Disordered Kitaev chain with long-range pairing: Loschmidt echo revivals and dynamical phase transitions
DDisordered Kitaev chain with long-range pairing: Loschmidt echo revivals anddynamical phase transitions
Utkarsh Mishra, ∗ R. Jafari,
2, 3, 4, † and Alireza Akbari
1, 5, 6, 2, ‡ Asia Pacific Center for Theoretical Physics (APCTP), Pohang, Gyeongbuk, 790-784, Korea Department of Physics, Institute for Advanced Studies in Basic Sciences (IASBS), Zanjan 45137-66731, Iran Beijing Computational Science Research Center, Beijing 100094, China Department of Physics, University of Gothenburg, SE 412 96 Gothenburg, Sweden Department of Physics, POSTECH, Pohang, Gyeongbuk 790-784, Korea Max Planck POSTECH/Korea Research Initiative (MPK), Gyeongbuk 376-73, Korea (Dated: June 4, 2019)We explore the dynamics of long-range Kitaev chain by varying pairing interaction exponent, α .It is well known that distinctive characteristics on the nonequilibrium dynamics of a closed quantumsystem are closely related to the equilibrium phase transitions. Specifically, the return probabilityof the system to its initial state (Loschmidt echo), in the finite size system, is expected to exhibitvery nice periodicity after a sudden quench to a quantum critical point. Where the periodicity ofthe revivals scales inversely with the maximum of the group velocity. We show that, contrary toexpectations, the periodicity of the return probability breaks for a sudden quench to the non-trivialquantum critical point. Further, We find that, the periodicity of return probability scales inverselywith the group velocity at the gap closing point for a quench to the trivial critical point of trulylong-range pairing case, α <
1. In addition, analyzing the effect of averaging quenched disordershows that the revivals in the short range pairing cases are more robust against disorder than thatof the long rang pairing case. We also study the effect of disorder on the non-analyticities of ratefunction of the return probability which introduced as a witness of the dynamical phase transition.We exhibit that, the non-analyticities in the rate function of return probability are washed out inthe presence of strong disorders.
I. INTRODUCTION
Recent remarkable advancement of the experimentalstudies of ultracold atoms, trapped in optical lattices[1, 2], provide a new framework for studying the nonequi-librium dynamics of isolated quantum systems, in par-ticular from the viewpoint of quantum quenches [3, 4].Quenching a quantum system to/across the critical pointraises striking questions, especially, when the time evo-lution is unitary [3, 4]. An abrupt change of the state ofa closed quantum system leads to a unitary time evolu-tion. When a sudden quench happens, the evolution isdetermined by the Loschmidt echo (LE) [5], modulus ofoverlaps between the eigenstates of the pre-quenched andpost-quenched Hamiltonians expressed by a given changeof parameters on which the Hamiltonian depends. Fora sudden quench to a quantum critical point, finite-sizecase studies reveal that the LE of several models, withshort range interaction, exhibits a periodic revival struc-ture, formed by brief deviation from its mean value [6–13], which can be used as a dynamical witness of quantumcriticality [6, 7, 14–19].In addition, the nonanalyticities in the rate functionof the Loschmidt echo (return probability), when thequench is performed across an equilibrium quantum crit- ∗ [email protected] † [email protected] ‡ [email protected] ical point, has been lately used to introduce the notionof dynamical phase transitions (DPTs) [20–25].Very recently, the studies of the connection betweenquenching dynamics and quantum phase transition [5, 12,20], the topological order [26–28] and also the dynamicsof an edge state [29–32], have attracted the attentionof the scientists. Specifically, searching the robustnessand response of the topological edge states to quantumquenches [28, 31, 33–35]. The behavior of edge statesunder a sudden quantum quench has been investigated intwo-dimensional topological insulator [36], where it wasshown that, in the abrupt transition from the topologicalinsulator to the trivial insulator phase, there is a collapseand revival of the edge states [30, 34]. Similar resultshave been obtained for the one-dimensional Kitaev model[31, 32, 37, 38].Current experimental progresses in realization of long-range interacting quantum models with tunable longrange interactions [39] has renewed the interest in study-ing the non-equilibrium dynamics of quantum systemswith infinite-range interactions [40–44]. Motivated bythe short-range one dimensional Kitaev chain [31, 32], along-range pairing version of an integrable p-wave super-conducting chain of fermions has been proposed, wherestrength of super conducting pairing between two sitesseparated by a distance r falling off in a power-law fash-ion as r α [44–56]. Despite numerous attempts to link thesignificant features of quantum phase transition (QPT)to the quench dynamics (LE), the general principle hasnot been established to connect the QPT to dynamics ofthe systems, specifically in the disordered and long range a r X i v : . [ c ond - m a t . s t a t - m ec h ] J un quantum systems.In this paper, we study the effects of long range interac-tion and disorder on the LE of the ground state and edgestates of the long range pairing Kitaev (LRPK) modelwith open boundary condition. It should be mentionedthat the integrability of the LRPK model breaks in theopen boundary condition and also in the presence of dis-order. To the best of our knowledge, such contributionshave not been studied in previous works and can shedlight on