Cohomologie des courbes analytiques p-adiques
aa r X i v : . [ m a t h . N T ] J a n COHOMOLOGIE DES COURBES ANALYTIQUES p -ADIQUES par Pierre Colmez, Gabriel Dospinescu & Wiesława Nizioł
À la mémoire de Robert Coleman et Michel Raynaud
Résumé . —
La cohomologie d’un affinoïde a des propriétés peu sympathiques ;on y remédie en général en rendant l’affinoïde surconvergent. Dans cet article, nousnous intéressons à la dimension , et nous calculons, en utilisant des décompositionsanalogues à celles des surfaces de Riemann en pantalons, les différentes cohomologiesdes affinoïdes (pour donner un sens à ces décompositions, nous sommes amenés àmodifier légèrement la notion de schéma formel p -adique, ce qui nous conduit à définirla géométrie adoque – interpolation entre adique et ad hoc). Il en résulte que lacohomologie d’un affinoïde (de dimension ) n’est pas si pathologique.Nous en déduisons un calcul des différentes cohomologies des courbes sans bord(comme le demi-plan de Drinfeld et ses revêtements), et obtenons en particulier unedescription de leur cohomologie proétale p -adique en termes du complexe de de Rhamet de la cohomologie de Hyodo-Kato, cette dernière ayant des propriétés similaires àcelles de la cohomologie proétale ℓ -adique, pour ℓ = p . Abstract . —
Cohomology of affinoids does not behave well ; often, this can be reme-died by making affinoids overconvergent. In this paper, we focus on dimension 1 andcompute, using analogs of pants decompositions of Riemann surfaces, various coho-mologies of affinoids. To give a meaning to these decompositions we modify slightlythe notion of p -adic formal scheme, which gives rise to the adoc (an interpolationbetween adic and ad hoc) geometry. It turns out that cohomology of affinoids (indimension 1) is not that pathological.From this we deduce a computation of cohomologies of curves without boundary(like the Drinfeld half-plane and its coverings). In particular, we obtain a descriptionof their p -adic pro-étale cohomology in terms of de the Rham complex and the Hyodo-Kato cohomology, the later having properties similar to the ones of ℓ -adic pro-étalecohomology, for ℓ = p . Table des matières
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1. Cohomologie proétale p -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.1. Courbes quasi-compactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.2. Affinoïdes surconvergents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.1.3. Courbes sans bord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ p -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.3. Preuves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130.3.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130.3.2. Régulateur étale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.3.3. Régulateur syntomique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.3.4. Cohomologie syntomique et cohomologie de Hyodo-Kato. . . . . . . . . . . . 150.3.5. Remerciements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.4. Quelques notations et définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.4.1. Anneaux de périodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.4.2. Séries entières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.4.3. Boules, couronnes, cercles fantômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.4.4. Résidus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171. Cohomologie des graphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1. Graphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.1. Sommets et arêtes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.2. Orientation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.3. L’ensemble R ∗ + des longueurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.4. Métrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2. Cohomologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1. Cohomologie et cohomologie à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2. L’opérateur ∂ ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.3. Graphes bipartites marqués. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.4. Monodromie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212. Courbes analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1. Structure globale d’une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Affinoïdes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1. Algèbres de Tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2. Bord, frontière, cercles fantômes et résidus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. Modèles semi-stables des courbes analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1. Bord et frontière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2. Noeuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.3. Squelette analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.4. Triangulations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.5. Triangulations et modèles semi-stables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Fibre spéciale d’une courbe quasi-compacte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.1. Courbes marquées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.2. Graphe dual d’une courbe marquée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5. Métrique canonique et valuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Construction de courbes analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1. Géométrie adoque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1. Affines adoques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2. Boules ouvertes, jambes, cercles fantômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.3. La boule unité fermée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.4. Affinoïdes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. R -algèbres de Tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.1. Épaississements de O C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.2. R -algèbres de Tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3. Relèvement de morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Shorts, jambes et cercles fantômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.1. Shorts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES R -Jambes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.3. R -Cercles fantômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.4. Partie polaire en un cercle fantôme de la frontière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4. Compactification d’un affinoïde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5. Patron d’une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.1. Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.2. Patrons d’une courbe quasi-compacte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6. Construction de courbes à partir d’un patron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.1. Patrons de R -courbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.2. Construction de R -courbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.3. Cas particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7. Cohomologie de de Rham adoque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474. Cohomologie des jambes et des cercles fantômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1. Symboles ℓ -adiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.1. Fonctions inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.2. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2. Régulateur syntomique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.1. Le régulateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.2. La boule ouverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.3. La boule fermée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.4. Jambes et cercles fantômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3. Dégénérescence de couronnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.1. Dégénérescence géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.2. Dégénérescence arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565. Cohomologie des shorts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1. Cohomologie étale des courbes quasi-compactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.1. Groupe de Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.2. La suite de Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.3. Description de la cohomologie étale en termes de symboles. . . . . . . . . 585.1.4. Le cas des shorts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Cohomologie de de Rham des shorts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.1. Relèvement de l’opérateur de Cartier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.2. Structure des O ( Y ) -modules munis d’un ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.3. Application au calcul de la cohomologie de de Rham. . . . . . . . . . . . . . . . 635.3. Cohomologie syntomique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.1. Lien avec le complexe de de Rham. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.2. Régulateur syntomique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.3. Injectivité du régulateur syntomique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.4. Bijectivité du régulateur syntomique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4. Une approche alternative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706. Cohomologie des courbes quasi-compactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.1. Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2. Cohomologie étale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.1. Localisation des symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.2. Le cas ℓ = p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.3. Cohomologie de de Rham et variantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.1. Cohomologie de de Rham. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.2. Dégénerescence de courbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.3. Cohomologie de de Rham séparée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.4. Cohomologie cristalline. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3.5. Cohomologie de Hyodo-Kato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4. Cohomologie syntomique et cohomologie étale p -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.4.1. Cohomologie syntomique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ p -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.1.5. Le revêtement universel du groupe p -divisible de la jacobienne . . . . . 967.2. Comparaison avec l’intégration p -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.2.1. L’accouplement de périodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.2.2. Formes différentielles de troisième espèce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2.3. Fin de la preuve du th. 7.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008. Cohomologie des courbes non propres, sans bord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.1. Cohomologie proétale p -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.2. Fibre spéciale d’une courbe sans bord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2.1. Courbes marquées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2.2. Contractions de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.2.3. Fibre spéciale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.2.4. Fonctorialité de la fibre spéciale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.2.5. Les groupes W Y et WD Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.2.6. Lissité de l’action de Aut K ( Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.3. Cohomologie (pro)étale ℓ -adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.3.1. De la fibre spéciale à la fibre générique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.3.2. Comparaison entre les cohomologies étales p -adique et ℓ -adique . . . . 1098.4. Une décomposition de la cohomologie de de Rham. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.4.1. Découpage associé à une pseudo-triangulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.4.2. Résidus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.4.3. Formes localement log-exactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.4.4. Cohomologie analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.4.5. log L -cobords. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.4.6. Formule « de Picard-Lefschetz ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.4.7. Cohomologie de de Rham intérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.4.8. Fonctorialité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.4.9. Cohomologie de Hyodo-Kato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Appendice A. Plaidoyer pour un peu de modération. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.1. Groupe de Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117A.1.1. Le théorème de Lazard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117A.1.2. Construction d’éléments non divisibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117A.1.3. Le sous-groupe de torsion du groupe de Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118A.2. Cohomologie étale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119A.3. Cohomologie syntomique et cohomologie du groupe fondamental. . . . . . . . 120A.4. La fibre générique adoque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Introduction
Soit p un nombre premier et soit C un corps algébriquement clos, complet pour unevaluation v p vérifiant v p ( p ) = 1 et (1) v p ( C ∗ ) = Q . On note O C l’anneau des entiersde C , m C l’idéal maximal de O C , k C son corps résiduel, O ˘ C l’anneau W ( k C ) et ˘ C lesous-corps W ( k C )[ p ] de C .Si K est un sous-corps fermé de C , on note G K le groupe Aut K ( C ) des automor-phismes continus de C laissant fixe K . p -adique Soit X une courbe analytique définie sur C (vue, selon le contexte comme unecourbe rigide analytique, un espace de Berkovich de dimension , etc.) et, sauf men-tion explicite du contraire, lisse et (géométriquement) connexe. Si X est compacte,sa cohomologie a de bonnes propriétés : les groupes de cohomologies de de Rham H ( X ) ou étale H ( X, Q ℓ (1)) , où ℓ est un nombre premier, sont de dimension finie,indépendante de la cohomologie considérée (et invariante par extension des scalairesde C à un surcorps avec les mêmes propriétés), sur le corps adéquat. De plus, on ades théorèmes de comparaison reliant ces différentes cohomologies.Il n’en est pas de même si X est seulement quasi-compacte mais pas compacte(i.e un affinoïde (2) ) : dans ce cas, H ( X, Q ℓ (1)) est encore de dimension finie si ℓ = p ,mais H ( X ) est un C -espace de dimension infinie non séparé, et H ( X, Q p (1)) estaussi de dimension infinie (et dépend de C ). Nous nous proposons de montrer que,malgré ces pathologies apparentes, la cohomologie des affinoïdes (et, plus générale-ment, des courbes non compactes) a des propriétés raisonnables. . — Si Y est une courbe quasi-compacte, notons O ( Y ) ∗∗ le sous-groupe des f ∈ O ( Y ) ∗ à valeurs dans m C . Théorème 0.1 . — Si Y est un affinoïde, on a un diagramme commutatif fonctorielde banachs / / Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ / / H ( Y, Q p (1)) (cid:15) (cid:15) / / ( B +st ⊗ ˘ C H ( Y ) sep ) N =0 ,ϕ = p / / θ ⊗ ι HK (cid:15) (cid:15) / / Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ dlog / / Ω ( Y ) / / H ( Y ) sep / / dans lequel la ligne du haut est exacte, celle du bas est un complexe, et toutes lesflèches sont d’image fermée.
1. Cette restriction est due au fait que nous avons choisi d’exprimer les résultats en termes del’anneau B st ; une formulation (un peu moins esthétique) qui n’utilise que B cris serait possible etelle permettrait de supprimer cette restriction.2. Sauf mention explicite du contraire, un affinoïde est, dans ce texte, de dimension , lisse etconnexe. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Remarque 0.2 . — (i) Il y a un énoncé au niveau entier, cf. rem. 0.19.(ii) Un affinoïde étant quasi-compact, on a H ( Y, Q ℓ (1)) = H ( Y, Q ℓ (1)) , pourtout ℓ (y compris ℓ = p ), cf. [ , cor. 3.17].(iii) Le groupe de cohomologie de Hyodo-Kato H ( Y ) sep est un ˘ C -espace dedimension finie muni d’actions d’un frobenius semi-linéaire ϕ , d’un opérateur de mo-nodromie N vérifiant N ϕ = p ϕN , et d’un isomorphisme de Hyodo-Kato : ι HK : C ⊗ ˘ C H ( Y ) sep ∼ = H ( Y ) sep , où H ( Y ) sep désigne le séparé de H ( Y ) (i.e. son quotient par l’adhérence de ) :le groupe H ( Y ) est un C -espace de dimension infinie, non séparé, mais H ( Y ) sep est de dimension finie.(iv) Les théorèmes de comparaison utilisant des méthodes syntomiques [
47, 17 ]fournissent naturellement un diagramme commutatif à lignes exactes : / / O ( Y ) /C / / H ( Y, Q p (1)) (cid:15) (cid:15) / / ( B +st b ⊗ ˘ C H ( Y )) N =0 ,ϕ = p / / θ ⊗ ι HK (cid:15) (cid:15) / / O ( Y ) /C / / Ω ( Y ) / / H ( Y ) / / Par rapport au théorème, il y a deux différences sensibles : • Le groupe H ( Y ) est, comme H ( Y ) , de dimension infinie et non séparé : ona un isomorphisme ι HK : C b ⊗ ˘ C H ( Y ) ∼ = H ( Y ) . • La flèche O ( Y ) → Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ faisant commuter le diagramme évident est f exp( f ) , mais l’image de O ( Y ) par f exp( f ) est Q p ⊗ O ( Y ) ∗∗ qui est densedans Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ mais ne lui est pas égal car O ( Y ) ∗∗ n’est pas complet pour latopologie p -adique : par exemple, si Y est la boule unité (i.e. O ( Y ) = C h T i ), alors Q n ≥ (1 + p /p n T ) p n ne converge pas dans C h T i (mais converge dans O C [[ T ]] ). Remarque 0.3 . — Si Y est un affinoïde de dimension d , et si r ≤ d , le résultatci-dessus suggère que l’on pourrait peut-être espérer une suite exacte → Q p b ⊗ K r M ( Y ) ++ → H r pro´et ( Y, Q p ( r )) → ( B +st ⊗ H r HK ( Y ) sep ) N =0 ,ϕ = p r → . (Le groupe K r M ( Y ) ++ est le sous-groupe du groupe de K -théorie de Milnor K r M ( O ( Y )) engendré par les symboles ( f , . . . , f r ) , avec f i ∈ O ( Y ) ∗∗ . Notons que,puisque l’on ne prend que des symboles d’éléments de O ( Y ) ∗∗ , la relation de Steinbergdisparait puisque − x / ∈ O ( Y ) ∗∗ si x ∈ O ( Y ) ∗∗ .)Une des raisons de la forme du diagramme ci-dessus est que H ( Y, O ) = 0 . Si Y estcompacte, H ( Y, O ) = 0 si Y est de genre ≥ , mais Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ = 0 et le diagrammeprend la forme (classique, c’est un cas particulier du théorème de comparaison deTsuji [ ] ou même, dans ce cas, de Kato [ ]) suivante : OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Théorème 0.4 . — Si Y est une courbe compacte, on a un diagramme commutatiffonctoriel, dont les lignes sont exactes : / / H ( Y, Q p (1)) (cid:15) (cid:15) / / ( B +st ⊗ ˘ C H ( Y )) N =0 ,ϕ = p / / θ ⊗ ι HK (cid:15) (cid:15) H ( Y, O ) / / / / Ω ( Y ) / / H ( Y ) / / H ( Y, O ) / / De plus, H ( Y, Q p (1)) est un Q p -espace de dimension finie.0.1.2. Affinoïdes surconvergents . — Une manière standard de rendre la cohomologiede de Rham d’un affinoïde plus raisonnable est de le rendre surconvergent : sa co-homologie de de Rham devient de dimension finie (et topologiquement séparée). Enécrivant un affinoïde surconvergent Y † comme une limite projective d’affinoïdes Y δ ,pour δ > , en utilisant la description du groupe H ( Y δ ) sep du th. 0.13 ci-dessous,et en passant à la limite dans le th. 0.1, on obtient le résultat suivant. Théorème 0.5 . — Si Y † est un affinoïde surconvergent, on a le diagramme commu-tatif fonctoriel d’espaces vectoriels topologiques suivant : / / O ( Y † ) /C exp / / H ( Y † , Q p (1)) (cid:15) (cid:15) / / ( B +st ⊗ ˘ C H ( Y † )) N =0 ,ϕ = p / / θ ⊗ ι HK (cid:15) (cid:15) / / O ( Y † ) /C d / / Ω ( Y † ) / / H ( Y † ) / / dans lequel les lignes sont exactes et toutes les flèches sont d’image fermée. Remarque 0.6 . — (i) Par définition, H ( Y † , Q p (1)) = lim −→ δ H ( Y δ , Q p (1)) , et H ( Y † ) = lim −→ δ H ( Y δ ) est un ˘ C -espace de dimension finie muni d’actions d’unfrobenius semi-linéaire ϕ et d’un opérateur de monodromie N , et d’un isomorphisme ι HK : C ⊗ ˘ C H ( Y † ) ∼ = H ( Y † ) .(ii) Comme H ( Y † ) est de dimension finie, ( B +st ⊗ H ( Y † )) ϕ = p,N =0 est l’espacedes C -points d’un Espace de Banach de Dimension finie [ ]. Comme O ( Y † ) estl’espace des sections globales d’un faisceau cohérent, on voit que la cohomologie étalegéométrique d’un affinoïde surconvergent, bien que très grosse, est composée d’objetsayant des propriétés de finitude raisonnables.(iii) Les Q p -espaces vectoriels topologiques ( B +st ⊗ ˘ C H ( Y † )) N =0 ,ϕ = p et H ( Y † ) sont des banachs mais tous les autres espaces non nuls du diagramme sont des limitesinductives de banachs. . — Supposons maintenant que Y n’est pas compacte maisn’a pas de bord quand même (3) (courbe Stein) : par exemple, une courbe ouverte
3. Notons que rendre un affinoïde surconvergent est une manière de supprimer son bord.
PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ obtenue en retirant un nombre fini de disques fermés d’une courbe propre, ou un re-vêtement étale du demi-plan de Drinfeld. Dans ce cas, H ( Y ) n’est pas forcément dedimension finie, mais c’est un espace séparé, limite projective dénombrable d’espacesde dimension finie. Si ℓ = p , alors H ( Y, Q ℓ (1)) est aussi une limite projectivedénombrable d’espaces séparés de dimension finie, mais ce n’est pas le cas si ℓ = p .Une telle courbe est une réunion croissante stricte d’affinoïdes ou, au choix, d’affi-noïdes surconvergents, et on déduit du th. 0.1 (ou du th. 0.5) le résultat suivant quifournit une preuve alternative au th. 4.12 de [ ] en dimension . Théorème 0.7 . — Si Y est une courbe non compacte, sans bord, on a un diagrammecommutatif fonctoriel de fréchets / / O ( Y ) /C exp / / H ( Y, Q p (1)) (cid:15) (cid:15) / / ( B +st b ⊗ H ( Y )) N =0 ,ϕ = p / / θ ⊗ ι HK (cid:15) (cid:15) / / O ( Y ) /C d / / Ω ( Y ) / / H ( Y ) / / dans lequel les lignes sont exactes et toutes les flèches sont d’image fermée. Remarque 0.8 . — (i) La principale différence avec le cas d’un affinoïde surcon-vergent est que H ( Y ) et H ( Y ) ne sont pas forcément de dimension finie, maissont des limites projectives dénombrables d’espaces séparés de dimension finie (ce sontdonc des fréchets, mais des fréchets un peu particuliers), cela explique les produitstensoriels complétés et l’isomorphisme de Hyodo-Kato ι HK : C b ⊗ ˘ C H ( Y ) ∼ = H ( Y ) fait aussi intervenir un produit tensoriel complété. Les autres espaces sont des duauxde limites inductives compactes de banachs.(ii) Si Y est un affinoïde surconvergent ou une courbe sans bord (compacte ounon), le noyau de H ( Y, Q p (1)) → Ω ( Y ) est t H ( Y ) ϕ =1 . Expliquons maintenant comment décrire les objets apparaissant dans les th. 0.1,0.5 et 0.7 à partir de découpages en objets plus élémentaires. Ces découpages sontinduits par la stratification de la fibre spéciale (ouverts de lissité des composantesirréductibles, et intersection de composantes irréductibles). Ils fournissent des recou-vrements ouverts dont la combinatoire est particulièrement simple (l’intersection detrois ouverts est vide, l’intersection de deux ouverts est vide ou est un « cercle fan-tôme », et chacun des ouverts est affine et a « bonne réduction »), ce qui facilite lescalculs à la Čech. Une des utilisations agréables de ces découpages est la trivialisa-tion de la construction de l’isomorphisme de Hyodo-Kato (cette construction est, engénéral, assez pénible). . — Soit Y une courbe quasi-compacte. Ondispose d’une bijection entre les triangulations S de Y et les modèles semi-stables de Y sur O C . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Choisissons donc une triangulation S et notons Y S le modèle semi-stable de Y qui lui est associé. On suppose S assez fine pour que les composantes irréductiblesde la fibre spéciale Y sp S soient lisses et deux d’entre elles s’intersectent en au plus unpoint. On voit Y sp S comme une courbe propre sur k C munie d’un ensemble A de pointsmarqués a = ( P a , µ ( a )) , avec A = A c ` ( A K A c ) , où : • A c est l’ensemble des points singuliers (intersections de deux composantes irré-ductibles), pour lesquels µ ( a ) ∈ Q ∗ + , • si a ∈ A K A c , alors µ ( a ) = 0 + (les P a , pour a ∈ A K A c , sont les points de Y sp S qu’il faut enlever pour obtenir la fibre spéciale au sens usuel).Les composantes irréductibles de Y sp S (qui sont donc propres et lisses) sont enbijection avec S (on note Y sp s la composante correspondant à s ∈ S ).A partir de ces données, on fabrique un graphe Γ , dont les sommets sont S , lesarêtes sont A , chaque arête a ayant pour longueur µ ( a ) et comme extrémités les s ∈ S tels que P a ∈ Y sp s (et donc a ∈ A c a deux extrémités alors que a ∈ A K A c a une seuleextrémité). Le graphe ainsi obtenu est donc le graphe dual de la fibre spéciale au sensclassique auquel on a ajouté des arêtes de longueur + aux sommets correspondantaux composantes irréductibles non propres, une par point manquant.Si s ∈ S , le tube Y s de Y sp s privé de ses points marqués est un short (i.e. (lemodèle formel d’)un affinoïde avec bonne réduction), et si a ∈ A c , le tube Y a de P a est une jambe (i.e. une couronne ouverte) de longueur µ ( a ) (on a O ( Y a ) = O C [[ T a,s , T a,s ]] / ( T a,s T a,s − p µ ( a ) ) , si s , s sont les extrémités de a ).Les Y i , pour i ∈ I = S ` A c , forment une partition de Y , mais si on veut pouvoirreconstruire Y , il faut encore une donnée de recollement de Y s et Y a si s est uneextrémité de a . Le point P a détermine une valuation de rang sur O ( Y s ) , et donc uncercle fantôme Y s,a (le choix d’un paramètre local fournit un isomorphisme O ( Y s,a ) ∼ = O C [[ T s,a , T − s,a i , complété de O C [[ T s,a ]][ T − s,a ] pour la topologie p -adique), et on aussiun cercle fantôme Y a,s correspondant sur Y a , et la donnée de recollement est unisomorphisme ι a,s : Y a,s ∼ = Y s,a , i.e. un isomorphisme O C [[ T s,a , T − s,a i ∼ = O C [[ T a,s , T − a,s i .L’ensemble des données précédentes (i.e. Γ = (
S, A, A c , µ ) , ( Y i ) i ∈ I , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ,où I ,c = { ( a, s ) , a ∈ A c et s extrémité de a } ) est un patron de courbe . Ce qui pré-cède explique (4) comment associer un patron de courbe à une courbe munie d’unetriangulation assez fine, et qu’on peut reconstruire Y à partir de son patron. Récipro-quement, on a le résultat suivant, analogue adique (5) de résultats de Harbater [ ]et Raynaud [ ], qui est un peu surprenant au vu de l’abondance de données derecollement possibles.
4. Comme un dessin vaut mieux qu’un long discours, le lecteur est invité à consulter les dessinsdu chap. 3 pour une représentation « physique » des objets ci-dessus.5. Ou plutôt adoque, cf. (iii) de la rem. 2.2 et § 3.1. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Théorème 0.9 . — Si (Γ , ( Y i ) i ∈ I , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ) est un patron de courbe, il existe ununique couple ( Y, S ) , où Y est une courbe quasi-compacte et S une triangulation de Y ,dont ce soit le patron. Remarque 0.10 . — (i) On peut s’amuser à varier les longueurs µ ( a ) des jambes etmultiplier les ι i,j par des α i,j ∈ O ∗ C ou, ce qui revient au même, fixer les ι i,j maisremplacer les Y a par des Y αa , avec O ( Y αa ) = O C [[ T a,s , T a,s ]] / ( T a,s T a,s − α a ) et α a ∈ m C K { } (ou même α a ∈ m C si on se permet des courbes avec des singularités nodales).Cela fournit (cf. n o A inf dontla fibre en ˜ p = p (cf. n o ˜ p ) est Y S et celle en ˜ p = 0 est une courbe singulièresur O ˘ C dont le graphe dual est le même que celui de sa fibre spéciale (qui est aussicelle de Y S ). Remarque 0.11 . — (i) En dimension supérieure, si on part d’une variété analy-tique quasi-compacte Y ayant un modèle semi-stable Y S sur O C , assez fin, on peutdécouper cette variété en prenant les images réciproques des éléments du découpagenaturel de la fibre spéciale. Chaque pièce est une fibration en affinoïdes ayant bonneréduction au-dessus d’une polycouronne, et ces pièces se recollent le long de fibrationsen affinoïdes au-dessus de polycouronnes fantômes pour reconstruire Y . Cela devraitpermettre de donner une description de la cohomologie de Y ne faisant intervenir quela combinatoire du squelette de Y et la cohomologie d’affinoïdes avec bonne réductionet celle de polycouronnes.(ii) On peut se demander, en l’absence d’un théorème de réduction semi-stablegénéral, quelles sont les pièces minimales dont on a besoin pour reconstruire toutevariété quasi-compacte lisse. En particulier, quel genre de pièces fournit la théorie desaltérations à la Hartl [ ] et Temkin [ ] ? . — Le découpage précédent d’une courbe enshorts et jambes permet de ramener l’étude de la cohomologie des courbes à celledes shorts et des jambes et celle du graphe Γ . De manière générale, si H • est unecohomologie à coefficients dans un module Λ , raisonnable (en particulier, H ( Z ) =Λ π ( Z ) et, si Z est un cercle fantôme, on dispose d’une application résidu H ( Y i,j ) → Λ ayant les propriétés habituelles), ce découpage fournit une filtration naturelle sur H ( Y S ) dont les quotients successifs sont : H ( Y S ) = (cid:2) H (Γ , Λ) Q i ∈ I H ( Y i ) H c (Γ , Λ) ∗ (cid:3) , où : • H (Γ , Λ) et H c (Γ , Λ) sont les groupes de cohomologie et de cohomologie à sup-port compact de l’espace topologique Γ ; on a (cf. § 1.2 pour la définition des flèches OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES correspondantes) : H (Γ , Λ) = Coker(Λ S → Λ A c ) et H c (Γ , Λ) ∗ = Ker(Λ A → Λ S ) . • H (Γ , Λ) = Coker (cid:0) Q i ∈ I H ( Y i ) → Q ( i,j ) ∈ I ,c H ( Y i,j ) (cid:1) . • H ( Y i ) est l’ensemble des classes dont tous les résidus en les cercles fantômes àla frontière de Y i sont nuls. • La flèche H ( Y S ) → H c (Γ , Λ) ∗ est celle envoyant une classe sur la collection deses résidus. Remarque 0.12 . — On dispose d’un opérateur N µ : H c (Γ , Q ) ∗ → H (Γ , Q ) (demonodromie) qui fait intervenir les longueurs µ ( a ) des arêtes. Cela munit H ( Y ) , si Λ est un Q -module, d’un opérateur de monodromie N (cf. rem. 1.6).Les cohomologies de de Rham, de Hyodo-Kato, ou proétale ℓ -adique (pour tout ℓ )sont raisonnables, ce qui conduit au th. 0.13 ci-dessous.On note ∂Y ⊂ S le bord analytique de Y , i.e. l’ensemble des s ∈ S tels que Y sp s contienne des points avec µ ( a ) = 0 + (i.e. les s tels que la composante irréductiblecorrespondante de la fibre spéciale classique ne soit pas propre). On pose S int = S K ∂Y ,et on note Γ int le sous-graphe de Γ obtenu en supprimant les sommets de ∂Y et lesarêtes ayant une extrémité dans ∂Y . Théorème 0.13 . — (i) Si ℓ = p , alors H ( Y, Q ℓ (1)) admet une filtration naturelledont les quotients successifs sont H ( Y, Q ℓ (1)) = (cid:2) H (Γ , Q ℓ (1)) Q s ∈ S H ( Y sp s , Q ℓ (1)) H c (Γ , Q ℓ ) ∗ (cid:3) . (ii) H ( Y ) sep admet une filtration naturelle dont les quotients successifs sont H ( Y ) sep = (cid:2) H (Γ int , ˘ C ) Q s ∈ S int H ( Y sp s ) ⊕ Q s ∈ ∂Y H ( Y sp s ) [1] H c (Γ , ˘ C ) ∗ ( − (cid:3) , où le [1] en exposant désigne le sous-espace de pente pour l’action de ϕ et letwist ( − signifie que l’on multiplie l’action naturelle de ϕ par p . Remarque 0.14 . — (i) Les termes des filtrations ci-dessus ne dépendent pas de S car H ( P , Q ℓ (1)) = 0 et H ( P ) = 0 . Cela permet, en passant à la limite sur tousles choix possibles, d’en déduire que tout est fonctoriel.(ii) Pour Q ℓ (1) , le seul bonus de ce résultat par rapport à ce qui est dit ci-dessusest l’identification (classique) de H ( Y s , Q ℓ (1)) avec H ( Y sp s , Q ℓ (1)) .(iii) Pour H , il faut se fatiguer un peu plus pour arriver au résultat : l’identifica-tion (prop. 5.20) de H ( Y s ) sep0 et H ( Y sp s ) [1] utilise un relèvement ψ en caractéris-tique de l’opérateur de Cartier (lemme 5.12). Le passage de H (Γ , ˘ C ) à H (Γ int , ˘ C ) découle du calcul (lemme 6.15) de l’intersection de H (Γ , C ) et de l’adhérence de dans H ( Y ) . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ (iv) Si Y est propre, on a ∂Y = ∅ , et la filtration du (ii) est à la base de laconstruction de Coleman et Iovita [ ].(v) Le choix de r p r fournit une section de la projection modulo H (Γ , Q ℓ (1)) .La formule « de Picard-Lefschetz » (rem. 6.4), qui fait intervenir l’opérateur de mo-nodromie N , décrit ce qui se passe quand on change r p r .En passant à la limite, on obtient le résultat suivant : Théorème 0.15 . —
Soit Y un affinoïde surconvergent ou une courbe sans bord, etsoit S une triangulation de Y , assez fine. (i) Si ℓ = p , alors H ( Y, Q ℓ (1)) admet une filtration naturelle dont les quotientssuccessifs sont H ( Y, Q ℓ (1)) = (cid:2) H (Γ , Q ℓ (1)) Q s ∈ S H ( Y sp s , Q ℓ (1)) H c (Γ , Q ℓ ) ∗ (cid:3) . (ii) H ( Y ) admet une filtration naturelle dont les quotients successifs sont H ( Y ) = (cid:2) H (Γ , ˘ C ) Q s ∈ S H ( Y sp s ) H c (Γ , ˘ C ) ∗ ( − (cid:3) . Remarque 0.16 . — (i) Pour la même raison que ci-dessus, les termes des filtrationsne dépendent pas de S .(ii) Les actions de Aut( Y ) sur H ( Y, Q ℓ (1)) et H ( Y ) fournissent des repré-sentations isomorphes (autant que faire se peut, i.e. après avoir choisi un plongementde Q ℓ dans C ...). Si Y est défini sur une extension finie K de Q p , les actions dugroupe de Weil-Deligne WD K de K sont aussi isomorphes. Voir [ ] pour une autreapproche dans le cas propre.(iii) En utilisant les résultats connus [
5, 21, 49 ] sur la cohomologie étale ℓ -adiquede la tour de Drinfeld (en dimension ), le (ii) fournit une preuve du th. 0.4 de [ ]qui donne une description de l’action de G × ˇ G × WD F sur la cohomologie de Hyodo-Kato de la tour (dans [ ], cette description est obtenue en utilisant l’uniformisationde courbes de Shimura, la compatibilité local-global et l’isomorphisme entre les toursde Lubin-Tate et de Drinfeld). Couplé avec le th. 0.7, cela permet de retrouver leth. 0.8 de [ ] dont la preuve utilise aussi des méthodes globales. p -adique . — Soit X une courbe compacte, et Y un sous-affinoïde obtenu en retirant l’intérieur d’un disque fermé. On a alors O ( Y ) ∗ /C ∗ = O ( Y ) ∗∗ / (1 + m C ) , et H ( X ) = H ( Y ) sep . (Si on retire r disques,alors H ( Y ) sep /H ( X ) ∼ = ˘ C r − .)Soit J la jacobienne de X . On déduit de la suite exacte de Kummer et du calcul [ ]de H ( Y, O ∗ ) , une suite exacte → Q p b ⊗ O ( Y ) ∗ → H ( Y, Q p (1)) → b J → , où b J est le revêtement universel du groupe p -divisible de J , i.e. l’ensemble b J = { ( x n ) n ∈ Z , x n ∈ J ( C ) , p · x n +1 = x n , lim n →−∞ x n = 0 } . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES On en déduit, en comparant la suite exacte ci-dessus et celle du th. 0.1, le résultatsuivant qui est classique dans le cas de bonne réduction (ou pour les groupes p -divisibles [
22, 44 ]).
Théorème 0.17 . —
On a un isomorphisme naturel ι st : b J ∼ → ( B +st ⊗ H ( X )) N =0 ,ϕ = p . Remarque 0.18 . — Si X est définie sur une extension finie K de Q p , et si C = C p ,en utilisant des techniques d’intégration p -adique sur les courbes [
8, 9, 11, 12 ],on peut donner une description explicite de cet isomorphisme. Si e J est l’extensionuniverselle de J , on dispose d’une application naturelle G K -équivariante (Lemme 12ou § B.2 de [ ]) ι B dR : b J → e J ( B +dR ) définie de la manière suivante : si x = ( x n ) n ∈ Z ∈ b J , on choisit une suite bornée (ˆ x n ) n ∈ Z de relèvements des x n dans e J ( B +dR ) , et on envoie x sur la limite de p n · ˆ x n ,quand n → + ∞ , la multiplication par p n étant celle sur e J . Alors ι st = log e J ◦ ι B dR , où B +st ⊗ H ( X ) s’injecte dans B +dR ⊗ K H ( X ) via ι HK , log e J : e J ( B +dR ) → B +dR ⊗ K H ( J ) ∗ est le logarithme de e J à valeurs dans son algèbre de Lie, et on a des identifications H ( J ) ∗ ∼ = H ( X ) ∗ ∼ = H ( X ) , la seconde étant fournie par le cup-produit dans H ( X ) ∼ = K . Soient Y une courbe quasi-compacte, S une triangulation assezfine, Y S le modèle associé et (Γ , ( Y i ) i ∈ I , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ) le patron correspondant.La preuve des th. 0.1 et 0.4 repose sur : • la définition d’un groupe de symboles Symb p ( Y ) , : • la construction de régulateurs étale Symb p ( Y ) → H ( Y, Q p (1)) et syntomique Symb p ( Y ) → H ( Y S , qui s’avèrent être des isomorphismes, • une description de H ( Y S , en termes du complexe de de Rham et de sesvariantes. . — Soit Y une courbe quasi-compacte. Si ℓ est un nombre premier,on définit le groupe de symboles Symb ℓ ( Y ) comme Symb ℓ ( Y ) = { ( f n ) n ∈ N , f n ∈ C ( Y ) ∗ , Div( f n ) ∈ ℓ n Div( Y ) , f n +1 /f n ∈ ( C ( Y ) ∗ ) ℓ n }{ ( h ℓ n n ) , h n ∈ C ( Y ) ∗ } . On a une suite exacte → H (Γ , Z ℓ (1)) → Symb ℓ ( Y ) → Ker (cid:0) Y i ∈ I Symb ℓ ( Y gen i ) → Y ( i,j ) ∈ I ,c Symb ℓ ( Y gen i,j ) (cid:1) , PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ où les « gen » en exposant signifient « fibre générique » et les groupes
Symb ℓ ( Y gen i ) sont définis comme ci-dessus en imposant que le diviseur de f n soit à support fini si Y i est une jambe (c’est automatique pour Y ou pour un short, par quasi-compacité). . — L’application qui, à une fonction, associe sa classe deKummer, fournit un régulateur étale Symb ℓ ( Y ) → H ( Y, Z ℓ (1)) et la suite exacte deKummer → ( Z /ℓ n ) ⊗ O ( Y ) ∗ → H ( Y, ( Z /ℓ n )(1)) → Pic( Y )[ ℓ n ] → permet de montrer (cor. 5.5) que ce régulateur fournit un isomorphisme Symb ℓ ( Y ) ∼ −→ H ( Y, Z ℓ (1)) . En utilisant la suite exacte ci-dessus, cela ramène le calcul de H ( Y, Z ℓ (1)) à celui desgroupes Symb ℓ ( Y gen i ) . Si ℓ = p , ce calcul est trivial si Y i est une jambe (lemme 4.4) etclassique si Y i est un short (prop. 5.10) ; on en déduit le (i) du th. 0.13 et la formule« de Picard-Lefschetz » (rem. 6.4, résultats on ne peut plus classiques). . — Si ℓ = p , on utilise des méthodes syntomiques pourfaire le calcul. On note Syn( Y S , le complexe total associé au complexe double (6) Q i ∈ I F O ( e Y i ) / / − ϕp (cid:15) (cid:15) Q i ∈ I Ω ( e Y i ) ⊕ Q ( i,j ) ∈ I ,c F O ( e Y i,j ) / / − ϕp (cid:15) (cid:15) − ϕp (cid:15) (cid:15) Q ( i,j ) ∈ I ,c Ω ( e Y i,j ) d =01 − ϕp (cid:15) (cid:15) Q i ∈ I O ( e Y i ) / / Q i ∈ I Ω ( e Y i ) ⊕ Q ( i,j ) ∈ I ,c O ( e Y i,j ) / / Q ( i,j ) ∈ I ,c Ω ( e Y i,j ) d =0 dans lequel, si Z = Y i , Y i,j , O ( e Z ) est une A cris -algèbre munie d’un frobenius ϕ etd’une surjection θ : O ( e Z ) → O ( Z ) dont la restriction à A cris est l’application deFontaine θ : A cris → O C , F O ( e Z ) = Ker θ , et Ω ( ˜ Z ) est le module Ω O ( e Z ) / A cris . Il y ades choix naturels pour les O ( e Z ) qui simplifient grandement les calculs (7) : • un short Y s est obtenu par extension des scalaires à partir d’un schéma formel ˘ Y s lisse sur O ˘ C , et on pose O ( e Y s ) = A cris b ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y s ) (et on choisit un ϕ sur O ( ˘ Y s ) ) ; • une jambe Y a de longueur r vérifie O ( Y a ) = O C [[ T , T ]] / ( T T − p r ) , et onpose O ( e Y a ) = A cris [[ T , T ]] / ( T T − ˜ p r ) , où ˜ p r ∈ A cris est un teichmüller vérifiant θ (˜ p r ) = p r (et on prend ϕ défini par ϕ ( T i ) = T pi , si i = 1 , ).Le complexe Syn( Y S , est le complexe double associé au cône [ F C dR ( e Y S ) − ϕ/p / / C dR ( e Y S ) ] , où C dR ( e Y S ) est le complexe Q i ∈ I O ( e Y i ) / / Q i ∈ I Ω ( e Y i ) ⊕ Q ( i,j ) ∈ I ,c O ( e Y i,j ) / / Q ( i,j ) ∈ I ,c Ω ( e Y i,j ) d =0
6. Le frobenius ϕ sur les formes différentielles est défini de telle sorte que ϕ ◦ d = d ◦ ϕ .7. L’anneau O ( e Y i,j ) ci-dessus correspond à l’anneau O ( e Y i,j ) PD du n o OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES qui calcule la cohomologie cristalline logarithmique absolue de Y S .On note H i Syn ( Y S , les groupes de cohomologie du complexe Syn( Y S , .On définit un régulateur syntomique Symb p ( Y ) → H ( Y S , en envoyant ( f n ) n ∈ N sur le cocycle lim n →∞ (cid:0) d ˜ f n,i ˜ f n,i , p log ϕ ( ˜ f n,i )˜ f pn,i , log( ˜ f n,i ˜ f n,j ) (cid:1) , où ˜ f n,i ∈ O ( e Y i ) est un relèvementde la restriction de f n à Y i (il faut prendre un peu de précautions en choisissant cesrelèvements car f n peut avoir des zéros et des pôles, mais la limite est holomorphe carles multiplicités de ces zéros et pôles est divisible par p n ). On prouve alors (prop. 6.24)que ce régulateur syntomique induit un isomorphisme Symb p ( Y ) ∼ −→ H ( Y S , . On commence par prouver le résultat pour les Y i (le cas des shorts (th. 5.29) estnettement plus délicat que celui des jambes (prop. 4.11)), et on recolle. . — Les groupes decohomologie de C dR ( Y ) = C ⊗ A cris C dR ( e Y S ) sont les H i dR ( Y ) , et les H i HK ( Y ) sont, pardéfinition, les groupes de cohomologie de C dR ( ˘ Y S ) = ˘ C ⊗ A cris C dR ( e Y S ) (les extensionsde scalaires se font via θ : A cris → O C et θ : A cris ⊗ O ˘ C ).Par ailleurs, on peut (lemme 6.19) modifier légèrement C dR ( e Y S ) pour obtenir uncomplexe C dR ( e Y S ) quasi-isomorphe, de telle sorte que l’inclusion de O ˘ C dans A cris induise un morphisme de complexes C dR ( ˘ Y S ) → Q p ⊗ C dR ( e Y S ) , commutant à ϕ , etsection de Q p ⊗ C dR ( e Y S ) → C dR ( ˘ Y S ) , ce qui fournit (quasiment gratuitement) desisomorphismes Q p ⊗ H ( e Y S ) ∼ = B +cris b ⊗ ˘ C H ( Y ) et ι HK : H ( Y ) ∼ = C b ⊗ ˘ C H ( Y ) . En jouant avec les différentes présentations possibles du cône ci-dessus, on obtientune suite exacte → O ( Y ) /C → Q p ⊗ H ( Y S , → Q p ⊗ H ( e Y S ) ϕ = p → H ( Y, O ) → Q p ⊗ H ( Y S , → · Si Y est compacte, O ( Y ) = C et la flèche Q p ⊗ H ( e Y S ) ϕ = p → H ( Y, O ) est surjective,alors que si Y n’est pas compacte, H ( Y, O ) = 0 . Si Y est un affinoïde, cela fournitdonc une suite exacte → O ( Y ) /C → Q p ⊗ H ( Y S , → ( B +cris b ⊗ ˘ C H ( Y )) ϕ = p → . Pour passer de H ( Y ) à H ( Y ) sep , il s’agit alors de comprendre le lien entre ( Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ ) / exp( O ( Y )) et l’adhérence de dans ( B +cris b ⊗ ˘ C H ( Y )) ϕ = p . Locale-ment, ceci entre dans l’isomorphisme Symb p ( Y gen i ) ∼ = H ( Y i , (implicitement pourles jambes (prop. 4.11) et explicitement pour les shorts (prop. 5.27)) et le cas générals’obtient par recollement (th. 6.30). Remarque 0.19 . — On dispose de vrais isomorphismes H ( Y, Z p (1)) ∼ ← Symb p ( Y ) ∼ → H ( Y S , , PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ ne faisant pas intervenir de dénominateurs (au moins si p = 2 ). Les dénominateursapparaissent dans la description de H ( e Y S ) en termes de H ( Y ) ; ces dénominateursdépendent des longueurs des jambes de Y S (plus ces jambes sont courtes et plus lesrésultats sont imprécis). Si Y est un affinoïde, on a une suite p -exacte (th. 6.30) : → Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y S , → ( H ( e Y S ) sep ) ϕ = p → H ( Y S , O ) , et H ( Y S , O ) est tué par une puissance de p . Nous remercions Bhargav Bhatt, Antoines Ducros, Antoine Chambert-Loir et PeterScholze pour des conversations (en présentiel ou électroniques) au sujet de cet article.W.N. a donné un cours sur des parties de cet article à l’automne 2016, à l’universitéFudan de Shanghai ; elle voudrait remercier Shanwen Wang pour son invitation et lesauditeurs pour leurs commentaires. . — On fixe un morphisme r p r de ( Q , +) dans ( C ∗ , × ) prenant la valeur p pour r = 1 . Cela fournit aussi un morphisme r ˜ p r du monoïde Q + dans W ( O ♭C ) = A inf ⊂ A cris , avec ˜ p r = [( p r ) ♭ ] et ( p r ) ♭ = ( p r , p r/p , . . . ) . On note θ : A cris → O ˘ C et θ : A cris → O C les morphismes usuels (on a θ (˜ p r ) = p r si r ≥ , et θ (˜ p r ) = 0 si r > ). . — Si A est un anneau topologique séparé et complet pour latopologie I -adique, où I est un idéal de A contenant p , et si x = ( x , . . . , x d ) , on note : • A [[ x ]] l’anneau des séries entières P i ∈ N d a i x i avec a i ∈ A , pour tout i , • A h x i le sous-anneau de A [[ x ]] des P i ∈ N d a i x i avec a i → quand i → ∞ , • A [[ x ]] † le sous-anneau de A [[ x ]] des P i ∈ N d a i x i tels qu’il existe r > tel que a i ∈ p ⌈ r | i |⌉ A , pour tout i , • A [[ x, y i l’anneau A [[ x ]] h y i (nous n’aurons besoin que de A [[ T, T − i , complété de A [[ T ]][ T − ] pour la topologie I -adique). . — On appelle (8) boule unité ouverte unschéma formel de la forme Spf( O C [[ T ]]) . Une jambe Y est un schéma formel de la forme Spf( O C [[ T , T ]] / ( T T − α )) , avec α ∈ m C . La longueur de Y est v p ( α ) et on l’orienteen choisissant T comme paramètre local (choisir T à la place renverse l’orientation).On appelle cercle fantôme un schéma formel de la forme Spf( O C [[ T, T − i ) .La frontière de la boule unité Spf( O C [[ T ]]) est le cercle fantôme Spf( O C [[ T, T − i ) .La frontière de la couronne ouverte Spf( O C [[ T , T ]] / ( T T − α )) est constituée desdeux cercles fantômes Y = Spf( O C [[ T , T − i ) et Y = Spf( O C [[ T , T − i ) . Dans lesdeux cas, la frontière est incluse dedans.
8. On renvoie au n o OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Si Y est un schéma formel sur O C , on pose O ( Y gen ) = O ( Y )[ p ] . On renvoie àl’appendice (en particulier au § A.4) pour des considérations sur les fibres génériques. . — Si Y est un cercle fantôme Spf( O C [[ T, T − i ) , on note Ω ( Y ) lemodule O C [[ T, T − i dTT des formes différentielles continues. Si ω = P k ∈ Z α k T k dTT , ondéfinit son résidu Res Y ( ω ) (ou simplement Res( ω ) ) par la formule Res Y ( ω ) = α .Si Y est une couronne Spf( O C [[ T , T ]] / ( T T − α )) , on note Ω ( Y ) le module O C [[ T , αT ]] dT T des formes différentielles continues. Si ω = P k ∈ Z α k T k dT T , on définit son résidu Res Y ( ω ) par la formule Res Y ( ω ) = α . Notons que Res Y ( ω ) dépend del’orientation de Y : comme dT T + dT T = 0 , changer l’orientation change le signe de Res Y ( ω ) . Notons aussi que, si Y , Y sont les cercles fantômes à la frontière de Y , ona Res Y ( ω ) = Res Y ( ω ) = − Res Y ( ω ) .
1. Cohomologie des graphes
Ce court chapitre contient des définitions de base concernant les graphes. Commenous le verrons, on peut associer à une courbe analytique X (resp. à un modèle semi-stable X S de X ) deux graphes, à savoir son squelette analytique Γ an ( X ) , cf. n o Γ( X sp ) de sa fibre spéciale, cf. § 8.2, (resp. Γ( S ) et Γ( X sp S ) = Γ ad ( S ) ,cf. n o X est une courbe sans bord, ces deux graphes sont égaux mais,si X a un bord, le squelette Γ an ( X ) est naturellement muni d’une métrique, alorsque Γ( X sp ) est seulement muni d’une semi-métrique et son séparé est Γ an ( X ) . Laraison pour laquelle nous nous intéressons à ces notions est que la cohomologie de X (resp. X S ) a une décomposition naturelle faisant intervenir la cohomologie de Γ( X sp ) (resp. Γ( X sp S ) ). . — Un graphe (9) Γ est un espace topologique séparé munid’un sous-ensemble discret S (les sommets de Γ ) tel que les composantes connexes de Γ K S ( les arêtes de Γ ) soient des courbes réelles sans bord (i.e. homéomorphes à dessegments ouverts ou des cercles).On note A l’ensemble des arêtes. Si a ∈ A , on note S ( a ) l’ensemble des s ∈ S dansl’adhérence de a (les extrémités de a ) et a l’adhérence de a dans Γ (réunion de a et S ( a ) ). Alors S ( a ) contient au plus deux points. Remarquons que, si Γ est connexe, etsi A contient une arête a sans extrémité, alors Γ = a (et S = ∅ et A = { a } ) ; dans lecas contraire, toutes les arêtes ont au moins une extrémité et, en particulier, ce sonttoutes des segments.On note A c l’ensemble des arêtes a telles que a soit compacte.
