Discrete Vortex Filaments on Arrays of Coupled Oscillators in the Nonlinear Resonant Mode
aa r X i v : . [ n li n . PS ] S e p Вихревые нити на массивах связанных осцилляторовв режиме нелинейного резонанаса
В. П. Рубан ∗ Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН,142432 Черноголовка, Московская область, Россия (Дата: 18 сентября 2020 г.)Численное моделирование указывает на возможность долговременного существования вих-ревых структур в виде квантованных нитей на массивах связанных слабодиссипативных нели-нейных осцилляторов в пределах трехмерной конечной области под резонансным внешнимвоздействием, приложенным на границе области. Качественно выяснены диапазоны парамет-ров системы и внешнего сигнала, благоприятные для формирования модуляционно устойчи-вого квазиоднородного энергетического фона — решающего фактора для реализации данногоявления.
Как известно, квантованные вихри являются ха-рактерными для нелинейных комплексных волновыхполей когерентными структурами — при условии со-гласования знаков дисперсии и нелинейности [1–7].Например, уравнение Гросса-Питаевского (дефокуси-рующее нелинейное уравнение Шредингера с внеш-ним потенциалом) описывает вихри в захваченныхБозе-конденсатах холодных атомов. Эти объекты ста-ли предметом интенсивных исследований (см., в част-ности, [8–17]).В последние десятилетия в связи с развитием техно-логии метаматериалов (в широком смысле этого сло-ва) когерентные структуры изучаются не только всплошных средах, но и в (квази-) дискретных систе-мах (дискретные солитоны и бризеры, вихри и вихре-вые солитоны на решетках; см. [18–30] и ссылки там).Надо отметить, что собственно вихри как дально-действующие объекты на модуляционно устойчивомфоне составили лишь малую долю в этих исследова-ниях по сравнению с локализованными структурами,характерными для модуляционно неустойчивых дис-кретных систем. В частности, традиционные вихри врамках дискретного нелинейного уравнения Шредин-гера (ДНУШ) рассматривались в работах [24, 27, 28],а вихри на решетках осцилляторов моделировалисьчисленно в недавних работах [29, 30].При этом в ходе численных экспериментов выясни-лось, что диссипация должна быть чрезвычайно ма-ла (требуемая добротность осцилляторов Q & ),чтобы в автономной дискретной системе можно былоуспеть пронаблюдать динамику взаимодействующихвихревых структур до того, как система перейдет влинейный режим.Встает проблема: как ослабить столь непомерноетребование высокой добротности? Возможное ее ре-шение — поддерживать энергетический фон системыза счет монохроматической по времени накачки. Что-бы внешнее воздействие не слишком изменяло дина-мические свойства решетки, накачку следует прило- ∗ Electronic address: [email protected] nn’ V b +V n’ (t) V b +V n (t) I n’ (t) I n (t) C n,n’ C(V n )C(V n’ )R L R L R C R C L LV b Рис. 1: Идеализированная электрическая схема, соответ-ствующая уравнениям (4)-(5). Показан лишь фрагментполной сети (две ячейки и связь между ними). жить только к тем узлам, которые находятся на гра-нице системы. А чтобы вихрям было “выгодно” сфор-мироваться и затем продолжить существование внут-ри массива — начальные фазы вынуждающих сигна-лов сделать плавно меняющимися от одного гранич-ного узла к другому. Такой рецепт полностью оправ-дал себя в работе [30], где моделировались двумер-ные массивы нелинейных электрических колебатель-ных контуров, объединенных емкостными связями вединую сеть, как показано на Рис.1. Слабодиссипатив-ные вихревые структуры в такой модели наблюдалисьчисленно в течение многих тысяч периодов колебаний.