Classification of singularities in the problem of motion of the Kovalevskaya top in a double force field
aa r X i v : . [ n li n . S I] A ug УДК 517.938.5; 531.38
П. Е. Рябов, М. П. Харламов
Классификация особенностей в задаче о движенииволчка Ковалевской в двойном поле сил
Рассматривается задача о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле (слу-чай интегрируемости А.Г. Реймана – М.А. Семенова-ТянШанского без гиростатическогомомента). Это вполне интегрируемая гамильтонова система с тремя степенями свободы,несводимая к семейству систем с двумя степенями свободы. Изучается критическое мно-жество интегрального отображения. Приводится описание критических подсистем и би-фуркационных диаграмм. Дана классификация всех невырожденных критических точек— положений равновесия (невырожденных особенностей ранга ), особых периодическихдвижений (невырожденных особенностей ранга ), а также критических двухчастотныхдвижений (невырожденных особенностей ранга ).Библиография: 32 назв. Ключевые слова:
Особенности интегрируемых гамильтоновых систем, отображениемомента, бифуркационная диаграмма
СодержаниеСодержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Понятие невырожденной особенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Критические подсистемы и бифуркационные диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. Классификация неподвижных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185. Невырожденные особенности ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206. Невырожденные особенности ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 § 1. Введение Задача о движении волчка Ковалевской в двойном поле сил описывается системой урав-нений [1] ω = ω ω + β , ˙ α = α ω − α ω , ˙ β = β ω − ω β , ω = − ω ω − α , ˙ α = ω α − ω α , ˙ β = ω β − ω β , ˙ ω = α − β , ˙ α = α ω − α ω , ˙ β = β ω − β ω . (1.1)Здесь ω – вектор мгновенной угловой скорости. Постоянные в инерциальном пространствевекторы α , β характеризуют действие силовых полей. Обозначения выберем так, чтобы вы-полнялось неравенство | α | > | β | . Как показано в [2], без ограничения общности силовые поля
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-00043).
Опубликовано:
Математический сборник, 2012, 203(2), 111–142 c (cid:13) П. Е. Рябов, М. П. Харламов, 2018
П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ можно считать взаимно ортогональными. Тогда геометрические интегралы системы (1.1)запишутся в виде ( a > b > ) | α | = a , | β | = b , α · β = 0 . (1.2)Используя компоненты кинетического момента M = 2 ω , M = 2 ω , M = ω , перенесем на пространство R ( ω , α , β ) введенные в работе [1] скобки Пуассона { M i , M j } = ε ijk M k , { M i , α j } = ε ijk α k , { M i , β j } = ε ijk β k , { α i , α j } = 0 , { α i , β j } = 0 , { β i , β j } = 0 . (1.3)Система (1.1) примет вид ˙ x = { x, H } , где x – любая из координат, а H = 12 (2 ω + 2 ω + ω ) − α − β . Функциями Казимира для скобок (1.3) являются левые части уравнений (1.2). Поэтому век-торное поле (1.1), ограниченное на заданное этими уравнениями шестимерное подмногообра-зие P в R ( ω , α , β ) , является гамильтоновой системой с тремя степенями свободы.При b = 0 система (1.1) описывает случай С.В. Ковалевской движения твердого тела в полесилы тяжести, а при a = b — cлучай Х.М. Яхья [3]. Для этих предельных случаев задачиобладают группой симметрий и редуцируются к семействам интегрируемых систем с двумястепенями свободы (конфигурационное пространство – сфера). Классический случай Кова-левской изучен в [4], [5], [6]. Случай Яхья и его обобщения рассматривались в [7]. Глобальныйподход к классификации интегрируемых систем на двумерной сфере, порожденных задачамидинамики твердого тела с осесимметричным потенциалом, реализован в работах [8], [9], [10].Далее предполагается, что a > b > . (1.4)Функции K = ( ω − ω + α − β ) + (2 ω ω + α + β ) ,G = (cid:2) ω α + ω α + α ω (cid:3) + (cid:2) ω β + ω β + β ω (cid:3) ++ ω (cid:2) ( α β − α β ) ω + ( α β − α β ) ω + ( α β − α β ) ω (cid:3) −− α b − β a вместе с H образуют на P полный инволютивный набор интегралов системы (1.1). Интегра-лы K и G указаны в [1] и [11].Определим интегральное отображение F : P → R , (1.5)полагая F ( x ) = (cid:0) g = G ( x ) , k = K ( x ) , h = H ( x ) (cid:1) . Отображение F принято называть отобра-жением момента .Обозначим через C совокупность всех критических точек отображения момента, то есть то-чек, в которых rank d F ( x ) < . Множество критических значений Σ = F ( C ) ⊂ R называется бифуркационной диаграммой . Множество C можно стратифицировать рангом отображения СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ момента, представив в виде объединения C = C ∪C ∪C . Здесь C r = { x ∈ P | rank d F ( x ) = r } .В соответствии с этим и диаграмма Σ становится клеточным комплексом Σ = Σ ∪ Σ ∪ Σ . Сдругой стороны, на практике бифуркационные диаграммы описываются в терминах некото-рых поверхностей в пространстве констант первых интегралов. Уравнения этих поверхностей(неявные или параметрические) зачастую можно получить даже не вычисляя самих крити-ческих точек, как дискриминантные множества некоторых многочленов (например, исходяиз особенностей алгебраических кривых, ассоциированных с представлениями Лакса). Такиеповерхности будем обозначать через Γ i и записывать представление Σ = [ i Σ i , Σ i = Σ ∩ Γ i . При этом, в свою очередь, каждое множество Σ i стратифицировано Σ i = Σ i ∪ Σ i ∪ Σ i и различные множества Σ i могут пересекаться между собой по стратам размерности мень-ше 2. Смысл такого представления в том, что критическое множество C оказывается объ-единением естественным образом возникающих инвариантных множеств M i = C ∩ F − (Γ i ) .Если поверхность Γ i записана регулярным уравнением φ i ( g, k, h ) = 0 , (1.6)то M i определится как множество критических точек интеграла φ i ( G, K, H ) , лежащих наего нулевом уровне, а вычисленные в точке M i компоненты градиента функции φ i в подста-новке значений интегралов G, K, H дадут коэффициенты равной нулю линейной комбинациидифференциалов dG, dK, dH . В точке трансверсального пересечения двух поверхностей Γ i и Γ j получим две независимые равные нулю комбинации, поэтому в точках соответствующегопересечения M i ∩ M j ранг F равен 1. Очевидно, что точки трансверсального пересечениятрех поверхностей (углы бифуркационной диаграммы) оказываются порожденными точкамис условием rank F = 0 . Множества M i с индуцированной на них динамикой далее называемкритическими подсистемами.Критические подсистемы и уравнения поверхностей Γ i в рассматриваемой задаче найде-ны в работе [12]. Подробное описание стратификации критического множества по рангуотображения момента изложено в [13]. Там же в виде явных неравенств указаны области су-ществования движений на поверхностях Γ i – множества Σ i , составляющие бифуркационнуюдиаграмму. Как следствие построен атлас всех сечений диаграммы Σ плоскостями посто-янной энергии, то есть найдены все бифуркационные диаграммы Σ( h ) отображения G × K ,ограниченного на изоэнергетические поверхности { H = h } ⊂ P . Краткая сводка этих ре-зультатов в необходимом объеме приведена ниже.Критические подсистемы оказываются интегрируемыми почти всюду гамильтоновыми си-стемами с числом степеней свободы меньшим трех. Для них, в свою очередь, определено ин-дуцированное отображение момента. Бифуркационная диаграмма Σ ∗ i для отображения F| M i естественным образом отождествляется с объединением Σ i ∪ Σ i . Описание критических мно-жеств, диаграмм Σ ∗ i и бифуркаций внутри критических подсистем получено в работах [14],[15], [16]. Однако классификация точек множества C по отношению ко всей системе с тремястепенями свободы на P не проводилась. В данной работе исследуется тип невырожденныхособенностей полного отображения момента. П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ § 2. Понятие невырожденной особенности
Напомним некоторые определения и факты, связанные с особенностями отображения мо-мента и бифуркациями в случае многих степеней свободы [17], [18], [19], [20]. Пусть ( P k , Ω , H, F ) (2.1)– интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система. Здесь ( P k , Ω) – симплектическое мно-гообразие, динамика задана полем v = sgrad H , и f , . . . , f k – независимые (почти всюду)интегралы в инволюции, составляющие отображение момента F : P k → R k , F ( x ) = ( f ( x ) , . . . , f k ( x )) с множеством критических точек C = C ∪ C ∪ . . . ∪ C k − , где C r = { x ∈ P k | rank d F ( x ) = r } . Для любой точки x ∈ C r можно подобрать невырожденную линейную замену функций ( f , . . . , f k ) ( g , . . . , g k ) , такую, что1) dg ( x ) = . . . = dg k − r ( x ) = 0 ;2) дифференциалы dg k − r +1 ( x ) , . . . , dg k ( x ) линейно независимы.Пусть ϕ – гладкая функция на P k , для которой точка x критическая. Линеаризация A ϕ ( x ) векторного поля sgrad ϕ в точке x является симплектическим оператором в касательномпространстве T x P k . Алгебру таких операторов отождествим с sp(2 k, R ) . Там, где это неприведет к недоразумению, обозначение точки в операторе вида A ϕ опускаем.Пусть x ∈ C r , j ∈ { , . . . , k − r } . Обозначим v j = sgrad g j . Рассмотрим в T x P k подпро-странство W , натянутое на v k − r +1 ,. . . , v k , и его косоортогональное дополнение W ′ . Тогда W ⊂ Ker A g j и Im A g j ⊂ W ′ . На факторпространстве W ′ /W имеется симплектическая струк-тура ˜Ω , а операторы ˜ A g j = A g j | W ′ /W являются элементами алгебры Ли sp(2( k − r ) , R ) . Такимобразом, в вещественной симплектической алгебре Ли sp(2( k − r ) , R ) можно рассмотреть ком-мутативную подалгебру A ( x, F ) , порожденную операторами ˜ A g , . . . , ˜ A g k − r . Определение 1.
