aa r X i v : . [ m a t h . G M ] N ov Diagram of Representations of Universal Algebras
Aleks Kleyn
Aleks [email protected] http://AleksKleyn.dyndns-home.com:4080/http://sites.google.com/site/AleksKleyn/http://arxiv.org/a/kleyn_a_1http://AleksKleyn.blogspot.com/ bstract.
Theory of representations of universal algebra is a natural devel-opment of the theory of universal algebra. In the book, I considered rep-resentation of universal algebra, diagram of representations and examples ofrepresentation. Morphism of the representation is the map that conserve thestructure of the representation. Exploring of morphisms of the representationleads to the concepts of generating set and basis of representation. ontents
Chapter 1. Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. Representation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. On the Edge of Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Chapter 2. Preliminary Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1. Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Universal Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Cartesian Product of Universal Algebras . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Chapter 3. Representation of Universal Algebra . . . . . . . . . . . . . 173.1. Representation of Universal Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Morphism of Representations of Universal Algebra . . . . . . . . . 203.3. Decomposition Theorem for Morphisms of Representations . . . . . 243.4. Reduced Morphism of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5. Automorphism of Representation of Universal Algebra . . . . . . . 35Chapter 4. Ω-Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1. Set of Homomorphisms of Ω-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Ω-Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Cartesian Product of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4. Reduced Cartesian Product of Representations . . . . . . . . . . . 484.5. Multiplicative Ω-Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6. Ω-ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.7. Tensor Product of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.8. Associativity of Tensor Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Chapter 5. Representation of Multiplicative Ω-Group . . . . . . . . . . 695.1. Representation of Multiplicative Ω-Group . . . . . . . . . . . . . . 695.2. Left and Right Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3. Orbit of Representation of Multiplicative Ω-Group . . . . . . . . . 795.4. Representation in Ω-Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.5. Single Transitive Right-Side Representation of Group . . . . . . . . 81Chapter 6. Basis of Representation of Universal Algebra . . . . . . . . . 866.1. Generating Set of Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2. Basis of representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3. Free Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4. Basis Manifold of Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5. Geometric Object of Representation of Universal Algebra . . . . . . 104
Chapter 7. Diagram of Representations of Universal Algebras . . . . . . 1077.1. Diagram of Representations of Universal Algebras . . . . . . . . . . 1077.2. Morphism of Diagram of Representations . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3. Automorphism of Diagram of Representations . . . . . . . . . . . . 115Chapter 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra . 1178.1. Generating Set of Diagram of Representations . . . . . . . . . . . . 1178.2. Basis of Diagram of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.3. Basis Manifold of Diagram of Representations . . . . . . . . . . . . 1338.4. Geometric Object of Diagram of Representations . . . . . . . . . . 135Chapter 9. Examples of Diagram of Representations: Module . . . . . . 1389.1. About this Chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.2. Abelian Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.3. Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.3.1. Module over Commutative Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.3.2. Linear Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.3.3. Polylinear Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.4. Algebra over Commutative Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.5. Left Module over Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569.6. Right Module over Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.7. Left Module over Nonassociative Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 171Chapter 10. Examples of Diagram of Representations: Affinne Geometry 17310.1. About this Chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.2. Representation of Group on the Set . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.3. Affine Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.4. Affine Space on Differentiable Manifold . . . . . . . . . . . . . . . 17910.5. Noncommutative module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Special Symbols and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192HAPTER 1
Preface
In my papers, I often explore problems relating to the representation of univer-sal algebra. Initially it was small sketches which I repeatedly corrected and rewrote.However gradually there were new observations. As a result, auxiliary tool becamea consistent theory.I realized this when I was writing book [10], and I decided to dedicate a separatebook to the questions related with representation of universal algebra. Exploringof the theory of representations of universal algebra shows that this theory has alot of common with theory of universal algebra.The definition of vector space as representation of field in the Abelian groupwas the main impetus of deeper exploring of representations of universal algebra.I put attention that this definition changes role of linear map. It was found thatlinear map is the map that preserves the structure of the representation. It is easyto generalize this structure for an arbitrary representation of universal algebra.Thus I came to the notion of morphism of representation.The set of regular automorphisms of vector space forms a group. This groupis single transitive on the set of basises of vector space. This statement is thefoundation of the theory of invariants of vector space.The natural question arises. Can we generalize this structure to arbitraryrepresentation? The basis is not the only set that forms the vector space. If weadd an arbitrary vector to the set of vectors of basis, then a new set also generatesthe same vector space, however this set is not basis. This statement is initial pointwhere I started exploring of generating set of representation. Generating set ofrepresentation is one more interesting parallel between theory of representationsand theory of universal algebra.The set of automorphisms of representations is loop. Nonassociativity of theproduct is the source of numerous questions which require additional research. Allthese questions lead to the need to understand the theory of invariants of a givenrepresentation.If we consider the theory of representations of universal algebra as an extensionof the theory of universal algebra, then why not consider the representation of onerepresentation in another representation. Thus the concept of the tower represen-tations appeared. The most amazing fact is the statement that all maps in thetower of representations are coordinated.
Over the years, I believed that representation theory is the main tool to studycovariance principle. However, in the process of writing this book, I suddenly foundmyself on the edge of representation theory. It was extremely important event.More precisely, it was two different discoveries, interconnected by topic of noncommutative addition. At the beginning, I discovered that I can study affine ge-ometry on affine manifold. (This is not new discovery. I think people have knownabout this since Descartes and Gauss). The most important for me here was thestatement that sum is not defined for every pairs of vectors. I met similar prob-lem when I was studying basis manifold of Minkowski space ([11]). If connection onaffine manifold has nonzero torsion, then sum of vectors becomes non commutative.Later, I decided to study representation of ring in non-abelian group. Althoughalgebra is closed relative operation, I see opportunity for further development ofrepresentation theory. We can use the definition of basis from this book; howeversome important details will be hiden. I am interested in the version that elementsof basis may have a given order; but right now I do not have a clear idea of whatmay follow from this assumption.HAPTER 2
Preliminary Definitions
This chapter contains definitions and theorems which are necessary for an un-derstanding of the text of this book. So the reader may read the statements fromthis chapter in process of reading the main text of the book.
Definition . Correspondence Φ ∈ A × A is called equivalence , if correspondence Φ is reflexive ( a, a ) ∈ Φ2.1.1.2: correspondence Φ is symmetric ( a, b ) ∈ Φ ⇒ ( b, a ) ∈ Φ2.1.1.3: correspondence Φ is transitive ( a, b ) , ( b, c ) ∈ Φ ⇒ ( a, c ) ∈ Φ (cid:3) Theorem . For the map f : A → B the set (2.1.1) ker f = { ( a, b ) : a, b ∈ A, f ( a ) = f ( b ) } is equivalence and is called kernel of map . Proof.Lemma . Correspondence ker f is reflexive. Proof.
From the equality f ( a ) = f ( a )and from the definition (2.1.1), it follows that(2.1.2) ( a, a ) ∈ ker f The lemma follows from the statement (2.1.2) and from the definition 2.1.1.1. ⊙ Lemma . Correspondence ker f is symmetric. See also the definition on page [14]-14.
See also the definition on page [14]-16.
Proof.
The equality(2.1.3) f ( a ) = f ( b )follows from the statement ( a, b ) ∈ ker f and from the definition (2.1.1). The equality(2.1.4) f ( b ) = f ( a )follows from the equality (2.1.3). The statement( b, a ) ∈ ker f follows from the equality (2.1.4) and from the definition (2.1.1). Therefore, weproved the statement(2.1.5) ( a, b ) ∈ ker f ⇒ ( b, a ) ∈ ker f The lemma follows from the statement (2.1.5) and from the definition 2.1.1.2. ⊙ Lemma . Correspondence ker f is transitive. Proof.
The equality(2.1.6) f ( a ) = f ( b )follows from the statement ( a, b ) ∈ ker f and from the definition (2.1.1). The equality(2.1.7) f ( b ) = f ( c )follows from the statement ( b, c ) ∈ ker f and from the definition (2.1.1). The equality(2.1.8) f ( a ) = f ( c )follows from equalities (2.1.6), (2.1.7). The statement( a, c ) ∈ ker f follows from the equality (2.1.8) and from the definition (2.1.1). Therefore, weproved the statement(2.1.9) ( a, b ) , ( b, c ) ∈ ker f ⇒ ( a, c ) ∈ ker f The lemma follows from the statement (2.1.9) and from the definition 2.1.1.2. ⊙ The theorem follows from lemmas 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5 and from the definition2.1.1. (cid:3)
Theorem . Let N be equivalence on the set A . Consider category A whoseobjects are maps f : A → S ker f ⊇ Nf : A → S ker f ⊇ N The statement of lemma is similar to the statement on p. [2]-119. .2. Universal Algebra 9
We define morphism f → f to be map h : S → S making following diagramcommutative S h (cid:15) (cid:15) A f > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ f ❅❅❅❅❅❅❅❅ S The map nat N : A → A/N is universally repelling in the category A . Proof.
Consider diagram
A/N h (cid:15) (cid:15) A j =nat N = = ④④④④④④④④ f " " ❉❉❉❉❉❉❉❉❉ S (2.1.10) ker f ⊇ N From the statement (2.1.10) and the equality j ( a ) = j ( a )it follows that f ( a ) = f ( a )Therefore, we can uniquely define the map h using the equality h ( j ( b )) = f ( b ) (cid:3) Definition . For any sets A , B , Cartesian power B A is the set ofmaps f : A → B (cid:3) Definition . For any n ≥ , a map ω : A n → A is called n -ary operation on set A or just operation on set A . For any a ,..., a n ∈ A , we use either notation ω ( a , ..., a n ) , a ...a n ω to denote image of map ω . (cid:3) See definition of universal object of category in definition on p. [2]-57.
I follow the definition from the example (iv) on the page [14]-5.
Definitions 2.2.2, 2.2.7 follow the definition in the example (vi) on the page page [14]-13.
Remark . According to definitions 2.2.1, 2.2.2, n -ari operation ω ∈ A A n . (cid:3) Definition . An operator domain is the set of operators Ω with amap a : Ω → N If ω ∈ Ω , then a ( ω ) is called the arity of operator ω . If a ( ω ) = n , then operator ω is called n -ary. We use notation Ω( n ) = { ω ∈ Ω : a ( ω ) = n } for the set of n -ary operators. (cid:3) Definition . Let A be a set. Let Ω be an operator domain. The familyof maps Ω( n ) → A A n n ∈ N is called Ω -algebra structure on A . The set A with Ω -algebra structure is called Ω -algebra A Ω or universal algebra . The set A is called carrier of Ω -algebra . (cid:3) The operator domain Ω describes a set of Ω-algebras. An element of the setΩ is called operator, because an operation assumes certain set. According to theremark 2.2.3 and the definition 2.2.5, for each operator ω ∈ Ω( n ), we match n -ary operation ω on A . Theorem . Let the set B be Ω -algebra. Then the set B A of maps f : A → B also is Ω -algebra. Proof.
Let ω ∈ Ω( n ). For maps f , ..., f n ∈ B A , we define the operation ω by the equality ( f ...f n ω )( x ) = f ( x ) ...f n ( x ) ω (cid:3) Definition . Let B ⊆ A . Since, for any b , ..., b n ∈ B , b ...b n ω ∈ B ,then we say that B is closed with respect to ω or that B admits operation ω . (cid:3) Definition . Ω -algebra B Ω is subalgebra of Ω -algebra A Ω if followingstatements are true B ⊆ A . if operator ω ∈ Ω defines operations ω A on A and ω B on B , then ω A | B = ω B (cid:3) I follow the definition (1), page [14]-48.
I follow the definition (2), page [14]-48.
I follow the definition on page [14]-48. .2. Universal Algebra 11
Definition . Let A , B be Ω -algebras and ω ∈ Ω( n ) . The map f : A → B is compatible with operation ω , if, for all a , ..., a n ∈ A , (2.2.1) f ( a ) ...f ( a n ) ω = f ( a ...a n ω ) The map f is called homomorphism from Ω -algebra A to Ω -algebra B , if f iscompatible with each ω ∈ Ω . We use notation Hom(Ω; A → B ) for the set ofhomomorphisms from Ω -algebra A to Ω -algebra B . (cid:3) Theorem . Since operator domain is empty, then a homomorphism from Ω -algebra A to Ω -algebra B is a map f : A → B Therefore,
Hom( ∅ ; A → B ) = B A . Proof.
The theorem follows from definitions 2.2.1, 2.2.9. (cid:3)
Definition . Homomorphism f is called isomorphism between A and B , if correspondence f − is homomorphism. If there is an isomorphism between A and B , then we say that A and B are isomorphic and write A ∼ = B . Aninjective homomorphis is called monomorphism . A surjective homomorphis iscalled epimorphism . (cid:3) Definition . A homomorphism in which source and target are the samealgebra is called endomorphism . We use notation
End(Ω; A ) for the set ofendomorphisms of Ω -algebra A . An endomorphism which is also an isomorphismis called automorphism . (cid:3) Theorem . End(Ω; A ) = Hom(Ω; A → A ) Proof.
The theorem follows from the definitions 2.2.9, 2.2.12. (cid:3)
Theorem . Since operator domain is empty, then an endomorphism ofthe set A is a map t : A → A Therefore,
End( ∅ ; A ) = A A . Proof.
The theorem follows from the theorems 2.2.10, 2.2.13. (cid:3)
Definition . If there is a monomorphism from Ω -algebra A to Ω -algebra B , then we say that A can be embeded in B . (cid:3) Definition . If there is an epimorphism from A to B , then B is called homomorphic image of algebra A . (cid:3) I follow the definition on page [14]-49.
I follow the definition on page [14]-49.
Definition . Let A be a category. Let { B i , i ∈ I } be the set of objectsof A . Object P = Y i ∈ I B i and set of morphisms { f i : P → B i , i ∈ I } is called a product of set of objects { B i , i ∈ I } in category A if for anyobject R and set of morphisms { g i : R → B i , i ∈ I } there exists a unique morphism h : R → P such that diagram P f i / / B i f i ◦ h = g i R g i > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ h O O is commutative for all i ∈ I .If | I | = n , then we also will use notation P = n Y i =1 B i = B × ... × B n for product of set of objects { B i , i ∈ I } in A . (cid:3) Example . Let S be the category of sets. According to the definition2.3.1, Cartesian product A = Y i ∈ I A i of family of sets ( A i , i ∈ I ) and family of projections on the i -th factor p i : A → A i are product in the category S . (cid:3) Theorem . The product exists in the category A of Ω -algebras. Let Ω -algebra A and family of morphisms p i : A → A i i ∈ I be product in the category A . Then The set A is Cartesian product of family of sets ( A i , i ∈ I )2.3.3.2: The homomorphism of Ω -algebra p i : A → A i is projection on i -th factor. We can represent any A -number a as tuple ( p i ( a ) , i ∈ I ) of A i -numbers. I made definition according to [2], page 58.
See also the example in [2], page 59. .3. Cartesian Product of Universal Algebras 13
Let ω ∈ Ω be n-ary operation. Then operation ω is defined component-wise (2.3.1) a ...a n ω = ( a i ...a ni ω, i ∈ I ) where a = ( a i , i ∈ I ) , ..., a n = ( a ni , i ∈ I ) . Proof.
Let A = Y i ∈ I A i be Cartesian product of family of sets ( A i , i ∈ I ) and, for each i ∈ I , the map p i : A → A i be projection on the i -th factor. Consider the diagram of morphisms in category ofsets S (2.3.2) A p i / / A i p i ◦ ω = g i A n g i = = ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ ω O O where the map g i is defined by the equality g i ( a , ..., a n ) = p i ( a ) ...p i ( a n ) ω According to the definition 2.3.1, the map ω is defined uniquely from the set ofdiagrams (2.3.2)(2.3.3) a ...a n ω = ( p i ( a ) ...p i ( a n ) ω, i ∈ I )The equality (2.3.1) follows from the equality (2.3.3). (cid:3) Definition . If Ω -algebra A and family of morphisms p i : A → A i i ∈ I is product in the category A , then Ω -algebra A is called direct or Cartesian prod-uct of Ω -algebras ( A i , i ∈ I ) . (cid:3) Theorem . Let set A be Cartesian product of sets ( A i , i ∈ I ) and set B be Cartesian product of sets ( B i , i ∈ I ) . For each i ∈ I , let f i : A i → B i be the map from the set A i into the set B i . For each i ∈ I , consider commutativediagram (2.3.4) B p ′ i / / B i A f O O p i / / A if i O O where maps p i , p ′ i are projection on the i -th factor. The set of commutativediagrams (2.3.4) uniquely defines map f : A → Bf ( a i , i ∈ I ) = ( f i ( a i ) , i ∈ I ) Proof.
For each i ∈ I , consider commutative diagram(2.3.5) B p ′ i / / (1) B i A f O O g i : : ✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉ p i / / A if i O O (2) Let a ∈ A . According to the statement 2.3.3.3, we can represent A -number a astuple of A i -numbers(2.3.6) a = ( a i , i ∈ I ) a i = p i ( a ) ∈ A i Let(2.3.7) b = f ( a ) ∈ B According to the statement 2.3.3.3, we can represent B -number b as tuple of B i -numbers(2.3.8) b = ( b i , i ∈ I ) b i = p ′ i ( b ) ∈ B i From commutativity of diagram (1) and from equalities (2.3.7), (2.3.8), it followsthat(2.3.9) b i = g i ( b )From commutativity of diagram (2) and from the equality (2.3.6), it follows that b i = f i ( a i ) (cid:3) Theorem . Let Ω -algebra A be Cartesian product of Ω -algebras ( A i , i ∈ I ) and Ω -algebra B be Cartesian product of Ω -algebras ( B i , i ∈ I ) . For each i ∈ I ,let the map f i : A i → B i be homomorphism of Ω -algebra. Then the map f : A → B defined by the equality (2.3.10) f ( a i , i ∈ I ) = ( f i ( a i ) , i ∈ I ) is homomorphism of Ω -algebra. Proof.
Let ω ∈ Ω be n-ary operation. Let a = ( a i , i ∈ I ), ..., a n =( a ni , i ∈ I ) , b = ( b i , i ∈ I ), ..., b n = ( b ni , i ∈ I ) . From equalities (2.3.1),(2.3.10), it follows that f ( a ...a n ω ) = f ( a i ...a ni ω, i ∈ I )= ( f i ( a i ...a ni ω ) , i ∈ I )= (( f i ( a i )) ... ( f i ( a ni )) , i ∈ I )= ( b i ...b ni ω, i ∈ I ) f ( a ) ...f ( a n ) ω = b ...b n ω = ( b i ...b ni ω, i ∈ I ) .4. Semigroup 15 (cid:3) Definition . Equivalence on Ω -algebra A , which is subalgebra of Ω -algebra A , is called congruence on A . (cid:3) Theorem . Let f : A → B be homomorphism of Ω -algebras with kernel s . Then there is decomposition A/ ker f q / / f ( A ) r (cid:15) (cid:15) A p O O f / / B f = p ◦ q ◦ r The kernel of homomorphism ker f = f ◦ f − is a congruence on Ω -algebra A . The set A/ ker f is Ω -algebra. The map p : a ∈ A → a ker f ∈ A/ ker f is epimorphism and is called natural homomorphism . The map q : p ( a ) ∈ A/ ker f → f ( a ) ∈ f ( A ) is the isomorphism The map r : f ( a ) ∈ f ( A ) → f ( a ) ∈ B is the monomorphism Proof.
The statement 2.3.8.1 follows from the proposition II.3.4 ([14], page58). Statements 2.3.8.2, 2.3.8.3 follow from the theorem II.3.5 ([14], page 58) andfrom the following definition. Statements 2.3.8.4, 2.3.8.5 follow from the theoremII.3.7 ([14], page 60). (cid:3)
Usually the operation ω ∈ Ω(2) is called product abω = ab or sum abω = a + b Definition . Let A be Ω -algebra and ω ∈ Ω(2) . A -number e is called neutral element of operation ω , when for any A -number a following equationsare true (2.4.1) eaω = a (2.4.2) aeω = a (cid:3) I follow the definition on page [14]-57.
Definition . Let A be Ω -algebra. The operation ω ∈ Ω(2) is called associative if the following equality is true a ( bcω ) ω = ( abω ) cω (cid:3) Definition . Let A be Ω -algebra. The operation ω ∈ Ω(2) is called commutative if the following equality is true abω = baω (cid:3) Definition . Let
Ω = { ω } . If the operation ω ∈ Ω(2) is associative,then Ω -algebra is called semigroup . If the operation in the semigroup is commu-tative, then the semigroup is called Abelian semigroup . (cid:3) HAPTER 3
Representation of Universal Algebra
Definition . Let the set A be Ω -algebra. Let the set of transformations End(Ω , A ) be Ω -algebra. The homomorphism f : A → End(Ω ; A ) of Ω -algebra A into Ω -algebra End(Ω , A ) is called representation of Ω -algebra A or A -representation in Ω -algebra A . (cid:3) Diagram A f ( a ) / / A A f K S means that we consider the representation of Ω -algebra A . The map f ( a ) is imageof a ∈ A . We also use record f : A ∗ / / A to denote the representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A .There are several ways to describe the representation. We can define the map f keeping in mind that the domain is Ω -algebra A and range is Ω -algebraEnd(Ω , A ). Either we can specify Ω -algebra A and Ω -algebra A keepingin mind that we know the structure of the map f . Definition . Let the map f : A → End(Ω ; A ) be an isomorphism of the Ω -algebra A into End(Ω , A ) . Then the representa-tion f : A ∗ / / A of the Ω -algebra A is called effective . (cid:3) Theorem . The representation f : A ∗ / / A For instance, we consider vector space V over field D (section 9.3). See similar definition of effective representation of group in [18], page 16, [19], page 111, [15],page 51 (Cohn calls such representation faithful). See also the theorem 5.4.2.
178 3. Representation of Universal Algebra is effective iff the statement a = b , a , b ∈ A , implies that there exists a ∈ A such that f ( a )( a ) = f ( b )( a ) Proof.
Let the representation f be effective and a = b . If for any a ∈ A ,the equality f ( a )( a ) = f ( b )( a )is true, then f ( a ) = f ( b )This contradicts to the statement that the representation f is effective.Let the statement a = b , a , b ∈ A , imply that there exists a ∈ A suchthat f ( a )( a ) = f ( b )( a )Therefore, the statement a = b , a , b ∈ A , implies that f ( a ) = f ( b )According to the definition 3.1.2, the representation f is effective. (cid:3) Definition . The representation f : A ∗ / / A of the Ω -algebra A is called free , if the statement f ( a )( a ) = f ( b )( a ) for any a ∈ A implies that a = b . (cid:3) Theorem . The representation f : A ∗ / / A of the Ω -algebra A is called free , if the statement f ( a ) = f ( b ) implies that a = b . Proof.
The statement f ( a ) = f ( b ) is true iff when f ( a )( a ) = f ( b )( a )for any a ∈ A . (cid:3) Theorem . Free representation is effective.
In case of group, the theorem 3.1.3 has the following form.
The representation f : A ∗ / / A is effective iff, for any A -number a = e , there exists a ∈ A such that f ( a )( a ) = a See similar definition of free representation of group in [18], page 16. See also the theorem5.5.2. .1. Representation of Universal Algebra 19
Proof.
Let the map f : A ∗ / / A be free representation. Let a , b ∈ A . According to the definition 3.1.4, thestatement f ( a )( a ) = f ( b )( a )for any a ∈ A implies that a = b . Therefore, if a = b , then there exists a ∈ A such that f ( a )( a ) = f ( b )( a )According to the theorem 3.1.3, the representation f is effective. (cid:3) Remark . Representation of rotation group in affine space is effective.However this representation is not free, since origin is fixed point of every trans-formation. (cid:3)
Definition . The representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra is called transitive if for any a , b ∈ A , exists such g that a = f ( g )( b ) The representation of Ω -algebra is called single transitive if it is transitive andfree. (cid:3) Theorem . Representation is single transitive iff for any a, b ∈ A existsone and only one g ∈ A such that a = f ( g )( b ) Proof.
The theorem follows from definitions 3.1.4 and 3.1.8. (cid:3)
Theorem . Let f : A ∗ / / A be a single transitive representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . There isthe structure of Ω -algebra on the set A . Proof.
Let b ∈ A , ω ∈ Ω ( n ). For any A -numbers b , ..., b n , there exist A -numbers a , ..., a n such that b = f ( a )( b ) ... b n = f ( a n )( b )We introduce the operation ω on the set A by the equality(3.1.1) b ...b n ω = f ( a ...a n ω )( b )We also require that choice of A -number b does not depend on operation ω . (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / A be an effective representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Let ω ∈ Ω ( n ) ∩ Ω ( n ) . Then (3.1.2) f ( a ...a n ω )( b ) = f ( a )( b ) ...f ( a n )( b ) ω See similar definition of transitive representation of group in [19], page 110, [15], page 51.
Theorem . Let A and B be Ω -algebras. Representation of Ω -algebra B g : B ∗ / / A and homomorphism of Ω -algebra h : A → B define representation f of Ω -algebra A (3.2.1) A h ❆❆❆❆❆❆❆❆ f / / End(Ω ; A ) B g ssssssssss Proof.
Since map g is homomorphism of Ω -algebra B into Ω -algebraEnd(Ω , A ), the map f is homomorphism of Ω -algebra A into Ω -algebraEnd(Ω , A ). (cid:3) We also use diagram A h ❇❇❇❇❇❇❇❇ f ∗ / / A B g ∗ ⑤⑤⑤⑤ > > ⑤⑤⑤⑤ instead of diagram (3.2.1).Considering representations of Ω -algebra in Ω -algebras A and B , we areinterested in a map A → B that preserves the structure of representation. Definition . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A and g : B ∗ / / B be representation of Ω -algebra B in Ω -algebra B . For i = 1 , , let the map r i : A i → B i be homomorphism of Ω i -algebra. The tuple of maps r = ( r , r ) such, that (3.2.2) r ◦ f ( a ) = g ( r ( a )) ◦ r is called morphism of representations from f into g . We also say that mor-phism of representations of Ω -algebra in Ω -algebra is defined. (cid:3) Remark . We may consider a pair of maps r , r as map F : A ∪ A → B ∪ B such that F ( A ) = B F ( A ) = B Therefore, hereinafter the tuple of maps r = ( r , r ) also is called map and wewill use map r : f → g .2. Morphism of Representations of Universal Algebra 21 Let a = ( a , a ) be tuple of A -numbers. We will use notation r ( a ) = ( r ( a ) , r ( a )) for image of tuple of A -numbers with respect to morphism of representations r . (cid:3) Definition . If representation f and g coincide, then morphism of rep-resentations r = ( r , r ) is called morphism of representation f . (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A and g : B ∗ / / B be representation of Ω -algebra B in Ω -algebra B . The map ( r : A → B , r : A → B ) is morphism of representations iff (3.2.3) r ( f ( a )( m )) = g ( r ( a ))( r ( m )) Proof.
For any m ∈ A , equality (3.2.3) follows from (3.2.2). (cid:3) Remark . Consider morphism of representations ( r : A → B , r : A → B ) We denote elements of the set B by letter using pattern b ∈ B . However if wewant to show that b is image of element a ∈ A , we use notation r ( a ) . Thusequation r ( a ) = r ( a ) means that r ( a ) (in left part of equation) is image a ∈ A (in right part of equa-tion). Using such considerations, we denote element of set B as r ( m ) . We willfollow this convention when we consider correspondences between homomorphismsof Ω -algebra and maps between sets where we defined corresponding representa-tions. (cid:3) Remark . There are two ways to interpret (3.2.3) • Let transformation f ( a ) map m ∈ A into f ( a )( m ) . Then transformation g ( r ( a )) maps r ( m ) ∈ B into r ( f ( a )( m )) . • We represent morphism of representations from f into g using diagram (3.2.4) A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / B g ( r ( a )) (cid:15) (cid:15) (1) A r / / B A r / / f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ B g B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ From (3.2.2) , it follows that diagram (1) is commutative.
We also use diagram (3.2.5) A r / / B A r / / f ∗ O O B g ∗ O O instead of diagram (3.2.4) . (cid:3) Theorem . Consider representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A and representation g : B ∗ / / B of Ω -algebra B . Morphism ( r : A → B , r : A → B ) of representations from f into g satisfies equation (3.2.6) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = ( g ( r ( a )) ...g ( r ( a n )) ω ) ◦ r for any operation ω ∈ Ω ( n ) . Proof.
Since f is homomorphism, we have(3.2.7) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = r ◦ f ( a ...a n ω )From (3.2.2) and (3.2.7) it follows that(3.2.8) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a ...a n ω )) ◦ r Since r is homomorphism, from (3.2.8) it follows that(3.2.9) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a ) ...r ( a n ) ω ) ◦ r Since g is homomorphism, (3.2.6) follows from (3.2.9). (cid:3) Theorem . Let the map ( r : A → B , r : A → B ) be morphism from representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A into representation g : B ∗ / / B of Ω -algebra B . If representation f is effective, then the map r ∗ : End(Ω ; A ) → End(Ω ; B ) defined by equation (3.2.10) r ∗ ( f ( a )) = g ( r ( a )) is homomorphism of Ω -algebra. .2. Morphism of Representations of Universal Algebra 23 Proof.
Because representation f is effective, then for given transformation f ( a ) element a is determined uniquely. Therefore, transformation g ( r ( a )) is prop-erly defined in equation (3.2.10).Since f is homomorphism, we have(3.2.11) r ∗ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = r ∗ ( f ( a ...a n ω ))From (3.2.10) and (3.2.11) it follows that(3.2.12) r ∗ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a ...a n ω ))Since h is homomorphism, from (3.2.12) it follows that(3.2.13) r ∗ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a ) ...r ( a n ) ω )Since g is homomorphism, r ∗ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a )) ...g ( r ( a n )) ω = r ∗ ( f ( a )) ...r ∗ ( f ( a n )) ω follows from (3.2.13). Therefore, the map r ∗ is homomorphism of Ω -algebra. (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / A be single transitive representation of Ω -algebra A and g : B ∗ / / B be single transitive representation of Ω -algebra B . Given homomorphism of Ω algebra r : A → B there exists morphism of representations from f into g ( r : A → B , r : A → B ) Proof.
Let us choose homomorphism r . Let us choose element m ∈ A andelement n ∈ B . To define map r , consider following diagram A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / B g ( r ( a )) (cid:15) (cid:15) (1) A r / / B A r / / f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ B g B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ From commutativity of diagram (1), it follows that r ( f ( a )( m )) = g ( r ( a ))( r ( m ))For arbitrary m ′ ∈ A , we defined unambiguously a ∈ A such that m ′ = f ( a )( m ).Therefore, we defined map r which satisfies to equation (3.2.2). (cid:3) Theorem . Let the representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A be single transitive representation and the representation g : B ∗ / / B of Ω -algebra B be single transitive representation. Given homomorphism of Ω -algebra r : A → B consider a homomorphism of Ω -algebra r : A → B such that r = ( r , r ) is morphism of representations from f into g . The map H is unique up to choice of image n = r ( m ) ∈ B of given element m ∈ A . Proof.
From proof of theorem 3.2.10, it follows that choice of homomorphism r and elements m ∈ A , n ∈ B uniquely defines the map r . (cid:3) Theorem . Given single transitive representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A , for any endomorphism r ∈ End(Ω ; A ) there exists morphismof representation f ( r : A → A , r : A → A ) Proof.
Consider following diagram A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / A f ( r ( a )) (cid:15) (cid:15) (1) A r / / A A r / / f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ A f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ Statement of theorem is corollary of the theorem 3.2.10. (cid:3)
Theorem . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A , g : B ∗ / / B be representation of Ω -algebra B , h : C ∗ / / C be representation of Ω -algebra C . Given morphisms of representations of Ω -algebra ( p : A → B , p : A → B ) .3. Decomposition Theorem for Morphisms of Representations 25 ( q : B → C , q : B → C ) There exists morphism of representations of Ω -algebra ( r : A → C , r : A → C ) where r = q ◦ p , r = q ◦ p . We call morphism r = ( r , r ) of representationsfrom f into h product of morphisms p = ( p , p ) and q = ( q , q ) ofrepresentations of universal algebra . Proof.
We represent statement of theorem using diagram B q / / C B q / / g % - C h . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ B q / / g ( p ( a )) ` ` ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ C h ( r ( a )) > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ A p O O r Q Q f A p O O f ( a ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r K K A p O O r N N Map r is homomorphism of Ω -algebra A into Ω -algebra C . We need to showthat the map r = ( r , r ) satisfies to (3.2.2): r ( f ( a )( m )) = ( q ◦ p )( f ( a )( m ))= q ( g ( p ( a ))( p ( m )))= h (( q ◦ p )( a ))(( q ◦ p )( m )))= h ( r ( a ))( r ( m )) (cid:3) Definition . Let S be equivalence on the set A . Transformation f iscalled coordinated with equivalence S , when f ( m ) ≡ f ( m )(mod S ) followsfrom condition m ≡ m (mod S ) . (cid:3) Theorem . Consider equivalence S on set A . Consider Ω -algebra onthe set End(Ω , A ) . If any transformation f ∈ End(Ω ; A ) is coordinated withequivalence S , then we can define the structure of Ω -algebra on the set End(Ω ; A /S ) . Proof.
Let h = nat S . If m ≡ m (mod S ) , then h ( m ) = h ( m ). Since f ∈ End(Ω ; A ) is coordinated with equivalence S , then h ( f ( m )) = h ( f ( m )).This allows us to define transformation F according to rule(3.3.1) F ([ m ]) = h ( f ( m ))Let ω be n-ary operation of Ω -algebra. Let f , ..., f n ∈ End(Ω ; A ) and F ([ m ]) = h ( f ( m )) ... F n ([ m ]) = h ( f n ( m )) According to condition of theorem, the transformation f = f ...f n ω ∈ End(Ω ; A )is coordinated with equivalence S . Therefore,(3.3.2) f ( m ) ≡ f ( m )(mod S )( f ...f n ω )( m ) ≡ ( f ...f n ω )( m )(mod S )follows from condition m ≡ m (mod S ) and the definition 3.3.2. Therefore, wecan define operation ω on the set End(Ω ; A /S ) according to rule(3.3.3) ( F ...F n ω )([ m ]) = h (( f ...f n ω )( m ))From the definition (3.3.1) and equation (3.3.2), it follows that we properly definedoperation ω on the set End(Ω ; A /S ). (cid:3) Definition . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A , g : B ∗ / / B be representation of Ω -algebra B . Let ( r : A → B , r : A → B ) be morphism of representations from f into g such that r is isomorphism of Ω -algebra and r is isomorphism of Ω -algebra. Then the map r = ( r , r ) is called isomorphism of repesentations . (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A , g : B ∗ / / B be representation of Ω -algebra B . Let ( t : A → B , t : A → B ) .3. Decomposition Theorem for Morphisms of Representations 27 be morphism of representations from f into g . Then there exist decompositions of t and t , which we describe using diagram A /s q / / (5)(4) (6) t A r (cid:15) (cid:15) A /s q / / F & . t A r (cid:15) (cid:15) G - ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ A /s q / / F ( p ( a )) b b ❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊ t A r (cid:15) (cid:15) G ( t ( a )) = = ④④④④④④④④④④④④④④④④④ A t / / p O O (1) f B g ) ❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩ ❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩ A t / / p O O (2) f ( a ) | | ①①①①①①①①①①①①①①①①①① B g ( t ( a )) ! ! ❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉ A p O O t / / (3) B The kernel of homomorphism ker t i = t i ◦ t − i is a congruence on Ω i -algebra A i , i = 1 , . There exists decomposition of homomorphism t i , i = 1 , , (3.3.4) t i = r i ◦ q i ◦ p i Maps p ( a ) = a ker t p ( a ) = a ker t are natural homomorphisms. Maps (3.3.5) q ( p ( a )) = t ( a )(3.3.6) q ( p ( a )) = t ( a ) are isomorphisms. Maps r : t ( a ) ∈ f ( A ) → t ( a ) ∈ B r : t ( a ) ∈ f ( A ) → t ( a ) ∈ B are monomorphisms. F is representation of Ω -algebra A /s in A /s G is representation of Ω -algebra t A in t A The map p = ( p , p ) is the morphism of representations f and F The map q = ( q , q ) is the isomorphism of representations F and G The map r = ( r , r ) is the morphism of representations G and g There exists decompositions of morphism of representations (3.3.7) ( t , t ) = ( r , r ) ◦ ( q , q ) ◦ ( p , p ) Proof.
Statements 3.3.5.1, 3.3.5.2, 3.3.5.3, 3.3.5.4, 3.3.5.5 follow from thetheorem 2.3.8. Therefore, diagrams (1) and (2) are commutative.We start from diagram (4).Let m ≡ m (mod ker t ). Then(3.3.8) t ( m ) = t ( m )Since a ≡ a (mod ker t ), then(3.3.9) t ( a ) = t ( a )Therefore, p ( a ) = p ( a ). Since the map ( t , t ) is morphism of representations,then t ( f ( a )( m )) = g ( t ( a ))( t ( m ))(3.3.10) t ( f ( a )( m )) = g ( t ( a ))( t ( m ))(3.3.11)From (3.3.8), (3.3.9), (3.3.10), (3.3.11), it follows that(3.3.12) t ( f ( a )( m )) = t ( f ( a )( m ))From (3.3.12) it follows(3.3.13) f ( a )( m ) ≡ f ( a )( m )(mod ker t )and, therefore,(3.3.14) p ( f ( a )( m )) = p ( f ( a )( m ))From (3.3.14) it follows that map(3.3.15) F ( p ( a ))( p ( m )) = p ( f ( a )( m ))is well defined and this map is transformation of set A / ker t .From equation (3.3.13) (in case a = a ) it follows that, for any a , transfor-mation is coordinated with equivalence ker t . From theorem 3.3.3 it follows thatwe defined structure of Ω -algebra on the set End(Ω ; A / ker t ). Consider n -aryoperation ω and n transformations F ( p ( a i ))( p ( m )) = p ( f ( a i )( m )) i = 1 , ..., n of the A / ker t . We assume( F ( p ( a )) ...F ( p ( a n )) ω )( p ( m )) = p (( f ( a ) ...f ( a n ) ω )( m ))Therefore, map F is representations of Ω -algebra A / ker t .According to the theorem 3.2.5, the statement 3.3.5.8 follows from (3.3.15).Consider diagram (5). Lemma . The map q = ( q , q ) is the morphism of representations F and G . Proof.
Since q is bijection, then we identify elements of the set A / ker t and the set t ( A ), and this identification has form(3.3.16) q ( p ( m )) = t ( m )We can write transformation F ( p ( a )) of the set A / ker t as(3.3.17) F ( p ( a )) : p ( m ) → F ( p ( a ))( p ( m ))Since q is bijection, we define transformation(3.3.18) q ( p ( m )) → q ( F ( p ( a ))( p ( m ))) .3. Decomposition Theorem for Morphisms of Representations 29 of the set t ( A ). Transformation (3.3.18) depends on p ( a ) ∈ A / ker t . Since q is bijection, we identify elements of the set A / ker t and the set t ( A ), andthis identification has form(3.3.19) q ( p ( a )) = t ( a )Therefore, we defined map G : t ( A ) → End(Ω ; t ( A ))according to equation(3.3.20) G ( q ( p ( a )))( q ( p ( m ))) = q ( F ( p ( a ))( p ( m )))Consider n -ary operation ω and n transformations G ( t ( a i ))( t ( m )) = q ( F ( p ( a i ))( p ( m ))) i = 1 , ..., n of the set t ( A ). We assume(3.3.21) ( G ( t ( a )) ...G ( t ( a n )) ω )( t ( m )) = q (( F ( p ( a )) ...F ( p ( a n )) ω )( p ( m )))According to (3.3.20) operation ω is well defined on the set End(Ω ; t ( A )).Therefore, the map G is representations of Ω -algebra.According to the theorem 3.2.5, the lemma follows from (3.3.20). ⊙ Lemma . The map ( q − , q − ) is the morphism of representations G and F . Proof.
Since q is bijection, then from equation (3.3.16), it follows that(3.3.22) p ( m ) = q − ( t ( m ))We can write transformation G ( t ( a )) of the set t ( A ) as(3.3.23) G ( t ( a )) : t ( m ) → G ( t ( a ))( t ( m ))Since q is bijection, we define transformation(3.3.24) q − ( t ( m )) → q − ( G ( t ( a ))( t ( m )))of the set A / ker t . Transformation (3.3.24) depends on t ( a ) ∈ t ( A ). Since q is bijection, then from equation (3.3.19) it follows that(3.3.25) p ( a ) = q − ( t ( a ))Since, by construction, diagram (5) is commutative, then transformation (3.3.24)coincides with transformation (3.3.17). We can write the equation (3.3.21) as q − (( G ( t ( a )) ...G ( t ( a n )) ω )( t ( m )))=( F ( p ( a )) ...F ( p ( a n )) ω )( p ( m ))(3.3.26)According to the theorem 3.2.5, the lemma follows from (3.3.20), (3.3.22), (3.3.25). ⊙ The statement 3.3.5.9 is corollary of definition 3.3.4 and lemmas 3.3.6 and 3.3.7.Diagram (6) is the simplest case in our proof. Since map r is immersionand diagram (2) is commutative, we identify n ∈ B and t ( m ) when n ∈ Im t .Similarly, we identify corresponding transformations.(3.3.27) g ′ ( r ( t ( a )))( r ( t ( m ))) = r ( G ( t ( a ))( t ( m )))( g ′ ( t ( a )) ...g ′ ( t ( a n )) ω )( t ( m )) = r (( G ( t ( a ) ...G ( t ( a n )) ω )( t ( m ))) Therefore, r = ( r , r ) is morphism of representations G and g (the statement3.3.5.10).To prove the statement 3.3.5.11, we need to show that defined in the proofrepresentation g ′ is congruent with representation g , and operations over transfor-mations are congruent with corresponding operations over End(Ω , B ). g ′ ( r ( t ( a )))( r ( t ( m ))) = r ( G ( t ( a ))( t ( m ))) by (3.3.27)= r ( G ( q ( p ( a )))( q ( p ( m )))) by (3.3.5) , (3.3.6) , = r ◦ q ( F ( p ( a ))( p ( m ))) by (3.3.20)= r ◦ q ◦ p ( f ( a )( m )) by (3.3.15)= t ( f ( a )( m )) by (3.3.4) , i = 2= g ( t ( a ))( t ( m )) by (3.2.2)( G ( t ( a )) ...G ( t ( a n )) ω )( t ( m )) = q ( F ( p ( a ) ...F ( p ( a n )) ω )( p ( m )))= q ( F ( p ( a ) ...p ( a n ) ω )( p ( m )))= q ( F ( p ( a ...a n ω ))( p ( m )))= q ( p ( f ( a ...a n ω )( m ))) (cid:3) From theorem 3.3.5, it follows that we can reduce the problem of studying ofmorphism of representations of Ω -algebra to the case described by diagram(3.4.1) A p / / A / ker t A p / / ∗ f O O A / ker t ∗ F O O Theorem . We can supplement diagram (3.4.1) with representation F of Ω -algebra A into Ω -algebra A / ker t such that diagram (3.4.2) A p / / A / ker t A p / / ∗ f O O ∗ ②②②②②②②②② F < < ②②②②②②②②② A / ker t ∗ F O O is commutative. The set of transformations of representation F and the set oftransformations of representation F coincide. Proof.
To prove theorem it is enough to assume F ( a ) = F ( p ( a )) .4. Reduced Morphism of Representations 31 Since map p is surjection, then Im F = Im F . Since p and F are homomorphismsof Ω -algebra, then F is also homomorphism of Ω -algebra. (cid:3) Theorem 3.4.1 completes the series of theorems dedicated to the structure ofmorphism of representations Ω -algebra. From these theorems it follows that wecan simplify task of studying of morphism of representations Ω -algebra and notgo beyond morphism of representations of form(id : A → A , r : A → B ) Definition . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A and g : A ∗ / / B be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B . Let (id : A → A , r : A → B ) be morphism of representations. In this case we identify morphism (id , r ) ofrepresentations of Ω -algebra and corresponding homomorphism r of Ω -algebraand the homomorphism r is called reduced morphism of representations .We will use diagram (3.4.3) A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / B g ( a ) (cid:15) (cid:15) A r / / B A f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ g ; ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ to represent reduced morphism r of representations of Ω -algebra. From diagramit follows (3.4.4) r ◦ f ( a ) = g ( a ) ◦ r We also use diagram A r / / B A ∗ ❇❇❇❇ f ` ` ❇❇❇❇ ∗ ⑤⑤⑤⑤ g > > ⑤⑤⑤⑤ instead of diagram (3.4.3) . (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A and g : A ∗ / / B be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B . The map r : A → B
22 3. Representation of Universal Algebra is reduced morphism of representations iff (3.4.5) r ( f ( a )( m )) = g ( a )( r ( m )) Proof.
The equality (3.4.5) follows from the equality (3.4.4). (cid:3)
Theorem . Let the map r : A → B be reduced morphism from representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A into representation g : A ∗ / / B of Ω -algebra A . If representation f is effective, then the map r ∗ : End(Ω ; A ) → End(Ω ; B ) defined by equation (3.4.6) r ∗ ( f ( a )) = g ( a ) is homomorphism of Ω -algebra. Proof.
The theorem follows from the theorem 3.2.9, if we assume h = id . (cid:3) Theorem . Let representations f : A ∗ / / A g : A ∗ / / B of Ω -algebra A be single transitive representations. There exists reduced morphismof representations from f into g r : A → B Proof.
Let us choose element m ∈ A and element n ∈ B . To define map r , consider following diagram A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / B g ( a ) (cid:15) (cid:15) (1) A r / / B A f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ g = ssssssssssssssssssssssss ssssssssssssssssssssssss From commutativity of diagram (1), it follows that r ( f ( a )( m )) = g ( a )( r ( m ))For arbitrary m ′ ∈ A , we defined unambiguously a ∈ A such that m ′ = f ( a )( m ).Therefore, we defined map r which satisfies to equation (3.4.4). (cid:3) .4. Reduced Morphism of Representations 33 Theorem . Let representations f : A ∗ / / A g : A ∗ / / B of Ω -algebra A be single transitive representations. Reduced morphism of repre-sentations from f into g r : A → B is unique up to choice of image n = r ( m ) ∈ B of given element m ∈ A . Proof.
From proof of theorem 3.4.5, it follows that choice of elements m ∈ A , n ∈ B uniquely defines the map r . (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / B be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B . Let N be such congruence on Ω -algebra B that any transformation h ∈ End(Ω , B ) is coordinated withcongruence N . There exists representation f : A ∗ / / B/N of Ω -algebra A in Ω -algebra B/N and the map nat N : B → B/N is reduced morphism of representation f into the representation f B j / / B/NA ∗ ❃❃❃ f _ _ ❃❃❃❃ ∗ ④④④④ f = = ④④④ j = nat N Proof.
We can represent any element of the set
B/N as j ( a ), a ∈ B .According to the theorem [14]-II.3.5, there exists a unique Ω -algebra structureon the set B/N . If ω ∈ Ω ( p ), then we define operation ω on the set B/N accordingto the equality (3) on page [14]-59(3.4.7) j ( b ) ...j ( b p ) ω = j ( b ...b p ω )As well as in the proof of the theorem 3.3.5, we can define the representation f : A ∗ / / B/N using equality(3.4.8) f ( a ) ◦ j ( b ) = j ( f ( a ) ◦ b )We can represent the equality (3.4.8) using diagram(3.4.9) B j / / B/NB f ( a ) O O j / / B/N f ( a ) O O See the definition of congruence on p. [14]-57.
Let ω ∈ Ω ( p ). Since the maps f ( a ) and j are homomorphisms of Ω -algebra, then(3.4.10) f ( a ) ◦ ( j ( b ) ...j ( b p ) ω ) = f ( a ) ◦ j ( b ...b p ω )= j ( f ( a ) ◦ ( b ...b p ω ))= j (( f ( a ) ◦ b ) ... ( f ( a ) ◦ b p ) ω )= j ( f ( a ) ◦ b ) ...j ( f ( a ) ◦ b p ) ω = ( f ( a ) ◦ j ( b )) ... ( f ( a ) ◦ j ( b p )) ω From the equality (3.4.10), it follows that the map f ( a ) is homomorphism of Ω -algebra. From the equality (3.4.8), according to the definition 3.4.2, it followsthat the map j is reduced morphism of the representation f into the representation f . (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / B be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B . Let N be such congruence on Ω -algebra B that any transformation h ∈ End(Ω , B ) is coordinated with congruence N . Consider category A whose objects are reduced morphisms of representations R : B → S ker R ⊇ NR : B → S ker R ⊇ N where S , S are Ω -algebras and g : A ∗ / / S g : A ∗ / / S are representations of Ω -algebra A . We define morphism R → R to be reducedmorphism of representations h : S → S making following diagram commutative S h (cid:15) (cid:15) A ∗ g / / ∗ f / / ∗ g / / B R > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ R ❅❅❅❅❅❅❅❅ S The reduced morphism nat N of representation f into representation f (the theorem3.4.7) is universally repelling in the category A . The statement of lemma is similar to the statement on page [2]-119.
See definition of universal object of category in definition on p. [2]-57. .5. Automorphism of Representation of Universal Algebra 35
Proof.
From the theorem 2.1.6, it follows that there exists and unique themap h for which the following diagram is commutative B/N h (cid:15) (cid:15) A ∗ f ∗ f / / ∗ g / / B j = = ③③③③③③③③ R " " ❊❊❊❊❊❊❊❊❊ S j = nat N ker R ⊇ N Therefore, we can uniquely define the map h using equality(3.4.11) h ( j ( b )) = R ( b )Let ω ∈ Ω ( p ). Since maps R and j are homomorphisms of Ω -algebra, then(3.4.12) h ( j ( b ) ...j ( b p ) ω ) = h ( j ( b ...b p ω )) = R ( b ...b p ω ) = R ( b ) ...R ( b p ) ω = h ( j ( b )) ...h ( j ( b p )) ω From the equality (3.4.12), it follows that the map h is homomorphism of Ω -algebra.Since the map R is reduced morphism of the representation f into the repre-sentation g , then the following equality is satisfied(3.4.13) g ( a )( R ( b )) = R ( f ( a )( b ))From the equality (3.4.11) it follows that(3.4.14) g ( a )( h ( j ( b ))) = g ( a )( R ( b ))From the equalities (3.4.13), (3.4.14) it follows that(3.4.15) g ( a )( h ( j ( b ))) = R ( f ( a )( b ))From the equalities (3.4.11), (3.4.15) it follows that(3.4.16) g ( a )( h ( j ( b ))) = h ( j ( f ( a )( b )))From the equalities (3.4.8), (3.4.16) it follows that(3.4.17) g ( a )( h ( j ( b ))) = h ( f ( a )( j ( b )))From the equality (3.4.17) it follows that the map h is reduced morphism of repre-sentation f into the representation g . (cid:3) Definition . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . The reduced morphism ofrepresentations of Ω -algebra r : A → A such, that r is endomorphism of Ω -algebra is called endomorphism of repre-sentation f . (cid:3) Theorem . Given single transitive representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A , for any a , a ∈ A there exists unique endomorphism r : A → A of representation f such that r ( a ) = a . Proof.
Consider following diagram A r / / A A ∗ ❇❇❇❇ f ` ` ❇❇❇❇ ∗ ⑤⑤⑤⑤ f > > ⑤⑤⑤⑤ Existence of endomorphism is corollary of the theorem 3.2.10. For given p , q ∈ A ,uniqueness of endomorphism follows from the theorem 3.2.11 when r = id. (cid:3) Theorem . Endomorphisms of representation f form semigroup. Proof.
From theorem 3.3.1, it follows that the product of endomorphisms( id, p ), ( id, r ) of the representation f is endomorphism ( id, p ◦ r ) of therepresentation f . (cid:3) Definition . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . The morphism of representa-tions of Ω -algebra r : A → A such, that r is automorphism of Ω -algebra is called automorphism of repre-sentation f . (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . The set of automorphisms ofthe representation f forms group GA ( f ) . Proof.
Let r , p be automorphisms of the representation f . Accordingto definition 3.5.4, maps r , p are automorphisms of Ω -algebra A . Accordingto theorem II.3.2, ([14], p. 57), the map r ◦ p is automorphism of Ω -algebra A . From the theorem 3.3.1 and the definition 3.5.4, it follows that product ofautomorphisms r ◦ p of the representation f is automorphism of the representation f . Let r , p , q be automorphisms of the representation f . The associativity ofproduct of maps r , p , q follows from the chain of equations (( r ◦ p ) ◦ q )( a ) = ( r ◦ p )( q ( a )) = r ( p ( q ( a )))= r (( p ◦ q )( a )) = ( r ◦ ( p ◦ q ))( a )Let r be an automorphism of the representation f . According to definition3.5.4 the map r is automorphism of Ω -algebra A . Therefore, the map r − is To prove the associativity of product I follow to the example of the semigroup from [5], p.20, 21. .5. Automorphism of Representation of Universal Algebra 37 automorphism of Ω -algebra A . The equation (3.2.3) is true for automorphism r of representation. Let m ′ = r ( m ). Since r is automorphism of Ω -algebra, then m = r − ( m ′ ) and we can write (3.2.3) in the form(3.5.1) r ( f ( a ′ )( r − ( m ′ ))) = f ( a ′ )( m ′ )Since the map r is automorphism of Ω -algebra A , then from the equation (3.5.1)it follows that(3.5.2) f ( a ′ )( r − ( m ′ )) = r − ( f ( a ′ )( m ′ ))The equation (3.5.2) corresponds to the equation (3.2.3) for the map r − . Therefore,map r − of the representation f . (cid:3) HAPTER 4 Ω -Group Ω -Algebra Theorem . Let sets A , B be Ω -algebras. Then the set Hom(Ω; A → B ) also is Ω -algebra when for any operations ω ∈ Ω( m ) , ω ∈ Ω( n ) , the followingequality is true (4.1.1) ( a ...a n ω ) ... ( a m ...a mn ω ) ω = ( a ...a m ω ) ... ( a n ...a mn ω ) ω Proof.
According to the theorem 2.2.6, the set B A is Ω-algebra. Let ω ∈ Ω( n ). For maps f , ..., f n ∈ B A , we define the operation ω by the equality(4.1.2) ( f ...f n ω )( x ) = f ( x ) ...f n ( x ) ω Let ω ∈ Ω( m ), ω ∈ Ω( n ). Let maps f , ..., f m ∈ Hom(Ω; A → B ) behomomorphisms from Ω-algebra A to Ω-algebra B . In particular, for any a , ..., a n ∈ A f ( a ...a n ω ) = f ( a ) ...f ( a n ) ω ... = ...f m ( a ...a n ω ) = f m ( a ) ...f m ( a n ) ω (4.1.3)Since we require that the map f ...f m ω is homomorphism from Ω-algebra A toΩ-algebra B , then(4.1.4) ( f ...f m ω )( a ...a n ω ) = (( f ...f m ω )( a )) ... (( f ...f m ω )( a n )) ω According to the definition (4.1.2), the equality f ( a ...a n ω ) ...f m ( a ...a n ω ) ω = ( f ( a ) ...f m ( a ) ω ) ... ( f ( a n ) ...f m ( a n ) ω ) ω (4.1.5)follows from the equality (4.1.4). The equality( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) ... ( f m ( a ) ...f m ( a n ) ω ) ω = ( f ( a ) ...f m ( a ) ω ) ... ( f ( a n ) ...f m ( a n ) ω ) ω (4.1.6)follows from the equalities (4.1.3), (4.1.5). Let(4.1.7) a ij = f i ( a j )The equality (4.1.1) follows from the equalities (4.1.6), (4.1.7). (cid:3) Not every Ω-algebra satisfies to conditions of the theorem 4.1.1.
Theorem . Let G , G be Abelian semigroups. The set Hom( { + } ; G → G ) also is Abelian semigroup. Proof.
Since sum in Abelian semigroup is commutative and associative, thenthe theorem follows from the theorem 4.1.1. (cid:3)
Theorem . The set
End( { + } ; A ) of endomorphism of Abelian group A is Abelian group. Proof.
The theorem follows from theorems 2.2.13, 4.1.2 and from the state-ment that the equation x + a = 0has root in Abelian group. (cid:3) Theorem . Let D , D be rings. In general, the set Hom( { + , ∗} ; D → D ) is not ring. Proof.
There are two operations in the ring: sum which is commutative andassociative and product which is distributive over sum. According to the theorem4.1.1, sum and product must satisfy the equality(4.1.8) a a + a a = ( a + a )( a + a )However right hand side of the equality (4.1.8) has form( a + a )( a + a ) = ( a + a ) a + ( a + a ) a = a a + a a + a a + a a Therefore, the equality (4.1.8) is not true. (cid:3)
Analysis of theorems 4.1.2, 4.1.4 tells us that the set of Ω-algebras which sat-isfies to conditions of the theorem 4.1.1, is small.
Question . Is there a universal algebra which is different from the Abeliansemigroup and satisfies to conditions of the theorem 4.1.1? (cid:3)
From our experience, it follows that certain Ω-algebras contain an operationwhich alone generates semigroup. So we change the statement of the theorem 4.1.1.
Theorem . Let sets A , B be Ω -algebras. Let ω ∈ Ω( n ) . Then the set Hom(Ω; A → B ) is closed with respect to operation ω when the following equalityis true ( a ...a n ω ) ... ( a n ...a nn ω ) ω = ( a ...a n ω ) ... ( a n ...a nn ω ) ω (4.1.9) Proof.
In general, we consider the set Hom( { ω } ; A → B ). The theoremfollows from the theorem 4.1.1. (cid:3) Theorem . Let the operation ω ∈ Ω(2) be commutative and associative.Then the set
Hom(Ω; A → B ) is closed with respect to operation ω . Proof.
Since the operation ω ∈ Ω(2) is commutative and associative, then( a a ω )( a a ω ) ω = a ( a ( a a ω ) ω ) ω = a (( a a ω ) a ω ) ω = a (( a a ω ) a ω ) ω = a ( a ( a a ω ) ω ) ω = ( a a ω )( a ...a ω ) ω (4.1.10)The theorem follows from the equality (4.1.10) and from the theorem 4.1.6. (cid:3) Theorem . Let the operation ω ∈ Ω(2) have a neutral element and theset
Hom(Ω; A → B ) be closed with respect to operation ω . Then the operation ω is commutative and associative. Proof.
Equalities(4.1.11) abω = ( eaω )( beω ) ω = ( ebω )( aeω ) ω = baω (4.1.12) a ( bcω ) = ( aeω )( bcω ) ω = ( abω )( ecω ) ω = ( abω ) cω follow from equalities (2.4.1), (2.4.2), (4.1.9). Commutativity of the operation ω follows from the equality (4.1.11). Associativity of the operation ω follows from theequality (4.1.12). (cid:3) Question . Is there an operator domain Ω , for which following statementsare true? • The set
Hom(Ω; A → B ) is closed with respect to operation ω ∈ Ω(2) . • The operation ω is not commutative or associative. (cid:3) Ω -Group Let the operation ω ∈ Ω (2) which is commutative and associative be definedin Ω -algebra A . We identify the operation ω and sum. We use the symbol + todenote sum. Let Ω = Ω \ { + } Definition . A map f : A → B of Ω -algebra A into Ω -algebra B is called additive map if f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) Let us denote A ( A → B ) set of additive maps of Ω -algebra A into Ω -algebra B . (cid:3) Theorem . A ( A → B ) = Hom( { + } ; A → B ) . Proof.
The theorem follows from definitions 2.2.9, 4.2.1. (cid:3)
Definition . A map g : A n → A is called polyadditive map if for any i , i = 1 , ..., n , f ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ( a , ..., b i , ..., a n ) (cid:3) Theorem . Let the map f : A ∗ / / A be the effective representation of Ω -algebra A in Abelian semigroup A . On the set A there is a structure of Abelian semigroup (4.2.1) f ( a + b )( a ) = f ( a )( a ) + f ( b )( a )4.2.4.2: The representation f is additive map. .2. Ω-Group 41 The map f is the representation of Ω -algebra A , where Ω = Ω ∪ { + } . Proof.
According to theorems 2.2.13, 4.1.7, the set End( { + } , A ) is Abeliansemigroup. Since the representation f is effective, then, according to theorems3.1.3, 4.1.1, for any A -numbers a , b , there exists unique A -number c such that(4.2.2) f ( c )( m ) = f ( a )( m ) + f ( b )( m )Based on the equality (4.2.2), we introduce the sum of A -numbers(4.2.3) c = a + b The equality (4.2.1) follows from equalities (4.2.2), (4.2.3).
Lemma . The sum of A -numbers is commutative. Proof.
Since the sum of A -numbers is commutative, then the equality f ( a + b )( a ) = f ( a )( a ) + f ( b )( a ) = f ( b )( a ) + f ( a )( a )= f ( b + a )( a )(4.2.4)follows from the equality (4.2.1). The lemma follows from the equality (4.2.4). ⊙ Lemma . The sum of A -numbers is associative. Proof.
Since the sum of A -numbers is associative, then the equality f (( a + b ) + c )( a ) = f ( a + b )( a ) + f ( c )( a )= ( f ( a )( a ) + f ( b )( a )) + f ( c )( a )= f ( a )( a ) + ( f ( b )( a ) + f ( c )( a ))= f ( a )( a ) + f ( b + c )( a )= f ( a + ( b + c ))( a )(4.2.5)follows from the equality (4.2.1). The lemma follows from the equality (4.2.5). ⊙ The statement 4.2.4.1 follows from the equality (4.2.3), from lemmas 4.2.5,4.2.6 and the definition 2.4.4.The statement 4.2.4.2 follows from the equality (4.2.3). The statement 4.2.4.3follows from the statement 4.2.4.2, since the map f is homomorphism of Ω-algebra. (cid:3) Theorem . Let ω ∈ Ω( n ) , ω ∈ Ω( m ) . The map (4.2.6) g : a i → a ...a n ω is compatible with the operation ω when the following equality is true (4.2.7) a ... ( a i ...a im ω ) ...a n ω = ( a ...a i ...a n ω ) ... ( a ...a im ...a n ω ) ω Proof.
The equality g ( a i ...a im ω ) = a ... ( a i ...a im ω ) ...a n ω = ( a ...a i ...a n ω ) ... ( a ...a im ...a n ω ) ω = g ( a i ) ...g ( a im ) ω (4.2.8)follows from equalities (4.2.7), (4.2.6). The theorem follows from the definition2.2.9 and the equality (4.2.8). (cid:3) The equality (4.2.7) is less restrictive than the equality (4.1.1). However, likein the case of the theorem 4.1.1, the majority of operations of universal algebra do not satisfy to the theorem 4.2.7. Since the addition satisfies to the theorem 4.1.1,we expect that there are conditions when addition satisfies to the theorem 4.2.7.
Theorem . Let ω ∈ Ω( n ) . Since the map (4.2.9) g : a i → a ...a n ω is compatible with the addition for any i , then the operation ω is polyadditive map. Proof.
According to the theorem 4.2.7, since the map (4.2.9) is compatiblewith the sum, then following equality is true(4.2.10) a ... ( a i + a i ) ...a n ω = ( a ...a i ...a n ω ) + ( a ...a i ...a n ω )The theorem follows from the equality (4.2.10) and the definition 4.2.3. (cid:3) Theorem . Let ω ∈ Ω( n ) be polyadditive map. The operation ω isdistributive over addition a ... ( a i + b i ) ...a n ω = a ...a i ...a n ω + a ...b i ...a n ω i = 1 , ..., n Proof.
The theorem follows from the theorem 4.2.8. (cid:3)
Definition . Let sum which is not necessarily commutative be definedin Ω -algebra A . We use the symbol + to denote sum. Let Ω = Ω \ { + } If Ω -algebra A is group relative to sum and any operation ω ∈ Ω is polyadditivemap, then Ω -algebra A is called Ω -group . If Ω -group A is associative group rel-ative to sum, then Ω -algebra A is called associative Ω -group . If Ω -group A isAbelian group relative to sum, then Ω -algebra A is called Abelian Ω -group . (cid:3) Example . The group is the most evident example of Ω -group.A ring is Ω -group.Biring of matrices over division ring ([8]) is Ω -group. (cid:3) Remark . Bourbaki consider similar definition, namely group with op-erators (see the definition 2 in [16] on page 31). (cid:3)
Theorem . Let A be Ω -group. Let ω ∈ Ω( n ) . The map g : a i → a ...a n ω is endomorphism of additive group A . Proof.
The theorem follows from the theorem 4.2.9 and the definition 4.2.10. (cid:3)
Theorem . Let the map g : A ∗ / / A be the representation of Ω -group A . Then the map (cid:16) a i → a ...a n ω f ( a i ) → f ( a ) ...f ( a n ) ω (cid:17) is morphism of the representation f of additive group A . Proof.
The theorem follows from the theorem 4.2.13 and definitions 3.1.1,3.2.2. (cid:3) .3. Cartesian Product of Representations 43
Lemma . Let A = Y i ∈ I A i be Cartesian product of family of Ω -algebras ( A i , i ∈ I ) . For each i ∈ I , let theset End(Ω , A i ) be Ω -algebra. Then the set (4.3.1) ◦ A = { f ∈ End(Ω ; A ) : f ( a i , i ∈ I ) = ( f i ( a i ) , i ∈ I ) } is Cartesian product of Ω -algebras End(Ω , A i ) . Proof.
According to the definition (4.3.1), we can represent a map f ∈ ◦ A as tuple f = ( f i , i ∈ I )of maps f i ∈ End(Ω ; A i ). According to the definition (4.3.1),( f i , i ∈ I )( a i , i ∈ I ) = ( f i ( a i ) , i ∈ I )Let ω ∈ Ω be n-ary operation. We define operation ω on the set ◦ A usingequality(( f i , i ∈ I ) ... ( f ni , i ∈ I ) ω )( a i , i ∈ I ) = (( f i ( a i )) ... ( f ni ( a i )) ω, i ∈ I ) (cid:3) Definition . Let A be category of Ω -algebras. Let A be category of Ω -algebras. We define category A ( A ) of representations . Representations of Ω -algebra in Ω -algebra are objects of this category. Morphisms of correspondingrepresentations are morphisms of this category. (cid:3) Theorem . In category A ( A ) there exists product of single transitiverepresentations of Ω -algebra in Ω -algebra. Proof.
For j = 1, 2, let P j = Y i ∈ I B ji be product of family of Ω j -algebras { B ji , i ∈ I } and for any i ∈ I the map t ji : P j / / B ji be projection onto factor i . For each i ∈ I , let h i : B i ∗ / / B i be single transitive B i -representation in Ω -algebra B i .Let b ∈ P . According to the statement 2.3.3.3, we can represent P -number b as tuple of B i -numbers(4.3.2) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ B i Let b ∈ P . According to the statement 2.3.3.3, we can represent P -number b astuple of B i -numbers(4.3.3) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ B i Lemma . For each i ∈ I , consider diagram of maps (4.3.4) P t i / / (1) B i P t i / / g % - B i h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ P t i / / g ( b ) ` ` ❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅ B i h i ( b i ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ Let map g : P → End(Ω ; P ) be defined by the equality (4.3.5) g ( b )( b ) = ( h i ( b i )( b i ) , i ∈ I ) Then the map g is single transitive P -representation in Ω -algebra P g : P ∗ / / P The map ( t i , t i ) is morphism of representation g into representation h i . Proof. h i ( b i ) is homomorphism of Ω -algebra B i . According to the theorem 2.3.6, from commutativity of thediagram (1) for each i ∈ I , it follows that the map g ( b ) : P → P defined by the equality (4.3.5) is homomorphism of Ω -algebra P .4.3.4.2: According to the definition 3.1.1, the set End(Ω ; B i ) is Ω -algebra.According to the lemma 4.3.1, the set ◦ P ⊆ End(Ω ; P ) is Ω -algebra.4.3.4.3: According to the definition 3.1.1, the map h i : B i → End(Ω ; B i )is homomorphism of Ω -algebra. According to the theorem 2.3.6, themap g : P → End(Ω ; P )defined by the equality g ( b ) = ( h i ( b i ) , i ∈ I )is homomorphism of Ω -algebra.According to statements 4.3.4.1, 4.3.4.3 and to the definition 3.1.1, the map g is P -representation in Ω -algebra P .Let b , b ∈ P . According to the statement 2.3.3.3, we can represent P -numbers b , b as tuples of B i -numbers(4.3.6) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ B i b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ B i According to the theorem 3.1.9, since the representation h i is single transitive,then there exists unique B i -number b i such that b i = h i ( b i )( b i ) .3. Cartesian Product of Representations 45 According to definitions (4.3.2), (4.3.5), (4.3.6), there exists unique P -number b such that b = g ( b )( b )According to the theorems 3.1.9, the representation g is single transitive.From commutativity of diagram (1) and from the definition 3.2.2, it followsthat map ( t i , t i ) is morphism of representation g into representation h i . ⊙ Let(4.3.7) d = g ( b )( b ) d = ( d i , i ∈ I )From equalities (4.3.5), (4.3.7), it follows that(4.3.8) d i = h i ( b i )( b i )For j = 1, 2, let R j be other object of category A j . For any i ∈ I , let themap r i : R / / B i be morphism from Ω -algebra R into Ω -algebra B i . According to the definition2.3.1, there exists a unique morphism of Ω -algebra s : R / / P such that following diagram is commutative(4.3.9) P t i / / B i t i ( s ) = r i R s O O r i K K Let a ∈ R . Let(4.3.10) b = s ( a ) ∈ P From commutativity of the diagram (4.3.9) and statements (4.3.10), (4.3.2), itfollows that(4.3.11) b i = r i ( a )Let f : R ∗ / / R be single transitive R -representation in Ω -algebra R . According to the theorem3.2.11, a morphism of Ω -algebra r i : R / / B i such that map ( r i , r i ) is morphism of representations from f into h i is uniqueup to choice of image of R -number a . According to the remark 3.2.7, in diagram of maps(4.3.12) B i B i h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ B i h i ( b i ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ R r i Q Q f R f ( a ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r i K K (2) R r i M M diagram (2) is commutative. According to the definition 2.3.1, there exists a uniquemorphism of Ω -algebra s : R / / P such that following diagram is commutative(4.3.13) P t i / / B i t i ( s ) = r i R s O O r i K K Let a ∈ R . Let(4.3.14) b = s ( a ) ∈ P From commutativity of the diagram (4.3.13) and statements (4.3.14), (4.3.3), itfollows that(4.3.15) b i = r i ( a )Let(4.3.16) c = f ( a )( a )From commutativity of the diagram (2) and equalities (4.3.8), (4.3.15), (4.3.16), itfollows that(4.3.17) d i = r i ( c )From equalities (4.3.8), (4.3.17), it follows that(4.3.18) d = s ( c )and this is consistent with commutativity of the diagram (4.3.13). .3. Cartesian Product of Representations 47 For each i ∈ I ,we join diagrams of maps (4.3.4), (4.3.9), (4.3.13), (4.3.12) P t i / / (1)(3) B i P t i / / g % - B i h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ P t i / / g ( b ) ` ` ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ B i h i ( b i ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ R s O O r i Q Q f R s O O f ( a ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r i K K (2) R s O O r i M M From equalities (4.3.7), (4.3.14) and from equalities (4.3.16), (4.3.18), commuta-tivity of the diagram (3) follows. Therefore, the map ( s , s ) is morphism ofrepresentations from f into g . According to the theorem 3.2.11, the morphism( s , s ) is defined unambiguously, since we require (4.3.18).According to the definition 2.3.1, the representation g and family of morphismsof representation (( t i , t i ) , i ∈ I ) is product in the category A ( A ) . (cid:3) Definition . Let A , ..., A n , A be Ω -algebras. Let B , ..., B n , B be Ω -algebras. Let, for any k , k = 1 , ..., n , f k : A k ∗ / / B k be representation of Ω -algebra A k in Ω -algebra B k . Let f : A ∗ / / B be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B . The map (cid:16) r k : A k → A k = 1 , ..., n r : B × ... × B n → B (cid:17) is called polymorphism of representations f , ..., f n into representation f , if,for any k , k = 1 , ..., n , provided that all variables except variables a k ∈ A k , b k ∈ B k have given value, the map ( r k , r ) is a morphism of representation f k into representation f .If f = ... = f n , then we say that the map (( r ,k , k = 1 , ..., n ) r ) is polymor-phism of representation f into representation f .If f = ... = f n = f , then we say that the map (( r ,k , k = 1 , ..., n ) r ) ispolymorphism of representation f . (cid:3) We also say that the map r = ( r , r ) is polymorphism of representations inΩ -algebras B , ..., B n into representation in Ω -algebra B . Theorem . Let the map (( r ,k , k = 1 , ..., n ) r ) be polymorphism ofrepresentations f , ..., f n into representation f . For any k , k = 1 , ..., n , the map ( r k , r ) satisfies to the equality (4.3.19) r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., m n ) = f ( r k ( a k ))( r ( m , ..., m n )) Let ω ∈ Ω ( p ) . For any k , k = 1 , ..., n , the map r k satisfies to the equality (4.3.20) r k ( a k · ...a k · p ω ) = r k ( a k · ) ...r k ( a k · p ) ω Let ω ∈ Ω ( p ) . For any k , k = 1 , ..., n , the map r satisfies to the equality (4.3.21) r ( m , ..., m k · ...m k · p ω , ..., m n )= r ( m , ..., m k · , ..., m n ) ...r ( m , ..., m k · p , ..., m n ) ω Proof.
The equality (4.3.19) follows from the definition 4.3.5 and the equality(3.2.3). The equality (4.3.20) follows from the statement that, for any k , k = 1,..., n , provided that all variables except the variable x k ∈ A k have given value, themap r is homomorphism of Ω -algebra A k into Ω -algebra A . The equality (4.3.21)follows from the statement that, for any k , k = 1, ..., n , provided that all variablesexcept the variable m k ∈ B k have given value, the map r is homomorphism of Ω -algebra B k into Ω -algebra B . (cid:3) Definition . Let A be Ω -algebra. Let A be category of Ω -algebras.We define category A ( A ) of representations of Ω -algebra A in Ω -algebra.Representations of Ω -algebra A in Ω -algebra are objects of this category. Reducedmorphisms of corresponding representations are morphisms of this category. (cid:3) Theorem . In category A ( A ) there exists product of effective represen-tations of Ω -algebra A in Ω -algebra and the product is effective representationof Ω -algebra A . Proof.
Let A = Y i ∈ I A i be product of family of Ω -algebras { A i , i ∈ I } and for any i ∈ I the map t i : A / / A i be projection onto factor i . For each i ∈ I , let h i : A ∗ / / A i be effective A -representation in Ω -algebra A i .Let b ∈ A . Let b ∈ A . According to the statement 2.3.3.3, we can represent A -number b as tuple of A i -numbers(4.4.1) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ A i .4. Reduced Cartesian Product of Representations 49 Lemma . For each i ∈ I , consider diagram of maps (4.4.2) A t i / / (1) A i A g % - h i - ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ A t i / / g ( b ) ` ` ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ A i h i ( b ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ Let map g : A → End(Ω ; A ) be defined by the equality (4.4.3) g ( b )( b ) = ( h i ( b )( b i ) , i ∈ I ) Then the map g is effective A -representation in Ω -algebra A g : A ∗ / / A The map t i is reduced morphism of representation g into representation h i . Proof. h i ( b ) is homomorphism of Ω -algebra A i . According to the theorem 2.3.6, from commutativity of thediagram (1) for each i ∈ I , it follows that the map g ( b ) : A → A defined by the equality (4.4.3) is homomorphism of Ω -algebra A .4.4.3.2: According to the definition 3.1.1, the set End(Ω ; A i ) is Ω -algebra.According to the lemma 4.3.1, the set ◦ A ⊆ End(Ω ; A ) is Ω -algebra.4.4.3.3: According to the definition 3.1.1, the map h i : A → End(Ω , A i )is homomorphism of Ω -algebra. According to the theorem 2.3.6, themap g : A → End(Ω ; A )defined by the equality g ( b ) = ( h i ( b ) , i ∈ I )is homomorphism of Ω -algebra.According to statements 4.4.3.1, 4.4.3.3 and to the definition 3.1.1, the map g is A -representation in Ω -algebra A .For any i ∈ I , according to the definition 3.1.2, A -number a generatesunique transformation(4.4.4) b i = h i ( b )( b i )Let b , b ∈ A . According to the statement 2.3.3.3, we can represent A -numbers b , b as tuples of A i -numbers(4.4.5) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ A i b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ A i According to the definition (4.4.3) of the representation g , from equalities (4.4.4),(4.4.5), it follows that A -number a generates unique transformation(4.4.6) b = ( h i ( b )( b i ) , i ∈ I ) = g ( b )( b )According to the definition 3.1.2, the representation g is effective.From commutativity of diagram (1) and from the definition 3.2.2, it followsthat map t i is reduced morphism of representation g into representation h i . ⊙ Let(4.4.7) d = g ( b )( b ) d = ( d i , i ∈ I )From equalities (4.4.3), (4.4.7), it follows that(4.4.8) d i = h i ( b )( b i )Let R be other object of category A . Let f : A ∗ / / R be effective A -representation in Ω -algebra R . For any i ∈ I , let there existmorphism r i : R / / A i of representations from f into h i . According to the remark 3.2.7, in diagram ofmaps(4.4.9) A i A h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ f (cid:28) $ ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ A i h i ( b ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ R f ( b ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r i K K (2) R r i M M diagram (2) is commutative. According to the definition 2.3.1, there exists a uniquemorphism of Ω -algebra s : R / / A such that following diagram is commutative(4.4.10) A t i / / A i t i ( s ) = r i R s O O r i K K Let a ∈ R . Let(4.4.11) b = s ( a ) ∈ A From commutativity of the diagram (4.4.10) and statements (4.4.11), (4.4.1), itfollows that(4.4.12) b i = r i ( a )Let(4.4.13) c = f ( a )( a )From commutativity of the diagram (2) and equalities (4.4.8), (4.4.12), (4.4.13), itfollows that(4.4.14) d i = r i ( c )From equalities (4.4.8), (4.4.14), it follows that(4.4.15) d = s ( c )and this is consistent with commutativity of the diagram (4.4.10).For each i ∈ I ,we join diagrams of maps (4.4.2), (4.4.10), (4.4.9) A t i / / (1)(3) A i A h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ g $ , f * A t i / / g ( b ) ` ` ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ A i h i ( b ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ R s O O f ( b ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r i K K (2) R s O O r i M M From equalities (4.4.7), (4.4.11) and from equalities (4.4.13), (4.4.15), commuta-tivity of the diagram (3) follows. Therefore, the map s is reduced morphism ofrepresentations from f into g . According to the definition 3.4.2, the map s ishomomorphism of Ω algebra. According to the theorem 2.3.3 and to the definition2.3.1, the reduced morphism s is defined unambiguously.According to the definition 2.3.1, the representation g and family of morphismsof representation ( t i , i ∈ I ) is product in the category A ( A ) . (cid:3) Definition . Let A , B , ..., B n , B be universal algebras. Let, for any k , k = 1 , ..., n , f k : A ∗ / / B k be effective representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B k . Let f : A ∗ / / B be effective representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B . The map r : B × ... × B n → B is called reduced polymorphism of representations f , ..., f n into represen-tation f , if, for any k , k = 1 , ..., n , provided that all variables except the variable x k ∈ B k have given value, the map r is a reduced morphism of representation f k into representation f .If f = ... = f n , then we say that the map r is reduced polymorphism ofrepresentation f into representation f .If f = ... = f n = f , then we say that the map r is reduced polymorphism ofrepresentation f . (cid:3) Theorem . Let the map r be reduced polymorphism of effective represen-tations f , ..., f n into effective representation f . • For any k , k = 1 , ..., n , the map r satisfies to the equality (4.4.16) r ( m , ..., f k ( a )( m k ) , ..., m n ) = f ( a )( r ( m , ..., m n )) • For any k , l , k = 1 , ..., n , l = 1 , ..., n , the map r satisfies to theequality (4.4.17) r ( m , ..., f k ( a )( m k ) , ..., m l , ..., m n )= r ( m , ..., m k , ..., f l ( a )( m l ) , ..., m n ) • Let ω ∈ Ω ( p ) . For any k , k = 1 , ..., n , the map r satisfies to theequality (4.4.18) r ( m , ..., m k · ...m k · p ω , ..., m n )= r ( m , ..., m k · , ..., m n ) ...r ( m , ..., m k · p , ..., m n ) ω Proof.
The equality (4.4.16) follows from the definition 4.4.4 and the equal-ity (3.4.4). The equality (4.4.17) follows from the equality (4.4.16). The equality(4.4.18) follows from the statement that, for any k , k = 1, ..., n , provided that allvariables except the variable m k ∈ B k have given value, the map r is homomor-phism of Ω -algebra B k into Ω -algebra B . (cid:3) We also say that the map r is reduced polymorphism of representations in Ω -algebras B , ..., B n into representation in Ω -algebra B . Ω -Group Let the map f : A ∗ / / B be the representation of Ω -algebra A in Ω algebra B . According to the theorem3.5.3, the set End( A (Ω ); B ) is semigroup. At the same time (4.5.1) End( A (Ω ); B ) ⊆ End(Ω ; B )According to the definition 3.1.1, the set End(Ω , B ) is Ω -algebra. However, thestatement (4.5.1) does not imply that the set End( A (Ω ); B ) is Ω -algebra.To understand what is condition when the set End( A (Ω ); B ) is Ω -algebra,we consider connection between the set of representations of Ω -algebra A in Ω -algebra B and the set of reduced morphisms of these representations. In the statement (4.5.1), I designated Ω category of Ω -algebras and A (Ω ) category ofrepresentations of Ω -algebra A in Ω -algebra. .5. Multiplicative Ω-Group 53 Theorem . Let the map r : B → B be reduced endomorphism of the representation f : A ∗ / / B of Ω -algebra A in Ω algebra B . The map (4.5.2) rf : a ∈ A → r ◦ f ( a ) ∈ End(Ω ; B ) is representation of Ω -algebra A in Ω algebra B iff, on the set f ( A ) ⊆ End(Ω , B ) ,the product ◦ of maps is distributive on the left over any operation ω ∈ Ω (4.5.3) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a p ) ω ) = ( r ◦ f ( a )) ... ( r ◦ f ( a p )) ω Proof.
According to the definition 3.1.1, the map f ( a ) is emdomorphism ofΩ -algebra B . According to definitions 3.2.2, 3.4.2, the map r is emdomorphism ofΩ -algebra B . Therefore, the map r ◦ f ( a ) is emdomorphism of Ω -algebra B .4.5.1.1: According to the definition 3.1.1, map rf is representation of Ω -algebra A in Ω algebra B iff the map rf is homomorphism of Ω -algebra.4.5.1.2: The statement 4.5.1.1 means that, for any operation ω ∈ Ω , the follow-ing equality is true r ◦ f ( a ...a p ω ) = ( rf )( a ...a p ω ) = (( rf )( a )) ... (( rf )( a p )) ω = ( r ◦ f ( a )) ... ( r ◦ f ( a p )) ω (4.5.4) Since the map f is representation of Ω -algebra A in Ω algebra B , then,according to the definition 3.1.1, the map f is homomorphism of Ω -algebra(4.5.5) r ◦ f ( a ...a p ω ) = r ◦ ( f ( a ) ...f ( a p ) ω )The equality (4.5.3) follows from equalities (4.5.4), (4.5.5).The theorem follows from the statement 4.5.1.2. (cid:3) Theorem . Let the map f : A ∗ / / B be the representation of Ω -algebra A in Ω algebra B . Let (4.5.6) f ( A ) = End( A (Ω ); B )4.5.2.1: The product in semigroup
End( A (Ω ); B ) is commutative. The product ◦ in semigroup End( A (Ω ); B ) generates the product ∗ in Ω -algebra A such that (4.5.7) f ( a ∗ b ) = f ( a ) ◦ f ( b )4.5.2.3: The semigroup
End( A (Ω ); B ) is Ω -algebra. Proof.
Let a map h be endomorphism of the representation f . Accordingto the statement (4.5.6), there exists b ∈ A such that h = f ( b ). Therefore, theequality(4.5.8) f ( a ) ◦ f ( b ) = f ( b ) ◦ f ( a )follows from the equality (3.4.4). According to the statement (4.5.6), maps f ( a ), f ( b ) are endomorphisms of the representation f . Therefore, the product ◦ in semi-group End( A (Ω ); B ) is commutative. According to the theorem 3.5.3, the product of endomorphisms f ( a ), f ( b ) ofthe representation f is endomorphism h of the representation f . According to thestatement (4.5.6), there exists c ∈ A such that h = f ( c ). Binary operation ∗ on theset A is defined by the equality c = a ∗ b Therefore, the statement 4.5.2.2 is true.Let maps h , ..., h p be endomorphism of the representation f . According tothe statement (4.5.6), there exist A -numbers a , ..., a p such that h = f ( a ) ... h n = f ( a n )Since the map f is representation of Ω -algebra A in Ω algebra B , then, accordingto the definition 3.1.1, the map f is homomorphism of Ω -algebra A (4.5.9) h ...h p ω = f ( a ) ...f ( a p ) ω = f ( a ...a p ω )According to the statement (4.5.6), h ...h p ω ∈ End( A (Ω ); B ). Therefore, thestatement 4.5.2.3 is true. (cid:3) According to the theorem 4.5.2, if the statement (4.5.6) is satisfied, then theset End( A (Ω ); B ) is equiped by two algebraic structures. Namely, the setEnd( A (Ω ); B ) is semigroup and at the same time this set is Ω -algebra. Sim-ilar statement is true for Ω -algebra A . However, we cannot say that product inΩ -algebra A distributive over any operation ω ∈ Ω (see the theorem 4.5.1). Theorem . Let the map f : A ∗ / / B be the representation of Ω -algebra A in Ω algebra B . and f ( A ) = End( A (Ω ); B ) The product ∗ defined in Ω -algebra A is distributive over any operation ω ∈ Ω iff the map (4.5.10) f ( b ∗ a ) : a ∈ A → f ( b ∗ a ) ∈ End(Ω ; B ) is representation of Ω -algebra A in Ω algebra B Proof.
According to the statement 4.5.2.2, it does not matter for us whetherwe are considering Ω -algebra A or we are considering Ω -algebra End( A (Ω ); B ).The theorem follows from the definition (4.5.7) of product ∗ in Ω -algebra A , aswell it follows from the theorem 4.5.1 and statements 4.5.2.1, 4.5.2.3. (cid:3) In the theorem 4.5.3, we see universal algebra similar to Ω-group, however thisalgebra is little different. Since this universal algebra plays an important role inrepresentation theory, I introduce definitions 4.5.4, 4.5.5.
Definition . Let product c = a ∗ b be operation of Ω -algebra A . Let Ω = Ω \ {∗} . If Ω -algebra A is group withrespect to product and, for any operation ω ∈ Ω( n ) , the product is distributiveover the operation ω a ∗ ( b ...b n ω ) = ( a ∗ b ) ... ( a ∗ b n ) ω ( b ...b n ω ) ∗ a = ( b ∗ a ) ... ( b n ∗ a ) ω .5. Multiplicative Ω-Group 55 then Ω -algebra A is called multiplicative Ω -group . (cid:3) Definition . If (4.5.11) a ∗ b = b ∗ a then multiplicative Ω -group is called Abelian . (cid:3) Definition . If (4.5.12) a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c then multiplicative Ω -group is called associative . (cid:3) Theorem . Let A , B , ..., B n , B be universal algebras. Let, for any k , k = 1 , ..., n , f k : A ∗ / / B k be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B k . Let f : A ∗ / / B be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B . Let the map r : B × ... × B n → B be reduced polymorphism of representations f , ..., f n into representation f . Theproduct ◦ defined in Ω -algebra f ( A ) is commutative.The representation f : A ∗ / / B permits reduced polymorphism of representations iff following statements are satis-fied The product ◦ defined in Ω -algebra End( A (Ω ); B ) is distributive overany operation ω ∈ Ω f ( a ∗ b ) = f ( a ) ◦ f ( b ) Proof.
Using the equality (4.4.16), we can write an expression(4.5.13) r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., f l ( a l )( m l ) , ..., m n )either in the following form r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., f l ( a l )( m l ) , ..., m n )= f ( a k )( r ( m , ..., m k , ..., f l ( a l )( m l ) , ..., m n ))= f ( a k )( f ( a l )( r ( m , ..., m k , ..., m l , ..., m n )))= ( f ( a k ) ◦ f ( a l ))( r ( m , ..., m k , ..., m l , ..., m n ))(4.5.14)or in the following form r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., f l ( a l )( m l ) , ..., m n )= f ( a l )( r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., m l , ..., m n ))= f ( a l )( f ( a k )( r ( m , ..., m k , ..., m l , ..., m n )))= ( f ( a l ) ◦ f ( a k ))( r ( m , ..., m k , ..., m l , ..., m n ))(4.5.15)Commutativity of the product ◦ follows from the equalities (4.5.14), (4.5.15). (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / B be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B and (4.5.16) f ( A ) = End( A (Ω ); B ) Then the representation f permits reduced polymorphism of representations.Let Ω = Ω \ {∗} . The representation h : A → End(Ω; A ) h ( a ) : b ∈ A → a ∗ b ∈ A of semigroup A in Ω -algebra A exists iff, for any operation ω ∈ Ω( n ) , the productis distributive over the operation ω (4.5.17) a ∗ ( b ...b n ω ) = ( a ∗ b ) ... ( a ∗ b n ) ω (4.5.18) ( b ...b n ω ) ∗ a = ( b ∗ a ) ... ( b n ∗ a ) ω Proof.
According to the definition 3.1.1, equalities (4.5.17), (4.5.18) are trueiff the map h is representation of semigroup A in Ω-algebra A . The same timeequalities (4.5.17), (4.5.18) express distributive law of the product over the opera-tion ω . (cid:3) In Ω -algebra A , we defined the product coordinated with single transitive rep-resentation in Ω -algebra A . We can do such construction in case of any represen-tation with request that a product in Ω -algebra A is defined uniquely. However,in general case, a product may be non commutative. Theorem . Let A ∗ / / B A ∗ / / B A ∗ / / B be effective representations of Abelian multiplicative Ω -group A in Ω -algebras B , B , B . Let Ω -algebra have 2 operations, namely ω ∈ Ω( m ) , ω ∈ Ω( n ) . Theequality (4.5.19) ( a ...a n ω ) ... ( a m ...a mn ω ) ω = ( a ...a m ω ) ... ( a n ...a mn ω ) ω is necessary condition of existence of reduced polymorphism R : B × B → B Proof.
Let a , ..., a p ∈ B , b , ..., b q ∈ B . According to the equality(4.4.18), the expression(4.5.20) r ( a ...a p ω , b ...b q ω )can have 2 values r ( a ...a m ω , b ...b n ω )= r ( a , b ...b n ω ) ...r ( a m , b ...b n ω ) ω = ( r ( a , b ) ...r ( a , b n ) ω ) ... ( r ( a m , b ) ...r ( a m , b n ) ω ) ω (4.5.21) r ( a ...a m ω , b ...b n ω )= r ( a ...a m ω , b ) ...r ( a ...a m ω , b n ) ω = ( r ( a , b ) ...r ( a m , b ) ω ) ... ( r ( a , b n ) ...r ( a m , b n ) ω ) ω (4.5.22) .6. Ω-ring 57 From equalities (4.5.21), (4.5.22), it follows that( r ( a , b ) ...r ( a , b n ) ω ) ... ( r ( a m , b ) ...r ( a m , b n ) ω ) ω = ( r ( a , b ) ...r ( a m , b ) ω ) ... ( r ( a , b n ) ...r ( a m , b n ) ω ) ω (4.5.23)Therefore, the expression (4.5.20) is properly defined iff the equality (4.5.23) is true.Let(4.5.24) a i · j = r ( a i , b j ) ∈ A The equality (4.5.19) follows from equalities (4.5.23), (4.5.24). (cid:3)
Theorem . There exists reduced polymorphism of effective representa-tions of Abelian multiplicative Ω -group in Abelian group. Proof.
Since sum in Abelian group is commutative and associative, then thetheorem follows from the theorem 4.5.9. (cid:3)
Theorem . There is no reduced polymorphism of effective representationsof Abelian multiplicative Ω -group in ring. Proof.
There are two operations in the ring: sum which is commutative andassociative and product which is distributive over sum. According to the theorem4.5.9, the existence of polymorphism of effective representation in the ring impliesthat sum and product must satisfy the equality(4.5.25) a a + a a = ( a + a )( a + a )However right hand side of the equality (4.5.25) has form( a + a )( a + a ) = ( a + a ) a + ( a + a ) a = a a + a a + a a + a a Therefore, the equality (4.5.25) is not true. (cid:3)
Question . It is possible that polymorphism of representations existsonly for effective representation in Abelian group. However, this statement has notbeen proved. (cid:3) Ω -ring Definition . Let sum c = a + b which is not necessarily commutative and product c = a ∗ b be operations of Ω -algebra A . Let Ω = Ω \ { + , ∗} . If Ω -algebra A is Ω ∪ {∗} -group and multiplicative Ω ∪ { + } -group, then Ω -algebra A is called Ω -ring . (cid:3) Theorem . The product in Ω -ring is distributive over addition a ∗ ( b + b ) = a ∗ b + a ∗ b ( b + b ) ∗ a = b ∗ a + b ∗ a Proof.
The theorem follows from the definitions 4.2.10, 4.5.4, 4.6.1. (cid:3)
Definition . Let A be Ω -ring. The matrix over Ω -ring A is a table of A -numbers a ij where the index i is the number of row and the index j is the numberof column. (cid:3) Convention . We will use Einstein summation convention. When anindex is present in an expression twice (one above and one below) and a set ofindex is known, we have the sum with respect to repeated index. In this case weassume that we know the set of summation index and do not use summation symbol a i v i = X i ∈ I a i v i If needed to clearly show set of index, I will do it. (cid:3)
The product of matrices is associated with the product of homomorphisms ofvector spaces over field. According to the custom the product of matrices a and b is defined as product of rows of the matrix a and columns of the matrix b . Example . Let e be basis of right vector space V over D -algebra A (seethe definition 9.6.2 and the theorem 9.6.15). We represent the basis e as row ofmatrix e = (cid:16) e ... e n (cid:17) We represent coordinates of vector v as vector column v = v ...v n Therefore, we can represent the vector v as product of matrices v = (cid:16) e ... e n (cid:17) v ...v n = e i v i We represent homomorphism of right vector space V using matrix (4.6.1) v ′ i = f ij v j The equality (4.6.1) expresses a traditional product of matrices f and v . (cid:3) Example . Let e be basis of left vector space V over D -algebra A (see thedefinition 9.5.2 and the theorem 9.5.15). We represent the basis e as row of matrix e = (cid:16) e ... e n (cid:17) We represent coordinates of vector v as vector column v = v ...v n However, we cannot represent the vector v = v i e i .6. Ω-ring 59 as product of matrices v = v ...v n e = (cid:16) e ... e n (cid:17) because this product is not defined. We represent homomorphism of left vector space V using matrix (4.6.2) v ′ i = v j f ij We cannot express the equality (4.6.2) as traditional product of matrices v and f . (cid:3) From examples 4.6.5, 4.6.6, it follows that we cannot confine ourselves to tra-ditional product of matrices and we need to define two products of matrices. Todistinguish between these products we introduced a new notation. In order to keepthis notation consistent with the existing one we assume that we have in mind ∗∗ -product when no clear notation is present. Definition . Let the nubmer of columns of the matrix a equal the numberof rows of the matrix b . ∗∗ -product of matrices a and b has form (4.6.3) a ∗∗ b = (cid:16) a ik b kj (cid:17) ( a ∗∗ b ) ij = a ik b kj and can be expressed as product of a row of matrix a over a column of matrix b . (cid:3) Definition . Let the nubmer of rows of the matrix a equal the number ofcolumns of the matrix b . ∗∗ -product of matrices a and b has form (4.6.4) a ∗∗ b = (cid:16) a ki b jk (cid:17) ( a ∗∗ b ) ij = a ki b jk and can be expressed as product of a column of matrix a over a row of matrix b . (cid:3) We also consider following operations on the set of matrices.
Definition . The transpose a T of the matrix a exchanges rows and columns (4.6.5) ( a T ) ij = a ji (cid:3) We will use symbol ∗∗ - in following terminology and notation. We will read symbol ∗∗ as rc -product or product of row over column. To draw symbol of product of row over column, we puttwo symbols of product in the place of index which participate in sum. For instance, if productof A -numbers has form a ◦ b , then ∗∗ -product of matrices a and b has form a ◦◦ b . We will use symbol ∗∗ - in following terminology and notation. We will read symbol ∗∗ as cr -product or product of column over row. To draw symbol of product of column over row, we puttwo symbols of product in the place of index which participate in sum. For instance, if productof A -numbers has form a ◦ b , then ∗∗ -product of matrices a and b has form a ◦◦ b . Definition . The sum of matrices a and b is defined by the equality ( a + b ) ij = a ij + b ij (cid:3) Remark . We will use symbol ∗∗ - or ∗∗ - in name of properties of eachproduct and in the notation. We can read symbols ∗∗ and ∗∗ as rc -product and cr -product. This rule we extend to following terminology. (cid:3) Theorem . (4.6.6) ( a ∗∗ b ) T = a T ∗∗ b T Proof.
The chain of equalities(4.6.7) (( a ∗∗ b ) T ) ji = ( a ∗∗ b ) ij = a ik b kj = ( a T ) ki ( b T ) jk = (( a T ) ∗∗ ( b T )) ji follows from (4.6.5), (4.6.3) and (4.6.4). The equality (4.6.6) follows from (4.6.7). (cid:3) Definition . The set A is a biring if we defined on A an unary oper-ation, say transpose, and three binary operations, say ∗∗ -product, ∗∗ -product andsum, such that • ∗∗ -product and sum define structure of ring on A• ∗∗ -product and sum define structure of ring on A• both products have common identity δ • products satisfy equation ( a ∗∗ b ) T = a T ∗∗ b T • transpose of identity is identity (4.6.8) δ T = δ • double transpose is original element (4.6.9) ( a T ) T = a (cid:3) Theorem . Let A be true statement aboutbiring A . If we exchange the same time • a ∈ A and a T • ∗∗ -product and ∗∗ -productthen we soon get true statement. Theorem . Let A be biring ofmatrices. Let A be true statement about matrices. If we exchange the same time • rows and columns of all matrices • ∗∗ -product and ∗∗ -productthen we soon get true statement. Proof.
