Block decomposition of the category of l-modular smooth representations of finite length of GL(m,D)
aa r X i v : . [ m a t h . R T ] F e b DÉCOMPOSITION EN BLOCS DE LA CATÉGORIE DESREPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES LISSES DE LONGUEUR FINIEDE GL m p D q par Bastien Drevon & Vincent Sécherre
Résumé . —
Soit F un corps localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle p ,soit G une forme intérieure de GL n p F q avec n ě
1, et soit ℓ un nombre premier différent de p . Nousdécrivons la décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses et de longueur finie deG à coefficients dans F ℓ . Contrairement au cas des représentations complexes d’un groupe réductif p -adique quelconque et au cas des représentations ℓ -modulaires de GL n p F q , à chaque bloc de cettedécomposition correspond non pas un unique support supercuspidal, mais une réunion finie de telssupports, que nous décrivons. Nous prouvons également qu’un bloc supercuspidal est équivalent aubloc principal (c’est-à-dire le bloc contenant le caractère trivial) du groupe multiplicatif d’une algè-bre à division convenable, et nous déterminons les représentations irréductibles ayant une extensionnon scindée avec une représentation supercuspidale de G donnée. Abstract . —
Let F be a non-Archimedean locally compact field of residue characteristic p , let G bean inner form of GL n p F q with n ě
1, and let ℓ be a prime number different from p . We describe theblock decomposition of the category of finite length smooth representations of G with coefficients in F ℓ . Unlike the case of complex representations of an arbitrary p -adic reductive group and that of ℓ -modular representations of GL n p F q , several non-isomorphic supercuspidal supports may correspondto the same block. We describe the (finitely many) supercuspidal supports corresponding to a givenblock. We also prove that a supercuspidal block is equivalent to the principal (that is, the one whichcontains the trivial character) block of the multiplicative group of a suitable division algebra, and wedetermine those irreducible representations having a nontrivial extension with a given supercuspidalrepresentation of G. ℓ , Représentation su-percuspidale, Type
1. Introduction1.1.
Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle p , et soit G le groupe des points rationnels d’un groupe algébrique réductif connexe sur F. C’estun groupe localement compact et totalement discontinu. On s’intéresse aux représentations lisses BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE de G sur des espaces vectoriels complexes et aux opérateurs d’entrelacement entre ces représen-tations, qui forment une catégorie abélienne notée
Rep C p G q . Dans [ ], Bernstein a montré com-ment cette catégorie se décompose en un produit de blocs, c’est-à-dire de facteurs directs indé-composables, chacun correspondant bijectivement à une classe inertielle de paires cuspidales deG. Au coeur de ce résultat, il y a le fait qu’une représentation irréductible cuspidale complexe deG est projective modulo le centre, c’est-à-dire projective dans la sous-catégorie pleine des repré-sentations de G ayant un caractère central fixé. La sous-catégorie pleine rep C p G q formée des re-présentations de longueur finie se décompose elle aussi en une somme directe de blocs, chacuncorrespondant cette fois-ci à une unique classe de G-conjugaison de paires cuspidales, comme ex-pliqué dans [ ] 7.3. Remplaçons maintenant le corps C des nombres complexes par une clôture algébrique F ℓ d’uncorps fini de caractéristique un nombre premier ℓ différent de p . Les représentations lisses de Gsur des F ℓ -espaces vectoriels, dites ℓ - modulaires , sont étudiées depuis les travaux fondateurs deVignéras [ ], dans l’objectif d’étudier les phénomènes de congruence entre formes automorphes,ainsi que les propriétés de congruence des phénomènes de réciprocité et de fonctorialité de Lang-lands locales. Si la théorie des représentations ℓ -modulaires des groupes réductifs p -adiques res-semble à la théorie complexe sur certains points, du fait que p est inversible dans F ℓ , une diffé-rence essentielle est l’existence, dans le cas modulaire, de représentations cuspidales non super-cuspidales, c’est-à-dire apparaissant non comme quotients mais comme sous-quotients d’induitesparaboliques propres (on renvoie au paragraphe 3.1 ci-dessous pour les définitions de cuspidal et supercuspidal ). Par conséquent, une représentation cuspidale n’est en général pas projective mo-dulo le centre dans le cas modulaire. S’ajoute à ceci le phénomène récemment observé ([
12, 11 ])de non-unicité du support supercuspidal : une F ℓ -représentation irréductible d’un groupe réductif p -adique peut apparaître comme sous-quotient d’induites paraboliques de paires supercuspidalesnon conjuguées. Aussi l’approche de Bernstein devient-elle inopérante dans le cas modulaire. Supposons maintenant que G soit une forme intérieure du groupe linéaire GL n p F q , avec n ě m p D q , où D est une algèbre à division centrale de dimension d sur F, et où m est un diviseur de n tel que md “ n . Pour un tel groupe, on dispose de l’arsenaltechnique de la théorie des types de Bushnell et Kutzko développée dans [ ], [ ], [ ], [ ],. . . ,[ ] et adaptée au cas ℓ -modulaire dans [ ], permettant d’étudier en détail ses représentations ℓ -modulaires. On peut attacher à toute représentation irréductible de G un unique support su-percuspidal (voir le paragraphe 3.2), et montrer que la catégorie abélienne Rep F ℓ p G q des repré-sentations lisses de G à coefficients dans F ℓ se décompose en un produit de blocs Rep F ℓ p G , Ω q ,chacun correspondant bijectivement à une classe d’inertie Ω de paires supercuspidales (théorème LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE rep F ℓ p G q , for-mée des représentations de longueur finie : nous y répondons dans le présent article. Pour décomposer rep F ℓ p G q , nous nous appuyons sur le résultat suivant (lemme 3.4). Lemme 1.1 . —
Soit S une partie de l’ensemble X des classes d’isomorphisme de F ℓ -représen-tations irréductibles de G telle que, pour toutes représentations σ P S et π P X ´ S , le premierespace d’extension Ext p σ, π q soit nul. Alors la catégorie rep F ℓ p G q se décompose en la somme di-recte de rep F ℓ p G , S q , la sous-catégorie pleine des représentations dont les sous-quotients irréduc-tibles sont dans S , et de rep F ℓ p G , X ´ S q . Pour que Ext p σ, π q soit non nul, il faut et suffit qu’il existe une représentation indécomposa-ble de G de longueur 2 dont l’unique sous-représentation irréductible soit π et l’unique quotientirréductible soit σ . Étant donné une représentation irréductible π de G, nous cherchons donc àquelle condition une représentation σ P X a une extension non scindée avec π , et plus générale-ment à quelle condition π et σ sont des constituants irréductibles d’une représentation indécom-posable de rep F ℓ p G q . Pour cela, la décomposition en blocs de Rep F ℓ p G q donnée au paragraphe 1.3assure qu’on peut se ramener au cas où π et σ ont des supports supercuspidaux inertiellementéquivalents. Notre stratégie repose partiellement sur la notion de réduction modulo ℓ . Expliquons de quoiil s’agit. Considérons les représentations irréductibles de G à coefficients dans une clôture algé-brique Q ℓ du corps des nombres ℓ -adiques. Une telle représentation est dite entière si elle admetun Z ℓ -réseau stable par G, où Z ℓ est l’anneau des entiers de Q ℓ . Tensoriser un tel réseau par F ℓ fournit une représentation lisse ℓ -modulaire de longueur finie, dont la semi-simplification ne dé-pend pas du réseau choisi : on appelle celle-ci la réduction mod ℓ de la Q ℓ -représentation entièreconsidérée. Par exemple, il y a un critère simple pour savoir si une Q ℓ -représentation cuspidale π de G est entière : il faut et il suffit que son caractère central soit lui-même entier, c’est-à-direà valeurs dans Z ˆ ℓ . Si tel est le cas, il y a une F ℓ -représentation irréductible cuspidale ρ de Gtelle que la réduction mod ℓ de π soit :(1.1) ρ ‘ ρν ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ ρν a ´ où ν désigne le caractère “valeur absolue de la norme réduite” de G et a “ a p π q ě ℓ . En outre, l’ensemble des facteurs irréductibles de (1.1) est soit réduità ρ , soit formé de tous les ρν j , j P Z , et on se trouve dans l’un ou l’autre cas selon que ℓ diviseou non q p ρ q ´
1, où q p ρ q est une certaine puissance du cardinal q du corps résiduel de F associéeà ρ au paragraphe 3.9. Dans le cas où ρ est de niveau 0, elle vaut simplement q n . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Inversement, si ρ est une F ℓ -représentation supercuspidale (et pas seulement cuspidale) de G,l’ensemble des représentations de G apparaissant avec ρ dans la réduction mod ℓ d’une même Q ℓ -représentation cuspidale entière est soit réduit à ρ (si ℓ ne divise pas q p ρ q ´ ρν j , j P Z (si ℓ divise q p ρ q ´ k est un corps fini de caractéristique p , il existe un phénomène comparablemais plus simple dans le cas du groupe linéaire général GL m p k q : si π est une Q ℓ -représentationirréductible de GL m p k q dont la réduction mod ℓ contienne une F ℓ -représentation supercuspidale,alors π est cuspidale et sa réduction mod ℓ est irréductible. Disons plus généralement que des représentations irréductibles ℓ -modulaires de G sont équiva-lentes s’il existe une Q ℓ -représentation irréductible entière de G dont la réduction mod ℓ con-tienne chacune de ces représentations. Il n’est pas évident a priori qu’il s’agisse d’une relationd’équivalence, mais on peut montrer le résultat suivant (proposition 3.19). Proposition 1.2 . —
Soit π une représentation irréductible de G dont le support supercuspidalest ρ ` ¨ ¨ ¨ ` ρ r . Alors une représentation irréductible π est équivalente à π si et seulement s’ily a des entiers j , . . . , j r P Z tels que le support supercuspidal de π soit ρ ν j ` ¨ ¨ ¨ ` ρ r ν j r , où,pour chaque k “ , . . . , r , l’entier j k est nul si ℓ ne divise pas q p ρ k q ´ . Notons B p π q la classe des représentations irréductibles équivalentes à une représentation don-née π , et notons B l’ensemble des classes B p π q lorsque π décrit les représentations irréductibles ℓ -modulaires de G. (Attention : la définition des B p π q que nous donnons au paragraphe 3.11 estdifférente, mais équivalente d’après la proposition 1.2.) On a le résultat suivant (théorème 6.2). Théorème 1.3 . —
On a une décomposition en blocs : rep F ℓ p G q “ à B rep F ℓ p G , B q où B décrit les éléments de B , et où rep F ℓ p G , B q est la sous-catégorie pleine de rep F ℓ p G q forméedes représentations dont tous les sous-quotients irréductibles sont dans B . Dans le cas où G “ GL n p F q , des représentations irréductibles de G sont dans le même bloc siet seulement si elles ont le même support supercuspidal (voir les remarques 3.18 et 6.3). Il n’est pas difficile de montrer (voir le lemme 3.5) que deux représentations irréductibles équi-valentes au sens du paragraphe 1.6 sont les constituants d’une représentation indécomposable delongueur finie G, et (voir le lemme 3.2) que les constituants irréductibles d’une représentation in-décomposable de longueur finie G ont le même caractère central. Il ne reste donc qu’à prouverque, pour toute classe B P B , l’espace Ext p σ, π q est nul quels que soient π P B et σ P X ´ B. LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Nous pouvons supposer, comme observé au paragraphe 1.4, que σ , π ont des supports super-cuspidaux inertiellement équivalents. Nous procédons en trois étapes :(1) d’abord le cas où π est une représentation supercuspidale de niveau 0 de G,(2) puis le cas où π est une représentation supercuspidale de niveau quelconque de G,(3) et enfin le cas général.Détaillons chacune de ces trois étapes, à commencer par la première. La première étape passe par la construction et l’analyse de l’enveloppe projective de π dans lacatégorie rep F ℓ p G q . Pour ce faire, nous décrivons π comme l’induite compacte d’une représen-tation ξ d’un sous-groupe N de G telle que :– le groupe N contient et normalise le sous-groupe compact maximal GL m p O D q , où O D estl’anneau des entiers de D,– la restriction de ξ à GL m p O D q est l’inflation d’une représentation irréductible supercuspidalede GL m p k D q , où k D est le corps résiduel de D.(Dans le langage de la théorie des types simples de Bushnell-Kutzko [
3, 17 ], la paire p N , ξ q estun type simple maximal étendu de niveau 0 : voir les paragraphes 3.7–3.8.) Une fois prouvé que ξ admet une enveloppe projective P ξ dans la catégorie des F ℓ -représentations de longueur finiede N (paragraphe 4.3), il n’est pas difficile d’en déduire que π admet une enveloppe projective P π dans rep F ℓ p G q en considérant l’induite compacte de P ξ à G. Puis nous prouvons que les sous-quotients irréductibles de P π sont tous de la forme πν j , j P Z (corollaire 4.17) : outre la propo-sition 4.5 et la formule (1.1) régissant la réduction mod ℓ des Q ℓ -représentations cuspidales, unpoint essentiel de l’argument est la propriété des représentations supercuspidales du groupe finiGL m p k D q soulignée à la fin du paragraphe 1.5. Enfin, ces sous-quotients irréductibles devant pos-séder le même caractère central, on peut imposer que j “ π et πν n’ont pas le mêmecaractère central, c’est-à-dire dès que ℓ ne divise pas q n ´ La seconde étape consiste à se ramener au cas précédent, au moyen d’une équivalence de ca-tégories construite par Chinello [
5, 6 ] grâce à la théorie des types simples de Bushnell-Kutzko [ ]. Étant donné une représentation supercuspidale π de G, de classe inertielle Ω, Chinello :– construit un progénérateur de type fini de la catégorie :(1.2) à Ω Rep F ℓ p G , Ω q (où Ω décrit les classes inertielles équivalentes à Ω en un sens que nous ne préciserons pas ici),– prouve l’existence d’une extension finie E de F de degré k divisant n et d’une équivalence decatégorie F de (1.2) vers la catégorie des représentations de niveau 0 d’une forme intérieure G convenable de GL n { k p E q , BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE – et prouve enfin l’existence d’une représentation supercuspidale π de niveau 0 de G , de clas-se inertielle Ω , telle que F envoie Rep F ℓ p G , Ω q sur Rep F ℓ p G , Ω q et π sur π (proposition 5.4).Il s’agit alors de montrer que l’image de B p π q par le foncteur F est égale à B p π q , ce que nousfaisons en décrivant le comportement de F par torsion par un caractère non ramifié (lemme 5.5). Enfin, nous traitons le cas général dans la section 6, en nous inspirant de [ ] Paragraphe 1.1.Nous obtenons le résultat suivant (proposition 6.1). Proposition 1.4 . —
Soient π et π des F ℓ -représentations irréductibles de G . Supposons qu’ilexiste un entier i ě tel que Ext i G p π , π q soit non nul. Alors π, π sont équivalentes. Enfin, le résultat suivant (proposition 6.4) complète la description de la relation d’équivalencefaite dans la proposition 1.2.
