Boundary extension of mappings with the inverse Poletsky inequality by prime ends
aa r X i v : . [ m a t h . C V ] A p r Е.А. Севостьянов (Житомирский государственный университет имени Ивана Фран-ко; Институт прикладной математики и механики НАН Украины, г. Славянск)
Є.О. Севостьянов (Житомирський державний унiверситет iменi Iвана Франка; Iн-ститут прикладної математики i механiки НАН України, м. Слов’янськ)
E.A. Sevost’yanov (Zhytomyr Ivan Franko State University; Institute of Applied Ma-thematics and Mechanics of NAS of Ukraine, Slov’yans’k)
Граничное продолжение отображений с обратным неравенством Полецко-го по простым концамМежове продовження вiдображень з оберненою нерiвнiстю Полецького попростих кiнцяхBoundary extension of mappings with the inverse Poletsky inequality by primeends
Для отображений с ветвлением, удовлетворяющих обратному неравенству Полец-кого, получены результаты об их непрерывном граничном продолжении в терминахпростых концов. При определённых условиях показано, что указанные классы отобра-жений являются также равностепенно непрерывными в замыкании заданной области.Для вiдображень iз розгалуженням, якi задовольняють обернену нерiвнiсть Полець-кого, отримано результати про їх неперервне межове продовження в термiнах простихкiнцiв. За певних умов вказанi класи вiдображень є також одностайно неперервними взамиканнi заданої областi.For mapping with branching points that satisfy the inverse inequality of Poletsky, weobtained the results of their continuous boundary extension in terms of prime ends. Undercertain conditions, the specified classes od mappings are also equicontinuous in the closureof a given domain.
1. Вступ.
В наших спiльних роботах [1] i [2] отримано неперервне продовженняна межу i одностайну неперервнiсть гомеоморфiзмiв, оберненi до яких задовольняютьпевну оцiнку спотворення модуля сiмей кривих. Мова йшла про областi з поганимимежами, вiдносно яких вiдображення не має звичайного неперервного продовження,але має його в узагальненому сенсi, точнiше – сенсi так званих простих кiнцiв. В данiйзамiтцi ми встановимо аналогiчний результат для вiдображень з розгалуженням, якi, якправило, припускаються вiдкритими, дискретними i замкненими (зберiгаючими межуобластi). Пiдкреслимо, що ситуацiя гомеоморфiзмiв, докладно розiбрана в роботах [1]i [2], випливає з наших основних теорем як наслiдок; в той самий час, основна умоващодо спотворення модуля дещо бiльш загальна у порiвняннi з [1] i [2]. З приводу деякихвiдомих результатiв стосовно неперервного продовження квазiконформних вiдображеньi їх узагальнень по простих кiнцях вкажемо, напр., на працi [3]–[6].Наведемо деякi означення i позначення. Нехай y ∈ R n , < r < r < ∞ i A ( y , r , r ) = { y ∈ R n : r < | y − y | < r } . (1)Якщо f : D → R n – задане вiдображення, y ∈ f ( D ) i < r < r < d = sup y ∈ f ( D ) | y − y | , то через Γ f ( y , r , r ) ми позначимо сiм’ю всiх кривих γ в областi D таких, що f ( γ ) ∈ Γ( S ( y , r ) , S ( y , r ) , A ( y , r , r )) . Нехай Q : R n → [0 , ∞ ] – вимiрна за Лебегом функцiя.Будемо говорити, що f задовольняє обернену нерiвнiсть Полецького в точцi y ∈ f ( D ) , якщо спiввiдношення M (Γ f ( y , r , r )) Z f ( D ) ∩ A ( y ,r ,r ) Q ( y ) · η n ( | y − y | ) dm ( y ) (2)виконується для довiльної вимiрної за Лебегом функцiї η : ( r , r ) → [0 , ∞ ] такiй, що r Z r η ( r ) dr > . (3)Зауважимо, що нерiвностi (2) добре вiдомi в теорiї квазiрегулярних вiдображень i ви-конуються для них при Q = N ( f, D ) · K, де N ( f, D ) – максимальна кратнiсть вiдобра-ження в D, а K > – деяка стала, яка може бути обчислена як K = ess sup K O ( x, f ) ,K O ( x, f ) = k f ′ ( x ) k n / | J ( x, f ) | при J ( x, f ) = 0; K O ( x, f ) = 1 при f ′ ( x ) = 0 , i K O ( x, f ) = ∞ при f ′ ( x ) = 0 , але J ( x, f ) = 0 (див., напр., [7, теорема 3.2] або [8, теорема 6.7.II]). Вiдо-браження f : D → R n називається дискретним , якщо прообраз { f − ( y ) } кожної точки y ∈ R n складається з iзольованих точок, i вiдкритим , якщо образ будь-якої вiдкритоїмножини U ⊂ D є вiдкритою множиною в R n . Вiдображення f областi D на D ′ на-зивається замкненим , якщо f ( E ) є замкненим в D ′ для будь-якої замкненої множини E ⊂ D (див., напр., [9, розд. 3]).Нехай ω – вiдкрита множина в R k , k = 1 , . . . , n − . Неперервне вiдображення σ : ω → R n називається k -вимiрною поверхнею в R n . Поверхнею будемо називати довiльну ( n − -вимiрну поверхню σ в R n . Поверхня σ називається жордановою поверхнею , якщо σ ( x ) = σ ( y ) при x = y . Далi ми iнодi будемо використовувати σ для позначення всьогообразу σ ( ω ) ⊂ R n при вiдображеннi σ , σ замiсть σ ( ω ) в R n i ∂σ замiсть σ ( ω ) \ σ ( ω ) . D C ( , , )
