aa r X i v : . [ m a t h . AG ] J un Extension de fibr´es vectoriels et profondeurHelmut A. Hamm (M¨unster)
Dans SGA2, A.Grothendieck a d´emontr´e des th´eor`emes de Lefschetz parvoie alg´ebrique, en particulier pour le groupe fondamental (alg´ebrique) etle groupe de Picard [G2]. Les outils essentiels sont: conditions de pro-fondeur, cohomologie locale, th´eor`emes de finitude et d’annulation,... Undes ingr´edients est le th´eor`eme d’annulation suivant, en fixant un corps k : ([G2] XII Cor. 1.4) Soit X un sch´ema projectif sur k , S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur X , prof S ≥ n . Soit L un faisceau tr`esample sur X . Alors H q ( X, S ⊗ O X L − l ) = 0 pour q < n , l ≫ . Ici, prof
S ≥ n signifie que prof S x ≥ n pour tout point ferm´e x de X ,o`u prof S x est la profondeur du O X,x -module S x . Naturellement il suffit desupposer que L est ample.Ce th´eor`eme ´etait utilis´e, par example, afin de d´emontrer un th´eor`eme de Lef-schetz pour le groupe de Picard d’une vari´et´e projective ([G2] XII Cor. 3.6).En partie les r´esultats y concernent, plus g´en´eralement, des fibr´es vectoriels.Le but de l’article pr´esent est le passage du cas projectif au cas quasi-projectif- `a part du traitement du cas analytique complexe correspondent. On ne vaque p´eparer ici le traitement du groupe de Picard et se concentrer sur le casdes fibr´es vectoriels: une situation plus g´en´erale o`u les r´esultats sont plusfragmentaires.En fait, on trouve d´ej`a un passage sur le cas quasi-projectif chez Grothendieck( [G2], XII.5), mais en ce qui concerne notre genre de question il n’y aqu’une remarque qui se borne au cas o`u la vari´et´e quasi-projective est lecompl´ementaire d’un nombre fini de points (loc.cit., 5.6).Le passage du cas d’une vari´et´e projective `a celui d’un sch´ema quasi-projectifn´ecessite une condition de finitude. On va choisir une formulation de celle-ciqui ´etait utilis´ee dans le cas complexe analytique par Trautmann et Siu, voire.g. [BS]. Ceci marche dans notre contexte parce que nous avons un sch´emade Jacobson, voir [G3], comment on va le voir. On d´efinit donc, pour unfaisceau alg´ebrique coh´erent S sur un sch´ema Y : S m ( S ) = { x ∈ Y ferm´e | prof S x ≤ m } . On constate qu’en fait le th´eor`eme en haut s’ins`ere dans un th´eor`eme definitude g´en´eral, en passant de la vari´et´e projective au cˆone ´epoint´e corre-spondant. Ainsi le th´eor`eme d’annulation en haut se g´en´eralise comme suit:1 .2 Th´eor`eme.
Soit k un corps, X un sch´ema projectif sur k , Y un sous-espace alg´ebrique ferm´e, S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur X \ Y , L unfaisceau ample sur X . Supposons que prof S ≥ m et que S v´erifie la conditionsuivante de finitude F m : dim Y ∩ S l ( S ) < l − m pour tout l ≤ m + dim Y .Alors H s ( X \ Y, S ⊗ O X \ Y L − ν | X \ Y ) = 0 , s < m, ν ≫ . Dans cet article nous posons dim ∅ := −∞ . Pour la condition F m voir lesconditions ´equivalentes de Proposition 2.1.Dans section 4 on va appliquer ce genre de r´esultats au semi-anneau V ect X des classes d’isomorphie de fibr´es vectoriels alg´ebriques sur X . En particulieron va obtenir le th´eor`eme suivant: Soit X ⊂ P N ( k ) un sous-sch´ema projectif sur k , Y unepartie ferm´ee, H un hyperplan d´efini par un faisceau d’id´eaux I tel que I ⊗O X ≃ IO X . Soit ˆ X la compl´etion de X le long de X ∩ H . Supposons prof O X ∩ H \ Y ≥ et que dim S l ( O X \ Y ) ∩ Y ∩ H < l − pour tout l ≤ dim Y ∩ H + 3 . Alors lim −→ V ect U ≃ V ect ( ˆ X \ ˆ Y ) ≃ lim ←− V ect ( X n \ Y n ) o`u U parcourt les voisinages ouverts de X ∩ H \ Y dans X \ Y , n ∈ N et X n est le n -i`eme voisinage infinit´esimal de X ∩ H dans X . On peut donc approximer
V ect ˆ X \ ˆ Y de deux cˆot´es.Il y a un cas o`u on a une information un peu plus pr´ecise: Soit codim X Y ≥ et X \ Y une intersection compl`ete dans P N ( k ) \ Y , c.-`a d. peut ˆetre d´efinie par N \ dim X ´equations, dim X \ Y ≥ .Soit E un fibr´e vectoriel sur X \ Y . Alors E est trivial si et seulement si larestriction alg´ebrique `a X ∩ H \ Y est trivial. Ce th´eor`eme permet de restreindre la question de trivialit´e au cas de fibr´esvectoriels sur une surface.Il y a des renseignements plus pr´ecis pour le groupe de Picard. En particulieron va d´eduire dans section 5 le th´eor`eme de type de Lefschetz suivant:
Soit X un sous-sch´ema projectif de P N ( k ) , Y un ferm´e deZariski dans X de codimension ≥ , X \ Y une intersection compl`ete dans P N ( k ) \ Y de dimension ≥ . Alors P ic ( X \ Y ) ≃ Z . Dans le cas k = C nous pouvons comparer avec le cadre analytique. Soit X an l’espace analytique complexe qui correspond au sch´ema projectif complexe X . Soit X ⊂ P N ( C ) un sous-sch´ema projectif, Y une partieferm´ee, H un hyperplan d´efini par un faisceau d’id´eaux I tel que I ⊗ O X ≃IO X . Soit dim S l +2 ( O X ∩ H \ Y ) ≤ l pour l ≤ dim Y ∩ H . Alors on a undiagramme commutatif: im → V ect U ≃ −→ V ect ( ˆ X \ ˆ Y ) ≃ → lim ← V ect ( X n \ Y n ) ↓≃ ↓≃ ↓≃ lim → V ect U an ≃ → H ( X an ∩ H an \ Y an , Gl ( O X an )) ≃ → V ect ( ˆ X an \ ˆ Y an ) ≃ → lim ← V ect ( X ann \ Y ann ) o`u U parcourt les voisinages (de Zariski) de X ∩ H \ Y dans X \ Y . Soient
X, Y, H comme dans Th´eor`eme 1.6. Supposons codim X Y ≥ , codim X Sing ( X \ Y ) ≥ , dim S l ( O X \ Y ) ≤ l − pour l < dim X . Soit E un fibr´e vectoriel sur X \ Y . Alors E est trivial si etseulement si la restriction analytique de E an `a X an ∩ H an \ Y an est triviale. Ce th´eor`eme permet pour la question de trivialit´e une r´eduction au cas d’unesurface projective lisse.La situation est meilleure quand on regarde des fibr´es vectoriels `a connex-ion int´egrable. Soit
V ect ci ( X ) l’ensemble des classes d’isomorphie de fibr´esvectoriels holomorphes `a connexion int´egrable, voir [D]. Alors Soit X ⊂ P N ( C ) un sous-sch´ema projectif, Y une par-tie ferm´ee, X \ Y lisse, partout de dimension ≥ , H un hyperplan trans-verse `a X \ Y , codim X Y ∩ H ≥ . Alors on a un diagramme commutatifd’isomorphies: V ect ci ( X \ Y ) ≃ V ect ci ( X ∩ H \ Y ) ↓≃ ↓≃ V ect ci ( X an \ Y an ) ≃ V ect ci ( X an ∩ H an \ Y an ) Notons qu’ici une connexion int´egrable sur un fibr´e vectoriel sur X \ Y oubien X ∩ H \ Y est automatiquement r´eguli`ere. Le travail pr´esent´e ici est dans la partie purement alg´ebrique bas´ee sur unelecture d´etaill´ee du travail admirable de Grothendieck [G2].La partie sur le cas analytique et la comparaison alg´ebrique/analytique ades racines compl`etement diff´erentes: le travail de Trautmann et Siu. Il ya ici des techniques d’extension li´ees `a une figure de Hartogs, apr`es touton constate qu’elles sont appliquables. Des m´ethodes semblables sont d´ej`autilis´ees afin d’obtenir des th´eor`emes du type de Zariski-Lefschetz [Ha1] etpour le groupe de Picard local [Ha2] ou les groupes de Chow [Ha3]. Certainsr´esultats de cet article sont utilis´es pour le groupe de Picard des vari´et´esprojectives [HL2]. Notons que dans le cas complexe on dispose d’autresm´ethodes transcendantes encore. a) Conditions de finitude
La possibilit´e de travailler avec nos conditions de profondeur est bas´ee surl’observation suivante: 3 .1 Lemme.
Supposons que X est un sch´ema de Jacobson (voir [G3] I6.4.1). Soit S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur X , x ∈ X . Alors:a) S x = 0 ⇔ S z = 0 pour tous les points ferm´es z de { x } ,b) Si X est localement sous-sch´ema d’un sch´ema r´egulier: prof S x ≤ l − dim { x } ⇔ tous les points ferm´es de { x } appartiennent `a S l ( S ) ⇔ prof S z ≤ l pour tout point ferm´e z de { x } . Rappelons que S l ( S ) ´etait d´efini dans l’introduction. D´emonstration: a) Comme S est coh´erent on sait que le support de S estferm´e (voir [G3] 0, 5.2.2). Donc “ ⇒ ” est ´evident.“ ⇐ ”: { x } et { x } ∩ supp S sont des ferm´es tels que l’intersection avec le sous-espace des points ferm´es de X coincide. Par [G3] 0, 2.8.1 on conclut que { x } = { x } ∩ supp S , donc S x = 0.b) Il suffit de consid´erer le cas o`u X est r´egulier de dimension n . Soit pd ladimension projective d’un anneau local. Alors: prof S x + pd S x = dim Spec O X,x = n − dim { x } , voir [H1] III Prop. 6.12 A.Or, pd S x = min { j | j ≥ , ( Ext i O X ( S , O X )) x = 0 pour i > j } , voir [H1] IIIEx.6.6. Notons que pd S x ≤ n .Le faisceau Ext i O X ( S , O X ) est coh´erent. Donc: z ∈ S l ( S ) pour tous les points ferm´es z de { x }⇔ prof S z ≤ l pour tous les points ferm´es z dans { x }⇔ pd S z ≥ n − l pour tous les points ferm´es z dans { x }⇔ ⊕ n − l ≤ i ≤ n Ext i O X ( S , O X ) z = 0 pour tous les points ferm´es z dans { x }⇔ ⊕ n − l ≤ i ≤ n Ext i O X ( S , O X ) x = 0 (voir a)) ⇔ pd S x ≥ n − l ⇔ prof S x ≤ l − dim { x } .Soient X , Y comme dans l’introduction et j : X \ Y → X l’inclusion.Afin de d´emontrer Th´eor`eme 1.2 rappelons des r´esultats de finitude qui sontessentiellement dues `a [T2], [G2]: Soit S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur X \ Y et j : X \ Y −→ X l’inclusion. Pour m ≥ , les conditions suivantes sont ´equivalentes:a) S satisfait `a la condition F m : dim Y ∩ S l ( S ) < l − m pour tout l ≤ m + dim Y ,b) pour tout x ∈ X \ Y : prof S x > m − c ( x ) avec c ( x ) := codim {{ x } ∩ Y, { x } ) ,c) pour s < m , R s j ∗ S est coh´erent.Dans ce cas, dim H s ( X \ Y, S ) < ∞ , s < m , pourvu que X est propre sur k . Remarque:
Il suffit de supposer que X est un sch´ema de type fini sur k :dans ce cas il s’agit d’un sch´ema de Jacobson qui est localement sous-sch´emad’un sch´ema r´egulier.On peut d’ailleurs supposer que Y ⊂ supp S ; dans ce cas, ( F m ) implique quecodim X Y > m (posons l = dim X ). D´emonstration: b ) ⇐⇒ c ): On peut supposer que S = ˆ S| X \ Y o`u ˆ S estcoh´erent sur X : d’abord, j ∗ S est quasi-coh´erent, donc limite inductive de ses4ous-faisceaux coh´erents, voir [G3] I 6.9.15. Notons que H Y ( ˆ S ) est coh´erent:sous l’hypoth`ese b) ceci d´ecoule de [G2] VIII Cor. 2.3, sous l’hypoth`ese c) onsait que j ∗ S = j ∗ j ∗ ˆ S est coh´erent, donc H Y ( ˆ S ) aussi. Alors c) est ´equivalent`a la condition que H sY ˆ S est coh´erent pour s ≤ m . On est donc ramen´e `a unth´eor`eme de finitude de Grothendieck: [G2] VIII Cor. 2.3. a ) = ⇒ b ): Soit x ∈ X \ Y , dim { x } = s . Supposons que prof S x ≤ m − c ( x ):Alors tous les points ferm´es de { x } \ Y appartiennent `a S m − c ( x )+ s ( S ), doncceux de { x } `a S m − c ( x )+ s ( S ), par Lemme 2.1. Ainsi, s − c ( x ) = dim { x } ∩ Y ≤ dim S m − c ( x )+ s ( S ) ∩ Y < s − c ( x ) par hypoth`ese, contradiction. b ) = ⇒ a ): Soit x ∈ X \ Y tel que les points ferm´es de { x } appartiennent `a S l ( S ). Il faut montrer que dim { x } ∩ Y < l − m . Mais prof S x ≤ l − s , o`u s :=dim { x } , par Lemme 2.1. Donc dim { x }∩ Y = s − c ( x ) = ( m − c ( x ))+( s − m ) < prof S x + ( s − m ) par hypoth`ese, donc dim { x } ∩ Y < ( l − s ) + ( s − m ) = l − m .La conclusion est une cons´equence de c).Supposons maintenant que X est un sous-sch´ema de P r . On a X = P roj A , Y = P roj B , o`u