Proposition 1.5 . —
Pour que des représentations irréductibles de G soient équivalentes, il fautet suffit qu’elles apparaissent comme sous-quotients d’une même représentation indécomposablede longueur finie de G . Dans la section 7, nous nous intéressons aux blocs supercuspidaux de
Rep F ℓ p G q et rep F ℓ p G q ,dans l’objectif de prolonger les résultats de Chinello [
5, 6 ] (voir le paragraphe 1.9). Soit π une F ℓ -représentation supercuspidale de G, de classe inertielle Ω, et posons B “ B p π q . Nous construi-sons un progénérateur de type fini du bloc Rep F ℓ p G , Ω q (proposition 7.4) et calculons l’algèbre deses endomorphismes (théorème 7.10). Nous en déduisons le résultat suivant (théorème 7.1 et co-rollaire 7.2). Appelons bloc principal le bloc contenant le caractère trivial. Théorème 1.6 . —
Il existe un corps localement compact non archimédien F et une F -algèbre àdivision centrale D tels que le bloc Rep F ℓ p G , Ω q (resp. rep F ℓ p G , B q ) soit équivalent au bloc prin-cipal de Rep F ℓ p D q (resp. de rep F ℓ p D q ). Ce résultat corrobore le principe selon lequel, étant donné un groupe réductif connexe G dé-fini sur F, un bloc de Rep F ℓ p G p F qq devrait être équivalent au bloc principal de Rep F ℓ p G p F qq pour un groupe réductif convenable G (voir Dat [ ], ainsi que [
10, 6 ] pour le cas de GL n p F q ).Observons cependant que, contrairement à ce qui se passe pour les représentations complexes, onne peut pas toujours choisir D “ F dans ce théorème (voir la remarque 7.15). Enfin, dans la dernière section, étant donné une F ℓ -représentation supercuspidale π de G, nousdéterminons toutes les représentations irréductibles π de G telles qu’il existe une extension nonscindée de π par π . Le résultat (proposition 8.5) s’exprime en fonction de l’invariant de Hasse h LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE de D (définition 3.8) et du degré k de l’extension E { F du paragraphe 1.9. On note p a, b q le plusgrand diviseur commun à deux entiers a, b ě Proposition 1.7 . —
Notons h p π q le reste dans la division euclidienne de hk {p k, d q par d {p k, d q .L’ensemble des représentations π de G telles que Ext p π, π q soit non nul est : (1) réduit à π si ℓ ne divise pas q p π q ´ , (2) formé de π et de la représentation πν ´ h p π q si ℓ divise q p π q ´ .
2. Notations
Nous introduisons maintenant les principales définitions et notations qui seront utilisées dansla suite.
Fixons un corps localement compact non archimédien F, de caractéristique résiduelle p .Si K est une extension finie de F, ou plus généralement une F-algèbre à division de dimensionfinie, on note O K son anneau d’entiers, p K l’idéal maximal de O K et k K son corps résiduel, qui estun corps fini de cardinal noté q K . On pose q “ q F dans toute la suite.Si n est un entier strictement positif, on note M n p K q l’algèbre des matrices carrées de taille n àcoefficients dans K et GL n p K q le groupe de ses éléments inversibles. Muni de la topologie indui-te par celle de K, c’est un groupe topologique localement profini. Soit R un anneau commutatif, et soit G un groupe localement profini.Par R- représentation (ou simplement représentation si aucune confusion n’en résulte) de G onentendra toujours une représentation lisse sur un R-module. Par R- caractère de G, on entendraune représentation lisse de G sur R, c’est-à-dire un homomorphisme de groupes de G dans R ˆ denoyau ouvert.On note Rep R p G q la catégorie abélienne des R-représentations lisses de G, et rep R p G q la sous-catégorie pleine formée des représentations de longueur finie.Si π est une représentation d’un sous-groupe fermé H de G et g P G, on pose H g “ g ´ H g eton note π g la représentation x ÞÑ π p gxg ´ q de H g . Si χ est un caractère de H, on note πχ la re-présentation x ÞÑ χ p x q π p x q de H. Étant donné un nombre premier ℓ différent de p , on note Q ℓ une clôture algébrique du corpsdes nombres ℓ -adiques, Z ℓ son anneau des entiers et F ℓ son corps résiduel.Par la suite, R désignera ou bien un corps algébriquement clos de caractéristique différente de p , ou bien l’anneau local Z ℓ . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
3. Préliminaires et premiers théorèmes de décomposition
Fixons une fois pour toutes une F-algèbre à division centrale D, de degré réduit d , et un entier m ě
1. Posons G “ GL m p D q . Si l’on pose n “ md , c’est une forme intérieure de GL n p F q .On fixe une uniformisante ̟ F de F, et une uniformisante ̟ D de D telle que ̟ d D “ ̟ F .Dans cette section, R est un corps algébriquement clos de caractéristique différente de p . Soit P un sous-groupe parabolique de G, soit N son radical unipotent et soit M une composantede Levi de P. On note i GP le foncteur d’induction parabolique normalisée de M à G relativementà P. (La normalisation nécessite de fixer une racine carrée de q dans R, ce que nous faisons unefois pour toutes.) Si m , . . . , m r sont des entiers ě m , si M est le sous-groupe de Levides matrices diagonales par blocs de tailles respectives m , . . . , m r , canoniquement isomorphe auproduit GL m p D q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ GL m r p D q , si P est le sous-groupe parabolique standard engendré par Met les matrices unipotentes triangulaires supérieures, et si π i est une représentation de GL m i p D q pour chaque i P t , . . . , r u , on note :(3.1) π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r l’induite parabolique de π b ¨ ¨ ¨ b π r à G relativement à P.Une représentation irréductible de G est dite cuspidale (resp. supercuspidale ) si elle n’est quo-tient (resp. sous-quotient) d’aucune représentation de la forme (3.1) avec r ě
2. Une représenta-tion supercuspidale est donc cuspidale, la réciproque n’étant pas vraie en général. Si R est de ca-ractéristique nulle, toute représentation cuspidale est supercuspidale.On définit de façon analogue les notions de représentation irréductible cuspidale et supercuspi-dale de GL m p k q , où k est un corps fini de caractéristique p . Soit π une R-représentation irréductible de G. D’après [ ] Theorème 8.16, il existe des entiers m , . . . , m r de somme m et des R-représentations irréductibles supercuspidales π , . . . , π r commeau paragraphe 3.1 telles que π soit un sous-quotient de l’induite parabolique (3.1), et ces repré-sentations supercuspidales sont uniques à permutation près. La somme formelle :(3.2) π ` ¨ ¨ ¨ ` π r s’appelle le support supercuspidal de π . On la note scusp p π q .La classe inertielle d’un support supercuspidal (3.2) est l’ensemble des supports supercuspi-daux de G de la forme π χ ` ¨ ¨ ¨ ` π r χ r où χ i est un caractère non ramifié du groupe GL m i p D q ,pour chaque i P t , . . . , r u .Si Ω est une classe inertielle de supports supercuspidaux de G, on note Rep R p G , Ω q la sous-ca-tégorie pleine de Rep R p G q formée des représentations dont tous les sous-quotients irréductiblesont leur support supercuspidal dans Ω. LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Appelons bloc de Rep R p G q un facteur direct indécomposable de cette catégorie. Théorème 3.1 ( [
1, 30, 26 ] ) . — Pour chaque classe inertielle Ω de supports supercuspidaux de G , la sous-catégorie Rep R p G , Ω q est un bloc. On a une décomposition : (3.3) Rep R p G q “ ź Ω Rep R p G , Ω q où Ω décrit les classes inertielles de supports supercuspidaux de G . Passons maintenant à la sous-catégorie rep R p G q des R-représentations de longueur finie de G.D’abord, la décomposition (3.3) induit une décomposition :(3.4) rep R p G q “ à Ω rep R p G , Ω q où rep R p G , Ω q est la sous-catégorie pleine des représentations de longueur finie de Rep R p G , Ω q .Cependant, contrairement aux Rep R p G , Ω q , les facteurs rep R p G , Ω q ne sont pas indécomposables,comme nous allons le voir tout de suite.Notons Z le centre de G, naturellement isomorphe à F ˆ . D’après [ ] II.2.8, toute R-représen-tation irréductible de G admet un caractère central. Lemme 3.2 . —
Soit V une R -représentation de longueur finie de G . Pour tout caractère α ducentre de G , on note V p α q la plus grande sous-représentation de V dont les sous-quotients irré-ductibles admettent α pour caractère central. On a alors : (3.5) V “ à α V p α q . Démonstration . — Soit n la longueur de V, et soit r le cardinal de l’ensemble des caractères cen-traux des composants irréductibles de V. La preuve se fait par récurrence sur n , comme celle de[ ] Proposition 1.7. Nous ne détaillons que le cas où n “ r “ α , etque V { W soit irréductible et de caractère central β ‰ α . Il s’agit de prouver que W a un supplé-mentaire dans V stable par G. Plus précisément, nous allons prouver que :X “ t v P V | z ¨ v “ β p z q v pour tout z P Z u est un supplémentaire de W dans V stable par G. Bien sûr, X est stable par G et W ‘ X Ď V.Comme V est de longueur 2, il suffit de prouver que X ‰ t u pour en déduire que W ‘ X “ V.Fixons un v P V tel que v R W et un z P Z tel que β p z q ‰ α p z q , et posons : x “ z ¨ v ´ α p z q v. BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Pour tout z P Z, on pose w “ z ¨ v ´ β p z q v (qui appartient à W car Z agit par β sur le quotientV { W). En particulier, pour z “ z , on en déduit que x ‰ v R W. On a : z ¨ x “ z ¨ p β p z q v ` w q ´ α p z qp z ¨ v q“ β p z qp x ` α p z q v q ` α p z q w ´ α p z qp w ` β p z q v q“ β p z q x c’est-à-dire que x P X, ce qui met fin à la démonstration.Il sera commode d’introduire la définition suivante.
Définition 3.3 . — Des R-représentations irréductibles π , π de G sont dites dépendantes s’il ya une R-représentation indécomposable de longueur finie de G ayant π et π pour sous-quotients.D’après le lemme 3.2, pour que deux représentations irréductibles de G soient dépendantes, ilfaut qu’elles aient le même caractère central. D’après [ ], la catégorie Rep R p G q a assez d’objets projectifs. On peut donc définir, pour desreprésentations π, π de cette catégorie, des espaces d’extension Ext i G p π, π q pour tout i ě π et π de G, l’espace d’ex-tension Ext p π, π q est non nul si et seulement s’il existe une représentation indécomposable de Gde longueur 2 dont l’unique sous-représentation soit isomorphe à π et l’unique quotient soit iso-morphe à π .Le lemme suivant nous donne un moyen général de décomposer la catégorie rep R p G q en sommede deux facteurs directs. Notons Irr p G q l’ensemble des classes d’isomorphisme de R-représenta-tions irréductibles de G. Lemme 3.4 . —
Soit S une partie de Irr p G q telle que, pour toute σ P S et toute π P Irr p G q ´ S ,on ait : (3.6) Ext p σ, π q “ t u . Alors rep R p G q se décompose en la somme directe de rep R p G , S q , la sous-catégorie pleine des re-présentations dont tous les sous-quotients irréductibles sont dans S , et de rep R p G , Irr p G q ´ S q .Démonstration . — Soit V une R-représentation de longueur finie de G. On note X la plus gran-de sous-représentation de V dont tous les sous-quotients irréductibles sont dans S, et Y celle donttous les sous-quotients irréductibles sont hors de S. Il s’agit de prouver que V est égal à X ‘ Y,c’est-à-dire que W “ V {p X ‘ Y q est nul. Supposons que ce ne soit pas le cas ; soit π une sous-représentation irréductible de W, qu’on peut supposer dans S pour fixer les idées, le cas contrairese traitant de la même façon. Notons U l’image réciproque de π par la surjection naturelle de V LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE sur W. C’est une extension de U { Y, qui a tous ses sous-quotients irréductibles dans S, par Y,qui a tous ses sous-quotients irréductibles hors de S. Par un argument de dévissage classique, lacondition (3.6) entraîne que Ext p U { Y , Y q est nul ; ainsi U est la somme directe de Y et U { Y. Lefait que U { Y ait tous ses sous-quotients irréductibles dans S, contienne strictement X et se plongedans V contredit la maximalité de X.
Le lemme suivant donne une condition suffisante pour que des F ℓ -représentations irréductiblessoient dépendantes. Elle repose sur la notion de réduction mod ℓ , que nous rappelons maintenant.Soit π une représentation de longueur finie de G sur un Q ℓ -espace vectoriel V. Elle est dite en-tière si V contient un Z ℓ -réseau L stable par G. La représentation de G sur L b F ℓ est alors lisseet de longueur finie, et sa semi-simplification ne dépend que de π , et pas du choix du réseau sta-ble L de V. On la note r ℓ p π q , qu’on appelle la réduction mod ℓ de π . Pour les détails, on renvoiele lecteur à [
28, 31 ]. Lemme 3.5 . —
Soit π une Q ℓ -représentation irréductible entière de G . Si deux F ℓ -représenta-tions irréductibles non isomorphes de G apparaissent dans r ℓ p π q , elles sont dépendantes.Démonstration . — Soit σ un facteur irréductible de r ℓ p π q , et soit T l’ensemble des facteurs irré-ductibles τ de r ℓ p π q tels que σ et τ soient dépendants. On veut prouver que T est égal à l’ensemblede tous les facteurs irréductibles de r ℓ p π q . Supposons que ce ne soit pas le cas. Nous allons prou-ver qu’il existe une structure entière L de V, l’espace de π , telle qu’aucune sous-représentationirréductible de L b F ℓ ne soit dans T.Pour cela, nous allons utiliser [ ] Lemma 2.2.6. Pour se convaincre que l’on peut s’en servir,on observe que, d’après [ ] II.4.7, il existe une extension finie E de Q ℓ dans Q ℓ et une E-repré-sentation V E de G telles que : V » V E b E Q ℓ . L’espace V E contient un O E -réseau M E stable par G, et M E b O E Z ℓ est un Z ℓ -réseau de V stablepar G. Quitte à augmenter E si besoin, on peut même supposer que tous les sous-quotients ir-réductibles de r ℓ p π q sont définis sur k E , le corps résiduel de E. En particulier, les éléments de Tsont tous de la forme W b k E F ℓ , où W décrit un ensemble T E de k E -représentations irréductiblesde G. Appliquant [ ] Lemma 2.2.6 à la E-représentation V E (ce qu’on peut faire car O E est unanneau de valuation discrète complet) on obtient un O E -réseau L E de V E stable par G tel qu’au-cune sous-représentation irréductible de L E b k E ne soit dans T E . Ainsi L “ L E b Z ℓ est un Z ℓ -réseau de V stable par G ayant la propriété voulue.Soit maintenant ρ une sous-représentation irréductible de L b F ℓ . Elle n’est pas dans T, donc ρ et σ ne sont pas dépendantes. Il y a donc une décomposition :L b F ℓ “ X ‘ X BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE où X est indécomposable et contient σ mais pas ρ , et où X contient ρ . Tout sous-quotient ir-réductible de X est dans T : contradiction. Nous utiliserons principalement le lemme 3.5 dans le cas où la représentation π est cuspidale.Le résultat suivant décrit la réduction mod ℓ d’une Q ℓ -représentation irréductible cuspidale en-tière de G. On note ν le caractère non ramifié “valeur absolue de la norme réduite” de G. Proposition 3.6 . —
Soit π une Q ℓ -représentation irréductible cuspidale entière de G . (1) Il existe une F ℓ -représentation irréductible cuspidale ρ de G et un entier a ě tels que : (3.7) r ℓ p π q “ ρ ‘ ρν ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ ρν a ´ . (2) Si ǫ p ρ q est le plus petit entier i ě tel que ρν i soit isomorphe à ρ , l’entier a est soit égal à , soit égal à ǫ p ρ q ℓ u pour un u ě .Démonstration . — La première partie est donnée par [ ] Theorème 3.15, la seconde est donnéepar [ ] Lemme 3.19 et [ ] 3.3.D’après [ ] 3.3, on a une autre description de ǫ p ρ q . Si t p ρ q désigne le nombre de torsion de ρ ,c’est-à-dire le nombre de caractères non ramifiés χ de G tels que ρ soit isomorphe à ρχ , et si q est le cardinal du corps résiduel de F, alors :(3.8) ǫ p ρ q “ ordre de q t p ρ q mod ℓ. Afin d’affiner la description de l’entier a apparaissant dans (3.7), il nous faut introduire des in-variants supplémentaires associés à ρ , ce que nous faisons dans les paragraphes suivants, à com-mencer par le cas où ρ est de niveau 0. Soit ρ une R-représentation cuspidale de G de niveau 0, c’est-à-dire que l’espace de ses vec-teurs invariants par le pro- p -sous-groupe 1 ` M m p p D q est non nul. D’après [ ] Paragraphe 3.2, legroupe compact maximal GL m p O D q agit sur cet espace via une représentation de GL m p k D q , de di-mension finie car ρ est admissible ([ ] II.2.8), et contenant une sous-représentation irréductiblecuspidale σ . Selon [ ] Paragraphe 6.1, on a le fait suivant. Fait 3.7 . —
La représentation ρ est supercuspidale si et seulement si σ est supercuspidale. Posons N “ GL m p O D q , notons ξ l’inflation de σ à N et notons N le normalisateur de la clas-se d’isomorphisme de ξ dans G. D’après [ ] Paragraphe 3.1, il y a un unique prolongement de ξ à N, noté ξ , tel que l’induite compacte de ξ à G soit isomorphe à ρ . D’après [ ] Lemme 5.3,la représentation de GL m p k D q sur l’espace des vecteurs de ρ invariants par le sous-groupe N “ ` M m p p D q est isomorphe à la somme directe des conjugués de σ sous Gal p k D { k F q : notons b LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE sa longueur, c’est-à-dire le nombre de conjugués de σ sous ce groupe de Galois. Le groupe N estcompact mod le centre de G et : F ˆ N Ď N Ď N G p N q , où N G p N q , le normalisateur de N dans G, est engendré par N et l’uniformisante ̟ D . L’actionde ̟ D par conjugaison sur O D induit un automorphisme de k D , engendrant le groupe de GaloisGal p k D { k F q . L’entier b est l’indice de N dans N G p N q , c’est-à-dire que :(3.9) N “ x N , ̟ y , ̟ “ ̟ b D . L’indice s “ s p ρ q de F ˆ N dans N, qui vérifie bs “ d , ne dépend pas du choix de σ . C’est l’ordredans Gal p k D { k F q du stabilisateur de la classe d’isomorphisme de σ .Profitons-en pour introduire la définition suivante, qui nous sera utile dans la section 7. Définition 3.8 . — L’ invariant de Hasse de D est l’unique entier h P t , . . . , d u premier à d telque le k F -automorphisme de k D induit par la conjugaison par ̟ D soit égal à : x ÞÑ x q h où q est le cardinal de k F . Il est indépendant du choix de ̟ D . Il sera utile d’énoncer une réciproque à ce qui précède.
