aa r X i v : . [ m a t h . N T ] N ov ´Equation de Fermat et nombres premiers inertes Alain Kraus
Abstract.
Let K be a number field and p a prime number ≥
5. Let us denote by µ p the group of the p th roots of unity. We define p to be K -regular if p does not divide theclass number of the field K ( µ p ). Under the assumption that p is K -regular and inert in K , we establish the second case of Fermat’s Last Theorem over K for the exponent p . Weuse in the proof classical arguments, as well as Faltings’ theorem stating that a curve ofgenus at least two over K has a finite number of K -rational points. Moreover, if K is animaginary quadratic field, other than Q ( √− (cid:1) , we deduce a statement which allows oftenin practice to prove Fermat’s Last Theorem over K for the K -regular exponents. AMS Mathematics Subject Classification :
Keywords :
Fermat’s Last Theorem - Number fields.
Introduction
Soient K un corps de nombres et p un nombre premier ≥
5. On dit que le th´eor`emede Fermat est vrai sur K pour l’exposant p , s’il n’existe pas d’´el´ements x, y, z dans K telsque l’on ait x p + y p + z p = 0 et xyz = 0 . A. Wiles a d´emontr´e en 1994 qu’il en est ainsi pour le corps Q ([10]). Ce r´esultat a´et´e ´etendu au corps Q (cid:0) √ (cid:1) par F. Jarvis et P. Meekin en 2004 ([7]), et tout r´ecemmentaux corps Q (cid:0) √ d (cid:1) avec d sans facteurs carr´es, 3 ≤ d ≤
23 et d = 5 ,
17, par N. Freitas etS. Siksek ([4]). Dans le cas o`u K est un corps totalement r´eel, ils ont aussi d´emontr´e quesi une certaine condition est satisfaite par K , le th´eor`eme de Fermat est vrai sur K pourtout p assez grand ([3]). Ce sont les principaux r´esultats obtenus sur l’´equation de Fermatau cours de ces vingt derni`eres ann´ees.Notons µ p le groupe des racines p -i`emes de l’unit´e dans une clˆoture alg´ebrique de K .Adoptons la terminologie selon laquelle p est K -r´egulier si p ne divise pas le nombre declasses de K ( µ p ). Si p est K -r´egulier et inerte dans K , on d´emontre ici le second cas duth´eor`eme de Fermat sur K pour l’exposant p . On utilise pour cela des techniques classiques(cf. [9], chap. 9, si K = Q ), ainsi que le th´eor`eme de G. Faltings sur la finitude de l’ensembledes points K -rationnels des courbes d´efinies sur K de genre au moins deux ([2]).Si K est un corps quadratique, F. H. Hao et C. J. Parry ont obtenu en 1984 descaract´erisations simples des nombres premiers K -r´eguliers ([6]). De plus, ils ont ´etabli lesecond cas du th´eor`eme de Fermat sur K pour les exposants K -r´eguliers et d´ecompos´esdans K ([5], th. 3). Si K est un corps quadratique imaginaire, autre que Q (cid:0) √− (cid:1) , avec1es r´esultats obtenus r´ecemment dans [8], on en d´eduit un ´enonc´e permettant souvent enpratique de d´emontrer le th´eor`eme de Fermat sur K pour les exposants K -r´eguliers.Je remercie D. Bernardi pour les conversations que nous avons eues concernant cetarticle.
1. ´Enonc´e des r´esultats
Soient K un corps de nombres, d’anneau d’entiers O K , et p un nombre premier ≥ Th´eor`eme.
Supposons que p soit K -r´egulier et inerte dans K . Alors, il n’existe pas detriplets ( x, y, z ) d’´el´ements de O K tels que (1) x p + y p + z p = 0 , xyz = 0 , ( xy ) O K + pO K = O K et p divise z. Pour tout n ≥
1, notons W n le r´esultant des polynˆomes X n − X + 1) n − Proposition.
Supposons que K soit un corps quadratique imaginaire et les deux condi-tions suivantes satisfaites :1) il existe n ≥ tel que np + 1 soit un nombre premier d´ecompos´e dans K ne divisantpas ( n n − W n .2) p est K -r´egulier et non ramifi´e dans K .Alors, le th´eor`eme de Fermat est vrai sur K pour l’exposant p . On en d´eduit par exemple que le th´eor`eme de Fermat est vrai sur le corps Q ( i ) pourles nombres premiers p < qui sont Q ( i )-r´eguliers ([8], cor. 2). La liste de ceux pluspetits que 100 est 5 , , , , , , , , , , , , . Il semble donc que 19 soit le plus petit nombre premier pour lequel on ne sache pas concluresur Q ( i ).
