Curvature-Free Margulis Lemma for Gromov-Hyperbolic Spaces
Gérard Besson, Gilles Courtois, Sylvestre Gallot, Andrea Sambusetti
aa r X i v : . [ m a t h . DG ] D ec Curvature-Free Margulis Lemma for Gromov-HyperbolicSpaces
G. Besson, G. Courtois, S. Gallot, A. Sambusetti25 d´ecembre 2017
The celebrated Margulis Lemma is the keystone of a beautiful theory of the structure of completeRiemannian manifolds with bounded sectional curvature. It has two main aspects : the first one isalgebraic and concerns the fundamental group of the manifold, the second one is more geometricand yields a thin-thick decomposition of the manifold. To be more precise let us state a weakversion of this lemma pertaining to the first aspect (see [Mar75], [BGS85], [BZ88] Section 37.3).
Theorem 1.1.
There exist constants ε ( n ) > and C ( n ) > such that, for every completeRiemannian manifold M whose sectional curvature satisfies − ≤ Sect( M ) ≤ , every point p ∈ M and every ε ≤ ε ( n ) , the subgroup Γ ε ( p ) of π ( M ) generated by the loops at p of length lessthan ε is virtually nilpotent. Furthermore, the index of the nilpotent subgroup is bounded aboveby C ( n ) . The history of this result goes back to Bieberbach Theorem ([Bie11]) which describes the discretesubgroups of the isometry group of the Euclidean spaces and consequently gives a structuretheorem for the flat manifolds and orbifolds. Later, Zassenhaus ([Zas38]) extended this result tothe study of discrete subgroups of Lie groups. The above statement is a weak version, indeedin the strong one the upper bound on the sectional curvature could be positive, with extraassumption though. Recently there has been progresses on the question of extending this resultto different spaces or curvature conditions, see [Cou15] for references and a detailed exposition.This paper is the first of a series of articles devoted to this theme. Here we are interested by bothaspects, algebraic and geometric, with however an emphasis on the second and we aim at givingquantitative (computable) estimates of some important invariants. Our goal is to get rid of thepointwise curvature assumptions, as mentioned in the title, in order to extend the results to moregeneral spaces such as certain metric spaces. Essentially the upper bound on the curvature isreplaced by the assumption that the space is δ -hyperbolic (in the sense of Gromov, see [Gro87]and Section 8.1 of Appendix 8 for precise definitions) and the lower bound by an upper boundon the entropy which we define below. Notice that δ behaves like a distance and it is rather δ − which is curvature like.Let ( X, d ) be a (non-elementary) metric space which we assume to be proper , i.e the closedmetric balls are compact. We only consider metric spaces which are geodesic. More precisely, ageodesic segment is the image of an interval of I ⊂ R by an isometric map from I into X . Thespace ( X, d ) is said to be geodesic if any two points of X are joined by at least one geodesicsegment. Let µ be a positive (non identically zero) Borel measure. We call ( X, d, µ ) a measuredmetric space . Definition 1.2.
Let ( X, d, µ ) be a metric measured space we define its entropy by Ent(
X, d, µ ) = lim inf R → + ∞ R ln (cid:0) µ ( B X ( x, R )) (cid:1) where B X ( x, R ) is the open ball of radius R around x ∈ X . Furthermore, the entropy is inde-pendent on x .
1n the sequel we will consider a group Γ acting by isometries on (
X, d ) co-compactly and properly
We recall that the action is said to be proper if for x ∈ X and for all R >
0, the number of γ ∈ Γ satisfying d ( x, γx ) ≤ R is finite ; this does not depend on x . In that case, for any measure µ invariant by Γ the above definition yields the same number which we call the entropy of ( X, d )and denote by Ent(
X, d ). If (
X, d ) is a δ -hyperbolic geodesic metric space and γ a torsion-freeisometry, we define the stable displacement of γ by, ℓ ( γ ) = lim k → + ∞ k d ( x, γ k x ) , this definition does not depend on the choice of x ∈ X . One of our results is the following (seeProposition 5.7). Proposition 1.3.
For every δ -hyperbolic metric space ( X, d ) and every group Γ acting properlyby isometries on ( X, d ) , if diam(Γ \ X ) ≤ D < + ∞ , then Ent(
X, d ) ≥ ln 2 L + 14 δ + 4 D ≥ ln 226 δ + 16 D , where L = inf (cid:8) ℓ ( γ ) : γ hyperbolic element of Γ \ { e } (cid:9) . Note that in the proof we show that, in the above situation, there always exists an hyperbolicelement γ ∈ Γ \ { e } (cid:9) which satisfies ℓ ( γ ) ≤ D + δ ).Now, let Γ be a group which is non-elementary ( i.e. whose boundary has at least three points)and Σ a finite generating set. The Cayley graph of Γ defined by Σ is a metric space when endowedwith the distance such that the edges have length 1. We say that (Γ , Σ) is a δ -hyperbolic groupif this metric space is δ -hyperbolic. The group Γ acts by isometries on this metric space and thequotient is finite and has diameter 1. The entropy of this metric space is denoted by Ent(Γ , Σ)and is called the algebraic entropy of Γ with respect to Σ. We also define the algebraic entropyof Γ by Ent(Γ) = inf Σ { Ent(Γ , Σ) } , the infimum being taken among all finite generating sets Σ.The study of the algebraic entropy of groups with exponential growth has recently made pro-gresses. When the group acts on a Hadamard manifold the three first authors have proved aquantitative version of the Tits alternative, see [BCG11] and the references herein.A corollary of the above Proposition is the following statement (see 5.8), Corollary 1.4.
Let Γ be a non-elementary group and Σ a finite generating set such that (Γ , Σ) is δ -hyperbolic, then Ent(Γ , Σ) ≥ ln 226 δ + 16 . Remarks 1.5.
In a recent private communication, E. Breuillard mentioned to us a joint workwith K. Fujiwara which contains an improvement of [BCG11] and Corollary 1.4.
This study starts with the simple remark that if two elements, a and b , of a discrete subgroup Γof the isometry group of a Hadamard manifold X generate a free group and if their displacementsat x ∈ X , that is d ( x, a ( x )) and d ( x, b ( x )), are small, then the entropy of X is big. Hence anupper bound on the entropy prevents the subgroup of Γ generated by the elements with smalldisplacement at x to be algebraically ”big”. Nevertheless, even in the case of controlled entropy,free-subgroups or free-semigroups do exist but their generators must have large displacements.This can be made effective and the next theorem is in this spirit.A metric space ( X, d ) is said to be geodesically complete if all geodesic segments can be definedon R . It is called a Busemann space (see [Pap14], p. 187) if the distance d is convex, that is ifthe function d ( c ( t ) , c ′ ( t )) is a convex function of t ∈ [0 ,
1] for two geodesic segments c and c ′ ,affinely reparametrised. We have (see 6.11), 2 heorem 1.6. Let ( X, d ) be a connected, geodesically complete, non-elementary δ -hyperbolicBusemann metric space. Let Γ a torsion-free discrete subgroup of the isometry group of ( X, d ) .We assume that diam(Γ \ X ) ≤ D < + ∞ and Ent(
X, d ) ≤ H . For all pairs of elements a, b of Γ ,if the subgroup generated by a and b is not cyclic, then, for all integers p, q ≥ S ( δ, H, D ) one ofthe two semi-groups generated by { a p , b q } or by { a p , b − q } is free.Here S ( δ, H, D ) is a function of δ , H and D which we describe precisely. Finally, we mention a result related to the thick-thin decomposition. Let Γ be a non-abeliangroup, α > β ′ , γ ′ ) a pair of elements of Γ, we call < β ′ , α ′ > the subgroupof Γ generated by β ′ and γ ′ . We say that Γ is ( δ, α )-non abelian if, for any pair ( β ′ , γ ′ ) of non-commuting elements of Γ, there exists a δ -hyperbolic space ( X ′ , d ′ ) and a morphism ρ from < β ′ , α ′ > into the isometry group of ( X ′ , d ′ ) such that,i) ρ ( < β ′ , α ′ > ) is neither isomorphic to { } nor to Z ,ii) ∀ σ ∈ ρ ( < β ′ , α ′ > ) \ { e } , ℓ ( σ ) ≥ α . Here ℓ ( σ ) is computed for the action on ( X ′ , d ′ ).Notice that the space ( X ′ , d ′ ) may depend on β ′ and γ ′ . Non trivial examples of such groups aregiven in the present article.Now if Γ acts on ( X, d ) by isometries, we define the pointwise and global systoles by,sys Γ ( x ) = inf γ ∈ Γ \{ e } { d ( x, γx ) } , Sys Γ ( X ) = inf x ∈ X { sys( x ) } . The next theorem is a curvature-free version of the celebrated ”collar theorem” for metric spaces.It shows that, under the hypotheses, if one has a small loop at some point any other independentloop at this point is long. More precisely (see 7.16),
Theorem 1.7.
Let ( X, d, µ ) a metric measured space whose entropy is bounded above by H > and Γ a ( δ, α ) -non abelian group acting properly on X by isometries preserving the measure µ ,we have,i) for x ∈ X and σ ∈ Γ \ { e } such that d ( x, σx ) = sys Γ ( x ) then, for all γ ∈ Γ non commutingwith σ , d ( x, γx ) > (cid:0) δα ] (cid:1) H Max h ln(2) , ln (cid:16) δα ]) H sys Γ ( x )) (cid:17)i , ii) if furthermore ( X, d ) is path-connected and if Γ has trivial centre, then the global systolesatisfies, Sys Γ ( X ) ≥ (cid:0) δα ] (cid:1) H e − (cid:0) δα ] (cid:1) H diam(Γ \ X ) . Let us summarise this result by the following sentence : a thin tube is long and has simpletopology . More precise statements on the topology and the structure of thin tubes will be givenin Subsection 7.3. Notice that in the inequality i ) the right hand side goes to + ∞ logarithmicallywhen sys( x ) goes to 0, exactly like the standard collar theorem. Furthermore, in Theorem 1.7 themetric space ( X, d ) is not assumed to be δ -hyperbolic. A striking case is when X is a manifoldwhich carries a Riemannian metric g of sectional curvature less than −
1, Theorem 1.7 thenapplies to any other Riemannian metric on X whose entropy is less than H .In order to make Theorem 1.7 effective we have to provide a lower bound of α in terms of thedata. Such lower estimates are given in this article in various situations. One particular case iswhen we consider a proper co-compact action by isometries on a δ -hyperbolic space for which α can be taken to be the global systole of the action. The next theorem gives such a bound (see5.24). Theorem 1.8.
Let ( X, d ) be a δ -hyperbolic, non elementary, geodesically complete, Busemannspace whose entropy satisfies Ent(
X, d ) ≤ H . Let Γ acting properly, discretely, co-compactly byisometries on this space such that diam(Γ \ X ) ≤ D . Then, for any non torsion element γ of Γ \ { e } we have, ℓ ( γ ) > s ( δ, H, D ) , for s ( δ, H, D ) a function of δ , H and D which we describe. If furthermore we assume that Γ istorsion-free, we get, Sys Γ ( X ) > s ( δ, H, D ) . Margulis domains ; for anisometry of a δ -hyperbolic space, it is the subset of points at which the displacement of theisometry is controlled. Section 5 begins with one of the main tools running all over the paper :a doubling property for any δ -hyperbolic space which admits a co-compact action of a group ofisometries, see Subsection 5.1. In Section 6 we describe the techniques used to produce discretefree groups and free semi-groups of isometries of a δ -hyperbolic space. In Section 7 we developthe idea which we call transplantation of Margulis properties . Grosso modo , the underlyingphilosophy is that if a discrete group acts properly by isometries on a Gromov-hyperbolic spacethen it inherits, from this action, algebraic properties which in turn translates into Margulistype properties when it acts on another metric measured space whose entropy is bounded. Thisis the section in which the interplay between algebraic and topological properties is the mostenlightening. Finally, in Section 8, we recall the basic facts about Gromov-hyperbolic spaces.
Acknowledgements
The authors thank Emmanuel Breuillard and Mikhail Gromov for interesting exchanges. G´erardBesson is supported by the ERC Advanced Grant 320939, GETOM. Sylvestre Gallot whishto thank the Dipartimento SBAI and the Istuto Guido Castelnuovo dell’Universit`a di Roma“Sapienza” for their hospitality.
Table des mati`eres δ . . . . . . . . . . . . . . . 526.4 Semi-groupes libres pour des distances convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 δ, α ) − non ab´elienssur des espaces m´etriques mesur´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2.2 Minoration de la diastole sur les espaces m´etriques mesur´es : . . . . . . . 627.2.3 Minoration de la systole globale sur les espaces m´etriques mesur´es : . . . 637.3 Structure des parties minces dans les quotients d’espaces m´etriques mesur´es . . . 657.3.1 Lemme topologique g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3.2 Sur la topologie des parties minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.3 Les tubes de Margulis ont une topologie simple . . . . . . . . . . . . . . . 70 D´efinitions 2.1.
Soit ( X, d ) un espace m´etrique quelconque ; soit Γ un groupe agissant parisom´etries sur ( X, d ) ,(i) Rappelons que l’espace ( X, d ) est “propre” si toute boule ferm´ee est compacte.(ii) Nous dirons que l’action est “propre” si, pour au moins un x ∈ X (et par cons´equentpour tout x ∈ X ) et pour tout R > , l’ensemble des γ ∈ Γ tels que d ( x, γ x ) ≤ R estfini.(iii) L’action sera dite “discr`ete” si elle est fid`ele et si l’image de Γ (par cette action) dansle groupe des isom´etries de ( X, d ) est un sous-groupe discret (pour la topologie de laconvergence uniforme sur tout compact). emarque 2.2. Sur un espace propre ( X, d ) , toute action fid`ele est propre si et seulement sielle est discr`ete. La preuve de la Remarque 2.2 sera donn´ee par la Proposition 8.11.`A l’exception des r´esultats de la section 3 et de certains des r´esultats de la section 7, les espacesm´etriques sur lesquels nous travaillerons seront suppos´es propres, et les actions de groupes serontsuppos´ees propres.Classiquement, on appelle systole d’une vari´et´e riemannienne (
Y, h ) l’infimum des longueursdes lacets non homotopes `a z´ero. Si on consid`ere (
Y, h ) comme le quotient de son revˆetementuniversel ( e Y , ˜ h ) par l’action (par isom´etries) de son groupe fondamental G , la systole de ( Y, h )co¨ıncide avec l’invariant inf x ∈ e Y (cid:0) min γ ∈ G \{ e } d ( x, γ x ) (cid:1) de l’action de G sur ( e Y , ˜ h ) .Nous g´en´eralisons ici cette notion en posant les d´efinitions suivantes : D´efinitions 2.3.
Soit ( X, d ) un espace m´etrique quelconque ; soit Γ un groupe agissant parisom´etries sur ( X, d ) ,— en tout point x ∈ X , la systole (ponctuelle) de cette action est d´efinie comme la quantit´e sys Γ ( x ) := inf g ∈ Γ \{ e } d ( x, g x ) ;— la systole (globale) de cette action est alors d´efinie comme la quantit´e Sys Γ ( X ) := inf x ∈ X sys Γ ( x ) ;— la diastole de cette action est la quantit´e Dias Γ ( X ) := sup x ∈ X sys Γ ( x ) . La systole (au sens classique) d’une vari´et´e riemannienne (
Y, h ) est donc la systole globale del’action du groupe fondamental sur le revˆetement universel riemannien ( e Y , ˜ h ) de ( Y, h ) , munide la distance riemannienne associ´ee `a la m´etrique riemannienne relev´ee ˜ h .Contrairement `a ce qui se passe pour les vari´et´es riemanniennes compactes, la systole ponctuelle(et a fortiori la systole globale) de l’action d’un groupe Γ sur un espace m´etrique ( X, d ) peutˆetre nulle. Un de nos objectifs sera de trouver des classes d’espaces m´etriques et d’actions degroupes (les plus larges possibles) telles que la systole (ponctuelle ou globale) de tous les espacesde chacune de ces classes soit minor´ee par une mˆeme constante strictement positive.Dans toute la suite, pour toute valeur r´eelle δ > δ − hyperboliques au sens de Gromov (une d´efinition de ces espaces est donn´ee au d´ebutde la sous-section 8.1) ; notons qu’en vertu de cette d´efinition un espace δ − hyperbolique est auto-matiquement g´eod´esique et propre. Dans toute la suite, sur un espace m´etrique δ − hyperboliquequelconque ( X, d ) , nous faisons agir par isom´etries et de mani`ere propre un groupe Γ quel-conque, non virtuellement cyclique (voir les D´efinitions 2.1). Suivant en cela les conventionscanoniques, nous adopterons les
D´efinitions 2.4.
Nous appellerons Γ ∗ l’ensemble Γ \ { e } .Nous noterons Σ r ( x ) (resp. ˘Σ r ( x ) ) l’ensemble (fini quand l’action est propre) des γ ∈ Γ telsque d ( x, γ x ) ≤ r (resp. d ( x, γ x ) < r ), et on notera Γ r ( y ) (resp. ˘Γ r ( x ) ) le sous-groupe de Γ engendr´e par Σ r ( x ) (resp. par ˘Σ r ( x ) ). Dans ce travail, nous nous pla¸cons dans le cadre g´en´eral des espaces m´etriques mesur´es ( X, d, µ ) .Suivant une convention classique, nous noterons B X ( x, r ) (resp. B X ( x, r ) ) la boule ouverte (resp. ferm´ee ) de centre x et de rayon r > X, d ) .Un espace m´etrique (
X, d ) est dit “ espace de longueur ” si, pour tous les ( x, y ) ∈ X × X , ilexiste un chemin continu joignant x et y et si d ( x, y ) est la borne inf´erieure des longueurs deschemins qui joignent x et y .Dans un espace de longueur, on appellera g´eod´esique l’image d’une intervalle I de R par uneapplication isom´etrique c (i. e. v´erifiant d ( c ( t ) , c ( s )) = | t − s | pour tous les t, s ∈ I ) : une
1. La longueur d’un chemin c : [0 , a ] → X est la borne sup´erieure (´eventuellement infinie), lorsque T = { t , t , . . . , t N } parcourt l’ensemble des subdivisions de [0 , a ] (i. e. 0 = t < t < . . . < t N − < t N = a ), des L T ( c ) = P Ni =1 d (cid:0) c ( t i − , c ( t i ) (cid:1) . minimisante , en effet | t − s | est la longueur de la g´eod´esiquemesur´ee entre les points c ( t ) et c ( s ) , elle donc inf´erieure ou ´egale `a la longueur de tous leschemins joignant c ( t ) et c ( s ) . Si nous nous restreignons aux cas o`u l’intervalle I est de laforme [ a, b ] , ou [ a, + ∞ [ , ou ] − ∞ , + ∞ [ , cette g´eod´esique sera appel´ee (respectivement) seg-ment g´eod´esique , ou rayon g´eod´esique , ou droite g´eod´esique .On appellera g´eod´esique locale une application c d’un intervalle I de R dans X qui est loca-lement minimisante , c’est `a dire que, pour tout t ∈ I , il existe un ε > c soit uneg´eod´esique en restriction `a l’intervalle ] t − ε, t + ε [ ∩ I .On fera souvent l’hypoth`ese que les espaces m´etriques consid´er´es sont des espaces g´eod´esiques :un espace m´etrique est dit g´eod´esique si deux points quelconques peuvent ˆetre reli´es par (aumoins) un segment g´eod´esique ; il peut en g´en´eral y avoir plusieurs segments g´eod´esiques reliantdeux points distincts x, y : un l´eger abus de notation nous fera noter [ x, y ] un quelconque dessegment g´eod´esiques qui relient ces deux points.Un espace m´etrique g´eod´esique ( X, d ) est dit avoir la propri´et´e d’extension g´eod´esique si, pourtoute g´eod´esique locale c : [ a, b ] → X ( a = b ), il existe un ε > c ′ : [ a, b + ε ] → X qui prolonge c (i. e. c ′| [ a,b ] = c ). Cet espace sera dit g´eod´esiquement complet si toute g´eod´esique locale c : [ a, b ] → X ( a = b ) peut ˆetre prolong´ee en une g´eod´esique locale¯ c : ] − ∞ , + ∞ [ → X . Il est utile de rappeler qu’un espace m´etrique complet ( X, d ) , qui est deplus g´eod´esique, a la propri´et´e d’extension g´eod´esique si et seulement s’il est g´eod´esiquementcomplet (cf. [BH99] Lemme II.5.8 (1) p. 208).Sur ces espaces m´etriques, nous ferons agir un groupe (a priori quelconque) Γ ; nous ne consid`ereronsque des actions par isom´etries et propres (voir la D´efinition 2.1 de ce type d’action), ce qui im-plique en particulier que cette action op`ere via une repr´esentation ̺ : Γ → Isom ( X, d ) dontle noyau est un sous-groupe normal fini de Γ et dont l’image ̺ (Γ) est un sous-groupe discretdu groupe Isom ( X, d ) des isom´etries de ( X, d ) (voir le Lemme 5.5, dont les r´esultats (i) et (ii)sont valables sur des espaces m´etriques g´en´eraux) ; cela implique ´egalement que le stabilisateur
Stab Γ ( x ) dans Γ de tout point x est fini .L’espace-quotient Γ \ X sera muni de la distance-quotient ¯ d d´efinie par ¯ d (Γ · x, Γ · x ′ ) :=inf γ, g ∈ Γ d ( γ x, gx ′ ) = inf γ ∈ Γ d ( x, γ y ) aussi, lorsque nous parlerons du diam`etre de Γ \ X , cediam`etre sera calcul´e par rapport `a cette distance.Pour une telle action d’un groupe Γ sur un espace m´etrique X , un certain nombre des r´esultatsque nous ´enoncerons seront d´enomm´es “Propri´et´es de Margulis” ; sous cette appellation, nousentendrons que ces r´esultats essaierons, pour chacun des probl`emes M i ( i = 1 , , ,
4) ´enonc´esci-dessous, de calculer des constantes universelles (i. e. valables sur un ensemble M i d’espacesm´etriques X et d’actions de groupes Γ le plus grand possible ) r´epondant aux exigences sui-vantes : — Probl`eme M : Trouver un ensemble M d’espaces X , de groupes Γ et d’actionsde Γ sur X , et une constante universelle ε > tels que soit v´erifi´ee la propri´et´e : ∀ x ∈ X , Γ ε ( x ) est virtuellement nilpotent ,— Probl`eme M : Trouver un ensemble M d’espaces X , de groupes Γ et d’actions de Γ sur X , et une constante universelle ε > tels que Dias Γ ( X ) ≥ ε ,— Probl`eme M : Trouver un ensemble M d’espaces X , de groupes Γ et d’actions de Γ sur X , et une constante universelle ε > tels que Sys Γ ( X ) ≥ ε ,— Probl`eme M : Trouver un ensemble M d’espaces X , de groupes Γ et d’actions de Γ sur X , et des constantes universelles ε , C , C > tels que la propri´et´e suivante soitv´erifi´ee : en tout point x ∈ X et pour tout ε ∈ ] 0 , ε ] , s’il existe un σ ∈ Γ non trivialtel que d ( x, σ x ) ≤ ε , alors tout γ ∈ Γ qui ne commute pas avec σ v´erifie d ( x, γ x ) ≥
2. Dans le cas des vari´et´es riemanniennes, ce que nous appelons ici ”g´eod´esiques locales” sont les g´eod´esiquesau sens riemannien du terme, ces derni`eres n’´etant que localement minimisantes.3. L’ensemble M i sera pr´ecis´e dans chaque ´enonc´e, ainsi que la valeur des constantes universelles correspon-dantes. ln (cid:18) C ε (cid:19) . Parmi les actions de groupes auxquelles s’applique ce travail, citons l’action d’un groupe discretΓ , muni d’une partie g´en´eratrice finie Σ , sur son graphe de Cayley G Σ (Γ) . On notera | γ | Σ la m´etrique des mots relative `a Σ (i. e. chacune des mani`eres d’´ecrire γ comme produit d’´el´ementsde Σ ∪ Σ − formant un mot, | γ | Σ d´esigne la longueur minimale de ces mots) et d Σ la distancealg´ebrique associ´ee sur le groupe Γ (i. e. d Σ ( γ, g ) := | γ − g | Σ ), ainsi que la distance de longueurinduite sur le graphe G Σ (Γ) (car | γ | Σ est aussi l’infimum des longueurs des chemins joignant e `a γ dans le graphe de Cayley, chaque arˆete du graphe ´etant de longueur unitaire). Par un l´egerabus de langage, nous adopterons la mˆeme notation d Σ pour cette derni`ere distance de longueuret pour la distance alg´ebrique qui en est la restriction aux sommets du graphe de Cayley.Toute mesure µ consid´er´ee dans cet article sera, par d´efinition, positive (i. e. tout ensemblemesurable sera de mesure positive ou nulle, ´eventuellenent infinie), non nulle et bor´elienne (i. e.toute boule ouverte sera mesurable). Des mesures qui seront souvent consid´er´ees sont :– la mesure de d´enombrement mesure de comptage µ Γ x = P γ ∈ Γ δ γ x de l’orbite Γ · x d’un point x fix´e , associ´ee `a touteaction propre d’un groupe Γ sur un espace X , o`u δ y d´esigne la mesure de Dirac au point y ;– la mesure − dimensionnelle induite sur le graphe de Cayley G Σ (Γ) , telle que la mesure dechaque portion d’arˆete du graphe soit ´egale `a sa longueur.– la mesure riemannienne dv g d’une vari´et´e riemannienne ( X, g ) , d´efinie sur X elle-mˆeme, ou(selon le contexte) la mesure relev´ee sur son revˆetement universel e X .Les espaces m´etriques qui seront notre premier objet d’´etude sont les espaces δ -hyperboliques ausens de Gromov , dont nous rappellerons la d´efinition et les notions de base n´ecessaires au pr´esenttravail dans l’Appendice ; en coh´erence avec cette d´efinition, les espaces δ -hyperboliques que nousconsid`ererons seront toujours g´eod´esiques et seront suppos´es propres , sans qu’il soit n´ecessaire dele rappeler.De mani`ere classique, on appellera groupe δ -hyperbolique la donn´ee d’un groupe discret Γ etd’une partie g´en´eratrice Σ tels que le graphe de Cayley G Σ (Γ) (muni de la distance de longueur d Σ d´efinie ci-dessus) soit un espace δ -hyperbolique au sens de Gromov. Pla¸cons nous maintenant dans un espace δ -hyperbolique (au sens de Gromov) ( X, d ) : on utiliseraalors les symboles ∂X pour le bord de Gromov (aussi appel´e bord id´eal ) de l’espace X , et L Γpour l’ ensemble limite d’un groupe discret Γ agissant par isom´etries sur X (i. e. l’ensemble despoints d’accumulation dans ∂X de n’importe quelle orbite Γ · x ).Finalement, on appellera ´el´ementaire un espace ou un groupe hyperbolique dont le bord poss`edeau plus deux points ; sera dite ´egalement ´el´ementaire toute action d’un groupe Γ sur un espacehyperbolique ( X, d ) , dont l’ensemble limite v´erifie LG ) ≤ δ -hyperboliques pour nous int´eresser auxespaces m´etriques mesur´es g´en´eraux et nous verrons pour quel type de groupes les propri´et´es deMargulis, valables sur les espaces δ -hyperboliques, sont encore valables sur un espace m´etriquemesur´e.Sur tous ces espaces, l’invariant qui se substituera `a la courbure (et que nous retrouverons tout aulong de cet article) est l’ entropie d’un espace m´etrique mesur´e , que nous allons d´efinir, discuteret comparer `a d’autres invariants dans la section qui suit. D´efinitions 3.1.
Pour toute action d’un groupe Γ sur un espace m´etrique ( X, d ) , on appel-lera “ domaine recouvrant ” n’importe quel sous-ensemble K ⊂ X tel que S γ ∈ Γ γ K = X et“ domaine fondamental ” n’importe quel domaine recouvrant tel que γ K o ∩ K o = ∅ pour tout ∈ Γ ∗ (o`u K o d´esigne l’int´erieur de K ). L’action de Γ sera dite “ cocompacte ” s’il existe undomaine compact qui est recouvrant pour cette action. D´efinition 3.2.
L’entropie d’un espace m´etrique mesur´e ( X, d, µ ) (not´ee Ent(
X, d, µ ) ) estd´efinie comme la limite inf´erieure (quand R → + ∞ ) de R ln (cid:16) µ (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1)(cid:17) . Cette limiteinf´erieure ne d´epend pas du choix de x . Cet invariant (´eventuellement infini) donne une information tr`es faible sur la g´eom´etrie de l’espacem´etrique, cependant il devient int´eressant (tout en restant une information tr`es faible sur lag´eom´etrie de l’espace m´etrique, voir la sous-section 3.3) lorsqu’il existe un groupe Γ qui agitsur (
X, d ) par isom´etries, de mani`ere propre (et ´eventuellement cocompacte), et quand on serestreint aux mesures bor´eliennes µ qui sont invariantes par cette action. Une mesure de cetype jouera un rˆole privil´egi´e dans la suite : la mesure de comptage µ Γ x de l’orbite Γ · x d’unpoint x fix´e , d´efinie en section 2. Dans le cas cocompact, l’entropie ne d´epend pas de la mesureΓ − invariante choisie, comme le d´emontre la Proposition 3.3.
Pour tout espace m´etrique non compact ( X, d ) , pour tout groupe Γ qui agitsur ( X, d ) par isom´etries, de mani`ere propre et cocompacte, pour toute mesure µ (non triviale)sur X invariante par cette action, s’il existe un domaine compact recouvrant (pour cette action)de µ − mesure finie, alors Ent(
X, d, µ ) = Ent(
X, d, µ Γ x ) pour tout x ∈ X .Si, de plus, ( X, d ) est un espace de longueur, alors Ent(
X, d, µ ) est la limite (quand R → + ∞ )de R ln (cid:16) µ (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1)(cid:17) . Cette Proposition est la raison qui nous fera d´esormais adopter la notation
Ent(
X, d ) au lieu de Ent(
X, d, µ ) pour ce type de mesures . La preuve de cette Proposition 3.3 s’appuie sur les deuxLemmes qui suivent Lemme 3.4.
Pour toute action propre d’un groupe Γ sur un espace m´etrique ( X, d ) , si lequotient Γ \ X est compact, alors l’espace ( X, d ) est propre et toute boule ferm´ee de rayon aumoins ´egal au diam`etre de Γ \ X est un domaine compact recouvrant pour cette action.Preuve : Si Γ \ X est compact et de diam`etre D , pour tout R ≥ D , pour tout x ∈ X , et pourtoute suite ( y n ) n ∈ N de points de la boule ferm´ee B X ( x, R ) , il existe une sous-suite (que nousnoterons encore ( y n ) n ∈ N ) dont l’image par π converge dans (Γ \ X, ¯ d ) et, par d´efinition de ladistance-quotient ¯ d (voir le Lemme 8.12(i)) et puisque B X ( x, R ) est un domaine recouvrant, ilexiste un point y ∞ ∈ B X ( x, R ) et une suite ( γ n ) n ∈ N d’´el´ements de Γ tels que d ( y n , γ n y ∞ ) → n → + ∞ . Il existe donc un N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N , on ait d ( x, γ n x ) ≤ d ( x, y n ) + d ( y n , γ n y ∞ ) + d ( γ n y ∞ , γ n x ) ≤ R + 1 ;comme l’action est propre, ceci implique que la suite ( γ n ) n ≥ N prend un nombre fini de valeurs,donc admet une sous-suite constante et ´egale `a un ´el´ement fix´e γ ∈ Γ . Il existe donc une sous-suite de la suite ( y n ) n ∈ N qui converge vers γ y ∞ . Ceci prouve que toutes les boules ferm´ees derayon R ≥ D sont des domaines recouvrants compacts, donc que toutes les boules ferm´ees sontcompactes. (cid:3) Lemme 3.5.
Pour tout espace m´etrique non compact ( X, d ) , pour tout groupe Γ qui agit sur ( X, d ) par isom´etries, de mani`ere propre et cocompacte, pour toute mesure µ invariante par cetteaction, pour tout domaine compact recouvrant K de cet action, pour tout point x ∈ X pourtous les r´eels R, R ′ tels que < R ′ < R , on a µ (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ′ + diam( K )) (cid:1) · µ Γ x (cid:0) B X ( x, R − R ′ ) (cid:1) ≤ µ (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1) ≤ µ ( K ) · µ Γ x (cid:0) B X ( x, R +diam( K )) (cid:1) Preuve :
La preuve suit (en la corrigeant l´eg`erement) la d´emonstration de la Proposition 2.3 de[Rev08]. Par d´efinition d’un domaine recouvrant, il existe un ´el´ement g ∈ Γ tel que x ∈ g · K .9osons K ′ := g · K pour simplifier, en notant ˘Σ r ( x ) l’ensemble des γ ∈ Γ tels que d ( x, γ x ) < r et D := diam( K ) le diam`etre de K , l’in´egalit´e triangulaire donne : µ ( B X ( x, R ) ≤ µ (cid:16) ∪ γ ∈ ˘Σ R + D ( x ) γ K ′ (cid:17) ≤ X γ ∈ ˘Σ R + D ( x ) µ ( γ K ′ ) = µ ( K ) · µ Γ x (cid:0) B X ( x, R + D ) (cid:1) . Pour d´emontrer la premi`ere in´egalit´e du Lemme 3.5, rappelons que, si µ et µ sont deuxmesures sur X , pour tout U ⊂ X mesurable, on a la formule Z U µ (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) dµ ( x ) = Z X µ (cid:0) B X ( x, r ) ∩ U (cid:1) dµ ( x ) , (1)car les deux membres de cette ´egalit´e sont ´egaux `a R X R X [0 ,r [ (cid:0) d ( x, y ) (cid:1) U ( x ) dµ ( y ) dµ ( x ) .En y rempla¸cant µ par µ Γ x et µ par µ , l’´egalit´e (1), et le fait que µ (cid:0) B X ( γ x, R ′ ) (cid:1) = µ (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) par Γ − invariance de d et de µ , donnent µ Γ x (cid:0) B X ( x, R − R ′ ) (cid:1) · µ (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) = Z B X ( x,R − R ′ ) µ (cid:0) B X ( z, R ′ ) (cid:1) dµ Γ x ( z ) = Z B X ( x,R ) µ Γ x (cid:0) B X ( y, R ′ ) ∩ B X ( x, R − R ′ ) (cid:1) dµ ( y ) ≤ µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ′ + D ) (cid:1) · µ (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1) , o`u la derni`ere ´egalit´e d´ecoule du fait que, par d´efinition d’un domaine recouvrant, pour tout y ∈ X , il existe un g ∈ Γ tel que B X ( y, R ′ ) ⊂ B X ( g x, R ′ + D ) . (cid:3) Fin de la preuve de la Proposition 3.3 :
Choisissons un domaine compact recouvrant K telque µ ( K ) < + ∞ et un point x quelconque de X , il existe alors un point x ′ ∈ K et uneisom´etrie g ∈ Γ tels que x = g x ′ ; posons D := diam( K ) et choisissons R ′ = D + 1 , desorte que K ⊂ B X ( x ′ , R ′ ) . Le fait que µ Γ x ′ (cid:0) B X ( x ′ , R + D ) (cid:1) < + ∞ pour tout R > µ (cid:0) B X ( x ′ , R ) (cid:1) < + ∞ pour tout R > µ ( K )´etait nul, on aurait µ (cid:0) B X ( x ′ , R ) (cid:1) = 0 pour tout R > B X ( x ′ , R ) , µ ( X ) serait alors nul, ce qui impliquerait que µ est triviale, en contradiction avecl’hypoth`ese : on a donc µ ( K ) > µ ( B X ( x ′ , R ′ )) > µ ( K ) et de µ (cid:0) B X ( x ′ , R ′ ) (cid:1) dans les in´egalit´es du Lemme3.5, nous obtenons que les limites inf´erieures (quand R → + ∞ ) de 1 R ln (cid:16) µ (cid:0) B X ( x ′ , R ) (cid:1)(cid:17) , de1 R ln (cid:16) µ Γ x ′ (cid:0) B X ( x ′ , R ) (cid:1)(cid:17) et de 1 R ln (cid:16) µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1)(cid:17) co¨ıncident, cette derni`ere co¨ıncidence ´etantune cons´equence du fait que µ Γ g x ′ = µ Γ x ′ et que µ Γ x ′ (cid:0) B X ( g x ′ , R ) (cid:1) = µ Γ x ′ (cid:0) B X ( x ′ , R ) (cid:1) . Ceci prouveque Ent( X, d, µ ) = Ent(
X, d, µ Γ x ) .Supposons maintenant que ( X, d ) est un espace de longueur, alors les propri´et´es ci-dessus et lelemme 3.5 impliquent que, si 1 R ln (cid:16) µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1)(cid:17) admet une limite quand R → + ∞ , il en estde mˆeme pour 1 R ln (cid:16) µ (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1)(cid:17) . L’existence d’une telle limite se d´eduit, de mani`ere presqueclassique, du fait que la fonction R ln (cid:16) µ Γ x (cid:0) B X ( x, R + 2 D ) (cid:1)(cid:17) est croissante et sous-additive,voir la Propri´et´e 2.5 de [Rev08] pour une preuve compl`ete. (cid:3) Deux exemples classiques o`u cette notion d’entropie s’applique sont :— la notion classique d’ entropie volumique d’une vari´et´e riemannienne compacte ( M, g ) ,qui peut ˆetre d´efinie, selon la d´efinition 3.2, comme Ent( f M , d ˜ g , dv ˜ g ) , o`u ( f M , ˜ g ) est lerevˆetement universel riemannien de ( M, g ) , o`u d ˜ g est la distance riemannienne associ´ee`a la m´etrique ˜ g , et o`u dv ˜ g est la mesure riemannienne associ´ee. Remarquons que, dans cecas, le groupe Γ est le groupe fondamental de M , agissant isom´etriquement sur ( f M , ˜ g )10ar transformations de revˆetement ; on peut donc remplacer, dans cette d´efinition, dv ˜ g par la mesure de comptage µ Γ x de l’orbite de Γ ou par n’importe quelle autre mesure µ invariante par l’action de Γ sur f M .— la notion d’ entropie alg´ebrique d’un groupe finiment engendr´e quelconque Γ , associ´ee auchoix d’un syst`eme fini Σ de g´en´erateurs : Dans ce cas, “l’entropie alg´ebrique de Γ relative`a Σ ” (´egalement appel´ee taux de croissance exponentielle , ou exposant critique de Γ parrapport `a Σ et not´ee ici Ent(Γ , Σ) ) peut ˆetre d´efinie de deux mani`eres ´equivalentes :soit comme l’entropie de l’espace m´etrique mesur´e (Γ , d Σ , d Σ est la distancealg´ebrique associ´ee au syst`eme g´en´erateur Σ (d´efinie dans la section 2), soit l’entropie del’espace m´etrique mesur´e ( G Σ (Γ) , d Σ , µ ) , o`u G Σ (Γ) est le graphe de Cayley de Γ associ´eau syst`eme g´en´erateur Σ , o`u d Σ et µ d´esignent respectivement la distance de longueur etla mesure 1 − dimensionnelle induites sur le graphe (pour la d´efinition de ces deux notions,voir la section 2).Un lien entre ces deux notions est donn´e par le r´esultat classique suivant. D´esignons par d x la pseudo-distance “g´eom´etrique” ( Γ − invariante par translations `a gauche) d´efinie sur Γ par d x ( γ, γ ′ ) := d ( γ x, γ ′ x ) , la notion de boules pour la pseudo-distance d x ´etant bien d´efinie surΓ, on peut d´efinir l’entropie de l’espace pseudo-m´etrique mesur´e (Γ , d x , R → + ∞ , de R ln ( { γ : d x ( e, γ ) < R } ) . Notons Stab Γ ( x ) le stabilisa-teur de x dans Γ , la pseudo-distance induit une vraie distance sur Γ /Stab Γ ( x ) et l’entropiede l’espace m´etrique mesur´e (Γ /Stab Γ ( x ) , d x , , d x , Stab Γ ( x ) est fini. Lemme 3.6. – Soit Γ un groupe finiment engendr´e et Σ un syst`eme fini de g´en´erateurs de Γ , pour toute action propre, par isom´etries, de Γ sur un espace m´etrique ( X, d ) , pour toutemesure µ Γ − invariante sur X , pour tout x ∈ X , on a : Ent(
X, d, µ ) ≥ Ent(
X, d, µ Γ x ) = Ent(Γ , d x , ≥ σ ∈ Σ d ( x, σ x ) Ent(Γ , Σ) . Preuve : L’´egalit´e Ent(Γ , d x , X, d, µ Γ x ) d´ecoule du fait que, par d´efinition de µ Γ x et dela peudo-distance d x , µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1) co¨ıncide avec { γ : d x ( e, γ ) < R } .Posons M := Max σ ∈ Σ d ( x, σ x ) . L’in´egalit´e triangulaire implique que d ( x, γ x ) ≤ M · d Σ ( e, γ )et donc que 1 R ln (cid:16) µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1)(cid:17) ≥ R ln (cid:18) (cid:26) γ : d Σ ( e, γ ) < RM (cid:27)(cid:19) , ce qui, en passant `a la limite inf´erieure quand R → + ∞ , prouve la derni`ere in´egalit´e du Lemme3.6 (remarquer que ce r´esultat reste valable lorsque Ent( X, d, µ Γ x ) = + ∞ ).Comme la mesure totale de X est strictement positive, il existe un R ′ > µ (cid:0) B ( x, R ′ ) (cid:1) > µ par µ Γ x et µ par µ ) donne, pour tout R > µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1) · µ (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) = Z B X ( x,R ) µ (cid:0) B X ( z, R ′ ) (cid:1) dµ Γ x ( z )= Z B X ( x,R + R ′ ) µ Γ x (cid:0) B X ( y, R ′ ) ∩ B X ( x, R ) (cid:1) dµ ( y ) ≤ Z B X ( x,R + R ′ ) µ Γ x (cid:0) B X ( y, R ′ ) (cid:1) dµ ( y ) , (2)Si d ( y, Γ x ) ≥ R ′ , alors B ( y, R ′ ) ∩ Γ x = ∅ et µ Γ x (cid:0) B X ( y, R ′ ) (cid:1) = 0 ; si d ( y, Γ x ) < R ′ , il existeun g ∈ Γ tel que d ( y, gx ) < R ′ et l’in´egalit´e triangulaire assure que B X ( y, R ′ ) ⊂ B X ( g x, R ′ ) ,donc que µ Γ x (cid:0) B X ( y, R ′ ) (cid:1) ≤ µ Γ x (cid:0) B X ( g x, R ′ ) (cid:1) = µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) , o`u la derni`ere ´egalit´e d´ecoule de la Γ − invariance de la mesure µ Γ x et du fait que B X ( g x, R ′ ) = g (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) . En reportant ces deux derni`eres estim´ees dans l’in´egalit´e (2), nous obtenons µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1) · µ (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) ≤ µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) · µ (cid:0) B X ( x, R + R ′ ) (cid:1) ;En passant au logarithme de part et d’autre de cette derni`ere in´egalit´e, en divisant par R + R ′ et en passant `a la limite inf´erieure de part et d’autre quand R → + ∞ , nous en d´eduisons queEnt( X, d, µ ) ≥ Ent(
X, d, µ Γ x ) , ce qui ach`eve la preuve. (cid:3) .2 Propri´et´es de doublement et de “packing” D´efinitions 3.7.
Pour toutes donn´ees du r´eel C > et d’un intervalle I ⊂ ]0 , + ∞ [ ,(i) un espace m´etrique mesur´e ( X, d, µ ) est dit “v´erifier la condition (ou l’hypoth`ese) de C − doublement pour toutes les boules de rayon r ∈ I centr´ees en un de ses points x ” sila propri´et´e suivante est v´erifi´ee : ∀ r ∈ I , < µ (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) < + ∞ et µ (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) µ (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) ≤ C . (3) (ii) un espace m´etrique mesur´e ( X, d, µ ) est dit “v´erifier l’hypoth`ese de C − doublementfaible `a l’´echelle r autour d’un de ses points x ” s’il v´erifie l’hypoth`ese de C − doublementpour toutes les boules de rayon r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) centr´ees en x .(iii) un espace m´etrique mesur´e ( X, d, µ ) est dit “v´erifier l’hypoth`ese de C − doublementfort `a l’´echelle r autour d’un de ses points x ” s’il v´erifie l’hypoth`ese de C − doublementpour toutes les boules de rayon r ∈ ]0 , r ] centr´ees en x .Si la condition (3) est v´erifi´ee en tout point x ∈ X et pour tout r ∈ I (resp. en tout point x ∈ X et pour tout r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) , resp. en tout point x ∈ X et pour tout r ∈ ]0 , r ] ), ondira que l’espace m´etrique mesur´e ( X, d, µ ) “v´erifie l’hypoth`ese de C − doublement pour toutesles boules de rayon r ∈ I ” (resp. “v´erifie l’hypoth`ese de C − doublement faible `a l’´echelle r ”,resp. “v´erifie l’hypoth`ese de C − doublement fort `a l’´echelle r ”).Dans tout les cas, la valeur C sera appel´ee “l’amplitude du doublement” et la moyenne logarith-mique r (la moyenne r si la borne inf´erieure de l’intervalle est ) des bornes de l’intervalledes variations de r sera appel´e “l’´echelle du doublement” . Ces d´efinitions s’appliquent en particulier `a la mesure de comptage µ Γ x , introduite `a la suite de laD´efinition 3.2, en pr´esence d’une action isom´etrique propre d’un groupe Γ sur ( X, d ) (le fait quel’action soit propre assure que les boules de (
X, d ) sont de µ Γ x − mesure finie). Quand la mesurede comptage µ Γ x de l’orbite de x satisfait une propri´et´e de C − doublement pour tout choixdu point x , nous dirons simplement (par abus de notation) que (Γ , d x ) satisfait la condition de C -doublement. Nous verrons dans le Lemme 3.15, que, ( X, d ) et Γ ´etant fix´es, une hypoth`ese dedoublement portant sur la mesure µ Γ x est la plus faible de toutes les hypoth`eses de doublementportant sur des mesures Γ − invariantes µ ; cependant une difficult´e vient du fait que, pour toutpoint y ∈ X tel que d ( y, Γ · x ) ≥ r , µ Γ x ( B X ( y, r / y , de rayon r < r , parexemple l’hypoth`ese de C − doublement faible `a une ´echelle r ≤ r autour du point y n’aalors aucun sens. C’est pourquoi, dans la suite, nous ne ferons d’hypoth`ese de doublement de lamesure µ Γ x que pour des boules centr´ees au point x (ou en un point de Γ x ).Remarquons qu’il n’est nullement n´ecessaire de supposer que l’action de Γ est “sans point fixe” :en effet, si le point x a un stabilisateur (not´e Stab Γ ( x ) non trivial, celui-ci est forc´ement fini(car l’action est propre) et, pour tout g ∈ Γ , on a
Stab Γ ( g x ) = g · Stab Γ ( x ) · g − . Il y aalors une autre d´efinition classique de la mesure de comptage, `a savoir la mesure µ ′ x d´efinie par µ ′ x ( A ) = (cid:0) A ∩ Γ x (cid:1) pour tout ensemble mesurable A ⊂ X ; on a alors µ Γ x = (cid:0) Stab Γ ( x ) (cid:1) · µ ′ x ,ce qui implique que µ Γ x v´erifie l’hypoth`ese de C − doublement pour toutes les boules de rayon r ∈ I centr´ees en x si et seulement si µ ′ x la v´erifie. C’est pourquoi quand, dans la suite, quand nous parlerons d’une hypoth`ese de doublement v´erifi´eepar la mesure de comptage de l’orbite Γ x , la mesure ainsi d´esign´ee sera indiff´eremment la mesure µ ′ x ou la mesure µ Γ x . Enfin, reli´ee `a l’hypoth`ese de doublement, l’hypoth`ese de ”packing” est devenue classique depuisles travaux fondateurs de M. Gromov et peut (par exemple) s’´enoncer comme suit :
4. Remarquons d’une part que, pour tout λ > µ est remplac´ee par λ · µ , d’autre part que l’´echelle r est multipli´ee par λ , sans changement de l’amplitude,lorsque la distance est multipli´ee par λ . ´efinition 3.8. Pour toutes les donn´ees des constantes universelles N ∈ N ∗ et r > , unespace m´etrique ( X, d ) est dit “v´erifier la condition de packing de borne N `a l’´echelle r ” si,pour tout x ∈ X , le nombre maximal de boules disjointes de rayon r / qu’on peut inclure dansla boule B X ( x, r ) est inf´erieur ou ´egal `a N . Tout d’abord l’hypoth`ese “Entropie major´ee” ou une hypoth`ese de doublement faible (`a une cer-taine ´echelle) de la mesure de comptage d’une orbite de l’action de Γ ont un sens sur des espacesm´etriques tr`es g´en´eraux, alors que, `a l’autre extr´emit´e de la chaˆıne, l’hypoth`ese de “courburede Ricci minor´ee” n’a de sens que pour des vari´et´es riemanniennes. Mˆeme si on se restreint aucadre des vari´et´es riemanniennes, et au cas o`u Γ est le groupe fondamental d’une vari´et´e com-pacte agissant sur son revˆetement universel, la comparaison entre toutes ces hypoth`eses peut ser´esumer grossi`erement de la mani`ere suivante :
Comparaison 3.9.
