Algebraic Analysis Applied to the Theory of Linear Dynamical Systems
aa r X i v : . [ m a t h . O C ] J a n Analyse alg´ebrique appliqu´ee `al’automatique
Henri Bourl`es
Abstract
The expression ”Algebraic Analysis” was coined by MikioSato. It consists of using algebraic notions to solve analytic prob-lem. The origin of Algebraic Analysis is Algebraic Geometry aswas developed by Alexander Grothendieck and his school. Mim-icking the introduction of Grothendieck’s EGA (changing only afew words) one obtains a good definition of the modern theoryof linear systems, as developed by Michel Fliess, Ian Willems,Ulrich Oberst and others.
L’expression ”Analyse Alg´ebrique” est due `a M. Sato, l’inventeur deshyperfonctions. On pourrait dire que qu’appartiennent `a l’AnalyseAlg´ebrique tous les outils math´ematiques utilisant de l’Alg`ebre pour´etudier des objets relevant de l’Analyse. Cette d´efinition est bien en-tendu bien trop g´en´erale. Si le ”p`ere” de l’analyse alg´ebrique est M.Sato, son ”grand-p`ere” est A. Grothendieck, l’inventeur de la G´eom´etrieAlg´ebrique moderne. C’est ce que nous allons montrer bri`evement dansce qui suit.
Classiquement, la G´eom´etrie Alg´ebrique s’int´eresse aux ”ensemblesalg´ebriques” d´efinis comme suit: soit k un corps commutatif et k [ T ]l’anneau des polynˆomes par rapport `a une famille d’ind´etermin´ees T =( T , ..., T k ) , `a coefficients dans k . Soit d’autre part A une k − alg`ebre et { , ..., q } un ensemble d’indices. Un sous-ensemble alg´ebrique S de A k V S ( A ) = (cid:8) a = ( a , ..., a k ) ∈ A k : F j ( a ) = 0 , ∀ j ∈ { , ..., q } (cid:9) (1)o`u F j ( T ) ∈ P k , k [ T ] pour tout j ∈ { , ..., q } . Autrement dit, unsous-ensemble de A k est alg´ebrique quand il est d´efini par des ´equationspolynomiales.Ceci peut ˆetre g´en´eralis´e en rempla¸cant les ensembles finis d’indices { , ..., k } et { , ..., q } par des ensembles infinis. On montre facilement que V S : A V S ( A )est un foncteur covariant de la cat´egorie des k -alg`ebres dans celle desensembles. On peut distinguer deux ´etapes dans l’´etude de l’ensemblealg´ebrique V S ( A ) :(i) l’´etude du foncteur V S . (ii) l’´etude de ”l’immersion affine” particuli`ere V S ( A ) → A k . Remarquons maintenant que V S ( A ) est l’ensemble des points de A k qui s’annulent sur l’id´eal I de P k engendr´e par les F j ( T ) . Il est main-tenant ais´e de montrer qu’il existe un isomorphisme fonctoriel V S ( A ) ∼ = Hom k -alg ( P k / I , A ) . Comme toute k -alg`ebre commutative de pr´esentation finie K est dela forme P k / I , o`u I est un id´eal de type fini de P k ([1], § III.2, n ◦ V S s’identifient aux foncteurs repr´esentables V K : A Hom k -alg ( K , A ) . Le foncteur K V K est contravariant et la cat´egorie des foncteurs k - alg cfp → Ens associ´es aux ensembles (1) est ´equivalente `a la cat´egorie oppos´ee de lacat´egorie des k -alg`ebres commutatives de pr´esentation finie k - alg cfp enassociant `a toute k -alg`ebre K (commutative et de pr´esentation finie) lefoncteur V K . Le but initial de la G´eom´etrie Alg´ebrique moderne ´equivaut `a l’´etudedes k -alg`ebres commutatives K . Telle est ”l’alg´ebrisation” de la G´eom´etrie Alg´ebrique qui a servi depoint de d´epart aux travaux d’A. Grothendieck et de son ´ecole (th´eoriedes sch´emas, etc.).