9. Tous nos graphes sont supposés localement finis , i.e. tout point de Γ a un voisinage U tel que U ∩ (Γ K S ) n’ait qu’un nombre fini de composantes connexes. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ . — On dit que Γ est orienté si toutes les arêtes sont munies d’uneorientation. Dans ce cas, on peut différencier les extrémités d’une arête a , et on note s ( a ) l’origine de a et s ( a ) le bout de a (s’ils existent : si Γ n’est pas un cercle sanssommet, alors a a une origine et un bout si et seulement si a ∈ A c , notons que rienn’empêche alors que s ( a ) = s ( a ) ; si Γ n’est pas un segment sans sommet, alors unearête n’appartenant pas à A c a soit une origine, soit un bout, mais pas les deux à lafois).Soit Γ un graphe orienté. Si s ∈ S , on pose A ( s ) + = { a ∈ A, s ( a ) = s } , A ( s ) − = { a ∈ A, s ( a ) = s } ,A ( s ) = A ( s ) + ∪ A ( s ) − , A c ( s ) = A ( s ) ∩ A c , et donc A ( s ) (resp. A c ( s ) ) est l’ensemble des arêtes (resp. arêtes relativement com-pactes) dont une des extrémités est s . Le cardinal de A ( s ) est la valence de s . R ∗ + des longueurs . — On note R ∗ + l’ensemble constitué des : • r , pour r ∈ R ∗ + ` {∞ , ∞} , • r + pour r ∈ R + ` {∞} , • r ++ pour r ∈ R + . . — On dit que Γ est métrisé si, pour toute arête a , son adhérence a est munie d’un homéomorphisme sur un intervalle de R (pas forcément de longueurfinie) ou un homothétique du cercle unité. On note alors µ ( a ) ∈ R ∗ + ` {∞ , ∞} la longueur de l’arête a (i.e. la longueur de l’intervalle ou du cercle correspondant), enposant µ ( a ) = ∞ si l’intervalle de R est une demi-droite et µ ( a ) = 2 ∞ si cet intervalleest R tout entier. Un graphe métrisé est naturellement un espace métrique.On dit que Γ est semi-métrisé si : • L’adhérence a de tout a ∈ A c est munie d’un homéomorphisme sur un intervalle(compact) de R ou un homothétique du cercle unité. • L’adhérence a de tout a ∈ A K A c est munie d’une application continue a → R induisant un homéomorphisme d’un sous-intervalle a ′ contenant l’extrémité éventuellede a sur un sous-intervalle de R , et contractant les bouts de a , i.e. les composantesconnexes de a K a ′ (au nombre de , ou ) en des points.On définit la longueur µ ( a ) ∈ R ∗ + , si a ∈ A , par : • Si a ∈ A c , alors µ ( a ) ∈ R ∗ + ` {∞ , ∞} est la longueur de l’intervalle ou du cerclecorrespondant. • Si a ∈ A K A c , et si r ∈ R ∗ + ` {∞ , ∞} est la longueur du segment correspondant,alors µ ( a ) = r (resp. µ ( a ) = r + , resp. µ ( a ) = r ++ ) si a K a ′ a (resp. , resp. )composantes connexes. (Le nombre de + est le nombre de bouts.) Remarque 1.1 . — Si Γ est semi-métrisé, on peut fabriquer à partir de Γ un graphe Γ métrisé, appelé le séparé de Γ , en remplaçant a par a ′ si a ∈ A K A c (i.e. encontractant tous les bouts d’arêtes de longueur nulle) et en rajoutant les extrémités OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES de a ′ aux sommets (par exemple, si a a une extrémité s , et si a ′ est compact, alorsune des extrémités de a ′ est s et l’autre est un nouveau sommet).Pour retrouver Γ à partir de Γ , il faut rajouter des arêtes de longueur nulle etsupprimer les sommets dont la valence est passée de à .Un graphe semi-métrisé est dit : • compact s’il est métrisé et l’espace métrique associé est compact, • quasi-compact si son séparé est compact, • complet s’il est métrisé et l’espace métrique associé est complet.Il est facile de vérifier que : • Γ est compact si et seulement si il est quasi-compact et complet. • Γ est compact si et seulement si S est fini et A = A c . • Un graphe fini est complet si et seulement si les éléments de A K A c sont delongueur ∞ . Soient Γ un graphe orienté ayant un nombre fini de composantes connexes et L ungroupe abélien. . — On dispose des groupes decohomologie H i (Γ , L ) , pour i = 0 , , et de cohomologie à support compact H ic (Γ , L ) ,pour i = 0 , . Alors dim L H (Γ , L ) est le nombre de composantes connexes de Γ et dim L H c (Γ , L ) est le nombre de ses composantes connexes compactes.Les groupes H (Γ , L ) et H c (Γ , L ) ont une description combinatoire qui va nousêtre utile. Si X = A c , A, S , on note L X l’espace des fonctions φ : X → L et L ( X ) lesous-espace de L X des fonctions à support fini. On dispose d’applications ∂ : L S → L A c et ∂ : L ( S ) → L ( A c ) , définies par : ∂φ ( a ) = φ ( s ( a )) − φ ( s ( a )) . Alors H (Γ , L ) = Coker (cid:2) ∂ : L S → L A c (cid:3) et H c (Γ , L ) = Coker (cid:2) ∂ : L ( S ) → L ( A ) (cid:3) . Remarque 1.2 . — (o) Si Γ est compact, alors H c (Γ , L ) = H (Γ , L ) .(i) Si A ne contient pas d’arête sans extrémité, alors S rencontre toutes les com-posantes connexes de Γ et H (Γ , L ) = Ker (cid:2) ∂ : L S → L A c (cid:3) , et si A ne contient pas decercle, alors S rencontre toutes les composantes connexes compactes, et H c (Γ , L ) =Ker (cid:2) ∂ : L ( S ) → L ( A ) (cid:3) .(ii) Si S est fini, la restriction à A c d’une fonction sur A induit une suite exacte : → H c (Γ , L ) → H (Γ , L ) → L A K A c → H c (Γ , L ) → H (Γ , L ) → . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
En particulier, si Γ est connexe et non compact (et S fini), on a une suite exacte : → L → L A K A c → H c (Γ , L ) → H (Γ , L ) → . ∂ ∗ . — Comme Γ est supposé localement fini, on dispose d’appli-cations ∂ ∗ : L A → L S et ∂ ∗ : L ( A ) → L ( S ) , définies par ∂ ∗ φ ( s ) = X a ∈ A ( s ) + φ ( a ) − X a ∈ A ( s ) − φ ( a ) . Les espaces L S et L A sont les duaux de L ( S ) et L ( A ) , et ∂ ∗ est l’adjoint de ∂ . Ils’ensuit que : Ker (cid:2) ∂ ∗ : L A → L S (cid:3) = H c (Γ , L ) ∗ . Remarque 1.3 . — Si s ∈ S , notons ∂ ∗ s : L A ( s ) → L { s } la restriction de ∂ ∗ . Comme L A = Ker (cid:2) Q s L A ( s ) → L A c (cid:3) (car a ∈ A c apparaît dans exactement deux A ( s ) ), on aaussi H c (Γ , L ) ∗ = Ker (cid:2) Y s Ker (cid:2) ∂ ∗ s : L A ( s ) → L { s } (cid:3) → L A c (cid:3) . . — A partir d’un graphe semi-métriśe Γ =(
S, A, µ ) , on peut fabriquer un nouveau graphe Γ (2) = ( I, I , µ ) en rajoutant unsommet sur chaque arête relativement compacte (ce qui découpe l’arête en deux),et en donnant au nouveau point une multiplicité égale à µ ( a ) ; la structure obtenueest appelée un graphe bipartite marqué (bipartite car les sommets sont de deux typespossibles : des sommets standard et des sommets de valence munis d’une multi-plicité). Les ensembles I des sommets, I des arêtes et I ,c des arêtes relativementcompactes de Γ (2) sont donnés par I = A c a S, I = { ( a, s ) , a ∈ A, s ∈ S ( a ) } I ,c = { ( a, s ) , a ∈ A c , s ∈ S ( a ) } . On a I = I ,c ` ( A K A c ) . Remarque 1.4 . — (o) La construction ci-dessus peut s’inverser et permet deconstruire un graphe semi-métrisé à partir d’un graphe bipartite marqué.(i) Le graphe Γ (2) possède une orientation naturelle : toute arête de Γ (2) a exacte-ment une extrémité appartenant à S , et on prend cette extrémité comme origine.(ii) Le graphe Γ (2) est, topologiquement, homéomorphe à Γ , et donc à même co-homologie. Il s’ensuit que les complexes naturels K I → K I ,c et K I → K I calculentaussi la cohomologie de Γ . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES . — Si Γ est métrisé ou semi-métrisé, et si µ ( a ) ∈ Q pour tout a ∈ A c , on définit un opérateur de monodromie , N µ : H c (Γ , L ) ∗ → H (Γ , L ) en prenant la composée de µ : K A → K A c , qui envoie φ sur la restriction à A c de ( a µ ( a ) φ ( a )) , et de l’application naturelle K A c → H (Γ , L ) . Remarque 1.5 . — Si Γ est compact et métrisé, alors N µ est un isomorphisme. Remarque 1.6 . — Soit M un Λ -module admettant H c (Γ , Λ) ∗ comme quotient et H (Γ ′ , Λ) comme sous-objet, où Γ ′ est un sous-graphe de Γ . Alors M est naturellementmuni d’un opérateur de monodromie N défini comme la composée : M → H c (Γ , Λ) ∗ N µ −→ H (Γ , Λ) → H (Γ ′ , Λ) → M, où les flèches autres que N µ sont les flèches évidentes. Si l’image de H (Γ ′ , Λ) dans H c (Γ , Λ) ∗ est nulle, alors N est nilpotent d’exposant (i.e. N ◦ N = 0 ).
2. Courbes analytiques
Soit C un corps algébriquement clos, complet pour une valuation v p (à valeursréelles) vérifiant v p ( p ) = 1 . Le but de ce chapitre est de rappeler rapidement lesprincipaux résultats concernant la structure des courbes analytiques sur C . Nousrenvoyons le lecteur à [ ], [ ], [ ] pour plus de détails et les preuves des résultatsénoncés ci-dessous.Une courbe analytique (ou simplement courbe ) est un espace rigide analytique sé-paré, purement de dimension et lisse (sur le corps de base). L’espace de Berkovichassocié à une courbe sur C est une courbe C -analytique quasi-lisse au sens de [ ](une telle courbe peut donc avoir un bord non vide). Pour simplifier, nous suppose-rons sans mention explicite du contraire que les courbes sont connexes. Si K est unsous-corps fermé de C , une telle courbe Y est dite définie sur K si elle est obtenue,par extension des scalaires, à partir d’une K -courbe Y K . Une C -courbe analytique est soit propre (auquel cas c’est l’espace analytique asso-cié à une courbe projective), soit une réunion croissante d’affinoïdes de dimension et même une réunion croissante stricte (chaque affinoïde est inclus dans l’intérieur dusuivant) si la courbe est sans bord (et non propre).Plus généralement et plus précisément, soit K un sous-corps fermé de C et soit X un K -espace analytique séparé, de dimension (non nécessairement lisse). • Si X est quasi-compact et irréductible, alors X est affinoïde ou projectif, i.e.l’analytifié d’une courbe algébrique projective sur K [ , th.2]. Du point de vuede la théorie de Berkovich, toute courbe analytique compacte (en tant qu’espace PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ topologique) et irréductible X est isomorphe à un domaine analytique d’une courbeprojective, et X est affinoïde si et seulement si le bord de X est non vide [ , th.6.1.3, cor. 6.1.4]. • Si X est quasi-compact et purement de dimension , on peut décrire les affi-noïdes de X comme suit. Si f est une fonction méromorphe globale sur X , notons U f l’ensemble des x ∈ X pour lesquels f est analytique au voisinage de x et vérifie | f ( x ) | ≤ . Tout affinoïde U de X est de la forme U f [ , th.3] et, si X = Y an pourune courbe algébrique projective Y , f peut être choisie rationnelle sur Y . Si de plus Y est connexe et régulière (10) et si f est une fonction rationnelle, mais pas régulièresur Y tout entier, alors U f est un affinoïde [ , prop 2, p.168].Supposons de plus que X est connexe. Alors X est paracompact (i.e. possède unrecouvrement affinoïde localement fini), en particulier X est une réunion dénombrablecroissante d’affinoïdes, cf. [ ] et [ , th. 4.5.10]. Plus précisément, le résultat prin-cipal de [ ] montre que X possède un modèle formel X plat, séparé et localementde type fini sur O K , et X possède un recouvrement localement fini par des ouvertsaffines. De plus : • Si X est lisse, on peut imposer à X d’être semi-stable, i.e. les singularités de lafibre spéciale sont nodales. • Si X est lisse, rappelons que X est dit quasi-Stein s’il possède un recouvrementaffinoide admissible croissant ( X n ) n ≥ tel que les flèches de restriction O X ( X n +1 ) → O X ( X n ) aient une image dense pour tout n . Si X n est relativement compact dans X n +1 pour tout n , l’espace est dit Stein. De plus, si X est Stein et lisse les composantesirréductibles de la fibre spéciale de X sont propres.Enfin, tout affinoïde connexe, de dimension et lisse sur C est un domaine affinoïded’une courbe propre et lisse, et s’obtient en retirant une famille finie de disques ouverts,deux à deux disjoints, de cette courbe [ ] (voir aussi la prop. 3.15). . — Soient K un sous-corps fermé de C , d’anneau des entiers O K , d’idéal maximal m K et de corps résiduel k K . Si Y est un affinoïde sur K , onnote : • O + ( Y ) le sous-anneau de O ( Y ) des fonctions à valeurs entières, i.e. de normespectrale ≤ . • O ++ ( Y ) l’idéal m C ⊗ O C O + ( Y ) de O + ( Y ) , i.e. l’idéal des fonctions de normespectrale < . • O ( Y ) ∗∗ le sous-groupe O ++ ( Y ) de O ( Y ) ∗ .Si Y est un affinoïde réduit sur K et si K est de valuation discrète ou bien algé-briquement clos, alors O + ( Y ) est une algèbre de Tate sur O K , i.e. une algèbre de laforme O K h x , . . . , x n i /I , où I est un idéal de type fini, O K -saturé. Cela résulte du
10. Sans cette hypothèse de régularité le résultat qui suit tombe en défaut.
OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES théorème de finitude de Grauert-Remmert-Gruson [ , th. 3.1.17] et du théorème deGruson-Raynaud [ , th. 3.2.1]. Lemme 2.1 . — Si f ∈ O ( Y ) ∗∗ , alors log f ∈ O ( Y ) .Démonstration . — On peut écrire f = 1 + g avec g ∈ O ++ ( Y ) , et alors log f = P n ≥ − n − n g n , et la série converge dans O ( Y ) . . — Soit Y un affinoïde sur C .La k C -algèbre O ( Y ) := O + ( Y ) / O ++ ( Y ) = O + ( Y ) ⊗ O C k C est de type fini sur k C (cela résulte du lemme de normalisation de Noether et de [ , th. 3.1.17]). On appelle Y := Spec( O ( Y )) la réduction canonique de Y . L’application de réduction r : Y → Y est surjective et anti-continue (11) et la fibre de r en tout point maximal de Y est unsingleton. L’image inverse de l’ensemble des points maximaux de Y est le bord deShilov de Y , i.e. le plus petit fermé de Y sur lequel toute fonction | f | ( f ∈ O ( Y ) )atteint son maximum. Si Y est réduit et si U est un ouvert affine de Y , le tube ] U [= r − ( U ) de U est un affinoïde de Y et sa réduction canonique s’identifie à U [ ,lemma 4.8.1].Soit Y un affinoïde lisse, de dimension sur C . Alors Y est une courbe affine sur k C (en général ni lisse, ni irréductible) sans multiplicités. Le bord ∂Y de Y (vu commeespace de Berkovich) coïncide avec le bord de Shilov de Y et est en bijection avecl’ensemble des composantes irréductibles de Y : si s ∈ ∂Y , la composante irréductible Y s qui lui correspond est affine et définit une valuation (de Gauss) v s sur O ( Y ) , etdonc un point de type 2 de l’espace de Berkovich associé à Y .Si s ∈ ∂Y , on associe à s un ensemble A ( s ) (qui sera un ensemble d’arêtes desommet s quand on aura défini le graphe dual de la fibre spéciale de Y ). Cet ensembleest en bijection avec les points de Y s K Y s , où Y s est la compactifiée de la courbe Y s par des points lisses. Si a ∈ A ( s ) , on lui associe : • un point P a de Y s K Y s , • une valuation v s,a de rang sur O ( Y ) par v s,a ( f ) = ( v s ( f ) , v P a ( α − f )) , où α ∈ C vérifie v p ( α ) = v s ( f ) .Si ω ∈ Ω ( Y ) , et si a ∈ A ( s ) , on définit le résidu Res a ( ω ) comme le résidude la restriction de ω à Y a,s (i.e. le coefficient α dans le développement ω | Y a,s = P k ∈ Z α k T k dTT ). On a P s ∈ ∂Y P a ∈ A ( s ) Res a ( ω ) = 0 . Remarque 2.2 . — (i) Comme P a / ∈ Y s , si a ∈ A ( s ) , la valuation v s,a n’est pastotalement positive sur O + ( Y ) et v s,a est un point (de type 5) du bord ∂Y ad = Spa (cid:0) O ( Y ) , O C + O ++ ( Y ) (cid:1) K Spa (cid:0) O ( Y ) , O + ( Y ) (cid:1) de l’espace adique associé à Y .
11. On considère ici Y comme espace de Berkovich, pas comme espace rigide analytique. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ (ii) Si T ∈ Fr( O ( Y )) vérifie v s,a ( T ) = (0 , , l’anneau des entiers du complété de Fr( O ( Y )) pour v s,a est O C [[ T, T − i . Le schéma formel Y a,s associé est un « cerclefantôme », obtenu en « retirant » tous les points visibles du cercle Sp( C h T, T − i ) .On définit la frontière ∂ ad Y de Y comme la réunion (12) des cercles fantômes Y s,a ,pour s ∈ ∂Y et a ∈ A ( s ) . L’application v s,a Y s,a fournit une bijection de ∂Y ad sur l’ensemble de ces cercles fantômes, et la frontière peut aussi être vue comme le« bord adique » de Y .(iii) Il y a (au moins) deux manières de se représenter une courbe p -adique : soitcomme un graphe (à la Berkovich ou à la Huber), soit comme une surface de Rie-mann. Dans ce texte, nous allons privilégier la seconde représentation et construiredes courbes en recollant des affinoïdes et des couronnes le long de cercles fantômes.Cette opération ne semble pas être licite dans les cadres classiques (rigide, Berkovich,adique, ou schéma formel) ; pour lui donner un sens, la solution est de modifier unpeu la structure de schéma formel p -adique en munissant la fibre spéciale d’une to-pologie proche de celle de Berkovich au lieu de la topologie de Zariski ; cela mène àla géométrie adoque (13) du § 3.1. La même opération dans le cadre adique revient àrecoller des graphes en des points (de type 5), ce qui peut donner l’impression qu’il ya une unique manière de faire le recollement, alors que le point de vue des surfaces deRiemann suggère une analogie avec la théorie de Teichmüller, qui semble plus prochede la réalité. [
20, 3, 45 ]. Soit X une C -courbe analytique (lisse et connexe). . — Si X n’est pas propre, alors X est la réunion croissanted’affinoïdes Y n . On définit le bord ∂X de X comme la limite ∪ n (cid:0) ∩ k ≥ n ∂Y n (cid:1) des ∂Y n ,et la frontière ∂ ad X de X comme la limite des ∂ ad Y n . (Notons que des points de ∂Y n peuvent ne pas faire partie du bord de Y n +1 et donc pas non plus de ∂X .) . — Rappelons que les points de X se répartissent en types [ , 3.3.2]suivant la forme de leur corps résiduel complété. Si Y ⊂ X , on note Y [ i ] l’ensemble deses points de type i ∈ { , , , } . On note aussi Y [2 , = Y [2] ∪ Y [3] , etc. En particulier X [1] = X ( C ) est l’ensemble des points rigides de X , et pour tout x ∈ X [2] le corpsrésiduel de C ( x ) (corps résiduel complété de x ) est le corps des fonctions d’une courbeprojective lisse sur k C , appelée courbe résiduelle en x . Le genre de x ∈ X [2] est alorsle genre de cette courbe résiduelle.On dit que x est un noeud de X s’il ne possède pas de voisinage qui est une couronneouverte. Cela inclut les points de type et de genre ≥ et les points du bord ∂X de X . On note Σ( X ) l’ensemble des noeuds de X .
12. Que l’on peut voir comme contenue dans la courbe adoque associée à Y , voir n o OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES . — Soit X une courbe sur C (lisse et connexe). Le sque-lette analytique de X est l’ensemble Γ an ( X ) des points de X n’ayant pas de voisinagequi est un disque ouvert ; c’est un sous-graphe fermé de X , localement fini et métrisé,composé de points de type ou [ , 5.1.11]. L’ensemble des noeuds Σ( X ) de X est une partie de Γ an ( X ) , que l’on prend comme ensemble des sommets de Γ an ( X ) .On note A an ( X ) (resp. A an c ( X ) ) l’ensemble des arêtes (resp. arêtes relativement com-pactes) de Γ an ( X ) . Remarque 2.3 . — (i) Si X est compacte en tant qu’espace de Berkovich, alors Γ an ( X ) = ∅ si et seulement si X ∼ = P [ , 5.4.16]. Sans hypothèse de compacitél’énoncé tombe en défaut, par exemple A et les disques ouverts ont aussi un squeletteanalytique vide. (Sur un corps assez gros, i.e. sphériquement complet et à groupe devaluation R , ce sont les seuls exemples mais sur un corps non sphériquement complet,le complémentaire d’un point de type dans P n’est pas de ce type, et il y a mêmedes exemples de telles courbes qui ne se plongent pas dans P sur C bien qu’elles seplongent dans P sur un corps assez gros [ , prop. 5.5].)(ii) Si Γ an ( X ) = ∅ , alors Σ( X ) = ∅ si et seulement si X est une couronne ouvertegénéralisée (14) auquel cas Γ an ( X ) est un segment ouvert, ou bien X est une courbede Tate auquel cas Γ an ( X ) est un cercle.(iii) Si Γ an ( X ) = ∅ et si X n’est pas une courbe de Tate, les arêtes de Γ an ( X ) correspondent à des sous-couronnes ouvertes généralisées de X , la longueur de l’arêteétant la largeur de la couronne correspondante. Plus précisément : ⋄ une arête de longueur finie correspond à une couronne ouverte α < v p ( z ) < β généralisée (15) dont la largeur est β − α . ⋄ une demi-droite correspond à un disque ouvert épointé (de largeur ∞ car β = + ∞ ), ⋄ une droite correspond à G m (de largeur ∞ car α = −∞ et β = + ∞ ).(iv) Si Γ an ( X ) = ∅ , alors Γ an ( X ) est compact si et seulement si X est un affinoïdeou une courbe propre. En effet, Γ an ( X ) est un sous-graphe analytiquement admissible[ , th. 5.1.11], donc admissible de X (cf. [ , 1.5.1,5.1.3] pour ces notions) et doncla rétraction canonique (16) r : X → Γ an ( X ) est continue et compacte [ , th. 1.5.16].Donc Γ an ( X ) est compact si et seulement si X l’est (en tant qu’espace de Berkovich)et on conclut en utilisant les résultats énoncés dans 2.1.On définit le squelette adique Γ ad ( X ) en rajoutant à Γ an ( X ) des arêtes non relati-vement compactes de longueur + en les sommets s de ∂X , une par cercle fantômede ∂ ad X au bord de s .
14. Une couronne ouverte généralisée est une courbe qui, après extension des scalaires à un corpsassez gros, devient une couronne ouverte ou un disque ouvert épointé ou G m .15. Si l’arête appartient à A an c ( X ) , on obtient une vraie couronne et β − α ∈ Q .16. Si x / ∈ Γ an ( X ) , r ( x ) est l’unique point du bord de la composante connexe de x dans X \ Γ an ( X ) . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ . — Une pseudo-triangulation S de X est un sous-ensemble dis-cret et fermé de X , formé de points de X [2] , tel que les composantes connexes de X K S soient des disques ouverts ou des couronnes ouvertes généralisées. Le squelette Γ( S ) de S est le sous-graphe fermé de X tracé sur X [2 , , ayant pour sommets S et pourarêtes les squelettes des composantes connexes de X K S . On définit le squelette adique Γ ad ( S ) en rajoutant à Γ( S ) des arêtes non relativement compactes de longueur + enles sommets s de ∂X , une par cercle fantôme de ∂ ad X à la frontière de s .On dit que X est compacte (resp. quasi-compacte , resp. complète ), si Γ ad ( S ) est unespace métrique compact (resp. espace quasi-compact, resp. espace métrique complet),pour toute pseudo-triangulation S . Remarque 2.4 . — (i) Les courbes compactes sont les analytifiées des courbes algé-briques propres.(ii) Les courbes connexes quasi-compactes mais non compactes sont les affinoïdesconnexes.En effet, pour les deux assertions il suffit de raisonner comme dans la preuve dupoint iv) de la remarque 2.3, en utilisant la rétraction canonique de X sur Γ( S ) .(iii) Une courbe compacte est complète, mais on peut fabriquer des courbes com-plètes non compactes : par exemple, en retirant un nombre fini de points à une courbecompacte ou, plus généralement, un sous-ensemble compact (comme pour le demi-plan de Drinfeld), ou en prenant un revêtement fini étale d’une courbe complète noncompacte.Une triangulation de X est une pseudo-triangulation telle que les composantesconnexes de X K S soient relativement compactes dans X (en particulier, ce sont desdisques ou de vraies couronnes et pas des disques épointés ou des G m ).Si S est une pseudo-triangulation de X , alors S contient Σ( X ) . Si Γ an ( X ) estcompact, et si Σ( X ) = ∅ , alors Γ an ( X ) est une triangulation de X , plus précisémentla plus petite triangulation de X [ , 5.4.12]. Si A an ( X ) = A an c ( X ) , pour construireune triangulation on a besoin de subdiviser les arêtes non relativement compactes de Γ an ( X ) en une infinité d’arêtes, et donc de rajouter une infinité de sommets à Σ( X ) . Remarque 2.5 . — (i) Un résultat fondamental de la théorie est l’existence de tri-angulations pour toute courbe analytique sur C . C’est une conséquence du théorèmede réduction semi-stable (cf. [ , ch.1]), mais peut aussi se démontrer "directement",par une étude de la structure locale des courbes [ , th. 5.1.4]. Plus précisément, toutensemble fermé et discret, constitué de points de type est contenu dans une trian-gulation de X . Si X est compacte (en tant qu’espace de Berkovich), alors la réuniondes squelettes des triangulations de X est X [23] et X est homéomorphe à la limiteinverse de ces squelettes.(ii) Une triangulation de X permet de découper X en shorts et jambes (cf. n o X à partir d’objets plus simples. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES (iii) Si X est partiellement propre, une pseudo-triangulation fournit un recouvre-ment de X par des pantalons (cf. n o X à partird’objets plus simples.(iv) Ces deux descriptions de courbes analytiques joueront un grand rôle dansle calcul de leurs cohomologies. Pour éviter de se battre avec la combinatoire durecouvrement, il est souvent utile de raffiner la pseudo-triangulation.On dit qu’ une pseudo-triangulation S est fine si Γ( S ) ne contient pas de boucle avec ou sommets. On peut rendre fine n’importe quelle triangulation S en rajoutantun sommet au milieu de toutes les arêtes de Γ( S ) (et donc en coupant chaque arêteen deux). . — Il y a une bijection naturelle ([ , th.4.11] pour les courbes projectives, [ , ch. 1] et [ , ch. 6] dans le cas général) entre lestriangulations de X et les modèles formels ( p -adiques) semi-stables (17) de X sur O C :si X est un tel modèle, l’ensemble S ( X ) des préimages (par la spécialisation) dans X des points génériques des composantes irréductibles de la fibre spéciale classique k C ⊗ O C X de X est une triangulation de X . Pour aller dans l’autre sens il faut sefatiguer un peu plus ([ , th 6.3.15] ou [ , ch1]), mais au moins pour une courbeprojective X et dans le cas où le squelette Γ( S ) de la triangulation a au moins deuxarêtes la construction est assez explicite [ , th 4.11] : si r : X → Γ( S ) est la retractioncanonique, et si a est une arête, alors r − ( a ) est un domaine affinoïde de X , et lemodèle semi-stable correspondant s’obtient en recollant les Spf( O + ( r − ( a ))) le longdes Spf( O + ( r − ( s ))) , s parcourant S . Remarque 2.6 . — Soient S une triangulation de X et X S le modèle semi-stableassocié.(i) Γ( S ) est le graphe dual de k C ⊗ O C X S : les sommets de Γ( S ) correspondentaux composantes irréductibles de k C ⊗ O C X S et les arêtes aux points singuliers. Si Y s est la composante irréductible correspondant à s ∈ S , on note Z s l’image inversede Y s par l’application de spécialisation et Y s l’image inverse de l’ouvert de lissité de Y s (i.e. Y s privé des points communs avec les autres composantes de k C ⊗ O C X S ). Si P a est le point singulier correspondant à l’arête a , on note Y a l’image inverse de P a ;c’est une couronne ouverte dont on note µ ( a ) la largeur.(ii) S contient ∂X puisqu’elle contient Σ( X ) ; par la bijection ci-dessus entre élé-ments de S et composantes irréductibles, les points de ∂X correspondent aux com-posantes irréductibles de k C ⊗ O C X S qui ne sont pas propres. Soit X une courbe quasi-compacte (lisse et connexe) sur C , et soient S une trian-gulation de X et X S le modèle semi-stable sur O C associé. La courbe k C ⊗ O C X S est
17. Au sens large, i.e. étale localement, de la forme
Spf O C { X, Y } / ( XY − a ) , a ∈ O C K { } . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ un invariant un peu trop grossier : on veut garder la trace de la largeur des couronnescorrespondant aux points singuliers, ce qui amène naturellement à la notion de courbemarquée ci-dessous. . — Soit X une courbe sur k C . Un point marqué sur X estun couple ( P, µ ( P )) , où : • P ∈ X ( k C ) , • la multiplicité µ ( P ) de P est un élément de Q ∗ + ` { + } .Une courbe marquée ( X, A, µ ) est une courbe X munie d’un ensemble A de pointsmarqués (et µ est la fonction associant à un point marqué sa multiplicité). Une courbemarquée ( X, A, µ ) est semi-stable si : • X est à singularités nodales, • les composantes irréductibles de X sont propres et ne comportent qu’un nombrefini de points marqués, • les points singuliers de X sont marqués et ont une multiplicité ∈ Q ∗ + , les pointsmarqués non singuliers ont multiplicité + .Elle est stable si elle est semi-stable et si, de plus, aucune composante connexe de X n’est un P avec , ou points marqués. Remarque 2.7 . — (i) On peut considérer une courbe lisse X comme une courbemarquée stable en lui associant la courbe marquée stable ( X, X K X, + ) , où X est lacompactification lisse de X et tous les éléments de X K X sont de multiplicité + .(ii) Plus généralement, une courbe X à singularités nodales, dont les points sin-guliers sont munis d’une multiplicité ∈ Q ∗ + , peut être considérée comme une courbemarquée semi-stable : on considère la compactifiée X de X obtenue en rajoutant despoints lisses, et on définit l’ensemble des points marqués comme la réunion des pointssinguliers de X (avec la multiplicité donnée) et des points de X K X , de multiplicité + .(iii) Si X est une courbe analytique et si S est une triangulation de X , la courbe k C ⊗ O C X S est une courbe à singularités nodales dont les points singuliers sont na-turellement munis d’une multiplicité rationnelle, à savoir la largeur de la couronnecorrespondante. On transforme cette courbe en courbe marquée semi-stable en utili-sant le (ii).Si X est une courbe analytique et si S est une triangulation fine de X , la fibrespéciale X sp S de X S est la courbe marquée semi-stable obtenue à partir de k C ⊗ O C X S par le procédé du (iii) de la rem. 2.7. • Ses composantes irréductibles sont en bijection avec les éléments de S ; on note Y sp s la composante irréductible associée à s (c’est, par construction, une courbe propresur k C et on note ◦ Y sp s le complémentaire dans Y sp s des points marqués). • Ses points singuliers sont en bijection avec les arêtes de Γ( S ) ; on note P a le pointcorrespondant à a ; c’est un point marqué de X sp S de multiplicité µ ( a ) (largeur de lacouronne correspondante). OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES • Les autres points marqués de X sp S sont de multiplicité + et leur ensemble est lecomplémentaire de k C ⊗ O C X S dans X sp S . . — Si X est une courbe marquée, on luiassocie un graphe semi-métrisé Γ( X ) = ( S, A, µ ) , le graphe dual de X , défini de lamanière suivante : • S est en bijection avec l’ensemble des composantes irréductibles de X . • A est en bijection avec les points marqués de X , la longueur d’une arête a étantla multiplicité du point P a correspondant (18) . • Les arêtes relativement compactes de Γ( X ) sont en bijection avec les pointsmarqués singuliers de X , les extrémités de l’arête a P correspondant à P étant lessommets correspondant aux composantes irréductibles contenant (19) P . • Les arêtes non relativement compactes de Γ( X ) sont en bijection avec les pointsmarqués de multiplicité + , l’extrémité de l’arête a P correspondant à P étant lesommet correspondant à la composante irréductible contenant P . Remarque 2.8 . — Si X est une courbe analytique et si S est une triangulation finede X , alors Γ( X sp S ) = Γ ad ( S ) . L’espace X [2 , des points de type ou est naturellement muni d’une métrique dt qui permet de métriser tout sous-graphe : la distance associée est définie par d ( r, s ) = inf (cid:12)(cid:12) R sr dt (cid:12)(cid:12) , le minimum étantpris sur tous les chemins joignant r à s . Si C ⊂ X est une couronne fermée (i.e. C ∼ = { α ≤ v p ( z ) ≤ β } ), et si r et s sont les valuations de Gauss des cercles v p ( z ) = α et v p ( z ) = β aux extrémités de la couronne, alors d ( r, s ) est la largueur β − α de lacouronne. Cette distance envoie les points de type à l’infini (i.e. elle les transformeen pointes, comme les éléments de R pour la métrique de Poincaré sur le demi-plande Poincaré).Si f ∈ C ( X ) ∗ , si r, s ∈ X [2 , et si v r , v s ∈ X [2 , sont les valuations correspondantessur C ( X ) , alors v s ( f ) − v r ( f ) = Z sr Res t (cid:0) dff (cid:1) dt, l’intégrale étant prise sur n’importe quel chemin allant de r à s : un tel chemin est uneréunion finie de segments fermés et la fonction Res (cid:0) dff (cid:1) est constante sur l’intérieurd’un tel segment ; cet intérieur correspond à une couronne ouverte de X , ses pointssont les points de Gauss de cercles virtuels, et le sens de parcours du segment pouraller de r à s détermine une orientation de la couronne, ce qui fixe le signe du résidude dff .
18. Qui peut être + ce qui fait que Γ( X ) peut être seulement semi-métrisé et pas métrisé.19. Ces deux extrémités peuvent être égales si des composantes irréductibles de X s’autointer-sectent. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ Si X est un affinoïde, et r ∈ X est un point de type , on pose d ( r, ∂X ) =inf s ∈ ∂X d ( r, s ) , si X est la réunion croissante d’affinoïdes X n , on pose d ( r, ∂X ) =lim n ∈ N d ( r, ∂X n ) , et si X est propre, on pose d ( r, ∂X ) = + ∞ . Si Z ⊂ X est unaffinoïde, on pose d ( Z, ∂X ) = inf r ∈ Z [2] d ( r, ∂X ) . Proposition 2.9 . —
Soient X une courbe et Z ⊂ X un affinoïde connexe. Si f ∈ O + ( X ) , on a v Z ( f − f ( x )) ≥ d ( Z, ∂X ) , pour tout x ∈ Z ( C ) .Démonstration . — Soit g = f − f ( x ) . Il n’y a rien à prouver si g = 0 ni si X estpropre (car alors g = 0 ). On peut donc supposer X affinoïde (et passer à la limite pourle cas général) et g = 0 . Soit X g l’ensemble des zéros de g ; c’est un sous-ensemblediscret de X . Le squelette analytique Γ de X K X g est obtenu en rajoutant des demi-droites à Γ an ( X ) , une demi-droite par élément de X g . La fonction t Res t dgg estconstante sur chaque arête orientée de Γ .Soit r ∈ Γ ∩ Z réalisant le minimum de s v s ( g ) , et tel qu’il existe une arête debout r sur laquelle Res dgg ≤ − : un tel point existe car v s ( g ) tend vers + ∞ en l’infinide Γ ∩ Z (en particulier, sur la branche correspondant à x ) et est croissante sur lesarêtes sur lesquelles Res dgg ≥ .Soit γ un chemin maximal, tracé sur Γ , partant de r et le long duquel Res dgg ≤ − .Alors γ aboutit au bord de Γ an ( X ) : en effet, il ne peut pas aboutir au bout d’unedes demi-droites correspondant aux zéros de g puisque Res dgg > le long de cesdemi-droites, et s’il aboutit en un point intérieur, ce point est forcément un noeud r ′ (puisque Res dgg est constant sur les arêtes). Or la somme des résidus de dgg le long desarêtes arrivant en r ′ est nulle, et comme il y en a une pour lequel ce résidu est ≤ − ,cela implique qu’il y en a une a pour lequel ce résidu est ≥ . Mais, cela fait que lerésidu sur a , considérée comme arête sortante, est ≤ − , ce qui prouve que γ n’estpas maximal puisqu’on peut le prolonger par l’arête a .La longueur lg( γ ) de γ est donc ≥ d ( r, ∂X ) ≥ d ( Z, ∂X ) . Par ailleurs, si s ∈ γ ,alors v r ( g ) − v s ( g ) = R sr − Res dgg dv (l’intégrale étant le long de γ ). En passant à lalimite, en en utilisant le fait que v s ( g ) ≥ puisque g ∈ O + ( X ) et que − Res dgg ≥ ,on obtient la minoration v Z ( g ) = v r ( g ) ≥ lg( γ ) ≥ d ( Z, ∂X ) . Corollaire 2.10 . — Si Y est complète, toute fonction holomorphe bornée estconstante.Démonstration . — Cela résulte de ce que d ( Z, ∂Y ) = + ∞ si Z est un affinoïdeconnexe de Y (car Y est supposée complète), et donc v Z ( f − f ( x )) = + ∞ , si x ∈ Z ( C ) (prop. 2.9) : autrement dit, f est constante sur Z , pour tout Z . Remarque 2.11 . — Cela fournit une preuve alternative de l’énoncé de la rem. A.2de [ ]. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES
3. Construction de courbes analytiques
Dans ce chapitre, on explique comment construire des courbes en recollant desshorts (ou plus généralement des affinoïdes) et des jambes (ou des boules ouvertes) lelong de cercles fantômes. Pour donner un sens à cette construction nous allons avoirbesoin de raffiner la structure de schéma formel associé à une algèbre de Tate, ce quiconduit à la géométrie adoque . . — Soit A = O C h T , . . . , T n i /I une O C -algèbre de Tate ré-duite (20) , telle que A = k C ⊗ O C A soit aussi réduite (typiquement, A = O + ( Y ) , où Y est un affinoïde réduit sur C ). Le schéma formel p -adique associé Spf( A ) est unespace annelé d’espace topologique sous-jacent la fibre spéciale Spec( A ) , munie de latopologie de Zariski, le faisceau structural étant, si A est normal, U O + (] U [) où ] U [ désigne le tube de U sur la fibre générique (c’est un affinoïde sur C ) : si U est l’ouvert f = 0 de Y sp , et si ˜ f est un relèvement de f dans A , alors O Y ( U ) = A h X i / (1 − X ˜ f ) .Nous allons associer à A un schéma adoque Sp ado ( A ) défini en rajoutant des pointset des ouverts à l’espace topologique Spf( A ) et en modifiant le faisceau structural enconséquence. Avant de donner la définition de cet espace, commençons par examiner Spf( A ) du point de vue « points classiques ».Si K est un corps algébriquement clos, complet pour une valuation réelle, munid’un morphisme continu O C → K , alors X ( K ) = Hom( A, K ) est un sous-espacefermé de K n (les s : A → K que l’on considère sont les morphismes continus de O C -algèbres). Comme O C est de caractéristique mixte, on peut prendre K = C ou K = C ♭ (ou n’importe quel corps vérifiant les conditions ci-dessus et contenant unde ces corps). Alors X ( C ) est borné dans C n tandis que X ( C ♭ ) n’est pas borné dans ( C ♭ ) n , et X ( C ♭ ) a beaucoup plus d’ouverts naturels que les complémentaires de sous-variétés algébriques fermées (par exemple, l’intersection avec la boule ouverte unitéde ( C ♭ ) n ). • Les points de Sp ado ( A ) .— Les points de l’espace topologique sont ceux de l’espacede Berkovich sur k C associé à k C ⊗ O C A (notons que cet anneau est discret), i.e. lesvaluations v sur k C ⊗ O C A (i.e. v ( xy ) = v ( x ) + v ( y ) et v ( x + y ) ≥ inf( v ( x ) , v ( y )) ) àvaleurs dans Z ` {∞} , d’image { , ∞} ou contenant (21) ou − .Si v est une telle valuation, I v = { a ∈ A, v ( a ) = ∞} est un idéal premier, et v s’étend en une valuation de Fr(
A/I v ) ; on note K v le complété de Fr(
A/I v ) pour v .Alors v est obtenue en composant A → K v avec la valuation v sur K v .