L’hypoth`ese “Entropie major´ee” est strictement plus faible qu’une hypoth`esede doublement faible de la mesure de comptage de l’orbite d’un point x donn´e (cf. le Lemme 3.10(ii)), elle-mˆeme strictement plus faible qu’une hypoth`ese de packing `a une ´echelle ´equivalente (cf.le Lemme 3.12), elle-mˆeme plus faible qu’une hypoth`ese de doublement faible de la mesure rie-mannienne (cf. le Lemme 3.14), elle-mˆeme strictement plus faible que l’hypoth`ese de doublementfort `a la mˆeme ´echelle (cf. le Lemme 3.16 et son corollaire 3.17), elle mˆeme strictement plusfaible que l’hypoth`ese de “courbure de Ricci minor´ee” (cf. le Lemme 3.18).De plus, si on se restreint `a la comparaison des diff´erentes hypoth`eses de doublement faibles,l’hypoth`ese de doublement est d’autant plus forte que l’´echelle de ce doublement est petite (cf. leLemme 3.10 (i)). Il convient de remarquer que, dans le cas cocompact, sur une vari´et´e riemannienne fix´ee (
X, g ) ,pour toute ´echelle r fix´ee, il existera toujours une constante C ( r ) telle que la mesure rie-mannienne v´erifie la propri´et´e de C ( r ) − doublement faible `a l’´echelle r ; de mˆeme il existeratoujours une constante H telle que l’entropie de ( X, g ) soit major´ee par H . Ici nous compa-rons des familles d’espaces m´etriques mesur´es : une premi`ere hypoth`ese est dite strictement plusfaible qu’une seconde si la famille des espaces v´erifiant la seconde hypoth`ese est strictement in-cluse dans la famille des espaces v´erifiant la premi`ere hypoth`ese, les constantes qui interviennentdans la premi`ere hypoth`ese se calculant en fonction des constantes qui interviennent dans laseconde ; par exemple, sur l’ensemble des vari´et´es riemanniennes, dire que l’hypoth`ese “Entropiemajor´ee” est strictement plus faible que (par exemple) l’hypoth`ese de “doublement faible de lamesure riemannienne”, c’est dire que, pour toute donn´ee des constantes r et C , il existe uneconstante H ( r , C ) (calculable en fonction de r et de C ) telle que l’ensemble des vari´et´esriemanniennes qui v´erifient l’hypoth`ese de C − doublement faible `a l’´echelle r soit strictementinclus dans l’ensemble des vari´et´es riemanniennes d’entropie major´ee par H ( r , C ) .Les Lemmes qui suivent pr´ecisent et d´emontrent les r´esultats de comparaison ´enonc´es ci-dessus : Lemme 3.10. (“Entropie major´ee” vs. “doublement faible de la mesure de comptage”) . − Surtout espace m´etrique de longueur ( X, d ) , pour toute action propre par isom´etries de Γ sur ( X, d ) telle que Γ \ X soit compact et de diam`etre major´e par D , s’il existe un point x de X tel quela mesure de comptage µ Γ x de l’orbite Γ · x v´erifie la propri´et´e de C − doublement faible pourau moins une ´echelle R > D autour du mˆeme point x , alors(i) la mesure de comptage µ Γ x v´erifie la propri´et´e de C h R R i )0 − doublement faible autourdu mˆeme point x pour toute ´echelle R ≥ R (ii) l’entropie de ( X, d ) est major´ee par R ln C . En d’autres termes l’ensemble des (
X, d,
Γ) tels que la mesure µ Γ x v´erifie la propri´et´e de C − doublement faible `a l’´echelle R ≥ D est inclus dans l’ensemble des ( X, d,
Γ) dont l’entro-13ie est major´ee par R ln C . Cette inclusion est stricte car, pour tout r´eseau Γ agissant sur R n , R n est d’entropie nulle, alors que l’hypoth`ese de C − doublement `a l’´echelle R n’est plusv´erifi´ee quand la dimension n est suffisamment grande. Preuve du Lemme 3.10 :
Rappelons que ˘Σ r ( x ) d´esigne l’ensemble des γ ∈ Γ tels que d ( x , γ x ) 12 [ d ( x , γ x ) − R + 4 R + 2 ε ] . On v´erifie ais´ement que B X (cid:18) y ( γ ) , R − ε (cid:19) ⊂ B X (cid:18) y ( γ ) , 12 [ R + 4 R − d ( x , γ x )] − ε (cid:19) ⊂ B X ( γ x , R ) ∩ B X ( x , R ) . Comme il existe un g ∈ Γ tel que d (cid:0) g x , y ( γ ) (cid:1) ≤ D < R − ε , l’intersection B X ( γ x , R ) ∩ B X ( x , R ) contient la boule B X ( g x , R ) .Pour tout γ ∈ ˘Σ R + R ( x ) , on a donc µ Γ x (cid:0) B X ( γ x , R ) ∩ B X ( x , R ) (cid:1) ≥ µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) ; enreportant cette in´egalit´e dans (4), nous obtenons : µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) · µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) ≥ X γ ∈ ˘Σ R + R ( x ) µ Γ x (cid:0) B X ( x , R (cid:1) = µ Γ x (cid:0) B X ( x , R + R ) (cid:1) · µ Γ x (cid:0) B X ( x , R (cid:1) , et donc µ Γ x (cid:0) B X ( x , R + R ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) ≤ µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) µ Γ x (cid:2) B (cid:0) x , R (cid:1)(cid:3) ≤ C , et par cons´equent que, pour tout k ∈ N ∗ , µ Γ x (cid:0) B X ( x , R + k R ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) ≤ C k , ce qui implique d’une part que µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) ≤ C h RR i )0 et ach`eve la preuve de (i), et d’autre part que l’entropie est major´ee par 3 R ln( C ) ,achevant la preuve de (ii) (rappelons que, l’entropie ne d´ependant pas, dans le cas pr´esent, de lamesure Γ − invariante choisie, il nous est loisible de la calculer pour la mesure de comptage). (cid:3) Le lemme qui suit est la technique de base pour comparer les hypoth`eses de doublement de lamesure et de “packing” : Lemme 3.11. Pour tout espace m´etrique ( X, d ) , pour toute action (propre, par isom´etries)d’un groupe Γ sur ( X, d ) , pour tout x ∈ X , pour tout entier k ≥ et tout r´eel r > , notons Γ k ( r ) le nombre maximal de boules disjointes de rayon r (dont les centres sont astreints `a ˆetredes points de l’orbite Γ · x ) qui peuvent ˆetre incluses dans la boule B X ( x, k r ) . Alors, pour toutemesure µ Γ − invariante sur X , en comparaison avec la mesure de comptage µ Γ x de l’orbite Γ · x , nous obtenons : µ Γ x (cid:0) B X (cid:0) x, ( k − r (cid:1)(cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) ≤ N Γ k ( r ) ≤ µ (cid:0) B X (cid:0) x, k r (cid:1)(cid:1) µ (cid:0) B X (cid:0) x, r (cid:1)(cid:1) . Preuve : Pour simplifier les ´ecritures, posons N := N Γ k ( r ) ; notons γ x , . . . , γ N x les centresd’un remplissage maximal de la boule B X ( x, k r ) par des boules disjointes de rayon r dontles centres sont astreints `a ˆetre des points de Γ · x . La Γ − invariance de la mesure µ , assureque µ (cid:0) B X ( γ i x, r ) (cid:1) = µ (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) pour tout i et, par cons´equent, que N · µ (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) ≤ µ (cid:0) B X ( x, k r ) (cid:1) , ce qui d´emontre l’in´egalit´e de droite du Lemme 3.11.S’il existe un γ ∈ Γ tel que γ x ∈ B X (cid:0) x , ( k − r (cid:1) ∩ Γ · x et tel que γ x n’appartienne `aaucun des B X ( γ i x , r ) , les boules de rayon r , centr´ees en γ x , . . . , γ N ( x ) , γ x sont disjointeset incluses dans la boule B X ( x, k r ) , en contradiction avec le fait que le remplissage par lesboules de rayon r , centr´ees en γ x , . . . , γ N x est maximal. Il s’ensuit que B X (cid:16) x , ( k − r (cid:17) ∩ Γ · x ⊂ ∪ Ni =1 (cid:16) B X ( γ i x , r ) ∩ Γ · x (cid:17) , et, par cons´equent, que (cid:0) B X (cid:0) x , ( k − r (cid:1) ∩ Γ · x (cid:1) ≤ N B X ( x , r ) ∩ Γ · x ) . Ceci (etl’´equivalence entre les deux d´efinitions de la mesure de comptage pr´ecis´ee avant la D´efinition3.8) donne la propri´et´e suivante de doublement, qui termine la preuve : µ Γ x (cid:0) B X (cid:0) x , ( k − r (cid:1)(cid:1) µ Γ x ( B X ( x, r )) = (cid:0) B X (cid:0) x , ( k − r (cid:1) ∩ Γ · x (cid:1) B X ( x , r ) ∩ Γ · x ) ≤ N . (cid:3) Lemme 3.12. (Doublement faible de la mesure de comptage vs. “packing”) . − Pour tout espacem´etrique ( X, d ) qui v´erifie la condition de packing de borne N `a l’´echelle r , pour toute action(propre, par isom´etries) d’un groupe Γ sur ( X, d ) , pour tout x ∈ X , la mesure de comptage µ Γ x de l’orbite Γ · x v´erifie la condition de N − doublement faible `a l’´echelle r autour du point x .Preuve : Rappelons que N Γ18 ( r ) d´esigne le nombre maximal de boules disjointes de rayon r (dont les centres sont astreints `a ˆetre des points de l’orbite Γ · x ) qui peuvent ˆetre incluses dans laboule B X ( x, r ) ; en vertu de la D´efinition 3.8 du “packing”, on a N Γ18 ( r ) ≤ N . La premi`erein´egalit´e du Lemme 3.11 (o`u on pose k = 18 ) permet d’en d´eduire que, pour tout r ∈ [ r , r ] : µ Γ x [ B X ( x, r )] µ Γ x [ B X ( x, r )] ≤ µ Γ x (cid:2) B X (cid:0) x, r (cid:1)(cid:3) µ Γ x [ B X ( x, r )] ≤ N Γ18 ( r ) ≤ N . (cid:3) En d’autres termes l’ensemble des ( X, d, Γ) qui v´erifient la condition de packing de borne N `al’´echelle r est inclus dans l’ensemble des ( X, d, Γ) tels que la mesure µ Γ x associ´ee `a tout point x v´erifie la condition de N − doublement faible `a l’´echelle 2 r autour de x , lui-mˆeme inclusdans l’ensemble des ( X, d, Γ) tels que la mesure µ Γ x associ´ee `a au moins un point x v´erifie lacondition de N − doublement faible `a l’´echelle 2 r autour de x . Cette inclusion est stricte,comme le prouvent les exemples suivants : Exemples 3.13. L’´echelle r ´etant fix´ee (et quelconque dans les exemples (1) et (3)), chacun desexemples qui suivent construit une suite de vari´et´es riemanniennes ( X k , g k ) et d’actions isom´etriquespropres d’un groupe Γ k telles que le nombre maximal N k ( r ) de boules disjointes de rayon r / r de ( X k , g k ) tende vers l’infini avec k (donc, pour toute donn´eede N et pour tout k suffisamment grand, ( X k , g k ) ne v´erifie pas la condition de packing de borne N `a l’´echelle r ), alors que la mesure de comptage µ Γ k x k de l’action de Γ k sur X k v´erifie la condition de C − doublement faible `a l’´echelle 2 r (pour des valeurs de C et de r fix´ees ind´ependamment de k ) : 1) Pour tout r´eseau Γ k := k · Z × k · Z k − agissant sur ( R k , can. ) , pour tout choix d’´echelle r > x ∈ R k , la mesure µ Γ k x v´erifie la condition de 2 − doublement faible`a l’´echelle 2 r autour du point x d`es que k > r , alors que le nombre maximal N k ( r ) deboules disjointes de rayon r / r de ( R k , can. )tend vers l’infini avec la dimension k .(2) Cet exemple se g´en´eralise au cas o`u ( X, g ) est le revˆetement universel riemannien d’une vari´et´eriemannienne ( X, ¯ g ) compacte de courbure comprise entre − − K et o`u Γ est son groupefondamental. Une variante du Lemme de Margulis classique d´emontre alors l’existence d’un ε > X o`u le rayon d’injectivit´e est inf´erieur `a ε ), il existe une g´eod´esique p´eriodique¯ c le longueur inf´erieure `a 2 ε , dont la classe d’homotopie engendre ˘Γ ε ( x ) , o`u x est le relev´ede n’importe quel point ¯ x de ¯ c ; comme ˘Γ ε ( x ) agit par translations sur le relev´e c de ¯ c passant par x et comme d ( x, γ x ) ≥ ε pour tout γ ∈ Γ \ ˘Γ ε ( x ) , la mesure µ Γ x v´erifie lacondition de 2 − doublement faible `a l’´echelle 2 r pour tout r ≤ ε / X k , g k , x k ) de telles vari´et´es (i. e. on fixe un point x k dans chaque X k ) N k ( r )tend vers l’infini lorsque la dimension des X k tend vers l’infini ou lorsque la courbure de X k tend vers −∞ sur les boules B X k ( x k , r ) .(3) Dans cet exemple, la suite ( X k , g k ) k ∈ N ∗ sera construite de telle mani`ere que la dimension des X k soit fix´ee (´egale `a n ), que l’´echelle r soit quelconque et que la topologie des X k deviennede plus en plus compliqu´ee (ce qui se d´eduit, par exemple, du fait que leur caract´eristique d’Eulertende vers l’infini) quand k → + ∞ .Partons en effet d’une vari´et´e riemannienne compacte quelconque ( X, ¯ g ) , notons ( X, g ) sonrevˆetement universel riemannien et Γ son groupe fondamental (agissant sur ( X, g ) par trans-formations de revˆetement isom´etriques). Pour tout ε > ε − r´eseau R ε = { ¯ x i } N ( ε ) i =1 de ( X, ¯ g ) , ayant un nombre minimal N ( ε ) de points ; les boules B X (¯ x i , ε ) ´etant alors disjointes on modifie l´eg`erement la m´etrique ¯ g sur chaque boule B X (¯ x i , ε )de telle sorte que la nouvelle m´etrique (que nous noterons encore ¯ g ) soit plate sur B X (¯ x i , ε ) .Le r´eseau R ε se rel`eve en un 2 ε − r´eseau R ε = { x i } i ∈ I , globalement Γ − invariant de ( X, g ) .Consid´erons par ailleurs n’importe quelle vari´et´e riemannienne compacte ( Y, h ) fix´ee, dont lediam`etre est ´egal `a 2 r et deux points y , y ′ tels que d Y ( y, y ′ ) = 2 r et rendons la m´etriqueplate au voisinage de y comme ci-dessus, de sorte que la boule B Y ( y, ε ) est alors isom´etrique `achacune des boules B X ( x i , ε ) , ce qui assure que les bords des boules B X ( x i , ε ) et B Y ( y, ε )sont isom´etriques `a la sph`ere euclidienne S n − (cid:0) ε (cid:1) de rayon ε . Notons ( Y ′ , h ′ ) la vari´et´e rie-mannienne `a bord obtenue en recollant un cylindre C ε := [0 , ε ] × S n − (cid:0) ε (cid:1) `a Y \ B Y ( y, ε )(en identifiant le bord ∂B Y ( y, ε ) de Y \ B Y ( y, ε ) avec le bord { ε } × S n − (cid:0) ε (cid:1) du cylindre).Consid´erons maintenant une famille d’exemplaires ( Y ′ i ) i ∈ I de ( Y ′ , h ′ ) et recollons chaque Y ′ i `a X \ (cid:0)S i ∈ I B X ( x i , ε ) (cid:1) en identifiant le bord ∂Y ′ i = { } × S n − (cid:0) ε (cid:1) de Y ′ i avec la composanteconnexe ∂B X ( x i , ε ) du bord de X \ (cid:0)S i ∈ I B X ( x i , ε ) (cid:1) . La vari´et´e riemannienne ainsi construiteen posant ε = ε k → X k , g k ) .Consid´erons l’application f k : X k → X , construite en envoyant chaque Y ′ i sur la boule B X ( x i , ε )(en contractant la partie Y de Y ′ i sur x i et en envoyant les g´en´eratrices de la partie cylindre C ε de Y ′ i sur les rayons de la boule) et en d´ecidant que f k est l’identit´e en restriction `a X \ (cid:0)S i ∈ I B X ( x i , ε ) (cid:1) ; l’application f k : ( X k , g k ) → ( X, g ) est alors contractante, de plus ilexiste une suite η k tendant vers z´ero telle qu’on ait ∀ x, z ∈ X \ (cid:0) ∪ i ∈ I B X ( x i , ε ) (cid:1) d X ( f k ( x ) , f k ( z )) = d X ( x, z ) ≥ (1 + η k ) − d X k ( x, z ) − η k . (5)Fixons un point x ∈ X \ (cid:0)S i ∈ I B X ( x i , ε ) (cid:1) et notons J l’ensemble (fini) des i ∈ I tels que x i ∈ B X ( x, r ) , dont le nombre d’´el´ements (not´e e N ε k ( r ) ) tend vers l’infini quand ε k → k → + ∞ , puisque le nombre d’´el´ements d’un 2 ε − r´eseau dans une boule fix´ee tendvers l’infini quand ε → i ∈ J , on a Y ′ i ⊂ B X k ( x, r ) : en effet, pour tout point z ∈ Y ′ i , il existe un point z ′ ∈ ∂B X ( x i , ε ) tel que d X k ( z, z ′ ) ≤ r + ε k et l’in´egalit´e (5)implique que l’on a aussi d X k ( x, z ′ ) ≤ (1+ η k )( d X ( x, z ′ )+ η k ) ≤ (1+ η k )( d X ( x, x i )+ ε k + η k ) ≤ (1+ η k )(6 r + ε k + η k ) < r . En r´eunissant les deux derni`eres in´egalit´es, on en d´eduit que d X k ( x, z ) < r + 2 r + ε k < r ,donc que Y ′ i ⊂ B X k ( x, r ) . Comme chaque Y ′ i contient une boule de rayon r , on en d´eduit que 5. La m´etrique riemannienne h ′ ainsi construite est C par morceaux, mais les lecteurs qui pr´ef`erent travailleravec des m´etriques lisses peuvent remplacer h ′ par une de ses approximations C ∞ . e nombre maximal N k ( r ) de boules disjointes de rayon r qu’on peut inclure dans B X k ( x, r ) est au moins ´egal `a e N ε k ( r ) ), donc tend vers l’infini quand k → + ∞ .Par ailleurs, la construction ci-dessus ´etant Γ − invariante, Γ agit ´egalement par isom´etries sur( X k , g k ) et on a f k ( γ x ) = γ f k ( x ) pour tout γ ∈ Γ et tout x ∈ X k ; l’application f k ´etantcontractante, on en d´eduit que { γ : γ x ∈ B X k ( x, r ) } ⊂ { γ : γ f k ( x ) ∈ B X ( f k ( x ) , r ) } . La vari´et´e( X, g ) de d´epart ´etant fix´ee, il existe un C > µ Γ f k ( x ) del’orbite de f k ( x ) sous l’action de Γ sur X v´erifie µ Γ f k ( x ) ( B X ( f k ( x ) , r )) ≤ C ; l’inclusionpr´ec´edente prouve que la mesure de comptage µ Γ x de l’orbite de x sous l’action de Γ sur X k v´erifie µ Γ x ( B X k ( x, r )) ≤ C , ce qui donne, pour tout r ∈ [ r , r ] µ Γ x ( B X k ( x, r )) µ Γ x ( B X k ( x, r )) ≤ µ Γ x ( B X k ( x, r )) ≤ C . Lemme 3.14. (Packing vs. doublement faible d’une mesure autour de chaque point) Pour toutespace m´etrique ( X, d ) , s’il existe une mesure µ qui v´erifie l’hypoth`ese de C − doublement pourtoutes les boules de rayon r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) centr´ees en tous les points x de X , alors ( X, d ) v´erifie la condition de packing de borne C `a l’´echelle r .Preuve : Fixons un point quelconque x ∈ X et consid´erons un remplissage de B X ( x, r ) par N boules disjointes B X (cid:0) x i , r (cid:1) . Parti ces N boules, notons B X (cid:0) x i , r (cid:1) celle qui est de mesureminimale, on a alors N · µ (cid:16) B X (cid:16) x i , r (cid:17) (cid:17) ≤ µ (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) ≤ µ (cid:0) B X ( x i , r ) (cid:1) ;On a donc N ≤ µ (cid:0) B X ( x i , r ) (cid:1) µ (cid:16) B X (cid:0) x i , r (cid:1) (cid:17) ≤ C (cid:3) Les Lemmes 3.12 et 3.14 assurent qu’une hypoth`ese de doublement faible de la mesure de comp-tage de l’orbite d’un point donn´e est une hypoth`ese plus faible qu’une condition de doublementfaible de toute autre mesure autour du mˆeme point ; cependant il est int´eressant d’obtenir uned´emonstration directe de ce fait qui permette d’optimiser quantitativement ce r´esultat, c’est lebut du Lemme 3.15. (Mesure de comptage vs. mesure quelconque) . − Consid´erons un espace m´etriquepropre quelconque ( X, d ) et une action propre, par isom´etries d’un groupe Γ sur ( X, d ) ; fixonsun point x quelconque de X . S’il existe une mesure Γ − invariante µ qui satisfait `a l’hypoth`esede C − doublement pour toutes les boules centr´ees en x , de rayon r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) (o`u r ≥ r ),alors la mesure de comptage µ Γ x de l’orbite Γ · x v´erifie µ Γ x ( B X ( x, r )) µ Γ x ( B X ( x, r )) ≤ C pour tout r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) .Preuve : Le Lemme 3.11 (o`u on pose k = 5 ) assure que, pour tout r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) , on a µ Γ x [ B X ( x, r )] µ Γ x [ B X ( x, r )] ≤ N Γ5 ( r ) ≤ µ ( B X ( x, r )) µ ( B X ( x, r )) ≤ µ ( B X ( x, r )) µ ( B X ( x, r )) · µ ( B X ( x, r )) µ ( B X ( x, r )) · µ ( B X ( x, r )) µ ( B X ( x, r )) ≤ C , car r , r et r appartiennent `a l’intervalle (cid:2) r , r (cid:3) . (cid:3) Les constantes C > r > C − doublement fort `a l’´echelle r autour d’un point x ∈ X , alors il v´erifie la condition de C − doublement faible `a l’´echelle r autour du mˆeme point x ∈ X . Il est cependant int´eressant de comprendre plus pr´ecis´ement enquoi la premi`ere hypoth`ese est “beaucoup plus forte” que la seconde, c’est le but du 6. Le fait que la mesure doive (par hypoth`ese) v´erifier la condition de C − doublement pour toutes les boulesde rayon r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) , quel que soit leur centre , impose `a la mesure d’ˆetre “suffisamment diffuse”, c’est `a direque, pour tout x ∈ X , la boule B X ( x, r ) soit de mesure non nulle. Ceci exclut en particulier la mesure decomptage d’une orbite donn´ee sous l’action propre, par isom´etries d’un groupe Γ lorsque le diam`etre de Γ \ X est sup´erieur `a r . emme 3.16. (Doublement faible vs. doublement fort `a la mˆeme ´echelle) Consid´erons n’importe quelle vari´et´e riemannienne compl`ete ( X, g ) , de dimension n ≥ , com-pacte ou non (lorsqu’elle est non compacte, nous supposerons que sa courbure de Ricci ne peutpas tendre vers −∞ `a l’infini) ; consid´erons une suite de vari´et´es compactes ( Y k , h k ) , de mˆemedimension, dont le diam`etre et le volume tendent vers z´ero. On appelle X k la vari´et´e obtenue enfaisant la somme connexe de X et de Y k . Il existe, sur X k , une m´etrique g k et deux valeurs r > et C ≥ n + 1 (ind´ependantes de k ) telles que, pour k suffisamment grand, ( X k , g k ) ,muni de sa mesure riemannienne, v´erifie la condition de C − doublement faible `a l’´echelle r autour de tout point x ∈ X k .En revanche, pour toute toute donn´ee des valeurs C > et r > , il existe un choix de lasuite des vari´et´es ( Y k , h k ) telle que toutes les sommes connexes ( X k , g k ) v´erifient la conditionde C − doublement faible `a l’´echelle r et qu’aucune ne v´erifie la condition de C − doublementfort `a la mˆeme ´echelle. Corollaire 3.17. Pour chaque donn´ee de valeurs C ≥ n + 1 et r > , l’hypoth`ese de C − doublement faible `a l’´echelle r (mˆeme si v´erifi´ee autour de chacun des points des vari´et´esconsid´er´ees) n’impose aucune restriction `a la topologie ou `a la g´eom´etrie des boules de rayoninf´erieur `a r , donc elle n’impose aucune restriction `a la topologie ou `a la g´eom´etrie locale.Preuve du Lemme 3.16 : La vari´et´e ( X, g ) ´etant fix´ee et sa courbure de Ricci minor´ee `a l’infini,il existe des constantes r et C ′ (ind´ependantes de k ) telles que la mesure riemannienne de( X, g ) v´erifie la condition de C ′ − doublement pour toutes les boules de rayon r ∈ ] 0 , r ]centr´ees en tout point x .Pr´ecisons la construction de la suite ( X k , g k ) := X Y k : excisons les deux boules B k := B X ( x , r k ) et B ′ k := B Y k ( y k , r k ) (de rayons r k < inj( Y k , h k ) ) de X et de Y k (respective-ment) et recollons X \ B k et Y k \ B ′ k aux deux extr´emit´es d’un cylindre C k := [0 , r / k ] × S n − ( r k )de rayon r k en op´erant ces recollements comme dans l’exemple 3.13 (3). On construit, de lamˆeme mani`ere que dans l’exemple 3.13 (3), une application contractante f k : X k → X tellequ’il existe une suite ( η k ) k ∈ N (tendant vers z´ero quand k → + ∞ ) telle que d X ( f k ( x ) , f k ( y )) ≥ d X k ( x, y ) − η k Comme f k est contractante et surjective, on aVol g k (cid:0) B X k ( x, r ) (cid:1) ≥ Vol g (cid:0) f k (cid:0) B X k ( x, r ) (cid:1)(cid:1) ≥ Vol g (cid:0) B X (cid:0) f k ( x ) , r − η k (cid:1)(cid:1) . (6)D’autre part, par construction de f k , il existe une suite ( V k ) k ∈ N , tendant vers z´ero quand k → + ∞ , telle que, pour tout domaine A ⊂ X ,Vol g ( f k ( A )) ≥ Vol g k ( A ∩ ( X \ B k )) ≥ Vol g k ( A ) − Vol g k ( Y k \ B ′ k ) − Vol g k ( C k ) ≥ Vol g k ( A ) − V k ;de ceci et du fait que f k est contractante (ce qui implique que f k ( B X k ( x, r )) ⊂ B X ( f k ( x ) , r ) )nous d´eduisons queVol g k ( B X k ( x, r )) ≤ Vol g ( f k ( B X k ( x, r ))) + V k ≤ Vol g ( B X ( f k ( x ) , r )) + V k . Cette derni`ere in´egalit´e et (6) impliquent qu’il existe un N ∈ N tel que, pour tout k ≥ N ,pour tout x ∈ X et tout r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) , on aitVol g k B X k ( x, r )Vol g k B X k ( x, r ) ≤ Vol g ( B X ( f k ( x ) , r )) + V k Vol g (cid:0) B X (cid:0) f k ( x ) , r − η k (cid:1)(cid:1) ≤ Vol g ( B X ( f k ( x ) , r ))Vol g (cid:0) B X (cid:0) f k ( x ) , r/ (cid:1)(cid:1) + 1 ≤ (cid:0) C ′ (cid:1) + 1 , car r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) implique que r et r appartiennent `a l’intervalle ] 0 , r ] . En posant C := (cid:0) C ′ (cid:1) + 1 , nous en d´eduisons que, pour tout k ≥ N , la mesure riemannienne de ( X k , g k ) v´erifiela condition de C − doublement faible `a l’´echelle r autour de tout point x ∈ X k ; ceci d´emontrela premi`ere partie du Lemme.Refaisons maintenant cette construction dans le cas o`u les vari´et´es riemanniennes ( Y k , h k ) sontde la forme (cid:0) Y k , ε k · h ′ k (cid:1) o`u ( ε k ) k ∈ N est une suite tendant vers z´ero quand k → + ∞ et o`uchacune des ( Y k , h ′ k ) est une vari´et´e riemannienne de courbure sectionnelle inf´erieure ou ´egale `a18 k , de diam`etre inf´erieur ou ´egal `a (cid:0) ε k (cid:1) − / et de rayon d’injectivit´e sup´erieur ou ´egal `a uneconstante positive 4 r > k ). Fixons un point x k ∈ ( Y k , h ′ k ) situ´e `a une h ′ k − distance de y k au moins ´egale `a 4 r . Pour tout r ≤ r , on aVol g k B X k ( x k , ε k r )Vol g k B X k ( x k , ε k r ) = Vol h k B X k ( x k , ε k r )Vol h k B X k ( x k , ε k r ) = Vol h ′ k B ( Y k ,h ′ k ) ( x k , r )Vol h ′ k B ( Y k ,h ′ k ) ( x k , r ) ≥ R r sinh n − ( k t ) dt R r sinh n − ( k t ) dt ≥ e ( n − kr . L’amplitude de doublement (pour des boules de rayon proche de z´ero) tend donc vers + ∞ avec k ; donc, pour toute donn´ee des valeurs C > r > k suffisamment grand,aucune des vari´et´es ( X k , g k ) ne v´erifie la condition de C − doublement fort `a l’´echelle r autourdu point x k . (cid:3) Preuve du Corollaire 3.17 : Partons d’un n − Tore plat ( X, g ) et reprenons la construction parsommes connexes de la suite de vari´et´es riemanniennes (cid:0) X k , g k (cid:1) k ∈ N de la preuve du Lemme3.16 ; on obtient (cid:0) X k , g k (cid:1) en recollant `a ( X, g ) n’importe quelle vari´et´e compacte ( Y k , h k ) depetit diam`etre et de petit volume : comme il n’y a aucune restriction sur la topologie de Y k et(`a homoth´eties-pr`es) sur la g´eom´etrie de h k et comme le recollement se fait `a l’int´erieur d’uneboule de rayon beaucoup plus petit que r , il n’y a aucune restriction sur la topologie ou lag´eom´etrie des boules de X k , de rayon inf´erieur `a r , centr´ees en un point x de la partie Y k \ B ′ k de la somme connexe. Pourtant la preuve du Lemme 3.16 d´emontre que, puisque dans ce casl’amplitude de doublement de ( X, g ) vaut 2 n , pour n’importe quelle valeurs C ≥ n + 1 et r > N ∈ N tel que toutes les vari´et´es (cid:0) X k , g k (cid:1) correspondant `a des valeurs de k ≥ N v´erifient l’hypoth`ese de C − doublement faible `a l’´echelle r autour de tout point. (cid:3) Lemme 3.18. (Doublement fort vs. courbure de Ricci minor´ee) Pour toutes les donn´ees des valeurs K ≥ et r > , posons C = 2 n (cid:0) cosh( K r ) (cid:1) n − ;alors toute vari´et´e riemannienne compl`ete ( X, g ) , dont la courbure de Ricci satisfait l’hypoth`ese Ric g ≥ − ( n − K · g , v´erifie la condition de C − doublement pour toutes les boules de rayon r ∈ ]0 , r ] (quel que soit le centre de ces boules).Preuve : Le Th´eor`eme de comparaison de Bishop-Gromov implique que, pour tout x ∈ X ettout r ≤ r ,Vol g B X ( x, r )Vol g B X ( x, r ) ≤ R r (cid:0) K sinh( Kt ) (cid:1) n − dt R r (cid:0) K sinh( Kt ) (cid:1) n − dt = 2 · R Kr (sinh(2 t )) n − dt R Kr (sinh( t )) n − dt ≤ n (cosh Kr ) n − . (cid:3) Il existe, dans la litt´erature, de nombreux exemples de suites (cid:0) X, g k (cid:1) k ∈ N de vari´et´es rieman-niennes qui v´erifient toutes une condition de C − doublement fort `a l’´echelle r (o`u C et r sont des constantes universelles ind´ependantes de k ) et dont cependant l’infimum de la cour-bure de Ricci tend vers −∞ quand k → + ∞ . Un exemple peut ˆetre obtenu en recollant deuxexemplaires de R n \ B n sur leur bord S n − et en construisant sur l’espace ainsi recoll´e une suitede m´etriques riemanniennes r´eguli`eres qui tend vers la m´etrique singuli`ere obtenue en munissantchacun des exemplaires de R n \ B n de sa m´etrique euclidienne. Une propri´et´e importante de la mesure de comptage, que nous exploiterons dans la suite, est quela condition de doublement passe aux sous-groupes, comme le pr´ecise la Proposition 3.19. Pour toute action propre, par isom´etries, d’un groupe Γ sur un espacem´etrique ( X, d ) , pour tout sous-groupe Γ ′ de Γ et pour tout point x ∈ X , on a : i) Si la mesure de comptage µ Γ x v´erifie la condition de C -doublement pour toutes les boulesde rayon r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) centr´ees en x (o`u < r ≤ r ) la mesure µ Γ ′ x v´erifie lacondition de C -doublement pour toutes les boules de rayon r ∈ [ r , r ] centr´ees en x .Plus exactement, on a ∀ r ∈ [ r , r ] µ Γ ′ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) µ Γ ′ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) ≤ C . (ii) Si la mesure de comptage µ Γ x v´erifie µ Γ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) ≤ C e αr pour tous les r ∈ [ r , ∞ [ , alors la mesure µ Γ ′ x v´erifie ∀ r ∈ [ r , + ∞ [ µ Γ ′ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) µ Γ ′ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) ≤ C e αr . Preuve : Pour tout r > N Γ5 ( r ) (resp. N Γ ′ ( r ) ) le nombremaximal de boules disjointes de rayon r qu’on peut inclure dans la boule B X ( x , r ) , tout enimposant aux centres de ces boules d’ˆetre des points de l’orbite Γ · x du groupe Γ (resp. despoints de l’orbite Γ ′ · x du sous-groupe Γ ′ ) ; la condition d’appartenance `a Γ ′ · x ´etant plusrestrictive que la condition d’appartenance `a Γ · x , nous avons N Γ ′ ( r ) ≤ N Γ5 ( r ) . Le Lemme3.11 appliqu´e deux fois, d’abord `a la mesure de comptage µ Γ ′ x de l’orbite Γ ′ · x , puis `a la mesurede comptage µ Γ x de l’orbite Γ · x , donne : µ Γ ′ x (cid:0) B X (cid:0) x, r (cid:1)(cid:1) µ Γ ′ x (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) ≤ N Γ ′ ( r ) ≤ N Γ5 ( r ) ≤ µ Γ x (cid:0) B X (cid:0) x, r (cid:1)(cid:1) µ Γ x (cid:0) B X (cid:0) x, r (cid:1)(cid:1) ≤ µ Γ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) · µ Γ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) · µ Γ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x , r ) (cid:1) . (7)— Preuve de (i) : Pour tout r ∈ [ r , r ] , en nous appuyant sur le fait que r , r et r appartiennent `a (cid:2) r , r (cid:3) , l’hypoth`ese de doublement faite dans (i) sur la mesure µ Γ x nous permet de majorer chacun des trois termes du dernier membre des in´egalit´es (7) par C , ce qui d´emontre que µ Γ ′ x (cid:2) B X ( x , r ) (cid:3) µ Γ ′ x [ B X ( x , r )] ≤ C et ach`eve la preuve de (i).— Preuve de (ii) : Pour tout r ∈ [ r , + ∞ [ , l’hypoth`ese de doublement faite dans (ii) surla mesure µ Γ x nous permet de majorer chacun des trois termes du dernier membre desin´egalit´es (7) respectivement par C e αr , par C e αr et par C e αr , ce qui d´emontreque µ Γ ′ x (cid:2) B X ( x , r ) (cid:3) µ Γ ′ x [ B X ( x , r )] ≤ C e ( + + ) αr et ach`eve la preuve de (ii). (cid:3) Dans cette section, nous nous placerons sur n’importe quel espace δ − hyperbolique ( X, d ) (donc automati-quement g´eod´esique et propre, selon la D´efinition 8.2) et nous consid`ererons des isom´etries hyperboliquesde cet espace. Rappelons que, `a chaque isom´etrie hyperbolique γ , nous associons son d´eplacement mi-nimum s ( γ ) = inf x ∈ X d ( x, γ x ) et son d´eplacement moyen ℓ ( γ ) = lim n → + ∞ (cid:0) n d ( x, γ n x ) (cid:1) , voir lesD´efinitions 8.17. Rappelons qu’il a ´et´e ´etabli que ℓ ( γ ) est alors strictement positif. Les deux points fixesde γ dans ∂X seront not´es γ − et γ + . Nous renvoyons le lecteur `a la section 8.2 pour tout ce quiconcerne l’existence et les propri´et´es ´el´ementaires des projections dans les espaces hyperboliques, et `a lasection 2 pour ce qui concerne les notions de g´eod´esique et de g´eod´esique locale. D´efinitions 4.1. Pour toute isom´etrie γ de ( X, d ) de type hyperbolique, nous noterons G ( γ ) l’ensemble des droites-g´eod´esiques (orient´ees) c telles que c ( −∞ ) = γ − et c (+ ∞ ) = γ + ; nousnoterons M ( γ ) le sous-ensemble de X obtenu comme r´eunion de toutes ces droites-g´eod´esiques. ar ailleurs M min ( γ ) d´esignera l’ensemble des points de X o`u la fonction x → d ( x, γ x ) atteintson infimum s ( γ ) (nous prouverons au Lemme 4.10 (iv) que cet ensemble est non vide et, parcontinuit´e, ferm´e). En g´en´eral, les ensembles M ( γ ) et M min ( γ ) sont disjoints ; nous verrons cependant qu’ilsco¨ıncident lorsque la distance est convexe (cf le Lemme 5.23) ; si de plus l’espace est une vari´et´ede courbure strictement n´egative (ou un espace Cat( − 1) ), les ensembles M ( γ ) et M min ( γ )coˆıncident avec l’unique droite-g´eod´esique qui joint les points fixes γ − et γ + de γ . D´efinition 4.2. `A toute isom´etrie γ de ( X, d ) , on associera son rayon de d´eplacement ponctuel,i. e. la fonction R γ : X → R + d´efinie par R γ ( x ) = inf n ∈ N ∗ d ( x, γ n x ) . On remarquera que R γ est identiquement nul quand γ est de torsion, c’est pourquoi ce cas seraexclu dans la suite. Lemme 4.3. Pour tout point x ∈ M min ( γ ) et pour tout choix d’une g´eod´esique [ x , γ x ] reliantles points x et γ x , la r´eunion, pour tous les p ∈ Z , des segments g´eod´esiques γ p ([ x, γ x ]) estune g´eod´esique locale γ − invariante incluse dans M min ( γ ) Preuve : Notons (cid:2) γ p x , γ p +1 x (cid:3) la g´eod´esique γ p ([ x, γ x ]) qui joint les points γ p x et γ p +1 x ;pour tout u ∈ (cid:2) γ p x , γ p +1 x (cid:3) , on a d ( u, γ u ) ≤ d ( u, γ p +1 x )+ d ( γ p +1 x, γ u ) = d ( γ p x, u )+ d ( u, γ p +1 x ) = d ( γ p x, γ p +1 x ) = d ( x, γ x ) = s ( γ ) , ce qui implique d’une part que d ( u, γ u ) = s ( γ ) , donc que u ∈ M min ( γ ) , et d’autre part que lesin´egalit´es ci-dessus sont toutes des ´egalit´es, donc que d ( u, γ u ) = d ( u, γ p +1 x ) + d ( γ p +1 x, γ u ) , cequi signifie que la r´eunion des segments-g´eod´esiques [ u, γ p +1 x ] et [ γ p +1 x, γ u ] est une g´eod´esique(minimisante) joignant u `a γ u . Il s’ensuit que la r´eunion, pour tous les p ∈ Z , des segmentsg´eod´esiques (cid:2) γ p x , γ p +1 x (cid:3) est un chemin qui est minimisant sur toute portion de longueur s ( γ ) ,ce qui assure que ce chemin est une g´eod´esique locale. (cid:3) Lemme 4.4. Si ℓ ( γ ) > δ , on a d (cid:0) x, M ( γ ) (cid:1) ≤ (cid:0) d ( x, γ x ) − ℓ ( γ ) (cid:1) + 3 δ pour tout x ∈ X .Preuve : Consid´erons une g´eod´esique c ε ∈ G ( γ ) telle que d ( x, c ε ) ≤ d ( x, M ( γ )) + ε . Pourtout k ∈ Z , notons c ε ( t k ) un projet´e du point γ k x sur l’image de c ε . Nous allons d´emontrerla propri´et´e : ∃ p ∈ N tels que d (cid:0) c ε ( t p ) , c ε ( t p +1 ) (cid:1) > ℓ ( γ ) − ε . (8)En effet, si c ε ( t ′ k ) est une projet´e de γ k ( c ε ( t )) sur la g´eod´esique c ε , la Proposition 8.9(i) (et le fait que c ε et γ k ◦ c ε sont deux g´eod´esiques qui joignent γ − et γ + ) assure que d (cid:0) γ k c ε ( t ) , c ε ( t ′ k ) (cid:1) ≤ δ , ce qui implique que d (cid:0) γ k x, c ε ( t k ) (cid:1) ≤ d (cid:0) γ k x, c ε ( t ′ k ) (cid:1) ≤ d (cid:0) γ k x, γ k c ε ( t ) (cid:1) + d (cid:0) γ k c ε ( t ) , c ε ( t ′ k ) (cid:1) ≤ d ( x, c ε ) + 2 δ ;on en d´eduit que d (cid:0) c ε ( t ) , c ε ( t k ) (cid:1) est minor´ee par d (cid:0) x, γ k x (cid:1) − d (cid:0) x, c ε ( t ) (cid:1) − d (cid:0) γ k x, c ε ( t k ) (cid:1) , etdonc par d (cid:0) x, γ k x (cid:1) − d ( x, c ε ) − δ . Il s’ensuit quelim k → + ∞ k k − X i =0 d (cid:0) c ε ( t i ) , c ε ( t i +1 ) (cid:1)! ≥ lim k → + ∞ (cid:18) k d (cid:0) c ε ( t ) , c ε ( t k ) (cid:1)(cid:19) = lim k → + ∞ (cid:18) k d (cid:0) x, γ k x (cid:1)(cid:19) = ℓ ( γ ) , ce qui a pour cons´equence que sup p ∈ N d (cid:0) c ε ( t p ) , c ε ( t p +1 ) (cid:1) ≥ ℓ ( γ ) , ce qui ach`eve la preuve de lapropri´et´e (8).Lorsque ℓ ( γ ) > δ , si ε est choisi suffisamment petit, la Propri´et´e (8) prouve l’existence d’un p ∈ N tel que d (cid:0) c ε ( t p ) , c ε ( t p +1 ) (cid:1) > ℓ ( γ ) − ε > δ . Le Lemme 8.8 permet d’en d´eduire que d ( x, γ x ) = d (cid:0) γ p x, γ p +1 x (cid:1) ≥ d ( γ p x, c ε ( t p )) + d (cid:0) c ε ( t p ) , c ε ( t p +1 ) (cid:1) + d (cid:0) c ε ( t p +1 ) , γ p +1 x (cid:1) − δ d (cid:0) x, M ( γ ) (cid:1) + ℓ ( γ ) − ε − δ , o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que d ( γ p x, c ε ( t p )) = d ( x, γ − p ◦ c ε ) ≥ d (cid:0) x, M ( γ ) (cid:1) . Onach`eve la preuve en faisant tendre ε vers z´ero dans l’in´egalit´e pr´ec´edente. (cid:3) D´efinition 4.5. Dans un espace δ − hyperbolique ( X, d ) , pour toute isom´etrie γ = id , pour tout R ∈ ]0 , + ∞ [ (et tout p ∈ Z ∗ ), on d´efinit— le domaine de Margulis d’ordre p : M pR ( γ ) := { x ∈ X : d ( x, γ p x ) ≤ R } ,— le domaine de Margulis M R ( γ ) comme la r´eunion (pour tous les k ∈ Z ∗ ) des M kR ( γ ) . Remarque 4.6. Dans un espace δ − hyperbolique ( X, d ) , pour toute isom´etrie sans torsion γ ,pour tout R ∈ ]0 , + ∞ [ , on a M R ( γ ) = { x : R γ ( x ) ≤ R } . La preuve de cette Remarque, laiss´ee au lecteur, repose sur le fait que, lorsque γ est sanstorsion, il n’est pas elliptique, donc g k x tend vers l’infini lorsque k → + ∞ , ce qui prouve que { x : R γ ( x ) ≤ R } est fini, donc qu’il existe un n ∈ N ∗ tel que d ( x, γ n x ) = R γ ( x ) . Lemme 4.7. Dans tout espace δ − hyperbolique non ´el´ementaire ( X, d ) , pour toute isom´etriehyperbolique γ et tout r´eel R > , X \ M R ( γ ) est non vide.Preuve : Notons k la partie enti`ere de R/ℓ ( γ ) , remarquons d’abord que M kR ( γ ) est vide pourtout k ∈ N ∗ tel que k ≥ k + 1 , puisque tout x ∈ X v´erifie alors d ( x, γ k x ) ≥ ℓ ( γ k ) ≥ ( k + 1) ℓ ( γ ) > R (voir la D´efinition 8.17 de ℓ ( γ ) et les propri´et´es qui suivent cette d´efinition).Par cons´equent M R ( γ ) est la r´eunion des M kR ( γ ) pour tous les k ≤ k appartenant `a N ∗ .Notons { γ − , γ + } l’ensemble-limite de γ (i. e. l’ensemble de ses points fixes, inclus dans le bordid´eal, voir le d´ebut de la section 8.4.2) ; choisissons un point θ ∈ ∂X qui n’appartient pas`a cet ensemble limite et un rayon-g´eod´esique c telle que c (+ ∞ ) = θ ; pour tout k ∈ N ∗ ,le rayon-g´eod´esique γ k ◦ c v´erifie donc γ k ◦ c (+ ∞ ) = γ k θ ; comme γ k θ = θ , la distance d (cid:0) c ( t ) , γ k ◦ c ( t ) (cid:1) tend vers + ∞ quand t tend vers + ∞ , ce qui prouve qu’il existe un t k telque c ( t ) / ∈ M kR ( γ ) pour tout t > t k . Posons T = max k ≤ k ( t k ) , nous obtenons que, pour tout t ∈ ] T, + ∞ [ , c ( t ) n’appartient pas `a ∪ k ≤ k M kR ( γ ) , donc n’appartient pas `a M R ( γ ) . (cid:3) Lemme 4.8. Pour toute isom´etrie hyperbolique γ et tout nombre r´eel R > (i) pour tout k ∈ Z ∗ , M kR ( γ ) est vide lorsque R < | k | ℓ ( γ ) et non vide lorsque R ≥ | k | ℓ ( γ )+ δ ,(ii) M R ( γ ) est un ferm´e qui est vide lorsque R < ℓ ( γ ) et non vide lorsque R ≥ ℓ ( γ ) + δ .Preuve : Si M kR ( γ ) est non vide, pour tout point x ∈ M kR ( γ ) , les propri´et´es ´el´ementaires desfonctions s et l , ´enonc´ees apr`es leurs D´efinitions 8.17, donnent : R ≥ d ( x, γ k x ) ≥ s ( γ k ) ≥ ℓ ( γ k ) = | k | ℓ ( γ ) , ce qui prouve que M kR ( γ ) est vide lorsque R < | k | ℓ ( γ ) .D’autre part, par d´efinition de la fonction s (cf. D´efinitions 8.17), M kR ( γ ) est non vide si etseulement si R ≥ s ( γ k ) ; comme s ( γ k ) ≤ ℓ ( γ k ) + δ = | k | ℓ ( γ ) + δ en vertu du Lemme 8.20 (i), M kR ( γ ) est non vide lorsque R ≥ | k | ℓ ( γ ) + δ .Par continuit´e de x d ( x, γ k x ) , chaque M kR ( γ ) est un ferm´e de ( X, d ) ; M R ( γ ) ´etant (d’apr`esle (i)) une r´eunion d’un nombre fini de M kR ( γ ) (correspondant aux k tels que | k | ≤ Rℓ ( γ ) ), il estlui-mˆeme ferm´e.Si R < ℓ ( γ ) , alors R < | k | ℓ ( γ ) pour tout k ∈ Z ∗ et tous les M kR ( γ ) sont vides d’apr`es le (i),leur r´eunion M R ( γ ) est alors vide. Si R ≥ ℓ ( γ ) + δ , le (i) assure que M R ( γ ) est non vide, doncque M R ( γ ) est non vide. (cid:3) Lemme 4.9. Pour toute isom´etrie hyperbolique γ , pour tous les r , R tels que r < R et telsque M r ( γ ) ne soit pas vide, pour tout point x de l’adh´erence de X \ M R ( γ ) , on a : d ( x, M r ( γ )) ≥ 12 ( R − r )22 reuve : Notons ¯ x un projet´e quelconque de x sur le ferm´e M r ( γ ) . La d´efinition de M r ( γ )nous permet de choisir un k ∈ N ∗ tel que d (¯ x, γ k ¯ x ) ≤ r . On a alors d ( x, γ k x ) ≥ R et l’in´egalit´etriangulaire conclut en donnant :2 d ( x, M r ( γ )) + r = 2 d ( x, ¯ x ) + r ≥ d ( x, ¯ x ) + d (¯ x, γ k ¯ x ) + d ( γ k ¯ x, γ k x ) ≥ d ( x, γ k x ) ≥ R . (cid:3) Lemme 4.10. Pour toute isom´etrie hyperbolique γ et tout nombre r´eel R > tel que M R ( γ ) soit non vide,(i) pour toute g´eod´esique c , qui relie les points γ − et γ + de l’ensemble limite, pour tout x ∈ M R ( γ ) , on a Min t ∈ R d (cid:0) x, c ( t ) (cid:1) ≤ (cid:16) δℓ ( γ ) + 1 (cid:17) R + δ ,(ii) pour toute suite (cid:0) x n (cid:1) n ∈ N d’´el´ements de M R ( γ ) telle que d ( x , x n ) → + ∞ , l’ensemblede ses valeurs d’adh´erence est inclus dans { γ − , γ + } ,(iii) pour toute origine fix´ee x ∈ X , le domaine de Dirichlet D γ ( x ) := { x : ∀ k ∈ Z d ( x , x ) ≤ d ( γ k x , x ) } de l’action du groupe h γ i engendr´e par γ est un domainerecouvrant pour cette action (i. e. ∪ k ∈ Z γ k (cid:0) D γ ( x ) (cid:1) ) tel que M R ( γ ) ∩ D γ ( x ) soit com-pact,(iv) la fonction x d ( x, γ x ) atteint son minimum sur X .Preuve de (i) : Soit x un ´el´ement quelconque de M R ( γ ) , il existe donc un entier p ∈ N ∗ tel que d ( x, γ p x ) ≤ R ; remarquons que l’on a alors R ≥ d ( x, γ p x ) ≥ s ( γ p ) ≥ p ℓ ( γ ) , donc p ≤ Rℓ ( γ ) .Consid´erons l’entier k tel que ( k − p ℓ ( γ ) ≤ δ < k p ℓ ( γ ) . Notons y k (resp. y ) un projet´edu point γ kp ( x ) (resp. du point x ) sur l’image de la g´eod´esique c ; notons y ′ k un projet´e de γ kp ( y ) sur l’image de c et z un projet´e de y sur la g´eod´esique γ kp ◦ c ; la Proposition 8.9(i) (et le fait que c et γ kp ◦ c sont deux g´eod´esiques qui joignent γ − et γ + ) assure que d (cid:0) γ kp y , y ′ k ) (cid:1) = d (cid:0) γ kp y , c (cid:1) ≤ δ , d ( y , z )) = d (cid:0) y , γ kp ◦ c ) (cid:1) ≤ δ (9)Le lemme 8.3 (iv) du quadrilat`ere et le fait que d ( γ kp x, γ kp y ) = d ( x, y ) impliquent que d ( y , γ kp x ) + d ( x, γ kp y ) − δ ≤ Max (cid:2) d ( x, γ kp x ) + d ( y , γ kp y ) , d ( x, y ) (cid:3) ; (10)en utilisant d’abord l’in´egalit´e triangulaire, puis le Lemme 8.6 (ii) (en y posant η = 0 ), puis lesin´egalit´es (9), on obtient les deux s´eries d’in´egalit´es suivantes : d ( x, γ kp y ) ≥ d ( x, y ′ k ) − d ( y ′ k , γ kp y ) ≥ d ( x, y ) + d ( y , y ′ k ) − δ ≥ d ( x, y ) + d ( y , γ kp y ) − δ ,d ( y , γ kp x ) ≥ d ( z , γ kp x ) − d ( y , z ) ≥ d ( γ kp x, γ kp y )+ d ( γ kp y , z ) − δ ≥ d ( x, y )+ d ( y , γ kp y ) − δ , o`u on a utilis´e le fait que y et γ kp y sont des projet´es des points x et γ kp x (respectivement)sur les g´eod´esiques c et γ kp ◦ c . De ces deux in´egalit´es, on d´eduit que d ( y , γ kp x ) + d ( x, γ kp y ) − δ ≥ d ( x, y ) + 2 d ( y , γ kp y ) − δ > d ( x, y ) , o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule du choix de k , qui assure que d ( y , γ kp y ) ≥ ℓ ( γ kp ) = k p ℓ ( γ ) > δ . En reportant cette derni`ere in´egalit´e dans l’in´egalit´e (10), nous obtenons2 d ( x, y ) + d ( y , γ kp y ) − δ ≤ d ( x, y ) + 2 d ( y , γ kp y ) − δ ≤ d ( y , γ kp x ) + d ( x, γ kp y ) − δ ≤ d ( x, γ kp x ) + d ( y , γ kp y ) ≤ k R + d ( y , γ kp y ) ≤ (cid:18) δp ℓ ( γ ) + 1 (cid:19) R + d ( y , γ kp y ) , et nous en d´eduisons queMin t ∈ R d (cid:0) x, c ( t ) (cid:1) = d ( x, y ) ≤ (cid:18) δp ℓ ( γ ) + 1 (cid:19) R + 72 δ ≤ (cid:18) δℓ ( γ ) + 1 (cid:19) R + 72 δ . Preuve de (ii) : Soit c une quelconque des g´eod´esiques qui relient les points γ − et γ + del’ensemble limite. Pour tout n ∈ N , comme x n ∈ M R ( γ ) , le r´esultat (i) prouve l’existence d’un t n ∈ R tel que d (cid:0) x n , c ( t n ) (cid:1) ≤ (cid:16) δℓ ( γ ) + 1 (cid:17) R + δ ; comme d ( c (0) , x n ) → + ∞ quand n → + ∞ ,on en d´eduit que | t n | → + ∞ . Par cons´equent, consid´erant la suite (cid:0) t n (cid:1) n ∈ N , on est dans un destrois cas suivants 23 soit tous ses ´el´ements (sauf un nombre fini) sont positifs, et alors t n → + ∞ , c ( t n ) → γ + et, par cons´equent x n → γ + car d (cid:0) x n , c ( t n ) (cid:1) est born´ee ind´ependamment de n ,— soit tous ses ´el´ements (sauf un nombre fini) sont n´egatifs, et alors t n → −∞ , c ( t n ) → γ − et, par cons´equent x n → γ − car d (cid:0) x n , c ( t n ) (cid:1) est born´ee ind´ependamment de n ,— soit elle poss`ede une infinit´e d’´el´ements de chaque signe, auquel cas elle est la r´eunion dedeux suites respectivement positive et n´egative et qui tendent respectivement vers + ∞ et −∞ , ce qui implique, d’apr`es les deux cas pr´ec´edents, que la suite (cid:0) x n (cid:1) n ∈ N est lar´eunion de deux suites de limites respectives γ + et γ − . Preuve de (iii) : Soit c une quelconque des g´eod´esiques qui relient les points γ − et γ + del’ensemble limite. Pour tout t ∈ R , Min k ∈ Z d (cid:0) c ( t ) , γ k c (0) (cid:1) est major´e ind´ependemment de t :en effet, si c ( t k ) est un projet´e du point γ k ◦ c (0) sur l’image de c , la Proposition 8.9 (i) (et le faitque c et γ k ◦ c sont deux g´eod´esiques qui joignent γ − et γ + ) assure que d (cid:0) c ( t k ) , γ k ◦ c (0) (cid:1) ≤ δ et donc que | t k +1 − t k | ≤ d (cid:0) c ( t k ) , c ( t k +1 ) (cid:1) ≤ d (cid:0) γ k c (0) , γ k +1 c (0) (cid:1) + 4 δ ≤ d (cid:0) c (0) , γ c (0) (cid:1) + 4 δ . (11)Fixons une valeur quelconque t ∈ R ; quand k tend vers + ∞ (resp. vers −∞ ), γ k c (0) tendvers γ + (resp. vers γ − ), donc c ( t k ) tend vers γ + (resp. vers γ − ) (car d (cid:0) c ( t k ) , γ k ◦ c (0) (cid:1) ≤ δ ),et par cons´equent t k tend vers + ∞ (resp. vers −∞ ) ; il s’ensuit qu’il existe un k ′ ∈ Z tel que t k ′ ≤ t < t k ′ +1 et (comme cons´equence de ceci et de l’in´egalit´e (11)) il existe un k ∈ Z tel que | t − t k | ≤ d (cid:0) c (0) , γ c (0) (cid:1) + 2 δ . Pour tout t ∈ R , il existe donc un k ∈ Z tel que d (cid:0) c ( t ) , γ k c (0) (cid:1) ≤ d (cid:0) c ( t ) , c ( t k ) (cid:1) + d (cid:0) c ( t k ) , γ k c (0) (cid:1) ≤ d (cid:0) c (0) , γ c (0) (cid:1) + 4 δ . (12)Consid´erons un point quelconque x ∈ M R ( γ ) et notons c ( t ) un projet´e de x sur la g´eod´esique c , il r´esulte de la propri´et´e (12) et du r´esultat (i) qu’il existe un k ∈ Z tel que d (cid:0) x, γ k c (0) (cid:1) ≤ d (cid:0) x, c ( t ) (cid:1) + d (cid:0) c ( t ) , γ k c (0) (cid:1) ≤ R o`u R := 12 (cid:18) δℓ ( γ ) + 1 (cid:19) R + 12 d (cid:0) c (0) , γ c (0) (cid:1) + 152 δ et, par cons´equent, tel que d (cid:0) x, γ k x (cid:1) ≤ d (cid:0) x , c (0) (cid:1) + R . Pour tout x ∈ M R ( γ ) ∩ D γ ( x ) , on a d ( x, x ) ≤ Min k ∈ Z d (cid:0) x, γ k x (cid:1) et, en vertu de l’in´egalit´e pr´ec´edente, d (cid:0) x, x (cid:1) ≤ d (cid:0) x , c (0) (cid:1) + R . M R ( γ ) ∩ D γ ( x ) est donc un ferm´e born´e, donc compact car ( X, d ) est propre. Preuve de (iv) : Notons f la fonction x d ( x, γ x ) , posons s ( γ ) := inf x ∈ X f ( x ) et R := s ( γ ) + 1 ; comme { x : f ( x ) ≤ R } = M R ( γ ) ⊂ M R ( γ ) , il nous suffit de prouver que la restrictionde f `a l’ensemble (non vide) M R ( γ ) atteint son minimum. Comme f ( γ k x ) = f ( x ) pourtout k ∈ Z (et pour tout x ), comme M R ( γ ) est globalement invariant par les γ k , et comme X = ∪ k ∈ Z γ k ( D γ ( x )) , il nous suffit de prouver que f atteint son minimum sur M R ( γ ) ∩ D γ ( x ) ,ce qui est d´emontr´e puisque M R ( γ ) ∩ D γ ( x ) est compact (d’apr`es le (iii)) et f continue. (cid:3) Lemme 4.11. Pour toute isom´etrie hyperbolique γ , pour tout nombre r´eel R > ,(i) pour tout p ∈ N ∗ et pour tout x ∈ M pR ( γ ) , toute g´eod´esique joignant x `a γ p x ou `a γ − p x est incluse dans M pR ( γ ) ,(ii) pour tout x, y ∈ M pR ( γ ) , toute g´eod´esique joignant x `a y est incluse dans M pR +2 δ ( γ ) .