Dualité complexe entre sous-variétés réelles dans \mathbb{P}^2(\mathbb{C})
aa r X i v : . [ m a t h . G T ] J a n DUALITÉ COMPLEXE ENTRE SOUS-VARIÉTÉS RÉELLESDANS P ( C ) OLIVIER THOM
Résumé.
On introduit une notion de sous-variété réelle semi-legendrienne dansune variété de contact complexe de dimension 3 et on prouve que les sous-variétésréelles de C ont un relevé unique dans C . On en déduit alors une dualité com-plexe entre les sous-variétés réelles de P ( C ) . Abstract.
We introduce a notion of semi-legendrian real submanifold in acomplex contact manifold of dimension 3 and prove that real submanifolds of C can be uniquely lifted to C . Then we deduce a complex duality between realsubmanifolds of P ( C ) . Introduction
L’étude des germes de surfaces réelles dans C modulo biholomorphisme se révèleassez rapide : dans [1, Chapitre I, I], E. Cartan montre qu’une surface analytiqueréelle est soit une courbe complexe, soit biholomorphe au voisinage d’un pointgénérique à la surface R ⊂ C . Cependant on ne saurait se satisfaire de ce résultatqui ne donne que peu d’informations sur le comportement d’une surface réelle vis-à-vis des sous-variétés holomorphes de l’espace ambient, même d’un point de vuelocal.Dans cet état d’esprit, on se rappelle l’article [4] de R. Thom, où l’auteur posele problème suivant : Problème 1.1.
Soit V une variété réelle de dimension n compacte plongée dans P n + k ( C ) . Supposons qu’il existe un ouvert dense U dans la grassmannienne desk-plans complexes de P n + k ( C ) tel que tout k-plan de U intersecte V en un nombrefixe de points. Cette propriété implique-t-elle que V soit une variété algébriquecomplexe ? Il enchaine en montrant qu’il suffit de considérer le cas où V est une surfaceréelle S dans P ( C ) , puis donne une idée de preuve malheureusement incomplète.Quelques années plus tard, W.F. Pohl publia un article prouvant ce résultat demanière plus satisfaisante (voir [3]). En étudiant un peu plus le sujet on s’aperçoit Date : 20 janvier 2021.L’auteur aimerait remercier l’IMPA et PNPD-CAPES pour le support qu’ils lui ont fourni. qu’on peut en fait le voir comme une conséquence d’une dualité entre sous-variétésréelles de P ( C ) : à chaque surface réelle S on peut associer l’ensemble dual ˇ S ⊂ ˇ P ( C ) des droites complexes qui intersectent S de manière non transverse. Cetensemble est en général une hypersurface réelle, et le problème 1.1 peut être vucomme portant sur cette hypersurface.Cette construction n’est pas sans rappeler la dualité entre courbes dans P .Cette dernière se comporte très bien au sens où le bidual d’une courbe C est engénéral C elle-même, puisque l’enveloppe de la famille des droites tangentes à C est égale à C . Dans le cas présent, il n’y a pas de construction inverse évidente,et il n’est pas trivial a priori que deux surfaces ne puissent pas donner le mêmedual (c’est le problème de droites dites bitangentes dans [4] et [3], que l’on devraitplutôt qualifier de bicritiques pour ne pas confondre avec les droites tangentes).Dans cet article, on va prouver que cette dualité entre sous-variétés réelles est enfait plus générale en introduisant une notion de sous-variété semi-legendrienne dansune variété de contact complexe de dimension 3, et une construction qui permetde relever une sous-variété réelle de C en une sous-variété semi-legendrienne de C .On commencera en partie 2 par rappeler quelques faits sur les plans réels linéaireset les intersections locales entre surfaces réelles et droites complexes.Dans la partie 3, on présentera quelques surfaces qui se comportent de manièreexceptionnelles. Celles-ci constitueront les cas les plus dégénérés pour la dualité,d’où l’utilité de bien les comprendre.Puis, dans la section 4, on définira puis étudiera les sous-variétés semi-legendriennes.Si p désigne la fibration p : P ( T P ) → P , on construira des relevés p ∗ N semi-legendriens pour des sous-variétés lisses N de dimension ≤ . Pour obtenir unrésultat global sur les sous-variétés avec des points singuliers, on introduira unestratification sur N vérifiant une condition (C) (une version forte de la condition(A) de Whitney) et on prouvera les résultats suivants. Théorème 4.8.
Soit N une sous-variété réelle de dimension inférieure ou égale à 3dans P ( C ) , de régularité C . Supposons que N admette une stratification N = ∪ N i vérifiant la condition (C). Alors p ∗ N est une sous-variété de régularité C dans P ( T P ( C )) et admet une stratification dont les strates de dimension 3 sont semi-legendriennes. De plus, p ( p ∗ N ) = N . Théorème 4.9.
Soit M une sous-variété réelle de dimension trois, de régularité C dans P ( T P ( C )) . On suppose que N := p ( M ) est une sous-variété de P ( C ) ,et que M et N admettent des stratifications M = ∪ M i et N = ∪ N i de sorte queles strates de dimension 3 de M soient semi-legendriennes et que ( N i ) vérifie lacondition (C). On suppose de plus que p envoie toute strate de M dans une stratede N , et est une submersion en restriction à chaque strate. Alors M ⊂ p ∗ ( p ( M )) . UALITÉ COMPLEXE ENTRE SOUS-VARIÉTÉS RÉELLES DANS P ( C ) Finalement, dans la section 5 on introduira la dualité entre sous-variétés réellesde P ( C ) et sous-variétés réelles de ˇ P ( C ) . Le lemme suivant sera une conséquencerapide des théorèmes précédents. Lemme 5.1.