Consid´erons pour fixer les id´ees un syst`eme lin´eaire S de dimension finie.Un tel syst`eme peut ˆetre donn´e par une repr´esentation d’´etat (notion due`a Kalman [7]) ˙ x = A ( t ) x + B ( t ) uy = C ( t ) x + D ( t ) u o`u A, B, C et D sont des matrices qu’on supposera, par exemple, `a coef-ficients analytiques, et o`u x, u et y sont, respectivement, l’´etat, la com-mande et la sortie du syst`eme.La donn´ee d’un syst`eme par une repr´esentation d’´etat n’est toutefoispas toujours naturelle. Un type de repr´esentation plus g´en´eral est dˆu `aRosenbrock [11]: D ( ∂ ) ξ = N ( ∂ ) u,y = Q ( ∂ ) ξ + W ( ∂ ) u o`u D, N, Q et W sont des matrices polynomiales par rapport `a ∂ , d/dt ,les polynˆomes ´etant suppos´es `a coefficients analytiques pour rester dansle mˆeme contexte que ci-dessus, et o`u ξ, u et y sont, respectivement,l’´etat partiel, la commande et la sortie du syst`eme.Dans certains cas, on ne sait pas a priori quelles sont les variables dusyst`eme qui sont appropri´ees pour constituer la commande ou la sortie(ce point a ´et´e soulign´e par Willems [14]). Il convient donc de consid´ererune repr´esentation encore plus g´en´erale, de la forme R ( ∂ ) w = 0 (2)o`u R est une matrice polynomiale du mˆeme type que ci-dessus, de di-mension q × k par exemple.Il convient de fixer dans quel espace W la variable w va pouvoirvarier (espace des fonctions analytiques, ou des fonctions ind´efiniment3´erivables, ou des distributions, etc.) et Willems d´efinit le ”behavior”(terme que l’on pourrait traduite en fran¸cais par ”comportement”, maisnon sans ambigu¨ıt´e) du syst`eme S comme suit: B S ( W ) = (cid:8) w ∈ W k : R ( ∂ ) w = 0 (cid:9) . Pour plus de g´en´eralit´e, r´e´ecrivons (2) sous la forme Rw = 0 (3)o`u R est une matrice de dimension q × k `a coefficients dans un anneaud’op´erateurs D . On supposera que D est une R -alg`ebre, ´eventuellementnon commutative.Dans le cas envisag´e au § D = K [ ∂ ] o`u K est l’anneau O ( R ) des fonctions analytiques complexes sur R , ou un sous-anneau decelui-ci. On peut aussi consid´erer des ”syst`emes multidimensionnels”en prenant D = K [ ∂ , ..., ∂ n ] , ∂ i , ∂/∂x i , o`u K est un sous-anneaude l’anneau O (Ω) des fonctions analytiques sur un ouvert Ω de R n . Onpeut enfin supposer que D est une alg`ebre de convolution, etc.Supposons pour fixer les id´ees que D = K [ ∂ ] o`u K = P , l’anneaudes polynˆomes par rapport `a la variable t (qui d´esigne le temps), `acoefficients complexes. Remarquons tout d’abord que l’anneau D estnon commutatif. En effet, d’apr`es le r`egle de Leibniz, ∂ ( tw ) = w + t∂w et comme ceci est valable pour toute variable w on obtient ∂t − t∂ = 1 . (4)Cet anneau D est isomorphe `a la premi`ere alg`ebre de Weyl habituelle-ment not´ee A ( C ) . Soit W un D -module `a gauche et le ”behavior” B S ( W ) = (cid:8) w ∈ W k : R w = 0 (cid:9) . (5)Dans le mˆeme esprit qu’au § B S : W B S ( W )est un foncteur contravariant de la cat´egorie des D -modules `a gauchedans la cat´egorie Vect R des espaces vectoriels sur R . Cette observationconduit `a envisager l’´etude de B S ( W ) en deux ´etapes:4i) l’´etude du foncteur B S ;(ii) l’´etude de ”l’immersion” particuli`ere B S ( W ) → W k . L’´etape (i) rel`eve exclusivement de l’Alg`ebre, tandis que l’´etape (ii)fait appel aux outils de l’Analyse, ce qui explique que cette approcheporte le nom d’
