Fidelity, susceptibility and critical exponents in the Dicke model
M. A. Bastarrachea-Magnani, O. Castaños, E. Nahmad-Achar, R. López-Peña, J. G. Hirsch
FFidelity, susceptibility and critical exponents in theDicke model
M. A. Bastarrachea-Magnani, O. Casta˜nos, E. Nahmad-Achar, R.L´opez-Pe˜na, and J. G. Hirsch
Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Aut´onoma de M´exicoApdo. Postal 70-543, M´exico D. F., C.P. 04510E-mail: [email protected]
Abstract.
We calculate numerically the fidelity and its susceptibility for the ground stateof the Dicke model. A minimum in the fidelity identifies the critical value of the interactionwhere a quantum phase crossover, the precursor of a phase transition for finite number of atoms N , takes place. The evolution of these observables is studied as a function of N , and theircritical exponents evaluated. Using the critical exponents the universal curve for the specificsusceptibility is recovered. An estimate to the precision to which the ground state wave functionis numerically calculated is given, and found to have its lowest value, for a fixed truncation, ina vicinity of the critical coupling.
1. Introduction
The Dicke Hamlitonian describes a system of N two-level atoms interacting with a singlemonochromatic electromagnetic radiation mode within a cavity [1]. In terms of quantumcomputation, it can also describe a set of N qubits, realized with quantum dots, Bose-Einsteincondensates or QED circuits [2], interacting through a bosonic field. In recent years Dicke-like Hamiltonians, and in particular its quantum phase transition (QPT) from normal tosuperradiant behavior [3, 4], have attracted much attention. The QPT is an example of aquantum collective behavior and has a close connection with entanglement and quantum chaos.Besides, the Dicke Hamiltonian for a finite N provides a good description for the systemsmanipulated in the laboratory, especially in the light of the experimental realization of thesuperradiant phase transition in a BEC [7, 8], the intense development in the control of singleatoms and photons in a cavity, and the possibility of a QPT in a system of N QED circuits[5, 6].The Dicke model can be written as ( (cid:126) = 1) H D = ωa † a + ω J z + γ √N (cid:16) a + a † (cid:17) ( J + + J − ) , (1)where ω is the field frequency, ω is the atomic energy separation, a † and a are the creationand annihilation photon operators, respectively, and γ is the coupling strength. J z and J ± arecollective atomic operators (pseudospin operators) which follow the SU(2) algebra, and denotethe atomic relative population and the atomic transitions operators, respectively. a r X i v : . [ qu a n t - ph ] D ec or a finite number of atoms N , the model is in general non-integrable, and care must betaken when the first order in the 1 / N expansion is employed because of its singular behavioraround the phase transition [9, 10]. The Hamiltonian is integrable in at least two limits ( γ → ω → N goes to infinity,the mean field description becomes exact. It provides analytic asymptotic solutions through aHolstein-Primakoff expansion [11], which allows to extract the critical exponents for the groundstate energy per particle, the fraction of excited atoms, the number of photons per atom, theirfluctuations and the concurrence [11, 12, 13, 14]. Numerical solutions complement and confirmthe theoretical predictions, and allow for the exploration of the system in regimes which are notdescribed by the latter, like excited state phase transitions.A concept emerging from quantum information theory, the fidelity, can be used to determinea sudden change in the ground state of a quantum system as a function of a control parameter.In recent years it has emerged as a powerful tool to study QPT in quantum many-body systems[15]. The fidelity describes the overlap between two quantum states. Considering a quantummany-body system, the general form of the Hamiltonian can be written as H = H + γH , (2)where H is the interaction Hamiltonian and γ is a control parameter. For two pure states | ψ ( γ ) (cid:105) and | ψ ( γ (cid:48) ) (cid:105) the fidelity is written as [15] F ( γ, γ (cid:48) ) = | (cid:104) ψ ( γ ) (cid:12)(cid:12) ψ ( γ (cid:48) ) (cid:11) | . (3)The fidelity measures the amount of shared information between two quantum states, being itsgeometric interpretation the closeness of these states. Being a QPT a sudden change in theground state properties of a system when a control parameter varies, a minimum in the fidelityallows to locate and characterize the QPT. Its