(iii) pour tout x ∈ M R ( γ ) , pour tout k ∈ Z , toute g´eod´esique joignant x `a γ k x est inclusedans M R +2 δ ( γ ) .Preuve de (i) : Nous supposerons que M pR ( γ ) est non vide, sinon le r´esultat est trivialementv´erifi´e. Soit x , un point quelconque de M pR ( γ ) , pour tout q ∈ {− p, p } , consid´erons une (quel-conque) des g´eod´esiques joignant x `a γ q x ; pour tout u ∈ [ x, γ q x ] , l’in´egalit´e triangulairedonne : d ( u, γ p u ) = d ( u, γ q u ) ≤ d ( u, γ q x ) + d ( γ q x, γ q u ) = d ( x, u ) + d ( u, γ q x ) = d ( x, γ q x ) ≤ R , u ∈ M pR ( γ ) , ce qui prouve (i). Preuve de (ii) : Nous supposerons que M pR ( γ ) est non vide, sinon le r´esultat est trivialementv´erifi´e. Posons L := d ( x, y ) . Notons c une quelconque des g´eod´esiques qui joignent x `a y (i.e. c (0) = x et c ( L ) = y ), la propri´et´e de quasi-convexit´e des espaces δ − hyperboliques (cf. laProposition 25 , p. 45 de [Gd90]) donne : d (cid:0) c ( t ) , g p ◦ c ( t ) (cid:1) ≤ (cid:18) − tL (cid:19) d (cid:0) c (0) , g p ◦ c (0) (cid:1) + tL d (cid:0) c ( L ) , g p ◦ c ( L ) (cid:1) + 2 δ ≤ R + 2 δ , o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que x, y ∈ M pR ( γ ) . Ceci prouve que, pour tout t ∈ [0 , L ] , c ( t ) appartient `a M pR +2 δ ( γ ) . Preuve de (iii) : Fixons un p ∈ N ∗ tel que x ∈ M pR ( γ ) (un tel p existe par d´efinition de M R ( γ ) ),alors d (cid:0) γ k x , γ p ( γ k x ) (cid:1) = d (cid:0) x , γ p x (cid:1) ≤ R et γ k x appartient `a M pR ( γ ) . On peut donc appliquerla partie (ii) du pr´esent Lemme (en y rempla¸cant y par γ k x ) et on obtient que toute g´eod´esiquejoignant x `a γ k x est incluse dans M R +2 δ ( γ ) . (cid:3) Consid´erons deux isom´etries a et b d’un espace δ − hyperbolique ( X, d ) . On a alors les d´efinitionset lemmes suivants : D´efinition 4.12. La constante de Margulis L ( a, b ) de la paire d’isom´etries { a, b } est d´efiniecomme l’infimum (quand x parcourt X et quand ( p, q ) parcourt l’ensemble des ( p, q ) ∈ Z ∗ × Z ∗ tels que a p et b q soient non triviaux) de Max [ d ( x, a p x ) ; d ( x, b q x ) ] .Supposons maintenant que a et b sont des isom´etries de type hyperbolique , on a le Lemme 4.13. Si le groupe h a, b i engendr´e par a et b est un sous-groupe discret, non virtuel-lement cyclique du groupe des isom´etries de ( X, d ) alors pour tout nombre r´eel R > tel que M R ( a ) et M R ( b ) soient non vides, il existe des points x ∈ M R ( a ) et y ∈ M R ( b ) tels que d ( x , y ) soit le minimum de d ( x, y ) quand ( x, y ) parcourt M R ( a ) × M R ( b ) .Preuve : Notons a + et a − (resp. b + et b − ) les point de l’ensemble limite de a (resp. de b ).Supposons qu’il existe une suite n ( x n , y n ) d’´el´ements de M R ( a ) × M R ( b ) qui va `a l’infini(on entend par l`a qu’elle sort de tout compact) et telle que n d ( x n , y n ) reste born´ee ; leraisonnement ´etant identique quand y n va `a l’infini, il nous suffit de mener la d´emonstrationdans le cas o`u x n va `a l’infini ; dans ce cas, le Lemme 4.10 (ii) prouve l’existence d’une sous-suite k x n k qui tend vers a + ou a − et, comme k d ( x n k , y n k ) reste born´ee, il s’ensuitque y n k tend vers a + ou a − quand k → + ∞ . Comme, d’apr`es le Lemme 4.10 (ii), la limitede y n k ne peut ˆetre que b + ou b − , on a { a − , a + } ∩ { b − , b + } 6 = ∅ , ce qui implique (d’apr`es laProposition 8.21 (i)) que { a − , a + } = { b − , b + } et donc que tous les ´el´ements du groupe h a, b i admettent { a − , a + } comme ensemble de points fixes ; la Proposition 8.21 (ii) permet d’en d´eduireque h a, b i est virtuellement cyclique. Comme ce cas est exclu par hypoth`ese, d ( x, y ) tend vers+ ∞ quand ( x, y ) va `a l’infini ; ceci assure l’existence d’un point ( x , y ) du ferm´e (propre) M R ( a ) × M R ( b ) o`u la fonction continue ( x, y ) d ( x, y ) atteint son minimum. (cid:3) Evidemment, le Lemme 4.13 est trivial lorsque M R ( a ) ∩ M R ( b ) = ∅ (car alors une solution( x , y ) est donn´ee par x = y ∈ M R ( a ) ∩ M R ( b ) ) il est donc important d’avoir un crit`ere quicaract´erise les valeurs de R telles que M R ( a ) ∩ M R ( b ) est vide, ce qui est le but du r´esultat quisuit. Lemme 4.14. Soit R n’importe quel r´eel positif tel que M R ( a ) et M R ( b ) soient non vides ; si L ( a, b ) > R , les domaines de Margulis M R ( a ) et M R ( b ) sont disjoints ; r´eciproquement, si lesdomaines de Margulis M R ( a ) et M R ( b ) sont disjoints, alors L ( a, b ) ≥ R . reuve : Si les deux domaines de Margulis M R ( a ) et M R ( b ) ont un point x en commun, ilexiste ( p, q ) ∈ Z ∗ × Z ∗ tel que d ( x, a p x ) ≤ R et d ( x, b q x ) ≤ R . Par d´efinition de L ( a, b ) , ceciimplique que L ( a, b ) ≤ R .R´eciproquement, si les domaines de Margulis M R ( a ) et M R ( b ) sont disjoints, alors tout point x ∈ X v´erifie x ∈ X \ M R ( a ) ou x ∈ X \ M R ( b ) , ce qui implique que, pour tout p , q ∈ Z ∗ , d ( x, a p x ) > R ou d ( x, b q x ) > R . En passant `a l’infimum, on en d´eduit que L ( a, b ) ≥ R . (cid:3) On prouve ici une minoration de la distance entre domaines de Margulis lorsqu’on suppose quela mesure de comptage de l’orbite de l’action du groupe v´erifie une hypoth`ese de doublement `apartir d’une certaine ´echelle). Lemme 4.15. Fixons-nous des constantes arbitraires r > , α > et C > . Consid´eronsun espace m´etrique quelconque ( X, d ) , une isom´etrie (sans torsion ) quelconque γ de ( X, d ) .Pour tout sous-groupe discret Γ du groupe des isom´etries de ( X, d ) contenant γ et pour toutpoint x ∈ X tels que R γ ( x ) ≥ r et que la mesure de comptage µ Γ x de l’orbite Γ x v´erifiela condition de doublement µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) ≤ C e αR pour tous les R ∈ (cid:2) r , + ∞ (cid:2) , on a :(i) pour tout p ∈ N (cid:8) k ∈ Z : d (cid:0) x , γ k x (cid:1) < p R γ ( x ) (cid:9) ≤ C p e α (2 p − R γ ( x ) . (ii) en tout point x ∈ X et pour tout R ≥ R γ ( x ) { k ∈ Z : d (cid:0) x, γ k x (cid:1) < R } ≤ C (cid:18) R + 2 d ( x , x ) R γ ( x ) (cid:19) ln C e α ( R +2 d ( x ,x )) . (iii) pour tout point x tel que R γ ( x ) ≤ R γ ( x ) d ( x , x ) R γ ( x ) ≥ ln (cid:18) C − (cid:18) (cid:20) R γ ( x ) R γ ( x ) (cid:21) + 1 (cid:19)(cid:19) α R γ ( x ) + 6 e ln 2 ln C − . Preuve de (i) : L’in´egalit´e (i) ´etant trivialement v´erifi´ee lorsque p = 0 , nous supposerons que p ≥ i ∈ N , on a 2 i R γ ( x ) ≥ r , on peut donc appliquer la Proposition 3.19 (ii)dans le cas o`u le sous groupe Γ ′ est le sous-groupe engendr´e par γ , ce qui assure que, pour tout i ∈ N , { k ∈ Z : d (cid:0) x , γ k x (cid:1) < i +1 R γ ( x ) } { k ∈ Z : d ( x , γ k x ) < i R γ ( x ) } ≤ C e α i R γ ( x ) . En faisant le produit pour i variant de 0 `a p − n k ∈ Z : d (cid:16) x , γ k x (cid:17) < p R γ ( x ) o ≤ { k ∈ Z : d (cid:0) x , γ k x (cid:1) < p R γ ( x ) } { k ∈ Z : d ( x , γ k x ) < R γ ( x ) } ≤ C p e α (2 p − R γ ( x ) , o`u la premi`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que (cid:8) k ∈ Z : d (cid:0) x , γ k x (cid:1) < R γ ( x ) (cid:9) = { id X } . Preuve de (ii) : Pour tout k ∈ Z ∗ , l’in´egalit´e triangulaire et l’invariance par γ de la distancedonnent : d (cid:0) x , γ k x (cid:1) ≤ d (cid:0) x, γ k x (cid:1) + 2 d ( x , x ) , on en d´eduit d’une part que R + 2 d ( x , x ) ≥ R γ ( x ) + 2 d ( x , x ) ≥ R γ ( x ) , et d’autre part que l’ensemble { k ∈ Z : d (cid:0) x, γ k x (cid:1) < R } estinclus dans { k ∈ Z : d (cid:0) x , γ k x (cid:1) < R + 2 d ( x , x ) } ; si p est l’entier tel que 2 p − R γ ( x ) 7. Lorsque γ est de torsion, les r´esultats qui suivent sont vides, puisque R γ ( x ) est alors nul pour tout x ∈ X . Preuve de (iii) : Posons N := (cid:20) R γ ( x ) R γ ( x ) (cid:21) . Par d´efinition de R γ ( x ) , il existe un p ∈ N ∗ tel que d ( x, γ p x ) = R γ ( x ) et l’in´egalit´e triangulaire permet d’en d´eduire que d ( x, γ kp x ) < R γ ( x ) + ε pour tout k ∈ Z tel que | k | ≤ N et pour tout ε > R = R γ ( x ) + ε , que N +1 ≤ n k ∈ Z : d (cid:16) x, γ k x (cid:17) < R γ ( x ) + ε o ≤ C (cid:18) R γ ( x ) + 2 d ( x , x ) + εR γ ( x ) (cid:19) C · e α ( R γ ( x )+2 d ( x ,x )+ ε ) , ce qui, en faisant tendre ε vers z´ero puis en remarquant que la fonction Max t ∈ R + (cid:0) t β e − ( β/e ) t (cid:1) =1 , donne N +1 ≤ C (cid:18) R γ ( x ) + 2 d ( x , x ) R γ ( x ) (cid:19) ln C e α ( R γ ( x )+2 d ( x ,x )) ≤ C e ( α R γ ( x )+ e ln 2 ln C ) (cid:0) d ( x ,x ) Rγ ( x (cid:1) , ce qui implique que d ( x , x ) R γ ( x ) ≥ ln (cid:0) C − (2 N + 1) (cid:1) α R γ ( x ) + 6 e ln 2 ln C − . (cid:3) Dans cette section, on se fixe arbitrairement trois constantes positives δ , H et D et on s’int´eresse `a tousles espaces δ − hyperboliques ( X, d ) (donc automatiquement g´eod´esiques et propres, d’apr`es la D´efinition8.2) et `a toutes les actions propres (par isom´etries) d’un groupe Γ sur ( X, d ) telles que l’entropie de ( X, d ) et le diam`etre de Γ \ X soient respectivement born´es par H et D .Rappelons qu’en vertu du Lemme 8.12 (ii), Γ \ X est alors compact et que, d’apr`es le Lemme 8.12 (iii),si Γ est sans torsion, l’action de Γ sur X est alors fid`ele et sans point fixe.Rappelons qu’on a d´efini Σ r ( x ) comme l’ensemble des γ ∈ Γ ∗ tels que d ( x, γ x ) ≤ r et que Γ r ( x ) estle sous-groupe de Γ engendr´e par Σ r ( x ) (cf. les D´efinitions 2.4) .Rappelons que la Proposition 3.3 prouve que, lorsque l’action est cocompacte, l’entropie de ( X, d ) peutalors ˆetre calcul´ee pour n’importe quelle mesure bor´elienne Γ − invariante sur X , et qu’elle ne d´ependpas du choix d’une telle mesure. Th´eor`eme 5.1. Pour toute action propre d’un groupe Γ sur tout espace m´etrique δ − hyperbolique ( X, d ) , si le quotient Γ \ X est de diam`etre major´e par D et si l’Entropie de ( X, d ) est au plus´egale `a H , on a alors : ∀ x ∈ X ∀ R ≥ 10 ( D + 2 δ ) (cid:0) B X ( x, R ) ∩ Γ x (cid:1) (cid:0) B X ( x, R ) ∩ Γ x (cid:1) = µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ) (cid:1) ≤ e HR . En d’autres termes, la mesure de comptage de toute orbite de l’action de Γ sur ( X, d ) v´erifie lacondition de doublement d’amplitude C ( R ) := 3 e HR `a toutes les ´echelles R ≥ 20 ( D + 2 δ )La preuve de cette propri´et´e de doublement se d´eduit du Lemme 5.2. Sur un espace δ − hyperbolique ( X, d ) , pour tous les R, R ′ ∈ ]0 , + ∞ [ , pour toutepaire de points x, y tels que que d ( x, y ) < R + R ′ , il existe un point y ′ ∈ X tel que B X ( x, R ) ∩ B X ( y, R ′ ) ⊂ B X ( y ′ , r ) , o`u r = Min (cid:16) R , R ′ , (cid:0) R + R ′ − d ( x, y ) (cid:1) + 2 δ (cid:17) . reuve du lemme 5.2 : Remarquons que, si d ( x, y ) ≥ R + R ′ , alors B X ( x, R ) ∩ B X ( y, R ′ ) = ∅ ,c’est pourquoi nous pouvons supposer que d ( x, y ) < R + R ′ . Quitte `a ´echanger les noms despoints et des rayons, on peut supposer que R ′ ≤ R . Si d ( x, y ) ≤ R − R ′ + 4 δ , en choisissant y ′ = y , on a bien B X ( x, R ) ∩ B X ( y, R ′ ) ⊂ B X ( y ′ , r ) car, dans ce cas, R ′ = Min (cid:16) R , R ′ , (cid:0) R + R ′ − d ( x, y ) (cid:1) + 2 δ (cid:17) = r , donc le Lemme est v´erifi´e dans ce cas. Pla¸cons-nous maintenant dans le cas o`u R − R ′ +4 δ ≤ d ( x, y ) < R + R ′ . Les espaces hyperboliqueconsid´er´es ´etant g´eod´esiques, notons c = [ x, y ] une quelconque des g´eod´esiques (minimisantes)qui joignent x `a y , cette g´eod´esique ´etant param´etr´ee par sa longueur et telle que c (0) = x et c ( d ( x, y )) = y . Notons y ′ le point c (cid:0) ( R − R ′ + d ( x, y )) (cid:1) de cette g´eod´esique. Pour tout point z ∈ B X ( x, R ) ∩ B X ( y, R ′ ) , le lemme du rectangle donne : d ( y ′ , z ) + d ( x, y ) ≤ Max [ d ( x, z ) + d ( y, y ′ ) , d ( y, z ) + d ( x, y ′ )] + 2 δ< Max (cid:20) R + (cid:16) d ( x, y ) − (cid:0) R − R ′ + d ( x, y ) (cid:1)(cid:17) , R ′ + 12 (cid:0) R − R ′ + d ( x, y ) (cid:1)(cid:21) + 2 δ , ce qui implique que d ( y ′ , z ) < (cid:0) R + R ′ − d ( x, y ) (cid:1) + 2 δ = Min (cid:16) R , R ′ , (cid:0) R + R ′ − d ( x, y ) (cid:1) + 2 δ (cid:17) et conclut. (cid:3) Preuve du Th´eor`eme 5.1 : Consid´erons un point x quelconque de X ; pour simplifier, nousnoterons ν la mesure de comptage de l’orbite de x (i. e. ν = P γ ∈ Γ δ γx ). Pour tous les R, R ′ ≥ δ tels que R ′ ≤ R , l’´egalit´e (1) donne : Z B X ( x,R ) ν (cid:0) B X ( y, R ′ ) (cid:1) dν ( y ) = Z X ν (cid:0) B X ( y, R ′ ) ∩ B X ( x, R ) (cid:1) dν ( y ) ≤ Z B X ( x,R − R ′ ) ν (cid:0) B X ( y, R ′ ) (cid:1) dν ( y )++ Z B X ( x,R + R ′ ) \ B X ( x,R − R ′ ) ν (cid:0) B X ( y, R ′ ) ∩ B X ( x, R ) (cid:1) dν ( y ) . (13) Le Lemme 5.2 assure, pour tout y ∈ B X ( x, R + R ′ ) \ B X ( x, R − R ′ ) , l’existence d’un point y ′ tel que B X ( y, R ′ ) ∩ B X ( x, R ) ⊂ B (cid:16) y ′ , (cid:0) R + R ′ − d ( x, y ) (cid:1) + 2 δ (cid:17) ⊂ B (cid:16) y ′ , R ′ + 2 δ (cid:17) ;comme il existe un γ ′ ∈ Γ tel que d ( y ′ , γ ′ x ) ≤ D , on en d´eduit que ν (cid:0) B X ( y, R ′ ) ∩ B X ( x, R ) (cid:1) ≤ ν (cid:16) B (cid:0) y ′ , R ′ +2 δ (cid:1)(cid:17) ≤ ν (cid:16) B (cid:0) γ ′ x , R ′ +2 δ + D (cid:1)(cid:17) = ν (cid:16) B (cid:0) x , R ′ +2 δ + D (cid:1)(cid:17) En reportant ces estim´ees dans (13), nous obtenons : Z B X ( x,R ) \ B X ( x,R − R ′ ) ν (cid:0) B X ( y, R ′ ) (cid:1) dν ( y ) ≤ Z B X ( x,R + R ′ ) \ B X ( x,R − R ′ ) ν (cid:16) B (cid:0) x , R ′ + 2 δ + D (cid:1)(cid:17) dν ( y ) . De cette derni`ere in´egalit´e, de la d´efinition de la mesure ν et du fait que ν (cid:0) B X ( y, R ′ ) (cid:1) = ν (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) pour tous les y ∈ Γ x , on d´eduit que ν (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) · ν (cid:16) B X ( x, R ) \ B X ( x, R − R ′ ) (cid:17) = Z B X ( x,R ) \ B X ( x,R − R ′ ) ν (cid:0) B X ( y, R ′ ) (cid:1) dν ( y ) ≤ ν (cid:16) B (cid:0) x , R ′ + 2 δ + D (cid:1)(cid:17) · ν (cid:16) B X ( x, R + R ′ ) \ B X ( x, R − R ′ ) (cid:17) Supposons dor´enavant que R ′ ≥ D + 2 δ ) , en rappelant que ν = µ Γ x , nous en d´eduisons que µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) µ Γ x (cid:16) B X (cid:0) x , R ′ (cid:1)(cid:17) ≤ µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) µ Γ x (cid:16) B X (cid:0) x , R ′ + 2 δ + D (cid:1)(cid:17) ≤ µ Γ x (cid:16) B X ( x, R + R ′ ) (cid:17) − µ Γ x (cid:16) B X ( x, R − R ′ ) (cid:17) µ Γ x (cid:16) B X ( x, R ) (cid:17) − µ Γ x (cid:16) B X ( x, R − R ′ ) (cid:17) C := µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) µ Γ x (cid:16) B (cid:0) x , R ′ (cid:1)(cid:17) − a k = µ Γ x (cid:0) B X ( x, k R ′ ) (cid:1) , l’in´egalit´e pr´ec´edente impliqueque, pour tout k ≥ a k +2 − a k − ≥ ( C + 1) ( a k − a k − ) , donc que a k +2 − a k ≥ C ( a k − a k − ) .En sommant cette derni`ere in´egalit´e pour tous les k tels que 2 ≤ k ≤ n , on obtient :2 ( a n +2 − a ) ≥ a n +2 − a + a n +1 − a ≥ C ( a n − a )dont on d´eduit que a n ≥ (cid:0) C (cid:1) n − ( a − a ) + a , et donc que H ≥ Ent( X, d ) = lim n → + ∞ (cid:18) nR ′ ln (cid:0) µ Γ x (cid:0) B X ( x, n R ′ ) (cid:1)(cid:1)(cid:19) = lim n → + ∞ (cid:18) nR ′ ln ( a n ) (cid:19) ≥ R ′ ln (cid:18) C (cid:19) . On en conclut que µ Γ x (cid:0) B X ( x, R ′ ) (cid:1) µ Γ x (cid:16) B (cid:0) x , R ′ (cid:1)(cid:17) ≤ e HR ′ ; pour tout r ≥ D + 2 δ ) , en posant R ′ = r , nous en d´eduisons que µ Γ x (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) µ Γ x (cid:16) B (cid:0) x, r (cid:1)(cid:17) ≤ e Hr ≤ e Hr .En it´erant et en rempla¸cant successivement r par r , r , . . . , (cid:0) (cid:1) r , nous en d´eduisons que µ Γ x (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) ≤ e (cid:16) + ... + ( ) (cid:17) Hr ≤ e Hr , ce qui conclut. (cid:3) Rappelons que, `a toute isom´etrie hyperbolique γ d’un espace δ − hyperbolique ( X, d ) , on associe sa fonc-tion rayon de d´eplacement x R γ ( x ) := Min k ∈ N ∗ d ( x, γ k x ) (voir la D´efinition 4.2), son d´eplacementminimum s ( γ ) := inf x ∈ X d ( x, γ x ) et son d´eplacement moyen ℓ ( γ ) := lim n → + ∞ d ( x, γ n x ) /n (voir lesD´efinitions 8.17). Rappelons aussi que nous avons d´efini les domaines de Margulis M R ( γ ) comme l’en-semble des points x tels que R γ ( x ) ≤ R (voir la D´efinition 4.5 et la Remarque 4.6). Si γ est de typehyperbolique, rappelons que G ( γ ) est l’ensemble des g´eod´esiques orient´ees joignant ses points fixes γ − et γ + , que M ( γ ) est la r´eunion de ces g´eod´esiques, et que M min ( γ ) est l’ensemble des points o`u lafonction x d ( x, γ x ) atteint son minimum (pour toutes ces notions, voir les D´efinitions 4.1). Le but de cette sous-section est de prouver le Th´eor`eme 5.3. Pour tout espace m´etrique δ − hyperbolique non ´el´ementaire ( X, d ) , pour touteaction propre par isom´etries d’un groupe Γ sur ( X, d ) , si le quotient Γ \ X est de diam`etremajor´e par D , une (au moins) des deux propri´et´es ci-dessous est v´erifi´ee :— soit Ent( X, d ) > δ ,— soit ℓ ( γ ) > − δ M e − M pour tous les ´el´ements γ de Γ ∗ qui ne sont pas de torsion,o`u M := Max (cid:2) (cid:0) Dδ + 2 (cid:1) , (cid:3) . Dans le cas δ − hyperbolique et cocompact, nous avons vu (cf. le Th´eor`eme 5.1) que la constantede doublement est contrˆol´ee pour les boules de rayon sup´erieur `a 10( D + 2 δ ) , le Lemme 4.15implique alors le Lemme 5.4. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 5.3, pour tout ´el´ement γ de Γ ∗ qui n’est pas detorsion et pour tout point x ∈ X v´erifiant R γ ( x ) ≥ D + 2 δ ) , on a : i) pour tout p ∈ N ∗ (cid:8) k ∈ Z : d (cid:0) x , γ k x (cid:1) < p R γ ( x ) (cid:9) ≤ p e 16 Ent( X,d )(2 p − R γ ( x ) . (ii) pour tout point y ∈ X et pour tout R ≥ R γ ( y ) { k ∈ Z : d (cid:0) y, γ k y (cid:1) < R } ≤ (cid:18) R + 2 d ( x , y ) R γ ( x ) (cid:19) ln 3ln 2 e Ent( X,d ) ( R +2 d ( x ,y )) , (iii) pour tout point y ∈ X tel que R γ ( y ) ≤ R γ ( x ) d ( x , y ) R γ ( x ) ≥ ln (cid:18) − (cid:18) (cid:20) R γ ( x ) R γ ( y ) (cid:21) + 1 (cid:19)(cid:19) 65 Ent( X, d ) · R γ ( x ) + 14 − . Preuve : Le Th´eor`eme 5.1 assure alors qu’on a µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x , R ) (cid:1) ≤ e Ent( X,d ) R pour tout R ≥ D + 2 δ ) ; on peut donc appliquer le Lemme 4.15 (i), (ii) et (iii) (en affectant respective-ment aux param`etres r , C et α du Lemme 4.15 les valeurs 20( D + 2 δ ) , 3 et Ent( X, d ) ),qui d´emontrent respectivement les propri´et´es (i), (ii) et (iii) du Lemme 5.4. (cid:3) Le lemme suivant, bien qu’assez trivial, clarifiera la situation et ´evitera de r´ep´eter cet argumentqui sera souvent utilis´e ; son but est de montrer que, lorsqu’un sous-groupe agit proprement surun espace Gromov-hyperbolique ( X, d ) , la plupart des propri´et´es de cette action se d´eduisentdes propri´et´es analogues de son image dans le groupe des isom´etries de ( X, d ) , plus pr´ecis´ement,on a : Lemme 5.5. Sur tout espace Gromov-hyperbolique ( X, d ) , toute action propre par isom´etriesd’un groupe Γ se fait via une repr´esentation ̺ : Γ → Isom ( X, d ) qui a les propri´et´es suivantes :(i) Ker ̺ est un sous-groupe normal fini de Γ ,(ii) le groupe ̺ (Γ) est un sous-groupe discret de Isom ( X, d ) ,(iii) une mesure µ sur X est ̺ (Γ) − invariante si et seulement si elle est Γ − invariante, parcons´equent l’entropie est insensible au fait que l’action de groupe consid´er´ee soit celle de Γ ou de ̺ (Γ) ,(iv) ̺ (Γ) \ X = Γ \ X , par cons´equent ̺ (Γ) \ X est compact et de diam`etre born´e par D si etseulement si Γ \ X est de diam`etre born´e par D ,(v) pour tout γ ∈ Γ ∗ , ̺ ( γ ) est de torsion si et seulement si γ est de torsion, γ est de typehyperbolique si et seulement si ̺ ( γ ) est une isom´etrie hyperbolique.(vi) pour tout γ ∈ Γ ∗ , ℓ (cid:0) ̺ ( γ ) (cid:1) = ℓ (cid:0) γ (cid:1) .Preuve : (i) est une cons´equence imm´ediate du fait que, puisque l’action est propre, l’ensembledes γ ∈ Γ tels que d ( x, γ x ) = 0 est fini. (ii) d´ecoule imm´ediatement du Lemme 8.11 et du faitque l’action de ̺ (Γ) sur ( X, d ) est fid`ele (par construction) et propre.Si Γ \ X est de diam`etre born´e par D , il est compact d’apr`es le Lemme 8.12 (ii). Les propri´et´es(iii) et (iv) ´etant de ce fait ´evidentes, d´emontrons (v) : en effet, γ n = e implique que ̺ ( γ ) n =id X ; r´eciproquement ̺ ( γ ) n = id X si et seulement si γ n ∈ Ker ̺ , ce qui implique qu’il existe desentiers distincts p, q tels que γ np = γ nq (en vertu de la finitude de Ker ̺ ), donc que γ est detorsion. Il s’ensuit que ̺ ( γ ) est de torsion si et seulement si γ est de torsion. Enfin, par d´efinition,pour tout γ ∈ Γ ∗ et tout k ∈ Z , on a γ k x := ̺ ( γ ) k x , ce qui prouve d’une part que γ est detype hyperbolique si et seulement si ̺ ( γ ) l’est et d’autre part que d ( x, γ k x ) = d ( x, ̺ ( γ ) k x ) ; endivisant par k on obtient, `a la limite quand k → + ∞ , ℓ (cid:0) ̺ ( γ ) (cid:1) = ℓ (cid:0) γ (cid:1) . (cid:3) Lemme 5.6. Sous les hypoth`eses et notations du Th´eor`eme 5.3, pour tout ´el´ement γ de Γ ∗ quin’est pas de torsion, si on pose R := δ · M , pour tout point x ∈ X tel que R γ ( x ) ≥ R (detels points existent), nous avons les r´esultats suivants :(i) il existe un entier k > tel que R γ ( x ) = d ( x , γ k x ) et alors Min (cid:18) R γ ( x ) k ℓ ( γ ) ; 2 exp (cid:18) R γ ( x )12 δ (cid:19)(cid:19) + 1 < e 16 Ent( X,d ) R γ ( x ) , ii) si de plus Ent( X, d ) ≤ δ , alors k ℓ ( γ ) ≥ − R γ ( x ) e − Rγ ( x δ ,(iii) pour tout z ∈ X et tout R ≥ (cid:0) d ( x , z ) + d ( z, γ z ) (cid:1) , on a : Ent( X, d ) ≤ δ = ⇒ ℓ ( γ ) R γ ( x ) > − (cid:18) R + 2 d ( x , z ) R γ ( x ) (cid:19) − e − Ent( X,d ) ( R +2 d ( x ,z )) . Preuve : Si ̺ est la repr´esentation de Γ dans Isom( X, d ) associ´ee `a l’action consid´er´ee, leLemme 5.5 prouve que l’action du groupe ̺ (Γ) sur ( X, d ) v´erifie ´egalement les hypoth`eses duTh´eor`eme 5.3 ; de plus, pour tout γ ∈ Γ ∗ , si γ n’est pas de torsion, alors ̺ ( γ ) n’est pas detorsion et v´erifie ℓ (cid:0) ̺ ( γ ) (cid:1) = ℓ (cid:0) γ (cid:1) et R ̺ ( γ ) ( x ) = R γ ( x ) pour tout x ∈ X . Ceci prouve que, pourd´emontrer le Lemme 5.6 pour toute action d’un groupe Γ v´erifiant les hypoth`eses du Th´eor`eme5.3, il suffit de le d´emontrer lorsque Γ est un sous-groupe de Isom( X, d ) v´erifiant les hypoth`esesdu Th´eor`eme 5.3. Nous supposerons donc dor´enavant que Γ est un sous-groupe de Isom ( X, d ) .Preuve de (i) : Γ \ X est alors compact d’apr`es le Lemme 8.12 (ii) et la Proposition 8.22 (ii) assureque γ n’agit pas par isom´etrie parabolique ; comme γ n’est pas de torsion, il n’est pas elliptiqued’apr`es la Remarque 8.14 (i)) et γ est automatiquement une isom´etrie de type hyperbolique.Le Lemme 4.7 ´etablit alors l’existence de points x ∈ X tels que R γ ( x ) ≥ R . L’action ´etantpropre, il existe un entier k > d ( x , γ k x ) = R γ ( x ) ; comme le Lemme 8.18 (iii)donne, pour tout n ∈ N ∗ , d ( x , γ k n x ) ≤ R γ ( x ) + ( n − ℓ ( γ k ) + 4 δ ln( n )ln(2) , (14)on obtient { n ∈ N ∗ : d ( x , γ k n x ) < R γ ( x ) } ≥ (cid:26) n ∈ N ∗ : ( n − k ℓ ( γ ) ≤ R γ ( x )2 et 4 δ ln( n )ln(2) < R γ ( x )2 (cid:27) ≥ Min (cid:20) R γ ( x )2 k ℓ ( γ ) (cid:21) ; e R γ ( x ) ln 28 δ − > Min R γ ( x )2 k ℓ ( γ ) ; e R γ ( x )12 δ , (15) o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que, puisque R γ ( x ) ≥ R ≥ δ , on a : e R γ ( x ) ln 2 / (8 δ ) − e R γ ( x ) / (12 δ ) = e R γ ( x ) / (12 δ ) (cid:16) e Rγ ( x δ ( ln 28 − ) − (cid:17) ≥ e (cid:16) e ( ln 28 − ) − (cid:17) > . Par ailleurs, la propri´et´e (i) du lemme 5.4 donne (cid:8) k ∈ Z : d (cid:0) x , γ k x (cid:1) < R γ ( x ) (cid:9) ≤ e 16 Ent( X,d ) R γ ( x ) . La propri´et´e (i) d´ecoule de cette derni`ere in´egalit´e et de (15). Preuve de (ii) : Si Ent( X, d ) ≤ δ , en rappelant qu’il existe un point x ∈ X tel que R γ ( x ) ≥ R et que, dans ce cas, R γ ( x )24 δ ≥ R δ ≥ > 12 ln 3 , la propri´et´e (i) donne :Min R γ ( x ) k ℓ ( γ ) ; 2 e R γ ( x )12 δ + 1 < e 16 Ent( X,d ) R γ ( x ) < e R γ ( x )93 δ < e R γ ( x )12 δ , Ceci prouve que R γ ( x ) k ℓ ( γ ) < e R γ ( x )93 δ et ach`eve de d´emontrer (ii). Preuve de (iii) : Pour simplifier, nous noterons dans cette preuve H := Ent( X, d ) , R ′ := d ( x , z )et A := d ( z, γ z ) . Le Lemme 8.18 (iii) assure que, pour tout k ∈ N , d ( z, γ k z ) ≤ d ( z, γ z ) + ( k − ℓ ( γ ) + 4 δ ln( k )ln(2) ≤ A + ( k − ℓ ( γ ) + 4 δ ln( k )ln(2) ;31uisque R > R ′ + A ) , ceci implique que { k ∈ N : d (cid:0) z, γ k z (cid:1) < R } ≥ (cid:26) k ∈ N : k < R − R ′ − A ℓ ( γ ) + 1 et ln( k )ln(2) ≤ R + 2 R ′ δ (cid:27) , et il s’ensuit que { k ∈ Z : d (cid:0) z, γ k z (cid:1) < R } > Min (cid:18) R − R ′ − Aℓ ( γ ) , · ( R +2 R ′ ) / δ − (cid:19) . Par d´efinition de R , on a R ≥ d ( z, γ z ) ≥ R γ ( z ) , ce qui nous autorise `a appliquer l’in´egalit´e (ii)du Lemme 5.4 qui, reli´ee `a l’in´egalit´e qui pr´ec`ede (en remarquant que 2 R +2 R ′ δ est sup´erieur `a 1 ),donne : Min (cid:18) R − R ′ − Aℓ ( γ ) , ( R +2 R ′ ) / δ (cid:19) < (cid:18) R + 2 R ′ R γ ( x ) (cid:19) ln 3ln 2 e H ( R +2 R ′ ) . (16)L’in´egalit´e triangulaire assure que R γ ( x ) ≤ R ′ + A donc, par le choix de la valeur de R , on a2( R + 2 R ′ ) ≥ R ′ + 6 A > R γ ( x ) , et par cons´equent R γ ( x )2( R + 2 R ′ ) ln (cid:18) R + 2 R ′ ) R γ ( x ) (cid:19) ≤ ln 55 .De ceci et du fait que H ≤ δ , nous d´eduisons les deux in´egalit´es65128 R + 2 R ′ δ ln 2 > H ( R + 2 R ′ ) , R + 2 R ′ δ ln 2 > 12 ln 3ln 2 ln (cid:18) R + 2 R ′ ) R γ ( x ) (cid:19) , qui impliquent que 2 ( R +2 R ′ ) / δ > (cid:18) R + 2 R ′ R γ ( x ) (cid:19) ln 3ln 2 e H ( R +2 R ′ ) et, en reportant dans (16), nous en d´eduisons que R − R ′ − Aℓ ( γ ) < (cid:18) R + 2 R ′ R γ ( x ) (cid:19) ln 3ln 2 e H ( R +2 R ′ ) ;comme nous avons vu que R γ ( x ) ≤ R ′ + A , ceci prouve (iii) en prouvant que : ℓ ( γ ) R γ ( x ) ≥ ℓ ( γ )2( R − R ′ − A ) > − (cid:18) R + 2 R ′ R γ ( x ) (cid:19) − e − H ( R +2 R ′ ) . (cid:3) Preuve du Th´eor`eme 5.3 : Nous avons d´ej`a vu (cf. le d´ebut de la preuve du Lemme 5.6) quel’image ̺ (Γ) de Γ dans Isom( X, d ) est un groupe dont l’action sur ( X, d ) v´erifie ´egalementles hypoth`eses du Th´eor`eme 5.3. De plus, si les conclusions du Th´eor`eme 5.3 sont prouv´ees pourl’action du groupe ̺ (Γ) , elles le sont automatiquement pour l’action du groupe Γ : en effet, lesentropies associ´ees `a ces deux actions sont identiques (cf. le Lemme 5.5 (iii)), de plus le Lemme5.5 (v) et (vi) implique que, si γ n’est pas de torsion, alors ̺ ( γ ) n’est pas de torsion et v´erifie ℓ (cid:0) ̺ ( γ ) (cid:1) = ℓ (cid:0) γ (cid:1) . Pour d´emontrer le Th´eor`eme 5.3 pour toute action d’un groupe Γ (v´erifiantles hypoth`eses), il suffit de le d´emontrer lorsque Γ est un sous-groupe de Isom( X, d ) . Nous supposerons donc dor´enavant que Γ est un sous-groupe de Isom ( X, d ) . Γ \ X est alors compact d’apr`es le Lemme 8.12 (ii). Pour simplifier, posons H := Ent( X, d ) . Si H > δ ou si ℓ ( γ ) > Max (cid:18) δ , − D (cid:19) > − δ M pour tous les ´el´ements γ de Γ ∗ quine sont pas de torsion, le Th´eor`eme 5.3 est trivialement v´erifi´e, c’est pourquoi nous supposeronsdor´enavant (en raisonnant par l’absurde) que H ≤ δ et qu’il existe des ´el´ements γ ∈ Γ ∗ qui ne sont pas de torsion et v´erifient ℓ ( γ ) ≤ Max (cid:18) δ , − D (cid:19) ; fixons un quelconque de32es ´el´ements, not´e γ . La Proposition 8.22 (ii) assure que γ n’est pas une isom´etrie parabolique ;comme γ n’est pas de torsion, il n’est pas elliptique d’apr`es la Remarque 8.14 (i)) et γ estautomatiquement une isom´etrie de type hyperbolique et v´erifie donc ℓ ( γ ) > R := δ M = Max [20 ( D + 2 δ ) , δ ] . En vertu du Lemme 8.20 (i), la majorationci-dessus de ℓ ( γ ) implique que s ( γ ) := inf x ∈ X d ( x, γ x ) ≤ ℓ ( γ ) + δ ≤ δ + Max (cid:18) δ , − D (cid:19) < R , (17)Les lemmes 4.8 (ii) et 4.7 assurent que le domaine de Margulis M R ( γ ) et X \ M R ( γ ) sont nonvides ; de ceci, le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires d´eduit l’existence d’un point x ∈ X telque R γ ( x ) := Min k ∈ N ∗ d ( x , γ k x ) = R ; fixons un tel point x . Notons k un entier positiftel que ce minimum soit atteint (i. e. d ( x , γ k x ) = R ) ; le Lemme 5.6 (ii) assure alors que k ℓ ( γ ) ≥ ε ′ o`u ε ′ := 3 − R e − R δ . (18)Notons k le plus petit entier positif tel que k k ℓ ( γ ) > δ , on a alors1 ≤ k ≤ (cid:20) δε ′ (cid:21) + 1 et ( k − k ℓ ( γ ) ≤ δ , (19)o`u la premi`ere propri´et´e d´ecoule de (18) et la seconde de la d´efinition de k .Posons g := γ k k , l’in´egalit´e (14) assure que d ( x , g x ) ≤ R + ( k − k ℓ ( γ ) + 4 δ ln( k )ln(2) ≤ R k − k ℓ ( γ ) + 45 δ , (20)o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que, en vertu de (19), un calcul direct donne :ln( k ) ≤ ln δR e R δ ≤ ln δR e R δ + 3 − R δ e − R δ , dont on d´eduit que4 ln( k )ln(2) ≤ (cid:18) 13 ln 3 − ln 720 + R δ (cid:18) 293 + 3 − (cid:19)(cid:19) ≤ 45 + R δ . Rappelons que l’action de γ sur X ∪ ∂X admet exactement deux points fixes γ − , γ + ∈ ∂X ;comme M ( g ) = M ( γ ) (car γ − et γ + sont aussi les points fixes de g ) et comme ℓ ( g ) = k k ℓ ( γ ) > δ , le Lemme 4.4 donne : d ( x , M ( γ )) = d ( x , M ( g )) ≤ (cid:0) d ( x , g x ) − ℓ ( g ) (cid:1) + 3 δ ≤ (cid:18) R − k ℓ ( γ ) (cid:19) + 512 δ (21)o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule de la d´efinition de g et de (20).Fixons n’importe quelle g´eod´esique c ∈ G ( γ ) , telle que la distance de x `a l’image de c soitmajor´ee par d ( x , M ( γ )) + ε , notons c ( t k ) un projet´e de g k x sur l’image de c . Pour tout k ∈ Z tel que d (cid:0) c ( t k ) , c ( t k +1 ) (cid:1) > δ on a, d’apr`es l’in´egalit´e (20) et le Lemme 8.8,9 R k − k ℓ ( γ ) + 51 δ ≥ d ( x , g x ) + 6 δ = d (cid:0) g k x , g k +1 x (cid:1) + 6 δ ≥ d (cid:0) g k x , c ( t k ) (cid:1) + d (cid:0) c ( t k ) , c ( t k +1 ) (cid:1) + d (cid:0) c ( t k +1 ) , g k +1 x (cid:1) ≥ d ( x , M ( γ )) + d (cid:0) c ( t k ) , c ( t k +1 ) (cid:1) , o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que g − k ◦ c et g − ( k +1) ◦ c sont deux g´eod´esiques de G ( γ ) .Pour tout k ∈ Z , on a donc d (cid:0) c ( t k ) , c ( t k +1 ) (cid:1) ≤ Max (cid:18) R k − k ℓ ( γ ) + 51 δ − d ( x , M ( γ )) , δ (cid:19) =33 9 R k − k ℓ ( γ ) + 51 δ − d ( x , M ( γ )) , o`u la derni`ere ´egalit´e se d´eduit de l’in´egalit´e (21) et du fait que k k ℓ ( γ ) > δ . Nous en d´eduisons ∀ t ∈ R ∃ k ∈ Z tel que d (cid:0) c ( t ) , c ( t k ) (cid:1) ≤ R + 12 ( k − k ℓ ( γ ) + 512 δ − d ( x , M ( γ )) . (22)Par ailleurs, si c ( t ′ k ) est un projet´e de g k ◦ c ( t ) sur l’image de la g´eod´esique c , les g´eod´esiques c et g k ◦ c joignant les mˆemes points fixes γ − et γ + , on peut leur appliquer la Proposition 8.9(i), ce qui implique que d (cid:0) g k ◦ c ( t ) , c ( t ′ k ) (cid:1) ≤ δ et donc que, pour tout k ∈ Z d ( g k x , c ( t k ) (cid:1) ≤ d ( g k x , c ( t ′ k ) (cid:1) ≤ d ( g k x , g k ◦ c ( t ) (cid:1) + d (cid:0) g k ◦ c ( t ) , c ( t ′ k ) (cid:1) ≤ d ( x , c ( t ) (cid:1) + 2 δ ≤ d ( x , M ( γ )) + 2 δ + ε De ceci et de la Propri´et´e (22), nous d´eduisons que, pour tout t ∈ R , il existe un k ∈ Z tel que d (cid:0) c ( t ) , g k x (cid:1) ≤ d (cid:0) c ( t ) , c ( t k ) (cid:1) + d (cid:0) c ( t k ) , g k x (cid:1) ≤ R + 12 ( k − k ℓ ( γ ) + 512 δ + 2 δ + ε , ce qui donne, en utilisant la derni`ere des in´egalit´es (19) ∀ t ∈ R min k ∈ Z d (cid:0) c ( t ) , g k x (cid:1) ≤ R + 29 δ + ε < R + ε . (23)Remarquons maintenant que, comme γ est une isom´etrie hyperbolique, l’ ensemble M min ( γ )est ferm´e et non vide d’apr`es le Lemme 4.10 (iv). Fixons n’importe quel point y ∈ M min ( γ ) etconsid´erons des projet´es c ( t ) et c ( t ′ ) de y et γ y (respectivement) sur l’image de la g´eod´esique c introduite ci-dessus et fixons k ∈ Z tel que d (cid:0) c ( t ) , g k x (cid:1) ≤ R + 29 δ + ε (un tel nombreexiste d’apr`es (23)) ; alors nous avons deux possibilit´es :— Premier cas : Si d ( c ( t ) , c ( t ′ )) > δ , en y ajoutant l’in´egalit´e triangulaire puis le Lemme8.8, nous en d´eduisons : d ( y, c ( t ))+3 δ + d ( y, c ( t ′ )) − d ( y, γ y ) < d ( y, c ( t ))+ d ( c ( t ) , c ( t ′ ))+ d ( γ y, c ( t ′ )) ≤ d ( y, γ y )+6 δ ;en remarquant que d ( y, c ( t ′ )) ≥ d ( y, c ( t )) + d ( c ( t ) , c ( t ′ )) − δ > d ( y, c ( t )) + δ (d’apr`esle Lemme 8.7) et que d ( y, γ y ) = s ( γ ) < R (d’apr`es l’in´egalit´e (17)), ceci implique que d ( y, c ( t )) < s ( γ ) + δ < R + δ . De ceci, de l’in´egalit´e triangulaire, de la d´efinition de k (par la propri´et´e (23)) et du fait que 29 δ + δ ≤ R (par d´efinition de R ), nousd´eduisons : d ( x , g − k y ) = d ( g k x , y ) ≤ d ( g k x , c ( t )) + d ( c ( t ) , y ) < R + ε . Comme M min ( γ ) est stable sous l’action des puissances de γ , donc sous l’action despuissances de g , le point x = g − k y appartient `a M min ( γ ) ; on d´eduit donc de la derni`erein´egalit´e (en faisant tendre ε vers z´ero) qu’il existe un point x ∈ M min ( γ ) tel que d ( x , x ) ≤ R (24)Fixons ce point x . Nous pouvons appliquer le Lemme 5.6 (iii) aux points x et x , enremarquant que R γ ( x ) = R et en y posant R := 3 (cid:0) d ( x , x ) + d ( x, γ x ) (cid:1) ; d’apr`es lesestim´ees (24), puis (17), on a : R ≤ R + 3 s ( γ ) ≤ (cid:18) (cid:19) R < R et,d’apr`es (24), R + 2 d ( x , x ) < R + 5041 R < R . Comme nous sommes dans le caso`u Ent( X, d ) ≤ δ , l’application du Lemme 5.6 (iii) donne : ℓ ( γ ) R > − (cid:18) R + 2 d ( x , x ) R (cid:19) − e − Ent( X,d ) ( R +2 d ( x ,x )) − (cid:18) (cid:19) e − R δ > − e − R δ , — Second cas : Si d ( c ( t ) , c ( t ′ )) ≤ δ , notons c ( t ”) un projet´e de γ ◦ c ( t ) sur l’image dela g´eod´esique c , l’in´egalit´e triangulaire donne alors : d (cid:0) c ( t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≤ | t − t ′ | + | t ′ − t ” | + d (cid:0) c ( t ”) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) (25)— Si | t ′ − t ” | ≤ δ , nous reportons dans l’in´egalit´e (25) les hypoth`eses faites sur d ( c ( t ) , c ( t ′ ))et sur | t ′ − t ” | ainsi que l’in´egalit´e d (cid:0) γ ◦ c ( t ) , c ( t ”) (cid:1) = inf s ∈ R d (cid:0) γ ◦ c ( t ) , c ( s ) (cid:1) ≤ δ (cette derni`ere in´egalit´e d´ecoulant de la Proposition 8.9 (i), appliqu´ee aux deuxg´eod´esiques c et γ ◦ c qui joignent la mˆeme paire de points fixes γ − et γ + ) ; nousobtenons : d (cid:0) c ( t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≤ δ .