Soit N un germe de sous-variété lisse générique de régularité C dans P ( C ) . Alors son dual ˇ N ⊂ ˇ P ( C ) est lisse de régularité C et vérifie N = ˇˇ N . En application de toutes ces notion, on proposera en fin de section 5 une preuvedu problème 1.1. Un énoncé plus précis de ce résultat, en dimension et codimensionquelconques est le suivant.
Théorème 5.7.
Soit V une sous-variété réelle connexe compacte irréductible dedimension réelle n et de régularité C de P n + k ( C ) , et G la grassmannienne desk-plans linéaire complexes. Alors ou bien(1) V est une sous-variété algébrique complexe, ou(2) V est le compactifié d’une sous-variété affine réelle de C n + k , ou(3) il existe deux ouverts non vides U , U ⊂ G tels que tout plan de U i intersecte V transversalement en n i points, et n = n . Rappels sur les surfaces réelles
Plans réels.
Considérons un 2-plan réel linéaire P ⊂ C , et des coordonnéesholomorphes ( x, y ) = ( x + ix , y + iy ) dans C . On considèrera que la base ( ∂∂x , ∂∂x , ∂∂y , ∂∂y ) est directe et on notera J : C → C l’opérateur de multiplica-tion par i .Prenons une base orthonormale ( t , t ) de P , et une base orthonormale ( n , n ) de P ⊥ telles que ( t , t , n , n ) soit une base directe. Le vecteur J t est orthogonalà t donc se décompose J t = cos( θ ) t + sin( θ ) n, où n ∈ P ⊥ et θ ∈ [0 , π ] . Cet angle θ ne dépend en fait que du plan orienté P et s’appelle l’ angle holomorphe de P (ou angle de Wirtinger). Le vecteur n correspond à la projection sur P ⊥ de J t , et on voit que l’application t n estune isométrie indirecte de P vers P ⊥ .Le plan P permet de déterminer une unique structure complexe j telle que P soit une direction complexe et t = jt . En effet j est entièrement déterminéesur P ; en outre P ⊥ doit aussi être une direction complexe donc stable par j .Comme ( t , t , n , n ) est une base directe, on doit avoir jn = n , ce qui permetde conclure.En fait, la grassmannienne Gr := G + R (2 , des 2-plans réels orientés est homéo-morphe à un produit de deux sphères. La première sphère représente la structurecomplexe j et la deuxième correspond à la droite projective complexe associée.L’angle complexe θ correspond alors à l’angle dans la première sphère entre j et J (voir [2, §4]). OLIVIER THOM
Revenons au 2-plan réel P . Une droite complexe D peut se comporter de troisfaçons par rapport à P : il se peut que D soit tangente à P , i.e. D = P ; il se peutque D soit transverse à P , i.e. P ⊕ D = C ; et il se peut que D ∩ P = R v pourun vecteur v . Caractérisons le cas où D et P ne sont pas transverses. Supposonsque D ait pour équation y = λx et que P soit défini par (cid:26) f = α x + β x + γ y + δ y f = α x + β x + γ y + δ y . Introduisons Ω P := df ∧ df et Ω λ := − i ( dy − λdx ) ∧ ( d ¯ y − ¯ λd ¯ x ) . Les plans D et P ne sont pas transverses si et seulement si(1) P ∧ Ω λ = ( α β − α β ) + λ ( α δ − α δ + β γ − β γ ) − λ ( β δ − β δ + α γ − α γ ) + | λ | ( γ δ − γ δ ) . On voit ainsi que l’ensemble des directions complexes non transverses est uncercle réel sur la sphère P ( C ) (rappelons que la notion de cercle est stable partransformation de Möbius). On nommera cercle critique de P l’ensemble desdirections λ ∈ P ( C ) telles que la droite D n’est pas transverse à P .De plus, le rayon d’un cercle est bien défini modulo les transformations de Möbiusobtenues par projectivisation de U ( C ) ; modulo l’action de ce groupe, on peutsupposer que f = y et f = cos( θ ) y + sin( θ ) x . On obtient alors l’équation(2) cos( θ ) | λ | = sin( θ ) λ . On voit donc que le rayon du cercle critique est determiné par θ . λ λ • λ = 0 • λ = i tan( θ ) Figure 1.
Le cercle critique après changement de coordonnées.
UALITÉ COMPLEXE ENTRE SOUS-VARIÉTÉS RÉELLES DANS P ( C ) Intersection d’une surface et d’une droite complexe.
Soit ( S, ungerme de surface réelle générique de C de régularité C et D une droite complexede pente λ passant par l’origine. On suppose que D intersecte S non transversa-lement à l’origine. On s’intéresse à l’intersection entre un translaté D µ de D et S .Dans l’espace des paramètres µ ∈ C , on voit que pour S générique, l’ensemble desparamètres µ tels que D µ intersecte S non transversalement est une courbe réelleet qu’elle sépare le germe d’espace ( C µ , en deux régions où l’intersection vautrespectivement 0 et 2. Ceci peut être vu par un calcul direct, par des considéra-tions liés à la projection p λ : C → C comme dans [4], ou via les droites sécantes,comme le propose [3].Il en résulte que pour une direction λ ∈ P ( C ) , l’ensemble C λ des points de S pour lesquels λ est une direction non transverse est génériquement une courbe.Dans son article, W. Pohl a mis en évidence que certains couples ( p, λ ) où λ est une direction critique en p ∈ S se comportaient de manière exceptionnels(les points de type F selon sa terminologie). Donnons quelques caractérisationséquivalentes de ces points. Lemme 2.1.