A, B sont des k -alg`ebres gradu´ees, on peut supposer A = B = k ; soit ˜ X := Spec A , ˜ Y := Spec B , ˜ j : ˜ X \ ˜ Y −→ ˜ X l’inclusion, 0 le pointqui correspond `a l’id´eal ⊕ k> A k . On a une projection π : ˜ X \ ˜ Y −→ X \ Y .Soit ˜ S := π ∗ S . Soit L ample sur X et m > . Les conditions suivantessont ´equivalentes:a) prof S ≥ m , et S satisfait ( F m ) ,b) ˜ S satisfait ( F m ) ,c) R s ˜ j ∗ ˜ S est coh´erent pour s < m ,d) ⊕ n ∈ Z H s ( X \ Y, S ( n )) est un k [ Z , . . . , Z r ] -module de type fini, s < m ,e) pour tout s < m , on a:( e ) H s ( X \ Y, S ⊗ L n ) = 0 , n ≪ ,( e ) dim H s ( X \ Y, S ⊗ L n ) < ∞ , n ∈ Z ,( e ) ⊕ n ≥ H s ( X \ Y, S ( n )) est un k [ Z , . . . , Z r ] -module de type fini. D´emonstration: a) ⇔ b): On a prof ˜ S x = prof S π ( x ) + 1. La condition ( F m )pour S dit que dim Y ∩ S l ( S ) < l − m pour tout l ≤ m + dim Y . Ceci signifieque dim ˜ Y ∩ S l ( ˜ S ) \ { } < l − m pour tout l ≤ m + dim ˜ Y . La conditionprof S x ≥ m pour tout point ferm´e de X \ Y dit que S l ( ˜ S ) = ∅ , c.-`a d.˜ Y ∩ S l ( ˜ S ) = ∅ pour l ≤ m .b) ⇔ c): voir Proposition 2.2.c) ⇔ d): On sait de toute fa¸con que les faisceaux R s ˜ j ∗ ˜ S sont quasi-coh´erents.Comme ˜ X est affine, on obtient donc que H ( ˜ X, R s ˜ j ∗ ˜ S ) = H s ( ˜ X \ ˜ Y , ˜ S ) ≃⊕ n ∈ Z H s ( X \ Y, S ( n )). En g´en´eral, on sait que H ( ˜ X, R s ˜ j ∗ ˜ S ) est un H ( ˜ X, O ˜ X )-module de type fini si et seulement si R s ˜ j ∗ ˜ S est coh´erent, voir [H1] II Cor.5.5. Or, H ( ˜ X, O ˜ X ) = A , et A est quotient de R := k [ Z , . . . , Z r ]. D’o`u ler´esultat.d) ⇒ e): Soit L k tr`es ample. L’´equivalence a) ⇔ d) montre qu’on a lesmˆemes hypoth`eses pour S ⊗ L j , j = 0 , . . . , k −
1, au lieu de S . On peut doncsupposer que L = O X (1).La condition ( e ) est alors ´evidente. Comme R est noeth´erien, M n :=5 k ≥ n H s ( X \ Y, S ⊗L k ) est un R -module de type fini pour tout n , ce qui donne( e ) pour n = 0. Le mˆeme vaut donc pour M n /M n +1 = H s ( X \ Y, S ⊗ L n )aussi. Or, il s’agit en mˆeme temps d’un module sur R/R ≃ k , donc d’unespace vectoriel sur k de dimension finie, on obtient donc ( e ).e) ⇒ d): clair. D´emonstration de Th´eor`eme 1.2: voir l’implication a ) = ⇒ e ) de Th´eor`eme2.3.En particulier, on obtient le corollaire de Th´eor`eme 1.2 suivant qui peut ˆetred´emontr´e beaucoup plus facilement par voie directe: Soit X un sch´ema projectif sur k , Y un sous-espace alg´ebriqueferm´e, L un faisceau ample sur X , S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur X \ Y , prof S ≥ n . Alors H q ( X \ Y, S ⊗ O X \ Y ( L| X \ Y ) − ν ) = 0 pour q < n − dim Y − , ν ≫ . En fait, il y a une extension coh´erente de S `a X , on peut donc appliquer lam´ethode de la d´emonstration de [HL2] Th´eor`eme 2.1.Le lemme suivant d´ecoule de Th´eor`eme 2.3 aussi, voir a ) = ⇒ d ), mais peutˆetre d´emontr´e directement, voir Appendice: Soit dim S l ( S ) ∩ Y < l − m pour tout l ≤ m + dim Y , prof S ≥ m . Alors ⊕ n ∈ Z H s ( X \ Y, S ( n )) est un k [ Z , . . . , Z r ] -module de type fini pour s < m . Soit dim S l ( S ) ∩ Y < l − pour tout l ≤ Y . Alors S ⊗ L n est engendr´e par Γ( X \ Y, S ⊗ L n ) , n ≫ , le dernier espace ´etant dedimension finie. D´emonstration:
D’apr`es Proposition 2.2, j ∗ S est coh´erent, donc j ∗ S ⊗ L n est engendr´e par Γ( X, j ∗ S ⊗ L n ) = Γ( X \ Y, S ⊗ L n ), n ≫
0, parce que L estample, l’espace `a droite ´etant de dimension finie. b) Conditions d’annulation On aura aussi besoin des conditions d’annulation qui sont essentiellementdues `a Grothendieck:
Soit S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur X . Les condi-tions suivantes sont ´equivalentes:a) prof S y ≥ n pour tout y ∈ Y ,b) dim Y ∩ S l + n ( S ) ≤ l pour tout l ,c) H iY S = 0 pour i < n .Dans ce cas, H iY ( X, S ) = 0 pour i < n . Remarque:
Il suffit encore de supposer que X est localement un sch´ema detype fini sur k . D´emonstration: a) ⇔ c): voir [G2] III Prop. 3.3.a) ⇒ b): Soit y ∈ Y tel que les points ferm´es de { y } appartiennent `a6 l + n ( S ). Il suffit de d´emontrer que s := dim { y } ≤ l . Par Lemme 2.1, prof S y ≤ l + n − s . Donc dim { y } = s ≤ l + n − prof S y ≤ l + n − n = l .b) ⇒ a): Supposons y ∈ Y , prof S y < n : Soit s := dim { y } . Par Lemme 2.1,les points ferm´es de { y } appartiennent `a S n + s − ( S ) ∩ Y . Donc dim S n + s − ( S ) ∩ Y ≥ dim { y } = s , en contradiction avec l’hypoth`ese.La cons´equence est obtenue par une suite spectrale, voir [G2] I Th. 2.6.La condition b) est due `a Scheja [Sch] dans le cas analogue analytique. Soit j : X \ Y → X l’inclusion, S un faisceau alg´ebriquecoh´erent sur X \ Y , et supposons que S satisfait `a ( F ) . Alors j ∗ S estcoh´erent, et prof ( j ∗ S ) y ≥ pour y ∈ Y . D´emonstration:
D’apr`es Proposition 2.2 T := j ∗ S est coh´erent. On a T ≃ j ∗ j ∗ T , donc H kY ( T ) = 0 , k = 0 ,
1, ce qui implique prof T y ≥ , y ∈ Y ,par Proposition 2.7. a) Compl´etion de faisceaux Soit k un corps, X un sch´ema projectif sur k , Y un sous-espace alg´ebriqueferm´e, H un hyperplan et I le faisceau d’id´eaux qui correspond `a H . Pourun faisceau alg´ebrique S soit ˆ S la compl´etion de S le long de X ∩ H , voir[G3] I.10. On peut d´eduire du Th´eor`eme 1.2, voir [G2] XII Th´eor`eme 2.1pour Y = ∅ : Soit S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur X \ Y . Supposonsque la fl`eche naturelle S ⊗ I → IS est injective, prof
S ≥ m et que S v´erifiela condition F m , c.-`a.d. dim Y ∩ S l ( S ) < l − m pour tout l ≤ m + dim Y .Alors H s ( X ∩ H \ Y, ˆ S ) ≃ −→ lim ← n H s ( X n \ Y n , S / I n S ) pour s ≤ m − , et H s ( X \ Y, S ) −→ H s ( X ∩ H \ Y, ˆ S ) est bijectif, s < m − , et injectif, s = m − . D´emonstration:
On a la suite exacte longue de cohomologie associ´ee `a0 −→ I ν S −→ S −→ S / I ν S −→ H s ( X \ Y, S ) −→ H s ( X ∩ H \ Y, S / I ν S ) est bijectif, s < m −
1, et injectif, s = m − ν ≫
0. Pour s ≤ m −
1, ceci implique H s ( X ∩ H \ Y, ˆ S ) ≃ lim ← ν H s ( X ∩ H \ Y, S / I ν ) S , par [G4] 0 III
III s < m −
1; pour s = m − H s ( X \ Y, S ) −→ H s ( X ∩ H \ Y, ˆ S ) −→ H s ( X ∩ H \ Y, S / I ν ) S est injective, ν ≫
0, donc la premi`ere fl`eche aussi. b) Cohomologie des faisceaux formels S sur ˆ X \ ˆ Y . Soit X ⊂ P r , H un hyperplan, I le faisceau d’id´eaux correspondant. On peut supposerque H est d´efini par Z = 0. Supposons que la fl`eche naturelle S ⊗ I −→ IS est injective. Soit L un faisceau ample sur X . Soit dim S l ( S / IS ) ∩ Y < l − m pour tout l ≤ m + dim Y ∩ H , prof S / IS ≥ m . Alors le syst`eme ( ⊕ n ∈ Z H s ( X ∩ H \ Y, ( S / I k S )( n )) k v´erifiepour s < m − la condition de Mittag-Leffler, voir [G4] III
D´emonstration:
Soit S k := S / I k S et s < m . Alors ⊕ n ∈ Z H s ( X ∩ H \ Y, gr S · ( n )) ≃ ( ⊕ n ∈ Z H s ( X ∩ H \ Y, S ( n ))) ⊗ k [ Z ,...,Z r ] k [ Z , . . . , Z r ]. D’apr`esLemme 2.5, ⊕ n ∈ Z H s ( X ∩ H \ Y, S ( n )) est de type fini sur k [ Z , . . . , Z r ]. Lemodule `a gauche est donc fini sur k [ Z , . . . , Z r ]. On d´eduit le r´esultat enquestion en utilisant [G4] 0 III
III
24, p.89; voir [G2] IX Th´eor`eme 2.1, XII Lemme 3.3.
Sous l’hypoth`ese du lemme pr´ec´edant on a pour tout k < m : dim H k ( ˆ X \ ˆ Y , S ) = dim H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S ) < ∞ , n ≫ (donc dim H k ( ˆ X \ ˆ Y ,
S ⊗ L n ) < ∞ , n arbitraire). D´emonstration:
D’abord dim H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S ) < ∞ , k < m , par Propo-sition 2.2. De plus: H k ( ˆ X \ ˆ Y , I n S / I n +1 S ) ≃ H k ( ˆ X \ ˆ Y , ( S / IS )( − n )) = 0, k < m , n ≫
0, par Th´eor`eme 1.2, donc H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n +1 S ) −→ H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S ) est injectif et lim ← ν H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I ν S ) −→ H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S )aussi pour k < m, n ≫
0. La condition de Mittag-Leffler est donc v´erifi´eepour ( H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S )) n ≥ , et H k ( ˆ X \ ˆ Y , S ) ≃ H k ( ˆ X \ ˆ Y , lim ← ν S / I ν S ) ≃ H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S ), n ≫ Supposons que dim S l ( S / IS ) ∩ Y < l − pour tout l ≤ dim Y ∩ H + 2 et que prof S / IS ≥ . Alors Γ( ˆ X \ ˆ Y ,
S ⊗ L k ) ⊗ Γ( ˆ X \ ˆ Y , O ˆ X ) O ˆ X \ ˆ Y −→S ⊗ L k est surjectif, k ≫ . D´emonstration:
Il suffit de traiter le cas L = O X (1). On s’aper¸coit quel’hypoth`ese de Lemme 3.2 est donn´ee avec m = 2. Soit G k := ⊕ n ∈ Z Γ( X ∩ H \ Y, ( S / I k S )( n )). D’apr`es Lemme 3.2, il y a un k tel que pour tout k ≥ k on a Im ( G k −→ G ) = Im ( G k −→ G ), donc les deux cˆot´es coincidentavec Im (lim ← k G k −→ G ) = Im ⊕ n ∈ Z (Γ( ˆ X \ ˆ Y , S ( n )) −→ ⊕ n ∈ Z Γ( X ∩ H \ Y, ( S / IS )( n ))). (*)Soit n ≫
0. D’apr`es Lemme 2.6, ( S / I k S )( n ) est engendr´e par Γ( X ∩ H \ Y, ( S / I k S )( n )). Alors ( S / IS )( n ) est engendr´e par l’image de Γ( X ∩ H \ Y, ( S / I k S )( n )) dans Γ( X ∩ H \ Y, ( S / IS )( n )), donc par celle de Γ( ˆ X \ ˆ Y , S ( n )) dans Γ( X ∩ H \ Y, ( S / IS )( n )), voir (*). Par cons´equent, le module( S / IS )( n ) est engendr´e par Γ( ˆ X \ ˆ Y , S ( n )), donc S ( n ) aussi par le lemmede Nakayama.On a un analogue de Th´eor`eme 1.2 pour les faisceaux formels: Supposons que prof S / IS ≥ m , dim S l ( S / IS ) ∩ Y < l − m pour l ≤ m + dim Y ∩ H . Alors ) H k ( ˆ X \ ˆ Y ,
S ⊗ L n ) = 0 pour k < m, n ≪ ,b) H k ( ˆ X \ ˆ Y , S ) ≃ H k ( X n \ Y n , S / I n S ) pour k < m, n ≫ . D´emonstration:
Soit k < m .a) On peut supposer L = O X (1). On a prof S / IS ≥ m et que S / IS satisfait F m . Soit n ≫
0. Par Th´eor`eme 1.2 nous savons que H k ( ˆ X \ ˆ Y , I n S / I n +1 S ) = 0. Ceci implique que H k ( ˆ X \ ˆ Y , I n S / I n + ν S ) = 0 pour ν ≥
0. Le syst`eme ( H k ( ˆ X \ ˆ Y , I n S / I n + ν S )) v´eriefie la condition de Mittag-Leffler, et H k ( ˆ X \ ˆ Y , I n S ) = 0.b) Grˆace `a la d´emonstration de Lemme 3.3, le syst`eme ( H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S )v´erifie la condition de Mittag-Leffler, et S ≃ lim ← n S / I n S , donc H k ( ˆ X \ ˆ Y , S ) ≃ lim ← n H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S ).D’autre part, la fl`eche H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n +1 S ) −→ H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S ) est in-jective, n ≫
