An introduction to the time evolution of model universes
UUma introdução à evolução do Universo segundo sua geometria e composição – An introduction to the time evolution of model universes –
Vinicius S. Aderaldo ∗ and Victor P. Gonçalves † Instituto de Física e Matemática, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, RS, Brasil (Dated: 2 de novembro de 2020)Neste artigo apresentamos uma introdução à evolução do Universo predita pela equação deFriedmann, a qual leva em consideração a composição e geometria do Universo. A dependência dasolução da equação de Friedmann na geometria é analisada, assim como a sua solução para diferentescombinações para os constituintes básicos que formam o Universo. Os distintos comportamentospossíveis da evolução temporal do Universo são determinados e o cenário predito pela CosmologiaPadrão é apresentado.
Palavras-Chave:
Relatividade Geral, Cosmologia, Universo, Expansão.In this paper we describe the evolution of the Universe in terms of the Friedmann equation, whichtakes into account of the composition and geometry of the Universe. The dependence of the solutionon the geometry and composition for different combinations of the basic constituents are discussed.The distinct behaviours for the temporal evolution of the Universe are determined and the scenariopredicted by the Standard Cosmology is presented.
Keywords:
General Relativity, Cosmology, Universe, Expansion.
I. INTRODUÇÃO
Quando estudamos o Universo em larga escala esta-mos, de fato, estudando Cosmologia. Etimologicamente,Cosmologia advém do grego κ ó σµ o ς , "cosmos", signifi-cando "ordem" e λ o γ ´ ια , "logia", significando "estudo".Nas palavras de um dos três laureados com o PrêmioNobel de Física de 2019, P. J. E. Peebles (1935–): "Acosmologia física é a tentativa de dar sentido à naturezade larga escala do mundo material ao nosso redor, atra-vés dos métodos das ciências naturais." [1, p. 3]. Paraas grandes distâncias presentes na descrição do Cosmos,denominadas escalas cosmológicas ( ≥ Mpc ), o Prin-cípio Cosmológico é válido e a interação dominante éa interação gravitacional, uma vez que em escalas sufi-cientemente grandes o Universo é eletricamente neutro,o campo magnético negligenciável e as forças nuclearesfraca e forte totalmente desprezíveis [2]. Sendo assim, oUniverso em escalas cosmológicas é descrito pela teoriada Gravitação.No início da modernidade, a teoria da gravitaçãode Isaac Newton (1642–1727) apresentada em 1687 emsua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural) tornou-sea mais bem-sucedida teoria da Gravitação. A teoria dagravitação de Newton explica muito bem, e.g., o movi-mento da Lua em torno da Terra e as leis de Kepler [4, 5].No entanto, tal teoria é limitada, falhando em alguns as-pectos. Por exemplo, em se tratando de uma força quese manifesta perante uma interação entre corpos dotadosde massa, uma questão nada trivial diz respeito à na- ∗ [email protected] † [email protected] pc = 3 , × m [3]. Ver Seção II A. tureza dessa força. Um outro problema reside no fatode que, sendo uma força com dependência no inversodo quadrado da distância e com o produto das massasdos corpos envolvidos na interação, não temos depen-dência temporal alguma. Assim, essa força se manifestade forma instantânea, violando o o que ficaria conhecidocomo o segundo postulado da Relatividade Restrita [6].Tais aspectos motivaram Albert Einstein (1879–1955) adesenvolver a teoria da Relatividade Geral [7], a qual éconsiderada uma teoria clássica da Gravitação. Portanto,as equações básicas que regem o Universo em larga escalae, consequentemente, a Cosmologia, são as equações decampo propostas por Einstein para a teoria da Relati-vidade Geral, que vinculam geometria e constituição doUniverso (Seção II B).No início dos anos de 1920, Alexander Friedmann(1888–1925) [8, 9] e Georges Lemaître (1894–1966) [10,11] obtiveram, independentemente, soluções não estáti-cas para as equações de campo propostas por Einstein .Entretanto, foi no ano de 1929, que ocorreu a desco-berta que mudaria o paradigma de um Universo estáticovigente até então . Tal feito é devido ao astrônomoEdwin P. Hubble (1889–1953) que descobriu que o Uni-verso está se expandindo [14, 15]. Para que isso fossepossível, Hubble fez uso de descobertas anteriores: a daastrônoma Henrietta S. Leavitt (1868–1921) no que dizrespeito às velas padrão [16] e a do astrônomo VestoM. Slipher (1875–1969) devido aos seus estudos acerca A contribuição de Friedmann para a Cosmologia é discutida emdetalhes na referência. [12]. Uma discussão detalhada acerca do modelo estático de Einsteinbem como de sua instabilidade pode ser obtida na referência [13]. Objeto cuja luminosidade é bem conhecida, servindo dessa ma-neira como "régua cósmica". a r X i v : . [ phy s i c s . pop - ph ] S e p dos desvios espectrais [17, 18] . Posteriormente, em 1998,os grupos de pesquisadores associados ao The SupernovaCosmology Project [20, 21] e
High-z Supernova SearchTeam [22] verificaram de forma independente que, naverdade, a expansão do Universo verificada por Hubble éacelerada. A descrição e compreensão deste resultado éum dos grandes desafios para a Cosmologia.A formulação de uma teoria para a Cosmologia aindaé tema de intenso debate. Neste trabalho iremos focarem apresentar os fundamentos e implicações do modelo Λ CDM , o qual é atualmente considerado o modelo pa-drão da Cosmologia, pois fornece o melhor ajuste aos da-dos experimentais existentes [23]. Tal teoria fundamenta-se fortemente no Princípio Cosmológico, o qual nos dizque, em escalas cosmológicas, podemos considerar o Uni-verso como sendo homogêneo e isotrópico, isto é, que oUniverso possui seu conteúdo material distribuído igual-mente por toda a sua extensão, além de não existir umadireção preferencial para descrevermos os eventos físi-cos presentes nele. O Princípio Cosmológico implica quetodas as quantidades observáveis serão invariantes portranslação (homogeneidade) e rotação (isotropia). Alémdisso, quando assumimos o Princípio Cosmológico, asequações propostas por Einstein para a Relatividade Ge-ral recaem, naturalmente, na chamada equação de Fried-mann [8, 9]. Tal equação descreve a evolução temporal doUniverso e, portanto, é uma das equações mais importan-tes da Cosmologia. Neste artigo iremos apresentar a suaderivação e descrever suas soluções para distintas geome-trias e diferentes combinações de constituintes básicos.Por fim, trataremos da solução para um Universo planocomposto por três constituintes básicos, a qual representaa visão aceita atualmente pela Cosmologia Padrão.Este artigo tem como foco os alunos de graduação, vi-sando situá-los no cenário atual da Cosmologia bem comoos apresentar às equações que formam a sua estrutura.Seguiremos uma abordagem semelhante àquela presentenas Refs. [2, 24], buscando apresentar em maior detalheas derivações das equações e discussão dos conceitos, as-sim como iremos utilizar em nossa analise os valores maisrecentes dos parâmetros cosmológicos apresentados na úl-tima edição do Review of Particle Physics [23]. Dessaforma, iremos partir das equações de campo propostaspor Einstein como sendo a base de toda a descrição doUniverso e, através de considerações cabíveis, a saber, oPrincípio Cosmológico, obter a equação primordial paranossos estudos, a equação de Friedmann. Feito isso, uti-lizando a Cosmologia Padrão, iremos explorar as impli-cações de diferentes considerações no que diz respeito àcomposição do Universo e à geometria do espaço, verifi-cando o comportamento da evolução do Universo atravésdas respectivas soluções da equação de Friedmann. Atra- Para uma discussão mais detalhada acerca da descoberta de Hub-ble, veja a referência [19]. Proveniente de: Λ Cold Dark Matter , onde Λ é a ConstanteCosmológica. Ver Seção II. vés dessas considerações, iremos determinar os intervalostemporais nos quais cada uma das componentes se mos-tra dominante sobre as demais. Tal descrição nos pos-sibilita não somente compreender o comportamento doUniverso ao longo do tempo, a fim de predizer possíveisdestinos, mas também calcular quantidades de interesse,como, por exemplo, a idade do Universo.Este trabalho está organizado da seguinte forma. Napróxima Seção apresentaremos os fundamentos da Cos-mologia Padrão, com ênfase nas equações de Friedmann.Na Seção III, determinaremos o efeito que as distintascurvaturas possíveis para o Universo acarretam em suaevolução. Assumindo um Universo plano, nas Seções IV,V e VI apresentaremos, respectivamente, as soluções daequação de Friedmann para um Universo composto porum único constituinte, uma combinação de dois consti-tuintes e, por fim, por três constituintes. Nossas conclu-sões são apresentadas na Seção VII. Por fim, no materialsuplementar apresentaremos a derivação da Equação deFriedmann (Apêndice A) e da equação de fluido (Apên-dice B), assim como iremos apresentar uma estimativapara a idade de um Universo caracterizado por máteriae termo de curvatura não nulo (Apêndice C). II. COSMOLOGIA PADRÃO
Para o desenvolvimento dos nossos estudos iremos con-siderar o modelo Λ CDM , o qual melhor descreve osatuais dados observacionais [23] e por isso é usualmentedenominando Modelo Padrão da Cosmologia ou
Cosmo-logia Padrão [25, 26]. Esse modelo leva em considera-ção as proposições do
Big Bang , ou seja, que o Universoteve um início extremamente denso, quente e compacto,seguido de um período inflacionário e uma posterior ex-pansão. Sendo assim, muitos também o chamam como
Hot Big Bang Model [2, 26]. A Cosmologia Padrão levaem consideração o Princípio Cosmológico e como compo-sição atual os seguintes constituintes: matéria bariônica,matéria escura e energia escura. Como desejamos descre-ver a evolução do Universo não apenas nos dias atuais,mas também para tempos primordiais, é importante quelevemos em consideração a componente referente à radia-ção. Nesta Seção iremos discutir o Princípio Cosmológicoe suas implicações, bem como das componentes citadasanteriormente.
