Causa Efficiens versus Causa Formalis: origens da discussão moderna sobre a dimensionalidade do espaço
aa r X i v : . [ phy s i c s . h i s t - ph ] M a y Causa Efficiens versus Causa Formalis:origens da discuss˜ao moderna sobre adimensionalidade do espa¸co F. Caruso & R. Moreira Xavier
Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicasRua Dr. Xavier Sigaud 150, 22290-180, Rio de Janeiro, RJ, Brazil
Resumo
Discute–se a rela¸c˜ao entre os crit´erios metacient´ıficos utilizados para explicar,ou impor limites sobre a dimensionalidade do espa¸co f´ısico e os sistemas de ex-plica¸c˜ao causal dominantes nos correspondentes per´ıodos hist´oricos. Examinam–se as importantes contribui¸c˜oes de Arist´oteles, Kant e Ehrenfest ao problemada dimensionalidade, as quais se ap´oiam em explica¸c˜oes causais distintas: emArist´oteles, causa materialis , no jovem Kant, causa efficiens e, em Ehrenfest,uma engenhosa combina¸c˜ao de causa efficiens e causa formalis . Enfatiza–se acrescente valoriza¸c˜ao da causa formalis nas abordagens f´ısicas contemporˆaneasdeste problema. Abstract
Metascientific criteria used for explaining or constraining physical space dimen-sionality and their historical relationship to prevailing causal systems are dis-cussed. The important contributions by Aristotle, Kant and Ehrenfest to thedimensionality of space problem are considered and shown to be grounded ondifferent causal explanations: causa materialis for Aristotle, causa efficiens foryoung Kant and an ingenious combination of causa efficiens and causa formalis for Ehrenfest. The prominent and growing rˆole played by causa formalis inmodern physical approaches to this problem is emphasized.
Keywords:
Space; Physical Space; Causality; Aristotle; Kant. Trabalho apresentado por R. Moreira Xavier no VIII Col´oquio de Hist´oria da Ciˆencia –
Espa¸co e Tempo – realizado em ´Aguas de Lind´oia, S˜ao Paulo, de 14 a 17 de outubro de 1993. Introdu¸c˜ao
Este trabalho situa-se na confluˆencia de dois problemas. Por um lado, a quest˜aoda dimensionalidade do espa¸co f´ısico, cuja discuss˜ao pode ser desenvolvida, deum ponto de vista moderno, a partir da pergunta de Ehrenfest: “Qual o papel desempenhado pela tridimensionalidade do espa¸co nasleis fundamentais da F´ısica? ” (EHRENFEST, 1920, p. 440);por outro lado, o problema da interdependˆencia entre os conceitos de causa, uti-lizados pela F´ısica num determinado momento hist´orico, e o est´agio de evolu¸c˜aoda pr´opria F´ısica.Trata-se aqui de discutir os esquemas explicativos (causais) que est˜ao portr´as de diversas tentativas de tirar a tridimensionalidade do territ´orio dos dadosiniciais (mat´eria, extens˜ao e espa¸co) e coloc´a-la no universo de problemas daF´ısica. Quest´oes hist´oricas e epistemol´ogicas relacionadas `as obras de trˆes au-tores fundamentais — Arist´oteles, Kant e Ehrenfest — ser˜ao tratadas em certodetalhe. Pretende–se examinar o que eles dizem sobre a dimensionalidade doespa¸co e, em seguida, discutir as concep¸c˜oes de causa subjacentes `as an´alisesdestes autores. Antes, entretanto, ´e preciso situar o problema da dimensionali-dade do espa¸co, em seus aspectos gerais.
Whitrow chama a aten¸c˜ao de que o problema da dimensionalidade do espa¸coapresenta um car´ater dual, envolvendo a F´ısica e a Matem´atica (WHITROW,1955, pp. 13-31). Segundo ele, primeiro ´e necess´ario que se questione o signifi-cado de um espa¸co ter um certo n´umero de dimens˜oes — isto diz respeito aodom´ınio da Matem´atica. Depois, segue-se a quest˜ao de por que este n´umero ´eprecisamente 3 — a este segundo ponto, espera-se, que a F´ısica possa contribuir,de forma significativa, elaborando um conhecimento mais profundo das peculiari-dades que distinguem o espa¸co tridimensional de outros, postas em destaque napergunta de Weyl: “... se Deus, ao criar o Mundo, decidiu fazer o espa¸co tridimen-sional, pode–se chegar a uma explica¸c˜ao ‘razo´avel’ deste fato, desve-lando tais peculiaridades?” (WEYL, 1949).Ora, claro est´a que, desde a revolu¸c˜ao galileana, passa a existir uma not´avelinterdependˆencia entre a F´ısica e a Matem´atica na descri¸c˜ao da Natureza, pas-sando esta ´ultima a ser vista cada vez mais como a linguagem adequada `aF´ısica. No entanto, do ponto de vista l´ogico, a Matem´atica tem suas limita¸c˜oes2ntr´ınsecas: quando se constroem conceitos fundamentais para qualquer TeoriaF´ısica – como o de espa¸co f´ısico – a partir de conceitos matematicamente bemdefinidos – como o de espa¸co geom´etrico –, torna-se extremamente complexo eintricado explicitar os efeitos dessas limita¸c˜oes, inerentes `a Matem´atica, sobrea F´ısica (SCHENBERG, 1985; COSTA & DORIA, 1991; BARROS, 1991), emparticular, seus reflexos sobre as qualidades espec´ıficas do espa¸co f´ısico, como adimensionalidade.