C D m12m d m d d Мал. 1: Простий кiнець в областiЖорданова поверхня σ : ω → D в областi D називається розрiзом областi D , якщо σ роздiляє D , тобто D \ σ має бiльше однiєї компоненти, ∂σ ∩ D = ∅ i ∂σ ∩ ∂D = ∅ .Послiдовнiсть σ , σ , . . . , σ m , . . . розрiзiв областi D називається ланцюгом , якщо:(i) множина σ m +1 мiститься в точностi в однiй компонентi d m множини D \ σ m , прицьому, σ m − ⊂ D \ ( σ m ∪ d m ) ; (ii) ∞ T m =1 d m = ∅ . З означення ланцюгу розрiзiв випливає,що d ⊃ d ⊃ d ⊃ . . . ⊃ d m − ⊃ d m ⊃ d m +1 ⊃ . . . . Два ланцюги розрiзiв { σ m } i { σ ′ k } називаються еквiвалентними , якщо для кожного m = 1 , , . . . область d m мiстить всiобластi d ′ k за виключенням скiнченної кiлькостi, i для кожного k = 1 , , . . . область d ′ k також мiстить всi областi d m за виключенням скiнченної кiлькостi. Кiнець областi D — це клас еквiвалентних ланцюгiв розрiзiв областi D . Нехай K — кiнець областi D в R n , тодi множина I ( K ) = ∞ T m =1 d m називається тiлом кiнця K .Скрiзь далi, як зазвичай, Γ( E, F, D ) позначає сiм’ю всiх таких кривих γ : [ a, b ] → D ,що γ ( a ) ∈ E i γ ( b ) ∈ F, крiм того, M (Γ) позначає модуль сiм’ї кривих Γ в R n , а запис ρ ∈ adm Γ означає, що функцiя ρ борелева, невiд’ємна i має довжину, не меншу нiж оди-ницю, в метрицi ρ (див. [6], [10]). Слiдуючи [6], будемо говорити, що кiнець K є простимкiнцем , якщо K мiстить ланцюг розрiзiв { σ m } , такий, що M (Γ( σ m , σ m +1 , D )) < ∞ привсiх m ∈ N i lim m →∞ M (Γ( C, σ m , D )) = 0 для деякого континууму C в D (див. малюнок 1).Далi використовуються наступнi позначення: множина простих кiнцiв, що вiдповiдаютьобластi D, позначається символом E D , а поповнення областi D її простими кiнцями по-значається D P . Будемо говорити, що межа областi D в R n є локально квазiконформною ,якщо кожна точка x ∈ ∂D має окiл U в R n , який може бути вiдображений квазiкон-формним вiдображенням ϕ на одиничну кулю B n ⊂ R n так, що ϕ ( ∂D ∩ U ) є перетином B n з координатною гiперплощиною. Розглянемо також наступне означення (див. [4],[5]). Для множин E ⊂ R n i A, B ⊂ R n покладемо d ( E ) := sup x,y ∈ E | x − y | , d ( A, B ) := inf x ∈ A,y ∈ B | x − y | . Будемо називати ланцюг розрiзiв { σ m } регулярним , якщо σ m ∩ σ m +1 = ∅ при кожному m ∈ N i, крiм того, d ( σ m ) → при m → ∞ . Якщо кiнець K мiстить принаймнi один ре-гулярний ланцюг, то K будемо називати регулярним . Говоримо, що обмежена область D в R n регулярна , якщо D може бути квазiконформно вiдображена на область з локальноквазiконформною межею, замикання якої є компактом в R n , крiм того, кожен простийкiнець P ⊂ E D є регулярним. Зауважимо, що у просторi R n кожний простий кiнецьрегулярної областi мiстить ланцюг розрiзiв з властивiстю d ( σ m ) → при m → ∞ , i нав-паки, якщо у кiнця є вказана властивiсть, то вiн – простий (див. [6, теорема 5.1]). Крiмтого, замикання D P регулярної областi D є метризовним , при цьому, якщо g : D → D – квазiконформне вiдображення областi D з локально квазiконформною межею наобласть D, то для x, y ∈ D P покладемо: ρ ( x, y ) := | g − ( x ) − g − ( y ) | , (4)де для x ∈ E D елемент g − ( x ) розумiється як деяка (єдина) точка межi D , корект-но визначена з огляду на [6, теорема 4.1]. Зокрема, будемо говорити, що послiдовнiсть x m ∈ D, m = 1 , , . . . , збiгається до простого кiнця P ∈ E D при m → ∞ , якщо длябудь-якого натурального k ∈ N всi елементи послiдовностi x m , крiм скiнченної кiль-костi, належать областi d k (де d k , k = 1 , , . . . – послiдовнiсть вкладених областей зозначення простого кiнця P ). Якщо, наприклад, f – гомеоморфiзм областi D на D ′ , тоне важко переконатися, що мiж кiнцями областей D i D ′ = f ( D ) є взаємно однозначнавiдповiднiсть (див. малюнок 2). Є справедливим такий результат. d m d d D g g g m f D f D = ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f d ( ) m f d ( ) f d ( ) m f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g f g ( ) f g ( ) m m11 2 m Мал. 2: Вiдповiднiсть простих кiнцiв при вiдображеннi
Теорема 1.