This is the immediate consequence of the theorem 4.6.14. (cid:3) .7. Tensor Product of Representations 61
Remark . If product in Ω - A ring is commutative, then (4.6.10) a ∗∗ b = ( a ki b jk ) = ( b jk a ki ) = b ∗∗ a Reducible biring is the biring which holds condition of reducibility of prod-ucts (4.6.10) . So, in reducible biring, it is enough to consider only ∗∗ -product. How-ever in case when the order of factors is essential we will use ∗∗ -product also. (cid:3) Definition . Let A be Abelian multiplicative Ω -group. Let A , ..., A n be Ω -algebras. Let, for any k , k = 1 , ..., n , f k : A ∗ / / A k be effective representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A k . Considercategory A whose objects are reduced polymorphisms of representations f , ..., f n r : B × ... × B n / / S r : B × ... × B n / / S where S , S are Ω -algebras and g : A ∗ / / S g : A ∗ / / S are effective representations of multiplicative Ω -group A . We define morphism r → r to be reduced morphism of representations h : S → S making followingdiagram commutative S h (cid:15) (cid:15) B × ... × B nr rrrrrrrrrrr r % % ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ S Universal object B ⊗ ... ⊗ B n of category A is called tensor product of repre-sentations A , ..., A n . (cid:3) Theorem . Since there exists tensor product of effective representations,then tensor product is unique up to isomorphism of representations.
Proof.
Let A be Abelian multiplicative Ω -group. Let A , ..., A n be Ω -algebras. Let, for any k , k = 1, ..., n , f k : A ∗ / / B k be effective representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra B k . Leteffective representations g : A ∗ / / S g : A ∗ / / S I give definition of tensor product of representations of universal algebra following to defini-tion in [2], p. 601 - 603. be tensor product of representations B , ..., B n . From commutativity of the dia-gram(4.7.1) S h (cid:7) (cid:7) B × ... × B n R ❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧ R ) ) ❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘ S h G G it follows that R = h ◦ h ◦ R R = h ◦ h ◦ R (4.7.2)From equalities (4.7.2), it follows that morphisms of representation h ◦ h , h ◦ h are identities. Therefore, morphisms of representation h , h are isomorphisms. (cid:3) Convention . Algebras S , S may be different sets. However they areindistinguishable for us when we consider them as isomorphic representations. Insuch case, we write the statement S = S . (cid:3) Definition . Tensor product B ⊗ n = B ⊗ ... ⊗ B n B = ... = B n = B is called tensor power of representation B . (cid:3) Theorem . Since there exists polymorphism of representations, then thereexists tensor product of representations.
Proof.
Let f : A ∗ / / M be representation of Ω -algebra A generated by Cartesian product B × ... × B n ofsets B , ..., B n . Injection i : B × ... × B n / / M is defined according to rule (4.7.3) i ◦ ( b , ..., b n ) = ( b , ..., b n )Let N be equivalence generated by following equalities ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n ) = ( b , ..., b i · , ..., b n ) ... ( b , ..., b i · p , ..., b n ) ω (4.7.4) ( b , ..., f i ( a ) ◦ b i , ..., b n ) = f ( a ) ◦ ( b , ..., b i , ..., b n )(4.7.5) b k ∈ B k k = 1 , ..., n b i · , ..., b i · p ∈ B i ω ∈ Ω ( p ) a ∈ A According to theorems 2.3.3, 4.4.2, the set generated by reduced Cartesian product of repre-sentations B , ..., B n coincides with Cartesian product B × ... × B n of sets B , ..., B n . At thispoint of the proof, we do not consider any algebra structure on the set B × ... × B n . The equality (4.7.3) states that we identify the basis of the representation M with the set B × ... × B n . I considered generating of elements of representation according to the theorem 6.1.4. Thetheorem 4.7.11 requires the fulfillment of conditions (4.7.4), (4.7.5). .7. Tensor Product of Representations 63
Lemma . Let ω ∈ Ω ( p ) . Then f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n )= f ( c ) ◦ (( b , ..., b i · , ..., b n ) ... ( b , ..., b i · p , ..., b n ) ω )(4.7.6) Proof.
From the equality (4.7.5), it follows that(4.7.7) f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n ) = ( b , ..., f i ( c ) ◦ ( b i · ...b i · p ω ) , ..., b n )Since f i ( c ) is endomorphism of Ω -algebra B i , then from the equality (4.7.7), itfollows that(4.7.8) f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n ) = ( b , ..., ( f i ( c ) ◦ b i · ) ... ( f i ( c ) ◦ b i · p ) ω, ..., b n )From equalities (4.7.8), (4.7.4), it follows that(4.7.9) f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n )= ( b , ..., f i ( c ) ◦ b i · , ..., b n ) ... ( b , ..., f i ( c ) ◦ b i · p , ..., b n ) ω From equalities (4.7.9), (4.7.5), it follows that(4.7.10) f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n )= ( f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · , ..., b n )) ... ( f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · p , ..., b n )) ω Since f ( c ) is endomorphism of Ω -algebra B , then the equality (4.7.6) follows fromthe equality (4.7.10). ⊙ Lemma . (4.7.11) f ( c ) ◦ ( b , ..., f i ( a ) ◦ b i , ..., b n ) = f ( c ) ◦ ( f ( a ) ◦ ( b , ..., b i , ..., b n )) Proof.
From the equality (4.7.5), it follows that f ( c ) ◦ ( b , ..., f i ( a ) ◦ b i , ..., b n ) = ( b , ..., f i ( c ) ◦ ( f i ( a ) ◦ b i ) , ..., b n )= ( b , ..., ( f i ( c ) ◦ f i ( a )) ◦ b i , ..., b n )= ( f ( c ) ◦ f ( a )) ◦ ( b , ..., b i , ..., b n )= f ( c ) ◦ ( f ( a ) ◦ ( b , ..., b i , ..., b n ))(4.7.12)The equality (4.7.11) follows from the equality (4.7.12). ⊙ Lemma . For any c ∈ A , endomorphism f ( c ) of Ω -algebra M is coordi-nated with equivalence N . Proof.
The lemma follows from lemmas 4.7.6, 4.7.7 and from the definition3.3.2. ⊙ From the lemma 4.7.8 and the theorem 3.3.3, it follows that Ω -algebra isdefined on the set ∗ M/N . Consider diagram
M/N F ( a ) / / M/NA F @ ①①①①①①①①①①①①①①①①①①①① ①①①①①①①①①①①①①①①①①①①① f (cid:31) ' ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● M j O O f ( a ) / / M j O O j = nat N According to lemma 4.7.8, from the condition j ◦ b = j ◦ b it follows that j ◦ ( f ( a ) ◦ b ) = j ◦ ( f ( a ) ◦ b )Therefore, transformation F ( a ) is well defined and(4.7.13) F ( a ) ◦ j = j ◦ f ( a )If ω ∈ Ω ( p ), then we assume( F ( a ) ...F ( a p ) ω ) ◦ ( J ◦ b ) = J ◦ (( f ( a ) ...f ( a p ) ω ) ◦ b )Therefore, map F is representations of Ω -algebra A . From (4.7.13) it follows that j is reduced morphism of representations f and F .Consider commutative diagram(4.7.14) M/NB × ... × B n g ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ i / / M j < < ③③③③③③③③ From commutativity of the diagram (4.7.14) and from the equality (4.7.3), it followsthat(4.7.15) g ◦ ( b , ..., b n ) = j ◦ ( b , ..., b n )From equalities (4.7.3), (4.7.4), (4.7.5), it follows that g ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n )= ( g ◦ ( b , ..., b i · , ..., b n )) ... ( g ◦ ( b , ..., b i · p , ..., b n )) ω (4.7.16)(4.7.17) g ◦ ( b , ..., f i ( a ) ◦ b i , ..., b n ) = f ( a ) ◦ ( g ◦ ( b , ..., b i , ..., b n ))From equalities (4.7.16) and (4.7.17) it follows that map g is reduced polymorphismof representations f , ..., f n . .7. Tensor Product of Representations 65 Since B × ... × B n is the basis of representation M of Ω algebra A , then,according to the theorem 6.2.10, for any representation A ∗ / / V and any reduced polymorphism g : B × ... × B n / / V there exists a unique morphism of representations k : M → V , for which followingdiagram is commutative(4.7.18) B × ... × B n g + + ❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱ i / / M k ❆❆❆❆❆❆❆❆ V Since g is reduced polymorphism, then ker k ⊇ N .According to the theorem 3.4.8, map j is universal in the category of morphismsof representation f whose kernel contains N . Therefore, we have morphism ofrepresentations h : M/N → V which makes the following diagram commutative(4.7.19) M/N h (cid:15) (cid:15) M k ❋❋❋❋❋❋❋❋❋ j < < ②②②②②②②② V We join diagrams (4.7.14), (4.7.18), (4.7.19), and get commutative diagram
M/N h (cid:15) (cid:15) B × ... × B n g ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ g + + ❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲ i / / M j < < ③③③③③③③③ k " " ❋❋❋❋❋❋❋❋❋ V Since Im g generates M/N , than map h is uniquely determined. (cid:3) According to proof of theorem 4.7.5 B ⊗ ... ⊗ B n = M/N If d i ∈ A i , we write(4.7.20) j ◦ ( d , ..., d n ) = d ⊗ ... ⊗ d n From equalities (4.7.15), (4.7.20), it follows that(4.7.21) g ◦ ( d , ..., d n ) = d ⊗ ... ⊗ d n Theorem . The map ( x , ..., x n ) ∈ B × ... × B n → x ⊗ ... ⊗ x n ∈ B ⊗ ... ⊗ B n is polymorphism. Proof.
The theorem follows from definitions 4.4.4, 4.7.1. (cid:3)
Theorem . Let B , ..., B n be Ω -algebras. Let f : B × ... × B n → B ⊗ ... ⊗ B n be reduced polymorphism defined by equality (4.7.22) f ◦ ( b , ..., b n ) = b ⊗ ... ⊗ b n Let g : B × ... × B n → V be reduced polymorphism into Ω -algebra V . There exists morphism of representa-tions h : B ⊗ ... ⊗ B n → V such that the diagram B ⊗ ... ⊗ B nh (cid:15) (cid:15) B × ... × B n f ♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠ g ( ( ◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗ V is commutative. Proof. equality (4.7.22) follows from equalities (4.7.3) and (4.7.20). An exis-tence of the map h follows from the definition 4.7.1 and constructions made in theproof of the theorem 4.7.5. (cid:3) Theorem . Let b k ∈ B k k = 1 , ..., n b i · , ..., b i · p ∈ B i ω ∈ Ω ( p ) a ∈ A Tensor product is distributive over operation ωb ⊗ ... ⊗ ( b i · ...b i · p ω ) ⊗ ... ⊗ b n =( b ⊗ ... ⊗ b i · ⊗ ... ⊗ b n ) ... ( b ⊗ ... ⊗ b i · p ⊗ ... ⊗ b n ) ω (4.7.23) The representation of multiplicative Ω -group A in tensor product is defined byequality (4.7.24) b ⊗ ... ⊗ ( f i ( a ) ◦ b i ) ⊗ ... ⊗ b n = f ( a ) ◦ ( b ⊗ ... ⊗ b i ⊗ ... ⊗ b n ) Proof.
The equality (4.7.23) follows from the equality (4.7.16) and from thedefinition (4.7.21). The equality (4.7.24) follows from the equality (4.7.17) andfrom the definition (4.7.21). (cid:3) .8. Associativity of Tensor Product 67
Let A be multiplicative Ω -group. Let B , B , B be Ω -algebras. Let, for k = 1, 2, 3, f k : A ∗ / / B k be effective representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra B k . Lemma . For given value of x ∈ B , the map (4.8.1) h : ( B ⊗ B ) × B → B ⊗ B ⊗ B defined by equality (4.8.2) h ( x ⊗ x , x ) = x ⊗ x ⊗ x is reduced morphism of the representation B ⊗ B into the representation B ⊗ B ⊗ B . Proof.
According to the theorem 4.7.9, for given value of x ∈ B , the map(4.8.3) ( x , x , x ) ∈ B × B × B → x ⊗ x ⊗ x ∈ B ⊗ B ⊗ B is polymorphism with respect to x ∈ B , x ∈ B . Therefore, for given value of x ∈ B , the lemma follows from the theorem 4.7.10. (cid:3) Lemma . For given value of x ∈ B ⊗ B the map h is reducedmorphism of the representation B into the representation B ⊗ B ⊗ B . Proof.
According to the theorem 4.7.9 and the equality (4.7.21), for givenvalue of x ∈ B , x ∈ B , the map(4.8.4) ( x ⊗ x , x ) ∈ B × B × B → x ⊗ x ⊗ x ∈ B ⊗ B ⊗ B is morphism with respect to x ∈ B . Therefore, the theorem follows from theequality (4.4.16) and from the theorem 4.5.9. (cid:3) Lemma . There exists reduced morphism of representations h : ( B ⊗ B ) ⊗ B → B ⊗ B ⊗ B Proof.
According to lemmas 4.8.1, 4.8.2 and to the definition 4.4.4, themap h is reduced polymorphism of representations. The lemma follows from thetheorem 4.7.10. (cid:3) Lemma . There exists reduced morphism of representations g : B ⊗ B ⊗ B → ( B ⊗ B ) ⊗ B Proof.
The map( x , x , x ) ∈ B × B × B → ( x ⊗ x ) ⊗ x ∈ ( B ⊗ B ) ⊗ B is polymorphism with respect to x ∈ B , x ∈ B , x ∈ B . Therefore, thelemma follows from the theorem 4.7.10. (cid:3) Theorem . (4.8.5) ( A ⊗ A ) ⊗ A = A ⊗ ( A ⊗ A ) = A ⊗ A ⊗ A
38 4. Ω-Group
Proof.
According to lemma 4.8.3, there exists reduced morphism of represen-tations h : ( B ⊗ B ) ⊗ B → B ⊗ B ⊗ B According to lemma 4.8.4, there exists reduced morphism of representations g : B ⊗ B ⊗ B → ( B ⊗ B ) ⊗ B Therefore, reduced morphisms of representations h , g are isomorphisms. Therefore,the following equality is true(4.8.6) ( B ⊗ B ) ⊗ B = B ⊗ B ⊗ B We prove similarly the equality B ⊗ ( B ⊗ B ) = B ⊗ B ⊗ B (cid:3) Remark . It is evident that structures of Ω -algebras ( B ⊗ B ) ⊗ B , B ⊗ B ⊗ B are little different. We write down the equality (4.8.6) based on theconvention 4.7.3 and this allows us to speak about associativity of tensor product ofrepresentations. (cid:3) HAPTER 5
Representation of Multiplicative Ω -Group Ω -Group Consistency of product in multiplicative Ω-group G and corresponding trans-formations of the representation f allows us to consider more details of the rep-resentation f . However, the construction considered in the theorem 4.5.7 is notcomplete in case of non commutative product.If for given representation g : A ∗ / / A for any A -numbers a , b , there is unique A -number c such that f ( c ) = f ( a ) ◦ f ( b )then what format of the product we should choose:(5.1.1) c = a ∗ b or(5.1.2) c = b ∗ a Example . Let e = (cid:16) e ... e n (cid:17) be basis of left vector space V over associative division algebra A . We can representany vector v ∈ V as ∗∗ -product of matrices (5.1.3) v = v ∗∗ e = v ...v n ∗∗ (cid:16) e ... e n (cid:17) where v = v ...v n is matrix of coordinates of the vector v with respect to the basis e .We introduce single transitive action of the group G on the basis manifold bythe equality (5.1.4) g ∗∗ e = g ... g ... ... ...g n1 ... g nn ∗∗ (cid:16) e ... e n (cid:17)
690 5. Representation of Multiplicative Ω-Group where we identify G -number g and non-singular matrix g ... g ... ... ...g n1 ... g nn Action of the group G on the basis manifold is representation, because the followingequality is true (5.1.5) g ∗∗ ( g ∗∗ e ) = ( g ∗∗ g ) ∗∗ e Let (5.1.6) v i = v i ...v n i be matrix of coordinates of the vector v with respect to the basis e i , i = 1 , , .Then (5.1.7) v = v ∗∗ e = v ∗∗ e = v ∗∗ e Let G -number g map the basis e into the basis e (5.1.8) e = g ∗∗ e Let G -number g map the basis e into the basis e (5.1.9) e = g ∗∗ e The equality (5.1.10) e = ( g ∗∗ g ) ∗∗ e follows from the equalities (5.1.8) , (5.1.9) . The equality (5.1.11) v ∗∗ e = v ∗∗ g ∗∗ e follows from the equalities (5.1.7) , (5.1.8) . The equality (5.1.12) v = v ∗∗ g follows from the equality (5.1.11) because coordinates of vector v are unique withrespect to basis e . The equality (5.1.13) v = v ∗∗ g − follows from the equality (5.1.12) . Similarly, the equality (5.1.14) v = v ∗∗ g − follows from equalities (5.1.7) , (5.1.9) and the equality (5.1.15) v = v ∗∗ ( g ∗∗ g ) − follows from equalities (5.1.7) , (5.1.10) . The equality (5.1.16) v = v ∗∗ g − ∗∗ g − follows from equalities (5.1.13) , (5.1.14) . (cid:3) .1. Representation of Multiplicative Ω-Group 71 Example . Let V be left module over ring D . It means that we definedrepresentation f : D ∗ / / V f ( d ) : v → d v such that ( d + d ) v = d v + d vd ( v + v ) = dv + dv d ( d v ) = ( d d ) v The map w : V → D is called additive if w ( v + v ) = w ( v ) + w ( v ) We use notation ( w, v ) = w ( v ) for image of additive map. We define sum of additive maps by the equality ( w + w , v ) = ( w , v ) + ( w , v ) It is easy to show that the set W of additive maps is Abelian group.We define the map h : D ∗ / / W h ( d ) : w → w d using the equality ( wd, v ) = ( w, dv ) From equalities (( w + w ) d, v ) = ( w + w , dv ) = ( w , dv ) + ( w , dv )= ( w d, v ) + ( w d, v )= ( w d + w d, v )( w ( d + d ) , v ) = ( w, ( d + d ) v ) = ( w, d v + d v )= ( w, d v ) + ( w, d v ) = ( wd , v ) + ( wd , v )= ( wd + wd , v )(( wd ) d , v ) = ( wd , d v ) = ( w, d ( d v )) = ( w, ( d d ) v )= ( w ( d d ) , v )(5.1.17) it follows that the map h is representation of group G . However we can write theequality (5.1.17) in the following form (( h ( d ) ◦ h ( d )( w )) , v ) = (( h ( d ) h ( d )( w )) , v ) = ( h ( d d )( w ) , v ) which implies that the map h is not homomorphism of group G . (cid:3) We assume that transformations of representation of multiplicative Ω-group A may act on A -numbers either on the left or on the right. In this case itis sufficient to restrict ourselve to the product (5.1.1) in multiplicative Ω-group A . Thus, the idea of representation of multiplicative Ω-group is that we multiplyelements of multiplicative Ω-group in the same order as we multiply transformationsof representation. This point of view is reflected in the example 5.1.2. We also see that we need to change notation before we can use this point of view. Instead ofconsidering f ∈ End(Ω ; A ) as map f : a ∈ A → f ( a ) ∈ A we must consider an endomorphism f as operator. Definition . Let
End(Ω , A ) be a multiplicative Ω -group with prod-uct ( f, g ) → f • g Let an endomorphism f act on A -number a on the left. We will use notation (5.1.18) f ( a ) = f • a Let A be multiplicative Ω -group with product ( a, b ) → a ∗ b We call a homomorphism of multiplicative Ω -group (5.1.19) f : A → End(Ω , A ) left-side representation of multiplicative Ω -group A or left-side A -represen-tation in Ω -algebra A if the map f holds (5.1.20) f ( a ∗ b ) • a = ( f ( a ) • f ( b )) • a We identify an A -number a and its image f ( a ) and write left-side transformationcaused by A -number a as a ′ = f ( a ) • a = a ∗ a In this case, the equality (5.1.20) gets following form (5.1.21) f ( a ∗ b ) • a = ( a ∗ b ) ∗ a The map ( a , a ) ∈ A × A → a ∗ a ∈ A generated by left-side representation f is called left-side product of A -number a over A -number a . (cid:3) Let f : A → A g : A → A be endomorphisms of Ω -algebra A . Let product in multiplicative Ω-group End(Ω , A )is composition of endomorphisms. Since the product of maps f and g is defined inthe same order as these maps act on A -number, then we consider the equality(5.1.22) ( f ◦ g ) ◦ a = f ◦ ( g ◦ a )as associative law . This allows writing of equality (5.1.22) without using ofbrackets f ◦ g ◦ a = f ◦ ( g ◦ a ) = ( f ◦ g ) ◦ a Very often a product in multiplicative Ω-group End(Ω , A ) is superposition of endomor-phisms f • g = f ◦ g However, as we see in the example 5.2.5, a product in multiplicative Ω-group End(Ω , A ) maybe different from superposition of endomorphisms. According to the definition 4.6.13, we canconsider two products in universal algebra A . .1. Representation of Multiplicative Ω-Group 73 as well it allows writing of equality (5.1.20) in the following form(5.1.23) f ( a ∗ b ) ◦ a = f ( a ) ◦ f ( b ) ◦ a From the equality (5.1.21), it follows that(5.1.24) ( a ∗ b ) ∗ a = a ∗ ( b ∗ a )We consider the equality (5.1.24) as associative law . Remark . Let the map f : A ∗ / / A be the left-side representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A . Letthe map g : B ∗ / / B be the left-side representation of multiplicative Ω -group B in Ω -algebra B . Letthe map ( r : A → B , r : A → B ) be morphism of representations. We use notation r ( a ) = r ◦ a for image of A -number a with respect to the map r . Then we can write theequality (3.2.3) in the following form r ◦ ( a ∗ a ) = r ( a ) ∗ ( r ◦ a ) (cid:3) Definition . Let
End(Ω , A ) be a multiplicative Ω -group with prod-uct ( f, g ) → f • g Let an endomorphism f act on A -number a on the right. We will use notation (5.1.25) f ( a ) = a • f Let A be multiplicative Ω -group with product ( a, b ) → a ∗ b We call a homomorphism of multiplicative Ω -group (5.1.26) f : A → End(Ω , A ) right-side representation of multiplicative Ω -group A or right-side A -rep-resentation in Ω -algebra A if the map f holds (5.1.27) a • f ( a ∗ b ) = a • ( f ( a ) • f ( b )) We identify an A -number a and its image f ( a ) and write right-side transforma-tion caused by A -number a as a ′ = a • f ( a ) = a ∗ a Very often a product in multiplicative Ω-group End(Ω , A ) is superposition of endomor-phisms f • g = f ◦ g However, as we see in the example 5.2.5, a product in multiplicative Ω-group End(Ω , A ) maybe different from superposition of endomorphisms. According to the definition 4.6.13, we canconsider two products in universal algebra A . In this case, the equality (5.1.27) gets following form (5.1.28) a • f ( a ∗ b ) = a ∗ ( a ∗ b ) The map ( a , a ) ∈ A × A → a ∗ a ∈ A generated by right-side representation f is called right-side product of A -number a over A -number a . (cid:3) Let f : A → A g : A → A be endomorphisms of Ω -algebra A . Let product in multiplicative Ω-group End(Ω , A )is composition of endomorphisms. Since the product of maps f and g is defined inthe same order as these maps act on A -number, then we consider the equality(5.1.29) a ◦ ( g ◦ f ) = ( a ◦ g ) ◦ f as associative law . This allows writing of equality (5.1.29) without using ofbrackets a ◦ g ◦ f = ( a ◦ g ) ◦ f = a ◦ ( g ◦ f )as well it allows writing of equality (5.1.27) in the following form(5.1.30) a ◦ f ( a ∗ b ) = a ◦ f ( a ) ◦ f ( b )From the equality (5.1.28), it follows that(5.1.31) a ∗ ( a ∗ b ) = ( a ∗ a ) ∗ b We consider the equality (5.1.31) as associative law . Remark . Let the map f : A ∗ / / A be the left-side representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A . Letthe map g : B ∗ / / B be the left-side representation of multiplicative Ω -group B in Ω -algebra B . Letthe map ( r : A → B , r : A → B ) be morphism of representations. We use notation r ( a ) = r ◦ a for image of A -number a with respect to the map r . Then we can write theequality (3.2.3) in the following form r ◦ ( a ∗ a ) = ( r ◦ a ) ∗ r ( a ) (cid:3) If multiplicative Ω-group A is Abelian, then there is no difference between left-side and right-side representations. .1. Representation of Multiplicative Ω-Group 75 Definition . Let A be Abelian multiplicative Ω -group. We call a homo-morphism of multiplicative Ω -group (5.1.32) f : A → End(Ω , A ) representation of multiplicative Ω -group A or A -representation in Ω -algebra A if the map f holds (5.1.33) f ( a ∗ b ) • a = ( f ( a ) • f ( b )) • a (cid:3) Usually we identify a representation of the Abelian multiplicative Ω-group A and a left-side representation of the multiplicative Ω-group A . However, if it isnecessary for us, we identify a representation of the Abelian multiplicative Ω-group A and a right-side representation of the multiplicative Ω-group A .From the analysis of the example 5.1.2, it follows that choice between left-side and right-side representation depends from considered model. Since left-side representation and right-side representation are based on homomorphism of Ω-group, then the following statement is true. Theorem . Any statement which holds for left-side representation of multiplicative Ω -group A holds also for right-side representation of multiplicative Ω -group A , if we will useright-side product over A -number a instead of left-side product over A -number a . (cid:3) Remark . If Ω -algebra is not multiplicative Ω -group, then we cannot tellwhether representation acts on left or on right. In this case we continue to usfunctional notation f ( a )( a ) for representation of Ω -algebra. (cid:3) From the analysis of equalities (5.1.15), (5.1.16), it follows that the action ofthe group G on the set of coordinates of the vector v (the example 5.1.1) does notcorrespond to either left-side or right-side representation. it follows that we havetwo choices. We accept that in multiplicative Ω-group A we can define both typesof product ((5.1.1) and (5.1.2)) in order to coordinate product in multiplicativeΩ-group A and product of transformations of representation of multiplicative Ω-group A . This point of view is reflected in definitions 5.1.10, 5.1.11. Definition . Left-side representation f : A ∗ / / A is called covariant if the equality a ∗ ( b ∗ a ) = ( a ∗ b ) ∗ a is true. (cid:3) Definition . Left-side representation f : A ∗ / / A is called contravariant if the equality (5.1.34) a − ∗ ( b − ∗ a ) = ( b ∗ a ) − ∗ a is true. (cid:3) If type of representation is not specified, then we assume that the representationis covariant. From equalities (5.1.15), (5.1.16), it follows that the action of the group G on the set of coordinates of the vector v (the example 5.1.1) is contravariant right-side representation.How big is the difference between covariant and contravariant representations.Since ( b ∗ a ) − = a − ∗ b − then the equality(5.1.35) a − ∗ ( b − ∗ a ) = ( a − ∗ b − ) ∗ a follows from the equality (5.1.34). From the equality (5.1.35), it follows that we canconsider contravariant representation of the group G as covariant representation ofthe group G , generated by G -numbers of the form a − . The same way as in theexample 5.1.1, we consider two coordinated representations of the group Gf : G ∗ / / A h : G ∗ / / B moreover G -number g generates the transformation a ∈ G : a ∈ A → a ∗ a ∈ A in the universal algebra A and the transformation a ∈ G : b ∈ B → a − ∗ b ∈ B in the universal algebra B . Theorem . The product ( a, b ) → a ∗ b in multiplicative Ω -group A determines two different representations. • the left shift a ′ = L ( b ) ◦ a = b ∗ a is left-side representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A (5.2.1) L ( c ∗ b ) = L ( c ) ◦ L ( b ) • the right shift a ′ = a ◦ R ( b ) = a ∗ b is right-side representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A (5.2.2) R ( b ∗ c ) = R ( b ) ◦ R ( c ) Proof.
According to the definition 4.5.4, left and right shifts are endomor-phisms of Ω-algebra A . According to the definition 4.5.4, we can define Ω-algebraon the set of left shifts. According to the definition of multiplicative group, theequality a = a follows from the equality L ( a ) ◦ x = a ∗ x = a ∗ x = L ( a ) ◦ x See, for instance, definition on pages [2]-3, [2]-7. .2. Left and Right Shifts 77 for any x . In particular, the equality (5.2.1) follows from the equality L ( c ∗ b ) ◦ a = ( c ∗ b ) ∗ a = c ∗ ( b ∗ a ) = L ( c ) ◦ ( L ( b ) ◦ a ) = L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a Therefore, the map a ∈ A → L ( a )is left-side representation of multiplicative Ω-group A in Ω-algebra A . Similarreasoning is true for right shift. (cid:3) Associative D -algebra is multiplicative Ω-group. Non associative D -algebra A is not Ω-group, because A is groupoid with respect to product. However we alsostudy representation of non associative D -algebra. Definition . Let product c = a ∗ b be operation of Ω -algebra A . Let Ω = Ω \ {∗} . If Ω -algebra A is groupoid withrespect to product and, for any operation ω ∈ Ω( n ) , the product is distributiveover the operation ω a ∗ ( b ...b n ω ) = ( a ∗ b ) ... ( a ∗ b n ) ω ( b ...b n ω ) ∗ a = ( b ∗ a ) ... ( b n ∗ a ) ω then Ω -algebra A is called Ω -groupoid . (cid:3) We will use the same notation for representation of Ω-groupoid as we use forrepresentation of multiplicative Ω-group.
Theorem . The product in non associative Ω -groupoid A determines twodifferent representations. • The left shift a ′ = L ( b ) ◦ a = b ∗ a is representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . • The right shift a ′ = a ◦ R ( b ) = a ∗ b is representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Proof.
According to the definition 4.5.4, left and right shifts are endomor-phisms of Ω-algebra A . According to the definition 5.2.2, we can define Ω-algebraon the set of left shifts. Therefore, the map a ∈ A → L ( a )is representation of Ω-algebra A in Ω-algebra A . (cid:3) Theorem . Let L : A ∗ / / A be representation of non associative Ω -groupoid A in Ω -algebra A . Then, on theset End(Ω , A ) , there exists product which is different from the superposition ofendomorphisms. Proof.
Consider the map L : A → End(Ω , A ) L ( a ) : b → ab Since the product in Ω-groupoid A is not associative, then, in general L ( a ) ◦ ( L ( b ) ◦ c ) = a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c = L ( a ∗ b ) ◦ c Therefore, L ( ab ) = L ( a ) ◦ L ( b ). (cid:3) According to the theorem 5.2.1, if A is multiplicative Ω-group, then the equality(5.2.1) ensures that left shift generates is left-side representation of multiplicativeΩ-group A in Ω-algebra A . According to the theorem 5.2.4 this equality is nottrue in non associative Ω-groupoid A . However theorems 5.2.3, 5.2.4 do not answerthe question about the possibility of consideration of left-side representation ofnon associative Ω-groupoid A in Ω-algebra A . According to the example 5.2.5,there exists posibility of such representation, even product in Ω-groupoid is nonassociative. Example . Let A be Lie algebra. The product [ a, b ] of A -numbers a , b satisfies to the equality (5.2.3) [ a, b ] = − [ b, a ] and to Lee identity (5.2.4) [ c, [ b, a ]] + [ b, [ a, c ]] + [ a, [ c, b ]] = 0 We define left shift on Lie algebra A by the equality (5.2.5) L ( b ) ◦ a = [ b, a ] From the equality (5.2.5) , it follows that (5.2.6) L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a = L ( c ) ◦ ( L ( b ) ◦ a ) = [ c, [ b, a ]] The equality L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a − L ( b ) ◦ L ( c ) ◦ a = [ c, [ b, a ]] − [ b, [ c, a ]]= [ c, [ b, a ]] + [ b, [ a, c ]](5.2.7) follows from equalities (5.2.3) , (5.2.6) . The equality (5.2.8) [ c, [ b, a ]] + [ b, [ a, c ]] = − [ a, [ c, b ]] = [[ c, b ] , a ] follows from equalities (5.2.3) , (5.2.4) . The equality (5.2.9) L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a − L ( b ) ◦ L ( c ) ◦ a = L ([ c, b ]) ◦ a follows from equalities (5.2.5) , (5.2.7) , (5.2.8) .If I define Lie product [ L ( c ) , L ( b )] ◦ a = L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a − L ( b ) ◦ L ( c ) ◦ a on the set of left shifts then the equality (5.2.9) gets the form (5.2.10) [ L ( c ) , L ( b )] ◦ a = L ([ c, b ]) ◦ a Therefore, Lie algebra A with product [ a, b ] generates representation in vector space A . (cid:3) See definition [17]-1 on the page 3. .3. Orbit of Representation of Multiplicative Ω-Group 79 Ω -Group Theorem . Let the map f : A ∗ / / A be the left-side representation of multiplicative Ω -group A . and e be unit of mul-tiplicative Ω -group A . Then f ( e ) = δ where δ is identity transformation of Ω -algebra A . Proof.
The theorem follows from the equality f ( a ) = f ( a ∗ e ) = f ( a ) ◦ f ( e )for any A -number. (cid:3) Theorem . Let the map g : A ∗ / / A be the left-side representation of multiplicative Ω -group A . For any g ∈ A trans-formation has inverse map and satisfies the equality (5.3.1) f ( g − ) = f ( g ) − Proof.
Let e be unit of multiplicative Ω-group A and δ be identity transfor-mation of the set A . Based on (5.1.20) and the theorem 5.3.1, we have u = δ ◦ u = f ( gg − ) ◦ u = f ( g ) ◦ f ( g − ) ◦ u This completes the proof. (cid:3)
Definition . Let A be Ω -groupoid with product ( a, b ) → a ∗ b Let the map f : A ∗ / / A be the left-side representation of Ω -groupoid A in Ω -algebra A . For any a ∈ A ,we define orbit of representation of the Ω -groupoid A as set A ∗ a = { b = a ∗ a : a ∈ A } (cid:3) Definition . Let A be Ω -groupoid with product ( a, b ) → a ∗ b Let the map f : A ∗ / / A be the left-side representation of Ω -groupoid A in Ω -algebra A . For any a ∈ A ,we define orbit of representation of the Ω -groupoid A as set a ∗ A = { b = a ∗ a : a ∈ A } (cid:3) Theorem . Let the map f : A ∗ / / A be the left-side representation of multiplicative Ω -group A . Then a ∈ A ∗ a . Proof.
According to the theorem 5.3.1, a = e ∗ a = f ( e ) ◦ a (cid:3) Theorem . Let L : A ∗ / / A be representation of Lie algebra generated by the set of left shifts. Then a [ A, a ] . Proof.
The theorem follows from absence of unit in Lie algebra. Besides, theset of vectors of three dimensional space where we defined cross product is the mostsimple example of Lie algebra. It is evident that there no exist vector b such that a = b × a (cid:3) Theorem . Let the map f : A ∗ / / A be the left-side representation of multiplicative Ω -group A . Let (5.3.2) b ∈ A ∗ a Then (5.3.3) A ∗ a = A ∗ b Proof.
From (5.3.2) it follows that there exists a ∈ A such that(5.3.4) b = a ∗ a Let c ∈ A ∗ b . Then there exists b ∈ A such that(5.3.5) c = b ∗ b If we substitute (5.3.4) into (5.3.5) we get(5.3.6) c = b ∗ a ∗ a Based (5.1.20), we see that from (5.3.6) it follows that c ∈ A ∗ a . Thus(5.3.7) A ∗ b ⊆ A ∗ a Based (5.3.1), we see that, from (5.3.4), it follows that(5.3.8) a = a − ∗ b From (5.3.8) it follows that a ∈ A ∗ b and therefore(5.3.9) A ∗ a ⊆ A ∗ b The equality (5.3.3) follows from statements (5.3.7), (5.3.9). (cid:3)
Thus, the left-side representation of multiplicative Ω-group A in Ω -algebra A forms equivalence S and the orbit A ∗ a is equivalence class. We will usenotation A /A for quotient set A /S and this set is called space of orbits ofleft-side representation f . .5. Single Transitive Right-Side Representation of Group 81 Ω -Group Theorem . We call kernel of inefficiency of left-side representation ofmultiplicative Ω -group A in Ω -algebra A a set K f = { a ∈ A : f ( a ) = δ } A kernel of inefficiency of left-side representation is a subgroup of the multiplicativegroup A . Proof.
Assume f ( a ) = δ and f ( a ) = δ . Then f ( a ∗ a ) = f ( a ) • f ( a ) = δf ( a − ) = ( f ( a )) − = δ (cid:3) Theorem . Left-side representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A is effective iff kernel of inefficiency K f = { e } . Proof.
Statement follows from the definitions 3.1.2 and from the theorem5.4.1. (cid:3)
Theorem . If a representation f : A ∗ / / A of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A is not effective we can switch to theeffective representation replacing the multiplicative Ω -group A by the multiplicative Ω -group A ′ = A /K f . Proof.
Let the operation ω ∈ Ω( n ). To prove the theorem, we need to showthat the equality(5.4.1) f ( a ...a n ω ) = f ( b ...b n ω )follows from the statement f ( a ) = f ( b ), ..., f ( a n ) = f ( b n ). Indeed, the equality(5.4.1) follows from the equality f ( a ...a n ω ) = f ( a ) ...f ( a n ) ω = f ( b ) ...f ( b n ) ω = f ( b ...b n ω ) (cid:3) The theorem 5.4.3 means that we can study only an effective action.
Theorem . Let the map g : A ∗ / / A be the left-side representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A . A little group or stability group of a ∈ A is the set A a = { a ∈ A : a ∗ a = a } The representation f is free , iff, for any a ∈ A , stability group A a = { e } . Proof.
According to the definition 3.1.4, the representation f is free iff thestatement(5.5.1) f ( a ) = f ( b )implies the equality a = b . The equality (5.5.1) is equivalent to the equality(5.5.2) f ( b − ∗ a ) = δ The statement (5.5.2) implies the equality a = b iff, for any a ∈ A , stabilitygroup A a = { e } . (cid:3) Theorem . Let the map f : A ∗ / / A be the free left-side representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A .There exist − correspondence between any two orbits of representation, as wellbetween any orbit of representation and multiplicative Ω -group A . Proof.
Given a ∈ A there exist a , b ∈ A (5.5.3) a ∗ a = b ∗ a We multiply both parts of equation (5.5.3) by a − a = a − ∗ b ∗ a Since the representation is free, a = b . Since we established 1 − A , we proved the statement of thetheorem. (cid:3) Theorem . Left-side representation g : A ∗ / / A of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A is single transitive iff, for any a , b ∈ A , exists one and only one a ∈ A such that a = a ∗ b . Proof.
Corollary of definitions 3.1.2 and 3.1.8. (cid:3)
Theorem . If there exists single transitive representation f : A ∗ / / A of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A , then we can uniquely define coordi-nates on A using A -numbers.If f is left-side single transitive representation then f ( a ) is equivalent to theleft shift L ( a ) on the group A . If f is right-side single transitive representationthen f ( a ) is equivalent to the right shift R ( a ) on the group A . Proof.
Let f be left-side single transitive representation. We select A -number a and define coordinates of A -number b as A -number a such that b = a ∗ a = ( a ∗ e ) ∗ a = ( L ( a ) ◦ e ) ∗ a Coordinates defined this way are unique up to choice of A -number a becausethe action is effective. For left-side single transitive representation, we also usenotation f ( a ) • a = L ( a ) ◦ a = ( L ( a ) ◦ e ) ∗ a We use notation L ( a ) ◦ a for left-side single transitive representation f because,according to the theorem 5.2.1, product of left shifts equals their composition.Let f be right-side single transitive representation. We select A -number a and define coordinates of A -number b as A -number a such that b = a ∗ a = a ∗ ( e ∗ a ) = a ∗ ( e ◦ R ( a ))Coordinates defined this way are unique up to choice of A -number a becausethe action is effective. For rigt-side single transitive representation, we also usenotation a • f ( a ) = a ◦ R ( a ) = a ∗ ( e ◦ R ( a ))We use notation a ◦ R ( a ) for rigt-side single transitive representation f because,according to the theorem 5.2.1, product of rigt shifts equals their composition. (cid:3) Definition . We call Ω -algebra A homogeneous space of multiplica-tive Ω -group A if there exists single transitive left-side representation f : A ∗ / / A (cid:3) Theorem . Free left-side representation of multiplicative Ω -group A in Ω -algebra A is single transitive representation on orbit. Proof.
The theorem follows from the theorem 5.5.2. (cid:3)
Theorem . Left and right shifts on multiplicative Ω -group A are com-muting. Proof.
The theorem follows from the associativity of product on multiplica-tive Ω-group A ( L ( a ) ◦ c ) ◦ R ( b ) = ( a ∗ c ) ∗ b = a ∗ ( c ∗ b ) = L ( a ) ◦ ( c ◦ R ( b )) (cid:3) Theorem 5.5.7 can be phrased n the following way.
Theorem . Let A be multiplicative Ω -group. For any a ∈ A , the map L ( a ) is automorphism of representation R . Proof.
According to theorem 5.5.7(5.5.4) L ( a ) ◦ R ( b ) = R ( b ) ◦ L ( a )Equation (5.5.4) coincides with equation (3.2.2) from definition 3.2.2 when r = id , r = L ( a ). (cid:3) Theorem . Let left-side A -representation f on Ω -algebra A be singletransitive. Then we can uniquely define a single transitive right-side A -represen-tation h on Ω -algebra A such that diagram A h ( a ) / / f ( b ) (cid:15) (cid:15) A f ( b ) (cid:15) (cid:15) A h ( a ) / / A is commutative for any a , b ∈ A . You can see this statement in [4].
Proof.
We use group coordinates for A -numbers a . Then according totheorem 5.5.4 we can write the left shift L ( a ) instead of the transformation f ( a ).Let a , b ∈ A . Then we can find one and only one a ∈ A such that b = a ∗ a = a ◦ R ( a )We assume h ( a ) = R ( a )For some b ∈ A , we have c = f ( b ) • a = L ( b ) ◦ a d = f ( b ) • b = L ( b ) ◦ b According to the theorem 5.5.7, the diagram(5.5.5) a h ( a )= R ( a ) / / f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) b f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) c h ( a )= R ( a ) / / d is commutative.Changing b we get that c is an arbitrary A -number.We see from the diagram that if a = b then c = d and therefore h ( e ) = δ .On other hand if a = b then c = d because the left-side A -representation f issingle transitive. Therefore the right-side A -representation h is effective.In the same way we can show that for given c we can find a such that d = c • h ( a ). Therefore the right-side A -representation h is single transitive.In general the product of transformations of the left-side A -representation f isnot commutative and therefore the right-side A -representation h is different fromthe left-side A -representation f . In the same way we can create a left-side A -representation f using the right-side A -representation h . (cid:3) Representations f and h are called twin representations of the multiplicativeΩ-group A . Remark . It is clear that transformations L ( a ) and R ( a ) are differentuntil the multiplicative Ω -group A is nonabelian. However they both are mapsonto. Theorem 5.5.9 states that if both right and left shift presentations exist onthe set A , then we can define two commuting representations on the set A . Theright shift or the left shift only cannot represent both types of representation. Tounderstand why it is so let us change diagram (5.5.5) and assume h ( a ) • a = L ( a ) ◦ a = b instead of a • h ( a ) = a ◦ R ( a ) = b and let us see what expression h ( a ) has at the point c . The diagram a h ( a )= L ( a ) / / f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) b f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) c h ( a ) / / d is equivalent to the diagram a h ( a )= L ( a ) / / b f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) c h ( a ) / / ( f ( b )) − = L ( b − ) O O d and we have d = b b = b a a = b a b − c . Therefore h ( a ) • c = ( b a b − ) c We see that the representation of h depends on its argument. (cid:3) Theorem . Let f and h be twin representations of the multiplicative Ω -group A . For any a ∈ A the map h ( a ) is automorphism of representation f . Proof.
The statement of theorem is corollary of theorems 5.5.8 and 5.5.9. (cid:3)
Question . Is there a morphism of representations from L to L differentfrom automorphism R ( a ) ? If we assume r ( a ) = c a c − r ( a ) ◦ a = c a a c − then it is easy to see that the map ( r r ( a )) is morphism of the representationsfrom L to L . However this map is not automorphism of the representation L ,because r = id . (cid:3) HAPTER 6
Basis of Representation of Universal Algebra
Definition . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . The set B ⊂ A is called stable set of representation f , if f ( a )( m ) ∈ B for each a ∈ A , m ∈ B . (cid:3) We also say that the set A is stable with respect to the representation f . Theorem . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Let set B ⊂ A be subalgebraof Ω -algebra A and stable set of representation f . Then there exists representa-tion f B : A ∗ / / B such that f B ( a ) = f ( a ) | B . Representation f B is called subrepresentation ofrepresentation f . Proof.
Let ω be n -ary operation of Ω -algebra A . Then for each a , ..., a n ∈ A and each b ∈ B ( f B ( a ) ...f B ( a n ) ω )( b ) = ( f ( a ) ...f ( a n ) ω )( b ) = f ( a ...a n ω )( b )= f B ( a ...a n ω )( b )Let ω be n -ary operation of Ω -algebra A . Then for each b , ..., b n ∈ B and each a ∈ A f B ( a )( b ) ...f B ( a )( b n ) ω = f ( a )( b ) ...f ( a )( b n ) ω = f ( a )( b ...b n ω )= f B ( a )( b ...b n ω )We proved the statement of theorem. (cid:3) From the theorem 6.1.2, it follows that if f B is subrepresentation of represen-tation f , then the map (id : A → A, id B : B → A )is morphism of representations. Theorem . The set B f of all subrepresentations of representation f generates a closure system on Ω -algebra A and therefore is a complete lattice. Proof.
Let ( K λ ) λ ∈ Λ be the set off subalgebras of Ω -algebra A that arestable with respect to representation f . We define the operation of intersection onthe set B f according to rule \ f K λ = f ∩ K λ We defined the operation of intersection of subrepresentations properly. ∩ K λ issubalgebra of Ω -algebra A . Let m ∈ ∩ K λ . For each λ ∈ Λ and for each a ∈ A , f ( a )( m ) ∈ K λ . Therefore, f ( a )( m ) ∈ ∩ K λ . Therefore, ∩ K λ is the stable set ofrepresentation f . (cid:3) We denote the corresponding closure operator by J [ f ]. Thus J [ f, X ] isthe intersection of all subalgebras of Ω -algebra A containing X and stable withrespect to representation f . Theorem . Let g : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Let X ⊂ A . Define a subset X k ⊂ A by induction on k . X = X x ∈ X k = > x ∈ X k +1 x ∈ X k , ..., x n ∈ X k , ω ∈ Ω ( n ) = > x ...x n ω ∈ X k +1 x ∈ X k , a ∈ A = > f ( a )( x ) ∈ X k +1 Then (6.1.1) ∞ [ k =0 X k = J [ f, X ] Proof.
If we put U = ∪ X k , then by definition of X k , we have X ⊂ J [ f, X ],and if X k ⊂ J [ f, X ], then X k +1 ⊂ J [ f, X ]. By induction it follows that X k ⊂ J [ f, X ] for all k . Therefore,(6.1.2) U ⊂ J [ f, X ]If a ∈ U n , a = ( a , ..., a n ), where a i ∈ X k i , and if k = max { k , ..., k n } , then a ...a n ω ∈ X k +1 ⊂ U . Therefore, U is subalgebra of Ω -algebra A .If m ∈ U , then there exists such k that m ∈ X k . Therefore, f ( a )( m ) ∈ X k +1 ⊂ U for any a ∈ A . Therefore, U is stable set of the representation f .Since U is subalgebra of Ω -algebra A and is a stable set of the representation f , then subrepresentation f U is defined. Therefore,(6.1.3) J [ f, X ] ⊂ U From (6.1.2), (6.1.3), it follows that J [ f, X ] = U . (cid:3) This definition is similar to definition of the lattice of subalgebras ([14], p. 79, 80). Ingeneral, In this and subsequent theorems of this chapter, it is necessary to consider the structureof universal algebras A and A . Because the main task of this chapter is is the study of thestructure of the representation, I deliberately simplified the theorems so that the details do notobscure the basic statements. This topic will be discussed in more details in the chapter 8, wheretheorems will be formulated in general form. The statement of theorem is similar to the statement of theorem 5.1, [14], page 79.
Definition . J [ f, X ] is called subrepresentation generated by set X ,and X is a generating set of subrepresentation J [ f, X ] . In particular, a generatingset of representation f is a subset X ⊂ A such that J [ f, X ] = A . (cid:3) The next definition follows from the theorem 6.1.4.
Definition . Let X ⊂ A . For each m ∈ J [ f, X ] there exists Ω -word defined according to following rules. w [ f, X, m ]6.1.6.1: If m ∈ X , then m is Ω -word. If m , ..., m n are Ω -words and ω ∈ Ω ( n ) , then m ...m n ω is Ω -word. If m is Ω -word and a ∈ A , then f ( a )( m ) is Ω -word.We will identify an element m ∈ J [ f, X ] and corresponding it Ω -word usingequation m = w [ f, X, m ] Similarly, for an arbitrary set B ⊂ J [ f, X ] we consider the set of Ω -words w [ f, X, B ] = { w [ f, X, m ] : m ∈ B } We also use notation w [ f, X, B ] = ( w [ f, X, m ] , m ∈ B ) Denote w [ f, X ] the set of Ω -words of representation J [ f, X ] . (cid:3) Theorem . w [ f, X, X ] = X . Proof.
The theorem follows from the statement 6.1.6.1. (cid:3)
Theorem . Let X , Y be generating sets of representation f : A ∗ / / A Let w [ f, X, m ] be Ω -word of A -number m relative generating set X . Let w [ f, Y, X ] be the set of Ω -words of the set X relative generating set Y . If, in the word w [ f, X, m ] , we substitute image w [ f, Y, x ] of each x ∈ X , then we get Ω -word w [ f, Y, m ] of A -number m relative generating set Y .Transformation of Ω -words w [ f, X, m ] → w [ f, Y, m ] w [ f, Y, m ] = w [ f, Y, X ] ◦ w [ f, X, m ] is called supperposition of coordinates. Proof.
We prove the theorem by induction over complexity of Ω -word.If m ∈ X , then w [ f, X, m ] = m . If we substitute image w [ f, Y, x ] of m , thenwe get Ω -word w [ f, Y, m ] of A -number m relative generating set Y .Let Ω -word w [ f, X, m ] of A -number m has form(6.1.4) w [ f, X, m ] = w [ f, X, m ] ...w [ f, X, m n ] ω where ω ∈ Ω ( n ) and, for each A -number m i , we defined map w [ f, X, m i ] → w [ f, Y, m i ] The expression w [ f, X, m ] is a special case of the expression w [ f, X, B ], namely w [ f, X, { m } ] = { w [ f, X, m ] } .1. Generating Set of Representation 89 According to the statement 6.1.6.2, the expression w [ f, Y, m ] ...w [ f, Y, m n ] ω is Ω -word w [ f, Y, m ] of A -number m relative generating set Y . Therefore, wedefined map w [ f, X, m ] → w [ f, Y, m ]for A -number m .Let Ω -word w [ f, X, m ] of A -number m has form(6.1.5) w [ f, X, m ] = f ( a )( w [ f, X, m ])where, for A -number m , we defined map w [ f, X, m ] → w [ f, Y, m ]According to the statement 6.1.6.3, the expression f ( a )( w [ f, Y, m ])is Ω -word w [ f, Y, m ] of A -number m relative generating set Y . Therefore, wedefined map w [ f, X, m ] → w [ f, Y, m ]for A -number m . (cid:3) Choice of Ω -word relative generating set X is ambiguous. Therefore, if Ω -number has different Ω -words, then we will use indexes to distinguish them: w [ f, X, m ], w [ f, X, m ], w [ f, X, m ]. Definition . Generating set X of representation f generates equivalence ρ [ f, X ] = { ( w [ f, X, m ] , w [ f, X, m ]) : m ∈ A } on the set of Ω -words. (cid:3) According to the definition 6.1.9, two Ω -words with respect to the generatingset X of representation f are equivalent iff they correspond to the same A -number.When we write equality of two Ω -words with respect to the generating set X ofrepresentation f , we will keep in mind that this equality is true up to equivalence ρ [ f, X ]. Theorem . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Let g : A ∗ / / B be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B . Let X be the generating setof representation f . Let R : A → B be reduced morphism of representation and X ′ = R ( X ) . Reduced morphism R of representation generates the map of Ω -words w [ f → g, X, R ] : w [ f, X ] → w [ g, X ′ ] such that I considered morphism of representation in the theorem 8.1.7. If m ∈ X , m ′ = R ( m ) , then w [ f → g, X, R ]( m ) = m ′ If m , ..., m n ∈ w [ f, X ] m ′ = w [ f → g, X, R ]( m ) ... m ′ n = w [ f → g, X, R ]( m n ) then for operation ω ∈ Ω ( n ) holds w [ f → g, X, R ]( m ...m n ω ) = m ′ ...m ′ n ω If m ∈ w [ f, X ] m ′ = w [ f → g, X, R ]( m ) a ∈ A then w [ f → g, X, R ]( f ( a )( m )) = g ( a )( m ′ ) Proof.
Statements 6.1.10.1, 6.1.10.2 are true by definition of the reducedmorphism R . The statement 6.1.10.3 follows from the equality (3.4.5). (cid:3) Remark . Let R : A → B be reduced morphism of representation. Let m ∈ J [ f, X ] m ′ = R ( m ) X ′ = R ( X ) The theorem 6.1.10 states that m ′ ∈ J [ g, X ′ ] . The theorem 6.1.10 also statesthat Ω -word representing m relative X and Ω -word representing m ′ relative X ′ are generated according to the same algorithm. This allows considering of the setof Ω -words w [ g, X ′ , m ′ ] as map (6.1.6) W [ f, X, m ] : ( g, X ′ ) → ( g, X ′ ) ◦ W [ f, X, m ] = w [ g, X ′ , m ′ ] where X ′ = R ( X ) m ′ = R ( m ) for certain reduced morphism R .If f = g , then, instead of the map (6.1.6) , we consider the map W [ f, X, m ] : X ′ → X ′ ◦ W [ f, X, m ] = w [ f, X ′ , m ′ ] such that, if for certain endomorphism RX ′ = R ( X ) m ′ = R ( m ) then W [ f, X, m ]( X ′ ) = X ′ ◦ W [ f, X, m ] = w [ f, X ′ , m ′ ] = m ′ The map W [ f, X, m ] is called coordinates of A -number m relative to theset X . Similarly, we consider coordinates of a set B ⊂ J [ f, X ] relative to the set X W [ f, X, B ] = { W [ f, X, m ] : m ∈ B } = ( W [ f, X, m ] , m ∈ B ) .1. Generating Set of Representation 91 Denote W [ f, X ] = { W [ f, X, m ] : m ∈ J [ f, X ] } = ( W [ f, X, m ] , m ∈ J [ f, X ]) the set of coordinates of representation J [ f, X ] . (cid:3) Theorem . There is a structure of Ω -algebra on the set of coordinates W [ f, X ] . Proof.
Let ω ∈ Ω ( n ). Then for any m , ..., m n ∈ J [ f, X ] , we assume(6.1.7) W [ f, X, m ] ...W [ f, X, m n ] ω = W [ f, X, m ...m n ω ]According to the remark 6.1.11,(6.1.8) X ◦ ( W [ f, X, m ] ...W [ f, X, m n ] ω ) = X ◦ W [ f, X, m ...m n ω ]= w [ f, X, m ...m n ω ]follows from the equation (6.1.7). According to rule 6.1.6.2, from the equation(6.1.8), it follows that X ◦ ( W [ f, X, m ] ...W [ f, X, m n ] ω )= w [ f, X, m ] ...w [ f, X, m n ] ω = ( X ◦ W [ f, X, m ]) ... ( X ◦ W [ f, X, m n ]) ω (6.1.9)From the equation (6.1.9), it follows that the operation ω defined by the equation(6.1.7) on the set of coordinates is defined properly. (cid:3) Theorem . There exists the representation of Ω -algebra A in Ω -alge-bra W [ f, X ] . Proof.
Let a ∈ A . Then for any m ∈ J [ f, X ], we assume(6.1.10) f ( a )( W [ f, X, m ]) = W [ f, X, f ( a )( m )]According to the remark 6.1.11,(6.1.11) X ◦ ( f ( a )( W [ f, X, m ])) = X ◦ W [ f, X, f ( a )( m )] = w [ f, X, f ( a )( m )]follows from the equation (6.1.10). According to rule 6.1.6.3, from the equation(6.1.11), it follows that(6.1.12) X ◦ ( f ( a )( W [ f, X, m ])) = f ( a )( w [ f, X, m ]) = f ( a )( X ◦ W [ f, X, m ])From the equation (6.1.12), it follows that the representation (6.1.10) of Ω -algebra A in Ω -algebra W [ f, X ] is defined properly. (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Let g : A ∗ / / B be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra B . For given sets X ⊂ A , X ′ ⊂ B , let map R : X → X ′ agree with the structure of representation f , i. e. ω ∈ Ω ( n ) x , ..., x n , x ...x n ω ∈ X, R ( x ...x n ω ) ∈ X ′ = >R ( x ...x n ω ) = R ( x ) ...R ( x n ) ωx ∈ X, a ∈ A, R ( f ( a )( x )) ∈ X ′ = >R ( f ( a )( x )) = g ( a )( R ( x )) Consider the map of Ω -words w [ f → g, X, X ′ , R ] : w [ f, X ] → w [ g, X ′ ] that satisfies conditions 6.1.10.1, 6.1.10.2, 6.1.10.3 and such that x ∈ X = > w [ f → g, X, X ′ , R ]( x ) = R ( x ) There exists unique map R : A → B defined by rule R ( m ) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w [ f, X, m ]) which is reduced morphism of representations J [ f, X ] and J [ g, X ′ ] . Proof.
We prove the theorem by induction over complexity of Ω -word.If w [ f, X, m ] = m , then m ∈ X . According to condition 6.1.10.1, R ( m ) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w [ f, X, m ]) = w [ f, X, R ]( m ) = R ( m )Therefore, maps R and R coinside on the set X , and the map R agrees withstructure of representation f .Let ω ∈ Ω ( n ). Let the map R be defined for m , ..., m n ∈ J [ f, X ]. Let w = w [ f, X, m ] ... w n = w [ f, X, m n ]f m = m ...m n ω , then according to rule 6.1.6.2, w [ f, X, m ] = w ...w n ω According to condition 6.1.10.2, R ( m ) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w [ f, X, m ]) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w ...w n ω )= w [ f → g, X, X ′ , R ]( w ) ...w [ f → g, X, X ′ , R ]( w n ) ω = R ( m ) ...R ( m n ) ω Therefore, the map R is endomorphism of Ω -algebra A .Let the map R be defined for m ∈ J [ f, X ], w = w [ f, X, m ]. Let a ∈ A .If m = f ( a )( m ), then according to rule 6.1.6.3, w [ f, X, f ( a )( m )] = f ( a )( w )According to condition 6.1.10.3, R ( m ) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w [ f, X, m ]) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( f ( a )( w ))= f ( a )( w [ f → g, X, X ′ , R ]( w )) = f ( a )( R ( m ))From equation (3.2.3), it follows that the map R is morphism of the representation f . .1. Generating Set of Representation 93 The statement that the endomorphism R is unique and therefore this endomor-phism is defined properly follows from the following argument. Let m ∈ A havedifferent Ω -words relative the set X , for instance(6.1.13) m = x ...x n ω = f ( a )( x )Because R is endomorphism of representation, then, from the equation (6.1.13), itfollows that(6.1.14) R ( m ) = R ( x ...x n ω ) = R ( x ) ...R ( x n ) ω = R ( f ( a )( x )) = f ( a )( R ( x ))From the equation (6.1.14), it follows that(6.1.15) R ( m ) = R ( x ) ...R ( x n ) ω = f ( a )( R ( x ))From equations (6.1.13), (6.1.15), it follows that the equation (6.1.13) is preservedunder the map. Therefore, the image of A does not depend on the choice ofcoordinates. (cid:3) Remark . The theorem 6.1.14 is the theorem of extension of map. Theonly statement we know about the set X is the statement that X is generating setof the representation f . However, between the elements of the set X there may berelationships generated by either operations of Ω -algebra A , or by transformationof representation f . Therefore, any map of set X , in general, cannot be extended toa reduced morphism of representation f . However, if the map R is coordinatedwith the structure of representation on the set X , then we can construct an extensionof this map and this extension is reduced morphism of representation f . (cid:3) Definition . Let X be the generating set of the representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Let Y be the generating set of the representation g : A ∗ / / B of Ω -algebra A in Ω -algebra B . Let R : A → B be the reduced morphism of the representation f . The set of coordinates W [ g, Y, R ( X )] is called coordinates of reduced morphism of representa-tion . (cid:3) From definitions 6.1.6, 6.1.16, it follows that W [ g, Y, R ( X )] = ( W [ g, Y, R ( x )] , x ∈ X )Let m ∈ A . If, in the word w [ f, X, m ], we substitute image w [ g, Y, R ( x )] of each x ∈ X , then, according to the theorem 6.1.14, we get Ω -word w [ g, Y, R ( m )]. Thedefinition 6.1.17 follows from this statement. In the theorem 6.2.10, requirements to generating set are more stringent. Therefore, thetheorem 6.2.10 says about extension of arbitrary map. A more detailed analysis is given in theremark 6.2.12.
Definition . Let X be the generating set of the representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Let Y be the generating set of the representation g : A ∗ / / B of Ω -algebra A in Ω -algebra B . Let RR : A → B be the reduced morphism of the representation f . Let m ∈ A . We define super-position of coordinates of the reduced morphism R of the representation f and A -number m as coordinates defined according to rule (6.1.16) W [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, m ] = W [ g, Y, R ( m )] We define superposition of coordinates of the reduced morphism R of the represen-tation f and the set B ⊆ A according to rule (6.1.17) W [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, B ] = ( W [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, m ] , m ∈ B ) W [ g, Y, R ( X )] ◦ w [ f, X, B ] = w [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, B ] = w [ g, Y, R ( B )] (cid:3) Theorem . Let X be the generating set of the representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Let Y be the generating set of the representation g : A ∗ / / B of Ω -algebra A in Ω -algebra B . Reduced morphism of representation R : A → B generates the map of coordinates of representation (6.1.18) W [ f → g, X, Y, R ] : W [ f, X ] → W [ g, Y ] such that (6.1.19) W [ f, X, m ] → W [ f → g, X, Y, R ] ◦ W [ f, X, m ] = W [ g, Y, R ( m )] Proof.
According to the remark 6.1.11, we consider equations (6.1.16), (6.1.18)relative to given generating sets X , Y . The word(6.1.20) X ◦ W [ f, X, m ] = w [ f, X, m ]corresponds to coordinates W [ f, X, m ]; the word(6.1.21) Y ◦ W [ g, Y, R ( m )] = w [ g, Y, R ( m )]corresponds to coordinates W [ g, Y, R ( m )]. Therefore, in order to prove the theorem,it is sufficient to show that the map W [ f, X, R ] corresponds to map w [ f, X, R ]. Weprove this statement by induction over complexity of Ω -word.If m ∈ X , m ′ = R ( m ), then, according to equations (6.1.20), (6.1.21), maps W [ f, X, R ] and w [ f, X, R ] are coordinated.Let for m , ..., m n ∈ X maps W [ f, X, R ] and w [ f, X, R ] be coordinated. Let ω ∈ Ω ( n ). According to the theorem 6.1.12(6.1.22) W [ f, X, m ...m n ω ] = W [ f, X, m ] ...W [ f, X, m n ] ω .1. Generating Set of Representation 95 Because R is endomorphism of Ω -algebra A , then from the equation (6.1.22), itfollows that(6.1.23) W [ f, X, R ◦ ( m ...m n ω )] = W [ f, X, ( R ◦ m ) ... ( R ◦ m n ) ω ]= W [ f, X, R ◦ m ] ...W [ f, X, R ◦ m n ] ω From equations (6.1.22), (6.1.23) and the statement of induction, it follows thatthe maps W [ f, X, R ] and w [ f, X, R ] are coordinated for m = m ...m n ω .Let for m ∈ A maps W [ f, X, R ] and w [ f, X, R ] are coordinated. Let a ∈ A .According to the theorem 6.1.13(6.1.24) W [ f, X, f ( a )( m )] = f ( a )( W [ f, X, m ])Because R is endomorphism of representation f , then, from the equation (6.1.24),it follows that(6.1.25) W [ f, X, R ◦ f ( a )( m )] = W [ f, X, f ( a )( R ◦ m )] = f ( a )( W [ f, X, R ◦ m ])From equations (6.1.24), (6.1.25) and the statement of induction, it follows thatmaps W [ f, X, R ] and w [ f, X, R ] are coordinated for m = f ( a )( m ). (cid:3) Corollary . Let X be the generating set of the representation f . Let R be the endomorphism of the representation f . The map W [ f, X, R ] is endomorphismof representation of Ω -algebra A in Ω -algebra W [ f, X ] . (cid:3) Hereinafter we will identify map W [ f, X, R ] and the set of coordinates W [ f, X, R ◦ X ]. Theorem . Let X be the generating set of the representation f . Let R be the endomorphism of the representation f . Let Y ⊂ A . Then (6.1.26) W [ f, X, R ( X )] ◦ W [ f, X, Y ] = W [ f, X, R ( Y )] Proof.
The equation (6.1.26) follows from the equation R ◦ Y = ( R ◦ m, m ∈ Y )as well from equations (6.1.16), (6.1.17). (cid:3) Theorem . Let X be the generating set of the representation f . Let R , S be the endomorphisms of the representation f . Then (6.1.27) W [ f, X, R ] ◦ W [ f, X, S ] = W [ f, X, R ◦ S ] Proof.
The equation (6.1.27) follows from the equation (6.1.26), if we assume Y = S ◦ X . (cid:3) The concept of superposition of coordinates is very simple and resembles a kindof Turing machine. If element m ∈ A has form either m = m ...m n ω or m = f ( a )( m )then we are looking for coordinates of elements m i to substitute them in an appro-priate expression. As soon as an element m ∈ A belongs to the generating set ofΩ -algebra A , we choose coordinates of the corresponding element of the secondfactor. Therefore, we require that the second factor in the superposition has beenthe set of coordinates of the image of the generating set X . The following forms of writing an image of the set Y under endomorphism R are equivalent.(6.1.28) R ◦ Y = ( R ( X )) ◦ W [ f, X, Y ] = ( X ◦ W [ f, X, R ]) ◦ W [ f, X, Y ]From equations (6.1.26), (6.1.28), it follows that(6.1.29) X ◦ ( W [ f, X, R ] ◦ W [ f, X, Y ]) = ( X ◦ W [ f, X, R ]) ◦ W [ f, X, Y ]The equation (6.1.29) is associative law for composition and allows us to writeexpression X ◦ W [ f, X, R ] ◦ W [ f, X, Y ]without brackets. Definition . Let X ⊂ A be generating set of representation f : A ∗ / / A Let the map H : A → A be endomorphism of the representation f . Let the set X ′ = H ◦ X be the image ofthe set X under the map H . Endomorphism H of representation f is called regularon the generating set X , if the set X ′ is the generating set of representation f .Otherwise, endomorphism H of representation f is called singular on the generatingset X . (cid:3) Definition . Endomorphism of representation f is called regular , if itis regular on every generating set. Otherwise, endomorphism H of representation f is called singular . (cid:3) Theorem . Automorphism R of representation f : A ∗ / / A is regular endomorphism. Proof.
Let X be generating set of representation f . Let X ′ = R ( X ).According to theorem 6.1.10 endomorphism R forms the map of Ω -words w [ f → g, X, R ].Let m ′ ∈ A . Since R is automorphism, then there exists m ∈ A , R ◦ m = m ′ .According to definition 6.1.6, w [ f, X, m ] is Ω -word, representing A relative to gen-erating set X . According to theorem 6.1.10, w [ f, X ′ , m ′ ] is Ω -word, representingof m ′ relative to generating set X ′ w [ f, X ′ , m ′ ] = w [ f → g, X, R ]( w [ f, X, m ])Therefore, X ′ is generating set of representation f . According to definition 6.1.23,automorphism R is regular. (cid:3) Definition . Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A and Gen [ f ] = { X ⊆ A : J [ f, X ] = A } .2. Basis of representation 97 If, for the set X ⊂ A , it is true that X ∈ Gen [ f ] , then for any set Y , X ⊂ Y ⊂ A , also it is true that Y ∈ Gen [ f ] . If there exists minimal set X ∈ Gen [ f ] ,then the set X is called quasibasis of representation f . (cid:3) Theorem . If the set X is the quasibasis of the representation f , then,for any m ∈ X , the set X \ { m } is not generating set of the representation f . Proof.
Let X be quasibasis of the representation f . Assume that for some m ∈ X there exist Ω -word w = w [ f, X \ { m } , m ]Consider A -number m ′ such that it has Ω -word w ′ = w [ f, X, m ′ ] that dependson m . According to the definition 6.1.6, any occurrence of A -number m into Ω -word w ′ can be substituted by the Ω -word w . Therefore, the Ω -word w ′ does notdepend on m , and the set X \ { m } is generating set of representation f . Therefore, X is not quasibasis of representation f . (cid:3) Remark . The proof of the theorem 6.2.2 gives us effective method forconstructing the quasibasis of the representation f . Choosing an arbitrary gener-ating set, step by step, we remove from set those elements which have coordinatesrelative to other elements of the set. If the generating set of the representation isinfinite, then this construction may not have the last step. If the representation hasfinite generating set, then we need a finite number of steps to construct a quasibasisof this representation. (cid:3) We introduced Ω -word of x ∈ A relative generating set X in the definition6.1.6. From the theorem 6.2.2, it follows that if the generating set X is not an qua-sibasis, then a choice of Ω -word relative generating set X is ambiguous. However,even if the generating set X is an quasibasis, then a representation of m ∈ A inform of Ω -word is ambiguous. Remark . There are three reasons of ambiguity in notation of Ω -word. In Ω i -algebra A i , i = 1 , , equalities may be defined. For instance, if e isunit of multiplicative group A i , then the equality ae = a is true for any a ∈ A i . Ambiguity of choice of Ω -word may be associated with properties of rep-resentation. For instance, if m , ..., m n are Ω -words, ω ∈ Ω ( n ) and a ∈ A , then (6.2.1) f ( a )( m ...m n ω ) = ( f ( a )( m )) ... ( f ( a )( m n )) ω At the same time, if ω is operation of Ω -algebra A and operationof Ω -algebra A , then we require that Ω -words f ( a ...a n ω )( x ) and For instance, let { e , e } be the basis of vector space over field k . The equation (6.2.1) hasthe form of distributive law a ( b e + b e ) = ( ab ) e + ( ab ) e ( f ( a )( x )) ... ( f ( a n )( x )) ω describe the same element of Ω -algebra A . (6.2.2) f ( a ...a n ω )( x ) = ( f ( a )( x )) ... ( f ( a n )( x )) ω Equalities like (6.2.1) , (6.2.2) persist under morphism of representation.Therefore we can ignore this form of ambiguity of Ω -word. However,a fundamentally different form of ambiguity is possible. We can see anexample of such ambiguity in theorems 9.3.15, 9.3.16.So we see that we can define different equivalence relations on the set of Ω -words. Our goal is to find a maximum equivalence on the set of Ω -words which persistunder morphism of representation.A similar remark concerns the map W [ f, X, m ] defined in the remark 6.1.11. (cid:3) Theorem . Let X be quasibasis of the representation f : A ∗ / / A Consider equivalence λ [ f, X ] ⊆ w [ f, X ] × w [ f, X ] which is generated exclusively by the following statements. If in Ω -algebra A there is an equality w [ f, X, m ] = w [ f, X, m ] defining structure of Ω -algebra, then ( w [ f, X, m ] , w [ f, X, m ]) ∈ λ [ f, X ]6.2.5.2: If in Ω -algebra A there is an equality w [ f, X, m ] = w [ f, X, m ] defining structure of Ω -algebra, then ( f ( w )( w [ f, X, m ]) , f ( w )( w [ f, X, m ])) ∈ λ [ f, X ] For vector space, this requirement has the form of distributive law( a + b ) e = ae + be Evidently each of the equalities (6.2.1), (6.2.2) generates some equivalence relation.
If vector space has finite basis, then we represent the basis as matrix e = (cid:16) e ... e (cid:17) We present the map W [ f, e ]( v ) as matrix W [ f, e, v ] = v ...v n Then W [ f, e, v ]( e ′ ) = W [ f, e, v ] (cid:16) e ′ ... e ′ n (cid:17) = v ...v n (cid:16) e ′ ... e ′ n (cid:17) has form of matrix product. .2. Basis of representation 99 For any operation ω ∈ Ω ( n ) , ( f ( a ...a n ω )( a ) , ( f ( a ) ...f ( a n ) ω )( a )) ∈ λ [ f, X ]6.2.5.4: For any operation ω ∈ Ω ( n ) , ( f ( a )( a ...a n ω ) , f ( a )( a ) ...f ( a )( a n ) ω ) ∈ λ [ f, X ]6.2.5.5: Let ω ∈ Ω ( n ) ∩ Ω ( n ) . If the representation f satisfies equality f ( a ...a n ω )( a ) = ( f ( a )( a )) ... ( f ( a n )( a )) ω then we can assume that the following equality is true ( f ( a ...a n ω )( a ) , ( f ( a )( a )) ... ( f ( a n )( a )) ω ) ∈ λ [ f, X ] Proof.
The theorem is true because considered equalities are preserved underhomomorphisms of universal algebras A and A . (cid:3) Definition . Quasibasis e of the representation f such that ρ [ f, e ] = λ [ f, e ] is called basis of representation f . (cid:3) Remark . As noted by Paul Cohn in [14], p. 82, 83, the representationmay have inequivalent bases. For instance, the cyclic group of order six has bases { a } and { a , a } which we cannot map one into another by endomorphism of therepresentation. (cid:3) Remark . We write a basis also in following form e = ( e, e ∈ e ) If basis is finite, then we also use notation e = ( e i , i ∈ I ) = ( e , ..., e n ) (cid:3) Theorem . Automorphism of the representation f maps a basis of therepresentation f into basis. Proof.
Let the map R be automorphism of the representation f . Let the set e be a basis of the representation f . Let e ′ = R ◦ e . Assume that the set e ′ isnot basis. According to the theorem 6.2.2 there exists such e ′ ∈ e ′ that e ′ \ { e ′ } is generating set of the representation f . According to the theorem 3.5.5, the map R − is automorphism of the representation f . According to the theorem 6.1.24 anddefinition 6.1.23, the set e \ { e } is generating set of the representation f . Thecontradiction completes the proof of the theorem. (cid:3) Consider a representation of commutative ring D in D -algebra A . We will use notation f ( a )( v ) = av The operations of addition and multiplication are defined in both algebras. However the equality f ( a + b )( v ) = f ( a )( v ) + f ( b )( v )is true, and the equality f ( ab )( v ) = f ( a )( v ) f ( b )( v )is wrong. According to definitions 5.1.3, 6.4.1, we will use notation R ( e ) = R ◦ e .
00 6. Basis of Representation of Universal Algebra
Theorem . Let e be the basis of the representation f . Let R : e → e ′ be arbitrary map of the set X . Consider the map of Ω -words w [ f → g, e, e ′ , R ] : w [ f, e ] → w [ g, e ′ ] that satisfies conditions 6.1.10.1, 6.1.10.2, 6.1.10.3 and such that e ∈ e = > w [ f → g, e, e ′ , R ]( e ) = R ( e ) There exists unique endomorphism of representation f r : A → A defined by rule R ( m ) = w [ f → g, e, e ′ , R ]( w [ f, e, m ]) Proof.
The statement of theorem is corollary theorems 6.1.10, 6.1.14. (cid:3)
Corollary . Let e , e ′ be the bases of the representation f . Let R be theautomorphism of the representation f such that e ′ = R ◦ e . Automorphism R isuniquely defined. (cid:3) Remark . The theorem 6.2.10, as well as the theorem 6.1.14, is thetheorem of extension of map. However in this theorem, e is not arbitrary gener-ating set of the representation, but basis. According to remark 6.2.3, we cannotdetermine coordinates of any element of basis through the remaining elements ofthe same basis. Therefore, we do not need to coordinate the map of the basis withrepresentation. (cid:3) Theorem . The set of coordinates W [ f, e, e ] corresponds to identitytransformation W [ f, e, E ] = W [ f, e, e ] Proof.
The statement of the theorem follows from the equation m = e ◦ W [ f, e, m ] = e ◦ W [ f, e, e ] ◦ W [ f, e, m ] (cid:3) Theorem . Let W [ f, e, R ◦ e ] be the set of coordinates of automorphism R . There exists set of coordinates W [ f, R ◦ e, e ] corresponding to automorphism R − . The set of coordinates W [ f, R ◦ e, e ] satisfies to equation (6.2.3) W [ f, e, R ◦ e ] ◦ W [ f, R ◦ e, e ] = W [ f, e, e ] W [ f → f, e, e, R − ] = W [ f → f, e, e, R ] − = W [ f, R ◦ e, e ] Proof.
Since R is automorphism of the representation f , then, according tothe theorem 6.2.9, the set R ◦ e is a basis of the representation f . Therefore, thereexists the set of coordinates W [ f, R ◦ e, e ]. The equation (6.2.3) follows from thechain of equations W [ f, e, R ◦ e ] ◦ W [ f, R ◦ e, e ] = W [ f, e, R ◦ e ] ◦ W [ f, e, R − ◦ e ]= W [ f, e, R ◦ R − ◦ e ] = W [ f, e, e ] (cid:3) This statement is similar to the theorem [2]-4.1, p. 135. .3. Free Representation 101
Remark . In Ω -algebra A there is no universal algorithm for deter-mining the set of coordinates W [ f, R ◦ e, e ] for given set W [ f, e, R ◦ e ] . Weassume that in the theorem 6.2.14 this algorithm is given implicitly. It is evidentalso that the set of Ω -words (6.2.4) e ◦ W [ f, R ◦ e, e ] ◦ W [ f, e, R ◦ e ] in general, does not coincide with the set of Ω -words (6.2.5) e ◦ W [ f, e, e ] The theorem 6.2.14 states that sets of Ω -words (6.2.4) and (6.2.5) coincide up toequivalence generated by the representation f . (cid:3) Theorem . Let W [ f, e, R ◦ e ] be the set of coordinates of automorphism R . Let W [ f, e, S ◦ e ] be the set of coordinates of automorphism S . The set ofcoordinates of automorphism ( R ◦ S ) − satisfies to the equality (6.2.6) W [ f, ( R ◦ S ) ◦ e, e ] = W [ f, S ◦ ( R ◦ e ) , e ] = W [ f, S ◦ e, e ] ◦ W [ f, R ◦ e, e ] Proof.
The equality W [ f, ( R ◦ S ) ◦ e, e ] = W [ f, e, ( R ◦ S ) − ◦ e ] = W [ f, e, S − ◦ R − ◦ e ]= W [ f, e, S − ◦ e ] ◦ W [ f, e, R − ◦ e ]= W [ f, S ◦ e, e ] ◦ W [ f, R ◦ e, e ]= W [ f, S ◦ ( R ◦ e ) , e ](6.2.7)follows from theorems 6.1.21, 6.2.14. The equality (6.2.6) follows from the equality(6.2.7). (cid:3) Theorem . The group of automorphisms GA ( f ) of effective represen-tation f in Ω -algebra A generates effective left-side representation in Ω -algebra A . Proof.
From the corollary 6.2.11, it follows that if automorphism R maps abasis e into a basis e ′ , then the set of coordinates W [ f, e, e ′ ] uniquely determinesan automorphism R . From the theorem 6.1.18, it follows that the set of coordi-nates W [ f, e, e ′ ] determines the map of coordinates relative to the basis e underautomorphism of the representation f . From the equation (6.1.28), it follows thatautomorphism R acts from the left on elements of Ω -algebra A . From the equa-tion (6.1.27), it follows that the representation of group is left-side representation.According to the theorem 6.2.13, the set of coordinates W [ f, e, e ] corresponds toidentity transformation. From the theorem 6.2.14, it follows that the set of coor-dinates W [ f, R ◦ e, e ] corresponds to transformation, inverse to transformation W [ f, e, R ◦ e ]. (cid:3) In the section 3.1, we considered the definition 3.1.4 of free representation.However we may consider another definition which is similar to the definition offree module.
In vector space, the matrix of numbers corresponds to linear transformation. Accordingly,the inverse matrix corresponds to inverse transformation.
02 6. Basis of Representation of Universal Algebra
Definition . The representation f : A ∗ / / A is called free representation if this representation has a basis. (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / A be free representation according to the definition 6.3.1. Then the representation f is free according to the definition 3.1.4. Proof.
Let e be basis of representation f and m ∈ e . Let there exist A -numbers a , b such that f ( a ) = f ( b ). According to the assumption, f ( a )( m ) = f ( b )( m ). However, if a = b , then f ( a )( m ) and f ( b )( m ) are different Ω -words. Therefore, e is not a basis. From this contradiction, it follows that a = b .Therefore, the representation f is free according to the definition 3.1.4. (cid:3) Theorem . Let f : A ∗ / / A be free representation according to the definition 3.1.4. Then the representation f is free according to the definition 6.3.1. Question . It is very important to find a proof of the theorem 6.3.3 or tofind an example when this theorem is wrong. We will see in the chapter 7 how isimportant a free presentation defined in the definition 6.3.1. Because in the futureI will assume that a representation always has a basis, then within the frameworkof this book I can use the theorem 6.3.2. (cid:3)
The set B [ f ] of bases of representation f is called basis manifold of repre-sentation f . Definition . According to theorems 6.1.20, 6.2.9, automorphism R ofthe representation f generates transformation R : h → R ◦ hR ◦ h = W [ f, e, R ◦ e ] ◦ h (6.4.1) of the basis manifold of representation. This transformation is called active . Ac-cording to the theorem 3.5.5, we defined left-side representation A ( f ) : GA ( f ) ∗ / / B [ f ] of group GA ( f ) in basis manifold B [ f ] . Representation A ( f ) is called active rep-resentation . According to the corollary 6.2.11, this representation is single tran-sitive. (cid:3) Remark . According to remark 6.2.3, it is possible that there exist basesof representation f such that there is no active transformation between them. Thenwe consider the orbit of selected basis as basis manifold. Therefore, it is possiblethat the representation f has different basis manifolds. We will assume that wehave chosen a basis manifold. .4. Basis Manifold of Representation 103 Theorem . There exists single transitive right-side representation P ( f ) : GA ( f ) ∗ / / B [ f ] of group GA ( f ) in basis manifold B [ f ] . Representation P ( f ) is called passiverepresentation . Proof.
Since A ( f ) is single transitive left-side representation of group GA ( f ),then single transitive right-side representation P ( f ) is uniquely defined accordingto the theorem 5.5.9. (cid:3) Theorem . Transformation of representation P ( f ) is called passive trans-formation of the basis manifold of representation. We also use notation S ( e ) = e ◦ S to denote the image of basis e under passive transformation S . Passive transfor-mation of basis has form S : h → h ◦ Sh ◦ S = h ◦ W [ f, e, e ◦ S ](6.4.2) Proof.
According to the equality (6.4.1), active transformation acts from lefton coordinates of basis. The equality (6.4.2) follows from theorems 5.5.8, 5.5.9,5.5.11; according to these theorems, passive transformation acts from right on co-ordinates of basis. (cid:3)
Theorem . Passive transformation of the basis manifold is automorphismof representation A ( f ) . Proof.
The theorem follows from the theorem 5.5.11. (cid:3)
Theorem . Let S be passive transformation of the basis manifold of therepresentation f . Let e be the basis of the representation f , e = e ◦ S . Forbasis e , let there exists an active transformation R such that e = R ◦ e . Let e = R ◦ e . Then e = e ◦ S . Proof.
According to the equality (6.4.1), active transformation of coordinatesof basis e has form(6.4.3) e = W [ f, e , e ] ◦ e = W [ f, e , e ] ◦ e ◦ W [ f, e , e ]Let e = e ◦ S . From the equality (6.4.2), it follows that(6.4.4) e = e ◦ W [ f, e , e ] = W [ f, e , e ] ◦ e ◦ W [ f, e , e ]From match of expressions in equalities (6.4.3), (6.4.4), it follows that e = e .Therefore, the diagram e ∈ B [ f ] S (cid:15) (cid:15) R / / e ∈ B [ f ] S (cid:15) (cid:15) e ∈ B [ f ] R / / e ∈ B [ f ]is commutative. (cid:3)
04 6. Basis of Representation of Universal Algebra
An active transformation changes a basis of the representation and Ω -numberuniformly and coordinates of Ω -number relative basis do not change. A passivetransformation changes only the basis and it leads to change of coordinates of Ω -number relative to the basis. Theorem . Let passive transformation S ∈ GA ( f ) maps basis e ∈ B [ f ] into basis e ∈ B [ f ](6.5.1) e = e ◦ S = e ◦ W [ f, e , e ◦ S ] Let A -number m has Ω -word (6.5.2) m = e ◦ W [ f, e , m ] relative to basis e and has Ω -word (6.5.3) m = e ◦ W [ f, e , m ] relative to basis e . Coordinate transformation (6.5.4) W [ f, e , m ] = W [ f, e ◦ S, e ] ◦ W [ f, e , m ] does not depend on A -number m or basis e , but is defined only by coordinates of A -number m relative to basis e . Proof.
From (6.5.1) and (6.5.3), it follows that e ◦ W [ f, e , m ] = e ◦ W [ f, e , m ] = e ◦ W [ f, e , e ] ◦ W [ f, e , m ]= e ◦ W [ f, e , e ◦ S ] ◦ W [ f, e , m ](6.5.5)Comparing (6.5.2) and (6.5.5) we get(6.5.6) W [ f, e , m ] = W [ f, e , e ◦ S ] ◦ W [ f, e , m ]Since S is automorphism, then the equality (6.5.4) follows from (6.5.6) and thetheorem 6.2.14. (cid:3) Theorem . Coordinate transformations (6.5.4) form effective contravari-ant right-side representation of group GA ( f ) which is called coordinate repre-sentation in Ω -algebra. Proof.
According to corollary 6.1.19, the transformation (6.5.4) is the endo-morphism of representation f : A ∗ / / W [ f, e ]Suppose we have two consecutive passive transformations S and T . Coordinatetransformation(6.5.7) W [ f, e , m ] = W [ f, e ◦ S, e ] ◦ W [ f, e , m ]corresponds to passive transformation S . Coordinate transformation(6.5.8) W [ f, e , m ] = W [ f, e ◦ T, e ] ◦ W [ f, e , m ] This transformation does not generate an endomorphism of the representation f . Coordinateschange because basis relative which we determinate coordinates changes. However, A -number,coordinates of which we are considering, does not change. .5. Geometric Object of Representation of Universal Algebra 105 corresponds to passive transformation T . According to the theorem 8.3.3, productof coordinate transformations (6.5.7) and (6.5.8) has form W [ f, e , m ] = W [ f, e ◦ T, e ] ◦ W [ f, e ◦ S, e ] ◦ W [ f, e , m ]= W [ f, e ◦ T ◦ S, e ] ◦ W [ f, e , m ]and is coordinate transformation corresponding to passive transformation S ◦ T .According to theorems 6.2.14, 6.2.16 and to the definition 5.1.11, coordinate trans-formations form right-side contravariant representation of group GA ( f ).Suppose coordinate transformation does not change coordinates of selected ba-sis. Then unit of group GA ( f ) corresponds to it because representation is singletransitive. Therefore, coordinate representation is effective. (cid:3) Let f be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Let g be representa-tion of Ω -algebra A in Ω -algebra A . Passive representation P ( g ) is coordinatedwith passive representation P ( f ), if there exists homomorphism h of group GA ( f )into group GA ( g ). Consider diagramEnd( B [ f ]) H / / End( B [ g ]) GA ( f ) P ( f ) O O h / / f ′ ❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦ GA ( g ) P ( g ) O O Since maps P ( f ), P ( g ) are isomorphisms of group, then map H is homomorphismof groups. Therefore, map f ′ is representation of group GA ( f ) in basis manifold B ( g ). According to design, passive transformation H ( S ) of basis manifold B ( g )corresponds to passive transformation S of basis manifold B ( f )(6.5.9) e g = e g ◦ H ( S )Then coordinate transformation in representation g gets form(6.5.10) W [ g, e g , m ] = W [ g, e g ◦ H ( S ) , e g ] ◦ W [ g, e g , m ] Definition . Orbit O ( f, g, e g , m ) = H ( GA ( f )) ◦ W [ g, e g , m ]= ( W [ g, e g ◦ H ( S ) , e g ] ◦ W [ g, e g , m ] , e f ◦ S, S ∈ GA ( f )) is called geometric object in coordinate representation defined in the rep-resentation f . For any basis e f = e f ◦ S corresponding point (6.5.10) of orbitdefines coordinates of geometric object relative basis e f . (cid:3) Definition . Orbit O ( f, g, m ) = ( W [ g, e g ◦ H ( S ) , e g ] ◦ W [ g, e g , m ] , e g ◦ H ( S ) , e f ◦ S, S ∈ GA ( f )) is called geometric object defined in the representation f . We also say that m isa geometric object of type H . For any basis e f = e f ◦ S corresponding point (6.5.10) of orbit defines A -number m = e g ◦ W [ g, e g , m ] called representative of geometric object in the representation f . (cid:3)
06 6. Basis of Representation of Universal Algebra
Since a geometric object is an orbit of representation, we see that according tothe theorem 5.3.7 the definition of the geometric object is a proper definition.Definition 6.5.3 introduces a geometric object in coordinate space. We assumein definition 6.5.4 that we selected a basis of representation g . This allows using arepresentative of the geometric object instead of its coordinates. Theorem . Representative of geometric object doesnot depend on selection of basis e f . Proof.
To define representative of geometric object, we need to select basis e f of representation f , basis e g of representation g and coordinates of geometricobject W [ g, e g , n ]. Corresponding representative of geometric object has form n = e g ◦ W [ g, e g , n ]Suppose we map basis e f to basis e f by passive transformation e f = e f ◦ S According building this forms passive transformation (6.5.9) and coordinate trans-formation (6.5.10). Corresponding representative of geometric object has form n ′ = e g ◦ W [ g, e g , n ′ ]= e g ◦ W [ g, e g , e g ◦ H ( S )] ◦ W [ g, e g ◦ H ( S ) , e g ] ◦ W [ g, e g , n ]= e g ◦ W [ g, e g , n ] = n Therefore representative of geometric object is invariant relative selection of basis. (cid:3)
Theorem . The set of geometric objects of type H is Ω -algebra. Proof.
Let m i = e g ◦ W [ g, e g , m i ] i = 1 , ..., n For operation ω ∈ Ω ( n ) we assume(6.5.11) m ...m n ω = e g ◦ ( W [ g, e g , m ] ...W [ g, e g , m n ] ω )Since for arbitrary endomorphism S of Ω -algebra A , the map W [ g, e g , e g ◦ H ( S )]is endomorphism of Ω -algebra A , then the definition (6.5.11) is correct. (cid:3) Theorem . There exists the representation of Ω -algebra A in Ω -algebra N of geometric objects of type H . Proof.
Let m = e g ◦ W [ g, e g , m ]For a ∈ A , we assume(6.5.12) f ( a )( m ) = e g ◦ f ( a )( W [ g, e g , m ])Since for arbitrary endomorphism S of Ω -algebra A , the map W [ g, e g , e g ◦ H ( S )]is endomorphism of representation g , then the definition (6.5.12) is correct. (cid:3) HAPTER 7
Diagram of Representations of Universal Algebras
From a comparison of theorems 6.1.4 and [14]-5.1, it follows that there is norigid boundary between universal algebra and representation of universal algebra.This implies the possibility of a generalization of representation of universal algebra.The simplest construction arises as follows. Let f : A ∗ / / A be representation of Ω -algebra A in Ω -algebra A . If, instead of Ω -algebra A ,we consider representation f : A ∗ / / A of Ω -algebra A in Ω -algebra A , then we get a diagram of the following form(7.1.1) A ∗ f / / A ∗ f / / A It is evident that, in the diagram (7.1.1), we assume that A is representation f : A ∗ / / A We can make a chain of representations of universal algebras as long as we wish.Thus we obtain the following definition.
Definition . Consider set of Ω k -algebras A k , k = 1 , ..., n . Let A =( A , ..., A n ) . Let f = ( f , ..., f n − n ) . Set of representations f k k +1 , k = 1 , ..., n ,of Ω k -algebra A k in Ω k +1 -algebra A k +1 is called tower ( f, A ) of representationsof Ω -algebras . (cid:3) We can represent tower of representations ( f, A ) using the following diagram A ∗ f / / A ∗ f / / ... ∗ f n − n / / A n When we consider the tower of representations, we again consider that A or A are representations of universal algebras or towers of representations. In thiscase, the diagram (7.1.1) gets form A ∗ f / / A ∗ f / / A A ∗ f O O A ∗ f O O A ∗ f O O or A ∗ f / / A ∗ f / / A A ∗ f O O A ∗ f O O A ∗ f O O We also assume that some algebras or maps on the diagram coincide. Thus, we saythat diagrams A ∗ f / / A A ∗ g O O A ∗ h O O and A ∗ f / / A A ∗ ❇❇❇❇ g ` ` ❇❇❇❇ ∗ ⑤⑤⑤⑤ h > > ⑤⑤⑤⑤ are equivalent. Definition . Diagram ( f, A ) of representations of universal alge-bras is oriented graph such that the vertex of A k , k = 1 , ..., n , is Ω k -algebra; the edge f kl is representation of Ω k -algebra A k in Ω l -algebra A l ;We require that this graph is connected graph and does not have loops. Let A [0] beset of initial vertices of the graph. Let A [ k ] be set of vertices of the graph for whichthe maximum path from the initial vertices is k . (cid:3) Remark . Since different vertices of the graph can be the same algebra,then we denote A = ( A (1) ... A ( n ) ) the set of universal algebras which are distinct.From the equality A = ( A (1) ... A ( n ) ) = ( A ... A n ) it follows that, for any index ( i ) , there exists at least one index i such that A ( i ) = A i . If there are two sets of sets A = ( A (1) ... A ( n ) ) , B = ( B (1) ... B ( n ) ) a ndthere is a map h ( i ) : A ( i ) → B ( i ) for an index ( i ) , then also there is a map h i : A i → B i for any index i such that A ( i ) = A i and in this case h i = h ( i ) . (cid:3) Theorem . Let the theorem T be true for the set of universal algebras A [0] of diagram ( f, A ) of representationsof universal algebras. Let the statement that the theorem T is true for the set ofuniversal algebras A [ k ] of diagram ( f, A ) of representations imply the statement thatthe theorem T is true for the set of universal algebras A [ k +1] of diagram ( f, A ) of .1. Diagram of Representations of Universal Algebras 109 representations. Then the theorem T is true for the set of universal algebras ofdiagram ( f, A ) of representations. Proof.
The theorem follows from the principle of mathematical induction. (cid:3)
Definition . Diagram ( f, A ) of representations of universal algebras iscalled commutative when diagram meets the following requirement. for each pairof representations f ik : A i ∗ / / A k f jk : A j ∗ / / A k the following equality is true (7.1.2) f ik ( a i )( f jk ( a j )( a k )) = f jk ( a j )( f ik ( a i )( a k )) (cid:3) Theorem . Let f ij : A i ∗ / / A j be representation of Ω i -algebra A i in Ω j -algebra A j . Let f jk : A j ∗ / / A k be representation of Ω j -algebra A j in Ω k -algebra A k . We represent the fragment A i ∗ f ij / / A j ∗ f jk / / A k of the diagram of representations using the diagram (7.1.3) A k f jk ( a j ) ; ; f jk ( f ij ( a i )( a j )) A k A j f ij ( a i ) / / A j A if ij K S f jk : B ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ f jk c k f ijk ( a i ) K S f ijk : The map f ijk : A i → End(Ω j , End(Ω k , A k )) is defined by the equality (7.1.4) f ijk ( a i )( f jk ( a j )) = f jk ( f ij ( a i )( a j )) Metaphorically speaking, representations f ik and f jk are transparent to each other. The theorem 7.1.6 states that transformations in diagram of representations are coordinated.
10 7. Diagram of Representations of Universal Algebras where a i ∈ A i , a j ∈ A j . If the representation f jk is effective and the represen-tation f ij is free, then the map f ijk is free representation f ijk : A i ∗ / / End(Ω k , A k ) of Ω i -algebra A i in Ω j -algebra End(Ω k , A k ) . Proof.Lemma . The map f ijk is injection. Proof.
Let ( a i , b i ) ∈ ker f ijk . Then f jk ( f ij ( a i )( a j )) = f ijk ( a i )( f jk ( a j )) = f ijk ( b i )( f jk ( a j ))= f jk ( f ij ( b i )( a j ))(7.1.5)If the representation f jk is effective, then the equality(7.1.6) f ij ( a i )( a j ) = f ij ( b i )( a j )follows from the definition 3.1.2 and from the equality (7.1.5) for any a j ∈ A j .The statement a i = b i follows from the definition 3.1.4. ⊙ Lemma . There is the structure of Ω i -algebra on the set End(Ω j , End(Ω k , A k )) . Proof.
Let ω ∈ Ω i . Let a , ..., a m ∈ A i . We define operation ω on the setEnd(Ω j , End(Ω k , A k )) using the following equality(7.1.7) f ijk ( a ) ...f ijk ( a m ) ω = f ijk ( a ...a m ω )According to the lemma 7.1.7, the equality (7.1.7) properly defines operation ω . ⊙ Corollary . The map f ijk is homomorphism of Ω i -algebra. ⊙ Lemma . The map f ijk ( a ) is homomorphism of Ω j -algebra. Proof.
