Entiers aléatoires, ensembles de Sidon, densité dans le groupe de Bohr et ensembles d'analyticité
aa r X i v : . [ m a t h . C A ] M a y Entiers al´eatoires, ensembles de Sidon, densit´e dans legroupe de Bohr et ensembles d’analyticit´e
Jean-Pierre Kahane et Yitzhak Katznelson (Note pr´esent´ee aux Comptes rendus de l’Acad´emie des Sciences)
R´esum´e.
On s´electionne des entiers n au hasard ind´ependamment les unsdes autres, avec la probabilit´e v n , et on ´etudie les propri´et´es de la suite L obtenue en distinguant deux cas : si lim sup n → ¥ n v n < ¥ , L est p.s. unensemble de Sidon non-dense dans le groupe de Bohr ; si lim n → ¥ n v n = ¥ , L est p.s. dense dans le groupe de Bohr et n’est pas un ensemble de Sidon,et, de plus, c’est un ensemble d’analyticit´e. Random sequences of integers, Sidon sets, density in the Bohr group,and sets of analyticity
Abstract.
We study properties of a sequence L obtained by a random se-lection of integers n , where n ∈ L with probability v n , independently of theother choices. We distinguish two cases : if lim sup n → ¥ n v n < ¥ , L is a.s. aSidon set, non-dense in the Bohr group ; if lim n → ¥ n v n = ¥ , then L is a.s. aset of analyticity and is dense in the Bohr group. Abridged English versionThe work described in this Note deals with harmonic-analytic properties of randomsequences of positive integers : that of being a Sidon set, a set of analyticity, dense,or non-dense in the Bohr group B , (the Bohr compactification of the integers, the dualgroup of T d , the circle endowed with the discrete topology.)A sequence L ⊂ Z is a Sidon set if c ( L ) = A ( L ) , that is : every sequence { a l } l ∈ L which tends to 0 as | l | → ¥ is the restriction to L of ˆ f for some f ∈ L ( T ) . L is aset of analyticity if only analytic functions operate in A ( L ) , that is, every function F ELECTION AL ´ EATOIRE . . . defined on R such that F ◦ j ∈ A ( L ) for every real-valued j ∈ A ( L ) is analytic in someneighborhood of 0.Random sequences provide classes of sequences for which there is a statistical answer to some long standing open problems : a. The dichotomy problem : is every sequence L ⊂ Z is either a Sidon set or a set ofanalyticity? b. Can a Sidon set be dense in B ?The class of random sequences studied in this work is different from those appear-ing in earlier work, [1], [2], [3]. We consider sets obtained from a sequence w = { w n } ,0 ≤ w n < x n with parameters w n , orBernoulli zero-one variables b n with probability P ( b n = ) = v n = ( − e − w n ) and set L = L w ( w ) = { n : b n = } (or L = { n : x n ≥ } ). Notice that the sequences defined by { x n } are the same and have the same statistics as those given by b n , but the Poissonvariables give different weights to some of the selected points, which simplifies somecomputations.For “reasonably regular” sequences of parameters we obtain a statistical dichotomy: Theorem 1.
If nw n = O ( ) then L is a.s. a Sidon set and is non-dense in B . Theorem 2. If lim n → ¥ nw n = ¥ then L is a.s. a set of analyticity dense in B . Observe that “reasonable regularity” is needed. The condition lim n → ¥ nw n = ¥ inTheorem 2 cannot be replaced by lim sup n → ¥ nw n = ¥ : if w n = / n ∈ { k } ¥ k = and w n = / n for all other n , the sequence L obtained is a union of two Sidon sets, andhence Sidon. —————–Cette note fait suite `a des travaux anciens, [1], [2], [3], relatifs aux ensemblesde Helson et de Sidon d’une part, aux ensembles d’analyticit´e et `a la densit´e dans legroupe de Bohr d’autre part, qui ont introduit le proc´ed´e appel´e aujourd’hui s´electional´eatoire. Nous allons rappeler le sens de ces termes.Nous partirons d’une suite positive w = { w n } et nous lui associerons une suiteal´eatoire L = L w ( w ) ( w ∈ W , espace de probabilit´e) de l’une des mani`eres ´equivalentesque voici :1) L = { n ∈ N : x n > } , o`u x n sont des variables al´eatoires (v.a.) ind´ependantes,suivant des lois de Poisson de param`etres w n (= E ( x n )) .2) L = { n ∈ N : b n > } , o`u b n sont des variables de Bernoulli ind´ependantes,d’esp´erance v n = − e − w n = P (cid:0) b n = (cid:1) .Dans les ´enonc´es qui suivent, on peut ´ecrire v n aussi bien que w n . La d´efinition 1est utile dans certaines d´emonstrations. N OVEMBER
12, 2018 ´ ELECTION AL ´ EATOIRE . . . Th´eor`eme 1.
