Compact families and typical entropy invariants of measure-preserving actions
aa r X i v : . [ m a t h . D S ] F e b Компактные семейства и типичные энтропийные инвариантысохраняющих меру действий
В.В.Рыжиков12.02.2021
Аннотация
Статья предназначена для выпуска Трудов Mосковского Mатематического Общества (82:1),посвященного 80-летним юбилеям В.И. Оселедца и А.М. Степина и памяти А.М. Степина,покинувшего нас в ноябре 2020г.Содержание. Для компактного множества действий энтропия типа энтропии Кушниренко под-бирается таким образом, чтобы на этом множестве она равнялась нулю, но принимала бесконечноезначение для типичных действий. Как следствие получен результат о том, что типичные сохра-няющие меру преобразования не изоморфны изометрическим перекладываниям конечного наборагеометрических фигур.Библиография: 19 названий, УДК: 517.987, MSC: Primary 28D05; Secondary 58F11Ключевые слова и фразы: типичные эргодические действия, энтропия Кушниренко,компактые семейства динамических систем.
Настоящая работа дает отрицательный ответ на вопрос: будут ли типичны преобра-зования, изоморфные изометрическому перекладыванию конечного числа геометриче-ских фигур?
Задача возникла в связи с результатом Девис и Чайки [2] о нетипич-ности перекладываний конечного числа отрезков. Перекладывания (interval exchangetransformations, IETs) давно являются чрезвычайно популярными объектами в эргоди-ческой теории. Вспоминая их самые первые применения, отметим, что в работе Степина[16] перекладываниями было реализовано действие диадической группы с отсутствиемгруппового свойства спектра, а Оселедцем в [9] получен ряд результатов о переклады-ваниях, включая реализацию спектров конечной кратности.В доказательстве нетипичности перекладываний использовались отклонения от пе-ремешивания, обнаруженные Катком [7]. Авторы [2] сравнили регулярность таких от-клонений с нерегулярностью отклонений, характерной для типичных преобразований.Отсутствие перемешивания для перекладываний прямоугольников, насколько нам из-вестно, не установлено. Как доказать их нетипичность? Предлагается метод, исполь-зующий небольшую модификацию энтропии Кушниренко [8]: перекладывания имеютнулевую специально выбранную энтропию, а типичные преобразования – бесконечнуюэнтропию. Аналогичные результаты справедливы для изометрических перекладываний онечного набора геометрических фигур. Доказательство их нетипичности использу-ет равенство нулю классической энтропии ([1]). Подмножество в группе сохраняющихмеру преобразований Aut , состоящее в точности из классов сопряженности элементовмножества K ⊂ Aut , обозначим через K Aut . Вопрос, оставшийся нерешенным, звучиттак: верно ли, что множество K Aut имеет первую категорию в группе
Aut , оснащеннойметрикой Халмоша, если K ⊂ Aut – компакт?
