Geodesic Webs of Hypersurfaces
aa r X i v : . [ m a t h . DG ] D ec ÅÎÄÅÇÈ×ÅÑÊÈÅ ÒÊÀÍÈ ÈÏÅÏÎÂÅÕÍÎÑÒÅÉ 2008 ã., Â. Â. îëüäáåðã, Â. Â. Ëû÷àãèí ∗ Àííîòàöèÿ äàííîé ðàáîòå ìû èçó÷àåì ãåîìåòðè÷åñêèå ñòðóêòóðû, ñâÿçàííûå ñ ãåîäåçè÷åñêèìèòêàíÿìè ãèïåðïîâåðõíîñòåé. Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ñ êàæäîé ãåîäåçè÷åñêîé ( n + 2) -òêàíüþãèïåðïîâåðõíîñòåé íà n -ìåðíîì ìíîãîîáðàçèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñâÿçàíû åäèíñòâåí-íàÿ ïðîåêòèâíàÿ ñòðóêòóðà è, ïðè óñëîâèè îòìå÷åííîãî ñëîåíèÿ,(cid:22) åäèíñòâåííàÿ àèííàÿñòðóêòóðà. Ïðîåêòèâíàÿ ñòðóêòóðà âûäåëÿåòñÿ òðåáîâàíèåì, ÷òîáû ñëîè âñåõ ñëîåíèé òêàíèáûëè âïîëíå ãåîäåçè÷åñêèìè, à àèííàÿ ñòðóêòóðà(cid:22)äîïîëíèòåëüíûì òðåáîâàíèåì, ÷òîáûîäíà èç óíêöèé òêàíè áûëà àèííîé.Ýòè ñòðóêòóðû ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü äèåðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ãåîäåçè÷åñêèõòêàíåé, à òàêæå äàòü ãåîìåòðè÷åñêè ïðîçðà÷íûå îòâåòû íà êëàññè÷åñêèå âîïðîñû òåîðèèòêàíåé, òàêèå êàê ïðîáëåìà ëèíåàðèçàöèè è òåîðåìà ðîíâàëëà.1 Ââåäåíèå äàííîé ðàáîòå ìû èçó÷àåì ãåîìåòðè÷åñêèå ñòðóêòóðû, ñâÿçàííûåñ ãåîäåçè÷åñêèìè òêàíÿìè ãèïåðïîâåðõíîñòåé. Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ñêàæäîé ãåîäåçè÷åñêîé ( n + 2) -òêàíüþ ãèïåðïîâåðõíîñòåé íà n -ìåðíîììíîãîîáðàçèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñâÿçàíû åäèíñòâåííàÿ ïðîåêòèâ-íàÿ ñòðóêòóðà è, ïðè óñëîâèè îòìå÷åííîãî ñëîåíèÿ,(cid:22) åäèíñòâåííàÿàèííàÿ ñòðóêòóðà. Ïðîåêòèâíàÿ ñòðóêòóðà âûäåëÿåòñÿ òðåáîâàíè-åì, ÷òîáû ñëîè âñåõ ñëîåíèé òêàíè áûëè âïîëíå ãåîäåçè÷åñêèìè, ààèííàÿ ñòðóêòóðà(cid:22)äîïîëíèòåëüíûì òðåáîâàíèåì, ÷òîáû îäíà èçóíêöèé òêàíè áûëà àèííîé.Ýòè ñòðóêòóðû ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü äèåðåíöèàëüíûå èíâàðè-àíòû ãåîäåçè÷åñêèõ òêàíåé, à òàêæå äàòü ãåîìåòðè÷åñêè ïðîçðà÷íûå ∗ New Jersey Institute of Te hnology, USA; Tromso University, Tromso, Norway; email:vladislav.goldberggmail. om, ly haginyahoo. om 1òâåòû íà êëàññè÷åñêèå âîïðîñû òåîðèè òêàíåé, òàêèå êàê ïðîáëåìàëèíåàðèçàöèè è òåîðåìà ðîíâàëëà.Ýòà ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ïðîäîëæåíèåì ðàáîò [1℄, [2℄,[3℄ àâòîðîâ ïî ãåîäåçè÷åñêèì òêàíÿì íà ïëîñêîñòè.  [8℄ àíàëîãè÷íûéâîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïðîåêòèâíûõ ñòðóêòóð ðàññìîòðåí äðóãèì ìå-òîäîì, êîòîðûé, êàê ïèøåò ñàì àâòîð, íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì. Âäàííîé ðàáîòå â îòëè÷èå îò [2℄ ìû èñïîëüçóåì ÿçûê äèåðåíöèàëü-íûõ îðì, êîòîðûé ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü îðìóëû è äàòüÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ èíâàðèàíòîâ ãåîäåçè÷åñêîé òêàíè.2 Àèííûå ñâÿçíîñòèÏóñòü