20. On peut aussi remplacer O C par un épaississement pour avoir une théorie « en famille » ; c’estce qui est fait au paragraphe suivant.21. Normaliser l’image évite de travailler à équivalence près. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Les valuations à valeurs dans { , ∞} correspondent aux éléments de Spec( A ) . Si v est à valeurs dans { , ∞} , la valuation induite sur K v est la valuation triviale (i.e. v (0) = ∞ et v ( x ) = 0 si x = 0 ). • La topologie de Sp ado ( A ) .— Si f ∈ A , on note U f l’ouvert de Zariski U f = { v, v ( f ) < ∞} . Si g , . . . , g d ∈ A , on note U f,g ,...,g d l’ensemble U f,g ,...,g d = { v ∈ U f , v ( g i ) > , ≤ i ≤ d } . On munit l’espace ci-dessus de la topologie engendrée par les U f,g ,...,g d ; un ouvert decette forme est dit standard ; comme U f ,g ,...,g r ∩ U f ,g r +1 ,...,g r + s = U f f ,g ,...,g r + s , on n’a que les réunions quelconques à rajouter. L’espace obtenu est compact. • Le faisceau structural .— Si ˜ f, ˜ g , . . . , ˜ g d ∈ A sont des relèvements de f, g , . . . , g d ,on pose A f,g ,...,g d = A [[ T , . . . , T d ]][ X ] / (1 − Xf, T − g , . . . , T d − g d ) ,A f,g ,...,g d = A [[ T , . . . , T d ]] h X i / (1 − X ˜ f, T − ˜ g , . . . , T d − ˜ g d ) . (Que A f,g ,...,g d ne dépende pas des choix de ˜ f, ˜ g , . . . , ˜ g d résulte de ce que, si h , h ∈ A ont même image dans A , alors il existe r > tel que h − h ∈ p r A .)Notons que, si r > est assez petit, on a A f,g ,...,g d /p r ∼ = ( O C /p r ) b ⊗ k C A f,g ,...,g d (Cela résulte de ce que les générateurs de l’idéal définissant A et les coefficients de f et des g i appartiennent à O ˘ C + p r O C si r est assez petit car il n’y en a qu’un nombrefini qui ne sont pas divisibles par p .) Remarque 3.1 . — La topologie de Sp ado ( A ) est moins fine que celle de l’espace deBerkovich correspondant (en dimension , qui est le seul cas qui va nous intéresser,les deux topologies coïncident) et, si U = U f,g ,...,g r est un ouvert standard, alors A f,g ,...,g r est inclus dans l’anneau des fonctions analytiques sur l’espace de Berkovichassocié à U .On note O et O les faisceaux associés aux préfaisceaux U f,g ,...,g d A f,g ,...,g d et U f,g ,...,g d A f,g ,...,g d . Lemme 3.2 . — O ( U f,g ,...,g d ) = A f,g ,...,g d et O ( U f,g ,...,g d ) = A f,g ,...,g d .Démonstration . — Notons juste U l’ouvert standard U f,g ,...,g d et A l’anneau A f,g ,...,f d . Soit F ∈ O ( U ) . Il existe donc, pour tout v ∈ U , un ouvert standard U ( v ) = U f v ,g v, ,...,g v,dv tel que F | U ( v ) ∈ A f v ,g v, ,...,g v,dv . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Soient η i , i ∈ I , les points génériques des composantes irréductibles de X =Spec( A ) . Alors U ′ = ∪ i U ( η i ) est un ouvert de Zariski de X et f | U ′ appartient àl’anneau total des fractions Fr( A ) de A . Par ailleurs f est une fonction analytique sur X an (espace de Berkovich associé à X ) ; on en déduit que les pôles de F , vu commeélément de Fr( A ) , ne sont qu’apparents, et donc que F se prolonge en une fonctionsur X , i.e. F ∈ A .Cela prouve le premier énoncé. Pour en déduire le second, partons de F ∈ O ( U ) ;il existe alors un recouvrement fini de U par des ouverts standard U i = U f i ,g i, ,...,g i,di tel que F | U i ∈ A i = A f i ,g i, ,...,g i,di . Soit A i,j = A f i f j ,g i, ,...,g i,di ,g j, ,...,g j,dj et soient B = Ker (cid:2) ⊕ i A i → ⊕ i,j A i,j (cid:3) , B = Ker (cid:2) ⊕ i A i → ⊕ i,j A i,j (cid:3) (La flèche A i ⊕ A j → A i,j étant ( f i , f j ) f i | U i ∩ U j − f j | U i ∩ U j .) La flèche naturelle A → ⊕ i A i (resp. A → ⊕ i A i ) induit une injection A ֒ → B (resp. A ֒ → B ). On chercheà prouver que la première injection est un isomorphisme sachant que la seconde enest un.Il suffit de prouver l’énoncé modulo p r , avec r > assez petit, car tout est completpour la topologie p -adique. Le résultat est donc une conséquence des isomorphismes A/p r ∼ = ( O C /p r ) ⊗ k C A et B/p r ∼ = ( O C /p r ) ⊗ k C B . Définition 3.3 . — (i) Un espace annelé de la forme Sp ado ( A ) , avec A une O C -algèbre de Tate, ou un de ses ouverts standard est un affine adoque . Un schémaadoque est un espace annelé localement isomorphe à un affine adoque.(ii) Si Y est un affine adoque, on pose O ( Y gen ) = O ( Y )[ p ] . On renvoie au § A.4pour des considérations sur la fibre générique d’un schéma adoque . . — En dimension , en prenant levoisinage infinitésimal de points bien choisis, on obtient les affines adoques suivants : • Cercle fantôme
C’est l’affine adoque Y de fonctions globales A = O C [[ T, T − i . Alors A = k C (( T )) ,et Y ne possède qu’un point (la valuation ord T ), et donc aussi un unique ouvert nonvide { ord T } , et on a O ( { ord T } ) = O C [[ T, T − i .Les points classiques de Y sont Y ( C ) = ∅ et Y ( C ♭ ) = m C ♭ K { } . Autrementdit, Y n’a pas de points en caractéristique (d’où son aspect fantôme), mais encaractéristique p on obtient un ouvert de la droite affine analytique (la boule ouverteprivée de son centre). • Boule ouverte adoque
C’est l’espace l’affine adoque Y de fonctions globales A = O C [[ T ]] . Alors A = k C [[ T ]] , et Y ne possède que deux points (le point classique T = 0 et la valuation ord T ), et deux ouverts non vides { ord T } et Y . On a O ( { ord T } ) = O C [[ T, T − i et O Y ( Y ) = O C [[ T ]] . En particulier, Y contient le cercle fantôme Sp ado ( O C [[ T, T − i ) comme sous-schéma adoque ouvert. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Les points classiques de Y sont Y ( C ) = m C et Y ( C ♭ ) = m C ♭ . Autrement dit, Y est la boule ouverte unité en caractéristique et en caractéristique p . • Jambe de longueur r C’est l’affine adoque Y de fonctions globales A = O C [[ T , T ]] / ( T T − p r ) . Alors A = k C [[ T , T ]] / ( T T ) , et Y possède trois points : le point classique d’équation T = T = 0 ∈ k C et les valuations ord T (qui se factorise à travers A/T ) et ord T (qui se factorise à travers A/T ).Les ouverts non vides sont Y , { ord T } et { ord T } ; notons que le seul ouvert conte-nant est Y .Le faisceau structural est donné par O Y ( Y ) = O C [[ T , T ]] / ( T T − p r ) , O Y ( { ord T i } ) = O C [[ T i , T − i i . Il en résulte que Y contient, comme sous-espacesadoques ouverts, les deux cercles fantômes Y i = Sp ado ( O C [[ T i , T − i i ) , pour i = 1 , .En ce qui concerne les points classiques, en caractéristique , on obtient la couronneouverte < v p ( T ) < r (de longueur r ) et, en caractéristique p , deux boules unitéouvertes recollées en leurs centres. C’est l’affine adoque associée à A = O C h X i (et donc A = k C [ X ] ). • Les points .— L’espace Sp ado ( A ) a trois types de points : ⋄ Le « point générique », i.e. la valuation triviale sur A ( v ( f ) = 0 si f = 0 , v (0) = ∞ ). ⋄ Si a ∈ k C , le point classique correspondant à a , i.e. la valuation définie par v a ( f ) = v triv ( f ( a )) , où v triv est la valuation triviale sur k C . ⋄ Si a ∈ P ( k C ) , la valuation f ord a ( f ) , où ord a ( f ) est l’ordre du zéro de f en a (si a = ∞ , alors ord a ( f ) = − deg f ).Du point de vue points classiques, on a Y ( C ) = O C et Y ( C ♭ ) = C ♭ . Autrementdit, en caractéristique on obtient la boule unité fermée et en caractéristique p , ladroite affine. • La topologie .— Une base d’ouverts de la topologie adoque est donnée par : ⋄ les complémentaires de sous-ensembles finis de points classiques.. ⋄ les V ( a ) = { v a , ord a } , pour a ∈ k C , (voisinage infinitésimal du point a , défini par { v, v ( T − a ) > } ), ⋄ les ◦ V ( a ) = { ord a } , pour a ∈ P ( k C ) (si a ∈ k C , c’est l’intersection de V ( a ) et del’ouvert U T − a , et si a = ∞ , c’est l’ouvert de U T =0 défini par v ( T − ) > ), Remarque 3.4 . — (i) Le « point générique » est fermé mais très gros : le complé-mentaire de tout ouvert le contenant est inclus dans la réunion de ◦ V ( ∞ ) et d’unnombre fini de V ( a ) .(ii) Par comparaison, une base d’ouverts adiques est donnée par : ⋄ les complémentaires d’un nombre fini de points classiques, OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES ⋄ le complémentaire de V ( a ) si a ∈ k C (défini par v ( T − a ) ≤ v (1) ) ou de V ( { ord ∞ } ) (défini par v ( T ) ≥ v (1) ).Pour la topologie adique, le point générique est dense (contrairement à la topologieadoque), et ord a est dense dans V ( a ) (comme pour la topologie adoque).(iii) Le schéma formel associé à A a pour espace topologique sous-jacent le schéma Spec( k C [ T ]) ; il n’a pour points que le point générique et les points classiques, et pourouverts non vides uniquement les complémentaires de sous-ensembles finis de pointsclassiques (et le point générique est dense). • Le faisceau structural adoque — Si a ∈ k C , alors O Y ( V ( a )) = O C [[ T − a ]] (i.e. V ( a ) est une boule unité ouverte).— Si a ∈ P ( k C ) , alors ◦ V ( a ) est un cercle fantôme (on a O Y ( V ( a )) = O C [[ T − a, ( T − a ) − i , si a ∈ k C , et O Y ( ◦ V ( ∞ )) = O C [[ T − , T i ). Remarquons que le cerclefantôme ◦ V ( ∞ ) a un statut spécial car il est aussi fermé contrairement à tous lesautres (l’adhérence de ◦ V ( a ) est V ( a ) , si a ∈ k C ).— Si a , . . . , a k ∈ k C , alors O Y ( Y K { a , . . . , a k } ) = O C (cid:10) T, T − a , . . . , T − a k (cid:11) .(comme pour le schéma formel correspondant). Remarque 3.5 . — (i) U = ` a ∈ k C V ( a ) est un ouvert strict de B (son complémen-taire est constitué du point générique et de ord ∞ ). On a O Y ( U ) = Q a ∈ k C O C [[ T − [ a ]]] (une sorte de complété profini de O C h T i ).(ii) Si U est un ouvert de Zariski (i.e. le complémentaire d’un ensemble fini A depoints classiques), alors U contient les cercles fantômes ◦ V ( a ) correspondant aux a ∈ A (ainsi que la cercle fantôme ◦ V ( ∞ ) ). La boule unité adoque est un cas particulier de O C -short, cf. n o Y ado associé à un affinoïde Y (i.e. associé à O + ( Y ) ) dedimension . L’espace Y ado est la réduction canonique de Y du n o Y ado a trois types de points : les points génériques des com-posantes irréductibles de la réduction canonique, les points classiques, et des valua-tions de rang pour tout point des compactifiées lisses des composantes irréductible.Une base d’ouverts de la topologie est constituée des ouverts de Zariski (com-plémentaire d’ensembles finis de points classiques), des voisinages infinitésimaux despoints classiques (le voisinage infinitésimal d’un point singulier peut être très compli-qué), et des cercles fantômes associés aux valuations de rang . Remarque 3.6 . — La frontière ∂ ad Y de Y du (ii) de la rem. 2.2 est un ouvert de Y ado constitué de cercles fantômes. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ R -algèbres de Tate O C . — Un épaississement R de O C est un anneau munid’un morphisme surjectif θ R : R → O C tel que, si r ∈ Q ∗ + , et si I r = θ − R ( p r O C ) , alors R est séparé et complet pour la topologie I r -adique. En particulier, R est local, decorps résiduel k C ; on note m R son idéal maximal. Des exemples naturels d’épaissis-sements de O C sont O C , A inf ou O C [[ T , . . . , T d ]] .Si R est un épaississement de O C , on munit R de la topologie I r -adique (qui nedépend pas du choix de r ∈ Q ∗ + ) et on note Sp( R ) l’ensemble des idéaux premiersfermés p de R , tels que p [ p ] soit un idéal maximal de R [ p ] .– Si R = O C [[ T , . . . , T d ]] , alors Sp( R ) n’est autre que l’ensemble m dR des C -pointsde la boule unité ouverte de dimension d .– Le cas R = A inf est plus amusant (cf. [ , cor. 3.3] pour ce résultat de Fargueset Fontaine) : dans ce cas Sp( R ) a un élément un peu étonnant, à savoir Ker θ pourlequel R/ Ker θ = O ˘ C ; tous les autres éléments de Sp( A inf ) sont de la forme ( p − [ a ]) ,avec a ∈ m C ♭ (non uniquement déterminé), et A inf / ( p − [ a ]) est l’anneau des entiersd’un corps C a algébriquement clos, complet pour v p et dont le basculé C ♭a est C ♭ . (Si a = p ♭ – et donc [ a ] = ˜ p – ce quotient n’est autre que O C .)On écrit ˜ p = 0 pour le quotient A inf / Ker θ et p = [ a ] pour A inf / ( p − [ a ]) (et p = ˜ p ,si a = p ♭ , et donc A inf / ( p − [ a ]) = O C ). R -algèbres de Tate . — Soit R un épaississement de O C . Un R -module M estdit orthonormalisable s’il est isomorphe au module ℓ ∞ ( I, R ) des suites ( x i ) i ∈ I tendantvers en ∞ : un tel isomorphisme fournit une famille ( e i ) i ∈ I d’éléments de M telleque tout élément x de M puisse s’écrire, de manière unique, sous la forme P i ∈ I x i e i avec x i → quand i → ∞ ; une telle famille est appelée une base orthonormale de M sur R .Une R -algèbre de Tate B est une R -algèbre orthonormalisable, quotient d’un R h x , . . . , x n i . On pose B = k C ⊗ R B (c’est un quotient de k C [ x , . . . , x n ] ).Soit B une R -algèbre de Tate de la forme R b ⊗ O K B K , où B K est une O K -algèbrede Tate, et K est un sous-corps complet de C , de valuation discrète . Lemme 3.7 . —
Soient r > et R ( r ) = O K + I r . Si ( e i ) i ∈ I est une famille d’élémentsde R ( r ) b ⊗ O K B K , les conditions suivantes sont équivalentes : (i) ( e i ) i ∈ I est une base orthonormale de B sur R , (ii) ( e i ) i ∈ I est une base algébrique de B sur k C .Démonstration . — L’implication (i) ⇒ (ii) est immédiate ; prouvons la réciproque. Soit ( f i ) i ∈ I une famille d’éléments de B K telle que f i ait pour image e i dans B . Les f i forment une base orthonormale de B K sur O K (on est dans le cas de valuation discrèteoù l’équivalence entre (i) et (ii) est parfaitement classique), et donc aussi de B sur R .Soit M la matrice des e i dans la base des f i . Par construction, M est à coefficientsdans R ( r ) et congrue à modulo m R , et donc M = 1 − N , avec N à coefficients OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES dans I r . Il s’ensuit que M est inversible, d’inverse N + N + N + · · · (la sérieconverge car N k est à coefficients dans I kr et R est séparé et complet pour la topologie I r -adique). Les e i , pour i ∈ I , forment donc une base orthonormale de B sur R . Lemme 3.8 . —
Soit B de la forme R b ⊗ O K B K comme ci-dessus, et soit A une sous- R -algèbre fermée de B vérifiant : • A est de type fini sur k C , • il existe r > et une famille ( e i ) i ∈ I d’éléments de R ( r ) b ⊗ O K B K dont les imagesdans B/A forment une base orthonormale de
B/A .Alors A est une R -algèbre de Tate.Démonstration . — Il existe z , . . . , z s ∈ A engendrant A sur k C , et donc J ⊂ N s telque les z j = z j · · · z j s s , pour j = ( j , . . . , j s ) ∈ J , forment une base de A sur k C .Choisissons des relèvements z , . . . , z s de z , . . . , z s dans A . Quitte à diminuer r , on peut supposer que les z i appartiennent à R ( r ) b ⊗ O K B K . Les z j , pour j ∈ J appartiennent aussi à R ( r ) b ⊗ O K B K , et il résulte du lemme 3.7 que les z j , pour j ∈ J ,et les e i , pour i ∈ I , forment une base orthonormale de B sur R . On en déduit queles z j , pour j ∈ J , forment une base orthonormale de A sur R , et donc que A estorthonormalisable et quotient de R h z , . . . , z s i .Cela permet de conclure. . — Si K est un sous-corps fermé de C et si A est une algèbre de Tate sur O K , posons A = A/ m K A . Rappelons que, si A est sans O K -torsion, alors A est formellement lisse sur O K si et seulement si A est lisse sur k K . Proposition 3.9 . — ([ , th. A-1]) Soient
A, B des algèbres de Tate sur O K , avec A formellement lisse sur O K . Si s : A → B est un morphisme de O K -algèbres, il existe s : A → B relevant s . Corollaire 3.10 . — (i) Si A est une algèbre de Tate formellement lisse sur O ˘ C , ilexiste ϕ : A → A relevant x x p sur A (un tel ϕ est un frobenius de A ) . (ii) Si B est une algèbre de Tate formellement lisse sur O C , il existe une algèbrede Tate ˘ B sur O ˘ C telle que l’on ait B ∼ = O C b ⊗ O ˘ C ˘ B .Démonstration . — Le (i) est une application directe de la prop. 3.9 (avec B = A ).Pour prouver le (ii), on part d’un relèvement formellement lisse A de B sur O ˘ C (ilen existe par la propriéte de relèvement infinitésimal des morphismes lisses), et onobserve que c’est une algèbre de Tate sur O ˘ C . Alors A ′ := O C b ⊗ O ˘ C A est une algèbrede Tate formellement lisse sur O C et A ′ / m A ′ ∼ = B . La prop. 3.9 fournit un relèvement s : A ′ → B de l’identité de B . Il reste à vérifier que s est un isomorphisme.Soit r > . Le morphisme induit s r : A ′ /p r → B/p r est un morphisme d’algèbres detype fini sur O C /p r . Il s’ensuit que, pour t < r assez petit, s t est un isomorphisme (ona A ′ /p t ∼ = ( O C /p t ) ⊗ B et B/p t ∼ = ( O C /p t ) ⊗ B , si t est assez petit, et s t est l’identité PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ puisque s est un relèvement de l’identité). On conclut en utilisant la complétude de A ′ et B pour la topologie p -adique. Remarque 3.11 . — Il résulte de la preuve du (ii) qu’une algèbre de Tate formelle-ment lisse sur O C est, à isomorphisme près, complètement déterminée par B . Remarque 3.12 . — Une † -algèbre sur O K est une O K -algèbre plate A de la forme O K [ x , . . . , x n ] † /I , où I est un idéal de type fini. On dit que A est formellement lisse sur O K si A = A/ m K A est lisse sur k K . La prop. 3.9 s’étend à ce cadre : si A, B sont des † -algèbres sur O K , avec A formellement lisse sur O K , et si s : A → B est unmorphisme de k K -algèbres, il existe s : A → B relevant s . Cela permet de construiredes relèvements de Frobenius surconvergents. . — Un short Y est le schéma adoque associé à un schéma formel affine,lisse sur O C , dont la fibre générique Y C est un affinoïde connexe, de dimension . On a O ( Y ) = O + ( Y C ) et O ( Y ) est un quotient formellement lisse de O C h x , . . . , x n i , pourun certain n . ] P a [] P a [] P a [ ( P a , + )( P a , + )( P a , + ) a a a Γ ad ( Y ) Un short
Y Y sp OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Ce dessin représente un short Y , avec l’ensemble de ses points classiques (la surface de Riemann),sa fibre spéciale Y sp (la courbe) et son squelette (le point hérissé de flèches). Il est obtenu en retirantà une courbe de genre avec bonne réduction les tubes ] P a [ , ] P a [ , ] P a [ des points marqués P a , P a , P a de Y sp . • Le squelette (adique) Γ ad ( Y ) est constitué du point noir (point de Gauss de Y ) et des troisflèches rouges a , a , a (correspondant aux trois points marqués de Y sp ). Le squelette analytique Γ an ( Y ) est juste le point noir. • Les disques bleus de la surface de Riemann sont les points classiques des tubes des points nonmarqués de Y sp (ils sont censés recouvrir la surface privée de ] P a [ , ] P a [ , ] P a [ ) ; on a dessiné lesspécialisations de cinq de ces disques). Les cercles rouges en pointillés sont les cercles fantômes à lafrontière du short. • L’espace de Berkovich est l’arbre issu du point noir dont les branches aboutissent aux pointsclassiques (auxquelles il faut rajouter des branches s’arrêtant en chemin, correspondant aux pointsde type 4, puisqu’on n’a pas supposé C sphériquement complet) ; il ne voit pas les flèches bleues. • Les flèches bleues sont en bijection avec les points non marqués de Y sp ; ce sont les pointsadiques de type 5 dans l’adhérence du point de Gauss ; chacune est la racine du sous-arbre desbranches aboutissant dans le tube correspondant (on a dessiné une petite partie de deux de cesarbres). Remarque 3.13 . — (i) D’après le (ii) du cor. 3.10, un short Y admet un modèle ˘ Y sur O ˘ C , i.e. O ( Y ) = R b ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y ) , et ˘ Y est unique à isomorphisme près.(ii) Si R est un épaississement de O C , on définit un R -short comme l’extension desscalaires à R d’un short ˘ Y sur O ˘ C . Si Y est un short, on peut le plonger dans un R -short Y R pour tout épaississement R de O C : il suffit de choisir un modèle ˘ Y de Y sur O ˘ Y , et de poser O ( Y R ) = R b ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y ) .(iii) En particulier, on peut plonger un short Y dans un A inf -short e Y . La fibre en p = ˜ p de e Y n’est autre que Y , tandis que celle en ˜ p = 0 est ˘ Y .Un choix de frobenius ϕ sur ˘ Y en induit un sur e Y puisqu’on dispose d’un frobeniussur A inf . Alors ˘ Y est stable par le frobenius agissant sur e Y , et la restriction de cefrobenius à ˘ Y est celui dont on est parti. R -Jambes . — Si R est un épaississement de O C , une R -jambe Y est le schémaadoque associé à un anneau de la forme R [[ T , T ]] / ( T T − α ) (la topologie est la ( I r , T , T ) -adique), avec α ∈ m R . (Si α = 0 , la jambe est singulière et sa longueur est + ∞ .) Si R = O C , la longueur de Y est v p ( α ) . Une O C -jambe est dite normalisée , si α = p r , avec r ∈ Q ∗ + ; sa longueur est alors r . µ Γ ad ( Y ) Y sp ( P, µ ) Une jambe Y de longueur µ PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Ce dessin représente une jambe de longueur µ . Sa fibre spéciale est un point marqué de multiplicité µ , et son squelette est un segment ouvert de longueur µ . Le cyclindre représente l’ensemble despoints classiques de Y ; chaque point de type du squelette est la base d’un arbre aboutissant surun cercle du cyclindre. Les deux flèches rouges du squelette correspondent aux deux cercles fantômes(représentaés par des cercles rouges en pointillés) à la frontière. Si Y est une O C -jambe normalisée (avec O ( Y ) = O C [[ T , T ]] / ( T T − p r ) ), onpeut la plonger dans la A inf -jambe e Y définie par O ( e Y ) = A inf [[ T , T ]] / ( T T − ˜ p r ) .On note ˘ Y la fibre de e Y en ˜ p = 0 : on a O ( ˘ Y ) = O ˘ C [[ T , T ]] / ( T T ) , et donc ˘ Y estsingulière, et obtenue en recollant deux boules ouvertes sur O ˘ C en leurs centres. Onmunit ˘ Y ⊂ e Y de frobenius compatibles ϕ par la formule ϕ ( T i ) = T pi , si i = 0 , . R -Cercles fantômes . — Un R -cercle fantôme Y est le schéma adoque associéà un anneau de la forme R [[ T, T − i (complété de R [[ T ]][ T − ] pour la topologie I r -adique). Un paramètre local de Y est un élément z de O ( Y ) = R [[ T, T − i dont l’image z dans k C (( T )) vérifie v T ( z ) = 1 (donc, en particulier, T est un paramètre local de Y ) ; on a alors un isomorphisme R [[ z, z − i ∼ → O ( Y ) .Si Y est un O C -cercle fantôme avec O ( Y ) = O C [[ T, T − i , on le plonge dans le A inf -cercle fantôme e Y défini par O ( e Y ) = A inf [[ T, T − i . On note ˘ Y la fibre de e Y en ˜ p = 0 (et donc O ( ˘ Y ) = O ˘ C [[ T, T − i ). On munit ˘ Y ⊂ e Y de frobenius compatibles ϕ par la formule ϕ ( T ) = T p . . — Soit Y un R -short, etsoit O ++ ( Y ) = Ker( O ( Y ) → k C ⊗ R O ( Y )) . Soit P ∈ ˘ Y sp de multiplicité + , et soit z ∈ O + ( ˘ Y ) vérifiant v ˘ Y ,P ( z ) = (0 , − (un tel z n’existe pas forcément s’il n’y a qu’unseul point de multiplicité + sur Y sp , mais existe toujours si le nombre de tels pointsest ≥ grâce au théorème de Riemann-Roch). Alors z − est un paramètre du cerclefantôme correspondant à P à la frontière de ˘ Y . Soit T un paramètre du R -cerclefantôme défini par ce cercle fantôme ; alors z − ∈ R [[ T, T − i et on a un isomorphisme ι : R [[ z − , z i ∼ → R [[ T, T − i . Lemme 3.14 . —
Les ι ( z n ) , pour n ∈ N , forment une base orthonormale de R [[ T, T − i /T R [[ T ]] sur R . En particulier, ι induit des surjections O + ( Y ) → R [[ T, T − i /T R [[ T ]] et O ++ ( Y ) → m R [[ T, T − i /T m R [[ T ]] Démonstration . — Il existe α ∈ k ∗ C tel que ι ( z ) ≡ [ α ] T − mod m R h T i + R [[ T ]] et,quitte à changer T en [ α − ] T , on peut supposer α = 1 . Il existe alors r > tel que ι ( z ) − T − ∈ I r O ( Y ) + R [[ T ]] . Alors ι ( z k ) − T − k ∈ I r O ( Y ) + T − ( k − R [[ T ]] , pourtout k ≥ . On en déduit que tout élément f de ( R/I r )[[ T, T − i peut s’écrire, demanière unique, sous la forme f + + f − , avec f + ∈ T ( R/I r )[[ T ]] et f − ∈ ( R/I r )[ ι ( z )] .On prouve, par récurrence, le même résultat modulo I nr et, par passage à la limite,on en tire que tout élément f de R [[ T, T − i peut s’écrire, de manière unique, sous laforme f + + f − , avec f + ∈ T R [[ T ]] et f − ∈ R h ι ( z ) i .Le résultat s’en déduit. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Proposition 3.15 . — (Van der Put [ ]) Soit Y C un affinoïde sur C . Alors il existeune courbe algébrique propre X C contenant Y C et telle que X C K Y C soit une réunionfinie de disques ouverts.Démonstration . — Soit Y le schéma adoque associé au schéma formel Spf( O + ( Y C )) ,et soit X le schéma adoque obtenu en recollant des boules ouvertes le long des cerclesfantômes à la frontière de Y . L’espace topologique de X est la compactifiée Y de lafibre spéciale Y de Spf( O + ( Y C )) . Il s’agit de prouver que si on restreint le faisceaustructural de X aux ouverts de Zariski, on obtient des O C -algèbres de Tate : celaimplique que cette restriction est un schéma formel p -adique (22) qui est un modèled’une courbe X C , propre puisque sa fibre spéciale est propre, et qui est l’espace rigideassocié à une courbe algébrique d’après GAGA rigide.Si U est un ouvert (de Zariski) assez petit de Y , il y a deux cas possibles : • U ⊂ Y auquel cas ] U [ est un ouvert affinoïde de Y C , et on a O X ( U ) = O + (] U [) ,ce qui fait qu’il n’y a rien à prouver. • U K ( U ∩ Y ) = { P } , auquel cas U K { P } est un ouvert de Y que l’on peut supposerlisse et connexe (et donc ] U K { P } [ est un short et on note C P le cercle fantôme àla frontière de ] U K { P } [ correspondant à P ; on recolle ] U K { P } [ et le disque ouvert D P avec O ( D P ) = O C [[ T ]] le long de C P ) : ] U K { P } [ est obtenu, par extension desscalaires, à partir d’un short ˘ Y P défini sur O ˘ C (i.e. O + (] U K { P } [) = O C b ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y P ) ) ;on choisit un paramètre z ∈ O + ( ˘ Y P ) du cercle fantôme correspondant à P , et unisomorphisme ι : O C [[ z, z − i ∼ → O C [[ T, T − i . La propriété de faisceau fournit alors laformule : O Y ( U ) = Ker (cid:2) O + (] U K { P } [) ⊕ O C [[ T ]] → O C [[ T, T − i (cid:3) = Ker (cid:2) O + (] U K { P } [) → O C [[ T, T − i O C [[ T ]] (cid:3) , où l’application O + (] U K { P } [) → O C [[ T, T − i est la restriction de ι . Pour simplifierles notations, posons A = O Y ( U ) et B = O + (] U K { P } [) . L’intersection A ++ de A et B ++ est le noyau A ++ = Ker (cid:2) B ++ → m C [[ T, T − i m C [[ T ]] (cid:3) . D’après le lemme 3.14, on a des suites exactes → A → B → O C [[ T, T − i O C [[ T ]] → , → A ++ → B ++ → m C [[ T, T − i m C [[ T ]] → . On en déduit une suite exacte → A → B → k C (( T )) k C [[ T ]] → .
22. Une manifestation d’un principe GaGa (Géométrie adoque et Géométrie analytique). PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Il en résulte que A = O Y ( U ) . En particulier, A est de type fini sur k C .Par ailleurs, d’après le lemme 3.14, les z − n , pour n ≥ , forment une base de Banachde B/A sur O C . Or les z − n appartiennent à ˘ B = O ( ˘ Y P ) et on est dans les conditionsd’application du lemme 3.8 ce qui permet d’en déduire que A est une O C -algèbre deTate, ce que l’on voulait. . — Un patron de courbe (Γ , ( Y i ) i ∈ I , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ) est la donnée de : • Un graphe bipartite marqué fini (23)
Γ = (
I, I , µ ) , I = A c ` S , µ ( a ) ∈ Q > si a ∈ A c , sans boucle ayant ou sommets. • Pour tout a ∈ A c , une jambe Y a de longueur µ ( a ) avec O ( Y a ) = O C [[ T a,s , T a,s ]] / ( T a,s T a,s − p µ ( a ) ) , où s , s sont les extrémités de a , et on note Y a,s i , pour i = 1 , , le cercle fantômeavec O ( Y a,s i ) = O C [[ T a,s i , T − a,s i i . • Pour tout s ∈ S , un short Y s dont la frontière ∂ ad Y s est constituée de cerclesfantômes Y s,a indexés par a ∈ A ( s ) , • Pour tout couple ( a, s ) , avec a ∈ A c et s ∈ S ( a ) , un isomorphisme ι a,s : Y s,a ∼ → Y a,s de cercles fantômes. Remarque 3.16 . — On peut généraliser la notion de patron en ajoutant un sous-ensemble B de A K A c , et pour tout b ∈ B : • une boule ouverte Y b , avec O ( Y b ) = O C [[ T b ]] , • un cercle fantôme Y b,s , où S ( b ) = { s } , avec O ( Y b,s ) = O C [[ T b,s , T − b,s i , • un isomorphisme ι b,s : Y s,b ∼ → Y b,s . . — On peut associer un patron de courbeà une courbe quasi-compacte Y sur C , munie d’une triangulation S . Soit Y S le O C -modèle semi-stable associé à S . On suppose S suffisamment fine pour que la fibrespéciale Y sp S ait au moins deux composantes irréductibles, que ces composantes irré-ductibles soient lisses et que deux d’entre elles s’intersectent en au plus un point. Lepatron de Y associé à S est obtenu de la manière suivante. • On note
Γ = (
I, I , µ ) , avec I = A c ` S , le graphe bipartite marqué associéau graphe dual de la fibre spéciale Y sp S de Y S (cf. n o Y sp s , pour s ∈ S , d’un ouvert ◦ Y sp s de Y sp s , et de points marqués P a de multiplicité µ ( a ) , avec µ ( a ) ∈ Q ∗ + si a ∈ A c , et µ ( a ) = 0 + si a ∈ I K I ,c ). • Si s ∈ S , on note A ( s ) l’ensemble des arêtes ayant s pour extrémité (les P a ,pour a ∈ A ( s ) , sont les points marqués de Y sp s ), et A c ( s ) = A ( s ) ∩ A c (les P a , pour a ∈ A c ( s ) , sont les points singuliers de Y sp s ).
23. Cette restriction n’est pas essentielle mais nous n’aurons besoin que de patrons finis dans cequi suit.
OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES • Si s ∈ S , on munit d’une structure de O C -short le schéma formel Y s défini par O ( Y s ) = O + (] ◦ Y sp s [) , où ] ◦ Y sp s [ est le tube de ◦ Y sp s dans Y . Si a ∈ A c , on note Y a la O C -jambe définie par O ( Y a ) = O + (] P a [) , où ] P a [ est le tube de P a dans Y ; elle estde longueur µ ( a ) .(Les Y i , pour i ∈ I , forment un recouvrement adoque de Y .) • Si a ∈ A c , on note S ( a ) l’ensemble des extrémités de a , i.e. l’ensemble des s ∈ S tels que P a ∈ Y sp s . Alors S ( a ) a deux éléments s = s ( a ) et s = s ( a ) dont l’ordre estdéterminé par l’orientation choisie de Γ . On choisit une fonction T a,s sur un ouvert de Y s ` Y a ` Y s dont la restriction à Y a induit un isomorphisme de Y a sur la couronne < v p ( T a,s ) < µ ( a ) , et telle que v s ( T a,s ) = 0 . On pose T a,s = p µ ( a ) /T a,s , donc v s ( T a,s ) = 0 et O ( Y a ) = O C [[ T a,s , T a,s ]] / ( T a,s T a,s − p µ ( a ) ) . • Si ( a, s ) ∈ I ,c , Y a intersecte Y s le long d’un cercle fantôme Y a,s et comme S estfine, Y i ∩ Y j = ∅ si et seulement si ( i, j ) ∈ I ,c (si i = j bien sûr). La procédure fournissant un patron d’une courbe quasi-compacte à partir d’unetriangulation peut s’inverser, ce qui permet de construire des courbes (et même desfamilles de courbes) à partir d’un patron. R -courbes . — Un patron de R -courbe (Γ , ( Y i ) i ∈ I , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ) estla donnée de : • Un graphe bipartite marqué fini
Γ = (
I, I , m ) , avec I = A c ` S , et m : A c → m R ,sans boucle ayant ou sommets. • Pour tout a ∈ A c , une R -jambe Y a avec O ( Y a ) = R [[ T a,s , T a,s ]] / ( T a,s T a,s − m ( a )) , où s , s sont les extrémités de a , et on note Y a,s i , pour i = 1 , le R -cercle fantômeavec O ( Y a,s i ) = R [[ T a,s i , T − a,s i i . • Pour tout s ∈ S , un R -short Y s avec O ( Y s ) ∼ = R b ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y s ) , où ˘ Y s est un shortdéfini sur O ˘ C , dont la frontière ∂ ad ˘ Y s est constituée de cercles fantômes ˘ Y s,a indexéspar a ∈ A ( s ) , et on définit le R -cercle fantôme Y s,a par O ( Y s,a ) = R b ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y s,a ) . • Pour tout couple ( i, j ) ∈ I ,c , un isomorphisme ι i,j : Y j,i ∼ → Y i,j de R -cerclesfantômes. R -courbes . — A partir d’un patron de R -courbe, on construitune R -courbe adoque Y ado en recollant les Y s et les Y a via les ι a,s . Si le patron est lepatron d’une O C -courbe Y , alors Y ado est le schéma adoque associé à Y . En général,on a le résultat suivant qui est une manifestation d’un principe GaGa. Théorème 3.17 . — Y ado est le schéma adoque associé à une R -courbe Y (i.e. un R -schéma formel de dimension relative ) . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Démonstration . — Notons que, si s ∈ S , alors k C ⊗ R O ( Y s ) = k C ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y s ) , et donc Y s et ˘ Y s ont même fibre spéciale Y sp s qui est, par définition, une courbe projective lissemunie de points marqués de multiplicité + dont l’intérieur ◦ Y sp s est le complémentairede ces points marqués (et O ( ◦ Y sp s ) = k C ⊗ R O ( Y s ) ). Si s ∈ S et si a ∈ A ( s ) , on note P s,a le point de Y sp s correspondant à Y s,a . Alors Y sp (resp. ◦ Y sp ) est obtenue à partir dela réunion disjointe des Y sp s (resp. ◦ Y sp s ), pour s ∈ S , en identifiant les points P s ( a ) ,a et P s ( a ) ,a , pour a ∈ A c . Le point P a = P s ( a ) ,a = P s ( a ) ,a est alors un point marquésingulier de Y sp (appartenant à ◦ Y sp ), et on définit sa multiplicité comme étant m ( a ) .Ceci fournit une description de l’espace topologique sous-jacent à Y ado . Pour dé-montrer le théorème, il reste à prouver que la restriction O Y , aux ouverts de Zariski,du faisceau structural O Y ado de Y ado produit des R -algèbres de Tate, et il suffit devérifier ceci pour un voisinage assez petit U de tout point fermé P de ◦ Y sp . Il y a deuxcas à considérer pour P . • Si P n’est pas un point marqué, alors P appartient à une unique composante Y sp s et on prend pour U un ouvert de ◦ Y sp s ; son tube ] U [ dans (la fibre générique de) ˘ Y s est un sous-affinoïde de ˘ Y s , et on a O Y ( U ) = R b ⊗ O ˘ C O + (] U [) qui est bien une R -algèbre de Tate. • Si P = P a , avec a ∈ A c , et si S ( a ) = { s , s } , alors P a est le point d’intersectionde Y sp s et Y sp s . On prend pour U un ouvert de la forme U ∪ U , où U i est un ouvertde Y sp s i contenant P a et suffisamment petit pour qu’il existe Z i ∈ O ( U i ) ayant un zérosimple en P a . La propriété de faisceau décrit O Y ( U ) comme le noyau O Y ( U ) = Ker (cid:2) R b ⊗ O ˘ C ( O + (] U [) × O + (] U [)) ⊕ O ( Y a ) → O ( Y a,s ) × O ( Y a,s ) (cid:3) , où ] U i [ est le tube de U i dans ˘ Y s i , les flèches de O ( Y a ) dans les O ( Y a,s i ) sont induitespar les inclusions des Y a,s i dans Y a , et la flèche de O + (] U i [) dans O ( Y a,s i ) par Y a,s i ∼ = Y s i ,a ⊂ ] U i [ , si i = 0 , .Posons A = O Y ( U ) , ˘ B = O + (] U [) × O + (] U [) et B = R b ⊗ O ˘ C ˘ B . Commençons parprouver que la suite → A → B → R [[ T , T − i ⊕ R [[ T , T − i R [[ T , T ]] / ( T T − m ( a )) → est exacte. Elle est exacte à gauche et au milieu par définition de A . Pour prouver lasurjectivité de la flèche de droite, il suffit de le faire modulo m ( a ) car tout est séparéet complet pour la topologie m ( a ) -adique. Mais alors, si R a = R/m ( a ) , l’applica-tion B/m ( a ) → R a [[ T ,T − i⊕ R a [[ T ,T − i R a [[ T ,T ]] / ( T T ) se factorise à travers R a [[ T ,T − i T R a [[ T ]] ⊕ R a [[ T ,T − i T R a [[ T ]] .Comme B = B ⊕ B , avec B i = R b ⊗ O ˘ C ˘ B i et ˘ B i = O + (] U i [) , l’application ci-dessusest la somme des B i /m ( a ) → R a [[ T i ,T − i i T i R a [[ T i ]] , ce qui permet d’utiliser le lemme 3.14 pourprouver sa surjectivité. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Soient B ++ = m R b ⊗ O ˘ C ˘ B et A ++ = A ∩ B ++ . Le lemme 3.14 permet aussi deprouver que la suite → A ++ → B ++ → m R [[ T , T − i ⊕ m R [[ T , T − i m R [[ T , T ]] / ( T T − m ( a )) → est exacte. Si B = B/B ++ et A = A/A ++ , on a donc une suite exacte → A → B → k C (( T )) ⊕ k C (( T )) k C [[ T , T ]] / ( T T ) → . Il en résulte que A = O Y sp ( U ) ; en particulier, A est de type fini sur k C .Par ailleurs, si z i ∈ O + (] U i [) est tel que z − i est un paramètre du cercle fantôme Y s i ,a , on déduit du lemme 3.14, que et les z − ki , pour i = 0 , et k ≥ , formentune base orthonormale de B/A . Comme cette base est constituée d’éléments de ˘ B ,le lemme 3.8 permet d’en déduire que A est une R -algèbre de Tate, ce que l’onvoulait. Remarque 3.18 . — On peut adapter la construction ci-dessus à un patron géné-ralisé comme dans la rem. 3.16 ; on recolle des R -boules ouvertes Y b (avec O ( Y b ) = R [[ T b ]] ) le long des R -cercles fantômes Y s,b , pour b ∈ B . La courbe ainsi obtenue estpropre si et seulement si B = A K A c . Y a Y a Y a Y s Y s Y s Γ ad ( Y ) a a a a a s s s ( P a , µ )( P a , µ ) ( P a , µ )( P a , + )( P a , + ) Y sp s Y sp s Y sp s Y sp Un affinoïde Y construit à partir de 3 shorts et 3 jambes Ce dessin représent un affinoïde Y obtenu en recollant, le long de cercles fantômes (en pointillésrouges), des shorts Y s , Y s et Y s , de genres respectifs , et , et des jambes Y a , Y a et Y a , delongueurs respectives µ , µ , µ . La fibre spéciale Y sp a cinq points marqués : trois correspondantaux spécialisations des jambes et deux aux tubes enlevés sur Y s . Le squelette Γ an ( Y ) est constitué PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ du triangle de sommets s , s et s (les longueurs des arêtes a , a et a sont µ , µ et µ ) et onobtient Γ ad ( Y ) en rajoutant les flèches a et a .Notons que Y sp s est un P avec deux points marqués. Il peut donc se contracter et les deux pointsfusionner en un point de multiplicité µ + µ . Cela comprime la sphère Y s en un cercle et les deuxjambes Y a et Y a se recollent le long de ce cercle pour former une jambe de longueur µ + µ . Enfin,le sommet s disparaît et les arêtes a et a fusionnent en une arête de longueur µ + µ . . — Le th. 3.17 admet un certain nombre de spécialisationssympathiques. • Le cas R = O C .Par spécialisation au cas R = O C et m ( a ) = p µ ( a ) , on tire le résultat suivant(l’unicité est immédiate ; l’existence est fournie par le th. 3.17). Théorème 3.19 . — Si (Γ , ( Y i ) i ∈ I , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ) est un patron de courbe, il existeun unique couple ( Y, S ) , où Y est une courbe quasi-compacte et S une triangulationde Y , dont ce soit le patron. • Le cas R = O C [[ T a , a ∈ A c ]] .Soit (Γ , ( Y i ) i , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ) un patron de courbe, avec Γ = (
A, S, µ ) , et soit Y la O C -courbe qui lui correspond. On fabrique un patron de R -courbe en changeant a µ ( a ) en a T a . La R -courbe associée peut être vue comme une famille decourbes paramétrées par la boule unité ouverte ◦ B A c . La fibre en ( p µ ( a ) ) a ∈ A c , est Y ;toutes les courbes de la famille ont la même fibre spéciale (au marquage près : P a devient de multiplicité v p ( z a ) sur la fibre en ( z a ) a ∈ A c ) ; la fibre en (0) a ∈ A c , est unecourbe singulière ayant même graphe dual que la fibre spéciale. • Le cas R = A inf .Soit (Γ , ( Y i ) i , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ) un patron de courbe, avec Γ = (
I, I , µ ) , et soit Y la O C -courbe qui lui correspond. On peut fabriquer un patron de A inf -courbe (Γ , ( e Y i ) i , (˜ ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ) en choisissant des modèles ˘ Y s sur O ˘ C des Y s , pour s ∈ S , eten posant : ⋄ O ( e Y s ) = A inf b ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y s ) , si s ∈ S , ⋄ O ( e Y a ) = A inf [[ T a,s , T a,s ]] / ( T a,s T a,s − ˜ p µ ( a ) ) , si a ∈ A c ,et en choisissant : ⋄ ˜ ι a,s : A inf [[ T s,a , T − s,a i ∼ → A inf [[ T a,s , T − a,s i un relèvement de ι a,s , si ( a, s ) ∈ I ,c (untel relèvement est obtenu en choisissant un relèvement ˜ ι a,s ( T s,a ) ∈ A inf [[ T a,s , T − a,s i de ι a,s ( T s,a ) ∈ O C [[ T a,s , T − a,s i ).Le patron ainsi défini dépend du choix des ˘ Y s et des ˜ ι i,j ; la A inf -courbe e Y qui luicorrespond peut être vue comme une famille de courbes ayant toutes la même fibrespéciale, paramétrées par les idéaux premiers fermés de A inf :– la fibre en p = ˜ p est Y ;– la fibre en p = [ a ] avec a ∈ m C ♭ K { } est un modèle sur O C a d’une courbe lissedéfinie sur C a ; OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES – la fibre ˘ Y en ˜ p = 0 est un modèle sur O ˘ C d’une courbe singulière définie sur ˘ C ,ayant même graphe dual que la fibre spéciale de Y ;– la fibre en p = 0 un modèle sur O C ♭ d’une courbe lisse sur C ♭ .On peut donc, en particulier, voir e Y comme une famille de courbes interpolantentre Y et ˘ Y . Soit (Γ , ( Y i ) i , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ) un pa-tron de courbe, avec Γ = (
I, I , µ ) , et soit Y la O C -courbe qui lui correspond. Ondécompose I sous la forme A c ` S habituelle. Si a ∈ A c a pour extrémités s , s , onnote U sp a l’ouvert de Y sp constitué de P a et des lieux de lissité de ◦ Y sp s et ◦ Y sp s . Le tube U a de U sp a s’obtient en recollant Y s et Y s à Y a le long de Y a,s et Y a,s .Les U a forment un recouvrement de Y , et on peut calculer la cohomologie de deRham de Y à la Čech en utilisant ce recouvrement. Si a , a ∈ A ( s ) , on a U a ∩ U a = ∅ sauf s’il existe s ∈ S tel que a , a ∈ A ( s ) , auquel cas U a ,a := U a ∩ U a = Y s . Onnote C • dR ( Y ) le complexe C • dR ( Y ) := (cid:2) Y a ∈ A c Ω • ( U a ) −→ Y a ,a Ω • ( U a ,a ) (cid:3) Ses groupes d’hypercohomologie sont les groupes H i dR ( Y ) de cohomologie de de Rham(logarithmique) de Y . Un -cocycle est de la forme (( ω a ) a , ( f a ,a ) a ,a ) , ω a ∈ Ω ( U a ) , f a ,a ∈ O ( U a ,a ) ,df a ,a = ω a − ω a , f a ,a + f a ,a + f a ,a = 0 , si a , a , a ∈ A ( s ) .Un -cobord est de la forme (( df a ) a , ( f a − f a ) a ,a ) .De même, on définit les H i dR ( Y ado ) comme les groupes d’hypercohomologie ducomplexe C • dR ( Y ado ) := (cid:2) Y i ∈ I Ω • ( Y i ) −→ Y ( i,j ) ∈ I ,c Ω • ( Y i,j ) (cid:3) On choisit a ( s ) ∈ A ( s ) , pour tout s ∈ S . Cela fournit une application Z ( Y ) → Z ( Y ado ) envoyant (( ω a ) a , ( f a ,a ) a ,a ) sur (( η i ) i , ( g i,j ) i,j ) , avec η a = ω a si a ∈ A c , η s = ω a ( s ) si s ∈ S et g a,s = f a,a ( s ) si ( a, s ) ∈ I ,c . Proposition 3.20 . —
L’application Z ( Y ) → Z ( Y ado ) ci-dessus induit un iso-morphisme H ( Y ) ∼ → H ( Y ado ) qui ne dépend pas du choix des a ( s ) .Démonstration . — Si on change a ( s ) en a ′ ( s ) , cela modifie le cocycle (( η i ) i , ( g i,j ) i,j ) par le bord de (( f a ( s ) ,a ′ ( s ) ) s , (0) a ) , ce qui montre que le morphisme de la propositionne dépend pas du choix des a ( s ) .Prouvons son injectivité. Si η i = dg i et g i,j = g j − g i , et si a ∈ A c a pour extrémités s et s , alors g a est la restriction à Y a de la fonction f a sur U a valant g s i − f a ( s i ) ,a PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ sur Y s i (ces fonctions se recollent sur les Y a,s i car f a,a ( s ) = g a,s = g s − g a ). Alors (( ω a ) a , ( f a ,a ) a ,a ) est le bord de ( f a ) a , ce qui prouve l’injectivité.Passons à la surjectivité. Compte-tenu de l’injectivité et de ce que tout est (dérivé)complet pour la topologie p -adique, il suffit de vérifier le résultat mod p r , avec r > .On choisit r assez petit pour que Y /p r ∼ = ( O C /p r ) ⊗ ◦ Y sp . Auquel cas, comme H est sans p -torsion, on est ramené au même énoncé pour ◦ Y sp , où les deux membrescalculent la cohomologie de de Rham de ◦ Y sp vu comme espace de Berkovich et sontdonc égaux. Remarque 3.21 . — Les mêmes techniques permettent de prouver que, si on com-pactifie un short Y en une O C -courbe propre X en recollant des disques D i le long descercles fantômes C i à la frontière, alors on peut calculer la cohomologie de de Rhamde X en utilisant le recouvrement par Y et les D i . On en déduit une suite exacte → H ( X ) → H ( Y ) ⊕ Y i H ( D i ) → Y i H ( C i ) → H ( X )
4. Cohomologie des jambes et des cercles fantômes
Dans ce chapitre, on définit les symboles ℓ -adiques des jambes et des cercles fan-tômes. Si ℓ = p , ces groupes ont une expression simple (et classique), et on relie(prop. 4.11) les symboles p -adiques à la cohomologie syntomique en se ramenant auxcas des boules unités ouverte et fermée. Le lien entre cette cohomologie syntomiqueet la cohomologie étale p -adique est exploré dans l’appendice. ℓ -adiques . — Le lemme 4.2 et le cor. 4.3 sont parfaitement clas-siques, mais la preuve que nous en donnons est une bonne introduction aux méthodesutilisées dans l’article. Lemme 4.1 . —
Soit ˜ u ∈ T B +cris [[ T ]] . Les conditions suivantes sont équivalentes : a) ˜ u ∈ T A cris [[ T ]] , b) ϕ (˜ u )˜ u p ∈ pT A cris [[ T ]] . c) log ϕ (˜ u )˜ u p ∈ pT A cris [[ T ]] .Démonstration . — L’implication a) ⇒ b) est immédiate ainsi que l’équivalence de b)et c). Il ne reste donc que b) ⇒ a) à prouver. On peut écrire ˜ u sous la forme ˜ u = Q n ≥ (1 + u n T n ) , et on montre, par récurrence que u n ∈ A cris : si ˜ u n = ˜ u Y i ≤ n − (1 + u i T ) − , l’hypothèse de récurrence permet de montrer que ϕ (˜ u n )˜ u pn ∈ pT A cris [[ T ]] . Or le termede degré n est juste − pu n , et donc u n ∈ A cris . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Lemme 4.2 . —
Tout élément u de ( O C [[ T, T − i [ p ]) ∗ peut s’écrire, de manièreunique, sous la forme u = cT k u + u − , avec k ∈ Z , c ∈ C ∗ , u + ∈ T O C [[ T ]] et u − ∈ T − m C h T − i .Démonstration . — L’unicité d’une telle écriture est claire : si aT k u + u − = bT ℓ v + v − avec k ≥ ℓ , alors v − u − = ab T k − ℓ u + v + , d’où l’on déduit que v − = u − , puis que k = ℓ et a = b , et donc u + = v + aussi.Prouvons l’existence. En utilisant la théorie des polygones de Newton, on prouveque u = P n ∈ Z c n T n ∈ O C [[ T, T − i [ p ] est inversible si et seulement si inf n ∈ Z v p ( c n ) est atteint. Si on note k le minimum des n pour lesquels v p ( c n ) est minimum, on peutécrire u sous la forme c k T k u , avec u = P n ∈ Z a n T n , avec a n ∈ O C pour tout n , a = 1 , a n ∈ m C si n < et a n → quand n → −∞ .Relevons u en ˜ u ∈ A cris [[ T, T − i (par exemple en posant ˜ u = P n ∈ Z [ a ♭n ] T n ).Alors ˜ u est inversible et donc on peut écrire d ˜ u ˜ u = a dTT + f + dTT + f − dTT , avec a ∈ A cris , f + ∈ T A cris [[ T ]] et f − ∈ T − A cris h T − i .On ϕ (˜ u )˜ u p ∈ p A cris [[ T, T − i et on peut donc écrire log ϕ (˜ u )˜ u p = p ( b + g + + g − ) ,avec b ∈ A cris , g + ∈ T A cris [[ T ]] et g − ∈ T − A cris h T − i , et on a dg + + dg − =( ϕp − a + f + + f − ) dTT et comme ϕ ( T ) respecte la décomposition en puissancespositives et négatives de T , on en déduit que dg + = ( ϕp − f + dTT .Posons ˜ u + = exp( R f + dTT ) ∈ T B +cris [[ T ]] . On a log ϕ (˜ u + )(˜ u + ) p = pg + ∈ p A cris [[ T ]] . Ilen résulte, grâce au lemme 4.1, que ˜ u + ∈ A cris [[ T ]] , et donc, si u + = θ (˜ u + ) , on a u + ∈ T O C [[ T ]] . De plus, par construction, du u − du + u + = θ ( a + f − ) dTT ∈ O C h T − i dTT ,et donc v = u u + ∈ O C h T − i Si v = P n ≤ b n T n , il suffit alors de poser c = c k b et u − = vb pour avoir la factorisation de u cherchée.On rappelle que si Y est une jambe ou un cercle fantôme on définit O ( Y gen ) commeétant O ( Y )[ p ] ; on a donc O ( Y gen ) ∗∗ = O ( Y ) ∗∗ . Corollaire 4.3 . — Si Y est une jambe, avec O ( Y ) = O C [[ T , T ]] / ( T T − p r ) , etsi u ∈ O ( Y gen ) ∗ , on peut écrire u , de manière unique, sous la forme u = cT k u + u − ,avec k ∈ Z , c ∈ C ∗ , u + ∈ T O C [[ T ]] et u − ∈ T O C [[ T ]] .Démonstration . — On a O ( Y gen ) ∗ ⊂ ( O C [[ T , T − i [ p ]) ∗ , ce qui fournit une factori-sation de u sous la forme u = cT k u + u − avec k ∈ Z , c ∈ C ∗ , u + ∈ T O C [[ T ]] et u − ∈ T − m C h T − i . Mais u − = c − T − k ( u + ) − u ⇒ u − ∈ O ( Y gen ) ∗ ∩ (cid:0) T − O C h T − i (cid:1) = 1 + T O C [[ T ]] , ce qui permet de conclure. . — Si Y est un cercle fantôme, on pose Symb ℓ ( Y gen ) = Z ℓ b ⊗ O ( Y gen ) ∗ . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ Si Y est une jambe ou la boule unité fermée, on définit A ℓ,n ( Y gen ) comme le sous-groupe de C ( Y gen ) ∗ des f dont le diviseur est à support fini (ceci est automatiquedans le cas de la boule) et divisible par ℓ n , et on pose Symb ℓ ( Y gen ) = lim ←− n (cid:0) A ℓ,n ( Y gen ) / ( C ( Y gen ) ∗ ) ℓ n (cid:1) . Lemme 4.4 . —
L’application naturelle Z ℓ b ⊗ O ( Y gen ) ∗ → Symb ℓ ( Y gen ) est un iso-morphisme.Démonstration . — L’injectivité est une conséquence de ce que, si f ∈ O ( Y gen ) ∗ etsi f = g ℓ n avec g ∈ C ( Y gen ) ∗ , alors g ∈ O ( Y gen ) ∗ puisque O ( Y gen ) est normal(ou bien en remarquant que g n’a ni zéro ni pôle sur Y ). Pour la surjectivité soit f = ( f n ) n ∈ N ∈ Symb ℓ ( Y gen ) . Puisque tout diviseur de support fini est principal, ilexiste h n ∈ C ( Y gen ) ∗ tel que u n := f n h − ℓ n n ∈ O ( Y gen ) ∗ . Or f n +1 /f n ∈ ( C ( Y gen ) ∗ ) ℓ n ,donc u n +1 /u n ∈ ( C ( Y gen ) ∗ ) ℓ n et en utilisant encore la normalité de O ( Y gen ) onobtient u n +1 /u n ∈ ( O ( Y gen ) ∗ ) ℓ n . Ainsi ( u n ) n induit un élément de Z ℓ b ⊗ O ( Y gen ) ∗ s’envoyant sur ( f n ) n , ce qui permet de conclure. Proposition 4.5 . — Si Y est une jambe ou un cercle fantôme, et si ℓ = p , l’appli-cation résidu (24) induit un isomorphisme Res : Symb ℓ ( Y gen ) ∼ −→ Z ℓ . Démonstration . — Il ressort du lemme 4.2 et du cor. 4.3 (et de ce que C ∗ est ℓ -divisible) que l’on a des isomorphismes Z ℓ b ⊗ O ( Y gen ) ∗ ∼ = ( Z ℓ ⊕ ( Z ℓ b ⊗ O ( ◦ B ) ∗ ) ⊕ ( Z ℓ b ⊗ O ( ◦ B ) ∗ ) si Y est une jambe, Z ℓ ⊕ ( Z ℓ b ⊗ O ( ◦ B ) ∗ ) ⊕ ( Z ℓ b ⊗ O ( B ) ∗∗ ) si Y est un cercle fantômeOn conclut en remarquant que X O C [[ X ]] et X m C h X i sont tous les deux ℓ -divisibles si ℓ = p car la série P k ≥ (cid:0) /ℓk (cid:1) ( x − k converge dans les deux cas. . — Si Y est une jambe (avec O ( Y ) = O C [[ T , T ]] / ( T T − p r ) ),on pose O ( e Y ) = A cris [[ T , T ]] / ( T T − ˜ p r ) comme au n o Y est un cerclefantôme (avec O ( Y ) = O C [[ T, T − i ), on pose O ( e Y ) = A cris [[ T, T − i . Si Y est laboule unité ouverte ◦ B (et donc O ( Y ) = O C [[ T ]] ), on pose O ( e Y ) = A cris [[ T ]] , et si Y est la boule unité fermée B (i.e. O ( Y ) = O C h T i ), on pose O ( e Y ) = A cris h T i .Dans tous les cas : • On dispose d’une surjection O ( e Y ) → O ( Y ) et on note F O ( e Y ) le noyau. • On munit O ( e Y ) du frobenius ϕ , agissant comme on pense sur A cris , et par T i T pi ou T T p suivant les cas.
