Algorithm for Lens Calculations in the Geometrized Maxwell Theory
D. S. Kulyabov, A. V. Korolkova, L. A. Sevastianov, M. N. Gevorkyan, A. V. Demidova
AAlgorithm for Lens Calculations in the Geometrized Maxwell Theory
M. N. Gevorkyan, * A. V. Demidova, † A. V. Korolkova, ‡ D. S. Kulyabov,
1, 2, S and L. A. Sevastianov
1, 3, ¶ Department of Applied Probability and Informatics,Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University),6 Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia Laboratory of Information TechnologiesJoint Institute for Nuclear Research6 Joliot-Curie, Dubna, Moscow region, 141980, Russia Bogoliubov Laboratory of Theoretical PhysicsJoint Institute for Nuclear Research6 Joliot-Curie, Dubna, Moscow region, 141980, Russia
Nowadays the geometric approach in optics is often used to find out media parameters based onpropagation paths of the rays because in this case it is a direct problem. However inverse problem inthe framework of geometrical optics is usually not given attention.The aim of this work is to demonstrate the work of the proposed the algorithm in the frameworkof geometrical approach to optics for solving the problem of finding the propagation path of theelectromagnetic radiation depending on environmental parameters. The methods of differentialgeometry are used for effective metrics construction for isotropic and anisotropic media. For effectivemetric space ray trajectories are obtained in the form of geodesic curves. The introduced algorithmis applied to well-known objects — Maxwell and Luneburg lenses. The similarity of results obtainedby classical and geometric approach is demonstrated.
Keywords: Maxwell equations, Riemannian metric, fiber bundles, Maxwell fish-eye lens, Luneburg lens * [email protected] † [email protected] ‡ [email protected] S [email protected] ¶ [email protected] a r X i v : . [ phy s i c s . op ti c s ] J un I. INTRODUCTION
Geometrical approach to Maxwell’s equations has passed through several stages in its development. Initial interestwas caused by the General theory of relativity. The works of L. I. Mandelstam, I. E. Tamm [1–3], W. Gordon [4]belong to this period. In the absence of practical applications the interest for this subject has gone. A new surge ofinterest arose during the Golden age of the theory of relativity (1960–1975). The works of J. Plebanski [5], F. Felice [6]belong to this period. However, it should be note that in this period scientists failed to determine the application ofdeveloped theory.A new outbreak of interest in the geometric approach emerged in the mid 2000 as a side effect of the interest inmetamaterials [7]. We shell mention the studies of J. B. Pendry [8, 9] and U. Leonhardt [10, 11]. These works gaverise to the whole direction — transformational optics [12].For the classical approach to optics the direct and inverse problems are usually formulated as follows: ∙ the direct problem: from the environment settings to obtain the path of electromagnetic waves propagation; ∙ the inverse problem: from given propagations paths of electromagnetic waves to obtain environments parameters.For the geometric approach to optics these problems are swapped: ∙ the direct problem: for a given distribution paths of electromagnetic waves to obtain environment (medium)parameters; ∙ the inverse problem: from parameters of the environment to obtain the propagation path of electromagneticwaves.Therefore, transformation optics works with direct problem of geometric optics (the inverse problem of classicaloptics).Usually, in the framework of geometrical optics only a direct problem is solved, i.e. the task of finding the parametersof the environment from the propagation path of electromagnetic waves. This framework does not focuses on theinverse problem, i.e. finding the propagation path of electromagnetic waves according to the known parameters of themedium.This work aims to consistently present the algorithm of lenses calculations with use of geometrical optics approachand demonstrate the convergence of our results with the results of the classical optics approach.The structure of this paper is following. In section II the basic notation and conventions used in the article aregiven. In section III we describe the algorithm for inverse problem of geometrical optics. In paragraph IV we presentexamples of calculation of specific lenses. The results of numerical experiment are presented in graphical form. II. NOTATIONS AND CONVENTIONS