Soit ( S, un germe de surface réel lisse de C tel que T S ne soitpas complexe. Considérons une droite d passant par l’origine dans une direction λ critique. Notons v un vecteur tangent à S à l’origine tel que Vect C ( v ) = d . Lesconditions suivantes sont équivalentes :(1) Le vecteur de courbure k d’une courbe ( C, ⊂ ( S, passant à l’origine dansla direction v vérifie k ∈ d .(2) La courbe C λ est singulière ou vérifie T C λ = v .(3) La courbe C λ est singulière ou admet une paramétrisation régulière c ( t ) telleque la droite complexe d ( t ) passant en c ( t ) dans la direction λ ait pour équa-tion y = λx + µ ( t ) avec µ ′ (0) = 0 .(4) Pour une courbe c ( t ) sur S passant à l’origine dans la direction v , le point λ sur P ( C ) est un point fixe à l’ordre 1 de la famille des cercles critiques en c ( t ) .Démonstration. On peut supposer que d = { y = 0 } et v = ∂∂x . Supposons pourprouver (2) ⇔ (3) que la courbe C λ soit régulière. Considérons une paramétrisationrégulière c ( t ) = ( at, bt ) + O ( t ) de C λ . L’ordonnée à l’origine µ ( t ) d’une droitehorizontale passant par c ( t ) vérifie alors µ ( t ) = bt + O ( t ) prouvant (3) ⇔ b = 0 .Mais si b = 0 , alors ( a, est un vecteur tangent à S ; comme d ∩ T S = h v i , on abien (2) ⇔ (3).Considérons des champs de 2-plans Ω S et Ω λ définissant respectivement unchamp de plans tangent à S et le feuilletages des droites complexes de direction λ . Alors la fonction E telle que Ω S ∧ Ω λ = EdV est une équation de C λ , et lacondition (2) est équivalente à dE ( v ) = 0 .Considérons une courbe c ( t ) = vt + kt + O ( t ) sur S dans la direction v . Levecteur c ′ ( t ) = v + 2 kt + O ( t ) est tangent à S en c ( t ) donc la direction λ ( t ) OLIVIER THOM complexifiée de c ′ ( t ) vérifie λ ( t ) = λ + O ( t ) si et seulement si k ∈ d . D’un autrecôté, λ ( t ) = λ + O ( t ) si et seulement si dE ( v ) = 0 donc on obtient (2) ⇔ (1).Les conditions dE ( v ) = 0 et (4) sont clairement équivalentes. (cid:3) Définition 2.2.
Un couple ( p, λ ) tel que λ ∈ P ( C ) soit une direction critique en p ∈ S sera appelée exceptionnel s’il vérifie l’une des conditions du lemme 2.1. Surfaces exceptionnelles
Surfaces totalement exceptionnelles.
On s’intéresse ici aux germes desurfaces S de plan tangent à l’origine non complexe pour lesquelles tout couple ( p, λ ) avec p ∈ S et λ critique est exceptionnel. On a vu au lemme 2.1 que ( p, λ ) exceptionnel signifie que la courbe C λ est tangente au feuilletage des droites dedirection λ . Ceci implique que C λ est incluse dans une unique droite complexe dedirection λ . On obtient ainsi la proposition suivante. Proposition 3.1.
Supposons que tout couple ( p, λ ) où λ est dans le cercle critiqueen p ∈ S soit exceptionnel. Alors toute droite complexe non transverse à S coupe S le long d’une courbe. Feuilletages affines complexes non transverses.
Au vu de la proposition3.1, les surfaces ayant beaucoup de points exceptionnels vont avoir des courbesincluses dans l’intersection entre S et des droites complexes. On cherche dans cettesection à caractériser les surfaces telles que ces courbes exceptionnelles forment desfeuilletages. Théorème 3.2.
Supposons qu’il existe un feuilletage lisse F sur S dont toutefeuille est incluse dans une droite complexe. Alors S est incluse dans une hyper-surface Levi-plate feuilletée par des droites complexes.Démonstration. Les feuilles de F forment une famille à un paramètre réel decourbes réelles ( F t ) ; chaque F t est incluse dans une droite complexe D t . Les F t nes’intersectant pas sur S , la courbe des points d’intersection D t ∩ D t ′ est loin de S .On voit donc qu’il existe un voisinage U de S dans C tel que les D t ∩ U soientdeux à deux disjoints, et donc l’hypersurface H = U ∩ S D t convient. (cid:3) Théorème 3.3.
