AAis lan tes to po ló gi cos
Alberto Mar tín-Ruiz
Insti tuto de Cien cias Nu clea res, Uni ver si dad Na cio nal Au tó noma de Mé xico
Intro duc ción . La fí sica de ma te ria con den -sada es tu dia sis te mas con un gran nú mero deáto mos in te rac tuan tes que dan lu gar a es ta dosagre ga dos. El con cepto de emer gen cia, in tro -du cido por Phi lip W. Ander son y de sa rro lladopor Ro bert Laugh lin, es la pie dra an gu lar so brela que des cansa la des crip ción de es tos es ta dos co lec ti vos de la ma te ria. Éste se re fiere a quelas pro pie da des de un sis tema com puesto nose pue den in fe rir a par tir del co no ci miento delas pro pie da des de sus com po nen tes, sino queemer gen como con se cuen cia de la or ga ni za -ción es pon tá nea de és tos. Como ejem plo re -pre sen ta tivo de una pro pie dad emer gente de la ma te ria con den sada po de mos men cio nar la su -per con duc ti vi dad, en donde los elec tro nes decon duc ción de jan de com por tarse como elec -tro nes in de pen dien tes y for man un es -tado cuán tico co lec tivo ma cros có pico.Otro ejem plo de pro pie dad emer genteson las cua si par tí cu las , que sur gen comocon se cuen cia del com por ta miento co -lec tivo de los elec tro nes en cier tos ma -te ria les como el gra feno.La ma yo ría de los es ta dos o fa ses de la ma te ria con den sada se han lo grado en -ten der gra cias al con cepto de rom pi -miento es pon tá neo de si me tría, in tro du -cido por Lev D. Lan dau a me dia dos delsi glo pa sado. Éste se puede ilus trar conlos si guien tes ejem plos. Un só lido cris ta -lino rompe la si me tría de tras la ción, ape sar de que la in te rac ción en tre suscom po nen tes ató mi cos es tras la cio nal -mente in va riante. Un ma te rial fe rro mag -né tico rompe la si me tría ro ta cio nal, aún cuando sus in te rac cio nes fun da men ta les son iso tró -pi cas. El pa trón de rom pi miento es pon tá neo de si -me tría de fine un único pa rá me tro de or den, quetoma un va lor es pe rado no nulo sólo en el es tado or -de nado, y es po si ble for mu lar una teo ría de cam posefec tiva (lla mada teo ría de Lan dau-Ginz burg) ba sadaen pro pie da des ge ne ra les ta les como la di men sio na li -dad y la si me tría de di cho pa rá me tro de or den. Porejem plo, el pa rá me tro de or den re le vante en la fasemag né tica de un ma te rial fe rro mag né tico co rres -ponde a la mag ne ti za ción lo cal, es de cir, la dis tri bu -ción es pa cial del pro me dio de es pín de los elec tro -nes que com po nen el ma te rial. A al tas tem pe ra tu ras,en la fase no mag né tica, este pa rá me tro de or den escero, pero se vuelve no nulo tan pronto el sis tema se or dena mag né ti ca mente al en friarse por de bajo de latem pe ra tura de Cu rie.
So cie dad Me xi ca na de Fí si ca Artículos
Fi gura 1: Re sis ti vi dad Hall en fun ción del cam po mag né ti co. fec to Hall cuán ti co
Pa re cía que una de la gran des me tas de la fí sica dema te ria con den sada, la de en ten der y cla si fi car lasdis tin tas fa ses de la ma te ria, ha bía sido al can zada. Sinem bargo, Klaus von Klit zing des cu brió en 1980 unnuevo es tado cuán tico, el es tado Hall cuán tico (HC),que elude el es quema de cla si fi ca ción de Lan dau. Ensu ex pe ri mento, von Klit zing so me tió un gas de elec -tro nes a muy baja tem pe ra tura, con fi nado en unplano a un fuerte campo mag né tico per pen di cu lar ala mues tra. Lo que ob servó fue que la con duc ti vi dadHall es taba cuan ti zada en múl ti plos en te ros de la uni -dad fun da men tal de con duc ti vi dad, esto es (cid:115)
Hall n e h (cid:61) ( ) . (1) En la Fig. 1 se mues tra la re sis ti vi dad Hall, tal como la mi dió von Klit zing. En el es tado HC, la su per fi ciede la mues tra bi di men sio nal es ais lante, y la co rriente eléc trica se trans porta sin di si pa ción sólo en el borde. La ex pli ca ción de por qué la cuan ti za -ción de la con duc ti vi dad Hall es tan pre cisa(¡una parte en un bi llón!) e in sen si ble a pe que -ños cam bios en la mues tra, vino años más tardey tiene que ver con la emer gen cia de una nueva fase de la ma te ria que cae fuera del pa ra digmade Lan dau, pues ésta no surge a par tir del rom -pi miento es pon tá neo de si me trías. De estaforma, el es tado HC fue el pri mer ejem plo deuna fase de la ma te ria que es to po ló gi ca mentedis tinta de los otros es ta dos de la ma te ria co -no ci dos. Para en ten der las pro pie da des del es -tado HC y sus di fe ren cias con el es tado ais -lante con ven cio nal, re pa se mos bre ve mente sus ca rac te rís ti cas.El es tado ais lante es el es tado más sim ple dela ma te ria. Como se sabe por la ex pe rien ciaco ti diana, los ais lan tes son ma te ria les que nocon du cen bien la elec tri ci dad. En un ais lanteató mico , los elec tro nes es tán fuer te mente li ga -dos a los áto mos en ca pas ce rra das, de modoque cos ta ría ener gía ha cer loscon du cir. A la ener gía mí nima ne -ce sa ria para pro mo cio nar los elec -tro nes de es tos es ta dos de va len -cia a los es ta dos de con duc ción, se le de no mina bre cha de ener gía (obanda prohi bida). Los ais lan testie nen una bre cha grande, ti pi ca -mente ma yor a 1eV, de modo que sus elec tro nes re quie ren gran descan ti da des de ener gía para mo -verse. Ver el pa nel su pe rior de laFig. 