1. We will use the notation of abstract indices [13]. In this notation tensor as a complete object is denoted merelyby an index (e.g., 𝑥 𝑖 ). Its components are designated by underlined indices (e.g., 𝑥 𝑖 ).2. We will adhere to the following agreements. Greek indices ( 𝛼 , 𝛽 ) will refer to the four-dimensional space, in thecomponent form it looks like: 𝛼 = 0 , . Latin indices from the middle of the alphabet ( 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ) will refer to thethree-dimensional space, in the component form it looks like: 𝑖 = 1 , . III. THE ALGORITHM OF SOLVING THE INVERSE PROBLEM OF GEOMETRICAL OPTICS
Although geometrical optics deals with the direct problem of obtaining environmental parameters from rayspropagation trajectories, it is possible to solve the inverse problem: calculation of lenses parameters.Let us consider several options for solving the inverse problem geometrical optics, namely, the cases of isotropic andanisotropic media.We will use the following algorithm for solving the inverse problem.1. Inputs are the environmental parameters such as the permittivity 𝜀 𝑖𝑗 and the permeability 𝜇 𝑖𝑗 and the refractiveindex 𝑛 𝑖𝑗 . If we take into account specifics of the geometrization based on quadratic metric, we have to consideronly the refractive index.2. From physical considerations, we choose ansatz for the effective metric tensor 𝑔 𝛼𝛽 .3. Based on this ansatz we obtain the general form of effective metric tensor 𝑔 𝛼𝛽 . This process is iterative. There isno guarantee that the chosen ansatz will give the opportunity to obtain metric tensor. In this case we have tochoose another ansatz.4. By substituting specific values of the parameters of the environment, we will receive a specific implementation ofan effective metric tensor 𝑔 𝛼𝛽 .Having an effective metric tensor, we can solve geometrical Maxwell equations and obtain the desired propagationpath of electromagnetic waves [14, 15]. In this paper we will use the geometric optics approximation [16, 17]. For thiscase, the rays will be propagated along the geodesic curve [18, 19]: d 𝑥 𝛾 d 𝑡 + Γ 𝛾𝛼𝛽 d 𝑥 𝛼 d 𝑡 d 𝑥 𝛽 d 𝑡 = 0 , where 𝑥 𝛾 ( 𝑡 ) are coordinates of geodesic curve. The Christoffel symbols are defined as follows: Γ 𝛾𝛼𝛽 = 12 𝑔 𝛾𝛿 (︂ 𝜕𝑔 𝛼𝛿 𝜕𝑥 𝛽 + 𝜕𝑔 𝛽𝛿 𝜕𝑥 𝛼 − 𝜕𝑔 𝛼𝛽 𝜕𝑥 𝛿 )︂ . For calculations we use the following expressions for geometrized material equations: 𝐷 𝑖 = 𝜀 𝑖𝑗 𝐸 𝑗 + (1) 𝛾 𝑖𝑗 𝐵 𝑗 ,𝐻 𝑖 = ( 𝜇 − ) 𝑖𝑗 𝐵 𝑗 + (2) 𝛾 𝑗𝑖 𝐸 𝑗 ,𝜀 𝑖 𝑗 = −√− 𝑔 (︀ 𝑔 𝑔 𝑖 𝑗 ˘ 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 )︀ , ( 𝜇 − ) 𝑖 𝑗 = √− 𝑔𝜀 𝑚 𝑛 𝑖 𝜀 𝑘 𝑙 𝑗 𝑔 𝑛 𝑘 𝑔 𝑚 𝑙 , (1) 𝛾 𝑖𝑗 = (2) 𝛾 𝑖𝑗 = √− 𝑔𝜀 𝑘 𝑙 𝑗 𝑔 𝑘 𝑔 𝑖 𝑙 . (1)Next, let us consider the isotropic and anisotropic cases. A. Isotropic case
Consider the implementation of the inverse problem of geometrization for isotropic case. We will consider the caseof diagonal metrics. All spatial diagonal components of the metric tensor are equal to each other. Thus, consider thefollowing ansatz for the metric tensor: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ 𝑎 − 𝑏 − 𝑏
00 0 0 − 𝑏 ⎞⎟⎟⎠ ,𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ 𝑎 − − 𝑏 − − 𝑏 −
00 0 0 − 𝑏 − ⎞⎟⎟⎠ , √− 𝑔 = 𝑎𝑏 . (2)From relations (III) we can write down the expressions for the permittivity and the permeability: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝑎𝑏 𝑎 − ⎛⎝ 𝑏 − 𝑏 −
00 0 𝑏 − ⎞⎠ = 𝑏𝑎 ⎛⎝ ⎞⎠ = 𝑏𝑎 𝛿 𝑖 𝑗 , (︀ 𝜇 − )︀ 𝑖 𝑗 = 𝑎𝑏 ⎛⎝ 𝑏 − 𝑏 −
00 0 𝑏 − ⎞⎠ = 𝑎𝑏 ⎛⎝ ⎞⎠ = 𝑎𝑏 𝛿 𝑖 𝑗 . (3)From equations (III A) we can write the permittivity and the permeability in the following form: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜀𝛿 𝑖 𝑗 , 𝜀 = 𝑏𝑎 , (︀ 𝜇 − )︀ 𝑖 𝑗 = 1 𝜇 𝛿 𝑖 𝑗 , 𝜇 = 𝑏𝑎 . (4)From (III A) it is clear that remains one free parameter. Let the free parameter be 𝑏 . Then let: 𝑎 = 𝑏𝜀 . Then, based on the ansatz (III A) we may write the metric tensor: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ 𝑏 𝜀 − 𝑏 − 𝑏
00 0 0 − 𝑏 ⎞⎟⎟⎠ . (5)We will focus on Tamm [1–3] approach. Let: 𝑏 = √ 𝜇. Then the metric tensor (III A) we may rewrite: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ √ 𝜇𝜀 −√ 𝜇 −√ 𝜇