24. Obtenue, par continuité, à partir de f Res
Y dff . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES • On note Ω ( e Y ) le module des différentielles continues de O ( e Y ) relativement à A cris . On a donc Ω ( e Y ) = O ( e Y ) dZZ avec Z = T (resp. Z = T ) si Y est une jambe(resp. un cercle fantôme), et on a Ω ( e Y ) = O ( e Y ) dT si Y = B ou Y = ◦ B .Si Y = ◦ B, B , une jambe ou un cercle fantôme, les groupes de cohomologiesyntomique H i syn ( Y, , sont les groupes de cohomologie du complexe (notons que ϕ ( F O ( e Y )) ⊂ p O ( e Y ) et ϕ (Ω ( e Y )) ⊂ p Ω ( e Y ) , ce qui donne un sens à ϕp ) : Syn( Y,
1) := F O ( e Y ) d, − ϕp / / Ω ( e Y ) ⊕ O ( e Y ) (1 − ϕp ) − d / / Ω ( e Y ) . Remarquons que, dans tous les cas, un élément de H est une constante (car tué par d ) appartenant à ( F A cris ) ϕ = p , et donc H ( Y,
1) = Z p t. Comme Z p b ⊗ C ∗ = 0 , on peut écrire u ∈ Z p b ⊗ O ( Y gen ) ∗ sous la forme Q n ≥ ( T a n u p n n ) ,avec a n ∈ Z (et a n = 0 si Y = ◦ B, B ) et u n ∈ O ( Y ) ∗ . Si on choisit un relèvement ˜ u n de u n dans O ( e Y ) ∗ , et si on pose a = P n ≥ p n a n et x = a dT T + X n ≥ p n d ˜ u n ˜ u n et y = p X n ≥ p n log ϕ (˜ u n )˜ u pn , alors ( x, y ) est un -cocycle de Syn( Y, . Comme ˜ u n est bien déterminé à un élémentde F O ( e Y ) près, la classe de ( x, y ) dans H ( Y, ne dépend que de u , et pasdu choix des ˜ u n (car ( d ˜ v ˜ v , p log ˜ v p ϕ (˜ v ) ) est le bord de log ˜ v qui appartient à F O ( e Y ) si v ∈ F O ( e Y ) puisque F A cris admet des puissances divisées). Elle définit doncune application δ Y : Symb p ( Y gen ) ∼ = Z p b ⊗ O ( Y gen ) ∗ → H ( Y, . . — Dans ce cas, T O C [[ T ]] est complet pour la topologie p -adique, et l’application naturelle T O C [[ T ]] → Z p b ⊗ O ( ◦ B gen ) ∗ est un isomorphisme.On peut donc définir δ ◦ B sans passage à la limite : si u ∈ T O C [[ T ]] , on choisit unrelèvement ˜ u de u dans T A cris [[ T ]] (i.e θ (˜ u ) = u ), et alors (cid:0) d ˜ u ˜ u , p log ˜ u p ϕ (˜ u ) (cid:1) définitun -cocycle de Syn( ◦ B, : on a ˜ u p ϕ (˜ u ) ∈ pT A cris [[ T ]] , et donc p log ˜ u p ϕ (˜ u ) ∈ A cris [[ T ]] .Ce cocycle est le cobord de log ˜ u qui n’appartient à F A cris [[ T ]] que si u = 1 . On adonc construit une injection naturelle δ ◦ B : 1 + T O C [[ T ]] ֒ → H ( ◦ B, . Proposition 4.6 . —
On a H ( ◦ B,
1) = Z p t , H ( ◦ B,
1) = 0 et δ ◦ B induit un iso-morphisme δ ◦ B : 1 + T O C [[ T ]] ∼ → H ( ◦ B, . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Démonstration . — La nullité de H résulte de ce que − T p − ϕ est surjectif sur A cris [[ T ]] (et même bijectif, d’inverse T p − ϕ + ( T p − ϕ ) + · · · ), ce qui impliqueque − ϕp : Ω ( ˜ ◦ B ) → Ω ( ˜ ◦ B ) est surjectif.Maintenant, on a Syn( ◦ B,
1) = Syn( ◦ B, + ⊕ C • , où Syn( ◦ B, + est le complexe obtenu en remplaçant A cris [[ T ]] par T A cris [[ T ]] dansla définition de Syn( ◦ B, , et C • = [ F A cris 1 − ϕp / / A cris / / . On a H ( C • ) = Z p t , H ( C • ) = 0 et H (Syn( ◦ B, + ) = 0 . Pour conclure, il suffit doncde prouver que l’injection δ ◦ B : 1+ T O C [[ T ]] ֒ → H (Syn( ◦ B, + ) est une surjection. Soitdonc ( x, y ) un -cocycle de Syn( ◦ B, + , avec x = (cid:0) P n ≥ x n T n (cid:1) dT , y = P n ≥ y n T n .Soit f = P n ≥ x n − n T n de telle sorte que f ∈ T B +cris [[ T ]] vérifie df = x , et soit ˜ u = exp f ∈ T B +cris [[ T ]] . Il s’agit de prouver qu’en fait ˜ u ∈ T A cris [[ T ]] car alors ( x, y ) = δ ◦ B ( θ (˜ u )) .Or (1 − ϕp ) f = y car les deux membres ont même terme constant (i.e. ) et mêmedifférentielle puisque d (cid:0) (1 − ϕp ) f (cid:1) = (1 − ϕp ) · df = (1 − ϕp ) x = dy, et donc ϕ ( f ) − pf = py ∈ pT A cris [[ T ]] et ϕ (˜ u )˜ u p ∈ pT A cris [[ T ]] , ce qui permetd’utiliser le lemme 4.1 pour conclure. . — Soit B la boule fermée. Alors Z p b ⊗ O ( B gen ) ∗ = Z p b ⊗ (1 + T m C h T i ) . Soit m cris = { x ∈ A cris , θ ( x ) ∈ m C } . Proposition 4.7 . — H ( B,
1) = Z p t , H ( B,
1) = 0 et δ B induit un isomor-phisme δ B : Z p b ⊗ O ( B gen ) ∗∗ ∼ = H ( B, , si p > ( si p = 2 , δ B est presque un isomorphisme (25) ) .Démonstration . — Le calcul de H a déjà été fait. Pour prouver la nullité de H ,il suffit de montrer que T k dT ∈ (1 − ϕ/p )Ω ( e B ) + d O ( e B ) pour tout k . En écrivant k + 1 = p i n avec n premier à p et en posant f n = T n n , on a T k dT = df n + (1 − ϕ/p ) ω, ω := − i − X j =0 ( ϕ/p ) j ( df n ) .
25. Cela veut dire que δ B est injectif et son conoyau est tué par . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES L’injectivité de δ B se démontre comme pour la boule ouverte. La surjectivité estnettement plus délicate et demande quelques préliminaires, qui seront aussi utilisésdans le chapitre 5. Lemme 4.8 . —
Soient ( a n ) n ≥ et ( b n ) n ≥ deux suites dans A cris , qui tendent vers et telles que b n = ϕ n ( a )+ pϕ n − ( a )+ ... + p n a n pour tout n . Alors θ ( b n ) /p n +1 ∈ O ˘ C pour tout n et lim n →∞ θ ( b n ) /p n +1 = 0 .Démonstration . — On a A cris = O ˘ C ⊕ Ker θ et cette décomposition est ϕ -équivariante. En appliquant θ à l’égalité b n + s = ϕ s ( b n ) + p n +1 ϕ s − ( a n +1 ) + ... + p n + s a n + s et en passant à la limite pour s → ∞ , on obtient v p ( θ ( b n )) ≥ inf k ≥ n +1 ( k + v p ( θ ( a k ))) , ce qui permet de conclure puisque lim k →∞ v p ( θ ( a k )) = ∞ . Lemme 4.9 . — Si p > et a ∈ ker( θ ) , il existe z ∈ T F A cris h T i tel que exp (cid:0) z + X ℓ ≥ p − ℓ ϕ ℓ ( a ) T p ℓ (cid:1) ∈ T m cris h T i . Si a ∈ p N ker( θ ) on peut choisir un tel z dans p N T F A cris h T i .Démonstration . — Puisque A cris = A inf [ ˜ p k k ! ] ∧ , il existe une suite x k ∈ A inf ten-dant vers telle que a = P k ≥ x k ˜ p k k ! . Notons a = P p − k =0 x k ˜ p k k ! et a = a − a .Puisque θ ( a ) = 0 , on a x ∈ W ( m C ♭ ) et donc a ∈ W ( m C ♭ ) aussi. En écrivant a = P k ≥ p k [ b k ] avec b k ∈ m C ♭ , on obtient exp (cid:0) X ℓ ≥ p − ℓ ϕ ℓ ( a ) T p ℓ (cid:1) = Y k ≥ exp AH ([ b k ] T ) p k ∈ T m cris h T i , puisque l’exponentielle d’Artin-Hasse exp AH ( X ) = exp( X i ≥ p − i X p i ) appartient à X Z p [[ X ]] .Il suffit donc de démontrer le résultat pour a . La relation ϕ (˜ p ) = ˜ p p et l’inéga-lité v p ( ( p ℓ k )! k ! ) = k p ℓ − p − ≥ p ℓ , valable pour k ≥ p et ℓ ≥ , montrent que la série P ℓ ≥ p − ℓ ϕ ℓ ( a ) T p ℓ converge dans p A cris h T i et, puisque p > , son exponentielle estdans T m cris h T i . Il reste donc à montrer l’existence de z ∈ T F A cris h T i tel que exp( z + a T ) ∈ T m cris h T i . Il suffit de poser z = − P k ≥ p x k ˜ p k − p k k ! T et de noterque z + a T = P k ≥ p x k p k k ! T ∈ p A cris h T i . Remarque 4.10 . — Pour p = 2 , la preuve ci-dessus tombe en défaut mais restevalable si on remplace a par a . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Revenons à la preuve de la surjectivité. Soit ( x, y ) un -cocycle de Syn( B, + , avec x = (cid:0) P n ≥ x n T n (cid:1) dT et y = P n ≥ y n T n . En décomposant n sous la forme n = p i j ,avec ( j, p ) = 1 , on peut écrire x = X ( j,p )=1 jp c ( j ) b j , y = X ( j,p )=1 p c ( j ) a j avec c ( j ) → + ∞ quand j → ∞ et b j = X i ≥ b i,j T jp i − dT ∈ A cris h T i dT, a j = X i ≥ a i,j T jp i ∈ A cris h T i . Soit f j = X i ≥ b i,j p i T jp i . Il suffit de montrer l’existence de z j ∈ T F A cris h T i qui tendent vers et tels que ˜ u j = exp( z j + f j ) ∈ T B +cris [[ T ]] appartienne à T m cris h T i , car alors ( x, y ) = δ B ( Q j θ (˜ u j ) p c ( j ) ) dans H ( B, .La relation (1 − ϕp ) x = dy se traduit par b ,j = a ,j et b i,j = ϕ ( b i − ,j ) + p i a i,j si i ≥ . On a alors b i,j = ϕ i ( a ,j ) + pϕ i − ( a ,j ) + · · · + p i a i,j . Cela montre d’une part que f j = X k ≥ (cid:0) X ℓ ≥ p − ℓ ϕ ℓ ( a k,j ) T jp k + ℓ (cid:1) et d’autre part (lemme 4.8) que P i ≥ θ ( b i,j ) p − i T jp i converge dans p O ˘ C h T i , doncson exponentielle appartient à T m cris h T i (si p = 2 , il faut multiplier x et y par pour assurer cette appartenance). En utilisant la décomposition ϕ -équivariante A cris = O ˘ C ⊕ Ker θ on peut ainsi se ramener au cas a i,j ∈ ker( θ ) pour tous i, j .Comme a k,j → dans Ker θ (i.e. p -adiquement), il suffit d’appliquer le lemme 4.9pour conclure. . — Soit Y une jambe ou un cercle fantôme(i.e. O ( Y ) = O C [[ T , T ]] / ( T T − p r ) ou O C [[ T , T − i ). Proposition 4.11 . — H ( Y,
1) = Z p t et δ Y : Symb p ( Y gen ) → H ( Y, est unisomorphisme, si p > ( et presque un isomorphisme si p = 2 ) .Démonstration . — Il ressort du lemme 4.2 et du cor. 4.3 (et de ce que C ∗ est p -divisible) que l’on a des isomorphismes Z p b ⊗ O ( Y gen ) ∗ ∼ = ( Z p ⊕ ( Z p b ⊗ O ( ◦ B ) ∗ ) ⊕ ( Z p b ⊗ O ( ◦ B ) ∗ ) si Y est une jambe, Z p ⊕ ( Z p b ⊗ O ( ◦ B ) ∗ ) ⊕ ( Z p b ⊗ O ( B ) ∗∗ ) si Y est un cercle fantôme. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Le complexe
Syn( Y, se décompose pareillement (en regardant le signe des puissancesde T ) sous la forme Syn( Y, ∼ = ( Syn( ◦ B, + ⊕ Syn( ◦ B, + ⊕ C • si Y est une jambe, Syn( ◦ B, + ⊕ Syn( B, + ⊕ C • si Y est un cercle fantôme,où C • est le complexe [ F A cris (0 , − ϕp ) / / A cris dT T ⊕ A cris(1 − ϕp ) − (0) / / A cris dT T ] . On a H ( C • ) = Z p t et H ( C • ) = Z p dT T (car ϕ ( dT T ) = p dT T ). Cela permet de déduirele résultat de ceux pour les boules (prop. 4.6 pour la boule ouverte et prop. 4.7 pourla boule fermée). Remarque 4.12 . — Si Y est la boule ouverte ou une jambe, la relation entre les H i syn ( Y, et les H i ´et ( Y, Z p (1)) est analysée dans l’appendice. Les résultats de ce § et du suivant serontutilisés dans le chap. 6 pour les preuves de la prop. 6.12 et celle du th. 6.21 (via lelemme 6.19).Soit Y une jambe, avec O ( Y ) = O C [[ T , T ]] / ( T T − p r ) et soient C , C les cerclesfantômes aux extrémités de Y , avec O ( C i ) = O C [[ T i , T − i i si i = 1 , . . — Soit Y ∞ la couronne singulière O ( Y ∞ ) = O C [[ T , T ]] / ( T T ) . Les cercles fantômes aux extrémités de Y ∞ sont encore C et C . Si Z = Y, Y ∞ , C i , on définit Ω ( Z ) comme le module O ( Z ) dT T (avec la relation dT T = − dT T ). Soit Ω • ( Z ) le complexe Ω • ( Z ) = (cid:0) O ( Z ) → Ω ( Z ) (cid:1) . Notons que tout élément de O ( Y ∞ ) ou O ( Y ) peut s’écrire, de manière unique, sousla forme a + P n ≥ a n T n + P n ≥ b n T n . De même, tout élément de Ω ( Y ∞ ) ou Ω ( Y ) peut s’écrire, de manière unique, sous la forme (cid:0) a + P n ≥ a n T n + P n ≥ b n T n ) dT T .Cela fournit un isomorphisme naturel de complexes Ω • ( Y ∞ ) ∼ = Ω • ( Y ) .Le problème que nous allons rencontrer est que cet isomorphisme ne commutepas aux flèches naturelles vers Ω • ( C i ) . Pour remédier à ce problème, on introduit lequotient Ω • ( C i ) de Ω • ( C i ) défini par : Ω • ( C i ) = Ω • ( C i ) / (cid:0) T − i O C h T − i i → d ( T − i O C h T − i i ) (cid:1) . (Le complexe T − i O C h T − i i → d ( T − i O C h T − i i ) est acyclique et donc Ω • ( C i ) est quasi-isomorphe à Ω • ( C i ) .) PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Lemme 4.13 . — Si p N r ≥ , le diagramme suivant commute à p N − près : Ω • ( Y ∞ ) / / (cid:15) (cid:15) Ω • ( C i )Ω • ( Y ) / / Ω • ( C i ) Démonstration . — On peut supposer que i = 1 . Alors T n ∈ O ( Y ∞ ) , pour n ≥ ,s’envoie sur T n , que ce soit par O ( Y ∞ ) → O ( C ) ou par O ( Y ∞ ) → O ( Y ) → O ( C ) .Quant à T n , pour n ≥ , il s’envoie sur par O ( Y ∞ ) → O ( C ) et sur p nr T − n par O ( Y ∞ ) → O ( Y ) → O ( C ) , et donc sur si on quotiente par T − O C h T − i .De même, T n dT T , pour n ≥ , s’envoie sur T n dT T par les deux chemins. Parcontre, T n dT T , pour n ≥ , s’envoie sur par Ω ( Y ∞ ) → Ω ( C ) et sur p nr T − n dT T par Ω ( Y ∞ ) → Ω ( Y ) → Ω ( C ) . Or p nr T − n dT T = − d ( p nr n T − n ) , et on vérifie (ilsuffit de considérer n = p k ) que p N − p nr n ∈ Z p , pour tout n ≥ , si p N r ≥ , et donc p N − T n dT T s’envoie sur si on quotiente par d ( T − O C h T − i ) . . — On pose O ( e Y ) = A cris [[ T , T ]] / ( T T − ˜ p r ) et O ( ˘ Y ) = O ˘ C [[ T , T ]] / ( T T ) . On a O ( Y ) = O C ⊗ A cris O ( e Y ) et O ( ˘ Y ) = O ˘ C ⊗ A cris O ( e Y ) . Si est un entier ≥ , et si i = 1 , , on définit O ( e C i ) PD h et O ( ˘ C i ) PD h comme lescomplétés p -adiques (26) O ( e C i ) PD h = (cid:0) A cris [[ T i , T − i i [ U k [ k/p h ]! , k ∈ N ] (cid:1) ∧− p O ( ˘ C i ) PD h = (cid:0) O ˘ C [[ T i , T − i i [ U k [ k/p h ]! , k ∈ N ] (cid:1) ∧− p On définit les modules Ω ( e C i ) PD h et Ω ( ˘ C i ) PD h comme les modules des différen-tielles continues sur A cris et O ˘ C respectivement, et on définit les complexes Ω τ ≤ ( e C i ) = (cid:0) O ( e C i ) PD h → Ω ( e C i ) PD h d =0 (cid:1) , Ω τ ≤ ( ˘ C i ) = (cid:0) O ( ˘ C i ) PD h → Ω ( ˘ C i ) PD h d =0 (cid:1) , Ces complexes calculent la cohomologie de de Rham de e C i et ˘ C i (à p h près), maiscomme ci-dessus, nous aurons besoin d’un quotient quasi-isomorphe. Si Z = e C i , ˘ C i ,et si Λ Z = A cris si Z = e C i et Λ Z = O ˘ C si Z = ˘ C i , on pose : Ω τ ≤ ( Z ) = Ω τ ≤ ( Z ) / (cid:0) T − i Λ Z h T − i i → d (cid:0) T − i Λ Z h T − i i (cid:1)(cid:1) . PD h réfère à "puissances divisées partielles de niveau h " ; si h = 0 , on obtient les puissancesdivisées standard. Le U est ses puissances divisées n’ont d’intérêt que dans une situation où le cerclefantôme est l’intersection d’une jambe Y et d’un short Y ′ , et on veut mettre un frobenius sur lecomplexe de de Rham, ce qui demande de travailler dans e Y × e Y ′ et de prendre un PD h -voisinage del’intersection ; le lemme de Poincaré permet de montrer que rajouter U ne change pas la cohomologiede de Rham de e C i , à p h près. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Lemme 4.14 . — Si p N r ≥ , le diagramme suivant commute à p N près : Ω • ( ˘ Y ) / / (cid:15) (cid:15) Ω τ ≤ ( ˘ C i ) (cid:15) (cid:15) Ω • ( e Y ) / / Ω τ ≤ ( e C i ) Démonstration . — La preuve est la même que celle du lemme 4.13 à la petite diffé-rence près qu’il faut utiliser l’appartenance de p N ˜ p nr n à A cris , si p N r ≥ (cela résultede ce que ˜ p p ∈ p A cris ).
5. Cohomologie des shorts
Dans ce chapitre, le plus technique de l’article, on calcule la cohomologie des affi-noïdes ayant bonne réduction : on exprime la cohomologie étale ℓ -adique en termesde symboles (cor. 5.5), et on en déduit, si ℓ = p , une expression de cette cohomologieétale en termes de la jacobienne de la réduction (prop. 5.10, résultat parfaitement clas-sique). Dans le cas ℓ = p , on relie les symboles à la cohomologie syntomique (th. 5.29),et on en déduit divers descriptions en termes de la cohomologie de de Rham dont, enparticulier, une (prop. 5.27) en termes de la cohomologie de de Rham séparée qui faitl’objet du § 5.2 (en particulier, de la prop. 5.18). Soit Y une courbe quasi-compacte définie sur C . Rappelons que cela signifie que Y est lisse, irréductible, et que Y est propre ou affinoïde. . — Soit Div( Y ) le Z -module libre de base les pointsde Y . Soit Pic( Y ) le quotient de Div( Y ) par le sous- Z -module des Div( f ) , pour f ∈ Frac( O ( Y )) . Si D ∈ Div( Y ) , et si les U i forment un recouvrement de Y par desaffinoïdes, tels que D = Div( f i ) sur U i , alors f i,j = f i /f j ∈ O ( U i ∩ U j ) ∗ et les f i,j définissent un élément [ D ] de H ( Y, O ∗ ) qui ne dépend que de D , et l’application D [ D ] induit un isomorphisme de Pic( Y ) sur H ( Y, O ∗ ) .Soit X une compactification de Y par recollement de disques ouverts D i le longdes éléments C , . . . , C r de ∂ ad Y (si Y est propre, alors ∂ ad Y = ∅ et X = Y , biensûr). Choisissons P ∈ X (si Y n’est pas compact, on prend pour P le centre de D ).Soient J la jacobienne de X , ι : X → J le plongement envoyant P sur la classe de P − P , et H le sous-groupe de J engendré par les ι ( D i ) . Si Y est propre, l’application P P n P P (cid:0) P P n P ι ( P ) , P P n P (cid:1) induit un isomorphisme Pic( Y ) ∼ = ( J × Z ) ; si Y n’est pas propre, on a le résultat suivant : Proposition 5.1 . — (van der Put [ ]) Si Y n’est pas propre, l’application P P n P P P P n P ι ( P ) induit un isomorphisme J/H ∼ = Pic( Y ) . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Remarque 5.2 . — Supposons Y non propre (et donc Y est un affinoïde).(i) H est un sous-groupe ouvert de J , cf. [ ].(ii) Si C = C p , alors J/H est un groupe de torsion (cf. [ , th.4.1] ou [ , th.3]pour une preuve plus élémentaire) ; il en est donc de même de Pic( Y ) .(iii) Pic( Y ) est p -divisible (puisque J l’est). Puisque H ( Y, G m ) = 0 (cf. [ , lemma6.1.2]), la suite de Kummer montre que H ( Y, µ p ) = 0 (voir aussi [ , cor. 6.1.3]). . — Si ℓ est un nombre premier, et si M = Z /ℓ n , Z ℓ , Q ℓ ,les groupes de cohomologie étale H i ´et ( Y, M (1)) sont, par définition, reliés par : H i ´et ( Y, Q ℓ (1)) = Q ℓ ⊗ H i ´et ( Y, Z ℓ (1)) , H i ´et ( Y, Z ℓ (1)) = lim ←− H i ´et ( Y, Z /ℓ n (1)) . La suite exacte → Z /ℓ n (1) → G m → G m → induit la suite exacte de Kummer : → ( Z /ℓ n ) ⊗ O ( Y ) ∗ → H ( Y, Z /ℓ n (1)) → Pic( Y )[ ℓ n ] → . En prenant une limite projective sur n , puis en inversant ℓ , on obtient les suitesexactes : → Z ℓ b ⊗ O ( Y ) ∗ → H ( Y, Z ℓ (1)) → T ℓ (Pic( Y )) → , → Q ℓ b ⊗ O ( Y ) ∗ → H ( Y, Q ℓ (1)) → V ℓ (Pic( Y )) → . Remarque 5.3 . — Les Z ℓ -modules Z ℓ b ⊗ O ( Y ) ∗ et T ℓ (Pic( Y )) sont sans torsion etcomplets pour la topologie ℓ -adique ; il en est donc de même de H ( Y, Z ℓ (1)) . Ils’ensuit que H ( Y, Q ℓ (1)) est un Q ℓ -banach dont la boule unité est H ( Y, Z ℓ (1)) . . — Soit C ( Y ) lecorps des fonctions méromorphes sur Y (corps des fractions de O ( Y ) ), et soit A ℓ,n ( Y ) le groupe A ℓ,n ( Y ) = { f ∈ C ( Y ) ∗ , Div( f ) ∈ ℓ n Div( Y ) } . Si f ∈ A ℓ,n ( Y ) , on associe à f sa classe de Kummer c n ( f ) dans H ( Y, Z /ℓ n (1)) (comme Div( f ) ∈ ℓ n Div( Y ) , l’algèbre obtenue en rajoutant f /ℓ n est étale sur O ( Y ) ). Lemme 5.4 . — c n induit un isomorphisme : A ℓ,n ( Y ) / ( C ( Y ) ∗ ) ℓ n ∼ = H ( Y, Z /ℓ n (1)) . Démonstration . — L’application f ℓ − n Div( f ) induit une suite exacte → O ( Y ) ∗ / ( O ( Y ) ∗ ) ℓ n → A ℓ,n ( Y ) / ( C ( Y ) ∗ ) ℓ n → Pic( Y )[ ℓ n ] → . On en déduit le diagramme commutatif suivant dans lequel les lignes sont exactes / / O ( Y ) ∗ / ( O ( Y ) ∗ ) ℓ n / / A ℓ,n ( Y ) / ( C ( Y ) ∗ ) ℓ n / / c n (cid:15) (cid:15) Pic( Y )[ ℓ n ] D [ D ] (cid:15) (cid:15) / / / / O ( Y ) ∗ / ( O ( Y ) ∗ ) ℓ n / / H ( Y, Z /ℓ n (1)) / / H ( Y, G m )[ ℓ n ] / / et on conclut grâce au lemme des 5. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Posons A ℓ, ∞ ( Y ) = { ( u n , v n ) n ∈ N , u n ∈ A ℓ,n ( Y ) , u n +1 = u n v ℓ n n , v n ∈ C ( Y ) ∗ } A ℓ, ∞ ( Y ) triv = { ( f ℓ n n , f ℓn +1 /f n ) n ∈ N , f n ∈ C ( Y ) ∗ } ⊂ A ℓ, ∞ ( Y ) , et définissons le groupe des symboles ℓ -adiques par Symb ℓ ( Y ) = A ℓ, ∞ ( Y ) /A ℓ, ∞ ( Y ) triv . Corollaire 5.5 . —
On a un isomorphisme naturel
Symb ℓ ( Y ) ∼ = H ( Y, Z ℓ (1)) . Démonstration . — Il suffit de prouver la bijectivité de l’application naturelle
Symb ℓ ( Y ) → lim ←− n A ℓ,n ( Y ) / ( C ( Y ) ∗ ) ℓ n . La surjectivité est évidente, et si ( u n , v n ) n ∈ N ∈ A ℓ, ∞ ( Y ) a une image nulle, on peut écrire u n = f ℓ n n avec f n ∈ C ( Y ) ∗ , et donc f ℓn +1 /f n = ζ n v n avec ζ n ∈ µ ℓ n . Il existe η n ∈ µ ℓ n tels que η ℓn +1 ζ n = η n pour tout n ,et en posant g n = η n f n , on a u n = g ℓ n n et v n = g ℓn +1 /g n . . — Soit X une courbe propre et lisse sur O C , et soit J lajacobienne de X . Lemme 5.6 . — Si P ∈ X ( k C ) , le sous-groupe de J ( C ) engendré par les Q − Q ,pour Q , Q ∈ ] P [ , est le noyau de J ( C ) → J ( k C ) .Démonstration . — Soit g le genre de X . Il n’y a rien à prouver si g = 0 ; on peutdonc supposer g ≥ . Fixons ˜ P ∈ ] P [ . Soit d ≥ g + 1 . Alors Σ d : X d → J définie par Σ d ( Q , . . . , Q d ) = P di =1 ( Q i − ˜ P ) fait de X d une fibration en P d − g au-dessus de J .Le noyau b J de J ( C ) → J ( k C ) est une boule ouverte de dimension d , et on peuttrouver une section analytique s : b J → X d de Σ d prenant la valeur ( ˜ P, . . . , ˜ P ) en .Comme X est de genre ≥ , l’image de s sur chaque facteur est contenue dans letube d’un point de la fibre spéciale (cf. [ , lemma 6.1]), et comme la valeur en est ( ˜ P, . . . , ˜ P ) , on a s ( b J ) ⊂ (] P [) d , ce qui montre que tout élément de b J est la sommed’au plus d éléments de ] P [ et permet de conclure.Soit Y un O C -short obtenu en enlevant à X les tubes de points Q , . . . , Q r dela fibre spéciale X sp , deux à deux distincts, et soit Y gen l’affinoïde qui est la fibregénérique de Y . Les Q i sont en bijection naturelle avec les éléments de ∂ ad Y .Soit H ( k C ) le sous-groupe de J ( k C ) engendré par les ( Q i − Q j ) . Il résulte dulemme 5.6 et de la prop. 5.1 que : Corollaire 5.7 . —
Pic( Y gen ) = J ( k C ) /H ( k C ) . Remarque 5.8 . — En combinant le corollaire 5.7 et le calcul standard du groupe dePicard de X sp K { Q , ..., Q r } on en déduit un isomorphisme Pic( Y gen ) ∼ = Pic( ¯ Y ) , PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ où ¯ Y = Spec( O ( Y ) + ⊗ O C k C ) est la réduction canonique de Y . Ce résultat est un casparticulier d’un théorème de Gerritzen [ ] et Heinrich-van der Put [ ] dans le casd’une valuation discrète. Remarque 5.9 . — (i) On a un isomorphisme (27) O ( Y gen ) ∗ /C ∗ O ( Y ) ∗∗ ∼ → O ( Y sp ) ∗ /k ∗ C , la flèche envoyant f ∈ O ( Y gen ) ∗ sur la réduction de α − f , où α ∈ C ∗ est choisi detelle sorte que v p ( α ) = v Y ( f ) .(ii) On a une suite exacte → O ( Y sp ) ∗ /k ∗ C → Ker (cid:0) ∂ ∗ : Z ∂ ad Y → Z (cid:1) → H ( k C ) → , où ∂ ∗ : Z ∂ ad Y → Z envoie ( n i ) i sur P i n i , l’application de O ( Y sp ) ∗ /k ∗ C dans Z ∂ ad est f ( v Q i ( f )) i , et celle de Ker (cid:0) ∂ ∗ : Z ∂ ad Y → Z (cid:1) dans H ( k C ) est ( n i ) i P i n i Q i .On dispose d’une application résidu Symb ℓ ( Y gen ) → Z ∂ ad Yℓ définie comme la com-posée de la restriction Symb ℓ ( Y gen ) → Symb( ∂ ad Y ) et de l’application résidu surchacun des disque fantômes de ∂ ad Y . En combinant avec l’isomorphisme du cor. 5.5,cela fournit une application résidu H ( Y gen , Z ℓ (1)) → Z ∂ ad Yℓ . Proposition 5.10 . — (i) Si ℓ = p , l’application résidu induit une suite exacte → T ℓ J ( k C ) → H ( Y gen , Z ℓ (1)) → Ker (cid:0) ∂ ∗ : Z ∂ ad Yℓ → Z ℓ (cid:1) → . (ii) Si ℓ = p , l’application résidu induit une suite exacte → T p J ( k C ) → H ( Y gen , Z p (1)) / ( Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ ) → Ker (cid:0) ∂ ∗ : Z ∂ ad Yp → Z p (cid:1) → . Démonstration . — On a une suite exacte (car la multiplication par ℓ n est surjectivesur J ( k C ) ) → T ℓ J ( k C ) → T ℓ ( J ( k C ) /H ( k C )) → Z ℓ ⊗ H ( k C ) → On en déduit un diagramme commutatif à lignes et colonnes exactes (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) M (cid:15) (cid:15) ∼ / / T ℓ J ( k C ) (cid:15) (cid:15) / / Z ℓ ⊗ O ( Y sp ) ∗ / / H ( Y gen , Z ℓ (1)) Z ℓ b ⊗ O ( Y ) ∗∗ (cid:15) (cid:15) / / T ℓ ( J ( k C ) /H ( k C )) (cid:15) (cid:15) / / / / Z ℓ ⊗ O ( Y sp ) ∗ / / Ker (cid:0) ∂ ∗ : Z ∂ ad Yℓ → Z ℓ (cid:1) / / (cid:15) (cid:15) Z ℓ ⊗ H ( k C ) / / (cid:15) (cid:15)
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27. Notons que O ( Y gen ) ∗∗ = O ( Y ) ∗∗ . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES • La première ligne est obtenue en quotientant les deux premiers termes de la suitede Kummer par Z ℓ b ⊗ O ( Y ) ∗∗ et en utilisant le (i) de la rem. 5.9. • La seconde ligne est obtenue en tensorisant par Z ℓ la suite du (ii) de la rem. 5.9. • La seconde colonne verticale est la suite exacte ci-dessus.Le résultat s’en déduit en utilisant le fait que Z ℓ b ⊗ O ( Y ) ∗∗ = 0 si ℓ = p . Remarque 5.11 . — (i) O ( Y ) ∗∗ n’est pas p -adiquement complet et il s’injecte stric-tement dans Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ .(ii) Si ℓ = p , alors rg Z ℓ T ℓ J ( k C ) = 2 g , mais si ℓ = p , alors rg Z p T p J ( k C ) est égal àla dimension du sous-espace de pente du module de Dieudonné de J ( k C ) et peutprendre les valeurs , , . . . , g . . — Soit Y un short sur O ˘ C . Choisissonsun relèvement ϕ sur O ( Y ) de f f p . Notons M ( Y ) le complété du corps desfractions de O ( Y ) pour la norme de Gauss (qui est aussi la norme spectrale), et M ( Y ) + l’anneau de ses entiers. Lemme 5.12 . — M ( Y ) est une extension de degré p de ϕ ( M ( Y )) et, si on note ψ : M ( Y ) → M ( Y ) l’opérateur p − ϕ − ◦ Tr M ( Y ) /ϕ ( M ( Y )) , on a ψ ( O ( Y )) ⊂ O ( Y ) .Démonstration . — Si O ( Y ) est étale au-dessus de O ˘ C h T, T − i , alors dT est une basede Ω ( Y ) , et donc T est une p -base de O ( Y ) sur ϕ ( O ( Y )) : tout élément x de O ( Y ) peut s’écrire, de manière unique, sous la forme x = P p − i =0 ϕ ( x i ) T i , et on a ψ ( x ) = x .D’où le résultat dans ce cas.Dans le cas général on recouvre Y par des Y i , avec Y i étale au-dessus de T i =Spf O ˘ C h T i , T − i i (chacun des Y i est obtenu en retirant le tube d’un nombre fini depoints de Y ). Alors Y i,j = Y i ∩ Y j est étale au-dessus de T i et T j , et (avec des notationsévidentes) la restriction de ψ i,j à O ( Y i ) et O ( Y j ) coïncide avec ψ i et ψ j respectivementet avec ψ sur M ( Y ) car dT i est une base de Ω ( M ( Y ) + ) sur O ( M ( Y ) + ) . Il s’ensuitque, si x ∈ O ( Y ) , alors ψ ( x ) ∈ O ( Y i ) , pour tout i , et donc que ψ ( x ) ∈ O ( Y ) .L’opérateur ψ est un inverse à gauche de ϕ : on a ψ ◦ ϕ = id . On définit ψ sur Ω ( Y ) par la formule ψ ( f p − ϕ ( dg )) = ψ ( f ) dg (cela a un sens car ϕ ( dg ) ∈ p Ω ( Y ) ;sur Ω ( Y ) , la formule ci-dessus est a priori à valeurs dans M ( Y ) ⊗ O ( Y ) Ω ( Y ) , maison peut supprimer les pôles apparents en choisissant des g tels que les ϕ ( dg ) n’aientpas de zéros communs). On a donc ψ ◦ ϕ = p sur Ω ( Y ) et ψ ◦ d = p d ◦ ψ . Remarque 5.13 . — L’opérateur ψ coïncide, modulo p , avec l’opérateur de Cartier.En particulier il s’étend, modulo p , à une compactification de la fibre spéciale de Y . Lemme 5.14 . — d induit un isomorphisme d : O ( Y ) ψ =0 ∼ → Ω ( Y ) ψ =0 . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Démonstration . — Il suffit de prouver le résultat modulo p . Si Y est étale au-dessusde O ˘ C h T, T − i , un élément x de ( O ( Y ) /p ) ψ =0 s’écrit, de manière unique, sous laforme x = P p − i =1 ϕ ( x i ) T i , et on a dx = (cid:0) P p − i =1 iϕ ( x i ) T i (cid:1) dTT . On en déduit le résultatdans ce cas.Le cas général s’en déduit en recouvrant Y par des Y i comme ci-dessus. O ( Y ) -modules munis d’un ψ . — Lemme 5.15 . —
Soit M un O ( Y ) -module de type fini, muni d’un opérateur ψ véri-fiant ψ ( ϕ ( a ) x ) = aψ ( x ) pour tous a ∈ O ( Y ) et x ∈ M . Il existe un unique sous-module M ♯ de M , de rang fini sur W ( k C ) , stable par ψ et sur lequel ψ est bijectif. De plus,si x ∈ M , alors ψ n ( x ) ∈ M ♯ + p k M , pour tout n ≥ n ( x, k ) .Démonstration . — Commençons par prouver le même résultat modulo p . Choisissonsune famille génératrice m , . . . , m s de M sur O ( Y ) et écrivons O ( Y ) comme un quo-tient de O ˘ C h X , . . . , X r i . Définissons le degré de x ∈ O ( Y ) /p comme le minimumdes degrés des éléments de k C [ X , . . . , X r ] ayant pour image x , et le degré deg x de x ∈ M/p comme le minimum sur toutes les écritures possibles x = P i x i m i dumaximum des degrés des x i .Soit x ∈ M/p et soit P i,j a i X i m j une écriture de x de degré deg x . En écrivant i sous la forme i + pi ′ , avec i ∈ { , . . . , p − } [1 ,r ] , cela permet d’ecrire x sous la forme x = X i ,j X i x pi ,j m j , avec x i ,j ∈ O ( Y ) /p de degré ≤ p deg x . Alors ψ ( x ) = X i ψ ( X i m j ) x i ,j . Soit N le maximum des degrés des ψ ( X i m j ) . La formule ci-dessus fournit la ma-joration deg( ψ ( x )) ≤ N + p deg( x ) . On en déduit que deg( ψ n ( x )) ≤ pNp − , si n estassez grand. L’ensemble M N des x ∈ M/p tels que deg x ≤ pNp − est un k C -espace dedimension finie, qui est stable par ψ d’après ce qui précède. On note M ♯ l’intersectiondes ψ n ( M N ) , pour n ≥ (cette intersection se stabilise pour un n ≤ dim k C M N , i.e.il existe n tel que M ♯ = ψ n ( M N ) ). Alors M ♯ est un k C -espace de dimension finie,stable par ψ , sur lequel ψ est surjectif et donc bijectif, et c’est l’unique k C -espace dedimension finie avec ces propriétés. De plus, si x ∈ M , il existe n ( x ) ∈ N tel que ψ n ( x ) ∈ M ♯ , pour tout n ≥ n ( x ) .Notons que ψ est ϕ − -semi-linéaire. Il existe donc, d’après le théorème deDieudonné-Manin, une base ( e , . . . , e t ) de M ♯ vérifiant ψ ( e i ) = e i pour tout i .Prouvons maintenant, par récurrence sur k , l’existence et l’unicité de M ♯k ⊂ M k = M/p k satisfaisant les exigences du lemme, et la surjectivité de M ♯k → M ♯ . Commen-çons par prouver qu’il existe e i,k +1 ∈ M k +1 ayant pour image e i,k dans M k , et vérifiant OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES ψ ( e i,k +1 ) = e i,k +1 . Pour cela, choisissons un relèvement arbitraire x de e i,k dans M k +1 .Alors ψ ( x ) − x ∈ p k M k +1 ∼ = M . Il existe donc n tel que ψ n ( ψ ( x ) − x ) ∈ p k M ♯ et,quitte à remplacer x par ψ n ( x ) , on peut supposer que ψ ( x ) − x ∈ p k M ♯ . Maintenant, ψ − est surjectif sur p k M ♯ (car ψ est ϕ − -semi-linéaire) ; il existe donc y ∈ p k M ♯ tel que ψ ( y ) − y = ψ ( x ) − x , et on peut prendre e i,k +1 = x − y .Soit x ∈ M k +1 . D’après l’hypothèse de récurrence, il existe n tel que l’image de ψ n ( x ) dans M k appartienne à M ♯k . On peut donc écrire ψ n ( x ) = P i a i e i,k +1 + p k y ,avec y ∈ p k M k +1 ( ∼ = M ) . Il existe n tel que ψ n ( y ) ∈ p k M ♯ et donc ψ n ( y ) = P i p k b i e i,k +1 . Il s’ensuit que ψ n + n ( x ) = P i ( a p − n i + p k b i ) e i,k +1 , et donc que M ♯k +1 = ⊕ ri =1 ( W ( k ) /p k +1 ) e i,k +1 a toutes les propriétés voulues.On en déduit le résultat en passant à la limite projective. Lemme 5.16 . — Si x ∈ M , il existe c ( x ) ∈ M ♯ , unique, tel que ψ n ( x − c ( x )) → quand n → + ∞ .Démonstration . — L’unicité résulte de ce que ψ est bijectif sur M ♯ , et donc ψ n ( x ) → implique x = 0 , si x ∈ M ♯ .Passons à l’existence. Soit x ∈ M . Alors l’image de ψ n ( x ) dans M k = M/p k M appartient à M ♯k , si n ≥ n ( x, k ) . Maintenant, ψ est bijectif sur M ♯k et, si on note ψ − nk l’inverse de ψ n sur M ♯k , alors ψ nk ( ψ n ( x )) ne dépend pas du choix de n ≥ n ( x, k ) . Onnote c ,k ( x ) ∈ M ♯k cette quantité ; on a c ,k +1 ( x ) = c ,k ( x ) dans M ♯k , et donc les c ,k ( x ) définissent un élément c ( x ) de M ♯ . Par construction, ψ n ( x ) = ψ n ( c ( x )) modulo p k ,si n ≥ n ( x, k ) .Ceci permet de conclure. Lemme 5.17 . — Si M est muni d’un opérateur ϕ M tel que ψ ◦ ϕ M = 1 , tout élément x de M peut s’écrire, de manière unique, sous la forme x = c ( x ) + P i ≥ ϕ i − M ( c i ( x )) ,avec c ( x ) ∈ M ♯ , c i ( x ) ∈ M ψ =0 et c i ( x ) → quand i → + ∞ .Démonstration . — Si c + P i ≥ ϕ i − M ( c i ) = 0 , alors ψ n ( c ) + P i ≥ n ϕ i − nM ( c i ) = 0 , etdonc ψ n ( c ) → . Il s’ensuit que c = 0 . En appliquant ϕ nM ψ n à la série, on démontrealors par récurrence que ϕ i − M ( c i ) = 0 et donc c i = 0 , pour tout i . On en déduitl’unicité.Pour l’existence, posons c i ( x ) = (1 − ϕ M ψ )( ψ i − ( x − c ( x ))) , si i ≥ . Comme ψ ◦ (1 − ϕ M ψ ) = ψ − ψ = 0 , on a ψ ( c i ( x )) = 0 , et comme ψ i − ( x − c ( x )) → , ona c i ( x ) → . L’identité x = c ( x ) + P i ≥ ϕ i − M ((1 − ϕ M ψ )( ψ i − ( x − c ( x )))) est alorsimmédiate. . — On définit les H i dR ( Y ) comme les groupes de cohomologie du complexe O ( Y ) d −→ Ω ( Y ) . On note H ( Y ) tors l’adhérence, dans H ( Y ) , du sous-groupe de torsion (en particulier H ( Y ) tors contient l’adhérence de qui est loin d’être nulle). On note H ( Y ) sep lequotient H ( Y ) /H ( Y ) tors . On vérifie sans mal que H ( Y ) sep est sans torsion et PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ complet pour la topologie p -adique. Tous ces groupes sont munis d’actions de ϕ et ψ ,et on a ψ ◦ ϕ = p .On peut appliquer le lemme 5.17 à M = O ( Y ) (et ϕ M = ϕ ) et M = Ω ( Y ) (et ϕ M = p − ϕ ). On obtient des décompositions(5.18) O ( Y ) = M ♯ ⊕ (cid:0) b ⊕ i ≥ ϕ i ( O ( Y ) ψ =0 ) (cid:1) , Ω ( Y ) = M ♯ ⊕ (cid:0) b ⊕ i ≥ p − i ϕ i (Ω ( Y ) ψ =0 ) (cid:1) . Par ailleurs, comme ψ n ◦ d = p n d ◦ ψ n et que ψ est surjectif sur M ♯ , on a d = 0 sur M ♯ , et donc M ♯ = O ˘ C . On en déduit, en utilisant le lemme 5.17, le résultat suivant. Proposition 5.19 . —
