Asymptotics and estimates of the discrete spectrum of the Schrodinger operator on a discrete periodic graph
aa r X i v : . [ m a t h . SP ] M a r АСИМПТОТИКА И ОЦЕНКИ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРАОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ДИСКРЕТНОМ ПЕРИОДИЧЕСКОМГРАФЕ
Е. Л. Коротяев ∗ , В. А. Слоущ ∗∗ Аннотация.
Рассматривается периодический оператор Шредингера H на дискретномпериодическом графе. Получены оценки дискретного спектра возмущенного оператора H ± ( t ) = H ± tV , t > , где V > убывающий потенциал. В случае потенциала, имею-щего степенную асимптотику на бесконечности найдена асимптотика дискретного спектраоператора H ± ( t ) при большой константе связи. Введение Операторы Лапласа и Шредингера на графах имеют многочисленные приложения в фи-зике и химии, см., например, обзор [18] и ссылки в нем (двое авторов обзора Новоселова иГейма получили нобелевскую премию за открытие графена). На дискретном графе опера-тор Лапласа действует в пространстве функций, определенных на множестве вершин графа.Здесь главную роль играют вершины графа, а ребра показывают взаимодействие между вер-шинами графа. В основном изучают два вида дискретного оператора Лапласа: комбинатор-ный оператор Лапласа [31] и нормированный оператор Лапласа [30]; изучают и другие видыоператоров Лапласа на дискретном графе (по поводу различных опеределений оператора Ла-пласа на графе см. также [20], [51]). Спектр дискретного оператора Лапласа на периодическомграфе состоит из конечного числа зон, разделенных лакунами.Большинство результатов для дискретных операторов Шрёдингера H = ∆ + V для рав-номерно убывающих потенциалов V получено на многомерной кубической решетке Z d , где ∆ — оператор Лапласа на ℓ ( Z d ) . Буте де Монвель и Сахбани [3] изучали случай степенногоубывания V на бесконечности (при показателе убывания больше ). Они показали, используяметод Мурра, что волновые операторы W ± = s − lim e itH e − it ∆ , t → ±∞ , существуют и полны, т.е., Ran W ± = H ac ( H ) . Более того, они доказали отсутствие сингу-лярного непрерывного спектра и локальную конечность собственных значений H вне краевнепрерывного спектра. Введем оператор-функцию F ( z ) = | V | (∆ − z ) − | V | , z ∈ Λ = C \ σ (∆) . Date : 29 марта 2019 г.
Ключевые слова: дискретный оператор Шредингера, интегральные операторы, оценки сингулярных чисел,классы компактных операторов. ∗ Работа автора поддержана грантом РНФ 18-11-00032. ∗∗ Работа автора поддержана грантом РФФИ 17-01-00668.
СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 2
В работах [3], [47], показано, что оператор-функция F ( z ) аналитическая в Λ и непрерывнавплоть до границы за исключением конечного числа точек на спектре σ (∆) . Исозаки, Коро-тяев [25] показали, что таких точек нет при d > . Более того они решили обратную задачу овосстановлении потенциала по матрице рассеяния при всех энергиях, а также получили фор-мулы следов. Изосаки, Мориоки доказали, что точечный спектр операторов Шрёдингера нанепрерывном спектре отсутствует в случае потенциала с конечым носителем. Случай потен-циала V ∈ ℓ p ( Z d ) изучался в работе [29]. Здесь рассмотрен оператор Лапласа на решетке Z d иполучены оценки группы e it ∆ и резольвенты (∆ − z ) − , действующих в пространствах ℓ q ( Z d ) .Эти результаты применяются к изучению оператора Шрёдингера в ℓ ( Z d ) с потенциалом из ℓ p ( Z d ) при подходящем p > . Собственные значения и формулы следов для комплексного по-тенциала рассматривались в [28], [27]. Парра и Ричард [39] распространили результаты Бутеде Монвеля, Сахбани [3] на общие периодические графы.Настоящая работа посвящена описанию дискретного спектра Z d -периодического операто-ра Шредингера, возмущенного убывающим потенциалом, на дискретном Z d -периодическомграфе. Подробнее, в качестве невозмущенного оператора рассмотрим дискретный периоди-ческий оператор Шредингера H = ∆ + Q на связном локально-конечном Z d -периодическомграфе G , вложенном в R d ; здесь ∆ — дискретный (комбинаторный) оператор Лапласа на G , Q — вещественный ограниченный Z d -периодический потенциал на G . Спектр оператора H состоит из конечного числа зон, разделенных лакунами; некоторые зоны (не все см. [32])могут вырождаться в точку (собственное значение оператора H бесконечной кратности).Рассмотрим возмущенные операторы Шредингера H ± ( t ) := H ± tV , t > , где V — неотри-цательный убывающий на бесконечности потенциал. Нас интересует спектр операторов H ± ( t ) ,возникающий в лакунах спектра оператора H . Пусть (Λ + , Λ − ) является лакуной (возможнополубесконечной) в спектре оператора H . Поскольку потенциал V убывает на бесконечно-сти, оператор умножения на V компактен, а потому спектр оператора H ± ( t ) , t > , в лакуне (Λ + , Λ − ) дискретен. Собственные значения операторов H ± ( t ) монотонно движутся с ростом t . Основным объектом исследования являются считающие функции N ± ( λ, τ ) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) , τ > , равные числу собственных значений операторов H ± ( t ) , прошедших через фиксирован-ную точку λ при увеличении t от до τ . Считающие функции на краю лакуны, определенныекак предел N ± (Λ ± , τ ) := lim λ → Λ ± ± N ± ( λ, τ ) , могут интерпретироваться, как число собственных значений, «родившихся» в точке Λ ± . Разу-меется, если (Λ + , + ∞ ) — полубесконечная лакуна в спектре оператора H , то число N + ( λ, τ ) , λ ∈ [Λ + , + ∞ ) , есть суммарная кратость собственных значений оператора H + ( τ ) на интервале ( λ, + ∞ ) . Аналогично интерпретируется величина N − ( λ, τ ) , λ ∈ ( −∞ , Λ − ] , если ( −∞ , Λ − ) —полубесконечная лакуна в спектре σ ( H ) . Суммарная кратность оператора H i ( τ ) во внутрен-ней лакуне (Λ + , Λ − ) не превосходит величины N i (Λ i , τ ) , i = ± .Основные результаты работы состоят в следующем. СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 3 В теореме показано, что при условии V ( x ) ∼ ϑ ( x | x | ) | x | − d/p , | x | → ∞ , p > , (0.1) считающие функции имеют степенную асимптотику по большой константе связи привсех фиксированных λ ∈ (Λ + , Λ − ) N ± ( λ, τ ) = τ p (Γ ± p ( λ ) + o (1)) , τ → + ∞ , (0.2) где Γ ± p ( λ ) = Γ ± p ( λ, H, V ) . При определенных условиях асимптотика (0.2) имеет место и накраях лакуны. В теоремах , приведены условия конечности спектра операторов H ± ( t ) , t > , вспектральных лакунах оператора H и даны оценки суммарной кратности этого спектра. Дискретный спектр периодического оператора Шредингера, возмущенного убывающимпотенциалом, изучался во многих работах (см., например, обзоры [5], [44], а также [4]). Оста-новимся, прежде всего, на непрерывном случае, т.е. на случае возмущения оператора Шре-дингера H = − ∆ + Q ( x ) в L ( R d ) убывающим потенциалом V ( x ) . В непрерывном случаехарактер результатов и используемая техника существенно зависят от знака возмущения.Для отрицательных возмущений оператора Лапласа Розенблюмом [41], [42], Либом [35] иЦвикелем [21] был получен следующий результат. Пусть H = − ∆ в L ( R d ) , и пусть возмущение V удовлетворяет условию V ∈ L d/ ( R d ) , d > . (0.3) Тогда для любого λ справедливы оценка и асимптотика N − ( λ, τ ) C ( d ) τ d/ k V k d L d , τ > , (0.4) N − ( λ, τ ) = ω d τ d/ ( k V k d/ L d/ + o (1)) , τ → + ∞ , (0.5) где ω d — объем единичного шара в R d . В работах Хемпеля [23] и Бирмана [11] асимптотика (0.5) была доказана для периодиче-ского оператора Шредингера H = − ∆ + Q ( x ) для произвольного λ ∈ (Λ + , Λ − ) при условии(0.3). При этом выяснилось, что асимптотатический коэффициент не зависит от точки наблю-дения λ ∈ (Λ + , Λ − ) и потенциала Q ( x ) . Случай асимптотики на краю спектральной лакуныпроизвольного периодического оператора Шредингера обсуждался в работе [13].Большое число работ (подробнее см., например, [5], [44], [48]) посвящены обсуждению нере-гулярных возмущений для которых условие (0.3) не выполнено (в т.ч. при d = 1 , ).Неотрицательные возмущения изучались в работах Аламы, Дейфта, Хемпля [1], Бирмана[11], [15], [12], и Слоуща [50]. При этом для периодического оператора Шредингера H = − ∆ + Q ( x ) был получен следующий результат. Если возмущение V удовлетворяет условию (0.1) , то считающая функция N + ( λ, τ ) имеетстепенную асимптотику (0.2 + ) по большой константе связи при всех λ ∈ (Λ + , Λ − ) . Приопределенных условиях асимптотика (0.2 + ) справедлива и при λ = Λ + . Оценка величины N + ( λ, τ ) обсуждалась в работе [12]. СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 4