2. Notations
Pour tout corps de nombres N , on notera O N son anneau d’entiers. Soit ζ un g´en´e-rateur de µ p . Posons L = K ( µ p ) , π = 1 − ζ et λ = (1 − ζ )(1 − ζ − ) . Le nombre premier p ´etant non ramifi´e dans K et totalement ramifi´e dans Q ( µ p ), ona K ∩ Q ( µ p ) = Q . On a donc les ´egalit´es des degr´es[ L : K ] = p − L : K ( λ )] = 2 . pO K est un id´eal premier de O K . Il est totalement ramifi´e dans L et πO L est donc l’unique id´eal premier de O L au-dessus de pO K . De mˆeme λO K ( λ ) est l’uniqueid´eal premier de O K ( λ ) au-dessus de pO K , et on a l’´egalit´e(2) λO L = ( πO L ) . On notera v λ (resp. v π ) la valuation de K ( λ ) (resp. L ) associ´ee `a λ (resp. π ).
3. Principe de d´emonstration du th´eor`eme
Soit S l’ensemble des quintuplets ( α, β, γ, µ, n ) v´erifiant les conditions suivantes :1) α, β, γ sont des ´el´ements de O K ( λ ) non divisibles par λ .2) µ est une unit´e de O K ( λ ) et n est un entier ≥ α p + β p = µ (cid:0) λ n γ (cid:1) p . On proc`ede par l’absurde en supposant qu’il existe un triplet d’´el´ements de O K satis-faisant la condition (1). Cela entraˆıne que S n’est pas vide. Soit ( α, β, γ, µ, n ) un ´el´ementde S . On d´emontre alors qu’il existe α ′ , β ′ , γ ′ dans O K ( λ ) , non divisibles par λ , et une unit´e µ ′ de O K ( λ ) tels que ( α ′ , β ′ , γ ′ , µ ′ , n − S . On conclut comme suit. Parce que n ≥
2, on a(4) 2 n − > n. Soit U un syst`eme de repr´esentants des unit´es de O K ( λ ) modulo les puissances p -i`emes.D’apr`es la condition (4), l’ensemble des quadruplets ( x, y, z, u ) tels que l’on ait x p + y p = uz p avec x, y, z ∈ K ( λ ) et u ∈ U est infini. L’ensemble U est fini, donc il existe u ∈ U tel que la courbe d’´equation x p + y p = uz p poss`ede une infinit´e de points rationnels sur K ( λ ). Son genre ´etant au moins deux, celacontredit le th´eor`eme de Faltings. Ainsi, S est vide, d’o`u une contradiction et le th´eor`emeannonc´e.L’essentiel de la suite est consacr´e `a sa d´emonstration.
4. Lemmes pr´eliminaires
Supposons d´esormais qu’il existe x, y, z dans O K v´erifiant la condition (1).3 emme 1. L’ensemble S n’est pas vide. D´emonstration : Il existe z dans O K , non divisible par p , et un entier a ≥ x p + y p = − z p = ( p a z ) p . Par ailleurs, il existe une unit´e ε ∈ Z [ λ ] telle que l’on ait p = ελ p − . En posant η = ε ap , on obtient x p + y p = η (cid:16) λ a ( p − z (cid:17) p . On a p ≥
5, d’o`u a ( p − ≥ p − ≥ . Par suite, le quintuplet (cid:16) x, y, z , η, a ( p − (cid:17) est dans S , d’o`u le lemme.Consid´erons, pour toute la suite, un ´el´ement ( α, β, γ, µ, n ) de S . D’apr`es (3), on a(5) p − Y i =0 ( α + βζ i ) = µ ( λ n γ ) p . Lemme 2.
Pour tout i = 0 , · · · , p − , on a α + βζ i ≡ πO L . D´emonstration : D’apr`es (5), π divise l’un des α + βζ i et pour tout j on a α + βζ j ≡ α + β mod. πO L , d’o`u l’assertion.Posons D = αO L + βO L et pour tous i et j distincts entre 0 et p − D i,j = (cid:18) α + βζ i π (cid:19) O L + (cid:18) α + βζ j π (cid:19) O L . Lemme 3.
On a D = D i,j . D´emonstration : Soient q un id´eal premier non nul de O L et r un entier ≥
1. Supposonsque q r divise D i,j . Alors, q r divise β ( ζ i − ζ j ) π . On a i = j , donc q r divise β . De mˆeme, q r α , ainsi D i,j divise D . Inversement, si q r divise D , alors q est distinct de πO L car αβ est premier avec π . L’´egalit´e( πO L ) D i,j = ( α + βζ i ) O L + ( α + βζ j ) O L entraˆıne alors que q r divise D i,j , donc D divise D i,j . Lemme 4.