— Si | t ′ − t ” | > δ , le Lemme 8.8 donne : d (cid:0) y , c ( t ) (cid:1) + 6 δ = d (cid:0) γ y , γ ◦ c ( t ) (cid:1) + 6 δ ≥ d (cid:0) γ y , c ( t ′ ) (cid:1) + | t ′ − t ” | + d (cid:0) c ( t ”) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≥ d (cid:0) y , c ( t ′ ) (cid:1) − d ( y, γ y ) + | t ′ − t ” | + d (cid:0) c ( t ”) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≥ d (cid:0) y , c ( t ) (cid:1) + | t − t ′ | − δ − s ( γ ) + | t ′ − t ” | + d (cid:0) c ( t ”) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) , o`u la derni`ere in´egalit´e est une cons´equence du Lemme 8.7. En reportant cette estim´eedans l’in´egalit´e (25), nous obtenons que d (cid:0) c ( t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≤ δ + s ( γ ) < R 719 + 8 δ .Dans ce second cas, on a donc toujours d (cid:0) c ( t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) < R 719 + 8 δ < R 79 (26)Comme g est une puissance de γ , on a, pour tout p ∈ Z ∗ , d (cid:0) γ p ( g k x ) , g k x (cid:1) = d (cid:0) γ p x , x (cid:1) , et par cons´equent R γ ( g k x ) = R γ ( x ) = R ; nous pouvons donc appliquerle Lemme 5.6 (iii) aux points g k x et c ( t ) , en y posant R := 3 (cid:2) d (cid:0) g k x , c ( t ) (cid:1) + d (cid:0) c ( t ) , γ c ( t ) (cid:1)(cid:3) ;de la d´efinition de k (en vertu de la propri´et´e (23)) et de l’in´egalit´e (26) on d´eduit : R < (cid:18) R + R 79 + ε (cid:19) < R + 3 ε . De ceci et de la d´efinition de k (en vertu de(23)) on tire : R + 2 d (cid:0) g k x , c ( t ) (cid:1) < R + 5 ε . Comme nous sommes dans le cas o`uEnt( X, d ) ≤ δ , l’application du Lemme 5.6 (iii) donne : ℓ ( γ ) R > − R + 2 d (cid:0) g k x , c ( t ) (cid:1) R ! − e − Ent( X,d ) ( R +2 d ( g k x ,c ( t ))) > − (cid:18) εR (cid:19) − e − R δ + εδ , et on en d´eduit, en faisant tendre ε vers z´ero (et en remarquant que la marge prise dansles calculs fait que l’in´egalit´e reste stricte `a la limite), que ℓ ( γ ) R > − e − R δ . (cid:3) Pour tout espace m´etrique δ − hyperbolique non ´el´ementaire ( X, d ) , pour toutgroupe Γ , pour toute action propre par isom´etries de ce groupe sur ( X, d ) , si le quotient Γ \ X est de diam`etre major´e par D , alors Ent( X, d ) ≥ ln 2 L + 14 δ + 4 D ≥ ln 216 D + 26 δ , o`u L = inf { ℓ ( γ ) : γ ´el´ement de type hyperbolique de Γ ∗ } . Corollaire 5.8. Tout groupe Γ , non-´el´ementaire, muni d’un syst`eme fini Σ de g´en´erateurs quien fait un groupe δ -hyperbolique, v´erifie Ent(Γ , Σ) ≥ ln 226 δ + 16 . Afin de d´emontrer ces ´enonc´es, commen¸cons par ´etablir le Lemme suivant : Lemme 5.9. Sous les hypoth`eses de la Proposition 5.7, il existe un x ∈ X et un γ ∈ Γ , qui estde type hyperbolique et tel que d ( x, γ x ) ≤ D + δ ) .Preuve : Posons R := 5 D + 6 δ . Consid´erons deux points quelconques du bord id´eal et uneg´eod´esique c qui joint ces deux points ; fixons une origine x := c (0) quelconque sur cetteg´eod´esique, les points y := c ( R ) et z := c ( − R ) soient `a distance au plus D de Γ x , ce quiimplique qu’il existe g, h ∈ Γ tels que R − D ≤ d ( x, g x ) ≤ R + D , R − D ≤ d ( x, h x ) ≤ R + D et 2 R − D ≤ d ( g x, h x ) ≤ R + 2 D . Consid´erons le produit de Gromov de point-base x (voirsa d´efinition au d´ebut de la section 8.1), nous obtenons (cid:0) g x | h x (cid:1) x := 12 (cid:0) d ( x, g x ) + d ( x, h x ) − d ( g x, h x ) (cid:1) ≤ D , ce qui implique queMax [ d ( x, g x ) ; d ( x, h x )] ≥ R − D = 4 D + 6 δ ≥ (cid:0) g x | h x (cid:1) x + 6 δ . Un des trois ´el´ements g , h ou gh est de type hyperbolique : en effet, si g et h ne sont pasde type hyperbolique, la derni`ere in´egalit´e ci-dessus assure que les hypoth`eses du Lemme 9.2.3page 98 de [CDP90] sont v´erifi´ees, et ce Lemme implique alors que gh est de type hyperbolique.Comme d ( x, gh x ) ≤ d ( x, g x ) + d ( x, h x ) ≤ R + 2 D , on en d´eduit qu’il existe toujours un γ ∈ Γ ∗ qui est de type hyperbolique et v´erifie d ( x, γ x ) ≤ R + 2 D = 12 ( D + δ ) . (cid:3) Preuve de la Proposition 5.7 : Le Lemme 5.9 prouve qu’on peut fixer x ∈ X et un γ ∈ Γ , quiest de type hyperbolique et tel que d ( x, γ x ) ≤ D + δ ) , ce qui implique en particulier que L est correctement d´efini et que L ≤ D + δ ) . Ceci prouve aussi que, dans la Proposition 5.7, laseconde in´egalit´e est une cons´equence directe de la premi`ere.Reste `a prouver la premi`ere in´egalit´e : la propret´e de l’action implique l’existence d’un σ detype hyperbolique tel que ℓ ( σ ) = L > N le plus petit entier strictement sup´erieur `a13 δL et posons a := σ N . Fixons un point x ∈ M min ( γ ) , en nous appuyant sur le Lemme 8.20(i), nous obtenons :13 δ < N L = ℓ ( a ) ≤ d ( x , a x ) = s ( a ) ≤ ℓ ( a ) + δ = N L + δ ≤ L + 14 δ . (27)Un r´esultat de M. Gromov ([Gro07] Proposition 3.22, dont la preuve est ´ecrite pour des vari´et´esriemanniennes, mais qui s’adapte facilement aux espaces m´etriques connexes par arcs ) d´emontre 8. En effet, la connexit´e par arcs assure l’existence, pour tout γ ∈ Γ et pour tout ε > { y , y , . . . , y N } tel que y = y , y N = γ y et d ( y i − , y i ) < ε pour tout i ∈ { , . . . , N } . On choisit γ , γ , . . . , γ N ∈ Γ tels que d ( y i , γ i y ) ≤ D , en choisissant γ = e et γ N = γ ; on a alors γ = σ · . . . · σ N , o`u σ i = γ − i − · γ i appartient `a Σ D + ε ( y ) et la finitude de Σ D ( y ) prouve qu’il est possible de choisir ε suffisammentpetit pour que Σ D + ε ( y ) co¨ıncide avec Σ D ( y ) . D ( x ) := { σ ∈ Γ ∗ : d ( x , σx ) ≤ D } est un syst`eme de g´en´erateurs de Γ ; la propret´ede l’action assure que ce syst`eme g´en´erateur est fini.Ce r´esultat prouve qu’il est possible de trouver un b ∈ Σ D ( x ) qui ne laisse pas globalementinvariant l’ensemble { a − , a + } des points fixes de a (sinon tout ´el´ement de Γ laisserait globa-lement invariant l’ensemble { a − , a + } et Γ serait ´el´ementaire). Fixons ce choix de b ; si b − ab laissait globalement invariant l’ensemble { a − , a + } , alors { a − , a + } serait l’ensemble des pointsfixes de b − a b et co¨ınciderait donc avec { b ( a − ) , b ( a + ) } , ce qui a ´et´e exclu par choix de b , donc b − ab ne laisse pas globalement invariant l’ensemble des points fixes de a . Ce dernier r´esultat,la Proposition 8.21 (v) et le fait que a et b − ab sont tous deux de type hyperbolique assurentque le sous-groupe Γ ′ := h a, b − ab i engendr´e par Σ ′ = { a, a − , b − ab, b − a − b } n’est pas vir-tuellement cyclique ; de plus, comme ℓ ( a ) = ℓ ( b − ab ) > δ en vertu de (27), on peut appliquerla Proposition 6.7 qui d´emontre qu’un des deux semi-groupes engendr´es par { b − ab , a } ou par { b − ab , a − } est libre, ce qui implique que Ent(Γ ′ , Σ ′ ) ≥ ln 2 (en effet le nombre de mots delongueur k qu’on peut former en prenant les lettres dans Σ ′ est au moins ´egal `a 2 k ). D’autrepart, les in´egalit´es (27), puis l’in´egalit´e triangulaire, d´emontrent que d ( x , a x ) ≤ L + 14 δ etque d ( x , b − ab x ) ≤ d ( x , b x ) + d ( x , a x ) ≤ L + 14 δ + 4 D . De ce qui pr´ec`ede et du Lemme3.6 nous d´eduisons queEnt( X, d ) ≥ Ent(Γ ′ , Σ ′ )Max [ d ( x , a x ) ; d ( x , b − ab x )] ≥ ln 2 L + 14 δ + 4 D . (cid:3) Remarque 5.10. Nous aurions pu obtenir (par une preuve similaire `a celle que nous venons defaire) la Proposition 5.7 comme corollaire du Th´eor`eme 5.3, mais nous avons voulu souligner (parla simplicit´e de la d´emonstration de la Proposition 5.7 donn´ee ci-dessus compar´ee `a la difficult´ede la Preuve du Th´eor`eme 5.3) le fait que Th´eor`eme 5.3 est un r´esultat potentiellement beaucoupplus fort que la Proposition 5.7. En effet (si on suppose que l’entropie de ( X, d ) n’est pas minor´eepar 1750 δ ) d´emontrer la Proposition 5.7 revient `a prouver l’existence d’un ´el´ement sans torsion γ ∈ Γ ∗ tel que ℓ ( γ ) ≤ C ( δ, D ) , alors que le Th´eor`eme 5.3 ´etablit que tout ´el´ement sans torsion γ ∈ Γ ∗ v´erifie ℓ ( γ ) ≥ C ′ ( δ, D ) . Preuve du Corollaire 5.8 : Nous avons vu en section 2 que l’hypoth`ese de δ − hyperbolicit´e dugroupe signifie que le graphe de Cayley G Σ (Γ) , muni de la distance alg´ebrique d Σ est un espacem´etrique δ − hyperbolique ; l’action (par translation `a gauche) de Γ sur G Σ (Γ) est isom´etriqueet propre car les boules de ( G, d Σ ) sont de cardinal fini ; le fait que Σ est fini implique d’unepart que ( G Σ (Γ) , d Σ ) est un espace propre et d’autre part que le quotient Γ \G Σ (Γ) est dediam`etre major´e par D = 1 . Comme Γ n’est pas ´el´ementaire, son graphe de Cayley est unespace δ − hyperbolique non-´el´ementaire, et on peut appliquer la Proposition 5.7, qui donne :Ent(Γ , Σ) := Ent ( G Σ (Γ) , d Σ ) ≥ ln 216 D + 26 δ = ln 216 + 26 δ . (cid:3) Rappelons que nous nous int´eressons `a tout espace δ − hyperbolique (donc g´eod´esique et propre) ( X, d ) et `a toute action propre (par isom´etries) d’un groupe Γ sur ( X, d ) tels que l’entropie de ( X, d ) (pourau moins une mesure Γ − invariante) et le diam`etre de Γ \ X soient respectivement born´es par H et D .Dans les sous-sections qui suivent, `a toute donn´ee de ces trois valeurs positives δ , H et D on associera,sans qu’il soit n´ecessaire de le rappeler, les constantes universelles ε ( δ, H, D ) := R N (28) s ( δ, H, D ) := 2 · − e − ( N +10) (13 H R +3) R (29) o`u R := 20( D + 2 δ ) , o`u N := N (cid:16)h e H ( D +2 δ ) i + 1 (cid:17) et o`u la fonction N ( · ) est d´efinie auTh´eor`eme 5.11 qui suit. Rappelons ´egalement que, pour tout r > et tout x ∈ X , le sous-groupe de Γ engendr´e par les sous-ensemble fini Σ r ( x ) = { γ ∈ Γ ∗ : d ( x, γx ) ≤ r } est not´e Γ r ( x ) . .3.1 Un premier Lemme “`a la Margulis” sous hypoth`ese de doublement faible Dans le th´eor`eme qui suit, ´etant donn´es un groupe Γ et un sous ensemble B de Γ , on note B · B l’image de B × B par l’application ( γ, g ) γ · g . On notera donc B k l’ensemble B · . . . · B ( k fois). Th´eor`eme 5.11. (E. Breuillard, B. Green, T. Tao, cf. [BGT12] Corollary 11.2) Pour tout p ∈ N ∗ , il existe un entier positif N = N ( p ) (ne d´ependant que de p ) tel qu’on ait la propri´et´esuivante pour tout groupe G et tout syst`eme sym´etrique fini S de g´en´erateurs de G : s’il existeun sous-ensemble fini A de G contenant S N ( p ) tel que A · A ) ≤ p · A ) , alors G estvirtuellement nilpotent. Le corollaire suivant ´etablit la premi`ere ropri´et´e de Margulis (i. e. la virtuelle nilpotence dugroupe Γ ̺ ( x ) lorsque ̺ est plus petit qu’une constante universelle ̺ ) sous une hypoth`ese dedoublement faible. Ce corollaire est une version am´elior´ee du corollaire ´etabli par E. Breuillard,B. Green et T. Tao. L’am´elioration consiste `a remplacer l’hypoth`ese de “packing” (du type d´ecritdans la D´efinition 3.8) faite par E. Breuillard, B. Green et T. Tao par l’hypoth`ese de doublementfaible de la mesure de comptage d’une orbite donn´ee, qui est plus faible en vertu du Lemme3.12 et (plus g´en´eralement) en vertu du fait que, lorsqu’on compte le nombre maximal de boulesdisjointes de rayon r qu’on peut inclure dans une plus grosse boule, ce nombre est plus grandlorsqu’on ne met aucune condition sur la position des centres de ces boules que lorsqu’on astreintces centres `a ˆetre des points de l’orbite d’un groupe Γ . Corollaire 5.12. Pour toute donn´ee des param`etres r > et C > , pour tout espacem´etrique propre ( X, d ) et toute action propre (par isom´etries) d’un groupe Γ sur cet espace,pour tout point x ∈ X , si la mesure de comptage µ Γ x de l’orbite Γ · x v´erifie la condition de C − doublement pour toutes les boules de rayon r ∈ (cid:2) r , r (cid:3) centr´ees en x , alors le sous-groupe Γ ̺ ( x ) est virtuellement nilpotent pour tous les ̺ ≤ r N ([ C ] + 1) (o`u N ( • ) est d´efiniau Th´eor`eme 5.11). Dans le cas δ − hyperbolique (au sens de Gromov), nous en d´eduisons le Th´eor`eme 5.13. Pour tout espace m´etrique δ − hyperbolique ( X, d ) et toute action propre (parisom´etries) d’un groupe Γ sur cet espace tels que le diam`etre de Γ \ X et l’Entropie de ( X, d ) soient respectivement major´es par D et H , pour tout x ∈ X et tout ̺ ≤ ε ( δ, H, D ) , lesous-groupe Γ ̺ ( x ) est virtuellement cyclique.Preuve du Corollaire 5.12 : Dans cette preuve, le rˆole fondamental est jou´e d’abord par lesTh´eor`emes 5.1 et 5.11, et ensuite par la Proposition 3.19 (i) ; une fois admis ces trois r´esultats,la preuve suit celle du Corollary 11.17 de [BGT12], en posant G := Γ ̺ ( x ) et S := Σ ̺ ( x ) .D’apr`es la Proposition 3.19 (i), l’hypoth`ese de doublement faite sur l’orbite Γ · x de Γ impliqueque la mesure de comptage µ Gx de l’orbite G · x du sous-groupe G v´erifie µ Gx (cid:2) B X ( x , r ) (cid:3) µ Gx (cid:2) B X ( x , r ) (cid:3) ≤ µ Gx (cid:2) B X ( x , r ) (cid:3) µ Gx [ B X ( x , r )] ≤ C . (30)On applique le Th´eor`eme 5.11 en posant p = (cid:2) C (cid:3) + 1 , A := { γ ∈ G : d ( x , γx ) ≤ r } et ε ′ := r N ( p ) : l’in´egalit´e triangulaire et l’hypoth`ese ̺ ≤ ε ′ donnent S N ( p ) ⊂ Σ ε ′ ( x ) N ( p ) ⊂ A et A · A ⊂ { γ ∈ G : d ( x , γx ) ≤ r } ; l’in´egalit´e (30) permet d’en d´eduire que A · A ) A ) ≤ { γ ∈ G : d ( x , γx ) ≤ r } ) { γ ∈ G : d ( x , γx ) ≤ r } ) = µ Gx (cid:2) B X ( x , r ) (cid:3) µ Gx (cid:2) B X ( x , r ) (cid:3) ≤ C ≤ p ;le Th´eor`eme 5.11 implique alors que le sous-groupe G = Γ ̺ ( x ) engendr´e par S := Σ ̺ ( x ) estvirtuellement nilpotent. (cid:3) in de la preuve du Th´eor`eme 5.13 : Le Lemme 8.12 (ii) assure que Γ \ X est compact. Posons R := 20( D +2 δ ) et C = 3 e H ( D +2 δ ) ) . Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 5.13, le Th´eor`eme5.1 assure que, pour tout point x ∈ X et pour tout r ≥ R , la mesure de comptage µ Γ x del’orbite Γ x v´erifie µ Γ x (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) µ Γ x (cid:0) B X ( x, r ) (cid:1) ≤ e H r , donc que cette mesure v´erifie la conditionde C − doublement pour toutes les boules de rayon r ∈ (cid:2) R , R (cid:3) centr´ees en x . Comme ε ( δ, H, D ) est ´egal `a R N ([ C ] + 1) , le Corollaire 5.12 permet alors d’en d´eduire que, pour toutpoint x ∈ X et tout ̺ ≤ ε ( δ, H, D ) , Γ ̺ ( x ) est virtuellement nilpotent, donc virtuellementcyclique en vertu de la Proposition 8.22 (v). (cid:3) On d´eduit de ce qui pr´ec`ede la minoration suivante de la constante de Margulis L ( a, b ) (introduitedans la D´efinition 4.12) de toute paire d’´el´ements de Γ ∗ : Corollaire 5.14. Pour tout espace m´etrique δ − hyperbolique ( X, d ) et toute action propre (parisom´etries) d’un groupe Γ sur cet espace tels que le diam`etre de Γ \ X et l’Entropie de ( X, d ) soient respectivement major´es par D et H , toute paire { a, b } d’´el´ements hyperboliques de Γ ∗ qui n’engendre pas un groupe virtuellement cyclique v´erifie L ( a, b ) ≥ ε ( δ, H, D ) .Preuve : Posons ε := ε ( δ, H, D ) pour simplifier ; si L ( a, b ) < ε , il existe un point x et uncouple ( p, q ) ∈ Z ∗ × Z ∗ tels que d ( x, a p x ) < ε et d ( x, b q x ) < ε , donc tels que h a p , b q i ⊂ Γ ε ( x ) .Le Th´eor`eme 5.13 assurant que Γ ε ( x ) est alors virtuellement cyclique, il s’ensuit que le sous-groupe h a p , b q i est virtuellement cyclique, ce qui implique (d’apr`es la Proposition 8.21 (v)) que a p et b q ont les mˆemes points fixes sur le bord id´eal de X , donc que a et b ont les mˆemespoints fixes (d’apr`es la Remarque 8.14 (ii)), donc que tous les ´el´ements de h a, b i ont les mˆemespoints fixes, donc que h a, b i est virtuellement cyclique d’apr`es la Proposition 8.21 (ii), ce qui estcontraire `a l’hypoth`ese. On a donc L ( a, b ) ≥ ε . (cid:3) Sur tout espace m´etrique ( X, d ) , pour toute action propre (par isom´etries)d’un groupe Γ sur ( X, d ) , en tout point x ∈ X , d´efinissons— sys wt Γ ( x ) comme le minimum des d ( x, γ x ) quand γ parcourt l’ensemble des ´el´ements γ ∈ Γ ∗ qui ne sont pas de torsion,— la “ partie r − mince de X ”, d´efinie comme l’ensemble (ouvert) des x ∈ X tels que sys wt Γ ( x ) < r et not´ee X r ,— la “ partie r − ´epaisse de X ”, d´efinie comme le compl´ementaire de X r . Proposition 5.16. Pour tout espace m´etrique δ − hyperbolique non ´el´ementaire ( X, d ) et touteaction propre (par isom´etries) d’un groupe Γ sur cet espace tels que le diam`etre de Γ \ X etl’entropie de ( X, d ) soient respectivement major´es par D et H , pour tout r ≤ ε ( δ, H, D ) , lapartie r − mince X r de X n’est pas connexe ; en particulier il existe un point x ∈ X tel que sys wt Γ ( x ) ≥ ε ( δ, H, D ) .Si de plus Γ est sans torsion, alors il existe un point x ∈ X tel que Dias Γ ( X ) ≥ ε ( δ, H, D ) . Remarque 5.17. Lorsque le groupe Γ contient des ´el´ements de torsion, il est impossible d’ob-tenir une minoration universelle de la diastole (et a fortiori des systoles ponctuelle et globale)sous les hypoth`eses de la Proposition 5.16, comme le prouve le contre-exemple suivant : ´etantdonn´e un espace m´etrique δ − hyperbolique non ´el´ementaire ( X , d ) et une action propre (parisom´etries) d’un groupe Γ sur cet espace tels que le diam`etre de Γ \ X et l’entropie de ( X , d )soient respectivement major´es par D et H , nous construisons l’espace m´etrique ( X, d ) commeproduit de ( X , d ) et d’un cercle ( T , ε . can ) et le groupe Γ comme le produit de Γ et dugroupe R n des rotations d’angles 2 kπn (o`u k ∈ { , , . . . , n − } ). Si ε est suffisamment petit, 9. L’appellation “mince” est justifi´ee par les r´esultats de la section 7.3 . X, d ) est ( δ + ε ) − hyperbolique non ´el´ementaire et l’action-produit canonique de Γ sur( X, d ) v´erifie toutes les hypoth`eses de la Proposition 5.16. Cependant, on a alors sys Γ ( x ) = ε /n pour tout x ∈ X , ce qui tend vers z´ero lorsque ε tend vers z´ero ou lorsque n tend vers + ∞ . Preuve de la Proposition 5.16 : Si ̺ est la repr´esentation de Γ dans Isom( X, d ) associ´ee `a l’ac-tion consid´er´ee, le Lemme 5.5 prouve que l’action du groupe ̺ (Γ) sur ( X, d ) v´erifie ´egalementles hypoth`eses de la Proposition 5.16 ; de plus (toujours d’apr`es le Lemme 5.5), pour tout γ ∈ Γ ∗ , γ n’est pas de torsion si et seulement si ̺ ( γ ) n’est pas de torsion et il s’ensuit quesys wt̺ (Γ) ( x ) = sys wt Γ ( x ) pour tout x ∈ X , donc que les parties minces X r associ´ees aux actions de ̺ (Γ) et de Γ co¨ıncident. Ceci prouve que, pour d´emontrer la Proposition 5.16 pour toute actiond’un groupe Γ , il suffit de la d´emontrer lorsque Γ est un sous-groupe de Isom( X, d ) agissantproprement. Nous supposerons donc, dans la suite de cette preuve, que Γ est un sous-groupe discret deIsom ( X, d ) . Pour simplifier les ´ecritures, posons ε := ε ( δ, H, D ) . Le Lemme 8.12 (ii) assure que Γ \ X estcompact. D’apr`es la Proposition 8.22 (ii), puisque l’action est cocompacte, chacun des ´el´ementsde Γ qui n’est pas de torsion est de type hyperbolique. Fixons un r´eel positif quelconque r ≤ ε .Le Th´eor`eme 5.13 assure alors que, en tout point x ∈ X , le sous-groupe Γ r ( x ) est virtuellementcyclique ; la Proposition 8.21 (v) permet d’en d´eduire que, pour tout x ∈ X r , tous les ´el´ementsde l’ensemble (non vide) Γ wtr ( x ) des γ ∈ Γ r ( x ) \ { e } qui agissent sur ( X, d ) par isom´etries detype hyperbolique ont la mˆeme paire de points fixes, que nous noterons Fix( x ) . Nous allonsmaintenant utiliser le Lemme 5.18. L’application x Fix ( x ) est constante sur chaque composante connexe de X r .Preuve : Pour tout x ∈ X r , la finitude de { γ : r < d ( x, γ x ) ≤ r } implique que Σ r ( x ′ ) ⊂ Σ r ( x ) pour tout x ′ situ´e dans un voisinage suffisamment petit de x (inclus dans X r ), doncque Γ r ( x ′ ) \ { e } ⊂ Γ r ( x ) \ { e } , donc que ∅ 6 = Γ wtr ( x ′ ) ⊂ Γ wtr ( x ) ; on en d´eduit que Fix( x ′ ) =Fix( x ) . L’application x Fix( x ) ´etant localement constante, elle est constante sur chacune descomposantes connexes de X r . (cid:3) Fin de la preuve de la Proposition 5.16 : Supposons que la conclusion de la Proposition 5.16soit fausse, i. e. que X r soit connexe. Comme la fonction x sys wt Γ ( x ) est Γ − invariante (car g γ g − est de torsion si et seulement si γ est de torsion), l’ensemble X r est (globalement) stablesous l’action de Γ , et le Lemme 5.18 implique que Fix( x ) = Fix( g x ) pour tout g ∈ Γ ∗ . Dececi et de l’´egalit´e Γ r ( g x ) = g Γ r ( x ) g − nous d´eduisons que, pour tout γ ∈ Γ wtr ( x ) , g γ g − ∈ g Γ wtr ( x ) g − = Γ wtr ( g x ) et que, pour tout g ∈ Γ ∗ , γ et g γ g − ont le mˆeme ensemble de pointsfixes, que nous noterons { γ − , γ + } . Fixons un x et un ´el´ement γ ∈ Γ wtr ( x ) , pour tout g ∈ Γ ∗ ,on a g γ g − ( g ( γ + )) = g ( γ + ) et g γ g − ( g ( γ − )) = g ( γ − ) , donc g ( γ + ) et g ( γ − ) sont des pointsfixes de g γ g − , donc de γ . On a donc g ( { γ − , γ + } ) = { γ − , γ + } pour tout g ∈ Γ ; en appliquantla Proposition 8.21 (ii), il en d´ecoule que Γ est virtuellement cyclique, donc ´el´ementaire d’apr`esla Proposition 8.22 (iv), donc que ( X, d ) est ´el´ementaire d’apr`es la Proposition 8.22 (iii), or ceciest exclu par hypoth`ese, ce qui signifie que X r n’est pas connexe.En cons´equence X ε n’est pas connexe et est donc diff´erent de X tout entier, or tout point x ∈ X \ X ε v´erifie sys wt Γ ( x ) ≥ ε .Si de plus Γ est sans torsion, alors tout point x ∈ X \ X ε v´erifie sys Γ ( x ) = sys wt Γ ( x ) ≥ ε , cequi assure que Dias Γ ( X ) ≥ ε ( δ, H, D ) et termine la preuve. (cid:3) Soit ( X, d ) un espace m´etrique g´eod´esique propre, sa distance d est dite“convexe” si, pour toute paire de segments g´eod´esiques c , c (reparam´etr´es de mani`ere `a ˆetre 10. En effet, notons Γ + r ( x ) l’ensemble des γ ∈ Γ tels que d ( x, γ x ) > r et Σ + r ( x ) ⊂ Γ + r ( x ) l’ensemble des γ ∈ Γ tels que r < d ( x, γ x ) ≤ r ; la finitude de Σ + r ( x ) implique l’existence d’un α = α ( x ) > γ parcourt Γ + r ( x ) ) de d ( x, γ x ) soit sup´erieur ou ´egal `a r + α . Il s’ensuit que, pour tout x ′ ∈ B X ( x, α/ 2) et tout γ ∈ Γ + r ( x ) , on a d ( x ′ , γx ′ ) > d ( x, γx ) − α ≥ r , donc que γ ∈ Γ + r ( x ′ ) . En passant auxcompl´ementaires, on a donc Σ r ( x ′ ) ⊂ Σ r ( x ) . ´efinis de [0 , dans X ), la fonction t d ( c ( t ) , c ( t )) est convexe au sens large. Des exemples d’espaces dont la distance est convexe sont donn´es par les vari´et´es riemanniennesde courbure sectionnelle inf´erieure ou ´egale `a z´ero et, plus g´en´eralement, par les espaces Cat(0) . Remarque 5.20. Sur un espace g´eod´esique propre dont la distance est convexe, entre deux pointsquelconques, il existe une unique g´eod´esique. La preuve, ´el´ementaire, est laiss´ee au lecteur. Lemme 5.21. Sur un espace m´etrique g´eod´esique propre dont la distance d est convexe, pourtoute paire c , c de segments g´eod´esiques, la fonction t d (cid:0) c ( t ) , Im( c ) (cid:1) est convexe.Preuve : Notons [ 0 , a ] et [ 0 , a ] les intervalles sur lesquelles sont d´efinies les g´eod´esiques c et c . Pour tous les t , t ∈ [ 0 , a ] tels que t < t , si c ( s ) et c ( s ) sont des projet´esrespectifs de c ( t ) et c ( t ) sur c , pour tout t ∈ [ t , t ] , en posant β := t − t t − t , on a t = (1 − β ) t + β t , et par cons´equent : d (cid:0) c ( t ) , Im( c ) (cid:1) ≤ d (cid:0) c (cid:0) (1 − β ) t + β t (cid:1) , c (cid:0) (1 − β ) s + β s (cid:1)(cid:1) ≤ (1 − β ) d (cid:0) c ( t ) , c ( s ) (cid:1) ++ β d (cid:0) c ( t ) , c ( s ) (cid:1) = (1 − β ) d (cid:0) c ( t ) , Im( c ) (cid:1) + β d (cid:0) c ( t ) , Im( c ) (cid:1) , o`u la deuxi`eme in´egalit´e d´ecoule de la convexit´e de la distance. Ceci ach`eve la preuve. (cid:3) Lemme 5.22. Sur un espace g´eod´esique propre dont la distance est convexe toute g´eod´esiquelocale est une g´eod´esique (minimisante).Preuve : L’espace ´etant not´e ( X, d ) , consid´erons n’importe quelle g´eod´esique locale c : I → X et deux points quelconques t et t de I ; notons [ x, y ] le segment g´eod´esique (minimisant)qui joint les points x := c ( t ) et y := c ( t ) et t ∈ [ t , t ] un point o`u la fonction t d ( c ( t ) , [ x, y ]) atteint son maximum sur l’intervalle [ t , t ] . L’ensemble J des t ∈ [ t , t ] tels que d ( c ( t ) , [ x, y ]) = d ( c ( t ) , [ x, y ]) est ferm´e par continuit´e de c . De plus, pour tout t ∈ J et pourtous les t ′ , t ” v´erifiant t ′ < t < t ′′ , suffisamment proches de t pour que c soit la g´eod´esiqueminimisante qui relie c ( t ′ ) `a c ( t ′′ ) , la convexit´e de la distance et le Lemme 5.21 assurent que lafonction s d ( c ( s ) , [ x, y ]) est convexe sur l’intervalle [ t ′ , t ′′ ] . Une cons´equence est queMax (cid:0) d ( c ( t ′ ) , [ x, y ]) ; d ( c ( t ′′ ) , [ x, y ]) (cid:1) ≤ d ( c ( t ) , [ x, y ]) ≤ t ′′ − tt ′′ − t ′ d ( c ( t ′ ) , [ x, y ])+ t − t ′ t ′′ − t ′ d ( c ( t ′′ ) , [ x, y ]) , ce qui implique que d ( c ( t ′ ) , [ x, y ]) = d ( c ( t ′′ ) , [ x, y ]) = d ( c ( t ) , [ x, y ]) = d ( c ( t ) , [ x, y ]) , donc que J est ouvert, et donc (par connexit´e de [ t , t ] ) que J = [ t , t ] . On a donc 0 = d ( c ( t ) , [ x, y ]) = d ( c ( t ) , [ x, y ]) , ce qui prouve que c et [ x, y ] sont confondues, donc que c est une g´eod´esiqueminimisante. (cid:3) Lemme 5.23. Soit ( X, d ) un espace δ − hyperbolique dont la distance est convexe. Pour touteisom´etrie hyperbolique γ et tout point x ∈ M min ( γ ) , la r´eunion, pour tous les p ∈ Z , dessegments g´eod´esiques (cid:2) γ p x, γ p +1 x (cid:3) est une droite-g´eod´esique γ − invariante (not´ee c γ ), inclusedans M min ( γ ) , qui relie les points-limites γ − et γ + et telle que γ (cid:0) c γ ( t )) (cid:1) = c γ (cid:0) t + ℓ ( γ ) (cid:1) . Encons´equence, on a : s ( γ ) = d ( x, γ x ) = ℓ ( γ ) .Preuve : Le Lemme 4.3 implique que la r´eunion des segments g´eod´esiques (cid:2) γ p x, γ p +1 x (cid:3) = γ p ([ x, γ x ]) est une g´eod´esique locale c γ , γ − invariante, incluse dans M min ( γ ) , et le Lemme 5.22assure qu’une telle g´eod´esique locale est automatiquement une g´eod´esique, que nous orientonsdans le sens des valeurs croissantes de p . Comme, pour tout p ∈ N , d ( x, γ − p x ) = d ( x, γ p x ) = p X k =1 d ( γ i − x, γ i x ) = p d ( x, γ x ) = 12 d ( γ − p x, γ p x ) , ∞ avec p , la g´eod´esique c γ est d´efinie sur ] − ∞ , + ∞ [ etv´erifie c γ ( ±∞ ) = lim p → + ∞ ( γ ± p x ) = γ ± . Ces ´egalit´es impliquent ´egalement que ℓ ( γ ) = lim p → + ∞ p d ( x, γ p x ) = d ( x, γ x ) = s ( γ );une cons´equence du fait que ceci soit vrai pour tout x ∈ M min ( γ ) et du fait que la droite-g´eod´esique c γ soit incluse dans x ∈ M min ( γ ) est que, pour tout t ∈ R , d (cid:0) c γ ( t ) , γ c γ ( t ) (cid:1) = ℓ ( γ ) ,donc que γ c γ ( t ) = c γ (cid:0) t + ℓ ( γ ) (cid:1) par choix de l’orientation de c γ . (cid:3) Remarquons que le Lemme 5.23 ne pr´etend pas qu’il existe une unique g´eod´esique reliant lespoints-limites γ − et γ + , ce qui serait faux : un contre-exemple peut ˆetre obtenu en partant d’unesurface S simplement connexe de courbure sectionnelle inf´erieure ou ´egale `a − γ de type hyperbolique et sa g´eod´esique γ − invariante c γ et en intercalant unebande plate de largeur ε > S \ c γ . Th´eor`eme 5.24. Pour tout espace m´etrique δ − hyperbolique non ´el´ementaire g´eod´esiquementcomplet ( X, d ) , dont la distance est convexe, pour toute action propre (par isom´etries) sur cetespace d’un groupe Γ tels que le diam`etre de Γ \ X et l’Entropie de ( X, d ) soient respectivementmajor´es par D et H , on a(i) ℓ ( γ ) > s ( δ, H, D ) pour tout ´el´ement γ de Γ ∗ qui n’est pas de torsion,(ii) Sys Γ ( X ) > s ( δ, H, D ) si Γ est sans torsion,o`u s ( δ, H, D ) est la constante universelle positive d´efinie par l’´egalit´e (29) .Preuve : Il est ´evident que (i) implique (ii), il nous reste `a d´emontrer (i).Si ̺ est la repr´esentation de Γ dans Isom( X, d ) associ´ee `a l’action consid´er´ee, le Lemme 5.5prouve que l’action du groupe ̺ (Γ) sur ( X, d ) v´erifie ´egalement les hypoth`eses du Th´eor`eme5.24 ; de plus (toujours d’apr`es le Lemme 5.5), pour tout γ ∈ Γ ∗ , γ n’est pas de torsion si etseulement si ̺ ( γ ) n’est pas de torsion et ℓ (cid:0) ̺ ( γ ) (cid:1) = ℓ (cid:0) γ (cid:1) par d´efinition des deux actions. Ceciprouve que, pour d´emontrer le Th´eor`eme 5.24 pour toute action d’un groupe Γ , il suffit de led´emontrer lorsque Γ est un sous-groupe de Isom( X, d ) agissant proprement.Nous supposerons donc, dans la suite de cette preuve, que Γ est un sous-groupe discret deIsom( X, d ) .Pour simplifier les ´ecritures, posons ε := ε ( δ, H, D ) , o`u la constante universelle ε ( δ, H, D )est d´efinie en (28) et v´erifie ε = R N , o`u les constantes universelles N et R sont d´efiniesen (29). Le Lemme 8.12 (ii) assure que Γ \ X est compact. D’apr`es la Proposition 8.22 (ii),puisque l’action est cocompacte, chacun des ´el´ements de Γ qui n’est pas de torsion est de typehyperbolique. En raisonnant par l’absurde, supposons qu’il existe au moins un ´el´ement γ ∈ Γ ∗ qui n’est pas de torsion (donc de type hyperbolique) et v´erifie ℓ ( γ ) ≤ s ( δ, H, D ) ; fixons cet´el´ement. La Proposition 8.21 (ii) d´emontre que, si on note γ − et γ + les points du bord id´eal quisont fix´es par γ , le sous-groupe Γ γ form´e des ´el´ements g ∈ Γ qui laissent l’ensemble { γ − , γ + } globalement invariant est le sous-groupe virtuellement cyclique maximal de Γ contenant γ .Le Lemme 5.23 implique qu’il existe une droite-g´eod´esique (que nous noterons c γ ), qui relie γ − `a γ + et telle que, pour tout t ∈ R , γ (cid:0) c γ ( t )) (cid:1) = c γ (cid:0) t + ℓ ( γ ) (cid:1) . Une premi`ere cons´equence estque le domaine de Margulis M R ( γ ) est d´efini et non vide pour tout R ≥ ℓ ( γ ) et que M ℓ ( γ ) ( γ )co¨ıncide avec M min ( γ ) et contient l’image de c γ .Le Lemme 4.7 et le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires impliquent qu’il existe un point x ∈ X tel que R γ ( x ) = R . Notons ¯ x un projet´e de x sur l’image de c γ , comme R γ ( x ) = R et R γ (¯ x ) = ℓ ( γ ) , le Lemme 5.4 (iii) donne : d ( x , ¯ x ) R ≥ ln (cid:18) − (cid:18) (cid:20) R ℓ ( γ ) (cid:21) + 1 (cid:19)(cid:19) H R + 14 − > 12 + N . (31)o`u la derni`ere in´egalit´e r´esulte de l’hypoth`ese ℓ ( γ ) ≤ s ( δ, H, D ) , de la d´efinition (29) de42 ( δ, H, D ) et d’un calcul direct, qui impliquent queln (cid:20) − (cid:18) (cid:20) R ℓ ( γ ) (cid:21) + 1 (cid:19)(cid:21) H R + 14 > 12 ( N + 10)(13 H R + 14 / H R + 14 = 1 + N . L’hypoth`ese de discr´etude et la d´efinition de R γ ( x ) assurent l’existence d’un entier positif k tel que d ( x , γ k x ) = Min k ∈ Z ∗ d ( x , γ k x ) = R . Deux cas sont alors possibles :— Premier cas : Si k ℓ ( γ ) > ε :Notons alors k le plus petit entier positif tel que k k ℓ ( γ ) > δ , on a alors1 ≤ k ≤ (cid:20) δε (cid:21) + 1 et ( k − k ℓ ( γ ) ≤ δ , (32)o`u la premi`ere propri´et´e d´ecoule de l’hypoth`ese faite dans le cas pr´esent et la seconde de lad´efinition de k et reste (trivialement) valable lorsque k ℓ ( γ ) > δ , i. e. lorsque k = 1 .Posons h := γ k k , l’in´egalit´e (14) assure que d ( x , h x ) ≤ R + ( k − ℓ ( γ k ) + 4 δ ln k ln 2 ≤ R + ( k − k ℓ ( γ ) + 4 δ ln 2 ln (cid:18) δε (cid:19) , (33)o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule de (32). Comme par ailleurs d (¯ x, h ¯ x ) = k k ℓ ( γ ) > δ ,le Lemme 8.8 donne : d ( x , h x ) ≥ d ( x , ¯ x ) + d (¯ x, h ¯ x ) + d ( hx , h ¯ x ) − δ ≥ d ( x , ¯ x ) + k k ℓ ( γ ) − δ ;en combinant cette derni`ere in´egalit´e avec (33) et (31), il vient :12 (cid:18) R + 4 δ ln 2 ln (cid:18) δε (cid:19) + 6 δ (cid:19) ≥ d ( x , ¯ x ) > (cid:18) 12 + N (cid:19) R . (34)En remarquant que δ/R ≤ / 40 , que δ/ ε = N δ/R et que R ≥ δ , nous obtenons :340 + 113 ln (cid:18) N (cid:19) ≥ δR ln (cid:18) δε (cid:19) + 3 δR > N 10 ;comme cette derni`ere in´egalit´e est fausse, nous en d´eduisons que ce premier cas ne peutsurvenir sous l’hypoth`ese ℓ ( γ ) ≤ s ( δ, H, D ) que nous avons faite.— Second cas : Si k ℓ ( γ ) ≤ ε :Soit ε un nombre quelconque v´erifiant 0 < ε < ε / x de la g´eod´esique [¯ x, x ] tel que R γ ( x ) = ε − ε et,comme la distance entre les g´eod´esiques [¯ x, x ] et [ γ k ¯ x, γ k x ] est convexe (selon laD´efinition 5.19), on a : ε − ε ≤ d ( x, γ k x ) ≤ d (¯ x, x ) d (¯ x, x ) d ( x , γ k x ) + (cid:18) − d (¯ x, x ) d (¯ x, x ) (cid:19) d (¯ x, γ k ¯ x )et, en remarquant que d ( x , γ k x ) = R et que d (¯ x, γ k ¯ x ) = k ℓ ( γ ) ≤ ε , nous end´eduisons que d (¯ x, x ) ≥ ε − ε R − ε d (¯ x, x ) ≥ 12 ( ε − ε ) (cid:18) 12 + N (cid:19) , (35)o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule de la minoration (31).Pour tout g ∈ Γ γ , notons ¯ x g un projet´e de g ¯ x sur la droite-g´eod´esique c γ ; comme g ¯ x est unpoint de la droite-g´eod´esique g ◦ c γ qui relie elle aussi les points γ − et γ + , on a d ( g ¯ x , ¯ x g ) ≤ δ d’apr`es le Lemme 8.9 (i), ce qui implique que ∀ g ∈ Γ γ d ( x, g ¯ x ) ≥ d ( x, ¯ x g ) − d ( g ¯ x , ¯ x g ) ≥ d ( x, ¯ x ) − δ ≥ 12 ( ε − ε ) (cid:18) 12 + N (cid:19) − δ , (36)43`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule de (35).Pour tout ´el´ement g ∈ Γ \ Γ γ , la d´efinition de Γ γ assure que { g ( γ − ) , g ( γ + ) } 6 = { γ − , γ + } , doncque l’ensemble { g ( γ − ) , g ( γ + ) } des points fixes de g γ g − est diff´erent de l’ensemble { γ − , γ + } des points fixes de γ ; la seconde partie de la Proposition 8.21 (ii) permet d’en d´eduire que g γ g − / ∈ Γ γ , donc que le sous-groupe h γ, g γ g − i n’est pas virtuellement cyclique, puisque Γ γ est le sous-groupe virtuellement cyclique maximal contenant γ d’apr`es la Proposition 8.21 (ii).Le Corollaire 5.14 permet d’en d´eduire que L ( γ, g γ g − ) > ε − ε (o`u L ( γ, g γ g − ) est l’infimumde Max [ d ( x, γ p x ) ; d ( x, ( g γ g − ) q x ) ] ) quand x parcourt X et quand ( p, q ) parcourt Z ∗ × Z ∗ ).Le Lemme 4.14 permet d’en d´eduire que les domaines de Margulis M ε − ε ( γ ) et M ε − ε ( g γ g − )sont disjoints (en effet, l’hypoth`ese faite assure que ℓ ( γ ) < ε − ε , donc que les domaines deMargulis M ε − ε ( γ ) et M ε − ε ( g γ g − ) sont non vides).Comme x ∈ M ε − ε ( γ ) , alors x / ∈ M ε − ε ( g γ g − ) et on a donc R g γ g − ( x ) > ε − ε .Notons ¯ x ′ un projet´e de x sur la droite-g´eod´esique g ◦ c γ ; du fait que ∀ t ∈ R g γ g − (cid:0) g ◦ c γ ( t ) (cid:1) = g γ (cid:0) c γ ( t ) (cid:1) = g ◦ c γ (cid:0) t + ℓ ( γ ) (cid:1) , on d´eduit que g γ g − agit par translation de longueur ℓ ( γ ) sur la droite g´eod´esique g ◦ c γ etque R g γ g − (¯ x ′ ) = ℓ ( γ ) = ℓ ( g γ g − ) .Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires permet d’en d´eduire l’existence d’un point x ′ ∈ [ x, ¯ x ′ ]tel que R g γ g − ( x ′ ) = ε − ε .La propri´et´e de compl´etude g´eod´esique assure que le segment-g´eod´esique [¯ x ′ , x ] est prolongeable(du cˆot´e de x ) jusqu’`a l’infini en une g´eod´esique locale qui, d’apr`es la Lemme 5.22 est un rayon-g´eod´esique, que nous noterons c et que nous param´etrons de sorte que c (0) = ¯ x ′ .D’apr`es le Lemme 5.21, la fonction f : t d (cid:0) c ( t ) , Im( g ◦ c γ ) (cid:1) est convexe ; comme f (0) = 0et comme il existe un t > f ( t ) = t pour tout t ∈ [0 , t ] , on a f ( t ) ≥ t pourtout t ∈ [ t , + ∞ [ , donc d (cid:0) c ( t ) , Im( g ◦ c γ ) (cid:1) = t pour tout t ≥ c (+ ∞ ) estun point du bord id´eal diff´erent de g ( γ − ) = g ◦ c γ ( −∞ ) et de g ( γ + ) = g ◦ c γ (+ ∞ ) , il d´ecoulealors du Lemme 4.10 (ii) que ce rayon-g´eod´esique sort de M R ( g γ g − ) , il existe donc (sur leprolongement de [¯ x ′ , x ′ ] au-del`a de x ′ ) un point x ′ tel que R g γ g − ( x ′ ) = R .La mˆeme d´emonstration que celle faite ci-dessus, en y substituant g γ g − `a γ et en notant que ℓ ( g γ g − ) = ℓ ( γ ) ≤ s ( δ, H, D ) sous notre hypoth`ese de d´epart, montre que, si k ′ est l’entierpositif tel que d ( x ′ , (cid:0) g γ g − (cid:1) k ′ x ′ ) = Min k ∈ Z ∗ d ( x ′ , (cid:0) gag − (cid:1) k x ′ ) = R , alors le premier cas k ′ ℓ ( gag − ) > ε est impossible ; nous sommes donc dans le cas o`u k ′ ℓ ( gag − ) ≤ ε ; enproc´edant comme ci-dessus, nous en d´eduisons que d (¯ x ′ , x ′ ) ≥ ε − ε R − ε d (¯ x ′ , x ′ ) ≥ 12 ( ε − ε ) (cid:18) 12 + N (cid:19) . Comme ¯ x ′ est un projet´e de x sur la g´eod´esique g ◦ c a , et comme g ¯ x est situ´e sur cetteg´eod´esique, on en d´eduit que, pour tout g ∈ Γ \ Γ γ , d ( x, g ¯ x ) ≥ d ( x, ¯ x ′ ) ≥ d ( x ′ , ¯ x ′ ) ≥ 12 ( ε − ε ) (cid:18) 12 + N (cid:19) . (37)Par d´efinition du diam`etre de Γ \ X , on a D ≥ min g ∈ Γ d ( x, g ¯ x ) , ce qui, en utilisant les in´egalit´es(36) et (37) (et en faisant tendre ε vers z´ero), donne D ≥ ε (cid:18) N 10 + 12 (cid:19) − δ = R N (cid:18) N 10 + 12 (cid:19) − δ > R − δ ≥ D , d’o`u une contradiction qui prouve que l’hypoth`ese ℓ ( γ ) ≤ s ( δ, H, D ) n’est jamais v´erifi´ee, cequi ach`eve la preuve. (cid:3) Dans cette section, nous ne consid`ererons que des isom´etries sans torsion d’un espace δ − hyperbolique ( X, d ) (donc automatiquement g´eod´esique et propre, selon la D´efinition 8.2). `A chaque isom´etrie γ e ( X, d ) , nous avons associ´e son d´eplacement minimum s ( γ ) = inf γ ∈ Γ ∗ d ( x, γ x ) et son d´eplacementmoyen ℓ ( γ ) = lim n → + ∞ d ( x,γ n x ) n (voir les D´efinitions 8.17). Si γ est de type hyperbolique, rappelons que G ( γ ) est l’ensemble des g´eod´esiques orient´ees joignant ses points fixes γ − et γ + , et que M ( γ ) est lar´eunion de ces g´eod´esiques (voir les D´efinitions 4.1). Pour ce qui concerne l’existence et les propri´et´es´el´ementaires des projections dans les espaces hyperboliques, nous renvoyons le lecteur `a la Section 8.2. Pour tout espace δ − hyperbolique ( X, d ) , pour toute isom´etrie γ de ( X, d ) qui n’est pas detorsion, telle que le sous groupe engendr´e h γ i soit un sous groupe discret du groupe des isom´etries,et pour tout point x ∈ X , notons D γ ( x ) et D ′ γ ( x ) les domaines de Dirichlet (respectivementouvert et ferm´e) de ce point x pour l’action de h γ i , i. e. les sous-ensembles de X d´efinis parles ´egalit´es : D γ ( x ) = { y : Min k ∈ Z ∗ d ( y, γ k x ) > d ( y, x ) } , D ′ γ ( x ) = { y : Min k ∈ Z d ( y, γ k x ) = d ( y, x ) } . (38)Remarquons que D ′ γ − ( x ) = D ′ γ ( x ) , que (pour tout k ∈ Z ) D ′ γ ( γ k x ) = γ k (cid:0) D ′ γ ( x ) (cid:1) etd´efinissons les domaines d’attraction (resp. de r´epulsion) U + γ ( x ) (resp. U − γ ( x ) ) de γ associ´esau point x par les ´egalit´es : U + γ ( x ) := ∪ k ∈ N ∗ D ′ γ ( γ k x ) = ∪ k ∈ N ∗ γ k (cid:0) D ′ γ ( x ) (cid:1) , U − γ ( x ) := U + γ − ( x ) . (39)Remarquons que, par la d´efinition (39), U − γ ( x ) ∪ U + γ ( x ) = ∪ p ∈ Z ∗ D ′ γ ( γ p x ) et, par passage aucompl´ementaire, on a : X \ (cid:0) U − γ ( x ) ∪ U + γ ( x ) (cid:1) = { y : ∀ p ∈ Z ∗ Min k ∈ Z d ( y, γ k x ) < d ( y, γ p x ) } = { y : Min k ∈ Z d ( y, γ k x ) < Min p ∈ Z ∗ d ( y, γ p x ) } = { y : d ( y, x ) < Min p ∈ Z ∗ d ( y, γ p x ) } ;une cons´equence de cette ´egalit´e et de la d´efinition (39) est la double propri´et´e : X \ (cid:0) U − γ ( x ) ∪ U + γ ( x ) (cid:1) = D γ ( x ) , ∀ k ∈ Z ∗ γ k ( D ′ γ ( x )) ⊂ U − γ ( x ) ∪ U + γ ( x ) . (40) D´efinitions 6.1. Consid´erons une paire d’isom´etries sans torsion a et b de ( X, d ) , (telles que h a i et h b i agissent discr`etement sur ( X, d ) ) et n’importe quel point x ∈ X ,(i) a et b sont dits en position de Schottky par rapport `a x si les sous-ensembles U − a ( x ) ∪ U + a ( x ) et U − b ( x ) ∪ U + b ( x ) sont disjoints.(ii) a et b sont dits en position de demi-Schottky par rapport `a x ∈ X si U + a ( x ) ⊂ X \ (cid:0) U − b ( x ) ∪ U + b ( x ) (cid:1) et si U + b ( x ) ⊂ X \ (cid:0) U − a ( x ) ∪ U + a ( x ) (cid:1) . Proposition 6.2. Soit Σ un ensemble fini d’isom´etries sans torsion de ( X, d ) (telles que, pourtout σ ∈ Σ , h σ i agisse discr`etement sur ( X, d ) ). Si toute paire d’´el´ements distincts de Σ esten position de Schottky par rapport `a un mˆeme point x ∈ X , alors Σ engendre un sous-groupelibre du groupe des isom´etries de ( X, d ) .Preuve : Toute relation non triviale entre ´el´ements de Σ s’´ecrit sous la forme s p · s p . . . s p m m = e ,o`u s , s , . . . , s m sont des ´el´ements de Σ tels que s i = s i +1 pour tous les i ∈ { , . . . , m − } ,et o`u p , p , . . . , p m sont des ´el´ements de Z ∗ .Montrons par r´ecurrence que, pour tout i ∈ { , . . . , m } , s p i i · s p i +1 i +1 . . . s p m m ( x ) ∈ U − s i ( x ) ∪ U + s i ( x ) :en effet ceci est v´erifi´e lorsque i = m , puisque x ∈ D s m ( x ) , donc s p m m ( x ) ∈ s p m m ( D s m ( x )) ⊂ U − s m ( x ) ∪ U + s m ( x ) o`u la derni`ere inclusion est une cons´equence de (40) ; supposons maintenant que s p i i · s p i +1 i +1 . . . s p m m ( x ) ∈ U − s i ( x ) ∪ U + s i ( x ) , comme s i et s i − sont deux ´el´ements distincts de Σ , ils 11. Les minima dont ils sera question dans la suite seront bien atteints car l’absence de torsion et la discr´etudeassurent (par la Remarque 8.14 (i)) que γ est hyperbolique ou parabolique, et donc que g k x tend ver l’infiniquand k → ±∞ . x , et on a donc U − s i ( x ) ∪ U + s i ( x ) ⊂ X \ (cid:16) U − s i − ( x ) ∪ U + s i − ( x ) (cid:17) ; de ceci et des deux propri´et´es (40) on d´eduit que s p i − i − · s p i i . . . s p m m ( x ) ∈ s p i − i − (cid:0) U − s i ( x ) ∪ U + s i ( x ) (cid:1) ⊂ s p i − i − (cid:16) X \ (cid:16) U − s i − ( x ) ∪ U + s i − ( x ) (cid:17)(cid:17) = s p i − i − (cid:0) D s i − ( x ) (cid:1) ⊂ U − s i − ( x ) ∪ U + s i − ( x ) , ce qui prouve la r´ecurrence. Il s’ensuit que x = s p · s p . . . s p m m ( x ) est un ´el´ement de U − s ( x ) ∪ U + s ( x ) , ce qui est contradictoire avec le fait que x ∈ D s ( x ) car (par (40)) D s ( x ) ∩ (cid:0) U − s ( x ) ∪ U + s ( x ) (cid:1) = ∅ . Il n’y donc pas de relation non triviale entre les ´el´ements de Σ . (cid:3) Proposition 6.3. Soit { a, b } une paire d’isom´etries sans torsion de ( X, d ) , (telles que h a i et h b i agissent discr`etement sur ( X, d ) ), si a et b sont en position de demi-Schottky par rapport`a au moins un point x ∈ X , alors { a, b } engendre un semi-groupe libre dans le groupe desisom´etries de ( X, d ) . Avant de d´emontrer la proposition 6.3, nous ´etablirons le Lemme suivant : Lemme 6.4. Soit { a, b } une paire d’isom´etries sans torsion de ( X, d ) , (telles que h a i et h b i agissent discr`etement sur ( X, d ) ), si a et b sont en position de demi-Schottky par rapport`a un point x ∈ X , alors tout produit R ( a, b ) de puissances positives de a et de b v´erifie R ( a, b ) x ∈ U + a ( x ) (resp. R ( a, b ) x ∈ U + b ( x ) ) si le premier facteur du produit R ( a, b ) est unepuissance de a (resp. une puissance de b ).Preuve : Faisons la d´emonstration dans le cas o`u le premier facteur du produit R ( a, b ) est unepuissance de a , la preuve dans le cas o`u le premier facteur est une puissance de b se faisant `al’identique (en ´echangeant les rˆoles de a et b ). Supposons donc que R ( a, b ) = a p b q . . . a p k b q k ou R ( a, b ) = a p b q . . . a p k b q k a p k +1 , o`u tous les p i et q i appartiennent `a N ∗ .Notons que b q k ( x ) ∈ b q k (cid:0) D b ( x ) (cid:1) ⊂ U + b ( x ) , o`u l’inclusion d´ecoule de la premi`ere des deux ´egalit´es(39) ; on d´emontre de mˆeme que a p k +1 ( x ) ∈ U + a ( x ) . Comme a et b sont en position de demi-Schottky par rapport `a x , on a ´egalement a p i (cid:0) U + b ( x ) (cid:1) ⊂ a p i (cid:0) X \ (cid:0) U − a ( x ) ∪ U + a ( x ) (cid:1)(cid:1) = a p i (cid:0) D a ( x ) (cid:1) ⊂ U + a ( x )o`u l’´egalit´e et la derni`ere inclusion d´ecoulent des deux propri´et´es (40) et (39). On d´emontre de lamˆeme mani`ere que b q i (cid:0) U + a ( x ) (cid:1) ⊂ U + b ( x ) ; en it´erant et en alternant ces deux derni`eres propri´et´es,nous en d´eduisons que a p b q . . . a p k b q k ( x ) et a p b q . . . a p k b q k a p k +1 ( x ) appartiennent `a U + a ( x ) ,ce qui ach`eve la d´emonstration. (cid:3) Fin de la preuve de la Proposition 6.3 : Si le semi-groupe engendr´e par a et b n’est pas libre,nous allons d´emontrer que nous sommes obligatoirement dans un des deux cas suivants : Cas 1 : Soit il existe une relation entre a et b qui s’´ecrit, apr`es simplifications ´eventuelles,sous la forme R ( a, b ) = e = id X , o`u R ( a, b ) peut ˆetre d´efini (dans le sous-groupe h a, b i )comme un produit (non trivial) de puissances strictement positives de a et de b ou demani`ere ´equivalente (dans le groupe libre `a deux g´en´erateurs, encore appel´es a et b )comme un mot form´e des lettres a et b . Cas 2 : Soit il existe une relation entre a et b qui s’´ecrit, apr`es simplifications ´eventuelles,sous la forme R ( a, b ) = R ( a, b ) , o`u R ( a, b ) et R ( a, b ) sont eux aussi des produits(non triviaux) de puissances strictement positives de a et de b et des mots form´e deslettres a et b tels que la premi`ere lettre du mot R ( a, b ) soit diff´erente de la premi`erelettre du mot R ( a, b ) .En effet, la seule ´eventualit´e qui n’est a priori pas couverte par ces deux cas est celle o`u la re-lation s’´ecrit R ( a, b ) = R ( a, b ) et o`u les premi`eres lettres des mots R ( a, b ) et R ( a, b ) sontidentiques. Notons alors i le plus grand des entiers j tels que les j premi`eres lettres des mots46 ( a, b ) et R ( a, b ) soient identiques, notons R i ( a, b ) le mot form´e des i premi`eres lettres dumot R ( a, b ) (et donc du mot R ( a, b ) ), il existe alors des mots R ′ ( a, b ) et R ′ ( a, b ) (triviaux ouproduits de puissances strictement positives de a et de b ) tels que R ( a, b ) = R i ( a, b ) R ′ ( a, b ) et R ( a, b ) = R i ( a, b ) R ′ ( a, b ) , ce qui assure que la relation initiale R ( a, b ) = R ( a, b ) est triviale-ment ´equivalente `a la relation R ′ ( a, b ) = R ′ ( a, b ) . Si un des deux mots R ′ ( a, b ) ou R ′ ( a, b ) esttrivial, nous sommes alors dans le cas 1, si aucun des deux mots R ′ ( a, b ) et R ′ ( a, b ) n’est trivial,alors (par d´efinition de i ) les premi`eres lettres des mots R ′ ( a, b ) et R ′ ( a, b ) sont diff´erentes etnous sommes alors dans le cas 2.Le Lemme 6.4 implique que tout produit R ( a, b ) de puissances strictement positives de a et de b v´erifie R ( a, b ) x ∈ U + a ( x ) ∪ U + b ( x ) ; comme d’autre part la premi`ere ´egalit´e (40) assure que x ∈ D a ( x ) ∩ D b ( x ) = X \ (cid:0) U − a ( x ) ∪ U + a ( x ) ∪ U − b ( x ) ∪ U + b ( x ) (cid:1) , il est impossible de r´ealiser lacondition R ( a, b ) x = x , donc la condition R ( a, b ) = e : il n’existe donc aucune relation relevantdu cas 1.Pour toute paire R ( a, b ) , R ( a, b ) telle que R ( a, b ) et R ( a, b ) soient des produits (non tri-viaux) de puissances strictement positives de a et de b tels que la premi`ere lettre du mot R ( a, b ) soit diff´erente de la premi`ere lettre du mot R ( a, b ) , le Lemme 6.4 implique soit que R ( a, b ) x ∈ U + a ( x ) et R ( a, b ) x ∈ U + b ( x ) (si la premi`ere lettre du mot R ( a, b ) est a ), soitque R ( a, b ) x ∈ U + b ( x ) et R ( a, b ) x ∈ U + a ( x ) (si la premi`ere lettre du mot R ( a, b ) est b ).Ceci prouve qu’il est impossible d’avoir R ( a, b ) x = R ( a, b ) x , donc de r´ealiser la condition R ( a, b ) = R ( a, b ) : il n’existe donc aucune relation relevant du cas 2.Ceci prouve que le semi-groupe engendr´e par a et b est libre. (cid:3) La Proposition qui suit g´en´eralise, dans le cadre d’actions isom´etriques sur un espace m´etrique δ − hyperbolique, un r´esultat d´emontr´e par T. Delzant dans le cas des groupes hyperboliques (cf.