aa r X i v : . [ m a t h . AG ] S e p Géométrie, points entiers et ourbes entièresPas al Autissier14 novembre 2018Abstra t : Let X be a proje tive variety over a number (cid:28)eld K (resp. over C ). Let H bethe sum of (cid:16)su(cid:30) iently many positive divisors(cid:17) on X . We show that any set of quasi-integralpoints (resp. any integral urve) in X − H is not Zariski dense.2000 Mathemati s Subje t Classi(cid:28) ation : 14G25, 11J97, 11G35.1 Introdu tionSoient K un orps de nombres et S un ensemble (cid:28)ni de pla es de K . On note O K ; S l'anneaudes S -entiers de K . On s'intéresse dans et arti le aux solutions dans O rK ; S de systèmesd'équations du type ∀ i ∈ { · · · ; n } F i ( x ; · · · ; x r ) = 0 , ( ∗ ) où les F i sont des polynmes à r variables et à oe(cid:30) ients dans O K ; S . Pour formaliser etteétude, on utilise le langage de la géométrie algébrique :Désignons par Y la (cid:16)variété algébrique(cid:17) sur K dé(cid:28)nie par F = 0 , · · · , F n = 0 . Toutensemble de solutions de ( ∗ ) dans O rK ; S dé(cid:28)nit alors un ensemble (de points) S -entier sur Y .Le problème est de donner des onditions géométriques su(cid:30)santes sur Y pour que toutensemble S -entier soit non Zariski-dense dans Y .Dans la suite, on se donne Y sous la forme Y = X − D , où X est une variété proje tivesur K de dimension d ≥ et D un diviseur e(cid:27)e tif sur X . L'esprit de la onje ture de Langet Vojta ( f onje ture 4.2 de [11℄ p. 223) est qu'une telle ondition su(cid:30)sante s'exprime entermes de (cid:16)positivité(cid:17) de D :Conje ture (Lang, Vojta) : Soit X une variété proje tive lisse sur K de diviseur ano-nique K X . Soit D un diviseur e(cid:27)e tif sur X , à roisements normaux. Posons Y = X − D . Onsuppose K X + D gros (par exemple ample) sur X . Alors tout ensemble S -entier sur Y est nonZariski-dense dans Y .Les théorèmes de Siegel et de Faltings [7℄ montrent ette onje ture lorsque X est une ourbe. Plus généralement, et énon é est onnu de Faltings [8℄ lorsque X est une sous-variétéde variété abélienne. Notons ependant que la onje ture est en ore largement ouverte : le as1ù X = P K n'est par exemple pas onnu.Dans et arti le, on démontre des as parti uliers de ette onje ture, lorsque D a (cid:16)suf-(cid:28)samment(cid:17) de omposantes irrédu tibles. Plus pré isément, on prouve le résultat suivant ( fse tion 2 pour les dé(cid:28)nitions) :Théorème 1.1 : Soit X une variété proje tive sur K de dimension d ≥ . Soient D ; · · · ; D dδ des diviseurs e(cid:27)e tifs presque amples sur X qui se oupent proprement deux àdeux (ave δ ≥ ). On suppose que toute interse tion de δ + 1 quel onques d'entre eux estvide. Posons Y = X − D ∪ · · · ∪ D dδ . Alors Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique. Enparti ulier, tout ensemble E ⊂ Y ( K ) S -entier sur Y est non Zariski-dense dans Y .Cet énon é améliore un résultat ré ent de Levin ( f théorème 10.4A de [13℄). En fait, Levina besoin de j δ + 12 k d + 1 diviseurs au lieu de dδ .On démontre en outre l'énon é suivant (on prouve en fait un résultat plus général) :Théorème 1.2 : Soit X une variété proje tive sur K de dimension d ≥ . Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs amples sur X qui se oupent proprement (ave r ≥ d ).Posons L = r X i =1 D i et Y = X − D ∪ · · · ∪ D r . On suppose que le diviseur L − dD i est nefpour tout i ∈ { · · · ; r } . Alors Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique.L'hypothèse sur les L − dD i est véri(cid:28)ée lorsque les D i vivent dans un ne (cid:16)su(cid:30)sammentétroit(cid:17) du groupe de Néron-Severi de X . L'intérêt de e résultat réside dans le nombre (po-tentiellement linéaire en d ) de diviseurs à onsidérer.Remarquons que les théorèmes 1.1 et 1.2 s'ins rivent bien dans le adre de la onje ture deLang et Vojta, puisque si X est