Duality in massive spin 2 theories in 2+1 dimensions (In spanish)
aa r X i v : . [ h e p - t h ] J a n Universidad Central de VenezuelaFacultad de CienciasEscuela de F´ısica
Dualidad en teor´ıas de spin 2 masivo en dimensi´on 2+1
Dr. P´ıo J. AriasTrabajo de ascenso presentadoante la ilustre Universidad Central de Venezuelapara optar a la categor´ıa de
Profesor Asociado
Caracas, 11 de febrero de 2005 esumenDualidad en teor´ıas de spin 2 masivo en dimensi´on 2+1
Dr. P´ıo J. AriasUniversidad Central de VenezuelaSe obtienen las ecuaciones que deben satisfacer los distintos campos que describen real-izaciones del ´algebra del grupo de Poincar´e en dimensi´on 2+1, con masa m y spin entero(no cero). Para el caso de spin 2 se muestra que hay tres modelos posibles cuyas accionesse pueden conectar por transformaciones de dualidad. Estas transformaciones incorporanlas invariancias de calibre que diferencian un modelo de otro. Se discute brevemmente larelaci´on entre las funciones de partici´on de estos modelos
P´ıo Jos´e, Dafne y Zulay
Indice D = 2 + 1 s = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Realizaciones con s = n , con n entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 S SD −→ S int . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Dualidad S int −→ S T M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.1 Transformaciones bajo difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.2 Derivadas covariantes, conexiones, tensores de Riemman, Ricci, Einstein,Cotton, Torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.3 El lenguaje de las tr´ıadas y los objetos asociados . . . . . . . . . . . . . . . 39A.4 Transformaciones de calibre en el lenguaje de las tr´ıadas . . . . . . . . . . 41A.5 Objetos involucrados y definiciones en la formulaci´on linealizada . . . . . . 42A.6 Transformaciones a nivel linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.7 Descomposici´on en partes irreducibles en la formulaci´on linealizada . . . . 44 i ´INDICE
A.8 Tensores relevantes en funci´on de solamente las componentes irreduciblesde spin 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Bibliograf´ıa 47 ap´ıtulo 1Introducci´on
El estudio de teor´ıas vectoriales y tensoriales en dimensi´on 2+1 estuvo, inicialmente mo-tivado por su conexi´on con el comportamiento de modelos, en 3+1 dimensiones, a altastemperaturas [1]. Sin embargo, en el correr del tiempo la f´ısica en esta dimensi´on espacio-temporal ha adquirido importancia propia dado que ha servido para aportar nuevas ideasa la f´ısica en 3+1 dimensiones.Es en esta dimensi´on donde se introduce el t´ermino de teori´ıas masivas topol´ogicas, lascuales tienen la interesante propiedad de no explotar la invariancia de calibre [2]. Estosmodelos masivos tienen en com´un que son sensibles a las transformaciones discretas deinversi´on temporal y de paridad, en concordancia con las particularidades que deben tenerlas representaciones del ´algrebra del grupo de Poincar´e en esta dimensi´on.Tambi´en es propio de la teor´ıa de campos en 2+1 dimensiones la aparici´on de losmodelos masivos autoduales para teor´ıas con spin 1, 2, 3 y 4 [3, 4][5, 6][7]. En estosmodelos la ecuaci´on de movimiento relaciona al ”potencial” con la ”intensidad de campo”,y corresponde a la realizaci´on que debe satisfacer el casimir P . J del grupo de Poincar´e,con P la realizaci´on del momentum lineal y J la realizaci´on de la parte de spin del dualdel momentum angular Ψ = 1 ms ( P . J )Ψ , (1.1)donde Ψ es un objeto que transforma linealmente bajo el grupo de Lorentz. Para s = 1 , a µ = 1 m f µ ( a ) , (1.2) h T tµ a = 1 m ω µa ( h T t ) , (1.3)donde f µ ( a ) = ε µνλ ∂ ν a λ corresponde al dual de la intensidad del campo de Maxwelly ω µa ( h ) corresponde al dual de la conexi´on de spin sin torsi´on, linealizada ( h T tµ a essim´etrico, transverso y sin traza). ´Estas ecuaciones pueden escribirse para otros objetos
Introducci´on y corresponden a otras teor´ıas de spin 1 y 2 equivalentes a las autoduales, y que a su vezgozan de tener invariancias de calibre adicionales. En el caso de s = 1 la ecuaci´on tambi´encorresponde a una realizaci´on del ´algebra de Poincar´e si tomamos como campo matriz aldual del campo de Maxwell F µν ( a ). La teor´ıa correspondiente es el modelo topol´ogicomasivo, para el cual se conoce bastante que bien que es dual a la teor´ıa masiva autodualvectorial y resulta completamente equivalente si el espacio base es topol´ogicamente trivial.Para la ecuaci´on autodual de spin 2, puede verse que ´esta tambi´en se realiza si enlugar del h µa consideramos a la conexi´on de spin linealizada ω µa o al tensor de EinsteinLinealizado G µa . En el primer caso corresponde al modelo intermedio [5] y en el segundola model topol´ogico masivo linealizado [2]. Estos tres modelos tienen el mismo espectro yse ha visto que podemos a partir del modelo topol´ogico masivo hasta el autodual fijandolasa simetr´ıas de calibre que posee el modelo original [8].En este trabajo veremos que, tal como sucede en los modelos vectoriales, los modelosde spin 2 estan conectados por transformaciones de dualidad que van incorporando lasinvariancias de calibre que distinguen a un modelo de otro. En el Cap´ıtulo 2 haremosuna r´apida introducci´on al grupo de Poincar´e y sus representaciones, obteniendo as´ı de,manera heur´ıstica, las ecuaciones de movimieto que deben cumplir las realizaciones ma-sivas del ´algebra para spin entero (no nulo). Luego en el Cap´ıtulo 3 veremos como esla situaci´on entre los modelos vectoriales, como se conectan por dualidad y se asomanalgunos resultados concernientes a la realci´on entre las funciones de partici´on de los mod-elos considerados. En el Cap´ıtulo siguiente se repite el programa para los tres modelos despin 2.Las notaciones y convenciones para las teor´ıas de spin 2 se dan en el Ap´endice. ap´ıtulo 2Ecuaciones de movimiento parapart´ıculas masivas con spin entero en D = 2 + 1 En ´este cap´ıtulo hacemos un pasaje r´apido por el grupo de Poincar´e siguiendo lineamien-tos convencionales [9]. Introduciendo las particularidades que surgen en dimensi´on 2 + 1veremos de manera heur´ıstica cuales son las ecuaciones de movimiento movimiento quedeben cumplir las distintas representaciones del grupo con masa y spin entero general-izando los resultados ya conocidos para spines bajos [10]. La presentaci´on no pretendeser rigurosa, sino mas bien de una forma que se vea como aparecen las ecuaciones demovimiento que deben satisfacer los campos que representan part´ıculas con masa y spinentero. En los cap´ıtulos siguientes veremos que estas corresponder´an a distintos modelosque estan conectados por transformaciones de dualidad en los casos de s = 1 , El grupo de Poincar´e, tambi´en llamado de Lorentz inhomog´eneo, est´a corformado por lastransformaciones que dejan invariante el intervalo d x µ d x µ .La ley de transformaci´on es x µ −→ x ′ µ = Λ µν x ν + c µ , (2.1)con Λ µν una matriz que preserva la m´etrica de Minkowski (una matriz del grupo de Lorentz, O (3 , η µν = Λ λµ Λ ρν η λρ , (2.2)donde η µν = diag ( − , +1 , +1 , ). c µ es un vector constante, que genera una traslaci´on enel espacio tiempo. Ecuaciones de movimiento para part´ıculas masivas con spinentero en D = 2 + 1Si representamos los elementos del grupo de Poincar´e por ( Λ , c ), Λ la matriz de Lorentzy c el vector de traslaci´on, el producto de dos elementos del grupo se representa por:( Λ , c )( Λ , c ) = ( Λ Λ , Λ c + c ) . (2.3)Al cuantizar, estas transformaciones estar´an representadas por operadores unitarios lin-eales o antiunitarios antilineales de forma de preservar la probabilidad de transici´on entreestados [9]. As´ı U ( Λ , c ) = U ( I , c ) U ( Λ , , ≡ U ( c ) U ( Λ ) . (2.4)Si U ( c ) = e − ic µ P µ , con P µ herm´ıtico. Tendremos que U ( c ′ ) U ( c ) = U ( c + c ′ ) , (2.5)de donde [ P µ , P ν ] = 0 . (2.6)Si tomamos U ( Λ ) = e i ω µν M µν , entonces de (2.3) U ( c ′ ) U ( Λ ′ ) U ( c ) U ( Λ ) = U ( c ′ ) U ( Λ ′ c ′ ) U ( Λ ′ ) U ( Λ ) , ´o U ( Λ ′ ) U ( c ) U − ( Λ ′ ) = U ( Λ ′ c ) , (2.7)de donde, al desarrollar las exponenciales, llegamos a que P µ transforma como un vector U ( Λ ) P µ U − ( Λ ) = ( Λ − ) µν P ν (2.8)y adicionalmente, teniendo en cuenta que la transformaci´on es infinitesimal,i.e. Λ µν = δ µν + ω µν i [ P α , M µν ] = η µα P ν − η να P µ . (2.9)Finalmente, del hecho que U − ( Λ ) = U ( Λ − ), tendremos que U ( Λ ′ ) U ( Λ ) U − ( Λ ′ ) = U ( Λ ′ ΛΛ ′− ) , (2.10)de donde se obtiene las reglas de conmutaci´on del operador herm´ıtico M µν i [ M µν , M ρσ ] = η µρ M νσ − η νρ M µσ − η µσ M νρ + η νσ M µρ . (2.11) .1 El grupo de Poincar´e y sus generadores 5 En D = 2+1, tenemos la particularidad de que como M µν = − M νµ podemos introducirsu dual J µ = 12 ε µνλ M νλ , (2.12)y, entonces, las relaciones de conmutaci´on entre los generadores quedan como i [ P µ , P ν ] = 0 (a) ,i [ P µ , J ν ] = − ε µνλ P λ (b) , (2.13) i [ J µ , J ν ] = − ε µνλ J λ (c) , que se refiere como el ´algebra entre los generadores del grupo de Poincar´e. Es f´acil verque J esta asociada a las rotaciones en el plano ( U ( R ) = e iθ J , para ω ij = − ε ij θ ) y J i alos “boost”.Otra particularidad interesante de D = 2+1 es la consideraci´on de las transformacionesdiscretas impropias. En el caso de la inversi´on temporal la transformaci´on es la usual T ( x , x , x ) −→ ( − x , x , x ) , (2.14)Sin embargo la inversi´on espacial ( x , x , x ) −→ ( x , − x , − x ) corresponde a una rotaci´onde 180 o , que es una transformaci´on propia, es decir det Λ IE = +1. En esta dimensi´on latransformaci´on que se refiere como paridad, es la transformaci´on impropia P ( x , x , x ) −→ ( x , − x , x ) . (2.15)Sean P νµ y T νµ la representaci´on matricial de las transformaciones de inversi´on temporaly paridad Los operadores que las representan ser´an T = U ( T , , P = U ( P , . (2.16)As´ı, para una transformaci´on (Λ , c ) sucede que P U (Λ , c ) P − = U ( P Λ P − , P c ) (a) ,T U (Λ , c ) T − = T ( T Λ T − , T c ) (b) , (2.17)con U (Λ , c ) = I − ic µ P µ + i ω µν M µν + · · · .Desarrollando miembro a miembro en (2.17) obtenemos Ecuaciones de movimiento para part´ıculas masivas con spinentero en D = 2 + 1 P i P µ P − = i P µν P ν , (a) P i M µν P − = i P µα P νβ M αβ , (b) (2.18) T i P µ T = i T µν P ν , (c) T i M µν T − = i T µα T νβ M αβ , (d)donde se han dejado los i expl´ıcitos dado que no sabemos si los operadores P o T son uni-tarios y lineales o antiunitarios y antilineales. Dado que P o ∼ H (la energ´ıa), si tomamos µ = 0 en (2.18a) notamos que si supieramos que P es antiunitario y antilineal llegariamosa una situaci´on f´ısicamente inaceptable. As´ı P es unitario y lineal. An´analogamentetomando µ = 0 en (2.18c), obtendremos que para tener una transformaci´on f´ısicamenteaceptable requerimos que T sea antiunitario y antilineal. Por tanto (2.18) se escribe como P P µ P − = P µν P ν , (a) P M µν P − = P µα P νβ M αβ , (b) (2.19) T P µ T − = − T µν P ν , (c) T M µν T − = − T µα T ν β M αβ , (d)Para ver como transforman los J µ notamos que bajo transformaciones de Lorentz ladensidad de Levi-Civita permanece invariante. As´ı en concordancia con el hecho de que M µν es un tensor antisim´etrico J α es una densidad vetorial de peso 1; y entonces P J µ P − = det ( P ) P µν J ν , (a) T J µ T − = − det ( T ) T µν J ν . (b) (2.20)Observamos, asi, que bajo paridad e inversi´on temporal sucede que P J P − = − J , T J T − = − J , (a) P P P − = P , T P T − = P . (b) (2.21)Como J tiene que ver con las rotaciones alrededor de un eje imaginario perpendicular alplano x x con el sentido de rotaci´on positivo seg´un ˆ x × ˆ x , observamos que al hacer lareflexi´on x → − x este nuevo observador tiene el eje de rotaci´on positivo en el sentidoopuesto. En otra direcci´on al hacer la inversi´on temporal el nuevo observador ve a losobjetos rotar en sentido contrario. Estas dos afirmaciones estan expl´ıcitas en (2.21a). Lastransformaciones de P en (2.21b) son las que tienen sentido f´ısico tal como argumentamosanteriormente. .2 Casimires 7 Finalmente, el objeto P µ J µ se comporta como un pseudo escalar T P µ J µ T − = det ( T ) P µ J µ , (2.22) P P µ J µ P − = det ( P ) P µ J µ . (2.23)´Este tendr´a importancia en la secci´on siguiente. Cuando estudiamos representaciones del grupo de Poincar´e, nos interesa los casimires delgrupo, estos resultan ser naturalmente P µ P µ y P µ J µ . Para una part´ıcula de masa m enreposo estos tienen el valor [10][11] P µ P µ = − m , P µ J µ = − m J ≡ + ms, (2.24)donde diremos que s es el spin de la representaci´on. Dado su analog´ıa con el concepto dehelicidad, en algunos casos se le suele llamar “helicidad” de la representaci´on, quedandoclaro que no corresponde a una exitaci´on sin masa como sucede en 3+1 dimensiones.Finalmente notamos que, teniendo en cuenta (2.21), al hacer una transformaci´on discretade paridad cambia el valor de J de s a − s . Se afirma, entonces, que una teor´ıa que describauna sola exitaci´on de masa m y spin s necesariamente ser´a sensible a las transformacionesimpropias. Estas representaciones son unidimensionales y satisfacen las condiciones de lacapa de masa ( P µ P µ − m ) | ψ i = 0 (a) , y la de “Pauli-Lubanski” ( P µ J µ − ms ) | ψ i = 0 (b) . (2.25)Cuando intentamos realizar alguna de estas representaciones, introducimos objetosque transformen linealmente bajo el grupo de Lorentz homog´eneo y entonces los gradosde libertad adicionales se eliminan dando condiciones suplementarias adicionales.Recalcamos, para concluir, que en 2+1 dimensiones una part´ıcula de spin s y masa m tiene un s´olo grado de libertad [10] (a diferencia del mismo caso en 3+1 dimensiones,donde tiene 2 s + 1 grados de libertad). Para una realizaci´on del grupo de Poincar´e con s=1, usamos como objeto a un campovectorial V µ . ´Este transforma linealmente bajo el grupo de Lorentz. Al operador P µ lorealizamos como Ecuaciones de movimiento para part´ıculas masivas con spinentero en D = 2 + 1( P µ ) αβ = iδ αβ ∂ µ (2.26)y al operador J µ como( J µ ) αβ = − ε µλρ x λ ( P ρ ) αβ + iε αµβ (a) , ≡ ( L µ ) αβ + ( j µ ) αβ (b) (2.27)donde ( L µ ) αβ es la parte orbital usual. P µ y J µ satisfacen, al actuar sobre vectores, el´algebra (2.13) i [ P µ , P ν ] αβ = 0 (a) ,i [ P µ , J ν ] αβ = − ε µνλ ( P λ ) αβ (b) , (2.28) i [ J µ , J ν ] αβ = − ε µνλ ( J λ ) αβ (c) . La condici´on de Pauli-Lubanski se “lee” ahora como[( P µ J µ ) − ms I ] αβ V β = 0 , (2.29)(con s = ± − ε αµβ ∂ µ − msδ αβ ) V β = 0 , (2.30)de donde surgen las condiciones suplementarias ∂ µ V µ = 0 y el v´ınculo V = − ms ε ij ∂ i V j dej´andonos con un solo grado de libertad. Teniendo en cuenta latransversalidad de V µ obtendremos que[ − P µ J µ − ms I ][ P ν J µ − ms I ] αβ V β = 0 , (2.31)que nos lleva a la condici´on de la capa de masa( − ✷ + m ) V α = 0 (2.32)tanto para s = +1 ´o − s = 2 Para s = 2, el objeto que usaremos es un tensor h µν sim´etrico. El operador ( J µ ) ρσαβ esahora .4 Realizaciones con s = 2 ( J µ ) αβ γσ = − iε µλρ x λ ( I s ) αβ γσ ∂ µ ++ i δ γα ε βµσ + δ γβ ε αµσ + + δ σα ε βµγ + δ σβ ε αµγ ) , (2.33) ≡ − ε µλρ x λ ( P µ ) αβγσ + ( j µ ) αβγσ , (2.34)donde ( I s ) αβ γσ = ( δ γα δ σβ + δ σα δ γβ ) y el primer t´ermino es la parte orbital. Es inmediatocomprobar que actuando sobre tensores sim´etricos de segundo orden estos operadoressatisfacen el ´algebra del grupo de Poincar´e. i [ P µ , P ν ] αβ ρσ = 0 (a) ,i [ P µ , J ν ] αβ ρσ = − ε µνλ ( P λ ) αβρσ (b) , (2.35) i [ J µ , J ν ] αβ ρσ = − ε µνλ ( J λ ) αβρσ (c) , La condici´on de Pauli-Lubanski es ahora[( P µ J µ ) − ms I ] αβ ρσ h ρσ = 0 , (2.36)con s = ± ∂ µ h µν = 0 , η µν h µν = 0 . (2.37)As´ı, la ecuaci´on (2.36) en componentes es − ε αµσ ∂ µ h T tσβ − msh T tαβ = 0 , (2.38)donde h T tαβ denota a un tensor sim´etrico, transverso y sin traza. ´Este tiene dos componentesindependientes y puede verse que de ´estas s´olo se propaga una de ellas en (2.38).Finalmente la condici´on de la capa de masa se obtiene si procedemos al igual que en(2.31). En componentes( − ε αµθ δ θ β ∂ µ − msδ θ α δ θ β )(2 ε θ νρ δ σθ ∂ ν − msδ ρθ δ σθ ) h T tρσ = 4( − ✷ + m ) h T tρβ (2.39)para s = ± D = 2 + 1 s = n , con n entero Los resultados de la secci´on anterior pueden generalizarse para s = n entero . El objetofundamental ser´a un tensor de orden n sim´etrico h µ µ ··· µ n , al cual imponemos que seatransverso y sin traza en un par de ´ındices ∂ µ h µµ µ ··· µ n − = 0 , η µν h µνµ µ ··· µ n − = 0 . (2.40)Como un tensor sim´etrico de orden n tiene ( n +1)( n +2)2 se obtiene, teniendo en cuenta lascondiciones subsidiarias, que el n´umero de componentes independientes es( n + 1)( n + 2)2 − n ( n + 1)2 − ( n − n J µn ) σ σ ··· σ n ρ ρ ··· ρ n se generaliza como( J µn ) σ σ ··· σ n ρ ρ ··· ρ n = − iε µλν x λ ( I s ) σ σ ··· σ n ρ ρ ··· ρ n ∂ ν + · · · + in !