A. O Princípio Cosmológico
O Princípio da Relatividade proposto por Einsteinpara a Relatividade Restrita [27] nos diz que as leis daFísica são independentes do sistema de referência inercialadotado. Sendo assim, tais leis devem ser expressas damesma forma em todos os referências inercias (Covariân-cia das Leis da Física), sendo as mesmas para todos osobservadores. Em extensão a esse postulado, Edward A.Milne (1896–1950) cunhou, em meados dos anos 1930, o
Princípio Cosmológico da forma como perdura até osdias de hoje [28–30]. A extensão reside no fato de que,além da forma com que descrevemos as leis da Física,a estrutura do Universo deve ser a mesma para obser-vadores em diferentes referenciais em relação ao fluidocósmico [28–30]. Em suma, este princípio nos diz queem escalas apropriadas o nosso Universo é homogêneo eisotrópico.Se analisarmos regiões do Universo da ordem de ∼ ano-luz podemos observar aglomerações de estrelas,enquanto que em regiões da ordem de ∼ anos-luzobservamos aglomerações de galáxias, por sua vez em re-giões da ordem de ∼ anos-luz vemos aglomerações deaglomerados de galáxias [31]. No entanto, quando ana-lisamos regiões do Universo da ordem de escalas cosmo-lógicas, i.e. ≥ Mpc ( pc = 3 , anos-luz), podemosobservar que o Universo é idêntico em qualquer locali-dade, a distribuição espacial da composição é a mesma,e dizemos que o Universo é homogêneo [2, 32, 33]. Poroutro lado, em pequenas escalas é importante que hajainomogeneidade, caso contrário não teríamos a forma-ção de sistemas . Veja, por exemplo, o caso do SistemaSolar. Claramente não temos uma homogeneidade, dadoque temos planetas com massas distintas e com distânciasdistintas entre si. Além disso, temos que há uma direçãopreferencial na interação Sol-Planeta. Isso nos leva àsdefinições de isotropia e anisotropia. Como temos umadireção preferencial na interação gravitacional entre o Sole os planetas no caso do Sistema Solar, dizemos que essesistema é anisotrópico. É importante enfatizar que se ti-véssemos isotropia, não seria possível manter os planetasem órbita [2]. No entanto, em escalas cosmológicas, onosso Universo é isotrópico, tendo a mesma aparência emtodas as direções, não existindo uma direção preferencialpara as leis da Física.Observações astronômicas demonstram que de fato, emlarga escala, o Universo é homogêneo e isotrópico [32, 33].Uma das mais importantes descobertas é concernente àRadiação Cósmica de Fundo que demonstrou possuiruma homogeneidade de uma parte em para qualquerdireção [6]. Podemos visualizar a homogeneidade a partirdos dados para a Radiação Cósmica de Fundo coletadose distribuídos pelo satélite Planck na Figura 1, onde ve-mos as flutuações de temperatura, através das diferentescores, que representam as "sementes" que posteriormenteformariam as galáxias e estrelas.O fato de ser homogêneo e isotrópico implica que nãopodemos estabelecer um centro, absoluto, para o Uni-verso. Sendo assim, qualquer observador em qualquerponto do Universo verá a variação das distâncias entre Para se ter uma noção da inomogeneidade em pequenas escalas,se considerarmos uma esfera de m de diâmetro ao nosso redor,teremos uma densidade média de ∼ kg m − , enquanto que adensidade média do Universo é da ordem de ∼ − kg m − [2]. A Radiação Cósmica de Fundo foi primeiramente detectada pelosastrônomos Arno Penzias (1933–) e Robert Wilson (1936–) [34].
Figura 1. Radiação Cósmica de Fundo, obtida a partir dedados coletados e distribuídos pelo
Planck Legacy .Créditos: ESA/Planck Collaboration [35]. t Figura 2. Ilustração de uma bola de vinil sendo infladaem função do tempo, onde os pontos cinza representam asmoedas-galáxia distribuídas uniformemente sobre a superfí-cie da bola. as galáxias da mesma forma [2]. Para compreendermosisso, façamos o seguinte experimento mental. Imagineuma bola de vinil, com algumas moedas (representandoas galáxias) sobre a sua superfície e distribuídas de formauniforme (representando a homogeneidade do Universo).Se começarmos a encher a bola com ar, as moedas seafastarão umas das outras (veja a Figura 2). Agoraimagine que possamos habitar alguma dessas moedas-galáxia. Com isso, podemos olhar para qualquer direçãoda bola e constatar o mesmo comportamento das moedas-galáxia vizinhas (representando a isotropia). Note quenão podemos estabelecer um centro absoluto, visto que adistribuição de moedas em torno da moeda habitada é es-fericamente simétrica. Dessa forma, como não existe umcentro absoluto, mas uma variação homogênea e isotró-pica das distâncias, podemos considerar um sistema decoordenadas onde a composição do Universo permanecesempre em repouso, chamado comoving coordinates [36],ou seja, nesse sistema as coordenadas permanecem cons-tantes durante o transcorrer do tempo. Por fim, outraimplicação do Princípio Cosmológico diz respeito ao fatode que podemos estabelecer um tempo universal, isto é,se considerarmos diversos observadores no sistema como-ving coordinates (os chamados comoving observers ), estespoderão sincronizar os seus respectivos relógios vistoque observarão as distâncias variando da mesma forma Por razões lógicas, consideramos o "tempo zero" no
Big Bang . k = -1 k = 1 k = 0 Figura 3. Representação das três possibilidades de curvatu-ras: k = − , k = 1 e k = 0 , respectivamente. e, consequentemente, os eventos ocorrendo da mesmaforma [36, 37].Quando assumimos o Princípio Cosmológico, as equa-ções propostas por Einstein para a Relatividade Geralrecaem, naturalmente, na chamada equação de Fried-mann [8, 9], como explicitamente demonstrado no Apên-dice A do material suplementar. Tal equação descrevea evolução temporal do Universo e, portanto, é uma dasequações mais importantes da Cosmologia. Logo, é in-teressante fazermos uma breve discussão a respeito daimplicação do Princípio Cosmológico no que diz respeitoà Relatividade Geral. B. As Equações de Campo e a Equação deFriedmann
As equações da Relatividade Geral configuram o con-junto de equações principais para descrevermos o Uni- verso em larga escala. Tendo em vista a descoberta deuma expansão acelerada [20–22] e que, como veremos adi-ante, um Universo contendo apenas matéria e radiaçãonão descreve tal aceleração, devemos levar em considera-ção um termo cosmológico que proporcione o observado.As equações de campo, já com a Constante Cosmológica Λ , são escritas como [1, 2] R µν = 8 πGc (cid:18) T µν − g µν T (cid:19) − Λ c g µν , (1)onde G é a constante gravitacional . Na Eq. (1), temosque o lado esquerdo, composto pelo chamado tensor deRicci, R µν , descreve a geometria do espaço-tempo. Jáno lado direito, temos os termos referentes à composiçãodo Universo, representados pelo tensor energia-momento, T µν . Esse tensor é responsável por descrever a distribui-ção de matéria e energia tal que, para um Universo ho-mogêneo e isotrópico, podemos considerar como sendo ade um fluido perfeito. Além disso, g µν é o tensor mé-trico, que nos diz qual é a relação entre as distânciasespaço-temporais e os intervalos das coordenadas. Porfim, T é o escalar energia-momento, que é obtido atravésda contração T = T µν g µν , e Λ é a já citada ConstanteCosmológica.Podemos considerar a métrica que descreve um Uni-verso homogêneo e isotrópico, conhecido como métricade Robertson-Walker [38–41], cujo elemento de linha édado por ds = c dt − a ( t ) (cid:18) dr − kr /R + r dθ + r sin θdφ (cid:19) , (2)onde k é o termo de curvatura, que nos diz a geometriado Universo e pode assumir os valores k = 1 para umageometria esférica, k = − para a geometria hiperbó-lica e k = 0 para a geometria plana. Tais possibilidadespodem ser visualizadas em uma versão bidimensional naFigura 3. Temos ainda que, R é o raio de curvatura doUniverso. Por fim, a ( t ) é o fator de escala que, como opróprio nome diz, define a escala das distâncias em umUniverso homogêneo e isotrópico, tal que a ( t ) = 1 nopresente, onde t = t [2].Visto que a Eq. (2) é o elemento de linha que descrevea dinâmica de um Universo em concordância com o Prin-cípio Cosmológico, temos que r , θ e φ são as comovingcoordinates . Sendo assim, o tensor métrico, g µν , descreveum Universo de acordo com Princípio Cosmológico, já G = 6 , × − m kg − s − . Perceba que estamos usando a convenção de Einstein para soma-tórios, onde fica implícita a soma sobre os índices repetidos. que ds = g µν dx µ dx ν . Esta mesma simetria deve estarpresente no tensor energia-momento e, como consequên-cia, no escalar energia-momento. A escolha mais simplesque podemos imaginar é aquela referente ao tensor, T µν ,de um fluido perfeito, i.e., um fluido que é caracterizadopor uma densidade ρ , uma quadri-velocidade U µ e umapressão, P , atuando igualmente em todas as direções.Além disso, devido a homogeneidade e isotropia, ρ e P dependem somente do tempo. Temos, dessa forma [ T µν ] = ρc − P − P
