Condición de Lorentz y ecuaciones de ondas electromagnéticas como propiedades emergentes del sistema de Maxwell
CCondici´on de Lorentz y ecuaciones de ondaselectromagn´eticas como propiedadesemergentes del sistema de Maxwell
Yudier Pe˜na P´erez a , Juan Bory Reyes a . a Instituto Polit´ecnico Nacional, Escuela Superior de Ingenier´ıa Mec´anica yEl´ectrica-Unidad Zacatenco, Secci´on de Estudios de Posgrado e Investigaci´on.Ciudad de M´exico, M´exico. a e-mail: [email protected], a e-mail: [email protected] Abstract
This article deals with the study of electromagnetic waves equa-tions and the Lorentz condition, as emergent properties of Maxwell’ssystem. To do this, the wave equations and the Helmholtz equationare first deduced. Using the displaced Dirac operator, which is closelyrelated to the main vector calculation operators, it is possible to es-tablish a direct connection between the solutions of the Maxwell time-harmonic system and two quaternion equations. Also, the applicationof the Lorentz condition to transform the time-harmonic Maxwell sys-tem into a simple quaternion equation based on the scalar and vectorpotentials is exposed.
Keywords.
Maxwell system, Emerging Property, Wave Equation,Lorentz Condition, Dirac operator.
PACS.
El concepto de emergencia tiene su origen en 1862, cuando en el libro “
Asystem of logic ”, del fil´osofo ingl´es John Stuart Mill, aparece la idea de quela interacci´on y yuxtaposici´on de las partes que conforman un sistema, re-sulta insuficiente para entender y explicar las propiedades del sistema. Elnombre del concepto se deriva de “ emergere ”, que en lat´ın significa “salir1 a r X i v : . [ phy s i c s . c l a ss - ph ] J un e”, y se atribuye a los fil´osofos brit´anicos Samuel Alexander, Conwy LloydMorgan, entre otros [1, 2]. Fue a partir de 1920 que se desarroll´o una variantedel enfoque reduccionista de la evoluci´on cultural, denominada la “filosof´ıaemergentista”.La Ciencia de la Complejidad presenta distintos or´ıgenes en muchas disci-plinas, lo que ha llevado a “una metodolog´ıa interdisciplinaria para explicarla emergencia de ciertos fen´omenos macrosc´opicos a trav´es de las interaccio-nes no lineales de los elementos microsc´opicos” [3]. Dependiendo del ´area,es posible encontrar varias definiciones de emergencia, pero en general, elt´ermino “propiedad emergente” hace alusi´on a cierta propiedad del sistemaque difiere de la propiedad de cada componente individual y que resulta delas interacciones de tales componentes. No resulta f´acil predecir estas propie-dades utilizando los componentes del sistema y sus propiedades, adem´as quedesaparecen cuando el sistema se reorganiza o descompone [4].Seg´un el autor de [5], no existe un consenso sobre el concepto de emer-gencia, ´este no es compatible con el enfoque tradicional de la ciencia y hastahoy no existe una justificaci´on apropiada para el proceso de emergencia. Noobstante, el concepto de emergencia reaparece frecuentemente a partir delsiglo XIX. La emergencia implica un cambio de paradigma, y su aprobaci´onpor la comunidad cient´ıfica resulta un importante desaf´ıo epistemol´ogico.Tambi´en en [5] se describe y analiza el concepto de emergencia con ciertorigor y profundidad, y se investiga su relaci´on con diferentes ´areas de la cien-cia. De igual modo, se analizan conceptos vecinos fundamentales que ayudana complementar la emergencia, y ofrecen algunas aplicaciones actuales queresultan muy ´utiles al resolver problemas de gran complejidad, adem´as depermitir una mejor comprensi´on de Sistemas Complejos del mundo real.En 1972, el f´ısico Philip Anderson, public´o el trabajo “ More is Different ”con lo que devolvi´o el emergentismo a la mesa te´orica, abordando ´este deuna manera concisa, al observar que en cada nivel de complejidad aparecenpropiedades nuevas [6]. Los fen´omenos emergentes aparecen en las distin-tas ´areas de la ciencia. En F´ısica, al colocar un im´an en la direcci´on de otrassustancias met´alicas, se produce un efecto emergente magn´etico que es conse-cuencia del fen´omeno del electromagnetismo; s´olo en el interior de los camposocurre el efecto magn´etico. Existen muchos otros trabajos donde se estudiala emergencia en F´ısica, ver por ejemplo [7–9].El art´ıculo se enfoca en el estudio de ciertas propiedades emergentes enel electromagnetismo, para ello se presenta la deducci´on de las ecuaciones deondas electromagn´eticas y la condici´on de Lorentz como propiedades emer-gentes del modelo del electromagnetismo dado originalmente por Maxwell.Adem´as, haciendo uso de herramientas matem´aticas, en particular del An´ali-sis Cuaterni´onico; y de las relaciones entre los campos electromagn´eticos y2os potenciales escalar y vectorial, se llegar´a a dos reformulaciones diferentesdel sistema de ecuaciones de Maxwell tiempo-arm´onico. Lo anterior evidenciala aplicaci´on e importancia de las propiedades que emergen en los SistemasComplejos al ser considerados de manera global y no cada elemento de ma-nera individual, como es el caso de las ecuaciones de ondas y la condici´on deLorentz en el sistema de ecuaciones de Maxwell [10].La estructura del art´ıculo es como sigue: la Secci´on 2 muestra algunoselementos b´asicos de An´alisis Cuaterni´onico que ser´an utilizados en el traba-jo. La Secci´on 3 describe conceptos generales sobre la emergencia. Ejemplossobre la emergencia en F´ısica, y en particular en el electromagnetismo, sonincluidos en la Secci´on 4. Adem´as, en esta Secci´on se ilustra la deducci´on yaplicaci´on de las dos propiedades emergentes objeto de estudio. Finalmente,en la Secci´on 5 unas breves conclusiones.