( n − ε ( σ µ ( ρ δ ρ σ · · · δ ρ n ) σ n ) , ≡ − ε µλν x λ ( P ν ) σ σ ··· σ n ρ ρ ··· ρ n + ( j µ ) σ σ ··· σ n ρ ρ ··· ρ n , (2.41)con ( I s ) σ σ ··· σ n ρ ρ ··· ρ n = n ! δ ρ ( σ δ ρ σ · · · δ ρ n σ n ) , donde ( µ µ · · · µ n ) significa simetrizaci´on enlos n ´ındices. El primer t´ermino en (2.41) es la parte orbital, en analog´ıa con los casosvistos. Se comprueba que actuando sobre tensores sim´etricos de orden n estos operadoressatisfacen el ´algebra del grupo de Poincar´e.Lo que sigue es la genaralizaci´on de la condici´on de Pauli-Lubanski que es ahora[( P µ J µn ) − ms I ] σ σ ··· σ n ρ ρ ··· ρ n h ρ ρ ··· ρ n = 0 , (2.42)con s = ± n . Teniendo en cuenta las propiedades y condiciones subsidiarias de h ρ ρ ··· ρ n ,´esta ecuaci´on queda en componentes como − nε ρ µσ ∂ µ h T tσρ ρ ··· ρ n − msh T tρ ρ ··· ρ n = 0 , (2.43)La condici´on de la capa de masa ( − ✷ + m ) h T tρ ρ ··· ρ n = 0 se obtiene directamente deforma an´aloga a los casos de spin 1 y 2. Para ver que finalmente se propaga una solaexcitaci´on notamos que h T tρ ρ ··· ρ n se descompone en dos partes irreducibles h T t ( ± ) ρ ρ ··· ρ n = 12 (cid:18) h T tρ ρ ··· ρ n ∓ ε ρ µσ ∂ µ ✷ h T tσρ ρ ··· ρ n (cid:19) , (2.44)con lo que (2.43) queda como ( s = n )( ✷ − m ) h T t (+) ρ ρ ··· ρ n + ( ✷ + m ) h T t ( − ) ρ ρ ··· ρ n = 0 , (2.45) .5 Realizaciones con s = n , con n entero 11 de donde observamos que en la capa de masa solo una de las partes se propaga.Para finalizar este cap´ıtulo se˜nalamos que, aunque en este trabajo nos abocaremosa teor´ıas de spines 1 y 2, hay estudios realizados con distintos modelos que constituyenrealizaciones para s = 3 , , · · · [7][12]. D = 2 + 1 ap´ıtulo 3Dualidad para teor´ıas con spin 1 En este cap´ıtulo mostraremos que dos realizaciones posibles con s = 1, estan conectadaspor una transformaci´on de dualidad. Los modelos difieren en las simetr´ıas de calibreque tiene cada uno, pudiendo conectarlos igualmente fijando el calibre en uno de losmodelos. El proceso de dualidad que seguiremos y que luego generalizaremos a spin 2est´a desarrollado en la referencia [13].A nivel de las funciones de partici´on se ver´a que ´estas difieren en un factor topol´ogicoel cual es sensible a la topolog´ıa de la variedad base.En la discusi´on tambi´en veremos que, as´ı como se sabe que las acciones de los mod-elos, que describen part´ıculas masivas con un spin dado, deben ser sensibles a paridad einversi´on temporal, puede mostrarse que el modelo de Proca se desacopla en dos modelosque corresponden a exitaciones masivas con spines opuestos, cuya presencia es necesariapara tener un modelo invariante bajo estas transformaciones discretas.Este cap´ıtulo servir´a de base para la discusi´on del cap´ıtulo siguiente donde trataremosla dualidad entre modelos de spin 2. Para la descripci´on de una teor´ıa masiva con spin 1, tomamos como objeto a un campovectorial V µ . Tal como discutimos en el cap´ıtulo anterior a condici´on de Pauli-Lubanskise escribe en componentes como( − ε αµβ ∂ µ − msδ αβ ) V β = 0 , (3.1)de donde ocurre que ∂ µ V µ = 0. La teor´ıa que tiene a (3.1) como ecuaci´on de movimientocorresponde al modelo actual (SD) [3][4] S SD = − ms Z d x ( V µ ε µνλ ∂ ν V λ + msV µ V µ ) , (3.2)con s = ±
1. Puede verse que los generadores asociados a la invariancia de la teor´ıapor el grupo
ISO (2 ,
1) satisfacen el ´algebra de ´este grupo y que el spin es efectivamente s (+1 ´ o −
1) [15][16].En 2 + 1 dimensiones, un vector es el dual de un tensor antisim´etrico, digamos F µν .As´ı la ecuaci´on (3.1) se escribe igualmente como( ε αµβ ∂ µ − msδ αβ )( 12 ε βρσ F ρσ ) = 0 . (3.3)La condici´on ∂ µ V µ = 0 es ahora ε µνλ ∂ µ F νλ = 0 . (3.4)cuya soluci´on local es F µν ( a ) = ∂ µ a ν − ∂ ν a µ . Resulta que (3.4) es justamente la identidadde Bianchi que satisface el tensor de Maxwell, F µν , en dimensi´on 2+1.As´ı (3.3) y (3.4) se juntan en una sola ecuaci´on como( ε αµβ ∂ µ − msδ αβ ) f β ( a ) = 0 , (3.5)con f µ ( a ) = ε µνλ F νλ ( a ). Estas son la ecuaciones de movimiento del modelo Topol´ogicoMasivo (TM) [2] cuya acci´on es S T M = Z d x ( − F µν ( a ) F µν ( a ) + ms a µ ε µνλ ∂ ν a λ , (a)= 12 Z d x ( f µ ( a ) f µ ( a ) + msa µ f µ ( a )) , (b) (3.6)donde s = ±
1. Es importante recalcar que si empezaramos con la acci´on autodual con V µ = ε µνλ F νλ ( a ), las ecuaciones de movimiento seran igualmente equivalentes a las delmodelo TM a nivel local.Las ecuaciones (3.6) son invariantes bajo las transformaciones de calibre δa µ = ∂ µ λ .La componente 0 de (3.5) es la ley de Gauss modificada, que luego en el procedimientoHamiltoniano pasa a ser el generador de las transformaciones de calibre de los a i , siendo a el multiplicador de Lagrange asociado. Una vez fijado el calibre nos quedar´a un s´ologrado de libertad, como debe de ser.La teor´ıa TM es tambi´en una teor´ıa covariante bajo el grupo ISO (2 ,
1) y tiene spin s (+1 ´ o −
1) [2].Tal como vimos en el cap´ıtulo anterior la condici´on de Pauli-Lubanski es sensible aparidad e inversi´on temporal. Tanto el modelo SD como el TM poseen esta caracter´ısticasi consideramos transformaciones discretas P y T. Bajo estas transformaciones sucede que .1 Los modelos como realizaciones del ´algebra de Poincar´e 15
P a ( x ) P − = a ( x P ) ,P a ( x ) P − = − a ( x P ) , (a) P a ( x ) P − = a ( x P ) , (3.7) T a ( x ) T − = a ( x T ) ,T a i ( x ) T − = − a i ( x T ) , (b)con x µP = ( x , − x ′ , x ) ,x µT = ( − x , x i ) , (c)igualmente sucede con V µ ( x ) en el modelo autodual. En ambos casos el t´ermino deCheen-Simons (CS) a µ ε µνλ ∂ ν a λ (´o V µ ε µνλ ∂ ν V λ ) cambia de signo. As´ı una transformaci´oncombinada PT deja invariante a ´este t´ermino. Tenemos que los modelos SD y, TM sonsensibles a paridad e inversi´on temporal. El spin de las exitaciones en el modelo SD y TMes s = m | m | [2][17][15][16], as´ı al cambiar del signo del t´ermino de CS sencillamente cambiael spin de la exitaci´on, por tanto las transformaciones impropias nos llevan a un modelode igual tipo pero con spin opuesto.Una diferencia notoria de caracter topol´ogico entre los modelos T M y SD es queen la ecuaci´on (3.1) del modelo SD las ´unicas soluciones correspondientes a F µν ( V ) =0 son las triviales ( V µ = 0), en cambio para la T M en (3.5) las soluciones trivialesy no triviales estan expl´ıcitamente inclu´ıdas. Tenemos, por tanto, que el espacio desoluciones de ambos modelos son diferentes y difieren al menos en un sector asociado conlas soluciones no triviales de F µν = 0 el cual est´a ´ıntimamente relacionado con el primergrupo de cohomolog´ıa de la variedad base. ´Este espacio es precisamente el espacio desoluciones del modelo de Chern-Simons puro [19, 20].Si queremos una teor´ıa que preserve P y T debemos tener presente dos exitaciones conspines opuestos (e igual masa). ´Este es el caso del modelo de Proca S P = Z d x ( − F µν F µν − m a µ a µ ) , (3.8)el cual puede verse que es invariante bajo estas transformaciones discretas. Para corro-borar la afirmaci´on hecha, reescribimos la acci´on (3.8) a primer orden¯ S P = Z d x ( ε µνλ b µ ∂ ν a λ − b µ b µ − m a µ a µ ) , (3.9)donde b µ es un pseudo-vector para mantener la invariancia bajo P y T en la acci´on (3.9).Haciendo variaciones respecto a b µ obtenemos b µ = f µ ( a ) que al sustituir en ¯ S P nos llevaa (3.8). Si hacemos el cambio a µ = 1 √ a µ + a µ ) , (a) b µ = m √ a µ − a µ ) , (b) (3.10)y sustituimos en (3.9) obtendremos, eliminando las contribuciones de borde¯ S P (cid:12)(cid:12)(cid:12) = − Z d x [ − ε µνλ a µ ∂ ν a λ + ma µ a µ ++ ε µνλ a µ ∂ ν a λ + ma µ a µ ] , (3.11)que corresponde a dos modelos SD desacoplados. Uno con s = − a µ ) y otro con s = +1 (el de a µ ).Las transformaciones P y T las