00 0 0 − P . (3)No Apêndice B do material suplementar demonstramosque a partir da conservação do tensor energia-momentopode se derivar a equação de fluido dada por ˙ ρ + 3 c ˙ aa (cid:0) ρc + P (cid:1) = 0 . (4)Com os coeficientes métricos que podemos extrair daEq. (2), utilizando que ds = g µν dx µ dx ν , e o tensorenergia-momento dado pela Eq. (3), podemos resolvera Eq. (1) e obter a equação de aceleração ¨ aa = − πG c (cid:0) ρc + 3 P (cid:1) + Λ3 , (5)e a equação de Friedmann [8, 9] (cid:18) ˙ aa (cid:19) = 8 πG ρ − kc R a + Λ3 , (6)cujas derivações se encontram no Apêndice A do materialsuplementar. Salientamos que estamos utilizando a no-tação de Einstein para as derivadas temporais, i.e., comum ponto sobre a variável.As equações (4)-(6) não são linearmente independen-tes, i.e., podemos obter a Eq. (5) combinando as equações(4) e (6). Assim, temos duas equações e três incógni-tas: ρ ( t ) , P ( t ) e a ( t ) . Precisamos, então, de uma quartaequação para fechar o conjunto mínimo de equações ne-cessárias para descrevermos a evolução do Universo. Paratanto, utilizamos uma equação de estado, que relaciona apressão e a densidade dos constituintes do Universo. De-finir a equação de estado significa especificar a naturezados constituintes do Universo, estabelecendo assim umaconexão direta entre Cosmologia e Física de Partículas.Para os nossos propósitos, iremos considerar a seguinte equação de estado [6] P = ωc ρ , (7)onde ω é um parâmetro adimensional que caracteriza umdado constituinte com densidade ρ . Podemos obter a evo-lução da densidade de uma dada componente, inserindoa Eq. (7) na Eq. (4), o que resulta ρ ω ( a ) = ρ ω, a − ω ) , (8)onde ρ ω, é a densidade da componente ω no presente.A partir da equação de Friedmann podemos derivar adensidade crítica do Universe, a qual é a densidade limiarentre as possíveis geometrias ρ c ( t ) ≡ H ( t ) πG , (9)sendo que H ( t ) = ˙ a/a é o parâmetro de Hubble tal que,se t = t , temos H ( t ) = H , a chamada constante deHubble definida como [23, 42] H = 100 h km s − Mpc − , (10)onde h é o parâmetro de Hubble escalonado, cujo valoré h = 0 , ± , [23]. Consequentemente, o valor daconstante de Hubble é [23, 43] H = (67 , ± , km s − Mpc − . (11)Este valor, obtido pela Colaboração Planck a partir dasanisotropias da radiação cósmica de fundo [43], será utili-zado nos demais cálculos apresentados neste artigo. En-tretanto, é importante enfatizar que o estudo realizado na Ref. [44], que deriva H a partir de medidas dedistância de galáxias no Universo local, usando variá-veis cefeidas e supernovas tipo Ia (SNe Ia), resulta em H = 74 , ± , km s − Mpc − . Esta discrepância emmais de 4 σ de confiança estatística é um importante pro-blema em aberto no modelo padrão da Cosmologia, sendousualmente denominado H – tension problem . Parauma discussão mais detalhada, recomendamos as Refs.[45, 46] .Inserindo a Eq. (10) na Eq. (9) resulta que o valor dadensidade crítica, no presente, é de [23] ρ c, = 1 , × − h kg m − . (12)Se a densidade do Universo for menor do que a densi-dade crítica dada pela Eq. (12) a geometria do Universoserá hiperbólica, enquanto que, se a densidade for maiordo que a densidade crítica, a geometria será esférica e,por fim, se a densidade for igual a densidade crítica, ageometria será plana.As equações de Friedmann, de aceleração, de fluidoe de estado são equações necessárias para descrevermosa evolução do Universo. A fim de resolvê-las devemosespecificar os constituintes presentes no Universo, o queserá feito a seguir. C. A Composição
A componente mais notória que podemos consideraré a matéria ordinária que integra as estruturas obser-váveis (e.g. planetas, estrelas, galáxias). Dado que adensidade total do universo é extremamente baixa ( ∼ − kg m − ), podemos considerar um gás que é gover-nado pela equação dos gases ideais e obter [47] P = (cid:104) v (cid:105) ρ , (13)onde (cid:104) v (cid:105) é a velocidade quadrática média das partículasque compõem o gás. Se compararmos a Eq. (13) com aEq. (7), resulta ω = (cid:104) v (cid:105) c . (14)Como a matéria ordinária é composta por partículasnão relativísticas, decorre que (cid:104) v (cid:105) (cid:28) c , o que implica (cid:104) v (cid:105) / c ≈ . Consequentemente, da Eq. (14), resulta ω m ≈ . (15)Inserindo a Eq. (15) na Eq. (8), obtemos que a densidadede matéria evolui com [6, 48] ρ m ( a ) = ρ m, a − . (16)Esse é um resultado esperado pois para uma distribuiçãoesférica de matéria tem-se que conforme o volume da dis-tribuição aumenta, a densidade de matéria diminui como raio ao cubo. Como o raio é diretamente proporcionalao fator de escala, resulta que a densidade deve decrescercom o fator de escala ao cubo.Em meados dos anos 30, o astrônomo Fritz Zwicky(1898–1974) propôs a existência de uma nova forma dematéria, distinta da matéria bariônica, denominada ma-téria escura [49]. Enquanto observava o aglomerado deComa, Zwicky notou que a soma das contribuições demassa das estrelas e gases nesse aglomerado não era sufi-ciente para que a atração gravitacional mantivesse as ga-láxias unidas, chegando a conclusão de que deveria havermais massa do que o observado [49]. Além disso, essa ma-téria não deveria interagir eletromagneticamente devidoao fato de não ser possível observá-la e, portanto, de-veria ser de natureza distinta à da matéria ordinária [26].Outra evidência acerca da existência de matéria escuradiz respeito ao famoso problema da curva de rotação dasgaláxias. Vera Rubin (1928–2016) e colaboradores efe-tuaram curvas de rotações a partir de observações, ondeconseguiram extrapolar tais observações para além dasregiões visíveis das galáxias [50]. Verificou-se que, ao in-vés de a velocidade tangencial de um dado observáveldiminuir com r − / a partir da região visível da galáxia,ela permanece constante. Como consequência, mesmoapós à região visível espera-se a presença de matéria,mas que não pode ser observada diretamente, retomandoa proposta da existência de matéria escura sugerida porZwicky [51]. Não obstante, para efeitos de melhor ajustecom os dados observacionais, a matéria escura precisaser não relativística, o que justifica a nomenclatura ma-téria escura fria, proveniente do inglês cold dark matter (CDM) [26].Sendo assim, levando-se em conta a presença de ma-téria escura, e sendo ela de natureza atrativa e não rela-tivística, assim como a matéria ordinária, quando consi-deramos a Eq. (16), estamos considerando tanto matériaordinária quanto matéria escura. Logo, daqui por diante,quando nos referirmos à componente matéria estamos nosreferindo à matéria ordinária e à matéria escura. Salien-tamos que a natureza da matéria escura ainda é desco-nhecida e a busca para determiná-la diz respeito à umaextensa e rica área da Física [52, 53].Outra componente notória é a radiação, onde englo-bamos nela não somente fótons, mas também quaisqueroutras partículas relativísticas. Dessa forma, teremos que (cid:104) v (cid:105) /c ≈ onde, com isso, a Eq. (14) nos diz que ω r ≈ . (17)Se inserirmos este resultado na Eq. (8), resulta que adensidade de radiação evolui com [6, 48] ρ r ( a ) = ρ r, a − . (18)Esse resultado também é esperado. Primeiramente, te-mos que devido ao acréscimo do volume, a densidade de Por isso é chamada de matéria escura. radiação irá variar com ∝ a − . O fator extra é devido àvariação do comprimento de onda com a expansão. Dadoque o comprimento de onda λ é proporcional a a , bemcomo a energia é dada por E = hc/λ , tem-se que elaé proporcional a a − . Consequentemente, temos que adensidade de radiação varia com ∝ a − [3].Como apontado anteriormente, se considerarmos ape-nas matéria e radiação não obtemos a observada expan-são acelerada do Universo [20–22] e, dessa forma, preci-samos inserir a Constante Cosmológica. Podemos obter ω Λ da seguinte maneira. Perceba que, se na Eq. (6) nóssuprimirmos o termo referente à Constante Cosmológicae fizermos ρ → ρ + ρ Λ , podemos recuperar a Eq. (6) como fator Λ / , se ρ Λ = Λ8 πG , (19)ou seja, a densidade associada à constante cosmológicaé constante durante a evolução temporal do Universo.A partir de ρ Λ podemos derivar a pressão associada aotermo cosmológico inserindo a Eq. (19) na Eq. (4), o qualresulta P Λ = − Λ8 πG c = − ρ Λ c , (20)onde, por uma simples comparação com a Eq. (7), segueque ω Λ = − . (21)Veja que obtivemos uma pressão negativa para a compo-nente associada à Constante Cosmológica, o que é espe-rado pois uma pressão negativa nos proporciona a repul-são gravitacional desejada para que a expansão do Uni-verso seja acelerada [3]. Assim como a matéria escura, anatureza da Constante Cosmológica ainda é uma questãoem aberto [53].Podemos visualizar qualitativamente a evolução dasdensidades para cada uma das componentes na Figura 4,a qual indica que a radiação deve ser dominante nos ins-tantes iniciais ( t → ), enquanto que o termo cosmológicodeve determinar o seu destino final. Entre estes dois limi-tes assintóticos, devemos ter um regime no qual a matériaé dominante. D. O Parâmetro de Densidade