second derivative, the fidelity susceptibility, iseven more sensitive to the QPT. Expanding the fidelity around its minimum, for γ − γ (cid:48) small,we have [15] F ( γ, γ (cid:48) ) = 1 − ( γ − γ (cid:48) ) χ F + ... (4)The fidelity susceptibility χ F can be expressed as χ F ( γ ) = lim γ − γ (cid:48) → − F ( γ, γ (cid:48) )( γ − γ (cid:48) ) = 2(1 − F ( γ, γ (cid:48) ))( γ − γ (cid:48) ) , (5)being the first form in terms of the logarithmic fidelity. It is useful to choose γ (cid:48) = γ + dγ inorder to vary γ while taking the limit dγ → γ max , the fidelity andits susceptibility show the precursor of the QPT by obtaining a minimum and a maximumvalue, respectively. Calculating the behavior of these quantities (the critical coupling parameterand the maximum value of the susceptibility) allows us to derive their critical exponents as afunction of the number of atoms N [16, 17]. Furthermore, one can obtain universal curves forsome observables like the fidelity [18] or the susceptibility. For a finite scale analysis, we candefine a universal quantity called the specific susceptibility [19], χ s = χ F ( γ max ) − χ F ( γ ) χ F ( γ ) . (6)The specific susceptibility is useful to compare systems with different number of atoms.n this work we calculate the fidelity and its susceptibility for the ground state of the finiteDicke model, performing a numerical diagonalization of the Hamiltonian. Using the fidelityformalism we locate the precursor of the QPT for each N . With it, we find numerically thecritical exponent of the coupling parameter, which tends to γ c = √ ωω /
2, the critical valuein the thermodynamic limit. We also study the behavior of the minimum of the fidelity andthe maximum of its susceptibility as N grows, finding their critical exponents. We build theuniversal curve of the specific susceptibility, which confirms the value of the critical exponent.Finally, we make a brief discussion of the ground state wave function precision as a function ofthe coupling strength.
2. Numerical solution
In order to solve numerically the Dicke Hamiltonian we employ extended bosonic coherentstates [14, 20]. They are built with the displaced boson operators A † , A , obtained by shiftingthe original annihilation operator a : A = a + 2 γω √N J x . (7)The new basis is {| N ; j, m (cid:105)} , where N is an eigenvalue of the new number operator A † A , j = N / m is an eigenvalue of J x . It allows for the determination of ground state properties in thesuperradiant region far beyond previous attempts [14], and also of excited states with a singletruncation [21].To solve the Hamiltonian numerically we must truncate the Hilbert space, which is infinitedue to the presence of the number operator in the Hamiltonian. In order to estimate the minimaltruncation to be employed, we use a criterion based on the precision of the wave function, whichwe call the ∆ P criterion [22]. We express the ground state wave function as: | Ψ( N max ) (cid:105) = N max (cid:88) N =0 j (cid:88) m = − j C N,m | N ; j, m (cid:105) , (8)where C N,m are the coefficients of the exact ground state wave function and N max is the valueof the truncation in the number of displaced excitations. The probability P N of having N excitations in the ground state is: P N = |(cid:104) N | Ψ (cid:105)| = (cid:88) m | C N,m | (9)We define the precision in the calculated wave function as (see Appendix)∆ P = j (cid:88) m = − j | C N max +1 ,m ( N max + 1) | . (10)By diagonalizing the Hamiltonian with several truncations, if ∆ P is smaller than certaintolerance we consider that the solution has converged, being N max the minimum value of thetruncation necessary for obtaining the exact numerical solution.
3. Results
We calculate the fidelity and its susceptibility as functions of the coupling γ for the ground stateby solving numerically the Hamiltonian. In figures 1 and 2 we show the fidelity for several valuesof N from 100 to 1000. The same goes for the fidelity susceptibility in figures 3 and 4. In these (cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225) Γ F (cid:72) Γ , Γ(cid:43) d Γ (cid:76) Figure 1.
Fidelity as a function of the coupling parameter. With γ from γ c = 0 . . dγ = 0 . ω = ω = 1 and N = 100, 120, 140, 160, 180, 200 (top to bottom). N max = 8. (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237)(cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244)(cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230)(cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) Γ F (cid:72) Γ , Γ(cid:43) d Γ (cid:76) Figure 2.