Критическая точка x ∈ C r отображения момента F называется невы-рожденной ранга r ( коранга k − r ), если A ( x, F ) – подалгебра Картана в sp(2( k − r ) , R ) .Коммутативная подалгебра в sp(2( k − r ) , R ) является картановской тогда и только тогда,когда ее размерность равна k − r и среди ее элементов найдется линейный оператор с раз-личными собственными значениями (он называется регулярным оператором). Заметим, чтокасательное пространство T x P k раскладывается на два подпространства: T x P k = V ⊕ V ,где V – корневое подпространство, которое соответствует собственному значению алгебра-ической кратности r , а V изоморфно W ′ /W . Характеристическое уравнение регулярногооператора A g j (если такой найдется), ограниченного на подпространство V ∼ = W ′ /W , име-ет такой же набор k − r ) различных собственных значений, что и регулярный элемент изкартановской подалгебры A ( x, F ) в sp(2( k − r ) , R ) . СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ Для невырожденных критических точек определяется модельное слоение Лиувилля: впространстве R k с координатами q , . . . , q k , p , . . . , p k и стандартной симплектической струк-турой задается набор функций P elli = p i + q i ( i = 1 , . . . , m ); P hypj = p j q j ( j = m + 1 , . . . , m + m ); P focl = p l q l + p l +1 q l +1 , P focl +1 = p l q l +1 − p l +1 q l ( l = m + m + 1 , m + m + 3 , . . . , m + m + 2 m − P s = q s ( s = m + m + 2 m + 1 , . . . , k ) . (2.2)Их совместные уровни определяют каноническое лиувиллево слоение S can в R k в окрестно-сти точки , которая является невырожденной особой точкой отображения момента F can : R k → R k , порожденного функциями (2.2). Ранг этой невырожденной особенности равен r ,а тройка целых чисел ( m , m , m ) называется ее типом [19]. Таким образом, любая невы-рожденная особенность отображения момента F can кратко характеризуется четверкой целыхчисел ( r, m , m , m ) , где r – ранг отображения в особой точке, ( m , m , m ) – тип точки. Приэтом m + m + 2 m + r = k , где k – число степеней свободы рассматриваемой системы.Следующая теорема [19] позволяет понять, как выглядит бифуркационная диаграмма вокрестности невырожденной особой точки. Она будет диффеоморфна бифуркационной диа-грамме Σ can модельного отображения момента F can . Теорема 1.
Пусть дана вещественно-аналитическая интегрируемая система с k сте-пенями свободы на вещественно-аналитическом многообразии P k . Тогда слоение Лиувилляв окрестности невырожденной особой точки ранга r и типа ( m , m , m ) всегда локальносимплектоморфно модельному слоению Лиувилля S can с теми же параметрами. В част-ности, два слоения Лиувилля с совпадающими параметрами ( r, m , m , m ) локально сим-плектоморфны. Как показано в работах [21], [22], утверждение теоремы остается верным, если невырож-денную особую точку в формулировке теоремы заменить на компактную невырожденнуюособую орбиту пуассоновского действия, ассоциированного с системой (2.1). Такие орбитымогут быть организованы в критические подмногообразия.
Определение 2.
Множество
M ⊂ P k называется критическим подмногообразием ранга m < k (коранга k − m ), если M – гладкое подмногообразие в P k размерности m ;
2) Ω M = Ω (cid:12)(cid:12) M – есть симплектическая структура на M ; M инвариантно относительно векторного поля v = sgrad H ;
4) rank F = m почти всюду на M . Предложение 1.
Если M – критическое подмногообразие ранга m , то ( M , Ω (cid:12)(cid:12) M , H (cid:12)(cid:12) M ) – вполне интегрируемая гамильтонова система с m степенями свободы. Описанные в предыдущем разделе критические подсистемы оказываются критическиммногообразиями или их замыканиями. В последнем случае они являются критическими мно-гообразиями почти всюду. Кроме нарушений гладкости фазовых пространств критическихподсистем могут возникать особенности, связанные с вырождением индуцированной симплек-тической структуры. Это явление было впервые обнаружено Д.Б. Зотьевым [14].
П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ
Следующее утверждение позволяет установить глобальный тип критической точки, при-надлежащей двум критическим подсистемам, зная ее типы относительно каждой. Пусть M и N – критические подмногообразия в P k ранга m = k − , а M ∩ N = L – критическоеподмногообразие ранга r = k − и пусть пересечение M ∩ N трансверсально.
Предложение 2.
Пусть x ∈ L – невырожденная критическая точка системы (2 . ранга k − , имеющая тип ( τ , τ , , где τ + τ = 2 . Тогда для подсистемы на L эта точка регулярна; для подсистем на M и на N эта точка критическая коранга , причем в подсистемах M и N ее тип имеет вид ( m , m , и ( n , n , соответственно, а числа m i , n i связанысоотношениями τ = m + n , τ = m + n , m + m = 1 , n + n = 1 . Доказательство.