[Del91], Lemme 1.2 p. 179) : Proposition 6.5. Soit ( X, d ) un espace δ − hyperbolique. Soient a et b deux isom´etries de ( X, d ) ,(i) s’il existe un point x ∈ X tel que d ( a p x, b q x ) > Max [ d ( x, a p x ) , d ( x, b q x )] + 2 δ pourtous les ( p, q ) ∈ Z ∗ × Z ∗ , alors a et b sont en position de Schottky par rapport `a x etle sous-groupe du groupe des isom´etries engendr´e par a et b est libre,(ii) s’il existe un point x ∈ X tel que d ( a p x, b q x ) > Max [ d ( x, a p x ) , d ( x, b q x )] + 2 δ pourtous les ( p, q ) ∈ ( Z ∗ × Z ∗ ) \ ( Z − × Z − ) , alors a et b sont en position de demi-Schottkypar rapport `a x ∈ X et le semi-groupe engendr´e par a et b est libre. Remarque 6.6. L’une ou l’autre des hypoth`eses faites dans la proposition 6.5 (i) (resp. dans laproposition 6.5 (ii)) implique automatiquement les propri´et´es suivantes pour les groupes h a i et h b i engendr´es respectivement par a et par b et pour leur action sur ( X, d ) :(1) les ´el´ements a et b ne peuvent ˆetre de torsion,(2) le point x dont il est question dans l’hypoth`ese de la proposition 6.5 (i) (resp. dansl’hypoth`ese de la proposition 6.5 (ii)) n’est fix´e par aucun des ´el´ements de h a i \ { id X } etpar aucun des ´el´ements de h b i \ { id X } ,(3) h a i et h b i sont des sous-groupes discrets du groupe des isom´etries de ( X, d ) .Preuve de la Remarque 6.6 : L’une ou l’autre des hypoth`eses faites dans la proposition 6.5 (i) oudans la proposition 6.5 (ii) implique, pour tout ( p, q ) ∈ ( Z ∗ × N ∗ ) et tout ( p, q ) ∈ ( N ∗ × Z ∗ ) :Max [ d ( x, a p x ) , d ( x, b q x )] + Min [ d ( x, a p x ) , d ( x, b q x )] = d ( x, a p x ) + d ( x, b q x ) ≥ d ( a p x, b q x ) > Max [ d ( x, a p x ) , d ( x, b q x )] + 2 δ , on en d´eduit que Min [ d ( x, a p x ) , d ( x, b q x )] > δ , donc que ∀ p ∈ Z ∗ d ( x, a p x ) > δ et ∀ q ∈ Z ∗ d ( x, b q x ) > δ On en d´eduit imm´ediatement que, pour tous les ( p, q ) ∈ Z ∗ × Z ∗ , on a a p x = x et b q x = x , cequi prouve les ´enonc´es (1) et (2) de la remarque 6.6.47n en d´eduit ´egalement que, pour tous les ( k, p ) ∈ Z × Z tels que p = k , on a d ( a k x , a p x ) > δ et d ( b k x , b p x ) > δ . Un corollaire est que toute suite ( a n k ) k ∈ N qui converge uniform´ement sur B X ( x, R ) est stationnaire : en effet ( a n k x ) k ∈ N est alors une suite de Cauchy et il existe un p ∈ N tel que d ( a n p x, a n p + k x ) < δ pour tout k ∈ N ce qui, en vertu de la propri´et´e qui pr´ec`ede,implique que n p + k = n p pour tout k ∈ N . Ceci prouve que h a i est discret. On d´emontre de lamˆeme mani`ere que h b i est discret. (cid:3) Preuve de la Proposition 6.5 : La Remarque 6.6 assurant que a et b forment une paire d’isom´etriesde ( X, d ) sans torsion telles que h a i et h b i agissent discr`etement sur ( X, d ) , nous pouvons uti-liser les d´efinitions et r´esultats de la section 6.1. Preuve de (i) : Soit y un point quelconque de U − b ( x ) ∪ U + b ( x ) , en vertu des d´efinitions (39) ilexiste un k ∈ Z ∗ tel que y ∈ D ′ b ( b k x ) , ce qui implique en particulier que d ( y, b k x ) ≤ d ( y, x ) ;fixons cette valeur de k . Pour tout p ∈ Z ∗ , la propri´et´e du quadrilat`ere (lemme 8.3 (iv)),appliqu´ee aux points y , a p x , x et b k x , donne d ( y, x ) + d ( a p x, b k x ) ≤ Max (cid:2) d ( y, b k x ) + d ( x, a p x ) ; d ( y, a p x ) + d ( x, b k x ) (cid:3) + 2 δ . L’hypoth`ese faite permet d’en d´eduire que d ( y, x ) < Max (cid:2) d ( y, b k x ) ; d ( y, a p x ) (cid:3) , donc que d ( y, x ) < d ( y, a p x ) pour tout p ∈ Z ∗ , ce qui entraˆıne que y ∈ D a ( x ) = X \ (cid:0) U − a ( x ) ∪ U + a ( x ) (cid:1) pour tout y ∈ U − b ( x ) ∪ U + b ( x ) , donc que U − b ( x ) ∪ U + b ( x ) ⊂ X \ (cid:0) U − a ( x ) ∪ U + a ( x ) (cid:1) . En vertu dela d´efinition 6.1 (i), ceci d´emontre que a et b sont en position de Schottky par rapport `a x . Laproposition 6.2 assure alors que le sous-groupe du groupe des isom´etries engendr´e par a et b est libre. Preuve de (ii) : La d´emonstration du fait que U + b ( x ) ⊂ X \ (cid:0) U − a ( x ) ∪ U + a ( x ) (cid:1) est identique `ala preuve de (i), `a ceci pr`es qu’il faut choisir pour y un point quelconque de U + b ( x ) , et parcons´equent supposer que k ∈ N ∗ (tout en continuant `a prendre pour p un ´el´ement quelconquede Z ∗ ). La preuve du fait que U + a ( x ) ⊂ X \ (cid:0) U − b ( x ) ∪ U + b ( x ) (cid:1) se fait de mani`ere identique,en ´echangeant les rˆoles de a et de b . En vertu de la d´efinition 6.1 (ii), ceci d´emontre que a et b sont en position de demi-Schottky par rapport `a x . La proposition 6.3 assure alors que lesemi-groupe engendr´e par a et b est libre. (cid:3) Dans cette sous-section, nous nous int´eressons seulement `a des paires d’isom´etries de type hy-perbolique. Proposition 6.7. Soient ( X, d ) un espace δ − hyperbolique et a et b deux isom´etries hyperbo-liques telles que le groupe h a, b i engendr´e par a et b soit discret et non virtuellement cyclique,alors,(i) si s ( a ) , s ( b ) > δ , l’un des deux semi-groupes engendr´es par { a , b } ou par { a , b − } est libre,(ii) pour tout ε > , si ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ≥ ε alors, pour tous les entiers p , q > δε , l’un desdeux semi-groupes engendr´es par { a p , b q } ou par { a p , b − q } est libre. Avant de d´emontrer la Proposition 6.7, nous allons d´emontrer le Lemme 6.8. Soit γ une isom´etrie de type hyperbolique d’un espace δ − hyperbolique ( X, d ) telque s ( γ ) > δ , soit c ∈ G ( γ ) une quelconque des g´eod´esiques canoniquement orient´ees quijoignent γ − et γ + , et soit x un point quelconque de M ( γ ) , on a alors(i) d ( x, γ x ) ≤ ℓ ( γ ) + 4 δ ,(ii) si on note c ( t k ) un projet´e de γ k x sur la g´eod´esique c , alors la suite ( t k ) k ∈ Z eststrictement croissante.Preuve de (ii) : Par contradiction, supposons que la suite ( t k ) k ∈ Z n’est pas strictement croissante,comme t k → ±∞ quand k → ±∞ , il existe un p ∈ Z tel que t p ≤ Min (cid:0) t p − , t p +1 (cid:1) . Posons48 k = d (cid:0) γ k x, c ( t k ) (cid:1) , la proposition 8.9 (i) implique que δ k ≤ δ pour tout k ∈ Z (car c et γ k ◦ c sont deux g´eod´esiques de G ( γ ) ) ; on a alors :— Soit t p ≤ t p − ≤ t p +1 , et alors l’in´egalit´e triangulaire, puis le Lemme 8.20 (ii), et enfinl’hypoth`ese faite sur s ( γ ) impliquent que : t p +1 − t p + 2 δ p − + δ p +1 + δ p ≥ d ( γ p x , γ p − x ) + d ( γ p − x , γ p +1 x ) ≥ d ( x , γ x ) + d ( x , γ x ) ≥ d ( x, γ x ) + s ( γ ) − δ ≥ s ( γ ) − δ > δ ; (41)comme δ k ≤ δ pour tout k ∈ Z , on d´eduit de cette derni`ere in´egalit´e que d (cid:0) c ( t p ) , c ( t p +1 ) (cid:1) > δ et qu’on peut donc appliquer le Lemme 8.8, qui donne : d ( x , γ x ) = d ( γ p x , γ p +1 x ) ≥ t p +1 − t p + δ p +1 + δ p − δ . En comparant cette derni`ere in´egalit´e avec l’in´egalit´e (41), nous obtenons 2 s ( γ ) ≤ d ( x , γ x )+ s ( γ ) ≤ δ , en contradiction avec l’hypoth`ese faite sur s ( γ ) .— Soit t p ≤ t p +1 ≤ t p − , et alors un raisonnement identique au pr´ec´edent, o`u il suffitd’´echanger les rˆoles de p − p + 1 , donne ´egalement dans ce cas : 2 s ( γ ) ≤ d ( x , γ x ) + s ( γ ) ≤ δ , en contradiction avec l’hypoth`ese faite sur s ( γ ) .Par contradiction, nous en concluons que la suite ( t k ) k ∈ Z est strictement croissante. Preuve de (i) : Comme nous avons vu que, pour tout k ∈ N ∗ , δ , δ k ≤ δ , l’in´egalit´e triangulairedonne : d ( x, γ k x ) − δ ≤ d ( x, γ k x ) − δ − δ k ≤ | t k − t | ≤ d ( x, γ k x ) + δ + δ k ≤ d ( x, γ k x ) + 4 δ . Comme la suite ( t i ) i ∈ N est croissante d’apr`es (ii), nous en d´eduisons que ( t k − t ) = | t k − t | etque lim k → + ∞ k k − X i =0 | t i +1 − t i | (cid:1)! = lim k → + ∞ (cid:18) k | t k − t | (cid:1)(cid:19) = lim k → + ∞ (cid:18) k d (cid:0) x, γ k x (cid:1)(cid:19) = ℓ ( γ ) , ce qui a pour cons´equence que inf i ∈ N | t i +1 − t i | ≤ ℓ ( γ ) . On en d´eduit que d ( x, γ x ) = inf i ∈ N d ( γ i x, γ i +1 x ) ≤ inf i ∈ N ( | t i +1 − t i | + δ i + δ i +1 ) ≤ ℓ ( γ ) + 4 δ . (cid:3) Preuve de la Proposition 6.7 : Pour simplifier, notons N le plus petit entier strictement sup´erieur`a 13 δε . Montrons d’abord que ( i ) = ⇒ ( ii ) : en effet, si a et b v´erifient ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ≥ ε > a et b sont de type hyperbolique (en vertu du r´esultat rappel´e `a la suitedes D´efinitions 8.17) et d’autre part s ( a p ) et s ( b q ) sont respectivement sup´erieurs ou ´egaux `a ℓ ( a p ) et ℓ ( b q ) , eux-mˆemes sup´erieurs ou ´egaux `a N ε , donc strictement sup´erieurs `a 13 δ .La propri´et´e (i) implique alors qu’un des deux semi-groupes engendr´es par { a p , b q } ou par { a p , b − q } est libre. Preuve de (i) : Sous les hypoth`eses de (i), le Lemme 8.20 (i) implique que ℓ ( a ) ≥ s ( a ) − δ > δ et que ℓ ( b ) ≥ s ( b ) − δ > δ , donc que a et b sont de type hyperbolique car ℓ ( a ) , ℓ ( b ) > ∀ k ∈ Z ∗ , s ( a k ) > max (cid:0) , | k | (cid:1) · δ et s ( b k ) > max (cid:0) , | k | (cid:1) · δ ; (42)en effet, cette propri´et´e est v´erifi´ee (par hypoth`ese) lorsque k = ± | k | ≥ s ( a k ) ≥ ℓ ( a k ) = | k | ℓ ( a ) > | k | · δ ≥ δ et on montre de mˆeme que s ( b k ) > | k | · δ ≥ δ .Notons c a (resp. c b ) une des g´eod´esiques joignant les points fixes a − et a + de a (resp. les49oints fixes b − et b + de b ), orient´ee de fa¸con que c a ( −∞ ) = a − et c a (+ ∞ ) = a + (resp. c b ( −∞ ) = b − et c b (+ ∞ ) = b + ). Si les ensembles limites { a + , a − } et { b + , b − } ont un ´el´ementcommun, ils sont identiques d’apr`es la Proposition 8.21 (i) et sont les points fixes de tous les´el´ements de h a, b i , ce qui a pour cons´equence (d’apr`es la Proposition 8.21 (ii)) que h a, b i estvirtuellement cyclique, ce qui est exclu par hypoth`ese ; les ensembles limites { a + , a − } et { b + , b − } n’ont donc aucun ´el´ement commun.La Proposition 8.10 (ii) assure alors qu’il existe un point x = c a ( s ) de la g´eod´esique c a telque, pour toute suite ( t n ) n ∈ N tendant vers + ∞ , il existe une suite ( ε n ) n ∈ N de nombres r´eelsstrictement positifs tendant vers z´ero telle que, pour tout t ∈ R , et pour n suffisamment grand,on ait d ( c a ( t ) , c b ( t n )) ≥ d ( c b ( t n ) , x ) + d ( x , c a ( t )) − δ − ε n . (43)De la mˆeme mani`ere, la Proposition 8.10 (iii) assure qu’il existe un point x ′ = c a ( s ′ ) de lag´eod´esique c a tel que, pour toute suite ( t ′ n ) n ∈ N tendant vers −∞ , il existe une suite ( ε ′ n ) n ∈ N de nombres r´eels strictement positifs tendant vers z´ero telle que, pour tout t ∈ R + , et pour n suffisamment grand, on ait d ( c a ( t ) , c b ( t ′ n )) ≥ d ( c b ( t ′ n ) , x ′ ) + d ( x ′ , c a ( t )) − δ − ε ′ n . (44) Quitte `a remplacer ´eventuellement b par b − , ce qui a pour effet de changer l’orientation de c b , donc d’´echanger les points x et x ′ , nous supposerons dans la suite que s ′ ≤ s . Notons y = c b ( r ) un projet´e de x sur la g´eod´esique c b . Notons c a ( s k ) un projet´e de a k x sur la g´eod´esique c a et notons c b ( r q ) un projet´e de b q y sur la g´eod´esique c b . La Proposition8.9 (i), appliqu´ee aux g´eod´esiques c a et a k ◦ c a (resp. aux g´eod´esiques c b et b q ◦ c b ), donne : ∀ k , q ∈ Z , d (cid:0) a k x , c a ( s k ) (cid:1) ≤ δ et resp. d (cid:0) b q y , c b ( r q ) (cid:1) ≤ δ (45)Pour tous les q ∈ N ∗ et tous les k ∈ Z ∗ , on consid`ere une suite r´eelle ( t n ) n ∈ N qui tend vers + ∞ ;l’hypoth`ese assurant que s ( b ) > δ , on peut appliquer le Lemme 6.8, qui assure la croissancestricte de la suite n → r n ; on a en particulier r < r q et donc, lorsque n est suffisamment grand, d (cid:0) y , c b ( t n ) (cid:1) = d (cid:0) y , c b ( r q ) (cid:1) + d (cid:0) c b ( r q ) , c b ( t n ) (cid:1) . L’application du Lemme 8.7, puis de l’in´egalit´etriangulaire, donne, lorsque n est suffisamment grand, d (cid:0) x , c b ( t n ) (cid:1) + 2 δ ≥ d (cid:0) x , y (cid:1) + d (cid:0) y , c b ( t n ) (cid:1) = d (cid:0) b q x , b q y (cid:1) + d (cid:0) y , c b ( r q ) (cid:1) + d (cid:0) c b ( r q ) , c b ( t n ) (cid:1) ≥ d (cid:0) b q x , c b ( r q ) (cid:1) − d (cid:0) c b ( r q ) , b q y (cid:1) + d (cid:0) y , b q y (cid:1) + d (cid:0) c b ( r q ) , c b ( t n ) (cid:1) ;la seconde in´egalit´e (45) permet d’en d´eduire : d (cid:0) x , c b ( t n ) (cid:1) ≥ d (cid:0) b q x , c b ( t n ) (cid:1) − δ + d (cid:0) y , b q y (cid:1) (46)En appliquant l’in´egalit´e (43), puis l’in´egalit´e du quadrilat`ere (Lemme 8.3 (iv)), nous obtenons : d (cid:0) x , b q x (cid:1) + d (cid:0) x , c a ( s k ) (cid:1) + d (cid:0) x , c b ( t n ) (cid:1) − δ − ε n ≤ d (cid:0) x , b q x (cid:1) + d (cid:0) c a ( s k ) , c b ( t n ) (cid:1) − δ ≤ Max (cid:2) d (cid:0) x , c a ( s k ) (cid:1) + d (cid:0) b q x , c b ( t n ) (cid:1) ; d (cid:0) b q x , c a ( s k ) (cid:1) + d (cid:0) x , c b ( t n ) (cid:1)(cid:3) ≤ d (cid:0) b q x , c a ( s k ) (cid:1) + d (cid:0) x , c b ( t n ) (cid:1) , (47)o`u la derni`ere in´egalit´e (qui d´ecoule de l’in´egalit´e (46) et du fait que d (cid:0) x , b q x (cid:1) + d (cid:0) y , b q y (cid:1) ≥ s ( b q ) > δ en vertu de la propri´et´e (42)) est valable quand n est suffisamment grand (donc ε n suffisamment petit). Quand n est suffisamment grand, pour tous les q ∈ N ∗ et tous les k ∈ Z ∗ , en appliquant l’in´egalit´e Min (cid:2) d (cid:0) x , b q x (cid:1) , d (cid:0) x , a k x (cid:1)(cid:3) ≥ Min( s ( a k ) , s ( b p )) > δ + ε n (qui se d´eduit de la propri´et´e (42) et du fait que n est suffisamment grand), puis les in´egalit´es(47), (45) et l’in´egalit´e triangulaire, on d´eduit queMax (cid:2) d (cid:0) x , b q x (cid:1) , d (cid:0) x , a k x (cid:1)(cid:3) + 2 δ < d (cid:0) x , b q x (cid:1) + d (cid:0) x , a k x (cid:1) − δ − ε n ≤ d (cid:0) x , b q x (cid:1) + d (cid:0) x , c a ( s k ) (cid:1) − δ − ε n ≤ d (cid:0) b q x , c a ( s k ) (cid:1) − δ ≤ d (cid:0) b q x , a k x (cid:1) . (48)50onsid´erons maintenant le cas o`u k ∈ N ∗ et o`u q = − p (o`u p ∈ N ∗ ) et une suite r´eelle ( t n ) n ∈ N qui tend vers + ∞ . Le Lemme 6.8 et l’hypoth`ese sur s ( a ) assurant la croissance stricte de lasuite n → s n , on a s ′ ≤ s < s k et donc d (cid:0) x ′ , c a ( s k ) (cid:1) = d (cid:0) x ′ , x (cid:1) + d (cid:0) x , c a ( s k ) (cid:1) . L’in´egalit´e(44) et l’in´egalit´e triangulaire donnent, lorsque n est suffisamment grand, d ( c a ( s k ) , c b ( − t n )) + 5 δ + ε ′ n ≥ d ( c b ( − t n ) , x ′ ) + d ( x ′ , c a ( s k )) ≥ d ( c b ( − t n ) , x ′ ) + d ( x ′ , x ) + d ( x , c a ( s k )) ≥ d ( c b ( − t n ) , x ) + d ( x , c a ( s k )) , En appliquant cette derni`ere in´egalit´e puis l’in´egalit´e du quadrilat`ere (Lemme 8.3 (iv)) , nousobtenons, lorsque n ∈ N ∗ est suffisamment grand, d ( x , b − p x )+ d ( c b ( − t n ) , x )+ d ( x , c a ( s k )) − δ − ε ′ n ≤ d ( x , b − p x )+ d ( c a ( s k ) , c b ( − t n )) − δ ≤ Max (cid:2) d ( x , c a ( s k )) + d ( b − p x , c b ( − t n )) ; d ( b − p x , c a ( s k )) + d ( x , c b ( − t n ) (cid:3) . (49)Le Lemme 6.8 et l’hypoth`ese faite sur s ( b ) assurant la croissance stricte de la suite n → r n , ona − t n < r q < r (o`u q = − p et o`u n est suppos´e suffisamment grand), ce qui implique que d (cid:0) y , c b ( − t n ) (cid:1) = d (cid:0) y , c b ( r q ) (cid:1) + d (cid:0) c b ( r q ) , c b ( − t n ) (cid:1) . L’application de cette ´egalit´e, du Lemme 8.7,puis de l’in´egalit´e triangulaire, donnent alors d ( x , c b ( − t n )) + 2 δ ≥ d ( x , y ) + d ( y , c b ( − t n )) = d ( x , y ) + d ( y , c b ( r q )) + d ( c b ( r q ) , c b ( − t n )) ≥ d ( x , y ) + d ( y , b q y ) − δ + d ( c b ( r q ) , c b ( − t n )) , o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule de la deuxi`eme des in´egalit´es (45). De cette derni`ere in´egalit´enous d´eduisons, en utilisant ´egalement l’in´egalit´e triangulaire, le fait que d ( y , b q y ) > δ etque b q = b − p , puis la deuxi`eme des in´egalit´es (45), d ( b − p x , c b ( − t n )) < d ( b − p x , b − p y ) + d ( b − p y , c b ( r q )) + d ( c b ( r q ) , c b ( − t n )) + d ( y , b q y ) − δ ≤ d ( x , y ) + d ( c b ( r q ) , c b ( − t n )) + d ( y , b q y ) − δ ≤ d ( x , c b ( − t n )) − δ , ce qui implique que d ( x , c a ( s k )) + d ( b − p x , c b ( − t n )) < d ( x , c a ( s k )) + d ( x , c b ( − t n )) − δ< d ( x , b − p x ) + d ( c b ( − t n ) , x ) + d ( x , c a ( s k )) − δ − ε ′ n . En reportant cette derni`ere estim´ee dans l’in´egalit´e (49), nous en d´eduisons que d ( x , b − p x ) + d ( x , c a ( s k )) − δ − ε ′ n ≤ d ( b − p x , c a ( s k ))ce qui, en utilisant l’in´egalit´e triangulaire et les estim´ees (45), donne d ( x , b − p x ) + d (cid:0) x , a k x (cid:1) − δ − ε ′ n ≤ d ( b − p x , a k x ) + 2 δ ;en appliquant l’in´egalit´e Min (cid:2) d (cid:0) x , b q x (cid:1) , d (cid:0) x , a k x (cid:1)(cid:3) ≥ Min( s ( a k ) , s ( b p )) > δ + ε ′ n (qui sed´eduit de la propri´et´e (42) et du fait que n est suffisamment grand), nous en d´eduisons, lorsque n est suffisamment grand (donc ε ′ n suffisamment petit) que ∀ k, p ∈ N ∗ , Max (cid:2) d ( x , b − p x ) , d ( x , a k x (cid:3) + 2 δ < d ( b − p x , a k x ) . Cette derni`ere in´egalit´e et l’in´egalit´e (48) prouvent que, pour tous les ( p, q ) ∈ ( Z ∗ × Z ∗ ) \ ( Z − × Z − ) , on a d ( b q x , a k x ) > Max (cid:2) d ( x , b q x ) , d ( x , a k x (cid:3) + 2 δ , la Proposition 6.5 (ii)permet d’en d´eduire que le semi-groupe engendr´e par a et b est libre. Ceci ach`eve la preuve de(i) et de la Proposition 6.7. (cid:3) .3 Le cas o`u la constante de Margulis est sup´erieure `a δ Rappelons que, selon la D´efinition 4.12, la constante de Margulis L ( a, b ) d’une paire d’isom´etries { a, b } de l’espace ( X, d ) est l’infimum de Max [ d ( x, a p x ) ; d ( x, b q x ) ] quand x parcourt X et quand ( p, q ) parcourt l’ensemble des ( p, q ) ∈ Z ∗ × Z ∗ tels que a p et b q soient non triviaux.Rappelons aussi que, `a toute isom´etrie hyperbolique γ d’un espace δ − hyperbolique ( X, d ) , nous avonsassoci´e sa fonction rayon de d´eplacement x R γ ( x ) := Min k ∈ N ∗ d ( x, γ k x ) (voir la D´efinition 4.2)et que nous avons d´efini les domaines de Margulis M R ( γ ) comme l’ensemble des points x tels que R γ ( x ) ≤ R (voir la D´efinition 4.5 et la Remarque 4.6). Le but de cette sous-section est d’´etablir un r´esultat en faisant les hypoth`eses les plus faibles pos-sibles sur la g´eom´etrie de l’espace m´etrique consid´er´e ; ´evidemment nous payons cette g´en´eralit´epar une hypoth`ese (a priori assez forte) sur l’action de la paire d’isom´etries { a, b } consid´er´ee :nous supposerons en effet que la constante de Margulis L ( a, b ) de cette paire d’isom´etries estminor´ee. Plus pr´ecis´ement, nous d´emontrerons le Th´eor`eme 6.9. Soit ( X, d ) un espace δ − hyperbolique. Soient a et b deux isom´etries hy-perboliques de ( X, d ) telles que le sous-groupe engendr´e h a, b i soit un sous-groupe discret nonvirtuellement cyclique du groupe des isom´etries de ( X, d ) . Si la constante de Margulis L ( a, b ) v´erifie L ( a, b ) > δ , alors on a les propri´et´es suivantes pour les sous-groupes du groupe desisom´etries de ( X, d ) :(i) si ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ≤ δ , le sous-groupe engendr´e par { a, b } est libre,(ii) si ℓ ( a ) , ℓ ( b ) > δ , un des deux semi-groupes engendr´es par { a , b } ou par { a , b − } est libre,(iii) si ℓ ( a ) ≤ δ et ℓ ( b ) > δ , un des deux semi-groupes engendr´es par { b , aba − } oupar { b , a b − a − } est libre,(iv) si ℓ ( a ) > δ et ℓ ( b ) ≤ δ , un des deux semi-groupes engendr´es par { a , bab − } oupar { a , b a − b − } est libre La preuve de ce Th´eor`eme repose principalement sur la Proposition suivante : Proposition 6.10. Soit ( X, d ) un espace δ − hyperbolique. Soient a et b deux isom´etries hy-perboliques de ( X, d ) telles que le sous-groupe engendr´e h a, b i soit un sous-groupe discret nonvirtuellement cyclique du groupe des isom´etries de ( X, d ) . Si la constante de Margulis L ( a, b ) v´erifie L ( a, b ) − Max [ ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ] > δ , alors a et b engendrent un sous-groupe libre du groupedes isom´etries de ( X, d ) .Preuve de la Proposition 6.10 : Posons ℓ = M ax [ ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ] pour simplifier l’´ecriture. L’hy-poth`ese L ( a, b ) > δ + ℓ nous permet de fixer un R tel que 10 δ + ℓ < R < L ( a, b ) . Notons ε un r´eel quelconque v´erifiant 0 < ε < R − (10 δ + ℓ ) et notons ε ′ le nombre r´eel strictementpositif tel que R = 10 δ + ℓ + ε +2 ε ′ . Posons r := ℓ + δ + ε , les Lemmes 4.8 (ii) et 4.14impliquent que M r ( a ) et M r ( b ) sont des ferm´es disjoints non vides ; de plus, d’apr`es le Lemme4.13, on peut choisir deux points x ∈ M r ( a ) et y ∈ M r ( b ) tels que d ( x , y ) soit le minimumde d ( x, y ) quand ( x, y ) parcourt M r ( a ) × M r ( b ) . Fixons une g´eod´esique [ x , y ] qui relie cesdeux points. D´emontrons d’abord la propri´et´e : ∃ x ∈ [ x , y ] tel que ∀ ( p, q ) ∈ Z ∗ × Z ∗ d ( x, a p x ) > R et d ( x, b q x ) > R . (50)En effet, on a L ( a, b ) > R , le Lemme 4.14 implique alors que M R ( a ) et M R ( b ) sont desferm´es disjoints contenant respectivement x et y , donc que leurs intersections avec [ x , y ]sont des ferm´es disjoints non vides dont (par connexit´e) la r´eunion ne peut ˆetre ´egale `a [ x , y ] .Il existe donc un point x ∈ [ x , y ] qui n’appartient pas `a M R ( a ) ∪ M R ( b ) et v´erifie donc lapropri´et´e (50). 12. Dans cette Proposition, l’hypoth`ese L ( a, b ) − Max [ ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ] > δ , on peut substituer l’hypoth`ese : iln’existe pas de point x ∈ X et d’entiers p, q ∈ N ∗ qui v´erifient simultan´ement d ( x, a p x ) ≤ δ +Max [ ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ]et d ( x, b q x ) ≤ δ + Max [ ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ] . L’´equivalence de cet ´enonc´e avec la Proposition 6.10 est justifi´ee par leLemme 4.14 et le d´ebut de la preuve de la pr´esente Proposition 6.10. x ∈ [ x , y ] donn´e par la propri´et´e (50). Le fait que x / ∈ M R ( a ) ,que x est un projet´e de x sur M r ( a ) , que a p x ∈ M r ( a ) , et le Lemme 4.9 impliquent que ∀ p ∈ Z ∗ d ( x, a p x ) ≥ d ( x, x ) > 12 ( R − r ) = 92 δ + ε ′ . (51)Fixons deux ´el´ements quelconques p et q de Z ∗ . Notons [ x, x ] la portion de la g´eod´esique[ x , y ] comprise entre x et x et appelons [ a p x, a p x ] l’image de cette g´eod´esique par a p ;choisissons des g´eod´esiques [ x, a p x ] , [ x , a p x ] et [ x, a p x ] de mani`ere quelconque. D’apr`es lesin´egalit´es (50) et (51), il existe des points u , u ′ et u ′′ , situ´es respectivement sur les g´eod´esiques[ x, a p x ] , [ x, a p x ] et [ x, x ] , tels que d ( x, u ) = d ( x, u ′ ) = d ( x, u ′′ ) = δ + ε ′ .Consid´erons les triangles ∆ = [ x, a p x, a p x ] et ∆ ′ = [ x, a p x , x ] form´es par les g´eod´esiqueschoisies ci-dessus (ayant donc la g´eod´esique [ x, a p x ] comme cˆot´e commun) et leurs approxima-tions par les tripodes associ´es : f ∆ : (∆ , d ) → ( T ∆ , d T ) et f ∆ ′ : (∆ ′ , d ) → ( T ∆ ′ , d T ′ ) (selon laconstruction d´ecrite en d´ebut de sous-section 8.1), les points centraux de branchement de ces tri-podes ´etant not´es respectivement c et c ′ ; les longueurs des branches du tripode ( T ∆ , d T ) (resp.( T ∆ ′ , d T ′ ) ) d’extr´emit´es f ∆ ( x ) , f ∆ ( a p x ) et f ∆ ( a p x ) (resp. f ∆ ′ ( x ) , f ∆ ′ ( a p x ) et f ∆ ′ ( x ) )sont not´ees α, β et γ (resp. α ′ , β ′ et γ ′ ). Notons c ′ l’image r´eciproque dans [ x , a p ( x )] par f ∆ ′ du point de branchement c ′ du tripode T ∆ ′ , le Lemme 4.11 (iii) assure que c ′ ∈ M r +2 δ ( a )et, comme x appartient `a l’adh´erence de X \ M R ( a ) , on a (d’apr`es le Lemme 4.9) α ′ = d T ′ (cid:0) f ∆ ′ ( x ) , c ′ (cid:1) ≥ d ( x, c ′ ) − δ ≥ d (cid:0) x, M r +2 δ ( a ) (cid:1) − δ ≥ 12 ( R − r − δ ) − δ = 52 δ + ε ′ , o`u la derni`ere ´egalit´e d´ecoule du choix de R et de r . Il s’ensuit que les points f ∆ ′ ( u ′ ) et f ∆ ′ ( u ′′ ) appartiennent tous deux `a la branche [ c ′ , f ∆ ′ ( x )] du tripode ( T ∆ ′ , d T ′ ) et donc que f ∆ ′ ( u ′ ) = f ∆ ′ ( u ′′ ) et le Lemme d’approximation 8.3 (i) permet d’en d´eduire que d ( u ′ , u ′′ ) ≤ δ .Par ailleurs, l’application f ∆ ´etant une isom´etrie en restriction `a chacun des cˆot´es de ∆ (cf. leLemme 8.1 (i)), on a α + γ = d ( x, a p x ) ≥ d ( x, x ) = d ( a p x, a p x ) = β + γ , ce qui assure que α ≥ β ; comme on a ´egalement α + β = d ( x, a p x ) > R , le fait que l’application f ∆ soit une isom´etrie en restriction `a chacun des cˆot´es de ∆ (cf. le Lemme 8.1 (i)) et l’in´egalit´e(50) impliquent que α > R > δ + ε ′ > d ( x, u ) = d ( x, u ′ ) = d T ( f ∆ ( x ) , f ∆ ( u )) = d T ( f ∆ ( x ) , f ∆ ( u ′ )) , ce qui prouve que les points f ∆ ( u ) et f ∆ ( u ′ ) sont situ´es sur la branche [ c, f ∆ ( x )] du tripode T ∆ et v´erifient f ∆ ( u ) = f ∆ ( u ′ ) ; le Lemme d’approximation 8.3 (i) permet d’en d´eduire que d ( u, u ′ ) ≤ δ . Cette derni`ere in´egalit´e et l’in´egalit´e d ( u ′ , u ′′ ) ≤ δ pr´ec´edemment d´emontr´eeimpliquent (par l’in´egalit´e triangulaire) que d ( u, u ′′ ) ≤ δ .Notons [ x, y ] la portion de la g´eod´esique [ x , y ] comprise entre x et y . En rempla¸cant a par b et p par q dans le raisonnement pr´ec´edent, on construit des g´eod´esiques [ x, b q x ] et[ x, b q y ] et des points v , v ′ et v ′′ , situ´es respectivement sur les g´eod´esiques [ x, b q x ] , [ x, b q y ]et [ x, y ] , tels que d ( x, v ) = d ( x, v ′ ) = d ( x, v ′′ ) = δ + ε ′ . On d´emontre de la mˆeme mani`ere quepr´ec´edemment que d ( v, v ′′ ) ≤ δ . Cette derni`ere estim´ee, l’in´egalit´e d ( u, u ′′ ) ≤ δ , l’in´egalit´etriangulaire et le fait que u ′′ , x et v ′′ soient port´es par la mˆeme g´eod´esique (minimisante)[ x , y ] donnent d ( u, v ) ≥ d ( u ′′ , x ) + d ( x, v ′′ ) − d ( u, u ′′ ) − d ( v, v ′′ ) ≥ δ + 2 ε ′ − δ = δ + 2 ε ′ . (52)Consid´erons maintenant le triangle ∆ = [ x, a p x, b q x ] et son approximation par le tripode as-soci´e : f ∆ : (∆ , d ) → ( T ∆ , d T ) (selon la construction d´ecrite en d´ebut de sous-section 8.1), dontles longueurs des branches d’extr´emit´es f ∆ ( a p x ) , f ∆ ( b q x ) et f ∆ ( x ) sont not´ees respective-ment α, β et γ . Notons c le point de branchement du tripode T ∆ . De l’in´egalit´e (52) et dulemme d’approximation 8.3 (i), nous d´eduisons que d T ( f ∆ ( u ) , f ∆ ( v )) ≥ ε ′ > f ∆ ´etant une isom´etrie en restriction `a chacun des cˆot´es de ∆ (cf. le Lemme8.1 (i)), on obtient : d T ( f ∆ ( x ) , f ∆ ( u )) = d ( x, u ) = 52 δ + ε ′ = d ( x, v ) = d T ( f ∆ ( x ) , f ∆ ( v )) . — Si γ ≥ δ + ε ′ , alors f ∆ ( u ) et f ∆ ( v ) appartiennent tous deux `a la branche [ c, f ∆ ( x )]du tripode T ∆ , et v´erifient donc f ∆ ( u ) = f ∆ ( v ) , ce qui contredit l’in´egalit´e (53).— Si δ < γ < δ + ε ′ , alors f ∆ ( u ) et f ∆ ( v ) appartiennent respectivement aux branches[ c, f ∆ ( a p x )] et [ c, f ∆ ( b q x )] du tripode T ∆ , et alors d T ( c, f ∆ ( v )) = d T ( c, f ∆ ( u )) = d T ( f ∆ ( x ) , f ∆ ( u )) − d T ( f ∆ ( x ) , c ) = 52 δ + ε ′ − γ < ε ′ , ce qui implique que d T ( f ∆ ( u ) , f ∆ ( v )) < ε ′ , en contradiction avec l’in´egalit´e (53).La seule possibilit´e est donc que γ ≤ δ . (54)En vertu du fait que l’application f ∆ est une isom´etrie en restriction `a chacun des cˆot´es de ∆ (cf.le Lemme 8.1 (i)) et de l’in´egalit´e (50), nous avons Min( α, β ) = Min [ d ( x, a p x ) ; d ( x, b q x )] − γ >R − γ , ce qui entraˆıne : d ( a p x, b q x ) = α + β = Max( α, β ) + Min( α, β ) > Max( α + γ, β + γ ) + R − γ , soit, en utilisant la d´efinition de R et l’in´egalit´e (54), d ( a p x, b q x ) − Max [ d ( x, a p x ) ; d ( x, b q x )] > R − γ ≥ δ + ε + 2 ε ′ − δ > δ . Cette derni`ere in´egalit´e ´etant valable pour tous les ( p, q ) ∈ Z ∗ × Z ∗ , on conclut en appliquantla proposition 6.5 (i). (cid:3) Fin de la preuve du Th´eor`eme 6.9 :– Si ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ≤ δ , comme L ( a, b ) > δ , on a L ( a, b ) − Max [ ℓ ( a ) , ℓ ( b ) ] > δ et laProposition 6.10 implique que le sous-groupe engendr´e par { a, b } est libre.– Si ℓ ( a ) , ℓ ( b ) > δ , le Lemme 8.20 (i) assure que s ( a ) , s ( b ) > δ et la Proposition 6.7 (i)implique alors qu’un des deux semi-groupes engendr´es par { a , b } ou par { a , b − } est libre.– Si ℓ ( a ) ≤ δ et ℓ ( b ) > δ , alors ℓ ( a ba − ) = ℓ ( b ) > δ et le Lemme 8.20 (i) assureque s ( b ) , s ( a ba − ) > δ . La Proposition 6.7 (i) implique alors qu’un des deux semi-groupesengendr´es par { b , aba − } ou par { b , a b − a − } est libre.– Si ℓ ( a ) > δ et ℓ ( b ) ≤ δ , la mˆeme d´emonstration (en ´echangeant les rˆoles de a et b )prouve qu’un des deux semi-groupes engendr´es par { a , bab − } ou par { a , b a − b − } est libre. (cid:3) Dans cette sous-section, on se fixe arbitrairement trois constantes positives δ , H et D et on s’int´eresse`a tous les espaces δ − hyperboliques ( X, d ) dont la distance est convexe (au sens de la D´efinition 5.19) et`a toutes les actions propres, par isom´etries) d’un groupe Γ sur ( X, d ) telles que l’entropie de ( X, d ) etle diam`etre de Γ \ X soient respectivement born´es par H et D . `A ces trois valeurs des param`etres δ , H et D , on associe la constante universelle s ( δ, H, D ) > d´efinie par l’´egalit´e (29) . `A l’inverse de ce que nous avons fait dans la sous-section 6.3, le but de la pr´esente sous-sectionest, au prix d’hypoth`eses l´eg`erement plus fortes sur la g´eom´etrie de l’espace m´etrique consid´er´e,de d´emontrer un r´esultat valable pour toute paire d’´el´ements de Γ , sans restriction sur les valeursde ℓ ( a ) , de ℓ ( b ) ou de la constante de Margulis L ( a, b ) :54 h´eor`eme 6.11. Pour tout espace m´etrique connexe δ − hyperbolique g´eod´esiquement complet,non ´el´ementaire ( X, d ) , dont la distance est convexe, pour toute action propre (par isom´etries)d’un groupe Γ sans torsion sur cet espace tels que le diam`etre de Γ \ X et l’Entropie de ( X, d ) soient respectivement major´es par D et H , pour toute paire d’´el´ements a , b ∈ Γ , si le sous-groupe engendr´e h a, b i n’est pas cyclique alors, pour tous les entiers p , q ≥ δs ( δ, H, D ) un desdeux semi-groupes engendr´es par { a p , b q } ou par { a p , b − q } est libre.Preuve : Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 6.11, le Lemme 8.12 assure que l’action de Γ est fid`ele,discr`ete, sans point fixe et cocompacte ; en particulier Γ s’identifie `a un sous-groupe cocompactet discret du groupe des isom´etries de ( X, d ) . Le Th´eor`eme 5.24 prouve alors que, pour toutepaire d’´el´ements a , b ∈ Γ ∗ , on a ℓ ( a ) , ℓ ( b ) > s ( δ, H, D ) . La Proposition 6.7 (ii) permet d’end´eduire que l’un des deux semi-groupes engendr´es par { a p , b q } ou par { a p , b − q } est libre pourtous les p , q ≥ δs ( δ, H, D ) . (cid:3) Contrairement aux r´esultats des sections pr´ec´edentes, les r´esultats de la pr´esente section portent sur desespaces m´etriques mesur´es ( Y, d, µ ) qui ne sont plus suppos´es Gromov-hyperboliques , et (dans la plupartdes r´esultats) leur diam`etre ne sera plus suppos´e born´e ; en fait la seule hypoth`ese que nous ferons eng´en´eral sur ces espaces sera de supposer leur entropie born´ee par une constante arbitraire H . Surces espaces, nous consid`ererons des actions (propres, par isom´etries pr´eservant la mesure) d’un groupeΓ ; la seule restriction que nous apporterons sera que le groupe Γ soit pris dans une classe de groupesv´erifiant une mˆeme propri´et´e alg´ebrique intrins`eque qui sera pr´ecis´ee par les D´efinitions 7.4.L’id´ee qui sous-tend cette ´etude est que les propri´et´es de Margulis sont “transplantables” : dit tr`esgrossi`erement, cette expression signifie que, si un groupe admet une action propre (dite “de r´ef´erence”)sur un espace Gromov-hyperbolique ( X, d X ) , il en h´erite de propri´et´es alg´ebriques telles que toute actiondu mˆeme groupe sur tout autre espace m´etrique mesur´e ( Y, d, µ ) d’entropie born´ee b´en´eficie encore desmˆemes propri´et´es de Margulis que l’action de r´ef´erence (voir les Propositions 7.10, 7.13, 7.16, 7.21 et7.23 pour des ´enonc´es pr´ecis).En ce qui concerne la premi`ere action “de r´ef´erence” sur un espace Gromov-hyperbolique ( X, d X ) , leparam`etre quantitatif que nous en retiendrons, pour chaque isom´etrie hyperbolique γ , est le d´eplacementmoyen ℓ ( γ ) = lim n → + ∞ d ( x,γ n x ) n , cette notion ´etant pr´ecis´ee dans les D´efinitions 8.17. D´efinitions 7.1. Consid´erons un espace δ − hyperbolique quelconque ( X, d ) et un groupe Γ agissant par isom´etries sur ( X, d ) ;(i) ´etant donn´ee une valeur α > , cette action sera dite α − HT (pour α − HyperbolicallyThick), si elle v´erifie de plus ℓ ( γ ) ≥ α pour tout γ ∈ Γ ∗ (ii) ´etant donn´ee une fonction N : ] 0 , + ∞ [ → N ∗ , cette action sera dite “ N ( • ) − acylindriquementhyperbolique ” si elle v´erifie de plus la propri´et´e : ∀ R > , ∃ A ≥ t. q. ∀ x, y ∈ X d ( x, y ) ≥ A = ⇒ { g : d ( x, g.x ) < R et d ( y, g.y ) < R } ≤ N ( R ) ; l’action sera dite “ acylindriquement hyperbolique ” s’il existe une fonction N ( • ) telle quecette action soit N ( • ) − acylindriquement hyperbolique. Remarque 7.2. Les d´efinitions ci-dessus impliquent que 13. Cette hypoth`ese est une mani`ere de fixer l’´echelle : en effet, sans une telle normalisation, toute minorationdes distances, des d´eplacements ou de la systole serait impossible puisque ces invariants g´eom´etriques tendent versz´ero lorsqu’on multiplie la distance par un facteur tendant vers z´ero. Parmi toutes les normalisations possibles,cette hypoth`ese “d’entropie major´ee” est la plus faible (voir la sous-section 3.3 pour une comparaison avec lesdiff´erentes hypoth`eses contenues dans la litt´erature). i) Toute action α − HT d’un groupe Γ sur un espace δ − hyperbolique est automatiquementfid`ele, discr`ete et propre et l’existence d’une telle action implique que le groupe Γ estsans torsion.(ii) Toute action acylindriquement hyperbolique fid`ele d’un groupe Γ sur un espace δ − hyperboliqueest automatiquement discr`ete et propre.Preuve : Il est ´evident que l’action est fid`ele quand elle est α − HT. Donc, que nous soyons dansle cas (i) ou dans le cas (ii), nous supposerons dor´enavant que Γ est identifi´e `a un sous-groupedu groupe des isom´etries Isom( X, d ) de l’espace ( X, d ) consid´er´e.Si Γ n’est pas discret (ou s’il n’est pas ferm´e) dans Isom( X, d ) , il existe une suite ( γ n ) n ∈ N d’´el´ements distincts de Γ qui converge (uniform´ement sur tout compact) vers un ´el´ement g ∈ Isom( X, d ) . Toute paire de points { x, y } ´etant compacte, il existe un n ∈ N tel que ∀ p ∈ N d ( x, γ − n γ n + p x ) = d ( γ n x, γ n + p x ) < α et d ( y, γ − n γ n + p y ) < α . (55)— Si l’action est α − HT, comme inf x ∈ X d ( x, γ x ) ≥ ℓ ( γ ) ≥ α , on d´eduit de (55) que γ − n γ n + p = e , donc que γ n + p = γ n pour tout p ∈ N , ce qui est contradictoire avecle fait que la suite ( γ n ) n ∈ N est constitu´ee d’´el´ements distincts.— Si l’action est acylindriquement hyperbolique, cette derni`ere propri´et´e entre en contradic-tion avec la propri´et´e (55) qui assure que, pour toute paire de points { x, y } l’ensembledes γ ∈ Γ qui v´erifient simultan´ement d ( x, γ x ) < α et d ( y, γ y ) < α est infini.Dans les deux cas, nous avons prouv´e que Γ est un sous-groupe discret (et ferm´e) de Isom( X, d ) .Un espace δ − hyperbolique ´etant toujours implicitement suppos´e propre, la Proposition 8.11assure alors que l’action est propre.Si l’action est α − HT, pour tout γ ∈ Γ ∗ et tout k ∈ Z ∗ , on a g k = e car ℓ ( γ k ) = | k | ℓ ( γ ) = 0 ,ce qui implique que γ n’est pas de torsion, donc que Γ est sans torsion. (cid:3) Proposition 7.3. Pour tout espace δ − hyperbolique ( X, d ) et pour tout sous-groupe Γ sanstorsion de son groupe d’isom´etries, si l’action de Γ sur ( X, d ) est N ( • ) − acylindriquementhyperbolique, elle est automatiquement ε − HT, o`u ε := 21 δN (20 δ ) + 2 . On a donc ℓ ( γ ) ≥ ε pour tout ´el´ement γ de Γ ∗ .Preuve : Si l’action de Γ sur ( X, d ) est N ( • ) − acylindriquement hyperbolique, elle est auto-matiquement fid`ele : en effet l’action se fait via une repr´esentation ̺ : Γ → Isom( X, d ) et, surtoute paire de points x, y ∈ X tout ´el´ement γ ∈ Ker( ̺ ) v´erifie simultan´ement d ( x, γ · x ) := d (cid:0) x, ̺ ( γ )( x ) (cid:1) = 0 < ε et d ( y, γ · y ) := d (cid:0) y, ̺ ( γ ) y ) (cid:1) = 0 < ε (pour tout ε > (cid:0) Ker( ̺ ) (cid:1) ≤ N ( ε ) , donc que tous les ´el´ements de Ker( ̺ ) sont de torsion, ce qui est exclu parhypoth`ese.Comme l’action est discr`ete et propre (d’apr`es la Remarque 7.2) et le groupe sans torsion, laRemarque 8.14 (i) assure qu’aucun ´el´ement de Γ ∗ n’agit de mani`ere elliptique.Consid´erons n’importe quel ´el´ement γ ∈ Γ ∗ qui agit par isom´etrie parabolique, notons γ ∞ son unique point fixe (situ´e sur le bord id´eal ∂X ) et fixons un rayon-g´eod´esique c v´erifiant c (+ ∞ ) = γ ∞ . Posons N := N (8 δ ) et associons-lui la constante T N := sup n ∈{ ,...,N } d (cid:0) c (0) , γ n c (0) (cid:1) . Pour tout A ≥ t, t ′ ∈ [ T N , + ∞ [ tels que | t ′ − t | ≥ A , pour tous les n ∈ Z telsque | n | ≤ N , le Lemme 8.15 (appliqu´e `a l’isom´etrie parabolique γ n ) assure que d (cid:0) c ( t ) , γ n c ( t ) (cid:1) ≤ δ < δ et d (cid:0) c ( t ′ ) , γ n c ( t ′ ) (cid:1) ≤ δ < δ , et par cons´equent N (8 δ ) ≥ (cid:8) g ∈ Γ : d (cid:0) c ( t ) , g c ( t ) (cid:1) < δ et d (cid:0) c ( t ′ ) , g c ( t ′ ) (cid:1) < δ (cid:9) 14. Rappelons qu’une action sur un espace m´etrique ( X, d ) est dite “propre” si, pour tout R > x ∈ X , l’ensemble des γ ∈ Γ tels que d ( x, γ x ) ≤ R est fini. { γ n : n ∈ Z tel que | n | ≤ N } = 2 N (8 δ ) + 1 , d’o`u une contradiction qui assure qu’aucun ´el´ement de Γ n’agit par isom´etrie parabolique.Il s’ensuit que tout γ ∈ Γ ∗ agit sur ( X, d ) comme isom´etrie de type hyperbolique, dont les pointsfixes (situ´es sur le bord id´eal) sont not´es γ − et γ + . Posons I := (cid:26) p ∈ Z : 11 δ ℓ ( γ ) < | p | < δℓ ( γ ) (cid:27) ,pour tout p ∈ I , on a s ( γ p ) ≥ ℓ ( γ p ) = | p | ℓ ( γ ) > δ , o`u le d´eplacement minimum s ( γ ) a ´et´eintroduit dans les D´efinitions 8.17 ; nous pouvons donc appliquer le Lemme 6.8 (i) qui assureque, pour tout x ∈ M ( γ ) et tout p ∈ I , d ( x, γ p x ) ≤ ℓ ( γ p ) + 4 δ < δ . Pour tout A ≥ x, y deux points de M ( γ ) tels que d ( x, y ) > A (deux tels points existent, par exemplesur une mˆeme g´eod´esique c ∈ G ( γ ) ), on a alors ∀ p ∈ I d ( x, γ p x ) < δ et d ( y, γ p y ) < δ , et, par cons´equent N (20 δ ) ≥ { g ∈ Γ : d ( x, g.x ) < δ et d ( y, g.y ) < δ } ≥ I ) ≥ (cid:18) δ ℓ ( γ ) − (cid:19) , ce qui donne ℓ ( γ ) ≥ δN (20 δ ) + 2 pour tout γ ∈ Γ ∗ . (cid:3) Ces premi`eres d´efinitions nous am`enent aux d´efinitions suivantes : D´efinitions 7.4. Etant donn´es des r´eels quelconques δ, α > et une fonction N : ] 0 , + ∞ [ → N ∗ , nous d´efinissons les classes de groupes suivantes :(i) La classe des groupes “ (cid:0) δ, α (cid:1) − HT ”, i.e. l’ensemble des groupes non cycliques Γ qui ad-mettent au moins une action α − HT (par isom´etries) sur au moins un espace δ − hyperbolique.(ii) La classe des groupes “ (cid:0) δ , N ( • ) (cid:1) − acylindriquement hyperboliques ”, i. e. l’ensemble desgroupes non cycliques et sans torsion Γ qui admettent au moins une action N ( • ) − acylindriquement hyperbolique (par isom´etries) sur au moins un espace δ − hyperbolique.