aa r X i v : . [ m a t h . A C ] M a y VALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE
MICHEL VAQUI´E
R´esum´e.
Soit (
K, ν ) un corps valu´e, les notions de valuation augment´ee , de valuation aug-ment´ee limite et de famille admise de valuations permettent de donner une description de toutevaluation µ de K [ x ] prolongeant ν . Dans le cas o`u le corps K est alg´ebriquement clos cette des-cription est particuli`erement simple et nous pouvons la r´eduire aux notions de paire minimale et de famille pseudo-convergente .Soient ( K, ν ) un corps valu´e hens´elien et ¯ ν l’unique extension de ν `a la clˆoture alg´ebrique ¯ K de K et soit µ une valuation de K [ x ] prolongeant ν , nous ´etudions les extensions ¯ µ de µ `a ¯ K [ x ]et nous donnons une description des valuations ¯ µ i de ¯ K [ x ] qui sont les extensions des valuations µ i appartenant `a la famille admise associ´ee `a µ . Abstract . Let (
K, ν ) be a valued field, the notions of augmented valuation , of limit augmentedvaluation and of admissible family of valuations enable to give a description of any valuation µ of K [ x ] extending ν . In the case where the field K is algebraically closed, this description isparticularly simple and we can reduce it to the notions of minimal pair and pseudo-convergentfamily .Let ( K, ν ) be a henselian valued field and ¯ ν the unique extension of ν to the algebraic closure¯ K of K and let µ be a valuation of K [ x ] extending ν , we study the extensions ¯ µ from µ to ¯ K [ x ]and we give a description of the valuations ¯ µ i of ¯ K [ x ] which are the extensions of the valuations µ i belonging to the admissible family associated with µ . Table des mati`eres
Introduction 21. Rappels 32. Groupe des valeurs et alg`ebre gradu´ee 83. Passage `a la clˆoture alg´ebrique 144. Restriction d’une valuation d´efinie sur ¯ K [ x ] 25Annexe A. Suites pseudo-convergentes et extension imm´ediate 29R´ef´erences 33 Date : Mai 2020.1991
Mathematics Subject Classification.
Key words and phrases. valuation, extension, famille admise, paire minimale. ∗ Partially supported by the grant of the Agence Nationale de la Recherche “CatAG”ANR-17-CE40-0014.
Introduction
Soit K un corps muni d’une valuation ν , nous pouvons obtenir toute valuation ou pseudo-valuation µ de l’anneau des polynˆomes K [ x ] qui prolonge ν grˆace `a une famille admise devaluations A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I , o`u l’ensemble I est un ensemble totalement ordonn´e (cf. th´eor`emes2.4 et 2.5 de [Va 1]). De plus chaque valuation µ i de la famille est obtenue comme valuationaugment´ee ou comme valuation augment´ee limite associ´ee `a un polynˆome-cl´e ou un polynˆome-cl´elimite φ i .La famille A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I converge vers la valuation µ dans le sens o`u pour tout polynˆome f de K [ x ] la famille de valeurs (cid:0) µ i ( f ) (cid:1) i ∈ I est croissante et v´erifie µ ( f ) = Sup (cid:0) µ i ( f ) ; i ∈ I (cid:1) . Enparticulier si la famille I a un plus grand ´el´ement ¯ ι la valuation µ est ´egale `a la valuation µ ¯ ι et ilexiste un polynˆome φ = φ ¯ ι qui d´efinit la valuation µ comme valuation augment´ee ou valuationaugment´ee limite. Nous disons dans ce cas que la valuation est bien sp´ecifi´ee et que le polynˆome φ d´efinit la valuation. Par d´efinition ce polynˆome apparaˆıt dans la construction de la familleadmise A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I associ´ee `a la valuation µ .Comme tout polynˆome-cl´e ou polynˆome-cl´e limite est un polynˆome irr´eductible de K [ x ] dansle cas o`u le corps K est alg´ebriquement clos les seuls polynˆomes-cl´es sont de degr´e un et lesfamilles admises sont particuli`erement simples : si la valuation µ est bien sp´ecifi´ee elle est d´efiniepar un polynˆome-cl´e φ de la forme φ ( x ) = x − a , sinon elle est d´efinie par une famille infinie depolynˆomes ( φ α ) de la forme φ α ( x ) = x − a α . Plus pr´ecis´ement, comme K est alg´ebriquement closla valuation µ est enti`erement d´etermin´ee par les valeurs prises pour les polynˆomes f de la forme f ( x ) = ( x − b ), et nous avons dans le cas o`u µ est bien sp´ecifi´ee µ ( x − b ) = Inf ( ν ( a − b ) , δ ) etla valuation µ est associ´ee `a une paire minimale , et dans le cas d’une famille infinie la valuation µ est la valuation associ´ee `a la famille pseudo-convergente ( a α ) ( Proposition 2.10 ). Il estaussi possible de d´ecrire une valuation µ de K [ x ] par une boule ferm´ee ou par une familled´ecroissante de boules ferm´ees dans K pour la distance ultram´etrique associ´ee `a la valuation ν de K ( Proposition 2.11 ).Soient (
K, ν ) un corps valu´e quelconque et µ une valuation de K [ x ] prolongeant ν , alors si ¯ ν est une extension de ν `a la clˆoture alg´ebrique ¯ K de K il existe une extension ¯ µ de µ `a ¯ K [ x ] quiprolonge ¯ ν . Soit A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I la famille admise associ´ee `a µ , nous voulons d´ecrire les valuations¯ µ i de ¯ K [ x ] obtenues comme prolongement des valuations µ i appartenant `a la famille A , et lesfamilles de boules ferm´ees de ¯ K associ´ees aux valuations ¯ µ i .Dans le cas o`u ( K, ν ) est un corps valu´e hens´elien nous associons `a la famille admise associ´ee`a la valuation µ une famille d´ecroissante (cid:0) B i (cid:1) i ∈ I de r´eunions finies de boules ferm´ees de ¯ K .Plus pr´ecis´ement chaque B i est la r´eunion des boules disjointes B ( r ) i , le groupe de Galois agittransitivement sur l’ensemble fini { B ( r ) i } , et pour tout i < j dans I chaque boule B ( r ) i de B i contient s boules B ( l ) j appartenant `a B j , o`u s est un entier ind´ependant de la boule B ( r ) i choisie,et toute boule B ( l ) j de B j est contenue dans une boule B ( r ) i de B i ( Proposition 3.18 ).L’intersection des B i est un sous-ensemble B ( µ ) de ¯ K , appel´e ensemble caract´eristique de lavaluation µ , cet ensemble est vide dans le cas o`u la valuation µ n’est pas bien sp´ecifi´ee, sinon ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 3 c’est la r´eunion d’un ensemble fini de boules ferm´ees non vides de ¯ K , qui correspondent auxdiff´erentes extensions de µ `a ¯ K [ x ] ( Th´eor`eme 3.19 ).Dans la quatri`eme partie nous montrons comment `a partir d’une valuation ¯ µ de ¯ K [ x ] nouspouvons construire la famille admise A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I associ´ee `a la restriction µ de ¯ µ `a K [ x ]. Pluspr´ecis´ement nous construisons une famille d´ecroissante de boules ferm´ees B i de ¯ K , telle que lavaluation µ i de la famille admise A soit la retriction `a K [ x ] de la valuation ¯ µ i de ¯ K [ x ] d´efiniepar la boule B i .Alors que la construction de la famille admise A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I se fait de mani`ere croissante ,c’est-`a-dire la valuation µ i est construite `a partir des valuations µ j pour j < i , la constructiondes boules B i , et par cons´equent des valuations ¯ µ i se fait de mani`ere d´ecroissante , c’est-`a-direla boule B i est construite `a partir desboules B j pour j > i ( Th´eor`eme 4.6 ).Enfin dans l’annexe nous interpr´etons les r´esultats de Kaplansky sur les extensions imm´ediateset les suites pseudo-convergentes `a partir des propri´et´es des familles admises continues que nousavons d´efinies pr´ec´edemment. 1.
Rappels
Dans ce qui suit nous nous donnons une valuation ν sur un corps K et toutes les valuationsou pseudo-valuations µ de l’anneau des polynˆomes K [ x ] que nous consid´erons sont des prolon-gements de ν . Nous nous donnons aussi un groupe totalement ordonn´e ˜Γ, contenant le groupedes ordres Γ ν de la valuation ν , et toutes les valuations ou pseudo-valuations µ de K [ x ] ont leurgroupe des ordres Γ µ qui est un sous-groupe ordonn´e de ˜Γ.Pour toute valuation µ de K [ x ] nous pouvons d´efinir la notion de polynˆome-cl´e φ , et si φ estun polynˆome-cl´e pour µ et si γ est un ´el´ement de ˜Γ v´erifiant γ > µ ( φ ), nous pouvons d´efinir unenouvelle valuation µ ′ de K [ x ], appel´ee valuation augment´ee associ´ee au polynˆome-cl´e φ et `a lavaleur γ que nous notons µ ′ = [ µ ; µ ′ ( φ ) = γ ], de la mani`ere suivante :pour tout polynˆome f de K [ x ], nous ´ecrivons le d´eveloppement de f selon les puissances de φ , f = g m φ m + . . . + g φ + g , o`u les polynˆomes g j , 0 ≤ j ≤ m , sont de degr´e strictement inf´erieurau degr´e du polynˆome-cl´e φ , et nous avons : µ ′ ( f ) = Inf ( µ ( g j ) + jγ ; 0 ≤ j ≤ m ) . Nous pouvons d´efinir aussi pour tout polynˆome unitaire φ de degr´e un, φ = x − b , et pourtoute valeur γ de ˜Γ une valuation µ de K [ x ], que nous appelons encore valuation augment´ee associ´ee au polynˆome-cl´e φ et `a la valeur γ que nous notons µ = [ ν ; µ ( φ ) = γ ], de la mani`eresuivante :tout polynˆome f de K [ x ] s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme f = a d φ d + . . . + a φ + a ,avec a j ∈ K , et nous posons µ ( f ) = Inf ( ν ( a j ) + jγ ; 0 ≤ j ≤ d ) . Dans ce cas cette valuation µ est aussi not´ee ω ( b,γ ) (cf. [A-P 1]).Nous pouvons d´efinir la notion de famille de valuations augment´ees it´er´ees comme une familled´enombrable (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I de valuations de K [ x ], I = { , . . . , n } ou I = N ∗ , associ´ee `a une famille depolynˆomes (cid:0) φ i (cid:1) i ∈ I et `a une famille (cid:0) γ i (cid:1) i ∈ I d’´el´ements de ˜Γ, telle que chaque valuation µ i , i > MICHEL VAQUI´E est une valuation augment´ee de la forme µ i = [ µ i − ; µ i ( φ i ) = γ i ] et o`u la famille des polynˆomes-cl´es (cid:0) φ i (cid:1) v´erifie les deux propri´et´es suivantes : pour tout i > φ i ≥ deg φ i − et lespolynˆomes φ i et φ i − ne sont pas µ i − -´equivalents. Nous renvoyons aux articles [McL 1], [McL 2],et [Va 1], pour les d´efinitions et les propri´et´es des polynˆomes-cl´es, des valuations augment´ees etdes familles de valuations augment´ees it´er´ees.Nous d´efinissons aussi la notion de famille admissible continue comme une famille C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A de valuations de K [ x ], index´ee par un ensemble totalement ordonn´e A sans plus grand´el´ement, associ´ee `a la famille de polynˆomes-cl´es (cid:0) φ α (cid:1) α ∈ A et `a la famille de valeurs (cid:0) γ α (cid:1) α ∈ A . Pard´efinition chaque valuation µ α est une valuation augment´ee de la forme µ α = [ µ ; µ α ( φ α ) = γ α ],o`u µ est une valuation de K [ x ] donn´ee, les polynˆomes-cl´es φ α sont tous de mˆeme degr´e d et lesvaleurs γ α forment une famille croissante sans plus grand ´el´ement dans ˜Γ.Nous d´efinissons l’ensemble˜Φ (cid:0) C (cid:1) = ˜Φ (cid:16)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A (cid:17) = { f ∈ K [ x ] | µ α ( f ) < µ β ( f ) , ∀ α < β ∈ A } , nous supposons que cet ensemble est non vide, nous appelons d C le degr´e minimal des polynˆomesappartenant `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) et nous supposons aussi que nous avons l’in´egalit´e d < d C , alors nousd´efinissons l’ensembleΦ (cid:0) C (cid:1) = Φ (cid:16)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A (cid:17) = { φ ∈ ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , deg φ = d C et φ unitaire } . Un polynˆome φ appartenant `a Φ (cid:0) C (cid:1) est appel´e un polynˆome-cl´e-limite pour la famille C , et pour φ un polynˆome-cl´e limite et γ un ´el´ement de ˜Γ v´erifiant γ > µ α ( φ ) pour tout α dans A , , nouspouvons d´efinir une nouvelle valuation µ ′ de K [ x ], appel´ee valuation augment´ee limite pour C associ´ee au polynˆome-cl´e limite φ et `a la valeur γ que nous notons µ ′ = (cid:2) ( µ α ) α ∈ A ; µ ′ ( φ ) = γ (cid:3) ,de la mani`ere suivante :pour tout polynˆome f de K [ x ], nous ´ecrivons le d´eveloppement de f selon les puissances de φ , f = g m φ m + . . . + g φ + g , o`u les polynˆomes g j , 0 ≤ j ≤ m , sont de degr´e strictement inf´erieurau degr´e du polynˆome-cl´e limite φ , et nous posons : µ ′ ( f ) = Inf ( µ A ( g j ) + jγ ; 0 ≤ j ≤ m ) , o`u nous posons µ A ( g ) = Sup ( µ α ( g ); α ∈ A ) pour tout g n’appartenant pas `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) . Nousrenvoyons `a [Va 1] pour les d´efinitions pr´ecises et les propri´et´es des polynˆomes-cl´es limites etdes valuations augment´ees limites. Remarque 1.1.
Si nous prenons la valeur γ = + ∞ , la valuation augment´ee µ = [ ν ; µ ( φ ) = γ ] associ´ee `a un polynˆome-cl´e φ ou la valuation augment´ee limite µ ′ = (cid:2) ( µ α ) α ∈ A ; µ ′ ( φ ) = γ (cid:3) associ´ee `a un polynˆome-cl´e limite φ est une pseudo-valuation de l’anneau K [ x ] dont le noyauest l’id´eal engendr´e par le polynˆome φ . D´efinition.
Une famille admissible simple S pour la valuation ν de K est une famille de va-luations (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I de K [ x ] constitu´ee d’une partie discr`ete D et d’une partie continue C ,- la partie discr`ete D = (cid:0) µ l (cid:1) l ∈ L est une famille non vide de valuations augment´ees it´er´eesde K [ x ] telle que la famille de polynˆomes-cl´es (cid:0) φ l (cid:1) l ∈ L associ´ee v´erifie l’in´egalit´e stricte deg φ l > deg φ l − . ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 5 - la partie continue C = ( µ α ) α ∈ A est une famille admissible continue ´eventuellement vide ; sielle est non vide la famille D est finie, le degr´e d des polynˆomes-cl´e φ α est ´egal au degr´e dudernier polynˆome-cl´e φ n de la famille (cid:0) φ l (cid:1) l ∈ L associ´ee `a D , et pour tout α dans A , la valuation µ α est la valuation augment´ee µ α = [ µ n ; µ α ( φ α ) = γ α ] . Si la partie discr`ete D d’une famille admise simple S est constitu´ee d’une seule valuation µ ,et si la partie continue C est non vide, nous pouvons toujours consid´erer que la valuation µ appartient `a la famille C , nous ´ecrivons S = C et nous disons alors que la famille simple S estcontinue. D´efinition.