El An´alisis Cuaterni´onico fue iniciado por Rudolf Fueter en [11]. Luego, otrosautores se interesaron en establecer nuevos enfoques para desarrollar las ideasb´asicas de esta teor´ıa [12–14].Sea H ( R ) el cuasicampo de los cuaternios reales y sean e = 1 , e , e , e las unidades cuaterni´onicas que cumplen con las reglas de multiplicaci´on: e i e j + e j e i = − δ ij , i, j = 1 , , ,e e = e , e e = e , e e = e . Para cada cuaternio a = a + (cid:126)a = (cid:80) j =0 a j e j , a := Sc ( a ) se denominaparte escalar mientras que (cid:126)a := V ec ( a ) es la parte vectorial del cuaternio a .Si Sc ( a ) = 0, el cuaternio es denominado puramente vectorial y se identificacon el vector (cid:126)a = ( a , a , a ) del espacio R . La multiplicaci´on de dos cua-ternios arbitrarios a, b puede ser escrita considerando sus partes escalares yvectoriales, como sigue: ab = a b − (cid:126)a · (cid:126)b + a (cid:126)b + b (cid:126)a + (cid:126)a × (cid:126)b. Aqu´ı y en adelante, (cid:126)a · (cid:126)b denota el producto escalar y (cid:126)a × (cid:126)b denota el productocruz usual, ambos en R . El ´algebra de los cuaternios complejos, la cual sedenota por H ( C ), resulta de considerar cuaternios cuyas componentes sontodas n´umeros complejos. Consideraremos funciones definidas en conjuntosabiertos de R y tomando valores en H ( C ). Estas funciones pueden escribirsecomo u = (cid:80) j =0 u j e j , con u j tomando valores complejos. Si las funciones3omponentes de la funci´on u son continuas, diferenciables, etc., las funciones u ser´an, por definici´on, tambi´en continuas, diferenciables, etc.Sea el operador de Dirac D (Moisil-Teodorescu): D = (cid:88) j =1 e j ∂ x j , ∂ x j = ∂∂x j . Es conocido que D = − ∆, el negativo del Laplaciano en R . Una funci´on u H ( C )-valuada, definida y diferenciable en un abierto Ω ⊂ R , se denominahiperholomorfa en Ω si y s´olo si Du = 0 en Ω.Si u = (cid:80) j =0 u j e j = u + (cid:126)u , la acci´on del operador D sobre u se escribeen forma vectorial como Du = − div (cid:126)u + grad u + rot (cid:126)u. (2.1)El operador de Helmholtz resulta de gran importancia e inter´es, ya queaparece en distintas aplicaciones en F´ısica. Para κ ∈ C , ´este puede ser facto-rizado como ∆ + κ = − ( D + κ )( D − κ ) . (2.2)Una funci´on H ( C )-valuada u se dice que es κ -hiperholomorfa en Ω ⊂ R si D κ u := Du + κu = 0 en Ω . Muchos fen´omenos que surgen en los Sistemas Complejos y adaptativos, sonllamados “emergentes” por los investigadores de Ciencias de la Compleji-dad [15, 16]. La emergencia es el concepto que permite explicar el paso decierto tipo de organizaci´on a otra de mayor complejidad. Es decir, cualquiertipo de organizaci´on emerge del nivel inmediato de complejidad inferior. Lacomplejidad conduce a formas eficientes para el an´alisis de fen´omenos pr´acti-cos.La emergencia y la complejidad se refieren al surgimiento de propiedadesy comportamientos de nivel superior de un sistema que obviamente provienende la din´amica colectiva de sus componentes [17]. Estas propiedades no sondirectamente deducibles del movimiento del nivel inferior de ese sistema. Laspropiedades emergentes en un sistema se definen como las caracter´ısticas queno son posibles deducir al sumar cada una de las caracter´ısticas de sus com-ponentes (Figura 1). En la actualidad, gran parte de los intentos para definirel concepto de emergencia, se apoyan en el an´alisis del car´acter que presen-tan las interrelaciones entre “las partes” y “el todo”; as´ı como el car´acter4e las propiedades que adquieren las “partes” y el “todo” [18]. Por ejemplo,una mol´ecula de aire no es un cicl´on y una especie aislada no forma unacadena alimentaria: los comportamientos emergentes suelen ser novedosos eimprevistos. Figura 1: Emergencia GlobalFuente: [19]Bedau en [20], define tres tipos de emergencia. Una emergencia nominal,cuando los “fen´omenos emergentes a nivel macro dependen de los fen´ome-nos a nivel micro en el sentido directo de que los enteros dependen de susconstituyentes, y los fen´omenos emergentes son aut´onomos de los fen´omenossubyacentes en el sentido directo de que las propiedades emergentes no seaplican a las entidades subyacentes”.Por el contrario, en la emergencia fuerte las propiedades emergentes tienenun poder causal irreducible en las entidades subyacentes. Es decir, fen´omenosemergentes (fuertes) logran adquirir capacidades causales novedosas, lo quepermite que los sistemas ejerzan alg´un efecto de arriba hacia abajo.Seg´un la emergencia d´ebil, caracter´ısticas sist´emicas en el nivel “superior”no son predecibles aun conociendo las leyes y caracter´ısticas que gobiernancada componente del sistema. Los fen´omenos d´ebilmente emergentes no sonf´aciles de explicar y esencialmente necesitan simulaci´on para aparecer. As´ıpues, todo tipo de emergencias d´ebiles se basan en la