Let b , ..., b m ∈ A j . Then the equality(7.1.8) f ijk ( a )( f jk ( b )) ...f ijk ( a )( f jk ( b m )) ω = f jk ( f ij ( a )( b )) ...f jk ( f ij ( a )( b m )) ω follows from the equality (7.1.4). Since maps f ij ( a ), f jk are homomorphisms ofΩ j -algebra, then the equality f ijk ( a )( f jk ( b )) ...f ijk ( a )( f jk ( b m )) ω = f jk ( f ij ( a )( b ) ...f ij ( a )( b m ) ω )= f jk ( f ij ( a )( b ...b m ω ))(7.1.9)follows from the equality (7.1.8). The equality(7.1.10) f ijk ( a )( f jk ( b )) ...f ijk ( a )( f jk ( b m )) ω = f ijk ( a )( f jk ( b ...b m ω ))follows from the equalities (7.1.4), (7.1.9). Since the map f jk is homomorphism ofΩ -algebra, then the equality(7.1.11) f ijk ( a )( f jk ( b )) ...f ijk ( a )( f jk ( b m )) ω = f ijk ( a )( f jk ( b ) ...f jk ( b m ) ω )follows from the equality (7.1.10). ⊙ The theorem follows from corollary 7.1.9 and from the lemma 7.1.10. (cid:3)
Theorem . The map f jk is reduced morphism of representations from f ij into f ijk . .1. Diagram of Representations of Universal Algebras 111 Proof.
Consider diagram (7.1.3) in more detail.(7.1.12) A j f jk / / End(Ω k , A k ) A i ∗ ❆❆❆❆ f ij ` ` ❆❆❆ ∗ sssss f ijk ssss The statement of theorem follows from the equality (7.1.4) and from the definition3.4.2. (cid:3)
Theorem . Let f ij : A i ∗ / / A j be representation of Ω i -algebra A i in Ω j -algebra A j . Let f jk : A j ∗ / / A k be representation of Ω j -algebra A j in Ω k -algebra A k . Then there exists representa-tion f ij,k : A i × A j ∗ / / A k of the set A i × A j in Ω k -algebra A k . Proof.
We represent the fragment A i ∗ f ij / / A j ∗ f jk / / A k of the diagram of representations using the diagram(7.1.13) A i × A jf ij,k (cid:11) (cid:19) A k f jk ( f ij ( a i )( a j )) / / A k A j f ij ( a i ) / / A j A if ij K S f jk i q From the diagram (7.1.13), it follows that the map f ij,k is defined by the equality f ij,k ( a i , a j ) = f jk ( f ij ( a i )( a j )) (cid:3) Since Ω i -algebra A i and Ω j -algebra A j have different set of operations, we cannot definethe structure of universal algebra on the set A i × A j .
12 7. Diagram of Representations of Universal Algebras
Definition . Let ( f, A ) be the diagram of representations where A =( A (1) ... A ( n ) ) is the set of universal algebras. Let ( B, g ) be the diagram ofrepresentations where B = ( B (1) ... B ( n ) ) is the set of universal algebras. Theset of maps h = ( h (1) ... h ( n ) ) h ( i ) : A ( i ) → B ( i ) is called morphism from diagram of representations ( f, A ) into diagramof representations ( B, g ) , if for any indexes ( i ) , ( j ) , i , j such that A ( i ) = A i , A ( j ) = A j and for any representation f ji : A j ∗ / / A i the tuple of maps ( h j h i ) is morphism of representations from f ji into g j i . (cid:3) We will use notation h : A → B if tuple of maps h is morphism from diagram of representations ( f, A ) into diagramof representations ( B, g ).When studying morphism of the representation of universal algebra, we veryoften assume that algebra generating representation is given. Therefore, we arenot interested in the map of this algebra; this convention simplifies the structureof morphism. Such morphism of representation we call reduced morphism of rep-resentation.We see a similar problem when we study morphism of diagram of represen-tations. For each universal algebra from diagram of representations, there existsthe set of algebras preceding this algebra in corresponding graph. We can assumethat some of these algebras are given and we will not consider corresponding homo-morphisms. Corresponding morphism of diagram of representations also is calledreduced. However, because diagram of representations is complicated structure, wewill not consider reduced morphism of diagram of representations.For any representation f ij , i = 1, ..., n , j = 1, ..., n , we have diagram(7.2.1) A jf ij ( a i ) (cid:15) (cid:15) h j / / B jg ij ( h i ( a i )) (cid:15) (cid:15) (1) A j h j / / B j A i h i / / f ij B J ✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌ ✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌ B ig ij B J ✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌ ✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌ Equalities(7.2.2) h j ◦ f ij ( a i ) = g ij ( h i ( a i )) ◦ h j (7.2.3) h j ( f ij ( a i )( a j )) = g ij ( h i ( a i ))( h j ( a j ))express commutativity of diagram (1). .2. Morphism of Diagram of Representations 113 Let representations f ij and f jk of universal algebras be defined. Assumingdiagram (7.2.1) for representations f ij and f jk we will get the following diagram(7.2.4) A kf jk ( f ij ( a i )( a j )) ! ! ❇❇❇❇❇❇❇❇ h k / / B kg jk ( g ij ( h i ( a i ))( h j ( a j ))) } } ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ A k h k / / B k A k h k / / B k A kf jk ( a j ) = = ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ h k / / B kg jk ( h j ( a j )) a a ❇❇❇❇❇❇❇❇ f ijk ( a i ) K S g ijk ( h i ( a i )) K S F + It is evident that there exists morphism from End(Ω k , A k ) into End(Ω k , B k ),which maps f ijk ( a i ) into g ijk ( h k ( a i )). Theorem . If the representation f jk is effective and the representation f ij is free, then ( h i , h ∗ k ) is morphism of representations from representation f ijk into representation g ijk of Ω i -algebra. Proof.
Consider the diagram A j f jk ( ( ❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘ f ij ( a i ) (cid:15) (cid:15) h j / / (2) B jg ij ( h i ( a i )) (cid:15) (cid:15) g jk v v ❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧ End(Ω k , A k ) f ijk ( a i ) (cid:15) (cid:15) h ∗ k / / (4) End(Ω k , B k ) g ijk ( h i ( a i )) (cid:15) (cid:15) (5)(1) End(Ω k , A k ) h ∗ k / / (3) End(Ω k , B k ) A j f jk ❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧ h j / / B jg jk h h ❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘ The existence of map h ∗ k and commutativity of the diagram (2) and (3) followsfrom effectiveness of map f jk and theorem 3.2.9. Commutativity of diagrams (4)and (5) follows from theorem 7.1.11.From commutativity of the diagram (4) it follows that(7.2.5) f jk ◦ f ij ( a i ) = f ijk ( a i ) ◦ f jk From the equalitiy (7.2.5) it follows that(7.2.6) h ∗ k ◦ f jk ◦ f ij ( a i ) = h ∗ k ◦ f ijk ( a i ) ◦ f jk See the definition of the map h ∗ in the theorem 3.2.9.
14 7. Diagram of Representations of Universal Algebras
From commutativity of diagram (3) it follows that(7.2.7) h ∗ k ◦ f jk = g jk ◦ h j From the equalitiy (7.2.7) it follows(7.2.8) h ∗ k ◦ f jk ◦ f ij ( a i ) = g jk ◦ h j ◦ f ij ( a i )From equalities (7.2.6) and (7.2.8) it follows that(7.2.9) h ∗ k ◦ f ijk ( a i ) ◦ f jk = g jk ◦ h j ◦ f ij ( a i )From commutativity of the diagram (5) it follows that(7.2.10) g jk ◦ g ij ( h i ( a i )) = g ijk ( h i ( a i )) ◦ g jk From the equalitiy (7.2.10) it follows that(7.2.11) g jk ◦ g ij ( h i ( a i )) ◦ h j = g ijk ( h i ( a i )) ◦ g jk ◦ h j From commutativity of the diagram (2) it follows that(7.2.12) h ∗ k ◦ f jk = g jk ◦ h j From the equalitiy (7.2.12) it follows that(7.2.13) g ijk ( h i ( a i )) ◦ h ∗ k ◦ f jk = g ijk ( h i ( a i )) ◦ g jk ◦ h j From equalities (7.2.11) and (7.2.13) it follows that(7.2.14) g jk ◦ g ij ( h i ( a i )) ◦ h j = g ij ( h i ( a i )) ◦ h ∗ k ◦ f jk External diagram is diagram (7.2.1) when i = 1. Therefore, external diagramis commutative(7.2.15) h j ◦ f ij ( a i ) = g ij ( h i ( a i )) ◦ h j From the equalitiy (7.2.15) it follows that(7.2.16) g jk ◦ h J ◦ f ij ( a i ) = g jk ◦ g ij ( h i ( a i )) ◦ h j ( a j )From equalities (7.2.9), (7.2.14) and (7.2.16) it follows that(7.2.17) h ∗ k ◦ f ijk ( a i ) ◦ f jk = g ijk ( h i ( a i )) ◦ h ∗ k ◦ f jk Because the map f i +1 ,i +2 is injection, then from the equalitiy (7.2.17) it followsthat(7.2.18) h ∗ k ◦ f ijk ( a i ) = g ijk ( h i ( a i )) ◦ h ∗ k From the equalitiy (7.2.18) commutativity of the diagram (1) follows. This provesthe statement of theorem. (cid:3)
The theorem 7.2.2 states that unknown map on the diagram (7.2.4) is themap h ∗ k . Meaning of theorems 7.1.11 and 7.2.2 is that all maps in diagram ofrepresentations act coherently when all representations are free. Theorem . Consider the set of Ω i -algebras A ( i ) , B ( i ) , C ( i ) , ( i ) = (1) , ..., ( n ) . Let p :( f, A ) → ( g, B ) q :( g, B ) → ( h, C ) be morphisms of diagrams of representations. There exists morphism of represen-tations of Ω -algebra r : ( f, A ) → ( h, C ) .3. Automorphism of Diagram of Representations 115 where r ( k ) = q ( k ) ◦ p ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) . We call morphism r of diagram ofrepresentations from f into h product of morphisms p and q of diagram ofrepresentations . Proof.
For any i , j such that A ( j ) = A j , if there exists the representation f ij ,we represent statement of theorem using diagram B j q j / / C j B i q i / / g ij % - C i h ij . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ B j q j / / g ij ( p i ( a i )) _ _ ❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅ C j h ij ( r i ( a i )) ? ? ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ A ip i O O r i R R f ij A jp j O O f ij ( a i ) (cid:127) (cid:127) ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ r j K K A jp j O O r j N N Map r i is homomorphism of Ω i -algebra A i into Ω i -algebra C i . We need to showthat tuple of maps ( r i , r j ) satisfies to (7.2.2): r k ( f ij ( a i )( a j )) = q j ◦ p j ( f ij ( a i )( a j ))= q k ( g ij ( p i ( a i ))( p j ( a j )))= h ij ( q i ◦ p i ( a i ))( q j ◦ p j ( a j ))= h ij ( r ( a i ))( r j ( a j )) (cid:3) Definition . Let ( f, A ) be diagram of representations of universal alge-bras. The morphism of diagram of representations ( h (1) , ..., h ( n ) ) such, that foreach ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , h ( k ) is endomorphism of Ω ( k ) -algebra A ( k ) is called endomorphism of diagram of representations . (cid:3) Definition . Let ( f, A ) be diagram of representations of universal alge-bras. The morphism of diagram of representations ( h (1) , ..., h ( n ) ) such, that foreach ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , h ( k ) is automorphism of Ω ( k ) -algebra A ( k ) is called automorphism of diagram of representations . (cid:3) Theorem . Let ( f, A ) be diagram of representations of universal algebras.The set of automorphisms of the diagram of representations ( f, A ) forms group GA ( f ) . Proof.
Let r = ( r (1) , ..., r ( n ) ), p = ( p (1) , ..., p ( n ) ) be automorphismsof the diagram of representations ( f, A ). According to definition 7.3.2, for each( k ), ( k ) = (1), ..., ( n ), maps r ( k ) , p ( k ) are automorphisms of Ω ( k ) -algebra A ( k ) .
16 7. Diagram of Representations of Universal Algebras
According to theorem II.3.2 ([14], p. 57), for each ( k ), ( k ) = (1), ..., ( n ), the map r ( k ) ◦ p ( k ) is automorphism of Ω ( k ) -algebra A ( k ) . From the theorem 7.2.3 and thedefinition 7.3.2, it follows that product of automorphisms r ◦ p of the diagram ofrepresentations ( f, A ) is automorphism of the diagram of representations ( f, A ).According to proof of the theorem 3.5.5, for any ( k ), ( k ) = (1), ..., ( n ), theproduct of automorphisms of Ω ( k ) -algebra is associative. Therefore, the product ofautomorphisms of diagram of representations is associative.Let r = ( r (1) , ..., r ( n ) ) be an automorphism of the diagram of representations( f, A ). According to definition 7.3.2 for each ( k ), ( k ) = (1), ..., ( n ), the map r ( k ) is automorphism of Ω ( k ) -algebra A ( k ) . Therefore, for each ( k ), ( k ) = (1), ..., ( n ),the map r − k ) is automorphism of Ω ( k ) -algebra A ( k ) . Then the equalitiy (7.2.3) istrue for automorphism r = ( r (1) , ..., r ( n ) ). Let j be index such that j = ( k ). Let a ′ j = r j ( a j ). Since r j is automorphism then a j = r − j ( a ′ j ) and, for any i , j , incase that there exists representation f ij , we can write (7.2.3) in the form(7.3.1) h j ( f ij ( h − i ( a ′ i ))( h − j ( a ′ j ))) = g ij ( a ′ i )( a ′ j )Similarly, from the equalitiy (7.3.1) it follows that(7.3.2) f ij ( h − i ( a ′ i )( h − j ( a ′ j ))) = h − j ( g ij ( a ′ i )( a ′ j ))The equalitiy (7.3.2) corresponds to the equalitiy (7.2.3) for the map r − . There-fore, map r − is automorphism of the diagram of representations ( f, A ). (cid:3) HAPTER 8
Basis of Diagram of Representations of UniversalAlgebra
We construct the basis of the diagram of representations in a similar way thatwe constructed the basis of representation in the section 6.2.
Definition . Let ( f, A ) be diagram of representations. The tuple of sets N = ( N (1) ⊂ A (1) , ..., N ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( N ⊂ A , ..., N n ⊂ A n ) is called tuple of stable sets of diagram of representations ( f, A ) , if f ij ( a i )( a j ) ∈ N j i, j = 1 , ..., n for every a ∈ N , ..., a n ∈ N n , in case that there exists the representation f ij .We also will say that tuple of sets N = ( N (1) ⊂ A (1) , ..., N ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( N ⊂ A , ..., N n ⊂ A n ) is stable relative to diagram of representations ( f, A ) . (cid:3) Theorem . Let ( f, A ) be diagram of representations. Let set N ( i ) ⊂ A ( i ) be subalgebra of Ω i -algebra A ( i ) , ( i ) = (1) , ..., ( n ) . Let tuple of sets N = ( N (1) ⊂ A (1) , ..., N ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( N ⊂ A , ..., N n ⊂ A n ) be stable relative to diagram of representations ( f, A ) . Then there exists diagramof representations (8.1.1) ( N, f N = ( f Nij )) such that f Nij ( a i ) = f ij ( a i ) | N j i = 1 , ..., n j = 1 , ..., n The diagram of representations (8.1.1) is called subrepresentation of diagram ofrepresentations ( f, A ) . Proof.
Let ω be m -ary operation of Ω i -algebra A i , i = 1, ..., n . Then for any a i, , ..., a i,m ∈ N i and any a j ∈ N j ( f Nij ( a i, ) ...f Nij ( a i,m ) ω )( a j ) = ( f ij ( a i, ) ...f ij ( a i,m ) ω )( a j )= f ij ( a i, ...a i,m ω )( a j )= f Nij ( a i, ...a i,m ω )( a i ) Let ω be m -ary operation of Ω j -algebra A j , j = 1, ..., n . Then for any a j, , ..., a j,m ∈ N j and any a i ∈ N i f Nij ( a i )( a j, ) ...f Nij ( a i )( a i,m ) ω = f ij ( a i )( a j, ) ...f ij ( a i )( a j,m ) ω = f ij ( a i )( a j, ...a j,m ω )= f Nij ( a i )( a j, ...a j,m ω )We proved the statement of theorem. (cid:3) From theorem 8.1.2, it follows that if diagram of representations (8.1.1) isdiagram of subrepresentations of diagram of representations ( f, A ), then map( id (1) : N (1) → A (1) , ..., id ( n ) : N ( n ) → A ( n ) )is morphism of diagrams of representations. Theorem . The set B [ f, A ] of all diagrams of subrepresentations ofdiagram of representations ( f, A ) generates a closure system on diagram of repre-sentations ( f, A ) and therefore is a complete lattice. Proof.
Let for given λ ∈ Λ, K λ = ( K λ, (1) ⊂ A (1) , ..., K λ, ( n ) ⊂ A ( n ) )be tuple of sets stable relative to diagram of representations ( f, A ). We determinethe operation of intersection on the set B [ f, A ] according to rule \ f K λ ij = f ∩ K λ ij i, j = 1 , ..., n \ K λ = (cid:16) K (1) = \ K λ, (1) , ..., K ( n ) = \ K λ, ( n ) (cid:17) ∩ K λ, ( i ) is subalgebra of Ω ( i ) -algebra A ( i ) . Let a j ∈ \ K λ,j = \ K λ, ( j ) For any λ ∈ Λ and for any a i ∈ K i = K ( i ) f ij ( a i )( a j ) ∈ K λ,j = K λ, ( j ) Therefore, f ij ( a i )( a j ) ∈ K j = K ( j ) Therefore, we determined the operation of intersection of diagrams of subrepresen-tations properly. (cid:3)
We denote the corresponding closure operator by J [ f ]. If X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n )is the tuple of sets, then J [ f, X ] = ( J (1) [ f, X ] , ..., J ( n ) [ f, X ]) = ( J [ f, X ] , ..., J n [ f, X ])is the intersection of all tuples K = ( K (1) ⊂ A (1) , ..., K ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( K ⊂ A , ..., K n ⊂ A n )stable with respect to diagram of representations ( f, A ) and such that for ( i ) = (1),..., ( n ), K ( i ) is subalgebra of Ω ( i ) -algebra A ( i ) containing X ( i ) . This theorem is similar to definition of the lattice of subalgebras ([14], p. 79, 80) .1. Generating Set of Diagram of Representations 119
Theorem . Let ( f, A ) be the diagram of representations. Let X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n ) For every value of ( i ) , ( i ) = (1) , ..., ( n ) , we define a subsets X ( i ) k ⊂ A ( i ) byinduction on k . X ( i )0 = X ( i ) x ∈ X ( i ) k = > x ∈ X ( i ) k +1 x ∈ X ( i ) k , ..., x p ∈ X ( i ) k , ω ∈ Ω ( i ) ( p ) = > x ...x p ω ∈ X ( i ) k +1 x i ∈ X ik = X ( i ) k , x j ∈ X jk = X ( j ) k = > f ji ( x j )( x i ) ∈ X ( i ) k +1 For each value of ( i ) , we assume Y ( i ) = ∞ [ m =0 X ( i ) m Then J ( i ) [ f, X ] = Y ( i ) ( i ) = (1) , ..., ( n ) Proof.
For each value of ( i ) the proof of the theorem coincides with the proofof theorem 6.1.4. (cid:3) J [ f, X ] is called subrepresentation of diagram of representations ( f, A ) gen-erated by tuple of sets X and X is a generating set of diagram of representationsJ[f,X]. In particular, a generating set of diagram of representations ( f, A ) is a tuple X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n )such that J [ f, X ] = A .From theorem 8.1.4, it follows next definition. Definition . Let X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n ) be tuple of sets. For each tuple of A -numbers a ∈ J [ f, X ] a = ( a (1) ... a ( n ) ) = ( a ... a n ) there exists tuple of Ω -words w [ f, X, a ] = ( w (1) [ f, X, a (1) ] , ..., w ( n ) [ f, X, a ( n ) ])= ( w [ f, X, a ] , ..., w n [ f, X, a n ]) defined according to following rule. If a ( i ) ∈ X ( i ) , ( i ) = (1) , ..., ( n ) , then a ( i ) is Ω ( i ) -word w ( i ) [ f, X, a ( i ) ] = a ( i ) If a ( i )1 , ..., a ( i ) p are Ω ( i ) -words, ( i ) = (1) , ..., ( n ) , and ω ∈ Ω ( i ) ( p ) , then a ( i )1 ...a ( i ) p ω is Ω ( i ) -word. Let a i = a ( i ) be Ω ( i ) -word, a j = a ( j ) be Ω ( j ) -word. Let there exist therepresentation f ij . Then f ij ( a i )( a j ) is Ω ( j ) -word.Denote w [ f, X ] the set of tuples of Ω -words of diagram of representationsJ[f,X]. (cid:3) The statement of theorem is similar to the statement of theorem 5.1, [14], p. 79.
20 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra
We consider tuple of A -numbers in the definition 8.1.5 because we need analgorithm of generation of tuple of Ω-words. However, to solve specific problem weneed only some subset of tuples of A -numbers. For instance, in affine space we canconsider or a set of points, either a set of vectors.Choice of Ω ( i ) -word relative generating set X is ambiguous. Therefore, if Ω ( i ) -number has different Ω ( i ) -words, then we will use indexes to distinguish them: w ( i ) [ f, X, m ], w ( i )1 [ f, X, m ], w ( i )2 [ f, X, m ]. Definition . Generating set X of diagram of representations ( f, A ) gen-erates tuple of equivalences ρ [ f, X ] = ( ρ (1) [ f, X ] , ..., ρ ( n ) [ f, X ]) ρ ( i ) [ f, X ] = { ( w ( i ) [ f, X, m ( i ) ] , w ( i )1 [ f, X, m ( i ) ]) : m ( i ) ∈ A ( i ) } on the set of tuples of Ω -words. (cid:3) According to the definition 8.1.6, two Ω ( i ) -words with respect to the generatingset X of diagram of representations ( f, A ) are equivalent iff they correspond to thesame A ( i ) -number. When we write equality of two Ω ( i ) -words with respect to thegenerating set X of diagram of representations ( f, A ), we will keep in mind thatthis equality is true up to equivalence ρ ( i ) [ f, X ].We will use notation r ( a ) = ( r (1) ( a (1) ) , ..., r ( n ) ( a ( n ) ))for image of tuple of elements a = ( a (1) , ..., a ( n ) ) under the morphism of diagramof representations. Theorem . Let X be the generating set of diagram of representations ( f, A ) . Let Y be the generating set of diagram of representations ( g, B ) . Morphism r of diagram of representations ( f, A ) forms the map of Ω -words w [ f → g, X, Y, r ] : w [ f, X ] → w [ g, Y ] X ( i ) ⊂ A ( i ) Y ( i ) = r ( i ) ( X ( i ) ) ( i ) = (1) , ..., ( n ) such that for any ( i ) , ( i ) = (1) , ..., ( n ) , If a ( i ) ∈ X ( i ) , a ′ ( i ) = r ( i ) ( a ( i ) ) , then w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i ) ) = a ′ ( i ) If a ( i )1 , ..., a ( i ) p ∈ w ( i ) [ f, X ] a ′ ( i )1 = w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i )1 ) ... a ′ ( i ) p = w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i ) p ) then for operation ω ∈ Ω ( i ) ( p ) holds w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i ) , ...a ( i ) ,p ω ) = a ′ ( i ) , ...a ′ ( i ) ,p ω If a i = a ( i ) ∈ w ( i ) [ f, X ] a ′ ( i ) = w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i ) ) a j = a ( j ) ∈ w ( j ) [ f, X ] a ′ j = a ′ ( j ) = w ( j ) [ f, X, r ]( a ( j ) ) .1. Generating Set of Diagram of Representations 121 then w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( f ji ( a j )( a i )) = g ji ( a ′ j )( a ′ i ) Proof.
Statements 8.1.7.1, 8.1.7.2 are true by definition of the morphism r .The statement 8.1.7.3 follows from the equality (7.2.3). (cid:3) Remark . Let r be morphism of diagram of representations ( f, A ) intodiagram of representations ( g, B ) . Let a ∈ J [ f, X ] a ′ = r ( a ) Y = r ( X ) The theorem 8.1.7 states that a ′ ∈ J [ g, Y ] . The theorem 8.1.7 also states that thetuple of Ω -words representing a relative X and the tuple of Ω -words representing a ′ relative Y are generated according to the same algorithm. This allows consideringof the tuple of Ω -words w [ g, Y, a ′ ] as tuple of maps W [ f, X, a ] = ( W (1) [ f, X, a ] , ..., W ( n ) [ f, X, a ]) = ( W [ f, X, a ] , ..., W n [ f, X, a ])(8.1.2) W ( k ) [ f, X, a ] : ( g, X ′ ) → ( g, X ′ ) ◦ W ( k ) [ f, X, a ] = w ( k ) [ g, X ′ , a ′ ] If f = g , then, instead of the map (8.1.2) , we consider the map W ( k ) [ f, X, a ] : Y → Y ◦ W ( k ) [ f, X, a ] = w ( k ) [ f, Y, a ′ ] W ( k ) [ f, X, a ]( Y ) = Y ◦ W ( k ) [ f, X, a ] such that, if for certain morphism rY = r ( X ) a ′ = r ( a ) then W ( k ) [ f, X, a ]( Y ) = Y ◦ W [ f, X, a ] = w [ f, Y, a ′ ] = a ′ The map W ( k ) [ f, X, a ] is called coordinates of A ( k ) -number a ( k ) relative tothe tuples of sets X . Similarly, we consider coordinates of a set B ⊂ J ( k ) [ f, X ] relative to the set XW ( k ) [ f, X, B ] = { W ( k ) [ f, X, a ] : a ∈ B } = ( W ( k ) [ f, X, a ] , a ∈ B ) Denote W [ f, X ] = ( W (1) [ f, X ] , ..., W ( n ) [ f, X ]) = ( W [ f, X ] , ..., W n [ f, X ]) W ( k ) [ f, X ] = { W ( k ) [ f, X, a ] : a ∈ J ( k ) [ f, X ] } = ( W ( k ) [ f, X, a ] , a ∈ J ( k ) [ f, X ]) the set of coordinates of representation J [ f, X ] . (cid:3) Theorem . There is a structure of Ω ( k ) -algebra on the set of coordinates W ( k ) [ f, X ] . Proof.
Let ω ∈ Ω ( k ) ( n ). Then for any m , ..., m n ∈ J ( k ) [ f, X ] , we assume(8.1.3) W ( k ) ( f, X, m ) ...W ( k ) ( f, X, m n ) ω = W ( k ) ( f, X, m ...m n ω )According to the remark 8.1.8, X ◦ ( W ( k ) [ f, X, m ] ...W ( k ) [ f, X, m n ] ω ) = X ◦ W ( k ) [ f, X, m ...m n ω ]= w ( k ) [ f, X, m ...m n ω ](8.1.4)
22 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra follows from the equality (8.1.3). According to rule 8.1.5.2, from the equality (8.1.4),it follows that X ◦ ( W ( k ) [ f, X, m ] ...W ( k ) [ f, X, m n ] ω )= w ( k ) [ f, X, m ] ...w ( k ) [ f, X, m n ] ω = ( X ◦ W ( k ) [ f, X, m ]) ... ( X ◦ W ( k ) [ f, X, m n ]) ω (8.1.5)From the equality (8.1.5), it follows that the operation ω defined by the equality(8.1.3) on the set of coordinates W ( k ) [ f, X ] is defined properly. (cid:3) Theorem . If there exists the representation f jk of Ω j -algebra A j in Ω k -algebra A k , then there exists the representation F jk of Ω j -algebra W j [ f, X ] in Ω k -algebra W k [ f, X ] . Proof.
Let a j ∈ J j [ f, X ]. Then for any a k ∈ J k [ f, X ], we assume(8.1.6) F jk ( W j [ f, X, a j ])( W k [ f, X, a k ]) = W k [ f, X, f jk ( a j )( a k )]According to the remark 8.1.8, X ◦ ( F jk ( W j [ f, X, a j ])( W k [ f, X, a k ])) = X ◦ W k [ f, X, f jk ( a j )( a k )]= w k [ f, X, f jk ( a j )( a k )](8.1.7)follows from the equality (8.1.6). According to rule 8.1.5.3, from the equality (8.1.7),it follows that(8.1.8) X ◦ ( F jk ( W j [ f, X, a j ])( W k [ f, X, a k ]))= f jk ( w j [ f, X, a j ])( w k [ f, X, a k ])= f jk ( X ◦ W j ( f, X, a j ))( X ◦ W k ( f, X, a k ))From the equality (8.1.8), it follows that the representation (8.1.6) of Ω k − -algebra W k − [ f, X ] in Ω k -algebra W k [ f, X ] is defined properly. (cid:3) Corollary . Tuple of Ω -algebras W [ f, X ] = ( W (1) [ f, X ] , ..., W ( n ) [ f, X ]) and the set of representations F forms the diagram of representations ( F, W [ f, X ]) . (cid:3) Theorem . Let ( f, A ) , ( g, B ) be diagrams of representations. For givensets X ( k ) ⊂ A ( k ) , Y ( k ) ⊂ B ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , consider tuple of maps R = ( R (1) , ..., R ( n ) ) such that for any ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , the map R ( k ) : X ( k ) → Y ( k ) agree with the structure of diagram of representations, i. e. (8.1.9) ω ∈ Ω ( k ) ( p ) , x ( k )1 , ..., x ( k ) p , x ( k )1 ...x ( k ) p ω ∈ X ( k ) ,R ( k ) ( x ( k )1 ...x ( k ) p ω ) ∈ Y ( k ) = >R ( k ) ( x ( k )1 ...x ( k ) p ω ) = R ( k ) ( x ( k )1 ) ...R ( k ) ( x ( k ) p ) ω (8.1.10) ( a j ∈ X j , a k ∈ X k , R k ( f jk ( a j )( a k )) ∈ Y k = >R k ( f jk ( a j )( a k )) = g jk ( R j ( a j ))( R k ( a k )) .1. Generating Set of Diagram of Representations 123 Consider the tuple of maps of Ω -words w ( k ) [ f → g, e, Y, R ] : w ( k ) [ f, e ] → w ( k ) [ g, Y ] that satisfies conditions 8.1.7.1, 8.1.7.2, 8.1.7.3 and such that e ( k ) i ∈ e ( k ) = > w ( k ) [ f → g, e, Y, R ]( e ( k ) i ) = R ( k ) ( e ( k ) i ) For each ( k ) , ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , there exists homomorphism of Ω ( k ) -algebra r ( k ) : A ( k ) → B ( k ) defined by rule (8.1.11) r ( k ) ( a ( k ) ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) [ f, X, a ( k ) ]) Tuple of homomorphisms r = ( r (1) ... r ( n ) ) = ( r ... r n ) is morphism of diagrams of representations J [ f, X ] and J [ g, Y ] . Proof.
For any ( k ), ( k ) = (1), ..., ( n ), consider the map r ( k ) : A ( k ) → B ( k ) Lemma . For any ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , maps r ( k ) and R ( k ) coinsideon the set X ( k ) , and the map r ( k ) agrees with structure of Ω ( k ) -algebra. Proof.
If(8.1.12) w ( k ) [ f, X, a ( k ) ] = a ( k ) then a ( k ) ∈ X ( k ) . According to condition 8.1.7.1, the equality r ( k ) ( a ( k ) ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) [ f, X, a ( k ) ]) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( a ( k ) )= R ( k ) ( a ( k ) )(8.1.13)follows from equalities (8.1.11), (8.1.12). The lemma follows from the equality(8.1.13). ⊙ Lemma . Let ω ∈ Ω ( k ) ( p ) . (8.1.14) r ( k ) ( x ( k )1 ...x ( k ) p ω ) = r ( k ) ( x ( k )1 ) ...r ( k ) ( x ( k ) p ) ω Proof.
We prove the lemma by induction over complexity of Ω ( k ) -word.If x ( k )1 , ..., x ( k ) p , x ( k )1 ...x ( k ) p ω ∈ X ( k ) then the equality (8.1.14) follows from the statement (8.1.9).Let the statement of induction be true for a ( k )1 , ..., a ( k ) p ∈ J ( k ) [ f, X ]Let(8.1.15) w ( k )1 = w ( k ) [ f, X, a ( k )1 ] ... w ( k ) p = w ( k ) [ f, X, a ( k ) p ]According to the statement of induction, the equality r ( k ) ( a ( k )1 ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k )1 ) ... = ...r ( k ) ( a ( k ) p ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) p )(8.1.16)
24 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra follows from equalities (8.1.11), (8.1.15). If(8.1.17) a ( k ) = a ( k )1 ...a ( k ) p ω then according to condition 8.1.5.2, w ( k ) [ f, X, a ( k ) ] = w ( k )1 ...w ( k ) p ω According to condition 8.1.7.2, the equality r ( k ) ( a ( k ) ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) [ f, X, a ( k ) ])= w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k )1 ...w ( k ) p ω )= w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k )1 ) ...w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) p ) ω = ( r ( k ) ( a ( k )1 )) ... ( r ( k ) ( a ( k ) p )) ω (8.1.18)follows from equalities (8.1.11), (8.1.17), (8.1.16). The equality (8.1.14) followsfrom the equality (8.1.13). ⊙ According to the lemma 8.1.13, maps r ( k ) and R ( k ) coinside on the set X ( k ) .According to the lemma 8.1.14, the map r ( k ) is homomorphism of Ω ( k ) -algebra A ( k ) into Ω ( k ) -algebra B ( k ) . To prove the theorem, it suffices to show that existence ofthe representation f ji : A j ∗ / / A i implies that the tuple of maps ( r j r i ) is morphism of representations from f ji into g ji (the definition 7.2.1).We prove the theorem by induction over complexity of Ω i -word.If a i ∈ X i , a j ∈ X j , then the statement of induction follows from the statement(8.1.10)Let the statement of induction be true for a j ∈ J j [ f, X ] w j [ f, X, a j ] = m j a i ∈ J i [ f, X ] w i [ f, X, a i ] = m i According to condition 8.1.5.3,(8.1.19) w i ( f, X, f ji ( a j )( a i )) = f ji ( m j )( m i )According to condition 8.1.7.3, the equality r i ( f ji ( a j )( a i )) = w i [ f → g, X, Y, R ]( w i [ f, X, f ji ( a j )( a i )])= w i [ f → g, X, Y, R ]( f ji ( m j )( m i ))= g ji ( w j [ g, Y, r j ( a j )])( w i [ g, Y, r i ( a i )])= g ji ( r j ( a j ))( r i ( a i ))(8.1.20)folows from equalities (8.1.11), (8.1.19), From equalities (7.2.3), (8.1.20), it followsthat the map r is morphism of the diagram of representations ( f, A ). (cid:3) Remark . The theorem 8.1.12 is the theorem of extension of map. Theonly statement we know about the tuple of sets X is the statement that X is the tupleof generating sets of the diagram of representations ( f, A ) . However, between theelements of the set X ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , there may be relationships generatedby either operations of Ω ( k ) -algebra A ( k ) , or by transformation of representation f jk . Therefore, any map of tuple of sets X , in general, cannot be extended to an .1. Generating Set of Diagram of Representations 125 endomorphism of diagram of representations ( f, A ) . However, if for any ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , the map R ( k ) is coordinated with the structure of diagram ofrepresentations, then we can construct an extension of this map and this extensionis morphism of diagram of representations ( f, A ) . (cid:3) Definition . Let X be the tuple of generating sets of diagram of repre-sentations ( f, A ) . Let Y be the tuple of generating sets of diagram of representations ( g, B ) . Let r be the morphism of the diagram of representations ( f, A ) into the di-agram of representations ( g, B ) . The set of coordinates W [ g, Y, r ( X )] is called coordinates of morphism of diagram of representations . (cid:3) Definition . Let X be the tuple of generating sets of diagram of repre-sentations ( f, A ) . Let Y be the tuple of generating sets of diagram of representations ( g, B ) . Let r be the morphism of the diagram of representations ( f, A ) into the dia-gram of representations ( g, B ) . Let for ( k ) = (1) , ..., ( n ) , a ( k ) ∈ A ( k ) . We define superposition of coordinates of morphism r of the diagram of representationsand A ( k ) -number a ( k ) as coordinates defined according to rule (8.1.21) W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ] = W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )] Let Y ( k ) ⊂ A ( k ) . We define superposition of coordinates of morphism r of thediagram of representations and the set Y ( k ) according to rule (8.1.22) W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, Y ( k ) ]= ( W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ] , a ( k ) ∈ Y ( k ) ) (cid:3) Theorem . Morphism r of diagram of representations ( f, A ) into di-agram of representations ( g, B ) generates the map of coordinates of diagram ofrepresentations (8.1.23) W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] : W ( k ) [ f, X ] → W ( k ) [ g, Y ]( k ) = (1) , ..., ( n ) , such that W ( k ) [ f, X, a ] → W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ]= W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )](8.1.24) W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ]= W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ](8.1.25) Proof.
According to the remark 8.1.8, we consider equalities (8.1.21), (8.1.23)relative to given tuple of generating sets X . The tuple of words(8.1.26) X ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ] = w ( k ) [ f, X, a ( k ) ]corresponds to coordinates W ( k ) [ f, X, a ( k ) ]; the tuple of words(8.1.27) Y ◦ W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )] = w ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )]corresponds to coordinates W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )]. Therefore, in order to prove thetheorem, it is sufficient to show that the map W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] corresponds tomap w ( k ) [ f → g, X, Y, r ]. In the theorem 8.2.9, requirements to tuple of generating sets are more stringent. Therefore,the theorem 8.2.9 says about extension of arbitrary map. A more detailed analysis is given in theremark 8.2.11.
26 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra
We prove the theorem by induction over complexity of Ω ( k ) -word.If a ( k ) ∈ X ( k ) , a ′ ( k ) = r ( k ) ( a ( k ) ), then, according to equalities (8.1.26), (8.1.27),maps W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] and w ( k ) [ f → g, X, Y, r ] are coordinated.Let for a ( k )1 , ..., a ( k ) p ∈ X ( k ) maps W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] and w ( k ) [ f → g, X, Y, r ] are coordinated. Let ω ∈ Ω ( k ) ( p ). According to the theorem 6.1.12(8.1.28) W ( k ) [ f, X, a ( k )1 ...a ( k ) p ω ] = W ( k ) [ f, X, a ( k )1 ] ...W ( k ) [ f, X, a ( k ) p ] ω Because the map r ( k ) : A ( k ) → B ( k ) is homomorphism of Ω ( k ) -algebra, then from the equality (8.1.28) it follows that W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k )1 ...a ( k ) p ω )]= W ( k ) [ g, Y, ( r ( a ( k )1 ) ... ( r ( k ) ( a ( k ) p )) ω ]= W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k )1 )] ...W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) p )] ω (8.1.29)From equalities (8.1.28), (8.1.29) and the statement of induction, it follows thatthe maps W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] and w ( k ) [ f → g, X, Y, r ] are coordinated for a ( k ) = a ( k )1 ...a ( k ) p ω .Let for a j ∈ A j maps W j [ f → g, X, Y, r ] and w j [ f → g, X, Y, r ] arecoordinated. Let for a i ∈ A i maps W i [ f → g, X, Y, r ] and w i [ f → g, X, Y, r ] arecoordinated. According to the theorem 8.1.10(8.1.30) W i ( f, X, f ji ( a j )( a i )) = F ji ( W j ( f, X, a j ))( W i ( f, X, a i ))Because the map ( r j , r i ) is morphism of representations f ji into representation F ji ,then from the equality (8.1.30) it follows that(8.1.31) W i [ g, Y, r i ( f ji ( a j )( a i ))] = W i [ g, Y, g ji ( r j ( a j ))( r i ( a i ))]= G ji ( W j [ g, Y, r j ( a j )])( W i [ g, Y, r i ( a n, )])From equalities (8.1.30), (8.1.31) and the statement of induction, it follows thatmaps W i [ f → g, X, Y, r ] and w i [ f → g, X, Y, r ] are coordinated for b i = f ji ( a j )( a i ). (cid:3) Corollary . Let X be the tuple of generating sets of the diagram ofrepresentations ( f, A ) . Let Y be the tuple of generating sets of the diagram ofrepresentations ( g, B ) . Let r be the morphism of the diagram of representations ( f, A ) into the diagram of representations ( g, B ) . The map W [ f → g, X, Y, r ] = ( W (1) [ f → g, X, Y, r ] , ..., W ( n ) [ f → g, X, Y, r ]) is morphism of diagram of representations ( F, W [ f, X ]) into diagram of represen-tations ( G, W [ g, Y ]) . (cid:3) Hereinafter we will identify the map W [ f → g, X, Y, r ] and the set of coordi-nates W [ g, Y, r ( X )] . Theorem . Let X be the tuple of generating sets of the diagram of rep-resentations ( f, A ) . Let Y be the tuple of generating sets of the diagram of repre-sentations ( g, B ) . Let r be the morphism of the diagram of representations ( f, A ) into the diagram of representations ( g, B ) . Let Y ⊂ A . Then (8.1.32) W [ g, Y, r ( X )] ◦ W [ f, X, X ′ ] = W [ g, Y, r ( X ′ )](8.1.33) W [ f → g, X, Y, r ] ◦ W [ f, X, X ′ ] = W [ g, Y, r ( X ′ )] .1. Generating Set of Diagram of Representations 127 Proof.
The equality (8.1.32) follows from the equality r ( X ′ ) = ( r ( a ) , a ∈ X ′ )as well from equalities (8.1.21), (8.1.22). The equality (8.1.33) is corollary of equal-ities (8.1.32), (8.1.24). (cid:3) Theorem . Let X be the tuple of generating sets of the diagram of repre-sentations ( f, A ) . Let Y be the tuple of generating sets of the diagram of representa-tions ( g, B ) . Let Z be the tuple of generating sets of the diagram of representations ( h, C ) . Let r be the morphism of the diagram of representations ( f, A ) into thediagram of representations ( g, B ) . Let s be the morphism of the diagram of repre-sentations ( g, B ) into the diagram of representations ( h, C ) . Then (8.1.34) W [ h, Z, s ( Y )] ◦ W [ g, Y, r ( X )] = W [ h, Z, ( s ◦ r )( X )](8.1.35) W [ g → h, Y, Z, s ] ◦ W [ f → g, X, Y, r ] = W [ f → h, X, Z, s ◦ r ] Proof.
The equality(8.1.36) W [ h, Z, s ( Y ′ )] ◦ W [ g, Y, Y ′ ] = W [ h, z, s ( Y ′ )]follows from the equality (8.1.32). The equality (8.1.34) follows from the equality(8.1.36), if we assume Y ′ = r ( X ). The equality (8.1.35) follows from the equality(8.1.34). (cid:3) Definition . We can generalize the definition of the superposition ofcoordinates and assume that one of the factors is a tuple of sets of Ω -words. Ac-cordingly, the definition of the superposition of coordinates has the form W [ g, Y, r ( X )] ◦ w [ f, X, X ′ ] = w [ g, Y, r ( X )] ◦ W [ f, X, X ′ ] = w [ g, Y, r ( X ′ )] (cid:3) The following forms of writing an image of a tuple of sets X ′ under morphism r of diagram of representations are equivalent(8.1.37) r ( X ′ ) = r ( X ) ◦ W [ f, X, X ′ ]= ( Y ◦ W [ g, Y, r ( X )]) ◦ W [ f, X, X ′ )From equalities (8.1.32), (8.1.37), it follows that Y ◦ ( W [ g, Y, r ( X ) ◦ W [ f, X, X ′ ])= ( Y ◦ W [ g, Y, r ( X )) ◦ W [ f, X, X ′ ](8.1.38)The equality (8.1.38) is associative law for composition and allows us to writeexpression Y ◦ W [ g, Y, r ( X ) ◦ W [ f, X, X ′ ]without brackets. Definition . Let X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n ) be generating set of diagram of representations ( f, A ) . Let map r be endomorphismof diagram of representations ( f, A ) . Let the tuple of sets Y = r ( X ) be image oftuple of sets X under the map r . Endomorphism r of diagram of representations ( f, A ) is called regular on the tuple of generating set X , if the tuple of sets Y is tuple
28 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra of generating sets of diagram of representations ( f, A ) . Otherwise, endomorphism r is called singular on the tuple of generating sets X . (cid:3) Definition . Endomorphism r of diagram of representations ( f, A ) iscalled regular , if it is regular on any tuple of generating sets. Otherwise, endo-morphism r is called singular . (cid:3) Theorem . Automorphism r of diagram of representations ( f, A ) is reg-ular endomorphism. Proof.
Let X be tuple of generating sets of diagram of representations ( f, A ).Let Y = r ( X ). According to theorem 8.1.18 endomorphism r forms the map of Ω-words w [ f → g, X, Y, r ]. Let a ′ ∈ A . Since r is automorphism, then there exists a ∈ A , r ( a ) = a ′ . According to definition 8.1.5, w [ f, X, a ] is tuple of Ω-wordsrepresenting a relative to tuple of generating sets X . According to theorem 8.1.18, w [ f, X ′ , a ′ ] is tuple of Ω-words representing a ′ relative to tuple of sets Yw [ f, Y, a ′ ] = w [ f → g, X, Y, r ]( w [ f, X, a ])Therefore, Y is generating set of diagram of representations ( f, A ). According todefinition 8.1.24, automorphism r is regular. (cid:3) Definition . Let ( f, A ) be diagram of representations and Gen [ f, A ] = { X = ( X (1) , ..., X ( n ) ) : X ( k ) ⊆ A ( k ) , J ( k ) [ f, X ] = A ( k ) } If, for the tuple of sets X ⊂ A , it is true that X ∈ Gen [ f, A ] , then for any tuple ofsets Y , X ( k ) ⊂ Y ( k ) ⊂ A ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) a lso it is true that Y ∈ Gen [ f, A ] .If there exists minimal tuple of sets X ∈ Gen [ f, A ] , then the tuple of sets X iscalled quasibasis of diagram of representations ( f, A ) . (cid:3) Theorem . If the tuple of sets X is the quasibasis of diagram of repre-sentations ( f, A ) , then for any ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , and for any m ∈ X ( k ) thetuple of sets X ′ = ( X (1) , ..., X ′ ( k ) = X ( k ) \ { m } , ..., X ( n ) ) is not generating set of diagram of representations ( f, A ) . Proof.
Let X be quasibasis of diagram of representations ( f, A ). Assumethat for some m ∈ X ( k ) there exist Ω ( k ) -word w = w ( k ) [ f, X ′ , m ]Consider A ( k ) -number m ′ such that it has Ω ( k ) -word w ′ = w ( k ) [ f, X, m ′ ] thatdepends on m . According to the definition 8.1.5, any occurrence of A ( k ) -number m into Ω ( k ) -word w ′ can be substituted by the Ω ( k ) -word w . Therefore, the Ω ( k ) -word w ′ does not depend on m , and the tuple of sets X ′ is generating set of diagram ofrepresentations ( f, A ). Therefore, X is not quasibasis of diagram of representations( f, A ). (cid:3) Remark . The proof of the theorem 8.2.2 gives us effective method forconstructing the quasibasis of diagram of representations ( f, A ) . We define a qua-sibasis of diagram of representations by induction over diagram of representations.We start to build a quasibasis in Ω -algebras from the set A [0] . When the quasibasisis constructed in Ω -algebras from the set A [ i ] , we can proceed to the construction ofquasibasis in Ω -algebras from the set A [ i +1] . (cid:3) .2. Basis of Diagram of Representations 129 For each ( k ), ( k ) = (1), ..., ( n ), we introduced Ω ( k ) -word of A ( k ) -number x relative generating set X in the definition X is not an quasibasis, then a choice of Ω ( k ) -wordrelative generating set X is ambiguous. However, even if the generating set X is anquasibasis, then a representation of m ∈ A ( k ) in form of Ω ( k ) -word is ambiguous. Remark . There are three reasons of ambiguity in notation of Ω ( k ) -word. In Ω ( k ) -algebra A ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , equalities may be defined. Forinstance, if e is unit of multiplicative group A ( k ) , then the equality ae = a is true for any a ∈ A ( k ) . Ambiguity of choice of Ω ( k ) -word may be associated with properties of rep-resentation. For instance, let there exist representation f ik of Ω i -algebra A i in Ω k -algebra A k . If m , ..., m n are Ω k -words, ω ∈ Ω k ( n ) and a is Ω i -word, then (8.2.1) f ik ( a )( m ...m n ω ) = ( f ik ( a )( m )) ... ( f ik ( a )( m n )) ω At the same time, if ω is operation of Ω i -algebra A i and operationof Ω k -algebra A k , then we require that Ω k -words f ( a ...a n ω )( x ) and ( f ( a )( x )) ... ( f ( a n )( x )) ω describe the same element of Ω k -algebra A k . (8.2.2) f ( a ...a n ω )( x ) = ( f ( a )( x )) ... ( f ( a n )( x )) ω Equalities like (8.2.1) , (8.2.2) persist under morphism of diagram of repre-sentations. Therefore we can ignore this form of ambiguity of Ω ( k ) -word.However, a fundamentally different form of ambiguity is possible. We cansee an example of such ambiguity in theorems 9.3.15, 9.3.16.So we see that we can define different equivalence relations on the set of Ω ( k ) -words. Our goal is to find a maximum equivalence on the set of Ω ( k ) -wordswhich persist under morphism of representation. Naturally, arguments at the beginning of this section are the same as arguments at thebeginning of the section 6.2 and I saved these arguments for the completeness of the text.
For instance, let { e , e } be the basis of vector space over field k . The equation (8.2.1) hasthe form of distributive law a ( b e + b e ) = ( ab ) e + ( ab ) e For vector space, this requirement has the form of distributive law( a + b ) e = ae + be Evidently each of the equalities (8.2.1), (8.2.2) generates some equivalence relation.
30 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra
A similar remark concerns the map W [ f, X, m ] defined in the remark 8.1.8. (cid:3) Theorem . Let X be quasibasis of the diagram of representations ( f, A ) .Consider tuple of equivalences λ [ f, X ] = ( λ (1) [ f, X ] , ..., λ ( n ) [ f, X ]) λ ( k ) [ f, X ] ⊆ w ( k ) [ f, X ] × w ( k ) [ f, X ] which is generated exclusively by the following statements. If in Ω ( k ) -algebra A ( k ) there is an equality w ( k )1 [ f, X, m ] = w ( k )2 [ f, X, m ] defining structure of Ω ( k ) -algebra, then ( w ( k )1 [ f, X, m ] , w ( k )2 [ f, X, m ]) ∈ λ ( k ) [ f, X ]8.2.5.2: If there exists representation f ik and in Ω i -algebra A i there is an equality w i [ f, X, m ] = w i [ f, X, m ] defining structure of Ω i -algebra, then ( f ik ( w i )( w k [ f, X, m ]) , f ik ( w i )( w k [ f, X, m ])) ∈ λ k [ f, X ]8.2.5.3: If there exists representation f ik , then for any operation ω ∈ Ω i ( n ) , ( f ik ( a i ...a in ω )( a ) , ( f ik ( a i ) ...f ik ( a in ) ω )( a )) ∈ λ k [ f, X ]8.2.5.4: If there exists representation f ik , then for any operation ω ∈ Ω k ( n ) , ( f ik ( a i )( a k ...a kn ω ) , f ik ( a i )( a k ) ...f ik ( a i )( a kn ) ω ) ∈ λ k [ f, X ] If vector space has finite basis, then we represent the basis as matrix e = (cid:16) e ... e (cid:17) We present the map W [ f, e ]( v ) as matrix W [ f, e, v ] = v ...v n Then W [ f, e, v ]( e ′ ) = W [ f, e, v ] (cid:16) e ′ ... e ′ n (cid:17) = v ...v n (cid:16) e ′ ... e ′ n (cid:17) has form of matrix product. .2. Basis of Diagram of Representations 131 If there exists representation f ik , ω ∈ Ω i ( n ) ∩ Ω k ( n ) and the representa-tion f ik satisfies equality f ( a i ...a in ω )( a k ) = ( f ( a i )( a k )) ... ( f ( a in )( a k )) ω then we can assume that the following equality is true ( f ( a i ...a in ω )( a k ) , ( f ( a i )( a k )) ... ( f ( a in )( a k )) ω ) ∈ λ k [ f, X ] Proof.
The theorem is true because considered equalities are preserved underhomomorphisms of universal algebras A ( k ) . (cid:3) Definition . Quasibasis e of the diagram of representations ( f, A ) suchthat ρ [ f, e ] = λ [ f, e ] is called basis of diagram of representations ( f, A ) . (cid:3) Remark . We write a basis also in following form e = ( e (1) , ..., e ( n ) ) e ( k ) = ( e ( k ) l , e ( k ) l ∈ e ( k ) ) ( k ) = (1) , ..., ( n ) If basis is finite, then we also use notation e ( k ) = ( e ( k ) i , i ∈ I ( k ) ) = ( e ( k )1 , ..., e ( k ) p ( k ) ) ( k ) = (1) , ..., ( n ) (cid:3) Theorem . Automorphism of the diagram of representations ( f, A ) mapsa basis of the diagram of representations ( f, A ) into basis. Proof.
Let the map r be automorphism of the diagram of representations( f, A ). Let the tuple of sets e be a basis of the diagram of representations ( f, A ).Let e ′ = r ◦ e . Assume that the tuple of sets e ′ is not basis. According to thetheorem 8.2.2, there exist ( k ), ( k ) = (1), ..., ( n ), and e ′ ( k ) i ∈ e ′ ( k ) such that thetuple of sets Z = ( e ′ (1) , ..., Z ( k ) = e ′ ( k ) \ { e ′ ( k ) i } , ..., e ′ ( n ) )is generating set of the diagram of representations ( f, A ). According to the theo-rem 7.3.3 the map r − is automorphism of the diagram of representations ( f, A ).According to the theorem 8.1.25 and definition 8.1.24, the tuple of sets X = ( e (1) , ..., X ( k ) = e ( k ) \ { r − k ) ( e ′ ( k ) i ) } , ..., e ( n ) )is generating set of the diagram of representations ( f, A ). The contradiction com-pletes the proof of the theorem. (cid:3) Consider a representation of commutative ring D in D -algebra A . We will use notation f ( a )( v ) = av The operations of addition and multiplication are defined in both algebras. However the equality f ( a + b )( v ) = f ( a )( v ) + f ( b )( v )is true, and the equality f ( ab )( v ) = f ( a )( v ) f ( b )( v )is wrong. According to definitions 5.1.3, 8.3.1, we will use notation r ( e ) = r ◦ e .
32 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra
Theorem . Let e be the basis of the diagram of representations ( f, A ) .Let ( g, B ) be diagram of representations. Let R : e → Y be arbitrary map of the tuple of sets e , Y ( k ) ⊆ B ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) . Considerthe tuple of maps w ( k ) [ f → g, e, Y, R ] : w ( k ) [ f, e ] → w ( k ) [ g, Y ] that satisfy conditions 8.1.7.1, 8.1.7.2, 8.1.7.3 and such that e ( k ) i ∈ e ( k ) = > w ( k ) [ f → g, e, Y, R ]( e ( k ) i ) = R ( k ) ( e ( k ) i ) There exists unique morphism of diagram of representations r : A → B defined by rule r ( a ) = w [ f → g, e, Y, R ]( w [ f, e, a ]) Proof.
The statement of theorem is corollary theorems 6.1.10, 6.1.14. (cid:3)
Corollary . Let e , e ′ be bases of the representation ( f, A ) . Let r be theautomorphism of the representation ( f, A ) such that e ′ = r ◦ e . Automorphism r is uniquely defined. (cid:3) Remark . The theorem 8.2.9, as well as the theorem 8.1.12, is the the-orem of extension of map. However in this theorem, e is not arbitrary generatingset of the diagram of representations, but basis. According to the remark 8.2.3, wecannot determine coordinates of any element of basis through the remaining ele-ments of the same basis. Therefore, we do not need to coordinate the map of thebasis with representation. (cid:3) Theorem . The set of coordinates W [ f, e, e ] corresponds to identitytransformation W [ f, e, E ] = W [ f, e, e ] Proof.
The statement of the theorem follows from the equality a = e ◦ W [ f, e, a ] = e ◦ W [ f, e, e ] ◦ W [ f, e, a ] (cid:3) Theorem . Let W [ f, e, r ◦ e ] be the set of coordinates of automorphism r . There exists set of coordinates W [ f, r ◦ e, e ] , corresponding to automorphism r − . The set of coordinates W [ f, r ◦ e, e ] satisfy to equalities (8.2.3) W [ f, e, r ◦ e ] ◦ W [ f, r ◦ e, e ] = W [ f, e, e ] W [ f → f, e, e, r − ] = W [ f → f, e, e, r ] − = W [ f, r ◦ e, e ] This statement is similar to the theorem [2]-4.1, p. 135.
See also remark 6.2.15. .3. Basis Manifold of Diagram of Representations 133
Proof.
Since r is automorphism of the diagram of representations ( f, A ),then, according to the theorem 8.2.8, the set r ◦ e is a basis of the diagram ofrepresentations ( f, A ). Therefore, there exists the set of coordinates W [ f, r ◦ e, e ].The equality (8.2.3) follows from the chain of equalities W [ f, e, r ◦ e ] ◦ W [ f, r ◦ e, e ] = W [ f, e, r ◦ e ] ◦ W [ f, e, r − ◦ e ]= W [ f, e, r ◦ r − ◦ e ] = W [ f, e, e ] (cid:3) Theorem . Let W [ f, e, r ◦ e ] be the set of coordinates of automorphism r . Let W [ f, e, s ◦ e ] be the set of coordinates of automorphism s . The set ofcoordinates of automorphism ( r ◦ s ) − satisfies to the equality (8.2.4) W [ f, ( r ◦ s ) ◦ e, e ] = W [ f, s ◦ ( r ◦ e ) , e ] = W [ f, s ◦ e, e ] ◦ W [ f, r ◦ e, e ] Proof.
The equality W [ f, ( r ◦ s ) ◦ e, e ] = W [ f, e, ( r ◦ s ) − ◦ e ] = W [ f, e, s − ◦ r − ◦ e ]= W [ f, e, s − ◦ e ] ◦ W [ f, e, r − ◦ e ]= W [ f, s ◦ e, e ] ◦ W [ f, r ◦ e, e ]= W [ f, s ◦ ( r ◦ e ) , e ](8.2.5)follows from theorems 8.1.21, 8.2.13. The equality (8.2.4) follows from the equality(8.2.5). (cid:3) Theorem . The group of automorphisms GA ( f ) of the diagram of effec-tive representations ( f, A ) generates effective left-side representation in the diagramof representations ( f, A ) . Proof.
From the corollary 8.2.10, it follows that if automorphism r maps abasis e into a basis e ′ , then the set of coordinates W [ f, e, e ′ ] uniquely determinesan automorphism r . From the theorem 8.1.18, it follows that the set of coordinates W [ f, e, e ′ ] determines the map of coordinates relative to the basis e under auto-morphism of the diagram of representations ( f, A ). From the equality (8.1.37), itfollows that automorphism r acts from the left on elements of Ω ( k ) -algebra A ( k ) ,( k ) = (1), ..., ( n ). From the equality (8.1.34), it follows that the representation ofgroup is left-side representation. According to the theorem 8.2.12 the set of coordi-nates W [ f, e, e ] corresponds to identity transformation. From the theorem 8.2.13,it follows that the set of coordinates W [ f, r ◦ e, e ] corresponds to transformation,inverse to transformation W [ f, e, r ◦ e ]. (cid:3) The set B [ f ] of bases of diagram of representations ( f, A ) is called basismanifold of diagram of representations ( f, A ). Definition . According to the theorem 8.2.8 and to the definition 8.1.22,automorphism r of the diagram of representations ( f, A ) generates transformation r : h → r ◦ hr ◦ h = W [ f, e, r ◦ e ] ◦ h (8.3.1)
34 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra of the basis manifold of diagram of representations. This transformation is called active . According to the theorem 7.3.3, we defined left-side representation A ( f ) : GA ( f ) ∗ / / B [ f ] of group GA ( f ) in basis manifold B [ f ] . Representation A ( f ) is called active rep-resentation . According to the corollary 8.2.10, this representation is single tran-sitive. (cid:3) Remark . According to remark 8.2.3, it is possible that there exist basesof diagram of representations ( f, A ) such that there is no active transformation be-tween them. Then we consider the orbit of selected basis as basis manifold. There-fore, it is possible that the diagram of representations ( f, A ) has different basismanifolds. We will assume that we have chosen a basis manifold. Theorem . There exists single transitive right-side representation P ( f ) : GA ( f ) ∗ / / B [ f ] of group GA ( f ) in basis manifold B [ f ] . Representation P ( f ) is called passiverepresentation . Proof.
Since A ( f ) is single transitive left-side representation of group GA ( f ),then single transitive right-side representation P ( f ) is uniquely defined accordingto the theorem 5.5.9. (cid:3) Theorem . Transformation of representation P ( f ) is called passive trans-formation of the basis manifold of diagram of representations. We also usenotation s ( e ) = e ◦ s to denote the image of basis e under passive transformation s . Passive transforma-tion of basis has form s : h → h ◦ sh ◦ s = h ◦ W [ f, e, e ◦ s ](8.3.2) Proof.
According to the equality (8.3.1), active transformation acts from lefton coordinates of basis. The equality (8.3.2) follows from theorems 5.5.8, 5.5.9,5.5.11; according to these theorems, passive transformation acts from right on co-ordinates of basis. (cid:3)
Theorem . Passive transformation of the basis manifold is automorphismof representation A ( f ) . Proof.
The theorem follows from the theorem 5.5.11. (cid:3)
Theorem . Let s be passive transformation of the basis manifold of thediagram of representations ( f, A ) . Let e be the basis of the diagram of representa-tions ( f, A ) , e = e ◦ s . For basis e , let there exists an active transformation r such that e = r ◦ e . Let e = r ◦ e . Then e = e ◦ s . Proof.
According to the equality (8.3.1), active transformation of coordinatesof basis e has form(8.3.3) e = W [ f, e , e ] ◦ e = W [ f, e , e ] ◦ e ◦ W [ f, e , e ] .4. Geometric Object of Diagram of Representations 135 Let e = e ◦ s . From the equality (8.3.2), it follows that(8.3.4) e = e ◦ W [ f, e , e ] = W [ f, e , e ] ◦ e ◦ W [ f, e , e ]From match of expressions in equalities (8.3.3), (8.3.4), it follows that e = e .Therefore, the diagram e ∈ B [ f ] s (cid:15) (cid:15) r / / e ∈ B [ f ] s (cid:15) (cid:15) e ∈ B [ f ] r / / e ∈ B [ f ]is commutative. (cid:3) An active transformation changes a basis of the diagram of representations andtuple of Ω-numbers uniformly and coordinates of Ω -number relative basis do notchange. A passive transformation changes only the basis and it leads to change ofcoordinates of tuple of Ω-numbers relative to the basis. Theorem . Let passive transformation s ∈ GA ( f ) maps basis e ∈ B [ f ] into basis e ∈ B [ f ](8.4.1) e = e ◦ s = e ◦ W [ f, e , e ◦ s ] Let tuple of A -numbers a has tuple of Ω -words (8.4.2) a = e ◦ W [ f, e , a ] relative to basis e and has tuple of Ω -words (8.4.3) a = e ◦ W [ f, e , a ] relative to basis e . Coordinate transformation (8.4.4) W [ f, e , a ] = W [ f, e ◦ s, e ] ◦ W [ f, e , a ] does not depend on tuple of A -numbers a or basis e , but is defined only by coordi-nates of tuple of A -numbers a relative to basis e . Proof.
From (8.4.1) and (8.4.3), it follows that e ◦ W [ f, e , a ] = e ◦ W [ f, e , a ] = e ◦ W [ f, e , e ] ◦ W [ f, e , a ]= e ◦ W [ f, e , e ◦ s ] ◦ W [ f, e , a ](8.4.5)Comparing (8.4.2) and (8.4.5) we get(8.4.6) W [ f, e , a ] = W [ f, e , e ◦ s ] ◦ W [ f, e , a ]Since s is automorphism, then the equality (8.4.4) follows from (8.4.6) and thetheorem 8.2.13. (cid:3) Theorem . Coordinate transformations (8.4.4) form effective contravari-ant right-side representation of group GA ( f ) which is called coordinate repre-sentation in tuple of Ω -algebras.
36 8. Basis of Diagram of Representations of Universal Algebra
Proof.
According to corollary 8.1.19, the transformation (8.4.4) is the endo-morphism of diagram of representations ( F, W [ f, e ]).Suppose we have two consecutive passive transformations s and t . Coordinatetransformation(8.4.7) W [ f, e , a ] = W [ f, e ◦ s, e ] ◦ W [ f, e , a ]corresponds to passive transformation s . Coordinate transformation(8.4.8) W [ f, e , a ] = W [ f, e ◦ t, e ] ◦ W [ f, e , a ]corresponds to passive transformation t . According to the theorem 8.3.3, productof coordinate transformations (8.4.7) and (8.4.8) has form W [ f, e , a ] = W [ f, e ◦ t, e ] ◦ W [ f, e ◦ s, e ] ◦ W [ f, e , a ]= W [ f, e ◦ t ◦ s, e ] ◦ W [ f, e , a ]and is coordinate transformation corresponding to passive transformation s ◦ t .According to theorems 8.2.13, 8.2.14 and to the definition 5.1.11, coordinate trans-formations form right-side contravariant representation of group GA ( f ).Suppose coordinate transformation does not change coordinates of selected ba-sis. Then unit of group GA ( f ) corresponds to it because representation is singletransitive. Therefore, coordinate representation is effective. (cid:3) Let ( f, A ), ( g, B ) be diagrams of representations. Passive representation P ( g )is coordinated with passive representation P ( f ), if there exists homomorphism h ofgroup GA ( f ) into group GA ( g ). Consider diagramEnd( B [ f ]) H / / End( B [ g ]) GA ( f ) P ( f ) O O h / / f ′ ❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦ GA ( g ) P ( g ) O O Since maps P ( f ), P ( g ) are isomorphisms of group, then map H is homomorphismof groups. Therefore, map f ′ is representation of group GA ( f ) in basis manifold B ( g ). According to design, passive transformation H ( s ) of basis manifold B ( g )corresponds to passive transformation s of basis manifold B ( f )(8.4.9) e g = e g ◦ H ( s )Then coordinate transformation in diagram of representations ( B, g ) gets form(8.4.10) W [ g, e g , a ] = W [ g, e g ◦ H ( s ) , e g ] ◦ W [ g, e g , a ] Definition . Orbit O ( f, g, e g , a ) = H ( GA ( f )) ◦ W [ g, e g , a ]= ( W [ g, e g ◦ H ( s ) , e g ] ◦ W [ g, e g , a ] , e f ◦ s, s ∈ GA ( f )) is called geometric object in coordinate representation defined in the diagramof representations ( f, A ) . For any basis e f = e f ◦ s corresponding point (8.4.10) of orbit defines coordinates of geometric object relative basis e f . (cid:3) This transformation does not generate an endomorphism of the diagram of representations( f, A ). Coordinates change because basis relative which we determinate coordinates changes.However, tuple of A -numbers, coordinates of which we are considering, does not change. .4. Geometric Object of Diagram of Representations 137 Definition . Orbit O ( f, g, a ) = ( W [ g, e g ◦ H ( s ) , e g ] ◦ W [ g, e g , a ] , e g ◦ H ( s ) , e f ◦ s, s ∈ GA ( f )) is called geometric object defined in the diagram of representations ( f, A ) . Wealso say that a is a geometric object of type H . For any basis e f = e f ◦ s corresponding point (8.4.10) of orbit defines tuple of A -numbers a = e g ◦ W [ g, e g , a ] called representative of geometric object in the diagram of representations ( f, A ) . (cid:3) Since a geometric object is an orbit of representation, we see that according tothe theorem 5.3.7 the definition of the geometric object is a proper definition.Definition 8.4.3 introduces a geometric object in coordinate space. We assumein definition 8.4.4 that we selected a basis of representation g . This allows using arepresentative of the geometric object instead of its coordinates. Theorem . Representative of geometric object doesnot depend on selection of basis e f . Proof.
To define representative of geometric object, we need to select basis e f of diagram of representations ( f, A ), basis e g of diagram of representations ( B, g )and coordinates of geometric object W [ g, e g , b ]. Corresponding representative ofgeometric object has form b = e g ◦ W [ g, e g , b ]Suppose we map basis e f to basis e f by passive transformation e f = e f ◦ s According building this forms passive transformation (8.4.9) and coordinate trans-formation (8.4.10). Corresponding representative of geometric object has form b ′ = e g ◦ W [ g, e g , b ′ ]= e g ◦ W [ g, e g , e g ◦ H ( s )] ◦ W [ g, e g ◦ H ( s ) , e g ] ◦ W [ g, e g , b ]= e g ◦ W [ g, e g , b ] = b Therefore representative of geometric object is invariant relative selection of basis. (cid:3)
HAPTER 9
Examples of Diagram of Representations: Module
Representation of universal algebra is very important tool which I have beenusing for many years to study algebra, geometry, calculus. The main goal of thisand following chapters is to show how representation of universal algebra works indifferent fields of mathematics.Examples in this chapter are related to different structures associated withmodule over ring.Abelian group is first example. Module is effective representation of ring inAbelian group. So there is some similarity between Abelian group and module. Iconsider this similarity in the section 9.2.Module over commutative ring is relatively simple theory. On the other hand,definitions of representation theory (basis of representation, morphism of repre-sentation, free representation) are based on similar definitions in module. So Idedicated the section 9.3 to thorough consideration of module over commutativering.I consider algebra over commutative ring in the section 9.4 and left moduleover D -algebra in the section 9.5. We can consider module over non commutativering the same way as we considered module over commutative ring. However, weencounter serious problems when studying linear map.Consideration a non commutative ring as algebra over center of the ring sig-nificantly changes the picture. Analysis of diagram of representations describingmodule V over D -algebra A , allows us to consider different groups of maps whichpreserve the structure of algebra. Among these maps, we distinguish linear maps of A -module V (reduced morphism of D -module V ) and homomorphisms of A -module V (reduced morphism of diagram of representations). Such definition of linear mapallows us to consider polylinear map of module over D -algebra A .If D -algebra A is Banach algebra, then we get the tool to study multivariablecalculus. Unfortunately, the structure of linear map of noncommutative algebra isoutside the scope of this chapter. The reader can study more on this topic in thebook [12]. Definition . The action of ring of rational integers Z in Abelian group G is defined using following rules g = 0(9.2.1) ( n + 1) g = ng + g (9.2.2) ( n − g = ng − g (9.2.3) (cid:3) Theorem . The action of ring of rational integers Z in Abelian group G defined in the definition 9.2.1 is representation. The following equalities are true a = a (9.2.4) ( nm ) a = n ( ma )(9.2.5) ( m + n ) a = ma + na (9.2.6) ( m − n ) a = ma − na (9.2.7) n ( a + b ) = na + nb (9.2.8) Proof.
The equality (9.2.4) follows from the equality (9.2.1) and from theequality (9.2.2) when n = 0.From the equality (9.2.1), it follows that the equality (9.2.6) is true when n = 0. • Let the equality (9.2.6) is true when n = k ≥
0. Then( m + k ) a = ma + ka The equality( m + ( k + 1)) a = (( m + k ) + 1) a = ( m + k ) a + a = ma + ka + a = ma + ( k + 1) a follows from the equality (9.2.2). Therefore, the equality (9.2.6) is truewhen n = k +1. According to mathematical induction, the equality (9.2.6)is true for any n ≥ • Let the equality (9.2.6) is true when n = k ≤
0. Then( m + k ) a = ma + ka The equality( m + ( k − a = (( m + k ) − a = ( m + k ) a − a = ma + ka − a = ma + ( k − a follows from the equality (9.2.3). Therefore, the equality (9.2.6) is truewhen n = k −
1. According to mathematical induction, the equality (9.2.6)is true for any n ≤ • Therefore, the equality (9.2.6) is true for any n ∈ Z .The equality(9.2.9) ( k + n ) a − na = ka follows from the equality (9.2.6). The equality (9.2.7) follows from the equality(9.2.9), if we assume m = k + n , k = m − n .From the equality (9.2.1), it follows that the equality (9.2.5) is true when n = 0. • Let the equality (9.2.5) is true when n = k ≥
0. Then( km ) a = k ( ma )The equality(( k + 1) m ) a = ( km + m ) a = ( km ) a + ma = k ( ma ) + ma = ( k + 1)( ma )
40 9. Examples of Diagram of Representations: Module follows from equalities (9.2.2), (9.2.6). Therefore, the equality (9.2.5) istrue when n = k + 1. According to mathematical induction, the equality(9.2.5) is true for any n ≥ • Let the equality (9.2.6) is true when n = k ≤
0. Then( km ) a = k ( ma )The equality(( k − m ) a = ( km − m ) a = ( km ) a − ma = k ( ma ) − ma = ( k − ma )follows from equalities (9.2.3), (9.2.7). Therefore, the equality (9.2.5) istrue when n = k −
1. According to mathematical induction, the equality(9.2.5) is true for any n ≤ • Therefore, the equality (9.2.5) is true for any n ∈ Z .From the equality (9.2.1), it follows that the equality (9.2.8) is true when n = 0. • Let the equality (9.2.8) is true when n = k ≥
0. Then k ( a + b ) = ka + kb The equality( k + 1)( a + b ) = k ( a + b ) + a + b = ka + kb + a + b = ka + a + kb + b = ( k + 1) a + ( k + 1) b follows from the equality (9.2.2). Therefore, the equality (9.2.8) is truewhen n = k +1. According to mathematical induction, the equality (9.2.8)is true for any n ≥ • Let the equality (9.2.6) is true when n = k ≤
0. Then k ( a + b ) = ka + kb The equality( k − a + b ) = k ( a + b ) − ( a + b ) = ka + kb − a − b = ka − a + kb − b = ( k − a + ( k − b follows from the equality (9.2.3). Therefore, the equality (9.2.8) is truewhen n = k −
1. According to mathematical induction, the equality (9.2.8)is true for any n ≤ • Therefore, the equality (9.2.8) is true for any n ∈ Z .From the equality (9.2.8), it follows that the map ϕ ( n ) : a ∈ G → na ∈ G is an endomorphism of Abelian group G . From equalities (9.2.6), (9.2.5), it followsthat the map ϕ : Z → End(
Ab, G )is a homomorphism of the ring Z . According to the definition 3.1.1, the map ϕ isrepresentation of ring of rational integers Z in Abelian group G . (cid:3) .3. Vector Space 141 Theorem . Let G be Abelian group. The set of G -numbers generated bythe set S = { s i : i ∈ I } has form (9.2.10) J ( S ) = ( g : g = X i ∈ I g i s i , g i ∈ Z ) where the set { i ∈ I : g i = 0 } is finite. Proof.
We prove the theorem by induction based on the theorems [14]-5.1,page 79 and 6.1.4.For any s k ∈ S , let g i = δ ik . Then(9.2.11) s k = X i ∈ I g i s i s k ∈ J ( S ) follows from (9.2.10), (9.2.11).Let g , g ∈ X k ⊆ J ( S ). Since G is Abelian group, then, according to thestatement 6.1.4.3, g + g ∈ J ( S ). According to the equality (9.2.10), there exist Z -numbers g i , g i , i ∈ I , such that(9.2.12) g = X i ∈ I g i v i g = X i ∈ I g i v i where sets(9.2.13) H = { i ∈ I : g i = 0 } H = { i ∈ I : g i = 0 } are finite. From the equality (9.2.12), it follows that(9.2.14) g + g = X i ∈ I g i v i + X i ∈ I g i v i = X i ∈ I ( g i v i + g i v i )The equality(9.2.15) g + g = X i ∈ I ( g i + g i ) v i follows from equalities (9.2.6), (9.2.14). From the equality (9.2.13), it follows thatthe set { i ∈ I : g i + g i = 0 } ⊆ H ∪ H is finite. From the equality (9.2.15), it follows that g + g ∈ J ( S ). (cid:3) Definition . Effective representation of commutative ring D in an Abeliangroup V (9.3.1) f : D ∗ / / V f ( d ) : v → d v is called module over ring D or D -module . V -number is called vector . (cid:3) Theorem . The following diagram of representations describes D -module V (9.3.2) D ∗ g / / VZ ∗ g O O
42 9. Examples of Diagram of Representations: Module
The diagram of representations (9.3.2) holds commutativity of representations of ring of rational integers Z and commutative ring D in Abelian group V (9.3.3) a ( nv ) = n ( av ) Proof.
The diagram of representations (9.3.2) follows from the definition9.3.1 and from the theorem 9.2.2. Since transformation g ( a ) is endomorphism of Z -module V , we obtain the equality (9.3.3). (cid:3) Theorem . Let V be D -module. For any vector v ∈ V , vector generatedby the diagram of representations (9.3.2) has the following form (9.3.4) ( a + n ) v = av + nv a ∈ D n ∈ Z The set of maps (9.3.5) a + n : v ∈ V → ( a + n ) v ∈ V generates ring D (1) where the sum is defined by the equality (9.3.6) ( a + n ) + ( b + m ) = ( a + b ) + ( n + m ) and the product is defined by the equality (9.3.7) ( a + n )( b + m ) = ( ab + ma + nb ) + ( nm ) The ring D (1) is called unital extension of the ring D .If ring D has unit, then Z ⊆ D D (1) = D If ring D is ideal of Z , then D ⊆ Z D (1) = Z Otherwise D (1) = D ⊕ Z The ring D is ideal of ring D (1) . The set of transormations (9.3.4) is representation of ring D (1) in Abeliangroup V .We use the notation D (1) v for the set of vectors generated by vector v . Theorem . Following conditions hold for D -module V : associative law (9.3.8) ( pq ) v = p ( qv )9.3.4.2: distributive law p ( v + w ) = pv + pw (9.3.9) ( p + q ) v = pv + qv (9.3.10)9.3.4.3: unitarity law (9.3.11) 1 v = v for any p , q ∈ D (1) , v , w ∈ V . Proof of theorems 9.3.3, 9.3.4.
Let v ∈ V . Lemma . Let n ∈ Z , a ∈ D . The map (9.3.5) is endomorphism ofAbelian group V . See the definition of unital extension also on the pages [6]-52, [7]-64. .3. Vector Space 143
Proof.
Statements nv ∈ V , av ∈ V follow from the theorems 6.1.4, 9.3.2.Since V is Abelian group, then nv + av ∈ V n ∈ Z a ∈ D Therefore, for any Z -number n and for any D -number a , we defined the map (9.3.5).Since transformation g ( n ) and transformation g ( a ) are endomorphisms of Abeliangroup V , then the map (9.3.5) is endomorphism of Abelian group V . ⊙ Let D (1) be the set of maps (9.3.5). The equality (9.3.9) follows from the lemma9.3.5.Let p = a + n ∈ D (1) , q = b + m ∈ D (1) . According to the statement 9.3.3.3,we define the sum of D (1) -numbers p and q by the equality (9.3.10). The equality(9.3.12) (( a + n ) + ( b + m )) v = ( a + n ) v + ( b + m ) v follows from the equality (9.3.10). Since representation g is homomorphism of theaditive group of ring Z , we obtain the equality(9.3.13) ( n + m ) v = nv + mv Since representation g is homomorphism of the aditive group of ring D , we obtainthe equality(9.3.14) ( a + b ) v = av + bv Since V is Abelian group, then the equality(( a + n ) + ( b + m )) v = av + nv + bv + mv = av + bv + nv + mv = ( a + b ) v + ( n + m ) v = (( a + b ) + ( n + m )) v (9.3.15)follows from equalities (9.3.12), (9.3.13), (9.3.14). From the equality (9.3.15), itfollows that the definition (9.3.6) of sum on the set D (1) does not depend on vector v . Equalities (9.3.8), (9.3.11) follow from the statement 9.3.3.3. Let p = a + n ∈ D (1) , q = b + m ∈ D (1) . Since representation g is representation of themultiplicative group of ring Z , we obtain the equality(9.3.16) ( mn ) v = m ( nv )Since representation g is representation of the multiplicative group of ring D , weobtain the equality(9.3.17) ( ab ) v = a ( bv )Since the ring D is Abelian group, we obtain the equality(9.3.18) ( md ) v = m ( dv )The equality (( a + n )( b + m )) v = ( a + n )(( b + m ) v ) = ( a + n )( bv + mv )= a ( bv + mv ) + n ( bv + mv )= a ( bv ) + a ( mv ) + n ( bv ) + n ( mv )=( ab ) v + m ( av ) + + n ( bv ) + ( nm ) v =( ab ) v + ( ma ) v + +( nb ) v + ( nm ) v =(( ab + ma + nb ) + nm ) v (9.3.19)
44 9. Examples of Diagram of Representations: Module follows from equalities (9.3.3), (9.3.4), (9.3.8), (9.3.16), (9.3.17), (9.3.18). Theequality (9.3.7) follows from the equality (9.3.19).The statement 9.3.3.2 follows from the equality (9.3.7). (cid:3)
Theorem . Let V be D -module. The set of vectors generated by the setof vectors v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) has form (9.3.20) J ( v ) = ( w : w = X i ∈ I c i v i , c i ∈ D (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ ) Proof.
We prove the theorem by induction based on the theorem 6.1.4, Acord-ing to the theorem 6.1.4, we need to prove following statements:9.3.6.1: v k ∈ X ⊆ J ( v )9.3.6.2: c k v k ∈ J ( v ), c k ∈ D (1) , k ∈ I X k ∈ I c k v k ∈ J ( v ), c k ∈ D (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ w , w ∈ J ( v ) ⇒ w + w ∈ J ( v )9.3.6.5: a ∈ D , w ∈ J ( v ) ⇒ aw ∈ J ( v ) • For any v k ∈ v , let c i = δ ik ∈ D (1) . Then(9.3.21) v k = X i ∈ I c i v i The statement 9.3.6.1 follows from (9.3.20), (9.3.21). • The statement 9.3.6.2 follow from the theorems 6.1.4, 9.3.3 and from thestatement 9.3.6.1. • Since V is Abelian group, then the statement 9.3.6.3 follows from thestatement 9.3.6.2 and from theorems 6.1.4, 9.2.3. • Let w , w ∈ X k ⊆ J ( v ). Since V is Abelian group, then, according tothe statement 6.1.4.3,(9.3.22) w + w ∈ X k +1 According to the equality (9.3.20), there exist D (1) -numbers w i , w i , i ∈ I , such that(9.3.23) w = X i ∈ I w i v i w = X i ∈ I w i v i where sets(9.3.24) H = { i ∈ I : w i = 0 } H = { i ∈ I : w i = 0 } are finite. Since V is Abelian group, then from the equality (9.3.23) itfollows that(9.3.25) w + w = X i ∈ I w i v i + X i ∈ I w i v i = X i ∈ I ( w i v i + w i v i )The equality(9.3.26) w + w = X i ∈ I ( w i + w i ) v i For a set A , we denote by | A | the cardinal number of the set A . The notation | A | < ∞ means that the set A is finite. .3. Vector Space 145 follows from equalities (9.3.10), (9.3.25). From the equality (9.3.24), itfollows that the set { i ∈ I : w i + w i = 0 } ⊆ H ∪ H is finite. • Let w ∈ X k ⊆ J ( v ). According to the statement 6.1.4.4, for any D (1) -number a ,(9.3.27) aw ∈ X k +1 According to the equality (9.3.20), there exist D (1) -numbers w i , i ∈ I ,such that(9.3.28) w = X i ∈ I w i v i where(9.3.29) |{ i ∈ I : w i = 0 }| < ∞ From the equality (9.3.28) it follows that(9.3.30) aw = a X i ∈ I w i v i = X i ∈ I a ( w i v i ) = X i ∈ I ( aw i ) v i From the statement (9.3.29), it follows that the set { i ∈ I : aw i = 0 } isfinite.From equalities (9.3.22), (9.3.26), (9.3.27), (9.3.30), it follows that X k +1 ⊆ J ( v ). (cid:3) Definition . Let v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) be set of vectors. The expression w i v i is called linear combination of vectors v i . A vector w = w i v i is called linearly dependent on vectors v i . (cid:3) We represent the set of D (1) -numbers w i , i ∈ I , as matrix w = w ...w n We represent the set of vectors v i , i ∈ I , as matrix v = (cid:16) v ... v n (cid:17) Then we can represent linear combination of vectors w = w i v i as w = w ∗∗ v Theorem . Let D be field. Since the equation w i v i = 0 implies existence of index i = j such that w j = 0 , then the vector v j linearlydepends on rest of vectors v .
46 9. Examples of Diagram of Representations: Module
Proof.
The theorem follows from the equality v j = X i ∈ I \{ j } w i w j v i and from the definition 9.3.7. (cid:3) It is evident that for any set of vectors v i w i = 0 ⇒ w ∗∗ v = 0 Definition . The set of vectors v i , i ∈ I , of D -module V is linearlyindependent if w = 0 follows from the equation w i v i = 0 Otherwise the set of vectors v i , i ∈ I , is linearly dependent . (cid:3) The following definition follows from the theorems 9.3.6, 6.1.4 and from thedefinition 6.1.5.
Definition . J ( v ) is called submodule generated by set v , and v is a generating set of submodule J ( v ) . In particular, a generating set of D -module V is a subset X ⊂ V such that J ( X ) = V . (cid:3) The following definition follows from the theorems 9.3.6, 6.1.4 and from thedefinition 6.2.6.
Definition . If the set X ⊂ V is generating set of D -module V , thenany set Y , X ⊂ Y ⊂ V also is generating set of D -module V . If there existsminimal set X generating the D -module V , then the set X is called basis of D -module V . (cid:3) Theorem . The set of vectors e = ( e i , i ∈ I ) is basis of D -module V ,if following statements are true. Arbitrary vector v ∈ V is linear combination of vectors of the set e . Vector e i cannot be represented as a linear combination of the remainingvectors of the set e . Proof.
According to the statement 9.3.12.1, the theorem 9.3.6 and the defi-nition 9.3.7, the set e generates D -module V (the definition 9.3.10). According tothe statement 9.3.12.2, the set e is minimal set generating D -module V . Accordingto the definitions 9.3.11, the set e is a basis of D -module V . (cid:3) Theorem . Let D be field. The set of vectors e = ( e i , i ∈ I ) is a basisof D -vector space V if vectors e i are linearly independent and any vector v ∈ V linearly depends on vectors e i . Proof.
Let the set of vectors e i , i ∈ I , be linear dependent. Then theequation w i e i = 0implies existence of index i = j such that w j = 0. According to the theorem9.3.8, the vector e j linearly depends on rest of vectors of the set e . According tothe definition 9.3.11, the set of vectors e i , i ∈ I , is not a basis for D -vector space V . I follow to the definition in [2], page 130. .3. Vector Space 147
Therefore, if the set of vectors e i , i ∈ I , is a basis, then these vectors arelinearly independent. Since an arbitrary vector v ∈ V is linear combination ofvectors e i , i ∈ I , , then the set of vectors v , e i , i ∈ I , is not linearly independent. (cid:3) Definition . Let e be the basis of D -module V and vector v ∈ V hasexpansion v = v ∗∗ e = v i e i with respect to the basis e . D (1) -numbers v i are called coordinates of vector v withrespect to the basis e . Matrix of D (1) -numbers v = ( v i , i ∈ I ) is called coordinatematrix of vector v in basis e . (cid:3) Theorem . Let D be ring. Let e be basis of D -module V . Let (9.3.31) w i e i = 0 be linear dependence of vectors of the basis e . Then D (1) -number w i , i ∈ I , does not have inverse element in ring D (1) . The set D ′ of matrices w = ( w i , i ∈ I ) generates D -module. Proof.
Let there exist matrix w = ( w i , i ∈ I ) such that the equality (9.3.31)is true and there exist index i = j such that w j = 0. If we assume that D (1) -number c j has inverse one, then the equality e j = X i ∈ I \{ j } w i w j e i follows from the equality (9.3.31). Therefore, the vector e j is linear combination ofother vectors of the set e and the set e is not basis. Therefore, our assumption isfalse, and D (1) -number c j does not have inverse.Let matrices b = ( b i , i ∈ I ) ∈ D ′ , c = ( c i , i ∈ I ) ∈ D ′ . From equalities b i e i = 0 c i e i = 0it follows that ( b i + c i ) e i = 0Therefore, the set D ′ is Abelian group.Let matrix c = ( c i , i ∈ I ) ∈ D ′ and a ∈ D . From the equality w i e i = 0it follows that ( ac i ) e i = 0Therefore, Abelian group D ′ is D -module. (cid:3) Theorem . Let D -module V have the basis e such that in the equality (9.3.32) w i e i = 0 there exists index i = j such that w j = 0 . Then The matrix w = ( w i , i ∈ I ) determines coordinates of vector ∈ V withrespect to basis e . Coordinates of vector v with respect to basis e are uniquely determined upto a choice of coordinates of vector ∈ V .
48 9. Examples of Diagram of Representations: Module
Proof.
The statement 9.3.16.1 follows from the equality (9.3.32) and fromthe definition 9.3.14.Let vector v have expansion(9.3.33) v = v ∗∗ e = v i e i with respect to basis e . The equality(9.3.34) v = v + 0 = v i e i + c i e i = ( v i + c i ) e i follows from equalities (9.3.32), (9.3.33). The statement 9.3.16.2 follows from equal-ities (9.3.33), (9.3.34) and from the definition 9.3.14. (cid:3) Definition . The D -module V is free D -module , if D -module V has basis and vectors of the basis are linearly independent. (cid:3) Theorem . Coordinates of vector v ∈ V relative to basis e of free D -module V are uniquely defined. Proof.
The theorem follows from the theorem 9.3.16 and from definitions9.3.9, 9.3.17. (cid:3)
Example . From the theorem 9.2.2 and the definition 9.3.1, it followsthat Abelian group G is module over ring of integers Z . (cid:3) Definition . Morphism of representations (cid:16) h : D → D f : V → V (cid:17) of D -module A into D -module A is called linear map of D -module A into D -module A . Let us denote L ( D → D ; A → A ) set of linear maps of D -module A into D -module A . (cid:3) If the map f : A → A is linear map of D -algebra A into D -algebra A , then I use notation f ◦ a = f ( a )for image of the map f . Theorem . Linear map (cid:16) h : D → D f : A → A (cid:17) of D -module A into D -module A satisfies to equations (9.3.35) h ( d + d ) = h ( d ) + h ( d )(9.3.36) h ( d d ) = h ( d ) h ( d )(9.3.37) f ◦ ( a + b ) = f ◦ a + f ◦ b (9.3.38) f ◦ ( da ) = h ( d )( f ◦ a ) a, b ∈ A d, d , d ∈ D I follow to the definition in [2], page 135.
In some books (for instance, on page [2]-119) the theorem 9.3.21 is considered as a definition. .3. Vector Space 149
Proof.
From definitions 3.2.2, 9.3.20, it follows that the map h is a homo-morphism of the ring D into the ring D (the equalities (9.3.35), (9.3.36)) and themap f is a homomorphism of the Abelian group A into the Abelian group A (theequality (9.3.37)). The equality (9.3.38) follows from the equality (3.2.3). (cid:3) Theorem . Let e = ( e · i , i ∈ I ) be a basis of D -module A . Let e = ( e · j , j ∈ J ) be a basis of D -module A . Then linear map (cid:16) h : D → D f : A → A (cid:17) has presentation (9.3.39) b = h ( a ) ∗∗ f relative to selected bases. Here • a is coordinate matrix of A -number a relative the basis e (9.3.40) a = a ∗∗ e • h ( a ) = ( h ( a i ) , i ∈ I ) is a matrix of D -numbers. • b is coordinate matrix of vector (9.3.41) b = f ◦ a relative the basis e (9.3.42) b = b ∗∗ e • f is coordinate matrix of set of vectors ( f ◦ e · i , i ∈ I ) relative the basis e . The matrix f is called matrix of linear map f relative bases e and e . Proof.
Since (cid:16) h : D → D f : A → A (cid:17) is a linear map, then the equality(9.3.43) b = f ◦ a = f ◦ ( a ∗∗ e ) = h ( a ) ∗∗ ( f ◦ e )follows from equalities (9.3.38), (9.3.40), (9.3.41). A -number f ◦ e · i has expansion(9.3.44) f ◦ e · i = f i ∗∗ e = f ji e · j relative to basis e . Combining (9.3.43) and (9.3.44), we get(9.3.45) b = h ( a ) ∗∗ f ∗∗ e (9.3.39) follows from comparison of (9.3.42) and (9.3.45) and theorem 9.3.18. (cid:3) Definition . Reduced morphism of representations f : A → A of D -module A into D -module A is called linear map of D -module A into D -module A . Let us denote L ( D ; A → A ) set of linear maps of D -module A into D -module A . (cid:3)
50 9. Examples of Diagram of Representations: Module
Theorem . Linear map f : A → A of D -module A into D -module A satisfies to equations (9.3.46) f ◦ ( a + b ) = f ◦ a + f ◦ b (9.3.47) f ◦ ( da ) = d ( f ◦ a ) a, b ∈ A d ∈ D Proof.
From definitions 3.4.2, 9.3.23, it follows that the map f is a homomor-phism of the Abelian group A into the Abelian group A (the equality (9.3.46)).The equality (9.3.47) follows from the equality (3.4.4). (cid:3) Theorem . Let e = ( e · i , i ∈ I ) be a basis of D -module A . Let e = ( e · j , j ∈ J ) be a basis of D -module A . Then linear map f : A → A has presentation (9.3.48) b = a ∗∗ f relative to selected bases. Here • a is coordinate matrix of A -number a relative the basis e (9.3.49) a = a ∗∗ e • b is coordinate matrix of vector (9.3.50) b = f ◦ a relative the basis e (9.3.51) b = b ∗∗ e • f is coordinate matrix of set of vectors ( f ◦ e · i , i ∈ I ) relative the basis e . The matrix f is called matrix of linear map f relative bases e and e . Proof.
Since f : A → A is a linear map, then the equality(9.3.52) b = f ◦ a = f ◦ ( a ∗∗ e ) = a ∗∗ ( f ◦ e )follows from equalities (9.3.47), (9.3.49), (9.3.50). A -number f ◦ e · i has expansion(9.3.53) f ◦ e · i = f i ∗∗ e = f ji e · j relative to basis e . Combining (9.3.52) and (9.3.53), we get(9.3.54) b = a ∗∗ f ∗∗ e (9.3.48) follows from comparison of (9.3.51) and (9.3.54) and theorem 9.3.18. (cid:3) In some books (for instance, on page [2]-119) the theorem 9.3.24 is considered as a definition. .3. Vector Space 151
Definition . Let D be the commutative ring. Reduced polymorphism of D -modules A , ..., A n into D -module Sf : A × ... × A n → S is called polylinear map of D -modules A , ..., A n into D -module S . We denote L ( D ; A × ... × A n → S ) the set of polylinear maps of D -modules A , ..., A n into D -module S . Let us denote L ( D ; A n → S ) set of n -linear maps of D -module A ( A = ... = A n = A ) into D -module S . (cid:3) Theorem . Let D be the commutative ring. The polylinear map of D -modules A , ..., A n into D -module Sf : A × ... × A n → S satisfies to equalities f ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., b i , ..., a n ) f ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pf ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) f ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., b i , ..., a n ) f ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pf ◦ ( a , ..., a i , ..., a n )1 ≤ i ≤ n a i , b i ∈ A i p ∈ D Proof.
The theorem follows from definitions 4.4.4, 9.3.23, 9.3.26 and from thetheorem 9.3.24. (cid:3)
Theorem . Let D be the commutative ring. Let A , ..., A n , S be D -modules. The map (9.3.55) f + g : A × ... × A n → S f, g ∈ L ( D ; A × ... × A n → S ) defined by the equality (9.3.56) ( f + g ) ◦ ( a , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a n ) + g ◦ ( a , ..., a n ) is called sum of polylinear maps f and g and is polylinear map. The set L ( D ; A × ... × A n → S ) is an Abelian group relative sum of maps. Proof.
According to the theorem 9.3.27(9.3.57) f ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., b i , ..., a n )(9.3.58) f ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pf ◦ ( a , ..., a i , ..., a n )(9.3.59) g ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = g ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + g ◦ ( a , ..., b i , ..., a n )(9.3.60) g ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pg ◦ ( a , ..., a i , ..., a n )The equality ( f + g ) ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n )= f ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n ) + g ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n )= f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + f ◦ ( x , ..., y i , ..., x n )+ g ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + g ◦ ( x , ..., y i , ..., x n )=( f + g ) ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + ( f + g ) ◦ ( x , ..., y i , ..., x n )(9.3.61)
52 9. Examples of Diagram of Representations: Module follows from the equalities (9.3.56), (9.3.57), (9.3.59). The equality( f + g ) ◦ ( x , ..., px i , ..., x n )= f ◦ ( x , ..., px i , ..., x n ) + g ◦ ( x , ..., px i , ..., x n )= pf ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + pg ◦ ( x , ..., x i , ..., x n )= p ( f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + g ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ))= p ( f + g ) ◦ ( x , ..., x i , ..., x n )(9.3.62)follows from the equalities (9.3.56), (9.3.58), (9.3.60). From equalities (9.3.61),(9.3.62) and from the theorem 9.3.27, it follows that the map (9.3.55) is linear mapof D -modules.Let f , g , h ∈ L ( D ; A × ... × A → S ). For any a = ( a , ..., a n ), a ∈ A , ..., a n ∈ A n , ( f + g ) ◦ a = f ◦ a + g ◦ a = g ◦ a + f ◦ a =( g + f ) ◦ a (( f + g ) + h ) ◦ a =( f + g ) ◦ a + h ◦ a = ( f ◦ a + g ◦ a ) + h ◦ a = f ◦ a + ( g ◦ a + h ◦ a ) = f ◦ a + ( g + h ) ◦ a =( f + ( g + h )) ◦ a Therefore, sum of polylinear maps is commutative and associative.From the equality (9.3.56), it follows that the map0 : v ∈ A × ... × A n → ∈ S is zero of addition(0 + f ) ◦ ( a , ..., a n ) = 0 ◦ ( a , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a n )From the equality (9.3.56), it follows that the map − f : ( a , ..., a n ) ∈ A × ... × A n → − ( f ◦ ( a , ..., a n )) ∈ S is map inversed to map f f + ( − f ) = 0because ( f + ( − f )) ◦ ( a , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a n ) + ( − f ) ◦ ( a , ..., a n )= f ◦ ( a , ..., a n ) − f ◦ ( a , ..., a n )= 0 = 0 ◦ ( a , ..., a n )From the equality( f + g ) ◦ ( a , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a n ) + g ◦ ( a , ..., a n )= g ◦ ( a , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., a n )= ( g + f ) ◦ ( a , ..., a n )it follows that sum of maps is commutative. Therefore, the set L ( D ; A × ... × A n → S ) is an Abelian group. (cid:3) Corollary . Let A , A be D -modules. The map (9.3.63) f + g : A → A f, g ∈ L ( D ; A → A ) .3. Vector Space 153 defined by equation (9.3.64) ( f + g ) ◦ x = f ◦ x + g ◦ x is called sum of maps f and g and is linear map. The set L ( D ; A ; A ) is anAbelian group relative sum of maps. (cid:3) Theorem . Let D be the commutative ring. Let A , ..., A n , S be D -modules. The map (9.3.65) d f : A × ... × A n → S d ∈ D f ∈ L ( D ; A × ... × A n → S ) defined by equality (9.3.66) ( d f ) ◦ ( a , ..., a n ) = d ( f ◦ ( a , ..., a n )) is polylinear map and is called product of map f over scalar d . The represen-tation (9.3.67) a : f ∈ L ( D ; A × ... × A n → S ) → af ∈ L ( D ; A × ... × A n → S ) of ring D in Abelian group L ( D ; A × ... × A n → S ) generates structure of D -module. Proof.
