An analytically solvable model of the effect of magnetic breakdown on angle-dependent magnetoresistance in a quasi-two-dimensional metal
AAn analytically solvable model of the effect of magnetic breakdown onangle-dependent magnetoresistance in a quasi-two-dimensional metal
Andrzej Nowojewski, ∗ Paul A. Goddard, and Stephen J. Blundell † Clarendon Laboratory, University of Oxford, Parks Road, Oxford OX1 3PU, United Kingdom (Dated: October 29, 2018)We have developed an analytical model of angle-dependent magnetoresistance oscillations (AM-ROs) in a quasi-two-dimensional metal in which magnetic breakdown occurs. The model takes ac-count of all the contributions from quasiparticles undergoing both magnetic breakdown and Braggreflection at each junction and allows extremely efficient simulation of data which can be comparedwith recent experimental results on the organic metal κ -(BEDT-TTF) Cu(NCS) . AMROs result-ing from both closed and open orbits emerge naturally at low field, and the model enables thetransition to breakdown-AMROs with increasing field to be described in detail. The measurement of angle-dependent magnetoresis-tance oscillations (AMROs) is a powerful technique inthe determination of details of the Fermi surfaces (FSs)in various reduced-dimensionality metals [1, 2, 3, 4]. Inmany cases the angle-dependence originates in correla-tions in the time-dependent interplanar velocity of quasi-particles which traverse the FS under the influence ofthe magnetic field B and hence can be efficiently sim-ulated by integrating up such correlations for all quasi-particle trajectories [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]. In high B ,the additional effect of magnetic breakdown (MB) can substantially complicate this picture. This effect oc-curs in the FSs of quasi-two-dimensional metals suchas that illustrated in Fig. 1(a) which is described bythe dispersion E ( k ) = ¯ h ( k x + k y ) / m ∗ with effectivemass m ∗ , Fermi wave vector k F and Brillouin zone edgesat k y = ± k F cos ξ . Because of the periodic potential,small gaps in the dispersion open up at the Brillouinzone edge, splitting the FS into distinct open and closedsections. Quasiparticles orbit around the FS with con-stant k z when B lies along the interlayer direction. Invery low B , because of Bragg reflection, only open or-bits [Fig. 1(b)] and small closed orbits [Fig. 1(c)] occuraround the distinct sections of the FS. In high B , mixingbetween the states on the two FS sections leads to MBat the four filled points shown in Fig. 1(a) which we termMB junctions. At these junctions a quasiparticle “tun-nels” in k -space between the FS sections [12], resultingin a single large closed orbit [Fig. 1(d)].In fact for general values of the magnetic field thereshould be a superposition of all the orbits in Fig. 1(b)–(d) as well as many other intermediate possibilities inwhich MB occurs at some of the MB junctions and Braggreflection occurs at the others. The probability p =exp( − B /B ) of MB at each MB junction is parameter-ized by B , the characteristic breakdown field [12, 13, 14].For all finite, non-zero values of B (for which 0 < p < N MB junctions, one has to consider 2 N possible trajecto- k y k x QP
12 12 k z k x k z FIG. 1: (a) The Fermi surface (FS) in the k x - k y plane show-ing the points where magnetic breakdown can occur whichare at ( k x , k y ) = ( ± k F sin ξ, ± k F cos ξ ) (these are called MBjunctions). The azimuthal coordinate of a quasiparticle atthe point labelled QP is ϕ . (b) An open orbit (comprisingthe repeated traversal of the β section). (c) Closed orbit(comprising the repeated traversal of α and α ). (d) Break-down orbit (comprising α - β - α - β ). (e) The magnetic fieldapplied in a general direction leads to orbits which are on across-section perpendicular to B . Bragg reflection puts thequasiparticle