aa r X i v : . [ phy s i c s . c o m p - ph ] A ug Algorithm for structure constantsAlgoritmo por konstanto j de strukturo
F.M. Paiva
Departamento de F´ısica, Unidade Humait´a II, Col´egio Pedro IIRua Humait´a 80, 22261-040 Rio de Janeiro-RJ, Brasil; [email protected]
A.F.F. Teixeira
Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas22290-180 Rio de Janeiro-RJ, Brasil; [email protected]
Resumo
In a n -dimensional Lie algebra, random numerical values are assigned by computerto n ( n −
1) especially selected structure constants. An algorithm is then created, whichcalculates without ambiguity the remaining constants obeying the Jacobi conditions. Dif-ferently from others, this algorithm is suitable even for poor personal computer.En n -dimensia algebro de Lie, hazardaj numeraj valoroj estas asignitaj per komputiloal n ( n −
1) speciale elektitaj konstantoj de strukturo. Tiam algoritmo estas kreita, kalku-lante senambigue la ceterajn konstantojn obeante kondiˆcojn de Jacobi. Malsimile al aliajalgoritmoj, tiu ˆci ta˘ugas eˆc por malpotenca komputilo.
Bonkonate, bazaj vektoroj e i de n -dimensia As is well known, the basis vectors e i of aalgebro de Lie obeas regulon [1, paˆgo 383] n − dimensional Lie algebra obey rule [1, page383][ e i , e j ] − = C ijk e k , (1)kie indicoj varias de 1 al n , kaj kie konstantoj where the indices vary from 1 to n , and wherede strukturo C ijk estas antisimetriaj en mal- the constants of structure C ijk are antisymme-supraj indicoj: C ij k = − C jik . Ni profitas tiun tric in the lower indices: C ij k = − C jik . We pro-antisimetrion por skribi nur konstantojn C ij k fit from that antisymmetry to write only cons-havante i < j . Plue, ili devas obei kondiˆcojn tants C ijk having i < j . Still, they must obeyde Jacobi the Jacobi conditions C ijl C klm + C jkl C ijm + C kil C jlm = 0 . (2)Tiuj kondiˆcoj estas antisimetriaj en la 3 indi- These conditions are antisymmetric in the 3 in-coj i, j, k , do ili agas se nur n ≥
3. dices i, j, k , so they act only if n ≥ n = 1, tiam la algebro havas nur 1 ba- If n = 1, the algebra has only 1 basis vector,zan vektoron, kaj ˆgia nura konstanto de struk- and its only structure constant would be C ,turo estus C , nula. null.Se n = 2, tiam 2 konstantoj povas ekzisti, If n = 2, two structure constants can occur,sendependaj kaj ne-nulaj: C kaj C . independent and non-null: C and C .Se n = 3, tiam 9 ne-nulaj konstantoj povas If n = 3, nine non-null structure constantsekzisti: C m , C m , C m , kun m = 1 , , C m , C m , C m , with m = 1 , , C k C km + C k C km + C k C km = 0 , m = 1 , , n = 4, tiam 24 ne-nulaj konstantoj de If n = 4 then 24 non-null structure constantsstrukturo povas ekzisti: C m , C m , C m , can exist: C m , C m , C m , C m , C m , C m , C m , C m , C m , estante m = 1 , , ,
4. Kaj with m = 1 , , ,
4. And the Jacobi conditionsla kondiˆcoj de Jacobi estas 16: are 16: C k C km + C k C km + C k C km = 0 , (4) C k C km + C k C km + C k C km = 0 ,C k C km + C k C km + C k C km = 0 ,C k C km + C k C km + C k C km = 0 , kun m = 1 , , ,
4. Ni povus pensi, ke tiuj 16 with m = 1 , , ,
4. We could think that thesekondiˆcoj reduktas la 24 konstantojn de struk- 16 conditions reduce the 24 structure constantsturo al nur 24 −
16 = 8 sendependaj, sed to only 24 −
16 = 8 independent, but that istio ne veriˆgas. Fakte, nur 12 el tiuj kondiˆcoj not true. In fact, only 12 of these conditionsestas sendependaj, tiom reduktante de 24 al are independent, so reducing from 24 to 24 − −
12 = 12 la nombron de sendependaj kon- 12 = 12 the number of independent structurestantoj de strukturo. constants.Tiu ˆci artikolo montras, ke en n -dimensia This article shows that, in a n -dimensionalalgebro de Lie, la plejgranda nombro de kon- Lie algebra, the maximum number of structurestantoj de strukturo kies numerajn valorojn constants whose numerical values one can ran-oni povas hazarde elekti estas n ( n − n ( n − n ( n − n −
2) konstan- the remaining n ( n − n −
2) structure cons-tojn de strukturo, kondiˆce ke tiuj n ( n −
1) tants, provided these n ( n −