According to the theorem 9.3.27(9.3.68) f ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., b i , ..., a n )(9.3.69) f ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pf ◦ ( a , ..., a i , ..., a n )The equality ( pf ) ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n )= p f ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n )= p ( f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + f ◦ ( x , ..., y i , ..., x n ))= p ( f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n )) + p ( f ◦ ( x , ..., y i , ..., x n ))= ( pf ) ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + ( pf ) ◦ ( x , ..., y i , ..., x n )(9.3.70)follows from equalities (9.3.66), (9.3.68). The equality( pf ) ◦ ( x , ..., qx i , ..., x n )= p ( f ◦ ( x , ..., qx i , ..., x n )) = pq ( f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ))= qp ( f ◦ ( x , ..., x n )) = q ( pf ) ◦ ( x , ..., x n )(9.3.71)follows from equalities (9.3.66), (9.3.69). From equalities (9.3.70), (9.3.71) and fromthe theorem 9.3.27, it follows that the map (9.3.65) is polylinear map of D -modules.The equality(9.3.72) ( p + q ) f = pf + qf follows from the equality(( p + q ) f ) ◦ ( x , ..., x n ) =( p + q )( f ◦ ( x , ..., x n ))= p ( f ◦ ( x , ..., x n )) + q ( f ◦ ( x , ..., x n ))=( pf ) ◦ ( x , ..., x n ) + ( qf ) ◦ ( x , ..., x n )The equality(9.3.73) p ( qf ) = ( pq ) f
54 9. Examples of Diagram of Representations: Module follows from the equality( p ( qf )) ◦ ( x , ..., x n ) = p ( qf ) ◦ ( x , ..., x n ) = p ( q f ◦ ( x , ..., x n ))=( pq ) f ◦ ( x , ..., x n ) = (( pq ) f ) ◦ ( x , ..., x n )From equalities (9.3.72) (9.3.73) it follows that the map (9.3.67) is representationof ring D in Abelian group L ( D ; A × ... × A n → S ) . Since specified representationis effective, then, according to the definition 9.3.1 and the theorem 9.3.28, Abeliangroup L ( D ; A → A ) is D -module. (cid:3) Corollary . Let A , A be D -modules. The map (9.3.74) d f : A → A d ∈ D f ∈ L ( D ; A → A ) defined by equality (9.3.75) ( d f ) ◦ x = d ( f ◦ x ) is linear map and is called product of map f over scalar d . The representation (9.3.76) a : f ∈ L ( D ; A → A ) → af ∈ L ( D ; A → A ) of ring D in Abelian group L ( D ; A → A ) generates structure of D -module. (cid:3) Definition . Let D be commutative ring. D -module A is called algebraover ring D or D -algebra , if we defined product in A (9.4.1) v w = C ◦ ( v, w ) where C is bilinear map C : A × A → A If A is free D -module, then A is called free algebra over ring D . (cid:3) Theorem . Let D be commutative ring and A be Abelian group. Thediagram of representations D ∗ g / / A ∗ g / / AD ∗ g O O g ( d ) : v → d vg ( v ) : w → C ◦ ( v, w ) C ∈ L ( D ; A → A ) generates the structure of D -algebra A . Proof.
The structure of D -module A is generated by effective representation g : D ∗ / / A of ring D in Abelian group A . I follow the definition given in [20], page 1, [13], page 4. The statement which is true forany D -module, is true also for D -algebra. .4. Algebra over Commutative Ring 155 Lemma . Let the structure of D -algebra A defined in D -module A , begenerated by product v w = C ◦ ( v, w ) Left shift of D -module A defined by equation (9.4.2) l ◦ v : w ∈ A → v w ∈ A generates the representation A ∗ g / / A g : v → l ◦ vg ◦ v : w → ( l ◦ v ) ◦ w of D -module A in D -module A Proof.
According to definitions 9.4.1 and 9.3.26, left shift of D -module A islinear map. According to the definition 9.3.23, the map l ( v ) is endomorphism of D -module A . The equation(9.4.3) ( l ◦ ( v + v )) ◦ w = ( v + v ) w = v w + v w = ( l ◦ v ) ◦ w + ( l ◦ v ) ◦ w follows from the definition 9.3.26 and from the equation (9.4.2). According to thecorollary 9.3.29, the equation(9.4.4) l ◦ ( v + v ) = l ◦ v + l ◦ v follows from equation (9.4.3). The equation(9.4.5) ( l ◦ ( dv )) ◦ w = ( dv ) w = d ( vw ) = d (( l ◦ v ) ◦ w )follows from the definition 9.3.26 and from the equation (9.4.2). 9.3.29, theequation(9.4.6) l ◦ ( dv ) = d ( l ◦ v )follows from equation (9.4.5). The lemma follows from equalities (9.4.4), (9.4.6). ⊙ Lemma . The representation A ∗ g / / A g : v → l ◦ vg ◦ v : w → ( l ◦ v ) ◦ w of D -module A in D -module A determines the product in D -module A according torule ab = ( g ◦ a ) ◦ b Proof.
Since map g ◦ v is endomorphism of D -module A , then(9.4.7) ( g ◦ v )( w + w ) = ( g ◦ v ) ◦ w + ( g ◦ v ) ◦ w ( g ◦ v ) ◦ ( dw ) = d (( g ◦ v ) ◦ w )Since the map g is linear map g : A → L ( D ; A → A )then, according to corollarys 9.3.29, 9.3.31,(9.4.8) ( g ◦ ( v + v )) ◦ w = ( g ◦ v + g ◦ v )( w ) = ( g ◦ v ) ◦ w + ( g ◦ v ) ◦ w (9.4.9) ( g ◦ ( d v )) ◦ w = ( d ( g ◦ v )) ◦ w = d (( g ◦ v ) ◦ w )
56 9. Examples of Diagram of Representations: Module
From equations (9.4.7), (9.4.8), (9.4.9) and the definition 9.3.26, it follows that themap g is bilinear map. Therefore, the map g determines the product in D -module A according to rule ab = ( g ◦ a ) ◦ b ⊙ The theorem follows from lemmas 9.4.3, 9.4.4. (cid:3)
Usually, when we consider the D -algebra A , we choose a basis e of corresponding D -module A . This choice is convenient because if D -module A is free D -module A , then expansion of the vector is unique relative to basis of D -module A . This, inparticular, allows us to define product by specifying structural constants of algebrarelative to given basis.In general, the basis of R -module A may appear a generating set. For instance,if in vector space H , where we consider quaternion algebra over real field, weconsider the basis(9.4.10) e = 1 e = i e = j e = k then in the algebra H the following equation is true(9.4.11) e = − e e = − e e e = e e Therefore, the set ( e , e ) is a basis of algebra H . Ambiguity of representationof quaternion relative to the given basis is consequence of the equation (9.4.11).Namely, we can present a quaternion a ∈ H as a = ( a − a ) e e + a e e + a e + a e + a e e where a is arbitrary. Definition . Effective left-side representation (9.5.1) f : A ∗ / / V f ( a ) : v ∈ V → av ∈ V a ∈ A of associative D -algebra A in D -module V is called left module over D -algebra A .We will also say that D -module V is left A -module or A ∗ -module . V -numberis called vector . (cid:3) Definition . Let A be division algebra. Effective left-side representation f : A ∗ / / V f ( a ) : v ∈ V → av ∈ V a ∈ A of Abelian group A in D -module V is called left vector space over D -algebra A .We will also say that D -module V is left A -vector space or A ∗ -vector space . V -number is called vector . (cid:3) .5. Left Module over Algebra 157 Theorem . The following diagram of representations describes left A -module V (9.5.2) A ∗ g / / A ∗ g , / / VD ∗ g O O ∗ g , L L ∗ ❅❅ g ` ` ❅❅❅❅❅ g ( d ) : a → d ag ( v ) : w → C ( w, v ) C ∈ L ( A → A ) g , ( a ) : v → v ag , ( d ) : v → d v The diagram of representations (9.5.2) holds commutativity of representations of commutative ring D and D -algebra A in Abelian group V (9.5.3) a ( dv ) = d ( av ) Proof.
The diagram of representations (9.5.2) follows from the definition9.5.1 and the theorem 9.4.2. Since left-side transformation g , ( a ) is endomorphismof D -module V , we obtain the equality (9.5.3). (cid:3) Theorem . Let g be effective left-side representation of D -algebra A in D -module V . Then D -algebra A is associative. Proof.
Let a , b , c ∈ A , v ∈ V . Since left-side representation g is left-siderepresentation of the multiplicative group of D -algebra A , we obtain the equality(9.5.4) ( ab ) v = a ( bv )The equality(9.5.5) a ( b ( cv )) = a (( bc ) v ) = ( a ( bc )) v follows from the equality (9.5.4). Since cv ∈ A , the equality(9.5.6) a ( b ( cv )) = ( ab )( cv ) = (( ab ) c ) v follows from the equality (9.5.4). The equality(9.5.7) ( a ( bc )) v = (( ab ) c ) v follows from equalities (9.5.5), (9.5.7). Since v is any vector of A -module V , theequality(9.5.8) a ( bc ) = ( ab ) c follows from the equality (9.5.7). Therefore, D -algebra A is associative. (cid:3) Theorem . Let V be left A -module. For any vector v ∈ V , vector gener-ated by the diagram of representations (9.5.2) has the following form (9.5.9) ( a + n ) v = av + nv a ∈ A n ∈ D The set of maps (9.5.10) a + n : v ∈ V → ( a + n ) v ∈ V generates D -algebra A (1) where the sum is defined by the equality (9.5.11) ( a + n ) + ( b + m ) = ( a + b ) + ( n + m ) See the definition of unital extension also on the pages [6]-52, [7]-64.
58 9. Examples of Diagram of Representations: Module and the product is defined by the equality (9.5.12) ( a + n )( b + m ) = ( ab + ma + nb ) + ( nm ) The D -algebra A (1) is called unital extension of the D -algebra A .If D -algebra A has unit, then D ⊆ A A (1) = A If D -algebra A is ideal of D , then A ⊆ D A (1) = D Otherwise A (1) = A ⊕ D The D -algebra A is left ideal of D -algebra A (1) . The set of transormations (9.5.9) is left-side representation of D -algebra A (1) in Abelian group V .We use the notation A (1) v for the set of vectors generated by vector v . Theorem . Following conditions hold for left A -module V : associative law (9.5.13) ( pq ) v = p ( qv )9.5.6.2: distributive law p ( v + w ) = pv + pw (9.5.14) ( p + q ) v = pv + qv (9.5.15)9.5.6.3: unitarity law (9.5.16) 1 v = v for any p , q ∈ A (1) , v , w ∈ V . Proof of theorems 9.5.5, 9.5.6.
Let v ∈ V . Lemma . Let d ∈ D , a ∈ A . The map (9.5.10) is endomorphism ofAbelian group V . Proof.
Statements dv ∈ V , av ∈ V follow from the theorems 6.1.4, 9.5.3.Since V is Abelian group, then dv + av ∈ V d ∈ D a ∈ A Therefore, for any D -number d and for any A -number a , we defined the map(9.5.10). Since transformation g , ( d ) and left-side transformation g , ( a ) are endo-morphisms of Abelian group V , then the map (9.5.10) is endomorphism of Abeliangroup V . ⊙ Let A (1) be the set of maps (9.5.10). The equality (9.5.14) follows from thelemma 9.5.7.Let p = a + n ∈ A (1) , q = b + m ∈ A (1) . According to the statement 9.3.3.3,we define the sum of A (1) -numbers p and q by the equality (9.5.15). The equality(9.5.17) (( a + n ) + ( b + m )) v = ( a + n ) v + ( b + m ) v follows from the equality (9.5.15). Since representation g , is homomorphism ofthe aditive group of ring D , we obtain the equality(9.5.18) ( n + m ) v = cn + dm .5. Left Module over Algebra 159 Since left-side representation g , is homomorphism of the aditive group of D -algebra A , we obtain the equality(9.5.19) ( a + b ) v = av + bv Since V is Abelian group, then the equality(( a + n ) + ( b + m )) v = av + nv + bv + mv = av + bv + nv + mv = ( a + b ) v + ( n + m ) v = (( a + b ) + ( n + m )) v (9.5.20)follows from equalities (9.5.17), (9.5.18), (9.5.19). From the equality (9.5.20), itfollows that the definition (9.5.11) of sum on the set A (1) does not depend onvector v .Equalities (9.5.13), (9.5.16) follow from the statement 9.5.5.3. Let p = a + n ∈ A (1) , q = b + m ∈ A (1) . Since the product in D -algebra A can be non associative,then, based on the theorem 9.5.6, we consider product of A (1) -numbers p and q asbilinear map f : A (1) × A (1) → A (1) such that following equalities are true(9.5.21) f ( a, b ) = ab a, b ∈ A (9.5.22) f (1 , p ) = f ( p,
1) = p p ∈ A (1) ∈ D (1) The equality ( a + n )( b + m ) = f ( a + n, b + m )= f ( a, b ) + f ( a, m ) + f ( n, b ) + f ( n, m )= f ( a, b ) + mf ( a,
1) + nf (1 , b ) + nf (1 , m )= ab + ma + nb + nm (9.5.23)follows from equalities (9.5.21), (9.5.22). The equality (9.5.12) follows from theequality (9.5.23).The statement 9.5.5.2 follows from the equality (9.5.12). (cid:3) Bilinear map ( a, v ) ∈ A × V → av ∈ V generated by left-side representation g , is called left-side product of vector overscalar. Theorem . Let V be left A -module. The set of vectors generated by theset of vectors v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) has form (9.5.24) J ( v ) = ( w : w = X i ∈ I c i v i , c i ∈ A (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ ) Proof.
We prove the theorem by induction based on the theorem 6.1.4, Acord-ing to the theorem 6.1.4, we need to prove following statements:9.5.8.1: v k ∈ X ⊆ J ( v )9.5.8.2: c k v k ∈ J ( v ), c k ∈ A (1) , k ∈ I X k ∈ I c k v k ∈ J ( v ), c k ∈ A (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ For a set A , we denote by | A | the cardinal number of the set A . The notation | A | < ∞ means that the set A is finite.
60 9. Examples of Diagram of Representations: Module w , w ∈ J ( v ) ⇒ w + w ∈ J ( v )9.5.8.5: a ∈ A , w ∈ J ( v ) ⇒ aw ∈ J ( v ) • For any v k ∈ v , let c i = δ ik ∈ A (1) . Then(9.5.25) v k = X i ∈ I c i v i The statement 9.5.8.1 follows from (9.5.24), (9.5.25). • The statement 9.5.8.2 follow from the theorems 6.1.4, 9.5.5 and from thestatement 9.5.8.1. • Since V is Abelian group, then the statement 9.5.8.3 follows from thestatement 9.5.8.2 and from theorems 6.1.4, 9.2.3. • Let w , w ∈ X k ⊆ J ( v ). Since V is Abelian group, then, according tothe statement 6.1.4.3,(9.5.26) w + w ∈ X k +1 According to the equality (9.5.24), there exist A (1) -numbers w i , w i , i ∈ I ,such that(9.5.27) w = X i ∈ I w i v i w = X i ∈ I w i v i where sets(9.5.28) H = { i ∈ I : w i = 0 } H = { i ∈ I : w i = 0 } are finite. Since V is Abelian group, then from the equality (9.5.27) itfollows that(9.5.29) w + w = X i ∈ I w i v i + X i ∈ I w i v i = X i ∈ I ( w i v i + w i v i )The equality(9.5.30) w + w = X i ∈ I ( w i + w i ) v i follows from equalities (9.5.15), (9.5.29). From the equality (9.5.28), itfollows that the set { i ∈ I : w i + w i = 0 } ⊆ H ∪ H is finite. • Let w ∈ X k ⊆ J ( v ). According to the statement 6.1.4.4, for any A (1) -number a ,(9.5.31) aw ∈ X k +1 According to the equality (9.5.24), there exist A (1) -numbers w i , i ∈ I ,such that(9.5.32) w = X i ∈ I w i v i where(9.5.33) |{ i ∈ I : w i = 0 }| < ∞ .5. Left Module over Algebra 161 From the equality (9.5.32) it follows that(9.5.34) aw = a X i ∈ I w i v i = X i ∈ I a ( w i v i ) = X i ∈ I ( aw i ) v i From the statement (9.5.33), it follows that the set { i ∈ I : aw i = 0 } isfinite.From equalities (9.5.26), (9.5.30), (9.5.31), (9.5.34), it follows that X k +1 ⊆ J ( v ). (cid:3) Definition . Let v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) be set of vectors. The expression w i v i is called linear combination of vectors v i . A vector w = w i v i is called linearly dependent on vectors v i . (cid:3) We represent the set of A (1) -numbers w i , i ∈ I , as matrix w = w ...w n We represent the set of vectors v i , i ∈ I , as matrix v = (cid:16) v ... v n (cid:17) Then we can represent linear combination of vectors w = w i v i as w = w ∗∗ v Theorem . Let A be associative division D -algebra. Since the equation w i v i = 0 implies existence of index i = j such that w j = 0 , then the vector v j linearlydepends on rest of vectors v . Proof.
The theorem follows from the equality v j = X i ∈ I \{ j } ( w j ) − w i v i and from the definition 9.5.9. (cid:3) It is evident that for any set of vectors v i w i = 0 ⇒ w ∗∗ v = 0 Definition . The set of vectors v i , i ∈ I , of left A -module V is linearly independent if w = 0 follows from the equation w i v i = 0 Otherwise the set of vectors v i , i ∈ I , is linearly dependent . (cid:3) The following definition follows from the theorems 9.5.8, 6.1.4 and from thedefinition 6.1.5.
Definition . J ( v ) is called submodule generated by set v , and v isa generating set of submodule J ( v ) . In particular, a generating set of left D -module V is a subset X ⊂ V such that J ( X ) = V . (cid:3) I follow to the definition in [2], page 130.
62 9. Examples of Diagram of Representations: Module
The following definition follows from the theorems 9.5.8, 6.1.4 and from thedefinition 6.2.6.
Definition . If the set X ⊂ V is generating set of left D -module V , thenany set Y , X ⊂ Y ⊂ V also is generating set of left D -module V . If there existsminimal set X generating the left D -module V , then the set X is called basis ofleft D -module V . (cid:3) Theorem . The set of vectors e = ( e i , i ∈ I ) is basis of left A -module V , if following statements are true. Arbitrary vector v ∈ V is linear combination of vectors of the set e . Vector e i cannot be represented as a linear combination of the remainingvectors of the set e . Proof.
According to the statement 9.5.14.1, the theorem 9.5.8 and the defi-nition 9.5.9, the set e generates left A -module V (the definition 9.5.12). Accordingto the statement 9.5.14.2, the set e is minimal set generating left A -module V .According to the definitions 9.5.13, the set e is a basis of left A -module V . (cid:3) Theorem . Let A be associative division D -algebra. The set of vectors e = ( e i , i ∈ I ) is a basis of left A -vector space V if vectors e i are linearlyindependent and any vector v ∈ V linearly depends on vectors e i . Proof.
Let the set of vectors e i , i ∈ I , be linear dependent. Then theequation w i e i = 0implies existence of index i = j such that w j = 0. According to the theorem9.5.10, the vector e j linearly depends on rest of vectors of the set e . According tothe definition 9.5.13, the set of vectors e i , i ∈ I , is not a basis for left A -vectorspace V .Therefore, if the set of vectors e i , i ∈ I , is a basis, then these vectors arelinearly independent. Since an arbitrary vector v ∈ V is linear combination ofvectors e i , i ∈ I , , then the set of vectors v , e i , i ∈ I , is not linearly independent. (cid:3) Definition . Let e be the basis of left A -module V and vector v ∈ V has expansion v = v ∗∗ e = v i e i with respect to the basis e . A (1) -numbers v i are called coordinates of vector v withrespect to the basis e . Matrix of A (1) -numbers v = ( v i , i ∈ I ) is called coordinatematrix of vector v in basis e . (cid:3) Theorem . Let A be associative D -algebra. Let e be basis of left A -module V . Let (9.5.35) w i e i = 0 be linear dependence of vectors of the basis e . Then A (1) -number w i , i ∈ I , does not have inverse element in D -algebra A (1) . The set A ′ of matrices w = ( w i , i ∈ I ) generates left A -module. .5. Left Module over Algebra 163 Proof.
Let there exist matrix w = ( w i , i ∈ I ) such that the equality (9.5.35)is true and there exist index i = j such that w j = 0. If we assume that A (1) -number c j has inverse one, then the equality e j = X i ∈ I \{ j } ( w j ) − w i e i follows from the equality (9.5.35). Therefore, the vector e j is linear combination ofother vectors of the set e and the set e is not basis. Therefore, our assumption isfalse, and A (1) -number c j does not have inverse.Let matrices b = ( b i , i ∈ I ) ∈ A ′ , c = ( c i , i ∈ I ) ∈ A ′ . From equalities b i e i = 0 c i e i = 0it follows that ( b i + c i ) e i = 0Therefore, the set A ′ is Abelian group.Let matrix c = ( c i , i ∈ I ) ∈ A ′ and a ∈ A . From the equality w i e i = 0it follows that ( ac i ) e i = 0Therefore, Abelian group A ′ is left A -module. (cid:3) Theorem . Let left A -module V have the basis e such that in the equality (9.5.36) w i e i = 0 there exists index i = j such that w j = 0 . Then The matrix w = ( w i , i ∈ I ) determines coordinates of vector ∈ V withrespect to basis e . Coordinates of vector v with respect to basis e are uniquely determined upto a choice of coordinates of vector ∈ V . Proof.
The statement 9.5.18.1 follows from the equality (9.5.36) and fromthe definition 9.5.16.Let vector v have expansion(9.5.37) v = v ∗∗ e = v i e i with respect to basis e . The equality(9.5.38) v = v + 0 = v i e i + c i e i = ( v i + c i ) e i follows from equalities (9.5.36), (9.5.37). The statement 9.5.18.2 follows from equal-ities (9.5.37), (9.5.38) and from the definition 9.5.16. (cid:3) Definition . The left A -module V is free left A -module , if left A -module V has basis and vectors of the basis are linearly independent. (cid:3) Theorem . Coordinates of vector v ∈ V relative to basis e of free left A -module V are uniquely defined. Proof.
The theorem follows from the theorem 9.5.18 and from definitions9.5.11, 9.5.19. (cid:3)
I follow to the definition in [2], page 135.
64 9. Examples of Diagram of Representations: Module
Definition . Effective right-side representation (9.6.1) f : A ∗ / / V f ( a ) : v ∈ V → va ∈ V a ∈ A of associative D -algebra A in D -module V is called right module over D -algebra A . We will also say that D -module V is right A -module or ∗ A -module . V -number is called vector . (cid:3) Definition . Let A be division algebra. Effective right-side representation f : A ∗ / / V f ( a ) : v ∈ V → va ∈ V a ∈ A of Abelian group A in D -module V is called right vector space over D -algebra A .We will also say that D -module V is right A -vector space or ∗ A -vector space . V -number is called vector . (cid:3) Theorem . The following diagram of representations describes right A -module V (9.6.2) A ∗ g / / A ∗ g , / / VD ∗ g O O ∗ g , L L ∗ ❅❅ g ` ` ❅❅❅❅❅ g ( d ) : a → d ag ( v ) : w → C ( w, v ) C ∈ L ( A → A ) g , ( a ) : v → v ag , ( d ) : v → v d The diagram of representations (9.6.2) holds commutativity of representations of commutative ring D and D -algebra A in Abelian group V (9.6.3) ( vd ) a = ( va ) d Proof.
The diagram of representations (9.6.2) follows from the definition 9.6.1and the theorem 9.4.2. Since right-side transformation g , ( a ) is endomorphism of D -module V , we obtain the equality (9.6.3). (cid:3) Theorem . Let g be effective left-side representation of D -algebra A in D -module V . Then D -algebra A is associative. Proof.
Let a , b , c ∈ A , v ∈ V . Since right-side representation g is right-siderepresentation of the multiplicative group of D -algebra A , we obtain the equality(9.6.4) v ( ab ) = ( va ) b The equality(9.6.5) (( vc ) b ) a = ( v ( cb )) a = v (( cb ) a )follows from the equality (9.6.4). Since vc ∈ A , the equality(9.6.6) (( vc ) b ) a = ( vc )( ba ) = v ( c ( ba ))follows from the equality (9.6.4). The equality(9.6.7) v (( cb ) a ) = v ( c ( ba )) .6. Right Module over Algebra 165 follows from equalities (9.6.5), (9.6.7). Since v is any vector of A -module V , theequality(9.6.8) ( cb ) a = c ( ba )follows from the equality (9.6.7). Therefore, D -algebra A is associative. (cid:3) Theorem . Let V be right A -module. For any vector v ∈ V , vectorgenerated by the diagram of representations (9.6.2) has the following form (9.6.9) v ( a + n ) = va + vn a ∈ A n ∈ D The set of maps (9.6.10) a + n : v ∈ V → v ( a + n ) ∈ V generates D -algebra A (1) where the sum is defined by the equality (9.6.11) ( a + n ) + ( b + m ) = ( a + b ) + ( n + m ) and the product is defined by the equality (9.6.12) ( a + n )( b + m ) = ( ab + ma + nb ) + ( nm ) The D -algebra A (1) is called unital extension of the D -algebra A .If D -algebra A has unit, then D ⊆ A A (1) = A If D -algebra A is ideal of D , then A ⊆ D A (1) = D Otherwise A (1) = A ⊕ D The D -algebra A is right ideal of D -algebra A (1) . The set of transormations (9.6.9) is right-side representation of D -algebra A (1) in Abelian group V .We use the notation A (1) v for the set of vectors generated by vector v . Theorem . Following conditions hold for right A -module V : associative law (9.6.13) v ( pq ) = ( vp ) q distributive law ( v + w ) p = vp + wp (9.6.14) v ( p + q ) = vp + vq (9.6.15)9.6.6.3: unitarity law (9.6.16) v v for any p , q ∈ A (1) , v , w ∈ V . Proof of theorems 9.6.5, 9.6.6.
Let v ∈ V . Lemma . Let d ∈ D , a ∈ A . The map (9.6.10) is endomorphism ofAbelian group V . See the definition of unital extension also on the pages [6]-52, [7]-64.
66 9. Examples of Diagram of Representations: Module
Proof.
Statements vd ∈ V , va ∈ V follow from the theorems 6.1.4, 9.6.3.Since V is Abelian group, then vd + va ∈ V d ∈ D a ∈ A Therefore, for any D -number d and for any A -number a , we defined the map(9.6.10). Since transformation g , ( d ) and right-side transformation g , ( a ) areendomorphisms of Abelian group V , then the map (9.6.10) is endomorphism ofAbelian group V . ⊙ Let A (1) be the set of maps (9.6.10). The equality (9.6.14) follows from thelemma 9.6.7.Let p = a + n ∈ A (1) , q = b + m ∈ A (1) . According to the statement 9.3.3.3,we define the sum of A (1) -numbers p and q by the equality (9.6.15). The equality(9.6.17) v (( a + n ) + ( b + m )) = v ( a + n ) + v ( b + m )follows from the equality (9.6.15). Since representation g , is homomorphism ofthe aditive group of ring D , we obtain the equality(9.6.18) v ( n + m ) = vn + vm Since right-side representation g , is homomorphism of the aditive group of D -algebra A , we obtain the equality(9.6.19) v ( a + b ) = va + vb Since V is Abelian group, then the equality v (( a + n ) + ( b + m )) = va + vn + vb + vm = va + vb + vn + vm = v ( a + b ) + v ( n + m ) = v (( a + b ) + ( n + m ))(9.6.20)follows from equalities (9.6.17), (9.6.18), (9.6.19). From the equality (9.6.20), itfollows that the definition (9.6.11) of sum on the set A (1) does not depend onvector v .Equalities (9.6.13), (9.6.16) follow from the statement 9.6.5.3. Let p = a + n ∈ A (1) , q = b + m ∈ A (1) . Since the product in D -algebra A can be non associative,then, based on the theorem 9.6.6, we consider product of A (1) -numbers p and q asbilinear map f : A (1) × A (1) → A (1) such that following equalities are true(9.6.21) f ( a, b ) = ab a, b ∈ A (9.6.22) f (1 , p ) = f ( p,
1) = p p ∈ A (1) ∈ D (1) The equality ( a + n )( b + m ) = f ( a + n, b + m )= f ( a, b ) + f ( a, m ) + f ( n, b ) + f ( n, m )= f ( a, b ) + mf ( a,
1) + nf (1 , b ) + nf (1 , m )= ab + ma + nb + nm (9.6.23)follows from equalities (9.6.21), (9.6.22). The equality (9.6.12) follows from theequality (9.6.23).The statement 9.6.5.2 follows from the equality (9.6.12). (cid:3) Bilinear map ( v, a ) ∈ V × A → va ∈ V .6. Right Module over Algebra 167 generated by right-side representation g , is called right-side product of vectorover scalar. Theorem . Let V be right A -module. The set of vectors generated by theset of vectors v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) has form (9.6.24) J ( v ) = ( w : w = X i ∈ I v i c i , c i ∈ A (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ ) Proof.
We prove the theorem by induction based on the theorem 6.1.4, Acord-ing to the theorem 6.1.4, we need to prove following statements:9.6.8.1: v k ∈ X ⊆ J ( v )9.6.8.2: v k c k ∈ J ( v ), c k ∈ A (1) , k ∈ I X k ∈ I v k c k ∈ J ( v ), c k ∈ A (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ w , w ∈ J ( v ) ⇒ w + w ∈ J ( v )9.6.8.5: a ∈ A , w ∈ J ( v ) ⇒ aw ∈ J ( v ) • For any v k ∈ v , let c i = δ ik ∈ A (1) . Then(9.6.25) v k = X i ∈ I v i c i The statement 9.6.8.1 follows from (9.6.24), (9.6.25). • The statement 9.6.8.2 follow from the theorems 6.1.4, 9.6.5 and from thestatement 9.6.8.1. • Since V is Abelian group, then the statement 9.6.8.3 follows from thestatement 9.6.8.2 and from theorems 6.1.4, 9.2.3. • Let w , w ∈ X k ⊆ J ( v ). Since V is Abelian group, then, according tothe statement 6.1.4.3,(9.6.26) w + w ∈ X k +1 According to the equality (9.6.24), there exist A (1) -numbers w i , w i , i ∈ I ,such that(9.6.27) w = X i ∈ I v i w i w = X i ∈ I v i w i where sets(9.6.28) H = { i ∈ I : w i = 0 } H = { i ∈ I : w i = 0 } are finite. Since V is Abelian group, then from the equality (9.6.27) itfollows that(9.6.29) w + w = X i ∈ I v i w i + X i ∈ I v i w i = X i ∈ I ( v i w i + v i w i )The equality(9.6.30) w + w = X i ∈ I v i ( w i + w i ) For a set A , we denote by | A | the cardinal number of the set A . The notation | A | < ∞ means that the set A is finite.
68 9. Examples of Diagram of Representations: Module follows from equalities (9.6.15), (9.6.29). From the equality (9.6.28), itfollows that the set { i ∈ I : w i + w i = 0 } ⊆ H ∪ H is finite. • Let w ∈ X k ⊆ J ( v ). According to the statement 6.1.4.4, for any A (1) -number a ,(9.6.31) wa ∈ X k +1 According to the equality (9.6.24), there exist A (1) -numbers w i , i ∈ I ,such that(9.6.32) w = X i ∈ I v i w i where(9.6.33) |{ i ∈ I : w i = 0 }| < ∞ From the equality (9.6.32) it follows that(9.6.34) wa = X i ∈ I v i w i ! a = X i ∈ I ( v i w i ) a = X i ∈ I ( v i w i a )From the statement (9.6.33), it follows that the set { i ∈ I : w i a = 0 } isfinite.From equalities (9.6.26), (9.6.30), (9.6.31), (9.6.34), it follows that X k +1 ⊆ J ( v ). (cid:3) Definition . Let v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) be set of vectors. The expression v i w i is called linear combination of vectors v i . A vector w = v i w i is called linearly dependent on vectors v i . (cid:3) We represent the set of A (1) -numbers w i , i ∈ I , as matrix w = w ...w n We represent the set of vectors v i , i ∈ I , as matrix v = (cid:16) v ... v n (cid:17) Then we can represent linear combination of vectors w = v i w i as w = v ∗∗ w Theorem . Let A be associative division D -algebra. Since the equation v i w i = 0 implies existence of index i = j such that w j = 0 , then the vector v j linearlydepends on rest of vectors v . .6. Right Module over Algebra 169 Proof.
The theorem follows from the equality v j = X i ∈ I \{ j } v i w i ( w j ) − and from the definition 9.6.9. (cid:3) It is evident that for any set of vectors v i w i = 0 ⇒ v ∗∗ w = 0 Definition . The set of vectors v i , i ∈ I , of right A -module V is linearly independent if w = 0 follows from the equation v i w i = 0 Otherwise the set of vectors v i , i ∈ I , is linearly dependent . (cid:3) The following definition follows from the theorems 9.6.8, 6.1.4 and from thedefinition 6.1.5.
Definition . J ( v ) is called submodule generated by set v , and v isa generating set of submodule J ( v ) . In particular, a generating set of right D -module V is a subset X ⊂ V such that J ( X ) = V . (cid:3) The following definition follows from the theorems 9.6.8, 6.1.4 and from thedefinition 6.2.6.
Definition . If the set X ⊂ V is generating set of right D -module V ,then any set Y , X ⊂ Y ⊂ V also is generating set of right D -module V . If thereexists minimal set X generating the right D -module V , then the set X is called basis of right D -module V . (cid:3) Theorem . The set of vectors e = ( e i , i ∈ I ) is basis of right A -module V , if following statements are true. Arbitrary vector v ∈ V is linear combination of vectors of the set e . Vector e i cannot be represented as a linear combination of the remainingvectors of the set e . Proof.
According to the statement 9.6.14.1, the theorem 9.6.8 and the defini-tion 9.6.9, the set e generates right A -module V (the definition 9.6.12). Accordingto the statement 9.6.14.2, the set e is minimal set generating right A -module V .According to the definitions 9.6.13, the set e is a basis of right A -module V . (cid:3) Theorem . Let A be associative division D -algebra. The set of vectors e = ( e i , i ∈ I ) is a basis of right A -vector space V if vectors e i are linearlyindependent and any vector v ∈ V linearly depends on vectors e i . Proof.
Let the set of vectors e i , i ∈ I , be linear dependent. Then theequation e i w i = 0implies existence of index i = j such that w j = 0. According to the theorem9.6.10, the vector e j linearly depends on rest of vectors of the set e . According tothe definition 9.6.13, the set of vectors e i , i ∈ I , is not a basis for right A -vectorspace V . I follow to the definition in [2], page 130.
70 9. Examples of Diagram of Representations: Module
Therefore, if the set of vectors e i , i ∈ I , is a basis, then these vectors arelinearly independent. Since an arbitrary vector v ∈ V is linear combination ofvectors e i , i ∈ I , , then the set of vectors v , e i , i ∈ I , is not linearly independent. (cid:3) Definition . Let e be the basis of right A -module V and vector v ∈ V has expansion v = e ∗∗ v = e i v i with respect to the basis e . A (1) -numbers v i are called coordinates of vector v withrespect to the basis e . Matrix of A (1) -numbers v = ( v i , i ∈ I ) is called coordinatematrix of vector v in basis e . (cid:3) Theorem . Let A be associative D -algebra. Let e be basis of right A -module V . Let (9.6.35) e i w i = 0 be linear dependence of vectors of the basis e . Then A (1) -number w i , i ∈ I , does not have inverse element in D -algebra A (1) . The set A ′ of matrices w = ( w i , i ∈ I ) generates right A -module. Proof.
Let there exist matrix w = ( w i , i ∈ I ) such that the equality (9.6.35)is true and there exist index i = j such that w j = 0. If we assume that A (1) -number c j has inverse one, then the equality e j = X i ∈ I \{ j } e i w i ( w j ) − follows from the equality (9.6.35). Therefore, the vector e j is linear combination ofother vectors of the set e and the set e is not basis. Therefore, our assumption isfalse, and A (1) -number c j does not have inverse.Let matrices b = ( b i , i ∈ I ) ∈ A ′ , c = ( c i , i ∈ I ) ∈ A ′ . From equalities e i b i = 0 e i c i = 0it follows that e i ( b i + c i ) = 0Therefore, the set A ′ is Abelian group.Let matrix c = ( c i , i ∈ I ) ∈ A ′ and a ∈ A . From the equality e i w i = 0it follows that e i ( c i a ) = 0Therefore, Abelian group A ′ is right A -module. (cid:3) Theorem . Let right A -module V have the basis e such that in the equal-ity (9.6.36) e i w i = 0 there exists index i = j such that w j = 0 . Then The matrix w = ( w i , i ∈ I ) determines coordinates of vector ∈ V withrespect to basis e . .7. Left Module over Nonassociative Algebra 171 Coordinates of vector v with respect to basis e are uniquely determined upto a choice of coordinates of vector ∈ V . Proof.
The statement 9.6.18.1 follows from the equality (9.6.36) and fromthe definition 9.6.16.Let vector v have expansion(9.6.37) v = e ∗∗ v = e i v i with respect to basis e . The equality(9.6.38) v = v + 0 = e i v i + e i c i = e i ( v i + c i )follows from equalities (9.6.36), (9.6.37). The statement 9.6.18.2 follows from equal-ities (9.6.37), (9.6.38) and from the definition 9.6.16. (cid:3) Definition . The right A -module V is free right A -module , ifright A -module V has basis and vectors of the basis are linearly independent. (cid:3) Theorem . Coordinates of vector v ∈ V relative to basis e of free right A -module V are uniquely defined. Proof.
The theorem follows from the theorem 9.6.18 and from definitions9.6.11, 9.6.19. (cid:3)
Theorems 9.6.5, 9.6.6 consider the structure of module over associative D -algebra A . It is easy to see that, considering some corrections, these theoremsremain true if A is non associative D -algebra. However, because the product in D -algebra A is non associative and product of transformations in module over D -algebra A is associative, then the map g cannot be a representation of nonassociative D -algebra A .We have come to that verge where universal algebra representation theory isdefined. In order to maintain the ability to use the tool considered in this book, wecan agree that the map g : A × V → V is a representation when the map g is bilinear map. There are new questions thatare beyond the scope of this book.However, we may consider this problem from other point of view. If the map g does not conserve the operation of the product, then we assume that the map g is representation of D -algebra A , in which product is not defined. In other words,the map g is representation of D -module. Therefore, diagram of representationswill have the following form(9.7.1) A ∗ g / / VD ∗ ⑦⑦⑦ g > > ⑦⑦⑦⑦ ∗ ❅❅ g ` ` ❅❅❅❅❅ g ( d ) : a → d ag ( a ) : v → a vg ( d ) : v → d v I follow to the definition in [2], page 135.
72 9. Examples of Diagram of Representations: Module
However, we lost the structure of D -algebra A in diagram of representations (9.7.1).Therefore, proper diagram of representations will have the following form A ∗ ❅❅❅❅ g ❅❅❅ ∗ g / / VAD ∗ g O O ∗ g O O ∗ ✵✵✵✵✵ g W W ✵✵✵✵✵✵✵✵✵ g ( d ) : a → d ag ( v ) : w → C ( w, v ) C ∈ L ( A → A ) g ( a ) : v → v ag ( d ) : v → d v HAPTER 10
Examples of Diagram of Representations: AffinneGeometry
In the chapter 9, we considered examples of diagram of representations associ-ated with module over ring. If representation theory were reduced to studying ofmodules, it would hardly be an interesting theory.In this chapter, I considered examples of diagram of representations associatedwith affinne geometry. This simple algebraic construction turned out to be a richsource of inspiration for me. I met interesting ideas in this area of mathematicstwice. At first during study of affine geometry, I discovered that I can describeaffine geometry using tower of representations. Afterwards, during similar study ofalgebra over commutative ring, I began to study a diagram of representations.However, the second discovery came to me by chance. When I was lookingthrough the calculus textbook, I have met a definition familiar from childhood. Thisis sum of vectors. The definition is extremely simple. When we define manifoldwith affine connection, we have the sum of vectors in tangent plane. However,at this time I realized that I can define sum of vectors using parallelogram fromgeodesic lines. It gave me ability to build affine geometry on affine manifold.One more step, and I switched from manifold with affine connection to metric-affine manifold. Since parallelogram from geodesic lines is not closed, then sumof vectors in metric affine manifold is not commutative. Without a doubt, thisis research which is beyond the scope of this book; and I hope to return to thisresearch in the future. However, I decided to write a sketch of this theory in thesection 10.4 to show the reader the limits of theory presented in this book.The representation theory is natural extension of universal algebra theory. Weassume that binary operation on universal algebra A is defined for any two A -num-bers. However, it is evident that sum of vectors in affine geometry On differentiablemanifold is well defined only in enough small neighborhood.I met similar problem in the paper [11] where I and Alexandre Laugier studiedorthogonal transformations in Minkowski space. We discovered that the product oforthogonal transformations not always is orthogonal transformation; therefore, theset of orthogonal transformations is not a group. Let G be Abelian group, and M be a set. Consider effective representation ofgroup G on the set M . For given a ∈ G , A ∈ M we assume A → A + a . We alsouse notation a = → AB if(10.2.1) B = A + a Then we can represent action of group as(10.2.2) B = A + → AB Since the representation is effective, then from equalities (10.2.1), (10.2.2) and theequality D = C + a it folows that(10.2.3) −→ A B = −→ C DG -number a and corresponding transformation −→ A B are called vector. We in-terpret the equality (10.2.3) as the independence of the vector a from the choice of M -number A .We can consider the set M as union of orbits of the representation of the group G . We can select for basis of the representation the set of points such that one andonly one point belongs to each orbit. If X is the basis of representation, A ∈ X , g ∈ G , then Ω -word has form A + g . Since there is no operations on the set M , thenthere is no Ω -word containing different elements of the basis. If representation ofgroup G is single transitive, then basis of representation consists of one point. Anypoint of the set M can be such point. Theorem . Let the representation A → A + a of Abelian group G onthe set M be single transitive. Then for any M -numbers A , B , C , we determinesum of vectors −→ A B and −→ B C and sum of vectors satisfies to the following equality (10.2.4) −→ A B + −→ B C = −→ A C
Proof.
Since the representation is sin-gle transitive, then, for any M -numbers A , B , C , there exist vectors −→ A B , −→ B C such that(10.2.5) B = A + −→ A B (10.2.6) C = B + −→ B C b C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ aA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ a + b ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ The equality(10.2.7) C = ( A + −→ A B ) + −→ B C = A + ( −→ A B + −→ B C )follows from equalities (10.2.5), (10.2.6) and from associativity of sum in Abeliangroup G . Since the representation is single transitive, then the equality (10.2.4)follows from the equality (10.2.7) and from the equality C = A + −→ A C
This definition of sum is called the triangle law. (cid:3)
Remark . Since G is Abelian group, then statements 10.2.2.1, 10.2.2.2,follow from the theorem 10.2.1. −→ A A = 010.2.2.2: −→ A B = − −→ B A
Addition is commutative.
Addition is associative. (cid:3)
Theorem . For given a , b ∈ G and A ∈ M , we consider following set of M -numbers. • B = A + a • C = B + b • D = A + b • E = D + a D a / / C = EA a / / b ? ? ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ B b ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇ Proof.
The theorem follows from the statement 10.2.2.3. (cid:3)
Theorem . If −→ A B = −→ C D ,then −→ A C = −→ B D . C a / / DA a / / b ? ? ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ B b > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ Proof.
Let −→ A B = −→ C D = a , −→ A C = b . According to the statement 10.2.2.2, −→ B A = − a . The theorem follows from the equality D = B + −→ B D = B + −→ B A + −→ A D = B + −→ B A + −→ A C + −→ C D = B − a + b + a = B + b (cid:3) Definition . Let D be commutative ring and V be free D -module. A setof points ◦ V is called affine space over D -module V , if the set of points ◦ V satisfiesto following axioms. There exists at least one point
One and only one vector is in correspondence to any tuple of points ( A, B ) .We denote this vector as −→ A B . The vector −→ A B has tail in the point A andhead in the point B. For any point A and any vector a there exists one and only one point B such, that −→ A B = a . We will use notation (10.3.1) B = A + a (Axiom of parallelogram.) If −→ A B = −→ C D , then −→ A C = −→ B D .A set V is called a set of free vectors. ◦ V -number is called point of affine space ◦ V . (cid:3) Definition . Let A ∈ ◦ V be arbitrary point. I wrote definitions and theorems in this section according to definition of affine space in [4],pp. 86 - 93. [21], p. 9.
76 10. Examples of Diagram of Representations: Affinne Geometry
Let v be vector. According to the axiom10.3.1.3, there exists B ∈ ◦ V , B = A + v . vA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ Let w be vector. According to the axiom10.3.1.3, there exists C ∈ ◦ V , C = B + w . wB C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ According to the axiom 10.3.1.2, there ex-ists vector −→ A C . Vector −→ A C is called sum ofvectors v and w (10.3.2) v + w = −→ A C
This definition of sum is called the trianglelaw. w C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ vA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ v + w ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ (cid:3) Theorem . Vector −→ A A is zero with respect to addition and does notdepend on point A . Vector −→ A A is called zero-vector and we assume −→ A A = 0 . Proof.
We can write rule of addition (10.3.2) in form of the equality(10.3.3) −→ A B + −→ B C = −→ A C If B = C , then from the equality (10.3.3) it follows that(10.3.4) −→ A B + −→ B B = −→ A B
From the equality (10.3.4), it follows that the vector −→ B B is zero with respect toaddition. If C = A , B = D , then from axiom 10.3.1.4, it follows that −→ A A = −→ B B .Therefore, a zero-vector −→ A A does not depend on a point A . (cid:3) Theorem . Let a = −→ A B . Then (10.3.5) −→ B A = − a and this equality does not depend on point A . Proof.
From the equality (10.3.3) and the theorem 10.3.3, it follows that(10.3.6) −→ A B + −→ B A = −→ A A = 0The equality (10.3.5) follows from the equality (10.3.6). Applying axiom 10.3.1.4to the equality −→ A B = −→ C D we get −→ A C = −→ B D , or (this is equivalent)(10.3.7) −→ B D = −→ A C
From the equality (10.3.7) and the axiom 10.3.1.4, it follows that −→ B A = −→ D C .Therefore, the equality (10.3.5) does not depend on point A . (cid:3) Theorem . Sum of vectors v and w does not depend on point A . Proof.
Let(10.3.8) v = −→ A B = −→ A ′ B ′ (10.3.9) w = −→ B C = −→ B ′ C ′ w C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ vA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ v + w ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ w C ′ ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ vA ′ B ′ G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ v + w ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ We define sum of vectors v and w according to the definition 10.3.2. −→ A B + −→ B C = −→ A C −→ A ′ B ′ + −→ B ′ C ′ = −→ A ′ C ′ According to axiom 10.3.1.4, from equalities (10.3.8), (10.3.9), it follows that(10.3.10) −→ A ′ A = −→ B ′ B = −→ C ′ C Applying axiom 10.3.1.4 to outermost members of equality (10.3.10), we get(10.3.11) −→ A ′ C ′ = −→ A C
From the equality (10.3.11) the statement of theorem follows. (cid:3)
Theorem . Sum of vectors is associative.
Proof.
Let v = −→ A B , w = −→ B C , u = −→ C D . From the equality v + w = −→ A C −→ A B + −→ B C = −→ A C DC u O O A v / / v + w ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ B w ✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐ w + u < < ②②②②②②②② it follows that(10.3.12) ( v + w ) + u = −→ A D −→ A C + −→ C D = −→ A D
From the equality w + u = −→ B D −→ B C + −→ C D = −→ B D it follows that(10.3.13) v + ( w + u ) = −→ A D −→ A B + −→ B D = −→ A D
The theorem follows from comparison of equalities (10.3.12) and (10.3.13). (cid:3)
Theorem . The structure of Abelian group is defined on the set V .
78 10. Examples of Diagram of Representations: Affinne Geometry
Proof.
From theorems 10.3.3, 10.3.4, 10.3.5, 10.3.6 it follows that sum ofvectors determines group.Let v = −→ A B , w = −→ B C .(10.3.14) v + w = −→ A C −→ A B + −→ B C = −→ A C
According to axiom 10.3.1.3, there exists thepoint D such that w = −→ A D = −→ B C w C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ v G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ vA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ v + w ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ w D ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ The parallelogram law.According to axiom 10.3.1.4, −→ A B = −→ D C = v . According to definition of sum ofvectors(10.3.15) −→ A D + −→ D C = −→ A Cw + v = −→ A C
Commutativity of sum follows from equalities (10.3.14) and (10.3.15). (cid:3)
Theorem . The map (10.3.16) V → End( ∅ , ◦ V ) defined by the equality (10.3.1) , is a single transitive representation of Abelian group V . Proof.
The axiom 10.3.1.3 determines the map (10.3.16). From theorem10.3.5, it follows that the map (10.3.16) is a representation. Efficiency of the repre-sentation follows from theorem 10.3.3 and axiom 10.3.1.2. From the axiom 10.3.1.2,it also follows that representation is transitive. Effective and transitive representa-tion is single transitive. (cid:3)
If we compare the theorem 10.3.8 and statements of the section 10.2, thenwe see that a single transitive representation of Abelian group V on the set ◦ V isequivalent to axioms of affine space. However, if we use the theorem 10.3.8 as adefinition of affine space, we lose many important constructions in affine space. Forinstance, vector generates parallel translation in affine space. However, we do nothave a tool to define rotation of affine space.If we look carefully at the definition 10.3.1, then we will see that Abelian group V has additional structure since Abelian group V is D -module. Thus, we get thefollowing theorem. Theorem . Let D be commutative ring, V be Abelian group, and ◦ V beany set. If A ∈ ◦ V and v ∈ V , then we use an expression A + v to denote theaction of vector v at the point A . Affine space over D -module V is the diagramof representations → V : D ∗ f / / V ∗ f / / ◦ V f ( d ) : v → d vf ( v ) : A → A + v where f is effective representation of commutative ring D in Abelian group V and f is single transitive right-side representation of Abelian group V in the set ◦ V . Proof.
We assume that the set ◦ V is not empty; therefore the set ◦ V satisfiesthe axiom 10.3.1.1. Since v ∈ V generates the transformation of the set, then, forany A ∈ M , B ∈ M is defined uniquely such that B = A + v This statement proves the axiom 10.3.1.3. Since the representation f is singletransitive, then for any A , B ∈ ◦ V there exists unique v ∈ V such that B = A + v This statement allows us to introduce notation −→ A B = a , as well this statementproves the axiom 10.3.1.2. The axiom 10.3.1.4 follows from the statement of thetheorem 10.2.4The representation f assures that Abelian group V is D -module. (cid:3) The Abelian group V acts single transitive on the set ◦ V . From constructionin section 10.2, it follows that the basis of the set ◦ V relative to representation ofthe Abelian group V consists of one point. This point is usually denoted by theletter O and is called origin of coordinate system of affine space . Therefore,an arbitrary point A ∈ ◦ V can be represented using vector −→ O A ∈ V Let e be the basis of D -module V . Then the vector −→ O A has form −→ O A = a i e i The set ( a i , i ∈ I ) is called coordinates of point A of affine space ◦ A relative to basis ( O, e ). In the section 10.3 we considered the definition of affine geometry. Below weconsider a model of affine space in a metric-affine manifold. When we considerconnection Γ kij in Riemann space, we impose a constraint on connection, thatthe torsion(10.4.1) T ikl = Γ ilk − Γ ikl is 0 (symmetry of connection) and parallel transport does not change scalar prod-uct of vectors. If a metric tensor and an arbitrary connection are defined on adifferentiable manifold, then this manifold is called metric-affine manifold . In particular, connection in metric-affine manifold has torsion.
See the definition of affine connection in Riemann space on the page [4]-443.
See also the definition [9]-5.4.1.
80 10. Examples of Diagram of Representations: Affinne Geometry
In Riemann space, we use geodesics insteadof straight lines. So we can represent the vec-tor v using segment AB of geodesic L v suchthat vector v is tangent to geodesic L v at thepoint A and the length of segment AB equalsto the length of the vector v . A v B ✄✄✄✄✄✗
This definition allows us to identify the vec-tor v and the segment AB of geodesic L v .For given vectors v and w in tangent planeat the point A , let ρ > v and σ > w . Let V be unit vector collinear to thevector v (10.4.2) V k ρ = v k Let W be unit vector collinear to the vector w (10.4.3) W k σ = w k A w D ✑✑✑✸
We draw geodesic L v through the point A using thevector v as a tangent vector to L v in the point A . Let τ be the canonical parameter on L v and dx k dτ = V k We transfer the vector w along the geodesic L v fromthe point A into point B that defined by value of theparameter τ = ρ . We mark the result as w ′ . A v wB w ′ ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯✑✑✑✸ We draw geodesic L w ′ throughthe point B using the vector W ′ asa tangent vector to L w ′ in the point B . Let ϕ ′ be the canonical parameteron L w ′ and dx k dϕ ′ = W ′ k We define point C on the geodesic L w ′ by parameter value ϕ ′ = σ A v w v + wB w ′ C ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯✑✑✑✸ I assume that length of vectors v and w is small. Then there exists uniquegeodesic L u from point A to point C . I will identify segment AC of geodesic L u and vector v + w . The same way, I draw triangle
ADE to find vector w + v .We draw geodesic L w through thepoint A using the vector w as a tan-gent vector to L w in the point A . Let ϕ be the canonical parameter on L w and dx k dϕ = W k We transfer the vector v along thegeodesic L w from the point A intopoint D that defined by value of theparameter ϕ = σ . We mark the re-sult as v ′ . A v w v ′ D ✄✄✄✄✄✗ ✻✑✑✑✸ We draw geodesic L v ′ through thepoint D using the vector v ′ as a tan-gent vector to L v ′ in the point D . Let τ ′ be the canonical parameter on L v ′ and dx k dτ ′ = V ′ k We define point E on the geodesic L v ′ by parameter value τ ′ = ρ A v w w + v v ′ D E ✄✄✄✄✄✗ ✻✑✑✑✸
There exists unique geodesic L u from point A to point E . I will identify segment AE of geodesic L u and vector w + v .Formally the lines AB and DE aswell as the lines AD and BC are par-allel lines. The lengths of AB and DE are the same, and the lengths of AD and BC are the same as well.We call this figure a parallelogram based on vectors v and w with theorigin in the point A . A v wv + w w + vB w ′ v ′ CD E ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯ ◗◗✻✑✑✑✸
Lemma . Let L v be a geodesic through the point A and the vector v bea tangent vector to L v in the point A . An increase of coordinate x k along geodesic L v is (10.4.4) ∆ x k = dx k dτ τ −
12 Γ kmn dx m dτ dx n dτ τ + O ( τ ) where τ is canonical parameter and we take values of derivatives and components Γ kmn in the initial point.
82 10. Examples of Diagram of Representations: Affinne Geometry
Proof.
The system of differential equations of geodesic L v has the followingform(10.4.5) d x i dτ = − Γ ikl dx k dτ dx l dτ We write Taylor expansion of solution of the system of differential equations (10.4.5)in the following form∆ x k = dx k dτ τ + 12 d x k dτ τ + O ( τ ) == dx k dτ τ −
12 Γ kmn dx m dτ dx n dτ τ + O ( τ )(10.4.6)The equality (10.4.4) follows from the equality (10.4.6). (cid:3) Theorem . Suppose
CBADE is a parallelogram withan origin in the point A ; then theresulting figure will not be closed[1]. The value of the differenceof coordinates of points C and E is equal to surface integral of thetorsion over this parallelogram ∆ CE x k = Z Z T kmn dx m ∧ dx n A v wv + w w + vB w ′ v ′ CD E ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯ ◗◗✻✑✑✑✸
Proof.
According to the lemma 10.4.1, an increase of coordinate x k along thegeodesic L v has the following form ∆ CE x k = Z Z T kmn dx m ∧ dx n ∆ AB x k = V k ρ −
12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ + O ( ρ )and an increase of coordinate x k along the geodesic L b ′ has the following form(10.4.7) ∆ BC x k = W ′ k σ −
12 Γ kmn ( B ) W ′ m W ′ n σ + O ( σ )Here W ′ k = W k − Γ kmn ( A ) W m ∆ AB x n + O ( dx )= W k − Γ kmn ( A ) W m V n ρ + O ( ρ )(10.4.8)is the result of parallel transport of the vector w from A to B andΓ kmn ( B ) = Γ kmn ( A ) + ∂ p Γ kmn ( B )∆ AB x p = Γ kmn ( A ) + ∂ p Γ kmn ( B ) V p ρ (10.4.9)with precision of small value of first level. Putting (10.4.8), (10.4.9) into (10.4.7)we will receive∆ BC x k = W k σ − Γ kmn ( A ) W m V n σρ −
12 Γ kmn ( A ) W m W n σ + O ( ρ ) Proof of this statement I found in [3]
Total increase of coordinate x K along the way ABC has form∆
ABC x k = ∆ AB x k + ∆ BC x k = V k ρ + W k σ − Γ kmn ( A ) W m V n σρ −−
12 Γ kmn ( A ) W m W n σ −
12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ + O ( dx )(10.4.10)In a similar way, total increase of coordinate x K along the way ADE has form∆
ADE x k = ∆ AD x k + ∆ DE x k == W k σ + V k ρ − Γ kmn ( A ) V m W n ρσ −−
12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ −
12 Γ kmn ( A ) W m W n σ + O ( dx )(10.4.11)From (10.4.10) and (10.4.11), it follows that∆ ADE x k − ∆ ABC x k = − Γ kmn ( A ) V m W n ρσ −
12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ −
12 Γ kmn ( A ) W m W n σ + Γ kmn ( A ) W m V n σρ + 12 Γ kmn ( A ) W m W n σ + 12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ and we get integral sum for expression∆ ADE x k − ∆ ABC x k = Z Z Σ (Γ knm − Γ kmn ) dx m ∧ dx n (cid:3) Theorem . In Riemannspace the parallelogram
ABCD isclosed. At the point A , geodesic AC has a tangent vector u which is sumof vectors v and w (10.4.12) u k = v k + w k Therefore, a sum of vectors in Rie-mann space is commutative.
A v w v + wB w ′ v ′ CD ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯ ✻✑✑✑✸ Proof.
Let π be the length of the vector u . Let U be unit vector collinear tothe vector u (10.4.13) U k π = u k According to the lemma 10.4.1, an increase of coordinate x k along the geodesic L u has the following form(10.4.14) ∆ AC x k = U k π −
12 Γ kmn ( A ) U m U n π + O ( π )
84 10. Examples of Diagram of Representations: Affinne Geometry
Equalities(10.4.15) U k π = V k ρ + W k σ Γ kmn ( A ) U m U n π = 2Γ kmn ( A ) W m V n σρ + Γ kmn ( A ) W m W n σ + Γ kmn ( A ) V m V n ρ (10.4.16)follow from equalities (10.4.10), (10.4.14). The equality (10.4.12) follows from equal-ities (10.4.2), (10.4.3), (10.4.13), (10.4.15). The equality(10.4.17) Γ kmn ( A ) u m u n = 2Γ kmn ( A ) w m v n + Γ kmn ( A ) w m w n + Γ kmn ( A ) v m v n follows from equalities (10.4.2), (10.4.3), (10.4.13), (10.4.16). The equalityΓ kmn ( A ) u m u n = Γ kmn ( A )( v m + w m )( v n + w n )= Γ kmn ( A )( v m v n + v m w n + w m v n + w m w n )(10.4.18)follows from the equality (10.4.12). The equality (10.4.17) follows from the equality(10.4.18) and from the symmetry of connection. Therefore, the geodesic AC is sumof geodesic AB and BC . (cid:3) If connection is not symmetric, then geodesic L u does not contain points C and E . Therefore, sum of vectors in metric-affine manifold is noncommutative. Theorem . There exists vector t such that (10.4.19) ( v + w ) k = v k + w k + t k (10.4.20) ( w + v ) k = v k + w k − t k Coordinates of the vector t satisfy system of equations (10.4.21) Γ kmn ( A ) t m t n + (Γ kmn ( A ) + Γ knm ( A ))( v m + w m ) t n + 2 T kmn ( A ) v m w n = 0 Proof.
We first consider the vector v + w . The equality v k + w k + t k −
12 Γ kmn ( A )( v m + w m + t m )( v n + w n + t n )= v k + w k − Γ kmn ( A ) w m v n −
12 Γ kmn ( A ) w m w n −
12 Γ kmn ( A ) v m v n (10.4.22)follows from the equality (10.4.10) and the lemma 10.4.1. The equality v k + w k + t k −
12 Γ kmn ( A ) v m v n + 12 Γ kmn ( A ) v m w n + 12 Γ kmn ( A ) v m t n + 12 Γ kmn ( A ) w m v n + 12 Γ kmn ( A ) w m w n + 12 Γ kmn ( A ) w m t n + 12 Γ kmn ( A ) t m v n + 12 Γ kmn ( A ) t m w n + 12 Γ kmn ( A ) t m t n = v k + w k − Γ kmn ( A ) w m v n −
12 Γ kmn ( A ) w m w n −
12 Γ kmn ( A ) v m v n (10.4.23) follows from the equality (10.4.22). The equality t k −
12 Γ kmn ( A ) v m w n −
12 Γ kmn ( A ) v m t n −
12 Γ kmn ( A ) w m t n −
12 Γ kmn ( A ) t m v n −
12 Γ kmn ( A ) t m w n −
12 Γ kmn ( A ) t m t n = −
12 Γ kmn ( A ) w m v n (10.4.24)follows from the equality (10.4.23). The equalityΓ kmn ( A ) t m t n + (Γ kmn ( A ) v m + Γ kmn ( A ) w m + Γ knm ( A ) v m + Γ knm ( A ) w m − δ kn ) t n + 2 T kmn ( A ) v m w n = 0(10.4.25)follows from the equality (10.4.24). The equality (10.4.21) follows from the equality(10.4.25).Now we consider the vector w + v . The equality v k + w k − t k −
12 Γ kmn ( A )( v m + w m − t m )( v n + w n − t n )= w k + v k − Γ kmn ( A ) v m w n − −
12 Γ kmn ( A ) v m v n −
12 Γ kmn ( A ) W m W n (10.4.26)follows from the equality (10.4.11) and the lemma 10.4.1. The equality v k + w k − t k −
12 Γ kmn ( A ) v m v n −
12 Γ kmn ( A ) v m w n + 12 Γ kmn ( A ) v m t n −
12 Γ kmn ( A ) w m v n −
12 Γ kmn ( A ) w m w n + 12 Γ kmn ( A ) w m t n + 12 Γ kmn ( A ) t m v n + 12 Γ kmn ( A ) t m w n −
12 Γ kmn ( A ) t m t n = w k + v k − Γ kmn ( A ) v m w n − −
12 Γ kmn ( A ) v m v n −
12 Γ kmn ( A ) W m W n (10.4.27)follows from the equality (10.4.26). The equality − t k + 12 Γ kmn ( A ) v m t n −
12 Γ kmn ( A ) w m v n + 12 Γ kmn ( A ) w m t n + 12 Γ kmn ( A ) t m v n + 12 Γ kmn ( A ) t m w n −
12 Γ kmn ( A ) t m t n = −
12 Γ kmn ( A ) v m w n (10.4.28)follows from the equality (10.4.27). The equalityΓ kmn ( A ) t m t n + (Γ kmn ( A ) v m + Γ kmn ( A ) w m + Γ knm ( A ) v m + Γ knm ( A ) w m − δ kn ) t n + 2 T knm ( A ) v m w n = 0(10.4.29)
86 10. Examples of Diagram of Representations: Affinne Geometry follows from the equality (10.4.28). The equality (10.4.21) follows from the equality(10.4.29). (cid:3)
It is not a simple question to answer whether the system of equations (10.4.21)has a solution. However there is another way to find coordinates of vector t .We draw geodesic L v + w throughthe point A using the vector v + w asa tangent vector to L v + w in the point A . We draw geodesic L w + v throughthe point A using the vector w + v asa tangent vector to L w + v in the point A . We draw geodesic L u through thepoint A using the vector uu k = v k + w k as a tangent vector to L u in the point A . A v w C EF ✄✄✄✄✄✗ ◗◗✑✑✑✸
According to theorems 10.4.2, 10.4.4, the point F is the middle of the segment EC . Therefore it is possible to consider the segment AF as the median of thetriangle ACE . According to the theorem 10.4.4, we identify the segment
F C andvektor t . Therefore, the theorem 10.4.2 gives us the way to find coordinates ofvector t . In the section 10.4, we considered opportunity to study affine geometry onaffine manifold. This geometry has two features. The set of vectors is not closedrelative sum and addition operation may be noncommutative.We are not ready to consider first problem; however we can consider questionsrelated to the noncommutativity of sum of vectors. The representation f : D ∗ / / G of commutative ring D in arbitrary group G is called non-commutative module.This representation is much like a module, so all theorems about the structure ofmodule are true. However, the question about the structure of basis remains open.In general av + bw = bw + av Therefore, the question arises: what set of group G we want to consider as a basis.We can construct a basis the same way as we do a basis of module. Then thisbasis should permit expression av + bw + cv Or we may require items of basis to be in strict order in linear combination. In thiscase we assume that if ( v, w ) is a basis of non-commutative module V , then for anyexpression bw + av there exist c , d ∈ D such that cv + dw = bw + av eferences [1] F. W. Hehl, P. von der Heyde, G. D. Kerlick, and J. M. Nester, Generalrelativity with spin and torsion: Foundations and prospects,Rev. Mod. Phys. 48, 393 (1976)[2] Serge Lang, Algebra, Springer, 2002[3] G. E. Shilov, Calculus, Multivariable Functions, Moscow, Nauka, 1972[4] P. K. Rashevsky, Riemann Geometry and Tensor Calculus,Moscow, Nauka, 1967[5] A. G. Kurosh, Lectures on General Algebra, Chelsea Pub Co, 1965[6] Kevin McCrimmon; A Taste of Jordan Algebras;Springer, 2004[7] V. V. Zharinov, Algebraic and geometric foundation of mathematicalphysics,Lecture courses of the scientific and educational center, 9, Steklov Math.Institute of RAS,Moscow, 2008[8] Aleks Kleyn, Biring of Matrices,eprint arXiv:math.OA/0612111 (2007)[9] Aleks Kleyn, Lorentz Transformation and General Covariance Principle,eprint arXiv:0803.3276 (2009)[10] Aleks Kleyn, Introduction into Geometry over Division Ring,eprint arXiv:0906.0135 (2010)[11] Aleks Kleyn, Alexandre Laugier, Orthonormal Basis in Minkowski Space,eprint arXiv:1201.4158 (2012)[12] Aleks Kleyn, Linear Map of D -Algebra,eprint arXiv:1502.04063 (2015)[13] John C. Baez, The Octonions,eprint arXiv:math.RA/0105155 (2002)[14] Paul M. Cohn, Universal Algebra, Springer, 1981[15] Paul M. Cohn, Algebra, Volume 1, John Wiley & Sons, 1982[16] N. Bourbaki, Algebra 1, Springer, 2004[17] N. Bourbaki, Lie Groups and Lie Algebras, Chapters 1 - 3, Springer, 1989[18] Postnikov M. M., Geometry IV: Differential geometry, Moscow, Nauka,1983[19] Alekseyevskii D. V., Vinogradov A. M., Lychagin V. V., Basic Conceptsof Differential GeometryVINITI Summary 28Moscow. VINITI, 1988[20] Richard D. Schafer, An Introduction to Nonassociative Algebras, DoverPublications, Inc., New York, 1995 [21] Paul Bamberg, Shlomo Sternberg, A course in mathematics for studentsof physics, Cambridge University Press, 1991 ndex A ∗ -module 156 A ∗ -vector space 156 A -representation in Ω-algebra 17, 75Abelian multiplicative Ω-group 55Abelian Ω-group 42Abelian semigroup 16active representation in basis manifold102, 134active transformation of basis manifold102, 134additive map 40affine space 175, 178algebra over ring 154arity 10associative law 72, 73, 74, 74, 142, 158, 165associative multiplicative Ω-group 55associative Ω-group 42associative operation 16automorphism 11automorphism of diagram ofrepresentations 115automorphism of representation of Ω-algebra 36basis for vector space 146, 162, 169basis manifold 102, 133basis of diagram of representations 131basis of representation 99biring 60can be embeded 11carrier of Ω-algebra 10Cartesian power 9Cartesian product of Ω-algebras 13category of representations 43, 48commutative diagram of representations ofuniversal algebras 109commutative operation 16commutativity of representations 142, 157,164condition of reducibility of products 61congruence 15contravariant representation 75coordinate matrix of vector 147, 162, 170coordinate representation 104, 135coordinates 147, 162, 170 coordinates of A -number m relative to set X
90, 121coordinates of geometric object 105, 136coordinates of morphism of diagram ofrepresentations 125coordinates of point A of affine space ◦ A relative to basis ( O, e ) 179coordinates of reduced morphism ofrepresentation 93covariant representation 75 ∗∗ -product (product column over row) 59 D -algebra 154 D -module 141diagram of representations of universalalgebras 108direct product of Ω-algebras 13distributive law 42, 56, 57, 142, 158, 165duality principle for biring 60duality principle for biring of matrices 60effective representation 17, 81endomorphism 11endomorphism of diagram ofrepresentations 115endomorphism of representation of Ω-algebra 35epimorphism 11equivalence 7free algebra over ring 154free module 148, 163, 171free representation 18, 18, 81generating set 88, 119, 146, 146, 161, 161,169, 169geometric object 105, 137geometric object in coordinaterepresentation 105, 136geometric object of type H induction over diagram of representations108invariance principle 106, 137invariance principle in D ∗∗ -vector space106, 137isomorphism 11isomorphism of repesentations of Ω-algebra26kernel of homomorphism 15kernel of map 7left A -module 156left A -vector space 156left module 156left shift of module 155left shift on group 76left vector space 156left-side A -representation 72left-side product 72, 159left-side representation 72linear combination 145, 161, 168linear map 148, 149linearly dependent 145, 161, 168linearly dependent set 146, 161, 169linearly independent set 146, 161, 169little group 81map is compatible with operation 11matrix 58matrix of linear map 149, 150metric-affine manifold 179module over ring 141monomorphism 11morphism from diagram of representationsinto diagram of representations 112morphism of representation f f into g -algebrain Ω -algebra 20multiplicative Ω-group 55 n -ary operation on set 9natural homomorphism 15neutral element of operation 15operation on set 9operator domain 10orbit of representation 79, 79origin of coordinate system of affine space179parallelogram 181passive representation in basis manifold103, 134passive transformation of basis manifold103, 134polyadditive map 40polylinear map 151 polymorphism of representations 47product in category 12product of morphisms of diagram ofrepresentations 115product of morphisms of representations ofuniversal algebra 25quasibasis of diagram of representations128quasibasis of representation 97 ∗∗ -product (product of row over column)59reduced morphism of representations 31reduced polymorphism of representations52reducible biring 61reflexive correspondence 7regular endomorphism 96, 128representation of Ω -algebra A in Ω -algebra M
17, 75representative of geometric object 105, 137right A -vector space 164right module 164right shift on group 76right vector space 164right-side A -representation 73right-side product 74, 167right-side representation 73semigroup 16set admits operation 10set is closed with respect to operation 10set of coordinates of representation 91, 121set of Ω -words of representation 88set of tuples of Ω-words 119single transitive representation of Ω-algebra A
19, 82singular endomorphism 96, 128space of orbits of left-side representation80stability group 81stable set of representation 86subalgebra of Ω-algebra 10submodule generated by set 146, 161, 169subrepresentation 86, 88, 117, 119sum of maps 151, 153symmetric correspondence 7tensor power 62tensor product 61tower of representations of Ω-algebras 107transformation coordinated withequivalence 25transitive correspondence 7transitive representation of Ω-algebra A ndex 191 twin representations 84unital extension 142, 158, 165unitarity law 142, 158, 165universal algebra 10vector 141, 156, 156, 164, 164vector ∗ A -space 164Ω-algebra 10Ω-group 42Ω-groupoid 77Ω-ring 57Ω -word of element of representationrelative to generating set 88 pecial Symbols and Notations A ( f ) active representation in basismanifold 102, 134 A ( A ) category of representations 43 A ( A ) category of representations 48 a ∗∗ b ∗∗ -product 59 A ∼ = B isomorphic 11 w i v i linear combination 145, 161 w ∗∗ v linear combination 145, 161 v i w i linear combination 168 v ∗∗ w linear combination 168 A a little group 81 A Ω Ω-algebra 10 a ∗∗ b ∗∗ -product 59 A ( A → B ) set of additive maps 40 A (1) v set of vectors generated by vector v A /A space of orbits of representation80 A a stability group 81 B [ f ] basis manifold 102, 133 B A Cartesian power 9 B f lattice of subrepresentations 87 B [ f, A ] lattice of subrepresentations 118 B × ... × B n product in category 12 B ⊗ n tensor power of representation 62 d f product of map over scalar 153, 154 D (1) v set of vectors generated by vector v e = ( e i , i ∈ I ) basis for module 146, 162,169 e ◦ S image of basis e under passivetransformation S e ◦ s image of basis e under passivetransformation S A ) set of endomorphisms 11 A ∗ a orbit of representation 79 a ∗ A orbit of representation 79 f + g sum of maps 151, 152 GA ( f ) group of automorphisms ofrepresentation f
36, 115 Hom(Ω; A → B ) set of homomorphisms11 J [ f ] closure operator of representation f
87, 118 J [ f, X ] subrepresentation generated bygenerating set X
87, 119ker f kernel of homomorphism 15ker f kernel of map 7 L ( b ) left shift 76 w i v i linear combination 145, 161 w ∗∗ v linear combination 145, 161 v i w i linear combination 168 v ∗∗ w linear combination 168 L ( D → D ; A → A ) set of linear maps148 L ( D ; A → A ) set of linear maps 149 L ( D ; A × ... × A n → S ) set of polylinearmaps 151 L ( D ; A n → S ) set of n -linear maps 151 O ( f, g, m ) geometric object 105 O ( f, g, a ) geometric object 137 O ( f, g, e g , m ) geometric object incoordinate representation 105 O ( f, g, e g , a ) geometric object incoordinate representation 136 B ⊗ ... ⊗ B n tensor product 61 P ( f ) passive representation in basismanifold 103, 134 R ( b ) right shift 76 → V affine space 178 W [ f, X ] set of coordinates ofrepresentation J ( f, X ) 91 W ( k ) [ f, X ] set of coordinates ofrepresentation J ( f, X ) 121 W [ f, X, m ] coordinates of element m ofrepresentation f relative to set X W ( k ) [ f, X, a ] coordinates of element m ofrepresentation f relative to set X w [ f, X ] set of tuples of Ω-words 119 W [ f, X, B ] set of coordinates of set B ⊂ J ( f, X ) 90 W ( k ) [ f, X, B ] set of coordinates of set B ⊂ J ( f, X ) 121 w [ f, X, B ] set of Ω -words representingset B ⊂ J ( f, X ) 88 W [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, m ] superpositionof coordinates 94 W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ]superposition of coordinates 125 w [ f, X, a ] tuple of Ω-words 119 w [ f, X, m ] Ω -word representing element m ∈ J ( f, X ) 88 w [ f, X ] set of Ω -words of representation J ( f, X ) 88Ω operator domain 10Ω( n ) set of n -ary operators 10 Y i ∈ I B i product in category 12 n Y i =1 B i product in category 12 r X i v : . [ m a t h . G M ] N ov Диаграмма представлений универсальных алгебр
Александр Клейн
[email protected] http://AleksKleyn.dyndns-home.com:4080/http://sites.google.com/site/AleksKleyn/http://arxiv.org/a/kleyn_a_1http://AleksKleyn.blogspot.com/ ннотация.
Теория представлений универсальной алгебры является есте-ственным развитием теории универсальной алгебры. В книге рассмотре-ны представление универсальной алгебры, диаграммы представлений ипримеры представления. Морфизм представления - это отображение, со-храняющее структуру представления. Изучение морфизмов представле-ний ведёт к понятиям множества образующих и базиса представления. главление
Глава 1. Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. Теория представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. На грани теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Глава 2. Предварительные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1. Отношение эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Универсальная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Декартово произведение универсальных алгебр . . . . . . . . . . 122.4. Полугруппа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Глава 3. Представление универсальной алгебры . . . . . . . . . . . . 173.1. Представление универсальной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Морфизм представлений универсальной алгебры . . . . . . . . . 203.3. Теорема о разложении морфизмов расслоений . . . . . . . . . . . 253.4. Приведенный морфизм представлений . . . . . . . . . . . . . . . 313.5. Автоморфизм представления универсальной алгебры . . . . . . 37Глава 4. Ω -группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1. Множество гомоморфизмов Ω -алгебры . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Ω -группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Декартово произведение представлений . . . . . . . . . . . . . . 444.4. Приведенное декартово произведение представлений . . . . . . . 504.5. Мультипликативная Ω -группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6. Ω -кольцо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.7. Тензорное произведение представлений . . . . . . . . . . . . . . . 634.8. Ассоциативность тензорного произведения . . . . . . . . . . . . . 69Глава 5. Представление мультипликативной Ω -группы . . . . . . . . 715.1. Представление мультипликативной Ω -группы . . . . . . . . . . . 715.2. Левый и правый сдвиги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3. Орбита представления мультипликативной Ω -группы . . . . . . 815.4. Представление в Ω -группе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5. Однотранзитивное правостороннее представление группы . . . . 84Глава 6. Базис представления универсальной алгебры . . . . . . . . 896.1. Множество образующих представления . . . . . . . . . . . . . . . 896.2. Базис представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3. Свободное представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4. Многообразие базисов представления . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.5. Геометрический объект представления универсальной алгебры . 107 Глава 7. Диаграмма представлений универсальных алгебр . . . . . . 1117.1. Диаграмма представлений универсальных алгебр . . . . . . . . . 1117.2. Морфизм диаграммы представлений . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.3. Автоморфизм диаграммы представлений . . . . . . . . . . . . . . 120Глава 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры . 1228.1. Множество образующих диаграммы представлений . . . . . . . 1228.2. Базис диаграммы представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.3. Многообразие базисов диаграммы представлений . . . . . . . . . 1398.4. Геометрический объект диаграммы представлений . . . . . . . . 140Глава 9. Примеры диаграммы представлений: модуль . . . . . . . . . 1449.1. Об этой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.2. Абелевая группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.3. Векторное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.3.1. Модуль над коммутативным кольцом . . . . . . . . . . . . . . . 1489.3.2. Линейное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.3.3. Полилинейное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.4. Алгебра над коммутативным кольцом . . . . . . . . . . . . . . . 1619.5. Левый модуль над алгеброй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.6. Правый модуль над алгеброй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1719.7. Левый модуль над неассоциативной алгеброй . . . . . . . . . . . 179Глава 10. Примеры диаграммы представлений: аффинная геометрия 18110.1. Об этой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.2. Представление группы на множестве . . . . . . . . . . . . . . . 18210.3. Аффинное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.4. Аффинное пространство на дифференцируемом многообразии 18810.5. Некоммутативный модуль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Специальные символы и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201лава 1
Предисловие
В статьях я часто рассматриваю вопросы, связанные с представлением уни-версальной алгебры. Вначале это были небольшие наброски, которые я много-кратно исправлял и переписывал. Но постепенно появлялись новые наблюде-ния. В результате вспомогательный инструмент превратился в стройную тео-рию.Я это понял, когда я работал над книгой [10], и решил посвятить отдельнуюкнигу вопросам, связанным с представлением универсальной алгебры. Изуче-ние теории представлений универсальной алгебры показывает, что эта теорияимеет много общего с теорией универсальной алгебры.Основным толчком к более глубокому изучению представлений универ-сальной алгебры послужило определение векторного пространства как пред-ставление поля в абелевой группе. Я обратил внимание, что это определениеменяет роль линейного отображения. По сути, линейное отображение - этоотображение, которое сохраняет структуру представления. Эту конструкциюлегко обобщить на произвольное представление универсальной алгебры. Такимобразом появилось понятие морфизма представлений.Множество невырожденных автоморфизмов векторного пространства по-рождает группу. Эта группа действует однотранзитивно на множестве базисоввекторного пространства. Это утверждение является фундаментом теории ин-вариантов векторного пространства.Возникает естественный вопрос. Можно ли обобщить эту конструкцию напроизвольное представление? Базис - это не единственное множество, котороепорождает векторное пространство. Если мы к множеству векторов базиса до-бавим произвольный вектор, то новое множество по прежнему порождает тожесамое векторное пространство, но базисом не является. Это утверждение яв-ляется исходной точкой, от которой я начал изучение множества образующихпредставления. Множество образующих представления - это ещё одна интерес-ная параллель теории представлений с теорией универсальной алгебры.Множество автоморфизмов представления является лупой. Неассоциатив-ность произведения порождает многочисленные вопросы, которые требуют до-полнительное исследование. Все эти вопросы ведут к необходимости пониманиятеории инвариантов заданного представления.Если мы рассматриваем теорию представлений универсальной алгебры какрасширение теории универсальной алгебры, то почему не рассмотреть пред-ставление одного представления в другом представлении. Так появилась кон-цепция башни представлений. Самый удивительный факт - это то, что всеотображения в башне представлений действуют согласовано.
На протяжении многих лет я считал, что теория представлений являетсяосновным инструментом для изучения принципа общековариантности. Однаков процессе подготовки этой книги я неожиданно оказался на грани примени-мости теории представлений. Я не мог пройти мимо этого крайне важногособытия.Точнее это было два разных открытия, связанных между собой темойнекоммутативного сложения. Сначала я обнаружил, что я могу моделироватьаффинную геометрию на многообразии аффинной связности (Тоже мне от-крытие. Думаю люди об этом знали со времён Декарта и Гауса). Здесь самымглавным для меня было утверждение, что сумма определена не для любойпары векторов. Похожую задачу я видел, когда изучал многообразие базисовпространства Минковского ([11]). Если связность на аффинном многообразииимеет ненулевое кручение, то сумма векторов становится некоммутативной.Позднее я решил исследовать представление кольца в неабелевой группе.Хотя алгебра замкнута относительно операции, я вижу возможность дальней-шего развития теории представлений. Мы можем пользоваться определениембазиса из этой книги, однако некоторые важные детали будут спрятаны. Дляменя интересна версия, что элементы базиса могут иметь заданный порядок,но сейчас я недостаточно ясно представляю какие из этого могут быть след-ствия.лава 2
Предварительные определения
В этой главе собраны определения и теоремы, которые необходимы дляпонимания текста предлагаемой книги. Поэтому читатель может обращатьсяк утвердениям из этой главы по мере чтения основного текста книги.
Определение . Соответствие Φ ∈ A × A называется отношениемэквивалентности , если соответствие Φ рефлексивно ( a, a ) ∈ Φ соответствие Φ симметрично ( a, b ) ∈ Φ ⇒ ( b, a ) ∈ Φ соответствие Φ транзитивно ( a, b ) , ( b, c ) ∈ Φ ⇒ ( a, c ) ∈ Φ (cid:3) Теорема . Для отображения f : A → B множество (2.1.1) ker f = { ( a, b ) : a, b ∈ A, f ( a ) = f ( b ) } является отношением эквивалентности и называется ядром отображе-ния . Доказательство.Лемма . Соответствие ker f рефлексивно. Доказательство.
Из равенства f ( a ) = f ( a ) и определения (2.1.1) следует, что(2.1.2) ( a, a ) ∈ ker f Лемма является следствием утверждения (2.1.2) и определения 2.1.1.1. ⊙ Лемма . Соответствие ker f симметрично. Смотри также определение на странице [14]-27.
Смотри также определение на странице [14]-28.
Доказательство.
Равенство(2.1.3) f ( a ) = f ( b ) является следствием утверждения ( a, b ) ∈ ker f и определения (2.1.1). Равенство(2.1.4) f ( b ) = f ( a ) является следствием равенства (2.1.3). Утверждение ( b, a ) ∈ ker f является следствием равенства (2.1.4) и определения (2.1.1). Следовательно,мы доказали утверждение(2.1.5) ( a, b ) ∈ ker f ⇒ ( b, a ) ∈ ker f Лемма является следствием утверждения (2.1.5) и определения 2.1.1.2. ⊙ Лемма . Соответствие ker f транзитивно. Доказательство.
Равенство(2.1.6) f ( a ) = f ( b ) является следствием утверждения ( a, b ) ∈ ker f и определения (2.1.1). Равенство(2.1.7) f ( b ) = f ( c ) является следствием утверждения ( b, c ) ∈ ker f и определения (2.1.1). Равенство(2.1.8) f ( a ) = f ( c ) является следствием равенств (2.1.6), (2.1.7). Утверждение ( a, c ) ∈ ker f является следствием равенства (2.1.8) и определения (2.1.1). Следовательно,мы доказали утверждение(2.1.9) ( a, b ) , ( b, c ) ∈ ker f ⇒ ( a, c ) ∈ ker f Лемма является следствием утверждения (2.1.9) и определения 2.1.1.2. ⊙ Утверждение теоремы является следствием лем 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5 и опре-деления 2.1.1. (cid:3)
Теорема . Пусть N - отношение эквивалентности на множестве A . Рассмотрим категорию A объектами которой являются отображения f : A → S ker f ⊇ Nf : A → S ker f ⊇ N Утверждение леммы аналогично утверждению на с. [2]-94. .2. Универсальная алгебра 9
Мы определим морфизм f → f как отображение h : S → S , для которогокоммутативна диаграмма S h (cid:15) (cid:15) A f > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ f ❅❅❅❅❅❅❅❅ S Отображение nat N : A → A/N является универсально отталкивающим в категории A . Доказательство.
Рассмотрим диаграмму
A/N h (cid:15) (cid:15) A j =nat N = = ④④④④④④④④ f " " ❉❉❉❉❉❉❉❉❉ S (2.1.10) ker f ⊇ N Из утверждения (2.1.10) и равенства j ( a ) = j ( a ) следует f ( a ) = f ( a ) Следовательно, мы можем однозначно определить отображение h с помощьюравенства h ( j ( b )) = f ( b ) (cid:3) Определение . Для любых множеств A , B , декартова степень B A - это множество отображений f : A → B (cid:3) Определение . Пусть дано множество A и целое число n ≥ .Отображение ω : A n → A Определение универсального объекта смотри в определении на с. [2]-47.
Я следую определению из примера (iV), [14], страницы 17, 18.
Определения 2.2.2, 2.2.7 опираются на определение в примере (vi), страница [14]-26. называется n -арной операцией на множестве A или просто операциейна множестве A . Для любых a , ..., a n ∈ A , мы пользуемся любой из формзаписи ω ( a , ..., a n ) , a ...a n ω для обозначения образа отображения ω . (cid:3) Замечание . Согласно определениям 2.2.1, 2.2.2, n -арная операция ω ∈ A A n . (cid:3) Определение . Область операторов - это множество операто-ров Ω вместе с отображением a : Ω → N Если ω ∈ Ω , то a ( ω ) называется арностью оператора ω . Если a ( ω ) = n ,то оператор ω называется n -арным. Мы пользуемся обозначением Ω( n ) = { ω ∈ Ω : a ( ω ) = n } для множества n -арных операторов. (cid:3) Определение . Пусть A - множество, а Ω - область операторов. Семейство отображений Ω( n ) → A A n n ∈ N называется структурой Ω -алгебры на A . Множество A со структурой Ω -алгебры называется Ω -алгеброй A Ω или универсальной алгеброй . Мно-жество A называется носителем Ω -алгебры . (cid:3) Область операторов Ω описывает множество Ω -алгебр. Элемент множе-ства Ω называется оператором, так как операция предполагает некоторое мно-жество. Согласно замечанию 2.2.3 и определению 2.2.5, каждому оператору ω ∈ Ω( n ) сопоставляется n -арная операция ω на A . Теорема . Пусть множество B является Ω -алгеброй. Тогда мно-жество B A отображений f : A → B также является Ω -алгеброй. Доказательство.
Пусть ω ∈ Ω( n ) . Для отображений f , ..., f n ∈ B A ,мы определим операцию ω равенством ( f ...f n ω )( x ) = f ( x ) ...f n ( x ) ω (cid:3) Определение . Пусть B ⊆ A . Если для любых b , ..., b n ∈ B , b ...b n ω ∈ B , то мы говорим, что B замкнуто относительно ω или что B допускает операцию ω . (cid:3) Определение . Ω -алгебра B Ω является подалгеброй Ω -алгебры A Ω ,если верны следующие утверждения B ⊆ A . Если оператор ω ∈ Ω определяет операции ω A на A и ω B на B , то ω A | B = ω B Я следую определению 1, страница [14]-62.
Я следую определению 2, страница [14]-62.
Я следую определению на странице [14]-62. .2. Универсальная алгебра 11 (cid:3)
Определение . Пусть A , B - Ω -алгебры и ω ∈ Ω( n ) . Отображе-ние f : A → B согласовано с операцией ω , если, для любых a , ..., a n ∈ A , (2.2.1) f ( a ) ...f ( a n ) ω = f ( a ...a n ω ) Отображение f называется гомоморфизмом Ω -алгебры A в Ω -алгебру B ,если f согласовано с каждым ω ∈ Ω . Мы обозначим Hom(Ω; A → B ) мно-жество гомоморфизмов Ω -алгебры A в Ω -алгебру B . (cid:3) Теорема . Если область операторов пуста, то гомоморфизм Ω -алгебры A в Ω -алгебру B - это отображение f : A → B Следовательно,
Hom( ∅ ; A → B ) = B A . Доказательство.
Теорема является следствием определений 2.2.1, 2.2.9. (cid:3)
Определение . Гомоморфизм f назывется изоморфизмом меж-ду A и B , если соответствие f − является гомоморфизмом. Если существу-ет изоморфизм между A и B , то говорят, что A и B изоморфны, и пишут A ∼ = B . Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом . Суръек-тивный гомоморфизм называется эпиморфизмом . (cid:3) Определение . Гомоморфизм, источником и целью которого яв-ляется одна и таже алгебра, называется эндоморфизмом . Мы обозначим
End(Ω; A ) множество эндоморфизмов Ω -алгебры A . Эндоморфизм, которыйявляется изоморфизмом, называется автоморфизмом . (cid:3) Теорема . End(Ω; A ) = Hom(Ω; A → A ) Доказательство.
Теорема является следствием определений 2.2.9, 2.2.12. (cid:3)
Теорема . Если область операторов пуста, то эндоморфизм мно-жества A - это отображение t : A → A Следовательно,
End( ∅ ; A ) = A A . Доказательство.
Теорема является следствием теорем 2.2.10, 2.2.13. (cid:3)
Определение . Если существует мономорфизм Ω -алгебры A в Ω -алгебру B , то говорят, что A может быть вложена в B . (cid:3) Определение . Если существует эпиморфизм из A в B , то B на-зывается гомоморфным образом алгебры A . (cid:3) Я следую определению на странице [14]-63.
Я следую определению на странице [14]-63.
Определение . Пусть A - категория. Пусть { B i , i ∈ I } - множе-ство объектов из A . Объект P = Y i ∈ I B i и множество морфизмов { f i : P → B i , i ∈ I } называется произведением множества объектов { B i , i ∈ I } в категории A , если для любого объекта R и множество морфизмов { g i : R → B i , i ∈ I } существует единственный морфизм h : R → P такой, что диаграмма P f i / / B i f i ◦ h = g i R g i > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ h O O коммутативна для всех i ∈ I .Если | I | = n , то для произведения множества объектов { B i , i ∈ I } в A мы так же будем пользоваться записью P = n Y i =1 B i = B × ... × B n (cid:3) Пример . Пусть S - категория множеств. Согласно определению2.3.1, декартово произведение A = Y i ∈ I A i семейства множеств ( A i , i ∈ I ) и семейство проекций на i -й множитель p i : A → A i являются произведением в категории S . (cid:3) Теорема . Произведение существует в категории A Ω -алгебр. Пусть Ω -алгебра A и семейство морфизмов p i : A → A i i ∈ I является произведением в категории A . Тогда Множество A является декартовым произведением семейства мно-жеств ( A i , i ∈ I ) Определение дано согласно [2], страница 45.
Смотри также пример в [2], страница 45. .3. Декартово произведение универсальных алгебр 13
Гомоморфизм Ω -алгебры p i : A → A i является проекцией на i -й множитель. Любое A -число a может быть однозначно представлено в виде кор-тежа ( p i ( a ) , i ∈ I ) A i -чисел. Пусть ω ∈ Ω - n-арная операция. Тогда операция ω определена по-компонентно (2.3.1) a ...a n ω = ( a i ...a ni ω, i ∈ I ) где a = ( a i , i ∈ I ) , ..., a n = ( a ni , i ∈ I ) . Доказательство.
Пусть A = Y i ∈ I A i декартово произведение семейства множеств ( A i , i ∈ I ) и, для каждого i ∈ I ,отображение p i : A → A i является проекцией на i -й множитель. Рассмотрим диаграмму морфизмов вкатегории множеств S (2.3.2) A p i / / A i p i ◦ ω = g i A n g i = = ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ ω O O где отображение g i определено равенством g i ( a , ..., a n ) = p i ( a ) ...p i ( a n ) ω Согласно определению 2.3.1, отображение ω определено однозначно из множе-ства диаграмм (2.3.2)(2.3.3) a ...a n ω = ( p i ( a ) ...p i ( a n ) ω, i ∈ I ) Равенство (2.3.1) является следствием равенства (2.3.3). (cid:3)
Определение . Если Ω -алгебра A и семейство морфизмов p i : A → A i i ∈ I является произведением в категории A , то Ω -алгебра A называется прямым или декартовым произведением Ω -алгебр ( A i , i ∈ I ) . (cid:3) Теорема . Пусть множество A является декартовым произведени-ем множеств ( A i , i ∈ I ) и множество B является декартовым произведе-нием множеств ( B i , i ∈ I ) . Для каждого i ∈ I , пусть f i : A i → B i является отображением множества A i в множество B i . Для каждого i ∈ I ,рассмотрим коммутативную диаграмму (2.3.4) B p ′ i / / B i A f O O p i / / A if i O O где отображения p i , p ′ i являются проекцией на i -й множитель. Множествокоммутативных диаграмм (2.3.4) однозначно определяет отображение f : A → Bf ( a i , i ∈ I ) = ( f i ( a i ) , i ∈ I ) Доказательство.
Для каждого i ∈ I , рассмотрим коммутативную диа-грамму(2.3.5) B p ′ i / / (1) B i A f O O g i : : ✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉✉ p i / / A if i O O (2) Пусть a ∈ A . Согласно утверждению 2.3.3.3, A -число a может быть представ-лено в виде кортежа A i -чисел(2.3.6) a = ( a i , i ∈ I ) a i = p i ( a ) ∈ A i Пусть(2.3.7) b = f ( a ) ∈ B Согласно утверждению 2.3.3.3, B -число b может быть представлено в виде кор-тежа B i -чисел(2.3.8) b = ( b i , i ∈ I ) b i = p ′ i ( b ) ∈ B i Из коммутативности диаграммы (1) и из равенств (2.3.7), (2.3.8) следует, что(2.3.9) b i = g i ( b ) Из коммутативности диаграммы (2) и из равенства (2.3.6) следует, что b i = f i ( a i ) (cid:3) Теорема . Пусть Ω -алгебра A является декартовым произведением Ω -алгебр ( A i , i ∈ I ) и Ω -алгебра B является декартовым произведением Ω -алгебр ( B i , i ∈ I ) . Для каждого i ∈ I , пусть отображение f i : A i → B i является гомоморфизмом Ω -алгебры. Тогда отображение f : A → B .3. Декартово произведение универсальных алгебр 15 определённое равенством (2.3.10) f ( a i , i ∈ I ) = ( f i ( a i ) , i ∈ I ) является гомоморфизмом Ω -алгебры. Доказательство.