L’application naturelle H ( Y ) → H ( Y ) sep induit un iso-morphisme M ♯ ∼ = H ( Y ) sep qui est ψ et ϕ -équivariant, et on a une décomposition ψ et ϕ -équivariante H ( Y ) ∼ = H ( Y ) sep ⊕ H ( Y ) tors . De plus, H ( Y ) sep = O ˘ C ⊗ Z p ( H ( Y ) sep ) ψ =1 . Démonstration . — M ♯ est de rang fini sur O ˘ C et stable par ψ qui agit bijectivementet ϕ − -semi-linéairement. Il résulte du théorème de Dieudonné-Manin que M ♯ admetune base e , . . . , e d sur O ˘ C , telle que ψ ( e i ) = e i pour tout i . Mais alors ( ϕ − p ) · e i est tué par ψ puisque ψ ◦ ϕ = p , et donc ( ϕ − p ) · e i = 0 dans H ( Y ) (cela découledu lemme 5.14). Autrement dit, ϕ ( e i ) = pe i dans H ( Y ) , ce qui prouve que M ♯ eststable par ϕ et permet de conclure.Si M est un O ˘ C -module libre de rang fini, muni d’un frobenius ϕ , le théorème deDieudonné-Manin fournit une décomposition M [ p ] = ⊕ r ∈ Q + M [ p ] [ r ] par les pentesde ϕ . On définit M [ r ] comme le quotient de M par M ∩ (cid:0) ⊕ s = r M [ p ] [ s ] (cid:1) .On suppose comme dans le cor. 5.7, que Y est obtenu en retirant à une courbepropre X les tubes ] Q [ , . . . , ] Q r [ de points Q , . . . , Q r de la fibre spéciale. Proposition 5.20 . —
L’application résidu induit une suite exacte de ϕ -modules → H ( X ) [1] → H ( Y ) sep → Ker (cid:0) ∂ ∗ : O ∂ ad Y ˘ C → O ˘ C (cid:1) ( − → . Démonstration . — L’application naturelle H ( X ) → H ( Y ) sep se factorise à tra-vers H ( X ) [1] car pϕ − est topologiquement nilpotent sur les autres H ( X ) [ r ] (lespentes sont ≤ ).La flèche de droite est bien définie car Res( ψ ( ω )) = ϕ − (Res( ω )) , et donc H ( Y ) tors est dans le noyau de Res ; elle est surjective (Si D est un diviseur dedegré sur X , il existe une forme de troisième espèce de diviseur D .)Il reste à prouver l’exactitude au milieu. Notons C i le cercle fantôme au bord de ] Q i [ . On a une suite exacte (cf. rem. 3.21) : → H ( X ) → H ( Y ) ⊕ Y i H (] Q i [) → Y i H ( C i ) → , OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES où le en indice signifie que l’on regarde les formes dont les résidus sont nuls. Onpeut réécrire cette suite sous la forme → H ( X ) → H ( Y ) → ⊕ Y i H ( C i ) H (] Q i [) → . Comme H ( Y ) sep0 est engendré par des éléments vérifiant ψ ( x ) = x , il s’agit deprouver que H ( C i ) H (] Q i [) ne contient pas d’élément non nul ayant cette propriété, etil suffit de prouver ceci modulo p . Or ψ modulo p est l’opérateur de Cartier et estnilpotent sur ( k (( T i )) /k [[ T i ]]) dT i , si T i est un paramètre de ] Q i [ ; il s’ensuit que ψ est a fortiori nilpotent sur H ( C i ) H (] Q i [) qui est un quotient de ( k (( T i )) /k [[ T i ]]) dT i . Celapermet de conclure. . — Soit Y un short sur O C , et soit ˘ Y un modèle sur O ˘ C . On choisit un frobenius ϕ sur O ( ˘ Y ) , et on note encore ϕ sonextension à O ( e Y ) = A cris b ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y ) . Les H i syn ( Y, , sont les groupes de cohomologiedu complexe Syn( Y,
1) := F O ( e Y ) d, − ϕp / / Ω ( e Y ) ⊕ O ( e Y ) (1 − ϕp ) − d / / Ω ( e Y ) , où F O ( e Y ) = Ker( O ( e Y ) → O ( Y )) .On note C • dR ( e Y ) le complexe O ( e Y ) d / / Ω ( e Y ) , et H i dR ( e Y ) ses groupes decohomologie. Comme on ne peut pas diviser ϕ par p sur tout A cris , on introduit O ( e Y ) ′ = O ( e Y ) + (cid:0) − ϕp (cid:1) O ( e Y ) (alors M := O ( e Y ) ′ / O ( e Y ) est tué par p ), et C • dR ( e Y ) ′ = (cid:0) O ( e Y ) ′ d / / Ω ( e Y ) (cid:1) . On a alors une suite exacte → Syn( Y, → [ C • dR ( e Y ) − ϕp / / C • dR ( e Y ) ′ ] → ( O ( Y ) → M → → . En passant à la suite de cohomologie, et en utilisant le fait que − ϕp est une surjectionde H ( C • dR ( e Y )) = A cris sur H ( C • dR ( e Y ) ′ ) , cela fournit des suites exactes → Z p t → A ϕ = p cris → Ker[ O ( Y ) → M ] → H ( Y ) → H ( e Y ) ϕ = p → , → Ker[ O ( Y ) / O C → M ] → H ( Y ) → H ( e Y ) ϕ = p → . (5.21)Remarquons que, M étant de p -torsion, Ker[ O ( Y ) / O C → M ] est p -isomorphe à O ( Y ) / O C . . — On rappelle que A p,n ( Y gen ) = { f ∈ C ( Y gen ) ∗ , Div( f ) ∈ p n Div( Y gen ) } . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Lemme 5.22 . —
Soit u ∈ A p,n ( Y gen ) . (i) Il existe u ∈ ˘ C ( ˘ Y ) ∗ , v ∈ O ( Y ) ∗ , tels que u = u va p n , avec a ∈ C ( Y gen ) ∗ . (ii) Il existe u ∈ ˘ C ( ˘ Y ) ∗ tel que u = u b p n , avec b ∈ ˘ C ( ˘ Y ) ∗ , et tel que les diviseursde u et u sur la fibre spéciale soient étrangers.Démonstration . — On fixe une compactification ˘ X de ˘ Y , et on note J la jacobiennede ˘ X . On note P , . . . , P r les éléments de ˘ X ( k C ) K ˘ Y ( k C ) et on fixe un relèvement ˘ P i ∈ ˘ X ( ˘ C ) de P i . On envoie ˘ X dans J par P ( P − ˘ P ) . Le corollaire 5.7 montreque Pic( Y gen ) est le quotient de J ( k C ) par le sous-groupe engendré par P , . . . , P r .Soit u ∈ A p,n ( Y gen ) ; écrivons Div( u ) sous la forme p n D , avec D ∈ Div( Y gen ) . Soit D ∈ Div( ˘ Y ( k C )) l’image de D , et soit D ∈ Div( ˘ Y ( k C )) ayant même image que D dans J ( k C ) (on peut choisir D étranger à tout ensemble fini S donné ; en particulier,on peut trouver deux tels choix étrangers l’un à l’autre). Choisissons un relèvement ˘ D de D dans Div( ˘ Y ( ˘ C )) . Par construction D − ˘ D a pour image dans J ( k C ) et (lemme5.6) on peut trouver Q , . . . , Q d ∈ ] P [ tel que D − ˘ D − P di =1 ( Q i − ˘ P ) = 0 dans J ( C ) .Il existe donc N ∈ Z tel que D − ˘ D − P di =1 Q i − N ˘ P = Div( a ) , avec a ∈ C ( Y gen ) ∗ .Alors ua − p n a comme diviseur p n ˘ D sur Y . Il s’ensuit que p n D = n P + · · · + n r P r dans J ( k C ) , et il existe R , . . . , R d ∈ ] P [( ˘ C ) tels que p n D − ( n ˘ P + · · · + n r ˘ P r ) − ( R + · · · + R d ) + N ˘ P = Div( u ) , avec u ∈ ˘ C ( ˘ X ) ∗ . Mais alors v := ua − p n u − ∈ O ( Y gen ) ∗ et, quitte à multiplier a par α ∈ C ∗ , on peut s’arranger pour que v ∈ O ( Y ) ∗ .Ceci démontre le (i). Pour prouver le (ii), on part de D étranger à D , ayantmême image que D dans J ( k C ) , et on relève D en ˘ D dans Div( ˘ Y ) . Il existe alors Q , . . . , Q d ∈ ] P [( ˘ C ) et N ∈ Z , tels que ˘ D − ˘ D − ( Q + · · · + Q d ) + N ˘ P = Div( b ) ,avec b ∈ C ( Y gen ) ∗ . Mais alors u = u b − p n a pour diviseur p n ˘ D sur Y . Ceci permetde conclure.On rappelle que Symb p ( Y gen ) = { u = ( u n ) n ∈ N , u n ∈ A p,n ( Y gen ) , u n +1 /u n = v p n n } / { ( a p n n ) n ∈ N } . Soit u = ( u n ) n ∈ N ∈ Symb p ( Y gen ) . On écrit u n sous la forme u n, a p n n v n comme ci-dessus, et on choisit des relèvements ˜ v n ∈ O ( e Y ) de v n et ˜ a n ∈ Fr( O ( e Y )) de a n , et onpose ˜ u n = u n, ˜ a p n n ˜ v n . On pose δ n ( u n ) = (cid:0) d ˜ u n ˜ u n , p log ϕ (˜ u n )˜ u pn (cid:1) modulo p n . Lemme 5.23 . — (i) δ n ( u n ) est un -cocycle de Syn( Y, modulo p n . (ii) Les δ n ( u n ) convergent vers un -cocycle δ Y ( u ) de Syn( Y, dont la classe dans H ( Y, ne dépend que de u .Démonstration . — Soient x n = d ˜ u n ˜ u n et y n = p log ϕ (˜ u n )˜ u pn de telle sorte que δ n ( u n ) =( x n , y n ) modulo p n . On a (1 − ϕp ) x n = dy n , et donc cette relation est a fortiori vérifiéemodulo p n . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES De plus, si on prend deux écritures u n = u n, a p n n v n = u n, ( a n b n ) p n v n , avec u n, et u n, de diviseurs étrangers, on a x n = du n, u n, + d ˜ v n v n = du n, u n, + d ˜ v n v n modulo p n , etcomme les diviseurs de u n, et u n, sont étrangers, cela montre que x n est holomorphe(i.e. x n ∈ Ω ( e Y ) modulo p n ). Le même argument montre que y n ∈ O ( e Y ) modulo p n ,ce qui prouve le (i).La convergence de la suite de terme général δ n ( u n ) vient de ce que δ n +1 ( u n +1 ) = δ n ( u n ) modulo p n car u n +1 /u n est une puissance p n -ième. Si on note δ ( u ) = ( x, y ) lalimite, alors (1 − ϕp ) x = dy par passage à la limite, et donc δ ( u ) est un -cocycle de Syn( Y, . Ce -cocycle est uniquement déterminé au choix près des ˜ v n , et donc estbien déterminé à addition près du cobord limite des log(˜ v n / ˜ v ′ n ) si ˜ v n et ˜ v ′ n sont deuxrelèvements de v n . La classe de δ ( u ) dans H ( Y, ne dépend donc que de u , ce quiprouve le (ii).Le régulateur syntomique est l’application δ Y : Symb p ( Y gen ) → H ( Y, dont l’existence découle du lemme 5.23. . — Soit ˜ R une A inf -algèbre séparée etcomplète pour la topologie ( p, ˜ p ) -adique, et telle que ˜ R/p soit intègre et intégralementclose. On suppose ˜ R munie d’un frobenius ϕ relevant x x p sur ˜ R/p (on a donc ϕ ( x ) − x p ∈ p ˜ R , si x ∈ ˜ R ) et coïncidant avec le frobenius usuel sur A inf .Soit ˜ R ∗∗ = lim −→ r> p, ˜ p r ) ˜ R ⊂ ˜ R ∗ . Lemme 5.24 . —
Soit x ∈ ˜ R ∗∗ . (i) Si x p = ϕ ( u ) , avec u ∈ ˜ R , alors il existe u ′ ∈ ˜ R ∗∗ tel que x = ϕ ( u ′ ) et u = ( u ′ ) p . (ii) Si ϕ ( x ) /x p = v p N , avec v ∈ ˜ R , alors il existe u ∈ ˜ R ∗∗ tel que x = u p N .Démonstration . — Nous allons commencer par montrer que si x ≡ β ] b (mod p ) ,avec b ∈ ˜ R et β ∈ m C ♭ , alors on peut trouver u ≡ mod [ β /p ] et b ∈ ˜ R tels que x/ϕ ( u ) ≡ β ] b mod p . Ecrivons x = 1 + pa + [ β ] b avec a , b ∈ ˜ R . On a alors x p = 1 + p ( pa + [ β ] b ) + [ β ] p b p mod p ( p, [ β ]) et ϕ (1 + [ β ] b ) = 1 + [ β ] p ( b p + pb ′ ) ,avec b ′ ∈ ˜ R , et donc x p /ϕ (1 + [ β ] b ) = 1 + py , avec y = pa + [ β ] b mod ( p, [ β ]) . Deplus, comme x p = ϕ ( u ) , on en déduit que y est de la forme ϕ ( v ) , avec v ∈ ˜ R (à priori v ∈ ˜ R [1 /p ] , mais comme ˜ R/p est réduit, on voit que l’on a v ∈ ˜ R ). Il en résulte qu’ilexiste z ∈ ˜ R tel que [ β ] b + [ β ] z soit une puissance p -ième modulo p . Puisque ˜ R/p est intégralement clos, il s’ensuit que b + [ β ] z est une puissance p -ième modulo p etdonc il existe b ′ ∈ ˜ R tel que b + [ β ] z ≡ ϕ ( b ′ ) mod p . Mais alors [ β ] b ≡ ϕ ([ β /p ] b ′ ) mod ( p, [ β ] ) et donc x/ϕ (1 + [ β /p ] b ′ ) = 1 + pa + [ β ] b pour certains a , b ∈ ˜ R , cequi permet de conclure.En réitérant ce procédé, et en passant à la limite, on voit que l’on peut écrire x = ϕ ( u )(1 + pa ) pour des u , a ∈ ˜ R . Comme (1 + pa ) p = ϕ ( u/u ) , on a p ( a + p ( p − a + · · · )) = ϕ (( u/u ) − , et comme ˜ R/p est intègre, cela implique que ϕ (( u/u ) −
1) = PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ p ϕ ( w ) , et donc (28) que a = ( a ′ ) p modulo p . Cela permet d’écrire pa sous la forme (1 + pϕ ( a ′ ))(1 + p a ) et, par récurrence et passage à la limite, pa sous la forme ϕ ( Q (1 + p k a ′ k )) . Ceci prouve le (i).Passons au (ii). On a ϕ ( x ) = ( xv p N ) p , et il résulte du (i) qu’il existe u tel que x = u p . Mais alors ( ϕ ( u ) /u p ) p = v p N ce qui, si p = 2 , implique ϕ ( u ) /u p = v p N − et une récurrence immédiate fournit le résultat (si p = 2 , le même raisonnements’applique en remplaçant éventuellement u par − u ).L’injectivité de δ Y : Symb p ( Y gen ) → H ( Y, est une conséquence du résultatplus précis suivant. Lemme 5.25 . — Si d ˜ u ˜ u et p log ϕ (˜ u )˜ u p sont divisibles par p , alors u est une puissance p -ième.Démonstration . — On peut écrire u = ab , avec a ∈ Fr( O ( ˘ Y )) et b ∈ O ( Y ) ∗∗ . (Onregarde u sur la fibre spéciale (après avoir divisé par p r pour obtenir un élémentde valuation ) et on prend pour a un relèvement dans Fr( O ( ˘ Y )) .) La condition d ˜ u ˜ u divisible par p implique que u est une puissance p -ième sur la fibre spéciale, et doncpeut se relever en une puissance p -ième, ce qui permet de supposer que a = 1 , et doncque u ∈ O ( Y ) ∗∗ . Le lemme 5.24 permet alors d’en déduire que ˜ u est une puissance p -ième (car ϕ (˜ u )˜ u p = (cid:0) exp( p log ϕ (˜ u )˜ u p ) (cid:1) p en est une). On en déduit que u est unepuissance p -ième, ce que l’on voulait. . — Lemme 5.26 . — Si u ∈ O ( Y ) ∗∗ l’image de δ Y ( u ) dans H ( e Y ) ϕ = p est de torsion.Démonstration . — Si ˜ u ∈ O ( e Y ) ∗∗ vérifie θ (˜ u ) = u , alors log ˜ u converge dans O ( e Y )[ p ] et δ Y ( u ) est le bord de log ˜ u et donc est tué par p N si p N log ˜ u ∈ O ( e Y ) .On note H ( e Y ) sep le quotient de H ( e Y ) par l’adhérence de son sous-groupe detorsion. Il résulte de la description de H ( e Y ) donnée dans la prop. 5.19 que l’on a H ( e Y ) sep = M ♯ ⊗ Z p A cris . Proposition 5.27 . — Si p > , on a une suite exacte ( si p = 2 , la suite est presqueexacte ) → Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y, → ( H ( e Y ) sep ) ϕ = p → . Démonstration . — Il résulte du lemme 5.26 que O ( Y ) ∗∗ s’envoie sur dans ( H ( e Y ) sep ) ϕ = p , et donc que Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ aussi ; la suite est donc un complexe. • L’exactitude à droite résulte de la surjectivité de H ( Y, → H ( e Y ) ϕ = p (cf. suite exacte 5.21) et de ce que H ( e Y ) sep s’identifie à un sous-module de H ( e Y ) stable par ϕ (prop. 5.19), et donc ( H ( e Y ) sep ) ϕ = p ⊂ H ( e Y ) ϕ = p .
28. Si p = 2 , on obtient a + a = ( a ′ ) mod , et donc a = ( a + a ′ ) mod . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES • L’exactitude à gauche, i.e. l’injectivité de Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y, , résulte dulemme 5.25 puisque Symb p ( Y ) contient Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ . • Il reste à prouver l’exactitude au milieu. Soit ( e j ) j ∈ J une base orthonormale de O ( ˘ Y ) ψ =0 sur O ˘ C . Soit x ∈ H ( e Y ) ϕ = p tors et soit ˆ x ∈ Ω ( e Y ) ayant pour image x . Ilrésulte des décompositions (5.18) que l’on peut écrire ˆ x , de manière unique, sous laforme ˆ x = P i ≥ P j ∈ J b i,j d ( p − i ϕ i ( e j )) , avec b i,j ∈ A cris et b i,j → quand ( i, j ) → ∞ ,et la condition ( ϕ − p )ˆ x = 0 se traduit par l’existence de a i,j ∈ A cris , a i,j → quand ( i, j ) → ∞ , tels que b ,j = a ,j et b i,j = ϕ ( b i − ,j ) + p i − a i,j si i ≥ . On a alors b i,j = ϕ i − ( a ,j ) + pϕ i − ( a ,j ) + · · · + p i − a i,j . On déduit la prop. 5.27 du lemme 5.28 ci-dessous en raisonnant comme pour la preuvede la prop. 4.7 (i.e. en utilisant la décomposition A cris = O ˘ C ⊕ Ker θ , puis le fait que A cris = A inf [ ˜ p k k ! , k ≥ ∧ et enfin, le fait que tout élément de A inf a un développementde Teichmüller). Lemme 5.28 . — Si e ∈ O ( ˘ Y ) et v C ♭ ( a ) > , alors Σ( a, e ) = P i ≥ [ a p i ] d ( p − i ϕ i ( e )) peut s’écrire sous la forme dvv avec v ∈ O ( e Y ) ∗ .Démonstration . — D’après la remarque 2.13 de [ ], il existe une suite d’applications δ n : O ( e Y ) → O ( e Y ) , pour n ≥ , avec δ ( x ) = x , telles que ϕ n ( x ) = δ ( x ) p n + pδ ( x ) p n − + · · · + p n δ n ( x ) . On en déduit que X i ≥ p − i [ a p i ] ϕ i ( e ) = X n ≥ ℓ ([ a p n ] δ n ( e )) , avec ℓ ( x ) = X k ≥ p − k x p k .Il s’ensuit que exp (cid:0) X i ≥ p − i [ a p i ] ϕ i ( e ) (cid:1) = Y n ≥ exp AH ([ a p n ] δ n ( e )) , où exp AH est l’exponentielle d’Artin-Hasse (qui appartient à X Z p [[ X ]] ) ; le produitconverge dans O ( e Y ) ∗∗ et si v est le résultat, on a dvv = Σ( a, e ) , ce que l’on voulait. Théorème 5.29 . — δ Y : Symb p ( Y gen ) → H ( Y, est un isomorphisme si p > ( si p = 2 , c’est presque un isomorphisme ) .Démonstration . — On a déjà prouvé l’injectivité de δ Y . Sa surjectivité se déduit : • du diagramme commutatif à lignes exactes (l’exactitude de la ligne du hautprovient de l’isomorphisme Symb p ( Y gen ) ∼ = H ( Y gen , Z p (1)) du cor. 5.5 et de la suiteexacte de Kummer ( M est une extension de Ker (cid:0) ∂ ∗ : Z ∂ ad Yp → Z p (cid:1) par T p ( J ( k C )) , PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ cf. (ii) de la prop. 5.10)) ; celle de la suite du bas est le contenu de la prop. 5.27 / / Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ / / Symb p ( Y gen ) (cid:15) (cid:15) / / M (cid:15) (cid:15) / / / / Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ / / H ( Y, / / ( A cris ⊗ H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p / / • de ce que les deux Z p -modules à droite ont même rang rg Z p T p ( J ( k C ))+ | ∂ ad Y |− (pour M cela résulte de la prop. 5.10, et pour ( A cris ⊗ H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p on utilisel’existence d’une base de H ( ˘ Y ) sep sur laquelle ϕ = p (prop. 5.19), ce qui nousramène au calcul du rang de H ( ˘ Y ) sep , lui-même conséquence de la prop. 5.20), • de l’injectivité qui implique que l’image de M dans ( A cris ⊗ H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p estun réseau puisque les deux modules ont même rang, et donc que le quotient est de p -torsion, • du lemme 5.25 qui implique que l’image de Symb p ( Y gen ) est p -saturée dans H ( Y, et donc que le quotient est sans p -torsion. Corollaire 5.30 . — Si p > , on dispose d’une suite exacte naturelle ( si p = 2 lasuite est presque exacte ) : → Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y gen , Z p (1)) → ( A cris ⊗ H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p → et ( A cris ⊗ H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p est un Z p -module libre de type fini. Remarque 5.31 . — Il résulte de ce qui précède et du (ii) de la prop. 5.10 que l’on aun isomorphisme ( B +cris ⊗ H ( ˘ Y ) sep0 ) ϕ = p ∼ = V p J ( k C ) . Le groupe H ( ˘ Y ) sep0 s’identifie au sous-espace H ( ˘ X ) [1] de pente de H ( ˘ X ) ; sion remplace ce sous-espace par l’espace tout entier, on obtient ( B +cris ⊗ H ( ˘ X )) ϕ = p ∼ = V p J ( O C /p ) . Nous allons expliquer dans ce paragraphe unemanière légèrement différente d’obtenir certains des résultats précédents. L’ingrédientclé est le lemme 5.32 ci-dessous.Soit ˘ Y un short sur O ˘ C , Y = ˘ Y ⊗ O ˘ C O C et Y gen la fibre générique de Y . Soit ¯ Y =Spec( O ( Y ) ⊗ O C k C ) la fibre spéciale (classique) de Y , un k C -schéma lisse irréductibles’identifiant à la fibre spéciale de ˘ Y . On note Ω Y = Ω Y/W ( k C ) et Ω Y = Ω Y/k C lesfaisceaux des différentielles de ˘ Y et ¯ Y (sur ¯ Y ´et ).On choisit un relèvement ϕ : ˘ Y → ˘ Y du frobenius absolu de ¯ Y . Il induit, parfonctorialité, un morphisme ϕ : Ω Y → Ω Y , dont l’image est contenue dans p Ω Y .Comme Ω Y est sans p -torsion, cela permet de définir un endomorphisme F = ϕ/p :Ω Y → Ω Y et un calcul immédiat montre que la composée de la réduction ¯ F : Ω Y → Ω Y modulo p de F et de la projection naturelle Ω Y → Ω Y /d O ¯ Y est l’opérateur de OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Cartier C − : Ω Y → Ω Y /d O ¯ Y , qui est un isomorphisme puisque ¯ Y est lisse. On note C : Ω Y /d O ¯ Y → Ω Y l’inverse de C − , c’est donc un endomorphisme de Ω Y nul sur d O ¯ Y .Considérons la suite ( B n ) n ≥ de sous-faisceaux de Ω Y définie par B = d O ¯ Y et B n +1 = B n + ¯ F n ( B ) et sa limite B ∞ = ∪ n B n = P n ≥ ¯ F n ( B ) . Le lemme ci-dessousest la combinaison d’un cas particulier d’un résultat de Raynaud et de la théorieclassique de l’opérateur de Cartier. Lemme 5.32 . —
On a une décomposition en somme directe de faisceaux Ω Y = B ∞ ⊕ (cid:0) k C ⊗ F p (Ω Y ) C =1 (cid:1) , ainsi qu’un isomorphisme de faisceaux d log : O ∗ ¯ Y / ( O ∗ ¯ Y ) p ∼ = (Ω Y ) C =1 . Démonstration . — Par définition (et la discussion ci-dessus) B ∞ est le sous-faisceaude C -torsion de Ω Y . Le premier point découle alors du fait que toute forme différen-tielle ω ∈ Ω Y ( U ) ( U étant un ouvert de ¯ Y ) est C -finie (29) , donc l’espace engendrépar les C n ω se décompose en une partie de C -torsion et une partie sur laquelle C est inversible, et cette dernière partie est engendrée par les points fixes sous C (car k C est algébriquement clos). Voir le paragraphe 2.5 de [ ] pour plus de détails. Lesecond point est un thérème classique de Cartier (cf. [ , th. 2.1.17]).Notons simplement H Y le faisceau Ω Y /d O ˘ Y et H Y [ p ∞ ] son sous-faisceau de p -torsion. Lemme 5.33 . —
La composée H Y /pH Y = Ω Y /d O ˘ Y → Ω Y /d O ¯ Y = Ω Y /B induitun isomorphisme de faisceaux H Y [ p ∞ ] /pH Y [ p ∞ ] ∼ = B ∞ /B . Démonstration . — Montrons d’abord qu’une section locale f ∈ O ˘ Y vérifie df ∈ p n Ω Y si et seulement si l’on peut écrire (localement) f = P nk =0 p k F n − k ( g k ) avec g k ∈ O ˘ Y .C’est un cas particulier de la prop. 2.3.13 de [ ], mais la preuve étant facile, nousallons la donner pour le confort du lecteur. Un sens est évident, puisque dF = pF d .Pour l’autre sens, on raisonne par récurrence. Supposons donc que l’on dispose d’uneécriture f = P n − k =0 p k F n − − k ( g k ) . Puisque dF = pF d et Ω Y est sans p -torsion, ladivisibilité de df par p n se traduit par P n − k =0 ¯ F n − − k ( d ¯ g k ) = 0 dans Ω Y . En utilisant lacompatibilité entre ¯ F et C − , on voit que cette relation force d ¯ g k = 0 pour tout k , donc(encore par la théorie de Cartier) on peut écrire g k = F ( a k )+ db k + pc k . En insérant cesrelations dans l’écriture de f , on obtient une représentation f = P nk =0 p k F n − k ( h k ) ,ce qui permet de conclure.
29. i.e. l’espace engendré par les C n ω pour n ≥ est de dimension finie sur k C . Le point clé estque C diminue l’ordre des pôles des formes différentielles. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Revenons à la preuve du lemme. Si la classe de ω ∈ Ω Y dans H Y est tuée par p n ,alors p n ω = df pour un f ∈ O ˘ Y . En écrivant (localement) f = P nk =0 p k F n − k ( g k ) , onvoit comme ci-dessus que ω = P nk =0 F n − k ( dg k ) et donc ω = P nk =0 ¯ F n − k ( d ¯ g k ) ∈ B ∞ ,ce qui montre que la réduction mod p induit bien un morphisme H Y [ p ∞ ] /pH Y [ p ∞ ] → B ∞ /B . Son injectivité étant immédiate, montrons la surjectivité. Soit x ∈ B ∞ , alorsil existe n et f i ∈ Ω ¯ Y tels que x = P nk =0 ¯ F n − k ( df k ) . On relève f k en ˆ f k ∈ Ω ˘ Y . Lemême calcul que ci-dessus montre que la classe de ω := P nk =0 p k F n − k ( d ˆ f k ) dans H Y est de torsion et se réduit sur la classe de x . Proposition 5.34 . —
On a un isomorphisme naturel H ( ˘ Y ) sep /pH ( ˘ Y ) sep ∼ = k C ⊗ F p H ( ¯ Y, Ω Y ) C =1 et une suite exacte → O ( ¯ Y ) ∗ / ( O ( ¯ Y ) ∗ ) p → H ( ˘ Y ) sep /pH ( ˘ Y ) sep → k C ⊗ F p Pic( ¯ Y )[ p ] → . Démonstration . — Soit M = H ( ˘ Y, H Y ) = H ( ˘ Y, Ω Y ) /d O ( ˘ Y ) (l’égalité découle ducaractère affine de ¯ Y ) et F = H Y [ p ∞ ] . Puisque H ( ˘ Y ) sep est le quotient de M parl’adhérence de M [ p ∞ ] = H ( ˘ Y, F ) , on a une suite exacte M [ p ∞ ] /p → M/p → H ( ˘ Y ) sep /p → . D’autre part comme ˘ Y est affine et F /p F est limite inductive de faisceaux cohé-rents (lemme 5.33), on a H ( ˘ Y, F /p F ) = 0 et par dévissage H ( ˘ Y, F ) = 0 , donc M [ p ∞ ] /p ∼ = H ( ˘ Y, F ) /p ∼ = H ( ˘ Y, F /p F ) ∼ = H ( ¯ Y, B ∞ /B ) , le dernier isomorphismeétant une conséquence du lemme 5.33. On obtient donc une suite exacte H ( ¯ Y, B ∞ /B ) → H ( ¯ Y, Ω Y ) /d O ( ¯ Y ) → H ( ˘ Y ) sep /p → . Puisque ˘ Y est affine, on obtient H ( ˘ Y ) sep /p ∼ = H ( ¯ Y, Ω Y /B ∞ ) , qui s’identifie (parle lemme 5.32) à H ( ¯ Y, k C ⊗ F p (Ω Y ) C =1 ) = k C ⊗ F p H ( ¯ Y, Ω Y ) C =1 . Cela montre lepremier point. Le second s’en déduit, en utilisant encore une fois le lemme 5.32 et lasuite exacte évidente → O ( ¯ Y ) ∗ / ( O ( ¯ Y ) ∗ ) p → H ( ¯ Y, O ∗ ¯ Y / ( O ∗ ¯ Y ) p ) → Pic( ¯ Y )[ p ] → . On déduit directement de la proposition ci-dessus et du fait que H ( ˘ Y ) sep est sans p -torsion et complet pour la topologie p -adique que H ( ˘ Y ) sep est un W ( k C ) -modulelibre de type fini. Puisque dF = pF d , F induit un endomorphisme de H ( ˘ Y ) =Ω ( ˘ Y ) /d O ( ˘ Y ) , qui induit à son tour un endomorphisme semi-linéaire F de H ( ˘ Y ) sep .L’isomorphisme H ( ˘ Y ) sep /p ∼ = k C ⊗ F p H ( ¯ Y, Ω Y ) C =1 fourni par la proposition ci-dessus est compatible avec l’action de F sur H ( ˘ Y ) sep et le frobenius de k C . Onen déduit que H ( ˘ Y ) sep /p possède une base de points fixes sous ¯ F , qui y est donc OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES bijectif. Autrement dit, F est un automorphisme semi-linéaire du W ( k C ) -module librede type fini H ( ˘ Y ) sep et donc (puisque k C est algébriquement clos) la flèche naturelle W ( k C ) ⊗ Z p ( H ( ˘ Y ) sep ) F =1 → H ( ˘ Y ) sep est un isomorphisme. Puisque A ϕ =1cris = Z p , cela montre que la flèche naturelle ( H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p → ( A cris ⊗ W ( k C ) H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p est un isomorphisme. La même discussion combinée avec la surjectivité de F − ϕp − sur H ( ˘ Y ) sep fournit le résultat suivant. Corollaire 5.35 . —
L’isomorphisme H ( ˘ Y ) sep /p ∼ = k C ⊗ F p H ( ¯ Y, Ω Y ) C =1 induitun isomorphisme ( H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p /p ∼ = H ( ¯ Y, Ω Y ) C =1 et une suite exacte → O ( ¯ Y ) ∗ / ( O ( ¯ Y ) ∗ ) p → ( H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p /p → Pic( ¯ Y )[ p ] → . De plus ( H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p et ( A cris ⊗ W ( k C ) H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p sont naturellement iso-morphes. Rappelons que l’on dispose d’un régulateur δ Y : Symb p ( Y gen ) → H ( Y, ainsique d’une projection H ( Y, → ( A cris ⊗ W ( k C ) H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p ∼ = ( H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p .On en déduit une application R : Symb p ( Y gen ) → ( H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p . Concrètement, en suivant les diverses identifications et en utilisant les notations desparagraphes précédents, on a R (( u n ) n ) = lim n →∞ dθ (˜ u n ) θ (˜ u n ) . L’application R s’annule sur Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ (lemme 5.26). Elle induit donc une appli-cation R : Symb p ( Y gen ) Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → ( H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p , qui est un isomorphisme pour p > , comme le montrent la prop. 5.27 et le th. 5.29,combinés avec la discussion ci-dessus. On se propose de montrer par une voie différentece résultat, y compris pour p = 2 : Proposition 5.36 . —
L’application R : Symb p ( Y gen ) Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → ( H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p ci-dessus est un isomorphisme. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Démonstration . — Les deux termes sont des Z p -modules libres de type fini : il suffitd’invoquer la proposition 5.10 pour le premier et la discussion ci-dessus pour le se-cond. Il suffit donc de montrer que la réduction modulo p de R est un isomorphisme.En identifiant Symb p ( Y gen ) et H ( Y gen , Z p (1)) , et en utilisant la prop. 5.10 et la re-marque 5.9, ainsi que l’isomorphisme Pic( Y gen ) ∼ = Pic( ¯ Y ) (remarque 5.8) on obtientune suite exacte → O ( ¯ Y ) ∗ / ( O ( ¯ Y ) ∗ ) p → (cid:0) Symb p ( Y gen ) Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ (cid:1) /p → Pic( ¯ Y )[ p ] → . D’autre part, le cor. 5.35 exhibe une suite exacte analogue, avec ( H ( ˘ Y ) sep ) ϕ = p /p à la place de (cid:0) Symb p ( Y gen ) Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ (cid:1) /p . Il suffit de montrer que l’application R est compatible,modulo p , avec ces deux suites exactes (les applications induites sur les termes ex-trêmes étant l’identité). En suivant les diverses identifications et les définitions, on seramène à démontrer l’énoncé suivant : si u ∈ C ( Y gen ) ∗ et a ∈ ˘ C ( ˘ Y ) ∗ sont tels que p | Div( u ) et u /a ∈ O ( Y gen ) ∗∗ , alors dθ (˜ u ) θ (˜ u ) ≡ daa (mod p ) . Or ceci est évident car θ (˜ u /a ) ≡ mod p .
6. Cohomologie des courbes quasi-compactes
Dans ce chapitre, on calcule la cohomologie d’une courbe quasi-compacte à partird’une triangulation : une telle triangulation fournit un patron de la courbe et onexprime toutes les cohomologies en termes des cohomologies des termes de ce patron :en particulier, les symboles (prop. 6.2), la cohomologie étale ℓ -adique (th. 6.3 plusformule « de Picard-Lefschetz » de la rem. 6.4), la cohomologie de de Rham (cor. 6.10)et sa séparée (th. 6.14), la cohomologie de Hyodo-Kato (th. 6.21 et rem. 6.22). Celapermet de relier les symboles p -adiques, la cohomologie syntomique et la cohomologieétale p -adique (th. 6.24 et cor. 6.25). Enfin, on exprime la cohomologie syntomiqueen termes du complexe de de Rham (rem. 6.27 et th. 6.30) et on en déduit le th. 0.1(cf. th. 6.32). Soit Y une courbe quasi-compacte sur C (i.e. un affinoïde ouune courbe propre). Soit S une triangulation de Y , et soit Y S le O C -modèle semi-stableassocié. On suppose S suffisamment fine pour que la fibre spéciale Y sp S ait au moinsdeux composantes irréductibles, que ces composantes irréductibles soient lisses et quedeux d’entre elles s’intersectent en au plus un point. Soit (Γ , ( Y i ) i ∈ I , ( ι i,j ) ( i,j ) ∈ I ,c ) unpatron de Y associé à S ; rappelons que cela inclut : • un graphe bipartite marqué Γ = (
I, I , µ ) , avec I = S ` A c et I ,c = { ( a, s ) , a ∈ A c , s ∈ S ( a ) } , µ ( a ) ∈ Q ∗ + si a ∈ A c , • des shorts Y s pour s ∈ S , des jambes Y a pour a ∈ A c (avec Y a de longueur µ ( a ) ),la fibre spéciale Y sp s de Y s étant propre (et lisse) par convention (avec certains pointsmarqués de multiplicité + si s ∈ ∂Y ), OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES • si a ∈ A c , un paramètre local T a,s de Y a (ce qui fournit une orientation de Y a etdonc fixe une origine s et un bout s ) admettant un prolongement à des ouverts de Y s et Y s , et T a,s = p µ ( a ) /T a,s , • des cercles fantômes Y a,s , pour a ∈ A ( s ) , avec O ( Y a,s ) = O C [[ T a,s , T − a,s i ,A ces données, on rajoute deux entiers N ( S ) et N ( S ) définis par (30) : • N ( S ) est le plus petit entier N tel que p N µ ( a ) ≥ , pour tout a ∈ A c . • N ( S ) est le plus petit entier N ≥ N ( S ) tel que T a,s ∈ O ( ˘ Y s ) + p /p N O ( Y s ) ,pour tout ( a, s ) ∈ I ,c .On rappelle que Σ( Y ) est l’ensemble des noeuds de Y ; on a Σ( Y ) ⊂ S . . — Soit ℓ un nombre premier. On a défini les groupes Symb ℓ ( Z ) pour Z = Y, Y gen i , Y gen i,j (cf. n o Y et Y gen s et n o Y gen a et Y gen a,s ). Les restrictions induisent des applications naturelles Symb ℓ ( Y ) → Symb ℓ ( Y gen i ) → Symb ℓ ( Y gen i,j ) . Posons A ℓ, ∞ ( Y S ) = (cid:26) (( u i,n , v i,n ∈ C ( Y i ) ∗ ) i ∈ I,n ∈ N , ( g i,j,n ∈ C ( Y i,j ) ∗ ) ( i,j ) ∈ I ,c ,n ∈ N ,u i,n +1 = u i,n v ℓ n i,n , u i,n = g ℓ n i,j,n u j,n , g ℓi,j,n +1 = g i,j,n v i,n v j,n (cid:27) ,A ℓ, ∞ ( Y S ) triv = { ( a ℓ n i,n , a ℓi,n +1 /a i,n ) i ∈ I,n ∈ N , ( a i,n /a j,n ) ( i,j ) ∈ I ,c ,n ∈ N } ⊂ A ℓ, ∞ ( Y S ) On pose alors
Symb ℓ ( Y S ) = A ℓ, ∞ ( Y S ) /A ℓ, ∞ ( Y S ) triv . Lemme 6.1 . —
On a un isomorphisme naturel
Symb ℓ ( Y S ) ∼ = Symb ℓ ( Y ) . Démonstration . — Compactifions Y en recollant des disques Y a le long des cerclesfantômes Y a,s , pour a ∈ A K A c (auquel cas S ( a ) n’a qu’un élément s = s ( a ) ), via T s,a .On note X la courbe ainsi obtenue (si Y est propre, alors X = Y , bien sûr) ; c’estl’analytifiée d’une courbe algébrique propre d’après GAGA rigide.Posons g i,j,n = 1 si ( i, j ) ∈ I K I ,c . Les g i,j,n , pour ( i, j ) ∈ I , définissent un fibréen droites F sur X vu comme espace adique, et par le principe GaGa, cela fournit (31) un fibré en droites sur X vu comme variété rigide et donc, grâce à GAGA rigide, unfibré en droites sur la courbe algébrique sous-jacente.