Возмущению периодического дискретного оператора Шредингера убывающим потенциа-лом посвящено большое количество работ (см. обзор результатов в [44] и [4]). Так в работахЛевина, Розенблюма и Соломяка [45], [34] и [44] изучалось возмущение дискретного оператораЛапласа убывающим потенциалом; были получены оценки величины N − (0 , τ ) , в т.ч. оценка(0.4) при условии V ∈ L d/ ( G ) , d > ; оценки величины N − (0 , τ ) при d = 2 изучались вработах [37] и [46].В работах [43] и [4] были установлены оценки величины N − (0 , τ ) в случае возмущения дис-кретного оператора Шредингера убывающим потенциалом. Асимптотика величины N − (0 , τ ) по большой константе связи τ обсуждалась в [4] для случая возмущающего потенциала убы-вающего на бесконечности сверхстепенным образом. Хаяси, Хигучи, Номура и Огурису [22]вычислили число дискретных собственных значений для оператора Лапласа, возмущенногопотенциалом с конечным носителем. Выбранный нами асимптотический режим (0.1), (0.2)по-видимому ранее не рассматривался. По характеру полученных результатов и использованной технике наша работа близка к ра-ботам Бирмана и Слоуща [15], [50], где изучался дискретный спектр оператора Шредингерав L ( R d ) , возмущенного неотрицательным потенциалом убывающим на бесконечности сте-пенным образом. Как и в работах [15], [50] мы сводим (см. предложение 1.2) изучение асимп-тотики величин N ± ( λ, τ ) по большой константе связи τ к исследованию оценок и асимптотиксингулярных чисел подходящих «дискретных» ПДО (см. §2) отрицательного порядка. Основ-ное отличие настоящей работы от [15] и [50] состоит в следующем: при разложении в прямойинтеграл периодического дискретного оператора Шредингера слои получаются конечномер-ными; при разложении в прямой интеграл периодического дифференциального оператораслои бесконечномерны. Последнее обстоятельство делает задачу, рассмотренную в [15], [50],значительно более сложной, чем задача, исследуемая в настоящей работе.При получении оценок s -чисел «дискретных» ПДО отрицательного порядка мы пользуемсяизвестными результатами Бирмана, Соломяка [16]. При исследовании асимптотики s -чисел«дискретных» ПДО отрицательного порядка мы следуем работам Бирмана, Соломяка [7], [8] исводим дело к случаю «непрерывного» ПДО. Также отметим, что в нашей работе существенноиспользуюся результаты из [31] о периодическом операторе Шредингера на периодическомграфе. Условимся о некоторых обозначениях. Пусть ( X , d̺ ) — измеримое пространство; для изме-римой на X функции f через [ f ( x )] (а иногда через f ) обозначается оператор умножения на f в пространстве L ( X , d̺ ) ; кроме того, мы используем обозначения f ± ( x ) = ( | f ( x ) | ± f ( x )) / , x ∈ X ; f − p ± ( x ) = (cid:26) ( f ± ( x )) − p , f ± ( x ) > , , f ± ( x ) = 0 , x ∈ X , p > . Через U обозначим характеристическую функцию измеримого множества U ⊂ X .Норма в (квази)нормированном пространстве X обозначается через k · k X . Для сепара-бельного измеримого пространства с σ -конечной мерой ( Z , dµ ) через L p ( Z , dµ ) обозначается СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 5 стандартный L p -класс; для произвольного множества K через B ( K ) обозначим множествоограниченных на K функций; k f k B := sup k ∈ K | f ( k ) | , f ∈ B ( K ) .Для плотно определенного замкнутого оператора A в гильбертовом пространстве через σ ( A ) обозначается спектр, через A ∗ — сопряженный оператор. Если A самосопряжен, то E A ( · ) — спектральная мера оператора A . Для борелевского множества δ ⊂ R полагаем π A ( δ ) :=rank E A ( δ ) . Далее, n ± ( s, A ) := π ± A ( s, + ∞ ) , s > , — функции распределения положительногои отрицательного спектра оператора A .Кратко опишем план работы, которая состоит из введения и трех параграфов.В §1 приведены постановка задачи и описание основных результатов.В §2 даны необходимые сведения об оценках и асимптотиках s -чисел «дискретных» ПДО.В §3 приведены доказательства основных теорем 1.3–1.5.Авторы выражают свою признательность А.В.Баданину, А.И.Назарову, Н.Д.Филонову иН.Ю.Сабуровой за полезные обсуждения.1. Основной результат
1. Невозмущенный оператор.
Пусть в R d задан связный граф G = ( X, E ) , возможно име-ющий петли или кратные ребра. Здесь X — множество вершин графа G , E — множествонеориентированных ребер графа G . Ребро e , соедияющее вершины x, y ∈ X , назовем реб-ром инцидентным вершинам x и y . Вершины x, y ∈ X , соединенные ребром e ∈ E , назовем смежными вершинами (через ребро e ) и будем писать x ∼ y . Всюду ниже граф G предпо-лагается локально конечным, т.е.: в любой ограниченной области в R d содержится конечноечисло вершин и ребер графа G . Кроме того, граф G предполагается Z d -периодическим: G + n = G, n ∈ Z d . (1.1)На графе G определим дискретный оператор Лапласа ∆ , действующий в ℓ ( X ) , ∆ u ( x ) = X y ∼ x ( u ( x ) − u ( y )) , x ∈ X, u ∈ ℓ ( X ) . Подчеркнем, что в последней формуле суммирование происходит по всем ребрам инцидент-ным вершине x .Оператор ∆ — ограниченный неотрицательный самосопряженный оператор в ℓ ( X ) (см.,например, [31]). Определим периодический оператор Шредингера H = ∆ + Q , где Q естьвещественный периодический потенциал на X , удовлетворяющий условию Q = ¯ Q ∈ ℓ ∞ ( X ); Q ( x + n ) = Q ( x ) , ( x, n ) ∈ X × Z d . (1.2)
2. Спектральное разложение невозмущенного оператора H . Обозначим через { x j } νj =1 пересечение множества вершин графа G и ячейки Ω := [0 , d решетки Z d . В силу Z d -периодичности графа G , для каждой вершины x ∈ X найдутся единственные j ∈ { , . . . , ν } и n ∈ Z d такие, что x = x j + n . Введем унитарный оператор U : ℓ ( X ) → ℓ ( Z d , C ν )( U u ) j ( n ) := u ( x j + n ) , j = 1 , . . . , ν, n ∈ Z d , u ∈ ℓ ( X ) . (1.3) СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 6
Зададим в ℓ ( Z d , C ν ) оператор H := U H U ∗ унитарно эквивалентный невозмущенному опера-тору H . Определим дискретное преобразование Фурье Φ : ℓ ( Z d , C ν ) → L ( T d , C ν ) , T d = [ − π, π ] d ; именно, для всякой u ∈ ℓ ( Z d , C ν ) положим (Φ u ) ( x ) := (2 π ) − d/ X n ∈ Z d e − inx u ( n ) , x ∈ T d . (1.4)Унитарный оператор Φ диагонализует (см., например, [31]) оператор HH = Φ ∗ [ h ( k )]Φ . (1.5)Здесь h ( k ) , k ∈ T d , некоторая самосопряженная ν × ν -матрица-функция аналитическая по k (подробное описание h ( k ) , дано в [31]). Обозначим через E ( k ) E ( k ) . . . E ν ( k ) собственные значения матрицы h ( k ) , занумерованные в порядке возрастания, с учетом крат-ности. Функции E s ( k ) , k ∈ T d , s = 1 , . . . , ν будем называть зонными функциями. Каждая зон-ная функция E s ( k ) — непрерывная, кусочно вещественно-аналитическая по k ∈ T d . Спектр σ ( H ) = σ ( H ) является объединением зон σ s = E s ( T d ) , каждая из которых есть образ отобра-жения k E s ( k ) , σ ( H ) = σ ( H ) = ν [ s =1 E s ( T d ) . Зоны могут перекрываться и могут вырождаться в точку (последняя оказывается собствен-ным значением оператора H бесконечной кратности). Отметим, что первая зона не вырож-дается [31]. Спектр σ ( H ) содержит две полубесконечные лакуны σ ( H ) ∩ ( −∞ , Λ min ) = ∅ , σ ( H ) ∩ (Λ max , + ∞ ) = ∅ , Λ min := min { E ( k ) , k ∈ T d } , Λ max := max { E ν ( k ) , k ∈ T d } . (1.6)Кроме того, спектр оператора H может содержать внутреннюю лакуну (Λ + , Λ − ) , удовлетво-ряющую при некотором N ∈ { , . . . , ν } условию Λ + = max { E N − ( k ) , k ∈ T d } < Λ − = min { E N ( k ) , k ∈ T d } . (1.7)
3. Классы функций.