several new effects to the subject.We show that, in the clean truly LRPK chain, the re-vival time (periodicity of the revival) in the LE of thefinite size system scales exponentially with the power-law exponent, α , and inversely with the group velocityat the gap closing point. While in the models with shortrange interaction, as expected, the revivals time is con-trolled by the maximum group velocity[9, 10]. We alsoshow that a surprising result occurs for a quench to thenon-trivial critical point where the periodic revivals elim-inated and the LE oscillating randomly around its meanvalue. Moreover, in the presence of strong local disorderthe revivals washed out, and the first revivals in shortrange pairing cases are more robust than that of the longrange pairing cases. We further show that, the LE ofthe localized edge mode in the clean case, for a quenchto the critical point, exhibits periodic revivals which in-crease consequently with the increase of the power-lawexponent, α . These revivals are suppressed in the pres-ence of disorder and disappear for the long-range modelwhile few of them survives in the short-range model forthe same strength of disorders. Finally, studying thedynamical phase transition in the presence of disordershows that the strong disorder leads to the disappear-ance of singularity in the rate function of the LE (returnprobability) [20].The paper is presented as follows: Sec. II describesthe model and its numerically obtained band structurefor the open chain. The scheme of global quenching isdescribed in Sec. III with the techniques to solve the dy-namics of the underlying Hamiltonian in the presenceand absence of disorder. Dynamics of edge state undersudden quenching is performed in Sec. IV and the effectof disorder is discussed. Scaling of revival time, obtainedfrom the dynamics of Loschmidt echo in the finite-sizesystem, is reported in Sec. V including its behavior inpresence of disorder and role of power-law pairing ex-ponent. In Sec. VI, we present the result on the dy-namical phase transition in presence of disorder for long-and the short-range limiting case of the power-law expo-nent. A discussion on the results is included in conclusionSec. VII. II. THE MODEL
We consider long-range pairing Kitaev chain wherethe pairing interaction is not only present between thenearest-neighbor sites but at all other distant sites. The Hamiltonian of the model, describing N − free fermions inone dimension lattice, is given by [47] H = − N X j =1 (cid:16) w ( a † j a j +1 + H.c. ) + µ ( n j −
12 ) (cid:17) + ∆2 N X j =1 N − X ‘ =1 d − α‘ ( a j a j + ‘ + H.c. ) . (1)Here, a † j ( a j ) is the fermioninc creation (annihilation) op-erator on site j , n j = a † j a j , w is the tunnelling rate, µ is the chemical potential, and ∆ denotes the strength ofthe p -wave pairing. The summation index ‘ varies foreach site in the lattice with weightage d α‘ . For a closedchain, anti-periodic boundary conditions, a j + N = − a j makes the effect of long-range paring term intact, withthe choice of d ‘ = ‘ ( d ‘ = N − ‘ ) if ‘ ≤ N/ ‘ ≥ N/ d ‘ = ‘ and wedrop terms containing a j>N .A proposal to realize the Hamiltonian of long-rangepairing Kitaev chain in the experiment has been put for-ward recently [57]. For α → ∞ , one recovers the standardshort-range Kitaev model with pairing range limited to 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●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● - - - - μ ( c ) α = � - � �� - � - � ����� μ / ( � � ) α � �� ����� ( � ) FIG. 1: (Color online) The energy spectrum of the long-rangepairing Kitaev chain with open boundary conditions from anexact diagonalization of the Hamiltonian Eq. (1), with respectto varying chemical potential. Here the system size is N =500, ∆ = 2, and w = 0 .
5. The different panels are for differentvalue of α , namely (a) α = 0 .
5, (b) α = 1 .
2, and (c) α = 1 . µ = ± < α ≤ FIG. 2: (Color online) (a-c) Return probability, L ( t ), of the long-range Kitaev chain with open boundary condition forcritical quenching from µ I = 0 . µ F = 1. (d-f) The overlap of the zero-energy wave function with the wave functionsof the final Hamiltonian versus m . Here m denotes the indexing of the wave function where wavefunction with negativeenergy eigenvalues are indexed by negative m and those with positive energy eigenvalues labeled by positive m . (g)-(i) Theoscillation frequencies, defined as the difference between energy of the initial state with the energies of the final Hamiltonian i.e., ω m = E n ( µ I ) − E m ( µ F ), with respect to m , for different values of α . (h)-(j) Behavior of zero-energy wave-functio, ψ edge ( j ) | ,with respect to lattice sites j at initial time t = 0 and at various time t after the evolution due to quenching. The depiction isfor the critical quenching. The different panel corresponds to different α . The system size here is N = 500, hopping amplitude w = 0 .
5, and pairing strength ∆ = 2. nearest-neighbor. Therefore, the ground state phase dia-gram of the Hamiltonian is the same as the Kitaev (Isingspin) model in the limit of α → ∞ . The spectrum of theclosed chain depends on the interaction strength α . Inthe thermodynamic limit, the energy gap closes at topo-logical phase transition points µ c = ± α >
1. For α <
1, in the thermodynamic limit, the bulk degeneracyat the non-trivial critical point µ c = − µ c = 1 remainsunaltered. The spectrum of the model has been plottedin Fig. 1(a)-(c), for open boundary condition, for differ-ent values of α , and the Hamiltonian parameters set as ∆ = 2, w = 1 /
2, and N = 200. As seen, the system ex-hibits an edge state at non-zero energy for α = 0 .
5, and1 .