M = M n (cid:22)ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè n , ∇ (cid:22)àèííàÿñâÿçíîñòü áåç êðó÷åíèÿ â êîêàñàòåëüíîì ðàññëîåíèè T ∗ M è d ∇ (cid:22)êîâàðèàíòíûéäèåðåíöèàë : d ∇ : Ω ( M ) → Ω ( M ) ⊗ Ω ( M ) . Ýòîò äèåðåíöèàë ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå d ∇ = d ⊕ d s ∇ , ãäå d (cid:22)äèåðåíöèàë äå àìà, à d s ∇ : Ω ( M ) → S (Ω )( M ) (cid:21)ñèììåòðè÷åñêàÿ ÷àñòü äèåðåíöèàëà d ∇ .3 åîäåçè÷åñêèå ñëîåíèÿ è ïðîåêòèâíûå ñòðóêòóðûÍåîáðàùàþùàÿñÿ â íóëü äèåðåíöèàëüíàÿ 1-îðìà ω = 0 çàäàåòñëîåíèå êîðàçìåðíîñòè îäèí, åñëè ω ∧ dω = 0 . Ñëîè ýòîãî ñëîåíèÿ2óäóò âïîëíå ãåîäåçè÷åñêèìè â ñâÿçíîñòè ∇ òîãäà è òîëüêî òîãäà êîãäà(ñì. [2℄) d s ∇ ω = θ · ω, (1)ãäå θ (cid:22)íåêîòîðàÿ äèåðåíöèàëüíàÿ 1-îðìà.Ìû íàçûâàåì óíêöèþ f âïîëíå ãåîäåçè÷åñêîé â ñâÿçíîñòè ∇ , åñëèåå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ f = const . ÿâëÿþòñÿ âïîëíå ãåîäåçè÷åñêèìèâ ñâÿçíîñòè ∇ , è óíêöèþ f ìû íàçûâàåì àèííîé â ñâÿçíîñòè ∇ ,åñëè d s ∇ df = 0 . (2)àçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2) áóäåì íàçûâàòüàèííûì ðàíãîì ñâÿçíîñòè ∇ .Çàìåòèì, ÷òî àèííûé ðàíã ñâÿçíîñòè ∇ ðàâåí ðàçìåðíîñòè ìíî-ãîîáðàçèÿ M òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñâÿçíîñòü ∇ ïëîñêàÿ.Äâå ñâÿçíîñòè ∇ è ∇ ′ ïðîåêòèâíî ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà îíè èìåþò îäíè è òå æå ãåîäåçè÷åñêèå èëè (ñì. [10℄) êîãäà d s ∇ ( ω ) − d s ∇ ′ ( ω ) = ρ · ω äëÿ íåêîòîðîé 1-îðìû ρ è âñåõ 1-îðì ω . Áîëåå òîãî, ñîîòíîøåíèå(1) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðîåêòèâíî ýêâèâàëåíòíûå ñâÿçíîñòè èìåþò îäíèè òå æå âïîëíå ãåîäåçè÷åñêèå ñëîåíèÿ.4 ÒêàíèÏîä d -òêàíüþ êîðàçìåðíîñòè îäèí ìû ïîíèìàåì íàáîð d ñëîåíèé êî-ðàçìåðíîñòè îäèí íà M , åñëè ñëîåíèÿ çàäàíû äèåðåíöèàëüíûìè1-îðìàìè ω i , i = 1 , . . . , d , è êàæäûå n èç íèõ ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç < ω , . . . , ω d > òàêóþ d -òêàíü.3ëÿ çàäàííîé ñâÿçíîñòè ∇ ìû ãîâîðèì, ÷òî d -òêàíü ÿâëÿåòñÿ ãåî-äåçè÷åñêîé, åñëè ñëîè âñåõ ñëîåíèé òêàíè ÿâëÿþòñÿ âïîëíå ãåîäåçè÷å-ñêèìè â ñâÿçíîñòè ∇ .Íàáîðû < ω , . . . , ω d > è < s ω , . . . , s d ω d > çàäàþò îäíó è òó æå d -òêàíü, åñëè s = 0 , . . . , s d = 0 , ãäå s i ∈ C ∞ ( M ) .Ïóñòü îðìû ω , . . . , ω d çàäàþò d -òêàíü. Âûáåðåì n èç íèõ, ñêàæåì, ω , . . . , ω n , çà áàçèñ. Òîãäà îðìû ω i , i ≥ n + 1 , â áàçèñå ω , . . . , ω n çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå: a i ω + · · · + a in ω n + ω i = 0 , (3)ãäå êîîðäèíàòû a ij íå îáðàùàþòñÿ â íîëü, à a i n +2 ìû â äàëüíåéøåì äëÿïðîñòîòû îáîçíà÷èì ïðîñòî a i . Âûáîðîì ìíîæèòåëåé s i , i = 1 , . . . , n, ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî èìååò ìåñòî îðìóëà