Soit S un germe de surface réelle de P ( C ) . Supposons qu’il existedeux pinceaux de droites P , P et deux feuilletages lisses transverses F , F sur S tels que toute feuille de F i soit incluse dans une droite du pinceau P i . Alorsil existe deux courbes réelles C , C ⊂ C et un automorphisme holomorphe ϕ de P ( C ) tels que S ⊂ ϕ ( C × C ) où C × C est vu comme une surface réelle de C et C est considéré comme inclus dans P ( C ) .Démonstration. Quitte à appliquer un automorphisme de P , on peut supposer queles centres des pinceaux sont aux points de coordonnées [0 : 1 : 0] et [1 : 0 : 0] . Lespinceaux sont alors P = { x = t } et P = { y = t } ; notons T = C x et T = C y lesespaces des paramètres de ces pinceaux. Les droites de ces pinceaux qui intersectent UALITÉ COMPLEXE ENTRE SOUS-VARIÉTÉS RÉELLES DANS P ( C ) S forment des courbes réelles C i ⊂ T i . Chaque point de S appartient à une droitede chaque pinceau donc définit un point ( t , t ) ∈ C × C ⊂ T × T . Le résultats’ensuit. (cid:3) Théorème 3.4.
Soit S un germe de surface réelle de P ( C ) . Supposons qu’il existetrois pinceaux de droites P i et trois feuilletages lisses deux à deux transverses F i sur S tels que toute feuille de F i soit incluse dans une droite du pinceau P i . Alors S est incluse dans un plan affine réel.Démonstration. Quitte à appliquer un automorphisme de P , on peut supposerque les centres des pinceaux sont à l’infini. Alors à chaque pinceau correspond unepente λ i ∈ P ( C ) , et on voit que chaque λ i appartient au cercle critique en toutpoint p ∈ S . On en déduit immédiatement que le cercle critique est constant lelong de S .On peut supposer λ = 0 , λ = ∞ et on a vu au théorème 3.3 que cela implique S ⊂ C × C ⊂ C . Pour simplifier, supposons que la courbe C ait pour équation x = a x + . . . et que l’équation de C soit y = a y + . . . La surface S a alorspour équations ( x = a x + . . .y = a y + . . . À l’origine le cercle critique est P ( R ) . Si l’un des coefficients a i est non nul (disonspar exemple a ), on voit qu’au point ( x, y ) = (0 , ε ) , le plan tangent est engendrépar ∂∂x et ∂∂y + a ε ∂∂y . Le vecteur tangent ∂∂x + ∂∂y + a ε ∂∂y a pour directioncomplexe λ = 1 + a ε i qui n’est pas réel, contredisant la constance du cerclecritique.Ainsi les deux courbes C , C sont de courbure nulle en tout point, donc sontdes droites réelles, ce qui conclut la preuve. (cid:3) On en déduit le corollaire suivant (Proposition A dans [3]).
Corollaire 3.5.
Soit ( S, p ) un germe de surface réelle de P ( C ) tel que T p S nesoit pas complexe et tel que tout couple ( p, λ ) critique soit exceptionnel. Alors S est incluse dans un plan affine réel.Démonstration. On peut supposer que le plan tangent n’est complexe pour aucunpoint de S . Par chaque point p ∈ S passe alors un pinceau de courbes d ⊂ S tellesque d soit incluse dans une droite affine complexe. Prenons trois points génériques p , p , p ∈ S ; ils définissent trois pinceaux de droites P i dans P ( C ) et troisfeuilletages F i sur S que l’on peut utiliser pour appliquer le théorème 3.4. (cid:3) Variétés semi-legendriennes
Considérons l’espace C muni de coordonnées holomorphes ( x, y, λ ) et d’uneforme de contact ω := dy − λdx ; on notera P le champ de 2-plans complexesassocié et p ( x, y, λ ) = ( x, y ) la projection vers C . OLIVIER THOM
On cherche à définir des sous-variétés réelles M ⊂ C équivalentes aux courbeslegendriennes, à étudier les projections p ( M ) pour ces sous-variétés, et à définir desrelevés p ∗ N pour toutes les sous-variétés N de C . De manière assez surprenante,on peut donner des définitions indépendantes de la dimension. Définition 4.1.
Une sous-variété réelle M de dimension 2 ou 3 et de régularité C dans ( C , ω ) sera dite semi-legendrienne si en tout point lisse w ∈ M , on a dim( P ∩ T w M ) ≥ . Définition 4.2. Si N est une sous-variété réelle lisse de C de dimension ≤ etde régularité C , on définit le relevé p ∗ N de N par la propriété que p ∗ N ∩ p − ( z ) soit l’ensemble des directions λ des droites complexes D passant par z ∈ N tellesque D + T z N = C . Hypersurfaces.
Soit H une hypersurface réelle de C de régularité C telleque la pente λ ( z ) de l’unique droite complexe T , z H incluse dans T z H ne soit pasverticale. On voit que la variété p ∗ H ⊂ C est de régularité C et définie par p ∗ H = { ( z, λ ( z )) , z ∈ H } . Lemme 4.3.