on a different cross-section. ries with their correct probabilistic weightings, and thiscomplicates a direct computation of AMROs since onehas to sum over trajectories with arbitrarily long pathlengths and hence arbitarily large values of N . In thisLetter we describe a novel strategy to efficiently com-pute AMROs in a model system exhibiting MB whichincludes explicitly all these processes and we use it toshow how different features in real data may arise. Ourresults are discussed in the context of recent experimen-tal work [15] on the crystalline organic metal κ -(BEDT-TTF) Cu(NCS) which demonstrated that, at high field,breakdown AMROs (BAMROs) could be identified in ex- a r X i v : . [ c ond - m a t . s t r- e l ] S e p perimental data resulting from quasiparticles executingMB orbits, although until now an adequate theoreticaldescription has been lacking.The Boltzmann equation gives the interlayer con-ductivity σ zz = e τ g ( E F ) (cid:104) v z ¯ v z (cid:105) FS as an integral overthe FS, where ¯ v z = (cid:82) ∞ τ − e − t/τ v z [ k ( t )] d t and g ( E F )is the density of states at the Fermi energy. Ourmodel considers the FS shown in Fig. 1(a) but in-cludes a very weak interlayer warping so that E ( k ) =¯ h ( k x + k y ) / m ∗ − t ⊥ cos k z d ⊥ , where d ⊥ is the in-terlayer spacing and the interlayer hopping t ⊥ is small( t ⊥ (cid:28) ¯ hk F /d ⊥ ). For brevity, we will henceforth writewave vectors in units of d − ⊥ and conductivity in units of e t ⊥ m ∗ d ⊥ / ¯ h π ω so that they are dimensionless. With B = B (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ ) quasiparticle orbits liein a plane perpendicular to B with angular frequencygiven by ω = ω c cos θ = eB cos θ/m ∗ . Neglecting theinfluence of t ⊥ on the quasiparticle motion (which isonly relevant for θ ≈ ◦ ), an orbit can be describedby k z ( t ) = k z + η cos( ϕ − φ + π − ξ ) where ϕ is the az-imuthal position of the quasiparticle, given at time t by ϕ = ϕ + ωt , and η = k F tan θ . For later convenience,we measure the azimuthal angle ϕ anticlockwise from the α - β MB junction [as shown in Fig. 1(a)]. The interpla-nar velocity v z ( t ), which is needed to compute σ zz , canbe written in our units as v z ( t ) = sin[ k z ( t )].When Bragg reflection occurs for a tilted or-bit [see Fig. 1(e)] the value of k z jumps by∆ k z = 2 η sin φ cos ξ since only the k y value of thequasiparticle momentum changes and hence the quasi-particle continues its orbit on a different “slice” ofthe Fermi surface. We can therefore write σ zz = π (cid:82) π − π d k z (cid:82) π d ϕ sin[ k z (0)] (cid:82) ∞ ϕ d ϕ e − ( ϕ − ϕ ) /ωτ sin[ k z ( t )]where k z ( t ) = k z + n ( ϕ )∆ k z + η cos( ϕ − φ + π − ξ ) , (1)and where the term n ( ϕ )∆ k z accounts for jumps in thevalue of k z which occur during Bragg reflection and we set n ( ϕ ) = 0. The k z dependence can be easily integratedout and we obtain σ zz = (cid:90) π dϕ E + ( ϕ ) (cid:90) ∞ ϕ dϕE − ( ϕ ) e − i n ( ϕ )∆ k z , (2)where the functions E ± ( x ) are defined by E ± ( x ) = e ± i η cos( x − φ + π − ξ ) ± x/ωτ . (3)Eq. (2) yields a real expression for σ zz (one can showstraightforwardly that Im σ zz = 0). However, whatmakes Eq. (2) challenging to evaluate is that the in-tegrand changes depending on the path taken by thequasiparticle which, at each MB junction of the or-bit, can either undergo MB tunneling (with probability p ≡ e − B /B cos θ ) or Bragg reflection (with probability q = 1 − p ): this information is encoded in the function n ( ϕ ) which remains constant for MB but changes by ± σ zz = λ + · ( λ init + x − λ − ) , (4)where λ + takes care of summing up all the initial posi-tions, x handles the MB junctions, λ init describes theinitial stage of the motion up to a MB junction and λ − describes contributions between MB junctions. In Eq. (4)we define λ ± = λ α ± λ β ± λ α ± λ β ± = (cid:82) ξ dϕ E ± ( ϕ ) e ∓ ξ/ωτ (cid:82) π ξ dϕ E ± ( ϕ ) e ∓ π/ωτ (cid:82) π +2 ξπ dϕ E ± ( ϕ ) e ∓ ( π +2 ξ ) /ωτ (cid:82) ππ +2 ξ dϕ E ± ( ϕ ) , λ init = (cid:82) ξϕ dϕE − ( ϕ ) e ξ/ωτ (cid:82) πϕ dϕE − ( ϕ ) e π/ωτ (cid:82) π +2 ξϕ dϕE − ( ϕ ) e ( π +2 ξ ) /ωτ (cid:82) πϕ dϕE − ( ϕ ) , (5)and x is a special case of the vector x n = α n β n α n β n , (6)representing the contribution at the MB junctions on the n th slice of the FS, where n is one of the integer valuetaken by the function n ( ϕ ).Each component of the vectors λ ± and λ init con-tributes for a specific segment of the orbit and the expo-nential factors multiplying some of the components arepresent in order to cancel the initial exponential dampingof the integrand. This damping does not depend on a spe-cific segment but it depends on the length of trajectorybefore reaching this specific segment. This exponentialdamping is taken into account in the vector x . Thisvector dictates the evolution of the quasiparticle’s pathand includes all the processes at the MB junctions. Thecomponents of the vector x n are as follows: α n = λ α − e − i n ∆ k z + apβ n + aqα n +12 , (7) β n = λ β − e − i n ∆ k z + bpα n + bqβ n − , (8) α n = λ α − e − i n ∆ k z + apβ n + aqα n − , (9) β n = λ β − e − i n ∆ k z + bpα n + bqβ n +12 , (10)where a = exp( − ξ/ωτ ) and b = exp( − ( π − ξ ) /ωτ ) arethe increments in the damping exponential after travers-ing an α or β segment respectively. These recursive equa-tions encode all the information about the behaviour at ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 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...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... . . . . ...... zz B B B B B B B B B B zz FIG. 2: Calculated resistivity as a function of φ and θ for different values of B/B . In these simulations, the parameters arechosen to conform approximately to those appropriate for experiments on κ -(BEDT-TTF) Cu(NCS) ( m ∗ = 5 m e , B = 45 T, τ = 3 ps), see [15, 16]. The yellow lines in (a) show the expected minima for Lebed oscillations and the blue lines show theexpected maxima for Yamaji oscillations. the MB junctions. Because x n ± = x n e ∓ i∆ k z we canwrite them as a single vector equation x n = λ − e − i n ∆ k z + Γx n , (11)where x n = ( α n , β n , α n , β n ) and the matrix Γ is givenby a product of two matrices, one describing dampingand the other taking into account the connection betweenorbit segments: Γ = a b a
00 0 0 b p qe − i∆ k z qe i∆ k z p qe i∆ k z pp qe − i∆ k z . (12)Eq. (11) is readily solved by assigning n = 0 to the FSslice initially occupied by the quasiparticle. Thus with x = ( I − Γ ) − λ − , where I is 4 × σ zz = λ + · λ init + λ + · Γ ( I − Γ ) − · λ − , (13)which is the main result of this paper. The expressionfor the Γ ( I − Γ ) − matrix is: Γ ( I − Γ ) − = 1 N t apr ∗ ar ∗ s ∗ a ps ∗ abps w bpr ∗ abp ars a ps t aprbpr abp abps ∗ w ∗ , (14)where N = 1 + b q − a ( q + b ( p − q ) ) − bq (1 + a ( p − q )) cos ∆ k z and r = 1 − be i∆ k z q (15) s = e i∆ k z q + b ( p − q ) (16) t = 1 + b q − bq cos ∆ k z − N (17) w = b ( qe i∆ k z r ∗ + a ( p − q ) s ) . (18)The integrals in Eq. (5) can be evaluated us-ing the Jacobi-Anger expansion e i z cos θ = (cid:80) ∞ k = −∞ i k J k ( z ) e i kθ where J k ( z ) is a k -th or-der Bessel function of the first kind and hence (cid:82) E ± ( θ ) dθ = (cid:80) ∞ k = −∞ i k J k ( ± η ) z ± k e θ (i k ± /ωτ ) , where z ± k = e − i k ( φ − π + ξ ) / (i k ± /ωτ ). This implies that λ ± = ∞ (cid:88) k = −∞ i k z ± k J k ( ± η )( e kξ e ± ξ/ωτ − J k ( ± η )(( − k e ± ( π − ξ ) /ωτ − e kξ ) J k ( ∓ η )( e kξ e ± ξ/ωτ − J k ( ∓ η )(( − k e ± ( π − ξ ) /ωτ − e kξ ) , (19)and similar techniques can be used to evaluate λ init . Ourresults reduce to the expressions given by Yagi et al. [8]when p → ξ → π while we can extract the expres-sions for Lebed magic angles [5] and Yamaji maxima [7]when p →