1) constants are con-konstantoj estas konvene elektitaj. veniently chosen.Anta˘ue verki la okazon de arbitra n , la se- Before working the case of arbitrary n , thekvanta sekcio analizas detale la okazon n = 4. next section analyses with detail the case n = 4.Tiu analizo montras kiel sinsekvaj sistemoj de That analysis shows how consecutive systems of n linearaj ekvacioj por n variabloj aperas kaj n linear equations for n variables appear and areestas solvitaj, la˘ulonge la algoritmo. solved, in the course of the algorithm. n = 4 n = 4 Ni interkonsentas la jenan notacion por kon- We agree the following notation for Jacobi con-diˆcoj de Jacobi: ditions: J abcm := (cid:16) C abk C ckm + C bck C akm + C cak C bkm = 0 (cid:17) ; (5)kaj ni profitas ilian antisimetrion por uzi nur and we profit their antisymmetry to use onlyekvaciojn J abcm kun a < b < c . the equations J abcm with a < b < c .Ni vidu kio okazas en 4-dimensia algebro Let us see what happens in a 4-dimensionalde Lie se ni faras komputilo hazarde elekti nu- Lie algebra if we make a computer choose ran-merajn valorojn por konstantoj de strukturo dom numerical values for the structure cons-havante malsupran indicon 1. Tiam la 12 kon- tants with one lower indice 1. Then the 12 cons-stantoj C j k kun j = 2 , , k = 1 , , , C jk with j = 2 , , k = 1 , , , J m : Write the 4 equations J m : J : α + α m C m + α C + α C = 0 , (6) J : β + β m C m + β C + β C = 0 ,J : γ + γ m C m + γ C + γ C = 0 ,J : δ + δ m C m + δ C + δ C = 0 , kie m = 1 , , , m = 1 , , , C ijk kun i = 1. for all constants C ijk with i = 1. We solve theseNi solvas tiujn 4 ekvaciojn J m por la 4 kon- 4 equations J m for the 4 constants C m .stantoj C m . Tiuj ˆci fariˆgas linearaj kombi- These become linear combinations of the 8 cons-noj de la 8 konstantoj C m kaj C m : tants C m and C m : C = ǫ + ǫ m C m + ǫ m +4 C m , (7) C = η + η m C m + η m +4 C m ,C = ι + ι m C m + ι m +4 C m ,C = κ + κ m C m + κ m +4 C m , kie m = 1 , , , m = 1 , , , C m en la bers. We insert the expressions (7) of C m in4 ekvacioj J m , kaj refoje ricevas linearecon the 4 equations J m , and again obtain linea-por C p kaj C q : rity for C p and C q : J : λ + λ m C m + λ m +4 C m = 0 , (8) J : µ + µ m C m + µ m +4 C m = 0 ,J : ν + ν m C m + ν m +4 C m = 0 ,J : π + π m C m + π m +4 C m = 0 , kie m = 1 , , , m = 1 , , , C m , kiuj fariˆgas linearaj variables C m , that become linear combinati-kombinoj de la 4 variabloj C m : ons of the 4 variables C m : C = ρ + ρ m C m , C = σ + σ m C m , (9) C = τ + τ m C m , C = φ + φ m C m , kie m = 1 , , , m = 1 , , , C m en la 4 kondiˆcoj de Jacobi J m , kaj of C m into the 4 Jacobi conditions J m , andsolvas la linearajn ekvaciojn. Tiel ni ricevas solve the linear equations. We thus obtain thela numerajn valorojn de la 4 konstantoj C m . numerical values of the 4 constants C m . ThenSekve, ni returne kalkulas la valorojn de C m we calculate back the values of C m using (9),uzante (9), kaj de C m uzante (7). and of C m using (7).Oni vidas, ke la serio de la algoritmo por One sees that the sequence of the algorithm n = 4 estis for n = 4 was { C jm } → J m → C m → J m → C m → J m → C m , (10)kaj la serio de finaj kalkuloj de dependaj kon- and the sequence of final calculation of depen-stantoj de strukturo estis dent structure constants was C m → C m → C m . (11)Se ni metas la 12 numerajn valorojn asig- If we insert the 12 numerical values assignednitaj por konstantoj C jm , kaj la 12 numerajn to constants C jm , and the 12 numerical valuesvalorojn ricevitajn por la aliaj C ijm , en iu ajn obtained for the other C ij m , into any of the 4el la 4 kondiˆcoj de Jacobi ne uzitaj, J m , ni Jacobi conditions not used, J m , we shall ob-ricevos 0 = 0. tain 0 = 0. n n Kondiˆcoj de Jacobi (5) estas kvadrataj en The Jacobi conditions (5) are quadratic in thekonstantoj de strukturo. Tial, ricevi nume- structure constants. So, obtaining numericalrajn valorojn de konstantoj de n -dimensia al- values for constants of a n -dimensional Lie al-gebro de Lie, ekde numeraj valoroj de kelkaj gebra, out from numerical values of some cons-konstantoj hazarde elektitaj, estas longtempa tants randomly chosen, is a time consumingverko, ordinare. Tamen, anta˘ua sekcio suge- task, generally. However, the preceding sectionstas simplan kaj efikan algoritmon por, poste suggests a simple and efficient algorithm for ob-konvena