Définition 3.9 . — Appelons type simple maximal étendu de niveau p K , µ q for-mée d’un sous-groupe ouvert K Ď G compact mod le centre et d’une représentation irréductible µ de K vérifiant les propriétés suivantes :(1) le groupe K contient N et la restriction de µ à N , notée µ , est l’inflation d’une représen-tation irréductible cuspidale de GL m p k D q ,(2) le normalisateur de la classe d’isomorphisme de µ dans G est égal à K.D’après le paragraphe 3.7, toutes les représentations cuspidales de niveau 0 de G sont obtenuespar induction compacte d’un type simple maximal étendu de niveau 0. On a aussi la réciproquesuivante (voir [ ] Proposition 3.1 et [ ] Paragraphe 6.1). Proposition 3.10 . — (1)
L’induite compacte à G d’un type simple maximal étendu de ni-veau est une représentation irréductible cuspidale de niveau de G . (2) Deux types simples maximaux étendus de niveau induisent la même représentation cus-pidale de G si et seulement s’ils sont conjugués sous le normalisateur N G p N q de N dans G . (3) L’induite compacte à G d’un type simple maximal étendu de niveau est supercuspidale siet seulement si la représentation cuspidale de GL m p k D q qui lui correspond est supercuspidale. BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Supposons maintenant que ρ soit une R-représentation cuspidale de niveau quelconque de G.D’après [
3, 24, 17 ], il y a un sous-groupe ouvert compact J de G et une représentation irréduc-tible λ de J possédant les propriétés suivantes :(1) Les R-représentations irréductibles de G dont la restriction à J contient λ sont exacte-ment les représentations supercuspidales de G inertiellement équivalentes à ρ .(2) Le groupe J a un unique pro- p -sous-groupe distingué maximal J , et la restriction de λ à J est un multiple d’une représentation irréductible η .(3) La représentation η se prolonge en une représentation κ de J , et il y a une représentationirréductible ξ de J triviale sur J telle que λ soit isomorphe à κ b ξ .(4) Il y a une extension finie E de F dans M m p D q telle que :(a) si B est le centralisateur de E dans M m p D q , alors J est égal à p J X B ˆ q J et il existeun entier r ě
1, une E-algèbre à division centrale C de degré réduit c et un isomorphismede E-algèbres :(3.10) φ : B » M r p C q , rc “ md r E : F s , c “ d p d, r E : F sq , envoyant J X B ˆ sur le sous-groupe compact maximal standard GL r p O E q et J X B ˆ sur sonunique pro- p -sous-groupe distingué maximal,(b) si k C est le corps résiduel de C, et si l’on identifie le groupe :(3.11) J { J » p J X B ˆ q{p J X B ˆ q à GL r p k C q via un isomorphisme (3.10), la représentation ξ est l’inflation d’une représen-tation cuspidale σ de GL r p k C q .De façon analogue au fait 3.7, on a le fait suivant ([ ] Paragraphe 6.1). Fait 3.11 . —
La représentation ρ est supercuspidale si et seulement si σ est supercuspidale. Comme au paragraphe 3.7, on note s p ρ q l’ordre du stabilisateur dans Gal p k C { k E q de la classed’isomorphisme de σ . On définit aussi :(3.12) f p ρ q “ ne E { F , q p ρ q “ q f p ρ q . On observera que, si ρ est de niveau 0, on a E “ F, J “ N , J “ N et λ “ ξ avec les notationsdu paragraphe 3.7. L’invariant f p ρ q est donc simplement égal à n dans ce cas.D’après [ ] (3.6), on a la propriété suivante, liant les invariants s p ρ q , f p ρ q et le nombre de tor-sion t p ρ q défini au paragraphe 3.6. On note ℓ l’exposant caractéristique de R. Fait 3.12 . —
Il y a un entier v ě tel que f p ρ q “ t p ρ q s p ρ q ℓ v . LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Comme en niveau 0, il existe un unique prolongement λ de λ au normalisateur dans G de saclasse d’isomorphisme, dont l’induite compacte à G soit isomorphe à ρ , mais nous n’utiliseronspas ce fait. Précisons maintenant les résultats du paragraphe 3.6. D’après [ ], (3.9) on a le fait suivant. Fait 3.13 . — Si π est une Q ℓ -représentation irréductible cuspidale entière de G comme dans laproposition 3.6, alors l’entier a dans (3.7) , c’est-à-dire la longueur de r ℓ p π q , divise s p ρ q . Le résultat suivant, que nous n’énonçons que dans le cas où la F ℓ -représentation ρ est super-cuspidale, donne une réciproque à la proposition 3.6. Proposition 3.14 . —
Soit ρ une F ℓ -représentation supercuspidale de G , et soit un entier a ě .Pour qu’il y ait une Q ℓ -représentation irréductible cuspidale entière π de G telle que r ℓ p π q con-tienne ρ et soit de longueur a , il faut et suffit qu’une des conditions suivantes soit vérifiée : (1) ou bien a “ , (2) ou bien ǫ p ρ q divise s p ρ q et a est un diviseur de s p ρ q de la forme a “ ǫ p ρ q ℓ u pour un u ě .Démonstration . — Voir [ ] Theorème 6.11 si a “
1, et [ ] Proposition 1.6 si a ‰ ǫ p ρ q est l’ordre de q t p ρ q mod ℓ d’après (3.8), le fait que ǫ p ρ q divise s p ρ q équivaut à ceque ℓ divise q t p ρ q s p ρ q ´
1, ce qui, d’après le fait 3.12 et compte tenu de (3.12), équivaut à : ℓ divise q p ρ q ´ Corollaire 3.15 . —
Soit ρ une F ℓ -représentation irréductible supercuspidale de G , et soit j P Z .Pour qu’il y ait une Q ℓ -représentation cuspidale entière π de G dont la réduction mod ℓ contienneà la fois ρ et ρν j , il faut et suffit que ρ et ρν j soient isomorphes ou que ℓ divise q p ρ q ´ .Démonstration . — La condition est nécessaire : si une telle représentation π existe, et si ρ et ρν j ne sont pas isomorphes, la proposition 3.6 assure que la longueur a de r ℓ p π q est un multiple de ǫ p ρ q , et le résultat suit du fait 3.13.Inversement, si les représentations ρ et ρν j sont isomorphes, le résultat suit de la proposition3.14 appliquée avec a “
1. Supposons maintenant que ǫ p ρ q divise s p ρ q mais que ρ , ρν j ne soientpas isomorphes. Le résultat suit alors de la proposition 3.14 appliquée avec a “ ǫ p ρ q . Corollaire 3.16 . —
Soit ρ une F ℓ -représentation supercuspidale de G . (1) Si ℓ divise q p ρ q ´ , alors, pour tout j P Z , les représentations ρ et ρν j sont dépendantes. (2) Supposons que ℓ ne divise pas q p ρ q ´ , et soit π une Q ℓ -représentation cuspidale entièrede G dont la réduction mod ℓ contient ρ . Alors r ℓ p π q est irréductible. BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Démonstration . — Le point (1) est une conséquence du corollaire 3.15 et du lemme 3.5. Le point(2) est une conséquence de la proposition 3.6(2) et du fait 3.13.
Avant de mettre fin à cette section, discutons de la réduction mod ℓ d’une Q ℓ -représentationirréductible entière quelconque de G. Introduisons la définition suivante. Définition 3.17 . — Soit π une F ℓ -représentation irréductible de G, dont on écrit :scusp p π q “ ρ ` ¨ ¨ ¨ ` ρ r le support supercuspidal. On note B p π q l’ensemble des représentations irréductibles π de G dontle support supercuspidal est de la forme :scusp p π q “ ρ ν j ` ¨ ¨ ¨ ` ρ r ν j r , j , . . . , j r P Z , où, pour chaque k “ , . . . , r , l’entier j k est nul si ℓ ne divise pas q p ρ k q ´ Remarque 3.18 . — Pour que B p π q contienne des représentations de supports supercuspidauxdifférents, il faut et suffit donc qu’il y ait un k P t , . . . , r u tel que ǫ p ρ k q ‰ ℓ divise q p ρ k q ´ d est égal à 1, cela ne se produit jamais : on a s p ρ k q “ k , donc le fait que ℓ divise q p ρ k q ´ ǫ p ρ k q “ π est supercuspidale de niveau 0, cela se produit si ℓ divise q n ´ q n { s p ρ q ´ s p ρ q divise d et est premier à m (voir [ ] Corollaire 3.9). En particulier, pour le ca-ractère trivial de D ˆ , cela se produit si ℓ divise q d ´ q ´ π P B p π q équivaut à B p π q “ B p π q . C’est une relation d’équivalence sur l’ensembledes F ℓ -représentations irréductibles de G. Proposition 3.19 . —
Soient π et π des F ℓ -représentations irréductibles de G . Pour que les en-sembles B p π q et B p π q soient égaux, il faut et suffit qu’il existe une Q ℓ -représentation irréductibleentière de G dont la réduction mod ℓ contienne à la fois π et π .Démonstration . — Supposons d’abord que π P B p π q . Pour chaque i “ , . . . , r , choisissons une Q ℓ -représentation cuspidale entière π i de GL m i p D q dont la réduction mod ℓ contienne à la fois ρ i et ρ i ν j i , dont l’existence est assurée par le corollaire 3.15. Soient maintenant φ , . . . , φ r descaractères non ramifiés de GL m p D q , . . . , GL m r p D q à valeurs dans 1 ` m (où m est l’idéal maxi-mal de Z ℓ ) et considérons l’induite parabolique :(3.13) π φ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π r φ r . Par construction, sa réduction mod ℓ contient à la fois π et π , l’induction parabolique étant com-patible à la réduction mod ℓ (voir [ ] 1.2.3 ou [ ] II.4.14). Nous allons prouver que, pour unchoix convenable des φ i , cette induite est irréductible, ce qu’on va prouver par récurrence sur r . LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Supposons que r ě π φ ˆ¨ ¨ ¨ˆ π r ´ φ r ´ soit irréductible. Pour que (3.13) lesoit, il faut et suffit (d’après [ ] Corollaire 7.32 par exemple) de choisir φ r de sorte que, pourtout i P t , . . . , r ´ u , l’induite parabolique π i φ i ˆ π r φ r soit irréductible, c’est-à-dire (selon [ ]Section 4) que π r φ r n’appartienne pas à la réunion : ! π φ ν s p π q , . . . , π r ´ φ r ´ ν s p π r ´ q ) Y ! π φ ν ´ s p π q , . . . , π r ´ φ r ´ ν ´ s p π r ´ q ) (les entiers s p π i q et t p π i q sont introduits au paragraphe 3.6), c’est-à-dire que : ´ φ r χ i φ ´ i ν s p π i q ¯ t p π i q ‰ ´ φ r χ i φ ´ i ν ´ s p π i q ¯ t p π i q ‰
1à chaque fois que π r et π i sont inertiellement équivalents, χ i étant un caractère non ramifié tel que π r soit isomorphe à π i χ i . Cette condition n’interdit qu’un nombre fini de valeurs pour φ r , alorsque 1 ` m est infini.Supposons maintenant que π et π apparaissent dans la réduction mod ℓ d’une Q ℓ -représen-tation irréductible entière de G, dont on note π ` ¨ ¨ ¨ ` π u le support cuspidal, π k étant une Q ℓ -représentation cuspidale entière de GL n k p D q , avec n ` ¨ ¨ ¨ ` n u “ m . Les représentations π et π apparaissent donc dans la réduction mod ℓ de l’induite parabolique : π ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ π u . Pour chaque k , écrivons τ k ‘ τ k ν ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ τ k ν a k ´ la réduction mod ℓ de π k , où τ k est une F ℓ -re-présentation cuspidale de GL n k p D q et a k est un entier soit égal à 1, soit égal à ǫ p τ k q ℓ v k pour unentier v k ě
0. D’après [ ] Section 6 (voir plus précisément le théorème 6.14), le support super-cuspidal de τ k est de la forme ρ k ` ρ k ν ` ¨ ¨ ¨ ` ρ k ν r k ´ pour un entier r k ě n k et unereprésentation supercuspidale ρ k de GL n k { r k p D q . Aussi y a-t-il des entiers c k , c k P t , . . . , a k ´ u tels que : scusp p π q “ u ÿ k “ r k ´ ÿ j “ ρ k ν j ` c k , scusp p π q “ u ÿ k “ r k ´ ÿ j “ ρ k ν j ` c k . En outre, si ℓ ne divise pas q p ρ k q ´
1, on a a k “ c k “ c k . Par conséquent, on a π P B p π q .Par ailleurs, le lemme 3.5 assure que des représentations irréductibles π et π apparaissant dansla réduction mod ℓ d’une Q ℓ -représentation irréductible entière de G — ou, ce qui est équivalentd’après la proposition 3.19, telles que π P B p π q — sont dépendantes. L’objet des sections 4 à 6est de prouver la réciproque (voir le théorème 6.2 et la proposition 6.4).
