Conditions for representation of a function of many arguments as the difference of convex functions
aa r X i v : . [ m a t h . O C ] A ug ПРУДНИКОВ Игорь Михайлович
УСЛОВИЯ ПРЕДСТАВИМОСТИ ФУНКЦИИ В ВИДЕРАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ
Смоленск, 2017
Содержание M − ОЙ СТЕПЕНИ ДВУХ ПЕРЕ-МЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ 21 m − ого порядка от двухпеременных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Класс кривых, ограничивающие выпуклые компактные множе-ства на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Геометрическая интерпретация теоремы для п.о. функции m − ой степени двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 r ( · ) для п.о. функ-ции первой степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Геометрическая интерпретация теоремы для п.о. функции пер-вой степени трех переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 M − ОЙ СТЕПЕНИ ОТ N ПЕРЕМЕННЫХ В ВИ-ДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ 62 S n − (0) . . . . . . . . . . . . 634.3 Геометрическая интерпретация теоремы для п.о. функции m − ой степени от n переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 r ( · ) , характеризующих ПРВфункции от n переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Список литературы 128
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ п.в. - почти всюду,п.о. - положительно однородная(функция),ПРВ - представимые в виде разности выпуклых, S n − (0) = { q ∈ R n |k q k = 1 } , B n (0) = { q ∈ R n |k q k≤ } , N + − множество целых положительных чисел, N − натуральное множество чисел, ¯ A − замыкание множества A, co A − выпуклая оболочка множества A,bd A − граница множества A, int A − внутренность множества A , ρ H ( A, B ) − расстояние между множествами A, B в метрике Хаусдорфа, ℜ n − n-мерное евклидово пространство, ∇ f ( x ) = f ′ ( x ) − производная функции f ( · ) в точке x ,dom f − область определения функции f ( · ) , Γ f = { ( y, x ) ∈ R n | y = f ( x ) , x ∈ dom f }− график функции f ( · ) , Π − координатная плоскость, ( a, b ) − скалярное произведение векторов a и b , K = con { a , a , . . . , a k }− конус K , равный конической оболочке векторов a , a , . . . , a k , P r ( Q ) − проекция множества Q на координатную плоскость Π . В этом параграфе приведены необходимые и достаточные условия представи-мости произвольной положительно однородной функции первой степени двухпеременных в виде разности выпуклых функций. Дана также геометрическаяинтерпретация этих условий. Приведен алгоритм такого представления, ре-зультатом которого есть последовательность равномерно сходящихся на про-извольном компакте, внутренности которого принадлежит начало координат,выпуклых положительно однородных первой степени многогранных функций.Объясняется связь поставленной задачи с оптимизацией.
Задача об условиях представимости функции в виде разности выпуклых ин-тересна как для геометров, так и для специалистов других специальностей[1]-[23]. Представление функции в виде разности выпуклых нашло применениев оптимизации. Методы оптимизации функций, представленных в виде разно-сти выпуклых, активно развиваются в [16].Академик А.Д. Александров развил геометрию выпуклых поверхностей [1].Следующим шагом были поверхности, являющиеся графиками функций, пред-ставимых разностью выпуклых, так называемые ПРВ функции. В западнойлитературе их называют DC функциями.Дадим определение выпуклой функции.
Определение 1.
Функция ϕ ( · ) называется выпуклой в области определе- ния D , если для любых точек x , x ∈ D и для любых α , α ≥ таких, что α + α = 1 , выполняется неравенство ϕ ( α x + α x ) ≤ α ϕ ( x ) + α ϕ ( x ) . Из определения ясно, что область определения D выпуклой функции − выпук-лое множество, так как вместе с точками x , x ∈ D множеству D принадлежиттакже точка α x + α x , где α + α = 1 , α , α ≥ . По определению функция f ( · ) называется представимой в виде разностивыпуклых (ПРВ функция), если верно представление f ( · ) = f ( · ) − f ( · ) , где f ( · ) , f ( · ) − выпуклые функции.К проблеме о представимости функции в виде разности выпуклых авторпришел, решая задачу, когда функция является квазидифференцируемой [9].Первый результат на эту тему автор получил будучи аспирантом Ленинград-ского государственного университета. Этот результат вошел в кандидатскуюдиссертацию автора [8].Оптимизация функций многих переменных начала свое развитие с выпук-лых функций. Сюда относится линейное программирование [11]. Также, как ив геометрии, следующим шагом была теория оптимизации функций, предста-вимых разностью выпуклых функций, так называемых квазидифференцируе-мых функций [10].Ясно, что ПРВ функция обязательно дифференцируема по направлениям,так как дифференцируемы по направлениям выпуклые функции [14].Введем функцию h ( · ) : R n → R : h ( g ) = f ′ ( x , g ) = ∂f ( x ) ∂g = lim α → +0 ( f ( x + αg ) − f ( x )) /α, которая есть производная по направлению g ∈ R n функции f ( · ) в точке x .Доказывается [14], что h ( · ) есть положительно однородная (п.о.) функция пер-вого порядка, т.е. h ( λg ) = λh ( g ) для любого λ > .По определению [9] функция f ( · ) называется квазидифференцируемой(КВД) в точке x , если h ( g ) = h ( g ) − h ( g ) , где h ( · ) , h ( · ) − выпуклые функции.Согласно двойственности Минковского [10] любой выпуклой конечной п.о.функции соответствует выпуклое компактное множество в R n , называемое суб-дифференциалом этой функции в нуле. Обозначим субдифференциалы функ-ций h ( · ) , h ( · ) в нуле через ∂h (0) , ∂h (0) соответственно. Тогда верны равен-ства [10] h ( g ) = max v ∈ ∂h (0) ( v, g ) , h ( g ) = max v ∈ ∂h (0) ( v, g ) ∀ g ∈ R n . Здесь в правой части равенств стоят скалярные произведения векторов v и g : ( v, g ) . Таким образом, вопрос о квазидифференцируемости функции f ( · ) вточке x сводится к вопросу о представимости функции h ( · ) в виде разностивыпуклых п.о. функций.Это была как раз та первая задача, за которую наряду с другими задачамив других разделах математики взялся совсем еще молодой автор статьи. Былиполучены необходимые и достаточные условия представимости произвольнойлипшицевой п.о. первой степени функции от двух переменных в виде разно-сти выпуклых. Результат на данную тему вошел в диссертацию, защищеннуюавтором [8].Напомним о результатах на тему о представлении функции в виде разностивыпуклых, известных автору, когда он был аспирантом и решал поставленнуюзадачу.Необходимые и достаточные условия представимости функции одной пере-менной в виде разности выпуклых, т.е. условия. когда функция является ПРВфункцией, хорошо известны. Эти условия могут быть записаны в следующемвиде. Пусть x → f ( x ) : [ a, b ] → R - произвольная липшицевая функция. Извест-но, что множество N f , где функция f ( · ) дифференцируемая, есть множествополной меры на [a,b]. Для того, чтобы функция f ( · ) была представима в видеразности выпуклых функций, необходимо и достаточно, чтобы выполнялосьусловие ∨ ( f ′ ; a, b ) < ∞ , где производные вычисляются там, где они существуют. Символ ∨ означаетвариацию функции f ′ на отрезке [a,b].В статье [2] А.Д.Александров задает вопрос о представимости функции ввиде разности выпуклых, если она является таковой для любой прямой в об-ласти определения. Ответ на этот вопрос отрицательный (см. [21], [22] ).Согласно терминологии А.Д.Александрова под многогранной кусочно-линейной функцией с конечным числом граней, определенной в R , будем по-нимать такую функцию, график которой состоит из конечного числа частейплоскостей, которые называются гранями.Введем понятие двугранного угла . Будем понимать под двугранным угломфункцию, график которой состоит из полуплоскостей с общей граничной пря-мой, называемого ребром двугранного угла.В [2] академик А.Д. Александров доказал, что многогранная функция ифункция, первая производная которой липшицевая, являются ПРВ функция-ми в области их определения.Мы будем использовать в дальнейшем метод доказательства теоремы, чтолюбая многогранная функция f ( · ) : R → R является ПРВ функцией. Повто-рим доказательство этой теоремы, взятое из [2].Рассмотрим все выпуклые двугранные углы, части графиков которых при-надлежат графику функции f ( · ) . Просуммируем все такие выпуклые двугран-ные углы. В итоге получим выпуклую многогранную функцию f ( · ) : R → R .Доказывается [2], что разность f ( · ) − f ( · ) = f ( · )
10 — есть также выпуклая многогранная функция.Действительно, для доказательства достаточно показать, что все двугран-ные углы, части графиков которых принадлежат графику функции f ( · ) − f ( · ) , являются выпуклыми. Для этого покажем, что любая точка, лежащая на про-екции ребра произвольного двугранного угла функции f ( · ) − f ( · ) , имеет малуюокрестность, где функция f ( · ) − f ( · ) выпуклая.Если берем точку, в малой окрестности которой функция f ( · ) линейна, толокальная выпуклость разности f ( · ) − f ( · ) очевидна. Пусть берем точку, ле-жащую на проекции на плоскость ребра выпуклого двугранного угла, частьграфика которого принадлежит графику функции f ( · ) . Поскольку согласноалгоритму этот же двугранный угол входит в сумму выпуклых двугранныхуглов, образующих функцию f ( · ) , то опять разность f ( · ) − f ( · ) будет локаль-но выпуклой в окрестности рассматриваемой точки. Если же точка лежит напроекции ребра вогнутого двугранного угла, часть графика которого принад-лежит графику функции f ( · ) , то − f ( · ) − локально выпукла в окрестностиэтой точки, а поэтому разность f ( · ) − f ( · ) снова локально выпукла в тойже окрестности. Из локальной выпуклости всех двугранных углов функции f ( · ) − f ( · ) следует ее выпуклость в R . Итак, доказано, что многограннаяфункция от двух переменных является ПРВ функцией.Докажем, что дифференцируемая функция с липшицевой производной так-же является ПРВ функций.Для доказательства воспользуемся замечательным свойством выпуклыхфункций. Это свойство замечательно тем, что оно является характерным толь-ко для выпуклых функций. Оказывается [14], производная по произвольномунаправлению g ∈ R n выпуклой функции ϕ ( · ) в точке x + αg, α > ,ϕ ′ ( x + αg, g ) = ∂ϕ ( x + αg ) ∂g = lim α → +0 ( ϕ ( x + αg + τ g ) − ϕ ( x + αg )) /τ, есть монотонно возрастающая функция по α .Пусть задана дифференцируемая функция f ( · ) : R n → R с липшицевой
11 — производной, т.е. для любых x, y ∈ R верно неравенство k f ′ ( x ) − f ′ ( y ) k ≤ L k x − y k , где L − константа Липшица, а справа и слева от знака неравенства стоят нор-мы разности векторов. Покажем, что ее можно представить в виде разностивыпуклых.Возьмем в качестве одной из выпуклых функций функцию L k x k . Вычис-лим и сравним производные по направлению g функции f ( x ) = L k x k − f ( x ) в точках x и x + αg , α > , где k x k = ( x, x ) − норма вектора x .В точке x производная по направлению g равна f ′ ( x , g ) = 2 L ( x , g ) − f ′ ( x , g ) В точке x + αg производная по направлению g равна f ′ ( x + αg, g ) = 2 L ( x + αg, g ) − f ′ ( x + αg, g ) . Здесь, как и ранее, в круглых скобках через запятую стоят скалярные произ-ведения векторов.Найдем разность этих выражений и определим ее знак f ′ ( x + αg, g ) − f ′ ( x , g ) = 2 L ( x + αg, g ) − L ( x , g ) −− f ′ ( x + αg, g ) + f ′ ( x , g ) ≥ Lα k g k − Lα k g k ≥ , что по свойству, указанному выше, следует, что f ( · ) − выпуклая функция.Таким образом, доказано, что функция f ( · ) представима в виде разности вы-пуклых функций L k x k и f ( x ) : f ( x ) = L k x k − f ( x ) . Заметим, что данное свойство доказано для функции, определенной в R n .
12 —
Итак, для представления дифференцируемой функции f ( · ) в виде разностивыпуклых надо знать константу Липшица ее производной. Если функция f ( · ) дважды дифференцируема, то в качестве константы L можно взять верхнююгрань нормы матрицы вторых смешанных производных, т.е. sup x ∈ D k f ′′ ( x ) k = sup x ∈ D k∇ f ( x ) k = L, если матрица f ′′ ( · ) = ∇ f ( · ) существует и ее норма ограничена сверху во всейобласти определения D функции f ( · ) . Если функция недифференцируема и не является многогранной, то вопросо представлении ее в виде разности выпуклых, остается открытым. В дан-ной статье будут записаны необходимые и достаточные условия представимо-сти функции в виде разности выпуклых. Начнем с положительно однороднойфункции первой степени.
Пусть ϕ ( · ) , q ∈ R , − п.о. функция, удовлетворяющая условию Липшица сконстантой L . Обозначим через Φ( t ) = ϕ (cos t, sin t ) = ϕ ( r ( t )) , r ( t ) = (cos t, sin t ) , где t ∈ [0 , π ] − естественная параметризация единичной окружности с цен-тром начале координат [15].Функция Φ( · ) Также будет удовлетворять условию Липшица с той же кон-стантой L . Это следует из очевидных неравенств | Φ( t ) − Φ( t ) | = | ϕ ( r ( t )) − ϕ ( r ( t )) | ≤≤ L k r ( t ) − r ( t ) k = 2 L sin | t − t | ≤ L | t − t | .
13 —
Следовательно, функция Φ( · ) почти всюду (п.в.) дифференцируема по t наотрезке [0 , π ] [12].Обозначим, как это принято в литературе [12], через ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) вариациюпроизводной Φ ′ ( · ) на отрезке [0 , π ] , предполагая, что рассматриваются точки,где производная существует. Теорема 1.2.1
Для того, чтобы липшицевая п.о. первой степени функция ϕ ( · ) была представима в виде разности выпуклых функций (была ПРВ функ-цией), необходимо и достаточно, чтобы ( ∃ c ( ϕ ) >
0) : ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) < c ( ϕ ) , где Φ( t ) = ϕ ( r ( t )) , r ( t ) = (cos t, sin t ) , t ∈ [0 , π ] . Доказательство.
Необходимость. Пусть функция ϕ ( · ) представима в видеразности выпуклых п.о. функций ϕ ( · ) , ϕ ( · ) : ϕ ( q ) = ϕ ( q ) − ϕ ( q ) ∀ q ∈ R . Определим функции Φ ( t ) = ϕ ( r ( t )) , Φ ( t ) = ϕ ( r ( t )) , r ( t ) = (cos t, sin t ) , ∀ t ∈ [0 , π ] . Очевидно, что Φ( t ) = Φ ( t ) − Φ ( t ) ∀ t ∈ [0 , π ] . По свойству вариации [12] ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤ ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) + ∨ ( − Φ ′ ; 0 , π ) = ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) + ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) . Следовательно, для доказательства необходимости достаточно доказать нера-венство ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) < c ( ϕ ) . Возьмем точки { t i } , i ∈ s, достаточно равномерно расположенные наокружности S (0) = { ( x, y ) ∈ R | x + y = 1 } , где функция Φ ( · ) дифферен-цируема. Это всегда можно сделать, так как Φ ( · ) липшицева на окружности
14 — S (0) , поскольку выпуклая функция ϕ ( · ) липшицева [9], константу Липшицакоторой обозначим через L .Вариация по определению [12] есть верхний предел сумм sup { t i } s X | Φ ′ ( t i ) − Φ ′ ( t i +1 ) | . (1.1)Посчитаем производные Φ ′ ( t i ) = ( ϕ ′ ( r ( t i )) , p ( t i )) , где p ( t i ) = r ′ ( t i ) , k p ( t i ) k = 1 , и вычислим модуль разности | Φ ′ ( t i +1 ) − Φ ′ ( t i ) | = | ( ϕ ′ ( r ( t i +1 )) , p ( t i +1 )) − ( ϕ ′ ( r ( t i )) , p ( t i )) | == | ( ϕ ′ ( r ( t i +1 )) , p ( t i +1 )) − ( ϕ ′ ( r ( t i )) , p ( t i +1 ))++( ϕ ′ ( r ( t i )) , p ( t i +1 )) − ( ϕ ′ ( r ( t i )) , p ( t i )) | ≤≤ | ( ϕ ′ ( r ( t i +1 )) , p ( t i +1 )) − ( ϕ ′ ( r ( t i )) , p ( t i +1 )) | ++ | ( ϕ ′ ( r ( t i )) , p ( t i +1 )) − ( ϕ ′ ( r ( t i )) , p ( t i )) | ≤≤ k ϕ ′ ( r ( t i +1 )) − ϕ ′ ( r ( t i )) k k p ( t i +1 ) k + k p ( t i +1 ) − p ( t i ) k k ϕ ′ ( r ( t i )) k ≤≤ k ϕ ′ ( r ( t i +1 )) − ϕ ′ ( r ( t i )) k + L k p ( t i +1 ) − p ( t i ) k , (1.2)так как k p ( t i +1 ) k = 1 , k ϕ ′ ( r ( t i )) k ≤ L . Сумма X i k p ( t i +1 ) − p ( t i ) k не превосходит длины окружности S (0) , равное π. Докажем ограниченность сверху суммы X i k ϕ ′ ( r ( t i +1 )) − ϕ ′ ( r ( t i )) k . Так как функция ϕ ( · ) − п.о. выпуклая функция, то согласно принципу двой-ственности Минковского [13] имеет место равенство ϕ ( r ( t )) = max v ∈ ∂ϕ (0) ( v, r ( t )) = ( v ( t ) , r ( t )) , v ( t ) ∈ ∂ϕ (0) ,
15 — где ∂ϕ (0) - субдифференциал функции ϕ ( · ) в нуле.Субдифференциал − это множество всех обобщенных градиентов выпуклойфункции ϕ ( · ) в нуле, который является выпуклым компактным множеством.В точках r ( t ) ∈ S (0) , где функция ϕ ( · ) дифференцируема, граничный вектор v ( t ) ∈ ∂ϕ (0) в написанном выше равенстве единственный и равен v ( t ) = ϕ ′ ( r ( t )) = ∇ ϕ ( r ( t )) . По свойству субдифференциала [9] нормальный векторк границе множества ∂ϕ (0) в точке v ( t ) равен r ( t ) . Тогда X i k ϕ ′ ( r ( t i +1 )) − ϕ ′ ( r ( t i )) k = X i k v ( t i +1 ) − v ( t i ) k . Соединив пары векторов v ( t i ) , v ( t i +1 ) , i ∈ s, отрезком, мы получим замкну-тую ломаную, являющуюся границей замкнутого выпуклого многоугольника,вписанного в ∂ϕ (0) .Поэтому супремум суммы sup t i X i k ϕ ′ ( r ( t i +1 )) − ϕ ′ ( r ( t i )) k не превосходит длины кривой L ∂ϕ (0) , ограничивающей замкнутое выпуклоемножество ∂ϕ (0) . Длину кривой L ∂ϕ (0) обозначим через P ( L ∂ϕ (0) ) . Окончательно, супремум суммы (1.1 ) согласно неравенствам (1.2) не пре-восходит P ( L ∂ϕ (0) ) + 2 πL . Поэтому в случае, когда ϕ ( · ) = ϕ ( · ) − ϕ ( · ) , можно записать ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤ ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) + ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤≤ P ( L ∂ϕ (0) ) + P ( L ∂ϕ (0) ) + 2 πL + 2 πL , где ∂ϕ (0) , ∂ϕ (0) , L , L − субдифференциалы в нуле и константы Липшицафункций ϕ ( · ) и ϕ ( · ) соответственно. Здесь P ( L ∂ϕ (0) ) , P ( L ∂ϕ (0) ) − длины кри-вых, ограничивающих субдифференциалы ∂ϕ (0) , ∂ϕ (0) . Необходимость до-казана.
16 —
Достаточность. Пусть условия теоремы 3.1.1 выполняются. Разобьем еди-ничный круг B (0) = { ( x, y ) ∈ R | x + y ≤ } точками { r ( t i ) } ∈ S (0) , i ∈ m, на m равных секторов. Построим по этому разбиению п.о. многограннуюфункцию ϕ m ( · ) следующим образом.Значения функции ϕ m ( · ) на векторах , r ( t i ) , r ( t i +1 ) равны ϕ m (0) = 0 , ϕ m ( r ( t i )) = ϕ ( r ( t i )) , ϕ m ( r ( t i +1 )) = ϕ ( r ( t i +1 )) . Во всех остальных точках i − ого сектора, определяемого векторами , r ( t i ) , r ( t i +1 ) , функцию ϕ m ( · ) определим линейным образом, т.е. для векто-ра r = λ r ( t i ) + λ r ( t i +1 ) , λ , λ > , верно равенство ϕ m ( r ) = λ ϕ m ( r ( t i )) + λ ϕ m ( r ( t i +1 )) . Так сделаем для всех m секторов, на которые мы разбили круг B (0) . Линей-ную функцию, график которой совпадает в i − ом секторе с графиком функции ϕ m ( · ) , обозначим через π i ( · ) . Введем некоторые определения и понятия, используемые в дальнейшем. Бу-дем понимать под градиентом плоскости градиент функции, график которойесть эта плоскость.
Двугранный угол по определению есть непрерывная функ-ция, график которой состоит из двух полуплоскостей с общей прямой, назы-ваемой ребром , а полуплоскости называются гранями двугранного угла .Первое, что мы докажем − это равномерную липшицевость функций ϕ m ( · ) по m . Для этого требуется доказать, что градиенты линейных функций π i ( · ) ограничены сверху константой, не зависящей от i, m. Рассмотрим различные расположения на плоскости градиента ∇ π i = π ′ i .Если градиент ∇ π i находится на границе i − ого сектора и расположен вдольвектора r ( t i ) , то ( ∇ π i , l i ) = k∇ π i k = ∂ϕ (0) ∂l i ≤ L,
17 — где l i = r ( t i ) / k r ( t i ) k , ∂ϕ (0) /∂l i − производная по направлению l i функции ϕ ( · ) в точке . Аналогичные рассуждения проводим, если градиент ∇ π i находитсяна границе i − ого сектора и расположен вдоль вектора r ( t i +1 ) .Если вектор ∇ π i находится внутри i − ого сектора, то поскольку производ-ные по направлению l i функций π i ( · ) и ϕ ( · ) совпадают, то ∂π i (0) ∂l i = ( ∇ π i , l i ) = ∂ϕ (0) ∂l i ≤ L. Перепишем скалярное произведение в виде произведения норм векторов накосинус угла α i между ними k∇ π i k k l i k cos α i = k∇ π i k cos α i ≤ L. Откуда k∇ π i k ≤ L cos α i ≤ L cos πm , так как при больших m угол α i ≤ π/m . Очевидно, что правая часть неравен-ства равномерно ограничена для всех больших m .Если градиент ∇ π i не принадлежит i − ому сектору, то проведем пря-мую l с направляющим единичным вектором l i , образующую с вектором q i = ∇ π i / k∇ π i k угол α i , не больший π/m . Пусть прямая l пересекает лу-чи, на которых лежат векторы r ( t i ) и r ( t i +1 ) , в точках A и B . Параметризуемпрямую l естественным образом. Параметры точек A и B на прямой l обозна-чим через a и b . Тогда π i ( b ) − π i ( a ) = Z ba ∂π i ( τ ) ∂l i dτ = Z ba ∂ϕ ( τ ) ∂l i dτ = ϕ ( b ) − ϕ ( a ) . Отсюда заключаем, что существует точка s i ∈ [ a, b ] , для которой ∂π i ( s i ) ∂l i = k∇ π i k k l i k cos α i = k∇ π i k cos α i ≤ ∂ϕ ( s i ) ∂l i ≤ L. Проводим рассуждения, аналогичные приведенным выше. Получим ту жеоценку для нормы k∇ π i k . Тем самым мы доказали равномерную липшице-вость по m функций ϕ m ( · ) .
18 —
Будем представлять функцию ϕ m ( · ) в виде разности выпуклых. Для этоговоспользуемся алгоритмом академика А.Д. Александрова для представлениямногогранной функции в виде разности выпуклых, описанным в [2].Введем определение вариации двугранного угла . Под вариацией двугранно-го угла будем понимать максимальную вариацию производной этой функциивдоль некоторой прямой. Нетрудно видеть, что максимальная вариация произ-водной будет для прямой, перпендикулярной проекции на плоскость R ребрадвугранного угла, которую обозначим через l . Поясним сказанное.Пусть направляющий единичный вектор прямой l есть вектор q ∈ R . Вэтом случае вариация двугранного угла равна k a − a k , где a , a ∈ R − градиенты плоскостей (полуплоскостей) π , π , образующих двугранный угол.Действительно, поскольку производные по направлению q плоскостей π , π совпадают, то ( ∇ π , q ) = ( ∇ π , q ) . Отсюда следует, что вектор a − a перпендикулярен прямой l . Поэтому длявсех прямых, не перпендикулярных прямой l , вариация производной двугран-ного угла будем меньше k a − a k . Итак, вариация двугранного угла, записан-ная через производные по направлению, равна | ( ∇ π , p ) − ( ∇ π , p ) | = | ( ∇ π − ∇ π , p ) | , где p ∈ R − единичный вектор, перпендикулярный вектору q .Сделаем оценку вариации двугранного угла через вариацию производнойфункции Φ( · ) . Рассмотрим секторы i, i + 1 , по которым построены плоскости π i , π i +1 , являющиеся гранями i − ого двугранного угла. Путь сектор i опреде-ляют векторы r ( t i ) , r ( t t +1 ) , а сектор i + 1 − векторы r ( t t +1 ) , r ( t i +2 ) . Для опре-деленности предположим, что ( ∇ π i +1 , p ( t i +1 )) ≥ ( ∇ π i , p ( t i +1 )) , где p ( t i +1 ) = r ′ ( t i +1 ) . Очевидны равенства π i ( t i +1 ) − π i ( t i ) = Φ( t i +1 ) − Φ( t i ) = Z t i +1 t i Φ ′ ( τ ) dτ = Z t i +1 t i dπ i ( r ( τ )) dτ dτ.
19 —
Отсюда следует, что существует точка τ ∈ [ t i , t i +1 ] , для которой dπ i ( r ( τ )) dt ≥ Φ ′ ( τ ) . Аналогично для отрезка [ t i +1 , t i +2 ] : π i +1 ( t i +2 ) − π i +1 ( t i +1 ) = Φ( t i +2 ) − Φ( t i +1 ) = Z t i +2 t i +1 Φ ′ ( τ ) dτ = Z t i +2 t i +1 dπ i +1 ( r ( τ )) dτ dτ. Отсюда заключаем, что существует точка τ ∈ [ t i +1 , t i +2 ] , для которой dπ i +1 ( r ( τ )) dt ≤ Φ ′ ( τ ) . Получим оценку сверху для вариации i − ого двугранного угла с учетом сде-ланного предположения. k∇ π i +1 − ∇ π i k = ( ∇ π i +1 , p ( t i +1 )) − ( ∇ π i , p ( t i +1 )) = dπ i +1 ( r ( τ )) dt − dπ i ( r ( τ )) dt ++( ∇ π i +1 , p ( t i +1 )) − dπ i +1 ( r ( τ )) dt − ( ∇ π i , p ( t i +1 )) + dπ i ( r ( τ )) dt . Производные функций π i ( · ) , π i +1 ( · ) по t можно переписать в ином виде dπ i +1 ( r ( τ )) dt = ( ∇ π i +1 , p ( τ )); dπ i ( r ( τ )) dt = ( ∇ π i , p ( τ )) , где p ( τ ) = r ′ ( τ ) , p ( τ ) = r ′ ( τ ) . Отсюда получаем требуемую оценку k∇ π i +1 − ∇ π i k ≤ Φ ′ ( τ ) − Φ ′ ( τ ) + k∇ π i +1 k | τ − t i +1 | + k∇ π i k | τ − t i | ≤≤ Z t i +2 t i Φ ′ ( τ ) dτ + L cos πm | t i +2 − t i | . Теперь опишем алгоритм представления функции в виде разности выпуклых.Рассмотрим все выпуклые двугранные углы, части графиков которых принад-лежат графику функции ϕ m ( · ) . Просуммируем все такие выпуклые двугран-ные углы. В итоге получим п.о. выпуклую многогранную функцию, которуюобозначим ϕ m ( · ) . Разность ϕ m ( · ) = ϕ m ( · ) − ϕ m ( · ) ,
20 — как было ранее доказано, является снова п.о. выпуклой многогранной функ-цией. Также мы доказали, что функции ϕ m ( · ) , ϕ m ( · ) являются равномернолипшицевыми по m с нулевым значением в начальной точке. Поэтому из после-довательности функций ϕ m ( · ) , ϕ m ( · ) можно выбрать равномерно сходящиесяна единичном круге B (0) . Обозначим их равномерные пределы по m через lim m ϕ m ( x, y ) = ϕ ( x, y ) , lim m ϕ m ( x, y ) = ϕ ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ B (0) . Переходя в равенстве ϕ m ( x, y ) = ϕ m ( x, y ) − ϕ m ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ B (0) к пределу по m → ∞ , получим требуемое представление ϕ ( x, y ) = ϕ ( x, y ) − ϕ ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ B (0) , где ϕ ( · ) , ϕ ( · ) − п.о. выпуклые функции, как равномерный поточечный пределпоследовательности выпуклых функций. Достаточность доказана, а вместе сней и теорема. Замечание 1.2.1
Доказанная теорема дает конструктивный путь пред-ставления п.о. функции двух переменных в виде разности выпуклых.