Пусть ω ∈ Ω - n-арная операция. Пусть a = ( a i , i ∈ I ) , ..., a n = ( a ni , i ∈ I ) и b = ( b i , i ∈ I ) , ..., b n = ( b ni , i ∈ I ) . Из равенств(2.3.1), (2.3.10) следует, что f ( a ...a n ω ) = f ( a i ...a ni ω, i ∈ I )= ( f i ( a i ...a ni ω ) , i ∈ I )= (( f i ( a i )) ... ( f i ( a ni )) , i ∈ I )= ( b i ...b ni ω, i ∈ I ) f ( a ) ...f ( a n ) ω = b ...b n ω = ( b i ...b ni ω, i ∈ I ) (cid:3) Определение . Эквивалентность на Ω -алгебре A , которая являетсяподалгеброй Ω -алгебры A , называется конгруенцией на A . (cid:3) Теорема . Пусть f : A → B гомоморфизм Ω -алгебр с ядром s . Тогда отображение f имеет разложение A/ ker f q / / f ( A ) r (cid:15) (cid:15) A p O O f / / B f = p ◦ q ◦ r Ядро гомоморфизма ker f = f ◦ f − является конгруэнцией на Ω -алгебре A . Множество A/ ker f является Ω -алгеброй. Отображение p : a ∈ A → a ker f ∈ A/ ker f является эпиморфизмом и называется естественным гомомор-физмом . Отображение q : p ( a ) ∈ A/ ker f → f ( a ) ∈ f ( A ) является изоморфизмом. Отображение r : f ( a ) ∈ f ( A ) → f ( a ) ∈ B является мономорфизмом. Доказательство.
Утверждение 2.3.8.1 является следствием предложе-ния II.3.4 ([14], страница 72). Утверждения 2.3.8.2, 2.3.8.3 являются следствиемтеоремы II.3.5 ([14], страница 72) и последующего определения. Утверждения2.3.8.4, 2.3.8.5 являются следствием теоремы II.3.7 ([14], страница 74). (cid:3)
Я следую определению на странице [14]-71.
Обычно операция ω ∈ Ω(2) называется произведением abω = ab либо суммой abω = a + b Определение . Пусть A является Ω -алгеброй и ω ∈ Ω(2) . A -число e называется нейтральным элементом операции ω , если для любого A -числа a верны равенства (2.4.1) eaω = a (2.4.2) aeω = a (cid:3) Определение . Пусть A является Ω -алгеброй. Операция ω ∈ Ω(2) называется ассоциативной , если верно равенство a ( bcω ) ω = ( abω ) cω (cid:3) Определение . Пусть A является Ω -алгеброй. Операция ω ∈ Ω(2) называется коммутативной , если верно равенство abω = baω (cid:3) Определение . Пусть
Ω = { ω } . Если операция ω ∈ Ω(2) ассоциа-тивна, то Ω -алгебра называется полугруппой . Если операция в полугруппекоммутативна, то полугруппа называется абелевой полугруппой . (cid:3) лава 3 Представление универсальной алгебры
Определение . Пусть множество A является Ω -алгеброй. Пустьна множестве преобразований End(Ω , A ) определена структура Ω -алгеб-ры. Гомоморфизм f : A → End(Ω ; A )Ω -алгебры A в Ω -алгебру End(Ω , A ) называется представлением Ω -алгебры A или A -представлением в Ω -алгебре A . (cid:3) Диаграмма A f ( a ) / / A A f K S означает, что мы рассматриваем представление Ω -алгебры A . Отображение f ( a ) является образом a ∈ A . Мы будем также пользоваться записью f : A ∗ / / A для обозначения представления Ω -алгебры A в Ω -алгебре A .Существует несколько способов описать представление. Мы можем ука-зать отображение f , имея в виду что область определения - это Ω -алгебра A и область значений - это Ω -алгебра End(Ω , A ) . Либо мы можем ука-зать Ω -алгебру A и Ω -алгебру A , имея в виду что нам известна структураотображения f . Определение . Мы будем называть представление f : A ∗ / / A Ω -алгебры A эффективным , если отображение f : A → End(Ω ; A ) является изоморфизмом Ω -алгебры A в End(Ω , A ) . (cid:3) Теорема . Представление f : A ∗ / / A Например, мы рассматриваем векторное пространство V над полем D (раздел 9.3). Аналогичное определение эффективного представления группы смотри в [18], страница16, [19], страница 111, [15], страница 51 (Кон называет такое представление точным). Смотритакже теорему 5.4.2.
178 3. Представление универсальной алгебры эффективно тогда и только тогда, когда из утверждения a = b , a , b ∈ A , следует существование a ∈ A такого, что f ( a )( a ) = f ( b )( a ) Доказательство.
Пусть представление f эффективно и a = b . Еслидля любого a ∈ A верно равенство f ( a )( a ) = f ( b )( a ) то f ( a ) = f ( b ) Это противоречит утверждению, что представление f эффективно.Пусть из утверждения a = b , a , b ∈ A , следует существование a ∈ A такого, что f ( a )( a ) = f ( b )( a ) Следовательно, из утверждения a = b , a , b ∈ A , следует, что f ( a ) = f ( b ) Согласно определению 3.1.2, представление f эффективно. (cid:3) Определение . Мы будем называть представление f : A ∗ / / A Ω -алгебры A свободным , если из утверждения f ( a )( a ) = f ( b )( a ) для любого a ∈ A следует, что a = b . (cid:3) Теорема . Мы будем называть представление f : A ∗ / / A Ω -алгебры A свободным , если из утверждения f ( a ) = f ( b ) следует, что a = b . Доказательство.
Утверждение f ( a ) = f ( b ) верно тогда и только тогда,когда f ( a )( a ) = f ( b )( a ) для любого a ∈ A . (cid:3) Теорема . Свободное представление эффективно.
Для группы теорема 3.1.3 имеет следующий вид.
Представление f : A ∗ / / A эффективно тогда и только тогда, когда для любого A -числа a = e существует a ∈ A такое, что f ( a )( a ) = a Аналогичное определение свободного представления группы смотри в [18], страница 16.Смотри также теорему 5.5.2. .1. Представление универсальной алгебры 19
Доказательство.
Пусть отображение f : A ∗ / / A является свободным представлением. Пусть a , b ∈ A . Согласно определению3.1.4, из утверждения f ( a )( a ) = f ( b )( a ) для любого a ∈ A следует, что a = b . Следовательно, если a = b , тосуществует a ∈ A такое, что f ( a )( a ) = f ( b )( a ) Согласно теореме 3.1.3, представление f эффективно. (cid:3) Замечание . Представление группы вращений в аффинном простран-стве эффективно, но не свободно, так как начало координат является непо-движной точкой любого преобразования. (cid:3)
Определение . Мы будем называть представление f : A ∗ / / A Ω -алгебры транзитивным , если для любых a , b ∈ A существует такое g , что a = f ( g )( b ) Мы будем называть представление Ω -алгебры однотранзитивным , еслионо транзитивно и свободно. (cid:3) Теорема . Представление однотранзитивно тогда и только тогда,когда для любых a, b ∈ A существует одно и только одно g ∈ A такое, что a = f ( g )( b ) Доказательство.
Следствие определений 3.1.4 и 3.1.8. (cid:3)
Теорема . Пусть f : A ∗ / / A однотранзитивное представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Существу-ет структура Ω -алгебры на множестве A . Доказательство.
Пусть b ∈ A , ω ∈ Ω ( n ) . Для любых A -чисел b , ..., b n , существуют A -числа a , ..., a n такие, что b = f ( a )( b ) ... b n = f ( a n )( b ) Мы определим операцию ω на множестве A равенством(3.1.1) b ...b n ω = f ( a ...a n ω )( b ) Мы также требуем, что выбор A -числа b не зависит от операции ω . (cid:3) Аналогичное определение транзитивного представления группы смотри в [19], страница110, [15], страница 51.
Теорема . Пусть f : A ∗ / / A эффективное представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пусть ω ∈ Ω ( n ) ∩ Ω ( n ) . Тогда (3.1.2) f ( a ...a n ω )( b ) = f ( a )( b ) ...f ( a n )( b ) ω Теорема . Пусть A и B - Ω -алгебры. Представление Ω -алгебры B g : B ∗ / / A и гомоморфизм Ω -алгебры h : A → B определяют представление f Ω -алгебры A (3.2.1) A h ❆❆❆❆❆❆❆❆ f / / End(Ω ; A ) B g ssssssssss Доказательство.
Отображение f является гомоморфизмом Ω -алгебры A в Ω -алгебру End(Ω , A ) , так как отображение g является гомоморфизмом Ω -алгебры B в Ω -алгебру End(Ω , A ) . (cid:3) Мы будем также пользоваться диаграммой A h ❇❇❇❇❇❇❇❇ f ∗ / / A B g ∗ ⑤⑤⑤⑤ > > ⑤⑤⑤⑤ вместо диаграммы (3.2.1).Если мы изучаем представление Ω -алгебры в Ω -алгебрах A и B , то насинтересуют отображения A → B , сохраняющие структуру представления. Определение . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A и g : B ∗ / / B представление Ω -алгебры B в Ω -алгебре B . Для i = 1 , , пусть отобра-жение r i : A i → B i является гомоморфизмом Ω i -алгебры. Кортеж отображений r = ( r , r ) та-ких, что (3.2.2) r ◦ f ( a ) = g ( r ( a )) ◦ r называется морфизмом представлений из f в g . Мы также будем гово-рить, что определён морфизм представлений Ω -алгебры в Ω -алгебре . (cid:3) .2. Морфизм представлений универсальной алгебры 21 Замечание . Мы можем рассматривать пару отображений r , r как отображение F : A ∪ A → B ∪ B такое, что F ( A ) = B F ( A ) = B Поэтому в дальнейшем кортеж отображений r = ( r , r ) мы будем такженазывать отображением и пользоваться записью r : f → g Пусть a = ( a , a ) - кортеж A -чисел. Мы будем пользоваться записью r ( a ) = ( r ( a ) , r ( a )) для образа кортежа A -чисел при морфизме представлений r . (cid:3) Определение . Если представления f и g совпадают, то морфизмпредставлений r = ( r , r ) называется морфизмом представления f . (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A и g : B ∗ / / B представление Ω -алгебры B в Ω -алгебре B . Отображение ( r : A → B , r : A → B ) является морфизмом представлений тогда и только тогда, когда (3.2.3) r ( f ( a )( m )) = g ( r ( a ))( r ( m )) Доказательство.
Для произвольного m ∈ A равенство (3.2.2) имеет вид(3.2.3). (cid:3) Замечание . Рассмотрим морфизм представлений ( r : A → B , r : A → B ) Мы можем обозначать элементы множества B , пользуясь буквой по образ-цу b ∈ B . Но если мы хотим показать, что b является образом элемента a ∈ A , мы будем пользоваться обозначением r ( a ) . Таким образом, равен-ство r ( a ) = r ( a ) означает, что r ( a ) (в левой части равенства) является образом a ∈ A (в правой части равенства). Пользуясь подобными соображениями, мы бу-дем обозначать элемент множества B в виде r ( m ) . Мы будем следоватьэтому соглащению, изучая соотношения между гомоморфизмами Ω -алгебри отображениями между множествами, где определены соответствующиепредставления. (cid:3) Замечание . Мы можем интерпретировать (3.2.3) двумя способа-ми • Пусть преобразование f ( a ) отображает m ∈ A в f ( a )( m ) . Тогдапреобразование g ( r ( a )) отображает r ( m ) ∈ B в r ( f ( a )( m )) . • Мы можем представить морфизм представлений из f в g , пользуясьдиаграммой (3.2.4) A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / B g ( r ( a )) (cid:15) (cid:15) (1) A r / / B A r / / f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ B g B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ Из (3.2.2) следует, что диаграмма (1) коммутативна.Мы будем также пользоваться диаграммой (3.2.5) A r / / B A r / / f ∗ O O B g ∗ O O вместо диаграммы (3.2.4) . (cid:3) Теорема . Рассмотрим представление f : A ∗ / / A Ω -алгебры A и представление g : B ∗ / / B Ω -алгебры B . Морфизм ( r : A → B , r : A → B ) представлений из f в g удовлетворяет соотношению (3.2.6) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = ( g ( r ( a )) ...g ( r ( a n )) ω ) ◦ r для произвольной операции ω ∈ Ω ( n ) . Доказательство.
Так как f - гомоморфизм, мы имеем(3.2.7) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = r ◦ f ( a ...a n ω ) Из (3.2.2) и (3.2.7) следует(3.2.8) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a ...a n ω )) ◦ r Так как r - гомоморфизм, из (3.2.8) следует(3.2.9) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a ) ...r ( a n ) ω ) ◦ r Так как g - гомоморфизм, из (3.2.9) следует (3.2.6). (cid:3) .2. Морфизм представлений универсальной алгебры 23 Теорема . Пусть отображение ( r : A → B , r : A → B ) является морфизмом из представления f : A ∗ / / A Ω -алгебры A в представление g : B ∗ / / B Ω -алгебры B . Если представление f эффективно, то отображение r ∗ : End(Ω ; A ) → End(Ω ; B ) определённое равенством (3.2.10) r ∗ ( f ( a )) = g ( r ( a )) является гомоморфизмом Ω -алгебры. Доказательство.
Так как представление f эффективно, то для выбран-ного преобразования f ( a ) выбор элемента a определён однозначно. Следова-тельно, преобразование g ( r ( a )) в равенстве (3.2.10) определено корректно.Так как f - гомоморфизм, мы имеем(3.2.11) r ∗ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = r ∗ ( f ( a ...a n ω )) Из (3.2.10) и (3.2.11) следует(3.2.12) r ∗ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a ...a n ω )) Так как h - гомоморфизм, из (3.2.12) следует(3.2.13) r ∗ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a ) ...r ( a n ) ω ) Так как g - гомоморфизм, r ∗ ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) = g ( r ( a )) ...g ( r ( a n )) ω = r ∗ ( f ( a )) ...r ∗ ( f ( a n )) ω следует из (3.2.13). Следовательно, отображение r ∗ является гомоморфизмом Ω -алгебры. (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / A однотранзитивное представление Ω -алгебры A и g : B ∗ / / B однотранзитивное представление Ω -алгебры B . Если отображение r : A → B является гомоморфизмом Ω -алгебры, то существует морфизм представле-ний из f в g ( r : A → B , r : A → B ) Доказательство.
Выберем гомоморфизм r . Выберем элемент m ∈ A и элемент n ∈ B . Чтобы построить отображение r , рассмотрим следующуюдиаграмму A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / B g ( r ( a )) (cid:15) (cid:15) (1) A r / / B A r / / f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ B g B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ Из коммутативности диаграммы (1) следует r ( f ( a )( m )) = g ( r ( a ))( r ( m )) Для произвольного m ′ ∈ A однозначно определён a ∈ A такой, что m ′ = f ( a )( m ) . Следовательно, мы построили отображении r , которое удовлетворя-ет равенству (3.2.2). (cid:3) Теорема . Если представление f : A ∗ / / A Ω -алгебры A однотранзитивно и представление g : B ∗ / / B Ω -алгебры B однотранзитивно, то для заданного гомоморфизма Ω -алгебры r : A → B гомоморфизм Ω -алгебры r : A → B такой, что r = ( r , r ) является морфизмом представлений из f в g , опре-делён однозначно с точностью до выбора образа n = r ( m ) ∈ B заданногоэлемента m ∈ A . Доказательство.
Из доказательства теоремы 3.2.10 следует, что выборгомоморфизма r и элементов m ∈ A , n ∈ B однозначно определяет отобра-жение r . (cid:3) Теорема . Если представление f : A ∗ / / A Ω -алгебры A однотранзитивно, то для любого эндоморфизма r ∈ End(Ω ; A ) существует морфизм представления f ( r : A → A , r : A → A ) .3. Теорема о разложении морфизмов расслоений 25 Доказательство.
Рассмотрим следующую диаграмму A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / A f ( r ( a )) (cid:15) (cid:15) (1) A r / / A A r / / f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ A f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ Утверждение теоремы является следствием теоремы 3.2.10. (cid:3)
Теорема . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A , g : B ∗ / / B представление Ω -алгебры B , h : C ∗ / / C представление Ω -алгебры C . Пусть определены морфизмы представлений Ω -алгебры ( p : A → B , p : A → B )( q : B → C , q : B → C ) Тогда определён морфизм представлений Ω -алгебры ( r : A → C , r : A → C ) где r = q ◦ p , r = q ◦ p . Мы будем называть морфизм r = ( r , r ) представлений из f в h произведением морфизмов p = ( p , p ) и q =( q , q ) представлений универсальной алгебры . Доказательство.
Мы можем представить утверждение теоремы, поль-зуясь диаграммой B q / / C B q / / g % - C h . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ B q / / g ( p ( a )) ` ` ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ C h ( r ( a )) > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ A p O O r Q Q f A p O O f ( a ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r K K A p O O r N N Отображение r является гомоморфизмом Ω -алгебры A в Ω -алгебру C . Намнадо показать, что отображение r = ( r , r ) удовлетворяет (3.2.2): r ( f ( a )( m )) = ( q ◦ p )( f ( a )( m ))= q ( g ( p ( a ))( p ( m )))= h (( q ◦ p )( a ))(( q ◦ p )( m )))= h ( r ( a ))( r ( m )) (cid:3) Определение . Пусть на множестве A определена эквивалент-ность S . Преобразование f называется согласованным с эквивалентно-стью S , если из условия m ≡ m (mod S ) следует f ( m ) ≡ f ( m )(mod S ) . (cid:3) Теорема . Пусть на множестве A определена эквивалентность S .Пусть на множестве End(Ω , A ) определена Ω -алгебра. Если любое пре-образование f ∈ End(Ω ; A ) , согласованно с эквивалентностью S , то мыможем определить структуру Ω -алгебры на множестве End(Ω ; A /S ) . Доказательство.
Пусть h = nat S . Если m ≡ m (mod S ) , то h ( m ) = h ( m ) . Поскольку f ∈ End(Ω ; A ) согласованно с эквивалентностью S , то h ( f ( m )) = h ( f ( m )) . Это позволяет определить преобразование F согласноправилу(3.3.1) F ([ m ]) = h ( f ( m )) Пусть ω - n-арная операция Ω -алгебры. Пусть f , ..., f n ∈ End(Ω ; A ) и F ([ m ]) = h ( f ( m )) ... F n ([ m ]) = h ( f n ( m )) Согласно условию теоремы, преобразование f = f ...f n ω ∈ End(Ω ; A ) .3. Теорема о разложении морфизмов расслоений 27 согласованно с эквивалентностью S . Следовательно, из условия m ≡ m (mod S ) и определения 3.3.2 следует(3.3.2) f ( m ) ≡ f ( m )(mod S )( f ...f n ω )( m ) ≡ ( f ...f n ω )( m )(mod S ) Следовательно, мы можем определить операцию ω на множестве End(Ω ; A /S ) по правилу(3.3.3) ( F ...F n ω )([ m ]) = h (( f ...f n ω )( m )) Из определения (3.3.1) и равенства (3.3.2) следует, что мы корректно опреде-лили операцию ω на множестве End(Ω ; A /S ) . (cid:3) Определение . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A , g : B ∗ / / B представление Ω -алгебры B . Пусть ( r : A → B , r : A → B ) морфизм представлений из f в g такой, что r - изоморфизм Ω -алгебры и r - изоморфизм Ω -алгебры. Тогда отображение r = ( r , r ) называется изоморфизмом представлений . (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A , g : B ∗ / / B представление Ω -алгебры B . Пусть ( t : A → B , t : A → B ) морфизм представлений из f в g . Тогда для отображений t , t существуютразложения, которые можно описать диаграммой A /s q / / (5)(4) (6) t A r (cid:15) (cid:15) A /s q / / F & . t A r (cid:15) (cid:15) G - ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ A /s q / / F ( p ( a )) b b ❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊❊ t A r (cid:15) (cid:15) G ( t ( a )) = = ④④④④④④④④④④④④④④④④④ A t / / p O O (1) f B g ) ❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩ ❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩ A t / / p O O (2) f ( a ) | | ①①①①①①①①①①①①①①①①①① B g ( t ( a )) ! ! ❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉❉ A p O O t / / (3) B Ядро гомоморфизма ker t i = t i ◦ t − i является конгруэнцией на Ω i -алгебре A i , i = 1 , . Существует разложение гомоморфизма t i , i = 1 , , (3.3.4) t i = r i ◦ q i ◦ p i Отображения p ( a ) = a ker t p ( a ) = a ker t являются естественными гомоморфизмами. Отображения (3.3.5) q ( p ( a )) = t ( a ) (3.3.6) q ( p ( a )) = t ( a ) являются изоморфизмами. Отображения r : t ( a ) ∈ f ( A ) → t ( a ) ∈ B r : t ( a ) ∈ f ( A ) → t ( a ) ∈ B являются мономорфизмами. F - представление Ω -алгебры A /s в A /s G - представление Ω -алгебры t A в t A Отображение p = ( p , p ) является морфизмом представлений f и F Отображение q = ( q , q ) является изоморфизмом представлений F и G Отображение r = ( r , r ) является морфизмом представлений G и g .3. Теорема о разложении морфизмов расслоений 29 Существует разложение морфизма представлений (3.3.7) ( t , t ) = ( r , r ) ◦ ( q , q ) ◦ ( p , p ) Доказательство.
Утверждения 3.3.5.1, 3.3.5.2, 3.3.5.3, 3.3.5.4, 3.3.5.5 яв-ляются следствием теоремы 2.3.8. Следовательно, диаграммы (1) и (2) комму-тативны.Мы начнём с диаграммы (4) .Пусть m ≡ m (mod ker t ) . Следовательно,(3.3.8) t ( m ) = t ( m ) Если a ≡ a (mod ker t ) , то(3.3.9) t ( a ) = t ( a ) Следовательно, p ( a ) = p ( a ) . Так как отображение ( t , t ) - морфизмпредставлений, то t ( f ( a )( m )) = g ( t ( a ))( t ( m )) (3.3.10) t ( f ( a )( m )) = g ( t ( a ))( t ( m )) (3.3.11)Из (3.3.8), (3.3.9), (3.3.10), (3.3.11) следует(3.3.12) t ( f ( a )( m )) = t ( f ( a )( m )) Из (3.3.12) следует(3.3.13) f ( a )( m ) ≡ f ( a )( m )(mod ker t ) и, следовательно,(3.3.14) p ( f ( a )( m )) = p ( f ( a )( m )) Из (3.3.14) следует, что отображение(3.3.15) F ( p ( a ))( p ( m )) = p ( f ( a )( m )) определено корректно и является преобразованием множества A / ker t .Из равенства (3.3.13) (в случае a = a ) следует, что, для любого a , пре-образование согласованно с эквивалентностью ker t . Из теоремы 3.3.3 следует,что на множестве End(Ω ; A / ker t ) . определена структура Ω -алгебры. Рас-смотрим n -арную операцию ω и n преобразований F ( p ( a i ))( p ( m )) = p ( f ( a i )( m )) i = 1 , ..., n пространства A / ker t . Мы положим ( F ( p ( a )) ...F ( p ( a n )) ω )( p ( m )) = p (( f ( a ) ...f ( a n ) ω )( m )) Следовательно, отображение F является представлением Ω -алгебры A / ker t .Согласно теореме 3.2.5, утверждение 3.3.5.8 является следствием (3.3.15).Рассмотрим диаграмму (5) . Лемма . Отображение q = ( q , q ) является морфизмом представ-лений F и G . Доказательство.
Так как q - биекция, то мы можем отождествить эле-менты множества A / ker t и множества t ( A ) , причём это отождествлениеимеет вид(3.3.16) q ( p ( m )) = t ( m ) Мы можем записать преобразование F ( p ( a )) множества A / ker t в виде(3.3.17) F ( p ( a )) : p ( m ) → F ( p ( a ))( p ( m )) Так как T - биекция, то мы можем определить преобразование(3.3.18) q ( p ( m )) → q ( F ( p ( a ))( p ( m ))) множества RA . Преобразование (3.3.18) зависит от p ( a ) ∈ A / ker t . Таккак q - биекция, то мы можем отождествить элементы множества A / ker t и множества t ( A ) , причём это отождествление имеет вид(3.3.19) q ( p ( a )) = t ( a ) Следовательно, мы определили отображение G : t ( A ) → End(Ω ; t ( A )) согласно равенству(3.3.20) G ( q ( p ( a )))( q ( p ( m ))) = q ( F ( p ( a ))( p ( m ))) Рассмотрим n -арную операцию ω и n преобразований G ( t ( a i ))( t ( m )) = q ( F ( p ( a i ))( p ( m ))) i = 1 , ..., n множества t ( A ) . Мы положим(3.3.21) ( G ( t ( a )) ...G ( t ( a n )) ω )( t ( m )) = q (( F ( p ( a )) ...F ( p ( a n )) ω )( p ( m ))) Согласно (3.3.20) операция ω корректно определена на множестве End(Ω ; t ( A )) .Следовательно, отображение G является представлением Ω -алгебры.Согласно теореме 3.2.5, лемма является следствием (3.3.20). ⊙ Лемма . Отображение ( q − , q − ) является морфизмом представ-лений G и F . Доказательство.
Так как q - биекция, то из равенства (3.3.16) следует(3.3.22) p ( m ) = q − ( t ( m )) Мы можем записать преобразование G ( t ( a )) множества t ( A ) в виде(3.3.23) G ( t ( a )) : t ( m ) → G ( t ( a ))( t ( m )) Так как q - биекция, то мы можем определить преобразование(3.3.24) q − ( t ( m )) → q − ( G ( t ( a ))( t ( m ))) множества A / ker t . Преобразование (3.3.24) зависит от t ( a ) ∈ t ( A ) . Таккак q - биекция, то из равенства (3.3.19) следует(3.3.25) p ( a ) = q − ( t ( a )) Так как по построению диаграмма (5) коммутативна, то преобразование (3.3.24)совпадает с преобразованием (3.3.17). Равенство (3.3.21) можно записать в виде q − (( G ( t ( a )) ...G ( t ( a n )) ω )( t ( m )))=( F ( p ( a )) ...F ( p ( a n )) ω )( p ( m )) (3.3.26) .4. Приведенный морфизм представлений 31 Согласно теореме 3.2.5, лемма является следствием (3.3.20), (3.3.22), (3.3.25). ⊙ Утверждение 3.3.5.9 является следствием определения 3.3.4 и лемм 3.3.6 и3.3.7.Диаграмма (6) является самым простым случаем в нашем доказательстве.Поскольку отображение r является вложением и диаграмма (2) коммутативна,мы можем отождествить n ∈ B и t ( m ) , если n ∈ Im t . Аналогично, мы можемотождествить соответствующие преобразования.(3.3.27) g ′ ( r ( t ( a )))( r ( t ( m ))) = r ( G ( t ( a ))( t ( m )))( g ′ ( t ( a )) ...g ′ ( t ( a n )) ω )( t ( m )) = r (( G ( t ( a ) ...G ( t ( a n )) ω )( t ( m ))) Следовательно, r = ( r , r ) является морфизмом представлений G и g (утвер-ждение 3.3.5.10).Для доказательства утверждения 3.3.5.11 осталось показать, что опреде-лённое в процессе доказательства представление g ′ совпадает с представлением g , а операции над преобразованиями совпадают с соответствующими операци-ями на End(Ω , B ) . g ′ ( r ( t ( a )))( r ( t ( m ))) = r ( G ( t ( a ))( t ( m ))) by (3.3.27) = r ( G ( q ( p ( a )))( q ( p ( m )))) by (3.3.5) , (3.3.6) , = r ◦ q ( F ( p ( a ))( p ( m ))) by (3.3.20) = r ◦ q ◦ p ( f ( a )( m )) by (3.3.15) = t ( f ( a )( m )) by (3.3.4) , i = 2= g ( t ( a ))( t ( m )) by (3.2.2) ( G ( t ( a )) ...G ( t ( a n )) ω )( t ( m )) = q ( F ( p ( a ) ...F ( p ( a n )) ω )( p ( m )))= q ( F ( p ( a ) ...p ( a n ) ω )( p ( m )))= q ( F ( p ( a ...a n ω ))( p ( m )))= q ( p ( f ( a ...a n ω )( m ))) (cid:3) Из теоремы 3.3.5 следует, что мы можем свести задачу изучения морфизмапредставлений Ω -алгебры к случаю, описываемому диаграммой(3.4.1) A p / / A / ker t A p / / ∗ f O O A / ker t ∗ F O O Теорема . Диаграмма (3.4.1) может быть дополнена представле-нием F Ω -алгебры A в Ω -алгебре A / ker t так, что диаграмма (3.4.2) A p / / A / ker t A p / / ∗ f O O ∗ ②②②②②②②②② F < < ②②②②②②②②② A / ker t ∗ F O O коммутативна. При этом множество преобразований представления F имножество преобразований представления F совпадают. Доказательство.
Для доказательства теоремы достаточно положить F ( a ) = F ( p ( a )) Так как отображение p - сюрьекция, то Im F = Im F . Так как p и F - гомо-морфизмы Ω -алгебры, то F - также гомоморфизм Ω -алгебры. (cid:3) Теорема 3.4.1 завершает цикл теорем, посвящённых структуре морфизмапредставлений Ω -алгебры. Из этих теорем следует, что мы можем упроститьзадачу изучения морфизма представлений Ω -алгебры и ограничиться мор-физмом представлений вида (id : A → A , r : A → B ) Определение . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A и g : A ∗ / / B представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Пусть (id : A → A , r : A → B ) морфизм представлений. В этом случае мы можем отождествить мор-физм (id , r ) представлений Ω -алгебры и соответствующий гомоморфизм r Ω -алгебры и будем называть гомоморфизм r приведенным морфизмомпредставлений . Мы будем пользоваться диаграммой (3.4.3) A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / B g ( a ) (cid:15) (cid:15) A r / / B A f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ g ; ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ .4. Приведенный морфизм представлений 33 для представления приведенного морфизма r представлений Ω -алгебры. Издиаграммы следует (3.4.4) r ◦ f ( a ) = g ( a ) ◦ r Мы будем также пользоваться диаграммой A r / / B A ∗ ❇❇❇❇ f ` ` ❇❇❇❇ ∗ ⑤⑤⑤⑤ g > > ⑤⑤⑤⑤ вместо диаграммы (3.4.3) . (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A и g : A ∗ / / B представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Отображение r : A → B является приведенным морфизмом представлений тогда и только тогда, ко-гда (3.4.5) r ( f ( a )( m )) = g ( a )( r ( m )) Доказательство.
Равенство (3.4.5) следует из равенства (3.4.4). (cid:3)
Теорема . Пусть отображение r : A → B является приведенным морфизмом из представления f : A ∗ / / A Ω -алгебры A в представление g : A ∗ / / B Ω -алгебры A . Если представление f эффективно, то отображение r ∗ : End(Ω ; A ) → End(Ω ; B ) определённое равенством (3.4.6) r ∗ ( f ( a )) = g ( a ) является гомоморфизмом Ω -алгебры. Доказательство.
Теорема является следствием теоремы 3.2.9, если мыположим h = id . (cid:3) Теорема . Пусть представления f : A ∗ / / A g : A ∗ / / B Ω -алгебры A однотранзитивны. Существует приведенный морфизм пред-ставлений из f в g r : A → B Доказательство.
Выберем элемент m ∈ A и элемент n ∈ B . Чтобыпостроить отображение r , рассмотрим следующую диаграмму A f ( a ) (cid:15) (cid:15) r / / B g ( a ) (cid:15) (cid:15) (1) A r / / B A f B J ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ ☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞☞ g = ssssssssssssssssssssssss ssssssssssssssssssssssss Из коммутативности диаграммы (1) следует r ( f ( a )( m )) = g ( a )( r ( m )) Для произвольного m ′ ∈ A однозначно определён a ∈ A такой, что m ′ = f ( a )( m ) . Следовательно, мы построили отображении r , которое удовлетворя-ет равенству (3.4.4). (cid:3) Теорема . Пусть представления f : A ∗ / / A g : A ∗ / / B Ω -алгебры A однотранзитивны. Приведенный морфизм представлений из f в g r : A → B определён однозначно с точностью до выбора образа n = r ( m ) ∈ B заданногоэлемента m ∈ A . Доказательство.
Из доказательства теоремы 3.4.5 следует, что выборэлементов m ∈ A , n ∈ B однозначно определяет отображение r . (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / B представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Пусть N - такая конгруэнция на Ω -алгебре B , что любое преобразование h ∈ End(Ω , B ) согласованно сконгруэнцией N . Существует представление f : A ∗ / / B/N
Смотри определение конгруэнции на с. [14]-71. .4. Приведенный морфизм представлений 35 Ω -алгебры A в Ω -алгебре B/N и отображение nat N : B → B/N является приведенным морфизмом представления f в представление f B j / / B/NA ∗ ❃❃❃ f _ _ ❃❃❃❃ ∗ ④④④④ f = = ④④④ j = nat N Доказательство.
Любой элемент множества
B/N мы можем предста-вить в виде j ( a ) , a ∈ B .Согласно теореме [14]-II.3.5, мы можем определить единственную структу-ру Ω -алгебры на множестве B/N . Если ω ∈ Ω ( p ) , то мы определим операцию ω на множестве B/N согласно равенству (3) на странице [14]-73(3.4.7) j ( b ) ...j ( b p ) ω = j ( b ...b p ω ) Также как в доказательстве теоремы 3.3.5, мы можем определить пред-ставление f : A ∗ / / B/N с помощью равенства(3.4.8) f ( a ) ◦ j ( b ) = j ( f ( a ) ◦ b ) Равенство (3.4.8) можно представить с помощью диаграммы(3.4.9) B j / / B/NB f ( a ) O O j / / B/N f ( a ) O O Пусть ω ∈ Ω ( p ) . Так как отображения f ( a ) и j являются гомоморфизмами Ω -алгебры, то(3.4.10) f ( a ) ◦ ( j ( b ) ...j ( b p ) ω ) = f ( a ) ◦ j ( b ...b p ω )= j ( f ( a ) ◦ ( b ...b p ω ))= j (( f ( a ) ◦ b ) ... ( f ( a ) ◦ b p ) ω )= j ( f ( a ) ◦ b ) ...j ( f ( a ) ◦ b p ) ω = ( f ( a ) ◦ j ( b )) ... ( f ( a ) ◦ j ( b p )) ω Из равенства (3.4.10) следует, что отображение f ( a ) является гомоморфизмом Ω -алгебры. Из равенства (3.4.8), согласно определению 3.4.2, следует, чтоотображение j является приведенным морфизмом представления f в представ-ление f . (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / B представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Пусть N - такая конгруэнцияна Ω -алгебре B , что любое преобразование h ∈ End(Ω , B ) согласованно с конгруэнцией N . Рассмотрим категорию A объектами которой являютсяприведенные морфизмы представлений R : B → S ker R ⊇ NR : B → S ker R ⊇ N где S , S - Ω -алгебры и g : A ∗ / / S g : A ∗ / / S представления Ω -алгебры A . Мы определим морфизм R → R как приве-денный морфизм представлений h : S → S , для которого коммутативнадиаграмма S h (cid:15) (cid:15) A ∗ g / / ∗ f / / ∗ g / / B R > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ R ❅❅❅❅❅❅❅❅ S Приведенный морфизм nat N представления f в представление f (теорема3.4.7) является универсально отталкивающим в категории A . Доказательство.
Существование и единственность отображения h , длякоторого коммутативна диаграмма B/N h (cid:15) (cid:15) A ∗ f ∗ f / / ∗ g / / B j = = ③③③③③③③③ R " " ❊❊❊❊❊❊❊❊❊ S j = nat N ker R ⊇ N следует из теоремы 2.1.6. Следовательно, мы можем однозначно определитьотображение h с помощью равенства(3.4.11) h ( j ( b )) = R ( b ) Пусть ω ∈ Ω ( p ) . Так как отображения R и j являются гомоморфизмами Ω -алгебры, то(3.4.12) h ( j ( b ) ...j ( b p ) ω ) = h ( j ( b ...b p ω )) = R ( b ...b p ω ) = R ( b ) ...R ( b p ) ω = h ( j ( b )) ...h ( j ( b p )) ω Из равенства (3.4.12) следует, что отображение h является гомоморфизмом Ω -алгебры. Утверждение леммы аналогично утверждению на странице [2]-94.
Определение универсального объекта смотри в определении на с. [2]-47. .5. Автоморфизм представления универсальной алгебры 37
Так как отображение R является приведенным морфизмом представления f в представление g , то верно равенство(3.4.13) g ( a )( R ( b )) = R ( f ( a )( b )) Из равенства (3.4.11) следует(3.4.14) g ( a )( h ( j ( b ))) = g ( a )( R ( b )) Из равенств (3.4.13), (3.4.14) следует(3.4.15) g ( a )( h ( j ( b ))) = R ( f ( a )( b )) Из равенств (3.4.11), (3.4.15) следует(3.4.16) g ( a )( h ( j ( b ))) = h ( j ( f ( a )( b ))) Из равенств (3.4.8), (3.4.16) следует(3.4.17) g ( a )( h ( j ( b ))) = h ( f ( a )( j ( b ))) Из равенства (3.4.17) следует, что отображение h является приведенным мор-физмом представления f в представление g . (cid:3) Определение . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Приведенный морфизм пред-ставлений Ω -алгебры r : A → A такой, что r - эндоморфизм Ω -алгебры называется эндоморфизмом пред-ставления f . (cid:3) Теорема . Если представление f : A ∗ / / A Ω -алгебры A однотранзитивно, то для любых a , a ∈ A существуетединственный эндоморфизм r : A → A представления f такой, что r ( a ) = a . Доказательство.
Рассмотрим следующую диаграмму A r / / A A ∗ ❇❇❇❇ f ` ` ❇❇❇❇ ∗ ⑤⑤⑤⑤ f > > ⑤⑤⑤⑤ Существование эндоморфизма является следствием теоремы 3.2.10. Единствен-ность эндоморфизма для заданных p , q ∈ A является следствием теоремы3.2.11, когда r = id . (cid:3) Теорема . Эндоморфизмы представления f порождают полугруппу. Доказательство.
Из теоремы 3.3.1 следует, что произведение эндомор-физмов ( id, p ) , ( id, r ) представления f является эндоморфизмом ( id, p ◦ r ) представления f . (cid:3) Определение . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Морфизм представлений Ω -алгебры r : A → A такой, что r - автоморфизм Ω -алгебры называется автоморфизмом пред-ставления f . (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Множество автоморфизмовпредставления f порождает группу GA ( f ) . Доказательство.
Пусть r , p - автоморфизмы представления f . Со-гласно определению 3.5.4, отображения r , p являются автоморфизмами Ω -алгебры A . Согласно теореме II.3.2, ([14], c. 60), отображение r ◦ p являетсяавтоморфизмом Ω -алгебры A . Из теоремы 3.3.1 и определения 3.5.4 следует,что произведение автоморфизмов r ◦ p представления f является автомор-физмом представления f .Пусть r , p , q - автоморфизмы представления f . Из цепочки равенств (( r ◦ p ) ◦ q )( a ) = ( r ◦ p )( q ( a )) = r ( p ( q ( a )))= r (( p ◦ q )( a )) = ( r ◦ ( p ◦ q ))( a ) следует ассоциативность произведения для отображений r , p , q .Пусть r - автоморфизм представления f . Согласно определению 3.5.4 отоб-ражение r является автоморфизмом Ω -алгебры A . Следовательно, отобра-жение r − является автоморфизмом Ω -алгебры A . Для автоморфизма r представления справедливо равенство (3.2.3). Положим m ′ = r ( m ) . Так как r - автоморфизм Ω -алгебры, то m = r − ( m ′ ) и равенство (3.2.3) можнозаписать в виде(3.5.1) r ( f ( a ′ )( r − ( m ′ ))) = f ( a ′ )( m ′ ) Так как отображение r является автоморфизмом Ω -алгебры A , то из равен-ства (3.5.1) следует(3.5.2) f ( a ′ )( r − ( m ′ )) = r − ( f ( a ′ )( m ′ )) Равенство (3.5.2) соответствует равенству (3.2.3) для отображения r − . Следо-вательно, отображение r − является автоморфизмом представления f . (cid:3) При доказательстве ассоциативности произведения я следую примеру полугруппы из[5], с. 20, 21. лава 4 Ω -группа Ω -алгебры Теорема . Пусть множества A , B являются Ω -алгебрами. Мно-жество Hom(Ω; A → B ) является Ω -алгеброй, если для любых операций ω ∈ Ω( m ) , ω ∈ Ω( n ) , верно следующее равенство (4.1.1) ( a ...a n ω ) ... ( a m ...a mn ω ) ω = ( a ...a m ω ) ... ( a n ...a mn ω ) ω Доказательство.
Согласно теореме 2.2.6, множество B A является Ω -ал-геброй. Пусть ω ∈ Ω( n ) . Для отображений f , ..., f n ∈ B A , мы определимоперацию ω равенством(4.1.2) ( f ...f n ω )( x ) = f ( x ) ...f n ( x ) ω Пусть ω ∈ Ω( m ) , ω ∈ Ω( n ) . Пусть отображения f , ..., f m ∈ Hom(Ω; A → B ) являются гомоморфизмами Ω -алгебры A в Ω -алгебру B . В частности, длялюбых a , ..., a n ∈ A f ( a ...a n ω ) = f ( a ) ...f ( a n ) ω ... = ...f m ( a ...a n ω ) = f m ( a ) ...f m ( a n ) ω (4.1.3)Если мы требуем, что отображение f ...f m ω является гомоморфизмом Ω -алгебры A в Ω -алгебру B , то(4.1.4) ( f ...f m ω )( a ...a n ω ) = (( f ...f m ω )( a )) ... (( f ...f m ω )( a n )) ω Согласно определению (4.1.2), равенство f ( a ...a n ω ) ...f m ( a ...a n ω ) ω = ( f ( a ) ...f m ( a ) ω ) ... ( f ( a n ) ...f m ( a n ) ω ) ω (4.1.5)является следствием равенства (4.1.4). Равенство ( f ( a ) ...f ( a n ) ω ) ... ( f m ( a ) ...f m ( a n ) ω ) ω = ( f ( a ) ...f m ( a ) ω ) ... ( f ( a n ) ...f m ( a n ) ω ) ω (4.1.6)является следствием равенств (4.1.3), (4.1.5). Положим(4.1.7) a ij = f i ( a j ) Равенство (4.1.1) является следствием равенств (4.1.6), (4.1.7). (cid:3)
Не всякая Ω -алгебра удовлетворяет условиям теоремы 4.1.1. Теорема . Если G , G - абелевые полугруппы, то множество Hom( { + } ; G → G ) также является абелевой полугруппой.
390 4. Ω -группа Доказательство.
Поскольку операция сложения в абелевой полугруппекоммутативна и ассоциативна, то теорема является следствием теоремы 4.1.1. (cid:3)
Теорема . Множество
End( { + } ; A ) эндоморфизмов абелевой груп-пы A является абелевой группой. Доказательство.
Теорема является следствием теорем 2.2.13, 4.1.2 и утвер-ждения, что уравнение x + a = 0 в абелевой группе имеет решение. (cid:3) Теорема . Если D , D - кольца, то множество Hom( { + , ∗} ; D → D ) , вообще говоря, кольцом не является. Доказательство.
В кольце определены две операции: сложение, котороекоммутативно и ассоциативно, и произведение, которое дистрибутивно отно-сительно сложения. Согласно теореме 4.1.1, сложение и произведение должныудовлетворять равенству(4.1.8) a a + a a = ( a + a )( a + a ) Однако правая часть равенства (4.1.8) имеет вид ( a + a )( a + a ) = ( a + a ) a + ( a + a ) a = a a + a a + a a + a a Следовательно, равенство (4.1.8) не верно. (cid:3)
Анализ теорем 4.1.2, 4.1.4 говорит о том, что множество Ω -алгебр, удовле-творяеющих условиям теоремы 4.1.1, невелико. Вопрос . Существует ли универсальная алгебра, отличная от абе-левой полугруппы и удовлетворяеющая условиям теоремы 4.1.1? (cid:3)
Из нашего опыта следует, что многие Ω -алгебры содержат операцию, ко-торая соло порождала бы полугруппу. Поэтому мы изменим формулировкутеоремы 4.1.1. Теорема . Пусть множества A , B являются Ω -алгебрами. Пусть ω ∈ Ω( n ) . Множество Hom(Ω; A → B ) замкнуто относительно операции ω , если верно следующее равенство ( a ...a n ω ) ... ( a n ...a nn ω ) ω = ( a ...a n ω ) ... ( a n ...a nn ω ) ω (4.1.9) Доказательство.
Вообще говоря, мы рассматриваем множество
Hom( { ω } ; A → B ) . Теорема является следствием теоремы 4.1.1. (cid:3) Теорема . Пусть операция ω ∈ Ω(2) коммутативна и ассоциатив-на. Множество
Hom(Ω; A → B ) замкнуто относительно операции ω . .2. Ω -группа 41 Доказательство.
Так как операция ω ∈ Ω(2) коммутативна и ассоциа-тивна, то ( a a ω )( a a ω ) ω = a ( a ( a a ω ) ω ) ω = a (( a a ω ) a ω ) ω = a (( a a ω ) a ω ) ω = a ( a ( a a ω ) ω ) ω = ( a a ω )( a ...a ω ) ω (4.1.10)Теорема является следствием равенства (4.1.10) и теоремы 4.1.6. (cid:3) Теорема . Пусть операция ω ∈ Ω(2) имеет нейтральный элементи множество
Hom(Ω; A → B ) замкнуто относительно операции ω . Тогдаоперация ω коммутативна и ассоциативна. Доказательство.
Равенства(4.1.11) abω = ( eaω )( beω ) ω = ( ebω )( aeω ) ω = baω (4.1.12) a ( bcω ) = ( aeω )( bcω ) ω = ( abω )( ecω ) ω = ( abω ) cω являются следствием равенств (2.4.1), (2.4.2), (4.1.9). Ассоциативность опера-ции ω является следствием равенства (4.1.11). Коммутативность операции ω является следствием равенства (4.1.12). (cid:3) Вопрос . Существует ли область операторов Ω , для которой верныследующие утверждения? • Множество
Hom(Ω; A → B ) замкнуто относительно операции ω ∈ Ω(2) . • Операция ω не является коммутативной или ассоциативной. (cid:3) Ω -группа Пусть в Ω -алгебре A определена операция ω ∈ Ω (2) , которая комму-тативна и ассоциативна. Мы будем отождествлять операцию ω с суммой. Мыпользуемся символом + для обозначения операции суммы. Положим Ω = Ω \ { + } Определение . Отображение f : A → B Ω -алгебры A в Ω -алгебру B называется аддитивным отображением ,если f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) Обозначим A ( A → B ) множество аддитивных отображений Ω -алгебры A в Ω -алгебру B . (cid:3) Теорема . A ( A → B ) = Hom( { + } ; A → B ) . Доказательство.
Теорема является следствием определений 2.2.9, 4.2.1. (cid:3) Ω -группа Определение . Отображение g : A n → A называется полиаддитивным отображением , если для любого i , i = 1 , ..., n , f ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ( a , ..., b i , ..., a n ) (cid:3) Теорема . Пусть отображение f : A ∗ / / A является эффективным представлением Ω -алгебры A в абелевой полугруппе A . На множестве A можно определить структуру абелевой полугруп-пы (4.2.1) f ( a + b )( a ) = f ( a )( a ) + f ( b )( a ) Отображение f является аддитивным отображением. Отображение f является представлением Ω -алгебры A , где Ω =Ω ∪ { + } . Доказательство.
Согласно теоремам 2.2.13, 4.1.7, множество
End( { + } , A ) является абелевой полугруппой. Поскольку представление f эффективно, то,согласно теоремам 3.1.3, 4.1.1, для любых A -чисел a , b существует единствен-ное A -число c такое, что(4.2.2) f ( c )( m ) = f ( a )( m ) + f ( b )( m ) Опираясь на равенство (4.2.2), мы определяем сумму A -чисел(4.2.3) c = a + b Равенство (4.2.1) является следствием равенств (4.2.2), (4.2.3).
Лемма . Сумма A -чисел коммутативна. Доказательство.
Поскольку сумма A -чисел коммутативна, то равен-ство f ( a + b )( a ) = f ( a )( a ) + f ( b )( a ) = f ( b )( a ) + f ( a )( a )= f ( b + a )( a ) (4.2.4)является следствием равенства (4.2.1). Лемма является следствием равенства(4.2.4). ⊙ Лемма . Сумма A -чисел ассоциативна. Доказательство.
Поскольку сумма A -чисел ассоциативна, то равенство f (( a + b ) + c )( a ) = f ( a + b )( a ) + f ( c )( a )= ( f ( a )( a ) + f ( b )( a )) + f ( c )( a )= f ( a )( a ) + ( f ( b )( a ) + f ( c )( a ))= f ( a )( a ) + f ( b + c )( a )= f ( a + ( b + c ))( a ) (4.2.5) .2. Ω -группа 43 является следствием равенства (4.2.1). Лемма является следствием равенства(4.2.5). ⊙ Утверждение 4.2.4.1 является следствием равенства (4.2.3), лемм 4.2.5, 4.2.6и определения 2.4.4.Утверждение 4.2.4.2 является следствием равенства (4.2.3). Утверждение4.2.4.3 является следствием утверждения 4.2.4.2, так как отображение f явля-ется гомоморфизмом Ω -алгебры. (cid:3) Теорема . Пусть ω ∈ Ω( n ) , ω ∈ Ω( m ) . Отображение (4.2.6) g : a i → a ...a n ω согласовано с операцией ω , если верно следующее равенство (4.2.7) a ... ( a i ...a im ω ) ...a n ω = ( a ...a i ...a n ω ) ... ( a ...a im ...a n ω ) ω Доказательство.
Равенство g ( a i ...a im ω ) = a ... ( a i ...a im ω ) ...a n ω = ( a ...a i ...a n ω ) ... ( a ...a im ...a n ω ) ω = g ( a i ) ...g ( a im ) ω (4.2.8)является следствием равенств (4.2.7), (4.2.6). Теорема является следствиемопределения 2.2.9 и равенства (4.2.8). (cid:3) Равенство (4.2.7) является менее жёстким, чем равенство (4.1.1). Тем не ме-нее, также как и в случае теоремы 4.1.1, большинство операций универсальнойалгебры не удовлетворяет условиям теоремы 4.2.7. Поскольку операция сло-жения удовлетворяет условиям теоремы 4.1.1, мы ожидаем, что существуютусловия, когда операция сложения удовлетворяет условиям теоремы 4.2.7.
Теорема . Пусть ω ∈ Ω( n ) . Если отображение (4.2.9) g : a i → a ...a n ω согласовано со сложением для любого i , то операция ω является полиадди-тивным отображением. Доказательство.
Согласно теореме 4.2.7, если отображение (4.2.9) согла-совано со сложением, то верно следующее равенство(4.2.10) a ... ( a i + a i ) ...a n ω = ( a ...a i ...a n ω ) + ( a ...a i ...a n ω ) Теорема является следствием равенства (4.2.10) и определения 4.2.3. (cid:3)
Теорема . Пусть ω ∈ Ω( n ) - полиаддитивное отображение. Опе-рация ω дистрибутивна относительно сложения a ... ( a i + b i ) ...a n ω = a ...a i ...a n ω + a ...b i ...a n ω i = 1 , ..., n Доказательство.
Теорема является следствием теоремы 4.2.8. (cid:3)
Определение . Пусть в Ω -алгебре A определена операция сложе-ния, которая не обязательно коммутативна. Мы пользуемся символом + дляобозначения операции суммы. Положим Ω = Ω \ { + } Если Ω -алгебра A является группой относительно операции сложения и лю-бая операция ω ∈ Ω является полиаддитивным отображением, то Ω -алгебра Ω -группа A называется Ω -группой . Если Ω -группа A является ассоциативной группойотносительно операции сложения, то Ω -алгебра A называется ассоциатив-ной Ω -группой . Если Ω -группа A является абелевой группой относительнооперации сложения, то Ω -алгебра A называется абелевой Ω -группой . (cid:3) Пример . Группа является наиболее очевидным примером Ω -груп-пы. Кольцо является Ω -группой.Бикольцо матриц над телом ([8]) является Ω -группой. (cid:3) Замечание . Бурбаки рассматривают похожее определение, а имен-но группы с операторами (смотри определение 10 в [16] на странице 100). (cid:3)
Теорема . Пусть A - Ω -группа. Пусть ω ∈ Ω( n ) . Отображение g : a i → a ...a n ω является эндоморфизмом аддитивной группы A . Доказательство.
Теорема является следствием теоремы 4.2.9 и опреде-ления 4.2.10. (cid:3)
Теорема . Пусть отображение g : A ∗ / / A является представлением Ω -группы A . Тогда отображение (cid:16) a i → a ...a n ω f ( a i ) → f ( a ) ...f ( a n ) ω (cid:17) является морфизмом представления f аддитивной группы A . Доказательство.
Теорема является следствием теоремы 4.2.13 и опреде-лений 3.1.1, 3.2.2. (cid:3)
Лемма . Пусть A = Y i ∈ I A i декартово произведение семейства Ω -алгебр ( A i , i ∈ I ) . Для каждого i ∈ I ,пусть множество End(Ω , A i ) является Ω -алгеброй. Тогда множество (4.3.1) ◦ A = { f ∈ End(Ω ; A ) : f ( a i , i ∈ I ) = ( f i ( a i ) , i ∈ I ) } является декартовым произведением Ω -алгебр End(Ω , A i ) . Доказательство.
Согласно определению (4.3.1), мы можем представитьотображение f ∈ ◦ A в виде кортежа f = ( f i , i ∈ I ) отображений f i ∈ End(Ω ; A i ) . Согласно определению (4.3.1), ( f i , i ∈ I )( a i , i ∈ I ) = ( f i ( a i ) , i ∈ I ) Пусть ω ∈ Ω - n-арная операция. Мы определим операцию ω на множестве ◦ A равенством (( f i , i ∈ I ) ... ( f ni , i ∈ I ) ω )( a i , i ∈ I ) = (( f i ( a i )) ... ( f ni ( a i )) ω, i ∈ I ) (cid:3) .3. Декартово произведение представлений 45 Определение . Пусть A - категория Ω -алгебр. Пусть A - кате-гория Ω -алгебр. Мы определим категорию A ( A ) представлений . Объ-ектами этой категории являются представления Ω -алгебры в Ω -алгебре.Морфизмами этой категории являются морфизмы соответствующих пред-ставлений. (cid:3) Теорема . В категории A ( A ) существует произведение одно-транзитивных представлений Ω -алгебры в Ω -алгебре. Доказательство.
Для j = 1 , , пусть P j = Y i ∈ I B ji произведение семейства Ω j -алгебр { B ji , i ∈ I } и для любого i ∈ I отображе-ние t ji : P j / / B ji является проекцией на множитель i . Для каждого i ∈ I , пусть h i : B i ∗ / / B i однотранзитивное B i -представление в Ω -алгебре B i .Пусть b ∈ P . Согласно утверждению 2.3.3.3, P -число b может бытьпредставлено в виде кортежа B i -чисел(4.3.2) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ B i Пусть b ∈ P . Согласно утверждению 2.3.3.3, P -число b может быть пред-ставлено в виде кортежа B i -чисел(4.3.3) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ B i Лемма . Для каждого i ∈ I , рассмотрим диаграмму отображений (4.3.4) P t i / / (1) B i P t i / / g % - B i h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ P t i / / g ( b ) ` ` ❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅ B i h i ( b i ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ Пусть отображение g : P → End(Ω ; P ) определено равенством (4.3.5) g ( b )( b ) = ( h i ( b i )( b i ) , i ∈ I ) Тогда отображение g является однотранзитивным P -представлением в Ω -алгебре P g : P ∗ / / P Отображение ( t i , t i ) является морфизмом представления g в представле-ние h i . Доказательство. Ω -группа h i ( b i ) является гомомор-физмом Ω -алгебры B i . Согласно теореме 2.3.6, из коммутативностидиаграммы (1) для каждого i ∈ I , следует, что отображение g ( b ) : P → P определённое равенством (4.3.5) является гомоморфизмом Ω -алгеб-ры P .4.3.4.2: Согласно определению 3.1.1, множество End(Ω ; B i ) является Ω -алгеброй. Согласно лемме 4.3.1, множество ◦ P ⊆ End(Ω ; P ) является Ω -алгеброй.4.3.4.3: Согласно определению 3.1.1, отображение h i : B i → End(Ω ; B i ) является гомоморфизмом Ω -алгебры. Согласно теореме 2.3.6, отоб-ражение g : P → End(Ω ; P ) определённое равенством g ( b ) = ( h i ( b i ) , i ∈ I ) является гомоморфизмом Ω -алгебры.Согласно утверждениям 4.3.4.1, 4.3.4.3 и определению 3.1.1, отображение g является P -представлением в Ω -алгебре P .Пусть b , b ∈ P . Согласно утверждению 2.3.3.3, P -числа b , b могут быть представлены в виде кортежей B i -чисел(4.3.6) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ B i b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ B i Согласно теореме 3.1.9, поскольку представление h i однотранзитивно, то су-ществует единственное B i -число b i такое, что b i = h i ( b i )( b i ) Согласно определениям (4.3.2), (4.3.5), (4.3.6), существует единственное P -чис-ло b такое, что b = g ( b )( b ) Согласно теореме 3.1.9, представление g однотранзитивно.Из коммутативности диаграммы (1) и определения 3.2.2, следует, чтоотображение ( t i , t i ) является морфизмом представления g в представление h i . ⊙ Пусть(4.3.7) d = g ( b )( b ) d = ( d i , i ∈ I ) Из равенств (4.3.5), (4.3.7) следует, что(4.3.8) d i = h i ( b i )( b i ) Для j = 1 , , пусть R j - другой объект категории A j . Для любого i ∈ I ,пусть отображение r i : R / / B i .3. Декартово произведение представлений 47 является морфизмом из Ω -алгебра R в Ω -алгебру B i . Согласно определению2.3.1, существует единственный морфизм Ω -алгебры s : R / / P такой, что коммутативна диаграмма(4.3.9) P t i / / B i t i ( s ) = r i R s O O r i K K Пусть a ∈ R . Пусть(4.3.10) b = s ( a ) ∈ P Из коммутативности диаграммы (4.3.9) и утверждений (4.3.10), (4.3.2) следует,что(4.3.11) b i = r i ( a ) Пусть f : R ∗ / / R однотранзитивное R -представление в Ω -алгебре R . Согласно теореме 3.2.11,морфизм Ω -алгебры r i : R / / B i такой, что отображение ( r i , r i ) является морфизмом представлений из f в h i , определён однозначно с точностью до выбора образа R -числа a . Согласнозамечанию 3.2.7, в диаграмме отображений(4.3.12) B i B i h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ B i h i ( b i ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ R r i Q Q f R f ( a ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r i K K (2) R r i M M диаграмма (2) коммутативна. Согласно определению 2.3.1, существует един-ственный морфизм Ω -алгебры s : R / / P Ω -группа такой, что коммутативна диаграмма(4.3.13) P t i / / B i t i ( s ) = r i R s O O r i K K Пусть a ∈ R . Пусть(4.3.14) b = s ( a ) ∈ P Из коммутативности диаграммы (4.3.13) и утверждений (4.3.14), (4.3.3) следу-ет, что(4.3.15) b i = r i ( a ) Пусть(4.3.16) c = f ( a )( a ) Из коммутативности диаграммы (2) и равенств (4.3.8), (4.3.15), (4.3.16) следует,что(4.3.17) d i = r i ( c ) Из равенств (4.3.8), (4.3.17) следует, что(4.3.18) d = s ( c ) что согласуется с коммутативносью диаграммы (4.3.13).Для каждого i ∈ I , мы объединим диаграммы отображений (4.3.4), (4.3.9),(4.3.13), (4.3.12) P t i / / (1)(3) B i P t i / / g % - B i h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ P t i / / g ( b ) ` ` ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ B i h i ( b i ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ R s O O r i Q Q f R s O O f ( a ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r i K K (2) R s O O r i M M Из равенств (4.3.7) (4.3.14) и из равенств (4.3.16), (4.3.18), следует коммута-тивность диаграммы (3) . Следовательно, отображение ( s , s ) является мор-физмом представлений из f в g ., Согласно теореме 3.2.11, морфизм ( s , s ) определён однозначно, так как мы требуем (4.3.18).Согласно определению 2.3.1, представление g и семейство морфизмов пред-ставления (( t i , t i ) , i ∈ I ) является произведением в категории A ( A ) . (cid:3) .3. Декартово произведение представлений 49 Определение . Пусть A , ..., A n , A - Ω -алгебры. Пусть B , ..., B n , B - Ω -алгебры. Пусть, для любого k , k = 1 , ..., n , f k : A k ∗ / / B k представление Ω -алгебры A k в Ω -алгебре B k . Пусть f : A ∗ / / B представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Отображение (cid:16) r k : A k → A k = 1 , ..., n r : B × ... × B n → B (cid:17) называется полиморфизмом представлений f , ..., f n в представление f ,если, для любого k , k = 1 , ..., n , при условии, что все переменные кроме пе-ременных a k ∈ A k , b k ∈ B k имеют заданное значение, отображение ( r k , r ) является морфизмом представления f k в представление f .Если f = ... = f n , то мы будем говорить, что отображение (( r ,k , k =1 , ..., n ) r ) является полиморфизмом представления f в представление f .Если f = ... = f n = f , то мы будем говорить, что отображение (( r ,k , k =1 , ..., n ) r ) является полиморфизмом представления f . (cid:3) Мы также будем говорить, что отображение r = ( r , r ) является по-лиморфизмом представлений в Ω -алгебрах B , ..., B n в представление в Ω -алгебре B . Теорема . Пусть отображение (( r ,k , k = 1 , ..., n ) r ) являетсяполиморфизмом представлений f , ..., f n в представление f . Для любого k , k = 1 , ..., n , отображение ( r k , r ) удовлетворяет равенству (4.3.19) r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., m n ) = f ( r k ( a k ))( r ( m , ..., m n )) Пусть ω ∈ Ω ( p ) . Для любого k , k = 1 , ..., n , отображение r k удовлетво-ряет равенству (4.3.20) r k ( a k · ...a k · p ω ) = r k ( a k · ) ...r k ( a k · p ) ω Пусть ω ∈ Ω ( p ) . Для любого k , k = 1 , ..., n , отображение r удовлетворяетравенству (4.3.21) r ( m , ..., m k · ...m k · p ω , ..., m n )= r ( m , ..., m k · , ..., m n ) ...r ( m , ..., m k · p , ..., m n ) ω Доказательство.
Равенство (4.3.19) следует из определения 4.3.5 и ра-венства (3.2.3). Равенство (4.3.20) следует из утверждения, что, для любого k , k = 1 , ..., n , при условии, что все переменные кроме переменной x k ∈ A k имеют заданное значение, отображение r является гомоморфизмом Ω -алгеб-ры A k в Ω -алгебру A . Равенство (4.3.21) следует из утверждения, что, длялюбого k , k = 1 , ..., n , при условии, что все переменные кроме переменной m k ∈ B k имеют заданное значение, отображение r является гомоморфизмом Ω -алгебры B k в Ω -алгебру B . (cid:3) Ω -группа Определение . Пусть A - Ω -алгебра. Пусть A - категория Ω -ал-гебр. Мы определим категорию A ( A ) представлений Ω -алгебры A в Ω -алгебре. Объектами этой категории являются представления Ω -алгебры A в Ω -алгебре. Морфизмами этой категории являются приведенные морфизмысоответствующих представлений. (cid:3) Теорема . В категории A ( A ) существует произведение эффек-тивных представлений Ω -алгебры A в Ω -алгебре и это произведение явля-ется эффективным представлением Ω -алгебры A . Доказательство.
Пусть A = Y i ∈ I A i произведение семейства Ω -алгебр { A i , i ∈ I } и для любого i ∈ I отображе-ние t i : A / / A i является проекцией на множитель i . Для каждого i ∈ I , пусть h i : A ∗ / / A i эффективное A -представление в Ω -алгебре A i .Пусть b ∈ A . Пусть b ∈ A . Согласно утверждению 2.3.3.3, A -число b может быть представлено в виде кортежа A i -чисел(4.4.1) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ A i Лемма . Для каждого i ∈ I , рассмотрим диаграмму отображений (4.4.2) A t i / / (1) A i A g % - h i - ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ A t i / / g ( b ) ` ` ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ A i h i ( b ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ Пусть отображение g : A → End(Ω ; A ) определено равенством (4.4.3) g ( b )( b ) = ( h i ( b )( b i ) , i ∈ I ) Тогда отображение g является эффективным A -представлением в Ω -алгеб-ре A g : A ∗ / / A Отображение t i является приведенным морфизмом представления g в пред-ставление h i . Доказательство. .4. Приведенное декартово произведение представлений 51 h i ( b ) является гомомор-физмом Ω -алгебры A i . Согласно теореме 2.3.6, из коммутативностидиаграммы (1) для каждого i ∈ I , следует, что отображение g ( b ) : A → A определённое равенством (4.4.3) является гомоморфизмом Ω -алгеб-ры A .4.4.3.2: Согласно определению 3.1.1, множество End(Ω ; A i ) является Ω -алгеброй. Согласно лемме 4.3.1, множество ◦ A ⊆ End(Ω ; A ) является Ω -алгеброй.4.4.3.3: Согласно определению 3.1.1, отображение h i : A → End(Ω , A i ) является гомоморфизмом Ω -алгебры. Согласно теореме 2.3.6, отоб-ражение g : A → End(Ω ; A ) определённое равенством g ( b ) = ( h i ( b ) , i ∈ I ) является гомоморфизмом Ω -алгебры.Согласно утверждениям 4.4.3.1, 4.4.3.3 и определению 3.1.1, отображение g является A -представлением в Ω -алгебре A .Для любого i ∈ I , согласно определению 3.1.2, A -число a порождаетединственное преобразование(4.4.4) b i = h i ( b )( b i ) Пусть b , b ∈ A . Согласно утверждению 2.3.3.3, A -числа b , b могутбыть представлены в виде кортежей A i -чисел(4.4.5) b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ A i b = ( b i , i ∈ I ) b i = t i ( b ) ∈ A i Согласно определению (4.4.3) представления g , из равенств (4.4.4), (4.4.5) сле-дует, что A -число a порождает единственное преобразование(4.4.6) b = ( h i ( b )( b i ) , i ∈ I ) = g ( b )( b ) Согласно определению 3.1.2, представление g эффективно.Из коммутативности диаграммы (1) и определения 3.2.2, следует, чтоотображение t i является приведенным морфизмом представления g в пред-ставление h i . ⊙ Пусть(4.4.7) d = g ( b )( b ) d = ( d i , i ∈ I ) Из равенств (4.4.3), (4.4.7) следует, что(4.4.8) d i = h i ( b )( b i ) Пусть R - другой объект категории A . Пусть f : A ∗ / / R Ω -группа эффективное A -представление в Ω -алгебре R . Для любого i ∈ I , пусть су-ществует морфизм r i : R / / A i представлений из f в h i . Согласно замечанию 3.2.7, в диаграмме отображений(4.4.9) A i A h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ f (cid:28) $ ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ A i h i ( b ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ R f ( b ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r i K K (2) R r i M M диаграмма (2) коммутативна. Согласно определению 2.3.1, существует един-ственный морфизм Ω -алгебры s : R / / A такой, что коммутативна диаграмма(4.4.10) A t i / / A i t i ( s ) = r i R s O O r i K K Пусть a ∈ R . Пусть(4.4.11) b = s ( a ) ∈ A Из коммутативности диаграммы (4.4.10) и утверждений (4.4.11), (4.4.1) следу-ет, что(4.4.12) b i = r i ( a ) Пусть(4.4.13) c = f ( a )( a ) Из коммутативности диаграммы (2) и равенств (4.4.8), (4.4.12), (4.4.13) следует,что(4.4.14) d i = r i ( c ) Из равенств (4.4.8), (4.4.14) следует, что(4.4.15) d = s ( c ) что согласуется с коммутативносью диаграммы (4.4.10). .4. Приведенное декартово произведение представлений 53 Для каждого i ∈ I , мы объединим диаграммы отображений (4.4.2), (4.4.10),(4.4.9) A t i / / (1)(3) A i A h i . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ g $ , f * A t i / / g ( b ) ` ` ❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ A i h i ( b ) > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ R s O O f ( b ) ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ r i K K (2) R s O O r i M M Из равенств (4.4.7), (4.4.11) и из равенств (4.4.13), (4.4.15), следует коммута-тивность диаграммы (3) . Следовательно, отображение s является приведеннымморфизмом представлений из f в g . Согласно определению 3.4.2, отображение s является гомоморфизмом Ω алгебры. Согласно теореме 2.3.3 и определению2.3.1, приведенный морфизм s определён однозначно.Согласно определению 2.3.1, представление g и семейство морфизмов пред-ставления ( t i , i ∈ I ) является произведением в категории A ( A ) . (cid:3) Определение . Пусть A , B , ..., B n , B - универсальные алгебры.Пусть, для любого k , k = 1 , ..., n , f k : A ∗ / / B k эффективное представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B k . Пусть f : A ∗ / / B эффективное представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Отображение r : B × ... × B n → B называется приведенным полиморфизмом представлений f , ..., f n впредставление f , если для любого k , k = 1 , ..., n , при условии, что все пе-ременные кроме переменной x k ∈ B k имеют заданное значение, отображение r является приведенным морфизмом представления f k в представление f .Если f = ... = f n , то мы будем говорить, что отображение r являетсяприведенным полиморфизмом представления f в представление f .Если f = ... = f n = f , то мы будем говорить, что отображение r является приведенным полиморфизмом представления f . (cid:3) Теорема . Пусть отображение r - приведенный полиморфизм эф-фективных представлений f , ..., f n в эффективное представление f . • Для любого k , k = 1 , ..., n , отображение r удовлетворяет равен-ству (4.4.16) r ( m , ..., f k ( a )( m k ) , ..., m n ) = f ( a )( r ( m , ..., m n )) Ω -группа • Для любого k , l , k = 1 , ..., n , l = 1 , ..., n , отображение r удовле-творяет равенству (4.4.17) r ( m , ..., f k ( a )( m k ) , ..., m l , ..., m n )= r ( m , ..., m k , ..., f l ( a )( m l ) , ..., m n ) • Пусть ω ∈ Ω ( p ) . Для любого k , k = 1 , ..., n , отображение r удовлетворяет равенству (4.4.18) r ( m , ..., m k · ...m k · p ω , ..., m n )= r ( m , ..., m k · , ..., m n ) ...r ( m , ..., m k · p , ..., m n ) ω Доказательство.
Равенство (4.4.16) следует из определения 4.4.4 и ра-венства (3.4.4). Равенство (4.4.17) следует из равенства (4.4.16). Равенство(4.4.18) следует из утверждения, что, для любого k , k = 1 , ..., n , при усло-вии, что все переменные кроме переменной m k ∈ B k имеют заданное значение,отображение r является гомоморфизмом Ω -алгебры B k в Ω -алгебру B . (cid:3) Мы также будем говорить, что отображение r является приведенным по-лиморфизмом представлений в Ω -алгебрах B , ..., B n в представление в Ω -алгебре B . Ω -группа Пусть отображение f : A ∗ / / B является представлением Ω -алгебры A в Ω алгебре B . Согласно теореме 3.5.3,множество End( A (Ω ); B ) является полугруппой. В тоже время (4.5.1) End( A (Ω ); B ) ⊆ End(Ω ; B ) Согласно определению 3.1.1, множество
End(Ω , B ) является Ω -алгеброй.Однако из утверждения (4.5.1) не следует, что множество End( A (Ω ); B ) яв-ляется Ω -алгеброй.Чтобы понять, при каких условиях множество End( A (Ω ); B ) является Ω -алгеброй, мы рассмотрим связь между множеством представлений Ω -алгебры A в Ω -алгебре B и множеством приведенных морфизмов этих представлений. Теорема . Пусть отображение r : B → B является приведенным эндоморфизмом представления f : A ∗ / / B Ω -алгебры A в Ω алгебре B . Отображение (4.5.2) rf : a ∈ A → r ◦ f ( a ) ∈ End(Ω ; B ) является представлением Ω -алгебры A в Ω алгебре B тогда и только то-гда, когда на множестве f ( A ) ⊆ End(Ω , B ) произведение ◦ отображенийдистрибутивно слева относительно произвольной операции ω ∈ Ω (4.5.3) r ◦ ( f ( a ) ...f ( a p ) ω ) = ( r ◦ f ( a )) ... ( r ◦ f ( a p )) ω В утверждении (4.5.1), я обозначил Ω категорию Ω -алгебр и A (Ω ) категорию пред-ставлений Ω -алгебры A в Ω -алгебре. .5. Мультипликативная Ω -группа 55 Доказательство.
Согласно определению 3.1.1, отображение f ( a ) являет-ся эндоморфизмом Ω -алгебры B . Согласно определениям 3.2.2, 3.4.2, отобра-жение r является эндоморфизмом Ω -алгебры B . Следовательно, отображение r ◦ f ( a ) является эндоморфизмом Ω -алгебры B .4.5.1.1: Согласно определению 3.1.1, отображение rf является представлени-ем Ω -алгебры A в Ω алгебре B тогда и только тогда, когда отобра-жение rf является гомоморфизмом Ω -алгебры.4.5.1.2: Утверждение 4.5.1.1 означает, что для любой операции ω ∈ Ω верноравенство r ◦ f ( a ...a p ω ) = ( rf )( a ...a p ω ) = (( rf )( a )) ... (( rf )( a p )) ω = ( r ◦ f ( a )) ... ( r ◦ f ( a p )) ω (4.5.4) Поскольку отображение f является представлением Ω -алгебры A в Ω алгебре B , то, согласно определению 3.1.1, отображение f являетсягомоморфизмом Ω -алгебры(4.5.5) r ◦ f ( a ...a p ω ) = r ◦ ( f ( a ) ...f ( a p ) ω ) Равенство (4.5.3) является следствием равенств (4.5.4), (4.5.5).Теорема является следствием утверждения 4.5.1.2. (cid:3)
Теорема . Пусть отображение f : A ∗ / / B является представлением Ω -алгебры A в Ω алгебре B . Пусть (4.5.6) f ( A ) = End( A (Ω ); B ) Произведение в полугруппе
End( A (Ω ); B ) коммутативно. Произведение ◦ в полугруппе End( A (Ω ); B ) порождает произведе-ние ∗ в Ω -алгебре A таким образом, что (4.5.7) f ( a ∗ b ) = f ( a ) ◦ f ( b ) Полугруппа
End( A (Ω ); B ) является Ω -алгеброй. Доказательство.
Пусть отображение h является эндоморфизмом пред-ставления f . Согласно утверждению (4.5.6), существует b ∈ A такое, что h = f ( b ) . Следовательно, равенство(4.5.8) f ( a ) ◦ f ( b ) = f ( b ) ◦ f ( a ) является следствием равенства (3.4.4). Согласно утверждению (4.5.6), отобра-жения f ( a ) , f ( b ) являются эндоморфизмами представления f . Следовательно,произведение ◦ в полугруппе End( A (Ω ); B ) коммутативно.Согласно теореме 3.5.3, произведение эндоморфизмов f ( a ) , f ( b ) представ-ления f является эндоморфизмом h представления f . Согласно утверждению(4.5.6), существует c ∈ A такое, что h = f ( c ) . Бинарная операция ∗ на множе-стве A определена равенством c = a ∗ b Следовательно, утверждение 4.5.2.2 верно.Пусть отображения h , ..., h p являются эндоморфизмами представления f . Согласно утверждению (4.5.6), существуют A -числа a , ..., a p такие, что h = f ( a ) ... h n = f ( a n ) Ω -группа Поскольку отображение f является представлением Ω -алгебры A в Ω алгебре B , то, согласно определению 3.1.1, отображение f является гомоморфизмом Ω -алгебры A (4.5.9) h ...h p ω = f ( a ) ...f ( a p ) ω = f ( a ...a p ω ) Согласно утверждению (4.5.6), h ...h p ω ∈ End( A (Ω ); B ) . Следовательно,утверждение 4.5.2.3 верно. (cid:3) Согласно теореме 4.5.2, если утверждение (4.5.6) выполнено, то на мно-жестве
End( A (Ω ); B ) определены две алгебраические структуры. А именно,множество End( A (Ω ); B ) является полугруппой и в тоже время это множе-ство является Ω -алгеброй. Аналогичное утверждение верно для Ω -алгебры A . Однако мы не можем утверждать, что операция произведения в Ω -алгебре A дистрибутивна по отношению к произвольной операции ω ∈ Ω (смотритеорему 4.5.1). Теорема . Пусть отображение f : A ∗ / / B является представлением Ω -алгебры A в Ω алгебре B и f ( A ) = End( A (Ω ); B ) Произведение ∗ , определённое в Ω -алгебре A , дистрибутивно относительнопроизвольной операции ω ∈ Ω тогда и только тогда, когда отображение (4.5.10) f ( b ∗ a ) : a ∈ A → f ( b ∗ a ) ∈ End(Ω ; B ) является представлением Ω -алгебры A в Ω алгебре B Доказательство.
Согласно утверждению 4.5.2.2, для нас не имеет зна-чение рассматриваем ли мы Ω -алгебру A или мы рассматриваем Ω -алгебру End( A (Ω ); B ) . Теорема является следствием определения (4.5.7) произведе-ния ∗ в Ω -алгебре A , а также теоремы 4.5.1 и утверждений 4.5.2.1, 4.5.2.3. (cid:3) В теореме 4.5.3, мы встречаем универсальную алгебру, похожую на Ω -груп-пу, однако эта алгебра отличается от Ω -группы. Поскольку эта универсальнаяалгебра играет важную роль в теории представлений, мы рассмотрим опреде-ления 4.5.4, 4.5.5. Определение . Пусть произведение c = a ∗ b является операцией Ω -алгебры A . Положим Ω = Ω \ {∗} . Если Ω -алгебра A является группой относительно произведения и для любой операции ω ∈ Ω( n ) умножение дистрибутивно относительно операция ωa ∗ ( b ...b n ω ) = ( a ∗ b ) ... ( a ∗ b n ) ω ( b ...b n ω ) ∗ a = ( b ∗ a ) ... ( b n ∗ a ) ω то Ω -алгебра A называется мультипликативной Ω -группой . (cid:3) Определение . Если (4.5.11) a ∗ b = b ∗ a то мультипликативная Ω -группа называется абелевой . (cid:3) .5. Мультипликативная Ω -группа 57 Определение . Если (4.5.12) a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c то мультипликативная Ω -группа называется асоциативной . (cid:3) Теорема . Пусть A , B , ..., B n , B - универсальные алгебры. Пусть,для любого k , k = 1 , ..., n , f k : A ∗ / / B k представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B k . Пусть f : A ∗ / / B представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Пусть отображение r : B × ... × B n → B является приведенным полиморфизмом представлений f , ..., f n в представ-ление f . Произведение ◦ , определённое в Ω -алгебре f ( A ) , коммутативно.Представление f : A ∗ / / B допускает приведенный полиморфизм представлений тогда и только тогда,когда следующие условия выполнены Произведение ◦ , определённое в Ω -алгебре End( A (Ω ); B ) , дистри-бутивно относительно произвольной операции ω ∈ Ω f ( a ∗ b ) = f ( a ) ◦ f ( b ) Доказательство.
Пользуясь равенством (4.4.16), мы можем записать вы-ражение(4.5.13) r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., f l ( a l )( m l ) , ..., m n ) либо в виде r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., f l ( a l )( m l ) , ..., m n )= f ( a k )( r ( m , ..., m k , ..., f l ( a l )( m l ) , ..., m n ))= f ( a k )( f ( a l )( r ( m , ..., m k , ..., m l , ..., m n )))= ( f ( a k ) ◦ f ( a l ))( r ( m , ..., m k , ..., m l , ..., m n )) (4.5.14)либо в виде r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., f l ( a l )( m l ) , ..., m n )= f ( a l )( r ( m , ..., f k ( a k )( m k ) , ..., m l , ..., m n ))= f ( a l )( f ( a k )( r ( m , ..., m k , ..., m l , ..., m n )))= ( f ( a l ) ◦ f ( a k ))( r ( m , ..., m k , ..., m l , ..., m n )) (4.5.15)Коммутативность произведения ◦ следует из равенств (4.5.14), (4.5.15). (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / B представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B и (4.5.16) f ( A ) = End( A (Ω ); B ) Тогда представление f допускает приведенный полиморфизм представлений. Ω -группа Пусть
Ω = Ω \ {∗} . Представление h : A → End(Ω; A ) h ( a ) : b ∈ A → a ∗ b ∈ A полугруппы A в Ω -алгебре A существует тогда и только тогда, когда длялюбой операции ω ∈ Ω( n ) умножение дистрибутивно относительно опе-рации ω (4.5.17) a ∗ ( b ...b n ω ) = ( a ∗ b ) ... ( a ∗ b n ) ω (4.5.18) ( b ...b n ω ) ∗ a = ( b ∗ a ) ... ( b n ∗ a ) ω Доказательство.
Согласно определению 3.1.1, равенства (4.5.17), (4.5.18)верны тогда и только тогда, когда отображение h является представлениемполугруппы A в Ω -алгебре A . Одновременно равенства (4.5.17), (4.5.18) вы-ражают закон дистрибутивности умножения относительно операции ω . (cid:3) В Ω -алгебре A , мы определили произведение, согласованное с однотран-зитивным представлением в Ω -алгебре A . Эту конструкцию можно построитьв случае произвольного представления при условии, что произведение в Ω -ал-гебре A определено однозначно. Однако в общем случае произведение можетбыть некоммутативным. Теорема . Пусть A ∗ / / B A ∗ / / B A ∗ / / B эффективные представления абелевой мультиплиткативной Ω -группы A в Ω -алгебрах B , B , B . Допустим Ω -алгебра имеет 2 операции, а именно ω ∈ Ω( m ) , ω ∈ Ω( n ) . Необходимым условием существования приведенногополиморфизма R : B × B → B является равенство (4.5.19) ( a ...a n ω ) ... ( a m ...a mn ω ) ω = ( a ...a m ω ) ... ( a n ...a mn ω ) ω Доказательство.
Пусть a , ..., a p ∈ B , b , ..., b q ∈ B . Согласно равен-ству (4.4.18), выражение(4.5.20) r ( a ...a p ω , b ...b q ω ) может иметь значения r ( a ...a m ω , b ...b n ω )= r ( a , b ...b n ω ) ...r ( a m , b ...b n ω ) ω = ( r ( a , b ) ...r ( a , b n ) ω ) ... ( r ( a m , b ) ...r ( a m , b n ) ω ) ω (4.5.21) r ( a ...a m ω , b ...b n ω )= r ( a ...a m ω , b ) ...r ( a ...a m ω , b n ) ω = ( r ( a , b ) ...r ( a m , b ) ω ) ... ( r ( a , b n ) ...r ( a m , b n ) ω ) ω (4.5.22)Из равенств (4.5.21), (4.5.22) следует, что ( r ( a , b ) ...r ( a , b n ) ω ) ... ( r ( a m , b ) ...r ( a m , b n ) ω ) ω = ( r ( a , b ) ...r ( a m , b ) ω ) ... ( r ( a , b n ) ...r ( a m , b n ) ω ) ω (4.5.23) .6. Ω -кольцо 59 Следовательно, выражение (4.5.20) определенно корректно тогда и только то-гда, когда равенство (4.5.23) верно. Положим(4.5.24) a i · j = r ( a i , b j ) ∈ A Равенство (4.5.19) является следствием равенств (4.5.23), (4.5.24). (cid:3)
Теорема . Существует приведенный полиморфизм эффективногопредставления абелевой мультиплиткативной Ω -группы в абелевой группе. Доказательство.
Поскольку операция сложения в абелевой группе ком-мутативна и ассоциативна, то теорема является следствием теоремы 4.5.9. (cid:3)
Теорема . Не существует приведенный полиморфизм эффективно-го представления абелевой мультиплиткативной Ω -группы в кольце. Доказательство.
В кольце определены две операции: сложение, кото-рое коммутативно и ассоциативно, и произведение, которое дистрибутивно от-носительно сложения. Согласно теореме 4.5.9, если существует полиморфизмэффективного представления в кольцо, то сложение и произведение должныудовлетворять равенству(4.5.25) a a + a a = ( a + a )( a + a ) Однако правая часть равенства (4.5.25) имеет вид ( a + a )( a + a ) = ( a + a ) a + ( a + a ) a = a a + a a + a a + a a Следовательно, равенство (4.5.25) не верно. (cid:3)
Вопрос . Возможно, что полиморфизм представлений существу-ет только для эффективного представления в Абелевая группе. Однако этоутверждение пока не доказано. (cid:3) Ω -кольцо Определение . Пусть сложение c = a + b которое не обязательно коммутативно, и произведение c = a ∗ b являются операциями Ω -алгебры A . Положим Ω = Ω \ { + , ∗} . Если Ω -алгебра A является Ω ∪ {∗} -группой и мультипликативной Ω ∪ { + } -группой,то Ω -алгебра A называется Ω -кольцом . (cid:3) Теорема . Произведение в Ω -кольце дистрибутивно относительносложения a ∗ ( b + b ) = a ∗ b + a ∗ b ( b + b ) ∗ a = b ∗ a + b ∗ a Доказательство.
Теорема является следствием определений 4.2.10, 4.5.4,4.6.1. (cid:3) Ω -группа Определение . Пусть A - Ω -кольцо. Матрица над Ω -кольцом A -это таблица A -чисел a ij , где индекс i - это номер строки и индекс j - этономер столбца. (cid:3) Соглашение . Мы будем пользоваться соглашением Эйнштейна осумме. Это означает, что, когда индекс присутствует в выражении два-жды (один вверху и один внизу) и множество индексов известно, это вы-ражение подразумевает сумму по повторяющемуся индексу. В этом случаепредполагается известным множество индекса суммирования и знак суммыопускается a i v i = X i ∈ I a i v i Я буду явно указывать множество индексов, если это необходимо. (cid:3)
Произведение матриц связано с произведением гомоморфизмов векторныхпространств над полем. Согласно традиции произведение матриц a и b опре-делено как произведение строк матрицы a и столбцов матрицы b . Пример . Пусть e - базис правого векторного пространства V над D -алгеброй A (смотри определение 9.6.2 и теорему 9.6.15). Мы представимбазис e как строку матрицы e = (cid:16) e ... e n (cid:17) Мы можем представить координаты вектора v как вектор столбец v = v ...v n Поэтому мы можем представить вектор v как традиционное произведениематриц v = (cid:16) e ... e n (cid:17) v ...v n = e i v i Линейный гомоморфизм правого векторного пространства V может бытьпредставлен с помощью матрицы (4.6.1) v ′ i = f ij v j Равенство (4.6.1) выражает традиционное произведение матриц f и v . (cid:3) Пример . Пусть e - базис левого векторного пространства V над D -алгеброй A (смотри определение 9.5.2 и теорему 9.5.15). Мы представимбазис e как строку матрицы e = (cid:16) e ... e n (cid:17) .6. Ω -кольцо 61 Мы можем представить координаты вектора v как вектор столбец v = v ...v n Однако мы не можем представить вектор v = v i e i как традиционное произведение матриц v = v ...v n e = (cid:16) e ... e n (cid:17) так как это произведение не определено. Линейный гомоморфизм левого век-торного пространства V может быть представлен с помощью матрицы (4.6.2) v ′ i = v j f ij Равенство (4.6.2) не может быть выражено как традиционное произведениематриц v и f . (cid:3) Из примеров 4.6.5, 4.6.6 следует, что мы не можем ограничиться традици-онным произведением матриц и нам нужно определить два вида произведенияматриц. Чтобы различать эти произведения, мы вводим новые обозначения.Для совместимости обозначений с существующими мы будем иметь в виду ∗∗ -произведение, когда нет явных обозначений. Определение . Пусть число столбцов матрицы a равно числу строкматрицы b . ∗∗ -произведение матриц a и b имеет вид (4.6.3) a ∗∗ b = (cid:16) a ik b kj (cid:17) ( a ∗∗ b ) ij = a ik b kj и может быть выражено как произведение строк матрицы a и столбцовматрицы b . (cid:3) Определение . Пусть число строк матрицы a равно числу столбцовматрицы b . ∗∗ -произведение матриц a и b имеет вид (4.6.4) a ∗∗ b = (cid:16) a ki b jk (cid:17) ( a ∗∗ b ) ij = a ki b jk Мы будем пользоваться символом ∗∗ - в последующей терминологии и обозначениях. Мыбудем читать символ ∗∗ как rc -произведение или произведение строки на столбец. Символпроизведения строки на столбец сформирован из двух символов операции произведения,которые записываются на месте индекса суммирования. Например, если произведение A -чисел имеет вид a ◦ b , то ∗∗ -произведение матриц a и b имеет вид a ◦◦ b . Ω -группа и может быть выражено как произведение столбцов матрицы a и строкматрицы b . (cid:3) Мы так же определим следующие операции на множестве матриц.
Определение . Транспонирование a T матрицы a меняет местамистроки и столбцы (4.6.5) ( a T ) ij = a ji (cid:3) Определение . Сумма матриц a и b определена равенством ( a + b ) ij = a ij + b ij (cid:3) Замечание . Мы будем пользоваться символом ∗∗ - или ∗∗ - в именисвойств каждого произведения и в обозначениях. Мы можем читать симво-лы ∗∗ и ∗∗ как rc -произведение и cr -произведение. Это правило мы распро-страним на последующую терминологию. (cid:3) Теорема . (4.6.6) ( a ∗∗ b ) T = a T ∗∗ b T Доказательство.
Цепочка равенств(4.6.7) (( a ∗∗ b ) T ) ji = ( a ∗∗ b ) ij = a ik b kj = ( a T ) ki ( b T ) jk = (( a T ) ∗∗ ( b T )) ji следует из (4.6.5), (4.6.3) и (4.6.4). Равенство (4.6.6) следует из (4.6.7). (cid:3) Определение . Бикольцо A - это множество, на котором мыопределили унарную операцию, называемую транспозицией, и три бинарныхоперации, называемые ∗∗ -произведение, ∗∗ -произведение и сумма, такие что • ∗∗ -произведение и сумма определяют структуру кольца на A• ∗∗ -произведение и сумма определяют структуру кольца на A• оба произведения имеют общую единицу δ • произведения удовлетворяют равенству ( a ∗∗ b ) T = a T ∗∗ b T • транспозиция единицы есть единица (4.6.8) δ T = δ • двойная транспозиция есть исходный элемент (4.6.9) ( a T ) T = a (cid:3) Теорема . Пусть A - ис-тинное утверждение о бикольце A . Если мы заменим одновременно • a ∈ A и a T Мы будем пользоваться символом ∗∗ - в последующей терминологии и обозначениях. Мыбудем читать символ ∗∗ как cr -произведение или произведение столбца на строку. Символпроизведение столбца на строку сформирован из двух символов операции произведения,которые записываются на месте индекса суммирования. Например, если произведение A -чисел имеет вид a ◦ b , то ∗∗ -произведение матриц a и b имеет вид a ◦◦ b . .7. Тензорное произведение представлений 63 • ∗∗ -произведение и ∗∗ -произведението мы снова получим истинное утверждение. Теорема . Пусть A является бикольцом матриц. Пусть A - истинное утверждение о матрицах.Если мы заменим одновременно • строки и столбцы всех матриц • ∗∗ -произведение и ∗∗ -произведението мы снова получим истинное утверждение. Доказательство.
Непосредственное следствие теоремы 4.6.14. (cid:3)
Замечание . Если произведение в Ω -кольце коммутативно, то (4.6.10) a ∗∗ b = ( a ki b jk ) = ( b jk a ki ) = b ∗∗ a Приводимое бикольцо - это бикольцо, в котором выполняется условиеприводимости произведений (4.6.10) . Поэтому в приводимом бикольце до-статочно рассматривать только ∗∗ -произведение. Однако в тех случаях, ко-гда порядок сомножителей существенен, мы будем пользоваться также ∗∗ -произведением. (cid:3) Определение . Пусть A является абелевой мультипликативной Ω -группой. Пусть A , ..., A n - Ω -алгебры. Пусть для любого k , k = 1 ,..., n , f k : A ∗ / / A k эффективное представление мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A k . Рассмотрим категорию A объектами которой являются приведенные по-лиморфизмы представлений f , ..., f n r : B × ... × B n / / S r : B × ... × B n / / S где S , S - Ω -алгебры и g : A ∗ / / S g : A ∗ / / S эффективные представления мультипликативной Ω -группы A . Мы опреде-лим морфизм r → r как приведенный морфизм представлений h : S → S ,для которого коммутативна диаграмма S h (cid:15) (cid:15) B × ... × B nr rrrrrrrrrrr r % % ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ S Универсальный объект B ⊗ ... ⊗ B n категории A называется тензорнымпроизведением представлений A , ..., A n . (cid:3) Я определяю тензорное произведение представлений универсальной алгебры по анало-гии с определением в [2], с. 456 - 458. Ω -группа Теорема . Если тензорное произведение эффективных представле-ний существует, то тензорное произведение определено однозначно с точно-стью до изоморфизма представлений.
Доказательство.
Пусть A является абелевой мультипликативной Ω -группой. Пусть A , ..., A n - Ω -алгебры. Пусть для любого k , k = 1 , ..., n , f k : A ∗ / / B k эффективное представление мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре B k .Пусть эффективные представления g : A ∗ / / S g : A ∗ / / S являются тензорным произведением представлений B , ..., B n . Из коммутатив-ности диаграммы(4.7.1) S h (cid:7) (cid:7) B × ... × B n R ❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧ R ) ) ❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘ S h G G следует, что R = h ◦ h ◦ R R = h ◦ h ◦ R (4.7.2)Из равенств (4.7.2) следует, что морфизмы представления h ◦ h , h ◦ h являются тождественными отображениями. Следовательно, морфизмы пред-ставления h , h являются изоморфизмами. (cid:3) Соглашение . Алгебры S , S могут быть различными множества-ми. Однако они неразличимы для нас, если мы рассматриваем их как изоморф-ные представления. В этом случае мы будем писать S = S . (cid:3) Определение . Тензорное произведение B ⊗ n = B ⊗ ... ⊗ B n B = ... = B n = B называется тензорной степенью представления B . (cid:3) Теорема . Если существует полиморфизм представлений, то тен-зорное произведение представлений существует.
Доказательство.
Пусть f : A ∗ / / M .7. Тензорное произведение представлений 65 представление Ω -алгебры A , порождённое декартовым произведением B × ... × B n множеств B , ..., B n . Инъекция i : B × ... × B n / / M определена по правилу (4.7.3) i ◦ ( b , ..., b n ) = ( b , ..., b n ) Пусть N - отношение эквивалентности, порождённое равенствами ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n ) = ( b , ..., b i · , ..., b n ) ... ( b , ..., b i · p , ..., b n ) ω (4.7.4) ( b , ..., f i ( a ) ◦ b i , ..., b n ) = f ( a ) ◦ ( b , ..., b i , ..., b n ) (4.7.5) b k ∈ B k k = 1 , ..., n b i · , ..., b i · p ∈ B i ω ∈ Ω ( p ) a ∈ A Лемма . Пусть ω ∈ Ω ( p ) . Тогда f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n )= f ( c ) ◦ (( b , ..., b i · , ..., b n ) ... ( b , ..., b i · p , ..., b n ) ω ) (4.7.6) Доказательство.
Из равенства (4.7.5) следует(4.7.7) f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n ) = ( b , ..., f i ( c ) ◦ ( b i · ...b i · p ω ) , ..., b n ) Так как f i ( c ) - эндоморфизм Ω -алгебры B i , то из равенства (4.7.7) следует(4.7.8) f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n ) = ( b , ..., ( f i ( c ) ◦ b i · ) ... ( f i ( c ) ◦ b i · p ) ω, ..., b n ) Из равенств (4.7.8), (4.7.4) следует(4.7.9) f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n )= ( b , ..., f i ( c ) ◦ b i · , ..., b n ) ... ( b , ..., f i ( c ) ◦ b i · p , ..., b n ) ω Из равенств (4.7.9), (4.7.5) следует(4.7.10) f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n )= ( f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · , ..., b n )) ... ( f ( c ) ◦ ( b , ..., b i · p , ..., b n )) ω Так как f ( c ) - эндоморфизм Ω -алгебры B , то равенство (4.7.6) следует изравенства (4.7.10). ⊙ Лемма . (4.7.11) f ( c ) ◦ ( b , ..., f i ( a ) ◦ b i , ..., b n ) = f ( c ) ◦ ( f ( a ) ◦ ( b , ..., b i , ..., b n )) Согласно теоремам 2.3.3, 4.4.2, множество, порождённое приведенным декартовым про-изведением представлений B , ..., B n совпадает с декартовым произведением B × ... × B n множеств B , ..., B n . В этом месте доказательства нас не интересует алгебраическая струк-тра на множестве B × ... × B n . Равенство (4.7.3) утверждает, что мы отождествляем базис представления M с множе-ством B × ... × B n . Я рассматриваю формирование элементов представления из элементов базиса согласнотеореме 6.1.4. Теорема 4.7.11 требует выполнения условий (4.7.4), (4.7.5). Ω -группа Доказательство.
Из равенства (4.7.5) следует, что f ( c ) ◦ ( b , ..., f i ( a ) ◦ b i , ..., b n ) = ( b , ..., f i ( c ) ◦ ( f i ( a ) ◦ b i ) , ..., b n )= ( b , ..., ( f i ( c ) ◦ f i ( a )) ◦ b i , ..., b n )= ( f ( c ) ◦ f ( a )) ◦ ( b , ..., b i , ..., b n )= f ( c ) ◦ ( f ( a ) ◦ ( b , ..., b i , ..., b n )) (4.7.12)Равенство (4.7.11) следует из равенства (4.7.12). ⊙ Лемма . Для любого c ∈ A эндоморфизм f ( c ) Ω -алгебры M согласо-вано с эквивалентностью N . Доказательство.