4. Le cas supercuspidal de niveau zéro
Dans cette section, on étudie les représentations supercuspidales de niveau 0 du groupe G “ GL m p D q , la motivation étant de se ramener à ce cas-ci pour le cas supercuspidal général, qu’ontraitera dans la section suivante. BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Dans cette section, on fixe une F ℓ -représentation supercuspidale π de niveau 0 de G. Commeau paragraphe 3.7 dont on reprend les notations, on fixe une paire p N , ξ q dont l’induite à G estisomorphe à π . Observons que, π étant de niveau 0, le corollaire 3.16 prend la forme particuliè-rement simple suivante :– Si ℓ divise q n ´
1, alors, pour tout j P Z , les représentations π et πν j sont dépendantes.– Supposons que ℓ ne divise pas q n ´
1, et soit r π une Q ℓ -représentation cuspidale entière deG dont la réduction mod ℓ contient π . Alors r ℓ p r π q est irréductible.La représentation π étant supercuspidale, la représentation σ de GL m p k D q dont ξ est l’infla-tion à N est supercuspidale d’après le fait 3.7. Soit π une F ℓ -représentation irréductible de G telle que l’espace d’extension Ext p π, π q soitnon nul. D’après [ ] Theorem 10.4, il existe un caractère non ramifié χ de G tel que π soit iso-morphe à πχ . Les représentations π et π ayant le même caractère central d’après le lemme 3.2,on en déduit que χ n “ χ de G tel que Ext p π, πχ q soit non nul. La représenta-tion π étant isomorphe à l’induite compacte de ξ à G, il s’ensuit que πχ est isomorphe à l’induitecompacte de ξχ à G. Selon la propriété d’adjonction [ ] Proposition I.5.9(e) et la formule deMackey, on a des isomorphismes d’espaces vectoriels :(4.1) Ext p π, πχ q » Ext p ξ, πχ q » Ext ˜ ξ, à g P N z G { N Ind NN X N g p ξχ q g ¸ et ce dernier espace se plonge dans :(4.2) Ext ¨˝ ξ, ź g P N z G { N Ind NN X N g p ξχ q g ˛‚ » ź g P N z G { N Ext p ξ, Ind NN X N g p ξχ q g q . Nous montrerons plus loin (dans la proposition 4.13) que seul le facteur correspondant à g P Ncontribue à ce produit, et qu’on a un isomorphisme :Ext p π, πχ q » Ext p ξ, ξχ q d’espaces vectoriels. Pour cela, nous allons prouver que ξ admet une enveloppe projective dans lacatégorie rep F ℓ p N q des F ℓ -représentations de longueur finie de N, et déterminer les sous-quotientsirréductibles de cette enveloppe. Dans ce paragraphe, R est un corps algébriquement clos de caractéristique différente de p et ζ est une R-représentation irréductible de N triviale sur N . On va montrer qu’elle admet une en-veloppe projective dans la catégorie des R-représentations de longueur finie de N. On sait que N LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE est engendré par N et l’élément ̟ défini au paragraphe 3.7, et que ̟ s “ ̟ F . Le quotient :(4.3) H “ N {x N , ̟ F y est donc un groupe fini. Par ailleurs, la restriction de ζ à F ˆ est un multiple d’un caractère ω ζ .Fixons un caractère ω de N trivial sur N tel que ω p ̟ F q “ ω ζ p ̟ F q et posons :(4.4) ζ “ ζω ´ . C’est une représentation de N triviale sur x N , ̟ F y . Elle peut donc être vue comme une repré-sentation de H . Elle a donc une enveloppe projective P dans la catégorie des R-représentations delongueur finie de H (voir par exemple [ ] Proposition 41). Celle-ci est indécomposable et sa res-triction à F ˆ est un multiple du caractère ω ζ ω ´ . Lemme 4.1 . —
Soit X une R -représentation de longueur finie de N . Il y a des sous-représen-tations X et X de X , uniques, telles que X “ X ‘ X et : (1) la représentation X est invariante par x N , ̟ F y , (2) aucun des composants irréductibles de X n’est invariant par x N , ̟ F y .Démonstration . — D’abord, comme N est un pro- p -groupe et que p est inversible dans R, il y aune unique décomposition X “ V ‘ W en sous-représentations telles que V “ X N et aucun descomposants irréductibles de W ne soit invariant par N . Puis, d’après le lemme 3.2, il existe desscalaires z , . . . , z r P R ˆ deux à deux distincts et une décomposition :V “ V ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ V r telle que, pour chaque i P t , . . . , r u , l’uniformisante ̟ F agit sur chaque composant irréductiblede V i par le scalaire z i . Si aucun des z i n’est égal à 1, on pose X “ t u et X “ X. Sinon, onpeut renuméroter de sorte que z “
1, et on pose X “ V et X “ V ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ V r ‘ W. Lemme 4.2 . —
La représentation P vue comme représentation de N par inflation est une en-veloppe projective de ζ dans rep R p N q .Démonstration . — Considérons le diagramme : X f (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) P u / / / / Ydans la catégorie des R-représentations de longueur finie de N. Écrivons :X “ X ‘ X , Y “ Y ‘ Y , les décompositions de X et Y données par le lemme 4.1. Comme P est triviale sur x N , ̟ F y , ona Im p u q Ď Y , c’est-à-dire que u “ u ‘
0. Écrivons f “ f ‘ f avec : f P Hom N p X , Y q , f P Hom N p X , Y q . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Par projectivité de P dans la catégorie des R-représentations de H , il existe un morphisme v deP dans X tel que f ˝ v “ u . Posant v “ v ‘
0, on obtient f ˝ v “ u , ce qui prouve que P est projective dans rep R p N q .Prouvons maintenant que P est une enveloppe projective de ζ vue comme représentation delongueur finie de N. Pour cela, supposons que Y soit égale à ζ et que X soit projective. Chacundes facteurs X et X est projectif. Le morphisme f étant nul, f est surjectif. Comme X estprojective dans rep R p H q , il y a un morphisme surjectif w P Hom H p X , P q tel que u ˝ w “ f .Posant w “ w ‘
0, qui est surjectif de X sur P , on trouve u ˝ w “ f .Montrons à présent un lemme qui affirme que la projectivité résiste à la torsion par un carac-tère. Lemme 4.3 . —
Soit Q une R -représentation projective de N , et soit ψ un R -caractère de N . (1) La représentation Q ψ est une R -représentation projective de N . (2) Si Q est une enveloppe projective d’une représentation W de N , alors Q ψ est une enveloppeprojective de W ψ .Démonstration . — Considérons le diagramme : X f (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) Q ψ u / / / / Ydans rep R p N q . Tordant par ψ ´ , et Q étant projective, on a un morphisme v P Hom N p Q , X ψ ´ q tel que f ˝ v “ u . L’assertion (1) se déduit du fait que Hom N p Q , X ψ ´ q “ Hom N p Q ψ, X q .Supposons maintenant que Y soit égale à W et que X soit projective. Tordant par ψ ´ , et lareprésentation X ψ ´ étant projective dans rep R p N q d’après le lemme 4.3, on obtient un morphis-me surjectif w P Hom N p X ψ ´ , Q q “ Hom N p X , Q ψ q tel que u ˝ w “ f . Proposition 4.4 . —
La représentation ζ admet une enveloppe projective dans rep R p N q .Démonstration . — D’après les lemmes 4.2 et 4.3, la représentation P ω est une enveloppe pro-jective de ζ dans rep R p N q .Par unicité de l’enveloppe projective à isomorphisme près, la classe d’isomorphisme de P ω estindépendante du choix du caractère ω qui a servi à sa construction. Si τ est une représentation de dimension finie de N et si ζ est une représentation irréductible deN, on note p τ : ζ q la multiplicité de ζ dans τ , c’est-à-dire le nombre de composants irréductiblesde τ qui sont isomorphes à ζ . LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Proposition 4.5 . —
Soit ζ une F ℓ -représentation irréductible de N triviale sur N et soit P sonenveloppe projective dans rep F ℓ p N q . (1) Il y a, à isomorphisme près, une unique Z ℓ -représentation projective r P dans rep Z ℓ p N q telleque r P b F ℓ soit isomorphe à P . (2) Pour toute Q ℓ -représentation irréductible entière τ de N , la multiplicité de τ dans r P b Q ℓ est égale à celle de ζ dans r ℓ p τ q .Démonstration . — Nous reprenons les notations du paragraphe précédent. D’après la proposi-tion 42 et le paragraphe 15.4 de [ ], on a les faits suivants :– il y a, à isomorphisme près, une unique Z ℓ -représentation projective r P dans rep Z ℓ p H q telleque r P b F ℓ soit isomorphe à P, et– pour toute Q ℓ -représentation irréductible τ de H , la multiplicité de ζ dans r ℓ p τ q est égaleà la multiplicité de τ dans r P b Q ℓ .Fixons un Z ℓ -caractère r ω de N tel que r ℓ p r ω q “ ω et posons :(4.5) r P “ r P r ω. C’est une représentation projective (d’après le lemme 4.3) et r P b F ℓ est isomorphe à P. Si Q estune Z ℓ -représentation projective dans rep Z ℓ p N q ayant la même propriété, alors, par projectivité,tout isomorphisme entre r P b F ℓ et Q b F ℓ se relève en un isomorphisme entre r P et Q.Afin de prouver la seconde partie de la proposition, nous aurons besoin du lemme suivant.
Lemme 4.6 . —
Soit τ une Q ℓ -représentation irréductible entière du groupe N . Les assertionssuivantes sont équivalentes : (1) La représentation τ est triviale sur N . (2) La représentation r ℓ p τ q est triviale sur N . (3) La représentation r ℓ p τ q contient un facteur irréductible trivial sur N .Démonstration . — Bien sûr, (1) implique (2), lui-même impliquant (3). Prouvons que (3) impli-que (1). Comme N est distingué dans N et que τ est irréductible, il nous suffit de prouver que larestriction de τ à N contient le caractère trivial. Comme N est un pro- p -groupe et ℓ est diffé-rent de p , le F ℓ -caractère trivial de N est une représentation projective ; le résultat s’ensuit.Soit τ une Q ℓ -représentation irréductible entière de N. Si elle n’est pas triviale sur N , alorselle n’apparaît pas dans r P b Q ℓ (car r P est triviale sur N par construction) et r ℓ p τ q ne contientaucun facteur irréductible trivial sur N d’après le lemme 4.6. Supposons maintenant que τ soittriviale sur N . Sa restriction à F ˆ est un multiple d’un caractère ω τ . Si la réduction mod ℓ de ω τ n’est pas égale à ω ζ , alors ζ n’apparaît pas dans r ℓ p τ q et τ n’apparaît pas dans r P b Q ℓ .Sinon, on peut choisir le caractère r ω de (4.5) tel que τ “ τ r ω ´ soit triviale en ̟ F . On a : p r ℓ p τ q : ζ q “ p r ℓ p τ q : ζ q “ ´r P b Q ℓ : τ ¯ “ ´r P b Q ℓ : τ ¯ BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE ce qui donne le résultat voulu.
Remarque 4.7 . — (1) L’unicité de la Z ℓ -représentation projective r P implique que, pour tout Z ℓ -caractère χ de N dont la réduction mod ℓ est triviale, r P χ et r P sont isomorphes.(2) La seconde assertion de la proposition 4.5 implique en particulier qu’une Q ℓ -représentationirréductible entière de N apparaît comme facteur de r P b Q ℓ si et seulement si sa réduction mod ℓ contient ζ . On se propose maintenant d’obtenir des informations sur les sous-quotients irréductibles del’enveloppe projective P de la représentation ξ du paragraphe 4.1, dans rep F ℓ p N q . On va prouverle résultat suivant. Soit ν le caractère non ramifié “valeur absolue de la norme réduite” de G. Ilest d’ordre fini. Proposition 4.8 . —
Soit ξ un sous-quotient irréductible de P . (1) Il y a un entier j P Z tel que ξ soit isomorphe à ξν j . (2) Si ℓ ne divise pas q n ´ , alors ξ est isomorphe à ξ . Afin de prouver cette proposition, nous allons avoir besoin de mettre en évidence certaines despropriétés des Q ℓ -représentations irréductibles entières de N dont la réduction mod ℓ contient ξ . Lemme 4.9 . —
Soit τ une Q ℓ -représentation irréductible entière de N dont la réduction mod ℓ contient ξ . (1) Il y a un sous-groupe K de N contenant N et une Q ℓ -représentation irréductible µ de K tels que : (a) la restriction µ de µ à N est irréductible, (b) le normalisateur de µ dans N est égal à K et sa réduction mod ℓ est égale à ξ , (c) l’induite de µ à N est isomorphe à τ . (2) Si p K , µ q vérifie les conditions (a) , (b) et (c) ci-dessus, alors K est égal à K et µ est con-juguée à µ sous N , et r ℓ p µ q est égale à la restriction de ξ à K . (3) L’induite compacte de τ à G est irréductible et cuspidale.Démonstration . — Notons τ la restriction de τ à N . Comme r ℓ p τ q contient ξ , il y a un facteurirréductible µ de τ tel que r ℓ p µ q contienne ξ . Soit K le normalisateur de µ dans N. Fixonsun prolongement µ de µ à K tel que τ soit isomorphe à l’induite de µ à N, et notons r π l’induitecompacte de τ à G. Par transitivité de l’induction, c’est aussi l’induite compacte de µ à G. Onva prouver que p K , µ q est un type simple maximal étendu de niveau 0 au sens de la définition 3.9.Il suffit pour cela de prouver d’une part que µ est triviale sur N , d’autre part que c’est l’inflationd’une Q ℓ -représentation cuspidale de GL m p k D q .D’abord, comme r ℓ p µ q contient ξ qui est triviale sur N , le lemme 4.6 assure que µ est tri-viale sur N . Ensuite, notons α la représentation irréductible de GL m p k D q dont µ est l’inflation. LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Alors r ℓ p α q contient la représentation σ dont ξ est l’inflation. Or σ est supercuspidale d’après lefait 3.7 (voir aussi le paragraphe 4.1) : d’après [ ] III.1.1 et III.2.9, il s’ensuit que α est cuspidaleet que r ℓ p α q est égale à σ . La paire p K , µ q est un type simple maximal étendu de niveau 0 de Gcomme voulu, donc r π est irréductible et cuspidale d’après la proposition 3.10. Ceci prouve lesassertions (1) et (3).Supposons ensuite que p K , µ q vérifie les conditions (a), (b) et (c) du premier item du lemme4.9. D’après ce qui précède, c’est un type simple maximal étendu de niveau 0 de G, dont l’indui-te compacte à G est isomorphe à r π . D’après la proposition 3.10, ce type est conjugué à p K , µ q parun élément g du normalisateur de N dans G. La condition (b) entraîne que g normalise ξ , donc g P N comme voulu. Ceci prouve la première partie de (2).Le fait que r ℓ p µ q soit égale à ξ entraîne que r ℓ p µ q est irréductible et égale à ξ K β , où ξ K estla restriction de ξ à K et β un caractère de K trivial sur N . Ensuite, r ℓ p τ q est égale à la semi-simplification de : Ind NK p r ℓ p µ qq » ξ b Ind NK p β q et la semi-simplification de Ind NK p β q est la somme directe de ℓ v copies de chacun des caractèresde N prolongeant β , où ℓ v est la plus grande puissance de ℓ divisant p N : K q . Du fait que r ℓ p τ q contient ξ , on déduit que β admet un prolongement à N trivial, donc que β lui-même est trivial,ce qui finit de prouver (2). Remarque 4.10 . — On a prouvé au passage que la multiplicité de ξ dans r ℓ p τ q est égale à laplus grande puissance de ℓ divisant l’indice de K dans N.Passons à la preuve de la proposition 4.8. Soit ξ un sous-quotient irréductible de P. Lemme 4.11 . —
Il y a une Q ℓ -représentation irréductible entière τ de N dont la réduction mod ℓ contient à la fois ξ et ξ .Démonstration . — Il existe des sous-représentations Y Ď X de P telles que le quotient X { Y soitisomorphe à ξ . Soit P l’enveloppe projective de ξ dans rep F ℓ p N q . Comme tout morphisme deP vers ξ se relève vers X Ď P, l’espace Hom N p P , P q est non nul. Notons r P et r P les Z ℓ -repré-sentations projectives de N relevant P et P données par la proposition 4.5. Par projectivité de r P , l’espace Hom N p r P , r P q est non nul. Puis, comme r P et r P sont libres sur Z ℓ , on en déduit que :Hom N ´r P b Q ℓ , r P b Q ℓ ¯ ‰ t u . Par conséquent, il existe un facteur irréductible entier τ commun à r P b Q ℓ et r P b Q ℓ . D’aprèsla proposition 4.5, les représentations ξ et ξ apparaissent dans r ℓ p τ q .Fixons une Q ℓ -représentation irréductible entière τ de N comme dans le lemme 4.11. Fixonsune paire p K , µ q comme dans le lemme 4.9. Comme r ℓ p τ q contient ξ , il y a un facteur irréductible µ de τ (la restriction de τ à N ) dont la réduction mod ℓ contienne un composant irréductiblede ξ , la restriction de ξ à N . Comme τ est irréductible, les facteurs irréductibles de τ sont BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE conjugués sous N, c’est-à-dire que µ est conjugué à µ sous N, qui normalise ξ . Par conséquent, ξ est irréductible et isomorphe à ξ . On en tire le résultat suivant. Lemme 4.12 . —
Il y a un caractère ψ de N trivial sur N tel que ξ soit isomorphe à ξψ . Soit r π l’induite compacte de τ à G, qui est irréductible et cuspidale selon le lemme 4.9. Com-me r ℓ p τ q contient ξ et ξ , la représentation r ℓ p r π q contient à la fois π et l’induite compacte de ξ àG, qui est de la forme πψ pour un caractère non ramifié ψ de G d’après le lemme 4.12. D’aprèsla proposition 3.6, il y a un j P Z tel que πψ soit isomorphe à πν j . En outre, dans le cas où ℓ nedivise pas q n ´
1, le paragraphe 4.1 assure que r ℓ p r π q est irréductible, on peut donc choisir j “ πν j est supercuspidale, et elle contient p N , ξ q et p N , ξν j q : cestypes sont conjugués sous le normalisateur de N dans G, d’après la proposition 3.10. Commeleurs restrictions à N sont toutes deux isomorphes à ξ , ils sont même conjugués sous N, c’est-à-dire qu’ils sont isomorphes. Ceci met fin à la preuve de la proposition 4.8. On sait (cf. paragraphe 4.2) que Ext p π, πχ q se plonge dans le produit : ź g Ext p ξ, Ind NN X N g p ξχ q g q où g décrit un système de représentants des doubles classes de G mod N. Nous allons voir queseul g P N contribue à ce produit.