ω + · · · + ω n + ω n +1 = 0 . (4) äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü íîðìèðîâêè (3) è(4). Îòìå-òèì, ÷òî ïðè íîðìèðîâêàõ (3) è (4) îðìû ω , . . . , ω n , ω n +1 , . . . , ω d è s ω , . . . , s n ω n , s n +1 ω n +1 , . . . , s d ω d çàäàþò îäíó è òó æå d -òêàíü òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà s = s = . . . s n = s n +1 = · · · = s d , à òî÷êè a ( i ) = [ a i : · · · : a in ] ïðîåêòèâíîãî ïðîñòðàíñòâà RP n − ÿâëÿþòñÿ èíâà-ðèàíòàìè òêàíè. Ìû íàçûâàåì èõ áàçèñíûìè (ñì. [1℄).5 åîäåçè÷åñêèå òêàíèÈç îðìóëû (1) âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:Òåîðåìà 1. d -òêàíü < ω , . . . , ω d > áóäåò ãåîäåçè÷åñêîé òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà d s ∇ ω i = θ i · ω i , i = 1 , . . . , d, -îðì θ i .Âûáåðåì áàçèñ ∂ , . . . , ∂ n âåêòîðíûõ ïîëåé, äâîéñòâåííûé êîáàçèñó ω , . . . , ω n : ω i ( ∂ j ) = δ ij . Òîãäà [ ∂ i , ∂ j ] = X k c kij ∂ k äëÿ íåêîòîðûõ óíêöèé c kij ∈ C ∞ ( M ) è ∇ ∂ i ( ∂ j ) = X k Γ kji ∂ k , ≤ i, j ≤ n, ãäå Γ kij (cid:22)ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ âòîðîãî ðîäà ñâÿçíîñòè ∇ .Ñèììåòðè÷íàÿ ÷àñòü d s ∇ ïðèíèìàåò âèä d s ∇ ( ω k ) = − X i,j Γ kij ω j · ω i . (5)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Γ kji − Γ kij = c kij . (6)Èññëåäóåì óñëîâèÿ ïîëíîé ãåîäåçè÷íîñòè ïåðâûõ n + 1 ñëîåíèé òêà-íè. Äëÿ ñëîåíèé, îïðåäåëÿåìûõ îðìàìè ω , . . . , ω n , ýòè óñëîâèÿ èìå-þò âèä d s ∇ ω i = θ i · ω i , i = 1 , . . . , n, ãäå θ i = n X j =1 θ ij ω j . (7)Ñðàâíèâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (5) è (7), ïîëó÷àåì Γ kik + Γ kki + θ ki = 0 , i, k = 1 , . . . , n, Γ kij + Γ kji = 0 , åñëè i = k è j = k. Îòñþäà è èç ñîîòíîøåíèÿ(6) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæ-äó Γ kij è c kij , θ ki : Γ kik = c kki − θ ki , (8)5 kij = c kji , åñëè i = k è j = k. (9)Îáîçíà÷èì ÷åðåç σ ij è α ij ñèììåòðè÷íóþ è êîñîñèììåòðè÷íóþ ÷àñòüìàòðèöû ( θ ij ) , ò.å. σ ij = θ ij + θ ji , α ij = θ ij − θ ji , è ïîëîæèì t i = θ ii . Òîãäà óñëîâèå ïîëíîé ãåîäåçè÷íîñòè ( n + 1) -ãîñëîåíèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ñèììåòðè÷åñêóþ ÷àñòü θ ij , σ ij = t i + t j , à òàêæå äàåò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå äèåðåíöèàëüíîé îðìû θ n +1 : θ n +1 = n X i =1 t i θ i . Óñëîâèÿ ïîëíîé ãåîäåçè÷íîñòè ( n + 2) -ãî ñëîåíèÿ ïîçâîëÿþò îïðå-äåëèòü êîñîñèììåòðè÷íóþ ÷àñòü α ij : α ij = t j − t i s ij , ãäå s ij = s aij = 1 a i − a j (cid:16) a i ∂ j − a j ∂ i (cid:17) log a j a i , è θ n +2 = θ n +1 + n X i =1 a i,i a i ω i , ãäå a i,i (cid:21)ïðîèçâîäíàÿ îò a i âäîëü ∂ i .