По предположению имеем T x P k = T x M + T x N , T x M ∩ T x N = T x L , dim T x M = dim T x N = 2( k − , dim T x L = 2( k − , и все указанные пространства инвариантны для операторов из sp(2( k − , R ) , порождающихсоответствующую подалгебру Картана.Перейдем к описанию критических точек обобщенного волчка Ковалевской. § 3. Критические подсистемы и бифуркационные диаграммы В этом разделе излагается сводка результатов [12, 13, 23, 24], относящихся к нахождениюкритического множества отображения момента (1.5) и бифуркационных диаграмм. Приво-дится система единых обозначений, необходимая для трехмерной классификации.Для описания критических подсистем удобно воспользоваться заменой переменных, вве-денной в работе [25], обобщающей замену С.В. Ковалевской и подсказанной представлениемЛакса [11]: x = ( α − β ) + i( α + β ) , x = ( α − β ) − i( α + β ) ,y = ( α + β ) + i( α − β ) , y = ( α + β ) − i( α − β ) ,z = α + i β , z = α − i β ,w = ω + i ω , w = ω − i ω , w = ω . Она приводит интегралы к виду H = 12 w + w w −
12 ( y + y ) ,K = ( w + x )( w + x ) ,G = 14 ( p − x x ) w + 12 ( x z w + x z w ) w ++ 14 ( x w + y w )( y w + x w ) − p ( y + y ) + 14 r ( x + x ) . Здесь введены параметры p > r > p = a + b , r = a − b , с использованием которых уравнения геометрических интегралов (1.2) запишутся так: z + x y = r , z + x y = r ,x x + y y + 2 z z = 2 p . СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ Критическое множество отображения (1.5) состоит из четырех критических подсистем. Завычетом множества особенностей нулевой меры три из них являются критическими многооб-разиями ранга 2, и одно – критическим многообразием ранга 1. Отклоняясь от формальнойстрогости, будем говорить, что первые три – это подсистемы с двумя степенями свободы, апоследняя – подсистема с одной степенью свободы.Первая критическая подсистема M ⊂ P была найдена в работе [1] еще до открытияфакта интегрируемости системы (1.1) в целом. Она задана соотношениями Z = 0 , Z = 0 , (3.1)где Z = w + x , Z = w + x . Соответствующая часть Σ бифуркационной диаграммы лежит в плоскости k = 0 , а незави-симыми интегралами на M можно выбрать H и частный интеграл Богоявленского F = w w w + z w + z w . На M постоянные g, k интегралов G, K выражаются через постоянные h, f принятых занезависимые интегралов
H, F соотношениями, найденными в [14]. Их можно принять запараметрические уравнения несущей поверхности Γ : ( k = 0 ,g = 12 p h − f . (3.2)Условимся о некоторых упрощениях обозначений. Рассмотрим на M "индуцированное"отображение момента F = H × F : M → R . Квадрат интеграла F взят здесь, чтобы получить однозначное (хотя бы почти всюду) соответ-ствие точек допустимых областей поверхности и плоскости в силу уравнений (3.2). Пользуясьэтими уравнениями не будем различать F| M и F . Множество Σ отобразится на плоскости ( h, f ) как Im F , а бифуркационная диаграмма отображения F отобразится на поверхности Γ как определенный выше остов Σ ∗ клеточного комплекса Σ . В связи с этим для этой ипоследующих подсистем обозначаем одинаково множества Σ i , Σ ∗ i и их образы на плоскостяхконстант интегралов, выбранных на M i в качестве независимых.Вторая критическая подсистема M ⊂ P найдена в [25] и может быть определена какзамыкание множества решений системы уравнений F = 0 , F = 0 , (3.3)где F = √ x x w − ( x z w + x z w ) √ x x , F = x x Z − x x Z . Соответствующая часть Σ бифуркационной диаграммы лежит на поверхности ( p h − g ) − r k = 0 . (3.4)В качестве независимых интегралов можно взять H и частный интеграл M = 12 r ( x x Z + x x Z ) , П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ так что отображение момента для этой системы F = M × H : M → R . При этом получаем уравнения несущей поверхности Γ : ( k = r m ,g = 12 ( p h − r m ) . Третья критическая подсистема M ⊂ P найдена в [2] и может быть определена какзамыкание множества решений системы уравнений R = 0 , R = 0 , (3.5)где R = w x + w y + w z w − w x + w y + w z w ,R = ( w z + w z ) w + h w z w + w z w + w w ( y + y )++ x w + x w i w + w x z w + w x z w ++ x z w + x z w + ( w z − w z )( y − y ) . Соответствующая часть Σ бифуркационной диаграммы лежит на дискриминантной поверх-ности многочлена, обобщающего второй многочлен Ковалевской: ϕ ( s ) = s − hs + ( h + p − k ) s − gs + a b . При этом s есть константа частного интеграла S = − (cid:0) y w + x w + z w w + x w + y w + z w w (cid:1) , (3.6)который в дополнение к H может быть взят в качестве независимого для определения отоб-ражения момента F = S × H : M → R . Тогда Γ : k = 3 s − hs + p + h − a b s ,g = − s + hs + a b s . (3.7)При построении явных решений системы M оказалось удобным рассмотреть вместо парыинтегралов ( S, H ) пару ( S, T ) , где T так же, как и S , есть частный интеграл на M : T = 12 [ w ( x w + y w + z w ) + w ( y w + x w + z w )] + x x + z z . (3.8) СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ Обозначая его постоянную через τ , представим параметрические уравнения (3.7) поверхности Γ в виде Γ : h = p − τ s + s,k = τ − p τ + r s + τ ,g = p − r s + 12 ( p − τ ) s. (3.9)Несмотря на то что уравнения (3.5) имеют очевидную особенность, замыкание множестваих решений, будучи инвариантным относительно фазового потока (1.1), содержит в себе ичасть траекторий, на которых w ≡ , w ≡ . В целом семейство траекторий, удовлетворяющих этому условию, образует четвертую кри-тическую подсистему M , фазовое пространство которой задано в P системой уравнений w = 0 , w = 0 , z = 0 , z = 0 . Очевидно, M – двумерное гладкое инвариантное многообразие, H выступает как единствен-ный независимый интеграл, и, соответственно, его константа есть единственный параметр наповерхности, несущей соответствующую часть Σ бифуркационной диаграммы. Это парапрямых Γ : (cid:26) k = ( a ∓ b ) ,g = ± abh. Ввиду того, что множества M , M имеют непустое пересечение, фактически Γ добавляетв бифуркационную диаграмму Σ лишь сегмент g = abh, k = ( a − b ) , h < ab. В остальном, как легко видеть, точки Γ являются точками самопересечения поверхности Γ .В работе [12] доказано, что C = [ i =1 M i , и приведены бифуркационные диаграммы некоторых отображений, составленных из част-ных интегралов. Полное описание множеств Σ i , основанное на стратификации критическогомножества рангом отображения момента, дано в [13]. Коротко перечислим основные факты.Обозначим через e i ( i = 1 , , канонический базис в R . Множество C состоит из непо-движных точек системы (1.1) c : ω = , α = a e , β = b e ,c : ω = , α = a e , β = − b e ,c : ω = , α = − a e , β = b e ,c : ω = , α = − a e , β = − b e . (3.10) П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ
Соответствующие значения первых интегралов при фиксированных постоянных a, b даютчетыре точки в R : P : g = − ab ( a + b ) , k = ( a − b ) , h = − ( a + b ); P : g = ab ( a − b ) , k = ( a + b ) , h = − ( a − b ); P : g = − ab ( a − b ) , k = ( a + b ) , h = a − b ; P : g = ab ( a + b ) , k = ( a − b ) , h = a + b. В таблице 3.1 приводится соответствие между P k и точками множеств Σ и Σ – узловымиточками бифуркационных диаграмм Σ ∗ и Σ ∗ в терминах выбранных там констант интегралов.На множество Σ , как отмечено в [14], эти точки в неприводимом случае (1.4) не попадают.На множестве Σ их расположение очевидно. Таблица 3.1 C Образ в R ( h, k, g ) Образ в R ( m, h ) Образ в R ( s, h ) c P P (cid:18) a + b , − ( a + b ) (cid:19) Q ( − a, − ( a + b )) Q ( − b, − ( a + b )) c P P (cid:18) a − b , − ( a − b ) (cid:19) Q ( − a, − ( a − b )) Q ( b, − ( a − b )) c P P (cid:18) − a − b , a − b (cid:19) Q ( − b, a − b ) Q ( a, a − b ) c P P (cid:18) − a + b , a + b (cid:19) Q ( b, a + b ) Q ( a, a + b ) В составе множества C имеются следующие шесть семейств маятниковых движений [2](первый индекс соответствует верхнему знаку): L , = { α ≡ ± a e , β = b ( e cos θ − e sin θ ) , ω = θ · e , θ ·· = − b sin θ } , L , = { α = a ( e cos θ + e sin θ ) , β ≡ ± b e , ω = θ · e , θ ·· = − a sin θ } , L , = { α = a ( e cos θ − e sin θ ) , β = ± b ( e sin θ + e cos θ ) , ω = θ · e ,θ ·· = − ( a ± b ) sin θ } . Семействам L j отвечают значения первых интегралов, заполняющие кривые λ j в составеодномерного остова бифуркационной диаграммы: λ , = { g = a h ± ar , k = ( h ± a ) , h > ∓ ( a ± b ) } ,λ , = { g = b h ∓ br , k = ( h ± b ) , h > − ( a ± b ) } ,λ , = { g = ± abh, k = ( a ∓ b ) , h > − ( a ± b ) } . В таблице 3.2 приводится соответствие между кривыми λ j и одномерными остовами диаграмм Σ ∗ и Σ ∗ , при этом сами кривые разбиты на участки λ ji значениями интегралов на уровнях,содержащих неподвижные точки системы. На этих же уровнях могут находиться и движенияв составе семейств L j , асимптотические к неподвижным точкам. СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ C Образ в R ( h, k, g ) Образ в R ( m, h ) Образ в R ( s, h ) L λ = λ ∪ λ ,λ : − ( a + b ) < h < − ( a − b ) ,λ : h > − ( a − b ) , h = r m − a s = − a L λ = λ ∪ λ ∪ λ ,λ : a − b < h < a + b , λ : a + b < h < a , λ : h > a h = r m + 2 a s = a L λ = λ ∪ λ ∪ λ ,λ : − ( a + b ) < h < − b , λ : − b < h < a − b , λ : h > a − b h = − r m − b s = − b L λ = λ ∪ λ ∪ λ ,λ : − ( a − b ) < h < b , λ : 2 b < h < a + b , λ : h > a + b h = − r m + 2 b s = b L λ = S j =1 λ j ,h > − ( a + b ) , h > ab – λ : s ∈ ( − a, − b ) , λ : s ∈ (0 , b ) , λ : s ∈ ( b, a ) , λ : s ∈ ( a, + ∞ ) , h = s + abs L λ , − √ ab < h < √ ab – – L λ = S j =1 λ j ,h > − ( a − b ) – λ : s ∈ ( − a, − b ) , λ : s ∈ ( − b, , λ : s ∈ ( b, a ) , λ : s ∈ ( a, + ∞ ) , h = s − abs П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ
Оставшуюся часть множества C составляют критические движения случая Богоявлен-ского. Они аналитически организованы в три семейства периодических решений, ниже обо-значаемых через L − L (топологически последнее семейство заполняет в P два связныхдвумерных многообразия) и принадлежат M ∩ M . Первое описание этих траекторий данов [14]. Здесь удобно воспользоваться параметризацией этих семейств, указанной в [26]. Онапредставляет собой алгебраические выражения исходных фазовых переменных через однувспомогательную переменную, зависимость которой от времени выражается стандартнымиэллиптическими функциями, при том, что и постоянные всех интегралов также явно выра-жены через одну постоянную, а именно, через постоянную s соответствующего интеграла(3.6). Имеем следующие выражения для фазовых переменных: ω = − r r r r ψ s , ω = − r r − r r ψ s , ω = θr + r r r r s ,α = − s − r r (cid:2) r + ( r + r ) (cid:3) ( ψ + ψ )4 r ( r + r ) s ,α = − r r (cid:2) r + ( r + r ) (cid:3) √− ψ ψ r ( r + r ) s , α = r √− ψ r ,β = r r (cid:2) r − ( r + r ) (cid:3) √− ψ ψ r ( r + r ) s ,β = − s − r r (cid:2) r − ( r + r ) (cid:3) ( ψ + ψ )4 r ( r + r ) s , β = r √− ψ r , (3.11)где ψ = ( θ − e ′ + )( θ − e ′− ) , e ′± = r + r r ( s ± a ) ,ψ = ( θ − e ′′ + )( θ − e ′′− ) , e ′′± = r + r r ( s ± b ) , и для различных семейств следует положить L : s ∈ [ − b, , r = q a − s > , r = q b − s > , L : s ∈ (0 , b ] , r = q a − s > , r = − q b − s , L : s ∈ [ a, + ∞ ) , ( r = i r ∗ , r = i r ∗ r ∗ = q s − a < r ∗ = q s − b . Значения первых интегралов на этих движениях определяют еще одну часть одномерногоостова бифуркационной диаграммы Σ в виде трех кривых δ i ⊂ R ( i = 1 , , , параметриче- СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ ские уравнения которых получены в [26] δ : h = 2 s − s p ( a − s )( b − s ) f = ± r − s p ( a − s )( b − s )( p a − s + p b − s ) τ = ( p a − s + p b − s ) , s ∈ [ − b,
0) ; δ : h = 2 s + 1 s p ( a − s )( b − s ) f = ± r s p ( a − s )( b − s )( p a − s − p b − s ) τ = ( p a − s − p b − s ) , s ∈ (0 , b ] ; δ : h = 2 s − s p ( s − a )( s − b ) f = ± r s p ( s − a )( s − b )( p s − b − p s − a ) τ = − ( p s − b − p s − a ) , s ∈ [ a, + ∞ ) . (3.12)Здесь s, τ – значения функций (3.6), (3.8) на соответствующих множествах. Как отмеченовыше, s выбирается за независимый параметр. Значение k ≡ , зависимость g ( s ) находитсяиз (3.2).Семейства L − L составляют трансверсальное пересечение критических многообразий M ∩ M , а L − L – трансверсальное пересечение M ∩ M . По отношению к критическимподсистемам с двумя степенями свободы они могут иметь лишь эллиптический или гипербо-лический тип. Из топологических результатов работ [14], [15], [16], [26], [27] можно получитьутверждения о типе этих траекторий внутри M , M , M . Отсюда тип этих критическихточек в трехмерной классификации можно было бы определить по предложению 2. Однакоэти утверждения не подтверждены вычислениями. Поэтому мы явно выпишем необходимыехарактеристические многочлены, получим тип точек этих семейств в P , откуда будет сле-довать и доказательство утверждений по отношению к критическим подсистемам с двумястепенями свободы.Одномерный остов Σ бифуркационной диаграммы, кроме значений F в точках множе-ства C , может порождаться касанием листов Σ i . Соответствующие критические точки, хотьи имеют ранг 2, но являются вырожденными. Доказательство этого факта требует обос-нования несуществования регулярного элемента в соответствующей подалгебре, что всегдасложнее, чем его явное нахождение. Здесь мы не будем приводить строгих обоснований ивычислять тип этих точек. Ограничимся указанием уравнений соответствующих участков на Σ и неравенств, определяющих область существования движений на этих участках. Имеютместо следующие случаи. Касание листов Σ , Σ происходит в точках множества ∆ : (cid:26) k = 0 , g = p h , h > − b. Касание листов Σ , Σ происходит в точках множества ∆ : k = 1 r (2 g − p h ) g = g ± ( h ) = 14 p (cid:20) (2 p − r ) h ± r q h − p (cid:21) , h > q p. П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ
Кроме того, на листе Σ имеется ребро возврата ("самокасание"), которое описывается пара-метрическими уравнениями ∆ : h = p − r + 12 s s k = − s p − p − r )8 s + ( p − r ) s g = 3( p − r ) + 4 s s , < s s . (3.13)Здесь s – единственный корень уравнения s − p s + 32 ( p − r ) s − ( p − r )
16 = 0 (3.14)на полупрямой s > a . Ниже мы явно увидим, что в характеристических многочленах опе-раторов, выбранных в качестве регулярных, при этих условиях возникает кратный корень.Эти множества обладают еще одним важным свойством, которое оказывается связанным свырожденностью критических точек в P , а именно, как показано в работах [14], [15], [28],на множествах M i ∩ F − (∆ i ) ( i = 1 , , вырождается 2-форма, индуцированная на M i сим-плектической структурой многообразия P . Заметим, что внутри M соответствующие точкирегулярны, внутри M , M регулярны почти все из них (за исключением точек пересеченияс C ). Образы множеств ∆ i на поверхностях Γ i в выбранных там параметрах представленыв табл. 3.3. Таблица 3.3
Образ в R ( h, f ) Образ в R ( m, h ) Образ в R ( s, h )∆ f = 0 ,h > − b m = 0 ,h > − b – ∆ – h = − ( a + b ) m − m ,m < h = a + b s + s,s > – – h = 3 s + a b s , < s s Собирая образы точек P i , одномерных множеств λ i , δ i , ∆ i на плоскостях значений инду-цированных отображений момента F i , получим бифуркационные диаграммы Σ ∗ i этих отоб-ражений (рис. 1–3). Части Σ i бифуркационной диаграммы полного отображения моментаотобразятся на выбранных плоскостях как оболочка каркасов Σ ∗ i . При этом не включаютсяте связные компоненты R \ Σ ∗ i , которые помечены на рисунках символом ∅ .Таким образом, Σ ∗ состоит из кривых δ – δ и луча ∆ (рис. 1). На рисунке такжевведены обозначения некоторых особых точек q k , e k , которые фигурируют и на последующихрисунках. Отмечены три значения энергии h − h , для которых ниже показаны диаграммы Σ( h ) .Диаграмма Σ ∗ (рис. 2) состоит из кривых λ − λ (напомним, что мы не различаем объектыв R ( h, k, g ) и их образы на плоскостях значений индуцированных отображений момента), СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ Рис. 1 . Бифуркационная диаграмма Σ ∗ на плоскости ( h, f ) . Рис. 2 . Бифуркационная диаграмма Σ ∗ на плоскости ( m, h ) .6 П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ
Рис. 3 . Бифуркационная диаграмма Σ ∗ на плоскости ( s, h ) . множеств ∆ и ∆ . Ниже нам будет удобно ввести на M вместо H другой почти всюдунезависимый с M интеграл [15] L = 1 √ x x [ w w + x x + z z M ] . Его постоянная связана с h, m соотношением ℓ = 2 p m + 2 hm + 1 , (3.15)а множество ∆ задано уравнением ℓ = 0 .Наконец, диаграмма Σ ∗ (рис. 3) порождает наиболее сложную часть бифуркационной диа-граммы Σ . Необходимые комментарии будут даны ниже. Пока отметим лишь, что на нейнашли отражение практически все уже упоминавшиеся обозначения. Например, точки q − q являются граничными точками кривых δ − δ как на этом рисунке, так и на рис. 1. Точка e , которая на плоскости ( h, f ) является точкой возврата кривой δ , на последнем рисункесоответствует значению s интеграла (3.6), при котором достигается минимальное значение h ( s ) в соответствующем выражении (3.12). Оно же фигурирует в (3.13) как корень уравнения(3.14).Для полного описания Σ ⊂ P введем некоторые обозначения.Обозначим обращения зависимостей h ( s ) на кривых (3.12): δ : s = s ( h ) , h ∈ [ − b, + ∞ ) , s ( h ) ∈ [ − b, ,δ : s = s ( h ) , h > b, s ( h ) ∈ (0 , b ] ,δ : s = s ( h ) , h ∈ [ h , a ] , s ∈ [ a, s ] ,δ : s = s ( h ) , h ∈ [ h , + ∞ ) , s ∈ [ s + ∞ ) . СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ Здесь h – значение h ( s ) на кривой δ . Уравнение (3.14) для вычисления значения s теперьполучим, записывая условие минимума h на кривой δ в виде s p ( s − a )( s − b ) = s − a b . (3.16)Единственность его решения при s > a очевидна.Из соотношений (3.2) найдем зависимость на δ : g = g ( h ) = s + abs − s φ ( s ) | s = s ( h ) , h > − b. Рассматривая интервалы монотонности h ( s ) на кривых λ − λ обозначим: s − ( h ) = h − √ h − ab , s ( h ) = h + √ h − ab , s ( h ) = h + √ h + 4 ab . Теперь бифуркационная диаграмма полностью описывается следующей теоремой [13], кото-рая сформулирована так, чтобы все условия давали явные неравенства при фиксированномзначении энергии h . Теорема 2.
1. Множество Σ = Γ ∩ Σ имеет вид k = 0 , g ( h ) g p h, h > − b.
2. Множество Σ = Γ ∩ Σ лежит в полупространстве h > − ( a + b ) и описывается следу-ющей совокупностью систем неравенств (cid:26) b h − br g a h + ar − ( a + b ) h √ p ; (cid:26) b h − br g g − ( h ) h > √ p ; (cid:26) g + ( h ) g a h + ar h > √ p .
3. Множество Σ = Γ ∩ Σ полностью описывается следующей совокупностью условий наплоскости ( s, h ) . Для отрицательных значений s : (cid:26) − ( a + b ) h − √ abs ∈ [ − a, s − ( h )] ∪ [ s ( h ) , − b ] ; (cid:26) − √ ab h − bs ∈ [ − a, − b ] ; (cid:26) h > − bs ∈ [ − a, s ( h )] . Для положительных значений s : (cid:26) − a + b h bs ∈ [ b, s ( h )] ; (cid:26) b h h s ∈ [ s ( h ) , s ( h )] ; (cid:26) h h as ∈ [ s ( h ) , s ( h )] ∪ [ s ( h ) , s ( h )] ; (cid:26) h > as ∈ [ s ( h ) , a ] ∪ [ s ( h ) , s ( h )] .
4. Множество Σ = Γ ∩ Σ состоит из двух лучей g = abh, k = ( a − b ) , h > − ( a + b ) ,g = − abh, k = ( a + b ) , h > − ( a − b ) . П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ
Эта теорема дает возможность изобразить во всех деталях любую диаграмму Σ( h ) наизоэнергетическом уровне и отследить с помощью компьютерной графики эволюцию этихдиаграмм с изменением энергии. Разделяющими служат значения h , фигурирующие какграницы для неравенств в утверждении теоремы. Диаграммы для отмеченных ранее трехзначений h , h , h с увеличенными для наглядности участками приведены на рис. 4–6. Рис. 4 . Бифуркационная диаграмма Σ( h ) и ее фрагмент. Рис. 5 . Бифуркационная диаграмма Σ( h ) и ее фрагмент. § 4. Классификация неподвижных точек В работе [29] найден индекс Морса гамильтониана H в неподвижных точках (3.10), что взначительной мере определяет характер поведения системы в их окрестности. Однако стро-гая классификация требует указания типа этих точек как критических точек отображениямомента. Теорема 3.
Особым точкам P k ( k = 0 , . . . , бифуркационной диаграммы Σ соответ-ствуют невырожденные особенности c k ранга отображения момента F . Более точно, СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ Рис. 6 . Бифуркационная диаграмма Σ( h ) и ее фрагмент. точке P соответствует особенность c типа «центр-центр-центр», P – особенность c типа «центр-центр-седло», P – особенность c типа «центр-седло-седло», P – особен-ность c типа «седло-седло-седло». Доказательство.
