1 ОБОБЩЕННОЕ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Мирослав Семотюк
Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, проспект Академика Глушкова, 40, Киев 03187, Украина e-mail: [email protected], факс: +38 044 5263348.
Аннотация
Обобщенное теоретико-числовое преобразование (ТЧП) сформулировано на основе теоремы о показа-тельной функции, которая позволяет заменять операции по модулю выражения в целом операциями по мо-дулю над показателем степени этой функции, что составляет фундаментальность этой теоремы для ТЧП, поскольку именно такая функция используется в ТЧП как весовая функция преобразования. На основании этой теоремы в работе сформулированы и доказаны все основные теоремы обобщенного ТЧП, их двойст-венность а также свойства весовых функций этого преобразования. Выбор основания этой функции, в каче-стве которого может быть выбрано любое число, в том числе и комплексное, определяет не только тот или иной вид преобразования, но и модуль самого преобразования. Это позволяет обобщить ряд известных ТЧП, таких как Мерсена, Гаусса и даже Фурье в виде единой теории дискретных преобразований.
Ключевые слова: обобщенное теоретико-числовое преобразование, изображение, оригинал, теорема, вычет, модуль, кольцо вычетов, свертка, весовая функция, корреляционная функция, ядро преобразования.
The generalized number-theoretic transformation (NPT) is formulated on the basis of the exponential function theorem, which allows us to replace operations modulo the expression as a whole by modulo operations on the exponent of this function, which makes this theorem fundamental for NPT, since it is such a function used in NPT as a weight conversion function. On the basis of this theorem, all the main theorems of the generalized NPT, their dual-ity, as well as the properties of the weight functions of this transformation are formulated and proved. The choice of the basis of this function, as which any number can be chosen, including a complex one, determines not only one or another type of transformation, but also the module of the transformation itself. This allows us to generalize a number of well-known NPTs, such as Mersen, Gauss, and even Fourier, in the form of a unified theory of discrete transformations.
Keywords: generalized number-theoretic transformation, image, original, theorem, residue, modulus, residue ring, convolution, weight function, correlation function, transformation kernel.
1. Общие сведения
Алгоритмы обработки сигналов в конечных математических структурах, аналогично спектральной обработке, составляют интересную область исследований. Их применение, вопреки сложившемуся мнению, несомненно, не ограничиваются лишь вычислением сверток. Они полезны при описании систем счисления, анализе кодовых последовательно-стей, операциях над полиномами, а также для решения ряда задач, где требуются точные значения результатов вычислений. Однако возможности теоретико-числовых преобразо-ваний (а именно так называют обработку в конечных математических структурах), перво-начально казавшиеся весьма многообещающими непосредственно для обработки сигна-лов, оказались сильно ограниченными и интерес специалистов, занимающихся такой об-работкой, постепенно угас. Вместе с тем, несмотря на сравнительно большое количество публикаций по этому вопросу [1,2,3], достаточно полного описания теоретико-числовых преобразований с пол-ными выкладками их теорем, как это сделано для Фурье - преобразований или родствен-ных ему, в литературе нет. Многие публикации отображают лишь отдельные фрагменты преобразования, или предлагают читателю самому доказать теорему о свертке, или искать подходящие модули преобразования и т.п. Таким образом, на основании выше изложенного возникает необходимость в создании некоторой обобщенной теории, специально построенной для теоретико-числовых преоб-разований, которая систематизировала бы ряд полученных за последнее время результа-тов. В качестве основы этой теории, по мнению автора, может быть использована фунда-ментальная теорема теоретико-числового преобразования [4], доказательство которой приводится ниже. А в силу того, что дальнейшие результаты получены только на ее осно-ве, то ссылки на литературные источники делаться не будут. Автор в данной работе также придерживается финитной точки зрения в математике, согласно которой все рассматри-ваемые объекты не выходят за пределы некоторого ограниченного множества, на котором суждения о них истинны.
2. Фундаментальная теорема теоретико-числового преобразования . Сформулируем следующую теорему. Пусть алгебра вида ,,,, m где ( ) и ZS - структура (решетка) имеющая p S S sup , S представляет собой кольцо вычетов с единицей, в котором своими аргументами задана степенная зависи-мость x sy . Тогда для N p , N ,x и N p существует число S sup M , при кото-ром справедливо следующее равенство в кольце вычетов m . S ( x ) mod p m ( s x )mod M , (2.1) где m - обозначение равенства в кольце вычетов (имеется в виду финитная точка зрения в математике) , которое не всегда совпадает с известным понятием «сравнение по модулю» в силу разных значений модуля в левой и правой частях выражения (2.1). Мо-дуль M при этом есть функция от переменной p - )( pf M . Другими словами, если в левой или правой части равенства есть операция по модулю, то независимо от нее резуль-тат еще раз ограничивается, как слева, так и справа равенства, модулем кольца m . Докажем это утверждение, полагая первоначально, что это число равно верхней грани структуры S p s M . (2.2) Тогда, с одной стороны, x=kp+ ( x) mod p , где )(int p/xk - целая часть от деления x на p ; px )mod( - остаток от этого же деления. Отсюда функция x sy может быть представлена p(x)kpx ss mod . (2.3) С другой стороны, аналогично )()mod()( pxpx ssscs . (2.4) Приравнивая (2.3) и (2.4), имеем ))mod(()( )mod( pxppxkp ssscs или ))mod(()( )mod( pxppxkp ssscss . (2.5) Заметим, что равенство (2.1.1) с учетом (2.1.2) может быть достигнуто при следующих со-отношениях .sc,s pkp )( (2.6) Из формулы (2.1) следует, что функция x sy в правой части этого выражения при изменении N, x , ограничена сверху модулем M . Очевидно, чтобы сохранить коррект-ность результатов, необходимо ограничить и левую часть выражения (2.1). Тогда (2.5) можно записать так ))mod(()()mod()( )mod( pxpppxkp ssscsss . На основании последнего, выражения (2.6) могут быть заданы сравнениями вида )(mod pkp s|s , (2.7) )(mod)( pp s|sc , (2.8) где вертикальная черта «|» - знак, разделяющий основное выражение и модуль срав-нения. Тождество (2.8) справедливо в силу линейности сравнения, а (2.7) можно переписать та-ким образом )mod(