Îêîí÷àòåëüíî, äèåðåíöèàëüíûå îðìû θ i , θ n +1 , θ n +2 èìåþò âèä θ i = θ n +1 + n X i =1 s ij ω j , i = 1 , . . . , n,θ n +1 = θ n +1 ,θ n +2 = θ n +1 + n X i =1 a i,i a i ω i . ( n + 2) -òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, çàäàåòñÿ îðìà-ìè θ , . . . , θ n âèäà θ i = θ n +1 + n X i =1 s ij ω j , (10)à ñîîòâåòñòâóþùèå ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî îðìó-ëàì ( ) è ( ) .Òåîðåìà 3. Êàæäàÿ ( n + 2) -òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåé îïðåäåëÿåòåäèíñòâåííóþ ïðîåêòèâíóþ ñòðóêòóðó, à èìåííî, êëàññ ïðîåêòèâíîýêâèâàëåíòíûõ ñâÿçíîñòåé, îïðåäåëÿåìûõ îðìàìè ( ) .Óêàçàííóþ â òåîðåìå åäèíñòâåííóþ ïðîåêòèâíóþ ñòðóêòóðó íàçî-âåì êàíîíè÷åñêîé.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ãåîäåçè÷åñêîé d -òêàíè, ãäå d ≥ n + 2 , êàíî-íè÷åñêèå ïðîåêòèâíûå ñòðóêòóðû, îïðåäåëÿåìûå ðàçëè÷íûìè ( n + 2) -ïîäòêàíÿìè, ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû ãîâîðèì î êàíîíè-÷åñêîé ïðîåêòèâíîé ñòðóêòóðå ãåîäåçè÷åñêîé d -òêàíè, d ≥ n + 2 .Òêàíü ñ âûäåëåííûì ñëîåíèåì áóäåì íàçûâàòü îòìå÷åííîé.àññìîòðèì îòìå÷åííóþ d -òêàíü è ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûäåëåíî ( n +1) -å ñëîåíèå. Âûáåðåì íîðìèðîâêó (ëîêàëüíî) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ω n +1 = df , à àèííóþ ñâÿçíîñòü òàê, ÷òîáû îðìà θ n +1 ≡ .Òîãäà äëÿ ýòîé àèííîé ñâÿçíîñòè óíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ àèí-íîé. Îòìåòèì, ÷òî òàêàÿ óíêöèÿ f îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî à-èííîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ f → af + b .Òåîðåìà 4. Êàæäàÿ îòìå÷åííàÿ ( n + 2) -òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåéîïðåäåëÿåò åäèíñòâåííóþ àèííóþ ñâÿçíîñòü, äëÿ êîòîðîé òêàíü7âëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, à âûäåëåííîå ñëîåíèå çàäàåòñÿ àèííîé óíê-öèåé.Óêàçàííóþ â òåîðåìå åäèíñòâåííóþ àèííóþ ñòðóêòóðó ìû òàêæåíàçîâåì êàíîíè÷åñêîé.6 Óñëîâèÿ ãåîäåçè÷íîñòè d -òêàíèÏðåäïîëîæèì, ÷òî ìû óæå ïðîâåëè íîðìèðîâêè (4) è (3). àññìîòðèìñëîåíèå, çàäàâàåìîå îðìîé ω , ãäå ω = b ω + · · · + b n ω n . Ýòî ñëîåíèå âïîëíå ãåîäåçè÷íî â ñâÿçíîñòè ∇ , åñëè d s ∇ ω = θ · ω, èëè s aij = s bij . Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 5. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ( a k ) íàáîð áàçèñíûõ èíâàðèàíòîâ, ãäå k = n + 2 , . . . , d . Òîãäà d -òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåé áóäåò ãåîäåçè÷å-ñêîé â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà s ( a k ) ij = s ( a l ) ij äëÿ âñåõ k, l = n + 2 , . . . , d. dim M = 2 , òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëî-âèåì òîãî, ÷òîáû ìíîãîîáðàçèå M áûëî ïëîñêèì, ÿâëÿåòñÿ îáðàùåíèåâ íóëü òåíçîða Ëèóâèëëÿ (ñì. [5℄, [6℄ èëè [3℄). Åñëè æå dim M > ,òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì òîãî, ÷òîáû ìíîãîîáðàçèå8 n áûëî ïëîñêèì, ÿâëÿåòñÿ îáðàùåíèå â íóëü òåíçîðà Âåéëÿ (ñì. [9℄).