Il existe des id´eaux b , · · · , b p − de O L , non divisibles par πO L , premiers entreeux deux `a deux, tels que l’on ait (6) ( α + β ) O L = ( λO L ) np − p − D b p , (7) (cid:18) α + βζ i π (cid:19) O L = D b pi pour tout i = 1 , · · · , p − . D´emonstration : D’apr`es le lemme 2, α + β appartient `a πO L ∩ O K ( λ ) qui est λO K ( λ ) . Ainsi, l’´egalit´e (2) implique α + β ≡ π O L . Pour tout i , on a donc la congruence α + βζ i ≡ α (1 − ζ i ) mod. π O L . On a v π ( α ) = 0, d’o`u pour tout i = 1 , · · · , p − v π ( α + βζ i ) = 1 . D’apr`es (5), on obtient v π ( α + β ) = 2 np − ( p − , autrement dit, v λ ( α + β ) = np − p − . Il existe donc un id´eal a de O L , non divisible par π , tel que( α + β ) O L = ( λO L ) np − p − D a . De mˆeme, pour tout i = 1 , · · · , p −
1, il existe un id´eal a i de O L , non divisible par π , telque ( α + βζ i ) O L = ( πO L ) D a i . On a ainsi l’´egalit´e( λO L ) np ( γO L ) p = p − Y i =0 ( α + βζ i ) O L = ( πO L ) p − ( λO L ) np − p − D p a · · · a p − , γO L ) p = D p a · · · a p − . D’apr`es le lemme 3, les id´eaux a i sont premiers entre eux deux `a deux. Chaque id´eal a i estdonc la puissance p -i`eme d’un id´eal b i de O L , d’o`u le lemme.
5. Les ´el´ements Θ k de L Pour tout entier k non multiple de p , posonsΘ k = α + βζ k − ζ k (cid:19) α + βζ − k − ζ − k (cid:19) − ∈ L ∗ . On a (cid:18) α + βζ k π (cid:19) O L = (cid:18) α + βζ k − ζ k (cid:19) O L . D’apr`es la formule (7), en r´eindexant les id´eaux b k avec k entre − p − et p − , on a(8) Θ k O L = (cid:0) b k b − − k (cid:1) p . Lemme 5.
L’´el´ement Θ k est une puissance p -i`eme dans L . D´emonstration : V´erifions que l’extension L (cid:0) p √ Θ k (cid:1) /L est partout non ramifi´ee, ce quipermet de conclure avec l’hypoth`ese que p ne divise pas le nombre de classes de L . On aΘ k − − ζ − k (1 + ζ k )( α + β ) α (1 − ζ − k ) + ζ − k ( α + β ) . D’apr`es les ´egalit´es (2) et (6), on a ainsi v π (Θ k −
1) = v π ( α + β ) − n − p. En particulier, on a Θ k ≡ π p . Il en r´esulte que l’extension L (cid:0) p √ Θ k (cid:1) /L est nonramifi´ee en πO L (cf. [1], cor. p. 503 ; avec ses notations, on a e ( πO L /p ) = p − z ( πO L , p ) = p + 1). Par ailleurs, si q est un id´eal premier de O L distinct de πO L , on a v q ( pO L ) = 0, et d’apr`es la formule (8) on a v q (Θ k ) ≡ p. Cela entraˆıne que q est non ramifi´e dans L (cid:0) p √ Θ k (cid:1) ( loc. cit. ), d’o`u le r´esultat.6 . Les unit´es ε k de O K ( λ ) et les entiers ρ k de O L Notons h λ le nombre de classes de K ( λ ). Par hypoth`ese, p est K -r´egulier. Le degr´e de L sur K ( λ ) est premier `a p , donc p ne divise pas h λ . Il existe ainsi un entier t ≥ th λ ≡ − p. L’id´eal (cid:0) αO K ( λ ) + βO K ( λ ) (cid:1) th λ ´etant principal, il existe d ∈ O K ( λ ) tel que l’on ait (cid:0) αO K ( λ ) + βO K ( λ ) (cid:1) th λ = dO K ( λ ) . On a ainsi l’´egalit´e(10) D th λ = dO L . D´esignons dans la suite par σ l’´el´ement non trivial du groupe de Galois Gal (cid:0) L/K ( λ ) (cid:1) .On a σ ( ζ ) = ζ − . Lemme 6.