00 0 0 −√ 𝜇 ⎞⎟⎟⎠ . (6)Or, considering the ratio: 𝜀 𝑖𝑗 (︀ 𝜇 − )︀ 𝑗𝑘 = 𝛿 𝑖𝑘 , it is possible to rewrite (III A) as 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ 𝜀 √ 𝜇 −√ 𝜇 −√ 𝜇
00 0 0 −√ 𝜇 ⎞⎟⎟⎠ . (7)This ratio coincides with the solution proposed by Tamm [3]. The expression (III A) or (III A) sets the effectivegeometry of the environment. B. Anisotropic case
Consider the simplest version of anisotropic medium. For this let us consider the following ansatz for the metrictensor: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ ( 𝑎 ) − ( 𝑎 ) − ( 𝑎 )
00 0 0 − ( 𝑎 ) ⎞⎟⎟⎠ ,𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ ( 𝑎 ) − − ( 𝑎 ) − − ( 𝑎 ) −
00 0 0 − ( 𝑎 ) − ⎞⎟⎟⎠ , √− 𝑔 = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 . (8)From relations (III) we may write down the expressions for the permittivity and the permeability: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ( 𝑎 ) − ⎛⎝ ( 𝑎 ) − 𝑎 ) −
00 0 ( 𝑎 ) − ⎞⎠ = ⎛⎝ 𝜀 𝜀
00 0 𝜀 ⎞⎠ , (9) (︀ 𝜇 − )︀ 𝑖 𝑗 == 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⎛⎝ ( 𝑎 ) − ( 𝑎 ) − 𝑎 ) − ( 𝑎 ) −
00 0 ( 𝑎 ) − ( 𝑎 ) − ⎞⎠ == ⎛⎝ 𝜇 𝜇
00 0 𝜇 ⎞⎠ . (10)From (III B) and (III B) the permittivity and the permeability are obtained as follows: 𝜀 = √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) , 𝜀 = √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) , 𝜀 = √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) ,𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 , 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 , 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 . (11)From (III B) we may write the following relations: 𝜇 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 𝜇 ,𝜇 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 𝜇 ,𝜇 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 𝜇 . Let us write out the coefficients: 𝑎 = √︂ 𝜇 𝜇 𝜇 ,𝑎 = √︂ 𝜇 𝜇 𝜇 ,𝑎 = √︂ 𝜇 𝜇 𝜇 . Thus, (III B) is changed to: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ √ 𝜀 𝜀 𝜇 − √︁ 𝜇 𝜇 𝜇 − √︁ 𝜇 𝜇 𝜇
00 0 0 − √︁ 𝜇 𝜇 𝜇 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . (12)It is easy to see that in the isotropic case, the ratio (III B) proceeds in the ratio of (III A). The expression (III B)sets the effective geometry of the environment. IV. EXAMPLES OF LENSES CALCULATION IN GEOMETRICAL OPTICS
For examples of calculations we use a widely known Maxwell (fish-eye) [20], and Luneburg [21] lenses. Also, theselenses are important because for them one may obtain analytical solutions. In addition, convergence of solutions in theclassical and geometrical approaches could be used for verification.
Figure 1. Ray trajectories as geodesic curves for Maxwell lens
A. Maxwell lens
Maxwell lens [20] is constructed so that, in special case, when the rays emit from a point source located one side ofthe lens, they are focused at one point on the opposite side of the lens.The refractive index 𝑛 changes from 𝑛 in the centre up to 𝑛 at the surface: 𝑛 ( 𝑟 ) = ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑛 (︀ 𝑟𝑅 )︀ , 𝑟 𝑅,𝑛 , 𝑟 > 𝑅. Here 𝑅 is the radius of the sphere or cylinder. Also usually one consider 𝑛 = 1 . Since in the method of thegeometrization based on quadratic metric the permittivity and the permeability are equal, so we can write: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜇 𝑖 𝑗 ,𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜀𝛿 𝑖 𝑗 , 𝜇 𝑖 𝑗 = 𝜇𝛿 𝑖 𝑗 ,𝑛 = √ 𝜀𝜇 = 𝜀 = 𝜇,𝜀 = 𝜇 = 21 + (︀ 𝑟𝑅 )︀ , 𝑟 𝑅, 𝑛 := 1 . Then, from (III A), we get the following metric: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝(︂ ( 𝑟𝑅 ) )︂ − / − (︂ ( 𝑟𝑅 ) )︂ / − (︂ ( 𝑟𝑅 ) )︂ /
00 0 0 − (︂ ( 𝑟𝑅 ) )︂ / ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . Then we can depict the trajectories of rays as geodesic curves in this space (see Fig. 1). This figure shows that thebehavior of the trajectories of the rays coincides with the theoretically predicted results from classical optics [20], thatis, the rays, emerging from source on the surface of the lens, are focused at a point located on the the opposite surfaceof the lens.
B. Luneburg Lens
Luneburg lens [21, 22] is the gradient lens. The refractive index changes depending on the distance from the center(spherical lens) or from the axis (cylindrical lens). With the passage of the lens the parallel rays are focused at onepoint on the surface of the lens. The rays emitted by a point source on the surface lenses form a parallel beam.
