Astuce de Salberger et zéro-cycles sur certaines fibrations
aa r X i v : . [ m a t h . AG ] J a n ASTUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINESFIBRATIONS
YONGQI LIANG
R´esum´e . On d´emontre que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe deHasse et `a l’approximation faible pour les z´ero-cycles sur certaines fibrations au-dessusd’une courbe lisse ou au-dessus de l’espace projectif. L’exactitude d’une suite de typeglobal-local pour les groupes de Chow des z´ero-cycles est aussi ´etablie pour ces vari´et´es.La nouveaut´e principale est que les hypoth`eses arithm´etiques sont suppos´ees seulement surles fibres au-dessus d’un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e, de plus, on permet l’existencedes fibres g´eom´etriquement non int`egres.
Abstract . We prove that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to theHasse principle and to weak approximation for zero-cycles on certain fibrations over asmooth curve or over the projective space. The exactness of a sequence of global-localtype for Chow groups of zero-cycles is also established for these varieties. The principalnovelty is that the arithmetic hypotheses are supposed only on the fibers over a generalizedHilbertian subset, moreover, we permit the existence of geometrically non integral fibers.
Table des mati`eres
Introduction 11. Conventions et rappels 32. Cas particulier o`u les fibres sont g´eom´etriquement int`egres et B = P
53. Cas particulier o`u (
Ab´elienne-Scind´ee ) est v´erifi´ee et B = P
94. Cas g´en´eral 144.1. Fibrations au-dessus d’une courbe de genre quelconque 144.2. Fibrations au-dessus de P n E ) 155.1. Le cas B = C B = P n Introduction
Soit X une vari´et´e projective lisse et g´eom´etriquement int`egre sur un corps denombre k. On consid`ere le principe de Hasse pour les z´ero-cycles de degr´e 1 sur X. On consid`ere ´egalement, en un certain sens (pr´ecis´e dans § X. L’obstruction associ´ee au groupe
Date : 19 novembre 2018.
Mots cl´es : z´ero-cycle de degr´e 1, principe de Hasse, approximation faible, obstruction deBrauer-Manin.
Classification AMS : 14G25 (11G35, 14D10). de Brauer Br ( X ) , dite de Brauer-Manin, est introduite par Manin dans son expos´e[18] pour les points rationnels sur X, et est ´etendue aux z´ero-cycles par Colliot-Th´el`ene dans [1]. Il a ´et´e conjectur´e par Colliot-Th´el`ene/Sansuc [5], Kato/Saito[14], et Colliot-Th´el`ene [1], que la suite suivante ( cf. §
5) soit exacte( E ) CH b ( X ) → CH b , A ( X ) → Hom ( Br ( X ) , Q / Z ) , qui signifie qu’une famille de z´ero-cycles locaux orthogonale au groupe de Brauer Br ( X ) de X provient (modulo un entier donn´e) d’un z´ero-cycle global.Supposons toujours que X admet un morphisme dominant π : X → B `a fibreg´en´erique X η g´eom´etriquement int`egre sur le corps des fonctions k ( B ) , o`u B estune vari´et´e projective lisse et g´eom´etriquement int`egre. Soit H un sous-ensemble(`a pr´eciser ci-dessous) de points ferm´es de B. On fait les hypoth`eses suivantes :(HP/AF) le principe de Hasse/l’approximation faible (pour les points rationnelsou pour les z´ero-cycles de degr´e 1) vaut pour la k ( θ )-vari´et´e X θ pour tout pointferm´e θ ∈ H ⊂ B ;( Ab´elienne-Scind´ee ) pour tout point θ de B de codimension 1 , la fibre X θ poss`ede une composante irr´eductible de multiplicit´e un, dans le corps des fonctionsde laquelle la fermeture alg´ebrique de k ( θ ) est une extension ab´elienne de k ( θ ) . L’hypoth`ese (
Ab´elienne-Scind´ee ), introduite par Colliot-Th´el`ene/Skorobogatov/Swinnerton-Dyer [7], est automatiquement v´erifi´ee si toutes les fibres de π sont g´eo-m´etriquement int`egres.En utilisant l’astuce de Salberger ([21], § X si B = P et si H est un ouvert dense de B. Ce r´esultat a ´et´e g´en´eralis´e (au moins partiellement) dansdeux directions diff´erentes : en g´en´eralisant la base B et en affaiblissant l’hypoth`esesur le sous-ensemble H. - Initi´e par Colliot-Th´el`ene [2], suivi par les travaux de Frossard [10] et de vanHamel [24], on arrive au r´esultat r´ecent de Wittenberg [27], il montre la mˆeme as-sertion pour le cas o`u B = C est une courbe lisse de genre quelconque en supposantla finitude du groupe de Tate-Shafarevich X ( Jac ( C )) de sa jacobienne, avec H unouvert dense de C ; de plus, il montre l’exactitude de ( E ) lorsque X η est g´eom´etri-quement rationnellement connexe. Un ´enonc´e similaire pour le cas o`u B = P n avec H un ouvert dense est montr´e par l’auteur dans [16], Th´eor`eme 3.5.- Dans l’autre direction, afin d’appliquer le r´esultat aux solides de Poonen construitsdans [20], l’auteur montre dans [17] que l’obstruction de Brauer-Manin est la seuleau principe de Hasse et `a l’approximation faible pour les z´ero-cycles de degr´e 1sur X, si l’on suppose que toutes les fibres de π sont g´eom´etriquement int`egres, si B = C est une courbe lisse de groupe X ( Jac ( C )) fini, et si H est un sous-ensemblehilbertien g´en´eralis´e ( cf. §
1, en particulier un ouvert dense est un tel sous-ensemble)de C. Le but de ce travail est de montrer le th´eor`eme principal suivant qui g´en´eralisesimultan´ement les r´esultats des deux types ci-dessus.
Th´eor`eme principal.
Soit π : X → B un morphisme dominant entre des vari´et´esprojectives lisses et g´eom´etriquement int`egres, `a fibre g´en´erique X η g´eom´etrique-ment int`egre sur k ( B ) . On suppose ( Ab´elienne-Scind´ee ) STUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINES FIBRATIONS 3 pour tout point θ de B de codimension , la fibre X θ poss`ede une composanteirr´eductible de multiplicit´e un, dans le corps des fonctions de laquelle lafermeture alg´ebrique de k ( θ ) est une extension ab´elienne de k ( θ ) . Soit
Hil un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e de B. Supposons respectivementque(1) pour tout point ferm´e θ ∈ Hil , la fibre X θ satisfait le principe de Hasse (pourles points rationnels ou pour les z´ero-cycles de degr´e ) ;(2) pour tout point ferm´e θ ∈ Hil , la fibre X θ satisfait l’approximation faible(pour les points rationnels ou pour les z´ero-cycles de degr´e ) ;(3) l’hypoth`ese (2) et de plus la fibre g´en´erique X η est g´eom´etriquement ration-nellement connexe.Alors, dans chacun des cas suivants- la base B = C est une courbe de groupe de Tate-Shafarevich X ( Jac ( C )) fini,- la base B = P n est l’espace projectif,on a pour les z´ero-cycles de degr´e sur X (1) l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse ;(2) l’obstruction de Brauer-Manin est la seule `a l’approximation faible ;(3) l’obstruction de Brauer-Manin est la seule `a l’approximation forte, et de plus,la suite ( E ) est exacte. En comparant avec les r´esultats [27, Th´eor`emes 1.3, 1.4] et [17, Th´eor`eme 3.1],dans ce travail l’hypoth`ese arithm´etique est suppos´ee au-dessus d’un sous-ensemblehilbertien g´en´eralis´e au lieu d’un ouvert dense, plus de fibres qui ne satisfont pasle principe de Hasse ou l’approximation faible sont permise, d’o`u on trouve unenouvelle application dans §
6. Ces deux anciens r´esultats sont bas´es sur le r´esultatde Colliot-Th´el`ene/Skorobogatov/Swinnerton-Dyer [7, Th´eor`eme 4.1], l`a l’astucede Salberger a ´et´e utilis´ee pour sa d´emonstration. Dans ce article, on d´eveloppecette astuce afin de d´emontrer le th´eor`eme ci-dessus pour le cas crucial o`u B = P . On montre d’abord dans § E ) , o`u B = P sous l’hypoth`ese plus forte que ( Ab´elienne-Scind´ee ) :- toutes les fibres de π sont g´eom´etriquement int`egres.Ensuite, dans §
3, on adapte cette preuve `a l’astuce de Salberger et on montre leth´eor`eme pour le cas o`u B = P sous l’hypoth`ese ( Ab´elienne-Scind´ee ). C’est uneg´en´eralisation de [7, Th´eor`eme 4.1]. `A partir de ceci, en appliquant les m´ethodesde Wittenberg [27, 28] (voir aussi [16]), on traite le cas o`u B = C est une courbedans § § B = P n dans § § § Conventions et rappels
Conventions.
Dans tout ce travail, une vari´et´e d´esigne un sch´ema s´epar´e detype fini sur un corps. Une fibration π : X → B signifie un morphisme dominantentre des vari´et´es lisses et g´eom´etriquement int`egres `a fibre g´en´erique g´eom´etri-quement int`egre. Le corps de base k est toujours un corps de nombres. Commed’habitude, on note Ω k (resp. Ω f k , Ω ∞ k ) l’ensemble des places (resp. places finies,places archim´ediennes) de k. Pour chaque place v ∈ Ω k , on note k v le corps localassoci´e, et k ( v ) le corps r´esiduel si v est non-archim´edienne. On fixe une clˆoture al-g´ebrique ¯ k de k, ¯ k v de k v pour toute v ∈ Ω k . L’expression « presque tout » signifietoujours « tout `a l’exception d’un nombre fini » . Soit k ′ une extension finie de k, YONGQI LIANG pour un sous-ensemble S de places de k, on note S ⊗ k k ′ l’ensemble des places de k ′ au-dessus des places dans S. Accouplement de Brauer-Manin.