Îòñþäà è èç ðåçóëüòàòîâ ðàçäåëà 4 âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 6. ( [2℄ ) 1 . Åñëè dim M = 2 , òî d -òêàíü ãèïåðïîâåðõíîñòåé, d ≥ , ëîêàëüíî ëèíåàðèçóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâ-ëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, à òåíçîð Ëèóâèëëÿ êàíîíè÷åñêîé ïðîåêòèâíîéñòðóêòóðû îáðàùàåòñÿ â íóëü. . Åñëè dim
M > , òî d -òêàíü ïðè d ≥ n + 2 ëîêàëüíî ëèíåàðè-çóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåò ñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, àòåíçîð Âåéëÿ êàíîíè÷åñêîé ïðîåêòèâíîé ñòðóêòóðû îáðàùàåòñÿ âíóëü.8 Òåîðåìû òèïà ðîíâàëëàÈç Òåîðåìû 3 âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà òèïà ðîíâàëëà (ñì. [4℄ è[2℄ äëÿ n = 2 ).Òåîðåìà 7. Ëþáîå îòîáðàæåíèå ãåîäåçè÷åñêîé d -òêàíè ãèïåðïîâåðõ-íîñòåé ïðè d ≥ n + 2 íà äðóãóþ ãåîäåçè÷åñêóþ d -òêàíü ÿâëÿåòñÿ ïðî-åêòèâíûì ïðåîáðàçîâàíèåì îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ ïðîåêòèâ-íûõ ñòðóêòóð.Òåîðåìà 4 âëå÷åò áîëåå ñèëüíóþ òåîðåìó òèïà ðîíâàëëà.Òåîðåìà 8. Îòîáðàæåíèå îòìå÷åííûõ ãåîäåçè÷åñêèõ d -òêàíåé ãè-ïåðïîâåðõíîñòåé ïðè d ≥ n + 2 ÿâëÿåòñÿ àèííûì îòíîñèòåëüíîêàíîíè÷åñêèõ àèííûõ ñòðóêòóð.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ M.A. Akivis, V.V. Goldberg, V.V. Ly hagin, Sele ta Math. 10(4), 431(cid:21)451 (2004). 92℄ V. V. Goldberg, V. V. Ly hagin, arXiv: 0810.5392v1, pp. 1(cid:21)15 (2009)(ïðèíÿòî ê ïå÷àòè â A ta Appl. Math. (2009)).[3℄ Goldberg, V. V., Ly hagin, V. V., arXiv: 0812.0125v2, pp. 1(cid:21)31 (2009)(ïðèíÿòî ê ïå÷àòè è áóäåò îïóáëèêîâàíî â The Abel Symposium 2008,Springer (2009)).[4℄ Gronwall, T. H., J. de Liouville 8, 59(cid:21)102 (1912).[5℄ Lie, S., Ar hiv f(cid:4)ur Math. og Naturvidenskab 8 (Kristiania, 1883), 371(cid:21)458; see also Gesammelte Abhandlungen. Bd. 5 (1924), paper XIV,362(cid:21)427.[6℄ Liouville, R., Journal de l' (cid:1)E ole Polyte hnique 59, 7(cid:21)76 (1889).[7℄ K. Nomizu and T. Sasaki, A(cid:30)ne Di(cid:27)erential Geometry (CambridgeTra ts in Mathemati s, 111. Cambridge University Press, Cambridge,1994).[8℄ Pirio, L., arXiv: 0811.1810v1, pp. 1(cid:21)26 (2008).[9℄ Veblen, O. and Thomas, J. M., Ann. Math. (2) 27, no. 3, 279(cid:21)296,(1926).[10℄ Weyl, H., G(cid:4)ott. Na hr., 1921, 99(cid:21)122 (1921).10EODESIC WEBS OF HYPERSURFACESV. V. Goldberg, V. V. Ly haginIn the present paper we study geometri stru tures asso iated with webs of hypersurfa es. We prove thatwith any geodesi ( n + 2) -web on an nn