Fidelity as a function of the coupling parameter. With γ from γ c = 0 . . dγ = 0 . ω = ω = 1 and N = 300, 400, 500, 600, 800 and 1000 (top to bottom). N max = 8.calculations we use ω = ω = 1 (resonance) being γ c = 0 . γ max , the value where the quantum phase crossover(the precursor of the QPT) takes place, by identifying the minimum of the fidelity and themaximum of its susceptibility. In figure 5 the value of γ max is shown for each N in a logarithmicscale. A linear fit gives us Log ( γ max − γ c ) = − . − . Log ( N ) , ( γ max − γ c ) = 0 . N − . . (11)Where we can obtain the critical exponent ν = 0 . (cid:39) /
3, which agrees with previousresults [16, 17].In figure 6 the logarithm of the minimum value of the fidelity log ( F min ) is plotted againstthe logarithm of the number of atoms. The points call for a quadratic fit, which is: (cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:231)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225) Γ Χ (cid:72) Γ (cid:76) Figure 3.
Fidelity susceptibility as a function of the coupling parameter. With γ from γ c = 0 . . dγ = 0 . ω = ω = 1 and N = 100, 120, 140, 160, 180, 200 (bottom to top). N max = 8. (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237)(cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244)(cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230)(cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) Γ Χ (cid:72) Γ (cid:76) Figure 4.
Fidelity susceptibility as a function of the coupling parameter. With γ from γ c = 0 . . dγ = 0 . ω = ω = 1 and N = 300, 400, 500, 600, 800 and 1000 (bottom to top). N max = 8. Log ( F min ) = 0 . − . × − N − . × − N . (12)We expect that, as we increase the number of atoms, the coefficient of the quadratic term willgo to zero. In other words, the quadratic contribution is required by the small N values, from100 to 200.Fig. 7 displays the logarithm of maximum value of the fidelity susceptibility χ Fmax as afunction of the logarithm of the number of atoms. Fitting linearly the logarithmic curve betweenthe maximum of the susceptibility and N we obtain: Log (cid:0) χ Fmax (cid:1) = 0 . . Log ( N ) ,χ Fmax = 3 . N . . (13) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) Log (cid:72) (cid:78) (cid:76) (cid:45) (cid:45) Log (cid:72) Γ Max (cid:45)Γ c (cid:76) Figure 5.
Log ( γ max ) as a function of Log ( N ). With N from 100 to 1000. γ c = 0 .
5. Thelinear fit is shown in red. (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230)
400 600 800 1000 (cid:78) (cid:45) (cid:45) (cid:45) (cid:45) (cid:45)
Log (cid:72) F Min (cid:76)
Figure 6.
Log ( F min ) as a function of N . With N from 100 to 1000. γ c = 0 .
5. A quadraticfit is shown in red. (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230)
Log (cid:72) (cid:78) (cid:76) Log (cid:72) Χ Max F (cid:76) Figure 7.
Log (cid:0) χ Fmax (cid:1) as a function of
Log ( N ). With N from 100 to 1000. γ c = 0 .
5. Thelinear fit is shown in red. (cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:225)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:243)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:224)(cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:225) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237)(cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244) (cid:244)(cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:245) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230)(cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:230) (cid:45) N (cid:144) (cid:72) Γ(cid:45)Γ max (cid:76) Χ S Figure 8.
Universal curve for χ S as a function of N ν ( γ − γ max ). With N from 100 to 1000. γ c = 0 . α = 2 / Γ (cid:45) (cid:45) (cid:45) (cid:45) (cid:45) Log (cid:72) (cid:68) P (cid:76) Figure 9. ∆ P for the ground state as a function of the coupling parameter. With γ from γ c = 0 . . dγ = 0 . ω = ω = 1 and N = 100. N max = 8. In this example, the γ max = 0 .