Soit X une vari´et´e projective lisse g´eo-m´etriquement int`egre sur un corps k, le compos´e de la restriction et l’applicationd’´evaluation d´efinit un accouplement h· , ·i k : Z ( X ) × Br ( X ) → Br ( k ) , ( P P n P P , b ) P P n P cores k ( P ) /k ( b ( P )) , qui se factorise `a travers l’´equivalence rationnelle ∼ , o`u Br ( · ) = H ( · , G m ) est legroupe de Brauer cohomologique. Lorsque k est un corps de nombres, on d´efinitl’ accouplement de Brauer-Manin pour les z´ero-cycles : h· , ·i k : Q v ∈ Ω k Z ( X v ) × Br ( X ) → Q / Z , ( { z v } v ∈ Ω k , b ) P v ∈ Ω k inv v ( h z v , b i k v ) , o`u inv v : Br ( k v ) ֒ → Q / Z est l’invariant local en v et o`u X v = X × k k v . Principe de Hasse et l’approximation faible/forte.
On consid`ere le prin-cipe local-global pour les z´ero-cycles de degr´e 1 . On dit que X satisfait le principede Hasse (resp. l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hassepour X ) s’il existe un z´ero-cycle global de degr´e 1 lorsqu’il existe une famille dez´ero-cycles locaux de degr´e 1 (resp. une famille de z´ero-cycles locaux de degr´e 1orthogonale `a Br ( X )). On dit que X satisfait l’approximation faible (resp. forte)au niveau du groupe de Chow , si pour tout entier strictement positif m , pour toutensemble fini S ⊂ Ω k (resp. pour S = Ω k ), et pour toute famille { z v } v ∈ Ω k dez´ero-cycles locaux de degr´e 1 , il existe un z´ero-cycle global z = z m,S de degr´e 1 telque z et z v aient la mˆeme image dans CH ( X v ) /m pour toute v ∈ S. On dit que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule `a l’approximation faible/forte au niveaudu groupe de Chow , si l’on demande de plus { z v } v ∈ Ω k ⊥ Br ( X ) dans la d´efinitionpr´ec´edente. Pour simplifier la terminologie, pour les z´ero-cycles on dit simplement « l’approximation faible/forte » au lieu de « l’approximation faible/forte au niveaudu groupe de Chow » . Sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e.
On rappelle la notion de sous-ensemblehilbertien g´en´eralis´e . Soit X une vari´et´e sur un corps k, un sous-ensemble Hil ⊂ X de points ferm´es est un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e s’il existe un morphisme´etale fini Z ρ −→ U ⊂ X avec U un ouvert non-vide de X et Z int`egre tel que Hil soit l’ensemble des points ferm´es θ de U pour lesquels ρ − ( θ ) est connexe. Si X estune vari´et´e normale, soit Hil i ( i = 1 ,
2) un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e, onpeut trouver un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e
Hil ⊂ Hil ∩ Hil , cf. [17], § Z´ero-cycles.
Soit z = P n i P i un z´ero-cycle de X (avec les points ferm´es P i distincts). On dit qu’il est s´eparable si n i ∈ { , , − } pour tout i. Soit π : X → B un morphisme dominant, le z´ero-cycle z = P n i P i est dit d´eploy´e (relativement `a la fibration π : X → B ) s’il existe un k ( P i )-point rationnel sur lafibre X P i pour tout i. ´Etant donn´e P un point ferm´e de X v , on fixe un k v -plongement k v ( P ) −→ ¯ k v ,P est vu comme un point k v ( P )-rationnel de X v . On dit qu’un point ferm´e Q de X v est suffisamment proche de P (par rapport `a un voisinage U P de P dansl’espace topologique X v ( k v ( P ))), si Q a corps r´esiduel k v ( Q ) = k v ( P ) et si l’onpeut choisir un k v -plongement k v ( Q ) −→ ¯ k v tel que Q, vu comme un k v ( Q )-pointrationnel de X v , soit contenu dans U P . En ´etendant Z -lin´eairement, cela a un sens STUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINES FIBRATIONS 5 de dire que z ′ v ∈ Z ( X v ) est suffisamment proche de z v ∈ Z ( X v ) (par rapport `aun syst`eme de voisinages des points qui apparaissent dans le support de z v ), enparticulier deg ( z ′ v ) = deg ( z v ) si c’est le cas. Wittenberg a montr´e le lemme suivant(en remarquant que si z v et z ′ v sont effectifs de degr´e d et suffisamment proches, ilsd´efinissent des k v -points sur le produit sym´etrique Sym d ( X ) , suffisamment prochespar rapport `a la k v -topologie). Lemme 1.1 (Wittenberg [27], Lemme 1.8) . Soient m un entier strictement positifet X une vari´et´e lisse sur k. Pour v ∈ Ω k , soient z v et z ′ v des z´ero-cycles de X v . Alors ils ont la mˆeme image dans CH ( X v ) /m lorsqu’ils sont suffisamment proches. Groupe de Brauer vertical.
Soit π : X → B un morphisme dominant entredes vari´et´es lisses connexes. Le groupe de Brauer Br ( X ) est vu comme un sous-groupe de Br ( k ( X )) . La partie verticale Br vert ( X ) ⊂ Br ( X ) consiste en les ´el´e-ments de Br ( X ) provenant de Br ( k ( B )) par le morphisme π ∗ : Br ( k ( B )) → Br ( k ( X )) induit par π. Le quotient Br vert ( X ) /π ∗ Br ( B ) est fini si B est unecourbe et si l’hypoth`ese ( Ab´elienne-Scind´ee ) dans l’introduction est v´erifi´ee, cf. [6], Lemme 3.1.2.
Cas particulier o`u les fibres sont g´eom´etriquement int`egres et B = P Puisque la preuve compl`ete du th´eor`eme principal avec B = P est longue,pour le confort du lecteur, on la s´epare en deux parties. La premi`ere partie § θ est un point ferm´e au lieud’un z´ero-cycle effectif et comment contrˆoler θ tel que il soit contenu dans Hil . Ladeuxi`eme partie § Ab´elienne-Scind´ee ), i.e. l’astuce de Salberger, et sur comment l’adapter avec la premi`ere partie. La deuxi`emepartie peut ˆetre vue comme une interpr´etation g´eom´etrique de l’astuce de Salberger(comparer avec la preuve du th´eor`eme 3.1 de [7]).Dans cette section, on montre un cas particulier du th´eor`eme principal (saufl’exactitude de la suite ( E )) o`u B = P et on suppose que toutes les fibres sontg´eom´etriquement int`egres au lieu de l’hypoth`ese ( Ab´elienne-Scind´ee ), les conclu-sions qu’on va montrer deviennent beaucoup plus simples, respectivement :(1) le principe de Hasse pour les z´ero-cycles de degr´e 1;(2) l’approximation faible pour les z´ero-cycles de degr´e 1;(3) l’approximation forte pour les z´ero-cycles de degr´e 1 . Ce cas est aussi un cas particulier du th´eor`eme principal de l’auteur [17], la preuvepr´esent´ee ici est plus compliqu´ee que [17], mais l’avantage est qu’on peut adaptercette preuve `a l’astuce de Salberger pour montrer une g´en´eralisation dans §
3. Cettepreuve fait une partie essentielle de la preuve enti`ere du th´eor`eme principal.Premi`erement, on admet la proposition suivante et montre le cas particulierconsid´er´e, ensuite, on montre la proposition.
Proposition 2.1.
Soient π : X → P une fibration `a fibres g´eom´etriquement in-t`egres et D un sous-ensemble fini de points ferm´es de P . Soit
Hil un sous-ensemblehilbertien g´en´eralis´e de P . Supposons qu’il existe une famille { z v } v ∈ Ω k de z´ero-cycles locaux de X de degr´e . Alors, pour tout entier strictement positif a et pour tout ensemble fini S ⊂ Ω k , il existe les donn´ees suivantes : YONGQI LIANG (a) pour chaque v ∈ S, un z´ero-cycle effectif z v ∈ Z ( X v ) tel que z v − z v soit a -divisible dans Z ( X v ); et pour tout tel z v , un z´ero-cycle effectif τ v ∈ Z ( X v ) telque π ∗ ( τ v ) soit s´eparable `a support hors de D, et tel que τ v soit suffisamment prochede z v ; (b) un point ferm´e θ ∈ Hil de degr´e d ≡ mod a ) tel que θ soit d´eploy´e localementpartout, tel que comme z´ero-cycle θ soit suffisamment proche de π ∗ ( τ v ) pour toute v ∈ S, a fortiori θ et π ∗ ( z v ) sont rationnellement ´equivalents modulo a, i.e. ils ontla mˆeme image dans CH ( P v ) /a pour toute v ∈ Ω k . D´emonstration du th´eor`eme principal sous les hypoth`eses au d´ebut de § On partd’une famille { z v } v ∈ Ω k de z´ero-cycles de degr´e 1 sur X, la proposition 2.1 donneun point ferm´e θ ∈ Hil qui satisfait (a) et (b) de la proposition. Si X θ satisfait leprincipe de Hasse (pour les points rationnels ou pour les z´ero-cycles de degr´e 1), ilexiste un z´ero-cycle global z θ de degr´e 1 sur la k ( θ )-vari´et´e X θ , c’est un z´ero-cyclede degr´e d ≡ mod a ) sur X. Si l’on prend pour a le degr´e d Q d’un certain pointferm´e Q de X, le z´ero-cycle z = z θ − hQ est alors de degr´e 1 sur X pour un certainentier convenable h, ceci montre (1). On fixe un entier strictement positif m et unsous-ensemble fini S de places de k. On suppose que la k ( θ )-vari´et´e X θ satisfaitl’approximation faible (pour les points rationnels ou pour les z´ero-cycles de degr´e1), d’apr`es le th´eor`eme des fonctions implicites et le lemme 1.1, on peut choisir lez´ero-cycle z θ ci-dessus tel que z θ et τ v ont la mˆeme image dans CH ( X v ) /m pourtoute v ∈ S. De l’autre cˆot´e, grˆace au lemme 1.1, la proposition 2.1(a) implique que τ v et z v ont la mˆeme image dans CH ( X v ) /a. Si l’on prend a un multiple de d Q m, les z´ero-cycles z et z v ont la mˆeme image dans CH ( X v ) /m pour toute v ∈ S, cecimontre (2). Puisque X η est g´eom´etriquement rationnellement connexe, d’apr`es lecorollaire 2.2 de Wittenberg [27], l’application CH ( X v ) → CH ( P v ) est injectivepour presque toute v. Quitte `a augmenter S, on peut supposer l’injectivit´e pourtoute v / ∈ S. Pour une telle v, on a θ ∼ π ∗ ( z v ) + ac v pour un certain c v ∈ Z ( P v ) . Si l’on prend a = a ′ m tel que a ′ soit un multiple de l’indice de la fibre g´en´erique X η , le z´ero-cycle ac v s’´ecrit comme mπ ∗ ( z v ) pour un certain z v ∈ Z ( X v ) , cf. [27],Lemme 2.4. D’o`u z θ ∼ z v + mz v sur X v , ceci montre (3). (cid:3) Lemme 2.2.
