aa r X i v : . [ m a t h . GN ] M a y Structure connective des relations multiples
St´ephane
Dugowson ∗
15 mai 2018
R´esum´e.
L’objet de cet article est d’abord de d´efinir la structure connectivesur un ensemble I de toute relation multiple portant sur une famille d’ensemblesindex´ee par I , une telle relation ´etant vue comme exprimant une compatibilit´eentre les ´etats de diff´erents syst`emes, de sorte qu’une compatibilit´e totale ex-prime en fait une absence d’interaction. Nous d´emontrons alors un ≪ th´eor`emede Brunn ≫ pour les relations multiples, `a savoir le fait que toute structureconnective est celle d’une telle relation. Mots cl´es.
Connectivit´e. Espaces connectifs. Relations. Alg`ebre relationnelle.Borrom´een. Brunn.
Abstract.
The prime purpose of this paper is to define the connectivity struc-ture, on a set I , of any multiple relation defined on a family of sets indexed by I , such a relation expressing compatibility between the states of different sys-tems (thus a full compatibility indicates absence of any connection). We thendemonstrate a ”Brunn’s theorem” for those multiple relations, that is the factthat every connectivity structure is the connectivity structure of such a relation. Keywords.
Connectivity. Connectivity spaces. Relations. Relational algebra.Borromean. Brunn.
MSC2010. I quelconque fix´e. Intuitive-ment, les ensembles ainsi index´es repr´esentent autant de syst`emes en interactionmutuelle, leurs ´el´ements repr´esentent les ´etats de ces syst`emes, et une rela-tion multiple exprime la compatibilit´e de certains de ces ´etats, donc certainescontraintes mutuelles entre les syst`emes consid´er´es. Afin de d´efinir la struc-ture connective sur I d’une telle relation, nous commen¸cons par pr´eciser dansla premi`ere partie, consacr´ee `a un certain mono¨ıde commutatif et idempotentconstitu´e de ces relations multiples, certaines notations, d´efinitions et r´esultatsrelatifs `a de telles relations. Cette partie n’a aucune pr´etention `a l’originalit´e,on en trouve sans doute la substance dans les cours d’ alg`ebre relationnelle — ∗ Laboratoire LISMMA-QUARTZ, Institut Sup´erieur de M´ecanique de Paris. Email : [email protected]. Malgr´e cela, on ne fera pas a priori l’hypoth`ese de l’axiome du choix. Du reste, pour tousles exemples auxquels nous avons song´e en pratique, les ensembles de la famille consid´er´ee ontdes ´el´ements rep´erables qui peuvent ˆetre choisis directement, de sorte que le produit de cesensembles est assur´ement non vide. LE MONO¨IDE COMMUTATIF (R E , ⋈ , ) ≪ th´eor`eme deBrunn ≫ pour les relations multiples, `a savoir le fait que toute structure connec-tive est celle d’une relation multiple.Dans tout l’article, I d´esigne un ensemble, et E = ( E i ) i ∈ I une famille d’en-sembles non vides index´ee par I . On notera ∣E∣ l’ensemble ∪ i ∈ I E i . Pour toutensemble A , on d´esigne par P A l’ensemble des parties de A . (R E , ⋈ , ) D´efinition 1.
Pour toute partie J de I , on appelle graphe total ou graphe trivial sur J et on note Z J le produit cart´esien Z J = ∏ j ∈ J E j . Les ´el´ement de Z J seront appel´es des J -familles . Cette d´enomination estsans ambigu¨ıt´e car les Z J sont deux `a deux disjoints. L’ensemble de toutes les familles dans E sera not´e Z : Z = ⋃ J ∈P( I ) Z J . Pour x ∈ Z , nous noterons J x le domaine de x , c’est-`a-dire l’unique partie J x de I telle que x ∈ Z J x . Remarque . Toute J -famille x ∈ Z J s’identifie `a une application x ∶ J → ∣E∣ v´erifiant la condition suivante : ∀ j ∈ J, x j ∈ E j , o`u x j = x ( j ) d´esigne l’image de j par cette application. Remarque J = ∅ ) . Le graphe total sur ∅ ⊂ I est r´eduit `a un singleton,dont par convention l’unique ´el´ement sera not´e ● : Z ∅ = {●} . Il y donc une unique ∅ -famille, `a savoir ● . D´efinition 2.
Une relation multiple R dans E est un couple ( J, G ) constitu´e– d’une partie J ⊂ I appel´ee domaine de R ,– d’une partie G ⊂ Z J appel´ee le graphe de R . LE MONO¨IDE COMMUTATIF (R E , ⋈ , ) E seront ´egalement appel´ees plussimplement des E -relations , ou plus simplement encore des relations .Une relation R ´etant donn´ee, nous d´esignerons parfois par J R son domaine,et par G R son graphe. Les relations de domaine J pourront ˆetre appel´ees des J -relations. Dans le cas o`u card ( J ) =
2, on parlera de relations binaires.Les J R -familles appartenant `a G R seront dites compatibles pour la relation R , ou encore R -compatibles . Par abus d’´ecriture, on ´ecrira souvent x ∈ R au lieude x ∈ G R pour exprimer qu’une famille x ∈ Z J R est R -compatible.L’ensemble des relations multiples dans E sera not´e R E ou plus simplement,puiqu’ici nous consid´erons que E est fix´e, R . L’ensemble des relations multiplesde domaine J ⊂ I sera not´e R J , de sorte que R = ⋃ J ⊂ I R J . Pour tout J ⊂ I , les J -relations sont ordonn´ees par l’inclusion de leursgraphes. ´Etant donn´ees deux J -relations R et S , nous ´ecrirons R ⊂ J S , ousimplement R ⊂ S , pour exprimer le fait que G R ⊂ G S . La J -relation minimale, not´ee 0 J , est celle de graphe vide :0 J = ( J, ∅) , tandis que la J -relation maximale, not´ee 1 J , est celle de graphe total1 J = ( J, Z J ) . Les relations de la forme 0 J seront dites nulles , celles de la forme 1 J serontdites triviales (ou totales ).Si l’ensemble J est fini, ou si l’on admet l’axiome du choix, alors Z J ≠ ∅ ,de sorte que 0 J ≠ J . Ceci est vrai, bien que ce ne soit pas tr`es intuitif, enparticulier pour J = ∅ , auquel cas le graphe de 0 ∅ est vide tandis que celui de1 ∅ est Z ∅ = {●} .Dans la suite, on notera ´egalement cette derni`ere relation ≪ sur aucunensemble ≫ : = ∅ = (∅ , {●}) . On posera ´egalement = I , et = I . Dans cette section, on consid`ere deux parties J et K de I telles que J ⊂ K ⊂ I . LE MONO¨IDE COMMUTATIF (R E , ⋈ , ) On appelle restriction (de K) `a J , l’application ρ ( K,J ) ∶ Z K → Z J d´efinie pour tout x ∈ Z K par ρ ( K,J ) ( x ) = x ○ ( J ↪ K ) , o`u x est vu comme application x ∶ K → ∣E∣ et o`u ( J ↪ K ) d´esigne l’injectioncanonique de J dans K . Autrement dit, ρ ( K,J ) (( x k ) k ∈ K ) = ( x k ) k ∈ J . L’image ( x k ) k ∈ J d’un ´el´ement ( x k ) k ∈ K de Z K par ρ ( K,J ) est la restriction `a J de ( x k ) k ∈ K . Bien entendu, pour K = J , on a ρ ( J,J ) = id Z J . Exemple . La restriction `a J = ∅ d’une K -famille quelconque x est ● . D´efinition 4.
Soit J , K et L trois parties de I telles que L ⊂ J ∩ K. Soit x ∈ Z J et y ∈ Z K . On dit que x et y co¨ıncident sur L si ρ ( J,L ) ( x ) = ρ ( K,L ) ( y ) . Supposant toujours J ⊂ K ⊂ I , la notion de restriction, d´efinie sur les familles ( x k ) k ∈ K , s’´etend ´evidemment aux relations elles-mˆemes : D´efinition 5.
L’application R K → R J qui `a toute relation multiple R = ( K, G ) avec G ⊂ Z K associe la relation ( J, H ) avec H = ρ ( K,J ) ( G ) = { ρ ( K,J ) ( x ) , x ∈ G } ⊂ Z J sera encore not´ee ρ ( K,J ) et encore appel´ee restriction (de K ) `a J . On a ainsi ρ ( K,J ) ( K, G ) = (
J, ρ ( K,J ) ( G )) ∈ R J . Exemple . Dans le cas o`u J = ∅ , la restriction `a J de la K -relation vide 0 K ) est0 ∅ , tandis que la restriction `a J d’une relation non vide quelconque est = ∅ . Qu’elles portent sur les familles ou sur les relations, les restrictions se com-posent ´evidemment selon ρ ( K,L ) ○ ρ ( J,K ) = ρ ( J,L ) , o`u l’on a suppos´e I ⊃ J ⊃ K ⊃ L . LE MONO¨IDE COMMUTATIF (R E , ⋈ , ) Plutˆot que de noter ( ρ ( K,L ) ○ ρ ( J,K ) )( x ) la restriction successive d’une J -famille x `a K puis `a L , il serait plus commode de l’´ecrire xρ ( J,K ) ρ ( K,L ) . Nous n’adopterons pas ici cette remise `a l’endroit des notations de composition,mais les notations usuelles pour la restriction, qui n’explicitent pas le domainede d´epart mais uniquement le domaine d’arriv´ee de la restriction, seront tr`esutiles, et nous poserons ainsi pour toute J -famille x et toute partie K ⊂ J : ρ ( J,K ) ( x ) = x ∣ K . De mˆeme pour les restrictions de relations : ρ ( J,K ) ( R ) = R ∣ K . Avec ces notations, la composition des restrictions s’´ecrit simplement x ∣ K ∣ L = x L . Pour tout couple de familles ( x, y ) ∈ Z , on dit que x et y sontcompatibles entre elles , et on note x ◇ y , si x et y co¨ıncident sur l’intersection deleurs domaines, autrement dit si x ∣ J x ∩ J y = y ∣ J x ∩ J y . La relation ◇ est ´evidemment r´eflexive et sym´etrique sur Z . On d´efinit ainsi une op´eration binaire partielle sur Z : pour toutcouple de familles ( x, y ) ∈ Z tel que x ◇ y , on note x + y la famille de domaine J x + y = J x ∪ J y , et telle que ∀ j ∈ J x , ( x + y ) j = x j et ∀ j ∈ J y , ( x + y ) j = y j . Autrement dit, x + y est caract´eris´ee par son domaine J x ∪ J y et par le faitque ( x + y ) ∣ J x = x et ( x + y ) ∣ J y = y. On v´erifie imm´ediatement la proposition suivante.
Proposition 1 (El´ement neutre, idempotence et commutativit´e) . L’op´eration + v´erifie les trois propri´et´es suivantes :– pour tout x ∈ Z , x + ● = x ,– pour tout x ∈ Z , x + x = x ,– si x et y sont deux familles compatibles, alors x + y = y + x . LE MONO¨IDE COMMUTATIF (R E , ⋈ , ) Pour tout x ∈ Z et tout couple ( K, L ) de parties de J x on a x ∣ K + x ∣ L = x ∣ K ∪ L . En particulier, si K ∪ L = J x , on a x = x ∣ K + x ∣ L . Preuve.
On a x K ◇ x L puisque x ∣ K ∣ K ∩ L = x ∣ K ∩ L = x ∣ L ∣ K ∩ L . Et x ∣ K + x ∣ L co¨ıncidetrivialement avec x sur K ∪ L , d’o`u l’´egalit´e annonc´ee. ◻ Soient x et y deux familles compatibles dans E , et soit L ⊂ J x ∪ J y . On a ( x + y ) ∣ L = x ∣ J x ∩ L + y ∣ J y ∩ L . Preuve.
On applique la proposition pr´ec´edente au recouvrement de L par J x ∩ L et J y ∩ L , d’o`u ( x + y ) ∣ L = (( x + y ) ∣ L ) ∣ J x ∩ L + (( x + y ) ∣ L ) ∣ J y ∩ L . Mais (( x + y ) ∣ L ) ∣ J x ∩ L = ( x + y ) ∣ J x ∩ L = (( x + y ) ∣ J x ) ∣ J x ∩ L = x ∣ J x ∩ L . De mˆeme, (( x + y ) ∣ L ) ∣ J y ∩ L = y ∣ J y ∩ L . D’o`u le r´esultat. ◻ Soient x , y et z trois familles dans E . Si ces familles sont deux`a deux compatibles : x ◇ y , y ◇ z , et z ◇ x , alors ( x + y ) ◇ z . Preuve.
En effet, ( x + y ) ∣( J x ∪ J y )∩ J z = x ∣ J x ∩ J z + y ∣ J y ∩ J z = z ∣ J x ∩ J z + z ∣ J y ∩ J z = z ∣( J x ∪ J y )∩ J z . ◻ Proposition 5 (Associativit´e) . L’op´eration binaire partielle + est associativesur Z au sens o`u pour tout triplet ( x, y, z ) ∈ Z , x ◇ y ◇ z ◇ x ⇒ ( x + y ) + z = x + ( y + z ) . Preuve.
L’existence des sommes consid´er´ees est assur´ee par la propositionpr´ec´edente, et leur ´egalit´e se v´erifie imm´ediatement. ◻ Du fait de l’associativit´e et de la commutativit´e de l’op´eration + , nous pour-rons parler de la somme ∑ λ ∈ Λ x λ d’une famille finie quelconque ( x λ ) λ ∈ Λ defamilles deux `a deux compatibles dans E . En particulier, la proposition 2 seg´en´eralise facilement :
2. Et la notion s’´etend sans difficult´e `a une famille quelconque de familles deux `a deuxcompatibles.
LE MONO¨IDE COMMUTATIF (R E , ⋈ , ) Proposition 6.
Pour tout x ∈ Z et tout recouvrement fini ( J λ ) λ ∈ Λ de J x , on a x = ∑ λ ∈ Λ x ∣ J λ . Pour d´esigner le produit des relations consid´er´e ici, nous reprenons la nota-tion ⋈ , usuelle en alg`ebre relationnelle pour d´esigner la jointure de deux rela-tions. (R E , ⋈ , ) D´efinition 8 (Produit de deux relations multiples) . ´Etant donn´ees R = ( J R , G R ) et S = ( J S , G S ) deux relations multiples dans E , on d´efinit leur produit T = R ⋈ S de la fa¸con suivante :– le domaine J T de T est l’union J T = J R ∪ J S ,– le graphe G T ⊂ Z J T de T est d´efini par G T = { x ∈ Z J T , ρ ( J T ,J R ) ( x ) ∈ G R et ρ ( J T ,J S ) ( x ) ∈ G S } . Autrement dit, ( J R , G R ) ⋈ ( J S , G S ) = ( J R ∪ J S , ρ − ( J T ,J R ) ( G R ) ∩ ρ − ( J T ,J S ) ( G S )) . Proposition 7.
Le graphe du produit R ⋈ S de deux relations R et S dans E est donn´e par G R ⋈ S = { r + s, r ∈ R, s ∈ S, r ◇ s } . Preuve.
Pour r et s comme ci-dessus, on a ρ ( J R ∪ J S ,J R ) ( r + s ) = ( r + s ) ∣ J R = r ∈ G R , et de mˆeme ρ ( J R ∪ J S ,J S ) ( r + s ) = ( r + s ) ∣ J S = s ∈ G S . R´eciproquement, pourtoute ( J R ∪ J S ) -famille x telle que r = ρ ( J T ,J R ) ( x ) ∈ G R et s = ρ ( J T ,J S ) ( x ) ∈ G S ,on a clairement r ◇ s et x = r + s . ◻ Proposition 8.
L’op´eration ⋈ ainsi d´efinie sur l’ensemble R des relations mul-tiples dans E est associative, commutative, idempotente et admet pour ´el´ementneutre la ≪ relation pleine sur aucun ensemble ≫ = ∅ . Preuve.
L’associativit´e et la commutativit´e de ⋈ d´ecoule de celles de l’union,de l’intersection et de la composition des op´erations de restriction. Pour touterelation R , l’´egalit´e R ⋈ R = R est imm´ediate. Enfin, on a ( J, G )⋈ = ( J, G )⋈(∅ , {●}) = ( J ∪∅ , ρ − ( J,J ) ( G )∩ ρ − ( J, ∅ ({●})) = ( J, G ∩ Z J ) = ( J, G ) . ◻ De la d´efinition du produit R ⋈ S , on d´eduit imm´ediatement que la res-triction au domaine de R d’une famille R ⋈ S -compatible est n´ecessairement R -compatible : Proposition 9.
Pour toutes relations R et S dans E , on a ( R ⋈ S ) ∣ J R ⊂ R. LE MONO¨IDE COMMUTATIF (R E , ⋈ , ) = I : prolongement `a I .D´efinition 9. Pour tout J ⊂ I et tout R ∈ R J , on appelle prolongement `a I etl’on note R la I -relation d´efinie par R = R ⋈ . Remarque . La notation R est compatible avec celles de et de , puisque = ⋈ . Proposition 10.
Pour tout J ⊂ I et tout R ∈ R J , on a R = ( I, ρ − ( I,J ) ( G R )) = R ⋈ ¬ J , o`u ¬ J = I ∖ J . Preuve.
Le domaine de R est I = J ∪ I = J ∪ ¬ J , et son graphe est G R = ρ − ( I,J ) ( G R ) ∩ ρ − ( I,I ) ( Z I ) = ρ − ( I,J ) ( G R ) . D’un autre cot´e, ρ − ( I, ¬ J ) ( Z ¬ J ) = Z I , de sorte que ρ − ( I,J ) ( G R ) = ρ − ( I,J ) ( G R ) ∩ ρ − ( I, ¬ J ) ( Z ¬ J ) d’o`u finalement G R = G R ⋈ ¬ J . ◻ Produit par 0 = I . Pour toute relation R ∈ R , il est imm´ediat que R ⋈ = . Produit par ∅ . Pour toute relation R ∈ R , il est imm´ediat que R ⋈ ∅ est larelation vide de mˆeme domaine que R : R ⋈ ∅ = ( J R , ∅) = J R . Composition de deux relations binaires.
Supposons que I contienne unepartie J ayant trois ´el´ements distincts not´es 1, 2 et 3, J = { , , } ⊂ I, et soient f ∶ E → E et g ∶ E → E deux relations binaires (par exemple deuxapplications), de domaines respectifs J f = { , } et J g = { , } . Leur produit estalors d´efini par f ⋈ g = g ⋈ f = ({ , , } , {( x, y, z ) ∈ E ⋈ E ⋈ E , y = f ( x ) et z = g ( y )}) , de sorte que g ○ f = ρ ({ , , } , { , }) ( f ⋈ g ) . Remarque . La non-commutativit´e de la composition des applications (ou desrelations binaires) n’est bien entendu pas contredite par la commutativit´e duproduit des relations, pour lequel l’information des E i en jeu est contenue dansla donn´ee du domaine. LE MONO¨IDE COMMUTATIF (R E , ⋈ , ) D´efinition 10.
Deux relations dans E sont dites incompatibles si leur produitest nul.La proposition suivante est imm´ediate. Proposition 11.
Deux relations R et S sont incompatibles si et seulement sipour tout x ∈ R et tout y ∈ S , on a x et y incompatibles.Exemple . Toute relation nulle est incompatible avec toute autre relation.
Proposition 12.
Soient R et S deux relations dans E , et L une partie de J R ∪ J S . On a ( R ⋈ S ) ∣ L ⊂ R ∣ L ∩ J R ⋈ S ∣ L ∩ J S . Preuve.
Les deux relations sont comparables, puisqu’elles sont de mˆeme do-maine L . Soit maintenant x = ( r + s ) ∣ L ∈ ( R ⋈ S ) ∣ L , avec r ∈ R , s ∈ S et r ◇ s . Ona x = x ∣ L ∩ J R + x ∣ L ∩ J S . Mais x ∣ L ∩ J R = (( r + s ) ∣ L ) ∣ L ∩ J R = ( r + s ) ∣ L ∩ J R = (( r + s ) ∣ J R ) ∣ L ∩ J R = r ∣ L ∩ J R , d’o`u x ∣ L ∩ J R ∈ R ∣ L ∩ J R . De mˆeme, x ∣ L ∩ J S ∈ S ∣ L ∩ J S . On en d´eduit que x ∈ R ∣ L ∩ J R ⋈ S ∣ L ∩ J S . ◻ Remarque . La r´eciproque est fausse en g´en´eral. Par exemple, pour I = { , , , } , E i = N pour tout i ∈ I , J R = { , , } , J S = { , , } , L = { , , } , R d´efini par ( r , r , r ) ∈ R ⇔ r = S d´efini par ( s , s , s ) ∈ S ⇔ s ≠ , on a R et S incompatibles de sorte que ( R ⋈ S ) ∣ L = L , mais par ailleurs R ∣ L ∩ J R ⋈ S ∣ L ∩ J S = L ∩ J R ⋈ L ∩ J S = L . Proposition 13.
Soient R et S deux relations dans E , et L une partie de I v´erifiant J R ∩ J S ⊂ L ⊂ J R ∪ J S . Alors ( R ⋈ S ) ∣ L = R ∣ L ∩ J R ⋈ S ∣ L ∩ J S . En particulier, si J R ∩ J S = ∅ , l’´egalit´e ci-dessus est satisfaite pour tout L ⊂ J R ∪ J S . SCISSIONS Preuve.
D’apr`es la proposition 12, il suffit de prouver l’inclusion du secondmembre dans le premier. Soit donc r ′ + s ′ ∈ R ∣ J R ∩ L ⋈ S ∣ J S ∩ L , avec r ′ ∈ R ∣ J R ∩ L et s ′ ∈ S ∣ J S ∩ L qui co¨ıncident sur J R ∩ J S . Puisque r ′ ∈ R ∣ J R ∩ L , il existe r ∈ R tel que r ∣ J R ∩ L = r ′ , et de mˆeme il existe s ∈ S tel que s ∣ J S ∩ L = s ′ . L’inclusion J R ∩ J S ⊂ L entraˆıne alors d’une part J R ∩ J S ⊂ J R ∩ L d’o`u r ∣ J R ∩ J S = ( r ∣ J R ∩ L ) ∣ J R ∩ J S = r ′∣ J R ∩ J S ,et d’autre part J R ∩ J S ⊂ J S ∩ L d’o`u s ∣ J R ∩ J S = s ′∣ J R ∩ J S . Comme r ′∣ J R ∩ J S = s ′∣ J R ∩ J S ,on en d´eduit que r et s co¨ıncident sur J R ∩ J S , d’o`u l’existence de r + s ∈ R ⋈ S ,qui v´erifie ( r + s ) ∣ L = r ′ + s ′ , d’o`u finalement r ′ + s ′ ∈ ( R ⋈ S ) ∣ L . ◻ Proposition 14.
Pour toute relation multiple R ∈ R , et pour tout recouvrement J R = K ∪ L du domaine de R par un couple ( L, K ) de parties de I , on al’inclusion R ⊂ R ∣ L ⋈ R ∣ K . Preuve.
D’apr`es les propositions 2 et 7, on a pour tout x ∈ R : x = x ∣ L + x ∣ K ∈ R ∣ L ⋈ R ∣ K . ◻ Rappelons qu’une partie propre d’un ensemble J est une partie K ⊂ J telleque ∅ ⊊ K ⊊ J. Dans cette section et la suivante, nous ferons souvent appel `a des partitionsde l’ensemble I , ou d’un sous-ensembles J de I , constitu´ees de deux parties K et L . Nous appellerons de telles partitions des bipartitions . Rappelons qu’unepartition est un recouvrement constitu´e de parties propres (donc non non vides )et deux `a deux disjointes. Ainsi, une bipartition de J est un couple ( K, L ) departies de J telles que K ≠ ∅ ≠ L et K ∪ L = J et K ∩ L = ∅ . Remarquons que l’existence d’une bipartition de J implique que J a au moinsdeux ´el´ements. Soient J et K deux parties disjointes de I : J ∩ K = ∅ . Pour pour tout couple ( x, y ) ∈ Z J × Z K , on a x ∣ J ∩ K = ● = y ∣ J ∩ K , donc x ◇ y , de sorte que x + y ∈ Z J ∪ K est bien d´efini. SCISSIONS Proposition 15.
Soient R ≠ J R et S ≠ J S deux relations non nulles et dedomaines disjoints : J R ∩ J S = ∅ . Alors R = ( R ⋈ S ) ∣ J R et S = ( R ⋈ S ) ∣ J S . Preuve.
D’apr`es la proposition 13, on a ( R ⋈ S ) ∣ J R = R ⋈ S ∣∅ , mais S ≠ J S ⇒ S ∣∅ = ∅ = , d’o`u ( R ⋈ S ) ∣ J R = R . Et de mˆeme a-t-on ( R ⋈ S ) ∣ J S = S . ◻ Corollaire 16.
Deux relations non nulles de domaines disjoints sont n´ecessairementcompatibles.Remarque . La proposition 15 cesse d’ˆetre v´erifi´ee si l’on ne suppose pas J ∩ K =∅ ou si R ou S est nulle. Par exemple, R ⋈ = et R ⋈ ∅ = J ne d´eterminentpas R . De mˆeme, on construit facilement un exemple de relations non nullesincompatibles de domaines respectifs J et K avec J ∩ K ≠ ∅ , pour lesquelles laproposition n’est ´evidemment pas v´erifi´ee. Corollaire 17.
Soit T une relation non nulle, et soit ( K, L ) une bipartition de J T . Alors, si elle existe , une factorisation de T de la forme T = R ⋈ S avec J R = K et J S = L est n´ecessairement unique, R et S ´etant donn´es par R = T ∣ K et S = T ∣ L . D´efinition 11.
Une relation T sera dite scindable selon une bipartition ( K, L ) de J T si elle admet une factorisation de la forme T = R ⋈ S avec ( R, S ) ∈ R K ⋈R L .En pratique, les crit`eres suivants sont extrˆemement utiles pour v´erifier si unerelation est ou non scindable selon une bipartition ( K, L ) . Proposition 18. ´Etant donn´ees T une relation dans E et ( K, L ) une bipartitionde J T , T est scindable selon ( K, L ) si et seulement si T = T ∣ K ⋈ T ∣ L . Preuve.
Si l’´egalit´e a lieu, T est scindable sur ( K, L ) par d´efinition. R´eciproquement,si T est non nulle et scindable selon ( K, L ) , l’´egalit´e r´esulte imm´ediatement ducorolaire 17, tandis que si T est nulle cette ´egalit´e est trivialement satisfaite. ◻ Proposition 19.
Une relation multiple T est scindable selon une bipartition ( K, L ) de J T si et seulement si on a ∀ x ∈ T ∣ K , ∀ y ∈ T ∣ L , x + y ∈ T. SCISSIONS Preuve.
D’apr`es les propositions 14 et 18, T est scindable selon ( K, L ) si etseulement si on a l’inclusion T ∣ K ⋈ T ∣ L ⊂ T , et la proposition 7 ach`eve la preuve. ◻ D´efinition 12.
Une relation T est dite scindable s’il existe une bipartition ( K, L ) de J T telle que T soit scindable selon ( K, L ) . Remarque . Puisque l’existence d’une bipartition de J T implique que J T aau moins deux ´el´ements, aucune relation de domaine vide ou singleton n’estscindable. R D´efinition 13. ´Etant donn´ee R ∈ R une relation multiple sur E , une partie J de J R est dite scindable pour R si la relation R ∣ J est scindable.D’apr`es la proposition 18, J ⊂ J R est scindable pour R s’il existe deuxparties non vides compl´ementaires K et L dans J — ce qui suppose que J soitde cardinal ≥ R ∣ J = R ∣ K ⋈ R ∣ L . (1) R Dans cette section, une relation R ∈ R E est donn´ee et, pour tout J ⊂ J R , onpose ¬ J = J R ∖ J. D´efinition 14.
Une partie J ⊂ J R est dite d´etachable de R si l’on a R = R ∣¬ J ⋈ J . Dans le cas o`u J est une partie propre non vide de J R , autrement dit lorsque ∅ ⊊ J ⊊ J R , le couple ( J, ¬ J ) est une bipartition de J R , et la d´efinition pr´ec´edenterevient `a dire que R est scindable selon cette bipartition, avec en outre R ∣ J = J . Bien entendu, cette derni`ere condition n’est pas suffisante pour faire de J unepartie d´etachable de R . Exemple . Pour I = { , } , J = { } et f une application quelconque E → E de graphe G , la relation R = ( I, G ) v´erifie n´ecessairement R ∣ J = J . En outre, J est d´etachable de R si et seulement si f est constante. Lemme 20. J est une partie de J R d´etachable de R si et seulement si on a pour tout x ∈ Z J R ρ ( J R , ¬ J ) ( x ) ∈ ρ ( J R , ¬ J ) ( R ) ⇒ x ∈ R. SCISSIONS Preuve.
Par d´efinition du produit ρ ( J R , ¬ J ) ( R ) ⋈ J , on a J d´etachable de R si et seulement si G R = ρ − ( J R , ¬ J ) ( ρ ( J R , ¬ J ) ( G R )) ∩ ρ − ( J R ,J ) ( Z J ) = ρ − ( J R , ¬ J ) ( ρ ( J R , ¬ J ) ( G R )) . Puisque l’inclusion G R ⊂ ρ − ( J R , ¬ J ) ( ρ ( J R , ¬ J ) ( G R )) est toujours trivialement satis-faite, J est donc d´etachable de R si et seulement si on a l’inclusion r´eciproque ρ − ( J R , ¬ J ) ( ρ ( J R , ¬ J ) ( G R )) ⊂ G R , autrement dit si pour tout x ∈ Z J R tel que ρ ( J R , ¬ J ) ( x ) ∈ ρ ( J R , ¬ J ) ( G R ) , on a x ∈ G R . ◻ Proposition 21. Si J est d´etachable de R , alors pour toute J R -famille R -compatible y et pour toute J -famille x , on a ρ ( J R , ¬ J ) ( y ) + x ∈ R. Preuve.
Posons z = ρ ( J R , ¬ J ) ( y )+ x . On a ρ ( J R , ¬ J ) ( z ) = ρ ( J R , ¬ J ) ( y ) ∈ ρ ( J R , ¬ J ) ( R ) ,donc z ∈ R . ◻ Proposition 22. Si J et K sont deux parties de J R d´etachables de la relation R ∈ R E , alors J ∪ K est ´egalement une partie d´etachable de R . Preuve.
Posons C = ¬( J ∪ K ) = ¬ J ∩ ¬ K . Soit x ∈ Z J R quelconque tel que ρ ( J R ,C ) ( x ) ∈ ρ ( J R ,C ) ( R ) . D’apr`es le lemme 20, il suffit de prouver que x ∈ R .Posons x C = ρ ( J R ,C ) ( x ) . Puisque par hypoth`ese x C ∈ ρ ( J R ,C ) ( R ) , il existe y ∈ R tel que x C = ρ ( J R ,C ) ( y ) . Puisque J est d´etachable, on d´eduit de ρ ( J R , ¬ J ) ( y ) ∈ ρ ( J R , ¬ J ) ( R ) que z = ρ ( J R , ¬ J ) ( y ) + ρ ( J R ,J ) ( x ) est ´egalement R -compatible. Parcons´equent ρ ( J R , ¬ K ) ( z ) ∈ ρ ( J R , ¬ K ) ( R ) , et K ´etant d´etachable on en d´eduit que w = ρ ( J R , ¬ K ) ( z ) + ρ ( J R ,K ) ( x ) est lui aussi R -compatible. Or, par constructionmˆeme, w et x co¨ıncident sur K , sur J ∩ ¬ K et sur C , de sorte que w = x , d’o`u x ∈ R . ◻ Remarque . L’union d’une famille finie de parties de J R d´etachables de R estdonc encore d´etachable de R . Par contre, ceci n’est pas vrai en g´en´eral pour unefamille quelconque. Consid´erons par exemple le cas o`u I = N , E i = N pour tout i ∈ I , et R = ( I, G ) avec G l’ensemble des suites x ∈ N N comportant une infinit´ede z´eros : x ∈ G ⇔ Card ({ n ∈ N , x n = }) = ℵ . Alors { n } est d´etachable de R pour tout n ∈ N , mais I = N lui-mˆeme n’est pas d´etachable de R puisque R n’est pas la relation triviale. On appelle partie externe Ex ( R ) d’une relation R l’uniondes parties de I qui sont d´etachables de R . On appelle socle de R l’ensemble Soc ( R ) = J R ∖ Ex ( R ) . STRUCTURE CONNECTIVE D’UNE RELATION R ∈ R Exemple . Toute relation triviale 1 J a un socle vide. D´efinition 16.
Une relation sera dite– mouvante si sa partie externe est non d´etachable,– ancr´ee si elle n’est pas mouvante,– fluide si elle n’est pas triviale mais que son socle est vide,– solide si sa partie externe est vide.Une relation fluide est n´ecessairement mouvante, tandis qu’une relation so-lide est n´ecessairement ancr´ee. Une relation ancr´ee est d´etermin´ee par sa res-triction `a son socle, tandis qu’il ne suffit pas de connaˆıtre une relation mou-vante sur son socle pour la connaˆıtre enti`erement. Les relations finies, sans ˆetren´ecessairement solides, sont toujours ancr´ees.
Exemple . L’exemple de la remarque 8 est celui d’une relation fluide. R ∈ R Rappelons qu’un espace connectif ( X, K) est la donn´ee d’un ensemble depoints X , appel´e support de l’espace, et d’un ensemble K de parties de X , appel´e structure connective de l’espace, tel que ∀I ∈ P(K) , ( ⋂ K ∈I K ≠ ∅ ⇒ ⋃ K ∈I K ∈ K) . Notons que la propri´et´e ci-dessus entraˆıne en particulier que ∅ ∈ K . L’espaceconnectif ( X, K) est dit int`egre si les singletons { x } , o`u x ∈ X , appartiennenttous `a K . Pour tout ensemble de parties C ⊂ P X , on note [ C ] la structure connective engendr´ee par C .Pour d´emontrer le th´eor`eme 25, nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme 23. ´Etant donn´e ( X, K ) un espace connectif int`egre, et A ⊂ X unepartie non connexe de X , il existe n´ecessairement une bipartition ( L, M ) de A telle que pour toute partie connexe K ∈ K incluse dans A on a ∣ ou bien K ⊂ L, ou bien K ⊂ M. Preuve. A ´etant suppos´e non connexe est n´ecessairement non vide. Soit x ∈ A .Prenons pour L la composante connexe de x dans l’espace connectif induit par ( X, K ) sur A , c’est-`a-dire dans l’espace ( A, K ∩ P A ) . Autrement dit, L est leplus grand connexe inclus dans A et contenant x . Puisque A est non connexe,on a n´ecessairement ∅ ⊊ L ⊊ A , de sorte que ( L, M ) forme une bipartition de A , o`u M = A ∖ L . Soit maintenant K une partie connexe incluse dans A . On asoit K ∩ L = ∅ , et dans ce cas K ⊂ M , soit K ∩ L ≠ ∅ et dans ce cas K ∪ L estun connexe contenant x et contenu dans A , de sorte que K ∪ L ⊂ L , autrementdit K ⊂ L . ◻
3. Voir [2] et [3].4. Voir [2].
STRUCTURE CONNECTIVE D’UNE RELATION R ∈ R Proposition 24. ´Etant donn´ee R une relation dans E , l’ensemble K R des par-ties de J R non scindables pour R constitue une structure connective int`egre sur J R . Preuve.
La partie vide et les singletons font n´ecessairement partie de K R ,puisqu’une partie scindable pour R , admettant une bipartition, a n´ecessairementau moins deux ´el´ements. Soit maintenant C ⊂ K R un ensemble de parties nonscindables pour R tel que ⋂ C ∈C C ≠ ∅ . Montrons par l’absurde que U = ⋃ C ∈C C est ´egalement non scindable. Si U ´etait scindable pour R , il admettrait une bipartition ( L, M ) telle que R ∣ U soitscindable selon ( L, M ) , de sorte que l’on aurait d’apr`es la proposition 18 R ∣ U = R ∣ L ⋈ R ∣ M . Soit x ∈ ⋂ C ∈C C . On a soit x ∈ L , soit x ∈ M . Supposons pour fixer les id´ees que x ∈ L . Puisque M ≠ ∅ , il existe C ∈ C tel que M ∩ C ≠ ∅ . Mais on a aussi L ∩ C ≠ ∅ , puisque x ∈ L ∩ C . Donc ( L ∩ C, M ∩ C ) est une bipartition de C .Mais d’apr`es la proposition 13, on aurait R ∣ C = R ∣ L ∩ C ⋈ R ∣ M ∩ C , de sorte que C serait scindable pour R , ce qui est absurde. ◻ D´efinition 17.
On appelle structure connective d’une relation multiple R ∈ R la structure connective K R d´efinie dans la proposition pr´ec´edente. On pourrait penser que, pour tout couple de relations multiples ( R, S ) ∈ R ,la structure connective de R ⋈ S devrait ˆetre incluse dans la structure connectiveengendr´ee par les connexes de R et ceux de S . En g´en´eral, cela est faux, de sorteque K R ⋈ S ⊄ [K R ∪ K S ] . Donnons-en un contre exemple simple dans le cas o`u I = { , , } et, pour tout i ∈ I , E i = { , } . On d´efinit la relation R de la fa¸con suivante ( x , x , x ) ∈ R ⇔ ∃ i ∈ I, x i = , et la relation S par ( x , x , x ) ∈ S ⇔ ∃ i ∈ I, x i = . On v´erifie facilement que K R = K S = B , la structure borrom´eenne sur I , tandisque K R ⋈ S est la structure connective grossi`ere que I .
5. Voir [2].
STRUCTURE CONNECTIVE D’UNE RELATION R ∈ R En r´ef´erence au r´esultat annonc´e par Brunn [1] en 1892 `a propos de la struc-ture des entrelacs, j’appelle ≪ th´eor`eme de Brunn ≫ relatif `a une classe d’objets`a chacun desquels se trouve associ´ee une structure connective l’´enonc´e affirmantque toute structure connective — ou du moins toute structure connective d’uncertain type, par exemple toute structure connective int`egre finie — est celled’au moins un objet de cette classe. Th´eor`eme 25.
Pour tout ensemble I , il existe un choix des ensembles E i telque pour toute structure connective int`egre K sur I il existe une relation R ∈ R telle que K R = K . Preuve.
Consid´erons la construction suivante. On prend le mˆeme ensemble E i pour tous les i ∈ I , `a savoir E i = { , } P( I ) , ensemble des applications de l’en-semble des parties de I dans { , } . Soit maintenant K une structure connectiveint`egre sur I . Consid´erons la relation multiple R dans E , de domaine I , d´efiniede la fa¸con suivante : une famille ( f i ∶ P( I ) Ð→ { , }) i ∈ I est R -compatible si etseulement si ∀ K ∈ K ∖ { ∅ } , ∃ i ∈ K, f i ( K ) = . et v´erifions que la structure connective de R est pr´ecis´ement K .Avant toute chose, commen¸cons par remarquer que pour toute partie A ⊂ I ,la restriction R ∣ A de R `a A a pour graphe l’ensemble des A -familles ( f i ) i ∈ A tellesque ∀ K ∈ K ∩ P A ∖ { ∅ } , ∃ i ∈ K, f i ( K ) = . (2)En effet, cette condition devant ˆetre satisfaite par toute I -famille R -compatibledoit ´egalement, par restriction, ˆetre satisfaite par toute A -famille R ∣ A -compatible.R´eciproquement, si une A -famille v´erifie la condition en question, il est ais´e dela prolonger en une I -famille R -compatible, puisqu’il suffit pour tout i ∈ I ∖ A et toute partie B ⊂ I de poser f i ( B ) = K ∈ K , alors R ne peut pas ˆetre scindable sur K . Raisonnons par l’absurde :supposons que R ∣ K soit scindable selon une bipartition ( L, M ) de K . Alors la fa-mille l = ( l i ∶ P( I ) Ð→ { , }) i ∈ L d´efinie pour tout i ∈ L et toute partie A ⊂ I par { l i ( A ) = A ≠ K,l i ( K ) = R ∣ L -compatible, car en la prolongeant sur I par la famille ˜ l d´efinie pour i ∈ L par ˜ l i = l i et pour i ∈ I ∖ L par ˜ l i ( A ) = toute partie A ⊂ I (y compris,donc, pour A = K ), on obtient ˜ l ∈ R puisque la propri´et´e caract´erisant la relation R est trivialement satisfaite. De mˆeme, la famille m = ( m i ∶ P( I ) Ð→ { , }) i ∈ M d´efinie pour tout i ∈ M et toute partie A ⊂ I par { m i ( A ) = A ≠ K,m i ( K ) =
6. Mais non enti`erement d´emontr´e par lui, puisqu’il faudra attendre Kanenobu[4] en 1984pour avoir une telle d´emonstration compl`ete. ´EF ´ERENCES R ∣ M -compatible. Par cons´equent, l + m doit ˆetre R ∣ K compatible, ce qui estabsurde car il n’existe pas d’indice i ∈ K tel que ( l + m ) i ( K ) = K ⊂ I non scindable pour R . Montrons que K ∈ K .Nous allons `a nouveau raisonner par l’absurde. Supposons que K ∉ K . Danscette hypoth`ese, d’apr`es le lemme 23, il doit exister une bipartition ( L, M ) de K telle que toute partie connexe C ∈ K incluse dans K v´erifie soit C ⊂ L , soit C ⊂ M . Soit alors f ∈ R ∣ L et g ∈ R ∣ M . La somme f + g est une K -famille quiest n´ecessairement R ∣ K -compatible, puisque pour tout connexe C ⊂ K , on a soit C ⊂ L , d’o`u l’existence de i ∈ C tel que 1 = f i ( C ) = ( f + g ) i ( C ) , soit C ⊂ M ,auquel cas il existe i ∈ C tel que 1 = g i ( C ) = ( f + g ) i ( C ) , de sorte que la relation(2) est satisfaite. Par cons´equent, d’apr`es la proposition 19, la relation R estscindable sur ( L, M ) , ce qui contredit l’hypoth`ese qui avait ´et´e faite.Finalement, nous avons ´etabli que la structure connective de la relation R ainsi d´efinie est bien la structure donn´ee K , ce qui prouve le th´eor`eme. ◻ R´ef´erences [1] Hermann Brunn. Ueber verkettung.
Sitzungsberichte der Bayerische Akad.Wiss., MathPhys. Klasse , 22 :77–99, 1892.[2] St´ephane Dugowson. On connectivity spaces.
Cahiers de Topo-logie et G´eom´etrie Diff´erentielle Cat´egoriques , LI(4) :282–315, 2010.http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00446998/fr.[3] St´ephane Dugowson.
Dynamiques connectives (Une introduction aux no-tions connectives : espaces, repr´esentations, feuilletages et dynamiquescat´egoriques) . ´Editions Universitaires Europ´eennes, 2012.[4] Taizo Kanenobu. Satellite links with Brunnian properties.
Arch. Math. ,44(4) :369–372, 1985.
ABLE DES MATI `ERES Table des mati`eres (R E , ⋈ , ) (R E , ⋈ , ) . . . . . . . . 71.5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Relations incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Restriction d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Produit de restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 R . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Parties d´etachables d’une relation R . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6.1 Partie externe et socle d’une relation . . . . . . . . . . . . 13 R ∈ R14