Энергетический фон при этом был квазиоднороднымв пространстве, поскольку осцилляторы находились врежиме нелинейного резонанса (на его верхней вет-ви), когда амплитуда колебаний в большей степениопределяется частотой внешнего периодического воз-действия, и в значительно меньшей степени — его ам-плитудой. Однако, благопрятные для вихрей парамет-рические области остались неопределенными.В данной работе делается следующий естественныйи важный шаг в изучении подобных систем — путеммассированных численных экспериментов выясняют-ся диапазоны параметров, в пределах которых внеш-нее воздействие приводит к формированию устойчи-вого фона и зарождению вихрей, причем уже в трех-мерном массиве. Надо сказать, что это первые резуль-таты такого рода. Насколько известно автору, ранеео долгоживущих вихревых нитях на решетках осцил-ляторов в режиме нелинейного резонанса в научныхпубликациях не сообщалось.Чтобы пояснить суть задачи, удобно сначала рас-смотреть ДНУШ как более простую модель. Слабо-диссипативное ДНУШ с монохроматической накач-кой имеет вид (см., например, [31, 32]), i ( ˙ A n + γA n ) = ( − δ + g | A n | ) A n ++ 12 X n ′ c n,n ′ ( A n − A n ′ ) + f n , (1)где A n ( t ) — неизвестные комплекснозначные функциина узлах n = ( n , n , n ) трехмерной решетки, γ —малый темп линейного затухания, δ — отстройка ча-стоты накачки от линейного резонанса, g — нелиней-ный коэффициент, c n,n ′ — (действительная) матрицасвязей (обычно между ближайшими соседями), f n —комплексные амплитуды внешнего воздействия.Хорошо известно, что имеется родственное отно-шение между ДНУШ и различными системами свя-занных нелинейных осцилляторов (см., например,[28, 29]), поскольку многие осцилляторные систе-мы в слабонелинейном пределе сводятся к ДНУШдля комплексных огибающих A n ( t ) каноническихкомплексных переменных a n = √ S n exp( i Θ n ) = A n ( t ) exp( − i [ ω + δ ] t ) , где S n и Θ n — переменныедействие-угол для отдельно взятого осциллятора, а ω — частота колебаний в пределе малых амплитуд. Фаза Θ при обходе по замкнутому контуру, составленномуиз переходов между соседними узлами, может отно-сительно небольшими изменениями набирать прира-щение, кратное π , образуя тем самым дискретныйквантованный вихрь. Что характерно, переменная S при этом не обязана обращаться в ноль ни на одном изузлов в коре вихря. Таково принципиальное отличиедискретных вихрей от непрерывных.Будет ли система способна поддерживать вихри, за-висит от соотношения знаков g и c n,n ′ . В простейшемслучае одинаковых взаимодействий между ближай-шими соседями на правильной решетке, знаки долж-ны совпадать. Но одного этого условия оказываетсямало, чтобы в системе в течение длительного време-ни существовали вихревые структуры. Предположим,что у нас имеется конечная система, составленная изосцилляторов на кубической решетке в пределах неко-торой трехмерной области D . Пусть для простоты всененулевые параметры f n имеют одинаковую ампли-туду f , но различные фазы ϕ n . Даже без учета фор-мы области, набора параметров ϕ n и амплитуды f ,мы имеем два существенных коэффициента: γ/δ и c/δ (коэффициент g/δ в рамках ДНУШ можно обратить вединицу изменением масштаба переменной A ). Возни-кающая с течением времени картина в сильной мере зависит от этих чисел. Важно еще заметить, что в ис-ходных полностью нелинейных уравнениях движенияосцилляторов параметр δ и аналоги параметров γ и c важны каждый по отдельности, поскольку там могутиметь