(iii) La classe des groupes “ (cid:0) δ, α (cid:1) − non ab´eliens ”, i.e. l’ensemble des groupes non ab´eliens Γ tels que, pour toute paire d’´el´ements γ, γ ′ qui ne commutent pas entre eux, il existeun morphisme ̺ du sous-groupe h γ, γ ′ i engendr´e par ces deux ´el´ements vers un groupe (cid:0) δ, α (cid:1) − HT tel que ̺ ( h γ, γ ′ i ) ne soit isomorphe ni `a { } , ni `a Z .(iv) La classe des groupes “ (cid:0) δ, α (cid:1) − transitifs non ab´eliens ”, i.e. l’ensemble des groupes (cid:0) δ, α (cid:1) − nonab´eliens Γ tels que la relation de commutation soit transitive sur Γ ∗ . Remarques 7.5. Soulignons quelques cons´equences de ces d´efinitions : (a) tout groupe ( δ, α ) − HT est automatiquement ( δ, α ) − transitif non ab´elien et tout groupe ( δ, α ) − transitif non ab´elien est ( δ, α ) − non ab´elien et de centre trivial ;(b) tout sous-groupe non cyclique d’un groupe ( δ, α ) − HT est automatiquement ( δ, α ) − HT ;(c) tout groupe ( δ, α ) − non ab´elien de centre trivial est sans torsion ;(d) tout sous-groupe non trivial virtuellement nilpotent d’un groupe ( δ, α ) − HT est automa-tiquement isomorphe `a Z .Preuve : La propri´et´e (b) est v´erifi´ee car la restriction `a un sous-groupe de Γ d’une action α − HTde Γ sur un espace δ − hyperbolique est une action α − HT sur le mˆeme espace. Preuve de (d) : Par hypoth`ese, le groupe Γ consid´er´e admet une action α − HT sur au moinsun espace δ − hyperbolique ; par la Remarque 7.2 (i), cette action est fid`ele, discr`ete et propre,et les propri´et´es (iii) et (iv) de la Proposition 8.21 impliquent que tout sous-groupe non trivialvirtuellement nilpotent de Γ est virtuellement cyclique ; en appliquant la Remarque 8.13, un telgroupe est infini cyclique puisqu’il est sans torsion d’apr`es la Remarque 7.2 (i). 15. La relation de commutation ∼ est d´efinie par γ ∼ γ ′ ⇐⇒ γ commute avec γ ′ . reuve de (c) : Si la propri´et´e (c) n’est pas v´erifi´ee, il existe un γ ∈ Γ ∗ et un n ∈ N telsque γ n = e , fixons un tel ´el´ement γ ; il existe un γ ′ ∈ Γ ∗ qui ne commute pas avec γ (sinon γ serait un ´el´ement non trivial du centre de Γ . Puisque le groupe est ( δ, α ) − non ab´elien, ilexiste un morphisme ̺ du sous-groupe h γ, γ ′ i vers un groupe (cid:0) δ, α (cid:1) − HT tel que ̺ ( h γ, γ ′ i )ne soit isomorphe ni `a 0 , ni `a Z . Comme ̺ ( γ ) n = id X , on a ̺ ( γ ) = id X (car sinon, onaurait 0 = ℓ (cid:0) ̺ ( γ ) n (cid:1) = n ℓ (cid:0) ̺ ( γ ) (cid:1) ≥ n α ), et par cons´equent ̺ ( h γ, γ ′ i ) = ̺ ( h γ ′ i ) , qui (d’apr`es lapropri´et´e (d)) est isomorphe `a Z (resp. `a { } ) si ̺ ( γ ′ ) est non trivial (resp. s’il est trivial), encontradiction avec le fait que ̺ ( h γ, γ ′ i ) n’est isomorphe ni `a 0 , ni `a Z . Cette contradiction nepeut ˆetre lev´ee que si Γ est sans torsion. Preuve de (a) : Si Γ est un groupe ( δ, α ) − transitif non ab´elien, alors il est ( δ, α ) − non ab´elien ; sile centre de Γ contenait un ´el´ement non trivial, cet ´el´ement commuterait avec tous les ´el´ementsde Γ et, par transitivit´e de la relation de commutation, Γ serait ab´elien, ce qui est exclu ; doncle centre de Γ est trivial, ce qui prouve la seconde affirmation.Consid´erons maintenant n’importe quel groupe Γ qui est ( δ, α ) − HT, l’identit´e id Γ est alorsun morphisme de Γ dans lui-mˆeme qui envoie tout sous groupe non ab´elien h γ, γ ′ i sur un sousgroupe diff´erent de { } et de Z . Pour d´emontrer que Γ , qui est non cyclique, est (cid:0) δ, α (cid:1) − transitifnon ab´elien, il nous suffit d’une part de d´emontrer qu’il est non ab´elien, ce qui d´ecoule dela propri´et´e (d), et d’autre part que la relation de commutation est transitive sur Γ ∗ , ce quid´ecoule du Lemme suivant : Lemme 7.6. Pour tout ´el´ement Γ de la classe des groupes ( δ, α ) − HT, la relation ∼ , d´efiniesur l’ensemble Γ ∗ par γ ∼ γ ′ ⇐⇒ γ et γ ′ commutent , est une relation d’´equivalence. Le mˆeme r´esultat vaut lorsque le groupe Γ est (cid:0) δ, α (cid:1) − transitifnon ab´elienPreuve : La r´eflexivit´e et la sym´etrie de cette relation ´etant ´evidentes, il suffit de prouver satransitivit´e.Lorsque Γ est (cid:0) δ, α (cid:1) − transitif non ab´elien, la transitivit´e de ∼ est incluse dans la d´efinition-mˆeme de cette classe de groupes, ce qui ach`eve la preuve dans ce cas.Supposons dor´enavant que Γ est ( δ, α ) − HT et ´etablissons d’abord la propri´et´e : ∀ γ , γ ′ ∈ Γ ∗ h γ , γ ′ i est ab´elien ⇐⇒ ∃ p , q ∈ Z ∗ tels que γ p = ( γ ′ ) q (56)En effet tout sous-groupe virtuellement ab´elien non trivial de Γ est automatiquement isomorphe`a ( Z , +) d’apr`es la Remarque 7.5 (d). Dans l’´equivalence (56), l’implication ⇒ est donc triviale.R´eciproquement, si on suppose qu’il existe p , q ∈ Z ∗ tels que γ p = γ ′ q , le fait que Γ est( δ, α ) − HT implique qu’il existe une action α − HT de Γ sur un espace δ − hyperbolique ( X, d X ) ;comme tous les ´el´ements de Γ ∗ sont des isom´etries hyperboliques de ( X, d X ) , γ , γ p = ( γ ′ ) q et γ ′ ont mˆeme paire de points fixes (d’apr`es la Remarque 8.14 (ii)), donc le sous-groupe h γ , γ ′ i est virtuellement cyclique (d’apr`es la Proposition 8.21 (ii)), donc isomorphe `a ( Z , +) commenous l’avons vu plus haut, ce qui termine la d´emonstration de la Propri´et´e (56).D´emontrons maintenant la transitivit´e de la relation ∼ : Pour tous les γ , γ , γ ∈ Γ ∗ v´erifiantsimultan´ement γ ∼ γ et γ ∼ γ , la propri´et´e (56) assure l’existence d’entiers p, q, r, s ∈ Z ∗ tels que γ p = γ q et γ r = γ s , ce qui implique que γ pr = γ qr = γ sq , donc (en appliquant uneseconde fois la propri´et´e (56)) que γ ∼ γ . (cid:3) Exemples 7.7. Les exemples suivants de groupes ( δ, α ) − HT font le lien avec les r´esultats dessections pr´ec´edentes et avec les r´esultats de [BCG03] :(i) Consid´erons les groupes sans torsion Γ , qui sont isomorphes `a un sous-groupe discret dugroupe des isom´etries d’un espace δ − hyperbolique non ´el´ementaire, g´eod´esiquement com-plet ( X, d X ) , dont la distance est convexe, tels que l’Entropie de ( X, d X ) et le diam`etrede Γ \ X soient respectivement major´es par H et D ; ces groupes sont tous ( δ, s ) − HT,o`u s := s ( δ, H, D ) est la constante universelle d´efinie par l’´egalit´e (29) .(ii) Tout sous-groupe non cyclique d’un des groupes consid´er´es en (i) est aussi ( δ, s ) − HT. iii) Tout groupe sans torsion (cid:0) δ , N ( • ) (cid:1) − acylindriquement hyperbolique est ( δ, ε ) − HT, o`u ε := 21 δN (20 δ ) + 2 .(iv) Les groupes fondamentaux des surfaces compactes de genre au moins sont (ln 3 , argcosh 2) − HT.(v) Pour toute donn´ee de i > , pour que le groupe fondamental d’une vari´et´e diff´erentiellecompacte M (quelle que soit sa dimension) soit (ln 3 , i ) − HT il suffit qu’il existe sur M une m´etrique riemannienne g de courbure sectionnelle inf´erieure ou ´egale `a − etde rayon d’injectivit´e sup´erieur ou ´egal `a i .(vi) Pour toute donn´ee des r´eels D > et K ≥ et d’un entier n ≥ , il existe uneconstante universelle ε ′ = ε ′ ( n, K, D ) > telle que le groupe fondamental d’une vari´et´ediff´erentielle compacte M n soit (ln 3 , ε ′ ) − HT d`es qu’il existe sur M n une m´etriqueriemannienne g de courbure sectionnelle − K ≤ σ ≤ − et de diam`etre inf´erieur ou´egal `a D .(vii) Pour toute donn´ee des r´eels V > et K ≥ et d’un entier n ≥ , il existe uneconstante universelle ε = ε ( n, K, V ) > telle que le groupe fondamental d’une vari´et´ediff´erentielle compacte M n soit (ln 3 , ε ) − HT d`es qu’il existe sur M n une m´etriqueriemannienne g de courbure sectionnelle − K ≤ σ ≤ − et de volume inf´erieur ou ´egal`a V .Les valeurs des constantes universelles ε ′ ( n, K, D ) et ε ( n, K, V ) sont explicit´ees dans [BCG03] ,aux Lemmes 1.8 et 1.10 respectivement.Preuves : (i) d´ecoule imm´ediatement du Th´eor`eme 5.24 et du fait que l’espace ( X, d X ) est non´el´ementaire, ce qui assure que Γ n’est pas cyclique d’apr`es la Proposition 8.22 (iii) et (iv).(ii) se d´eduit de (i) et de la Remarque 7.5 (b) ; enfin (iii) est une cons´equence directe de laProposition 7.3.Pour les propri´et´es (iv), (v), (vi) et (vii), les preuves donn´ees dans [BCG03] aboutissant `a desconclusions moins fortes, nous les reprenons ci-apr`es : (v) d´ecoule du fait (classique) que lerevˆetement universel riemannien ( f M , ˜ g ) de toute vari´et´e riemannienne ( M, g ) de courbure sec-tionnelle inf´erieure ou ´egale `a − δ − hyperbolique, o`u δ = ln 3 (cette propri´et´ese d´eduit du fait que l’espace hyperbolique ( H n , can ) est δ − hyperbolique d’apr`es le Corollaire1.4.2 page 12 de [CDP90] et du fait que ( f M , ˜ g ) est alors un espace Cat( − 1) ) ; (v) d´ecoule alorsdu fait que l’action par isom´etries du groupe fondamental sur ( f M , ˜ g ) a une systole globale ´egale`a 2 fois le rayon d’injectivit´e de ( M, g ) , ce qui implique que ℓ ( γ ) ≥ i pour tout ´el´ement nontrivial du groupe fondamental.Toute surface compacte de genre au moins 2 admet une m´etrique hyperbolique dont le rayond’injectivit´e est minor´e par argcosh 2 (voir par exemple le Lemme 1.7 de [BCG03]) ; ceci prouve(iv) en nous appuyant sur (v).La propri´et´e (vi) d´ecoule de (v) et d’une version due `a M. Gromov du Lemme de Margulis(cf. [BK81]) qui prouve que, sous les hypoth`eses de (v), le rayon d’injectivit´e est minor´e par ε ′ ( n, K, D ) (pour une d´emonstration en forme, voir le Lemme 1.8 de [BCG03]). Enfin la pro-pri´et´e (vii) se d´eduit de (vi) et d’une majoration du diam`etre en fonction d’une borne sup´erieuredu volume (due elle aussi `a M. Gromov, cf [Gro78]), valable sous les hypoth`eses de (vii) (pourune d´emonstration en forme, voir le Lemme 1.10 de [BCG03]). (cid:3) Exemples 7.8. Les exemples suivants de groupes ( δ, α ) − non ab´eliens, bien que triviaux, per-mettent de mesurer combien cette classe de groupes est plus vaste que la classe des groupes ( δ, α ) − HT (et donc que la classe des groupes sans torsion (cid:0) δ , N ( • ) (cid:1) − acylindriquement hyper-boliques pour tout α ≤ δN (20 δ ) + 2 ).(i) Si un groupe non ab´elien Γ admet un morphisme ̺ dans un groupe Γ ′ ( δ, α ) − nonab´elien, tel que ̺ soit injectif en restriction au sous-groupe des commutateurs [Γ , Γ] , ilest lui-mˆeme ( δ, α ) − non ab´elien.(ii) Le produit d’un groupe ( δ, α ) − non ab´elien avec un groupe ab´elien est ( δ, α ) − non ab´elien. iii) Le produit de plusieurs groupes ( δ, α ) − non ab´eliens est ( δ, α ) − non ab´elien. Preuves : Dans le cas (i), pour toute paire g, γ d’´el´ements de Γ qui ne commutent pas, on a[ ̺ ( g ) , ̺ ( γ )] = ̺ (cid:0) [ g, γ ] (cid:1) = e ; comme Γ ′ est ( δ, α ) − non ab´elien, il existe un morphisme ̺ ′ de h ̺ ( g ) , ̺ ( γ ) i dans un groupe ( δ, α ) − HT (not´e Γ ′′ ) tel que h ̺ ′ ◦ ̺ ( g ) , ̺ ′ ◦ ̺ ( γ ) i ne soit isomorpheni `a { } , ni `a Z , ce qui prouve que Γ est ( δ, α ) − non ab´elien.Dans le cas (ii), tous les commutateurs sont contenus dans le premier facteur et la premi`ereprojection est un morphisme sur un groupe ( δ, α ) − non ab´elien qui est injectif en restriction aupremier facteur ; on conclut en utilisant (i).Dans le cas (iii), toute projection sur un des facteurs est un morphisme sur un groupe ( δ, α ) − nonab´elien. Si deux ´el´ements g et γ ne commutent pas, leurs images g i et γ i par au moins une deces projections p i ne commutent pas, il existe donc un morphisme ̺ de h g i , γ i i dans un groupe( δ, α ) − HT tel que l’image de h g i , γ i i ne soit isomorphe ni `a { } , ni `a Z , ce qui prouve que ̺ ◦ p i est un morphisme dans un groupe ( δ, α ) − HT tel que l’image de h g, γ i ne soit isomorpheni `a { } , ni `a Z . (cid:3) La Remarque qui suit peut ˆetre vue comme une extension presque imm´ediate de la Proposition6.7 (ii) aux groupes ( δ, α ) − non ab´eliens : Remarque 7.9. Pour tout groupe ( δ, α ) − non ab´elien Γ , pour toute paire g, γ d’´el´ements de Γqui ne commutent pas , pour tous les entiers p , q > δα , un des deux semi-groupes engendr´espar { g p , γ q } ou par { g p , γ − q } est libre.Preuve : Sous les hypoth`eses de la Remarque 7.9, il existe un morphisme ̺ du sous-groupe h g, γ i de Γ vers un groupe (cid:0) δ, α (cid:1) − HT G tel que ̺ ( h g, γ i ) n’est isomorphe ni `a { } , ni `a Z ,donc n’est pas virtuellement cyclique d’apr`es la Remarque 7.5 (d), en particulier ̺ ( g ) et ̺ ( γ )sont diff´erents de l’´el´ement neutre. Comme (d’apr`es la D´efinition 7.1 (i) et la Remarque 7.2), G s’identifie `a un sous-groupe discret du groupe des isom´etries d’un espace δ − hyperbolique( X, d ) tel que tous ses ´el´ements non triviaux h soient des isom´etries hyperboliques de ( X, d )v´erifiant ℓ ( h ) ≥ α , ̺ ( γ ) et ̺ ( g ) sont des isom´etries de type hyperbolique de ( X, d ) qui v´erifient ℓ ( ̺ ( g )) , ℓ ( ̺ ( γ )) ≥ α ; nous pouvons donc leur appliquer la Proposition 6.7 (ii), qui prouve que,pour tous les p , q > δα , un des deux semi-groupes engendr´es par { ̺ ( g ) p , ̺ ( γ ) q } ou par { ̺ ( g ) p , ̺ ( γ ) − q } est libre. Comme le morphisme envoie toute relation entre puissances de g etde γ sur la relation correspondante entre puissances de ̺ ( g ) et de ̺ ( γ ) , il s’ensuit qu’un desdeux semi-groupes engendr´es par { g p , γ q } ou par { g p , γ − q } est libre. (cid:3) Dans les sous-sections qui suivent, ´etant donn´ee une action (propre, par isom´etries) d’un groupe Γ surun espace m´etrique ( Y, d ) , nous noterons Y := Γ \ Y l’espace quotient par cette action, muni de ladistance-quotient d´efinie au Lemme 8.12 (i).Rappelons qu’on a d´efini Σ r ( y ) comme l’ensemble des γ ∈ Γ ∗ tels que d ( y, γ y ) ≤ r et que Γ r ( y ) estle sous-groupe de Γ engendr´e par Σ r ( y ) . ( δ, α ) − non ab´eliens surdes espaces m´etriques mesur´esProposition 7.10. Pour tout espace m´etrique mesur´e ( Y, d, µ ) d’entropie major´ee par H , pourtout groupe ( δ, α ) − non ab´elien Γ , pour toute action propre (par isom´etries pr´eservant la mesure)de ce groupe sur ( Y, d, µ ) , en tout point y ∈ Y le sous-groupe Γ r ( y ) est ab´elien pour tous les r < ln 2 H ([13 δ/α ] + 1) . 16. Quid pour les produits directs ? Lemme 7.11. . – Soit L un semi-groupe libre `a 2 g´en´erateurs γ et γ (i. e. les ´el´ements de L sont les produits de puissances positives de γ et γ ), muni d’une distance d invariante partranslations `a gauche par n’importe quel γ ∈ L . Pour tous les ( l , l ) tels que l ≥ d ( e, γ ) et l ≥ d ( e, γ ) , l’entropie de ( L, d ) (pour la mesure de comptage) v´erifie : Ent( L, d ) ≥ sup a ∈ ]0 , + ∞ [ (cid:20) Max (cid:18) l + al , l + al (cid:19) · (cid:16) (1 + a ) ln(1 + a ) − a ln a (cid:17)(cid:21) . Preuve : Pour tout R > L R l’ensemble des γ ∈ L tels que d ( e, γ ) ≤ R . Pour tous les( p , p ) ∈ ( N ∗ ) tels que p l + p l ≤ R , notons Λ p ,p l’ensemble des ´el´ements de L qui sontobtenus en faisant le produit de p fois γ et de p fois γ dans n’importe quel ordre . Puisque L est un semi-groupe libre, on a p ,p ) = C p p + p . L’in´egalit´e triangulaire et l’invariance dela distance d par translations `a gauche impliquent que Λ p ,p ⊂ L R . On a donc L R ≥ C p p + p ≥ e − (1+ p ) ( p + p ) p + p +1 / ( p ) p +1 / ( p ) p +1 / , (la derni`ere in´egalit´e d´ecoulant du fait que R i +1 i f ( x ) dx ≤ [ f ( i + 1) + f ( i )] lorsque f ( x ) =ln (cid:0) p + xx (cid:1) ). Pour tout a ∈ ]0 , + ∞ [ , posons p = h Rl + al i et p = [ ap ] . Comme p R et p R tendentalors respectivement vers l + al et vers al + al quand R tend vers + ∞ , nous d´eduisons de cequi pr´ec`ede que lim inf (cid:20) R ln( L R ) (cid:21) ≥ l + aℓ [(1 + a ) ln(1 + a ) − a ln( a )] . La mˆeme in´egalit´e pouvant ˆetre ´etablie en ´echangeant les rˆoles de l et l , ceci ach`eve la preuvedu lemme 7.11. (cid:3) Lemme 7.12. . – Soit L un groupe `a 2 g´en´erateurs γ et γ tel que l’un des deux semi-groupesengendr´es par γ et γ ou par γ et γ − soit libre, notons L + ce semi-groupe libre. Pourtoute action propre, par isom´etries, de L sur un espace m´etrique ( Y, d ) , pour toute mesure µL − invariante sur Y telle que l’entropie Ent( Y, d, µ ) soit major´ee par une constante H , aucun´el´ement de L + \ { e } n’admet de point fixe et, pour tout point y ∈ Y , on a(i) Ent( Y, d, µ ) . Max [ d ( y, γ y ) , d ( y, γ y )] ≥ ln 2 (ii) Min [ d ( y, γ y ) , d ( y, γ y )] > H · e − H Max[ d ( y,γ y ) , d ( y,γ y )] . Preuve : Quitte `a remplacer γ par γ − , nous pouvons supposer que c’est le semi-groupe en-gendr´e par γ et γ qui est libre.L’action ´etant propre, le stabilisateur d’un point y quelconque est fini, ce qui implique que tousses ´el´ements sont de torsion ; comme tout ´el´ement γ = e du semi-groupe libre L + est sanstorsion, un tel γ ne fixe pas y .Posons Σ = { γ , γ } et notons d Σ la distance alg´ebrique associ´ee selon la d´efinition donn´eedans la section 3.1. Le nombre d’´el´ements γ du semi-groupe libre `a 2 g´en´erateurs tels que d Σ ( e, γ ) ≤ N ´etant au moins ´egal `a 2 N , on obtient : Ent( L, Σ) ≥ ln 2 . Le Lemme 3.6 ach`evealors la preuve de (i) en prouvant queEnt( Y, d, µ ) · Max [ d ( y, γ y ) , d ( y, γ y )] ≥ ln 2 . Consid´erons, sur le groupe L , la pseudo-distance d y d´efinie par d y ( γ, γ ′ ) = d ( γ y, γ ′ y ) ; commeaucun ´el´ement de L + \ { e } n’admet de point fixe, d y est une vraie distance en restriction `a L + . Posons l = d ( y, γ y ) = d y ( e, γ ) et ℓ = d ( y, γ y ) = d y ( e, γ ) . Comme la pseudo-distance d y est invariante par les translations `a gauche, on peut appliquer d’abord le Lemme 3.6, puis leLemme 7.11, qui nous donnent : H ≥ Ent( Y, d, µ ) ≥ Ent( Y, d, µ Ly ) ≥ Ent( L + , d y , sup a ∈ ]0 , + ∞ [ (cid:20) Max (cid:18) l + al , l + al (cid:19) · (cid:16) (1 + a ) ln(1 + a ) − a ln a (cid:17)(cid:21) , o`u L + . En faisant a = H l dans cette in´egalit´eet en utilisant le fait que ln(1 + a ) > a a pour tout a > H ℓ > − ln ( H l ) ,donc H l > e − H l . De mˆeme, en faisant a = H ℓ dans l’in´egalit´e ci-dessus, nous obtenons : H l > − ln ( H l ) , donc H l > e − H l . Nous en d´eduisons que Min ( l , l ) > H · e − H Max( l ,l ) ,ce qui ach`eve la preuve de la partie (ii) . (cid:3) Fin de la preuve de la Proposition 7.10 : Supposons qu’il existe un point (not´e ici y ) de Y tel quele sous-groupe Γ r ( y ) ne soit pas ab´elien, alors il existe, dans son syst`eme g´en´erateur Σ r ( y ) , deux´el´ements a, b qui ne commutent pas et qui v´erifient donc d ( y, a y ) ≤ r et d ( y, b y ) ≤ r . Notons N = (cid:20) δα (cid:21) + 1 le plus petit entier strictement sup´erieur `a 13 δα ; comme Γ est ( δ, α ) − nonab´elien, la Remarque 7.9 prouve que, quitte `a remplacer ´eventuellement b par b − , le semi-groupe engendr´e par a N et b N est libre. Une cons´equence de ceci et du Lemme 7.12 (i) estque H N r ≥ Ent( Y, d ) · Max (cid:2) d ( y, a N y ) , d ( y, b N y ) (cid:3) ≥ ln 2 , ce qui impose que r ≥ ln 2 N H ; dans le cas contraire on obtient donc que Γ r ( y ) est ab´elien pourtout y ∈ Y . (cid:3) Sur un espace m´etrique ( Y, d ) arbitraire, nous consid´erons n’importe quelle action propre (par isom´etries)d’un groupe ( δ, α ) − transitif non ab´elien Γ . Un tel groupe ´etant automatiquement de centre trivial, ilest sans torsion (en vertu de la Remarque 7.5 (c)) et la D´efinition 5.15 de la partie r − mince Y r de Y peut alors se r´einterpr´eter de la mani`ere suivante : Y r est l’ensemble (ouvert) des points y ∈ Y tels quesys Γ ( y ) < r . Proposition 7.13. Pour tout espace m´etrique mesur´e connexe ( Y, d, µ ) d’entropie major´ee par H , pour tout groupe ( δ, α ) − transitif non ab´elien Γ , pour toute action propre (par isom´etriespr´eservant la mesure) de ce groupe sur ( Y, d, µ ) ,(i) Dias Γ ( Y ) ≥ ε ( δ, α, H ) , o`u ε ( δ, α, H ) := ln 2 H ([13 δ/α ] + 1) .(ii) pour tout r < ε ( δ, α, H ) l’ensemble Y r des y ∈ Y tels que sys Γ ( y ) < r n’est pasconnexe. Fixons un r´eel r quelconque tel que 0 < r < ε ( δ, α, H ) . Rappelons que la relation de commuta-tion ∼ est une relation d’´equivalence sur Γ ∗ (voir le Lemme 7.6). Pour tout y ∈ Y r , Γ r ( y ) \ { e } est non trivial (par d´efinition) et satur´e pour la relation de commutation ∼ (en vertu de la Pro-position 7.10), Γ r ( y ) \ { e } est donc inclus dans une seule classe d’´equivalence de cette relation,que nous noterons C r ( y ) . Avant de d´emontrer la Proposition 7.13, nous allons ´etablir les deuxLemmes suivants : Lemme 7.14. Sous les hypoth`eses de la Proposition 7.13 (ii), la classe d’´equivalence C r ( y ) estconstante sur chacune des composantes connexes de Y r . A chaque composante connexe Y ir de Y r , on associe donc une unique classe d’´equivalence de la relation ∼ , not´ee C ir , qui contienttous les Γ r ( y ) \ { e } (pour tous les y ∈ Y ir ).Preuve du Lemme 7.14 : L’action de Γ sur ( Y, d ) ´etant propre, Σ r ( y ) est fini ; de ceci et de lalipschitzianit´e de y d ( y, γ y ) nous d´eduisons que Σ r ( y ′ ) ⊂ Σ r ( y ) pour tout y ′ situ´e dansun voisinage suffisamment petit de y dans Y r , donc que ∅ 6 = Γ r ( y ′ ) \ { e } ⊂ Γ r ( y ) \ { e } , 17. En effet, la finitude de Σ r ( y ) \ Σ r ( y ) implique l’existence d’un ε > y ) tel que tout´el´ement γ ∈ Γ ∗ \ Σ r ( y ) v´erifie d ( y, γ y ) > r + ε , ce qui assure que d ( y ′ , γ y ′ ) > r pour tout y ′ v´erifiant d ( y, y ′ ) < ε / γ ∈ Γ ∗ \ Σ r ( y ) donc, par passage aux compl´ementaires, que Σ r ( y ′ ) ⊂ Σ r ( y ) . 62e qui implique que C r ( y ′ ) = C r ( y ) . L’application y C r ( y ) est par cons´equent localementconstante sur Y r , donc constante sur chacune des composantes connexes Y ir , de Y r . On ach`eve lad´emonstration en remarquant (cf. ci-dessus) que, pour tout y ∈ Y ir , on a Γ r ( y ) \ { e } ⊂ C r ( y ) = C ir . (cid:3) Lemme 7.15. Sous les hypoth`eses de la Proposition 7.13 (ii), pour tout y ∈ Y r , tout ´el´ement g de Γ ∗ tel que g y et y appartiennent `a la mˆeme composante connexe de Y r commute avectous les ´el´ements de Γ r ( y ) \ { e } Preuve : Le Lemme 7.14 assure que C r ( g y ) = C r ( y ) . Le fait que d ( g y , g γ g − ( g y )) = d ( y, γ y )implique que Σ r ( g y ) = g Σ r ( y ) g − , ce qui donne Γ r ( g y ) = g Γ r ( y ) g − et prouve que, pourtout γ ∈ Γ r ( y ) \ { e } et tout g ∈ Γ , g γ g − appartient `a Γ r ( g y ) \ { e } ⊂ C r ( g y ) = C r ( y ) , donccommute avec γ .Supposons (par l’absurde) qu’il existe un ´el´ement γ ∈ Γ r ( y ) \ { e } qui ne commute pas avec g ;par d´efinition de la ( δ, α ) − non ab´elianit´e, il existe alors un morphisme ̺ du groupe engendr´e h γ, g i dans un groupe ( δ, α ) − HT G tel que ̺ ( h γ, g i ) ne soit isomorphe ni `a { } , ni `a Z ,donc tel que ̺ ( h γ, g i ) ne soit pas virtuellement ab´elien en vertu de la Remarque 7.5 (d), cequi assure que ̺ ( γ ) = e , donc que ̺ ( g γ g − ) = e ; comme (d’apr`es la D´efinition 7.1 (i) et laRemarque 7.2), G est un sous-groupe du groupe des isom´etries d’un espace δ − hyperbolique( X, d ) tel que tous ses ´el´ements non triviaux soient des isom´etries de type hyperbolique, ̺ ( γ ) et ̺ ( g ) ̺ ( γ ) ̺ ( g ) − sont des isom´etries de type hyperbolique qui commutent (puisque nous venonsde prouver que g γ g − et γ commutent). Si θ − et θ + sont les points fixes de ̺ ( γ ) , il s’ensuitque ̺ ( g ) ̺ ( γ ) ̺ ( g ) − laisse l’ensemble { θ − , θ + } globalement invariant, donc que θ − et θ + sontles points fixes de (cid:0) ̺ ( g ) ̺ ( γ ) ̺ ( g ) − (cid:1) , ce qui implique (par le Lemme 8.14 (ii)) que θ − et θ + sont les points fixes de ̺ ( g ) ̺ ( γ ) ̺ ( g ) − . Comme les points fixes de ̺ ( g ) ̺ ( γ ) ̺ ( g ) − sont aussi ̺ ( g )( θ − ) et ̺ ( g )( θ + ) , ̺ ( g ) laisse globalement invariant l’ensemble { θ − , θ + } ; de ceci et de laProposition 8.21 (ii) on d´eduit que le sous-groupe ̺ ( h γ, g i ) de G est virtuellement cyclique, encontradiction avec le fait (d´emontr´e ci-dessus) que ̺ ( h γ, g i ) n’est pas virtuellement ab´elien, cettecontradiction ´etant due au fait que nous avons suppos´e qu’il existe un ´el´ement γ ∈ Γ r ( y ) \ { e } qui ne commute pas avec g . Donc g commute avec tous les ´el´ements de Γ r ( y ) \ { e } . (cid:3) Fin de la preuve de la Proposition 7.13 : Si la propri´et´e (ii) est v´erifi´ee et si Dias Γ ( Y ) <ε ( δ, α, H ) , alors il existe un r tel que Dias Γ ( Y ) < r < ε ( δ, α, H ) ; or Y r n’´etant pas connexed’apr`es (ii), il ne peut couvrir enti`erement Y , ce qui prouve qu’il existe au moins un y ∈ Y telque sys Γ ( y ) ≥ r , en contradiction avec le fait que Dias Γ ( Y ) < r . La seule solution pour levercette contradiction est donc que Dias Γ ( Y ) ≥ ε ( δ, α, H ) , ce qui prouve que ( ii ) = ⇒ ( i ) .D´emontrons maintenant la propri´et´e (ii) : Supposons que la propri´et´e (ii) n’est pas v´erifi´ee, i.e. qu’on peut trouver un r , v´erifiant 0 < r < ε ( δ, α, H ) et tel que Y r soit connexe, alors,pour tout g ∈ Γ ∗ et tout y ∈ Y r , l’invariance par Γ de la fonction sys Γ assure que g y et y appartiennent `a Y r . Comme Y r est connexe, on peut appliquer le Lemme 7.15, qui prouve quetout ´el´ement g ∈ Γ ∗ commute avec tout ´el´ement de Γ r ( y ) \ { e } ; Comme Γ r ( y ) \ { e } est nonvide, la transitivit´e de la relation de commutation prouve que tout ´el´ement g ∈ Γ ∗ commuteavec tout ´el´ement g ′ ∈ Γ ∗ , ce qui est impossible car Γ n’est pas ab´elien. En conclusion, Y r nepeut pas ˆetre connexe. (cid:3) Pour tout espace m´etrique mesur´e ( Y, d, µ ) d’entropie major´ee par H , pourtout groupe ( δ, α ) − non ab´elien Γ , pour toute action propre (par isom´etries pr´eservant la mesure)de ce groupe sur ( Y, d, µ ) , on a :(i) en tout point y ∈ Y , si σ est un ´el´ement de Γ ∗ tel que d ( y, σ y ) = sys Γ ( y ) alors tout γ ∈ Γ qui ne commute pas avec σ v´erifie d ( y, γ y ) > (cid:0) (cid:2) δα (cid:3)(cid:1) H Max " ln 2 , ln (cid:0) (cid:2) δα (cid:3)(cid:1) H sys Γ ( y ) ! ii) si de plus ( Y, d ) est connexe par arcs et si Γ est de centre trivial, la systole globalev´erifie : Sys Γ ( Y ) := inf y ∈ Y sys Γ ( y ) ≥ (cid:0) (cid:2) δα (cid:3)(cid:1) H e − ( [ δα ]) H diam( Y/ Γ) . Remarque 7.17. Dans la partie (ii) de l’´enonc´e pr´ec´edent, si on suppose que Γ est ( δ, α ) − transitifnon ab´elien, on peut remplacer le diam`etre D := diam( Y / Γ) par le “diam`etre topologique”, i. e.le supremum des r ∈ R + tels Γ r ( y ) soit ab´elien pour au moins un y ∈ Y . Nous verrons, dansla preuve de la Proposition 7.16 (ii), que Γ D ( y ) = Γ , ce qui assure que Γ D ( y ) n’est jamaisab´elien et que le diam`etre topologique est toujours major´e par D = diam( Y / Γ) . L’appellation“diam`etre topologique” se justifie par le fait que, lorsque Y = Y / Γ est une vari´et´e et lorsque π : Y → Y est son revˆetement universel, Γ r ( y ) co¨ıncide avec l’image (par l’injection canonique)du groupe fondamental de la boule B Y ( π ( y ) , r ) de Y dans le groupe fondamental de Y (voirla Proposition 7.23 (iv)), le diam`etre topologique ´etant alors l’infimum des r tels que l’imagedans π ( Y ) du groupe fondamental de la boule B Y ( π ( y ) , r ) ne soit pas ab´elien. Preuve de la Proposition 7.16 : Notons N = (cid:20) δα (cid:21) + 1 , y un point quelconque de Y , et σ un ´el´ement de Γ ∗ tel que d ( y, σ y ) = sys Γ ( y ) . Preuve de (i) : Comme Γ est ( δ, α ) − non ab´elien, la Remarque 7.9 prouve que, pour tout γ ∈ Γqui ne commute pas avec σ , quitte `a remplacer ´eventuellement σ par σ − , le semi-groupeengendr´e par γ N et σ N est libre. Une cons´equence de ceci, du Lemme 7.12 (ii), de l’in´egalit´etriangulaire et du fait que d ( y, γ y ) ≥ d ( y, σ y ) est que N H d ( y, σ y ) ≥ H Min (cid:2) d ( y, σ N y ) , d ( y, γ N y ) (cid:3) > e − H Max [ d ( y,σ N y ) , d ( y,γ N y ) ] ≥ e − H N d ( y,γ y ) ;comme l’application du Lemme 7.12 (i) a pour corollaire l’in´egalit´e : N H d ( y, γ y ) ≥ H. Max (cid:2) d ( y, σ N y ) , d ( y, γ N y ) (cid:3) ≥ ln 2 , nous achevons la preuve de (i) en r´eunissant ces deux derni`eres in´egalit´es. Preuve de (ii) : Notons D le diam`etre de Γ \ Y . Nous avons vu (dans la preuve de la Proposition5.7) que la Proposition 3.22 de [Gro07] s’applique aux espaces m´etriques connexes par arcs etque ce r´esultat de M. Gromov d´emontre que Σ D ( y ) est un syst`eme (fini) de g´en´erateurs de Γ .Comme Γ est de centre trivial, il existe au moins un γ ∈ Σ D ( y ) qui ne commute pas avec σ .En appliquant la propri´et´e (i), nous en d´eduisons que2 D ≥ d ( y, γ y ) > (cid:0) (cid:2) δα (cid:3)(cid:1) H ln (cid:0) (cid:2) δα (cid:3)(cid:1) H sys Γ ( y ) ! , ce qui prouve (ii) en minorant sys Γ ( y ) pour tout y ∈ Y . (cid:3) Preuve de la Remarque 7.17 : Notons toujours N = (cid:2) δα (cid:3) + 1 et D ′ le diam`etre topologiquede Y / Γ . Par d´efinition du diam`etre topologique, pour tout ε > D ′ + ε ( y )n’est pas ab´elien (donc en particulier pas trivial), ce qui assure que sys Γ ( y ) ≤ D ′ + ε . Pourtout y ∈ Y , notons σ un ´el´ement de Γ ∗ tel que d ( y, σ y ) = sys Γ ( y ) , ce qui implique que d ( y, σ y ) ≤ D ′ + ε , donc que σ ∈ Σ D ′ + ε ( y ) ; par ailleurs il existe au moins un γ ∈ Σ D ′ + ε ( y )qui ne commute pas avec σ (sinon, par transitivit´e de la relation de commutation, Γ D ′ + ε ( y )serait ab´elien). En appliquant la propri´et´e (i), nous en d´eduisons que2 D ′ + ε ≥ d ( y, γ y ) > N H ln (cid:18) N H sys Γ ( y ) (cid:19) . On ach`eve la preuve en faisant tendre ε vers z´ero dans cette derni`ere in´egalit´e, ce qui d´emontreque ∀ y ∈ Y sys Γ ( y ) ≥ N H e − N H D ′ . (cid:3) .3 Structure des parties minces dans les quotients d’espaces m´etriquesmesur´es Soit ( Y, d, µ ) un espace m´etrique mesur´e, et soit Γ un groupe sans torsion qui agit proprementet par isom´etries sur ( Y, d ) . Notons π : Y → Y = Γ \ Y l’application de passage au quotient.Pour tout ouvert connexe V de Y , notons (cid:8) V i : i ∈ I (cid:9) l’ensemble des composantes connexesde V := π − ( V ) , et appelons ˘Γ iV := { γ ∈ Γ : γ ( V i ) = V i } le sous-groupe qui pr´eserve V i , cequi permet de d´efinir les espaces-quotients ˘ Y i := ˘Γ iV \ Y et ˘ V i := ˘Γ iV \ V i .L’application-quotient Y → ˘Γ iV \ Y ´etant nomm´ee ˘ π i , l’application π passe au quotient en uneapplication ¯ π i : ˘Γ iV \ Y → Γ \ Y . Notons p i (resp. ˘ p i ) la restriction de π (resp. de ˘ π i ) `a la mˆemecomposante connexe V i ; comme l’injection d’inclusion V i ֒ → Y est ´equivariante par rapport `al’action simultan´ee de ˘Γ iV sur V i et sur Y , elle passe au quotient en une injection d’inclusion˘Γ iV \ V i ֒ → ˘Γ iV \ Y ; via cette inclusion, nous d´efinirons alors ¯ p i comme la restriction de ¯ π i `a˘Γ iV \ V i ; d´efinie a priori comme application ˘Γ iV \ V i → Γ \ Y , ¯ p i est une application ˘Γ iV \ V i → V qui v´erifie ¯ p i ◦ ˘ p i = p i : en effet, pour tout y ∈ V i , on a ¯ p i ◦ ˘ p i ( y ) = ¯ π i ◦ ˘ π i ( y ) = π ( y ) = p i ( y ) .L’ensemble de ces r´esultats est r´esum´e dans le diagramme qui suit : Γ y Y ˘ π i / / π ) ) ˘ Y i = ˘Γ iV \ Y ¯ π i / / Y = Γ \ Y ˘Γ iV y V i ?(cid:31) O O ˘ p i / / p i ˘ V i = ˘Γ iV \ V i ¯ p i / / ?(cid:31) O O V ?(cid:31) O O (57) Nous noterons enfin ¯ d la distance induite sur Y par le passage au quotient et d´efinie dans leLemme 8.12 (i).Le Lemme suivant est semi-classique et sera utilis´e plusieurs fois dans cette section : Lemme 7.18. (Lemme topologique g´en´eral) On a le propri´et´es suivantes :(i) π et ˘ π i sont des revˆetements localement isom´etriques, donc des applications ouvertes ;(ii) p i et ˘ p i : V i → ˘ V i sont des revˆetements localement isom´etriques ;(iii) pour toute paire V i , V j de composantes connexes de π − ( V ) , il existe une isom´etrie γ i,j ∈ Γ telle que γ i,j ( V i ) = V j et ˘Γ jV = γ i,j ˘Γ iV γ − i,j ;(iv) ¯ p i est un hom´eomorphisme localement isom´etrique, il pr´eserve donc les longueurs deschemins ;(v) si de plus Y est localement connexe par arcs et simplement connexe alors, pour toutecomposante connexe V i de π − ( V ) , le sous-groupe ˘Γ iV s’interpr`ete de la mani`ere sui-vante : pour tout y ∈ V i , l’isomorphisme canonique entre Γ et π (cid:0) Y , π ( y ) (cid:1) envoie ˘Γ iV sur i ∗ π ( V , π ( y )) , o`u i ∗ : π ( V , π ( y )) → π (cid:0) Y , π ( y ) (cid:1) est le morphisme induit parl’injection canonique i : V ֒ → Y .Preuve : Le Lemme 8.12 (iii) assure que l’action est fid`ele, discr`ete et sans point fixe, nouspouvons donc identifier Γ `a un sous groupe discret du groupe des isom´etries de ( Y, d ) tel que,pour tout γ ∈ Γ et tout y ∈ Y , on ait d ( y, γ y ) > { γ : d ( y, γ y ) ≤ ε } est fini, donc que, pour tout y ∈ Y , il existe un σ ∈ Γ tel quesys Γ ( y ) = d ( y, σ y ) > Preuve de (i) : Comme ¯ d (cid:0) π ( y ) , π ( z ) (cid:1) = inf γ ∈ Γ d ( γ y, z ) , pour tout ε ≤ sys Γ ( y ) , π − (cid:0) B Y ( π ( y ) , ε ) (cid:1) est la r´eunion disjointe des boules B Y ( γ y, ε ) pour tous les γ ∈ Γ , 18. L’isomorphisme canonique entre Γ et π (cid:0) Y , π ( y ) (cid:1) est celui qui envoie tout ´el´ement γ ∈ Γ sur la classed’homotopie de π ◦ c , o`u c est un chemin continu quelconque qui joint y `a γ y . π est un revˆetement tel que π : (cid:0) B Y ( γ y, ε / , d (cid:1) → (cid:0) B Y ( π ( y ) , ε / , ¯ d (cid:1) soit uneisom´etrie pour tout γ ∈ Γ . De plus, pour tout ouvert U de Y , l’ensemble π − (cid:0) π ( U ) (cid:1) = ∪ γ ∈ Γ γ ( U ) est un ouvert de Y , donc (par d´efinition de la topologie quotient) π ( U ) estun ouvert de Y et l’application π est ouverte. On d´emontre de la mˆeme mani`ere que ˘ π i est un revˆetement localement isom´etrique et une application ouverte (on remarquera que,puisque l’action de ˘Γ iV est la restriction de l’action de Γ , on a sys ˘Γ iV ( y ) ≥ sys Γ ( y ) > Preuve de (ii) : Comme V i est ouvert, pour tout y ∈ V i , il existe un ε > B Y ( y, ε ) ⊂ V i ; de ceci et de la d´efinition de ˘Γ iV il suit que, pour tout γ ∈ ˘Γ iV , on a B Y ( γ y, ε ) = γ (cid:0) B Y ( y, ε ) (cid:1) ⊂ γ ( V i ) = V i . Quitte `a r´eduire la valeur de ε , on d´eduit de(i) que, pour tout γ ∈ ˘Γ iV , ˘ π i est une isom´etrie de la boule B Y ( γ y, ε ) ⊂ V i sur la boule B ˘ Y i (˘ π i ( y ) , ε ) ⊂ ˘ π i ( V i ) = ˘ p i ( V i ) de ˘ Y i ; comme ˘ π − i (cid:0) B ˘ Y i (˘ π i ( y ) , ε ) (cid:1) = ∪ γ ∈ ˘Γ iV B Y ( γ y, ε ) =˘ p − i (cid:0) B ˘ Y i (˘ p i ( y ) , ε ) (cid:1) , cela prouve que ˘ p i est encore un revˆetement localement isom´etrique.Pour montrer que p i est un revˆetement, commen¸cons par prouver que π ( V i ) = V .Comme, par construction, π − ( V ) est (globalement) Γ − invariant, tout ´el´ement γ ∈ Γ´echange les composantes connexes de π − ( V ) et, puisque deux composantes connexes quis’intersectent sont confondues, pour toutes les paires de composantes connexes V i et V j de π − ( V ) et pour tout γ, g ∈ Γ , on a γ ( V i ) ∩ g ( V j ) = ∅ = ⇒ γ ( V i ) = g ( V j ) , (58)ce qui implique que π ( V i ) ∩ π ( V j ) = ∅ = ⇒ π ( V i ) = π ( V j ) : (59)en effet, s’il existe un y ∈ Y tel que π ( y ) ∈ π ( V i ) ∩ π ( V j ) , alors il existe γ, g ∈ Γ telsque y ∈ γ ( V i ) et y ∈ g ( V j ) ce qui, d’apr`es (58), implique que γ ( V i ) = g ( V j ) , donc que π ( V i ) = π ( V j ) . Comme V = ∪ i ∈ I π ( V i ) , o`u les π ( V i ) sont des ouverts deux `a deuxdisjoints ou confondus (d’apr`es (59)), la connexit´e de V implique que les π ( V i ) sont tousidentiques et ´egaux `a V , ce qui ach`eve de prouver que π ( V i ) = V pour tout i ∈ I .En raisonnant comme ci-dessus, pour tout y ∈ V i , il existe un ε > ε ≤ sys Γ ( y ) et B Y ( y, ε ) ⊂ V i , ce qui implique, pourtout γ ∈ Γ , que B Y ( γ y, ε ) = γ (cid:0) B Y ( y, ε ) (cid:1) ⊂ γ ( V i ) ; nous en d´eduisons que– soit γ ∈ ˘Γ iV , et alors B Y ( γ y, ε ) ⊂ V i = γ ( V i ) ,– soit γ / ∈ ˘Γ iV , et alors V i = γ ( V i ) , donc γ ( V i ) ∩ V i = ∅ d’apr`es (58), et B Y ( γ y, ε ) ∩ V i = ∅ ; nous obtenons ainsi que p − i (cid:0) B Y ( π ( y ) , ε ) (cid:1) = V i ∩ π − (cid:0) B Y ( π ( y ) , ε ) (cid:1) = [ γ ∈ Γ (cid:0) B Y ( γ y, ε ) ∩ V i (cid:1) = [ γ ∈ ˘Γ iV B Y ( γ y, ε ) , ce qui prouve simultan´ement que p i est un revˆetement et une isom´etrie locale puisque π est une isom´etrie de la boule B Y ( γ y, ε ) ⊂ V i sur la boule B Y ( π ( y ) , ε ) ⊂ V de Y .— Preuve de (iii) : Comme π ( V i ) = V = π ( V j ) (d’apr`es (ii)), pour tout y ∈ V i , l’ensemble π − (cid:0) { π ( y ) } (cid:1) rencontre V j , il existe donc un γ i,j ∈ Γ telle que γ i,j ( y ) ∈ V j , ce quiimplique que γ i,j ( V i ) ∩ V j = ∅ , donc que γ i,j ( V i ) = V j en vertu de (58). Une autrecons´equence est que V j est globalement invariant par les ´el´ements de γ i,j ˘Γ iV γ − i,j ; demˆeme V i est globalement invariant par les ´el´ements de γ − i,j ˘Γ jV γ i,j , ce qui implique que˘Γ jV = γ i,j ˘Γ iV γ − i,j .— Preuve de (iv) : L’ouvert V i ´etant globalement invariant par ˘Γ iV , on a ˘ π − i (cid:0) ˘ π i ( V i ) (cid:1) = V i , ce qui implique que ˘ V i = ˘ π i ( V i ) est un ouvert de ˘ Y i . L’application ¯ p i est correcte-ment d´efinie et bijective de ˘ V i sur V car, pour tous les y, y ′ ∈ V i , on a π ( y ) = π ( y ′ ) ⇐⇒ ∃ γ ∈ Γ tel que y ′ = γ y ⇐⇒ ∃ γ ∈ ˘Γ iV tel que y ′ = γ y ⇐⇒ ˘ π i ( y ) = ˘ π i ( y ′ ) , o`u la deuxi`eme ´equivalence d´ecoule du fait que, si y et γ y appartiennent tous deux `a V i ,alors V i ∩ γ ( V i ) = ∅ et γ ∈ ˘Γ iV d’apr`es (58). Comme ˘ π i et p i sont de plus des isom´etrieslocales, ¯ p i , est aussi une isom´etrie locale et, par cons´equent, un hom´eomorphisme.66 Preuve de (v) : Les composantes connexes V i de π − ( V ) ´etant `a la fois connexes etlocalement connexes par arcs, elles sont connexes par arcs.Consid´erons une quelconque de ces composantes connexes, not´ee V i , et un point quel-conque y ∈ V i , nous noterons ¯ y le point π ( y ) . `A tout γ ∈ ˘Γ iV et `a tout chemin c qui joint les points y et γ y dans V i , on associe la classe (dans π (cid:0) Y , ¯ y (cid:1) ) du lacet π ◦ c de point-base ¯ y , qui est contenu dans V ; cette classe est ind´ependante du choixde c car tout autre chemin joignant y et γ y est homotope `a c dans Y . Ceci d´efinitcorrectement une application ψ y : ˘Γ iV → π (cid:0) Y , ¯ y (cid:1) dont l’image r´eside dans i ∗ (cid:0) π ( V , ¯ y ) (cid:1) .R´eciproquement, tout ´el´ement de i ∗ (cid:0) π ( V , ¯ y ) (cid:1) admet un repr´esentant sous la forme d’unlacet ¯ c , de point-base ¯ y , inclus dans V ; ce lacet se rel`eve en un chemin c d’origine y inclus dans π − ( V ) , l’extr´emit´e de ce chemin est donc de la forme γ y , o`u γ ∈ Γ ; cetteextr´emit´e est ind´ependante du repr´esentant ¯ c choisi car deux lacets homotopes (dans Y ) se rel`event en deux chemins ayant mˆeme extr´emit´e dans le revˆetement universel Y ;de plus y et γ y appartiennent `a la mˆeme composante connexe V i de π − ( V ) , donc γ ∈ ˘Γ iV : en envoyant la classe de ¯ c sur ce γ , nous obtenons donc une application cor-rectement d´efinie φ y : i ∗ (cid:0) π ( V , ¯ y ) (cid:1) → ˘Γ iV . On v´erifie ais´ement que φ y ◦ ψ y = id ˘Γ iV et que ψ y ◦ φ y = id i ∗ ( π ( V , ¯ y ) ) , ce qui ach`eve la preuve. (cid:3) Sur tout espace m´etrique ( Y, d ) , pour toute action propre, par isom´etries, d’un groupe sans torsion Γ sur ( Y, d ) , et pour toute donn´ee d’un r´eel r > , nous appelons partie r − mince de Y (resp. de Y = Γ \ Y )l’ensemble ouvert Y r des y ∈ Y tels que sys Γ ( y ) < r (resp. son image Y r par l’application-quotient π : Y → Y = Γ \ Y ) ; remarquer que, lorsque Γ est sans torsion, cette d´efinition est coh´erente avec laD´efinition 5.15.Pour la d´efinition des notions de g´eod´esique et de g´eod´esique locale, nous renvoyons `a la section 2.Rappelant les D´efinitions 2.4, nous noterons Σ r ( x ) (resp. ˘Σ r ( x ) ) l’ensemble (fini) des γ ∈ Γ tels que d ( x, γ x ) ≤ r (resp. d ( x, γ x ) < r ), et Γ r ( y ) (resp. ˘Γ r ( x ) ) le sous-groupe de Γ engendr´e par Σ r ( x ) (resp. par ˘Σ r ( x ) ). Remarque 7.19. (Lemme banal) La fonction y sys Γ ( y ) est Γ − invariante, il existe doncune fonction sys Γ : Y = Γ \ Y → R + telle que sys Γ = sys Γ ◦ π . Par cons´equent, pour tout r > , l’ensemble Y r est stable par l’action de Γ , ce qui signifie d’une part que Y r = π − ( Y r ) et que Y r = Γ \ Y r , et d’autre part que Y r co¨ıncide avec le sous-ensemble des ¯ y ∈ Y tels que sys Γ (¯ y ) < r . Nous fixerons ici un r > ε qui sera pr´ecis´e dans la Proposition7.21 ; nous noterons (cid:8) Y ir : i ∈ I (cid:9) (resp. { Y jr : j ∈ J } ) l’ensemble des composantes connexes de Y r = π − ( Y r ) (resp. de Y r ). Chaque composante connexe Y ir de Y r est donc envoy´ee par π dans une seule composante connexe de Y r , que nous noterons Y k ( i ) r , ce qui d´efinit uneapplication i k ( i ) et d´emontre de plus que, pour tout ( i, j ) ∈ I × J , Y ir ∩ π − ( Y jr ) = ∅ ⇐⇒ π ( Y ir ) ∩ Y jr = ∅ ⇐⇒ π ( Y ir ) ⊂ Y jr ⇐⇒ k ( i ) = j ⇐⇒ i ∈ k − ( { j } ) . Ceci prouve que Y ir est soit inclus dans π − ( Y jr ) , soit disjoint de π − ( Y jr ) , ce qui implique que π − ( Y jr ) = Y r ∩ π − ( Y jr ) = [ i ∈ I Y ir ∩ π − ( Y jr ) = [ i ∈ k − ( { j } ) Y ir ∩ π − ( Y jr ) = [ i ∈ k − ( { j } ) Y ir . De ceci on d´eduit que { Y ir : i ∈ k − ( { j } ) } est l’ensemble des composantes connexes de π − ( Y jr ) .Ceci prouve que nous pouvons appliquer les r´esultats de la section 7.3.1 pr´ec´edente, en posant V = Y jr et V = S i ∈ k − ( { j } ) Y ir , en appelant ˘Γ ir le sous-groupe des ´el´ement de Γ qui pr´eserventla composante connexe Y ir , ce qui permet de d´efinir les espaces-quotient ˘ Y i := ˘Γ ir \ Y et ˘ Y ir :=˘Γ ir \ Y ir et les applications-quotient ˘ π i : Y → ˘ Y i et ˘ p i : Y ir → ˘ Y ir , la seconde application ´etant67a restriction de la premi`ere. Comme π ( Y ir ) ⊂ Y k ( i ) r , on peut d´efinir p i : Y ir → Y k ( i ) r comme larestriction de π `a Y ir . L’application π passe au quotient en une application ¯ π i : ˘Γ ir \ Y → Γ \ Y ,et le mˆeme raisonnement qu’`a la section 7.3.1 prouve que l’application ˘Γ ir \ Y ir → ˘Γ ir \ Y induitepar l’inclusion Y ir ֒ → Y peut ´egalement ˆetre consid´er´ee comme une inclusion ˘Γ ir \ Y ir ֒ → ˘Γ ir \ Y , cequi permet de d´efinir ¯ p i comme la restriction de ¯ π i `a ˘Γ ir \ Y ir et de d´emontrer (comme en section7.3.1) que ¯ p i ◦ ˘ p i = p i . Toutes ces d´efinitions et propri´et´es sont r´esum´ees dans le diagrammesuivant et compl´et´ees dans le Lemme qui suit : Γ y Y ˘ π i / / π ) ) ˘ Y i = ˘Γ ir \ Y ¯ π i / / Y = Γ \ Y ˘Γ ir y Y ir ?