Нехай D ⊂ R n , n > , – область, яка має слабо плоску межу, а область D ′ ⊂ R n є регулярною. Припустимо, f – вiдкрите дискретне i замкнене вiдображенняобластi D на D ′ , що задовольняє спiввiдношення (2) в кожнiй точцi y ∈ D ′ , де Q ∈ L ( D ′ ) . Тодi вiдображення f має неперервне продовження до вiдображення f : D → D ′ P , причому, f ( D ) = D ′ P . Справедливим також є результат про одностайну неперервнiсть сiмей вiдображеньвиду (2) в замиканнi даної областi. З метою формулювання вiдповiдного результату,розглянемо такi означення.Межа областi D називається слабо плоскою в точцi x ∈ ∂D, якщо для кожного P > i для будь-якого околу U точки x знайдеться окiл V ⊂ U цiєї ж самої точки такий,що M (Γ( E, F, D )) > P для будь-яких континуумiв E, F ⊂ D, якi перетинають ∂U i ∂V. Межа областi D називається слабо плоскою, якщо вiдповiдна властивiсть виконується вбудь-якiй точцi межi D. Нехай h – хордальна вiдстань в R n (див., напр., означення 12.1в [10]). У подальшому, для множин A, B ⊂ R n покладемо h ( A, B ) = inf x ∈ A,y ∈ B h ( x, y ) , h ( A ) = sup x,y ∈ A h ( x, y ) , де h – хордальная вiдстань. Для числа δ > , областей D, D ′ ⊂ R n , n > , континуума A ⊂ D ′ i довiльної вимiрної за Лебегом функцiї Q : D ′ → [0 , ∞ ] позначимо через S δ,A,Q ( D, D ′ ) сiм’ю всiх вiдкритих дискретних i замкнених вiдображень f областi D на D ′ , що задовольняють умову (2) для кожного y ∈ D ′ i таких, що h ( f − ( A ) , ∂D ) > δ. Виконується наступне твердження.
Теорема 2.
Припустимо, що область D має слабо плоску межу. Якщо Q ∈ L ( D ′ ) , i область D ′ є регулярною, то будь-яке f ∈ S δ,A,Q ( D, D ′ ) неперервно продовжується довiдображення f : D → D ′ P , причому, f ( D ) = D ′ P i сiм’я S δ,A,Q ( D, D ′ ) , яка складаєтьсяз усiх продовжених вiдображень f : D → D ′ P , одностайно неперервна в D. Зауважимо, що для випадку гарних меж твердження теорем 1 i 2 доведено ранiше вроботi [11] (див. теореми 1.1 i 1.2).
2. Доведення теореми 1.
Зафiксуємо довiльним чином точку x ∈ ∂D. Необхiднопоказати можливiсть неперервного продовження вiдображення f в точку x . Викори-стовуючи при необхiдностi мебiусове перетворення ϕ : ∞ 7→ i враховуючи iнварiан-тiсть модуля M в лiвiй частинi спiввiдношення (2) (див. [10, теорема 8.1]), ми можемовважати, що x = ∞ . Припустимо, що висновок про неперервне продовження вiдображення f в точку x неє правильним. Тодi будь-який простий кiнець P ∈ E D ′ не є границею f в точцi x , тобто,знайдеться послiдовнiсть x k → x при k → ∞ i число ε > такi, що ρ ( f ( x k ) , P ) > ε при всiх k ∈ N , де ρ – одна з метрик в (4). Оскiльки за умовою область D ′ є регулярною,її можна вiдобразити на обмежену область D ∗ за допомогою деякого квазiконформноговiдображення h : D ′ → D ∗ . Оскiльки мiж точками межi областей з локально квазiкон-формними межами i їх простими кiнцями є взаємно однозначна вiдповiднiсть (див. [6,теорема 4.1]), i за умовою D ∗ є компактом в R n , метричний простiр ( D ′ P , ρ ) є компакт-ним. Отже, можна вважати, що f ( x k ) збiгається до якогось елементу P = P , P ∈ D ′ P при k → ∞ . Оскiльки за припущенням вiдображення f не має границi в точцi x , iс-нує принаймнi ще одна послiдовнiсть y k → x при k → ∞ , така що ρ ( f ( y k ) , P ) > ε при всiх k ∈ N i деякому ε > . Знову таки, оскiльки метричний простiр ( D ′ P , ρ ) єкомпактним, ми можемо вважати, що f ( y k ) → P при k → ∞ , P = P , P ∈ D ′ P . Оскiльки вiдображення f замкнене, воно зберiгає межу областi, див. [9, теорема 3.3].Отже, P , P ∈ E D ′ . Нехай σ m i σ ′ m , m = 0 , , , . . . , – послiдовностi розрiзiв, якi вiдповiдають простимкiнцям P i P , вiдповiдно. Нехай також розрiзи σ m , m = 0 , , , . . . , лежать на сферах S ( z , r m ) з центром в деякiй точцi z ∈ ∂D ′ , де r m → при m → ∞ (така послiдовнiсть σ m iснує за [12, лема 3.1], див. також [5, лема 1]). Нехай d m i g m , m = 0 , , , . . . , –вiдповiднi послiдовностi областей в D ′ , що вiдповiдають розрiзам σ m i σ ′ m , вiдповiдно.