0, comme on a vu ci-dessus. Pour n ≫
0, on conclut que H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n +1 S ) ≃ H k ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S ), d’o`u le r´esultat cherch´e.Notons que l’hypoth`ese de Proposition 3.5 est v´erifi´ee si S = ˆ G et G v´erifiel’hypoth`ese de Th´eor`eme 3.1 avec m + 1 au lieu de m . c) Extension de faisceaux formels On a donc la g´en´eralisation suivante de [G2] XII Th´eor`eme 3.1 ( Y = ∅ ): Sous l’hypoth`ese de Lemme 3.4, il y a un faisceau coh´erent G sur X tel que ˆ G| ˆ X \ ˆ Y ≃ S . D´emonstration:
Nous pouvons supposer que Y ⊂ supp S et X = P r ( k ),alors r ≥ X Y ≥
4. Soit n ≫
0, alors S ( n ) est en-gendr´e par Γ( ˆ X \ ˆ Y , S ( n )) par Lemme 3.4, et le dernier espace est de dimen-sion finie d’apr`es Lemme 3.3. On a donc un ´epimorphisme O d ˆ X \ ˆ Y −→ S ( n ),donc O d ˆ X \ ˆ Y ( − n ) −→ S . Soit K le noyau qui a les mˆemes propri´et´es que S . On a donc un ´epimorphisme O c ˆ X \ ˆ Y −→ K ( l ), donc O c ˆ X \ ˆ Y ( − l ) −→K . La suite O c ˆ X \ ˆ Y ( − l ) −→ O d ˆ X \ ˆ Y ( − n ) −→ S −→ O c ˆ X \ ˆ Y ( − l ) −→ O d ˆ X \ ˆ Y ( − n ) correspond `a un ´el´ement deΓ( ˆ X \ ˆ Y , Hom ( O c ˆ X \ ˆ Y ( − l ) , O d ˆ X \ ˆ Y ( − n )) ≃ Γ( ˆ X \ ˆ Y , ˆ T ) avec T := Hom ( O cX \ Y ( − l ) , O dX \ Y ( − n )). Par Th´eor`eme 3.1, on obtient un ´el´ementcorrespondant de Γ( X \ Y, T ). Ceci signifie que l’homomorphisme provientd’un homomorphisme O cX \ Y ( − l ) −→ O dX \ Y ( − n ). Posons G := coker( O cX \ Y ( − l ) −→O dX \ Y ( − n )) et G une extension coh´erente de G `a X . Alors ˆ G| ˆ X \ ˆ Y ≃ S . Sous l’hypoth`ese de Lemme 3.4 on peut ´etendre S `a unfaisceau coh´erent sur ˆ X . On peut essayer de d´emontrer Th´eor`eme 3.6 comme suit: ´etendre d’abord`a ˆ X et apr`es `a X . En fait, l’extension `a ˆ X est possible, mais la deuxi`eme´etape est probl´ematique, voir Appendice.9 Cons´equences pour les fibr´es vectoriels alg´ebriques
Soit d’abord X un sch´ema de type fini sur k , Y un sous-espace ferm´e. Soient Y un sous-espace ferm´e de X , dim Y ∩ S l +2 ( O X ) ≤ l pour tout l . Alors V ect X −→ V ect ( X \ Y ) est injectif. D´emonstration:
Soient E et E ′ des faisceaux coh´erents localement libres sur X tels que E | X \ Y ≃ E ′ | X \ Y . On raisonne comme dans la d´emonstrationde Cor. 2.4 dans [G2] XII: Soit G := Hom ( E , E ′ ). L’isomorphisme donneune section de G| X \ Y qui vient d’une section de G : l’hypoth`ese garantitque la restriction Γ( X, G ) −→ Γ( X \ Y, G ) est un isomorphisme, voir Propo-sition 2.7: on a H kY ( X, G ) = 0 , k = 0 ,
1. La section de G d´efinit un homo-morphisme E −→ E ′ , on v´erifie qu’il s’agit d’un isomorphisme: on prolongel’isomorphisme inverse et conclut par unicit´e qu’il s’agit de l’homomorphismeinverse `a l’extension d´ej`a trouv´ee.Soit maintenant X ⊂ P m ( k ) un sch´ema projectif sur k , Y un sous-espacealg´ebrique ferm´e, H un hyperplan tel que I ⊗ O X ≃ IO X , I ´etant le faisceaud’id´eaux qui correspond `a H . Soit ˆ X la compl´etion de X le long de X ∩ H . Supposons prof O X \ Y ≥ et que O X \ Y v´erifie la condition ( F ) . Alors:a) Si E est un faisceau coh´erent localement libre sur X \ Y , on a des isomor-phismes Γ( X \ Y, E ) ≃ Γ( ˆ X \ ˆ Y , ˆ E ) ≃ lim ← n Γ( X n \ Y n , E / I n E ) .b) V ect ( X \ Y ) −→ lim ← n V ect ( X n \ Y n ) est injectif, donc V ect ( X \ Y ) −→ V ect ( ˆ X \ ˆ Y ) aussi. D´emonstration: a) Ceci d´ecoule de Th´eor`eme 3.1.b) On raisonne comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme 4.1. Soient F et F des faisceaux coh´erents localement libres sur X \ Y tel que F | X n \ Y n ≃F | X n \ Y n pour tout n . Soit G := Hom ( F , F ). Par Th´eor`eme 1.2 il ya un n tel que H ( X \ Y, G ) ≃ H ( X n \ Y n , G| X n \ Y n ). L’isomorphisme F | X n \ Y n ≃ F | X n \ Y n donne une section de G| X n \ Y n qui vient d’unesection de G . Celle-ci d´efinit un homomorphisme F −→ F , on v´erifie qu’ils’agit d’un isomorphisme, comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme 4.1.Rappelons les conditions Lef et Lef f de Lefschetz introduites dans SGA2([G2] X 2, p. 112):Soit X un sch´ema de type fini sur k , Z une partie ferm´ee de X . Pour unfaisceau alg´ebrique coh´erent F sur X soit ˆ F sa compl´etion le long de Z . Soitˆ X la compl´etion de X le long de Z . D´efinition:
On a
Lef ( X, Z ) si pour tout ouvert U dans X tel que Z ⊂ U et pour tout faisceau alg´ebrique coh´erent localement libre E sur U on a H ( U, E ) ≃ H ( ˆ X, ˆ E ).On a Lef f ( X, Z ) si l’on a
Lef ( X, Z ) et pour tout faisceau alg´ebrique coh´erent10ocalement libre E ′ sur ˆ X il y a un voisinage ouvert U de Z dans X et unfaisceau coh´erent localement libre E sur U tels que ˆ E ≃ E ′ .Retournons au contexte habituel. Supposons prof O X \ Y ≥ , dim S l ( O X \ Y ) ∩ Y ∩ H < l − pour tout l ≤ dim Y ∩ H + 3 .a) On a Lef ( X \ Y, X ∩ H \ Y ) .b) Pour tout voisinage ouvert U de X ∩ H \ Y dans X \ Y , la fl`eche V ect U → V ect ˆ X \ ˆ Y est injective. D´emonstration: a) Soit U un voisinage ouvert de X ∩ H \ Y dans X \ Y .Posons Y ′ := X \ U . On s’aper¸coit que les hypoth`eses de Th´eor`eme 3.1 sontremplies avec m = 2 et Y ′ , O U au lieu de Y et S : on a Y ′ ∩ H = Y ∩ H . No-tons que S l ( O X \ Y ′ ) ⊂ S l ( O X \ Y ), donc dim S l ( O X \ Y ′ ) ∩ Y ′ ≤ dim S l ( O X \ Y ) ∩ Y ∩ H + 1 < l −
2, et prof O X \ Y ′ ≥ Y ′ := X \ U au lieu de Y .La comparaison de V ect ( ˆ X \ ˆ Y ) et V ect ( X ∩ H \ Y ) est plus difficile. Notonsqu’il ne s’agit pas des groupes mais des ensembles avec un ´el´ement distingu´e.On peut donc parler du noyau mais il faut ˆetre prudent parce que la trivialit´edu noyau n’implique pas l’injectivit´e. Le sous-ensemble de V ect . . . repr´esent´epar des fibr´es vectoriels de rang r sera d´enot´e par V ect r . . . . D’abord: Soit n ∈ N tel que H ( X ∩ H \ Y, I k / I k +1 ) = 0 pour tout k ≥ n ≥ . Alors le noyau de lim ← m V ect ( X m \ Y m ) −→ V ect ( X n \ Y n ) esttrivial. D´emonstration:
Soit r ∈ N . De fa¸con analogue `a [G2] XI (1.1), on a unesuite exacte:0 −→ ( I k / I k +1 ) ⊕ r −→ GL r ( O X k +1 ) −→ GL r ( O X k ) −→ H ( X ∩ H \ Y, GL r ( O X k )), et d´eduit que le noyau de V ect r ( X k +1 \ Y k +1 ) −→ V ect r ( X k \ Y k ) est trivial, k ≥ n , donc celui de lim ← m V ect r ( X m \ Y m ) −→ V ect r ( X n \ Y n ) aussi.En particulier, on obtient en utilisant Th´eor`eme 1.2, parce que I k / I k +1 ≃ ( I / I ) k : Supposons que prof O X ∩ H \ Y ≥ et que O X ∩ H \ Y v´erifie lacondition ( F ) . Pour n ≫ . le noyau de lim ← m V ect ( X m \ Y m ) −→ V ect ( X n \ Y n ) est trivial. Sous des hypoth`eses plus fortes on peut appliquer Lemme 4.4 avec n = 1: Soit codim X Y ∩ H ≥ et X \ Y une intersection compl`etedans P N ( k ) \ Y de dimension ≥ . Alors le noyau de lim ← m V ect ( X m \ Y m ) −→ V ect ( X ∩ H \ Y ) est trivial. ´emonstration: Soit n ≥
1. Il suffit de d´emontrer que le noyau de
V ect ( X n +1 \ Y n +1 ) → V ect ( X n \ Y n ) est trivial, o`u bien H ( X \ Y, I n / I n +1 ) =0. Soit i : X → P N l’inclusion. Il y a une r´esolution de ( i ∗ ( I n / I n +1 )) | P N \ Y ∩ H par des faisceaux qui sont sommes directes de O P N \ Y ∩ H ( l ) avec l < ≤ k + 2, o`u k := N − dim X . Ilsuffit donc de v´erifier que H j ( P N \ Y ∩ H, O P N ( l )) = 0, j ≤ k + 2, ce quiprovient du fait que H jY ∩ H ( O P N ) = 0, donc H jY ∩ H ( P N , O P N ( l )) = 0, j ≤ k +3,voir Proposition 2.7, et H j ( P N , O P N ( l )) = 0, l < , j ≤ k + 2. D´emonstration de Th´eor`eme 1.4: d´ecoule de Th´eor`eme 4.2 et 4.6.
Supposons que prof O X ∩ H \ Y ≥ et que O X ∩ H \ Y v´erifie lacondition ( F ) . Alors V ect ( ˆ X \ ˆ Y ) ≃ lim ← m V ect ( X m \ Y m ) . D´emonstration:
D’abord, on a la surjectivit´e par [G3] I 10.10.8.6:Soit ( E n ) un repr´esentant d’un ´el´ement de lim ←− V ect ( X n \ Y n ), c.-`a d. E n estcoh´erent et localement libre sur X n \ Y n , E n +1 | ( X n \ Y n ) ≃ E n pour tout n .Alors il y a un faisceau E sur ˆ X \ ˆ Y qui est coh´erent et localement libre telque E | X n \ Y n ≃ E n pour tout n .Pour l’injectivit´e, supposons que E et E ′ sont localement libres de type finisur ˆ X \ ˆ Y tels que E | X n \ Y n ≃ E ′ | X n \ Y n pour tout n . Le probl`eme est queles isomorphismes a priori ne doivent pas ˆetre compatibles.Posons S := Hom ( E , E ′ ). Ce faisceau est coh´erent et localement libre. Choi-sissons n suffisamment grand tel qu’on a d’abord H ( ˆ X \ ˆ Y , S ) ≃ H ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S ), par Proposition 3.5. On y pose m = 1, S := O ˆ X .On veut d’abord montrer que l’isomorphisme E | X n \ Y n −→ E ′ | X n \ Y n s’´etend `a un morphisme E −→ E ′ : Le premier d´efinit un ´el´ement de H ( ˆ X \ ˆ Y , S / I n S ), et ce groupe est isomorphe `a H ( ˆ X \ ˆ Y , S ) par le choix de n .Comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme 4.1 on montre qu’il s’agit d’unisomorphisme: on utilise Hom ( E ′ , E ), Hom ( E , E ) et Hom ( E ′ , E ′ ) au lieu de S := Hom ( E , E ′ ). D´emonstration de Th´eor`eme 1.3:
L’isomorphisme `a droite est assur´epar le th´eor`eme pr´ec´edant.Il reste `a d´emontrer la bijectivit´e de la fl`eche `a gauche.L’injectivit´e d´ecoule de Corollaire 4.3.Surjectivit´e: Soit E coh´erent localement libre sur ˆ X \ ˆ Y , alors il y a un fais-ceau coh´erent F sur X \ Y tel que ˆ F ≃ E , par Th´eor`eme 3.6. Comme ˆ F estlocalement libre on conclut que F est localement libre sur un voisinage U ,par [G3] I 10.8.15. Alors F | U repr´esente l’image inverse cherch´ee. Voir [G2]XII Corollaire 3.4b dans le cas Y = ∅ .En fait on vient de montrer la condition Lef f ( X \ Y, X ∩ H \ Y ). Remarque:
L’´enonc´e ne d´epend pas de Y tout entier mais de Y ∩ H . Onpeut donc choisir Y de fa¸con convenable.12 Cons´equences pour le groupe de Picard
Pour le groupe de Picard il y a des r´esultats en plus:
Supposons que prof O X \ Y ≥ , prof O X ∩ H \ Y ≥ , O X \ Y et O X ∩ H \ Y satisfont `a la condition F et que O X,x est parafactoriel (voir [G2]XI D´ef. 3.2) au points x de X \ Y tels que dim { x } ≤ dim Y ∩ H + 1 . Alors P ic X \ Y ≃ lim ← P ic ( X n \ Y n ) . D´emonstration: `A cause de Th´eor`eme 4.2b) l’application
P ic X \ Y −→ lim ← P ic X n \ Y n est injective.Comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme 1.3, on montre qu’un ´el´ement delim ← P ic X n \ Y n provient d’un ´el´ement de P ic U , U ´etant un voisinage ouvert de X ∩ H \ Y dans X \ Y convenable. Il suffit de montrer que P ic X \ Y −→ P ic U est surjectif. Mais pour Y ′ := X \ U nous savons que dim Y ′ ≤ dim Y ∩ H +1,donc O X,x est parafactoriel pour tout x ∈ Y ′ \ Y . Ceci implique que ( X \ Y, U )est parafactoriel, voir [G2] XI Prop. 3.3.