Утверждение леммы следует из лемм 4.7.6, 4.7.7 и опре-деления 3.3.2. ⊙ Из леммы 4.7.8 и теоремы 3.3.3 следует, что на множестве ∗ M/N опреде-лена Ω -алгебра. Рассмотрим диаграмму M/N F ( a ) / / M/NA F @ ①①①①①①①①①①①①①①①①①①①① ①①①①①①①①①①①①①①①①①①①① f (cid:31) ' ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● M j O O f ( a ) / / M j O O j = nat N Согласно лемме 4.7.8, из условия j ◦ b = j ◦ b следует j ◦ ( f ( a ) ◦ b ) = j ◦ ( f ( a ) ◦ b ) Следовательно, преобразование F ( a ) определено корректно и(4.7.13) F ( a ) ◦ j = j ◦ f ( a ) Если ω ∈ Ω ( p ) , то мы положим ( F ( a ) ...F ( a p ) ω ) ◦ ( J ◦ b ) = J ◦ (( f ( a ) ...f ( a p ) ω ) ◦ b ) Следовательно, отображение F является представлением Ω -алгебры A . Из(4.7.13) следует, что j является приведенным морфизмом представлений f и F . Рассмотрим коммутативную диаграмму(4.7.14) M/NB × ... × B n g ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ i / / M j < < ③③③③③③③③ .7. Тензорное произведение представлений 67 Из коммутативности диаграммы (4.7.14) и равенства (4.7.3) следует, что(4.7.15) g ◦ ( b , ..., b n ) = j ◦ ( b , ..., b n ) Из равенств (4.7.3), (4.7.4), (4.7.5) следует g ◦ ( b , ..., b i · ...b i · p ω, ..., b n )= ( g ◦ ( b , ..., b i · , ..., b n )) ... ( g ◦ ( b , ..., b i · p , ..., b n )) ω (4.7.16)(4.7.17) g ◦ ( b , ..., f i ( a ) ◦ b i , ..., b n ) = f ( a ) ◦ ( g ◦ ( b , ..., b i , ..., b n )) Из равенств (4.7.16) и (4.7.17) следует, что отображение g является приведен-ным полиморфизмом представлений f , ..., f n .Поскольку B × ... × B n - базис представления M Ω -алгебры A , то, согласнотеореме 6.2.10, для любого представления A ∗ / / V и любого приведенного полиморфизма g : B × ... × B n / / V существует единственный морфизм представлений k : M → V , для которогокоммутативна следующая диаграмма(4.7.18) B × ... × B n g + + ❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱ i / / M k ❆❆❆❆❆❆❆❆ V Так как g - приведенный полиморфизм, то ker k ⊇ N .Согласно теореме 3.4.8 отображение j универсально в категории морфиз-мов представления f , ядро которых содержит N . Следовательно, определёнморфизм представлений h : M/N → V для которого коммутативна диаграмма(4.7.19) M/N h (cid:15) (cid:15) M k ❋❋❋❋❋❋❋❋❋ j < < ②②②②②②②② V Объединяя диаграммы (4.7.14), (4.7.18), (4.7.19), получим коммутативнуюдиаграмму
M/N h (cid:15) (cid:15) B × ... × B n g ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ g + + ❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲ i / / M j < < ③③③③③③③③ k " " ❋❋❋❋❋❋❋❋❋ V Так как Im g порождает M/N , то отображение h однозначно определено. (cid:3) Ω -группа Согласно доказательству теоремы 4.7.5 B ⊗ ... ⊗ B n = M/N
Для d i ∈ A i будем записывать(4.7.20) j ◦ ( d , ..., d n ) = d ⊗ ... ⊗ d n Из равенств (4.7.15), (4.7.20) следует, что(4.7.21) g ◦ ( d , ..., d n ) = d ⊗ ... ⊗ d n Теорема . Отображение ( x , ..., x n ) ∈ B × ... × B n → x ⊗ ... ⊗ x n ∈ B ⊗ ... ⊗ B n является полиморфизмом. Доказательство.
Теорема является следствием определений 4.4.4, 4.7.1. (cid:3)
Теорема . Пусть B , ..., B n - Ω -алгебры. Пусть f : B × ... × B n → B ⊗ ... ⊗ B n приведенный полиморфизм, определённый равенством (4.7.22) f ◦ ( b , ..., b n ) = b ⊗ ... ⊗ b n Пусть g : B × ... × B n → V приведенный полиморфизм в Ω -алгебру V . Существует морфизм представ-лений h : B ⊗ ... ⊗ B n → V такой, что диаграмма B ⊗ ... ⊗ B nh (cid:15) (cid:15) B × ... × B n f ♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠ g ( ( ◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗ V коммутативна. Доказательство.
Равенство (4.7.22) следует из равенств (4.7.3) и (4.7.20).Существование отображения h следует из определения 4.7.1 и построений, вы-полненных при доказательстве теоремы 4.7.5. (cid:3) Теорема . Пусть b k ∈ B k k = 1 , ..., n b i · , ..., b i · p ∈ B i ω ∈ Ω ( p ) a ∈ A Тензорное произведение дистрибутивно относительно операции ωb ⊗ ... ⊗ ( b i · ...b i · p ω ) ⊗ ... ⊗ b n =( b ⊗ ... ⊗ b i · ⊗ ... ⊗ b n ) ... ( b ⊗ ... ⊗ b i · p ⊗ ... ⊗ b n ) ω (4.7.23) .8. Ассоциативность тензорного произведения 69 Представление мультипликативной Ω -группы A в тензорном произведенииопределено равенством (4.7.24) b ⊗ ... ⊗ ( f i ( a ) ◦ b i ) ⊗ ... ⊗ b n = f ( a ) ◦ ( b ⊗ ... ⊗ b i ⊗ ... ⊗ b n ) Доказательство.
Равенство (4.7.23) является следствием равенства(4.7.16) и определения (4.7.21). Равенство (4.7.24) является следствием равен-ства (4.7.17) и определения (4.7.21). (cid:3)
Пусть A является мультипликативной Ω -группой. Пусть B , B , B - Ω -алгебры. Пусть для k = 1 , , f k : A ∗ / / B k эффективное представление мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре B k . Лемма . Для заданного значения x ∈ B , отображение (4.8.1) h : ( B ⊗ B ) × B → B ⊗ B ⊗ B определённое равенством (4.8.2) h ( x ⊗ x , x ) = x ⊗ x ⊗ x является приведенным морфизмом представления B ⊗ B в представление B ⊗ B ⊗ B . Доказательство.
Согласно теореме 4.7.9, для заданного значения x ∈ B , отображение(4.8.3) ( x , x , x ) ∈ B × B × B → x ⊗ x ⊗ x ∈ B ⊗ B ⊗ B является полиморфизмом по переменным x ∈ B , x ∈ B . Следовательно,для заданного значения x ∈ B , лемма является следствием теоремы 4.7.10. (cid:3) Лемма . Для заданного значения x ∈ B ⊗ B отображение h является приведенным морфизмом представления B в представление B ⊗ B ⊗ B . Доказательство.
Согласно теореме 4.7.9 и равенству (4.7.21), для задан-ного значения x ∈ B , x ∈ B , отображение(4.8.4) ( x ⊗ x , x ) ∈ B × B × B → x ⊗ x ⊗ x ∈ B ⊗ B ⊗ B является морфизмом по переменной x ∈ B . Следовательно, теорема явля-ется следсвием равенства (4.4.16) и теоремы 4.5.9. (cid:3) Лемма . Существует приведенный морфизм представлений h : ( B ⊗ B ) ⊗ B → B ⊗ B ⊗ B Доказательство.
Согласно леммам 4.8.1, 4.8.2 и определению 4.4.4, отоб-ражение h является приведенным полиморфизмом представлений. Утвер-ждение леммы является следствием теоремы 4.7.10. (cid:3) Лемма . Существует приведенный морфизм представлений g : B ⊗ B ⊗ B → ( B ⊗ B ) ⊗ B Ω -группа Доказательство.
Отображение ( x , x , x ) ∈ B × B × B → ( x ⊗ x ) ⊗ x ∈ ( B ⊗ B ) ⊗ B является полиморфизмом по переменным x ∈ B , x ∈ B , x ∈ B . Следо-вательно, лемма является следствием теоремы 4.7.10. (cid:3) Теорема . (4.8.5) ( A ⊗ A ) ⊗ A = A ⊗ ( A ⊗ A ) = A ⊗ A ⊗ A Доказательство.
Согласно лемме 4.8.3, существует приведенный мор-физм представлений h : ( B ⊗ B ) ⊗ B → B ⊗ B ⊗ B Согласно лемме 4.8.4, существует приведенный морфизм представлений g : B ⊗ B ⊗ B → ( B ⊗ B ) ⊗ B Следовательно, приведенные морфизмы представлений h , g являются изомор-физмами, откуда следует равенство(4.8.6) ( B ⊗ B ) ⊗ B = B ⊗ B ⊗ B Аналогично мы можем доказать равенство B ⊗ ( B ⊗ B ) = B ⊗ B ⊗ B (cid:3) Замечание . Очевидно, что структура Ω -алгебр ( B ⊗ B ) ⊗ B , B ⊗ B ⊗ B слегка различна. Мы записываем равенство (4.8.6) , опираясь насоглашение 4.7.3 и это позволяет нам говорить об ассоциативности тензор-ного произведения представлений. (cid:3) лава 5 Представление мультипликативной Ω -группы Ω -группы Согласованность произведения в мультипликативной Ω -группе G и соот-ветствующих преобразований представления f позволяет нам рассмотреть боль-ше деталей представления f . Однако конструкция, рассмотренная в теореме4.5.7, не полна в случае некоммутативного произведения.Если для заданного представления g : A ∗ / / A для любых A -чисел a , b , однозначно определено A -число c такое, что f ( c ) = f ( a ) ◦ f ( b ) то какой формат произведения мы должны выбрать:(5.1.1) c = a ∗ b или(5.1.2) c = b ∗ a Пример . Пусть e = (cid:16) e ... e n (cid:17) базис левого векторного пространства V над ассоциативной алгеброй с де-лением A . Мы можем представить произвольный вектор v ∈ V как ∗∗ -произведение матриц (5.1.3) v = v ∗∗ e = v ...v n ∗∗ (cid:16) e ... e n (cid:17) где v = v ...v n матрица координат вектора v относительно базиса e .
712 5. Представление мультипликативной Ω -группы Рассмотрим однотранзитивное действие группы G , определённое равен-ством (5.1.4) g ∗∗ e = g ... g ... ... ...g n1 ... g nn ∗∗ (cid:16) e ... e n (cid:17) где мы отождествляем G -число g и невырожденную матрицу g ... g ... ... ...g n1 ... g nn Действие группы G на многообразии базисов является представлением, таккак верно равенство (5.1.5) g ∗∗ ( g ∗∗ e ) = ( g ∗∗ g ) ∗∗ e Пусть (5.1.6) v i = v i ...v n i матрица координат вектора v относительно базиса e i , i = 1 , , . Тогда (5.1.7) v = v ∗∗ e = v ∗∗ e = v ∗∗ e Пусть G -число g отображает базис e в базис e (5.1.8) e = g ∗∗ e Пусть G -число g отображает базис e в базис e (5.1.9) e = g ∗∗ e Равенство (5.1.10) e = ( g ∗∗ g ) ∗∗ e является следствием равенств (5.1.8) , (5.1.9) . Равенство (5.1.11) v ∗∗ e = v ∗∗ g ∗∗ e является следствием равенств (5.1.7) , (5.1.8) . Равенство (5.1.12) v = v ∗∗ g является следствием равенства (5.1.11) , так как координаты вектора v опре-делены однозначно относительно базиса e . Равенство (5.1.13) v = v ∗∗ g − является следствием равенства (5.1.12) . Аналогично, равенство (5.1.14) v = v ∗∗ g − является следствием равенств (5.1.7) , (5.1.9) и равенство (5.1.15) v = v ∗∗ ( g ∗∗ g ) − .1. Представление мультипликативной Ω -группы 73 является следствием равенств (5.1.7) , (5.1.10) . Равенство (5.1.16) v = v ∗∗ g − ∗∗ g − является следствием равенств (5.1.13) , (5.1.14) . (cid:3) Пример . Пусть V - левый модуль над кольцом D . Это значит, чтоопределено представление f : D ∗ / / V f ( d ) : v → d v такое, что ( d + d ) v = d v + d vd ( v + v ) = dv + dv d ( d v ) = ( d d ) v Отображение w : V → D называется аддитивным, если w ( v + v ) = w ( v ) + w ( v ) Мы пользуемся записью ( w, v ) = w ( v ) для образа аддитивного отображения. Мы определим сумму аддитивных отоб-ражений равенством ( w + w , v ) = ( w , v ) + ( w , v ) Нетрудно показать, что множество W аддитивных отображений являетсяабелевой группой.Мы определим отображение h : D ∗ / / W h ( d ) : w → w d равенством ( wd, v ) = ( w, dv ) Из равенств (( w + w ) d, v ) = ( w + w , dv ) = ( w , dv ) + ( w , dv )= ( w d, v ) + ( w d, v )= ( w d + w d, v )( w ( d + d ) , v ) = ( w, ( d + d ) v ) = ( w, d v + d v )= ( w, d v ) + ( w, d v ) = ( wd , v ) + ( wd , v )= ( wd + wd , v )(( wd ) d , v ) = ( wd , d v ) = ( w, d ( d v )) = ( w, ( d d ) v )= ( w ( d d ) , v ) (5.1.17) следует, что отображение h является представлением группы G . Однако мыможем записать равенство (5.1.17) в виде (( h ( d ) ◦ h ( d )( w )) , v ) = (( h ( d ) h ( d )( w )) , v ) = ( h ( d d )( w ) , v ) откуда следует, что отображение h не является гомоморфизмом группы G . (cid:3) Ω -группы Мы предполагаем, что преобразования представления мультипликативной Ω -группы A могут действовать на A -числа либо слева, либо справа. В этомслучае нам достаточно ограничиться произведением (5.1.1) в мультипликатив-ной Ω -группе A . Таким образом, концепция представления мультипликатив-ной Ω -группы состоит в том, что в каком порядке мы перемножаем элементымультипликативной Ω -группы, в том же порядке перемножаются соответству-ющие преобразования представления. Эта точка зрения отражена в примере5.1.2. Мы также видим, что мы должны изменить формат записи, прежде чеммы можем перейти к этой точке зрения. Вместо того, чтобы рассматривать f ∈ End(Ω ; A ) , как отображение f : a ∈ A → f ( a ) ∈ A мы должны рассматривать эндоморфизм f как оператор. Определение . Пусть
End(Ω , A ) - мультипликативная Ω -группас произведением ( f, g ) → f • g Пусть эндоморфизм f действует на A -число a слева. Мы будем пользовать-ся записью (5.1.18) f ( a ) = f • a Пусть A - мультипликативная Ω -группа с произведением ( a, b ) → a ∗ b Мы будем называть гомоморфизм мультипликативной Ω -группы (5.1.19) f : A → End(Ω , A ) левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A или ле-восторонним A -представлением в Ω -алгебре A , если отображение f удовлетворяет условиям (5.1.20) f ( a ∗ b ) • a = ( f ( a ) • f ( b )) • a Мы будем отождествлять A -число a с его образом f ( a ) и записывать ле-востороннее преобразование, порождённое A -числом a , в форме a ′ = f ( a ) • a = a ∗ a В этом случае равенство (5.1.20) принимает вид (5.1.21) f ( a ∗ b ) • a = ( a ∗ b ) ∗ a Отображение ( a , a ) ∈ A × A → a ∗ a ∈ A порождённое левосторонним представлением f , называется левостороннимпроизведением A -числа a на A -число a . (cid:3) Очень часто произведение в мультипликативной Ω -группе End(Ω , A ) совпадает ссуперпозицией эндоморфизмов f • g = f ◦ g Однако, как мы увидим в примере 5.2.5, произведение в мультипликативной Ω -группе End(Ω , A ) может отличаться от суперпозиции эндоморфизмов. Согласно определению4.6.13, мы можем рассматривать две операции произведения в универсальной алгебре A . .1. Представление мультипликативной Ω -группы 75 Пусть f : A → A g : A → A эндоморфизмы Ω -алгебры A . Пусть произведение в мультипликативной Ω -группе End(Ω , A ) является композицией эндоморфизмов. Так как произве-дение отображений f и g определено в том же порядке, как эти отображениядействуют на A -число, то мы можем рассматривать равенство(5.1.22) ( f ◦ g ) ◦ a = f ◦ ( g ◦ a ) как закон ассоциативности , который позволяет записывать равенство (5.1.22)без использования скобок f ◦ g ◦ a = f ◦ ( g ◦ a ) = ( f ◦ g ) ◦ a а также записать равенство (5.1.20) в виде(5.1.23) f ( a ∗ b ) ◦ a = f ( a ) ◦ f ( b ) ◦ a Из равенства (5.1.21) следует, что(5.1.24) ( a ∗ b ) ∗ a = a ∗ ( b ∗ a ) Мы можем рассматривать равенство (5.1.24) как закон ассоциативности , Замечание . Пусть отображение f : A ∗ / / A является левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A . Пусть отображение g : B ∗ / / B является левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы B в Ω -алгебре B . Пусть отображение ( r : A → B , r : A → B ) является морфизмом представлений. Мы будем пользоваться записью r ( a ) = r ◦ a для образа A -числа a при отображении r . Тогда мы можем записать ра-венство (3.2.3) следующим образом r ◦ ( a ∗ a ) = r ( a ) ∗ ( r ◦ a ) (cid:3) Определение . Пусть
End(Ω , A ) - мультипликативная Ω -группас произведением ( f, g ) → f • g Очень часто произведение в мультипликативной Ω -группе End(Ω , A ) совпадает ссуперпозицией эндоморфизмов f • g = f ◦ g Однако, как мы увидим в примере 5.2.5, произведение в мультипликативной Ω -группе End(Ω , A ) может отличаться от суперпозиции эндоморфизмов. Согласно определению4.6.13, мы можем рассматривать две операции произведения в универсальной алгебре A . Ω -группы Пусть эндоморфизм f действует на A -число a справа. Мы будем пользо-ваться записью (5.1.25) f ( a ) = a • f Пусть A - мультипликативная Ω -группа с произведением ( a, b ) → a ∗ b Мы будем называть гомоморфизм мультипликативной Ω -группы (5.1.26) f : A → End(Ω , A ) правосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A или правосторонним A -представлением в Ω -алгебре A , если отображение f удовлетворяет условиям (5.1.27) a • f ( a ∗ b ) = a • ( f ( a ) • f ( b )) Мы будем отождествлять A -число a с его образом f ( a ) и записывать пра-востороннее преобразование, порождённое A -числом a , в форме a ′ = a • f ( a ) = a ∗ a В этом случае равенство (5.1.27) принимает вид (5.1.28) a • f ( a ∗ b ) = a ∗ ( a ∗ b ) Отображение ( a , a ) ∈ A × A → a ∗ a ∈ A порождённое правосторонним представлением f , называется правосторон-ним произведением A -числа a на A -число a . (cid:3) Пусть f : A → A g : A → A эндоморфизмы Ω -алгебры A . Пусть произведение в мультипликативной Ω -группе End(Ω , A ) является композицией эндоморфизмов. Так как произве-дение отображений f и g определено в том же порядке, как эти отображениядействуют на A -число, то мы можем рассматривать равенство(5.1.29) a ◦ ( g ◦ f ) = ( a ◦ g ) ◦ f как закон ассоциативности , который позволяет записывать равенство (5.1.29)без использования скобок a ◦ g ◦ f = ( a ◦ g ) ◦ f = a ◦ ( g ◦ f ) а также записать равенство (5.1.27) в виде(5.1.30) a ◦ f ( a ∗ b ) = a ◦ f ( a ) ◦ f ( b ) Из равенства (5.1.28) следует, что(5.1.31) a ∗ ( a ∗ b ) = ( a ∗ a ) ∗ b Мы можем рассматривать равенство (5.1.31) как закон ассоциативности , .1. Представление мультипликативной Ω -группы 77 Замечание . Пусть отображение f : A ∗ / / A является правосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A . Пусть отображение g : B ∗ / / B является правосторонним представлением мультипликативной Ω -группы B в Ω -алгебре B . Пусть отображение ( r : A → B , r : A → B ) является морфизмом представлений. Мы будем пользоваться записью r ( a ) = r ◦ a для образа A -числа a при отображении r . Тогда мы можем записать ра-венство (3.2.3) следующим образом r ◦ ( a ∗ a ) = ( r ◦ a ) ∗ r ( a ) (cid:3) Если мультипликативная Ω -группа A - абелевая, то нет разницы междулевосторонним и правосторонним представлениями. Определение . Пусть A - абелевая мультипликативная Ω -группа.Мы будем называть гомоморфизм мультипликативной Ω -группы (5.1.32) f : A → End(Ω , A ) представлением мультипликативной Ω -группы A или A -представлени-ем в Ω -алгебре A , если отображение f удовлетворяет условиям (5.1.33) f ( a ∗ b ) • a = ( f ( a ) • f ( b )) • a (cid:3) Обычно мы отождествляем представление абелевой мультипликативной Ω -группы A и левостороннее представление мультипликативной Ω -группы A .Однако, если это необходимо нам, мы можем отождествить представление абе-левой мультипликативной Ω -группы A и правостороннее представление муль-типликативной Ω -группы A .Из анализа примера 5.1.2 следует, что выбор между левосторонним и пра-восторонним представлением зависит от рассматриваемой модели. Так каклевостороннее представление и правостороннее представление опирается на го-моморфизм Ω -группы, то верно следующее утверждение. Теорема Ω -группы) . Любое утверждение, справедливое для левостороннегопредставления мультипликативной Ω -группы A , будет справедливо для пра-востороннего представления мультипликативной Ω -группы A , если мы бу-дем пользоваться правосторонним произведением на A -число a вместо ле-востороннего произведения на A -число a . (cid:3) Ω -группы Замечание . Если Ω -алгебра не является мультипликативной Ω -группой, то мы не можем сказать, действует ли представление слева илисправа. В этом случае мы сохраним функциональную запись f ( a )( a ) дляпредставления Ω -алгебры. (cid:3) Из анализа равенств (5.1.15), (5.1.16) следует, что действие группы G намножестве координат вектора v (пример 5.1.1) не соответствует ни левосторон-нему, ни правостороннему представлению. следует, что у нас есть два выбора.Мы согласны, что в мультипликативной Ω -группе A мы можем определить обаварианта произведения: (5.1.1) и (5.1.2) - с целью согласовать произведение вмультипликативной Ω -группе A и произведение преобразований представле-ния мультипликативной Ω -группы A . Эта точка зрения отражена в определе-ниях 5.1.10, 5.1.11. Определение . Левостороннее представление f : A ∗ / / A называется ковариантным , если равенство a ∗ ( b ∗ a ) = ( a ∗ b ) ∗ a верно. (cid:3) Определение . Левостороннее представление f : A ∗ / / A называется контравариантным , если равенство (5.1.34) a − ∗ ( b − ∗ a ) = ( b ∗ a ) − ∗ a верно. (cid:3) Если тип представления не указан, мы будем предполагать, что представ-ление ковариантно. Из равенств (5.1.15), (5.1.16) следует, что действие группы G на множестве координат вектора v (пример 5.1.1) является контравариант-ным правосторонним представлением.Насколько велика разница между ковариантным и контравариантным пред-ставлениями. Поскольку ( b ∗ a ) − = a − ∗ b − то равенство(5.1.35) a − ∗ ( b − ∗ a ) = ( a − ∗ b − ) ∗ a является следствием равенства (5.1.34). Из равенства (5.1.35) следует, что мыможем рассматривать контравариантное представление группы G как ковари-антное представление группы G , порождённое G -числами вида a − . Так же какв примере 5.1.1, мы рассматриваем два согласованных представления группы G f : G ∗ / / A h : G ∗ / / B причём G -число g порождает преобразование a ∈ G : a ∈ A → a ∗ a ∈ A .2. Левый и правый сдвиги 79 в универсальной алгебре A и преобразование a ∈ G : b ∈ B → a − ∗ b ∈ B в универсальной алгебре B . Теорема . Произведение ( a, b ) → a ∗ b в мультипликативной Ω -группе A определяет два различных представления. • Левый сдвиг a ′ = L ( b ) ◦ a = b ∗ a является левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A (5.2.1) L ( c ∗ b ) = L ( c ) ◦ L ( b ) • Правый сдвиг a ′ = a ◦ R ( b ) = a ∗ b является правосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A (5.2.2) R ( b ∗ c ) = R ( b ) ◦ R ( c ) Доказательство.
Согласно определению 4.5.4, левый и правый сдвигиявляются эндоморфизмами Ω -алгебры A . Согласно определению 4.5.4, мы мо-жем определить Ω -алгебру на множестве левых сдвигов. Согласно определениюмультипликативной группы, равенство a = a является следствием равен-ства L ( a ) ◦ x = a ∗ x = a ∗ x = L ( a ) ◦ x для любого x . В частности, равенство (5.2.1) является следствием равенства L ( c ∗ b ) ◦ a = ( c ∗ b ) ∗ a = c ∗ ( b ∗ a ) = L ( c ) ◦ ( L ( b ) ◦ a ) = L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a Следовательно, отображение a ∈ A → L ( a ) является левовосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A . Аналогичное рассуждение верно для правого сдвига. (cid:3) Ассоциативная D -алгебра является мультипликативной Ω -группой. Неас-социативная D -алгебра A не является Ω -группой, так как относительно произ-ведения A является группоидом. Однако нас также будет интересовать пред-ставление неассоциативной D -алгебры. Определение . Пусть произведение c = a ∗ b Смотри, например, определение на страницах [2]-17, [2]-21. Ω -группы является операцией Ω -алгебры A . Положим Ω = Ω \ {∗} . Если Ω -алгебра A является группоидом относительно произведения и для любой операции ω ∈ Ω( n ) умножение дистрибутивно относительно операция ωa ∗ ( b ...b n ω ) = ( a ∗ b ) ... ( a ∗ b n ) ω ( b ...b n ω ) ∗ a = ( b ∗ a ) ... ( b n ∗ a ) ω то Ω -алгебра A называется Ω -группоидом . (cid:3) Мы будем пользоваться тем же форматом записи для представления Ω -группоида, что мы пользуемся для представления мультипликативной Ω -груп-пы. Теорема . Произведение в неассоциативном Ω -группоиде A опреде-ляет два различных представления. • Левый сдвиг a ′ = L ( b ) ◦ a = b ∗ a является представлением Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . • Правый сдвиг a ′ = a ◦ R ( b ) = a ∗ b является представлением Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Доказательство.
Согласно определению 4.5.4, левый и правый сдвигиявляются эндоморфизмами Ω -алгебры A . Согласно определению 5.2.2, мы мо-жем определить Ω -алгебру на множестве левых сдвигов. Следовательно, отоб-ражение a ∈ A → L ( a ) является представлением Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . (cid:3) Теорема . Пусть L : A ∗ / / A представление неассоциативного Ω -группоида A в Ω -алгебре A . Тогда на мно-жестве End(Ω , A ) определена операция произведения, отличная от супер-позиции эндоморфизмов. Доказательство.
Рассмотрим отображение L : A → End(Ω , A ) L ( a ) : b → ab Поскольку произведение в Ω -группоиде A не ассоциативно, то, вообще говоря, L ( a ) ◦ ( L ( b ) ◦ c ) = a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c = L ( a ∗ b ) ◦ c Следовательно, L ( ab ) = L ( a ) ◦ L ( b ) . (cid:3) Согласно теореме 5.2.1, если A - мультипликативная Ω -группа, то равен-ство (5.2.1) гарантирует, что левый сдвиг порождает левосторонним представ-ление мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A . Согласно теореме 5.2.4это равенство не верно в неассоциативном Ω -группоиде A . Однако теоремы5.2.3, 5.2.4 не отвечают на вопрос о возможности рассмотрения левосторонне-го представления неассоциативного Ω -группоида A в Ω -алгебре A . Согласнопримеру 5.2.5, существует возможность подобного представления, даже еслипроизведение в Ω -группоиде неассоциативно. .3. Орбита представления мультипликативной Ω -группы 81 Пример . Пусть A - алгебре Ли. Произведение [ a, b ] A -чисел a , b удовлетворяет равенству (5.2.3) [ a, b ] = − [ b, a ] а также тождеству Ли (5.2.4) [ c, [ b, a ]] + [ b, [ a, c ]] + [ a, [ c, b ]] = 0 Левый сдвиг на алгебре Ли A определён равенством (5.2.5) L ( b ) ◦ a = [ b, a ] Из равенства (5.2.5) следует, что (5.2.6) L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a = L ( c ) ◦ ( L ( b ) ◦ a ) = [ c, [ b, a ]] Равенство L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a − L ( b ) ◦ L ( c ) ◦ a = [ c, [ b, a ]] − [ b, [ c, a ]]= [ c, [ b, a ]] + [ b, [ a, c ]] (5.2.7) является следствием равенств (5.2.3) , (5.2.6) . Равенство (5.2.8) [ c, [ b, a ]] + [ b, [ a, c ]] = − [ a, [ c, b ]] = [[ c, b ] , a ] является следствием равенств (5.2.3) , (5.2.4) . Равенство (5.2.9) L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a − L ( b ) ◦ L ( c ) ◦ a = L ([ c, b ]) ◦ a является следствием равенств (5.2.5) , (5.2.7) , (5.2.8) .Если я определю произведение Ли [ L ( c ) , L ( b )] ◦ a = L ( c ) ◦ L ( b ) ◦ a − L ( b ) ◦ L ( c ) ◦ a на множестве левых сдигов, то равенство (5.2.9) принимает вид (5.2.10) [ L ( c ) , L ( b )] ◦ a = L ([ c, b ]) ◦ a Следовательно, алгебра Ли A с произведением [ a, b ] порождает представлениев векторном пространстве A . (cid:3) Ω -группы Теорема . Пусть отображение f : A ∗ / / A является левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A и e - единица мультипликативной Ω -группы A . Тогда f ( e ) = δ где δ - тождественное преобразование Ω -алгебры A . Доказательство.
Теорема является следствием равенства f ( a ) = f ( a ∗ e ) = f ( a ) ◦ f ( e ) для любого A -числа. (cid:3) Смотри определение [17]-1 на странице 9. Ω -группы Теорема . Пусть отображение g : A ∗ / / A является левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A .Для любого g ∈ A преобразование f ( g ) имет обратное отображение и удо-влетворяет равенству (5.3.1) f ( g − ) = f ( g ) − Доказательство.
Пусть e - единица мультипликативной Ω -группы A и δ - тождественное преобразование множества A . На основании (5.1.20) итеоремы 5.3.1 мы можем записать u = δ ◦ u = f ( gg − ) ◦ u = f ( g ) ◦ f ( g − ) ◦ u Это завершает доказательство. (cid:3)
Определение . Пусть A является Ω -группоидом с произведением ( a, b ) → a ∗ b Пусть отображение f : A ∗ / / A является левосторонним представлением Ω -группоида A в Ω -алгебре A .Для любого a ∈ A , мы определим орбиту представления Ω -группоида A как множество A ∗ a = { b = a ∗ a : a ∈ A } (cid:3) Определение . Пусть A является Ω -группоидом с произведением ( a, b ) → a ∗ b Пусть отображение f : A ∗ / / A является правосторонним представлением Ω -группоида A в Ω -алгебре A .Для любого a ∈ A , мы определим орбиту представления Ω -группоида A как множество a ∗ A = { b = a ∗ a : a ∈ A } (cid:3) Теорема . Пусть отображение f : A ∗ / / A является левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A .Then a ∈ A ∗ a . Доказательство.
Согласно теореме 5.3.1 a = e ∗ a = f ( e ) ◦ a (cid:3) .3. Орбита представления мультипликативной Ω -группы 83 Теорема . Пусть L : A ∗ / / A представление алгебры Ли, порождённое множеством левых сдвигов. Тогда a [ A, a ] . Доказательство.
Теорема является следствием отсутствия единицы валгебре Ли. Кроме того, самый простой пример алгебры Ли - это множествовекторов трёх мерного пространства на котором определена операция вектор-ного произведения. Очевидно, что не существует вектора b такого, что a = b × a (cid:3) Теорема . Пусть отображение f : A ∗ / / A является левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A .Если (5.3.2) b ∈ A ∗ a то (5.3.3) A ∗ a = A ∗ b Доказательство.
Из (5.3.2) следует существование a ∈ A такого, что(5.3.4) b = a ∗ a Если c ∈ A ∗ b , то существует b ∈ A такой, что(5.3.5) c = b ∗ b Подставив (5.3.4) в (5.3.5), мы получим(5.3.6) c = b ∗ a ∗ a На основании (5.1.20) из (5.3.6) следует, что c ∈ A ∗ a . Таким образом,(5.3.7) A ∗ b ⊆ A ∗ a На основании (5.3.1) из (5.3.4) следует, что(5.3.8) a = a − ∗ b Равенство (5.3.8) означает, что a ∈ A ∗ b и, следовательно,(5.3.9) A ∗ a ⊆ A ∗ b Равенство (5.3.3) является следствием утверждений (5.3.7), (5.3.9). (cid:3)
Таким образом, левостороннее представление мультипликативной Ω -груп-пы A в Ω -алгебре A порождает отношение эквивалентности S и орбита A ∗ a является классом эквивалентности. Мы будем пользоваться обозначе-нием A /A для фактор множества A /S и мы будем называть это множество пространством орбит левостороннего представления f . Ω -группы Ω -группе Теорема . Мы будем называть ядром неэффективности левосторон-него представления мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A мно-жество K f = { a ∈ A : f ( a ) = δ } Ядро неэффективности левостороннего представления - это подгруппа муль-типликативной группы A . Доказательство.
Допустим f ( a ) = δ и f ( a ) = δ . Тогда f ( a ∗ a ) = f ( a ) • f ( a ) = δf ( a − ) = ( f ( a )) − = δ (cid:3) Теорема . Левостороннее представление мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A эффективно тогда и только тогда, когда ядронеэффективности K f = { e } . Доказательство.
Утверждение является следствием определения 3.1.2 итеоремы 5.4.1. (cid:3)
Теорема . Если представление f : A ∗ / / A мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A не эффективно, мы можемперейти к эффективному заменив мультипликативную Ω -группу A муль-типликативной Ω -группой A ′ = A /K f . Доказательство.
Пусть операция ω ∈ Ω( n ) . Чтобы доказать теорему,мы должны показать, что равенство(5.4.1) f ( a ...a n ω ) = f ( b ...b n ω ) является следствием утверждения f ( a ) = f ( b ) , ..., f ( a n ) = f ( b n ) . Действи-тельно, равенство (5.4.1) является следствием равенства f ( a ...a n ω ) = f ( a ) ...f ( a n ) ω = f ( b ) ...f ( b n ) ω = f ( b ...b n ω ) (cid:3) Теорема 5.4.3 означает, что мы можем изучать только эффективное дей-ствие.
Теорема . Пусть отображение g : A ∗ / / A является левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A . Малая группа или группа стабилизации элемента a ∈ A - это множество A a = { a ∈ A : a ∗ a = a } Представление f свободно тогда и только тогда, когда для любого a ∈ A группа стабилизации A a = { e } . .5. Однотранзитивное правостороннее представление группы 85 Доказательство.
Согласно определению 3.1.4, представление f свободнотогда и только тогда, когда равенство a = b является следтсвием утвержде-ния(5.5.1) f ( a ) = f ( b ) Равенство (5.5.1) эквивалентно равенству(5.5.2) f ( b − ∗ a ) = δ Равенство a = b является следтсвием утверждения (5.5.2) тогда и толькотогда, когда для любого a ∈ A группа стабилизации A a = { e } . (cid:3) Теорема . Пусть отображение f : A ∗ / / A является свободным левосторонним представлением мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A . Существует взаимно однозначное соответствиемежду любыми двумя орбитами представления, а также между орбитойпредставления и мультипликативной Ω -группой A . Доказательство.
Допустим для точки a ∈ A существуют a , b ∈ A (5.5.3) a ∗ a = b ∗ a Умножим обе части равенства (5.5.3) на a − a = a − ∗ b ∗ a Поскольку представление свободное, a = b . Теорема доказана, так как мыустановили взаимно однозначное соответствие между орбитой и мультиплика-тивной Ω -группой A . (cid:3) Теорема . Левостороннее представление g : A ∗ / / A мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A однотранзитивно тогдаи только тогда, когда для любых a , b ∈ A существует одно и толькоодно a ∈ A такое, что a = a ∗ b . Доказательство.
Следствие определений 3.1.2 и 3.1.8. (cid:3)
Теорема . Если существует однотранзитивное представление f : A ∗ / / A мультипликативной Ω -группы A в Ω -алгебре A , то мы можем однозначноопределить координаты на A , пользуясь A -числами.Если f - левостороннее однотранзитивное однотранзитивное представ-ление, то f ( a ) эквивалентно левому сдвигу L ( a ) на группе A . Если f - право-стороннее однотранзитивное представление, то f ( a ) эквивалентно правомусдвигу R ( a ) на группе A . Доказательство.
Пусть f - левостороннее представление. Мы выберем A -число a и определим координаты A -числа b как A -число a такое, что b = a ∗ a = ( a ∗ e ) ∗ a = ( L ( a ) ◦ e ) ∗ a Ω -группы Координаты, определённые таким образом, однозначны с точностью до выбора A -числа a , так как действие эффективно. Для левостороннего однотранзи-тивного представления мы будем также пользоваться записью f ( a ) • a = L ( a ) ◦ a = ( L ( a ) ◦ e ) ∗ a Мы пользуемся записью L ( a ) ◦ a для левостороннего однотранзитивногопредставления f так как, согласно теореме 5.2.1, произведение левых сдвиговсовпадает с их композицией.Пусть f - правостороннее однотранзитивное представление. Мы выберем A -число a и определим координаты A -числа b как A -число a такое, что b = a ∗ a = a ∗ ( e ∗ a ) = a ∗ ( e ◦ R ( a )) Координаты, определённые таким образом, однозначны с точностью до выбора A -числа a , так как действие эффективно. Для правостороннего однотранзи-тивного представления мы будем также пользоваться записью a • f ( a ) = a ◦ R ( a ) = a ∗ ( e ◦ R ( a )) Мы пользуемся записью a ◦ R ( a ) для правостороннего однотранзитивногопредставления f так как, согласно теореме 5.2.1, произведение правых сдвиговсовпадает с их композицией. (cid:3) Определение . Мы будем называть Ω -алгебру A однороднымпространством мультипликативной Ω -группы A , если существует одно-транзитивное левостороннее представление f : A ∗ / / A (cid:3) Теорема . Свободное левостороннее представление мультиплика-тивной Ω -группы A в Ω -алгебре A однотранзитивно на орбите. Доказательство.
Следствие теоремы 5.5.2. (cid:3)
Теорема . Правый и левый сдвиги на мультипликативной Ω -группе A перестановочны. Доказательство.
Теорема является следствием ассоциативности произ-ведения в мультипликативной Ω -группе A ( L ( a ) ◦ c ) ◦ R ( b ) = ( a ∗ c ) ∗ b = a ∗ ( c ∗ b ) = L ( a ) ◦ ( c ◦ R ( b )) (cid:3) Теорема 5.5.7 может быть сформулирована следующим образом.
Теорема . Пусть A - мультипликативная Ω -группа. Для любого a ∈ A отображение L ( a ) является автоморфизмом представления R . Доказательство.
Согласно теореме 5.5.7(5.5.4) L ( a ) ◦ R ( b ) = R ( b ) ◦ L ( a ) Равенство (5.5.4) совпадает с равенством (3.2.2) из определения 3.2.2 при усло-вии r = id , r = L ( a ) . (cid:3) .5. Однотранзитивное правостороннее представление группы 87 Теорема . Пусть левостороннее A -представление f на Ω -алгеб-ре A однотранзитивно. Тогда мы можем однозначно определить однотран-зитивное правостороннее A -представление h на Ω -алгебре A такое, чтодиаграмма A h ( a ) / / f ( b ) (cid:15) (cid:15) A f ( b ) (cid:15) (cid:15) A h ( a ) / / A коммутативна для любых a , b ∈ A . Доказательство.
Мы будем пользоваться групповыми координатами для A -чисел a . Тогда согласно теореме 5.5.4 мы можем записать левый сдвиг L ( a ) вместо преобразования f ( a ) .Пусть a , b ∈ A . Тогда мы можем найти одно и только одно a ∈ A такое, что b = a ∗ a = a ◦ R ( a ) Мы предположим h ( a ) = R ( a ) Существует b ∈ A такое, что c = f ( b ) • a = L ( b ) ◦ a d = f ( b ) • b = L ( b ) ◦ b Согласно теореме 5.5.7 диаграмма(5.5.5) a h ( a )= R ( a ) / / f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) b f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) c h ( a )= R ( a ) / / d коммутативна.Изменяя b мы получим, что c - это произвольное A -число.Мы видим из диаграммы, что, если a = b , то c = d и следовательно h ( e ) = δ . С другой стороны, если a = b , то c = d потому, что левосторон-нее A -представление f однотранзитивно. Следовательно правостороннее A -представление h эффективно.Таким же образам мы можем показать, что для данного c мы можем найти a такое, что d = c • h ( a ) . Следовательно правостороннее A -представление h однотранзитивно.В общем случае, произведение преобразований левостороннего A -пред-ставления f не коммутативно и следовательно правосторонним A -представ-ление h отлично от левостороннего A -представления f . Таким же образом мыможем создать левостороннее A -представление f , пользуясь правосторонним A -представлением h . (cid:3) Мы будем называть представления f и h парными представлениями мультипликативной Ω -группы A . Это утверждение можно также найти в [4]. Ω -группы Замечание . Очевидно, что преобразования L ( a ) и R ( a ) отличают-ся, если мультипликативная Ω -группа A неабелева. Тем не менее, они яв-ляются отображениями на. Теорема 5.5.9 утверждает, что, если оба пред-ставления правого и левого сдвига существуют на множестве A , то мыможем определить два перестановочных представления на множестве A .Только правый или левый сдвиг не может представлять оба типа представ-ления. Чтобы понять почему это так, мы можем изменить диаграмму (5.5.5) и предположить h ( a ) • a = L ( a ) ◦ a = b вместо a • h ( a ) = a ◦ R ( a ) = b и проанализировать, какое выражение h ( a ) имеет в точке c . Диаграмма a h ( a )= L ( a ) / / f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) b f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) c h ( a ) / / d эквивалентна диаграмме a h ( a )= L ( a ) / / b f ( b )= L ( b ) (cid:15) (cid:15) c h ( a ) / / ( f ( b )) − = L ( b − ) O O d и мы имеем d = b b = b a a = b a b − c . Следовательно h ( a ) • c = ( b a b − ) c Мы видим, что представление h зависит от его аргумента. (cid:3) Теорема . Пусть f и h - парные преставления мультипликатив-ной Ω -группы A . Для любого a ∈ A отображение h ( a ) является авто-морфизмом представления f . Доказательство.
Следствие теорем 5.5.8 и 5.5.9. (cid:3)
Вопрос . Существует ли морфизм представлений из L в L , от-личный от автоморфизма R ( a ) ? Если мы положим r ( a ) = c a c − r ( a ) ◦ a = c a a c − то нетрудно убедиться, что отображение ( r r ( a )) является морфизмомпредставлений из L в L . Но это отображение не является автоморфизмомпредставления L , так как r = id . (cid:3) лава 6 Базис представления универсальной алгебры
Определение . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Множество B ⊂ A называ-ется стабильным множеством представления f , если f ( a )( m ) ∈ B длялюбых a ∈ A , m ∈ B . (cid:3) Мы также будем говорить, что множество A стабильно относительно пред-ставления f . Теорема . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пусть множество B ⊂ A является подалгеброй Ω -алгебры A и стабильным множеством представ-ления f . Тогда существует представление f B : A ∗ / / B такое, что f B ( a ) = f ( a ) | B . Представление f B называется подпредстав-лением представления f . Доказательство.
Пусть ω - n -арная операция Ω -алгебры A . Тогда длялюбых a , ..., a n ∈ A и любого b ∈ B ( f B ( a ) ...f B ( a n ) ω )( b ) = ( f ( a ) ...f ( a n ) ω )( b ) = f ( a ...a n ω )( b )= f B ( a ...a n ω )( b ) Пусть ω - n -арная операция Ω -алгебры A . Тогда для любых b , ..., b n ∈ B и любого a ∈ A f B ( a )( b ) ...f B ( a )( b n ) ω = f ( a )( b ) ...f ( a )( b n ) ω = f ( a )( b ...b n ω )= f B ( a )( b ...b n ω ) Утверждение теоремы доказано. (cid:3)
Из теоремы 6.1.2 следует, что если f B - подпредставление представления f , то отображение (id : A → A, id B : B → A ) является морфизмом представлений.
890 6. Базис представления универсальной алгебры
Теорема . Множество B f всех подпредставлений представле-ния f порождает систему замыканий на Ω -алгебре A и, следовательно,является полной структурой. Доказательство.
Пусть ( K λ ) λ ∈ Λ - семейство подалгебр Ω -алгебры A ,стабильных относительно представления f . Операцию пересечения на множе-стве B f мы определим согласно правилу \ f K λ = f ∩ K λ Операция пересечения подпредставлений определена корректно. ∩ K λ - подал-гебра Ω -алгебры A . Пусть m ∈ ∩ K λ . Для любого λ ∈ Λ и для любого a ∈ A , f ( a )( m ) ∈ K λ . Следовательно, f ( a )( m ) ∈ ∩ K λ . Следовательно, ∩ K λ - стабиль-ное множество представления f . (cid:3) Обозначим соответствующий оператор замыкания через J [ f ] . Таким об-разом, J [ f, X ] является пересечением всех подалгебр Ω -алгебры A , содер-жащих X и стабильных относительно представления f . Теорема . Пусть g : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пусть X ⊂ A . Определимподмножество X k ⊂ A индукцией по k . X = X x ∈ X k = > x ∈ X k +1 x ∈ X k , ..., x n ∈ X k , ω ∈ Ω ( n ) = > x ...x n ω ∈ X k +1 x ∈ X k , a ∈ A = > f ( a )( x ) ∈ X k +1 Тогда (6.1.1) ∞ [ k =0 X k = J [ f, X ] Доказательство.
Если положим U = ∪ X k , то по определению X k имеем X ⊂ J [ f, X ] , и если X k ⊂ J [ f, X ] , то X k +1 ⊂ J [ f, X ] . По индукции следует,что X k ⊂ J [ f, X ] для всех k . Следовательно,(6.1.2) U ⊂ J [ f, X ] Если a ∈ U n , a = ( a , ..., a n ) , где a i ∈ X k i , и если k = max { k , ..., k n } , то a ...a n ω ∈ X k +1 ⊂ U . Следовательно, U является подалгеброй Ω -алгебры A .Если m ∈ U , то m ∈ X k для некоторого k . Следовательно, f ( a )( m ) ∈ X k +1 ⊂ U для любого a ∈ A . Следовательно, U - стабильное множествопредставления f .Так как U - подалгебра Ω -алгебры A и стабильное множество представ-ления f , то определено подпредставление f U . Следовательно,(6.1.3) J [ f, X ] ⊂ U Это определение аналогично определению структуры подалгебр ([14], стр. 93, 94). Во-обще говоря, в этой и последующих теоремах этой главы необходимо рассмотреть структурууниверсальных алгебр A и A . Так как основная задача этой главы - это изучение струк-туры представления, я сознательно упростил теоремы, чтобы детали не заслоняли основныеутверждения. Более подробно эта тема будет раскрыта в главе 8, где теоремы будут сфор-мулированы в общем виде. Утверждение теоремы аналогично утверждению теоремы 5.1, [14], страница 94. .1. Множество образующих представления 91
Из (6.1.2), (6.1.3), следует J [ f, X ] = U . (cid:3) Определение . J [ f, X ] называется подпредставлением , порож-дённым множеством X , а X - множеством образующих подпредставления J [ f, X ] . В частности, множеством образующих представления f будеттакое подмножество X ⊂ A , что J [ f, X ] = A . (cid:3) Следующее определение является следствием теоремы 6.1.4.
Определение . Пусть X ⊂ A . Для любого m ∈ J [ f, X ] существу-ет Ω -слово w [ f, X, m ] , определённое согласно следующему правилам. Если m ∈ X , то m - Ω -слово. Если m , ..., m n - Ω -слова и ω ∈ Ω ( n ) , то m ...m n ω - Ω -слово. Если m - Ω -слово и a ∈ A , то f ( a )( m ) - Ω -слово.Мы будем отождествлять элемент m ∈ J [ f, X ] и соответствующее ему Ω -слово, выражая это равенством m = w [ f, X, m ] Аналогично, для произвольного множества B ⊂ J [ f, X ] рассмотрим мно-жество Ω -слов w [ f, X, B ] = { w [ f, X, m ] : m ∈ B } Мы будем также пользоваться записью w [ f, X, B ] = ( w [ f, X, m ] , m ∈ B ) Обозначим w [ f, X ] множество Ω -слов представления J [ f, X ] . (cid:3) Теорема . w [ f, X, X ] = X . Доказательство.
Теорема является следствием утверждения 6.1.6.1. (cid:3)
Теорема . Пусть X , Y - множества образующих представления f : A ∗ / / A Пусть w [ f, X, m ] - Ω -слово A -числа m относительно множества образую-щих X . Пусть w [ f, Y, X ] - множество Ω -слов множества X относительномножества образующих Y . Если в слове w [ f, X, m ] вместо каждого x ∈ X подставить его образ w [ f, Y, x ] , то мы получим Ω -слово w [ f, Y, m ] A -числа m относительно множества образующих Y .Преобразование Ω -слов w [ f, X, m ] → w [ f, Y, m ] w [ f, Y, m ] = w [ f, Y, X ] ◦ w [ f, X, m ] называется суперпозицией координат. Выражение w [ f, X, m ] является частным случаем выражения w [ f, X, B ] , а именно w [ f, X, { m } ] = { w [ f, X, m ] } Доказательство.
Мы будем доказывать теорему индукцией по сложно-сти Ω -слова.Если m ∈ X , то w [ f, X, m ] = m . Если вместо m подставить его образ w [ f, Y, m ] , то мы получим Ω -слово w [ f, Y, m ] A -числа m относительно множе-ства образующих Y .Пусть Ω -слово w [ f, X, m ] A -числа m имеет вид(6.1.4) w [ f, X, m ] = w [ f, X, m ] ...w [ f, X, m n ] ω где ω ∈ Ω ( n ) и для каждого A -числа m i мы определили отображение w [ f, X, m i ] → w [ f, Y, m i ] Согласно утверждению 6.1.6.2 выражение w [ f, Y, m ] ...w [ f, Y, m n ] ω является Ω -словом w [ f, Y, m ] A -числа m относительно множества образую-щих Y . Следовательно, мы определили отображение w [ f, X, m ] → w [ f, Y, m ] для A -числа m .Пусть Ω -слово w [ f, X, m ] A -числа m имеет вид(6.1.5) w [ f, X, m ] = f ( a )( w [ f, X, m ]) где для A -числа m мы определили отображение w [ f, X, m ] → w [ f, Y, m ] Согласно утверждению 6.1.6.3 выражение f ( a )( w [ f, Y, m ]) является Ω -словом w [ f, Y, m ] A -числа m относительно множества образую-щих Y . Следовательно, мы определили отображение w [ f, X, m ] → w [ f, Y, m ] для A -числа m . (cid:3) Выбор Ω -слова относительно множества образующих X неоднозначен. По-этому, если Ω -число имеет различные Ω -слова, то мы, чтобы их отличать,будем пользоваться индексами: w [ f, X, m ] , w [ f, X, m ] , w [ f, X, m ] . Определение . Множество образующих X представления f порож-дает отношение эквивалентности ρ [ f, X ] = { ( w [ f, X, m ] , w [ f, X, m ]) : m ∈ A } на множестве Ω -слов. (cid:3) Согласно определению 6.1.9, два Ω -слова относительно множества обра-зующих X представления f эквивалентны тогда и только тогда, когда онисоответствуют одному и тому же A -числу. Когда мы будем записывать ра-венство двух Ω -слов относительно множества образующих X представления f , мы будем иметь в виду, что это равенство верно с точностью до отношенияэквивалентности ρ [ f, X ] . .1. Множество образующих представления 93 Теорема . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пусть g : A ∗ / / B представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Пусть X - множество обра-зующих представления f . Пусть R : A → B приведенный морфизм представления и X ′ = R ( X ) . Приведенный морфизм R представления порождает отображение Ω -слов w [ f → g, X, R ] : w [ f, X ] → w [ g, X ′ ] такое, что Если m ∈ X , m ′ = R ( m ) , то w [ f → g, X, R ]( m ) = m ′ Если m , ..., m n ∈ w [ f, X ] m ′ = w [ f → g, X, R ]( m ) ... m ′ n = w [ f → g, X, R ]( m n ) то для операции ω ∈ Ω ( n ) справедливо w [ f → g, X, R ]( m ...m n ω ) = m ′ ...m ′ n ω Если m ∈ w [ f, X ] m ′ = w [ f → g, X, R ]( m ) a ∈ A то w [ f → g, X, R ]( f ( a )( m )) = g ( a )( m ′ ) Доказательство.
Утверждения 6.1.10.1, 6.1.10.2 справедливы в силу опре-деления приведенного морфизма R . Утверждение 6.1.10.3 является следствиемравенства (3.4.5). (cid:3) Замечание . Пусть R : A → B приведенный морфизм представления. Пусть m ∈ J [ f, X ] m ′ = R ( m ) X ′ = R ( X ) Теорема 6.1.10 утверждает, что m ′ ∈ J [ g, X ′ ] . Теорема 6.1.10 также утвер-ждает, что Ω -слово, представляющее m , относительно X и Ω -слово, пред-ставляющее m ′ , относительно X ′ формируются согласно одному и тому же Я рассмотрел морфизм представления в теореме 8.1.7. алгоритму. Это позволяет рассматривать множество Ω -слов w [ g, X ′ , m ′ ] как отображение (6.1.6) W [ f, X, m ] : ( g, X ′ ) → ( g, X ′ ) ◦ W [ f, X, m ] = w [ g, X ′ , m ′ ] где X ′ = R ( X ) m ′ = R ( m ) для некоторого приведенного морфизма R .Если f = g , то вместо отображения (6.1.6) мы будем рассматриватьотображение W [ f, X, m ] : X ′ → X ′ ◦ W [ f, X, m ] = w [ f, X ′ , m ′ ] такое, что, если для некоторого эндоморфизма RX ′ = R ( X ) m ′ = R ( m ) то W [ f, X, m ]( X ′ ) = X ′ ◦ W [ f, X, m ] = w [ f, X ′ , m ′ ] = m ′ Отображение W [ f, X, m ] называется координатами A -числа m отно-сительно множества X . Аналогично, мы можем рассмотреть координатымножества B ⊂ J [ f, X ] относительно множества XW [ f, X, B ] = { W [ f, X, m ] : m ∈ B } = ( W [ f, X, m ] , m ∈ B ) Обозначим W [ f, X ] = { W [ f, X, m ] : m ∈ J [ f, X ] } = ( W [ f, X, m ] , m ∈ J [ f, X ]) множество координат представления J [ f, X ] . (cid:3) Теорема . На множестве координат W [ f, X ] определена структу-ра Ω -алгебры. Доказательство.
Пусть ω ∈ Ω ( n ) . Тогда для любых m , ..., m n ∈ J [ f, X ] положим(6.1.7) W [ f, X, m ] ...W [ f, X, m n ] ω = W [ f, X, m ...m n ω ] Согласно замечанию 6.1.11, из равенства (6.1.7) следует(6.1.8) X ◦ ( W [ f, X, m ] ...W [ f, X, m n ] ω ) = X ◦ W [ f, X, m ...m n ω ]= w [ f, X, m ...m n ω ] Согласно правилу 6.1.6.2, из равенства (6.1.8) следует X ◦ ( W [ f, X, m ] ...W [ f, X, m n ] ω )= w [ f, X, m ] ...w [ f, X, m n ] ω = ( X ◦ W [ f, X, m ]) ... ( X ◦ W [ f, X, m n ]) ω (6.1.9)Из равенства (6.1.9) следует корректность определения (6.1.7) операции ω намножестве координат. (cid:3) Теорема . Определено представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре W [ f, X ] . .1. Множество образующих представления 95 Доказательство.
Пусть a ∈ A . Тогда для любого m ∈ J [ f, X ] положим(6.1.10) f ( a )( W [ f, X, m ]) = W [ f, X, f ( a )( m )] Согласно замечанию 6.1.11, из равенства (6.1.10) следует(6.1.11) X ◦ ( f ( a )( W [ f, X, m ])) = X ◦ W [ f, X, f ( a )( m )] = w [ f, X, f ( a )( m )] Согласно правилу 6.1.6.3, из равенства (6.1.11) следует(6.1.12) X ◦ ( f ( a )( W [ f, X, m ])) = f ( a )( w [ f, X, m ]) = f ( a )( X ◦ W [ f, X, m ]) Из равенства (6.1.12) следует корректность определения (6.1.10) представления Ω -алгебры A в Ω -алгебре W [ f, X ] . (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пусть g : A ∗ / / B представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Для заданных множеств X ⊂ A , X ′ ⊂ B , пусть отображение R : X → X ′ согласовано со структурой представления f , т. е. ω ∈ Ω ( n ) x , ..., x n , x ...x n ω ∈ X, R ( x ...x n ω ) ∈ X ′ = >R ( x ...x n ω ) = R ( x ) ...R ( x n ) ωx ∈ X, a ∈ A, R ( f ( a )( x )) ∈ X ′ = >R ( f ( a )( x )) = g ( a )( R ( x )) Рассмотрим отображение Ω -слов w [ f → g, X, X ′ , R ] : w [ f, X ] → w [ g, X ′ ] удовлетворяющее условиям 6.1.10.1, 6.1.10.2, 6.1.10.3, и такое, что x ∈ X = > w [ f → g, X, X ′ , R ]( x ) = R ( x ) Существует единственное отображение R : A → B определённое правилом R ( m ) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w [ f, X, m ]) которое является приведенным морфизмом представлнений J [ f, X ] и J [ g, X ′ ] . Доказательство.
Мы будем доказывать теорему индукцией по сложно-сти Ω -слова.Если w [ f, X, m ] = m , то m ∈ X . Согласно условию 6.1.10.1, R ( m ) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w [ f, X, m ]) = w [ f, X, R ]( m ) = R ( m ) Следовательно, на множестве X отображения R и R совпадают, и отображе-ние R согласовано со структурой представления f . Пусть ω ∈ Ω ( n ) . Пусть отображение R определено для m , ..., m n ∈ J [ f, X ] . Пусть w = w [ f, X, m ] ... w n = w [ f, X, m n ] сли m = m ...m n ω , то согласно правилу 6.1.6.2, w [ f, X, m ] = w ...w n ω Согласно условию 6.1.10.2, R ( m ) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w [ f, X, m ]) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w ...w n ω )= w [ f → g, X, X ′ , R ]( w ) ...w [ f → g, X, X ′ , R ]( w n ) ω = R ( m ) ...R ( m n ) ω Следовательно, отображение R является эндоморфизмом Ω -алгебры A .Пусть отображение R определено для m ∈ J [ f, X ] , w = w [ f, X, m ] .Пусть a ∈ A . Если m = f ( a )( m ) , то согласно правилу 6.1.6.3, w [ f, X, f ( a )( m )] = f ( a )( w ) Согласно условию 6.1.10.3, R ( m ) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( w [ f, X, m ]) = w [ f → g, X, X ′ , R ]( f ( a )( w ))= f ( a )( w [ f → g, X, X ′ , R ]( w )) = f ( a )( R ( m )) Из равенства (3.2.3) следует, что отображение R является морфизмом пред-ставления f .Единственность эндоморфизма R , а следовательно, корректность его опре-деления, следует из следующего рассуждения. Допустим, m ∈ A имеет раз-личные Ω -слова относительно множества X , например(6.1.13) m = x ...x n ω = f ( a )( x ) Так как R - эндомоморфизм представления, то из равенства (6.1.13) следует(6.1.14) R ( m ) = R ( x ...x n ω ) = R ( x ) ...R ( x n ) ω = R ( f ( a )( x )) = f ( a )( R ( x )) Из равенства (6.1.14) следует(6.1.15) R ( m ) = R ( x ) ...R ( x n ) ω = f ( a )( R ( x )) Из равенств (6.1.13), (6.1.15) следует, что равенство (6.1.13) сохраняется приотображении. Следовательно, образ A не зависит от выбора координат. (cid:3) Замечание . Теорема 6.1.14 - это теорема о продолжении отоб-ражения. Единственное, что нам известно о множестве X - это то, что X - множество образующих представления f . Однако, между элементамимножества X могут существовать соотношения, порождённые либо опера-циями Ω -алгебры A , либо преобразованиями представления f . Поэтому про-извольное отображение множества X , вообще говоря, не может быть про-должено до приведенного морфизма представления f . Однако, если отобра-жение R согласованно со структурой представления на множестве X , томы можем построить продолжение этого отображения, которое являетсяприведенным морфизмом представления f . (cid:3) В теореме 6.2.10, требования к множеству образующих более жёсткие. Поэтому теорема6.2.10 говорит о продолжении произвольного отображения. Более подробный анализ дан взамечании 6.2.12. .1. Множество образующих представления 97
Определение . Пусть X - множество образующих представления f : A ∗ / / A Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пусть Y - множество образующих представ-ления g : A ∗ / / B Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Пусть R : A → B приведенный морфизм представления f . Множество координат W [ g, Y, R ( X )] называется координатами приведенного морфизмапредставления . (cid:3) Из определений 6.1.6, 6.1.16 следует, что W [ g, Y, R ( X )] = ( W [ g, Y, R ( x )] , x ∈ X ) Пусть m ∈ A . Если в слове w [ f, X, m ] вместо каждого x ∈ X подставитьего образ w [ g, Y, R ( x )] , то, согласно теореме 6.1.14, мы получим Ω -слово w [ g, Y, R ( m )] . Из этого утверждения следует определение 6.1.17. Определение . Пусть X - множество образующих представления f : A ∗ / / A Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пусть Y - множество образующих представ-ления g : A ∗ / / B Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Пусть RR : A → B приведенный морфизм представления f . Пусть m ∈ A . Мы определим су-перпозицию координат приведенного морфизма R представления f и A -числа m как координаты, определённые согласно правилу (6.1.16) W [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, m ] = W [ g, Y, R ( m )] Мы определим суперпозицию координат приведенного морфизма R представ-ления f и множества B ⊆ A согласно правилу (6.1.17) W [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, B ] = ( W [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, m ] , m ∈ B ) W [ g, Y, R ( X )] ◦ w [ f, X, B ] = w [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, B ] = w [ g, Y, R ( B )] (cid:3) Теорема . Пусть X - множество образующих представления f : A ∗ / / A Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пусть Y - множество образующих представ-ления g : A ∗ / / B Ω -алгебры A в Ω -алгебре B . Приведенный морфизм представления R : A → B порождает отображение координат представления (6.1.18) W [ f → g, X, Y, R ] : W [ f, X ] → W [ g, Y ] такое, что (6.1.19) W [ f, X, m ] → W [ f → g, X, Y, R ] ◦ W [ f, X, m ] = W [ g, Y, R ( m )] Доказательство.
Согласно замечанию 6.1.11, мы можем рассматриватьравенства (6.1.16), (6.1.18) относительно заданных множеств образующих X , Y . При этом координатам W [ f, X, m ] соответствует слово(6.1.20) X ◦ W [ f, X, m ] = w [ f, X, m ] а координатам W [ g, Y, R ( m )] соответствует слово(6.1.21) Y ◦ W [ g, Y, R ( m )] = w [ g, Y, R ( m )] Поэтому для того, чтобы доказать теорему, нам достаточно показать, что отоб-ражению W [ f, X, R ] соответствует отображение w [ f, X, R ] . Мы будем доказы-вать это утверждение индукцией по сложности Ω -слова.Если m ∈ X , m ′ = R ( m ) , то, согласно равенствам (6.1.20), (6.1.21), отоб-ражения W [ f, X, R ] и w [ f, X, R ] согласованы.Пусть для m , ..., m n ∈ X отображения W [ f, X, R ] и w [ f, X, R ] согласова-ны. Пусть ω ∈ Ω ( n ) . Согласно теореме 6.1.12(6.1.22) W [ f, X, m ...m n ω ] = W [ f, X, m ] ...W [ f, X, m n ] ω Так как R - эндоморфизм Ω -алгебры A , то из равенства (6.1.22) следует(6.1.23) W [ f, X, R ◦ ( m ...m n ω )] = W [ f, X, ( R ◦ m ) ... ( R ◦ m n ) ω ]= W [ f, X, R ◦ m ] ...W [ f, X, R ◦ m n ] ω Из равенств (6.1.22), (6.1.23) и предположения индукции следует, что отобра-жения W [ f, X, R ] и w [ f, X, R ] согласованы для m = m ...m n ω .Пусть для m ∈ A отображения W [ f, X, R ] и w [ f, X, R ] согласованы. Пусть a ∈ A . Согласно теореме 6.1.13(6.1.24) W [ f, X, f ( a )( m )] = f ( a )( W [ f, X, m ]) Так как R - эндоморфизм представления f , то из равенства (6.1.24) следует(6.1.25) W [ f, X, R ◦ f ( a )( m )] = W [ f, X, f ( a )( R ◦ m )] = f ( a )( W [ f, X, R ◦ m ]) Из равенств (6.1.24), (6.1.25) и предположения индукции следует, что отобра-жения W [ f, X, R ] и w [ f, X, R ] согласованы для m = f ( a )( m ) . (cid:3) Следствие . Пусть X - множество образующих представления f .Пусть R - эндоморфизм представления f . Отображение W [ f, X, R ] являетсяэндоморфизмом представления Ω -алгебры A в Ω -алгебре W [ f, X ] . (cid:3) В дальнейшем мы будем отождествлять отображение W [ f, X, R ] и множе-ство координат W [ f, X, R ◦ X ] . Теорема . Пусть X - множество образующих представления f .Пусть R - эндоморфизм представления f . Пусть Y ⊂ A . Тогда (6.1.26) W [ f, X, R ( X )] ◦ W [ f, X, Y ] = W [ f, X, R ( Y )] .1. Множество образующих представления 99 Доказательство.
Равенство (6.1.26) является следствием равенства R ◦ Y = ( R ◦ m, m ∈ Y ) а также равенств (6.1.16), (6.1.17). (cid:3) Теорема . Пусть X - множество образующих представления f .Пусть R , S - эндоморфизмы представления f . Тогда (6.1.27) W [ f, X, R ] ◦ W [ f, X, S ] = W [ f, X, R ◦ S ] Доказательство.
Равенство (6.1.27) следует из равенства (6.1.26), еслиположить Y = S ◦ X . (cid:3) Концепция суперпозиции координат очень проста и напоминает своеобраз-ную машину Тюринга. Если элемент m ∈ A имеет вид m = m ...m n ω или m = f ( a )( m ) то мы ищем координаты элементов m i , для того чтобы подставить их в соот-ветствующее выражение. Как только элемент m ∈ A принадлежит множествуобразующих Ω -алгебры A , мы выбираем координаты соответствующего эле-мента из второго множителя. Поэтому мы требуем, чтобы второй множительв суперпозиции был множеством координат образа множества образующих X .Следующие формы записи образа множества Y при эндоморфизме R эк-вивалентны.(6.1.28) R ◦ Y = ( R ( X )) ◦ W [ f, X, Y ] = ( X ◦ W [ f, X, R ]) ◦ W [ f, X, Y ] Из равенств (6.1.26), (6.1.28) следует, что(6.1.29) X ◦ ( W [ f, X, R ] ◦ W [ f, X, Y ]) = ( X ◦ W [ f, X, R ]) ◦ W [ f, X, Y ] Равенство (6.1.29) является законом ассоциативности для операции компози-ции и позволяет записать выражение X ◦ W [ f, X, R ] ◦ W [ f, X, Y ] без использования скобок. Определение . Пусть X ⊂ A - множество образующих представ-ления f : A ∗ / / A Пусть отображение H : A → A является эндоморфизмом представления f . Пусть множество X ′ = H ◦ X является образом множества X при отображении H . Эндоморфизм H пред-ставления f называется невырожденным на множестве образующих X , еслимножество X ′ является множеством образующих представления f . В про-тивном случае, эндоморфизм H представления f называется вырожденнымна множестве образующих X . (cid:3) Определение . Эндоморфизм представления f называется невы-рожденным , если он невырожден на любом множестве образующих. В про-тивном случае, эндоморфизм H представления f называется вырожден-ным . (cid:3)
00 6. Базис представления универсальной алгебры
Теорема . Автоморфизм R представления f : A ∗ / / A является невырожденным эндоморфизмом. Доказательство.
Пусть X - множество образующих представления f .Пусть X ′ = R ( X ) .Согласно теореме 6.1.10 эндоморфизм R порождает отображение Ω -слов w [ f → g, X, R ] .Пусть m ′ ∈ A . Так как R - автоморфизм, то существует m ∈ A , R ◦ m = m ′ . Согласно определению 6.1.6, w [ f, X, m ] - Ω -слово, представляющее A относительно множества образующих X . Согласно теореме 6.1.10, w [ f, X ′ , m ′ ] - Ω -слово, представляющее m ′ относительно множества образующих X ′ w [ f, X ′ , m ′ ] = w [ f → g, X, R ]( w [ f, X, m ]) Следовательно, X ′ - множество образующих представления f . Согласно опре-делению 6.1.23, автоморфизм R - невырожден. (cid:3) Определение . Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A и Gen [ f ] = { X ⊆ A : J [ f, X ] = A } Если для множества X ⊂ A верно X ∈ Gen [ f ] , то для любого множества Y , X ⊂ Y ⊂ A , также верно Y ∈ Gen [ f ] . Если существует минималь-ное множество X ∈ Gen [ f ] , то множество X называется квазибазисомпредставления f . (cid:3) Теорема . Если множество X является квазибазисом представле-ния f , то для любого m ∈ X множество X \ { m } не является множествомобразующих представления f . Доказательство.
Пусть X - квазибазис представления f . Допустим длянекоторого m ∈ X существует Ω -слово w = w [ f, X \ { m } , m ] Рассмотрим A -число m ′ , для которого Ω -слово w ′ = w [ f, X, m ′ ] зависит от m . Согласно определению 6.1.6, любое вхождение A -числа m в Ω -слово w ′ может быть заменено Ω -словом w . Следовательно, Ω -слово w ′ не зависит от m , а множество X \ { m } является множеством образующих представления f .Следовательно, X не является квазибазисом расслоения f . (cid:3) Замечание . Доказательство теоремы 6.2.2 даёт нам эффектив-ный метод построения квазибазиса представления f . Выбрав произвольноемножество образующих, мы шаг за шагом исключаем те элементы мно-жества, которые имеют координаты относительно остальных элементовмножества. Если множество образующих представления бесконечно, то рас-смотренная операция может не иметь последнего шага. Если представлениеимеет конечное множество образующих, то за конечное число шагов мы мо-жем построить квазибазис этого представления. (cid:3) .2. Базис представления 101 Мы ввели Ω -слово элемента x ∈ A относительно множества образующих X в определении 6.1.6. Из теоремы 6.2.2 следует, что если множество образую-щих X не является квазибазисом, то выбор Ω -слова относительно множестваобразующих X неоднозначен. Но даже если множество образующих X явля-ется квазибазисом, то представление m ∈ A в виде Ω -слова неоднозначно. Замечание . Существует три источника неоднозначности в запи-си Ω -слова. В Ω i -алгебре A i , i = 1 , , могут быть определены равенства. На-пример, если e - единица мультипликативной группы A i , то верноравенство ae = a для любого a ∈ A i . Неоднозначность выбора Ω -слова может быть связана со свойства-ми представления. Например, если m , ..., m n - Ω -слова, ω ∈ Ω ( n ) и a ∈ A , то (6.2.1) f ( a )( m ...m n ω ) = ( f ( a )( m )) ... ( f ( a )( m n )) ω В тоже время, если ω является операцией Ω -алгебры A и опе-рацией Ω -алгебры A , то мы можем потребовать, что Ω -слова f ( a ...a n ω )( x ) и ( f ( a )( x )) ... ( f ( a n )( x )) ω описывают один и тот жеэлемент Ω -алгебры A . (6.2.2) f ( a ...a n ω )( x ) = ( f ( a )( x )) ... ( f ( a n )( x )) ω Равенства вида (6.2.1) , (6.2.2) сохраняются при морфизме представ-ления. Поэтому мы можем игнорировать эту форму неоднозначно-сти записи Ω -слова. Однако возможна принципиально другая форманеоднозначности, пример которой можно найти в теоремах 9.3.15,9.3.16.Таким образом, мы видим, что на множестве Ω -слов можно определитьразличные отношения эквивалентности. Наша задача - найти максималь-ное отношение эквивалентности на множестве Ω -слов, которое сохраняет-ся при морфизме представления.Аналогичное замечание касается отображения W [ f, X, m ] , определённогов замечании 6.1.11. (cid:3) Например, пусть { e , e } - базис векторного пространства над полем k . Равенство (6.2.1)принимает форму закона дистрибутивности a ( b e + b e ) = ( ab ) e + ( ab ) e Для векторного пространства это требование принимает форму закона дистрибутивно-сти ( a + b ) e = ae + be Очевидно, что каждое из равенств (6.2.1), (6.2.2) порождает некоторое отношение эк-вивалентности.
Если базис векторного пространства - конечен, то мы можем представить базис в видематрицы строки e = (cid:16) e ... e (cid:17)
02 6. Базис представления универсальной алгебры
Теорема . Пусть X - квазибазис представления f : A ∗ / / A Рассмотрим отношение эквивалентности λ [ f, X ] ⊆ w [ f, X ] × w [ f, X ] которое порождено исключительно следующими утверждениями. Если в Ω -алгебре A существует равенство w [ f, X, m ] = w [ f, X, m ] определяющее структуру Ω -алгебры, то ( w [ f, X, m ] , w [ f, X, m ]) ∈ λ [ f, X ] Если в Ω -алгебре A существует равенство w [ f, X, m ] = w [ f, X, m ] определяющее структуру Ω -алгебры, то ( f ( w )( w [ f, X, m ]) , f ( w )( w [ f, X, m ])) ∈ λ [ f, X ] Для любой операции ω ∈ Ω ( n ) , ( f ( a ...a n ω )( a ) , ( f ( a ) ...f ( a n ) ω )( a )) ∈ λ [ f, X ] Для любой операции ω ∈ Ω ( n ) , ( f ( a )( a ...a n ω ) , f ( a )( a ) ...f ( a )( a n ) ω ) ∈ λ [ f, X ] Пусть ω ∈ Ω ( n ) ∩ Ω ( n ) . Если представление f удовлетворяетравенству f ( a ...a n ω )( a ) = ( f ( a )( a )) ... ( f ( a n )( a )) ω то мы можем предположить, что верно равенство ( f ( a ...a n ω )( a ) , ( f ( a )( a )) ... ( f ( a n )( a )) ω ) ∈ λ [ f, X ] Мы можем представить отображение W [ f, e ]( v ) в виде матрицы столбца W [ f, e, v ] = v ...v n Тогда W [ f, e, v ]( e ′ ) = W [ f, e, v ] (cid:16) e ′ ... e ′ n (cid:17) = v ...v n (cid:16) e ′ ... e ′ n (cid:17) имеет вид произведения матриц. Рассмотрим представление коммутативного кольца D в D -алгебре A . Мы будем поль-зоваться записью f ( a )( v ) = av В обеих алгебрах определены операции сложения и умножения. Однако равенство f ( a + b )( v ) = f ( a )( v ) + f ( b )( v ) верно, а равенство f ( ab )( v ) = f ( a )( v ) f ( b )( v ) является ошибочным. .2. Базис представления 103 Доказательство.
Теорема верна, так как рассмотренные равенства со-храняются при гомоморфизмах универсальных алгебр A и A . (cid:3) Определение . Квазибазис e представления f такой, что ρ [ f, e ] = λ [ f, e ] называется базисом представления f . (cid:3) Замечание . Как отметил Кон в [14], cтр. 96, 97, представлениеможет иметь неэквивалентные базисы. Например, циклическая группа ше-стого порядка имеет базисы { a } и { a , a } , которые нельзя отобразить одинв другой эндоморфизмом представления. (cid:3) Замечание . Мы будем записывать базис также в виде e = ( e, e ∈ e ) Если базис - конечный, то мы будем также пользоваться записью e = ( e i , i ∈ I ) = ( e , ..., e n ) (cid:3) Теорема . Автоморфизм представления f отображает базис пред-ставления f в базис. Доказательство.
Пусть отображение R - автоморфизм представления f .Пусть множество e - базис представления f . Пусть e ′ = R ◦ e . Допустиммножество e ′ не является базисом. Согласно теореме 6.2.2 существует e ′ ∈ e ′ такое, что e ′ \{ e ′ } является множеством образующих представления f . Соглас-но теореме 3.5.5 отображение R − является автоморфизмом представления f .Согласно теореме 6.1.24 и определению 6.1.23, множество e \{ e } является мно-жеством образующих представления f . Полученное противоречие доказываеттеорему. (cid:3) Теорема . Пусть e - базис представления f . Пусть R : e → e ′ произвольное отображение множества X . Рассмотрим отображение Ω -слов w [ f → g, e, e ′ , R ] : w [ f, e ] → w [ g, e ′ ] удовлетворяющее условиям 6.1.10.1, 6.1.10.2, 6.1.10.3, и такое, что e ∈ e = > w [ f → g, e, e ′ , R ]( e ) = R ( e ) Существует единственный эндоморфизм представлнения f r : A → A определённый правилом R ( m ) = w [ f → g, e, e ′ , R ]( w [ f, e, m ]) Доказательство.
Утверждение теоремы является следствием теорем 6.1.10,6.1.14. (cid:3)
Согласно определениям 5.1.3, 6.4.1, мы будем пользоваться записью R ( e ) = R ◦ e . Это утверждение похоже на теорему [2]-1, с. 104.
04 6. Базис представления универсальной алгебры
Следствие . Пусть e , e ′ - базисы представления f . Пусть R - ав-томорфизм представления f такой, что e ′ = R ◦ e . Автоморфизм R опре-делён однозначно. (cid:3) Замечание . Теорема 6.2.10, так же как и теорема 6.1.14, являет-ся теоремой о продолжении отображения. Однако здесь e - не произвольноемножество образующих представления, а базис. Согласно замечанию 6.2.3,мы не можем определить координаты любого элемента базиса через осталь-ные элементы этого же базиса. Поэтому отпадает необходимость в согла-сованности отображения базиса с представлением. (cid:3) Теорема . Набор координат W [ f, e, e ] соответствует тожде-ственному преобразованию W [ f, e, E ] = W [ f, e, e ] Доказательство.
Утверждение теоремы следует из равенства m = e ◦ W [ f, e, m ] = e ◦ W [ f, e, e ] ◦ W [ f, e, m ] (cid:3) Теорема . Пусть W [ f, e, R ◦ e ] - множество координат автомор-физма R . Определено множество координат W [ f, R ◦ e, e ] , соответствующееавтоморфизму R − . Множество координат W [ f, R ◦ e, e ] удовлетворяют ра-венству (6.2.3) W [ f, e, R ◦ e ] ◦ W [ f, R ◦ e, e ] = W [ f, e, e ] W [ f → f, e, e, R − ] = W [ f → f, e, e, R ] − = W [ f, R ◦ e, e ] Доказательство.
Поскольку R - автоморфизм представления f , то, со-гласно теореме 6.2.9, множество R ◦ e - базис представления f . Следовательно,определено множество координат W [ f, R ◦ e, e ] . Равенство (6.2.3) следует изцепочки равенств W [ f, e, R ◦ e ] ◦ W [ f, R ◦ e, e ] = W [ f, e, R ◦ e ] ◦ W [ f, e, R − ◦ e ]= W [ f, e, R ◦ R − ◦ e ] = W [ f, e, e ] (cid:3) Замечание . В Ω -алгебре A не существует универсального алго-ритма определения множества координат W [ f, R ◦ e, e ] для заданного мно-жества W [ f, e, R ◦ e ] . Мы полагаем, что в теореме 6.2.14 этот алгоритмзадан неявно. Очевидно также, что множество Ω -слов (6.2.4) e ◦ W [ f, R ◦ e, e ] ◦ W [ f, e, R ◦ e ] вообще говоря, не совпадает с множеством Ω -слов (6.2.5) e ◦ W [ f, e, e ] Теорема 6.2.14 утверждает, что множества Ω -слов (6.2.4) и (6.2.5) совпа-дают с точностью до отношения эквивалентности, порождённой представ-лением f . (cid:3) В векторном пространстве линейному преобразованию соответствует матрица чисел.Соответственно, обратному преобразованию соответствует обратная матрица. .3. Свободное представление 105
Теорема . Пусть W [ f, e, R ◦ e ] - множество координат авто-морфизма R . Пусть W [ f, e, S ◦ e ] - множество координат автоморфизма S .Множество координат автоморфизма ( R ◦ S ) − удовлетворяет равенству (6.2.6) W [ f, ( R ◦ S ) ◦ e, e ] = W [ f, S ◦ ( R ◦ e ) , e ] = W [ f, S ◦ e, e ] ◦ W [ f, R ◦ e, e ] Доказательство.
Равенство W [ f, ( R ◦ S ) ◦ e, e ] = W [ f, e, ( R ◦ S ) − ◦ e ] = W [ f, e, S − ◦ R − ◦ e ]= W [ f, e, S − ◦ e ] ◦ W [ f, e, R − ◦ e ]= W [ f, S ◦ e, e ] ◦ W [ f, R ◦ e, e ]= W [ f, S ◦ ( R ◦ e ) , e ] (6.2.7)является следствием теорем 6.1.21, 6.2.14. Равенство (6.2.6) является следстви-ем равенства (6.2.7). (cid:3) Теорема . Группа автоморфизмов GA ( f ) эффективного представ-ления f в Ω -алгебре A порождает эффективное левостороннее представле-ние в Ω -алгебре A . Доказательство.
Из следствия 6.2.11 следует, что если автоморфизм R отображает базис e в базис e ′ , то множество координат W [ f, e, e ′ ] однозначноопределяет автоморфизм R . Из теоремы 6.1.18 следует, что множество коор-динат W [ f, e, e ′ ] определяет правило отображения координат относительнобазиса e при автоморфизме представления f . Из равенства (6.1.28) следует,что автоморфизм R действует слева на элементы Ω -алгебры A . Из равен-ства (6.1.27) следует, что представление группы является левосторонним пред-ставлением. Согласно теореме 6.2.13 набор координат W [ f, e, e ] соответствуеттождественному преобразованию. Из теоремы 6.2.14 следует, что набор коор-динат W [ f, R ◦ e, e ] соответствует преобразованию, обратному преобразованию W [ f, e, R ◦ e ] . (cid:3) В разделе 3.1 мы рассмотрели определение 3.1.4 свободного представле-ния. Однако мы можем рассмотреть другое определение, которое аналогичноопределению свободного модуля.
Определение . Представление f : A ∗ / / A называется свободным, если это представление имеет базис. (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / A свободное представление согласно определению 6.3.1. Тогда представление f свободно согласно определению 3.1.4. Доказательство.
Пусть e - базис представления f и m ∈ e . Пусть су-ществуют A -числа a , b такие, что f ( a ) = f ( b ) . Согласно предположению f ( a )( m ) = f ( b )( m ) . Однако, если a = b , то f ( a )( m ) и f ( b )( m ) различные
06 6. Базис представления универсальной алгебры Ω -слова. Следовательно, e не является базисом. Из полученного противоре-чия следует, что a = b . Следовательно представление f свободно согласноопределению 3.1.4. (cid:3) Теорема . Пусть f : A ∗ / / A свободное представление согласно определению 3.1.4. Тогда представление f свободно согласно определению 6.3.1. Вопрос . Очень важно найти доказательство теоремы 6.3.3 илинайти пример, когда эта теорема не верна. Мы увидим в главе 7 какую рольиграет свободное представление согласно определению 6.3.1. Так как в даль-нейшем я буду предполагать, что представление всегда имеет базис, то врамках этой книги я могу ограничиться теоремой 6.3.2. (cid:3)
Множество B [ f ] базисов представления f называется многообразиембазисов представления f . Определение . Согласно теоремам 6.1.20, 6.2.9, автоморфизм R представления f порождает преобразование R : h → R ◦ hR ◦ h = W [ f, e, R ◦ e ] ◦ h (6.4.1) многообразия базисов представления. Это преобразование называется актив-ным . Согласно теореме 3.5.5, определено левостороннее представление A ( f ) : GA ( f ) ∗ / / B [ f ] группы GA ( f ) в многообразии базисов B [ f ] . Представление A ( f ) называется активным представлением . Согласно следствию 6.2.11, это представлениеоднотранзитивно. (cid:3) Замечание . Согласно замечанию 6.2.3, могут существовать бази-сы представления f , не связанные активным преобразованием. В этом случаемы в качестве многообразия базисов будем рассматривать орбиту выбранногобазиса. Следовательно, представление f может иметь различные многообра-зия базисов. Мы будем предполагать, что мы выбрали многообразие базисов. Теорема . Существует однотранзитивное правостороннее представ-ление P ( f ) : GA ( f ) ∗ / / B [ f ] группы GA ( f ) в многообразии базисов B [ f ] . Представление P ( f ) называется пассивным представлением . Доказательство.
Поскольку A ( f ) - однотранзитивное левостороннее пред-ставление группы GA ( f ) , то однотранзитивное правостороннее представление P ( f ) определено однозначно согласно теореме 5.5.9. (cid:3) .5. Геометрический объект представления универсальной алгебры 107 Теорема . Преобразование представления P ( f ) называется пассив-ным преобразованием многообразия базисов представления. Мы будемпользоваться записью S ( e ) = e ◦ S для обозначения образа базиса e при пассивном преобразовании S . Пассивноепреобразование базиса имеет вид S : h → h ◦ Sh ◦ S = h ◦ W [ f, e, e ◦ S ] (6.4.2) Доказательство.
Согласно равенству (6.4.1), активное преобразованиедействует на координаты базиса слева. Равенство (8.3.2) следует из теорем5.5.8, 5.5.9, 5.5.11, согласно которым пассивное преобразование действует накоординаты базиса справа. (cid:3)
Теорема . Пассивное преобразование многообразия базисов являетсяавтоморфизмом представления A ( f ) . Доказательство.
Теорема является следствием теоремы 5.5.11. (cid:3)
Теорема . Пусть S - пассивное преобразование многообразия базисовпредставления f . Пусть e - базис представления f , e = e ◦ S . Пусть длябазиса e существует активное преобразование R такое, что e = R ◦ e .Положим e = R ◦ e . Тогда e = e ◦ S . Доказательство.
Согласно равенству (6.4.1), активное преобразованиекоординат базиса e имеет вид(6.4.3) e = W [ f, e , e ] ◦ e = W [ f, e , e ] ◦ e ◦ W [ f, e , e ] Пусть e = e ◦ S . Из равенства (6.4.2) следует, что(6.4.4) e = e ◦ W [ f, e , e ] = W [ f, e , e ] ◦ e ◦ W [ f, e , e ] Из совпадения выражений в равенствах (6.4.3), (6.4.4) следует, что e = e .Следовательно, коммутативна диаграмма e ∈ B [ f ] S (cid:15) (cid:15) R / / e ∈ B [ f ] S (cid:15) (cid:15) e ∈ B [ f ] R / / e ∈ B [ f ] (cid:3) Активное преобразование изменяет базис представления и Ω -число согла-совано и координаты Ω -числа относительно базиса не меняются. Пассивноепреобразование меняет только базис, и это ведёт к изменению координат Ω -числа относительно базиса. Теорема . Допустим пассивное преобразование S ∈ GA ( f ) отобра-жает базис e ∈ B [ f ] в базис e ∈ B [ f ] (6.5.1) e = e ◦ S = e ◦ W [ f, e , e ◦ S ]
08 6. Базис представления универсальной алгебры
Допустим A -число m имеет Ω -слово (6.5.2) m = e ◦ W [ f, e , m ] относительно базиса e и имеет Ω -слово (6.5.3) m = e ◦ W [ f, e , m ] относительно базиса e . Преобразование координат (6.5.4) W [ f, e , m ] = W [ f, e ◦ S, e ] ◦ W [ f, e , m ] не зависит от A -числа m или базиса e , а определенно исключительно коор-динатами A -числа m относительно базиса e . Доказательство.
Из (6.5.1) и (6.5.3) следует, что e ◦ W [ f, e , m ] = e ◦ W [ f, e , m ] = e ◦ W [ f, e , e ] ◦ W [ f, e , m ]= e ◦ W [ f, e , e ◦ S ] ◦ W [ f, e , m ] (6.5.5)Сравнивая (6.5.2) и (6.5.5) получаем, что(6.5.6) W [ f, e , m ] = W [ f, e , e ◦ S ] ◦ W [ f, e , m ] Так как S - автоморфизм представления, то равенство (6.5.4) следует из (6.5.6)и теоремы 6.2.14. (cid:3) Теорема . Преобразования координат (6.5.4) порождают эффектив-ное контравариантное правостороннее представление группы GA ( f ) , называ-емое координатным представлением в Ω -алгебре. Доказательство.
Согласно следствию 6.1.19, преобразование (6.5.4) яв-ляется эндоморфизмом представления f : A ∗ / / W [ f, e ] Допустим мы имеем два последовательных пассивных преобразования S и T . Преобразование координат(6.5.7) W [ f, e , m ] = W [ f, e ◦ S, e ] ◦ W [ f, e , m ] соответствует пассивному преобразованию S . Преобразование координат(6.5.8) W [ f, e , m ] = W [ f, e ◦ T, e ] ◦ W [ f, e , m ] соответствует пассивному преобразованию T . Согласно теореме 6.4.3, произве-дение преобразований координат (6.5.7) и (6.5.8) имеет вид W [ f, e , m ] = W [ f, e ◦ T, e ] ◦ W [ f, e ◦ S, e ] ◦ W [ f, e , m ]= W [ f, e ◦ T ◦ S, e ] ◦ W [ f, e , m ] и является координатным преобразованием, соответствующим пассивному пре-образованию S ◦ T . Согласно теоремам 6.2.14, 6.2.16 и определению 5.1.11 пре-образования координат порождают правостороннее контравариантное пред-ставление группы GA ( f ) . Это преобразование не порождает эндоморфизма представления f . Координаты меня-ются, поскольку меняется базис, относительно которого мы определяем координаты. Однако A -число, координаты которого мы рассматриваем, не меняется. .5. Геометрический объект представления универсальной алгебры 109 Если координатное преобразование не изменяет координаты выбранногобазиса, то ему соответствует единица группы GA ( f ) , так как пассивное пред-ставление однотранзитивно. Следовательно, координатное представление эф-фективно. (cid:3) Пусть f - представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пусть g - пред-ставление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Пассивное представление P ( g ) со-гласовано с пассивным представлением P ( f ) , если существует гомоморфизм h группы GA ( f ) в группу GA ( g ) . Рассмотрим диаграмму End( B [ f ]) H / / End( B [ g ]) GA ( f ) P ( f ) O O h / / f ′ ❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦ GA ( g ) P ( g ) O O Так как отображения P ( f ) , P ( g ) являются изоморфизмами группы, то отоб-ражение H является гомоморфизмом групп. Следовательно, отображение f ′ является представлением группы GA ( f ) в многообразии базисов B ( g ) . Соглас-но построению, пассивному преобразованию S многообразии базисов B ( f ) со-ответствует пассивное преобразование H ( S ) многообразия базисов B ( g ) (6.5.9) e g = e g ◦ H ( S ) Тогда координатное преобразование в представлении g принимает вид(6.5.10) W [ g, e g , m ] = W [ g, e g ◦ H ( S ) , e g ] ◦ W [ g, e g , m ] Определение . Мы будем называть орбиту O ( f, g, e g , m ) = H ( GA ( f )) ◦ W [ g, e g , m ]= ( W [ g, e g ◦ H ( S ) , e g ] ◦ W [ g, e g , m ] , e f ◦ S, S ∈ GA ( f )) геометрическим объектом в координатном представлении , определён-ном в представлении f . Для любого базиса e f = e f ◦ S соответствующаяточка (6.5.10) орбиты определяет координаты геометрического объекта относительно базиса e f . (cid:3) Определение . Мы будем называть орбиту O ( f, g, m ) = ( W [ g, e g ◦ H ( S ) , e g ] ◦ W [ g, e g , m ] , e g ◦ H ( S ) , e f ◦ S, S ∈ GA ( f )) геометрическим объектом , определённым в представлении f . Мы будемтакже говорить, что m - это геометрический объект типа H . Для любогобазиса e f = e f ◦ S соответствующая точка (6.5.10) орбиты определяет A -число m = e g ◦ W [ g, e g , m ] которое мы называем представителем геометрического объекта в пред-ставлении f . (cid:3) Так как геометрический объект - это орбита представления, то согласнотеореме 5.3.7 определение геометрического объекта корректно.Определение 6.5.3 строит геометрический объект в координатном простран-стве. Определение 6.5.4 предполагает, что мы выбрали базис представления g .Это позволяет использовать представитель геометрического объекта вместоего координат.
10 6. Базис представления универсальной алгебры
Теорема . Представитель геометриче-ского объекта не зависит от выбора базиса e f . Доказательство.
Чтобы определить представителя геометрического объ-екта, мы должны выбрать базис e f представления f , базис e g представления g и координаты геометрического объекта W [ g, e g , n ] . Соответствующий пред-ставитель геометрического объекта имеет вид n = e g ◦ W [ g, e g , n ] Базис e f связан с базисом e f пассивным преобразованием e f = e f ◦ S Согласно построению это порождает пассивное преобразование (6.5.9) и коор-динатное преобразование (6.5.10). Соответствующий представитель геометри-ческого объекта имеет вид n ′ = e g ◦ W [ g, e g , n ′ ]= e g ◦ W [ g, e g , e g ◦ H ( S )] ◦ W [ g, e g ◦ H ( S ) , e g ] ◦ W [ g, e g , n ]= e g ◦ W [ g, e g , n ] = n Следовательно, представитель геометрического объекта инвариантен относи-тельно выбора базиса. (cid:3)
Теорема . Множество геометрических объектов типа H является Ω -алгеброй. Доказательство.
Пусть m i = e g ◦ W [ g, e g , m i ] i = 1 , ..., n Для операции ω ∈ Ω ( n ) мы положим(6.5.11) m ...m n ω = e g ◦ ( W [ g, e g , m ] ...W [ g, e g , m n ] ω ) Так как отображение W [ g, e g , e g ◦ H ( S )] для произвольного эндоморфизма S Ω -алгебры A является эндоморфизмом Ω -алгебры A , то определение(6.5.11) корректно. (cid:3) Теорема . Определено представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре N геометрических объектов типа H . Доказательство.
Пусть m = e g ◦ W [ g, e g , m ] Для a ∈ A , мы положим(6.5.12) f ( a )( m ) = e g ◦ f ( a )( W [ g, e g , m ]) Так как отображение W [ g, e g , e g ◦ H ( S )] для произвольного эндоморфизма S Ω -алгебры A является эндоморфизмом представления g , то определение(6.5.12) корректно. (cid:3) лава 7 Диаграмма представлений универсальных алгебр
Из сравнения теорем 6.1.4 и [14]-5.1 следует, что нет жёсткой границы меж-ду универсальной алгеброй и представлением универсальной алгебры. Отсюдаследует возможность обобщения теории представлений универсальной алгеб-ры. Самая простая конструкция возникает следующим образом. Пусть f : A ∗ / / A представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре A . Если мы вместо Ω -алгебры A рассмотрим представление f : A ∗ / / A Ω -алгебры A в Ω -алгебре A , то мы получим диаграмму вида(7.1.1) A ∗ f / / A ∗ f / / A Очевидно, что в диаграмме (7.1.1) мы можем положить, что A является пред-ставлением f : A ∗ / / A Цепочку представлений универсальных алгебр можно сделать сколь угоднодлиной. Таким образом мы получаем следующее определение.
Определение . Рассмотрим множество Ω k -алгебр A k , k = 1 , ..., n .Положим A = ( A , ..., A n ) . Положим f = ( f , ..., f n − n ) . Множество пред-ставлений f k k +1 , k = 1 , ..., n , Ω k -алгебры A k в Ω k +1 -алгебре A k +1 называется башней ( f, A ) представлений Ω -алгебр . (cid:3) Башню представлений ( f, A ) можно описать с помощью диаграммы A ∗ f / / A ∗ f / / ... ∗ f n − n / / A n Рассматривая башню представлений мы можем снова предположить, что A или A являются представлениями универсальных алгебр или башнями представлений. В этом случае диаграмма (7.1.1) примет вид A ∗ f / / A ∗ f / / A A ∗ f O O A ∗ f O O A ∗ f O O либо A ∗ f / / A ∗ f / / A A ∗ f O O A ∗ f O O A ∗ f O O Мы также допускаем, что некоторые алгебры или отображения на диаграммесовпадают. Таким образом, мы будем считать, что диаграммы A ∗ f / / A A ∗ g O O A ∗ h O O и A ∗ f / / A A ∗ ❇❇❇❇ g ` ` ❇❇❇❇ ∗ ⑤⑤⑤⑤ h > > ⑤⑤⑤⑤ эквивалентны. Определение . Диаграмма ( f, A ) представлений универсаль-ных алгебр - это такой ориентированный граф, что вершина A k , k = 1 , ..., n , является Ω k -алгеброй; ребро f kl является представлением Ω k -алгебры A k в Ω l -алгебре A l ;Мы будем требовать, чтобы этот граф был связным и не содержал циклов.Мы будем полагать, что A [0] - это множество начальных вершин графа.Мы будем полагать, что A [ k ] - это множество вершин графа, для которыхмаксимальный путь от начальных вершин равен k . (cid:3) Замечание . Так как в разных вершинах графа может быть одна итаже алгебра, то мы обозначим A = ( A (1) ... A ( n ) ) множество универ-сальных алгебр, которые попарно различны. Из равенства A = ( A (1) ... A ( n ) ) = ( A ... A n ) .1. Диаграмма представлений универсальных алгебр 113 следует, что для любого индекса ( i ) существует по крайней мере один индекс i такой, что A ( i ) = A i . Если даны два набора множеств A = ( A (1) ... A ( n ) ) , B = ( B (1) ... B ( n ) ) и определено отображение h ( i ) : A ( i ) → B ( i ) для некоторого индекса ( i ) , то также определено отображение h i : A i → B i для любого индекса i такого, что A ( i ) = A i и в этом случае h i = h ( i ) . (cid:3) Теорема . Пусть теорема T верна для множества универсальных алгебр A [0] диаграммы ( f, A ) пред-ставлений универсальных алгебр. Пусть из утверждения, что теорема T верна для множества универсальных алгебр A [ k ] диаграммы ( f, A ) представ-лений, следует утверждение, что теорема T верна для множества универ-сальных алгебр A [ k +1] диаграммы ( f, A ) представлений. Тогда теорема T вер-на для множества универсальных алгебр диаграммы ( f, A ) представлений. Доказательство.