Soit k un entier non multiple de p . Il existe une unit´e ε k de O K ( λ ) et un´el´ement ρ k de O L tels que l’on ait (11) d p +12 (cid:18) α + βζ k − ζ k (cid:19) = ε p +12 k ρ pk . D´emonstration : Utilisons la formule (7) avec i = k et i = − k . On obtient (cid:18) α + βζ k − ζ k . α + βζ − k − ζ − k (cid:19) O L = D (cid:0) b k b − k (cid:1) p . D’apr`es (9) et (10), on a donc(12) ( dO L ) (cid:18) α + βζ k − ζ k . α + βζ − k − ζ − k (cid:19) O L = (cid:16) D thλ +2 p b k b − k (cid:17) p . L’´el´ement d (cid:18) α + βζ k − ζ k . α + βζ − k − ζ − k (cid:19) est fix´e par σ . Il appartient donc `a O K ( λ ) . On d´eduit alors de (12) que l’id´eal d (cid:18) α + βζ k − ζ k . α + βζ − k − ζ − k (cid:19) O K ( λ ) p -i`eme d’un id´eal de O K ( λ ) . Puisque p ne divise pas h λ , il existe donc ϕ k ∈ O K ( λ ) et une unit´e ε k ∈ O K ( λ ) tels que l’on ait d (cid:18) α + βζ k − ζ k (cid:19)(cid:18) α + βζ − k − ζ − k (cid:19) = ε k ϕ pk . D’apr`es le lemme 5, il existe Ψ k ∈ L tel que l’on aitΘ k = Ψ pk . On en d´eduit l’´egalit´e d (cid:18) α + βζ k − ζ k (cid:19) = ε k ( ϕ k Ψ k ) p . En ´elevant ses deux membres `a la puissance p +12 , on a d p +12 (cid:18) α + βζ k − ζ k (cid:19) p +1 = ε p +12 k (cid:16) ( ϕ k Ψ k ) p +12 (cid:17) p . Posons ρ k = ( ϕ k Ψ k ) p +12 (cid:18) α + βζ k − ζ k (cid:19) − . C’est un ´el´ement de L . Parce que ε k est une unit´e de O K ( λ ) , ρ pk est dans O L , donc ρ k aussi,d’o`u l’´egalit´e (11). Lemme 7.
Il existe une unit´e ε de O K ( λ ) et un ´el´ement ρ de O K ( λ ) tels que l’on ait d ( α + β ) = ε λ np − ( p − ρ p . D´emonstration : D’apr`es la formule (6), on a( α + β ) O L = (cid:0) λO L (cid:1) np − ( p − D b p . En utilisant (9) et (10), on a donc d ( α + β ) O L = (cid:0) λO L (cid:1) np − ( p − (cid:16) D thλ +2 p b (cid:17) p . L’´el´ement d ( α + β ) λ np − ( p − ´etant dans O K ( λ ) , l’id´eal (cid:18) d ( α + β ) λ np − ( p − (cid:19) O K ( λ ) p -i`eme d’un id´eal de O K ( λ ) . Le fait que p ne divise pas h λ impliquealors le r´esultat.
7. Fin de la d´emonstration
Soit k un entier non multiple de p . Parce que l’on a p ≥
5, il existe un entier ℓ tel quel’on ait ℓ , ± k mod. p . Lemme 8.
Il existe une unit´e δ de O K ( λ ) telle que l’on ait (13) (cid:18) ε k ε ℓ (cid:19)(cid:0) ε k ρ k σ ( ρ k ) (cid:1) p + (cid:0) − ε ℓ ρ ℓ σ ( ρ ℓ ) (cid:1) p = δ (cid:0) λ n − ρ d (cid:1) p . D´emonstration : En composant l’´egalit´e (11) par σ , on a(14) d p +12 (cid:18) α + βζ − k − ζ − k (cid:19) = ε p +12 k σ ( ρ k ) p . Pour tout i , posons dans O K ( λ ) λ i = (1 − ζ i )(1 − ζ − i ) . En effectuant le produit des ´egalit´es (11) et (14), on obtient d p +1 (cid:16) ( α + β ) − αβλ k (cid:17) = λ k ε p +1 k (cid:0) ρ k σ ( ρ k ) (cid:1) p . On en d´eduit avec le lemme 7 l’´egalit´e(15) ε λ np − ( p − ( ρ d ) p − d p +1 αβλ k = λ k ε p +1 k (cid:0) ρ k σ ( ρ k ) (cid:1) p . On a de mˆeme l’´egalit´e(16) ε λ np − ( p − ( ρ d ) p − d p +1 αβλ ℓ = λ ℓ ε p +1 ℓ (cid:0) ρ ℓ σ ( ρ ℓ ) (cid:1) p . Multiplions (15) par λ ℓ et (16) par λ k , puis soustrayons les deux ´egalit´es obtenues. Onobtient (cid:18) λ ℓ − λ k λ ℓ λ k (cid:19)(cid:0) ε λ np − ( p − ( ρ d ) p (cid:1) = ε p +1 k (cid:0) ρ k σ ( ρ k ) (cid:1) p − ε p +1 ℓ (cid:0) ρ ℓ σ ( ρ ℓ ) (cid:1) p . Par ailleurs, on a λ ℓ − λ k = (cid:0) − ζ k + ℓ (cid:1)(cid:0) ζ − k − ζ − ℓ (cid:1) .