Soit D un ensemble fini de points ferm´es de P k , o`u k est un corpslocal non-archim´edien. Alors, pour tout nombre entier strictement positif n, il existeun point ferm´e de P \ D de degr´e n. D´emonstration.
Comme k est un corps local non-archim´edien, il existe alors unpolynˆome irr´eductible de degr´e n, qui va d´efinir un point ferm´e de Spec ( k [ T ]) = A ⊂ P de degr´e n. Il y a un nombre infini de tels polynˆomes, par exemple lespolynˆomes d’Eisenstein, on peut donc le choisir tel que le point ferm´e associ´e soiten dehors de l’ensemble fini D. (cid:3) D´emonstration de la proposition 2.1.
L’id´ee de cette d´emonstration provient de lapreuve du th´eor`eme 1.3 d’Ekedahl [9] et de la preuve de la proposition 3.2.1 deHarari [12].On note K = k ( P ) et K Z = k ( Z ) l’extension finie de K associ´ee au revˆetementfini Z → P d´efinissant Hil , qui est ´etale au-dessus d’un ouvert dense U ⊂ P . Onprend K ′ la clˆoture galoienne de K Z dans ¯ K une clˆoture alg´ebrique de K fix´ee aud´ebut. Soit Z ′ la courbe int`egre normale projective de corps des fonctions K ′ avecles morphismes finis Z ′ → Z → P associ´es aux extensions des corps K ⊂ K Z ⊂ K ′ , STUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINES FIBRATIONS 7 on note U ′ l’image r´eciproque de U dans Z ′ . On note k ′ la fermeture alg´ebrique de k dans K ′ , l’extension k ′ /k est finie, on note h son degr´e. Lemme 2.3.
Les donn´es ci-dessus satisfont : (quitte `a restreindre U et U ′ si n´e-cessaire)(1) le k -morphisme U ′ −→ U est ´etale fini surjectif galoisien,(2) U ′ est une courbe g´eom´etriquement int`egre au-dessus de k ′ , (3) le diagramme suivant est commutatif, o`u U ′ −→ U k ′ est un k ′ -morphisme. U ′ (cid:15) (cid:15) ( ( PPPPPPPP
U U k ′ = U × k k ′ o o (4) les fibres de π : X → P au-dessus de U sont lisses et g´eom´etriquementint`egres.D´emonstration. Comme l’extension k ′ /k est finie et car ( k ) = 0 , on ´ecrit k ′ = k ( e )avec e ∈ k ′ . Son image par le k -plongement ι : k ′ → K ′ est une fonction rationnelle ι ( e ) sur la courbe projective Z ′ . On note P l’ensemble fini des pˆoles de ι ( e ) . Quitte`a restreindre U et U ′ , on peut supposer que U ′ ∩ P = ∅ et que U ′ se surjecte sur U par le morphisme Z ′ → P . Le morphisme des k -alg`ebres k ′ → O Z ′ ( U ′ ) ⊂ K ′ estalors bien d´efini, qui donne un k -morphisme U ′ → Spec ( k ′ ) . On peut supposer deplus que les fibres de π : X → P au-dessus de U sont lisses et g´eom´etriquementint`egres, et que U ′ → U est ´etale galoisien (en enlevant l’orbite de P sous l’actionde Gal ( K ′ /K ) et les points ramifi´es), pour plus de d´etails sur la th´eorie de Galoispour une courbe alg´ebrique int`egre normale cf. [23], Chapitre 4. La courbe U ′ estg´eom´etriquement int`egre sur k ′ , car k ′ est alg´ebriquement ferm´e dans K ′ = k ′ ( U ′ ) . Le k ′ -morphisme canonique U ′ −→ U k ′ = U × k k ′ satisfait le diagramme commutatifdans (3). (cid:3) Pour trouver un point ferm´e θ ∈ Hil ⊂ P , il suffit de trouver θ tel que la fibrede U ′ → U en θ soit connexe.Quitte `a augmenter D, on peut supposer que l’ensemble fini D contient toutpoint ferm´e θ de P dont sa fibre X θ n’est pas lisse.On note G = Gal ( K ′ /K ) , c’est le groupe de Galois du revˆetement fini ´etale U ′ → U, le revˆetement fini ´etale U ′ → U k ′ est aussi galoisien, de groupe not´e par H, qui est un sous-groupe de G. On d´efinit I ⊂ Ω k comme l’ensemble des placesde k qui sont totalement d´ecompos´ees dans (la clˆoture galoisienne de) k ′ , c’est unensemble infini d’apr`es le th´eor`eme de ˇCebotarev.On ´etend le k ′ -revˆetement fini ´etale galoisien U ′ → U k ′ `a un mod`ele entier U ′ → V au-dessus de O k ′ ,S ′ qui reste un revˆetement fini ´etale galoisien de groupe H, o`u S ′ ⊂ Ω k ′ est un ensemble fini, cf. le th´eor`eme 2.1 de [19] et (8.4.4) de [11]. Enaugmentant S ′ si n´ecessaire, on peut supposer que S ′ = S ⊗ k k ′ pour un certainensemble fini S ⊂ Ω k et qu’il existe un mod`ele U de U sur O k,S satisfaisant lediagramme commutatif suivant, dont U ′ → V est un O k ′ ,S ′ -morphisme et les autresdeux fl`eches sont des O k,S -morphismes. U ′ G (cid:15) (cid:15) H " " ❋❋❋❋❋❋ U V o o YONGQI LIANG
L’estimation de Lang-Weil avec le lemme de Hensel donne un sous-ensemblefini S de Ω k tel que pour tout point ferm´e θ de P tel que X θ soit lisse, on ait X θ ( k ( θ ) w ) = ∅ pour toute w ∈ (Ω k \ S ) ⊗ k k ( θ ) , cf. [17], Lemme 3.3.En augmentant S si n´ecessaire, on peut supposer que S ⊃ S ∪ S ∪ Ω ∞ . Quitte `aremplacer l’entier a par a [ k ′ : k ] , on peut supposer que a est un multiple de [ k ′ : k ] . On fixe un point ferm´e z ∈ Z ( X ) de degr´e d tel que y = π ∗ ( z ) soit s´eparableet `a support en dehors de D. On choisit un k -point not´e par ∞ de P hors de D ∪ supp ( y ) . On part d’une famille de z´ero-cycles { z v } v ∈ Ω k . Pour v ∈ S, on ´ecrit z v = z + v − z − v o`u z + v et z − v sont effectifs `a supports disjoints. On pose z v = z v + ad z − v = z + v + ( ad − z − v de degr´e ≡ mod ad ) , mais ils ne sont pas n´ecessairement demˆeme degr´e quand v ∈ S varie. On leur ajoute un multiple convenable de az pourchaque v, et on obtient z v effectif de mˆeme degr´e assez grand d ≡ mod ad ) . D’apr`es le lemme 1.2 de [16], on bouge z v un peu et obtient τ v ∈ Z ( X v ) effectifsuffisamment proche de z v tel que π ∗ ( τ v ) soit s´eparable `a support en dehors de D ∪ { supp ( y ) } ∪ {∞} . On trouve une fonction f v ∈ k v ( P ) ∗ /k ∗ v telle que div P v ( f v ) = π ∗ ( τ v ) − d ∞ , pourtoute v ∈ S. Lemme 2.4.
Soit E l’ensemble fini des classes de conjugaison du groupe H. Alors,il existe une injection γ : E → ((Ω k \ S ) ∩ I ) ⊗ k k ′ qui satisfait les conditions suivantes,- pour tout c ∈ E il existe un point de corps r´esiduel fini ¯ x c ∈ V ( k ′ ( γ ( c ))) tel que leFrobenius associ´e F rob ¯ x c soit contenu dans la classe c ; - les places v c , v c ∈ Ω k sont distincts si c = c ∈ E , o`u v c est la place de k au-dessous de γ ( c ) ∈ Ω k ′ pour c ∈ E . De plus, si l’on note v = v c et w ′ = γ ( c ) , les extensions k ′ w ′ /k v et k ′ ( w ′ ) /k ( v ) sont triviales, donc U ( k ( v c )) = V ( k ′ ( γ ( c ))) et U ( k v c ) = U k ′ ( k ′ γ ( c ) ) pour tout c ∈ E . D´emonstration.