Soit M un germe de sous-variété semi-legendrienne en ( x, y, λ ) ,lisse, de régularité C et transverse à la projection p : C → C . Alors p ( M ) estun germe d’hypersurface lisse de régularité C de C et T , x,y ) p ( M ) a pour directioncomplexe λ . Ainsi p ∗ ( p ( M )) = M .Démonstration. Notons z = ( x, y ) et w = ( z, λ ) . La fibre F = p − ( z ) est inclusedans le plan P w donc si M est transverse à la projection, on a F ⊕ ( T M ∩ P ) = P au point w . Ainsi, si C est une courbe holomorphe legendrienne passant par w ,transverse à la projection, les deux plans T w C et T w M ∩ P ont la même image par p . Comme p ( T w C ) est complexe de pente λ , le résultat est prouvé. (cid:3) Lemme 4.4. Si ( H, est un germe d’hypersurface réelle lisse de régularité C dans C , alors p ∗ H est un germe de sous-variété semi-legendrienne lisse de régularité C dans ( C , ω ) , transverse à la projection p . De plus, p ( p ∗ H ) = H .Démonstration. Que p ∗ H soit lisse et transverse à p est évident puisque λ ( z ) estune fonction C ; il suffit donc de montrer que p ∗ H est semi-legendrienne. Sans pertede généralité, on peut supposer que λ (0) = 0 ; on peut donc trouver deux courbesréelles c ( t ) , c ( t ) sur H passant par l’origine avec une dérivée égale respectivementà ∂∂x et ∂∂x . La courbe c admet le développement c ( t ) = ( t,
0) + O ( t ) donc sonrelevé c ∗ sur p ∗ H admet un développement c ∗ ( t ) = ( t, , l t ) + O ( t ) . Le vecteur T c ∗ = (1 , , l ) est tangent à p ∗ H et contenu dans P . De la même manière, levecteur T c ∗ = ( i, , l ) donne un deuxième vecteur tangent à p ∗ H , transverse aupremier et contenu dans P , prouvant le caractère semi-legendrien de p ∗ H . L’égalité p ( p ∗ H ) = H est immédiate. (cid:3) UALITÉ COMPLEXE ENTRE SOUS-VARIÉTÉS RÉELLES DANS P ( C ) Surfaces.
Considérons une surface réelle S ⊂ C de régularité C . Dans cecas la variété réelle p ∗ S ⊂ C de régularité C est définie par le fait que p ∗ S ∩ p − ( z ) soit le cercle critique au dessus de z ∈ S . Lemme 4.5.
Soit M un germe de sous-variété semi-legendrienne lisse en ( x, y, λ ) .Supposons qu’il existe un feuilletage lisse F par courbes sur M tel que chaquefeuille de F soit contenue dans une fibre de p et que la projection p soit transverseà l’espace des feuilles. Alors p ( M ) est un germe de surface lisse de C et λ est unedirection critique en ( x, y ) . Ainsi M ⊂ p ∗ ( p ( M )) .Démonstration. D’après les hypothèses, la dimension chute par la projection et p ( M ) est un germe de surface lisse de C . Écrivons z = ( x, y ) et w = ( x, y, λ ) poursimplifier. Considérons un vecteur v ∈ T w M non tangent à F et une courbe holo-morphe legendrienne C passant par w dans la direction v . Alors C est transverseà p ; le vecteur p ∗ ( v ) appartient à T z p ( C ) ∩ T z p ( M ) et la pente complexe de p ( C ) en z est λ . Le résultat s’ensuit. (cid:3) Lemme 4.6.
Soit ( S, un germe de surface réelle lisse de régularité C dans C .Supposons que T S ne soit pas une direction complexe, alors p ∗ S est un germe desous-variété semi-legendrienne lisse de ( C , ω ) , et la famille F des cercles critiquedonne un feuilletage lisse dont l’espace des feuilles est transverse à la projection p . De plus, p ( p ∗ S ) = S .Démonstration. Si T S n’est pas complexe, alors le plan tangent T S n’est pascomplexe dans tout un voisinage de l’origine. On en déduit tout de suite que p ∗ S est lisse de dimension 3, que le feuilletage F des cercles critique est lisse et quel’espace des feuilles est transverse à p .Supposons que λ = 0 soit une direction critique à l’origine. Soit v ∈ T S ladirection tangente dont le complexifié est λ = 0 et c ( t ) une courbe tangente à S passant par l’origine dans la direction v . Considérons une famille C de directionscritiques λ ( t ) en c ( t ) telle que λ (0) = 0 , et c ∗ ( t ) := ( c ( t ) , λ ( t )) ∈ p ∗ S le relevécorrespondant. Alors c ∗ ( t ) = ( vt, , λ ′ (0) t )+ O ( t ) et le 2-plan complexe P contientles deux vecteurs T F et ( v, , λ ′ (0)) tangents à p ∗ S . On en déduit que p ∗ S estbien semi-legendrien. La propriété p ( p ∗ S ) = S est une conséquence immédiate desdéfinitions. (cid:3) Proposition 4.7.
Soit M une sous-variété semi-legendrienne de dimension 2 dans C , alors M est une courbe holomorphe legendrienne.Démonstration. On remarque qu’une courbe c ( t ) dans C a un unique relevé w ( t ) =( c ( t ) , λ ( t )) où λ ( t ) est le complexifié de c ′ ( t ) . Si M est contenue dans une fibre de p elle est holomorphe ; si p définit une fibration de rang générique 1 sur M , alors p ( M ) est une courbe c ( t ) , mais alors au voisinage d’une point w = ( c ( t ) , λ ) avec λ = λ ( t ) , on a T w M
6⊂ P . Finalement, si M est transverse à p en w , prenons deuxvecteurs tangents v , v et deux courbes w i ( t ) tangentes à v i en w . Chaque w i est égale au relevé de p ( w i ) , donc λ i ( t ) est le complexifié de p ( w i ) ′ ( t ) . On en déduitque v et v ont le même complexifié donc que T w M est une droite complexe. (cid:3) Courbes et points.
Si la variété réelle N est une courbe ou un point dans C , la variété p ∗ N est le fibré trivial : p ∗ N := p − ( N ) . Réciproquement, on voit immédiatement que si les fibres de la projection p sonttangentes à une sous-variété semi-legendrienne M , alors p ( M ) est une courbe réelleou un point dans C . Les égalités p ( p ∗ N ) = N et p ∗ ( p ( M )) = M sont trivialesdans ce contexte.4.4. Situation globale.