Теорема является следствием принципа математиче-ской индукции. (cid:3)
Определение . Диаграмма ( f, A ) представлений универсальных ал-гебр называется коммутативной , если выполнено следующее условие. длякаждой пары представлений f ik : A i ∗ / / A k f jk : A j ∗ / / A k следующее равенство верно (7.1.2) f ik ( a i )( f jk ( a j )( a k )) = f jk ( a j )( f ik ( a i )( a k )) (cid:3) Теорема . Пусть f ij : A i ∗ / / A j представление Ω i -алгебры A i в Ω j -алгебре A j . Пусть f jk : A j ∗ / / A k представление Ω j -алгебры A j в Ω k -алгебре A k . Мы можем описать фраг-мент A i ∗ f ij / / A j ∗ f jk / / A k Образно говоря, представления f ik и f jk прозрачны друг для друга. Теорема 7.1.6 утверждает, что преобразования в башне представлений согласованы.
14 7. Диаграмма представлений универсальных алгебр диаграмы представлений с помощью диаграммы (7.1.3) A k f jk ( a j ) ; ; f jk ( f ij ( a i )( a j )) A k A j f ij ( a i ) / / A j A if ij K S f jk : B ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ f jk c k f ijk ( a i ) K S f ijk : Отображение f ijk : A i → End(Ω j , End(Ω k , A k )) определено равенством (7.1.4) f ijk ( a i )( f jk ( a j )) = f jk ( f ij ( a i )( a j )) где a i ∈ A i , a j ∈ A j . Если представление f jk эффективно и представление f ij свободно, то отображение f ijk является свободным представлением f ijk : A i ∗ / / End(Ω k , A k )Ω i -алгебры A i в Ω j -алгебре End(Ω k , A k ) . Доказательство.Лемма . Отображуние f ijk является инъекцией. Доказательство.
Пусть ( a i , b i ) ∈ ker f ijk . Тогда f jk ( f ij ( a i )( a j )) = f ijk ( a i )( f jk ( a j )) = f ijk ( b i )( f jk ( a j ))= f jk ( f ij ( b i )( a j )) (7.1.5)Если представление f jk эффективно, то равенство(7.1.6) f ij ( a i )( a j ) = f ij ( b i )( a j ) является следствием определения 3.1.2 и равенства (7.1.5) для любого a j ∈ A j .Утверждение a i = b i следует из определения 3.1.4. ⊙ Лемма . На множестве
End(Ω j , End(Ω k , A k )) определена структу-ра Ω i -алгебры. Доказательство.
Пусть ω ∈ Ω i . Пусть a , ..., a m ∈ A i . Мы определимоперацию ω на множестве End(Ω j , End(Ω k , A k )) с помощью равенства(7.1.7) f ijk ( a ) ...f ijk ( a m ) ω = f ijk ( a ...a m ω ) Согласно лемме 7.1.7, операция ω корректно определена равенством (7.1.7). ⊙ .1. Диаграмма представлений универсальных алгебр 115 Следствие . Отображение f ijk является гомоморфизмом Ω i -алгеб-ры. ⊙ Лемма . Отображение f ijk ( a ) является гомоморфизмом Ω j -алгеб-ры. Доказательство.
Пусть b , ..., b m ∈ A j . Тогда равенство(7.1.8) f ijk ( a )( f jk ( b )) ...f ijk ( a )( f jk ( b m )) ω = f jk ( f ij ( a )( b )) ...f jk ( f ij ( a )( b m )) ω является следствием равенства (7.1.4). Так как отображения f ij ( a ) , f jk явля-ются гомоморфизмами Ω j -алгебры, то равенство f ijk ( a )( f jk ( b )) ...f ijk ( a )( f jk ( b m )) ω = f jk ( f ij ( a )( b ) ...f ij ( a )( b m ) ω )= f jk ( f ij ( a )( b ...b m ω )) (7.1.9)является следствием равенства (7.1.8). Равенство(7.1.10) f ijk ( a )( f jk ( b )) ...f ijk ( a )( f jk ( b m )) ω = f ijk ( a )( f jk ( b ...b m ω )) является следствием равенств (7.1.4), (7.1.9). Так как отображение f jk являетсягомоморфизмом Ω -алгебры, то равенство(7.1.11) f ijk ( a )( f jk ( b )) ...f ijk ( a )( f jk ( b m )) ω = f ijk ( a )( f jk ( b ) ...f jk ( b m ) ω ) является следствием равенства (7.1.10). ⊙ Теорема является следствием следствия 7.1.9 и леммы 7.1.10. (cid:3)
Теорема . Отображение f jk является приведенным морфизмомпредставлений из f ij в f ijk . Доказательство.
Рассмотрим более детально диаграмму (7.1.3).(7.1.12) A j f jk / / End(Ω k , A k ) A i ∗ ❆❆❆❆ f ij ` ` ❆❆❆ ∗ sssss f ijk ssss Утверждение теоремы следует из равенства (7.1.4) и определения 3.4.2. (cid:3)
Теорема . Пусть f ij : A i ∗ / / A j представление Ω i -алгебры A i в Ω j -алгебре A j . Пусть f jk : A j ∗ / / A k представление Ω j -алгебры A j в Ω k -алгебре A k . Тогда существует представ-ление f ij,k : A i × A j ∗ / / A k множества A i × A j в Ω k -алгебре A k . Так как Ω i -алгебра A i и Ω j -алгебра A j имеют различный набор операций, мы не можемопределить структуру универсальной алгебры на множестве A i × A j .
16 7. Диаграмма представлений универсальных алгебр
Доказательство.
Мы можем описать фрагмент A i ∗ f ij / / A j ∗ f jk / / A k диаграмы представлений с помощью диаграммы(7.1.13) A i × A jf ij,k (cid:11) (cid:19) A k f jk ( f ij ( a i )( a j )) / / A k A j f ij ( a i ) / / A j A if ij K S f jk i q Из диаграммы (7.1.13) следует, что отображение f ij,k определено равенством f ij,k ( a i , a j ) = f jk ( f ij ( a i )( a j )) (cid:3) Определение . Пусть ( f, A ) - диаграмма представлений, где A =( A (1) ... A ( n ) ) - множество универсальных алгебр. Пусть ( B, g ) - диаграммапредставлений, где B = ( B (1) ... B ( n ) ) - множество универсальных алгебр.Множество отображений h = ( h (1) ... h ( n ) ) h ( i ) : A ( i ) → B ( i ) называется морфизмом из диаграммы представлений ( f, A ) в диаграм-му представлений ( B, g ) , если для любых индексов ( i ) , ( j ) , i , j таких, что A ( i ) = A i , A ( j ) = A j , и для каждого представления f ji : A j ∗ / / A i пара отображений ( h j h i ) является морфизмом представлений из f ji в g ji . (cid:3) Мы будем пользоваться записью h : A → B если кортеж отображений h является морфизмом из диаграммы представлений ( f, A ) в диаграмму представлений ( B, g ) .Очень часто при изучении морфизма представления универсальной алгеб-ры, мы предполагаем, что алгебра, порождающая представление, задана. По-этому нас не интересует отображение этой алгебры, и это соглашение упрощает .2. Морфизм диаграммы представлений 117 структуру морфизма. Такой морфизм представления мы называем приведен-ным морфизмом представления.Похожая задача встречается при изучении морфизма диаграммы представ-лений. Для каждой универсальной алгебры из диаграммы представлений су-ществует множество алгебр, предшествующих этой алгебре в соответствую-щем графе. Мы можем предположить, что некоторые из этих алгебр заданыи не рассматривать соответствующие гомоморфизмы. Соответствующий мор-физм диаграммы представлений также называется приведенным. Однако ввиду сложности структуры диаграммы представлений, мы не будем рассмат-ривать приведенные морфизмы диаграммы представлений.Для любого представления f ij , i = 1 , ..., n , j = 1 , ..., n , мы имеем диаграмму(7.2.1) A jf ij ( a i ) (cid:15) (cid:15) h j / / B jg ij ( h i ( a i )) (cid:15) (cid:15) (1) A j h j / / B j A i h i / / f ij B J ✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌ ✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌ B ig ij B J ✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌ ✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌✌ Равенства(7.2.2) h j ◦ f ij ( a i ) = g ij ( h i ( a i )) ◦ h j (7.2.3) h j ( f ij ( a i )( a j )) = g ij ( h i ( a i ))( h j ( a j )) выражают коммутативность диаграммы (1).Пусть определены представления f ij и f jk универсальных алгебр. Учиты-вая диаграмму (7.2.1) для представлений f ij и f jk , мы получим следующуюдиаграмму(7.2.4) A kf jk ( f ij ( a i )( a j )) ! ! ❇❇❇❇❇❇❇❇ h k / / B kg jk ( g ij ( h i ( a i ))( h j ( a j ))) } } ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ A k h k / / B k A k h k / / B k A kf jk ( a j ) = = ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ h k / / B kg jk ( h j ( a j )) a a ❇❇❇❇❇❇❇❇ f ijk ( a i ) K S g ijk ( h i ( a i )) K S F + Очевидно, что существует морфизм из
End(Ω k , A k ) в End(Ω k , B k ) , отобра-жающий f ijk ( a i ) в g ijk ( h k ( a i )) .
18 7. Диаграмма представлений универсальных алгебр
Теорема . Если представление f jk эффективно и представление f ij свободно, то ( h i , h ∗ k ) является морфизмом представлений из представле-ния f ijk в представление g ijk Ω i -алгебры. Доказательство.
Рассмотрим диаграмму A j f jk ( ( ❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘ f ij ( a i ) (cid:15) (cid:15) h j / / (2) B jg ij ( h i ( a i )) (cid:15) (cid:15) g jk v v ❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧ End(Ω k , A k ) f ijk ( a i ) (cid:15) (cid:15) h ∗ k / / (4) End(Ω k , B k ) g ijk ( h i ( a i )) (cid:15) (cid:15) (5)(1) End(Ω k , A k ) h ∗ k / / (3) End(Ω k , B k ) A j f jk ❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧ h j / / B jg jk h h ❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘ Существование отображения h ∗ k и коммутативность диаграмм (2) и (3) сле-дует из эффективности отображения f jk и теоремы 3.2.9. Коммутативностьдиаграмм (4) и (5) следует из теоремы 7.1.11.Из коммутативности диаграммы (4) следует(7.2.5) f jk ◦ f ij ( a i ) = f ijk ( a i ) ◦ f jk Из равенства (7.2.5) следует(7.2.6) h ∗ k ◦ f jk ◦ f ij ( a i ) = h ∗ k ◦ f ijk ( a i ) ◦ f jk Из коммутативности диаграммы (3) следует(7.2.7) h ∗ k ◦ f jk = g jk ◦ h j Из равенства (7.2.7) следует(7.2.8) h ∗ k ◦ f jk ◦ f ij ( a i ) = g jk ◦ h j ◦ f ij ( a i ) Из равенств (7.2.6) и (7.2.8) следует(7.2.9) h ∗ k ◦ f ijk ( a i ) ◦ f jk = g jk ◦ h j ◦ f ij ( a i ) Из коммутативности диаграммы (5) следует(7.2.10) g jk ◦ g ij ( h i ( a i )) = g ijk ( h i ( a i )) ◦ g jk Из равенства (7.2.10) следует(7.2.11) g jk ◦ g ij ( h i ( a i )) ◦ h j = g ijk ( h i ( a i )) ◦ g jk ◦ h j Из коммутативности диаграммы (2) следует(7.2.12) h ∗ k ◦ f jk = g jk ◦ h j Из равенства (7.2.12) следует(7.2.13) g ijk ( h i ( a i )) ◦ h ∗ k ◦ f jk = g ijk ( h i ( a i )) ◦ g jk ◦ h j Смотри определение отображения h ∗ в теореме 3.2.9. .2. Морфизм диаграммы представлений 119 Из равенств (7.2.11) и (7.2.13) следует(7.2.14) g jk ◦ g ij ( h i ( a i )) ◦ h j = g ij ( h i ( a i )) ◦ h ∗ k ◦ f jk Внешняя диаграмма является диаграммой (7.2.1) при i = 1 . Следователь-но, внешняя диаграмма коммутативна(7.2.15) h j ◦ f ij ( a i ) = g ij ( h i ( a i )) ◦ h j Из равенства (7.2.15) следует(7.2.16) g jk ◦ h J ◦ f ij ( a i ) = g jk ◦ g ij ( h i ( a i )) ◦ h j ( a j ) Из равенств (7.2.9), (7.2.14) и (7.2.16) следует(7.2.17) h ∗ k ◦ f ijk ( a i ) ◦ f jk = g ijk ( h i ( a i )) ◦ h ∗ k ◦ f jk Так как отображение f i +1 ,i +2 - инъекция, то из равенства (7.2.17) следует(7.2.18) h ∗ k ◦ f ijk ( a i ) = g ijk ( h i ( a i )) ◦ h ∗ k Из равенства (7.2.18) следует коммутативность диаграммы (1) , откуда следуетутверждение теоремы. (cid:3)
Теорема 7.2.2 утверждает, что неизвестное отображение на диаграмме (7.2.4)является отображением h ∗ k . Смысл теорем 7.1.11 и 7.2.2 состоит в том, что, есливсе представления свободны, то все отображения в диаграмме представленийдействуют согласовано. Теорема . Рассмотрим множество Ω i -алгебр A ( i ) , B ( i ) , C ( i ) , ( i ) =(1) , ..., ( n ) . Пусть определены морфизмы диаграм представлений p :( f, A ) → ( g, B ) q :( g, B ) → ( h, C ) Тогда определён морфизм представлений Ω -алгебры r : ( f, A ) → ( h, C ) где r ( k ) = q ( k ) ◦ p ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) . Мы будем называть морфизм r диаграм-мы представлений из f в h произведением морфизмов p и q диаграммыпредставлений . Доказательство.
Для любых i , j таких, что A ( j ) = A j , если существуетпредставление f ij , мы можем представить утверждение теоремы, пользуясь
20 7. Диаграмма представлений универсальных алгебр диаграммой B j q j / / C j B i q i / / g ij % - C i h ij . ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ ❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡ B j q j / / g ij ( p i ( a i )) _ _ ❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅ C j h ij ( r i ( a i )) ? ? ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ A ip i O O r i R R f ij A jp j O O f ij ( a i ) (cid:127) (cid:127) ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ r j K K A jp j O O r j N N Отображение r i является гомоморфизмом Ω i -алгебры A i в Ω i -алгебру C i . Намнадо показать, что пара отображений ( r i , r j ) удовлетворяет (7.2.2): r k ( f ij ( a i )( a j )) = q j ◦ p j ( f ij ( a i )( a j ))= q k ( g ij ( p i ( a i ))( p j ( a j )))= h ij ( q i ◦ p i ( a i ))( q j ◦ p j ( a j ))= h ij ( r ( a i ))( r j ( a j )) (cid:3) Определение . Пусть ( f, A ) - диаграмма представлений универсаль-ных алгебр. Морфизм диаграммы представлений ( h (1) , ..., h ( n ) ) такой, чтодля любого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , h ( k ) является эндоморфизмом Ω ( k ) -алгебры A ( k ) , называется эндоморфизмом диаграммы представлений . (cid:3) Определение . Пусть ( f, A ) - диаграмма представлений универсаль-ных алгебр. Морфизм диаграммы представлений ( h (1) , ..., h ( n ) ) такой, чтодля любого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , h ( k ) является автоморфизмом Ω ( k ) -алгеб-ры A ( k ) , называется автоморфизмом диаграммы представлений . (cid:3) Теорема . Пусть ( f, A ) - диаграмма представлений универсальныхалгебр. Множество автоморфизмов диаграммы ( f, A ) представлений порож-дает группу GA ( f ) . Доказательство.
Пусть r = ( r (1) , ..., r ( n ) ) , p = ( p (1) , ..., p ( n ) ) - авто-морфизмы диаграммы представлений ( f, A ) . Согласно определению 7.3.2 длялюбого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , отображения r ( k ) , p ( k ) являются автоморфизмами Ω ( k ) -алгебры A ( k ) . Согласно теореме II.3.2 ([14], c. 60) для любого ( k ) , ( k ) = (1) ,..., ( n ) , отображение r ( k ) ◦ p ( k ) является автоморфизмом Ω ( k ) -алгебры A ( k ) . Изтеоремы 7.2.3 и определения 7.3.2 следует, что произведение автоморфизмов .3. Автоморфизм диаграммы представлений 121 r ◦ p диаграммы представлений ( f, A ) является автоморфизмом диаграммыпредставлений ( f, A ) .Согласно доказательству теоремы 3.5.5, для любого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) ,произведение автоморфизмов Ω ( k ) -алгебры ассоциативно. Следовательно, ас-социативно произведение автоморфизмов диаграммы представлений.Пусть r = ( r (1) , ..., r ( n ) ) - автоморфизм диаграммы представлений ( f, A ) .Согласно определению 7.3.2 для любого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , отображение r ( k ) является автоморфизмом Ω ( k ) -алгебры A ( k ) . Следовательно, для любого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , отображение r − k ) является автоморфизмом Ω ( k ) -алгебры A ( k ) .Для автоморфизма r = ( r (1) , ..., r ( n ) ) справедливо равенство (7.2.3). Пусть j -индекс такой, что j = ( k ) . Положим a ′ j = r j ( a j ) . Так как r j - автоморфизм,то a j = r − j ( a ′ j ) и равенство (7.2.3) можно записать в виде(7.3.1) h j ( f ij ( h − i ( a ′ i ))( h − j ( a ′ j ))) = g ij ( a ′ i )( a ′ j ) для любых i , j при условии, что представление f ij существует. Аналогично, изравенства (7.3.1) следует(7.3.2) f ij ( h − i ( a ′ i )( h − j ( a ′ j ))) = h − j ( g ij ( a ′ i )( a ′ j )) Равенство (7.3.2) соответствует равенству (7.2.3) для отображения r − . Следо-вательно, отображение r − является автоморфизмом диаграммы представле-ний ( f, A ) . (cid:3) лава 8 Базис диаграммы представлений универсальнойалгебры
Мы строим базис диаграммы представлений по той же схеме, что мы по-строили базис представления в секции 6.2.
Определение . Пусть ( f, A ) - диаграмма представлений. Кортежмножеств N = ( N (1) ⊂ A (1) , ..., N ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( N ⊂ A , ..., N n ⊂ A n ) называется кортежем стабильных множеств диаграммы представле-ний ( f, A ) , если f ij ( a i )( a j ) ∈ N j i, j = 1 , ..., n для любых a ∈ N , ..., a n ∈ N n , при условии, что существует представле-ние f ij . Мы также будем говорить, что кортеж множеств N = ( N (1) ⊂ A (1) , ..., N ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( N ⊂ A , ..., N n ⊂ A n ) стабилен относительно диаграммы представлений ( f, A ) . (cid:3) Теорема . Пусть ( f, A ) - диаграмма представлений. Пусть множе-ство N ( i ) ⊂ A ( i ) является подалгеброй Ω ( i ) -алгебры A ( i ) , ( i ) = (1) , ..., ( n ) .Пусть кортеж множеств N = ( N (1) ⊂ A (1) , ..., N ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( N ⊂ A , ..., N n ⊂ A n ) стабилен относительно диаграммы представлений ( f, A ) . Тогда существуетдиаграмма представлений (8.1.1) ( N, f N = ( f Nij )) такая, что f Nij ( a i ) = f ij ( a i ) | N j i = 1 , ..., n j = 1 , ..., n Диаграмма представлений (8.1.1) называется подпредставлением диаграм-мы представлений ( f, A ) . Доказательство.
Пусть ω - m -арная операция Ω i -алгебры A i , i = 1 , ..., n . Тогда для любых a i, , ..., a i,m ∈ N i и любого a j ∈ N j ( f Nij ( a i, ) ...f Nij ( a i,m ) ω )( a j ) = ( f ij ( a i, ) ...f ij ( a i,m ) ω )( a j )= f ij ( a i, ...a i,m ω )( a j )= f Nij ( a i, ...a i,m ω )( a i ) Пусть ω - m -арная операция Ω j -алгебры A j , j = 1 , ..., n . Тогда для любых a j, ,..., a j,m ∈ N j и любого a i ∈ N i f Nij ( a i )( a j, ) ...f Nij ( a i )( a i,m ) ω = f ij ( a i )( a j, ) ...f ij ( a i )( a j,m ) ω = f ij ( a i )( a j, ...a j,m ω )= f Nij ( a i )( a j, ...a j,m ω ) Утверждение теоремы доказано. (cid:3)
Из теоремы 8.1.2 следует, что если диаграммы представлений (8.1.1) явля-ются диаграммой подпредставлений диаграммы представлений ( f, A ) , то отоб-ражение ( id (1) : N (1) → A (1) , ..., id ( n ) : N ( n ) → A ( n ) ) является морфизмом диаграм представлений. Теорема . Множество B [ f, A ] всех диаграм подпредставленийдиаграмы представлений ( f, A ) порождает систему замыканий на диаграмепредставлений ( f, A ) и, следовательно, является полной структурой. Доказательство.
Пусть для данного λ ∈ Λ , K λ = ( K λ, (1) ⊂ A (1) , ..., K λ, ( n ) ⊂ A ( n ) ) кортеж множеств, стабильных относительно диаграммы представлений ( f, A ) .Операцию пересечения на множестве B [ f, A ] мы определим согласно правилу \ f K λ ij = f ∩ K λ ij i, j = 1 , ..., n \ K λ = (cid:16) K (1) = \ K λ, (1) , ..., K ( n ) = \ K λ, ( n ) (cid:17) ∩ K λ, ( i ) - подалгебра Ω ( i ) -алгебры A ( i ) . Пусть a j ∈ \ K λ,j = \ K λ, ( j ) Для любого λ ∈ Λ и для любого a i ∈ K i = K ( i ) f ij ( a i )( a j ) ∈ K λ,j = K λ, ( j ) Следовательно, f ij ( a i )( a j ) ∈ K j = K ( j ) Следовательно, операция пересечения диаграмм подпредставлений определенакорректно. (cid:3)
Обозначим соответствующий оператор замыкания через J [ f ] . Если X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n ) кортеж множеств, то J [ f, X ] = ( J (1) [ f, X ] , ..., J ( n ) [ f, X ]) = ( J [ f, X ] , ..., J n [ f, X ]) является пересечением всех кортежей K = ( K (1) ⊂ A (1) , ..., K ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( K ⊂ A , ..., K n ⊂ A n ) стабильных относительно диаграммы представлений ( f, A ) и таких, что для ( i ) = (1) , ..., ( n ) , K ( i ) - подалгебра Ω ( i ) -алгебры A ( i ) , содержащая X ( i ) . Эта теорема аналогична определению структуры подалгебр ([14], стр. 93, 94)
24 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры
Теорема . Пусть ( f, A ) - диаграмма представлений. Пусть X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n ) Для каждого значения ( i ) , ( i ) = (1) , ..., ( n ) , определим подмножества X ( i ) k ⊂ A ( i ) индукцией по k . X ( i )0 = X ( i ) x ∈ X ( i ) k = > x ∈ X ( i ) k +1 x ∈ X ( i ) k , ..., x p ∈ X ( i ) k , ω ∈ Ω ( i ) ( p ) = > x ...x p ω ∈ X ( i ) k +1 x i ∈ X ik = X ( i ) k , x j ∈ X jk = X ( j ) k = > f ji ( x j )( x i ) ∈ X ( i ) k +1 Для каждого значения ( i ) положим Y ( i ) = ∞ [ m =0 X ( i ) m Тогда J ( i ) [ f, X ] = Y ( i ) ( i ) = (1) , ..., ( n ) Доказательство.
Для каждого значения ( i ) доказательство теоремы сов-падает с доказательством теоремы 6.1.4. (cid:3) J [ f, X ] называется подпредставлением диаграммы представлений ( f, A ) ,порождённым кортежем множеств X , а X - множеством образующих диа-граммы представлений J[f,X]. В частности, множество образующих диаграммыпредставлений ( f, A ) будет такой кортеж X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n ) что J [ f, X ] = A .Из теоремы 8.1.4 следует следующее определение. Определение . Пусть X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n ) кортеж множеств. Для любого кортежа A -чисел a ∈ J [ f, X ] a = ( a (1) ... a ( n ) ) = ( a ... a n ) существует кортеж Ω -слов w [ f, X, a ] = ( w (1) [ f, X, a (1) ] , ..., w ( n ) [ f, X, a ( n ) ])= ( w [ f, X, a ] , ..., w n [ f, X, a n ]) определённых согласно следующему правилу. Если a ( i ) ∈ X ( i ) , ( i ) = (1) , ..., ( n ) , то a ( i ) - Ω ( i ) -слово w ( i ) [ f, X, a ( i ) ] = a ( i ) Если a ( i )1 , ..., a ( i ) p - Ω ( i ) -слова, ( i ) = (1) , ..., ( n ) , и ω ∈ Ω ( i ) ( p ) , то a ( i )1 ...a ( i ) p ω - Ω ( i ) -слово. Пусть a i = a ( i ) - Ω ( i ) -слово, a j = a ( j ) - Ω ( j ) -слово. Пусть существуетпредставление f ij . Тогда f ij ( a i )( a j ) - Ω ( j ) -слово.Обозначим w [ f, X ] множество кортежей Ω -слов диаграммы представле-ний J[f,X]. (cid:3) Утверждение теоремы аналогично утверждению теоремы 5.1, [14], стр. 94. .1. Множество образующих диаграммы представлений 125
Мы рассматриваем кортеж A -чисел в определении 8.1.5, так как нам нуженалгоритм формирования кортежа Ω -слов. Однако при решении конкретныхзадач нам может понадобиться только некоторое подмножество кортежа A -чисел. Например, в аффинном пространстве мы можем рассматривать либомножество точек, либо множество векторов.Выбор Ω ( i ) -слова относительно множества образующих X неоднозначен.Поэтому, если Ω ( i ) -число имеет различные Ω ( i ) -слова, то мы, чтобы их отли-чать, будем пользоваться индексами: w ( i ) [ f, X, m ] , w ( i )1 [ f, X, m ] , w ( i )2 [ f, X, m ] . Определение . Множество образующих X диаграммы представле-ний ( f, A ) порождает кортеж отношений эквивалентности ρ [ f, X ] = ( ρ (1) [ f, X ] , ..., ρ ( n ) [ f, X ]) ρ ( i ) [ f, X ] = { ( w ( i ) [ f, X, m ( i ) ] , w ( i )1 [ f, X, m ( i ) ]) : m ( i ) ∈ A ( i ) } на множестве кортежей Ω -слов. (cid:3) Согласно определению 8.1.6, два Ω ( i ) -слова относительно множества об-разующих X диаграммы представлений ( f, A ) эквивалентны тогда и толькотогда, когда они соответствуют одному и тому же A ( i ) -числу. Когда мы будемзаписывать равенство двух Ω ( i ) -слов относительно множества образующих X диаграммы представлений ( f, A ) , мы будем иметь в виду, что это равенствоверно с точностью до отношения эквивалентности ρ ( i ) [ f, X ] .Мы будем пользоваться записью r ( a ) = ( r (1) ( a (1) ) , ..., r ( n ) ( a ( n ) )) для образа кортежа элементов a = ( a (1) , ..., a ( n ) ) при морфизме диаграммыпредставлений. Теорема . Пусть X - множество образующих диаграммы представ-лений ( f, A ) . Пусть Y - множество образующих диаграммы представлений ( g, B ) . Морфизм r диаграммы представлений ( f, A ) порождает отображение Ω -слов w [ f → g, X, Y, r ] : w [ f, X ] → w [ g, Y ] X ( i ) ⊂ A ( i ) Y ( i ) = r ( i ) ( X ( i ) ) ( i ) = (1) , ..., ( n ) такое, что для любого ( i ) , ( i ) = (1) , ..., ( n ) , Если a ( i ) ∈ X ( i ) , a ′ ( i ) = r ( i ) ( a ( i ) ) , то w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i ) ) = a ′ ( i ) Если a ( i )1 , ..., a ( i ) p ∈ w ( i ) [ f, X ] a ′ ( i )1 = w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i )1 ) ... a ′ ( i ) p = w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i ) p ) то для операции ω ∈ Ω ( i ) ( p ) справедливо w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i ) , ...a ( i ) ,p ω ) = a ′ ( i ) , ...a ′ ( i ) ,p ω
26 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры
Если a i = a ( i ) ∈ w ( i ) [ f, X ] a ′ ( i ) = w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( a ( i ) ) a j = a ( j ) ∈ w ( j ) [ f, X ] a ′ j = a ′ ( j ) = w ( j ) [ f, X, r ]( a ( j ) ) то w ( i ) [ f → g, X, Y, r ]( f ji ( a j )( a i )) = g ji ( a ′ j )( a ′ i ) Доказательство.
Утверждения 8.1.7.1, 8.1.7.2 справедливы в силу опре-деления морфизма r . Утверждение 8.1.7.3 следует из равенства (7.2.3). (cid:3) Замечание . Пусть r - морфизм диаграммы представлений ( f, A ) вдиаграмму представлений ( g, B ) . Пусть a ∈ J [ f, X ] a ′ = r ( a ) Y = r ( X ) Теорема 8.1.7 утверждает, что a ′ ∈ J [ g, Y ] . Теорема 8.1.7 также утвер-ждает, что кортеж Ω -слов, представляющий a относительно X , и кортеж Ω -слов, представляющий a ′ относительно Y , формируются согласно одно-му и тому же алгоритму. Это позволяет рассматривать кортеж Ω -слов w [ g, Y, a ′ ] как кортеж отображений W [ f, X, a ] = ( W (1) [ f, X, a ] , ..., W ( n ) [ f, X, a ]) = ( W [ f, X, a ] , ..., W n [ f, X, a ]) (8.1.2) W ( k ) [ f, X, a ] : ( g, X ′ ) → ( g, X ′ ) ◦ W ( k ) [ f, X, a ] = w ( k ) [ g, X ′ , a ′ ] Если f = g , то вместо отображения (8.1.2) мы будем рассматриватьотображение W ( k ) [ f, X, a ] : Y → Y ◦ W ( k ) [ f, X, a ] = w ( k ) [ f, Y, a ′ ] W ( k ) [ f, X, a ]( Y ) = Y ◦ W ( k ) [ f, X, a ] такое, что, если для некоторого морфизма rY = r ( X ) a ′ = r ( a ) то W ( k ) [ f, X, a ]( Y ) = Y ◦ W [ f, X, a ] = w [ f, Y, a ′ ] = a ′ Отображение W ( k ) [ f, X, a ] называется координатами A ( k ) -числа a ( k ) относительно кортежа множеств X . Аналогично, мы можем рассмотретькоординаты множества B ⊂ J ( k ) [ f, X ] относительно множества XW ( k ) [ f, X, B ] = { W ( k ) [ f, X, a ] : a ∈ B } = ( W ( k ) [ f, X, a ] , a ∈ B ) Обозначим W [ f, X ] = ( W (1) [ f, X ] , ..., W ( n ) [ f, X ]) = ( W [ f, X ] , ..., W n [ f, X ]) W ( k ) [ f, X ] = { W ( k ) [ f, X, a ] : a ∈ J ( k ) [ f, X ] } = ( W ( k ) [ f, X, a ] , a ∈ J ( k ) [ f, X ]) множество координат представления J [ f, X ] . (cid:3) Теорема . На множестве координат W ( k ) [ f, X ] определена струк-тура Ω ( k ) -алгебры. .1. Множество образующих диаграммы представлений 127 Доказательство.
Пусть ω ∈ Ω ( k ) ( n ) . Тогда для любых m , ..., m n ∈ J ( k ) [ f, X ] положим(8.1.3) W ( k ) ( f, X, m ) ...W ( k ) ( f, X, m n ) ω = W ( k ) ( f, X, m ...m n ω ) Согласно замечанию 8.1.8, из равенства (8.1.3) следует X ◦ ( W ( k ) [ f, X, m ] ...W ( k ) [ f, X, m n ] ω ) = X ◦ W ( k ) [ f, X, m ...m n ω ]= w ( k ) [ f, X, m ...m n ω ] (8.1.4)Согласно правилу 8.1.5.2, из равенства (8.1.4) следует X ◦ ( W ( k ) [ f, X, m ] ...W ( k ) [ f, X, m n ] ω )= w ( k ) [ f, X, m ] ...w ( k ) [ f, X, m n ] ω = ( X ◦ W ( k ) [ f, X, m ]) ... ( X ◦ W ( k ) [ f, X, m n ]) ω (8.1.5)Из равенства (8.1.5) следует корректность определения (8.1.3) операции ω намножестве координат W ( k ) [ f, X ] . (cid:3) Теорема . Если определено предсталение f jk Ω j -алгебры A j в Ω k -алгебре A k , то определено представление F jk Ω j -алгебры W j [ f, X ] в Ω k -алгебре W k [ f, X ] . Доказательство.
Пусть a j ∈ J j [ f, X ] . Тогда для любого a k ∈ J k [ f, X ] ,положим(8.1.6) F jk ( W j [ f, X, a j ])( W k [ f, X, a k ]) = W k [ f, X, f jk ( a j )( a k )] Согласно замечанию 8.1.8, из равенства (8.1.6) следует X ◦ ( F jk ( W j [ f, X, a j ])( W k [ f, X, a k ])) = X ◦ W k [ f, X, f jk ( a j )( a k )]= w k [ f, X, f jk ( a j )( a k )] (8.1.7)Согласно правилу 8.1.5.3, из равенства (8.1.7) следует(8.1.8) X ◦ ( F jk ( W j [ f, X, a j ])( W k [ f, X, a k ]))= f jk ( w j [ f, X, a j ])( w k [ f, X, a k ])= f jk ( X ◦ W j ( f, X, a j ))( X ◦ W k ( f, X, a k )) Из равенства (8.1.8) следует корректность определения (8.1.6) представления Ω j -алгебры W j [ f, X ] в Ω k -алгебре W k [ f, X ] . (cid:3) Следствие . Кортеж Ω -алгебр W [ f, X ] = ( W (1) [ f, X ] , ..., W ( n ) [ f, X ]) и множество представлений F порождает диаграмму представлений ( F, W [ f, X ]) . (cid:3) Теорема . Пусть ( f, A ) , ( g, B ) - диаграммы представлений. Длязаданных множеств X ( k ) ⊂ A ( k ) , Y ( k ) ⊂ B ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , рассмотримкортеж отображений R = ( R (1) , ..., R ( n ) ) таких, что для любого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , отображение R ( k ) : X ( k ) → Y ( k )
28 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры согласовано со структурой диаграммы представлений, т. е. (8.1.9) ω ∈ Ω ( k ) ( p ) , x ( k )1 , ..., x ( k ) p , x ( k )1 ...x ( k ) p ω ∈ X ( k ) ,R ( k ) ( x ( k )1 ...x ( k ) p ω ) ∈ Y ( k ) = >R ( k ) ( x ( k )1 ...x ( k ) p ω ) = R ( k ) ( x ( k )1 ) ...R ( k ) ( x ( k ) p ) ω (8.1.10) ( a j ∈ X j , a k ∈ X k , R k ( f jk ( a j )( a k )) ∈ Y k = >R k ( f jk ( a j )( a k )) = g jk ( R j ( a j ))( R k ( a k )) Рассмотрим кортеж отображений Ω -слов w ( k ) [ f → g, e, Y, R ] : w ( k ) [ f, e ] → w ( k ) [ g, Y ] удовлетворяющее условиям 8.1.7.1, 8.1.7.2, 8.1.7.3, и такое, что e ( k ) i ∈ e ( k ) = > w ( k ) [ f → g, e, Y, R ]( e ( k ) i ) = R ( k ) ( e ( k ) i ) Для каждого ( k ) , ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , существует гомоморфизм Ω ( k ) -алгебры r ( k ) : A ( k ) → B ( k ) определённый правилом (8.1.11) r ( k ) ( a ( k ) ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) [ f, X, a ( k ) ]) Кортеж гомоморфизмов r = ( r (1) ... r ( n ) ) = ( r ... r n ) является морфизмом диаграмм представлнений J [ f, X ] и J [ g, Y ] . Доказательство.
Для любого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , рассмотрим отоб-ражение r ( k ) : A ( k ) → B ( k ) Лемма . Для любого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , на множестве X ( k ) отображения r ( k ) и R ( k ) совпадают, и отображение r ( k ) согласовано со струк-турой Ω ( k ) -алгебры. Доказательство.
Если(8.1.12) w ( k ) [ f, X, a ( k ) ] = a ( k ) то a ( k ) ∈ X ( k ) . Согласно условию 8.1.7.1, равенство r ( k ) ( a ( k ) ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) [ f, X, a ( k ) ]) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( a ( k ) )= R ( k ) ( a ( k ) ) (8.1.13)является следствием равенств (8.1.11), (8.1.12). Лемма является следствиемравенства (8.1.13). ⊙ Лемма . Пусть ω ∈ Ω ( k ) ( p ) . (8.1.14) r ( k ) ( x ( k )1 ...x ( k ) p ω ) = r ( k ) ( x ( k )1 ) ...r ( k ) ( x ( k ) p ) ω .1. Множество образующих диаграммы представлений 129 Доказательство.
Мы будем доказывать лемму индукцией по сложности Ω ( k ) -слова.Если x ( k )1 , ..., x ( k ) p , x ( k )1 ...x ( k ) p ω ∈ X ( k ) то равенство (8.1.14) является следствием утверждения (8.1.9).Пусть предположение индукции верно для a ( k )1 , ..., a ( k ) p ∈ J ( k ) [ f, X ] Пусть(8.1.15) w ( k )1 = w ( k ) [ f, X, a ( k )1 ] ... w ( k ) p = w ( k ) [ f, X, a ( k ) p ] Согласно предположению индукции, равенство r ( k ) ( a ( k )1 ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k )1 ) ... = ...r ( k ) ( a ( k ) p ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) p ) (8.1.16)является следствием равенств (8.1.11), (8.1.15). Если(8.1.17) a ( k ) = a ( k )1 ...a ( k ) p ω то согласно условию 8.1.5.2, w ( k ) [ f, X, a ( k ) ] = w ( k )1 ...w ( k ) p ω Согласно условию 8.1.7.2, равенство r ( k ) ( a ( k ) ) = w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) [ f, X, a ( k ) ])= w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k )1 ...w ( k ) p ω )= w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k )1 ) ...w ( k ) [ f → g, X, Y, R ]( w ( k ) p ) ω = ( r ( k ) ( a ( k )1 )) ... ( r ( k ) ( a ( k ) p )) ω (8.1.18)является следствием равенств (8.1.11), (8.1.17), (8.1.16). Равенство (8.1.14) яв-ляется следствием равенства (8.1.18). ⊙ Согласно лемме 8.1.13, отображения r ( k ) и R ( k ) совпадают на множестве X ( k ) . Согласно лемме 8.1.14, отображение r ( k ) является гомоморфизмом Ω ( k ) -алгебры A ( k ) в Ω ( k ) -алгебру B ( k ) . Для доказательства теоремы достаточно по-казать, что если существует представление f ji : A j ∗ / / A i то пара отображений ( r j r i ) является морфизмом представлений из f ji в g ji (определение 7.2.1).Мы будем доказывать теорему индукцией по сложности Ω i -слова.Если a i ∈ X i , a j ∈ X j , то предположение индукции является следствиемутверждения (8.1.10)Пусть предположение индукции верно для a j ∈ J j [ f, X ] w j [ f, X, a j ] = m j a i ∈ J i [ f, X ] w i [ f, X, a i ] = m i Согласно условию 8.1.5.3,(8.1.19) w i ( f, X, f ji ( a j )( a i )) = f ji ( m j )( m i )
30 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры
Согласно условию 8.1.7.3, равенство r i ( f ji ( a j )( a i )) = w i [ f → g, X, Y, R ]( w i [ f, X, f ji ( a j )( a i )])= w i [ f → g, X, Y, R ]( f ji ( m j )( m i ))= g ji ( w j [ g, Y, r j ( a j )])( w i [ g, Y, r i ( a i )])= g ji ( r j ( a j ))( r i ( a i )) (8.1.20)является следствием равенств (8.1.11), (8.1.19), Из равенств (7.2.3), (8.1.20)следует, что отображение r является морфизмом диаграммы представлений ( f, A ) . (cid:3) Замечание . Теорема 8.1.12 - это теорема о продолжении отобра-жения. Единственное, что нам известно о кортеже множеств X - это то,что X - кортеж множеств образующих диаграммы представлений ( f, A ) .Однако, между элементами множества X ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , могут су-ществовать соотношения, порождённые либо операциями Ω ( k ) -алгебры A ( k ) ,либо преобразованиями представления f jk . Поэтому произвольное отображе-ние кортежа множеств X , вообще говоря, не может быть продолжено доэндоморфизма диаграммы представлений ( f, A ) . Однако, если для каждого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , отображение R ( k ) согласованно со структурой диа-граммы представлений, то мы можем построить продолжение этого отоб-ражения, которое является морфизмом диаграммы представлений ( f, A ) . (cid:3) Определение . Пусть X - кортеж множеств образующих диа-граммы представлений ( f, A ) . Пусть Y - кортеж множеств образую-щих диаграммы представлений ( g, B ) . Пусть r - морфизм диаграммы пред-ставлений ( f, A ) в диаграмму представлений ( g, B ) . Множество координат W [ g, Y, r ( X )] называется координатами морфизма диаграммы пред-ставлений . (cid:3) Определение . Пусть X - кортеж множеств образующих диа-граммы представлений ( f, A ) . Пусть Y - кортеж множеств образующихдиаграммы представлений ( g, B ) . Пусть r - морфизм диаграммы представ-лений ( f, A ) в диаграмму представлений ( g, B ) . Пусть для ( k ) = (1) , ..., ( n ) , a ( k ) ∈ A ( k ) . Мы определим суперпозицию координат морфизма r диаграм-мы представлений и A ( k ) -числа a ( k ) как координаты, определённые согласноправилу (8.1.21) W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ] = W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )] Пусть Y ( k ) ⊂ A ( k ) . Мы определим суперпозицию координат морфизма r диа-граммы представлений и множества Y ( k ) согласно правилу (8.1.22) W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, Y ( k ) ]= ( W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ] , a ( k ) ∈ Y ( k ) ) (cid:3) В теореме 8.2.9, требования к кортежу множеств образующих более жёсткие. Поэтомутеорема 8.2.9 говорит о продолжении произвольного отображения. Более подробный анализдан в замечании 8.2.11. .1. Множество образующих диаграммы представлений 131
Теорема . Морфизм r диаграммы представлений ( f, A ) в диаграммупредставлений ( g, B ) порождает отображение координат диаграммы пред-ставлений (8.1.23) W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] : W ( k ) [ f, X ] → W ( k ) [ g, Y ]( k ) = (1) , ..., ( n ) , такое, что W ( k ) [ f, X, a ] → W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ]= W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )] (8.1.24) W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ]= W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ] (8.1.25) Доказательство.
Согласно замечанию 8.1.8, мы можем рассматриватьравенства (8.1.21), (8.1.23) относительно заданного кортежа множеств образу-ющих X . При этом координатам W ( k ) [ f, X, a ( k ) ] соответствует кортеж слов(8.1.26) X ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ] = w ( k ) [ f, X, a ( k ) ] а координатам W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )] соответствует кортеж слов(8.1.27) Y ◦ W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )] = w ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) )] Поэтому для того, чтобы доказать теорему, нам достаточно показать, что отоб-ражению W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] соответствует отображение w ( k ) [ f → g, X, Y, r ] .Мы будем доказывать теорему индукцией по сложности Ω ( k ) -слова.Если a ( k ) ∈ X ( k ) , a ′ ( k ) = r ( k ) ( a ( k ) ) , то, согласно равенствам (8.1.26), (8.1.27),отображения W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] и w ( k ) [ f → g, X, Y, r ] согласованы.Пусть для a ( k )1 , ..., a ( k ) p ∈ X ( k ) отображения W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] и w ( k ) [ f → g, X, Y, r ] согласованы. Пусть ω ∈ Ω ( k ) ( p ) . Согласно теореме 6.1.12(8.1.28) W ( k ) [ f, X, a ( k )1 ...a ( k ) p ω ] = W ( k ) [ f, X, a ( k )1 ] ...W ( k ) [ f, X, a ( k ) p ] ω Так как отображение r ( k ) : A ( k ) → B ( k ) является гомоморфизмом Ω ( k ) -алгебры, то из равенства (8.1.28) следует W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k )1 ...a ( k ) p ω )]= W ( k ) [ g, Y, ( r ( a ( k )1 ) ... ( r ( k ) ( a ( k ) p )) ω ]= W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k )1 )] ...W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( a ( k ) p )] ω (8.1.29)Из равенств (8.1.28), (8.1.29) и предположения индукции следует, что отобра-жения W ( k ) [ f → g, X, Y, r ] и w ( k ) [ f → g, X, Y, r ] согласованы для a ( k ) = a ( k )1 ...a ( k ) p ω .Пусть для a j ∈ A j отображения W j [ f → g, X, Y, r ] и w j [ f → g, X, Y, r ] согласованы. Пусть для a i ∈ A i отображения W i [ f → g, X, Y, r ] и w i [ f → g, X, Y, r ] согласованы. Согласно теореме 8.1.10(8.1.30) W i ( f, X, f ji ( a j )( a i )) = F ji ( W j ( f, X, a j ))( W i ( f, X, a i )) Так как отображение ( r j , r i ) является морфизмом представления f ji в пред-ставление F ji , то из равенства (8.1.30) следует(8.1.31) W i [ g, Y, r i ( f ji ( a j )( a i ))] = W i [ g, Y, g ji ( r j ( a j ))( r i ( a i ))]= G ji ( W j [ g, Y, r j ( a j )])( W i [ g, Y, r i ( a n, )])
32 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры
Из равенств (8.1.30), (8.1.31) и предположения индукции следует, что отоб-ражения W i [ f → g, X, Y, r ] и w i [ f → g, X, Y, r ] согласованы для b i = f ji ( a j )( a i ) . (cid:3) Следствие . Пусть X - кортеж множеств образующих диаграм-мы представлений ( f, A ) . Пусть Y - кортеж множеств образующих диа-граммы представлений ( g, B ) . Пусть r - морфизм диаграммы представлений ( f, A ) в диаграмму представлений ( g, B ) . Отображение W [ f → g, X, Y, r ] = ( W (1) [ f → g, X, Y, r ] , ..., W ( n ) [ f → g, X, Y, r ]) является морфизмом диаграммы представлений ( F, W [ f, X ]) в диаграммупредставлений ( G, W [ g, Y ]) . (cid:3) В дальнейшем мы будем отождествлять отображение W [ f → g, X, Y, r ] имножество координат W [ g, Y, r ( X )] . Теорема . Пусть X - кортеж множеств образующих диаграммыпредставлений ( f, A ) . Пусть Y - кортеж множеств образующих диаграммыпредставлений ( g, B ) . Пусть r - морфизм диаграммы представлений ( f, A ) вдиаграмму представлений ( g, B ) . Пусть Y ⊂ A . Тогда (8.1.32) W [ g, Y, r ( X )] ◦ W [ f, X, X ′ ] = W [ g, Y, r ( X ′ )] (8.1.33) W [ f → g, X, Y, r ] ◦ W [ f, X, X ′ ] = W [ g, Y, r ( X ′ )] Доказательство.
Равенство (8.1.32) является следствием равенства r ( X ′ ) = ( r ( a ) , a ∈ X ′ ) а также равенств (8.1.21), (8.1.22). Равенство (8.1.33) является следствием ра-венств (8.1.32), (8.1.24). (cid:3) Теорема . Пусть X - кортеж множеств образующих диаграммыпредставлений ( f, A ) . Пусть Y - кортеж множеств образующих диаграммыпредставлений ( g, B ) . Пусть Z - кортеж множеств образующих диаграммыпредставлений ( h, C ) . Пусть r - морфизм диаграммы представлений ( f, A ) вдиаграмму представлений ( g, B ) . Пусть s - морфизм диаграммы представле-ний ( g, B ) в диаграмму представлений ( h, C ) . Тогда (8.1.34) W [ h, Z, s ( Y )] ◦ W [ g, Y, r ( X )] = W [ h, Z, ( s ◦ r )( X )] (8.1.35) W [ g → h, Y, Z, s ] ◦ W [ f → g, X, Y, r ] = W [ f → h, X, Z, s ◦ r ] Доказательство.
Равенство(8.1.36) W [ h, Z, s ( Y ′ )] ◦ W [ g, Y, Y ′ ] = W [ h, z, s ( Y ′ )] следует из равенства (8.1.32). Равенство (8.1.34) следует из равенства (8.1.36),если положить Y ′ = r ( X ) . Равенство (8.1.35) следует из равенства (8.1.34). (cid:3) Определение . Мы можем обобщить определение суперпозиции ко-ординат и предположить, что один из множителей является кортежеммножеств Ω -слов. Соответственно, определение суперпозиции координат име-ет вид W [ g, Y, r ( X )] ◦ w [ f, X, X ′ ] = w [ g, Y, r ( X )] ◦ W [ f, X, X ′ ] = w [ g, Y, r ( X ′ )] (cid:3) .1. Множество образующих диаграммы представлений 133 Следующие формы записи образа кортежа множеств X ′ при морфизме r диаграммы представлений эквивалентны(8.1.37) r ( X ′ ) = r ( X ) ◦ W [ f, X, X ′ ]= ( Y ◦ W [ g, Y, r ( X )]) ◦ W [ f, X, X ′ ) Из равенств (8.1.32), (8.1.37) следует, что Y ◦ ( W [ g, Y, r ( X ) ◦ W [ f, X, X ′ ])= ( Y ◦ W [ g, Y, r ( X )) ◦ W [ f, X, X ′ ] (8.1.38)Равенство (8.1.38) является законом ассоциативности для операции компози-ции и позволяет записать выражение Y ◦ W [ g, Y, r ( X ) ◦ W [ f, X, X ′ ] без использования скобок. Определение . Пусть X = ( X (1) ⊂ A (1) , ..., X ( n ) ⊂ A ( n ) ) = ( X ⊂ A , ..., X n ⊂ A n ) множество образующих диаграммы представлений ( f, A ) . Пусть отображе-ние r является эндоморфизмом диаграммы представления ( f, A ) . Пусть кор-теж множеств Y = r ( X ) является образом кортежа множеств X приотображении r . Эндоморфизм r диаграммы представлений ( f, A ) называетсяневырожденным на кортеже множеств образующих X , если кортеж мно-жеств Y является кортежем множеств образующих диаграммы представ-лений ( f, A ) . В противном случае, эндоморфизм r называется вырожденнымна кортеже множеств образующих X . (cid:3) Определение . Эндоморфизм r диаграммы представлений ( f, A ) называется невырожденным , если он невырожден на любом кортеже мно-жеств образующих. В противном случае, эндоморфизм r называется вы-рожденным . (cid:3) Теорема . Автоморфизм r диаграммы представлений ( f, A ) явля-ется невырожденным эндоморфизмом. Доказательство.
Пусть X - кортеж множеств образующих диаграммыпредставлений ( f, A ) . Пусть Y = r ( X ) . Согласно теореме 8.1.18 эндоморфизм r порождает отображение Ω -слов w [ f → g, X, Y, r ] . Пусть a ′ ∈ A . Так как r - автоморфизм, то существует a ∈ A , r ( a ) = a ′ . Согласно определению 8.1.5, w [ f, X, a ] - кортеж Ω -слов, представляющих a относительно кортежа множествобразующих X . Согласно теореме 8.1.18, w [ f, X ′ , a ′ ] - кортеж Ω -слов, представ-ляющих a ′ относительно кортежа множеств Yw [ f, Y, a ′ ] = w [ f → g, X, Y, r ]( w [ f, X, a ]) Следовательно, Y - множество образующих диаграммы представлений ( f, A ) .Согласно определению 8.1.24, автоморфизм r - невырожден. (cid:3)
34 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры
Определение . Пусть ( f, A ) - диаграмма представлений и Gen [ f, A ] = { X = ( X (1) , ..., X ( n ) ) : X ( k ) ⊆ A ( k ) , J ( k ) [ f, X ] = A ( k ) } Если для кортежа множеств X ⊂ A верно X ∈ Gen [ f, A ] , то для лю-бого кортежа множеств Y , X ( k ) ⊂ Y ( k ) ⊂ A ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) т акжеверно Y ∈ Gen [ f, A ] . Если существует минимальный кортеж множеств X ∈ Gen [ f, A ] , то такой кортеж множеств X называется квазибазисомдиаграммы представлений ( f, A ) . (cid:3) Теорема . Если кортеж множеств X является квазибазисом диа-граммы представлений ( f, A ) , то, для любого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , и любого m ∈ X ( k ) , кортеж множеств X ′ = ( X (1) , ..., X ′ ( k ) = X ( k ) \ { m } , ..., X ( n ) ) не является множеством образующих диаграммы представлений ( f, A ) . Доказательство.
Пусть X - квазибазис диаграммы представлений ( f, A ) .Допустим для некоторого m ∈ X ( k ) существует Ω ( k ) -слово w = w ( k ) [ f, X ′ , m ] Рассмотрим A ( k ) -число m ′ , для которого Ω ( k ) -слово w ′ = w ( k ) [ f, X, m ′ ] зави-сит от m . Согласно определению 8.1.5, любое вхождение A ( k ) -числа m в Ω ( k ) -слово w ′ может быть заменено Ω ( k ) -словом w . Следовательно, Ω ( k ) -слово w ′ не зависит от m , а кортеж множеств X ′ является множеством образующихдиаграммы представлений ( f, A ) . Следовательно, X не является квазибазисомдиаграммы представлений ( f, A ) . (cid:3) Замечание . Доказательство теоремы 8.2.2 даёт нам эффектив-ный метод построения квазибазиса диаграммы представлений ( f, A ) . Квази-базис диаграммы представлений определён индукцией по диаграмме представ-лений. Мы начинаем строить квазибазис в Ω -алгебрах из множества A [0] .Когда квазибазис построен в Ω -алгебрах из множества A [ i ] , мы можем пе-рейти к построению квазибазиса в Ω -алгебрах из множества A [ i +1] . (cid:3) Для каждого ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , мы ввели Ω ( k ) -слово A ( k ) -числа x относительно множества образующих X в определении X не является квазибазисом,то выбор Ω ( k ) -слова относительно множества образующих X неоднозначен. Нодаже если множество образующих X является квазибазисом, то представление m ∈ A ( k ) в виде Ω ( k ) -слова неоднозначно. Замечание . Существует три источника неоднозначности в запи-си Ω ( k ) -слова. В Ω ( k ) -алгебре A ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , могут быть определены равен-ства. Например, если e - единица мультипликативной группы A ( k ) ,то верно равенство ae = a для любого a ∈ A ( k ) . Рассуждения в начале этого раздела естественно повторяют рассуждения в началераздела 6.2 и я сохранил эти рассуждения для полноты текста. .2. Базис диаграммы представлений 135
Неоднозначность выбора Ω ( k ) -слова может быть связана со свой-ствами представления. Например, допустим существует представ-ление f ik Ω i -алгебры A i в Ω k -алгебре A k . Если m , ..., m n - Ω k -слова, ω ∈ Ω k ( n ) и a - Ω i -слово, то (8.2.1) f ik ( a )( m ...m n ω ) = ( f ik ( a )( m )) ... ( f ik ( a )( m n )) ω В тоже время, если ω является операцией Ω i -алгебры A i и опе-рацией Ω k -алгебры A k , то мы можем потребовать, что Ω k -слова f ( a ...a n ω )( x ) и ( f ( a )( x )) ... ( f ( a n )( x )) ω описывают один и тот жеэлемент Ω k -алгебры A k . (8.2.2) f ( a ...a n ω )( x ) = ( f ( a )( x )) ... ( f ( a n )( x )) ω Равенства вида (8.2.1) , (8.2.2) сохраняются при морфизме диаграм-мы представлений. Поэтому мы можем игнорировать эту формунеоднозначности записи Ω ( k ) -слова. Однако возможна принципиаль-но другая форма неоднозначности, пример которой можно найти втеоремах 9.3.15, 9.3.16.Таким образом, мы видим, что на множестве Ω ( k ) -слов можно определитьразличные отношения эквивалентности. Наша задача - найти максималь-ное отношение эквивалентности на множестве Ω ( k ) -слов, которое сохраня-ется при морфизме представления.Аналогичное замечание касается отображения W [ f, X, m ] , определённогов замечании 8.1.8. (cid:3) Например, пусть { e , e } - базис векторного пространства над полем k . Равенство (8.2.1)принимает форму закона дистрибутивности a ( b e + b e ) = ( ab ) e + ( ab ) e Для векторного пространства это требование принимает форму закона дистрибутивно-сти ( a + b ) e = ae + be Очевидно, что каждое из равенств (8.2.1), (8.2.2) порождает некоторое отношение эк-вивалентности.
Если базис векторного пространства - конечен, то мы можем представить базис в видематрицы строки e = (cid:16) e ... e (cid:17) Мы можем представить отображение W [ f, e ]( v ) в виде матрицы столбца W [ f, e, v ] = v ...v n Тогда W [ f, e, v ]( e ′ ) = W [ f, e, v ] (cid:16) e ′ ... e ′ n (cid:17) = v ...v n (cid:16) e ′ ... e ′ n (cid:17) имеет вид произведения матриц.
36 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры
Теорема . Пусть X - квазибазис диаграммы представлений ( f, A ) .Рассмотрим кортеж отношений эквивалентности λ [ f, X ] = ( λ (1) [ f, X ] , ..., λ ( n ) [ f, X ]) λ ( k ) [ f, X ] ⊆ w ( k ) [ f, X ] × w ( k ) [ f, X ] которое порождено исключительно следующими утверждениями. Если в Ω ( k ) -алгебре A ( k ) существует равенство w ( k )1 [ f, X, m ] = w ( k )2 [ f, X, m ] определяющее структуру Ω ( k ) -алгебры, то ( w ( k )1 [ f, X, m ] , w ( k )2 [ f, X, m ]) ∈ λ ( k ) [ f, X ] Если существует представление f ik и в Ω i -алгебре A i существуетравенство w i [ f, X, m ] = w i [ f, X, m ] определяющее структуру Ω i -алгебры, то ( f ik ( w i )( w k [ f, X, m ]) , f ik ( w i )( w k [ f, X, m ])) ∈ λ k [ f, X ] Если существует представление f ik , то для любой операции ω ∈ Ω i ( n ) , ( f ik ( a i ...a in ω )( a ) , ( f ik ( a i ) ...f ik ( a in ) ω )( a )) ∈ λ k [ f, X ] Если существует представление f ik , то для любой операции ω ∈ Ω k ( n ) , ( f ik ( a i )( a k ...a kn ω ) , f ik ( a i )( a k ) ...f ik ( a i )( a kn ) ω ) ∈ λ k [ f, X ] Если существует представление f ik , ω ∈ Ω i ( n ) ∩ Ω k ( n ) и представ-ление f ik удовлетворяет равенству f ( a i ...a in ω )( a k ) = ( f ( a i )( a k )) ... ( f ( a in )( a k )) ω то мы можем предположить, что верно равенство ( f ( a i ...a in ω )( a k ) , ( f ( a i )( a k )) ... ( f ( a in )( a k )) ω ) ∈ λ k [ f, X ] Доказательство.
Теорема верна, так как рассмотренные равенства со-храняются при гомоморфизмах универсальных алгебр A ( k ) . (cid:3) Определение . Квазибазис e диаграммы представлений ( f, A ) та-кой, что ρ [ f, e ] = λ [ f, e ] называется базисом диаграммы представлений ( f, A ) . (cid:3) Рассмотрим представление коммутативного кольца D в D -алгебре A . Мы будем поль-зоваться записью f ( a )( v ) = av В обеих алгебрах определены операции сложения и умножения. Однако равенство f ( a + b )( v ) = f ( a )( v ) + f ( b )( v ) верно, а равенство f ( ab )( v ) = f ( a )( v ) f ( b )( v ) является ошибочным. .2. Базис диаграммы представлений 137 Замечание . Мы будем записывать базис также в виде e = ( e (1) , ..., e ( n ) ) e ( k ) = ( e ( k ) l , e ( k ) l ∈ e ( k ) ) ( k ) = (1) , ..., ( n ) Если базис - конечный, то мы будем также пользоваться записью e ( k ) = ( e ( k ) i , i ∈ I ( k ) ) = ( e ( k )1 , ..., e ( k ) p ( k ) ) ( k ) = (1) , ..., ( n ) (cid:3) Теорема . Автоморфизм диаграммы представлений ( f, A ) отобра-жает базис диаграммы представлений ( f, A ) в базис. Доказательство.
Пусть отображение r - автоморфизм диаграммы пред-ставлений ( f, A ) . Пусть кортеж множеств e - базис диаграммы представлений ( f, A ) . Пусть e ′ = r ◦ e . Допустим кортеж множеств e ′ не является базисом.Согласно теореме 8.2.2 существуют ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) , и e ′ ( k ) i ∈ e ′ ( k ) такие,что кортеж множеств Z = ( e ′ (1) , ..., Z ( k ) = e ′ ( k ) \ { e ′ ( k ) i } , ..., e ′ ( n ) ) является множеством образующих диаграммы представлений ( f, A ) . Согласнотеореме 7.3.3 отображение r − является автоморфизмом диаграммы представ-лений ( f, A ) . Согласно теореме 8.1.25 и определению 8.1.24, кортеж множеств X = ( e (1) , ..., X ( k ) = e ( k ) \ { r − k ) ( e ′ ( k ) i ) } , ..., e ( n ) ) является множеством образующих диаграммы представлений ( f, A ) . Получен-ное противоречие доказывает теорему. (cid:3) Теорема . Пусть e - базис диаграммы представлений ( f, A ) . Пусть ( g, B ) - диаграмма представлений. Пусть R : e → Y произвольное отображение кортежа множеств e , Y ( k ) ⊆ B ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) . Рассмотрим кортеж отображений w ( k ) [ f → g, e, Y, R ] : w ( k ) [ f, e ] → w ( k ) [ g, Y ] удовлетворяющих условиям 8.1.7.1, 8.1.7.2, 8.1.7.3, и такое, что e ( k ) i ∈ e ( k ) = > w ( k ) [ f → g, e, Y, R ]( e ( k ) i ) = R ( k ) ( e ( k ) i ) Существует единственный морфизм диаграммы представлений r : A → B определённый правилом r ( a ) = w [ f → g, e, Y, R ]( w [ f, e, a ]) Доказательство.
Утверждение теоремы является следствием теорем 6.1.10,6.1.14. (cid:3)
Согласно определениям 5.1.3, 8.3.1, мы будем пользоваться записью r ( e ) = r ◦ e . Это утверждение похоже на теорему [2]-1, с. 104.
38 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры
Следствие . Пусть e , e ′ - базисы представления ( f, A ) . Пусть r -автоморфизм представления ( f, A ) такой, что e ′ = r ◦ e . Автоморфизм r определён однозначно. (cid:3) Замечание . Теорема 8.2.9, так же как и теорема 8.1.12, являетсятеоремой о продолжении отображения. Одако здесь e - не произвольное мно-жество образующих диаграммы представлений, а базис. Согласно замечанию8.2.3, мы не можем определить координаты любого элемента базиса черезостальные элементы этого же базиса. Поэтому отпадает необходимость всогласованности отображения базиса с представлением. (cid:3) Теорема . Набор координат W [ f, e, e ] соответствует тожде-ственному преобразованию W [ f, e, E ] = W [ f, e, e ] Доказательство.
Утверждение теоремы следует из равенства a = e ◦ W [ f, e, a ] = e ◦ W [ f, e, e ] ◦ W [ f, e, a ] (cid:3) Теорема . Пусть W [ f, e, r ◦ e ] - множество координат автомор-физма r . Определено множество координат W [ f, r ◦ e, e ] , соответствующееавтоморфизму r − . Множество координат W [ f, r ◦ e, e ] удовлетворяет ра-венству (8.2.3) W [ f, e, r ◦ e ] ◦ W [ f, r ◦ e, e ] = W [ f, e, e ] W [ f → f, e, e, r − ] = W [ f → f, e, e, r ] − = W [ f, r ◦ e, e ] Доказательство.
Поскольку r - автоморфизм диаграммы представлений ( f, A ) , то, согласно теореме 8.2.8, множество r ◦ e - базис диаграммы представ-лений ( f, A ) . Следовательно, определено множество координат W [ f, r ◦ e, e ] .Равенство (8.2.3) следует из цепочки равенств W [ f, e, r ◦ e ] ◦ W [ f, r ◦ e, e ] = W [ f, e, r ◦ e ] ◦ W [ f, e, r − ◦ e ]= W [ f, e, r ◦ r − ◦ e ] = W [ f, e, e ] (cid:3) Теорема . Пусть W [ f, e, r ◦ e ] - множество координат автомор-физма r . Пусть W [ f, e, s ◦ e ] - множество координат автоморфизма s . Мно-жество координат автоморфизма ( r ◦ s ) − удовлетворяет равенству (8.2.4) W [ f, ( r ◦ s ) ◦ e, e ] = W [ f, s ◦ ( r ◦ e ) , e ] = W [ f, s ◦ e, e ] ◦ W [ f, r ◦ e, e ] Доказательство.
Равенство W [ f, ( r ◦ s ) ◦ e, e ] = W [ f, e, ( r ◦ s ) − ◦ e ] = W [ f, e, s − ◦ r − ◦ e ]= W [ f, e, s − ◦ e ] ◦ W [ f, e, r − ◦ e ]= W [ f, s ◦ e, e ] ◦ W [ f, r ◦ e, e ]= W [ f, s ◦ ( r ◦ e ) , e ] (8.2.5)является следствием теорем 8.1.21, 8.2.13. Равенство (8.2.4) является следстви-ем равенства (8.2.5). (cid:3) Смотри также замечание 6.2.15. .3. Многообразие базисов диаграммы представлений 139
Теорема . Группа автоморфизмов GA ( f ) диаграммы эффективныхпредставлений ( f, A ) порождает эффективное левостороннее представлениев диаграмме представлений ( f, A ) . Доказательство.
Из следствия 8.2.10 следует, что если автоморфизм r отображает базис e в базис e ′ , то множество координат W [ f, e, e ′ ] однозначноопределяет автоморфизм r . Из теоремы 8.1.18 следует, что множество коор-динат W [ f, e, e ′ ] определяет правило отображения координат относительнобазиса e при автоморфизме диаграммы представлений ( f, A ) . Из равенства(8.1.37) следует, что автоморфизм r действует слева на элементы Ω ( k ) -алгеб-ры A ( k ) , ( k ) = (1) , ..., ( n ) . Из равенства (8.1.34) следует, что представлениегруппы является левосторонним представлением. Согласно теореме 8.2.12 на-бор координат W [ f, e, e ] соответствует тождественному преобразованию. Изтеоремы 8.2.13 следует, что набор координат W [ f, r ◦ e, e ] соответствует пре-образованию, обратному преобразованию W [ f, e, r ◦ e ] . (cid:3) Множество B [ f ] базисов диаграммы представлений ( f, A ) называется многообразием базисов диаграммы представлений ( f, A ) . Определение . Согласно теореме 8.2.8 и определению 8.1.22, авто-морфизм r диаграммы представлений ( f, A ) порождает преобразование r : h → r ◦ hr ◦ h = W [ f, e, r ◦ e ] ◦ h (8.3.1) многообразия базисов диаграммы представлений. Это преобразование назы-вается активным . Согласно теореме 7.3.3, определено левостороннее пред-ставление A ( f ) : GA ( f ) ∗ / / B [ f ] группы GA ( f ) в многообразии базисов B [ f ] . Представление A ( f ) называется активным представлением . Согласно следствию 8.2.10, это представлениеоднотранзитивно. (cid:3) Замечание . Согласно замечанию 8.2.3, могут существовать бази-сы диаграммы представлений ( f, A ) , не связанные активным преобразовани-ем. В этом случае мы в качестве многообразия базисов будем рассматриватьорбиту выбранного базиса. Следовательно, диаграмма представлений ( f, A ) может иметь различные многообразия базисов. Мы будем предполагать, чтомы выбрали многообразие базисов. Теорема . Существует однотранзитивное правостороннее представ-ление P ( f ) : GA ( f ) ∗ / / B [ f ] группы GA ( f ) в многообразии базисов B [ f ] . Представление P ( f ) называется пассивным представлением . Доказательство.
Поскольку A ( f ) - однотранзитивное левостороннее пред-ставление группы GA ( f ) , то однотранзитивное правостороннее представление P ( f ) определено однозначно согласно теореме 5.5.9. (cid:3)
40 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры
Теорема . Преобразование представления P ( f ) называется пассив-ным преобразованием многообразия базисов диаграммы представлений.Мы будем пользоваться записью s ( e ) = e ◦ s для обозначения образа базиса e при пассивном преобразовании s . Пассивноепреобразование базиса имеет вид s : h → h ◦ sh ◦ s = h ◦ W [ f, e, e ◦ s ] (8.3.2) Доказательство.
Согласно равенству (8.3.1), активное преобразованиедействует на координаты базиса слева. Равенство (8.3.2) следует из теорем5.5.8, 5.5.9, 5.5.11, согласно которым пассивное преобразование действует накоординаты базиса справа. (cid:3)
Теорема . Пассивное преобразование многообразия базисов являетсяавтоморфизмом представления A ( f ) . Доказательство.
Теорема является следствием теоремы 5.5.11. (cid:3)
Теорема . Пусть s - пассивное преобразование многообразия базисовдиаграммы представлений ( f, A ) . Пусть e - базис диаграммы представлений ( f, A ) , e = e ◦ s . Пусть для базиса e существует активное преобразование r такое, что e = r ◦ e . Положим e = r ◦ e . Тогда e = e ◦ s . Доказательство.
Согласно равенству (8.3.1), активное преобразованиекоординат базиса e имеет вид(8.3.3) e = W [ f, e , e ] ◦ e = W [ f, e , e ] ◦ e ◦ W [ f, e , e ] Пусть e = e ◦ s . Из равенства (8.3.2) следует, что(8.3.4) e = e ◦ W [ f, e , e ] = W [ f, e , e ] ◦ e ◦ W [ f, e , e ] Из совпадения выражений в равенствах (8.3.3), (8.3.4) следует, что e = e .Следовательно, коммутативна диаграмма e ∈ B [ f ] s (cid:15) (cid:15) r / / e ∈ B [ f ] s (cid:15) (cid:15) e ∈ B [ f ] r / / e ∈ B [ f ] (cid:3) Активное преобразование изменяет базис диаграммы представлений и кор-теж Ω -чисел согласовано и координаты кортежа Ω -чисел относительно базисане меняются. Пассивное преобразование меняет только базис, и это ведёт кизменению координат кортежа Ω -чисел относительно базиса. Теорема . Допустим пассивное преобразование s ∈ GA ( f ) отобра-жает базис e ∈ B [ f ] в базис e ∈ B [ f ] (8.4.1) e = e ◦ s = e ◦ W [ f, e , e ◦ s ] .4. Геометрический объект диаграммы представлений 141 Допустим кортеж A -чисел a имеет кортеж Ω -слов (8.4.2) a = e ◦ W [ f, e , a ] относительно базиса e и имеет кортеж Ω -слов (8.4.3) a = e ◦ W [ f, e , a ] относительно базиса e . Преобразование координат (8.4.4) W [ f, e , a ] = W [ f, e ◦ s, e ] ◦ W [ f, e , a ] не зависит от кортежа A -чисел a или базиса e , а определенно исключитель-но координатами кортежа A -чисел a относительно базиса e . Доказательство.
Из (8.4.1) и (8.4.3) следует, что e ◦ W [ f, e , a ] = e ◦ W [ f, e , a ] = e ◦ W [ f, e , e ] ◦ W [ f, e , a ]= e ◦ W [ f, e , e ◦ s ] ◦ W [ f, e , a ] (8.4.5)Сравнивая (8.4.2) и (8.4.5) получаем, что(8.4.6) W [ f, e , a ] = W [ f, e , e ◦ s ] ◦ W [ f, e , a ] Так как s - автоморфизм представления, то равенство (8.4.4) следует из (8.4.6)и теоремы 8.2.13. (cid:3) Теорема . Преобразования координат (8.4.4) порождают эффектив-ное контравариантное правостороннее представление группы GA ( f ) , называ-емое координатным представлением в кортеже Ω -алгебр. Доказательство.
Согласно следствию 8.1.19, преобразование (8.4.4) яв-ляется эндоморфизмом диаграммы представлений ( F, W [ f, e ]) .Допустим мы имеем два последовательных пассивных преобразования s и t . Преобразование координат(8.4.7) W [ f, e , a ] = W [ f, e ◦ s, e ] ◦ W [ f, e , a ] соответствует пассивному преобразованию s . Преобразование координат(8.4.8) W [ f, e , a ] = W [ f, e ◦ t, e ] ◦ W [ f, e , a ] соответствует пассивному преобразованию t . Согласно теореме 8.3.3, произве-дение преобразований координат (8.4.7) и (8.4.8) имеет вид W [ f, e , a ] = W [ f, e ◦ t, e ] ◦ W [ f, e ◦ s, e ] ◦ W [ f, e , a ]= W [ f, e ◦ t ◦ s, e ] ◦ W [ f, e , a ] и является координатным преобразованием, соответствующим пассивному пре-образованию s ◦ t . Согласно теоремам 8.2.13, 8.2.14 и определению 5.1.11 преоб-разования координат порождают правостороннее контравариантное представ-ление группы GA ( f ) .Если координатное преобразование не изменяет координаты выбранногобазиса, то ему соответствует единица группы GA ( f ) , так как пассивное пред-ставление однотранзитивно. Следовательно, координатное представление эф-фективно. (cid:3) Это преобразование не порождает эндоморфизма диаграммы представлений ( f, A ) . Ко-ординаты меняются, поскольку меняется базис, относительно которого мы определяем ко-ординаты. Однако кортеж A -чисел, координаты которого мы рассматриваем, не меняется.
42 8. Базис диаграммы представлений универсальной алгебры
Рассмотрим диаграммы представлени ( f, A ) , ( B, g ) . Пассивное представ-ление P ( g ) согласовано с пассивным представлением P ( f ) , если существуетгомоморфизм h группы GA ( f ) в группу GA ( g ) . Рассмотрим диаграмму End( B [ f ]) H / / End( B [ g ]) GA ( f ) P ( f ) O O h / / f ′ ❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦ GA ( g ) P ( g ) O O Так как отображения P ( f ) , P ( g ) являются изоморфизмами группы, то отоб-ражение H является гомоморфизмом групп. Следовательно, отображение f ′ является представлением группы GA ( f ) в многообразии базисов B ( g ) . Соглас-но построению, пассивному преобразованию s многообразии базисов B ( f ) со-ответствует пассивное преобразование H ( s ) многообразия базисов B ( g ) (8.4.9) e g = e g ◦ H ( s ) Тогда координатное преобразование в диаграмме представлений ( B, g ) прини-мает вид(8.4.10) W [ g, e g , a ] = W [ g, e g ◦ H ( s ) , e g ] ◦ W [ g, e g , a ] Определение . Мы будем называть орбиту O ( f, g, e g , a ) = H ( GA ( f )) ◦ W [ g, e g , a ]= ( W [ g, e g ◦ H ( s ) , e g ] ◦ W [ g, e g , a ] , e f ◦ s, s ∈ GA ( f )) геометрическим объектом в координатном представлении , определён-ном в диаграмме представлений ( f, A ) . Для любого базиса e f = e f ◦ s соот-ветствующая точка (8.4.10) орбиты определяет координаты геометриче-ского объекта относительно базиса e f . (cid:3) Определение . Мы будем называть орбиту O ( f, g, a ) = ( W [ g, e g ◦ H ( s ) , e g ] ◦ W [ g, e g , a ] , e g ◦ H ( s ) , e f ◦ s, s ∈ GA ( f )) геометрическим объектом , определённым в диаграмме представлений ( f, A ) .Мы будем также говорить, что a - это геометрический объект типа H .Для любого базиса e f = e f ◦ s соответствующая точка (8.4.10) орбитыопределяет кортеж A -чисел a = e g ◦ W [ g, e g , a ] который мы называем представителем геометрического объекта в диа-грамме представлений ( f, A ) . (cid:3) Так как геометрический объект - это орбита представления, то согласнотеореме 5.3.7 определение геометрического объекта корректно.Определение 8.4.3 строит геометрический объект в координатном простран-стве. Определение 8.4.4 предполагает, что мы выбрали базис представления g .Это позволяет использовать представитель геометрического объекта вместоего координат. Теорема . Представитель геометриче-ского объекта не зависит от выбора базиса e f . .4. Геометрический объект диаграммы представлений 143 Доказательство.
Чтобы определить представителя геометрического объ-екта, мы должны выбрать базис e f диаграммы представлений ( f, A ) , базис e g диаграммы представлений ( B, g ) и координаты геометрического объекта W [ g, e g , b ] . Соответствующий представитель геометрического объекта имеетвид b = e g ◦ W [ g, e g , b ] Базис e f связан с базисом e f пассивным преобразованием e f = e f ◦ s Согласно построению это порождает пассивное преобразование (8.4.9) и коор-динатное преобразование (8.4.10). Соответствующий представитель геометри-ческого объекта имеет вид b ′ = e g ◦ W [ g, e g , b ′ ]= e g ◦ W [ g, e g , e g ◦ H ( s )] ◦ W [ g, e g ◦ H ( s ) , e g ] ◦ W [ g, e g , b ]= e g ◦ W [ g, e g , b ] = b Следовательно, представитель геометрического объекта инвариантен относи-тельно выбора базиса. (cid:3) лава 9
Примеры диаграммы представлений: модуль
Теория представлений универсальной алгебры - это важный инструмент,которым я пользуюсь на протяжении многих лет для изучения алгебры, гео-метрии, математического анализа. Основная задача этой и следующей глав -показать как работает теория представлений универсальной алгебры в различ-ных разделах математики.Примеры в этой главе имеют отношение к различным конструкциям, свя-занным с модулем над кольцом.Первый пример - это абелевая группа. Модуль - это эффективное пред-ставление кольца в абелевой группе. Поэтому существует параллель междуабелевой группой и модулем. Я рассматриваю это сходство в разделе 9.2.Модуль над коммутативным кольцом - это относительно простая конструк-ция. С другой стороны, многие определения теории представлений (базис пред-ставления, морфизм представлений, свободное представления) опираются нааналогичные определения в модуле. Поэтому раздел 9.3 посвящён детальномурассмотрению модуля над коммутативным кольцом.Я рассматриваю алгебру над коммутативным кольцом в разделе 9.4 и ле-вый модуль над D -алгеброй в разделе 9.5. Мы можем рассматривать модульнад некоммутативным кольцом также как мы рассматривали модуль над ком-мутативным кольцом. Однако мы встречаем серьёзные проблемы при изучениилинейного отображения.Рассмотрение некоммутативного кольца как алгебры над центром кольцасущественно меняет картину. Анализ диаграммы представлений, описываю-щей модуль V над D -алгеброй A , позволяет рассмотреть различные группыотображений, сохраняющих структуру алгебры. Среди этих отображений мывыделяем линейные отображения A -модуля V (приведенный морфизм D -мо-дуля V ) и гомоморфизм A -модуля V (приведенный морфизм диаграммы пред-ставлений). Такое определение линейного отображения позволяет рассмотретьполилинейное отображение модуля над D -алгеброй A .Если D -алгебра A является банаховой, то мы получаем инструмент дляизучения математического анализа функций нескольких переменных. К сожа-лению, структура линейного отображения некоммутативной алгебры лежитвне рамок этой главы. Подробнее эту тему читатель может изучить в книге[12]. Определение . Мы определим действие кольца целых чисел Z в абе-левой группе G согласно правилу g = 0 (9.2.1) ( n + 1) g = ng + g (9.2.2) ( n − g = ng − g (9.2.3) (cid:3) Теорема . Действие кольца целых чисел Z в абелевой группе G , рас-смотренное в определении 9.2.1, является представлением. Верны следующиеравенства a = a (9.2.4) ( nm ) a = n ( ma ) (9.2.5) ( m + n ) a = ma + na (9.2.6) ( m − n ) a = ma − na (9.2.7) n ( a + b ) = na + nb (9.2.8) Доказательство.
Равенство (9.2.4) является следствием равенства (9.2.1)и равенства (9.2.2), когда n = 0 .Из равенства (9.2.1) следует, что равенство (9.2.6) верно, когда n = 0 . • Пусть равенство (9.2.6) верно, когда n = k ≥ . Тогда ( m + k ) a = ma + ka Равенство ( m + ( k + 1)) a = (( m + k ) + 1) a = ( m + k ) a + a = ma + ka + a = ma + ( k + 1) a является следствием равенства (9.2.2). Следовательно, равенство (9.2.6)верно, когда n = k + 1 . Согласно принципу математической индукции,равенство (9.2.6) верно для любого n ≥ . • Пусть равенство (9.2.6) верно, когда n = k ≤ . Тогда ( m + k ) a = ma + ka Равенство ( m + ( k − a = (( m + k ) − a = ( m + k ) a − a = ma + ka − a = ma + ( k − a является следствием равенства (9.2.3). Следовательно, равенство (9.2.6)верно, когда n = k − . Согласно принципу математической индукции,равенство (9.2.6) верно для любого n ≤ . • Следовательно, равенство (9.2.6) верно для любого n ∈ Z .Равенство(9.2.9) ( k + n ) a − na = ka является следствием равенства (9.2.6). Равенство (9.2.7) является следствиемравенства (9.2.9), если мы положим m = k + n , k = m − n .Из равенства (9.2.1) следует, что равенство (9.2.5) верно, когда n = 0 .
46 9. Примеры диаграммы представлений: модуль • Пусть равенство (9.2.5) верно, когда n = k ≥ . Тогда ( km ) a = k ( ma ) Равенство (( k + 1) m ) a = ( km + m ) a = ( km ) a + ma = k ( ma ) + ma = ( k + 1)( ma ) является следствием равенств (9.2.2), (9.2.6). Следовательно, равен-ство (9.2.5) верно, когда n = k +1 . Согласно принципу математическойиндукции, равенство (9.2.5) верно для любого n ≥ . • Пусть равенство (9.2.6) верно, когда n = k ≤ . Тогда ( km ) a = k ( ma ) Равенство (( k − m ) a = ( km − m ) a = ( km ) a − ma = k ( ma ) − ma = ( k − ma ) является следствием равенств (9.2.3), (9.2.7). Следовательно, равен-ство (9.2.5) верно, когда n = k − . Согласно принципу математическойиндукции, равенство (9.2.5) верно для любого n ≤ . • Следовательно, равенство (9.2.5) верно для любого n ∈ Z .Из равенства (9.2.1) следует, что равенство (9.2.8) верно, когда n = 0 . • Пусть равенство (9.2.8) верно, когда n = k ≥ . Тогда k ( a + b ) = ka + kb Равенство ( k + 1)( a + b ) = k ( a + b ) + a + b = ka + kb + a + b = ka + a + kb + b = ( k + 1) a + ( k + 1) b является следствием равенства (9.2.2). Следовательно, равенство (9.2.8)верно, когда n = k + 1 . Согласно принципу математической индукции,равенство (9.2.8) верно для любого n ≥ . • Пусть равенство (9.2.6) верно, когда n = k ≤ . Тогда k ( a + b ) = ka + kb Равенство ( k − a + b ) = k ( a + b ) − ( a + b ) = ka + kb − a − b = ka − a + kb − b = ( k − a + ( k − b является следствием равенства (9.2.3). Следовательно, равенство (9.2.8)верно, когда n = k − . Согласно принципу математической индукции,равенство (9.2.8) верно для любого n ≤ . • Следовательно, равенство (9.2.8) верно для любого n ∈ Z . .2. Абелевая группа 147 Из равенства (9.2.8) следует, что отображение ϕ ( n ) : a ∈ G → na ∈ G является эндоморфизмом абелевой группы G . Из равенств (9.2.6), (9.2.5) сле-дует, что отображение ϕ : Z → End(
Ab, G ) является гомоморфизмом кольца Z . Согласно определению 3.1.1, отображение ϕ является представлением кольца целых чисел Z в абелевой группе G . (cid:3) Теорема . Пусть G - абелевая группа. Множество G -чисел, порож-дённое множеством S = { s i : i ∈ I } , имеет вид (9.2.10) J ( S ) = ( g : g = X i ∈ I g i s i , g i ∈ Z ) где множество { i ∈ I : g i = 0 } конечно. Доказательство.
Мы докажем теорему по индукции, опираясь на теоре-мы [14]-5.1, страница 94, и 6.1.4.Для произвольного s k ∈ S , положим g i = δ ik . Тогда(9.2.11) s k = X i ∈ I g i s i s k ∈ J ( S ) следует из (9.2.10), (9.2.11).Пусть g , g ∈ X k ⊆ J ( S ) . Так как G является абелевой группой, то,согласно утверждению 6.1.4.3, g + g ∈ J ( S ) . Согласно равенству (9.2.10),существуют Z -числа g i , g i , i ∈ I , такие, что(9.2.12) g = X i ∈ I g i v i g = X i ∈ I g i v i где множества(9.2.13) H = { i ∈ I : g i = 0 } H = { i ∈ I : g i = 0 } конечны. Из равенства (9.2.12) следует, что(9.2.14) g + g = X i ∈ I g i v i + X i ∈ I g i v i = X i ∈ I ( g i v i + g i v i ) Равенство(9.2.15) g + g = X i ∈ I ( g i + g i ) v i является следствием равенств (9.2.6), (9.2.14). Из равенства (9.2.13) следует,что множество { i ∈ I : g i + g i = 0 } ⊆ H ∪ H конечно. Из равенства (9.2.15) следует, что g + g ∈ J ( S ) . (cid:3)
48 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Определение . Эффективное представление коммутативного коль-ца D в абелевой группе V (9.3.1) f : D ∗ / / V f ( d ) : v → d v называется модулем над кольцом D или D -модулем . V -число называется вектором . (cid:3) Теорема . Следующая диаграмма представлений описывает D -мо-дуль V (9.3.2) D ∗ g / / VZ ∗ g O O В диаграмме представлений (9.3.2) верна коммутативность представле-ний кольца целых чисел Z и коммутативного кольца D в абелевой группе V (9.3.3) a ( nv ) = n ( av ) Доказательство.
Диаграмма представлений (9.3.2) является следстви-ем определения 9.3.1 и теоремы 9.2.2. Равенство (9.3.3) является следствиемутверждения, что преобразование g ( a ) является эндоморфизмом Z -модуля V . (cid:3) Теорема . Пусть V является D -модулем. Для любого вектора v ∈ V , вектор, порождённый диаграммой представлений (9.3.2) , имеет следую-щий вид (9.3.4) ( a + n ) v = av + nv a ∈ D n ∈ Z Множество отображений (9.3.5) a + n : v ∈ V → ( a + n ) v ∈ V порождает кольцо D (1) где сложение определено равенством (9.3.6) ( a + n ) + ( b + m ) = ( a + b ) + ( n + m ) и произведение определено равенством (9.3.7) ( a + n )( b + m ) = ( ab + ma + nb ) + ( nm ) Кольцо D (1) называется унитальным расширением кольца D .Если кольцо D имеет единицу, то Z ⊆ D D (1) = D Если кольцо D является идеалом Z , то D ⊆ Z D (1) = Z В противном случае D (1) = D ⊕ Z Кольцо D является идеалом кольца D (1) . Смотри определение унитального расширения также на страницах [6]-52, [7]-64. .3. Векторное пространство 149
Множество преобразований (9.3.4) порождает представление коль-ца D (1) в абелевой группе V .Мы будем пользоваться обозначением D (1) v для множества векторов, по-рождённых вектором v . Теорема . Элементы D -модуля V удовлетворяют соотношениям закон ассоциативности (9.3.8) ( pq ) v = p ( qv ) закон дистрибутивности p ( v + w ) = pv + pw (9.3.9) ( p + q ) v = pv + qv (9.3.10)9.3.4.3: закон унитарности (9.3.11) v = v для любых p , q ∈ D (1) , v , w ∈ V . Доказательство теорем 9.3.3, 9.3.4.
Пусть v ∈ V . Лемма . Пусть n ∈ Z , a ∈ D . Отображение (9.3.5) являетсяэндоморфизмом абелевой группы V . Доказательство.
Утверждения nv ∈ V , av ∈ V являются следствиемтеорем 6.1.4, 9.3.2. Так как V является абелевой группой, то nv + av ∈ V n ∈ Z a ∈ D Следовательно, для любого Z -числа n и любого D -числа a , мы определилиотображение (9.3.5). Поскольку преобразование g ( n ) и преобразование g ( a ) являются эндоморфизмами абелевой группы V , то отображение (9.3.5) явля-ется эндоморфизмом абелевой группы V . ⊙ Пусть D (1) - множество отображений (9.3.5). Равенство (9.3.9) являетсяследствием леммы 9.3.5.Пусть p = a + n ∈ D (1) , q = b + m ∈ D (1) . Согласно утверждению 9.3.3.3,мы определим сумму D (1) -чисел p и q равенством (9.3.10). Равенство(9.3.12) (( a + n ) + ( b + m )) v = ( a + n ) v + ( b + m ) v является следствием равенства (9.3.10). Равенство(9.3.13) ( n + m ) v = nv + mv является следствием утверждения, что представление g является гомомор-физмом аддитивной группы кольца Z . Равенство(9.3.14) ( a + b ) v = av + bv является следствием утверждения, что представление g является гомомор-физмом аддитивной группы кольца D . Так как V является абелевой группой,то равенство (( a + n ) + ( b + m )) v = av + nv + bv + mv = av + bv + nv + mv = ( a + b ) v + ( n + m ) v = (( a + b ) + ( n + m )) v (9.3.15)
50 9. Примеры диаграммы представлений: модуль является следствием равенств (9.3.12), (9.3.13), (9.3.14). Из равенства (9.3.15)следует, что определение (9.3.6) суммы на множестве D (1) не зависит от вектора v . Равенства (9.3.8), (9.3.11) являются следствием утверждения 9.3.3.3. Пусть p = a + n ∈ D (1) , q = b + m ∈ D (1) . Равенство(9.3.16) ( mn ) v = m ( nv ) является следствием утверждения, что представление g является представле-нием мультипликативной группы кольца Z . Равенство(9.3.17) ( ab ) v = a ( bv ) является следствием утверждения, что представление g является представле-нием мультипликативной группы кольца D . Равенство(9.3.18) ( md ) v = m ( dv ) является следствием утверждения, что кольцо D является абелевой группой.Равенство (( a + n )( b + m )) v = ( a + n )(( b + m ) v ) = ( a + n )( bv + mv )= a ( bv + mv ) + n ( bv + mv )= a ( bv ) + a ( mv ) + n ( bv ) + n ( mv )=( ab ) v + m ( av ) + + n ( bv ) + ( nm ) v =( ab ) v + ( ma ) v + +( nb ) v + ( nm ) v =(( ab + ma + nb ) + nm ) v (9.3.19)является следствием равенств (9.3.3), (9.3.4), (9.3.8), (9.3.16), (9.3.17), (9.3.18).Равенство (9.3.7) является следствием равенства (9.3.19).Утверждение 9.3.3.2 является следствием равенства (9.3.7). (cid:3) Теорема . Пусть V - D -модуль. Множество векторов, порождён-ное множеством векторов v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) , имеет вид (9.3.20) J ( v ) = ( w : w = X i ∈ I c i v i , c i ∈ D (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ ) Доказательство.
Мы докажем теорему по индукции, опираясь на теоре-му 6.1.4, Согласно теореме 6.1.4, мы должны доказать следующие утвержде-ния:9.3.6.1: v k ∈ X ⊆ J ( v ) c k v k ∈ J ( v ) , c k ∈ D (1) , k ∈ I X k ∈ I c k v k ∈ J ( v ) , c k ∈ D (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ w , w ∈ J ( v ) ⇒ w + w ∈ J ( v ) a ∈ D , w ∈ J ( v ) ⇒ aw ∈ J ( v ) • Для произвольного v k ∈ v , положим c i = δ ik ∈ D (1) . Тогда(9.3.21) v k = X i ∈ I c i v i Для множества A , мы обозначим | A | мощность множества A . Запись | A | < ∞ означает,что множество A конечно. .3. Векторное пространство 151 Утверждение 9.3.6.1 следует из (9.3.20), (9.3.21). • Утверждение 9.3.6.2 являются следствием теорем 6.1.4, 9.3.3 и утвер-ждения 9.3.6.1. • Так как V является абелевой группой, то утверждение 9.3.6.3 следуетиз утверждения 9.3.6.2 и теорем 6.1.4, 9.2.3. • Пусть w , w ∈ X k ⊆ J ( v ) . Так как V является абелевой группой,то, согласно утверждению 6.1.4.3,(9.3.22) w + w ∈ X k +1 Согласно равенству (9.3.20), существуют D (1) -числа w i , w i , i ∈ I ,такие, что(9.3.23) w = X i ∈ I w i v i w = X i ∈ I w i v i где множества(9.3.24) H = { i ∈ I : w i = 0 } H = { i ∈ I : w i = 0 } конечны. Так как V является абелевой группой, то из равенства (9.3.23)следует, что(9.3.25) w + w = X i ∈ I w i v i + X i ∈ I w i v i = X i ∈ I ( w i v i + w i v i ) Равенство(9.3.26) w + w = X i ∈ I ( w i + w i ) v i является следствием равенств (9.3.10), (9.3.25). Из равенства (9.3.24)следует, что множество { i ∈ I : w i + w i = 0 } ⊆ H ∪ H конечно. • Пусть w ∈ X k ⊆ J ( v ) . Согласно утверждению 6.1.4.4, для любого D (1) -числа a ,(9.3.27) aw ∈ X k +1 Согласно равенству (9.3.20), существуют D (1) -числа w i , i ∈ I , такие,что(9.3.28) w = X i ∈ I w i v i где(9.3.29) |{ i ∈ I : w i = 0 }| < ∞ Из равенства (9.3.28) следует, что(9.3.30) aw = a X i ∈ I w i v i = X i ∈ I a ( w i v i ) = X i ∈ I ( aw i ) v i Из утверждения (9.3.29) следует, что множество { i ∈ I : aw i = 0 } конечно.Из равенств (9.3.22), (9.3.26), (9.3.27), (9.3.30) следует, что X k +1 ⊆ J ( v ) . (cid:3)
52 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Определение . Пусть v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) - множество векто-ров. Выражение w i v i называется линейной комбинацией векторов v i .Вектор w = w i v i называется линейно зависимым от векторов v i . (cid:3) Представим множество D (1) -чисел w i , i ∈ I , в виде матрицы w = w ...w n Представим множество векторов v i , i ∈ I , в виде матрицы v = (cid:16) v ... v n (cid:17) Тогда мы можем записать линейную комбинацию векторов w = w i v i в виде w = w ∗∗ v Теорема . Пусть D - поле. Если уравнение w i v i = 0 предполагает существования индекса i = j такого, что w j = 0 , то вектор v j линейно зависит от остальных векторов v . Доказательство.
Теорема является следствием равенства v j = X i ∈ I \{ j } w i w j v i и определения 9.3.7. (cid:3) Очевидно, что для любого множества векторов v i , w i = 0 ⇒ w ∗∗ v = 0 Определение . Множество векторов v i , i ∈ I , D -модуля V ли-нейно независимо , если w = 0 следует из уравнения w i v i = 0 В противном случае, множество векторов v i , i ∈ I , линейно зависимо . (cid:3) Следующее определение является следствием теорем 9.3.6, 6.1.4 и опреде-ления 6.1.5.
Определение . J ( v ) называется подмодулем, порождённым мно-жеством v , а v - множеством образующих подмодуля J ( v ) . В частности, множеством образующих D -модуля V будет такое подмножество X ⊂ V ,что J ( X ) = V . (cid:3) Следующее определение является следствием теорем 9.3.6, 6.1.4 и опреде-ления 6.2.6.
Я следую определению в [2], страница 100. .3. Векторное пространство 153
Определение . Если множество X ⊂ V является множествомобразующих D -модуля V , то любое множество Y , X ⊂ Y ⊂ V также явля-ется множеством образующих D -модуля V . Если существует минимальноемножество X , порождающее D -модуль V , то такое множество X называ-ется базисом D -модуля V . (cid:3) Теорема . Множество векторов e = ( e i , i ∈ I ) является базисом D -модуля V , если верны следующие утверждения. Произвольный вектор v ∈ V является линейной комбинацией векто-ров множества e . Вектор e i нельзя представить в виде линейной комбинации осталь-ных векторов множества e . Доказательство.
Согласно утверждению 9.3.12.1, теореме 9.3.6 и опреде-лению 9.3.7, множество e порождает D -модуль V (определение 9.3.10). Соглас-но утверждению 9.3.12.2, множество e является минимальным множеством, по-рождающим D -модуль V . Согласно определению 9.3.11, множество e являетсябазисом D -модуля V . (cid:3) Теорема . Пусть D - поле. Множество векторов e = ( e i , i ∈ I ) является базисом D -векторного пространства V , если векторы e i линейнонезависимы и любой вектор v ∈ V линейно зависит от векторов e i . Доказательство.
Пусть множество векторов e i , i ∈ I , линейно зависи-мо. Тогда в равенстве w i e i = 0 существует индекс i = j такой, что w j = 0 . Согласно теореме 9.3.8, вектор e j линейно зависит от остальных векторов множества e . Согласно определе-нию 9.3.11, множество векторов e i , i ∈ I , не является базисом D -векторногопространства V .Следовательно, если множество векторов e i , i ∈ I , является базисом,то эти векторы линейно независимы. Так как произвольный вектор v ∈ V является линейной комбинацией векторов e i , i ∈ I , , то множество векторов v , e i , i ∈ I , не является линейно независимым. (cid:3) Определение . Пусть e - базис D -модуля V , и вектор v ∈ V имеет разложение v = v ∗∗ e = v i e i относительно базиса e . D (1) -числа v i называются координатами вектора v относительно базиса e . Матрица D (1) -чисел v = ( v i , i ∈ I ) называется координатной матрицей вектора v в базисе e . (cid:3) Теорема . Пусть D - кольцо. Пусть e - базис D -модуля V . Пусть (9.3.31) w i e i = 0 линейная зависимость векторов базиса e . Тогда D (1) -число w i , i ∈ I , не имеет обратного элемента в кольце D (1) . Множество D ′ матриц w = ( w i , i ∈ I ) порождает D -модуль.