Analyse Alg´ebrique . Il suffit maintenant de reprendre la br`eve pr´esentation qui a ´et´e faiteplus haut du point de d´epart de la G´eom´etrie Alg´ebrique moderne,en changeant l´eg`erement de langage. Les ´el´ements de B S ( W ) sont les´el´ements de W k qui s’annulent surim D ( • R ) , D × q R, ( • R d´esignant la multiplication `a droite par R ), autrement dit B S ( W ) = (cid:8) w ∈ W k : r w = 0 , ∀ r ∈ im D ( • R ) . (cid:9) Il existe un isomorphisme fonctoriel B S ( W ) ∼ = Hom D (cid:0) D × k / im D ( • R ) , W (cid:1) . Soit M = D × k / im D ( • R ) = coker D ( • R ) . On peut maintenant identifier canoniquement B S ( W ) et Hom D ( M, W ) . Tout D -module `a gauche de pr´esention finie est de la forme M =coker D ( • R ), o`u R est une matrice (finie) `a coefficients dans D . Les B S s’identifient aux foncteurs repr´esentables B M : W Hom D ( M, W ) . Le foncteur M B M est contravariant et la cat´egorie des foncteurs D Mod fp → Vect R associ´es aux ”behaviors” (5) est ´equivalente `a la cat´egorie oppos´ee dela cat´egorie des D -modules `a gauche de pr´esentation finie D Mod fp enassociant `a tout D -module M de pr´esentation finie le foncteur B M . Nous sommes maintenant amen´es `a identifier un syst`eme lin´eaire (surl’anneau D ) et le D -module (de pr´esentation finie) associ´e [8], [4] et `aadopter le point de vue suivant: Le but initial de la Th´eorie des Syst`emes moderne ´equivaut `a l’´etudedes D -modules de repr´esentation finie M .Par exemple, en supposant que D est un anneau d’Ore, on est conduit`a la d´efinition suivante: le syst`eme S est commandable si le D -moduleassoci´e M est sans torsion [4], [10].5 .1 Dualit´e Le D -module de pr´esentation finie M constitue une repr´esentation in-trins`eque des ´equtions du syst`eme, tandis que B M ( W ) est l’ensemblede toutes les solutions possibles, dans W k , `a ces ´equations. Le risque estque la structure alg´ebrique contenue dans M soit beaucoup plus richeque la structure des solutions, auquel cas l’´etude alg´ebrique de M nefournirait que des r´esultats n’ayant aucune signification concr`ete.Une question essentielle est donc de savoir si la connaissance de B M ( W ) entraˆıne celle de M , autrement dit si le foncteur M B M ( W )est injectif. Il suffit pour cela que ce foncteur soit fid`ele , autrementdit que W soit cog´en´erateur dans la cat´egorie D Mod des D -modules`a gauche [9]. Une condition suffisante moins restrictive est que W ∈ D Mod soit cog´en´erateur pour la sous-cat´egorie pleine D Mod fp de D Mod , ce qui conduit `a d´efinir dans une cat´egorie semi-ab´elienne C la notion de cog´en´erateur pour une sous-cat´egorie D de C [2].Il est ´evident, par exemple, qu’en choisissant W = 0 , on obtient B M ( W ) = 0 quel que soit le D -module M. Des cas moins triviauxconduisent `a des questions d’Analyse fine. Par exemple, consid´erons unanneau semblable `a la premi`ere alg`ebre de Weyl A ( C ) mais o`u l’anneaudes coefficients P = C [ t ] est remplac´e par R (Ω) = C ( t ) ∩O (Ω) , o`u Ω estun intervalle ouvert non vide de la droite r´eelle. Notons A (Ω) l’anneaud’op´erateurs diff´erentiels R (Ω) [ ∂ ] , muni de la r`egle de commutation(4) . On v´erifie que A (Ω) est, comme A ( C ) , un anneau de Dedekindsimple non commutatif. Consid´erons le syst`eme (cid:0) t ∂ + 2 (cid:1) w = 0 . (6)o`u t ∂ + 2 ∈ D , A ( C ) . Le D -module M = D / D (cid:0) t ∂ + 2 (cid:1) est un module de torsion non r´eduit `a 0, il s’agit donc d’un syst`emenon commandable. Assez naturellement, on est tent´e de chercher lessolutions dans W = D ′ ( R ) , l’espace des distributions sur la droite r´eelle.Mais l’´equation (6) admet 0 comme unique solution dans D ′ ( R ) ([13],((V,6;15)). Par cons´equent l’espace des distributions ne fournit pas unedualit´e syst`emes ←→ ”behaviors” lorsque D = A ( C ).En revanche, l’espace B ( R ) des hyperfonctions de Sato [12] est un A ( C )-module cog´en´erateur [5] (et, plus pr´ecis´ement, est un ”large in-jective cogenerator”) et permet donc d’obtenir la dualit´e recherch´ee.Voici un aper¸cu de l’approche moderne de la Th´eorie des Syst`emes,qui fait l’objet de l’ouvrage [3], et de mes recherches actuelles.6 eferences [1] N. Bourbaki, Alg`ebre, Chapitres 1 `a 3 , Hermann, 1970.[2] H. Bourl`es and U. Oberst, ”Duality for differential-difference sys-tems over Lie groups”,
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