On remarque que U ′ → V est un revˆetement galoisien de groupe H o`u la fibre g´en´erique U ′ de U ′ → Spec ( O k ′ ,S ′ ) est une vari´et´e g´eom´etrique-ment int`egre au-dessus de k ′ , le th´eor`eme de densit´e de ˇCebotarev g´eom´etrique([9], Lemme 1.2) donne l’injection γ v´erifiant la premi`ere condition. L’infinit´e del’ensemble I assure que la deuxi`eme condition peut simultan´ement ˆetre v´erifi´ee. Laderni`ere assertion provient de la construction de I. (cid:3) D’apr`es le lemme de Hensel, pour chaque c ∈ E , le point ¯ x c se rel`eve en unpoint x c ∈ V ( O w ′ ) ⊂ U k ′ ( k ′ w ′ ) o`u O w ′ est l’anneau d’entiers du corps local k ′ w ′ avec w ′ = γ ( c ) . D’apr`es le lemme 2.2, on trouve alors un point ferm´e x ′ c de U v c de degr´e d − D ∪ supp ( y ) ∪{∞ , x c } . On a x c + x ′ c ∼ d ∞ ∈ Z ( P v c ) et on obtientune fonction f v c ∈ k v c ( P ) ∗ /k ∗ v c telle que div P vc ( f v c ) = ( x c + x ′ c ) − d ∞ ∈ Z ( P v c )pour tout c ∈ E . De mˆeme, on prend v ∈ Ω k \ S \ { v c , c ∈ E } et obtient un point ferm´e x v de U v ⊂ P v de degr´e d en dehors de D ∪ supp ( y ) ∪ {∞} et une fonction f v ∈ k v ( P ) ∗ /k ∗ v telle que div P v ( f v ) = x v − d ∞ ∈ Z ( P v ) . D’apr`es le th´eor`eme de Riemann-Roch Γ( P , O P ( d ∞ )) est un espace vectoriel dedimension d. On applique l’approximation faible pour P d − , on trouve une fonction f ∈ k ( P ) ∗ qui est suffisamment proche des f v pour v ∈ S ∪ { v c , c ∈ E } ∪ { v } . STUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINES FIBRATIONS 9
On a alors div P ( f ) = θ − d ∞ avec θ un z´ero-cycle effectif s´eparable `a support endehors de D ∪ supp ( y ) ∪ {∞} , de plus,(i) θ est suffisamment proche de π ∗ ( τ v ) pour v ∈ S, (ii) θ est suffisamment proche de x c + x ′ c pour c ∈ E , (iii) θ est suffisamment proche de x v . Le z´ero-cycle θ est en fait un point ferm´e de U ⊂ P de degr´e d par (iii).Le z´ero-cycle θ est d´eploy´e localement partout. En fait, pour les places dans (Ω k \ S ) ⊗ k k ( θ ) l’assertion suit de l’estimation de Lang-Weil mentionn´ee pr´ec´edemment,pour les places dans S ⊗ k k ( θ ) l’assertion suit du th´eor`eme des fonctions implicites.Pour conclure, il reste `a montrer que la fibre de U ′ → U au point θ est connexe.On note L = k ( θ ) , on a alors [ L : k ] = d. Le point ferm´e θ, vu comme un L -point rationnel, est suffisamment proche de x c + x ′ c pour c ∈ E , ceci implique qu’ilexiste w ∈ Ω L au-dessus de v c tel que L w /k v c soit une extension triviale et l’imagede θ par l’application U ( L ) → U ( L w ) est suffisamment proche de x c ∈ U ( O w ) ⊂ U ( L w ) = U ( k v c ) . Donc θ est un point entier de U (pour le mod`ele U ) dont lar´eduction modulo w est exactement ¯ x c ∈ U ( L ( w )) = U ( k ( v c )) = V ( k ′ ( γ ( c ))) , o`u ladeuxi`eme ´egalit´e provient du lemme 2.4.On consid`ere le revˆetement (fini ´etale) φ : U k ′ → U. Le point ferm´e θ de U donne un z´ero-cycle φ ∗ ( θ ) = Spec ( L ) × U U k ′ ≃ Spec ( L ⊗ k k ′ ) de U k ′ de degr´e d. Comme d ≡ mod a ) , d est premier `a [ k ′ : k ] , l’alg`ebre ´etale L ′ = L ⊗ k k ′ restealors un corps, le z´ero-cycle θ ′ = φ ∗ ( θ ) est donc un point ferm´e de U k ′ de corpsr´esiduel k ′ ( θ ′ ) = L ′ . En notant w ′ = γ ( c ) | v c , on rappelle que dans le lemme 2.4on sait k ′ w ′ = k v c , k ′ ( w ′ ) = k ( v c ) , U ( k ( v c )) = V ( k ′ ( w ′ )) , et U ( k v c ) = U k ′ ( k ′ w ′ ) . Lepoint θ ′ ∈ U k ′ ( L ′ λ ) d´efinit en fait un point entier de U k ′ (pour le mod`ele V ) der´eduction modulo λ exactement ¯ x c ∈ V ( L ′ ( λ )) = V ( k ′ ( w ′ )) , o`u λ | v c est une desplaces de L ′ au-dessus de w ′ = γ ( c ) ∈ Ω k ′ et au-dessus de w ∈ Ω L `a la fois ( λ est alors totalement d´ecompos´ee au-dessus de v c ). En consid´erant le revˆetementgaloisien U ′ → V du groupe H, comme θ ′ est un point de r´eduction ¯ x c , la classe deconjugaison dans H de l’automorphisme de Frobenius F rob ¯ x c rencontre l’image del’application Gal ( ¯ L ′ /L ′ ) = Gal ( k ′ ( θ ′ ) /k ′ ( θ ′ )) → H, cette derni`ere fl`eche est induitepar le point ferm´e θ ′ de U k ′ via le choix d’un rel`evement du compos´e Spec ( ¯ L ′ ) → θ ′ = Spec ( L ′ ) → U k ′ `a U ′ . Ceci vaut pour tout c ∈ E . L’application
Gal ( ¯ L ′ /L ′ ) → H est donc surjective d’apr`es un argument de la th´eorie des groupes finis, cf. [9],Lemme 1.1. La fibre de U ′ → U en θ est exactement la fibre de U ′ → U k ′ en θ ′ = φ − ( θ ) , elle est alors connexe, ainsi θ ∈ Hil . (cid:3) Remarque . La m´ethode de la preuve pr´esent´ee ici ne fonctionne que pour P . Si l’on part d’une courbe en bas C de genre quelconque, on va obtenir θ un z´ero-cycle global s´eparable de C qui n’est pas n´ecessairement un point ferm´e. On ´ecrit θ = P j θ j o`u θ j ≃ Spec ( L j ) sont des points ferm´es districts de C. On va trouverque H est engendr´e par les images de Gal ( ¯ L j /L j ) → H. Ceci ne suffit pas pourd´eduire que la fibre de Z ′ → C en chaque θ j est connexe.3. Cas particulier o`u (Ab´elienne-Scind´ee) est v´erifi´ee et B = P Dans cette section, on montre un cas particulier du th´eor`eme principal (saufl’exactitude de la suite ( E )) o`u B = P et on fait l’hypoth`ese ( Ab´elienne-Scind´ee ). Dans ce cas, l’obstruction de Brauer-Manin associ´ee au sous-groupe Br vert ( X ) suf-fit, les conclusions qu’on va montrer deviennent respectivement : pour les z´ero-cyclesde degr´e 1 sur X (1) l’obstruction de Brauer-Manin associ´ee au groupe Br vert ( X ) est la seule auprincipe de Hasse ;(2) l’obstruction de Brauer-Manin associ´ee au groupe Br vert ( X ) est la seule `al’approximation faible ;(3) l’obstruction de Brauer-Manin associ´ee au groupe Br vert ( X ) est la seule `al’approximation forte.Ce cas est une g´en´eralisation du th´eor`eme 4.1 de Colliot-Th´el`ene/Skorobogatov/Swinnerton-Dyer [7] au sens que Hil est un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e aulieu d’un ouvert dense de P . La preuve suit la m´ethode utilis´ee dans [7], l’outilprincipal est l’astuce de Salberger, `a laquelle l’argument de § § §
3, la preuve ci-dessous ne r´ep`ete pas l’argument pour lapartie pr´ec´edente § §
2, on se ram`ene `a la proposition suivante, qui joue lerˆole de la proposition 2.1. Dans le reste de cette section, on montre la proposition.
Proposition 3.1.
Soit π : X → P une fibration qui satisfait l’hypoth`ese( Ab´elienne-Scind´ee ) pour tout point θ de P de codimension , la fibre X θ pos-s`ede une composante irr´eductible de multiplicit´e un, dans le corps des fonctions delaquelle la fermeture alg´ebrique de k ( θ ) est une extension ab´elienne de k ( θ ) . Soient
Hil un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e de P et D un ensemble fini depoints ferm´es de P . Supposons qu’il existe une famille { z v } v ∈ Ω k de z´ero-cycles de X de degr´e orthogonale au groupe Br vert ( X ) . Alors, pour tout entier strictement positif a et pour tout ensemble fini S ⊂ Ω k , il existe les donn´ees suivantes :(a) pour chaque v ∈ S, un z´ero-cycle effectif z v ∈ Z ( X v ) tel que z v − z v soit a -divisible dans Z ( X v ); et pour tout tel z v , un z´ero-cycle effectif τ v ∈ Z ( X v ) telque π ∗ ( τ v ) soit s´eparable `a support hors de D, et tel que τ v soit suffisamment prochede z v ; (b) un point ferm´e θ ∈ Hil de degr´e d ≡ mod a ) tel que θ soit d´eploy´e localementpartout, tel que comme z´ero-cycle θ soit suffisamment proche de π ∗ ( τ v ) pour toute v ∈ S, a fortiori θ et π ∗ ( z v ) sont rationnellement ´equivalents modulo a, i.e. ils ontla mˆeme image dans CH ( P v ) /a pour toute v ∈ Ω k . D´emonstration.