Прежде, чем говорить о возмущающем операторе, введем необходимыеклассы функций. Пусть ( Z , dµ ) — сепарабельное измеримое пространство с σ -конечной мерой.Наряду со стандартными классами L p ( Z , dµ ) определим слабые L p -классы L p, ∞ ( Z , dµ ) , p ∈ (0 , + ∞ ) , (см., например, [6], [14]). Именно, для µ -измеримой функции f : Z → C положим µ f ( s ) := µ ( { z ∈ Z : | f ( z ) | > s } ) , s > . Класс L p, ∞ выделяется требованием конечности функционала k f k L p, ∞ := sup s> sµ /pf ( s ) . (1.8)Пространство L p, ∞ полно относительно квазинормы (1.8), и содержит сепарабельное подпро-странство L p, ∞ := { f ∈ L p, ∞ : µ f ( s ) = o ( s − p ) , s → +0 , s → + ∞} . СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 7
Пространство L p, ∞ ( Z , dµ ) сепарабельно, если и только если Z является объединением ко-нечного числа атомов; в этом случае L p, ∞ = L p, ∞ — конечномерное. Если Z — измеримоеподмножество в R d , и dµ — мера Лебега, то L p, ∞ ( Z , dµ ) =: L p, ∞ ( Z ) .Приведем несколько примеров функций, принадлежащих слабым L p -классам (см., напри-мер, [17], а также [8]). Примеры. Пусть функция V ( x ) = ϑ ( x | x | ) ·| x | − d/p , x ∈ R d , где ϑ ∈ L p ( S d − ) при некотором p ∈ (0 , + ∞ ) . Тогда справедливы включение V ∈ L p, ∞ ( R d ) и равенство k V k L p, ∞ = d − p k ϑ k L p . Если функция V ∈ L ∞ ( R d ) удовлетворяет условию V ( x ) = O ( | x | − dp ) , при | x | → ∞ , тосправедливо включение V ∈ L p, ∞ ( R d ) . Если функция V ∈ L ∞ ( R d ) удовлетворяет условию V ( x ) = o ( | x | − dp ) , при | x | → ∞ , тосправедливо включение V ∈ L p, ∞ ( R d ) . Предположим, теперь, что на Z задана µ -измеримая матричнозначная функция W . В этомслучае положим по определению W ∈ L p, ∞ ( Z , dµ ) ⇐⇒ ∀ i, j W i,j ∈ L p, ∞ ( Z , dµ ); k W k L p, ∞ = max i,j k W i,j k L p, ∞ . Если Z — счетное множество, мы будем пользоваться обозначениями L p ( Z , dµ ) =: ℓ p ( Z , dµ ) , L p, ∞ ( Z , dµ ) =: ℓ p, ∞ ( Z , dµ ); если дополнительно dµ — считающая мера, то ℓ p ( Z , dµ ) =: ℓ p ( Z ) , ℓ p, ∞ ( Z , dµ ) =: ℓ p, ∞ ( Z ) . Повторяя рассуждения из [17], получим для m × m -матрицы-функции W ( n ) , n ∈ Z d , сле-дующее утверждение. Предложение 1.1. Если W ( n ) = O ( | n | − d/p ) , то W ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) . Если W ( n ) = o ( | n | − d/p ) , то W ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) . Если W (0) = 0 и W ( n ) = ω ( n | n | ) · | n | − d/p , n = 0 , где ω ∈ B ( S d − ) , то W ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) , k W k ℓ p, ∞ C k ω k B , где C = C ( m , m , p, d ) .
4. Возмущение.
Мы рассмотрим возмущенный оператор Шредингера H ± ( t ) = H ± tV , t > ,где предполагается, что потенциал V знакоопределен, ограничен и убывает на бесконечности V ∈ ℓ ∞ ( X ) , V ( x ) → , | x | → + ∞ . (1.9)Более точно, мы рассмотрим возмущения удовлетворяющие одному из трех условий: V ∈ ℓ p ( X ); (1.10) V ∈ ℓ p, ∞ ( X ); (1.11) V ∈ ℓ ∞ ( X ) , V ( x ) = | x | − d/p (cid:18) ϑ (cid:18) x | x | (cid:19) + o (1) (cid:19) , x ∈ X, | x | → ∞ , ϑ ∈ C ( S d − ) . (1.12)Отметим, что при условии (1.9) (а значит и при любом из условий (1.10) – (1.12)) операторумножения на V компактен. Нас интересует дискретный спектр операторов H ± ( t ) = H ± tV , СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 8 t > . Предположим, что (Λ + , Λ − ) — лакуна в спектре оператора H (возможно полубеско-нечная). Поскольку возмущение V — компактный оператор в ℓ ( X ) , спектры возмущенныхоператоров H ± ( t ) , t > , в лакуне (Λ + , Λ − ) дискретны. Основным объектом исследованияявляются считающие функции N ± ( λ, τ ) := X t ∈ (0 ,τ ) dimKer( H ± ( t ) − λI ) , τ > , λ ∈ (Λ + , Λ − ) . (1.13)Правая часть в (1.13) считается бесконечной, если найдется бесконечное число точек t ∈ (0 , τ ) в которых dimKer( H ± ( t ) − λI ) > . Из вариационных соображений вытекает следующееутверждение (принцип Бирмана-Швингера, см., например, [11]). Предложение 1.2.
Пусть H — самосопряженный оператор в ℓ ( X ) , V — неотрицатель-ный компактный оператор в ℓ ( X ) , σ ( H ) ∩ (Λ + , Λ − ) = ∅ . Тогда справедливо равенство N ± ( λ, τ ) = n ± ( τ − , V / ( λI − H ) − V / ) , τ > , λ ∈ (Λ + , Λ − ) . (1.14)Из предложения 1.2 вытекает, что величины N ± ( λ, τ ) , τ > , λ ∈ (Λ + , Λ − ) , конечны и моно-тонны по λ . Следовательно, N ± ( λ, τ ) можно определить и при λ = Λ ± , как предел (возможнобесконечный) N ± (Λ ± , τ ) := lim λ → Λ ± ± N ± ( λ, τ ) , τ > .
5. Основной результат.
На протяжении этого пункта мы предполагаем выполненными условия периодичности (1.1) и (1.2) ; кроме того предполагается, что (Λ + , Λ − ) — лакуна в спектре оператора H (воз-можно полубесконечная); неотрицательный потенциал V удовлетворяет одному из усло-вий (1.10)–(1.12).Ниже мы покажем, что при условиях (1.10) либо (1.11) и некоторых предположениях о по-ведении зонных функций спектр возмущенного оператора в лакуне (Λ + , Λ − ) конечен; будетдана оценка величин N ± (Λ ± , τ ) . Мы покажем, что при условии (1.12) справедливы асимпто-тики (0.2), и асимптотические коэффициенты Γ ± p ( λ, H, V ) = Γ ± p ( λ ) определяются равенствами Γ ± p ( λ ) := 1 d (2 π ) d ν X s =1 Z T d ( λ − E s ( k )) − p ± dk Z S d − ϑ p ( θ ) dS ( θ ) , λ ∈ [Λ + , Λ − ] . (1.15)При всех λ ∈ (Λ + , Λ − ) величины Γ ± p ( λ ) конечны. Отметим, что величины Γ ± p (Λ ± ) конечны,если выполнены (соответственно) условия (Λ ± − E s ( · )) − ± ∈ L κ ( T d ) , s = 1 , . . . , ν, где κ = p, p > , κ = 1 , p ∈ (0 , , κ > , p = 1 . (1.16)При p > кроме условий (1.16) нам понадобятся и более слабые условия (Λ ± − E s ( · )) − ± ∈ L p, ∞ ( T d ) , s = 1 , . . . , ν. (1.17)Следующие две теоремы дают оценки считающей функции N ± (Λ ± , τ ) , τ > . СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 9
Теорема 1.3.
Пусть при некотором p ∈ (1 , + ∞ ) выполнены условия (1.10) и (1.17 ± ) . Тогдаспектр оператора H ± ( t ) , t > , в лакуне (Λ + , Λ − ) конечен и справедливы оценки N ± (Λ ± , τ ) C ( p, d, ν ) τ p ν X s =1 k (Λ ± − E s ( · )) − ± k pL p, ∞ k V k pℓ p , τ > (1.18) N ± (Λ ± , τ ) = o ( τ p ) , τ → + ∞ . (1.19)Здесь и далее формулы в тексте часто снабжены индексами « + » и « − ». В этом случае(если особо не оговорено другое) их следует читать независимо для каждого из двух индексов.Если мы хотим специально выделить случай одного знака, мы указываем его при сслылке насоответствующую формулу, например условие (1.16 + ) и т.п. Теорема 1.4.
Пусть при некотором p ∈ (0 , + ∞ ) выполнены условия (1.11) и (1.16 ± ) . Тогдаспектр оператора H ± ( t ) , t > , в лакуне (Λ + , Λ − ) конечен и справедлива оценка N ± (Λ ± , τ ) C ( p, κ , d, ν ) τ p ν X s =1 k (Λ ± − E s ( · )) − ± k pL κ k V k pℓ p, ∞ , τ > . (1.20) Если дополнительно V ∈ ℓ p, ∞ ( X ) , то N ± (Λ ± , τ ) = o ( τ p ) , τ → + ∞ . Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 1.5.