Ipso facto , a dualidade a que se refere Whitrow parece–noshoje injustificada do ponto de vista epistemol´ogico, embora esteja na origemhist´orica da abordagem moderna do problema da dimensionalidade (JAMMER,1954). Al´em disto, injustificada, por exemplo, quando se considera a profundarela¸c˜ao entre Geometria e F´ısica, contida no programa de Einstein. Como ob-servou Jammer: “Foi Einstein quem esclareceu como a geometria (...) cessa de seruma ciˆencia axiom´atico-dedutiva e torna-se uma entre as ciˆenciasnaturais; a mais velha de todas, na verdade. ” (JAMMER, 1954,p. 170).Toda essa dificuldade que permeia a F´ısica Contemporˆanea resume-se emoutro coment´ario de Jammer: (...) a estrutura do espa¸co f´ısico n˜ao ´e, em ´ultima an´alise, nadade dado na natureza ou de independente do pensamento humano.´E uma fun¸c˜ao do nosso esquema conceitual. ” (JAMMER, 1954,p. 171).Para se ir al´em na discuss˜ao deste problema seria necess´ario indagar at´e ondea Matem´atica e, em particular, o espa¸co cont´ınuo s˜ao necess´arios e adequados`a descri¸c˜ao dos fenˆomenos f´ısicos, quest˜ao esta que transcende o escopo desteensaio. Basta mencionar que continuaremos a nos guiar pelos paradigmas mate-m´aticos vigentes, pelo menos enquanto n˜ao tivermos que enfrentar na nossaconcep¸c˜ao de espa¸co–tempo f´ısico os reflexos das limita¸c˜oes, mencionadas acima,inerentes a todos os sistemas axiomatizados como a Matem´atica. Pretendemosaqui t˜ao somente mostrar que o enfoque dado ao problema da dimensionalidadedo espa¸co depende fortemente da concep¸c˜ao de causa dominante num certoper´ıodo hist´orico, concep¸c˜ao esta que, na Ciˆencia Moderna, est´a intimamenteligada, como veremos, ao est´agio de desenvolvimento da Matem´atica.Veremos, na pr´oxima Se¸c˜ao, ainda que de modo bastante esquem´atico, o se-gundo ponto a que nos referimos acima, i.e. , o impacto dos diversos conceitos decausa sobre a evolu¸c˜ao da F´ısica e vice-versa. `A luz destas considera¸c˜oes, discu-tiremos nas Se¸c˜oes IV, V e VI, respectivamente, as contribui¸c˜oes de Arist´oteles,Kant e Ehrenfest `a quest˜ao da dimensionalidade. Algumas considera¸c˜oes finaisser˜ao apresentadas na Se¸c˜ao VII. A palavra causa ´e usada lato sensu , i.e. , relacionada `a ideia geral de explica¸c˜ao Cf.