Une famille admissible A pour la valuation ν de K est une famille de valuations (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I de K [ x ] , obtenue comme r´eunion de familles admissibles simples A = [ j ∈ J S ( j ) = [ j ∈ J (cid:0) D ( j ) ; C ( j ) (cid:1) , o`u J est un ensemble d´enombrable, J = { , . . . , N } ou J = N ∗ , et nous d´efinissons J ∗ par J ∗ = { , . . . , N − } si J est fini et par J ∗ = J = N ∗ sinon, v´erifiant :- pour j appartenant `a J ∗ , la partie discr`ete D ( j ) = (cid:0) µ ( j ) l (cid:1) l ∈ L ( j ) est finie, la partie continue C ( j ) = ( µ ( j ) α ) α ∈ A ( j ) est non vide et la premi`ere valuation µ ( j +1)1 de la famille simple S ( j +1) estune valuation augment´ee limite pour la famille admissible continue C ( j ) ;- la premi`ere valuation µ (1)1 de la famille est la valuation associ´ee `a un polynˆome unitaire dedegr´e un, φ (1)1 = x − a , et `a une valeur γ (1)1 , µ (1)1 = [ ν ; µ (1)1 ( φ (1)1 ) = γ (1)1 ] = ω ( a,γ (1)1 ) .Dans la suite, comme la valuation ν de K est fix´ee nous dirons simplement que A est unefamille admissible de valuations de K [ x ] . Nous pouvons aussi ´ecrire la famille admissible A comme une famille index´ee par un ensembletotalement ordonn´e I , A = ( µ i ) i ∈ I , et l’ensemble I peut ˆetre d´ecrit de la mani`ere suivante : pour tout j dans J , nous munissonsl’ensemble B ( j ) = L ( j ) ⊔ A ( j ) de l’ordre total induit par les ordres sur L ( j ) et sur A ( j ) et d´efinipar l < α pour tout l ∈ L ( j ) et tout α ∈ A ( j ) ; et nous posons I = (cid:8) ( j, b ) | j ∈ J et b ∈ B ( j ) (cid:9) , muni de l’ordre lexicographique. L’ordre sur l’ensemble I peut ˆetre caract´eris´e par la relationsuivante : i < k dans I si et seulement si pour tout polynˆome f de K [ x ] nous avons µ i ( f ) ≤ µ k ( f )et il existe au moins un polynˆome g avec µ i ( g ) < µ k ( g ).La premi`ere valuation µ de la famille A est obtenue `a partir de la valuation ν de K grˆace`a un polynˆome φ unitaire de degr´e un et `a une valeur γ . Nous consid`ererons parfois que lavaluation ν = µ appartient `a la famille A et par abus de notation nous consid`ererons que 0 estle plus petit ´el´ement de l’ensemble I . La valuation µ est ainsi consid´er´ee comme une valuationaugment´ee, d´efinie par le polynˆome φ . MICHEL VAQUI´E
A toute famille admissible A nous associons la famille des polynˆomes-cl´es ou polynˆomes-cl´eslimites (cid:0) φ i (cid:1) i ∈ I , que nous appelons pour simplifier la famille des polynˆomes-cl´es, et la famille desvaleurs (cid:0) γ i (cid:1) i ∈ I . D´efinition.
Une famille admissible A = ( µ i ) i ∈ I est une famille admise si pour tout polynˆome f dans K [ x ] la famille ( µ i ( f )) i ∈ I admet un plus grand ´el´ement dans le groupe Γ . D´efinition.
Une famille admissible A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I de valuations de K [ x ] est dite compl`ete sil’ensemble I poss`ede un plus grand ´el´ement ¯ ι , sinon la famille admissible A est dite ouverte . Remarque 1.2.
Une famille admissible A est compl`ete uniquement dans le cas o`u A est r´euniond’un nombre fini de familles simples et o`u la derni`ere famille simple S ( N ) est discr`ete finie, S ( N ) = (cid:0) µ ( N )1 , . . . , µ ( N ) n N (cid:1) .Dans ce cas la famille A est admise et la derni`ere valuation µ ¯ ι = µ ( N ) n N de la famille peut ˆetreune pseudo-valuation de K [ x ] . Remarque 1.3.
Si la famille admissible A = ( µ i ) i ∈ I est ouverte, elle est admise si pour toutpolynˆome f il existe i ∈ I tel que µ i ( f ) = µ j ( f ) pour tout j ≥ i . C’est le cas si la famille A est r´eunion infinie de familles admissibles simples, ou si la famille A est r´eunion de N famillesadmissibles simples A = S (1) ∪ . . . ∪S ( N ) , telle que la derni`ere famille simple S ( N ) est une famillediscr`ete infinie, c’est-`a-dire S ( N ) = (cid:0) µ ( N ) l (cid:1) l ∈ L ( N ) avec L ( N ) infini, ou enfin si la famille simple S ( N ) est de la forme S ( N ) = (cid:0) ( µ ( N ) l ) l ∈ L ( N ) ; ( µ ( N ) α ) α ∈ A ( N ) (cid:1) , avec ˜Φ (cid:0) ( µ ( N ) α ) α ∈ A ( N ) (cid:1) = ∅ , c’est-`a-diretelle que pour tout f dans K [ x ] il existe α < β dans A ( N ) avec µ ( N ) α ( f ) = µ ( N ) β ( f ) . D´efinition.
La famille admise A = ( µ i ) i ∈ I converge vers la valuation ou pseudo-valuation µ de K [ x ] d´efinie pour tout polynˆome f par µ ( f ) = Sup (cid:0) µ i ( f ) ; i ∈ I (cid:1) . Si l’ensemble I admet un plus grand ´el´ement ¯ ι , la limite de la famille est la valuation oupseudo-valuation µ ¯ ι , sinon la limite est une valuation d´efinie par µ ( f ) = µ i ( f ) pour i assezgrand dans I . Nous avons une r´eciproque au r´esultat pr´ec´edent.
Th´eor`eme 1.4. (Th´eor`emes 2.4. et 2.5. de [Va 1] ) Soit µ une valuation ou pseudo-valuationde K [ x ] prolongeant une valuation ν de K , alors il existe une famille admise de valuations de K [ x ] , not´ee A ( µ ) et appel´ee famille admise associ´ee `a la valuation µ qui converge vers µ . Remarque 1.5.
La famille admise associ´ee `a une valuation µ n’est pas unique, mais estd´etermin´ee `a ´equivalence pr`es, o`u deux familles admissibles A = S j ∈ J S ( j ) et A ′ = S j ∈ J ′ S ′ ( j ) sont dites ´equivalentes si J = J ′ , si les familles discr`etes D ( j ) = (cid:0) µ ( j ) i (cid:1) ≤ i ≤ n et D ′ ( j ) = (cid:0) µ ′ ( j ) i (cid:1) ≤ i ≤ n ′ co¨ıncident jusqu’`a l’avant-derni`ere valuation, c’est-`a-dire quand n = n ′ et µ ( j ) i = µ ′ ( j ) i pour tout i , ≤ i ≤ n − , et si les sous-familles continues C ( j ) et C ′ ( j ) co¨ıncident asymp-totiquement. (cf. Proposition 2.9. de [Va 2] ) ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 7
D´efinition.
Une valuation µ de K [ x ] est dite bien sp´ecifi´ee si la famille admise A ( µ ) associ´eeest compl`ete. Dans ce cas la valuation µ est la derni`ere valuation µ ¯ ι de la famille A ( µ ) = ( µ i ) i ∈ I . Nous avons le r´esultat suivant :
Proposition 1.6. (Proposition 1.4 de [Va 3] ) Les propositions suivantes sont ´equivalentes :1) La valuation µ est bien sp´ecifi´ee.2) La valuation µ n’est pas maximale pour la relation d’ordre ≤ .3) La valuation µ admet un polynˆome-cl´e.4) La valuation µ peut ˆetre obtenue comme valuation augment´ee µ = [ µ ; µ ( φ ) = γ ] , ou comme valuation augment´ee limite µ = (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ; µ ( φ ) = γ ] . Si µ est une valuation bien sp´ecifi´ee, nous disons que le polynˆome φ ¯ ι apparaissant commedernier polynˆome de la famille (cid:0) φ i (cid:1) i ∈ I d´efinit la valuation ou pseudo-valuation µ . Si µ estobtenue comme valuation augment´e µ = [ µ ; µ ( φ ) = γ ], ou comme valuation augment´ee limite, µ = (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ; µ ( φ ) = γ ], nous pouvons en particulier choisir φ ¯ ι = φ .Soit µ une valuation ou une pseudo-valuation de K [ x ], alors toute valuation µ i d’une familleadmissible associ´ee `a µ est une valuation bien sp´ecifi´ee, d´efinie par le polynˆome φ i .Pour toute valuation ou pseudo-valuation µ de K [ x ], les valuations µ i appartenant `a unefamille admise associ´ee `a µ sont d´efinies de mani`ere essentiellement unique (cf. remarque 1.5),en particulier quand µ est bien sp´ecifi´ee, si µ est une valuation augment´ee, µ = [ µ ; µ ( φ ) = γ ],la valuation µ est d´efinie de mani`ere unique, et si µ est une valuation augment´ee limite, µ = (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ; µ ( φ ) = γ ], la famille (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A est bien d´efinie asymptotiquement .Dans la suite nous noterons alors µ = [ µ ♯ ; µ ( φ ) = γ ] , o`u µ ♯ est la valuation µ , resp. une famille continue de valuations (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A , et o`u φ est unpolynˆome-cl´e, resp. un polynˆome-cl´e limite, pour µ ♯ . En g´en´eral le polynˆome φ n’est pas d´efinide mani`ere unique, en fait les polynˆomes φ et ψ d´efinissent la mˆeme valuation µ si et seulementsi ce sont des polynˆomes unitaires de mˆeme degr´e v´erifiant µ ♯ ( φ − ψ ) ≥ γ , o`u nous posons µ ♯ ( f ) = µ A ( f ) = Sup ( µ α ( f ); α ∈ A ) dans le cas o`u µ ♯ est la famille (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ([Va 2]). Remarque 1.7.
Comme un polynˆome-cl´e est irr´eductible, dans le cas o`u le corps ¯ K est alg´ebriquement clos, une valuation bien sp´ecifi´ee µ est de la forme µ = [ ν ; µ ( φ ) = δ ] , avec φ ( x ) = x − a . Cela correspond `a la valuation associ´ee `a la paire minimale ( a, δ ) not´ee ω ( a,δ ) d´efinie dans [A-P 1] . MICHEL VAQUI´E Groupe des valeurs et alg`ebre gradu´ee
Soit µ une valuation sur un corps K de groupe des valeurs Γ µ , pour tout sous-anneau A de K et pour tout γ dans ¯Γ µ = Γ µ ∪ { + ∞} , nous d´efinissons les groupes P γ ( A ) = { x ∈ A | µ ( x ) ≥ γ } et P + γ ( A ) = { x ∈ A | µ ( f ) > γ } , et l’alg`ebre gradu´ee gr µ A associ´ee `a la valuation µ par :gr µ A = M γ ∈ ¯Γ P γ ( A ) / P + γ ( A ) . Nous notons H µ l’application de A dans gr µ A qui `a tout ´el´ement x de A avec µ ( x ) = γ associel’image de x dans P γ ( A ) / P + γ ( A ), et nous notons ∆ µ ( A ) la partie homog`ene de degr´e 0, ∆ µ ( A ) = P ( A ) / P +0 ( A ).En particulier pour A = K les groupes P ( K ) et P +0 ( K ) sont respectivement l’anneau V µ dela valuation et son id´eal maximal, ∆ µ ( K ) est ´egal `a son corps r´esiduel κ µ et l’alg`ebre gradu´eegr µ K est simple , i.e. tout ´el´ement homog`ene non nul admet un inverse. Plus g´en´eralement si K est le corps des fractions de A , l’alg`ebre gradu´ee gr µ K est l’alg`ebre gradu´ee simple engendr´eepar gr µ A et le corps r´esiduel κ µ est le corps des fractions de l’anneau ∆ µ ( A ).Soit A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I une famille admissible de valuations, et pour tout i ∈ I nous appelons Γ µ i le groupe des ordres de la valuation µ i .Si µ k et µ l sont deux valuations appartenant `a la mˆeme sous-famille simple S de la famille A telles que µ l est obtenue comme valuation augment´ee µ l = [ µ k ; µ l ( φ l ) = γ l ], nous disons que( µ k , µ l ) forment un couple de valuations successives de la famille. Le groupe des ordres Γ µ l dela valuation µ l est ´egal `a Γ µ l = Γ µ k ⊕ Z γ l , d’o`u l’´egalit´e[Γ l : Γ k ] = τ l o`u τ l est le plus petit entier t > tγ l appartienne `a Γ µ k si γ l appartient `a Γ µ l ⊗ Z Q ,et o`u τ l est + ∞ sinon. Remarquons que la valuation µ l admet un polynˆome-cl´e qui n’est pas µ l -´equivalent au polynˆome φ l si et seulement si la valeur γ l appartient au groupe Γ k ⊗ Z Q , enparticulier si γ l n’appartient pas `a Γ µ l ⊗ Z Q la valuation µ l est la derni`ere valuation de la familleadmissible A .Comme les valuations µ k et µ l v´erifient µ k ( f ) ≤ µ l ( f ) pour tout f dans K [ x ] nous avons uneapplication naturelle g : gr µ k K [ x ] → gr µ l K [ x ], et celle-ci induit un isomorphisme G : (cid:0) gr µ k K [ x ] / ( H µ k ( φ l )) (cid:1) [ T ] −−→ gr µ l K [ x ] , qui envoie T sur G ( T ) = H µ l ( φ l ) (cf. [Va 1]).Rappelons qu’il existe q k et q ′ k dans K [ x ] v´erifiant q k q ′ k µ k -´equivalent `a 1 et µ k ( q k ) = − µ k ( q ′ k ) = µ k ( φ l ), et nous posons ϕ l = H µ k ( q ′ k φ l ). De plus si γ l appartient `a Γ µ k ⊗ Z Q , ilexiste p l et p ′ l v´erifiant p l p ′ l µ l -´equivalent `a 1 et µ l ( p l ) = − µ l ( p ′ l ) = τ l γ l (cf. [Va 3]). Alors lenoyau de la composante de degr´e 0 de l’application g , g : ∆ µ k → ∆ µ l , est l’id´eal engendr´e par ϕ l , et nous avons :- si γ l n’appartient pas `a Γ µ k ⊗ Z Q (cid:0) ∆ µ k / ( ϕ l ) (cid:1) ∼ −−→ ∆ µ l , - si γ l appartient `a Γ µ k ⊗ Z Q (cid:0) ∆ µ k / ( ϕ l ) (cid:1) [ S l ] ∼ −−→ ∆ µ l , ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 9 avec S l = H µ l (cid:0) p ′ l φ lτ l (cid:1) (cf. [Va 1] Remarque 1.5).Si µ l est la valuation augment´ee limite d’une famille continue C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A , associ´ee aupolynˆome cl´e-limite φ l , µ l = (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ; µ l ( φ l ) = γ l (cid:3) , nous d´efinissons l’alg`ebre gradu´ee gr A =gr µ α K [ x ] / ( H µ α ( φ β )) qui ne d´epend pas du couple α < β dans A , et l’application naturelle degr µ α K [ x ] dans gr µ l K [ x ] induit un isomorphisme d’alg`ebres gradu´ees : Q : gr A [ T ] ∼ −−→ gr µ l K [ x ] , qui envoie T sur Q ( T ) = H µ l ( φ l ). Nous appelons ∆ A la composante de degr´e 0 de gr A , cetanneau est isomorphe `a ∆ µ β / ( ϕ α ) o`u ( µ α , µ β ) est un couple de valuations successives de A appartenant `a C , avec ϕ α = H µ α (cid:0) q ′ α φ β (cid:1) .Tous les groupes de valuation Γ µ α sont ´egaux et nous notons ce groupe Γ A . Pour tout γ dans Γ A il existe p et p ′ = p ′ ( γ ) dans K [ x ] v´erifiant pp ′ ( γ ) ∼ µ α µ α ( p ) = − µ α ( p ′ ( γ )) = γ , pour α ∈ A .De plus si γ l appartient `a Γ A ⊗ Z Q et si nous appelons comme pr´ec´edemment τ l le plus petitentier t > tγ l appartienne `a Γ A il existe p et p ′ dans K [ x ] tels que pp ′ soit µ α -´equivalent`a 1 pour α suffisamment grand et tels que µ α ( p ′ ) = − τ l γ l (cf. [Va 3] Proposition 2.2).Alors le morphisme Q induit un isomorphisme en degr´e 0 :- si γ l n’appartient pas `a Γ A ⊗ Z Q Q : ∆ A ∼ −−→ ∆ µ l , - si γ l appartient `a Γ A ⊗ Z Q Q : ∆ A [ S ] ∼ −−→ ∆ µ l , qui envoie S sur H µ l ( p ′ φ lτ l ). Remarque 2.1.
