Chiral Nonet Mixing in η ′ →ηππ Decay
Amir H. Fariborz, Joseph Schechter, Soodeh Zarepour, Mohammad Zebarjad
CChiral Nonet Mixing in η (cid:48) → ηππ Decay
Amir H. Fariborz, a ∗ , Joseph Schechter b † , Soodeh Zarepour c ‡ , and Mohammad Zebarjad c § a Department of Engineering, Science and Mathematics,State University of New York, Institute of Technology,Utica, NY13504-3050, USA, b Department of Physics, Syracuse University, Syracuse, NY 13244-1130, USA, and c Department of Physics, Shiraz University, Shiraz 71454, Iran (Dated: September 10, 2018)Underlying mixing of scalar mesons is studied in η (cid:48) → ηππ decay within a generalized linear sigmamodel of low-energy QCD which contains two nonets of scalar mesons and two nonets of pseudoscalarmesons (a quark-antiquark nonet and a four quark nonet). The model has been previously employedin various investigations of the underlying mixings among scalar mesons below and above 1 GeV (aswell as those of their pseudoscalar chiral partners) and has provided a coherent global picture forthe physical properties and quark substructure of these states. The potential of the model is definedin terms of two- and four-quark chiral nonets, and based on the number of underlying quark andantiquark lines in each term in the potential, a criterion for limiting the number of terms at eachorder of calculation (and systematically further improving the results thereafter). At the leadingorder, which corresponds to neglecting terms in the potential with higher than eight quark andantiquark lines, the free parameters of the model have been previously fixed in detailed global fitsto scalar and pseudoscalar experimental mass spectra below and above 1 GeV together with severallow-energy parameters. In the present work, the same order of potential with fixed parameters isused to further explore the underlying mixings among scalar mesons in the η (cid:48) → ηππ decay. It isfound that the linear sigma model with only a single lowest-lying nonet is not accurate in predictingthe decay width, but inclusion of the mixing of this nonet with the next-to-lowest lying nonet,together with the effect of final state interaction of pions, significantly improves this prediction andagrees with experiment up to about 1%. It is also shown that while the prediction of the leadingorder of the generalized model for the Dalitz parameters is not close to the experiment, the model isable to give a reasonable prediction of the energy dependencies of the normalized decay amplitudesquared and that this is expected to improve with further refinement of the complicated underlyingmixings. Overall this investigation provides further support for the global picture of scalar mesons:those below 1 GeV are predominantly four-quark states and significantly mix with those above 1GeV which are closer to the conventional p-wave quark-antiquark states. PACS numbers: 14.80.Bn, 11.30.Rd, 12.39.Fe
I. INTRODUCTION
The scalar mesons continue to attract the attention of many investigators for their important roles in low-energyQCD [1]. Although not all their properties have been fully uncovered, nevertheless a great deal of progress has beenmade over the past couple of decades [2]-[70]. Now there seems to be an emerging agreement about their quarksubstructure. Historically, the light scalar mesons (below 1 GeV) with their low mass and inverted mass spectrum(isosinglet lighter than the isodoublet, lighter than the heavier isosinglet which is nearly degenerate in mass withisovector) found a natural template in an ideally mixed four-quark MIT bag model [71]. An ideally mixed pure four-quark picture, while gives a perfect description of the mass spectra of the scalars below 1 GeV, seems to need somedistortions to be able to describe some of the decay channels of these states. On the other hand, the scalars above1 GeV while seem to be close to the conventional p-wave quark-antiquark states, some of their properties deviatefrom such an idealized picture. In short, the scalars below 1 GeV appear to be close to four-quark states with somedistortions and those above 1 GeV appear to be close to quark-antiquark states with some distortions. The naturalquestion would be whether such distortions on the quark substructure of both of these sets of states is due to a mixingamong these states. The idea of mixing is intuitively understandable since some of the scalars below and above 1GeV are very broad (such as, for example, f (500) and f (1370), or K ∗ (800)) and there is no reason that they should ∗ Email: [email protected] † Email: [email protected] ‡ Email: [email protected] § Email: [email protected] a r X i v : . [ h e p - ph ] J u l not refrain from mixing with members having the same quantum numbers in a nearby nonet (see refs. [72]-[78]). In[78], the idea of such mixings and their effects on the properties of isovectors and isodoublets was studied within anonlinear chiral Lagrangian model and was shown that allowing a four-quark scalar nonet below 1 GeV to slightlymix with a quark-antiquark scalar nonet above 1 GeV provides a natural explanation for certain aspects of the massspectrum and decay properties of both nonets of scalars. For example, it explains that when a pure four-quark nonetbelow 1 GeV mixes with a pure quark-antiquark nonet above 1 GeV, due to level repulsion, the scalar mesons below1 GeV are pushed down in mass and hence become lighter than expected. Also it shows that several unexpected massand decay properties of the scalars above 1 GeV stem from this underlying mixing: the fact that the experimentalmass of a (1450) is higher than that of K ∗ (1430) (which is unexpected if these two states were to belong to the samepure quark-antiquark nonet) is due to a “level-crossing” that takes place in this mixing which also naturally explainsseveral unexpected decay properties of the states above 1 GeV [78]. In refs. [79] (and refs. therein) such mixingpatterns were further studied in a generalized linear sigma model. The advantages of linear vs nonlinear model are:(a) the scalar and pseudoscalar states become chiral partners, form chiral nonets, and the underlying chiral symmetryand its breakdown establishes connections and constrains on various parameters of the model (b) reliable experimentalinputs on both scalar and pseudoscalar mesons can be used in determining the model parameters and (c) the status ofsome of the pseudoscalar states that are not quite established (such as η (1405) which is stated to be a good “non-¯ qq ”candidate [80], or dynamically generated in f (980) η channel [81]) can be explored in this approach as well. Themain disadvantage of linear model vs nonlinear model is the fact that in scattering and decay processes one has tocarefully deal with the individual contributions that are often large but tend to regulate each other in a very delicatemanner (“local cancelations”). This is a disadvantage compared to, for example, chiral perturbation theory [82] wherecorrections are systematically controlled at different orders. Nevertheless, for the present objective of studying theglobal picture for the family relations and mixings among various scalar states below 2 GeV, the generalized linearmodel in which all such states are explicitly kept in the Lagrangian, instead of being integrated out, seems to be anefficient framework. Although the description of η (cid:48) → ηππ seems to be beyond the immediate effectiveness of chiralperturbation theory [83], nevertheless, this decay has been studied in some variations of this framework [84].The tree-level Feynman diagrams representing the η (cid:48) → ηππ decay are shown in Fig. 1. These include a four-point interaction diagram (contact diagram) together with diagrams representing the contributions of isovector andisosinglet scalar mesons. This is a suitable decay channel for studying the role of scalar mesons and their underlyingmixing patterns. To probe the effect of such underlying mixings, we use both a single-nonet SU(3) linear sigma model,as well as a generalized version that contains two nonets of scalar mesons (a two-quark nonet and a four-quark nonet).In either case, the computation of the partial decay width, and the energy dependencies of the normalized decayamplitude, are the points of contact with experiment. The individual amplitudes are M p = − γ (4) ,M f i = √ γ f i ηη (cid:48) γ f i ππ m f i + ( p − k ) = √ γ f i ηη (cid:48) γ f i ππ m f i + (cid:104) m η (cid:48) − m η − m η (cid:48) ( w + w ) (cid:105) ,M a j = γ a j πη (cid:48) γ a j πη (cid:34) m a j + ( p − q ) + 1 m a j + ( p − q ) (cid:35) = γ a j πη (cid:48) γ a j πη (cid:34) m a j + ( − m η (cid:48) − m π + 2 m η (cid:48) w ) + 1 m a j + ( − m η (cid:48) − m π + 2 m η (cid:48) w ) (cid:35) , (1)where the subscripts i and j run over the number of isosingle and isovector intermediate states, respectively, ω and ω are the pion energies, and the coupling constants are defined as − L = 12 γ (4) ηη (cid:48) π · π + γ f i ππ √ f i π · π + γ f i ηη f i ηη + γ f i ηη (cid:48) f i ηη (cid:48) + γ a j πη a j · π η + γ a j πη (cid:48) a j · π η (cid:48) + · · · . (2) FIG. 1: Feynman diagrams representing the decay η (cid:48) → ηππ : Contact term (left), contribution of isosinglet scalars (middle)and contribution of isovectors (right). Following the standard calculation, the partial decay width is then obtained fromΓ η (cid:48) → ηππ = 164 π m η (cid:48) (cid:90) dw dw | M | , (3)with the total amplitude M = M p + (cid:88) i M f i + (cid:88) j M a j . (4)Equations (1), (2), (3) and (4) serve as our “templates” for various investigations in this work. The experimentaldata for decay width [1] is given in Table I. TABLE I: Experimental decay width of η (cid:48) → ηπ + π − (first column), η (cid:48) → ηπ π (second column) and η (cid:48) → ηππ in the isospininvariant limit (last column). Exp. [ η (cid:48) → ηπ + π − ] Exp. [ η (cid:48) → ηπ π ] Exp.(averaged a )Γ (MeV) 0 . ± .