Sec. (III). Das quatro causas `as quatro causas
O sistema explicativo de Arist´oteles, baseado nas quatro causas, discutido, ela-borado e desenvolvido pelos escol´asticos ( causa materialis, formalis, efficiens e finalis ), vai ser adotado pela cultura ocidental at´e o Renascimento (BUNGE,1979, p. 32; KUHN, 1977, pp. 51-61), pelo menos. Em Galileu, a causa for-malis passa a ter destaque (MOREIRA XAVIER, 1986), devido ao papel que ageometria tem em seu sistema (KOYR´E, 1966). Com o surgimento do programacartesiano de pesquisa, as explica¸c˜oes formais e finais s˜ao abandonadas e, a par-tir dessa ´epoca, a causa efficiens vai, pouco a pouco, ocupando o lugar centraldos esquemas explicativos da F´ısica pelos motivos discutidos em (BUNGE, 1979;KUHN, 1977; MOREIRA XAVIER, 1986). ´E claro que causa efficiens , agora,adquire um sentido diferente do que se encontra em Arist´oteles. J´a se delineiaa vis˜ao mecanicista do Mundo (DIJKSTERHUIS, 1959) e causa efficiens passaa ser, antes de tudo, a¸c˜ao ( actio ), ou seja, “for¸ca” Para os newtonianos o programa de pesquisa gira em torno da determina¸c˜aodas for¸cas que geram os movimentos. Esquematicamente, podemos dizer queeste programa, originado em Descartes, ganha corpo em Newton, ´e formalizadopor Euler, e culmina em Laplace “N´os devemos considerar o estado presente do Universo como efeitode seu estado anterior, e causa do que se deve seguir. Uma In-teligˆencia que, por um dado instante, conhecesse todas as for¸cas deque a natureza ´e animada e a situa¸c˜ao respectiva dos seres que acomp˜oem, se fosse suficientemente vasta para submeter esses dadosao c´alculo, abra¸caria na mesma f´ormula os movimentos dos maiorescorpos do universo e os do ´atomo mais leve: nada seria incerto paraela e o futuro, como o passado, estaria presente aos seus olhos ”(LAPLACE, 1814).´E o predom´ınio absoluto da causa efficiens e do determinismo mecanicista.A vis˜ao atomista da mat´eria vai se fortalecer nesse ambiente cultural, a pontode numa conferˆencia intitulada “Os Confins do Conhecimento da Natureza”, em1880, o fisi´ologo du Bois-Reymond afirmar que a autenticidade de uma ciˆenciaestaria, sobretudo, na sua fundamenta¸c˜ao na mecˆanica dos ´atomos:“ Se imagin´assemos todas as transforma¸c˜oes do mundo material re-solvidas em movimentos de ´atomos, produzidos por uma for¸ca centralconstante, o universo seria cientificamente conhecido. O estado domundo durante um diferencial de tempo apareceria como imediatoefeito de seu estado durante o diferencial de tempo precedente, e Note que for¸ca aqui n˜ao tem o significado moderno, mas sim o da ´epoca que, visto comos olhos de hoje, tem muito de energia, momentum, etc. (JAMMER, 1957). O leitor interessado em maiores detalhes sobre a evolu¸c˜ao do conceito de causa na f´ısicap´os-newtoniana pode reportar-se, p. ex., a (MOREIRA XAVIER, 1986). omo causa direta do seu estado durante o diferencial de tempo su-cessivo. Lei e acaso seriam somente diferentes nomes da necessidademecˆanica. ” (du BOIS–REYMOND, 1891, p. 18)Por outro lado, ´e na descri¸c˜ao do calor, visto como algo que se propaga nocont´ınuo, que vamos encontrar a origem de um novo estilo de fazer Ciˆencia:Fourier preocupa-se em descrever o modo pelo qual o calor se propaga – atrav´esde leis simples e constantes – sem discutir a essˆencia do calor – as suas causasprim´arias – como se depreende do Discurso Preliminar da Teoria Anal´ıtica doCalor : “As causas prim´arias nos s˜ao desconhecidas, mas est˜ao sujeitas aleis simples e constantes, que podem ser descobertas pela observa¸c˜ao,cujo estudo constitui o objeto da filosofia natural. O calor, comoa gravidade, penetra todas as substˆancias do Universo, seus raiosocupam todas as partes do espa¸co. O objetivo de nosso trabalho´e estabelecer as leis matem´aticas a que este elemento obedece. Ateoria do calor, daqui em diante, constituir´a um dos ramos maisimportantes da f´ısica geral (...). Qualquer que seja o ˆambito dasteorias mecˆanicas, elas n˜ao se aplicam aos efeitos do calor. Estesconstituem um tipo especial de fenˆomeno, e n˜ao podem ser explica-dos pelos princ´ıpios do movimento e do equil´ıbrio. (5) ” (FOURIER,1822).Mas note que, de certa forma, Newton tamb´em faz algo semelhante: na sua Opticks (NEWTON, 1730, p. 400) ele admite a existˆencia dos ´atomos e procura,nos