É conveniente reescrevermos a equação de Friedmannem termos de um parâmetro adimensional chamado pa-râmetro de densidade , definido como [6] Ω( t ) ≡ ρ ( t ) ρ c ( t ) , (22)onde, em t = t , para um dado constituinte definido por ω , temos que Ω ω, = ρ ω, ρ c, . (23) ρ r ∝ a − ρ m ∝ a − ρ Λ = constanteRadia¸c˜ao a rm Mat´eria a m Λ Λ a d e n s i d a d e Figura 4. Representação da evolução das densidades associa-das à radiação (curva contínua), matéria (curva pontilhada)e Constante Cosmológica (curva tracejada). As grandezas a rm e a m Λ representam fatores de escala onde há equivalên-cia das constribuições de matéria e radiação, bem como dematéria e da constante cosmológica, respectivamente. Taisfatores de escala serão discutidos em detalhe na Seção V. O parâmetro de densidade total, em t = t , será dadopor Ω = ρ ρ c, = (cid:88) ω Ω ω, = Ω r, + Ω m, + Ω Λ , , (24)onde ρ = ρ r, + ρ m, + ρ Λ , . Se lembrarmos que ρ c é adensidade limiar entre as possíveis geometrias, podemosperceber que o Universo terá geometria hiperbólica ( k = − ) se Ω < , geometria esférica ( k = +1 ) se Ω > egeometria plana ( k = 0 ) se Ω = 1 .Sendo assim, podemos reescrever a Eq. (6) fazendo usodas equações (22)-(24), tal que (cid:18) ˙ aa (cid:19) = H (cid:18) Ω r, a + Ω m, a + Ω Λ , − Ω − a (cid:19) . (25)Os parâmetros de densidade são obtidos através de ob-servações onde, atualmente, temos [23, 43] Ω r, = 2 , × − h − , Ω m, = 0 , ± , , Ω Λ , = 0 , ± , . (26)Uma discussão detalhada sobre o procedimento para ob-ter os principais parâmetros cosmológicos a partir dosdados experimentais disponíveis na literatura é apresen-tada na Ref. [25], a qual recomendamos fortemente aoleitor interessado no tema.Com os elementos apresentados nesta Seção estamosaptos a obter as soluções da equação de Friedmann (25)através da evolução do fator de escala em função dotempo. Devido ao fato de haver uma grande quantidade de cenários possíveis através das escolhas de composição egeometria, vamos nos restringir aos cenários mais instru-tivos no que se refere à construção, gradativa, do cenárioatual. III. A INFLUÊNCIA DA CURVATURA
Nesta Seção analisamos como diferentes consideraçõesreferentes à geometria influenciam as soluções da equa-ção de Friedmann. Para analisarmos tais possibilidades,consideramos um Universo composto apenas por matéria,onde Ω r, = 0 e Ω Λ , = 0 . Portanto, decorre da Eq. (25)que [2, 5] [ H ( t )] ≡ (cid:18) ˙ aa (cid:19) = H (cid:18) Ω a − Ω − a (cid:19) . (27)Desta equação obtemos ˙ a = H (cid:18) Ω a − Ω + 1 (cid:19) / , (28)a qual pode ser resolvida por integração direta, tal que (cid:90) a d ˜ a (cid:18) Ω ˜ a − Ω + 1 (cid:19) − / = H t . (29)No que segue iremos analisar a influência da curvaturaatravés da escolha de distintos valores para Ω . A. Geometria esférica
Consideremos um Universo atualmente em expansão,logo, H > . Como há somente matéria, através da Leida Gravitação de Newton podemos esperar que tal expan-são em algum momento cesse, iniciando posteriormenteum período de contração. No momento de estagnação daexpansão devemos ter H ( t ) = 0 . A Eq. (27) nos diz que H ( t ) = 0 , se [2, 5, 54] Ω a máx − Ω − a máx = 0 ⇒ a máx = Ω Ω − , (30)onde a máx é o fator de escala no qual há a estagnação daexpansão. Além disso, como Ω > teremos Ω /a > e, portanto, para que possamos obter H ( t ) = 0 , é neces-sário que [2] − Ω − a < ⇒ Ω > . (31)Sendo assim, considerando um Universo cuja única com-ponente seja matéria, para que haja um período de con-tração é necessário que a densidade atual seja maior doque a densidade crítica, o que implica que devemos terum Universo com geometria esférica [2, 3].A solução da Eq. (29) para Ω > , i.e., para k = +1 ,pode ser obtida através da introdução do chamado ângulode desenvolvimento α [54, 55], tal que − cos α = Ω − a . (32)Dessa forma, se fizermos uma substituição do tipo [56] ˜ a = Ω Ω − (cid:16) α (cid:17) = Ω Ω − (cid:18) − cos α (cid:19) , (33)obtemos a seguinte solução parametrizada para aEq. (29) [2] a ( α ) = Ω Ω − (cid:18) − cos α (cid:19) , (34)e t ( α ) = 1 H Ω (Ω − / (cid:18) α − sin α (cid:19) . (35)Note que α deve ser definido em ≤ α ≤ π de formaque, a expansão atinge o seu máximo em α = π , inici-ando, posteriormente, o período de contração até encer-rar em uma grande implosão, denominada Big Crunch ,quando α = 2 π [2, 55, 56]. A representação gráfica dofator de escala em função do tempo, dada pelas equações(34) e (35), pode ser visualizada na Figura 5 através dacurva pontilhada.Por meio da solução dada pelas equações (34) e(35) podemos notar algumas características interessan-tes desse cenário. Primeiramente, a Eq. (34) nos mostraque obteremos o fator de escala máximo quando α = π e, com isso, confirmamos o que já demonstramos ante-riormente na Eq. (30). Em segundo lugar, por meio daEq. (35) podemos extrair o "tempo máximo de vida", t crunch , de um Universo dotado de geometria esférica ecomposto apenas por matéria. É facil ver que isso ocorrequando α = 2 π , logo [2, 5] t crunch = πH Ω (Ω − / . (36)Dizemos, portanto, que um Universo positivamente cur-vado e composto apenas por matéria irá se expandir atéo fator de escala máximo dado pela Eq. (30) e, então, irácolapsar no que chamamos de Big Crunch [2, 5, 57].
B. Geometria hiperbólica
A solução da Eq. (29) para Ω < pode ser obtidaseguindo a mesma lógica do caso anterior, com a diferençade que agora o ângulo de desenvolvimento é imaginário,i.e., α = iβ [54, 55]. Dessa forma, teremos − cosh β = Ω − a . (37) Dito isso, a substituição necessária para resolver aEq. (29) é dada por [55] ˜ a = − Ω Ω − (cid:18) β (cid:19) = − Ω Ω − (cid:18) cosh β − (cid:19) , (38)com a qual obtemos a solução parametrizada [2] a ( β ) = Ω − Ω (cid:18) cosh β − (cid:19) , (39)e t ( β ) = 1 H Ω (1 − Ω ) / (cid:18) sinh β − β (cid:19) . (40)Nesse caso, temos que ≤ β < ∞ [54, 55]. Podemosvisualizar graficamente as equações (39) e (40) atravésda curva tracejada na Figura 5.Tendo em vista a solução da Eq. (29) para um Universonegativamente curvado e composto apenas por matéria,dado pelas equações (39) e (40), podemos perceber que,em tal cenário, considerando que atualmente o Universoestá em expansão, teremos que esse irá se expandir inde-finidamente ao que chamamos de Big Chill [2, 57].
C. Geometria plana
Finalizando as possibilidades de geometria para umUniverso composto apenas por matéria, temos o Universoonde Ω = 1 , ou seja, um Universo onde a densidadeé comparável à densidade crítica, corriqueiramente cha-mado de Universo de Einstein - de Sitter [5, 42]. Paraesse cenário, podemos reescrever a Eq. (29) como (cid:90) a ˜ a / d ˜ a = H t . (41)Resolvendo a Eq. (41), resulta [2, 3, 42] a ( t ) = (cid:18) tt (cid:19) / , (42)onde [3, 48, 51] t = 23 H , (43)é a idade do Universo para o cenário em questão. Paracompleteza do nosso estudo, os valores de t para as geo-metrias esférica e hiperbólica são derivados no ApêndiceC. A solução dada pela Eq. (42) é representada pela curvacontínua na Figura 5. D. Análise Comparativa
Perceba da Figura 5 que, para tempos pequenos, astrês possibilidades de curvatura demonstram um com-portamento do fator de escala extremamente similares. H ( t − t ) a Ω > < = 1 (plano) Figura 5. Fator de escala em função do tempo para umUniverso dominado por matéria espacialmente plano (curvacontínua), esférico (curva pontilhada) e hiperbólico (curvatracejada).