propiedad de “infra-valoraci´on sin simulaci´on”. Adicionalmente, en [21] los autores distinguen laemergencia fuerte de la d´ebil: la primera no se puede deducir (ni usando le-yes de bajo nivel) en tanto la segunda s´olo es no predecible, conocidos losprincipios y propiedades de bajo nivel.En [22] se hace menci´on a las dos corrientes que estudian los Sistemas5omplejos: reduccionismo y emergentismo. La filosof´ıa tradicional del reduc-cionismo es “encontremos primero las partes y leyes m´as fundamentales”. Lafilosof´ıa complementaria, el emergentismo, es “descubramos primero c´omosurge la complejidad en los Sistemas Complejos, c´omo surgen los fen´omenosmacrosc´opicos de las interacciones microsc´opicas”.Otra forma de entender ambas corrientes es la siguiente, en la visi´on re-duccionista, un nivel de organizaci´on N cualquiera, se obtiene de una combi-naci´on aditiva o causal del conjunto de elementos en el nivel N − N − N , el cual posee caracter´ısticaspropias y autonom´ıa. Ambas direcciones son importantes, el reduccionismo yel emergentismo, ´este ´ultimo ayuda a comprender la uni´on entre el comporta-miento micro y macrosc´opico. Relacionar las acciones microsc´opicas con losflujos de informaci´on macrosc´opicos, permite dise˜nar soluciones a problemasreales [5]. El descubrimiento del ´atomo y otras part´ıculas fundamentales ylas teor´ıas correspondientes hicieron posible las Ciencias Naturales. Pero sino conocemos qu´e tipo de fen´omenos macrosc´opicos pueden surgir de estoselementos microsc´opicos, part´ıculas y leyes, entonces este conocimiento esdesarticulado y no coherente (Figura 2).Figura 2: Reduccionismo y EmergenciaFuente: [22]El reduccionismo define las etapas y niveles principales, el emergentismo6s el marco que describe la vida en diferentes capas. Ambas corrientes soncomplementarias entre s´ı, el emergentismo necesita una base, y el reduccio-nismo necesita conexi´on y coherencia: el emergentismo sin reduccionismo esvago y poco claro, el reduccionismo sin el emergentismo no est´a conectado yno es coherente.Con frecuencia, un cambio de escala causa un cambio cualitativo en elcomportamiento del sistema. Por ejemplo, cuando se examina una mol´ecu-la de agua, no hay nada que sugiera liquidez: una mol´ecula de agua no esfluida, un ´atomo de oro no es met´alico [6]. Pero una colecci´on de millonesde mol´eculas de agua a temperatura ambiente es claramente l´ıquida y unainteracci´on com´un de millones de ´atomos de oro causa propiedades met´alicas.Liquidez, superfluidez, cristalinidad, ferromagnetismo y conducci´on met´alicason propiedades emergentes [23].Otros autores proponen la siguiente definici´on de emergencia: existen en elsistema coherencias que surgen en el macro-nivel de manera din´amica, comoconsecuencia de las relaciones entre los elementos o partes en el micro-nivel.Estos nuevos rasgos del sistema, exceden o van m´as all´a de sus partes o com-ponentes individuales. Inexplicabilidad, irreductibilidad e imprevisibilidad,son algunas de las caracter´ısticas principales de las propiedades emergen-tes [24].En la Teor´ıa General de Sistemas [25, 26], propiedad emergente significaque, mediante arreglos espec´ıficos, un sistema exhibe propiedades o compor-tamientos que ninguno de sus componentes posee. Quiz´as el ejemplo m´assimple y llamativo es el agua. Tanto el hidr´ogeno como el ox´ıgeno son gasesen su origen natural, pero al mezclarlos convenientemente, se obtiene unasustancia l´ıquida: el agua [18].Los conceptos de emergencia y auto-organizaci´on est´an estrechamenterelacionados, tanto que la presencia de emergencia en el sistema, implica quetambi´en exhibe auto-organizaci´on. El cambio entre las emergencias (desdeuna simple a la m´as compleja) se caracteriza por un fen´omeno de auto-organizaci´on, el cual siempre est´a ligado al surgimiento de alg´un patr´on. Portal motivo, auto-organizaci´on se puede definir como el orden que se genera apartir del desequilibrio en el macro-nivel (macrosc´opicos) como consecuenciade interacciones no lineales y colectivas de diversos elementos del micro-nivel (microsc´opicos) [21]. El nexo entre emergencia, complejidad y auto-organizaci´on, se establece como sigue: la emergencia son fen´omenos que sepresentan en los Sistemas Complejos y pueden ser positivos o negativos.La auto-organizaci´on es un fen´omeno emergente positivo utilizado por losSistemas Complejos, por tanto, la auto-organizaci´on indica un tipo espec´ıficode emergencia [5]. 7 Propiedades emergentes en F´ısica