Principia (NEWTON, 1726), descrever as intera¸c˜oes da mat´eria e n˜ao ex-plicar suas origens. Tanto em Newton quanto em Fourier h´a claramente umdeslocamento da pergunta do porquˆe ao como . Sendo assim em que, ent˜ao, osdois programas v˜ao diferir? ´E justamente a introdu¸c˜ao de um fluido impon-der´avel e sutil – o cal´orico – que vai fazer a diferen¸ca: a propaga¸c˜ao de umasubstˆancia fluida no espa¸co cont´ınuo ir´a envolver varia¸c˜oes de certa grandeza noespa¸co e no tempo, e, al´em disto, as coordenadas espaciais passam a ser tamb´emum parˆametro como o tempo: isto implicar´a no uso de equa¸c˜oes diferenciais par-ciais. O enfoque do problema ´e assim desviado para a busca de uma equa¸c˜aodiferencial que descreva o fenˆomeno f´ısico, ou seja, para a busca da forma .Em outras palavras, a equa¸c˜ao diferencial ´e a causa formalis do fenˆomeno emquest˜ao. Note que a f´ısica dos fluidos imponder´aveis e sutis (fluido el´etrico,cal´orico, etc. ) representou uma certa desmaterializa¸c˜ao das explica¸c˜oes, quepreparou o terreno para a introdu¸c˜ao de conceitos como linhas de for¸ca, no casoel´etrico, e em ´ultima instˆancia, do conceito de campo . Isto marca o retorno da causa formalis ao primeiro plano das explica¸c˜oes cient´ıficas.Al´em de Fourier, tamb´em Lagrange teve um papel fundamental na afirma¸c˜aodesse sistema explicativo (MOREIRA XAVIER, 1986). Ao utilizarmos as equa-¸c˜oes de Lagrange (obtidas a partir do chamado princ´ıpio de m´ınima a¸c˜ao ), para Os grifos s˜ao nossos. causa formalis dada pela lagrangeana, uma causa finalis expressa pelo princ´ıpio variacional. Foi o estudo de sistemas com-plexos – propaga¸c˜ao de calor, mecˆanica dos fluidos e teoria dos campos – queexigiu o uso de um sistema explicativo complexo (quatro causas) e o aban-dono do mecanicismo stricto sensu , baseado exclusivamente na causa efficiens (MOREIRA XAVIER, 1993).Ainda no interior da F´ısica Cl´assica, o Eletromagetismo oferece, tamb´em, umexemplo interessante. Embora as equa¸c˜oes de Maxwell tenham sido obtidas apartir de um modelo mecˆanico do ´eter – no fundo, portanto, de um esquemabaseado na causa efficiens – Hertz percebeu que este esquema tinha que serabandonado, em benef´ıcio da causa formalis , ao nos ensinar que as Equa¸c˜oes deMaxwell s˜ao a Teoria de Maxwell. Em suas palavras: “O que ´e a teoria de Maxwell?” N˜ao conhe¸co resposta mais sucintanem mais definitiva do que a seguinte: – a teoria de Maxwell ´e osistema de equa¸c˜oes de Maxwell.” (HERTZ, 1893).A F´ısica Contemporˆanea est´a repleta de exemplos de utiliza¸c˜ao da causa for-malis . V´arias propriedades quˆanticas da mat´eria, como spin, paridade, isospin,estranheza, charme, cor dos quarks, dentre outras, s˜ao pass´ıveis de descri¸c˜aoapenas em termos matem´aticos. A rela¸c˜ao entre os teoremas de conserva¸c˜ao eas propriedades de simetria ´e outro exemplo: quando se diz que uma grandezase conserva, como resultado de uma determinada simetria, o que se est´a a fazer ´eatribuir a conserva¸c˜ao a uma causa formalis . Na teoria da Relatividade de Ein-stein, o programa de geometriza¸c˜ao da F´ısica ´e claramente calcado na primaziados aspectos formais, ou seja, na valoriza¸c˜ao da causa formalis .Existe um exemplo interessante em Teoria de Campos onde se pode mostrarque causa formalis et causa efficiens coexistem num esquema explicativo maiscomplexo: ´e o processo dinˆamico de quebra espontˆanea de simetria, onde adensidade de lagrangeana apresenta explicitamente