Lemme 4.13 . —
Soit g P G tel que Ext p ξ, Ind NN X N g p ξχ q g q soit non nul. Alors g P N .Démonstration . — Soit ξ un sous-quotient irréductible de Ind NN X N g p ξχ q g tel que Ext p ξ, ξ q soitnon nul, et soit M une extension non triviale de ξ par ξ . Soit P l’enveloppe projective de ξ . Lediagramme : 0 / / ξ / / M / / ξ / / O O O O / / P _ _ _ _ O O O O montre que Hom N p P , P q est non nul. En particulier, ξ est un sous-quotient irréductible de P.D’après la proposition 4.8, il existe un entier j P Z tel que ξ soit isomorphe à ξν j . La représen-tation P est donc isomorphe à P ν j , et il suit de la proposition 4.8 appliquée derechef que lessous-quotients irréductibles de P sont tous de la forme ξν i avec i P Z .D’autre part, le fait que ξ soit un sous-quotient irréductible de Ind NN X N g p ξχ q g entraîne l’exis-tence d’un morphisme non nul de P vers cette induite. D’après ce qui précède, il existe un i P Z tel que : t u ‰ Hom N ´ ξν i , Ind NN X N g p ξχ q g ¯ » Hom N X N g ` ξν i , p ξχ q g ˘ . LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Par restriction à N X N g , on en déduit que g appartient à l’ensemble d’entrelacement de ξ .D’après la section 1 de [ ] (rédigée pour des représentations complexes mais dont les argumentssont encore valables sur F ℓ ) celui-ci est égal à N. Par conséquent, on a g P N. Corollaire 4.14 . —
On a un isomorphisme d’espaces vectoriels :
Ext p π, πχ q » Ext p ξ, ξχ q . L’espace Ext p ξ, ξχ q étant non nul, considérons une extension non triviale M de ξ par ξχ . Lediagramme suivant : 0 / / ξχ / / M / / ξ / / _ _ _ _ O O O O montre que ξχ apparaît comme sous-quotient de P. On a donc ξχ » ξν j pour un j P Z , et onpeut supposer que j “ ℓ ne divise pas q n ´
1. Récapitulons le résultat obtenu dans la pro-position suivante.
Proposition 4.15 . —
Soit π et π deux représentations supercuspidales de G de niveau tellesque Ext p π, π q soit non nul. Alors il existe un entier j P Z tel que π soit isomorphe à πν j , eton a j “ lorsque ℓ ne divise pas q n ´ . On va utiliser cette proposition pour en déduire la proposition suivante, où l’on s’intéresse auxespaces d’extension supérieurs Ext i pour i ě Proposition 4.16 . —
Soit π et π deux représentations supercuspidales de G de niveau . Sup-posons qu’il existe un entier i ě tel que Ext i G p π , π q soit non nul. (1) Il existe un entier j P Z tel que π soit isomorphe à πν j . (2) Si ℓ ne divise pas q n ´ , alors π est isomorphe à π .Démonstration . — On va utiliser l’induite compacte :Π “ ind GN p P q à G de l’enveloppe projective P d’un type ξ associé à π . On sait que Π est projectif car P l’est etl’induction compacte préserve la projectivité. D’après la proposition 4.8, chaque sous-quotientirréductible de P est de la forme ξν j pour un j P Z . Par induction compacte de N à G, on endéduit que Π a une suite de composition finie dont les quotients sont de la forme :ind GN p ξν j q » πν j , j P Z . On en déduit d’une part que Π est de longueur finie, d’autre part que :(1) si ℓ divise q n ´
1, les sous-quotients irréductibles de Π sont de la forme πν j , avec j P Z ;(2) si ℓ ne divise pas q n ´
1, tous les sous-quotients irréductibles de Π sont isomorphes à π . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Nous allons utiliser ces propriétés pour montrer la proposition 4.16. Traitons le cas où ℓ divise q n ´
1, l’autre cas étant similaire et plus simple. On procède par récurrence sur i , le cas où i “ i G p π , π q soit non nul pour un entier i ě π ne soit pas de la forme πν j pour j P Z . Par hypothèse de récurrence, l’espace Ext l G p π , πν j q est nul pour tout 0 ď l ă i et tout j P Z . Fixons une suite de composition :Π “ Π Ľ Π Ľ Π Ľ ¨ ¨ ¨ Ľ Π r Ľ Π r ` “ t u . Il y a pour tout k P t , . . . , r u un j k P Z tel que Π k { Π k ` soit isomorphe à πν j k . Considérons lasuite exacte courte : 0 Ñ Π Ñ Π Ñ πν j Ñ . On en déduit, pour tout i ě u P Z , la suite exacte :Ext i ´ p π ν u , πν j q Ñ Ext i G p π ν u , Π q Ñ Ext i G p π ν u , Π q . L’espace Ext i ´ p π ν u , πν j q est nul par hypothèse de récurrence, et Ext i G p π ν u , Π q est nul car Πest projective. Par conséquent, Ext i G p π ν u , Π q est nul pour tout u P Z . On montre de façon ana-logue que Ext i G p π ν u , Π k q est nul pour tout k P t , . . . , r u et tout u P Z . En particulier, si k “ r ,l’espace Ext i G p π ν u , πν j r q est nul. Choisissant u “ j r , on obtient une contradiction.Tirons de la preuve de la proposition 4.16 le corollaire suivant. Corollaire 4.17 . —
Toute F ℓ -représentation supercuspidale π de niveau de G admet une en-veloppe projective P π dans rep F ℓ p G q . Les sous-quotients irréductibles de P π sont tous de la forme πν j avec j P Z et, si ℓ ne divise pas q n ´ , on peut même supposer que j “ .Démonstration . — Considérons la représentation Π apparaissant dans la preuve de la proposi-tion 4.16. Alors π admet une enveloppe projective dans rep F ℓ p G q : il suffit, parmi les facteurs di-rects de Π admettant π pour quotient, d’en choisir un de longueur minimale. La preuve de laproposition 4.16 montre qu’elle a les propriétés voulues.
5. Le cas supercuspidal de niveau quelconque
Dans cette section, on étudie les représentations supercuspidales quelconques de G.
Soit π une R-représentation irréductible supercuspidale de G, et soit Ω “ Ω p π q sa classe iner-tielle. D’après le théorème 3.1, la catégorie Rep R p G , Ω q formée des représentations dont les sous-quotients irréductibles sont dans Ω (c’est-à-dire de la forme πχ pour un caractère non ramifié χ de G) est un facteur direct indécomposable de Rep R p G q . LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Fixons une paire p J , λ q comme au paragraphe 3.9, dont nous utiliserons les notations. Rappe-lons qu’on a une extension finie E de F, une E-algèbre B qu’on identifie à M r p C q via un isomor-phisme (3.10) fixé une fois pour toutes, que J a un unique pro- p -sous-groupe distingué maximalJ et que la restriction de λ à J est un multiple d’une représentation irréductible η . Dans toutecette section, on pose : G “ B ˆ » GL r p C q . D’après [ ] Proposition 10.2, l’induite compacte ind GJ p λ q appartient à Rep F ℓ p G , Ω q . Nous allons maintenant décrire certains résultats dus à Chinello [ ] que nous utiliserons pournous ramener à un bloc de niveau 0 de Rep F ℓ p G ˆ q . Notons Rep F ℓ p G , η q la sous-catégorie pleineformée des représentations de Rep F ℓ p G q engendrées par leur composante η -isotopique. La catégo-rie Rep F ℓ p G , Ω q introduite au paragraphe précédent en est un facteur direct.Notons maintenant H F ℓ p G , η q la F ℓ -algèbre des fonctions à support compact Ψ : G Ñ End F ℓ p η q telles que Ψ p xgy q “ η p x q ˝ Ψ p g q ˝ η p y q quels que soient x, y P J , munie du produit :Ψ ˚ Ψ : g ÞÑ ÿ h Ψ p h q Ψ p h ´ g q où h décrit un système de représentants de G { J . Notant Mod p H F ℓ p G , η qq la catégorie des mo-dules à droite sur H F ℓ p G , η q , on a un foncteur : M η : Rep F ℓ p G , η q Ñ Mod p H F ℓ p G , η qq (5.1) V ÞÑ Hom G ´ ind GJ p η q , V ¯ où l’action (à gauche) de Ψ P H F ℓ p G , η q sur f P ind GJ p η q est définie par la formule :Ψ ˚ f : g ÞÑ ÿ h Ψ p h q f p h ´ g q et l’action (à droite) de Ψ sur ϕ P M η p V q est donnée par ϕ ¨ Ψ : f ÞÑ ϕ p Ψ ˚ f q . On a le résultatimportant suivant. Théorème 5.1 ( [ ] Theorem 5.10) . —
Le foncteur M η est une équivalence de catégories. Observons que, dans le cas particulier où π est de niveau 0, G est égal à G et η est le caractè-re trivial du groupe J “ N “ ` M m p p D q . Le foncteur (5.1) définit alors une équivalence de lacatégorie Rep F ℓ p G , N q des F ℓ -représentations de G qui sont de niveau 0, c’est-à-dire qui sont en-gendrées par leurs vecteurs N -invariants, vers la catégorie Mod p H F ℓ p G , N qq des modules à droi-te sur la F ℓ -algèbre des fonctions de G dans F ℓ à support compact et bi-invariantes par N . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Notons K le sous-groupe compact maximal GL r p O C q de G et K son pro- p -sous-groupe dis-tingué maximal. Comme ci-dessus, on a la sous-catégorie pleine Rep F ℓ p G , K q de Rep F ℓ p G q for-mée des représentations engendrées par leurs vecteurs K -invariants, la F ℓ -algèbre H F ℓ p G , K q des fonctions de G dans F ℓ à support compact et bi-invariantes par K , et le foncteur : M : Rep F ℓ p G , K q Ñ Mod p H F ℓ p G , K qq V ÞÑ Hom G ´ ind G K p q , V ¯ qui est une équivalence de catégories selon [ ] théorème 3.2. Dans [ ], Chinello construit un iso-morphisme de F ℓ -algèbres :(5.2) θ : H F ℓ p G , K q Ñ H F ℓ p G , η q dépendant du choix de la représentation κ prolongeant η fixé au paragraphe 3.9, et ayant la pro-priété suivante (voir [ ] Section 3). Fait 5.2 . —
Soit ̟ C une uniformisante de C , soit un entier i P t , . . . , r u et soit la matrice dia-gonale : b “ diag p , . . . , , ̟ C , . . . , ̟ C q P G où apparaît i fois. Si Ψ P H F ℓ p G , K q est à support dans K b K , son image θ p Ψ q est à sup-port dans J b J . Cet isomorphisme d’algèbres θ définit une équivalence de catégories : θ ˚ : Mod p H F ℓ p G , η qq Ñ Mod p H F ℓ p G , K qq . Composant les foncteurs M η et θ ˚ avec un quasi-inverse de M , Chinello obtient une équivalen-ce de catégories :(5.3) F : Rep F ℓ p G , η q Ñ Rep F ℓ p G , K q . Le diagramme commutatif suivant :
Rep F ℓ p G , η q F / / M η (cid:15) (cid:15) Rep F ℓ p G , K q M (cid:15) (cid:15) Mod p H F ℓ p G , η qq θ ˚ / / Mod p H F ℓ p G , K qq résume la situation. LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Considérons maintenant la représentation ξ de J triviale sur J du paragraphe 3.9, telle que λ soit isomorphe à κ b ξ . Elle définit, par restriction, une représentation ξ de J X G » K triviale sur J X G » K , inflation de la représentation cuspidale σ du groupe :J { J » K { K » GL r p k C q qui est même supercuspidale d’après le fait 3.11.Notons K le normalisateur de la classe d’isomorphisme de ξ dans G , et fixons un prolonge-ment ξ de ξ à K. D’après le paragraphe 3.8, la paire p K , ξ q est un type simple maximal étendude niveau 0 de G , et son induite compacte à G , notée π , est une F ℓ -représentation supercuspi-dale de niveau 0 de G . Par construction de π , on a le résultat suivant. Lemme 5.3 . —
On a q p π q “ q p π q . Comme au paragraphe 3.9, la représentation supercuspidale π définit un facteur direct indé-composable Rep F ℓ p G , Ω q de Rep F ℓ p G , K q , où Ω est la classe inertielle de π , formé des re-présentations dont les sous-quotients irréductibles sont dans Ω . D’après [ ] Theorem 5.15, ona le résultat suivant. Proposition 5.4 . —
Le foncteur F induit une équivalence entre Rep F ℓ p G , Ω q et Rep F ℓ p G , Ω q . Dorénavant, nous choisirons π , ou de façon équivalente ξ , de sorte que F p π q » π . Nous allons montrer que F se comporte bien vis-à-vis de la torsion par un caractère non rami-fié, afin d’utiliser les résultats de la section précédente. Lemme 5.5 . —
Soit χ un F ℓ -caractère non ramifié de G , et soit χ la restriction de χ à G .Alors F p πχ q est isomorphe à π χ . Posons H “ H F ℓ p G , η q . Si f P ind GJ p η q et si χ est un caractère non ramifié de G, on note χf la fonction g ÞÑ χ p g q f p g q de ind GJ p η q . Si Ψ P H , on note χ Ψ la fonction f ÞÑ χ p g q Ψ p g q de H . Remarque 5.6 . — On observera que, si f P ind GJ p η q a pour support J g pour un g P G, alors χf est simplement égale à χ p g q f . De façon analogue, si Ψ P H a pour support J g J pour un g P G, alors χ Ψ est simplement égale à χ p g q Ψ.Il est commode d’introduire la définition suivante.
Définition 5.7 . — Si M est un H -module à droite et si χ est un caractère non ramifié de G, onnote M χ le H -module à droite d’espace sous-jacent M, muni de l’action de H donnée par : p v, Ψ q ÞÑ v ¨ p χ ´ Ψ q , v P M , Ψ P H , où ¨ désigne l’action de H sur M. BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Le lemme suivant justifie la définition précédente.
Lemme 5.8 . —
Soit π une représentation dans Rep F ℓ p G , η q , et soit χ un caractère non ramifiéde G . Les H -modules M η p πχ q et M η p π q χ sont isomorphes.Démonstration . — Pour tout vecteur w dans l’espace de η , on note i w l’élément de ind GJ p η q desupport J prenant la valeur w en 1. Par réciprocité de Frobenius, il correspond à tout morphis-me ϕ P Hom G p ind GJ p η q , πχ q le morphisme : w ÞÑ ϕ p i w q de Hom J p η, πχ q . Réciproquement, à tout ψ P Hom J p η, πχ q correspond le morphisme : f ÞÑ ÿ g χ p g q ´ π p g q ´ ψ p i f p g q q de Hom G p ind GJ p η q , πχ q , où g décrit un système de représentants de J z G. Les F ℓ -espaces vecto-riels Hom J p η, πχ q et Hom J p η, π q étant égaux, on peut associer à ϕ le morphisme : ϕ ˚ : f ÞÑ ÿ g π p g q ´ ϕ p i f p g q q de Hom G p ind GJ p η q , π q . On définit de cette façon un isomorphisme d’espaces vectoriels ϕ ÞÑ ϕ ˚ de M η p πχ q vers M η p π q χ , et nous allons vérifier que c’est un isomorphisme de H -modules.Soit Ψ P H . Il s’agit de prouver que, pour tout w dans l’espace de η , on a :(5.4) p ϕ ¨ Ψ qp i w q “ p ϕ ˚ ¨ χ ´ Ψ qp i w q . Posons f “ Ψ ˚ i w P ind GJ p η q , qui n’est autre que la fonction g ÞÑ Ψ p g q w . On a : χ ´ Ψ p i w q “ p χ ´ Ψ q ˚ i w “ χ ´ f. Le membre de droite de (5.4) donne : ϕ ˚ p χ ´ f q “ ÿ g π p g q ´ ϕ p i χ p g q ´ f p g q q “ ÿ g χ p g q ´ π p g q ´ ϕ p i f p g q q “ ϕ p f q ce qui prouve le résultat escompté.Posons H “ H F ℓ p G , K q . On a une propriété analogue au lemme 5.8 pour les H -modules.Prouvons maintenant le lemme 5.5. Comme F p πχ q est dans Rep F ℓ p G , Ω q , on sait qu’il existeun caractère non ramifié µ de G tel que F p πχ q soit isomorphe à π µ . Appliquant M , et comp-te tenu du lemme 5.8, on obtient un isomorphisme θ ˚ p M η p π q χ q » θ ˚ p M η p π qq µ de H -modules.Par définition, cela signifie que : θ p µ Ψ q “ χθ p Ψ q pour tout Ψ P H .Supposons maintenant que Ψ soit la fonction caractéristique de la double-classe K b K avec b “ diag p , . . . , , ̟ C q P G . D’après la remarque 5.6, on a µ Ψ “ µ p b q Ψ . Ensuite, d’après le LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE fait 5.2, la fonction Ψ “ θ p Ψ q a pour support J b J . D’après la remarque 5.6 à nouveau, on adonc χ Ψ “ χ p b q Ψ. On en déduit que µ p b q “ χ p b q .Le caractère χ est de la forme α ˝ Nrd, où α est un caractère non ramifié de F ˆ et Nrd désignela norme réduite de M m p D q sur F. De façon analogue, le caractère µ est de la forme α ˝ Nrd B où α est un caractère non ramifié de E ˆ et Nrd B est la norme réduite de B sur E. On a : χ p b q “ α ˝ Nrd p b q“ α ˝ N E { F ˝ Nrd B p b q“ α ˝ N E { F p Nrd C p ̟ C qq et ̟ E “ Nrd C p ̟ C q est une uniformisante de E. Un calcul analogue donne µ p b q “ α p ̟ E q . Onen déduit que α “ α ˝ N E { F , donc que µ est égal à χ , la restriction de χ à G . On utilise notre travail ci-dessus pour obtenir la proposition suivante qui généralise la propo-sition 4.16.
Proposition 5.9 . —
Soit π et π deux représentations irréductibles supercuspidales de G . Sup-posons qu’il existe un entier i ě tel que Ext i G p π , π q soit non nul. (1) Il existe un entier j P Z tel que π soit isomorphe à πν j . (2) Si ℓ ne divise pas q p π q ´ , alors π est isomorphe à π .Démonstration . — Comme les représentations π et π sont dans le même bloc de Rep F ℓ p G q , onen déduit que π est dans Rep F ℓ p G , Ω q . On peut donc appliquer F , ce qui donne :Ext i G p F p π q , F p π qq ‰ t u dans Rep F ℓ p G , Ω q , et F p π q est isomorphe à π . D’après la proposition 4.16, ceci entraîne que :(1) il existe un entier j P Z tel que F p π q soit isomorphe à π ν j ,(2) si ℓ ne divise pas q p π q ´
1, alors F p π q est isomorphe à π ,où ν désigne le caractère non ramifié “valeur absolue de la norme réduite” de G . D’après lelemme 5.3, on a q p π q “ q p π q . D’après le lemme 5.5, et comme la restriction de ν à G est égaleà ν , on a donc :(1) il existe un entier j P Z tel que F p π q soit isomorphe à F p πν j q ,(2) si ℓ ne divise pas q p π q ´
1, alors F p π q est isomorphe à F p π q .Le foncteur F étant une équivalence de catégories, on trouve le résultat annoncé.Enfin, le corollaire suivant généralise le corollaire 4.17. Corollaire 5.10 . —
Toute F ℓ -représentation supercuspidale π de G admet une enveloppe pro-jective P π dans rep F ℓ p G q . Les sous-quotients irréductibles de P π sont tous de la forme πν j avec j P Z et, si ℓ ne divise pas q p π q ´ , on peut même supposer que j “ . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
6. Le cas général
Dans cette section, on décompose la catégorie rep F ℓ p G q en blocs. On considère à présent une F ℓ -représentation irréductible quelconque π de G. D’après la défi-nition 3.17, il lui correspond un ensemble B p π q . Nous allons prouver le résultat suivant, qui gé-néralise la proposition 5.9. Pour cela, nous nous inspirons de [ ] Paragraphe 1.1. Proposition 6.1 . —
Soient π et π des F ℓ -représentations irréductibles de G . Supposons qu’ilexiste un entier i ě tel que Ext i G p π , π q soit non nul. Alors π P B p π q .Démonstration . — Écrivons le support supercuspidal de π sous la forme ρ ` ¨ ¨ ¨ ` ρ r . Rappe-lons que π P B p π q si et seulement s’il y a des entiers j , . . . , j r P Z tels que scusp p π q s’écrive :(6.1) ρ ν j ` ¨ ¨ ¨ ` ρ r ν j r et, pour chaque k “ , . . . , r , l’entier j k est nul si ℓ ne divise pas q p ρ k q ´
1. Nous allons procéderen plusieurs étapes.(1) Le cas où π est cuspidale et où π ne l’est pas.On procède par récurrence sur i , en montrant la contraposée (on suppose donc que le supportsupercuspidal de π n’est pas de la forme (6.1)). Comme π n’est pas cuspidale, on a une injectionde π dans i GP p τ q où τ est une représentation cuspidale d’un sous-groupe de Levi M de G associéà un sous-groupe parabolique P de radical unipotent N. On a une suite exacte courte :0 Ñ π Ñ i GP p τ q Ñ δ Ñ δ et on en déduit en appliquant le foncteur Hom G p π , ¨q la suite exacte :Ext i ´ p π , δ q Ñ Ext i G p π , π q Ñ Ext i G p π , i GP p τ qq . Les sous-quotients irréductibles de δ ont le même support supercuspidal que π . Par hypothèse derécurrence, on a donc Ext i ´ p π , A q “ t u pour tout sous-quotient irréductible A de δ . Par unargument de dévissage standard, Ext i ´ p π , δ q est nul. Pour montrer que Ext i G p π , i GP p τ qq est nul,on utilise la réciprocité de Frobenius. Notant π N le module de Jacquet de π relativement autriplet parabolique p P , M , N q , on a :Ext i G p π , i GP p τ qq » Ext i M p π N , τ q et ce dernier espace est nul. Ceci donne Ext i G p π , π q “ t u et conclut la récurrence.(2) Le cas où π est cuspidale et où π ne l’est pas.On résout ce cas-là en considérant les contragrédientes π _ et π . On a :Ext i G p π , π q » Ext i G p π _ , π q LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE qui est nul par le cas précédent.(3) Le cas où π n’est pas supercuspidale, mais où π et π sont cuspidales.On procède par récurrence sur i en montrant la contraposée. Comme π n’est pas supercuspi-dale, elle apparaît comme sous-quotient de i GP p ρ q où ρ est une représentation irréductible super-cuspidale d’un sous-groupe de Levi M de G d’un sous-groupe parabolique P de radical unipotentN. On considère les sous-représentations de i GP p ρ q ayant un quotient isomorphe à π , et qui sontminimales pour cette propriété. Parmi ces sous-représentations minimales, on en choisit une, quel’on note V, dont le nombre k p π q de sous-quotients irréductibles cuspidaux soit minimal. On écrit π » V { W où W est une sous-représentation de V dans laquelle π n’apparaît pas, et on raisonnepar récurrence sur k “ k p π q . Considérons la suite exacte courte :0 Ñ V Ñ i GP p τ q Ñ i GP p τ q{ V Ñ . Appliquant le foncteur Hom G p π , ¨q , on en déduit la suite exacte :Ext i ´ p π , i GP p τ q{ V q Ñ Ext i G p π , V q Ñ Ext i G p π , i GP p τ qq . L’espace Ext i G p π , i GP p τ qq est nul par adjonction. De plus, tous les sous-quotients irréductibles δ de i GP p τ q vérifient Ext i ´ p π , δ q “ t u . En effet, si δ n’est pas cuspidale, cela découle du cas 1 et,si δ est cuspidal, c’est une conséquence de l’hypothèse de récurrence sur i . Par conséquent, l’es-pace Ext i ´ p π , i GP p τ q{ V q est nul, ce dont on déduit que Ext i G p π , V q l’est aussi. On a égalementla suite exacte courte : 0 Ñ W Ñ V Ñ π Ñ i G p π , V q Ñ Ext i G p π , π q Ñ Ext i ` p π , W q et on vient de montrer que le membre de gauche est nul. Pour conclure, il reste donc à montrerque Ext i ` p π , W q est nul. Pour cela, nous allons prouver que l’espace Ext i ` p π , δ q est nul pourtout sous-quotient irréductible δ de W. Si δ n’est pas cuspidal, cela découle du cas 1. Si δ estcuspidal (ce qui ne peut se produire que si k p π q ě k p δ q ă k p π q et cela découle de l’hy-pothèse de récurrence sur k .(4) Le cas où π n’est pas supercuspidale, mais où π et π sont cuspidales.De même, on résout ce cas en passant aux contragrédientes.(5) Le cas où π et π sont supercuspidales.Ce cas a fait l’objet de la proposition 5.9. BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE (6) Le cas où ni π ni π ne sont cuspidales.Encore une fois, on procède par récurrence sur i et par contraposée. Comme π n’est pas cus-pidale, on peut l’écrire comme une sous-représentation de i GP p τ q où τ est une représentation cus-pidale d’un sous-groupe de Levi standard M de G associé à un sous-groupe parabolique standardP de radical unipotent N. On a une suite exacte courte :0 Ñ π Ñ i GP p τ q Ñ δ Ñ δ , et on en déduit en appliquant le foncteur Hom G p π , ¨q la suite exacte :Ext i ´ p π , δ q Ñ Ext i G p π , π q Ñ Ext i G p π , ind GP p τ qq » Ext i M p π N , τ q où π N est encore le module de Jacquet de π relativement au triplet parabolique p P , M , N q . Lessous-quotient irréductible de δ ayant tous le même support supercuspidal que π , aucun d’entreeux n’appartient à B p π q puisqu’on a supposé que B p π q ‰ B p π q . Il s’ensuit que Ext i ´ p π , δ q estnul par hypothèse de récurrence sur i . Il reste à montrer que l’espace Ext i M p α, τ q est nul pourtout sous-quotient irréductible α de π N .Supposons au contraire qu’il y ait un sous-quotient irréductible α de π N pour lequel l’espaceExt i M p α, τ q ne soit pas nul. La représentation π n’étant pas cuspidale, elle apparaît comme sous-quotient de l’induite parabolique d’une représentation supercuspidale ρ d’un sous-groupe de Levistandard M de G associé à un sous-groupe parabolique standard P de radical unipotent N .Selon le lemme géométrique ([ ] 2.8), il y a une matrice de permutation w telle que α apparaissecomme sous-quotient de i MM X P w p ρ w q et M w Ď M. Quitte à remplacer ρ par ρ w , on peut sup-poser que w est l’identité, de sorte que α apparaisse dans i MM X P p ρ q .Écrivons maintenant respectivement α et τ sous la forme α b ¨ ¨ ¨ b α u et τ b ¨ ¨ ¨ b τ u , où α k et τ k sont des représentations irréductibles de GL n k p D q pour chaque k , où n , . . . , n u sont desentiers ě m et où τ k est cuspidale. Le sous-groupe de Levi M est donc naturellementisomorphe à GL n p D q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ GL n u p D q . D’une part, comme α apparaît dans i MM X P p ρ q , on a :(6.2) scusp p α q ` ¨ ¨ ¨ ` scusp p α u q “ scusp p π q . D’autre part, compte tenu des cas 2 et 3 et de la proposition 5.9, les ensembles B p α k q et B p τ k q sont égaux pour tout k . On déduit de ceci que le membre de gauche de (6.2) est de la forme (6.1),donc que π appartient à B p π q , ce qui contredit notre hypothèse de départ.Ceci met fin à la démonstration de la proposition 6.1. Notons B “ B p G q l’ensemble des B p π q quand π parcourt les représentations irréductibles dugroupe G. Énonçons le premier résultat principal de l’article. LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Théorème 6.2 . —
On a une décomposition en blocs : (6.3) rep F ℓ p G q “ à B rep F ℓ p G , B q où B décrit les éléments de B , et où rep F ℓ p G , B q est la sous-catégorie pleine de rep F ℓ p G q forméedes représentations dont tous les sous-quotients irréductibles sont dans B . En d’autres termes,toute F ℓ -représentation de longueur finie V de G admet une unique décomposition : (6.4) V “ à B V p B q où V p B q désigne la plus grande sous-représentation de V dont tous les sous-quotients irréductiblessont dans B .Démonstration . — On raisonne par récurrence sur la longueur de V, le cas de longueur 1 étantimmédiat puisque les B P B sont disjoints grâce à l’unicité du support supercuspidal.Soit V une représentation de longueur finie ě π une sous-représentation irréduc-tible de V et posons B “ B p π q . La proposition 6.1 assure que, pour toute représentation π P Bet toute représentation σ P Irr p G q ´ B, l’espace d’extension Ext p π , σ q est nul. Par conséquent,d’après le lemme 3.4, la représentation V se décompose en V “ V p B q ‘ W où W est la plus gran-de sous-représentation de V dont les sous-quotients irréductibles sont hors de B. Comme V p B q est non nul, la longueur de W est strictement moindre que celle de V. On peut donc lui appliquerl’hypothèse de récurrence.Enfin, le fait que les facteurs rep F ℓ p G , B q sont indécomposables est une conséquence de la pro-position 3.19 et du lemme 3.5. Remarque 6.3 . — Si G “ GL n p F q , la remarque 3.18 montre que des représentations irréduc-tibles sont dans le même bloc si et seulement si elles ont le même support supercuspidal. Comme annoncé à la fin de la section 3, nous terminons cette section par le résultat suivant.