2. Aun que la bre cha de ener -gía en un ais lante ató mico (talcomo el ar gón só lido) es másgrande que la de un se mi con duc -tor, en cierto sen tido am bos es ta -dos per te ne cen a la misma fase de la ma te ria. Esta equi va len cia po -de mos pen sarla como una trans -for ma ción con ti nua en tre los Ha -mil to nia nos de am bos es ta dos since rrar la bre cha de ener gía. De Bol. Soc. Mex. Fís. 33-1, 2019
Artícu los
Figu ra 2. Re pre sen ta ción es que má ti ca de un ais lan te con ven cio nal y su es truc tu ra de ban das (pa nel su pe rior); y del efec to Hall cuán ti co y su es truc tu ra de ban das (pa nelin fe rior). orma sim ple, po de mos ima gi nar que en cen de -mos (o apa ga mos) poco a poco el tras lape en -tre los elec tro nes de dis tin tos áto mos sin ce -rrar la bre cha.El es tado Hall cuán tico po de mos en ten derlo de forma sim ple con si de rando el mo vi mientode elec tro nes en una mues tra bi di men sio nalsu jeta a un campo mag né tico fuerte. El campohace que los elec tro nes ex pe ri men ten unafuerza de Lo rentz que los hará mo verse en ór -bi tas cir cu la res con fre cuen cia ci clo trón (cid:119) c eB m (cid:61) , si mi lar al mo vi miento pe rió dicode los elec tro nes ató mi cos. El tra ta mientome cano-cuán tico de este pro blema reem -plaza el mo vi miento cir cu lar por or bi ta lescon ni ve les de Lan dau cuan ti za dos con ener gía E n n c (cid:61) (cid:43) (cid:104) (cid:119) ( )1 2 . Los ni ve les de Lan dau pue -den in ter pre tarse como una es truc tura de ban -das: si n ni ve les es tán lle nos y el resto va cíos,en ton ces una bre cha de ener gía se para a loses ta dos ocu pa dos y va cíos, justo como en unais lante. En las fron te ras del sis tema, sin em -bargo, los por ta do res de carga ex hi ben un tipode mo vi miento dis tinto pues no son ca pa cesde rea li zar ór bi tas ce rra das, dema nera que pue den re bo tar ypro pa garse a lo largo del borde, como se mues tra en el pa nel in -fe rior de la Fig. 2. En la teo ríacuán tica, es tas ór bi tas sal ta ri nas co rres pon den a es ta dos elec -tró ni cos qui ra les en el sen tidode que se pro pa gan uni di rec cio -nal mente en el borde y no tie -nen ener gías cuan ti za das. Estoses ta dos me tá li cos, di fe ren tes de los de más es ta dos or di na riosde la ma te ria, ha cen que eltrans porte elec tró nico sea per -fecto: nor mal mente, los elec tro -nes son dis per sa dos por im pu re -zas (lo que da ori gen a la re sis -tencia eléc trica), pero como nohay mo dos que se pro pa guen ha cia atrás, los elec tro nes no tie nen otra elec ciónmás que pro pa garse ha cia ade lante. Esto lleva a loque se co noce como trans porte sin di si pa ción de loses ta dos de borde (no hay dis per sión de elec tro nes ypor lo tanto no se pierde ener gía en forma de ca lor)y son los res pon sa bles de la cuan ti za ción pre cisa dela con duc ti vi dad Hall. El me ca nismo de trans portesin di si pa ción po dría ser ex tre ma da mente útil en dis -po si ti vos se mi con duc to res. Sin em bargo, el re que ri -miento de un campo mag né tico fuerte li mita se ve ra -mente las apli ca cio nes po ten cia les del efecto HC.La pre gunta cru cial en esta his to ria es: ¿Cuál es ladi fe ren cia fun da men tal en tre el es tado Hall cuán ticoca rac te ri zado por la Ec. (1) y un ais lante or di na rio?La res puesta es cues tión de to po lo gía, como lo ex pli -ca ron Thou less, Koh moto, Nigh tin gale y den Nijs(TKNN) en 1982. El es tado HC evade el es quema de cla si fi ca ción de Lan dau por que no hay nin gún rom pi -miento es pon tá neo de si me tría. Sin em bargo, existeuna can ti dad ma cros có pica me di ble aná loga a los pa -rá me tros de or den, la con duc ti vi dad Hall, que tienecier tas pro pie da des muy pe cu lia res: está cuan ti zada,no de pende de la geo me tría, no se ve afec tada porpe que ñas va ria cio nes del campo mag né tico y es in - So cie dad Me xi ca na de Fí si ca Artículos
Fi gura 3: Equi va len cia to po ló gi ca en tre una es fe ra y una elip se (pa nel su pe rior); y en tre una taza y una ros qui lla (pa nel in fe rior). en si ble a im pu re zas en la mues tra. Eche mos un vis -tazo al ori gen to po ló gico de la con duc ti vi dad Hall.