54 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Доказательство.
Допустим существует матрица w = ( w i , i ∈ I ) такая,что равенство (9.3.31) верно и существует индекс i = j такой, что w j = 0 .Если мы положим, что D (1) -число c j имеет обратный, то равенство e j = X i ∈ I \{ j } w i w j e i является следствием равенства (9.3.31). Следовательно вектор e j является ли-нейной комбинацией остальных векторов множества e и множество e не явля-ется базисом. Следовательно, наше предположение неверно, и D (1) -число c j неимеет обратного.Пусть матрицы b = ( b i , i ∈ I ) ∈ D ′ , c = ( c i , i ∈ I ) ∈ D ′ . Из равенств b i e i = 0 c i e i = 0 следует ( b i + c i ) e i = 0 Следовательно, множество D ′ является абелевой группой.Пусть матрица c = ( c i , i ∈ I ) ∈ D ′ и a ∈ D . Из равенства c i e i = 0 следует ( ac i ) e i = 0 Следовательно, абелевая группа D ′ является D -модулем. (cid:3) Теорема . Пусть D -модуль V имеет базис e такой, что в равен-стве (9.3.32) w i e i = 0 существует индекс i = j такой, что w j = 0 . Тогда Матрица w = ( w i , i ∈ I ) определяет координаты вектора ∈ V относительно базиса e . Координаты вектора v относительно базиса e определены однозначнос точностью до выбора координат вектора ∈ V . Доказательство.
Утверждение 9.3.16.1 является следствием равенства(9.3.32) и определения 9.3.14.Пусть вектор v имеет разложение(9.3.33) v = v ∗∗ e = v i e i относительно базиса e . Равенство(9.3.34) v = v + 0 = v i e i + c i e i = ( v i + c i ) e i является следствием равенств (9.3.32), (9.3.33). Утверждение 9.3.16.2 являетсяследствием равенств (9.3.33), (9.3.34) и определения 9.3.14. (cid:3) Определение . D -модуль V - свободный D -модуль , если D -модуль V имеет базис и векторы базиса линейно независимы. (cid:3) Я следую определению в [2], страница 103. .3. Векторное пространство 155
Теорема . Координаты вектора v ∈ V относительно базиса e сво-бодного D -модуля V определены однозначно. Доказательство.
Теорема является следствием теоремы 9.3.16 и опреде-лений 9.3.9, 9.3.17. (cid:3)
Пример . Из теоремы 9.2.2 и определения 9.3.1 следует, что абе-левая группа G является модулем над кольцом целых чисел Z . (cid:3) Определение . Морфизм представлений (cid:16) h : D → D f : V → V (cid:17) D -модуля A в D -модуль A называется линейным отображением D -модуля A в D -модуль A . Обозначим L ( D → D ; A → A ) множестволинейных отображений D -модуля A в D -модуль A . (cid:3) Если отображение f : A → A является линейным отображением D -алгебры A в D -алгебру A , то я поль-зуюсь обозначением f ◦ a = f ( a ) для образа отображения f . Теорема . Линейное отображение (cid:16) h : D → D f : A → A (cid:17) D -модуля A в D -модуль A удовлетворяет равенствам (9.3.35) h ( d + d ) = h ( d ) + h ( d ) (9.3.36) h ( d d ) = h ( d ) h ( d ) (9.3.37) f ◦ ( a + b ) = f ◦ a + f ◦ b (9.3.38) f ◦ ( da ) = h ( d )( f ◦ a ) a, b ∈ A d, d , d ∈ D Доказательство.
Из определений 3.2.2, 9.3.20 следует, что отображение h является гомоморфизмом кольца D в кольцо D (равенства (9.3.35), (9.3.36))и отображение f является гомоморфизмом абелевой группы A в абелеву груп-пу A (равенство (9.3.37)). Равенство (9.3.38) является следствием равенства(3.2.3). (cid:3) В некоторых книгах (например, на странице [2]-94) теорема 9.3.21 рассматривается какопределение.
56 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Теорема . Пусть e = ( e · i , i ∈ I ) базис в D -модуле A . Пусть e = ( e · j , j ∈ J ) базис в D -модуле A . Тогда линейное отображение (cid:16) h : D → D f : A → A (cid:17) имеет представление (9.3.39) b = h ( a ) ∗∗ f относительно заданных базисов. Здесь • a - координатная матрица A -числа a относительно базиса e (9.3.40) a = a ∗∗ e • h ( a ) = ( h ( a i ) , i ∈ I ) - матрица D -чисел. • b - координатная матрица вектора (9.3.41) b = f ◦ a относительно базиса e (9.3.42) b = b ∗∗ e • f - координатная матрица множества векторов ( f ◦ e · i , i ∈ I ) относительно базиса e . Мы будем называть матрицу f матрицейлинейного отображения f относительно базисов e и e . Доказательство.
Так кaк (cid:16) h : D → D f : A → A (cid:17) линейное отображение, то равенство(9.3.43) b = f ◦ a = f ◦ ( a ∗∗ e ) = h ( a ) ∗∗ ( f ◦ e ) является следствием равенств (9.3.38), (9.3.40), (9.3.41). A -число f ◦ e · i имеетразложение(9.3.44) f ◦ e · i = f i ∗∗ e = f ji e · j относительно базиса e . Комбинируя (9.3.43) и (9.3.44), мы получаем(9.3.45) b = h ( a ) ∗∗ f ∗∗ e (9.3.39) следует из сравнения (9.3.42) и (9.3.45) и теоремы 9.3.18. (cid:3) Определение . Приведенный морфизм представлений f : A → A D -модуля A в D -модуль A называется линейным отображением D -мо-дуля A в D -модуль A . Обозначим L ( D ; A → A ) множество линейныхотображений D -модуля A в D -модуль A . (cid:3) .3. Векторное пространство 157 Теорема . Линейное отображение f : A → A D -модуля A в D -модуль A удовлетворяет равенствам (9.3.46) f ◦ ( a + b ) = f ◦ a + f ◦ b (9.3.47) f ◦ ( da ) = d ( f ◦ a ) a, b ∈ A d ∈ D Доказательство.
Из определений 3.4.2, 9.3.23 следует, что отображение f является гомоморфизмом абелевой группы A в абелеву группу A (равенство(9.3.46)). Равенство (9.3.47) является следствием равенства (3.4.4). (cid:3) Теорема . Пусть e = ( e · i , i ∈ I ) базис в D -модуле A . Пусть e = ( e · j , j ∈ J ) базис в D -модуле A . Тогда линейное отображение f : A → A имеет представление (9.3.48) b = a ∗∗ f относительно заданных базисов. Здесь • a - координатная матрица A -числа a относительно базиса e (9.3.49) a = a ∗∗ e • b - координатная матрица вектора (9.3.50) b = f ◦ a относительно базиса e (9.3.51) b = b ∗∗ e • f - координатная матрица множества векторов ( f ◦ e · i , i ∈ I ) относительно базиса e . Мы будем называть матрицу f матрицейлинейного отображения f относительно базисов e и e . Доказательство.
Так кaк f : A → A линейное отображение, то равенство(9.3.52) b = f ◦ a = f ◦ ( a ∗∗ e ) = a ∗∗ ( f ◦ e ) является следствием равенств (9.3.47), (9.3.49), (9.3.50). A -число f ◦ e · i имеетразложение(9.3.53) f ◦ e · i = f i ∗∗ e = f ji e · j В некоторых книгах (например, на странице [2]-94) теорема 9.3.24 рассматривается какопределение.
58 9. Примеры диаграммы представлений: модуль относительно базиса e . Комбинируя (9.3.52) и (9.3.53), мы получаем(9.3.54) b = a ∗∗ f ∗∗ e (9.3.48) следует из сравнения (9.3.51) и (9.3.54) и теоремы 9.3.18. (cid:3) Определение . Пусть D - коммутативное кольцо. Приведенныйполиморфизм D -модулей A , ..., A n в D -модуль Sf : A × ... × A n → S называется полилинейным отображением D -модулей A , ..., A n в D -мо-дуль S . Обозначим L ( D ; A × ... × A n → S ) множество полилинейных отоб-ражений D -модулей A , ..., A n в D -модуль S . Обозначим L ( D ; A n → S ) мно-жество n -линейных отображений D -модуля A ( A = ... = A n = A ) в D -модуль S . (cid:3) Теорема . Пусть D - коммутативное кольцо. Полилинейное отоб-ражение D -модулей A , ..., A n в D -модуль Sf : A × ... × A n → S удовлетворяет равенствам f ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., b i , ..., a n ) f ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pf ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) f ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., b i , ..., a n ) f ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pf ◦ ( a , ..., a i , ..., a n )1 ≤ i ≤ n a i , b i ∈ A i p ∈ D Доказательство.
Теорема является следствием определений 4.4.4, 9.3.23,9.3.26 и теоремы 9.3.24. (cid:3)
Теорема . Пусть D - коммутативное кольцо. Пусть A , ..., A n , S - D -модули. Отображение (9.3.55) f + g : A × ... × A n → S f, g ∈ L ( D ; A × ... × A n → S ) определённое равенством (9.3.56) ( f + g ) ◦ ( a , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a n ) + g ◦ ( a , ..., a n ) называется суммой полилинейных отображений f и g и является поли-линейным отображением. Множество L ( D ; A × ... × A n → S ) являетсяабелевой группой относительно суммы отображений. Доказательство.
Согласно теореме 9.3.27(9.3.57) f ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., b i , ..., a n ) (9.3.58) f ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pf ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) (9.3.59) g ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = g ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + g ◦ ( a , ..., b i , ..., a n ) (9.3.60) g ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pg ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) .3. Векторное пространство 159 Равенство ( f + g ) ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n )= f ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n ) + g ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n )= f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + f ◦ ( x , ..., y i , ..., x n )+ g ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + g ◦ ( x , ..., y i , ..., x n )=( f + g ) ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + ( f + g ) ◦ ( x , ..., y i , ..., x n ) (9.3.61)является следствием равенств (9.3.56), (9.3.57), (9.3.59). Равенство ( f + g ) ◦ ( x , ..., px i , ..., x n )= f ◦ ( x , ..., px i , ..., x n ) + g ◦ ( x , ..., px i , ..., x n )= pf ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + pg ◦ ( x , ..., x i , ..., x n )= p ( f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + g ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ))= p ( f + g ) ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) (9.3.62)является следствием равенств (9.3.56), (9.3.58), (9.3.60). Из равенств (9.3.61),(9.3.62) и теоремы 9.3.27 следует, что отображение (9.3.55) является полили-нейным отображением D -модулей.Пусть f , g , h ∈ L ( D ; A × ... × A → S ) . Для любого a = ( a , ..., a n ) , a ∈ A , ..., a n ∈ A n , ( f + g ) ◦ a = f ◦ a + g ◦ a = g ◦ a + f ◦ a =( g + f ) ◦ a (( f + g ) + h ) ◦ a =( f + g ) ◦ a + h ◦ a = ( f ◦ a + g ◦ a ) + h ◦ a = f ◦ a + ( g ◦ a + h ◦ a ) = f ◦ a + ( g + h ) ◦ a =( f + ( g + h )) ◦ a Следовательно, сумма полилинейных отображений коммутативна и ассоциа-тивна.Из равенства (9.3.56) следует, что отображение v ∈ A × ... × A n → ∈ S является нулём операции сложения (0 + f ) ◦ ( a , ..., a n ) = 0 ◦ ( a , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a n ) Из равенства (9.3.56) следует, что отображение − f : ( a , ..., a n ) ∈ A × ... × A n → − ( f ◦ ( a , ..., a n )) ∈ S является отображением, обратным отображению ff + ( − f ) = 0 так как ( f + ( − f )) ◦ ( a , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a n ) + ( − f ) ◦ ( a , ..., a n )= f ◦ ( a , ..., a n ) − f ◦ ( a , ..., a n )= 0 = 0 ◦ ( a , ..., a n )
60 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Из равенства ( f + g ) ◦ ( a , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a n ) + g ◦ ( a , ..., a n )= g ◦ ( a , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., a n )= ( g + f ) ◦ ( a , ..., a n ) следует, что сумма отображений коммутативно. Следовательно, множество L ( D ; A × ... × A n → S ) является абелевой группой. (cid:3) Следствие . Пусть A , A - D -модули. Отображение (9.3.63) f + g : A → A f, g ∈ L ( D ; A → A ) определённое равенством (9.3.64) ( f + g ) ◦ x = f ◦ x + g ◦ x называется суммой отображений f и g и является линейным отображени-ем. Множество L ( D ; A ; A ) является абелевой группой относительно сум-мы отображений. (cid:3) Теорема . Пусть D - коммутативное кольцо. Пусть A , ..., A n , S - D -модули. Отображение (9.3.65) d f : A × ... × A n → S d ∈ D f ∈ L ( D ; A × ... × A n → S ) определённое равенством (9.3.66) ( d f ) ◦ ( a , ..., a n ) = d ( f ◦ ( a , ..., a n )) называется произведением отображения f на скаляр d и является по-лилинейным отображением. Представление (9.3.67) a : f ∈ L ( D ; A × ... × A n → S ) → af ∈ L ( D ; A × ... × A n → S ) кольца D в абелевой группе L ( D ; A × ... × A n → S ) порождает структуру D -модуля. Доказательство.
Согласно теореме 9.3.27(9.3.68) f ◦ ( a , ..., a i + b i , ..., a n ) = f ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) + f ◦ ( a , ..., b i , ..., a n ) (9.3.69) f ◦ ( a , ..., pa i , ..., a n ) = pf ◦ ( a , ..., a i , ..., a n ) Равенство ( pf ) ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n )= p f ◦ ( x , ..., x i + y i , ..., x n )= p ( f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + f ◦ ( x , ..., y i , ..., x n ))= p ( f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n )) + p ( f ◦ ( x , ..., y i , ..., x n ))= ( pf ) ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ) + ( pf ) ◦ ( x , ..., y i , ..., x n ) (9.3.70)является следствием равенств (9.3.66), (9.3.68). Равенство ( pf ) ◦ ( x , ..., qx i , ..., x n )= p ( f ◦ ( x , ..., qx i , ..., x n )) = pq ( f ◦ ( x , ..., x i , ..., x n ))= qp ( f ◦ ( x , ..., x n )) = q ( pf ) ◦ ( x , ..., x n ) (9.3.71) .4. Алгебра над коммутативным кольцом 161 является следствием равенств (9.3.66), (9.3.69). Из равенств (9.3.70), (9.3.71)и теоремы 9.3.27 следует, что отображение (9.3.65) является полилинейнымотображением D -модулей.Равенство(9.3.72) ( p + q ) f = pf + qf является следствием равенства (( p + q ) f ) ◦ ( x , ..., x n ) =( p + q )( f ◦ ( x , ..., x n ))= p ( f ◦ ( x , ..., x n )) + q ( f ◦ ( x , ..., x n ))=( pf ) ◦ ( x , ..., x n ) + ( qf ) ◦ ( x , ..., x n ) Равенство(9.3.73) p ( qf ) = ( pq ) f является следствием равенства ( p ( qf )) ◦ ( x , ..., x n ) = p ( qf ) ◦ ( x , ..., x n ) = p ( q f ◦ ( x , ..., x n ))=( pq ) f ◦ ( x , ..., x n ) = (( pq ) f ) ◦ ( x , ..., x n ) Из равенств (9.3.72), (9.3.73), следует, что отображение (9.3.67) является пред-ставлением кольца D в абелевой группе L ( D ; A × ... × A n → S ) . Так какуказанное представление эффективно, то, согласно определению 9.3.1 и теоре-ме 9.3.28, абелевая группа L ( D ; A → A ) является D -модулем. (cid:3) Следствие . Пусть A , A - D -модули. Отображение (9.3.74) d f : A → A d ∈ D f ∈ L ( D ; A → A ) определённое равенством (9.3.75) ( d f ) ◦ x = d ( f ◦ x ) называется произведением отображения f на скаляр d и является ли-нейным отображением. Представление (9.3.76) a : f ∈ L ( D ; A → A ) → af ∈ L ( D ; A → A ) кольца D в абелевой группе L ( D ; A → A ) порождает структуру D -модуля. (cid:3) Определение . Пусть D - коммутативное кольцо. D -модуль A на-зывается алгеброй над кольцом D или D -алгеброй , если определена опе-рация произведения в A (9.4.1) v w = C ◦ ( v, w ) где C - билинейное отображение C : A × A → A Если A является свободным D -модулем, то A называется свободной ал-геброй над кольцом D . (cid:3) Я следую определению, приведенному в [20], страница 1, [13], страница 4. Утверждение,верное для произвольного D -модуля, верно также для D -алгебры.
62 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Теорема . Пусть D - коммутативное кольцо и A - абелевая группа.Диаграмма представлений D ∗ g / / A ∗ g / / AD ∗ g O O g ( d ) : v → d vg ( v ) : w → C ◦ ( v, w ) C ∈ L ( D ; A → A ) порождает структуру D -алгебры A . Доказательство.
Структура D -модуля A порождена эффективным пред-ставлением g : D ∗ / / A кольца D в абелевой группе A . Лемма . Пусть в D -модуле A определена структура D -алгебры A ,порождённая произведением v w = C ◦ ( v, w ) Левый сдвиг D -модуля A , определённый равенством (9.4.2) l ◦ v : w ∈ A → v w ∈ A порождает представление A ∗ g / / A g : v → l ◦ vg ◦ v : w → ( l ◦ v ) ◦ wD -модуля A в D -модуле A Доказательство.
Согласно определениям 9.4.1 и 9.3.26, левый сдвиг D -модуля A является линейным отображением. Согласно определению 9.3.23,отображение l ◦ v является эндоморфизмом D -модуля A . Равенство(9.4.3) ( l ◦ ( v + v )) ◦ w = ( v + v ) w = v w + v w = ( l ◦ v ) ◦ w + ( l ◦ v ) ◦ w является следствием определения 9.3.26 и равенства (9.4.2). Согласно след-ствию 9.3.29, равенство(9.4.4) l ◦ ( v + v ) = l ◦ v + l ◦ v является следствием равенства (9.4.3). Равенство(9.4.5) ( l ◦ ( dv )) ◦ w = ( dv ) w = d ( vw ) = d (( l ◦ v ) ◦ w ) является следствием определения 9.3.26 и равенства (9.4.2). 9.3.29, равенство(9.4.6) l ◦ ( dv ) = d ( l ◦ v ) является следствием равенства (9.4.5). Лемма является следствием равенств(9.4.4), (9.4.6). ⊙ Лемма . Представление A ∗ g / / A g : v → l ◦ vg ◦ v : w → ( l ◦ v ) ◦ w .4. Алгебра над коммутативным кольцом 163 D -модуля A в D -модуле A определяет произведение в D -модуле A согласноправилу ab = ( g ◦ a ) ◦ b Доказательство.
Поскольку отображение g ◦ v является эндоморфиз-мом D -модуля A , то(9.4.7) ( g ◦ v )( w + w ) = ( g ◦ v ) ◦ w + ( g ◦ v ) ◦ w ( g ◦ v ) ◦ ( dw ) = d (( g ◦ v ) ◦ w ) Поскольку отображение g является линейным отображением g : A → L ( D ; A → A ) то, согласно следствиям 9.3.29, 9.3.31,(9.4.8) ( g ◦ ( v + v )) ◦ w = ( g ◦ v + g ◦ v )( w ) = ( g ◦ v ) ◦ w + ( g ◦ v ) ◦ w (9.4.9) ( g ◦ ( d v )) ◦ w = ( d ( g ◦ v )) ◦ w = d (( g ◦ v ) ◦ w ) Из равенств (9.4.7), (9.4.8), (9.4.9) и определения 9.3.26, следует, что отображе-ние g является билинейным отображением. Следовательно, отображение g определяет произведение в D -модуле A согласно правилу ab = ( g ◦ a ) ◦ b ⊙ Теорема является следствием лем 9.4.3, 9.4.4. (cid:3)
Обычно, когда мы рассматриваем D -алгебру A , мы выбираем базис e соот-ветствующего D -модуля A . Этот выбор удобен, так как если D -модулЬ A явля-ется свободным D -модулем, то разложение вектора однозначно относительнобазиса D -модуля A . Это, в частности, позволяет описать операции произведе-ния, указав структурные константы алгебры относительно заданого базиса.В общем случае, базис R -модуля A может оказаться множеством образую-щих. Например, если в векторном пространстве H , в котором задана алгебракватернионов над полем действительных чисел, рассмотреть базис(9.4.10) e = 1 e = i e = j e = k то в алгебре H верно равенство(9.4.11) e = − e e = − e e e = e e Следовательно, множество ( e , e ) является базисом алгебры H . Следствиемравенства (9.4.11) является неоднозначность представления кватерниона отно-сительно заданного базиса. А именно, кватернион a ∈ H можно записать ввиде a = ( a − a ) e e + a e e + a e + a e + a e e где a - произвольно.
64 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Определение . Эффективное левостороннее представление (9.5.1) f : A ∗ / / V f ( a ) : v ∈ V → av ∈ V a ∈ A ассоциативной D -алгебры A в D -модуле V называется левым модулем над D -алгеброй A . Мы также будем говорить, что D -модуль V является левым A -модулем или A ∗ -модулем . V -число называется вектором . (cid:3) Определение . Пусть A - алгебра с делением. Эффективное лево-стороннее представление f : A ∗ / / V f ( a ) : v ∈ V → av ∈ V a ∈ A абелевой группы A в D -модуле V называется левым векторным простран-ством над D -алгеброй A . Мы также будем говорить, что D -модуль V явля-ется левым A -векторным пространством или A ∗ -векторным простран-ством . V -число называется вектором . (cid:3) Теорема . Следующая диаграмма представлений описывает левый A -модуль V (9.5.2) A ∗ g / / A ∗ g , / / VD ∗ g O O ∗ g , L L ∗ ❅❅ g ` ` ❅❅❅❅❅ g ( d ) : a → d ag ( v ) : w → C ( w, v ) C ∈ L ( A → A ) g , ( a ) : v → v ag , ( d ) : v → d v В диаграмме представлений (9.5.2) верна коммутативность представле-ний коммутативного кольца D и D -алгебры A в абелевой группе V (9.5.3) a ( dv ) = d ( av ) Доказательство.
Диаграмма представлений (9.5.2) является следстви-ем определения 9.5.1 и теоремы 9.4.2. Равенство (9.5.3) является следствиемутверждения, что левостороннее преобразование g , ( a ) является эндоморфиз-мом D -модуля V . (cid:3) Теорема . Пусть g - эффективное левостороннее представление D -алгебры A в D -модуле V . Тогда D -алгебра A ассоциативна. Доказательство.
Пусть a , b , c ∈ A , v ∈ V . Равенство(9.5.4) ( ab ) v = a ( bv ) является следствием утверждения, что левостороннее представление g являет-ся левосторонним представлением мультипликативной группы D -алгебры A .Равенство(9.5.5) a ( b ( cv )) = a (( bc ) v ) = ( a ( bc )) v является следствием равенства (9.5.4). Так как cv ∈ A , равенство(9.5.6) a ( b ( cv )) = ( ab )( cv ) = (( ab ) c ) v .5. Левый модуль над алгеброй 165 является следствием равенства (9.5.4). Равенство(9.5.7) ( a ( bc )) v = (( ab ) c ) v является следствием равенств (9.5.5), (9.5.7). Поскольку v - произвольный век-тор A -модуля V , равенство(9.5.8) a ( bc ) = ( ab ) c является следствием равенства (9.5.7). Следовательно, D -алгебра A ассоциа-тивна. (cid:3) Теорема . Пусть V является левым A -модулем. Для любого век-тора v ∈ V , вектор, порождённый диаграммой представлений (9.5.2) , имеетследующий вид (9.5.9) ( a + n ) v = av + nv a ∈ A n ∈ D Множество отображений (9.5.10) a + n : v ∈ V → ( a + n ) v ∈ V порождает D -алгебру A (1) где сложение определено равенством (9.5.11) ( a + n ) + ( b + m ) = ( a + b ) + ( n + m ) и произведение определено равенством (9.5.12) ( a + n )( b + m ) = ( ab + ma + nb ) + ( nm ) D -алгебра A (1) называется унитальным расширением D -алгебры A .Если D -алгебра A имеет единицу, то D ⊆ A A (1) = A Если D -алгебра A является идеалом D , то A ⊆ D A (1) = D В противном случае A (1) = A ⊕ D D -алгебра A является левым идеалом D -алгебры A (1) . Множество преобразований (9.5.9) порождает левостороннее пред-ставление D -алгебры A (1) в абелевой группе V .Мы будем пользоваться обозначением A (1) v для множества векторов, по-рождённых вектором v . Теорема . Элементы левого A -модуля V удовлетворяют соотноше-ниям закон ассоциативности (9.5.13) ( pq ) v = p ( qv ) закон дистрибутивности p ( v + w ) = pv + pw (9.5.14) ( p + q ) v = pv + qv (9.5.15)9.5.6.3: закон унитарности (9.5.16) v = v Смотри определение унитального расширения также на страницах [6]-52, [7]-64.
66 9. Примеры диаграммы представлений: модуль для любых p , q ∈ A (1) , v , w ∈ V . Доказательство теорем 9.5.5, 9.5.6.
Пусть v ∈ V . Лемма . Пусть d ∈ D , a ∈ A . Отображение (9.5.10) являетсяэндоморфизмом абелевой группы V . Доказательство.
Утверждения dv ∈ V , av ∈ V являются следствиемтеорем 6.1.4, 9.5.3. Так как V является абелевой группой, то dv + av ∈ V d ∈ D a ∈ A Следовательно, для любого D -числа d и любого A -числа a , мы определилиотображение (9.5.10). Поскольку преобразование g , ( d ) и левостороннее пре-образование g , ( a ) являются эндоморфизмами абелевой группы V , то отобра-жение (9.5.10) является эндоморфизмом абелевой группы V . ⊙ Пусть A (1) - множество отображений (9.5.10). Равенство (9.5.14) являетсяследствием леммы 9.5.7.Пусть p = a + n ∈ A (1) , q = b + m ∈ A (1) . Согласно утверждению 9.3.3.3,мы определим сумму A (1) -чисел p и q равенством (9.5.15). Равенство(9.5.17) (( a + n ) + ( b + m )) v = ( a + n ) v + ( b + m ) v является следствием равенства (9.5.15). Равенство(9.5.18) ( n + m ) v = cn + dm является следствием утверждения, что представление g , является гомомор-физмом аддитивной группы кольца D . Равенство(9.5.19) ( a + b ) v = av + bv является следствием утверждения, что левостороннее представление g , яв-ляется гомоморфизмом аддитивной группы D -алгебры A . Так как V являетсяабелевой группой, то равенство (( a + n ) + ( b + m )) v = av + nv + bv + mv = av + bv + nv + mv = ( a + b ) v + ( n + m ) v = (( a + b ) + ( n + m )) v (9.5.20)является следствием равенств (9.5.17), (9.5.18), (9.5.19). Из равенства (9.5.20)следует, что определение (9.5.11) суммы на множестве A (1) не зависит от век-тора v .Равенства (9.5.13), (9.5.16) являются следствием утверждения 9.5.5.3. Пусть p = a + n ∈ A (1) , q = b + m ∈ A (1) . Так как произведение в D -алгебре A можетбыть неассоциативным, то опираясь на теорему 9.5.6, мы рассмотрим произве-дение A (1) -чисел p и q как билинейное отображение f : A (1) × A (1) → A (1) такое, что верны равенства(9.5.21) f ( a, b ) = ab a, b ∈ A (9.5.22) f (1 , p ) = f ( p,
1) = p p ∈ A (1) ∈ D (1) .5. Левый модуль над алгеброй 167 Равенство ( a + n )( b + m ) = f ( a + n, b + m )= f ( a, b ) + f ( a, m ) + f ( n, b ) + f ( n, m )= f ( a, b ) + mf ( a,
1) + nf (1 , b ) + nf (1 , m )= ab + ma + nb + nm (9.5.23)является следствием равенств (9.5.21), (9.5.22). Равенство (9.5.12) являетсяследствием равенства (9.5.23).Утверждение 9.5.5.2 является следствием равенства (9.5.12). (cid:3) Билинейное отображение ( a, v ) ∈ A × V → av ∈ V порождённое левосторонним представлением g , называется левостороннимпроизведением вектора на скаляр. Теорема . Пусть V - левый A -модуль. Множество векторов, по-рождённое множеством векторов v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) , имеет вид (9.5.24) J ( v ) = ( w : w = X i ∈ I c i v i , c i ∈ A (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ ) Доказательство.
Мы докажем теорему по индукции, опираясь на теоре-му 6.1.4, Согласно теореме 6.1.4, мы должны доказать следующие утвержде-ния:9.5.8.1: v k ∈ X ⊆ J ( v ) c k v k ∈ J ( v ) , c k ∈ A (1) , k ∈ I X k ∈ I c k v k ∈ J ( v ) , c k ∈ A (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ w , w ∈ J ( v ) ⇒ w + w ∈ J ( v ) a ∈ A , w ∈ J ( v ) ⇒ aw ∈ J ( v ) • Для произвольного v k ∈ v , положим c i = δ ik ∈ A (1) . Тогда(9.5.25) v k = X i ∈ I c i v i Утверждение 9.5.8.1 следует из (9.5.24), (9.5.25). • Утверждение 9.5.8.2 являются следствием теорем 6.1.4, 9.5.5 и утвер-ждения 9.5.8.1. • Так как V является абелевой группой, то утверждение 9.5.8.3 следуетиз утверждения 9.5.8.2 и теорем 6.1.4, 9.2.3. • Пусть w , w ∈ X k ⊆ J ( v ) . Так как V является абелевой группой,то, согласно утверждению 6.1.4.3,(9.5.26) w + w ∈ X k +1 Согласно равенству (9.5.24), существуют A (1) -числа w i , w i , i ∈ I ,такие, что(9.5.27) w = X i ∈ I w i v i w = X i ∈ I w i v i Для множества A , мы обозначим | A | мощность множества A . Запись | A | < ∞ означает,что множество A конечно.
68 9. Примеры диаграммы представлений: модуль где множества(9.5.28) H = { i ∈ I : w i = 0 } H = { i ∈ I : w i = 0 } конечны. Так как V является абелевой группой, то из равенства (9.5.27)следует, что(9.5.29) w + w = X i ∈ I w i v i + X i ∈ I w i v i = X i ∈ I ( w i v i + w i v i ) Равенство(9.5.30) w + w = X i ∈ I ( w i + w i ) v i является следствием равенств (9.5.15), (9.5.29). Из равенства (9.5.28)следует, что множество { i ∈ I : w i + w i = 0 } ⊆ H ∪ H конечно. • Пусть w ∈ X k ⊆ J ( v ) . Согласно утверждению 6.1.4.4, для любого A (1) -числа a ,(9.5.31) aw ∈ X k +1 Согласно равенству (9.5.24), существуют A (1) -числа w i , i ∈ I , такие,что(9.5.32) w = X i ∈ I w i v i где(9.5.33) |{ i ∈ I : w i = 0 }| < ∞ Из равенства (9.5.32) следует, что(9.5.34) aw = a X i ∈ I w i v i = X i ∈ I a ( w i v i ) = X i ∈ I ( aw i ) v i Из утверждения (9.5.33) следует, что множество { i ∈ I : aw i = 0 } конечно.Из равенств (9.5.26), (9.5.30), (9.5.31), (9.5.34) следует, что X k +1 ⊆ J ( v ) . (cid:3) Определение . Пусть v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) - множество векто-ров. Выражение w i v i называется линейной комбинацией векторов v i .Вектор w = w i v i называется линейно зависимым от векторов v i . (cid:3) Представим множество A (1) -чисел w i , i ∈ I , в виде матрицы w = w ...w n Представим множество векторов v i , i ∈ I , в виде матрицы v = (cid:16) v ... v n (cid:17) Тогда мы можем записать линейную комбинацию векторов w = w i v i в виде w = w ∗∗ v .5. Левый модуль над алгеброй 169 Теорема . Пусть A - ассоциативная D -алгебра с делением. Еслиуравнение w i v i = 0 предполагает существования индекса i = j такого, что w j = 0 , то вектор v j линейно зависит от остальных векторов v . Доказательство.
Теорема является следствием равенства v j = X i ∈ I \{ j } ( w j ) − w i v i и определения 9.5.9. (cid:3) Очевидно, что для любого множества векторов v i , w i = 0 ⇒ w ∗∗ v = 0 Определение . Множество векторов v i , i ∈ I , левого A -моду-ля V линейно независимо , если w = 0 следует из уравнения w i v i = 0 В противном случае, множество векторов v i , i ∈ I , линейно зависимо . (cid:3) Следующее определение является следствием теорем 9.5.8, 6.1.4 и опреде-ления 6.1.5.
Определение . J ( v ) называется подмодулем, порождённым мно-жеством v , а v - множеством образующих подмодуля J ( v ) . В частности, множеством образующих левого D -модуля V будет такое подмножество X ⊂ V , что J ( X ) = V . (cid:3) Следующее определение является следствием теорем 9.5.8, 6.1.4 и опреде-ления 6.2.6.
Определение . Если множество X ⊂ V является множествомобразующих левого D -модуля V , то любое множество Y , X ⊂ Y ⊂ V так-же является множеством образующих левого D -модуля V . Если существу-ет минимальное множество X , порождающее левый D -модуль V , то такоемножество X называется базисом левого D -модуля V . (cid:3) Теорема . Множество векторов e = ( e i , i ∈ I ) является базисомлевого A -модуля V , если верны следующие утверждения. Произвольный вектор v ∈ V является линейной комбинацией векто-ров множества e . Вектор e i нельзя представить в виде линейной комбинации осталь-ных векторов множества e . Доказательство.
Согласно утверждению 9.5.14.1, теореме 9.5.8 и опре-делению 9.5.9, множество e порождает левый A -модуль V (определение 9.5.12).Согласно утверждению 9.5.14.2, множество e является минимальным множе-ством, порождающим левый A -модуль V . Согласно определению 9.5.13, мно-жество e является базисом левого A -модуля V . (cid:3) Я следую определению в [2], страница 100.
70 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Теорема . Пусть A - ассоциативная D -алгебра с делением. Мно-жество векторов e = ( e i , i ∈ I ) является базисом левого A -векторногопространства V , если векторы e i линейно независимы и любой вектор v ∈ V линейно зависит от векторов e i . Доказательство.
Пусть множество векторов e i , i ∈ I , линейно зависи-мо. Тогда в равенстве w i e i = 0 существует индекс i = j такой, что w j = 0 . Согласно теореме 9.5.10, вектор e j линейно зависит от остальных векторов множества e . Согласно определению9.5.13, множество векторов e i , i ∈ I , не является базисом левого A -векторногопространства V .Следовательно, если множество векторов e i , i ∈ I , является базисом,то эти векторы линейно независимы. Так как произвольный вектор v ∈ V является линейной комбинацией векторов e i , i ∈ I , , то множество векторов v , e i , i ∈ I , не является линейно независимым. (cid:3) Определение . Пусть e - базис левого A -модуля V , и вектор v ∈ V имеет разложение v = v ∗∗ e = v i e i относительно базиса e . A (1) -числа v i называются координатами вектора v относительно базиса e . Матрица A (1) -чисел v = ( v i , i ∈ I ) называется координатной матрицей вектора v в базисе e . (cid:3) Теорема . Пусть A - ассоциативная D -алгебра. Пусть e - базислевого A -модуля V . Пусть (9.5.35) w i e i = 0 линейная зависимость векторов базиса e . Тогда A (1) -число w i , i ∈ I , не имеет обратного элемента в D -алгебре A (1) . Множество A ′ матриц w = ( w i , i ∈ I ) порождает левый A -модуль. Доказательство.
Допустим существует матрица w = ( w i , i ∈ I ) такая,что равенство (9.5.35) верно и существует индекс i = j такой, что w j = 0 .Если мы положим, что A (1) -число c j имеет обратный, то равенство e j = X i ∈ I \{ j } ( w j ) − w i e i является следствием равенства (9.5.35). Следовательно вектор e j является ли-нейной комбинацией остальных векторов множества e и множество e не явля-ется базисом. Следовательно, наше предположение неверно, и A (1) -число c j неимеет обратного.Пусть матрицы b = ( b i , i ∈ I ) ∈ A ′ , c = ( c i , i ∈ I ) ∈ A ′ . Из равенств b i e i = 0 c i e i = 0 следует ( b i + c i ) e i = 0 Следовательно, множество A ′ является абелевой группой. .6. Правый модуль над алгеброй 171 Пусть матрица c = ( c i , i ∈ I ) ∈ A ′ и a ∈ A . Из равенства c i e i = 0 следует ( ac i ) e i = 0 Следовательно, абелевая группа A ′ является левым A -модулем. (cid:3) Теорема . Пусть левый A -модуль V имеет базис e такой, что вравенстве (9.5.36) w i e i = 0 существует индекс i = j такой, что w j = 0 . Тогда Матрица w = ( w i , i ∈ I ) определяет координаты вектора ∈ V относительно базиса e . Координаты вектора v относительно базиса e определены однозначнос точностью до выбора координат вектора ∈ V . Доказательство.
Утверждение 9.5.18.1 является следствием равенства(9.5.36) и определения 9.5.16.Пусть вектор v имеет разложение(9.5.37) v = v ∗∗ e = v i e i относительно базиса e . Равенство(9.5.38) v = v + 0 = v i e i + c i e i = ( v i + c i ) e i является следствием равенств (9.5.36), (9.5.37). Утверждение 9.5.18.2 являетсяследствием равенств (9.5.37), (9.5.38) и определения 9.5.16. (cid:3) Определение . Левый A -модуль V - свободный левый A -мо-дуль , если левый A -модуль V имеет базис и векторы базиса линейно неза-висимы. (cid:3) Теорема . Координаты вектора v ∈ V относительно базиса e сво-бодного левого A -модуля V определены однозначно. Доказательство.
Теорема является следствием теоремы 9.5.18 и опреде-лений 9.5.11, 9.5.19. (cid:3)
Определение . Эффективное правостороннее представление (9.6.1) f : A ∗ / / V f ( a ) : v ∈ V → va ∈ V a ∈ A ассоциативной D -алгебры A в D -модуле V называется правым модулем над D -алгеброй A . Мы также будем говорить, что D -модуль V является правым A -модулем или ∗ A -модулем . V -число называется вектором . (cid:3) Я следую определению в [2], страница 103.
72 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Определение . Пусть A - алгебра с делением. Эффективное право-стороннее представление f : A ∗ / / V f ( a ) : v ∈ V → va ∈ V a ∈ A абелевой группы A в D -модуле V называется правым векторным про-странством над D -алгеброй A . Мы также будем говорить, что D -модуль V является правым A -векторным пространством или ∗ A -векторным про-странством . V -число называется вектором . (cid:3) Теорема . Следующая диаграмма представлений описывает правый A -модуль V (9.6.2) A ∗ g / / A ∗ g , / / VD ∗ g O O ∗ g , L L ∗ ❅❅ g ` ` ❅❅❅❅❅ g ( d ) : a → d ag ( v ) : w → C ( w, v ) C ∈ L ( A → A ) g , ( a ) : v → v ag , ( d ) : v → v d В диаграмме представлений (9.6.2) верна коммутативность представле-ний коммутативного кольца D и D -алгебры A в абелевой группе V (9.6.3) ( vd ) a = ( va ) d Доказательство.
Диаграмма представлений (9.6.2) является следстви-ем определения 9.6.1 и теоремы 9.4.2. Равенство (9.6.3) является следствиемутверждения, что правостороннее преобразование g , ( a ) является эндомор-физмом D -модуля V . (cid:3) Теорема . Пусть g - эффективное левостороннее представление D -алгебры A в D -модуле V . Тогда D -алгебра A ассоциативна. Доказательство.
Пусть a , b , c ∈ A , v ∈ V . Равенство(9.6.4) v ( ab ) = ( va ) b является следствием утверждения, что правостороннее представление g явля-ется правосторонним представлением мультипликативной группы D -алгебры A . Равенство(9.6.5) (( vc ) b ) a = ( v ( cb )) a = v (( cb ) a ) является следствием равенства (9.6.4). Так как vc ∈ A , равенство(9.6.6) (( vc ) b ) a = ( vc )( ba ) = v ( c ( ba )) является следствием равенства (9.6.4). Равенство(9.6.7) v (( cb ) a ) = v ( c ( ba )) является следствием равенств (9.6.5), (9.6.7). Поскольку v - произвольный век-тор A -модуля V , равенство(9.6.8) ( cb ) a = c ( ba ) является следствием равенства (9.6.7). Следовательно, D -алгебра A ассоциа-тивна. (cid:3) .6. Правый модуль над алгеброй 173 Теорема . Пусть V является правым A -модулем. Для любого век-тора v ∈ V , вектор, порождённый диаграммой представлений (9.6.2) , имеетследующий вид (9.6.9) v ( a + n ) = va + vn a ∈ A n ∈ D Множество отображений (9.6.10) a + n : v ∈ V → v ( a + n ) ∈ V порождает D -алгебру A (1) где сложение определено равенством (9.6.11) ( a + n ) + ( b + m ) = ( a + b ) + ( n + m ) и произведение определено равенством (9.6.12) ( a + n )( b + m ) = ( ab + ma + nb ) + ( nm ) D -алгебра A (1) называется унитальным расширением D -алгебры A .Если D -алгебра A имеет единицу, то D ⊆ A A (1) = A Если D -алгебра A является идеалом D , то A ⊆ D A (1) = D В противном случае A (1) = A ⊕ D D -алгебра A является правым идеалом D -алгебры A (1) . Множество преобразований (9.6.9) порождает правостороннее пред-ставление D -алгебры A (1) в абелевой группе V .Мы будем пользоваться обозначением A (1) v для множества векторов, по-рождённых вектором v . Теорема . Элементы правого A -модуля V удовлетворяют соотно-шениям закон ассоциативности (9.6.13) v ( pq ) = ( vp ) q закон дистрибутивности ( v + w ) p = vp + wp (9.6.14) v ( p + q ) = vp + vq (9.6.15)9.6.6.3: закон унитарности (9.6.16) v v для любых p , q ∈ A (1) , v , w ∈ V . Доказательство теорем 9.6.5, 9.6.6.
Пусть v ∈ V . Лемма . Пусть d ∈ D , a ∈ A . Отображение (9.6.10) являетсяэндоморфизмом абелевой группы V . Смотри определение унитального расширения также на страницах [6]-52, [7]-64.
74 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Доказательство.
Утверждения vd ∈ V , va ∈ V являются следствиемтеорем 6.1.4, 9.6.3. Так как V является абелевой группой, то vd + va ∈ V d ∈ D a ∈ A Следовательно, для любого D -числа d и любого A -числа a , мы определилиотображение (9.6.10). Поскольку преобразование g , ( d ) и правостороннее пре-образование g , ( a ) являются эндоморфизмами абелевой группы V , то отобра-жение (9.6.10) является эндоморфизмом абелевой группы V . ⊙ Пусть A (1) - множество отображений (9.6.10). Равенство (9.6.14) являетсяследствием леммы 9.6.7.Пусть p = a + n ∈ A (1) , q = b + m ∈ A (1) . Согласно утверждению 9.3.3.3,мы определим сумму A (1) -чисел p и q равенством (9.6.15). Равенство(9.6.17) v (( a + n ) + ( b + m )) = v ( a + n ) + v ( b + m ) является следствием равенства (9.6.15). Равенство(9.6.18) v ( n + m ) = vn + vm является следствием утверждения, что представление g , является гомомор-физмом аддитивной группы кольца D . Равенство(9.6.19) v ( a + b ) = va + vb является следствием утверждения, что правостороннее представление g , яв-ляется гомоморфизмом аддитивной группы D -алгебры A . Так как V являетсяабелевой группой, то равенство v (( a + n ) + ( b + m )) = va + vn + vb + vm = va + vb + vn + vm = v ( a + b ) + v ( n + m ) = v (( a + b ) + ( n + m )) (9.6.20)является следствием равенств (9.6.17), (9.6.18), (9.6.19). Из равенства (9.6.20)следует, что определение (9.6.11) суммы на множестве A (1) не зависит от век-тора v .Равенства (9.6.13), (9.6.16) являются следствием утверждения 9.6.5.3. Пусть p = a + n ∈ A (1) , q = b + m ∈ A (1) . Так как произведение в D -алгебре A можетбыть неассоциативным, то опираясь на теорему 9.6.6, мы рассмотрим произве-дение A (1) -чисел p и q как билинейное отображение f : A (1) × A (1) → A (1) такое, что верны равенства(9.6.21) f ( a, b ) = ab a, b ∈ A (9.6.22) f (1 , p ) = f ( p,
1) = p p ∈ A (1) ∈ D (1) Равенство ( a + n )( b + m ) = f ( a + n, b + m )= f ( a, b ) + f ( a, m ) + f ( n, b ) + f ( n, m )= f ( a, b ) + mf ( a,
1) + nf (1 , b ) + nf (1 , m )= ab + ma + nb + nm (9.6.23)является следствием равенств (9.6.21), (9.6.22). Равенство (9.6.12) являетсяследствием равенства (9.6.23).Утверждение 9.6.5.2 является следствием равенства (9.6.12). (cid:3) .6. Правый модуль над алгеброй 175 Билинейное отображение ( v, a ) ∈ V × A → va ∈ V порождённое правосторонним представлением g , называется правосторон-ним произведением вектора на скаляр. Теорема . Пусть V - правый A -модуль. Множество векторов, по-рождённое множеством векторов v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) , имеет вид (9.6.24) J ( v ) = ( w : w = X i ∈ I v i c i , c i ∈ A (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ ) Доказательство.
Мы докажем теорему по индукции, опираясь на теоре-му 6.1.4, Согласно теореме 6.1.4, мы должны доказать следующие утвержде-ния:9.6.8.1: v k ∈ X ⊆ J ( v ) v k c k ∈ J ( v ) , c k ∈ A (1) , k ∈ I X k ∈ I v k c k ∈ J ( v ) , c k ∈ A (1) , |{ i : c i = 0 }| < ∞ w , w ∈ J ( v ) ⇒ w + w ∈ J ( v ) a ∈ A , w ∈ J ( v ) ⇒ aw ∈ J ( v ) • Для произвольного v k ∈ v , положим c i = δ ik ∈ A (1) . Тогда(9.6.25) v k = X i ∈ I v i c i Утверждение 9.6.8.1 следует из (9.6.24), (9.6.25). • Утверждение 9.6.8.2 являются следствием теорем 6.1.4, 9.6.5 и утвер-ждения 9.6.8.1. • Так как V является абелевой группой, то утверждение 9.6.8.3 следуетиз утверждения 9.6.8.2 и теорем 6.1.4, 9.2.3. • Пусть w , w ∈ X k ⊆ J ( v ) . Так как V является абелевой группой,то, согласно утверждению 6.1.4.3,(9.6.26) w + w ∈ X k +1 Согласно равенству (9.6.24), существуют A (1) -числа w i , w i , i ∈ I ,такие, что(9.6.27) w = X i ∈ I v i w i w = X i ∈ I v i w i где множества(9.6.28) H = { i ∈ I : w i = 0 } H = { i ∈ I : w i = 0 } конечны. Так как V является абелевой группой, то из равенства (9.6.27)следует, что(9.6.29) w + w = X i ∈ I v i w i + X i ∈ I v i w i = X i ∈ I ( v i w i + v i w i ) Для множества A , мы обозначим | A | мощность множества A . Запись | A | < ∞ означает,что множество A конечно.
76 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Равенство(9.6.30) w + w = X i ∈ I v i ( w i + w i ) является следствием равенств (9.6.15), (9.6.29). Из равенства (9.6.28)следует, что множество { i ∈ I : w i + w i = 0 } ⊆ H ∪ H конечно. • Пусть w ∈ X k ⊆ J ( v ) . Согласно утверждению 6.1.4.4, для любого A (1) -числа a ,(9.6.31) wa ∈ X k +1 Согласно равенству (9.6.24), существуют A (1) -числа w i , i ∈ I , такие,что(9.6.32) w = X i ∈ I v i w i где(9.6.33) |{ i ∈ I : w i = 0 }| < ∞ Из равенства (9.6.32) следует, что(9.6.34) wa = X i ∈ I v i w i ! a = X i ∈ I ( v i w i ) a = X i ∈ I ( v i w i a ) Из утверждения (9.6.33) следует, что множество { i ∈ I : w i a = 0 } конечно.Из равенств (9.6.26), (9.6.30), (9.6.31), (9.6.34) следует, что X k +1 ⊆ J ( v ) . (cid:3) Определение . Пусть v = ( v i ∈ V, i ∈ I ) - множество векто-ров. Выражение v i w i называется линейной комбинацией векторов v i .Вектор w = v i w i называется линейно зависимым от векторов v i . (cid:3) Представим множество A (1) -чисел w i , i ∈ I , в виде матрицы w = w ...w n Представим множество векторов v i , i ∈ I , в виде матрицы v = (cid:16) v ... v n (cid:17) Тогда мы можем записать линейную комбинацию векторов w = v i w i в виде w = v ∗∗ w Теорема . Пусть A - ассоциативная D -алгебра с делением. Еслиуравнение v i w i = 0 предполагает существования индекса i = j такого, что w j = 0 , то вектор v j линейно зависит от остальных векторов v . .6. Правый модуль над алгеброй 177 Доказательство.
Теорема является следствием равенства v j = X i ∈ I \{ j } v i w i ( w j ) − и определения 9.6.9. (cid:3) Очевидно, что для любого множества векторов v i , w i = 0 ⇒ v ∗∗ w = 0 Определение . Множество векторов v i , i ∈ I , правого A -модуля V линейно независимо , если w = 0 следует из уравнения v i w i = 0 В противном случае, множество векторов v i , i ∈ I , линейно зависимо . (cid:3) Следующее определение является следствием теорем 9.6.8, 6.1.4 и опреде-ления 6.1.5.
Определение . J ( v ) называется подмодулем, порождённым мно-жеством v , а v - множеством образующих подмодуля J ( v ) . В частности, множеством образующих правого D -модуля V будет такое подмножество X ⊂ V , что J ( X ) = V . (cid:3) Следующее определение является следствием теорем 9.6.8, 6.1.4 и опреде-ления 6.2.6.
Определение . Если множество X ⊂ V является множествомобразующих правого D -модуля V , то любое множество Y , X ⊂ Y ⊂ V такжеявляется множеством образующих правого D -модуля V . Если существуетминимальное множество X , порождающее правый D -модуль V , то такоемножество X называется базисом правого D -модуля V . (cid:3) Теорема . Множество векторов e = ( e i , i ∈ I ) является базисомправого A -модуля V , если верны следующие утверждения. Произвольный вектор v ∈ V является линейной комбинацией векто-ров множества e . Вектор e i нельзя представить в виде линейной комбинации осталь-ных векторов множества e . Доказательство.
Согласно утверждению 9.6.14.1, теореме 9.6.8 и опреде-лению 9.6.9, множество e порождает правый A -модуль V (определение 9.6.12).Согласно утверждению 9.6.14.2, множество e является минимальным множе-ством, порождающим правый A -модуль V . Согласно определению 9.6.13, мно-жество e является базисом правого A -модуля V . (cid:3) Теорема . Пусть A - ассоциативная D -алгебра с делением. Мно-жество векторов e = ( e i , i ∈ I ) является базисом правого A -векторногопространства V , если векторы e i линейно независимы и любой вектор v ∈ V линейно зависит от векторов e i . Я следую определению в [2], страница 100.
78 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Доказательство.
Пусть множество векторов e i , i ∈ I , линейно зависи-мо. Тогда в равенстве e i w i = 0 существует индекс i = j такой, что w j = 0 . Согласно теореме 9.6.10, вектор e j линейно зависит от остальных векторов множества e . Согласно определе-нию 9.6.13, множество векторов e i , i ∈ I , не является базисом правого A -векторного пространства V .Следовательно, если множество векторов e i , i ∈ I , является базисом,то эти векторы линейно независимы. Так как произвольный вектор v ∈ V является линейной комбинацией векторов e i , i ∈ I , , то множество векторов v , e i , i ∈ I , не является линейно независимым. (cid:3) Определение . Пусть e - базис правого A -модуля V , и вектор v ∈ V имеет разложение v = e ∗∗ v = e i v i относительно базиса e . A (1) -числа v i называются координатами вектора v относительно базиса e . Матрица A (1) -чисел v = ( v i , i ∈ I ) называется координатной матрицей вектора v в базисе e . (cid:3) Теорема . Пусть A - ассоциативная D -алгебра. Пусть e - базисправого A -модуля V . Пусть (9.6.35) e i w i = 0 линейная зависимость векторов базиса e . Тогда A (1) -число w i , i ∈ I , не имеет обратного элемента в D -алгебре A (1) . Множество A ′ матриц w = ( w i , i ∈ I ) порождает правый A -модуль. Доказательство.
Допустим существует матрица w = ( w i , i ∈ I ) такая,что равенство (9.6.35) верно и существует индекс i = j такой, что w j = 0 .Если мы положим, что A (1) -число c j имеет обратный, то равенство e j = X i ∈ I \{ j } e i w i ( w j ) − является следствием равенства (9.6.35). Следовательно вектор e j является ли-нейной комбинацией остальных векторов множества e и множество e не явля-ется базисом. Следовательно, наше предположение неверно, и A (1) -число c j неимеет обратного.Пусть матрицы b = ( b i , i ∈ I ) ∈ A ′ , c = ( c i , i ∈ I ) ∈ A ′ . Из равенств e i b i = 0 e i c i = 0 следует e i ( b i + c i ) = 0 Следовательно, множество A ′ является абелевой группой.Пусть матрица c = ( c i , i ∈ I ) ∈ A ′ и a ∈ A . Из равенства e i c i = 0 .7. Левый модуль над неассоциативной алгеброй 179 следует e i ( c i a ) = 0 Следовательно, абелевая группа A ′ является правым A -модулем. (cid:3) Теорема . Пусть правый A -модуль V имеет базис e такой, что вравенстве (9.6.36) e i w i = 0 существует индекс i = j такой, что w j = 0 . Тогда Матрица w = ( w i , i ∈ I ) определяет координаты вектора ∈ V относительно базиса e . Координаты вектора v относительно базиса e определены однозначнос точностью до выбора координат вектора ∈ V . Доказательство.
Утверждение 9.6.18.1 является следствием равенства(9.6.36) и определения 9.6.16.Пусть вектор v имеет разложение(9.6.37) v = e ∗∗ v = e i v i относительно базиса e . Равенство(9.6.38) v = v + 0 = e i v i + e i c i = e i ( v i + c i ) является следствием равенств (9.6.36), (9.6.37). Утверждение 9.6.18.2 являетсяследствием равенств (9.6.37), (9.6.38) и определения 9.6.16. (cid:3) Определение . Правый A -модуль V - свободный правый A -мо-дуль , если правый A -модуль V имеет базис и векторы базиса линейнонезависимы. (cid:3) Теорема . Координаты вектора v ∈ V относительно базиса e сво-бодного правого A -модуля V определены однозначно. Доказательство.
Теорема является следствием теоремы 9.6.18 и опреде-лений 9.6.11, 9.6.19. (cid:3)
Теоремы 9.6.5, 9.6.6 рассматривают структуру модуля над ассоциативной D -алгеброй A . Нетрудно заметить, что с учётом некоторых поправок, эти тео-ремы остаются верны если A - неассоциативная D -алгебра. Однако, так какпроизведение в D -алгебре A неассоциативно, а произведение преобразованийв модуле над D -алгеброй A ассоциативно, то отображение g не может бытьпредставлением неассоциативной D -алгебры A .Мы подошли к той границе, где определена теория представлений универ-сальной алгебры. Для того, чтобы сохранить возможность применения рас-смотренного в этой книге аппарата, мы можем согласиться, что отображение g : A × V → V является представлением, если отображение g является билинейным отобра-жением. Появляются новые вопросы, рассмотрение которых выходит за рамкиэтой книги. Я следую определению в [2], страница 103.
80 9. Примеры диаграммы представлений: модуль
Однако мы можем рассмотреть эту задачу с другой стороны. Если отоб-ражение g не сохраняет операцию произведения, то мы полагаем, что отоб-ражение g - это представление D -алгебры A , в которой не определено про-изведение. Другими словами, отображение g - это представление D -модуля.Следовательно, диаграмма представлений будет иметь вид(9.7.1) A ∗ g / / VD ∗ ⑦⑦⑦ g > > ⑦⑦⑦⑦ ∗ ❅❅ g ` ` ❅❅❅❅❅ g ( d ) : a → d ag ( a ) : v → a vg ( d ) : v → d v Однако мы потеряли структуру D -алгебры A в диаграмме представлений (9.7.1).Следовательно, правильная диаграмма представлений будет иметь вид A ∗ ❅❅❅❅ g ❅❅❅ ∗ g / / VAD ∗ g O O ∗ g O O ∗ ✵✵✵✵✵ g W W ✵✵✵✵✵✵✵✵✵ g ( d ) : a → d ag ( v ) : w → C ( w, v ) C ∈ L ( A → A ) g ( a ) : v → v ag ( d ) : v → d v лава 10 Примеры диаграммы представлений: аффиннаягеометрия
В главе 9 мы рассмотрели примеры диаграммы представлений, связанные смодулем над кольцом. Если бы теория представлений сводилась бы к изучениюмодулей, вряд ли это была бы интересная теория.В этой главе я рассмотрел примеры диаграммы представлений, связанные саффинной геометрией. Внешне простая алгебраическая конструкция оказаласьдля меня богатейшим источником вдохновения. Я дважды встретил интерес-ные идеи в этой области математики. Сперва изучая аффинную геометрию,я обнаружил, что я могу описать аффинную геометрию с помощью башнипредставлений. Впоследствии, изучая таким же образом алгебру над коммута-тивным кольцом, я стал изучать диаграмму представлений.Однако второе открытие пришло ко мне случайно. Когда я просматри-вал учебник по математическому анализу, я встретил определение знакомое сдетства. Сумма векторов. Определение крайне простое. При определении мно-гообразия аффинной связности мы имем сумму векторов в касательной плос-кости. Но в этот раз я понял, что я могу определить сумму векторов пользуясьпараллелограммом из геодезических. Это позволило построить аффинную гео-метрию на многообразии аффинной связности.Ещё один шаг, и от многообразия аффинной связности я перешёл к мет-рико аффинному многообразию. Так как параллелограм из геодезических незамкнут, то сумма векторов в метрико аффинном многообразии не коммута-тивна. Без сомнения, это исследование, которое выходит за рамки этой книгии к которому я надеюсь вернуться в будущем. Однако я решил написать на-бросок этой конструкции в разделе 10.4, чтобы показать читателю границытеории, изложенной в этой книге.Теория представлений является естественным продолжением теории уни-версальных алгебр. Предполагается, что бинарная операция на универсальнойалгебре A определена для любой пары A -чисел. Однако очевидно, что суммавекторов в аффинной геометрии на дифференцируемом многообразии хорошоопределена только в достаточно малой окрестности.С похожей задачей я столкнулся в статье [11], где я и Александр Ложье изу-чали ортогональные преобразования в пространстве Минковского. Мы обна-ружили, что произведение ортогональных преобразований не всегда являетсяортогональным преобразованием, и следовательно множество ортогональныхпреобразований не является группой. Пусть G - абелевая группа, и M - множество. Рассмотрим эфективное пред-ставление группы G на множестве M . Для заданных a ∈ G , A ∈ M положим A → A + a . Мы будем также пользоваться записью a = → AB , если(10.2.1) B = A + a Тогда действие группы можно представить в виде(10.2.2) B = A + → AB Поскольку представление эффективно, то из равенств (10.2.1), (10.2.2) и ра-венства D = C + a следует, что(10.2.3) −→ A B = −→ C D
Мы будем называть вектором G -число a и соответствующее преобразова-ние −→ A B . Мы интерпретируем равенство (10.2.3) как независимость вектора a от выбора M -числа A .Мы можем рассматривать множество M как объединение орбит представ-ления группы G . В качестве базиса представления можно выбрать множествоточек таким образом, что одна и только одна точка принадлежит каждой ор-бите представления. Если X - базис представления, A ∈ X , g ∈ G , то Ω -словоимеет вид A + g . Поскольку на множестве M не определены операции, то несуществует Ω -слово, содержащее различные элементы базиса. Если представ-ление группы G однотранзитивно, то базис представления состоит из однойточки. Этой точкой может быть любая точка множества M . Теорема . Пусть представление A → A + a абелевой группы G намножестве M однотранзитивно. Тогда, для любых M -чисел A , B , C , опреде-лена сумма векторов −→ A B и −→ B C и сумма векторов удовлетворяет равенству (10.2.4) −→ A B + −→ B C = −→ A C
Доказательство.
Поскольку пред-ставление однотранзитивно, то, для любых M -чисел A , B , C , существуют векторы −→ A B , −→ B C такие, что(10.2.5) B = A + −→ A B (10.2.6) C = B + −→ B C b C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ aA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ a + b ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ Равенство(10.2.7) C = ( A + −→ A B ) + −→ B C = A + ( −→ A B + −→ B C ) является следствием равенств (10.2.5), (10.2.6) и ассоциативности сложения вабелевой группе G . Поскольку представление однотранзитивно, то равенство (10.2.4) является следствием равенства (10.2.7) и равенства C = A + −→ A C
Это определение суммы называется правилом треугольника. (cid:3)
Замечание . Так как G - абелева группа, то утверждения 10.2.2.1,10.2.2.2, следуют из теоремы 10.2.1 −→ A A = 0 −→ A B = − −→ B A
Сложение коммутативно.
Сложение ассоциативно. (cid:3)
Теорема . Для заданных a , b ∈ G и A ∈ M рассмотрим следующеемножество M -чисел. • B = A + a • C = B + b • D = A + b • E = D + a D a / / C = EA a / / b ? ? ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ B b ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇ Доказательство.
Теорема является следствием утверждения 10.2.2.3. (cid:3)
Теорема . Если −→ A B = −→ C D ,то −→ A C = −→ B D . C a / / DA a / / b ? ? ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ B b > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ Доказательство.
Положим −→ A B = −→ C D = a , −→ A C = b . Согласно утвер-ждению 10.2.2.2, −→ B A = − a . Теорема является следствием равенства D = B + −→ B D = B + −→ B A + −→ A D = B + −→ B A + −→ A C + −→ C D = B − a + b + a = B + b (cid:3) Определение . Пусть D - коммутативное кольцо и V - свободный D -модуль. Множество точек ◦ V называется аффинным пространством над D -модулем V , если множество точек ◦ V удовлетворяет следующим ак-сиомам. Существует по крайней мере одна точка
Каждой паре точек ( A, B ) поставлен в соответствие один и толькоодин вектор. Этот вектор мы будем обозначать −→ A B . Вектор −→ A B имеет начало в точке A и конец в точке B. Я написал определения и теоремы в этом разделе согласно определению аффинногопространства в [4], с. 86 - 93.
84 10. Примеры диаграммы представлений: аффинная геометрия
Для каждой точки A и любого вектора a существует одна и толькоодна точка B такая, что −→ A B = a . Мы будем также пользоватьсязаписью (10.3.1) B = A + a (Аксиома параллелограмма.) Если −→ A B = −→ C D , то −→ A C = −→ B D .Множество V называется множеством свободных векторов. ◦ V -числа назы-ваются точками аффинного пространства ◦ V . (cid:3) Определение . Пусть A ∈ ◦ V - произвольная точка.Пусть v - вектор. Согласно аксиоме10.3.1.3, существует B ∈ ◦ V , B = A + v . vA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ Пусть w - вектор. Согласно аксиоме10.3.1.3, существует C ∈ ◦ V , C = B + w . wB C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ Согласно аксиоме 10.3.1.2, существуетвектор −→ A C . Вектор −→ A C называетсясуммой векторов v и w (10.3.2) v + w = −→ A C
Это определение суммы называется пра-вилом треугольника. w C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ vA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ v + w ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ (cid:3) Теорема . Вектор −→ A A является нулём по отношению к операциисложения и не зависит от выбора точки A . Вектор −→ A A называется нуль-вектором и мы полагаем −→ A A = 0 . Доказательство.
Мы можем записать правило сложения (10.3.2) в виде(10.3.3) −→ A B + −→ B C = −→ A C
Если B = C , то из равенства (10.3.3) следует(10.3.4) −→ A B + −→ B B = −→ A B
Из равенства (10.3.4) следует, что вектор −→ B B является нулём по отношениюк операции сложения. Если C = A , B = D , то из аксиомы 10.3.1.4 следует −→ A A = −→ B B . Следовательно, нуль-вектор −→ A A не зависит от выбора точки A . (cid:3) [21], с. 9. Теорема . Пусть a = −→ A B . Тогда (10.3.5) −→ B A = − a и это равенство не зависит от выбора точки A . Доказательство.
Из равенства (10.3.3) и теоремы 10.3.3 следует(10.3.6) −→ A B + −→ B A = −→ A A = 0
Равенство (10.3.5) следует из равенства (10.3.6). Применяя аксиому 10.3.1.4 кравенству −→ A B = −→ C D получим −→ A C = −→ B D , или, что то же,(10.3.7) −→ B D = −→ A C
Из равенства (10.3.7) и аксиомы 10.3.1.4 следует, что −→ B A = −→ D C . Следова-тельно, равенство (10.3.5) не зависит от выбора точки A . (cid:3) Теорема . Сумма векторов v и w не зависит от выбора точки A . Доказательство.
Пусть(10.3.8) v = −→ A B = −→ A ′ B ′ (10.3.9) w = −→ B C = −→ B ′ C ′ w C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ vA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ v + w ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ w C ′ ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ vA ′ B ′ G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ v + w ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ Сумма векторов v и w определена согласно определению 10.3.2. −→ A B + −→ B C = −→ A C −→ A ′ B ′ + −→ B ′ C ′ = −→ A ′ C ′ Согласно аксиоме 10.3.1.4, из равенств (10.3.8), (10.3.9) следует, что(10.3.10) −→ A ′ A = −→ B ′ B = −→ C ′ C Применяя аксиому 10.3.1.4 к крайним членам равенства (10.3.10), получаем(10.3.11) −→ A ′ C ′ = −→ A C
Из равенства (10.3.11) следует утверждение теоремы. (cid:3)
Теорема . Сложение векторов ассоциативно.
Доказательство.
Пусть v = −→ A B , w = −→ B C , u = −→ C D . Из равенства v + w = −→ A C −→ A B + −→ B C = −→ A C DC u O O A v / / v + w ❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞❞ B w ✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐ w + u < < ②②②②②②②②
86 10. Примеры диаграммы представлений: аффинная геометрия следует(10.3.12) ( v + w ) + u = −→ A D −→ A C + −→ C D = −→ A D
Из равенства w + u = −→ B D −→ B C + −→ C D = −→ B D следует(10.3.13) v + ( w + u ) = −→ A D −→ A B + −→ B D = −→ A D
Теорема следует из сравнения равенств (10.3.12) и (10.3.13). (cid:3)
Теорема . На множестве V определена структура абелевой груп-пы. Доказательство.
Из теорем 10.3.3, 10.3.4, 10.3.5, 10.3.6 следует, что опе-рация сложение векторов определяет группу.Пусть v = −→ A B , w = −→ B C .(10.3.14) v + w = −→ A C −→ A B + −→ B C = −→ A C
Согласно аксиоме 10.3.1.3 существуетточка D такая, что w = −→ A D = −→ B C w C ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ v G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ vA B G G ✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎✎ v + w ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇✇ w D ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ Правило параллелограмма.Согласно аксиоме 10.3.1.4, −→ A B = −→ D C = v . Согласно определению суммывекторов(10.3.15) −→ A D + −→ D C = −→ A Cw + v = −→ A C
Из равенств (10.3.14) и (10.3.15) следует коммутативность сложения. (cid:3)
Теорема . Отображение (10.3.16) V → End( ∅ , ◦ V ) определённое равенством (10.3.1) , является однотранзитивным представле-нием абелевой группы V . Доказательство.
Аксиома 10.3.1.3 определяет отображение (10.3.16). Изтеоремы 10.3.5 следует, что отображение (10.3.16) является представлением.Эффективность представления следует из теоремы 10.3.3 и аксиомы 10.3.1.2.Из аксиомы 10.3.1.2 следует также, что представление транзитивно. Эффек-тивное и транзитивное представление однотранзитивно. (cid:3)
Сравнение теоремы 10.3.8 и утверждений раздела 10.2 видно, что одно-транзитивное представление абелевой группы V на множестве ◦ V эквивалент-но аксиомам аффинного пространства. Однако, пользуясь теоремой 10.3.8 какопределением аффинного пространства, мы теряем многие важные конструк-ции в аффинном пространстве. Например, вектор определяет преобразованиепараллельного переноса в аффинном пространстве. Но у нас нет инструмента,чтобы определить преобразование поворота аффинного пространства.Если мы внимательно посмотрим на определение 10.3.1, то мы увидим,что абелевая группа V имеет дополнительную структуру, поскольку абелеваягруппа V является D -модулем. Таким образом, мы получаем следующую тео-рему. Теорема . Пусть D - коммутативное кольцо, V - абелева группаи ◦ V - множество. Если A ∈ ◦ V и v ∈ V , то мы будем обозначать действиевектора v на точку A выражением A + v . Аффинное пространство над D -модулем V - это диаграмма представлений → V : D ∗ f / / V ∗ f / / ◦ V f ( d ) : v → d vf ( v ) : A → A + v где f - эффективное представление коммутативного кольца D в абелевойгруппе V и f - однотранзитивное правостороннее представление абелевойгруппы V в множестве ◦ V . Доказательство.
Мы полагаем, что множество ◦ V не пусто; следователь-но множество ◦ V удовлетворяет аксиоме 10.3.1.1. Поскольку v ∈ V порождаетпреобразование множества, то для любого A ∈ M однозначно определён B ∈ M такое, что B = A + v Это утверждение доказывает аксиому 10.3.1.3. Поскольку представление f однотранзитивно, то для любых A , B ∈ ◦ V существует единственное v ∈ V такое, что B = A + v Это утверждение позволяет ввести обозначение −→ A B = a , а также доказываетаксиому 10.3.1.2. Аксиома 10.3.1.4 следует из утверждения теоремы 10.2.4.Представление f гарантирует, что абелевая группа V является D -моду-лем. (cid:3) Абелевая группа V действует однотранзитивно на множестве ◦ V . Из по-строений в разделе 10.2 следует, что базис множества ◦ V относительно пред-ставления абелевой группы V состоит из одной точки. Эту точку обычно обо-значают буквой O и называют началом системы координат аффинногопространства . Следовательно, произвольную точку A ∈ ◦ V можно предста-вить с помощью вектора −→ O A ∈ V Пусть e - базис D -модуля V . Тогда вектор −→ O A имеет вид −→ O A = a i e i
88 10. Примеры диаграммы представлений: аффинная геометрия
Множество ( a i , i ∈ I ) называется координатами точки A аффинногопространства ◦ A относительно базиса ( O, e ) . В разделе 10.3 мы рассмотрели определение аффинной геометрии. Нижемы рассмотрим модель аффинного пространства в метрико-аффинном много-образии. Когда мы рассматриваем связность Γ kij в римановом пространстве,мы накладываем на связность ограничение, что тензор кручения(10.4.1) T ikl = Γ ilk − Γ ikl обращается в (симметрия связности) и скалярное произведение векторов припараллельном переносе не меняется. Если на дифференцируемом многообра-зии определены метрический тензор и произвольная связность, то это много-образие называется метрико-аффинным многообразием . В частности,связность в метрико-аффинном многообразии имеет кручение.В римановом пространстве, мы пользу-емся геодезическими вместо прямых. По-этому вектор v мы можем представить с по-мощью отрезка AB геодезической L v приусловии, что вектор v касается геодезиче-ской L v в точке A и длина отрезка AB равнадлине вектора v . A v B ✄✄✄✄✄✗
Это определение позволяет отождествитьвектор v и отрезок AB геодезической L v .Для заданных векторов v и w в касатель-ной плоскости к точке A , мы будем полагать ρ > - длина вектора v и σ > - длинавектора w . Пусть V - единичный вектор,колинеарный вектору v (10.4.2) V k ρ = v k Пусть W - единичный вектор, колинеарныйвектору w (10.4.3) W k σ = w k A w D ✑✑✑✸
Смотри определение аффинной связности в римановом пространстве на странице [4]-443.
Смотри также определение [9]-5.4.1.
Мы проведём геодезическую L v через точку A ,используя вектор v как касательный вектор к L v вточке A . Пусть τ - канонический параметр на L v и dx k dτ = V k Мы перенесём вектор w вдоль геодезической L v източки A в точку B , определённую значением пара-метра τ = ρ . Мы обозначим результат w ′ . A v wB w ′ ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯✑✑✑✸ Мы проведём геодезическую L w ′ через точку B , используя век-тор W ′ как касательный вектор к L w ′ в точке B . Пусть ϕ ′ - канони-ческий параметр на L w ′ и dx k dϕ ′ = W ′ k Мы определим точку C на геоде-зической L w ′ значением параметра ϕ ′ = σ A v w v + wB w ′ C ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯✑✑✑✸ Я полагаю, что длина векторов v и w мала. Тогда существует единственнаягеодезическая L u из точки A в точку C . Я буду отождествлять отрезок AC геодезической L u и вектор v + w .Аналогичным образом я строю треугольник ADE , чтобы определить век-тор w + v .Мы проведём геодезическую L w через точку A , используя вектор w как касательный вектор к L w вточке A . Пусть ϕ - каноническийпараметр на L w и dx k dϕ = W k Мы перенесём вектор v вдоль гео-дезической L w из точки A в точ-ку D , определённую значением па-раметра ϕ = σ . Мы обозначим ре-зультат v ′ . A v w v ′ D ✄✄✄✄✄✗ ✻✑✑✑✸
90 10. Примеры диаграммы представлений: аффинная геометрия
Мы проведём геодезическую L v ′ через точку D , используя век-тор v ′ как касательный вектор к L v ′ в точке D . Пусть τ ′ - канони-ческий параметр на L v ′ и dx k dτ ′ = V ′ k Мы определим точку E на геоде-зической L v ′ значением параметра τ ′ = ρ A v w w + v v ′ D E ✄✄✄✄✄✗ ✻✑✑✑✸
Существует единственная геодезическая L u из точки A в точку E . Я будуотождествлять отрезок AE геодезической L u и вектор w + v .Формально линии AB и DE также, как линии AD и BC , парал-лельны. Длины отрезков AB и DE равны так же, как длины отрезков AD и BC равны. Мы называем та-кую фигуру параллелограммом ,построенным на векторах v и w свершиной в точке A . A v wv + w w + vB w ′ v ′ CD E ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯ ◗◗✻✑✑✑✸
Лемма . Пусть L v - геодезическая через точку A и вектор v - ка-сательный вектор к L v в точке A . Приращение координаты x k вдоль геоде-зической L v имеет вид (10.4.4) ∆ x k = dx k dτ τ −
12 Γ kmn dx m dτ dx n dτ τ + O ( τ ) где τ - канонический параметр и мы вычисляем производные и компоненты Γ kmn в начальной точке. Доказательство.
Система дифференциальных уравнений геодезической L v имеет вид(10.4.5) d x i dτ = − Γ ikl dx k dτ dx l dτ Мы можем записать решение системы дифференциальных уравнений (10.4.5)в виде ряда Тейлора ∆ x k = dx k dτ τ + 12 d x k dτ τ + O ( τ ) == dx k dτ τ −
12 Γ kmn dx m dτ dx n dτ τ + O ( τ ) (10.4.6)Равенство (10.4.4) является следствием равенства (10.4.6). (cid:3) Теорема . Предположим
CBADE - параллелограм с верши-ной в точке A ; тогда построеннаяфигура не будет замкнута [1]. Ве-личина различия координат точек C и E равна поверхностному ин-тегралу кручения над этим парал-лелограммом ∆ CE x k = Z Z T kmn dx m ∧ dx n A v wv + w w + vB w ′ v ′ CD E ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯ ◗◗✻✑✑✑✸
Доказательство.
Согласно лемме 10.4.1, приращение координаты x k вдольгеодезической L v имеет следующий вид ∆ CE x k = Z Z T kmn dx m ∧ dx n ∆ AB x k = V k ρ −
12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ + O ( ρ ) и приращение координаты x k вдоль геодезической L b ′ имеет следующий вид(10.4.7) ∆ BC x k = W ′ k σ −
12 Γ kmn ( B ) W ′ m W ′ n σ + O ( σ ) Здесь W ′ k = W k − Γ kmn ( A ) W m ∆ AB x n + O ( dx )= W k − Γ kmn ( A ) W m V n ρ + O ( ρ ) (10.4.8)результат параллельного переноса вектора w из A в B и Γ kmn ( B ) = Γ kmn ( A ) + ∂ p Γ kmn ( B )∆ AB x p = Γ kmn ( A ) + ∂ p Γ kmn ( B ) V p ρ (10.4.9)с точностью до малой первого порядка. Подставляя (10.4.8), (10.4.9) в (10.4.7),мы получим ∆ BC x k = W k σ − Γ kmn ( A ) W m V n σρ −
12 Γ kmn ( A ) W m W n σ + O ( ρ ) Общее приращение координаты x K вдоль пути ABC имеет вид ∆ ABC x k = ∆ AB x k + ∆ BC x k = V k ρ + W k σ − Γ kmn ( A ) W m V n σρ −−
12 Γ kmn ( A ) W m W n σ −
12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ + O ( dx ) (10.4.10)Аналогично общее приращение координаты x K вдоль пути ADE имеет вид ∆ ADE x k = ∆ AD x k + ∆ DE x k == W k σ + V k ρ − Γ kmn ( A ) V m W n ρσ −−
12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ −
12 Γ kmn ( A ) W m W n σ + O ( dx ) (10.4.11) Доказательство этого утверждения я нашёл в [3]
92 10. Примеры диаграммы представлений: аффинная геометрия
Из (10.4.10) и (10.4.11) следует, что ∆ ADE x k − ∆ ABC x k = − Γ kmn ( A ) V m W n ρσ −
12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ −
12 Γ kmn ( A ) W m W n σ + Γ kmn ( A ) W m V n σρ + 12 Γ kmn ( A ) W m W n σ + 12 Γ kmn ( A ) V m V n ρ и мы получаем интегральную сумму для выражения ∆ ADE x k − ∆ ABC x k = Z Z Σ (Γ knm − Γ kmn ) dx m ∧ dx n (cid:3) Теорема . В римано-вом пространстве параллелограм
ABCD замкнут. В точке A геоде-зическая AC имеет касательныйвектор u , который является сум-мой векторов v и w (10.4.12) u k = v k + w k Следовательно, сумма векторов вримановом пространстве комму-тативна.
A v w v + wB w ′ v ′ CD ✄✄✄✄✄✗ ✟✟✟✯ ✻✑✑✑✸ Доказательство.
Мы будем полагать π - длина вектора u . Пусть U -единичный вектор, колинеарный вектору u (10.4.13) U k π = u k Согласно лемме 10.4.1, приращение координаты x k вдоль геодезической L u имеет следующий вид(10.4.14) ∆ AC x k = U k π −
12 Γ kmn ( A ) U m U n π + O ( π ) Равенства(10.4.15) U k π = V k ρ + W k σ Γ kmn ( A ) U m U n π = 2Γ kmn ( A ) W m V n σρ + Γ kmn ( A ) W m W n σ + Γ kmn ( A ) V m V n ρ (10.4.16)являются следствием равенств (10.4.10), (10.4.14). Равенство (10.4.12) являетсяследствием равенств (10.4.2), (10.4.3), (10.4.13), (10.4.15). Равенство(10.4.17) Γ kmn ( A ) u m u n = 2Γ kmn ( A ) w m v n + Γ kmn ( A ) w m w n + Γ kmn ( A ) v m v n является следствием равенств (10.4.2), (10.4.3), (10.4.13), (10.4.16). Равенство Γ kmn ( A ) u m u n = Γ kmn ( A )( v m + w m )( v n + w n )= Γ kmn ( A )( v m v n + v m w n + w m v n + w m w n ) (10.4.18) является следствием равенства (10.4.12). Равенство (10.4.17) является след-ствием равенства (10.4.18) и симметрии связности. Следовательно, геодезиче-ская AC является суммой геодезических AB и BC . (cid:3) Если связность не симметрична, то геодезическая L u не содержит точек C и E . Следовательно, сумма векторов в метрико-аффинном многообразиинекоммутативна. Теорема . Существует вектор t такой, что (10.4.19) ( v + w ) k = v k + w k + t k (10.4.20) ( w + v ) k = v k + w k − t k Координаты вектора t удовлетворяют системе уравнений (10.4.21) Γ kmn ( A ) t m t n + (Γ kmn ( A ) + Γ knm ( A ))( v m + w m ) t n + 2 T kmn ( A ) v m w n = 0 Доказательство.
Рассмотрим сперва вектор v + w . Равенство v k + w k + t k −
12 Γ kmn ( A )( v m + w m + t m )( v n + w n + t n )= v k + w k − Γ kmn ( A ) w m v n −
12 Γ kmn ( A ) w m w n −
12 Γ kmn ( A ) v m v n (10.4.22)является следствием равенства (10.4.10) и леммы 10.4.1. Равенство v k + w k + t k −
12 Γ kmn ( A ) v m v n + 12 Γ kmn ( A ) v m w n + 12 Γ kmn ( A ) v m t n + 12 Γ kmn ( A ) w m v n + 12 Γ kmn ( A ) w m w n + 12 Γ kmn ( A ) w m t n + 12 Γ kmn ( A ) t m v n + 12 Γ kmn ( A ) t m w n + 12 Γ kmn ( A ) t m t n = v k + w k − Γ kmn ( A ) w m v n −
12 Γ kmn ( A ) w m w n −
12 Γ kmn ( A ) v m v n (10.4.23)является следствием равенства (10.4.22) Равенство t k −
12 Γ kmn ( A ) v m w n −
12 Γ kmn ( A ) v m t n −
12 Γ kmn ( A ) w m t n −
12 Γ kmn ( A ) t m v n −
12 Γ kmn ( A ) t m w n −
12 Γ kmn ( A ) t m t n = −
12 Γ kmn ( A ) w m v n (10.4.24)является следствием равенства (10.4.23) Равенство Γ kmn ( A ) t m t n + (Γ kmn ( A ) v m + Γ kmn ( A ) w m + Γ knm ( A ) v m + Γ knm ( A ) w m − δ kn ) t n + 2 T kmn ( A ) v m w n = 0 (10.4.25)является следствием равенства (10.4.24) Равенство (10.4.21) является следстви-ем равенства (10.4.25)
94 10. Примеры диаграммы представлений: аффинная геометрия
Рассмотрим теперь вектор w + v . Равенство v k + w k − t k −
12 Γ kmn ( A )( v m + w m − t m )( v n + w n − t n )= w k + v k − Γ kmn ( A ) v m w n − −
12 Γ kmn ( A ) v m v n −
12 Γ kmn ( A ) W m W n (10.4.26)является следствием равенства (10.4.11) и леммы 10.4.1. Равенство v k + w k − t k −
12 Γ kmn ( A ) v m v n −
12 Γ kmn ( A ) v m w n + 12 Γ kmn ( A ) v m t n −
12 Γ kmn ( A ) w m v n −
12 Γ kmn ( A ) w m w n + 12 Γ kmn ( A ) w m t n + 12 Γ kmn ( A ) t m v n + 12 Γ kmn ( A ) t m w n −
12 Γ kmn ( A ) t m t n = w k + v k − Γ kmn ( A ) v m w n − −
12 Γ kmn ( A ) v m v n −
12 Γ kmn ( A ) W m W n (10.4.27)является следствием равенства (10.4.26) Равенство − t k + 12 Γ kmn ( A ) v m t n −
12 Γ kmn ( A ) w m v n + 12 Γ kmn ( A ) w m t n + 12 Γ kmn ( A ) t m v n + 12 Γ kmn ( A ) t m w n −
12 Γ kmn ( A ) t m t n = −
12 Γ kmn ( A ) v m w n (10.4.28)является следствием равенства (10.4.27) Равенство Γ kmn ( A ) t m t n + (Γ kmn ( A ) v m + Γ kmn ( A ) w m + Γ knm ( A ) v m + Γ knm ( A ) w m − δ kn ) t n + 2 T knm ( A ) v m w n = 0 (10.4.29)является следствием равенства (10.4.28) Равенство (10.4.21) является следстви-ем равенства (10.4.29) (cid:3) Ответить на вопрос, имеет ли система уравнений (10.4.21) решение - задачанепростая. Однако есть другой способ найти координаты вектора t . Мы проведём геодезическую L v + w через точку A , используявектор v + w как касательный век-тор к L v + w в точке A . Мы прове-дём геодезическую L w + v через точ-ку A , используя вектор w + v каккасательный вектор к L w + v в точке A . Мы проведём геодезическую L u через точку A , используя вектор uu k = v k + w k как касательный вектор к L u в точ-ке A . A v w C EF ✄✄✄✄✄✗ ◗◗✑✑✑✸
Согласно теоремам 10.4.2, 10.4.4 точка F является серединой отрезка EC .Следовательно, мы можем рассматривать отрезок AF как медиану треуголь-ника ACE . Согласно теореме 10.4.4 мы можем отождествить отрезок
F C ивектор t . Следовательно, теорема 10.4.2 даёт нам способ найти координатывектора t . В разделе 10.4, мы рассмотрели возможность изучения аффинной геомет-рии на многообразии аффинной связности. Эта геометрия имеет две особен-ности. Множество векторов не замкнуто относительно сложения и операциясложения может быть некоммутативной.Мы ещё не готовы рассмотреть первую проблему, однако мы можем рас-смотреть вопросы, связанные с некоммутативностью суммы векторов. Пред-ставление f : D ∗ / / G коммутативного кольца D в произвольной группе G называется некоммута-тивным модулем. Это представление во многом похоже на модуль, поэтому всетеоремы о структуре модуля верны. Однако вопрос о структуре базиса остаётсяоткрытым.Вообще говоря, av + bw = bw + av Поэтому возникает вопрос, какое множество группы G мы хотим рассмотретьв качестве базиса.Мы можем построить базис аналогично тому, как мы строим базис модуля.Тогда этот базис должен допускать выражение вида av + bw + cv Либо мы можем потребовать, чтобы элементы базиса в линейной комбина-ции имели строгий порядок. При этом предполагается, что если ( v, w ) - базиснекоммутативного модуля V , то для любого выражения bw + av существуют c , d ∈ D такие, что cv + dw = bw + av писок литературы [1] F. W. Hehl, P. von der Heyde, G. D. Kerlick, and J. M. Nester, Generalrelativity with spin and torsion: Foundations and prospects,Rev. Mod. Phys. 48, 393 (1976)[2] Серж Ленг, Алгебра, М. Мир, 1968[3] Г. Е. Шилов. Математический анализ, Функции нескольких веще-ственных переменных, части 1 - 2, М., Наука, 1972[4] П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ,М., Наука, 1967[5] А. Г. Курош, Общая алгебра, (лекции 1969 - 70 учебного года), М.,МГУ, 1970[6] Kevin McCrimmon; A Taste of Jordan Algebras;Springer, 2004[7] В. В. Жаринов, Алгебро-геометрические основы математической фи-зики,Лекционные курсы научно-образовательного центра, 9, МИАН,М., 2008[8] Александр Клейн, Бикольцо матриц,eprint arXiv:math.OA/0612111 (2007)[9] Александр Клейн, Преобразование Лоренца и принцип общековари-антности,eprint arXiv:0803.3276 (2009)[10] Александр Клейн, Введение в геометрию над телом,eprint arXiv:0906.0135 (2010)[11] Александр Клейн, Александер Ложье, Ортонормированный базис впространстве Минковского,eprint arXiv:1201.4158 (2012)[12] Александр Клейн, Линейное отображение D -алгебры,eprint arXiv:1502.04063 (2015)[13] John C. Baez, The Octonions,eprint arXiv:math.RA/0105155 (2002)[14] П. Кон, Универсальная алгебра, М., Мир, 1968[15] Paul M. Cohn, Algebra, Volume 1, John Wiley & Sons, 1982[16] Н. Бурбаки, Алгебра: алгебраические структуры, линейная и полили-нейная алгебра, перевод с французского Д. А. Райкова, М., государ-ственное издательство физико-математической литературы, 1962[17] Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, главы 1 - 3, перевод с француз-ского Ю. А. Бахтурина И Г. И. Ольшанского под редакцией А. А.Кириллова И А. И. Кострикина, М. Мир, 1976 [18] Постников М. М., Лекции по геометрии, семестр IV, Дифференциаль-ная геометрия, М. Наука, 1983[19] Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В., Основные по-нятия дифференциальной геометрииИтоги ВИНИТИ 28М. ВИНИТИ, 1988[20] Richard D. Schafer, An Introduction to Nonassociative Algebras, DoverPublications, Inc., New York, 1995[21] Paul Bamberg, Shlomo Sternberg, A course in mathematics for studentsof physics, Cambridge University Press, 1991 редметный указатель A ∗ -модуль 164 A ∗ -векторное пространство 164 A -представление в Ω -алгебре 17, 77 ∗∗ -произведение (произведение столбцана строку) 61 D -алгебра 161 D -модуль 148 n -арная операция на множестве 10 ∗∗ -произведение (произведение строки настолбец) 61абелевая Ω -группа 44абелевая мультипликативная Ω -группа56абелевая полугруппа 16автоморфизм 11автоморфизм диаграммы представлений120автоморфизм представления Ω -алгебры38аддитивное отображение 41активное представление в многообразиибазисов 106, 139активное преобразование многообразиябазисов 106, 139алгебра над кольцом 161арность 10ассоциативная Ω -группа 44ассоциативная мультипликативная Ω -группа 57ассоциативная операция 16аффинное пространство 183, 187базис векторного пространства 153, 170,177базис диаграммы представлений 136базис представления 103башня представлений Ω -алгебр 111бикольцо 62вектор 148, 164, 164, 171, 172векторное ∗ A -пространство 172вырожденный эндоморфизм 99, 133 геометрический объект 109, 142геометрический объект в координатномпредставлении 109, 142геометрический объект типа H Ω -алгебр 13диаграмма представленийуниверсальных алгебр 112естественный гомоморфизм 15закон ассоциативности 75, 75, 76, 76,149, 165, 173закон дистрибутивности 43, 58, 59, 149,165, 173закон унитарности 149, 165, 173изоморфизм 11изоморфизм представлений Ω -алгебры27индукция по диаграмме представлений113категория представлений 45, 50квазибазис диаграммы представлений134квазибазис представления 100ковариантное представление 78коммутативная диаграммапредставлений универсальныхалгебр 113коммутативная операция 16коммутативность представлений 148,164, 172контравариантное представление 78координатная матрица вектора 153, 170,178координатное представление 108, 141координаты 153, 170, 178координаты A -числа m относительномножества X
94, 126 координаты геометрического объекта109, 142координаты морфизма диаграммыпредставлений 130координаты приведенного морфизмапредставления 97координаты точки A аффинногопространства ◦ A относительно базиса ( O, e ) Ω -слов 124кортеж стабильных множествдиаграммы представлений 122левое A -векторное пространство 164левое векторное пространство 164левостороннее A -представление 74левостороннее представление 74левостороннее произведение 74, 167левый A -модуль 164левый модуль 164левый сдвиг модуля 162левый сдвиг на группе 79линейная комбинация 152, 168, 176линейно зависимое множество 152, 169,177линейно зависимый 152, 168, 176линейно независимое множество 152,169, 177линейное отображение 155, 156малая группа 84матрица 60матрица линейного отображения 156,157метрико-аффинное многообразие 188многообразие базисов 106, 139множество Ω -слов представления 91множество допускает операцию 10множество замкнуто относительнооперации 10множество координат представления 94,126множество кортежей Ω -слов 124множество образующих 91, 124, 152, 152,169, 169, 177, 177модуль над кольцом 148может быть вложена 11мономорфизм 11морфизм из диаграммы представлений вдиаграмму представлений 116морфизм представлений Ω -алгебры в Ω -алгебре 20морфизм представлений из f в g f Ω -группа 56начало системы координат аффинногопространства 187 невырожденный эндоморфизм 99, 133нейтральный элемент операции 16носитель Ω -алгебры 10область операторов 10однородное пространство 86однотранзитивное представление Ω -алгебры A
19, 85операция на множестве 10орбита представления 82, 82отношение эквивалентности 7отображение согласовано с операцией 11параллелограмм 190парные представления 87пассивное представление в многообразиибазисов 106, 139пассивное преобразование многообразиябазисов 107, 140подалгебра Ω -алгебры 10подмодуль, порождённым множеством152, 169, 177подпредставление 89, 91, 122, 124полиаддитивное отображение 42полилинейное отображение 158полиморфизм представлений 49полугруппа 16правое A -векторное пространство 172правое векторное пространство 172правостороннее A -представление 76правостороннее представление 76правостороннее произведение 76, 175правый модуль 171правый сдвиг на группе 79представитель геометрического объекта109, 142представление Ω -алгебры A в Ω -алгебре M
17, 77преобразование, согласованное сэквивалентностью 26приведенный морфизм представлений 32приведенный полиморфизмпредставлений 53приводимое бикольцо 63принцип двойственности для бикольца62принцип двойственности для бикольцаматриц 63принцип инвариантности 110, 142принцип инвариантности в D ∗∗ -векторном пространстве 110, 142произведение в категории 12произведение морфизмов диаграммыпредставлений 119произведение морфизмов представленийуниверсальной алгебры 25пространство орбит левостороннегопредставления 83прямое произведением Ω -алгебр 13
00 Предметный указатель рефлексивное соответствие 7свободная алгебра над кольцом 161свободное представление 18, 18, 84свободный модуль 154, 171, 179симметричное соответствие 7стабильное множество представления 89сумма отображений 158, 160тензорная степень 64тензорное произведение 63транзитивное представление Ω -алгебры A Ω -алгебры37эпиморфизм 11эффективное представление 17, 84ядро гомоморфизма 15ядро отображения 7 Ω -алгебра 10 Ω -группа 44 Ω -группоид 80 Ω -кольцо 59 Ω -слово элемента представленияотносительно множестваобразующих 91 пециальные символы и обозначения A ( f ) активное представление вмногообразии базисов 106, 139 A ( A ) категория представлений 45 A ( A ) категория представлений 50 a ∗∗ b ∗∗ -произведение 61 A ∼ = B изоморфны 11 w i v i линейная комбинация 152, 168 w ∗∗ v линейная комбинация 152, 168 v i w i линейная комбинация 176 v ∗∗ w линейная комбинация 176 A a малая группа 84 A Ω Ω -алгебра 10 a ∗∗ b ∗∗ -произведение 61 A ( A → B ) множество аддитивныхотображений 41 A (1) v множество векторов,порождённых вектором v A /A пространство орбитпредставления 83 A a группа стабилизации 84 B [ f ] многообразие базисов 106, 139 B A декартова степень 9 B f структура подпредставлений 90 B [ f, A ] структура подпредставлений123 B × ... × B n произведение в категории12 B ⊗ n тензорная степень представления64 d f произведение отображения наскаляр 160, 161 D (1) v множество векторов,порождённых вектором v e = ( e i , i ∈ I ) базис модуля 153, 169,177 e ◦ S образ базиса e при пассивномпреобразовании S e ◦ s образ базиса e при пассивномпреобразовании S End(Ω; A ) множество эндоморфизмов11 A ∗ a орбита представления 82 a ∗ A орбита представления 82 f + g сумма отображений 158, 160 GA ( f ) группа автоморфизмовпредставления f
38, 120
Hom(Ω; A → B ) множествогомоморфизмов 11 J [ f ] оператор замыканияпредставления f
90, 123 J [ f, X ] подпредставление, порождённоемножеством образующих X
90, 124 ker f ядро гомоморфизма 15 ker f ядро отображения 7 L ( b ) левый сдвиг 79 w i v i линейная комбинация 152, 168 w ∗∗ v линейная комбинация 152, 168 v i w i линейная комбинация 176 v ∗∗ w линейная комбинация 176 L ( D → D ; A → A ) множестволинейных отображений 155 L ( D ; A → A ) множество линейныхотображений 156 L ( D ; A × ... × A n → S ) множествополилинейных отображений 158 L ( D ; A n → S ) множество n -линейныхотображений 158 O ( f, g, m ) геометрический объект 109 O ( f, g, a ) геометрический объект 142 O ( f, g, e g , m ) геометрический объект вкоординатном представлении 109 O ( f, g, e g , a ) геометрический объект вкоординатном представлении 142 B ⊗ ... ⊗ B n тензорное произведение63 P ( f ) пассивное представление группы GA ( f ) в многообразии базисов B [ f ] R ( b ) правый сдвиг 79 → V аффинное пространство 187 W [ f, X ] множество координатпредставления J ( f, X ) W ( k ) [ f, X ] множество координатпредставления J ( f, X ) W [ f, X, m ] координаты элемента m представления f относительномножества X W ( k ) [ f, X, a ] координаты элемента m представления f относительномножества X w [ f, X ] множество кортежей Ω -слов 124 W [ f, X, B ] множество координатмножества B ⊂ J ( f, X ) W ( k ) [ f, X, B ] множество координатмножества B ⊂ J ( f, X ) w [ f, X, B ] множество Ω -слов,представляющих множество B ⊂ J ( f, X ) W [ g, Y, R ( X )] ◦ W [ f, X, m ] суперпозициякоординат 97 W ( k ) [ g, Y, r ( k ) ( X ( k ) )] ◦ W ( k ) [ f, X, a ( k ) ] суперпозиция координат 130 w [ f, X, a ] кортеж Ω -слов 124 w [ f, X, m ] Ω -слово, представляющееэлемент m ∈ J ( f, X ) w [ f, X ] множество Ω -словпредставления J ( f, X ) Ω область операторов 10 Ω( n ) множество n -арных операторов 10 Y i ∈ I B i произведение в категории 12 n Y i =1 B ii