Para o caso onde k = 0 ( Ω = 1 ), durante toda a expan-são teremos a ∝ t / . Já nos casos onde k (cid:54) = 0 ( Ω > e Ω < ) decorre que, na Eq. (27), Ω a − (cid:29) (1 − Ω ) a − ,o que implica que podemos aproximar, no limite de t pe-queno, pelo comportamento do fator de escala do cenáriopara geometria plana .A partir de t ∼ H − , conhecido como tempo de Hub-ble, podemos notar que se inicia uma diferenciação maisacentuada entre as três curvas. Isto ocorre porque o con-teúdo de matéria se dilui devido a expansão e, consequen-temente, Ω a − (cid:28) (1 − Ω ) a − . Com isso, temos que, umUniverso espacialmente plano continuará expandindo-secom a ∝ t / . Porém, um Universo espacialmente hiper-bólico irá se expandir similarmente ao Universo de Milne,i.e., um Universo com k = − ( Ω < ) e vazio [42]. Issoé o que chamamos de expansão livre [3]. O caso onde k = +1 ( Ω > ) possui um destino diferente aos doisanteriores, qual seja, não irá findar em um Big Chill .Nesse caso o conteúdo de matéria não se diluirá o sufici-ente devido ao fato de que, sendo a sua densidade maiordo que a densidade crítica, em uma interpretação new-toniana, a quantidade de matéria permite que a atraçãogravitacional sobreponha a expansão e inicie uma contra-ção [3]. Sendo assim, nesse cenário haverá uma expansãoaté o fator de escala máximo dado pela Eq. (30) e, então,inicia-se o período de contração até que, enfim, colapseem um
Big Crunch [2, 51]. Note que o período de con-tração é simétrico ao período de expansão, i.e., podemos Uma análise minuciosa a respeito das soluções clássicas da equa-ção de Friedmann efetuadas na Seção III no que diz respeito aointervalo de pequenos valores de tempo á apresentada na refe-rência [58]. − H ( t − t ) a Radia¸c˜aoΛMat´eria
Figura 6. Fator de escala em função do tempo para umUniverso espacialmente plano e composto apenas por maté-ria (curva contínua), radiação (curva pontilhada) e Λ (curvatracejada). fazer uma substituição de t por − t na Eq. (27) e mesmoassim ela permanecerá a mesma [3]. Isso só ocorre de-vido ao fato de que estamos tratando de um Universohomogêneo e isotrópico onde, dessa forma, a expansão éadiabática [5], nos permitindo considerar a evolução doUniverso como um processo reversível [2]. Deste modo,o parâmetro de densidade além de determinar a geome-tria do espaço, também nos diz qual será o destino doUniverso [6]. Podemos observar tais possibilidades naTabela I.Dados observacionais indicam que o Universo é espaci-almente plano [23, 59]. Em vista disso, no que se segue,iremos assumir k = 0 e focaremos em obter as soluçõesda equação de Friedmann para diferentes possibilidadesde composição do Universo. Primeiramente iremos re-lembrar o caso onde a única componente é a matéria,seguindo para o cenário onde há apenas radiação e fin-dando com um Universo espacialmente plano compostoapenas pela componente associada à Constante Cosmo-lógica. Se o Universo é homogêneo e isotrópico, a temperatura será amesma em todo o Universo e, consequentemente, não há fluxode calor em uma certa região de volume dV . Portanto, da Ter-modinâmica, temos que dQ = T dS = 0 . Logo, a entropia nãovaria e podemos considerar o processo como sendo reversível. Tabela I. Possibilidades de comportamento do Universo para tempos maiores do que H − .Parâmetro de Densidade Termo de Curvatura Comportamento para t (cid:29) H − Ω < k = − Big Chill ( a ∝ t ) Ω = 1 k = 0 Big Chill ( a ∝ t / ) Ω > k = +1 Big Crunch
Adaptado de [2]
IV. UNIVERSO ESPACIALMENTE PLANOCOMPOSTO POR APENAS UMACOMPONENTEA. Universo Composto por Matéria
Como visto na Seção III C, temos que um Universo do-tado de geometria plana e composto apenas por matériase expande com um fator de escala dado por [2, 3, 42] a ( t ) = (cid:18) tt (cid:19) / . (44)Além disso, um Universo com essas características possuiuma idade de [3, 48, 51] t = 23 H , (45)onde, utilizando o valor da constante de Hubble dadopela pela Eq. (11), temos que essa idade é de t = 9 , × anos . (46)É importante enfatizar que este valor é inferior àqueleobtido para a idade das estrelas mais antigas presentesem globulares estelares, as quais tem uma idade superiora 10 anos. Portanto, um Universo composto apenas pormatéria não é um cenário viável para descrever nossoUniverso. Representamos a solução dada pela Eq. (44)através da curva contínua na Figura 6. B. Universo Composto por Radiação
A análise de um Universo composto por radiação é deextrema importância dado que, para tempos primordiais,o termo referente à radiação na Eq. (25) domina sobretodos os outros termos [56]. Para tanto, consideramosapenas a componente referente a radiação na Eq. (25)bem como k = 0 , obtendo ˙ a = H a , (47)onde estamos levando em consideração que Ω r, = Ω =1 , devido ao fato de estarmos lidando com um Universoespacialmente plano [2]. A solução da equação diferencial(47), obtida por integração direta, é [2, 3] a ( t ) = (cid:18) tt (cid:19) / , (48) onde [2, 51] t = 12 H , (49)é a idade do Universo para o presente cenário que, aofazermos uso da Eq. (11), podemos obter t = 7 , × anos . (50)Assim como um Universo composto apenas por matéria,este cenário é incompatível com os dados para as idadesdas estrelas mais antigas observadas. A representaçãográfica da solução Eq. (48) pode ser visualizada atravésda curva pontilhada na Figura 6.Perceba que, um Universo cuja única componente éa radiação e que seja dotado de uma geometria plana,expande mais lentamente se comparado a um Universoplano dominado por matéria. Isso se deve ao fato deque, na Eq. (5), um Universo plano e dominado por radi-ação, ao contrário de um Universo plano contendo apenasmatéria, possui o termo referente à pressão que reduz aaceleração [3]. C. Universo Composto pelo termo cosmológico
Finalizando a análise dos cenários compostos por umaúnica componente, temos aquele onde a componente éa Constante Cosmológica, também conhecido como Uni-verso de de Sitter [2]. Novamente considerando um Uni-verso espacialmente plano, teremos que a Eq. (25) podeser escrita como [2, 42] ˙ aa = H , (51)onde, como k = 0 , Ω Λ , = Ω = 1 [2]. Podemos notarque H ( t ) = H , o que implica que a taxa de expansão éconstante durante toda a evolução do Universo [5], dife-rentemente da taxa de expansão para um Universo planodominado por matéria e por radiação cujas dependênciastemporais são de H ∝ t − .Podemos resolver a Eq. (51) por integração direta, talque (cid:90) a d ˜ a ˜ a = H (cid:90) tt ˜ t d ˜ t , (52)cuja solução é dada por [2, 5] a ( t ) = e H ( t − t ) , (53)1de modo que sua representação gráfica pode ser visua-lizada através da curva tracejada na Figura 6. É im-portante salientar que este cenário não possui uma idadedefinida.Assim, um Universo plano composto por Λ se expandede forma exponencial [42]. Podemos interpretar isso como fato de que H ( t ) = H , ou seja, não há um instantede tempo privilegiado e a razão de expansão é cons-tante. Outra interpretação pode ser feita lembrando-seque a pressão exercida pela Constante Cosmológica é ne-gativa [3]. Assim, como a densidade ρ Λ é constante, con-forme o Universo se expande maior será o seu volume e,como dE = ρ Λ c dV , maior será a energia do fluido de Λ , fazendo com que o Universo se expanda ainda maisrápido [6]. V. UNIVERSO COMPOSTO POR DUASCOMPONENTES
Nas Seções IV A, IV B e IV C obtivemos as soluçõeselementares para cenários onde k = 0 e somente umacomponente estava presente. Nesta Seção solucionare-mos a equação de Friedmann considerando duas compo-nentes, a qual nos aproxima um pouco mais da situaçãoreal. Consideraremos dois cenários, primeiramente ma-téria e radiação e, posteriormente, matéria e ConstanteCosmológica. A. Universo Composto por Matéria e Radiação
Considerando um Universo plano composto por maté-ria e radiação, temos que a razão entre as densidades dematéria e radiação é dada por ρ m ( a ) ρ r ( a ) = Ω m, Ω r, a , (54)onde usamos que Ω ω, = ρ ω, /ρ c, e as equações (16) e(18). Fazendo ρ m /ρ r = 1 , resulta [2, 24] a rm = Ω r, Ω m, , (55)o qual denominamos por fator de escala de equivalênciaentre radiação e matéria. Esse fator de escala é aquele noqual radiação e matéria contribuem igualmente para como conteúdo material do Universo. Utilizando os valoresda Eq. (26), obtemos que a rm = 1 , × − . (56)Ademais, para o presente cenário, podemos reescrevera Eq. (25) como [2, 60] ˙ a = H (cid:18) Ω r, a + Ω m, a (cid:19) / . (57) Isolando Ω r, e levando em consideração a Eq. (55), ob-temos (cid:90) a d ˜ a (1 + ˜ a/a rm ) / = H Ω / r, t , (58)que, por uma substituição do tipo a/a rm → a (cid:48) , resultaem uma relação para t em função do fator de escala, dadapor [2] H t = 4 a rm / r, (cid:34) (cid:18) aa rm (cid:19) / (cid:18) a a rm − (cid:19)(cid:35) . (59)A Eq. (59) não nos diz como será o comportamento dofator de escala em função do tempo, na forma como estáapresentada. No entanto, dela podemos extrair o com-portamento do fator de escala para a (cid:28) a rm e a (cid:29) a rm ,além de determinar a idade aproximada, t rm , quandomatéria e radiação são equivalentes.Com a finalidade de encontrarmos t rm , podemos sim-plesmente fazer a = a rm na Eq. (59), o que implica [2] t rm = 4 a rm / r, (cid:32) − √ (cid:33) H − , (60)que, fazendo uso das equações (11), (26) e (56), resulta t rm = 22 . , anos . (61)Adiante veremos que, em termos de escalas cosmológicastemporais, t rm é extremamente pequeno. Analisemos asolução dada pela Eq. (59) em seus limites assintóticos a (cid:28) a rm e a (cid:29) a rm .
1. Comportamento inicial ( a (cid:28) a rm ) Se considerarmos a (cid:28) a rm , teremos que a/a rm (cid:28) e,consequentemente, podemos fazer a seguinte expansão (cid:18) aa rm (cid:19) / ≈ a a rm − a a rm . (62)Se inserirmos a Eq. (62) na Eq. (59) e mantivermos ape-nas os termos quadráticos ou de ordem inferior, resulta [2] a ( t ) ≈ (cid:16) / r, H t (cid:17) / . (63)Comparando o resultado expresso na Eq. (63) com oresultado expresso na Eq. (48), tem-se que para valoresde tempo suficientemente pequenos, i.e., t (cid:28) t rm , os re-sultados obtidos para duas componentes serão similaresaos que obtemos se considerarmos um Universo compostoapenas por radiação [24]. Note que isso se aplica até mesmo para um Universo compostopelas três componentes e com o termo de curvatura, visto queos outros termos da Eq. (25) serão pequenos se comparados aotermos referente à radiação.