Para Robert B. Laughlin, “las leyes f´ısicas que conocemos tienen or´ıgenescolectivos”. Eventos tan comunes como el color y la fricci´on, se conside-ran ejemplos de fen´omenos emergentes en F´ısica. Las part´ıculas elementales(protones, electrones), no exhiben tales propiedades, pues las fuerzas entrepart´ıculas son conservativas. Estas propiedades surgen al interactuar dichaspart´ıculas con otras de su tipo. La fricci´on y el color emergen al estudiar es-tructuras m´as complejas cuyas superficies son capaces de absorber o liberarenerg´ıa. Ejemplos similares son la viscosidad, elasticidad, magnetizaci´on y lasuperfluidez [27].Robert Batterman estudia la emergencia en el contexto de la F´ısica [28],y desde esta perspectiva observa como los fen´omenos emergentes resultanalgo com´un en nuestra experiencia diaria. Para Batterman, la cuesti´on fun-damental de la emergencia no consiste en la causalidad descendente ni en ladiferencia entre las propiedades que emergen, sino en la reducci´on interte´ori-ca (en espec´ıfico el poder explicativo de teor´ıas y sus l´ımites). De acuerdocon este enfoque, en un Sistema Complejo una propiedad es emergente sino puede deducirse de teor´ıas inferiores m´as elementales. Para ilustrar esto,Batterman menciona las transiciones de fase y materiales magn´eticos, de unestado ferromagn´etico a uno paramagn´etico, estos son fen´omenos que exhibenun comportamiento nuevo.En los ´ultimos a˜nos, algunos autores han recomendado comprender laelectrodin´amica desde un punto de vista emergente [7]. Se enfocan sobre lascaracter´ısticas gen´ericas de los modelos que probablemente son compartidaspor cualquier modelo emergente de la electrodin´amica. Tambi´en intentantransmitir el poder contenido en las construcciones emergentes: componentese interacciones elementales muy simples pueden conducir a una enorme y ricafenomenolog´ıa, seg´un lo descrito por la teor´ıa efectiva. Los puntos de vistaemergentes analizados en [7], implican que las propiedades de baja energ´ıaeventualmente se romper´an en alguna escala de alta energ´ıa, por ejemplo,la invariancia de Lorentz. Es decir, demuestran que la descripci´on de bajaenerg´ıa del sistema contiene caracter´ısticas que no est´an incluidas en la teor´ıaoriginal, como la noci´on de carga el´ectrica y quiralidad. Adem´as, uno de losproblemas que enfrentan las teor´ıas emergentes de los campos relativistas escomprender c´omo las simetr´ıas de Gauge pueden aparecer en sistemas queno contienen rastros de estas simetr´ıas en un nivel m´as fundamental [29].La perspectiva emergente es capaz de proporcionar explicaciones tenta-doras de principios de F´ısica sin basarse en los detalles de la teor´ıa de altaenerg´ıa. En la b´usqueda para una mejor comprensi´on de la naturaleza, unpunto de vista emergente es un complemento ´util e incluso necesario, pa-8a un an´alisis basado en principios fundamentales [5]. Actualmente estamosacostumbrados al hecho de que los grados de libertad de un sistema de ba-ja energ´ıa pueden diferir completamente de los de sus componentes de altaenerg´ıa. Este fen´omeno ahora es conocido como emergencia y fue formuladom´as claramente en el manifiesto de Anderson titulado “More is Different” [6].La cuantificaci´on de la gravedad sigue siendo uno de los problemas m´asimportantes a ser resueltos en F´ısica Te´orica. El hecho de que el enfoque decuantificaci´on est´andar no funciona, sugiere que la naturaleza de la gravedadno es la misma que las otras fuerzas. Uno de los enfoques es no asumir lagravedad como una fuerza fundamental, sino como un fen´omeno emergente.Recientemente, la idea de la gravedad como un fen´omeno “emergente” ha ga-nado popularidad [30]. La gravedad, y quiz´as el espacio o el espacio-tiempo ens´ı mismos, son manifestaciones colectivas de grados de libertad subyacentesmuy diferentes [8].Desde el punto de vista de materiales complejos y descripci´on biani-sotr´opica de materiales electromagn´eticos, el ejemplo obvio de medios conpropiedades emergentes es la clase de materiales quirales. En los mediosquirales, el car´acter geom´etrico de la estructura interna causa efectos ma-crosc´opicos que son observados, como es la rotaci´on de la polarizaci´on delplano del campo de propagaci´on. La polarizaci´on mejorada es otro ejemplode “comportamiento emergente” [9].Una explicaci´on de la emergencia del electromagnetismo de Maxwell enuna clase de sistemas magn´eticos conocidos como imanes altamente frustra-dos, puede ser encontrada en [31], adem´as se muestra c´omo surge la F´ısicamaxwelliana geom´etricamente frustrada, en particular, sistemas de materiacondensada. Algunos ejemplos ilustran que se comporta como el electromag-netismo convencional y puede parecer m´as rico, como en el caso del surgi-miento de monopolos magn´eticos libremente m´oviles a partir de la fraccio-nalizaci´on de los momentos de rotaci´on, que adem´as de su carga magn´etica,llevan una carga emergente del medidor de Coulomb.El hecho de que la ecuaci´on de continuidad emerge de las ecuaciones deMaxwell, es un resultado fundamental de la electrodin´amica, y es crucial parala teor´ıa, porque significa que la carga el´ectrica se conserva localmente [32].