21 — M − ОЙ СТЕПЕНИДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫ-ПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
В данном разделе приведены необходимые и достаточные условия представи-мости произвольной положительно однородной функции m − ого порядка двухпеременных в виде разности выпуклых функций. Дана также геометрическаяинтерпретация этих условий. Приведен алгоритм такого представления, ре-зультатом которого есть последовательность равномерно сходящихся на про-извольном компакте, внутренности которого принадлежит начало координат,выпуклых положительно однородных m − ой степени функций. История вопроса о представлении функции в виде разности выпуклых беретсвое начало в работах [2], [3]. На тему о представлении функции в виде разно-сти выпуклых было написано много работ [1] - [8] авторами разных специаль-ностей. Функции, представимые в виде разности выпуклых (ПРВ функции)нашли применение в оптимизации [16]. ПРВ функции в западной литературеназывают DC (difference of convex) функциями.Важный результат после работ академика А.Д. Александрова был полу-чен автором в его кандидатской диссертации [8], где приведены необходимыеи достаточные условия представимости положительно однородной первой сте-пени функции двух переменных в виде разности выпуклых. Этот результатнапрямую связан с оптимизацией, так как эти условия являются необходимы-ми и достаточными условиями квазидифференцируемости функции в точке
22 — [9]. Метод доказательства был обобщен позднее автором для функций от про-извольного количества переменных.Вышла статья [20], где речь идет об условиях представимости функции ввиде разности выпуклых в бесконечномерных пространствах.В [20] доказана теорема, дающая необходимые и достаточные условия пред-ставимости функции f ( · ) в линейном бесконечномерном пространстве X . Ос-новной результат этой статьи следующий.Пусть X − линейное пространство, Ω − выпуклое множество в X и f ( · ) :Ω → R − произвольная функция. f является разностью двух выпуклых функ-ций, если и только если найдутся (конечное или бесконечное) множество ин-дексов I и множество выпуклых функций h i : Ω → R, i ∈ I , таких, что сумма P i ∈ I h i ( x ) существует и конечна в Ω и для любой пары точек a, b ∈ Ω суще-ствует множество J ⊂ I такое, что f + P i ∈ J h i является выпуклой функциейна сегменте [ a ; b ] .Непонятен основной результат указанной статьи. Почему нельзя в формули-ровке теоремы говорить об одной выпуклой функции f ( · ) , для которой f + f выпуклая на Ω , вместо семейства функций { h i ( · ) } ? Зачем выбирать из семей-ства функций { h i ( · ) } подмножество { h j ( · ) } , если сумма P i ∈ I h i ( x ) конечная ивыпуклая на всем Ω ?Все это говорит о том, что вопрос о нахождении необходимых и достаточныхусловий представимости функции в виде разности выпуклых - это довольносложная задача. В данном разделе задача решается для п.о. функции степени m от двух переменных, где m − натуральное число.Напомним полученный ранее результат. Теорема 2.1.1
Для того, чтобы липшицевая п.о. степени 1 функция ϕ ( · ) была представима в виде разности выпуклых функций (была ПРВ функцией),необходимо и достаточно, чтобы ( ∃ c ( ϕ ) >
0) : ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) < c ( ϕ ) , где Φ( t ) = ϕ ( r ( t )) , r ( t ) = (cos t, sin t ) , t ∈ [0 , π ] .
23 —
Здесь, как и прежде, используется общепринятое обозначение вариации ∨ про-изводной Φ ′ ( · ) на отрезке [0 , π ] . m − ого порядка от двухпеременных Пусть задана липшицевая п.о. функция степени m : q → ϕ ( q ) : R → R ,т.е. ϕ ( λq ) = λ m ϕ ( q ) , λ ∈ R , λ > , m − натуральное число. Обозначим через S (0) = { z ∈ R |k z k = 1 }− единичная окружность с центром в начале ко-ординат. Пусть r ( t ) = (cos t, sin t ) , t ∈ [0 , π ] − естественная параметризацияединичной окружности. Введем функцию Φ( t ) = ϕ ( r ( t )) = ϕ (cos t, sin t ) , ∀ t ∈ [0 , π ] . Далее попытаемся свести наш случай к однородному случаю первой степени.А именно:1. для любой выпуклой локально липшицевой функции z → f ( z ) : R → R , f (0 ,
0) = 0 , мы построим п.о. степени 1 выпуклую функцию z → ψ ( z ) : R → R , принимающую на S (0) те же значения, что и функция f ( · ) ;2. обратно, для любой выпуклой п.о. степени 1 функции ψ ( · ) , принимающейна S (0) положительные значения, построим выпуклую п.о. степени m функцию ϕ ( · ) , принимающую на S (0) те же значения, что и функция ψ ( · ) . Итак, пусть задана произвольная локально липшицевая выпуклая функ-ция z → f ( z ) : R → R , f (0 ,
0) = 0 , у которой начало координат − точкаминимума. Лемма 2.2.1
Пусть ( x, y ) → f ( x, y ) : R → R − непрерывная выпуклая функ-ция и r ( t ) = (cos t, sin t ) , t ∈ [0 , π ] . Тогда существует константа c ( f ) > ,
24 — что ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤ c ( f ) , (2.1) где Φ( t ) = f ( r ( t )) , t ∈ [0 , π ] . Доказательство.
На начальном этапе будем считать, что f ( · , · ) дваждынепрерывно дифференцируемая функция, которая принимает неотрицатель-ные значения и начало координат − ее точка минимума. Таким образом точкаминимума , принадлежит внутренности шара B (0) = { z ∈ R |k z k ≤ } . Построим для функции f ( · , · ) п.о. степени 1 функцию ψ ( · ) , которая на r ( · ) принимает значения, равные f ( r ( · )) . Покажем, что ψ ( · ) - выпуклая.Рассмотрим функцию f ε ( x, y ) = f ( x, y ) + ε ( || x || + || y || ) , ε > . Разобьем отрезок [0 , π ] точками { t i } , i ∈ J, на равные отрез-ки. Построим плоскости π i в R , проходящие соответственно через точки (0 , , , ( r ( t i ) , f ε ( r ( t i ))) , ( r ( t i +1 ) , f ε ( r ( t i +1 )) , i ∈ J . Части плоскостей π i , i ∈ J , определенных в секторах, образуемых векторами (0 , , r ( t i ) , r ( t i +1 ) ,определяют график п.о. степени 1 многогранной функцию ( ψ ε ) J ( r ( · )) . Бу-дем понимать под двугранным углом функцию, график которой состоит изполуплоскостей с общей граничной прямой, включающих плоскости π i , по-строенные в соседних секторах. Покажем, что все двугранные углы функции ( ψ ε ) J ( r ( · )) , образуемые плоскостями π i , i ∈ J, построенными по соседним сек-торам, − выпуклые.Под градиентом плоскости π i будем понимать градиент линейной функции,график которой совпадает с плоскостью π i . Обозначим градиенты плоскостей π i и π i +1 через ∇ π i и ∇ π i +1 соответственно. Воспользуемся теоремой о среднейточке, согласно которой существует такая точка t m ∈ [ t i , t i +1 ] , что ∂f ε ( r ( t m )) /∂e i = ( ∇ π i , e i ) ,
25 — где e i = ( r ( t i +1 ) − r ( t i )) / || r ( t i +1 ) − r ( t i ) || . Аналогично для плоскости π i +1 и некоторой точки t c ∈ [ t i +1 , t i +2 ] имеем ∂f ε ( r ( t c )) /∂e i +1 = ( ∇ π i +1 , e i +1 ) , где e i +1 = ( r ( t i +2 ) − r ( t i +1 )) / || r ( t i +2 ) − r ( t i +1 ) || . Функция f ε ( · ) сильно выпуклая, так как ее матрица вторых частных производ-ных положительно определенная. Любая выпуклая функция имеет неубываю-щую производную по направлению вдоль произвольного луча. Но для сильновыпуклой функции производная по касательному направлению к кривой вида r ( x , τ, g ) = x + τ g + o ε ( τ ) , g ∈ R n , τ > в малой окрестности точки x естьвозрастающая функция вдоль этой кривой. Поэтому для достаточно большом J и равномерном разбиении кривой r ( · ) точками t i имеем ∂f ε ( r ( t m )) /∂e i < ∂f ε ( r ( t c )) /∂e i +1 , или ( ∇ π i , e i ) < ( ∇ π i +1 , e i +1 ) . Учтем также, что разность ∇ π i +1 − ∇ π i перпендикулярна вектору r ( t i +1 ) . От-сюда и из неравенства выше следует, что двугранный угол π i , π i +1 - выпуклый.При J → ∞ ( ψ ε ) J ( · ) ⇒ ( ψ ε )( · ) . Так как точечный предел для выпуклых функций равносилен равномерномупределу, то ψ ε ( · ) - выпуклая функция. Также ψ ε ( · ) ⇒ ψ ( · ) при ε → +0 , т.е. ψ ( · ) − выпуклая, что и требовалось доказать.Очевидно, что градиенты линейных функций, графики которых есть π i , i ∈ J, ограничены константой, зависящей только от самой функции f ( · , · ) . Верноравенство ψ ( r ( t )) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , π ]] .
26 —
Ясно, что ψ ( · , · ) строится однозначно по функции f ( · , · ) и выбранной кривой r ( · ) . Из сказанного выше следует, что функция ψ ( · , · ) есть липшицевая с кон-стантой L ( f ) .Пусть Ψ( t ) = ψ ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , π ]] . Поскольку ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) = ∨ (Ψ ′ ; 0 , π ) , то из доказанной Теоремы 2.1.1 следует, что ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤ c ( f ) . Если функция f ( · , · ) не является дважды непрерывно дифференцируемая,то ее можно приблизить выпуклой дважды непрерывно дифференцируемойфункцией ˜ f ( · , · ) и построить соответствующую ей функцию ˜ ψ ( · , · ) так, чтобызначения функций ψ ( · , · ) , ˜ ψ ( · , · ) и их производных там, где они существуют,как угодно мало отличались друг от друга. Но тогда аналогичное будет вер-но для функций Ψ( · ) , ˜Ψ( · ) , построенных по ψ ( · , · ) , ˜ ψ ( · , · ) соответственно, и ихпроизводных. Значит написанное выше неравенство для вариации производ-ных функции Ψ( · ) верно для общего случая. Лемма 2.2.1 доказана. (cid:3) Лемма 2.2.2
Пусть задана произвольная ПРВ функция от двух переменных ( x, y ) → f ( x, y ) : R → R . Тогда существует константа c ( f ) , для которойверно неравенство ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤ c ( f ) , (2.2) где Φ( t ) = f ( r ( t )) , t ∈ [0 , π ] . Доказательство.
По условию f ( x, y ) = f ( x, y ) − f ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ R , где f ( · , · ) , f ( · , · ) − выпуклые функции. По лемме 2.2.1 ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤ c ( f ) , ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤ c ( f ) ,
27 — где Φ ( t ) = f ( r ( t )) , Φ ( t ) = f ( r ( t )) , ∀ t ∈ [0 , π ] . На основании неравенства для вариации суммы функций [12] имеем ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤ ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) + ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) ≤ c + c . Лемма доказана. (cid:3)
Рассмотрим теперь произвольную выпуклую п.о. степени 1 функцию z → ψ ( z ) : R → R , принимающую на S (0) положительные значения, и по нейопределим п.о. степени m функцию z → ϕ ( z ) : R → R следующим образом ϕ ( z ) = ψ ( z ) ∀ z ∈ S (0) , ϕ ( λz ) = λ m ϕ ( z ) ∀ λ > . Покажем, что ϕ ( · ) − выпуклая. Нетрудно показать, что если q − точка диффе-ренцируемости функции ϕ ( · ) (или ψ ( · ) ), то λq, λ > , также точка дифферен-цируемости функции ϕ ( · ) (или ψ ( · ) ). Причем верны равенства ∇ ϕ ( λq ) = ϕ ′ ( λq ) = λ m − ∇ ϕ ( q ) = λ m − ϕ ′ ( q ) , ∇ ψ ( λq ) = ψ ′ ( λq ) = ∇ ψ ( q ) = ψ ′ ( q ) ∀ λ > . Без ограничения общности будем считать, что функция ψ ( · ) − гладкая функ-ция. В противном случае мы перешли бы к последовательности выпуклых,гладких п.о. первой степени функций { ψ n ( · ) } , равномерно сходящихся к ψ ( · ) на B (0) , по которым мы построим последовательность { ϕ n ( · ) } выпуклых, глад-ких п.о. функций m − ого порядка, также равномерно сходящихся к ϕ ( · ) на B (0) .Для доказательства выпуклости функции ϕ ( · ) воспользуемся замечатель-ным свойством выпуклой функции, пользуясь которым академик А.Д. Алек-сандров доказал почти всюду дважды дифференцируемость выпуклой функ-ции [4]. Теорема 2.2.1 [14] Для того чтобы функция z → θ ( z ) : R n → R была вы-пуклой, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема по на-правлениям и для любой точки z ∈ R n и любого направления p ∈ R n функция
28 — α → h ( α ) : R + → R : h ( α ) = ∂θ ( z + αp ) ∂p была неубывающей по α > . Возьмем произвольную точку z ∈ S (0) и направление p ∈ R . Из п.о.функции ϕ ( · ) следует, что достаточно рассмотреть случай, когда вектор p пер-пендикулярен вектору z . Обозначим через ξ точку на луче z + αp, α > , ачерез η ξ − точку пересечения прямой, проходящей через начало координат иточку ξ с окружностью S (0) . Обозначим также через ϕ ′ ( η ξ , τ ξ ) , производнуюфункции ϕ ( · ) в точке η ξ по направлению τ ξ , где τ ξ − касательная к единичнойокружности S (0) в точке η ξ , сонаправленная с вектором p (см. рис. 1). Безограничения общности будем считать, что ϕ ′ ( z, p ) ≥ . В противном случаемы возьмем направление − p . Заметим, что ϕ ′ ( ξ, τ ξ ) = k ξ k m − ϕ ′ ( η ξ , τ ξ ) = k ξ k m − ψ ′ ( η ξ , τ ξ ) ,ϕ ′ ( ξ, η ξ ) = k ξ k m − ϕ ′ ( η ξ , η ξ ) = m k ξ k m − ϕ ( η ξ ) = m k ξ k m − ψ ( η ξ ) . Тогда ∇ ϕ ( ξ ) = ϕ ′ ( ξ ) = ϕ ′ ( ξ, τ ξ ) τ ξ + ϕ ′ ( ξ, η ξ ) η ξ == k ξ k m − ( ϕ ′ ( η ξ , τ ξ ) τ ξ + mϕ ( η ξ ) η ξ ) и ( ϕ ′ ( ξ ) , p ) = k ξ k m − (( ϕ ′ ( η ξ , τ ξ ) τ ξ , p ) + m ( ϕ ( η ξ ) η ξ , p )) == k ξ k m − (( ψ ′ ( η ξ , τ ξ ) τ ξ , p ) + m ( ψ ( η ξ ) η ξ , p )) == k ξ k m − (( ψ ′ ( ξ ) , p ) + ( m − ψ ( η ξ ) η ξ , p )) (2.3)Возьмем две произвольные точки ξ и ξ на луче z + αp, α > ξ = z + α p, ξ = z + α p, α > α . Из формулы (2.3) имеем ( ϕ ′ ( ξ ) , p ) = k ξ k m − (( ψ ′ ( ξ ) , p ) + ( m − ψ ( η ξ ) η ξ , p )) , ( ϕ ′ ( ξ ) , p ) = k ξ k m − (( ψ ′ ( ξ ) , p ) + ( m − ψ ( η ξ ) η ξ , p )) .
29 —
Пусть k ξ k > k ξ k . Сравним два числа ( ϕ ′ ( ξ ) , p ) и ( ϕ ′ ( ξ ) , p ) . Поскольку ψ ( · ) − выпуклая, то ( ψ ′ ( ξ ) , p ) ≥ ψ ′ ( ξ ) , p ) (2.4)Кроме того, так как функции ϕ ( · ) , ψ ( · ) − липшицевые и их значения равны наединичной окружности, то ϕ ′ ( z, p ) = ψ ′ ( z, p ) ≥ , откуда следует, что ψ ( ξ ) ≥ ψ ( ξ ) . Также для η ξ , η ξ , близких к z , ψ ( η ξ ) ≥ ψ ( η ξ ) > , а поэтому ( ψ ( η ξ ) η ξ , p ) ≥ ( ψ ( η ξ ) η ξ , p ) . (2.5)Из (2.4) и (2.5) получим ( ϕ ′ ( ξ ) , p ) ≤ ( ϕ ′ ( ξ ) , p ) . Следовательно, функция ϕ ( · ) − выпуклая в окрестности точки z . Из локальнойвыпуклости функции ϕ ( · ) следует ее глобальная выпуклость.Итак, пункты 1) и 2) выполнимы. Выясним теперь условия, при которыхп.о. степени m функция ϕ ( · ) представима в виде разности выпуклых функций ϕ ( · ) , ϕ ( · ) . Пусть ϕ ( q ) = ϕ ( q ) − ϕ ( q ) ∀ q ∈ R , где ϕ ( · ) , ϕ ( · ) − выпуклые функции.Построим, как это мы делали ранее, п.о. степени 1 выпуклые функции ψ ( · ) , ψ ( · ) , соответствующие выпуклым функциям ϕ ( · ) , ϕ ( · ) . Тогда функция ψ ( · ) , определяемая равенством ψ ( q ) = ψ ( q ) − ψ ( q ) ∀ q ∈ R , есть ПРВ функция. Поскольку ∨ (Ψ ′ ; 0 , π ) = ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) , где Φ( t ) = ϕ ( r ( t )) , Ψ( t ) = ψ ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , π ] ,
30 — то выполняется неравенство ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) < c ( ϕ ) . Без ограничения общности считаем, что ψ ( · ) , ψ ( · ) принимают на S (0) поло-жительные значения. построим теперь по выпуклым функциям ψ ( · ) , ψ ( · ) п.о.степени m функции ˜ ϕ ( · ) , ˜ ϕ ( · ) . По доказанному ранее ˜ ϕ ( · ) , ˜ ϕ ( · ) − выпуклыефункции. Очевидно, что ϕ ( q ) = ˜ ϕ ( q ) − ˜ ϕ ( q ) ∀ q ∈ R . Пусть теперь выполняется неравенство ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) < c ( ϕ ) . Покажем, что ϕ ( · ) − ПРВ функция. Определим п.о. степени 1 функцию q → ψ ( q ) : R → R , принимающую на S (0) те же значения, что и функция ϕ ( · ) на S (0) . Так как ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) = ∨ (Ψ ′ ; 0 , π ) < c ( ψ ) , то ψ ( · ) − ПРВ функция [6], [8], т.е. ψ ( q ) = ψ ( q ) − ψ ( q ) ∀ q ∈ R , где ψ i ( · ) , i = 1 , , − выпуклые п..о. степени 1 функции. Очевидно, что функции ψ i ( · ) , i = 1 , , можно выбрать такими, чтобы они принимали положительныезначения на S (0) . По функциям ψ i ( · ) , i = 1 , , построим п.о. степени m функ-ции ϕ i ( · ) , i = 1 , . По доказанному ранее ϕ i ( · ) , i = 1 , , − выпуклые. Крометого, очевидно, выполняется равенство ϕ ( q ) = ϕ ( q ) − ϕ ( q ) ∀ q ∈ R , т.е. ϕ ( · ) − ПРВ функция.Таким образом доказана следующая теорема.
31 —
Теорема 2.2.2
П.о. степени m липшицевая функция q → ϕ ( q ) : R → R является ПРВ функцией тогда и только тогда, когда ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) < c ( ϕ ) , где Φ( t ) = ϕ ( r ( t )) , r ( t ) = (cos t, sin t ) , ∀ t ∈ [0 , π ] . Следствие 2.2.1
Если п.о. степени m функция ϕ ( · ) есть ПРВ функция, тоона представима в виде разности выпуклых п.о. степени m функций. Обозначим через D − произвольное выпуклое открытое ограниченное множе-ство на плоскости R , так что замыкание его − компакт с int D = ∅ и ∈ int D. Пусть ℜ ( D ) − множество кривых r ( · ) , ограничивающих в D выпуклые ком-пактные множества. Параметризуем r ( · ) естественным образом, т.е. t − рас-стояние вдоль кривой r ( · ) от фиксированной точки на кривой до точки r ( t ) .Параметризованную кривую обозначим через r ( t ) , t ∈ [0 , T r ] . Здесь T = T ( r ) − длина кривой r ( · ) . Пусть на D задана произвольная выпуклая функция ( x, y ) → f ( x, y ) : R → R с константой Липшица L ( D ) . Обозначим через F ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T ] . Функция F ( · ) липшицевая с константой Липшица L ( D ) . Действительно, длялюбых t , t ∈ [0 , T ] | F ( t ) − F ( t ) | = | f ( r ( t )) − f ( r ( t )) | ≤ L ( D ) k r ( t ) − r ( t ) k ≤ L ( D ) | t − t | . Следовательно [12], F ( · ) − почти всюду (п.в.) дифференцируемая на [0 , T ] . Справедлива следующая лемма.
32 —
Лемма 2.3.1
Для любой выпуклой функции f ( · ) : R → R и любой кривой r ( · ) ∈ ℜ ( D ) существует константа c ( f, D ) > такая, что верно неравен-ство ∨ ( F ′ ; 0 , T ) < c ( f, D ) ∀ r ( · ) ∈ ℜ ( D ) , где F ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , π ] . Здесь, как и ранее, производные берутся там, где они существуют. Предвари-тельно докажем такую лемму.
Лемма 2.3.2
Для любой кривой r ( · ) ∈ ℜ ( D ) и любой выпуклой п.о. степени1 функции ( x, y ) → ψ ( x, y ) : R → R существует константа c ( ψ, D ) > такая, что верно неравенство ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) < c ( ψ, D ) ∀ r ( · ) ∈ ℜ ( D ) , где Ψ( t ) = ψ ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T ] . Доказательство леммы 2.3.2
Без ограничения общности будем считать, что ψ ( · ) − гладкая на R \ . Пусть ψ ( r ( t )) = max v ∈ ∂ψ (0) ( v, r ( t )) = ( v ( t ) , r ( t )) , v ( t ) ∈ ∂ψ (0) , где ∂ψ (0) − субдифференциал функции ψ ( · ) в нуле [9]. Обозначим через d ( D ) − диаметр множества D . Верны соотношения | ψ ( r ( t )) − ψ ( r ( t )) | = | ( v ( t ) , r ( t )) − ( v ( t ) , r ( t )) | == | ( v ( t ) − v ( t ) , r ( t )) + ( v ( t ) , r ( t )) − ( v ( t ) , r ( t )) | ≤≤ k v ( t ) − v ( t ) kk r ( t ) k + k r ( t )) − r ( t ) k k v ( t ) k ≤≤ k v ( t ) − v ( t ) k d ( D ) + L ( D ) | t − t | . Отсюда следует, что ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) ≤ P ( ∂ψ (0)) d ( D ) + L ( D ) T , (2.6)
33 — где P ( ∂ψ (0)) − длина кривой, ограничивающей выпуклое компактное множе-ство ∂ψ (0) . Поскольку справа от знака неравенства (2.6) стоит конечная вели-чина, зависящая только от множества D , то лемма 2.3.2 доказана. (cid:3) . Доказательство леммы 2.3.1.
Строим по функции f ( · ) также, как этоделалось ранее, п.о. степени 1 функцию ( x, y ) → ψ ( x, y ) : R → R , прини-мающую на r ( · ) те же значения, что и функция f ( · ) . Повторяя рассуждения,проведенные ранее, показываем, что ψ ( · ) − выпуклая функция. Пусть Ψ( t ) = ψ ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T ] . Поскольку ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) = ∨ ( F ′ ; 0 , T ) , то из леммы 2.3.2 следует, что ∨ ( F ′ ; 0 , T ) < c ( f, D ) . Лемма 2.3.1 доказана. (cid:3)
Теорема 2.3.1
Для того чтобы п.о. степени m липшицевая функция ( x, y ) → ϕ ( x, y ) : R → R была ПРВ функцией, необходимо и достаточно,чтобы для любой кривой r ( · ) ∈ ℜ ( D ) нашлась константа c ( ϕ, D ) > , длякоторой ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) < c ( ϕ, D ) ∀ r ( · ) ∈ ℜ ( D ) , (2.7) где Φ( t ) = ϕ ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T ] . Доказательство.
Поскольку в класс ℜ ( D ) входит окружность S ρ (0) радиуса ρ > с центром в начале координат и все производные на этой окружноститам, где они существуют, связаны с производными на единичной окружности S (0) одним и тем же коэффициентом пропорциональности ρ m − , то по теореме2.2.2 выполнение неравенства (2.7) достаточно для представимости функции ϕ ( · ) в виде разности выпуклых функций.
34 —
Докажем необходимость. Пусть ϕ ( q ) = ϕ ( q ) − ϕ ( q ) ∀ q ∈ R , где ϕ i ( · ) , i = 1 , , − выпуклые. По лемме 2.3.1 для любой кривой r ( · ) ∈ ℜ ( D ) ∨ (Φ ′ i ; 0 , T ) < c i ( ϕ i , D ) , i = 1 , , где Φ i ( t ) = ϕ i ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T ] , i = 1 , . Тогда ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) ≤ ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) + ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) < c ( ϕ , D ) + c ( ϕ , D ) = c ( ϕ, D ) . Теорема доказана. (cid:3) m − ой степени двух переменных Перефразируем теорему 2.3.1, придав ей более геометрический характер. Вве-дем понятие поворота кривой r ( · ) на графике Γ ϕ = { ( x, y, z ) ∈ R | z = ϕ ( x, y ) } . Рассмотрим на Γ ϕ кривую R ( t ) = ( r ( t ) , ϕ ( r ( t ))) , t ∈ [0 , T ( r )] , где r ( · ) ∈ℜ ( D ) . Так как функция ϕ ( · , · ) есть липшицевая, то п.в. на [0 , T ( r )] существуетпроизводная R ′ ( · ) , которую обозначим через τ ( · ) = R ′ ( · ) , а множество точек,где она существует, − через N ϕ . Определение 1.
Поворотом кривой R ( · ) на многообразии Γ f назовем ве-личину sup { t i }⊂ N ϕ X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk = O ϕ . Таким образом, поворот O ϕ кривой R ( · ) есть верхняя грань суммы угловмежду касательными τ ( t ) для t ∈ [0 , T ( r )] . Нетрудно видеть, что для плоской
35 — гладкой кривой, параметризованной естественным образом, величина O ϕ равнаинтегралу Z T ( r )0 | k ( s ) | ds, где k ( s ) - кривизна рассматриваемой кривой r ( · ) в точке s ∈ [0 , T ( r )] , т.е.совпадает с обычным определением поворота кривой в точке [15] . Теорема 2.4.1
Для того, чтобы произвольная липшицевая п.о. степени m функция z → ϕ ( z ) : R → R была ПРВ функцией, необходимо и достаточно,чтобы для всех r ( · ) ∈ ℜ ( D ) существовала константа c ( ϕ ) > такая, чтоповорот кривой R ( · ) на Γ ϕ ограничен сверху константой c ( ϕ ) > , т.е. O ϕ ≤ c ( ϕ, D ) ∀ r ( · ) ∈ ℜ ( D ) . (2.8) Доказательство. Необходимость . Пусть ϕ ( · , · ) есть ПРВ функция. По-кажем, что тогда справедливо неравенство (2.8). Воспользуемся неравенством,вытекающим из неравенства треугольника, k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − kk ≤≤ k r ′ ( t i ) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − r ′ ( t i − ) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) k + | ϕ ′ t ( r ( t i )) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) | . Так как ≤ p ϕ ′ t ( r ( t i )) ≤ √ L для всех t i ∈ [0 , T ( r )] , то очевидно,существует такое c > , для которого верно неравенство k r ′ ( t i ) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − r ′ ( t i − ) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) k ≤ c k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i − ) k . (2.9)Из свойств функции θ ( x ) = x/ √ x следует неравенство | ϕ ′ t ( r ( t i )) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) |≤
36 — ≤| ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) | . (2.10)Из (2.9) и (2.10) имеем sup { t i }∈ N ϕ X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k− τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≤ c ( ∨ ( r ′ ; 0 , T ( r ))+ ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r ))) . (2.11)Так как по условию ϕ ( · , · ) − ПРВ функция, то согласно теореме 2.3.1 ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r )) ≤ c ( ϕ, D ) , откуда с учетом (2.11) и ограниченности вариации ∨ ( r ′ ; 0 , T ( r )) следует нера-венство (2.8). Необходимость доказана. Достаточность . Пусть справедливо неравенство (2.8). Покажем, что ϕ ( · , · ) - ПРВ функция. Воспользуемся неравенством k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≥| ϕ ′ t ( r ( t i )) / p ϕ ′ t ( r ( t i )) −− ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) (2.12)Из свойств функции θ ( x ) = x/ √ x и из k ϕ ′ ( z ) k ≤ L для всех z ∈ D, гдепроизводная существует, следует существование константы c > , для которой | ϕ ′ t ( r ( t i )) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) ≥≥ c | ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) | , откуда с учетом (2.12) имеем c ( ϕ, D ) ≥ sup { t i }⊂ N ϕ X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≥ c ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r )) . Из теоремы 2.3.1 следует, что ϕ ( · ) - ПРВ функция. Достаточность доказана. (cid:3)
37 —
В данном параграфе приведены необходимые и достаточные условия предста-вимости произвольной положительно однородной функции первого порядкатрех переменных в виде разности выпуклых функций. Дана также геометри-ческая интерпретация этих условий. Приведен алгоритм такого представления,результатом которого есть последовательность равномерно сходящихся на про-извольном компакте, внутренности которого принадлежит начало координат,выпуклых положительно однородных первого порядка функций.