004 0 . ± . . ± . a For the average value ¯ x + δ ¯ x of measurements x i + δx i , we use ¯ x = (cid:80) i x i w i / (cid:80) i w i ; δ ¯ x = ( (cid:80) i w i ) − / with the weight w i = 1 / ( δx i ) , and δx total = (cid:113) δx . + δx . In addition to the partial decay width, the energy dependence of the normalized decay amplitude squared can becompared with experiment. For this comparison, it is common to use Dalitz variables X = √ Q ( ω − ω ) ,Y = − m η /m π Q ( ω + ω ) − m η /m π Q ( m η (cid:48) − m η ) , (5)where Q = m η (cid:48) − m η − m π . Then the normalized decay amplitude squared can be expanded in powers of X and Y .In the generalized parametrization [1] M = M ( X, Y ) M (0 , = 1 + a Y + b Y + c X + d X + · · · , (6)where a , b , c , and d are real-valued parameters and c = 0 in the isospin invariant limit. The experimental data [1] for a , b and d are given in Table II. See also [87, 88]. TABLE II: Experimental Dalitz slope parameters for η (cid:48) → ηπ + π − (first column), η (cid:48) → ηπ π (second column) and η (cid:48) → ηππ in iso-spin invariant limit (third column).Parameter Exp. [ η (cid:48) → ηπ + π − ] Exp. [ η (cid:48) → ηπ π ] Exp. (averaged)VES [85] GAM4[86] iso-spin invariant limita − . ± . ± . − . ± . ± . − . ± . − . ± . ± . − . ± . ± . − . ± . − . ± . ± . − . ± . ± . − . ± . In Sec. II we present the predictions of single nonet SU(3) linear sigma model for the η (cid:48) → ηππ decay. We thenpresent a brief review of the double nonet generalized linear sigma model in Sec. III, followed by its predictions forthe relevant two-body decays in Sec. IV and of the η (cid:48) → ηππ decay in Sec. V. We give our approximation for theeffect of final state interactions in Sec. VI and a summary and discussion of the results in Sec. VII. II. SINGLE NONET APPROACH
The role of scalar mesons in ππ , πK and πη scattering channels was extensively studied in a single nonet SU(3)linear sigma model in [89]. It was shown that when the tree-level scattering amplitudes are unitarized with the simpleK-matrix unitarization method, the model is able to explain the experimental data on the I = J =0 ππ scatteringamplitude up to around 1.2 GeV. The first pole found in this unitarized amplitude clearly agrees with the propertiesof the light and broad sigma meson (with m σ = 0 .
457 GeV and Γ σ = 0 .
632 GeV), and the second pole agrees withthe properties of f (980) (with m f =0.993 GeV and Γ f =0.051 MeV). Within the same framework, a light and broadkappa meson (with m κ =0.798-0.818 GeV and Γ κ = 0.257-0.614 GeV) was identified in the studies of I = 1 / J = 0, πK scattering amplitude. Similarly, a coherent picture was observed in the studies of I = 1, J = 0, πη scatteringamplitude in which a scalar resonance with the properties of a (980) is clearly detected (with m a = 0.890-1.013 GeVand Γ a =0.109-0.241 GeV). These investigations were carried out within a non-renormalizable linear sigma model inwhich the Lagrangian has the general structure L = −
12 Tr (cid:0) ∂ µ M ∂ µ M † (cid:1) − V ( M ) − V SB , (7)where the chiral field M is constructed out of scalar nonet S and pseudoscalar nonet φ , M = S + iφ, (8)and transforms linearly under chiral transofrmation M → U L M U † R , (9)and V is an arbitrary function of the independent SU(3) L × SU(3) R × U(1) V invariants I = Tr (cid:0) M M † (cid:1) , I = Tr (cid:0) M M † M M † (cid:1) ,I = Tr (cid:104)(cid:0) M M † (cid:1) (cid:105) , I = 6 (cid:0) det M + det M † (cid:1) . (10)The symmetry breaker V SB has the minimal form V SB = − AS ) , (11)where A = diag ( A , A , A ) are proportional to the three “current” type quark masses. The vacuum values satisfy (cid:104) S ba (cid:105) = α a δ ba . (12)In the isospin invariant limit A = A (cid:54) = A , α = α (cid:54) = α . (13)Using “generating equations” that express the chiral symmetry of V together with the minimum equation (cid:28) ∂V∂S ba (cid:29) = 0 , (14)masses of pseudoscalars are completely determined based on the underlying chiral symmetry together with the choiceof symmetry breakers (both U(1) A and SU(3) L × SU(3) R → SU(2) isospin). The scalar masses on the other handare not all predicted; in the most general case only the mass of isodoublet kappa meson is predicted, whereas if therenormalizability is imposed the isovector mass and one of the isosinglet masses are determined. It is found in [89]that it is necessary not to impose the renomalizability condition in order to be able to fit to the ππ and πK scattteringamplitudes and to get a reasonable description of πη amplitude. In the nonrenormalizable case, the “bare” scalarmasses m BARE ( σ ), m BARE ( f ) and m BARE ( a ) (i.e. the Lagrangian masses which are different than the physicalmasses that are related to the poles of the appropriate unitarized scattering amplitudes) and the scalar mixing angle θ s are found from fits to various low-energy data in [89]. Here we use the same set of parameters to study the η (cid:48) → ηππ decay. In this case the required coupling constants in our “template” equations (1)-(4) are computed fromthe “generating equations” that express the symmetry of the Lagrangian (7) (a computational algorithm is presentedin [90]): γ (4) = (cid:88) a,b (cid:28) ∂ V∂φ ∂φ ∂φ aa ∂φ bb (cid:29) ( R φ ) a ( R φ ) b ,γ a πη = (cid:88) a (cid:28) ∂ V∂S ∂φ aa ∂φ (cid:29) ( R φ ) a ,γ a πη (cid:48) = (cid:88) a (cid:28) ∂ V∂S ∂φ aa ∂φ (cid:29) ( R φ ) a ,γ f i ππ = 1 √ (cid:88) a (cid:28) ∂ V∂S aa ∂φ ∂φ (cid:29) ( R s ) ai +1 ,γ f i ηη (cid:48) = (cid:88) a,b,c (cid:28) ∂ V∂S aa ∂φ bb ∂φ cc (cid:29) ( R s ) ai +1 ( R φ ) b ( R φ ) c , (15)where the “bare” couplings and the rotation matrices ( R s and R φ ) are given in Appendix A. Here f = σ and f = f (980). We findΓ ( η (cid:48) → ηππ ) = 0 . ± .
01 MeV Single nonet ( bare result) . (16)Clearly, despite the success of the nonrenormalizable single nonet SU(3) linear sigma model in describing the low-energy scatterings discussed above, it estimates this partial decay width about seven times larger than the experimentalvalue displayed in Table I.The energy dependence of the normalized decay amplitude squared is compared with experiment in Fig. 2 and theDalitz parameters that characterize the energy expansion of this amplitude squared are given in Table III. Comparingwith the averaged experimental values of Table II, we see that there is a qualitative order of magnitude agreement, atbest. This lack of accuracy of the single nonet approach raises the natural question of whether the underlying mixingamong scalar mesons (which are clearly important players in this decay) has a noticeable effect on these estimates.One of the important roles of the scalars is to balance the large contribution due to the contact term ( M p ) as canbe seen in Fig. 3. Moreover, the eta systems (both the two below 1 GeV as well as those above 1 GeV) can mix andhave a nontrivial effect on this decay estimate. The single nonet approach does not take these mixing effects amongthe scalars and among the pseudoscalars into account which can have important consequences for this partial decaywidth. This motivates us to further study this decay within the generalized linear sigma model (that contains twoscalar nonets and two pseudoscalar nonets) in this investigation. æææ æææææææææ æææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææ - - È M H x , y L (cid:144) È M H , L æææ æææææææææ æææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææ - - È M H x , y L (cid:144) È M H , L FIG. 2: Projections of | ˆ M | = | M ( x, y ) | / | M (0 , | onto the y − | ˆ M | and x − | ˆ M | planes (single nonet model).TABLE III: The predicted Dalitz parameters in single nonet linear sigma model of ref. [89].Parameter single nonet modela − . ± . − . ± . − . ± . æææ æææææææææ æææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ 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æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææ - point Σ f a - - - - M i FIG. 3: Individual contributions to the η (cid:48) → ηππ decay amplitude in single nonet model. The large contribution of contactterm M p is balanced with the contributions of f (980) and a (980). III. BRIEF REVIEW OF THE GENERALIZED LINEAR SIGMA MODEL
The model employs the 3 × M = S + iφ, M (cid:48) = S (cid:48) + iφ (cid:48) . (17)The matrices M and M (cid:48) transform in the same way under chiral SU(3) transformations but may be distinguishedby their different U(1) A transformation properties. M describes the “bare” quark-antiquark scalar and pseudoscalarnonet fields while M (cid:48) describes “bare” scalar and pseudoscalar fields containing two quarks and two antiquarks. Atthe symmetry level in which we are working, it is unnecessary to further specify the four quark field configuration.The four quark field may, most generally, be imagined as some linear combination of a diquark-antidiquark and a“molecule” made of two quark-antiquark “atoms”.The general Lagrangian density which defines our model is L = −
12 Tr (cid:0) ∂ µ M ∂ µ M † (cid:1) −
12 Tr (cid:0) ∂ µ M (cid:48) ∂ µ M (cid:48)† (cid:1) − V ( M, M (cid:48) ) − V SB , (18)where V ( M, M (cid:48) ) stands for a function made from SU(3) L × SU(3) R (but not necessarily U(1) A ) invariants formedout of M and M (cid:48) .As previously discussed [79], the leading choice of terms corresponding to eight or fewer underlying quark plusantiquark lines at each effective vertex reads: V = − c Tr(
M M † ) + c a Tr(
M M † M M † )+ d Tr( M (cid:48) M (cid:48)† ) + e a ( (cid:15) abc (cid:15) def M ad M be M (cid:48) cf + h.c. )+ c (cid:20) γ ln( det M det M † ) + (1 − γ )ln Tr( M M (cid:48)† )Tr( M (cid:48) M † ) (cid:21) . (19)All the terms except the last two (which mock up the axial anomaly) have been chosen to also possess the U(1) A invariance. A possible term (cid:2) Tr(
M M † ) (cid:3) is neglected for simplicity because it violates the OZI rule. The symmetrybreaking term which models the QCD mass term takes the form given in Eq. (11). The model allows for two-quarkcondensates, α a = (cid:104) S aa (cid:105) as well as four-quark condensates β a = (cid:104) S (cid:48) aa (cid:105) . Here we assume isotopic spin symmetry so A =A (cid:54) = A and: α = α (cid:54) = α , β = β (cid:54) = β . (20)We also need the “minimum” conditions, (cid:28) ∂V ∂S (cid:29) + (cid:28) ∂V SB ∂S (cid:29) = 0 , (cid:28) ∂V ∂S (cid:48) (cid:29) = 0 . (21)There are twelve parameters describing the Lagrangian and the vacuum: Six coupling constants given in Eq.(19),the two quark mass parameters, ( A = A , A ) and the four vacuum parameters ( α = α , α , β = β , β ). Ten ofthese parameters ( c , c a , d , e a , α , α , β , β , A , A ) are determined using the four minimum equations togetherwith the following six experimental inputs for the masses, pion decay constant and the ratio of strange to non-strangequark masses: m [ a (980)] = 984 . ± . ,m [ a (1450)] = 1474 ±
19 MeV ,m [ π (1300)] = 1300 ±
100 MeV ,m π = 137 MeV ,F π = 131 MeV ,A A = 20 → . (22)Clearly, m [ π (1300)] and A /A have large uncertainties which in turn dominate the uncertainty of predictions.The remaining two parameters ( c and γ ) only affect the isosinglet pseudoscalars (whose properties also dependon the ten parameters discussed above). However, there are several choices for determination of these two parametersdepending on how the the four isosinglet pseudoscalars predicted in this model are matched to many experimentalcandidates below 2 GeV. The two lightest predicted by the model ( η and η ) are identified with η (547) and η (cid:48) (958)with masses: m exp . [ η (547)] = 547 . ± .