Soit X ⊂ P m ( k ) un sch´ema projectif sur k , Y un sous-espacealg´ebrique ferm´e, H un hyperplan tel que la fl`eche naturelle I ⊗O X −→ IO X soit injective. Soit X n le sous-espace de X d´efini par I n , I ´etant le faisceaud’id´eaux qui d´efinit X ∩ H dans X . Supposons que prof O X ∩ H \ Y ≥ et que O X ∩ H \ Y satisfait F . Alors pour n ≫ , on a P ic ( ˆ X \ ˆ Y ) ≃ P ic ( X n \ Y n ) . D´emonstration:
D’apr`es [G2] XI (1.1) on a une suite exacte:0 −→ I n +1 / I n +2 −→ O ∗ X n +1 −→ O ∗ X n −→ H k ( X ∩ H \ Y, I n +1 / I n +2 ) = 0 , k = 1 , , donc P ic ( X n +1 \ Y n +1 ) ≃ P ic ( X n \ Y n ) , n ≫
0, `a cause de Th´eor`eme 1.2, donc lim ← P ic ( X n \ Y n ) ≃ P ic ( X n \ Y n ), n ≫ D´emonstration de Th´eor`eme 1.5:
On proc`ede par r´ecurrence sur lacodimension de X : Le cas X = P N ( k ) est clair parce que dans ce cas P ic X = Cl X ≃ Cl X \ Y = P ic X \ Y : X est lisse et Y est de codimension ≥
2, voir[G2] XI Cor. 3.8. Nous pouvons donc supposer que X n’est pas un espaceprojectif. Soit X = X ′ ∩ H , H ´etant une hypersurface et dim X ′ = dim X +1.Alors X ′ \ Y est une intersection compl`ete dans P N ( k ) \ Y . On sait par[G2] XI Th´eor`eme 3.13 que O X ′ ,x est parafactoriel pour tout x ∈ X ′ \ Y avec dim { x } ≤ dim Y + 1 parce que ( X ′ , x ) est une intersection compl`ete dedimension ≥
4: la codimension de Y dans X ′ est au moins 5. Par l’hypoth`esede r´ecurrence nous savons que P ic X ′ \ Y ≃ Z . Par Th´eor`eme 5.1 (o`u on peutremplacer “hyperplan” par “hypersurface”) on obtient que Z ≃ P ic X ′ \ Y ≃ lim ← P ic X ′ n \ Y n . La d´emonstration du th´eor`eme pr´ec´edant montre qu’il suffitde v´erifier que H j ( X \ Y, I n / I n +1 ) = 0, n ≥ , j = 1 , I ´etant le faisceaud’id´eaux de X dans X ′ . Mais il y a une r´esolution de ( i ∗ ( I n / I n +1 )) | P N \ Y ,o`u i : X → P N est l’inclusion, par des faisceaux qui sont sommes directes13e O P N \ Y ( l ) avec l <
0, le nombre des faisceaux ´etant ≤ k + 2 avec k := N − dim X . Il suffit donc de v´erifier que H j ( P n \ Y, O P N ( l )) = 0, j ≤ k + 2, cequi provient du fait que H jY ( O P N ) = 0, donc H jY ( P N , O P N ( l )) = 0, j ≤ k + 3,et H j ( P N , O P N ( l )) = 0, l < , j ≤ k + 2. Consid´erons le cas k = C . Notons que la notion de profondeur ne change pasdans le cadre analytique. a) Faisceaux coh´erents sur X On a un analogue de Proposition 2.1 dans le cas o`u il y a une extensioncoh´erente - ce qui n’est pas automatique dans le cas analytique, contraire aucas alg´ebrique.
Soit X un espace analytique complexe , Y un sous-espaceanalytique ferm´e, S un faisceau analytique coh´erent sur X (!). Supposonsque X est compact, dim Y ∩ S l + m ( S| X \ Y ) < l pour tout l ≤ dim Y . Alors dim H s ( X \ Y, S ) < ∞ , s < m . D´emonstration:
Par [T2] III Th. 2.1, [Si2] o`u [BS] II Th. 4.1 on sait que R s j ∗ ( S| X \ Y ) est coh´erent, s < m , o`u j : X \ Y −→ X . On conclut par lasuite spectrale E pq = H p ( X, R q j ∗ S ) ⇒ H p + q ( X \ Y, S ). Soit X une vari´et´e alg´ebrique complexe compl`ete, Y unesous-vari´et´e ferm´ee, S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur X \ Y . Supposonsque dim Y ∩ S l + m ( S ) < l por tout l ≤ dim Y . Alors ( R s j ∗ S ) an ≃ R s j an ∗ S an ,donc H s ( X \ Y, S ) ≃ H s ( X an \ Y an , S an ) , s < m . D´emonstration:
Pour le premier ´enonc´e voir [Si2]. Pour le deuxi`eme onconclut par GAGA, en comparant la suite spectrale dans la d´emonstrationpr´ec´edante avec l’analogue alg´ebrique. Voir Lemme 10.8.
Soit X un sous-espace analytique ferm´e d’un espace pro-jectif complexe, Y un sous-espace analytique ferm´e, S un faisceau analy-tique coh´erent sur X , L un faisceau ample sur X , prof S| X \ Y ≥ m , dim Y ∩ S l + m ( S| X \ Y ) < l pour l ≤ dim Y . Alors H s ( X \ Y, S ⊗ O X L − ν ) = 0 , s < m , ν ≫ . D´emonstration:
Par Proposition 6.2 on peut passer au cadre alg´ebriqueet appliquer Th´eor`eme 1.2. Notons que S provient d’un faisceau alg´ebriquecoh´erent par GAGA. b) Faisceaux coh´erents sur X \ Y Qu’est-ce qui se passe quand on ne suppose plus que S s’etend `a X ?Soit X un espace analytique complexe , Y un sous-espace analytique ferm´e.14 .4 Lemme. [FG] Soit S un faiscau analytique coh´erent sur X \ Y , d ≥ , dim Y ≤ d , dim S l +2 ( S ) ≤ l pour tout l ≤ d . Alors il y a une extensioncoh´erente ˆ S de S `a X , `a savoir j ∗ S , o`u j : X \ Y −→ X est l’inclusion, telleque dim S l +2 ( ˆ S ) ≤ l pour l ≤ d . On a une variante de Th´eor`eme 6.3:
Soit X un sous-espace analytique ferm´e d’un espace pro-jectif complexe, Y un sous-espace analytique ferm´e, S un faisceau analytiquecoh´erent sur X \ Y , L un faisceau ample sur X , prof S ≥ m , dim S l + m ( S ) ≤ l pour l ≤ dim Y . Alors H s ( X \ Y, S ⊗ O X \ Y L − ν | X \ Y ) = 0 , s < m , ν ≫ . D´emonstration:
Il suffit de traiter le cas o`u prof
S ≥ m + dim Y + 1: On adim S m +dim Y ( S ) ≤ dim Y . Posons Y ′ := Y ∪ S m +dim Y ( S ); alors prof S| ( X \ Y ′ ) ≥ m + dim Y + 1 = m + dim Y ′ + 1, et H s ( X \ Y, S ) −→ H s ( X \ Y ′ , S )est injectif, s < m , `a cause de [BS] II Th. 3.6.Soit d’abord m ≥
2. Par le lemme pr´ec´edant on peut appliquer Th´eor`eme6.3.Ou bien on applique [HL2] Th´eor`eme 4.2.Il reste `a traiter le cas m = 1 o`u il faut d´emontrer le lemme suivant: Soit X un sous-espace analytique ferm´e d’un espace projec-tif complexe, Y un sous-espace analytique ferm´e, S un faisceau analytiquecoh´erent sur X \ Y , L un faisceau ample sur X , prof S ≥ n := max { , dim Y +2 } . Soit L un faisceau ample sur X . Alors H ( X \ Y, S ⊗ O X \ Y L − ν | X \ Y ) = 0 , ν ≫ . D´emonstration:
R´ecurrence sur dim Y . On peut supposer que X est unespace projectif.Le cas Y = ∅ est assur´e par [BS] IV Cor. 3.3.Soit donc Y = ∅ . On peut supposer S 6 = 0 et L = O X (1). Soit x ∈ Supp S .Pour presque toute forme lin´eaire f avec f ( x ) = 0 la multiplication f · . . . : S x −→ S (1) x est injective:Soit g une fonction lin´eaire avec g ( x ) = 0. En prenant des g´en´erateurs de S x on trouve une suite 0 = S x ⊂ S x ⊂ . . . ⊂ S rx = S x o`u S jx / S j − x estengendr´e par un ´el´ement [ s j ] = 0. Supposons que f /g n’est pas contenu dansl’union des Ann ( S jx / S j − x ), donc f · [ s j ] = 0. On v´erifie par r´ecurrence que lamultiplication f · . . . : S jx −→ S jx ⊗ O X (1) x est injective si f appartient `a uncertain ouvert de Zariski non-vide. L’injectivit´e est gard´ee pour un voisinagede x convenable.Par un recouvrement d´enombrable de Supp S on obtient qu’on peut trouverune fonction lin´eaire f telle que f · . . . : S −→ S (1) est injective. Soit I l’id´eal qui d´efinit f = 0; alors L − ≃ I et S ⊗ L − l ≃ I l ⊗ S . On d´eduit que S ⊗ ( I l / I m ) ≃ I l ⊗ S / I m ⊗ S , m ≥ l .L’hypoth`ese de r´ecurrence donne que H ( X \ Y, ( I l ⊗S ) / ( I l +1 ⊗S )) = H ( X ∩ H \ Y, S ⊗ ( I / I ) l ) = 0 pour l ≫ I / I ) − | H est ample sur X ∩ H . Donc H ( X \ Y, I l +1 ⊗ S ) −→ H ( X \ Y, I l ⊗ S ) est bijectif, et H ( X \ Y, I m ⊗ S ) −→ H ( X \ Y, I l ⊗ S ) aussi, l ≫ m > l .15upposons que H ( X \ Y, I l ⊗ S ) = 0 , l ≫
0: Soit s un ´el´ement diff´erentde 0. Le support de s n’est pas un ensemble fini: autrement on obtientdans un point x non-isol´e du support une contribution non-triviale `a H x ( S x )en contradiction avec l’hypoth`ese prof S ≥
1. Le support de s coupe donc H : f = 0.Soit x ∈ X ∩ H \ Y avec s x = 0. Alors s x ∈ T I mx S x . L’id´eal I x est un id´ealpropre parce que x ∈ H . I x est donc contenu dans un id´eal maximal. Leth´eor`eme d’intersection de Krull ([KK] 23.A.5) implique que s x = 0, ce quiest une contradiction. c) Faisceaux formels Ici prenons les notations de Th´eor`eme 1.6.Pour les faisceaux formels, on peut montrer
Supposons que S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur ˆ X , I ⊗ S| ˆ X \ ˆ Y ≃ IS | ˆ X \ ˆ Y , prof S / IS ≥ m , S / IS satisfait ( F m ) . Alors H k ( ˆ X \ ˆ Y , S ) ≃ −→ H k ( X n \ Y n , S / I n S ) ↓≃ ↓≃ H k ( ˆ X an \ ˆ Y an , S an ) ≃ −→ H k ( X ann \ Y ann , S an / ( I an ) n S an ) pour k < m, n ≫ . D´emonstration:
L’isomorphisme sup´erieur est assur´e par Proposition 3.5,celui `a droite par Proposition 6.2. Par Th´eor`eme 6.3 on obtient pour n ≫ , k < m : H k ( ˆ X an \ ˆ Y an , ( I n S / I n +1 S ) an ) = 0 , n ≫
0, donc H k ( ˆ X an \ ˆ Y an , S an / ( I n +1 S ) an ) −→ H k ( ˆ X an \ ˆ Y an , S an / ( I n S ) an ) est injectif, donc bijec-tif. Par cons´equent, H k ( X ann \ Y ann , S an / ( I an ) n S an ) ≃ lim ← H k ( X anm \ Y anm , S an / ( I an ) m S an ) ≃ H k ( ˆ X an \ ˆ Y an , S an ), voir d´emonstration de Proposition 3.5. La fl`eche inf´erieureest donc bijective. Soit S un faisceau alg´ebrique coh´erent sur X \ Y tel que I ⊗ S ≃ IS , prof S ≥ m , dim Y ∩ S l + m ( S ) < l pour l ≤ dim Y . Alors, pour k < m − : H k ( X \ Y, S ) ≃ H k ( ˆ X \ ˆ Y , ˆ S ) ↓≃ ↓≃ H k ( X an \ Y an , S an ) ≃ H k ( ˆ X an \ ˆ Y an , ˆ S an ) D´emonstration:
L’isomorphie `a gauche d´ecoule de Proposition 6.2, celled’en haut de Th´eor`eme 3.1, celle `a droite de Proposition 6.7. L’isomorphieen bas en r´esulte mais s’obtient aussi comme dans Th´eor`eme 3.1, en utilisantTh´eor`eme 6.3 au lieu de 1.2; notons que S admet une extension coh´erente `a X . Soit S un faisceau analytique coh´erent sur ˆ X an \ ˆ Y an , I an ⊗ S ≃ I an S , dim S l +2 ( S / I an S ) ≤ l , l ≤ dim Y ∩ H . Alors S provientd’un faisceau alg´ebrique coh´erent sur ˆ X \ ˆ Y . ´emonstration: `A cause de Lemme 6.4 il y a pour tout n une extensioncoh´erente de S / ( I an ) n S `a X ann . Par GAGA la derni`ere est alg´ebrique, ily a donc un faisceau alg´ebrique T n sur X n \ Y n tel que T ann ≃ S / ( I an ) n S .On a donc ( T n +1 / I n T n +1 ) an ≃ T ann +1 / ( I an ) n T ann +1 ≃ S / ( I an ) n S ≃ T ann . Parcons´equent, j an ∗ ( T n +1 / I n T n +1 ) an ≃ j an ∗ T ann , c.-`a d. ( j ∗ ( T n +1 / I n T n +1 )) an ≃ ( j ∗ T n ) an , voir Proposition 6.2. Par GAGA, j ∗ ( T n +1 / I n T n +1 ) ≃ j ∗ T n , d’o`u T n +1 / I n T n +1 ≃ T n . Soit T := lim ← T n , alors T est coh´erent par [H1] II Prop.9.6, et T an ≃ S . Soit S un faisceau analytique coh´erent sur ˆ X an \ ˆ Y an , I an ⊗ S ≃ I an S , m ≥ , dim S l + m ( S / I an S ) ≤ l pour l ≤ dim Y ∩ H . Alors H k ( ˆ X an \ ˆ Y an , S ) ≃ H k ( X ann \ Y ann , S / ( I an ) n S ) pour k < m, n ≫ . D´emonstration:
On proc`ede comme dans la d´emonstation de Proposition6.8. Au lieu de Th´eor`eme 6.3 on applique Th´eor`eme 6.5. La finitude de H k ( X ann \ Y ann , S / ( I an ) n S ) provient de Lemme 6.4 et Proposition 6.1. Soit maintenant X un sous-espace analytique ferm´e de P N ( C ) et Y un sous-espace analytique ferm´e de X . Par Chow X et Y sont alg´ebriques, c.-`a d.proviennent de sch´emas complexes. Soit H un hyperplan, d := dim Y ∩ H ,o`u dim ∅ := − a) Sections de faisceaux7.1 Th´eor`eme. Soit S un faisceau analytique coh´erent sur X tel que dim S l +2 ( S ) ≤ l pour l ≤ d + 1 . Soit s ∈ Γ( X ∩ H \ Y, S ) . Alors s admet une extensionunique `a une section ˆ s ∈ Γ( X, S ) . D´emonstration:
R´ecurrence sur d . Cas d = −
1: D’apr`es [Go] II Th. 3.3.1,on peut ´etendre s `a une section dans Γ( U, S ), U ´etant un voisinage de X ∩ H dans X dont le compl´ementaire est un ferm´e de Stein. Or, prof S ≥
2, doncΓ( X, S ) ≃ Γ( U, S ) parce que H jX \ U ( X, S ) = 0 , j ≤
1, par [BS] I Theorem3.1.Passage de d − d : Nous pouvons supposer que X = P N et Y = Y ∩ H estr´eduit.Soit Y ′ := Sing Y , donc dim Y ′ ≤ d − Y \ Y ′ . Choisissons des coordonn´ees locales z , . . . , z N tel que notre point correspond `a 0 et qu’on a un voisinage de la forme U := {| z j | < ǫ, j = 1 , . . . , N } . Nous pouvons achever que H ∩ U = { z ∈ U | z N = 0 } et Y ∩ U = { z ∈ U | z d +1 = . . . = z N = 0 } .Soient ( ǫ ν ) ν ≥ et ( δ ν ) ν ≥ deux suites strictement d´ecroissantes avec ǫ > ǫ ν ց ǫ > δ ν ց
0. Soit W ν := { z ∈ U | max( | z d +1 | , . . . , | z N − | ) > ǫ ν , | z N | <δ ν } , W := S W ν . Les fermetures des W dans U \ Y forment un syst`emefondemental de voisinages ferm´es de U ∩ H \ Y dans U \ Y .Or, s | U ∩ H \ Y s’´etend `a une section s ′ sur un tel W . Nous voulons montrerqu’il y a une extension unique s ′′ de s ′ sur U \ Y , avec U := U ∩ {| z N | < δ } .17oit V ν := W ∪{ z ∈ U | δ ν < | z N | < δ ou max( | z d +1 | , . . . , | z N − | ) > ǫ ν , | z N | <δ } . Montrons par r´ecurrence que s ′ admet une extension unique `a s ν ∈ Γ( V ν , S ).Passage de ν `a ν + 1:D’apr`es [Si3] Proposition 3.14, p. 141 (en y posant ∪ au lieu de ∩ ; voiraussi [Si3] Prop. 3.13, p. 140) il y a une extension unique t de s ν | U ∩{ max( | z d +1 | , . . . , | z N − | ) > ǫ ν , δ ν +2 < | z N | < δ } `a U ∩ { δ ν +2 < | z N | < δ } .La restriction de t `a U ∩ { δ ν < | z N | < δ } doit coincider avec celle de s ν .En plus, la restriction de t `a U ∩ { δ ν +2 < | z N | < δ ν +1 } doit coincider avecl’extension de s ν | U ∩ { δ ν +2 < | z N | < δ ν +1 , max( | z d +1 | , . . . , | z N − | ) > ǫ ν +1 } .En total t est une extension de s ν | V ν ∩ {| z N | > δ ν +2 } . En utilisant t onobtient donc l’extension s ν +1 .Les s ν conduisent `a une extension unique de s ′ `a U \ Y . D’apr`es [BS] IITheorem 3.6 on obtient une extension unique `a U .Le germe de l’extension en 0 ne d´epend que de s : Supposons que l’on a deuxextensions. Elles doivent coincider sur un ensemble W de la forme indiqu´eeen haut. Grˆace `a l’unicit´e de l’extension d’une section sur W on obtientl’´enonc´e d’unicit´e.On obtient donc une extension de s `a X \ Y ′ , donc par r´ecurrence `a X .Le proc´ed´e ici est semblable ´a celui dans le cas local dans [Ha2]. Soit S un faisceau analytique coh´erent sur X \ Y tel que dim S l +2 ( S ) ≤ l pour l ≤ d + 1 . Soit s ∈ Γ( X ∩ H \ Y, S ) . Alors s admetune extension unique `a une section ˆ s ∈ Γ( X \ Y, S ) . D´emonstration:
D’apr`es Lemme 6.4, j ∗ S est coh´erent et satisfait `a l’hypoth`esede Th´eor`eme 7.1. On a une extension unique `a une section de j ∗ S , il y adonc une extension `a une section de S qui est unique aussi `a cause de [BS]II Theorem 3.6. b) Extension de faisceaux7.3 Th´eor`eme. Soit S un ( O X \ Y | X ∩ H \ Y ) -module coh´erent, d := dim Y ∩ H , dim S l +2 ( S ) ≤ l pour l ≤ d + 1 . (*)Alors il y a un ( O X | X ∩ H ) -module coh´erent ˆ S tel que ˆ S| X ∩ H \ Y = S et dim S l +2 ( ˆ S ) ≤ l pour l ≤ d + 1 , `a savoir j ∗ S , o`u j : X ∩ H \ Y → X ∩ H est l’inclusion. D´emonstration:
R´ecurrence sur d . Le cas d = −
1, c.-`a d. Y ∩ H = ∅ esttrivial.Passage de d − d : Nous pouvons supposer que X = P N et Y = Y ∩ H estr´eduit.Soit Y ′ := Sing Y , donc dim Y ′ ≤ d − Y \ Y ′ . Choisissons coordonn´ees locales z , . . . , z N tel quenotre point correspond `a 0 et qu’on a un voisinage de la forme U := {| z j | <ǫ, j = 1 , . . . , N } . Nous pouvons achever que H ∩ U = { z ∈ U | z N = 0 } et Y ∩ U = { z ∈ U | z d +1 = . . . = z N = 0 } .Soient ( ǫ ν ) , ( δ ν ) sont des suites strictement d´ecroissantes avec ǫ > ǫ ν ց , ǫ > δ ν ց
0. Posons W ν := { z ∈ U | max( | z d +1 | , . . . , | z N − | ) > ǫ, | z N | < δ } W = S W ν . Les fermetures des tels W dans U \ Y forment un syst`emefondemental de voisinages ferm´es de U ∩ H \ Y dans U \ Y .D’apr`es Corollaire 10.2 le faisceau S| U ∩ H \ Y est repr´esent´e par un faisceaucoh´erent S sur un tel W . Nous pouvons supposer que les conditions sur laprofondeur (*) du th´eor`eme sont gard´ees.Nous voulons montrer qu’il y a une extension S de S sur U \ Y avec lesconditions (*) de profondeur, ou U := U ∩ {| z N | < δ } On proc`ede ici comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme 7.1, en utilisant[Si3] Theorem 7.4, p. 243. Remarquons qu’on a unicit´e `a isomorphisme pr`esmais ceci suffit pour notre but.Maintenant il y a une extension coh´erente S de S `a U , o`u l’on garde lesconditions (*), par Lemme 6.4.Or, H ( U ∩ {| z N | < δ } , S ) ≃ H ( W, S ): On montre d’abord que H ( U ∩{| z N | < δ } \ Y, S ) ≃ H ( W, S ). Ici on utilise [Si3] Proposition 3.14, p.141, comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme 7.1. Il reste `a montrer que H ( U , S ) ≃ H ( U \ Y, S ), o`u on utilise [BS] II Theorem 3.6.En particulier ceci montre que S ≃ ( j W ) ∗ S , o`u j W : W \ U est l’inclusion,donc S | U ∩ H est l’image directe de S| U ∩ H \ Y par rapport `a l’inclusion.On obtient donc que j ∗ S| X ∩ H \ Y ′ est un ( O X | X ∩ H \ Y ′ )-module coh´erentavec (*). Par r´ecurrence on conclut que j ∗ S a les propri´et´es d´esir´ees. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edant il y a une exten-sion de S `a un faisceau analytique coh´erent ˆ S sur X tel que dim S l +2 ( ˆ S ) ≤ l pour l ≤ d + 1 . L’extension est unique `a isomorphie pr`es. D´emonstration:
Existence: D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edant nous pouvonssupposer que Y ∩ H = ∅ , donc Y consiste d’un nombre fini de points. Denouveau nous pouvons nous borner au cas X = P N . D’apr`es Cor. 10.2 il y aune extension de S `a un faisceau analytique coh´erent S sur un voisinage W de H dans X . On peut supposer que W = H ∪ { z | max( | z | , . . . , | z N | ) > R } ,o`u on a identifi´e X \ H avec C N . D’apr`es [Si3] Theorem 7.4 il y a uneextension analytique coh´erente de S | W \ H `a X \ H . donc de S `a X .Unicit´e: Soient S et S deux telles extensions. L’identit´e donne une sectionde T := Hom ( S , S ) sur X ∩ H \ Y . D’apr`es [Si3] Prop. 3.13, p. 140 T dispose des mˆemes propri´et´es de profondeur que S . Par Th´eor`eme 7.1 onpeut donc trouver une extension de cette section `a X qui est unique. Oncontinue comme d’habitude. Sous les hypoth`eses de Th´eor`eme 7.3 il y a une extensionde S `a un faisceau analytique coh´erent ˆ S sur X \ Y tel que dim S l +2 ( ˆ S ) ≤ l pour l ≤ d + 1 . L’extension est unique `a isomorphie pr`es. D´emonstration:
L’existence d´ecoule directement du th´eor`eme pr´ec´edant.Unicit´e: Soient ˆ S , ˆ S deux telles extensions. Par Lemme 6.4, j ∗ ˆ S et j ∗ ˆ S sont coh´erents et satisfont `a (*), ils sont donc isomorphes, donc ˆ S et ˆ S aussi.Les ´enonc´es suivants pr´eparent le prochain paragraphe:19 .6 Th´eor`eme. Soit Y un sous-espace analytique ferm´e d’un espace ana-lytique complexe X , dim Y ∩ S l +2 ( O X ) ≤ l pour tout l . Alors V ect X −→ V ect ( X \ Y ) est injectif. D´emonstration:
On proc`ede comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme4.1, en utilisant [BS] II Th. 3.6.
Soit prof O X \ Y ≥ , dim S l +2 ( O X \ Y ) ≤ l pour tout l ≤ dim Y . Alors l’application V ect ( X \ Y ) −→ lim ← V ect ( X n \ Y n ) est injective. D´emonstration:
On proc`ede comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme4.2b), en utilisant Th´eor`eme 6.5.
Retournons au contexte alg´ebrique.
Soit X une vari´et´e alg´ebrique complexe, X complet, Y une sous-vari´et´e ferm´ee, dim S l +2 ( O X \ Y ) ≤ l pour l ≤ dim Y , alors V ect ( X \ Y ) ≃ V ect ( X an \ Y an ) . D´emonstration:
Soit S un repr´esentant d’un ´el´ement de V ect an ( X an \ Y an ).Alors dim S l +2 ( S ) ≤ l pour l ≤ dim Y . Par Lemme 6.4, il y a une extension`a un faisceau analytique coh´erent sur X an qui est alg´ebrique par GAGA, S provient donc d’un fibr´e vectoriel alg´ebrique.Injectivit´e: Soit j : X \ Y −→ X l’inclusion, et soient S , S localement libressur X \ Y tels que S an ≃ S an . Alors ( j ∗ S ) an ≃ j an ∗ S an ≃ j an ∗ S an ≃ ( j ∗ S ) an ,voir [Si2], donc j ∗ S ≃ j ∗ S . Ceci implique S ≃ S .Reprenons les anciennes hypoth`eses. Soit dim S l +2 ( O X ∩ H \ Y ) ≤ l pour l ≤ dim Y ∩ H . Alors V ect ( ˆ X \ ˆ Y ) ≃ −→ lim ← V ect ( X n \ Y n ) ↓≃ ↓≃ V ect ( ˆ X an \ ˆ Y an ) ≃ −→ lim ← V ect ( X ann \ Y ann ) D´emonstration:
Par Th´eor`eme 4.7 on a l’isomorphisme sup´erieur, par laproposition pr´ec´edante celui `a droite. Il suffit donc de montrer que la fl`eche`a gauche est surjective ou bien que la fl`eche inf´erieure est injective.Pour l’injectivit´e de la fl`eche inf´erieure on peut proc´eder comme dans lad´emonstration de Th´eor`eme 4.7, en utilisant Proposition 6.10.