место параметрические резонансы, не учиты-ваемые уравнением (1) и разрушающие квазиоднород-ный энергетический фон. Фактически это нелинейныеволновые процессы типа p → , где p — число распа-дающихся волн с нулевым квазиимпульсом. Появле-ние таких резонансов при увеличении параметра свя-зи c и соответствующие неустойчивые моды определя-ются спецификой системы. Например, для схемы наРис.1 свойства основных параметрических резонан-сов будут существенно разными в зависимости от ти-па используемых нелинейных емкостей. Для решеткиКлейна-Гордона ¨ q n +2 γ ˙ q n + q + q + X n ′ c n,n ′ ( q n − q n ′ ) = F n cos([1+ δ ] t + ϕ n ) ответ будет отличаться еще сильнее из-за качественноиного закона дисперсии линейных возмущений.Понятно, что пройти достаточно подробно диапазо-ны всех параметров в численных симуляциях — делотяжелое. Поэтому на первом этапе исследований име-ет смысл зафиксировать, например, форму области,фазы ϕ n и отстройку частоты δ . Остаются параметры γ , c и f . Для каждого из них следует взять несколькозначений. Таким образом, для получения более-менееясной картины необходимо провести несколько десят-ков численных экспериментов. Собственно говоря, та-кая работа и была проделана автором, но не в рамкахДНУШ, а в рамках электрической модели, представ-ленной на Рис.1. Тем самым данное исследование на-ходится в русле моделирования базовых нелинейныхявлений на примере электрических сетей [33–46]. Нопредставленные здесь качественные результаты выхо-дят за рамки конкретной модели, поскольку анало-гичные вихревые структуры были отмечены автороми на решетке Клейна-Гордона.Итак, рассмотрим электрическую схему, составлен-ную из нелинейных колебательных контуров с емкост-ными связями между ними, как показано на Рис.1.Связь между этой схемой и уравнением (1) обсужда-лась в недавней работе автора [29]. Состояние систе-мы описывается напряжениями V n ( t ) , а также токами I n ( t ) через катушки индуктивности L . Нелинейнымиэлементами здесь являются емкости C ( V n ) . В даннойработе использовались два типа функциональной за-висимости емкости от напряжения. Первая имеет вид C ( V n ) = C (1 + V n /V ∗ ) , (2)с некоторым параметром V ∗ . Такая симметричная за-висимость характерна для конденсаторов с диэлек-трическими пленками [47, 48]. Другая зависимостьсвойственна варакторным диодам, которые (при на-личии обратного напряжения смещения V b и в парал-лельном соединении с обычным конденсатором) при-ближенно описываюся фитирующей формулой (см.,например, [49]) C ( V n ) = C h µ + (1 − µ ) / (1 + V n /V ∗ ) ν i , (3)где < µ < учитывает параллельно подключенныйпростой конденсатор, а подгоночный параметр дио-да ν зависит от технологии изготовления и обычнолежит в диапазоне . . ν . . . Конкретно здесьбрались значения µ = 0 . , ν = 2 .Разумеется, формулы (2) и (3), да и саму схему наРис.1 не следует воспринимать слишком буквально,поскольку трехмерный массив должен содержать на-столько большое число узлов, что вряд ли он можетбыть собран из обычных радиотехнических элемен-тов. Это было бы слишком громоздко и дорого. Ско-рее можно думать о некой миниатюрной трехмернойструктуре с электрическими свойствам, близкими кнашей идеализированной схеме.Запасенная электростатическая энергия на конден-саторе (дополнительная по сравнению с состоянием V n = 0 ) есть W ( V n ) = R V n C ( u ) udu .