uma certa simetria – causaformalis – que n˜ao mais se manifesta nas equa¸c˜oes de movimento devido a al-guma particularidade das intera¸c˜oes entre os campos que comp˜oem a densidadede lagrangeana — a causa efficiens da quebra de simetria (que n˜ao ´e obviamentedevida a uma for¸ca no sentido newtoniano).Por ´ultimo, o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli, que vale para um s´o tipo demat´eria – de spin semi-inteiro, i.e. , os f´ermions — e n˜ao para part´ıculas despin inteiro – os b´osons — pode estar, de alguma forma, relacionado `a causamaterialis (MOREIRA XAVIER, 1986). Usar o princ´ıpio de Pauli para explicara impenetrabilidade da mat´eria significa invocar uma causa materialis para estefenˆomeno.Esta lista de exemplos, ainda que bastante incompleta, serve, entretanto,para ilustrar como as explica¸c˜oes de que a F´ısica lan¸ca m˜ao hoje em dia s˜aomais variadas (e, em geral, mais complexas), do que as concebidas nos estreitoslimites do programa mecanicista, na medida em que incorporam todos os quatrotipos de causa. 6ostar´ıamos de concluir esta Se¸c˜ao reafirmando que, no diversificado sis-tema explicativo da F´ısica Contemporˆanea, causa readquire um sentido lato(KUHN, 1977), cujas ra´ızes remotas podem ser encontradas no esquema aris-tot´elico-escol´astico de quatro causas. Este fato n˜ao chega a surpreender se noslembrarmos, por exemplo, do car´ater neo–aristot´elico da F´ısica de Einstein,assinalado por Koyr´e (KOYR´E, 1971, p. 269). Que a tridimensionalidade ´e para Arist´oteles um atributo do corp´oreo – supostocompleto em magnitude e imut´avel – se aprende no primeiro cap´ıtulo do seu
DeCaelo : Se uma magnitude ´e divis´ıvel de um modo, ´e uma linha, se de doismodos, ´e uma superf´ıcie e se de trˆes, um corpo. Al´em dessas,n˜ao h´a outra magnitude, porque trˆes s˜ao todas as dimens˜oes queexistem, e o que ´e divis´ıvel em trˆes dire¸c˜oes ´e divis´ıvel em todas.(...) posto que ‘todas’ e ‘tudo’ e ‘completo’ [s˜ao conceitos que] n˜aodiferem entre si no que diz respeito `a forma, mas apenas, quandomuito, diferem nas suas mat´erias e naquilo a que eles s˜ao aplicados,s´o o corpo, entre as magnitudes, pode ser completo. Pois, somenteele ´e determinado por trˆes dimens˜oes, isto ´e, em um ‘todo’ (...) N´osn˜ao podemos passar do corpo para outra coisa, como passamos dalinha para a superf´ıcie, e da superf´ıcie para o corpo. Pois, se pud´essemos,n˜ao seria mais verdade que o corpo ´e magnitude completa. Poder´ıamospassar al´em dele apenas em virtude de um defeito nele existente, eo que ´e completo n˜ao pode ser deficiente, pois se estende em todasas dire¸c˜oes.” (tradu¸c˜ao e grifos dos autores) Portanto, da leitura de Arist´oteles, concluimos que o
Ser – o corp´oreo emsua completude – ´e a causa materialis da tridimensionalidade, negada ao topos ,que ´e uma extens˜ao bidimensional, como notou
Simplicius (SIMPLICIUS, apud
JAMMER, 1954). A magnitude if divisible one way is a line, if two ways a surface, and if three a body.Beyond these there is no other magnitude, because the three dimensions are all that thereare, and that which is divisible in three directions is divisible in all. (...) since ‘every’ and ‘all’and ‘complete’ do not differ from one another in respect of form, but only, if at all, in theirmatter and in that to which they are applied, body alone among magnitudes can be complete.For it alone is determined by the three dimensions, that is, in an ‘all’ (...) We cannot passbeyond body to a further kind, as we passed from length to surface, and from surface to body.For if we could, it would cease to be true that body is complete magnitude. We could passbeyond it only in virtue of a defect in it and that which is complete cannot be defective, sinceit extends in every directions” (ARIST ´OTELES, in BARNES, 1985). Kant ´E difundida na literatura a opini˜ao de que Kant apresentou a primeira solu¸c˜aof´ısica para a quest˜ao da dimensionalidade (JAMMER, 1954; BRITTAN, 1978;BARROW, 1983; BARROW & TIPLER, 1986; CARUSO & MOREIRA XA-VIER, 1987). A ele ´e atribu´ıdo o argumento de que a raz˜ao da tridimensionali-dade do espa¸co poderia ser encontrada na lei da gravita¸c˜ao de Newton, segundoa qual a for¸ca entre dois corpos decresce com o quadrado da distˆancia que ossepara . Tal concep¸c˜ao se ap´oia, provavelmente, no t´ıtulo do d´ecimo par´agrafodo escrito