Оскiльки простiр ( D ′ P , ρ ) є метричним, можна вважати, що всi d m i g m не перетина-ються мiж собою для кожного m = 0 , , , . . . , зокрема, d ∩ g = ∅ . (5)Оскiльки f ( x k ) збiгається до P при k → ∞ , для кожного m ∈ N iснує k = k ( m ) : f ( x k ) ∈ d m при k > k = k ( m ) . Шляхом перенумерацiї послiдовностi x k в разi необхiдностi,ми можемо добитися того, щоб f ( x k ) ∈ d k при кожному натуральному k. Аналогiчно,можна вважати, що f ( y k ) ∈ g k при всiх k ∈ N . Зафiксуємо точки f ( x ) i f ( y ) . Оскiлькиза означенням простого кiнця ∞ T k =1 d k = ∞ T l =1 g l = ∅ , iснують номери k i k ∈ N такi, що f ( x ) d k i f ( y ) g k . Оскiльки за означенням послiдовностi областей d k ⊂ d k привсiх k > k i g k ⊂ g k при k > k , будемо мати f ( x ) d k , f ( y ) g k , k > max { k , k } . (6)Нехай γ k – крива, що з’єднує f ( x ) i f ( x k ) в областi d , а γ ′ k – крива, що з’єднує f ( y ) i f ( y k ) в областi g . Нехай також α k i β k – повнi f -пiдняття кривих γ k i γ ′ k в областi D з початками в точках x k i y k , вiдповiдно (такi пiдняття iснують за [9, лема 3.7]),див. малюнок 3). Зауважимо, що у точок f ( x ) i f ( y ) в областi D може бути не бiльше D f D ( ) fx x k y k ( ) , , D R =D k k k k z P P k f(x ) k f(y ) k k k Мал. 3: До доведення теореми 1скiнченного числа прообразiв при вiдображеннi f, див. [9, лема 3.2]. Тодi знайдеться R > таке, що α k (1) , β k (1) ∈ D \ B ( x , R ) при всiх k = 1 , , . . . . Оскiльки межа областi D є слабо плоскою, для кожного P > знайдеться k = k P > таке, що M (Γ( | α k | , | β k | , D )) > P ∀ k > k P . (7)Покажемо, що умова (7) суперечить визначенню вiдображення f в (2). Справдi, нехай γ ∈ Γ( | α k | , | β k | , D ) , тодi γ : [0 , → D, γ (0) ∈ | α k | i γ (0) ∈ | β k | . Зокрема, f ( γ (0)) ∈ | γ k | i f ( γ (1)) ∈ | γ ′ k | . В такому випадку, зi спiввiдношень (5) i (7) випливає, що | f ( γ ) |∩ d = ∅ = | f ( γ ) | ∩ ( D \ d ) при k > max { k , k } . З огляду на [13, теорема 1.I.5.46] | f ( γ ) | ∩ ∂d = ∅ , тобто, | f ( γ ) | ∩ S ( z , r ) = ∅ , бо ∂d ∩ D ⊂ σ ⊂ S ( z , r ) за визначенням розрiзу σ . Нехай t ∈ (0 , таке, що f ( γ ( t )) ∈ S ( z , r ) i f ( γ ) | := f ( γ ) | [ t , . Без обмеження загальностiможна вважати, що f ( γ ) | ⊂ R n \ B ( z , r ) . Мiркуючи так само для кривої f ( γ ) | , можназнайти точку t ∈ ( t , таку, що f ( γ ( t )) ∈ S ( z , r ) . Покладемо f ( γ ) | := f ( γ ) | [ t ,t ] . Тодiкрива f ( γ ) | є пiдкривою кривої f ( γ ) i, крiм того, f ( γ ) | ∈ Γ( S ( z , r ) , S ( z , r ) , D ′ ) . Безобмеження загальностi можна вважати, що f ( γ ) | ⊂ B ( z , r ) . Тим самим Γ( | α k | , | β k | , D ) > Γ f ( z , r , r ) . З останнього спiввiдношення по мiноруванню модуля (див., напр., [14, теорема 1(c)]) M (Γ( | α k | , | β k | , D )) M (Γ f ( z , r , r )) . (8)Покладемо η ( t ) = ( r − r , t ∈ [ r , r ] , , t [ r , r ] . Зауважимо, що η задовольняє спiввiдношен-ня (3) при r := r i r := r . Тодi з (2) i (8) ми отримаємо, що M (Γ( | α k | , | β k | , D )) r − r ) n Z D ′ Q ( y ) dm ( y ) := c < ∞ ∀ k > max { k , k } , (9)оскiльки Q ∈ L ( D ) . Спiввiдношення (9) суперечить умовi (7). Отримана суперечнiстьспростовує припущення про вiдсутнiсть границi у вiдображення f в точцi x . Залишилось перевiрити рiвнiсть f ( D ) = D ′ P . Очевидно, що f ( D ) ⊂ D ′ P . Покажемо,що D ′ P ⊂ f ( D ) . Справдi, нехай y ∈ D ′ P , тодi або y ∈ D ′ , або y ∈ ∂E D ′ . Якщо y ∈ D ′ , то y = f ( x ) i y ∈ f ( D ) , оскiльки за умовою f – вiдображення областi D на D ′ . Нарештi, нехай y ∈ E D ′ , тодi через регулярнiсть областi D ′ знайдеться послiдовнiсть y k ∈ D ′ така, що ρ ( y k , y ) → при k → ∞ , y k = f ( x k ) i x k ∈ D, де ρ – одна з можливихметрик в D ′ P . Через компактнiсть простору R n ми можемо вважати, що x k → x , де x ∈ D. Помiтимо, що x ∈ ∂D, оскiльки вiдображення f є вiдкритим. Тодi f ( x ) = y ∈ f ( ∂D ) ⊂ f ( D ) . Теорема повнiстю доведена.
3. Допомiжнi леми.
Наступну лему доведено в [15, лема 2.1], див. також [2, ле-ма 2.1].
Лема 1.
Нехай D ′ ⊂ R n , n > , – регулярна область, i нехай x m → P , y m → P при m → ∞ , P , P ∈ D ′ P , P = P . Припустимо, що d m , g m , m = 1 , , . . . , – двi послiдовностiспадних областей, якi вiдповiдають P i P , d ∩ g = ∅ , i x , y ∈ D ′ \ ( d ∪ g ) . Тодi iснуютьяк завгодно великi номери k ∈ N , M = M ( k ) ∈ N i < t = t ( k ) , t = t ( k ) < дляяких виконано наступну умову: для всякого m > M знайдуться непересiчнi кривi γ ,m ( t ) = (cid:26) e α ( t ) , t ∈ [0 , t ] , f α m ( t ) , t ∈ [ t , , γ ,m ( t ) = ( e β ( t ) , t ∈ [0 , t ] , f β m ( t ) , t ∈ [ t , , такi, що1) γ ,m (0) = x , γ ,m (1) = x m , γ ,m (0) = y i γ ,m (1) = y m ; | γ ,m | ∩ g k = ∅ = | γ ,m | ∩ d k ; f α m ( t ) ∈ d k +1 при t ∈ [ t , i f β m ( t ) ∈ g k +1 при t ∈ [ t , (див. малюнок 4). Наступне твердження доведено в [15, лема 2.2] для випадку гомеоморфiзмiв.