Обозначим через R n − n -мерное евклидово пространство со скалярным произ-ведением ( a, b ) векторов a и b . Пусть задана липшицевая, дифференцируемаяпо направлениям функция f : R n → R . Обозначим через f ′ ( x, q ) производнуюпо направлению q ∈ R n функции f ( · ) в точке x ∈ R n .В теории оптимизации важную роль играют квазидифференцируемые(КВД) функции [9]. Определение 3.1.1
Функция x → f ( x ) называется КВД в точке x ∈ R n , ес-ли существует пара выпуклых компактных множеств ∂f ( x ) и ∂f ( x ) , назы-ваемых соответственно субдифференциалом и суппердифференциалом, та-ких, что верно равенство ϕ ( q ) = f ′ ( x, q ) = max v ∈ ∂f ( x ) ( v, q ) + min w ∈ ∂f ( x ) ( w, q ) ∀ q ∈ R n . (3.1)
38 —
Легко видно, что (3.1) есть разложение функции q → ϕ ( q ) в виде разностивыпуклых п.о. функций: max v ∈ ∂f ( x ) ( v, q ) и max w ∈− ∂f ( x ) ( w, q ) . Если для дифференцируемых функций f ( · ) необходимое условие экстре-мума в точке x ∗ записывается в виде ∇ f ( x ∗ ) = f ′ ( x ∗ ) = 0 , то для КВДфункции условие минимума есть ∂f ( x ∗ ) ⊃ − ∂f ( x ∗ ) , а условие максимума: ∂f ( x ∗ ) ⊂ − ∂f ( x ∗ ) . Для двумерного случая q ∈ R необходимое и достаточное условие предста-вимости п.о. липшицевой функции q → ϕ ( q ) в виде разности выпуклых п.о.функций получены в [8]. Сформулируем эти условия.Обозначим через r ( t ) = (cos t, sin t ) , t ∈ [0 , π ] , окружность S (0) = { q ∈ R | k q k = 1 } единичного радиуса с центром в начале координат, параметри-зованную естественным образом. Пусть Φ( t ) = ϕ ( r ( t )) , t ∈ [0 , π ] . Нетруднопоказать, что функция Φ( · ) − липшицевая, а поэтому почти всюду (п.в.) диф-ференцируемая на [0 , π ] . По определению положим ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) = sup lim n → ∞ , { t i } ∈ [0 , π ] n X i =0 | Φ ′ ( t i ) − Φ ′ ( t i +1 | , где берутся такие точки { t i } , где производные Φ ′ ( t i ) существуют. Теорема 3.1.1 [8]
Для того, чтобы липшицевая п.о. первой степени функ-ция ϕ ( · ) была представима в виде разности выпуклых функций (была ПРВфункцией), необходимо и достаточно, чтобы ( ∃ c ( ϕ ) >
0) : ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) < c ( ϕ ) , где Φ( t ) = ϕ ( r ( t )) , r ( t ) = (cos t, sin t ) , t ∈ [0 , π ] .
39 —
Далее будем рассматривать случай n = 3 . Вначале дадим необходимое и доста-точное условие представимости функции q → ϕ ( q ) в виде разности выпуклыхфункций.Обозначим через ˆ ℜ класс кривых на поверхности единичного шара с цен-тром в нуле B (0) = { q ∈ R | k q k ≤ } , получающихся в результате сеченияединичной сферы S (0) = { q ∈ R | k q k = 1 } произвольными плоскостями ˆΠ .Очевидно, что класс кривых ˆ ℜ состоит из окружностей на поверхности шара B (0) .Возьмем любую кривую ˆ r ∈ ˆ ℜ и параметризуем ее естественным образом.Отрезок значений параметра t обозначим через [0 , T (ˆ r )] и положим ˆΦ( t ) = ϕ (ˆ r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T (ˆ r )] Лемма 3.2.1
Если п.о. первой степени липшицевая функция q → ϕ ( q ) : R → R представима в виде разности выпуклых функций, то для всех ˆ r ∈ ˆ ℜ существует такая константа ˆ c , что ∨ ( ˆΦ ′ ; 0 , T (ˆ r )) ≤ ˆ c ∀ ˆ r ∈ ˆ ℜ . Доказательство.
По условию леммы верно равенство ϕ ( q ) = ϕ ( q ) − ϕ ( q ) ∀ q ∈ R , где ϕ i ( · ) , i = 1 , , − выпуклые п.о. функции с константой Липшица L i , i = 1 , , соответственно. Возьмем произвольную кривую ˆ r ( · ) ∈ ˆ ℜ . Пусть ˆΦ i ( t ) = ϕ i (ˆ r ( t )) , i = 1 , , ∀ t ∈ [0 , T (ˆ r )] .
40 —
Функции ˆΦ i ( · ) − липшицевые, поэтому они п.в. дифференцируемы на отрезке [0 , T (ˆ r )] . Так как [12] ∨ ( ˆΦ ′ ; 0 , T (ˆ r )) ≤ ∨ ( ˆΦ ′ ; 0 , T (ˆ r )) + ∨ ( ˆΦ ′ ; 0 , T (ˆ r )) , то достаточно доказать, что для некоторой константы ˆ c ∨ ( ˆΦ ′ ; 0 , T (ˆ r )) ≤ ˆ c (3.2)для всех ˆ r ( · ) ∈ ˆ ℜ . Допустим, что кривая ˆ r ( · ) принадлежит плоскости ˆΠ . Проведем перпенди-кулярно ˆΠ вектор e , начальная точка которого есть нуль, а конечная точкапринадлежит ˆΠ . Обозначим через Π плоскость, параллельную плоскости ˆΠ ипроходящую через начало координат. Введем в R декартову систему коорди-нат, две оси которой принадлежат плоскости Π , а другая ось параллельна исонаправлена с вектором e . Введем также функцию ψ ( · ) : R → R , определен-ную на плоскости Π . Далее, трехмерный вектор ˜ r ∈ Π , записанный в системекоординат плоскости Π , обозначим через r , т.е. r ∈ R .По определению положим для r ∈ Π ψ ( r ) = ϕ ( e + ˜ r ) − ϕ ( e ) = ϕ (ˆ r ) − ϕ ( e ) , где ˆ r = ˜ r + e. Покажем, что ψ ( · ) − выпуклая липшицевая функция с констан-той Липшица L .Действительно, для любых α , α ≥ , α + α = 1 , и любых r , r ∈ Π имеем ψ ( α r + α r ) = ϕ ( α e + α ˜ r + α e + α ˜ r ) − ϕ ( e ) ≤≤ α ϕ ( e + ˜ r ) + α ϕ ( e + ˜ r ) − ϕ ( e ) == α ϕ (ˆ r ) + α ϕ (ˆ r ) − ϕ ( e ) = α ψ ( r ) + α ψ ( r ) , где ˆ r i = e + ˜ r i , i = 1 , . Кроме того, | ψ ( r ) − ψ ( r ) | = | ϕ ( e + ˜ r ) − ϕ ( e + ˜ r ) | ≤ L k ˜ r − ˜ r k = L k r − r k .
41 —
Определим теперь п.о. первой степени функцию двух переменных ˜ ψ ( · ) : R → R . Обозначим через r ( t ) , t ∈ [0 , T (ˆ r ) , ] окружность в плоскости Π , r ( t ) ∈ R , яв-ляющуюся проекцией окружности ˆ r ( t ) , t ∈ [0 , T (ˆ r )] , на плоскость Π . По опреде-лению значения функции ˜ ψ ( · ) на окружности r ( · ) равны значениям функции ψ ( · ) на той же окружности. Вне окружности r ( · ) функция ˜ ψ ( · ) распространя-ется по свойству положительной однородности. Покажем, что ˜ ψ ( · ) − выпуклаяфункция.Разобьем круг с окружностью r ( · ) на секторы. Построим по данному раз-биению п.о. первой степени многогранную функцию ˜ ψ m ( · ) следующим обра-зом. В каждом секторе ˜ ψ m ( · ) линейна, а ее значения на граничных векторахсекторов, принадлежащих окружности r ( · ) , равны значениям функции ˜ ψ ( · ) .Докажем, что ˜ ψ m ( · ) − выпуклая.Пусть r ( t i ) , t i ∈ [0 , T (ˆ r )] , i ∈ m, − точки на окружности r ( · ) , получаю-щиеся в результате деления круга на секторы. В дальнейшем мы будем точкиотождествляем с векторами, у которых начальная точка − начало координат,а конечная − сама точка. Рассмотрим конусы K i = con { e, ˆ r ( t i ) , ˆ r ( t i +1 ) } , i ∈ m , в каждом из которых определим линейную функцию, значения которойравны значениям функции ϕ ( · ) на векторах e, ˆ r ( t i ) , ˆ r ( t i +1 ) . Функцию, равнуюмаксимуму линейных функций, построенных по конусам K i и K i +1 , имеющихобщую часть плоскости σ i , назовем двугранным углом . Градиенты этих линей-ных функций обозначим через a i и a i +1 . Поскольку σ i = K i ∩ K i +1 , то проекциивекторов a i и a i +1 на σ i равны. Следовательно, вектор a i − a i +1 перпендикуля-рен σ i . Все рассмотренные двугранные углы выпуклые, так как они построеныпо выпуклой п.о. первой степени функции ϕ ( · ) .Заметим также, что двумерный вектор a i Π , равный проекции вектора a i на плоскость Π , есть градиент линейной функции, построенной по сектору,образованному векторами r ( t i ) , r ( t i +1 ) . так как плоскость Π перпендикулярнавектору e , то a i Π − a ( i +1)Π = a i − a i +1 . По свойству выпуклых функций [14] вседвугранные углы функции ˜ ψ m ( · ) − выпуклые. При m → ∞ функции ˜ ψ m ( · )
42 — равномерно на B (0) стремятся к ˜ ψ ( · ) . Поэтому ˜ ψ ( · ) − выпуклая. С другойстороны, | ˜ ψ ( r ( t )) | = | ψ ( r ( t )) | = | ϕ ( e + ˜ r ( t )) − ϕ ( e ) | ≤ L k ˜ r ( t ) k = L k r ( t ) k . Поэтому функция ˜ ψ ( · ) − липшицевая с константой Липшица L . Так же, какв [8], показываем, что для функции ˜Φ ( t ) = ˜ ψ ( r ( t )) верно неравенство ∨ ( ˜Φ ′ ; 0 , T (ˆ r )) ≤ c. (3.3)Но ∨ ( ˆΦ ′ ; 0 , T (ˆ r )) = ∨ ( ˜Φ ′ ; 0 , T (ˆ r )) . (3.4)Из (3.3) и (3.4) следует (3.2). Лемма доказана. (cid:3) Определим на S (0) класс ℜ непрерывных кривых r ( · ) . Кривые парамет-ризуем естественным образом. Считаем, что t ∈ [0 , T ( r )] , где T ( r ) − длинакривой r ( · ) . Предполагаем, что для всех кривых r ( · ) ∈ ℜ существует си-стема координат такая, что для любой координаты r i ( · ) , i ∈ , векторфункции r ( · ) отрезок [0 , T ( r )] можно разбить на не более чем на три отрезка [0 , T i ] , [ T i , T i ] , [ T i , T i ] , на каждом из которых верны неравенства r ′ i ( t ) ≥ r ′ i ( t ) ≤ ∀ t ∈ [0 , T i ] ,r ′ i ( t ) ≤ r ′ i ( t ) ≥ ∀ t ∈ [ T i , T i ] ,r ′ i ( t ) ≥ r ′ i ( t ) ≤ ∀ t ∈ [ T i , T i ] . Возможно, что T i = 0 . Нетрудно видеть, что T ( r ) − угол конической по-верхности, образованной лучами с началом в точке , проходящими через r ( t ) , t ∈ [0 , T ( r )] . Из определения следует, что кривые r ( · ) ∈ ℜ п.в. диффе-ренцируемы по t на отрезке [0 , T ( r )] .Возьмем произвольную кривую r ( · ) ∈ ℜ . Определим функцию Φ( t ) = ϕ ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T ( r )] .
43 —
Покажем, что Φ( · ) − липшицевая на отрезке [0 , T ( r )] . Для любых t , t ∈ [0 , T ( r )] | Φ( t ) − Φ( t ) | = | ϕ ( r ( t )) − ϕ ( r ( t ) | ≤ L k r ( t ) − r ( t ) k . Из очевидного неравенства k r ( t ) − r ( t ) k ≤ | t − t | имеем | Φ( t ) − Φ( t ) | ≤ L | t − t | . Откуда следует, что Φ( · ) − п.в. дифференцируема на [0 , T ( r )] . Также, как иранее, определяем вариацию ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r )) функции Φ ′ ( · ) на отрезке [0 , T ( r )] . Теорема 3.2.1
Для того чтобы п.о. первой степени липшицевая функция ϕ ( · ) : R → R с константой Липшица L была ПРВ функцией, необходимо идостаточно, чтобы для всех r ( · ) ∈ ℜ нашлась константа C ( ϕ ) > такая,что ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r )) ≤ C ( ϕ ) + 2 L ∨ ( r ′ ; 0 , T ( r )) ∀ r ( · ) ∈ ℜ , где ∨ ( r ′ ; 0 , T ( r )) = sup t i ,t i ∈ [0 ,T ( r )] X i k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i +1 ) k . Доказательство. Необходимость.
Пусть функция ϕ ( · ) представима в видеразности п.о. выпуклых функций ϕ i ( · ) : R → R , i = 1 , с константами Лип-шица L i , i = 1 , , соответственно. Зафиксируем произвольную кривую r ( · ) ∈ ℜ и соответствующую ей систему координат в R , в которой выполняются сде-ланные выше предположения насчет монотонности координат r i ( · ) вектор-функции r ( · ) . Обозначим через Π плоскость, проходящую через начало коор-динат перпендикулярно оси OZ . Параметризуем r ( · ) естественным образом ичерез [0 , T ] обозначим отрезок значений параметра t , где T = T ( r ) . Для функ-ций ϕ ( · ) , ϕ i ( · ) , i = 1 , , определим соответственно функции Φ( · ) , Φ i ( · ) , i = 1 , , как это делали ранее.
44 —
Поскольку [12] ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) ≤ ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) + ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) , то достаточно доказать неравенство ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) ≤ C + L ∨ ( r ′ ; 0 , T ) , (3.5)где C = C ( ϕ ) . Разобьем шар B (0) на конусы. Для этого проведем вертикальные плоско-сти Π i , проходящие через , , и ось OZ и образующие между собой рав-ные углы. Части шара B (0) , расположенные между плоскостями Π i , равно-мерно разобьем на конусы, внутренности которых не пересекаются, каждый изкоторых образован тройкой линейно независимых векторов, принадлежащихвертикальным плоскостям. В каждом таком конусе K = con ( q , q , q ) опреде-лим линейную функцию, значения которой равны значениям функции ϕ ( · ) навекторах , q , q , q . Функцию, равную в каждом конусе построенной линейнойфункции, по числу конусов m обозначим через ϕ ,m : R → R . Нетрудно ви-деть, что выпуклая оболочка градиентов всех построенных линейных функцийесть субдифференциал в нуле [9], [10], [14].Обозначим, как и ранее, Φ m ( t ) = ϕ m ( r ( t )) , t ∈ [0 , T ] . Так как при m → ∞ функции ϕ ,m ( · ) равномерно на B (0) сходятся к функции ϕ ( · ) , то lim m →∞ ρ H ( ∂ϕ (0) , ∂ϕ m (0)) = 0 и lim m →∞ ∨ (Φ ′ m ; 0 , T ) = ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) , где ρ H − метрика Хаусдорфа [14]. То для доказательства (3.5) достаточно до-казать, что всех m ∨ (Φ ′ m ; 0 , T ) ≤ C + L m ∨ ( r ′ ; 0 , T ) , где L m − константа Липшица функции ϕ m ( · ) . Покажем, что ∨ (Φ ′ m ; 0 , T ) ≤ p ( l m ) + L m ∨ ( r ′ ; 0 , T ) ,
45 — где p ( l m ) − длина ломаной l m , вершинами которой являются вершины мно-гогранника ∂ϕ m ( · ) с нормалями r ( t ) , когда t пробегает от до T .Пусть ϕ m ( r ( t )) = max v ∈ ∂ϕ m (0) ( v, r ( t )) = ( v m ( t ) , r ( t )) , где ∂ϕ m (0) - субдифференциал функции ϕ m ( · ) в нуле, v m ( t ) − вершины вы-пуклого многогранника ∂ϕ m (0) с нормалью r ( t ) .Очевидно, что Φ m ( · ) п.в. дифференцируемая на [0 , t ] и ее точки дифферен-цируемости функции Φ m ( t ) = ϕ m ( r ( t )) − это точки t ∈ [0 , T ] , для которых r ( t ) принадлежит внутренности нормального конуса к множеству ∂ϕ m (0) вточках v m ( t ) ∈ ∂ϕ m (0) . Для этих t Φ ′ m ( t ) = ( v ′ m ( t ) , r ( t )) + ( v m ( t ) , r ′ ( t )) . Но для t , когда r ( t ) принадлежит внутренности нормального конуса, по-строенного в вершине v m ( t ) , вектор v m ( t ) постоянен, а следовательно, ( v ′ m ( t ) , r ( t )) = 0 . Поскольку кривая r ( · ) параметризована естественным образом, то k r ′ ( t ) k =1 для любых t ∈ [0 , T ] . Нетрудно проверить следующую цепочку неравенств | Φ ′ m ( r ( t )) − Φ ′ m ( r ( t )) | = | ( v m ( t ) , r ′ ( t )) − ( v m ( t ) , r ′ ( t )) | = | ( v m ( t ) − v m ( t ) , r ′ ( t )) + ( v m ( t ) , r ′ ( t )) − ( v m ( t ) , r ′ ( t )) |≤≤ k v m ( t ) − v m ( t ) k k r ′ ( t ) k + k r ′ ( t ) − r ′ ( t ) k k v m ( t ) k ≤≤ k v m ( t ) − v m ( t ) k + L m k r ′ ( t ) − r ′ ( t ) k . (3.6)Из (3.6) следует, что ∨ (Φ ′ m ; 0 , T ) ≤ длина кривой v m ( t ) для t ∈ [0 , T ] + L m · ∨ ( r ′ ; 0 , T ) == p ( l m ) + L m · ∨ ( r ′ ; 0 , T ) , что и требовалось показать.
46 —
Так как L m → L при m → ∞ , то для доказательства (3.5) достаточнопоказать, что p ( l m ) ограничена сверху одной и той же константой для всех m и кривых r ( · ) ∈ ℜ .Далее без ограничения общности будем рассматривать такие ломаные l m ,отрезки которых a k являются гранями размерности 1 многогранника ∂ϕ m (0) .Разобьем ломаную l m на участки s i , где отрезки a k образуют углы α k , длякоторых ≤ α k ≤ π/ , с горизонтальными прямыми, принадлежащими темже граням, что и отрезки a k . Оценим сумму X a k ∈ S i s i | a k | , где | a k |− длина отрезка a k . Длина горизонтальной проекции отрезка a k равна | a k | cos α k . Заметим, что сужение (расширение) по горизонтали граней много-гранника ∂ϕ m (0) по мере приближения к граням с нормалями из плоскости Π , происходит за счет расширения (сужения) по горизонтали соседних граней.Покажем, что сумма X a k ∈ S i s i | a k | cos α k , (3.7)ограничена сверху константой, независящей от m и r ( · ) ∈ ℜ .Рассмотрим функцию ˜ ϕ m ( · ) : R → R , равную по определению ˜ ϕ m ( q ) = ϕ m ( q ) ∀ q ∈ Π . Нетрудно видеть, что ˜ ϕ m ( · ) есть п.о. выпуклая функция от двух перемен-ных, определенная на плоскости Π , имеющая ту же константу Липшица, чтои функция ϕ m ( · ) , т.е. L m . Поэтому длина ломаной, ограничивающей субдиф-ференциал ∂ ˜ ϕ m (0) функции ˜ ϕ m ( · ) в нуле, ограничена сверху константой C ,независящей ни от выбранной кривой r ( · ) ∈ ℜ , ни от расположения плоскости Π . Заметим, что градиенты функции ˜ ϕ m ( · ) есть проекции на плоскость Π гра-диентов функции ϕ m ( · ) . Поэтому сумма (3.7) ограничена сверху константой
47 — C , независящей ни от выбранной кривой r ( · ) ∈ ℜ , ни от плоскости Π , т.е. X a k ∈ S i s i | a k | cos α k ≤ C . Так как cos α k ≥ / √ , то X a k ∈ S i s i | a k | ≤ C √ . (3.8)Отрезки ломаной l m , которые не принадлежат S i s i , обозначим через b k . Сумму длин этих отрезков можно оценить следующим образом.Разобьем шар B (0) на j равных вертикальных полос. Для каждой верти-кальной полосы определим свою систему координат, ось OZ которой принадле-жит плоскости Π и перпендикулярна одной из из вертикальных плоскостей Π i ,образующей вертикальную полосу. Число j выбираем так, чтобы вертикаль-ные плоскости из рассматриваемой полосы и плоскость, перпендикулярная осиOZ, образовывали между собой достаточно малые углы. Тогда сумма длин от-резков b k ломаной l m из одной и той же вертикальной полосы не больше, чем( по аналогии с (3.8)) C ( √ δ ( j )) , где δ ( j ) → при j → ∞ .Поскольку кривая r ( · ) ∈ ℜ , то согласно требованиям монотонности коорди-нат r i ( · ) , проекция r ( · ) на плоскость Π при изменении t от до T вращаетсявокруг оси OZ по (против) часовой стрелке, а в каждой вертикальной полосе r ( · ) бывает ровно один раз без повторений с монотонным возрастанием (убыва-нием) проекции на ось OZ , то, просуммировав по всем вертикальным полосам,получим X b k | b k | ≤ C ( √ δ ( j )) j. (3.9)Из (3.8) и (3.9) получим, что длина ломаной l m ограничена сверху величи-ной, независящей от m и кривой r ( · ) ∈ ℜ , что и требовалось доказать. Необ-ходимость доказана.
48 —
Достаточность . Пусть задана п.о. липшицевая функция ϕ ( · ) : R → R сконстантой Липшица L . Разобьем шар B (0) на непересекающиеся по внут-ренности конусы. Для этого проведем плоскости, проходящие через началокоординат и две диаметрально противоположные точки N и S , образующиемежду собой равные углы. Проведем также плоскости, перпендикулярные от-резку N S и расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга. Точкипересечения окружностей, получающихся в результате пересечения проведен-ных плоскостей со сферой S (0) , обозначим через { q i } , i ∈ I .
Введем век-торы, начало которых в , а концы − в точках { q i } , i ∈ I .