definimos ahora de forma que incluyan un intercambiode los campos a µ y a µ . As´ı el car´acter pseudo-tensorial de b µ aparece y (3.11) quedainvariante. En el cap´ıtulo siguiente cuando veamos las teor´ıas con s = 2 veremos que estasituaci´on reaparece con el modelo de Einstein-Fierz-Pauli.Pasamos ahora a conectar los modelos SD y TM por dualidad. El esquema de dualidad que utilizaremos es el siguiente [13] [14]: partiendo de la teor´ıaSD con un campo vectorial a µ , introducimos un acoplamiento de la teor´ıa original con otrocampo vectorial A µ el cual forzamos a que corresponda a una conexi´on plana ( F µν ( A ) = 0)por la v´ıa de un multiplicador de Lagrange B µ . La teor´ıa acoplada con a µ , A µ y B µ esequivalente localmente al modelo SD. . La teor´ıa dual corresponder´a a la teor´ıa resultanteluego de eliminar a a µ y A µ usando las ecuaciones de movimiento. Este proceso deeliminaci´on es equivalente al que hici´eramos en la integral funcional.Empezamos, as´ı con el modelo autodual S SD = − m Z d x [ ε µνλ a µ ∂ ν a λ + ma µ a µ ] . (3.12)En variedades triviales el primer t´ermino de esta acci´on es equivalente a otro escrito dela forma ε µνλ ( a µ + A µ ) ∂ ν ( a λ + A λ ) si el campo auxiliar A µ le es impuesta la condici´on F µν ( A ) = 0. En variedades no triviales no tiene porque ser as´ı y por esta v´ıa a laspropiedades topol´ogicas no triviales pueden ser introducidas dentro de la formulaci´on.El modelo acoplado ser´a .2 Dualidad entre los modelos SD y TM 17 ˜ S SD = − m Z d x [ ε µνλ ( a µ + A µ ) ∂ ν ( a λ + A λ ) + (3.13)+ ma µ a µ + 2 B µ ε µνλ ∂ ν A λ ] , donde el campo B µ aparece como un multiplicador que forza a A µ a ser una conexi´onplana ( ε µνλ ∂ λ A λ = 0).Las ecuaciones de movimiento del modelo ˜ S SD , al hacer variaciones independientes enlos campos, son: − m a µ − mε µνλ ∂ ν ( a λ + A λ ) = 0 (a) ε µνλ ∂ ν ( a λ + A λ + B λ ) = 0 (b) (3.14) ε µνλ ∂ ν A λ = 0 (c)las cuales son invariantes bajo las transformaciones de calibre δA µ = ∂ µ Λ δB µ = ∂ µ Λ . (3.15)La invariancia de calibre asociado a A µ y la ecuaci´on (3.14c) permiten, localmente, elim-inarlo de la acci´on ( A µ = ∂ µ λ ∼
0) recuperando la acci´on autodual usual (la ecuaci´on3.14b permitir´a, ahora identificar a µ con B µ ). Nos interesa ver cual es el modelo asociadocon s´olo el campo B µ . Llamemos ˜ A µ ≡ a µ + A µ + B µ , (3.16)la ecuaci´on (3.14b) dice que ε µνλ ∂ ν ˜ A λ = 0 , (3.17)y escogemos el calibre ∂ µ ˜ A µ = 0 . (3.18)De (3.17) tenemos que ˜ A µ = 0, as´ı B µ = − ( a µ + A µ ) . (3.19)Sustituyendo (3.17) y (3.19) en (3.13) llegamos a˜ S SD (cid:12)(cid:12)(cid:12) ˜ A µ =0 = − m Z d x ( − ε µνλ B µ ∂ ν B λ + ma µ a µ − B µ ε µνλ ∂ ν a λ ) , (3.20)ahora el papel de a µ es como un campo auxiliar. El modelo resultante resulta ser unaversi´on a primer orden de la teor´ıe TM. De hecho, las ecuaciones de movimiento de a µ son − m a µ + mε µνλ ∂ ν B λ = 0´o a µ = 1 m ε µνλ ∂ ν B λ , (3.21)que al sustituir en (3.20) nos llevan al modelo TM en funci´on de B µ (cid:16) ˜ S SD (cid:12)(cid:12)(cid:12) ˜ A µ =0 (cid:17)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≡ S T M = Z d x ( − F µν ( B ) F µν ( B ) + m ε µνλ B µ ∂ ν B λ ) , (3.22)Los c´alculos ”on shell” hechos hasta ahora pueden hacerse desde el punto de vistade la integraci´on funcional y nos permitir´an obtener una relaci´on entre las funciones departici´on de los modelos SD y TM. Notemos que (3.13) puede escribirse como:˜ S SD = − m Z d x [ ε µνλ a µ ∂ ν a λ + ma µ a µ ++(2 a µ + 2 B µ + A µ ) ε µνλ ∂ ν A λ ] , (3.23)= − m Z d x [ − ε µνλ B µ ∂ ν B λ + ma µ a µ − B µ ε µνλ ∂ ν a λ ++( a µ + B µ + A µ ) ε µνλ ∂ ν ( a µ + B µ + A µ )] , (3.24)donde observamos que si hacemos el cambio de variable 2 ˜ A µ − A µ = ˜ B µ en (3.23) nosqueda el modelo SD mas un t´ermino BF. La funci´on de partici´on de este ´ultimo es la delmodelo Cheen-Simons (CS) puro al cuadrado [18]. As´ı Z ˜ S SD ∝ Z SD · ( Z CS ) (3.25)la parte Z CS tiene car´acter estrictamente topol´ogico y est´a relacionado con la torsi´on deRay-Singer [18]. Por otro en (3.24) observamos que en la integral funcional es posiblehacer la integraci´on en ˜ A µ (entendi´endose que deba hacerse todo el proceso de fijaci´on decalibre) produci´endose un factor Z CS y el resto es la acci´on T M . As´ı Z ˜ S SD ∝ Z T M · Z CS . (3.26)Tenemos, entonces, que Z T M ∝ Z SD · Z CS (3.27)que es un resultado conocido [19][13][20].Conclu´ımos que el modelo SD vectorial .2 Dualidad entre los modelos SD y TM 19 S SD = − m Z d x ( ε µνλ a µ ∂ ν a λ + ma µ a µ )es dual al modelo TM vectorial S T M = Z d x ( − F µν F µν + m ε µνλ a µ ∂ ν a λ )y sus funciones de partici´on difieren en un factor topol´ogico asociado a la torsi´on de Ray-Singer cuyo valor es sensible a las propiedades topol´ogicas de la variedad base. Cuando latopolog´ıa es trivial estos modelos son completamente equivalentes [4] [21] [17] [19] [13] [20]. ap´ıtulo 4Dualidad para teor´ıas de spin 2 En este cap´ıtulo se presenta el resultado crucial de este trabajo, donde se generaliza ladualidad existente entre los modelos de spin 1 a los de spin 2, reafirmando el hecho yaconocido de que los fen´omenos que pueden predecirse para las teor´ıas vectoriales tienensu an´alogo en los modelos con spin 2 [17].Veremos que los modelos asociados a la condic´ı´on de Pauli-Lubanski en este casoresultan ser tres: el modelo autodual de spin 2 (SD) [5], el modelo intermedio (TI) [5] y elmodelo topol´ogico masivo linealizado [2]. Luego pasaremos a la generalizaci´on del m´etodousado en la referencia [13] a estos modelos. La notaci´on que utilizamos est´a expuesta enel Ap´endice.
En la discusi´on que dimos relativa a las realizaciones del ´algebra de Poincar´e con s = 2el objeto considerado fu´e un tensor de segundo orden, sim´etrico, transverso y sin traza h T tµν = h T tνµ , ∂ µ h T tµν = 0 , h µT tµ = 0 , (4.1)y la parte asociada al spin del momento angular, la realizamos con el operador (ver (2.34))( J µ ) αβγσ = i δ γα ε σµβ + δ σα ε αµβ + δ γβ ε σµα + δ σβ ε γµα ) . (4.2)As´ı, la condici´on de Pauli-Lubanski queda como12 [( J µ P µ ) ± m I ] αβγσ h T tασ = 0 . (4.3)´Este objeto sim´etrico, transverso y sin traza, tiene dos componentes independientes. Sinembargo en (4.3) puede verse que s´olo uno de ellos se propaga. De hecho en este objetopodemos distinguir las partes h (+) T tαβ y h ( − ) T tαβ [5][17] h ( ± ) T tαβ = 12 [ h T tαβ ±
12 ( ξ αγ δ σβ + ξ βγ δ σα ) h T tγσ ] , (4.4)con ξ αγ = ε αµγ ρ µ , y ρ µ = ∂ µ ✷ . Realizando al operador P µ como i∂ µ ,(4.4) se escribe como h ± T tαβ = 12 [ I αβ γσ ∓ ✷ / ( P µ J µ ) αβγσ ] h T tασ . (4.5)As´ı h T tαβ = h + T tαβ + h − T tαβ (4.6)[ P µ J µ h T t ] αβ = 2 ✷ / ( h − T tαβ − h + T tαβ ) (4.7)Vamos, entonces a (4.3) con (4.6) y (4.7), obteniendo − ( ✷ / ∓ m ) h + T tµν − ( ✷ / ± m ) h − T tµν = 0 . (4.8)Vemos de esta forma que en la capa de masa ( ✷ / ∼ | m | ) una de las dos componentesirreducibles tiene propagaci´on dependiendo del signo de m .Volviendo a la ecuaci´on (4.3), en componentes queda como ∓ ε αµγ ∂ µ h T tγβ + mh T tαβ = 0 . (4.9)Teniendo en cuenta la expresi´on de la conexi´on de spin de torsi´on nula cuando h µν = h T tµν (ver el Ap´endice) ω µν ( h T t ) = ε µσλ ∂ σ h T tλν , (4.10)as´ı (4.9) puede escribirse como h T tαβ = ± m ω αβ ( h T t ) , (4.11)que es como una “condici´on de autodualidad” en h T tαβ y la conexi´on ω αβ que generaliza laque aparece en el caso vectorial.La acci´on que nos lleva a la ecuaci´on (4.9) luego de eliminar los grados de libertadesp´urios es la acci´on autodual (SD) [5][6] S ± SD = − ms Z d x [ h µρ ε µνλ ∂ ν h λρ + ms h µν h νµ − h µµ h νν )] , (a)= − ms Z d x h µa [ ε µνλ η ab ∂ ν + ms ε abc ε µλρ δ cρ ] h λb , (b) (4.12) ≡ m Z d x h µa K ± µaλb h λb , (c) .1 Las acciones involucradas y su relaci´on con la condici´on dePauli-Lubanski 23 con s = ±