Inva rian tes to po ló gi cos
La to po lo gía es la rama de las ma te má ti cas que es tu -dia qué pro pie da des de los ob je tos per ma ne cen in va -rian tes cuando los de for ma mos de ma nera suave. Eneste sen tido, la to po lo gía se ol vida de los de ta llesgeo mé tri cos (lo ca les) de un ob jeto, con cen trán dosesólo en sus pro pie da des glo ba les. Los ma te má ti cosin tro du je ron el con cepto de in va rian cia to po ló gica para cla si fi car los di fe ren tes cuer pos geo mé tri cos encla ses. Por ejem plo, las su per fi cies bi di men sio na lesse cla si fi can por un nú mero en tero g , el in va riante to -po ló gico , que co rres ponde al nú mero de agu je ros o ge nus en ellas. Éste se cal cula de ma nera ri gu rosa me -diante la in te gral de su per fi cie de la cur va tura deGauss ( k ):
12 2 2 (cid:112) k dS g S (cid:61) (cid:45) (cid:242) . (2) Mien tras que el in te grando de pende de los de ta -lles de la geo me tría de la su per fi cie S , el teo rema deGauss-Bonnet ga ran tiza que el va lor de la in te gral esin de pen diente de esos de ta lles y de pende sólo delnú mero de agu je ros en ella. Obje tos con el mismova lor de g per te ne cen a la misma clase to po ló gica.Bajo esta cla si fi ca ción, la su per fi cie de una es fera per -fecta es to po ló gi ca mente equi va lente a la su per fi ciede un elip soide, pues és tas pue den de for marse sua -ve mente una en la otra sin crear nin gún agu jero. Delmismo modo, una taza de café es to po ló gi ca menteequi va lente a una ros qui lla, pues am bas tie nen elmismo nú mero de agu je ros. Ver la Fig. 3.Los con cep tos an te rio res no se res trin gen al ám -bito de la geo me tría. En fí sica de ma te ria con den sada, la in va rian cia to po ló gica no se re la ciona con la formageo mé trica del ma te rial, sino con el com por ta miento de las fun cio nes de onda de Bloch al re co rrer la zonade Bri llouin (que de fi ni mos como una re gión fi nita en el es pa cio de mo men tos del or den de 2 (cid:112) a en cadadi rec ción, donde a de nota la dis tan cia tí pica en tredos no dos de la red). El con cepto clave que pro por - ciona la liga en tre la fí sica y la to po lo gía es el de de for ma ción suave . En ma te má ti cas, uno con si -dera de for ma cio nes sua ves de for mas geo mé -tri cas sin ac cio nes vio len tas ca pa ces de crearagu je ros. En fí sica, po de mos con si de rar un Ha -mil to niano ge ne ral de mu chas par tí cu las conuna bre cha de ener gía que se para el es tadobase de los es ta dos ex ci ta dos. En este caso, espo si ble de fi nir una de for ma ción suave como un cam bio adia bá tico en el Ha mil to niano que nocie rra la bre cha de ener gía en el vo lu men. Dema nera si mi lar a la cla si fi ca ción to po ló gica delas for mas geo mé tri cas a tra vés del ge nus, en fí -sica de ma te ria con den sada po de mos cla si fi carla es truc tura de ban das de un ma te rial por me -dio del nú mero de Chern , que es un in va rianteto po ló gico de fi nido en tér mi nos de las fun cio -nes de onda de Bloch en la zona de Bri llouin.Este con cepto to po ló gico puede apli carsetanto a ais lan tes como a su per con duc to res con una bre cha de ener gía com pleta, pero no esapli ca ble a es ta dos sin bre cha como los me tá li -cos. De acuerdo a esta de fi ni ción ge ne ral, unes tado con bre cha no puede trans for marse enotro que per te nezca a una fase to po ló gica dis -tinta, a me nos que ocu rra una tran si ción defase en donde el sis tema se vuelva sin bre cha.Lo an te rior im plica que un ma te rial to po ló gicosiem pre tiene una fron tera me tá lica (sin bre -cha) cuando está en con tacto con un ma te rialtri vial o el va cío.Para en ten der me jor los con cep tos an te rio -res, con si de re mos los es ta dos elec tró ni cos deun só lido cla si fi ca dos en tér mi nos del mo mentocris ta lino k . Los es ta dos de Bloch u k m ( ) , de fi -ni dos en una sola celda uni ta ria del cris tal, sones ta dos pro pios del Ha mil to niano de Bloch H k ( ).Los va lo res pro pios
E k m ( ) de fi nen las ban dasde ener gía, que co lec ti va mente for man la es -truc tura de ban das del só lido. Es de cir, una es -truc tura de ban das bi di men sio nal con siste enun ma peo del mo mento del cris tal k (de fi nidoso bre un to roide) al Ha mil to niano de Bloch H k ( ).Estruc tu ras de banda con bre cha pue den cla si - Bol. Soc. Mex. Fís. 33-1, 2019