Soit dim S l +2 ( O X ) ≤ l pour l ≤ dim Y ∩ H + 1 le long de X ∩ H \ Y , alors lim → V ect ( U ) ≃ lim → V ect ( U an ) ≃ H ( X an ∩ H an \ Y an , Gl ( O X an )) o`u U parcourt les voisinages ouverts (de Zariski) de X ∩ H \ Y dans X \ Y . ´emonstration: D’abord ´etudions la fl`eche `a droite.Si l ≤ d + 1, la fermeture de chaque composante irr´eductible de S l +2 ( O X \ H )de dimension > l ne rencontre pas X ∩ H \ Y , sa dimension est donc ≤ d + 1.En agrandissant Y on peut donc supposer que dim S l +2 ( O X \ Y ) ≤ l pour l ≤ d + 1.Surjectivit´e: Un ´el´ement de H ( X an ∩ H an \ Y an , Gl ( O X an )) est repr´esent´epar un fibr´e vectoriel S sur un voisinage de X an ∩ H an \ Y an dans X an \ Y an ,voir Corollaire 10.4. Par hypoth`ese, dim S l +2 ( S ) ≤ l pour l ≤ d + 1. ParTh´eor`eme 7.4 on peut donc supposer que S admet une extension coh´erente S sur X an . Soit Σ le sous-sch´ema de X qui correspond au lieu o`u S n’estpas localement libre, et soit U := X \ Y ∪ Σ. Alors Σ ∩ H = ∅ , et S | U an estle fibr´e vectoriel cherch´e.Injectivit´e: Supposons que S , S sont des fibr´es vectoriels sur U an tels que S | X an ∩ H an \ Y an ≃ S | X an ∩ H an \ Y an . Par Corollaire 7.5 on a S ≃ S .Pour la bijectivit´e de la fl`eche `a gauche, il suffit de montrer que V ect ( X \ Σ) ≃ V ect ( X an \ Σ an ) si Y ⊂ Σ, Σ ferm´e dans X , Σ ∩ H = Y ∩ H . Ceci d´ecoulede Proposition 8.1. Remarque:
L’hypoth`ese sur O X est assur´ee si X est normal le long de X ∩ H \ Y et codim X Y ∩ H ≥ D´emonstration de Th´eor`eme 1.6:
D’abord l’hypoth`ese sur H impliqueque prof O X,x = prof O X ∩ H,x + 1 pour x ∈ X ∩ H \ Y . On a donc pr`es de X ∩ H \ Y :dim S l +2 ( O X \ Y ) = dim S l +2 ( O X \ Y ) ∩ H + 1 = dim S l +1 ( O X ∩ H \ Y ) + 1 ≤ l pour l ≤ dim Y ∩ H + 1. On dispose alors de l’hypoth`ese du th´eor`eme pr´ec´edant.Par Th´eor`eme 1.3 on a la bijectivit´e des fl`eches sup´erieures. Par le th´eor`emepr´ec´edant, la fl`eche verticale `a gauche et la premi`ere fl`eche inf´erieure sont bi-jectives. En plus, V ect ( X n \ Y n ) ≃ V ect ( X ann \ Y ann ) par Proposition 8.1. ParProposition 8.2 on conclut donc que les fl`eches restantes sont bijectives aussi. Remarque:
L’hypoth`ese sur O X ∩ H \ Y est donn´ee en particulier si X ∩ H \ Y est normal et codim X Y ∩ H ≥ Supposons que dim S l +2 ( O X ∩ H \ Y ) ≤ l pour tout l ≤ dim Y ∩ H . Pour n ≫ , on a un diagramme commutatif lim ← m V ect ( X m \ Y m ) −→ V ect ( X n \ Y n ) ↓≃ ↓≃ lim ← m V ect ( X anm \ Y anm ) −→ V ect ( X ann \ Y ann ) o`u le noyau de chaque application horizontale est trivial. D´emonstration:
On utilise Proposition 4.5 et 8.1.On peut comparer avec
V ect ( X ∩ H \ Y ), en utilisant une g´en´eralisation duth´eor`eme de Kodaira, o`u Sing ( X ) d´enote le lieu singulier de X :21 .5 Th´eor`eme. (voir [HL2] Cor. 4.4) Soit m ∈ N , codim X Y ≥ m + 1 , prof Sing ( X ) \ Y O X \ Y ≥ m , L un faisceau ample sur X . Alors H q ( X \ Y, L − ) = H q ( X an \ Y an , ( L an ) − ) = 0 pour q < m . Alors on en d´eduit:
Soit codim X ∩ H Y ∩ H ≥ , prof Sing ( X ∩ H ) \ Y O X ∩ H \ Y ≥ .Alors on a un diagramme commutatif lim ← m V ect ( X m \ Y m ) −→ V ect ( X ∩ H \ Y ) ↓≃ ↓≃ lim ← m V ect ( X anm \ Y anm ) −→ V ect ( X an ∩ H an \ Y an ) o`u le noyau des applications horizontales est trivial. D´emonstration:
La bijectivit´e des fl`eches verticales d´ecoule de Proposition8.1.Soit X n le sous-espace de X d´efini par I n . De fa¸con analogue `a [G2] XI (1.1),on a une suite exacte, voir Lemme 4.4:0 −→ (( I an ) k / ( I an ) k +1 ) ⊕ n −→ GL n ( O X ank +1 ) −→ GL n ( O X ank ) −→ H ( X ∩ H \ Y, ( I an ) k / ( I an ) k +1 ) = 0 pour tout k ≥
1, d’apr`esTh´eor`eme 8.5; notons que ( I an ) k / ( I an ) k +1 ≃ ( I an / ( I an ) ) k . D´emonstration de Th´eor`eme 1.7:
D’apr`es Th´eor`eme 4.2, l’application
V ect ( X \ Y ) → lim ← V ect ( X n \ Y n ) est injective. Th´eor`eme 8.5 implique quele noyau de lim ← V ect ( X n \ Y n ) → V ect ( X ∩ H \ Y ) est trivial. D’apr`es Propo-sition 8.1 resp. Th´eor`eme 8.6 il est ´egal si l’on travaille dans le contextealg´ebrique ou analytique. a) Cas g´en´eral Pour des fibr´es `a connexion il y a des r´esultats plus complets.Si X est une vari´et´e alg´ebrique complexe lisse ou bien une vari´et´e analytiquecomplexe, soit V ect c ( X ) resp. V ect ci ( X ) l’ensemble des classes d’isomorphiede fibr´es vectoriels sur X `a connexion resp. connexion int´egrable, voir Ap-pendice et [D] I.2. Dans le contexte alg´ebrique nous consid´erons aussi le casdes fibr´es `a connexion int´egrable r´eguli`ere o`u nous ´ecrivons V ect cir ( X ), voir[D] II.4.D’abord Soit X une vari´et´e analytique, Y un sous-ensemble analy-tique ferm´e de codimension ≥ . Alors V ect c X ≃ V ect c ( X \ Y ) . ´emonstration: D’apr`es Th´eor`eme 7.6 la fl`eche
V ect X → V ect ( X \ Y )est injective, donc V ect c X → V ect c ( X \ Y ) aussi: Soit E coh´erent et lo-calement libre sur X . Une connexion sur E | X \ Y peut ˆetre donn´ee parune application O X \ Y -lin´eaire D : P ( E | X \ Y ) → Ω X \ Y ⊗ E | X \ Y avec D ◦ i = id , voir Proposition 10.6. Or, D correspond `a une section D de Hom ( P ( E | X \ Y ) , Ω X \ Y ⊗E | X \ Y ) ≃ T | X \ Y , o`u T := Hom ( P ( E ) , Ω X ⊗E ).Or, D s’´etend de fa¸con unique `a une section de T qui correspond `a une con-nexion sur E , d’apr`es [BS] II Theorem 3.6.Surjectivit´e: Soit E coh´erent et localement libre sur X \ Y avec une connexionet j : X \ Y → X l’inclusion. Alors j ∗ E est coh´erent d’apr`es Lemme 6.4. Parun raisonnement comme dans le cas de l’injectivit´e, la connexion s’´etend `aune connexion unique sur j ∗ E d’apr`es [BS] II Theorem 3.6. Par cons´equent, j ∗ E est localement libre, voir [Ma] Remark (1.2).Dans le cas alg´ebrique on a Soit X une vari´et´e alg´ebrique complexe, Y un sous-ensemblealg´ebrique ferm´e de codimension ≥ .a) Si X est lisse on a V ect c X ≃ V ect c ( X \ Y ) .b) Si X est complet et X \ Y lisse on a V ect c ( X \ Y ) ≃ V ect c ( X an \ Y an ) . D´emonstration: a) On raisonne comme dans la d´emonstration pr´ec´edante.D’apr`es Th´eor`eme 4.1 on a que la fl`eche
V ect X → V ect ( X \ Y ) est injective,donc V ect c X → V ect c ( X \ Y ) aussi: utilisons Proposition 2.7.Surjectivit´e: Soit E coh´erent et localement libre sur X \ Y avec une connexionet j : X \ Y → X l’inclusion. Alors j ∗ E est coh´erent d’apr`es Proposition 2.2.La connexion s’´etend `a une connexion unique sur j ∗ E d’apr`es Proposition2.7. Par cons´equent, j ∗ E est localement libre.b) D’apr`es Proposition 8.1 on a V ect ( X \ Y ) ≃ V ect ( X an \ Y an ). De plus,si E est un fibr´e vectoriel sur X \ Y , une connexion sur E an provient d’uneconnexion unique sur E : on utilise Proposition 6.2 ici.Mauntenant retournons `a la situation habituelle. Supposons que X \ Y est lisse de dimension ≥ , H coupe X \ Y transversalement, codim X Y ∩ H ≥ . On a un diagramme commutatif: V ect c ( X \ Y ) ≃ V ect c ( ˆ X \ ˆ Y ) ↓≃ ↓≃ V ect c ( X an \ Y an ) ≃ lim → V ect c ( V ) ≃ V ect c ( ˆ X an \ ˆ Y an ) o`u V parcourt les voisinages ouverts de X an ∩ H an \ Y an dans X an \ Y an . D´emonstration:
La verticale `a gauche est bijective d’apr`es Th´eorˆeme 9.2b).La verticale `a droite est bijective aussi: D’abord, on a
V ect ( ˆ X \ ˆ Y ) ≃ V ect ( ˆ X an \ ˆ Y an ) d’apr`es Proposition 8.2. Soit E un fibr´e vectoriel sur ˆ X \ ˆ Y . Supposons que nous avons une connexion sur E an : celle-ci peut ˆetredonn´ee par une section de Hom ( P ( E an ) , Ω X an \ ˆ Y an ⊗ E an ) ≃ T an , o`u T := Hom ( P ( E ) , Ω X \ ˆ Y ⊗E ). Avec Proposition 6.7 on peut conclure que la section23ient d’une section unique de T , celle-ci correspond `a une connection sur E .La horizontale sup´erieure est injective d’apr`es Th´eorˆeme 4.2 et 3.1.La composition des fl`eches inf´erieures est donc injective aussi. Surjectivit´e:Un ´el´ement de V ect c ( ˆ X an \ ˆ Y an )) est repr´esent´e par un fibr´e E an avec connex-ion, o`u E an provient d’un fibr´e E sur ˆ X \ ˆ Y . D’apr`es Th´eor`eme 3.6 il y a uneextension coh´erente S de E `a X \ Y . En fait, dim S l ( O ˆ X \ ˆ Y / IO ˆ X \ ˆ Y ) ∩ Y < l − l ≤ dim Y ∩ H +2 parce que codim X Y ∩ H ≥
4, et prof O ˆ X \ ˆ Y / IO ˆ X \ ˆ Y ≥ X \ Y ≥
3. La connexion sur E an est donn´ee par une sectionde Hom ( P ( E an ) , Ω X an \ ˆ Y an ⊗ E an ). Or, la condition la condition de Propo-sition 6.8 est v´erifi´ee pour T := Hom ( P ( S an ) , Ω X an \ Y an ⊗ S an ) au lieu de S et m = 2: on applique [Si3] Lemma 3.15 ici. La section provient doncd’une section unique de T , celle-ci correspond `a une connexion sur S an . Onconclut que S an est localement libre.Il reste `a montrer que la premi`ere fl`eche inf´erieure est surjective aussi. Or,on a lim → V ect ( V ) ≃ V ect ( X an \ Y an | X an ∩ H an \ Y an ) d’apr`es Corollaire10.4 (voir les notations y utilis´ees). Par [Go] II Th. 3.3.1 on conclut quelim → V ect c ( V ) ≃ V ect c ( X an \ Y an | X an ∩ H an \ Y an ). Un ´el´ement de V ect c ( X an \ Y an | X an ∩ H an \ Y an ) est repr´esent´e par un ( O X an | X an ∩ H an \ Y an )-modulecoh´erent localement libre E avec une connexion. Or, E peut ˆetre ´etendu `aun faisceau S sur X d’apr`es Th´eor`eme 7.4. La connexion du fibr´e vectoriel E donne une section de Hom ( P ( S ) , Ω X ⊗ S ) sur X an ∩ H an \ Y an . ParTh´eor`eme 7.1 il y a une extension unique sur X an . La restriction `a X an \ Y an d´efinit une connexion sur S| X an \ Y an , il s’agit donc d’un fibr´e vectoriel an-alytique `a connexion.En ce qui concerne la fl`eche inf´erieure `a gauche, il y a une variante: Supposons que X \ Y est lisse de dimension ≥ . Alors il ya un isomorphisme V ect c ( X an \ Y an ) ≃ lim → V ect c ( U \ Y an ) o`u U parcourt les voisinages ouverts de X an ∩ H an dans X an . D´emonstration:
Surjectivit´e: Soit U comme dans [Ha1] et E un fibr´e vec-toriel `a connexion sur U \ Y an . En particulier E est un faisceau analytiquecoh´erent. D’apr`es [Ha1] Theorem 2.2 il y a une extension coh´erente S sur X an \ Y an . La connexion sur E donne une section de Hom ( P ( S , Ω X an ⊗ S ))sur U \ Y an . Par [Ha1] Theorem 2.1 il y a une extension unique sur X an \ Y an qui donne une connexion `a S . Ce faisceau est donc un fibr´e vectoriel analy-tique `a connexion.Injectivit´e: avec [Ha1] Theorem 2.1. b) Fibr´es `a connexion int´egrable D’abord
Sous les hypoth`eses de Th´eor`eme 9.1, on a
V ect ci X ≃ V ect ci ( X \ Y ) . ´emonstration: On applique Lemme 10.9 ou bien Lemme 10.10.