Proposition 6.4 . —
Soient π , π des F ℓ -représentations irréductibles de G . Les assertions sui-vantes sont équivalentes : (1) Il existe une Q ℓ -représentation irréductible entière de G dont la réduction mod ℓ contienneà la fois π et π . (2) Les ensembles B p π q et B p π q sont égaux. (3) Les représentations π et π sont dépendantes.Démonstration . — Les première et seconde assertions sont équivalentes selon la proposition 3.19,et la première implique la troisième selon le lemme 3.5. Il ne reste donc plus qu’à prouver que latroisième implique l’une des deux autres. Or il suit du théorème 6.2 que, si des représentations π et π sont dépendantes, alors B p π q “ B p π q . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
7. Blocs supercuspidaux
Soit π une F ℓ -représentation supercuspidale de G “ GL m p D q . Notons Ω sa classe inertielle, etposons B “ B p π q . L’objectif de cette section est de prouver le théorème suivant. Théorème 7.1 . —
Il existe un corps localement compact non archimédien F et une F -algèbreà division centrale D tels que les blocs Rep F ℓ p G , Ω q et Rep F ℓ p D , Ω q sont équivalents, où Ω estla classe inertielle du caractère trivial de D . Indiquons immédiatement comment déduire du théorème 7.1 le corollaire suivant.
Corollaire 7.2 . —
Notons B l’ensemble des représentations irréductibles de D dépendantesdu caractère trivial. Alors les blocs rep F ℓ p G , B q et rep F ℓ p D , B q sont équivalents.Démonstration . — L’équivalence de catégories du théorème 7.1 préserve le fait d’être de lon-gueur finie. Elle envoie donc rep F ℓ p G , B q sur un bloc de rep F ℓ p D q contenu dans Rep F ℓ p D , Ω q .Un tel bloc est de la forme rep F ℓ p D , B q , où B est égal à B p χ q pour un caractère non ramifié χ de D . Il suffit alors d’appliquer le foncteur de torsion par χ ´ , qui induit une équivalenceentre rep F ℓ p D , B q et rep F ℓ p D , B q .En outre, la proposition 5.4 montre que, pour prouver le théorème 7.1, il suffit de le faire dansle cas où π est de niveau 0, ce que nous supposerons désormais.Nous allons construire un progénérateur de type fini du bloc Rep F ℓ p G , Ω q et calculer l’algèbrede ses endomorphismes. Fixons un type p N , ξ q dont l’induite compacte à G soit isomorphe à π , comme au paragraphe3.7. Soit ξ la restriction de ξ à N , et soit P l’enveloppe projective de ξ dans rep F ℓ p N q . Lemme 7.3 . —
L’induite compacte : (7.1) ind GN p P q est projective et de type fini dans Rep F ℓ p G , Ω q .Démonstration . — Elle est projective en tant qu’induite compacte d’une représentation projec-tive, et de type fini en tant qu’induite compacte d’une représentation de dimension finie.Il reste à prouver que cette représentation, qu’on note Π, appartient au bloc Rep F ℓ p G , Ω q . Soit π un de ses sous-quotients irréductibles. Celui-ci est de niveau 0 : la représentation de GL m p k D q sur l’espace des vecteurs de π invariants par N est non nulle. Fixons-en une sous-représentation LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE irréductible τ , ce qui est possible car π est admissible. La restriction de Π à N se décomposeen la somme directe : à g ind N N X N g p P g q où g décrit les matrices diagonales de G de la forme diag p ̟ k D , . . . , ̟ k m D q où k , . . . , k m sont desentiers relatifs tels que k ě . . . ě k m . Il y a donc un g tel que τ apparaisse comme sous-quotientirréductible de ind N N X N g p P g q . Pour que cette induite ait des vecteurs non nuls invariants parN , il faut et suffit que l’induite ind N N X N g p ξ g q en ait également (rappelons que les sous-quotientsde P sont tous isomorphes à ξ d’après [ ] III.2.9). La représentation σ du groupe GL m p k D q dont ξ est l’inflation étant cuspidale (elle est même supercuspidale), ceci n’est possible que si g normalise N , c’est-à-dire si k “ ¨ ¨ ¨ “ k m . Supposons que ce soit le cas, c’est-à-dire qu’on ait g “ ̟ k D pour un k P Z . Alors τ est un sous-quotient irréductible de P g , donc τ est isomorpheà ξ g et π est un sous-quotient irréductible de l’induite compacte ind GN p ξ q . Le résultat voulusuit maintenant de [ ] Proposition 8.1 (voir aussi la fin du paragraphe 5.1).Rappelons (voir par exemple [ ] 4.11) qu’un objet projectif et de type fini Π de Rep F ℓ p G , Ω q est un progénérateur si toute représentation irréductible de Rep F ℓ p G , Ω q , c’est-à-dire toute re-présentation irréductible inertiellement équivalente à π , est isomorphe à un quotient de Π. Proposition 7.4 . —
La représentation ind GN p P q est un progénérateur de Rep F ℓ p G , Ω q .Démonstration . — Étant donné un F ℓ -caractère non ramifié χ de G, il s’agit de prouver que πχ est un quotient de (7.1). La représentation ξ étant un quotient de P , et le foncteur d’inductioncompacte étant exact, il suffit de prouver que πχ est un quotient de l’induite compacte de ξ àG, ce qui suit de ce que π est un quotient de ladite induite et χ est trivial sur N . Remarque 7.5 . — Dans le cas particulier où π est le caractère trivial de G “ D ˆ , la représen-tation P est l’induite à O ˆ D du caractère trivial de U p ℓ q D , le plus petit sous-groupe ouvert de O ˆ D dont l’indice est une puissance de ℓ . Le progénérateur (7.1) de la proposition 7.4 est donc l’in-duite compacte du caractère trivial de U p ℓ q D à D ˆ .Nous allons maintenant calculer l’algèbre des endomorphismes du progénérateur ind GN p P q . Notons G le groupe réductif fini GL m p k D q et σ la représentation supercuspidale de G dont ξ est l’inflation. Fixons une extension t de k D dans M m p k D q de degré m , de façon à voir le groupemultiplicatif T “ t ˆ comme un tore de G . Notons a la valuation ℓ -adique de q n ´
1. La compo-sante ℓ -primaire S de T est donc cyclique d’ordre ℓ a . Soit Σ la Z ℓ -représentation projective de G telle que la F ℓ -représentation Σ b F ℓ soit une enveloppe projective de σ dans rep F ℓ p G q . On ale résultat suivant (Dat [ ] Proposition B.1.2). Proposition 7.6 . —
Il y a un isomorphisme de Z ℓ -algèbres End p Σ q » Z ℓ r S s . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Plus précisément, une fois fixé un F ℓ -caractère Gal p t { k F q -régulier θ de T correspondant à σ parla théorie de Deligne-Lusztig, la Z ℓ -représentation Σ considérée par Dat est munie d’une action Z ℓ -linéaire de T commutant à celle de G . Il y a donc un homomorphisme de Z ℓ -algèbres de Z ℓ r T s dans End p Σ q , induisant par restriction un isomorphisme de Z ℓ -algèbres :(7.2) j : Z ℓ r S s Ñ End p Σ q . Par ailleurs, il y a une décomposition canonique de Q ℓ -représentations de G ˆ T :(7.3) Σ b Q ℓ “ à α V α indexée sur les Q ℓ -caractères α de S , où V α est isomorphe à π α b θα , la représentation π α étantl’unique Q ℓ -représentation cuspidale de G relevant σ correspondant au Q ℓ -caractère θα (où θ dé-signe, par abus de notation, l’unique relèvement de θ à Q ℓ de même ordre que θ ) par la théorie deDeligne-Lusztig. Étendant les scalaires à Q ℓ dans (7.2), on obtient l’isomorphisme canonique de Q ℓ -algèbres : Q ℓ r S s Ñ End p Σ q b Q ℓ » End Q ℓ G p Σ b Q ℓ q qui, compte tenu de (7.3), associe à tout élément f P Q ℓ r S s l’endomorphisme de Σ b Q ℓ agissantsur le facteur V α par le scalaire : ÿ x P S f p x qp θα qp x q “ ÿ x P S f p x q α p x q l’égalité provenant de ce que θ est d’ordre premier à ℓ et x d’ordre divisant ℓ a .Fixons un générateur ς P S , et notons t son image dans End p Σ q . On a :(7.4) End p Σ q “ Z ℓ r t s , t ℓ a “ . Étendant les scalaires à Q ℓ , l’endomorphisme t agit sur le facteur V α par le scalaire α p ς q P Z ˆ ℓ . Notons r P la Z ℓ -représentation projective de N telle que r P b F ℓ soit isomorphe à P . À iso-morphisme près, c’est l’inflation à N de la représentation Σ du paragraphe 7.3. On déduit de laproposition 7.6 le résultat suivant. Corollaire 7.7 . —
Il y a un isomorphisme de F ℓ -algèbres End p P q » F ℓ r S s .Démonstration . — Le résultat suit de la proposition 7.6 et du fait que la F ℓ -algèbre End p P q estisomorphe à End p r P q b F ℓ .La classe d’isomorphisme de r P est normalisée par N car ξ l’est. Rappelons qu’on a fixé uneuniformisante ̟ D de D telle que ̟ d D “ ̟ F et que le groupe N est engendré par N et ̟ “ ̟ b D ,où b est le cardinal de l’orbite de σ sous Gal p k D { k F q . Fixons un isomorphisme de Z ℓ -représen-tations de N :(7.5) a P Hom Z ℓ N p r P , r P ̟ q LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE ce qui équivaut à fixer un prolongement de r P à N prenant la valeur a en ̟ . Étendons les scalai-res et restreignons à N dans (7.5). Compte tenu de (7.3), pour tout caractère α de S , il y a ununique caractère β de S tel que a envoie V α sur V β , c’est-à-dire tel que le conjugué de π α par ̟ soit isomorphe à π β . Ceci définit une permutation α ÞÑ β entre F ℓ -caractères de S .Rappelons qu’on a défini (voir la définition 3.8) l’invariant de Hasse h de D, qui est un entierde t , . . . , d u premier à d . La conjugaison par ̟ , qui est égal à ̟ b D , induit donc sur le corps rési-duel k D l’automorphisme : x ÞÑ x q hb . La représentation cuspidale π α correspondant au caractère θα , sa conjuguée par ̟ correspondau caractère : p θα q q hb qui est conjugué sous Gal p t { k D q à θβ pour un unique caractère β de S , c’est-à-dire que : p θα q q hb “ p θβ q q di pour un i P Z . Séparant les facteurs d’ordre premier à ℓ des facteurs d’ordre une puissance de ℓ ,on obtient : θ q hb ´ di “ θ et β “ α q hb ´ di . D’après [ ] Paragraphe 3.4, l’ordre de q modulo l’ordre de θ est égal à mb , et m est premier àl’entier s “ d { b . Ainsi mb divise hb ´ di , c’est-à-dire que i est solution de l’équation si ” h mod m . Il sera commode de choisir i tel que :(7.6) h “ h ´ sim P t , . . . , s u ce qui détermine i de façon unique. On observe que l’entier h ainsi défini est premier à s , car h est premier à d . On en déduit le résultat suivant. Soit t le générateur de End p r P q tel que t ℓ a “ ς P S fixé au paragraphe 7.3 ( voir (7.4)). Lemme 7.8 . — (1)
Pour tout caractère α de S , on a : β “ α q hb ´ di “ α q mbh . (2) On a l’égalité ata ´ “ t q mbh .Démonstration . — La première assertion résulte de la discussion qui précède. Ensuite, d’après leparagraphe 7.3, l’élément t agit sur le facteur V α par le scalaire α p ς q , tandis que ata ´ agit sur V α comme t agit sur V β , c’est-à-dire par le scalaire β p ς q . L’endomorphisme ata ´ ´ t q mbh agissantpar 0 sur chaque facteur V α , il est nul. Remarque 7.9 . — Ceci ne dépend du choix ni de θ , ni du générateur ς P S , ni de a . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Notons P l’induite compacte de P à N. Théorème 7.10 . — La F ℓ -algèbre End p P q est engendrée par deux générateurs t , u avec les re-lations : t ℓ a “ , utu ´ “ t q mbh . Démonstration . — Notons E, E les algèbres d’endomorphismes de P, P respectivement. Pardéfinition de P, on a un morphisme naturel :(7.7) E Ñ Ede F ℓ -algèbres. Pour tout h P N et tout vecteur v dans l’espace de P , on note r h, v s l’élément deP de support N h et prenant la valeur v en h . Ainsi, si e P E , son image dans E est l’endomor-phisme r h, v s ÞÑ r h, e p v qs . On en déduit que (7.7) est injective. Identifions dorénavant E à sonimage dans E. Notons encore a l’image de (7.5) dans Hom F ℓ N p P , P ̟ q par réduction de Z ℓ à F ℓ et définissons un endomorphisme de F ℓ -modules u de P par : u pr h, v sq “ r ̟ ´ h, a p v qs . On vérifie que u commute à l’action de N, c’est-à-dire que u P E. Soit maintenant t P E commedans le corollaire 7.7. Calculons utu ´ . L’appliquant à la fonction r h, v s , on trouve : utu ´ pr h, v sq “ ut pr ̟ ´ h, a ´ p v qsq“ u pr ̟ ´ h, ta ´ p v qsq“ r h, ata ´ p v qs c’est-à-dire que, d’après le lemme 7.8, on a utu ´ “ t q mbh .Il ne reste plus qu’à vérifier que E est engendré par E et u . Par réciprocité de Frobenius etdécomposition de Mackey, on a des isomorphismes de F ℓ -espaces vectoriels :E » Hom N p P , P q » à i P Z Hom N p P , P ̟ i q “ à i P Z a i E . Ceci se traduit de la façon suivante : étant donné un endomorphisme f P E, les applications : f i : v ÞÑ a ´ i f pr , v sqp ̟ i q , v P P , i P Z , appartiennent à E , ne sont non nulles que pour un nombre fini de i (car f pr , v sq P ind NN p P q est à support compact dans N) et f est égal à la somme des u i f i . Remarque 7.11 . — (1) Le théorème 7.10 généralise des résultats de Dat [ ] : voir la propo-sition B.1.2(ii.a) dans le cas où d “