Artícu los i carse to po ló gi ca mente con si de rando las cla -ses de equi va len cia de
H k ( ) que pue den de for -marse con ti nua mente una en otra sin ce rrar labre cha. Estas cla ses se dis tin guen por el in va -riante to po ló gico n Z (cid:206) lla mado nú mero deChern. Así, de la misma forma en que no es po -si ble con ver tir una es fera ( con g (cid:61)
0) en unaros qui lla ( con g (cid:61)
1) sin abrir un agu jero, no po -de mos con ver tir una banda con ven cio nal( n (cid:61)
0) en una to po ló gica ( n (cid:185)
0) sin ce rrar unabre cha. Este con cepto to po ló gico es el que es -ta blece la di fe ren cia en tre el es tado ais lantecon ven cio nal y el es tado Hall cuán tico.El in va riante de Chern tiene sus raí ces en lateo ría ma te má tica de ha ces fi bra dos, peropuede en ten derse fí si ca mente en tér mi nos dela fase de Berry aso ciada con las fun cio nes deonda de Bloch u k m ( ) . Siem pre que no hayade ge ne ra ción ac ci den tal, cuando k se trans -porte a lo largo de un cir cuito ce rrado en lazona de Bri llouin, u k m ( ) ad qui rirá una fase deBerry bien de fi nida dada por la in te gral de lí nea de la co ne xión A i u k u k m m k m (cid:61) (cid:209) ( ( ) ( ) . Éstapuede es cri birse como una in te gral de su per fi -cie de la cur va tura de Berry
F A m k m (cid:61) (cid:209) (cid:180) . Elin va riante de Chern es el flujo to tal en la zonade Bri llouin, n F d k m mBZ (cid:61) (cid:242) (cid:112) , (3) donde n m es un en tero cuan ti zado por ra zo nes aná lo gas a la cuan ti za ción de los mo no po losmag né ti cos de Di rac. TKNN de mos tra ron que cada banda ocu pada con tri buye con un en tero n m a la con duc ti vi dad Hall cuando se cal culausando la fór mula de Kubo. Es de cir, ellos ob -tu vie ron que la con duc ti vi dad Hall es n e h ( ) ,donde n n mmN (cid:61) (cid:61) (cid:229) es el nú mero de Chern to -tal que se ob tiene su mando los de cada bandaocu pada. El nú mero de Chern n es un in va -riante to po ló gico en el sen tido de que no cam -bia cuando al guno de los pa rá me tros del Ha -mil to niano va ría len ta mente. Fí si ca mente, el nú mero de Chern de ter mina el nú mero de ca na lesuni di rec cio na les (qui ra les) que se pro pa gan por elborde del ma te rial. De bido a su qui ra li dad, es tos ca -na les to po ló gi cos son ro bus tos frente al de sor den ycon du cen la co rriente eléc trica sin pér di das. Estoayuda a ex pli car la cuan ti za ción ro busta de (cid:115) Hall . Ais lan tes to po ló gi cos
El es tado Hall cuán tico per te nece a una clase to po -ló gica en donde la si me tría de in ver sión tem po ral(IT) está rota, por ejem plo, por la pre sen cia de uncampo mag né tico. Sin em bargo, en los úl ti mos añoshe mos apren dido que pue den exis tir ma te ria les to -po ló gi cos en au sen cia de cam pos mag né ti cos ex ter -nos (y que por lo tanto son si mé tri cos bajo IT), endonde el aco pla miento es pín-ór bita (el aco pla miento re la ti vista en tre el mo mento an gu lar del elec trón ysu es pín) juega un pa pel fun da men tal. A es tos ma te -ria les los lla ma mos ais lan tes to po ló gi cos (AT).Des pués del des cu bri miento de von Klit zing y laex pli ca ción de TKNN so bre el ori gen to po ló gico deles tado HC, sur gió la pre gunta na tu ral: ¿Puede exis -tir este efecto en au sen cia de un campo mag né tico?El pri mer paso en esta di rec ción lo dio Dun can Hal -dane en 1988, quien con ci bió un sis tema (bá si ca -mente elec tro nes mo vien dose en una red he xa go nalo de pa nal de abeja) en donde el efecto Hall po díaocu rrir en au sen cia de un campo mag né tico ex terno. Sin em bargo, su pre dic ción teó rica se an ti cipó de ma -siado a las po si bi li da des ex pe ri men ta les de la época,de ma nera que su mo delo quedó como una merapre dic ción. El si guiente paso cru cial en esta his to rialo die ron Kane y Mele en 2005, y Ber ne vig, Hu ges yZhang (BHZ) en 2006, quie nes pro pu sie ron deforma in de pen diente que dos co pias del mo delo deHal dane po dían dar ori gen a una nueva fase to po ló -gica de la ma te ria, el es tado Hall cuán tico de es pín (HCE), que po día rea li zarse en cier tos mo de los teó -ri cos con aco pla miento es pín-ór bita (EO). El pa peldel aco pla miento EO en es tos mo de los puede en ten -derse como si gue. Clá si ca mente, si un elec trón or -bita al re de dor del nú cleo, en el marco de re poso delelec trón, el campo eléc trico ge ne rado por el nú cleose siente como un campo mag né tico, cuya di rec ción