01 1 ppk s|s . (2.9) По теореме Безу левую часть последнего, как разность степеней, можно разложить на со-множители вида kppkppk sFsss )()()( , где kp sF )( - полином )( k -степени от p s . Так как x s является целочисленной функцией, то pk s делится на p s без остатка и )mod( pp s|s , откуда следует справедливость тождества (2.7). Теперь (2.5) можно представить в виде: )mod())mod(( )mod( ppxpx s|sss или )mod())mod(( )mod( ppxpx s|sss . Полагая, что модуль кольца m равен модулю сравнения, последнее можно записать в следующем виде px s )mod( m ))mod(( px ss . (2.10) Таким образом, найдено значение числа M , удовлетворяющее теореме (2.1), однако совпадающее с модулем кольца m . Покажем, что это значение не является единствен-ным. Действительно, умножив и разделив это число на s , будем иметь .)( sss p M ss p - является известным выражением для суммы ряда геометрической прогрессии со знаменателем s и свободным членом a . Тогда M является составным числом. pm mp sss M )( . (2.11) Рассмотрим теперь число pm m s . Из (2.11) ясно, что оно удовлетворяет следующему соотношению ppm mp sss . Однако этому же неравенству удовлетворяет также число M ppp sss . Стало быть, эти числа имеют один и тот же порядок относительно x s и, следовательно, остатки от деления x s на эти числа совпадают. Действительно )-())mod(( pxpx scsss , где p x s sc int , или с учетом (2.11) pm mxpx sscsss )())mod(( , где pm mx sssc int)( . Тогда )()mod( px ss m )mod( pm mx ss . Таким образом, найдено еще одно значение числа M , которое не совпадает с модулем кольца m pm m s M . (2.12) Отсюда следует, что теорема (2.1) доказана. Отметим некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы. Следствие s и pm m s взаимно простые при s . Действительно pm mpm mpm m sssss . Поскольку pm m ss , то, учитывая последнее, будем иметь pm mpm m sssss , здесь sss pm mpm m int , а sss . Тогда s не является делителем нуля для выражения pm m s и, следовательно, эти числа являются взаимно простыми. Следствие
2. Две числовые последовательности вида px s )mod( и ))mod(( pm mx ss полу-ченные из функции x s путем изменения N, x в кольце вычетов m конгруэнтны вплоть до каждого члена при одном и том же значении x . Следствие
3. Две числовые последовательности вида px s )mod( и ))mod(( pm mx ss при N, x периодичны в кольце вычетов m , имеют одинаковый период p и одно и то же главное значение, находящееся в интервале ][ p, . Отметим теперь еще одно важное свойство теоремы (2.1). Эта теорема позволяет за-менять операции по модулю выражений в целом операциями по модулю над показателями степеней степенных зависимостей, входящих в эти выражения, что и составляет фунда-ментальность теоремы (2.1) для теоретико-числовых преобразований, а также является отправным моментом для доказательства многих основных положений таких преобразо-ваний.
3. Обобщенное теоретико-числовое преобразование ( S -преобразование). Полагая, что главное значение числовой степенной последовательности находится на закрытом интервале ][[ ] N, p, , при этом M S sup , где Nm m s M - модуль кольца m , определим формально следующее преобразование, заданное на структуре S X ( k ) m Ni N)ki( six mod )( , (3.1) x ( i ) m Nk Nki skX N mod)( )( , (3.2) Nm m s M , где m - кольцо вычетов по модулю M , N - некоторое число из множества N , m - означает равенство (сравнение) в кольце вычетов m , )k(X),i(x - числовые последовательности, представляющие оригинал и изображение соответственно, s - некоторое число, в общем случае комплексное, k,i - номера (индек-сы) компонент последовательностей. Выражение (3.1) представляет собой прямое преобразование, а (3.2) - обратное. Покажем теперь, что эта пара выражений действительно представляет собой теорети-ко-числовое преобразование. Для чего, во избежание путаницы индексов в выражении (3.2), заменим переменную i переменной n , а затем, подставив ее в (3.1) , в результате будем иметь x ( n ) m
10 10 Nk Ni NknNki ssix N mod)()mod( ) )(( . Изменив порядок суммирования, получим x ( n ) m
10 10 Nk Ni Nkikn sixix N ))(()( )mod ( . Далее x ( n ) m
10 10 Ni Nk N|kin| six NN )()( mod)( . (3.3) Рассмотрим теперь внутреннюю сумму Nk N|kin | s mod)( . (3.4) Очевидно, что при ni , значение этой суммы будет равно N . Для ni внутренняя сумма (3.4) не равна N и не равна нулю, что необходимо для преобразования. Однако, может существовать сравнение вида Nk N|kin | s mod)( M | mod , (3.5) которого достаточно для преобразования, поскольку вычисления будут выполняться в кольце вычетов m . Положим, что Nm m s M . Тогда, на основании теоремы (3.1) имеем Nk N|kin| s mod)( m M Nk k)in( s )mod( , а с учетом (3.5) будем иметь сравнение M |s Nk k)in(| mod или M |s Nk kin mod)( . На основании (3.1) можно записать M |ss in Nin mod )(
01 1 Или M |s Nin mod )( . Тогда сравнение примет вид M |ss in Nin mod )(
01 1 . (3.6) На основании теоремы (3.1) можно записать M N)in( s )mod( m NNin s ]mod)[( m s , M Nin s )mod( )( m
1. Подставляя в (3.6), будем иметь M mod| . Стало быть, сравнение (3.6) выполняется и, следовательно, выполняется сравнение (3.5). Таким образом, установлено, что для всех ni внутренняя сумма (3.4) равна N , а при ni она равна нулю в кольце вычетов m . Последнее, с учетом выше сказанного, а также порядком выполнения операций в кольце вычетов будет иметь вид следующей системы уравнений
10 ]mod)[(10 ]mod)[( Nm mNkinNm mNkin ni,s niN,s , (3.7) Отсюда следует, что и правая часть выражения (3.3) будет состоять из единственного, не равного нулю в кольце вычетов m , члена )( ix только в том случае, если ni . Тогда в (3.3) последовательность )( nx совпадает с последовательностью )( ix при ni , следова-тельно, выражения (3.1) и (3.2) представляют собой теоретико-числовое преобразование. Последнее выражение легко иллюстрируется в матричном виде. Пусть размер преобразования N , а модуль m m sM . В этом случае имеем две матрицы. Одну матрицу для прямого преобразования, другую для обратного преобразования.