2, separated from bulk in the region µ <
1. For α = 1 . − < µ ≤ i, ii, iii, and iv depending upon the value of α and µ . The redlines are gap closing lines where the bulk gap closes inthe thermodynamic limit. It is worthwhile to mentionthat, in finite size system, the bulk gap at µ = 1 is verysmall (closes even for N=40) for any values of α , whilealong the line µ = − α (cid:29) µ = − III. SUDDEN QUENCHING IN THELONG-RANGE KITAEV CHAIN
In this section, we elaborate the scheme to study thedynamics of LRPK chain by quenching the chemical po-tential µ . We consider sudden quenching, where the ini-tial state at time t = 0 of a pre-quench Hamiltonian, H I ( µ I ), with chemical potential µ I , is evolved under apost quench Hamiltonian, H F ( µ F ), with chemical poten-tial µ F . Such global quenching can be realized in currentexperimental setups [59]. An interesting quantity to lookis the return probability [20], the overlap between the ini-tial state and time evolved state under the post-quenchedHamiltonians: G ( t ) = h Ψ( µ I ) | e i H I t e − i H F t | Ψ( µ I ) i , (2)where | Ψ( µ I ) i is the initial state of the system. Thereturn probability is known as a Loschmidt echo (LE)defined as modulus of the Loschmidt amplitude L ( t ) = |G ( t ) | , (3)which is a benchmark of the partial or full reappearanceof the original state as a function of time (return prob-ability). Additionally, the rate function of the returnprobability, R ( t ), is defined as R ( t ) = − N Log[ L ( t )] . (4)If the eigenstate | ψ n ( µ I ) i of the pre-quenched Hamilto-nian H ( µ I ), with eigenvalues E n ( µ I ) considered as anthe initial state | Ψ( µ I ) i = | ψ n ( µ I ) i , then evolution ofthe initial state | ψ n ( µ I ) i , under the post-quench Hamil-tonian H ( µ F ), is given by | ψ n ( µ I , t ) i = N X m = − N e iω m t | ψ m ( µ F ) ih ψ m ( µ F ) | ψ n ( µ I ) i , where | ψ m ( µ F ) i is the eigenstate of the post-quenchedHamiltonian with corresponding eigenvalue E m ( µ F ), and ω m = E n ( µ I ) − E m ( µ F ). Then, the Loschmidt echo am-plitude of the initial state | ψ ‘ ( µ I ) i is given by G ( t ) = N X m = − N e iω m t |h ψ m ( µ F ) | ψ n ( µ I ) i| . (5)Due to the particle-hole symmetry, the number of eigen-states is 2 N . We label the eigenstates with negative en-ergy by m < m >
0. The Hamiltonian in Eq. (1) can be solved exactly andtime dependent quantities defined above can be calcu-lated. First, Eq. (1) can be written in terms of quadraticspinless fermions [60] H = X i,j a † i A ij a j + 12 ( a † i B ij a † j + h.c. ) , (6)where A and B are N × N symmetric and antisymmetricmatrices, respectively. By defining the operators Ψ † =( C , C † ) = ( a , . . . , a N , a † , . . . , a † N ) the Hamiltonian canfurther be written in a simplified form as H = 12 Ψ † H Ψ; H = " −A −BB A . (7)The form of the N × N matrix A and B is obtained fromEq. (1). The Hamiltonian H can thus be diagonalizedusing the unitary operator U , given by U = " g hh T g . (8)The diagonalized Hamiltonian is given by H = X k Λ k ( η † k η k −
12 ) , (9)where Λ is the diagonal matrix consists of eigenvaluesof H , and ( η, η † ) T = U ( C , C † ) T , wehere T is the matrixtranspose operation. The elements of the unitary matrixare given by solving the eigenvalue equations:( A − B )( A + B )Φ k = Λ k Φ k , ( A + B )( A − B ) χ k = Λ k χ k . (10)We solve these equations numerically for finite-size long-range Kitaev chain with open boundary condition. Itis then seen that the matrix elements of g and h areobtained as g ki = g k ( i ) = 12 (cid:16) Φ k ( i ) + χ k ( i ) (cid:17) ,h ki = h k ( i ) = 12 (cid:16) Φ k ( i ) − χ k ( i ) (cid:17) . (11)For the Hamiltonian in Eq.( 1), G ( t ) can be written as [8] G ( t ) = Det[ I − M + M e − i H F t ] . (12)Here I is the identity matrix and we have M = " hC † Ci hC † C † ihC Ci hC C † i . (13)The 2 N × N matrix M , defined in this way correspondsto the correlation matrix of the initial state | ψ ‘ ( µ I ) i .More precisely, hC † Ci = h T h and hC † C † i = h T g . It isto be noted that the conservation of particle number im-plies hC † Ci + hCC † i = I . 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t L ( t ) α = μ I = μ F = ( a ) ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● t α = μ I = μ F = ( b ) ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● t L ( t ) α = μ I = μ F = ( c ) ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● t α = μ I = μ F = ( d ) FIG. 3: (Color online) (a-d) Return probability, L ( t ), of thezero-energy mode in the long range Kitaev chain with openboundary condition. (e-h) describe the behavior of the overlapfunction with respect to the energies of the final Hamiltonian,where m is the index of the energy levels. Panels (a, c), (e, g)and (i, k) are representing the quenching within the samephase, whereas (b, d), (f, h), and (j, l) are for the processacross the critical phases. (i-l) The oscillation frequencies (thevariation in the difference of energies of the final Hamiltonianand the energy of the initial state) as a function of m . In allthe panels, the system size is N = 500 and other Hamiltonianparameters are same as in Fig. 2. IV. QUANTUM REVIVALS IN THELOSCHMIDT ECHO OF THE EDGE STATE
Localized edge states are a distinctive feature of many-body quantum systems with topological phases [61]. In the Kitaev chains, such localized edge modes are identi-fied as Majorana modes [62]. The robustness of Majoranamodes under certain perturbation of system parametersis an interesting topic to investigate. We here analyzethe dynamics of edge (zero energy) states of the long-range pairing Kitaev chain with varying pairing interac-tion exponent. Two types of quenching are considered:(i) critical quench, i.e., quenching to the critical pointand (ii) non-critical quench, i.e., quenching away fromthe critical point. The role of disorder on the stability ofedge states under quench dynamics to the critical pointis also presented. We should remind the fact that thesystem possesses distinct topological features depends onthe values of α (See Fig. 1) [43]. A. Non-disordered Chain