Soit µ l une valuation de la famille A , nous notons Γ ♯ le groupe des ordres Γ µ k de la valuation µ k si µ l est obtenue comme valuation augment´ee, µ l = [ µ k ; µ l ( φ l ) = γ l ] ,ou le groupe des ordres Γ A si la valuation µ l est obtenue comme valuation augment´ee limite, µ l = (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ; µ l ( φ l ) = γ l (cid:3) .Si µ l n’est pas la derni`ere valuation de la famille A , il existe une valuation µ m telle que ( µ l , µ m ) est un couple de valuations successives, et nous ´ecrivons le polynˆome-cl´e φ m sous laforme φ m = φ lr l + . . . + g , nous avons r l γ l ∈ Γ ♯ , en particulier γ l appartient `a Γ ♯ ⊗ Z Q et nouspouvons d´efinir l’entier s l par r l = τ l s l . Proposition 2.2.
Il existe une famille croissante de corps (cid:0) F k (cid:1) k ∈ I ∗ , avec F ´egal au corpsr´esiduel κ ν de la valuation ν de K , telle que pour tout couple ( µ k , µ l ) de valuations successivesde A nous avons :- si γ l appartient `a Γ µ k ⊗ Z Q ∆ µ l = F k [ S l ] , avec S l = H µ l (cid:0) p ′ l φ τ l l (cid:1) ; - si γ l n’appartient pas `a Γ µ k ⊗ Z Q ∆ µ l = F k . De plus si l appartient `a I ∗ , F l est un extension finie de F k de degr´e s l , et pour l tel que lavaluation µ l appartienne `a une famille continue C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A , le corps F l est isomorphe `a ∆ A .En particulier tous les corps F l sont des extensions alg´ebriques du corps r´esiduel κ ν , et si lafamille A est constitu´ee d’un nombre fini de sous-familles simples, tous les corps F l sont desextensions finies de κ ν .Preuve. La proposition est une g´en´eralisation du r´esultat de MacLane (cf. [McL 1] Theorem 12.1et [Va 1] Th´eor`eme 1.12) et se d´emontre par r´ecurrence (cf. [Va 3]) . ✷ Remarque 2.3.
Nous avons montr´e de plus que si µ k est la premi`ere valuation µ ( j )1 d’une sous-famille simple S ( j ) , et si nous notons F ( j )0 le corps tel que ∆ µ k soit ´egal `a F ( j )0 [ S ] , alors F k estune extension alg´ebrique finie de F ( j )0 de degr´e s k . En effet nous avons S = H µ k (cid:0) p ′ k φ kτ k (cid:1) et lecorps F k est ´egal `a ∆ µ k / ( ϕ l ) o`u ϕ l = H µ k ( q ′ l φ l ) avec φ l = φ kτ k s k + . . . + g . Proposition 2.4. (Proposition 2.3 de [Va 3] ) Soit µ une valuation de l’anneau des polynˆomes K [ x ] , alors l’alg`ebre gradu´ee associ´ee gr µ K [ x ] est de la forme suivante :i) si la valuation µ n’est pas bien sp´ecifi´ee gr µ K [ x ] = G (0) , o`u G (0) est une alg`ebre gradu´ee simple, c’est-`a-dire telle que tout ´el´ement homog`ene non nuladmette un inverse ;ii) si la valuation µ est bien sp´ecifi´ee gr µ K [ x ] = G (0) [ T ] , o`u G (0) est une alg`ebre gradu´ee simple et T est l’image H µ ( φ ) du polynˆome φ d´efinissant lavaluation µ .De plus un ´el´ement homog`ene ψ de gr µ K [ x ] est irr´eductible si et seulement si il existe f polynˆome-cl´e pour la valuation µ dans K [ x ] et ε ´el´ement homog`ene inversible de gr µ K [ x ] telsque εψ soit ´egal `a l’image H µ ( f ) de f dans gr µ K [ x ] . Proposition 2.5.
La valuation µ de K [ x ] est bien sp´ecifi´ee si et seulement si l’extension ( K ( x ) , µ ) / ( K, ν ) de corps valu´es v´erifie l’´egalit´e d’Abhyankar : dim.alg. K K ( x ) = dim.alg. κ ν κ µ + rang.rat. Γ µ / Γ ν = 1 . Preuve.
Rappelons que le corps r´esiduel κ µ est ´egal au corps des fractions de la partie homog`enede degr´e 0, ∆ µ de l’alg`ebre gradu´ee gr µ K [ x ].Dans le cas o`u la valuation µ est obtenue comme valuation augment´ee, µ = [ µ ♯ ; µ ( φ ) = γ ],l’alg`ebre gradu´ee gr µ K [ x ] est de la forme G (0) [ T ] o`u l’alg`ebre simple G (0) est isomorphe `al’alg`ebre quotient gr µ ♯ K [ x ] / ( H µ ♯ ( φ )) et o`u T = H µ ( φ ).Si γ n’appartient pas `a Γ µ ♯ ⊗ Z Q , la partie homog`ene de degr´e 0, ∆ µ , est isomorphe `a ∆ µ ♯ / ( ϕ ♯ ),c’est-`a-dire au corps F ♯ , nous en d´eduisons que le corps r´esiduel κ µ de la valuation µ est isomorphe`a F ♯ , par cons´equent est une extension alg´ebrique finie du corps r´esiduel κ ν . ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 11 Si γ appartient `a Γ µ ♯ ⊗ Z Q , la partie homog`ene de degr´e 0, ∆ µ , est isomorphe `a ∆ µ ♯ / ( ϕ ♯ )[ S ],avec S = H µ ( p ′ φ τ ) o`u τ est ´egal `a [Γ µ : Γ ν ], et le corps r´esiduel κ µ de la valuation µ est isomorphe`a F ♯ ( S ), par cons´equent est une extension transcendante de degr´e 1 du corps r´esiduel κ ν .Dans le cas o`u la valuation µ est obtenue comme valuation augment´ee limite, µ = (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) ; µ ( φ ) = γ (cid:3) , nous avons un r´esultat analogue.Si γ n’appartient pas `a Γ A ⊗ Z Q , la partie homog`ene ∆ µ est isomorphe `a ∆ A , le corps r´esiduel κ µ de la valuation µ est isomorphe au corps ∆ A et est donc une extension alg´ebrique finie ducorps r´esiduel κ ν .Si γ appartient `a Γ A ⊗ Z Q , la partie homog`ene ∆ µ est isomorphe `a ∆ A [ S ], avec S = H µ α ( p ′ φ τ )o`u τ est ´egal `a [Γ µ : Γ A ], et le corps r´esiduel κ µ de la valuation µ est isomorphe `a ∆ A ( S ), parcons´equent est une extension transcendante de degr´e 1 du corps r´esiduel κ ν .Si la valuation µ n’est pas bien sp´ecifi´ee, chacune des valuations µ l de la famille admise A associ´ee `a la valuation µ a un groupe des ordres Γ µ l qui est une extension finie du groupe Γ ν ,donc le groupe Γ µ , r´eunion des groupes Γ µ l a mˆeme rang rationnel que le groupe Γ ν .Le corps r´esiduel κ µ est la r´eunion des corps F l , extensions finies de κ ν , donc une extensionalg´ebrique du corps r´esiduel κ ν . ✷ Nous pouvons d´eduire de ce qui pr´ec`ede le r´esultat suivant, qui r´epond `a une question pos´eepar Nagata (cf. [Na]) et a ´et´e r´esolue par J. Ohm ([Oh]). Rappelons que nous disons qu’uneextension de corps l/k est r´egl´ee s’il existe k ⊂ k ⊂ l avec l/k extension transcendante purede degr´e 1 et k /k extension alg´ebrique finie. Corollaire 2.6. ( The ruled residue conjecture ) Soit ( K ( x ) , µ ) / ( K, ν ) une extension decorps valu´es, alors le corps r´esiduel κ µ est une extension alg´ebrique ou r´egl´ee du corps r´esiduel κ ν . Le rang rg ( µ ) de la valuation µ est compris entre rg ( ν ) et rg ( ν ) + 1, la valuation µ a le mˆemerang que la valuation ν si γ appartient au groupe Γ ν ⊗ Z R , sinon la valeur γ appartient `a ungroupe totalement ordonn´e ˜Γ qui contient Γ ν comme sous groupe isol´e et γ v´erifie γ > δ pourtout δ dans Γ ν .Dans ce ce dernier cas la valuation µ est essentiellement unique, c’est-`a-dire que si nous nousdonnons un polynˆome φ qui est polynˆome-cl´e pour une valuation µ ♯ ou polynˆome-cl´e limite pourune famille de valuation (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A , la valuation bien sp´ecifi´ee µ d´efinie par le polynˆome φ et lavaleur γ est ind´ependante `a ´equivalence pr`es de la valeur γ choisie dans ˜Γ \ Γ ν .De plus le polynˆome φ qui d´efinit une valuation µ de rang rg ( µ ) = rg ( ν ) + 1 est unique. Eneffet si deux polynˆomes φ et ψ d´efinissent la mˆeme valuation µ comme valuation augment´ee oucomme valuation augment´ee limite avec la valeur γ , nous avons l’in´egalit´e µ ( ψ − φ ) ≥ γ . Remarque 2.7.
Si nous prenons γ = + ∞ nous trouvons une pseudo-valuation de K [ x ] dontle noyau est ´egal `a l’id´eal engendr´e par φ . Il y a une bijection entre l’ensemble des valuations µ de K [ x ] de rang rg ( µ ) = rg ( ν ) + 1 et l’ensemble des pseudo-valuations de K [ x ] de noyaunon trivial, et l’´etude des valuations de rang rg ( µ ) = rg ( ν ) + 1 d´efinies par le polynˆome φ est´equivalente `a l’´etude des pseudo-valuations de noyau ( φ ) , c’est-`a-dire `a l’´etude des valuations del’extension L = K [ x ] / ( φ ) de K qui prolongent ν . Proposition 2.8.
Soit µ une valuation bien sp´ecifi´ee de K [ x ] d´efinie par le polynˆome φ , et soit gr µ K [ x ] = G (0) [ T ] l’alg`ebre gradu´ee associ´ee avec T = H µ ( φ ) , alors si ψ est un autre polynˆomequi d´efinit la valuation µ nous avons S = H µ ( ψ ) qui est ´egal `a T ou `a T − h avec h ∈ G (0) devaluation µ ( h ) = µ ( φ ) = µ ( ψ ) .R´eciproquement tout g´en´erateur homog`ene S de l’alg`ebre gradu´ee gr µ K [ x ] sur l’alg`ebre simple G (0) est de la forme S = T − h avec h ∈ G (0) de degr´e µ ( h ) = µ ( φ ) = µ ( ψ ) , et il existe unpolynˆome ψ dans K [ x ] qui d´efinit la valuation µ avec H µ ( ψ ) = S .Preuve. Si la valuation µ est obtenue comme valuation augment´ee µ = [ µ ′ ; µ ( φ ) = γ ] c’est unecons´equence du r´esultat suivant :deux valuations augment´ees µ et µ d’une mˆeme valuation µ d´efinies respectivement par despolynˆomes-cl´es φ et φ et des valeurs γ et γ sont ´egales si et seulement si γ = γ et si lespolynˆomes φ et φ ont mˆeme degr´e et v´erifient µ ( φ − φ ) ≥ γ (Proposition 1.2. de [Va 2]).Si la valuation µ est obtenue comme valuation augment´ee limite µ = (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ; µ ( φ ) = γ ]c’est une cons´equence du r´esultat analogue :deux valuations augment´ees limites µ et µ d’une mˆeme famille admissible continue C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A d´efinies respectivement par des polynˆomes-cl´es limites φ et φ et des valeurs γ et γ sont ´egales si et seulement si γ = γ et si les polynˆomes φ et φ ont mˆeme degr´e et v´erifient µ A ( φ − φ ) ≥ γ (Proposition 1.4. de [Va 2]). ⊔⊓ Nous rappelons aussi le r´esultat suivant, qui est une cons´equence de la proposition pr´ec´edente,mais qui peut se d´emontrer aussi directement `a partir des propositions 1.2 et 1.4 de [Va 2].
Proposition 2.9.
Soit µ une valuation bien sp´ecifi´ee de K [ x ] d´efinie par le polynˆome φ , et soit ψ un polynˆome unitaire de K [ x ] v´erifiant deg ψ = deg φ et µ ( ψ ) = µ ( φ ) , alors le polynˆome ψ d´efinit la valuation µ . ⊔⊓ Dans la suite de ce paragraphe nous allons supposer que le corps K est alg´ebriquement clos,alors pour toute valuation ν de K le corps r´esiduel κ ν est aussi alg´ebriquement clos et le groupedes valeurs Γ ν est divisible. De plus dans le cas o`u K est alg´ebriquement clos, les ´el´ementsirr´eductibles de l’anneau K [ x ] sont les polynˆomes de degr´e 1, nous en d´eduisons que toutevaluation µ de K [ x ] est d´efinie enti`erement par les valeurs µ ( x − b ), pour b ∈ K , et que toutpolynˆome f de degr´e plus grand que 2 ne peut pas ˆetre un polynˆome-cl´e ou un polynˆome-cl´elimite.Nous rappelons que pour tout corps L , pour trouver la famille admise A associ´ee `a unevaluation µ de L [ x ] le premier pas est de consid´erer l’ensemble Λ µ = { µ ( x − b ) | b ∈ L } . Si cetensemble a un plus grand ´el´ement δ nous choisissons un polynˆome φ = x − a pour lequel cettevaleur est atteinte et la premi`ere valuation µ de la famille est la valuation associ´ee, c’est-`a-direla valuation µ = ω ( a,δ ) . Alors soit la valuation µ est la valuation µ cherch´ee, soit il existe unpolynˆome-cl´e φ pour la valuation µ dans L [ x ] de degr´e strictement sup´erieur `a 1.Si l’ensemble Λ µ n’a pas de plus grand ´el´ement nous trouvons un sous-ensemble { δ α ; α ∈ A } cofinal dans Λ µ , index´e par un ensemble totalement ordonn´e A , sans plus grand ´el´ement, avec δ α < δ β pour α < β , et pour tout α ∈ A nous choisissons un polynˆome φ α = x − a α v´erifiant µ ( φ α ) = δ α . Alors la famille C de valuation d´efinie par C = (cid:0) ω ( a α ,δ α ) (cid:1) α ∈ A est une famille continue ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 13 de valuations de L [ x ]. Pour tout α < β dans A nous avons ν ( a β − a α ) = γ α , en particulier lafamille ( a α ) α ∈ A v´erifie ν ( a τ − a σ ) > ν ( a σ − a ρ )pour tous τ > σ > ρ dans A , et nous retrouvons la d´efinition d’Ostrowski de famille pseudo-convergente ([Os], [Ka]). De plus si cette famille admet un polynˆome-cl´e limite celui-ci est dedegr´e strictement sup´erieur `a 1.Nous en d´eduisons le r´esultat suivant. Proposition 2.10.