Лема 2.
Нехай D i D ′ – областi в R n , n > , область D ′ є регулярною, i нехай f – вiдкрите, дискретне i замкнене вiдображення областi D на D ′ , яке задовольняєумову (2) в кожнiй точцi y ∈ D ′ i з деякою функцiєю Q ∈ L ( D ′ ) . Нехай також d m – послiдовнiсть спадних областей, якi вiдповiдають ланцюгу розрiзiв σ m , m = 1 , , . . . , що лежать на сферах S ( x , r m ) i таких, що x ∈ ∂D ′ , причому r m → при m → ∞ . Тодiв умовах i позначеннях леми 1 можна обрати номер k ∈ N , для якого iснує < N = N ( k , Q, D ′ ) < ∞ , незалежне вiд m i f, таке що M (Γ m ) N, m > M = M ( k ) , y x D x x d d d k x m y y y m g k g g Мал. 4: Твердження леми 1 де Γ m – сiм’я кривих γ : [0 , → D в областi D таких, що f ( γ ) ∈ Γ( | γ ,m | , | γ ,m | , D ′ ) . Доведення.
Нехай k – довiльний номер, для якого виконується твердження леми 1. Заозначенням кривої γ ,m i сiм’ї Γ m ми можемо записати Γ m = Γ m ∪ Γ m , (10)де Γ m – сiм’я кривих γ ∈ Γ m таких, що f ( γ ) ∈ Γ( | e α | , | γ ,m | , D ′ ) i Γ m – сiм’я кривих γ ∈ Γ m таких, що f ( γ ) ∈ Γ( | e α m | , | γ ,m | , D ′ ) . Враховуючи позначення леми 1, покладемо ε := min { dist ( | e α | , g k ) , dist ( | e α | , | e β | ) } > . Розглянемо тепер покриття множини | e α | наступного вигляду: S x ∈| e α | B ( x, ε / . Оскiльки | e α | є компактом в D ′ , знайдуться номери i , . . . , i N такi, що | e α | ⊂ N S i =1 B ( z i , ε / , де z i ∈ | e α | при i N . З огляду на [13, теорема 1.I.5.46] легко переконатися в тому, що Γ( | e α | , | γ ,m | , D ′ ) > N [ i =1 Γ( S ( z i , ε / , S ( z i , ε / , A ( z i , ε / , ε / . (11)Зафiксуємо γ ∈ Γ m , γ : [0 , → D, γ (0) ∈ | e α | , γ (1) ∈ | γ ,m | . Зi спiввiдношення (11)випливає, що f ( γ ) має пiдкриву f ( γ ) := f ( γ ) | [ p ,p ] таку, що f ( γ ) ∈ Γ( S ( z i , ε / , S ( z i , ε / , A ( z i , ε / , ε / при деякому i N . Тодi γ | [ p ,p ] є такою кривою, яка з одного боку є пiдкривою γ, а з iншого, належить до сiм’ї Γ f ( z i , ε / , ε / , бо f ( γ | [ p ,p ] ) = f ( γ ) | [ p ,p ] ∈ Γ( S ( z i , ε / , S ( z i , ε / , A ( z i , ε / , ε / . Тим самим Γ m > N [ i =1 Γ f ( z i , ε / , ε / . (12)Покладемо η ( t ) = (cid:26) /ε , t ∈ [ ε / , ε / , , t [ ε / , ε / . Зауважимо, що функцiя η задовольняє спiввiдношення (3). Тодi, за визначенням вi-дображення f у (2), а також за спiввiдношенням (12) i з огляду на напiвадитивнiстьмодуля сiмей кривих (див. [10, теорема 6.2]), ми отримаємо, що M (Γ m ) N X i =1 M (Γ f ( z i , ε / , ε / N X i =1 N n k Q k ε n , m > M , (13)where k Q k = R D ′ Q ( x ) dm ( x ) . Далi, по [13, теорема 1.I.5.46] ми отримаємо, що Γ m > Γ f ( x , r k +1 , r k ) . Мiркуючи так, як i вище, покладемо η ( t ) = (cid:26) / ( r k − r k +1 ) , t ∈ [ r k +1 , r k ] , , t [ r k +1 , r k ] . Тодi з останнього спiввiдношення випливає, що M (Γ m ) k Q k ( r k − r k +1 ) n , m > M . (14)Отже, з (10), (13) i (14), з огляду на напiвадитивнiсть модуля сiмей кривих, випливає,що M (Γ m ) (cid:18) N n ε n + 1( r k − r k +1 ) n (cid:19) k Q k , m > M . Права частина останнього спiввiдношення не залежить вiд m, так що ми можемо по-класти N := (cid:16) N n ε n + r k − r k ) n (cid:17) k Q k . Лему 2 повнiстю доведено. ✷
4. Доведення теореми 2.