Considera¸c˜oes Sobre a Verdadeira Estimativa das For¸cas Vivas , deKant, a saber: “ ´E prov´avel que a tridimensionalidade seja devida `a lei que defineas for¸cas que as substˆancias exercem umas sobre as outras ” (KANT,1747, p. 11).Entretanto, veremos nesta Se¸c˜ao, que uma leitura mais cuidadosa da obraacima citada, como um todo, leva-nos a concluir que seu racioc´ınio n˜ao con-duz a uma resposta satisfat´oria sobre a dimensionalidade do espa¸co – como seinsinua no t´ıtulo e ´e normalmente aceito – mas limita-se, na verdade, a justi-ficar a tridimensionalidade da extens˜ao . Esta quest˜ao ser´a examinada em outrotrabalho (CARUSO & MOREIRA XAVIER, 1994).Aqui cabe, apenas, mencionar dois pontos: em primeiro lugar, que essaideia de Kant — elaborada no per´ıodo pr´e–cr´ıtico — de procurar determinar adimensionalidade do espa¸co a partir de uma lei f´ısica ´e, sem d´uvida, um marcoimportant´ıssimo para a discuss˜ao moderna deste problema, embora n˜ao se sus-tente no per´ıodo cr´ıtico da filosofia kantiana; em segundo lugar, que h´a umponto pac´ıfico, qualquer que seja a leitura que se fa¸ca desses textos pr´e–cr´ıticosde Kant: a grande importˆancia da lei de Newton em seu argumento, ou em out-ras palavras o papel fundamental que a for¸ca desempenha em sua explica¸c˜ao.Esta afirmativa ´e corroborada pelas cita¸c˜oes: “ Todo corpo tem uma for¸ca quelhe ´e essencial. ” (KANT, 1747, p. 3). “Prova–se facilmente que n˜ao haveria espa¸co nem extens˜ao se assubstˆancias n˜ao tivessem for¸cas pelas quais atuassem fora de seuslimites. Pois sem uma for¸ca deste tipo n˜ao h´a conex˜ao, sem estaconex˜ao n˜ao h´a ordem e sem esta ordem n˜ao h´a espa¸co. ” (KANT,1747, p. 10); “Posto que devemos ser capazes de deduzir tudo que se encontre en-tre as qualidades de uma coisa a partir daquela que contenha em sio fundamento mais completo da pr´opria coisa, as qualidades da ex-tens˜ao, e consequentemente sua tridimensionalidade, fundamentar-se-˜ao nas qualidades da for¸ca que as substˆancias possuem na pre-sen¸ca das coisas com as quais elas est˜ao relacionadas. ” (KANT,1747, p. 11). Esta delicada quest˜ao ´e tratada em (VUILLEMIN, 1967) e discutida pelos autores(CARUSO & MOREIRA XAVIER, 1994). causa efficiens tem um papel fundamental na explica¸c˜aoque Kant apresenta para a tridimensionalidade e pode ser considerado uma in-dica¸c˜ao de quanto ele n˜ao compartilha das ideias galileanas de geometriza¸c˜aoda F´ısica. Seu sistema explicativo ´e essencialmente newtoniano, e toda a suaargumenta¸c˜ao ´e constru´ıda a partir das leis de for¸ca. ´E como se ele entendesseque o estudo de espa¸cos mais gen´ericos devesse preceder a discuss˜ao da dimen-sionalidade do espa¸co no ˆambito da F´ısica, antecipando uma interrela¸c˜ao dosdois problemas. Mesmo que sua conjectura refira-se `as dimens˜oes da extens˜ao ,Kant foi obrigado a imaginar a possibilidade de existˆencia de espa¸cos com umn´umero diferente de dimens˜oes, antes que houvesse uma teoria para estes tiposde espa¸co. Ser´a a descoberta das geometrias n˜ao-euclidianas, no s´eculo XIX,que dar´a impulso a estas quest˜oes (JAMMER, 1954). Parece-nos, portanto,que Kant n˜ao s´o tinha consciˆencia, j´a em 1747, da dualidade a que se referiuWhitrow (WHITROW, 1955, pp. 13-31), mas, sobretudo, lan¸cou as suas bases.Por outro lado, Kant rompe tamb´em com a concep¸c˜ao aristot´elica do prob-lema – no seu aspecto geral (causa do espa¸co) e particular (causa da