On consid`ere la fibration π : X → P . Soit U un ouvert dense de P tel que toute fibre X θ au-dessus d’un point θ ∈ U est lisse et g´eom´etriquementint`egre. On note D l’ensemble des points au-dessus desquels les fibres sont nonlisses ou g´eom´etriquement non int`egres, on ´ecrit D = { P , . . . , P i , . . . , P n } o`u P i est un point ferm´e de P de corps r´esiduel k i = k ( P i ) . On choisit un k -point de P \ D not´e par ∞ tel que la fibre X ∞ soit lisse et g´eom´etriquement int`egre,alors D ⊂ A = P \ ∞ , quitte `a restreindre U, on peut supposer que U ⊂ A . Chaque point ferm´e P i donne un point k i -rationnel e i ∈ k i = A ( k i ) , on note g ′ i = t − e i ∈ k i ( t ) = k i ( P ) et g i = N k i ( P ) /k ( P ) ( g ′ i ) ∈ k ( t ) = k ( P ) . Le point P i estlocalement d´efini par g i . Soient P , X , et U des mod`eles entiers lisses sur Spec ( O k,S ) de P , X, et U, pour un sous-ensemble fini S ⊂ Ω k suffisamment grand tel qu’il existe un O k,S -morphisme projectif Π : X → P dont la fibre g´en´erique au-dessus de Spec ( k ) est STUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINES FIBRATIONS 11 π. De plus, on peut supposer que g i ∈ O k,S [ A ] . On note, pour tout 1 i n,T i l’adh´erence de Zariski de P i dans P , c’est aussi l’adh´erence de Zariski dans P du sous-sch´ema ferm´e de A O k,S d´efini par g i = 0 . Quitte `a augmenter S, on peutsupposer que les points sch´ematiques de P , au-dessus desquels les fibres de Π sontg´eom´etriquement non int`egres, sont tous contenus dans T = S T i , que T i ∩ T j = ∅ si i = j, et que T i est ´etale sur Spec ( O k,S ) . Comme la fibration X → P v´erifie l’hypoth`ese ( Ab´elienne-Scind´ee ), on fixeune composante irr´eductible Z i de multiplicit´e un de la fibre X P i . La fermeturealg´ebrique K i de k i dans le corps des fonctions de Z i est une extension ab´elienne de k i . On peut ´ecrire K i /k i comme un compos´e d’un nombre fini d’extensions cycliques K i,j /k i . Comme dans la preuve de la proposition 2.1, lorsqu’on a la fibration X → P et lesous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e Hil , on choisit un revˆetement ´etale fini galoisien U ′ → U ⊂ P et un mod`ele entier U ′ → U au-dessus de O k,S qui se factorise `atravers V un mod`ele entier de U k ′ , o`u k ′ est une extension finie de k qui ne d´ependque de Hil . Comme il y a des fibres g´eom´etriquement non int`egres, on ne peut pasappliquer directement l’estimation de Lang-Weil, l’ensemble S dans la preuve dela proposition 2.1 n’existe plus.Quitte `a augmenter S, on peut supposer que S ⊃ S ∪ Ω ∞ . On va red´efinirl’ensemble I ⊂ Ω k qui joue un rˆole crucial dans la preuve de la proposition 2.1.On fixe un caract`ere primitif χ du groupe cyclique Gal ( K i,j ( P ) /k i ( P )) = Gal ( K i,j /k i ) , l’´el´ement ( χ, g ′ i ) du groupe de Brauer Br ( k i ( P )) est not´e simple-ment par ( K i,j /k i , g ′ i ) , on note A i,j = cores k i ( P ) /k ( P ) ( K i,j /k i , g ′ i ) ∈ Br ( k ( P )) , pour la construction de ces ´el´ements cf. [8] § A i,j ∈ Br ( P \ D ) pour tout i, j, o`u D est un certain ensemble fini depoints ferm´es de P contenant D . Quitte `a remplacer a par un multiple, on peutsupposer que a annule tous les A i,j et que a est un multiple de [ k ′ : k ] . On choisit un z´ero-cycle effectif global z ∈ Z ( X ) de degr´e d > y = π ∗ ( z ) soit `a support hors de D ∪ {∞} . On part d’une famille { z v } v ∈ Ω k ⊥ Br vert ( X ) , on peut supposer que les z v sontsupport´es hors des fibres au-dessus de D d’apr`es le lemme 3.1 de [17]. Le lemmeformel de Harari ( cf. cf. [7], Lemme4.5) dit, en modifiant z v pour v ∈ S ′ \ S si n´ecessaire, qu’il existe un sous-ensemblefini S ′ ⊂ Ω k contenant S tel que X v ∈ S ′ h A i,j , π ∗ ( z v ) i v = 0 . Pour simplifier les notations, on suppose que S ′ = S et on approxime les z´ero-cycles locaux pour v ∈ S ′ = S. On utilise le proc`ede de la preuve de la proposition 2.1, pour chaque v ∈ S ontrouve des z´ero-cycles effectifs z v , τ v ∈ Z ( X v ) de degr´e assez grand d ≡ mod ad )tel que z v − z v soit a -divisible dans Z ( X v ) , tel que π ∗ ( τ v ) soit s´eparable `a supporthors de D ∪ supp ( y ) ∪ {∞} , et tel que τ v soit suffisamment proche de z v . On rappelle le lemme suivant.
Lemme 3.2 ([7], Lemme 1.2) . Soit k un corps de nombres, on note Spec ( O ) unouvert non-vide de Spec ( O k ) . Soit
Π :
X −→ P un morphisme plat, projectif avec X r´egulier et lisse sur O. On note π : X → P la restriction `a la fibre g´en´erique de Π . Soit T ⊂ P un sous-sch´ema ferm´e fini ´etale sur O tel que les fibres de Π au-dessus des points qui ne sont pas dans T sont g´eom´etriquement int`egres. Soit T = S T i lad´ecomposition des composantes irr´eductibles, soit k i le corps des fonctions de T i . Quitte `a restreindre l’ouvert
Spec ( O ) ⊂ Spec ( O k ) , on a les assertions suivantes.(a) ´Etant donn´e un point ferm´e u de P , si la fibre X u sur le corps fini k ( u ) estg´eom´etriquement int`egre, alors elle contient un k ( u ) -point lisse.(b) ´Etant donn´e un point ferm´e θ de P avec son adh´erence de Zariski Spec ( ˜ O ) ≃ ˜ θ ⊂ P , o`u ˜ O/O est fini avec
F rac ( ˜ O ) = k ( θ ) , on note ˜ O ′ la clˆoture int´egale de ˜ O dans k ( θ ) . Si u ∈ ˜ θ ⊂ P est un point ferm´e tel que X u /k ( u ) soit g´eom´etriquementint`egre, alors X θ contient un k ( θ ) v -point lisse o`u v est une place de k ( θ ) (associ´ee`a un point ferm´e de Spec ( ˜ O ′ ) ) au-dessus de u. (c) Soit u dans un des T i , il d´efinit alors une place v i de k i . Supposons qu’ilexiste une composante irr´eductible Z de la fibre de f en T i × O k = Spec ( k i ) demultiplicit´e un. On note K i la clˆoture alg´ebrique de k i dans le corps des fonctionsde Z. Si la place v i d´ecompose totalement dans l’anneau des entiers O i ⊂ K i , alors X u /k ( u ) est g´eom´etriquement int`egre.(d) On suppose que, pour chaque i, il existe au moins une composante irr´eductiblede f − ( Spec ( k i )) de multiplicit´e un. Alors, ´etant donn´e M/k une extension finie,il existe une extension finie M ′ de M, telle que pour presque toute place v ∈ Ω k d´ecomposant totalement dans M ′ on ait l’assertion suivante :L’application f : X ( L ) −→ P ( L ) est surjective pour toute extension finie L de k v .D´emonstration. Voir le lemme 1.2 de Colliot-Th´el`ene/Skorobogatov/Swinnerton-Dyer [7] pour la d´emonstration, c’est une version pour les points ferm´es, commeindiqu´e dans la page 20 de [7] la mˆeme preuve fonctionne dans ce cas.En comparant avec [7, Lemme 1.2], ici on remplace « scind´ee » ( i.e. la fibrecontient une composante irr´eductible de multiplicit´e un qui est g´eom´etriquementint`egre) par « g´eom´etriquement int`egre » simultan´ement dans l’hypoth`ese et dansles conclusions, la mˆeme preuve reste valable. (cid:3) On fixe une extension (non-triviale) finie galoisienne M de k qui contient tousles k i et K i,j , d’apr`es le lemme 3.2 (d), il existe une extension finie M ′ ⊃ M · k ′ de k et I un sous-ensemble infini de Ω k en dehors de S contenant presque toutes lesplaces qui sont d´ecompos´ees totalement dans M ′ . On a alors, pour toute extensionfinie