2. Comportamento final ( a (cid:29) a rm ) Prosseguindo com nossa análise assintótica da Eq. (59),temos que, para a (cid:29) a rm H t ≈ a rm / r, (cid:18) aa rm (cid:19) / ≈
23 Ω − / m, a / , (64)onde usamos que a rm = Ω r, / Ω m, . Assim, obtemos [2] a ( t ) ≈ (cid:18)
32 Ω / m, H t (cid:19) / . (65)Compare as equações (65) e (42). Como, para um Uni-verso plano composto por matéria, t = 2 / H [3, 48, 51],é possível perceber que as duas equações são extrema-mente similares. Portanto, se considerarmos tempos su-ficientemente grandes, i.e., t (cid:29) t rm , um Universo espaci-almente plano composto por matéria e radiação, se com-portará de forma análoga aquele cuja única componenteé matéria [24]. B. Universo Composto por Matéria e ConstanteCosmológica
Prosseguindo da mesma forma que fizemos para o ce-nário contendo matéria e radiação, podemos obter o fatorde escala de equivalência entre matéria e Constante Cos-mológica, definido por a m Λ , que será dado por [2, 24] a m Λ = (cid:18) Ω m, Ω Λ , (cid:19) / . (66)Se fizermos uso dos valores da Eq. (26), resulta a m Λ = 0 , . (67)Tendo em vista que o fator de escala de equivalência a rm , dado pela Eq. (56), é muito menor do que o fatorde escala de equivalência a m Λ , dado pela Eq. (67) e comoa contribuição da radiação decresce rapidamente (com a − ) conforme o Universo se expande, um Universo planocomposto por matéria e Constante Cosmológica é umaaproximação muito boa do que se observa atualmente [2,48]. Por conseguinte, podemos reescrever a Eq. (25) parao presente cenário da seguinte forma ˙ a = H Ω / , (cid:18) a m Λ a + a (cid:19) / , (68) Nesse caso, não podemos estender essa conclusão para um Uni-verso plano contemplado com todos os constituintes, dado quepara fatores de escalas ainda maiores do que a rm o termo refe-rente à Λ será relevante. onde, por integração direta, temos que (cid:90) a (cid:18) a m Λ ˜ a + ˜ a (cid:19) − / d ˜ a = H Ω / , t . (69)Por uma substituição do tipo (˜ a/a m Λ ) / → a (cid:48) , resulta [2] H t = 23Ω / , ln (cid:18) aa m Λ (cid:19) / + (cid:115) (cid:18) aa m Λ (cid:19) . (70)Essa solução nos possibilita determinar o instante detempo, t m Λ , no qual as contribuições de matéria e Cons-tante Cosmológica são equivalentes, bem como viabilizaa análise assintótica que desejamos.Primeiramente, fazendo a = a m Λ na Eq. (70), re-sulta [2] t m Λ = 23Ω / , ln (cid:16) √ (cid:17) H − . (71)Usando as equações (11) e (26), teremos que a idade queum Universo plano deve possuir para que haja igual con-tribuição de matéria e Λ é t m Λ = 10 , × anos . (72)Note a diferença entre as ordens de grandeza de t rm e t m Λ . Enquanto que t rm ∝ anos, temos que t m Λ é vezes maior. Em adição a isso, lembre-se que para umUniverso plano, dominado por matéria, podemos obtera idade do Universo através da Eq. (43), tal que t ≈ , × anos. Logo, tomando um Universo compostoapenas por matéria e Constante Cosmológica, temos umaboa aproximação na descrição da evolução do Universo,bem como no cálculo de sua idade, t [24].Tendo isso em vista, a idade do Universo pode serobtida fazendo t = t na Eq. (70) e, lembrando que a ( t ) = 1 , logo t = 23 (cid:112) Ω Λ , ln (cid:34) (cid:112) Ω Λ , + 1 (cid:112) − Ω Λ , (cid:35) H − . (73)Usando os valores dados pelas equações (11) e (26), re-sulta t = 13 , × anos . (74)Portanto, a contribuição da radiação para o cálculo daidade do Universo é muito pequena. Considerando-sea radiação, a idade do Universo sofre uma variação deapenas algumas partes por milhão [2]. Este resultado éverificado na Figura 7 onde comparamos os resultadosobtidos desconsiderando a contribuição da radiação comàqueles considerando as três contribuições. Vemos queos resultados basicamente coincidem.Além disso, podemos comparar a idade quando há aequivalência entre matéria e Λ , t m Λ , dada pela Eq. (72),e a idade do Universo t , obtida quando considerarmos a3presença de matéria e Constante Cosmológica, dada pelaEq. (74). Nota-se que, embora ambas são da mesma or-dem de grandeza, t ∝ anos, há uma diferença, nãodesprezível, de aproximadamente , × anos. Analise-mos agora como a solução dada pela Eq. (70) se comporta em seus limites assintóticos a (cid:28) a m Λ e a (cid:29) a m Λ .
1. Comportamento inicial ( a (cid:28) a m Λ ) Considerando a (cid:28) a m Λ , podemos utilizar a seguinteexpansão ln (cid:34) (cid:18) aa m Λ (cid:19) / (cid:35) ≈ (cid:18) aa m Λ (cid:19) / − (cid:34)(cid:18) aa m Λ (cid:19) / (cid:35) ≈ (cid:18) aa m Λ (cid:19) / . (75)Substituindo a Eq. (75) na Eq. (70) e usando a m Λ =Ω m, / Ω Λ , , resulta [2] a ( t ) ≈ (cid:18)
32 Ω / m, H t (cid:19) / . (76)À vista disso, temos que um Universo plano compostopor matéria e Λ se comportará, para t (cid:28) t m Λ , como umUniverso espacialmente plano dominado por matéria [24].Podemos notar isso através da simples comparação entreas equações (42) e (76).Repare que esse resultado é idêntico ao obtido naEq. (65), onde consideramos t (cid:29) t rm e um Universoplano composto por matéria e radiação. Logo, percebe-se que, de fato, o período onde a componente referente àmatéria dominou sobre as outras está entre o período dedominância dessas.
2. Comportamento final ( a (cid:29) a m Λ ) A solução da equação de Friedmann (70) no limite onde a (cid:29) a m Λ é dada por H t ≈ / , ln (cid:34) (cid:18) aa m Λ (cid:19) / (cid:35) ≈ / , ln (cid:20) aa m Λ (cid:21) . (77)Consequentemente, temos que o comportamento do fatorde escala, para um Universo plano composto por matériae Constante Cosmológica, no limite onde t (cid:29) t m Λ , é [2] a ( t ) ≈ a m Λ exp (cid:16) Ω / , H t (cid:17) . (78)Perceba a similaridade da Eq. (78) com a Eq. (53).Dessa similaridade, podemos notar que um Universoplano composto por matéria e Constante Cosmológicairá se comportar de forma análoga a um Universo planocomposto apenas pela Constante Cosmológica, se consi-derarmos t (cid:29) t m Λ [24].É pertinente descrevermos graficamente o comporta-mento do fator de escala para qualquer valor temporale não somente em seus limites assintóticos. Isto posto, − − , − , − , − , , , , , − − H ( t − t ) a Ω r, + Ω m, + Ω Λ , = 1Ω m, + Ω Λ , = 1 (Ω m, = 0 , Figura 7. Comparação entre o fator de escala em funçãodo tempo, para um Universo espacialmente plano, compostopor matéria e Constante Cosmológica, e aquele obtido comos três constituintes, onde utilizamos Ω r, = 2 , × − h , Ω m, = 0 , ± , e Ω Λ , = 0 , ± , . utilizamos o método numérico Runge-Kutta de resolu-ção de equações diferenciais a fim de solucionarmos aEq. (68), obtendo o comportamento do fator de escalasem restrições. O resultado obtido pode ser visualizadona Figura 7. Note que há uma mudança de comporta-mento nos entornos de t m Λ . Tal comportamento deve-seao fato que um Universo plano composto por matéria e Λ se comporta inicialmente como aquele cuja única compo-nente é a matéria e, em um instante posterior ao tempode equivalência, alterna para um comportamento simi-lar ao de um Universo composto apenas pela ConstanteCosmológica . Estamos utilizando escala logarítimica no eixo dos fatores de es-cala com o intuito de melhorar a vizualização da mudança decomportamento do fator de escala para t (cid:28) t m Λ e t (cid:29) t m Λ . VI. UNIVERSO COMPOSTO POR RADIAÇÃO,MATÉRIA E CONSTANTE COSMOLÓGICA
Por fim, expandimos nossas análises ao cenário maisreal, ou seja, um Universo espacialmente plano com-posto por radiação, matéria e pela Constante Cosmoló-gica. Para esse caso não podemos obter soluções assin-tóticas como para os casos apresentados nas Seções V Ae V B. Todavia, podemos obter a solução numéria utili-zando o método Runge-Kutta e tirar algumas conclusõesque na verdade, como veremos, são reafirmações do queconstruímos durante nossas discussões anteriores. Asolução que obtivemos numericamente é apresentada naFigura 7, onde fica clara a similaridade com a soluçãoobtida e apresentada na Seção anterior. Como já discu-tido anteriormente, tal resultado deve-se ao fato de que operíodo no qual a radiação possui contribuição relevanteé extremamente diminuto com relação ao período ondematéria e Constante Cosmológica dominam.Na Figura 8 apresentamos a dependência temporal dagrandeza definida por | ( a ( m Λ) − a ( rm Λ) ) /a ( rm Λ) | , a qualnos permite estimar o impacto da radiação na evoluçãodo Universo. Podemos perceber que, para pequenos va-lores de tempo, a grandeza cresce fortemente, enquantopara grandes intervalos de tempo ela tende a zero. É fa-cil entender estes resultados, levando-se em consideraçãoque a contribuição da radiação é extremamente significa-tiva para valores de tempo menores do que t rm . Toda-via, rapidamente a diferença a ( m Λ) − a ( rm Λ) tende à zero,pois para t (cid:29) t rm a contribuição da radiação se torna in-significante rapidamente, fazendo com que um Universocontendo as três componentes se comporte como um Uni-verso contendo apenas matéria e Λ . VII. CONCLUSÃO
Neste artigo abordamos tópicos essenciais à Cosmo-logia, necessários para obtermos a equação mais impor-tante de nossa análise: a equação de Friedmann. Atra-vés da referida equação e levando-se em consideração ocenário especulativo onde a única composição é devidaa matéria, analisamos na Seção III como cada tipo degeometria (hiperbólica, esférica e plana) influenciam nodestino final do Cosmos.Feito isso, utilizamos dos modelos especulativos maiselementares associados a uma geometria plana, expostosnas Seções IV A, IV B e IV C, para demonstrar que, defato, a aceleração da expansão cósmica é devida à pre-sença da Constante Cosmológica não nula. Verificamosisso observando que a taxa de expansão, tanto para umUniverso plano contendo apenas matéria quanto para umUniverso plano contendo apenas radiação, possui depen-dência do tipo H ( t ) ∝ t − , i.e., uma taxa de expansão quedecresce com o tempo, não refletindo a aceleração obser-vada [20–22]. Por sua vez, a taxa de expansão para o ce-nário composto por Λ e com k = 0 é dada por H ( t ) = H ,i.e., uma taxa de expansão que permanece constante du- · − , , , , , H t (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) a ( m Λ ) − a ( r m Λ ) a ( r m Λ ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) Ω = 1 Figura 8. Dependência temporal da grandeza definida por | ( a ( m Λ) − a ( rm Λ) ) /a ( rm Λ) | para um Universo plano ( k = 0 ). rante toda a evolução do Cosmos e, portanto, podendoexplicar a aceleração observada [20–22].Refinando nossas análises, avançamos para cenárioscompostos por duas componentes, onde nos restringimosaos casos onde a composição é dada, primeiramente, pormatéria e radiação e, posteriormente por matéria e Cons-tante Cosmológica. Através da consideração de um Uni-verso plano composto por matéria e radiação, foi possívelcalcular a idade necessária que o Universo deve ter paraque essas duas componentes contribuam igualmente parao conteúdo material do Universo. Tal idade é de apro-ximadamente . anos e marca, para esse cenário, atransição entre um período no qual a radiação dominasobre a matéria para um período onde a matéria dominasobre a radiação. Para o cenário composto por matéria eConstante Cosmológica, extraímos que o Universo devepossuir aproximadamente , × anos para que essascomponentes contribuam de forma igualitária para coma composição deste cenário, com este instante de tempomarcando a transição de um período de dominância dematéria para um período de dominância de ConstanteCosmológica.Podemos subdividir a história do Cosmos em três eta-pas principais. Em uma primeira etapa, que dura cercade . anos, temos que a radiação possui dominânciasobre as outras componentes. Logo após, temos a etapaonde a matéria domina sobre as outras componentes. Porfim, quando o Universo possui cerca de , × anos háa transição para a última etapa onde a Constante Cos-mológica domina sobre as outras componentes. Podemosobservar, qualitativamente, esta sequência de períodosatravés da Figura 4.Dado a grande diferença na ordem de grandeza das ida-des de equivalência dos dois cenários mencionados anteri-ormente, constatamos que considerar como constituintesbásicos a matéria e a Constante Cosmológica é uma boa5aproximação para se descrever a maior parte da evoluçãodo Universo. Essa afirmação se torna ainda mais evidentequando a grandeza | ( a ( m Λ) − a ( rm Λ) ) /a ( rm Λ) | a qual tenderapidamente a zero, demonstrando que o fator de escalado cenário completo se aproxima rapidamente do fatorde escala do cenário contendo matéria e Λ . Além disso,considerando a grande proximidade desse cenário paracom o cenário completo, foi possível calcular a idade doUniverso como sendo de , × anos, o qual concordaperfeitamente com o valor obtido a partir dos dados maisrecentes [23].Por fim, esperamos que este artigo contribua para quecada vez mais estudantes de graduação e professores deFísica do ensino médio compreendam os conceitos bási-cos presentes em Cosmologia e, em particular, entendama evolução do Universo a partir da equação de Friedmanne da modelagem de sua constituição. Recomendamos for-temente ao leitor interessado que busque complementaras informações apresentadas neste artigo através do es-tudo das referências [12, 13, 19, 25, 26, 58], publicadasem edições anteriores da Revista Brasileira de Ensino deFísica, assim como do livro - texto da Ref. [30]. AGRADECIMENTOS
Agradecemos aos revisores pelos importantes co-mentários que possibilitaram a qualificação do ma-nuscrito. Este trabalho foi parcialmente financiadopela CNPq,FAPERGS e INCT-FNA (processo número464898/2014-5).