Пусть при некотором p ∈ (0 , + ∞ ) выполнено условие (1.12) . Тогда при всех λ ∈ (Λ + , Λ − ) имеют место асимптотики N ± ( λ, τ ) = τ p (Γ ± p ( λ ) + o (1)) , τ → + ∞ . (1.21) Если, кроме того, выполнено условие (1.16 ± ) , то асимптотика (1.21 ± ) верна и при λ = Λ ± . При ненулевом возмущении коэффициент Γ + p ( λ ) положителен, если λ лежит во внутрен-ней лакуне или в правой полубесконечной лакуне; аналогично коэффициент Γ − p ( λ ) положи-телен, если λ лежит во внутренней лакуне или в левой полубесконечной лакуне. Разумеется N + ( λ, τ ) = Γ + p ( λ ) = 0 при λ Λ min , и N − ( λ, τ ) = Γ − p ( λ ) = 0 при λ > Λ max .Поведение зоных функций E s ( k ) на краю лакуны изучалось в [32], [30]. Нам потребуетсяследующее определение регулярности края лакуны. Левый край лакуны (Λ + , Λ − ) назовем регулярным, если точка Λ + содержится в образетолько одной зонной функции E N − ( k ) , k ∈ T d , и равенство E N − ( k ) = Λ + достигается вконечном числе точек k j ∈ T d , j = 1 , ..., M , каждая из которых есть невырожденная точкамаксимума для E N − ( · ) , т.е. Λ + − E N − ( k ) = q j ( k − k j ) + O ( | k − k j | ) , k → k j , j = 1 , ..., M, где q j — положительно определенная квадратичная форма. Аналогичным образом определя-ется регулярность правого края лакуны. Если край лакуны Λ ± регулярен, то (Λ ± − E s ( · )) − ± ∈ L κ ( T d ) , s = 1 , ..., ν, ∀ κ < d ± − E s ( · )) − ± ∈ L κ , ∞ ( T d ) , s = 1 , ..., ν, ∀ κ d . СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 10
Таким образом, из теорем 1.3 и 1.4 следует утверждение.
Следствие 1.6. Пусть d > и при некотором p ∈ (0 , d ) выполнено условие (1.11) , икрай лакуны Λ ± регулярен. Тогда спектр оператора H ± ( t ) , t > , в лакуне (Λ + , Λ − ) конечени справедлива оценка N ± (Λ ± , τ ) C ± ( p, d, H, G ) k V k pℓ p, ∞ τ p , τ > . Если дополнительно V ∈ ℓ p, ∞ ( X ) , то N ± (Λ ± , τ ) = o ( τ p ) , τ → + ∞ . Пусть выполнено условие V ∈ ℓ d/ ( X ) , d > , и край лакуны Λ ± регулярен. Тогда спектроператора H ± ( t ) , t > , в лакуне (Λ + , Λ − ) конечен и справедливы оценки N ± (Λ ± , τ ) C ± ( p, d, H, G ) k V k d/ ℓ d/ τ d/ , τ > N ± (Λ ± , τ ) = o ( τ d/ ) , τ → + ∞ . Аналогично, из теоремы 1.5 вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.7.
Пусть при некоторых d > , p ∈ (0 , d ) , выполнено условие (1.12) , и левый ( или правый ) край лакуны регулярен. Тогда асимптотика (1.21 + ) ( или (1.21 − )) справедливапри λ = Λ + ( при λ = Λ − ) . Из результатов работ Коротяева, Сабуровой ([32], теорема 1.2; [30], теорема 2.1) следует, чтопри условиях (1.1), (1.2) нижний край спектра Λ min оператора H регулярен. Таким образом,из следствий 1.6 и 1.7 вытекает следующее утверждение. Теорема 1.8. Пусть при некоторых d > , p ∈ (0 , d ) выполнено условие (1.11) . Тогдаспектр оператора H − ( t ) , t > , левее точки Λ min конечен и справедлива оценка N − (Λ min , τ ) C ( p, d, H, G ) k V k pℓ p, ∞ τ p , τ > . (1.22) Если дополнительно V ∈ ℓ p, ∞ ( X ) , то N − (Λ min , τ ) = o ( τ p ) , при τ → + ∞ . Если V ∈ ℓ d/ ( X ) , d > , то спектр оператора H − ( t ) , t > , левее точки Λ min конечен исправедливы оценки N − (Λ min , τ ) C ( p, d, H, G ) k V k d/ ℓ d/ τ d/ , τ > (1.23) N − (Λ min , τ ) = o ( τ d/ ) , τ → + ∞ . (1.24)3) Пусть при некоторых d > , p ∈ (0 , d ) выполнено условие (1.12) . Тогда спектр оператора H − ( t ) , t > , левее точки Λ min конечен и асимптотика (1.21 − ) справедлива при всех λ Λ min . Комментарии. • Теоремы 1.3–1.5 и следствия 1.6, 1.7 справедливы для произвольного опе-ратора H = U ∗ Φ ∗ [ h ( k )]Φ U , где h ( k ) — самосопряженная ν × ν -матрица-функция непрерывнаяпо k ∈ T d . • Оценки (1.22)-(1.24) в случае G = Z d , H = ∆ были получены в работах Левина, Розенблюмаи Соломяка [34], [44], [45], а также в работе Баха [4]. В работе Розенблюма, Соломяка [43] СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 11 оценки (1.22)-(1.24) были получены для общего графа G и весового оператора Лапласа H награфе G . Граф G не предполагался периодическим; требовалось, чтобы ядро оператора e − tH , t > , удовлетворяло определенным условиям при больших t . • Порядок асимптотики (1.21) отличается от порядка асимптотики (0.5). Асимптотическийкоэффициент зависит от точки наблюдения λ . «Вейлевская» природа асимптотики (1.21)становится ясна, если поменять ролями координаты и квазиимпульсы. • Разумеется, для полубесконечных лакун (1.6) суммарная кратность спектра оператора H − ( τ ) в лакуне ( −∞ , Λ min ) совпадает с величиной N − (Λ min , τ ) ; суммарная кратность спектраоператора H + ( τ ) в лакуне (Λ max , + ∞ ) совпадает с величиной N + (Λ max , τ ) . • При d = 2 в случае регулярного левого (или правого) края лакуны теоремы 1.3, 1.4, а такжетеорема 1.5 при λ = Λ ± ничего не дают, т.к. условия (1.16), (1.17) заведомо не выполнены. • Порядок асимптотики (1.21) во внутренней точке спектральной лакуны оператора H независит от знака возмущения. • Операторы H + ( t ) , H − ( t ) , t > , входят симметрично в теоремы 1.3, 1.4 и 1.5. Однакоустройство левого и правого краев спектральной лакуны оператора H может быть разным,а потому поведение величины N + (Λ + , τ ) может, вообще говоря, отличаться от поведениявеличины N − (Λ − , τ ) . • В случае двудольного графа (графа, вершины которого распадаются на два непересека-ющихся класса, причем ребра соединяют лишь вершины разных классов) спектр оператораЛапласа ∆ симметричен относительно его середины, и правый край спектра оператора H = ∆ также регулярен (см. [38], [32]) . В этом случае справедлив аналог теоремы 1.8 для правогокрая лакуны. 2. Предварительные сведения
Пусть заданы матрицы-функции f ( k ) , V ( n ) , g ( k ) , n ∈ Z d , k ∈ T d := [ − π, π ] d , согласованныхпорядков с тем, чтобы произведение G ( k, n ) := f ( k ) V ( n ) g ( k ) представляло собой m × m -матрицу. Пусть, как и выше, Φ — дискретное преобразование Фурье, определенное равенством(1.4). Рассмотрим дискретный ПДО f Φ V Φ ∗ g , действующий из L ( T d , C m ) в L ( T d , C m ) .Ниже даны необходимые оценки и асимптотики сингулярных чисел оператора f Φ V Φ ∗ g . Такиевопросы изучались во многих работах для оператора ˜ f F ˜ V F ∗ ˜ g , где ˜ f ( k ) , ˜ V ( ξ ) , ˜ g ( k ) , k ∈ T d , ξ ∈ R d , — матрицы-функции, согласованных порядков, F — преобразование Фурье в L ( R d ) .Мы следуем идеям работ М. Ш. Бирмана, М. З. Соломяка [16], [7], [8], а так же работы [49].При оценке сингулярных чисел оператора f Φ V Φ ∗ g мы пользуемся приемом из [45].
1. Необходимые сведения о компактных операторах.
Для произвольного компактногооператора A , действующего из гильбертова пространства H в гильбертово пространство H ,обозначим через s m ( A ) , m ∈ N , сингулярные числа оператора A (т.е. последовательные соб-ственные значения оператора | A | := ( A ∗ A ) / ). Определим n ( s, A ) := { m ∈ N : s m ( A ) > s } — СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 12 функцию распределения сингулярных чисел оператора A . Для самосопряженного компакт-ного оператора A в гильбертовом пространстве H верно равенство n ± ( s, A ) = n ( s, A ± ) , где A ± := ( | A | ± A ) / . Справедливо несколько очевидных соотношений: n ( s, A ∗ A ) = n ( √ s, A ) = n ( √ s, A ∗ ) = n ( s, AA ∗ ) , s > n ( s, A ) = n + ( s, A ) + n − ( s, A ) , s > , A = A ∗ ; n ( s, A ) = n + ( s, A ) , s > , A > . Для функции распределения s -чисел суммы двух компактных операторов A и B справедливонеравенство Фань-Цюя (см., например, [10], §11.1, п.3) n ( s + t, A + B ) n ( s, A ) + n ( t, B ) , s, t > . (2.1)Отметим используемое в дальнейшем «вариационное» свойство функции распределения n ± ( s, A ) самосопряженного компактного оператора A в гильбертовом пространстве H (см.,например, [10], §10.2, п.2): n ± ( s, A ) = sup { dim F , F ⊂ H : ± ( A u, u ) > s k u k , ∀ u ∈ F \ { }} . (2.2)Класс S p, ∞ ( H , H ) (см., например, [6]) выделяется условием конечности функционала k A k S p, ∞ := sup s> sn /p ( s, A ) . Пространство S p, ∞ полно относительно квазинормы k · k S p, ∞ , вообще говоря, несепарабельнои содержит сепарабельное подпространство S p, ∞ := { A ∈ S p, ∞ : n ( s, A ) = o ( s − p ) , s → +0 } , в котором плотно множество операторов конечного ранга. На пространстве S p, ∞ определенынепрерывные (см., например, [9]) функционалы D p ( A ) := lim sup s → s p n ( s, A ); d p ( A ) := lim inf s → s p n ( s, A ) . Отметим, что равенство D p ( A ) = d p ( A ) означает справедливость асимптотики n ( s, A ) ∼ s − p D p ( A ) , s → +0 . На множестве самосопряженных операторов из S p, ∞ непрерывны функционалы D ± p ( A ) :=lim sup s → +0 s p n ± ( s, A ) , d ± p ( A ) := lim inf s → +0 s p n ± ( s, A ) . В некоторых формулировках будетиспользоваться обозначение D p ( A ) для любого из функционалов D p ( A ) , D ± p ( A ) , d p ( A ) , d ± p ( A ) .При этом случай D p ( A ) = D ± p ( A ) , d ± p ( A ) автоматически подразумевает равенство A = A ∗ .Нетрудно видеть, что для оператора A ∈ S p, ∞ включение A ∈ S p, ∞ эквивалентно равенству D p ( A ) = 0 . Отметим используемое в дальнейшем свойство (см., например, [9]) D p ( A + K ) = D p ( A ) , D = D , D ± , d , d ± , A ∈ S p, ∞ , K ∈ S p, ∞ . Нам понадобится следующее утверждение (см., например, [10], §11.6, п.3).