Эти векторыбудем обозначать, как и точки, через { q i } . Конусы K i = con ( q i , q i +1 , q i +2 ) , яв-ляющиеся конической оболочкой ближайших линейно независимых векторов { q i , q i +1 , q i +2 } , задают упомянутое разбиение шара B (0) .Построим по данному разбиению п.о. многогранную функцию ϕ m ( · ) : R → R , где m − число конусов. Для этого в каждом конусе K i зададим линейнуюфункцию η i ( · ) : R → R , принимающую в точках , q i , q i +1 , q i +2 следующиезначения: η i (0) = 0 , η i ( q i ) = ϕ m ( q i ) = ϕ ( q i ) , η i ( q i +1 ) = ϕ m ( q i +1 ) = ϕ ( q i +1 ) ,η i ( q i +2 ) = ϕ m ( q i +2 ) = ϕ ( q i +2 ) . (3.10)Функция, совпадающая в каждом конусе K i с соответствующей функцией η i ( · ) ,и есть п.о. многогранная функция ϕ m ( · ) .Покажем, что ϕ m ( · ) − липшицевая функция с константой Липшица L m ,ограниченной сверху константой, независящей от m . Оценим сверху нормуградиента p i функции η i ( · ) . Пусть Π i , Π i , Π i − плоскости - грани конуса K i .Пусть вектор p i образует среди векторов q i , q i +1 , q i +2 наименьший угол β i с вектором q i . Без ограничения общности будем считать, что ≤ β i ≤ π/ . В противном случае всегда можно прибавить к функции ϕ ( · ) такую п.о. вы-пуклую функцию с положительными значениями на сфере S (0) , чтобы этонеравенство выполнялось. Мы не уменьшаем общности рассуждений по тремпричинам. Во-первых, для представления функции в виде разности выпуклых
49 — прибавление или вычитание выпуклой функции роли не играет. Во-вторых,для п.о. выпуклой функции от трех переменных неравенство, фигурирующеев условии теоремы, для произвольной кривой r ( · ) ∈ ℜ было доказано выше. Втретьих, у нас есть неравенство для суммы вариаций функций, которым мыпользовались при доказательстве необходимости.Из (3.10) и по свойству п.о. функций [10] имеем ( p i , q i ) = η i ( q i ) = ϕ m ( q i ) = ϕ ( q i ) ≤ L k q i k . (3.11)Здесь ( p i , q i ) = k p i k k q i k cos β i − скалярное произведение векторов p i , q i , а k p i k , k q i k− их длины.Из (3.11) имеем ( p i , q i ) = k p i k k q i k cos β i ≤ L k q i k . Откуда k p i k ≤ L cos β i ≤ L √ , так как ≥ cos β i ≥ / √ , что и требовалось доказать. Таким образом, ϕ m ( · ) − п.о. липшицевая многогранная функция с константой Липшица, независящейот m .Заметим, что линейные функции, определенные в соседних конусах, с об-щим вектором q i , имеют одну и ту же производную по направлению q i . Соеди-няя ломаной вершины градиентов (начальная точка в нуле) линейных функ-ций, построенных по соседним конусам с общим вектором q i , мы получим ли-бо замкнутый восьмиугольник, либо замкнутый четырехугольник в плоско-сти Π q i , перпендикулярной вектору q i . Восьмиугольник A A . . . A не будетвыпуклым выпуклым и его стороны могут иметь самопересечения только то-гда, когда среди двугранных углов, субдифференциалами Кларка [18] кото-рых являются стороны многоугольника A A . . . A , есть как выпуклые. таки вогнутые двугранные углы. Под выпуклым (вогнутым) двугранным угломбудем понимать выпуклую (вогнутую) функцию, равную максимуму (мини-муму) линейных функций, графики которых образуют данный двугранный
50 — угол. Сказанное насчет сторон многоугольника A A . . . A следует из того,что вектор a i ∈ R , равный проекции вектора OA i ( O − начало координат)на плоскость Π q i и записанный в системе координат плоскости Π q i , есть гра-диент линейной функции двух переменных, определенной на плоскости Π q i иравной ϕ m ( q ) − ϕ m ( q i ) , q ∈ Π q i , в соответствующем секторе. Если соединитьконцы градиентов всех линейных функций, построенных по соседним конусамотрезками, то получим многогранник G m , ребра и грани которого могут пе-ресекаться. Если функция ϕ ( · ) выпуклая, то многогранник G m − выпуклый.В общем случае, когда G m не выпуклый, преобразуем G m в выпуклый много-гранник G ′ m .Рассмотрим одну из граней многогранника G ′ m . Это многоугольник A A . . . A . Нашей задачей будет преобразовать многоугольник A A . . . A ввыпуклый многоугольник A ′ A ′ . . . A ′ таким образом, чтобы стороны, равныесубдифференциалам выпуклых двугранных углов, не уменьшались по длинеи оставались параллельными самим себе. Это надо для того, чтобы разностьмежду выпуклой п.о. функцией ϕ ′ m ( · ) : R → R , равной ϕ ′ m ( q ) = max v ∈ G ′ m ( v, q ) , ∀ q ∈ R и функций ϕ m ( · ) была выпуклой. Отсюда получаем, что функция ϕ m ( · ) естьПРВ функция.Многоугольник A ′ A ′ . . . A ′ после преобразования A A . . . A станет однойиз граней выпуклого многогранника G ′ m . Рассмотрим далее все случаи вы-пуклости и вогнутости двугранных углов, построенных по восьми конусам собщим вектором q i . Пронумеруем все эти восемь конусов по часовой стрелке(см. рис. 2). Двугранные углы, построенные по конусам 1-2 либо 5-6, мы на-зовем горизонтальными , а двугранные углы 3-4 либо 7-8 − вертикальными двугранными углами.Пусть двугранный угол 1-2 вогнутый, а остальные двугранные углы − вы-пуклые. Восьмиугольник для этого случая изображен на рисунке 3. Отрезки A A и A A параллельны друг другу, так как они перпендикулярны одной
51 — и той же вертикальной плоскости. Преобразуем A A . . . A в выпуклый мно-гоугольник A ′ A ′ . . . A ′ , сдвигая ломаную A A A A параллельно самой себетак, чтобы точки A и A совпали (см. рис. 3). При этом | A ′ A | = | A A | + | A A | . Пусть теперь оба двугранных угла 1-2 и 5-6 вогнутые. Для этого случая мно-гоугольник A A . . . A изображен на рис 4. Предположим, что длина отрез-ка A A больше длины отрезка A A . Сдвигая параллельно самой себе ло-маную A A A A так, чтобы точки A и A совпали и увеличив при этомдлину стороны A A на длину | A A | − | A A | , получим выпуклый много-угольник A ′ A ′ . . . A ′ (см. рис. 4). Описанное преобразование многоугольника A A . . . A в A ′ A ′ . . . A ′ назовем растяжением по горизонтали . При такомпреобразовании многоугольников, построенных по конусам из одной и той жевертикальной полосы, все их горизонтальные двугранные углы будут выпук-лыми, если эти многоугольники мы растянем по горизонтали на наибольшийпо длине отрезок, являющийся субдифференциалом Кларка вогнутого гори-зонтального двугранного угла из этой вертикальной полосы.Рассмотрим случай, когда вогнутыми будут вертикальные двугранные уг-лы. Пусть вогнутым будет только двугранный угол 3-4. В этом случае много-угольник A A . . . A показан на рис. 5. Для того чтобы A A . . . A стал вы-пуклым, надо ломаную A A A A перенести параллельно самой себе вниз так,чтобы точки A и A совпали. При этом длины сторон A A и A A увеличимс таким расчетом, чтобы получился выпуклый замкнутый многоугольник.Пусть вогнутыми будут двугранные углы 3-4 и 7-8. Многоугольник для это-го случая показан на рис. 6. Ломаную A A A A перенесем параллельно самойсебе на вектор, длина которого равна наибольшей длине отрезка, являющегосясубдифференциалом Кларка вогнутого вертикального двугранного угла. Опи-санное преобразование назовем растяжением по вертикали . Для того чтобы увсех многоугольников, построенных по конусам из одной и той же горизонталь-ной полосы, после растяжения по вертикали не было вогнутых вертикальных
52 — двугранных углов, надо все указанные многоугольники растянуть по верти-кали на максимальный по длине отрезок, являющийся субдифференциаломКларка вогнутого вертикального двугранного угла, построенного по конусамиз рассматриваемой горизонтальной полосы.Все другие случаи выпуклых и вогнутых двугранных углов 1-2, 2-3, . . . A A . . . A оценивается сверху по его длинам сторон. Так как числоразличных случаев выпуклости и вогнутости двугранных углов 1-2, 2-3, . . . G ′ m будет выпуклым. Покажем, чтонезависимо от m диаметр G ′ m ограничен. Предположим противное, а именно:существует такое направление g ∈ R , вдоль которого растяжение G m при m →∞ неограничено. Докажем тогда, что на сфере S (0) существует точка x такая,что при неограниченном разбиении произвольного конуса, содержащем внутриточку x , на подконусы, как это было сделано ранее, растяжение в направлении g многоугольников, построенных по этим конусам и являющихся сторонамимногогранника G m , бесконечно.Разобьем шар B (0) на конечное число конусов K i ∈ I . Выберем из нихтот, где при неограниченном уменьшении разбиения растяжение G m вдоль на-правления g бесконечно. Разобьем выбранный конус на K i на конечное числоподконусов и проделаем ту же процедуру, что и ранее. Выбранный новый ко-нус обозначим через K i . Так как K i ∩ S (0) ⊂ K i ∩ S (0) , то, продолжаяпроцесс, приходим к искомой точке x ∈ S (0) .Возьмем теперь произвольный конус, содержащий во внутренности вектор x , и разобьем ее на меньшие конусы K i с общим вектором x ∈ S (0) . Вы-
53 — берем из них тот, где при неограниченном уменьшении разбиения растяжениевдоль направления g бесконечно. Выбранный конус опять разбиваем на подко-нусы и так далее. Последняя процедура позволяет выбрать семейство вложен-ных конусов с общим вектором x , которое обозначим через ℵ , где растяжениемногогранника G m при m → ∞ вдоль направления g бесконечно. Посколькуфункции ϕ m ( · ) для любого m являются п.о. функциями, то согласно описаннойвыше процедуре поиска векторов x и g сумма проекций на направление g длинотрезков, являющихся субдифференциалами Кларка вогнутых двугранных уг-лов функции ϕ m ( · ) , наибольшая, когда вектор g перпендикулярен вектору x .Без ограничения общности будем считать, что одна из граней всех конусов се-мейства ℵ принадлежит плоскости, которую обозначим через σ и x, g ∈ σ и g ⊥ x. Выберем в R систему координат. две оси которой OX и OY принадлежатплоскости σ , а ось OZ перпендикулярна плоскости σ . Будем разбивать кону-сы K i на подконусы. Для этого строим вертикальные плоскости, проходящиечерез OZ, а также плоскости, перпендикулярные оси OZ. По построенному раз-биению строим, как это делали ранее, многогранник ˜ G m . Ясно, что существуеттакое разбиение K i , что растяжение многогранника ˜ G m вдоль направления g может быть как угодно большое. В каждой вертикальной полосе, пересека-ющей конусы K i , отметим вогнутый двугранный угол, проекция субдиффе-ренциала Кларка которого на направление g максимальна. Далее берем конус K i ⊂ K i , принадлежащий семейству ℵ . Аналогично предыдущему разбиваемконус K i на меньшие по включению конусы. Опять в каждой вертикальнойполосе отмечаем вогнутый двугранный угол с максимальной проекцией суб-дифференциала Кларка на направление g и так далее. Все отмеченные отрезкимы можем разбить на конечное или счетное число групп таких, что отрезки изкаждой группы можем соединить кривой r ( · ) ∈ ℜ . Кроме того, путем заменынекоторых сторон многоугольников A A . . . A другими сторонами так, чтобыобщая сумма длин не уменьшалась, можно добиться, чтобы ∨ ( r ′ ; 0 , T ) < ∞ .
54 —
Это можно сделать, так как грани многогранника G m пересекаются и каждаясторона многоугольника A A . . . A есть сторона другого многоугольника, по-строенного по соседним конусам. Так, например, длина стороны A A много-угольника A A . . . A , изображенного на рис. 4, не превосходит длину стороны A A . Как только мы нашли вектор x ∈ S (0) , в произвольной окрестности ко-торого функция ϕ ( · ) не является ПРВ функцией, а также направление g ⊥ x ,вдоль которого сумма отрезков, являющихся субдифференциалами Кларка во-гнутых двугранных углов функции ϕ m ( · ) из этой окрестности бесконечна, томы можем выбирать кривые r ( · ) ∈ ℜ , для которых ∨ ( r ′ ; 0 , T ) < ∞ и в то жевремя ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) = ∞ .Возможны два случая.1. Сумма длин отрезков из какой-то группы бесконечна. Фиксируем кри-вую r ( · ) ∈ ℜ , обходящую отрезки из этой группы. Так как длину каждогоотрезка можно оценить сверху вариацией функции Φ ′ ( t ) = ϕ ′ t ( r ( t )) (см. [8])по соответствующему отрезку значений параметра t , то ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) = ∞ , хотя ∨ ( r ′ ; 0 , T ) = ∞ . Поэтому константы C , о которой говорится в условии теоремы,не существует.2. Сумма длин отрезков в каждой группе конечна, но сумма длин всех от-резков бесконечна. В этом случае все равно можно найти кривую r ( · ) ∈ ℜ сконечной ∨ ( r ′ ; 0 , T ) , которая обошла бы такое конечное число отрезков в каж-дой группе, что сумма длин обойденных отрезков бесконечна. Для этой кривойтакже будет справедливо неравенство ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) = ∞ , и константы C , фигури-рующей в условии теоремы не будет существовать. Пришли к противоречиюс условием теоремы. Следовательно, предположение о том, что диаметр G ′ m неограниченно увеличивается при m → ∞ , неверно.Без ограничения общности будем считать, что lim m →∞ ρ H ( G ′ m , G ) = 0 , где ρ H − метрика Хаусдорфа [9]. Определим п.о. выпуклую функцию ϕ m ( · ) :
55 — R → R ϕ m ( q ) = max v ∈ G m ( v, q ) . Тогда ϕ m ( · ) равномерно на B (0) сходится к п.о. выпуклой функции ϕ ( · ) : R → R , которая по определению есть ϕ ( q ) = max v ∈ G ( v, q ) . Покажем, что разность ϕ m ( q ) = ϕ m ( q ) − ϕ m ( q ) ∀ q ∈ R есть также выпуклая п.о. первой степени функция. Действительно, посколькумногогранник G ′ m был получен из G m растяжением по вертикали и горизон-тали с параллельным переносом граней и при этом длины отрезков, являю-щихся субдифференциалами выпуклых двугранных углов, не уменьшаются,то все двугранные углы функции ϕ m ( · ) − выпуклые, а следовательно, и самафункция ϕ m ( · ) − выпуклая и липшицевая с константой, независящей от m .Отсюда следует, что из последовательности функций { ϕ m ( · ) } можно выбратьравномерный предел на множестве B (0) . Пусть ϕ ( q ) = lim m →∞ ϕ m ( q ) ∀ q ∈ B (0) . Очевидно, что ϕ ( · ) − выпуклая п.о. функция и для ϕ ( · ) , ϕ ( · ) , ϕ ( · ) верноравенство ϕ ( q ) = ϕ ( q ) − ϕ ( q ) ∀ q ∈ B (0) , что и требовалось доказать. Достаточность и теорема доказаны. (cid:3) r ( · ) для п.о.функции первой степени При доказательстве достаточности теоремы (3.2.1) было показано, что поисккривой r ( · ) ограничивается поиском направления g и вектора x ∈ S (0) , g ⊥ x .
56 —
Функция ϕ m ( · ) , построенная по произвольному разбиению шара B (0) на ко-нусы, является ПРВ функцией, но растяжение многогранника G m , соответ-ствующего этому разбиению, вдоль направления g неограниченно возрастаетпри m → ∞ , так что выбрать выпуклые многогранники к которому сходятсяв метрике Хаусдорфа G ′ m при m → ∞ , получающиеся после растяжения G m ,в случае, когда ϕ ( · ) не ПРВ функции, невозможно.В качестве вектора g можно взять тот, вдоль которого растяжение много-гранника G m согласно описанному выше алгоритму для преобразования его ввыпуклый многогранник G ′ m происходит наибольшим образом при m → ∞ .Поскольку сказанное выше справедливо для произвольно малого конуса,содержащего во внутренности вектор x , то кривую r ( · ) ∈ ℜ можно выбиратьс началом в точке x , являющейся концом вектора x , и имеющей в точке x некоторую касательную. По этой причине мы могли выбирать кривую r ( · ) ∈ ℜ с конечной вариацией производной ∨ ( r ′ ; 0 , T ) < ∞ . Сделаем пояснение сказанному. Отрезки { b k } , являющиеся субдифференци-алом Кларка вогнутых двугранных углов на длины которых мы согласно опи-санному алгоритму растягиваем многогранник G m , могут располагаться при m → ∞ как вдоль направления g , так и в направлении g , перпендикулярном g . В противном случае направление g не было бы тем, каким мы его выбира-ли. Если отрезки { b k } располагаются вдоль направления g и приближаются квектору g при m → ∞ , то кривую r ( · ) можно выбрать с начальной точкой x и касательной в этой точке, коллинеарной вектору g . Возможен случай, когдаотрезки { b k } располагаются вдоль направления g , но приближаются к вектору g при m → ∞ , то кривую r ( · ) можно выбрать с начальной точкой x и каса-тельной в этой точке, коллинеарной вектору g . Во втором случае кривизныкривых r m ( · ) в точке x будут неограниченно увеличиваться.Поскольку вариация функции Φ ′ ( t ) = ϕ ′ t ( r ( t ) на отрезке [0 , T ] оценивает-ся снизу через длины отрезков { b k } (см. [8]), что и было сделано ранее прирассмотрении п.о. функции первой степени, то отсюда следует, что достаточно
57 — рассмотреть описанные кривые, имеющие касательную в точке x и пересека-ющие под острыми углами бесконечно много отрезков { b k } .Заметим, что из сказанного выше следует, что выбор кривой r ( · ) можно так-же осуществить из более малого множества кривых, чем ℜ . А именно, рассмот-рим на сфере S (0) множество кривых ℘ , ограничивающих на S (0) выпуклыемножества . Определение 3.3.1
Выпуклым замкнутым множеством на сфере S (0) на-зовем такое компактное множество Q ⊂ S (0) , для которого любая крат-чайшая геодезическая γ ( x , x ) , соединяющая точки x , x ∈ Q , принадлежитмножеству Q . В дальнейшем мы будем рассматривать выпуклые компактные множества Q .Заметим, что проекция выпуклого множества Q ⊂ S (0) на произвольнуюкоординатную плоскость, образованную двумя осями координат, есть такжевыпуклое множество. В противном случае мы могли бы на одной из координат-ных плоскостей найти отрезок, не принадлежащий проекции P r ( Q ) множества Q на эту координатную плоскость и соединяющий точки y , y ∈ P r ( Q ) . Это-му отрезку соответствовала бы кратчайшая геодезическая γ ( x , x ) ⊂ S (0) также не принадлежащая Q .Покажем, что для всех r ( · ) ∈ ℘ верно неравенство ∨ ( r ′ ; 0 , T ) < C , (3.12)где C − некоторая константа. По определению ∨ ( r ′ ; 0 , T ( r )) = sup t i ,t i ∈ [0 ,T ( r )] X i k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i +1 ) k . Но k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i +1 ) k ≤ | r ′ ( t i ) − r ′ ( t i +1 ) | + | r ′ ( t i ) − r ′ ( t i +1 ) | + | r ′ ( t i ) − r ′ ( t i +1 ) | , где r i ( · ) , i ∈ , − координаты вектор-функции r ( · ) . Так как кривая r ( · ) пара-метризована естественным образом, то k r ′ ( · ) k = 1 , а следовательно, | r ′ i ( · ) | ≤
58 — для всех i ∈ . Поэтому пары координат вектор-функции r ′ ( · ) ограничи-вают на соответствующей координатной плоскости выпуклое множество, диа-метр которого равномерно ограничен для всех кривых r ( · ) ∈ ℘ . Отсюда сле-дует ограниченность вариации проекции r ′ ( · ) на произвольную координатнуюплоскость. А поэтому верно неравенство (3.12) для всех r ( · ) ∈ ℘ .Итак, множества кривых ℘ достаточно, чтобы для случая не представимо-сти функции ϕ ( · ) в виде разности выпуклых неравенство, фигурирующее вформулировке теоремы 3.2.1, не выполнялось, поскольку вариация ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) не ограничена равномерно для всех кривых r ( · ) ∈ ℘. И в то же время, таккак для ПРВ функции ϕ ( · ) верно неравенство теоремы 3.2.1, то, учитываянеравенство (3.12), приходим к неравенству ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) < C ∀ r ( · ) ∈ ℘. Из проведенных рассуждений следует теорема.
Теорема 3.3.1
Для того чтобы п.о. первой степени липшицевая функция ϕ ( · ) : R → R с константой Липшица L была ПРВ функцией, необходимои достаточно, чтобы для всех кривых r ( · ) ∈ ℘ , параметризованных есте-ственным образом с параметром t ∈ [0 , T ] , T = T ( r ) , нашлась константа C = C ( ϕ ) > такая, что ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) ≤ C ∀ r ( · ) ∈ ℘. (3.13) Перефразируем теорему 3.3.1, придав им более геометрический характер. Вве-дем понятие поворота кривой r ( · ) на графике Γ ϕ = { ( x, z ) ∈ R | z = ϕ ( x ) , x ∈ R } .
59 —
Рассмотрим на Γ ϕ кривую R ( t ) = ( r ( t ) , ϕ ( r ( t ))) , t ∈ [0 , T ( r )] , где r ( · ) ∈ ℘ ) . Так как функция ϕ ( · ) есть липшицевая, то п.в. на [0 , T ( r )] существуетпроизводная R ′ ( · ) , которую обозначим через τ ( · ) = R ′ ( · ) , а множество точек,где она существует, − через N ϕ . Определение 1.
Поворотом кривой R ( · ) на многообразии Γ f назовем ве-личину sup { t i }⊂ N ϕ X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk = O ϕ . Таким образом, поворот O ϕ кривой R ( · ) есть верхняя грань суммы угловмежду касательными τ ( t ) для t ∈ [0 , T ( r )] . Нетрудно видеть, что для плоскойгладкой кривой, параметризованной естественным образом, величина O ϕ равнаинтегралу Z T ( r )0 | k ( s ) | ds, где k ( s ) - кривизна рассматриваемой кривой r ( · ) в точке s ∈ [0 , T ( r )] , т.е.совпадает с обычным определением поворота кривой в точке [15] . Теорема 3.4.1
Для того, чтобы произвольная липшицевая п.о. степени 1функция x → ϕ ( x ) : R → R была ПРВ функцией, необходимо и достаточно,чтобы для всех r ( · ) ∈ ℘ существовала константа c ( ϕ ) > такая, чтоповорот кривой R ( · ) на Γ ϕ ограничен сверху константой c ( ϕ ) > , т.е. O ϕ ≤ c ( ϕ ) ∀ r ( · ) ∈ ℘. (3.14) Доказательство. Необходимость . Пусть ϕ ( · ) есть ПРВ функция. Покажем,что тогда справедливо неравенство (3.14). Воспользуемся неравенством, выте-кающим из неравенства треугольника, k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − kk ≤≤ k r ′ ( t i ) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − r ′ ( t i − ) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) k +
60 — | ϕ ′ t ( r ( t i )) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) | . Так как ≤ p ϕ ′ t ( r ( t i )) ≤ √ L для всех t i ∈ [0 , T ( r )] , то очевидно,существует такое c > , для которого верно неравенство k r ′ ( t i ) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − r ′ ( t i − ) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) k ≤ c k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i − ) k . (3.15)Из свойств функции θ ( x ) = x/ √ x следует неравенство | ϕ ′ t ( r ( t i )) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) |≤≤| ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) | . (3.16)Из (3.15) и (3.16) имеем sup { t i }∈ N ϕ X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k− τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≤ c ( ∨ ( r ′ ; 0 , T ( r ))+ ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r ))) . (3.17)Так как по условию ϕ ( · ) − ПРВ функция, то согласно теореме 3.3.1 ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r )) ≤ c ( ϕ ) , откуда с учетом (3.17) и ограниченности вариации ∨ ( r ′ ; 0 , T ( r )) следует нера-венство (3.14). Необходимость доказана. Достаточность . Пусть справедливо неравенство (3.14). Покажем, что ϕ ( · ) - ПРВ функция. Воспользуемся неравенством k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≥| ϕ ′ t ( r ( t i )) / p ϕ ′ t ( r ( t i )) −− ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) (3.18)Из свойств функции θ ( x ) = x/ √ x и из k ϕ ′ ( z ) k ≤ L для всех z ∈ S (0) , где производная существует, следует существование константы c > , длякоторой | ϕ ′ t ( r ( t i )) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) ≥
61 — ≥ c | ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) | , откуда с учетом (3.18) имеем c ≥ sup { t i }⊂ N ϕ X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≥ c ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r )) . Из теоремы 3.3.1 следует, что ϕ ( · ) - ПРВ функция. Достаточность и теоремадоказаны. (cid:3)
62 — M − ОЙ СТЕПЕНИ ОТ N ПЕ-РЕМЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХФУНКЦИЙ
В данном параграфе приведены необходимые и достаточные условия предста-вимости произвольной положительно однородной функции m − ого порядка отпроизвольного количества переменных в виде разности выпуклых функций.Дана также геометрическая интерпретация этих условий. Приведен алгоритмтакого представления, результатом которого есть последовательность равно-мерно сходящихся на единичном шаре выпуклых положительно однородных m − ой степени функций. Обозначим через R n − n -мерное евклидово пространство со скалярным произ-ведением ( a, b ) векторов a и b . Пусть задана липшицевая, дифференцируемаяпо направлениям функция f : R n → R . Обозначим через f ′ ( x, q ) производнуюпо направлению q ∈ R n функции f ( · ) в точке x ∈ R n .В предыдущих параграфах были получены необходимые и достаточныеусловия представимости положительно однородной функции (п.о.) первой сте-пени от двух и трех переменных в виде разности выпуклых. Функции, пред-ставимые в виде разности выпуклых, ради сокращения называют ПРВ (DC)функциями.Такие функции наряду с выпуклыми функциями играют важную роль воптимизации и теории управления. Функции, у которых производные по на-правлениям g ∈ R n в точке x ∈ R n , рассматриваемые как функции от этогонаправления g , представляются в виде разности двух выпуклых п.о. первой
63 — степени функций от g , называются квазидифференцируемыми (КВД функци-ями) [9] в точке x . КВД функции являются расширением множества выпуклыхфункций. Развиты методы оптимизации таких функций.Доказанные теоремы для п.о. m − ой степени функций от двух переменныхи п.о. функций первой степени от трех переменных тесно связаны с геометрией.Показано, что условия представимости в виде разности выпуклых эквивалент-ны условию равномерной ограниченности поворота кривых из определенногокласса на графиках исследуемых функций.Ниже мы рассматриваем произвольные п.о. m − ой степени функции отпроизвольного количества переменных, m − натуральное. Приводятся необхо-димые и достаточные условия представимости таких функций в виде разностивыпуклых. Дается также геометрическая интерпретация таких условий. S n − (0) Вначале рассмотрим п.о. липшицевую функцию первой степени от n перемен-ных. Пусть ψ ( · ) : R n → R такая функция с константой Липшица L . Докажемтеоремы, аналогичные доказанным для трехмерного случая.По определению под выпуклым замкнутым множеством на единичнойсфере S n − (0) = { x ∈ R n − | k x k = 1 } с центром в начале координат будем по-нимать такое компактное множество M ⊂ S n − (0) , для которого любая крат-чайшая геодезическая γ ( x , x ) , соединяющая точки x , x ∈ M , принадлежит M .Обозначим через ℘ множество кривых r ( · ) , ограничивающих на сфере S n − (0) выпуклые компактные множества. Все кривые r ( · ) ∈ ℘ параметризу-ем естественным образом. Параметризованную кривую обозначим через r ( t ) , t ∈ [0 , T ] , где T = T ( r ) − длина кривой r ( · ) .В дальнейшем нам понадобится понятие координатной плоскости. Под коор-динатной плоскостью будем понимать плоскость, образованную двумя про-
64 — извольными осями координат.Заметим, что проекция произвольной кривой r ( · ) ∈ ℘ на любую коорди-натную плоскость Π есть кривая, ограничивающая выпуклое множество, яв-ляющееся проекцией выпуклого множества M ⊂ S n − (0) на плоскость Π . Впротивном случае мы могли бы на координатной плоскости Π найти отрезок,не принадлежащий проекции P r ( M ) множества M на плоскость Π и соединя-ющий точки y , y ∈ P r ( M ) . Этому отрезку соответствовала бы кратчайшаягеодезическая γ ( x , x ) ⊂ S (0) также не принадлежащая M .Возьмем произвольную r ( · ) ∈ ℘ . Введем функцию Ψ( t ) = ψ ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T ] . Обозначим через L константу Липшица функции ϕ ( · ) . Так как для любых t , t ∈ [0 , T ] | Ψ( t ) − Ψ( t ) | = | ψ ( r ( t )) − ψ ( r ( t )) | ≤ L k r ( t ) − r ( t ) k ≤ L | t − t | , то Ψ( · ) − липшицевая с константой L и, следовательно, п.в. дифференцируемаяна [0 , T ] .Докажем следующую теорему. Теорема 4.2.1
Для того чтобы п.о. первой степени липшицевая функция ψ ( · ) : R n → R с константой Липшица L была ПРВ функцией, необходимои достаточно, чтобы для всех кривых r ( · ) ∈ ℘ , параметризованных есте-ственным образом с параметром t ∈ [0 , T ] , T = T ( r ) , нашлась константа C = C ( ψ ) > такая, что ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) ≤ C ∀ r ( · ) ∈ ℘. (4.1) Доказательство. Необходимость.
Пусть функция ψ ( · ) представима в ви-де разности п.о. выпуклых функций ψ i ( · ) : R n → R , i = 1 , , с константа-ми Липшица L i , i = 1 , , соответственно. Зафиксируем произвольную кривую
65 — r ( · ) ∈ ℘ . Обозначим через Π одну из координатных плоскостей. Параметризуем r ( · ) естественным образом и через [0 , T ] обозначим отрезок значений парамет-ра t , где T = T ( r ) . Для функций ψ ( · ) , ψ i ( · ) , i = 1 , , определим соответственнофункции Ψ( · ) , Ψ i ( · ) , i = 1 , , как это делали ранее.Поскольку [12] ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) ≤ ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) + ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) , то достаточно доказать неравенство ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) ≤ C . (4.2)Первоначально будем считать, что ψ ( · ) , r ( · ) − дифференцируемые по своимпеременным функции. К общему случаю перейдем позднее.Пусть ψ ( r ( t )) = max v ∈ ∂ψ (0) ( v, r ( t )) = ( v ( t ) , r ( t )) , где ∂ψ (0) - субдифференциал функции ψ ( · ) в нуле, v ( t ) − крайняя точкамножества ∂ψ (0) с нормалью r ( t ) . Поскольку функция ψ ( · ) − дифференци-руемая, то v ( t ) единственный крайний вектор с нормалью r ( t ) .Как показано выше Φ ( · ) − липшицевая, а поэтому п.в. дифференцируемаяна [0 , T ] . Для точек дифференцируемости t Ψ ′ ( t ) = ( v ′ ( t ) , r ( t )) + ( v ( t ) , r ′ ( t )) . Но поскольку r ( t ) есть нормальный вектор к множеству ∂ψ (0) , то ( v ′ ( t ) , r ( t )) = 0 . В нашем случае производная v ′ ( t ) будет существовать, таккак граница выпуклого множества ∂ψ (0) для рассматриваемого случая имееткасательную гиперплоскость в каждой крайней точке.Поскольку кривая r ( · ) параметризована естественным образом, то k r ′ ( t ) k =1 для любых t ∈ [0 , T ] . Нетрудно проверить следующую цепочку неравенств | Ψ ′ ( r ( t )) − Ψ ′ ( r ( t )) | = | ( v ( t ) , r ′ ( t )) − ( v ( t ) , r ′ ( t )) | = | ( v ( t ) − v ( t ) , r ′ ( t )) + ( v ( t ) , r ′ ( t )) − ( v ( t ) , r ′ ( t )) |≤
66 — ≤ k v ( t ) − v ( t ) k k r ′ ( t ) k + k r ′ ( t ) − r ′ ( t ) k k v ( t ) k ≤≤ k v ( t ) − v ( t ) k + L k r ′ ( t ) − r ′ ( t ) k . (4.3)Из (4.3) следует, что ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) ≤ длина кривой v ( t ) для t ∈ [0 , T ] + L · ∨ ( r ′ ; 0 , T ) == p ( l ) + L · ∨ ( r ′ ; 0 , T ) , (4.4)где l − длина кривой v ( t ) , t ∈ [0 , T ] , вариация ∨ ( r ′ ; 0 , T ) по определению есть ∨ ( r ′ ; 0 , T ) = sup t i ,t i ∈ [0 ,T ] X i k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i +1 ) k . Покажем, что для всех r ( · ) ∈ ℘ верно неравенство ∨ ( r ′ ; 0 , T ) < C , (4.5)где C − некоторая константа. Очевидно k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i +1 ) k ≤ X j | r ′ j ( t i ) − r ′ j ( t i +1 ) | , где r j ( · ) , i ∈ n, − координаты вектор-функции r ( · ) . Так как кривая r ( · ) параметризована естественным образом, то k r ′ ( · ) k = 1 , а следовательно, | r ′ j ( · ) | ≤ для всех j ∈ n . Поэтому пары координат вектор-функции r ′ ( · ) ограничивают на соответствующей координатной плоскости выпуклое множе-ство, диаметр которого равномерно ограничен для всех кривых r ( · ) ∈ ℘ , по-скольку ограничены диаметры выпуклых множеств, являющихся проекциямисферы S n − (0) на координатные плоскости. Отсюда следует ограниченностьвариации проекции r ′ ( · ) на произвольную координатную плоскость. А поэто-му верно неравенство (4.5) для всех r ( · ) ∈ ℘ .Докажем теперь, что длины кривых l равномерно ограничены для всех r ( · ) ∈ ℘. Длина кривой l для любой r ( · ) не превосходит суммы длин проек-ций этой кривой на координатные плоскости. Проекция l на координатнуюплоскость Π есть кривая, ограничивающая выпуклое множество с нормалями
67 — в граничных точках, коллинеарными проекции вектора r ( · ) на плоскость Π .А поэтому длина проекции l на произвольную координатную плоскость Π непревосходит периметра проекции множества ∂ψ (0) на плоскость Π . Периметрпроекции ∂ψ (0) на любую плоскость Π , очевидно, ограничен. Отсюда следуетограниченность длины кривых l равномерно для всех r ( · ) ∈ ℘. Из сказанного и неравенств (4.4) и (4.5) следует необходимость для случаягладких функций ψ ( · ) , r ( · ) . Перейдем к общему случаю.Мы всегда можем приблизить выпуклую функцию ψ ( · ) и кривую r ( · ) ∈ ℘ гладкой выпуклой функцией ψ k ( · ) и гладкой кривой r k ( · ) ∈ ℘ так, чтобыдлина кривой l k , построенная для ψ k ( · ) , и вариация ∨ ( r ′ k ; 0 , T ) как угодномало отличались от длины кривой l и вариации ∨ ( r ′ ; 0 , T ) .Отсюда следует справедливость неравенства (4.1) для произвольной выпук-лой функции ψ ( · ) и любой кривой r ( · ) ∈ ℘ . Необходимость доказана. Достаточность.