024 MeV ,m exp . [ η (cid:48) (958)] = 957 . ± .
06 MeV . (23)For the two heavier ones ( η and η ), there are six ways that they can be identified with the four experimentalcandidates above 1 GeV: η (1295), η (1405), η (1475), and η (1760) with masses, m exp . [ η (1295)] = 1294 ± ,m exp . [ η (1405)] = 1409 . ± . ,m exp . [ η (1475)] = 1476 ± ,m exp . [ η (1760)] = 1756 ± . (24)This led to six scenarios considered in detail in [79]. The two experimental inputs for determination of the twoparameters c and γ are taken to be Tr M η and det M η , i.e.Tr (cid:0) M η (cid:1) = Tr (cid:0) M η (cid:1) exp , det (cid:0) M η (cid:1) = det (cid:0) M η (cid:1) exp . (25)Moreover, for each of the six scenarios, γ is found from a quadratic equation, and as a result, there are altogethertwelve possibilities for determination of γ and c . Since only Tr and det of experimental masses are imposed foreach of these twelve possibilities, the resulting γ and c do not necessarily recover the exact individual experimentalmasses, therefore the best overall agreement between the predicted masses (for each of the twelve possibilities) wereexamined in [79]. Quantitatively, the goodness of each solution was measured by the smallness of the followingquantity: χ sl = (cid:88) k =1 (cid:12)(cid:12) m theo .sl ( η k ) − m exp .s ( η k ) (cid:12)(cid:12) m exp .s ( η k ) , (26)in which s corresponds to the scenario (i.e. s = 1 · · ·
6) and l corresponds to the solution number (i.e. l = I, II). Thequantity χ sl ×
100 gives the overall percent discrepancy between our theoretical prediction and experiment. For the sixscenarios and the two solutions for each scenario, χ sl was analyzed in ref. [79]. Some of these scenarios, such as thoseinvolving η (1405) are clearly not favored. This suggests that η (1405) is of a more complicated quark substructurethat can be probed by the present model, and this is consistent with the investigation of ref. [81] in which it isshown that this state may be dynamically generated in f (980) η interaction. For the third scenario (corresponding toidentification of η and η with experimental candidates η (1295) and η (1760)) and solution I the best agreement withthe mass spectrum of the eta system was obtained (i.e. χ was the smallest). For the present analysis too, all sixscenarios are examined and it is again found that the best overall result (both for the partial decay width of η (cid:48) → ηππ as well as the energy dependence of its squared decay amplitude) is obtained for scenario “3I” consistent with theanalysis of ref. [79]. In this work, we only present the result of “3I” scenario. To reduce the model uncertainty forthe analysis of η (cid:48) → ηππ decay, we have further refined the numerical study of ref. [79] for scenario “3I” and havedisplayed the result in Fig. 4, in which χ is plotted over the parameter space m [ π (1300)]- A /A that are two of themodel inputs with largest experimental uncertainties.Consequently, all twelve parameters of the model (at the present order of approximation) are evaluated by themethod discussed above using four minimum equations and eight experimental inputs. The uncertainties of theexperimental inputs result in uncertainties on the twelve model parameters which in turn result in uncertainties onphysical quantities that are computed in this model. In the work of ref. [79] all rotation matrices describing theunderlying mixing among two- and four-quark components for each spin and isospin states are computed. For scalars: (cid:20) a +0 (980) a +0 (1450) (cid:21) = L − a (cid:20) S S (cid:48) (cid:21) , (cid:20) K (800) K ∗ (1430) (cid:21) = L − κ (cid:20) S S (cid:48) (cid:21) , f f f f = L − f a f b f c f d , (27)where L − a , L − κ and L − are the rotation matrices for I = 1, I = 1 / I = 0 respectively; f i , i = 1 .. f and f are clearly identified with f (500) and f (980) ææ @ Π H LDH
GeV L A (cid:144) A Χ I b Χ min = FIG. 4: Contour plot of function χ [defined in Eq. (26)] over the m [ π (1300)]- A /A η , η , η and η are identified with the four experimentalcandidates η (547), η (cid:48) (958), η (1295) and η (1760), respectively. The minimum of χ occurs at m [ π (1300)] = 1 .
30 GeV and A /A =29.40, at which it has a value of χ min3I < . (cid:80) i ∆ m exp .i /m exp .i ≈ . m exp .i ± ∆ m exp .i , i = 1 .. and the two heavier states resemble two of the heavier isosinglet scalars above 1 GeV); and f a = S + S √ n ¯ n,f b = S s ¯ s,f c = S (cid:48) + S (cid:48) √ ns ¯ n ¯ s,f d = S (cid:48) nn ¯ n ¯ n. (28)For pseudoscalars: (cid:20) π + (137) π + (1300) (cid:21) = R − π (cid:20) φ φ (cid:48) (cid:21) , (cid:20) K + (496) K (cid:48) + (1460) (cid:21) = R − K (cid:20) φ φ (cid:48) (cid:21) , η η η η = R − η a η b η c η d , (29)where R − π , R − K and R − are the rotation matrices for I = 1, I = 1 / I = 0 pseudoscalars respectively; η i , i = 1 .. η a = φ + φ √ n ¯ n,η b = φ s ¯ s,η c = φ (cid:48) + φ (cid:48) √ ns ¯ n ¯ s,η d = φ (cid:48) nn ¯ n ¯ n. (30)In the present work, we use the results obtained in [79] to compute the decay properties of η (cid:48) → ηππ withoutintroducing any new parameters and find a reasonable agreement between the model prediction and experiment. Thisprovides further test of the underlying two and four-quark mixing among scalar mesons below and above 1 GeV andthe appropriateness of the generalized linear sigma model developed in [79] and reference therein.0 IV. TWO BODY DECAYS
Since the scalar-pseudoscalar-pseudoscalar coupling constants are essential in analyzing the η (cid:48) → ηππ decay, fororientation we first calculate some of these couplings that appear in the prediction of the model for the main two-bodydecays of the scalar mesons below 1 GeV (for states above 1 GeV additional components such as mixing with glueballswould have to be included and will be presented in future works). The three decay widths that are particularly relevantfor our analysis are, Γ[ f i −→ ππ ] = 3 (cid:16) q γ f i ππ πm f i (cid:17) Γ[ a j −→ πη ] = q γ a j πη πm a j Γ[ K ∗ −→ πK ] = 3 (cid:16) q γ κπK πm κ (cid:17) (31)where q is the center of mass momentum of the final state mesons (for a generic two-body decay A −→ BC by q = (cid:112) [ m A − ( m B + m C ) ][ m A − ( m B − m C ) ] / (2 m A )). The coupling constants are related to the bare couplings: γ f i ππ = 1 √ (cid:28) ∂ V∂f i ∂π + ∂π − (cid:29) = 1 √ (cid:88) I,A,B (cid:28) ∂ V∂f I ∂ ( φ ) A ∂ ( φ ) B (cid:29) ( L ) Ii ( R π ) A ( R π ) B ,γ aπη = (cid:28) ∂ V∂a − ∂π + ∂η (cid:29) = (cid:88) A,B,I (cid:28) ∂ V∂ ( S ) A ∂ ( φ ) B ∂η I (cid:29) ( L a ) A ( R π ) B ( R ) I ,γ κKπ = (cid:28) ∂ V∂κ ∂K − ∂π + (cid:29) = (cid:88) A,B,C (cid:28) ∂ V∂ ( S ) A ∂ ( φ ) B ∂ ( φ ) C (cid:29) ( L κ ) A ( R K ) B ( R π ) C , (32)where A , B and C can take values of 1 and 2 (with 1 referring to nonet M and 2 referring to nonet M (cid:48) ) and I is aplaceholder for a , b , c and d that respectively represent the four bases in Eq. (28) and (30) . L , R π , L a , R , L κ , R K are the rotation matrices defined in previous Sec. III. The bare coupling constants are all given in Appendix A. Thekappa coupling is defined as: −L = γ κKπ √ (cid:0) ¯ K τ · π κ + h.c. (cid:1) + · · · . We begin with the decay width of f (500) to two pions which is the benchmark test of any low-energy QCDmodel. At the present level of approximation, the main uncertainties in fixing the free parameters of the model areon experimental inputs for the ratio of strange to nonstrange quark masses ( A /A ) and on the mass of π (1300)resonance. Hence, the m [ π (1300)]- A /A plane is numerically scanned and the decay width is computed. The resultis displayed in Fig. 5 showing that for most parts of the parameter space the lightest isosinglet state f (500) (or σ ) is broad with the decay width comparable to the latest PDG result. The decay width averaged over the entireparameter space is Γ[ f (500) → ππ ] = 530 ±