2. En (4.12b) se expresa la acci´on autodual de esa forma para recordar queestamos pensando a h µa como la linealizaci´on de la tr´ıada, igualmente queda claro cuales el operador de evoluci´on de la acci´on autodual K ± µaλb = − s ε µνλ η ab ∂ ν + ms ε abc ε µλρ δ cρ ) . (4.13)El campo h µν en (4.12) no tiene simetr´ıas. Uno podr´ıa pensar que, dado que la ecuaci´on(4.9) s´olo involucra la parte sim´etrica, que la parte antisim´etrica de h µν tiene poco quever, lo cual no es cierto. Para ver esto hagamos la descomposici´on h µν = H µν + ε µνλ V λ con H µν = H νµ S ± SD = m Z d x [ ∓ H µρ ε µνλ ∂ ν H ρλ − m ( H µν H µν − H νµ H νν ) + ± V µ ( ∂ ρ H ρµ − ∂ µ H ρρ ) ± ε µνλ V µ ∂ ν V λ − mV µ V µ ] , (4.14)donde observamos que la parte antisim´etrica aparece en su parte cuadr´atica como unaexitaci´on autodual de masa 2 | m | y que adem´as interact´ua con la parte de spin 1 del H µν ( ∼ ∂ µ H µν ) la cual se propagar´ıa con masa 2 | m | si no estuviera V µ . El campo V µ aparece entonces como un campo auxiliar cuya funci´on es cancelar la propagaci´on dela parte de spin 1 de H µν . Las partes de spin 0 tampoco tienen propagaci´on algunadej´andonos solo con la parte h T tµν de h µν .Se puede realizar el an´alisis can´onico de la teor´ıa SD corrobor´andose que hay uns´olo grado de libertad y de que el hamiltoniano asociado es definido positivo [5][17][22],independiente del signo ± que solo tiene que ver con el spin de la excitaci´on. ´Este an´alisisse hace por la v´ıa de la acci´on reducida y adem´as permite verificar que la teor´ıa escovariante on shell y que el spin es s = 2 m | m | = ± ω µν ( h T t ) = ε σλµ ∂ σ H T tλν = W T tµν , (4.15) G µν ( h T t ) = − ✷ H T tµν = G T tµν . (4.16) Tendremos, entonces, dos ecuaciones mas asociadas a teor´ıas de spin 2.[ J µ P µ ± m I ] αβ γσ W T tγσ ( h T t ) = 0 , (a)[ J µ P µ ± m I ] αβγσ G T tγσ ( h T t ) = 0 (b) . (4.17)En el primer caso las ecuaciones de segundo orden corresponden a la teor´ıa intermedia(TI) [5] y en el segundo caso el sistema de ecuaciones de tercer orden corresponden ala teor´ıa topol´ogica masiva (TM) linealizada [2]. Ambos modelos se pueden estudiar deforma can´onica y se prueba que describen un s´olo grado de libertad y que el spin es s = 2 m | m | [5] [2] [17] [8].Recordando la forma en que se escribe la acci´on SD y la forma de la conexi´on detorsi´on nula (ver el Ap´endice) ω aµ ( h ) = W aµ ( h )= 12 δ aλ ε λνγ [ ∂ ν ( h µγ + h γµ ) − ∂ µ h νγ ] (4.18)estas acciones (de la TI y la TM) se pueden escribir como S ± int = ± m Z d x h µa K ± µaλb m W λb ( h ) (a)= S E ± m Z d x h µa ε µνλ ∂ ν h λa (b) (4.19) S ± T M = m Z d x m W µa ( h ) K ± µaλb m W λb ( h ) , (a)= − S E ∓ m Z d x m W µa ( h ) ε µνλ ∂ ν W λb ( η ) η ab . (b) (4.20)El ´ultimo t´ermino en (4.20b) se desarrolla como12 Z d x W µa ( h ) ε µνλ ∂ ν W λa ( h ) = 12 Z d x W aµ ( h ) G µν ( h ) η νa , = − Z d x h µa C µν ( h ) η νa , ≡ S c , (4.21)donde C µν ( h ) es el tensor de Cotton linealizado. .1 Las acciones involucradas y su relaci´on con la condici´on dePauli-Lubanski 25 La acci´on de Einstein en (4.19) y (4.20) se escribe en cualquiera de las formas S E = − Z d x h µa G µν ( h ) η νa , (a)= 12 Z d x h µa η ab ε µνλ ∂ ν W λb ( h ) , (b) (4.22)= 12 Z d x ε abc ε µνλ δ cλ W µb ( h ) W λc ( h ) . (c)Para resumir lo obtenido hasta ahora con las acciones de spin 2 involucradas y querealizan la condici´on de Pauli-Lubanski definimos: S T CS = 12 Z d x h µa ε µνλ ∂ ν h λb η ab (a) S F P = − Z d x ε abc ε µνλ h µa h νb δ cλ (b) (4.23)cuyos nombres vienen del t´ermino tri´adico de Chern-Simons (o tambi´en llamado t´erminotraslacional de Chern-Simons) [23] y del t´ermino tipo Fierz-Pauli, respectivamente. Conestas definiciones tenemos que las acciones de spin 2 masivo a considerar se escriben como S ± SD = ∓ mS T CS + m S F P , (a) S ± int = ± mS T CS + S E , (b) (4.24) S ± T M = ∓ m S C − S E , (c)donde el signo ± no influye en la positividad de la energ´ıa, pero si en el spin. El signo fijoque aparece en cada acci´on si tiene que ser asi para que la energ´ıa sea definida positiva.Es notorio que en la acci´on S T M el signo del t´ermino de Einstein es opuesto al usual.La acci´on S ± int que realiza la condici´on (4.17a) es invariante, salvo un t´ermino deborde, bajo transformaciones de difeomorfismos linealizadas, que ser´a una invariancia decalibre de la teor´ıa. An´alogamente la ecuaciones de movimiento de (4.17c) adem´as deser invariante bajo difeomorfismos, tambi´en lo son bajo transformaciones de Lorentz, as´ıque S T M tiene estas dos invariancias de calibre. De hecho la acci´on S T M s´olo dependede la parte sim´etrica de h µν . Veremos que en el proceso de dualidad lo que haremos esir agregando invariancias de calibre y aumentando el espacio de soluciones incorporandosoluciones no triviales de ω µν ( h ) = 0 (en el caso de la TI) y de G µν ( h ) = 0 (en el caso dela teor´ıa TM). En sentido contrario uno podr´ıa ir fijando calibre y pasar de la teor´ıa TMa la TI y de ah´ı a la teor´ıa SD. Esto fu´e realizado hace un tiempo en [8].Una propiedad que comparten todas estas acciones es que la presencia de los t´erminoscon la densidad de Levy-Civita son sensibles a las transformaciones discretas P y T. De hecho al hacer alguna de estas transformaciones pasamos a una teor´ıa del mismo tipo peroque describe el spin opuesto. Cabe aca preguntar si es posible, en analog´ıa con el casovectorial, construir una teor´ıa que describa excitaciones de spin 2 y que sea invariantebajo P y T. La respuesta es que si y para verlo tomemos el modelo de Einstein masivodescrito por S = S E + m S F P , (4.25)el cual a primer orden se escribe como S = 12 Z d x [2 h aµ ε µνλ ∂ ν w λb η ab − ε abc ε µλρ δ cρ ( m h µa h λb + w µa w λb )] , (4.26)donde queda claro que el campo w aparece de forma auxiliar como un pseudo tensor desegundo orden para garantizar la invariancia bajo las transformaciones impropias P y T.Al hacer variaciones respecto a ´el obtendremos que es la conexi´on de spin de torsi´on nulalinealizada, que al sustituirla nos lleva a la acci´on original de segundo orden. Si hacemos,en analog´ıa con el caso vectorial, el cambio h µa = 1 √ h µa + h µb ) , (a) w µa = m √ h µa − h µb ) , (b) (4.27)y sustituimos en (4.26) la acci´on se desacopla en dos modelos autoduales con igual masa( m ) y spines opuestos S −→ S − SD [ h ] + S + SD [ h ] . (4.28)Ahora, si al hacer una de estas transformaciones discretas inclu´ımos el cambio entre loscampos h µa y h µa ´esta permanece invariante. S SD −→ S int En esta secci´on generalizaremos el procedimiento llevado a cabo con los modelos vectori-ales [13][24]. Partimos de la acci´on (4.24) S SD = − ms Z d x ( h aµ ε µνλ ∂ ν h λa + ms ε abc ε µνλ h aµ h bν δ cλ ) . (4.29)La funci´on de partici´on de esta acci´on es Z SD (0) = N Z D h µν e − S SD . (4.30)El primer t´ermino en (4.29) es invariante, salvo un t´ermino de borde, bajo la suma a h aµ de ∂ µ b a . As´ı le sumamos el campo auxiliar H µa .2 Dualidad S SD −→ S int − ms Z d x ( h aµ + H aµ ) ε µνλ ∂ ν ( h λa + H λa ) , (4.31)e imponemos la condici´on ε µνλ ∂ ν H λa = 0 , (4.32)que nos permite realizar la transformaci´on de dualidad. De hecho (4.32) es equivalentea tomar W µa ( H ) = 0. Viendo la forma de W µa ( H ) obtendremos que (4.32) obliga aque localmente H λa = ∂ λ b a , que es calibrable v´ıa transformaciones de difeomorfismos.Tenemos que la soluci´on de (4.32) es puro calibre y se recupera S SD (4.24). En generalpara incluir soluciones generales de W aµ ( H ) = 0, se forza (4.32) con un multiplicador deLagrange. La acci´on a considerar es entonces e S SD = − ms Z d x [( h aµ + H aµ ) ε µνλ ∂ ν ( h λa + H λa ) ++ ms ε abc ε µνλ h aµ h bν δ cλ − B µa ε µνλ ∂ ν H aλa ] , (4.33)si en el ´ultimo t´ermino hacemos el cambio B µa −→ λ µa − η µa λ µµ , (4.34)´este toma la forma λ µa W µa ( H ). En la integral funcional ´este t´ermino promueve una δ ( W µa ( H )) posiblemente debiendo tener en cuenta algunas sutilezas de caracter topol´ogico [25]que no pretendemos abordar en este trabajo. Podremos as´ı recuperar S AD a nivel de laacci´on o de su integral funcional. El proceso de dualidad que desarrollaremos lo que pre-tende es ver cual es la acci´on que resulta luego de eliminar los campos y dejar la acci´onque resulte para el multiplicador B µa . La acci´on que quede ser´a la del modelo dual.Veamos el proceso a nivel de la acci´on. Las ecuaciones de movimiento (4.33) son: δ e Sδh µa = 0 = ⇒ − ε µνλ ∂ ν ( h λa + H λa ) − ms ε abc ε µνλ h νb δ cλ = 0 , (a) δ e SδH µa = 