Диссипативные элементы схемы — малое актив-ное сопротивление катушки R L ≪ p L/C , а такжебольшое сопротивление утечки конденсатора R C ≫ p L/C . Безразмерный коэффициент затухания γω = (cid:16) R L p C /L + R − C p L/C (cid:17) / γ L + γ C ) / . Кроме того, к тем осцилляторам, которые располо-жены на границе области, подведено переменное повремени напряжение E n ( t ) . Соответствующая системауравнений движения имеет вид C ( V n ) ˙ V n + X n ′ C n,n ′ ( ˙ V n − ˙ V n ′ ) + V n /R C = I n , (4) L ˙ I n + V n + R L I n = E n ( t ) = F n cos([ ω + δ ] t + ϕ n ) . (5)В отсутствие связей и диссипации каждый осцилля-тор обладал бы законом cохранения энергии ε n = LI n / W ( V n ) .При вычислениях использовались обезразмеренныепеременные, соответствующие значениям L = 1 , C =1 , V ∗ = 1 . Частота малых колебаний при этом ω = 1 ,а их период T = 2 π . Уравнения (4) разрешались от-носительно ˙ V n подходящей итеративной процедурой,а продвижение по времени осуществлялось по методуРунге-Кутта 4-го порядка.В качестве области D была выбрана полость эллип-соида x + y + 2 . z < , причем шаг кубической ре-шетки h = 0 . либо h = 0 . определял общее ко-личество степеней свободы системы. Сигнал накачкиподавался на те узлы решетки, которые попадают втонкую оболочку < (3 − x − y − . z ) < h . Фа-зы накачки при этом определялись простой зависимо-стью ϕ n ,n ,n = − . πhn = − . πz n .Диссипативные параметры γ L и γ C для простотыбрались равными, с произвольно наложенным усло- -1-0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (a) z x ε (x; y=0; z; t=1700T ) (b) z x Φ (x; y=0; z; t=1700T ) -3-2-1 0 1 2 3-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (c) y x -1-0.5 0 0.5 1 Рис. 2: Вихревая конфигурация, образовавшаяся в мо-мент времени t = 1700 T при значениях параметров γ L = γ C = 0 . , c = 0 . , F = 0 . . Каждый цветной квадратик-“пиксель” соответствует отдельному осциллятору на ку-бической решетке. Показаны: a) энергии осцилляторов вслое y = 0 ; b) их фазы в слое y = 0 ; c) проекция вихревыхнитей на плоскость ( x, y ) , причем цветом здесь указана z -координата тех узлов решетки, в которых ε < . . вием γ > . , что соответствует ослабленному тре-бованию по добротности в сравнении со свободно за-тухающим режимом, рассмотренным в работе [29].Отстройка частоты внешнего сигнала была фикси-рована значением δ = − . при использовании форму-лы (3). Знак отстройки отрицателен с соответствии сотрицательностью нелинейного коэффициента и кон- -1-0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (a) z x ε (x; y=0; z; t=1700T ) (b) z x Φ (x; y=0; z; t=1700T ) -3-2-1 0 1 2 3-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (c) y x -1-0.5 0 0.5 1 Рис. 3: Вихревая структура из трех колец, сформировав-шаяся при значениях параметров γ L = γ C = 0 . , c = 0 . , F = 0 . . Показаны: a) энергетический профиль в слое y = 0 ; b) фазы осцилляторов в слое y = 0 ; c) ( x, y ) -проекция вихревых нитей. стант связи c n,n ′ = − C n,n ′ /C (см. подробности в[29, 30]). Для краткости мы далее под символом c бу-дем иметь в виду положительную величину C n,n ′ /C .Здесь важно сказать, что, в отличие от систем снелинейностью (3), где распады → заведомо идутпри c > / в пределе слабого энергетического фо-на, а в существенно нелинейном режиме и при мень-ших значениях c , использование симметричной зави-симости (2) приводит к отсутствию трехволновых вза-имодействий. Поэтому допустимы увеличенные значе- -1-0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (a) z x ε (x; y=0; z; t=1400T ) (b) z x ε (x; y=0; z; t=1250T ) (c) z x ε (x; y=0; z; t=1200T ) (d) z x ε (x; y=0; z; t=1250T ) Рис. 4: Энергии осцилляторов