So cie dad Me xi ca na de Fí si ca Artículos e pende del es pín del elec trón. Para que este campomag né tico in du cido por el aco pla miento es pín-ór bita reem place al campo ex terno del sis tema tipo Hall, es ne ce sa rio que sea in tenso, y para ello, el campo eléc -trico tam bién debe ser in tenso (sólo pre sente en nú -cleos pe sa dos). Esta si tua ción lleva a la apa ri ción dedos es ta dos de borde con he li ci dad bien de fi nida (lasdos pro yec cio nes del es pín se pro pa gan en di rec cio -nes opues tas), que pue den en ten derse como dos co -pias del efecto HC y son los que dan lu gar al efectoHCE. Ver el pa nel su pe rior de la Fig. 4.Aun que to dos los ma te ria les tiene aco pla mien tosEO, sólo unos po cos re sul tan ser ais lan tes to po ló gi -cos. BHZ pro pu sie ron un me ca nismo ge ne ral paraen con trar ais lan tes to po ló gi cos y pre di je ron que po -zos cuán ti cos de te lu rito de mer cu rio son ATscuando su es pe sor es ma yor que una dis tan cia crí tica d c . El me ca nismo ge ne ral que mo dula los ré gi me nestri vial y to po ló gico es la in ver sión de ban das, endonde el or den usual de las ban das de va len cia y con -duc ción se in vier ten de bido al aco pla miento EO.En la ma yo ría de los se mi con duc to res, la banda decon duc ción esta for mada por los or bi ta les s y labanda de va len cia está for madapor los or bi ta les p . En al gu nosele men tos pe sa dos, como elmer cu rio (Hg) y te lu rio (Te), elaco pla miento EO es tan fuerteque los or bi ta les p que dan porarriba de los or bi ta les s , esto es,las ban das se in vier ten. Los po zos cuán ti cos de te lu rito de mer cu -rio pue den pre pa rarse in ter ca -lando di cho ma te rial con te lu ritode cad mio, que tiene una cons -tante de red si mi lar pero un aco -pla miento EO mu cho me nor. Por lo tanto, in cre men tando el es pe -sor de la capa de HgTe se in cre -menta la in ten si dad del aco pla -miento EO en el pozo cuán ticocom pleto. Para un pozo cuán ticodel gado, los efec tos del CdTe do -mi nan y las ban das tie nen el or - de na miento nor mal: la sub-banda de con duc -ción tipo s , se lo ca liza arriba de la sub-banda de va len cia tipo p . En un pozo grueso ocu rre elor den opuesto de bido al in cre mento del es pe -sor d de la capa de HgTe. El gro sor crí tico d c para que ocu rra la in ver sión de las ban das esde al re de dor de 6.5nm. En tér mi nos prác ti cos,el ais lante to po ló gico bi di men sio nal HgTe estádes crito por el Ha mil to niano efec tivo H MA k k
HgTe k k zx z x y y (cid:61) (cid:196) (cid:206) (cid:43) (cid:43)(cid:196) (cid:45) (cid:196)(cid:116) (cid:115) (cid:115)(cid:116) (cid:115) (cid:116) (cid:115) ( )( ) (4) donde (cid:206) (cid:61) (cid:43) (cid:61) (cid:45) k k
C Dk y M M Bk . A, B, C, D y M son pa rá me tros del sis tema. El blo que su -pe rior de 2 × 2 des cribe los elec tro nes con es -pín up en la banda de con duc ción y en la bandade va len cia; mien tras que el blo que in fe riordes cribe los elec tro nes con es pín down en es -tas ban das. La bre cha de ener gía en tre las ban -das es 2 M , y B , que es tí pi ca mente ne ga tivo,des cribe la cur va tura de las ban das. Este mo delo Bol. Soc. Mex. Fís. 33-1, 2019
Artícu los
Fi gura 4: Pa nel su pe rior: re pre sen ta ción es que má ti ca del efec to Hall cuán ti co de es pín ysu es truc tu ra de ban das. El bor de con tie ne mo dos de es pín opues to que se pro pa gan ha -cia la de re cha y ha cia la iz quier da, y és tos se re la cio nan por la si me tría de in ver sión tem -po ral. Pa nel in fe rior: ais lan te to po ló gi co tri di men sio nal y cono de Di rac (re la ción ener gía -mo men to en 2D) de los es ta dos de su per fi cie. La su per fi cie so por ta mo vi mien toelec tró ni co en cual quier di rec ción, pero la di rec ción del mo vi mien to de ter mi na de ma ne ra úni co su es pín y vi ce ver sa. e puede re sol ver fá cil mente. Para
M B (cid:60)