Точки P k порождены неподвижными точками c k . Касательные про-странства в точках c k можно описать в виде уравнений T c P = T c P = { x ∈ R : x = x = 0 , bx + ax = 0 } ,T c P = T c P = { x ∈ R : x = x = 0 , bx − ax = 0 } . Пусть e j ( j = 1 , . . . базис соответствующего пространства T c k P : e = { , , , , , , , , } t ,e = { , , , , , , , , } t ,e = { , , , , , , , , } t ,e = { , , , , a, , ∓ b, , } t ,e = { , , , , , , , , } t ,e = { , , , , , , , , } t . (4.1)Линеаризации векторных полей sgrad H, sgrad K и sgrad G порождают симплектические ли-нейные операторы A H , A K , A G : T c k P → T c k P . Пусть
Adiag { x, y, z } означает матрицу z y x . Тогда матрицы операторов A H , A K , A G в выбранном базисе имеют блочный вид A H = (cid:18) A c k A c k (cid:19) , A G = (cid:18) A c k A c k (cid:19) , A K = (cid:18) A c k A c k (cid:19) , П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ где введены обозначения следующих матриц A c = A c = Adiag { a + b, − , } , A c = − A c = Adiag {− b, a, } ,A c = A c = Adiag { ab ( a + b ) , − b , a } , A c = − A c = ab Adiag {− a, b, } ,A c = − A c = ( a − b ) Adiag { , , } , A c = A c = − a − b ) Adiag { b, a, } ,A c = A c = Adiag { a − b, − , } , A c = − A c = Adiag { b, a, − } ,A c = A c = Adiag {− ab ( a − b ) , − b , a } , A c = − A c = ab Adiag { a, b, } ,A c = − A c = ( a + b ) Adiag { , , } , A c = A c = − a + b ) Adiag {− b, a, } . В силу (1.4) подалгебра A ( c k , F ) , порожденная операторами A H , A G , A K , является картанов-ской для всех k = 0 , . . . , и ее размерность равна . В качества регулярного элемента можновзять A H . Характеристические уравнения имеют вид: c : ( µ + a + b )(2 µ + a )(2 µ + b ) = 0 ,c : ( µ + a − b )(2 µ + a )(2 µ − b ) = 0 ,c : ( µ − a + b )(2 µ − a )(2 µ + b ) = 0 ,c : ( µ − a − b )(2 µ − a )(2 µ − b ) = 0 . Соответствующие собственные значения различны и в каждой точке разбиваются на трипары: c : ± i √ a + b ; ± i r a ± i r b ,c : ± i √ a + b ; ± i r a ± r b ,c : ±√ a − b ; ± r a ± i r b ,c : ±√ a + b ; ± r a ± r b . Таким образом, точки c k – невырожденные особенности и их тип определяется тройкой целыхчисел: (3 , , для c ; (2 , , для c ; (1 , , для c и (0 , , для c .Заметим, что в точках c k встречаются три локальных критических подсистемы – под-система M и две части подсистемы M , которая имеет в этих точках особенность типасамопересечения. В частности, на плоскости ( s, τ ) каждая такая точка изображается двумя.В этом смысле каждая особая точка Q kj диаграммы Σ ∗ имеет свой тип (тип точки c k поотношению к некоторому выбранному гладкому участку M в ее окрестности). Соответству-ющее описание критических точек ранга 0 в P , а также в критических подсистемах M и M сведено в табл. 4.1. § 5. Невырожденные особенности ранга Как было показано выше, невырожденные особенности ранга 1 состоят из периодиче-ских решений семейств L k ( k = 1 , . . . , , образ которых составляет одномерный комплекс СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ C Тип в P Образ в R ( h, k, g ) Образ в R ( m, h ) Тип в M Образ в R ( s, h ) Тип в M c (3 , , P P центр-центр Q Q центр-центрцентр-центр c (2 , , P P центр-седло Q Q центр-седлоцентр-центр c (1 , , P P центр-седло Q Q седло-седлоцентр-седло c (0 , , P P седло-седло Q Q седло-седлоседло-седло Σ = { λ k , δ k } , в котором кривые разбиты на участки точками комплекса Σ (трансверсаль-ное пересечение одномерных кривых, бифуркации периодических решений при прохождениичерез неподвижную точку), точками касания кривых между собой или с кривыми ∆ i (вы-рожденные особенности). Теорема 4.
Точкам одномерного комплекса бифуркационной диаграммы Σ соответству-ют невырожденные особенности {L k } ранга отображения момента F = ( H, K, G ) : P → R , за исключением следующих значений энергии, при которых происходит вырождение: на L h = 2 a, a + b a ; на L h = − b ; на L h = 2 b, a + 3 b b ; на L h = ± √ ab . Вырожденнымособенностям на бифуркационных диаграммах отвечают точки q − q , e − e . В зави-симости от значений параметров тип невырожденных особенностей в P определяетсятаблицей 5.1. Доказательство.
Рассмотрим произвольную точку x ∈ L k . Определим следующиефункции ( L , ) g = K − h ± a ) H, g = G − a H, ( L , ) g = K − h ± b ) H, g = G − b H, ( L , ) g = ± abH − G, g = K, ( L , , ) g = 2 G − ( p − τ ) H, g = K. Положим также g = H . Поскольку все неподвижные точки имеют ранг 0 и уже исключе-ны, то dg ( x ) = 0 . Выбранные функции g , g в точке x имеют особенность: dg ( x ) = dg ( x ) = 0 . Линеаризации векторных полей sgrad g k ( k = 1 , в точке x дают линейныесимплектические операторы A g k : T x P → T x P ( k = 1 , . Непосредственно проверяется,что они линейно независимы, то есть порождают подалгебру в sp(6 , R ) размерности 2. Ха-рактеристическое уравнение для оператора A g имеет два нулевых корня: ker A g = T x L k . П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ
Таблица 5.1 C Образ в R ( h, k, g ) Тип в P L λ = λ ∪ λ ,λ : − ( a + b ) < h < − ( a − b ) ,λ : h > − ( a − b ) , (2 , , (центр-центр ранга 1) L λ = λ ∪ λ ∪ λ ,λ : a − b < h < a + b , λ : a + b < h < a , h = 3 a + b a , λ : h > a λ , λ : (0 , , (седло-седло ранга 1) λ : (1 , , (центр-седло ранга 1) L λ = λ ∪ λ ∪ λ ,λ : − ( a + b ) < h < − b , λ : − b < h < a − b , λ : h > a − b λ : (2 , , (центр-центр ранга 1) λ , λ : (1 , , (центр-седло ранга 1) L λ = λ ∪ λ ∪ λ ,λ : − ( a − b ) < h < b , λ : 2 b < h < a + b , λ : h > a + b , h = a + 3 b b λ : (1 , , (центр-седло ранга 1) λ , λ : (0 , , (седло-седло ранга 1) L λ = λ ∪ (cid:16)S k =1 λ k (cid:17) ,λ : − ( a + b ) < h < − √ abλ , − √ ab < h < √ abλ , λ , λ : h > √ ab λ : (2 , , (центр-центр ранга 1) λ : (0 , , (фокусная особенность ранга ) λ , λ , λ : (0 , , (седло-седло ранга 1) L λ : h > − ( a − b ) (1 , , (центр-седло ранга 1) L δ : s ∈ ( − b,
0) (2 , , (центр-центр ранга 1) L δ : s ∈ (0 , b ) (1 , , (центр-седло ранга 1) L δ = δ ∪ δ δ : s ∈ ( a, s ) δ : s ∈ ( s , + ∞ ) δ : (1 , , (центр-седло ранга 1) δ : (2 , , (центр-центр ранга 1) СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ Остальная часть характеристического многочлена имеет вид L , : [ µ + 4( a − b )( h ± a )] · [ µ ± a ( h ± a ) ] = 0 , L , : [ µ − a − b )( h ± b )] · [ µ ± b ( h ± b ) ] = 0 , L , : 4 µ ∓ abh ( a ∓ b ) µ ± b a ( a ∓ b ) = 0 , L , , : µ + u k µ + v k = 0 ( k = 1 , , , (5.1)где коэффициенты u k , v k определяются по формулам u , = − s ( p a − s ± p b − s ) h a b − s ± s p ( a − s )( b − s ) i ,v , = ± p ( a − s )( b − s )( p a − s ± p b − s ) · V ± ,u = 2 s ( p s − a − p s − b ) h a b − s + 6 s p ( s − a )( s − b ) i ,v = 16 p ( s − a )( s − b )( p s − a − p s − b ) · V + , где V ± = a b − s ± s p ( a − s )( b − s ) . Нахождение многочленов в точках L − L труда не составляет. Для множеств L − L привычислении коэффициентов u k , v k характеристических многочленов использовалась записьматрицы линеаризации соответствующего поля в базисе касательного пространства к P ,который получим из (4.1) заменой последней тройки на векторы { , , , , − α , α , , − β , β } t , { , , , α , , − α , β , , − β } t , { , , , − α , α , , − β , β , } t в подстановке выражений (3.11).При значениях параметров, указанных в табл. 5.1, все корни соответствующего характери-стического уравнения различны и разбиваются на пары, определяющие тип невырожденнойособенности.Для примера рассмотрим кривую δ ( s > a ). Характеристическое уравнение в точках L относительно µ имеет корни µ = − s p s − a p s − b (cid:0)p s − a − p s − b (cid:1) < ,µ = 2 s (cid:0)p s − a − p s − b (cid:1) (cid:0) s − a b − s p s − a p s − b (cid:1) . Последнее выражение меняет знак при переходе через значение s согласно уравнению (3.16): µ > при s ∈ ( a, s ) и µ < при s > s . В первом случае получаем особенность«центр-седло», во втором – «центр-центр». По отношению к критической подсистеме M П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ все точки периодических решений L − L имеют эллиптический тип, так как соответству-ющие кривые являются внешней границей области существования движений. Поэтому вкритической подсистеме M тип рассматриваемых точек гиперболический при s ∈ ( a, s ) иэллиптический при s > s . Теперь эти утверждения относительно обеих подсистем доказаныаналитически.