Dans le contexte global, on remplace C par P ( C ) et C par le projectivisé du fibré tangent P ( T P ( C )) . Ceci permet en particulier d’éviterles problèmes de directions verticales.Si on cherche à obtenir un résultat global pour unifier les résultats des sous-sections précédentes, il devient nécessaire de gérer les points singuliers et les pointscritiques de la projection p .Les définitions sont faites de telle sorte que si l’ensemble singulier S d’une sous-variété N ⊂ P ( C ) est de dimension au plus 1, alors le relevé p ∗ S contient toutelimite de points génériques de p ∗ N , donc ces points ne posent aucun problème.Cependant, si S est de dimension 2, il se peut que les limites de points de p ∗ N constituent un ensemble de dimension 4 dans P ( T P ) .Il semble donc naturel de se restreindre au contexte où N admet une stratifica-tion de Whitney. La notion correspondante dans P ( T P ) est celle de sous-variétés M admettant des stratifications dont les strates de grande dimension sont semi-legendriennes. Cependant, sans hypothèses de régularité supérieure, la projectionpar p d’un espace admettant une stratification de Whitney n’admet pas en généralde stratification de Whitney ; elle n’a même aucune raison d’être localement finie.Il semble donc que le contexte dans lequel la dualité globale soit naturelle resteencore à trouver, mais énonçons déjà les résultats globaux que l’on peut obteniren l’état, ne serait-ce que pour unifier les sections précédentes.Commençons par rappeler les définitions pour éviter les confusions. Si X estune variété C ∞ et Y ⊂ X une sous-variété singulière de régularité C µ , on appelle stratification de Y une décomposition disjointe Y = ∪ Y i où chaque Y i est unesous-variété C µ lisse (les strates) de sorte que que chaque point y ∈ Y admetteun voisinage qui ne rencontre qu’un nombre fini de strates et que si Y i ∩ Y j = ∅ ,alors dim( Y i ) < dim( Y j ) (dans ce cas on écrira Y i < Y j ). Introduisons la conditionsuivante sur les stratifications :(C) Pour toutes strates Y i < Y j , et toute suite de points y n ∈ Y j telle que y n → y ∞ ∈ Y i , alors T y n Y j converge et sa limite contient T y ∞ Y i . UALITÉ COMPLEXE ENTRE SOUS-VARIÉTÉS RÉELLES DANS P ( C ) On remarque que la condition ( C ) implique évidemment la condition ( A ) deWhitney. Si N admet une stratification N = ∪ N i , on notera p ∗ N = ∪ p ∗ N i . Cettedéfinition dépend du choix de la stratification. Théorème 4.8.
Soit N une sous-variété réelle de dimension inférieure ou égale à 3dans P ( C ) , de régularité C . Supposons que N admette une stratification N = ∪ N i vérifiant la condition (C). Alors p ∗ N est une sous-variété de régularité C dans P ( T P ( C )) et admet une stratification dont les strates de dimension 3 sont semi-legendriennes. De plus, p ( p ∗ N ) = N .Démonstration. Au vu des résultats des sections précédentes, il suffit de voir queles relevés p ∗ N i des différentes strates se recollent bien, c’est à dire que les p ∗ N i etleurs intersections forment une stratification d’une sous-variété. Comme p ∗ N i estle fibré entier p − ( N i ) si dim( N i ) ≤ , et au vu de la condition (C), il n’y a qu’àvérifier les paires de strates N i < N j où dim( N i ) = 2 . Mais si un hyperplan H contient un 2-plan P , alors T , H est une direction complexe critique par rapportà P . Ainsi par la condition (C) l’intersection p ∗ N j ∩ p ∗ N i est une section du fibréen cercles p ∗ N i , ce qui conclut la preuve. (cid:3) Théorème 4.9.
Soit M une sous-variété réelle de dimension trois, de régularité C dans P ( T P ( C )) . On suppose que N := p ( M ) est une sous-variété de P ( C ) ,et que M et N admettent des stratifications M = ∪ M i et N = ∪ N i de sorte queles strates de dimension 3 de M soient semi-legendriennes et que ( N i ) vérifie lacondition (C). On suppose de plus que p envoie toute strate de M dans une stratede N , et est une submersion en restriction à chaque strate. Alors M ⊂ p ∗ ( p ( M )) .Démonstration. D’après les hypothèses, pour chaque strate M i de dimension 3 etchaque w ∈ M i , le germe ( M i , w ) muni de la projection p est dans l’une des situa-tions décrites dans les sous-sections précédentes, donnant le résultat sur ces strates.Pour les strates M i telles que dim( p ( M i )) ≤ , on a p ∗ ( p ( M i )) = p − ( p ( M i )) ⊃ M i .Si M i est une strate de dimension 2 transverse à p , il existe une strate M j dedimension 3 avec M i < M j du fait que M est de dimension 3. Soit w ∈ M i et w n ∈ M j une suite de points tels que w n → w . Notons w n = ( z n , λ n ) et w = ( z, λ ) .Par le caractère semi-legendrien de M j , le nombre λ n est la pente en z n de la stratede N correspondante. Par la condition (C), on déduit que λ , qui est égal à la limitedes λ n , est une direction critique pour p ( M i ) en z . Le résultat s’ensuit. (cid:3) Dualité dans P ( C ) Généralités.