в слое y = 0 при различныхзначениях констант связи: a) c = 0 . ; b) c = 0 . ; c) c =0 . ; d) c = 0 . . Остальные параметры: γ L = γ C = 0 . , F = 0 . . При слишком малых c фон не получается ква-зиоднородным. В случае b) вихри настолько тонкие, чтоих присутствие почти не заметно. Эти рисунки следуетсравнить с Рис.3a. ния параметров. Например, бралась константа связивплоть до c = 2 , отстройка вплоть до δ = − . , за-тухание вплоть до γ = 0 . . И даже при таком отно-сительно сильном затухании в ряде случаев наблюда-лись вихревые нити.В качестве начального бралось слегка возмущенноеквазиоднородное состояние. Система его “забывала”через несколько сотен периодов. В течение этого вре-мени (при “благоприятных” наборах параметров) награнице области зарождались вихревые нити, частов форме колец, которые затем перемещались в объеми там взаимодействовали между собой. Нити в боль-шей или меньшей степени деформировались, их сим-метрия обычно нарушалась и возникали структуры сразличной геометрией. Разумеется, картина при этомне была стационарной, поскольку вблизи оси эллипсо-ида вихри перемещались главным образом вниз, а напериферии – вверх. Но характерные статистическиесвойства вихрей в большинстве случаев оказывалисьдостаточно определенными и существенно зависящи-ми от параметров.Примеры наиболее типичных вихревых структурпредставлены на рисунках 2-6. Ощими для всех этихрисунков являются формула (3), а также значения па-раметров h = 0 . и δ = − . . Различающиеся пара-метры указаны в подписях к рисункам. Для достаточ-но полной визуализации мгновенного вихревого состо-яния обычно использованы три картинки. На однойпоказан энергетический профиль в сечении эллипсо-ида плоскостью y = 0 . На другой картинке показанывеличины Φ n = arctg ( I n /V n ) , которые в качественномотношении подобны каноническим фазам Θ n . На тре-тьей картинке показана форма вихревых нитей в про-екции на плоскость ( x, y ) , причем цветом отмечена со-ответствующая z -координата.На Рис.2 мы видим достаточно развитую и невполне упорядоченную вихревую структуру, интен-сивно взаимодействующую с границей. Такие получа-ются при не слишком больших амплитудах накачки (вданном случае это F = 0 . ). При еще меньших ам-плитудах требуемый энергетический фон вообще неформируется (как, например, при F = 0 . ; на рисун-ках не представлено).При усилении накачки до F = 0 . наблюдаетсяболее “строгая” и “спокойная” конфигурация из трехблизко расположенных вихревых колец, как показанона Рис.3. Кольца значительно деформированы и нахо-дятся в режиме “чехарды” (leapfrogging). Надо отме-тить, что при некоторых других наборах параметрованалогичные структуры могли состоять из четырехколец.При увеличении F до значения 0.16 (этот случайне проиллюстрирован) мы наблюдали бы попеременнодва либо три сильно деформированных и подвижныхкольца на достаточном удалении друг от друга. При F = 0 . (этот случай также не представлен на рисун-ках) результатом были бы два тесно расположенныхкольца, в целом похожих на кольца при F = 0 . . -1-0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (a) z x ε (x; y=0; z; t=1600T ) (b) z x Φ (x; y=0; z; t=1600T ) -3-2-1 0 1 2 3-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (c) y x -1-0.5 0 0.5 1 Рис. 5: Вихревая конфигурация, образовавшаяся при зна-чениях параметров γ L = γ C = 0 . , c = 0 . , F = 0 . :a) энергии осцилляторов в слое y = 0 ; b) их фазы в слое y = 0 ; c) ( x, y ) -проекция вихревых нитей. Видны неболь-шие вихревые колечки на периферии. Дальнейшее усиление накачки начинает портить фон(также не проиллюстрировано).