В случае, когда все элементы компакта K имеют нулевую классическую энтропию,то ответ, как будет показано в заметке, положительный. Это дает большое многооб-разие нетипичных классов, выходящее за рамки перекладываний конечного множествафигур. Аналогичные соображения можно с успехом применить к потокам, к групповымдействиям и даже к перемешивающим действиям с метрикой Альперна-Тихонова [19],но мы ограничимся в заметке небольшим кругом задач. Любопытно, что преобразо-вания с положительной энтропией, являясь нетипичными, явно "мешают"ответить напоставленный выше вопрос. Причина, вероятно, кроется в том, что типичная динамикана чрезвычайно больших интервалах времени похожа на нетипичную (недетерминиро-ванную) динамику с малой положительной энтропией (хотя на других очень большихинтервалах времени она не похожа на нее).О современных аспектах теории типичных преобразований, в том числе о револю-ционном результате Кинга (King) о корнях, тонком результате Лазаро (Lazaro) и де ляРю (de la Rue) о включении типичного преобразования в поток, неожиданных теоремахАгеева о факторах и нетривиальных самоприсоединениях(self-joinings) см., например,работы [4], [18], [19]. Фиксируем стандартное вероятностное пространство ( X, B , µ ) и рассмотрим группу егоавтоморфизмов Aut , снабженную полной метрикой Халмоша ρ : ρ ( S, T ) = X i µ ( SA i ∆ T A i ) + µ ( S − A i ∆ T − A i ) , где семейство множеств { A i } плотно в алгебре B . Говорят, что свойство типично, ес-ли множество автоморфизмов (далее мы их называем преобразованиями), обладающееэтим свойством, содержит некоторое G δ -множество, плотное в Aut . Отсутствие перемешиванияи наличие слабого перемешивания, как показали Рохлин и Халмош, являются типич-ными свойствами. Напомним, как доказывается полезный более общий факт.Функция от оператора Q ( T ) называется допустимой, если она имеет вид Q ( T ) = a Θ + X i a i T i , a, a i ≥ , X i a i = 1 − a, де Θ – oператор ортопроекции на пространство констант в L ( X, B , µ ) . Если T m → w κ Θ + (1 − κ ) I, такое преобразование T называется κ -перемешивающим. Перемешивающим, напомним,называется преобразование T , удовлетворяющее условию T m → Θ при m → ∞ . Чита-тель, вероятно, уже заметил, что мы одинаково обозначаем преобразование и индуци-рованный преобразованием оператор в L ( X, B , µ ) .Свойство κ -перемешивания, сыгравше важную роль в решении задачи Колмогоровао групповом свойстве спектра, является типичным свойством, как показал Степин [17].Определение κ -перемешивания появилось в работе [10], где Оселедец высказал гипотезуо том, что этим свойством могут обладать перекладывания отрезков (гипотеза через 30лет была доказана автором). В работе [6] Каток и Степин рассматривали преобразова-ния с ( n, n + 1) -аппроксимацией. Оказывается, такие преобразования обладают всемидопустимыми слабыми пределами [13]. Большинство перекладываний 3-х отрезков об-ладает ( n, n + 1) -аппроксимацией (см. [3]). Теорема 2.1.
Для бесконечного множества M и допустимых функций Q , R (i) множество преобразований T таких , что для некоторого бесконечного подмно-жества M ′ ⊂ M выполнено T m → w R ( T ) при m ∈ M ′ , m → ∞ , является типичныммножеством,(ii) множество преобразований T таких, что T m → w Q ( T ) при m ∈ M, m → ∞ ,является множеством первой категории.