Отметим также, что согласно табл. 5.1 получено аналитическое доказательство существо-вания невырожденной фокусной особенности ранга на части множества L , которая отоб-ражается в λ , то есть при значениях энергии − √ ab < h < √ ab . В изоэнергетическихсечениях Σ( h ) имеем изолированную точку на бифуркационной диаграмме.Все остальные случаи, отраженные в таблице, также вытекают из анализа корней характе-ристических многочленов (5.1). Вырождения особенностей соответствуют наличию кратногокорня.Теперь можно однозначно установить топологию слоения Лиувилля в окрестности невы-рожденных положений равновесия внутри критических подсистем M и M (напомним,что в M они не попадают) в виде прямого или почти прямого произведения 2-атомов, есливоспользоваться, например, методом круговых молекул [19], [6]. Однако для его примене-ния необходима информация о количестве двумерных торов в каждой области, регулярнойдля подсистемы, и знание типа невырожденных особенностей ранга и . Количество то-ров, равно как и количество периодических решений на каждом совместном уровне выбран-ной пары частных интегралов, установлено в [15], [16]. Тип особенностей установлен выше.Для примера, окрестность особого слоя невырожденной особенности c внутри M можнопредставить в виде прямого произведения B × B двух атомов типа B , внутри M на од-ном гладком четырехмерном листе критического многообразия – B × B , а на другом – почтипрямое произведение ( B × C ) / Z , где группа Z действует на каждом из сомножителей какцентральная симметрия. Этого достаточно для того, чтобы понять, как устроена окрест-ность U ( S ) особого слоя S в P , содержащего особую точку c типа «седло-седло-седло»ранга 0. Нужно взять модельную особенность типа прямого произведения трех 2-атомов B × B × C и рассмотреть на нем покомпонентное действие образующей e группы Z по правилу e ( B × B × C ) = ( β ( B ) × id( B ) × α ( C )) , где α и β – центральные симметрии симметричных ато-мов B и C . После факторизации окрестность U ( S ) получается в виде почти прямого произ-ведения ( B × B × C ) / Z . Таким образом, из 32 разных особенностей типа «седло-седло-седлоранга 0», описанных в [30], [31], [32], для волчка Ковалевской в двойном поле сил реализуетсятолько одна, указанная выше. В таблице 5.2 содержится информация об окрестностях особыхслоев в M , M и P , содержащих неподвижные точки системы. § 6. Невырожденные особенности ранга Множество C всех критических точек ранга есть объединение трех систем M , M и M за вычетом уже исследованных точек множества C ∪ C .Отметим сразу, что для системы M , заданной уравнениями (1.2), (3.1), каждый регуляр-ный тор T ∈ { x ∈ M : H = h, F = f } является эллиптическим . Это вытекает из того, чтоинтеграл K = Z + Z есть положительная всюду функция и обращается в ноль на M . Теорема 5.
Все критические точки ранга 2 на многообразии M являются невырож-денными типа (1 , , за исключением точек нулевого уровня интеграла F . СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ C Образ в R ( m, h ) U ( S ) в M Образ в R ( s, h ) U ( S ) в M Образ в R ( h, k, g ) U ( S ) в P c P A × A Q Q A × AA × A P A × A × Ac P A × B Q Q A × BA × A P A × A × Bc P A × B Q Q ( B × C ) / Z A × B P ( A × B × C ) / Z c P B × B Q Q ( B × C ) / Z B × B P ( B × B × C ) / Z Доказательство.
Напомним, что на M нет критических точек интеграла H , и отметим,что кроме множеств L − L на M нет точек зависимости интегралов H и G . Последнеедоказано в [12]. Таким образом, эти два интеграла регулярны и независимы на M ∩ C . В тоже время всюду на M имеем dK = 0 . Характеристическое уравнение оператора A K в R приусловии (3.1) легко выписывается, имеет семь нулевых корней, а оставшийся сомножитель µ + 4 f имеет два различных мнимых корня при f = 0 , что и доказывает теорему.В образе получаем множество ∆ ⊂ R ( h, k, g ) , для которого тем самым получено обосно-вание вырожденности соответствующих критических точек.На многообразии M , заданном уравнениями (1.2), (3.3), система (1.1) имеет явное алгеб-раическое решение [15]: α = 12( s − s ) [( s s − a ) ψ + S S ϕ ϕ ] ,α = 12( s − s ) [( s s − a ) ϕ ϕ − S S ψ ] ,β = − s − s ) [( s s − b ) ϕ ϕ − S S ψ ] ,β = 12( s − s ) [( s s − b ) ψ + S S ϕ ϕ ] ,α = rs − s S , β = rs − s S ,ω = r s − s ) ( ℓ − ms ) ϕ , ω = r s − s ) ( ℓ − ms ) ϕ ,ω = 1 s − s ( S ϕ − S ϕ ) . (6.1)Здесь обозначено ψ = 4 ms s − ℓ ( s + s ) + 1 m ( ℓ − ,S = q s − a , ϕ = q − ϕ ( s ) , S = q b − s , ϕ = q ϕ ( s ) ,ϕ ( s ) = 4 ms − ℓs + 1 m ( ℓ − , (6.2) П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ и постоянная ℓ связана с h, m уравнением (3.15). Зависимость s , s от времени задана урав-нениями ds dt = 12 q ( a − s ) ϕ ( s ) , ds dt = 12 q ( b − s ) ϕ ( s ) . (6.3) Теорема 6.
Все критические точки ранга 2 на многообразии M невырождены, за ис-ключением точек, лежащих в прообразе кривых ∆ , ∆ . При этом они имеют тип (1 , , для m > и (0 , , для m < . Доказательство.
В качестве единственного интеграла, имеющего особенность в каждойточке M ∩ C , благодаря наличию достаточно простого уравнения (3.4) листа Γ , удобновзять соответствующую функцию (1.6): Φ = φ ( H, K, G ) = (2 G − p H ) − r K. (6.4)Для нее характеристическое уравнение оператора A Φ после необходимой факторизации понулевому корневому подпространству в подстановке явных выражений (6.1) примет вид µ + 4 r ℓ m = 0 , и за исключением случаев m = 0 ( ∆ ) и ℓ = 0 ( ∆ ) имеет два различных корня, чисто мнимыхпри m > и вещественных при m < . Теорема доказана. Замечание 1.
Как показано в [15], M состоит из критических точек нулевого уровняфункций G − p H ± r √ K , одна из которых является суммой квадратов двух гладких ре-гулярных функций ( m > ), а другая – разностью квадратов ( m < , ℓ = 0 ). Отсюда следуетэллиптичность двумерных торов в первом случае, и гиперболичность во втором. Здесь мывдобавок строго доказали невырожденность таких точек. Интересно отметить связь вырож-денности критических точек с аналитическим решением. При m → многочлен ϕ в (6.2)имеет предел ϕ ( s ) → h − s , поэтому при m = 0 падает степень подкоренного выражения вдифференциальных уравнениях (6.3). При ℓ = 0 переменные s , s входят в правые части этихуравнений только в четных степенях, в связи с чем возникает дополнительная симметрия.На многообразии M , заданном уравнениями (1.2), (3.5), явное алгебраическое решениесистемы (1.1) указано в [16, 28]. Пусть s, τ , как и выше, – постоянные интегралов (3.6), (3.8),последняя связана с h линейной зависимостью (3.9). Введем также обозначения σ = τ − p τ + r , χ = r s τ + σ s , κ = √ σ. СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ Тогда на любом совместном уровне интегралов внутри M имеем α = ( A − r U U )(4 s τ + U U ) − ( τ + r ) M N M N V V r s τ ( U + U ) ,α = i ( A − r U U ) V V − (4 s τ + U U )( τ + r ) M N M N r s τ ( U + U ) ,β = i ( B + r U U ) V V − (4 s τ + U U )( τ − r ) M N M N r s τ ( U + U ) ,β = − ( B + r U U )(4 s τ + U U ) − ( τ − r ) M N M N V V r s τ ( U + U ) ,α = Rr p M M t + t , β = − i Rr p N N t + t , (6.5) ω = R rs √ s τ M N U V + M N U V t − t ,ω = − i R rs √ s τ M N U V + M N U V t − t ,ω = U − U √ sτ M N V − M N V t − t . Здесь K = q t + κ , K = q t + κ ,L = q t − κ , L = q t − κ ,M = q t + τ + r , M = q t + τ + r ,N = q t + τ − r , N = q t + τ − r ,V = q s χ − t , V = q s χ − t ,U = q t − σ = K L , U = q t − σ = K L ,R = 1 p K K + L L ) , и A = [( t + τ + r )( t + τ + r ) − p + r ) r ] τ, B = [( t + τ − r )( t + τ − r ) + 2( p − r ) r ] τ. Зависимость вещественных переменных t , t от времени описывается уравнениями ( t − t ) dt dt = r sτ (4 s χ − t )( t − σ )[ r − ( t + τ ) ] , ( t − t ) dt dt = r sτ (4 s χ − t )( t − σ )[ r − ( t + τ ) ] . Теорема 7.