Sous les hypoth`eses de Th´eor`eme 9,2, on a:a) Si X est lisse: V ect ci X ≃ V ect ci ( X \ Y ) , et V ect cir X ≃ V ect ci ( X an ) b) Si X est complet et X \ Y lisse on a V ect cir ( X \ Y ) ≃ V ect ci ( X \ Y ) ≃ V ect ci ( X an \ Y an ) . D´emonstration: a) La premi`ere isomorphie s’obtient comme dans la d´emonstrationde Th´eor`eme 9.2a). Pour la deuxi`eme, voir [D] II Th´eor`eme 5.9.b) Traitons d’abord l’analogue de Th´eor`eme 9.1. La paire ( X an , X an \ Y an ) est2-connexe, donc π k ( X an \ Y an , x ) ≃ π k ( X an , x ) pour k = 0 , x ∈ X an \ Y an .Consid´erons maintenant l’analogue de Th´eor`eme 9.2:a) On proc`ede comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme 9.2a).b) V ect cir ( X \ Y ) ≃ V ect ci ( X an \ Y an ): comme en a) avec [D] loc.cit. V ect cir ( X \ Y ) ≃ V ect ci ( X \ Y ): avec la d´edinition de la r´egularit´e: [D] II4.1(i), II 4.2, parce que codim X Y ≥ Soit X ⊂ P N ( C ) un sous-espace analytique ferm´e, Y unepartie analytique ferm´ee, X \ Y lisse, partout de dimension ≥ , H un hy-perplan. Fixons une stratification de Whitney de ( X, Y ) . Supposons qu’il ya un sous-ensemble analytique Σ de Y ∩ H tel que codim X Σ ≥ et H coupetoutes les strates de X transversalement hors de Σ . Alors on a un diagrammecommutatif d’isomorphies: V ect cir ( X \ Y ) ≃ V ect cir ( X ∩ H \ Y ) ↓≃ ↓≃ V ect ci ( X an \ Y an ) ≃ V ect ci ( X an ∩ H an \ Y an ) D´emonstration:
Soit E un fibr´e vectoriel (analytique) sur X an ∩ H an \ Y an `a connexion int´egrable. Si X an ∩ H an \ Y an est connexe, il est donn´e `a iso-morphie pr`es par un homomorphisme π ( X an ∩ H an \ Y an ) → GL k ( C ) o`u k est le rang de E . Autrement il faut regarder chaque composante connexes´epar´ement. Voir [D] I.1.4, 2.17.Par [HL1] on sait, si Σ = ∅ , que pour chaque point x de X an ∩ H an \ Y an , ona π k ( X an ∩ H an \ Y an , x ) ≃ π k ( X an \ Y an , x ), k = 0 ,
1. En g´en´eral, on obtientle mˆeme ´enonc´e, en comparant les deux vari´et´es d’abord avec l’intersectionpar un sous-espace lin´eaire de dimension 2 qui est contenu dans H et coupe X \ Y transversalement.Ceci signifie que E peut ˆetre ´etendu `a un fibr´e F sur X an \ Y an `a connexionint´egrable qui est unique, `a isomorphisme pr`es. La fl`eche inf´erieure est doncbijective.Par [D] II.5.9, E provient d’un fibr´e vectoriel alg´ebrique `a connexion int´egrabler´eguli`ere qui est unique, `a isomorphie pr`es. Le mˆeme vaut pour F . Commela restriction d’un fibr´e vectoriel alg´ebrique `a connexion int´egrable r´eguli`ere`a un sous-espace lisse donne un objet de la mˆeme cat´egorie on obtient queles fl`eches verticales sont bijectives. D´emonstration de Th´eor`eme 1.8:
Ceci r´esulte aussitˆot du th´eor`emepr´ec´edant, avec Σ := Y ∩ H . Notons que les isomorphismes verticaux sont25´ej`a connus, par Th´eor`eme 9.1, on a donc V ect cir ( X \ Y ) ≃ V ect ci ( X \ Y )et l’analogue pour les vari´et´es compl´et´ees.De nouveau il y a une variante: Soit dim X ≥ , X \ Y lisse. Alors il y a un diagrammecommutatif V ect cir ( X \ Y ) ↓≃ ց≃ V ect ci ( X an \ Y an ) ≃ −→ lim → V ect ci ( U \ Y an ) o`u U parcourt les voisinages ouverts de X an ∩ H an dans X an . D´emonstration:
Par [HL1] on sait que pour chaque point x de U \ Y an , π k ( U \ Y an , x ) ≃ π k ( X an \ Y an , x ), k = 0 ,
1, si U est un voisinage convenable.Ceci implique la bijectivit´e de la fl`eche inf´erieure.La bijectivit´e de la fl`eche verticale se d´emontre comme dans la d´emonstrationpr´ec´edante.
10 Appendice a) D´emonstrations alternativesD´emonstration directe de Th´eor`eme 1.2 pour m = 2 : a) D’apr`es Proposition 2.2 on a: R s j ∗ S est coh´erent pour s = 0 ,
1, o`u j : X \ Y −→ X est l’inclusion.b) D’apr`es Lemme 2.8, le faisceau T := j ∗ S est coh´erent, et prof T ≥ H s ( X, j ∗ S ⊗ L − ν ) = 0, s = 0 , , ν ≫ x un point ferm´e de X . D’apr`es b) on a H x ( j ∗ S ) = 0, donc H x ( Rj ∗ S ) ≃ H x ( R j ∗ S ).Mais H x ( Rj ∗ S ) ≃ lim → H ( U, U \{ x } , Rj ∗ S ) ≃ lim → H ( U \ Y, U \ ( Y ∪{ x } ) , S ) =0 si x ∈ Y . En plus, R j ∗ S est concentr´e sur Y . En total, H x ( R j ∗ S ) = 0toujours, donc prof R j ∗ S ≥ H ( X, ( R j ∗ S ) ⊗ L − ν ) = 0, ν ≫ L − ν ´etant localement libre:( R s j ∗ S ) ⊗ L − ν ≃ R s j ∗ ( S ⊗ L − ν ).Par c), e) on obtient donc que H p ( X, R q j ∗ ( S ⊗ L − ν )) = 0, p + q ≤ , ν ≫ Autre d´emonstration de Lemme 2.5:
On peut supposer que S est coh´erent sur X . Alors ⊕ n ≥ H s ( X, S ( n )) est un k [ Z , . . . , Z r ]-module de type fini pour tout s : Pour s = 0 voir [G4] III 2.3.2,pour s > H s ( X, S ( n )) est de dimension fini et 0 si n ≫ ⊕ n ≥ H s ( X \ Y, S ( n )) est un k [ Z , . . . , Z r ]-module de typefini pour s < m : il suffit de montrer que ⊕ n ≥ H s ( X, R l j ∗ S ( n )) est un k [ Z , . . . , Z r ]-module de type fini pour l < m , et R l j ∗ S est coh´erent d’apr`es26roposition 2.2.D’autre part, H s ( X \ Y, S ( n )) est de dimension finie pour n fixe et s < m ,par Proposition 2.2, et H s ( X \ Y, S ( n )) = 0 pour n ≪ D´emonstration directe de Corollaire 3.7:
Soit ˆ j : ˆ X \ ˆ Y → ˆ X l’inclusion. D’apr`es Proposition 2.2, les faisceaux j ∗ ( S / IS ) et R j ∗ ( S / IS ) sont coh´erents. Par cons´equent, ⊕ k ≥ R l j ∗ ( I k S / I k +1 S )est un ⊕ k ≥ I k / I k +1 -module de type fini, l = 0 ,
1. D’apr`es [G2] IX Th. 2.1on peut conclure que T := ˆ j ∗ S est coh´erent. ce qui implique Corollaire 3.7. Remarque:
La suite exacte0 → H Y T → T ≃ → ˆ j ∗ ˆ j ∗ T → H Y T → H l ˆ Y T = 0 , l ≤
1, donc prof T y ≥ y ∈ ˆ Y . On a donc prof T ≥
2. Mais ceci ne suffit pas afin d’appliquer [G2] XII Th´eor`eme 3.1pour une extension coh´erente de T `a X et d´emontrer Th´eor`eme 3.6!On devrait mˆeme avoir prof T / IT ≥
2, c.-`a d. T / IT ≃ j ∗ j ∗ ( T / IT ). D´emonstration directe de Th´eor`eme 3.6:
Notons que S induit un faisceau ˜ S sur ˆ˜ X \ ˆ˜ Y . Soit ˆ˜ j : ˆ˜ X \ ˆ˜ Y → ˆ˜ X l’inclusion.D’apr`es [G2] IX Th. 2.1, T := ˆ˜ j ∗ ˆ˜ S est coh´erent.On continue maintenant comme dans la d´emonstration de la surjectivit´e delim → V ect U → V ect ˆ X \ ˆ Z `a la fin de la d´emonstration de Th´eor`eme 7.2 dans[HL2].Ceci devrait revenir essentiellement `a une d´emonstration du r´esultat de Gro-thendieck [G2] XII Th´eor`eme 3.1 dans le sens de sa d´emonstration originalecomme il l’y indique (p. 149). D´emonstration alternative de Lemme 4.4:
Soit k ≥ n et E un fibr´e vectoriel sur X k +1 pour lequel la restriction `a X k est trivial. Soient s , . . . , s r ∈ Γ( X ∩ H \ Y, E | X k ) des sections qui donnentune base pour chaque fibre. L’hypoth´ese implique que les sections s’´etendent`a X k +1 , elles d´efinissent la mˆeme base pour chaque fibre; en fait, on a unesuite exacteΓ( X ∩ H \ Y, E / I k +1 E ) → Γ( X ∩ H \ Y, E / I k E ) → H ( X ∩ H \ Y, I k E / I k +1 E )et I k E / I k +1 E ≃ ( I k / I k +1 ) ⊗ ( E / IE ) ≃ ( I k / I k +1 ) r , o`u r est le rang de E ,parce que E / IE est trivial. On a donc H ( X ∩ H \ Y, I k E / I k +1 E ) = 0 d’apr`esl’hypoth`ese. Autre d´emonstration de Th´eor`eme 1.7:
Autre m´ethode: Supposons que E / IE est trivial. Soient s , . . . , s k des sectionde ce fibr´e qui donnent une base pour chaque fibre. Maintenant ( I n E ) / ( I n +1 E ) ≃I n / I n +1 ) ⊗ ( E / IE ) ≃ ( I n / I n +1 , donc H l ( X ∩ H \ Y, ( I n E ) / ( I n +1 E )) = 0 , l =0 , s , . . . , s k proviennent dessections de E / I n E , n ≫
0, donc des sections de E , par Th´eor`eme 1.2. Celles-27i d´efinissent encore une base de chaque fibre sur X ∩ H \ Y , donc E est trivialsur un voisinage ouvert de Zariski de X ∩ H \ Y dans X \ Y . Par Th´eor`eme4.1 E est trivial. Deuxi`eme d´emonstration de Th´eor`eme 1.8:
On utilise d’abord Th´eor`eme 9.1 o`u on peut remplacer c par ci partout. Carl’int´egrabilit´e d’une connexion sur E signifie que la courbure est 0, la cour-bure ´etant une section de Hom ( E , Ω X ⊗ O X E ). On peut donc raisonner avecProposition 6.8.On a aussi V ect ci ( X ∩ H \ Y ) ≃ V ect ci ( X an ∩ H an \ Y an ). D’autre part, lad´emonstration pr´ec´edante montre qu’on peut ´etendre chaque fibr´e `a connex-ion int´egrable sur X ∩ H \ Y `a un voisinage, donc `a ˆ X \ ˆ Y . Par cons´equent, V ect ci ( X \ Y ) → V ect ci ( X ∩ H \ Y ) est surjectif.Injectivit´e: Soient E , E des fibr´es vectoriels sur X an \ Y an `a connexionint´egrable dont la restriction `a X an ∩ H an \ Y an est isomorphe. Alors larestriction `a un voisinage est isomorphe aussi, donc ˆ E ≃ ˆ E . Par Th´eor`eme8.7 on obtient l’isomorphie E ≃ E . D´emonstration alternative de Th´eor`eme 9.5:
On proc`ede comme dansla d´emonstration de Th´eor`eme 9.1.
D´emonstration alternative de Th´eor`eme 9.6 b):
On d´emontre
V ect ci ( X \ Y ) ≃ V ect ci ( X an \ Y an ) par voie directe, comme Th´eor`eme 9.2 b). b) Compl´ements sur la th´eorie des faisceaux Dans ce paragraphe soit X un espace paracompact, A une partie ferm´ee. Soit( U i ) i ∈ I un recouvrement ouvert localement fini de A , ( V i ) i ∈ I un recouvrementpareil tel que V i ⊂ U i , i ∈ I , T i un faisceau sur U i , i ∈ I . Ici on travaille avecdes faisceaux d’ensembles. Soit S un faisceau sur A , S| A ∩ U i ≃ T i | A ∩ U i , i ∈ I ,alors il y a un voisinage ouvert U de A dans X et un faisceau ˜ S sur U telque ˜ S| U ∩ V i ≃ T i | U ∩ V i , i ∈ I . D´emonstration:
On proc`ede comme dans la d´emonstration de [Go] II Th.3.3.1. Fixons des isomorphismes S| A ∩ U i ≃ T i | A ∩ U i . Ceci donne uncocycle ( g ij ) par rapport au recouvrement ( A ∩ V i ) de A , o`u g ij ∈ Γ( A ∩ V i ∩ V j , Iso ( T j | U i ∩ U j , T i | U i ∩ U j )). Par [Go] II Th. 3.3.1 il y a une extension dela section g ij `a une section ˜ g ij qui est d´efinie sur un voisinage ouvert W ij de A ∩ V i ∩ V j . Soit U l’ensemble de tous les x ∈ X avec les propri´et´es suivantes:si x ∈ V i ∩ V j , on a x ∈ W ij ,si x ∈ V i ∩ V j ∩ V k , on a ˜ g ij ( x ) ◦ ˜ g jk ( x ) = ˜ g ik ( x ).Alors U est ouvert: Soit x ∈ U . Il y a un voisinage W ( x ) de x qui nerencontre qu’un nombre fini des V i , disons V i , . . . , V i n . En plus, on peutsupposer que x ∈ V i pour i = i , . . . , i n . Maintenant on peut achever que W ( x ) ⊂ U . 28Evidemment, U est un voisinage de A , il s’agit du voisinage cherch´e: onrecolle les T i | U ∩ V i par ˜ g ij | V i ∩ V j ∩ U . Soit A une partie analytique ferm´ee de l’espace analytiquecomplexe X . Chaque O X | A -module coh´erent (resp. coh´erent localement libre)admet une extension `a un O U -module coh´erent (resp. coh´erent localementlibre), U ´etant un voisinage ouvert convenable de A dans X . Pour l’unicit´e, on a Si S et S sont des faisceaux sur X tels que S | A ≃ S | A alors il y a un voisinage U de A tel que S | U ≃ S | U . D´emonstration:
On a une section du faisceau
Iso ( S , S ) sur A , elle peutˆetre ´etendue sur un voisinage. Soit A une partie analytique ferm´ee de l’espace analytiquecomplexe X , alors lim → Coh U ≃ Coh ( X | A ) , lim → V ect U ≃ V ect ( X | A ) Ici U parcourt tous les voisinages ouverts de A dans X , et Coh U resp.