Considérons l’espace X = P ( T P ) = { ( z, d ) ∈ P × ˇ P , z ∈ d } muni des projections p : X → P vers l’espace ambient et π : X → ˇ P vers l’espacedual, et de la structure de contact commune aux deux projections. À une sous-variété N ⊂ P de régularité C on peut associer la variété p ∗ N définie en section
4. On définit alors le dual ˇ N de N comme étant ˇ N := π ( p ∗ N ) . Lemme 5.1.
Soit N un germe de sous-variété lisse générique de régularité C .Alors son dual ˇ N est lisse de régularité C et vérifie N = ˇˇ N .Démonstration. Pour un germe de sous-variété générique N , la sous-variété semi-legendrienne p ∗ N est lisse, C et transverse à π . D’après les résultats de la section4, on a π ∗ ( π ( p ∗ N )) = p ∗ N , c’est à dire π ∗ ˇ N = p ∗ N . De plus p ( p ∗ N ) = N , d’où lerésultat. (cid:3) Voyons ce que cela dit dans le cas où N = S est une surface.Si S est une surface, ˇ S est génériquement de dimension réelle 3, mais peutcontenir des portions de dimension 2 si S contient des parties holomorphes ; unpoint de S dont la tangente est complexe correspond à un point singulier de ˇ S ;et chaque fois qu’il existe un germe de courbe réel C ⊂ S ∩ D pour une droitecomplexe D , cette droite D correspond à un point singulier de ˇ S . Remarque 5.2.
On voit que les points ( z, λ ) ∈ p ∗ S qui sont critiques pour laprojection π sont exactement les points exceptionnels au sens de la définition 2.2. En général le dual d’une hypersurface H ⊂ ˇ P sera de dimension 3. On remarquecependant que si d ∈ H et z = T , d H , alors l’intersection z ∩ H est génériquementde dimension 1 et singulière en d ; mais que dans le cas où H = ˇ S est le duald’une surface, la situation est particulière. En effet, p ∗ S est fibré par des cercles,donc génériquement π ( p ∗ S ) admet une fibration par courbes C t . Cependant, pardéfinition la variété π ∗ H est une section du fibré en P au-dessus de H , et celle-ciest constante égale à z au-dessus de C t . On en déduit que les courbes C t sontexactement les intersections entre les droites complexes tangentes et H . Remarque 5.3.
Cette propriété est à comparer à la propriété que l’enveloppe dela famille des droites tangentes à une courbe réelle C ⊂ P ( R ) est C elle-même. Eneffet, dans le cas ci-dessus, on peut aussi vérifier que si S est un germe de surfacelisse de tangente non complexe et si λ est une direction critique non exceptionnelle,alors pour toute courbe c ( t ) sur S passant par l’origine dans la direction λ , et toutefamille de droites non transverses d ( t ) en c ( t ) telle que d (0) est dans la direction λ , alors l’intersection d (0) ∩ d ( t ) tend vers l’origine quand t → . Ceci peut êtrevérifié en calculant explicitement Ω S ∧ Ω λ ( t ) comme dans le lemme 2.1.Comme l’hypersurface duale ˇ S contient aussi les cercles C t définis ci-dessus,cette remarque permet de reprouver que la droite z dans ˇ P est la tangente complexeà ˇ S . Appelons exceptionnelle une hypersurface H ⊂ P telle que pour tout z ∈ H ,si d = T , z H , alors pour tout z ′ dans l’intersection d ∩ H proche de z , la droite d est toujours tangente à H en z ′ . On a donc vu que si H est le dual d’une surface, UALITÉ COMPLEXE ENTRE SOUS-VARIÉTÉS RÉELLES DANS P ( C ) elle est exceptionnelle ; on voit aussi que si H est exceptionnelle, la dimension de p ∗ H chute lors de la projection par π , et que le dual ˇ H est de dimension au plus2 dans ˇ P . Lemme 5.4.
Supposons que ( S, z ) ⊂ P soit un germe de surface réelle lisse derégularité C tel que T z S ne soit pas complexe et tel qu’il existe une droite complexenon exceptionnelle d dans le cercle critique. Alors le germe dual ( ˇ S, d ) est lissede régularité C , et son dual ˇˇ S vérifie S = ˇˇ S .Démonstration. C’est une version du lemme 5.1 rendant plus précise la notion degénéricité en utilisant la remarque 5.2. (cid:3)
Cette propriété de bidualité permet de conclure immédiatement qu’il est im-possible que deux germes de surfaces réelles aient le même dual. Par suite, il estimpossible qu’une surface admette une famille à trois paramètres de droites bicri-tiques (propriété dont la preuve était laissée à la sagacité du lecteur dans [3]).5.2.
Application : algébricité des surfaces réelles.
On voit que si la surfaceréelle S est compacte sans bord et suffisamment générique, son dual ˇ S sera unehypersurface réelle compacte sans bord de ˇ P , de sorte que ˇ P \ ˇ S se décomposeen une union disjointe ˇ P \ ˇ S = [ V i , où le nombre d’intersection entre une droite de V i et S est un nombre constant n i .Si deux ouverts V i , V j admettent une frontière commune H ⊂ ˇ S , alors le nombred’intersection saute de deux lors du passage de la frontière : n j = n i ± .L’hypothèse de généricité de la surface S est à comprendre au sens de la section4.4 : on veut que p ∗ S soit suffisamment transverse à la projection π . Cependant,cette hypothèse n’est ici utile que pour que le dual soit une belle hypersurfaceglobale ; l’argument du passage de frontière n’a pas besoin d’une telle généricitépour fonctionner : Théorème 5.5.