Все регулярные двумерные торы, заданные формулами (6 . , состоят изневырожденных критических точек ранга 2 отображения момента F , за исключением зна-чений параметров, отвечающих множествам ∆ , ∆ . Тор является эллиптическим, еслизначение τ s [ s − ( a + b − τ ) s + a b ] отрицательно, и гиперболическим, если оно положи-тельно. П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ
Доказательство.
В данном случае в качестве интеграла, имеющего особенность на M также можно взять функцию, аналогичную (6.4), полученную, например, исключением s изуравнений (3.7) поверхности Γ . Однако результат получается слишком громоздким, и такойподход нерационален. Здесь удобно рассмотреть функцию с неопределенными множителямиЛагранжа, которая введена в [12] для вывода уравнений критических подсистем, Ψ = 2 G − ( p − τ ) H + sK. Как показано в [12], после записи условия наличия критической точки у функции Ψ констан-ты s, τ на M оказываются значениям частных интегралов S, T . Поэтому и при вычислениихарактеристического многочлена оператора A Ψ считаем s, τ константами, а затем подставля-ем в найденное выражение значения (6.5). Получим характеристическое уравнение в виде µ − τs h s − ( p − τ ) s + p − r i = 0 . Отсюда следует утверждение теоремы. § 7. Заключение
В работе выполнена полная классификация особых точек отображения момента неприводи-мой интегрируемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы – задачи о движенииволчка типа Ковалевской в двойном силовом поле, интегрируемость которой установленаА.Г. Рейманом и М.А. СеменовымТян-Шанским. Предъявлены явные формулы характери-стических уравнений для собственных чисел соответствующих симплектических операторов,которые и определяют тип невырожденной особенности. Для вывода характеристическихуравнений используется параметризация периодических решений и двумерных торов в кри-тических подсистемах, полученная в [15], [16] как составная часть разделения переменныхи построения алгебраического решения. Полученные результаты составляют аналитическуюоснову для описания топологии особых слоев слоения Лиувилля рассматриваемой системы.
Список литературы [1] О. И. Богоявленский, “Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в зада-чах математической физики”,
Изв. АН СССР. Сер. матем. , :5 (1984), 883–938.[2] М. П. Харламов, “Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движенииволчка Ковалевской в двойном поле”, Механика твердого тела , 2004, № 34, 47–58.[3]
H. M. Yehia, “New integrable cases in the dynamics of rigid bodies”,
Mech. Res. Commun , :3 (1986),169–172. [4] М. П. Харламов, “Бифуркации совместных уровней первых интегралов в случае Ковалевской”, Прикладная математика и механика , :6 (1983), 922–930.[5] М. П. Харламов, “Топологический анализ классических интегрируемых систем в динамике твер-дого тела”, Доклады АН СССР , :6 (1983), 1322–1325..[6] А. В. Болсинов, П. Рихтер, A. Т. Фоменко, “Метод круговых молекул и топология волчка Кова-левской”, Матем. сб. , :2 (2000), 3–42.[7] I. I. Kharlamova, A. Y. Savushkin, “Bifurcation diagrams involving the linear integral of Yehia”,
Journal of Physics A: Math.Theor. , :1052 (2010), 301-311. [8] A. Т. Фоменко, “Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строгоневырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях”, Функц.анализ и его прил. , :4 (1991), 23–35. СОБЕННОСТИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ СИЛ
Матем. заметки , :2 (1994), 139–142.[10] А. В. Болсинов, В. В. Козлов, А. Т. Фоменко, “Принцип Мопертюи и геодезические потоки насфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела”, УМН , :3 (1995),3–32.[11] A. I. Bobenko, A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky, “The Kowalewski top 99 years later: aLax pair, generalizations and explicit solutions”,
Commun. Math. Phys. , :2 (1989), 321–354. [12] M. P. Kharlamov, “Bifurcation diagrams of the Kowalevski top in two constant fields”,
Regular andChaotic Dynamics , :4 (2005), 381–398. [13] М. П. Харламов, “Области существования критических движений обобщенного волчка Ковалев-ской и бифуркационные диаграммы”, Механика твердого тела , 2006, № 36, 13–22.[14]
D. B. Zotev, “Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case”,
Regular and ChaoticDynamics , :4 (2000), 437–458. [15] М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, “Разделение переменных и интегральные многообразия в од-ной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской”, Укр. мат. вестн. , :4 (2004),564–582.[16] M. P. Kharlamov, “Separation of variables in the generalized 4th Appelrot class. II. Real solutions”,
Regul. Chaotic Dyn , :6 (2009), 621–634. [17] A. Т. Фоменко, “Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамиль-тоновых систем и препятствия к интегрируемости”, Изв. АН СССР. Сер. матем. , :6 (1986),1276–1307.[18] A. Т. Фоменко, “Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем”, УМН , :1 (1989), 145–173.[19] А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, тополо-гия, классификация , , Изд-во РХД, Ижевск, 1999.[20] A. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, “Singularities of integrable Hamiltonian systems”,
In: TopologicalMethods in the Theory of Integrable Systems , Cambridge Scientific Publ, 2006, 1–67. [21]
E. Miranda, N. T. Zung, “Equivariant normal form for nondegenerate singular orbits of integrableHamiltonian systems”,
Annales Ecole Norm. Sup , :6 (2004), 819–839. [22] N. T. Zung, “Torus actions and integrable systems”,
In: Topological Methods in the Theory of IntegrableSystems , Cambridge Scientific Publ, 2006, 289–328. [23] М. П. Харламов, Е. Г. Шведов, “Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровняхволчка Ковалевской в двойном поле”,
Механика твердого тела , 2004, № 34, 59–65.[24]
M. P. Kharlamov, E. G. Shvedov, “On the existence of motions in the generalized 4th Appelrot class”,
Regular and Chaotic Dynamics , :3 (2006), 337–342. [25] М. П. Харламов, “Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о дви-жении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле”, Механика твердого тела , 2002, № 32,32–38.[26] М. П. Харламов, “Особые периодические решения обобщенного случая Делоне”,
Механика твер-дого тела , 2006, № 36, 23–33.[27] Д. Б. Зотьев, “Фазовая топология 1-го класса Аппельрота волчка Ковалевской в магнитном по-ле”,
Фундаментальная и прикладная математика , :1 (2006), 95–128.[28] M. P. Kharlamov, “Separation of variables in the generalized 4th Appelrot class”,
Regular and ChaoticDynamics , :3 (2007), 267–280. [29] M. P. Kharlamov, D. B. Zotev, “Non-degenerate energy surfaces of rigid body in two constant fields”,
Regular and Chaotic Dynamics , :1 (2005), 15–19. [30] В. В. Калашников, “Простые гиперболические особенности пуассоновых действий”, Топологи-ческие методы в теории гамильтоновых систем. Под ред. А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко,А. И. Шафаревича , Изд-во Факториал, Москва, 1998, 115—126.[31] А. А. Ошемков, “Классификация гиперболических особенностей ранга нуль интегрируемых га-мильтоновых систем”,
Матем. сб. , :8 (2010), 63–102.0 П. Е. РЯБОВ, М. П. ХАРЛАМОВ [32] А. А. Ошемков, “Седловые особенности сложности интегрируемых гамильтоновых систем”, Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика , 2011, № 2, 3–12.
П. Е. Рябов (P. E. Ryabov)
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации
E-mail : [email protected] М. П. Харламов (M. P. Kharlamov)
Волгоградская академия государственной службы
E-mail : [email protected]@vags.ru