(cid:31) O O ˘ p i / / p i ˘ Y ir = ˘Γ ir \ Y ir ¯ p i / / ?(cid:31) O O Y k ( i ) r ?(cid:31) O O (60) Lemme 7.20. (Lemme de revˆetement) Soit ( Y, d ) un espace m´etrique et soit Γ un groupe sanstorsion agissant (proprement, par isom´etries) sur ( Y, d ) . Avec les notations qui pr´ec`edent, ona :(o) pour toute composante connexe Y jr de Y r , { Y ir : i ∈ k − ( { j } ) } est l’ensemble des compo-santes connexes de π − ( Y jr ) ;(i) pour toute paire Y ir , Y i ′ r de composantes connexes de Y r , k ( i ) et k ( i ′ ) sont ´egaux si etseulement si il existe un γ ∈ Γ tel que γ ( Y ir ) = Y i ′ r , et on a alors ˘Γ i ′ r = γ ˘Γ ir γ − ;(ii) pour tout i ∈ I , les applications π , ˘ π i , p i et ˘ p i sont des revˆetements localement isom´etriques(donc des applications ouvertes) ;(iii) l’application ¯ p i est un hom´eomorphisme de ˘ Y ir sur ¯ Y k ( i ) r qui est une isom´etrie locale etpr´eserve donc les longueurs des chemins.Preuve : Le point (o) a ´et´e d´emontr´e dans le pr´eambule de la section 7.3.2. La propri´et´e (o) etle fait que Γ soit sans torsion d´emontrent que les hypoth`eses du Lemme 7.18 sont v´erifi´ees sion remplace l’ouvert V du Lemme 7.18 par une composante connexe Y jr quelconque de Y r et l’ensemble des composantes connexes de π − ( V ) par l’ensemble { Y ir : i ∈ k − ( { j } ) } descomposantes connexes de π − ( Y jr ) ; le Lemme 7.18 (iii) implique donc que i, i ′ ∈ k − ( { j } ) = ⇒ ∃ γ ∈ Γ tel que γ ( Y ir ) = Y i ′ r et ˘Γ i ′ r = γ ˘Γ ir γ − , la r´eciproque ´etant ´evidente, ceci prouve la partie (i). La partie (ii) d´ecoule imm´ediatement duLemme 7.18 (i) et (ii).Le Lemme 7.18 (ii) assure que, pour tout j ∈ J et tout i ∈ k − ( { j } ) , les restrictions p i et˘ p i `a Y ir sont des revˆetements localement isom´etriques de Y ir sur Y jr et ˘ Y ir respectivement ; leLemme 7.18 (iv) implique que l’application ¯ p i est un hom´eomorphisme de ˘ Y ir sur Y jr qui est uneisom´etrie locale et pr´eserve les longueurs des chemins, ce qui ach`eve la preuve de la partie (iii). (cid:3) Proposition 7.21. (Simplicit´e topologique des parties minces) Soit ( Y, d, µ ) un espace m´etriquemesur´e d’entropie major´ee par H , soit Γ un groupe ( δ, α ) − transitif non ab´elien, consid´eronsune action (propre, par isom´etries pr´eservant la mesure) de ce groupe sur ( Y, d, µ ) . Avec lesnotations qui pr´ec`edent, pour tout r < α ln 2(13 δ + α ) H , on a : i) Pour tout i ∈ I , ˘Γ ir est un sous-groupe ab´elien et, si l’espace m´etrique ( Y, d ) est unespace de longueur, ˘Γ ir contient la r´eunion de tous les ˘Γ r ( y ) pour tous les y ∈ Y ir ;(ii) si ( Y, d ) est localement connexe par arcs et simplement connexe alors, pour toute com-posante connexe Y ir de Y r et pour tout y ∈ Y ir , si e π (cid:0) Y k ( i ) r , π ( y ) (cid:1) d´esigne l’image (dans π (cid:0) Y , π ( y ) (cid:1) ) du groupe fondamental de Y k ( i ) r (de point-base π ( y ) ) par le morphismeinduit par l’inclusion Y k ( i ) r ֒ → Y , le sous-groupe ˘Γ ir s’identifie avec e π (cid:0) Y k ( i ) r , π ( y ) (cid:1) via l’isomorphisme canonique Γ → π (cid:0) Y , π ( y ) (cid:1) ). Par cons´equent e π (cid:0) Y k ( i ) r , π ( y ) (cid:1) est unsous-groupe ab´elien du groupe fondamental de Y , qui est isomorphe `a Z lorsque Γ estun groupe ( δ, α ) − HT.(iii) si ( Y, d ) est g´eod´esique, consid´erons n’importe quelle composante connexe Y jr de Y r qui est soit d’adh´erence compacte, soit telle que la limite inf´erieure de sys Γ (¯ y ) (quand ¯ y tend vers l’infini dans Y jr ) soit au moins ´egale `a r ; une telle composante connexecontient au moins une g´eod´esique locale de Y (non homotope `a z´ero) qui est p´eriodiqueet dont la longueur r´ealise le minimum (sur Y jr ) de la fonction ¯ y sys Γ (¯ y ) .Preuve : La propri´et´e (o) du Lemme pr´ec´edent et le fait que Γ soit sans torsion (d’apr`es lesRemarques 7.5 (a) et (c)) d´emontrent que le Lemme 7.18 s’applique en y rempla¸cant l’ouvert V du Lemme 7.18 par une composante connexe Y jr quelconque de Y r et l’ensemble des compo-santes connexes de π − ( V ) par l’ensemble { Y ir : i ∈ k − ( { j } ) } des composantes connexes de π − ( Y jr ) ; la partie (ii) est alors un corollaire direct du Lemme 7.18 (v).D´emontrons maintenant la partie (i) : pour tout y ∈ Y ir et tout ´el´ement g ∈ ˘Γ ir \ { e } , y et g y appartiennent `a la mˆeme composante connexe Y ir de Y r ; le Lemme 7.15 d´emontre alors quetout ´el´ement g ∈ ˘Γ ir commute avec tous les ´el´ements de Γ r ( y ) \ { e } ; comme Γ r ( y ) \ { e } estnon trivial et, comme la relation de commutation est transitive, ceci prouve que ˘Γ ir est ab´elien.Montrons maintenant que ˘Γ ir contient ˘Γ r ( y ) : comme tout γ ∈ ˘Σ r ( y ) \{ e } v´erifie (par d´efinition) d ( y, γ y ) < r , il existe un chemin c joignant les points y et γ y tel que tout point u de ce che-min v´erifie d ( y, u ) + d ( u, γ y ) < d ( y, γ y ) + η < r pour tout 0 < η < r − d ( y, γ y ) (propri´et´e desespaces de longueur) ; une cons´equence de ceci est que tout point u de ce chemin v´erifie d ( u, γ u ) ≤ d ( u, γ y ) + d ( γ y, γ u ) = d ( y, u ) + d ( u, γ y ) < r ;il s’ensuit que c est enti`erement contenu dans Y r et, par connexit´e, γ y appartient `a Y ir , ce quiprouve que tout γ ∈ ˘Σ r ( y ) \ { e } appartient `a ˘Γ ir , donc que ˘Γ r ( y ) ⊂ ˘Γ ir .D´emontrons maintenant la partie (iii) : Rappelons que, d’apr`es la d´efinition de Y r , la fonctionsys Γ (d´efinie `a la Remarque 7.19) est strictement inf´erieure `a r sur chaque composante connexe Y jr et au moins ´egale `a r sur le bord de Y jr ou `a l’infini ; cette fonction atteint donc son minimum(sur Y jr ) en un point ¯ y j ∈ Y jr . Fixons un i ∈ k − ( { j } ) ; d’apr`es le Lemme 7.20 (ii), il existe un y i ∈ π − ( { ¯ y j } ) ∩ Y ir , et la Remarque 7.19 permet d’en d´eduire quesys Γ ( y i ) = sys Γ (¯ y j ) = inf ¯ y ∈ Y jr sys Γ (¯ y ) = inf y ∈ Y ir sys Γ ◦ π ( y ) = inf y ∈ Y ir sys Γ ( y ) , o`u la troisi`eme ´egalit´e d´ecoule encore une fois du Lemme 7.20 (ii). La propret´e de l’action assurequ’il existe un ´el´ement σ ∈ ˘Γ r ( y i ) ⊂ ˘Γ ir tel que d ( y i , σ y i ) = sys Γ ( y i ) = Min y ∈ Y ir (cid:0) sys Γ ( y ) (cid:1) .Notons [ y i , σ y i ] une g´eod´esique (minimisante) joignant y i et σ y i ; pour tout point u ∈ [ y i , σ y i ] ,on a :sys Γ ( u ) ≤ d ( u, σ u ) ≤ d ( u, σ y i ) + d ( σ y i , σu ) = d ( u, y i ) + d ( u, σ y i ) = d ( y i , σ y i ) = sys Γ ( y i ) , ce qui implique d’une part que u ∈ Y ir et d’autre part que sys Γ ( u ) = sys Γ ( y i ) , donc que lesin´egalit´es ci-dessus sont toutes des ´egalit´es ; une cons´equence est que la r´eunion des deux portionsde g´eod´esiques [ u, σ y i ] et [ σ y i , σu ] est une g´eod´esique minimisante joignant u `a σ u . Si onnote [ σ k y i , σ k +1 y i ] l’image par σ p de [ y i , σ y i ] , il s’ensuit que la r´eunion de [ y i , σ y i ] et de69 σ y i , σ y i ] est une g´eod´esique locale qui joint y i `a σ y i , qui est minimisante sur toute portionde longueur T := sys Γ ( y i ) . De la mˆeme mani`ere, on d´emontre que c := . . . ∪ [ σ − p y i , σ − p +1 y i ] ∪ . . . ∪ [ y i , σ y i ] ∪ . . . ∪ [ σ p y i , σ p +1 y i ] ∪ . . . est une g´eod´esique locale qui est minimisante sur toute portion de longueur T , qui est enti`erementincluse dans Y ir et qui v´erifie c ( t + T ) = σ (cid:0) c ( t ) (cid:1) ; l’image par π de cette g´eod´esique locale estencore une g´eod´esique locale de Y , qui est T − p´eriodique car π ◦ c ( t + T ) = π (cid:0) σ ◦ c ( t ) (cid:1) = π ◦ c ( t ) ,qui est enti`erement incluse dans Y ir et dont la longueur T co¨ıncide avec sys Γ (¯ y j ) , qui est leminimum (sur Y jr ) de la fonction ¯ y sys Γ (¯ y ) . (cid:3) On remarquera que, sur un espace m´etrique mesur´e ( Y, d, µ ) d’entropie major´ee, la systolede l’action d’un groupe ( δ, α ) − ´epais Γ n’est g´en´eralement pas minor´ee lorsque le diam`etre del’espace quotient Y n’est pas major´e (comparer avec la Proposition 7.16 (ii). Lorsque le diam`etren’est pas major´e, nous allons montrer que, dans l’espace-quotient Y , autour de chaque point ¯ y o`u la systole est petite, il existe une boule de grand rayon qui ressemble `a un “tube”, i. e. quiest isom´etrique `a une boule du quotient de Y par un sous-groupe ab´elien de Γ .Plus concr`etement, en reprenant les notations de la section pr´ec´edente, nous fixerons ici un ε > ε qui sera pr´ecis´e dans la Proposition7.23) et nous poserons R ε := ε ln (cid:16) ε ε (cid:17) (observer que R ε → + ∞ quand ε → y ∈ Y tel que sys Γ ( y ) ≤ ε et consid´erons l’ouvert U R ε := S γ ∈ ˘Γ Rε ( y ) B Y ( γ y, R ε )et, afin de pouvoir appliquer le Lemme g´en´eral 7.18 dans ce contexte, nous allons montrer que U R ε est la composante connexe de y dans π − B Y (¯ y, R ε )) (o`u ¯ y := π ( y ) ). Notons en effet U R ε ( y ) la composante connexe de y dans π − (cid:0) B Y (¯ y, R ε ) (cid:1) et G y l’ensemble des γ ∈ Γ tels que γ ( U R ε ( y )) = U R ε ( y ) . Comme toute boule d’un espace de longueur est connexe par arcs , comme γ (cid:0) B Y ( y, R ε ) (cid:1) = B Y ( γ y, R ε ) , et comme, pour toute partie connexe A de π − B Y (¯ y, R ε )) , A ∩ U R ε ( y ) = ∅ ⇐⇒ A ⊂ U R ε ( y ) , en proc´edant par implications en boucles, nous d´emontronsque ∀ γ ∈ Γ γ y ∈ U R ε ( y ) ⇐⇒ γ (cid:0) U R ε ( y ) (cid:1) ∩ U R ε ( y ) = ∅ ⇐⇒ γ ( U R ε ( y )) = U R ε ( y ) ⇐⇒⇐⇒ γ ∈ G y ⇐⇒ B Y ( γ y, R ε ) ∩ U R ε ( y ) = ∅ ⇐⇒ B Y ( γ y, R ε ) ⊂ U R ε ( y ) , (61)et, puisque π − (cid:0) B Y (¯ y, R ε ) (cid:1) = S γ ∈ Γ B Y ( γ y, R ε ) (d’apr`es la d´efinition de la distance-quotient¯ d ), on d´eduit des ´equivalences (61) que : U R ε ( y ) = [ γ ∈ Γ (cid:0) B Y ( γ y, R ε ) ∩ U R ε ( y ) (cid:1) = [ γ ∈ G y B Y ( γ y, R ε ) . (62)Montrons que ˘Γ R ε ( y ) ⊂ G y : en effet, pour tout σ ∈ ˘Σ R ε ( y ) , on a d ( y, σ y ) < R ε ; parailleurs, comme ( Y, d ) est un espace de longueur, il existe un “presque milieu” entre les points y et σy , i. e. un point u tel que d ( y, u ) = d ( σy, u ) < (cid:0) d ( y, σy ) + η (cid:1) < R ε (cid:1) pour tout η tel que 0 < η < R ε − d ( y, σy ) ;il s’ensuit que B Y ( y, R ε ) ∩ B Y ( σy, R ε ) = ∅ , donc que B Y ( σy, R ε ) ∩ U R ε ( y ) = ∅ donc, d’apr`esla s´erie d’´equivalences (61), que σ ∈ G y , ce qui assure que le sous-groupe ˘Γ R ε ( y ) engendr´e par˘Σ R ε ( y ) est inclus dans G y .Montrons maintenant que G y ⊂ ˘Γ R ε ( y ) , ce qui prouvera que G y = ˘Γ R ε ( y ) : en effet, comme 19. En effet, dans un espace de longueur, pour toute boule ouverte B Y ( x, r ) et tout point z de cette boule, ilexiste un chemin c qui relie x `a z tel que tout point z ′ de ce chemin v´erifie d ( x, z ′ ) + d ( z ′ , z ) < d ( x, z ) + η (o`u0 < η < r − d ( x, z ) ), ce qui implique que tout point z ′ de ce chemin appartient `a B Y ( x, r ) . Y, d ) est localement connexe par arcs, U R ε ( y ) est connexe par arcs, car `a la fois connexe etlocalement connexe par arcs ; par cons´equent, pour tout γ ∈ G y , il existe un chemin continu quijoint y `a γ y et qui est enti`erement contenu dans U R ε ( y ) , on a donc d (Γ · y, u ) < R ε en tout point u de ce chemin ; par compacit´e du chemin et par continuit´e de la fonction u R ε − ¯ d (cid:0) π ( y ) , π ( u ) (cid:1) ,il existe un η > d (Γ · y, u ) ≤ R ε − η en tout point u de ce chemin.Consid´erons une subdivision y = y , y , . . . , y n − , y n = γ y de ce chemin telle que d ( y i − , y i ) <η pour tout 1 ≤ i ≤ n . Comme tout point y i de la subdivision appartient au chemin, il existeun γ i ∈ Γ tel que d ( y i , γ i y ) ≤ R ε − η (on fait les choix ´evidents γ = e et γ n = γ ) ; en posant σ i = γ − i − γ i (pour tout 1 ≤ i ≤ n ), nous obtenons que d ( y, σ i y ) = d ( γ i − y, γ i y ) ≤ d ( y i − , γ i − y ) + d ( y i − , y i ) + d ( y i , γ i y ) < R ε − η , ce qui prouve que tous les σ i appartiennent `a ˘Σ R ε ( y ) , donc que γ ∈ ˘Γ R ε ( y ) car γ = σ · σ · . . . · σ n . Comme G y = ˘Γ R ε ( y ) , nous avons donc, par d´efinition de U R ε et en vertu de (62), U R ε = [ γ ∈ ˘Γ Rε ( y ) B Y ( γ y, R ε ) = [ γ ∈ G y B Y ( γ y, R ε ) = U R ε ( y ) . Ceci d´emontre que U R ε est la composante connexe de y dans π − ( B Y (¯ y, R ε )) .Ceci prouve que nous pouvons appliquer les r´esultats de la section 7.3.1 pr´ec´edente, en posant V = B Y (¯ y, R ε ) et V = π − ( B Y (¯ y, R ε )) = S γ ∈ Γ B Y ( γ y, R ε ) , en rempla¸cant la composanteconnexe V i de V par la composante connexe U R ε de π − ( B Y (¯ y, R ε )) . Comme G y = ˘Γ R ε ( y )est le sous-groupe des ´el´ement de Γ qui pr´eservent la composante connexe U R ε = U R ε ( y ) , cecipermet de d´efinir les applications-quotients ˘ π : Y → ˘ Y = ˘Γ R ε ( y ) \ Y et ˘ p : U R ε → ˘Γ R ε ( y ) \ U R ε ,la seconde application ´etant la restriction de la premi`ere. Comme π ( U R ε ) ⊂ B Y (¯ y, R ε ) , on peutd´efinir p : U R ε → B Y (¯ y, R ε ) comme la restriction de π `a U R ε .L’application π passe au quotient en une application ¯ π : ˘Γ R ε ( y ) \ Y → Γ \ Y , et le mˆemeraisonnement qu’`a la section 7.3.1 prouve que l’application ˘Γ R ε ( y ) \ U R ε → ˘Γ R ε ( y ) \ Y induitepar l’inclusion U R ε ֒ → Y peut ´egalement ˆetre consid´er´ee comme une inclusion ˘Γ R ε ( y ) \ U R ε ֒ → ˘Γ R ε ( y ) \ Y , ce qui permet de d´efinir ¯ p comme la restriction de ¯ π `a ˘Γ R ε ( y ) \ U R ε et de d´emontrer(comme en section 7.3.1) que ¯ p ◦ ˘ p = p . Toutes ces d´efinitions et propri´et´es sont r´esum´ees dansle diagramme suivant : Γ y Y ˘ π / / π * * ˘ Y = ˘Γ R ε ( y ) \ Y ¯ π / / Y = Γ \ Y ˘Γ R ε ( y ) y U R ε ?(cid:31) O O ˘ p / / p B ˘ Y (˘ y, R ε ) = ˘Γ R ε ( y ) \ U R ε ¯ p / / ?(cid:31) O O B Y (¯ y, R ε ) ?(cid:31) O O (63) Dans ce diagramme, l’´egalit´e B ˘ Y (˘ y, R ε ) = ˘Γ R ε ( y ) \ U R ε (o`u ˘ y = ˘ p ( y ) ) est justifi´ee par le fait que U R ε = { z : d (cid:16) ˘Γ R ε ( y ) · y, z (cid:17) < R ε } , ce qui, par d´efinition de la distance-quotient ˘ d , donne :˘ π ( U R ε ) = { ˘ π ( z ) : ˘ d ( π ( y ) , π ( z )) < R ε } = B ˘ Y (˘ y, R ε ) . Le Lemme qui suit permet de pr´eciser etcommenter ce diagramme. Lemme 7.22. (Lemme de structure) Soit ( Y, d ) un espace m´etrique de longueur et soit Γ ungroupe sans torsion agissant (proprement, par isom´etries) sur ( Y, d ) . Fixons une valeur ε > ,une valeur quelconque ε ∈ ] 0 , ε [ et choisissons R ε := ε ln (cid:16) ε ε (cid:17) ; fixons un point y ∈ Y telque sys Γ ( y ) ≤ ε et consid´erons l’ouvert U R ε := S γ ∈ ˘Γ Rε ( y ) B Y ( γ y, R ε ) Avec les notations quipr´ec`edent, on a : i) U R ε est la composante connexe de y dans π − ( B Y (¯ y, R ε )) et ˘Γ R ε ( y ) est l’ensemble des γ ∈ Γ tels que γ ( U R ε ) = U R ε .(ii) les applications π , ˘ π , p et ˘ p sont des revˆetements localement isom´etriques de U R ε sur B Y (¯ y, R ε ) et B ˘ Y (˘ y, R ε ) respectivement ;(iii) ¯ p est un hom´eomorphisme de B ˘ Y (˘ y, R ε ) sur B Y (¯ y, R ε ) qui est une isom´etrie locale etpr´eserve les longueurs des chemins.Preuve : Le point (i) a ´et´e d´emontr´e dans le pr´eambule de la pr´esente section 7.3.3. La propri´et´e(i), le fait que Γ est sans torsion, et le fait que les boules sont connexes dans l’espace de longueur( Y, d ) (donc dans son quotient ( Y , ¯ d ) ) d´emontrent que les hypoth`eses du Lemme 7.18 sontv´erifi´ees si on remplace l’ouvert V du Lemme 7.18 par B Y (¯ y, R ε ) et la composante connexe V i de π − ( V ) par la composante connexe U R ε de y dans π − ( B Y (¯ y, R ε )) . La partie (ii) d´ecouleimm´ediatement du Lemme 7.18 (i) et (ii). Le Lemme 7.18 (iv) implique que l’application ¯ p estun hom´eomorphisme de B ˘ Y (˘ y, R ε ) = ˘Γ R ε ( y ) \ U R ε sur B Y (¯ y, R ε ) , qui est une isom´etrie localeet pr´eserve les longueurs des chemins, ce qui ach`eve la preuve de la partie (iii). (cid:3) Proposition 7.23. Pour toute donn´ee des param`etres positifs δ, α, H , posons ε = α H (13 δ + α ) ,fixons une valeur quelconque ε ∈ ] 0 , ε ] et choisissons R ε := ε ln (cid:16) ε ε (cid:17) .Soit ( Y, d, µ ) un espace m´etrique de longueur mesur´e d’entropie major´ee par H , et soit Γ ungroupe ( δ, α ) − transitif non ab´elien agissant discr`etement (par isom´etries pr´eservant la mesure)sur ( Y, d, µ ) . Avec les notations du pr´eambule ci-dessus et en nous r´ef´erant au diagramme (63) ,pour tout ε ∈ ] 0 , ε [ et pour tout point y ∈ Y tel que sys Γ ( y ) ≤ ε , on a :(i) l’application ¯ p se restreint en une isom´etrie de B ˘ Y (˘ y, R ε ) sur B Y (¯ y, R ε ) ;(ii) les sous-groupes ˘Γ R ε ( y ) et Γ R ε ( y ) sont ab´eliens (isomorphes `a Z lorsque Γ est ( δ, α ) − HT),(iii) si ( Y, d ) est simplement connexe, si e π (cid:0) B Y (¯ y, R ε ) , ¯ y (cid:1) d´esigne l’image (dans π (cid:0) Y , π ( y ) (cid:1) )du groupe fondamental de B Y (¯ y, R ε ) (de point-base ¯ y := π ( y ) ) par le morphisme induitpar l’inclusion B Y (¯ y, R ε ) ֒ → Y , le sous-groupe ˘Γ R ε ( y ) s’identifie avec e π (cid:0) B Y (¯ y, R ε ) , ¯ y (cid:1) via l’isomorphisme canonique Γ → π (cid:0) Y , π ( y ) (cid:1) ). Par cons´equent e π (cid:0) B Y (¯ y, R ε ) , ¯ y (cid:1) estun sous-groupe ab´elien du groupe fondamental de Y , qui est isomorphe `a Z lorsque Γ est un groupe ( δ, α ) − HT.(iv) Si Γ est un groupe ( δ, α ) − HT, pour toutes les paires de points y ′ , y ′′ ∈ B Y ( y, R ε − ε ) tels que sys Γ ( y ′ ) , sys Γ ( y ′′ ) ≤ ε , si σ ′ et σ ′′ sont des ´el´ements de Γ ∗ tels que d ( y ′ , σ ′ y ′ ) ≤ ε et d ( y ′′ , σ ′′ y ′′ ) ≤ ε , alors il existe des entiers p, q ∈ Z ∗ tels que ( σ ′ ) p = ( σ ′′ ) q .En particulier, si ( Y, d ) est simplement connexe, deux lacets non homotopes `a z´ero delongueur inf´erieure ou ´egale `a ε et qui n’admettent pas de multiples qui soient homotopesont leurs voisinages tubulaires de rayons (cid:0) R ε − ε (cid:1) disjoints ;(v) Si Γ est un groupe ( δ, α ) − HT et si ( Y, d ) est g´eod´esique et simplement connexe, pourtout r ≤ ε , notons { Y jr : j ∈ K } l’ensemble des composantes connexes de Y r qui inter-sectent la boule B Y (¯ y, R ε − r ) et qui sont d’adh´erence compacte . Dans chacune de cescomposantes connexes consid´erons une (quelconque) des g´eod´esiques locales p´eriodiques ¯ c j de Y , qui sont non homotopes `a z´ero et de longueur inf´erieure `a r , alors, pour tousles j, k ∈ K , les g´eod´esiques p´eriodiques ¯ c j et ¯ c k admettent des multiples entiers quisont homotopes. 20. On peut ajouter `a cet ensemble de composantes connexes l’ensemble des composantes connexes Y jr telles quela limite inf´erieure de sys Γ (¯ y ) (quand ¯ y tend vers l’infini dans Y jr ) soit sup´erieure ou ´egale `a r (ce qui impliquequ’elle est ´egale `a r ), mais on remarquera que, pour tout r ′ < r chacune de ces composantes connexes contientune composante connexe relativement compacte de Y r ′ , le traitement du cas o`u les composantes connexes sontrelativement compactes suffit donc `a d´ecrire la situation g´en´erale.21. L’existence, dans chaque Y jr , d’au moins une de ces g´eod´esiques (locales) p´eriodiques est d´emontr´ee par laProposition 7.21 (iii). reuve : La propri´et´e (i) du Lemme 7.22, le fait que Γ soit sans torsion (d’apr`es les Remarques7.5 (a) et (c)) et le fait que les boules sont connexes dans l’espace de longueur ( Y, d ) (donc dansson quotient ( Y , ¯ d ) ) d´emontrent que les hypoth`eses du Lemme 7.18 sont v´erifi´ees si on remplacel’ouvert V du Lemme 7.18 par B Y (¯ y, R ε ) et la composante connexe V i de π − ( V ) par lacomposante connexe U R ε de y dans π − ( B Y (¯ y, R ε )) .— (iii) est alors un corollaire imm´ediat du Lemme 7.18 (v) et du point (ii) qui d´emontre que˘Γ R ε ( y ) est ab´elien.— Preuve de (i) : Comme cons´equence des ´egalit´es π (cid:0) B Y ( y, R ε ) (cid:1) = B Y (cid:0) ¯ y, R ε (cid:1) , ˘ π (cid:0) B Y ( y, R ε ) (cid:1) = B ˘ Y (cid:0) ˘ y, R ε (cid:1) (voir ci-dessus) et du Lemme 7.22 (iii), l’application ¯ p se restreint en une ap-plication de ˘ B (cid:0) ˘ y, R ε (cid:1) sur B Y (cid:0) ¯ y, R ε (cid:1) qui est encore un hom´eomorphisme localementisom´etrique. Pour d´emontrer que cette restriction de ¯ p est une isom´etrie, il nous suffit ded´emontrer que, pour tous les z, z ′ ∈ B Y ( y, R ε ) , on a ˘ d (cid:0) ˘ π ( z ) , ˘ π ( z ′ ) (cid:1) = ¯ d (cid:0) π ( z ) , π ( z ′ ) (cid:1) .Comme ˘Γ R ε ( y ) ⊂ Γ , on a¯ d (cid:0) π ( z ) , π ( z ′ ) (cid:1) = inf γ ∈ Γ d ( γ z, z ′ ) ≤ inf γ ∈ ˘Γ Rε ( y ) d ( γ z, z ′ ) = ˘ d (cid:0) ˘ π ( z ) , ˘ π ( z ′ ) (cid:1) . Par ailleurs, pour tout γ ∈ Γ \ ˘Γ R ε ( y ) ⊂ Γ \ ˘Σ R ε ( y ) , on a d ( y, γ y ) ≥ R ε et l’in´egalit´etriangulaire donne : d ( γ z, z ′ ) ≥ d ( γ y, y ) − d ( y, z ′ ) − d ( γ y, γ z ) ≥ R ε − d ( y, z ′ ) − d ( y, z ) > R ε > d ( z, z ′ )et, par cons´equent, inf γ ∈ Γ d ( γ z, z ′ ) = inf γ ∈ ˘Γ Rε ( y ) d ( γ z, z ′ ) , ce qui implique que ˘ d (cid:0) ˘ π ( z ) , ˘ π ( z ′ ) (cid:1) =¯ d (cid:0) π ( z ) , π ( z ′ ) (cid:1) .— Preuve de (ii) : Tout ´el´ement γ ∈ Σ R ε ( y ) v´erifie : d ( y, γ y ) ≤ R ε = αH (13 δ + α ) ln (cid:18) αH (13 δ + α ) ε (cid:19) ≤ (cid:0) (cid:2) δα (cid:3)(cid:1) H Max " ln 2 , ln (cid:0) (cid:2) δα (cid:3)(cid:1) H sys Γ ( y ) ! , o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que sys Γ ( y ) ≤ ε ≤ α H (13 δ + α ) Si σ est un´el´ement de Γ ∗ tel que d ( y, σ y ) = sys Γ ( y ) , la proposition 7.16 (i) implique que tout´el´ement γ ∈ Σ R ε ( y ) commute avec σ donc que tout γ ∈ Γ R ε ( y ) commute avec σ , partransitivit´e de la relation de commutation, nous en d´eduisons que Γ R ε ( y ) est ab´elien (etisomorphe `a Z si Γ est ( δ, α ) − ´epais, en vertu de la Remarque 7.5 (d)). Remarquons queΓ R ε ( y ) est non trivial, puisque sys Γ ( y ) ≤ ε ≤ ε ≤ R ε . Ceci ach`eve la d´emonstrationde (ii).— Preuve de (iv) : y ′ , y ′′ , σ ′ , σ ′′ v´erifiant les hypoth`eses de (iv), l’in´egalit´e triangulaire donne d ( y, σ ′ y ) ≤ d ( y, y ′ ) + d ( y ′ , σ ′ y ′ ) < R ε , d ( y, σ ′′ y ) ≤ d ( y, y ′′ ) + d ( y ′′ , σ ′′ y ′′ ) < R ε , ce qui prouve que σ , σ ′′ ∈ ˘Γ R ε ( y ) , ce dernier sous-groupe ´etant isomorphe `a Z envertu de la partie (ii) de la pr´esente Proposition. La propri´et´e (56) permet d’en d´eduirel’existence d’entiers p, q ∈ Z ∗ tels que ( σ ′ ) p = ( σ ′′ ) q .Si ( Y, d ) est simplement connexe, ´etant donn´es deux lacets ¯ c et ¯ c de Y non homotopes`a z´ero, de longueur inf´erieure ou ´egale `a ε , s’il existe des points ¯ y et ¯ y de ces deuxlacets tels que ¯ d (¯ y , ¯ y ) < R ε − ε , par d´efinition de la distance-quotient, il existe desant´ec´edents respectifs y et y de ¯ y et de ¯ y dans Y tels que d ( y , y ) ≤ R ε − ε .Les lacets ¯ c et ¯ c se rel`event en deux chemin continus c et c de mˆemes longueurs,d’origines respectives y et y et d’extr´emit´es situ´ees respectivement dans π − ( { ¯ y } )et dans π − ( { ¯ y } ) , donc de la forme σ y et σ y , o`u σ , σ ∈ Γ ; le fait que ¯ c et¯ c ne soient pas homotopes `a z´ero assure que σ et σ sont non triviaux, de plus on73 d ( y , σ y ) ≤ longueur de ¯ c ≤ ε et d ( y , σ y ) ≤ longueur de ¯ c ≤ ε . Comme y , y ∈ B Y ( y , R ε − ε ) , on peut appliquer le r´esultat de la premi`ere partie de (iv)(que nous venons de d´emontrer), on en d´eduit qu’il existe des entiers p, q ∈ Z ∗ tels que σ p = σ q . Notons c ′ un chemin continu joignant y `a σ y dans Y , alors le lacet π ◦ c ′ de Y est librement homotope `a ¯ c et l’´egalit´e σ p y = σ q y implique que les lacets p · ¯ c et q · ( π ◦ c ′ ) sont homotopes, donc que les lacets p · ¯ c et q · ¯ c sont librement homotopes.A l’inverse, ceci assure que la distance entre ¯ c et ¯ c est sup´erieure ou ´egale `a R ε − ε quand ¯ c et ¯ c n’admettent pas de multiples librement homotopes.— Preuve de (v) : Pour tout j ∈ K , choisissons un point quelconque ¯ x j dans l’intersection(non vide par hypoth`ese) Y jr ∩ B Y (¯ y, R ε − r ) ; par d´efinition de la distance-quotient, π − ( { ¯ x j } ) intersecte B Y ( y, R ε − r ) en au moins un point, que nous noterons x j .Fixons un ´el´ement non trivial σ j ∈ ˘Σ r ( x j ) (un tel ´el´ement existe car x j ∈ π − ( { ¯ x j } ) ⊂ π − ( Y jr ) = Y r ). De l’in´egalit´e triangulaire, il d´ecoule imm´ediatement que ∀ j ∈ K σ j ∈ ˘Σ r ( x j ) ⊂ ˘Σ R ε ( y ) ⊂ ˘Γ R ε ( y ) ;Notons Y jr la composante connexe de x j dans Y r , comme π ( Y jr ) ∩ Y jr est non vide (caril contient ¯ x j ), la Proposition 7.20 (ii) prouve que π induit un revˆetement de Y jr sur Y jr ; fixons la g´eod´esique locale p´eriodique ¯ c j ⊂ Y jr et un point ¯ y j de cette g´eod´esique, ilexiste donc un relev´e y j ∈ Y jr du point ¯ y j et un relev´e c j de la g´eod´esique locale ¯ c j (i. e. π ◦ c j = ¯ c j ) d’origine y j , dont l’extr´emit´e oppos´ee appartient `a π − ( { ¯ y j } ) et est distinctede y j (car ¯ c j n’est pas homotope `a z´ero) ; il existe donc un ´el´ement γ j de Γ ∗ tel que γ j y j soit cette extr´emit´e oppos´ee. De plus, comme d ( y j , γ j y j ) ≤ longueur de ¯ c j < r , γ j appartient `a ˘Γ r ( y j ) . La Proposition 7.21 (i) prouve que ˘Γ r ( y j ) et ˘Γ r ( x j ) sont inclusdans un mˆeme sous-groupe ab´elien de Γ , ce dernier sous-groupe ´etant isomorphe `a ( Z , +)d’apr`es la Remarque 7.5 (d) ; il existe donc p, q ∈ Z ∗ tels que γ pj = σ qj . Nous avons doncprouv´e que, pour tout j ∈ K , pour toute g´eod´esique locale p´eriodique ¯ c j incluse dans Y jr , pour tout point ¯ y j de ¯ c j , si γ j est l’´el´ement de Γ ∗ qui est envoy´e sur la classed’homotopie de ¯ c j par l’isomorphisme canonique Γ → π ( Y, ¯ y j ) , il existe un ´el´ement nontrivial σ j de ˘Γ R ε ( y ) et des p, q ∈ Z ∗ tels que γ pj = σ qj .Pour tout autre indice k ∈ K , on d´emontre de mˆeme que, pour toute g´eod´esique localep´eriodique ¯ c k incluse dans Y kr , pour tout point ¯ y k de ¯ c k , si γ k est l’´el´ement de Γ ∗ quiest envoy´e sur la classe d’homotopie de ¯ c k par l’isomorphisme canonique Γ → π ( Y, ¯ y k ) ,il existe un ´el´ement non trivial σ k de ˘Γ R ε ( y ) et des r, s ∈ Z ∗ tels que γ rk = σ sk . Comme˘Γ R ε ( y ) est isomorphe `a Z d’apr`es (ii), il existe m, n ∈ Z ∗ tels que σ mj = σ nk . Les trois´egalit´es ci-dessus donnent γ pmsj = γ qnrk , ce qui prouve qu’un multiple entier de ¯ c j est(librement) homotope `a un multiple entier de ¯ c k . (cid:3) Ces ´ecarts num´eriques sont essentiellement dus au fait que les diff´erents textes de base (par ex. [Gd90],[CDP90], [BH99]) partent de d´efinitions diff´erentes (´equivalentes, mais `a une constante multiplicativepr`es) de la δ − hyperbolicit´e et ont des m´ethodes vari´ees pour d´emontrer les r´esultats de base de la th´eoriedes espaces Gromov-hyperboliques, d’o`u des diff´erences d’un facteur multiplicatif dans les constantes(diff´erences qui ne sont pas gˆenantes quand on travaille `a quasi-isom´erie pr`es, mais qui sont quelque peuins´ecurisantes quand on recherche des bornes universelles explicites d’invariants g´eom´etriques). Notrepropos est ici de donner un cheminement qui permet de contrˆoler ces constantes multiplicatives demani`ere ind´ependante de l’espace (pourvu que celui-ci soit δ − hyperbolique). Comme ces r´esultats sont(`a un facteur multiplicatif pr`es) classiques, la d´emonstration de chaque Lemme sera laiss´ee au lecteur. Dans un espace m´etrique g´eod´esique ( X, d ), un triangle g´eod´esique ∆ = [ x, y, z ] est la r´eunionde trois segments g´eod´esiques [ x, y ] , [ y, z ] et [ z, x ] . Pour tout triangle g´eod´esique ∆ = [ x, y, z ] ,74l existe toujours un tripode T ∆ = [ cx ′ ] ∪ [ cy ′ ] ∪ [ cz ′ ] (c.a.d. un arbre m´etrique `a trois branches,ayant pour “point de branchement” le point c ) et une application surjective f ∆ : ∆ → T ∆ quienvoie les sommets x, y, z du triangle respectivement sur les extr´emit´es x ′ , y ′ , z ′ des branchesdu tripode et dont la restriction a chaque cot´e de ∆ est une isom´etrie. Le produit de Gromov ,d´efini par ( x | y ) x := 12 (cid:0) d ( x , x ) + d ( x , y ) − d ( x, y ) (cid:1) permet d’exprimer ais´ement les longueurs des trois branches de T ∆ . En effet, il existe trois points c z ∈ [ x, y ] , c x ∈ [ y, z ] et c y ∈ [ z, x ] appartenant `a f − ( c ), dits points internes du triangle ∆,tels que d ( x, c y ) = d ( x, c z ) = d T ( x ′ , c ) = ( y | z ) x d ( y, c x ) = d ( y, c z ) = d T ( y ′ , c ) = ( x | z ) y d ( z, c x ) = d ( z, c y ) = d T ( z ′ , c ) = ( x | y ) z (o`u d T indique la distance dans T ∆ ). La preuve des in´egalit´es suivantes est imm´ediate : Lemme 8.1. Soit ∆ = [ x, y, z ] un triangle g´eod´esique et f ∆ l’application tripode associ´ee :(i) En restriction au cˆot´e [ x, y ] (resp. au cˆot´e [ x, z ] , resp. au cˆot´e [ y, z ] ) l’application f ∆ est une isom´etrie.(ii) si u, v ∈ ∆ , alors d T ( f ∆ ( u ) , f ∆ ( v )) ≤ d ( u, v ) ;(iii) si u ∈ [ x, y ] , alors d ( u, z ) ≥ ( x | u ) z ≥ ( x | y ) z . Un triangle g´eod´esique ∆ de ( X, d ) est dit δ − fin si, pour tout u ∈ T ∆ et pour tous les x, y ∈ f − ( { u } ) , on a d ( x, y ) ≤ δ . D´efinition 8.2. On dira qu’un espace m´etrique g´eod´esique propre ( X, d ) est δ − hyperbolique si tous ses triangles sont δ − fins.Tous les espaces δ − hyperboliques que nous consid`ererons ici seront donc suppos´es g´eod´esiques etpropres, sans qu’il soit n´ecessaire de le r´ep´eter. Le r´esultats suivants sont bien connus, et ils sont souvent pris comme d´efinition mˆeme de la δ -hyperbolicit´e ; on pourra en retrouver la preuve (avec des constantes variables, d´ependantes dela d´efinition choisie) dans tous les textes classiques, cf. par ex. [Gd90], [CDP90], [BH99]). Lemme 8.3. Soit ( X, d ) un espace δ -hyperbolique.(i) (Lemme d’approximation) Pour tout triangle ∆ = [ x, y ] ∪ [ y, z ] ∪ [ z, x ] , l’application tri-pode associ´ee f ∆ : ∆ → T ∆ satisfait : d ( u, v ) − δ ≤ d T ( f ∆ ( u ) , f ∆ ( v )) ≤ d ( u, v ) . (ii) (Lemme de Rips) Pour tout point u ∈ [ x, y ] , on a : d ( u, [ y, z ] ∪ [ z, x ]) ≤ δ . (iii) (Lemme de la moyenne) Pour tous les x , x, y, z ∈ X , on a ( x | z ) x ≥ Min [ ( x | y ) x , ( y | z ) x ] − δ . En particulier, pour tout triangle g´eod´esique ∆ = [ x , x, y ] et pour tout point z ∈ [ x, y ] ,on a d ( x , z ) ≥ ( x | z ) x ≥ ( x | y ) x .(iv) (Lemme du quadrilat`ere) Pour tout les x, y, z, w ∈ X , on a d ( x, z ) + d ( y, w ) ≤ Max( d ( x, y ) + d ( z, w ) ; d ( x, w ) + d ( y, z )) + 2 δ , ; si de plus [ x, y ] , [ y, z ] , [ z, w ] et [ x, w ] sont des segments g´eod´esiques reliant entre euxles sommets du quadrilat`ere [ x, y, z, w ] , alors pour tout v ∈ [ x, w ] on a : d ( v , [ x, y ] ∪ [ y, z ] ∪ [ z, w ]) ≤ δ . .2 Projections D´efinition 8.4. Si F est un sous-ensemble ferm´e d’un espace m´etrique ( X, d ) et si x ∈ X estun point quelconque, on appelle projet´e de x sur F n’importe quel point ¯ x ∈ F tel que d ( x, ¯ x ) = d ( x, F ) := inf z ∈ F d ( x, z ) . La continuit´e de la distance implique qu’il existe toujours un projet´e sur un compact, mais celui-ci n’est g´en´eralement pas unique.En revanche, il n’existe pas toujours un projet´e sur un ferm´e ; une hypoth`ese suffisante pourqu’il existe un projet´e sur un ferm´e F est que l’espace ( X, d ) soit propre. Cependant, lorsque leferm´e F est l’image d’une g´eod´esique, cette hypoth`ese est inutile, comme le d´emontre le lemme8.5 ci-dessous, dont la preuve (´el´ementaire) est laiss´ee au lecteur : Lemme 8.5. Dans un espace m´etrique ( X, d ) , si c est un segment, ou un rayon, ou une droiteg´eod´esique, tout point x ∈ X admet (au moins) un projet´e sur l’image Im( c ) de c .De plus, l’application x d ( x, Im( c )) est lipschitzienne de constante de Lipschitz ´egale `a . Lemme 8.6. Dans un espace δ − hyperbolique (donc g´eod´esique et propre) ( X, d ) , consid´eronsun triangle de g´eod´esiques quelconque ∆ := [ x, y, z ] , dont les cˆot´es sont not´es [ x, y ] , [ y, z ] et [ z, x ] ; pour tout η ≥ tel que d ( x, [ y, z ]) ≥ d ( x, y ) − η , on a(i) d ( y, c y ) ≤ δ + η , o`u c z , c y , c x sont les points des cˆot´es respectifs [ x, y ] , [ x, z ] , [ y, z ] tels que d ( x, c z ) = d ( x, c y ) , d ( y, c z ) = d ( y, c x ) et d ( z, c y ) = d ( z, c x ) (voir la formule quipr´ec`ede le Lemme 8.1),(ii) d ( x, z ) ≥ d ( x, y ) + d ( y, z ) − η + δ ) .Preuve : Notons ( T ∆ , d T ) le tripode m´etrique associ´e au triangle ∆ et f ∆ : ∆ → T ∆ l’appli-cation tripode associ´ee. Notons respectivement x ′ , y ′ , z ′ les extr´emit´es f ∆ ( x ) , f ∆ ( y ) , f ∆ ( z ) desbranches du tripode T ∆ . Par construction, le point central de branchement c de ce tripodev´erifie f ∆ ( c z ) = f ∆ ( c y ) = f ∆ ( c x ) = c . Le fait que c x ∈ [ y, z ] , le fait que f ∆ soit une isom´etrieen restriction `a chacun des cˆot´es de ∆ (cf. le Lemme 8.1 (i)) et le Lemme d’approximation 8.3(i) impliquent que d T ( x ′ , y ′ ) = d ( x, y ) ≤ d ( x, c x ) + η ≤ d T ( x ′ , c ) + δ + η , dont on d´eduit que d T ( y ′ , c ) ≤ δ + η , ce qui a deux cons´equences :— d’une part, en vertu du Lemme d’approximation 8.3 (i), on a d ( y, c y ) ≤ δ + η , ce quiprouve la partie (i),— d’autre part, en vertu du fait que l’application f ∆ est une isom´etrie en restriction `achacun des cˆot´es de ∆ (cf. le Lemme 8.1 (i)), cette in´egalit´e permet de conclure la preuvede la partie (ii) en d´emontrant que d ( x, z ) = d T ( x ′ , z ′ ) = d T ( x ′ , c ) + d T ( c, z ′ ) = d T ( x ′ , y ′ ) + d T ( y ′ , z ′ ) − d T ( y ′ , c ) ≥ d ( x, y ) + d ( y, z ) − δ + η ) . (cid:3) Le Lemme 8.5 (ii) (en y rempla¸cant η par 0 ) a pour corollaire imm´ediat le Lemme 8.7 qui suit : Lemme 8.7. Dans un espace δ − hyperbolique ( X, d ) , pour toute g´eod´esique c , pour tout point x ∈ X et tout point y de l’image de c , on a d ( x, y ) ≥ d ( x, ¯ x ) + d (¯ x, y ) − δ , o`u ¯ x est unprojet´e de x sur l’image de c . Le Lemme qui suit signifie que l’in´egalit´e triangulaire est une presque-´egalit´e dans le cas o`u lesdeux points interm´ediaires sont des projet´es. 76 emme 8.8. Dans un espace δ − hyperbolique g´eod´esique ( X, d ) , consid´erons quatre points x, y, ¯ x, ¯ y tels que ¯ x et ¯ y soient des projet´es de x et de y sur un des segments g´eod´esiques(not´e [¯ x, ¯ y ] ) joignant ¯ x et ¯ y , alors d (¯ x, ¯ y ) > δ = ⇒ d ( x, y ) ≥ d ( x, ¯ x ) + d (¯ x, ¯ y ) + d (¯ y, y ) − δ . Preuve : Le Lemme 8.7 donne d ( x, ¯ y ) ≥ d ( x, ¯ x ) + d (¯ x, ¯ y ) − δ et d ( y, ¯ x ) ≥ d ( y, ¯ y ) + d (¯ y, ¯ x ) − δ .De ceci et de l’hypoth`ese d (¯ x, ¯ y ) > δ on d´eduit : d ( x, ¯ y ) + d ( y, ¯ x ) − δ ≥ d ( x, ¯ x ) + 2 d (¯ x, ¯ y ) + d ( y, ¯ y ) − δ > d ( x, ¯ x ) + d ( y, ¯ y ) , et, en utilisant cette derni`ere in´egalit´e et le lemme du quadrilat`ere 8.3 (iv) : d ( x, ¯ x )+2 d (¯ x, ¯ y )+ d ( y, ¯ y ) − δ ≤ d ( x, ¯ y )+ d ( y, ¯ x ) − δ ≤ Max ( d ( x, ¯ x ) + d ( y, ¯ y ) ; d ( x, y ) + d (¯ x, ¯ y )) ≤ d ( x, y ) + d (¯ x, ¯ y ) , ce qui conclut. (cid:3) Les points (i) et (ii) de la Proposition qui suit sont classiques : en effet, d’apr`es la d´efinition dubord id´eal (D´efinition 7.1, p. 117 de [Gd90], qui est ´equivalente `a la d´efinition donn´ee au chapitre2 de [CDP90], en vertu de la Proposition 7.4 p. 120 de [Gd90]), il est ´equivalent de dire quedeux g´eod´esiques γ et γ v´erifient l’´egalit´e γ (+ ∞ ) = γ (+ ∞ ) et de dire que la distance deHausdorff entre γ ([0 , + ∞ [) et γ ([0 , + ∞ [) est finie, la mˆeme ´equivalence ´etant v´erifi´ee du cˆot´ede −∞ sous les hypoth`eses faites en (i) ; nous nous contentons ici de pr´eciser les constantes quiinterviennent dans ces deux r´esultats (i) et (ii), c’est la raison pour laquelle nous ne donneronspas leur d´emonstration.Le point (iii) de la Proposition qui suit sera d´emontr´e ici, bien qu’il soit proche d’un r´esultatconnu, qui s’exprime de la mani`ere suivante : ´etant donn´ees une fonction de Busemann b γ (associ´ee `a un rayon g´eod´esique donn´e γ ) et deux autres g´eod´esiques γ et γ telles que γ (+ ∞ ) = γ (+ ∞ ) = γ (+ ∞ ) alors, pour tout t > b γ aux points γ ( t ) et γ ( t ) diff`erent d’une constante qui, une fois les origines des g´eod´esiquesconvenablement choisies, ne d´epend que de la constante d’hyperbolicit´e δ . Le point (iii) qui suitest cependant plus pr´ecis sur les cons´equences quantitatives de cette id´ee Proposition 8.9. Dans un espace δ − hyperbolique g´eod´esique propre ( X, d ) ,(i) si γ et γ : R → X sont deux droites g´eod´esiques telles que γ (+ ∞ ) = γ (+ ∞ ) et γ ( −∞ ) = γ ( −∞ ) , alors, pour tout t ∈ R , il existe un s ∈ R tel que d ( γ ( t ) , γ ( s )) ≤ δ .De plus il existe des choix d’origines t et s sur γ et γ (respectivement) tels que,pour tout t ∈ R , d (cid:0) γ ( t + t ) , γ ( s + t ) (cid:1) ≤ δ ,(ii) si γ et γ : [0 , + ∞ [ → X sont deux rayons g´eod´esiques tels que γ (+ ∞ ) = γ (+ ∞ ) alors, pour tout t ∈ [ d ( γ (0) , γ (0)) , + ∞ [ , il existe un s ∈ [0 , + ∞ [ tel que d ( γ ( t ) , γ ( s )) ≤ δ ,(iii) si γ et γ : [0 , + ∞ [ → X sont deux rayons g´eod´esiques tels que γ (+ ∞ ) = γ (+ ∞ ) ,il existe deux nombres r´eels t , t ≥ v´erifiant t + t = d ( γ (0) , γ (0)) et tels que d ( γ ( t + t ) , γ ( t + t )) ≤ δ pour tout t ∈ R + .Preuve de (iii) : D’apr`es (ii), si t ′ est choisi suffisamment grand [on aura donc en particulier t ′ >d (cid:0) γ (0) , γ (0) (cid:1) + 2 δ ], il existe un s ′ tel que d (cid:0) γ ( t ′ ) , γ ( s ′ ) (cid:1) ≤ δ . Pour simplifier, posons x = γ (0) , y = γ (0) , x = γ ( t ′ ) , y = γ ( s ′ ) et consid´erons les deux triangles ∆ = [ x , x, y ] et∆ ′ = [ x, y, y ] (ayant le cˆot´e [ x, y ] en commun) et leurs approximations par les tripodes associ´es : f ∆ : (∆ , d ) → ( T ∆ , d T ) et f ∆ ′ : (∆ ′ , d ) → ( T ∆ ′ , d T ′ ) (selon la construction d´ecrite en d´ebut desection 8.1), les points centraux de branchement de ces tripodes ´etant not´es respectivement c c ′ ; on a f − (cid:0) { c } (cid:1) = { c , c , c } , o`u c , c et c appartiennent respectivement `a [ x , y ] , `a[ x , x ] et `a [ y , x ] . Posons t = d ( x , c ) = d ( x , c ) = d T ( f ∆ ( x ) , c ) , t = d ( y , c ) = d ( y , c ) = d T ( f ∆ ( y ) , c ) , o`u t + t = d ( x , y ) et o`u, d’apr`es ce qui pr´ec`ede et le Lemme 8.1 (i), t − t = d T ( f ∆ ( x ) , c ) − d T ( f ∆ ( y ) , c ) = d T ( f ∆ ( x ) , f ∆ ( x )) − d T ( f ∆ ( y ) , f ∆ ( x ))= d ( γ ( t ′ ) , x ) − d ( γ ( t ′ ) , y ) ; (64)comme γ ( t ) = c , le Lemme d’approximation 8.3 (i) implique que d ( γ ( t ) , c ) ≤ δ et, pourtout t ∈ [0 , t ′ − δ − t ] , le point γ ( t + t ) appartient `a [ c , x ] , donc le point f ∆ (cid:0) γ ( t + t ) (cid:1) appartient `a la branche [ c, f ∆ ( x ) ] du tripode T . Notons u le point du segment g´eod´esique[ c , x ] ⊂ [ y , x ] tel que f ∆ ( u ) = f ∆ (cid:0) γ ( t + t ) (cid:1) , donc tel que d ( c , u ) = d ( c , γ ( t + t )) = t (cette derni`ere ´egalit´e d´ecoulant du Lemme 8.1 (i)) ; le point u v´erifie donc les trois propri´et´essuivantes : d ( y , u ) = t + t , d ( x, u ) = t ′ − t − t ≥ δ , d ( γ ( t + t ) , u ) ≤ δ , (65)en effet, la premi`ere propri´et´e de (65) d´ecoule des ´egalit´es d ( c , u ) = t et d ( y , c ) = t et du faitque c ∈ [ y , u ] , la deuxi`eme et la troisi`eme du fait que f ∆ ( u ) = f ∆ (cid:0) γ ( t + t ) (cid:1) , ce qui implique(en utilisant le Lemme 8.1 (i)) que d ( x, u ) = d T (cid:0) f ∆ ( x ) , f ∆ ( u ) (cid:1) = d (cid:0) x, γ ( t + t ) (cid:1) = t ′ − t − t et(en utilisant le d’approximation 8.3 (i)) que d ( γ ( t + t ) , u ) ≤ δ .Comme u ∈ [ x, y ] , la construction du tripode d’approximation (cf. le d´ebut de la section 8.1)assure que le point f ∆ ′ ( u ) appartient `a la r´eunion des deux branches [ c ′ , f ∆ ′ ( x )] et [ c ′ , f ∆ ′ ( y )]du tripode T ′ . En rappelant que d ( x, y ) = d (cid:0) γ ( t ′ ) , γ ( s ′ ) (cid:1) ≤ δ , en nous appuyant sur leLemme 8.1 (i), sur la deuxi`eme des propri´et´es (65) et sur la d´efinition de t , nous obtenons : d T ′ ( f ∆ ′ ( x ) , c ′ ) ≤ d T ′ ( f ∆ ′ ( x ) , f ∆ ′ ( y )) = d ( x, y ) ≤ δ ≤ d ( x, u ) = d T ′ ( f ∆ ′ ( x ) , f ∆ ′ ( u )) ;nous en d´eduisons que f ∆ ′ ( u ) / ∈ ] c ′ , f ∆ ′ ( x )] , donc que f ∆ ′ ( u ) est situ´e sur la branche [ c ′ , f ∆ ′ ( y )]du tripode T ′ . Il existe par cons´equent un point u ′ ∈ [ y , y ] (qui s’´ecrit donc u ′ = γ ( s ) , o`u s ∈ [0 , s ′ ] ) tel que f ∆ ′ ( u ′ ) = f ∆ ′ ( u ) , donc tel que d ( u, u ′ ) ≤ δ (d’apr`es le Lemme d’approximation8.3 (i)) ; de plus le Lemme 8.1 (i), l’´egalit´e f ∆ ′ ( u ′ ) = f ∆ ′ ( u ) et la premi`ere des propri´et´es (65)impliquent que s = d ( y , u ′ ) = d T ′ ( f ∆ ′ ( y ) , f ∆ ′ ( u )) = d ( y , u ) = t + t , donc que u ′ = γ ( t + t ) ;l’in´egalit´e triangulaire et la derni`ere des propri´et´es (65) donnent alors d ( γ ( t + t ) , γ ( t + t )) ≤ d ( γ ( t + t ) , u )+ d ( u, u ′ ) ≤ δ . En faisant tendre t ′ vers + ∞ , , nous en d´eduisons que l’in´egalit´e d ( γ ( t + t ) , γ ( t + t )) ≤ δ est v´erifi´ee pour tout t ∈ [0 , + ∞ [ . (cid:3) Pour toute g´eod´esique c de ( X, d ) et pour tout point x ∈ X , notons π c ( x ) l’ensemble desprojet´es du point x sur l’image Im( c ) de c ; le Lemme 8.5 assure que, si c est un segment, ouun rayon, ou une droite g´eod´esique, alors, pour tout x , π c ( x ) = ∅ .L’image d’un ensemble E ⊂ X par la projection sur cette g´eod´esique c (not´ee π c ( E ) ) est d´efiniecomme la r´eunion des ensembles π c ( x ) quand x parcourt E . On a la Proposition 8.10. Dans un espace δ − hyperbolique (donc g´eod´esique et propre) ( X, d ) , si deuxdroites g´eod´esiques c et c sont telles que { c ( −∞ ) , c (+ ∞ ) }∩{ c ( −∞ ) , c (+ ∞ ) } = ∅ , alors(i) l’ensemble des s tels que c ( s ) appartienne `a la projection π c (Im( c )) de l’image de c sur c admet une borne sup´erieure et une borne inf´erieure finies,(ii) il existe un point x = c ( s ) de