12 21
11 111 ss ss ,
12 21
11 11
11 111 s/s/ s/s/ Найдем обратные элементы для величин s и s . Ими будут, соответственно, s и s в силу того, что M |ss mod . Тогда матрицы примут вид
12 21
11 111 ss ss ,
21 12
11 111 ss ss а их произведение в кольце вычетов m будет равно )mod(
21 1212 21
11 11111 111 m m sss ssss ss =
300 030 003 в чем нетрудно убедиться, выполнив соответственно вычисления, принимая во внимание при этом, что матрица, находящаяся в произведении слева, соответствует матрице обрат-ного теоретико-числового преобразования, т.е. выражению (3.2), а матрица, находящаяся справа от знака произведения, представляет прямое преобразование (3.1). В (3.1), (3.2) было декларировано, что N - простое число. Это связано с тем, что при простом N в кольце вычетов m всегда существует обратный элемент N , так как в этом случае образуется тройка взаимно простых чисел M,N ,s ( N -простое по определению, вза-имная простота s и M следует из следствия 1 теоремы (3.1)). Если же N не является про-стым числом, то возникают проблемы не только с обратным элементом N , но и со зна-чением выражения (3.4), для которого должны обязательно выполняться условия (3.7), определяющие существование преобразований (3.1), (3.2). С другой стороны произволь-ный выбор N весьма желателен, так как он, в конечном счете, определяет размерность преобразования. Пусть N - составное число pp N , составленное из двух простых чисел p и p . Тогда система весовых функций преобразования будет содержать степенные последова-тельности с периодами pp, N и . Нетрудно убедиться в том, что средние значения этих функций при значениях N, i будут равны или кратны соответственно Nm m s MS - период равен N ,
10 12 pm mp s MS - период равен p , pm mp s MS - период равен p . Если между значениями и pp выполняется соотношение pp , тогда между этими суммами существует соотношение SSS . (3.8) Для выполнения условия существования преобразований (3.7) необходимо, чтобы NSMSMSMS i ,|,|,| modmodmod . Из (3.8) следует, что SM , так как S наименьшая сумма. Однако, теперь необходимо, чтобы S и S делились на величину S без остатка. Действительно, на основании свойств геометрической прогрессии имеем
111 1111 111 pNp pppNp ppN ssss,ssss,ss SSS )()( . Тогда
12 031 pi iN sss SS , (3.9)
12 01232 pi ipp sss SS . (3.10) говорит о том, что N не может быть составным числом, так как не будут удовлетворяться условия (3.7). Исключение составляет случай, вытекающий из (3.9), при котором pp N . (3.11) По индукции можно показать, что n pN . Тогда условие, связующее M ,s,p и будет следующее: npm pm ps M . На основании свойств геометрической прогрессии np pss или n p ssp . (3.12) Таким образом, получено еще одно выражение для размерности преобразова-ния N , при котором существует теоретико-числовое преобразование. Далее уточним ве-личину модуля M . На основании (3.11) имеем nn ppp N . Тогда I pnp ss )( , (3.13) или в силу (3.11) pm mppN nn sss )()( . Однако )( np s p nm k ss )( . Подставляя в (3.13), получим
10 1110 pm mnpnp k kN ssss )()( . Поделив обе части полученного выражения на )( s , имеем
10 111010 pm mnpnp k knm m sss M )( (3.14) Таким образом, при размерности преобразования n p N модуль M является состав-ным числом и в качестве модуля преобразования может быть выбрано одно из этих со-ставных чисел. Вместе с тем условия преобразования удовлетворит только модуль M , равный M .
10 1 pm mnp s )( . (3.15) Этот факт объясняется тем, что в силу теоремы (3.1) модуль преобразования np k k s M , (3.16) дает последовательность k s размерностью n p , следовательно, такую же размерность пре-образования, что значительно меньше требуемого N . Далее, на основании (3.15) ясно, что последовательность k s при изменении N, i и mpm pi n ss M )( (3.17) имеют обычную явную степенную зависимость. Определим теперь, какую зависимость будет представлять i s , если M i s . Действи-тельно, последний член в (3.15) имеет вид .npnppnp ss )( Стало быть, элементы последовательности M i s будут иметь выражение вида knpnpknpnpi ssss )( , где, nn pp,k N получено заменой переменной nnnn ppkppi . (3.18) Тогда knpnpknpnp sss на основании теоремы (3.1) дает knpnp s m knp s . Заменив обратно k на i , из (3.18) получим knpnp s m inpnpnp s m inp s или окончательно i s m )( inp s m )( N s , при M i s . (3.19) Таким образом, элементы последовательности i s при M i s представляют собой об-ратные элементы по отношению к элементам M i s . Обратимость при этом существует только в кольце m . В результате S -преобразование (3.1), (3.2) может рассматриваться, с учетом индексов по (3.18), как косо симметричное двухстороннее преобразование вида X ( k ) m ,,six npnp npi inpnpnpik ) )( ( ]mod[)( (3.20) x ( i ) m ,skX npnp npk inpnp,np)ki(
111 1 ) )( ( ]mod[ (3.21)