0, elHa mil to niano (4) des cribe un ais lante tri vial.Pero para po zos cuán ti cos grue sos, las ban dasse in vier ten, M se hace ne ga tivo y la so lu cióndes cribe a los es ta dos del borde del efecto Hall cuán tico de es pín. La apa ri ción de es tos es ta -dos me tá li cos inu sua les en el borde es la prin -ci pal sig na tura ex pe ri men tal de que un ais lantees to po ló gico. A me nos de un año de su pre -dic ción teó rica, el grupo li de rado por L. Mo -len kamp en la Uni ver si dad de Würz burg con -firmó ex pe ri men tal mente el efecto HCE,abriendo las puer tas así a la com pu ta ción cuán -tica de es pín.El si guiente de sa rro llo teó rico im por tante,tam bién ocu rrido en 2006, fue que a di fe ren ciadel es tado Hall cuán tico de von Klit zing, el es -tado HCE po día ge ne ra li zarse a tres di men sio -nes de una ma nera sutil. En pri mera ins tan cia,un AT tri di men sio nal dé bil puede for marse es -tra ti fi cando ver sio nes bi di men sio na les delefecto Hall cuán tico de es pín; sin em bargo, eles tado re sul tante no es es ta ble ante el de sor -den y la fí sica es muy pa re cida a la del es tado en 2D. Existe tam bién el ais lante to po ló gicofuerte, que tiene una re la ción mu cho más su tilcon el caso en 2D: en dos di men sio nes es po si -ble co nec tar una ais lante tri vial con uno to po -ló gico, rom piendo sua ve mente la si me tría dein ver sión tem po ral. Esta in ter po la ción con ti -nua tam bién puede usarse para cons truir unaes truc tura de ban das que res pete la si me tría de in ver sión tem po ral que sea to po ló gi ca menteno tri vial. Este ais lante to po ló gico fuerte tienees ta dos de su per fi cie pro te gi dos y es el que hasido su jeto de ac ti vi dad ex pe ri men tal en añosre cien tes. Ver el pa nel in fe rior de la Fig. 4.Nue va mente el aco pla miento EO es re que ridoy debe mez clar las com po nen tes de es pín. Enotras pa la bras, no hay ma nera de crear una ATfuerte en 3D a par tir de es ta dos de es pín se pa -ra dos, como en el caso 2D. En 2007, Liang Fu y Kane pre di je ron que la alea ción Bi Sb l x x (cid:45) , paraal gún rango de com po si ción x , debe ser un ais - lante to po ló gico tri di men sio nal. En 2008, el grupoex pe ri men tal de la Uni ver si dad de Prin ce ton, li de -rado por Zahid Ha san, uti lizó ARPES (an gle-re sol vedpho toe mi sion spec tros copy) para ob ser var los es ta -dos me tá li cos en este sis tema, con fir mando así laexis ten cia de ais lan tes to po ló gi cos tri di men sio na les.Al igual que en el caso de los po zos cuán ti cos dete lu rito de mer cu rio, la fa mi lia to po ló gi ca mente notri vial Bi Te debe su ori gen a la in ver sión de ban das,con tro lada por el aco pla miento EO del Bi y Te . De -bido a di cha si mi li tud, esta fa mi lia puede des cri birsepor una ver sión 3D del mo delo HgTe. El Ha mil to -niano co rres pon diente es: Hi Te M A K k k z z x x (cid:61) (cid:196) (cid:206) (cid:43) (cid:43) (cid:196)(cid:116) (cid:115) (cid:115) (cid:116) (cid:115) ( ) (cid:43) (cid:196) (cid:45) (cid:196)
A k k x z x y y ( ) (cid:116) (cid:115) (cid:116) (cid:115) , (5) donde (cid:206) (cid:61) (cid:43) (cid:43) (cid:94) k z
C D k D k y M M B k B k k z (cid:61) (cid:45) (cid:45) (cid:94) . Al igual que en el mo delo en 2D, la so lu ción para
M B (cid:60) des cribe un ais lante tri vial, mien tras que para M B (cid:62) , las ban das se cru zan y el sis tema es un AT. Teo rías to po ló gi cas de cam pos
En fí sica de ma te ria con den sada, a me nudo es ta mosin te re sa dos en las pro pie da des de baja ener gía (lon gi -tud de onda grande) de un sis tema. En este ré gi men,los de ta lles del Ha mil to niano cuán tico no son im por -tan tes y las pro pie da des fí si cas del sis tema pue dendes cri birse en tér mi nos de una teo ría de cam posefec tiva. Para es ta dos con ven cio na les cla si fi ca dospor el rom pi miento de si me trías, la teo ría efec tivaqueda de ter mi nada por el pa rá me tro de or den, sussi me trías y di men sio na li dad. Los es ta dos to po ló gi cos de la ma te ria tam bién pue den des cri birse me dianteuna teo ría de cam pos efec tiva de baja ener gía. Eneste caso, la teo ría in vo lu cra tér mi nos to po ló gi cosque cap tu ran las pro pie da des del sis tema. Por ejem -plo, el efecto HC puede des cri birse por la teo ría deChern-Si mons en 2D, que se de fine me diante la ac -ción efec tiva