0 = ⇒ − ε µνλ ∂ ν ( h λa + H λa − B λa ) = 0 (b) ,δ e SδB µa = 0 ε µνλ ∂ ν H λa = 0 . (c) (4.35)Las ecuaciones de movimiento son invariantes bajo las transformaciones de calibre δH aλ = ∂ λ ζ a (a) ,δB aλ = ∂ λ ˜ ζ a . (b) (4.36)La ecuaci´on (4.35c) puede resolverse localmente permitiendo calibrar H aλ y al ir a(4.33) recuperamos (4.24). Para que emerja la teor´ıa dual observamos que de (4.35b) H λa = B λa − h λa + l λa (a) , con ε µνλ ∂ ν l λa = 0 , (b) (4.37)que sustituimos en (4.33) ee S SD = e S SD (cid:12)(cid:12)(cid:12) (37) = − ms Z d x [ B µa ε µνλ ∂ ν B λa + ms ε abc ε µνλ h µa h νb δ cλ + − B µa ε µνλ ∂ ν ( B λa − h λa )] , = − ms Z d x [ − B µa ε µνλ ∂ ν B λa + ms ε abc ε µνλ h µa h νb δ cλ ++2 B µa ε µνλ ∂ ν h λa ] . (4.38)Que corresponde a una versi´on a primer orden de S int . De hecho, si en ee S SD hacemosvariaciones respecto a h µa δ ee S SD δh µa = 0 = ⇒ ε µνλ ∂ ν B λa = − ms ε bca ε µνλ h νb δ cλ (4.39)y as´ı (ver el Ap´endice) h µa = − ms W µaλb B λb = − ms W µa ( B ) (4.40)que nos permite eliminar a h µa , qued´andonos el modelo dual S dualSD = − ms Z d x [ − B µa ε µνλ ∂ ν B λa − ms ε abc ε µνλ W µa ( B ) W ν b ( B ) δ cλ ++ 4 ms B µa ε µνλ ∂ ν W λa ( B )] , = ms Z d x B µa ε µνλ ∂ ν B λa + S E ( B ) , (a)= S int ( B ) (b) (4.41) .2 Dualidad S SD −→ S int Es importante notar que en el modelo dual el t´ermino TCS aparece con un signoopuesto al que tiene originalmente en la teor´ıa SD de partida. Este cambio no est´aasociado a un cambio de spin, ´ese es el signo que debe tener para que describa el mismospin que el modelo de partida. Notemos que en el c´alculo se mantuvo el valor de s sinespecificar para que sirva a ambos casos ( s = ± − B µa ε µνλ ∂ ν B λa + 2 B µa ε µνλ ∂ ν h λa = − ( B µa − h µa ) ε µνλ ∂ ν ( B λa − h λa ) ++ h µa ε µνλ ∂ ν h λa (4.42)as´ı ee S SD = S + SD ( h ) + S T CS ( B − h ) (4.43)y entonces Z ee S SD ∝ Z S SD Z S TCS (4.44) ∝ Z S int (4.45)Haciendo un procedimiento an´alogo en e S SD obtendremos e S SD = gg S SD ( h ) − ms S T CS ( H + h − B ) , (4.46)de donde entendemos que al sustituir (4.37a) el proceso correspondiente en la integralfuncional equivale a hacer la integral de e H µa = H µa + h µa − B µa , incluyendo los t´erminosde fijaci´on de calibre, produciendo un factor Z S TCS .Observamos en (4.44) que las funciones de partici´on del modelo dual ( S int ) y el modeloSD diferiran en un factor asociado a la funci´on de partici´on del modelo TCS, el cual est´aasociado a soluciones de ω µa ( h ) = 0. El significado topol´ogico o no trivial que pueda tenereste factor merece ser estudiado. ´Este podr´ıa cobrar valor si consideramos variedades contopolog´ıa no trivial .El procedimiento que seguimos incorpor´o la invariancia de calibre bajo difeomorfismosy ya es conocido que S int y S SD se conectan fijando el calibre en el primero [8]. Estasituaci´on es an´aloga al caso vectorial. Pasamos ahora a la dualidad entre el TI y la TMdonde incorporaremos la invariancia que falta: la invariancia bajo transformaciones deLorentz linealizadas. La dualidad vista desde el punto de vista de las funciones de partici´on ha sido considerada reciente-mente de forma mas completa e independiente en[26] S int −→ S T M
Partimos, ahora, de la acci´on intermedia con el t´ermino de Einstein escrito a segundoorden orden S int = 12 Z d x [ h µa ε µνλ ∂ ν ω λa ( h ) + ms h µa ε µνλ ∂ ν h λa ] . (4.47)Esta acci´on es invariante, salvo un t´ermino de borde, bajo δh aµ = ∂ µ ζ a (4.48)que corresponde a la invariancia bajo difeomorfismos linealizada. Podemos observartambi´en que la parte que corresponde al t´ermino de Einstein es invariante, salvo unt´ermino de borde, bajo la transformaciones de Lorentz linealizadas δh µa = ε µaσ l σ , δω µa ( h ) = − ∂ µ l a . (4.49)´Esta invariancia no la tiene el t´ermino TCS. Para promoverla modificamos el t´ermino enforma an´aloga a antes − ms Z d x ( h aµ + H aµ ) ε µνλ ∂ ν ( h λa + H λa ) , (4.50)e imponemos, ahora, la condici´on ε µνλ ∂ ν W λa ( H ) = − G µa = 0 , (4.51)con W λa ( H ) = ( η µa η λb − η λa η µb ) ε µρσ ∂ ρ H σb , que corresponde a la conexi´on de spin lin-ealizada de torsi´on nula. Localmente la soluci´on de (4.51) es “puro calibre” y permiterecuperar el t´ermino T CS y as´ı la acci´on intermedia. Globalmente ´este no ser´a el caso.Empezamos as´ı con la acci´on e S int = 12 Z d x [ h µa ε µνλ ∂ ν ω λa ( h ) + ms h µa + H µa ) ε µνλ ∂ ν ( h λa + H λa )+2 B µa ε µνλ ∂ ν W λa ( H )] , (4.52)donde hemos introducido a un multiplicador B µa que forza la condici´on (4.51).Las ecuaciones de movimiento de (4.52) son δ e Sδh µa = 0 = ⇒ ε µνλ ∂ ν [ ω λa ( h ) + ms h λa + H λa )] = 0 , (a) δ e SδH µa = 0 = ⇒ ε µνλ ∂ ν [ W λa ( B ) + ms h λa + H λa )] = 0 . (b) δ e SδB µa = 0 = ⇒ ε µνλ ∂ ν W λa ( H ) = 0 , (c) (4.53) .3 Dualidad S int −→ S T M ´Estas son invariantes bajo las transformaciones de calibre δh aλ = ∂ λ ξ a , δH aλ = ∂ λ ξ a , B aλ = ∂ λ ξ a ,δh aλ = ε λab l b , δH aλ = − ε λab l b , B aλ = ε λab e l b (4.54)donde observamos que ha sido promovida la invariancia bajo transformaciones de Lorentzausente en (4.47). La invariancia de calibre asociada a H aλ y la resoluci´n local de (4.53c)permiten recuperar la acci´on intermedia. Para obtener el modelo dual primero notamosque podemos tomar H λa = − h λa − ms W λa ( B ) + l λa (a) , con ε µνλ ∂ ν l λa = 0 , (b) (4.55)que sustituimos en (4.52), llev´andonos a ee S int = 12 Z d x [ h µa ε µνλ ∂ ν ( ω λa ( h ) − W λa ( B )) − ms W µa ( B ) ε µνλ ∂ ν W λa ( B )] . (4.56)Ahora hacemos variaciones independientes en (4.56) respecto a h µa y obtenemos ε µνλ ∂ ν W λa ( h − B ) = 0 . (4.57)Usamos la invariancia de calibre Lorentz y de difeomorfismos para fijar h µa = B µa yfinalmente sustituyendo esta fijaci´on en (4.56) obtendremos S dualint = ee S int (cid:12)(cid:12)(cid:12) (3 . = − Z d x [ ε µνλ B µa ∂ ν W λa ( B ) + 2 ms W µa ( B ) ε µνλ ∂ ν W λa ( B )] , (4.58)= S T M ( B ) . Notamos que el primer t´ermino en (4.58) corresponde a la acci´on de Einstein con el signoopuesto al usual, tal como debe suceder en la acci´on topo0l´ogica masiva.En el proceso cuando pasamos de e S int a ee S int agotamos la libertad de calibre asociadaa H µa en el modelo original. En el pasaje a S T M agotamos la asociada a h µa , dej´andonosfinalmente con la invariancia bajo transformaciones de Lorentz y de difeomorfismos lin-ealizados en B µa . De hecho puede verse que su parte antisim´etrica no aparece en (4.58).Para ver la relaci´on entre las funciones de partici´on observemos que ee S int puede es-cribirse como ee S int = 12 Z d x ( h µa − B µa ) ε µνλ ∂ ν ω λa ( h − B ) + − Z d x [ ε µνλ B µa ∂ ν W λa ( B ) + 2 ms W µa ( B ) ε µνλ ∂ ν W λa ( B )] . (4.59) La primera integral en (4.59) corresponde a S E en el campo h µa − B µa , la segunda integrales presisamente S T M . As´ı podemos hacer la integral funcional en ˜ h µa ≡ h µa − B µa ,introduciendo los t´erminos de fijaci´on de calibre que correspondan y quedar´ıa la integralde la T M . As´ı Z ee S int ∝ Z S TM Z S E . (4.60)El factor que tiene que ver con la acci´on de Einstein est´a en correspondencia con la fijaci´onde calibre que se tuvo que hacer para llegar a la acci´on S T M ( B ). En otra direcci´on e S int puede reescribirse como e S int = 12 Z d x [( h µa + H µa ) ε µνλ ∂ ν ω λa ( h + H ) + ms h µa + H µa ) ε µνλ ∂ ν ( h λa + H λa )+(2 B µa − h µa − H µa ε µνλ ∂ ν W λa ( H )] , (4.61)donde vemos como que se han ”aislado´´ los t´erminos que tienen que ver con la acci´on dela T I expresados en funci´on del campo ˜ h µa ≡ h µa + H µa . Al plantear la integral funcionalredefinimos adem´as ˜ B µa ≡ B µa − h µa − H µa . La integral funcional ser´a la de la acci´nintermedia por un factor que, al igual que en el caso de la acci´on BF del caso vectorial,debe ser proporcional al cuadrado de la funci´on de partici´on de la acci´on de Einstein. As´ı Z e S int ∝ Z S int ( Z S E ) . (4.62)Teniendo en cuenta (4.60) y (4.62) conclu´ımos que Z e S TM ∝ Z S int Z S E , (4.63)que relaciona las funciones de partici´on de las acciones S int y S T M . Hemos visto que hay tres modelos asociados a la condici´on de Pauli-Lubanski con s = ± SD ) S ± SD = − ms Z d x h µa [ ε µνλ η ab ∂ ν + ms ε abc ε µλρ δ cρ ] h λb , (4.64)el cual no tiene invariancias de calibre. Le sigue el modelo intermedio ( T I ) S int = 12 Z d x [ h µa ε µνλ ∂ ν ω λa ( h ) + ms h µa ε µνλ ∂ ν h λa ] , (4.65)el cual es invariante, salvo un t´ermino de borde, bajo las transformaciones de difeomor-fismos linealizadas δh aµ = ∂ µ ζ a . (4.66) .4 Conclusi´on 33 Finalmente est´a el modelo topol´ogico masivo (