10 1 pm mnp s )( M . (3.22) При этом периодичность весовой функции преобразования определяется не величиной N (замкнутым интервалом ] [ N, ), а замкнутым интервалом ][ nnn pp,p , ко-торый к тому же и несимметричен, так как абсолютные значения его концов не равны ме-жду собой |pp||p| nnn , отчего и название преобразования – косо симметричное. Вместе с тем существует еще один уникальный случай, представляющий исключе-ние из условия (3.11). Речь идет о четном значении N pN , где p - любое целое число (3.23) Стало быть N s pppp ssss Далее, в силу (3.11) pn np sss )( . Тогда )()( ppn nN ssss . Разделив обе части на величину )( s , имеем pn nppm mnp sss M )()( . (3.24) Как и в случае (3.14), преобразованию удовлетворяет модуль p s M , (3.25) дающий преобразование размерности N . При этом S -преобразование принимает вид )( kX m ,six pp(i p,pki ) )mod[( )( (3.26) x ( i ) m ,skX ppk p,pki N )( ])mod[( )( (3.27) p s M . (3.28) с интервалом существования ][ p,p , (3.29) представляющим собой также разновидность теперь уже почти симметричного двухсто-роннего преобразования, поскольку значения весовой функции ki s при M ki s ,как и в случае (3.19), являются обратными элементами в кольце m к значениям весовой функ-ции ki s при M ki s . Однако может так оказаться, что p s - также составное число, что следует из теоре-мы Ферма: )1mod(01 Ns pN . (3.30) Вместе с тем, все простые числа, за исключением числа 2, являются нечетными числами, а поскольку степенная функция не содержит членов, равных нулю, то ограниченная сверху модулем, равным NM , будет содержать на своем главном периоде всего N различи-мых между собой значений, где N - четное число. Таким образом, мы имеем дело с преобразованием, размерность которого представле-на четным числом. Очевидно, что речь идет о преобразовании (3.26), (3.27) и (3.28), мо-дуль которого может быть составным числом, содержим в себе число N . Действи-тельно, в силу (3.30), число N s делится на число N без остатка. Это означает, что один из сомножителей из (3.24) обязательно делится на N . Если же для (3.28) имеет место вышеизложенное, т.е. p s M - составное число, в которое входит N , то суще-ствует следующее преобразование: X ( k ) m Ni Nki six mod)( )( , (3.31) x ( i ) m ,skX Nk Nki N mod)( )( (3.32) NM . (3.33) При этом, несмотря на малую величину модуля M , всегда существует обратный элемент для числа N ) )(( 111 NNN . Это дает сравнение по модулю N следующего вида: )( mod NN . Или )( mod NN Отсюда надо полагать, что NN m
1, Тогда NN m N m NN . Стало быть, обратным элементом к числу N является само число N . Весовая функция преобразования в этом случае будет содержать N различных значений, которые лежат в замкнутом интервале ][ N, , в силу модуля (3.33), и представляют собой целые числа от 1 до N . Тогда матрицу как прямого, так и обратного преобразования можно упорядочить пу-тем перестановки строк и столбцов таким образом, что элементы строки с индексом )( ik или столбца с индексом )( ki , соответственно матриц прямого и обратного преобразований, будут представлять линейно возрастающую последовательность, в кото-рой разность между соседними элементами постоянна и равна 1. В этом случае будет иметь место одна из разновидностей пилообразного преобразования (весовая функция, при k - для прямого и при i - для обратного преобразований, представляет собой зависимость в виде отрезка прямой xy , именуемой в технике пилой). В заключение заметим, что часто используемые теоретико-числовые преобразования, такие как Мерсена и Ферма, являются частными случаями S -преобразования при s . Так, преобразование Мерсена получается из (3.1) при s и модуле преобразования Nm mNm mN M )( . Преобразование же (3.26), (3.27), (3.28) дает преобразование Ферма при следующих усло-виях: s и n p , где n - целое число.
4. Свойства весовых функций S -преобразования. Заметим, что здесь и далее для кольца вычетов в m модуль может быть следующим Nm m s M , N -простое число, (4.1) pm pm s M , n p N -составное число. 4.1. Функции S -преобразования периодичны. Их период равен N . )( N k,iS m )( ikS . (4.2) Действительно NikNiNikNNki sss )mod()mod()mod( или в силу (4.1) имеем (4.2). Периодичность функций S -преобразования для двух значений переменной i ( i= , i=
2) иллюстрируется ниже поданным рисунком. Рис. 4.1. График функций )( k1S и )( k2S S -преобразования. 4.2. Функции S -преобразования мультипликативные в кольце m . )()( k,bSk,aS m kbaS )( . (4.3) Действительно NNN k,baSk,bSk,aS mod)(modmod , в силу (4.1) имеем (4.3). 4.3. Среднее значение функций )( ikS в m при i равно нулю. )( Nk k,is m Ni k,iS, )( m , (4.4) что следует из (3.2.7). 4.4. Система функций )( ikS ортогональна в кольце m )()( k,bSk,aS Nk m Nk k,baS )( m
0 (4.5) Действительно
NbkNk Nak s s modmod m Nk Nkba s mod)( m Nk NkNkba ss modmod)( m
0. В силу (4.1) имеем (4.5). 4.5. Матрицы преобразования, составленные из этих функций, симметричны относи-тельно главной диагонали: )( k,iS m ,ikS )( (4.6) На основании перечисленных свойств функций можно утверждать, что S -преобразование в кольце m является ортогональным преобразованием с мультиплика-тивным базисом. Матрицы преобразования могут быть факторизованы, следовательно, возможно построение быстрых алгоритмов расчета коэффициентов преобразования.
5. Основные теоремы S -преобразования. Область знач ений i k )( ikS N -1 0 1 i=1 )s(- ik M -1 1 i=2 N / -1 N / -1 N -1 i=1 i=2 Обратное преобразов ание
Прямое преобраз ование При изложении теорем мы по-прежнему будем пользоваться терминологическими со-глашениями об оригинале и изображении, чтобы не путать их со спектрами Фурье. 5.1.
Теорема о сумме (разности).
Поэлементная (прямая) сумма (разность) последовательностей оригиналов в кольце вычетов приводит к сумме (разности) их изображений: )()( iyix m )()( kYkX (5.1) 3.4.2. Теорема линейности . Умножение последовательности-оригинала на постоянный множитель в кольце выче-тов m приводит к умножению последовательности-изображения на тот же множитель: ),k(XμsixμMsixμ M N oi ikN om ik mod)(mod)( (5.2) )( ixμ m .μkxμ Sпри)( Теорема о сдвиге (теорема смещения).