So cie dad Me xi ca na de Fí si ca Artículos n d x dtA D (cid:61) (cid:242) (cid:242) (cid:97)(cid:112) (cid:109) (cid:206) (cid:109)(cid:110)(cid:116) (cid:182) (cid:110) (cid:116) A , (6) donde n es el pri mer nú mero de Chern, A A A (cid:109) (cid:61) ( , ) es el po ten cial elec tro mag né tico y e c (cid:97) (cid:61) (cid:104) es lacons tante de es truc tura fina. Bajo in ver sión tem po -ral, A A (cid:174) y A A (cid:174) (cid:45) , de donde se ob serva queesta teo ría rompe di cha si me tría. La res puesta debaja ener gía del es tado Hall cuán tico se de riva deesta ac ción efec tiva. Por ejem plo, to mando la de ri -vada fun cio nal de la ac ción (6) res pecto a A (cid:109) , ob te ne -mos la co rriente 1 2 c j n (cid:109) (cid:109)(cid:110)(cid:116) (cid:110) (cid:116) (cid:97) (cid:112) (cid:182) (cid:65)(cid:61) (cid:206) ( ) , quedes cribe exac ta mente al efecto Hall cuán tico concon duc ti vi dad Hall (cid:115) Hall n e h (cid:61) ( ). De he cho, im -plica que un campo eléc trico E in duce una co rrientetrans ver sal J i E
Hall y (cid:61) (cid:115) (cid:116) , y un campo mag né tico B in -duce una acu mu la ción de car gas j n B (cid:61) ( ) (cid:97) (cid:112) ,donde (cid:116) y es la ma triz de Pauli.La teo ría efec tiva del efecto HC en 2D no sólocap tura los as pec tos to po ló gi cos del sis tema, sinoque tam bién pro por ciona una ruta para ge ne ra li zar el es tado HC (que rompe la si me tría de IT) a es ta dosto po ló gi cos in va rian tes bajo IT en más di men sio nes.El ca mino ha cia la ge ne ra li za ción es claro: dado queel tér mino de Chern-Si mons puede ge ne ra li zarse ato das las di men sio nes im pa res, la to po lo gía de los es -ta dos HC tam bién puede ex ten derse a esas di men -sio nes. La ge ne ra li za ción del efecto HC a 4D nos dael efecto HC fun da men tal in va riante bajo IT del quese de ri van to dos los efec tos HC de di men sio nes me -no res por el pro ceso de re duc ción di men sio nal. Lateo ría efec tiva que se ob tiene en 3D es S d x dt x t e F F (cid:113) (cid:109)(cid:110)(cid:97)(cid:98) (cid:109)(cid:110) (cid:97)(cid:98) (cid:97)(cid:112) (cid:113)(cid:61) (cid:242)(cid:242) ( , ) , (7) donde (cid:113) ( , ) x t es un campo de aco pla miento que sede riva del pro ceso de com pac ti fi ca ción. En fí sica depar tí cu las, a esta teo ría se le co noce como elec tro di -ná mica axió nica y a (cid:113) ( , ) x t se le llama campo axió nico. Como se dis cu tió, la teo ría to po ló gica de Chern-Si -mons en 4D es in va riante bajo IT. Por lo tanto, es na -tu ral pre gun tarse cómo puede pre ser varse di cha si -me tría en el pro ceso de re duc ción di men sio nal. Fí si - ca mente, (cid:113) re pre senta el flujo mag né tico delcampo de norma en la di men sión ex tra a tra vés del círculo com pac ti fi cado, y la fí sica debe serin va riante bajo la tras la ción (cid:113) (cid:113) (cid:112)(cid:174) (cid:43) (cid:113) en (cid:45)(cid:113) . Por lo tanto, hay dos va lo respo si bles de (cid:113) que son con sis ten tes con di cha si -me tría, (cid:113) (cid:61)
0 y (cid:113) (cid:112)(cid:61) . En el úl timo caso, la ITtrans forma (cid:112) en (cid:45)(cid:112) , que es equi va lente a (cid:112) mod 2 (cid:112) . Con clui mos así que hay dos cla sesdi fe ren tes de ais lan tes to po ló gi cos in va rian tesbajo IT en 3D, la clase to po ló gi ca mente tri vialcon (cid:113) (cid:61) (cid:113) (cid:112)(cid:61) . Efec to mag ne toe léc tri co to po ló gi co
Ade más de sus in te re san tes pro pie da des elec -tró ni cas, los ATs tam bién ex hi ben pro pie da des elec tro mag né ti cas de in te rés que se de ri van de la teo ría efec tiva de fi nida por la Ec. (7). Espe cí -fi ca mente, los ais lan tes to po ló gi cos tie nen laha bi li dad de mez clar los cam pos eléc trico E yde in duc ción mag né tica B , lo que da lu gar anue vos fe nó me nos elec tro mag né ti cos ca rac te -rís ti cos de di chos ma te ria les. Esta pro pie dadto po ló gica de los ATs se ma ni fiesta cuando lasi me tría de IT se pre serva en el vo lu men perose rompe en la su per fi cie (para abrir una bre -cha en los es ta dos de su per fi cie). La per tur ba -ción puede ser, por ejem plo, una cu bierta fe -rro mag né tica del gada o un campo mag né ticoex terno per pen di cu lar a la su per fi cie. En talcaso, el ma te rial se vuelve com ple ta mente ais -lante y el pa rá me tro (cid:113) de la Ec. (7) está cuan ti -zado en múl ti plos im pa res de (cid:112) ; a sa ber, (cid:113) (cid:112)(cid:61) (cid:177) (cid:43) ( )2 1 n , donde 2 1 n Z (cid:43) (cid:206) es el nú merode fer mio nes de Di rac en la su per fi cie del ais -lante to po ló gico. Va lo res po si ti vos o ne ga ti vosde (cid:113) es tán re la cio na dos con la di rec ción de lamag ne ti za ción (o del campo mag né tico) en lasu per fi cie del ma te rial. La res puesta elec tro -mag né tica de los ais lan tes to po ló gi cos si mé tri -cos bajo IT en 3D se des cribe su ple men tando Bol. Soc. Mex. Fís. 33-1, 2019