Можливiсть неперервного продовження вiдображен-ня f ∈ S δ,A,Q ( D, D ′ ) на межу областi D є результатом теореми 1. Одностайна непе-рервнiсть сiм’ї вiдображень S δ,A,Q ( D, D ′ ) у внутрiшнiх точках областi D є результатомроботи [11, теорема 1.1].Покажемо одностайну неперервнiсть сiм’ї S δ,A,Q ( D, D ′ ) на ∂D. Припустимо проти-лежне. Тодi знайдуться точка z ∈ ∂D, число ε > , послiдовнiсть z m ∈ D i вiдобра-ження f m ∈ S δ,A,Q ( D, D ′ ) такi, що z m → z при m → ∞ , при цьому, ρ ( f m ( z m ) , f m ( z )) > ε , m = 1 , , . . . , (15)де ρ – одна з можливих метрик в D ′ P , яку визначено за формулою типу (4). Оскiльки f m = f m | D продовжується по неперервностi на D, ми можемо вважати, що z m ∈ D i,крiм того, знайдеться ще одна послiдовнiсть z ′ m ∈ D, z ′ m → z при m → ∞ , така що ρ ( f m ( z ′ m ) , f m ( z )) → при m → ∞ . В такому випадку, з (15) випливає, що ρ ( f m ( z m ) , f m ( z ′ m )) > ε / , m > m . (16)Оскiльки область D ′ є регулярною, метричний простiр D ′ P є компактним. Отже, можнавважати, що послiдовностi f m ( z m ) i f m ( z ′ m ) збiгаються при m → ∞ до деяких елемен-тiв P , P ∈ D ′ P , P = P . Нехай d m i g m – послiдовностi спадних областей, якi вiдпо-вiдають простим кiнцям P i P , вiдповiдно. З огляду на [12, лема 3.1], див. також [5,0 D g g g k d d d k D x x f z m m ( ) f z m m ( ) y y x y A f m f A m-1 ( ) m G z m z m z VU* *
Мал. 5: До доведення теореми 2.лема 1], можна вважати, що послiдовнiсть розрiзiв σ m , яка вiдповiдає областям d m ,m = 1 , , . . . , лежить на сферах S ( x , r m ) , де x ∈ ∂D ′ i r m → при m → ∞ . Оберемо x , y ∈ A так, що x = y i x = P = y , де континуум A ⊂ D ′ взятий з умов теореми 2.Без обмеження загальностi, можна вважати, що d ∩ g = ∅ i x , y d ∪ g . По лемам 1 i 2 знайдуться непересiчнi кривi γ ,m : [0 , → D ′ i γ ,m : [0 , → D ′ , номер M = M ( k ) > i число N > такi, що γ ,m (0) = x , γ ,m (1) = f m ( z m ) , γ ,m (0) = y ,γ ,m (0) = f m ( z ′ m ) , причому M (Γ m ) N , m > M , (17)де Γ m складається з тих i тiльки тих кривих γ в D, для яких f m ( γ ) ∈ Γ( | γ ,m | , | γ ,m | , D ′ ) (див. малюнок 5). З iншого боку, нехай γ ∗ ,m i γ ∗ ,m – повнi пiдняття кривих γ ,m i γ ,m при вiдображеннi f m з початками в точках z m i z ′ m , вiдповiдно (такi пiдняття iсну-ють за [9, лема 3.7]). Тодi γ ∗ ,m (1) ∈ f − m ( A ) i γ ∗ ,m (1) ∈ f − m ( A ) i, оскiльки за умовою h ( f − m ( A ) , ∂D ) > δ > , m = 1 , , . . . , ми будемо мати, що h ( | γ ∗ ,m | ) > h ( z m , γ ∗ ,m (1)) > (1 / · h ( f − m ( A ) , ∂D ) > δ/ ,h ( | γ ∗ ,m | ) > h ( z ′ m , γ ∗ ,m (1)) > (1 / · h ( f − m ( A ) , ∂D ) > δ/ (18)для достатньо великих m ∈ N . Оберемо кулю U := B h ( z , r ) = { z ∈ R n : h ( z, z ) < r } , де r > i r < δ/ . Зауважимо, що | γ ∗ ,m | ∩ U = ∅ = | γ ∗ ,m | ∩ ( D \ U ) для достатньовеликих m ∈ N , оскiльки h ( f m ( | γ ,m | )) > δ/ i z m ∈ | γ ∗ ,m | , z m → z при m → ∞ . Мiркуючи аналогiчно, можна зробити висновок, що | γ ∗ ,m | ∩ U = ∅ = | γ ∗ ,m | ∩ ( D \ U ) . Оскiльки | γ ∗ ,m | i | γ ∗ ,m | є континуумами, з огляду на [13, теорема 1.I.5.46] | γ ∗ ,m | ∩ ∂U = ∅ , | γ ∗ ,m | ∩ ∂U = ∅ . (19)Зафiксуємо P := N > , де N – число зi спiввiдношення (17). Оскiльки межа областi D є слабо плоскою, знайдеться окiл V ⊂ U точки z , такий що для будь-яких континуумiв E, F ⊂ D з умовами E ∩ ∂U = ∅ = E ∩ ∂V i F ∩ ∂U = ∅ = F ∩ ∂V виконано нерiвнiсть M (Γ( E, F, D )) > N . (20)Зауважимо, що для достатньо великих m ∈ N | γ ∗ ,m | ∩ ∂V = ∅ , | γ ∗ ,m | ∩ ∂V = ∅ . (21)1Дiйсно, z m ∈ | γ ∗ ,m | i z ′ m ∈ | γ ∗ ,m | , де z m , z ′ m → z ∈ V при m → ∞ . Отже, | γ ∗ ,m | ∩ V = ∅ = | γ ∗ ,m | ∩ V для достатньо великих m ∈ N . Крiм того, h ( V ) h ( U ) = 2 r < δ/ i,оскiльки по (18) h ( | γ ∗ ,m | ) > δ/ , то | γ ∗ ,m | ∩ ( D \ V ) = ∅ . Тодi | γ ∗ ,m | ∩ ∂V = ∅ (див. [13,теорема 1.I.5.46]). Аналогiчно, h ( V ) h ( U ) = 2 r < δ/ i, оскiльки по (18) h ( | γ ∗ ,m | ) >δ/ , то | γ ∗ ,m | ∩ ( D \ V ) = ∅ . По [13, теорема 1.I.5.46] ми отримаємо, що | γ ∗ ,m | ∩ ∂V = ∅ . Отже, (21) встановлено. З огляду на (20), (19) i (21), ми отримаємо, що M (Γ( | γ ∗ ,m | , | γ ∗ ,m | , D )) > N . (22)Нерiвнiсть (22) суперечить (17), бо Γ( | γ ∗ ,m | , | γ ∗ ,m | , D ) ⊂ Γ m , отже, M (Γ( | γ ∗ ,m | , | γ ∗ ,m | , D )) M (Γ m ) N .