Figure 2. Ray trajectories as geodesic curves for Luneburg lens
The refractive index 𝑛 changes from √ 𝑛 in the centre up to 𝑛 at the surface: 𝑛 ( 𝑟 ) = ⎧⎨⎩ 𝑛 √︂ − (︁ 𝑟𝑅 )︁ , 𝑟 𝑅,𝑛 , 𝑟 > 𝑅. Here 𝑅 is the radius of the sphere or cylinder. Also, usually one consider 𝑛 = 1 .Since in the method of the geometrization based on quadratic metric the permittivity and the permeability areequal, we can write: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜇 𝑖 𝑗 ,𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜀𝛿 𝑖 𝑗 , 𝜇 𝑖 𝑗 = 𝜇𝛿 𝑖 𝑗 ,𝑛 = √ 𝜀𝜇 = 𝜀 = 𝜇,𝜀 = 𝜇 = √︂ − (︁ 𝑟𝑅 )︁ , 𝑟 𝑅, 𝑛 := 1 . Then, from (III A), we get the following metric: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎝(︀ − 𝑟𝑅 )︀ − / − (︀ − 𝑟𝑅 )︀ / − (︀ − 𝑟𝑅 )︀ /
00 0 0 − (︀ − 𝑟𝑅 )︀ / ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . Then we can depict the trajectories of rays as geodesic curves in this space (see Fig. 2). This figure shows that thebehavior of the trajectories of the rays coincides with the the theoretically prediction of classical optics [22]. The rays,which emerge from a point source on the surface of the lens, form a parallel beam.
V. CONCLUSION
The authors proposed the algorithm for the calculation of the lenses in the framework of the geometrical approachto optics. The ansatzes for cases of isotropic and anisotropic media are proposed. For example, the widely knownLuneburg and Maxwell lenses demonstrate a coincidence of the classical and geometric approaches. For simplicity thecalculations were performed only for geometrical optics.Unfortunately, it is not clear if the proposed approach for lens calculation on the basis of geometrical optics has anyadvantages over classical one. This question will be the subject of further research.
ACKNOWLEDGMENTS
The work is partially supported by RFBR grants No’s 15-07-08795 and 16-07-00556. Also the publication wasprepared with the support of the “RUDN University Program 5-100”. [1] I. E. Tamm, Electrodynamics of an Anisotropic Medium in a Special Theory of Relativity, Russian Journal of Physical andChemical Society. Part physical 56 (2-3) (1924) 248–262.[2] I. E. Tamm, Crystal Optics Theory of Relativity in Connection with Geometry Biquadratic Forms, Russian Journal ofPhysical and Chemical Society. Part physical 57 (3-4) (1925) 209–240.[3] I. E. Tamm, L. I. Mandelstam, Elektrodynamik der anisotropen Medien in der speziellen Relativitatstheorie, MathematischeAnnalen 95 (1) (1925) 154–160.[4] W. Gordon, Zur Lichtfortpflanzung nach der Relativit¨atstheorie, Annalen der Physik 72 (1923) 421–456. doi:10.1002/andp.19233772202 .[5] J. Plebanski, Electromagnetic Waves in Gravitational Fields, Physical Review 118 (5) (1960) 1396–1408. doi:10.1103/PhysRev.118.1396 .[6] F. Felice, On the Gravitational Field Acting as an Optical Medium, General Relativity and Gravitation 2 (4) (1971) 347–357. doi:10.1007/BF00758153 .[7] I. I. Smolyaninov, Metamaterial ‘Multiverse’, Journal of Optics 13 (2) (2011) 024004. arXiv:1005.1002 , doi:10.1088/2040-8978/13/2/024004 .[8] J. B. Pendry, D. Schurig, D. R. Smith, Controlling Electromagnetic Fields, Science 312 (5781) (2006) 1780–1782. doi:10.1126/science.1125907 .[9] D. Schurig, J. B. Pendry, D. R. Smith, Calculation of Material Properties and Ray Tracing in Transformation Media, Opticsexpress 14 (21) (2006) 9794–9804. arXiv:0607205 , doi:10.1364/OE.14.009794 .[10] U. Leonhardt, Optical Conformal Mapping, Science 312 (June) (2006) 1777–1780. arXiv:0602092 , doi:10.1126/science.1218633 .[11] U. Leonhardt, T. G. Philbin, Transformation Optics and the Geometry of Light, in: Progress in Optics, Vol. 53, 2009, pp.69–152. arXiv:0805.4778v2 , doi:10.1016/S0079-6638(08)00202-3 .[12] R. Foster, P. Grant, Y. Hao, A. Hibbins, T. Philbin, R. Sambles, Spatial Transformations: from Tundamentals to Applications,Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 373 (2049) (2015)20140365. doi:10.1098/rsta.2014.0365 .[13] R. Penrose, W. Rindler, Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Vol. 1, CambridgeUniversity Press, 1987. doi:10.1017/CBO9780511564048 .