dimension-alidade) – atrav´es da introdu¸c˜ao da for¸ca como causa efficiens do espa¸co, via oconceito de ordem Esta dupla ruptura – com Galileu e Arist´oteles – demonstra a originalidadede Kant e, no fundo, aponta para a grande importˆancia que sua ideia ter´adepois da inven¸c˜ao dos conceitos de linha de for¸ca e de campo. De fato, doponto de vista da F´ısica, uma compreens˜ao mais profunda da conjectura deKant s´o pode ser alcan¸cada com o conceito de campo, com suas implica¸c˜oes j´amencionadas na Se¸c˜ao III. ´E atrav´es da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Laplace-Poissonem um espa¸co euclidiano de n -dimens˜oes (ou, equivalentemente, pela aplica¸c˜aodo teorema de Gauss ao campo gravitacional produzido por uma massa) quese p˜oe em evidˆencia a rela¸c˜ao entre o expoente do potencial newtoniano e adimensionalidade do espa¸co.At´e onde sabemos – com o aval de Brittan (BRITTAN, 1978, pp. 96-97)–, n˜ao h´a outra tentativa de Kant para fornecer uma base f´ısica `a quest˜ao dadimensionalidade. Sabe–se que Kant voltou a este problema, como atestam osmanuscritos coligidos no Opus Postumum (KANT, 1986), mas, ironicamente,h´a uma interrup¸c˜ao no texto, num ponto fundamental, tornando imposs´ıveldescobrir como o Kant maduro revisitaria o problema da dimensionalidade doespa¸co. Concluiremos esta Se¸c˜ao com esta reticente cita¸c˜ao de Kant: “A qualidade do espa¸co e do tempo, por exemplo que o primeirotenha trˆes dimens˜oes, o segundo somente uma, que a revolu¸c˜ao seja O fato de Kant considerar a for¸ca como essencial ao corpo sugere que esta possa ter ainda,para ele, um certo car´ater de essˆencia (ou forma), reminiscˆencia talvez aristot´elica, que nospermitiria imaginar a for¸ca tamb´em como uma esp´ecie de causa formalis.
Embora aristot´elicono papel que a substˆancia desempenha em seu sistema explicativo, note que Kant considera,aqui, for¸ca como geradora de ordem (KANT, 1747, p. 10), ao contr´ario de Arist´oteles, emcujo sistema, for¸ca (dynamis) conduz `a ruptura de ordem c´osmica. egida pelo quadrado das distˆancias s˜ao princ´ıpios que (...) [inter-rup¸c˜ao]” (KANT, 1986, p. 131). Em seu artigo sobre a dimensionalidade do espa¸co, Ehrenfest introduz um novoenfoque para o problema, dando-lhe uma base f´ısica mais s´olida (EHRENFEST,1920, p. 440). Considera, como ponto de partida, a hip´otese de que a dinˆamicade um sistema planet´ario em um espa¸co de n –dimens˜oes, seja regida pelo po-tencial solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Laplace–Poisson neste espa¸co, obtida por umaextens˜ao formal do operador laplaciano de trˆes a n -dimens˜oes. Desse modo,mostra que o sistema planet´ario s´o admite solu¸c˜oes mecanicamente est´aveis para n = 3. Em suma, Ehrenfest busca identificar diferen¸cas entre alguns fenˆomenosf´ısicos em um espa¸co tridimensional ( ℜ ) e noutro n-dimensional ( ℜ n ). A estesaspectos que distinguem a F´ısica em ℜ daquela em ℜ n ele d´a o nome de aspec-tos singulares , e seu trabalho ´e dedicado a pˆo-los em evidˆencia. O ponto centralda abordagem de Ehrenfest consiste nas seguintes hip´oteses: (i) ´e poss´ıvel fazeruma extens˜ao formal de certas leis f´ısicas estabelecidas no ℜ para o ℜ n ; (ii) apartir da´ı, podem–se buscar um ou mais princ´ıpios – por exemplo, o princ´ıpioda estabilidade – que, junto com esta lei, permitir˜ao determinar o n´umero dedimens˜oes do espa¸co f´ısico. Este tipo de abordagem foi seguido por outros au-tores, que mostraram que o ´atomo hidrogen´oide de Bohr–Schr¨odinger e a solu¸c˜aode Schwarzschild das equa¸c˜oes de Einstein apresentam tamb´em aspectos singu-lares para n = 3 (WHITROW, 1959; TANGHERLINI, 1963 e 1986). Umacr´ıtica epistemol´ogica `a essˆencia destes trabalhos foi apresentada pelos autores(CARUSO & MOREIRA XAVIER, 1987).Gostar´ıamos de enfatizar que, para a ideia de Ehrenfest ser implementada,em geral ´e a estrutura matem´atica de certo formalismo