100 MeV , (33)where the uncertainty represents one standard deviation around the average. This is consistent with the decay widthpredicted in this model from the pole of the K-matrix unitatized ππ scattering amplitude. Therefore, the modelclearly detects a light and broad isosinglet scalar meson.Similarly, the prediction of the model over the m [ π (1300)]- A /A plane for Γ[ f (980) → ππ ], Γ[ a (980) → πη ] andΓ[ K ∗ (800) → πK ] are shown in Fig. 5 with the averaged values:Γ[ f (980) → ππ ] = 35 ±
27 MeV , Γ[ a (980) → πη ] = 57 ±
44 MeV , Γ[ K ∗ (800) → πK ] = 58 ±
90 MeV . (34)1 @ Π H LD H
GeV L A (cid:144) A G H Σ™ΠΠ L @ Π H LD H
GeV L A (cid:144) A G H f H L ™ΠΠ L @ Π H LD H
GeV L A (cid:144) A G H a H L ™ΠΗ L @ Π H LD H
GeV L A (cid:144) A G H K * ™Π K L FIG. 5: Contour plots of the prediction of the model for the main two-body decay widths of light scalar mesons over the m [ π (1300)]- A /A plane: Γ[ f (500) → ππ ] (top left) is predicted to be very large; Γ[ f (980) → ππ ] (top right) and Γ[ a (980) → πη ] (bottom left) are within the expected experimental ranges; Γ[ K ∗ (800) → πK ] (bottom right) near high m [ π (1300)] mass islarge, and in addition receives unitarity corrections due to the πK final-state interation. The first three overlap with the expected experimental ranges [1]. The averaged decay width of K ∗ (800) is not aslarge as expected, even though we see in Fig. 5 that there is a region in the parameter space (toward high values of m [ π (1300)]) where this decay width has the right order of magnitude. However, in a separate work [93], it is shownthat the prediction of the model for the I = 1 / J = 0, πK scattering amplitude describes the experimental datawell up to around 1 GeV. It is also shown that the poles of the K-matrix unitarized scattering amplitude (the κ pole)results in a light and broad K ∗ (800) with a mass around 710-770 MeV and decay width around 610-700 MeV. Weinterpret the reduction in mass and the increase in the decay width to be the effect of the final state interactions of πK which are estimated by the simple K-matrix method.The main two-body decay channels of the light scalars presented in this section are in a reasonable agreement withthe experiment. This gives an initial test of some of the scalar-pseudoscalar-pseudoscalar coupling constants that willbe incorporated in the study of η (cid:48) → ππ decay in the next section. V. THE “BARE” PREDICTION OF THE GENERALIZED LINEAR SIGMA MODEL FOR η (cid:48) → ηππ DECAY
In this section we present the “bare” prediction of the model (i.e. without unitarity corrections due to the final stateinteraction of pions) for decay width and the energy dependencies of the normalized decay amplitude squared. In nextSec. we include the effect of these unitarity corrections. The Feynman diagrams of Fig. 1 include the contact terminteraction together with the contributions of the four isosinglet scalars ( f , · · · , f ) as well as the two isovector scalars( a and a ). Some of the scalar-pseudoscalar-pseudoscalar coupling constants were discussed in previous sections andthe remaining ones are as follows:2 γ (4) = (cid:88) I,J,A,B (cid:28) ∂ V∂η I ∂η J ∂ ( φ ) A ∂ ( φ ) B (cid:29) ( R ) I ( R ) J ( R π ) A ( R π ) B ,γ f i ηη (cid:48) = (cid:28) ∂ V∂f i ∂η∂η (cid:48) (cid:29) = (cid:88) K,I,J (cid:28) ∂ V∂f K ∂η I ∂η J (cid:29) ( L ) Ki ( R ) I ( R ) J ,γ a j πη (cid:48) = (cid:42) ∂ V∂a + j ∂π − ∂η (cid:48) (cid:43) = (cid:88) A,B,I (cid:28) ∂ V∂ ( S ) A ∂ ( φ ) B ∂η I (cid:29) ( L a ) Aj ( R π ) B ( R ) I , (35)where K , I ,and J run over the bases a , b , c and d defined in Eqs. (28) and (30), and A and B can take values of 1, 2(with 1 referring to nonet M and 2 to nonet M (cid:48) ) and the rotation matrices are all defined in Eqs. (27) and (29). All“bare” coupling constants are calculated and presented in Appendix B.We first note that the known “current algebra” result for this decay is recovered by decoupling the four-quark nonet M (cid:48) and imposing the large scalar mass limit (see Appendix C). This illustrates how contributions of scalar mesonsbalance the large contribution of the four-point interaction and results in the known small “current algebra” result.It is important to examine the “bare” predictions first in order to be able to then test different methods of unitaritycorrections that in turn shed light on the important issue of final state interactions. Using the physical couplingconstants defined above (together with those discussed in previous section) we compute the partial decay width byincorporating these couplings into our “template” equations (1)-(4). The “bare” predictions for scenario 3I (previouslydefined in Fig. 4) are plotted in Fig. 6 for the range of m [ π (1300)] and several values of A /A . Although the modelprediction is of comparable order of magnitude to the experiment and gets closer to the experimental bounds forlow values of m [ π (1300)], overall it is larger than that of experiment. The result is however closer to the experimentcompared to that predicted by the single nonet approach. To find the best agreement we search for the values of m [ π (1300)] and A /A that minimize function χ Γ defined as χ Γ ( m [ π (1300)] , A /A ) = | Γ theo ( m [ π (1300)] , A /A ) − Γ exp . | Γ exp . . (36)We also use a χ fit for doublecheck. The best predicted decay widths from χ and χ -fit are found with m [ π (1300)] =1 . ± .
01 and A /A = 30 . ± . ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô @ Π H LD H
GeV L G Η ' ™ Η ΠΠ H G e V L Scenario 3I ô A (cid:144) A = Ÿ A (cid:144) A = A (cid:144) A = ÷ A (cid:144) A = FIG. 6: “Bare” prediction (without unitarity corrections) of the generalized linear sigma model for partial decay width of η (cid:48) → ηππ . Γ ( η (cid:48) → ηππ ) = 0 . ± .
01 MeV Generalized linear sigma model ( bare result) . (37)3The “bare” prediction for the energy dependence of the normalized decay amplitude squared is shown in Fig. 7and compared with the averaged experimental data of Table II. The best fits to the Dalitz parameters result in bestvalues of m [ π (1300)] = 1 .
38 GeV and A /A = 28 .
75 which are within the parameter space of the model [Eq. (22)]however do not coincide with the best values of these parameters found in the partial decay width analysis in Eq.(37). This shows that although inclusion of mixing among scalar and among pseudoscalars clearly improves the modelpredictions, nevertheless, it is necessary to account for the effect of final state interactions. A general characteristicof the linear sigma model is the cancelation of large four-point contribution with those of scalar mesons which for the“bare” predictions is shown in Fig. 8. ææ ææææ ææææææ ææææææææ ææææææææææ ææææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææææææææ æææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææ æææææææææææ æææææ È M H x , y L (cid:144) È M H , L Scenario 3I, m @ Π H LD = (cid:144) A1 = æ ææææææææ æææææææææææ æææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææ æææææææææææ æææææ - - È M H x , y L (cid:144) È M H , L Scenario 3I, m @ Π H LD = (cid:144) A1 = FIG. 7: Projections of | ˆ M | = | M ( x, y ) | / | M (0 , | onto the y −| ˆ M | and x −| ˆ M | planes (“bare” prediction of the generalizedlinear sigma model).TABLE IV: Dalitz parameters obtained in fitting the “bare” generalized linear sigma model to experiment in a χ -fit [best point at m [ π (1300)] = 1 . ± .
02 and A /A = 28 . +1 . − . ] and a χ -fit [best point at m [ π (1300)] = 1 . ± .