[14] D. S. Kulyabov, Using two Types of Computer Algebra Systems to Solve Maxwell Optics Problems, Programming andComputer Software 42 (2) (2016) 77–83. arXiv:1605.00832 , doi:10.1134/S0361768816020043 .[15] A. V. Korol’kova, D. S. Kulyabov, L. A. Sevast’yanov, Tensor Computations in Computer Algebra Systems, Programmingand Computer Software 39 (3) (2013) 135–142. arXiv:1402.6635 , doi:10.1134/S0361768813030031 .[16] M. Born, E. Wolf, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference, and Diffraction of Light, 7thEdition, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.[17] H. Bruns, Das Eikonal, Vol. 35, S. Hirzel, Leipzig, 1895.[18] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, 4th Edition, Course of Theoretical Physics. Vol. 2, Butterworth-Heinemann, 1975.[19] C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco, 1973.[20] J. C. Maxwell, Solutions of Problems (prob. 3, vol. VIII, p. 188), The Cambridge and Dublin mathematical journal 9 (1854)9–11.[21] R. K. Luneburg, Mathematical Theory of Optics, University of California Press, Berkeley & Los Angeles, 1964.[22] S. P. Morgan, General Solution of the Luneberg Lens Problem, Journal of Applied Physics 29 (9) (1958) 1358. doi:10.1063/1.1723441 . лгоритм расчёта линз в геометризованной теории Максвелла М. Н. Геворкян, * А. В. Демидова, † А. В. Королькова, ‡ Д. С. Кулябов,
1, 2, S и Л. А. Севастьянов
1, 3, ¶ Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей,Российский университет дружбы народов,ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198 Лаборатория информационных технологий,Объединённый институт ядерных исследований,ул. Жолио-Кюри 6, Дубна, Московская область, Россия, 141980 Лаборатория теоретической физики,Объединённый институт ядерных исследований,ул. Жолио-Кюри 6, Дубна, Московская область, Россия, 141980
Для нахождения параметров среды по траекториям распространения электромагнитногоизлучения всё чаще используется геометрический подход к оптике, поскольку в данном подходеэта задача является прямой. Однако обратной задаче в рамках геометризованной оптики обычноне уделяется внимания.Целью данной работы является демонстрация предлагаемого в рамках геометрическогоподхода к оптике алгоритма решения задачи нахождения траектории распространения элек-тромагнитного излучения в зависимости от параметров среды. Для получения алгоритмаавторами сформулирована обратная задача геометрического подхода к оптике. С помощьюметодов дифференциальной геометрии построены метрики эффективного пространства дляизотропной и анизотропной среды. Траектории лучей получены в форме геодезических (при-ближение геометрической оптики) в эффективном пространстве. Алгоритм применён длянахождения траекторий лучей для широко известных объектов — линз Максвелла и Люнеберга.Продемонстрировано совпадение результатов геометризованной и классической оптики.
Ключевыеслова: уравнения Максвелла, риманова метрика, расслоенные пространства, линза Максвелла,линза Люнеберга * [email protected] † [email protected] ‡ [email protected] S [email protected] ¶ [email protected] a r X i v : . [ phy s i c s . op ti c s ] J un I. ВВЕДЕНИЕ
Геометрический подход к уравнениям Максвелла прошёл несколько этапов в своём развитии. Первоначальныйинтерес был вызван общей теорией относительности. Это работы Л. И. Мандельштама, И. Е. Тамма [1–3], В.Гордона [4]. В отсутствии практических приложений интерес к данной теме угас. Новая вспышка интересавозникла во время золотого века теории относительности (1960–1975 гг.). Это работы Е. Плебаньского [5], Ф. деФеличе [6]. Впрочем, следует заметить, что и в этот период не удалось определиться с приложениями даннойтеории.Новая вспышка интереса к геометрическому подходу проявилась в середине 2000-х годов на фоне интересак метаматериалам [7]. Это работы Д. Б. Пендри [8, 9] и У. Леонгардта [10, 11]. Эти работы породили целоенаправление — трансформационную оптику [12].В классическом подходе к оптике обычно прямая и обратная задача формулируются следующим образом: ∙ прямая задача: по параметрам среды получить пути распространения электромагнитных волн; ∙ обратная задача: по заданным путям распространения электромагнитных волн получить параметры среды.