В частных случаях при R = I , Q = Θ , получаем упомянутые результаты Халмоша иРохлина, а подстановка R = κ Θ + (1 − κ ) I дает типичность свойства κ -перемешивания.Доказательство. (i). Фиксируем плотное в Aut множество преобразований { J q } . Най-дется бесконечное подмножество M ′ ⊂ M и слабо перемешивающее преобразование S такое, что S m → w R ( S ) , m ∈ M ′ . Нужное S несложно реализовать при помощи кон-струкции ранга 1 ([15]). Надстройки (spacers) этой конструкции обеспечат требуемыеслабые пределы, причем высоты башен h j легко заставить принимать значения из M .Тем самым мы получим S h j → w R ( S ) , h j ∈ M .Пусть w обозначает метрику, задающую слабую операторную топологию. Для любых n и q найдется m = m ( n, q ) и окрестность U ( n, q ) преобразования J − q SJ q такая, чтонеравенство w ( T m , R ( T )) < n выполняется для всех T ∈ U ( n, q ) . Получаем G δ -множество W = \ n [ q U ( n, q ) , плотное в Aut , так как класс сопряженности эргодического преобразования S плотен в Aut (следствие леммы Рохлина-Халмоша). W состоит из преобразовний, удовлетворя-ющих условию пункта (i). ii). Это утверждение логически вытекает из (i). Действительно, фиксируем бесконеч-ное M , для типичного преобразования S найдется бесконечное подмножество в M , наэлементах которого { S : S m → w R ( S ) = Q ( S ) . Таким образом, условие { T : T m → w Q ( T ) при m ∈ M, m → ∞ выполняется только для нетипичных T . Если T и T − не сопряженыв Aut , такое преобразование T называем асимметричным. Типичные преобразованияасимметричны (дель Джунко, [5]). В работе [11] Оселедец построил Z -расширение надперекладыванием отрезков, не изоморфное обратному. Вероятно, аналогичным спосо-бом можно получить асимметричное перекладывание. В [14] даны примеры преобразо-ваний с очевидной асимметрией, вытекающей из приведенных ниже асимптотическихсвойств. Заметим, что такими свойствами не могут обладать перекладываний 3-х от-резков, так как они являются композицией двух инволюций, следовательно, они сим-метричны. Любопытно узнать, бывают ли, например, несимметричные перекладыва-ния отрезков I , I , I , I в порядке I , I , I , I ? Отметим, что перекладывание в порядке I , I , I , I изоморфно обратному как композиция симметрии всего отрезка c инволюци-ей, образованной одновременными симметриями внутри каждого из четырех отрезков I , I , I , I . Теорема 2.2.
Пусть преобразование T обладает следующим свойством: для неко-торых последовательностей m i , n i → ∞ для любого измеримого множества A имеютместо сходимости µ ( A ∩ T m i A ∩ T n i A ) → ( µ ( A ) + 2 µ ( A ) ) / ,µ ( A ∩ T − m i A ∩ T − n i A ) → µ ( A ) . Такие преобразования T асимметричны и типичны. В [15] было доказано следующее утверждение.
Теорема 2.3.
Пусть K – компакт в Aut = Aut ( X, B , µ ) и для некоторого r > длявсех T ∈ K и любого n найдется m > n такое, что w ( T m , Θ) > r , где w – метрика,задающая слабую операторную топологию в L ( X, B , µ ) . Тогда множество K Aut имеетпервую категорию в
Aut . Если Θ является единственным марковским оператором, сплетающим два преобра-зования, то такие преобразования называются дизъюнктными. Это эквивалентно тому,что они обладают единственным присоединением (joining) µ × µ . Дизъюнктные преоб-разования, неформально говоря, максимально неизоморфны. Обсуждение предыдущейтеоремы с Бенджи Вейсом (Benjy Weiss) способстовало следующему обобщению резуль-тата Девис и Чайки [2]. Теорема 2.4.
Множество преобразований, дизъюнктных со всеми эргодическимиперекладываниями является типичным. оказательство. Фиксируем плотное в B семейство множеств B i . Перекладывания p отрезков образуют компакт K ⊂ Aut . В силу частичной жесткости перекладываний, какизвестно, найдется положительная константа c (сравнимая с p ) такая, что для любых j и S ∈ K найдется минимальное число N ( S, j ) > j такое, что для некоторого m при j < m ≤ N ( S, j ) для всех i , ≤ i ≤ j выполнено неравенство µ ( T m B i ∩ B i ) > cµ ( B i ) . (1) Так как K – компакт, N ( S, j ) будет ограниченной функцией на K . Обозначим через N ( j ) максимум значений N ( S, j ) на K .