Предложение 2.1.
Если выполнены условия A ∈ S p, ∞ , B ∈ S q, ∞ , то верно включение AB ∈ S r, ∞ , где r − = p − + q − ; СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 13 при этом справедливо неравенство k AB k S r, ∞ C ( p, q ) k A k S p, ∞ k B k S q, ∞ . Если дополнительно A ∈ S p, ∞ или B ∈ S q, ∞ , то AB ∈ S r, ∞ .
2. Оценки типа Цвикеля для окаймленного дискретного преобразования Фурье.
Пусть ( X , d̺ ) и ( Y , dτ ) — два сепарабельных измеримых пространства с σ -конечными мерами.Предположим T : L ( Y , dτ ) → L ( X , d̺ ) — линейный ограниченный интегральный операторс ядром t ( · , · ) ∈ L ∞ ( X × Y , d̺ × dτ ) . Нас интересуют условия ограниченности, компактности,а также оценки сингулярных чисел оператора f T g при подходящих измеримых весах f : X → C , g : Y → C . Ответ на эти вопросы дает обобщенная оценка Цвикеля (см. [16]): Теорема 2.2.
Пусть ( f, g ) ∈ L p, ∞ ( X , d̺ ) × L p ( Y , dτ ) при p > . Тогда справедливы включение f T g ∈ S p, ∞ и оценка k f T g k S p, ∞ C ( p ) k T k − p k t k p L ∞ k f k L p, ∞ k g k L p . Если дополнительно ̺ f ( s ) = o ( s − p ) , s → +0 , то f T g ∈ S p, ∞ . Разумеется, условия на веса f и g можно поменять местами. Далее отметим, что для m × m -матричного потенциала W ∈ ℓ ∞ ( Z d ) , убывающего набесконечности, оператор [ W ( n )] компактен. Более того, справедливо следующее утверждение. Замечание 2.3.
Если W ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) , то [ W ( n )] ∈ S p, ∞ , k [ W ( n )] k S p, ∞ C ( m , m ) k W k ℓ p, ∞ .Если W ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) , то [ W ( n )] ∈ S p, ∞ . Рассмотрим прямоугольные матрицы-функции согласованных порядков f ( k ) , k ∈ T d , W ( n ) , n ∈ Z d . Следующее утверждение дает условия компактности, а также оценки син-гулярных чисел оператора f Φ W (оценку типа Цвикеля). Предложение 2.4.
Пусть верны включения f ∈ L q ( T d ) , W ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) , где p ∈ (0 , + ∞ ) и а) q = p при p ∈ (2 , + ∞ ) ; б) q = 2 при p ∈ (0 , ; в) q > при p = 2 .Тогда справедливы включение f Φ W ∈ S p, ∞ и оценка k f Φ W k S p, ∞ C k f k L q k W k ℓ p, ∞ . (2.3) Константа C = C ( p, q, d ) в оценке (2.3) зависит также от порядков матриц f и W . Еслидополнительно W ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) , то f Φ W ∈ S p, ∞ .Доказательство. Достаточно рассмотреть случай скалярных функций f ( k ) , W ( n ) .1) При p ∈ (2 , + ∞ ) требуемые утверждения вытекают из теоремы 2.2.2) В случае p ∈ (0 , для проверки включения f Φ W ∈ S p, ∞ и оценки (2.3) используютсяаргументы работы [45]. Именно, в силу включения ℓ p, ∞ ( Z d ) ⊂ ℓ ( Z d ) , p ∈ (0 , , оператор СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 14 f Φ W — класса Гильберта-Шмидта. Достаточно проверять включение f Φ W ∈ S p, ∞ и оценку(2.3) в предположении k f k L = 1 . Разобьем функицю W на две части W = W s + W s , s > ;здесь W s ( n ) = W ( n ) , если | W ( n ) | s , и W s ( n ) = 0 , если | W ( n ) | > s . Обозначив через dµ считающую меру на Z d , отметим элементарные свойства (cid:26) µ W s ( σ ) = 0 , σ > s,µ W s ( σ ) µ W ( σ ) , σ < s ; rank W s = µ W ( s ) , s > . (2.4)В силу (2.1) справедливо неравенство n ( s, f Φ W ) n ( s , f Φ W s ) + n ( s , f Φ W s ) , s > . (2.5)Поскольку W s — оператор конечного ранга (см. (2.4)), первое слагаемое в правой части (2.5)допускает оценку n ( s , f Φ W s ) µ W ( s ) k W k pℓ p, ∞ s − p , s > . (2.6)Поскольку W s ∈ ℓ , второе слагаемое в правой части (2.5) удовлетворяет неравенству n ( s , f Φ W s ) s − k f Φ W s k S = 4 s − (2 π ) − d k W s k ℓ (2.7)Остается заметить, что из (2.4) вытекают соотношения k W s k ℓ = 2 + ∞ Z σµ W s ( σ ) dσ s Z σµ W ( σ ) dσ − p k W k pℓ p, ∞ s − p . (2.8)Теперь включение f Φ W ∈ S p, ∞ и оценка (2.3) вытекают из (2.5) – (2.8).3) Наконец, в случае p = 2 воспользуемся равенством k f Φ W k , ∞ = k f Φ | W | θ | W | θ Φ ∗ ¯ f k , ∞ , θ + θ = 1 , θ = 1 /q. Остается применить к операторам f Φ | W | θ , | W | θ Φ ∗ ¯ f оценку (2.3) для случаев p = 1 /θ ∈ (0 , и p = 1 /θ = q > , соответственно, и воспользоваться предложением 2.1. (cid:3) Предложение 2.5.
Пусть при некотором p ∈ (2 , + ∞ ) выполнены условия f ∈ L p, ∞ ( T d ) , W ∈ ℓ p ( Z d ) . Тогда справедливы включение f Φ W ∈ S p, ∞ и оценка k f Φ W k S p, ∞ C ( p, d ) k f k L p, ∞ k W k ℓ p . (2.9) Константа C ( p, d ) в оценке (2.9) зависит от порядков матриц f и W .Доказательство. При проверке предложения 2.5 достаточно, как и выше, рассмотреть слу-чай скалярных функций f ( k ) , k ∈ T d , W ( n ) , n ∈ Z d . требуемые утверждения вытекают изтеоремы 2.2 и оценки mes { k ∈ T d : | f ( k ) | > s } = o ( s − p ) , s → +0 . (cid:3) Из предложений 2.4 и 1.1 вытекает утверждение.
Следствие 2.6.
Пусть выполнены условия W ( n ) = O ( | n | − d/p ) , p > , f ∈ L q ( T d ) , где q такое же, как в предложении . Тогда справедливо включение f Φ W Φ ∗ ∈ S p, ∞ . Приведем свойство приближенного коммутирования операторов f и Φ W Φ ∗ при подходя-щих f и W (близкий, но технически более сложный результат для непрерывного случая былдоказан в [49]). СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 15
Предложение 2.7.
Пусть W ( n ) , n ∈ Z d , и f ( k ) , k ∈ T d , квадратные матрицы одинаковыхпорядков; пусть при некотором p ∈ (0 , + ∞ ) справедлива асимптотика W ( n ) = | n | − d/p (cid:16) ω ( n | n | ) + o (1) (cid:17) , | n | → + ∞ . Здесь — единичная матрица, ω ∈ C ( S d − ) — скалярная функция. Пусть f ∈ L q ( T d ) , где q такое же, как в предложении . Тогда верно включение f Φ W Φ ∗ − Φ W Φ ∗ f ∈ S p, ∞ . (2.10) Доказательство.
