedberg's method for fractional integration
aa r X i v : . [ m a t h . C A ] D ec Hardy-Littlewood-Sobolev Inequalityon Product Spaces
Zipeng WangCambridge Centre for AnalysisUniversity of CambridgeJanuary 3, 2019
Abstract
We prove Hardy-Littlewood-Sobolev inequality on product spaces by using strongmaximal functions.
In 1928, Hardy and Littlewood first established an L p -regularity theorem of fractional integralsin one dimensional space, as was shown in [1]. Ten years later, Sobolev extended the result intohigher dimensions in [2]. This has been known as Hardy-Littlewood-Sobolev inequality. Itwas later revealed by Hedberg in [4], such that the inequality can be obtained as a consequenceof Hardy-Littlewood-Wiener theorem of maximal functions. A well illustrative proof is givenin the book [3]. In this paper, in the same sprit of using maximal functions, we extendHardy-Littlewood-Sobolev inequality into product spaces.Let ( x , y ) ∈ R m × R n . For 0 < α < m and 0 < β < n , we define Ω ( x , y ) = (cid:18) | x | (cid:19) m − α | y | ! n − β . (1. 1)Our main result is the following: Theorem
Let < p < q < ∞ and f ∈ L p ( R m × R n ) . We have (cid:13)(cid:13)(cid:13) f ∗ Ω (cid:13)(cid:13)(cid:13) L q ( R m × R n ) ≤ A p , q (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (1. 2) if and only if p − q = α m = β n . (1. 3)We prove hereby a 2-parameters product theorem. The result of general multi-parameterscan be obtained by developing the estimation in the same spirt.1 Some Remarks
Let B δ × B λ ⊂ R m × R n be the product of balls with radius δ and λ , centering on ( x , y ) = (0 , (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) = sup δ> , λ > | B δ || B λ | " B δ × B λ (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) dudv . (2. 1)It is not hard to observe that (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) . (cid:16) M (cid:16) M f (cid:17)(cid:17) ( x , y ) (2. 2)where M i , i = , L p -norms as functions by (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) = Z R n (cid:16) M f (cid:17) p ( x , v ) dv ! p , (2. 3) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) = Z R m (cid:16) M f (cid:17) p ( u , y ) du ! p . (2. 4)Let (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) = (cid:13)(cid:13)(cid:13) M f ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) M f ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) . (2. 5)Since M and M are L p -bounded respectively on the coordinate subspaces, we have " R m × R n (cid:16) G f (cid:17) p ( x , y ) dxdy ! p . " R m × R n Z R n (cid:16) M f (cid:17) p ( x , v ) dv ! Z R m (cid:16) M f (cid:17) p ( u , y ) du ! dxdy ! p = " R m × R n (cid:16) M f (cid:17) p ( x , v ) dxdv ! p " R m × R n (cid:16) M f (cid:17) p ( u , y ) dudy ! p . (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) . (2. 6)Lastly, the necessity of (1. 3) follows by changing the dilations with respect to each variable x and y . It is obvously that (1. 3) implies1 q = p − α + β m + n . (2. 7)2 Proof of Theorem
By (1. 1), we write (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:16) f ∗ Ω (cid:17) ( x , y ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) . " R m × R n (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv = " | u |≤ R , | v |≤ R + " | u |≤ R , | v | > R + " | u | > R , | v |≤ R + " | u | > R , | v | > R (3. 1)where R > R >
0. The estimation will be carried out in several steps. We first estimate " | u |≤ R , | v |≤ R (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv . (3. 2)Observe that both | u | − m + α and | v | − n + β are both radial and radially decreasing, provide that0 < α < m and 0 < β < n . They can be approximated in the sense of that | u | − m + α ∼ X j a j χ B j , X j a j | B j | ∼ Z | u |≤ R | u | − m + α du (3. 3)and | v | − n + β ∼ X k b k χ B k , X k b k | B k | ∼ Z | v |≤ R | v | − n + β dv (3. 4)where a j , b k are positive real numbers, and χ B j , χ B k are characteristic functions of B j ⊂ R m , B k ⊂ R n for every j , k = , , . . . respectively.We have " | u |≤ R , | v |≤ R (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv ∼ X j a j | B j | X k b k | B k | | B j || B k | " B j × B k (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) dudv . (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) " | u |≤ R , | v |≤ R (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv = (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) R α R β . (3. 5) Next, we turn to " | u | > R , | v | > R (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv . (3. 6)3y H ¨older inequality, " | u | > R , | v | > R (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv . " R m × R n (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( u , v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) p dudv ! p " | u | > R , | v | > R (cid:18) | u | (cid:19) ( m − α ) pp − (cid:18) | v | (cid:19) ( n − β ) pp − dudv p − p . (3. 7)We have ( − m + α ) p / ( p − < m provided that mp − − α pp − = mq pp − ! > (cid:0) − n + β (cid:1) p / ( p − < n provided that np − − β pp − = nq pp − ! > . (3. 9)Therefore, (3. 7) is further bounded by (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) R α − m / p R β − n / p . (3. 10) What remains to be estimated are " | u |≤ R , | v | > R (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv (3. 11)and " | u | > R , | v |≤ R (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv . (3. 