Отримана суперечнiсть вказує на невiрнiсть вихiдного припущення (15). Теорему дове-дено. ✷
5. Деякi приклади.Приклад 1.
Отримаємо спочатку вiдображення, яке задовольняє умови i висновоктеореми 1. По-перше, розглянемо випадок, коли це вiдображення є гомеоморфiзмом,а функцiя Q є обмеженою. Для спрощення розглянемо плоский випадок. Нехай D ′ –одиничний квадрат з викинутими вiдрiзками I k = { z = ( x, y ) ∈ R : x = 1 /k, < y < / } , k = 2 , , . . . , (див. малюнок 6). Розглянемо простий кiнець P областi D ′ , створений x ( ) { } <<=Î== U ¥= =
2k k
I\D P [ ] [ ] ´=P f0 y P d d m d m g Мал. 6: Iлюстрацiя до прикладу 1за допомогою розрiзiв σ m = (cid:26) z = x + e iϕ m + 1 , x = (0 , / , ϕ π/ (cid:27) , m = 1 , , . . . , . Можна показати, що кiнець P дiйсно є простим. За теоремою Рiмана про вiдображення,iснує конформне вiдображення g одиничного круга D = { z ∈ C : | z | < } на область D ′ , крiм того, за теоремою Каратеодорi простому кiнцю P вiдповiдає деяка точка y ∈ ∂ D така, що C ( f, y ) = I ( P ) , f = g − , див. [16, теорема 9.4]. Отже, можна обрати принаймнiдвi послiдовностi z k , w k ∈ D ′ , k = 1 , , . . . , такi що z k , w k → P, z k → z i w k → w при2 k → ∞ , z = w , причому f ( z k ) → y i f ( w k ) → y при k → ∞ . В цьому випадку,вiдображення f := g − не має неперервного продовження в точку y в поточковомусенсi, але g має неперервне продовження g : D → D ′ P . Оскiльки g – конформне вiдображення, воно задовольняє спiввiдношення (2) при Q ≡ (див., напр., [7, теорема 3.2]).Зауважимо, що вiдображення f задовольняє всi умови i висновок теореми 1. Об-ласть D має слабо плоску межу (див., напр., [10, теореми 17.10 i 17.12]), а область D ′ єрегулярною за означенням, крiм того, функцiя Q ≡ є iнтегровною в D ′ . Приклад 2.
Для того, щоб тепер отримати аналогiчне вiдображення з розгалужен-ням у (2), покладемо f ( z ) = ( f ◦ g )( z ) , де g ( z ) = z . Зауважимо, що K O ( z, f ) = 1 i N ( f , D ) = 2 , тому f також задовольняєспiввiдношення (2) з Q ≡ . Знову таки, f задовольняє всi умови теореми 1. Приклад 3.
На основi прикладiв 1 i 2 побудуємо тепер вiдображення з розгалу-женням, яке має необмежену характеристику, i яке задовольняє всi умови i висновоктеореми 1. Розглянемо наступну конструкцiю: нехай ϕ ( z ) = e √ ( z − (1 / , / , z ∈ D ′ , тодi ϕ переводить D ′ в деяку область D ′′ , що повнiстю лежить в крузi B (0 , /e ) . Цюобласть D ′′ перетворимо не деку iншу однозв’язну область D ′′′ за допомогою гомео-морфiзму ϕ ( z ) = z | z | log | z | , ϕ (0) := 0 . Тепер, цю область D ′′′ перетворимо за допомогоюдеякого конформного вiдображення ϕ на одиничний круг D (таке конформне вiдо-браження iснує завдяки теоремi Рiмана). Нарештi, в D покладемо ϕ ( z ) = z . Теперрозглянемо наступне вiдображення F ( z ) = ( ϕ − ◦ ϕ − ◦ ϕ − ◦ ϕ )( z ) . (23)Тепер окремо розглянемо F ( z ) = ( ϕ − ◦ ϕ − )( z ) i F ( z ) = ( ϕ − ◦ ϕ )( z ) . Передусiмзауважимо, що K O ( F , z ) = K O ( ϕ − , z ) , оскiльки вiдображення ϕ − є конформним. Ви-користовуючи технiку, застосовану при розглядi [17, Proposition 6.3], можна встановити,що ϕ − = z | z | e − | z | , причому K O ( F , z ) = K O ( ϕ − , z ) = | z | . Тодi K O ( F − ( z ) , F ) = K O (( ϕ ◦ ϕ )( z ) , F ) . Маємо: K O (( ϕ ◦ ϕ )( z ) , F ) = 1 | z | (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) z z − (1 / , / | z − (1 / , / | log e √ | z − (1 / , / | = log e √ | z − (1 / , / | . Зауважимо, що F є вiдображенням класу C в D \ { } , крiм того, якобiан | J ( z, f ) | = | z | · e / | z | є локально обмеженим в D \ { } . В такому випадку, за наслiдком 8.5 в [17]вiдображення F є вiдображенням зi скiнченним спотворенням довжини в D \{ } . Отже,за [17, теорема 8.5] вiдображення F задовольняє спiввiдношення M (Γ ′′ ) Z D ′ Q ( z ) · ρ ∗ ( z ) dm ( z ) (24)3для будь-якої сiм’ї Γ ′′ локально спрямлюваних кривих γ в областi D ′′ i будь-якої функцiї ρ ∗ ∈ adm F (Γ ′′ ) , де Q ( z ) = log e √ | z − (1 / , / | . З iншого боку, вiдображення F задовольняє спiввiдношення M (Γ) · M ( F (Γ)) , (25)оскiльки N ( F , D ) = 2 i K O ( F , z ) = 1 (див. [7, теорема 3.2]). Тодi об’єднуючи (24) i (25),будемо мати M (Γ) Z D ′ Q ( z ) · ρ ∗ ( z ) dm ( z ) (26)для будь-якої сiм’ї Γ локально спрямлюваних кривих γ в D i будь-якої функцiї ρ ∗ ∈ adm F ( F (Γ)) = adm F (Γ) , де Q ( z ) = log e √ | z − (1 / , / | . Зауважимо, що функцiя Q ( z ) =log e √ | z − (1 / , / | є iнтегровною в областi D ′ . Також зауважимо, що нерiвнiсть (26) є част-ковим випадком спiввiдношення (2), оскiльки в (26) сiм’я кривих є будь-якою, отже,замiсть Γ можна взяти Γ f ( y , r , r ) як окремий випадок. Крiм того, ми можемо такожпокласти в (26) ρ ∗ ( z ) = η ( | z − y | ) при r < | z − y | < r i z ∈ D ′ , ρ ∗ ( z ) в iнших ви-падках. Якщо η задовольняє (3), то можна показати, що ρ ∗ ( z ) задовольняє (26) для Γ = Γ f ( y , r , r ) (див. [10, теорема 5.7]).Отже, всi умови теореми 1 виконуються; вiдображення F задовольняє всi умови цiєїтеореми i за цiєю теоремою продовжується до вiдображення F : D → D ′ P . Приклад 4.