При геометрическом подходе к оптике эти задачи меняются местами: ∙ прямая задача: по заданным путям распространения электромагнитных волн получить параметры среды; ∙ обратная задача: по параметрам среды получить путь распространения электромагнитных волн.Таким образом, трансформационная оптика работает с прямой задачей геометризованной оптики (обратнойзадачей классической оптики).Обычно при использовании геометризованной оптики решают только прямую задачу, то есть задачу нахож-дения параметров среды по траекториям распространения электромагнитных волн. При этом практически неуделяется внимание обратной задаче, то есть нахождению траекторий распространения электромагнитных волнпо известным параметрам среды.Работа ставит целью последовательно изложить алгоритм расчёта линз в геометризованной оптике и проде-монстрировать совпадение результатов его применения с результатами классического подхода к оптике.Структура работы следующая. В разделе II даются основные обозначения и соглашения, применяемыев данной работе. В разделе III описывается собственно алгоритм для обратной задачи геометризованнойоптики. В разделе IV приведены примеры расчёта конкретных линз. Результаты численного экспериментапродемонстрированы на иллюстрациях. II. ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
1. Будем использовать нотацию абстрактных индексов [13]. В данной нотации тензор как целостный объ-ект обозначается просто индексом (например, 𝑥 𝑖 ), компоненты обозначаются подчёркнутым индексом(например, 𝑥 𝑖 ).2. Будем придерживаться следующих соглашений. Греческие индексы ( 𝛼 , 𝛽 ) будут относиться к четырёхмер-ному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: 𝛼 = 0 , . Латинские индексыиз середины алфавита ( 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ) будут относиться к трёхмерному пространству и в компонентном виде будутиметь следующие значения: 𝑖 = 1 , . III. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЗОВАННОЙ ОПТИКИ
Хотя геометризованная оптика имеет в качестве прямой задачи получение параметров среды по траекториямраспространения лучей, возможно и решение обратной задачи. То есть с помощью геометризованной оптикивозможен и расчёт линз.Рассмотрим несколько вариантов решения обратной задачи геометризованной оптики, а именно случаиизотропной и анизотропной сред.Будем использовать следующий алгоритм решения обратной задачи.1. Входными данными для нас являются параметры среды, такие как диэлектрическая проницаемость 𝜀 𝑖𝑗 ,магнитная проницаемость 𝜇 𝑖𝑗 , показатель преломления 𝑛 𝑖𝑗 . В связи со спецификой геометризации наоснове квадратичной метрики реально учитывается только показатель преломления.2. Исходя из физических соображений, подбирается анзац для эффективного метрического тензора 𝑔 𝛼𝛽 .3. На основании анзаца получаем общий вид эффективного метрического тензора 𝑔 𝛼𝛽 . Данный процесситеративный. Нет никакой гарантии, что наперёд заданный анзац даст возможность получить метрическийтензор. В этом случае следует заменить анзац.4. Подставляя конкретные значения параметров среды, получим конкретную реализацию эффективногометрического тензора 𝑔 𝛼𝛽 .Имея эффективный метрический тензор, можно решить геометризованные уравнения Максвелла и получитьискомые траектории распространения электромагнитных волн [14, 15]. В рамках статьи упростим задачу ибудем использовать приближение геометрической оптики [16, 17]. В этом случае лучи будут распространятьсяпо геодезическим [18, 19]: d 𝑥 𝛾 d 𝑡 + Γ 𝛾𝛼𝛽 d 𝑥 𝛼 d 𝑡 d 𝑥 𝛽 d 𝑡 = 0 , где 𝑥 𝛾 ( 𝑡 ) — координаты геодезической. Символы Кристоффеля задаются следующим образом: Γ 𝛾𝛼𝛽 = 12 𝑔 𝛾𝛿 (︂ 𝜕𝑔 𝛼𝛿 𝜕𝑥 𝛽 + 𝜕𝑔 𝛽𝛿 𝜕𝑥 𝛼 − 𝜕𝑔 𝛼𝛽 𝜕𝑥 𝛿 )︂ . Для расчётов будем использовать следующие выражения для геометризованных материальных уравнений: 𝐷 𝑖 = 𝜀 𝑖𝑗 𝐸 𝑗 + (1) 𝛾 𝑖𝑗 𝐵 𝑗 ,𝐻 𝑖 = ( 𝜇 − ) 𝑖𝑗 𝐵 𝑗 + (2) 𝛾 𝑗𝑖 𝐸 𝑗 ,𝜀 𝑖 𝑗 = −√− 𝑔 (︀ 𝑔 𝑔 𝑖 𝑗 ˘ 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 )︀ , ( 𝜇 − ) 𝑖 𝑗 = √− 𝑔𝜀 𝑚 𝑛 𝑖 𝜀 𝑘 𝑙 𝑗 𝑔 𝑛 𝑘 𝑔 𝑚 𝑙 , (1) 𝛾 𝑖𝑗 = (2) 𝛾 𝑖𝑗 = √− 𝑔𝜀 𝑘 𝑙 𝑗 𝑔 𝑘 𝑔 𝑖 𝑙 . (1)Далее перейдём к рассмотрению изотропного и анизотропного случаев. A. Изотропный случай