The return probabilities, L ( t ), of zero energy eigen-states of the pre-quench Hamiltonian, localized at theedges of the chain, are shown in Figs. 2(a)-(c) for thequenching the system from µ I = 0 . µ F = 1. The return probabilities L ( t ) exhibit periodicrevivals with respect to time with decreasing amplitudesof the subsequent revivals. They clearly show that therevival time of the edge states depends on the power-lawexponent of LRP interaction, and the amplitude of therevivals enhances with an increase of α . Furthermore, asexpected, Eq. (5), the return probability of the systemto the initial state depends upon the overlaps of initialstate with the eigenstates of the post-quenched Hamil-tonian, A m = |h ψ m ( µ F ) | ψ n ( µ I ) i| . It also depends onthe difference between the initial state’s energy of thepre-quenched Hamiltonian and eigenstates’ energy of thepost-quenched Hamiltonian ω m , which we termed oscil-lation frequencies henceforth.From a mathematical point of view, due to the oscil-latory behavior of G ( t ) all terms contribute destructivelyin the Loschmidt amplitude to cancel each other whichresults randomly oscillating LE. The only terms that cansurvive in the Loschmidt amplitude to contribute signifi-cantly in the return probability L ( t ), are those with largeoverlaps function (oscillation amplitude), A m . In addi-tion, since we are interested in the periodic revivals inthe LE, according to the discrete Fourier transform, the G ( t ) reveals periodic behaviour if the oscillation frequen-cies change linearly with respect to m , over the range[ − m cut , m cut ] where the overlap functions are non-zero.In other words, ω m ≈ lmω where l ∈ (0 , A m , are plotted in Fig. 2(d)-(f)with respect to m for different values of α . As seen, theoverlaps are peaked around the edge states m = ±
1. Infact, the significant contribution to the overlaps achievesby the energy states of the bulk around the zero energy(energy of the initial state). Since overlaps function canbe interpreted as measuring the probabilities of parti-cle excitations, the energy states around the zero energypoint (bulk gap closing point) are indeed expected to re-sult much larger overlaps. So, the energy states nearbythe zero energy point contribute sizably in Eq. (5). As α increases the amplitude of overlaps curve enhances, whichresults in large revival amplitude [See Fig. 2(b) and (c)].It means that reappearance probability of short rangesystem in its initial state (edge state) is more than thatof the long range case.The oscillation frequencies, ω m , are plotted inFig. 2(g)-(i) with respect to m for different values of α .As seen, ω m changes linearly with m around the zeroenergy states (nonzero overlaps) and the linearity getsperfect as α increases. To better understand the physicsbehind the presence/absence of the revivals in the LE,we probe the spectrum of the model. The bulk energygap is very tiny at µ = 1 for all values of α , which resultsnotable overlaps around the zero bulk energy gap. Whilethe results exhibit small overlaps for µ F = − µ = − µ F = 1,separating two topological phases, the edge statesoscillate between two ends of the chain and each edgecross each other in a solitonic-like behavior. The timeperiod of this oscillation is proportional to the size ofthe chain. In addition, the amplitude of edge statesdecoherences with time, due to the interference of bulkstates of higher energy with the edge states as theyoscillate back and forth between the two ends. Sincethe information propagates through the system via thewave packets of quasiparticles, the bulk gap closingpoint can be interpreted as the reference point whereall quasiparticles are synchronized and the revival timecan be interpreted as the time instances at which allquasiparticles are synchronized with the bulk energy gapclosing mode [12, 63, 64].In Fig. 3(a)-(d), we have plotted the return probabil-ities of the edge state for quenching to the non-criticalpoint for various cases of initial and final parameters. Inparticular, we consider two cases of non-critical quench-ing: (i) quench in the same phase, and (ii) quench acrossthe critical point. The results show that for both typesof non-critical quench the L ( t ) decays rapidly with timeand remains small with noisy and small amplitude oscil-lation. This behavior can be understood from the overlapfunctions and oscillation frequencies. From Figs. 3(e)-(h)one can clearly see that the overlaps are very small awayfrom the zero energy and the peak at zero energy has asingle point for a quench within the same phase. Further,the oscillation frequencies are not linear with respect to m in Figs. 3(i)-(j) while it is linear in Figs. 3(k)-(l).As discussed, the LE does not show revival for the non-critical quench due to the small overlaps and nonlinear 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W = ■ W = ◆ W = t < L ( t ) > ( a ) α = 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t ( b ) α = ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆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t ( c ) α = FIG. 4: (Color online) Effect of disorder on the return proba-bility of zero-energy modes. The initial wave function is zero-energy edge mode for a non-disordered system. The disorderis introduced in the post quench Hamiltonian. The differentcurves in the panel are for two disorder strengths W = 0 . , . W = 0)is also shown by dashed lines. The ordinate denotes the dis-order average of the return probability, L ( t ), over 50 disordersamplings of µ j = µ + V j with V j ∈ [ − W, W ]. The parametersset as N = 200, µ I = 0 .