Supposons que le corps K est alg´ebriquement clos, alors une valuation µ de K [ x ] est soit une valuation de la forme µ = ω ( a,δ ) , soit une une valuation associ´ee `a une famillepseudo-convergente.Preuve. Comme il ne peut pas exister de polynˆome-cl´e ou polynˆome-cl´e limite de degr´e stric-tement plus grand que 1, soit l’ensemble Λ µ = { µ ( x − b ) | b ∈ K } a un plus grand ´el´ement δ , la valuation µ est bien sp´ecifi´ee et est de la forme µ = ω ( a,δ ) , soit l’ensemble Λ µ n’a pasde plus grand ´el´ement, la valuation µ n’est pas bien sp´ecifi´ee et elle est associ´ee `a la famillepseudo-convergente ( a α ) α ∈ A . ✷ En particulier si la valuation µ n’est pas bien sp´ecifi´ee, le corps r´esiduel κ µ de la valuation µ est´egal au corps r´esiduel κ ν de la valuation ν et le groupe des ordres Γ µ est ´egal au groupe des ordresΓ ν , et nous en d´eduisons que l’extension de corps valu´es ( K ( x ) , µ ) / ( K, ν ) est imm´ediate (cf.[Ka]). Nous ´etudions dans l’
Annexe A le lien entre les r´esultats de Kaplansky sur les extensionsimm´ediates et la pr´esentation des extensions de valuations `a partir des familles admissibles.Dans le cas o`u le corps K est alg´ebriquement clos, pour d´ecrire toutes les valuations de K [ x ]prolongeant la valuation ν de K , nous munissons K de la distance ultram´etrique associ´ee `a ν .Pour tout a ∈ K et tout δ ∈ Γ nous d´efinissons les boules ferm´ee B et ouverte B ◦ de centre a et de rayon δ respectivement par B = B ( a, δ ) = (cid:8) c ∈ K / ν ( a − c ) ≥ δ (cid:9) ,B ◦ = B ◦ ( a, δ ) = (cid:8) c ∈ K / ν ( a − c ) > δ (cid:9) . Comme la distance d´efinie par la valuation ν est ultram´etrique tout ´el´ement appartenant `a uneboule ouverte ou ferm´ee est son centre, plus pr´ecis´ement si b ∈ B ◦ ( a, δ ), resp. b ∈ B ( a, δ ), alors B ◦ ( a, δ ) = B ◦ ( b, δ ), resp. B ( a, δ ) = B ( b, δ ). Proposition 2.11.
Toute boule ferm´ee B = B ( a, δ ) d´efinit une valuation bien sp´ecifi´ee µ de K [ x ] par µ = ω ( a,δ ) , qui ne d´epend pas du centre a , et toute valuation bien sp´ecifi´ee µ est decette forme.`A toute valuation µ qui n’est pas bien sp´ecifi´ee, on peut associer une famille d´ecroissante ( B α = B ( a α , δ α )) α ∈ A de boules ferm´ees, o`u A est un ensemble totalement ordonn´e sans plusgrand ´el´ement, dont l’intersection T α B α est vide, telle que la valuation µ est d´efinie par µ ( x − c ) = Sup ( ν ( c − a α ) ; α ∈ A ) . Preuve.
La premi`ere partie concernant les valuations bien sp´ecifi´ees µ est une cons´equence directede ce qui pr´ec`ede. Pour une valuation qui n’est pas bien sp´ecifi´ee µ il reste `a v´erifier que l’intersection T α B α est vide. En effet la valuation µ est d´efinie par une famille continue C = (cid:0) ω ( a α ,δ α ) (cid:1) α ∈ A , et parhypoth`ese pour tout c ∈ K il existe α ∈ A tel que µ ( x − c ) < µ ( x − a α ) = δ α , d’o`u ν ( a α − c ) < δ α . ✷ Remarque 2.12. Si µ et µ sont deux valuations bien sp´ecifi´ees de K [ x ] d´efinies respectivementpar µ = ω ( a ,δ ) et µ = ω ( a ,δ ) , nous avons µ ≤ µ si et seulement si δ ≤ δ et δ ≤ ν ( a − a ) ,c’est-`a-dire si et seulement si B ( a , δ ) ⊂ B ( a , δ ) . Soit µ une valuation bien sp´ecifi´ee de K [ x ] de la forme µ = ω ( a,δ ) , sans supposer que le corps K soit alg´ebriquement clos. Si δ n’appartient pas au groupe Γ ν , le groupe des ordres Γ µ est ´egal`a Γ ν ⊕ δ Z et nous avons rang. Γ µ / Γ ν = rang.rat. Γ µ / Γ ν = 1 et κ µ = κ ν . Si δ appartient au groupe Γ ν , alors le groupe des ordres Γ µ est ´egal `a Γ ν et le corps r´esiduel κ µ est une extension transcendante de κ ν engendr´e par l’image de b ( x − a ) o`u b ∈ K avec ν ( b ) = − δ ,d’o`u : Γ µ = Γ ν et dim.alg. κ ν κ µ = 1 . Dans tous les cas l’alg`ebre gradu´ee associ´ee gr µ K [ x ] associ´ee `a la valuation bien sp´ecifi´ee µ = ω ( a,δ ) est isomorphe `a G (0) [ S ], o`u G (0) est une alg`ebre gradu´ee simple isomorphe `a gr ν K , et S est l’image H µ ( x − a ). Pour tout a ′ ∈ K nous avons H µ ( x − a ′ ) = S si µ ( x − a ′ ) = µ ( x − a ) < ν ( a − a ′ ) ,H µ ( x − a ′ ) = S − H ν ( a − a ′ ) si µ ( x − a ′ ) = µ ( x − a ) = ν ( a − a ′ ) ,H µ ( x − a ′ ) = H ν ( a − a ′ ) si µ ( x − a ′ ) = ν ( a − a ′ ) < µ ( x − a ) , d’o`u la remarque suivante. Remarque 2.13.
Soit µ une valuation bien sp´ecifi´ee de K [ x ] de la forme µ = ω ( a,δ ) , alors lepolynˆome ( x − b ) a son image H µ ( x − b ) inversible dans l’alg`ebre gradu´ee gr µ K si et seulementsi ν ( a − b ) < δ . Passage `a la clˆoture alg´ebrique
Dans cette partie nous nous donnons un corps valu´e (
K, ν ), une clˆoture alg´ebrique ¯ K de K et une valuation ¯ ν de ¯ K qui prolonge la valuation ν , nous consid´erons une valuation µ de K [ x ]qui prolonge la valuation ν et nous allons ´etudier les prolongements ¯ µ `a ¯ K [ x ] de µ qui sont aussides prolongements de la valuation ¯ ν . D´efinition.
Pour tout polynˆome f de K [ x ] nous d´efinissons l’ ´etendue de f , que nous notons ε µ ( f ) , par ε µ ( f ) = Sup (cid:0) ¯ µ ( x − a ) ; a racine de f dans ¯ K (cid:1) , o`u ¯ µ est un prolongement de la valuation µ . Proposition 3.1.
L’´etendue du polynˆome f est ind´ependante du prolongement ¯ µ choisi. ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 15
Preuve.
Soient ¯ µ et ¯ µ deux prolongements de la valuation µ de K [ x ] `a ¯ K [ x ], alors il existe σ dans Aut ( ¯ K ( x ) /K ( x )) ≃ Aut ( ¯
K/K ) tel que µ = µ ◦ σ , en particulier pour tout a ∈ ¯ K nousavons ¯ µ ( x − a ) = ¯ µ ( x − σ ( a )) . Comme le groupe
Aut ( ¯
K/K ) agit transitivement sur les racines du polynˆome f nous en d´eduisonsque les ensembles (cid:8) ¯ µ ( x − a ) ; a racine de f dans ¯ K (cid:9) et (cid:8) ¯ µ ( x − a ) ; a racine de f dans ¯ K (cid:9) sont ´egaux. ⊔⊓ Proposition 3.2.
La valuation ¯ µ est bien sp´ecifi´ee si et seulement si la valuation µ l’est.Preuve. Comme la valuation ¯ µ est une extension de la valuation µ nous avons un morphismeinjectif canonique d’alg`ebres gradu´ees int`egres ρ : gr µ ( K [ x ]) (cid:31) (cid:127) / / gr ¯ µ ( ¯ K [ x ]) . Nous supposons d’abord que la valuation µ n’est pas bien sp´ecifi´ee, alors l’alg`ebre gradu´eegr µ ( K [ x ]) est simple, et nous devons montrer que pour tout a ∈ ¯ K , l’´el´ement H ¯ µ ( x − a ) estinversible dans gr ¯ µ ( ¯ K [ x ]). Soit a ∈ ¯ K , et soit φ le polynˆome minimal de a sur K , nous ´ecrivons φ ( x ) = Q di =1 ( x − a i ), o`u les a i sont les racines de φ dans ¯ K . L’image de H µ ( φ ) par ρ est ´egaleau produit d Y i =1 H ¯ µ ( x − a i ) , et comme H µ ( φ ) est inversible dans gr µ ( K [ x ]), chacun des facteurs H ¯ µ ( x − a i ) est inversibledans gr ¯ µ ( ¯ K [ x ]).R´eciproquement nous supposons que la valuation µ est bien sp´ecifi´ee, alors l’alg`ebre gradu´eegr µ ( K [ x ]) est isomorphe `a une alg`ebre de polynˆomes G (0) [ T ], o`u G (0) est une alg`ebre simple et T est l’image H µ ( φ ) du polynˆome-cl´e φ qui d´efinit la valuation µ .Si la valuation ¯ µ n’´etait pas bien sp´ecifi´ee, l’image de T par ρ serait inversible dans gr ¯ µ ( ¯ K [ x ])et il existerait en particulier b ∈ ¯ K tel ρ ( T ) = H ¯ µ ( b ). Il existe un polynˆome `a coefficients dans K , dont b est une racine, c n X n + c n − X n − + . . . + c X + c , avec c j ∈ K et c = 0. Enparticulier, si nous nous restreignons aux termes de valuation minimale, il existe k , k ≥
2, et0 ≤ i < i < . . . < i k ≤ n tels que H ¯ µ ( c i k b i k ) + H ¯ µ ( c i k − b i k − ) + . . . + H ¯ µ ( c i b i ) = 0dans gr ¯ µ ( ¯ K [ x ]). Nous en d´eduirions la relation H µ ( c i k ) T i k + H µ ( c i k − ) T i k − + . . . + H µ ( c i ) T i = 0dans gr µ ( K [ x ]) = G (0) [ T ], ce qui est impossible car les H µ ( c i ) sont dans G (0) . ⊔⊓ Proposition 3.3.
Soit f un polynˆome dans K [ x ] alors son image H µ ( f ) est inversible dans gr µ ( K [ x ]) si et seulement si son image H ¯ µ ( f ) = ρ ( H µ ( f )) est inversible dans gr µ ( ¯ K [ x ]) . Preuve.
L’implication H µ ( f ) inversible ⇒ H ¯ µ ( f ) inversible est ´evidente.Pour montrer l’implication r´eciproque, nous pouvons supposer que les valuations µ et ¯ µ sontbien sp´ecifi´ees, et soit f ∈ K [ x ] tel que H ¯ µ ( f ) est inversible. Alors il existe b ∈ ¯ K tel que H ¯ µ ( f ) = H ¯ µ ( b ), et comme dans la d´emonstration pr´ec´edente nous pouvons trouver des entiers k , k ≥
2, et 0 ≤ i < i < . . . < i k ≤ n , et des ´el´ements c i , . . . , c i k dans K non nuls tels que H ¯ µ ( c i k b i k ) + H ¯ µ ( c i k − b i k − ) + . . . + H ¯ µ ( c i b i ) = 0dans gr ¯ µ ( ¯ K [ x ]). Nous en d´eduisons que nous avons (cid:0) H µ ( c i k f i k − i − ) + . . . + H µ ( c i f i − i − ) (cid:1) H µ ( f ) + H µ ( c i ) = 0 , et par cons´equent H µ ( f ) est inversible. ⊔⊓ Th´eor`eme 3.4.
La valuation µ est bien sp´ecifi´ee si et seulement si l’ensemble E µ = { ε µ ( f ) | f ∈ K [ x ] } admet un plus grand ´el´ement ε µ .Dans ce cas un polynˆome φ d´efinit la valuation µ si et seulement si φ est un polynˆome unitairede K [ x ] de degr´e minimal v´erifiant ε µ ( φ ) = ε µ .Preuve. D’apr`es la proposition 3.2 la valuation µ est bien sp´ecifi´ee si et seulement si la valuation¯ µ l’est, c’est-`a-dire si et seulement si l’ensemble Λ ¯ µ = { ¯ µ ( x − b ) | b ∈ ¯ K } admet un plus grand´el´ement λ ¯ µ (cf. proposition 2.10).Supposons que la valuation µ est bien sp´ecifi´ee et soit a ∈ ¯ K tel que λ ¯ µ = ¯ µ ( x − a ), alorspar d´efinition pour tout polynˆome f dans K [ x ] nous avons l’in´egalit´e ε µ ( f ) ≤ λ ¯ µ . Si φ est lepolynˆome minimal de a dans K [ x ], plus g´en´eralement si φ est un polynˆome dans K [ x ] qui admet a comme racine, nous avons par d´efinition ¯ µ ( x − a ) ≤ ε µ ( φ ). Nous en d´eduisons que l’ensemble E µ admet un plus grand ´el´ement ε µ ´egal `a λ ¯ µ , et que la valeur ε µ est atteinte pour tout polynˆome φ de K [ x ] admettant a comme racine.R´eciproquement supposons que la valuation µ n’est pas bien sp´ecifi´ee, l’ensemble Λ ¯ µ n’admetpas de plus grand ´el´ement, en particulier pour tout polynˆome f de K [ x ] nous pouvons trouver a ∈ ¯ K tel que ¯ µ ( x − a ) > ¯ µ ( x − b ) pour toute racine b de f . Un polynˆome g dans K [ x ] admettant a comme racine v´erifie alors ε µ ( g ) > ε µ ( f ), par cons´equent l’ensemble E µ n’admet pas de plusgrand ´el´ement.Soit φ un polynˆome de K [ x ] qui d´efinit la valuation µ alors nous avons un isomorphismegr µ K [ x ] = G (0) [ T ] , o`u G (0) est une alg`ebre gradu´ee simple et T est l’image H µ ( φ ) du polynˆome φ et nous ´ecrivonscomme pr´ec´edemment φ ( x ) = Q di =1 ( x − a i ), o`u les racines a i de φ dans ¯ K v´erifient ε µ ( φ ) = ¯ µ ( x − a ) = . . . = ¯ µ ( x − a c ) > ¯ µ ( x − a c +1 ) ≥ . . . ≥ ¯ µ ( x − a d ) . ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 17
Nous ne supposons pas que le polynˆome φ est s´eparable, par cons´equent les racines a , . . . , a d de φ ne sont pas suppos´ees distinctes. L’image ρ ( T ) de T dans gr ¯ µ ( ¯ K [ x ]) est alors ´egale au produit d Y i =1 H ¯ µ ( x − a i ) , et nous d´eduisons de la d´emonstration de la proposition 3.2 que ρ ( T ) n’est pas inversible. Enparticulier un des facteurs H ¯ µ ( x − a i ) est non inversible, par cons´equent nous avons l’´egalit´e¯ µ ( x − a i ) = λ ¯ µ = Sup { ¯ µ ( x − b ) | b ∈ ¯ K } , d’o`u ε µ ( φ ) = λ ¯ µ .R´eciproquement supposons que l’ensemble E µ = { ε µ ( f ) | f ∈ K [ x ] } admet un plus grand´el´ement ε µ et soit φ un polynˆome unitaire de K [ x ] v´erifiant ε µ ( φ ) = ε µ . Nous ´ecrivons encore φ = Q di =1 ( x − a i ) et si H µ ( φ ) ´etait inversible dans gr µ ( K [ x ]) nous d´eduirions comme pr´ec´edemmentque chacun des facteurs H ¯ µ ( x − a i ) serait inversible dans gr ¯ µ ( ¯ K [ x ]), en particulier il existerait a ∈ ¯ K tel que ¯ µ ( x − a i ) < ¯ µ ( x − a ), ce qui contredit l’hypoth`ese ε µ ( φ ) = ε µ . ⊔⊓ Corollaire 3.5.