Si w n = O (cid:0) n (cid:1) ( n → ¥ ) , il est presque sˆur que L est un ensemble deSidon, non-dense dans le groupe de Bohr B . Th´eor`eme 2. Si lim n → ¥ nw n = ¥ , il est presque sˆur que L est un ensemble d’analyticit´e(donc n’est pas un ensemble de Sidon), dense dans B . Ces r´esultats sont `a comparer aux deux probl`emes toujours ouverts :1) (probl`eme de “dichotomie”) une partie de Z est-elle n´ecessairement soit unensemble de Sidon, soit un ensemble d’analyticit´e ?2) (probl`eme de l’adh´erence dans B d’un ensemble de Sidon) un ensemble deSidon dans Z est-il toujours non-dense dans B ? On sait, [4], que s’il existe un ensem-ble de Sidon dont l’adh´erence dans B contient un ouvert non vide, alors il existe unensemble de Sidon dense dans B . G ´etant un groupe ab´elien localement compact, on d´esigne par A ( G ) l’alg`ebre desfonctions continues sur G qui sont transform´ees de Fourier de fonctions int´egrables surle groupe dual, G . Si A est un ferm´e dans G , A ( E ) d´esigne l’alg`ebre des restrictions`a E des f ∈ A ( G ) . Si E est un compact et que A ( E ) = C ( E ) , espace des fonctionscontinues sur E , on dit que E est un ensemble de Helson. Quand G est discret et que A ( E ) = c ( E ) , espace des fonctions d´efinies sur E et tendant vers 0 `a l’infini, on ditque E est un ensemble de Sidon. Dans la suite, on s’int´eresse aux cas G = T , R , Z , ou B . Les fonctions analytiques F ( z ) op`erent dans A ( G ) , c’est-`a-dire que F ◦ f ∈ A ( G ) lorsque f ∈ A ( G ) et que f prend ses valeurs dans le domaine de F . Inversement,les seules fonctions d´efinies sur un voisinage r´eel de 0 qui op`erent dans A ( G ) sontles fonctions analytiques (nulles en 0 si G n’est pas compact). On dit que E est unensemble d’analyticit´e si cela a lieu en remplac¸ant A ( G ) par A ( E ) . Ni les ensemblesde Helson ni les ensembles de Sidon ne sont ensembles d’analyticit´e. B , le compactifi´e de Bohr de Z , est le groupe dual de T d ( T discret). Sa topologieest la moins fine qui rende continus les caract`eres b → h b , t i ; une sous-base en est lafamille des ensembles U ( t , h , z ) = { b : |h b , t i − z | < h } , t ∈ T , h >
0, et | z | = w = w ′ + w ′′ ( w n = w ′ n + w ′′ n ), la r´eunion de L w ′ et L w ′′ ind´ependants a la mˆemeloi que L w . On renforce le th´eor`eme 1 en augmentant les w n , el le th´eor`eme 2 en lesdiminuant. Preuve du th´eor`eme 1.
On prend w n = a n . Si a est assez petit ( a log 3 < L est un ensemble quasi-ind´ependant, c’est-`a-dire sans relation lin´eaire `a coefficients − , , L est p.s. une r´eunion finied’ensembles quasi-ind´ependants, qu’on sait ˆetre un ensemble de Sidon. N OVEMBER
12, 2018 ´ ELECTION AL ´ EATOIRE . . . La non-densit´e r´esulte de la proposition suivante : si a est assez petit ( a < a ( e ) ),il existe p.s. un ensemble dense de t dans T tel que [ − e , e ] contienne tous les pointsde L t sauf un ensemble fini.Pour d´emontrer la proposition, on part de la fonction triangle d’int´egrale 1 et desupport [ − e , e ] , soit f , et d’un intervalle I ⊂ T , et on ´etudie la martingale positive Y N = Z I N (cid:213) n = (cid:0) f ( nt ) (cid:1) x n exp (cid:0) − a n ( f ( nt ) − ) (cid:1) dt . Sous la condition a < e , elle converge dans L ( W ) , et cela donne le r´esultat voulu.Voici les ´etapes de calcul : on pose L N ( t ) = (cid:229) Nn = p ntn et on v´erifie que E (cid:0) Y N (cid:1) = ZZ I × I exp (cid:229) jk = a ˆ f j ˆ f k L N ( js + kt ) ds dt ≤ (cid:213) jk = (cid:16) ZZ I × I exp a ˆ f j ˆ f k L N ( js + kt ) ds dt (cid:17) / p jk avec p − jk = ˆ f j ˆ f k (cid:0) (cid:229) jk = ˆ f j ˆ f k (cid:1) − . En majorant RR I × I par RR T × T , et L N ( t ) par log | sin p t | + C on obtient(1) E (cid:0) Y N (cid:1) ≤ Z T exp a (cid:229) jk = ˆ f j ˆ f k (cid:0) log 1 | sin p t | + C (cid:1) dt , et cette int´egrale est born´ee quand a (cid:229) jk = ˆ f j ˆ f k < Preuve du th´eor`eme 2.