Рассмотрим множества F j = { j, j +1 , . . . , N ( j ) } . В [12] доказано, что существует всюдуплотное G δ -множество Y такое, что для каждого T ∈ Y найдется последовательность F j ( k ) , j ( k ) → ∞ такая, что T i ( k ) → w Θ при i ( k ) ∈ F j ( k ) , i ( k ) → ∞ .Из (1) вытекает, что для каждого перекладывания S найдется последовательность { m k } , m k ∈ F j ( k ) , для которой имеет место сходимость S m k → cI + (1 − c ) P, где P – некоторый марковский оператор, коммутирующий с S . Возьмем произвольный T ∈ Y и покажем, что он дизъюнктен с S ∈ K . Пусть марковский оператор J сплетает S и T . Имеем SJ = J T, S m J = J T m , S m k J = J T m k ,cJ + (1 − c ) P J = J Θ = Θ . Оператор Θ является крайней точкой в множестве марковских операторов, сплетаю-щих эргодический S со слабо перемешивающим T (это эквивалентно тому, что µ × µ эргодична относительно S × T ), поэтому J = Θ . Это означает, что S и T дизъюнктны. Рассмотрим следующую модификацию энтропии Кушниренко. Пусть P = { P j } – после-довательность конечных подмножеств в счетной бесконечной группе G . Для сохраняю-щего меру действия T = { T g } группы G определим величины h j ( T, ξ ) = 1 | P j | H _ p ∈ P j T p ξ ,h P ( T, ξ ) = lim sup j h j ( T, ξ ) ,h P ( T ) = sup ξ h P ( T, ξ ) , где ξ обозначает конечное измеримое разбиение пространства X , H ( ξ ) – энтропия раз-биения ξ : H ( { C , C , . . . , C n } ) = − n X i =1 µ ( C i ) ln µ ( C i ) . ас будет интересовать только случай | P j | → ∞ (хотя случай ограниченной мощ-ности также имеет смысл, непосредственно связанный со свойствами типа кратногоперемешивания). P -энтропия. Рассмотрим следующий частный случай G = Z , когда P j пред-ставляют собой увеличивающиеся в размерах прогрессии: P j = { j, j, . . . , L ( j ) j } , длянекоторой последовательности L ( j ) → ∞ . Теорема 3.1.
Множество { S : h P ( S ) = ∞} типично. Доказательство. Пусть { J q } , q ∈ N , плотно в Aut , а T – бернуллиевское преобра-зование, обозначим T q = J − q T J q . Множество { T q } плотно в Aut . Фиксируем плотноесемейство { ξ i } конечных измеримых разбиений.Для любых n, q найдется j = j ( n, q ) такое, что для всех i ≤ n выполняется h j ( T q , ξ i ) = 1 L j H ( L ( j ) _ n =1 T njq ξ i ) > H ( ξ i ) − n . ( n ) В самом деле, T q бернуллиевский, находим разбиение ξ , близкое к фиксированному раз-биению ξ i , тогда для некоторого числа m ( i, q, n, ) разбиения T njq ξ независимы при всех n и j > m ( i, n, q ) . Это влечет за собой ( n ) для всех достаточно больших j .Выбираем окрестность U ( n, q ) преобразования T q такую, что для всех S ∈ U ( n, q ) выпоняется неравенство h j ( S, ξ i ) > H ( ξ i ) − n . Множество W = \ n [ q U ( n, q ) , яляется плотным G δ . Если S ∈ W , то для любого n найдется q ( n ) такое, что неравенство h j ( n,q ( n )) ( S, ξ i ) > H ( ξ i ) − n выполнено при i ≤ n . А это приводит к h P ( S ) = ∞ . Таким образом множество { S : h P ( S ) = ∞} является типичным.Без особых изменений доказывается следующее более общее утверждение. Автор при-знателен Льюису Боуэну (Lewis Bowen), обратившему наше внимание на это. Теорема 3.1.1.
Пусть G – бесконечная счетная группа, а P – последовательностьмножеств P j = { p j (1) , p j (2) , . . . , p j ( L ( j )) } ⊂ G , L ( j ) → ∞ , такая, что для любогоконечного множества F ⊂ G для всех больших j для всех m, n, m = n ≤ L ( j ) , произве-дения p j ( m ) − p j ( n ) не принадлежат F (расстояния между элементами P j стремятсяк ∞ ).Тогда множество G -действий с бесконечной P -энтропией является типичным мно-жеством в пространстве всех сораняющих меру G -действий. Компактные семейства с нулевой P -энтропией. Обозначим через E класс пре-образований с нулевой энтропией, K Aut = { J − SJ : S ∈ K, J ∈ Aut } . еорема 3.2. Если K ⊂ E является компактным множеством и ( Aut, ρ ) , томножество K Aut нетипично.