Рис.4 дает представление о том, как изменение па-раметра c влияет на вихревые структуры. Из Рис.4aвидно, что слишком слабые связи не способны пере-давать достаточный поток энергии, чтобы с учетомдиссипации “заполнить” ею всю область. Заполнениепроисходит только в некотором, довольно четко вы-раженном слое вблизи границы, а центральная частьоказывается в режиме дефицита энергии. Надо ска- -1-0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (a) z x ε (x; y=0; z; t=800T ) (b) z x Φ (x; y=0; z; t=800T ) -3-2-1 0 1 2 3 Рис. 6: Когерентная диссипативная структура, образовав-шаяся при значениях параметров γ L = γ C = 0 . , c = 0 . , F = 0 . : a) энергии осцилляторов в слое y = 0 ; b) их фа-зы в слое y = 0 . В данном примере структура состоит извихрей в комбинации с темными солитонами. зать, что толщина указанного слоя при заданном c зависит в основном от диссипативного параметра γ ив малой мере – от амплитуды накачки. Уже небольшо-го увеличения c оказывается достаточно, чтобы сфор-мировать квазиоднородный фон (см. Рис.4b). Вихрипри этом оказываютя “сверхдискретными”, так как су-щественного понижения энергии осцилляторов вбли-зи оси вихря практически не происходит. Дальнейшееусиление связей делает ядра вихрей все заметнее итолще, как это видно из рисунков 4c и 4d, пока при c ≈ . фон не начинает портиться (не показано) засчет ранее упоминавшихся параметрических процес-сов → .Наконец, рисунки 5 и 6 демонстрируют, что проис-ходит с вихрями при увеличении темпа диссипации.Так, при увеличении γ вдвое по сравнению с рисун-ками 2-4, появляется новая черта в динамике — напериферии системы в объеме рождаются маленькиевихревые колечки (см. Рис.5c), которые затем дрей-фуют по направлению к оси и там присоединяются кдиссипируемой основной структуре.Увеличение γ до значения 0.06 кардинально меняетвсю картину, как показано на Рис.6. Вместо вихревыхнитей мы имеем здесь почти стационарную комбини-рованную структуру, в которой присутствуют темныесолитоны. Энергетический фон в целом понижен и да-лек от однородного. Дальнейшее усиление диссипацииразрушает его полностью.Таким образом, в данной работе показан новый ре-жим существования квантованных вихревых нитей вслабодиссипативных дискретных системах. Выясненысценарии, по которым этот режим нарушается при из-менении основных параметров системы. [1] L. M. Pismen, Vortices in Nonlinear Fields (Clarendon,Oxford, 1999).[2] C. J. Pethick and H. Smith,
Bose-Einstein Condensationin Dilute Gases , (Cambridge University Press,Cambridge, 2002).[3] L. P. Pitaevskii and S. Stringari,
Bose-EinsteinCondensation (Oxford University Press, Oxford, 2003).[4] P. G. Kevrekidis, D. J. Frantzeskakis, and R. Carretero-Gonz´alez,
The Defocusing Nonlinear Schr¨odingerEquation: From Dark Solitons and Vortices to VortexRings (SIAM, Philadelphia, 2015).[5] B. Y. Rubinstein and L. M. Pismen, Physica D , 1(1994).[6] A. A. Svidzinsky and A. L. Fetter, Phys. Rev. A ,063617 (2000).[7] A. L. Fetter, Rev. Mod. Phys. , 647 (2009).[8] V. P. Ruban, Phys. Rev. E , 036305 (2001).[9] J. Garcia-Ripoll and V. Perez-Garcia, Phys. Rev. A ,053611 (2001).[10] P. Rosenbusch, V. Bretin, and J. Dalibard, Phys. Rev.Lett. , 200403 (2002).[11] A. Aftalion and I. Danaila, Phys. Rev. A , 023603(2003). [12] T.-L. Horng, S.-C. Gou, and T.-C. Lin, Phys. Rev. A ,041603(R) (2006).[13] В. А. Миронов, Л. А. Смирнов, Письма в ЖЭТФ ,627 (2012).