Lo que se entiende por emergencia es posible considerarlo de distintos modos,y su construcci´on desde el punto de vista te´orico, resulta un novedoso campopara la obtenci´on de respuestas y explicaciones [33]. Los fen´omenos electro-9agn´eticos se describen con la ayuda de las funciones E (campo el´ectrico) y B (inducci´on magn´etica) definidas en R (cid:126)x × R t con valores vectoriales en R . E y B est´an vinculadas con las funciones j y ρ tambi´en definidas en R (cid:126)x × R t (con la densidad de corriente j ( (cid:126)x, t ) ∈ R y densidad de carga ρ ( (cid:126)x, t ) ∈ R )por las ecuaciones de Maxwell [10]:rot B = µε ∂ E ∂t + µ j , (Ley de Ampere) , (4.1)rot E = − ∂ B ∂t , (Ley de Faraday) , (4.2)div E = ρε , (Ley el´ectrica de Gauss) , (4.3)div B = 0 , (Ley magn´etica de Gauss) , (4.4)donde ε y µ representan la permitividad y permeabilidad absolutas del medio,respectivamente. En muchos problemas sobre las ecuaciones de Maxwell microsc´opicas, se usa,en lugar de las funciones E y B , las dos funciones:( (cid:126)x, t ) → A ( (cid:126)x, t ) ∈ R , (Potencial vectorial) , (4.5)( (cid:126)x, t ) → V ( (cid:126)x, t ) ∈ R , (Potencial escalar) , (4.6)que est´an relacionadas con E y B por B = rot A , E = − grad V − ∂ A ∂t . (4.7)Sustituyendo en el sistema (4.1-4.4), obtenemos el siguiente sistema lineal nohomog´eneo: c ∂ A ∂t − ∆ A + grad (cid:18) div A + 1 c ∂V∂t (cid:19) = µ j , − ∆ V − ∂∂t div A = ρε . (4.8)Aqu´ı y en adelante c = 1 √ µε .Observemos que las funciones A y V no est´an definidas de manera ´unica por104.7) a partir de E y B : si A y V satisfacen (4.7), entonces para cualquierfunci´on arbitraria u de (cid:126)x y t , A (cid:48) y V (cid:48) definidos por: A (cid:48) = A + grad u,V (cid:48) = V − ∂u∂t , (4.9)tambi´en satisfacen (4.7).La transformaci´on dada por (4.9) es llamada una transformaci´on Gauge [34],y al utilizarla obtenemosdiv A (cid:48) + 1 c ∂V (cid:48) ∂t = div A + 1 c ∂V∂t + ∆ u − c ∂ u∂t . (4.10)Tomando por u una soluci´on de la ecuaci´on∆ u − c ∂ u∂t = − (cid:18) div A + 1 c ∂V∂t (cid:19) , (4.11)(donde A y V son conocidas), as´ı vemos que es posible seleccionar un par( A L , V L ) tal que div A L + 1 c ∂V L ∂t = 0 . (4.12)Esta relaci´on es llamada la condici´on de Lorentz [35, 36], y haciendo uso deesta se puede reescribir (4.8) como: c ∂ A L ∂t − ∆ A L = µ j , c ∂ V L ∂t − ∆ V L = ρε . (4.13)Note que (4.10) y (4.13) no determinan un ´unico par ( A L , V L ) cuando j y ρ son conocidas.En [37], se introduce la noci´on de complejidad mod´elico param´etrica, ybas´andose en ´esta, realizan una novedosa definici´on cuantitativa de propiedademergente. Adem´as, para otorgar sentido a tal definici´on, se abordan distintasmaneras de explicar los estados finales del sistema. Siguiendo [37], en laFigura 3 se representa la condici´on de Lorentz como propiedad emergentede las ecuaciones de Maxwell. Se considera el paso entre las ecuaciones deMaxwell y la condici´on de Lorentz, lo que puede ser representado en dosniveles. 11igura 3: Condici´on de Lorentz y niveles de descripci´on.Fuente: Elaboraci´on propiaInicialmente, en el nivel inferior se encuentran las ecuaciones de Max-well, luego utilizando las relaciones de los campos electromagn´eticos con loscampos potencial y escalar, obtenemos el sistema lineal no homog´eneo queaparece en el nivel inferior derecho. Para el paso al nivel superior es nece-sario agregar las transformaciones Gauge como informaci´on adicional, y delsistema lineal no homog´eneo se deduce la condici´on de Lorentz, lo que laconvierte en una propiedad emergente de las ecuaciones de Maxwell en unnivel superior [37]. Por otro lado, haciendo uso de la condici´on de Lorentz,al modificar las condiciones del sistema notamos que en el nivel superior suestado queda representado a trav´es de ecuaciones de ondas que involucranlos potenciales.En el caso de soluciones monocrom´aticas (arm´onicas en el tiempo) delsistema de Maxwell, consideremos las expresiones tiempo-arm´onicas de loscampos (cid:40) B ( (cid:126)x, t ) = (cid:126)B ( (cid:126)x ) e iωt , E ( (cid:126)x, t ) = (cid:126)E ( (cid:126)x ) e iωt . (4.14)De manera an´aloga, consideremos las expresiones tiempo-arm´onicas de lospotenciales escalar y vectorial, y usando dichas expresiones obtenemos de(4.7) las ecuaciones (cid:40) (cid:126)B ( (cid:126)x ) = rot (cid:126)A ( (cid:126)x ) ,(cid:126)E ( (cid:126)x ) = − grad V ( (cid:126)x ) − iω (cid:126)A ( (cid:126)x ) . (4.15)12scribamos estas relaciones en el lenguaje de los cuaternios. As´ı, interpreta-mos los potenciales escalar y vectorial como un paravector especial (cid:126)F ( (cid:126)x ) = iV ( (cid:126)x ) + (cid:126)A ( (cid:126)x ) y el campo el´ectrico y la inducci´on magn´etica como la funci´oncuaterni´onica (cid:126)U ( (cid:126)x ) = − i (cid:126)E ( (cid:126)x ) + (cid:126)B ( (cid:126)x ) y escribimos (cid:126)U ( (cid:126)x ) = ( D − iω ) (cid:126)F ( (cid:126)x ) . (4.16)Considerando adem´as las expresiones tiempo-arm´onicas de la densidad decorriente y densidad de carga, las ecuaciones (4.13) para el potencial escalary vectorial son transformadas en (cid:0) ∆ + κ (cid:1) (cid:126)F ( (cid:126)x ) = (cid:126)R ( (cid:126)x ) , (4.17)para κ = ωc y (cid:126)R ( (cid:126)x ) = (cid:18) − i ρ ( (cid:126)x ) ε , − µ(cid:126)j ( (cid:126)x ) (cid:19) .En t´erminos del operador de Dirac, (4.17) es equivalente a( D + κ ) ( D − κ ) (cid:126)F ( (cid:126)x ) = − (cid:126)R ( (cid:126)x ) . (4.18)En conclusi´on, la condici´on de Lorentz permite obtener una representaci´ondel sistema de Maxwell tiempo arm´onico en el contexto cuaterni´onico, peroutilizando los potenciales escalar y vectorial [38]. En el caso de un medio simple no conductor con ausencia de fuentes, lasecuaciones (4.1-4.4) se escriben como:rot B = µε ∂ E ∂t , (4.19)rot E = − ∂ B ∂t , (4.20)div E = 0 , (4.21)div B = 0 . (4.22)Tomando como base el sistema anterior, podemos obtener las ecuaciones deondas [10], para ello el operador rotacional es aplicado en ambos lados de lasecuaciones (4.19) y (4.20), y se obtiene grad(div B ) − ∆ B = µε ∂∂t [rot E ] , grad(div E ) − ∆ E = − ∂∂t [rot B ] . (4.23)13e acuerdo con las ecuaciones (4.21) y (4.22) la divergencia de E y B escero, y sustituyendo las ecuaciones (4.19) y (4.20) en (4.23), obtenemos lasecuaciones de ondas para los campos el´ectrico y magn´etico. ∆ E − c ∂ ∂t [ E ] = 0 , ∆ B − c ∂ ∂t [ B ] = 0 , (4.24)donde c denota la velocidad de propagaci´on de las ondas.Los campos E y B dependen de la posici´on y el tiempo, en el caso tiempo-arm´onico (teniendo una soluci´on temporal e iωt con una frecuencia de oscila-ciones ω ), de la ecuaci´on (4.24) obtenemos la ecuaci´on vectorial de Helmholtz (cid:40) ∆ (cid:126)E + κ (cid:126)E = 0 , ∆ (cid:126)B + κ (cid:126)B = 0 , (4.25)donde κ es el n´umero de onda.La ecuaci´on de Helmholtz est´a estrechamente relacionada con el sistemade Maxwell (para campos arm´onicos en el tiempo). Las soluciones de la ecua-ci´on de Helmholtz se utilizan para generar soluciones del sistema de Maxwell(potenciales de Hertz), y cada componente del campo el´ectrico y magn´eti-co satisface una ecuaci´on de tipo Helmholtz. Por tanto, un procedimientousual en el tratamiento del sistema de ecuaciones de Maxwell ha consistidoen reducirlo a una ecuaci´on equivalente de tipo Helmholtz [39].En la Figura 4 se representan las ecuaciones de ondas como propiedademergente de las ecuaciones de Maxwell. En este caso, se considera el pasode las ecuaciones de Maxwell (estado inferior izquierdo) a las ecuaciones deMaxwell monocrom´aticas (estado inferior derecho), lo que igualmente puedeser estudiado en dos niveles [37]. 14igura 4: Ecuaciones de ondas y niveles de descripci´on.Fuente: Elaboraci´on propiaInicialmente, en el nivel inferior el sistema se encuentra en el estado e (ecuaciones de Maxwell), en tanto que para la presentaci´on en el nivel su-perior se le designa el estado E (ecuaciones de ondas). Como no es posiblepredecir E a partir de e , y para explicar el primero se hace necesario adi-cionar informaci´on a la teor´ıa que representa el sistema en el nivel inferior,entonces se dice que E es un estado o propiedad emergente. De ah´ı que lasflechas hacia arriba indican emergencia. De igual forma, si al modificar elescenario que se encuentra el sistema observamos que sus caracter´ısticas (oestado) cambian en el nivel superior de E a E (ecuaciones de Helmholtz),aunque la teor´ıa que tenemos en el nivel superior no posibilita explicar elcambio y se hace necesario adicionar informaci´on para poder explicar E , esecambio o paso tambi´en se identifica como una emergencia. Dicho cambio opaso en el nivel superior se representa en la Figura 4 con la flecha rayada [37].Las ecuaciones de Helmholtz (4.25) motivaron la introducci´on del ope-rador de Helmholtz ∆ + κ I antes mencionado, y que puede ser factorizadocomo (2.2), utilizando el operador de Dirac desplazado D κ .Siguiendo las ideas de [40], la relaci´on mostrada en la ecuaci´on (2.1) permi-te obtener una reformulaci´on cuaterni´onica del sistema de Maxwell tiempoarm´onico en R . Dicha equivalencia provee una estructura algebraica m´assimple del sistema de Maxwell en la forma (cid:40) D − α [ (cid:126)ϑ ] = div (cid:126)j + α (cid:126)j,D α [ (cid:126)η ] = − div (cid:126)j + α (cid:126)j, (4.26)donde (cid:126)ϑ = − iωε (cid:126)E + α (cid:126)H , (cid:126)η = iωε (cid:126)E + α (cid:126)H son funciones puramente vecto-15iales H ( C )-valuadas (campos de Beltrami) y el n´umero de onda α = ω √ εµ es seleccionado tal que Im α ≥
0. Es interesante hacer notar que √ εµ consti-tuye el inverso de la velocidad de propagaci´on de las ondas electromagn´eticasen el medio.Resumiendo, los dos m´etodos o equivalencias anteriores son representadosen la Figura 5 por un modelo lineal con dos ramas, cada una de las cuales esuna reformulaci´on del sistema de ecuaciones de Maxwell tiempo arm´onico,pero utilizando diferentes propiedades emergentes. La rama de la derechamuestra el camino por el que se obtiene una reescritura de las ecuacionesde Maxwell a trav´es de una ecuaci´on de Helmholtz y en t´erminos de poten-ciales [38]. En esta rama se puede apreciar como interviene la condici´on deLorentz como propiedad emergente para obtener dicha reformulaci´on. Porsu parte, la rama de la izquierda ilustra el camino para obtener una refor-mulaci´on en t´erminos de funciones cuaterni´onicas complejas [40]. En dichadeducci´on intervienen las ecuaciones de ondas como propiedad emergente,que en el caso tiempo-arm´onico se convierten en ecuaciones tipo Helmholtz.Estas motivaron la introducci´on del operador de Helmholtz, que puede serfactorizado por el operador de Dirac desplazado.Figura 5: Modelo lineal: reformulaciones del sistema Maxwell.Fuente: Elaboraci´on propia16 Conclusiones
En este art´ıculo se estudiaron propiedades emergentes en el electromagnetis-mo, en particular, la condici´on de Lorentz y las ecuaciones de ondas electro-magn´eticas. Adem´as, haciendo uso del An´alisis Cuaterni´onico y de las relacio-nes entre los campos electromagn´eticos y los potenciales escalar y vectorial,se muestra la aplicaci´on e importancia de estas propiedades que emergen enel Sistema de Ecuaciones de Maxwell.
Agradecimientos
Yudier Pe˜na P´erez agradece el apoyo financiero del Consejo Nacional deCiencia y Tecnolog´ıa (CONACYT) mediante una beca de estudios de pos-grado (n´umero de becario 744134). Juan Bory Reyes fue parcialmente apo-yado por el Instituto Polit´ecnico Nacional en el marco de los programas SIP(SIP20200363).
Referencias [1] S. Alexander,
Space, Time, and Deity , (Macmillan, London, 1920).[2] C. L. Morgan,
Emergent Evolution , (Henry Holt and Co, London, 1923).[3] K. Mainzer,
Thinking in Complexity-The Complex Dynamics of Matter,Mind and Mankind , (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1994), pp. XIV,363.[4] J. L. Dessalles, J. P. M¨uller y D. Phan,
From Emergence in Multi-agentSystems: Conceptual and Methodological Issues , (In: Phan, D, Amblard,F. (eds.) Agent-Based Modeling and Simulation in the Social and HumanSciences, The Bardwell Press, Oxford, 2007), pp. 327-355.[5] J. Aguilar,
Introducci´on a los Sistemas Emergentes , (Talleres gr´aficos,Universidad de Los Andes, Venezuela, 2014), pp. 428.[6] P. W. Anderson,
More is different , Science, (1972) 393, https://doi.org/10.1126/science.177.4047.393 .[7] C. Barcel´o, R. Carballo-Rubio, L. J. Garay y G. Jannes,
Electromagne-tism as an emergent phenomenon: a step-by-step guide , New J. Phys. (2014) 1. 178] T. Padmanabhan, Gravity as an emergent phenomenon , Int. J. Mod.Phys. D. (2008) 591.[9] A. Sihvola, Electromagnetic Emergence in Metamaterials , (In: Zouhdi S.,Sihvola A., Arsalane M. (eds) Advances in Electromagnetics of ComplexMedia and Metamaterials. NATO Science Series, Series II: Mathematics,Physics and Chemistry, Springer, Dordrecht, 2002), pp. 3-17.[10] A. Kirsch y F. Hettlich,
The mathematical theory of time-harmonic Max-well’s equations , (Expansion integral and variational methods, AppliedMathematical Sciences, Springer International Publishing Switzerland,2015), pp. XIII, 337.[11] R. Fueter,