elekto de preciza nombro de konstan- taining the remaining constants, after a conve-toj, ricevi la ceterajn konstantojn. nient choice of a precise number of constants.En tiu algoritmo, unue ni aranˆgas la kon- In that algorithm, we first arrange the struc-stantojn de strukturo C abm la˘u ordo pli- ture constants C abm in increasing order of lowergrandiˆganta en la malsupraj indicoj: indices: C m , C m , ... , C nm , C m , C m , ... , C nm , ...... , C ( n − nm , (12)kaj simile aranˆgas la kondiˆcojn de Jacobi and similarly arrange the Jacobi conditions J bcm : J bcm : J m , J m , ... , J nm , J m , ... , J nm , ...... , J n − nm . (13)Ekde tie ˆci, la algoritmo procedas kiel en From here on, the algorithm proceeds as theanta˘ua sekcio: unue ni faras komputilo asigni preceding section: we first make a computer as-hazardajn numerajn valorojn por la n ( n −
1) sign random numerical values for the n ( n − C bm , kaj metas tiujn structure constants C bm , and set these valuesvalorojn en la n ekvacioj de Jacobi J m . Po- into the n Jacobi equations J m . Then solveste ni solvas tiujn linearajn ekvaciojn por la n these linear equations for n variables C m , andvariabloj C m , kaj tiel pluen. so on.Do la serio de la algoritmo estas The sequence of the algorithm then is { C bm } → J m → C m → J m → C m → ... → J nm → C nm → J m → C m → (14) → J m → C m → ... → J nm → C nm → ... ... → J n − nm → C ( n − nm . Havante la numerajn valorojn de konstan- Having the numerical values of the constantstoj C ( n − nm , ni sekve kalkulas la valorojn de C ( n − nm , we sequentially calculate the values ofceteraj konstantoj en inversa ordo: the remaining constants in the reverse order: C m ← ... ← C ( n − n − m ← C ( n − nm ← C ( n − n − m ← C ( n − nm ← C ( n − nm . (15)Por kontroli, ni metas valorojn de la sen- To check, we introduce the values of the in-dependaj kaj dependaj konstantoj en iu ajn dependent and dependent constants into anyekvacio de Jacobi J abcm kun a = 1; ni devas Jacobi equation J abcm with a = 1; we shouldricevi 0 = 0. obtain 0 = 0.Tiu ˆci algoritmo evidentigas, ke la maksi- This algorithm makes evident that the ma-muma nombro de sendependaj konstantoj de ximum number of independent structure cons-strukturo de n -dimensia algebro de Lie, kaj tants of a n -dimensional Lie algebra, and thela responda nombro de dependaj konstantoj, corresponding number of dependent constants,estas are n ( n − , nC n − n ( n −
1) = 12 n ( n − n − , (16)respektive. Anka˘u, la nombro de sendependaj respectively. Also, the number of independentkaj de dependaj kondiˆcoj de Jacobi estas, re- Jacobi conditions and that of dependent onesspektive, are, respectively,12 n ( n − n − , nC n − n ( n − n −
2) = 16 n ( n − n − n − . (17) La algoritmo prezentita tie ˆci solvas sinsekve, The algorithm presented here solves sequenti- ( n − n −
2) foje, sistemojn de n linearaj ally, ( n − n −
2) times, systems of n linearekvacioj por n variabloj. Tiu algoritmo multe equations for n variables. That algorithm ista˘ugas al persona komputilo, eˆc de malgranda suitable for a personal computer, even of shortkapablo. power.Vere, estas maniero matematike pli rekt- As a matter of fact, there is a mathemati-metoda por ricevi la konstantojn de strukturo cally simpler way to obtain the structure cons-pendantaj de la n ( n −
1) konstantoj, elektitaj tants depending on the n ( n −
1) constants, cho-kiel ni faris tie ˆci. Tiu alia maniero profitas, sen as we did here. This alternative way pro-ke ˆciuj n ( n − n −
2) ekvacioj J bcm estas fits from all n ( n − n −
2) equations J bcm linearaj por ˆciuj n ( n − n −
2) konstantoj being linear for all n ( n − n −
2) constants C abr kun a >
1. Do, se la n ( n −
1) konstantoj C abr with a >
1. So, if the n ( n −
1) constants C br estas donitaj, tiu alia maniero bezonas C br are given, this alternative way simply ne-solvi nur 1 sistemon de n ( n − n −
2) li- eds solving just 1 system of n ( n − n − n estas granda, linear equations. Unfortunately, if n is large,tiu elefanta kalkulaˆo ordinare estas pluen la this elephantine calculation is generally beyondkapablo de disponebla persona komputilo. the capacity of a personal computer at disposal. Citaˆo j [1] J.F. Cornwell,