Artícu los a teo ría de Max well con el tér mino to po ló gico de la Ec. (7). De he cho, las ecua cio nes de mo vi -miento que se ob tie nen son las ecua cio nes deMax well en ma te ria, con las re la cio nes cons ti -tu ti vas
D E B (cid:61) (cid:43)(cid:101) (cid:97) (cid:113) (cid:112) ( ) ,
H B E (cid:61) (cid:45) ( ) ( ) (cid:109) (cid:97) (cid:113) (cid:112) . (8)
Una con se cuen cia in me diata de las ecua cio -nes de Max well mo di fi ca das es que en au sen ciade un campo eléc trico, un campo mag né ticopuede ge ne rar una po la ri za ción eléc trica, y vi -ce versa. A esta ha bi li dad de los ais lante to po ló -gi cos se le co noce como efecto mag ne toe léc trico to po ló gico (MET), y es una ma ni fes ta ción del or -den to po ló gico no tri vial de es tos ma te ria les.Inte re san te mente, el efecto MET es el pri merfe nó meno de cuan ti za ción to po ló gica en uni da -des de la cons tante de es truc tura fina. A con ti -nua ción, dis cu ti mos al gu nas ma ni fes ta cio nesdel efecto MET.
Ro ta cio nes to po ló gi cas de la luz
Los efec tos Kerr y Fa ra day son fe nó me nosmag neto-óp ti cos que re sul tan de la trans fe ren -cia de mo mento an gu lar de una onda que in -cide so bre un ma te rial mag né tico a las on dasre fle jada y trans mi tida, res pec ti va mente. Esteme ca nismo re sulta en la ro ta ción de los pla nosde po la ri za ción de las on das re fle jada y trans -mi tida con res pecto al de la luz in ci dente, y alos án gu los de ro ta ción se les de no mina án gu -los de Kerr y Fa ra day, res pec ti va mente. Di chos efec tos mag neto-óp ti cos per mi ten son dear di -rec ta mente el rom pi miento de la si me tría dein ver sión tem po ral en só li dos.Como se men cionó an tes, cuando la si me -tría IT se rompe dé bil mente en un AT, se abreuna bre cha en el es pec tro de ener gía de los es -ta dos de su per fi cie del ma te rial y éste ex hibe el efecto mag ne toe léc trico to po ló gico. La mez cla en tre los cam pos elec tro mag né ti cos de bido altér mico axió nico da ori gen a efec tos Kerr y Fa - ra day en este tipo de ma te ria les; sin em bargo, es tosno re sul tan de pro pie da des mag né ti cas es pe cí fi cas,sino de la to po lo gía no tri vial de la es truc tura de ban -das de di chos ma te ria les. Es de cir, es tos efec tos sonuna firma única del efecto mag né toe léc trico to po ló -gico de ATs en 3D.
Mo no po los mag né ti cos
Las ecua cio nes que ri gen to dos los fe nó me nos elec -tro mag né ti cos fue ron for mu la das por el fí sico es co -cés Ja mes Clerk Max well en 1864. La ley de Gauss, (cid:209) (cid:215) (cid:61) E (cid:112)(cid:114) , ex presa que car gas eléc tri cas pun tua lesson fuente de campo eléc trico. Sin em bargo, la ecua -ción (cid:209) (cid:215) (cid:61) B So cie dad Me xi ca na de Fí si ca Artículos n ver sión tem po ral, ade más de la carga eléc trica ima -gen tam bién apa re cerá un mo no polo mag né tico ima -gen al in te rior del ma te rial. La apa ri ción de di chosmo no po los no viola las le yes de Max well, pues setrata de una ex ci ta ción emer gente que des cribe losefec tos fí si cos aso cia dos a la co rriente de Hall que se in duce en la su per fi cie de los ATs, y no de la par tí cula fun da men tal en el sen tido de Di rac. Esta pro pie dadexó tica de los ATs po dría usarse para es cri bir me mo -rias mag né ti cas me diante me dios pu ra mente eléc tri cos. [1] X. L. Qi y S. C. Zhang,
To po lo gi cal in su la tors and su per con duc tors , Rev. Mod. Phys.
83, 1057 (2011)[2] M. Z. Ha san y C. L. Kane, Co llo quium:
To po lo gi -cal in su la tors , Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010)[3] X. L. Qi y S. C. Zhang,
The quan tum spin Hall ef -fect and to po lo gi cal in su la tors , Physics To day63, 33 (2010) [4] C. L. Kane y J. Moore,
To po lo gi cal in su la -tors , Physics World 24, 32 (2011)[5] J. E. Moore,
The birth of to po lo gi cal in su -la tors , Na ture 464, 194 (2010)[6] X. L. Qi, R. Li, J. Zang y S. C. Zhang,
Indu -cing Mag ne tic Mo no po les with To po lo gi cal Sur face Sta tes , Science 323, 1184 (2009)
Agra de ci mien tos a: