Convex Shape and Rotation Model of Lucy Target (11351) Leucus from Lightcurves and Occultations
Stefano Mottola, Stephan Hellmich, Marc W. Buie, Amanda M. Zangari, Simone Marchi, Michael E. Brown, Harold F. Levison
DDraft version September 21, 2020
Typeset using L A TEX default style in AASTeX63
Convex Shape and Rotation Model of Lucy Target (11351) Leucusfrom Lightcurves and Occultations
Stefano Mottola, Stephan Hellmich, Marc W. Buie, Amanda M. Zangari, ∗ Simone Marchi, Michael E. Brown, and Harold F. Levison Institute of Planetary Research, DLRRutherfordstr. 2,12489 Berlin, Germany Southwest Research Institute1050 Walnut St.Boulder, CO 80302 USA California Institute of Technology1200 E. California Blvd.Pasadena, CA 91125 USA (Received July 7, 2020; Revised September 1, 2020; Accepted September 15, 2020)
Submitted to PSJABSTRACTWe report new photometric lightcurve observations of the Lucy Mission target (11351) Leucus ac-quired during the 2017, 2018 and 2019 apparitions. We use these data in combination with stellaroccultations captured during five epochs (Buie et al. 2020) to determine the sidereal rotation period,the spin axis orientation, a convex shape model, the absolute scale of the object, its geometric albedo,and a model of the photometric properties of the target. We find that Leucus is a prograde rotator witha spin axis located within a sky-projected radius of 3 ◦ (1 σ ) from J2000 Ecliptic coordinates ( λ = 208 ◦ , β = +77 ◦ ) or J2000 Equatorial Coordinates (RA=248 ◦ , Dec=+58 ◦ ). The sidereal period is refined to P sid = 445 . ± .
007 h. The convex shape model is irregular, with maximum dimensions of (60.8,39.1, 27.8) km. The convex model accounts for global features of the occultation silhouettes, althoughminor deviations suggest that local and global concavities are present. We determine a geometricalbedo p V = 0 . ± . Keywords: convex inversion — lightcurves — stellar occultations — Jupiter Trojans — photometry INTRODUCTIONJupiter Trojans are a class of small objects trapped in the Jupiter L4 and L5 Lagrangian points. Their origin is stilldisputed, with the most likely scenarios falling into the categories 1) coeval trapping of local planetesimals in the 1:1mean motion resonance with accreting Jupiter as a consequence of drag or collisions (Yoder 1979; Shoemaker et al.1989) or 2) post Jupiter-formation capture of scattered trans-Neptunian planetesimals following an episode of orbitalchaos (Morbidelli et al. 2005) during the orbital migration of the giant planets or as a consequence of the
JumpingJupiter scenario as defined in Nesvorn´y et al. (2013). In either cases, Trojans are thought to be primitive objects thatexperienced little thermal evolution and contain a considerable amount of volatiles, which makes them close relativesto cometary nuclei.
Corresponding author: Stefano [email protected] ∗ Amanda Zangari is currently an MIT Lincoln Laboratory employee. No Laboratory funding or resources were used to produce theresults/findings reported in this publication. a r X i v : . [ a s t r o - ph . E P ] S e p Mottola et al.
With a launch planned for October 2021, Lucy is the thirteenth NASA mission of the Discovery Program and willbe the first one to explore the Jupiter Trojan System. Its trajectory is designed to fly-by 5 Trojans – one of which,(617) Patroclus is an equal-size binary system – distributed over the two Lagrangian clouds. The encounter withLeucus is currently planned for June 18, 2028. A coordinated effort has been initiated to support the mission witha systematic program of ground-based observations of the mission targets aiming at characterizing their dynamical,physical, rotational and photometric properties. The goal is to inform the mission design in order to maximize thescientific return of the encounters and to complement the space-based measurements with data that are most efficientlyacquired from the ground.This paper presents new lightcurve photometry of the Lucy target Leucus, which is used, together with the resultsof stellar occultation campaigns presented in a companion paper (Buie et al. 2020), to determine its convex shape,spin axis orientation, albedo, size, sphere-integrated phase curve and V–R color index. LEUCUS(11351) Leucus belongs to the Jupiter L4 Trojan swarm. Radiometric measurements by the IRAS satellite reporteda size and a geometric albedo of 42.2 ± . ± . ± .
646 km and 0.079 ± . ± OBSERVATIONS AND DATA REDUCTIONThe new Leucus photometric observations reported in this paper were performed during its 2017, 2018 and 2019apparitions by using 1.0 m telescopes from the Las Cumbres Observatory Global Telescope (LCOGT) network, the1.2 m telescope at the Calar Alto Observatory, Spain, and the two 24 (cid:48)(cid:48) telescopes sited at Sierra Remote Observatories(SRO), Auberry, CA, USA, owned and operated by SwRI. The observational circumstances are detailed in Table 1.Typical exposure times were of 5 min for the Calar Alto observations, with the telescope tracked at half the relativetracking rate of the asteroid, in order reduce smearing and obtain equal point-spread functions for the target and fieldstars. The LCOGT observations were also exposed for typically 5 min, but were tracked at object rate, since thosetelescopes do not support halfway tracking.The SRO systems use an Andor Xyla sCMOS camera with a maximum exposure time of 30 seconds. All datataken on Leucus used this maximum exposure time. In 30 seconds, the motion of Leucus is 125 mas at opposition,corresponding to less than a half of a pixel smear and and even smaller fraction of the point-spread function (PSF).The very fast readout and low read noise of the sCMOS camera nearly eliminate the penalties of taking such shortexposures. During processing, we can stack as many images as desired to reach a SNR goal. Two stacks are builtfrom the data, one registered on the stars and the other registered on the apparent motion of Leucus. We can useimage subtraction to remove the stars in the Leucus stack but this was not necessary for the 2018 and 2019 data fromSRO. For these data we chose to stack 10 images at a time and used synthetic aperture integration to retrieve thephotometry of Leucus, thus providing an effective integration over 5 minutes. The star-stacked images were used withthe same aperture to determine the instrumental magnitudes of the stars.This raw photometry was further binned in time by a factor of 3 to increase the per-point SNR while also allowingthe estimation of a good uncertainty for the photometry.For the observations from Calar Alto, most fields were measured with
Himmelspolizey , a reduction pipeline developedby SH. The latter implements a semi-automatic astrometric/photometric workflow that uses
SExtractor (Bertin &Arnouts 1996) for photometric extraction, an optimistic pattern matching algorithm (Tabur 2007) for astrometricreduction and a moving object detection algorithm for asteroid identification as described in Kubica et al. (2007). Inthe case of crowded fields, synthetic aperture photometry was measured interactively with AstPhot (Mottola et al.1995). onvex shape of 11351 Leucus C filters, we used the GAIA DR2 catalog (Gaia Collaboration et al. 2018) with the transformationsfrom the G photometric band from Evans et al. (2018). The observations from the SRO were performed with a VRbroadband filter. Gaia DR2 field stars were used to directly express the asteroid in the Gaia G bandpass withoutfurther transformation or color correction.Typically, relative photometric accuracy of the individual points (binned points for the SRO) ranged from 0.01 to0.03 mag RMS. The absolute photometric accuracy of the zero points was typically of the order of 0.02 mag RMS.For all observations, the magnitudes were reduced to 1 au from the Sun and the observer. The times were convertedto the Barycentric Dynamical Time (TDB) frame, in order to provide a uniform time reference. Further, the timeswere corrected for the one-leg, target-observer light-travel time.For the purpose of compact representation – but not for model computation – the photometric time series werecompiled into composites for each individual apparition. This was achieved by performing a Fourier series fit of thefourth order to determine the respective best-fit synodic periods by using the procedure described in Harris et al.(1989). Normally, we would fit simultaneously the Fourier coefficients and a phase function to absolute photometrydata, in order to compensate for brightness changes due to the phase curve. The implicit assumption is that the shapeof the lightcurve – in particular its amplitude – remains constant over a few consecutive rotational cycles. While thisis a reasonable assumption for most asteroids, in the case of Leucus, given its very slow rotation, the amplitude of thelightcurve can change over consecutive rotational cycles due to the change in viewing and observing geometry. Fittingthe phase function simultaneously with the rotation period would tend to compensate the change in the lightcurveamplitude by skewing the phase function, which could result in varying phase curve slopes for different apparitions.For this reason we performed the composites with a nominal linear phase coefficient β = 0 . mag/ ◦ for all of theobservations reported in this paper (see section 4.5).The composite lightcurves for the 2017, 2018 and 2019 apparitions are reported in Figure 1. It can be seen thatthe respective synodic periods differ among each other by as much as 0.7 h, which corresponds to about 0.15%. Thisis expected for two lines of reasons. First, due to the slow rotation, the useful baseline for the determination of theperiods for each apparition just covers a handful of rotational cycles, which limits the accuracy of the determination.Secondly – and to a lesser extent – the apparent instantaneous rotation rate depends on the rate of change of the Mottola et al.
Table 1.
Observational circumstancesDate λ β α r ∆ λ (PAB) β Band Observatory Observers(UT) ( ◦ J2000) ( ◦ ) (au) (au) ( ◦ J2000)2017 May 1.1 287.4 +5.7 9.683 5.5071 5.0320 282.5 +5.5 R C
493 SH, SMo2017 May 2.1 287.4 +5.8 9.616 5.5067 5.0175 282.6 +5.5 R C
493 SH, SMo2017 May 20.1 287.0 +6.3 7.887 5.5005 4.7745 283.0 +5.9 R C
493 SH, SMo2017 May 28.1 286.5 +6.6 6.841 5.4977 4.6852 283.1 +6.1 R C
493 SMo, SH2017 May 30.1 286.3 +6.6 6.550 5.4970 4.6646 283.1 +6.1 R C
493 SMo, SH2017 May 31.0 286.3 +6.6 6.408 5.4966 4.6551 283.1 +6.1 R C
493 SMo, SH2017 Jul 16.4 281.0 +7.6 2.738 5.4798 4.4914 282.2 +6.9 r’ Q64 MWB, AZ2017 Jul 17.0 280.9 +7.6 2.833 5.4795 4.4932 282.1 +6.9 r’ W86 MWB, AZ2017 Jul 17.3 280.9 +7.6 2.882 5.4794 4.4942 282.1 +6.9 r’ W85 MWB, AZ2017 Jul 17.6 280.8 +7.6 2.933 5.4793 4.4952 282.1 +6.9 r’ Q63 MWB, AZ2017 Jul 17.9 280.8 +7.6 2.980 5.4792 4.4962 282.1 +6.9 r’ K93 MWB, AZ2017 Jul 18.2 280.8 +7.6 3.031 5.4791 4.4973 282.1 +6.9 r’ W86 MWB, AZ2018 Jun 11.1 318.3 +11.1 9.382 5.3394 4.7451 313.5 +10.5 R C
493 SH, SMo2018 Jul 9.1 316.6 +12.1 5.829 5.3263 4.4379 313.8 +11.1 V 493 SH, SMo2018 Jul 15.0 316.0 +12.2 4.895 5.3236 4.3947 313.8 +11.2 V 493 SH, SMo2018 Sep 4.9 309.8 +12.5 6.171 5.2990 4.4362 312.8 +11.5 V 493 SH, SMo2018 Aug 6.9 313.2 +12.7 2.406 5.3127 4.3186 313.3 +11.5 R C
493 SH, SMo2018 Aug 8.0 313.1 +12.7 2.432 5.3123 4.3187 313.3 +11.5 R C
493 SH, SMo2018 Aug 9.0 312.9 +12.7 2.475 5.3118 4.3192 313.3 +11.5 R C
493 SH, SMo2019 Nov 9.1 342.2 +12.6 10.103 5.1016 4.5976 347.3 +12.0 VR G80 MWB2019 Nov 10.1 342.2 +12.6 10.181 5.1012 4.6112 347.4 +12.0 VR G80 MWB2019 Nov 11.1 342.2 +12.5 10.257 5.1008 4.6249 347.4 +12.0 VR G80 MWB2019 Nov 12.1 342.2 +12.5 10.329 5.1004 4.6387 347.5 +11.9 VR G80 MWB2019 Nov 24.1 342.6 +12.0 10.962 5.0955 4.8123 348.2 +11.7 VR G80 MWB
Note —This table is an excerpt. The observational circumstances for all of the observation nights are reportedin the online material. λ and β are the topocentric ecliptic longitude and latitude of the target, respectively. α is the solar phase angle, r is the heliocentric distance and ∆ is the topocentric range of Leucus. λ and β (PAB)are the topocentric ecliptic longitude and latitude of the phase angle bisector, as defined in Harris et al. (1984) topocentric ecliptic longitude of the object, which can make the synodic period change slightly during the course ofan appartition and from one apparition to the next. In the next sections we will derive a very accurate sidereal periodand phase function, by using a dynamical and shape model that makes use of all of the available observations, over abaseline of about 6 years. MODELING4.1.
Data
The photometric lightcurves presented in the previous section and in Buie et al. (2018), and the results from thestellar occultation campaigns reported in Buie et al. (2020) constitute the bulk of observational data used for ourmodeling work. In addition, we made use of dense lightcurve photometry by French et al. (2013) (retrieved throughthe ALCDEF service (http://alcdef.org/)) and sparse photometry from the following sources:1. The Gaia DR2 database (Gaia Collaboration et al. 2018) retrieved through the VizieR server (https://vizier.u-strasbg.fr/), onvex shape of 11351 Leucus (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)○○○ ○○○○○○ ○○ ○ ○ ○○ ○○○○ ○○ ○○○○ ○ ○○ ○○ ○ ○○ ○ ○○ ○○ ○○○○ ○ R C ( , α = . ° ) r ’ ( , α = . ° ) (cid:3) (cid:0)(cid:3) LCOGT; r’ band (cid:3) ○(cid:3)
Calar Alto; R C band (cid:3) P syn = 445.207 h (cid:3) T = 57955.0 MJD TDB ○ ○○○○○○○ ○○○○ ○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○ ○○○ ○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○ ○ ○(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) V ( , α = . ° ) R C ( , α = . ° ) (cid:3) (cid:0)(cid:3) Calar Alto; V band (cid:3) ○(cid:3)
Calar Alto; R C band (cid:3) (cid:4)(cid:3) Sierra Remote; VR band (cid:3) (cid:3) P syn = 445.924 h (cid:3) T = 58336.0 MJD TDB V R ( , α = . ° ) ○○○ ○ ○○○ ○○○○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○○○○○ ○○○○ ○○○○○ ○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○ ○○○○ ○○○○○○○○○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○○○○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○ ○○○ ○○ ○○○○○○○○ ○○○ ○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○ ○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○ ○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4)(cid:4) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0) V ( , α = . ° ) R C ( , α = . ° ) (cid:3) (cid:0)(cid:3) Calar Alto; V band (cid:3) ○(cid:3)
Calar Alto; R C band (cid:3) (cid:4)(cid:3) Sierra Remote; VR band (cid:3) P syn = 445.172 h (cid:3) T = 58712.0 MJD TDB V R ( , α = . ° ) Figure 1.
Composite lightcurves for the 2017, 2018 and 2019 apparitions. The data points are folded with the synodic periodslisted in the respective graphs, with zero phase corresponding to the respective T epochs. T are one-leg, light-travel timecorrected Modified Julian Dates (MJD) expressed in the TDB uniform time frame. The listed synodic periods are the exactnumbers used for folding the composites, and as such, are reported without uncertainty. Data points beyond rotation phase 1.0are repeated for clarity. The magnitudes are reduced to 1 au from the observer and from the Sun and to the respective referencephase angles by using a nominal linear phase coefficient β = 0 . ◦ . Mottola et al.
2. The ZTF project (Bellm et al. 2019) retrieved through the IRSA server (https://irsa.ipac.caltech.edu/applications/ztf/) and from the nightly transient archive at https://ztf.uw.edu,3. The PAN-STARRS-1 DR2 database (Flewelling et al. 2016) retrieved through a query to the MAST archive(https://catalogs.mast.stsci.edu/), and4. The ATLAS project (Tonry et al. 2018) retrieved through the AstDys database (https://newton.spacedys.com/astdys/).For all but the ATLAS observations, the photometric uncertainties were retrieved along with the magnitude data.In the case of the ATLAS observations, we estimated nominal photometric uncertainties by compiling the data intocomposites for the individual oppositions and computing their residuals. Since the survey observations were acquiredin a variety of different photometric systems, for which transformations to the Johnson system are not accuratelyestablished, they were treated as relative photometry. Similarly to the dense data set, the times were light-time cor-rected, and the magnitudes reduced to 1 au. Although these additional datasets provide varying degrees of accuracy,they proved to be very useful to extend the coverage and baseline of the observations, which combined, cover a periodof about 6 years. 4.2.
Convex inversion
In this paper we apply the convex shape inversion approach described in Kaasalainen et al. (2002) and referencestherein to the photometric time series to simultaneously solve for the sidereal period, the spin axis orientation, thephotometric function and a convex, polyhedral approximation of the shape. The occultation data are used as aconstraint to resolve the spin axis ambiguity, to determine the scale of the object – and hence its albedo – and to refinethe orientation of the spin axis. Although it is likely that Leucus does contain some degree of global-scale concavity,we did not feel that the available data – both because of coverage and photometric accuracy, in the case of lightcurvedata, and because of limited unique observation geometries in the case of occultation data – would allow addressingof the intrinsic non-uniqueness of the non-convex problem. On the other hand, the convex inversion scheme offers theadvantage of a provably convergent method that results in a unique solution in the case of a convex shape (Kaasalainen& Lamberg 2006), and gracefully degrades in the case of moderate concavities. Non-convex modeling of Leucus willbe the subject of future work as soon as more data – especially at further occultation geometries – become available.Although a working implementation of the convex inversion algorithm ( convexinv ) is publicly available (Durech et al.2010) we decided to develop our own implementation based on the original publications (Kaasalainen & Torppa2001; Kaasalainen et al. 2001). This approach has allowed us to overcome some limitations of the code (describedlater), to expand its functionality, and to correct a minor bug in the computation of the χ metric that is presentin the current convexinv version and that has been promptly communicated to the author. Although we did notmake use of any code from convexinv , we did use that software to validate the results of our own code on a few test cases.The surface brightness of the object is described through its photometric function, which, for the purpose of thiswork, is assumed to be separable into a disk function and a surface phase function (see e.g. Schr¨oder et al. 2013).Following Kaasalainen et al. (2001), we adopt Lommel-Seelinger-Lambert (LSL) scattering as a disk function anda 3-parameter exponential-linear combination as a surface phase function, as described in Appendix A. The LSLdisk function is the linear combination of the Lommel-Seeliger and Lambert scattering functions through a partitionparameter c , and is equivalent to the Lunar-Lambert disk function (Li et al. 2015 and references therein) when thelatter is used with a partition function independent on the phase angle. We fixed c parameter to a constant value c = 0 .
1, appropriate for dark asteroids (Kaasalainen et al. 2005). For this work we didn’t attempt to use more complexphotometric models – as e.g. the Hapke function (Hapke 2012 and references therein) – because, due to the small phaseangle range in which Trojans can be observed from Earth, no meaningful retrieval of the model parameters is achievable.The brightness of the object depends on the product of its size and its albedo. From unresolved photometricmeasurements alone, it is not possible to retrieve independently those two quantities. Independent measurementsas thermal radiometry, stellar occultations or direct imaging, however, offer the possibility to disentangle the twoquantities. In absence of more detailed information, we assume that the photometric properties of the target – in onvex shape of 11351 Leucus convexinv implementation – we minimize a weighted metricfor solving the least-squares problem, in order to properly account for the varying degree of accuracy of the differentdata sets. In the case of absolute observations, the optimization is performed by minimizing the reduced χ red metricdefined as χ red = 1 N (cid:88) i ( L obsi − L modi ) σ i (1)where L obsi and L modi are the observed and model intensities, respectively, σ i are the intensity uncertainties and N is the number of degrees of freedom for errors. The index i runs over all of the n photometric data points.In the case of relative observations, we minimize the deviations of the intensities relative to the average of the respectivelightcurve: χ rel = 1 N (cid:88) k,j (cid:32) ¯ L obsj σ k,j (cid:33) (cid:32) L obsk,j ¯ L obsj − L modk,j ¯ L modj (cid:33) (2)where the index k runs over the data points of the lightcurve j and ¯ L obsj and ¯ L modj are the average intensities of theobserved and modeled lightcurve j , respectively. The term σ k,j represents the uncertainty of the k th data point oflightcurve j . If absolute observations were performed during the same apparition in two photometric bands, then acolor index term is introduced to tie the two photometric systems. The color term is also optimized in the procedure.If, on the other hand, one photometric band is never used together with another photometric system at least duringone apparition, then these series of observations are treated as relative photometry, in order to avoid a possibleparameter coupling between the color index and the spin axis orientation. The non-linear optimization is performedwith the Levenberg-Marquardt algorithm (Press et al. 1992).A unique transformation from the EGI to a polyhedron in 3D space is guaranteed by a Minkowski theorem (Minkowski1897). For this transformation we use the iterative scheme proposed by Lamberg (1993). The body reference systemis defined such that the Z axis coincides with the spin axis. The plane that contains the body center of mass and thatis perpendicular to the Z axis defines the XY plane in the body system. The direction of the X axis is chosen suchthat it coincides with the projection of the principal axis of smallest inertia onto the XY plane. The body X axis alsodefines the location of the prime meridian and thus the zero longitude.4.3. Rotation model
The rotation period strongly modulates the spectrum of the χ of the fit with periodic local minima at a minimumspacing ∆ P ≈ P / (2 T ) (Kaasalainen et al. 2001), where P is the rotation period and T is the total baseline of thelightcurve coverage. It is therefore important that the optimization be started in the vicinity of the correct period,in order to avoid that the optimizer could become trapped in the local minimum of an alias period. For this reason,the search of the correct sidereal period is the first step in the convex inversion scheme. The search is performed Mottola et al. (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
300 350 400 450 500 550 600Sidereal Period [h]10 R edu c ed χ Figure 2.
Result of the sidereal period scan. Each data point corresponds to a local-minimum solution obtained by using trialperiods in the range between 300 h and 600 h as iteration start values for the sidereal period. The global minimum around445.7 h corresponds to the best-fit solution. by running the inversion procedure by using as starting conditions all trial periods in a relevant range, with a stepsufficiently smaller than the minima separation. For each trial period we use twelve different starting pole directions.Figure 2 shows the results of the period scan for Leucus.In order to identify the coarse direction of the spin axis we run the optimization procedure by using the best-fitsidereal period derived in the previous paragraph as a starting value and by fixing the spin axis orientation to eachof about 20,000 trial directions equally spaced on the celestial sphere. The shape of the object, the sidereal periodand the photometric parameters (but not the pole coordinates) are simultaneously optimized for each trial pole. Theresulting χ values for each solution are mapped on the celestial sphere via a polar azimuthal equidistant projectionand are shown in Figure 3. As expected, two, equally significant loci for the best solution are identified. This is theconsequence of the ambiguity theorem (Kaasalainen & Lamberg 2006) that states that if disk-integrated photometricobservations are always carried out in the same photometric plane – as is the case for low-inclination objects observedfrom Earth – then two indistinguishable solutions exist that satisfy the observations and that are separated by about180 ◦ in Ecliptic longitude. The shapes corresponding to the two solutions are approximately mirrored shapes of oneanother around the body XY-plane. The graph also shows that both solutions are prograde and, as already inferredby Buie et al. (2018), the obliquity of the spin axis is low.4.4. Fit to the occultation data
By providing disk-resolved information, occultation data can resolve the pole ambiguity, fix the absolute scale ofthe shape model and, together with the determined H V -value, measure its geometric albedo.In principle, occultation data can also be used to derive non-convex shape models, provided sufficient, densely sampledsilhouettes are available at multiple rotation phases. Much work has been recently done concerning the optimal fusionof data coming from disk-integrated photometry and disk-resolved techniques as stellar occultations, adaptive-optics onvex shape of 11351 Leucus χ Map
0° 30° 60°90°120°150°180°210°240°270°300° 330° 0° ○ ○ ○ ○
0° 30° 60° 90° 0° 30° 60°90°120°150°180°210°240°270°300° 330° 0° ○○○○ −90° −60° −30° 0° 2.02.53.03.54.0 <> χ Figure 3.
Polar azimuthal equidistant projection of the χ of the pole solutions. The coordinates are expressed in the J2000Ecliptic Frame. The left panel is centered on the North Ecliptic pole and the right one on the South Ecliptic pole. The loci ofthe two complementary best solutions are clearly visible as white regions. direct imaging and interferometry (e.g. Kaasalainen & Viikinkoski 2012; Viikinkoski et al. 2015). In the case ofLeucus, however, both the limited lightcurve coverage and the sparse silhouette sampling would not allow a reliablenon-convex model to be derived. For this reason we decided to adopt an approach similar to Durech et al. (2011) andfavor the advantages of the uniqueness and stability of a convex solution.For each of the two best candidate solutions from the previous section we project the vertices of the shape modelonto the plane of sky at the time of each occultation event and then compute the 2D convex hull of the projectedpoints. Applying this procedure to the two complementary solutions visible in Fig. 3 allowed us to unambiguouslyidentify the correct solution as the one centered at an Ecliptic longitude of around 210 ◦ . However, it also becameapparent that the best solution had a slight systematic deviation in the orientation of the projection with respect tothe occultation data that could be explained by a slight offset ( ≈ ◦ ) in the direction of the spin axis orientation of themodel. Such a small mismatch was not unexpected, as the loci of the solutions in Fig. 3 are quite broad and shallow,and a small shift in the spin axis direction of the model would produce fits to the lightcurves with similar χ . On theother hand, disk-resolved data as stellar occultations are much more sensitive to a pole misalignment. For this reasonwe decided to use the occultation data for the refinement of the solution.As a goodness of fit for the occultation data we define a metric χ occ = (cid:88) i,j ( D ij ) N op (3)where D ij represents the minimum Euclidean distance between the occultation transition point j (either ingress oregress) of the event i and the model 2D convex hull of the event i . N op is the total number of the observed transitionpoints. This metric is different from the one chosen by Durech et al. (2011), who prefer to use the distance of theoccultation points to the occultation limb measured in the direction of the asteroid ground track. Their choice isjustified by the fact that the largest contribution to their occultation data is given by timing errors and observerreaction times, which act along track. In our case, on the other hand, we estimate the largest errors to be due to theconvex shape model, which are not expected to have a preferred direction. χ occ is minimized by optimizing the global scale and the Cartesian coordinates of the centers of the projections foreach occultation epoch. The latter is necessary to compensate both for inaccuracies in the position of the occulted0 Mottola et al. stars and for the uncertainties of the target ephemeris at the epochs of the occultations. In practice the minimizationis performed by varying the projection centers and the A LSL albedo (see Appendix A) – which constrains the scale –in an adaptive grid search fashion.One practical problem arises from the fact that the convex shape optimization is performed in the EGI space, whilethe occultation profile optimization is done in the space of the projected shape. It is therefore impractical to performa simultaneous, combined optimization. For this reason we used the χ occ as a mild penalty function for a combined χ tot of the form χ tot = χ conv + λχ occ (4)where χ conv is the term coming from the convex inversion and λ is a small weight. The value of λ has beendetermined by experimentation by adopting a value of λ that minimized χ occ without significantly increasing χ conv .We have then computed the quantity χ tot for hundred discrete pole directions within a radius of 10 ◦ of the bestsolution (and of the complementary one).The parameters for the best-fit solution are reported in Table 2. The errors quoted for the different quantities havebeen determined by computing perturbed solutions and investigating the effects on the χ . It must be noted thatthis method produces an evaluation of the statistical component of the uncertainties only. The largest contributionto the errors is thought to be due to the violations of the assumptions, as the assumption of the functional form ofthe photometric model and the convexity assumption. Those contributions, however, are virtually impossible to beformally quantified. For this reason we refrained from using more sophisticated statistical error models, as the Markovchain Monte Carlo (MCMC) method, because they also only address the stochastic component of the uncertainty.Figure 4 shows the synthetic lightcurves for the corresponding shape model for the epochs covered by the denseobservations reported in this paper. The lightcurve intensities are corrected for changing heliocentric and topocentricrange and are normalized to unity at the maximum of the respective observation window. Besides the rotationalvariation, the intensity variation due to the changing phase angle is visible.Figure 5 shows the resulting best-fit model overplot onto the occultation chords by Buie et al. (2020). The com-plementary (wrong) solution is also plotted in light gray, showing how occultation data can help identify the correctsolution. Please note that, for comparison purposes, we plot the data following Buie’s convention of projecting theshape onto the plane of sky (Green 1985), with the η coordinate increasing towards celestial North and the ξ coordinateincreasing towards East. This is a different convention than in Durech et al. (2011), who project the shape onto thefundamental plane, with the η coordinate increasing towards West and the ξ coordinate increasing towards North.We note that the model shape well reproduces the occultation profiles and captures the general shape of the object,within the limits of a convex representation. In particular, it reproduces well the flat sides visible during the eventsLE20181118 and LE20191002 and the polygonal appearance of event LE20181118. It is also important to note thatthe occultation data are not directly used to derive the convex shape. The shape is influenced by the occultation dataonly indirectly, through the refinement of the spin axis orientation. Under this light, the match of the convex shapemodel to the occultation data appears even more convincing.Figure 6 shows six orthogonal views of the best-fit Leucus shape model. As already hinted by the occultationsilhouettes, Leucus’ shape considerably deviates from an ellipsoid and is characterized by a comparatively flat Northernhemisphere. The convexity residual of the shape model resulting from the Minkowski transformation (Kaasalainen &Torppa 2001) is a mere 0.14%, which, taken at face value, would suggest negligible global-scale concavities. However,the small phase angle range at which observations are available reduces the diagnostic value of this parameter.As a sanity check, we computed the model’s inertia tensor with the method by Dobrovolskis (1996) – assuming auniform bulk density – and established that the principal inertia axis is misaligned with respect to the body’s rotationaxis by about 8 ◦ . To this end, we have to recall that the derived shape model represents a convex approximation ofthe shape, and ignoring concavities can contribute to shift the direction of the inertia axes. Also the assumption ofuniform bulk density, if violated, would contribute to shift the direction of the principal axis of inertia. The observedmisalignment is therefore not necessarily a hint that the object is not in a principal rotation state. Rather, it is anexpression of the fact that the convex shape represents a photometric shape , which can locally differ from the physicalshape. onvex shape of 11351 Leucus (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:0)(cid:2) abs. observations (cid:2) (cid:0)(cid:2) model0.40.50.60.70.80.91.0 N o r m . I n t en s . ( R B and ) TDB −2457874.5
Calar Alto (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:0)(cid:2) abs. observations (cid:2) (cid:0)(cid:2) model0.40.50.60.70.80.91.0 N o r m . I n t en s . (r ’ B and ) TDB −2457950.8
Sunderland−LCOGT C (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:0)(cid:2) abs. observations (cid:2) (cid:0)(cid:2) model0.40.50.60.70.80.91.0 N o r m . I n t en s . ( R B and ) TDB −2458278.4
Calar Alto (cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:0)(cid:2) abs. observations (cid:2) (cid:0)(cid:2) model0.40.50.60.70.80.91.0 N o r m . I n t en s . ( V R B and ) TDB −2458319.8
Sierra Remote Observatories, Auberry (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:0)(cid:2) abs. observations (cid:2) (cid:0)(cid:2) model0.40.50.60.70.80.91.0 N o r m . I n t en s . ( R B and ) TDB −2458634.4
Calar Alto (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:0)(cid:2) abs. observations (cid:2) (cid:0)(cid:2) model0.40.50.60.70.80.91.0 N o r m . I n t en s . ( V R B and ) TDB −2458683.8
Sierra Remote Observatories, Auberry
Figure 4.
Observed lightcurves shown along with the respective model lightcurves. The data are plotted in intensity and arenormalized to unity at the model maximum value for the respective opposition. The dates reported in the labels represent theepoch of the first observation of each sequence. Mottola et al. θ = 101.2° ○○○ ○
30 20 10 0 −10 −20 −30 ξ [km]3020100−10−20−30 η [ k m ] LE20171018 θ = 97.8° ○ ○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○
30 20 10 0 −10 −20 −30 ξ [km]3020100−10−20−30 η [ k m ] LE20181114 θ = 97.6° ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○
30 20 10 0 −10 −20 −30 ξ [km]3020100−10−20−30 η [ k m ] LE20181118 θ = 94.5° ○○ ○○ ○○ ○ ○
30 20 10 0 −10 −20 −30 ξ [km]3020100−10−20−30 η [ k m ] LE20191002 θ = 90.9° ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○
30 20 10 0 −10 −20 −30 ξ [km]3020100−10−20−30 η [ k m ] LE20191229
Figure 5.
Occulting silhouettes of the best-fit convex model of Leucus (solid black line) along with the rejected complementarymodel displayed in light gray. The five panels correspond to the epochs of the five occultation events reported in (Buie et al.2020). The red circles correspond to the starts and ends of the respective positive occultation chords. The red, green, and bluearrows represent the X, Y, and Z axes in the body-fixed reference frame, respectively. θ represents the aspect angle, i.e. theangle between the spin axis and the target-observer direction. onvex shape of 11351 Leucus X Z Y Z X YZXY XY
Figure 6.
Six orthogonal projections of the best-fit Leucus convex shape arranged similarly to an unfolded dice. For contrastreasons, Lambert shading is used for the figure rendering instead of the LSL disk function used in the modeling.
The maximum extent of a complex shape can be defined in several different ways (see e.g. Torppa et al. 2008). Forour model we define the maximum dimensions as L X = max ( x , ..., x i ) − min ( x , ..., x i ) L Y = max ( y , ..., y i ) − min ( y , ..., y i ) L Z = max ( z , ..., z i ) − min ( z , ..., z i ) (5)where ( x i , y i , z i ) represent the Cartesian coordinates of the i th vertex of the shape model and the X , Y , and Z body axes are defined as per Sec. 4.2. This definition produces similar – but not identical – extents as the OverallDimensions (OD) definition of Torppa et al. (2008) (see their Fig. 1). In particular, with our definition the largestextent is computed in the general direction of the principal axis of smallest inertia, which represents a natural axis ofthe body. In the case of the OD definition by Torppa et al. (2008), on the other hand, the maximum dimension isthe largest extent that occurs anywhere in the XY plane. As an example, for a hypothetical body with a rectangularequatorial cross section, with our definition the maximum extent would be represented by the longest side of therectangle, while, according to the definition by Torppa the maximum extent would be represented by the diagonal ofthe rectangle.With our definition, the maximum dimensions for Leucus are L X = 60 . L Y = 39 . L Z = 27 . at the epoch T using the formalism by Kaasalainen et al. (2001), as well as using the IAU convention ofreporting the ICRF equatorial coordinates of the spin axis and the W angle at the standard epoch J2000 (Archinalet al. 2018, 2019).4 Mottola et al.
Table 2.
ResultsSidereal Period (h) 445.683 ± ◦ ) 208Pole J2000 Ecl. Latitude ( ◦ ) +77Pole J2000 RA ( ◦ ) 248Pole J2000 Dec ( ◦ ) +58Radius of pole uncertainty ( ◦ , 1 σ ) 3Ecliptic obliquity of pole ( ◦ ) 13Orbital obliquity of pole ( ◦ ) 10 T (JD TDB ) 2456378.0Φ ( ◦ ) -76.129 W ( ◦ ) 60.014˙ W ( ◦ day − ) 19.38596 ± p V ± A LSL ± A ± D (rad) 0.075 ± k (rad − ) -1.07 ± c (fixed) 0.1 H V − LSL (sph. int.) 10.979 ± H V − lin (sph. int.) 11.034 ± β (mag / ◦ ) 0.0395 ± H V − HG (sph. int.) 10.894 ± G ± H V − HG G (sph. int.) 10.95 ± G ± G ± V − R ± V − r (cid:48) ± L X (km) 60.8 L Y (km) 39.2 L Z (km) 27.8Surface-equivalent spherical diam. (km) 41.0 ± ) 5288 ± ) ≤ . × Note —Please refer to the text for the definition of the respectivequantities.
The surface-equivalent spherical diameter of the convex model is D = 41 . ± . ± × km . It should be noted, however, that due to the likely presence of concavities the quoted value for the volumerather represents an upper bound. 4.5. Sphere-integrated phase curve
The disk-integrated phase curve of an object condenses the often complex parameter space of a photometric functioninto a two-dimensional space. As such, the phase curve is a useful phenomenological tool to compare and classifydifferent objects, and to infer the presence of physical phenomena, as e.g. coherent backscattering. A practicaldifficulty in deriving phase curves, however, is that during a single apparition – and even more so across multiple onvex shape of 11351 Leucus sphere-integrated phase curve corresponds to the reference phase curves defined by Kaasalainen et al.(2001) in the particular case of a sphere. Figure 7 shows the sphere-integrated phase curve for the LSL photometricfunction for Leucus (red line), corresponding to the best-fit photometric parameters derived in Section 4.4 and listed inTable 2. For the purpose of comparison, fits are also shown for 1) the best-fit linear phase function ( β = 0 . / ◦ )2) the IAU HG system (Bowell et al. 1989) and 3) the more recently adopted IAU HG G system (Muinonen et al.2010). The latter was computed with the online tool described in Penttil¨a et al. (2016).As already apparent during the 2016 apparition (Buie et al. 2018), and as observed for several other Trojans (see e.g.Shevchenko et al. 2012), Leucus has a very subtle – if at all – opposition effect. Within the observed phase angle range,all of the phase curves except for the HG curve – that shows systematic variations both at the small and at the largeend of the phase angle range – provide a good fit to the data. The extrapolation at zero phase produces H V − lin and H V − HG G values that differ from the LSL solution ( H V − LSL ) by about 0.05 mag and 0.03 mag, respectively. Thesesmall deviations are partly due to the fact that no calibrated data were available in the V band below the phase angleof about 1.6 ◦ to constrain the fit. Buie et al. (2018) did observe Leucus in the r’ band at phase angles as low as 0.125 ◦ during the 2016 apparition. However, there appear to be calibration inconsistencies between the 2016 observationsand those acquired at the LCOGT in 2017 that are not fully understood. For this reason the 2016 observations wereused as a relative data set and do not contribute to our phase curve.It has long been realized (see e.g. Oszkiewicz et al. 2012; Shevchenko et al. 2016 and references therein) that acorrelation exists between an asteroid’s taxonomic class and the shape of its phase curve. The abovementioned tool byPenttil¨a et al. (2016) also performs an unsupervised taxonomic classification based on the derived HG ,G solution.Interestingly, the software classifies Leucus as a D type, solely based on its phase curve. This further supports thetentative classification by Levison & Lucy Science Team (2016) that was based on spectral information.It is also important to recall that since Leucus has a considerably larger equatorial cross section than the polar one,oppositions with pole-on aspect would result in measured phase curves that are brighter than the sphere-integratedphase curve and conversely, apparitions with equator-on aspect would appear fainter than the spherical model. Giventhe low obliquity of Leucus’ spin axis, however, all apparitions tend to be at near-equatorial aspect, as observed fromEarth, and therefore Leucus never exposes its largest cross section to the observer. This effect must be considered,e.g., when computing spherical equivalent diameters from observations.4.6. Albedo
The geometric albedo is quite an elusive quantity to measure. First, it is defined for an observation geometry (0 ◦ solar phase angle) that is rarely observable from Earth, and in which the photometric behavior of different planetarysurfaces can wildly vary. Second, it is the result of an indirect measurement that requires the brightness at zero phaseand a further measurement as a thermal flux or a geometric cross section, which adds to the total error budget. Third,the albedo depends in principle on the shape of the object, although this issue is less of a problem for dark objects asthe Trojans. The error on the brightness at zero phase directly translates into the same relative error for the geometricalbedo (i.e. a 10% error in the brightness would cause a 10% error in the albedo). In our case the geometric albedois derived through the simultaneous fit of the photometric lightcurves and the occultation data and by applying Eq.A3, which results in an accurate geometric albedo determination p V = 0 . ± . p V = 0 . ± .
013 and a spherical-equivalentdiameter D = 34 . ± .
646 km derived from WISE observations. Those values are clearly incompatible with theoccultation footprints. Part of the reason for their overestimation of the albedo is that they used an inaccurate H V = 10 .
70, retrieved from the Minor Planet Center database. Very often, those photometric measurements areacquired in non-standard photometric systems, are subject to inaccurate calibrations, and are therefore affected bylarge uncertainties. A further reason for the discrepancy is that the WISE observations happen to have occurred inthe vicinity of the lightcurve minimum, thereby underestimating the average thermal flux of Leucus. If we use our6
Mottola et al. (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:2)
Geometry−corrected observations (cid:2) (cid:2)
Sphere−integrated phase curve (cid:2) (cid:2)
Linear fit (cid:2) (cid:2)
HG system (cid:2) (cid:2)
H,G ,G system V ( , α ) Figure 7.
Sphere-integrated phase curve obtained by integrating the best-fit LSL photometric function over a sphere (red solidcurve). The blue squares represent the single photometric points for which absolute calibrations and transformations to theJohnson V band were available. Those data points have been corrected by multiplying the intensity of the original photometricmeasurement by the ratio of intensity of the spherical model to that of the best-fit convex shape model. In this way the effectsof changing viewing and observing geometry, as well as the rotational variations are removed. The remaining scatter in the datais mostly due to the SNR of the measurements and to the uncertainty in the zero points of the absolute calibrations. A fit tothe data by using the IAU HG system, the HG G system, and a linear phase function are also shown for comparison. value H V − LSL = 10 .
979 to correct their determination by using the method proposed by Harris & Harris (1997), andaccount for the apparent visible cross-section at the time of the WISE observations, we obtain a corrected geometricalbedo p V = 0 . ± .
014 and a diameter D = 39 ± ± .
014 and 42.2 ± . H V − LSL value we update their determinations to p V = 0 . ± .
014 and D = 41 . ± .
0, which are also in agreement with our own determinations.Buie et al. (2020) determined geometric albedo values for the four occultation events in 2018 and 2019 by estimatingthe object cross-sectional area from best-fit ellipses and by using the absolute photometry reported in this paper. Theyderived geometric albedo values ranging from 0.035 to 0.043 for the different occultation events, with the scatter of themeasurements probably reflecting the uncertainty in the different elliptical approximations of the occultation profiles. DISCUSSIONThe combination of time-resolved, disk-integrated photometry and stellar occultations is a powerful technique thatallows accurate characterization from the ground of otherwise unresolved targets. We have determined a convexshape model that is compatible with the available occultation footprints and, thanks to accurate absolute photometry,produces precise size and albedo estimates of Leucus. Our model also allows us to understand and correct previous onvex shape of 11351 Leucus (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) R e l a t i v e M agn i t ude (cid:2)(cid:2) convex model (cid:2) (cid:2) WISE W3 (cid:2)(cid:0) (cid:2)(cid:2) P sid = 445.683 h (cid:2) T = 55243.0 MJD TDB
Figure 8.