Согласно предложению 1.1 и предложению 2.4 включение (2.10) достаточнопроверять в предположении W (0) = 0 , W ( n ) = ω ( n | n | ) | n | − d/p , n = 0 . При этом матрица W ( n ) , n ∈ Z d , пропорциональна единичной, а потому достаточно рассмотреть случай скалярныхфункций W ( n ) и f ( k ) . Теперь, в силу предложения 1.1 и предложения 2.4 включение (2.10)можно проверять, предполагая ω ∈ C ∞ ( S d − ) , f ( k ) = (2 π ) − d/ P | n | N f n e − ink , k ∈ T d , N ∈ N .Поскольку оператор Φ унитарен, включение (2.10) эквивалентно соотношению Φ ∗ f Φ W − W Φ ∗ f Φ ∈ S p, ∞ . (2.11)Доопределим f n = 0 при | n | > N . Оператор Φ ∗ f Φ — интегральный (сумматорный) операторс ядром (2 π ) − d/ f n − m , т.е. Φ ∗ f Φ u ( n ) = (2 π ) − d/ X m ∈ Z d : | n − m | N f n − m u ( m ) , u ∈ ℓ ( Z d ) . Следовательно, оператор Φ ∗ f Φ W − W Φ ∗ f Φ — интегральный оператор с ядром (2 π ) − d/ f n − m ( W ( m ) − W ( n )) , m, n ∈ Z d ; отсюда нетрудно вывести равенство Φ ∗ f Φ W − W Φ ∗ f Φ = (2 π ) − d/ X | t | N f t S − t [ W ( n ) − W ( n + t )] . (2.12)Здесь S a u ( x ) = u ( x + a ) , a ∈ Z d , — унитарный оператор сдвига в ℓ ( Z d ) . Остается заметить, чтосправедлива оценка W ( n ) − W ( n + t ) = o ( | n | − d/p ) , | n | → + ∞ , t ∈ Z d . Последнее соотношениевместе с (2.12) предложением 1.1 и замечанием 2.3 приводит к (2.11). (cid:3)
3. Асимптотика сингулярных чисел дискретного ПДО отрицательного порядка.
Ниже f ( k ) , V ( n ) , g ( k ) , k ∈ T d , n ∈ Z d , — прямоугольные матрицы-функции согласованныхпорядков. Теорема 2.8.
Пусть выполнены условия V ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) , f ∈ L q ( T d ) , g ∈ L q ( T d ) ; здесь p ∈ (0 , + ∞ ) и а) если p ∈ (1 , + ∞ ) , то q , q ∈ (2 , + ∞ ] , /q + 1 /q = 1 /p ; б) если p ∈ (0 , , то q = q = 2 , в) если p = 1 , то либо q = 2 , q > , либо q = 2 , q > . СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 16
Тогда справедливы включение f Φ V Φ ∗ g ∈ S p, ∞ и оценка k f Φ V Φ ∗ g k S p, ∞ C k f k L q k g k L q k V k ℓ p, ∞ . (2.13) Константа C в (2.13) зависит от p, q , q , d и от порядка матриц f , V и g . Если дополни-тельно V ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) , то f Φ V Φ ∗ g ∈ S p, ∞ .Доказательство. Достаточно рассмотреть скалярный случай. Воспользуемся разложением f Φ V Φ ∗ g = f Φ | V | θ V | V | | V | θ Φ ∗ g, θ + θ = 1 . При p ∈ (1 , + ∞ ) положим θ i = p/q i , i = 1 , ; при p ∈ (0 , выберем θ = θ = 1 / ; вслучае p = 1 (и, например, q = 2 , q > ) выберем θ = p/q , θ = 1 − θ . Далее, применимк операторам f Φ | V | θ и | V | θ Φ ∗ g предложение 2.4 и, учитывая предложение 2.1, получимтребуемые утверждения. (cid:3) Из предложения 2.7 и теоремы 2.8 вытекает следующее утверждение.
Следствие 2.9.
Пусть выполнены условия теоремы и дополнительно V ( n ) = | n | − d/p (cid:16) v ( n | n | ) + o (1) (cid:17) , v ∈ C ( S d − ) , (2.14) и носители функций f и g не пересекаются. Тогда справедливо включение f Φ V Φ ∗ g ∈ S p, ∞ . (2.15) Доказательство.
Достаточно рассмотреть случай скалярных функций f ( k ) , V ( n ) , g ( k ) , k ∈ T d , n ∈ Z d . Далее, предположим для определенности q < ∞ . Согласно теореме 2.8, доста-точно проверять (2.15) при f ∈ C ∞ ( T d ) , g ∈ L ∞ ( T d ) ; в этих предположениях (2.15) вытекаетиз предложения 2.7. (cid:3) Ниже для произвольной матрицы B положим Λ p ( B ) := P k s pk ( B ) , p ∈ (0 , + ∞ ) . Теорема 2.10.
Пусть выполнены условия теоремы , q , q < ∞ , и справедливо соотно-шение (2.14) . Тогда имеет место асимптотика s -чисел D p ( f Φ V Φ ∗ g ) = d p ( f Φ V Φ ∗ g ) = 1 d (2 π ) d Z T d dk Z S d − Λ p ( f ( k ) v ( θ ) g ( k )) dS ( θ ) . (2.16) Доказательство.
При d = 1 теорема 2.10 была доказана в работах [24], [36]. Здесь мы приве-дем доказательство для произвольной размерности. Как и выше, можно ограничиться случа-ем V ( n ) = v ( n | n | ) | n | − d/p , n = 0 , V (0) = 0 . В силу теоремы 2.8 асимптотические коэффициенты D p ( f Φ V Φ ∗ g ) , d p ( f Φ V Φ ∗ g ) непрерывны относительно коэффициентов f , v , g в пространстве L q ( T d ) × C ( S d − ) × L q ( T d ) . С другой стороны правая часть в (2.16) также непрерывна относи-тельно коэффициентов f , v , g в пространстве L q ( T d ) × C ( S d − ) × L q ( T d ) . Следовательно, до-статочно проверить (2.16), для v ∈ C ∞ ( S d − ) и простых функций f = P f k D k , g = P g k D k , СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 17 отвечающих конечному разбиению куба T d на пересекающиеся только по границе кубы { D k } .В этом случае справедливо равенство f Φ V Φ ∗ g = X k,l f k D k Φ V Φ ∗ g l D l . (2.17)При k = l слагаемые в (2.17) принадлежат классу S p, ∞ (см. (2.15)). Таким образом, выпол-нено равенство D p ( f Φ V Φ ∗ g ) = D p ( X k f k D k Φ V Φ ∗ g k D k ) = X k D p ( f k D k Φ V Φ ∗ g k D k ) , D p ( T ) = lim s → s p n ( s, T ) . (2.18)Доопределим матрицу-функцию V ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) во всем пространстве R d равенством V ( ξ ) = ζ ( | ξ | ) v ( ξ/ | ξ | ) | ξ | − d/p , ξ ∈ R d ; здесь ζ ( | ξ | ) — подходящая гладкая срезка в нуле. Обозначим (как и выше) через F унитарноепреобразование Фурье в L ( R d ) : F u ( x ) = (2 π ) − d/ Z R d e − ixy u ( y ) dy, u ∈ L ( R d ) . В работе [8] (пп. 14–18) было доказано соотношение T d Φ V Φ ∗ T d − T d F V F ∗ T d ∈ S p, ∞ . Следовательно, справедливо включение f k D k Φ V Φ ∗ D k g k − D k F f k V g k F ∗ D k ∈ S p, ∞ . (2.19)В работах [7], [8] была найдена асимптотика D p ( D k F f k V g k F ∗ D k ) = (2 π ) − d d − Z S d − dS ( θ ) Z D k Λ p ( f k v ( θ ) g k ) dx. (2.20)Сравнивая (2.20), (2.19) и (2.18) приходим к (2.16). (cid:3) Доказательство теорем 1.3, 1.4 и 1.5
Для определенности мы будем проверять оценки и асимптотики для величины N + ( λ, τ ) , λ ∈ [Λ + , Λ − ) , τ > , в случае внутренней лакуны (Λ + , Λ − ) в спектре σ ( H ) , удовлетворяющейпри некотором N ∈ { , . . . , ν } условию (1.7).
1. Предварительные замечания.
1) При условиях (1.1), (1.2) и (1.9) (они справедливыдля любой из теорем 1.3, 1.4, 1.5) считающая функция N + ( λ, τ ) удовлетворяет равенству(1.14 + ). Обозначив для краткости E + := E H ( −∞ , Λ + ] , из (1.14 + ) и вариационного свойства(2.2) выведем оценку N + ( λ, τ ) n ( τ − , V / E + ( λI − H ) − E + V / ) == n ( τ − , V / E + ( λI − H ) − E + V / ) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) . (3.1)Здесь H = U H U ∗ , V = U V U ∗ , E + = U E + U ∗ = E H ( −∞ , Λ + ] , унитарный оператор U : ℓ ( X ) → ℓ ( Z d ; C ν ) определен равенством (1.3). СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 18
Согласно представлению (1.5) оператор H унитарно эквивалентен оператору в L ( T d ; C ν ) умножения на некоторую матрицу-функцию h ( k ) , k ∈ T d . Пусть, как и выше, { E s ( k ) } νs =1 —собственные значения матрицы h ( k ) , занумерованные с учетом кратности в порядке неубыва-ния. Пусть { ϕ s ( k ) } νs =1 — ортонормированный базис из собственных векторов матрицы h ( k ) ,отвечающих собственным числам { E s ( k ) } νs =1 ; P s ( k ) := ( · , ϕ s ( k )) ϕ s ( k ) , s = 1 , . . . , ν . Из пред-ставления (1.5) следует равенство V / E + ( λ − H ) − E + V / = N − X s =1 Υ ∗ s ( λ )Υ s ( λ ) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) , (3.2)где операторы Υ s ( λ ) : ℓ ( Z d ; C ν ) → L ( T d ; C ν ) определены равенствами Υ s ( λ ) := [( λ − E s ( k )) − / P s ( k )]Φ V / , s = 1 , . . . , N − , λ ∈ [Λ + , Λ − ) . Здесь Φ — дискретное преобразование Фурье, определенное равенством (1.4).2) Если операторы Υ s (Λ + ) , s = 1 , . . . , N − компактны, то в силу соотношений ( λ − E s ( k )) − (Λ + − E s ( k )) − , s = 1 , . . . , N − , k ∈ T d , справедливы операторные неравенства Υ ∗ s ( λ )Υ s ( λ ) Υ ∗ s (Λ + )Υ s (Λ + ) , s = 1 , . . . , N − , λ ∈ (Λ + , Λ − ) . (3.3)Из (3.1), (3.2) и (3.3) вытекает оценка N + ( λ, τ ) n ( τ − , N − X s =1 Υ ∗ s (Λ + )Υ s (Λ + )) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) , которая, при переходе к пределу при λ → Λ + + 0 , дает неравенство N + (Λ + , τ ) n ( τ − , N − X s =1 Υ ∗ s (Λ + )Υ s (Λ + )) . (3.4)3) Отметим, что оператор V = U V U ∗ есть оператор умножения на матрицу-функцию в Z d V ( n ) = V ( x + n ) 0 . . . V ( x + n ) . . . ... ... . . . ... . . . V ( x ν + n ) , n ∈ Z d . Следовательно, из условия (1.10) вытекают соотношения V ∈ ℓ p ( Z d ) , k V k pℓ p = k V k pℓ p ; (3.5)из условия (1.11) — соотношения V ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) , k V k pℓ p, ∞ C ( ν ) k V k pℓ p, ∞ ; (3.6)наконец, из условия (1.12) — асимтотика V ( n ) = | n | − d/p (cid:18) ϑ ( n | n | ) + o (1) (cid:19) , | n | → + ∞ . (3.7) СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 19
2. Доказательство теоремы 1.3.