L/k v ( v ∈ I ), l’application X ( L ) −→ P ( L ) est surjective, les places dans I sont d´ecompos´ees totalement dans M et dans k ′ . On fixe l’application (Lemme 2.4) γ : E −→ ((Ω k \ S ) ∩ I ) ⊗ k k ′ comme dans la preuve de la proposition 2.1 et on fixe une place v ∈ I \ S \{ v c , c ∈ E } (pas simplement dans Ω k \ S \ { v c , c ∈ E } ). On a ensuite les f v ∈ k v ( P ) ∗ /k ∗ v pourtoute v ∈ S ∪ { v c , c ∈ E } ∪ { v } d´ecrites comme suit.Pour chaque c ∈ E , on trouve, comme dans la preuve de la proposition 2.1, unz´ero-cycle x c + x ′ c s´eparable effectif de degr´e d `a support hors de D ∪ supp ( y ) ∪{∞} . De mˆeme, pour v , on trouve un point ferm´e x v de degr´e d en dehors de D ∪ supp ( y ) ∪ {∞} . On ´ecrit div P v ( f v ) = π ∗ ( τ v ) − d ∞ pour v ∈ S, div P vc ( f v c ) =( x c + x ′ c ) − d ∞ pour c ∈ E , et div P v ( f v ) = x v − d ∞ pour v = v . Pour toute v ∈ S ∪ { v c , c ∈ E } ∪ { v } , on pose ρ i,v = f v ( P i ) ∈ k ∗ i,v = ( k i ⊗ k k v ) ∗ . Puisque I \ { v c , c ∈ E } \ { v } est infini, le th´eor`eme de Dirichlet g´en´eralis´e ([22], STUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINES FIBRATIONS 13
Corollaire 4.4) permet de trouver, pour chaque i, un ´el´ement ρ i ∈ k ∗ i qui soitsuffisamment proche de ρ i,v ∈ ( k i ⊗ k k v ) ∗ pour v ∈ S ∪ { v c , c ∈ E } ∪ { v } et quisoit une unit´e en dehors de ( S ∪ I ) ⊗ k k i ⊔ { w i } , o`u w i est une place finie de k i endehors de ( S ∪ I ) ⊗ k k i telle que de plus w i ( ρ i ) = 1 . Comme d peut ˆetre choisi assez grand, d’apr`es le th´eor`eme de Riemann-Roch(pour les d´etails cf. les preuves des lemmes 5.1 et 5.2 de Colliot-Th´el`ene [2]), onobtient une fonction f ∈ O k,S ∪ I [ A ] telle que f soit suffisamment proche de f v pourtoute v ∈ S ∪ { v c , c ∈ E } ∪ { v } , et telle que f ( P i ) = ρ i pour tout i. En ´ecrivant div P ( f ) = θ − d ∞ , on obtient un z´ero-cycle effectif θ, de plus θ est un point ferm´edans U hors de D ∪ supp ( y ) ∪ {∞} car il est suffisamment proche de x v . Puisquele z´ero-cycle θ est suffisamment proche de x c + x ′ c pour c ∈ E , le point ferm´e θ ∈ Hil d’apr`es le mˆeme argument de la proposition 2.1 (ici on utilise le fait que d et [ k ′ : k ]sont premiers entre eux). Le z´ero-cycle θ est aussi suffisamment proche de π ∗ ( τ v )pour v ∈ S, Il reste `a v´erifier que θ est d´eploy´e localement partout. On suit principalementl’id´ee de Colliot-Th´el`ene/Skorobogatov/Swinnerton-Dyer [7].Pour w ∈ Ω k ( θ ) au-dessus de v ∈ Ω k :Si v ∈ S, le th´eor`eme des fonctions implicites implique que θ v est d´eploy´e.Si v ∈ I, le lemme 3.2 (d) implique que X ( k ( θ ) w ) ։ P ( k ( θ ) w ) pour toute w au-dessus de v. Si v / ∈ S ∪ I, on note ˜ θ ≃ Spec ( A ) l’adh´erence de Zariski de θ dans P , o`u A/O k,S est fini avec
F rac ( A ) = k ( θ ) , on sait alors que O k ( θ ) ,S est la clˆoture int´egale de A dans k ( θ ) . On fixe une place w de k ( θ ) au-dessus de v, il d´efinit un point ferm´e w ∈ Spec ( O k ( θ ) ,S ) , ce point se trouve au-dessus d’un certain point ferm´e w θ ∈ ˜ θ. On remarque que ˜ θ et T i sont d´efinis localement par f et g i respectivement. Il y adeux cas possibles.(i) Si w θ est contenue dans un (et alors un seul) des T i . On sait que g i ( θ ) ∈ k ( θ ) et ρ i = f ( P i ) ∈ O k i ,S ∪ I . On rappelle que pour w ′ ∈ Ω k i \ ( S ∪ I ) ⊗ k k i ,w ′ ( ρ i ) = 1 si w ′ = w i , w ′ ( ρ i ) = 0 si w ′ = w i . Donc, en restreignant au-dessus deΩ k \ ( S ∪ I ) ⊂ Spec ( O k,S ) , l’intersection T i ∩ ˜ θ ne contient qu’un point not´e par w i ∈ T i , et le multiplicit´e d’intersection de T i et ˜ θ en w i ´egale 1 car w i ( ρ i ) = 1 . Alors w i , vu comme un point ferm´e w θ de ˜ θ, doit ˆetre un point r´egulier de ˜ θ. On aalors w = w θ = w i , k iw i = k ( θ ) w et w ( g i ( θ )) = w i ( ρ i ) = 1 . (ii) Si w θ / ∈ T i pour tout i, alors X w θ /k ( w θ ) est g´eom´etriquement int`egre parla construction de T i , on a donc X θ ( k ( θ ) w ) = ∅ d’apr`es le lemme 3.2(b). On saitque g i ( θ ) est une unit´e (modulo w θ ) dans k ( w θ ) ⊂ k ( w ) car g i ( θ ) / ∈ T i ∩ ˜ θ, donc w ( g i ( θ )) = 0 . Pour v´erifier que θ est d´eploy´e localement partout, il reste la place w dans lecas (i) o`u w = w i ∈ T i . On note E i = k i ⊗ k k ( θ ) , F i,j = K i,j ⊗ k k ( θ ) . On a h A i,j , θ i P = cores k ( θ ) /k cores E i /k ( θ ) ( F i,j /E i , g ′ i ( θ )) ∈ Br ( k ) par d´efinition.On rappelle que X v ∈ S h A i,j , π ∗ ( z v ) i v = 0et h A i,j , π ∗ ( z v ) i v = h A i,j , π ∗ ( z v ) i v pour toute v ∈ S. Alors X v ∈ S h A i,j , π ∗ ( τ v ) i v = X v ∈ S h π ∗ ( A i,j ) , τ v i v = X v ∈ S h π ∗ ( A i,j ) , z v i v = X v ∈ S h A i,j , π ∗ ( z v ) i v = 0 , donc X v ∈ S h A i,j , θ i v = 0par continuit´e de l’accouplement de Brauer-Manin (pour v ∈ S, θ est suffisammentproche de π ∗ ( τ v ) , τ v est suffisamment proche de z v , on remarque que z v − z v est a -divisible, et a annule A i,j ).On a donc X v ∈ Ω k \ S h A i,j , θ i v = 0car θ est global. Donc X v ∈ Ω k \ S inv v ( cores k ( θ ) /k cores E i /k ( θ ) ( F i,j /E i , g ′ i ( θ ))) = 0 , X w ∈ Ω k ( θ ) \ S ⊗ k k ( θ ) inv w ( cores E i /k ( θ ) ( F i,j /E i , g ′ i ( θ ))) = 0 . `A partir de maintenant on suppose que w ∈ (Ω k \ S ) ⊗ k k ( θ ) . Si w ∈ I ⊗ k k ( θ ) , soit v la place de k au-dessous de w, par construction l’extensiondes corps locaux associ´es aux K i,j /k i au-dessus de v est triviale, l’extension F i,j /E i est alors triviale au-dessus de w, on trouve inv w ( cores E i /k ( θ ) ( F i,j /E i , g ′ i ( θ ))) = 0 . Si w / ∈ I ⊗ k k ( θ ) et w = w i (plus pr´ecis´ement, le point w θ associ´e `a w n’est pasdans T i ), on rappelle que dans ce cas w ( g i ( θ )) = 0 , alors g i ( θ ) est une unit´e en w, d’o`u inv w ( cores E i /k ( θ ) ( F i,j /E i , g ′ i ( θ ))) = 0 . On trouve finalement( ⋆ ) inv w i ( cores E i /k ( θ ) ( F i,j /E i , g ′ i ( θ ))) = 0 . On consid`ere la fl`eche E i −→ E i ⊗ k ( θ ) k ( θ ) w i , o`u E i ⊗ k ( θ ) k ( θ ) w i est un produitd’extensions de k ( θ ) w i . En remarquant que w ( N E i /k ( θ ) ( g ′ i ( θ ))) = w ( g i ( θ )) ´egale soit0 si w = w i soit 1 si w = w i , il y a donc seulement une de ces extensions, not´eepar E i,w , dans laquelle l’image de g ′ i ( θ ) n’est pas une unit´e mais une uniformisante,de plus, E i,w /k ( θ ) w i est triviale. L’´egalit´e ( ⋆ ) implique que ( F i,j /E i , g ′ i ( θ )) ⊗ E i E i,w = 0 , on a alors pour tout j l’extension cyclique K i,j /k i est triviale apr`es ⊗ E i E i,w car g ′ i ( θ ) est une uniformisante de E i,w , on trouve que K i /k i est trivialeapr`es ⊗ E i E i,w . D’apr`es le lemme 3.2(c), la r´eduction X w i /k ( w i ) de X θ modulo w i est g´eom´etriquement int`egre, X θ contient donc un k ( θ ) w i -point d’apr`es le lemme3.2(b). (cid:3) Cas g´en´eral
Fibrations au-dessus d’une courbe de genre quelconque.