la droite g´eod´esique c ayant les propri´et´es suivantes :pour toute suite ( t n ) n ∈ N tendant vers + ∞ , il existe une suite ( ε n ) n ∈ N → de r´eelspositifs telle que, pour tout t ∈ R et pour n suffisamment grand, on ait d ( c ( t ) , c ( t n )) ≥ d ( c ( t n ) , x ) + d ( x , c ( t )) − δ − ε n , iii) il existe un point x ′ = c ( s ) de la g´eod´esique c ayant les propri´et´es suivantes : pourtoute suite ( t ′ n ) n ∈ N tendant vers −∞ , il existe une suite ( ε ′ n ) n ∈ N → de r´eels positifstelle que, pour tout t ∈ R et pour n suffisamment grand, on ait d ( c ( t ) , c ( t ′ n )) ≥ d ( c ( t ′ n ) , x ′ ) + d ( x ′ , c ( t )) − δ − ε ′ n . Preuve de (i) : Nous allons d´emontrer que la borne sup´erieure de π c (Im( c )) est finie, lad´emonstration ´etant la mˆeme pour la borne inf´erieure, puisque la borne inf´erieure devient laborne sup´erieure quand on change l’orientation de la g´eod´esique c .Pour cela, nous raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe une suite ( s n ) n ∈ N tendant vers+ ∞ et telle que c ( s n ) appartienne `a π c (Im( c )) ; il existe alors une suite ( t n ) n ∈ N telle que c ( s n ) ∈ π c ( c ( t n )) et alors— soit ( t n ) n ∈ N est born´ee, mais alors d ( c (0) , c ( t n )) est born´ee par une constante D > d ( c ( t n ) , c ( s n )) = d ( c ( t n ) , Im( c )) ≤ d ( c (0) , c ( t n )) ≤ D , ce qui implique que s n = d ( c (0) , c ( s n )) ≤ D , ce qui est en contradiction avec le fait s n tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ ;— soit ( t n ) n ∈ N admet une sous-suite (que nous continuerons `a appeler ( t n ) n ∈ N ) qui tend vers ±∞ . Quand n tend vers + ∞ , comme c ( s n ) et c ( t n ) tendent respectivement vers deuxpoints distincts c (+ ∞ ) et c ( ±∞ ) du bord id´eal, le produit de Gromov ( c ( s n ) | c ( t n ))(pour une origine en c (0) ) est born´e par une constante D ′ , ce qui implique que s n ≤ d ( c (0) , c ( s n )) + d ( c (0) , c ( t n )) − d ( c ( t n ) , Im( c )) ≤ d ( c (0) , c ( s n )) + d ( c (0) , c ( t n )) − d ( c ( t n ) , c ( s n )) ≤ D ′ , ce qui est en contradiction avec le fait s n tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ .La seule possibilit´e pour lever ces contradictions est donc que toute suite ( s n ) n ∈ N telle que c ( s n ) appartienne `a π c (Im( c )) soit born´ee. (cid:3) Preuve de (ii) : Notons K t l’adh´erence de π c ( c ([ t, + ∞ [)) et posons K = ∩ n ∈ N K n . Pourtoute suite ( t n ) n ∈ N tendant vers + ∞ , on a encore ∩ n ∈ N K t n = K car, pour tout n ∈ N , ilexiste un p n ∈ N tel que p n ≤ t n < p n + 1 , ce qui implique que K p n +1 ⊂ K t n ⊂ K p n .Chaque K t n est born´e car la propri´et´e (i) assure que π c ( c (] − ∞ , + ∞ [)) est born´e, donc que π c ( c ([ t n , + ∞ [)) est born´e ; comme ( X, d ) est propre, nous en d´eduisons que chaque K t n estcompact et que K est un compact non vide comme intersection de compacts emboˆıt´es.Bornons le diam`etre de K : soient x et x ′ deux ´el´ements de K , alors ce sont les limitesrespectives de deux suites ( x n ) n ∈ N et ( x ′ n ) n ∈ N , o`u x n , x ′ n ∈ π c ( c ([ n, + ∞ [)) : en effet, x (resp. x ′ ) ´etant dans l’adh´erence de π c ( c ([ n, + ∞ [)) , il suffit de choisir x n (resp. x ′ n ) dansl’intersection (non vide) de π c ( c ([ n, + ∞ [)) et de B X (cid:0) x, n (cid:1) (resp. et de B X (cid:0) x ′ , n (cid:1) ).Il existe donc des ´el´ements t n , t ′ n ∈ [ n, + ∞ [ tels que x n (resp. x ′ n ) soit un projet´e de c ( t n )(resp. de c ( t ′ n ) ). La propri´et´e du quadrilat`ere (Lemme 8.3 (iv)) donne d ( x n , c ( t ′ n ))+ d ( x ′ n , c ( t n )) − δ ≤ Max [ d ( x n , x ′ n ) + d ( c ( t n ) , c ( t ′ n )) ; d ( x n , c ( t n )) + d ( x ′ n , c ( t ′ n ))] , ce qui induit, en appliquant le Lemme 8.7, d ( x ′ n , c ( t ′ n )) + 2 d ( x n , x ′ n ) + d ( x n , c ( t n )) − δ ≤ Max [ d ( x n , x ′ n ) + d ( c ( t n ) , c ( t ′ n )) ; d ( x n , c ( t n )) + d ( x ′ n , c ( t ′ n ))] . (66)Or l’in´egalit´e triangulaire permet d’affirmer que, pour n assez grand, d ( x n , c ( t n )) ≥ t n − d ( x n , c (0)) ≥ t n − C , d ( x ′ n , c ( t ′ n )) ≥ t ′ n − d ( x ′ n , c (0)) ≥ t ′ n − C , car la propri´et´e (i) assure que d ( x n , c (0)) et d ( x ′ n , c (0)) sont born´ees sup´erieurement par uneconstante not´ee ici C . Comme t n + t ′ n − | t n − t ′ n | = 2 Min( t n , t ′ n ) ≥ n , lorsque n est assezgrand, on a d ( x n , c ( t n ))+ d ( x ′ n , c ( t ′ n )) ≥ t n + t ′ n − C ≥ | t n − t ′ n | +2 n − C > d ( c ( t n ) , c ( t ′ n ))+ d ( x n , x ′ n ) , d ( x n , c (0)) et d ( x ′ n , c (0))sont born´ees sup´erieurement par une constante not´ee ici C , l’in´egalit´e ´etant donc valable d`esque n > C . En injectant cette derni`ere s´erie d’in´egalit´es dans la formule (66), nous obtenons d ( x ′ n , c ( t ′ n )) + 2 d ( x n , x ′ n ) + d ( x n , c ( t n )) − δ ≤ d ( x n , c ( t n )) + d ( x ′ n , c ( t ′ n )) , ce qui implique que d ( x n , x ′ n ) ≤ δ donc, par passage `a la limite, que d ( x, x ′ ) ≤ δ . On conclutque K est inclus dans un segment de longueur 3 δ de la g´eod´esique c ; notons x le milieu dece segment, on a d ( x , x ) ≤ δ pour tout x ∈ K .De plus, pour toute suite ( t n ) n ∈ N tendant vers + ∞ et toute suite ( z n ) n ∈ N d’´el´ements z n ∈ π c ( c ([ t n , + ∞ [)) , la distance d ( z n , K ) tend vers z´ero quand n tend vers + ∞ : en effet dansle cas contraire, il existerait une sous-suite (que nous appellerons ( z n k ) k ∈ N ) et un ε > ε − voisinage de K (not´e U ε ( K ) ) sur la g´eod´esique c (ou plutˆot sur son image) ne contienneaucun des z n k ; les K n k \ U ε ( K ) seraient alors des compacts emboˆıt´es non vides d’intersectionvide, ce qui introduirait une contradiction.Pour tout t ∈ R et toute suite ( t n ) n ∈ N tendant vers + ∞ , si z n est un projet´e de c ( t n ) , comme z n ∈ π c ( c ([ t n , + ∞ [)) , la majoration ci-dessus du diam`etre de K implique que d ( x , z n ) ≤ δ + d ( z n , K ) , et le Lemme 8.7 permet d’en d´eduire que, pour tout t ∈ R , d ( c ( t ) , c ( t n )) ≥ d ( c ( t n ) , z n )+ d ( z n , c ( t )) − δ ≥ d ( c ( t n ) , x )+ d ( x , c ( t )) − δ − d ( z n , K ) , ce qui termine la preuve. (cid:3) Preuve de (iii) : On change l’orientation de c , i. e. on remplace la g´eod´esique c par lag´eod´esique ˜ c d´efinie par ˜ c ( t ) = c ( − t ) . Comme, pour toute suite ( t ′ n ) n ∈ N tendant vers −∞ ,la suite ( − t ′ n ) n ∈ N tend vers + ∞ , on peut appliquer la propri´et´e (ii) au couple de g´eod´esiques c et ˜ c , ce qui prouve l’existence d’un point x ′ = c ( s ) de la g´eod´esique c tel que, pourtoute suite ( t ′ n ) n ∈ N tendant vers −∞ , il existe une suite ( ε ′ n ) n ∈ N de nombre r´eels strictementpositifs tendant vers z´ero telle que, pour tout t ∈ R , on ait d ( c ( t ) , ˜ c ( − t ′ n )) ≥ d (˜ c ( − t ′ n ) , x ′ ) + d ( x ′ , c ( t )) − δ − ε ′ n , ce qui d´emontre (iii). (cid:3) Pour savoir ce qu’est une action “propre” ou une action “discr`ete”, nous renvoyons aux D´efinitions2.1, l’´equivalence entre ces deux notions ´etant donn´ee par la Proposition 8.11. Sur un espace m´etrique ( X, d ) , toute action (par isom´etries) fid`ele et propreest discr`ete. R´eciproquement, si ( X, d ) est un espace propre, toute action (par isom´etries) fid`eleet discr`ete est propre.Preuve : Consid´erons un groupe Γ qui agit fid`element par isom´etries sur ( X, d ) , que nouspouvons donc identifier `a un sous-groupe du groupe Isom( X, d ) des isom´etries de ( X, d ) . Sicette action est suppos´ee propre, consid´erons n’importe quelle suite convergente (uniform´ementsur tout compact) ( γ n ) n ∈ N d’´el´ements de Γ et notons g ∈ Isom( X, d ) sa limite. Il existe alorsun N ∈ N tel que, pour tout p ∈ N , on ait d (cid:0) x, γ − N γ N + p x (cid:1) = d (cid:0) γ N x, γ N + p x (cid:1) < (cid:0) γ − N γ N + p (cid:1) p ∈ N parcourt un sous-ensemble fini de Γ (`a savoir l’ensemble des γ ∈ Γ tels d ( x, γ x ) < γ n ) n ∈ N est stationnaire, donc que Γ est discret (et ferm´e).R´eciproquement, si Γ est un sous-groupe discret de Isom( X, d ) et si ( X, d ) est propre, fixonsarbitrairement un point x ∈ X ; rappelons que, pour tout R > R ( x ) d´esigne l’ensembledes γ ∈ Γ tels que γ x ∈ B X ( x , R ) . Supposons qu’il existe un R > R ( x ) soit80nfini, le Th´eor`eme d’Ascoli d´emontre que, pour tout R > R ( x ) est relativement compactdans l’ensemble des applications continues de B X ( x , R ) dans X , muni de la topologie de laconvergence uniforme : en effet les hypoth`eses du Th´eor`eme d’Ascoli sont v´erifi´ees, car— B X ( x , R ) est compacte et ( X, d ) est un espace m´etrique complet car ( X, d ) est propre,— tout γ ∈ Σ R ( x ) est une application continue de B X ( x , R ) dans X ,— Σ R ( x ) est une famille ´equicontinue car incluse dans l’ensemble des isom´etries de ( X, d ) ,— Pour tout x ∈ B X ( x , R ) , l’ensemble { γ x : γ ∈ Σ R ( x ) } est relativement compact dans( X, d ) , car inclus dans la boule compacte B X ( x , R + R ) .Comme Σ R ( x ) contient une suite d’´el´ements distincts, nous pouvons en extraire une premi`eresous-suite qui converge uniform´ement sur B X ( x , R ) ; comme l’image de cette sous-suite parl’application γ γ − est encore une suite d’´el´ements de Σ R ( x ) , nous extrayons, de cettepremi`ere sous-suite, une seconde sous-suite (que nous noterons (cid:0) γ Rn (cid:1) n ∈ N ) telle que (cid:0) γ Rn (cid:1) n ∈ N et (cid:16)(cid:0) γ Rn (cid:1) − (cid:17) n ∈ N convergent (uniform´ement sur B X ( x , R ) ) vers deux applications continues de B X ( x , R ) dans X , que nous noterons respectivement f R et h R . En donnant `a R la valeurs R k = k et en extrayant la sous-suite (cid:16) γ R k +1 n (cid:17) n ∈ N de la sous-suite pr´ec´edente (cid:0) γ R k n (cid:1) n ∈ N , nousconstruisons deux suites d’applications f k et h k telles que f k +1 (resp. f k ) soit la limite uniformede (cid:16) γ R k +1 n (cid:17) n ∈ N sur B X ( x , k + 1) (resp. sur B X ( x , k ) ) et que h k +1 (resp. h k ) soit la limiteuniforme de (cid:18)(cid:16) γ R k +1 n (cid:17) − (cid:19) n ∈ N sur B X ( x , k + 1) (resp. sur B X ( x , k ) ), ce qui prouve d’unepart que f k +1 prolonge f k et construit une application continue f : X → X qui co¨ıncide avecchaque f k sur chaque boule B X ( x , k ) , et d’autre part que h k +1 prolonge h k et construit uneapplication continue h : X → X qui co¨ıncide avec chaque h k sur chaque boule B X ( x , k ) .Dans chaque sous-suite (cid:0) γ R k n (cid:1) n ∈ N , il existe une infinit´e d’´el´ements distincts γ R k n tels quesup x ∈ B X ( x ,k ) d (cid:0) f ( x ) , γ R k n ( x ) (cid:1) < /k et sup x ∈ B X ( x ,k ) d (cid:16) h ( x ) , (cid:0) γ R k n (cid:1) − ( x ) (cid:17) < /k ;parmi ces ´el´ements, il est donc possible d’en choisir un (not´e γ R k n k ) qui n’appartienne pas`a l’ensemble { γ R n , . . . , γ R k − n k − } des ´el´ements pr´ec´edemment choisis. Nous obtenons ainsi unesous-suite (cid:0) γ R k n k (cid:1) k ∈ N ∗ d’´el´ements distincts telle que (cid:0) γ R k n k (cid:1) k ∈ N ∗ et (cid:16)(cid:0) γ R k n k (cid:1) − (cid:17) k ∈ N ∗ convergentuniform´ement (respectivement) vers f et h sur toute boule ferm´ee. Un passage `a la limiteprouve que f et h pr´eservent la distance et que h ◦ f et f ◦ h sont les limites uniformesde (cid:0) γ R k n k (cid:1) − γ R k n k = id X et de γ R k n k (cid:0) γ R k n k (cid:1) − = id X sur chacune des boules ferm´ees, donc que h ◦ f = f ◦ h = id X , ce qui prouve que f appartient `a Isom( X, d ) . Par ailleurs la suite (cid:0) γ R k n k (cid:1) − γ R k +1 n k +1 converge ´egalement vers h ◦ f = id X et, comme l’´el´ement neutre id X est isol´edans Γ , cette suite est stationnaire, ce qui prouve que γ R k n k = γ R k +1 n k +1 lorsque k est suffisammentgrand, en contradiction avec le fait que la suite (cid:0) γ R k n k (cid:1) k ∈ N ∗ est constitu´ee d’´el´ements distincts.Il s’ensuit que Σ R ( x ) est fini pour tout R . (cid:3) Lemme 8.12. Pour toute action propre (par isom´etries) d’un groupe Γ sur un espace m´etrique ( X, d ) ,(i) l’espace quotient Γ \ X est un espace m´etrique pour la m´etrique-quotient ¯ d d´efinie par ¯ d (Γ · x, Γ · y ) = inf γ ∈ Γ d ( x, γ y ) ,(ii) si ( X, d ) est un espace propre et si Γ \ X est de diam`etre fini, alors Γ \ X est compact,(iii) si Γ est sans torsion, alors l’action est fid`ele, discr`ete et sans point fixe.Preuve : La fonction ¯ d est sym´etrique car inf γ ∈ Γ d ( x, γ y ) = inf g,γ ∈ Γ d ( g x, γ y ) . Dans les ´egalit´es(i) d´efinissant ¯ d , l’infimum est atteint puisqu’il porte sur un nombre fini de valeurs : en effetl’ensemble { γ : d ( x, γ y ) ≤ inf γ ∈ Γ d ( x, γ y ) + 1 } est fini car l’action est propre. On en d´eduitfacilement que, si inf γ ∈ Γ d ( x, γ y ) = 0 , alors x ∈ Γ · y et Γ · x = Γ · y et que inf γ,g ∈ Γ d ( γ x, g z ) ≤ inf γ ∈ Γ d ( γ x, y ) + inf g ∈ Γ d ( y, g z ) , donc que ¯ d est une distance. Ceci d´emontre (i).L’espace ( X, d ) ´etant propre, toute boule ferm´ee B X ( x, R ) de rayon R sup´erieur ou ´egal au81iam`etre de Γ \ X est compacte, donc son image Γ \ X par l’application-quotient est compacte.Ceci d´emontre (ii).L’action ´etant propre, le stabilisateur de tout point est un sous-groupe fini de Γ , il est donctrivial lorsque Γ est sans torsion, ce qui implique que l’action est `a la fois fid`ele et sans pointfixe ; en appliquant la premi`ere partie de la Proposition 8.11, nous en d´eduisons que l’action estdiscr`ete, ce qui d´emontre (iii). (cid:3) La Remarque suivante est bien connue des sp´ecialistes de l’alg`ebre des groupes Remarque 8.13. Tout groupe non trivial, sans torsion et virtuellement cyclique est isomorphe`a ( Z , +) .Preuve : Notons G le groupe consid´er´e, comme il est non trivial et sans torsion, il est infini etil contient un sous-groupe H d’indice fini (donc infini) et cyclique, donc isomorphe `a Z . Pourtout g ∈ G , en posant ̺ ( g )( g ′ H ) = ( gg ′ ) H , on obtient un morphisme ̺ de G dans le groupe(fini) des permutations de G/H dont le noyau est un sous-groupe normal de G , inclus dans H et est d’indice fini dans G ; en rempla¸cant H par le noyau de ̺ , nous sommes ramen´es aucas o`u H est un sous-groupe normal d’indice fini de G , isomorphe `a Z , dont nous fixons ung´en´erateur, not´e τ . Notons r : G → Aut( H ) le morphisme d´efini par r ( g )( h ) = ghg − ; on aalors r ( g )( τ ) = τ ± . S’il existe un g ∈ G tel que r ( g ) = id H , on a alors gτ g − = τ − et,par cons´equent, ghg − = h − pour tout h ∈ H ; comme par ailleurs il existe un n ∈ N ∗ telque g n ∈ H , on en d´eduit que g g n g − = g − n , donc que g n = e , ce qui est incompatible avecl’hypoth`ese “sans torsion”. On en d´eduit que ghg − = h pour tous les ( g, h ) ∈ G × H , donc que H est inclus dans le centre de G . Si N := (cid:0) G/H (cid:1) , il existe un morphisme V : G → H (lemorphisme de transfert) tel que V ( h ) = h N pour tout h ∈ H ; comme tous les h ∈ H sont sanstorsion, Ker( V ) ∩ H est trivial et le morphisme Ker( V ) = Ker( V ) / (cid:0) Ker( V ) ∩ H (cid:1) → G/H estinjectif. Ceci implique que Ker( V ) est un sous-groupe fini de G , donc que Ker( V ) est trivialcar sans torsion ; il s’ensuit que V est un isomorphisme de G sur un sous-groupe infini de H ,lui-mˆeme isomorphe `a Z . (cid:3) Soit ( X, d ) un espace δ − hyperbolique (donc g´eod´esique) ; notons ∂X le bord id´eal de ( X, d )(pour une d´efinition de ce bord et de sa topologie, voir la D´efinition 7.1 p. 117 de [Gd90], qui est´equivalente `a la d´efinition donn´ee au chapitre 2 de [CDP90]). Toute isom´etrie γ de ( X, d ) seprolonge en une application continue (et mˆeme Lipschitzienne pour une m´etrique convenable) de ∂X dans lui-mˆeme (voir par exemple la Proposition 11.2.1 p. 134 de [CDP90]). Une isom´etrie γ de ( X, d ) est dite :— de type elliptique si, pour au moins un point x ∈ X (et par cons´equent pour tout point x ∈ X ), l’orbite (cid:0) γ k x (cid:1) k ∈ Z est born´ee,— de type parabolique si, pour au moins un point x ∈ X (et par cons´equent pour toutpoint x ∈ X ), l’orbite (cid:0) γ k x (cid:1) k ∈ Z admet un et un seul point d’accumulation, situ´e sur lebord id´eal ∂X de X ; nous noterons γ ∞ ce point d’accumulation ; par d´efinition de latopologie de ∂X , ce point d’accumulation ne d´epend pas du choix du point x de d´epart(remarquer que, pour tout x ∈ X , γ ∞ est la limite de γ p x quand p → ±∞ ),— de type hyperbolique si, pour au moins un point x ∈ X (et par cons´equent pour tout point x ∈ X ), l’application k → γ k x est une quasi-isom´etrie de Z dans X . Toute isom´etrie de ( X, d ) est soit de type hyperbolique, soit de type parabolique, soit de typeelliptique (pour une preuve de ce fait, voir par exemple [CDP90], Th´eor`eme 9.2.1 p. 98).Si γ est de type hyperbolique (resp. de type parabolique), c’est un r´esultat classique [voirpar exemple [CDP90], Proposition 10.6.6 p. 118, (resp. [Gd90], Th´eor`eme 17 au Chapitre 8)]que l’action (prolong´ee comme ci-dessus) de γ sur X ∪ ∂X admet exactement γ + et γ − , qui sont (pour tout point x ) les limites de γ p x etde γ − p x quand p → + ∞ (resp. un seul point fixe : le point d’accumulation γ ∞ pr´ecis´e dans82a d´efinition ci-dessus). La remarque qui suit est bien connue des sp´ecialistes, la d´emonstration(triviale) est laiss´ee au lecteur. Remarque 8.14. Si ( X, d ) est un espace δ − hyperbolique et si Γ est un sous-groupe discret dugroupe des isom´etries de ( X, d ) , alors(i) un ´el´ement de Γ ∗ est elliptique si et seulement si il est de torsion ; si Γ est sans torsion,chacun de ses ´el´ements est donc de type hyperbolique ou parabolique ;(ii) si g ∈ Γ ∗ , pour tout k ∈ Z ∗ tel que g k = id X , g est hyperbolique (resp. parabolique,resp. elliptique) si et seulement si g k est hyperbolique (resp. parabolique, resp. elliptique) ;de plus, si g est hyperbolique ou parabolique, alors g k a exactement les mˆemes points fixesque g . Lorsque l’isom´etrie γ consid´er´ee est de type parabolique, il est connu que tout point d’unehorosph`ere centr´ee en γ ∞ s’envoie sur un point situ´e `a distance born´ee de cette horosph`ere ; leLemme suivant pr´ecise cette id´ee : Lemme 8.15. Soit γ une isom´etrie parabolique d’un espace δ − hyperbolique ( X, d ) dont l’uniquepoint fixe (situ´e sur le bord id´eal) est not´e γ ∞ . A tout rayon-g´eod´esique c v´erifiant c (+ ∞ ) = γ ∞ , on associe une valeur T = T ( γ ) ≤ d (cid:0) c (0) , γ ◦ c (0) (cid:1) telle que d (cid:0) c ( t ) , γ (cid:0) c ( t ) (cid:1)(cid:1) ≤ δ pourtout t ∈ [ T, + ∞ [ .Preuve : Appliquons la Proposition 8.9 (iii) aux g´eod´esiques c et γ ◦ c : on v´erifie ais´ement quel’hypoth`ese est v´erifi´ee car γ ◦ c (+ ∞ ) = γ ( γ ∞ ) = γ ∞ = c (+ ∞ ) , on en d´eduit qu’il existe deuxnombres r´eels t , t ≥ t + t = d ( c (0) , γ ◦ c (0)) , tels que d (cid:0) c ( t + t ) , γ ◦ c ( t + t ) (cid:1) ≤ δ pour tout t ∈ R + , ce qui ´equivaut `a d (cid:0) c ( t + t − t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≤ δ pour tout t ∈ [ t , + ∞ [ .On est alors dans un des deux cas suivants :Cas 1 : Si | t − t | ≤ δ , fixons n’importe quel nombre t ∈ [ t , + ∞ [ , la derni`ere in´egalit´eci-dessus et l’in´egalit´e triangulaire donnent : d (cid:0) c ( t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≤ d (cid:0) c ( t ) , c ( t + t − t ) (cid:1) + d (cid:0) c ( t + t − t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≤ | t − t | + 2 δ ≤ δ , ce qui ach`eve la preuve dans ce cas.Cas 2 : Si | t − t | > δ , fixons n’importe quel nombre t ∈ [ t , + ∞ [ et consid´erons le triangleg´eod´esique ∆ = (cid:2) c ( t + t − t ) , γ ◦ c ( t ) , c ( t ) (cid:3) et son approximation par le tripode associ´e : f ∆ : (∆ , d ) → ( T ∆ , d T ) , le point central de branchement de ce tripode ´etant appel´e e etles longueurs des trois branches du tripode d’extr´emit´es respectives f ∆ (cid:0) c ( t + t − t ) (cid:1) , f ∆ ( γ ◦ c ( t )) et f ∆ ( c ( t )) ´etant not´ees α , β et γ . Le Lemme 8.1 (i) et le fait que d (cid:0) c ( t + t − t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≤ δ impliquent que α + γ = | t − t | , α + β ≤ δ , γ + β = d (cid:0) c ( t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) , et, par cons´equent, que γ − β = ( α + γ ) − ( α + β ) ≥ | t − t | − δ > δ > m t d´esigne le milieu d’une g´eod´esique [ c ( t ) , γ ◦ c ( t )] , alors (par constructiondu tripode) le point f ∆ ( m t ) est situ´e sur la branche (cid:2) e, f ∆ ( c ( t )) (cid:3) du tripode T et ilexiste par cons´equent un point m ′ t du segment-g´eod´esique (cid:2) c ( t ) , c ( t + t − t ) (cid:3) tel que f ∆ ( m ′ t ) = f ∆ ( m t ) , et donc (en vertu du Lemme d’approximation 8.3 (i)) d ( m t , m ′ t ) ≤ δ .En appliquant cette derni`ere in´egalit´e, l’in´egalit´e triangulaire, puis le Lemme 8.19, nousen d´eduisons que d ( m ′ t , γ m ′ t ) ≤ d ( m t , γ m t ) + 2 δ ≤ ℓ ( γ ) + 5 δ = 5 δ , o`u la derni`ere ´egalit´e d´ecoule du fait que, puisque γ est parabolique, on a ℓ ( γ ) = 0 .Comme m ′ t est de la forme c (cid:0) s ( t ) (cid:1) , o`u s ( t ) est compris entre t et t + t − t , s ( t )tend vers + ∞ en mˆeme temps que t et s ( t ) ≤ T , o`u T := max( t , t ) . Pour tout t ∈ [ T, + ∞ [ , il existe donc un t tel que t ∈ [ s ( t ) , s ( t )] et, en utilisant la convexit´e (`a2 δ − pr`es) de la distance entre les g´eod´esiques c et γ ◦ c , nous obtenons : d (cid:0) c ( t ) , γ ◦ c ( t ) (cid:1) ≤ Max (cid:2) d (cid:0) c [ s ( t )] , γ ◦ c [ s ( t )] (cid:1) ; d (cid:0) c [ s ( t )] , γ ◦ c [ s ( t )] (cid:1)(cid:3) + 2 δ == Max (cid:2) d (cid:0) m ′ t , γ m ′ t (cid:1) ; d (cid:0) m ′ t , γ m ′ t (cid:1)(cid:3) + 2 δ ≤ δ . (cid:3) γ consid´er´ee est de type hyperbolique, il peut exister plusieurs g´eod´esiquesqui joignent les deux points fixes γ − et γ + de γ , c’est pourquoi nous avons introduit (dans lesD´efinitions 4.1) l’ensemble G ( γ ) des g´eod´esiques orient´ees qui joignent γ − `a γ + et la r´eunion M ( γ ) ⊂ X de ces droites-g´eod´esiques. Remarque 8.16. Soit ( X, d ) un espace δ − hyperbolique et γ une isom´etrie de ( X, d ) de typehyperbolique, si c ∈ G ( γ ) , alors γ k ◦ c ∈ G ( γ ) pour tout k ∈ Z . Par cons´equent M ( γ ) estglobalement invariant par γ k . D´efinitions 8.17. A toute isom´etrie γ non triviale d’un espace δ − hyperbolique ( X, d ) , onassocie :— son d´eplacement moyen ℓ ( γ ) , d´efini comme la limite (quand k → + ∞ ) de k d ( x, γ k x ) ,— son d´eplacement minimum s ( γ ) , d´efini comme inf x ∈ X d ( x, γ x ) . Remarquons que, pour tout k ∈ Z , on a ℓ ( γ k ) = | k | ℓ ( γ ) .Pour toute isom´etrie γ (non triviale) d’un espace δ − hyperbolique ( X, d ) , rappelons que γ estde type hyperbolique si et seulement si ℓ ( γ ) > ℓ ( γ ) ≤ s ( γ ) ; Lemme 8.18. Soit ( X, d ) un espace δ − hyperbolique et g une isom´etrie de ( X, d ) alors, pourtout x ∈ X ,(i) d ( x, g x ) ≤ d ( x, g x ) + ℓ ( g ) + 2 δ ,(ii) ∀ p ∈ N d ( x, g p x ) ≤ d ( x, g x ) + (2 p − ℓ ( g ) + 2 p δ ,(iii) ∀ n ∈ N ∗ d ( x, g n x ) ≤ d ( x, g x ) + ( n − ℓ ( g ) + 4 δ ln( n )ln(2) .Preuve de (i) : La preuve de (i) est une simple adaptation de la preuve du Lemme 9.2.2 pp 98-99de [CDP90] : on pose a n = d ( x, g n x ) et on applique l’in´egalit´e du quadrilat`ere aux quatre points x, g x, g x et g n x , ce qui donne a + a n − ≤ Max( a + a n − , a + a n ) + 2 δ (67)pour tout n ≥ n ≥ x tel que d ( x, g x ) > d ( x, g x ) + ℓ ( g ) + 2 δ , ce qui se traduit parl’existence d’un α > ℓ ( g ) tel que a ≥ a + α + 2 δ , (68)l’in´egalit´e (67) entraˆıne alors ∀ n ≥ , a n − + α ≤ Max( a n − , a n ) . (69)Montrons que ceci implique la propri´et´e ∀ n ∈ N a n +1 ≥ a n + α : (70)la preuve de cette derni`ere in´egalit´e se fait par r´ecurrence ; en effet, l’in´egalit´e (70) est v´erifi´eelorsque n = 1 (ceci d´ecoule de l’in´egalit´e (68)). Par ailleurs, puisque a = 0 , l’in´egalit´e (68) etl’in´egalit´e triangulaire impliquent que a + α + a + 2 δ ≤ a ≤ a , donc que l’in´egalit´e (70) est´egalement v´erifi´ee lorsque n = 0 . Si on suppose que a n +1 ≥ a n + α , l’in´egalit´e (69) permet d’end´eduire que Max( a n +2 , a n ) ≥ a n +1 + α ≥ a n + 2 α , donc que a n +2 ≥ a n +1 + α , ce qui termine 22. Par sous-additivit´e, cette limite existe et, par l’in´egalit´e triangulaire, elle ne d´epend pas du choix du point x ∈ X , cf. [CDP90], Proposition 10.6.1 page 118) ;23. En effet, pour tout x ∈ X et tout k ∈ N , l’in´egalit´e triangulaire donne 1 k d ( x, γ k x ) ≤ d ( x, γ x ) . 84a d´emonstration de (70).Une cons´equence de l’in´egalit´e (70) est que a n ≥ n α , donc quelim n → + ∞ d ( x, g n x ) n ≥ α > ℓ ( g ) , ce qui est contradictoire avec la D´efinition 8.17 de ℓ ( g ) . Pour lever cette contradiction, il fautdonc que, pour tout point x , on ait d ( x, g x ) ≤ d ( x, g x ) + ℓ ( g ) + 2 δ . (cid:3) Preuve de (ii) : L’in´egalit´e de (ii) est trivialement v´erifi´ee lorsque p = 0 et, en vertu de (i),lorsque p = 1 . Si l’in´egalit´e (ii) est v´erifi´ee `a l’ordre p , alors elle l’est aussi `a l’ordre p + 1 car,en vertu de (i) et du fait que ℓ ( g n ) = n ℓ ( g ) , on a d ( x, g p +1 x ) ≤ d ( x, g p x ) + 2 p ℓ ( g ) + 2 δ ≤ d ( x, g x ) + (2 p +1 − ℓ ( g ) + 2 ( p + 1) δ , ce qui prouve (ii) par r´ecurrence. (cid:3) Preuve de (iii) : De (ii) on d´eduit que l’in´egalit´e (iii) est v´erifi´ee lorsque n est de la forme 2 p ,o`u p ∈ N ; pour d´emontrer (iii), il nous suffit donc de d´emontrer, pour tout x ∈ X et pour tout p ∈ N \ { , } , la propri´et´e : (cid:0) P p (cid:1) ∀ n ∈ N ∗ tel que 2 p < n < p +1 , d ( x, g n x ) ≤ d ( x, g x ) + ( n − ℓ ( g ) + 4 δ p . Pour tout tout p ∈ N ∗ et pour tout n tel que 2 p < n < p +1 , le Lemme 8.3 (iv) du quadrilat`ereimplique que : d ( x, g n x )+ d ( g p x, g p +1 x ) − δ ≤ Max h d ( x, g p x ) + d ( g n x, g p +1 x ) ; d ( x, g p +1 x ) + d ( g n x, g p x ) i ≤ Max h d ( x, g p x ) + d ( g n x, g p +1 x ) ; d ( x, g p x ) + 2 p ℓ ( g ) + 2 δ + d ( g n x, g p x ) i , o`u la seconde in´egalit´e d´ecoule de (i). En simplifiant, nous en d´eduisons que d ( x, g n x ) ≤ Max h d ( x, g p +1 − n x ) ; 2 p ℓ ( g ) + 2 δ + d ( x, g n − p x ) i + 2 δ . (71)Appliquant l’in´egalit´e (71) au cas p = 1 et n = 3 , nous en d´eduisons que d ( x, g x ) ≤ δ + Max [ d ( x, g x ) ; 2 ℓ ( g ) + 2 δ + d ( x, g x )] = d ( x, g x ) + 2 ℓ ( g ) + 4 δ , ce qui prouve que la propri´et´e (cid:0) P p (cid:1) est v´erifi´ee lorsque p = 1 .Montrons que, si p ≥ (cid:0) P k (cid:1) est v´erifi´ee pour tous les k ≤ p − (cid:0) P p (cid:1) est v´erifi´ee. Supposons donc que la propri´et´e (cid:0) P k (cid:1) est v´erifi´ee pour tousles k ≤ p − d ( x, g i x ) ≤ d ( x, g x ) + ( i − ℓ ( g ) + 4 δ ( p − 1) est v´erifi´ee pour tout i ∈ N tel que 1 ≤ i ≤ p , ce quiimplique que, pour tout n ∈ N ∗ tel que 2 p < n < p +1 , d ( x, g p +1 − n x ) ≤ d ( x, g x ) + (cid:0) p +1 − n − (cid:1) ℓ ( g ) + 4 ( p − δ ,d ( x, g n − p x ) ≤ d ( x, g x ) + ( n − p − ℓ ( g ) + 4 ( p − δ , car les nombres 2 p +1 − n et n − p sont tous deux compris entre 1 et 2 p − d ( x, g n x ) ≤ d ( x, g x ) + Max (cid:2)(cid:0) p +1 − n − (cid:1) ℓ ( g ) + 4 ( p − δ ; ( n − ℓ ( g ) + 2 (2 p − δ (cid:3) + 2 δ ≤ d ( x, g x ) + Max (cid:2) p +1 − n − , n − (cid:3) ℓ ( g ) + 4 p δ ≤ d ( x, g x ) + ( n − ℓ ( g ) + 4 p δ , o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que n − ≥ p ≥ p +1 − n . Ceci prouve que, si la propri´et´e (cid:0) P k (cid:1) est v´erifi´ee pour tous les k ≤ p − (cid:0) P p (cid:1) est v´erifi´ee, ce qui prouve lapropri´et´e (cid:0) P p (cid:1) pour tous les p ∈ N ∗ et, en y joignant (ii), ach`eve de d´emontrer (iii). (cid:3) emme 8.19. Soit ( X, d ) un espace δ − hyperbolique et g une isom´etrie de ( X, d ) , alors, pourtout x ∈ X , si m est le milieu d’une g´eod´esique [ x, g x ] , on a Max (cid:2) , d ( x, g x ) − d ( x, g x ) (cid:3) ≤ d ( m, g m ) ≤ Max (cid:2) , d ( x, g x ) − d ( x, g x ) (cid:3) + δ ≤ ℓ ( g ) + 3 δ . Preuve : La preuve consiste `a adapter la preuve du Lemme 9.3.1 p. 101 de [CDP90]. Unefois choisis deux segments-g´eod´esiques [ x, g x ] et [ x, g x ] , consid´erons le segment-g´eod´esique[ g x, g x ] qui est l’image par g de [ x, g x ] , alors g m est le milieu de [ g x, g x ] . Appliquonsle lemme d’approximation au triangle ∆ = [ x , g x , g x ] qui est la r´eunion de ces trois seg-ments g´eod´esiques. Notons ( T ∆ , d T ) le tripode m´etrique associ´e, dont les longueurs des branchesd’extr´emit´es f ∆ ( x ) , f ∆ ( g x ) et f ∆ ( g x ) sont not´ees α, β et γ . Notons c le point central debranchement de ce tripode.Le fait que l’application f ∆ soit une isom´etrie en restriction `a chacun des cˆot´es de ∆ (cf. leLemme 8.1 (i)) implique que α + β = d T (cid:0) f ∆ ( x ) , f ∆ ( g x ) (cid:1) = d ( x, g x ) = d ( g x, g x ) = d T (cid:0) f ∆ ( g x ) , f ∆ ( g x ) (cid:1) = β + γ , donc que γ = α ; cette mˆeme propri´et´e implique aussi que d T (cid:0) f ∆ ( m ) , f ∆ ( x ) (cid:1) = d T (cid:0) f ∆ ( m ) , f ∆ ( g x ) (cid:1) = α + β d T (cid:0) f ∆ ( g m ) , f ∆ ( g x ) (cid:1) . (72)— Si β ≥ α (i. e. si d ( x, g x ) ≤ d ( x, g x ) ), les ´egalit´es (72) impliquent que d’une part lespoints f ∆ ( m ) et f ∆ ( g m ) appartiennent tous deux `a la branche [ c , f ∆ ( g x )] du tripodeet que d’autre part les points f ∆ ( m ) et f ∆ ( g m ) sont `a la mˆeme distance de l’extr´emit´e f ∆ ( g x ) , donc sont confondus ; d’apr`es le lemme d’approximation 8.3 (i), ceci impliqueque 0 ≤ d ( m, g m ) ≤ δ .— Si β < α (i. e. si d ( x, g x ) > d ( x, g x ) ), alors les ´egalit´es (72) impliquent que les points f ∆ ( m ) et f ∆ ( g m ) appartiennent respectivement aux branches [ c , f ∆ ( x )] et [ c , f ∆ ( g x )]du tripode ; le fait que f ∆ soit une isom´etrie en restriction `a chacun des cˆot´es de ∆ (cf.le Lemme 8.1 (i)) et le Lemme d’approximation 8.3 (i) permettent d’en d´eduire que d ( x, g x ) − d ( x, g x ) = α − β = d T (cid:0) f ∆ ( x ) , f ∆ ( g x ) (cid:1) − d T (cid:0) f ∆ ( m ) , f ∆ ( x ) (cid:1) − d T (cid:0) f ∆ ( g m ) , f ∆ ( g x ) (cid:1) = d T (cid:0) f ∆ ( m ) , f ∆ ( g m ) (cid:1) . Le Lemme d’approximation 8.3 (i) permet d’en d´eduire que d ( x, g x ) − d ( x, g x ) ≤ d T (cid:0) f ∆ ( m ) , f ∆ ( g m ) (cid:1) ≤ d ( m, g m ) ≤ d T (cid:0) f ∆ ( m ) , f ∆ ( g m ) (cid:1) + δ ≤ d ( x, g x ) − d ( x, g x ) + δ , ce qui ach`eve la preuve des deux premi`eres in´egalit´es du Lemme 8.19, la troisi`eme in´egalit´ed´ecoule alors de la deuxi`eme et du Lemme 8.18 (i). (cid:3) Lemme 8.20. Soit g n’importe quelle isom´etrie non triviale d’un espace δ − hyperbolique g´eod´esique ( X, d ) , alors(i) ℓ ( g ) ≤ s ( g ) ≤ ℓ ( g ) + δ ,(ii) si s ( g ) > δ , pour tout p ∈ N ∗ , on a la propri´et´e : (cid:0) Q p (cid:1) : ∀ x ∈ X d (cid:0) x, g p x (cid:1) ≥ d ( x, g x ) + (2 p − 1) ( s ( g ) − δ ) (iii) si s ( g ) > δ , pour tout x ∈ X , la suite (cid:0) d ( x, g n x ) (cid:1) n ∈ N ∗ est strictement croissante.Preuve de (ii) : Notons m x le milieu d’une g´eod´esique [ x, g x ] . Si s ( g ) > δ , on a d ( m x , g m x ) > δ et le Lemme 8.19 prouve alors que ∀ x ∈ X s ( g ) − δ ≤ d ( m x , g m x ) − δ ≤ d ( x, g x ) − d ( x, g x ) . (73)86ous allons d´emontrer par r´ecurrence la propri´et´e (cid:0) Q p (cid:1) , dont un corollaire imm´ediat est s (cid:0) g p (cid:1) − δ ≥ p ( s ( g ) − δ ) . (74)La propri´et´e (cid:0) Q p (cid:1) est v´erifi´ee quand p = 1 d’apr`es (73), supposons-la v´erifi´ee jusqu’`a l’ordre p , alors on en d´eduit que son corollaire (74) est aussi v´erifi´e jusqu’`a l’ordre p , en particulier ona s (cid:0) g p (cid:1) > δ et on peut appliquer l’in´egalit´e (73), puis la propri´et´e (cid:0) Q p (cid:1) et son corollaire, cequi donne : d (cid:0) x, g p +1 x (cid:1) ≥ d (cid:0) x, g p x (cid:1) + s (cid:0) g p (cid:1) − δ ≥ d ( x, g x ) + (cid:0) p +1 − (cid:1) ( s ( g ) − δ ) ;ceci prouve que (cid:0) Q p (cid:1) = ⇒ (cid:0) Q p +1 (cid:1) , et donc que la propri´et´e (cid:0) Q p (cid:1) est v´erifi´ee pour tout p ∈ N ∗ . Preuve de (i) : La d´emonstration du fait que ℓ ( g ) ≤ s ( g ) a ´et´e donn´ee apr`es les D´efinitions 8.17de ces deux notions. D´emontrons maintenant que s ( g ) ≤ ℓ ( g ) + δ : si s ( g ) ≤ δ , cette in´egalit´eest trivialement v´erifi´ee, nous nous placerons donc dans le cas o`u s ( g ) > δ , ce qui nous permetd’appliquer la propri´et´e (cid:0) Q p (cid:1) , dont on d´eduit : ℓ ( g ) = lim p → + ∞ − p d (cid:0) x, g p x (cid:1) ≥ s ( g ) − δ . Preuve de (iii) : Remarquons que l’hypoth`ese s ( g ) > δ implique (d’apr`es (ii)) que ℓ ( g ) > δ ,donc que g est une isom´etrie hyperbolique. En appliquant l’in´egalit´e (73), puis la propri´et´e duquadrilat`ere (Lemme 8.3 (iv)), nous obtenons : d (cid:0) x , g n +1 x (cid:1) + d ( x, g x ) + s ( g ) − δ ≤ d (cid:0) x , g n +1 x (cid:1) + d (cid:0) x , g x (cid:1) = d (cid:0) x , g n +1 x (cid:1) + d (cid:0) g n x , g n +2 x (cid:1) ≤ Max (cid:2) d (cid:0) x , g n x (cid:1) + d (cid:0) g n +1 x , g n +2 x (cid:1) , d (cid:0) x , g n +2 x (cid:1) + d (cid:0) g n x , g n +1 x (cid:1)(cid:3) + 2 δ . Posons d n = d (cid:0) x , g n x (cid:1) , nous en d´eduisons que d n +1 ≤ Max [ d n , d n +2 ]+3 δ − s ( g ) < Max [ d n , d n +2 ]lorsque s ( g ) > δ . Comme d < d par l’in´egalit´e (73), nous en d´eduisons que la suite (cid:0) d n (cid:1) n ∈ N ∗ est strictement croissante. (cid:3) Dans cette section on s’int´eresse aux sous-groupes discrets d’isom´etries G d’un espace Gromov-hyperbolique ( X, d ) . Une classification de ces groupes a ´et´e esquiss´ee par M. Gromov [Gro87](voir aussi [DSU17], [CCMT15]), en utilisant leur ensemble limite LG (i. e. l’ensemble des pointsd’accumulation d’une orbite quelconque de l’action G sur X ) ; il les regroupa dans les cat´egoriessuivantes :— les groupes elliptiques (aussi dits born´es ) : les groupes finis, dont toutes les orbites sontdonc born´ees ;— les groupes paraboliques ou (selon la terminologie originale) horocycliques : groupes infinisdont l’ensemble limite LG est r´eduit `a un point ; un groupe parabolique ne contient doncque des ´el´ements paraboliques ou elliptiques .— les groupes “lineal” : les groupes dont l’ensemble limite LG contient exactement 2 points ;un groupe “lineal” ne contient donc que des ´el´ements hyperboliques ou elliptiques (voirpar exemple la sec. 3.4.2 de [Cou16] pour une preuve). 24. On ne consid`ere ici que les groupes agissant discr`etement ; on n´egligera donc les groupes focaux , groupesnon-d´enombrables ayant un point fixe global dans ∂X , mais qui n’agissent pas de mani`ere discr`ete.25. En effet, pour tout groupe G contenant une isom´etrie hyperbolique g , les points fixes g + et g − de cetteisom´etrie sont des points d’accumulation de la suite (cid:0) g k x (cid:1) k ∈ Z , donc des points de l’ensemble limite LG . 87 les groupes de type g´en´eral : les groupes G dont l’ensemble limite LG a plus que deuxpoints (et est donc infini), ce qui ´equivaut `a dire que G contient aux moins deux´el´ements hyperboliques (que nous noterons ici g et g ) dont les ensembles de pointsfixes respectifs F( g ) et F( g ) sont disjoints.Dans les trois premiers cas, l’action de G sur X est dite ´el´ementaire ; on appelle ´egalement´el´ementaire un groupe hyperbolique dont le bord contient au plus deux points.Notons que, si G est ´el´ementaire, pour tout ´el´ement non elliptique g ∈ G , l’ensemble F( g ) despoints fixes de g co¨ıncide avec l’ensemble limite LG de G .Dans les deux propositions qui suivent, nous allons rappeler les propri´et´es basiques des groupes´el´ementaires, qui r´esultent presque imm´ediatement de la classification ci-dessus ; ces r´esultatssont bien connus des sp´ecialistes, ils seront donc rappel´es ici avec une simple r´ef´erence, sansd´emonstrations. Nous utiliserons ces r´esultats seulement dans le cas (plus simple) o`u le groupe G est sans torsion donc, en vertu de notre d´efinition de la discr´etude de l’action de G , sans´el´ement agissant de mani`ere elliptique. Proposition 8.21. (Actions ´el´ementaires) Soit G un groupe discret d’isom´etries d’un espacehyperbolique X :(i) si γ , γ ∈ G sont deux ´el´ements hyperboliques et ont un point fixe commun, alors ils ontleurs deux points fixes en commun, i.e. { γ − , γ +1 } = { γ − , γ +2 } ;(ii) si γ ∈ G est un isom´etrie hyperbolique, le sous-groupe G γ de G , form´e des ´el´ementsqui laissent globalement invariant l’ensemble { γ − , γ + } des points fixes de γ , est le sous-groupe virtuellement cyclique maximal de G contenant γ ; si de plus G est sans torsion,alors G γ est l’ensemble des γ ∈ G qui fixent les deux points γ − et γ + ;(iii) si G est moyennable (e. g. virtuellement nilpotent), alors l’action de G est ´el´ementaire ;(iv) si l’action de G est ´el´ementaire et si G ne contient pas d’´el´ements paraboliques, alors G est virtuellement cyclique ;(v) si le groupe G est virtuellement nilpotent, ses ´el´ements non elliptiques sont tous de mˆemetype (soit tous paraboliques, soit tous hyperboliques) et ont tous mˆeme ensemble de pointsfixes. Pour la preuve des ´enonc´es (i) et de (ii) de la Proposition 8.21, la r´ef´erence est [Cou16], Proposi-tion 3.21 et Proposition 3.27 ; remarquons cependant que cette derni`ere Proposition ne d´emontreque la premi`ere partie de l’´enonc´e (ii), la seconde partie de (ii) d´ecoulant trivialement de lapremi`ere car l’absence d’´el´ements elliptiques (due `a la discr´etude et `a l’absence de torsion, voirla Remarque 8.14 (i)) assure qu’il n’existe pas d’´el´ement g ∈ G qui ´echange les points γ − et γ + : en effet, dans le cas contraire, g fixerait les points γ − et γ + (et serait par cons´equenthyperbolique), donc g fixerait les points γ − et γ + d’apr`es la Remarque 8.14 (ii).La partie (iii) d´ecoule du fait que, si l’action de G n’est pas ´el´ementaire, G contient un sous-groupe libre (cf. [Del96], [Kou98], [CDP90] section 11 Prop. 3.1 et [DSU17] Prop. 10.5.4), ce quiimplique que G n’est pas moyennable.Le point (iv) se d´eduit de la classification donn´ee en d´ebut de la sous-section 8.5 et revient `adire qu’un groupe lineal G est virtuellement cyclique, car inclus dans l’ensemble des γ ∈ G quilaissent LG globalement invariant, la virtuelle cyclicit´e d´ecoulant alors de la Proposition 3.27 26. Si on suppose que les deux ensembles de points fixes F( g ) et F( g ) correspondant `a deux ´el´ements g et g de G sont disjoints, une cons´equence triviale est que l’ensemble limite LG contient plus de deux points(puisqu’il contient F( g ) ∪ F( g ) ) ; la r´eciproque est prouv´ee par exemple dans [Cou16], lemma 3.7. Le fait que,si LG ) > LG est infini non-denombrable, est ´enonc´e dans [Gro87], section 3.5, th´eor`eme p.194 ; onen trouvera une preuve dans [DSU17], Proposition 6.2.14.27. En effet, pour tout groupe G parabolique (resp. lineal), pour toute isom´etrie parabolique (resp. hyper-bolique) g ∈ G les points fixes de g sont les points d’accumulation de la suite (cid:0) g k x (cid:1) k ∈ Z , donc des points del’ensemble limite LG ; ceci prouve que F( g ) ⊂ LG ; de plus, comme F( g ) et LG ont le mˆeme nombre d’´el´ements,on a F( g ) = LG . 88e [Cou16].Le point (v) d´ecoule imm´ediatement du point (iii), de la classification, et de la remarque qui lasuit qui prouve que, dans tout groupe ´el´ementaire, l’ensemble LG est l’ensemble des points fixesde tout ´el´ement non elliptique.Dans le cas cocompact, on a le r´esultat classique suivant : Proposition 8.22. (Actions cocompactes, cf. [Gd90], [CDP90], [BH99]) Soit G un groupe discret cocompact d’isom´etries d’un espace hyperbolique X :(i) G est un groupe de type fini, Gromov-hyperbolique ;(ii) G ne contient pas d’ isom´etries paraboliques ;(iii) G est ´el´ementaire si et seulement si l’espace X est ´el´ementaire ;(iv) G est ´el´ementaire si et seulement si il est virtuellement cyclique ;(v) tout sous-groupe virtuellement nilpotent de G est virtuellement cyclique. Pour le point (i), la r´ef´erence est (par exemple) [Gd90] : en effet, dans le cas cocompact, l’espaceet le groupe sont quasi-isom´etriques, donc l’espace est Gromov-hyperbolique si et seulement si legroupe l’est .Pour le point (ii), l’absence d’´el´ements agissant de mani`ere parabolique sur un groupe Gromov-hyperbolique est d´emontr´ee dans [Gd90] (section 8, th´eor`eme 29) et dans [CDP90] (section 9,th´eor`eme 3.4). Pour les groupes agissant de mani`ere cocompacte sur un espace hyperbolique( X, d ) le fait que la preuve se ram`ene au cas des groupes hyperboliques fait partie du folklore etse d´eduit principalement du fait que l’espace et le groupe sont quasi-isom´etriques .Le point (iii) se d´eduit du fait que, dans le cas cocompact, l’ensemble limite LG est le bord id´eal ∂X tout entier.Le point (iv) est cons´equence de la Proposition 8.21 et des points (ii),(iii) pr´ec´edents.Le point (v) se d´eduit de (i), qui prouve que G est un groupe hyperbolique, et de [Gd90] (section8, Th´eor`eme 37, p. 157) qui prouve qu’un sous-groupe virtuellement nilpotent infini G ′ de G contient un sous-groupe infini cyclique d’indice fini. 28. Remarquons que deux syst`emes finis de g´en´erateurs d’un mˆeme groupe d´efinissent deux distances alg´ebriques´equivalentes (`a une constante multiplicative pr`es, d´ependant des deux syst`emes g´en´erateurs) ; en revanche, lerapport entre les constantes d’hyperbolicit´e δ et δ ′ associ´ees `a ces deux syst`emes g´en´erateurs ´etant ´egal `a lamˆeme constante multiplicative, il n’est pas contrˆol´e.29. Plus pr´ecis´ement, le caract`ere d’une isom´etrie g de ( X, d ) (appartenant `a G ) est d´etermin´e par son actionet ses point fixes sur ∂X mais, puisque le bord ∂G de G (pour la m´etrique des mots) s’identifie `a ∂X via unhom´eomorphisme G -equivariant, le caract`ere de g est (de mani`ere ´equivalente) determin´e par son action sur ∂G ,il est donc forc´ement elliptique ou hyperbolique. ´ef´erences [BCG03] G´erard Besson, Gilles Courtois, and Sylvestre Gallot. Un Lemme de Margulis sanscourbure et ses applications. 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