Coh ( X | A ) d´enote la cat´egorie des O U - resp. O X | A -modules coh´erents, `a iso-morphie pr`es. Finalement, V ect ( X | A ) d´enote la cat´egorie des O X | A -modulescoh´erents localement libres, `a isomorphie pr`es. La deuxi`eme partie du corollaire peut aussi ˆetre ´ecrite commelim → H ( U, GL ( O X )) ≃ H ( A, GL ( O X ))Cette relation est en mˆeme temps cons´equence d’un th´eor`eme g´en´eral sur lacohomologie des faisceaux non-ab´eliens; dans le cas ab´elien voir [Go] II Th.4.11.1: Soit F un faisceau de groupes (non-n´ecessairement ab´eliens)sur X . Alors lim → H ( U, F ) ≃ H ( A, F ) o`u U parcourt tous les voisinages ouverts de A dans X . D´emonstration:
Surjectivit´e: Supposons qu’un ´el´ement de H ( A, F ) estdonn´e. Nous povons supposer qu’il est repr´esent´e par un cocycle ( g ij ) parrapport au recouvrement ( A ∩ V i ) de A . On peut ´etendre g ij `a un voisinage W ij de A ∩ V i ∩ V j . On continue comme dans la d´emonstration de Th´eor`eme10.1.Injectivit´e: Soient ( g ij ) et ( h ij ) des cocycles par rapport `a ( U i ) qui d´efinissentle mˆeme ´el´ement de H ( A, F ). Quitte `a r´etr´ecir il y a f i ∈ Γ( A ∩ V i , F ) telsque h ij = f i g ij f − j sur A ∩ V i ∩ V j . On peut ´etendre f i `a une section ˜ f i sur unvoisinage ouvert W i de A ∩ V i dans U i . Soit U l’ensemble de tous les points x avec les propri´et´es suivantes:si x ∈ V i alors x ∈ W i , 29i x ∈ V i ∩ V j alors h ij ( x ) = ˜ f i ( x ) g ij ( x ) ˜ f j ( x ) − .On v´erifie que U est un voisinage ouvert de A dans X et que ( h ij | U ∩ V i ∩ V j )et ( g ij | U ∩ V i ∩ V j ) sont cohomologues, il d´efinissent donc le mˆeme ´el´ementde H ( U, F ). c) Connexions Soit X une vari´et´e amalytique complexe, E un fibr´e vectoriel holomorphe sur X . Il y a plusieurs fa¸cons de d´efinir la notion d’une connexion sur X , voir[D], [Ma]:Soit J l’id´eal de la diagonale dans X , p , p = projections canoniques de X sur X , P := O X / J et P ( E ) := ( p ) ∗ ( P ⊗ O X p ∗ E ) le faisceaux des1-jets dans E . La suite exacte0 → J / J → O X / J → O X / J → → Ω X ⊗ E i → P ( E ) q → E → p ) ∗ (( J / J ) ⊗ O X p ∗ E ) ≃ ( p ) ∗ (( J / J ) ⊗ O X p ∗ E ) ≃ Ω X ⊗ E parce que ( p ) ∗ ( J / J ) ≃ Ω X , et ( p ) ∗ (( O X / J ) ⊗ O X p ∗ E ≃ ( p ) ∗ (( O X / J ) ⊗ O X p ∗ E ) ≃ E parce que ( p ) ∗ ( O X / J ) ≃ O X .On a une application j : E → P ( E ) qui associe `a chaque section son 1-jet, induite par f f ◦ p . Elle est seulement C X -lin´eaire: on a j ( f s ) = i ( df ⊗ s ) + f j ( s ) pour f ∈ O X,x , s ∈ E x . On a q ◦ j = id , donc q estvraiment surjectif, et j donne alors un scindage de la suite exacte dans lacat´egorie des C X -modules. Il est ´equivalent de donnera) une application C X -lin´eaire ∇ : E → Ω X ⊗ E telle que ∇ ( f s ) = df ⊗ s + f ∇ s ,b) une application O X -lin´eaire D : P ( E ) → Ω X ⊗ E telle que D ◦ i = id ,c) une application O X -lin´eaire D : E → P ( E ) telle que q ◦ D = id ,o`u les applications sont li´ees comme suit: D := j − i ◦∇ , i ◦ D = id − D ◦ q , ∇ := D ◦ j . Pour a ⇔ c ) voir [D), o`u on trouve la relation D = j − i ◦ ∇ aussi. Notonsque c ) signifie que D donne un scindage de la suite exacte en haut dansla cat´egorie des O X -modules. Il est bien connu que ceci est ´equivalent `a b ) avec la relation D ◦ q + i ◦ D = id . On obtient ∇ = D ◦ j commecons´equence; cette relation semble ˆetre conforme avec [Ma]. En total, onvoit comme on passe de ∇ `a D , de D `a D et de D `a ∇ . Pour compl´eterles relations signalons qu’on peut raisonner au sens inverse aussi: i ◦ D = i ◦ ∇ ◦ q + id − j ◦ q , D = j − i ◦ D ◦ j , i ◦ ∇ = j − D .La premi`ere d´efinition est la d´efinition usuelle mais les autres ont un avantagedu point de vue th´eorique parce qu’il s’agit des applications O X -lin´eaires. Remarque:
On peut remplacer E par un faisceau coh´erent. La suite en hautreste exacte parce qu’on a encore q ◦ j = id , q est donc surjectif. Proposi-tion 10.6 reste encore valable. Mais par [Ma] Remark (1.2), l’existence de ∇ ∇ sur E induit des applications C X -lin´eaires ∇ p : Ω pX ⊗ E → Ω p +1 X ⊗ E , o`u ∇ = ∇ , voir [D]. Or, ∇ est dit int´egrable si ∇ ◦ ∇ = 0.En ce qui concerne les connexions sur un fibr´e vectoriel donn´e, on a le r´esultatsuivant: Soit E un fibr´e vectoriel sur X .a) Si H ( X, Ω X ⊗ Hom ( E , E )) = 0 il y a au plus une connexion sur E .b) Si H ( X, Ω X ⊗ Hom ( E , E )) = 0 il y a au moins une connexion sur E .c) Si H ( X, Ω X ⊗ Hom ( E , E )) = 0 toute connexion sur E est int´egrable. D´emonstration: a), b): La suite exacte (*) en haut conduit `a une suiteexacte 0 → Hom ( E , Ω X ⊗ E ) → Hom ( E , P ( E )) → Hom ( E , E ) → H ( X, Hom ( E , Ω X ⊗ E )) → H ( X, Hom ( E , P ( E ))) → H ( X, Hom ( E , E )) → H ( X, Hom ( E , Ω X ⊗ E )).Or, id : E → E d´efinit un ´el´ement de H ( X, Hom ( E , E )), et une connex-ion sur E correspond `a une image inverse dans H ( X, Hom ( E , P ( E ))), parProposition 10.6. Le reste est clair.c) Soit ∇ d´efini comme toute `a l’heure. Or, l’application ∇ ◦ ∇ est mˆeme O X -lin´eaire, voir [D], elle d´efinit donc un ´el´ement de H ( X, Ω X ⊗ Hom ( E , E )).Soit V ect c ( X ) et V ect ci ( X ) d´efini comme dans l’introduction. D’apr`es [D]nous avons que V ect c ( X ) a la structure d’un semi-anneau avec unit´e (donn´eepar ( O X , d )), le mˆeme vaut pour V ect ci ( X ). De plus, on a V ect ci ( X ) ≃ H ( X, GL ( C )). d) Un lemme sur les suites spectrales Le lemme suivant devrait ˆetre bien connu (il est implicitement appliqu´e dans[H2] p. 223, par exemple):
Soit f : E → E ′ un homomorphisme de suites spectrales ( E r ) r ≥ r , ( ˜ E r ) r ≥ r , avec r ≥ . Supposons que E pqr = ˜ E pqr = 0 si p < ou q < et que f induit des isomorphismes E pqr ≃ ˜ E pqr si q ≤ n (il suffit: si q ≤ n − r − r p ). Alors f induit des isomorphismes E pq ∞ ≃ ˜ E pq ∞ , p + q ≤ n . D´emonstration:
On d´emontre par r´ecurrence que f induit des isomor-phismes E pqr ≃ ˜ E pqr , q ≤ n − r − r p , r ≥ r : afin de d´emontrer cet ´enonc´e avec r + 1 au lieu de r utilisons le diagramme commutatif E p − r,q + r − r −→ E p,qr −→ E p + r,q − r +1 r ↓≃ ↓≃ ↓≃ ˜ E p − r,q + r − r −→ ˜ E p,qr −→ ˜ E p + r,q − r +1 r q ≤ n − r − r p .Notons aussi que E pqr = E pq ∞ et ˜ E pqr = ˜ E pq ∞ si p + q ≤ n, r > n . e) Sur les groupes d’homotopie et syst`emes locaux Soit X une vari´et´e analytique r´eelle et Y un sous-ensemble analytique ferm´ede X . Le lemme suivant est g´eom´etriquement ´evident, nous fournissons unepreuve qui n’utilise pas des arguments de transversalit´e: Supposons que d est la codimension de Y dans X . Alors lapaire ( X, X \ Y ) est d − -connexe, c.-`a d. π l ( X \ Y, x ) → π l ( X, x ) , est bijectifpour l ≤ d − et surjectif pour l = d − , x ∈ X \ Y . D´emonstration:
On peut supposer que X est connexe de dimension n . Ily a une filtration ∅ = Y − ⊂ Y ⊂ Y ⊂ . . . ⊂ Y n − d = Y o`u Y k est analytiqueferm´e de dimension k et Y k \ Y k − est lisse de dimension k . Il suffit ded´emontrer que π l ( X \ Y k , x ) ≃ π l ( X \ Y k − , x ), x ∈ X \ Y k , l ≤ n − k − X \ Y k − par X on voit qu’il suffit de d´emontrer notre ´enonc´eoriginal dans le cas Y lisse.Soit U un voisinage tubulaire de Y dans X , on a donc une r´etraction r : U → Y . Il suffit de montrer π l ( U \ Y, x ) ≃ π l ( U, x ), l ≤ d − x ∈ U \ Y , `a cause duth´eor`eme de Blakers-Massey. Soit F := r − ( { x } ); alors F est hom´eomorphe`a un disque de dimension n − d . Or, r | U \ Y → Y d´efinit une fibration; lasuite exacte d’homotopie pour celle-ci donne: π l ( U \ Y, x ) ≃ π l ( Y, x ), donc π l ( U \ Y, x ) ≃ π l ( U, x ) pour l ≤ d −
2, ce qu’il fallait d´emontrer.
Soit L un syst`eme local sur X \ Y et Y de codimension ≥ . Alors L admet comme syst`eme local une extension `a X qu est unique `aisomorphie pr`es, `a savoir j ∗ L , o`u j : X \ Y → X est l’inclusion. D´emonstration:
Avec les notations de la d´emonstration pr´ec´edente, il suffitde d´emontrer par r´ecurrence que j ∗ L est un syst`eme local sur X \ Y k . Onpeut donc supposer que Y est lisse. Il suffit de montrer que j ∗ L| U est unsyst`eme local, U ´etant un voisinage convenable de x ∈ Y dans X , ce qui est´evident.Ou bien on applique Lemme 10.9. Bibliographie: [BS] C. B˘anic˘a, O. St˘an˘a¸sil˘a, Algebraic methods in the Global Theory ofComplex Spaces, John Wiley, London, N.Y., Toronto, 1976.[D] P. Deligne: ´Equations diff´erentielles `a points singuliers r´eguliers. SpringerLecture Notes in Math. (1970). 32FG] J. Frisch, J. Guenot: Prolongement de faisceaux analytiques coh´erents.Invent. Math. , 321-343 (1969).[Fr] J. Frenkel: Cohomologie non ab´elienne et espaces fibr´es. Bull. Soc.Math. France , 135-220 (1957).[G1] A. Grothendieck: El´ements de la G´eom´etrie I. Publ. Math. IHES (1960).[G2] A. Grothendieck: Cohomologie locale des faisceaux coh´erents et th´eor`emesde Lefschetz locaux et globaux (SGA II). North-Holland: Amsterdam 1968.[G3] A. Grothendieck, J.A.Dieudonn´e: ´El´ements de G´eom´etrie Alg´ebrique I.Springer: New York 1971.[G4] A. Grothendieck: El´ements de la G´eom´etrie III, premi`ere partie. Publ.Math. IHES (1961).[G5] A. Grothendieck: El´ements de la G´eom´etrie III, seconde partie. Publ.Math. IHES (1963).[Go] R. Godement: Topologie alg´ebrique et th´eorie des faisceaux. Hermann:Paris 1958.[GR] R. Gunning, H.Rossi: Analytic Functions of Several Complex Variables.Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J. 1965.[H1] R. Hartshorne: Algebraic geometry. Springer: New York 1977.[H2] R. Hartshorne: Ample Subvarieties of Algebraic Varieties. Springer Lec-ture Notes in Math. (1970).[Ha1] H.A. Hamm: On theorems of Zariski-Lefschetz type. In: SingularitiesII: Geometrical and topological aspects, pp. 69-78, ed. J.-P. Brasselet et al.Contemporary Math. . Amer. Math. Soc., Providence, R.I. 2008.[Ha2] H.A. Hamm: On the local Picard group. Proc. Steklov Inst. of Math. , 131-138 (2009).[Ha3] H.A. Hamm: Chow groups and tubular neighbourhoods. J. Singul. ,81-91 (2010).[HL1] H.A. Hamm, Lˆe D.T.: Lefschetz theorems on quasi-projective vari-eties. Bull. Soc. Math. France , 123-142 (1985).[HL2] H.A. Hamm, Lˆe D.T.: Th´eor`emes d’annulation et groupes de Picard.J. Singul. , 13-36 (2010). 33KK] L. Kaup, B. Kaup: Holomorphic functions of several variables. Walterde Gruyter: Berlin 1983.[M] H. Matsumura: Commutative ring theory. Cambridge Univ. Press:Cambridge 1986.[Ma] B. Malgrange: Regular Connections after Deligne. In: A.Borel et al.:Algebraic D -modules, Ch. IV, pp. 151-172. Perspectives in Math. Vol. 2.Acad. Press: Boston 1987.[Sch] G. Scheja: Fortsetzungss¨atze der komplex-analytischen Cohomologieund ihre algebraische Charakterisierung. Math. Ann. , 75-94 (1964).[Si1] Y.-T. Siu: Extending coherent analytic sheaves. Ann. of Math. ,108-143 (1969).[Si2] Y.-T. Siu: Analytic sheaves of local cohomology. Trans. Am. Math.Soc. , 347-366 (1970).[Si3] Y.-T. Siu: Techniques of extension of analytic objects. Lecture Notesin Pure and Applied Math. . Marcel Dekker: N.Y. 1974.[SiT] Y.-T. Siu, G. Trautmann: Gap-sheaves and extensions of coherent an-alytic subsheaves. Springer Lecture Notes in Math. (1971).[T1] G. Trautmann: Ein Kontinuit¨atssatz f¨ur die Fortsetzung koh¨arenter an-alytischer Garben. Archiv der Math. , 188-196 (1967).[T2] G. Trautmann: Ein Endlichkeitssatz in der analytischen Geometrie. In-vent. Math.8