Dans cettesous-section, on consid`ere le th´eor`eme principal (sauf l’exactitude de la suite ( E ))pour le cas o`u B = C est une courbe lisse de groupe X ( Jac ( C )) fini. Dans cecas, l’obstruction de Brauer-Manin associ´ee au sous-groupe Br vert ( X ) suffit, i.e. les conclusions deviennent respectivement : pour les z´ero-cycles de degr´e 1 sur X (1) l’obstruction de Brauer-Manin associ´ee au groupe Br vert ( X ) est la seule auprincipe de Hasse ;(2) l’obstruction de Brauer-Manin associ´ee au groupe Br vert ( X ) est la seule `al’approximation faible ; STUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINES FIBRATIONS 15 (3) l’obstruction de Brauer-Manin associ´ee au groupe Br vert ( X ) est la seule `al’approximation forte.Ce cas est une g´en´eralisation des th´eor`emes principaux 1.3 et 1.4 de Wittenberg[27] au sens que Hil est un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e au lieu d’un ouvertdense de C. Dans la section § E ) pour X, d’o`ula conclusion (3) est automatiquement v´erifi´ee ( cf. § Fibrations au-dessus de P n . Dans cette sous-section, on explique commenton peut montrer le th´eor`eme principal (sauf l’exactitude de la suite ( E )) dans lecas o`u B = P n est l’espace projectif. En r´ep´etant la strat´egie de Wittenberg [28,Th´eor`eme 3.4], le r´esultat a ´et´e presque ´etabli dans [16, Th´eor`eme 3.5], la seulediff´erence est de remplacer l’ouvert dense U ⊂ P n par un sous-ensemble hilbertieng´en´eralis´e Hil ⊂ P n . Il suffit de v´erifier que la condition li´ee `a le sous-ensemblehilbertien g´en´eralis´e se comporte bien dans la r´ecurrence, qui est le lemme suivant.Ce lemme a ´et´e mentionn´e dans [13] § Lemme 4.1.
Soient k un corps de nombres et Hil ⊂ A r + s un sous-ensemble hilber-tien g´en´eralis´e. Alors p ( Hil ) contient un certain sous-ensemble hilbertien g´en´era-lis´e de A r , o`u p : A r + s = A r × A s → A r est la projection canonique.D´emonstration. On note p : A r + s = A r × A s → A s la deuxi`eme projection. Soit Hil d´efini par V ρ ։ U ⊂ A r + s o`u U est un ouvert non vide et o`u ρ est un morphisme´etale fini. La projection W = p ( U ) est un ouvert non vide de A s , il existe un ouvertnon vide W ′ ⊂ W tel que pour tout point ferm´e θ ∈ W ′ , U θ = U ∩ p − ( θ ) soitlisse sur k ( θ ) , la vari´et´e V θ est alors lisse. Comme A r + s ( k ) ∩ Hil est Zariski densedans A r + s , cf. [9], on trouve que p ( A r + s ( k ) ∩ Hil ) ∩ W ′ = ∅ , il existe alors un k -point θ ∈ p ( Hil ) ∩ W ′ . L’ouvert U θ de p − ( θ ) est alors non vide lisse, on d´efinit Z = ρ − ( U θ ) , c’est une vari´et´e lisse. Par construction, il existe un point ferm´e θ ∈ A r tel que ( θ , θ ) soit contenu dans Hil , i.e. ρ − ( θ , θ ) est connexe, la vari´et´e Z est alors aussi connexe, donc int`egre. Puisque θ est un k -point, le morphisme Z → U θ d´efinit un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e de A r × θ ≃ A r , contenudans p ( Hil ) . (cid:3) La suite exacte ( E )Dans cette section, on explique la suite ( E ) et ´etablit son exactitude pour lesfibrations consid´er´ees dans le th´eor`eme principal.Tout d’abord, on note A ( X ) = ker [ deg : CH ( X ) → Z ] . La th´eorie du corpsde classes global implique que l’image diagonale de A ( X ) dans Q v ∈ Ω k A ( X v )est contenue dans le noyau de l’accouplement de Brauer-Manin. Ceci donne uncomplexe A ( X ) → Y v ∈ Ω k A ( X v ) → Hom ( Br ( X ) , Q / Z ) , o`u la deuxi`eme fl`eche est induite par l’accouplement de Brauer-Manin. On consid`erele complexe compl´et´e( E ) A b ( X ) → Y v ∈ Ω k A b ( X v ) → Hom ( Br ( X ) , Q / Z ) , o`u c M d´esigne lim ←− n> M/n pour un groupe ab´elien M. L’exactitude de la suite ( E ) a ´et´e conjectur´ee par Colliot-Th´el`ene/Sansuc [5],Conjectures A, C, pour les surfaces rationnelles ; par Kato/Saito [14, § CH , A ( X ) comme le groupe Y v ∈ Ω f k CH ( X v ) × Y v ∈ Ω ∞ k Coker [ N ¯ k v /k v : CH ( X v ) → CH ( X v )] . De mˆeme, on trouve un complexe( E ) CH b ( X ) → CH b , A ( X ) → Hom ( Br ( X ) , Q / Z ) , et on esp`ere que ( E ) soit exact pour toute vari´et´e lisse et g´eom´etriquement connexe X. Il est remarqu´e par Wittenberg que l’exactitude de ( E ) implique l’exactitudede ( E ) , et implique que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principede Hasse pour les z´ero-cycles de degr´e 1 sur X, cf. [27], Remarques 1.1 (ii)(iii).L’exactitude de ( E ) implique aussi que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule`a l’approximation faible et forte pour les z´ero-cycles de degr´e 1 , cf. [15, Proposition2.2.1] et sa preuve. R´eciproquement, c’est possible mais ce n’est pas ´evident quel’approximation forte pour les z´ero-cycle de degr´e 1 implique l’exactitude de ( E )qui concerne les z´ero-cycles de tout degr´e.On remarque que, pour les places r´eelles, le conoyau Coker [ N C / R : CH ( X C ) → CH ( X R )] est calcul´e par Colliot-Th´el`ene/Ischebeck [4].Dans le reste de cette section, on va ´etablir l’exactitude de la suite ( E ) pour lesfibrations consid´er´ees dans le th´eor`eme principal, on suppose que X η est rationnel-lement connexe `a partir de maintenant. Dans § B = C est unecourbe, on peut l’´etablir directement en utilisant l’argument de Wittenberg [27], deplus la suite ( E ) reste exacte mˆeme si l’on remplace Br ( X ) par Br vert ( X ) . Dans § B = P n , l’argument utilise la conclusion (2) dans le th´eor`emeprincipal qui est montr´ee dans § Le cas B = C . Dans son article [27], Wittenberg ´etablit l’exactitude de la suite( E ) pour une fibration X → C satisfaisant ( Ab´elienne-Scind´ee ), en supposantque- pour presque tout point ferm´e θ de C, pour tout entier n > S ⊂ Ω k ( θ ) , l’image de CH ( X θ ) dans Q w ∈ S CH (( X θ ) w ) /n contient l’image de Q w ∈ S X θ ( k ( θ ) w ) dans ce mˆeme groupe.Cette hypoth`ese est v´erifi´ee si X θ satisfait l’approximation faible pour les pointsrationnels ou pour les z´ero-cycles de degr´e 1 . On rappelle l’id´ee de la preuve dans [27]. On part d’une fibration X → C, onconstruit un morphisme dominant ψ : C → P et on consid`ere la fibration W ′ → P , o`u W ′ est une compactification lisse de la restriction `a la Weil W → P de X → C le long de ψ. L’exactitude de ( E ) pour X se d´eduit de l’exactitude de ( E ) pour W ′ , cette r´eduction a ´et´e fait dans § E ) pour W ′ , on appliquele th´eor`eme 4.8 de [27] (une variante de [7, th´eor`eme 4.1]) `a la fibration W ′ → P . Dans [27], l’hypoth`ese arithm´etique est pos´ee sur X θ pour presque tout pointferm´e θ de C. Par contre, ici l’hypoth`ese arithm´etique est pos´ee seulement pour θ ∈ Hil o`u
Hil est un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e de C. Pour que le mˆeme
STUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINES FIBRATIONS 17 argument fonctionne pour notre situation, il suffit d’adapter la notion de sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e avec cette proc´edure de r´eduction et avec [27, Th´eo-r`eme 4.8].D’abord, on suppose que
Hil est d´efini par Z → U ⊂ C, son compos´e avec ψ d´efinit alors un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e Hil de P tel que pour tout θ ∈ Hil on ait automatiquement θ = ψ − ( θ ) ∈ Hil . Donc les sous-ensembleshilbertiens g´en´eralis´es se comporte bien avec la r´eduction dans § Hil ⊂ P . Remarquonsque l’assertion dans § { z v } v ∈ Ω k de degr´e premier `a un nombre entier bien choisi, ceciconfirme la conclusion de [27, Th´eor`eme 4.8] sous l’hypoth`ese sur Hil . Enfin, on remarque que, dans tout cet argument, on utilise seulement le sous-groupe Br vert ( X ) de Br ( X ) . Le cas B = P n . Puisque le cas n = 1 est contenu dans § n > . Comme expliqu´e dans [16, Th´eor`eme 3.5], on applique la strat´egie deWittenberg dans la preuve du [28, Th´eor`eme 3.4] qu’on rappelle comme suit. Onpart d’une fibration X → P n , la vari´et´e X est vue comme une fibration X → P n − `afibres g´eom´etriquement int`egres. De plus, l’obstruction de Brauer-Manin est la seulepour les z´ero-cycles de degr´e 1 sur les fibres X θ si θ est contenu dans un certain sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e de P n − . En appliquant le th´eor`eme 3.5 de [16], onconclut que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule `a l’approximation faible pourles z´ero-cycles de degr´e 1 . En plus, sans modifier ni les hypoth`eses ni les arguments,la mˆeme conclusion est valable pour les z´ero-cycles de degr´e δ quelconque sur X. D’apr`es Wittenberg [27, Prop 3.1], afin d’´etablir ( E ) pour une fibration au-dessus d’une courbe, il suffit de v´erifier une propri´et´e ( P S ) pour tout ensemble fini S ⊂ Ω k . On remarque que la mˆeme conclusion reste valable si l’on remplace la basepar l’espace projectif. Tous les arguments de Wittenberg fonctionnent. En plus, lapropri´et´e ( P S ) et les arguments deviennent plus simples car l’application induite CH ( X ) → CH ( P n − ) = Z est simplement l’application de degr´e.Il reste `a v´erifier la propri´et´e pour X → P n − :( P S ) Soit { z v } v ∈ Ω k une famille de z´ero-cycles de degr´e δ. Si elle est orthogonale`a Br ( X ) , alors pour tout entier n > , il existe un z´ero-cycle z de X dedegr´e δ, tel que pour toute v ∈ S on ait z = z v dans CH ( X v ) /n si v estfinie et z = z v + N ¯ k v /k v ( u v ) dans CH ( X v ) pour un u v ∈ CH ( X v ) si v estr´eelle.Cette propri´et´e est impliqu´ee par la propri´et´e suivante.