Докажем, что если выполняется неравенство (4.1), тофункция ψ ( · ) представима в виде разности выпуклых. Разбиваем шар B n (0) наконусы K i ( q , q , . . . , q n ) , i ∈ k , являющиеся конической оболочкой линей-но независимых векторов q , q , . . . q n . В каждом конусе K i строим линейнуюфункцию, значения которой на векторах q , q , . . . , q n совпадают со значения-ми функции ψ ( · ) . Функцию, равную линейной в каждом конусе K i , обозначимпо числу конусов через ψ k ( · ) .Функцию, равную максимуму линейных функций, построенных по конусам K i и K i +1 , имеющих общую часть гиперплоскости σ i , назовем двугранным уг-лом . Градиенты этих линейных функций обозначим через a i и a i +1 . Поскольку σ i = K i ∩ K i +1 , то проекции векторов a i и a i +1 на σ i равны. Следовательно, век-тор a i − a i +1 перпендикулярен σ i . Для всех i ∈ k соединим векторы a i и a i +1 отрезком. Получим многогранник G k , стороны которого могут пересекаться.Если ψ ( · ) − выпуклый, то многогранник G k − выпуклый.В случае невыпуклости функции ψ ( · ) стороны a i и a i +1 многогранника G k для большого k будут пересекаться. Мы также, как в [6], растягиваем много-
68 — гранник G k по всем направлениям, чтобы получить выпуклый многогранник G ′ k .Предположим, что ψ ( · ) − не ПРВ функция. При доказательстве достаточно-сти теоремы 4.2.2 из [6] было показано, что поиск кривой r ( · ) ограничиваетсяпоиском направления g и вектора x ∈ S n − (0) , g ⊥ x . Функция ψ k ( · ) , по-строенная по произвольному разбиению шара B n (0) на конусы, является ПРВфункцией, но растяжение многогранника G k , соответствующего этому разби-ению, вдоль направления g неограниченно возрастает при k → ∞ , так чтовыбрать выпуклый многогранник к которому сходятся в метрике Хаусдорфа G ′ k при k → ∞ , получающиеся после растяжения G k , в случае, когда ψ ( · ) неПРВ функции, невозможно.В качестве вектора g можно взять тот, вдоль которого растяжение много-гранника G k согласно описанному выше алгоритму для преобразования его ввыпуклый многогранник G ′ k происходит наибольшим образом при k → ∞ .Поскольку сказанное выше справедливо для произвольно малого конуса,содержащего во внутренности вектор x , то кривую r ( · ) ∈ ℜ можно выбиратьс началом в точке x , являющейся концом вектора x , и имеющей в точке x некоторую касательную. По этой причине мы могли выбирать кривую r ( · ) ∈ ℜ с конечной вариацией производной ∨ ( r ′ ; 0 , T ) < ∞ . Сделаем пояснение сказанному. Отрезки { b k } , являющиеся субдифференци-алом Кларка вогнутых двугранных углов, на длины которых мы согласно опи-санному алгоритму растягиваем многогранник G k , могут располагаться при k → ∞ как вдоль направления g , так и в направлении g , перпендикулярном g . В противном случае направление g не было бы тем, каким мы его выбира-ли. Если отрезки { b k } располагаются вдоль направления g и приближаются квектору g при k → ∞ , то кривую r ( · ) можно выбрать с начальной точкой x и касательной в этой точке, коллинеарной вектору g . Возможен случай, когдаотрезки { b k } располагаются вдоль направления g , но приближаются к вектору g при k → ∞ , то кривую r ( · ) можно выбрать с начальной точкой x и каса-
69 — тельной в этой точке, коллинеарной вектору g . Во втором случае кривизныкривых r k ( · ) в точке x будут неограниченно увеличиваться.Поскольку вариация функции Ψ ′ ( t ) = ψ ′ t ( r ( t ) на отрезке [0 , T ] оценивает-ся снизу через длины отрезков { b k } (см. [8]), что и было сделано ранее прирассмотрении п.о. функции первой степени, то отсюда следует, что достаточнорассмотреть описанные кривые, имеющие касательную в точке x и пересека-ющие под острыми углами бесконечно много отрезков { b k } .Из сказанного выше следует, что выбор кривой r ( · ) можно также осуще-ствить из множества кривых, меньшего, чем ℜ , имеющих касательную в каж-дой точке. Этим свойством обладают кривые, ограничивающие на S n − (0) вы-пуклые множества . Это как раз введенное ранее множество кривых ℘ .Таким образом достаточность неравенства (4.1) для представимости функ-ции ψ ( · ) в виде разности выпуклых доказана, а вместе с тем и теорема 4.2.1доказана. (cid:3) Рассмотрим теперь п.о. m − ой степени ( m − натуральное) липшицевуюфункцию ϕ ( · ) : R n → R . Нас будут интересовать условия ее представимости ввиде разности выпуклых. Теорема 4.2.2
Для того чтобы п.о. степени m липшицевая функция ϕ ( · ) была ПРВ функцией, необходимо и достаточно, чтобы для всех r ( · ) ∈ ℘ нашлась константа c = c ( ϕ ) > такая, что ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) < c ∀ r ( · ) ∈ ℘. (4.6) Доказательство. Необходимость.
Пусть ϕ ( · ) есть ПРВ функция, т.е. ϕ ( q ) = ϕ ( q ) − ϕ ( q ) ∀ q ∈ R n , где ϕ i ( · ) , i = 1 , , − выпуклые п.о. степени m функции. Построим п.о. степени1 функцию ψ ( · ) : R n → R , принимающую те же значения, что и функция ϕ ( · ) ,
70 — т.е. ψ ( q ) = k q k ϕ ( q k q k ) ∀ q ∈ R n . (4.7)Так же, как и для двумерного случая [7] для выпуклых функций ϕ i ( · ) , i =1 , , строим п.о. первой степени функции ψ i ( · ) , i = 1 , , которые мы назовем соответствующими для функций ϕ i ( · ) , i = 1 , . По построению функции ψ i ( · ) , i = 1 , , принимают те же значения на единичной сфере с центром внуле S n − (0) , что и функции ϕ i ( · ) , i = 1 , . В [7] для двумерного пространствабыло доказано, что ψ i ( · ) , i = 1 , , − выпуклые функции.Для доказательства выпуклости функций ψ i ( · ) , i = 1 , , в n − мерном про-странстве воспользуемся отличительным свойством выпуклых функций. Теорема 4.2.3 [14] Для того чтобы функция z → θ ( z ) : R n → R была вы-пуклой, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема по на-правлениям и для любой точки z ∈ R n и любого направления p ∈ R n функция α → h ( α ) : R + → R : h ( α ) = ∂θ ( z + αp ) ∂p была неубывающей по α > . Из п. о. следует, что для доказательства достаточно рассмотреть q ∈ S n − (0) и вектор p , перпендикулярный q . Зафиксируем q и p . Проведем плоскость Π ,содержащую векторы q и p и проходящую через начало координат. Теперьмы приходим к двумерному случаю, где в качестве плоскости XOY служитплоскость Π , а в качестве окружности S (0) − пересечение S n − (0) ∩ Π . Длядвумерного случая уже было доказано [7], что функции α → h i ( α ) : R + → R : h i ( α ) = ∂ψ i ( q + αp ) ∂p , i = 1 , , являются неубывающими по α > . Поэтому функции ψ i ( · ) , i = 1 , , − выпук-лые. Тогда ψ ( q ) = ψ ( q ) − ψ ( q ) ∀ q ∈ R n ,
71 — т.е. ψ ( · ) − ПРВ функция.По доказанной теореме 4.2.1 существует константа c > такая, что ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) < c, (4.8)где Ψ( t ) = ψ ( r ( t )) для t ∈ [0 , T ] . Поскольку ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) = ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) , то из (4.6) имеем ∨ (Φ ′ ; 0 , T ) < c. Необходимость доказана.
Достаточность.
Пусть неравенство (4.6) справедливо. Покажем, что ϕ ( · ) − ПРВ функция. По функции ϕ ( · ) на основании равенства (4.7) построим п.о.степени 1 функцию ψ ( · ) . Так как для любой кривой r ( · ) ∈ ℘ выполняетсянеравенство ∨ (Ψ ′ ; 0 , T ) < C, то по теореме 4.2.1 функция ψ ( · ) − ПРВ функция, т.е. ψ ( q ) = ψ ( q ) − ψ ( q ) ∀ q ∈ R n , (4.9)где ψ i ( · ) , i = 1 , − выпуклые п.о. степени 1 функции. Очевидно, что ψ i ( · ) , i =1 , , можно выбрать так, чтобы они принимали положительные значенияна S n − (0) . Построим по функциям ψ i ( · ) , i = 1 , , п.о. степени m функ-ции ϕ i ( · ) , i = 1 , , принимающие на S n − (0) те же значения, что и функции ψ i ( · ) , i = 1 , , т.е. ϕ i ( q ) = k q k m ψ i ( q k q k ) ∀ q ∈ R n , i = 1 , . Покажем, что ϕ i ( · ) , i = 1 , , − выпуклые.Воспользуемся теоремой 4.2.3. Для любого направления p ∈ R n и вектора q ∈ R n покажем. что функция h ( α ) : R → R h ( α ) = ∂ϕ ( q + αp ) ∂p
72 — неубывающая по α .Из п.о. функции ϕ ( · ) следует, что достаточно рассмотреть случай, когда q ∈ S n − (0) и вектор p перпендикулярен вектору q . Зафиксируем произволь-ные такие векторы q и p . Через начало координат и векторы q и p проведемплоскость Π . Теперь мы приходим к двумерному случаю, где плоскостью XOYслужит плоскость Π . Но для двумерного случая мы уже доказали, что h ( · ) − неубывающая функция по α . Итак, ϕ i ( · ) , i = 1 , , − выпуклые.Из (4.9) следует равенство ϕ ( q ) = ϕ ( q ) − ϕ ( q ) ∀ q ∈ R n . Следовательно, ϕ ( · ) − ПРВ функция. Достаточность и теорема доказаны. (cid:3) m − ой степени от n переменных Перефразируем теорему 4.2.2, придав им более геометрический характер. Вве-дем понятие поворота кривой r ( · ) на графике Γ ϕ = { ( x, z ) ∈ R n +1 | z = ϕ ( x ) , x ∈ R n } . Рассмотрим на Γ ϕ кривую R ( t ) = ( r ( t ) , ϕ ( r ( t ))) , t ∈ [0 , T ( r )] , где r ( · ) ∈ ℘ ) . Так как функция ϕ ( · ) есть липшицевая, то п.в. на [0 , T ( r )] существуетпроизводная R ′ ( · ) , которую обозначим через τ ( · ) = R ′ ( · ) , а множество точек,где она существует, − через N ϕ . Определение 1.
Поворотом кривой R ( · ) на многообразии Γ f назовем ве-личину sup { t i }⊂ N ϕ X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk = O ϕ . Таким образом, поворот O ϕ кривой R ( · ) есть верхняя грань суммы угловмежду касательными τ ( t ) для t ∈ [0 , T ( r )] . Нетрудно видеть, что для плоскойгладкой кривой, параметризованной естественным образом, величина O ϕ равна
73 — интегралу Z T ( r )0 | k ( s ) | ds, где k ( s ) - кривизна рассматриваемой кривой r ( · ) в точке s ∈ [0 , T ( r )] , т.е.совпадает с обычным определением поворота кривой в точке [15] . Теорема 4.3.1
Для того, чтобы произвольная липшицевая п.о. степени m функция x → ϕ ( x ) : R n → R была ПРВ функцией, необходимо и достаточно,чтобы для всех r ( · ) ∈ ℘ существовала константа c ( ϕ ) > такая, чтоповорот кривой R ( · ) на Γ ϕ ограничен сверху константой c ( ϕ ) > , т.е. O ϕ ≤ c ( ϕ ) ∀ r ( · ) ∈ ℘. (4.10) Доказательство. Необходимость . Пусть ϕ ( · ) есть ПРВ функция. Покажем,что тогда справедливо неравенство (4.10). Воспользуемся неравенством, выте-кающим из неравенства треугольника, k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − kk ≤≤ k r ′ ( t i ) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − r ′ ( t i − ) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) k + | ϕ ′ t ( r ( t i )) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) | . Так как ≤ p ϕ ′ t ( r ( t i )) ≤ √ L для всех t i ∈ [0 , T ( r )] , то очевидно,существует такое c > , для которого верно неравенство k r ′ ( t i ) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − r ′ ( t i − ) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) k ≤ c k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i − ) k . (4.11)Из свойств функции θ ( x ) = x/ √ x следует неравенство | ϕ ′ t ( r ( t i )) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) |≤| ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) | . (4.12)
74 —
Из (4.11) и (4.12) имеем sup { t i }∈ N ϕ X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k− τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≤ c ( ∨ ( r ′ ; 0 , T ( r ))+ ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r ))) . (4.13)Так как по условию ϕ ( · ) − ПРВ функция, то согласно теореме 4.2.2 ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r )) ≤ c ( ϕ ) , откуда с учетом (4.13) и ограниченности вариации ∨ ( r ′ ; 0 , T ( r )) следует нера-венство (4.10). Необходимость доказана. Достаточность . Пусть справедливо неравенство (4.10). Покажем, что ϕ ( · ) - ПРВ функция. Воспользуемся неравенством k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≥| ϕ ′ t ( r ( t i )) / p ϕ ′ t ( r ( t i )) −− ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) (4.14)Из свойств функции θ ( x ) = x/ √ x и из k ϕ ′ ( z ) k ≤ L для всех z ∈ S n − (0) , где производная существует, следует существование константы c > , длякоторой | ϕ ′ t ( r ( t i )) / q ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) / q ϕ ′ t ( r ( t i − )) ≥≥ c | ϕ ′ t ( r ( t i )) − ϕ ′ t ( r ( t i − )) | , откуда с учетом (4.14) имеем c ≥ sup { t i }⊂ N ϕ X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≥ c ∨ (Φ ′ ; 0 , T ( r )) . Из теоремы 4.2.2 следует, что ϕ ( · ) - ПРВ функция. Достаточность доказана. (cid:3)
75 —
В данном параграфе приведены необходимые и достаточные условия предста-вимости произвольной функции двух переменных в виде разности выпуклыхфункций. Дана также геометрическая интерпретация этих условий. Приве-ден алгоритм такого представления, результатом которого есть последователь-ность равномерно сходящихся выпуклых функций.
Эта проблема была впервые сформулирована академиком А.Д.Александровымв статье [2] и исследована многими российскими и зарубежными математика-ми [3] - [23]. Решение этой проблемы интересно как для геометров, так и дляматематиков, занимающихся оптимизацией, например, для построения квази-дифференциального исчисления [9].Необходимые и достаточные условия представимости функции одной пере-менной в виде разности выпуклых, т.е. условия. когда функция является ПРВфункцией, хорошо известны. Эти условия могут быть записаны в следующемвиде.Пусть x → f ( x ) : [ a, b ] → R - произвольная липшицевая функция. Извест-но, что множество N f , где функция f ( · ) дифференцируемая, есть множествополной меры на [a,b]. Для того, чтобы функция f ( · ) была представима в видеразности выпуклых функций, необходимо и достаточно, чтобы выполнялосьусловие ∨ ( f ′ ; a, b ) < ∞ ,
76 — где производные вычисляются там, где они существуют. Символ ∨ означаетвариацию функции f ′ на отрезке [a,b].В той же статье [2] А.Д.Александров задает вопрос о представимости функ-ции в виде разности выпуклых, если она является таковой для любой прямойв области определения. Ответ на этот вопрос отрицательный (см. [21], [22] ).Согласно терминологии А.Д.Александрова под многогранной кусочно-линейной функцией с конечным числом граней будем понимать такую функ-цию, график которой состоит из конечного числа частей плоскостей, которыеназываются гранями.В статье [6] даны необходимые и достаточные условия представимости про-извольной липшицевой положительно однородной (п.о.) функции трех пере-менных в виде разности выпуклых функций. Результат может быть распро-странен на положительно однородные функции m -ой степени. Теперь отка-жемся от условия положительной однородности и будем рассматривать про-извольную липшицевую функцию f ( · ) с константой Липшица L от двух пере-менных ( x, y ) → f ( x, y ) : D → R , где D есть выпуклое открытое ограниченноемножество в R , так что его замыкание ¯ D - компакт. Приведем алгоритм та-кого представления и найдем необходимые и достаточные условия сходимостипостроенной последовательности функций.Пусть ℘ ( D ) - класс кривых на плоскости X OY в множестве D , ограничи-вающих выпуклые компактные множества. Параметризуем кривые r ∈ ℘ ( D ) естественным образом, т.е. параметр τ точки M на кривой r ( · ) равен длинекривой между M и начальной точкой. Обозначим такую кривую как r ( t ) , t ∈ [0 , T r ] .С помощью кривых r ∈ ℘ ( D ) необходимые и достаточные условия предста-вимости функции f ( · ) в виде разности выпуклых функций могут быть запи-саны в следующем виде. Теорема 5.1.1
Для того, чтобы липшицевая функция z → f ( z ) : D → R была представима в виде разности выпуклых функций (была ПРВ функцией),
77 — необходимо и достаточно, чтобы ( ∃ c ( D, f ) > ∀ r ∈ ℘ ( D )) ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) < c ( D, f ) , где Φ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Доказательство основано на специальном алгоритме представления функ-ции f ( · ) в виде разности выпуклых функций. В результате получаем конечныеили бесконечные последовательности выпуклых функций, равномерно сходя-щиеся на D к выпуклым функциям, разность которых есть исходная функция f ( · ) , если условия теоремы 5.1.1 выполняются.Ниже приведен алгоритм представления функции f ( · ) в виде разности вы-пуклых функций и доказана его сходимость, если условия теоремы 5.1.1 вы-полняются.Для представления функции f ( · ) в виде разности выпуклых функций бу-дем использовать две операции, в результате которых получаем конечное илисчетное число выпуклых многогранных кусочно-линейных функций, опреде-ленных на D . Первая операция - это приближение функции f ( · ) многогранной кусочно-линейной функцией f k ( · ) с конечным числом граней. Вторая операция - это представление функции f k ( · ) в виде разности выпук-лых многогранных кусочно-линейных функций f ,k ( · ) : D → R и f ,k ( · ) : D → R согласно алгоритму, описанному ниже.Далее доказывается, что, если выполняются условия теоремы 5.1.1, то изпоследовательностей f ,k ( · ) − c ,k и f ,k ( · ) − c ,k , где c ,k = f ,k ( a ) , a − произ-вольная внутренняя точка области D , можно выбрать сходящиеся подпосле-довательности.Когда условия теоремы выполняются, то, как будет показано, вариацияпроизводной вдоль любого отрезка множества D выпуклых функций f ,k ( · ) и f ,k ( · ) ограничена сверху константой, зависящей от D и f .Метод представления конечной многогранной функции в виде разности вы-пуклых подобен методу, использованному А.Д.Александровым в [2] при ис-
78 — следовании возможности представления специального вида функций в видеразности выпуклых.
Начнем доказательство теоремы с описания алгоритма.
ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА
1. Производим достаточно равномерную триангуляцию области D и стро-им по каждому треугольнику линейную функцию, значения которой равнызначениям функции f ( · ) в вершинах треугольника. Функцию с получившимсяграфиком обозначим через f k ( · ) : D → R , где k равно числу треугольников,на которые мы разбиваем область D .2. Представляем функцию f k ( · ) в виде разности выпуклых согласно алго-ритму, как это описано ниже.Предварительно введем понятие двугранного угла. Будем понимать поддвугранным углом функцию, определенную на D , график которой состоит изполуплоскостей с общей граничной прямой, называемого ребром двугранногоугла.Рассмотрим все выпуклые двугранные углы, части графиков которых при-надлежат графику функции f k ( · ) . Определяем эти двугранные углы на всейобласти D . Просуммируем все такие выпуклые двугранные углы. В итоге по-лучим выпуклую многогранную функцию f ,k ( · ) : D → R . Доказывается [2],что разность f ,k ( · ) − f k ( · ) = f ,k ( · ) (5.1)есть также выпуклая многогранная функция.Действительно, для доказательства достаточно показать, что все двугран-ные углы, части графиков которых принадлежат графику функции f ,k ( · ) −
79 — f k ( · ) , − выпуклые. Для этого покажем, что любая точка, лежащая на проек-ции ребра произвольного двугранного угла функции f ,k ( · ) − f k ( · ) , имеет малуюокрестность, где функция f ,k ( · ) − f k ( · ) выпукла.Если берем точку, в малой окрестности которой функция f k ( · ) линейна, толокальная выпуклость разности f ,k ( · ) − f k ( · ) очевидна. Пусть берем точку,лежащую на проекции на плоскость ребра выпуклого двугранного угла, частьграфика которого принадлежит графику функции f k ( · ) . Поскольку согласноалгоритму этот же двугранный угол входит в сумму выпуклых двугранныхуглов, образующих функцию f ,k ( · ) , то опять разность f ,k ( · ) − f k ( · ) будет ло-кально выпуклой в окрестности рассматриваемой точки. Если же точка лежитна проекции ребра вогнутого двугранного угла, часть графика которого при-надлежит графику функции f k ( · ) , то − f k ( · ) − локально выпукла в окрестностиэтой точки, а поэтому разность f ,k ( · ) − f k ( · ) снова локально выпукла в тойже окрестности. Из локальной выпуклости всех двугранных углов функции f ,k ( · ) − f k ( · ) следует ее выпуклость на всем множестве D .Покажем, что при выполнении теоремы 5.1.1 из последовательности функ-ций f ,k ( · ) − c ,k можно выделить подпоследовательность, равномерно сходя-щуюся на D к выпуклой функции f ( · ) при k → + ∞ . Тогда из (5.1) будетследует, что подпоследовательность функций f ,k ( · ) − c ,k также равномерносходится к выпуклой функции f ( · ) . Для функций f ( · ) и f ( · ) верно равенство f ( · ) − f ( · ) = f ( · ) . (5.2)Начнем доказательство с одномерного случая, когда D = [ a, b ] ⊂ R .Приблизим функцию f ( · ) кусочно-линейной функцией f k ( · ) с любой степе-нью точности. На первом шаге выделяем все выпуклые двугранные углы, ча-сти графиков которых принадлежат графику функции f k ( · ) . Распространяемих на весь отрезок [ a, b ] и просуммируем. В итоге получим выпуклую кусочно-линейную функцию f ,k ( · ) : [ a, b ] → R . Согласно сказанному выше разность f ,k ( · ) − f k ( · ) есть снова выпуклая кусочно-линейная функция на [ a, b ] .Покажем, что вариация производных функций f ,k ( · ) и f ,k ( · ) на отрезке
80 — [ a, b ] ограничена сверху той же константой c , что вариация производной функ-ции f ( · ) , т..е. ∨ ( f ′ ,k ; a, b ) ≤ c. Последнее следует из цепочки неравенств ∨ ( f ′ ,k ; a, b ) ≤ ∨ ( f ′ k ; a, b ) ≤ ∨ ( f ′ ; a, b ) ≤ c. Но тогда из f ,k ( · ) можно вычесть константу c ,k = f ,k ( a ) , a ∈ int D , чтобыфункции f ,k ( · ) − c ,k были ограниченными на отрезке [ a, b ] в совокупности по k , т.е. равностепенно ограниченными. Из оценки для вариации производной, независящей от k , следует равностепенная непрерывность функций f ,k ( · ) − c ,k .Из теоремы Арцела получим, что из последовательности выпуклых функций f ,k ( · ) − c ,k можно выделить подпоследовательность функций f ,k s ( · ) − c ,k s ,которая сходится равномерно при k s → ∞ к некоторой выпуклой на [ a, b ] функции f ( · ) . Соответственно, последовательность функций f ,k s ( · ) − c ,k s так-же равномерно на [ a, b ] сходится при k s → ∞ к некоторой выпуклой на [ a, b ] функции f ( · ) . В итоге будем иметь f ( · ) = f ( · ) − f ( · ) . Перейдем к двумерному случаю и покажем, что тот же алгоритм приводитк паре выпуклых функций на D , разность которых есть исходная функция f ( · ) .Возьмем произвольную кривую r ( · ) ∈ ℘ ( D ) . Пусть Φ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Покажем, что Φ( · ) - липшицевая с константой L . Действительно, для любых t , t ∈ [0 , T r ] имеем | Φ( t ) − Φ( t ) | = | f ( r ( t )) − f ( r ( t )) |≤ L k r ( t ) − r ( t ) k ≤ L | t − t | . Поэтому [12] Φ( · ) почти всюду (п.в.) дифференцируемая на [0 , T r ] . Множествоточек дифференцируемости функции Φ( · ) на [0 , T r ] обозначим через N r .
81 —
Докажем, что если существует константа c ( D ) > такая, что для произ-вольной кривой r ( · ) ∈ ℘ ( D ) ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) < c ( D ) , (5.3)то из последовательностей функций f ,k ( · ) − c ,k , f ,k ( · ) − c ,k , можно выбратьподпоследовательности, равномерно на D сходящиеся к выпуклым функциям f ( · ) , f ( · ) соответственно, для которых верно равенство (5.2).Доказательство будем основывать на леммах, приведенных ниже. Лемма 5.2.1
Для любой выпуклой п.о. степени 1 функции q → ψ ( q ) : R → R и любой кривой r ( · ) ∈ ℘ ( D ) верно неравенство ∨ (Θ ′ ; 0 , T r ) < c ( D, ψ ) , где Θ( t ) = ψ ( r ( t )) для всех t ∈ [0 , T r ] , c ( D, ψ ) - некоторая константа. Доказательство.
Без ограничения общности будем считать, что ψ ( · ) естьгладкая функция на R \{ } . Пусть ψ ( r ( t )) = max v ∈ ∂ψ (0) ( v, r ( t )) = ( v ( t ) , r ( t )) , v ( t ) ∈ ∂ψ (0) , где ∂ψ (0) - субдифференциал функции ψ ( · ) в нуле. Будем также считать, что r ( · ) - дифференцируемая кривая по t ∈ [0 , T r ] .Очевидно, что ψ ′ ( r ( t )) = ( v ′ ( t ) , r ( t )) + ( v ( t ) , r ′ ( t )) . Так как r ( t ) есть нормаль к границе множества ∂ψ (0) в точке v ( t ) , то векторы v ′ ( t ) и r ( t ) перпендикулярны друг к другу, а следовательно, ( v ′ ( t ) , r ( t )) = 0 . Поскольку кривая r ( · ) параметризована естественным образом, то k r ′ ( t ) k = 1 для любых t ∈ [0 , T r ] .Нетрудно проверить следующую цепочку неравенств | ψ ′ ( r ( t )) − ψ ′ ( r ( t )) | = | ( v ( t ) , r ′ ( t )) − ( v ( t ) , r ′ ( t )) | = | ( v ( t ) − v ( t ) , r ′ ( t ))+( v ( t ) , r ′ ( t )) − ( v ( t ) , r ′ ( t )) |≤ k v ( t ) − v ( t ) k k r ′ ( t ) k + k r ′ ( t ) − r ′ ( t ) k k v ( t k ≤
82 — k v ( t ) − v ( t ) k + L ( D ) | t − t | . Отсюда следует, что ∨ (Θ ′ ; 0 , T r ) < P ( ∂ψ (0)) + L ( D ) T r , где P ( ψ (0)) - длина кривой, ограничивающей выпуклое компактное множество ∂ψ (0) ⊂ R и L ( D ) - константа Липшица функции ψ ( · ) . Пусть теперь ψ ( · ) - произвольная выпуклая ПО функция. С любой степе-нью точности ее можно приблизить на единичном круге выпуклой ПО диф-ференцируемой на R \{ } функцией ˆ ψ ( · ) так, чтобы в метрике Хаусдорфасубдифференциалы в нуле этих функций отличались друг от друга как угод-но мало. Но тогда и длины кривых, ограничивающих их субдифференциалы,будут отличаться друг от друга как угодно мало. Также кривую r ( · ) можноприблизить дифференцируемой кривой таким образом, чтобы их производ-ные по t в точках дифференцируемости кривой r ( · ) отличались друг от другапо норме на произвольно малую величину. Таким образом, любые конечныесуммы, используемые при вычислении вариаций функций Θ ′ ( · ) и ˆΘ ′ ( · ) длянегладкого и гладкого случая, могут быть сделаны за счет приближения какугодно близкими друг к другу. Но поскольку вариацию функции ˆΘ ′ ( · ) можноограничить сверху величиной, зависящей только от множества D и некоторыхконстант, то лемма 1 доказана. (cid:3) На основе этой леммы докажем утверждение (см., например, [19], [22] ).
Лемма 5.2.2
Пусть ( x, y ) → f ( x, y ) : R → R − непрерывная выпуклаяфункция и r ( · ) ∈ ℘ ( D ) , t ∈ [0 , T r ] . Тогда существует константа c ( D, f ) > , что ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) ≤ c ( D, f ) , (5.4) где Φ ( t ) = f ( r ( t )) , t ∈ [0 , T r ] . Доказательство.
На начальном этапе будем считать, что f ( · , · ) дваждынепрерывно дифференцируемая функция на D , которая принимает неотри-
83 — цательные значения и начало координат − ее точка минимума, а также, что , принадлежит внутренности выпуклой области на R с границей r ( · ) . Построим для функции f ( · , · ) п.о. степени 1 функцию ψ ( · ) , которая на r ( · ) принимает значения, равные f ( r ( · )) . Покажем, что ψ ( · ) - выпуклая.Рассмотрим функцию f ε ( x, y ) = f ( x, y ) + ε ( || x || + || y || ) , ε > . Разобьем отрезок [0 , T r ] точками { t i } , i ∈ J, на равные отрез-ки. Построим плоскости π i в R , проходящие соответственно через точки (0 , , , ( r ( t i ) , f ε ( r ( t i ))) , ( r ( t i +1 ) , f ε ( r ( t i +1 )) , i ∈ J . Части плоскостей π i , i ∈ J , определенных в секторах, образуемых векторами (0 , , r ( t i ) , r ( t i +1 ) ,определяют график п.о. степени 1 многогранной функцию ( ψ ε ) J ( r ( · )) . Бу-дем понимать под двугранным углом функцию, график которой состоит изполуплоскостей с общей граничной прямой, включающих плоскости π i , по-строенные в соседних секторах. Покажем, что все двугранные углы функции ( ψ ε ) J ( r ( · )) , образуемые смежными плоскостями π i , i ∈ J, − выпуклые.Поскольку всегда любую кривую r ( · ) ∈ ℘ ( D ) можно приблизить с любойстепенью точности гладкой кривой из ℘ ( D ) , то без ограничения общности бу-дем считать, что r ( · ) - гладкая дифференцируемая кривая с производной r ′ ( · ) . Под градиентом плоскости π i будем понимать градиент линейной функции,график которой совпадает с плоскостью π i . Обозначим градиенты плоскостей π i и π i +1 через ∇ π i и ∇ π i +1 соответственно. Воспользуемся теоремой о среднейточке, согласно которой существует такая точка t m ∈ [ t i , t i +1 ] , что ∂f ε ( r ( t m )) /∂e i = ( ∇ π i , e i ) , где e i = ( r ( t i +1 ) − r ( t i )) / || r ( t i +1 ) − r ( t i ) || . Аналогично для плоскости π i +1 и некоторой точки t c ∈ [ t i +1 , t i +2 ] имеем ∂f ε ( r ( t c )) /∂e i +1 = ( ∇ π i +1 , e i +1 ) ,
84 — где e i +1 = ( r ( t i +2 ) − r ( t i +1 )) / || r ( t i +2 ) − r ( t i +1 ) || . Функция f ε ( · ) сильно выпуклая, так как ее матрица вторых частных производ-ных положительно определенная. Любая выпуклая функция имеет неубываю-щую производную по направлению вдоль произвольного луча. Но для сильновыпуклой функции производная по касательному направлению к кривой вида r ( x , τ, g ) = x + τ g + o ε ( τ ) , g ∈ R , τ > в малой окрестности точки x естьвозрастающая функция вдоль этой кривой. Поэтому для достаточно большом J и равномерном разбиении кривой r ( · ) точками t i имеем ∂f ε ( r ( t m )) /∂e i < ∂f ε ( r ( t c )) /∂e i +1 , или ( ∇ π i , e i ) < ( ∇ π i +1 , e i +1 ) . Учтем также, что разность ∇ π i +1 − ∇ π i перпендикулярна вектору r ( t i +1 ) . От-сюда и из неравенства выше следует, что двугранный угол π i , π i +1 - выпуклый.При J → ∞ ( ψ ε ) J ( · ) ⇒ ( ψ ε )( · ) . Так как точечный предел для выпуклых функций равносилен равномерномупределу, то ψ ε ( · ) - выпуклая функция. Также ψ ε ( · ) ⇒ ψ ( · ) при ε → +0 , т.е. ψ ( · ) − выпуклая, что и требовалось доказать.Очевидно, что градиенты линейных функций, графики которых есть π i , i ∈ J, ограничены константой, зависящей только от множества D и самой функции f ( · , · ) . Верно равенство ψ ( r ( t )) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Ясно, что ψ ( · , · ) строится однозначно по функции f ( · , · ) и выбранной кри-вой r ( · ) . Из сказанного выше следует, что функция ψ ( · , · ) есть липшицевая сконстантой L ( D, f ) .
85 —
Пусть Ψ ( t ) = ψ ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Поскольку ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) = ∨ (Ψ ′ ; 0 , T r ) , то из леммы 1 следует, что ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) ≤ c ( D ) . Если функция f ( · , · ) не есть дважды непрерывно дифференцируемая, то ееможно приблизить выпуклой дважды непрерывно дифференцируемой функ-цией ˜ f ( · , · ) и построить соответствующую ей функцию ˜ ψ ( · , · ) так, чтобы зна-чения функций ψ ( · , · ) , ˜ ψ ( · , · ) и их производных там, где они существуют, какугодно мало отличались друг от друга. Но тогда аналогичное будет верно дляфункций Ψ ( · ) , ˜Ψ ( · ) , построенных по ψ ( · , · ) , ˜ ψ ( · , · ) соответственно, и их про-изводных. Значит написанное выше неравенство для вариации производныхфункции Ψ ( · ) верно для общего случая. Лемма 5.2.2 доказана. (cid:3) Из леммы 5.2.2 следует, что если f ( · , · ) представима в виде разности выпук-лых функций, т.е. f ( z ) = f ( z ) − f ( z ) ∀ z ∈ D, где f i ( · , · ) , i = 1 , , - выпуклые, то условие (5.3) c необходимостью выполняется.Действительно, для произвольной r ( · ) ∈ ℘ ( D ) введем обозначения Ψ ( t ) = f ( r ( t )) , Ψ ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Поскольку [12] ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) ≤ ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) + ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) то, принимая во внимание неравенство (5.4), неравенство (5.3) с необходимо-стью выполняется.Докажем достаточность условия (5.3) для представления функции f ( · ) ввиде разности выпуклых функций.
86 —
Прежде всего покажем, что для любого r ( · ) ∈ ℘ ( D ) верно неравенство ∨ (Φ ′ k ; 0 , T r ) ≤ c, где Φ k ( t ) = f k ( r ( t )) . Действительно, для любой триангуляции области D гра-диенты в точках r ( t s ) ∈ r ( · ) , t s ∈ [0 , T r ] , линейных функций, графики которыхесть грани функции f k ( · ) , будут с любой степенью точности ε k , где ε k → +0 ,близки к обобщенным градиентам функции f ( · ) . Поэтому произвольная ко-нечная сумма N X i =1 | Φ ′ k ( t i ) − Φ ′ k ( t i +1 ) | для больших k будет как угодно мало отличаться от суммы N X i =1 | Φ ′ ( t i ) − Φ ′ ( t i +1 ) | . А поскольку вариация функции Φ ′ k ( · ) может только возрастать при вложен-ности триангуляций области D при увеличении k , то отсюда и из сказанноговыше следует, что ∨ (Φ ′ k ; 0 , T r ) ≤ ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) + δ ( k ) ≤ c, (5.5)где δ ( k ) → +0 при k → ∞ .Вариация производных по направлению вдоль произвольного отрезка сум-мы выпуклых функций равна сумме вариаций производных этих выпуклыхфункций по тому же отрезку. Если будет доказано, что сумма вариаций произ-водных всех выпуклых двугранных углов функции f k ( · ) вдоль любого отрезкаобласти D ограничена сверху константой, независящей от k , то отсюда будетследовать, что ограничена сверху той же константой вариация производнойфункции f ,k ( · ) вдоль произвольного отрезка области D . Отсюда следует рав-ностепенная ограниченность и непрерывность функций f ,k ( · ) − c ,k . Но тогдапо теореме Арцела из последовательности f ,k ( · ) − c ,k можно выбрать подпо-следовательность, равномерно сходящуюся на D к выпуклой функции f ( · ) .
87 —
Соответствующая подпоследовательность последовательности f ,k ( · ) − c ,k бу-дет стремиться к выпуклой функции f ( · ) , что означает, что f ( · ) есть ПРВфункция.Пусть условия теоремы выполняются, но f ( · ) не есть ПРВ функция. Про-делаем следующую процедуру. Путем разбиения множества D на выпуклыеподобласти можно выделить ту подобласть, где функции f ,k ( · ) имеют пре-дельное бесконечное значение вариации производной вдоль некоторых отрез-ков этой подобласти при k → ∞ . Действительно, в противном случае из по-следовательности функции f ,k ( · ) − c ,k можно было бы выбрать сходящуюсяподпоследовательность, и f ( · ) была бы ПРВ функцией.Далее разбиваем выделенную подобласть на меньшие области и опять вы-деляем ту, где вариация производной функций f ,k ( · ) вдоль некоторых отрез-ков неограничена при k → ∞ . В итоге определяем точку M , в произвольнойокрестности которой вариация производной функций f ,k ( · ) вдоль некоторыхотрезков неограничена при k → ∞ . Без ограничения общности можно считать,что M − внутренняя точка множества ¯ D, так как все получаемые в процессеприменения алгоритма функции − равномерно липшицевы и могут быть рас-пространены во вне множества ¯ D, Берем произвольную окрестность точки M и разбиваем ее на конечное чис-ло секторов. Выбираем произвольный из них, где вариация производной функ-ций f ,k ( · ) вдоль некоторых отрезков неограничена при k → ∞ . Далее вы-бранный сектор разбиваем на конечное число секторов и опять выбираем тотиз низ, где вариация производной функций f ,k ( · ) вдоль некоторых отрезковнеограничена при k → ∞ и т.д. Множество выбранных секторов стягивается кнекоторому направлению, определяемому единичным вектором l с вершинойв точке M . Очевидно, что в произвольном секторе K с вершиной с точке M ,содержащем вектор αl в int K , α > , вариация производной функций f ,k ( · ) вдоль некоторых отрезков неограничена при k → ∞ .Возможны два случая:
88 — a) вариация производных функций f ,k ( · ) по направлению l неограниченапри k → ∞ ;б) вариация производных функций f ,k ( · ) по направлению η, перпендику-лярном направлению l , неограничена при k → ∞ .Сказанное можно перефразировать следующим образом, а именно: суммавариаций производных выпуклых двугранных углов функции f k ( · ) вдоль ука-занного направления неограничена при k → ∞ .Рассмотрим случай а). Возьмем произвольный сектор K , содержащий век-тор αl в int K , α > . Будем рассматривать выпуклые двугранные углы функ-ций f ,k ( · ) из конуса K для всех k .За счет равномерной липшицевости по k всех двугранных углов функций f k ( · ) вариации производных по направлению этих двугранных углов равно-мерно непрерывны относительно направления и k .Для каждого выпуклого i − ого двугранного функции f k ( · ) выделим отрезок v k,i , вариация производной вдоль которого для i − ого двугранного угла мак-симальна и равна a k,i . Ясно, что отрезок v k,i должен быть перпендикуляренпроекции на плоскость X OY линии раздела двух граней i − ого двугранногоугла.Пусть угол наклона отрезков v k,i с направлением l не превосходит π/ − δ для некоторого δ > . Путем разбиения сектора K на меньшие секторы, стягивающиеся к вектору αl и точку M , и рассмотрения в каждом из них своей группы отрезков v k,i длявсех значений k и i , можно выделить одну или несколько групп указанных от-резков, каждую из которых можно пересечь кривой r ( · ) ∈ ℘ ( D ) , образующейв точке пересечения с отрезками v k,i угол, не превосходящий π/ − δ, δ > . Поскольку сектор K произвольный, содержащий вектор αl , то можно рассмат-ривать такие кривые, для которых r ′ ( t ) → − l, когда r ( t ) → M. Сама кривая r ( · ) будет включать в себя отрезки, близкие к отрезкам v k,i .Если для рассматриваемого случая подгруппа отрезков { v k,i } существует
89 — только одна, то вдоль найденной кривой r ( · ) ∈ ℘ ( D ) вариация производнойсуммы выпуклых двугранных углов стремится к бесконечности при k → + ∞ .Кривая r ( · ) , как упоминалось, строится таким образом, чтобы она включалаотрезки, близкие к отрезкам { v k,i } . Так как при выполнении неравенства (5.3)выполняется неравенство (5.5), а мы нашли кривую r ( · ) , вдоль которой сум-ма вариаций производных двугранных углов бесконечна, то из (5.5) следует,что неограничена вдоль r ( · ) вариация производной функции Φ( · ) . Приходимк противоречию.Кроме того, возможен случай, когда у нас есть несколько групп отрезков { v k,i } , для каждой из которых найдется кривая r i ( · ) ∈ ℘ ( D ) , что ∨ (Φ ′ k ; 0 , T r i ) = c i , r ′ i ( t ) → t → T ri − l, где T r i − параметр кривой r i ( · ) при естественной параметризации в точке M ,а также X i c i = ∞ . Тогда кривую r ( · ) ∈ ℘ ( D ) , вдоль которой сумма вариаций производных дву-гранных углов стремится к бесконечности при k → + ∞ , будем строить следу-ющим образом.Кривая r ( · ) должна содержать достаточное количество отрезков из каждойгруппы отрезков { v k,i } , (либо близких к ним), чтобы ∨ (Φ ′ k ; t r i , t r i +1 ) = c i − µ i , где t r i > − значения параметра t для i -ой группы отрезков при естествен-ной параметризации кривой r i ( · ) , µ i < c i − малые положительные числа, длякоторых X i µ i < ∞ . Нетрудно видеть, что всегда такую кривую r ( · ) построить можно. Она будетсостоять из набора кривых r i ( · ) . Для этого надо осуществить плавный переход
90 — от одной кривой r i ( · ) к кривой r i +1 ( · ) , не выходя из множества ℘ ( D ) . Поскольку r ′ i ( t ) → − l при t → T r i для вех i, то подобная процедура осуществима всегда.Но тогда ∨ (Φ ′ k ; 0 , T r ) ≥ X i ∨ (Φ ′ k ; t r i , t r i +1 ) == X i ( c i − µ i ) = X i c i − X i µ i = ∞ . Но тогда, как следует из (5.5), нарушается неравенство (5.3), которое попредположению достаточности условия теоремы является верным. Опять при-ходим к противоречию.Если вариация производной суммы выпуклых двугранных углов функции f k ( · ) конечна вдоль направления, определяемого вектором l , при любом k , тодля случая неограниченности при k → ∞ вариации производной функции f ,k ( · ) в произвольно малом секторе с вершиной M , содержащем вектор αl , α > , следует, что вариация производной суммы выпуклых двугранных угловфункции f k ( · ) бесконечна при k → ∞ вдоль направления η ,Случай б). Все отрезки { v k,i } можно разбить на такие группы { m } отрезков,которые можно пересечь кривой r k,m ( · ) ∈ ℘ ( D ) , для которой r ′ k,m ( τ ) → τ → T rk,m − l, где T r k,m − есть параметр кривой r k,m ( · ) при естественной параметризации вточке M, и кривизна кривой r k,m ( · ) стремится к бесконечности при τ → T r k,m . Кривая r k,m ( · ) пересекает свою группу отрезков под острыми углами α k,m вточках τ k,m , причем α k,m → π/ при τ k,m → T r k,m . Ясно, что сказанное всегдавыполнимо путем разбиения множества всех отрезков v k,i на подмножества стребуемыми свойствами.Кроме того, углы α k,m , кривые r k,m ( · ) и группы отрезков { v k,i } m можновыбрать такими, чтобы предел по m, k вариаций производных функций Φ ′ k ( · ) вдоль кривых r k,m ( · ) был равен бесконечности. В противном случае функции f k ( · ) имели бы ограниченную вариацию вдоль направления η при k → + ∞ (см. замечание).
91 —
Построение кривых r k,m ( · ) с неограниченно увеличивающейся кривизной вточке M , для которой lim k →∞ ,m →∞ ∨ (Φ ′ k ; 0 , T r k,m ) = ∞ , осуществляется аналогичным способом, как и в случае a). Для этого надо по-строить кривую r k,m ( · ) ∈ ℘ ( D ) с описанными выше свойствами, состоящую издостаточного количества k i,m отрезков { v k,i } m (либо близких к ним), чтобы ∨ (Φ ′ k ; [ t r k,m , t r k,i,m +1 ]) = c k,m , и lim k →∞ ,m →∞ c k,m = ∞ , [ t r k,m , t r k,m +1 ] - значение параметра t для m -ой группы отрезков при естественнойпараметризации кривой r k,m ( · ) . Такие кривые r k,m ( · ) всегда можно построить.При k, m → ∞ кривые r k,m будут пересекать под острыми углами все боль-шее число указанных отрезков из произвольно малого сектора, содержащемвектор αl , с вершиной в точке M . Кривизны кривых r k,m вблизи точки M неограниченно увеличиваются при k, m → ∞ .Но тогда lim k →∞ ,m →∞ ∨ (Φ ′ k ; 0 , T r k,m ) ≥ lim k →∞ ,m →∞ c k,m = ∞ . Отсюда и из (5.5) приходим к противоречию с (5.3).Итак, доказано, что при выполнении условия теоремы, сумма вариаций про-изводных выпуклых двугранных углов функции f k ( · ) вдоль любого отрезка об-ласти D при k → ∞ ограничена сверху константой, независящей от k . Отсюда,как отмечалось выше, следует, что f ( · ) − ПРВ функция.Итак, теорема 5.1.1 доказана. (cid:3)
Замечание 1.
Рассуждения с выбором углов α k,m и кривых r k,m ( · ) анало-гичны следующим.Пусть имеем расходящийся ряд X i a i = ∞ , a i > ∀ i.
92 —
Всегда можно выбрать монотонно убывающую по i последовательность { β i } ,β i → i →∞ , чтобы lim m →∞ m X i =1 β i a i = ∞ . Здесь a i является аналогом вариации производной двугранного угла вдоль от-резка v i , а β i - аналог косинуса угла, образуемого кривой r i с этим отрезкомв точке пересечения. Перефразируем теорему 5.1.1, придав ей более геометрический характер. Дляэтого введем понятие поворота кривой r ( · ) на графике Γ f = { ( x, y, z ) ∈ R | z = f ( x, y ) } . Рассмотрим на Γ f кривую R ( t ) = ( r ( t ) , f ( r ( t ))) , где r ( · ) ∈ ℘ ( D ) . Так какфункция f ( · , · ) есть липшицевая, то п.в. на [0 , T r ] существует производная R ′ ( · ) , которую обозначим через τ ( · ) = R ′ ( · ) , а множество точек, где она су-ществует, − через N r . Определение 5.3.1
Поворотом кривой R ( · ) на многообразии Γ f назовем ве-личину sup { t i }⊂ N r X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk = O r . Таким образом, поворот O r кривой R ( · ) есть верхняя грань суммы угловмежду касательными τ ( t ) для t ∈ [0 , T r ] . Нетрудно видеть, что для плоскойгладкой кривой, параметризованной естественным образом, величина O r равнаинтегралу Z T r | k ( s ) | ds,
93 — где k ( s ) - кривизна рассматриваемой кривой r ( · ) в точке s ∈ [0 , T r ] , т.е. совпа-дает с обычным определением поворота кривой в точке [15]. Теорема 5.3.1
Для того, чтобы произвольная липшицевая функция z → f ( z ) : D → R была ПРВ функцией на выпуклом компактном множестве D ∈ R , необходимо и достаточно, чтобы для всех r ( · ) ∈ ℘ ( D ) существовалаконстанта c ( D, f ) > такая, что поворот кривой R ( · ) на Γ f ограниченсверху константой c ( D, f ) > , т.е. O r ≤ c ( D, f ) ∀ r ∈ ℘ ( D ) . (5.6)Доказательство проводится аналогично доказательству Теоремы 4.3.1 дляранее рассмотренного случая п.о. функции m − степени от n переменных.
94 —
Материал в данном разделе является продолжением работ автора [6], [7], гдеприведены необходимые и достаточные условия представимости произвольнойфункции двух переменных в виде разности выпуклых функций. Результат рас-пространяется на функции от произвольного количества аргументов. Геомет-рическая интерпретация этих условий, как и в работе [7], также приведена.Описан алгоритм такого представления, применение которого есть последова-тельность равномерно сходящихся выпуклых функций.
Автор пришел к проблеме об условиях представимости функции в виде разно-сти выпуклых в процессе изучения теории квазидифференцируемых функций,развитой специалистами по оптимизации [9]-[10].Эта проблема была впервые сформулирована академикомА.Д.Александровым в статье [2] и исследована многими российскими изарубежными математиками [3] - [20]. Решение этой проблемы важно длягеометров и математиков, занимающихся оптимизацией, например, дляпостроения квазидифференциального исчисления [9]-[10].В работе [7] дана предыстория вопроса.Согласно терминологии А.Д.Александрова под многогранной кусочно-линейной функцией с конечным числом граней будем понимать такую функ-цию, график которой состоит из конечного числа частей плоскостей (гипер-
95 — плоскостей), которые называются гранями.В статье [6] даны необходимые и достаточные условия представимости про-извольной липшицевой положительно однородной (п.о.) функции трех пере-менных в виде разности выпуклых функций.В статье [7] рассматривается произвольная липшицевая функцию f ( · ) с кон-стантой Липшица L от двух переменных ( x, y ) → f ( x, y ) : D → R , где D есть выпуклое открытое ограниченное множество в R с непустой внутренно-стью, так что его замыкание ¯ D - компакт. Там же приводится алгоритм такогопредставления в виде последовательности выпуклых многогранных функций,а также находятся необходимые и достаточные условия сходимости построен-ной последовательности функций.Дадим формулировку результатов, полученных в [7].Пусть ℘ ( D ) - класс кривых на плоскости X OY на множестве D ⊂ R ,ограничивающих выпуклые компактные множества. Параметризуем кривые r ∈ ℘ ( D ) естественным, или натуральным образом, т.е. параметр τ точки M на кривой r ( · ) равен длине кривой между M и начальной точкой. Обозначимтакую кривую как r ( t ) , t ∈ [0 , T r ] .С помощью кривых r ∈ ℘ ( D ) необходимые и достаточные условия предста-вимости функции f : D −→ R в виде разности выпуклых функций записыва-ются в следующем виде. Теорема 6.1.1
Для того, чтобы липшицевая функция z → f ( z ) : D → R была представима в виде разности выпуклых функций (была ПРВ функцией),необходимо и достаточно, чтобы ( ∃ c ( D, f ) > ∀ r ∈ ℘ ( D )) ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) < c ( D, f ) , где Φ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] и символ ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) означает вариациюфункции Φ ′ на отрезке [0 , T r ] , причем производные Φ ′ берутся там, где онисуществуют. Применяется специальный алгоритм представления функции f ( · ) в виде
96 — разности выпуклых функций. В результате применения этого алгоритма по-лучается конечная или бесконечная последовательность выпуклых функций,равномерно сходящаяся на D к выпуклым функциям, разность которых естьисходная функция f ( · ) , если условия теоремы 1 выполняются.Для представления функции f ( · ) в виде разности выпуклых функций ис-пользуются две операции, в результате которых получается конечное или счет-ное число выпуклых многогранных кусочно-линейных функций, определенныхна D . Первая операция - это приближение функции f ( · ) многогранной кусочно-линейной функцией f N ( · ) с конечным числом граней. График функции f N ( · ) состоит из конечного числа частей плоскостей, которые строятся по разбиениюобласти D N ⊂ D на подобласти в виде треугольников с непустыми внутренно-стями. Диаметры подобластей равномерно стремятся к нулю, ρ H ( D, D N ) → N при N → ∞ , где ρ H − метрика Хаусдорфа [9]. Вторая операция - это представление функции f N ( · ) в виде разности выпук-лых многогранных кусочно-линейных функций f ,N ( · ) : D → R и f ,N ( · ) : D → R согласно алгоритму, описанному ниже. За счет равномерной липшицевостипо N функции f ,N ( · ) , f ,N ( · ) всегда можно распространить на всю область D .Доказывается, что если выполняются условия теоремы 1, то из последова-тельностей f ,N ( · ) − c ,N и f ,N ( · ) − c ,N , где c ,N = f ,N ( a ) , a − произвольнаявнутренняя точка области D , можно выбрать сходящиеся подпоследователь-ности.Метод представления многогранной функции в виде разности выпуклых по-добен методу, предложенному А.Д.Александровым в [2] при исследовании воз-можности представления многогранной функции с конечным числом граней ввиде разности выпуклых. В нашем случае в процессе применения алгоритмачисло граней неограниченно увеличивается.Также в [7] дана геометрическая интерпретация полученного результата че-рез поворот кривой R ( t ) = ( r ( t ) , f ( r ( t ))) , где r ( · ) ∈ ℘ ( D ) . Оказывается, что
97 — липшицевая функция f ( · ) от двух переменных представима в виде разностивыпуклых тогда и только тогда, когда поворот кривых R ( t ) = ( r ( t ) , f ( r ( t ))) равномерно ограничен для всех r ( · ) ∈ ℘ ( D ) . Вопрос об условиях представления функции в виде разности выпуклых ин-тересен для специалистов многих специальностей. Авторы статей на эту темустараются получить необходимые и достаточные условия представимости, ко-торые можно легко проверить, что сделать в общем случае довольно непросто.