Le polynˆome irr´eductible φ de K [ x ] d´efinit la valuation µ si et seulement siune racine a de φ dans ¯ K d´efinit une valuation ¯ µ de ¯ K [ x ] qui prolonge µ .Plus pr´ecis´ement si nous ´ecrivons φ ( x ) = Q di =1 ( x − a i ) , avec a = a et o`u les racines a i de φ dans ¯ K v´erifient ε µ ( φ ) = ¯ µ ( x − a ) = . . . = ¯ µ ( x − a c ) > ¯ µ ( x − a c +1 ) ≥ . . . ≥ ¯ µ ( x − a d ) . la valuation ¯ µ est la valuation associ´ee `a la paire ( a i , δ ) pour ≤ i ≤ c et δ = ε µ ( φ ) . ⊔⊓ Dans la suite nous appelons p l’exposant caract´eristique du corps K , i.e. p = 1 si K est decaract´eristique nulle et p est ´egal `a la caract´eristique de K sinon.Soit a un ´el´ement de ¯ K et soit φ son polynˆome irr´eductible sur K alors il existe un polynˆomeirr´eductible s´eparable sur K , φ sep , et un entier n ≥ φ ( x ) = φ sep ( x p n ). Le degr´e d s du polynˆome φ sep est par d´efinition le degr´e de s´eparabilit´e de l’extension( L/K ), o`u L est la sous-extension de ¯ K engendr´ee par a , L = K ( a ) ≃ K [ x ] / ( φ ), et nous avons d = [ L : K ] = p n d s et d s = [ L : K ] sep = [ G : H ], o`u nous appelons respectivement G et H les groupes de Galois Gal ( ¯
K/K ) et
Gal ( ¯
K/L ). En particulier nous pouvons identifier H ausous-groupe { σ ∈ G / σ ( a ) = a } . Si nous posons Rac ( φ ) = { a , . . . , a d s } alors nous avons : φ ( x ) = φ sep ( x p n ) = d s Y i =1 ( x − a i ) p n , Comme pr´ec´edemment nous consid´erons une valuation µ de l’anneau des polynˆomes K [ x ]bien sp´ecifi´ee, c’est `a dire de la forme µ = [ µ ♯ ; µ ( φ ) = γ ] , telle que le polynˆome-cl´e ou le polynˆome-cl´e limite φ est de degr´e d , d ≥
2, et nous posons φ ( x ) = φ sep ( x p n ) avec φ sep s´eparable de degr´e d s . Il existe une racine a du polynˆome φ dans ¯ K et une valuation ¯ µ de l’anneau ¯ K [ x ] qui prolongela valuation µ qui est de la forme ¯ µ = ω ( a ,δ ) pour une certaine valeur δ , et nous notons a j ,1 ≤ j ≤ d s , les racines de φ de telle fa¸con que nous ayons¯ ν ( a − a j ) ≥ ¯ ν ( a − a j +1 ) pour 2 ≤ j ≤ d s − . Pour toute valeur δ dans ˜Γ nous notons c ( δ ) le plus petit entier j , 1 ≤ j ≤ d s , tel que nousayons ¯ ν ( a − a j ) ≥ δ , en particulier si c ( δ ) < n nous avons¯ ν ( a − a c ( δ ) ) ≥ δ > ¯ ν ( a − a c ( δ )+1 ) . La valuation ω ( a ,δ ) v´erifie alors ω ( a ,δ ) = ω ( a j ,δ ) pour 1 ≤ j ≤ c ( δ ) et nous avons les ´egalit´essuivantes : ω ( a ,δ ) ( x − a j ) = δ pour 1 ≤ j ≤ c ( δ ) ω ( a ,δ ) ( x − a j ) = ¯ ν ( a − a j ) < δ pour c ( δ ) + 1 ≤ j ≤ d s . Lemme 3.6.
Avec les notations pr´ec´edentes supposons que la valuation ω ( a ,δ ) soit un prolon-gement ¯ µ de la valuation µ `a ¯ K [ x ] , alors nous avons : µ ( φ ) = γ = p n (cid:18) c ( δ ) δ + d s X j = c ( δ )+1 ¯ ν ( a − a j ) (cid:19) ≤ p n d s δ = deg φ δ , avec l’in´egalit´e stricte µ ( φ ) < deg φ δ seulement dans le cas o`u c ( δ ) < d s , c’est-`a-dire dans lecas o`u la valuation µ admet plusieurs prolongements distincts `a ¯ K [ x ] . Proposition 3.7.
Pour toute racine a du polynˆome-cl´e φ il existe au plus une valuation ¯ µ de ¯ K [ x ] qui prolonge les valuations ¯ ν et µ qui soit de la forme ¯ µ = ω ( a,δ ) .Preuve. Soit a = a une racine de φ , nous choisissons les autres racines a i de fa¸con `a avoir lesin´egalit´es ¯ ν ( a − a j ) ≥ ¯ ν ( a − a j +1 ). Supposons que nous ayons deux valeurs δ et δ ′ dans ˜Γtelles que les valuations ω ( a ,δ ) et ω ( a ,δ ′ ) soient des prolongements de la valuation µ , et notonsrespectivement c et c ′ les plus petits entiers tels que nous ayons ¯ ν ( a − a c ) ≥ δ et ¯ ν ( a − a c ′ ) ≥ δ ′ .D’apr`es le lemme 3.6 nous avons l’´egalit´e : p n (cid:18) cδ + d s X j = c +1 ¯ ν ( a − a j ) (cid:19) = p n (cid:18) c ′ δ ′ + d s X j = c ′ +1 ¯ ν ( a − a j ) (cid:19) . Si c = c ′ nous en d´eduisons l’´egalit´e δ = δ ′ .Si c ′ > c alors nous avons δ > ¯ ν ( a − a c ′ ) ≥ δ ′ , et nous d´eduisons de l’´egalit´e pr´ec´edente quenous avons cδ + c ′ X j = c +1 ¯ ν ( a − a j ) = c ′ δ ′ , avec δ > δ ′ et ¯ ν ( a − a j ) ≥ δ ′ pour tout j ≤ c ′ , ce qui est impossible. ⊔⊓ Nous d´eduisons de ce qui pr´ec`ede que si les racines du polynˆome φ sont tr`es proches pour ladistance d´efinies par ¯ ν sur ¯ K la valuation µ , d´efinie par le polynˆome φ admet un seul prolonge-ment. ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 19
Proposition 3.8.
La valuation µ admet un unique prolongement ¯ µ `a ¯ K [ x ] si et seulement sinous avons pour tout couple de racines ( a, b ) de φ : ¯ ν ( a − b ) ≥ µ ( φ ) / deg φ . Preuve.
Supposons que la valuation µ admette un seul prolongement ¯ µ = ω ( a,δ ) , alors nous avonspour toute racine b l’in´egalit´e ¯ ν ( a − b ) ≥ δ avec δ = µ ( φ ) / deg φ .Supposons maintenant que nous avons l’in´egalit´e ¯ ν ( a − b ) ≥ µ ( φ ) / deg φ pour tout couple ( a, b )de racines, et soit ¯ µ un prolongement de µ de la forme ¯ µ = ω ( a,δ ) . Nous notons c le nombre deracines b v´erifiant ¯ ν ( a − b ) ≥ δ et d = p n d s = deg φ , et nous d´eduisons alors du lemme 3.6 larelation µ ( φ ) = p n (cid:18) cδ + X { b/ ¯ ν ( a − b ) <δ } ¯ ν ( a − b ) (cid:19) ≥ p n cδ + p n ( d s − c ) µ ( φ ) /d , d’o`u le r´esultat. ⊔⊓ Dans la suite de ce paragraphe nous supposerons que le corps valu´e (
K, ν ) est hens´elien,la valuation ν admet donc un seul prolongement not´e ¯ ν au corps ¯ K , en particulier pour toutautomorphisme σ dans le groupe de Galois G = Gal ( ¯
K/K ) la valuation ¯ ν ◦ σ est ´egale `a lavaluation ¯ ν . Th´eor`eme 3.9.
Soit µ une valuation bien sp´ecifi´ee de K [ x ] d´efinie par un polynˆome φ de degr´e d , et soit a une racine de φ dans ¯ K . Alors il existe une valeur δ dans ˜Γ et des automorphismes σ = id, σ , . . . , σ k , avec ≤ k ≤ d , dans le groupe de Galois G = Gal ( ¯
K/K ) tels que lesprolongements ¯ µ ( l ) de la valuation µ `a ¯ K [ x ] sont les valuations ω ( σ l ( a ) ,δ ) , pour ≤ l ≤ k .Preuve. Si ¯ µ est un prolongement de la valuation µ , alors tous les prolongements de µ sont dela forme ¯ µ ◦ σ pour σ appartenant au groupe de Galois Gal ( ¯
K/K ). Supposons que ¯ µ soit lavaluation ω ( a,δ ) pour une racine a de φ , alors la valuation ¯ µ ◦ σ est la valuation ω ( σ − ( a ) ,δ ) . Eneffet la valuation ¯ µ = ω ( a,δ ) est d´etermin´ee par l’´egalit´e¯ µ ( x − b ) = Inf (cid:0) δ, ¯ ν ( a − b ) (cid:1) , o`u b parcourt ¯ K .Comme ( K, ν ) est hens´elien nous en d´eduisons que pour tout b nous avons¯ µ ◦ σ ( x − b ) = Inf (cid:0) δ, ¯ ν ( a − σ ( b )) (cid:1) = Inf (cid:0) δ, ¯ ν ( σ − ( a ) − b ) (cid:1) . Comme le groupe de Galois agit transitivement sur les racines du polynˆome φ nous end´eduisons que pour toute racine a de φ il existe un prolongement ¯ µ de la valuation µ de laforme ω ( a,δ ) , et nous d´eduisons de la proposition 3.7 que la valeur δ est d´etermin´ee uniquementpar la valuation µ . ⊔⊓ Les diff´erents prolongements de la valuation µ `a ¯ K [ x ] correspondent aux diff´erentes boulesferm´ees B ( a, δ ) de ¯ K o`u a parcourt l’ensemble Rac ( φ ) des racines distinctes de φ , et deux boules B ( a, δ ) et B ( a ′ , δ ) sont disjointes si ¯ ν ( a − a ′ ) < δ ou ´egales sinon. Soit B une boule ferm´ee de ¯ K , alors pour tout σ dans le groupe de Galois G la boule σ.B est ´egale `a B si pour tout a dans B l’image σ ( a ) appartient `a B et est disjointe de B sinon, enfait il suffit qu’il existe un ´el´ement a de B tel que son image appartienne `a B pour que σ.B soit´egale `a B . Nous pouvons d´efinir H B par H B := (cid:8) σ ∈ G /σ.B = B (cid:9) . Il est facile de v´erifier que les H B sont des sous-groupes du groupe de Galois G qui v´erifient(1) H B ⊂ H B ′ pour B ⊂ B ′ ;(2) H τ.B = τ.H B .τ − .Il y a une bijection naturelle entre l’ensemble quotient G/H B et l’ensemble (cid:8) B ( l ) (cid:9) des boulesferm´ees disjointes conjugu´ees `a B par l’action du groupe de Galois G .Si un ´el´ement b de ¯ K appartient `a B , la boule B est la boule ferm´ee B ( b, δ ) et le sous-groupe H B s’identifie au sous-groupe H ( b,δ ) d´efini par H ( b,δ ) := (cid:8) σ ∈ G / ¯ ν ( b − σ ( b )) ≥ δ (cid:9) , et comme pr´ec´edemment nous avons H ( b,δ ) ⊂ H ( b,δ ′ ) pour δ ≥ δ ′ , et H ( τ ( b ) ,δ ) = τ.H ( b,δ ) .τ − .Rappelons que pour tout ´el´ement b de ¯ K nous d´efinissons la constante de Krasner ∆ K ( b ) par∆ K ( b ) = Sup (cid:0) ¯ ν ( b − b ′ ) ; b ′ conjugu´e de b , b ′ = b (cid:1) . Alors, pour δ > ∆ K ( b ) le sous-groupe H ( b,δ ) est ´egal au groupe de Galois H = Gal ( ¯
K/K ( b )).La bijection naturelle entre l’ensemble quotient G/H et l’ensemble
Rac ( ψ ) des racines dupolynˆome irr´eductible ψ = Irr K ( b ) de b sur K induit une bijection entre H B /H et l’ensemble Rac B ( ψ ) des racines de ψ appartenant `a la boule ferm´ee B = B ( b, δ ). En particulier l’ensemble G/H B est fini et il existe σ , . . . , σ k dans G tels que l’ensemble (cid:8) B ( l ) (cid:9) des boules ferm´eesconjugu´ees `a B soit ´egal `a (cid:8) σ l .B (cid:9) , avec σ = id et B (1) = B . En particulier les prolongements¯ µ ( l ) de la valuation µ `a ¯ K [ x ] d´efinis au th´eor`eme 3.9 sont les valuations associ´ees aux boules B ( l ) .Nous d´efinissons la distance η l,l ′ entre deux boules distinctes B ( l ) et B ( l ′ ) par η l,l ′ = ¯ ν ( b − b ′ ) pour b ∈ B ( l ) et b ′ ∈ B ( l ′ ) , et ceci est ind´ependant des ´el´ements b et b ′ choisis car la distance associ´ee `a ¯ ν est ultra-m´etrique,et v´erifie η l,l ′ < δ .Soit b appartenant `a ¯ K , nous notons L l’extension K ( b ), ψ son polynˆome irr´eductible sur K , ψ sep le polynˆome irr´eductible s´eparable associ´e, et nous posons d = p n d s o`u d = deg ψ = [ L : K ]et d s = deg ψ sep = [ L : K ] sep = [ G : H ], avec H = Gal ( ¯
K/L ). Proposition 3.10. Si b appartient `a la boule B nous avons l’inclusion H ⊂ H B et si nousposons c = [ H B : H ] et k = [ G : H B ] , nous avons l’´egalit´e d s = kc . De plus nous pouvons trouver δ , δ , . . . , δ c dans G avec δ = id , tels que pour tout l , ≤ l ≤ k , l’ensemble Rac B ( l ) ( φ ) des racines de φ appartenant `a la boule B ( l ) est ´egal `a l’ensemble (cid:8) σ l δ i ( b ) , ≤ i ≤ c (cid:9) . ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 21
Preuve.