В соответствии с замечаниями предыдущего пункта, вусловиях теоремы 1.3 справедливы утверждения (1.17 + ) и (3.5). Следовательно, согласнопредложению 2.5, операторы Υ s (Λ + ) ∈ S p, ∞ , s = 1 , . . . , N − , и верны неравенства k Υ s (Λ + ) k p S p, ∞ C ( p, d, ν ) k (Λ + − E s ( · )) − k pL p, ∞ k V k pℓ p , s = 1 , . . . , N − . (3.8)Оценки (1.18 + ) и (1.19 + ) вытекают из (3.4), включений Υ s (Λ + ) ∈ S p, ∞ и (3.8). (cid:3)
3. Доказательство теоремы 1.4.
Согласно замечаниям пункта 1, в условиях теоремы 1.4справедливы утверждения (1.16 + ) и (3.6). Следовательно, в силу предложения 2.4, вернысоотношения Υ s (Λ + ) ∈ S p, ∞ , k Υ s (Λ + ) k p S p, ∞ C ( p, d, ν, κ ) k (Λ + − E s ( · )) − k pL κ k V k pℓ p, ∞ , (3.9)при всех s = 1 , . . . , N − . Оценка (1.20 + ) вытекает из (3.4) и (3.9).Если дополнительно V ∈ ℓ p, ∞ ( X ) , то V ∈ ℓ p, ∞ ( Z d ) , а потому (в силу предложения2.4) справедливы включения Υ s (Λ + ) ∈ S p, ∞ , s = 1 , . . . , N − , а значит и включение P N − s =1 Υ ∗ s (Λ + )Υ s (Λ + ) ∈ S p, ∞ . Последнее вместе с (3.4) и означает N + (Λ + , τ ) = o ( τ p ) , τ → + ∞ . (cid:3)
4. Доказательство теоремы 1.5. Случай λ ∈ (Λ + , Λ − ) . Как и выше, разберем болеетрудный случай внутренней лакуны (Λ + , Λ − ) в спектре оператора H , удовлетворяющей принекотором N ∈ { , . . . , ν } условию (1.7). При таких условиях равенство (1.15 + ) принимаетвид Γ + p ( λ ) := (2 π ) − d d − N − X s =1 Z T d ( λ − E s ( k )) − p dk Z S d − ϑ p ( θ ) dS ( θ ) , λ ∈ [Λ + , Λ − ] . Из равенства (1.14 + ) и вариационного свойства (2.2) вытекают оценка сверху (3.1) и оценка снизу N + ( λ, τ ) > n + ( τ − , E + V / ( λI − H ) − V / E + ) == n + ( τ − , E + V / ( λI − H ) − V / E + ) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) , τ > . (3.10)В условиях теоремы 1.5 оператор V / принадлежит классу S p, ∞ . Таким образом, из (3.1) и(3.10) следует, что для обоснования (1.21 + ) достаточно проверить равенства d + p ( E + V / ( λI − H ) − V / E + ) = D + p ( V / E + ( λI − H ) − E + V / ) = Γ + p ( λ ) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) . (3.11)Согласно (1.5) имеет место представление E + = Φ ∗ [ P + ( k )]Φ , где P + ( k ) := P N − s =1 P s ( k ) ; приэтом в условиях теоремы 1.5 справедлива асимптотика (3.7). Из предложения 2.7 вытекаетвключение E + V / − V / E + ∈ S p, ∞ , а потому верно E + V / ( λI − H ) − V / E + − V / E + ( λI − H ) − E + V / ∈ S p, ∞ , λ ∈ (Λ + , Λ − ) . (3.12)С учетом (3.12) можно заменить (3.11) на эквивалентное выражение d p ( V / E + ( λI − H ) − E + V / ) = D p ( V / E + ( λI − H ) − E + V / ) = Γ + p ( λ ) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) . (3.13) СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 20
Поскольку оператор E + ( λI − H ) − E + положительно определен, соотношения (3.13) равно-сильны равенствам d p ( E + ( λI − H ) − / E + VE + ( λI − H ) − / E + ) == D p ( E + ( λI − H ) − / E + VE + ( λI − H ) − / E + ) = Γ + p ( λ ) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) . (3.14)В силу (1.5), соотношения (3.14) можно записать в виде d p ([ P + ( k )( λ − h ( k )) − / P + ( k )]Φ V Φ ∗ [ P + ( k )( λ − h ( k )) − / P + ( k )]) == D p ([ P + ( k )( λ − h ( k )) − / P + ( k )]Φ V Φ ∗ [ P + ( k )( λ − h ( k )) − / P + ( k )]) = Γ + p ( λ ) , (3.15)при λ ∈ (Λ + , Λ − ) . Остается заметить, что (3.15) вытекает непосредственно из (2.16).Случай полубесконечной лакуны разбирается аналогично (только несколько проще). Случай λ = Λ + . Проверим формулу (1.21 + ) на левом краю лакуны при условии (1.16 + ).Как и выше, разберем случай внутренней лакуны (Λ + , Λ − ) в спектре оператора H , удо-влетворяющей при некотором N ∈ { , . . . , ν } условию (1.7). Из (1.16 + ) вытекает соотно-шение Γ + p ( λ ) → Γ + p (Λ + ) , λ → Λ + + 0 . С другой стороны, при условии (1.16 + ) для любого s = 1 , . . . , N − справедливы утверждения k ( λ − E s ( · )) − / P s ( · ) k κ k (Λ + − E s ( · )) − / P s ( · ) k κ , λ ∈ (Λ + , Λ − ) , ( λ − E s ( · )) − / P s ( · ) → (Λ + − E s ( · )) − / P s ( · ) , λ → Λ + + 0 , в L κ ( T d ) . (3.16)Согласно предложению 2.4, из (3.16) следует, что оператор Υ s ( λ ) сходится при λ → Λ + + 0 в классе S p, ∞ к оператору Υ s (Λ + ) , s = 1 , . . . , N − . При этом квазинорма k Υ s ( λ ) k κ , ∞ , λ ∈ (Λ + , Λ − ) , равномерно ограничена. Следовательно (см. предложение 2.1 и (3.2)), опе-ратор V / E + ( λI − H ) − E + V / сходится при λ → Λ + + 0 в классе S p, ∞ к оператору P N − s =1 Υ ∗ s (Λ + )Υ s (Λ + ) , а потому d p N − X s =1 Υ ∗ s (Λ + )Υ s (Λ + ) ! = D p N − X s =1 Υ ∗ s (Λ + )Υ s (Λ + ) ! = Γ + p (Λ + ) . (3.17)Как и выше, в условиях теоремы 1.5 справедливо неравенство (3.4). Следовательно (в силумонотонности N + ( · , τ ) ), справедливы неравенства N + ( λ, τ ) N + (Λ + , τ ) n ( τ − , N − X s =1 Υ ∗ s (Λ + )Υ s (Λ + )) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) , τ > . (3.18)Из (3.17) и (3.18) вытекают соотношения Γ + p ( λ ) lim inf τ → + ∞ τ − p N + (Λ + , τ ) lim sup τ → + ∞ τ − p N + (Λ + , τ ) Γ + p (Λ + ) , λ ∈ (Λ + , Λ − ) . (3.19)Переходя в (3.19) к пределу при λ → Λ + + 0 , получим lim τ → + ∞ τ − p N + (Λ + , τ ) = Γ + p (Λ + ) . (cid:3) СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 21
Список литературы [1] Alama S., Deift P. A., Hempel R., “Eigenvalue Branches of the Schr¨odinger Operator H − λW in a Gap of σ ( H ) ”,Commun. Math. Phys., (1989), 291–321[2] K. Ando, H. Isozaki and H. Morioka, Spectral Properties of Schrdinger Operators on Perturbed Lattices, Ann.Henri Poincare, Ann. Henri Poincarй 17 (2016), no. 8, 2103–2171.[3] A. Boutet de Monvel and J. Sahbani, On the spectral properties of discrete Schrodinger operators : (Themultidimensional case), Rev. Math. Phys. 11 (1999), 1061—1078.[4] Bach V., de Siqueira Pedra W., Lakaev S. N., “Bounds on the discrete spectrum of lattice Schrodinger operators”,Journal of Mathematical Physics, :2, 022109 (2018), https://doi.org/10.1063/1.5006641[5] Бирман М. Ш., “Дискретный спектр периодического оператора Шредингера возмущенного убывающимпотенциалом”, Алгебра и анализ, :1 (1996), 3–20[6] Бирман М. Ш., Соломяк М.З., “Оценки сингулярных чисел интегральных операторов”, Успехи мат.наук, :1 (193) (1977), 17–84[7] Бирман М. Ш., Соломяк М. З., “Асимптотика спектра псевдодифференциальных операторов с анизотропнооднородными символами”, Вестник ЛГУ, :3 (1977), 13–21[8] Бирман М. Ш., Соломяк М. З., “Асимптотика спектра псевдодифференциальных операторов с анизотропнооднородными символами”, Вестник ЛГУ, :3 (1979), 5–10[9] Бирман М. Ш., Соломяк М. З., “Компактные операторы со степенной асимптотикой сингулярных чисел”,Записки научных семинаров ЛОМИ, (1983), 21–30[10] Бирман М. Ш., Соломяк М. З., Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом про-странстве, Учеб. пособ. 2-е изд., испр. и доп. — СПб.: Издат. «Лань», 2010. — 464 с. — (Учеб. для вузов.