9n a ℓ
6≡ ± k mod. p , donc 1 − ζ k + ℓ et ζ − k − ζ − ℓ sont associ´es `a π dans O L . Ainsi λ ℓ − λ k λ ℓ λ k et λ sont associ´es dans O L . Ce sont des ´el´ements de O K ( λ ) , donc il existe une unit´e δ ′ de O K ( λ ) telle que l’on ait λ ℓ − λ k λ ℓ λ k = δ ′ λ . On en d´eduit l’´egalit´e δ ′ ε (cid:0) λ n − ρ d (cid:1) p = ε k (cid:0) ε k ρ k σ ( ρ k ) (cid:1) p + ε ℓ (cid:0) − ε ℓ ρ ℓ σ ( ρ ℓ ) (cid:1) p . En posant δ = δ ′ ε ε ℓ , qui est une unit´e de O K ( λ ) , on obtient l’´egalit´e (13). Lemme 9.
L’unit´e ε k ε ℓ est une puissance p -i`eme dans O K ( λ ) . D´emonstration : On a α + βζ k − ζ k = α + ζ k α + β − ζ k . D’apr`es la formule (6), on a v π (cid:18) α + β − ζ k (cid:19) = 2 np − ( p − − n − p, d’o`u en particulier la congruence α + βζ k − ζ k ≡ α mod. π p . On d´eduit alors du lemme 6 que l’on a d p +1 α ≡ ε k (cid:0) ε k ρ k (cid:1) p mod. π p . De mˆeme, on a d p +1 α ≡ ε ℓ (cid:0) ε ℓ ρ ℓ (cid:1) p mod. π p . On a v π ( dα ) = 0, donc ρ k et ρ ℓ sont inversibles modulo π p . Par suite, il existe r ∈ O L telque l’on ait ε k ε ℓ ≡ r p mod. π p Il en r´esulte que l’extension L (cid:18) p r ε k ε ℓ (cid:19)(cid:14) L L n’´etant pas divisiblepar p , ε k ε ℓ est donc une puissance p -i`eme dans L , d’o`u le r´esultat car ε k ε ℓ est dans O K ( λ ) .Posons ε k ε ℓ = ν p , o`u ν est une unit´e de O K ( λ ) . D’apr`es le lemme 8, on obtient l’´egalit´e (cid:0) νε k ρ k σ ( ρ k ) (cid:1) p + (cid:0) − ε ℓ ρ ℓ σ ( ρ ℓ ) (cid:1) p = δ (cid:0) λ n − ρ d (cid:1) p . Les ´el´ements α ′ = νε k ρ k σ ( ρ k ) , β ′ = − ε ℓ ρ ℓ σ ( ρ ℓ ) et γ ′ = ρ d sont dans O K ( λ ) , car ils sont fix´es par σ . Ils ne sont pas divisibles par λ (cf. (6) et (7)).Le quintuplet ( α ′ , β ′ , γ ′ , δ, n −
1) est donc dans S . Compte tenu du paragraphe 3, celatermine la d´emonstration du th´eor`eme.
8. La proposition
Le degr´e de K ( µ p ) sur K est premier avec p . Parce que p est K -r´egulier, il ne divisepas le nombre de classes de K . La premi`ere condition entraˆıne ainsi que le premier cas duth´eor`eme de Fermat est vrai sur K pour p ([8]). Le r´esultat obtenu ici et le th´eor`eme 3 de[5] impliquent alors la proposition. Bibliographie [1] H. Cohen, Advanced Topics in Computational Algebraic Number Theory, Springer-Verlag GTM , 2000.[2] G. Faltings, Endlichkeitsstze f¨ur abelsche Varietten ¨uber Zahlk¨orpern,
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