C’est une cons´equence de l’´egalit´e H B = H ( b,δ ) et du fait que la valuation ¯ ν ◦ σ est ´egale`a la valuation ¯ ν pour tout σ dans G . ⊔⊓ Corollaire 3.11.
Soient µ une valuation bien sp´ecifi´ee de K [ x ] , ¯ µ un prolongement de µ `a ¯ K [ x ] associ´e `a la boule ferm´ee B de diam`etre δ et b un ´el´ement de ¯ K appartenant `a B de polynˆomeirr´eductible sur K Irr K ( b ) = ψ . Alors avec les notations pr´ec´edentes nous avons µ ( ψ ) = p n c (cid:18) δ + k X l =2 η ,l (cid:19) ≤ deg ψ.δ . ⊔⊓ En particulier nous retrouvons que si la valuation µ est d´efinie par le polynˆome φ nous avonsl’in´egalit´e γ = µ ( φ ) ≤ deg φ.δ , avec ´egalit´e si et seulement si la valuation µ admet un seulprolongement `a ¯ K [ x ].D’apr`es la proposition 2.11 nous pouvons associer `a une valuation de la forme ¯ µ = ω ( a,δ ) la boule ferm´ee B = B ( a, δ ) de ¯ K , et la valuation est enti`erement d´etermin´ee par B , etnous d´eduisons du th´eor`eme 3.9 nous pouvons associer `a la valuation µ de K [ x ] une famille B ( µ ) = (cid:0) B ( l ) (cid:1) ≤ l ≤ k de boules ferm´ees disjointes, de mˆeme diam`etre δ , chacune des boules B ( l ) correspondant `a la valuation ¯ µ ( l ) . Proposition 3.12.
Soit µ une valuation bien sp´ecifi´ee de K [ x ] et soit B ( µ ) = (cid:0) B ( l ) (cid:1) ≤ l ≤ k lafamille de boules ferm´ees de ¯ K associ´ee. Alors un polynˆome f de K [ x ] a son image H µ ( f ) noninversible dans gr µ ( K [ x ]) si et seulement si l’ensemble Rac ( f ) des racines de f est inclus dansla r´eunion des boules ferm´ees S ≤ l ≤ k B ( l ) .Preuve. Soit ¯ µ un prolongement de µ `a ¯ K [ x ] de la forme ¯ µ = ω ( a,δ ) , d’apr`es la proposition 3.3 lepolynˆome f a son image H µ ( f ) non inversible dans gr µ ( K [ x ]) si et seulement si f a une racine b tel que ¯ ν ( a − b ) ≥ δ . Comme le groupe de Galois agit transitivement sur l’ensemble des racines Rac ( f ) et sur l’ensemble des boules B ( µ ), nous en d´eduisons le r´esultat. ⊔⊓ Remarque 3.13.
A toute valuation bien sp´ecifi´ee µ de K [ x ] , nous pouvons associer l’entier k d´efini comme le nombre de boules ferm´ees distinctes B ( l ) conjugu´ees `a la boule ferm´ee B associ´ee`a un prolongement ¯ µ de µ `a ¯ K [ x ] .Nous d´eduisons de ce qui pr´ec`ede que tout polynˆome irr´eductible ψ de K [ x ] ayant une racinedans B est de degr´e divisible par k . En particulier si k ne divise pas le degr´e d’un polynˆome f son image H µ ( f ) est inversible dans gr µ ( K [ x ]) . Nous voulons ´etudier les prolongements ¯ µ i des valuations µ i appartenant `a une famille admise A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I de valuations de K [ x ]. Pour cela il nous faut d’abord ´etudier les prolongements `a¯ K [ x ] de deux valuations dont l’une est valuation augment´ee de l’autre. Th´eor`eme 3.14.
Soit µ une valuation bien sp´ecifi´ee de K [ x ] obtenue comme valuation aug-ment´ee µ = [ µ ♯ ; µ ( φ ) = γ ] et soit ¯ µ ♯ un prolongement de la valuation µ ♯ `a ¯ K [ x ] . Alors ilexiste un prolongement ¯ µ de la valuation µ `a ¯ K [ x ] qui est obtenu comme valuation augment´ee ¯ µ = [¯ µ ♯ ; ¯ µ ( ¯ φ ) = ¯ γ ] .Preuve. Comme la valuation µ ♯ admet une valuation augment´ee elle est bien sp´ecifi´ee, alors pourtout prolongement ¯ µ ♯ il existe une racine a ♯ du polynˆome-cl´e φ ♯ d´efinissant la valuation µ ♯ etune valeur δ ♯ dans ˜Γ telles que le prolongement ¯ µ ♯ soit la valuation ω ( a ♯ ,δ ♯ ) .Comme le polynˆome φ est un polynˆome-cl´e pour la valuation µ ♯ son image H µ ♯ ( φ ) dansl’anneau gradu´e gr µ ♯ K [ x ] n’est pas inversible. Par cons´equent il existe au moins une racine a de φ dans ¯ K telle que H ¯ µ ♯ ( x − a ) ne soit pas inversible dans l’anneau gradu´e gr ¯ µ ♯ ¯ K [ x ], d’o`u d’apr`esla remarque 2.13 l’in´egalit´e ¯ ν ( a − a ♯ ) ≥ δ ♯ . Nous en d´eduisons que la valuation ¯ µ ♯ peut s´ecrire¯ µ ♯ = ω ( a,δ ♯ ) Soit ¯ µ le prolongement de la valuation µ associ´e `a la racine a du polynˆome φ , c’est-`a-direqui est de la forme ¯ µ = ω ( a,δ ) . Deux valuations de la forme ρ = ω ( a,δ ) et ρ = ω ( a,δ ) sontcomparables et v´erifient ρ ≤ ρ si et seulement si δ ≤ δ . Par cons´equent comme nous avonsl’in´egalit´e µ ♯ ≤ µ nous avons les in´egalit´es δ ♯ ≤ δ et ¯ µ ♯ ≤ ¯ µ . Nous en d´eduisons le r´esultatcar les seuls polynˆomes-cl´es sur ¯ K [ x ] sont des polynˆomes de degr´e 1, et nous pouvons prendre¯ φ = x − a . ⊔⊓ Proposition 3.15.
Soient ¯ µ ♯ = ω ( a ♯ ,δ ♯ ) et ¯ µ = ω ( a,δ ) les deux valuations d´efinies dans leth´eor`eme pr´ec´edent, et supposons que les polynˆomes φ ♯ et φ ne sont pas µ ♯ -´equivalents, alorsnous avons l’´egalit´e : ¯ ν ( a − a ♯ ) = δ ♯ Preuve.
Nous d´eduisons de la proposition 3.3 que pour toute valuation µ de K [ x ] et tout pro-longement ¯ µ = ω ( a,δ ) de µ `a ¯ K [ x ], si un polynˆome f de K [ x ] n’est pas µ -inversible alors il existeune racine b de f telle que ¯ ν ( a − b ) ≥ δ .Comme les polynˆomes φ ♯ et φ ne sont pas µ ♯ -´equivalents, le polynˆome φ ♯ est µ -inversible, nousen d´eduisons l’in´egalit´e ¯ ν ( a − a ♯ ) < δ , par cons´equent nous avons ¯ µ ( x − a ♯ ) = ¯ ν ( a − a ♯ ) < δ =¯ µ ( x − a ). Nous d´eduisons aussi du fait que φ ♯ est µ -inversible, l’´egalit´e δ ♯ = ¯ µ ♯ ( x − a ♯ ) = ¯ µ ( x − a ♯ ),d’o`u le r´esultat. ⊔⊓ Soit µ une valuation bien sp´ecifi´ee obtenue comme valuation augment´ee de la valuation µ ♯ telle que les polynˆomes φ ♯ et φ ne sont pas µ ♯ -´equivalents, nous appelons B ( µ ♯ ) = (cid:0) B ( l ) ♯ (cid:1) ≤ l ≤ k ♯ et B ( µ ) = (cid:0) B ( l ) (cid:1) ≤ l ≤ k les familles de boules ferm´ees de ¯ K associ´ees respectivement aux valuations µ ♯ et µ .Soit ¯ µ ( r ) ♯ le prolongement de la valuation µ ♯ associ´e `a la boule B ( r ) ♯ = B ( a ( r ) ♯ , δ ♯ ), alors pourtoute racine a ( l ) du polynˆome φ v´erifiant ¯ ν ( a ( l ) − a ( r ) ♯ ) ≥ δ ♯ la boule ferm´ee associ´ee B ( l ) = B ( a ( l ) , δ ) est incluse dans B ( r ) ♯ . Comme le groupe de Galois G = Gal ( ¯
K/K ) agit transitivement
ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 23 sur les ensembles des racines (cid:8) a ( r ) ♯ (cid:9) et (cid:8) a ( l ) (cid:9) respectivement des polynˆomes φ ♯ et φ nous end´eduisons le r´esultat suivant. Proposition 3.16.
Chaque boule B ( r ) ♯ de B ( µ ♯ ) contient s boules B ( l ) appartenant `a B ( µ ) , o`u s est un entier strictement positif ind´ependant de la boule B ( r ) ♯ choisie, et toute boule B ( l ) de B ( µ ) est contenue dans une boule B ( r ) ♯ de B ( µ ♯ ) . ⊔⊓ Nous pouvons repr´esenter les boules dans ¯ K associ´ees aux prolongements des valuations µ ♯ et µ par le diagramme suivant : B (1) B (1) ♯ aa ♯ B ( l ) B ( r ) ♯ B ( q ) B ( p ) ♯ Disposition des boules ferm´ees des familles B ( µ ♯ ) et B ( µ ) dans ¯ K Dans le cas o`u les polynˆomes φ ♯ et φ sont µ ♯ -´equivalents nous obtenons un r´esultat identique.En effet consid´erons deux valuations bien sp´ecifi´ees µ ♯ et µ de K [ x ] d´efinies par le mˆeme polynˆome φ et par des valeurs γ ♯ et γ diff´erentes avec γ ♯ < γ . Soit a une racine de φ dans ¯ K et choisissonsdeux prolongements ¯ µ ♯ et ¯ µ respectivement de µ ♯ et µ `a ¯ K [ x ], de la forme ¯ µ ♯ = ω ( a,δ ♯ ) et¯ µ = ω ( a,δ ) . Comme les valuations ω ( a,δ ♯ ) et ω ( a,δ ) sont comparables et comme nous avons µ ♯ ≤ µ nous en d´eduisons l’in´egalit´e δ ♯ < δ . Si nous appelons I ( µ ♯ ) = ( I ( l ) ♯ ; 1 ≤ l ≤ k ♯ ) et I ( µ ) =( I ( l ) ; 1 ≤ l ≤ k ) les partitions de l’ensemble des racines de φ associ´ees respectivement auxvaluations µ ♯ et µ , alors I ( µ ) est plus fine que I ( µ ♯ ), et nous trouvons la mˆeme disposition desboules ferm´ees associ´ees aux valuations que pr´ec´edemment.Nous voulons ´etudier maintenant le cas d’une famille continue C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A de valuations de K [ x ], pour tout α dans A nous notons B ( µ α ) = (cid:0) B ( l ) α (cid:1) ≤ l ≤ k α la famille de boules ferm´ees de ¯ K associ´ee `a la valuation µ α et B α la r´eunion B α = S ≤ l ≤ k α B ( l ) α . Nous d´eduisons de la proposition3.16 qu’il existe α tel que pour tout β ≥ α ≥ α dans A nous avons k β = k α et chaque boule B ( l ) α de B ( µ α ) contient une unique boule B ( l ) β de B ( µ β ), et notons k C = k α pour α ≥ α . Nous posons alors B ( l ) C = \ α ∈ A,α ≥ α B ( l ) α et B C = \ α ∈ A B α = [ ≤ l ≤ k C B ( l ) C . L’ensemble B ( l ) C obtenu comme intersection d’une famille d´ecroissante de boules ferm´ees est uneboule ferm´ee, ´eventuellement vide. Le groupe de Galois G = Gal ( ¯
K/K ) agit transitivement surles racines des polynˆomes φ α d´efinissant les valuations µ α , par cons´equent toutes les boules B ( l ) α sont isomorphes. Proposition 3.17.
Le polynˆome φ appartient `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) = { f ∈ K [ x ] | µ α ( f ) < µ β ( f ) , ∀ α < β ∈ A } si et seulement si l’ensemble des racines Rac ( φ ) de φ est inclus dans B C .Preuve. Si φ appartient `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , pour tout α dans A l’image de φ dans gr µ α K [ x ] est non inversibleet nous d´eduisons le r´esultat de la proposition 3.12. ⊔⊓ Soient µ une valuation de K [ x ] et A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I la famille admise de valuations associ´ee, chaquevaluation µ i de la famille A est bien sp´ecifi´ee, d´efinie par le polynˆome-cl´e φ i , et soit B i = B ( µ i )la famille de boules ferm´ees de ¯ K asspoci´ee `a µ i par le th´eor`eme 3.9. Proposition 3.18.
La famille (cid:0) B i (cid:1) i ∈ I est d´ecroissante, c’est-`a-dire pour tout i < j dans I chaque boule B ( r ) i de B i contient s boules B ( l ) j appartenant `a B j , o`u s est un entier strictementpositif ind´ependant de la boule B ( r ) i choisie, et toute boule B ( l ) j de B j est contenue dans une boule B ( r ) i de B i .Preuve. C’est une cons´equence des propositions 3.16 et 3.17. ⊔⊓ Soit µ une valuation de K [ x ] et soit A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I la famille admise associ´ee. D´efinition.
Nous appelons ensemble caract´eristique de la valuation µ le sous-ensemble B = B ( µ ) de ¯ K obtenu comme l’intersection des ensembles B i pour i dans I , o`u chaque B i est lar´eunion des boules ferm´ees B ( r ) i appartenant `a B ( µ i ) . Il existe i ∈ I tel que les ensembles B ( µ i ) pour i ≥ i ont tous le mˆeme nombre s d’´el´ements,c’est-`a-dire que pour tout j ≥ i ≥ i chaque boule ferm´ee B ( r ) i de B ( µ i ) contient une uniqueboule ferm´ee B ( r ) j de B ( µ j ). Pour tout r , nous appelons B ( r ) la famille d´ecroissante de boulesferm´ees (cid:0) B ( r ) i (cid:1) i ≥ i , et nous notons B ( r ) l’intersection B ( r ) = \ i ≥ i B ( r ) i . Le groupe de Galois
Gal ( ¯
K/K ) agit transitivement sur l’ensemble des familles B ( r ) , donc cesfamilles sont isomorphes et nous avons l’´egalit´e : B = [ ≤ r ≤ s B ( r ) . ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 25
D’apr`es la proposition 2.11 chaque famille de boules ferm´ees B ( r ) d´efinit une valuation ¯ µ ( r ) de ¯ K [ x ], et nous d´eduisons de ce qui pr´ec`ede le r´esultat suivant. Th´eor`eme 3.19.