Рассмотрим реализацию обратной задачи геометризации для изотропного случая. Будем рассматривать случайдиагональной метрики. Все пространственные диагональные компоненты метрического тензора равны междусобой. Таким образом, рассмотрим следующий анзац для метрического тензора: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ 𝑎 − 𝑏 − 𝑏
00 0 0 − 𝑏 ⎞⎟⎟⎠ ,𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ 𝑎 − − 𝑏 − − 𝑏 −
00 0 0 − 𝑏 − ⎞⎟⎟⎠ , √− 𝑔 = 𝑎𝑏 . (2)Из соотношений (III) запишем выражения для диэлектрической и магнитной проницаемостей: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝑎𝑏 𝑎 − ⎛⎝ 𝑏 − 𝑏 −
00 0 𝑏 − ⎞⎠ = 𝑏𝑎 ⎛⎝ ⎞⎠ = 𝑏𝑎 𝛿 𝑖 𝑗 , (︀ 𝜇 − )︀ 𝑖 𝑗 = 𝑎𝑏 ⎛⎝ 𝑏 − 𝑏 −
00 0 𝑏 − ⎞⎠ = 𝑎𝑏 ⎛⎝ ⎞⎠ = 𝑎𝑏 𝛿 𝑖 𝑗 . (3)Из (III A) запишем проницаемости в следующем виде: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜀𝛿 𝑖 𝑗 , 𝜀 = 𝑏𝑎 , (︀ 𝜇 − )︀ 𝑖 𝑗 = 1 𝜇 𝛿 𝑖 𝑗 , 𝜇 = 𝑏𝑎 . (4)Из (III A) видно, что у нас остаётся один свободный параметр. Пусть свободным параметром будет 𝑏 . Тогдаположим: 𝑎 = 𝑏𝜀 . Тогда на основе анзаца (III A) запишем метрический тензор: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ 𝑏 𝜀 − 𝑏 − 𝑏
00 0 0 − 𝑏 ⎞⎟⎟⎠ . (5)Будем ориентироваться на идеи Тамма [1–3]. Положим: 𝑏 = √ 𝜇. Тогда (III A) запишется следующим образом: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ √ 𝜇𝜀 −√ 𝜇 −√ 𝜇
00 0 0 −√ 𝜇 ⎞⎟⎟⎠ . (6)Или, учитывая соотношение: 𝜀 𝑖𝑗 (︀ 𝜇 − )︀ 𝑗𝑘 = 𝛿 𝑖𝑘 , можно переписать (III A) как 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ 𝜀 √ 𝜇 −√ 𝜇 −√ 𝜇
00 0 0 −√ 𝜇 ⎞⎟⎟⎠ . (7)Это соотношение совпадает с решением, предложенным Таммом [3]. Выражение (III A) или (III A) задаётэффективную геометрию исследуемого пространства. B. Анизотропный случай
Рассмотрим простейший вариант анизотропной среды. Для этого рассмотрим следующий анзац для метриче-ского тензора: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ ( 𝑎 ) − ( 𝑎 ) − ( 𝑎 )
00 0 0 − ( 𝑎 ) ⎞⎟⎟⎠ ,𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎝ ( 𝑎 ) − − ( 𝑎 ) − − ( 𝑎 ) −
00 0 0 − ( 𝑎 ) − ⎞⎟⎟⎠ , √− 𝑔 = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 . (8)Из соотношений (III) запишем выражения для диэлектрической и магнитной проницаемостей: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ( 𝑎 ) − ⎛⎝ ( 𝑎 ) − 𝑎 ) −
00 0 ( 𝑎 ) − ⎞⎠ = ⎛⎝ 𝜀 𝜀
00 0 𝜀 ⎞⎠ , (9) (︀ 𝜇 − )︀ 𝑖 𝑗 == 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⎛⎝ ( 𝑎 ) − ( 𝑎 ) − 𝑎 ) − ( 𝑎 ) −
00 0 ( 𝑎 ) − ( 𝑎 ) − ⎞⎠ == ⎛⎝ 𝜇 𝜇
00 0 𝜇 ⎞⎠ . (10)Из (III B) и (III B) запишем проницаемости в следующем виде: 𝜀 = √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) , 𝜀 = √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) , 𝜀 = √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) ,𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 , 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 , 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 . (11)Из (III B) выпишем следующие соотношения: 𝜇 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 𝜇 ,𝜇 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 𝜇 ,𝜇 𝜇 = ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 ( 𝑎 ) ( 𝑎 ) √− 𝑔 = ( 𝑎 ) √− 𝑔 𝜇 . Выразим коэффициенты: 𝑎 = √︂ 𝜇 𝜇 𝜇 ,𝑎 = √︂ 𝜇 𝜇 𝜇 ,𝑎 = √︂ 𝜇 𝜇 𝜇 . Таким образом (III B) запишется следующим образом: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ √ 𝜀 𝜀 𝜇 − √︁ 𝜇 𝜇 𝜇 − √︁ 𝜇 𝜇 𝜇
00 0 0 − √︁ 𝜇 𝜇 𝜇 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . (12)Легко видеть, что в изотропном случае соотношение (III B) переходит в соотношение (III A). Выражение (III B)задаёт эффективную геометрию исследуемого пространства. IV. ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА ЛИНЗ В ГЕОМЕТРИЗОВАННОЙ ОПТИКЕ
Для примеров расчётов нами выбраны широко известные объекты: линза Максвелла («рыбий глаз») [20]и линза Люнеберга [21]. Также эти объекты привлекательны тем, что позволяют получить аналитическиевыражения для решений. Кроме того, совпадение решений в случае классического и геометризованного подходовможет служить целям верификации.