T M ) S T M = − Z d x [ ε µνλ h µa ∂ ν ω λa ( h ) + 2 ms ω µa ( h ) ε µνλ ∂ ν ω λa ( h )] , (4.67)el cual tambi´en es invariante bajo difiemorfismos y expl´ıcitamente invarianle bajo trans-formaciones de Lorentz δh µa = ε µab l b , dado que la parte antisim´etrica de h µa no apareceen la acci´on.Vimos que se puede pasar por una transformaci´on de dualidad del modelo SD al T I incorporando adem´as la invariancia bajo difeomorfismos. De forma an´aloga se pasadel model
T I al T M por una transformaci´on de dual˜nidad, y se incorpora tambi´en lainvariancia Lorentz faltante. Los espacios de soluciones de los modelos SD y T I didierenen las soluciones no triviales de ω µa ( h ) = 0. Estas soluciones corresponden al modelo T CS libre. En el caso de los modelos
T I y T M los espacios de soluciones difieren en lassoluciones no triviales de G µa ( h ) = 0, las cuales estan asociadas al modelo no din´amicode Einstein libre.A nivel de las funciones de partici´on observamos que estas difieren en factores queestan relacionadas con las funciones de partici´on de los modelos T CS y de Einstein. Enparticular obtuvimos que Z S int ∝ Z S SD Z S TCS , (4.68) Z S TM ∝ Z S int Z S E . (4.69)Notamos que el factor en que difieren las acciones est´a relacionado con la parte del espaciode soluciones en que difieren.Los c´aculos aca presentados en relaci´on con las funciones de partici´on se ha hecho deforma heur´ıstica y merecen ser estudiados de forma rigurosa. En varidades de topolog´ıatrivial los modelos SD , T I y T M son completamente equivalentes y sus funciones departici´on seran iguales. ap´ıtulo 5Conclusiones
Siguiendo lineamientos convencionales se obtienen las ecuaciones que deben cumplir loscampos que realicen el ´algebra del grupo de Poincar´e en dimensi´on 2+1 con spin (ohelicidad) entero (no nulo) y masa m. Se muestra como para el caso de s = 1 lasrealizaciones corresponden al modelo masivo autodual y el topol´ogico masivo. Igualmentese muestra que para s = 2 las realizaciones corresponden a los modelos: masivo autodualde spin 2, intermedio y topol´ogico masivo linealizado.Para s = 1 se revisa que los modelos estan conectados por ua transformaci´on dedualidad la cual incorpora la invariancia de calibre no presente en el modelo autodual. Sediscute tambi´en la realci´on entre las funciones de partici´on las cuales difieren en un factorrelacionado con la torsi´on de Ray-Singer de la variedad base.Para s = 2 se muestra que por la v´ıa de transformaciones de dualidad es posiblepasar del modelo autodual al intermedio, y a partir de ´este ´ultimo al topol´ogico masivolinealizado. En el primer paso se incorpora la invariancia bajo difeomorfismos linealizadaausente en el modelo autodual. En el segundo paso se incorpora la invariancia bajotransformaciones de Lorentz linealizada no presente en el modelo intermedio. Para estosmodelos se encuentra que las funciones de partici´on difieren en factores asociados a teor´ıasque describen las soluciones no triviales de ω µa ( h ) = 0 (en el caso de los modelos autodual eintermedio) o a soluciones no triviales de G µa ( h ) = 0 (en el caso de los modelos intermedioy topol´ogico masivo linealizado). Cuando miramos los espacionos de soluciones de cadapar de modelos (autodual-intermedio o intermedio-topol´ogico masivo) estos difieren enlas soluciones no triviales antes se˜naladas. Estos factores que diferencian las funcionesde partici´on cobran importancia a la hora de considerar las teor´ıas acopladas con fuentesexternas. Valdr´ıa la pena abordar el significado topol´ogico que podr´ıan tener.27-12-2009: Recientemente se han publicado resultados, independientes, concernientesa la dualidad entre las teor´ıas autodual, intermedia y topol´ogica masiva desde un enfoquemas completo de la funci´on de partici´on[26]. p´endice AConvenciones para gravedad curva ylinealizada A.1 Transformaciones ba jo difeomorfismos
Las transformaciones generales de coordenadas x µ −→ x ′ µ = x µ − ζ µ ( x ) , (A.1)inducen en un tensor p covariante, q contravariante, el cambio δT µ − µ q ν − ν p = ζ ρ ∂ ρ T µ − µ q ν − ν p + ∂ ν ζ ρ T µ − µ q ρν − ν p + (A.2)+ ∂ ν ζ ρ T µ − µ q ν ρν − ν p + · · ·− ∂ ρ ζ µ T ρµ − µ q ν − ν p − ∂ ρ ζ µ T µ ρ − µ q ν − ν p − · · · , A.2 Derivadas covariantes, conexiones, tensores deRiemman, Ricci, Einstein, Cotton, Torsi´on
Las derivadas covariantes mantienen el caracter del objeto sobre el cual act´uan. Sobrevectores covariantes y contravariantes act´uan como D µ U ν = ∂ µ U ν − Γ λµν U λ , (a) D µ V ν = ∂ µ V ν + Γ νµλ V λ . (b) (A.3)Sobre un tensor 2 covariante act´ua as´ı D µ A νλ = ∂ µ A νλ − Γ ρµν A ρλ − Γ ρµλ A νρ . (A.4) La generalizaci´on es inmediata para un tensor mixto.La conexi´on Γ λµν no es un buen tensor bajo difeomorfismos, sin embargo la torsi´on silo es T λµν = Γ λµν − Γ λνµ . (A.5)El tensor de Riemman se define por el conmutador de las derivadas covariantes[ D µ , D ν ] V λ = R µνσλ V σ − T σµν D σ V λ , (A.6)donde R µνσλ = ∂ µ Γ λνσ + Γ λµρ Γ ρνσ − ∂ ν Γ λµσ + Γ λνρ Γ ρµσ . (A.7)Cuando la torsi´on es cero (se dice que el espacio es de Riemman) se obtiene queΓ λµν = 12 g λσ ( ∂ µ g σν + ∂ ν g σµ − ∂ σ g µν ) . (A.8)Las identidades de Jacobi para los conmutadores nos llevan a las identidades D ρ R µνσλ + T γµν R γρσλ + (permutaciones c´ıclicas en ρµν ) = 0 . (a) R µνρλ − D ρ T γµν − T σµν T λσρ + (permutaciones c´ıclicas en ρµν ) = 0 . (b) (A.9)El tensor de Ricci se define por la contracci´on R µν = R λµν λ = R νµ , (A.10)y el escalar de curvatura se define haciendo otra contracci´on R = R µµ . (A.11)Con R µν y R se define el tensor de Einstein G µν = R µν − g µν R, (A.12)el cual cumple, en virtud de (A.9) D µ G µν = 0 (A.13)En d = 2 + 1 sucede que los tensores de Einstein y Riemman tienen el mismo n´umerode componentes independientes. As´ı que uno puede expresarse en funci´on del otro R µνλσ = − ε µνρ ε σγλ G ρλ (A.14)y no se tiene tensor de Weyl. En su lugar se usa el tensor de Cotton .3 El lenguaje de las tr´ıadas y los objetos asociados 39 C µν = 1 √− g ε µρλ D ρ e R νλ (A.15)con e R νµ = G νµ − g νµ G, (a)= R νµ − g νµ R. (b) (A.16) A.3 El lengua je de las tr´ıadas y los ob jetos asociados
Al remitirnos al espacio tangente se introducen los vielbeins e a las cuales tiene compo-nentes e µa . Sus duales tienen componentes e µa . As´ı e µa e µb = δ ab . (A.17)Nos referimos a ´ındices de universo con letras griegas y a los del espacio tangente conlas primeras letras del alfabeto.En el espacio tangente las transformaciones que preservan el producto U a V a son: δV a = V b X ba ; δU a = − X ab U b , (A.18)y se introducen las derivadas covariantes asociadas a estas transformaciones D µ U a = ∂ µ U a − ω µab U b , (a) D µ V a = ∂ µ V a + V b ω µba , (b) (A.19)con ω µab , la conexi´on de spin , que transforma como δω µab = − D µ X ab . (A.20)Para objetos, mixtos como la tr´ıada, la derivada covariante total es D µ e ν a = D µ e νa − Γ λµν e λa . (A.21)As´ı al igual que pedimos que D µ g λρ = 0, si pedimos que D µ e ν a = 0 tendremos que D µ e νa = Γ λµν e λa , (A.22)de donde se obtiene que T λµν e λa = ( D µ e ν a − D ν e µa ) , ≡ T µν a . (A.23)Nos referiremos indistintamente a T µν a como la torsi´on.En 2 + 1 dimensiones, dado que ω µab = − ω µba , introducimos la conexi´on de spin dual ω µa ≡ ε abc ω µbc . (A.24)De esto (A.19) se expresa como D µ U a = ∂ µ U a − ε abc ω bµ U c , (a) D µ V a = ∂ µ V a − ε abc ω bµ V c . (b) (A.25)El conmutador de derivadas covariantes nos permite introducir al an´alogo del tensorde curvatura [ D µ , D ν ] V a = V b R µνba , (A.26)con R µνba = ∂ µ ω νba − ∂ ν ω µba + ω νac ω µcb − ω νbc ω µca . (A.27)Resulta que R µν ab = − R µν ba y en 2 + 1 introducimos R ∗ µν a = 12 ε abc R µν bc , = ∂ µ ω νa − ∂ ν ω µa − ε abc ω µb ω νb . (A.28)Tambi´en sucede que R ∗ µν a = − R ∗ νµa , as´ı que podemos introducir su dual R ∗∗ µa = 12 ε µνλ R ∗ νλa , (a)= 14 ε µνλ ε abc R νλbc . (b) (A.29)Resulta que R µνλσ = R µνab e λa e σb , (A.30) R ∗∗ µa = − eG µν e νa , (A.31) .4 Transformaciones de calibre en el lenguaje de las tr´ıadas 41 con e = − ε abc ε µνλ e µa e νb e λc , (A.32)el determinante de la tr´ıada. Las identidades de Bianchi que surgen de las identidades deJacobi para los conmutadores son D µ R ∗ νλa + (permutaciones c´ıclicas en µνλ ) = 0 , de donde D µ R ∗∗ µa = 0 . En otra direcci´on la ecuaci´on de T µν a = 0 permite despejar la conexi´on en funci´on dela tr´ıada eω µa = ( e µb e ρa − e µa e ρb ) ε ρνλ ∂ ν e λb (A.33) A.4 Transformaciones de calibre en el lengua je de lastr´ıadas