Les valuations ¯ µ ( r ) associ´ees aux familles B ( r ) sont les extensions `a ¯ K [ x ] dela valuation µ .Si l’ensemble caract´eristique B ( µ ) de µ est vide la valuation µ n’est pas bien sp´ecifi´ee, etchaque valuation ¯ µ ( r ) est d´efinie par la suite pseudo-convergente associ´ee `a la famille B ( r ) .Si l’ensemble caract´eristique B ( µ ) de µ est non vide la valuation µ est bien sp´ecifi´ee, et chaquevaluation ¯ µ ( r ) est d´efinie par la boule ferm´ee non vide B ( r ) . Corollaire 3.20.
Soit µ une valuation de K [ x ] et soit A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I une famile admise associ´ee,alors pour toute extension ¯ µ de µ `a ¯ K [ x ] , il existe une famille A ¯ µ = (cid:0) ¯ µ i (cid:1) i ∈ I de valuations de ¯ K [ x ] correspondant `a une suite d´ecroissante (cid:0) B i (cid:1) i ∈ I de boules ferm´ees de ¯ K telle que pour tout i ∈ I la valuation ¯ µ i est une extension de la valuation µ i . Remarque 3.21.
Soit ( C, une singularit´e de courbe plane dans A k d´efinie par un polynˆome f ∈ k [ x, y ] pour un choix judicieux des coordonn´ees x et y , nous consid´erons alors f commeun ´el´ement P de K [ x ] o`u K est le corps k ( y ) que nous munissons de la valuation y -adique ν .Alors l’´etude de la singularit´e ( C, est li´ee `a l’´etude des prolongements µ de la valuation ν aucorps L = K [ x ] / ( P ) et les valuations µ i apparaissant dans la famille admise A associ´ee `a lapseudo-valuation ¯ µ de K [ x ] de noyau ( P ) d´efinie par µ sont en reli´ees aux paires de Puiseux dela singularit´e ( C, (cf. Exemple 3.2 de [Va 4] ).Il est alors possible de voir une analogie entre la famille des boules (cid:0) B i (cid:1) i ∈ I d´efinie `a la pro-position 3.18 et l’action du groupe de Galois sur celle-ci, et la construction du carousel donn´eepar Lˆe D.T. (voir par exemple [Le 1] ou [Le 2] ). Remarque 3.22.
Soient ν une valuation de K , µ un prolongement de ν `a l’extension K ( x ) de K et A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I la famille de valuations de K ( x ) associ´ee `a µ consid´er´ee comme valuation del’anneau des polynˆomes K [ x ] . D’apr`es ce qui pr´ec`ede la famille A peut ˆetre d´efinie en consid´erantla famille des boules (cid:0) B i (cid:1) i ∈ I de ¯ K , en particulier on peut en d´eduire que cette famille ne d´ependpas du g´en´erateur x de l’extension K ( x ) de K .Nous retrouvons ainsi le r´esultat principal de [Va 6] . Restriction d’une valuation d´efinie sur ¯ K [ x ]Dans cette partie nous nous donnons une valuation ¯ µ d´efinie sur ¯ K [ x ] et nous voulons ´etudiersa restriction µ `a l’anneau K [ x ]. Comme pr´ec´edemment nous supposons que ( K, ν ) est un corpsvalu´e hens´elien et la valuation ¯ µ de ¯ K [ x ] est un prolongement de l’unique extension ¯ ν de ν `a lacloture alg´ebrique ¯ K de K .Pour tout b appartenant `a ¯ K nous d´efinissons le degr´e de b sur K comme le degr´e de l’extensionalg´ebrique qu’il engendre, c’est aussi la degr´e du polynˆome irr´eductible Irr K ( b ) de b sur K :deg K ( b ) = deg Irr K ( b ) = [ K ( b ) : K ] . Proposition 4.1.
Soient ¯ µ une valuation bien sp´ecifi´ee de ¯ K [ x ] associ´ee `a une boule ferm´ee B , µ la restriction de ¯ µ `a K [ x ] et φ un polynˆome de K [ x ] d´efinissant la valuation µ . Alors pourtout b ∈ B nous avons l’in´egalit´e : deg K ( b ) ≥ deg φ . Preuve.
Nous d´eduisons de la remarque 2.13 que si b appartient `a B l’image de ( x − b ) estnon-inversible dans gr ¯ µ ¯ K [ x ], alors l’image du polynˆome Irr K ( b ) est non inversible dans gr µ K [ x ],et par cons´equent il v´erifie l’in´egalit´e deg Irr K ( b )) ≥ deg φ . ⊔⊓ Pour tout sous-ensemble E de ¯ K nous d´efinissons le degr´e de E sur k pardeg K ( E ) := Inf (cid:0) deg K ( b ) / b ∈ E (cid:1) . Th´eor`eme 4.2.
Soient ¯ µ une valuation bien sp´ecifi´ee de ¯ K [ x ] et B la boule ferm´ee de ¯ K associ´ee. Alors un polynˆome irr´eductible φ de K [ x ] d´efinit la valuation µ restriction de ¯ µ `a K [ x ] si et seulement si φ a une racine a appartenant `a B avec deg K ( a ) = deg K ( B ) . Preuve.
Soit φ un polynˆome qui d´efinit la valuation µ , alors nous d´eduisons de la proposition4.1 que tout b appartenant `a B v´erifie deg K ( b ) ≥ deg φ et comme φ a une racine appartenant `a B nous trouvons deg φ = deg K ( B ).R´eciproquement soit b appartenant `a B avec deg K ( b ) = deg K ( B ), et soit ψ son polynˆomeirr´eductible sur K . Les polynˆomes φ et ψ ont mˆeme degr´e d et si nous appelons respectivement d s et d ′ s le nombre de racines distinctes de φ et ψ nous pouvons ´ecrire d = p n d s et d = p n ′ d ′ s .Soit k le nombre de boules ferm´ees B ( l ) conjugu´ees `a B , alors d’apr`es la proposition 3.10 nousavons les ´egalit´es d s = kc et d ′ s = kc ′ o`u c et c ′ sont respectivement le nombre de racines de φ etde ψ appartenant `a une boule B ( l ) . Nous en d´eduisons l’´egalit´e p n c = p n ′ c ′ = d/k , et d’apr`es le corollaire 3.11 nous trouvons µ ( φ ) = µ ( ψ ). Le th´eor`eme est alors une cons´equencede la proposition 2.9. ⊔⊓ Soit a appartenant `a ¯ K , alors pour tout δ dans Γ ¯ ν nous pouvons d´efinir l’entier ρ a ( δ ) par ρ a ( δ ) = deg K ( B ( a, δ )) . Nous avons ainsi une application croissante ρ a de Γ ¯ ν dans N major´ee par d = deg K ( a ). De plus lavaleur de ρ a sur { δ ′ ∈ Γ ¯ ν /δ ′ ≤ δ } ne d´epend pas de a mais uniquement de la boule B = B ( a, δ ),en effet si b appartient `a B alors pour tout δ ′ ≤ δ nous avons encore B ( a, δ ′ ) = B ( b, δ ′ ).Pour tout e ∈ N , avec e ≤ d nous d´efinissons l’ensemble R a ( e ) = { δ ′ ∈ Γ ¯ ν / ρ a ( δ ′ ) ≤ e } . Nous consid´erons une valuation bien sp´ecifi´ee ¯ µ de ¯ K [ x ] associ´ee `a la boule ferm´ee B , sarestriction µ `a K [ x ] et a dans B tel que φ le polynˆome irr´eductible de a sur K d´efinisse lavaluation µ . D’apr`es ce qui pr´ec`ede le degr´e d de φ est ´egal `a deg K ( B ), et soient δ et γ tels quenous ayons B = B ( a, δ ) et µ ( φ ) = γ . ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 27
Supposons que l’ensemble R a ( d −
1) a un plus grand ´el´ement δ et soit d = ρ a ( δ ), alors pourtout δ ′ ≤ δ nous avons ρ a ( δ ′ ) ≤ d et pour tout δ ′ > δ nous avons ρ a ( δ ′ ) = d . Nous posons B = B ( a, δ ) et nous choisissons a ∈ B avec deg K ( a ) = d .Nous appelons ¯ µ la valuation de ¯ K [ x ] associ´ee `a la boule B , µ sa restriction `a K [ x ] qui estd´efinie par φ le polynˆome irr´eductible de a sur K . Proposition 4.3.
Le polynˆome φ est un polynˆome-cl´e pour la valuation µ et la valuation µ estla valuation augment´ee [ µ ; µ ( φ ) = γ ] .Preuve. La valuation µ v´erifie µ ≤ µ et nous pouvons consid´erer l’ensemble˜Φ µ ( µ ) = { f ∈ K [ x ] | µ ( f ) < µ ( f ) } , cet ensemble est non vide car φ v´erifie µ ( φ ) < µ ( φ ). En effet si nous ´ecrivons φ = d s Y i =1 ( x − b i ) p n , avec b = a nous avons ¯ µ ( x − b i ) ≤ ¯ µ ( x − b i ) pour tout i ≥ µ ( x − a ) < ¯ µ ( x − a ).Nous appelons d ′ le degr´e minimal d’un polynˆome appartenant `a ˜Φ µ ( µ ) et nous consid´eronsl’ensemble Φ µ ( µ ) = { ψ ∈ K [ x ] | µ ( ψ ) < µ ( ψ ) , deg ψ = d ′ et ψ unitaire } . Soit ψ dans Φ µ ( µ ), alors par construction nous avons d ≤ deg ψ ≤ d , et d’apr`es [Va 1],th´eor`eme 1.15, nous savons que ψ est un polynˆome-cl´e pour la valuation µ et que la valuationaugment´ee µ ′ = [ µ ; µ ′ ( ψ ) = γ ′ ], avec γ ′ = µ ( ψ ) v´erifie µ ≤ µ ′ ≤ µ .Nous d´eduisons du th´eor`eme 3.14 qu’il existe un prolongement ¯ µ ′ de la valuation µ ′ `a ¯ K [ x ]v´erifiant ¯ µ ≤ ¯ µ ′ ≤ ¯ µ . Soit B ′ la boule associ´ee `a ¯ µ ′ , nous avons alors B ⊂ B ′ ⊂ B , en particulieril existe δ ′ tel que B ′ = B ( a, δ ′ ) et comme la valuation µ ′ est diff´erente de µ nous avons δ ′ > δ .Par cons´equent nous avons deg ψ = deg φ , le polynˆome φ appartient `a l’ensemble Φ µ ( µ ) et estdonc un polynˆome-cl´e pour la valuation µ . ⊔⊓ Supposons maintenant que l’ensemble R a ( d −
1) n’a pas de plus grand ´el´ement, il existealors δ dans R a ( d −
1) tel que pour tout δ ′ appartenant `a R a ( d −
1) avec δ ′ ≥ δ nous ayons ρ a ( δ ′ ) = ρ a ( δ ) = d , et comme pr´ec´edemment nous posons B = B ( a, δ ) et nous choisissons a ∈ B avec deg K ( a ) = d .Nous choisissons un sous-ensemble { δ α / α ∈ A } de Γ ¯ ν , index´e par un ensemble totalementordonn´e A sans plus grand ´el´ement, avec δ α < δ α ′ pour α < α ′ dans A , qui soit cofinal dansl’ensemble { δ ′ ∈ R a ( d − / δ ′ ≥ δ } .Nous appelons ¯ µ α la valuation de ¯ K [ x ] associ´ee `a la boule B α = B ( a, δ α ) et µ α sa restriction`a K [ x ]. Pour tout α ∈ A nous choisissons a α dans la boule B α = B ( a, δ α ) avec deg K ( a α ) = d ,et nous appelons φ α le polynˆome irr´eductible de a α sur K . Proposition 4.4.
La famille de valuations C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A est une famille continue de valuationsde K [ x ] , le polynˆome φ est un polynˆome-cl´e limite pour cette famille et la valuation µ est lavaluation augment´ee limite (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ; µ ( φ ) = γ (cid:3) . Preuve.
Tous les polynˆomes φ α sont de mˆeme degr´e et les valuations µ α v´erifient µ α ≤ µ α ′ pour α ≤ α ′ , nous en d´eduisons que la famille C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A est une famille continue de valuations de K [ x ].De fa¸con analogue `a la d´emonstration de la proposition 4.3 nous consid´erons l’ensemble˜Φ( C ) = { f ∈ K [ x ] | µ α ( f ) < µ α ′ ( f ) pour tout α < α ′ dans A } , qui est non vide car φ y appartient. Si nous appelons d C le degr´e minimal d’un polynˆome dans˜Φ( C ), par construction nous avons d C = d = deg φ , c’est-`a-dire que φ appartient `a l’ensembleΦ( C ) = { ψ ∈ ˜Φ( C ) , ψ unitaire et deg ψ = d C } , et nous d´eduisons de la proposition 1.21 de [Va 1] que φ est un polynˆome-cl´e limite pour lafamille C et que la valuation µ est la valuation augment´ee limite (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ; µ ( φ ) = γ (cid:3) . ⊔⊓ Remarque 4.5.
Grˆace au corollaire 3.20 nous pouvons associer `a toute valuation bien sp´ecifi´ee ¯ µ de ¯ K [ x ] une famille de valuations A ¯ µ = (cid:0) ¯ µ i (cid:1) i ∈ I v´erifiant :(1) la famille A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I est une famille associ´ee `a la valuation µ de K [ x ] , o`u nous notonsrespectivement µ et µ i la valuation de K [ x ] restriction de la valuation ¯ µ et ¯ µ i ;(2) pour tout i ≤ j dans I nous avons ¯ µ i ≤ ¯ µ j , ce qui est ´equivalent `a B j ⊂ B i , o`u nousappelons B i la boule ferm´ee de ¯ K associ´ee `a la valuation ¯ µ i de ¯ K [ x ] . Nous avons construit cette famille `a partir de la construction de la famille A associ´ee `a lavaluation µ , et la famille A = (cid:0) µ i (cid:1) i ∈ I est construite en suivant un ordre croissant , c’est-`a-direque pour d´eterminer la valuation µ i nous avons besoin de connaˆıtre les valuations µ j pour j < i ,plus pr´ecis´ement nous consid´erons les ensembles ˜Φ µ ( µ j ) = { f ∈ K [ x ] | µ j ( f ) < µ ( f ) } .Nous pouvons utiliser les r´esultats pr´ec´edents pour construire la famille A ¯ µ = (cid:0) ¯ µ i (cid:1) i ∈ I en suivant un ordre d´ecroissant , c’est-`a-dire en construisant la valuation ¯ µ i `a partir des valuations µ j pour j > i . Th´eor`eme 4.6.