9, and µ F = 1. The other parametersof the Hamiltonian is same as in Fig. 2. oscillation frequencies. It is remarkable to mention that,the quasi-revivals in the LE in Figs. 3(c)-(d) arises fromthe linear behavior of the oscillation frequencies aroundthe zero energy. Moreover, the single point peak in theoverlaps of the quench within the same phase results inthe larger mean value, than that of quench across thecritical point. B. Disordered Chain
The quench disorder is a crucial factor responsible foraffecting the behavior of physical quantities in many-body systems as compared to the clean case [65]. There-fore, the robustness of given physical quantities, in ourcase LE, can be established by incorporating the effect ofdisorder in the Hamiltonian [9]. We now consider randomchemical potential at all the sites of the form µ j = µ + V j in Eq. (1). Here V j are random numbers taken from auniform distribution with widths W , i.e., V j ∈ [ − W, W ].Thus W here denotes the strength of the disorder. InFig. 4, the effect of disorder on the return probability isanalyzed for different α , for a quench to the critical point µ F = 1. For each time t , a finite number of disorder-sampling is drawn randomly and quench disorder aver-aging is performed over these finite samples to calculatethe average time dependent probability h L ( t ) i . It can beseen that the revival amplitudes in L ( t ), suppressed dueto disorders. For small disorder, W = 0 .
1, there appearsonly one revival in the time spam of t ∈ [0 , FIG. 5: (Color online) (a-d) showthe overlap of the zero energy wave-function with respect to m , for thedifferent strength of disorder whichis represented by W . The insetshows the behavior of the energydifference (for better visualization,the vertical axis were shifted by ± . three revivals while the presence of disorder leads to sup-pression of one revival for α = 1 .
8, as shown in Fig. 4(c).For α = 0 .
5, there appear no revival due to disorder,while in case of strong disorder, W = 0 .
5, in Fig. 4(b-c),the revivals in h L ( t ) i , washed away. Note that the time ofrevival does not get changed in the presence of disorderin the return probability. Interestingly, the mean valueof return probability is greater in the case W = 0 .
5, ascompared to the small disorder strength W = 0 .
1. It isto be noticed that, the amplitude of revival for α = 1 . α = 1 .
2. As a consequence, in thepresence of disorder, the edge state revivals in the LE ofshort range interaction case are more robust than that oflong range interaction model.In Fig. 5 the overlaps function and oscillation frequen-cies have been plotted versus m . As seen, the height ofoverlaps function is increased as disorder increases whichresult in higher return probability’s mean value for strongdisordered cases. On the other hand, the oscillation fre-quencies deviate from the linear behavior as the disordergets stronger. The nonlinear behavior of the oscillationfrequencies depresses the periodic behavior of the LE inthe presence of the disorders. V. QUANTUM REVIVALS IN THELOSCHMIDT ECHO OF THE GROUND STATE
In this section, we investigate dynamics of the groundstate in both clean and disordered LRPK chain after asudden quench. We consider a finite size system withopen boundary conditions and quench the system, pre-pared in its ground state for given µ I , to the critical pointof the post-quenched Hamiltonian, i.e., µ F = 1. Our aim,in this section, is to explore the dynamics of Loschmidtecho in the different topological regions by consideringthe ground state critical quenching. A. Non-disordered Chain
We show the properties of Loschmidt echo for four val-ues of α belonging to the different ranges in Fig. 6. TheLoschmidt echo decays rapidly with time for a short pe-riod of time and reaches a stationary value. This signa-ture becomes prominent with increasing the system size, while as expected, for small size system there are fluc-tuations in the LE around the stationary value. Thisfeature can be seen from Figs. 6(a)-(d). After a lapse ofcertain time t , the Loschmidt echo revives and reaches toa maximum value. The time t when the LE reaches tothe maximum is called the first revival time t R as it is thefirst instance during the evolution when the LE reachesto a value close to the initial value at t = 0. The rapiddecay of LE in the short time scale and periodic revivalsare also shown in Appendix B for few cases of α but forhigher system size, N = 500. In the present section, how-ever, the results are for system size N = 40 , ,
80, as itmakes analysis accessible through plots. From Figs. 6(a)-(d), it is clear that the revivals of the LE depend on thesystem size. In Fig. 6(e)-(h), we plot the first revival time t R with respect to the system size N . The first revivaltime of Loschmidt echo in many-body quantum systemcan be approximately given by t R ≈ N/v maxg (see Refs.[9, 10] for the details), where v maxg is the maximum groupvelocity. In our case, the group velocity v g is a functionof the power-law decaying pairing interaction given byexponent α . A numerical calculation of the derivative ofenergy spectrum E k with respect to k provides a plot ofthe group velocity as a function k , as shown in Figs. 6(i)-(l). Once we obtain the group velocity, v αg at the criticalpoint, the revival time can be approximated using theabove formula by replacing the group velocity for given α . The green regular line in Figs. 6(e)-(h) is the ap-proximation of the revival time using maximum groupvelocity, denoted as Max v g ( k ) in the plots. It is clearFigs. 6(e)-(h) that the data of the revival time obtainedby exact calculation do not correspond to the predictedrevival time with Max v g ( k ). Next, we consider the groupvelocity at the gap closing mode k = π , denoted as v g ( π )in the plots. The revival time with this velocity is wellapproximated as shown in blue regular line in Figs. 6(e)-(h). Surprisingly, both the curves of analytical revivaltime merged into one for α (cid:29)