01 and A /A = 27 . +1 . − . ].Parameter χ -fit χ -fita − . +0 . − . − . +0 . − . b 0 . +0 . − . . +0 . − . d − . +0 . − . − . +0 . − . ææ ææææææææ æææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ 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ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææ ææææææææææ - - - - - - M p Scenario 3I, m @ Π H LD = (cid:144) A1 = ææ ææææææææ æææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ 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æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ 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The large contribution of the contact terms isbalanced with the large contributions of scalar mesons. VI. UNITARITY CORRECTIONS
In principle there are corrections due to the final-state interactions of ππ and πη . These effects have been studiedwithin the present model in ref. [92] in which the final-state interactions of pions were studied in unitarization of ππ scattering amplitude, and recently in unitarization of πK and πη scattering amplitudes in [93, 94]. In the ππ analysis it is found that the effect of the final-state interactions on the properties of the sigma meson is large and thismanifests itself in the substantial difference between the “bare” sigma mass (Lagrangian mass) and the physical sigmamass found from the pole of the K-matrix unitarized I = J = 0, ππ scattering amplitude (it is found [92] that thephysical mass of sigma is around 480 MeV and its decay width is 450-500 MeV). On the contrary, the properties of a (980) probed in the πη scattering analysis [94] does not show a significant shift between the “bare” mass of a (980)(Lagrangian mass) and that probed in the K-matrix unitarized πη scattering amplitude. Since we are investigatingthe η (cid:48) → ηππ decay within the same framework of refs. [92, 94], we take the effect of ππ final state-interactions to bethe dominant one.Our main motivation in this work is to learn about the scalar meson mixing patterns, therefore, it is natural for usto approximate the unitarity corrections in a language that is explicitly expressed in terms of the shifts in the scalarmesons properties (from their “bare” Lagrangian values to their physical values). For this purpose, the K-matrixprovides a reasonable tool to both account for unitarity corrections as well as to probe the underlying mixings. The5K-matrix has the advantage of not introducing any new parameters into the analysis, hence, allows establishing adirect connection between the “bare” Lagrangian properties of scalars and the physical properties of scalars probedin fits to appropriate experimental data. We follow the prior work presented in [92] in which a detailed analysis of I = J = 0, ππ scattering amplitude is given. The K-matrix unitarized scattering amplitude is given by T = T B − i T B , (38)where T B is the “bare” scattering amplitude calculated from the Lagrangian. It is shown in [92] that T B = T α + (cid:88) i T iβ m f i − s , (39)with T α = 164 π (cid:114) − m π s (cid:34) − γ (4) ππ + 2 p π (cid:88) i γ f i ππ ln (cid:32) p π m f i (cid:33)(cid:35) ,T iβ = 316 π (cid:114) − m π s γ f i ππ , (40)where p π = (cid:112) s − m π /
2, the scalar-pseudoscalar-pseudoscalar couplings γ f i ππ are defined in Sec. I, and γ (4) ππ is thepion four-point coupling constant. It is shown in [89] that the K-matrix unitarized amplitude (38) can be expressedas a constant background and a sum over simple poles T ≈ ˜ T α + (cid:88) i ˜ T iβ z i − s , (41)where ˜ T α is the constant (complex) background, the simple poles z i = ˜ m i − i ˜ m ˜Γ i with ˜ m i and ˜Γ i being interpreted asthe physical mass and decay width of the i -th isosinglet scalar meson, respectively, and ˜ T iβ are the residues. Moreover,it can be shown that (cid:12)(cid:12)(cid:12) ˜ T iβ (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≈ ˜ m i ˜Γ i , (42)which resemble the corresponding numerators in “bare” amplitude (39) where T iβ (cid:12)(cid:12) s = m i = m i Γ i . (43)Comparing (39), (41), (42) and (43) we see that unitarity corrections effectively shift the isosinglet scalar masses anddecay widths m i → ˜ m i Γ i → ˜Γ i (44)In the decay η (cid:48) → ηππ the unitarity corrections for the sigma meson are the most important ones. We account forthese corrections by shifting the “bare” mass and decay width to two pions according to (44). The second shift in(44) can also be expressed in terms of the shift in coupling constant, i.e. m σ → ˜ m σ ,γ σππ → ˜ γ σππ , (45)where ˜ m σ and ˜ γ σππ are those found from the lowest pole z = ˜ m σ − i ˜ m σ Γ σ of the scattering amplitude [92] and sinceΓ σ ≈ Γ[ σ → ππ ], ˜ γ σππ = (cid:115) π ˜ m σ Γ σ (cid:112) ˜ m σ − m π . (46)6Recalculating the partial decay width of η (cid:48) → ηππ (presented in the previous Sec.) with the new substitutions (45)we find the results displayed in Fig. 9, showing that the model predictions easily cross into the experimental range.The same effect can be taken into account for the f (980), but that has a negligible effect on the results presented.On the two dimensional parameter space of the model ( m [ π (1300)], A /A ) the point that gives the best agreementwith the experimental value of decay width is (1.29 GeV, 29.75) obtained by minimizing χ defined in Eq.(36) (as wellas by minimizing the conventional χ ). The decay width in this case isΓ ( η (cid:48) → ηππ ) = 0 . +0 . − . MeV Generalized linear sigma model ( unitarized result) . (47)This result is within 1.2% of experimental data on the decay width.The energy dependencies of the normalized decay amplitude squared are plotted in Fig. 10, and fits to the Dalitzparameters are given in Table V. It is found that the point ( m [ π (1300)], A /A ) = (1.38 GeV, 29.75) gives the bestagreement with the experiment. Although this point and the best point for the decay width (presented above) areboth within the parameter space of the model, they do not coincide, showing the need for further improvement of thiscomplicated decay and will be further discussed in next section. The general feature of linear sigma model in whichscalar mesons “conspire” to balance the large contribution of the contact term can be seen in Fig. 11. ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸŸ ôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôôô @ Π H LD H
GeV L G Η ' ™ Η ΠΠ H G e V L Scenario 3I ô A (cid:144) A = Ÿ A (cid:144) A = A (cid:144) A = ÷ A (cid:144) A = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ • • • • • • á á á á á á á á á á á áç ç ç ç ç ç ç ç ç ç çó ó ó ó ó ó ó ó @ Π H LD H
GeV L G Η ' ™ Η ΠΠ H G e V L Scenario 3I • A (cid:144) A = ó A (cid:144) A = ç A (cid:144) A = á A (cid:144) A = ÷ A (cid:144) A = FIG. 9: Prediction of the generalized linear sigma model for the partial decay width of η (cid:48) → ηππ . The final-state interactionsof pions are taken into account by shifting the mass and coupling constant of sigma meson according to Eq. (45). ææææ æææææ æææææææ æææææææææ æææææææææææ æææææææææææææ æææææææææææææææ æææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææ æææææææææææ ææææææ È M H x , y L (cid:144) È M H , L Scenario 3I, m @ Π H LD = (cid:144) A1 = æ ææææææææ ææææææææææ æææææææææææææ æææææææææææææææ æææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææ æææææææææææ ææææææ - - È M H x , y L (cid:144) È M H , L Scenario 3I, m @ Π H LD = (cid:144) A1 = FIG. 10: Projects of the normalized decay amplitude squared onto planes containing x and y parameters (shaded regions) arecompared with the experimental data (error bars). The final-state interactions of pions are taken into account by shifting themass and coupling constant of sigma meson according to Eq. (45).TABLE V: Dalitz parameters in unitarized generalized linear sigma model from fits (both χ -fit as well as χ fit) to experiment.The presented results are the closest agreement with experiment that occur at point ( m [ π (1300)], A /A ) = (1.38 ± .
01 GeV,29.75 ± . χ -fit χ -fita − . +0 . − . − . ± . . +0 . − . . ± . − . ± . − . ± . æ ææææææææ æææææææææææ æææææææææææææ æææææææææææææææ æææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææ - - - - - - -
500 y M p Scenario 3I, m @ Π H LD = (cid:144) A1 = æ ææææææææ æææææææææææ æææææææææææææ æææææææææææææææ æææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ 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The final-state interactions of pions are taken into account byshifting the mass and coupling constant of sigma meson according to Eq. (45).
Similarly, we can estimate the final state interactions for the single nonet model of Sec. II. We find that the decaywidth improves Γ ( η (cid:48) → ηππ ) = 0 . ± .
01 MeV Single nonet ( unitarized result) . (48)However, the energy dependencies worsen in this case (Fig. VI and Table VI). This shows that the effect of unitaritycorrections alone are not sufficient and there seems to be the effect of mixing that should be taken into account. æææ æææææææææ æææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææææ æææææææææææææææææ ææææææææææææææææ æææææææææææææææ æææææææææææææ æææææææææææææ ææææææææææææ æææææææææææ æææææææææ ææææææææ æææææ - - È M H x , y L (cid:144) È M H , L æææ æææææææææ æææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææææ æææææææææææææææææ ææææææææææææææææ æææææææææææææææ ææææææææææææææ æææææææææææææ ææææææææææææ æææææææææææ æææææææææ ææææææææ æææææ - - È M H x , y L (cid:144) È M H , L FIG. 12: Projections of | ˆ M | = | M ( x, y ) | / | M (0 , | onto the y − | ˆ M | and x − | ˆ M | planes (unitarized single nonet model).While the effect of final state interactions improves the partial decay width predicted by the single nonet model, the energydependencies worsen. This shows that there is more into this decay that just the effect of final-state interactions. TABLE VI: Predicted decay parameters in the unitarized single nonet approach of ref. [89].Parameter single nonet modela − . ± .
01b 2 . ± .