12)By symmetry, it is su ffi ce to estimate one of them.Observe that " | u |≤ R , | v | > R (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv . Z | v | > R (cid:18) | v | (cid:19) m − β (Z | u |≤ R (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α du ) dv . R α Z | v | > R (cid:16) M f (cid:17) ( x , y − v ) (cid:18) | v | (cid:19) n − β dv (3. 13)whereas the second inequality above is carried out in analogue to step .4n the other hand, by H ¨older inequality, R α Z | v | > R (cid:16) M f (cid:17) ( x , y − v ) (cid:18) | v | (cid:19) n − β dv . R α Z R n (cid:16) M f (cid:17) p ( x , v ) dv ! p Z | v | > R (cid:18) | v | (cid:19) ( n − β ) pp − dv p − p . (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) R α R β − n / p (3. 14)as showed in step .By carrying out the same estimation as above for (3. 12), with u and v switched in role, weobtain " | u | > R , | v |≤ R (cid:12)(cid:12)(cid:12) f ( x − u , y − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:18) | u | (cid:19) m − α (cid:18) | v | (cid:19) n − β dudv . (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) R α − m / p R β . (3. 15) Suppose that (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) ≤ (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) . (3. 16)In summary of the estimates obtained in step , we choose R and R such that (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) R α R β = (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) R α − m / p R β − n / p (3. 17)and (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) R α R β − n / p = (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) R α − m / p R β . (3. 18)As a result, we have (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) = R − m / p R − n / p (3. 19)and (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) = R − m / p R − n / p . (3. 20)By solving equations (3. 19)-(3. 20), we have R − m / p = (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) (3. 21)and R − n / p = (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) . (3. 22)5 . By inserting estimates (3. 21)-(3. 22) into (3. 17), we have (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) R α R β = (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) R α − m / p R β − n / p = (cid:16) M f ( x , y ) (cid:17) pq (cid:18)(cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (cid:19) (cid:16) − pq (cid:17) . (3. 23)On the other hand, by inserting estimates (3. 21)-(3. 22) into (3. 18), we have (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) R α R β − n / p = (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) R α − m / p R β = (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) pq (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) ≤ (cid:16) M f (cid:17) pq ( x , y ) (cid:18)(cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (cid:19) (cid:16) − pq (cid:17) . (3. 24) Suppose that (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) > (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) . (3. 25)We replace (cid:16) M f (cid:17) ( x , y ) with (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) / (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) in (3. 5). The resulting estimates in step will be changed accordingly. Namely, we choose R and R such that (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) R α R β = (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R N × R N ) R α − m / p R β − n / p (3. 26)and (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) R α R β − n / p = (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) R α − m / p R β . (3. 27)As a result, we have (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) = R − m / p R − n / p (3. 28)and (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) = R − m / p R − n / p . (3. 29)By solving equations (3. 28)-(3. 29), we have R − m / p = (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) (3. 30)and R − n / p = (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) . (3. 31)6 . Therefore, by inserting estimates (3. 30)-(3. 31) into (3. 26), we have (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) R α R β = (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) R α − m / p R β − n / p = (cid:16) G f ( x , y ) (cid:17) pq (cid:18)(cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (cid:19) (cid:16) − pq (cid:17) . (3. 32)On the other hand, by inserting estimates (3. 30)-(3. 31) into (3. 27), we have (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( x , · ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R n ) R α R β − n / p = (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) M f (cid:17) ( · , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m ) R α − m / p R β = (cid:16) G f (cid:17) ( x , y ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) pq (cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) = (cid:16) G f (cid:17) pq ( x , y ) (cid:18)(cid:13)(cid:13)(cid:13) f (cid:13)(cid:13)(cid:13) L p ( R m × R n ) (cid:19) (cid:16) − pq (cid:17) . (3. 33) References [1] G. H. Hardy and J. E. Littlewood,
Some Properties of Fractional Integrals , MathematischeZeitschrift ( ): 565-606, 1928.[2] S. L. Sobolev, On a Theorem of Functional Analysis , Matematicheskii Sbornik ( ): 471-497, 1938.[3] E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Inte-grals , Princeton University Press, 1993.[4] L. Hedberg,
On Certain Convolution Inequalities , Proceeding of American MathematicalSociety (36