1. By fixing the systemsize, and varying the interaction strength α , we can findthe dependence of t R on the interaction strength α . InFig. 7, we plot the normalized revival time, t R /N , withrespect to α . The plots show collapse of data for differ-ent system sizes N = 40 (regular purple line), N = 60(dashed red line), and N = 80 (dashed double-dashedgreen line). For better analyzing the behavior of revivaltime with respect to α , we divide the effect of alpha intothree different ranges (I) α ∈ (0 , α ∈ (1 , . α ∈ [1 . , t R decays ex- � = �� � = �� � = �� �� � ( � ) [ � � � � �� �� � ] α = ��� ( � ) � = �� � = �� � = �� �� � ( � ) [ � � � � �� �� � ] α = ��� ( � ) � = �� � = �� � = �� �� � ( � ) [ � � � � �� �� � ] α = ��� ( � ) � = �� � = �� � = �� � ��� ��� ����� � � ( � ) [ � � � � �� �� � ] α = �� ( � ) ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● Numerical analysis ● Max v g ( k ) ● v g ( π ) t R α = ( e ) ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● Numerical analysis ● Max v g ( k ) ● v g ( π ) t R α = ( f ) ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● Numerical analysis ● Max v g ( k ) ● v g ( π ) t R α = ( g ) ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● Numerical analysis ● Max v g ( k ) ● v g ( π )
10 250 50010300600 N t R α = ( h ) �� - �� - � ∂ � � ∂ � α = ��� ( � ) �� - �� - � ∂ � � ∂ � α = ��� ( � ) �� - �� - � ∂ � � ∂ � α = ��� ( � ) � � - ��� - �� - � � ∂ � � ∂ � α = �� ( � ) FIG. 6: (Color online) (a-d): The evolution of the Loschmidt echo, L ( t ), as a function of time, t , for different system size dueto the global quenching in the long-range Kitaev chain with open boundary condition (OBC). The red, blue, and green linesare for N = 40 ,
60, and N = 80, respectively. (e-h) The plot of the first revival time t R vs system size for the different strengthof pairing ranges (different α values). The purple filled circles denote data of the first revival time obtained from (a-d), and thefitted data are shown by solid lines, in which the red and green curves are obtained by fitting them with equation t R = N/v g using the group velocities ( v g ) at the momentum corresponds to the gap closing mode k = π and where it takes the maximumvalue, respectively. Notice that, as shown in (h), for the short-range pairing ( α (cid:29) E k with respect to k for various choices of α . Here, we set the Hamiltonian parameters as ∆ = 2, w = 0 . µ I = 1 . µ F = 1. ponentially in the range α ∈ (0 ,
1) and α ∈ (1 , .
5] (leftinset Fig. 7). The rate of decay is faster in the region I ascompared to region II. The decay of t R is polynomial inthe region III as shown in right inset, Fig. 7. For α → ∞ ,the t R approaches to the value of the short-range Kitaevchain. In particular the decay of t R follows the scalingfunctions: t R ∼ e − . α in region I, t R ∼ e − . α in regionII, and t R ∼ α − . in region III.We have also performed quenching to the non-trivialcritical point µ c = − µ c = − α > α . To understandthe origin of different behaviors of the LE at both the critical points, µ = ±
1, let us recall Eq. (5).As discussed, the energy states of the post-quenchedHamiltonian which have energy quite close to the groundstate’s energy of the pre-quenched Hamiltonian is indeedexpected to result in considerable overlaps. Namely, thestates with energy very close to the energy of the ini-tial state can satisfy both conditions, large overlaps andlinear variation in oscillation frequencies simultaneously.Consequently, the LE is expected to exhibit periodic re-vivals at time instances over which all states with energyclose the initial state’s energy contribute constructivelyin Eq. (5).As seen in Figs. 8(a)-(c), the overlaps are delta func-tion type at the energy point where is close to the energy ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● � � ��� � � � � ���������� α � � / � � �� ��� ● � = �� ● � = �� ● � = �� FIG. 7: (Color online) The revival time t R /N with respectto interaction strength α for three considerable system sizes N = 40 , , and N = 80. Here ∆ = 2, w = 0 . µ I = 1 . µ F = 1, and the open boundary condition is assumed inthe calculation. The different limiting regions are labeld byI for α ∈ (0 , α ∈ (1 , . α ∈ [1 . , ∞ ],respectively [see Fig. 1(d)]. Note: for α → ∞ , t R approachesto the value of the short-range limit. The inset (a) representsthat the first revival time t R decays exponentially in the regionI & II, and the inset (b) shows that the decay in the regionIII is polynomial.FIG. 8: (Color online) Overlap of the initial ground statewith the wave-function of the final Hamiltonian. Each suchwave function is indexed by m . The different panels are fordifferent values of α , ( a ) α = 0 .
5, ( b ) α = 1 .
2, and ( c ) α = 1 . E m ( µ f ) − E ( µ I ),where E is the ground state of the initial Hamiltonian. Heresystem size is N = 40, and the other parameters are same asin Fig. 6. of the initial state for all values of α . While, the resultsexhibit very small overlaps for a quench to the non-trivialcritical point µ F = −
1, except for very large values of α .This result indicates that the appearance of revivals inthe finite size system is controlled by the energy states ofpost-quenched Hamiltonian which have a strong resem-blance to the initial state. � = � � = ��� � = ���� = ��� � = ��� �� < � ( � ) > [ � � � � �� � � � ] ( � ) α = ��� � = � � = ��� � = ���� = ��� � = ��� �� < � ( � ) > [ � � � � �� � � � ] ( � ) α = ��� � = � � = ��� � = ���� = ��� � = ��� � �� ����� � < � ( � ) > [ � � � � �� � � � ] ( � ) α = ��� FIG. 9: (Color online) Variation of the Loschmidt echo, L ( t ),with respect to time for different disorder strengths, W , for(a) α = 0 .
5, (b) α = 1 .
2, and (c) α = 1 .