30. Si Y S est défini sur K , d’indice de ramification absolu e , alors N ( S ) ≤ N ( s ) ≤ ⌈ log e log p ⌉ .31. F admet des sections globales e i sur Y i , pour i ∈ I ′ , et on a e a = g a,s,n e s sur Y a,s . Si U a,s est un ouvert de Y s sur lequel T a,s est holomorphe, il résulte du lemme 4.2 que l’on peut factoriser g a,s,n sous la forme u a,s v a,s , avec u a,s ∈ O ( U a,s ) ∗ et v a,s ∈ O ( Y a ) ∗ . Il s’ensuit que F admet unesection globale e a,s sur V a,s = U a,s ` Y a (recollés le long de Y a,s ), où e a,s = u − a,s e s sur U a,s et e a,s = v a,s e a sur Y a ). Les V a,s formant un recouvrement de X par des ouverts rigides, cela définitun fibré en droites sur X vu comme variété rigide. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ F étant algébrique sur X , il possède une section globale méromorphe sur X toutentier et donc, a fortiori, sur Y . Autrement dit, on peut trouver des g i,n ∈ C ( Y gen i ) ∗ ,pour i ∈ I , tels que g i,n g j,n = g i,j,n . Les u i,n g ℓni,n se recollent alors pour fabriquer u n ∈ A ℓ,n ( Y ) , et on a u n +1 = u n (cid:0) v i,n g i,n g ℓi,n +1 (cid:1) p n sur Y i . Or v i,n g i,n g ℓi,n +1 = v j,n g j,n g ℓj,n +1 sur Y i,j puisque g ℓi,j,n +1 = g i,j,n v i,n v j,n , et donc les v i,n g i,n g ℓi,n +1 se recollent en v n ∈ C ( Y ) ∗ . Il s’ensuit que ( u n , v n ) n ∈ A ℓ, ∞ ( Y ) .Les g i,n sont uniques à multiplication simultanée près par g n ∈ C ( Y ) ∗ . Il s’ensuitque l’image de ( u n ) n ∈ N dans Symb ℓ ( Y ) ne dépend pas du choix des g i,n , ce qui fournitune flèche naturelle Symb ℓ ( Y S ) → Symb ℓ ( Y ) .Cette flèche est surjective car ( u n , v n ) n ∈ N ∈ A ℓ, ∞ ( Y ) est, bien évidemment, l’imagede ( u i,n , v i,n ) i ∈ I,n ∈ N , ( g i,j,n ) ( i,j ) ∈ I ,c ,n ∈ N , où u i,n et v i,n sont les restrictions de u n et v n à Y i et g i,j,n = 1 .Elle est injective car, si l’image est triviale, u n = a ℓ n n et v n = a ℓn +1 /a n , et donc u i,n = ( a n g i,n ) ℓ n , v i,n = ( a n +1 g i,n +1 ) ℓ / ( a n g i,n ) et g i,j,n = ( a n g i,n ) / ( a n g j,n ) , ce quimontre que notre symbole localisé est trivial.Ceci permet de conclure. Proposition 6.2 . —
On a une suite exacte → H (Γ , Z ℓ (1)) → Symb ℓ ( Y S ) → Ker (cid:2) Y i ∈ I Symb ℓ ( Y gen i ) → Y ( i,j ) ∈ I ,c Symb ℓ ( Y gen i,j ) (cid:3) → . Démonstration . — Partons de symboles ( u i,n , v i,n ) ∈ A ℓ, ∞ ( Y i ) se recollant sur Y i,j .Il existe donc g i,j,n tel que u i,n = g ℓ n i,j,n u j,n sur Y i,j , et comme cela ne définit g i,j,n qu’à une racine ℓ n -ième de l’unité près, on peut, par récurrence sur n , imposer que g i,j,n +1 = g ℓi,j,n v i,n v j,n . On en déduit la surjectivité à droite.Pour l’exactitude au milieu, on part de A ℓ, ∞ ( Y S ) tel que u i,n = v i,n = 1 , pourtous i ∈ I et n ∈ N . Alors les ( g i,j,n ) n définissent un élément g i,j de Z ℓ (1) et lerésultat appartient à A ℓ, ∞ ( Y S ) triv si et seulement si il existe des a i ∈ Z ℓ (1) , pour i ∈ I , tels que g i,j = a i − a j . Le passage au quotient nous donne, grâce à la rem. 1.4,le H (Γ , Z ℓ (1)) que l’on voulait. ℓ = p . — Si ℓ = p , la prop. 6.2, combinée avec le lemme 6.1 et l’iso-morphisme Symb ℓ ( Y ) ∼ = H ( Y, Z ℓ (1)) du cor. 5.5, fournit une description concrète de H ( Y, Z ℓ (1)) . Voir aussi [ , 5.2] pour une approche un peu différente. Théorème 6.3 . — Si ℓ = p , alors H ( Y, Z ℓ (1)) admet une filtration naturelle dontles quotients successifs sont : H ( Y, Z ℓ (1)) = (cid:2) H (Γ , Z ℓ (1)) Q s ∈ Σ( Y ) H ( Y sp s , Z ℓ (1)) H c (Γ , Z ℓ ) ∗ (cid:3) . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Démonstration . — La prop. 6.2 fournit le premier cran de la filtration. Le secondcran est le noyau de l’application résidu dont l’image est
Ker (cid:2) Y i ∈ I Ker (cid:2) ∂ ∗ i : Z ∂ ad Y i ℓ → Z { i } ℓ (cid:3) → Z I ,c ℓ (cid:3) (prop. 5.10 combinée avec l’isomorphisme H ( Y sp s , Z ℓ (1)) ∼ = T ℓ Pic( Y sp s ) = T ℓ ( J ( Y sp s )) pour s ∈ S , et prop. 4.5 pour i ∈ A c ). On conclut en utilisant les rem. 1.3 et 1.4, eten supprimant les s ∈ S K Σ( Y ) puisque, pour un tel s , on a Y sp s = P et donc H ( Y sp s , Z ℓ (1)) = 0 . Remarque 6.4 . — (i) Comme H ( Y, Q ℓ (1)) = Q ℓ ⊗ Z ℓ H ( Y, Z ℓ (1)) , la descriptionci-dessus de H ( Y, Z ℓ (1)) permet, grâce à la rem. 1.6, de définir, si t ∈ Z ℓ (1) , unopérateur de monodromie tN : H ( Y, Q ℓ (1)) → H ( Y, Q ℓ (1)) . (ii) Le choix de r p r fournit une section de la projection modulo H (Γ , Q ℓ (1)) .En effet, on peut imposer à ( u i,n , v i,n ) n ∈ A ℓ, ∞ ( Y i ) les conditions supplémentairessuivantes : • si i = a ∈ A c , alors u i,n = T k a,n a,s , où k a,n a une limite k a ∈ Z ℓ , • si i = s ∈ S , alors la restriction de u s,n à Y a,s , pour a ∈ A ( s ) , est de la forme T k s,a,n a,s u s,n , avec u s,n ∈ O ( Y a,s ) ∗∗ .(Pour a ∈ A c , cela suit de la prop. 4.5 ; pour s ∈ S , cela résulte de ce qu’on peutmultiplier u s,n par f ℓ n s,n , avec f s,n ∈ C ( Y ) ∗ , ce qui permet de modifier à loisir lecoefficient dominant en un nombre fini de points.)Comme x ∈ O ( Y a,s ) ∗∗ a une racine ℓ n -ième naturelle, à savoir P k ≥ (cid:0) /ℓ n k (cid:1) ( x − k ,il en est de même de u a,n u s,n , si a ∈ A c et s ∈ S ( a ) = { s , s } :– Si s = s , u a,n u s,n = T k a,n − k a,s,n a,s ( u s,n ) − et k a,n − k a,s,n ∈ ℓ n Z .– Si s = s , u a,n u s,n = p k a,n µ ( a ) T − ( k a,n + k a,s,n ) a,s ( u s,n ) − et k a,n + k a,s,n ∈ ℓ n Z , et p k a,n µ ( a ) a comme racine ℓ n -ième p ℓ − n k a,n µ ( a ) .Si on note g a,s,n la racine ℓ n -ième naturelle de u a,n u s,n , on fabrique un scindage s r p r en envoyant la classe de ( u i,n , v i,n ) i,n sur celle de (( u i,n , v i,n ) i,n , ( g i,j,n ) i,j,n ) .(iii) Si on change r p r en r ζ ( r ) p r , où ζ est un morphisme de groupes de Q / Z dans le groupe des racines de l’unité, cela multiplie g a,s ,n par ζ ( ℓ − n k a,n µ ( a )) sans modifier g a,s ,n . On en déduit la formule « de Picard-Lefschetz » s r ζ ( r ) p r = s r p r + t ζ N, où t ζ = ( ζ ( ℓ − n )) n ∈ N ∈ Z ℓ (1) . Remarque 6.5 . — Si Y est défini sur O K , on peut utiliser ce qui précède pourdécrire l’action du sous-groupe d’inertie I K de G K sur H ( Y, Q ℓ (1)) , mais il vautmieux prendre les jambes Y a de la forme Spf( O K [[ Y a,s , Y a,s ]] / ( Y a,s Y a,s − π eµ ( a ) )) , PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ où π est une uniformisante de K , e l’indice de ramification absolu de K (et eµ ( a ) estentier), et choisir un morphisme r π r (de Z [ ℓ ] dans C ∗ ) plutôt que r p r .Si σ ∈ I K , il existe ζ ℓ : Z [ ℓ ] → µ ℓ n tel que l’on ait σ ( π r ) = ζ σ ( r ) π r , et alors t σ = ( ζ σ ( ℓ − n )) n ∈ Z ℓ (1) et σ t σ est un -cocycle sur I K à valeurs dans Z ℓ (1) , eton a σ ( c ) = c + t σ N ( c ) si c ∈ H ( Y, Q ℓ (1)) . Voir [ ] pour un point de vue différent. On peut calculer les diverses cohomologies de Y S à la Čech, en utilisant le re-couvrement par les Y i , pour i ∈ I . Ce calcul est simplifié par le fait que les seulesintersections non vides sont les Y i,j , pour ( i, j ) ∈ I ,c . Par exemple (prop. 3.20), lesgroupes H i dR ( Y S ) de cohomologie de de Rham (logarithmique) de Y S sont les groupesde cohomologie du complexe : C • dR ( Y S ) := (cid:2) Y i ∈ I Ω • ( Y i ) −→ Y ( i,j ) ∈ I ,c Ω • ( Y i,j ) (cid:3) . Le complexe ci-dessus est le complexe naturel pour calculer la cohomologie de deRham mais, à p N ( S ) près, on peut aussi utiliser C • dR ( Y S ) := (cid:2) Y i ∈ I Ω • ( Y i ) −→ Y ( i,j ) ∈ I ,c Ω • ( Y i,j ) (cid:3) , où Ω • ( Y i,j ) est le quotient de Ω • ( Y i,j ) défini dans la discussion précédant le lemme 4.13ci-dessous. . — Soit S int = S K ∂Y. Si s ∈ S , on construit une compactification partielle Y ♦ s de Y s en recollant, viales T a,s , les disques ouverts { v p ( T a,s ) > } le long des cercles fantômes Y a,s , pour a ∈ A c ( s ) . Remarque 6.6 . — Si s ∈ S int , alors Y ♦ s est propre ; si s ∈ ∂Y , c’est un short.On note H ( Y ♦ s ) l’ensemble des ω ∈ H ( Y ♦ s ) tels que Res a ( ω ) = 0 pour tout a ∈ A ( s ) K A c ( s ) . (Si s ∈ S int , alors H ( Y ♦ s ) = H ( Y ♦ s ) , mais si s ∈ ∂Y et | A ( s ) K A c ( s ) | = r , alors H ( Y ♦ s ) est de corang r − dans H ( Y ♦ s ) .) Remarque 6.7 . — Y ♦ s dépend du choix des T a,s , mais H ( Y ♦ s ) (et donc aussi H ( Y ♦ s ) ) n’en dépend pas car il s’identifie à la cohomologie convergente de Y sp s si s ∈ S int , et à celle de l’ouvert complémentaire des points de multiplicité + si s ∈ ∂Y . Proposition 6.8 . — H ( Y S ) a une filtration dont les quotients successifs sont, à p N ( S ) près, H ( Y S ) = (cid:2) H (Γ , O C ) Q s ∈ S H ( Y ♦ s ) H c (Γ , O C ) ∗ (cid:3) . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Démonstration . — On a une suite exacte → H ( Y S ) → Y i ∈ I H ( Y i ) → Y ( i,j ) ∈ I ,c H ( Y i,j ) → H ( Y S ) → Y i ∈ I H ( Y i ) → Y ( i,j ) ∈ I ,c H ( Y i,j ) . Le sous-groupe H (Γ , O C ) correspond au conoyau de Q i ∈ I H ( Y i ) → Q ( i,j ) ∈ I ,c H ( Y i,j ) .Le quotient H c (Γ , O C ) ∗ est fourni par l’application résidu comme dans la preuvedu th. 6.3.Si a ∈ A c , on a Ω ( Y a ) = Ω ( B a,s ) ⊕ Ω ( B a,s ) ⊕ O C dT a,s T a,s , où B a,s est la boule ouverte avec O ( B a,s i ) = O C [[ T a,s i ]] , si i = 1 , . Cette décompo-sition induit une décomposition H ( Y a ) = H ( B a,s ) ⊕ H ( B a,s ) ⊕ O C dT a,s T a,s . Maintenant, l’image de H ( B a,s i ) dans H ( Y a,s − i ) est tuée par p N ( S ) (cf. lemme 4.13).Il s’ensuit que le complexe Q i ∈ I H ( Y i ) → Q ( i,j ) ∈ I ,c H ( Y i,j ) se p N ( S ) -décompose en Y s ∈ S h H ( Y s ) ⊕ Y a ∈ A c ( s ) H ( B a,s ) → Y a ∈ A c ( s ) H ( Y a,s ) i . Or le noyau de H ( Y s ) ⊕ Q a ∈ A c ( s ) H ( B a,s ) → Q a ∈ A c ( s ) H ( Y a,s ) n’est autreque H ( Y ♦ s ) comme on le voit en considérant le recouvrement de Y ♦ s formé de Y s et des B a,s , pour a ∈ A c ( s ) . (On aurait aussi pu utiliser la prop. 6.12 ci-dessous.)On en déduit le résultat. Remarque 6.9 . — On a H ( Y ) ∼ ← C ⊗ O C H ( Y S ) pour tout S ; en particulier C ⊗ O C H ( Y S ) ne dépend pas de S . Cela peut se voir directement : si on raffine S en S ′ , la flèche naturelle H ( Y S ) → H ( Y S ′ ) induit un isomorphisme C ⊗ O C H ( Y S ) ∼ → C ⊗ O C H ( Y S ′ ) car : • Γ ad ( S ′ ) se rétracte sur Γ ad ( S ) et donc a même cohomologie. • Les Y ♦ s , pour s ∈ S ′ K S , sont des P et donc H ( Y ♦ s ) = 0 si s ∈ S ′ K S .Après avoir éliminé les P superflus, on obtient le corollaire ci-dessous. Corollaire 6.10 . — H ( Y ) a une filtration dont les quotients successifs sont H ( Y ) = (cid:2) H (Γ , C ) Q s ∈ Σ( Y ) H ( Y ♦ s ) H c (Γ , C ) ∗ (cid:3) . Remarque 6.11 . — Si Y est propre, tous les Y ♦ s sont propres et ont une cohomologiede dimension finie, ce qui est en accord avec le fait que H ( Y ) est de dimension finie.Si Y est un affinoïde, alors H ( Y ) est de dimension infinie ; c’est dû au fait que ∂Y est non vide et que, si s ∈ ∂Y , alors Y ♦ s est un O C -short et donc sa cohomologie estde dimension infinie. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ . — On note Y ∞ S la courbe obtenue en spécialisanten (0) a ∈ A c la famille de courbes du n o R = O C [[ T a , a ∈ A c ]] , ce quiremplace Y a par la réunion Y ∞ a de deux disques attachés en un point P a . Alors Y ∞ S est aussi la courbe obtenue en recollant les Y ♦ s en les P a : i.e. on identifie le point T a,s = 0 de Y ♦ s avec le point T a,s = 0 de Y ♦ s , pour tout a ∈ A c . Proposition 6.12 . —
Les complexes C • dR ( Y ∞ S ) et C • dR ( Y S ) sont naturellement p N ( S ) -quasi-isomorphes, et la cohomologie de de Rham ( logarithmique ) de Y estdonc naturellement isomorphe à celle de Y ∞ .Démonstration . — Les groupes intervenant dans les complexes C • dR ( Y ∞ S ) et C • dR ( Y S ) sont naturellement isomorphes : O ( Z ∞ ) = O ( Z ) et Ω ( Z ∞ ) = Ω ( Z ) , si Z = Y s , Y a,s et, si Z = Y a , O ( Y ∞ a ) = O C [[ T a,s T a,s ]] / ( T a,s T a,s ) , O ( Y a ) = O C [[ T a,s T a,s ]] / ( T a,s T a,s − p µ ( a ) ) , et on dispose d’un isomorphisme O C -linéaire (32) qui envoie T ka,s i sur T ka,s i , si k ≥ ;l’isomorphisme correspondant Ω ( Y ∞ a ) ∼ → Ω ( Y a ) envoie T ka,s i dT a,si T a,si sur T ka,s i dT a,si T a,si si k ≥ (pour k = 0 les deux valeurs obtenues coïncident puisque dT a,s T a,s + dT a,s T a,s = 0 ).Le lemme 4.13 permet de montrer que ceci définit un p N ( S ) -quasi-isomorphisme C • dR ( Y ∞ S ) → C • dR ( Y S ) , ce qui permet de conclure. . — Le groupe H ( Y S ) peut avoir de latorsion d’exposant non borné (c’est effectivement le cas si Y est un affinoïde) ; on note H ( Y S ) sep son quotient par l’adhérence H ( Y S ) tors du sous-groupe de torsion : ona H ( Y ) = C ⊗ O C H ( Y S ) et C ⊗ O C H ( Y S ) sep est le séparé de H ( Y ) (i.e. sonquotient par l’adhérence de ). Exemple 6.13 . — (i) Si Y est propre, H ( Y S ) est sans torsion et H ( Y S ) sep = H ( Y S ) .(ii) Si Y est la fibre générique d’un O C -short Y S , alors H ( Y S ) sep est le O C -module M ♯ de la prop. 5.19 ; il est de rang fini, mais la torsion de H ( Y S ) est d’exposantnon borné.On note Γ int le sous-graphe de Γ dont les sommets sont S int et les arêtes A int , i.e.l’ensemble des a ∈ A telles que S ( a ) ⊂ S int ; alors Γ int est un graphe compact. Théorème 6.14 . — (i)
Le groupe H ( Y S ) sep est de rang fini et admet une filtrationnaturelle dont les quotients successifs, à p N ( S ) près, sont : H ( Y S ) sep = (cid:2) H (Γ int , O C ) Q s ∈ S H ( Y ♦ s ) sep0 H c (Γ , O C ) ∗ (cid:3) . Ce n’est pas un morphisme d’anneaux puisque T a,s T a,s = 0 dans O ( Y ∞ a ) et T a,s T a,s =˜ p µ ( a ) dans O ( Y a ) . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES (ii) Le groupe H ( Y ) sep est de dimension finie et admet une filtration naturelledont les quotients successifs sont : H ( Y ) sep = (cid:2) H (Γ int , C ) Q s ∈ Σ( Y ) ( C ⊗ O C H ( Y ♦ s ) sep0 ) H c (Γ , C ) ∗ (cid:3) . Démonstration . — Le (ii) se déduit du (i) en inversant p et en éliminant les P superflus (cf. rem. 6.9).Prouvons le (i). Comme le quotient H c (Γ , O C ) ∗ de H ( Y S ) est séparé, on a unesuite exacte → H ( Y ) sep0 → H ( Y S ) sep → H c (Γ , O C ) ∗ → . Maintenant, si on note M l’intersection de H (Γ , O C ) et de l’adhérence de ( H ( Y S ) ) tors , une petite chasse au diagramme fournit la suite exacte : → H (Γ , O C ) /M → H ( Y S ) sep0 → Y s H ( Y ♦ s ) sep0 → . Comme les H ( Y ♦ s ) sep0 sont de rang fini (c’est clair si Y ♦ s est propre, et si Y ♦ s est unshort, cela résulte de la prop. 5.20), on en déduit que H ( Y S ) sep est de rang fini.Pour terminer la preuve du théorème, il ne reste donc plus qu’à déterminer M , cequi fait l’objet du lemme 6.15 ci-dessous. Lemme 6.15 . —
On a
Ker (cid:2) H (Γ , O C ) → H ( Y S ) sep (cid:3) = Ker (cid:2) H (Γ , O C ) → H (Γ int , O C ) (cid:3) . Démonstration . — On note A ext l’ensemble des a ∈ A telles que S ( a ) ⊂ ∂Y et A bord = A K ( A ext ∪ A int ) l’ensemble des a dont une extrémités appartient à ∂Y et l’autre à A int (on note s = s ( a ) celle appartenant à A int et s = s ( a ) celleappartenant à ∂Y ).On note Y ′ S la courbe obtenue en remplaçant p µ ( a ) par si a ∈ A bord dans lepatron de Y S . Cela remplace les Y a , pour a ∈ A bord , par la réunion Y ′ a de deux disques B a,s , B a,s attachés en un point P a . On note Y ′ S, int la réunion des Y s pour s ∈ S int ,des Y a pour a ∈ A int , et des B a,s pour a ∈ A bord ; c’est un modèle semi-stable d’unecourbe propre.Les mêmes arguments que pour la preuve de la prop. 6.12 montrent que les com-plexes C • dR ( Y S ) et C • dR ( Y ′ S ) sont p N ( S ) -quasi-isomorphes, et qu’on peut calculer H ( Y S ) (à p N ( S ) près) en utilisant C • dR ( Y ′ S ) .La restriction fournit une flèche naturelle H ( Y ′ S ) → H ( Y ′ S, int ) . Comme Y ′ S, int est propre, H ( Y ′ S, int ) est séparé et la flèche ci-dessus se factorise à tra-vers H ( Y ′ S ) sep0 . De plus, cette flèche induit, par restriction, la flèche naturelle H (Γ , O C ) → H (Γ int , O C ) , et comme cette dernière flèche est surjective, on endéduit que le membre de gauche dans l’énoncé du lemme est inclus dans le membrede droite. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Pour prouver l’égalité, il s’agit donc de prouver que
Ker (cid:2) H (Γ , O C ) → H (Γ int , O C ) (cid:3) est dans l’adhérence de dans H ( Y S ) . Or ce noyau est engendré par des classes dela forme e a,s = (( ω i ) i , ( g i,j ) i,j ) , où S ( a ) = { s, s ′ } et s ∈ ∂Y , avec ω i = 0 pour tout i , g a,s ′ = 1 et g i,j = 0 si ( i, j ) = ( a, s ′ ) .Comme k C ⊗ Y ♦ s est affine puisque s ∈ ∂Y , on peut trouver φ ∈ O ( Y ♦ s ) telle que φ ( P a ) = 1 et φ ( P b ) = 0 si b ∈ A ( s ) K { a } .Soit α ∈ p O C . Si n ∈ N , alors φ n = p n log(1 + ( α /p n − φ ) ∈ O ( Y ♦ s ) . On peutdonc considérer le bord c n de ( g i,n ) i ∈ I , où g i,n = 0 si i / ∈ { s } ` A ( s ) et g i,n = φ n si i ∈ { s } ` A ( s ) . Le lemme suivant montre que (log α ) e a,s est dans l’adhérence de dans H ( Y S ) , ce qui permet de conclure. Lemme 6.16 . —
Il existe N ∈ N tel que, si n ≥ N , alors c n − (log α ) e a,s est divisiblepar p n − N .Démonstration . — dg i,n est divisible par p n et, sur Y i,j , on a g i,n − g j,n = 0 saufsi ( i, j ) = ( b, t ) , avec b ∈ A ( s ) et t est l’autre extrémité de b , où g t,n = 0 , mais g b,n = φ n = 0 : • Si b = a , comme φ ( P a ) = 1 , on a v Y b,t ( α /pn − φα /pn − ≥ µ ( a ) , et il existe N ( a ) (ne dépendant que µ ( a ) ) tel que v Y b,t ( φ n − log α ) ≥ n − N ( a ) . • Si b ∈ A ( s ) K { a } , comme φ ( P b ) = 0 , on a v Y b,t ((1 + ( α /p n − φ ) − ≥ µ ( b ) ,et donc v Y b,t ( φ n ) ≥ n − N ( b ) .Ceci permet de conclure. • Si s ∈ S , on choisit un modèle ˘ Y s de Y s sur O ˘ C et un frobenius ϕ sur O ( ˘ Y s ) . Onpose O ( e Y s ) := A cris b ⊗ O ˘ C O ( ˘ Y s ) ; on a bien évidemment O ( ˘ Y s ) = O ˘ C b ⊗ A cris O ( e Y s ) et O ( Y s ) = O C b ⊗ A cris O ( e Y s ) . Soit r ( S ) = p − N ( S ) , de telle sorte que T a,s ∈ O ( ˘ Y s ) + p r ( S ) O ( Y s ) , pour tout ( a, s ) ∈ I ,c . On peut donc écrire T a,s , sur Y s , sous la forme T a,s = T a,s, + p r ( S ) T ′ a,s , avec T a,s, ∈ O ( ˘ Y s ) et T ′ a,s ∈ O ( Y s ) .On choisit un relèvement ˜ T ′ a,s de T ′ a,s dans O ( e Y s ) , et on pose ˜ T a,s = T a,s, + ˜ p r ( S ) ˜ T ′ a,s ∈ O ( e Y s ) . • Si a ∈ A c , on pose O ( e Y a ) := A cris [[ T a,s , T a,s ]] / ( T a,s T a,s − ˜ p µ ( a ) ) . On a O ( Y a ) = O C b ⊗ A cris O ( e Y a ) . • Si s ∈ S ( a ) , on pose O ( e Y a,s ) := A cris [[ T a,s , T − a,s i . Si h ≥ , on note O ( e Y a,s ) PD h le complété p -adique de l’enveloppe à puissances divisées logarithmiques partielles, OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES de niveau h , du noyau de O ( e Y a ) b ⊗ A cris O ( e Y s ) → O ( Y a,s ) : si U a,s = T a,s ⊗ ⊗ ˜ T a,s , on a unisomorphisme O ( e Y a,s ) PD h ∼ = O ( e Y a,s )[ ( U a,s − k [ k/p h ]! , k ∈ N ] p −∧ . Si h ≥ N ( S ) , on peut remplacer U a,s par U ′ a,s = T a,s ⊗ ⊗ T a,s, dans l’isomorphisme ci-dessuscar ˜ p r ( S ) a des puissances divisées partielles de niveau h . • Si Z = Y a , Y s , Y a,s , on note Ω j ( e Z ) le A cris -module Ω j O ( e Z ) / A cris , et Ω j ( e Y a,s ) PD le A cris -module Ω j O ( e Y a,s ) PD / A cris . On a bien sûr Ω j ( e Z ) = 0 si j ≥ (resp. j ≥ ) et Z = Y a , Y s (resp. Z = Y a,s ). Le lemme de Poincaré nous donne le résultat suivant : Lemme 6.17 . — Si h ≥ , le complexe de de Rham (cid:2) O ( e Y a,s ) → Ω ( e Y a,s ) (cid:3) est p h -quasi-isomorphe au complexe (cid:2) O ( e Y a,s ) PD h → Ω ( e Y a,s ) PD h d =0 (cid:3) . Notons que l’on peut munir O ( e Y s ) et O ( e Y a ) d’endomorphismes de Frobenius ( O ( e Y s ) par extension des scalaires à partir de O ( ˘ Y s ) qui est lisse sur O ˘ C , et O ( e Y a ) , en envoyant T i sur T pi ) ; cela munit aussi O ( e Y a,s ) PD h du frobenius produit tensoriel.On définit les H i dR ( e Y S ) , pour i ≤ , comme les groupes de cohomologie du com-plexe (33) C • dR ( e Y S ) := (cid:2) Q i ∈ I O ( e Y i ) / / Q i ∈ I Ω ( e Y i ) ⊕ Q ( i,j ) ∈ I ,c O ( e Y i,j ) PD / / Q ( i,j ) ∈ I ,c Ω ( e Y i,j ) PD d =0 (cid:3) , la première flèche étant (( f i ) i ) (( df i ) i , ( f i ⊗ − ⊗ f j ) i,j ) , et la seconde étant (( ω i ) i , ( f i,j ) i,j ) ( ω i ⊗ − ⊗ ω j − df i,j ) i,j . Notons que ϕ commute aux flèchesci-dessus et donc les H i dR ( e Y S ) sont munis d’une action de ϕ . Remarque 6.18 . — (i) Les techniques cristallines à base de lemme de Poincaré per-mettent de montrer que les H i dR ( e Y S ) , ainsi que l’action de ϕ , ne dépendent pas deschoix faits : nous laissons au lecteur le soin de vérifier que les H i dR ( e Y S ) sont les groupesde cohomologie cristalline logarithmique absolue (i.e. sur Z p ) de ( O C /p ) ⊗ Y S .(ii) Si on remplace PD par PD h dans la définition ci-dessus, on obtient un complexe p h -quasi-isomorphe d’après le lemme 6.17.(iii) On pourrait remplacer A cris par A inf dans les définitions des O ( e Z ) et utiliserle cas R = A inf du n o e Y S ayant Y S et ˘ Y S commespécialisations. Malheureusement, on ne peut pas munir e Y S d’un frobenius global, etson existence n’aide pas pour munir la cohomologie d’une action de ϕ .Le complexe C • dR ( e Y S ) est le cylindre (cid:2) Y i ∈ I Ω • ( e Y i ) → Y ( i,j ) ∈ I ,c Ω τ ≤ ( e Y i,j ) (cid:3) .
33. On écrit PD pour PD . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Pour faire les calculs, on peut remplacer C • dR ( e Y S ) par le complexe quasi-isomorphe C • dR ( e Y S ) := (cid:2) Y i ∈ I Ω • ( e Y i ) → Y ( i,j ) ∈ I ,c Ω τ ≤ ( e Y i,j ) (cid:3) , où Ω τ ≤ ( e Y i,j ) est le complexe défini pour le lemme 4.14. . — On définit les H i dR ( ˘ Y S ) , pour i ≤ , commeles groupes de cohomologie du complexe C • dR ( ˘ Y S ) = O ˘ C ⊗ A cris C • dR ( e Y S ) . Comme θ : A cris → O ˘ C commute à ϕ , le complexe C • dR ( ˘ Y S ) est muni d’une action de ϕ etdonc les H i dR ( ˘ Y S ) aussi.On cherche à exprimer les H i dR ( e Y S ) en termes des H i dR ( ˘ Y S ) . Pour ce faire, onremplace PD par PD h dans la définition de C • dR ( e Y S ) , ce qui produit un complexe p N ( S ) -isomorphe, si h = N ( S ) . • Si i ∈ I ou si ( i, j ) ∈ I ,c , on pose O ( ˘ Y i ) = O ˘ C b ⊗ A cris O ( e Y i ) , O ( ˘ Y i,j ) PD h = O ˘ C b ⊗ A cris O ( e Y i,j ) PD h (Il n’y a pas de conflit de notations si i ∈ S .) On dispose de plongements naturels ι i : O ( ˘ Y i ) → O ( e Y i ) , ι i,j : O ( ˘ Y i,j ) PD h → O ( e Y i,j ) PD h • si i ∈ S , ce plongement est l’inclusion naturelle et est donc un morphismed’anneaux qui commute à ϕ . • Si ( i, j ) = ( a, s ) ∈ I ,c , ce plongement est l’inclusion O ( ˘ Y a,s )[ ( U ′ a,s − k [ k/p h ]! , k ∈ N ] p −∧ ֒ → O ( e Y a,s )[ ( U ′ a,s − k [ k/p h ]! , k ∈ N ] p −∧ (on a O ( ˘ Y a,s ) = O ˘ C [[ T a,s , T − a,s i ) ; c’est un morphisme d’anneaux qui commute à ϕ . • Si i = a ∈ A , on a O ( ˘ Y a ) = O ˘ C [[ T a,s , T a,s ]] / ( T a,s T a,s ) , O ( e Y a ) = A cris [[ T a,s , T a,s ]] / ( T a,s T a,s − ˜ p µ ( a ) ) , et ι a est l’application O ˘ C -linéaire qui envoie T ka,s i sur T ka,s i . Ce n’est pas un morphismed’anneaux puisque T a,s T a,s = 0 dans O ( ˘ Y a ) et T a,s T a,s = ˜ p µ ( a ) dans O ( e Y a ) , mais ι a commute à ϕ . Lemme 6.19 . —
La flèche ι : C • dR ( ˘ Y S ) → C • dR ( e Y S ) , induite par les ι s , ι a , ι a,s , estun p N ( S ) -morphisme de complexes qui commute à ϕ .Démonstration . — C’est une conséquence du lemme 4.14 (et du fait que les ι s , ι a , ι a,s commutent à ϕ ).On en déduit le résultat suivant. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Corollaire 6.20 . —
On a des p N ( S ) -isomorphismes (le premier de chaque ligne com-mute à ϕ ) : A cris b ⊗ O ˘ C C • dR ( ˘ Y S ) ∼ = C • dR ( e Y S ) et O C b ⊗ O ˘ C C • dR ( ˘ Y S ) ∼ = C • dR ( Y S ) , A cris ⊗ O ˘ C H ( ˘ Y S ) sep ∼ = H ( e Y S ) sep et O C ⊗ O ˘ C H ( ˘ Y S ) sep ∼ = H ( Y S ) sep . On définit les groupes de cohomologie de Hyodo-Kato H i HK ( Y ) par : H i HK ( Y ) := ˘ C ⊗ O ˘ C H i dR ( ˘ Y S ) = ˘ C ⊗ A cris H i dR ( e Y S ) . (Ces groupes ne dépendent pas de S ). Par construction, ce sont des ˘ C -espaces etils sont munis d’une action semi-linéaire de ϕ ; on les munit aussi d’un opérateur demonodromie N vérifiant N ϕ = pϕN (cf. rem. 6.22 ci-dessous). Le cor. 6.20 a pourconséquence immédiate l’énoncé suivant dans lequel on a posé H ( e Y ) = Q p ⊗ Z p H ( e Y S ) (le résultat ne dépend pas de S ). Théorème 6.21 . — (i)
On a des isomorphismes (le premier commute à ϕ ) : B +cris ⊗ ˘ C H ( Y ) sep ∼ = H ( e Y ) sep et ι HK : C ⊗ ˘ C H ( Y ) sep ∼ = H ( Y ) sep . (ii) H ( e Y ) sep est un B +cris -module libre de rang fini et on a des identifications C ⊗ B +cris H ( e Y ) sep = H ( Y ) sep et ˘ C ⊗ B +cris H ( e Y ) sep = H ( Y ) sep , la seconde étant ϕ -équivariante. Remarque 6.22 . — (o) ι HK est l’isomorphisme de Hyodo-Kato .(i) En reprenant les arguments des preuves de la prop. 6.8 et du th. 6.14, on obtientles résultats suivants, si Z = e Y , ˘ Y , et si Λ Z = A cris ou O ˘ C suivant que Z = e Y ou Z = ˘ Y : le groupe H ( Z S ) a une filtration stable par ϕ dont les quotientssuccessifs sont, à p N ( S ) près, H ( Z S ) = (cid:2) H (Γ , Λ Z ) Q s ∈ S H ( Z ♦ s ) H c (Γ , Λ Z ) ∗ ( − (cid:3) . Le (-1) signifie que l’action naturelle de ϕ est multipliée par p (car ϕ ( dT a,s T a,s ) = p dT a,s T a,s ) .(ii) En utilisant l’isomorphisme C ⊗ ˘ C H ( Y ) sep ∼ = H ( Y ) sep , le th. 6.14 et laprop. 5.20, on prouve que le groupe H ( Y ) sep admet une filtration naturelle stablepar ϕ dont les quotients successifs sont (34) : H ( Y ) sep = (cid:2) H (Γ int , ˘ C ) (cid:0) Q s ∈ Σ( Y ) int H ( Y sp s ) (cid:1) ⊕ (cid:0) Q s ∈ ∂Y H ( Y sp s ) [1] (cid:1) H c (Γ , ˘ C ) ∗ ( − (cid:3) .
34. Rappelons que M [1] désigne la partie de pente d’un ˘ C -espace M de dimension finie munid’une action semi-linéaire de ϕ . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ (iii) L’opérateur N µ : H c (Γ , Λ Z ) ∗ → H (Γ , Λ Z ) du n o N ◦ N = 0 et N ϕ = pϕN , et compatibles entre eux (parextension des scalaires) N : H ( e Y ) → H ( e Y ) , N : H ( Y ) sep → H ( Y ) sep . p -adique . — Si i ∈ I , on note F O ( e Y i ) le noyau du mor-phisme surjectif O ( e Y i ) → O ( Y i ) , et si ( i, j ) ∈ I ,c , on note F O ( e Y i,j ) PD le noyau de O ( e Y i,j ) PD → O ( Y i,j ) .On note Syn( Y S , le complexe total associé au complexe double Q i ∈ I F O ( e Y i ) / / − ϕp (cid:15) (cid:15) Q i ∈ I Ω ( e Y i ) ⊕ Q ( i,j ) ∈ I ,c F O ( e Y i,j ) PD / / − ϕp (cid:15) (cid:15) − ϕp (cid:15) (cid:15) Q ( i,j ) ∈ I ,c Ω ( e Y i,j ) PD d =01 − ϕp (cid:15) (cid:15) Q i ∈ I O ( e Y i ) / / Q i ∈ I Ω ( e Y i ) ⊕ Q ( i,j ) ∈ I ,c O ( e Y i,j ) PD / / Q ( i,j ) ∈ I ,c Ω ( e Y i,j ) PD d =0 Les H i syn ( Y S , sont les groupes de cohomologie du complexe Syn( Y S , . . — Si u = ( u n ) n ∈ Symb p ( Y ) , et si i ∈ I , onchoisit des relèvements ˜ u i,n et ( u n ) | Y i comme précédemment, ce qui permet d’associerà u un -cocycle (( x i , y i ) i , ( z i,j ) i,j ) de Syn( Y S , , en posant ( x i , y i ) = δ Y i ( u | Y i ) = (cid:0) lim n →∞ d ˜ u i,n ˜ u i,n , lim n →∞ p log ϕ (˜ u i,n )˜ u pi,n (cid:1) ,z i,j = lim n →∞ log ˜ u i,n ⊗ ⊗ ˜ u j,n (on a z i,j ∈ F O ( e Y i,j ) car u i,n et u j,n coïncident sur Y i,j ). L’image δ ˜ p ( u ) de ce -cocycle dans H ( Y S , ne dépend que de u , ce qui fournit une application δ ˜ p : Symb p ( Y ) → H ( Y S , . Remarque 6.23 . — L’application δ ˜ p : Symb p ( Y ) → H ( e Y S ) ϕ = p dépend du choix de r p r . En effet, si on modifie r p r , cela change ˜ p en ˜ p [ ε ] , avec ε = (1 , ε , . . . ) ∈ O C ♭ , et cela change T a,s en [ ε µ ( a ) ] T a,s sur e Y a , et donc aussi z a,s en z a,s + Res a ( duu ) µ ( a ) log[ ε ] . Théorème 6.24 . —
L’application δ ˜ p : Symb p ( Y ) → H ( Y S , définie ci-dessusest un isomorphisme si p > ( si p = 2 , c’est presque un isomorphisme ) . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Démonstration . — On a un diagramme commutatif dans lequel les suites horizontalessont exactes : / / H (Γ , Z p (1)) ≀ (cid:15) (cid:15) / / Symb p ( Y ) / / (cid:15) (cid:15) Q i ∈ I Symb p ( Y i ) / / ≀ (cid:15) (cid:15) Q ( i,j ) ∈ I ,c Symb p ( Y i,j ) ≀ (cid:15) (cid:15) / / H (Γ , Z p t ) / / H ( Y S , / / Q i ∈ I H ( Y i , / / Q ( i,j ) ∈ I ,c H ( Y i,j , Les isomorphismes verticaux sont établis dans la prop. 5.27 pour les Y i avec i ∈ S , etdans la prop. 4.11 pour les Y i , avec i ∈ A , et les Y i,j . Le résultat s’en déduit.En combinant le résultat précédent avec celui du cor. 5.5, on obtient : Corollaire 6.25 . —
On a des isomorphismes naturels si p > ( si p = 2 , la flèchede droite est un isomorphisme, celle de gauche est presque un isomorphisme ) H ( Y S , ∼ ←− Symb p ( Y ) ∼ −→ H ( Y, Z p (1)) . . — On note HK( Y S , le complexe Syn( Y S , avec F O ( e Z ) remplacé par O ( e Z ) et O ( e Z ) par O ( e Z ) ′ = O ( e Z ) + ϕp O ( e Z ) , si Z = Y i , Y i,j . Le quotient HK( Y S , / Syn( Y S , est p -isomorpheau complexe (cid:2) Y i ∈ I O ( Y i ) → Y ( i,j ) ∈ I ,c O ( Y i,j ) (cid:3) qui calcule la cohomologie du faisceau O .On note HK iS les groupes de cohomologie du complexe HK( Y S , . On a une suite p -exacte longue → H ( Y S , → HK S → O ( Y S ) → H ( Y S , → HK S → H ( Y S , O ) → H ( Y S , → HK S → . Proposition 6.26 . —
On a une suite p -exacte → O ( Y S ) / O C → H ( Y S , → H ( e Y S ) ϕ = p → H ( Y S , O ) Démonstration . — On a HK S = H ( e Y S ) ϕ = p = A ϕ = p cris ; on en déduit que H ( Y S ,
1) = ( F A cris ) ϕ = p = Z p t et HK S /H ( Y S , ∼ = O C . Par ailleurs,
HK( Y S , est le cylindre [ C dR ( e Y S ) − ϕp / / C dR ( e Y S ) ′ ] , où C dR ( e Y S ) ′ estobtenu à partir de C dR ( e Y S ) en remplaçant O ( e Z ) par O ( e Z ) ′ si Z = Y i , Y i,j . et comme − ϕp est surjectif de H ( C dR ( e Y S )) sur H ( C dR ( e Y S ) ′ ) , on a HK S = H ( e Y S ) ϕ = p . Onen déduit le résultat. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Remarque 6.27 . — (i) Si Y est propre, alors O ( Y S ) = O C et la suite devient → H ( Y S , → H ( e Y S ) ϕ = p → H ( Y S , O ) → H ( Y S , → · · · (ii) Si Y est un affinoïde, alors H ( Y S , O ) est tué par une puissance de p , et latorsion de H ( e Y S ) ϕ = p est d’exposant non borné.(iii) Une classe de H ( Y S , est représentée par une collection (( ω i ) i , ( f i,j ) i,j , ( g i ) i ) satisfaisant un certain nombre de relations dont ω i ⊗ − ⊗ ω j = df i,j . Cette relation,modulo F , devient ω i − ω j = 0 , ce qui fournit une flèche H ( Y S , → Ω ( Y S ) . Demême, modulo F , le complexe C dR ( e Y S ) devient C dR ( Y S ) , ce qui fournit une flèche H ( e Y S ) → H ( Y S ) et un diagramme commutatif à lignes exactes / / O ( Y S ) / O C / / H ( Y S , / / (cid:15) (cid:15) H ( e Y S ) ϕ = p / / (cid:15) (cid:15) H ( Y S , O )0 / / O ( Y S ) / O C / / Ω ( Y S ) / / H ( Y S ) / / H ( Y S , O ) / / Remarque 6.28 . — (i) La flèche O ( Y S ) / O C → H ( Y S , admet la descriptionsuivante (35) . Si i ∈ I notons simplement R i , ˜ R i les anneaux O ( Y i ) , O ( e Y i ) , et R i,j , ˜ R i,j les anneaux O ( Y i,j ) , O ( e Y i,j ) , si ( i, j ) ∈ I ,c . Soit alors g ∈ O ( Y S ) . Si i ∈ I ,choisissons un relèvement ˜ g i de la restriction g i ∈ R i de g à Y i . La famille ˜ g =(( d ˜ g i ) i , ((1 − ϕp )˜ g i ) i , (˜ g i ⊗ − ⊗ ˜ g j ) i,j ) est un -cocycle du complexe Syn( Y S , , dontla classe de cohomologie ne dépend que de g , puisque, si ˜ g ′ est un autre choix, alors ˜ g ′ − ˜ g est le bord de (˜ g ′ i − ˜ g i ) i et ˜ g ′ i − ˜ g i ∈ F ˜ R i par construction.(ii) La recette ci-dessus fournit aussi une application naturelle O ( Y ) ∗∗ → H ( Y S , et, par continuité, une application naturelle Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y S , .Si f ∈ O ( Y ) ∗∗ , on choisit un relèvement ˜ f i ∈ ˜ R i de la restriction f i ∈ R i de f à U i . Comme v p ( f i − > , la série définissant log ˜ f i converge dans ˜ R i [ p ] ; notons ˜ g i sa somme. On a (1 − ϕp )˜ g i = p log( ϕ ( ˜ f i )˜ f pi ) ∈ ˜ R i car ϕ ( ˜ f i )˜ f pi ∈ p ˜ R i . On a aussi d ˜ g i = d ˜ f i ˜ f i ∈ ˜Ω i , et ˜ g i ⊗ − ⊗ ˜ g j = log ˜ f i ⊗ ⊗ ˜ f j ∈ F ˜ R i,j puisque ˜ f i ⊗ ⊗ ˜ f j ∈ F ˜ R i,j .La famille ˜ g = (( d ˜ g i ) i , ((1 − ϕp )˜ g i ) i , (˜ g i ⊗ − ⊗ ˜ g j ) i,j ) est un -cocycle du complexedouble Syn( Y S , , dont la classe de cohomologie ne dépend que de f puisque, si ˜ f ′ i est un autre relèvement de f , alors log ˜ f ′ i ˜ f i ∈ F ˜ R i puisque ˜ f ′ i ˜ f i ∈ F ˜ R i .
35. Elle n’est définie que sur le sous-groupe O ′ ( Y S ) des g tels que (1 − ϕp )˜ g i ∈ ˜ R i , pour tout i . Lequotient O ( Y S ) / O ′ ( Y S ) est tué par p . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES (iii) Les deux applications ci-dessus se correspondent via l’exponentielle : si g ∈ O ( Y S ) , alors exp(2 pg ) ∈ O ( Y ) ∗∗ et le diagramme suivant est commutatif : O ( Y S ) (cid:15) (cid:15) g exp(2 pg ) / / O ( Y ) ∗∗ (cid:15) (cid:15) H ( Y S , x px / / H ( Y S , (iv) La composée de O ( Y ) ∗∗ → H ( Y S , → H ( e Y S ) ϕ = p fournit des classesde torsion : si N ∈ N est tel que p N ˜ g i ∈ R i pour tout i , alors p N c est le bord de ( p N ˜ g i ) i ∈ I , et la classe de f dans HK S = H ( e Y S ) ϕ = p est tuée par p N . On en déduitque l’application composée Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y S , → ( H ( e Y S ) sep ) ϕ = p est identiquement nulle. . — Pour remédier au problème soulevé dans la rem. 6.23, on vaétendre les scalaires à A st = A cris [Log ˜ p ] PD , où log ˜ p est transcendant sur A cris , pourfaire disparaître la « monodromie autour de p ». On munit A st d’une action de ϕ en posant ϕ (Log ˜ p ) = p Log ˜ p et de la dérivation N = dd Log ˜ p . On a N ϕ = pϕN etune suite exacte → A cris → A st N → A st → . Notons que A st contient log(˜ p [ ε ]) =Log ˜ p + log[ ε ] puisque log[ ε ] ∈ A cris , et comme ϕ (log[ ε ]) = p log[ ε ] , ni A st , ni ϕ ni N ne dépendent du choix de ˜ p (ou, ce qui revient au même, de r p r ).Sur A st b ⊗ A cris H ( e Y S ) , on dispose du frobenius ϕ = ϕ ⊗ ϕ et de la monodromie N = N ⊗ ⊗ N , et comme N = 0 sur H ( e Y S ) , l’application x ι ˜ p ( x ) = 1 ⊗ x − (Log ˜ p ) ⊗ N x définit un isomorphisme ι ˜ p : H ( e Y S ) ∼ → ( A st b ⊗ A cris H ( e Y S )) N =0 qui commute à l’action de ϕ (et dépend de ˜ p ).Soit α : H ( Y S , → H ( e Y S ) ϕ = p la surjection naturelle (cf. (ii) de la rem. 6.27). Proposition 6.29 . —
L’application ι ˜ p ◦ α ◦ δ ˜ p : Symb p ( Y ) → ( A st b ⊗ A cris H ( e Y S )) N =0 et la suite exacte → O ( Y S ) / O C → Symb p ( Y ) → ( A st b ⊗ A cris H ( e Y S )) N =0 ,ϕ = p → ne dépendent pas de r p r .Démonstration . — Comme on l’a vu dans la rem. 6.23, changer ˜ p en ε ˜ p change les z a,s en z a,s + Res a ( duu ) µ ( a ) log[ ε ] . On en déduit la formule α ◦ δ ˜ p [ ε ] ( u ) = α ◦ δ ˜ p ( u ) + N ( α ◦ δ ˜ p ( u )) log[ ε ] . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Maintenant ι ˜ p [ ε ] ( x ) = 1 ⊗ x − (log ˜ p + log[ ε ]) ⊗ N x = ι ˜ p ( x ) − log[ ε ] ⊗ N x.
On en déduit l’identité ι ˜ p [ ε ] ( α ◦ δ ˜ p [ ε ] ( u )) = ι ˜ p ( α ◦ δ ˜ p ( u )) qui permet de conclure. . — Théorème 6.30 . — Si Y est un affinoïde, on a une suite p -exacte (36) → Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y S , → ( H ( e Y S ) sep ) ϕ = p → H ( Y S , O ) . Démonstration . — Il résulte du (iv) de la rem. 6.28 que l’on a un complexe Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y S , → ( H ( e Y S ) sep ) ϕ = p . • L’exactitude à gauche, i.e. l’injectivité de Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y S , , est uneconséquence du théorème de comparaison symboles-syntomique (th. 6.24) et de lasuite exacte de Kummer en cohomologie étale. • Pour prouver l’exactitude au milieu, partons d’un -cocycle c = (( ω i ) i , ( f i ) i , ( g i,j ) i,j ) dans l’adhérence de la torsion. Maintenant, c étant dans l’adhérence de la torsion, ilen est de même de sa restriction à Y i , et il existe ˜ v i ∈ Z p b ⊗ ˜ R ∗∗ i tel que ω i = d ˜ v i ˜ v i et f i = (1 − ϕp ) log ˜ v i (cf. prop. 5.27 si i ∈ S , et prop. 4.11 (plus lemme 4.4) si i ∈ A c ; enfait ˜ v i ∈ ˜ R ∗∗ i , si i ∈ A c , car ˜ R ∗∗ i est complet pour la topologie p -adique).Alors log ˜ v i ⊗ ⊗ ˜ v j = g i,j ∈ F ˜ R i,j . On en déduit, si v i = θ (˜ v i ) , que v i = v j (resp. v i = v j si p = 2 ) sur Y i,j car log v i = log v j (ce qui implique que le quotient est uneracine de l’unité d’ordre p N ) et log ˜ v i ⊗ ⊗ ˜ v j est entier, ce qui implique que cette racinede l’unité a un relèvement dans A cris dont le logarithme est entier, et donc est égaleà (ou à − si p = 2 ).Les v i (resp. les v i ) se recollent donc pour donner naissance à v ∈ Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ .Mais alors c − δ ˜ p ( v ) est dans l’adhérence de la torsion et dans H (Γ , A ϕ = p cris ) . Unepetite modification de la preuve du lemme 6.16 permet alors de prouver que c − δ ˜ p ( v ) est dans l’image de Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ , ce qui permet de conclure. • Comme Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ se surjecte sur ( H ( e Y S ) tors ) ϕ = p , et comme cette flèchese factorise à travers H ( Y S , dont l’image dans H ( Y S , O ) est nulle, cela in-duit, par passage au quotient, la flèche ( H ( e Y S ) sep ) ϕ = p → H ( Y S , O ) du théorème.L’exactitude en ( H ( e Y S ) sep ) ϕ = p est alors une conséquence de ce qui précède et de laprop. 6.26.Ceci permet de conclure.
36. Rappelons que H ( Y S , O ) est tué par p N , pour N assez grand. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Remarque 6.31 . — Il résulte du (iii) de la rem. 6.27 que la suite exacte du th. 6.30se complète en le diagramme commutatif suivant / / Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ / / H ( Y S , / / (cid:15) (cid:15) ( H ( e Y S ) sep ) ϕ = p / / (cid:15) (cid:15) / / Z p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ dlog / / Ω ( Y S ) / / H ( Y S ) sep / / dans lequel la ligne du haut est p N ( S ) -exacte et celle du bas est un complexe (exact àgauche et à droite mais pas au milieu). . — En modifiantle diagramme du (iii) de la rem. 6.27 grâce à l’isomorphisme du (i) du th. 6.21 età la suite exacte du th. 6.30, on obtient le résultat suivant, à la surjectivité près de ( B +st ⊗ H ( Y ) sep ) N =0 ,ϕ = p → H ( Y, O ) dans le cas compact (dans le cas non compact,on a H ( Y, O ) = 0 et cette surjectivité est triviale ; voir le (i) de la rem. 6.33 pour lecas compact). Théorème 6.32 . — Si Y est une courbe quasi-compacte, on a un diagramme com-mutatif dont la première ligne est exacte et la seconde est un complexe : / / Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ / / H ( Y, / / (cid:15) (cid:15) ( B +st ⊗ ˘ C H ( Y ) sep ) N =0 ,ϕ = p / / (cid:15) (cid:15) H ( Y, O ) / / / / Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ dlog / / Ω ( Y ) / / H ( Y ) sep / / H ( Y, O ) / / Remarque 6.33 . — (i) Si Y est propre, alors Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ = 0 , H ( Y ) sep = H ( Y ) , dim Q p H ( Y, Q p (1)) < ∞ , et la suite du haut devient → H ( Y, Q p (1)) → ( B +st ⊗ ˘ C H ( Y )) N =0 ,ϕ = p → H ( Y, O ) → . L’exactitude à droite peut se prouver en utilisant un argument de Dimensions d’Es-paces de Banach : ( B +st ⊗ H ( Y ) sep ) N =0 ,ϕ = p et H ( Y, O ) sont les C -points d’Espacesde Banach X st et X dR de Dimensions finies et la flèche ci-dessus s’étend en un mor-phisme f : X st → X dR . Si Y est de genre g , alors X dR est l’espace trivial V g , de Dimen-sion ( g, , tandis que X st est de dimension P r i ≤ (1 − r i , , où les r i sont les pentes de ϕ sur H ( Y ) avec multiplicité ; comme ≤ r i ≤ et r i − r i est une bijection del’ensemble des r i car le cup-produit induit un accouplement parfait, commutant à ϕ ,de H ( Y ) × H ( Y ) dans ˘ C ( −
1) = H ( Y ) , on a Dim( X st ) = ( g, g ) . On conclut enutilisant [ , cor. 5.17 (ii)] ou bien en utilisant le fait que dim Q p H ( Y, Q p (1)) = 2 g et la formule Dim(Im f ) = Dim( X st ) − Dim(Ker f ) = ( g, g ) − (0 , g ) = ( g,
0) = Dim( X dR ) . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ (ii) si Y n’est pas propre (i.e. Y est un affinoïde), alors H ( Y, O ) = 0 , et la suitedevient → Q p b ⊗ O ( Y ) ∗∗ → H ( Y, Q p (1)) → ( B +st ⊗ ˘ C H ( Y ) sep ) N =0 ,ϕ = p → . En particulier, H ( Y, Q p (1)) n’est pas de dimension finie sur Q p puisqu’il contient Q p ⊗ ( O ( Y ) ∗∗ / m C ) qui est un C -espace de dimension infinie (isomorphe à O ( Y ) /C par le logarithme).