Рис. 1. Траектории лучей как геодезические для линзы Максвелла
A. Линза Максвелла
Линза Максвелла [20] строится так, что, в частном случае, при испускании лучей из точечного источника,находящегося с одной стороны линзы, лучи фокусируются в одной точке на противоположной поверхностилинзы.Показатель преломления 𝑛 меняется от 𝑛 в центре до 𝑛 на поверхности: 𝑛 ( 𝑟 ) = ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑛 (︀ 𝑟𝑅 )︀ , 𝑟 𝑅,𝑛 , 𝑟 > 𝑅. Здесь 𝑅 — радиус сферы либо цилиндра. Также обычно полагают 𝑛 = 1 . Поскольку в методе геометризации наоснове квадратичной метрики диэлектрическая и магнитная проницаемость равны, то запишем: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜇 𝑖 𝑗 ,𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜀𝛿 𝑖 𝑗 , 𝜇 𝑖 𝑗 = 𝜇𝛿 𝑖 𝑗 ,𝑛 = √ 𝜀𝜇 = 𝜀 = 𝜇,𝜀 = 𝜇 = 21 + (︀ 𝑟𝑅 )︀ , 𝑟 𝑅, 𝑛 := 1 . Тогда, учитывая (III A), получим следующую метрику: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝(︂ ( 𝑟𝑅 ) )︂ − / − (︂ ( 𝑟𝑅 ) )︂ / − (︂ ( 𝑟𝑅 ) )︂ /
00 0 0 − (︂ ( 𝑟𝑅 ) )︂ / ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . Тогда можно изобразить траектории лучей как геодезические в этом пространстве (см. рис. 1). Из этого рисункавидно, что поведение траекторий лучей совпадает с теоретически предсказанным классической оптикой [20], тоесть лучи, выходящие из источника на поверхности линзы, собираются в точке, находящейся на противоположнойповерхности линзы.
B. Линза Люнеберга
Линза Люнеберга [21, 22] есть градиентная линза. Показатель преломления изменяется в зависимости отрасстояния от центра (сферическая линза) или от оси (цилиндрическая линза). При прохождении линзы
Рис. 2. Траектории лучей как геодезические для линзы Люнеберга параллельные лучи фокусируются в одной точке на поверхности линзы. Лучи, испущенные точечным источникомна поверхности линзы формируют параллельный пучок.Показатель преломления 𝑛 меняется от √ 𝑛 в центре до 𝑛 на поверхности: 𝑛 ( 𝑟 ) = ⎧⎨⎩ 𝑛 √︂ − (︁ 𝑟𝑅 )︁ , 𝑟 𝑅,𝑛 , 𝑟 > 𝑅. Здесь 𝑅 — радиус сферы либо цилиндра. Также обычно полагают 𝑛 = 1 .Поскольку в методе геометризации на основе квадратичной метрики диэлектрическая и магнитная проницае-мость равны, то запишем: 𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜇 𝑖 𝑗 ,𝜀 𝑖 𝑗 = 𝜀𝛿 𝑖 𝑗 , 𝜇 𝑖 𝑗 = 𝜇𝛿 𝑖 𝑗 ,𝑛 = √ 𝜀𝜇 = 𝜀 = 𝜇,𝜀 = 𝜇 = √︂ − (︁ 𝑟𝑅 )︁ , 𝑟 𝑅, 𝑛 := 1 . Тогда, учитывая (III A), получим следующую метрику: 𝑔 𝛼 𝛽 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎝(︀ − 𝑟𝑅 )︀ − / − (︀ − 𝑟𝑅 )︀ / − (︀ − 𝑟𝑅 )︀ /
00 0 0 − (︀ − 𝑟𝑅 )︀ / ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . Тогда можно изобразить траектории лучей как геодезические в этом пространстве (см. рис. 2). Из этого рисункавидно, что поведение траекторий лучей совпадает с теоретически предсказанным классической оптикой [22], тоесть лучи, выходящие из точечного источника на поверхности линзы формируют параллельный пучок.
V. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Авторами в работе предложен алгоритм расчёта линз в рамках геометрического подхода к оптике. Предложеныанзацы для случаев пространственно изотропной и анизотропной сред. На примере широко известных линзМаксвелла и Люнеберга продемонстрировано совпадение результатов классического и геометрического подходов.Для простоты расчёты проводились в пределе геометрической оптики.К сожалению, пока не понятно, даёт ли предлагаемый подход расчёта линз на основе геометризованной оптикикакие-либо преимущества по сравнению с классической оптикой. Этот вопрос должен являться предметомдальнейших исследований.
БЛАГОДАРНОСТИ