01d 0 . ± . æææ æææææææææ æææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ 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æææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææææ æææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææææææ ææææææææææææææææ ææææææææææææææ ææææææææ - point a f Σ- - - - M i FIG. 13: Individual contributions to the η (cid:48) → ηππ decay amplitude in unitarized single nonet model. The large contributionof contact term M p is balanced with the contributions of scalars. Unitarity corrections are taken into account. VII. CONCLUDING DISCUSSION
In this work, we examined the η (cid:48) → ηππ decay as a probe of scalar mesons substructure and mixing patternswithin a generalized linear sigma model of low-energy QCD that is formulated in terms of two scalar meson nonetsand two pseudoscalar meson nonets (a two- and a four-quark nonet for each spin). We first showed that the singlenonet model of ref. [89], despite its considerable success in describing ππ , πK and πη low-energy scatterings, givesinaccurate predictions for the partial decay width of η (cid:48) → ηππ as well as the energy dependencies of its normalizeddecay amplitude squared. Since this decay involves η and η (cid:48) as well as intermediate scalar mesons and that thesestates are known to have nontrivial mixings with states with the same quantum numbers above 1 GeV, and sincesuch mixings have been previously [79] given important insights into the physical properties of both scalar as wellas pseudoscalar mesons, in this work we explored the effect of these mixings on this decay. We investigated whetherthe inclusion of mixing can have a tangible effect and whether such effects improve the predictions of the singlenonet linear sigma model for this decay. We showed that inclusion of the underlying mixings (even without unitaritycorrections) considerably improves the partial decay width prediction as well as the energy dependencies of thenormalized decay amplitude squared. We then showed that inclusion of the final state interaction of pions furtherimproves the predictions and brings the partial decay width to within 1.2% of its experimental value, and considerablyimproves the predictions for the Dalitz parameters. Our findings are summarized in several tables in this final section.Table VII gives our results for the partial decay width and Dalitz parameters in single nonet linear sigma model aswell as its generalized version, both with and without accounting for the final state interaction of pions.We note that while the predictions of Dalitz parameters are improved in the fourth column of Table VII, theyare still far from their experimental values. However, we further note that since the Dalitz variables X and Y arerelatively small over much of their domain, the difference in the normalized decay amplitude itself is not that largefor most of the domain. To illustrate this, Fig. 14 zooms in on the X , Y domain in four steps. Inside each “loop” thecloseness of the model prediction for the energy dependence of the normalized decay amplitude squared is measured0with the quantity ¯ χ M = 1 N N (cid:88) i (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:0) M (cid:1) exp . ( X i , Y i ) − (cid:0) M (cid:1) theo . ( X i , Y i ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) ( M ) exp . ( X i , Y i ) , (49)where the normalized decay matrix element is defined in Eq.(6) and the averaged experimental data in Table II.The results are presented in Table VIII and clearly show an averaged agreement with experiment (for the two casesthat the best energy dependencies are obtained is around 6%), despite the much less agreement on Dalitz coefficientsdisplayed in Table VII.The dependence of the results on the choice of points in the two dimensional parameter space m [ π (1300)] and A /A are summarized in Tables IX and X. The fact that the best points for the partial decay width and energy dependenciesof the normalized decay amplitude squared do not occur at the same point, can be interpreted as an estimate of ourtheoretical uncertainty. At the present order of accuracy of this model, we have ignored effects such as terms in thepotential with higher than eight quark and antiquark lines as well as the scalar and pseudoscalar glueballs. Both ofthese are expected to have some effects on the results. Since the U(1) A anomaly plays an important role in the etasector, we have made an initial investigation of the effect of the higher order U(1) A breaking term (which are relatedto higher order instanton contributions at the quark level) and have observed that this term improves the picture bybringing the two points in the parameter space closer together. This is quite encouraging and will be presented indetail in a separate work [95]. It is also interesting to further apply the present model to study the isospin violating η → π decay [96, 97], and to examine the effect of various unitarization methods [98]. TABLE VII: Comparing with experiment the predictions by the single nonet linear sigma model (first two columns) and thoseby the generalized linear sigma model (the last two columns) for the decay width and the Dalitz parameters of η (cid:48) → ηππ decay. The goodness of the predictions are measured by the smallness of the parameter χ defined for a generic quantity q as χ q = (cid:12)(cid:12) ( q exp . − q theo . ) /q exp . (cid:12)(cid:12) (i.e. χ q ×
100 gives the percent difference between theory and experiment). The predictions of thegeneralized linear sigma model depend on the choice of points in its two dimensional parameter space ( m [ π (1300)], A /A ):In the third column, the minimum of χ Γ and of χ Dalitz = χ a + χ b + χ d occur at point (1.22 GeV, 30.00) and at point (1.38GeV, 28.75), respectively, whereas in the fourth column, the minimum of χ Γ and of χ Dalitz occur at (1.29 GeV, 29.75) and at(1.38 GeV, 29.75), respectively. Clearly, the shortcomings of the single nonet linear sigma model of ref. [89] can be seen inthe first two columns: the decay width is several times larger than the experimental value and the unitarity corrections do notimprove the situation and in fact worsen the Dalitz parameter predictions. On the other hand, the generalized linear sigmamodel significantly improves the predictions and gives the decay width in the unitarized version to 1.2% of the experimentalvalue and also improves the Dalitz parameter predictions.single nonet single nonet MM’ MM’(Bare) (Unitarized) (Bare) (Unitarized) χ Γ .
09 3 .
07 0 .
74 0 . χ a .
21 22 .
08 0 .
74 0 . χ b .
99 30 .
02 1 . . χ d .
16 2 . .
61 0 . χ total .
45 57 .
57 3 .
10 2 . - - - - FIG. 14: The breakdown of XY domain into four subregions (“loops”).TABLE VIII: Displayed numbers in the second to last columns are ¯ χ M [defined in Eq. (49)] over the four “loops” of Fig.14 [see Eq.(6)]. The predictions of the generalized linear sigma model depend on the choice of points in its two dimensionalparameter space ( m [ π (1300)], A /A ). The displayed values of m [ π (1300)] and A /A give the best result for partial decay widthwithout/with the final state interactions (first/third rows); and the best result for the energy dependencies of the normalizeddecay amplitude squared without/with the final-state interactions (second/fourth row). m [ π (1300)](GeV) A /A Dotted-Dashed Dashed Dotted Solid1.22 30.00 0 .
14 0 .
27 0 .
41 0 . .
01 0 .
03 0 .
04 0 . . . . . .
005 0 .
02 0 .
04 0 . m [ π (1300)], A /A of the “bare” model predictions (without the effect of unitaritycorrections due to the final state interaction of pions). In the first to last columns, respectively, the values of these two parametersare 1.30 GeV, 29.40 (best model prediction for the eta masses); 1.22 GeV, 30.00 (best prediction for the decay width) and 1.38GeV, 28.75 (best prediction for the energy dependencies). In each column the targeted quantities are highlighted in bold andtheir closeness to experimental data is measured with their corresponding χ .MM’ ( χ min ) mass ( χ min ) Γ ( χ min ) E . D . (Bare) = 0 .
14% = 74% = 235% m [ π (1300)] 1300 1220 1380 A /A .
40 30 .
00 28 . m η (MeV)
554 539 m η (MeV)
979 947 m η (MeV) m η (MeV) . . . a .
24 0 . − . b − .
026 0 . . d − . − . − . TABLE X: Dependency on the choices of m [ π (1300)], A /A of the “unitarized” model predictions (with the effect of the finalstate interaction of pions). In the first to last columns, respectively, the values of these two parameters are 1.3 GeV, 29.40(best model prediction for the eta masses); 1.29 GeV, 29.75 (best prediction for the decay width) and 1.38 GeV, 29.75(bestprediction for the energy dependencies). In each column the targeted quantities are highlighted in bold and their closeness toexperimental data is measured with their corresponding χ .MM’ ( χ min ) mass ( χ min ) Γ ( χ min ) E . D . (Unitarized) = 0 .
14% = 1 .
2% = 207% m [ π (1300)] 1300 1290 1380 A /A .
40 29 .
75 29 . m η (MeV)
550 544 m η (MeV)
956 936 m η (MeV) m η (MeV) . . . a . − . − . b .
72 26 . . d − .
29 0 . − . Appendix A: Coupling constants in the single-nonet model
The rotation matrices are π ηη (cid:48) = R φ ( θ p ) φ φ φ = √ − √ a p √ a p √ − b pb p √ b p √ a p φ φ φ , (A1)with a p = (cos θ p − √ θ p ) / √ b p = (sin θ p + √ θ p ) / √
3, where θ p is the pseudoscalar (octet-singlet) mixingangle. Similarly, a σf = R s ( θ s ) S S S = √ − √ a s √ a s √ − b sb s √ b s √ a s S S S , (A2)with a s = (cos θ s − √ θ s ) / √ b s = (sin θ s + √ θ s / √ θ s is the scalar (octet-singlet) mixing angle.The coupling constants are: γ (4) = − F K − F π ) F π a p b p (cid:104) − F K (cid:16) √ a p b p ( m η − m η (cid:48) ) − F π V (cid:17) + F π (cid:16) m ( a ) + 2 m ( σ ) a s + 2 √ m ( f ) − m ( σ ) a s b s +2 m ( f ) b s − a p m η − √ a p b p m η + 7 √ a p b p m η (cid:48) − b p m η (cid:48) + 84 F π V (cid:17) − F K F π (cid:16) m ( a ) + m ( σ ) a s + m ( f ) b s − a p m η − √ a p b p m η +5 √ a p b p m η (cid:48) − b p m η (cid:48) + 84 F π V (cid:17)(cid:105) , (A3) γ aπη = √ F π a p (cid:0) m ( a ) − m η (cid:1) , γ aπη (cid:48) = √ F π b p (cid:0) m ( a ) − m η (cid:48) (cid:1) , (A4) γ σππ = 1 F π a s (cid:0) m ( σ ) − m π (cid:1) , γ f ππ = 1 F π b s (cid:0) m ( f ) − m π (cid:1) . For η (cid:48) decay we will also need: γ σηη (cid:48) = − F K − F π ) F π a p b p (cid:34) − m ( σ ) a s b s F π + √ m ( σ ) a s F π ( − F K + F π )+2 b s F π (cid:16) − m ( σ ) b s F π + b p F π m η + a p F π m η (cid:48) − √ a p b p (2 F K − F π )( m η − m η (cid:48) ) (cid:17) + a s (cid:18) √ m ( σ ) b s F π ( − F K + F π ) − a p b p (4 F K − F K F π + 3 F π )( m η − m η (cid:48) )+ √ a p (2 F K − F π ) F π (2 m η − m η (cid:48) ) + √ F K − F π ) F π (cid:16) − b p ( m η − m η (cid:48) ) + 18(2 F K − F π ) V (cid:17)(cid:19)(cid:35) , (A5) γ f ηη (cid:48) = − F K − F π ) F π a p b p (cid:104) m ( f ) a s F π + √ m ( f ) a s b s F π ( − F K + F π )+2 a s F π (cid:16) m ( f ) b s F π − b p F π m η − a p F π m η (cid:48) + √ a p b p (2 F K − F π )( m η − m η (cid:48) ) (cid:17) + b s (cid:16) √ m ( f ) b s F π ( − F K + F π ) − a p b p (4 F K − F K F π + 3 F π )( m η − m η (cid:48) )+ √ a p (2 F K − F π ) F π (2 m η − m η (cid:48) ) + √ F K − F π ) F π ( − b p ( m η − m η (cid:48) )+18(2 F K − F π ) V ) (cid:17)(cid:105) . (A6)4With five inputs of m π = 137 MeV, m K = 493 . ± .