8. The disorder ispresent in the chemical potential, µ j = µ + V j , with V j ∈ [ − W, W ]. The system size is N = 40, and we consider openboundary condition, and the quenching parameters are sameas in Fig. 6. The ordinates denotes the average Loschmidtecho over different disordered realizations. B. Disordered Chain
The behavior of the LE is shown in Fig. 9 for LRPKchain with open boundary condition and system size N = 40 for different α . We consider disorder chemicalpotential µ j , at each site j , of the Hamiltonian Eq. (1) asdescribed in subsection IV B. The Loschmidt echo here iscalculated over 50 different disorder realizations for eachtime. Finally, quench average LE is presented in the plotswhere the averaging is denoted as h L ( t ) i . In all the fig-ures, it is clear that the LE decreases by increasing thestrength of disorder which means the probability of reap-pearance of the system in the initial state decreases byincreasing the strengths of disorder. Although, the firstrevival time t R in the presence of the disorder is the sameas that of the non-disordered chain, the disorder affectsthe periodicity of revivals for disorder strength W ≥ . α showsthat the first revival in the LE suppressed for disorderstrength W ≥ .
3, Fig. 9(a). While for the same dis-order strength the revival survives for α = 1 . . α (Fig. 8). As seen,the disorder disrupts the energy levels and overlaps am-plitude around the ground state energy decreases sizablyby increasing the strength of disorder. Suppression ofrevival in the presence of disorder can be attributed tothe reduction of overlaps between initial state and eigen-states of post-quenched Hamiltonian. Moreover, sincethe overlaps of a few states are nonzero, a few oscillationfrequencies contribute to the LE. Table I displays the os-cillation frequencies corresponds to the non-zero overlapsin Fig. 8(a)-(c) for different values of disorders. TABLE I: The oscillation frequencies corresponds to verylarge overlaps in Fig. 8(a) for different values of disorders. W . . ω − . − . − . − . ω − . − . − . − . As it is clear, for non-disorder case ω ≈ ω whilein the presence of disorder oscillation frequencies devi-ates from linearity ω m = ( m + 1) ω . In summary, theprobability of resemblance of lower energy states of thepost-quenched Hamiltonian to the initial state decreasesin the presence of disorder. VI. DYNAMICAL PHASE TRANSITION INDISORDERED LONG-RANGE PAIRING KITAEVCHAIN
Dynamical phase transition is referred to the situationwhen the return probability, Eq. (4), exhibit singularityat some time t . This analogy stem from the equilib-rium partition function in complex temperature plane,first pointed out by Yang and Lee [66, 67]. The equi-librium transition point corresponds to the crossing ofYang-Lee zeros to the real temperature axis of the com-plex partition function [66–68]. Similarly, the complextime, z = t + iτ , provides an analogous picture wherethe zeros of G ( z ) cross the real time axis at time t = t c referred as the critical time [20]. It is claimed that whenthis crossing happens, the return probability R ( t ) showsa singularity at that time t .The presence of local disorder on the dynamical phasetransition has been considered in a very few studies [69–72]. In this paper, we consider the situation, when thechemical potential of the pre-quench Hamiltonian is fixedat µ I and the chemical potential of the final Hamiltonianis chosen randomly from a uniform distribution aroundfixed µ F . The choice can be managed numerically byconsidering a set of µ F , as { µ F } = h µ F i + [ − W, W ],where W is the width of the disorder and h µ F i is the t / t c R ( t ) [ a r b . u n i t s ] Δ = α = ( a ) W = = = = = = = = t / t c R ( t ) [ a r b . u n i t s ] Δ = α = ( b ) W = = = = = = = = t / t c R ( t ) [ a r b . u n i t s ] Δ = α = ( c ) W = = = = = = t / t c R ( t ) [ a r b . u n i t s ] Δ = α = ( d ) W = = = = = = FIG. 10: (Color online) The rate of return probability, R ( t ), oflong-range Kitaev chain for various disorder strengths and twochoices of alpha: (a and c) α = 0 . α = 1 .
3. Thetime is rescaled by t c which is the first instances singularityappear in R ( t ). The parameters set as N = 240, µ I = 0 . µ F = 1 .
3. The panel (a and b) are for ∆ = 1 .
0, andpanel (c and d) are for ∆ = 2 .
0. The plot with the individualdisorder is shifted by a constant value along the y -directionfor better visibility. mean value of the final quenching which is same as the µ F of the clean system, i.e., with W = 0. This setting allowsus to investigate the effect of disorder on the dynamicalphase transition of the clean system with final chemicalpotential µ F . It is akin to the effect of disorder on theequilibrium phase transitions in quantum systems [73].The impact of disorder is not a very well understoodconcept in the nonequilibrium phase transition. In thenext few paragraphs, we will investigate the impact ofthe disorder on the nonequilibrium phase transition oflong-range pairing Kitaev wire for two different values ofthe power-law decaying pairing exponent, α .In Fig. 10(a), we show the return probability for vari-ous disorder strengths, W , for quenching to gap closingpoint α = 0 . .
0. In clean long-range Kitaevchain, the return probability displaying singular behav-ior at times t = (2 n + 1) t c , where n = 0 , , , . . . [21].1For disorder system, the chemical potential for each lo-cal sites of a total system size of N = 240, are drawnfrom a uniform distribution as { µ F } = 1 . − W, W ]with initial parameter µ I = 0 .
7. Thus the quenching µ I → µ F is such that it crosses the gap closing point.For low disorder, the critical time remains the same asthe clean one. The significant impact of the disorder onthe dynamical phase transitions starts visible at higherdisorder strengths W > .