[14] S. Serafini, L. Galantucci, E. Iseni, T. Bienaime, R. N.Bisset, C. F. Barenghi, F. Dalfovo, G. Lamporesi, and G.Ferrari, Phys. Rev. X , 021031 (2017).[15] C. Ticknor, W. Wang, and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev.A , 033609 (2018).[16] В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ , 638 (2018).[17] C. Ticknor, V. P. Ruban, and P. G. Kevrekidis, Phys.Rev. A , 063604 (2019).[18] B. A. Malomed and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E ,026601 (2001).[19] P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, and Yu. B. Gaididei,Phys. Rev. E , 016609 (2002).[20] P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, D. J. Frantzeskakis,and R. Carretero-Gonzalez, Phys. Rev. Lett. , 080403(2004).[21] P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, Zh. Chen, and D. J.Frantzeskakis, Phys. Rev. E , 056612 (2004).[22] D. E. Pelinovsky, P. G. Kevrekidis, and D. J.Frantzeskakis, Physica D , 20 (2005). [23] F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides, G.Assanto, M. Segev, and Ya. Silberberg, Phys. Rep. ,1 (2008).[24] J. Cuevas, G. James, P. G. Kevrekidis, and K. J. H. Law,Physica D , 1422 (2009).[25] Ya. V. Kartashov, B. A. Malomed, and L. Torner, Rev.Mod. Phys. , 247 (2011).[26] M. Lapine, I. V. Shadrivov, and Yu. S. Kivshar, Rev.Mod. Phys. , 1093 (2014).[27] J. J. Bramburger, J. Cuevas-Maraver, and P. G.Kevrekidis, Nonlinearity , 2159 (2020).[28] V. P. Ruban, Phys. Rev. E , 012205 (2019).[29] V. P. Ruban, Phys. Rev. E , 012204 (2020).[30] В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ , 455 (2020).[31] I. V. Shadrivov, A. A. Zharov, N. A. Zharova, and Yu.S. Kivshar, Photonics Nanostruct. Fundam. Appl. , 69(2006).[32] Н. Н. Розанов, Н. В. Высотина, А. Н. Шацев, И. В.Шадривов, Ю. С. Кившарь, Письма в ЖЭТФ , 826(2011).[33] R. Hirota and K. Suzuki, J. Phys. Soc. Jpn. , 1366(1970).[34] R. Hirota and K. Suzuki, Proc. IEEE , 1483 (1973).[35] A. C. Hicks, A. K. Common, and M. I. Sobhy, Physica D , 167 (1996).[36] A. C. Singer and A. V. Oppenheim, International Journalof Bifurcation and Chaos (4), 571 (1999).[37] D. Cai, N. Gronbech-Jensen, A.R. Bishop, A.T.Findikoglu, and D. Reagor, Physica D , 291 (1998).[38] T. Kofane, B. Michaux, and M. Remoissenet, J. Phys. C: Solid State Phys. , 1395 (1988).[39] P. Marquie, J. M. Bilbault, and M. Remoissenet, Phys.Rev. E , 828 (1994).[40] P. Marquie, J. M. Bilbault, and M. Remoissenet, Phys.Rev. E , 6127 (1995).[41] V. A. Makarov, E. del Rio, W. Ebeling, and M. G.Velarde, Phys. Rev. E , 036601 (2001).[42] D. Yemele, P. Marquie, and J. M. Bilbault, Phys. Rev. E , 016605 (2003).[43] L. Q. English, F. Palmero, A. J. Sievers, P. G. Kevrekidis,and D. H. Barnak, Phys. Rev. E , 046605 (2010).[44] F. Palmero, L. Q. English, J. Cuevas, R. Carretero-Gonzalez, and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E , 026605(2011).[45] L. Q. English, F. Palmero, J. F. Stormes, J. Cuevas, R.Carretero-Gonzalez, and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E , 022912 (2013).[46] F. Palmero, L. Q. English, X.-L. Chen, W. Li, J. Cuevas-Maraver, and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E , 032206(2019).[47] C. J. G. Meyers, C. R. Freeze, S. Stemmer, and R. A.York, Appl. Phys. Lett. , 112902 (2016).[48] Y. Shen, P. G. Kevrekidis, G. P. Veldes, D. J. Frantz-eskakis, D. DiMarzio, X. Lan, and V. Radisic, Phys. Rev.E , 032223 (2017).[49] A. П. Слобожанюк, П. В. Капитанова, И. В. Шадри-вов, П. А. Белов, Ю. С. Кившарь, Письма в ЖЭТФ95