Рассмотрим многомерный случай x ∈ R n , n > . Пусть D − выпуклое открытоемножество в R n , замыкание которого есть компакт. Нас будут интересоватьнеобходимые и достаточные условия представимости функции f ( · ) : D → R ввиде разности выпуклых.Под координатной плоскостью будем понимать плоскость, образованнуюдвумя координатными осями.Введем множество замкнутых кривых ˜ ℘ ( D ) , принадлежащих D ⊂ R n . Кри-вую r ( · ) параметризуем естественным образом, т. е. t − натуральный параметр,равный длине кривой r от начальной точки с параметром t = 0 до рассматри-ваемой точки c параметром t . Отрезок значений параметра t обозначим через [0 , T r ] . Поскольку выполняется неравенство k r ( t ) − r ( t ) k ≤| t − t | , то кривая r ( · ) почти всюду дифференцируема на [0 , T r ] . Множество точек диф-ференцируемости кривой r ( · ) обозначим через N r .Введем понятие координатной плоскости. Под координатной плоскостью будем понимать плоскость, образованную двумя координатными осями.Множество ˜ ℘ ( D ) будет состоять из кривых r ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , которые имеютвзаимнооднозначные проекции на одну из координатных плоскостей Π r (для
98 — каждой кривой своя координатная плоскость) в виде кривых из множества ℘ ( P r ( D )) , где P r ( D ) − проекция области D на ту координатную плоскость Π r , на которую проектируется кривая r ( · ) , а также углы γ r , которые образуютрадиус-векторы r ( t ) , r ′ ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , c Π r , не превосходят π/ .Если, например, D = B R (0) = { x ∈ R |k x k≤ R }− шар радиуса R с цен-тром в начале координат трехмерного пространства, то некоторые из кривых,получающихся в результате пересечения произвольных плоскостей с концен-трическими сферами S ε (0) = { x ∈ R |k x k = ε } радиуса ε ≤ R , будутпринадлежать множеству ˜ ℘ ( D ) .С помощью кривых r ∈ ˜ ℘ ( D ) необходимые и достаточные условия предста-вимости функции f : D −→ R в виде разности выпуклых функций записыва-ются в следующем виде. Теорема 6.2.1
Для того, чтобы липшицевая функция z → f ( z ) : D → R была представима в виде разности выпуклых функций (была ПРВ функцией),необходимо и достаточно, чтобы ( ∃ c ( D, f ) > ∀ r ∈ ˜ ℘ ( D )) ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) < c ( D, f )(1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) , где Φ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Замечание 6.2.1
Из теоремы 6.2.1 следует теорема 6.1.1, поскольку в дву-мерном случае по свойству кривых r ( · ) ∈ ℘ ( D ) вариация ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) огра-ничена равномерно для всех кривых из рассматриваемого класса и векторы r ( · ) , r ′ ( · ) лежат на координатной плоскости R , которой принадлежит мно-жество D . Вариация производной r ′ ( · ) определяется также, как длина кри-вой (см. [15]), и ее точное определение дается ниже. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА
1. Производим разбиение области D N , D N ⊂ D, ρ H ( D, D N ) → N , на выпук-лые многогранники G k , k = 1 , , . . . , N, с непустыми внутренностями и n + 1
99 — вершинами, диаметры которых равномерно стремятся к нулю при N → ∞ .Строим по каждому многограннику G k гиперплоскость π k ( · ) , являющуюсяграфиком линейной функции, определенной на D , значения которой равнызначениям функции f ( · ) в вершинах многогранника G k . Функцию, график ко-торой внутри каждого многогранника G k совпадает с гиперплоскостью π k ( · ) , k ∈ , N , обозначим через f N ( · ) : D → R . Назовем f N ( · ) многогранной функ-цией.2. Представляем функцию f N ( · ) в виде разности выпуклых согласно алго-ритму, как это описано ниже.Предварительно введем понятие двугранного угла . Будем понимать под дву-гранным углом функцию, определенную на D , равную максимуму или мини-муму линейных функций, графиками которых являются гиперплоскости π k ( · ) и π l ( · ) , построенные по соседним многогранникам G k , имеющим общие граниразмерности n − .Рассмотрим все выпуклые двугранные углы, части графиков которых при-надлежат графику функции f N ( · ) . Определяем эти двугранные углы на всейобласти D . Просуммируем все такие выпуклые двугранные углы. В итоге по-лучим выпуклую многогранную функцию f ,N ( · ) : D → R . Доказывается [2],что разность f ,N ( · ) − f N ( · ) = f ,N ( · ) (6.1)есть также выпуклая многогранная функция.Действительно, для доказательства достаточно показать, что все двугран-ные углы, части графиков которых принадлежат графику функции f ,N ( · ) − f N ( · ) , есть выпуклые. Для этого покажем, что любая точка, лежащая на про-екции на D пересечения π kl ( · ) = π k ( · ) ∩ π l ( · ) произвольных гиперплоскостей π k ( · ) и π l ( · ) , образующих график двугранного угла функции f ,N ( · ) − f N ( · ) , имеет малую окрестность, где функция f ,N ( · ) − f N ( · ) выпуклая.Если берем точку, в малой окрестности которой функция f N ( · ) линейная,то локальная выпуклость разности f ,N ( · ) − f N ( · ) очевидна. Пусть берем точ-
100 — ку, лежащую на проекции на D множества π kl ( · ) выпуклого двугранного угла,часть графика которого принадлежит графику функции f N ( · ) . Поскольку со-гласно алгоритму двугранный угол, график которого образован гиперплоско-стями π k ( · ) и π l ( · ) , входит в сумму выпуклых двугранных углов, образующихфункцию f ,N ( · ) , то опять разность f ,N ( · ) − f N ( · ) будет локально выпуклой вокрестности рассматриваемой точки. Если же точка лежит на проекции на D множества π kl ( · ) вогнутого двугранного угла, часть графика которого принад-лежит графику функции f N ( · ) , то − f N ( · ) − локально выпуклая в окрестностиэтой точки, а поэтому разность f ,N ( · ) − f N ( · ) снова локально выпуклая в тойже окрестности. Из локальной выпуклости всех двугранных углов функции f ,N ( · ) − f N ( · ) следует ее выпуклость на всем множестве D .Покажем, что при выполнении теоремы 6.1.1 из последовательности функ-ций f ,N ( · ) − c ,N можно выделить подпоследовательность, равномерно сходя-щуюся на D к выпуклой функции f ( · ) при N → + ∞ . Тогда из (6.1) будетследует, что подпоследовательность функций f ,N ( · ) − c ,N также равномерносходится к выпуклой функции f ( · ) . Для функций f ( · ) и f ( · ) верно равенство f ( · ) − f ( · ) = f ( · ) . (6.2)В статье [7] показано, что данный алгоритм приводит к равномерно схо-дящейся последовательности выпуклых функций для одномерного случая. Вдвумерном случае, как доказано там же, при выполнении условий теоремы6.1.1 этот алгоритм также проводит к равномерно сходящейся на D последо-вательности выпуклых функций.Перейдем к случаю n > и покажем, что тот же алгоритм при выполненииприведенной ниже теоремы также приводит к паре выпуклых функций на D ,разность которых есть исходная функция f ( · ) .Возьмем произвольную кривую r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) . Пусть Φ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Покажем, что Φ( · ) - липшицевая с константой L . Действительно, для любых
101 — t , t ∈ [0 , T r ] имеем | Φ( t ) − Φ( t ) | = | f ( r ( t )) − f ( r ( t )) |≤ L k r ( t ) − r ( t ) k ≤ L | t − t | . Поэтому [12] Φ( · ) почти всюду (п.в.) дифференцируемая на [0 , T r ] . Множествоточек дифференцируемости функции Φ( · ) на [0 , T r ] обозначим также, как вы-ше, через N r . Докажем, что если существует константа c ( D ) > такая, что для произ-вольной кривой r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) < c ( D )(1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) , (6.3)то из последовательностей функций f ,N ( · ) − c ,N , f ,N ( · ) − c ,N , можно выбратьподпоследовательности, равномерно на D сходящиеся к выпуклым функциям f ( · ) , f ( · ) соответственно, для которых верно равенство (6.2).Доказательство будет основываться на леммах, приведенных ниже. Определение 1.
Под вариацией кривой r ′ ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) на отрезке [0 , T r ] будем понимать величину ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) = sup { t i }⊂ N R X i k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i − ) k . Лемма 6.2.1
Для любой выпуклой п.о. степени 1 функции q → ψ ( q ) : R n → R и любой кривой r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) верно неравенство ∨ (Θ ′ ; 0 , T r ) < c ( D, ψ )(1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) ∀ r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) , где Θ( t ) = ψ ( r ( t )) для всех t ∈ [0 , T r ] , c ( D, ψ ) - некоторая константа. Доказательство.
Рассмотрим сперва случай, когда ψ ( · ) есть гладкаяфункция на R n \{ } . Пусть ψ ( r ( t )) = max v ∈ ∂ψ (0) ( v, r ( t )) = ( v ( t ) , r ( t )) , v ( t ) ∈ ∂ψ (0) , где ∂ψ (0) - субдифференциал функции ψ ( · ) в нуле. Будем также считать, что r ( · ) − дифференцируемая кривая по t ∈ [0 , T r ] .
102 —
Очевидно, что ψ ′ ( r ( t )) = ( v ′ ( t ) , r ( t )) + ( v ( t ) , r ′ ( t )) . Так как r ( t ) есть нормаль к границе множества ∂ψ (0) в точке v ( t ) , то векторы v ′ ( t ) и r ( t ) перпендикулярны друг к другу, а следовательно, ( v ′ ( t ) , r ( t )) = 0 . Поскольку кривая r ( · ) параметризована естественным образом, то k r ′ ( t ) k = 1 для любых t ∈ [0 , T r ] .Нетрудно проверить следующую цепочку неравенств | ψ ′ ( r ( t )) − ψ ′ ( r ( t )) | = | ( v ( t ) , r ′ ( t )) − ( v ( t ) , r ′ ( t )) | = | ( v ( t ) − v ( t ) , r ′ ( t ))+( v ( t ) , r ′ ( t )) − ( v ( t ) , r ′ ( t )) |≤ k v ( t ) − v ( t ) k k r ′ ( t ) k + k r ′ ( t ) − r ′ ( t ) k k v ( t ) k ≤k v ( t ) − v ( t ) k + L ( D ) k r ′ ( t ) − r ′ ( t ) k . (6.4)Отсюда следует, что ∨ (Θ ′ ; 0 , T r ) ≤ длина кривой v(t) для t ∈ [0 , T r ] + L ( D ) · ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) , где v ( t ) - граничные векторы множества ∂ψ (0) с нормалями r ( t ) и L ( D ) -константа Липшица функции ψ ( · ) . Если будет показано, что длина кривой v ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , ограничена сверху одной и той же константой для всех кривых r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) , то лемма 1 для рассматриваемого случая будет доказана.Докажем равномерную ограниченность длины кривой v ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , неза-висимо от n . Для n = 2 утверждение верно, что доказано в [6].Рассмотрим проекцию P r ( r ( · )) кривой r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) на одну из координатныхплоскостей Π r , с которой векторы r ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , образуют угол, не больший π/ , а также P r ( r ( · )) принадлежат ℘ ( P r ( D )) , где P r ( D ) − проекция множе-ства D на Π r .Так как нас интересуют крайние векторы v ( · ) и нормали r ( · ) к множеству ∂ψ (0) , то без ограничения общности будем считать, что ∈ int co P r ( r ( · )) .Спроектируем кривую v ( · ) на координатную плоскость Π r . Обозначим по-лучившуюся кривую через P r ( v ( t )) , t ∈ [0 , T r ] . Кривая
P r ( v ( · )) ограничивает
103 — выпуклое компактное множество V r ⊂ R на координатной плоскости Π r . Дей-ствительно, согласно свойству проекции кривой r ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , на координат-ную плоскость Π r нормалями к кривой P r ( v ( t )) , t ∈ [0 , T r ] , являются векторы P r ( r ( t )) , t ∈ [0 , T r ] , а кривая P r ( r ( · )) принадлежит множеству ℘ ( P r ( D )) . От-сюда следует сказанное выше.Докажем, что для всех r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) множества V r равномерно ограниченыв совокупности. Построим по кривой P r ( v ( · )) п.о. функцию η ( · ) : R → R .Положим по определению η ( q ) = max y ∈ V r ( y, q ) ∀ q ∈ S (0) . Множество V r является субдифференциалом в нуле функции η ( · ) , т.е. V r = ∂η (0) . Функция η ( · ) является липшицевой с константой L ( D ) , так как все ееобобщенные градиенты ограничены по норме той же константой, какой огра-ничены по норме обобщенные градиенты функции ψ ( · ) , т.е. L ( D ) .Из сказанного выше следует, что длины кривых P r ( v ( · )) ограничены в со-вокупности для всех r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) . Векторы P r ( v ( t )) , t ∈ [0 , T r ] , являются про-екциями векторов v ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , на Π r , но поскольку векторы r ( t ) , r ′ ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , образуют с Π r угол, не больший π/ , то длина вектора v ( t ) − v ( t ) прималом | t − t | оценивается сверху величиной S ( D, ψ ) · k P r ( v ( t )) − P r ( v ( t )) k ,где S ( D, ψ ) − константа, определяемая рассматриваемым классом кривых ˜ ℘ ( D ) , а именно: максимальным углом, образуемым векторами r ′ ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , с плоскостью Π r , множеством D и самой функцией ψ . Отсюда можно утвер-ждать, что длины кривых v ( · ) равномерно ограничены сверху для всех r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) .Из ограниченности длин кривых v ( · ) равномерно по всем r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) и изнеравенства (6.2) следует утверждение леммы 1 при сделанном предположе-нии.Пусть теперь ψ ( · ) − произвольная выпуклая п.о. функция. С любой степе-нью точности ее можно приблизить на единичном шаре B n (0) выпуклой п.о.дифференцируемой функцией ˆ ψ ( · ) так, чтобы в метрике Хаусдорфа субдиф-
104 — ференциалы в нуле этих функций отличались друг от друга как угодно мало.Но тогда длины кривых v ( · ) для любых r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) , построенных для функций ˆ ψ ( · ) и ψ ( · ) , также будут отличаться друг от друга как угодно мало. Кривую r ( · ) можно приблизить дифференцируемой кривой таким образом, чтобы ихпроизводные по t в точках дифференцируемости кривой r ( · ) отличались другот друга по норме на произвольно малую величину. Таким образом, любыеконечные суммы, используемые при вычислении вариаций функций Θ ′ ( · ) и ˆΘ ′ ( · ) для негладкого и гладкого случая, могут быть сделаны за счет прибли-жения как угодно близкими друг к другу. Но поскольку вариацию функции ˆΘ ′ ( · ) можно ограничить сверху величиной, зависящей только от множества D ,кривой r ′ ( · ) и самой функции ψ ( · ) , а также некоторых констант, то лемма 1доказана. (cid:3) На основе этой леммы докажем утверждение (см., например, [19], [22] ).
Лемма 6.2.2
Пусть f ( · ) : R n → R − непрерывная выпуклая функция и r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) . Тогда существует константа c ( D, f ) > , что ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) ≤ c ( D, f ) , (1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) ∀ r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) , (6.5) где Φ ( t ) = f ( r ( t )) , t ∈ [0 , T r ] . Доказательство.
На начальном этапе будем считать, что f ( · ) дваждынепрерывно дифференцируемая функция на D , которая принимает неотрица-тельные значения и начало координат − ее точка минимума, где f (0) = 0 .Обозначим константу Липшица функции f ( · ) на D через L ( D ) .Считаем, что принадлежит внутренности выпуклой области на Π r с гра-ницей P r ( r ( · )) − проекцией кривой r ( · ) на одну из координатных плоскостей Π r , с которой векторы r ( t ) , r ′ ( t ) , t ∈ [0 , T r ] , образуют углы не более π/ и P r ( r ( · )) ∈ ℘ ( P r ( D )) .Построим для функции f ( · ) выпуклую п.о. степени 1 функцию η ( · ) : R → R , которая на P r ( r ( t )) принимает значения, равные f ( r ( · )) , а в начале коорди-нат − нуль. В данном случае под P r ( r ( t )) будем понимать двумерные векторыкоординатной плоскости Π r .
105 —
Положим по определению η ( P r ( r ( t ))) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] и для любого λ > η ( λP r ( r ( t ))) = λη ( P r ( r ( t ))) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Ясно, что η ( · ) строится однозначно по функции f ( · ) и выбранной кривой r ( · ) . Функция η ( · ) будет п.о, так как для любого λ > и z = µP r ( r ( t )) ∈ Π r , µ > , η ( λz ) = η ( λµP r ( r ( t ))) = λµ ( η ( P r ( r ( t )))) = λη ( µP r ( r ( t ))) = λη ( z ) . Функция η ( · ) липшицева с константой √ L ( D ) , так как | η ( P r ( r ( t ))) | = | f ( r ( t )) | ≤ L ( D ) k r ( t ) k ≤ √ L ( D ) k P r ( r ( t )) k ∀ t ∈ [0 , T r ] . Функция η ( · ) будет выпуклой. Покажем это.Рассмотрим функцию f ε ( x ) = f ( x ) + ε ( || x || ) , ε > , x ∈ R n . Разобьем отрезок [0 , T r ] точками { t i } , i ∈ J, на равные отрез-ки. Построим плоскости π i в R , проходящие соответственно через точ-ки , ( P r ( r ( t i )) , f ε ( r ( t i ))) , ( P r ( r ( t i +1 )) , f ε ( r ( t i +1 )) , i ∈ J . Части плоско-стей π i , i ∈ J , определенных в секторах, образованных векторами , P r ( r ( t i )) , P r ( r ( t i +1 )) , определяют график п.о. степени 1 многогранной функ-цию ( η ε ) J ( P r ( r ( · ))) . Будем понимать под двугранным углом функцию, график которой состоитиз полуплоскостей с общей граничной прямой, совпадающих в соседних сек-торах с плоскостями π i , π i +1 построенными по этим секторам, как это описановыше. Покажем, что все двугранные углы функции ( η ε ) J ( P r ( r ( · ))) − выпук-лые.
106 —
Поскольку всегда любую кривую r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) можно приблизить с любойстепенью точности гладкой кривой из ˜ ℘ ( D ) , то без ограничения общности бу-дем считать, что r ( · ) - гладкая дифференцируемая кривая с производной r ′ ( · ) . Под градиентом плоскости (гиперплоскости) π i будем понимать градиентлинейной функции, график которой совпадает с плоскостью (гиперплоско-стью) π i . Обозначим градиенты плоскостей π i и π i +1 через ∇ π i и ∇ π i +1 со-ответственно. Воспользуемся теоремой о средней точке, согласно которой су-ществует такая точка t m ∈ [ t i , t i +1 ] , что ∂f ε ( r ( t m )) /∂e i = ( ∇ π i , e i ) , где e i = ( P r ( r ( t i +1 )) − P r ( r ( t i ))) / || P r ( r ( t i +1 )) − P r ( r ( t i )) || . Аналогично для плоскости π i +1 и некоторой точки t c ∈ [ t i +1 , t i +2 ] имеем ∂f ε ( r ( t c )) /∂e i +1 = ( ∇ π i +1 , e i +1 ) , где e i +1 = ( P r ( r ( t i +2 )) − P r ( r ( t i +1 ))) / || P r ( r ( t i +2 )) − P r ( r ( t i +1 )) || . Здесь под векторами e i , e i +1 надо понимать либо двумерные, либо n - мерныевекторы. Так, если векторы e i , e i +1 относятся к производной по направлениюфункции f ε ( · ) , то это n - мерные векторы, если они относятся к производнойпо направлению функции π ( · ) , то это двумерные векторы.Функция f ε ( · ) сильно выпуклая, так как ее матрица вторых частных произ-водных положительно определенная. Любая выпуклая функция имеет неубы-вающую производную по направлению вдоль произвольного луча. Но для силь-но выпуклой функции производная по касательному направлению к проекциина Π r кривой r ( x , τ, g ) = x + τ g + o ε ( τ ) , g ∈ R n , τ > , есть возрастаю-щая функция вдоль этой кривой в малой окрестности точки x . Поэтому длядостаточно большом J и равномерном разбиении кривой r ( · ) точками t i на
107 — подмножества, длины которых стремятся к нулю при J → ∞ , имеем ∂f ε ( r ( t m )) /∂e i < ∂f ε ( r ( t c )) /∂e i +1 , или ( ∇ π i , e i ) < ( ∇ π i +1 , e i +1 ) , поскольку значения функции η ε ( · ) на кривой r ( · ) совпадают со значениямифункции f ε ( · ) согласно построению.Учтем также, что разность ∇ π i +1 − ∇ π i перпендикулярна вектору P r ( r ( t i +1 )) . Отсюда и из неравенства выше следует, что двугранный угол π i , π i +1 - выпуклый. При J → ∞ ( η ε ) J ( · ) ⇒ ( η ε )( · ) . Так как точечный предел для выпуклых функций равносилен равномерномупределу, то η ε ( · ) - выпуклая функция. Также η ε ( · ) ⇒ η ( · ) при ε → +0 , т.е. η ( · ) − выпуклая функция, что и требовалось доказать.Очевидно, что градиенты линейных функций, графики которых есть π i , i ∈ J, ограничены константой, зависящей только от множества D и самой функ-ции f ( · ) , поскольку функции π i , i ∈ J, строятся по функции η ( · ) , котораялипшицевая с константой √ L ( D ) , где L ( D ) константа Липшица функции f ( · ) . Пусть Θ( t ) = η ( P r ( r ( t ))) = f ( r ( t )) = Φ ( t ) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Поскольку ∨ (Θ ′ ; 0 , T r ) = ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) и ∨ ( P r ( r ′ ); 0 , T r ) ≤ ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) , то из леммы 1 следует, что для некоторой константы c ( D, f ) > верно нера-венство ∨ (Θ ′ ; 0 , T r ) ≤ c ( D, f )(1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) .
108 —
Следовательно, для вариации производной функции Φ ( · ) также верно нера-венство ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) ≤ c ( D, f )(1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) . Если функция f ( · ) не есть дважды непрерывно дифференцируемая, то ееможно приблизить выпуклой дважды непрерывно дифференцируемой функ-цией ˜ f ( · ) и построить соответствующую ей функцию ˜ η ( · ) так, чтобы значенияфункций η ( · ) , ˜ η ( · ) и их производных там, где они существуют, как угодно ма-ло отличались друг от друга. Но тогда написанные выше неравенства будутверны для функций Θ( · ) , ˜Θ ( · ) , построенных по η ( · ) , ˜ η ( · ) соответственно, и ихпроизводных. Значит неравенство для вариации производных функции Φ ( · ) верно для общего случая. Лемма 6.2.2 доказана. (cid:3) Из леммы 6.2.2 следует, что если f ( · , · ) представима в виде разности выпук-лых функций, т.е. f ( z ) = f ( z ) − f ( z ) ∀ z ∈ D, где f i ( · , · ) , i = 1 , , - выпуклые, то условие (6.3) c необходимостью выполняется.Действительно, для произвольной r ( · ) ∈ ℘ ( D ) введем обозначения Φ ( t ) = f ( r ( t )) , Φ ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Поскольку [12] ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) ≤ ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) + ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) то, принимая во внимание неравенство (6.5), неравенство (6.3) с необходимо-стью выполняется.Докажем достаточность условия (6.3) для представления функции f ( · ) ввиде разности выпуклых функций.Прежде всего покажем, что для любого r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) верно неравенство ∨ (Φ ′ N ; 0 , T r ) ≤ c (1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) , где Φ N ( t ) = f N ( r ( t )) .
109 —
Действительно, для достаточно равномерного разбиения области D N ⊂ D , ρ H ( D N , D ) → , на многогранники G k , k ∈ , N , с непустыми внутренностямифункции Φ N , Φ и их производные Φ ′ N , Φ ′ , вычисленные в точках, где онисуществуют, близки друг к другу с любой степенью точности ε N , где ε N → +0 при N → ∞ .Поэтому произвольная конечная сумма N X i =1 | Φ ′ N ( t i ) − Φ ′ N ( t i +1 ) | для больших N будет как угодно мало отличаться от суммы N X i =1 | Φ ′ ( t i ) − Φ ′ ( t i +1 ) | . А поскольку вариация функции Φ ′ N ( · ) может только возрастать при вложен-ности разбиений области D N при увеличении N , то отсюда и из сказанноговыше следует, что ∨ (Φ ′ N ; 0 , T r ) ≤ ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) + δ ( N ) ≤ c (1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) , (6.6)где δ ( N ) → +0 при N → ∞ , c - константа.Вариация производных по направлению вдоль произвольного отрезка сум-мы выпуклых функций равна сумме вариаций производных этих выпуклыхфункций по тому же отрезку. Если будет доказано, что сумма вариаций про-изводных всех выпуклых двугранных углов функции f N ( · ) вдоль любого от-резка области D ограничена сверху константой, независящей от N , то отсюдабудет следовать, что ограничена сверху той же константой вариация произ-водной функции f ,N ( · ) вдоль произвольного отрезка области D . Отсюда сле-дует равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность функций f ,N ( · ) − c ,N , где c ,N некоторые константы. Но тогда по теореме Арцела - Аско-ли из последовательности f ,N ( · ) − c ,N можно выбрать подпоследовательность,равномерно сходящуюся на D к выпуклой функции f ( · ) . Соответствующая
110 — последовательность f ,N ( · ) − c ,N будет стремиться к выпуклой функции f ( · ) .Переходя для любого x ∈ int D N в равенстве f N ( x ) = ( f ,N ( x ) − c ,N ) − ( f ,N ( x ) − c ,N ) к пределу по N → ∞ , получим представление функции f в виде разностивыпуклых, т.е. f ( · ) есть ПРВ функция.Пусть условия теоремы выполняются, но f ( · ) не есть ПРВ функция. Про-делаем следующую процедуру. Путем разбиения множества D на выпуклыенепересекающиеся подобласти можно выделить ту подобласть, где функции f ,N ( · ) имеют предельное бесконечное значение вариации производной вдольнекоторых отрезков этой подобласти при N → ∞ . Действительно, в противномслучае из последовательности функции f ,N ( · ) − c ,N можно было бы выбратьсходящуюся подпоследовательность в каждой подобласти, а значит, f ( · ) былабы ПРВ функцией на всем множестве D .Далее разбиваем выделенную подобласть на меньшие области и опять выде-ляем ту, где вариация производной функций f ,N ( · ) вдоль некоторых отрезковнеограничена при N → ∞ . В итоге определяем точку M , в произвольнойокрестности которой вариация производной функций f ,N ( · ) вдоль некоторыхотрезков неограничена при N → ∞ . Без ограничения общности можно счи-тать, что M − внутренняя точка множества ¯ D, так как все получаемые в про-цессе применения алгоритма функции − равномерно липшицевы и могут бытьраспространены во вне множества ¯ D, Берем произвольную окрестность S точки M и разбиваем ее на конечноечисло подмножеств непересекающимися конусами K с вершиной в точке M .Выбираем одно из таких подмножеств K ∩ S , где вариация производной функ-ций f ,N ( · ) вдоль некоторых отрезков неограничена при N → ∞ . Далее вы-бранное множество K ∩ S разбиваем на конечное число подмножеств непере-секающимися конусами с вершиной в точке M и выбираем из них такое, гдевариация производной функций f ,N ( · ) вдоль некоторых отрезков выбранногоподмножества неограничена при N → ∞ и т.д.
111 —
Множество выбранных конусов стягивается к некоторому направлению,определяемому единичным вектором l с вершиной в точке M . Очевидно, чтов произвольном конусе K с вершиной с точке M , содержащем вектор αl вint K , α > , вариация производной функций f ,N ( · ) вдоль некоторых отрез-ков окрестности S неограничена при N → ∞ .Векторов, подобных вектору l , может быть не один. Для найденного вектора l возможны два случая:a) вариация производных функций f ,N ( · ) по направлению l неограниченапри N → ∞ ;б) вариация производных функций f ,N ( · ) по направлению ζ , перпендику-лярному направлению l , неограничена при N → ∞ . Вектор ζ находится ана-логично вектору l , о чем будет сказано ниже.Но если вариация производной функции f ,N ( · ) неограничена вдоль некото-рых отрезков множества K ∩ S при N → ∞ , то и сумма вариаций производныхвдоль этих отрезков выпуклых двугранных углов, построенных по многогран-никам разбиений K ∩ S при построении функций f N ( · ) , также неограниченапри N → ∞ .Рассмотрим случай а). Возьмем произвольный конус K , содержащий вектор αl в int K , α > . Будем рассматривать выпуклые двугранные углы функций f ,N ( · ) , построенные по многогранникам из K ∩ S .Для каждого выпуклого k − ого двугранного функции f N ( · ) выделим от-резок v k,N , вариация производной вдоль которого для k - ого двугранного уг-ла максимальна и равна a k,N . Ясно, что отрезок v k,N должен быть, как и вдвумерном случае, перпендикулярен проекции на R n грани k -ого двугранногоугла, совпадающей с пересечением гиперплоскостей π i и π j , образующих этотдвугранный угол. Очевидно, что грань произвольного двугранного угла имеетразмерность n − и a k,N = ||∇ π i − ∇ π j || , где ∇ π i , ∇ π j − градиенты гиперплос-костей π i и π j соответственно.Пусть угол наклона отрезков v k,N с направлением l не превосходит π/ − δ
112 — для некоторого δ > . Путем уменьшения окрестности S и разбиения K ∩ S на меньшие подконусы,стягивающихся к вектору αl и точку M , и рассмотрения в каждом из них своейгруппы отрезков { v k,N } для всех значений k и N → + ∞ , можно выделить однуили несколько групп указанных отрезков, каждую из которых можно пересечькривой r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) , образующей в точке пересечения с отрезками v k,N угол,не превосходящий π/ − δ , δ > . Поскольку конус K , содержащий вектор αl , и окрестность S точки M − произвольные, то можно рассматривать такиекривые, для которых r ′ ( t ) → − l, когда r ( t ) → M. Сама кривая r ( · ) будетвключать в себя отрезки, близкие к отрезкам v k,N .Если для рассматриваемого случая подгруппа отрезков { v k,N } существуеттолько одна, то вдоль найденной кривой r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) сумма вариаций производ-ных выпуклых двугранных углов равна бесконечности. Так как при выполне-нии неравенства (6.3) выполняется неравенство (6.6), а мы нашли кривую r ( · ) ,вдоль которой сумма вариаций производных двугранных углов бесконечна, тоиз (6.6) следует, что вдоль r ( · ) неограничена вариация производной функции Φ( · ) . Приходим к противоречию насчет справедливости неравенства в условиитеоремы. Противоречие получилось, так как мы предположили, что f не ПРВфункция.Кроме того, возможен случай, когда у нас есть несколько групп отрезков { v k,N } i , для каждой из которых найдется кривая r i ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) , что ∨ (Φ ′ N ; 0 , t r i ) = c i , r ′ i ( t ) → t → t ri − l, где t r i − параметр кривой r i ( · ) при натуральной параметризации в точке M , атакже X i c i = ∞ . Тогда кривую r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) , вдоль которой сумма вариаций производных дву-гранных углов стремится к бесконечности при N → + ∞ , будем строить сле-дующим образом.
113 —
Кривая r ( · ) должна содержать достаточное количество k i отрезков из каж-дой группы отрезков { v k,N } i , (либо близких к ним), чтобы ∨ (Φ ′ N ; t ,r i , t ,r i ) = c i − µ i , где t ,r i , t ,r i > − значения параметра t для i -ой группы отрезков при есте-ственной параметризации кривой r i ( · ) , µ i < c i − малые положительные числа,для которых X i µ i < ∞ . Нетрудно видеть, что всегда такую кривую r ( · ) построить можно. Она бу-дет состоять из частей кривых r i ( · ) . Для этого надо осуществить плавныйпереход от одной кривой r i ( · ) к кривой r i +1 ( · ) , не выходя из множества ˜ ℘ ( D ) . Поскольку r ′ i ( t ) → − l при t → T r i для вех i, то подобная процедура осуще-ствима всегда. Причем данная процедура приводит к кривой r ( · ) с конечнойвариацией производной r ′ ( · ) на отрезке [0 , T r ] вблизи точки M .Но тогда ∨ (Φ ′ N ; 0 , T r ) ≥ X i ∨ (Φ ′ N ; t ,r i , t ,r i ) == X i ( c i − µ i ) = X i c i − X i µ i = ∞ . Нетрудно видеть, что согласно алгоритму всегда можно построить кривую r ( · ) с конечной вариацией ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) . Но как следует из (6.6), неравенство (6.3),которое должно быть верно по предположению достаточности условия теоре-мы, нарушается, то опять приходим к противоречию, так как предположили,что f не ПРВ функция.Случай б). Если сумма выпуклых двугранных углов функции f N ( · ) в про-извольном конусе с вершиной M , содержащем во внутренности вектор αl , α > , бесконечна, а ее вариация производной вдоль направления l конечнапри N → ∞ , то отсюда следует, что вариация производной суммы выпуклыхдвугранных углов функции f N ( · ) бесконечна при N → ∞ вдоль некоторогонаправления ζ , перпендикулярного направлению l .