On suppose lim n → ¥ nw n = ¥ . Posons L N = L ∩ [ , . . . , N ] . Si L ´etait un ensemble de Sidon, on aurait | L N | = O ( log N ) ( N → ¥ ), ce qui, p.s., n’estpas le cas. Preuve que L est un ensemble d’analyticit´e. Elle s’inspire de [1]. Quitte `adiminuer les w n , on suppose qu’`a partir d’un certain rang ils sont constants sur chaqueintervalle joignant deux multiples successifs d’une puissance de 2 donn´ee. On saitque, pour tout 0 < c < r > j ∈ A ( T ) r´eelle telle que k j k A ( T ) < r et k m e − i j k PM ( T ) < e − cr , o`u m est la mesure de Haar et PM ( T ) l’espace despseudomesures, dual de A ( T ) . Il s’agit, pour des r arbitrairement grands, de montrerqu’il existe, avec une probabilit´e arbitrairement voisine de 1, une partie finie L r , unemesure t r port´ee par L r et une fonction r´eelle y r ∈ A ( R ) , telles que k y r k A ( R ) < Cr et k t r e i y r k PM ( R ) < C k t r k M ( R ) e − cr , C > c ∈ ( , ) ´etant des constantes absolues.L’id´ee est de choisir t r = (cid:229) F x n d n , la somme ´etant prise sur un ensemble F devaleurs de n d´ependant convenablement de r et comportant des plages de constancepour w n . L’´etude d´eterministe consiste `a obtenir ces in´egalit´es quand on remplace t r N OVEMBER
12, 2018 ´ ELECTION AL ´ EATOIRE . . . par s r = E ( t r ) = (cid:229) F w n d n , et l’´etude probabiliste vise `a montrer que k ( t r − s r ) e i y r k PM ( R ) est n´egligeable au regard de k t r k M ( R ) e − cr . Preuve de la densit´e dans T . Elle est inspir´ee de [2], [3]. Voici la propositioncl´e : si w n = a n et a | I | > I un intervalle sur T ), il est presque sˆur que, pour toutirrationnel t ∈ T , L t ∩ I = ∅ . Cette proposition admet une version multidimensionelle,dans laquelle l’irrationnel t ∈ T est remplac´e par un g´enerateur t ∈ T s , et qui entrainela densit´e dans B .Pour ´etablir L t ∩ I = ∅ pour tout t , l’id´ee est de se ramener `a un ensemble fini devaleurs de t , quitte `a r´eduire I . Les ´etapes de la preuve sont les suivantes :1) on approche I par un intervalle int´erieur J , `a distance d des extr´emit´es de I
2) on approche J dans L ( T ) par une fonction continue f , 0 ≤ f ≤ J
3) on approche uniform´ement f par un polynome trigonom´etrique, de degr´e k
4) on approche T par un ouvert G = { t : ∀ j ∈ { , , . . . , k } | sin p jt | > d } et on v´erifieque pour un b arbitrairement proche de a | I | et pour un C = C ( b , d ) fini on a R G P (cid:0) L N t ∩ J = ∅ (cid:1) dt < CN − b
5) on choisit M = Nd et on v´erifie qu’il existe un J ∈ T tel que (cid:229) J + mM − ∈ G P (cid:0) L N ( J + mM − ) ∩ J = ∅ (cid:1) < CMN − b = o ( )( N → ¥ )
6) on approche tout t ∈ G donn´e par un J + mM − ∈ G qui en est `a distance < d , d’o`u P ( L t ∩ I = ∅ ) = Remarques sur les suites d’entiers dans le groupe de Bohr B .Diff´erents crit`eres de densit´e et des exemples sont donn´es dans [3].Les ensembles I de Hartman et Ryll-Nardzewski forment une classe particuli`ered’ensembles de Sidon, et leur adh´erence dans B est un ensemble de Helson. Il a´et´e conjectur´e que tout ensemble de Sidon soit une r´eunion finie d’ensembles I . Ils’ensuivrait que l’adh´erence d’un ensemble de Sidon soit un ensemble de Helson dans B , [5].En compl´ement du probl`eme 2, on peut donc se demander si l’adh´erence dans B d’un ensemble de Sidon est n´ecessairement un ensemble de Helson. Est-ce n´ecessairementun ensemble de mesure de Haar nulle ?En ce qui concerne les entiers al´eatoires, le th´eor`eme 1 r´epond `a la question denon-densit´e, mais laisse ouverte la question de la mesure de Haar de l’adh´erence de lasuite L . N OVEMBER
12, 2018 ´ ELECTION AL ´ EATOIRE . . . R´ef´erences [1] Y. Katznelson and P. Malliavin. V´erification statistique de la conjecture de ladichotomie sur une classe d’alg`ebres de restriction.
C.R. Acad. Sci. Paris , 262 :490–492, 1966.[2] Y. Katznelson. Suites al´eatoires d’entiers.
L’analyse harmonique dans le do-maine complexe, Montpellier,
Springer Lecture Notes in Math , 336 : 148–152, 1973.[3] Y. Katznelson. Sequences of integers dense in the Bohr group.