f´ısico, ou simplesmente a forma de uma equa¸c˜ao f´ısica, que ´e mantida, e sua validade em um espa¸co comum n´umero arbitr´ario de dimens˜oes, postulada . Isto revela o papel da causaformalis na resposta que d´a Ehrenfest `a quest˜ao: por que o espa¸co tem trˆesdimens˜oes? Por´em h´a mais ingredientes no argumento de Ehrenfest: ´e precisoinvocar tamb´em a causa efficiens para se entender a instabilidade dos sistemasdinˆamicos considerados (planet´ario e hidrogen´oide) para n = 3. Este fato, maisuma vez ilustra a complexidade das modernas explica¸c˜oes causais. A dimensionalidade do espa¸co vem sendo problematizada desde Plat˜ao e Aris-t´oteles, mas com grande descontinuidade (WEYL, 1949; JAMMER, 1954; RE-ICHENBACH, 1957; GR ¨UNBAUM, 1974; BARROW & TIPLER, 1986; CARU-SO & MOREIRA XAVIER, 1987). No s´eculo XIX, com o surgimento da geo- N˜ao ´e demais repetir, estabelecida pressupondo a tridimensionalidade. superstrings ( Cf. , por ex., SRIVASTAVA, 1986; DAVIES& BROWN, 1988), e o estudo de sistemas n˜ao lineares envolvendo estruturasfractais (MANDELBROT, 1987). Portanto, a quest˜ao da dimensionalidade doespa¸co est´a longe de ser uma quest˜ao fechada, ou meramente acadˆemica, e ´eainda objeto de intensa investiga¸c˜ao cient´ıfica.Al´em disso, existem numerosas quest˜oes epistemol´ogicas referentes `a dimensio-nalidade do espa¸co, que precisam ser elucidadas. Neste ensaio, discutiu–se arela¸c˜ao entre os crit´erios utilizados para explicar ou impor limites sobre a dimen-sionalidade do espa¸co e o sistema de explica¸c˜ao causal dominante no correspon-dente per´ıodo hist´orico, focalizando-se as contribui¸c˜oes marcantes de Arist´oteles,Kant e Ehrenfest ao problema da dimensionalidade. Vimos que os argumen-tos (e consequentes limita¸c˜oes) dos trˆes sedimentam-se em explica¸c˜oes causaisdistintas: em Arist´oteles a tridimensionalidade ´e um atributo das substˆanciascorp´oreas ( causa materialis ); Kant parte de uma concep¸c˜ao newtoniana de for¸ca,que se torna basicamente a causa efficiens da tridimensionalidade (KANT,1747), enquanto Ehrenfest admite, como ponto de partida de sua argumenta¸c˜ao(na passagem ℜ → ℜ n ) (EHRENFEST, 1920, p. 440), um referencial te´oricoconstru´ıdo, principalmente, a partir da ideia de causa formalis .Excetuando-se alguns argumentos de natureza topol´ogica (fundamentadosna teoria dos n´os, por exemplo), n˜ao encontramos na literatura especializadarecente nenhum procedimento que n˜ao se baseie explicitamente em equa¸c˜oesdiferenciais . E mais: toda vez que se consegue obter v´ınculos sobre a dimen-sionalidade topol´ogica do espa¸co, as equa¸c˜oes em quest˜ao s˜ao lineares (n˜ao im-portando o m´etodo utilizado). Alguns exemplos s˜ao as equa¸c˜oes de Laplace-Poisson (EHRENFEST, 1920, p. 440), de d’Alembert (HADAMARD, 1923;B ¨UCHEL, 1963), de Schr¨odinger (TANGHERLINI, 1963; CARUSO & MOR-EIRA XAVIER, 1987), de Klein–Gordon (CARUSO, NETO, SVAITER & SVAI-TER, 1991) e de Dirac (CARUSO & MOREIRA XAVIER, 1987; L ¨AMMER-ZAHL, 1993). Espera-se que equa¸c˜oes n˜ao-lineares dˆeem v´ınculos sobre a di-mensionalidade fractal do espa¸co. Al´em disso, ´e de se supor que as teoriasde campo unificadas sejam capazes de iluminar certos aspectos da quest˜ao dadimensionalidade do espa¸co f´ısico. Se esta perspectiva se confirmar, mais umavez verificaremos que a Matem´atica desempenha um papel fundamental na ten-tativa de se compreender esta quest˜ao, n˜ao como ciˆencia pura, mas como ´unicomodo aceito, desde a revolu¸c˜ao galileana, de formalizar um certo conhecimentodo mundo fenomenol´ogico. Este fato aponta para uma crescente valoriza¸c˜ao da causa formalis na abordagem do problema da dimensionalidade do espa¸co f´ısico.11 gradecimento: Um de n´os (F.C.) agradece ao CNPq, pela bolsa de pesquisavigente durante o per´ıodo no qual este trabalho foi realizado. • ARIST ´OTELES,
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