7. Affinoïdes surconvergents
Dans ce chapitre, on regarde ce qui se passe quand on transforme un affinoïde encourbe sans bord en le rendant surconvergent : il est bien connu que cela simplifienettement la structure de la cohomologie de de Rham, et la cohomologie proétale p -adique prend aussi une forme plus sympathique (th. 7.6, la cohomologie proétale ℓ -adique, pour ℓ = p , quant à elle ne change pas). On donne aussi deux interprétationsdu groupe ( B +st ⊗ ˘ C H ( X )) N =0 ,ϕ = p , pour X courbe propre, en terme du revêtementuniversel du groupe p -divisible de la jacobienne de X , l’une (th. 7.9) via la descriptionde la cohomologie proétale p -adique, l’autre (th. 7.12) via l’intégration p -adique. . — Soit Y un affinoïde lisse de di-mension sur C . On fixe une structure surconvergente Y † sur Y : on plonge Y dansl’intérieur d’une courbe quasi-compacte X (par exemple en recollant des boules ou-vertes le long des cercles fantômes à la frontière de Y pour obtenir (cf. prop. 3.15) unecourbe propre). Si δ > , on note Y δ l’affinoïde des x ∈ X , avec d ( x, Y ) ≤ δ (où X est vu comme un espace de Berkovich, et donc comme un graphe métrisé), et alors Y † est la limite projective des Y δ , pour δ > , et O ( Y † ) = lim −→ δ> O ( Y δ ) est l’anneau des fonctions surconvergentes sur Y . Si δ est assez petit, alors Y δ K Y estcontitué de couronnes, une par cercle fantôme à la frontière de Y , ouvertes du côté de Y et fermées de l’autre côté : si X est obtenu en recollant des boules ouvertes D − i , onpeut identifier D − i à la boule unité modulo le choix d’un paramètre local z i , et alors Y δ K Y est la réunion des couronnes { z i ∈ D − i , < v p ( z i ) ≤ δ } . . — On définit les H i dR ( Y † ) comme les groupes decohomologie du complexe O ( Y † ) → Ω ( Y † ) . On a H ( Y † ) = C et H ( Y † ) = lim −→ δ> H ( Y δ ) . Proposition 7.1 . —
L’application naturelle H ( Y † ) → H ( Y ) sep est surjective. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Démonstration . — Fixons δ > . Si ω ∈ Ω ( Y ) , on peut écrire ω comme la limited’une suite ( ω n ) n ≥ , avec ω n ∈ Ω ( Y δ ) , la suite convergeant dans Ω ( Y ) mais, engénéral, pas dans Ω ( Y δ ) .Soit W = H ( Y ) sep , et soit pr : Ω ( Y ) → W la projection naturelle. Alors W estde dimension finie ; choisissons en une base e , . . . , e d , et munissons W de la valuation v W ( x e + · · · + x d e d ) = inf i v p ( x i ) . Choisissons ω i ∈ Ω ( Y ) ayant pour image e i ,et écrivons ω i comme la limite d’une suite ( ω i,n ) n ≥ comme ci-dessus. Alors pr( ω i,n ) tend vers e i , et il existe n i tel que f i = pr( ω i,n i ) vérifie v W ( e i − f i ) > . Les f i formentdonc une base de W , qui est incluse dans l’image de la flèche H ( Y † ) → H ( Y ) sep .Ceci permet de conclure.Si β > α > , on choisit une triangulation de Y β adaptée à Y α et Y (on peutsupposer, ce que nous ferons, que S β K S α = ∂Y β ). Cela nous fournit des modèles sur O C , semi-stables, Y S ⊂ Y S α ⊂ Y S β de Y ⊂ Y α ⊂ Y β . On note Γ ⊂ Γ α ⊂ Γ β les graphescorrespondants : ces graphes ont la même cohomologie car on passe de l’un à l’autreen changeant juste les longueurs des arêtes issues des points de ∂ ad Y (et en rajoutantdes points sur ces arêtes). Lemme 7.2 . —
L’application naturelle H ( Y β ) → H ( Y α ) se factorise à travers H ( Y β ) sep .Démonstration . — Si δ = α, β , notons H ( Y δ ) le noyau de l’application ω Res( ω ) , i.e. Ker[ H ( Y δ ) → H c (Γ δ , C ) ∗ ] . Comme H c (Γ , C ) ∗ , qui est isomorphe à H ( Y δ ) /H ( Y δ ) , est un quotient de H ( Y δ ) sep , il suffit de prouver l’énoncé pour H ( Y β ) → H ( Y α ) .La prop. 6.8 nous donne (après avoir inversé p ) un diagramme commutatif, dontles lignes sont p N -exactes (avec N dépendant de α et β ) / / H (Γ β , C ) / / H ( Y β ) / / (cid:15) (cid:15) Q s ∈ S β H ( Y ♦ β,s ) / / (cid:15) (cid:15) / / H (Γ α , C ) / / H ( Y α ) / / Q s ∈ S α H ( Y ♦ α,s ) / / La flèche de droite est le produit sur s ∈ S β des flèches naturelles : • si s ∈ S α K ∂Y α , alors Y ♦ β,s = Y ♦ α,s et la flèche correspondante est l’identité, • si s ∈ ∂Y α , alors Y ♦ β,s est une compactification de Y ♦ α,s obtenue en recollant desboules ouvertes le long des cercles fantômes appartenant à Y s à la frontière de Y α etla flèche est l’injection naturelle, • si s ∈ ∂Y β , la flèche correspondante est identiquement nulle.On conclut en utilisant le th. 6.14, qui fournit une suite exacte → H (Γ β, int , C ) → H ( Y β ) sep0 → Y s ∈ S β H ( Y ♦ β,s ) sep0 → , PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ le fait que Γ δ, int et Γ δ ont même cohomologie, si δ = α, β , et les égalités H ( Y ♦ β,s ) sep0 = H ( Y ♦ β,s ) = H ( Y ♦ β,s ) , si s ∈ S β K ∂S β (car Y ♦ β,s est propre), et H ( Y ♦ β,s ) sep0 = 0 si s ∈ ∂S β (car Y β,s est un disque). Corollaire 7.3 . — (i) Si δ > , l’application naturelle H ( Y δ ) → H ( Y † ) induitun isomorphisme H ( Y δ ) sep ∼ → H ( Y † ) . (ii) Le groupe H ( Y † ) est de rang fini et admet une filtration naturelle dont lesquotients successifs sont : H ( Y † ) = (cid:2) H (Γ , C ) Q s ∈ Σ( Y ) H ( Y ♦ s ) H c (Γ , C ) ∗ (cid:3) . Démonstration . — D’après le lemme 7.2, on a H ( Y † ) = lim −→ δ> H ( Y δ ) sep . Or ondéduit du th. 6.14 que H ( Y β ) sep → H ( Y α ) sep est un isomorphisme si β > α (lasurjectivité est immédiate sur la description du théorème, et l’injectivité résulte de ceque H ( Y ♦ s ) sep0 = 0 si s ∈ ∂Y δ car s est un cercle et Y ♦ s est un disque).Cela prouve le (i), et le (ii) s’en déduit en utilisant de nouveau le th. 6.14, le faitque Γ δ, int et Γ δ ont même cohomologie si δ > , et le fait que H ( P ) = 0 pourpasser de S à Σ( Y ) . . — Si β > α , on a un morphisme de complexes C • dR ( e Y β ) → C • dR ( e Y α ) (comme ci-dessus, ce morphisme est l’identité sur toutes lescomposantes Y a , Y s , Y a,s , pour a ∈ A α et s ∈ S α , et est l’application nulle sur lesautres).On en déduit une application naturelle H ( Y β ) → H ( Y α ) commutant à ϕ et N et qui se factorise à travers H ( Y β ) sep , et on définit H ( Y † ) par H ( Y † ) := lim −→ δ> H ( Y δ ) = lim −→ δ> H ( Y δ ) sep . Les isomorphismes C ⊗ ˘ C H ( Y δ ) sep ∼ = H ( Y δ ) sep ∼ = H ( Y † ) montrent que l’appli-cation naturelle H ( Y δ ) sep → H ( Y † ) est un isomorphisme pour tout δ > . Enreprenant les arguments de la preuve du cor. 7.3, on déduit de la rem. 6.22 le résultatsuivant : Proposition 7.4 . —
Le groupe H ( Y † ) est de rang fini sur ˘ C et admet une filtra-tion naturelle dont les quotients successifs sont : H ( Y † ) = (cid:2) H (Γ , ˘ C ) Q s ∈ Σ( Y ) H ( Y sp s ) H c (Γ , ˘ C ) ∗ ( − (cid:3) . Remarque 7.5 . — En passant à la limite dans le (i) du th. 6.21, on en déduit unisomorphisme ι HK : C ⊗ ˘ C H ( Y † ) ∼ = H ( Y † ) . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES p -adique . — On définit H ( Y † , Q p (1)) par : H ( Y † , Q p (1)) := lim −→ δ> H ( Y δ , Q p (1)) . (Notons que H ( Y δ , Q p (1)) = H ( Y δ , Q p (1)) car Y δ est quasi-compact.)En passant à la limite quand δ → dans le diagramme du th. 6.32, et en utili-sant l’isomorphisme H ( Y δ , ∼ = H ( Y δ , Q p (1)) du cor. 6.25, on obtient le résultatsuivant. Théorème 7.6 . — Si Y † est un affinoïde surconvergent, on a le diagramme commu-tatif fonctoriel d’espaces vectoriels topologiques suivant : / / O ( Y † ) /C exp / / H ( Y † , Q p (1)) (cid:15) (cid:15) / / ( B +st ⊗ ˘ C H ( Y † )) N =0 ,ϕ = p / / θ ⊗ ι HK (cid:15) (cid:15) / / O ( Y † ) /C d / / Ω ( Y † ) π dR / / H ( Y † ) / / dans lequel les lignes sont exactes et toutes les flèches sont d’image fermée.Démonstration . — Comme Q p b ⊗ C ∗ = 0 , on peut supposer que toutes les fonctionsqui interviennent prennent la valeur en Q , où Q ∈ Y est fixé. Sous cette hypothèse,si < δ ′ < δ , et si g ∈ O ( Y δ ) ∗∗ , alors g ∈ p δ − δ ′ O ( Y δ ′ ) d’après la prop. 2.9 (car g − s’annule sur Y δ , en Q ). Il en résulte que, si ( f n ) n ∈ N est une suite d’éléments de O ( Y δ ) ∗∗ , alors Q n ∈ N f p n n converge dans O ( Y δ ′ ) ∗ . On en déduit que lim −→ Q p b ⊗ ( O ( Y δ ) ∗∗ /C ∗ ) = Q p ⊗ ( O ( Y † ) ∗∗ /C ∗ ) , ce qui fournit le diagramme ci-dessus avec Q p ⊗ ( O ( Y † ) ∗∗ /C ∗ ) au lieu de O ( Y † ) /C .On conclut en utilisant le fait que log f converge dans O ( Y † ) si f ∈ O ( Y † ) ∗∗ , et que log induit un isomorphisme Q p ⊗ ( O ( Y † ) ∗∗ /C ∗ ) ∼ = O ( Y † ) /C. Les flèches horizontales sont d’image fermée car H ( Y † ) est séparé, et donc H ( Y † ) aussi. La flèche verticale de droite est d’image fermée car c’est la trace sur les C -pointsd’un morphisme d’Espaces de Banach de Dimensions finies [ ] (on peut aussi utiliser[ , Lemma 3.3] au lieu de la théorie des Espaces de Banach de Dimension finie). Celaimplique que la flèche verticale du milieu est d’image fermée (le conoyau s’injecte dansun espace séparé). Remarque 7.7 . — Si ℓ = p , il résulte du th. 6.3 que l’application naturelle H ( Y δ , Q ℓ (1)) → H ( Y, Q ℓ (1)) est un isomorphisme pour tout δ > . Ils’ensuit que l’on a un isomorphisme H ( Y † , Q ℓ (1)) ∼ −→ H ( Y, Q ℓ (1)) , PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ et donc que rendre un affinoïde surconvergent ne change pas sa cohomologie proétale ℓ -adique, si ℓ = p ; c’est très loin d’être le cas si ℓ = p comme le montre une comparaisondes th. 7.6 et 6.32 (ou plutôt du (ii) de la rem. 6.33). p -divisible de la jacobienne . — Soit X unecourbe propre définie sur un sous-corps complet K de C ; notons J sa jacobienne. Onnote b J l’ensemble des suites x = ( x n ) n ∈ Z d’éléments de J ( C ) telles que x n = p · x n +1 ,pour tout n ∈ Z , et x n → quand n → −∞ . Alors b J est un Q p -espace vectoriel munid’une action continue de G K et contenant V p ( J ) = Q p ⊗ Z p T p ( J ) (qui n’est autre quele sous- Q p -espace vectoriel des x = ( x n ) n ∈ Z , avec x n = 0 si n ≪ ). L’applicationlogarithme log J : J ( C ) → C ⊗ K Lie( J ) induit une application log J : b J → C ⊗ K Lie( J ) (envoyant ( x n ) to p n log J x n , pour n’importe quel choix de n ), et donne naissance àla suite exacte → V p ( J ) → b J → C ⊗ K Lie( J ) → de G K -modules. Remarque 7.8 . — Supposons que X est obtenu en compactifiant un affinoïde Y parrecollement de boules ouvertes D − i le long des cercles fantômes à la frontière de Y .Notons ι : X → J l’injection envoyant P ∈ X sur la classe de P − P , où P est fixé.Si δ > , soient Y δ = Y K (cid:0) ∪ i D ( P i , δ ) − (cid:1) et H δ le sous-groupe de J engendré par les ι ( D ( P i , δ ) − ) . On a une suite exacte → Q p b ⊗ ( O ( Y δ ) ∗∗ /C ∗ ) → H ( Y δ , Q p (1)) → V p ( J/H δ ) → , pour tout δ > . Maintenant, les boules fermées D ( P i , δ ) se plongent dans X , ce quiimplique que l’image de H δ par log J est un sous-groupe ouvert borné de C ⊗ K Lie( J ) et que le sous-groupe de torsion de H δ est fini ; on en déduit que T p ( J/H δ ) est unréseau de b J et donc que V p ( J/H δ ) = b J , pour tout δ > , et donc lim −→ δ V p ( J/H δ ) = b J .En passant à la limite dans la suite ci-dessus, on en déduit une suite exacte fonc-torielle C / / O ( Y † ) exp / / H ( Y † , Q p (1)) / / b J / / . En comparant les suites exactes de la rem. 7.8 et du th. 7.6, on en déduit le résultatsuivant qui admet une interprétation en termes d’intégration p -adique comme nous leverrons au n o Théorème 7.9 . —
On a un isomorphisme naturel ι st : b J ∼ = ( B +st ⊗ ˘ C H ( X )) N =0 ,ϕ = p . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Remarque 7.10 . — (i) Si, au lieu de J , on considère un groupe p -divisible G sur O C , et qu’on définit le revêtement universel b G de manière analogue, alors on a unisomorphisme naturel ([ , ch. 4] ou [ , sec. 5.1]) b G ∼ = ( B +cris ⊗ ˘ C D ( G )) ϕ = p , où D ( G ) est le module de Dieudonné (covariant) de G . On pourrait en déduire leth. 7.9 dans le cas où X a bonne réduction.(ii) H ( X ) est contravariant en X , mais est aussi isomorphe à H ( X ) ∗ ( − , etc’est sous cette forme qu’il apparaît dans le th. 7.12 qui est la généralisation naturellede l’énoncé pour les groupes p -divisibles. Remarque 7.11 . — Soient X propre et Y un affinoïde munis d’une triangulation S assez fine, et donc d’un patron. La filtration sur H ( X ) ou H ( Y ) sep induitune filtration sur b J . On note H ( X ) et H ( Y ) sep0 les noyaux des flèches vers H c (Γ , ˘ C ) ∗ ( − ; l’opérateur N est identiquement nul sur ces sous-groupes (ce quiexplique que l’on peut utiliser B cris au lieu de B st dans les énoncés ci-dessous).(i) Si X est propre, notons J le modèle de Néron de J , J la composante connexede , et J sp la fibre spéciale de J (c’est une variété semi-abélienne, extension de Q s ∈ S J ( Y sp s ) par H (Γ , Z ) ⊗ G m , qui s’identifie à Pic( X sp S ) ). Le groupe b J vit dansune suite exacte → V p ( J ( O C /p )) → b J → V p ( π ( J )) → , où π ( J ) est le groupe des composantes connexes (isomorphe à ( Q / Z ) ⊗ H (Γ , Z ) ∗ ).On a de plus des isomorphismes V p ( J sp ( O C /p )) ∼ = V p ( J ( O C /p )) ∼ = ( B +cris ⊗ ˘ C H ( X ) ) ϕ = p ,V p ( π ( J )) ∼ = H (Γ , Q p ) ∗ = ( B +cris ⊗ ˘ C H (Γ , ˘ C ) ∗ ( − ϕ = p (ii) Si Y est un affinoïde, reprenons les notations du (ii) de la rem. 6.22 décrivant legroupe H ( Y ) sep . Rappelons que Y sp S est, par définition, la compactifiée de la fibrespéciale classique de Y S ; cela fait que H ( Y ) sep0 est un quotient de H ( Y sp S ) , sous-groupe du groupe de cohomologie log-cristalline des éléments dont les résidus sont nulsen tous les points avec une structure logarithmique. On note Y sp S, int la réunion des Y s ,pour s ∈ S int . Soient J sp = Pic( Y sp S ) et J spint = Pic( Y sp S, int ) . Alors J sp et J spint sont desvariétés semi-abéliennes, et on dispose d’une flèche naturelle J sp → J spint ; on note J spext le noyau de ce morphisme. On a, comme ci-dessus, un isomorphisme ( B +cris ⊗ ˘ C H ( Y sp S ) ) ϕ = p ∼ = V p ( J sp ( O C /p )) et un diagramme commutatif à lignes horizontales exactes : / / V p ( J spext ( O C /p )) / / (cid:15) (cid:15) ( B +cris ⊗ ˘ C H ( Y sp S ) ) ϕ = p / / (cid:15) (cid:15) V p ( J spint ( O C /p )) / / / / V p ( J spext ( k C )) / / ( B +cris ⊗ ˘ C H ( Y ) sep0 ) ϕ = p / / V p ( J spint ( O C /p )) / / PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ p -adique Dans ce paragraphe, C = C p et K est une extension finie (37) de Q p , X est unecourbe propre et lisse définie sur K et J est sa jacobienne. . — L’intégration p -adique induit des accouple-ments de périodes, G K -équivariants : h , i B dR : H ( X ) ⊗ Q p b J → B +dR , h , i C p : H ( X ) ⊗ Q p b J → C p , et on a h , i C p = θ ◦ h , i B dR .Passer par l’extension universelle e J de J permet d’en donner une définition par-ticulièrement compacte (cf. [ , prop. B.2.2]). On dispose d’applications naturelles G K -équivariantes (Lemme 12 ou § B.2 de [ ]) : ι C p : b J → e J ( C p ) , ι B dR : b J → e J ( B +dR ) définies de la manière suivante : si x = ( x n ) n ∈ Z ∈ b J , on choisit une suite bornée (ˆ x n ) n ∈ Z de relèvements des x n dans e J ( C p ) (resp. e J ( B +dR )), et on envoie x sur lalimite de p n · ˆ x n , quand n → + ∞ , la multiplication par p n étant celle sur e J . On a,bien évidemment, ι C p = θ ◦ ι B dR . Maintenant, si log e J : e J → H ( J ) ∗ = H ( X ) ∗ est le logarithme de e J à valeurs dans son algèbre de Lie, et si η ∈ H ( X ) et x ∈ b J ,alors h η, x i B dR = h log e J ◦ ι B dR ( x ) , η i dR et h η, x i C p = h log e J ◦ ι C p ( x ) , η i dR . De plus, log e J ◦ ι B dR : b J → B +dR ⊗ K H ( X ) ∗ est injective (c’est une conséquence dela non dégénérescence de l’accouplement de périodes, cf. [ , th. II.3.5] par exemple).Notons que B +st ⊗ ˘ C p H ( X C p ) ∗ s’injecte dans B +dR ⊗ K H ( X ) ∗ . Théorème 7.12 . — (i)
L’application log e J ◦ ι B dR : b J → B +dR ⊗ K H ( X ) ∗ se factoriseà travers ( B +st ⊗ ˘ C p H ( X ) ∗ ) N =0 ,ϕ =1 . (ii) Si on identifie H ( X ) ∗ à H ( X ) grâce au cup-produit à valeurs dans H ( X ) = K , alors ( B +st ⊗ ˘ C p H ( X ) ∗ ) N =0 ,ϕ =1 = ( B +st ⊗ ˘ C p H ( X )) N =0 ,ϕ = p et log e J ◦ ι B dR = ι st .
37. Cette restriction est due au fait que l’intégration p -adique [
8, 12 ] est développée dans ce cadre.Mais les méthodes de [ ] permettent d’étendre cette intégration sur une variété abélienne A , dansle cas général, au sous-groupe de A ( C ) des x tels que N ! x tend vers quand N → ∞ (si C = C p ,tout x vérifie cette condition). Cela suffirait pour étendre ce qui suit au cas où v p est discrète sur K et C est le complété de sa clôture algébrique. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Remarque 7.13 . — L’inclusion de log e J ◦ ι B dR ( b J ) dans ( B +st ⊗ ˘ C p H ( X ) ∗ ) N =0 ,ϕ =1 traduit le fait que la restriction de l’accouplement de périodes h , i B dR à H ( X ) està valeurs dans B +st et commute aux actions de ϕ et N sur H ( X ) en plus de cellede G K sur b J (cf. [
11, 10 ] pour des résultats dans cette direction).
Démonstration . — Soit Y un affinoïde de X , complémentaire d’un nombre fini deboules ouvertes. On a un diagramme (le en indice indique le sous-groupe des classessans résidus le long des cercles fantômes à la frontière des boules enlevées) : H ( Y † C p , Q p (1)) (cid:15) (cid:15) / / b J log e J ◦ ι B dR / / B +dR ⊗ K H ( X ) ∗ ( B +st ⊗ ˘ C p H ( Y † C p ) ) N =0 ,ϕ = p ⊗ ι HK / / B +dR ⊗ K H ( Y † ) B +dR ⊗ K H ( X ) ∼ o o dans lequel les deux flèches partant de H ( Y † C p , Q p (1)) proviennent de la suite deKummer (pour l’horizontale) et de la comparaison avec la cohomologie syntomique(pour la verticale), et ont même noyau. Il s’agit de prouver que le diagramme commute.Il suffit donc de prouver que, si v ∈ b J , et si ( f n ) n ∈ N est un relèvement de v dans Symb p ( Y δ ) , alors log e J ( ι B dR ( v )) = (cid:0) π dR ( d ˜ f n ˜ f n ) (cid:1) n ∈ N ) . On va prouver cet énoncé aprèsapplication de θ (i.e. en remplaçant ι dR par ι C p , ce qui évite de choisir des ˜ f n ), etindiquer les modifications à faire pour prouver le résultat pour ι dR . Pour prouverl’énoncé avec ι C p , on va utiliser une fonction de Green du diviseur Θ pour construireun relèvement de v dans Symb p ( Y δ ) , avec δ > fixé. . — Rappelons qu’une forme diffé-rentielle méromorphe sur X est dite : • de première espèce si elle est holomorphe, • de seconde espèce si les résidus en ses pôles sont tous nuls, • de troisième espèce si elle n’a que des pôles simples et si les résidus en ces pôlessont des entiers.Si ω est de troisième espèce, on note Div( ω ) son diviseur : Div( ω ) = P x Res x ω · ( x ) ;il est de degré . Si ω = dff , alors Div( ω ) = Div( f ) . Alors e J est le quotient du groupedes formes de troisième espèce par celui des dff ; l’application naturelle π J : e J → J est induite par ω Div( ω ) , son noyau est l’espace H ( X, Ω ) des formes de premièreespèce. Enfin, le quotient de l’espace des formes de seconde espèce par celui des df est H ( X ) .Choisissons une base ω , . . . , ω g de Ω ( J ) , et notons ∂ , . . . , ∂ g la base duale del’espace des formes différentielles invariantes sur J (on a donc df = P gi =1 ∂ i f ω i ), et λ i le logarithme de J solution de l’équation différentielle dλ i = ω i . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Soit Θ le diviseur de J , image de X g − par ( Q , . . . , Q g − ) ( g − P − Q −· · · − Q g − . Si u ∈ J est général, l’intersection X u de ι ( X ) et (38) u ⊕ Θ est constituéedes g points Q u, , . . . , Q u,g solutions de l’équation ι ( Q u, ) ⊕ · · · ⊕ ι ( Q u,g ) = u .Soit G une fonction de Green de Θ (cf. n o , § II.2]). Si u est général, η u,i = ι ∗ (cid:0) d ( ∂ i G ( x ⊖ u )) (cid:1) est une forme différentielle de seconde espèce sur X , holomorphe en dehors de pôlesdoubles en les points de X u , dont l’image η i dans H ( X ) ne dépend pas de u . Deplus, ι ∗ ω , . . . , ι ∗ ω g , η , . . . , η g forment une base de H ( X ) , ce qui nous fournit unscindage de la filtration de Hodge (cf. [ , prop. II.2.4]).Si u est général, soit β u = ι ∗ ( dG ( x ⊖ u )) . Si u et v sont généraux, alors β u − β v est une forme différentielle de troisième es-pèce dont le diviseur Div( β u − β v ) est X u − X v . De plus, les β u − β v engendrentun supplémentaire de H ( X, Ω ) dans l’espace des formes différentielles de troisièmeespèce [ , prop. II.2.9]. Toute forme β de troisième espèce peut donc s’écrire sous laforme β = β + P u n u β u , où β ∈ H ( X, Ω ) est uniquement déterminée, P u n n = 0 ,et les u sont des points généraux de J tels que Div( β ) = P n u X u . On a alors (cf. [ ,th. II.2.11]) : log e J ( β ) = β + X u n u g X i =1 λ i ( u ) η i = β + g X i =1 λ i (Div( β )) η i . Remarquons que G n’est unique qu’à addition près d’un polynôme de degré ≤ enles λ i . Il s’ensuit que, si β est donnée, on peut choisir G de telle sorte que β = 0 . . — Soit donc v = ( v n ) n ∈ Z ∈ b J . Le groupe b J estun Q p -espace vectoriel ; on pose ˜ v n = ι C p ( p − n v ) , si n ∈ Z . Alors (˜ v n ) n ∈ N est unesuite bornée de points de e J , et on a π J (˜ v n ) = v n pour tout n .Soit u ∈ J général, tel que X u ⊂ ∪ i D ( P i , − , et tel que u ⊕ v n soit général pourtout n . Comme v n → quand n → −∞ , on a X u ⊕ v − n ⊂ ∪ i D ( P i , − , si n ≥ n . Dansla suite, on suppose que l’on peut prendre n = 0 , et que λ i ( v ) est suffisamment petitpour que le reste du développement de Taylor de G en x ⊖ uG ( x ⊖ u ⊖ p n · v ) − G ( x ⊖ u ) + g X i =1 ∂ i G ( x ⊖ u ) λ i ( v n ) soit divisible par p n +2 sur Y δ , pour tout n ∈ N (c’est possible en remplaçant v par p N v , ce qui ne fait que tout multiplier par p N , grâce à [ , Lemme II.2.6] et au faitque λ i ( v n ) = p n λ i ( v ) .)
38. On note ⊕ l’addition sur J . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES On note β n la forme différentielle de troisième espèce, de diviseur X u ⊕ v n − X u ,dont l’image dans e J est ˜ v n . On a alors β n = β u ⊕ v n − β u + β n , avec β n ∈ H ( X, Ω ) , et donc log e J ( ι C p ( v )) = p n log e J ( β n ) = p n (cid:0) β n + g X i =1 λ i ( v n ) η i (cid:1) , pour tout n ∈ Z .Comme p n λ i ( v n ) ne dépend pas de n , il en est de même de p n β n et, quitte à modifier G par un polynôme de degré ≤ en les λ i , on peut supposer que β n = 0 pour tout n .Si n ≥ , le diviseur p n X u ⊕ v n − X u ⊕ v − n − ( p n − X u est principal, puisque p n · ( u ⊕ v n ) ⊖ ( u ⊕ v − n ) ⊖ ( p n − · u = 0 . C’est donc le diviseur d’une fonction F n ,rationnelle sur X . Lemme 7.14 . — (i)
Il existe f n ∈ O ( Y δ ) − { } telle que f p n n = F n . (ii) f n ∈ A p,n ( Y δ ) , et ( f n ) n ∈ N définit un élément de H ( Y δ , Z p (1)) dont l’imagedans b J est v .Démonstration . — On a p n X u ⊕ v n − X u ⊕ v − n − ( p n − X u = p n ( p n X u ⊕ v n − X u ⊕ v − ( p n − X u ) + ( p n X u ⊕ v − X u ⊕ v − n − ( p n − X u ) Comme p n X u ⊕ v n − X u ⊕ v − ( p n − X u est principal, pour prouver le (i), il suffitde prouver que la fonction F ′ n , de diviseur p n X u ⊕ v − X u ⊕ v − n − ( p n − X u , est unepuissance p n -ième sur Y δ . Or on a log F ′ n = p n (cid:0) G ( x ⊖ u ⊖ v ) − G ( x ⊖ u ) (cid:1) − (cid:0) G ( x ⊖ u ⊖ p n · v ) − G ( x ⊖ u ) (cid:1) , et notre hypothèse sur le développement de Taylor de G en x ⊖ u implique que log F ′ n est divisible par p n +1 , ce qui permet de démontrer le (i). De plus, le diviseur de f n sur Y δ est p n X u ⊕ v n , ce qui prouve que f n ∈ A p,n ( Y δ ) .Le diviseur de F n +1 /F pn est p n +1 (cid:0) pX u ⊕ v n +1 − X u ⊕ p · v n +1 − ( p − X u (cid:1) − ( X u ⊕ p n +1 v − X u ) + p ( X u ⊕ p n · v − X u ) . (On a utilisé les formules p · v n +1 = v n , v − n − = p n +1 · v et v − n = p n · v .) Maintenant, pX u ⊕ v n +1 − X u ⊕ p · v n +1 − ( p − X u est principal et G ( x ⊖ ( u ⊕ p n +1 v )) − G ( x ⊖ u ) − p (cid:0) G ( x ⊖ ( u ⊕ p n v )) − G ( x ⊖ u ) (cid:1) est divisible par p n +3 sur Y δ pour les mêmes raisons que ci-dessus. On en déduit que F n +1 /F pn est une puissance p n +1 -ième sur Y δ , et donc que f n +1 /f n est une puissance p n -ième. Il s’ensuit que ( f n ) n ∈ N définit un élément de H ( Y δ , Z p (1)) .Enfin, p − n Div( f n ) = X u ⊕ v n a pour image u ⊕ v n dans Pic( Y δ ) , mais comme u estdans le sous-groupe H de J tel que Pic( Y δ ) = J/H , cette image est aussi v n , ce quipermet de conclure. PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Revenons à la démonstration du théorème. On a df n f n = p n β n − p − n β − n , et comme p − n β − n = p − n (cid:0) ι ∗ dG ( x ⊖ u ⊖ p n · v ) − ι ∗ dG ( x ⊖ u ) (cid:1) = − g X i =1 λ i ( v ) η u,i mod p n , on voit que df n f n tend vers P gi =1 λ i ( v ) η u,i , et donc : dlog(( f n ) n ∈ N ) = g X i =1 λ i ( v ) η u,i et π dR ◦ dlog(( f n ) n ∈ N ) = g X i =1 λ i ( v ) η i = log e J ( ι C p ( v )) . On en déduit la commutativité du diagramme dans le cas de ι C p .Pour traiter le cas de ι B dR , on pose ˜ v n, dR = ι B dR ( p − n v ) et v n, dR = π J (˜ v n, dR ) On a donc θ (˜ v n, dR ) = ˜ v n et θ ( v n, dR ) = v n . Ensuite, on définit β n, dR comme étant β u ⊕ v n, dR − β u en ayant choisi G pour que l’image de β n, dR dans ˜ J ( B +dR ) soit ˜ v n, dR .Alors log e J ( ι B dR ( v )) = p n g X i =1 λ i ( v n, dR ) η i , pour tout n ∈ Z .On définit F n, dR par Div( F n, dR ) = p n X u ⊕ v n, dR − X u ⊕ v − n, dR − ( p n − X u , et onprouve en reprenant la démonstration du lemme 7.14 que F n, dR = f p n n, dR (alors f n, dR est un relèvement de f n ). Enfin, le même calcul que ci-dessus montre que df n, dR f n, dR tendvers P gi =1 λ i ( v , dR ) η u,i et donc que son image dans H ( Y † B dR ) est P gi =1 λ i ( v , dR ) η i =log e J ( ι B dR ( v )) , ce que l’on voulait.
8. Cohomologie des courbes non propres, sans bord
Soit Y une courbe non propre, sans bord. Le th. 8.1 ci-dessous décrit la cohomologieproétale p -adique en termes du complexe de de Rham et de la cohomologie de Hyodo-Kato et, dans le cas où C = C p , le th. 8.12 compare la cohomologie de Hyodo-Kato etla cohomologie proétale ℓ -adique pour ℓ = p . Dans le § 8.4, on explique un autre pointde vue, utilisant la géométrie rigide comme dans [ ], pour dévoiler les « structurescachées sur les courbes p -adiques ». p -adique Théorème 8.1 . — Si Y est une courbe non propre, sans bord, on a le diagrammecommutatif fonctoriel de fréchets suivant : / / O ( Y ) /C / / H ( Y, Q p (1)) (cid:15) (cid:15) / / ( B +st b ⊗ ˘ C H ( Y )) N =0 ,ϕ = p / / θ ⊗ ι HK (cid:15) (cid:15) / / O ( Y ) /C d / / Ω ( Y ) / / H ( Y ) / / dans lequel les lignes sont exactes et les flèches verticales sont d’image fermée. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Démonstration . — On peut écrire Y comme, au choix, une réunion croissante stricted’affinoïdes Y n ou d’affinoïdes surconvergents Y † n . Le théorème se déduit donc, parpassage à la limite projective du th. 6.32 ou du th. 7.6 (on a R lim O ( Y n ) = 0 d’aprèsle théorème de Kiehl).L’image de γ : ( B +st b ⊗ H ( Y )) N =0 ,ϕ = p → H ( Y ) est fermée car γ est la limiteprojective des γ n : ( B +st b ⊗ H ( Y † n )) N =0 ,ϕ = p → H ( Y † n ) dont les images sont ferméescomme nous l’avons déjà vu. Il en résulte que H ( Y, Q p (1)) → Ω ( Y ) est d’imagefermée. Remarque 8.2 . — (i) En passant à la limite dans le (ii) du th. 6.14 ou dans le cor. 7.3,on prouve que H ( Y ) admet une filtration dont les quotients successifs sont : H ( Y ) = (cid:2) H (Γ , C ) Q s ∈ Σ H ( Y ♦ s ) H c (Γ , C ) ∗ (cid:3) , où Γ = Γ an ( Y ) et Σ = Σ( Y ) .(ii) En passant à la limite dans le (ii) de la rem. 6.22 ou dans la prop. 7.4, on prouveque H ( Y ) admet une filtration stable par ϕ dont les quotients successifs sont : H ( Y ) = (cid:2) H (Γ , ˘ C ) Q s ∈ Σ H ( Y sp s ) H c (Γ , ˘ C ) ∗ ( − (cid:3) . L’opérateur de monodromie s’obtient par passage à la limite et est aussi celui obtenuvia la rem. 1.6.(iii) En passant à la limite dans le (i) du th. 6.21, on en déduit un isomorphisme ι HK : C ⊗ ˘ C H ( Y ) ∼ = H ( Y ) . Soit Y une courbe sans bord. On va définir ce qui correspond « à la fibre spéciale dumodèle semi-stable minimal de Y ». Comme une courbe analytique n’a pas forcémentde modèle semi-stable minimal, la définition qui suit est un peu ad hoc, mais a lavertu de fournir un objet sur lequel Aut C Y agit (et même Aut K Y si Y est définie sur K ). L’idée est de partir de la fibre spéciale de n’importe quel modèle semi-stable de Y et de contracter tous les P contractibles. Ce faisant, on peut tomber sur un point,ce qui demande de modifier un peu la notion de courbe marquée du n o . — Soit X une courbe sur k C (i.e. une réunion dénom-brable, localement finie, de courbes irréductibles, ou bien un point ou un « pointdouble »). Si X n’est pas un point ou un point double, un point marqué sur X est uncouple ( P, µ ( P )) , où P ∈ X ( k C ) , et la multiplicité µ ( P ) de P est un élément de (39) R ∗ + ` {∞} .Une courbe marquée ( X, A ) est une courbe X munie d’un ensemble A de pointsmarqués. Une courbe marquée ( X, A ) est semi-stable si :
39. Comme nos courbes sont sans bord, leur fibre spéciale n’a pas de points de multiplicité + . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ • X est à singularités nodales, • les composantes irréductibles de X sont propres et ne comportent qu’un nombrefini de points marqués, • les points singuliers de X sont marqués et leur multiplicité appartient à Q ∗ + .Elle est stable si elle est semi-stable et si, de plus, aucune composante connexe de X n’est un P avec , ou points marqués. P . — A partir d’une courbe marquée ( X, A ) semi-stable, onfabrique une courbe marquée stable, en contractant tous les P ayant , ou pointsmarqués (comptés avec multiplicité) : • Si un P n’a pas de point marqué ou a un unique point marqué qui est lisse, c’estque la courbe est réduite à ce P , et quand on le contracte on obtient un point • Si un P a un unique point marqué qui est singulier, quand on contracte le P le point marqué devient un point lisse (que l’on démarque) si ce point est le pointd’intersection avec une autre composante irréductible ou bien le P devient un pointdouble si ce P a de l’autointersection. • Si un P a deux points marqués P et P , on marque le point Q obtenu encontractant le P en posant (40) µ ( Q ) = µ ( P ) + µ ( P ) . Remarque 8.3 . — (i) Les règles précédentes sont dictées par ce qui se passe si on adeux triangulations S et S ′ d’une courbe analytique Y , telles que S ′ = S ` { s } . Onpasse de la fibre spéciale de Y S ′ à celle de Y S en contractant le P correspondant à s et il y a deux cas : soit s est de valence sur Γ( S ′ ) et on obtient Γ( S ) à partirde Γ( S ′ ) en retirant s et l’arête qui part de s , soit s est de valence , et on obtient Γ( S ) à partir de Γ( S ′ ) en retirant s et en fusionnant les deux arêtes partant de s en une seule (dont la longueur est la somme des longueurs des deux arêtes). Il suffitalors de traduire ce qui précède en utilisant le fait que Γ( S ) et Γ( S ′ ) sont les graphesduaux des fibres spéciales de Y S et Y S ′ pour obtenir les règles ci-dessus.(ii) Pour trianguler une couronne correspondant à une arête non relativement com-pacte de Γ an ( Y ) , il faut une infinité de sommets et dans l’opération ci-dessus il peuty avoir une infinité d’opérations à faire, ce qui demande de passer à la limite danscertaines multiplicités.(iii) Une fois tous les P contractés, on obtient une courbe stable ou un point(double, par convention, si le P que l’on contracte a un point singulier). . — Si Y est une courbe sans bord, on définit la fibre spéciale Y sp de Y comme étant la courbe stable obtenue à partir de la fibre spéciale du modèlesemi-stable associé à n’importe quelle triangulation S de Y . (Le résultat ne dépendpas de la triangulation car, deux triangulations S , S étant données, on peut trouverune triangulation S plus fine que S et S , et les courbes stables obtenues à partirde S et S sont isomorphes à celle obtenue à partir de S .)