523 and the value of the coupling where ∆ P has its maximum is γ = 0 . . (cid:39) / N . We show thecurve in figure 8. The universal curve guarantees that the critical exponent is correct, becausethe curves for all N converge to one curve in the region around the critical value of the couplingstrength γ max . The results of figure 8 agree with the ones in [25].Finally, in figure 9 we show ∆ P for the ground state as a function of the coupling for N = 100.As it can be observed, close to the phase transition precursor, which for this number of atomstakes place at γ max = 0 . γ max calculated through the fidelity and its susceptibility. In all cases the ∆ P is small enough to consider that the solution has converged. This behavior repeats for every N .The maximum of the ∆ P behaves in a similar way as γ max when the number of atoms grows,taking place closer and closer to γ c in the thermodynamic limit. . Conclusions We have calculated the fidelity and its susceptibility for the ground state of the finite Dickemodel, as functions of the coupling parameter strength, in resonance, for several values of thenumber of atoms. We located the phase transition for each value of N using the fidelityformalism, and characterized the phase transition by calculating the critical exponents ofthe critical values of the coupling and the maximum values of the susceptibility, by fittinglogarithmically the curves of both as functions of N . The critical exponents are( γ max − γ c ) (cid:39) N − . (cid:39) N − / and χ Fmax (cid:39) N . ∼ N / . (14)Also, we fitted a quadratic curve of the logarithm of the fidelity as a function of the number ofatoms. We validated the values found for the critical exponents plotting the universal curve of thespecific susceptibility. Finally, we exhibited that the precision of the ground state wave function(which we use to determine the minimal truncation necessary to have the exact numericalsolution) have a maximum near the finite N phase crossover. Interestingly, those maxima occurat a coupling values slightly different from the ones obtained through the maximum of the fidelitysusceptibility .
5. Acknowledgments
This work was partially supported by CONACyT-M´exico and DGAPA-UNAM projectIN102811.
6. Appendix
In order to estimate the convergence in the wave function | Ψ( N max ) (cid:105) , we assume that a similardiagonalization was performed with a truncation N max −
1, which provides | Ψ( N max − (cid:105) . Tocompare both wave functions we extend the latter by assigning C N max ,m ( N max −
1) = 0We define the precision in the calculated wave function as:∆ P ≡ − |(cid:104) Ψ( N max − | Ψ( N max ) (cid:105)| = 1 − (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) N max (cid:88) N,N (cid:48) =0 j (cid:88) m,m (cid:48) = − j C N (cid:48) ,m (cid:48) ( N max − C N,m ( N max ) (cid:104) N (cid:48) ; j, m (cid:48) | N ; j, m (cid:105) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = 1 − (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) N max − (cid:88) N =0 j (cid:88) m = − j C N,m ( N max − C N,m ( N max ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) We assume that N max − N max photon excitations, thecomponents C N,m , N ≤ N max − C N max ,m new contributions. This condition can be expressed as | C N,m ( N max − | ≥ | C N,m ( N max ) | , N ≤ N max − . It follows that (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) N max − (cid:88) N =0 j (cid:88) m = − j C N,m ( N max − C N,m ( N max ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≥ N max − (cid:88) N =0 j (cid:88) m = − j | C N,m ( N max ) | , nd ∆ P ≤ − N max − (cid:88) N =0 j (cid:88) m = − j | C N,m ( N max ) | = j (cid:88) m = − j | C N max ,m ( N max ) | . We employ the equality to obtain an upper bound to the precision of the calculated wavefunctions.
References [1] Dicke R H 1954
Phys. Rev. Nature Phys , 106; Schneble D et al. 2003 Science , 475[3] Hepp K and Lieb E H 1973
Ann. Phys. (N.Y.) Phys. Rev. A Phys. Rev. Lett.
Phys. Rev. Lett.
Nature
Phys. Rev. Lett.
Phys. Rev. A Phys. Rev. A Phys. Rev. E Phys. Rev. Lett. Phys. Rev. Lett. Europhys. Lett. Phys. Rev. A Int. J. Mod. Phys. B J. Phys.: Conf. Ser.
Phys. Scr. Int. J. Mod. Phys. B Phys. Rev. E Rev. Mex. Fis. S http://rmf.smf.mx/pdf/rmf-s/57/3/57_3_0069.pdf [21] Bastarrachea-Magnani M A and Hirsch J G 2012 AIP Conf. Proc.
Jour. Phys. A: Math. Gen submitted[23] Hirsch J G, Casta˜nos O, L´opez-Pe˜na R, and Nahmad-Achar E 2013
Phys. Scr. Phys. Rev. Lett. Phys. Rev. B
71 224420[25] Liu T, Zhang Y-Y, Chen Q-H, and Wang K-L 2009 Phys. Rev. A80