Soit S une surface réelle connexe compacte irréductible de P ( C ) de régularité C . Alors ou bien(1) S est une courbe algébrique complexe, ou(2) S est le compactifié d’un plan affine réel, ou(3) il existe deux ouverts non vides V , V ⊂ ˇ P tels que toute droite de V i inter-secte S transversalement en n i points, et n = n .Démonstration. Les points de S peuvent être de quatre types : les points singuliers Sing( S ) , qui forment un sous-ensemble fermé de dimension au plus 1 ; les pointsà tangence complexe, F C qui forment un sous-ensemble fermé ; les points z telsque tout couple ( z, λ ) critique soit exceptionnel, que l’on regroupe en un ensemble F ex fermé ; et les points qui se comportent régulièrement pour la dualité. D’aprèsles hypothèses et le corollaire 3.5, si S est l’union de F C , F ex et Sing( S ) , alors on est dans l’un des cas (1) ou (2). En effet, la surface R a un angle holomorphe θ = π/ et une courbe complexe a un angle θ = 0 ; on ne peut pas recoller les deuxde manière C . On peut donc supposer qu’il existe un point z ∈ S lisse dont leplan tangent n’est pas complexe et tel qu’il existe en z une direction critique nonexceptionnelle.Considérons le fermé F = F C ∪ F ex ∪ Sing( S ) . Son dual ˇ F est l’image par π d’uncompact, donc est aussi fermé ; il ne contient pas ˇ S car les duaux de F C et F ex sontde dimension 2 et le dual de Sing( S ) est feuilleté par des droites complexes. Parsuite il existe ε > tel que l’ensemble ˇ F ( ε ) := { l ∈ ˇ P , d ( l, ˇ F ) < ε } ne contienne pas ˇ S , où la distance d est la métrique de Fubini-Study. Alors ˇ S ( ε ) :=ˇ S \ ˇ F ( ε ) est compact ; d’après le lemme 5.4, il existe un nombre fini de petits ouverts S i ⊂ S tels que les ˇ S i soient lisses et recouvrent ˇ S ( ε ) .Pour tout i , il est impossible que l’intersection ˇ S i ∩ ( ∪ j = i ˇ S j ) soit dense dans ˇ S i ,car sinon, par finitude il existerait un j tel que ˇ S i ∩ ˇ S j soit dense dans ˇ S i (quitteà restreindre les S i ). Ceci impliquerait ˇ S i ⊂ ˇ S j , puis S i ⊂ S j d’après le lemme 5.4.Ainsi il existe une petite boule ouverte V ⊂ ˇ P \ ˇ F ( ε ) tel que V ∩ ˇ S j = ∅ si etseulement si j = i . Par suite V \ ˇ S = V + ∪ V − se décompose en deux, et d’aprèsles discussions de la section 2, les nombres d’intersection n + , n − entre une droitede V + ou V − et S sont constants sur V + et V − , et n + = n − + 2 . (cid:3) Remarque 5.6.
Considérons la surface affine réelle P ( R ) ⊂ P ( C ) . On voit que P ( R ) est son propre dual donc que le complémentaire du dual est connexe ; lenombre d’intersection générique entre P ( R ) et une droite complexe doit ainsi êtreconstant. Évidemment, ce nombre est 1 : c’est le nombre de points réels d’unedroite complexe générale. Corollaire 5.7.
Soit V une sous-variété réelle connexe compacte irréductible dedimension réelle n et de régularité C de P n + k ( C ) , et G la grassmannienne desk-plans linéaire complexes. Alors ou bien(1) V est une sous-variété algébrique complexe, ou(2) V est le compactifié d’une sous-variété affine réelle de C n + k , ou(3) il existe deux ouverts non vides U , U ⊂ G tels que tout plan de U i intersecte V transversalement en n i points, et n = n .Démonstration. On se ramène à n = k = 1 comme dans [4], en considérant dessections planes puis des projections. On vérifie aisément que les seules variétés quidonnent des plans réels ou des courbes complexes pour n’importe quelle sectionplane et n’importe quelle projection sont les sous-variétés affines réelles et les sous-variétés algébriques complexes. (cid:3) UALITÉ COMPLEXE ENTRE SOUS-VARIÉTÉS RÉELLES DANS P ( C ) Références [1]
Cartan, E.
Sur la géométrie pseudo-conforme des hypersurfaces de l’espace de deux variablescomplexes.
Ann. Mat. Pura Appl. 11 , 1 (1933), 17–90.[2]
Chen, B.-Y., and Morvan, J.-M.
A cohomology class for totally real surfaces in C . Japan.J. Math. (N.S.) 21 , 1 (1995), 189–205.[3]
Pohl, W. F.
A problem of Ordnungsgeometrie. In
Differential geometry (Proc. Sympos.Pure Math., Vol. XXVII, Stanford Univ., Stanford Calif., 1973), Part 1 (1975), pp. 229–233.[4]
Thom, R.
Sur les variétés d’ordre fini. In
Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira) .Univ. Tokyo Press, Tokyo, 1969, pp. 397–401.
IMPA, Estrada Dona Castorina, 110, Horto, Rio de Janeiro, Brasil