La transformaci´on de la conexi´on de torsi´on nula se relaciona con la de la tr´ıada partiendode (A.33) eδω µa = ( e µb e ρa − e µa e ρb ) ε ρνλ D ν δe λb . Para los distintos tipos de invariancia tendremos
Lorentz: δe µa = − X ab e µb , (a) ≡ ε abc l b e µc , (b) (A.34) δω µa = − D µ l a . (c) Difeomorfismo: δe µa = ζ ν ∂ ν e µa + ( ∂ µ ζ ν ) e ν a , (a) δω µa = ζ ν ∂ ν ω µa + ( ∂ µ ζ ν ) ω νa . (b) (A.35)Estos ´ultimos pueden reescribirse como δe µa = ζ ν T µν a + D ν ζ a − ε abc l bζ e µc , (a) δω µa = − D ν l aζ + ζ ν R ∗ µν a . (b) (A.36)con ζ a = ζ ν e νa , (a) l aζ = − ζ ν ω µa . (b) (A.37) Transformaciones “conformes”: δe µa = 12 ρe µa (a) eδω µa = 12 e λa ε µλσ ∂ σ ρ. (b) (A.38) A.5 Ob jetos involucrados y definiciones en la formu-laci´on linealizada
Linealizamos tomando e µa = δ aµ + kh µa + O ( k ) , (A.39)as´ı e = 1 + kh µa δ µa + O ( k ), y observamos en (A.33) que ω µa es de orden k . De hechoobtenemos ω Lµ a ( h ) = ( η µb δ aρ − δ aµ η ρb ) ε ρνλ ∂ ν h λb , (a) ≡ [ W µa ] λb h λb , (b) (A.40) ≡ W µa ( h ) . (c)(A.40a) puede escribirse, de forma mas sugestiva como, ω Lµ a ( h ) = 12 δ aλ ε λνγ [ ∂ ν ( h µγ + h γµ ) − ∂ µ h νγ ] , (A.41)Luego con (A.31) obtendremos G Lµν ( h ) = − ε νρσ ∂ ρ ω σc ( h ) δ µc , (a)= − ε µαρ ε νβσ ∂ α ∂ β h ρσ , (b) (A.42)= − ε µαρ ε νβσ ∂ α ∂ β ( h ρσ + h σρ ) , (c) .6 Transformaciones a nivel linealizado 43 de donde vemos que G Lµν = G Lνµ y que ∂ µ G Lµν = 0. De la definici´on de e R µν , ´esteadquiere la forma e R Lµν = G Lνµ − η µν G L , = − ( δ µc δ νλ − η µν η λc ) ε λρσ ∂ ρ ω σc ( h ) , (A.43)cuya forma recuerda a (A.40a). As´ı podremos reescribirlo como e R Lµν = − ε νρσ [ ∂ ρ ( ω µσ + ω µσ ) − ∂ µ ω ρσ ] . (A.44)Por tanto el tensor de Cotton queda como C Lµν = − ε µαρ ε µβσ ∂ α ∂ β ( ω ρσ ( h ) + ω σρ ( h )) . (A.45)Esta similitud en las expresiones de ω Laµ , G Lµν y R Lµν en funci´on de h µa y ω µa va a serimportante cuando miremos las realizaciones del ´algebra de Poincar´e. A.6 Transformaciones a nivel linealizado
Considerando el proceso de linealizaci´on tendremos que para las transformaciones bajodifeomorfismos infinitesimales δ ζ h µa = ∂ µ ζ a , (A.46)y de (A.40) es claro que (asumimos T µν a = 0) δ ζ ω Laµ = 0 (A.47)An´alogamente para transformaciones infinitesimales de Lorentz sucede de (A.34) y(A.40) δ l h µa = ε abc l b δ cµ , = − ε µca l c , (a) (A.48) δ l ω aµ = − ∂ µ l a (b)As´ı cuando un objeto, como G Lµν , depende de solamente de la parte sim´etrica de h µa diremos que es expl´ıcitamente invariante bajo transformaciones de Lorentz. De hecho G Lµν es invarainte bajo los cambios δh µν = δ µ ζ ν − ε µνλ l λ , (A.49)el pr´ımer t´ermino es una transformaci´on de difeomorfismo y el segundo una transformaci´onde Lorentz.Finalmente para transformaciones conformes tendremos: δ ρ h µa = 12 ρδ aµ ,δ ρ ω Laµ = 12 ε µνσ ∂ σ ρδ aν . (A.50)Observamos que un objeto que dependa de la parte sim´etrica de ω Laµ es expl´ıcitamenteinvariante bajo transformaciones conformes, como es el caso del tensor de Cotton lineal-izado.
A.7 Descomposici´on en partes irreducibles en la for-mulaci´on linealizada
Introduciendo los objetos ρ µ = ∂ µ ✷ / (a)y P µν = δ µν − ρ µ ρ ν (b) (A.51)Descomponemos al tensor h µν (asociado a la linealizaci´on de la tr´ıada): h µν = ( H T tµν + 12 P µν H T + ρ µ ρ ν H L + ρ µ h Tν + ρ ν h Tν ) ++( ε µνλ V T λ + ε µνλ ρ λ V L ) , (a) (A.52) ≡ h Sµν + h Aµν , (b)donde h Sµν = h Sνµ , (a) h Aµν = − h Aνµ , (b) H T tµµ = 0 , ∂ µ H T tµν = 0 , (c) (A.53) ∂ µ h T µ = 0 , (d) ∂ µ V T µ = 0 . (e) (A.54) .7 Descomposici´on en partes irreducibles en la formulaci´onlinealizada 45 Una descompsici´on an´aloga se puede realizar sobre ω µa (= η aν ω µν ) ω µν = ( W T tµν + 12 P µν W T + ρ µ ρ ν W L + ρ µ W Tν + ρ ν W Tµ ) ++( ε µνλ a T λ + ε µνλ ρ λ a L ) , (a)= ω Sµν + ω Aµν . (b)En funci´on de las componentes irreducibles de h µν se tiene que W T tµν = ε µσλ ∂ σ H T tλσ , (a) ω Tµ = 12 ε µσλ ∂ σ ( h Tλ + ε γθλ ρ γ V Tθ ) , (b) W T = 0 , (c) (A.55) W L = ✷ / V L , (d) a Tµ = − ✷ / ( h Tµ + ε µλσ ρ λ V Tσ ) , (e) a L = 12 ✷ / H T , (f)Bajo difeomorfismos sucede que H T tµν , H T y V L son invariantes, as´ı como la combi-naci´on B Tµ = h Tµ + ε µαβ ρ α V Tβ . Se ve entonces de la expresi´on (A.55) que δ ζ ω µν = 0.Las transformaciones de Lorentz, como dijimos, s´olo afectan la parte antisim´etrica de h µν ( δ l V Tµ = − l Tµ , δV L = − l L , si l µ = l Tµ + ρ µ l L ).Para ω µν , las transformaciones de Lorentz solo afectan a W Tµ , W L y a Tµ δW Tµ = − ✷ / l Tµ , (a) δW L = − ✷ / l L , (b) (A.56) δa Tµ = 12 ε µαβ ∂ α l Tβ , (c) δW T tµν = δW T = δa L = 0 , (d)en analog´ıa con las transformaciones bajo difeomorfismos del h µν .La expresi´on de G Lµν en funci´on de las partes irreducibles de h µν es G Lµν = − ✷ ( H T tµν − P µν H T ) , (A.57)quedando expl´ıcita la invariacia bajo difeomorfismos y transformaciones de Lorentz deltensor de Einstein linealizado.Para las transformaciones conformes sucede que δH T tµν = δh Tµ = δh aµν = 0 (a) δH T = ρ ; δH L = 12 ρ (b) (A.58) δa T = − ✷ / ρ, (a) δω Sµν = δa Tµ = 0 . (b) (A.59)El tensor de Cotton puede verse que es expl´ıcitamente invariante bajo difeomorfir-mos, transformaciones de Lorentz y conformes. Su expresi´on en funci´on de las partesirreducibles de h µν es C µν = − ✷ ε µαβ ∂ α H T tνβ . (A.60) A.8 Tensores relevantes en funci´on de solamente lascomponentes irreducibles de spin 2
En la descomposici´on del h µν distinguimos las componentes de spin 2 H T tµν ; las de spin 1: h Tµ , V Tµ ; y las de spin 0: H T , H L , V L . Una teor´ıa que describa a una part´ıcula con spin 2masiva debe proporcionar las restricciones din´amicas para que las componentes asociadasa los spines menores (1 y 0) se anulen. Siendo as´ı el caso se tendr´a h µν = H T tµν , (A.61)luego de (A.55),(A.57) y (A.60) ω µν ( h T t ) = W T tµν ( h T t ) , (a)= ε µσλ ∂ σ H T tλν , (b) (A.62) G µν ( h T t ) = − ✷ H T tµν , (A.63) C µν ( h T t ) = − ✷ W T t ( h T t ) , (a)= − ✷ ε σλµ ∂ σ H T tλν . (b) (A.64)Estas ´ultimas relaciones se hacen presentes cuando miramos la realizaci´on de la condici´onde Pauli-Lubansky para spin 2 donde, en el caso de la teor´ıa autodual, la variable fun-damental es h µν , para la teor´ıa intermedia, es ω µν ( h ), y para la teor´ıa toplol´ogica masivalinealizada, es G µν ( h ). ibliograf´ıa [1] D. J. Gross, R. D. Pisarski and L. G. Yaffe, “QCD And Instantons At Finite Tem-perature,” Rev. Mod. Phys. , 43 (1981).[2] S. Deser, R. Jackiw and S. Templeton, “Topologically massive gauge theories,” An-nals Phys. , 372 (1982) [Erratum-ibid. , 406.1988 APNYA,281,409 (1988APNYA,281,409-449.2000)].[3] P. K. Townsend, K. Pilch and P. van Nieuwenhuizen, “Selfduality In Odd Dimen-sions,” Phys. Lett. , 38 (1984) [Addendum-ibid. , 443 (1984)].[4] S. Deser and R. Jackiw, “’Selfduality’ Of Topologically Massive Gauge Theories,”Phys. Lett. B , 371 (1984).[5] C. Aragone and A. Khoudeir, “SELFDUAL MASSIVE GRAVITY,” Phys. Lett. B , 141 (1986); “DYNAMICS OF SELFDUAL MASSIVE GRAVITY” IN *SAN-TIAGO 1985, PROCEEDINGS, QUANTUM MECHANICS OF FUNDAMENTALSYSTEMS 1* 17-26. [6] S. Deser and J. G. McCarthy, “Selfdual formulations of D=3 gravity theories,” Phys.Lett. B , 441 (1990) [Addendum-ibid. B , 473 (1990)].[7] C. Aragone and A. Khoudeir, “Selfdual spin 3 and 4 theories,” arXiv:hep-th/9307004;C. Aragone, P. J. Arias and A. Khoudeir, “Einstein-Chern-Simons massive systemsand selfdual spin 3”
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