( P ′ S ) Soit { z v } v ∈ Ω k une famille de z´ero-cycles de degr´e δ. Si elle est orthogonale`a Br ( X ) , alors pour tout entier n > , il existe un z´ero-cycle z de X dedegr´e δ, tel que pour toute v ∈ S on ait z = z v dans CH ( X v ) / n. Cette derni`ere propri´et´e est exactement l’assertion que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule `a l’approximation faible pour les z´ero-cycles de degr´e δ, qui estv´erifi´ee par X. Ceci ´etablit l’exactitude de ( E ) pour le cas B = P n dans le th´eor`emeprincipal. Fibr´e en surfaces de Chˆatelet
La notion de sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e nous permet d’appliquer le r´e-sultat principal `a certaines fibrations, par exemple, les fibrations en surfaces de Chˆa-telet (ou encore plus g´en´eral) au-dessus d’une courbe sous l’hypoth`ese (
Ab´elienne-Scind´ee ).D’abord, on rappelle la notion de p -fold de Chˆatelet. Soient K un corps et L une extension finie de degr´e n. On fixe une K -base lin´eaire w , . . . , w n de L. Soit P ( z ) ∈ K [ z ] un polynˆome de degr´e dn o`u d > N L/K ( x w + · · · + x n w n ) = P ( z )est un polynˆome dans K [ x , . . . , x n , z ] , elle d´efinit une vari´et´e lisse et g´eom´etrique-ment int`egre dans A n +1 . Il existe un mod`ele projectif lisse X = X L/K,P ( z ) de cettevari´et´e ([25], Proposition 2.1). Un tel mod`ele est appel´e un p -fold de Chˆatelet si L/K est une extension cyclique de degr´e premier p et si d = 2 , c’est une surfacede Chˆatelet si p = 2 . Si K est un corps de nombres, la vari´et´e X vue comme unfibr´e en coniques au-dessus de P via l’ind´etermin´ee z, v´erifie que l’obstruction deBrauer-Manin est la seule au principe de Hasse/`a l’approximation faible pour lesz´ero-cycles de degr´e 1 (Th´eor`eme principal, ou [27, Th´eor`eme 1.3]). Fait. Si K est un corps de nombres, le groupe de Brauer Br ( X ) est ´egal `a im [ Br ( K ) → Br ( X )] lorsque P ( z ) est un polynˆome irr´eductible sur K. Par cons´e-quent, le principe de Hasse et l’approximation faible pour les z´ero-cycles de degr´e1 sont valables pour X = X L/K,P ( z ) . Ce fait se d´eduit de la proposition 2.5 de Colliot-Th´el`ene/Harari/Skorobogatov[3], voir aussi le corollaire 3.3 de V´arilly-Alvarado/Viray [25]. R´ecemment, Wei ob-tient un r´esultat plus g´en´eral, une fois que
L/K est une extension cyclique (pasn´ecessairement de degr´e premier) et P ( z ) est irr´eductible sur K (de degr´e quel-conque), on a encore le fait ci-dessus, cf. [26], Th´eor`eme 1.4.Soit k un corps de nombres. On consid`ere une fibration au-dessus d’une courbe π : X → C, dont la fibre g´en´erique est d´efinie par l’´equation N L/K ( x w + · · · + x p w p ) = P ( z ) , o`u P ( z ) ∈ K [ z ] est un polynˆome suppos´e irr´eductible sur K = k ( C )et o`u L est une extension cyclique de K. Le polynˆome P ( z ) d´efinit une extensionfinie K ′ de K, `a laquelle il associe une courbe normale Z et un morphisme finidominant Z → C. Ce morphisme est ´etale au-dessus d’un ouvert non vide, il d´efinitalors un sous-ensemble hilbertien g´en´eralis´e
Hil ⊂ C tel que pour tout θ ∈ Hil lafibre X θ v´erifie le principe de Hasse et l’approximation faible pour les z´ero-cyclesde degr´e 1 (le fait ci-dessus). D’apr`es le th´eor`eme principal, si X ( Jac ( C )) est finiet si π v´erifie ( Ab´elienne-Scind´ee ), l’obstruction de Brauer-Manin est la seuleau principe de Hasse et `a l’approximation faible pour les z´ero-cycles de degr´e 1 sur X, la suite ( E ) est exacte pour X (avec la finitude de X ( Jac ( C )) suppos´ee).Il reste `a v´erifier ( Ab´elienne-Scind´ee ). Dans le cas particulier o`u le termegauche N L/k ( C ) ( x w + · · · + x p w p )ne varie pas le long de C, on peut v´erifier directement l’hypoth`ese ( Ab´elienne-Scind´ee ). Plus pr´ecis´ement, dans ce cas L = l ( C ) o`u l/k est une extension cycliquede degr´e p, et w , . . . , w p est une k -base lin´eaire de l (donc c’est une K -base lin´eairede L car C est une courbe g´eom´etriquement int`egre sur k ). Soit θ un point ferm´ede C, la fibre X θ , d´efinie par N l ⊗ k k ( θ ) /k ( θ ) ( x w + · · · + x p w p ) = P θ ( z ) , STUCE DE SALBERGER ET Z´ERO-CYCLES SUR CERTAINES FIBRATIONS 19 - est g´eom´etriquement int`egre, a fortiori satisfait (
Ab´elienne-Scind´ee ), si P θ ( z ) ∈ k ( θ )[ z ] est un polynˆome non nul ;- satisfait ( Ab´elienne-Scind´ee ), si P θ ( z ) est un polynˆome nul. En fait, la fibre X θ a p composantes irr´eductibles (toute de multiplicit´e un) apr`es l’extension ab´e-lienne l ( θ ) /k ( θ ) , dont chacune est g´eom´etriquement int`egre sur l ( θ ) . En r´esum´e, on trouve :
Proposition 6.1.
Soient k un corps de nombres et l une extension cyclique. Soit K une extension finie de k ( t ) . Supposons que X ( Jac ( C )) est fini, o`u C est la courbeprojective lisse et g´eom´etriquement int`egre de corps des fonctions K. Soit X unevari´et´e projective, lisse, g´eom´etriquement int`egre, et k -rationnellement ´equivalente`a la k -vari´et´e d´efinie par l’´equation (en variables ( x , . . . , x p , z ) ) N l ( C ) /k ( C ) ( x w + · · · + x p w p ) = P ( z ) , o`u P ( z ) ∈ K [ z ] est un polynˆome irr´eductible sur K. Alors, la suite ( E ) est exacte pour X. Remarque . Si l’extension
L/k ( C ) ne provient pas simplement d’une extensionfinie l/k, a priori , on ne sait pas si, pour tout mod`ele X → C de X η /k ( C ) , les fibressatisfont l’hypoth`ese ( Ab´elienne-Scind´ee ). G´en´eralement, on part d’un p -fold deChˆatelet Y /k ( C ) d´efini par N L/k ( C ) ( x w + · · · + x p w p ) = P ( z ) , et on veut trouverun mod`ele X → C `a fibre g´en´erique X η isomorphe `a Y sur k ( C ) , tel que les fibresferm´ees satisfont ( Ab´elienne-Scind´ee ). Comme ¯ k ( C ) est un C -corps d’apr`es leth´eor`eme de Tsen, la vari´et´e Y admet toujours un ¯ k ( C )-point car elle est d´efinie parun polynˆome homog`ene, l’homog´en´eisation de N L/k ( C ) ( x w + · · · + x p w p ) = P ( z ) , de degr´e p en p + 1 variables x , x , . . . , x p . D’o`u on obtient une ¯ k -section de π ¯ k pour n’importe quel mod`ele π : X → C de Y /k ( C ) , alors toute fibre X θ poss`ede unecomposante irr´eductible de multiplicit´e un. Mais on ne sait pas si Y /k ( C ) admetun mod`ele X → C v´erifiant la condition d’ab´elianit´e de ( Ab´elienne-Scind´ee ). Remerciements.
Je tiens `a remercier D. Harari pour ses nombreuses discussions tr`esutiles pendant la pr´eparation de ce travail, et pour son aide pour le fran¸cais. Je remercieO. Wittenberg de sa patiente explication de son travail r´ecent [27] et de ses commentairessur la premi`ere version de ce texte. Je remercie ´egalement J.-L. Colliot-Th´el`ene pour sessuggestions.
R´ef´erences [1] J.-L. Colliot-Th´el`ene. L’arithm´etique du groupe de Chow des z´ero-cycles.
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1. Par contre, toutes les fibres du solide de Poonen [20] sont g´eom´etriquement int`egres, dansce cas-l`a, le th´eor`eme principal de [17] suffit `a conclure. Les solides de Poonen sont aussi dans lecadre de la proposition 6.1. [4] J.-L. Colliot-Th´el`ene and F. Ischebeck. L’´equivalence rationnelle sur les cyclesde dimension z´ero des vari´et´es alg´ebriques r´eelles.
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Yongqi LIANGD´epartement de Math´ematiques,Bˆatiment 425,Universit´e Paris-sud 11,F-91405 Orsay,France
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