0. To study the general case, we have encodedthe solution in a computer program, separating each termcontributing to Eq. (13) into real and imaginary parts,and have summed up the Bessel functions in Eq. (19),truncating the series at small enough J k ; this involvestypically about 200 Bessel functions in the sum. BB zz B BB BB BB B zz FIG. 3: Calculated resistivity as a function of
B/B for φ =90 ◦ for the same parameters as in Fig. 2. In Fig. 2 we show the calculated resistivity as a func-tion of φ and θ for different values of B/B using parame-ters chosen to conform approximately to those appropri-ate for experiments on κ -(BEDT-TTF) Cu(NCS) . Inthese calculations B , τ , and hence ω c τ , are fixed and only B is varied. When B is very large (small B/B ), noMB occurs and the calculated ρ zz shown in Fig. 2(a,b)display a rich structure comprising features originatingfrom both open and closed orbits. Some of the minimaare due to Lebed oscillations [5] resulting from the openorbits [see Fig. 1(b)] and their expected angular depen-dence is shown in the yellow lines in the upper part ofFig. 2(a) and is given by tan θ = nπ/k F cos ξ sin φ , forinteger n ≥ θ ≈ π ( n − ) k F × (cid:26) (1 − sin φ cos ξ ) − | φ − π | < ξ (cos φ sin ξ ) − otherwise.(20)The values of φ at which either the Lebed or Yamajioscillations dominate the calculated resistivity in Fig. 2are similar to those found experimentally in κ -(BEDT-TTF) Cu(NCS) [16].As B decreases this structure begins to break upas MB starts to occur and in the limit of low B (see Fig. 2(i,j)) the only dominant orbits are breakdown or-bits (see Fig. 1(d)) leading to the observation of φ -independent Yamaji oscillations with maxima at tan θ ≈ π ( n − ) /k F . Because the breakdown probability ise − B /B cos θ , it is noticeable [particularly in Figs. 2(h) and2(j)] that ρ zz is more φ -independent at low θ than at high θ since MB becomes less likely as θ increases. We notethat at low-fields it is also possible to observe Danner-Chaikin-like oscillations [9] from the open sections closeto φ = 0 and θ = π .The transition between the low-field and high-field be-havior can be studied by fixing φ and varying B/B andthis is shown in Fig. 3. The series of Yamaji maxima(starting at θ ≈ ◦ ), which dominates the response atlow B/B due to the small lens-like orbit in Fig. 1(c),give way at high B/B to a different series of Yamajimaxima (starting at θ ≈ ◦ ) due to BAMROs resultingfrom the breakdown orbit in Fig. 1(d). The crossoverbetween the two regimes begins above B/B ≈ ∗ Current address: Trinity College, Cambridge, CB2 1TQ,United Kingdom † Corresponding author: [email protected][1] M. V. Kartsovnik, Chem. Rev. , 5737 (2004).[2] E. Ohmichi, Y. Maeno and T. Ishiguro, J. Phys. Soc. Jpn , 24 (1999).[3] M. Kawamura et al. , Physica B , 882 (1998).[4] N. E. Hussey et al. , Nature, , 814 (2003).[5] A. G. Lebed, JETP Lett. 43, 174 (1986).[6] M. V. Kartsovnik, P. A. Kononovich, V. N. Laukhin andI. F. Shchegolev, JETP Lett. , 541 (1988).[7] K. Yamaji, J. Phys. Soc. Japan, , 1520 (1989).[8] R. Yagi, Y. Iye, T. Osada and S. Kagoshima, J. Phys.Soc. Jpn. , 3069 (1990). Synth. Met., , 2237(1991).[9] G. M. Danner, W. Kang and P. M. Chaikin, Phys. Rev.Lett., , 3714 (1994).[10] S. J. Blundell and J. Singleton, Phys. Rev. B., , 5609(1996).[11] W. Kang, T. Osada, Y. J. Jo, and H. Kang, Phys. Rev.Lett. 99, 017002 (2007).[12] A. B. Pippard, Phil. Trans. Roy., Soc. A , 1 (1962).[13] N. Harrison, J. Caulfield, J. Singleton, P. H. P. Reinders,F. Herlach, W. Hayes, M. Kurmoo and P. Day, J. Phys.:Condens. Matter , 5415 (1996).[14] D. Shoenberg, Magnetic Oscillations in Metals , (Cam-bridge University Press, Cambridge, 1984).[15] A. F. Bangura, P. A. Goddard, J. Singleton, S. W. Tozer,
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