Спец. лит-ра)[11] Birman M. Sh., “Discrete spectrum in the gaps of a continuous one for perturbation with large coupling constant,Estimates and Asimptotics for Discrete Spectra of Integral and Differential Equations”, Adv. Soviet Math., 7,Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, 57–73[12] Birman M. Sh., “Discrete spectrum of the periodic Schr¨odinger operator for non–negative perturbations”.Mathematical results in quantum mechanics (Blossin, 1993), 3–7. Operator theory Advances and Applications, Birkhauser, Basel, 1994[13] Birman M. Sh., “The discrete spectrum in gaps of the perturbed periodic Schr´odinger operator. I. Regularperturbations”, Adv. Partial Differential Equations, , Akademie Verlag, Berlin, 1995, 334–352[14] Birman M. Sh., Karadzhov G. E., Solomyak M. Z., “Boundedness Conditions and Spectrum Estimates for theOperators b ( X ) a ( D ) and Their Analogs”, Adv. in Soviet Math., (1991), 85–106[15] Birman M. Sh., Sloushch V. A., “Discrete Spectrum of the Periodic Schrodinger Operator with a VariableMetric Perturbed by a Nonnegative Potential”, Math. Model. Nat. Phenom., :4 (2010), 32–53[16] Birman M. S., Solomyak M. Z. “Negative discrete spectrum of the Schr¨odinger operator with large couplingconstant: a qualitative discussion”, Oper. Theory: Adv. Appl., (1990), 3–16[17] Birman M. S., Solomyak M. Z. “Schr¨odinger operator. Estimates for bounds States as functional-theireticalproblem”, Amer. Math. Soc. Transl. ( ) Vol. 150, 1992, 1–54[18] Castro Neto, A. H.; Guinea, F.; Peres, N. M. R.; Novoselov, K.S.; Geim, A. The electronic properties of graphene,Rev. Mod. Phys. 81(2009), 109–162.[19] Cattaneo, C. The spectrum of the continuous Laplacian on a graph, Monatsh. Math. 124 (1997), 215–235.[20] Chung, F. Spectral graph theory, American Mathematical Society, Providence, Rhode. Island, 1997.[21] Cwikel M., “Weak type estimates for singular values and the number of bound states of Schr¨odinger operators”,Ann. Mat., (1977), 93–100[22] Y. Hayashi, Y. Higuchi, Y. Nomura and O. Ogurisu, On the number of discrete eigenvalues of a discreteSchrodinger operator with a finitely supported potential, Lett. Math. Phys. 106 (2016), 1465—1478.[23] Hempl R., “On the asymptotic distribution of the eigenvalue branches of the Schr¨odinger operator H ± λW ina spectral gap of H ”, J. Reine Angew. Math., (1989), 38–59[24] Hong S. Y., Lifshits M., Nazarov A., “Small deviations in L2-norm for Gaussian dependent sequences”, ElectronicComm. Probab., :41 (2016), 1–9[25] H. Isozaki and E. Korotyaev, Inverse problems, trace formulae for discrete Schrodinger operators, Ann. HenriPoincare 13 (2012), 751—788.[26] H. Isozaki and H. Morioka, A Rellich type theorem for discrete Schrodinger operators, Inverse Prob. Imaging8 (2014), 475—489.[27] Korotyaev E., Trace formulae for Schr¨odinger operators on lattice, arXiv:1702.01388.[28] E. Korotyaev; Laptev, A. Trace formulae for Schr¨odinger operators with complex-valued potentials on cubiclattices, Bulletin of Mathematical Sciences, on line 2018[29] E. Korotyaev; J. Moller, Weighted estimates for the discrete Laplacian on the cubic lattice, arXiv:1701.03605[30] Коротяев Е. Л., Сабурова Н. Ю., “Спектральные оценки для оператора Шредингера на периодическихдискретных графах”, Алгебра и анализ, :4 (2018), 61–107[31] Korotyaev E., Saburova N., “Schr¨odinger operators on periodic graphs”, J. Math. Anal. Appl., :1 (2014)576–611[32] Korotyaev E., Saburova N.. “Effective masses for Laplacians on periodic graphs”, Journal of MathematicalAnalysis and Applications, :1 (2016), 103–130[33] E. Korotyaev and N. Saburova, Scattering on periodic metric graphs, arXiv:1507.06441[34] Levin D., Solomyak M., “Rozenblum-Lieb-Cwikel inequality for Markov generators”, Journal d’AnalyseMath´ematique, :1 (1997), 173–193 СИМПТОТИКА ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 22 [35] Lieb E., “The number of bound states of one-body SchrЁodinger operators and the Weyl problem”, Bull. Amer.Math. Soc., (1976), 751–753[36] Lifshits M., Nazarov A., “ L -Small Deviations for Weighted Stationary Processes”, Mathematika, :2 (2018),387–405[37] Molchanov, S., Vainberg, B. “Bargmann type estimates of the counting function for general Schr¨odingeroperators”, Journal of Mathematical Sciences 184(4), 2012.[38] Mohar B. “The Spectrum of an Infinite Graph”, Linear Algebra Appl, (1982), 245–256[39] D. Parra ans S. Richard, Spectral and scattering theory for Schrodinger operators on perturbed topologicalcrystals. Reviews in Mathematical Physics, 30 (2018), No 4, id. 1850009–1667.[40] Post, O. Spectral analysis on graph-like spaces. Lecture Notes in Mathematics, 2039. Springer, Heidelberg,2012.[41] Розенблюм Г. В., “Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов”, До-кл. АН СССР, :5 (1972), 1012–1015[42] Розенблюм Г. В., “Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов”, Изв.вузов. Матем., 1 (1976), 75–86; Soviet Math. (Iz. VUZ), :1 (1976), 63–71 (1976), 63–71[43] Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., “О спектральных оценках для операторов типа Шрёдингера: случаймалой локальной размерности”, Функц. анализ и его прил., :4 (2010), 21–33; Funct. Anal. Appl., :4(2010), 259–269[44] Rozenblum G., Solomyak M., “Counting Schr¨odinger boundstates: semiclassiecs and beyond”, In: Sobolev Spacesin Mathematics, II. Applications in Analysis and Partial Differential Equations, International MathematicalSeries, 8, Springer and Tamara Rozhkovskaya Publisher, 2008, 329–354[45] G. Rosenblum, M. Solomyak, “On the spectral estimates for the Schr¨odinger operator on Z d , d > ”, Journalof Mathematical Sciences, :2 (2009), 241–263[46] G. Rozenblum, M. Solomyak, “On spectral estimates for the Schr¨odinger operators in global dimension 2”,Алгебра и анализ, 25:3 (2013), 185–199; St. Petersburg Math. J., 25:3 (2014), 495–505[47] W. Shaban and B. Vainberg, Radiation conditions for the difference Schrodinger operators, J. Appl. Anal. 80(2001), 525-–556.[48] Shargorodsky, E. “On negative eigenvalues of two-dimensional Schr¨odinger operators”, Proceedings of theLondon Mathematical Society, Volume 108, Issue 2, 1 February 2014, Pages 441–483.[49] Слоущ В. А., “Приближенное коммутирование убывающего потенциала и функции от эллиптическогооператора”, Алгебра и анализ, :5 (2014), 214–226[50] Слоущ В. А., “Дискретный спектр периодического оператора Шрёдингера с переменной метрикой привозмущении неотрицательным быстро убывающим потенциалом”, Алгебра и анализ, :2 (2015), 196–210;St. Petersburg Math. J., :2 (2016), 317–326[51] Sunada, T. Topological crystallography, Springer, 2013. С.-Петербургский, государственный университет, кафедра математического анализа ∗ , кафед-ра высшей математики и математической физики ∗∗ , Университетская набережная 7/9, 198034,Санкт-Петербург, Россия E-mail address ::