Поэлементное (прямое) перемножение последовательности-оригинала на весовую функцию S -преобразования в кольце вычетов m приводит к сдвигу последовательности-изображения: )( kX C m Ni Nikci ssix mod )( m Ni Nikc six mod)( )( , Nikc six mod)( )( m .kcX N ])mod[( (5.3) Из выражения (5.3) видно, что сдвиг изображения является циклическим. 5.4. Теорема о свертке изображения . Поэлементное произведение двух последовательностей-оригиналов в кольце вычетов m приводит к свертке их изображений: )()( iyix m ),()( kY*kX (5.4) где * - (здесь и ниже) обозначение свертки, как оператора, а знак m означает: влечет за собой, приводит к. Действительно, изображение от произведения )()( iyix )( nX m Ni Nin siyix mod )()( . Однако )( ix m Nk Nik skX N mod )( . Тогда )( nX m Ni NinNikNm siyskX N modmod )()( . Изменив порядок суммирования, получим: )( nX m
10 10 Nk NiknNi siykX N mod)( )()( m .NN knYkX Nk )]mod[()( Поскольку индекс kn находится в пределах модуля N , то полученное выражение опи-сывает циклическую(круговую) свертку и таким образом )()( iyix m Nk NN knYkX ])mod[()( . (5.5) Перейдем теперь к обратным утверждениям этих теорем. 5.5. Поэлементная (прямая) сумма (разность) последовательностей изображений приводит к сумме (разности) оригиналов: )()( kYkX m .iyix )()( (5.6) 5.6. Умножение изображения на постоянный множитель в кольце m приводит к ум-ножению последовательности-оригинала на тот же множитель: )( kXμ m .μ,lXμ S )( (5.7) 5.7. Циклический сдвиг последовательности-изображения приводит к умножению в кольце m последовательности-оригинала на весовую функцию преобразования: N knX )mod( m .six N)n( mod )( (5.8) 5.8. Циклическая свертка последовательностей-изображений в кольце m влечет за собой поэлементное произведение последовательностей-оригиналов в том же кольце: )()( kY*kX m Nk N knYnX ]mod)[()( m .iyix )()( (5.9) Покажем теперь, что имеют место и обратные теоремы S-преобразования. 5.9. Умножение в кольце m последовательности-изображения на весовую функцию преобразования приводит к циклическому сдвигу последовательности-оригинала: Nnk skX mod][ )( m .nix N ])mod[( (5.10) Действительно )( ix с m Nk NkiNnk sskX N ]mod[]mod[ )( m Nk Nkin skX N mod])([ )( m ,nix N ])mod[( Nkin skX ]mod)([ )( m .nix N ])mod[( Теорема о свертке оригинала . Прямое (поэлементное) произведение двух последовательностей-изображений в коль-це m приводит к циклической свертке их оригиналов в том же кольце: )()( kYkX m .iyix )()( (5.11) Действительно, оригинал от произведения изображений )( nx m Nk Nnk ,skYkX N ]mod[ )()( где )( nx -последовательность-изображение, представляющая свертку )( ix и )( iy . Однако )( kX m Ni Nik six mod][ )( )( nx m
10 10 Nk NnkNi Nki ,ssixkY N ]mod[]mod[ )()( Изменив порядок суммирования, имеем )( nx m
10 10 Nk Ni Nkin skYix N ]mod)[( )()( m ])mod[()( Ni .inyix N Последнее и есть циклическая свертка )()( iyix m Ni .inyix N ])mod[()( (5.12) Отсюда следует, что имеют место и обратные теоремы. 5.11. Теорема Винера-Хинчина . Автокорреляционная функция оригинала и плотность энергии изображения в кольце m связаны между собой S-преобразованием Ni N inyix ])mod[()( m
10 2 Ni Nkn .skY N mod)( )( (5.13) Доказательство : Полагая в (5.11) )()( iyix , )()( kYkX , имеем )()( kYkY m Ni N inyiy ])mod[()( или )( kY m Ni N inyiy ])mod[()( (5.14) Таким образом, плотность энергии изображения представляет собой свертку оригина-ла самого с собой или автокорреляцию (автоковариацию) в кольце m . Установим связь между плотностью энергии изображения и автокорреляцией оригинала. Из (3.2) следует )( iy m .skY Nk Nik N ]mod[ )( Заменив i на in , получим )( iny m .skY Nk Nkin N mod])[( )( Тогда ])mod[()( N inyiy Ni m Z .skYiy Nk NkinNi N mod])[( )()( Или ])mod[()( N inyiy Ni m .sskYiy NikNk NnkNi N mod][mod][ )()( Изменив порядок суммирования, получим: ])mod[()( N inyiy Ni m .siyskY NikNiNk Nnk N mod][mod][ )()( Внутренняя сумма представляет изображение от последовательности )( iy , и равна )( kY , и тогда ])mod[()( N inyiy Ni m .skYkY Ni Nkn N mod)( )()( или ])mod[()( N inyiy Ni m .skY Nk N)kn N
10 2 mod( )( Итак, получено выражение (3.4.13), что и требовалось доказать. Можно сформулиро-вать и обратное утверждение этой теоремы. 5.12. Автокорреляционная функция изображения связана с энергией оригинала в коль-це m S-преобразованием ])mod[()( N knYkY Nk m .siy Ni Nki N
10 2 )mod( )( (5.15) Полагая, что в (3.3.4) )( kY m )()( iy,kX m )( ix , получим )()( iyiy Z m ,knYkY Nk NN ])mod[()( или )( iy m ,knYkY Nk NN ])mod[()( что далее из (3.2.1) следует )( kY m .siy Ni Nki
10 mod)( )( Заменив k на in , имеем ])mod[( N knY m .siy Ni Nikn
10 mod])[( )( Тогда N Nk N knYkY ])mod[()( m Ni NiknNk siykY N mod])[( )()( . Или Nk NN knYkY ])mod[()( m .ssiykY Ni NkiNniNk N mod][mod][ )()( . Изменив порядок суммирования, получим Nk NN knYkY ])mod[()( m
10 10 Ni NkiNkNni skYsiy N mod][mod][ )()( . Внутренняя сумма в правой части представляет собой )( iy , в силу чего имеем Nk NN knYkY ])mod[()( m Ni Nni siyiy N mod][ )()( , или Nk N knYkY ])mod[()( m .siy Ni Nni
10 mod][2 )( Таким образом, плотность мощности оригинала связана с автокорреляцией изо-бражения теоретико-числовым преобразованием, что является обратным утверждением аналога теоремы Винера - Хинчина. 5.13.