Тепер побудуємо приклад, стосовний теореми 2. Як вiдомо, дробово-лiнiйнi автоморфiзми одиничного круга мають вигляд f ( z ) = e iθ z − a − az , z ∈ D , a ∈ D , θ ∈ [0 , π ) . Покладемо θ = 0 , a = 1 /n, n = 1 , , . . . . В цьому випадку, розглянемо сiм’ю вiдобра-жень e f n ( z ) = z − /n − z/n = nz − n − z . Нехай e A = [0 , / . Нехай t ∈ [0 , / , тодi e f n ( t ) = t − /n − t/n . Оскiльки похiдна e f ′ n ( t ) = − n (1 − tn ) невiд’ємна всюди, найменше значення функцiї e f n ( t ) на A буде точка − /n, найбiльша – / − /n − / n → / при n → ∞ . Звiдси iснує δ > таке,що h ( e f n ( e A ) , ∂ D ) > δ > . Покладемо тепер f n := e f − n , i нехай A = F ( e A ) , де F – вiдо-браження з прикладу 3 (див. спiввiдношення (23)). Тодi сiм’я вiдображень F n := F ◦ f n задовольняє всi умови i висновок теореми 2. Зауважимо, що кожне з вiдображень F n немає навiть неперервного евклiдового продовження на одиничне коло, але має це про-довження як вiдображення F n : D → D ′ P . Бiльше того, сiм’я вiдображень { F n } ∞ n =1 єодностайно неперервною в D. Список лiтератури [1]
Салимов Р.Р., Севостьянов Е.А.
О равностепенной непрерывности одного семейства об-ратных отображений в терминах простых концов // Укр. мат. журн. – 2018. – , № 9. –С. 1264–1273; translation ”On the Equicontinuity of One Family of Inverse Mappings in Termsof Prime Ends” in Ukr. Math. J. – 2019. – , no. 9. – P. 1456–1466. [2] Севостьянов Є.О., Скворцов С.О., Iлькевич Н.С.
Про поведiнку обернених гомеоморфiз-мiв в термiнах простих кiнцiв // Працi IПММ НАН України. – 2019. – . – С. 188–203.[3] Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E.
The Beltrami equations and prime ends // Українсь-кий математичний вiсник. – 2015. – , № 1. – С. 27—66; translation ”The Beltrami equationsand prime ends” in J. Math. Sci. (N.Y.). – 2015. – 2015. – , no. 1. – P. 22—51.[4] Ковтонюк Д.А., Рязанов В.И.
К теории простых концов для пространственных областей// Укр. мат. журнал. – 2015. – Т. , № 4. – С. 467–479; translation ”On the theory of primeends for space mappings” in Ukrainian Math. J. – 2015. – , no. 4. – P. 528—541.[5] Kovtonyuk D.A., Ryazanov V.I.
Prime ends and Orlicz-Sobolev classes // St. Petersburg Math.J. – 2016. – V. , no. 5. – P. 765–788.[6] N¨akki R.
Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math. – 1979. – V. . – P.13-40.[7] Martio O., Rickman S., and V¨ais¨al¨a J.
Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad.Sci. Fenn. Ser. A1. – 1969. – . – P. 1–40.[8]
Rickman S.
Quasiregular mappings. – Berlin: Springer-Verlag, 1993.[9]
Vuorinen M.
Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n -space //Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. Dissertationes. – 1976. – . – P. 1–44.[10] V¨ais¨al¨a J.
Lectures on n -Dimensional Quasiconformal Mappings. – Lecture Notes in Math.229, Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971.[11] Sevost’yanov E.A., Skvortsov S.O., Dovhopiatyi O.P.
Ильютко Д.П., Севостьянов Е.А.
О простых концах на римановых многообразиях //Укр. мат. вестник. – 2018. – Т. 15, № 3. – С. 358–392; translation ”On prime ends onRiemannian manifolds” in J. Math. Sci. – 2019. – , no. 1. – P. 47–63.[13]
Куратовский К.
Топология, т. 2. – М.: Мир, 1969.[14]
Fuglede B.
Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – . – P. 171–219.[15] Sevost’yanov E.A., Skvortsov S.O., Ilkevych N.S.
Коллингвуд Э., Ловатер А.
Теория предельных множеств. – Москва: Мир, 1971.[17]
Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E.
Moduli in Modern Mapping Theory. –New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009.
КОНТАКТНА IНФОРМАЦIЯ
Євген Олександрович Севостьянов1.
Житомирський державний унiверситет iм. I. Франкокафедра математичного аналiзу, вул. Велика Бердичiвська, 405м. Житомир, Україна, 10 0082.