4, where the time at which R ( t )diverges shifts to lower time. The curves in Fig. 10(a) areshifted by a constant value along the ordinate for clearvisibility of the pattern at individual disorder. Withoutthis shift, all the curves get overlapped at the first criti-cal time. We further investigate the effect of disorder byconsidering the disorder strengths W (cid:29) t c starts disappearing with highdisorder strengths. It is also be noted that here we con-sider single-instant of disorder realization with maximumwidth of W . Taking disorder averaging does not changethe observed behavior significantly and the qualitativebehavior of the plots remains unaffected with disorderedaveraging. In Fig. 10(b), we consider the value of α = 1 . t = (2 n + 1) t c ,where n = 0 , , , . . . , marked by the singular behaviorof return probability R ( t ). Focusing on the first criticaltime occurs at n = 0, it can be seen from Fig. 10(b) thatthe singularity in R ( t ) goes away and the transition be-comes smooth as the disorder strength W is increased.Smoothening of the singularity also develops at later crit-ical times where the dynamical phase transition is presentwith zero or small disorder strength as can be seen fromFig. 10(b). To check the consistency of the effect of disor-der, we also consider ∆ = 2 . R ( t ) washed away. It is to be mentionedhere that the above claim is also valid for larger systemsize. We presented the analysis for N = 500 in AppendixC. VII. CONCLUSION
We report the dynamics of return probability by con-sidering two choices of the initial state of evolution: (i)localized edge state (ii) ground state of the clean and dis-order long-range pairing Kitaev chain. The effect of dis-order in the dynamics of localized edge state shows thatthe oscillations in the survival probabilities are presentfor large α while they are absent in the small α . We alsopresent the survival dynamics of localized edge modes fordifferent quenching. It is found that quenching within thesame phase conceal the survival of localized edge statewhile the same get enhanced for quenching across thegap closing point. A possible explanation of the observedphenomenon is also provided. The dynamics of quan-tum revivals in the return probability, from the ground state, is periodic for a quench to the gap closing pointand the periodic structure become more transparent forthis quenching. We found that the prediction of thefirst revival time is best approximated using the ansatz t R ≈ N/v g , where v g is taken at the gap closing mode.A naive approximation of v g with maximum group veloc-ity, on the other hand, fails to predict the correct revivaltime for small α (long-range). Thus, we provide the rel-evant time scale present in the long-range Kitaev chainwhich captures the correct time of the first revival of LE.Moreover, for quenching to the critical point where gapdoes not close in a finite chain, there exist no revivals inthe LE. We further investigate the effect of disorder onthe return probability and find that the time of the firstrevival is stable even in the presence of small disorderstrength in the system. The periodic structure of the re-turn probability, on the other hand, are affected by thepresence of disorder. Finally, we consider the dynamicalphase transition in the model and the effect of disorderfor two different cases of pairing effect. The singularityin rate function of return probability survives in smalldisorder strengths while the curve becomes smother forthe large disorder. We believe that our results shed fur-ther insight into the dynamics of clean and disorderedlong-range pairing Kitaev wire. The results presentedhere can also be simulated in experiments with the helpof the present state of the art in experimental setups incold-atoms and ion-traps. Acknowledgments
U.M. and A.A. are grateful to Peter Fulde, andJaeyoon Cho for fruitful discussions. The authors’thanks Henrik Johansson, Tilen Cadez and AbolfazlBayat for useful comments. This work was supportedthrough National Research Foundation of Korea (NRF)funded by the Ministry of Science of Korea (Grants No.2017R1D1A1B03033465, and No. 2019R1H1A2039733),and by the National Foundation of Korea (NRF) fundedby the Ministry of Science, ICT and Future Planning(Grant No. 2016K1A4A4A01922028).
Appendix A: Behvaior of energy spectrum withpairing exponent, α In the main text, we have shown the spectrum of thelong-range Kitaev chain for three different pairing expo-nents, α = 0 . , . .
8, using the exat diagonalizationof finite size system of linear length N = 500. The spec-trum shows that the gap in the energy band dependson the onsite energy µ , pairing exponent α , and systemsize N . The gap at µ = 1 is closed at µ = 1 but it isgapped at µ = −
1. This feature is also true for smallsystem size. In Fig. 11, we plot the spectrum for N = 40for α = 0 . , . , . , , .
2, and 10. Here also the gap at µ = − µ = 1.2 FIG. 11: (Color online) Energy spectrum of the long-range pairing Kitaev chain as a function of onsite energy µ for differentpairing exponents α : ( a ) = 0 .
5, ( b ) = 1 .
2, ( c ) = 1 .
8, ( d ) = 2 .
0, ( e ) = 2 .
2, and ( f ) = 10. The system size is N = 40. α = ��� α = ��� α = ��� α = �� � ��� ������ � � ( � ) [ � � � � �� � � � ] FIG. 12: (Color online) Revivals of Loschmidt echo as in Fig. 6but for system size N = 500. The gap closing point is important to observe the revivalsof Loschmidt echo, as discussed in the main text.
Appendix B: Revivals of Loschmidt echo for largersystem size
It is important to understand the robustness ofLoschmidt echo for higher system size in order to makea definite conclusion. For this, we consider N = 500and investigate the dynamics of L ( t ) for quenching frominitial ground state of the system. The results of thisperusal is reported in Fig. 12 for different values of α .The other parameters are same as in Fig. 6. We see thateven for higher system size, there are equally spaced re-vivals in the Loschmidt echo with decreasing amplitudesof successive revivals. t / t c R ( t ) [ a r b . u n i t s ] Δ = α = ( c ) W = = = = t / t c R ( t ) [ a r b . u n i t s ] Δ = α = ( d ) W = = = = t / t c R ( t ) [ a r b . u n i t s ] Δ = α = ( a ) W = = = = t / t c R ( t ) [ a r b . u n i t s ] Δ = α = ( b ) W = = = = FIG. 13: (Color online) The rate function of return probabil-ity as in Fig. 10, but for system size N = 500. The quenchingparameters are same as in Fig. 10. Appendix C: Dynamical phase transitions for largersystem size