Равенство Парсеваля . Энергия оригинала равна энергии изображения:
10 2 Ni iy )( m ,kY Nk
10 2 )( (5.16) Применив обратное преобразование к двум сторонам выражения (3.4.15), получим )( iy m ,sknYkY Nn NniNk NN
10 10 mod)( ])mod[()( а, суммируя по i в обеих частях равенства, имеем
10 2 Ni iy )( m ,sknYkY Ni Nn NniNk NN
10 10 10 mod)( ])mod[()( Изменим порядок суммирования:
10 2 Ni iy )( m ,sknYkY Ni NniNnNk N
10 1010 mod)( )()( Очевидно, что в силу теоремы о сдвиге внутренняя сумма )( )( niNk sknY N m .siy Nki mod][ )( Тогда
10 2 Ni iy )( m ,siykY Ni NkiNk
10 10 ]mod[ )()( и, еще раз изменив порядок суммирования, получим
10 2 Ni iy )( m ,siykY Nk Ni Nki
10 10 mod][ )()(
Снова внутренняя сумма равна )( kY , тогда
10 2 Ni iy )( m ,k(YkY Nk ))( или
10 2 Ni iy )( m ,kY Nk
10 2 )( что и требовалось доказать.
6. Связь между S -преобразованиями в различных базисах. Под различными базисами S-преобразования будем понимать то, что в выражениях (3.2) и (3.1) значения s могут принимать различные значения, т.е. ss . Тогда возникает необходимость пересчета результатов из одного базиса в другой. Пусть последовательность )( ix в базисе, основание которого составляет число s , имеет изображение )( kX и требуется найти изображение )( nX той же последовательно-сти-оригинала в базисе s . Изображение последовательности )( ix в базисе s )( nX m ,six Ni Nin
10 1 mod)( )( однако )( ix m .skXN Nk Nki
10 mod)(2 )(1
Тогда )( nX m .sskX Ni NinNk Nki N
10 110 2 mod)(mod][ )( Изменив порядок суммирования, получим )( nX m .sskX Ni NkiNinNk N
10 2110 mod][mod)( )( Внутренняя сумма является функцией двух переменных n и k , представляющей собой не что иное, как ядро S-преобразования: )( n,kФ m
10 12
Ni NinNki ss mod)(mod][ на основании (3.1) )( n,kФ m ]mod)[(]mod)[( MM inNi ik ss где
10 2210 11
Nm mNm m s,s MM . Далее, MMM и )( n,kФ m
10 12
Ni ink M ss )mod)(( . (6.1) при этом ,ssss Nm mNm mNm mNm m M
10 110 210 110 2 (6.2) .n,k
N,N, ][][ здесь M - новый модуль кольца m . Окончательно )( nX m .n,kФkX MN N k mod)()( (6.3) Таким образом, изображение в кольце m , где M из (3.2), в базисах s и s связаны между собой ядром преобразования )( n,kФ . Аналогичным образом можно сформулиро-вать обратное утверждение. Пусть изображение )( kX имеет оригинал )( nx в базисе s . Требуется по оригиналу )( nx найти оригинал )( ix в базисе s . Оригинал в базисе s )( ix m .skX Nk Nik N mod][ )( Однако )( kX m .snx Nn Nnk
10 2 mod)( )( Тогда )( ix m .ssnx Nk NikNn Nnk N
10 110 2 mod][mod][ ))(( Изменив порядок суммирования, получим )( ix m .ssnx Nn NikNk Nnk N
10 110 2 )()( mod)(mod)( Внутренняя сумма является тоже ядром преобразования )( n,kФ m
10 12
Ni Nik(Nnk ,ss mod)mod)( (6.4) или на основании (3.1.1) )( n,kФ m
10 12
Ni kin ss ))(( . (6.5) где ,ssM Nm mNm m
10 210 1 - модуль кольца m . Окончательно )( ix m .Mi,nФnx Nn N mod)()( Следовательно, два оригинала в разных базисах, имеющих одно и то же изображение, связаны в кольце m между собой ядром преобразования )( i,nФ . В силу того, что матрица ядер S -преобразования несимметрична, очевидно, что )()( i,nФn,kФ даже при пере-становке индексов.
7. Комплексное теоретико-числовое преобразование.
При определении теоретико-числовых преобразователей по выражениям (3.1) и (3.2) полагалось, что s - некоторое число, в общем случае комплексное. Однако если s - ком-плексное число, то эти преобразования имеют особенности, которые следует рассматри-вать подробнее. Итак, пусть jbas - комплексное число, в котором ,sa Re sb Im - взаимно про-стые числа. Покажем, что теорема (3.1) имеет место и для комплексных чисел. px s mod)( m )(mod)( 1 px s s . (7.1) Первоначально по аналогии с (3.2) комплексный модуль кольца m - p sM , квадрат нормы которого .M pp ss )(Im)(Re (7.2) Тогда с одной стороны имеем . ppxp ssssc )()]mod(mod)()([ 111 (7.5) откуда следуют два сравнения ).s(|)s(c ),s(|s pp pkp
101 11 modmod (7.6) Второе сравнение имеет место в силу линейности сравнений. При этом составлять систе-му двух вещественных сравнений не имеет смысла, так как из записи видно, что модуль сравнения равен одному из сомножителей в левой части этого сравнения. В первом же сравнении (7.6) к левой части прибавим и вычтем вещественную единицу: . pkp ss )mod| ( Далее, на основании теоремы Безу .F kppkkpkp ssss )()( / Первое сравнение из (3.6.6) можно переписать таким образом: ,|F pkpp sss )(mod)()( 1111 или ).(mod)()mod()(mod)()( 111111 pppkpp sssss |F Первое слагаемое в левой части этого сравнения сравнимо c нулем в силу того, что содер-жит сомножитель, равный модулю сравнения. Тогда .| pp ss )mod())mod(( 1111 Далее для корректности доказательства необходимо показать, что вещественное число, равное 1, имеет вычет по комплексному модулю p s , равный вещественной единице. Действительно, по определению вычетов по комплексному модулю [4] имеем два вещест-венных сравнения в кольце вычетов m xIm)sIm(xRe)sRe( pp m ,)sRe( p xIm)sRe(xRe)sIm( pp m ,)sIm( p где модуль кольца вычетов m равен квадрату нормы комплексного числа )( 1 p s , .xImjxRex - наименьший вычет. Последнее утверждение можно представить в более удобной матричной форме xIm xRe*sResIm sResRe pp pp )()( )()( 11 11 m )( )( 11 pp sIm sRe Решение этой системы в кольце вычетов m дает jx , следовательно, вычет равен вещественной единице. Стало быть, первое сравнение из (7.6) имеет место и тогда (7.5) можно переписать в виде )1(mod)1( mod)( ppx ss m , px ss )(mod)( 10 или окончательно px s mod)( m .ss px )(mod)( 1 Таким образом, показано, что теорема (3.1) справедлива и для комплексной перемен-ной s , и теперь можно сформулировать комплексное теоретико-числовое преобразование. Пусть задана некоторая комплексная функция (последовательность) в кольце вычетов m вида ,ijyixiz )()()( где )( ix и )( iy - вещественные последовательности, заданные в кольце вычетов m и удовлетворяющие условиям ,iy ,ix MM )( )( а N - простое веществен-ное число. Тогда пара комплексных преобразований примет вид )( kZ m ,siz N)ki(Ni mod )( )( iz m Nk Nki ,skZ N mod)( )( (7.7) . Nm m s M Несмотря на совершенно новую форму записи, это преобразование при определенных фиксированных значениях s и M известно в литературе как преобразование Гаусса [5]. Это объясняется тем, что способ вычисления вычетов по комплексному модулю M осу-ществляется на основании первой и второй фундаментальных теорем Гаусса. Поэтому при непосредственном вычислении коэффициентов преобразования (7.7) необходимо решать в кольце вещественных вычетов m N - раз систему линейных алгебраических уравнений второго порядка вида )( )(ReImImRe kZIm kZRe*MMMM m N i NkiNi Nki sizIm sizRe*MMMM ))(( ))((ReImImRe mod)( mod)( , (7.8) для прямого преобразования при N,k и, соответственно, для обратного преобразо-вания при N,i )( )(ReImImRe kZIm kZRe*MMMM m Ni NkiNi Nki sizIm sizRe*MMMM NN ))(( ))((ReImImRe mod)( mod)( . (7.9) При этом модуль кольца m равен Nm m s MM . Двойственность (дуализм) теорем S -преобразования Под структурой или решеткой [6] (уже упоминалось во второй главе) понимают частично-упорядоченное множество, которое имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Наиболее часто используют следующие соотношения: )max(}sup{sup bab,a S , (8.1) )min(}inf{inf bab,a S , при этом знак минимума может отсутствовать. Однако такое определение точных граней множества не всегда удобно, так как связывает операции над элементами множества с выражениями (8.1). Для теоретико-числовых пре-образований введем другое определение этих граней следующим образом: ,MMb*ab,a ]mod)max[(}sup{sup S (8.2) )](min[int}inf{inf b*ab,a p S , где - знак произвольной алгебраической операции, результат которой ограничен сверху операцией по модулю M , ()int p - целая часть по отношению к числу p . При p - эта функция принимает традиционные представления, в другом случае, она отмечает тот факт, что целая часть существует не только при делении целых чисел, но и дробных. Заметим, что функция ()int p может быть представлена также как MAAA p p mod)(int , где A - некоторое число или результат той или иной операции. Из формулы (3.2) видно, что такое определение структуры очень хорошо согласуется с теорией вычетов по модулю M и, следовательно, не имеет противоречий с вышеизложен-ной теорией S -преобразований. Далее, при изложении фундаментальной теоремы теоре-тико-числовых преобразований было использовано понятие кольца вычетов по модулю, как алгебры вида m =< S, +, -, 0, 1 >. (8.3) При этом декларировалось, но никогда не использовалось соотношение , т.е. ней-тральный элемент операции сложения и нейтральный элемент операции умножения не равны между собой, а, стало быть, различимы. Однако на практике это условие не всегда выполняется, например дополнительный код в ЭВМ и т.п. Если положить, что , т.е. нейтральные элементы операций сложения и умножения совпадают и равны единице, то возникает двойственность. Действительно, пусть a + a '= , где a '- обратный элемент для a по отношению к опера-ции сложения (дополнение до единицы). Тогда для структуры получим a + a '= M + . (8.4) Далее, используя правила де - Моргана, имеем ( a '* b ')'= M+ - ( M+ -a )( M+ -b ). Окончательно для кольца вычетов, заданного на структуре, получим двойственность вида ( a'* b' ) '= a+b - ab , (8.5) откуда следуют еще два выражения двойственности: a*b=a+b- ( a'* b' ) ' (8.6) и a+a=ab+ ( a’b’ ) ’ . (8.7) Таким образом, установлено, что операции сложения и умножения, заданные на структуре по выражению (8.2), двойственны, т.е. могут быть определены двумя различ-ными путями. Но так как операции заданные на структуре двойственны, то двойственны и теоремы S-преобразования. Так теорема о сумме (5.1) имеет следующие двойственные выражения, основанные на (8.7): x ( i ) +y ( i ) m X ( k ) *Y ( k ) + ( X’ ( k ) *Y’ ( k )) ’, (8.8) x ( i )* y ( i ) + ( x' ( i )* y' ( i )) ' m X ( k ) +Y ( k ) , (8.9) x ( i )* y ( i )+( x '( i )* y '( i ))' m X ( k )* Y ( k )+( X '( k )* Y '( k ))', (8.10) где x' ( i ) , y '( i ), X '( k ), Y '( k) - дополнения до единицы в кольце вычетов m Z значений x ( i ) , y ( i ) , X ( k ) , Y ( k ) соответственно. Для теоремы линейности (5.2) тоже существуют двойственные ей выражения, получаемые из (3.7.6): μ ( x ( i ) m μ + X ( k )-( μ '* X '( k ))', (8.11) μ + x ( i )-( μ '* x '( i ))' m μ X ( k ), (8.12) μ + x ( i )-( μ '* x '( i ))' m μ + X ( k )- ( μ '* X '( k ))'. (8.13) Интересную двойственность имеет теорема о свертке (3.5): x ( i )* y ( i ) m Nk kX N )( + Nk knY N )( - 'kn'Yk'X Nk N ))()(( , (8.14) x ( i )+ y ( i )-( x '( i )* y '( i ))' m )()( knYkX Nk N , (8.15) x ( i )+ y ( i )-( x '( i )* y '( i ))' m Nk kX N )(( + Nk knY )( 'kn'Yk'X Nk ))()(( . (8.16) И, наконец, приведем двойственность равенства Парсеваля (5.16). 2 Ni iy )( - ' Ni i'y
10 2 ] ))([( Z m
10 2 )( Nk k Y , (8.17)
10 2 Ni i y )( Z m Nk kY )( ' Ni i'y
10 2 ] ))([( , (8.18) 2 Ni iy )( ' Ni i'y
10 2 ] ))([( Z m Nk kY )( ' Ni i'Y
10 2 ] ))([( . (8.19) Из выражения (8.19) вытекает уникальное равенство, которое не может быть получено никаким другим путем, только через двойственность: 2 [ Ni iy )( Nk kY )( ] = ' Ni i'y
10 2 ] ))([( ' Ni i'Y
10 2 ] ))([( . (8.20) Из этого равенства следует, что удвоенная разность средних значений оригинала изобра-жения равна разности средних значений от квадрата обратных значений оригинала и изо-бражения соответственно. В заключение следует отметить, что каждая из теорем S -преобразования имеет двой-ственность, так как все из них, так или иначе, содержат, по крайней мере, операцию сло-жения или умножения. Вместе с тем описанная двойственность операций, заданных на структуре (7.2), подтверждает тот факт, что доказательство теорем S -преобразования че-рез представления конечных групп и свойства характеров этих групп может быть некор-ректным.