1, et la proposition B.2.1(iv) dans le cas où m “ s “ LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE (2) Dans le cas où m “ s “ n , par exemple si π est le caractère trivial de D ˆ , la remarque7.5 montre que End p P q est l’algèbre de groupe de D ˆ { U p ℓ q D , ce dernier étant isomorphe au pro-duit semi-direct de S , la composante ℓ -primaire de k ˆ D , par Z , un entier i P Z agissant sur S parl’automorphisme x ÞÑ x q hi . Prouvons maintenant le théorème 7.1. Rappelons que P est l’induite compacte de P à N. Lemme 7.12 . —
Notons Π l’induite compacte de P à G . (1) La catégorie
Rep F ℓ p G , Ω q est équivalente à la catégorie des modules à droite sur End p Π q . (2) Le morphisme naturel de F ℓ -algèbres de End p P q dans End p Π q est un isomorphisme.Démonstration . — La représentation Π étant un progénérateur de Rep F ℓ p G , Ω q d’après la pro-position 7.4, il suit par exemple de [ ] 4.11 que le foncteur :(7.8) V ÞÑ Hom G p Π , V q est une équivalence de catégories entre Rep F ℓ p G , Ω q et la catégorie Mod p End p Π qq des modules àdroite sur End p Π q . Ensuite, par adjonction, on a un isomorphisme de F ℓ -espaces vectoriels :(7.9) End p Π q » à g Hom N p P , P g q où g décrit un système de représentants de doubles classes de G mod N. Soit g P G tel que l’espaceHom N X N g p P , P g q soit non nul. La restriction de P à N étant une somme directe de copies de P ,on trouve que Hom N X N g p P , P g q est non nul, donc que g entrelace ξ , c’est-à-dire que g P N.Par conséquent, (7.9) donne un isomorphisme de F ℓ -algèbres entre End p Π q et End p P q . Remarque 7.13 . — Dans le cas particulier où π est le caractère trivial de D ˆ (voir les remar-ques 7.5 et 7.11), le foncteur (7.8) est le foncteur des invariants par U p ℓ q D , qui est distingué dansD ˆ . Par conséquent, si V est une représentation dans le bloc principal de D ˆ , c’est-à-dire donttous les sous-quotients irréductibles sont des caractères non ramifiés, l’espace W de ses vecteursinvariants par U p ℓ q D est stable par D ˆ , et le quotient X “ V { W n’a pas de vecteur U p ℓ q D -invariantnon nul. Il s’ensuit que X est nul, donc que le foncteur (7.8) est le foncteur identité.Soit maintenant F un corps localement compact non archimédien dont le corps résiduel soitde cardinal q “ q mb , et soit D une F -algèbre à division centrale de degré réduit s et d’invariantde Hasse égal à l’entier h défini par (7.6), qui est premier à s . Soit Π l’induite compacte à D du caractère trivial de U p ℓ q D (remarque 7.5) et soit E l’algèbre de ses endomorphismes. Comme q s est égal à q n , la valuation ℓ -adique de q s ´ a . D’après la remarque 7.11, l’algèbre E est engendrée par des générateurs t , u avec les relations : t ℓ a “ , u t u “ t q mbh . BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Elle est donc isomorphe à E. D’après la remarque 7.13, les catégories
Rep F ℓ p D , Ω q et Mod p E q sont identiques. Le théorème 7.1 s’ensuit. Remarque 7.14 . — Le diagramme commutatif :
Rep F ℓ p G , Ω q / / (cid:15) (cid:15) Rep F ℓ p D , Ω q (cid:15) (cid:15) Mod p E q / / Mod p E q résume la situation : les équivalences de catégories verticales sont données par (7.8) et le foncteuridentité V ÞÑ Hom D p Π , V q , l’équivalence horizontale inférieure est induite par l’isomorphismede F ℓ -algèbres entre E et E envoyant t sur t et u sur u , et l’équivalence horizontale supérieureest définie par le fait que le diagramme est commutatif. Remarque 7.15 . — On observe ici un phénomène qui ne se produit pas dans le cas complexe.Dans le cas complexe en effet, un bloc supercuspidal de GL m p D q est toujours équivalent au blocde F ˆ contenant le caractère trivial, c’est-à-dire qu’on peut choisir D égal à F (et même F égalà F) dans le théorème 7.1. Dans le cas ℓ -modulaire en revanche, un bloc de rep F ℓ p F ˆ q contientune seule représentation irréductible, tandis que rep F ℓ p G , B p π qq contient tous les πν j , j P Z .
8. Le premier espace d’extension dans le cas supercuspidal
Soit π une F ℓ -représentation supercuspidale de G “ GL m p D q . Nous déterminons toutes les re-présentations irréductibles π de G telles qu’il existe une extension non scindée de π par π . Dans ce paragraphe, on cherche les F ℓ -représentations irréductibles de D ˆ ayant une extensionnon triviale avec le caractère trivial 1. D’après le début du paragraphe 4.2, de telles représenta-tions doivent être des caractères non ramifiés de D ˆ d’ordre divisant n .Soit donc χ un caractère non ramifié de D ˆ d’ordre divisant n . Si χ est trivial, l’espace d’ex-tension Ext D ˆ p , q est toujours non trivial, car la représentation : x ÞÑ ˜ α p x q ¸ où α p x q est l’image dans F ℓ de la valuation de la norme réduite de x , est une extension non tri-viale de 1 par lui-même. Supposons donc χ non trivial. On pose : z “ χ p ̟ D q P F ˆ ℓ qui vérifie z n “ z ‰
1. On cherche à quelle condition l’espace Ext ˆ p , χ q est nul, c’est-à-direà quelle condition toute extension de 1 par χ est scindée. LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Soit M une extension de 1 par χ , et soit p e , e q une base de M sur F ℓ telle que D ˆ agisse surla droite engendrée par e par le caractère χ . On définit une application α de D ˆ dans F ℓ par : x ¨ e “ e ` α p x q e , x P D ˆ . Comme M est une représentation de D ˆ , cette application α a la propriété de cocycle :(8.1) α p xy q “ α p x q ` χ p x q α p y q , x, y P D ˆ , et l’extension M est scindée si et seulement s’il y a un λ P F ℓ tel que D ˆ agisse sur e ´ λe parle caractère trivial, c’est-à-dire tel que :(8.2) α p x q “ λ p χ p x q ´ q , x P D ˆ . Le caractère χ étant non ramifié, (8.1) entraîne que la restriction de α à O ˆ D est un morphismede groupes de O ˆ D dans F ℓ . Lemme 8.1 . —
Pour tout k P Z , on a : α p ̟ k D q “ α p ̟ D q ¨ z k ´ z ´ . Démonstration . — La formule est vraie pour k “ k “ k ě α p ̟ k ` q “ α p ̟ k D q ` z k ¨ α p ̟ D q montre qu’elle est vraie pour k `
1. Elle est donc vraie pour tout k ě
0. De façon analogue, onvérifie qu’elle est vraie pour k ď Remarque 8.2 . — On en déduit en particulier que α p ̟ n D q “ α p ̟ F q est nul.Si α est nulle sur O ˆ D , l’extension M est scindée : en effet, le lemme 8.1 prouve qu’on a la rela-tion (8.2) avec λ “ α p ̟ D q{p z ´ q .Supposons maintenant que α ne soit pas nulle sur O ˆ D . Comme ℓ ‰ p , elle est nulle sur le pro- p -sous-groupe 1 ` p D ; elle induit donc un morphisme non nul de groupes de k ˆ D dans F ℓ , donc ℓ divise q n ´
1. La condition (8.1) entraîne : a p ̟ D x̟ ´ q “ α p ̟ D q ` z ¨ p α p x q ` α p ̟ ´ qq“ α p ̟ D q ` z ¨ α p x q ` z ¨ α p ̟ D q ¨ p z ´ ´ q{p z ´ q“ z ¨ α p x q pour tout x P O ˆ D . Or, si h désigne l’invariant de Hasse de D ˆ (voir la définition 3.8), le conjuguéde x par ̟ D est congru à x q h mod 1 ` p D . On en déduit que, pour qu’il existe une extension nonscindée de 1 par χ , il faut que ℓ divise q n ´ z “ q h . Nous allons prouver que la réciproque est vraie. BASTIEN DREVON & VINCENT SÉCHERRE
Lemme 8.3 . —
Supposons que ℓ divise q n ´ , et notons χ h le F ℓ -caractère non ramifié de D ˆ prenant la valeur q h en une uniformisante. Alors Ext ˆ p , χ h q est non nul.Démonstration . — Si le caractère χ h est trivial, c’est-à-dire si ℓ divise q ´
1, le résultat découledu fait que Ext ˆ p , q n’est pas trivial, comme nous l’avons vu au début du paragraphe. Suppo-sons maintenant que χ h ne soit pas trivial. D’après ce qui précède, il suffit de prouver l’existenced’une application α de D ˆ dans F ℓ vérifiant (8.1) mais pas (8.2). Nous allons construire une ap-plication α vérifiant (8.1) et non nulle sur O ˆ D : elle ne pourra donc pas vérifier (8.2). Comme ℓ divise q n ´
1, il y a un morphisme de groupes non nul de O ˆ D dans F ℓ . Fixons-en un, qu’on note β . Tout x P D ˆ s’écrit de façon unique u̟ k D , où k P Z est sa valuation et où u P O ˆ D . Posons : α p x q “ β p u q ` z k ´ z ´ , avec z “ q h ‰ . Nous allons prouver que α vérifie (8.1). Si y P D ˆ , écrivons-le v̟ l D avec l P Z et v P O ˆ D . On a : α p xy q “ β ´ u̟ k D v̟ ´ k D ¯ ` z k ` l ´ z ´ α p x q ` χ p x q α p y q “ β p u q ` z k ´ z ´ ` z k ¨ ˆ β p v q ` z l ´ z ´ ˙ . Pour que α vérifie l’identité (8.1), il faut et suffit donc que : β ` ̟ D v̟ ´ ˘ “ z ¨ β p v q pour tout v P O ˆ D , ce qui découle immédiatement de ce que, comme remarqué plus haut, le conju-gué de v par ̟ D est congru à v q h mod 1 ` p D .En résumé, on a le résultat suivant. Proposition 8.4 . —
L’ensemble des F ℓ -caractères χ de D ˆ tels que Ext ˆ p , χ q soit non nulest : (1) réduit au caractère trivial si ℓ ne divise pas q n ´ , (2) formé du caractère trivial et du caractère non ramifié χ h : ̟ D ÞÑ q h si ℓ divise q n ´ . Dans ce paragraphe, nous généralisons la proposition 8.4 au cas d’une représentation super-cuspidale quelconque π de G “ GL m p D q . Nous allons utiliser la description de π par la théoriedes types simples donnée au paragraphe 3.9, dont nous utilisons les notations.Notons h p π q l’invariant de Hasse de l’algèbre à division C apparaissant dans (3.10). Si h estl’invariant de Hasse de D et si g est le degré de E sur F (avec les notations du paragraphe 3.9),alors h p π q est le reste dans la division euclidienne de gh {p g, d q par c “ d {p g, d q . C’est un entierpremier à c . LOCS DE REPRÉSENTATIONS ℓ -MODULAIRES DE LONGUEUR FINIE Proposition 8.5 . —
Soit π une F ℓ -représentation supercuspidale de G . L’ensemble des F ℓ -re-présentations supercuspidales π de G telles que Ext p π, π q soit non nul est : (1) réduit à π si ℓ ne divise pas q p π q ´ , (2) formé de π et de la représentation πν ´ h p π q si ℓ divise q p π q ´ .Démonstration . — Dans le cas où ℓ ne divise pas q p π q ´
1, le résultat découle de la proposition5.9. Supposons désormais que ℓ divise q p π q ´
1. Selon la proposition 5.9, on peut supposer que π est isomorphe à πν j pour un entier j P Z .Supposons d’abord que le résultat soit vrai pour les représentations supercuspidales de niveau0 : on va en déduire le résultat dans le cas de niveau non nul en raisonnant comme dans la preuvede la proposition 5.9. Appliquons le foncteur F introduit au paragraphe 5.3, envoyant π sur lareprésentation supercuspidale π de niveau 0 de G . On trouve que :Ext p π, π q ‰ t u ô Ext p F p π q , F p π qq ‰ t u . D’après le cas de niveau 0, et comme q p π q “ q p π q d’après le lemme 5.3, la représentation F p π q est isomorphe à π ou à π ν ´ h p π q , où ν est le caractère non ramifié “valeur absolue de la normeréduite” de G . Par ailleurs, d’après le lemme 5.5, et comme la restriction de ν à G est égale à ν , la représentation F p πν ´ h p π q q est isomorphe à π ν ´ h p π q . Le foncteur F étant une équivalencede catégories, on trouve le résultat annoncé.Supposons maintenant que π soit de niveau 0. On a donc q p π q “ q n et h p π q “ h . Reprenons lesnotations du paragraphe 7.6, et notamment celles de la remarque 7.14. On a une équivalence decatégories entre Rep F ℓ p G , Ω q et Rep F ℓ p D , Ω q , que l’on note G , et un isomorphisme d’algèbresentre E et E . Nous allons utiliser le même argument que ci-dessus : il suffit pour cela de vérifierque G p πν j q est isomorphe à G p π q ν j , où ν est la caractère “valeur absolue de la norme réduite”de D . Pour cela, nous allons suivre le raisonnement de la preuve du lemme 5.5.D’abord, par analogie avec le lemme 5.8, on a le résultat suivant : si l’on note M le E-moduleà droite Hom G p Π , π q , alors Hom G p Π , πν j q est le E-module obtenu en tordant M par le caractèrede E défini par t ÞÑ u ÞÑ ν j p ̟ q .Ensuite, il existe un unique caractère non ramifié µ de D tel que G p πν j q soit égal à G p π q µ .Considéré comme un module sur E , il est obtenu en tordant G p π q par le caractère de E définipar t ÞÑ u ÞÑ µ p ̟ q , où ̟ est une uniformisante de D . Ceci entraîne l’égalité : µ p ̟ q “ ν j p ̟ q . Or ν p ̟ q est égal à q ´ mb “ q . On en déduit que µ est égal à ν j . Références
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Bastien Drevon , Laboratoire de Mathématiques de Versailles, UVSQ, CNRS, Université Paris-Saclay, 78035Versailles, France ‚ E-mail : [email protected]