Soit ¯ µ une valuation bien sp´ecifi´ee de ¯ K [ x ] , alors il existe une famille A ¯ µ = (cid:0) ¯ µ i (cid:1) i ∈ I de valuations de ¯ K [ x ] v´erifiant les propri´et´es (1) et (2) de la remarque 4.5 obtenue dela fa¸con suivante.D’apr`es la propri´et´e (2) les boules B i associ´ees aux valuations ¯ µ i sont de la forme B i = B ( a, δ i ) avec une famille (cid:0) δ i (cid:1) i ∈ I d´ecroissante. Si nous connaissons la valuation ¯ µ i de la famille, lesvaluations ¯ µ j pour j < i sont d´etermin´ees en consid´erant l’ensemble R K (¯ µ i ) = (cid:8) δ / deg K ( B ( a, δ )) < deg K ( B ( a, δ i )) (cid:9) . Si cet ensemble a un plus grand ´el´ement δ i − nous construisons la valuation ¯ µ i − comme lavaluation associ´ee `a la boule B ( a, δ i − ) , et i − est le pr´ed´ecesseur de i dans I .Si cet ensemble n’a pas de plus grand ´el´ement nous choisissons une famille ( δ α ) α ∈ A cofinaledans R K (¯ µ i ) et nous d´efinissons la famille (¯ µ i α ) i α ∈ I A o`u la valuation ¯ µ i α est la valuation associ´ee`a la boule B ( a, δ α ) , et I A = ( i α ) α ∈ A est la sous-famille de I sans plus grand ´el´ement cofinaledans { j ∈ I/j < i } . ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 29
Nous nous arrˆetons, c’est-`a-dire nous trouvons la premi`ere valuation ¯ µ de la famille quandnous trouvons un ensemble R K (¯ µ i ) tel que deg K ( B ( a, δ )) = 1 , o`u δ = δ i − ou δ = δ α , avec lesnotations pr´ec´edentes.Preuve. C’est une cons´equence imm´ediate des propositions 4.3 et 4.4. ⊔⊓ Annexe A. Suites pseudo-convergentes et extension imm´ediate
Dans cette partie nous allons montrer comment il est possible d’interpr´eter les r´esultats deKaplansky sur les familles pseudo-convergentes et les extensions imm´ediates ([Ka]) `a partir desnotions de familles admissibles continues et de valuations augment´ees limites.Soit C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A une famille continue de valuations, nous notons respectivement (cid:0) φ α (cid:1) α ∈ A et (cid:0) γ α (cid:1) α ∈ A les familles de polynˆomes-cl´es et de valeurs dans Γ associ´ees. Nous pouvons supposerque l’ensemble A a un plus petit ´el´ement ϑ , nous notons µ la valuation µ ϑ et toute valuation µ α pour α > ϑ est la valuation augment´ee µ α = [ µ ; µ α ( φ α ) = γ α ], et nous notons d le degr´edes polynˆomes φ α . Rappelons le r´esultat suivant qui d´ecrit le comportement des valeurs µ α ( f )pour un polynˆome f de K [ x ] quand α parcourt l’ensemble A , et qui est une cons´equence directedu th´eor`eme 1.19 de [Va 1]. Th´eor`eme A.1.
Soit f dans K [ x ] de degr´e m , il existe un entier v = v C ( f ) v´erifiant ≤ v ≤ k = [ m/d ] , une famille (cid:0) α i (cid:1) ≤ i ≤ j dans A avec ϑ = α ≤ α ≤ . . . ≤ α j et δ dans Γ , o`u j = k − v , tels que µ α ( f ) = δ + j X i =1 Inf ( γ α , γ α i ) + vγ α . En particulier f appartient `a l’ensemble ˜Φ (cid:0) C (cid:1) = { f ∈ K [ x ] | µ α ( f ) < µ β ( f ) , ∀ α < β ∈ A } siet seulement si v C ( f ) > Corollaire A.2.
La fonction µ . ( f ) : A −→ Γ α µ α ( f ) est lin´eaire par morceaux et concave.Plus pr´ecis´ement nous avons µ α ( f ) = δ i + ( k + 1 − i ) γ α pour α i − ≤ α ≤ α i , ≤ i ≤ j ,µ α ( f ) = δ j +1 + ( k − j ) γ α pour α ≥ α j , o`u δ i = δ + P i − l =1 γ l . Soit f dans K [ x ] et pour tout α nous consid´erons la division euclidienne de f par φ α que nousnotons f = q α φ α + r α . Comme le polynˆome φ β est un polynˆome-cl´e pour la valuation µ α pourtout β ≥ α , d’apr`es le lemme 1.1 de [Va 1], nous avons l’in´egalit´e : µ ( r β ) = µ α ( r β ) ≥ µ α ( f ) , avec l’in´egalit´e stricte si et seulement si f est µ α -divisible par φ β . Th´eor`eme A.3.
Soit f un polynˆome dans K [ x ] et soit f = q α φ α + r α la division euclidiennede f par le polynˆome-cl´e φ α :(1) si f n’appartient pas `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , il existe α tel que pour tout α > α nous avons µ α ( f ) = µ ( r α ) . (2) si f appartient `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , il existe α tel que pour tout β > α > α nous avons µ α ( f ) ≤ µ ( r α ) < µ β ( f ) . Corollaire A.4. (1) Si f n’appartient pas `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , il existe α tel que pour tout β > α > α nous avons µ ( r β ) = µ ( r α ) .(2) Si f appartient `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , il existe α tel que pour tout β > α > α nous avons µ ( r β ) > µ ( r α ) .Preuve du th´eor`eme. Si f n’appartient pas `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , il existe α tel que pour tout β ≥ α ≥ α nous avons l’´egalit´e µ β ( f ) = µ α ( f ), et de plus le polynˆome f n’est pas µ α -divisible par φ β , d’o`ul’´egalit´e µ ( r β ) = µ α ( f ).Si f appartient `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , nous d´eduisons du corollaire A.2 qu’il existe α [ f ] dans A , δ [ f ] dans Γet un entier v [ f ] ≥ β ≥ α [ f ] nous ayons l’´egalit´e µ β ( f ) = δ [ f ] + v [ f ] γ β .Pour tout β ≤ α , le polynˆome φ α est un polynˆome-cl´e pour la valuation µ β , par cons´equentnous avons µ β ( f ) ≤ µ ( r α ), de plus pour β < α nous avons l’in´egalit´e µ β ( f ) < µ α ( f ), parcons´equent f est µ β -divisible par φ α d’o`u l’in´egalit´e µ ( r α ) > µ β ( f ). Nous en d´eduisons que pourtout β avec α [ f ] < β < α nous avons µ β ( q α ) = δ [ f ] + ( v [ f ] − γ β . Nous d´eduisons du corollaireA.2 que nous avons µ β ( q α ) ≤ δ [ f ] + ( v [ f ] − γ β pour tout β > α [ f ] , par cons´equent pour tout β > α nous avons l’in´egalit´e stricte µ β ( q α φ α ) ≤ δ [ f ] + ( v [ f ] − γ β + γ α < δ [ f ] + v [ f ] γ β = µ β ( f ) , et nous en d´eduisons µ β ( f ) > µ ( r α ). ⊔⊓ Corollaire A.5.
Si le groupe des valeurs Γ ne poss`ede de pas de plus petit ´el´ement strictementpositif, c’est-`a-dire si le sous-groupe isol´e minimal de Γ n’est pas discret, il existe α tel que pourtout α ≥ α nous avons µ α ( f ) = µ ( r α ) . Preuve.
Grˆace au lemme 1.17 de [Va 1] nous pouvons choisir la famille C de telle fa¸con que toutevaleur de Γ sup´erieure `a µ α ( f ) soit atteinte par µ β ( f ), pour un β dans A . Par cons´equent si Γ neposs`ede de pas de plus petit ´el´ement strictement positif nous d´eduisons le r´esultat des in´egalit´es µ β ( f ) > µ ( r α ) ≥ µ α ( f ). ⊔⊓ Nous avons vu qu’il est ´equivalent de se donner une famille pseudo-convergente ( a α ) α ∈ A d’´el´ements de K et de se donner une famille continue C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A de valuations de K [ x ] telleque les polynˆomes φ α qui la d´efinissent sont de degr´e un, c’est-`a-dire sont de la forme φ α = x − a α ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 31 (cf. proposition 2.10). Dans ce cas pour tout polynˆome f de K [ x ] le reste de la division de f parle polynˆome-cl´e φ α = x − a α est ´egal `a f ( a α ).Nous d´eduisons alors de ce qui pr´ec`ede le r´esultat suivant. Corollaire A.6.
Soit ( a α ) α ∈ A une famille pseudo-convergente d’´el´ements de K , et soit f unpolynˆome de K [ x ] , alors il existe α tel que pour tout β > α > α nous avons :(1) si f n’appartient pas `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , alors ν ( f ( a β )) = ν ( f ( a α )) ,(2) si f appartient `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) , alors ν ( f ( a β )) > ν ( f ( a α )) . Nous consid´erons maintenant un corps valu´e (
K, ν ) et nous voulons ´etudier ses extensionsimm´ediates, c’est-`a-dire les extensions de corps valu´es (
L, ν L ) / ( K, ν ) telles que les extensions degroupes Γ ν L / Γ ν et les extensions r´esiduelles κ ν L /κ ν soient triviales.Nous remarquons d’abord que d’apr`es la proposition 2.5 si µ est une valuation bien sp´ecifi´eede K ( x ) v´erifiant Γ ν = Γ µ l’extension r´esiduelle κ µ /κ ν est de degr´e de transcendance un, enparticulier n’est pas triviale. Par cons´equent les extensions monog`enes imm´ediates ( L, ν L ) de( K, ν ) sont d´efinies soit par des pseudo-valuations, c’est le cas d’une extension alg´ebrique L de K , soit par une valuation de K [ x ] qui n’est pas bien sp´ecifi´ee, c’est le cas L = K ( x ). Proposition A.7. Si ( L, ν L ) est une extension imm´ediate monog`ene de ( K, ν ) , la famille admise A associ´ee `a la valuation ou pseudo-valuation µ de K [ x ] d´efinie par ν L est de la forme suivante :(1) si L est une extension transcendante pure, L = K ( x ) , la famille A est une famille ad-missible continue C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A telle que les polynˆomes φ α sont de degr´e un et telle quel’ensemble ˜Φ (cid:0) C (cid:1) est vide ;(2) si L est une extension alg´ebrique, L = K ( a ) ≃ K [ x ] / ( φ ) avec φ polynˆome irr´eductible de a sur K , la famille A est compos´ee d’une famille admissible continue C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A telle queles polynˆomes φ α sont de degr´e un et de la pseudo-valuation µ , o`u µ est obtenue commevaluation augment´ee-limite de la famille C associ´ee au polynˆome-cl´e limite φ .Preuve. Si la famille A associ´ee `a la valuation, ou pseudo-valuation µ contient un couple de va-luations successives ( µ i − , µ i ), c’est-`a-dire telle que la valuation µ i est obtenue comme valuationaugment´ee µ i = [ µ i − ; µ i ( φ i ) = γ i ], nous d´eduisons de la proposition 2.5 et de la d´emonstrationde la proposition 2.9 de [Va 4] que nous avons l’in´egalit´e e ( ν L /ν ) f ( ν L /ν ) ≥ deg φ i / deg φ i − , o`u nous notons respectivement e ( ν L /ν ) et f ( ν L /ν ) l’indice de ramification et le degr´e de l’exten-sion r´esiduelle de ( L, ν L = / ( K, ν ), et o`u φ i − et φ i sont les polynˆomes d´efinissant les valuations µ i − et µ i .En particulier si l’extension ( L, ν L ) / ( K, ν ) est imm´ediate nous en d´eduisons que pour toutcouple de valuations successives ( µ i − , µ i ) de la famille A nous avons l’´egalit´e deg φ i = deg φ i − ,par cons´equent que la famille ne contient pas de partie discr`ete .Dans le cas o`u la valuation µ n’est pas bien sp´ecifi´ee, la famille admise A associ´ee `a µ estouverte, elle est constitu´ee d’une seule famille simple S qui est de la forme S = (cid:0) ( µ α ) α ∈ A (cid:1) , avec˜Φ (cid:0) ( µ α ) α ∈ A (cid:1) = ∅ (cf. remarque 1.3), et de plus nous d´eduisons de ce qui pr´ec`ede que tous lespolynˆomes-cl´es φ α sont de degr´e un. Dans le cas o`u la valuation µ est bien sp´ecifi´ee, µ est une pseudo-valuation obtenue commevaluation augment´ee limite de la famille continue S = (cid:0) ( µ α ) α ∈ A (cid:1) , telle que les polynˆomes-cl´es φ α sont de degr´e un, µ = (cid:2) ( µ α ) α ∈ A ; µ ( φ ) = + ∞ (cid:3) . ⊔⊓ Proposition A.8.
Soit ( L, ν L ) une extension imm´ediate monog`ene de ( K, ν ) et soit C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A la famille admissible continue associ´ee d´efinie `a la proposition A.7. Alors un polynˆome f n’appartient pas `a l’ensemble ˜Φ (cid:0) C (cid:1) si et seulement si il existe α dans A tel que nous ayons ν L ( f ) = ν ( f ( a β )) pour tout β ≥ α .Preuve. Si le polynˆome f n’appartient pas `a l’ensemble ˜Φ (cid:0) C (cid:1) il existe α dans A tel que pour tout β ≥ α nous ayons µ α ( f ) = µ β ( f ) = ν L ( f ), c’est-`a-dire tels que f n’est pas µ α -divisible par φ β .Par cons´equent d’apr`es le corollaire A.6, nous avons pour tout β ≥ α l’´egalit´e ν L ( f ) = ν ( f ( a β )). ⊔⊓ Nous pouvons d´eduire de ce qui pr´ec`ede les r´esultats suivants, qui sont des reformulations desth´eor`emes 2 et 3 de [Ka].
Corollaire A.9.
Soit ( L, ν L ) une extension imm´ediate monog`ene de ( K, ν ) et soit (cid:0) a α (cid:1) α ∈ A lafamille pseudo-convergente associ´ee, alors l’extension L/K est transcendante si et seulement sipour tout f dans K [ x ] il existe α dans A tel que nous ayons ν L ( f ) = ν ( f ( a β )) pour tout β ≥ α .Preuve. Nous sommes dans le cas d’une extension transcendante si et seulement si l’ensemble˜Φ (cid:0) C (cid:1) est vide, c’est-`a-dire si et seulement si pour tout f dans K [ x ] il existe α dans A tel quenous ayons µ β ( f ) = ν ( f ( a β )) pour tout β ≥ α . ⊔⊓ Corollaire A.10.
Soit ( L, ν L ) une extension imm´ediate monog`ene de ( K, ν ) et soit (cid:0) a α (cid:1) α ∈ A la famille pseudo-convergente associ´ee, et nous supposons que l’extension L/K est alg´ebrique.Alors si φ est un polynˆome v´erifiant ν ( f ( a β )) > ν ( f ( a α )) de degr´e minimal, l’extension L estl’extension L = K ( z ) o`u z est une racine du polynˆome φ .De plus pour tout y dans L il existe r ( x ) dans K [ x ] avec deg r < deg φ tel que y = r ( z ) et lavaluation ν L est d´efinie par ν L ( y ) = ν ( r ( a α )) pour α assez grand.Preuve. Nous sommes dans le cas d’une extension alg´ebrique si et seulement si l’ensemble ˜Φ (cid:0) C (cid:1) est non vide, tout polynˆome unitaire φ de degr´e minimal dans ˜Φ (cid:0) C (cid:1) est un polynˆome-cl´e limitepour la famille continue C = (cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A et la pseudo-valuation augment´ee limite µ de K [ x ] d´efiniepar µ = (cid:2)(cid:0) µ α (cid:1) α ∈ A ; µ ( φ ) = + ∞ (cid:3) induit une valuation ν L de l’extension L = K [ x ] / ( φ ) telle quel’extension est imm´ediate.De plus tout ´el´ement y de L est d´efini par un polynˆome r de degr´e strictement inf´erieur audegr´e de φ , par cons´equent r n’appartient pas `a ˜Φ (cid:0) C (cid:1) et nous trouvons ν L ( y ) = µ ( r ) = µ α ( r )pour α assez grand. ⊔⊓ ALUATION AUGMENT´EE ET PAIRE MINIMALE 33
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