9. Теоретико-числовое преобразование над кортежами.
Кортежем называется конечная последовательность, допускающая повторение, эле-ментов какого-либо множества. Самым простым кортежем есть упорядоченная пара, обобщением понятия которой и является понятие кортежа. Иногда упорядоченную пару называют комплексом. Кортеж трех объектов называют упорядоченной тройкой или три-плексом и т. д. И так, упорядоченной парой или просто парой называют любой кортеж, состоящий из двух элементов A =< a , b > (9.1) где A -символ, обозначающий пару, a , b - числа, составляющие эту пару. Если же составить множество P из таких элементов, то над ними можно задать сле-дующие операции: сложение (вычитание) пары A B = < a , b > < c , d > = < a c , b d >; (9.2) умножение пары A B = < a , b > < c , d > = < a c , b d >; (9.3) деление пары A / B = < a , b >/< c , d > = < a / c , b / d >; (9.4) кросс-произведение (свертка) A * B => dcab ba = adbc bdac . (9.5) Ясно, что операции (9.3), (9.4) не представляют существенного теоретического инте-реса, так как являются простым механическим повторение двух операций умножения, хо-тя и на практике очень часто встречаются. Другое дело кросс-произведение (9.5). Однако матрица в этом выражении такова, что ее определитель равен нулю при a = b. Следователь-но, операция (9.5) не обратима. С другой стороны при таком умножении произведение (9.5) будет представлять пару, которая на плоскости будет принадлежать только одному квадранту. Поэтому на практике в матрице изменяют знак плюс одного из элементов мат-рицы на минус. В этом случае существует четыре варианта. 1. A * B => dcab ba = adbc bdac . 2. A * B => dcab ba = adbc bdac . (9.6) 3. A * B => dcab ba = adbc bdac . 4. A * B => dcab ba = adbc bdac . Первый вариант представляет альтернативу комплексным числам, ибо произведение комплексных чисел в матричной форме записывается так AImBReBImARej BImAImBReAReBImj BReAReAImj AImjAReB*A , или без мнимой единицы
AImBReBImARe BImAImBReAReBImBReAReAIm AImAReB*A , откуда видно, что это выражение повторяет вариант 1. Рассмотрим теперь вариант 2. Для получения теоретико-числового преобразования необходимо в качестве переменной s в выражениях (3.1) и (3.2) упорядоченную пару (3.8.1). При этом, в качестве операции сложения будем использовать операцию (9.2), в качестве операции умножения выражение (3.8.6), в качестве единицы пару вида <1,0>, а в качестве нуля пару <0,0>. Таким образом, имеем все необходимые условия, чтобы говорить о кольце упорядо-ченной пары. Однако теоретико-числовое преобразование существует в кольце вычетов, для чего определим модуль кольца вычетов упорядоченной пары, подставив в выражение (3.1.12) упорядоченную пару и будем иметь Nm m s M , (9.7) где ba,s , (8.8) m s = ( ba, ) m - степенная последовательность упорядоченных пар или кортежей, предполагающая что , s , ab bas , ab baab bas и т.д. Можно воспользоваться и другой записью в следующем виде ab ba mm s , полагающей возведение в степень заданной матрицы при условии, что
00 01 ab ba . Тогда пара преобразований запишется kX m N Nki i six mod)( )( , (9.9) i x m Nk Nki skX N )mod( )( , (9.10) Nm m s M , где m - кольцо вычетов упорядоченной пары по модулю, N - некоторое простое число из множества N , представляющее размерность преобра-зования, m - означает равенство (сравнение) в кольце вычетов m , i x , kX -последовательности упорядоченных пар, представляющие оригинал и изо-бражение соответственно, k,i - номера (индексы) компонент последовательностей. Выражение (9.9) представляет собой прямое преобразование, а (9.10) - обратное. Покажем, что эта пара выражений действительно представляет собой теоретико-числовое преобразование. Заменив i на n , во избежании путаницы индексов, и подста-вив его в (3.8.9), будем иметь )( nx m
10 10 Nk Ni NknNki ssix N )mod()mod( ) )(( . Изменив порядок суммирования, получим )( nx m
10 10 Nk Ni Nkikn sixix N ))(()( )mod( . Далее )( nx m
10 10 Ni Nk N|kin| s(ix NN )() mod)( . (9.11) Рассмотрим теперь внутреннюю сумму Nk N|ki)(n | s mod . (9.12) Не смотря то, что переменная s есть упорядоченная пара, при ni значение суммы (9.12) будет равно N . А для ni внутренняя сумма (9.12) не равна N и не равна нулю (что необходимо для преобразования). Однако, на основании теоремы (3.1), существует сравнение вида Nk N|ki)(n | s mod = M mod|0 в силу тех обстоятельств, что среднее значение весовой функции за период в кольце выче-тов равно нулю. Тогда выражение (9.11) можно переписать в виде системы следующим образом )( nx m niN,(ixN Ni )1 )( nx m ni,(ixN Ni Отсюда следует, что и правая часть выражения (9.11) будет состоять из единствен-ного, не равного нулю в кольце вычетов m , члена )( ix только в том случае, если ni . Тогда в (9.11) последовательность ) (nx совпадает с последовательностью )( ix только при ni