WISE observations (Grav et al. 2012) in the W3 12 µ m thermal band are phased with a synthetic lightcurve from ourconvex model for the same epoch. Data points beyond rotational phase 1.0 are repeated for clarity. The magnitude scale for theWISE observations is arbitrarily offset to provide the best fit to the model curve. The plot shows that the WISE observationsof Leucus were acquired near the lightcurve minimum. incompatible radiometric albedo and size determinations.The accuracy of our rotation model is such that the 1 σ uncertainty on the rotation phase will be smaller than 2 ◦ at the time of the June 2028 Lucy encounter with Leucus. At the time of the fly-by the sub-solar latitude will beabout -9 ◦ and the South pole will be permanently illuminated – although at grazing incidence – whereas the Northpole will be in its winter night. Unfortunately, due to the slow rotation of the body, Lucy will be able to observe atmost 60% of the surface in the 40 hours during which the object will be resolved with more than 40 pixels. For thisreason, an accurate ground-based shape model is very valuable to the mission. On the one hand it enables carefulplanning of the acquisition sequences, in order to guarantee optimum sampling. On the other hand, it complementsthe data from the mission to complete the uncharted hemisphere, similarly to what was done, e.g., in the case ofthe Rosetta fly-by of Lutetia (Carry et al. 2010; Preusker et al. 2012). The latter is of crucial importance for theestimation of the volume of the object and hence of its bulk density. Our convex model already serves this purposewell and represents a good second-order approximation of the shape – the first order being an ellipsoid (Buie et al. 2020).With an angular size of the longest axis of 15 mas at most, Leucus represents a challenging target to resolve forground-based adaptive optics, James Webb Space Telescope or ESO’s ALMA observations. Further improvement ofthe shape model in the near future can likely only come from dense stellar occultation data at further geometries, andfrom more, accurate absolute lightcurves. These data could be possibly used to produce a realistic non-convex model,provided the observation geometries are favorable. In this respect it is important to recall that not all concavitiesare directly resolvable from stellar occultations. A Star-Wars Death-Star shape, for example, would always project aconvex occultation silhouette, with its concavity only being hinted at by a flat side of the contour.8 Mottola et al.
Our photometric modeling of Leucus confirms that the object is very dark and lacks a pronounced opposition effect.These properties put Leucus in the context of other Trojan asteroids, and of other primitive, Outer-Belt objects. Dueto the limited phase angle range achievable from Earth, however, we caution from extrapolating the derived phasecurve to predict the brightness of Leucus at the large phase angles occurring on Lucy approach ( > ◦ ), becauseit could be in error by a considerable factor. For this purpose it will be important to benefit from Lucy’s vantagepoint during the cruise phase to extend the coverage of the phase curve to larger angles. Such measurements wouldalso allow the use of more sophisticated photometric models and to uniquely retrieve their parameters. Further, theywould allow a reliable determination of the phase integral, which, together with the geometric albedo, is critical toestablish the thermal balance of the body.Leucus exhibits an exceptionally slow rotation, the cause of which is currently not known. As of today, only about0.8% of the about 32600 asteroids in the Asteroid Lightcurve Data Base (LCDB) (Warner et al. 2009) for whichrotation period estimates are available, have a slower spin than Leucus. Objects with such slow rotation cannotbe explained as just belonging to the tail of a single population of rotators (Harris 2002), and some mechanismmust have been in place that slowed down their rotation. Radiation recoil forces as the YORP effect (Rubincam2000) cannot explain the slow rotation of Leucus because of its large size and heliocentric distance. More realisticpossibilities are 1) rotation angular momentum loss due to the evolution and eventual separation of a binary systemwith an elongated primary (Harris 2002) and 2) spin-down due to reaction forces resulting from sublimation of volatiles.Pravec et al. (2014) revised the damping time scales for excited rotation as a function of asteroid size and rotationperiod. By assuming a bulk density for Leucus of 1 × kg m − , their estimate would translate into a relaxationtime for Leucus in the range 2.3 - 3.0 Gyr. If excited rotation was ever present for Leucus it could be still in place asof today. Given the good fit of the lightcurves to our simple-rotation model, however, we conclude that if an excitedrotation is present, its precession amplitude must be small. Due to the short duration of the fly-by, it is unlikely thatany degree of precession can be detected by Lucy from resolved imagery. Instead, unresolved photometric sequencesacquired by Lucy during the last few months of approach could be used to search for multiple periodicities in thelightcurves. The detection of a non-principal rotation state would place additional constraints on the dynamics andthe internal structure of Leucus. APPENDIX A. PHOTOMETRIC QUANTITIESFor the convex shape inversion we use a photometric function defined as the product of a Lommel-Seeliger-Lambertdisk function and a 3-parameter linear-exponential surface phase function (Kaasalainen et al. 2001; Schr¨oder et al.2013). The corresponding radiance factor ( I/F ) can be written as:
I/F = A LSL µ (cid:18) µ + µ + c (cid:19) f ( α ) (A1)where A LSL is the Lommel-Seeliger Lambert albedo, µ and µ are the incidence and emission angles, respectively,and c is the weight for the Lambert contribution. The term c can be either constant, or a function of the phase angle α . In the latter case the Lommel-Seeliger Lambert disk function is equivalent to the Lunar-Lambert disk functionin the formulation of McEwen (1996). The term f ( α ) is the surface phase function (expressed in intensity), which,following Kaasalainen et al. (2001) we choose to be of the form : f ( α ) = A e − α/D + kα + 1 (A2)where A and D are parameters that determine the amplitude and angular width of the exponential term, respec-tively, and k is the slope of the linear component. The phase angle α is expressed in radians. With this formalism thegeometric albedo for a sphere is: p V = A LSL (cid:18)
12 + 23 c (cid:19) ( A + 1) (A3) onvex shape of 11351 Leucus c is the value of the Lambert weight at zero phase angle.The disk-integrated phase function for a sphere, expressed in intensity and normalized to unity at zero phase is (Liet al. 2015; Li et al. 2020):Φ LSL ( α ) = [4 c/ (3 π ) ( sin ( α ) + ( π − α ) cos ( α )) + (1 + sin ( α/ ln ( tan ( α/ tan ( α/ c / f ( α )( A + 1) . (A4)ACKNOWLEDGMENTSResearch at the DLR was funded by the DLR Programmatik Raumfahrtforschung und-technologie through the grant2474029
Lucy . Part of this work was supported by the Lucy Mission which is funded through the NASA Discoveryprogram on contract number NNM16AA08C. REFERENCES