016 MeV, m η = 547 . ± .
024 MeV, m η (cid:48) = 957 . ± . F π = 131 MeV, we find the five Lagrangian parameters: α = 0 .
065 GeV, α = 0 .
13 GeV, A = 0 . , A = 0 .
024 GeV and V = − .
23 (in addition, these inputs result in θ p = 6 . ◦ , and F K /F π = 1 . I = J = 0 scattering amplitude [89]: m BARE ( σ ) = 0 .
847 GeV, m BARE ( f ) = 1 . m BARE ( a ) = 1 . θ s = − . ◦ , we find the numerical values of the coupling constants: γ σππ = 3 .
53 GeV ,γ f ππ = 9 .
57 GeV ,γ a πη = 4 .
71 GeV ,γ a πη (cid:48) = 2 .
77 GeV ,γ σηη (cid:48) = − .
56 GeV ,γ f ηη (cid:48) = 2 .
94 GeV ,γ (4) = 78 .
69 GeV . (A7) Appendix B: three- and four-point bare couplings (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η a (cid:29) = 4 √ (cid:16) c a α β + c a α α β + 2 c α β γ + 2 c α β γ (1 + γ ) (cid:17) α (2 α β + α β ) , (B1) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η a (cid:29) = − √ c ( − γ ) (cid:16) α β γ + α β (1 + γ ) (cid:17) α (2 α β + α β ) , (B2) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η a (cid:29) = 8 √ c ( − γ ) (cid:16) α β γ + α β (1 + γ ) (cid:17) α (2 α β + α β ) , (B3) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η b (cid:29) = 8 c γ ( α β + 2 α β γ ) α α (2 α β + α β ) , (B4) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η b (cid:29) = 4 e a − c ( − γ ) ( α β + 2 α β γ ) α (2 α β + α β ) , (B5) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η b (cid:29) = 4 e a + 8 c ( − γ ) ( α β + 2 α β γ ) α (2 α β + α β ) , (B6) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η c (cid:29) = 8 √ c ( − γ ) γ α (2 α β + α β ) , (B7) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η c (cid:29) = − √ c α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B8) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η c (cid:29) = 8 √ c α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B9) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η d (cid:29) = 8 e a α β + 4 e a α α β + 8 c α ( − γ ) γ α (2 α β + α β ) , (B10) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η d (cid:29) = − c α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B11) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂η d (cid:29) = 8 c α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B12)5 (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 4 α c a , (B13) (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂ ( S ) ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = − e a , (B14) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η a ∂η a (cid:29) = 1 α (2 α β + α β ) √ (cid:16) c a α β + 12 c a α α β β + 6 c a α α β β + c a α α β + 4 c α β γ + 24 c α α β β γ (1 + γ )+8 c α β (1 + γ ) + 4 c α α β β γ (1 + 5 γ ) (cid:17) , (B15) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η a ∂η b (cid:29) = 8 c (cid:16) α α β β γ + α β γ + 4 α β γ (1 + γ ) + 2 α α β β (cid:0) γ + 3 γ (cid:1) (cid:17) α α (2 α β + α β ) , (B16) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η a ∂η c (cid:29) = 8 √ c β ( − γ ) (cid:16) α β (1 + γ ) + α β ( − γ ) (cid:17) (2 α β + α β ) , (B17) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η a ∂η d (cid:29) = − α (2 α β + α β ) (cid:20) e a α β + 12 e a α α β β + 6 e a α α β β − c α α β β ( − γ ) γ − c α β ( − γ ) γ + α α (cid:16) e a α β − c β ( − γ ) (cid:17)(cid:21) , (B18) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η b ∂η b (cid:29) = − √ c β β ( − γ ) ( α β + 2 α β γ ) α (2 α β + α β ) , (B19) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η b ∂η c (cid:29) = − α β + α β ) (cid:20) e a α β + 12 e a α α β β + α β (cid:16) e a α β + 2 c ( − γ ) (cid:17) + 2 α β β (cid:16) e a α β + 2 c (1 − γ + 2 γ ) (cid:17)(cid:21) , (B20) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η b ∂η d (cid:29) = 8 √ c β ( − γ ) (cid:16) − α β ( − γ ) + 2 α β γ (cid:17) (2 α β + α β ) , (B21) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η c ∂η c (cid:29) = − √ c α α β ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B22) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η c ∂η d (cid:29) = − c α ( − α β + α β ) ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B23) (cid:28) ∂ V∂f a ∂η d ∂η d (cid:29) = 16 √ c α β ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B24) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η a ∂η a (cid:29) = − c β β ( − γ ) (cid:16) α β γ + α β (1 + γ ) (cid:17) α (2 α β + α β ) , (B25) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η a ∂η b (cid:29) = 1 α α (2 α β + α β ) (cid:20) √ c (cid:16) α β γ + 4 α β γ (1 + γ )+ 6 α α β β γ (1 + γ ) + 2 α α β β (1 + 2 γ ) (cid:17)(cid:21) , (B26) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η a ∂η c (cid:29) = − α β + α β ) (cid:34) e a α β + 12 e a α α β β + 2 α β β (cid:16) e a α β − c ( − γ ) (cid:17) α β (cid:16) e a α β − c ( − γ ) γ (cid:17)(cid:35) , (B27) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η a ∂η d (cid:29) = − √ c β ( − γ ) (cid:16) α β (1 + γ ) + α β ( − γ ) (cid:17) (2 α β + α β ) , (B28) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η b ∂η b (cid:29) = 8 α (2 α β + α β ) (cid:20) α (cid:0) c + c a α (cid:1) β + 6 α α β β (cid:0) c a α + 2 c γ (cid:1) + 8 α β (cid:0) c a α + 2 c γ (cid:1) + 4 α α β β (cid:16) c a α + 2 c γ (1 + 2 γ ) (cid:17)(cid:21) , (B29) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η b ∂η c (cid:29) = 16 √ c α ( − γ ) (cid:0) α β + 2 α β γ + 3 α α β β γ (cid:1) α (2 α β + α β ) , (B30) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η b ∂η d (cid:29) = 8 c β ( − γ ) (cid:16) α β + 2 α β ( − γ ) (cid:17) (2 α β + α β ) , (B31) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η c ∂η c (cid:29) = 32 c α β ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B32) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η c ∂η d (cid:29) = − √ c α (2 α β − α β ) ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B33) (cid:28) ∂ V∂f b ∂η d ∂η d (cid:29) = − c α α β ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B34) (cid:28) ∂ V∂f c ∂η a ∂η a (cid:29) = 16 √ c α β ( − γ ) (cid:16) α β γ + α β (1 + γ ) (cid:17) α (2 α β + α β ) , (B35) (cid:28) ∂ V∂f c ∂η a ∂η b (cid:29) = − (cid:16) e a α βc ( − γ ) (cid:17) + α β (cid:16) e a α β + 2 c (1 − γ + 2 γ ) (cid:17) (2 α β + α β ) , (B36) (cid:28) ∂ V∂f c ∂η a ∂η c (cid:29) = 8 √ c α ( − γ ) (cid:16) α β (1 + γ ) + α β ( − γ ) (cid:17) (2 α β + α β ) , (B37) (cid:28) ∂ V∂f c ∂η a ∂η d (cid:29) = 8 c α ( − γ ) (cid:16) α β (1 + γ ) + α β ( − γ ) (cid:17) (2 α β + α β ) , (B38) (cid:28) ∂ V∂f c ∂η b ∂η b (cid:29) = − √ c α β ( − γ ) ( α β + 2 α β γ ) α (2 α β + α β ) , (B39) (cid:28) ∂ V∂f c ∂η b ∂η c (cid:29) = 16 c α ( − γ ) (cid:16) − α β ( − γ ) + 2 α β γ (cid:17) α (2 α β + α β ) , (B40) (cid:28) ∂ V∂f c ∂η b ∂η d (cid:29) = 8 √ c α ( − γ ) (cid:16) − α β ( − γ ) + 2 α β γ (cid:17) (2 α β + α β ) , (B41) (cid:28) ∂ V∂f c ∂η c ∂η c (cid:29) = 32 √ c α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B42) (cid:28) ∂ V∂f c ∂η c ∂η d (cid:29) = 32 c α α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B43)7 (cid:28) ∂ V∂f c ∂η d ∂η d (cid:29) = 16 √ c α α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B44) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η a ∂η a (cid:29) = − α (2 α β + α β ) (cid:20)(cid:18) e a α β + 12 e a α α β β + 6 e a α α β β +8 c α β β ( − γ ) γ + α α (cid:16) e a α β + 8 c β ( − γ ) (cid:17)(cid:19)(cid:21) , (B45) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η a ∂η b (cid:29) = 8 √ c β ( − γ ) (cid:16) α β + α β ( − γ ) (cid:17) (2 α β + α β ) , (B46) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η a ∂η c (cid:29) = 16 c α ( − γ ) (2 α β + α β γ )(2 α β + α β ) , (B47) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η a ∂η d (cid:29) = 8 √ c α ( − γ ) (2 α β + α β γ ) α (2 α β + α β ) , (B48) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η b ∂η b (cid:29) = 32 c α β ( − γ ) ( α β + 2 α β γ ) α (2 α β + α β ) , (B49) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η b ∂η c (cid:29) = 8 √ c α ( − γ ) (cid:16) α β + 2 α β ( − γ ) (cid:17) (2 α β + α β ) , (B50) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η b ∂η d (cid:29) = 8 c α ( − γ ) (cid:16) α β + 2 α β ( − γ ) (cid:17) (2 α β + α β ) , (B51) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η c ∂η c (cid:29) = 32 c α α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B52) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η c ∂η d (cid:29) = 16 √ c α α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B53) (cid:28) ∂ V∂f d ∂η d ∂η d (cid:29) = 16 c α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B54) (cid:28) ∂ V∂η a ∂η a ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 4 (cid:16) c a α β + 3 c a α α β + 8 c α β γ + 8 c α β γ (1 + γ ) (cid:17) α (2 α β + α β ) , (B55) (cid:28) ∂ V∂η a ∂η a ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η a ∂η a ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = − c β ( − γ ) (cid:16) α β γ + α β (1 + γ ) (cid:17) α (2 α β + α β ) , (B56) (cid:28) ∂ V∂η a ∂η b ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 8 √ c γ ( α β + 2 α β γ ) α α (2 α β + α β ) , (B57) (cid:28) ∂ V∂η a ∂η b ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η a ∂η b ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = − √ c ( − γ ) (cid:16) α β γ + α β γ + α α β β (2 + γ ) (cid:17) α α (2 α β + α β ) , (B58) (cid:28) ∂ V∂η a ∂η c ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 16 c ( − γ ) γ α (2 α β + α β ) , (B59) (cid:28) ∂ V∂η a ∂η c ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η a ∂η c ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 16 c ( − γ ) (2 α β + α β γ )(2 α β + α β ) , (B60)8 (cid:28) ∂ V∂η a ∂η d ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 8 √ c α ( − γ ) γ α (2 α β + α β ) , (B61) (cid:28) ∂ V∂η a ∂η d ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η a ∂η d ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 8 √ c α ( − γ ) (2 α β + α β γ ) α (2 α β + α β ) , (B62) (cid:28) ∂ V∂η b ∂η b ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η b ∂η b ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = − c β ( − γ ) ( α β + 2 α β γ ) α (2 α β + α β ) , (B63) (cid:28) ∂ V∂η b ∂η c ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η b ∂η b ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 8 √ c α ( − γ ) (cid:16) − α β ( − γ ) + 2 α β γ (cid:17) α (2 α β + α β ) , (B64) (cid:28) ∂ V∂η b ∂η d ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η b ∂η d ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 8 c ( − γ ) (cid:16) − α β ( − γ ) + 2 α β γ (cid:17) (2 α β + α β ) , (B65) (cid:28) ∂ V∂η c ∂η c ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η c ∂η c ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 32 c α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B66) (cid:28) ∂ V∂η c ∂η d ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η c ∂η d ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 16 √ c α α ( − γ ) (2 α β + α β ) , (B67) (cid:28) ∂ V∂η d ∂η d ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = (cid:28) ∂ V∂η d ∂η d ∂ ( φ ) ∂ ( φ ) (cid:29) = 16 c α ( − γ ) (2 α β + α β ) . (B68) Appendix C: Recovering current algebra
In this Appendix we show how the known current algebra result for this decay is obtained from the present model.The four-quark fields are decoupled in the limit d , e a → γ →
1, in which: m π = − c + 4 c a α ,m f = m a = − c + 12 c a α ,m f = − c + 12 c a α ,F π = 2 α ,m η + m η (cid:48) = − c − c α + 4 c a α − c α + 4 c a α . (C1)From the above equations we can solve for the five model parameters: α = F π ,α = F π (cid:115) m f + m f − m π m f − m π ) ,c = 14 ( m f − m π ) ,c = − F π ( m f + 2 m f − m π ) (cid:16) m f − m f + 3( m η + m η (cid:48) − m π ) (cid:17) m f + 4 m f − m π ) ,c a = m f − m π F π . (C2)We expect to recover the current algebra result when the scalars are decoupled as a result of becoming very heavy,9i.e. in the limit m f = m f = m f → ∞ . In this limit,lim m f →∞ α = F π , lim m f →∞ c = m f , lim m f →∞ c = − F π ( m η + m η (cid:48) − m π )lim m f →∞ c a = m f F π (C3)The physical vertices (in the limit of d , e a → γ →
1) become: γ (4) = 6 c a sin(2 θ p ) + 16 c sin(2 θ p ) α + 8 √ c cos(2 θ p ) α α ,γ f ππ = 4 c a α ,γ f ππ = 0 ,γ f ηη (cid:48) = 2 √ c a sin(2 θ p ) α + 8 √ c sin(2 θ p ) α + 8 c cos(2 θ p ) α α ,γ f ηη (cid:48) = 8 √ c cos(2 θ p ) α − θ p ) α (2 c + c a α ) α α ,γ a πη = 8 √ c cos( θ p ) α + 4 √ c a cos( θ p ) α − c sin( θ p ) α α ,γ a πη (cid:48) = 8 √ c sin( θ p ) α + 4 √ c a sin( θ p ) α + 8 c cos( θ p ) α α , (C4)which together with (C3), γ (4) = 13 F π (cid:20) (cid:0) m η + m η (cid:48) − m π (cid:1) (cid:16) − √ θ p ) − θ p ) (cid:17) + 9 (cid:0) m f − m π (cid:1) sin(2 θ p ) (cid:21) γ f ππ = m f − m π F π ,γ f ηη (cid:48) = 13 F π (cid:20) (cid:0) m η + m η (cid:48) − m π (cid:1) (cid:16) − θ p ) − √ θ p ) (cid:17) + 3 √ (cid:0) m f − m π (cid:1) sin(2 θ p ) (cid:21) ,γ f ηη (cid:48) = 23 F π (cid:20) (cid:0) m η + m η (cid:48) − m π (cid:1) (cid:16) − √ θ p ) + sin(2 θ p ) (cid:17) − (cid:0) m f − m π (cid:1) sin(2 θ p ) (cid:21) ,γ a πη = 13 F π (cid:20) (cid:0) m η + m η (cid:48) − m π (cid:1) (cid:16) − √ θ p ) + 2 sin( θ p ) (cid:17) + 3 √ (cid:0) m f − m π (cid:1) cos( θ p ) (cid:21) ,γ a πη (cid:48) = 13 F π (cid:20) (cid:0) m η + m η (cid:48) − m π (cid:1) (cid:16) − θ p ) − √ θ p ) (cid:17) + 3 √ (cid:0) m f − m π (cid:1) sin( θ p ) (cid:21) . (C5)Each individual decay amplitude inherits the scalar mass dependency via the physical vertices and propagators.The four-point amplitude will have the scalar mass dependency M p = ξ + ξ m f . (C6)The isosinglet scalar contribution has the general structure M f i = √ γ f i ππ γ f i ηη (cid:48) × (propagator) , (C7)0with √ γ f i ππ γ f i ηη (cid:48) = ρ + ρ m f + ρ m f , propagator = 1 m f + x (cid:39) m f − xm f + O ( 1 m f ) . (C8)Thus lim m f →∞ M f i = ρ − xρ + ρ m f . (C9)Similarly for the a contribution M a = γ a πη γ a πη (cid:48) (cid:2) m f + y + 1 m f + y (cid:3) , (C10)with γ a πη γ a πη (cid:48) = δ + δ m f + δ m f , m f + y i (cid:39) m f − y i m f + O ( 1 m f ) . (C11)Thus lim m f →∞ M a = 2 δ − (cid:88) i y i δ + 2 δ m f . (C12)Now putting everything together, we expect: lim m f →∞ M total = M C . A . (C13)which implies that the following two sum rules must be upheld ξ + ρ − xρ + 2 δ − (cid:88) i y i δ = M C . A . ,ξ + ρ + 2 δ = 0 . (C14)We find that the second sum-rule is identically upheld, and the first one gives: M C . A . = − F π (cid:32) sin(2 θ p ) (cid:0) m η + m η (cid:48) − m π (cid:1) + 2 √ θ p ) (cid:0) m η + m η (cid:48) − m π (cid:1) (cid:33) . (C15)Since in the decoupling limit c = 0 and m f → ∞ we have2 m π → m η + m η (cid:48) , (C16)which results in M C . A . = m π F π sin(2 θp ) , (C17)in agreement with Eq. (2.4) of ref. [91].1 Acknowledgments
A.H.F. wishes to thank the Physics Dept. of Shiraz University for its hospitality in Summer of 2012 where thiswork was initiated. A.H.F. also wishes to thank Prof. M. Amaryan for many helpful discussions. The work of J.S. issupported in part by the US DOE under the Contract No. DE-FG-02-85ER 40231. [1] J. Beringer et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D , 010001 (2012).[2] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. , 261601 (2013).[3] R.T. Kleiv, T.G. Steele, A. Zhang and I. Blokland, Phys. Rev. D , 125018 (2013); D. Harnett, R.T. Kleiv, K. Moatsand T.G. Steele, Nucl. Phys. A , 110 (2011); J. Zhang, H.Y. Jin, Z.F. Zhang, T.G. Steele and D.H. Lu, Phys. Rev. D , 114033 (2009); Fang Shi, T.G. Steele, V. Elias, K.B. Sprague, Ying Xue and A.H. Fariborz, Nucl. Phys. A , 416(2000); V. Elias, A.H. Fariborz, Fang Shi and T.G. Steele, Nucl. Phys. A , 279 (1998).[4] M. Wagner, et al., Acta Phys. Polon. Supp.
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