Analytische funktionen einer quaternionen variable , Com-ment. Math. Helv. (1932) 9.[12] H. G. Haefeli, Hyperkomplexe Differentiate , Comment. Math. Helv. (1947) 382.[13] C. A. Deavours, The quaternion calculus , Amer. Math. Monthly. (1973) 995, https://doi.org/10.1080/00029890.1973.11993432 .[14] A. Sudbery, Quaternionic analysis , Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1979) 199, https://doi.org/10.1017/S0305004100055638 .[15] M. M. Waldrop, Complexity. The Emerging Science at the Edge of Orderand Chaos , (Touchstone, New York, 1992), pp.380.[16] J. H. Holland,
Emergence: From Chaos to Order , (Helix Books, OxfordUniversity Press, 1998).[17] M. A. Aziz-Alaoui,
Complex emergent properties and chaos (De) syn-chronization , (In: Aziz-Alaoui M., Bertelle C. (eds) Emergent Propertiesin Natural and Artificial Dynamical Systems, Understanding complexsystems, Springer, Berlin, Heidelberg, 2006), pp. 129-147.[18] M. A. Aziz-Alaoui y C. Bertelle,
From system complexity to emergentproperties , (Understanding Complex Systems, Springer-Verlag, Berlin,2009), pp. XII, 370.[19] F. S. Caparrini,
Los dos ejes de la complejidad: Escala y Tiempo , (Dpto.de la Computaci´on y la Inteligencia Artificial de la Univ. De Sevilla,2015). 1820] M. A. Bedau,
From Weak Emergence , (In: Tomberlin, J. (ed.) Philo-sophical Perspectives: Mind, Causation and World, Blackwell, Malden,1997), pp. 375-399.[21] J. D. Halley y D. A. Winkler,
Classification of emergence and its relationto self-organization , Complexity. (2008) 10, https://doi.org/10.1002/cplx.20216 .[22] J. Fromm, The emergence of complexity , (Kassel university press, Kassel,2004).[23] R. B. Laughlin, D. Pines, J. Schmalian, B. P. Stojkovic y P. Wolynes,
Themiddle way , PNAS. (2000) 32, https://doi.org/10.1073/pnas.97.1.32 .[24] T. Wolf y T. Holvoet, Emergence versus self-organisation: Different con-cepts but promising when combined , Engineering Self-Organising Sys-tems. (2004) 1.[25] V. L. Bertalanffy,
The Theory of Open Systems in Physics and Biology ,Science, (1950) 23.[26] K. Boulding,
General Systems Theory. The skeleton of Science , Mana-gament Science, (1956).[27] R. B. Laughlin, A different universe (reinventing physics from the bottomdown) , (Nueva York, Basic Books, 2005), pp. 254.[28] R. W. Batterman,
The devil in the details: Asymptotic reasoning inexplanation, reduction, and emergence , (Oxford University Press, 2001).[29] C. Barcel´o, R. Carballo-Rubio, F. Di Filippo y L. Garay,
From physicalsymmetries to emergent gauge symmetries , J. High Energ. Phys. (2016) 1, https://doi.org/10.1007/JHEP10(2016)084 .[30] T. Padmanabhan,
Emergent Gravity Paradigm: Recent Progress , Mo-dern Physics Letters A, (2014) 1.[31] J. Rehn y R. Moessner, Maxwell electromagnetism as an emergent phe-nomenon in condensed matter , Philosophical Transactions of the Ro-yal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. (2016), https://doi.org/10.1098/rsta.2016.0093 .1932] L. Burns,
Maxwell’s equations are universal for locally conserved quanti-ties , Adv. Appl. Clifford Algebras. (2019) 1, https://doi.org/10.1007/s00006-019-0979-7 .[33] C. W. Johnson, What are Emergent Properties and How Do They Affectthe Engineering of Complex Systems? , Reliability Engineering & SystemSafety. (2006) 1, https://doi.org/10.1016/j.ress.2006.01.008 .[34] A. I. Arbab y M. Al-Ajmi, The Modified Electromagnetism and theEmergent Longitudinal Wave , Applied Physics Research. (2018) 45, https://doi.org/10.5539/apr.v10n2p45 .[35] V. P. Bykov, The Lorentz condition in quantum electrodynamics , J RussLaser Res. (1998) 550, https://doi.org/10.1007/BF02559664 .[36] I. Sugai, Use of the Lorentz condition for uncoupling scalar and vec-tor potentials , Electronics Letters. (1967) 412, https://doi.org/10.1049/el:19670320 .[37] M. Fuentes, Complejidad, emergencia y cambio te´orico , (Tesis de doc-torado. Universidad Nacional de La Plata. Facultad de Humanidades yCiencias de la Educaci´on. 2018), https://doi.org/10.35537/10915/67246 .[38] S. Bernstein,
Left-Linear and Nonlinear Riemann Problems in CliffordAnalysis , (In book: Clifford Algebras and Their Application in Mathe-matical Physics. 2011), pp. 17-30.[39] D. Colton y R. Kress,
Inverse acoustic and electromagnetic scatteringtheory , Third edition, (New York: Springer, 2013).[40] V. Kravchenko,