40. Avec la convention a + ∞ = ∞ . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Les composantes irréductibles de Y sp sont les Y sp s , pour s ∈ Σ( Y ) . Si Σ( Y ) = ∅ ,on est dans un des cas suivants : • Y n’est pas une courbe de Tate et Y sp est un point. • Y est une courbe de Tate et Y sp est un point double. . — Soit f : X → Y un morphisme de courbesanalytiques (non constant). Si S et T sont des triangulations de X et Y telles que S ⊃ f − ( T ) , et si X S et Y T sont les modèles semi-stables de X et Y associés à S et T , alors f se prolonge, de manière unique, en f : X S → Y T ; on note f : X sp S → Y sp T le morphisme induit sur les fibres spéciales. Théorème 8.4 . — Si f : X → Y est une morphisme de courbes analytiques, il existeun unique morphisme de courbes f sp : X sp → Y sp tel que, pour toutes triangulations S et T de X et Y telles que S ⊃ f − ( T ) , le diagramme suivant soit commutatif : X sp S (cid:15) (cid:15) f / / Y sp T (cid:15) (cid:15) X sp f sp / / Y sp (Les flèches verticales sont celles obtenues en contractant tous les P contractibles.) Démonstration . — Cela résulte de ce que l’image d’un P privé d’un nombre N depoints est un point ou bien un P privé d’un nombre ≤ N de points : ceci impliqueque l’image d’un P contractible sur X sp S est un point ou bien est contractible sur Y sp T . Il s’ensuit que, si S et T sont fixés, il existe f sp S,T unique faisant commuter lediagramme.Pour montrer que f sp S,T ne dépend pas de S et T , il suffit, si S , S et T , T sontdes triangulations de X et Y , de considérer une triangulation T de X , plus fine que T et T , et une triangulation S plus fine que S , S et f − ( T ) , et de constater que f sp S ,T = f sp S ,T = f sp S ,T .En appliquant le th. 8.4 à Y = X , on en déduit le résultat suivant. Corollaire 8.5 . —
Le groupe
Aut C ( Y ) agit naturellement sur Y sp .8.2.5. Les groupes W Y et WD Y . — Soient K une extension finie de Q p , q = | k K | et C = C p . Si Y est définie sur K , alors G K agit sur Aut C Y par conjugaison, et le groupe Aut K Y , qui agit naturellement sur Y sp , est un produit : Aut K Y = G K × (Aut C Y ) G K .Le frobenius géométrique ϕ agit, lui aussi, sur Y sp comme sur toute variété decaractéristique p . Il en résulte que le sous-semi-groupe Aut K ( Y ) × ϕ N de Aut K ( Y ) × ϕ Z agit sur Y sp . Il agit donc aussi sur le corps k C des constantes, et on note W + Y le sous-semi-groupe de Aut K ( Y ) × ϕ N des éléments agissant trivialement sur k C , et W Y lesous-groupe de Aut K ( Y ) × ϕ Z engendré par W + Y . PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ
Remarque 8.6 . — (i) Le groupe de Weil W K de K est le sous-groupe de G K × ϕ Z des ( g, ϕ n ) agissant trivialement sur k C = F p . La projection G K × ϕ Z → ϕ Z ∼ → Z définit une fonction degré deg : W K → f Z , où q = p f , et la projection G K × ϕ Z → G K fournit une injection ι : W K ֒ → G K : un élément g de G K est de la forme ι ( γ ) , avec γ ∈ W K si et seulement si il existe n ∈ Z tel que g agisse par x x p n sur F p , etalors deg γ = − n .(ii) Par construction, on dispose d’applications naturelles deg : W Y → ϕ Z ∼ → Z et ι : W Y → Aut K ( Y ) , dont les restrictions à W K ⊂ W Y sont les applications ci-dessus. On a W Y = W K × (Aut C Y ) G K , et comme W K est dense dans G K , on en déduit que W Y est dense dans Aut K Y .On note WD Y le groupe algébrique produit semi-direct de G a et W Y , le produitétant donné par ( λ , g )( λ , g ) = ( λ + p deg g λ , g g ) , si λ , λ ∈ G a et g , g ∈ W Y .Le sous-groupe de WD Y engendré par W K et G a n’est autre que le groupe de Weil-Deligne WD K de K .Si L est un corps, une L -représentation de WD Y est une représentation du groupede ses L -points, et est équivalente à la donnée d’une L -représentation de W Y et d’unopérateur N tel que N g = p deg g gN . Une telle représentation est dite lisse si toutélément est fixé par un sous-groupe ouvert du groupe d’inertie I K (naturellement unsous-groupe de W K ⊂ W Y ).Si L et L sont des corps et si V et V sont des représentations lisses de WD Y sur L et L , on dit que V et V sont similaires si elle deviennent isomorphes aprèsextension des scalaires à un corps contenant L et L . Aut K ( Y ) . — On suppose Σ( Y ) = ∅ . Théorème 8.7 . — Si g ∈ Aut C ( Y ) agit trivialement sur Y sp , alors g agit triviale-ment sur H ( Y ) .Démonstration . — On utilise la description de la rem. 8.2. Comme Σ( Y ) = ∅ , legraphe Γ = Γ an ( X ) est le graphe dual de Y sp ; il est donc fixe par g , puisque g agit trivialement sur Y sp . Comme g fixe Γ , il agit trivialement sur H (Γ , C ) et sur H c (Γ , C ) ∗ , et il suffit donc de prouver qu’il agit trivialement sur H ( Y ♦ s ) , si s ∈ Σ .Autrement dit, on est ramené au cas où Y est propre et a bonne réduction.On peut recouvrir Y sp par des ouverts U i étales au-dessus de la droite affine (et doncmunis de z i ∈ O ( U i ) tel que dz i ne s’annule pas sur U i ), et utiliser le recouvrement de Y par les tubes ] U i [ des U i pour calculer H ( Y ) . Cela permet de se ramener au casd’un affinoïde X muni de z ∈ O + ( X ) tel que ∂ = ddz soit une dérivation de O + ( X ) (pour globaliser, on a aussi besoin de savoir que H ( Y, C ) = 0 , ce qui suit de ce quetoutes les intersections des ] U i [ sont non vides et donc que le nerf du recouvrement estun simplexe). L’hypothèse selon laquelle g fixe la fibre spéciale implique qu’il existe OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES r > tel que g ∗ z − z ∈ p r O + ( X ) . Il s’ensuit que, si ω ∈ Ω ( X ) , alors g ∗ ω − ω estla différentielle de P n ≥ n ! ∂ n − ( ωdz )( g ∗ z − z ) n , et la série converge dans O ( X ) car,si p N ωdz ∈ O + ( X ) , alors p N n ! ∂ n − ( ωdz ) ∈ n O + ( X ) (pour prouver ceci, il suffit devérifier que c’est vrai en restriction à toute boule résiduelle, i.e. au tube ] P [ d’unpoint P de la fibre spéciale, et cela suit de ce que z − z ( P ) est un paramètre local de ] P [ pour tout choix de P ∈ ] P [ ). Ceci prouve que g agit trivialement sur H ( X ) etpermet de conclure. Remarque 8.8 . — Si Σ( Y ) = ∅ et si Y n’est pas une courbe de Tate, H ( Y ) = 0 et le résultat est encore vrai. Si Y est une courbe de Tate, il faut convenir que lamultiplication par − n’agit pas trivialement sur le point double Y sp si on veut quele résultat reste valable. ℓ -adique Soit Y une courbe sans bord et soit Γ = Γ an ( Y ) . On peut écrire Y comme laréunion croissante d’affinoïdes Y n . Alors H ( Y, Q ℓ (1)) = lim ←− n H ( Y n , Q ℓ (1)) (ona H ( Y n , Q ℓ (1)) = H ( Y n , Q ℓ (1)) puisque Y n est un affinoïde) ; la limite ne dépendpas du choix des Y n car deux tels systèmes sont cofinaux. Comme les H ( Y n , Q ℓ (1)) sont des banachs, H ( Y, Q ℓ (1)) est naturellement un fréchet. Théorème 8.9 . — Si ℓ = p , le groupe H ( Y, Q ℓ (1)) admet une filtration naturelledont les quotients successifs sont donnés par : H ( Y, Q ℓ (1)) = (cid:2) H (Γ , Q ℓ )(1) Q s ∈ Σ( Y ) H ( Y s , Q ℓ (1)) H c (Γ , Q ℓ ) ∗ (cid:3) . Démonstration . — C’est un résultat classique [ , 5.2.5] ou [ ] ; il se déduit duth. 6.3 par passage à la limite. On suppose que Y est définie sur une extension finie K de Q p , et donc H ( Y, Q ℓ (1)) est muni d’une action de Aut K Y . ⋄ L’action de WD Y sur H ( Y sp , Q ℓ (1)) , ℓ = p . — La fibre spéciale Y sp de Y estmunie d’une action de W Y et donc sa cohomologie (log)proétale ℓ -adique aussi. Entant que Q ℓ -espace vectoriel, on a H ( Y sp , Q ℓ (1)) = H (Γ , Q ℓ )(1) ⊕ Y s ∈ Σ( Y ) H ( Y sp s , Q ℓ (1)) ⊕ H c (Γ , Q ℓ ) ∗ , cette décomposition étant la décomposition par les poids de frobenius. L’action de W Y respecte chacun des trois espaces ci-dessus : W Y agit sur Y sp et donc aussisur Γ et, par suite sur H c (Γ , Q ℓ ) ∗ et H (Γ , Q ℓ ) (cette action est d’ailleurs obtenuepar extension des scalaires d’une action sur H c (Γ , Q ) ∗ et H (Γ , Q ) ). L’action sur PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ Q s ∈ Σ( Y ) H ( Y sp s , Q ℓ (1)) est un produit d’induites : si S est un système de représen-tants de Σ( Y ) modulo l’action de W Y , et si W s est le stabilisateur de s ∈ S dans W Y , alors Y s ∈ Σ( Y ) H ( Y sp s , Q ℓ (1)) = Y s ∈ S (cid:0) Ind W Y W s H ( Y sp s , Q ℓ (1)) (cid:1) . On peut naturellement enrichir cette action de W Y en une action de WD Y en défi-nissant N par la recette habituelle (rem. 1.6). ⋄ La recette de Fontaine . — La description ci-dessus, combinée avec le th. 8.9, montre,en utilisant le fait que H ( Y sp s , Q ℓ (1)) ∼ = H ( Y s , Q ℓ (1)) , que H ( Y, Q ℓ (1)) ∼ = H ( Y sp , Q ℓ (1)) en tant que Q ℓ -espaces. Mais on a bienmieux : les actions de Aut K Y et WD Y sur H ( Y, Q ℓ (1)) et H ( Y sp , Q ℓ (1)) se déduisent l’une de l’autre (th. 8.11 ci-dessous). Rappelons que, si V est une Q ℓ -représentation de Aut K Y , on peut lui associer une représentation WD( V ) de WD Y par la recette suivante (de Fontaine [ ]). • On choisit des systèmes ( ζ ℓ n ) n ∈ N et ( p /ℓ n ) n ∈ N de racines ℓ n -ièmes de et p . • On note : ⋄ χ ℓ : G K → Z ∗ ℓ le caractère cyclotomique : g ( ζ ℓ n ) = ζ χ ℓ ( g ) ℓ n , si n ∈ N , ⋄ c ℓ : G K → Z ℓ le cocycle de Kummer associé à p : g ( p /ℓ n ) /p /ℓ n = ζ c ℓ ( g ) ℓ n . • On fait agir
Aut K Y sur Q ℓ [ u ] à travers son quotient G K qui agit par g ( u ) = χ − ℓ ( g )( u + c ℓ ( g )) , et on munit Q ℓ [ u ] de l’action triviale (41) de ϕ et de la dérivation N = ddu . On a N ◦ g = χ ℓ ( g ) − g ◦ N , si g ∈ Aut K Y (et donc N ◦ g = p deg g g ◦ N , si g ∈ W Y ). • On pose alors
WD( V ) = lim −→ [ L : K ] < ∞ ( Q ℓ [ u ] ⊗ V ) I L . C’est une représentation de
Aut K Y (agissant diagonalement) munie d’actions de ϕ (triviale) et N via leurs actions sur le premier facteur. En restreignant l’action de Aut K Y × ϕ Z à W Y cela fournit une Q ℓ -représentation de W Y (car N ◦ g = p deg g g ◦ N sur Q ℓ [ u ] , si g ∈ W Y ), qui est lisse par construction.Si V est une limite projective lim ←− n V n de représentations de dimension finie V n , onpose WD( V ) = lim ←− n WD( V n ) . Remarque 8.10 . — Dans les deux cas, on retrouve V (ou plutôt sa restriction ausous-groupe dense W Y de Aut K Y ) à partir de WD( V ) par la formule V = ( Q ℓ [ u ] b ⊗ WD( V )) N =0 ;
41. L’action de ϕ est triviale sur la cohomologie étale ℓ -adique car c’est l’identité sur les espacestopologiques. Il n’en sera pas de même pour la cohomologie de Hyodo-Kato. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES il est donc équivalent de se donner V ou WD( V ) . Théorème 8.11 . — Si ℓ = p , on a une identification de WD Y -représentations : WD( H ( Y, Q ℓ (1))) = H ( Y sp , Q ℓ (1)) . Démonstration . — Cela suit, par passage à la limite, de ce que H ( Y s , Q ℓ (1)) = H ( Y sp s , Q ℓ (1)) (on est dans le cas de bonne réduction) en tant que représentationde W s , et de la formule « de Picard-Lefschetz » (rem. 6.5)). p -adique et ℓ -adique . — On supposeencore que Y est définie sur une extension finie K de Q p . Théorème 8.12 . —
Les représentations de WD Y sur H ( Y sp , Q ℓ (1)) , pour ℓ = p ,et sur H ( Y )(1) , sont similaires.Démonstration . — La filtration de la rem. 8.2 pour H ( Y ) admet un scindage na-turel par les poids comme H ( Y sp , Q ℓ ) , et ce scindage est stable par W Y . Il suffitdonc de prouver que chacun des termes fournit des représentations similaires de W Y et que les opérateurs de monodromie sont les mêmes.Sur les parties de la cohomologie ne dépendant que du graphe, c’est clairpuisqu’elles sont obtenues, par extension des scalaires, à partir d’une même Q -représentation. En particulier, les deux opérateurs de monodromie sont les mêmes.Il reste à vérifier que l’action de W Y est la même des deux côtés sur le reste. Pourcela, choisissons un système ( Y sp s ) s ∈ S de représentants de composantes irréductiblesde Y sp modulo l’action de W Y (notons que W Y agit sur les composantes puisque ϕ les laisse stables). Si s ∈ S , on note W s le stabilisateur de Y sp s . Alors l’action de W s sur H ( Y sp s , Q ℓ ) et H ( Y sp s ) se factorise à travers End( J s ) , où J s est la jacobiennede Y sp s , et on conclut en utilisant le fait que H ( Y sp s , Q ℓ ) et H ( Y sp s ) sont similairesen tant que représentations de End( J s ) . Dans tout le reste de ce chapitre, on suppose que C = C p . Cela permet d’utiliserl’intégration sur les courbes ([
8, 9 ]) qui repose sur le fait qu’une puissance de frobeniusdevient linéaire, ou [ ] qui repose sur le fait que J ( C ) /H est de torsion si J est lajacobienne d’une courbe et H est un sous-groupe ouvert de J ( C ) ).Le but de ce § est de faire le lien avec le point de vue de [ ] pour la définitiondes groupes de cohomologie de Hyodo-Kato. Nous allons définir des sous-groupes H ( Y ) int , H ( Y, C p ) , H ( Y ) log , L de H ( Y ) (les deux premiers ne dépendent derien mais le troisième dépend du choix d’une branche du logarithme ou, ce qui revientau même, de L = log p ∈ C p ) et de prouver le résultat suivant. Théorème 8.13 . — Si Y est une courbe analytique connexe sans bord, on a unedécomposition fonctorielle PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ H ( Y ) = H ( Y ) int L H ( Y, C p ) L H ( Y ) log , L , et des isomorphismes fonctoriels H ( Y, C p ) = H (Γ an ( Y ) , C p ) H ( Y ) log , L = H c (Γ an ( Y ) , C p ) ∗ H ( Y ) int ∼ = Y s ∈ Σ( Y ) H ( Y sp s / O C p ) . Remarque 8.14 . — (i) On peut écrire un affinoïde surconvergent comme une limiteprojective de « wide opens » pour lesquels le th. 8.13 s’applique. On en déduit unscindage (dépendant de L ) de la filtration du (ii) du cor. 7.3.(ii) La dépendance de ce scindage par rapport au choix de L fait intervenir l’opé-rateur de monodromie N sur H ( Y ) (cf. prop. 8.18). . — Soient S une pseudo-triangulation fine de Y , et A l’ensembles des arêtes de Γ = Γ( S ) . On fixe uneorientation de Γ . A partir de S , on fabrique un découpage de Y en couronnesanalytiques (fibres génériques rigides de jambes) et affinoïdes avec bonne réduc-tion (fibres génériques rigides de shorts). On pourrait reconstituer Y en recollantces morceaux le long de cercles fantômes analytiques – encore appelées couronnesd’épaisseur nulle , l’anneau des fonctions analytiques sur un tel objet est l’anneau deRobba lim −→ r> (lim ←− s ∈ ]0 ,r ] O ( { s ≤ v p ( z ) ≤ r } )) – mais on va plutôt recouvrir Y par despantalons (42) se recollant le long de couronnes ouvertes.Si a ∈ A , notons Y a la couronne (i.e. la fibre générique d’une jambe) correspondantà a et, si s ∈ S , notons Y s l’affinoïde correspondant à s , et Z s le sous-espace analytiquecorrespondant à l’étoile de sommet s ; on a donc Z s K Y s = ` a ∈ A ( s ) Y a . Alors Z s estun pantalon, et Z s = Y s ` ( ` a ∈ A ( s ) Y a ) est son découpage en (fibre génériques rigidesde) short et jambes. Les Z s forment un recouvrement de Y , et comme S est supposéefine : • Z s ∩ Z s est vide ou est une couronne ouverte Y a , avec a ∈ A c , si s = s , • Z s ∩ Z s ∩ Z s = ∅ si s , s , s sont deux à deux distincts.On peut utiliser ce recouvrement pour calculer la cohomologie de de Rham de Y àla Čech. Un -cocycle est une collection (cid:0) ( ω s ) s ∈ S , ( f a ) a ∈ A c (cid:1) , avec ω s ∈ Ω ( Z s ) , f a ∈ O ( Y a ) , et df a = ω s ( a ) − ω s ( a ) ,pour tous s ∈ S et a ∈ A c . Un -cobord est un -cocycle de la forme (cid:0) ( dF s ) s ∈ S , ( F s ( a ) − F s ( a ) ) a ∈ A c (cid:1) , avec F s ∈ O ( Z s ) ,pour tout s ∈ S , et H ( Y ) est le quotient du groupe Z ( S ) des -cocycles par celui B ( S ) des -cobords.
42. Un « basic wide open » dans la terminologie de Coleman.
OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Cette description de H ( Y ) permet d’introduire un certain nombre de sous-groupes naturels. . — Si D est un disque ouvert, H ( D ) = 0 , et si Y est une couronneouverte généralisée { α < v p ( z ) < β } , alors H ( Y ) est un C p -espace de dimension ,engendré par la classe de dzz . En particulier, si a ∈ A , H ( Y a ) est un C p -espacevectoriel de dimension muni d’une base naturelle (au signe près ; le signe est déter-miné par l’orientation de a ). Si ω ∈ Ω ( Y a ) , on définit le résidu Res a ω de ω commela coordonnée de l’image de ω dans cette base de H ( Y a ) .Si s ∈ S , et si a ∈ A ( s ) , on définit le résidu Res( ω, a ) de ω ∈ Ω ( Z s ) en a commecelui de sa restriction à Y a . La fonction Res( ω ) : A ( s ) → C p ainsi définie est dans lenoyau de ∂ ∗ s : C A ( s ) p → C { s } p . Plus précisément, si on compactifie Z s en une courbepropre Z s en recollant des boules ouvertes D a le long des couronnes Y a , pour a ∈ A ( s ) ,alors Z s et les D a forment un recouvrement de Z s , ce qui fournit le diagrammecommutatif, à lignes exactes, suivant : Ω ( Z s ) L (cid:0) L a ∈ A ( s ) Ω ( D a ) (cid:1) (cid:15) (cid:15) / / L a ∈ A ( s ) Ω ( Y a ) Res (cid:15) (cid:15) / / H ( Z s , Ω ) ≀ (cid:15) (cid:15) / / H ( Z s ) Res / / C A ( s ) p ∂ ∗ s / / C { s } p / / . — Une forme différentielle ω ∈ Ω ( Z s ) est log-exacte si on peut l’écrire sous la forme df + P ri =1 λ i df i f i , avec f ∈ O ( Z s ) et f i ∈ O ( Z s ) ∗ , si ≤ i ≤ r . Elle est Q -log-exacte si elle est log-exacte et si on peutprendre les λ i rationnels dans la décomposition ci-dessus (ce qui équivaut à ce que Res a ω ∈ Q , pour tout a ∈ A ( s ) ). On note Ω ( Z s ) le sous-espace de Ω ( Z s ) desformes log-exactes, et H ( Z s ) log l’image de Ω ( Z s ) dans H ( Z s ) . On a alors unisomorphisme H ( Z s ) log ∼ = Ker (cid:2) ∂ ∗ s : C A ( s ) p → C { s } p (cid:3) découlant du lemme. 8.15 ci-dessous. Lemme 8.15 . — Si φ ∈ Ker (cid:0) ∂ ∗ s : Z A ( s ) → Z { s } (cid:1) , il existe M ∈ N et f ∈ O ( Z s ) ∗ tels que Res( dff ) =
M φ .Démonstration . — On peut compactifier Z s en une courbe propre Z ♦ s en recollantdes boules ouvertes D a le long des Y a via le choix d’un paramètre local T a de Y a , detelle sorte que D a = { v p ( T a ) > } et Y a = { µ ( a ) > v p ( T a ) > } ; on note P a le centrede D a .Soit J la jacobienne de Z ♦ s . Choisissons a ∈ A , et notons P a le centre du disque D a et ι : Z ♦ s → J l’application P ( P − P a ) . Le sous groupe H de J ( C p ) engendré par ι ( D ′ a ) , où D ′ a = D a K Y a , est ouvert ; on en déduit, car J ( F p ) estde torsion, que J ( C p ) /H est de torsion. Il existe donc M ∈ N et des Q j ∈ D ′ a telsque M (cid:0) P a ∈ A φ ( a ) ι ( P a ) (cid:1) + P j ± ι ( Q j ) = 0 . Mais alors M (cid:0) P a ∈ A φ ( a )( P a − P a ) (cid:1) + PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ P j ± ( Q j − P a ) est un diviseur principal et la fonction f ∈ C p ( Z ♦ s ) ∗ dont c’est lediviseur a les propriétés voulues.Un -cocycle (cid:0) ( ω s ) s ∈ S , ( f a ) a ∈ A c (cid:1) ∈ Z ( S ) est localement log-exact si ω s ∈ Ω ( Z s ) pour tout s ∈ S . Il est globalement log-exact s’il existe f ∈ O ( Y ) ∗ tel que ω s = dff pour tout s ∈ S , et f a = 0 pour tout a ∈ A c . On note H ( Y ) log l’imagedans H ( Y ) des -cocycles localement log-exacts. . — Coker (cid:2) ∂ : C Sp → C A c p (cid:3) s’identifie naturellementà un sous-espace de H ( Y ) log : si φ ∈ C A c p , on peut lui associer le -cocycle (( ω s ) s ∈ S , ( f a ) a ∈ A c ) , avec ω s = 0 et f a = φ ( a ) , qui est trivialement localementlog-exact ; ce cocycle est un cobord si et seulement si φ est dans l’image de ∂ . Plusconceptuellement, si on note H ( Y, C p ) le groupe de cohomologie analytique, on a Coker (cid:2) ∂ : C Sp → C A c p (cid:3) = H (Γ , C p ) = H ( Y, C p ) . Si ω ∈ H ( Y ) , on note Res( ω ) ∈ C Ap la fonction a Res( ω, a ) , où Res( ω, a ) estle résidu de la restriction de ω à Y a . On a Res( ω ) ∈ Ker (cid:2) ∂ ∗ : C Ap → C Sp (cid:3) = H c (Γ , C p ) ∗ , et Res induit une suite exacte → H (Γ , C p ) → H ( Y ) log → H c (Γ , C p ) ∗ . log L -cobords . — Choisissons une branche log L du logarithme ( log L est labranche du logarithme définie par log L p = L ). Un -cocycle localement log-exactest un log L -cobord s’il existe F s , pour s ∈ S , de la forme F s = f s, + P ri =1 λ i log L f s,i ,avec f s, ∈ O ( Z s ) , f s,i ∈ O ( Z s ) ∗ si ≤ i ≤ r , telles que l’on ait ω s = dF s et f a = F s ( a ) − F s ( a ) pour tous s ∈ S et a ∈ A c . On note H ( Y ) log , L le sous-espacede H ( Y ) log engendré par les log L -cobords. Proposition 8.16 . —
Res induit un isomorphisme
Res : H ( Y ) log , L ∼ → Ker ∂ ∗ = H c (Γ , C p ) ∗ . Démonstration . — Il résulte du lemme 8.15 que l’on peut trouver ω s de la forme P i λ i df i f i , avec f i ∈ O ( Z s ) ∗ dont le résidu est φ | A ( s ) . On obtient un log L -cobord dontla restriction du résidu à A K A c est φ en faisant la somme des ( ω s , ( F s,a ) a ∈ A c ( s ) ) où,si a ∈ A c ( s ) , F s,a est la restriction à Y a de ± P i λ i log L f i suivant que s ( a ) = s ou s ( a ) = s : cela marche car F s ( a ) ,a − F s ( a ) ,a ∈ O ( Y a ) bien que ni F s ( a ) ,a ni F s ( a ) ,a ne soient holomorphes sur Y a a priori. Remarque 8.17 . — (i) La prop. 8.16 prouve que H ( Y ) log → H c (Γ , C p ) ∗ est sur-jective et fournit un scindage (dépendant de L ) de la suite exacte → H (Γ , C p ) → H ( Y ) log → H c (Γ , C p ) ∗ → . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES (ii) L’application α L : H ( Y ) log → H (Γ , C p ) qui se déduit de ce scindage estla suivante. Soit (( ω s ) s ∈ S , ( f a ) a ∈ A c ) un -cocycle localement log-exact. Il existe uneprimitive F s de ω s sur Z s de la forme f + P i λ i log L f i , avec f i ∈ O ( Z s ) ∗ (biendéfinie à addition d’une constante près). Si a ∈ A c , alors c a = f a − ( F s ( a ) − F s ( a ) ) est une constante, et ( c a ) a ∈ A c définit un élément de H (Γ , C p ) = Coker ∂ , ce quifournit une application α L : H ( Y ) log → H (Γ , C p ) qui est l’identité sur H (Γ , C p ) de manière évidente. Proposition 8.18 . — (i) Si L , L ∈ C p , alors α L ( ω ) = α L ( ω ) − ( L − L ) N µ (Res( ω )) . (ii) Si f ∈ O ( Y ) ∗ , alors N µ (Res( dff )) = 0 .Démonstration . — Soit a ∈ A c . On peut trouver des fonctions x a,i , pour i = 1 , ,méromorphes sur Y s i ( a ) , holomorphes sur Y a , telles que v Z si ( a ) ( x a,i ) = 0 , et x a, x a, = α a , avec v p ( α a ) = µ ( a ) .Si Res( ω, a ) = κ , alors F s ( a ) = κ log L x a, + G et F s ( a ) = − κ log L x a + G sur Y a , où G , G ∈ O ( Y a ) , et donc F s ( a ) − F s ( a ) = − κ log L α a + G − G , puisque x a, x a, = α a . La formule log L α a = log L α a + ( L − L ) µ ( a ) permet de prouverle (i).Si (( ω s ) s ∈ S , ( f a ) a ∈ A c ) = dff est globalement log-exacte, on peut poser F s = log L f ,pour tout s , ce qui prouve que α L ( dff ) = 0 , pour tout L , et permet de déduire le (ii) du (i). Remarque 8.19 . — (i) H ( Y, C p ) a une Q -structure naturelle fournie par H ( Y, Q ) qui coïncide avec la Q -structure naturelle sur Ker ∂ . De même, H ( Y ) log , L a une Q -structure naturelle fournie par les log L -cobords qui sont localement Q -log-exacts, et cette Q -structure coïncide avec la Q -structure naturelle sur Ker ∂ ∗ . Laformule définissant N µ montre que N µ respecte les Q -structures.(ii) Pour une formule du même genre, dans le cas propre, cf. Mieda [ ]. . — On définit la cohomologie de de Rhamintérieure de Z s comme le sous-groupe H ( Z s ) int = Ker (cid:2) H ( Z s ) → ⊕ a ∈ A ( s ) H ( Y a ) (cid:3) . Ce groupe s’interprète aussi comme la cohomologie rigide de Y sp s : on note Y sp , × s lacourbe Y sp s munie de la structure logarithmique induite par Y sp et juste Y sp s la même PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ courbe avec la structure logarithmique triviale. On a alors [ ] des isomorphismes H ( Y sp , × s / O × C p ) ∼ = C p ⊗ K H ( Y sp , × s / O × K ) , H ( Y sp s / O C p ) ∼ = C p ⊗ K H ( Y sp s / O K ) , et le diagramme commutatif suivant dans lequel les lignes sont exactes (la premièreligne est juste la suite de Gysin) : / / H ( Y sp s / O C p ) / / ≀ (cid:15) (cid:15) H ( Y sp , × s / O × C p ) / / ≀ (cid:15) (cid:15) ⊕ a ∈ A ( s ) H ( P a / O C p ) / / ≀ (cid:15) (cid:15) H ( Y sp s / O C p ) / / ≀ (cid:15) (cid:15) / / H ( Z s ) int / / H ( Z s ) Res / / C pA ( s ) ∂ ∗ s / / C p { s } / / (cf. [ ] pour le second isomorphisme vertical, le premier est fourni par la commuta-tivité du diagramme).On a une décomposition : H ( Z s ) = H ( Z s ) int ⊕ H ( Z s ) log , conséquence directe de l’exactitude de la seconde ligne du diagramme et de l’isomor-phisme H ( Z s ) log ∼ = Ker (cid:2) ∂ ∗ s : C pA ( s ) → C p { s } (cid:3) . Lemme 8.20 . — Si Y est un pantalon, et si f ∈ O ( Y ) ∗ vérifie Res (cid:0) dff (cid:1) = 0 , alors dff est exacte : il existe g ∈ O ( Y ) tel que dg = dff .Démonstration . — Découpons Y en un short Y s et des jambes Y a , pour a ∈ A . Comme Res (cid:0) dff (cid:1) = 0 , cela signifie que v p ( f ) est constante sur chacune des couronnes, et doncle minimum est atteint sur Y s , et donc v p ( f ) est constante. Comme on peut diviser f par une constante, on peut supposer qu’il existe x ∈ Y s ( C ) tel que f ( x ) = 1 , etalors v Z ( f ) = 0 sur tout sous-affinoïde Z de Y .Si δ > est suffisamment petit, notons Y δ = { r ∈ Y, d ( r, ∂Y ) ≥ δ } . Alors Y δ estun affinoïde, et v Y δ ( f − ≥ δ (prop. 2.9) puisque x ∈ Y δ et f ( x ) = 1 . Il s’ensuitque la série définissant log f converge dans O ( Y δ ) et, ceci étant vrai pour tout δ , que log f ∈ O ( Y ) . On a alors dff = d (log f ) , ce qui permet de conclure.La théorie de l’intégration de Coleman fournit un plongement naturel de la co-homologie intérieure des Z s dans H ( Y ) . Soit s ∈ S , et soit ω ∈ Ω ( Z s ) . Unebranche log L du logarithme étant fixée, l’intégration de Coleman permet de définirune primitive F ω de ω sur Z s , localement analytique (pour la topologie p -adique,pas pour la rigide), uniquement déterminée à addition près d’une constante. De pluscette intégration est fonctorielle, et si ω = df + P ri =1 λ i df i f i est log-exacte, alors F ω = f + P ri =1 λ i log L f i (à constante près). En particulier, il résulte du lemme 8.20que ω définit une classe de cohomologie intérieure si et seulement si F ω est holomorphesur Y a , pour tout a ∈ A ( s ) (dans ce cas F ω ne dépend pas du choix de L , et ω s estexacte si et seulement si F ω est holomorphe sur Y s ). OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES Ceci permet, si ω ∈ H ( Z s ) int , de définir la classe de ω dans H ( Y ) comme laclasse du cocycle (cid:0) ( ω s ) , ( f a ) (cid:1) , avec ω s = ω , ω s = 0 si s = s , f a = 0 si a / ∈ A ( s ) , et f a = ± F ω suivant que s ( a ) = s ou s ( a ) = s , si a ∈ A ( s ) . Si on change F ω , celamodifie le cocycle précédent par un cobord, et donc la formule ci-dessus définit uneinjection naturelle de H ( Z s ) int dans H ( Y ) , pour tout s ∈ S . Lemme 8.21 . —
L’injection ci-dessus de H ( Z s ) int dans H ( Y ) , pour tout s ∈ S ,s’étend en une injection continue de Q s ∈ S H ( Z s ) int dans H ( Y ) .Démonstration . — Si ( ω s ) s ∈ S est une collection de formes différentielles dont lesclasses sont intérieures, la série des cocycles associés converge car elle ne faitintervenir, localement, que des sommes finies, et on obtient ainsi une injection Q s ∈ S H ( Z s ) int → H ( Y ) car les Y s sont disjoints, et que l’exactitude de ω s sur Y s équivaut à l’exactitude de ω s .On définit la cohomologie de de Rham intérieure de Y comme le sous-groupe Q s ∈ S H ( Z s ) int de H ( Y ) . Proposition 8.22 . — (i) H ( Y ) int ne dépend pas du choix de S : H ( Y ) int = Y s ∈ Σ( Y ) H ( Z s ) int . (ii) On a une décomposition naturelle (dépendant de L ) H ( Y ) = H ( Y ) log , L ⊕ H ( Y, C p ) ⊕ H ( Y ) int . Démonstration . — Le (i) suit de ce que Y sp s est de genre si s ∈ S K Σ( Y ) . Pourprouver le (ii), on utilise l’isomorphisme H ( Y ) log , L ∼ = Ker ∂ ∗ pour tuer les résidus,puis les classes intérieures pour tuer les ω s et obtenir un élément de H ( Y, C p ) . . — Soit u : Y ′ → Y un morphisme de courbes analytiques sansbord, et soient S et S ′ des triangulations de Y et Y ′ . Si ω = (cid:0) ( ω s ) , ( f a ) (cid:1) ∈ Z ( S ) ,on définit u ∗ ω = (cid:0) ( ω s ′ ) , ( f a ′ ) (cid:1) ∈ Z ( S ′ ) , en posant ω s ′ = ( u ∗ ω s si u ( s ′ ) ∈ Z s K (cid:0) ` a ∈ A c ( s ) Y a (cid:1) , u ∗ ω s ( a ) si u ( s ′ ) ∈ Y a et a ∈ A c . f a ′ = − u ∗ f a si u ( Y a ′ ) ⊂ Y a , u ( s ( a ′ )) = s ( a ) et u ( s ( a ′ )) = s ( a ) , u ∗ f a si u ( Y a ′ ) ⊂ Y a , u ( s ( a ′ )) = s ( a ) et u ( s ( a ′ )) = s ( a ) , dans les autres cas.Alors u ∗ ω est un cobord si ω en est un et u ∗ : H ( Y ) → H ( Y ′ ) est l’applicationinduite.Il est alors immédiat que : u ∗ ( H ( Y, Q )) ⊂ H ( Y ′ , Q ) et u ∗ ( H ( Y ) log , L ) ⊂ H ( Y ′ ) log , L , PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ et la fonctorialité de l’intégration de Coleman fournit l’inclusion u ∗ ( H ( Z ) int ) ⊂ H ( Z ′ ) int . On en déduit la fonctorialité la décomposition H ( Y ) log = H ( Y ) int ⊕ H ( Y, C p ) ⊕ H ( Y ) log , L . . — Ce résultat permet de décrire directementl’isomorphisme de Hyodo-Kato : on définit H ( Y ) comme le ˘ C p -espace vectoriel (cid:0) Q s ∈ Σ H ( Y sp s / O ˘ C p ) (cid:1) L H (Γ , ˘ C p ) L H c (Γ , ˘ C p ) ∗ ( − . que l’on munit : • du frobenius naturel ϕ sur chacun des facteurs, • de l’opérateur de monodromie N de la rem. 1.6, • de l’isomorphisme ι HK , L : K ⊗ H ( Y ) ∼ = H ( Y ) (qui dépend du choix de L ),somme directe des isomorphismes K ⊗ H (Γ( Y ) , ˘ C p ) ∼ = H ( Y, K ) , K ⊗ H c (Γ( Y ) , ˘ C p ) ∗ ∼ = H ( Y ) log , L ,K ⊗ H ( Y s / O ˘ C p ) ∼ = H ( Z s ) int . Remarque 8.23 . — (i) L’isomorphisme ι HK du (iii) de la rem. 8.2 correspond à ι HK , L pour L = 0 .(ii) Les fonctorialités de la décomposition de la cohomologie de de Rham et de lacohomologie rigide impliquent que Y ( H ( Y ) , H ( Y ) , ι HK , L ) est fonctoriel.(iii) La définition de H ( Y ) en fournit une décomposition naturelle qui n’est autreque la décomposition par les poids de frobenius : H ( Y s / O ˘ C p ) est le sous-espace depoids , H (Γ( Y ) , K ) celui de poids et H c (Γ( Y ) , K ) ∗ ( − celui de poids . Appendice APlaidoyer pour un peu de modération
Dans cet appendice, on étudie les pathologies de la cohomologie étale de la bouleunité ouverte, et on propose une piste pour les supprimer.Soit ◦ B la boule unité ouverte (i.e. O ( ◦ B ) = O C [[ T ]] ). On a défini au n o Syn( ◦ B, et calculé ses groupes de cohomologie H i syn ( ◦ B, (prop. 4.6). Onva s’intéresser au lien entre les H i syn ( ◦ B, et la cohohomologie étale (à coefficientsdans Z p (1) ) de « la » fibre générique (43) ◦ B an de ◦ B (c’est l’espace rigide associé : si r n est une suite de rationnels vérifiant r n > r n +1 et lim r n = 0 , alors ◦ B an est la réunioncroissante des B an r n , où B an r est la fibre générique de la boule fermée B r = { v p ( T ) ≥ r } ,i.e. O ( B r ) = O C h Tp r i ). Notons que les résultats qui suivent s’étendent verbatim aux
43. Comme nous l’expliquons au § A.4, il y a plusieurs objets différents qui peuvent prétendre être« la » fibre générique de ◦ B . Dans le texte principal, nous avons juste défini O ( ◦ B gen ) sans spécifierdans quelle catégorie ◦ B gen vivait. OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES couronnes ouvertes : pour toutes ces histoires, une couronne ouverte se comportecomme la réunion de deux boules ouvertes attachées en un point.Si r ∈ Q , on pose O ( e B r ) = A cris h T ˜ p r i . On a donc Ω ( e B r ) = O ( e B r ) dT ˜ p r . On disposedu complexe Syn( B r ,
1) := F O ( e B r ) ( d, − ϕp ) / / Ω ( e B r ) ⊕ O ( e B r ) (1 − ϕp ) − d / / Ω ( e B r ) , où ϕ ( T ) = T p . Ce complexe calcule la cohomologie étale de la fibre générique de B r :c’est clair pour H ; pour H , c’est un cas particulier du cor. 6.25 (ou du th. 5.29, viale le cor. 5.5) ; pour H , cela découle de ce que H ( B r ,
1) = 0 (prop. 4.7) et de ceque H ( B an r , Z p (1)) = 0 , d’après Berkovich [ , cor. 6.1.3]. A.1. Groupe de Picard. —
Comme C h Tp r i est, pour tout r ∈ Q , un anneauprincipal, on a Pic( ◦ B an ) = { ( f n ) n ∈ N , f n ∈ O ( B r n ) ∗ }{ ( g n +1 g − n ) n ∈ N , g n ∈ O ( B r n ) ∗ } De plus, on peut remplacer O ( B r n ) ∗ par son sous-groupe des f valant en , et tousles f n , g n , etc. qui vont intervenir vérifient cette propriété. A.1.1. Le théorème de Lazard . — Rappelons le résultat fondamental de Lazard [ ]concernant le groupe Pic( ◦ B an ) . Proposition A.1 . — (Lazard)
On a la dichotomie suivante : • Si C est sphériquement complet, alors Pic( ◦ B an ) = 0 . • Si C n’est pas sphériquement complet, alors Pic( ◦ B an ) = 0 . Nous allons avoir besoin de préciser ce qui se passe dans le cas non sphériquementcomplet. Les résultats suivants sont des variations sur [ , § V, prop. 6]. A.1.2. Construction d’éléments non divisibles . — Comme C n’est pas sphériquementcomplet, il existe des suites ( D n ) n ∈ N strictement décroissantes de boules fermées, dontla valuation − r n tend vers , et telles que ∩ n D n = ∅ . On choisit une telle suite et x n ∈ D n pour tout n , puis a n ∈ D n K D n +1 vérifiant v p ( a n − x n +1 ) > − r n ; on a alors D n = B ( a n , − r n ) et − r n +1 > v p ( a n +1 − a n ) > − r n > v p ( a n − a n − ) · · · , lim n →∞ r n = 0 , ∩ n B ( a n , − r n ) = ∅ Soit u n = 1 − ( a n − a n − ) T . Comme v p ( a n − a n − ) > − r n , on a u n ∈ O ( B r n ) ∗ . Proposition A.2 . —
La classe de ( u n ) n ∈ N dans Pic( ◦ B an ) n’est pas divisible par p et, plus généralement, celle de ( u p k n ) n ∈ N n’est pas divisible par p k +1 .Démonstration . — Suppons que cette classe est divisible par p . Il existe alors v n , g n ∈ O ( B r n ) ∗ , tels que u n = v n +1 v n g pn , pour tout n ∈ N . Quitte à diviser g n , v n par desconstantes, on peut supposer que g n = 1 + α n T + · · · , v n = 1 + ν n T + · · · , PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ et l’hypothèse d’inversibilité implique v p ( α n ) > − r n , v p ( ν n ) > − r n . Soit w n = (1 − ( a − a ) T ) · · · (1 − ( a n − − a n − ) T ) . On a u n = w n +1 w n sur B r n . On endéduit que w n +1 v n +1 = w n v n g pn . Si w n v n = 1 + β n T + · · · , la relation précédente implique β n +1 = β n + pα n , et donc β n − β ∈ p − r O C , pour tout n .Maintenant, on a β n = a − a n − ν n , et donc a − β = a n + ν n + ( β n − β ) ∈ B ( a n , − r n ) , pour tout n .On en déduit que a − β ∈ ∩ n B ( a n , − r n ) , ce qui conduit à une contradiction puisquecette intersection est vide par hypothèse. Cela prouve que cette classe n’est pas divi-sible par p .Le cas k général se traite de la même manière : il suffit d’élever tout à la puis-sance p k , ce qui multiplie les coefficients de T par p k . A.1.3. Le sous-groupe de torsion du groupe de Picard . — Le but de ce numéro estde prouver le résultat suivant.
Proposition A.3 . —
Le groupe
Pic( ◦ B ) est sans torsion.Démonstration . — Il suffit de prouver que Pic( ◦ B ) n’a pas de p -torsion. Si ( u n ) n ∈ N ∈ Q n ∈ N O ( B r n ) ∗ , on note [( u n )] sa classe dans Pic( ◦ B ) . On pose T n = T /p r n , et donc T n + k = p r n − r n + k T n . Alors O ( B r n ) = O C h T n i .Nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme A.4 . —
Soit ( u n ) n ∈ N ∈ Q n ∈ N O ( B r n ) ∗ . S’il existe δ > tel que u n ∈ p δ T n O ( B r n ) pour tout n assez grand, alors [( u n )] = 0 .Démonstration . — On peut écrire u n = Q k ≥ u n,k , avec u n,k = 1 + p δ a n,k T kn et a n,k ∈ O C tend vers quand k → ∞ ( n étant fixé) : l’existence des a n,k ∈ O C est immédiate et pour prouver que a n,k → , il suffit de développer, de regardermodulo p δ , p δ , etc., et d’utiliser le fait que u n est un polynôme modulo p δ , p δ , etc.On choisit N k tel que δ − kr n ≥ si n ≥ N k . On définit v n,k par v n,k = 1 si n = N k et v n +1 ,k = u n,k v n,k , si n ∈ N . De manière explicite, on a v n,k = (Q n − i = N k (1 + p δ a i,k p − kr i T k ) si n ≥ N k , Q N k − i = n (1 + p δ a i,k p k ( r n − r i ) T kn ) − si n ≤ N k − .Comme a n,k → quand k → ∞ , on voit que, si < δ ′ < δ , alors v n,k ∈ p δ ′ T n O ( B r n ) , pour tout k (on a même v n,k ∈ p δ T O C [[ T ]] si N k ≤ n ), et que v n,k − → dans p δ ′ T n O ( B r n ) quand k → + ∞ . Il s’ensuit que v n = Q k ≥ v n,k ∈ OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES O ( B r n ) ∗ , et comme on a u n = Q u n,k = Q ( v n +1 ,k /v n,k ) = v n +1 /v n , cela permet deconclure.Revenons à la preuve de la proposition A.3. On suppose que [( u pn )] = 0 et on veuten déduire que [( u n )] = 0 .Écrivons u n = 1+ P k ≥ a n,k T kn et posons u ( p ) n = 1+ P k ≥ a pn,k T pkn . Alors u ( p ) n /u pn ∈ pT n O ( B r n ) , pour tout n , et il résulte du lemme A.4 que [ u ( p ) n ] = 0 puisque [( u pn )] = 0 . On peut donc écrire u ( p ) n = w n +1 /w n pour tout n , avec w n ∈ O ( B r n ) ∗ . Deplus, comme les seules puissances de T intervenant dans u ( p ) n sont les T pk , on peutéliminer les puissances de T premières à p dans les w n une par une (on commencepar T en remarquant que le coefficient a de T dans w n ne dépend pas de n , ce quipermet de diviser w n par a T pour tout n , et on recommence avec T , etc.). Ona alors w n = 1 + P k ≥ w n,k T pkn .Soit w ′ n,k = ( w n,k ) /p (pour un choix de racine p -ième), et soit w ′ n = 1 + P k ≥ w ′ n,k T kn ∈ T n O ( B r n ) . Alors ( u n ( w ′ n +1 /w ′ n ) − ) p ∈ pT n O ( B r n ) car ( w ′ n ) p /w n ∈ pT n O ( B r n ) et u pn /u ( p ) n ∈ pT n O ( B r n ) . Il en résulteque u n ( w ′ n +1 /w ′ n ) − ∈ p /p T n O ( B r n ) , et le lemme A.4 fournit une suite de v ′ n ∈ O ( B r n ) ∗ tels que u n ( w ′ n +1 /w ′ n ) − = v ′ n +1 /v ′ n . Si on pose alors v n = v ′ n w ′ n , on a v n ∈ O ( B r n ) ∗ et u n = v n +1 /v n pour tout n . On en déduit que [( u n )] = 0 , ce que l’onvoulait. A.2. Cohomologie étale. —
On a une suite exacte → Z /p n ⊗ O ( ◦ B an ) ∗ → H ( ◦ B an , Z /p n (1)) → Pic( ◦ B an )[ p n ] → . Comme O ( ◦ B an ) ∗ = C ∗ × (1 + O C [[ T ]]) et que Z /p n ⊗ C ∗ = 0 , on déduit des prop. A.1et A.3 le résultat suivant (le cas de Z p se déduit du cas de Z /p n en passant à la limitepuisque O C [[ T ]] est séparé et complet pour la topologie p -adique). Corollaire A.5 . —
On a des isomorphismes : H ( ◦ B an , Z /p n (1)) ∼ = Z /p n ⊗ (1 + O C [[ T ]]) , si n ≥ , H ( ◦ B an , Z p (1)) ∼ = 1 + T O C [[ T ]] . Comme H ( ◦ B an , Z p (1)) est le complété p -adique de Pic( ◦ B an ) , on déduit de laprop. A.2 le résultat suivant. Théorème A.6 . —
On a la dichotomie suivante : • Si C est sphériquement complet, H ( ◦ B an , Z p (1)) = 0 . • Si C n’est pas sphériquement complet, H ( ◦ B an , Z p (1)) = 0 et n’a pas de torsion. Remarque A.7 . — Supposons C non sphériquement complet.(i) En utilisant les exemples de la prop. A.2, on peut montrer que H ( ◦ B an , Z p (1)) est, non seulement non nul, mais « énorme ». PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ (ii) Comme H ( ◦ B an , Q p (1)) = 0 , cela fournit un exemple de non injecti-vité de l’application naturelle de la cohomologie étale vers la proétale puisque H ( ◦ B an , Q p (1)) = 0 (cf. [
18, 16 ]).
A.3. Cohomologie syntomique et cohomologie du groupe fondamental
On remarque, en comparant les résultat du § A.2 avec ceux de la prop. 4.6, que
Syn( ◦ B, calcule la cohomologie étale de ◦ B an si C est sphériquement complet maispas si C n’est pas sphériquement complet. Une explication est la suivante : dans tousles cas, le complexe total associé au complexe double Q n ∈ N F O ( e B r n ) ( d, − ϕp ) / / (cid:15) (cid:15) Q n ∈ N Ω ( e B r n ) ⊕ Q n ∈ N O ( e B r n ) (1 − ϕp ) − d / / (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) Q n ∈ N Ω ( e B r n ) (cid:15) (cid:15) Q n ∈ N F O ( e B r n ) ( d, − ϕp ) / / Q n ∈ N Ω ( e B r n ) ⊕ Q n ∈ N O ( e B r n ) (1 − ϕp ) − d / / Q n ∈ N Ω ( e B r n ) dans lequel les flèches verticales sont ( x n ) n ∈ N ( x n − x n +1 ) n ∈ N , calcule la cohomo-logie étale de ◦ B an puisque les B an r n forment un recouvrement croissant de ◦ B an . • Si C est sphériquement complet, on a R lim n p − s n O C = 0 , pour toute suitestrictement décroissante ( s n ) n ∈ N de nombres rationnels. On en déduit des résultatsanalogues pour A cris , F A cris , etc. La nullité des R lim ci-dessus implique que lesflèches verticales sont surjectives ; on peut donc remplacer le double complexe par lecomplexe des noyaux des flèches verticales qui n’est autre que Syn( ◦ B, . • Si C n’est pas sphériquement complet, les flèches verticales ne sont pas surjectives,et on ne peut pas remplacer le double complexe par Syn( ◦ B, .Il y a donc une dichotomie un peu désagréable mais, comme nous allons le voir, Syn( ◦ B, calcule dans tous les cas la cohomologie continue du groupe fondamentalde ◦ B an .Soit R = O C [[ T ]] , et soient R la côture intégrale de R dans l’extension profinieétale maximale de R [ p ] et G R = Aut( R/R ) . Proposition A.8 . —
Le complexe
Syn( ◦ B, calcule la cohomologie continue de G R à valeurs dans Z p (ou Z p (1) , puisque C est algébriquement clos) .Démonstration . — On note R ∞ la sous- R -algèbre R [(1 + T ) p −∞ ] de R , et b R ∞ soncomplété pour la topologie ( p, T ) -adique. Alors Γ = Aut( R ∞ /R ) ∼ = Z p (on choisit ungénérateur topologique γ de Γ ), et b R ∞ est perfectoïde. On en déduit que la cohomo-logie de G R est calculée par le complexe e R (1 − γ, − ϕ ) / / e R ⊕ e R (1 − ϕ ) − (1 − γ ) / / e R où A C = W ( C ♭ ) , A + C = W ( O C ♭ ) et e R = A C ⊗ A + C A + C [[ T ]] , les actions de γ et ϕ sur e R étant données par γ ( T ) = (1 + π ) T + π , où π = [ ε ] − et ϕ ( T ) = (1 + T ) p − . OHOMOLOGIE DES COURBES p -ADIQUES (Pour aboutir à cette expression au lieu de e R ∞ = W ( b R ∞ [ p ] ♭ ) , il faut utiliser l’inverseà gauche ψ : e R → e R de ϕ donné par ψ ( P p − i =0 (1 + T ) i ϕ ( x i )) = x , et le fait que γ − est inversible sur e R ψ =0 ; cela permet de décompléter comme d’habitude.)Ensuite, on vérifie que le complexe ci-dessus est quasi-isomorphe à ϕ − ( π ) e R + (1 − γ, − ϕ ) / / e R + ⊕ π e R +(1 − ϕ ) − (1 − γ ) / / e R + , où e R = A + C [[ T ]] (c’est comme d’habitude, utiliser le complexe avec ψ au lieu de ϕ et lefait que e R ψ =1 = ( e R + ) ψ =1 et le fait qu’une solution de ( γ − x dans e R ψ =0 appartientà ( π e R + ) ψ =0 si x ∈ ( e R + ) ψ =0 ). On plonge ϕ − ( π ) e R + et π e R + dans F e R + et e R + par x πx , puis on plonge F e R + et e R + dans F O ( e B ) et O ( e B ) (il faut vérifier que ceciinduit un quasi-isomorphisme). Enfin, on remarque que γ − π = ∂ modulo π , ce quipermet de passer du complexe obtenu à Syn( B, comme dans [ ], [ ]. A.4. La fibre générique adoque. —
Il résulte de la prop. A.8 et du § A.3 que,si C est spériquement complet, la cohomologie étale de ◦ B an est celle de son groupefondamental (i.e. ◦ B an est un K ( π, ), alors que si C n’est pas sphériquement complet,ce n’est pas du tout le cas. On peut s’extasier devant la richesse du monde p -adiqueou considérer que c’est une pathologie dont on aimerait se débarrasser.On peut penser que le problème vient de ce que l’on n’a pas pris la bonne fibregénérique et que, pour restaurer un peu d’harmonie, il faut la remplacer par la fibregénérique adoque .Soit Y un affinoïde sur C . On retrouve la topologie rigide sur Y en prenant commebase d’ouverts les images inverses (i.e. les tubes) des ouverts de modèles de Y sur O C .Si U est un ouvert d’un tel modèle Y , on a O Y (] U [) = O Y ( U )[ p ] .On peut enrichir cette structure, en définissant Y ado comme l’ensemble des pointsde l’espace adique associé à Y se spécialisant en un point de Y ado pour un choix demodèle assez fin de Y (on n’obtient ainsi que des valuations de rang ou induisant v p sur C ), et en prenant comme base d’ouverts de Y ado les images inverses (i.e. lestubes) des ouverts des schémas adoques associés aux modèles de Y sur O C . Si U estun ouvert adoque d’un tel modèle Y , on pose O Y ado (] U [) = O Y ado ( U )[ p ] ; la fibregénérique de U est l’espace annelé image inverse de U dans Y ado .Une variété adoque est alors un espace annelé, localement isomorphe à un ouvertde Y ado , où Y est un affinoïde sur C .Si Y est un schéma adoque obtenue en recollant les U i le long des U i,j , sa fibregénérique Y gen est la variété adoque obtenue en recollant les fibres génériques des U i le long des des fibres génériques des U i,j . En particulier, si Y est un affinoïde, Y ado est la fibre générique de n’importe lequel de ses modèles. Remarque A.9 . — (i) Soit ◦ B ado la boule unité ouverte vue comme variété adoque.Alors O ( ◦ B ado ) = O C [[ T ]][ p ] . Si on considère à la place la boule unité rigide ◦ B an , alors PIERRE COLMEZ, GABRIEL DOSPINESCU & WIESŁAWA NIZIOŁ O ( ◦ B an ) = R + , anneau des P n ≥ a n T n , avec a n ∈ C et v p ( a n ) + nr → + ∞ quand n → + ∞ , pour tout r > . Remarquons que ◦ B an peut aussi être considérée commevariété adoque, réunion des boules fermées B r n , et on a une injection ◦ B an ֒ → ◦ B ado (correspondant à l’injection naturelle O ( ◦ B ado ) → O ( ◦ B an ) ), mais cette injection n’estpas un isomorphisme : le cercle fantôme à la frontière de ◦ B ado n’appartient pas à ◦ B an car il n’appartient à aucune des B r n .(ii) ◦ B ado est quasi-compacte contrairement à ◦ B an car un voisinage du cercle fantômeà la frontière doit contenir un domaine rationnel non trivial, et on peut donc extrairede tout recouvrement ouvert un recouvrement fini. Cela signifie que l’on n’a pas deproblème de R lim , et donc que Pic( ◦ B ado ) = 0 . On en déduit que
Syn( ◦ B, calcule la cohomologie étale de ◦ B ado indépendammentdu fait que C soit ou ne soit pas sphériquement complet.(iii) Ce résultat laisse espérer que les (fibres génériques d’) affines adoques soientdes K ( π, comme le sont les affinoïdes d’après Scholze [ , th. 1.2]. Si tel n’est pasle cas, on pourrait envisager de changer la définition de la cohomologie proétale pourl’imposer... Références [1]
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Pierre Colmez , CNRS, IMJ-PRG, Sorbonne Université, 4 place Jussieu, 75005 Paris, France
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Gabriel Dospinescu , CNRS, UMPA, École Normale Supérieure de Lyon, 46 allée d’Italie, 69007Lyon, France • E-mail : [email protected]
Wiesława Nizioł , CNRS, IMJ-PRG, Sorbonne Université, 4 place Jussieu, 75005 Paris, France