Доказательство. Фиксируем плотное семейство конечных разбиений ξ i . Если h ( S ) = 0 ,для любого i имеем h ( S j , ξ ) = lim L →∞ L H L _ p =1 S jp ξ i = 0 . Для S ∈ K и j находим последовательность прогрессий P ( S ) = { P j ( S ) } P j ( S ) = { j, j, . . . , L S ( j ) j } такую, что | P j ( S ) | H _ p ∈ P j ( S ) S p ξ i < j выполняется при i < j .Учитывая структуру множеств P j ( S ) и то, что K – компакт, находим последова-тельность L ( j ) → ∞ такую, что для любого S ∈ K при всех достаточно больших j выполняется L ( j ) > L S ( j ) . Тогда для последовательности P из расширяющихся про-грессий P j = { j, j, . . . , L ( j ) j } выполнено h P ( S ) = 0 для всех S ∈ K и тем самым длявсех h P ( T ) = 0 для всех T ∈ K Aut . Из теоремы 3.1 вытекает, что K Aut есть множествопервой категории, что завершает доказательство.
Вопросы.
Эргодические преобразования T с положительной энтропией (а также всеэргодические гауссовские и пуассоновские надстройки) обладают с следующим свой-ством: найдется апериодическое преобразование S и последовательность n ( i ) → ∞ та-кие, что имеет место сильная операторная сходимость T − n ( i ) ST n ( i ) → I. Является ли это свойство типичным?В связи с тем, что типичное преобразование обладает обширной структурой фак-торов (инвариантных сигма-подалгебр), возникает вопрос о значениях P -энтропии дляфакторов типичного преобразования. Какой из приведенных ниже случаев типичен: P -энтропия нетривиальных факторов преобразования(i) равна ∞ ,(ii) имеет только значения 0 и ∞ ,(iii) принимает все значения от 0 до ∞ ?Автор благодарит T.Adams, А. Баштанова, L.Bowen, J.Chaika за отклик и полезныезамечания и особенно J.-P.Thouvenot и B.Weiss за плодотворные обсуждения. писок литературы [1] Buzzi J., Piecewise isometries have zero topological entropy. Ergodic Theory Dynam. Systems, 21:5(2001), 1371-1377[2] Chaika J., Davis D., The typical measure preserving transformation is not an interval exchangetransformation, arXiv:1812.10425[3] Chaika J., Eskin A. Self-joinings for 3-IET. JEMS (to appear)[4] Glasner E., Thouvenot J.-P., Weiss B., On some generic classes of ergodic measure preservingtransformations. Труды ММО, 82:1,[5] del Junco A., Disjointness of measure preserving transformations, minimal self-joinings and category,Prog. Math., 10 (1981), 81-89[6] Каток А.Б. Степин А.М., Метрические свойства гомеоморфизмов, сохраняющих меру, УМН,25:2(152) (1970), 193-220[7] Katok A., Interval exchange transformations and some special flows are not mixing. Israel J. Math. 35:4(1980), 301-310.[8] Кушниренко А.Г., О метрических инвариантах типа энтропии, УМН, 22:5(137) (1967), 57-65[9] Оселедец В.И. О спектре эргодических автоморфизмов, Докл. АН СССР, 168:5 (1966), 1009-1011[10] Оселедец В.И., Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства, Матем.заметки, 5:3 (1969), 323-326[11] Оселедец В.И., Две неизоморфные динамические системы с одинаковым простым непрерывнымспектром, Функц. анализ и его прил., 5:3 (1971), 75-79[12] Рыжиков В.В., Факторы, ранг и вложение типичного Z n -действия в R nn