MATERIAL SUPLEMENTAR
O seguinte material suplementar está disponível online. • Apêndice A: Da Relatividade Geral à Equação deFriedmann. • Apêndice B: A Equação de Fluido. • Apêndice C: A Idade do Universo para k (cid:54) = 0 e Ω = Ω m, . [1] P. J. E. Peebles, Principles of Physical Cosmology (Prin-ceton University Press, Princeton, 1993).[2] B. S. Ryden,
Introduction to Cosmology (Addison-Wesley, San Francisco, 2003).[3] A. Liddle,
An Introduction to Modern Cosmology (JohnWiley & Sons, Chinchester, 2003).[4] J. de Lima Acioli,
Introdução à cinemática relativística (Editora Universidade de Brasília, Brasília, 2004).[5] M. Roos,
Introduction to Cosmology (John Wiley & Sons,2015).[6] T.-P. Cheng,
A College Course on Relativity and Cosmo-logy (Oxford University Press, New York, 2015).[7] A. Einstein, Sitzungsberichte der Königlich PreußischenAkademie der Wissenschaften, 844 (1915).[8] A. Friedmann, Zeitschrift für Physik , 377 (1922).[9] A. Friedmann, Zeitschrift für Physik , 326 (1924).[10] G. Lemaître, Publications du Laboratoire d’Astronomieet de Geodesie de l’Universite de Louvain , 1 (1937).[11] G. Lemaître, em Annales Soc. Sci. Bruxelles , Vol. 47(1927) pp. 49–59.[12] I. Waga, Revista Brasileira de Ensino de Física , 157(2005).[13] D. Soares, Revista Brasileira de Ensino de Física , 1302(2012).[14] E. Hubble, Proceedings of the National Academy of Sci-ences , 168 (1929).[15] E. Hubble e M. L. Humason, Astrophys. J. , 43 (1931).[16] H. S. Leavitt e E. C. Pickering, Harvard College Obser-vatory Circular , 1 (1912).[17] V. M. Slipher, Lowell Observatory Bulletin , 56 (1913).[18] V. M. Slipher, Proceedings of the American PhilosophicalSociety , 403 (1917).[19] I. Waga, Revista Brasileira de Ensino de Física , 163(2000).[20] S. Perlmutter, G. Aldering, M. D. Valle, S. Deustua, R. S. Ellis, S. Fabbro, A. Fruchter, G. Goldhaber,D. E. Groom, I. M. Hook et al. [Supernova CosmologyProject], Nature , 51 (1998).[21] S. Perlmutter, G. Aldering, G. Goldhaber, R. A. Knop,P. Nugent, P. G. Castro, S. Deustua, S. Fabbro, A. Goo-bar, D. E. Groom et al. [Supernova Cosmology Project],Astrophys. J. , 565 (1999).[22] A. G. Riess, A. V. Filippenko, P. Challis, A. Clocchiatti,A. Diercks, P. M. Garnavich, R. L. Gilliland, C. J. Hogan,S. Jha, R. P. Kirshner et al. [Supernova Search Team],Astron. J. , 1009 (1998).[23] P. A. Zyla, R. M. Barnett J. Beringer, O. Dahl,D. A. Dwyer, D. E. Groom, C. -J. Lin, K. S. Lugovsky,E. Pianori, D. J. Robinson et al. [Particle Data Group],to be published in Prog. Theor. Exp. Phys. , 083C01(2020).[24] P. Di Bari, Cosmology and The Early Universe (CRCPress, Boca Raton, 2018).[25] G. P. da Silva Neto, Revista Brasileira de Ensino de Fí-sica , 2318 (2018).[26] A. L. D. Fróes, Revista Brasileira de Ensino de Física ,3504 (2014).[27] A. Einstein, H. Lorentz, H. Minkowski e H. Weyl, ThePrinciple of Relativity (Dover Publications, USA, 1952).[28] E. A. Milne, Zeitschrift für Astrophysik , 1 (1933).[29] E. A. Milne, Nature , 9 (1932).[30] R. E. de Souza, Introdução à Cosmologia (Edusp, SãoPaulo, 2004).[31] C. W. Misner, K. S. Thorne e J. A. Wheeler,
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A métrica que descreve um Universo homogêneo e isotrópico, como vimos na Seção II B, é a métrica de Robertson-Walker [38–41], cujos coeficientes métricos são g = 1 , g = − a ( t ) − kr /R , g = − a ( t ) r , g = − a ( t ) r sin θ . Esta métrica pode ser escrita de uma forma mais compacta g = 1 , g µλ = (cid:40) − a ( t ) ˜ g µλ se µ = λ se µ (cid:54) = λ . (79)A partir da Eq. (79), podemos obter os símbolos de Christoffel, dados por: Γ ρµλ = 12 g ρσ ( ∂ λ g µσ + ∂ µ g λσ − ∂ σ g µλ ) . (80)Como consequência, temos que: Γ = 12 g σ ( ∂ g σ + ∂ g σ − ∂ σ g ) . Ao inserirmos os coeficientes métricos, dados na Eq. (79), obtemos Γ = 0 . (81)A Eq. (80) também nos diz que Γ µ = 12 g σ ( ∂ g µσ + ∂ µ g σ − ∂ σ g µ ) , onde, ao levarmos em consideração a simetria Γ ρµλ = Γ ρλµ e a Eq. (79), resulta Γ µ = Γ µ = 0 . (82)Os símbolos de Christoffel não nulos são obtidos da mesma maneira. Da Eq. (80) temos que Γ µλ = 12 g σ ( ∂ λ g µσ + ∂ µ g λσ − ∂ σ g µλ )= 12 g ( ∂ λ g µ + ∂ µ g λ − ∂ g µλ )= − ∂ g µλ , onde, utilizando a Eq. (79), e levando em consideração que ˜ g µλ não possui dependência temporal, obtemos Γ µλ = Γ λµ = 1 c a ( t ) ˙ a ( t )˜ g µλ . (83)Além disso, temos também que Γ ρ λ = 12 g ρσ ( ∂ λ g σ + ∂ g λσ − ∂ σ g λ )= 12 g ρρ ( ∂ λ g ρ + ∂ g λρ − ∂ ρ g λ )= 12 g ρρ ∂ g λρ , de forma que, ao utilizarmos a Eq. (79), teremos Γ ρ λ = 12 (cid:18) − ˜ g ρρ a ( t ) (cid:19) ∂ (cid:0) − a ( t ) ˜ g λρ (cid:1) = 12 c ˜ g ρρ a ( t ) a ( t ) ˙ a ( t )˜ g λρ . Γ ρ λ = Γ ρλ = 1 c ˙ a ( t ) a ( t ) δ ρλ . (84)Por fim, definimos Γ ρµλ = 12 ˜ g ρσ ( ∂ λ ˜ g µσ + ∂ µ ˜ g λσ − ∂ σ ˜ g µλ ) ≡ ˜Γ ρµλ . (85)Partindo da premissa de que o Universo é homogêneo e isotrópico, devemos ter que a sua curvatura deve serconstante. Consequentemente, os tensores que descrevem a curvatura não devem possuir derivadas do tensor métrico, g µν , mas devem depender do tensor métrico em si. Uma escolha do tensor de curvatura que satisfaz isso é [51] R σµνλ g σρ = R µνλρ = kR ( g µλ g νρ − g µρ g νλ ) , (86)onde k é o termo de curvatura e R é o raio de curvatura. Se desconsiderarmos a variação temporal, podemosreescrever a Eq. (86) como R ijkl = kR ( g ik g jl − g il g jk ) . (87)Da Eq. (87), podemos extrair a parte espacial do tensor de Ricci da seguinte forma R jl = R ijkl g ik = kR ( g ik g jl − g il g jk ) g ik , mas g jk g ik = δ ij , logo R jl = kR (cid:0) g jl − g il δ ij (cid:1) = 2 kR g jl (88)é a parte espacial do tensor de Ricci.De forma geral, o tensor de Ricci é dado por [31, 57] R µν = ∂ λ Γ λµν − ∂ ν Γ λµλ + Γ ρµν Γ λρλ − Γ ρµλ Γ λρν , (89)e já que temos os símbolos de Christoffel necessários, podemos obter os termos não nulos do tensor de Ricci. Dessaforma, temos de (89) que R = ∂ λ Γ λ − ∂ Γ λ λ + Γ ρ Γ λρλ − Γ ρ λ Γ λρ , que, utilizando os símbolos de Christoffel calculados anteriormente, resulta R = − ∂ Γ λ λ − Γ ρ λ Γ λρ = − (cid:0) ∂ Γ + ∂ Γ + ∂ Γ + ∂ Γ (cid:1) − (cid:0) Γ ρ Γ ρ + Γ ρ Γ ρ + Γ ρ Γ ρ + Γ ρ Γ ρ (cid:1) = − ∂ (cid:18) c ˙ a ( t ) a ( t ) (cid:19) − (cid:18) c ˙ a ( t ) a ( t ) (cid:19) , logo, R = − c ¨ a ( t ) a ( t ) . (90)Podemos ainda obter R ij = ˜ R ij + (cid:20) a ( t )¨ a ( t ) c + 2 ˙ a ( t ) c (cid:21) ˜ g ij , (91)onde ˜ R ij é a parte espacial do tensor de Ricci, que é obtida puramente através de ˜ g ij . Mas, podemos utilizar aEq. (88), de forma que, se inserirmos na Eq. (91), resulta R ij = 2 kR ˜ g ij + (cid:20) a ( t )¨ a ( t ) c + 2 ˙ a ( t ) c (cid:21) ˜ g ij = (cid:20) kR + a ( t )¨ a ( t ) c + 2 ˙ a ( t ) c (cid:21) ˜ g ij . (92)9Na Seção II B, enunciamos as equações de campo de Einstein, R µν = 8 πGc (cid:18) T µν − g µν T (cid:19) − Λ c g µν . (93)Podemos, a partir dela, definir um certo tensor de rank 2, C µν , tal que C µν = T µν − g µν T . (94)Se fizermos uso do tensor energia-momento, dado pela Eq. (3), [ T µν ] = ρc − P − P
00 0 0 − P , (95)de onde extraímos o traço T = ρc − P , (96)podemos obter os termos do tensor C µν , através da Eq. (94). Temos então que C = T − g (cid:0) ρc − P (cid:1) = ρc − (cid:0) ρc − P (cid:1) . Consequentemente, conclui-se que C = 12 (cid:0) ρc + 3 P (cid:1) . (97)Além disso, temos também C ij = T ij − g ij (cid:0) ρc − P (cid:1) = − P g ij − g ij (cid:0) ρc − P (cid:1) = − P g ij − g ij (cid:0) ρc − P (cid:1) = − (cid:0) ρc − P (cid:1) g ij . Inserindo a Eq. (79), obtemos C ij = 12 (cid:0) ρc − P (cid:1) a ( t ) ˜ g ij . (98)Enfim podemos utilizar os tensores R µν e C µν nas equações de campo (93). Primeiramente, temos R = 8 πGc (cid:18) T − g T (cid:19) − Λ c g = 8 πGc C − Λ c g , onde, ao utilizarmos as equações (79), (90) e (97), obteremos − c ¨ a ( t ) a ( t ) = 8 πGc (cid:20) (cid:0) ρc + 3 P (cid:1)(cid:21) − Λ c = 4 πGc (cid:0) ρc + 3 P (cid:1) − Λ c , resultando ¨ a ( t ) a ( t ) = − πG c (cid:0) ρc + 3 P (cid:1) + Λ3 . (99)0Note que, da Relatividade Geral, considerando a homogeneidade e isotropia, obtemos naturalmente a equação deaceleração, introduzida na Seção II B.Por fim, podemos escrever a Eq. (93) para as demais componentes, i.e. R ij = 8 πGc (cid:18) T ij − g ij T (cid:19) − Λ c g ij = 8 πGc C ij − Λ c g ij , assim, se utilizarmos as equações (79), (92) e (98), resulta (cid:20) kR + a ( t )¨ a ( t ) c + 2 ˙ a ( t ) c (cid:21) ˜ g ij = 8 πGc (cid:20) (cid:0) ρc − P (cid:1) a ( t ) ˜ g ij (cid:21) + Λ a ( t ) c ˜ g ij , (cid:20) kR + a ( t )¨ a ( t ) c + 2 ˙ a ( t ) c (cid:21) ˜ g ij = (cid:20) πGc (cid:0) ρc − P (cid:1) a ( t ) + Λ a ( t ) c (cid:21) ˜ g ij , onde, claramente temos que kR + a ( t )¨ a ( t ) c + 2 ˙ a ( t ) c = 4 πGc (cid:0) ρc − P (cid:1) a ( t ) + Λ a ( t ) c . Rearranjando, obtemos c (cid:20) ˙ a ( t ) a ( t ) (cid:21) = 4 πGc (cid:0) ρc − P (cid:1) − c ¨ a ( t ) a ( t ) + Λ c − ka ( t ) R . (100)Por fim, podemos inserir a Eq. (99) na Eq. (100), tal que c (cid:20) ˙ a ( t ) a ( t ) (cid:21) = 4 πGc (cid:0) ρc − P (cid:1) + 4 πG c (cid:0) ρc + 3 P (cid:1) − Λ3 c + Λ c − ka ( t ) R , onde, ao juntarmos os termos em comum e efetuar as devidas simplificações, obtemos (cid:20) ˙ a ( t ) a ( t ) (cid:21) = 8 πG ρ − kc a ( t ) R + Λ3 , (101)a qual é a equação de Friedmann .1 B. A Equação de Fluido
Podemos contrair o tensor energia-momento dado pela Eq. (3), tal que T µν = g σµ T σν . Com isso, podemos escre-ver [36, 51] T µν = (cid:0) ρc + P (cid:1) U µ U ν c − P δ µν , (102)onde, para um referencial onde o fluido cósmico está em repouso, U = U = c e U i = U i = 0 [51]. Teremos, portanto T = (cid:0) ρc + P (cid:1) U U c − P δ = ρc , (103)bem como T ij = T ji = (cid:0) ρc + P (cid:1) U i U j c − P δ ij = − P δ ij , (104)onde usamos da simetria do tensor energia momento [51]. Por fim, T i = T i = (cid:0) ρc + P (cid:1) U i U c − P δ i = 0 . (105)Resulta da conservação de energia que [36] ∇ µ T µ = ∂ µ T µ + Γ µµλ T λ − Γ λµ T µλ = 0 . (106)Dessa forma ∇ µ T µ = (cid:0) ∂ T + ∂ i T i (cid:1) + (cid:16) Γ T + Γ j T j + Γ ii T + Γ iij T j (cid:17) − (cid:16) Γ T + Γ j T j + Γ i T i + Γ ji T ij (cid:17) = 0 . (107)Utilizando os simbolos de Christoffel obtidos no Apêndice A, bem como as equações (103)-(105), resulta ∇ µ T µ = ∂ T + 1 c ˙ aa δ ii T − c ˙ aa δ ji T ij = 0= ∂ ( ρc ) ∂ ( ct ) + 3 c ˙ aa ρc + 1 c ˙ aa P δ ji δ ij = 0= c ˙ ρ + 3 c ˙ aa ρc + 3 c ˙ aa P = 0 . (108)Rearranjando a Eq. (108) obtemos [36] ˙ ρ + 3 c ˙ aa (cid:0) ρc + P (cid:1) = 0 , (109)o qual denomina-se equação de fluido .2 C. A Idade do Universo para k (cid:54) = 0 e Ω = Ω m, Para obtermos a idade t de um Universo contendo matéria e Ω > devemos primeiramente encontrar o ângulode desenvolvimento α que resulte a = 1 , visto que estamos levando em consideração que a ( t ) = 1 . Da Eq. (34)extraímos α = arccos (cid:18) − − (cid:19) . (110)Com isso, podemos inserir a Eq. (110) na Eq. (35), tal que t = t ( α ) = 12 H Ω (Ω − / (cid:26) arccos (cid:18) − − (cid:19) − sin (cid:20) arccos (cid:18) − − (cid:19)(cid:21)(cid:27) , (111)mas, como sin (arccos x ) = √ − x , resulta [55, 56] t = 12 H Ω (Ω − / (cid:20) arccos (cid:18) − (cid:19) − √ Ω − (cid:21) . (112)Procedendo da mesma forma para um Universo contendo matéria, mas com Ω < , obtemos o ângulo de desen-volvimento β através da Eq. (39) fazendo a = 1 , daí β = arccosh (cid:18) − Ω Ω (cid:19) . (113)Introduzimos então a Eq. (113) na Eq. (40) e obtemos t = t ( β ) = 12 H Ω (1 − Ω ) / (cid:26) sinh (cid:20) arccosh (cid:18) − Ω Ω (cid:19)(cid:21) − arccosh (cid:18) − Ω Ω (cid:19)(cid:27) . (114)Utilizando o fato de que sinh (arccosh x ) = √ x − , temos que a idade de um Universo hiperbólico composto apenaspor matéria é [55] t = 12 H Ω (1 − Ω ) / (cid:20) √ − Ω Ω − arccosh (cid:18) − (cid:19)(cid:21) . (115) , , , , , , , , , , , , , Ω t H Figura 9. Comportamento de t H em função do parâmetrode densidade Ω . A seção da curva do lado esquerdo da curvapontilhada diz respeito à Eq. (115) enquanto que a seção àdireita diz respeito à Eq. (112). Ω → obtemos que t H → / , i.e., o mesmo que esperamos para umUniverso plano composto apenas por matéria (veja a Seção III C). Por sua vez, para Ω → resulta que t H →1