114 —
Найти направление ζ можно следующим образом. Возьмем произвольнуюокрестность S точки M . Разобьем S на подмножества, совпадающие с пересе-чениями S и конусов V , образованных вектором l и векторами из ортогональ-ного к l подпространства L ⊥ . Пересечения V ∩ L ⊥ также разбивают S ∩ L ⊥ на подмножества. Далее для построенных конусов V повторяем рассужденияаналогично тому, как это делали при нахождении вектора l до тех пор, покане придем к направлению ζ ∈ L ⊥ .В произвольном множестве K ∩ S с вершиной M, содержащем во внутрен-ности векторы αl , α > , сумма вариаций производных выпуклых двугранныхуглов функции f N ( · ) вдоль направления ζ бесконечна при N → ∞ .Все отрезки v k,N можно разбить на такие группы { m } отрезков, которыеможно пересечь гладкой кривой r m,N ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) , для которой r ′ m,N ( τ ) → τ → T rm,N − l, где T r m,N − есть параметр кривой r m,N ( · ) при натуральной параметризации вточке M, и кривизна кривой r m,N ( · ) стремится к бесконечности при τ → T r m,N . Кривая r m,N ( · ) пересекает свою группу отрезков v k,N под острыми углами α k m в точках τ k m , причем α k m → π/ при τ k m → T r m,N . Ясно, что сказанное всегдавыполнимо путем разбиения множества всех отрезков v k,N на подмножества стребуемыми свойствами.Кроме того, углы α k m , кривые r m,N ( · ) и группы отрезков { v k,N } m можновыбрать такими, чтобы предел по m, N вариаций производных функций Φ ′ N ( · ) вдоль кривых r m,N ( · ) был равен бесконечности. Как это сделать, будет описанониже. В противном случае функции f N ( · ) имели бы ограниченную вариациювдоль направления ζ при N → + ∞ (см. замечание).Построение кривых r ( · ) с неограниченно увеличивающейся кривизной в точ-ке M , для которой ∨ (Φ ′ N ; 0 , T r ) = ∞ , осуществляется аналогичным способом, как и в случае a). Для этого надо по-строить кривую r m,N ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) с описанными выше свойствами, состоящую из
115 — достаточного количества k m,N групп отрезков { v k , N } m (либо близких к ним),чтобы ∨ (Φ ′ N ; t ,r m,N , t ,r m,N ) = c m,N , и X m,N c m,N = ∞ ,k m,N → ∞ при m, N → ∞ , [ t ,r m,N , t ,r m,N ] - значение параметра t для m -ой груп-пы отрезков при естественной параметризации кривой r m,N ( · ) . Такие кривые r m,N ( · ) всегда можно построить путем плавного перехода от одной группы от-резков к другой, так как сумма вариаций производных выпуклых двугранныхуглов, построенных по многогранникам разбиений области S ∩ K для любогоконуса K , содержащего l в int K , вдоль направления ζ бесконечна при N → ∞ .При увеличении m, N кривые r m,N будут пересекать под острыми углами всебольшее число отрезков { v k , N } m из множества S ∩ K , содержащего вектор αl .Кривизны кривых r m,N вблизи точки M неограниченно увеличиваются при m, N → ∞ . Причем данная процедура приводит к кривой r ( · ) с конечной ва-риацией производной r ′ ( · ) на малом отрезке [0 , T ] , T < T r , вблизи точки M .Но тогда ∨ (Φ ′ N ; 0 , T r ) ≥ X m,N c m,N = ∞ . Отсюда приходим к противоречию с (6.3), так как из (6.3) следует (6.6). Про-тиворечие с нарушением неравенства в условии теоремы получилось в связи стем, что мы предположили. что f не ПРВ функция.Итак, доказано, что при выполнении условия теоремы, сумма вариаций про-изводных выпуклых двугранных углов функции f N ( · ) вдоль любого отрезкаобласти D при N → ∞ ограничена сверху константой, независящей от N .Отсюда, как отмечалось выше, следует, что f ( · ) − ПРВ функция.Итак, теорема 6.2.1 доказана. (cid:3)
Замечание 2.
Рассуждения с выбором углов α k m и кривых r m ( · ) аналогич-ны следующим.
116 —
Пусть имеем расходящийся ряд X i a i = ∞ , a i > ∀ i. Всегда можно выбрать монотонно убывающую по i последовательность { β i } ,β i → i →∞ , чтобы lim m →∞ m X i =1 β i a i = ∞ . Здесь a i является аналогом вариации производной двугранного угла вдоль от-резка v i , а β i - аналог косинуса угла, образуемого кривой r i с этим отрезкомв точке пересечения. Перефразируем теорему 6.2.1, придав ей более геометрический характер. Дляэтого введем понятие поворота кривой r ( · ) на графике Γ f = { ( x, y ) ∈ R n +1 | y = f ( x ) , x ∈ R n } . Рассмотрим на Γ f кривую R ( t ) = ( r ( t ) , f ( r ( t ))) , где r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) . Так какфункция f ( · ) есть липшицевая, то п.в. на [0 , T r ] существует производная R ′ ( · ) , которую обозначим через τ ( · ) = R ′ ( · ) . Множество t ∈ [0 , T r ] , где существует R ′ ( · ) , обозначим через N R . Определение 2.
Поворотом кривой R ( · ) на многообразии Γ f назовем ве-личину sup { t i }⊂ N R X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk = O R . Таким образом, поворот O R кривой R ( · ) есть верхняя грань суммы угловмежду касательными τ ( t ) для t ∈ [0 , T r ] . Нетрудно видеть, что для плоской
117 — гладкой кривой, параметризованной естественным образом, величина O R рав-на интегралу Z T r | k ( s ) | ds, где k ( s ) - кривизна рассматриваемой кривой r ( · ) в точке s ∈ [0 , T r ] , т.е. совпа-дает с обычным определением поворота кривой в точке [15] . Теорема 6.3.1
Для того, чтобы произвольная липшицевая функция z → f ( z ) : D → R была ПРВ функцией на выпуклом компактном множестве D ∈ R n , необходимо и достаточно, чтобы для всех r ( · ) ∈ ˜ ℘ ( D ) существоваликонстанты c ( D, f ) , c ( D, f ) > , зависящие от выбранного множествакривых ˜ ℘ ( D ) , такие, что для поворота кривой R ( · ) на Γ f верно неравенство O r ≤ c ( D, f ) + c ( D, f ) ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) ∀ r ∈ ˜ ℘ ( D ) . (6.7) Доказательство. Необходимость . Пусть f ( · ) есть ПРВ функция. Пока-жем, что тогда справедливо неравенство (6.7). Воспользуемся неравенством,вытекающим из неравенства треугольника, k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − kk ≤≤ k r ′ ( t i ) / q f ′ t ( r ( t i )) − r ′ ( t i − ) / q f ′ t ( r ( t i − )) k + | f ′ t ( r ( t i )) / q f ′ t ( r ( t i )) − f ′ t ( r ( t i − )) / q f ′ t ( r ( t i − )) | . Так как ≤ p f ′ t ( r ( t i )) ≤ √ L для всех t i ∈ [0 , T r ] , то очевидно,существует такое c > , для которого верно неравенство k r ′ ( t i ) / q f ′ t ( r ( t i )) − r ′ ( t i − ) / q f ′ t ( r ( t i − )) k ≤ c k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i − ) k . (6.8)Из свойств функции θ ( x ) = x/ √ x следует неравенство | f ′ t ( r ( t i )) / q f ′ t ( r ( t i )) − f ′ t ( r ( t i − )) / q f ′ t ( r ( t i − )) |
118 — ≤| f ′ t ( r ( t i )) − f ′ t ( r ( t i − )) | . (6.9)Из (6.8) и (6.9) имеем sup { t i }∈ N R X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≤ c ( ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) + ∨ (Φ ′ ; 0 , T r )) . (6.10)Так как по условию f ( · ) − ПРВ функция, то согласно теореме 6.2.1 ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) ≤ c ( D, f )(1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) , откуда с учетом (6.10) следует неравенство (6.7). Необходимость доказана. Достаточность . Пусть справедливо неравенство (6.7). Покажем, что f ( · , · ) - ПРВ функция. Воспользуемся неравенством k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k − τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≥| f ′ t ( r ( t i )) / p f ′ t ( r ( t i )) −− f ′ t ( r ( t i − )) / q f ′ t ( r ( t i − )) (6.11)Из свойств функции θ ( x ) = x/ √ x и из k f ′ ( z ) k ≤ L для всех z ∈ D, где производная существует, следует существование константы c ( L ) > , длякоторой | f ′ t ( r ( t i )) / q f ′ t ( r ( t i )) − f ′ t ( r ( t i − )) / q f ′ t ( r ( t i − )) ≥≥ c | f ′ t ( r ( t i )) − f ′ t ( r ( t i − )) | , откуда с учетом (6.11) имеем c ( D, f )+ c ( D, f ) ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) ≥ sup { t i }⊂ N R X i k τ ( t i ) / k τ ( t i ) k− τ ( t i − ) / k τ ( t i − ) kk ≥≥ c ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) . (6.12)Из (6.12) следует неравенство c ( D, f ) c + c ( D, f ) c ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) ≥ ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) . Из теоремы 6.2.1 следует, что f ( · ) - ПРВ функция. Достаточность доказана. (cid:3)
119 — r ( · ) , характеризующих ПРВфункции от n переменных В этом разделе мы укажем более узкий класс кривых кривых r ( · ) , с помощьюкоторого можно сформулировать необходимые и достаточные условия предста-вимости на множестве D произвольной липшицевой функции f ( · ) : R n → R от n переменных в виде разности выпуклых.Введем класс непрерывных замкнутых кривых ˆ ℘ ( D ) , параметризованныхестественным образом, проекция которых на любую координатную плоскость Π есть кривая из множества ℘ ( P r ( D )) , где P r ( D ) − проекция множества D ⊂ R n на ту же координатную плоскость Π , т.е. проекция кривой r ( · ) ∈ ˆ ℘ ( D ) нана любую координатную плоскость Π ограничивает на Π выпуклое компактноемножество.Докажем такую теорему. Теорема 6.4.1
Для того, чтобы липшицевая функция z → f ( z ) : D → R была представима в виде разности выпуклых функций (была ПРВ функцией),необходимо и достаточно, чтобы ( ∃ c ( D, f ) > ∀ r ∈ ˆ ℘ ( D )) ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) < c ( D, f ) , (6.13) где Φ( t ) = f ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , T r ] . Доказательство. Необходимость.
Пусть функция f ( · ) представима в ви-де разности п.о. выпуклых функций f i ( · ) : R n → R , i = 1 , , с константа-ми Липшица L i , i = 1 , , соответственно. Зафиксируем произвольную кривую r ( · ) ∈ ˆ ℘ . Возьмем произвольную кривую r ( · ) ∈ ˆ ℘ ( D ) и параметризуем ее есте-ственным образом. Через [0 , T ] обозначим отрезок значений параметра t , где T = T ( r ) − длина кривой r ( · ) . Для функций f ( · ) , f i ( · ) , i = 1 , , определим со-ответственно функции Φ( · ) , Φ i ( · ) , i = 1 , , как это делали ранее. Все функции Φ( · ) , Φ i ( · ) , i = 1 , , липшицевые, а поэтому почти всюду дифференцируемы на [0 , T ] .
120 —
Заметим, что без ограничения общности можно считать, что ˆ ℘ ( D ) ⊂ ˜ ℘ ( D ) , так как путем замены системы координат, что не влияет на представимостьфункции f ( · ) в виде разности выпуклых, и разбиения r ( · ) на конечное числоучастков можно добиться выполнения в определении класса ˜ ℘ ( D ) требованиянасчет угла γ r : ≤ γ r ≤ π/ . Поэтому с необходимостью выполняется нера-венство ( ∃ c ( D, f ) > ∀ r ( · ) ∈ ˆ ℘ ( D )) ∨ (Φ ′ ; 0 , T r ) < c ( D, f )(1 + ∨ ( r ′ ; 0 , T r )) , (6.14)Если мы докажем, что для всех r ( · ) ∈ ˆ ℘ ( D ) для некоторой константы C вы-полняется неравенство ∨ ( r ′ ; 0 , T r ) ≤ C, то отсюда и из (6.14) будет следовать необходимость утверждения теоремы6.4.1.Очевидно k r ′ ( t i ) − r ′ ( t i +1 ) k ≤ X j | r ′ j ( t i ) − r ′ j ( t i +1 ) | , где r j ( · ) , i ∈ n, − координаты вектор-функции r ( · ) . Так как кривая r ( · ) параметризована естественным образом, то k r ′ ( · ) k = 1 , а следовательно, | r ′ j ( · ) | ≤ для всех j ∈ n . Поэтому пары координат вектор-функции r ′ ( · ) ограничивают на соответствующей координатной плоскости Π выпуклое мно-жество, диаметр которого равномерно ограничен для всех плоскостей Π и всехкривых r ( · ) ∈ ˆ ℘ ( D ) , поскольку ограничены диаметры выпуклых множеств,являющихся проекциями множества D на координатные плоскости. Отсюдаследует ограниченность вариации проекции r ′ ( · ) на произвольную координат-ную плоскость. А поэтому верно неравенство (6.13) для всех r ( · ) ∈ ˆ ℘ ( D ) вслучае представимости функции f ( · ) в виде разности выпуклых. Необходи-мость доказана.
121 —
Достаточность.
Для доказательства достаточности надо убедиться, чтовыполнимость неравенства (6.13) для класса кривых ˆ ℘ ( D ) достаточно, чтобыфункция f ( · ) была ПРВ функцией.Мы опять воспользуемся доказательством достаточности теоремы 6.2.1.В ходе доказательства достаточности мы сделали предположение, что f ( · ) не ПРВ функция и далее находили кривую или последовательность кривых { r m ( · ) } , на которых вариации ∨ (Φ ′ m ; 0 , T ) неограничены при m → ∞ , где Φ m ( t ) = f ( r m ( t )) . Поскольку представимость функции f ( · ) на D сводится кее локальной представимости, то выбор кривых { r m ( · ) } можно осуществитьтаким образом, чтобы на малых их участках, где эти кривые принадлежатокрестностям точки M , в произвольно малых окрестностях которой f ( · ) неПРВ функция, кривые { r m ( · ) } принадлежали бы классу ˆ ℘ ( D ) . Таким образом,в случае не представимости функции f ( · ) в виде разности выпуклых мы все-гда можем выбрать кривую или последовательность кривых { r m ( · ) } ∈ ˆ ℘ ( D ) ,вдоль которых вариация ∨ (Φ ′ m ; 0 , T ) не является равномерно ограниченнойпри m → ∞ . Мы пришли к противоречию, так как предположили, что f ( · ) неПРВ функция. Достаточность и теорема доказаны. (cid:3) Теперь можно воспользоваться результатами теорем 6.3.1 и 6.4.1. Повто-рив рассуждения теоремы 6.3.1, а также тем фактом, что вариация ∨ ( r ′ ; 0 , T ) равномерно ограничена для всех кривых r ( · ) ∈ ˆ ℘ ( D ) , нетрудно доказать сле-дующую теорему. Теорема 6.4.2
Для того, чтобы произвольная липшицевая функция z → f ( z ) : D → R была ПРВ функцией на выпуклом компактном множестве D ∈ R n , необходимо и достаточно, чтобы для всех r ( · ) ∈ ˆ ℘ ( D ) существовалаконстанта c ( D, f ) > , зависящее от выбранного множества кривых ˜ ℘ ( D ) ,такое, что для поворота кривой R ( · ) на Γ f верно неравенство O r ≤ c ( D, f ) ∀ r ∈ ˆ ℘ ( D ) . (6.15)
122 —
В этом параграфе мы рассмотрим одно из многочисленных применений до-казанных теорем. Будут приведены достаточные условия, при которых после-довательность квазидифференцируемых функций { f k ( · ) } , k = 1 , , . . . от двухпеременных сходится равномерно на компакте D с int D = ∅ к квазидифферен-цируемой функции f ( · ) . Представляет интерес распространить эти результатына функции от произвольного количества аргументов. Пусть задана последовательность квазидифференцируемых функций { f k ( · ) } , k = 1 , , . . . , определенных на компактном множестве D ⊂ R .Обозначим через L k константу Липшица функций f k ( · ) на множестве D , ачерез f ′ k ( x, g ) − ее производную в точке x по направлению g ∈ R . Предпо-ложим, что в любой точке x ∈ int D функции f k ( · ) квазидифференцируемые(КВД функции), т.е. верны равенства f ′ k ( x, g ) = max v ∈ ∂f k ( x ) ( v, g ) + min w ∈ ∂f k ( x ) ( w, g ) ∀ g ∈ R , где ∂f k ( x ) , ∂f k ( x ) − субдифференциал и суппердифференциал функции f k ( · ) вточке x соответственно, которые по определению являются выпуклыми ком-пактами на плоскости R . Пусть последовательность { f k ( · ) } , k = 1 , , . . . сходится равномерно на мно-жестве D к функции f ( · ) . Зафиксируем точку x ∈ int D . Спрашивается, прикаких условиях, наложенных на функции { f k ( · ) } , функция f ( · ) будет КВД вточке x ?
123 —
Через r ( t ) обозначим радиус-вектор единичной окружности S (0) = { z ∈ R |k z k = 1 } , где t ∈ [0 , π ] − угол поворота вектора r ( · ) . Положим по опреде-лению Φ k ( t ) = f ′ k ( x, r ( t )) , Φ( t ) = f ′ ( x, r ( t )) ∀ t ∈ [0 , π ] . Легко показать, что функции Φ k ( · ) − липшицевые на отрезке [0 , π ] с констан-той Липшица L k . Поэтому для каждой из них существует множество N k точекдифференцируемости, которое всюду плотное, полной меры на отрезке [0 , π ] .Положим по определению ∨ (Φ ′ k ; 0 , π ) = sup { t i }∈N k k X i =1 | Φ ′ k ( t i +1 ) − Φ ′ k ( t i ) | (7.1)Рассмотрим теперь произвольную последовательность одномерных функций Ψ k : R → R , определенных на отрезке [ a, b ] и равномерно сходящихся на этомотрезке к функции Ψ( · ) . Обозначим через ℵ k − множество точек дифференци-руемости функции Ψ k ( · ) на отрезке [ a, b ] . Предположим, что множества ℵ k длялюбого k − всюду плотные, полной меры на [ a, b ] . Аналогично (7.1) определим ∨ (Ψ ′ k ; a, b ) . Теорема 7.1.1
Если существует такая константа
C > , что для любого k верно неравенство ∨ (Ψ ′ k ; a, b ) ≤ c, (7.2) то множество точек дифференцируемости ℵ функции Ψ( · ) полной меры,всюду плотное на отрезке [ a, b ] и верно неравенство ∨ (Ψ ′ ; a, b ) ≤ c. Доказательство . Зафиксируем произвольное k . Известно [12], что из условия(7.2) следует, что функция Ψ k ( · ) представима на отрезке [ a, b ] в виде разностивыпуклых функций Ψ k ( · ) и Ψ k ( · ) , т.е. Ψ( t ) = Ψ k ( t ) − Ψ k ( t ) ∀ t ∈ [ a, b ] . (7.3)
124 —
Представление (7.3) неединственно. Однако, существует такое представление,для которого верны неравенства ∨ (Ψ ′ k ; a, b ) ≤ c, ∨ (Ψ ′ k ; a, b ) ≤ c. (7.4)Например, можно положить Ψ ′ k ( t ) = ∨ (Ψ ′ k ; a, t ) , Ψ k ( t ) = Z ta Ψ ′ k ( η ) dη, Ψ k ( t ) = Ψ k ( t ) − Ψ k ( t ) . Без ограничения общности будем считать, что функции Ψ k ( · ) и Ψ k ( · ) на [ a, b ] сходятся к выпуклым функциям Ψ ( · ) и Ψ ( · ) соответственно. Из (7.4)и свойств выпуклых функций [14] следует, что ∨ (Ψ ′ ; a, b ) ≤ c, ∨ (Ψ ′ ; a, b ) ≤ c. В равенстве Ψ k ( t ) = Ψ k ( t ) − Ψ k ( t ) . перейдем к пределу по k → ∞ . Получим Ψ( t ) = Ψ ( t ) − Ψ ( t ) ∀ t ∈ [ a, b ] . Отсюда следует, что функция Ψ( · ) почти всюду (п.в.) дифференцируема на [ a, b ] , а также верно неравенство [12] ∨ (Ψ ′ ; a, b ) ≤ ∨ (Ψ ′ ; a, b ) + ∨ (Ψ ′ ; a, b ) ≤ c, что и требовалось доказать. Теорема доказана. (cid:3) Применим теперь Теорему 7.1.1 для вывода условий квазидифференцируемо-сти функции f ( · ) в точке x . Воспользуемся следующей теоремой, доказаннойнами ранее в предыдущих параграфах.
125 —
Теорема 7.2.1 [6], [8]
Для того, чтобы липшицевая функция f ( · ) : R → R была КВД функцией в точке x , необходимо и достаточно, чтобы ( ∃ c ( f ) >
0) : ∨ (Φ ′ ; 0 , π ) < c ( f ) , где Φ( t ) = f ′ ( x, r ( t )) , r ( t ) = (cos t, sin t ) ∈ R , t ∈ [0 , π ] . Воспользовавшись этой теоремой, можно получить следующий результат.
Теорема 7.2.2
Если последовательность функций { f k ( · ) } равномерно на D ⊂ R , x ∈ int D, сходится к функции f ( · ) и имеют место условияа) функции Φ k ( · ) , где Φ k ( t ) = f ′ k ( x, r ( t )) , равномерно при k → ∞ на отрезке [0 , π ] стремятся к функции Φ( t ) ,б) существует такая константа c > , что ∨ (Φ ′ k ; 0 , π ) < c ∀ k, то предельная функция f ( · ) является КВД в точке x . Доказательство.
Возьмем в качестве функции Ψ n ( · ) , фигурирующей вТеореме 7.1.1, функцию Φ k ( · ) . Полагаем a = 0 , b = 2 π . Нетрудно видеть, чтоусловия Теоремы 7.1.1 для последовательности Φ k ( · ) выполнены. Поэтому ∨ Φ ′ ; 0 , π ) ≤ c. Откуда из теоремы 7.2.1 следует утверждение теоремы. Теорема доказана. (cid:3)
Условие а) Теоремы 7.2.2 не всегда выполняется. приведем соответствую-щий пример.
Пример 7.2.1
Рассмотрим последовательность функций { f k ( · ) } , f k : R → R . Положим по определению f k ( x ) = , если k x k ≤ k , k x k − k , если k x k > k .
126 — где x ∈ R . Очевидно, что функции { f k ( · ) } равномерно на единичном круге B (0) стремятся к функции f ( x ) = k x k при k → ∞ . Однако Φ k ( t ) = 0 , длявсех k и Φ( t ) = 1 для t ∈ [0 , π ] . Видно, что не существует последователь-ности { Φ k ( · ) } , для которой выполняется условие а) теоремы 7.2.2. Попытаемся изменить условие а) теоремы 7.2.2.Рассмотрим теперь последовательность функций ϕ k m ( g ) = f k ( x + α m g ) − f k ( x ) α m ∀ g ∈ R . Ясно, что функции ϕ k m ( · ) − липшицевые по своему аргументу. Положим поопределению ˆΦ k m ( t ) = ϕ k m ( r ( t )) ∀ t ∈ [0 , π ] . Очевидно, что из последовательности функций ˆΦ k m ( · ) всегда можно выбратьподпоследовательность ˆΦ k mi ( · ) такую, что функции ˆΦ k mi ( · ) равномерно сходят-ся к Φ( t ) на отрезке [0 , π ] к функции Φ( · ) . Поэтому верна следующая теорема. Теорема 7.2.3
Если для всех индексов k m найдется константа c > такая,что ∨ ( ˆΦ ′ k m ; 0 , π ) ≤ c, то функция f ( · ) является КВД в точке x .
127 —
Мы рассмотрели различные классы кривых для липшицевых функций. Этобыл длинный путь к истине. В итоге мы пришли к классами кривых, ограни-чивающих выпуклые компактные множества на сфере S n − (0) для п.о. функ-ций (теоремы 3.1.1, 3.3.1, 2.3.1, 4.2.1) либо выпуклые компактные множествана плоскости R для произвольной липшицевой функции от двух перемен-ных (теорема 5.1.1). Для функций от многих переменных для формулировкиусловия представимости ее в виде разности выпуклых достаточно рассмотретькривые в R n , проекции которых на координатные плоскости, образованныедвумя осями координат, ограничивают выпуклые компактные множества наэтой плоскости. Сформулирована теорема 6.4.1, дающая необходимые и доста-точные условия представимости таких функций в виде разности выпуклых.В каждом параграфе дана геометрическая трактовка полученных результа-тов через поворот кривых из рассматриваемых классов на графиках функций(теоремы 5.3.1, 3.4.1, 2.4.1, 4.3.1, 6.4.2).В параграфе 7 рассматривается одно из применений полученных резуль-татов. Приводятся достаточные условия сходимости липшицевых квазидиф-ференцируемых (КВД) функций от двух переменных к КВД функции. Этирезультаты могут быть распространены на функции от произвольного коли-чества аргументов.Полученные результаты интересны не только для геометров, занимающихсяпостроением внутренней геометрии поверхностей (см. [1], [3]), но для специали-стов в области оптимизации (см. [9], [10], [16]), поскольку такие функции нашлиширокое применение в разных областях математики из-за хороших свойств вы-пуклых функций.
128 —
Список литературы [1]
Александров А. Д.
Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. - Го-стехиздат, 1948.[2]
Александров А.Д.
О поверхностях, представимых в виде разности выпук-лых функций // Изв. АН Каз.ССР 1949. N 3. С. 3-20.[3]
Александров А.Д.
Поверхности, представимые разностями выпуклыхфункций // Докл. АН СССР. 1950. Т. 72, №4. С.613-616.[4] Александров А.Д., Существование почти всюду второго дифференциалавыпуклой функции и некоторые свойства выпуклых поверхностей, связан-ные с этим свойством, ЛГУ. Ученые записки. Матем. Сер.6 (1939), 3-35.[5]
Залгаллер В.А.
О представимости функции двух переменных в виде раз-ности выпуклых функций // Вестник ЛГУ, N 1, 1963, С.44-45.[6]
Прудников И.М.
Необходимые и достаточные условия представимостиположительно однородной функции трех переменных в виде разности вы-пуклых функций // Известия АН РАН Т.59. N 5, 1992, С.1116-1128.[7]
Прудников И.М.
К вопросу о представимости функции двух переменных ввиде разности выпуклых функций // Сибирский математический журналРАН, 55(6), 2014. С. 1368-1380.[8]
Лупиков И.М.
Многозначные отображения, их описание и применение коптимизации. - Л.: Автореферат кандидатской диссертации. - ЛГУ. 1985.16 с.[9]
Демьянов В.Ф., Васильев Л.В.
Недифференцируемая оптимизация - М,:Наука, 1981. 384 С.[10]
Демьянов В.Ф., Рубинов А.М.
Основы негладкого анализа и квазидиф-ференциальное исчисление. - М.:Наука, 1990. 432 с.
129 — [11]
Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е.
Элементы линейной алгебры и линей-ного программирования.- М.:Наука, 1967.[12]
Колмогоров А.Н., Фомин С.В.
Елементы теории функций и функциональ-ного анализа - М.: Наука, 1976. 544 С.[13]
Кутателадзе С.С., Рубинов А.М.
Двойственность Минковского и ее при-ложения. Новосибирск: Наука. 1976. 254 с.[14]
Пшеничный Б.Н.
Выпуклый анализ и экстремальные задачи. - М.:Наука,1980, 320с.[15]
Погорелов А.В.
Дифференциальная геометрия - M,: Наука, 1974, 176 С.[16]
Стрекаловский А.С.
Элементы невыпуклой оптимизации - Новосибирск:Наука, 2003.[17]
Рокафеллар Р.
Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.[18]
Кларк Ф.
Оптимизация и негладкий анализ. М.:Наука, 1988. 280 с.[19] A.D.Aleksandrov, Yu.G.Reshetnyak, General Theory of Irregular Curves,Kluwer, 1989.[20]
I. Ginchev, D. Gintcheva.
Characterization and recognition of d.c. functions.J. Glob. Optim. 57, No. 3, 633-647 (2013).[21]
J.B. Hiriart-Urruty
Generalized differentiability, duality and optimizationfor problems dealing with differences of convex functions. In: Convexity andDuality in Optimization (Groningen, 1984), Lecture Notes in Econom. andMath. Systems, 256, Springer, Berlin-New York, 1985, pp. 37-70.[22]
L. Vesely, L. Zajicek
Delta -convex mappings between Banach spaces andapplications, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) 289 (1989). 52pp.[23]
Hartman P.