lisse sur K de diviseur anonique K X et les D i sont amples sur X , alors K X + D + · · · + D r est ample sur X dès que r ≥ d +2 ( f exemple 1.5.35 de [12℄ p. 87).Les démonstrations reposent sur une extension (théorème 3.3) de travaux de Corvaja-Zannier [5℄ et de Levin [13℄, qui donne des onditions géométriques de non-Zariski-densité despoints S -entiers, et sur un bon hoix (théorème 4.4) de multipli ités asso iées aux diviseurs D i . L'ingrédient arithmétique prin ipal est la version de Vojta [18℄ du théorème du sous-espa ede S hmidt [15℄ et S hli kewei [14℄ ( 'est un énon é d'approximation diophantienne qui géné-ralise le théorème de Roth).Par ailleurs, Vojta [17℄ a développé un (cid:16)di tionnaire(cid:17) entre la géométrie diophantienneet la théorie de Nevanlinna : l'étude des points S -entiers sur les variétés sur K est mise enanalogie ave l'étude des ourbes entières sur les variétés omplexes.Pour étayer e di tionnaire, on montre aussi les énon és qui (cid:16) orrespondent(cid:17) aux théorèmes1.1 et 1.2 : 2héorème 1.3 : Soit X une variété omplexe proje tive de dimension d ≥ . Soient D ; · · · ; D dδ des diviseurs e(cid:27)e tifs presque amples sur X qui se oupent proprement deux àdeux (ave δ ≥ ). On suppose que toute interse tion de δ + 1 quel onques d'entre eux est vide.Posons Y = X − D ∪ · · · ∪ D dδ . Alors Y est Brody quasi-hyperbolique. En parti ulier, toute ourbe entière f : C → Y ( C ) est d'image non Zariski-dense dans Y .Théorème 1.4 : Soit X une variété omplexe proje tive de dimension d ≥ . Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs amples sur X qui se oupent proprement (ave r ≥ d ).Posons L = r X i =1 D i et Y = X − D ∪ · · · ∪ D r . On suppose que le diviseur L − dD i est nefpour tout i ∈ { · · · ; r } . Alors Y est Brody quasi-hyperbolique.Je remer ie Antoine Chambert-Loir et Christophe Mourougane pour de fru tueuses dis- ussions.2 Dé(cid:28)nitions et énon és2.1 GéométrieSoit K un orps de ara téristique nulle.Conventions : On appelle variété sur K tout s héma quasi-proje tif et géométriquementintègre sur K . Le mot (cid:16)diviseur(cid:17) sous-entend (cid:16)diviseur de Cartier(cid:17).Soit X une variété proje tive sur K de dimension d ≥ . Lorsque L est un diviseur sur X tel que h ( X ; L ) ≥ , on désigne par B L le lieu de base de Γ( X ; L ) et par Φ L : X − B L → P (Γ( X ; L )) le morphisme dé(cid:28)ni par Γ( X ; L ) . Pour tout diviseur e(cid:27)e tif D sur X , on note D la se tion globale de O X ( D ) qu'il dé(cid:28)nit.Dé(cid:28)nition : Un diviseur L sur X est dit libre lorsque B L est vide.Dé(cid:28)nition : Un diviseur L sur X est dit gros lorsque lim inf n → + ∞ n d h ( X ; nL ) > .Dé(cid:28)nition : Soit L un diviseur gros sur X . On dit que L est presque ample lorsqu'ilexiste un entier n ≥ tel que nL soit libre.Dé(cid:28)nition : Un R -diviseur L sur X est dit nef lorsque pour tout 1- y le e(cid:27)e tif C sur X , on a (cid:10) L.C (cid:11) ≥ (où (cid:10) L.C (cid:11) désigne le nombre d'interse tion).Dé(cid:28)nition : Soient D et D deux diviseurs e(cid:27)e tifs sur X . On dit que D et D se oupent proprement lorsque O X ( − D − D ) = O X ( − D ) ∩ O X ( − D ) .Dé(cid:28)nition : Plus généralement, soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs sur X . On ditque D ; · · · ; D r se oupent proprement lorsque pour toute partie I non vide de { · · · ; r } ,3a se tion globale (1 D i ) i ∈ I de M i ∈ I O X ( D i ) est régulière (autrement dit, pour tout x ∈ \ i ∈ I D i ,en notant ϕ i une équation lo ale de D i en x , les ( ϕ i ) i ∈ I forment une suite régulière de l'anneaulo al O X ; x ).Soit L un diviseur sur X tel que h ( X ; L ) ≥ . Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifsnon nuls sur X (ave r ≥ ). Notons P l'ensemble des parties I non vides de { · · · ; r } tellesque \ i ∈ I D i soit non vide. Pour I ∈ P , a = ( a i ) i ∈ N I et k ∈ N ∗ , on dé(cid:28)nit le sous-espa eve toriel V I ; a ; k de Γ( X ; L ) par V I ; a ; k = X b Γ (cid:16) X ; L − X i ∈ I b i D i (cid:17) où la somme porte sur les b ∈ N I tels que X i ∈ I a i b i ≥ k . Dé(cid:28)nition : On pose ν ( L ; D ; · · · ; D r ) = inf I ∈P inf a ∈ N I −{ } X k ≥ dim V I ; a ; k h ( X ; L ) X i ∈ I a i .On démontre à la se tion 4 le résultat suivant :Théorème 2.1 : On suppose d ≥ . Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs presqueamples sur X qui se oupent proprement deux à deux ; supposons que toute interse tion de δ + 1 quel onques d'entre eux est vide (ave ≤ δ ≤ r ). Il existe alors ( m ; · · · ; m r ) ∈ N ∗ r telqu'en posant L = r X i =1 m i D i , on ait lim inf n → + ∞ n ν ( nL ; m D ; · · · ; m r D r ) > rdδ .Posons λ d = h − (cid:16) − d (cid:17) d +1 i dd + 1 . On prouve à la se tion 5.2 l'énon é suivant :Théorème 2.2 : Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs non nuls et nefs sur X qui se oupent proprement. On suppose que L = r X i =1 D i est ample. Soit θ > un réel tel que le R -diviseur L − dθD i soit nef pour tout i ∈ { · · · ; r } . On a alors la minoration lim inf n → + ∞ n ν ( nL ; D ; · · · ; D r ) ≥ λ d θ . Remarque : On a λ d > pour tout d ≥ . En outre, λ d onverge vers − e − lorsque d tend vers + ∞ .2.2 Hyperboli itéLorsque K est un orps de nombres et S un ensemble (cid:28)ni de pla es de K , on note O K ; S l'anneau des S -entiers de K , i.e. l'ensemble des x ∈ K tels que | x | v ≤ pour toute pla e (cid:28)nie v / ∈ S . 4oit K un orps de nombres.Dé(cid:28)nition : Soient Y une variété sur K , K ′ une extension (cid:28)nie de K et S un ensemble(cid:28)ni de pla es de K ′ . Un ensemble E ⊂ Y ( K ′ ) est dit S -entier sur Y lorsqu'il existe un O K ′ ; S -s héma intègre et quasi-proje tif Y de (cid:28)bre générique Y K ′ tel que E ⊂ Y ( O K ′ ; S ) .Dé(cid:28)nition : Soient Y une variété sur K et K ′ une extension (cid:28)nie de K . Un ensemble E ⊂ Y ( K ′ ) est dit quasi-entier sur Y lorsqu'il existe un ensemble (cid:28)ni S de pla es de K ′ telque E soit S -entier sur Y .Dé(cid:28)nition : Soit Y une variété sur K . On dit que Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique lorsqu'il existe un fermé Z = Y tel que pour toute extension (cid:28)nie K ′ de K ettout ensemble quasi-entier E ⊂ Y ( K ′ ) sur Y , l'ensemble E − Z ( K ′ ) soit (cid:28)ni.Dé(cid:28)nition : Soit Y une variété omplexe. Une ourbe entière sur Y est une appli ationholomorphe f : C → Y ( C ) non onstante.Dé(cid:28)nition : Soit Y une variété omplexe. On dit que Y est Brody quasi-hyperboliquelorsqu'il existe un fermé Z = Y tel que pour toute ourbe entière f sur Y , on ait f ( C ) ⊂ Z ( C ) .L'intérêt de la dé(cid:28)nition de ν réside dans les ritères suivants :Théorème (3.3) : Soit X une variété proje tive sur K de dimension d ≥ . Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs non nuls sur X qui se oupent proprement deux à deux. Po-sons Y = X − D ∪ · · · ∪ D r . Soit n ≥ un entier. On suppose que le diviseur L = n r X i =1 D i est libre et gros sur X et que ν ( L ; D ; · · · ; D r ) > n . Alors Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique.Théorème (3.5) : Soit X une variété omplexe proje tive de dimension d ≥ . Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs non nuls sur X qui se oupent proprement deux à deux. Po-sons Y = X − D ∪ · · · ∪ D r . Soit n ≥ un entier. On suppose que le diviseur L = n r X i =1 D i est libre et gros sur X et que ν ( L ; D ; · · · ; D r ) > n . Alors Y est Brody quasi-hyperbolique.On en déduit le théorème 1.1 (cid:22)respe tivement 1.3(cid:22) en appliquant le théorème 2.1 (ave r = dδ ) puis le théorème 3.3 (cid:22)respe tivement 3.5(cid:22).On en déduit de même les théorèmes 1.2 et 1.4 en appliquant le théorème 2.2.3 Démonstration des ritères3.1 RappelsSoit X une variété omplexe proje tive. Soit L un fais eau inversible sur X . On munit L d'une métrique ( ontinue) k k et on pose ˆ L = ( L ; k k ) .5oit f une ourbe entière sur X . On dé(cid:28)nit la fon tion ara téristique T ˆ L ; f : R + → R de f relativement à ˆ L de la manière suivante :On hoisit une se tion rationnelle s de L dé(cid:28)nie et non nulle en f (0) . Pour tout réel r ≥ ,on pose T ˆ L ; f ( r ) = X | z |≤ r µ z ( f ∗ s ) ln r | z | − Z π ln k s ( f ( re iθ )) k d θ π + ln k s ( f (0)) k , où µ z ( f ∗ s ) désigne l'ordre de f ∗ s en z ∈ C . Cela ne dépend pas du hoix de s .Soient K un orps de nombres et X ′ une variété proje tive sur K . Soit L ′ un fais eauinversible sur X ′ . On munit L ′ d'une métrique adélique ( k k v ) v et on pose ˆ L ′ = ( L ′ ; ( k k v ) v ) (pour des pré isions sur les métriques adéliques, on pourra onsulter le paragraphe 1.2 de[21℄).Soient K ′ une extension (cid:28)nie de K et P ∈ X ′ ( K ′ ) . On dé(cid:28)nit la hauteur (normalisée) h ˆ L ′ ( P ) de P relativement à ˆ L ′ de la façon suivante :On hoisit une se tion rationnelle s ′ de L ′ dé(cid:28)nie et non nulle en P . On pose h ˆ L ′ ( P ) = − K ′ : Q ] X v ln k s ′ ( P ) k v , où v par ourt l'ensemble des pla es de K ′ . Ce réel ne dépend pas du hoix de s ′ .3.2 Cas arithmétiqueCommençons par un résultat fa ile d'algèbre linéaire :Lemme 3.1 : Soient K un orps et V un K -espa e ve toriel de dimension (cid:28)nie. Soit ( F k ) k ≥ une suite dé roissante de parties de V telle que F k = { } pour tout k assez grand. Ilexiste alors une base B de V adaptée à la suite ( F k ) k ≥ , i.e. B ∩ F k est une base de Vect( F k ) pour tout k ≥ .Démonstration : Soit m ≥ un entier tel que F k = { } . On pose B m = ∅ . On onstruitpar ré urren e une suite ( B m ; · · · ; B ) de parties de V de la manière suivante :Pour k ∈ { · · · ; m − } , on omplète la partie libre B k +1 en une base B k de Vect( F k ) ontenue dans F k .Pour (cid:28)nir, on omplète B en une base B de V . (cid:3) Soient K un orps de nombres et X une variété proje tive sur K de dimension d ≥ .On va utiliser la version suivante du théorème du sous-espa e de S hmidt, S hli kewei et Vojta :Proposition 3.2 : Soit L ∈ Pic( X ) libre et gros. Notons q = h ( X ; L ) . On munit L d'unemétrique adélique ( k k v ) v . Soient s ; · · · ; s N des se tions non nulles engendrant Γ( X ; L ) . Soit ε > . Il existe alors un fermé Z = X tel que pour toute extension (cid:28)nie K ′ de K et toutensemble (cid:28)ni S de pla es de K ′ , l'ensemble des points P ∈ ( X − Z )( K ′ ) véri(cid:28)ant X v ∈ S max J ∈L X j ∈ J ln k s j ( P ) k − v ≥ ( q + qε )[ K ′ : Q ]h ˆ L ( P ) (1) L désigne l'ensemble des parties J de { · · · ; n } telles que ( s j ) j ∈ J soit une basede Γ( X ; L ) .Démonstration : En posant V = Γ( X ; L ) , on a un morphisme Φ L : X → P ( V ) générique-ment (cid:28)ni. Il existe don un fermé Z = X tel que Φ L | X − Z soit à (cid:28)bres (cid:28)nies. On applique alorsla version de Vojta ( f théorème 0.3 et reformulation 3.4 de [18℄) du théorème du sous-espa e :Il existe une réunion (cid:28)nie H de K -hyperplans de P ( V ) ≃ P q − K telle que pour touteextension (cid:28)nie K ′ de K et tout ensemble (cid:28)ni S de pla es de K ′ , l'ensemble des points P ∈ ( X − Z ∪ Φ − L ( H ))( K ′ ) véri(cid:28)ant (1) est (cid:28)ni. (cid:3) Remarque : Vojta a en fait montré que l'on peut trouver un Z indépendant de ε , maison n'en aura pas besoin dans la suite.On montre i-dessous une extension d'un résultat de Levin ( f théorème 8.3A de [13℄),lui-même inspiré de travaux de Corvaja et Zannier ( f théorème prin ipal de [5℄ p. 707-708) :Théorème 3.3 : Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs non nuls sur X qui se oupentproprement deux à deux. Posons Y = X − D ∪ · · · ∪ D r . Soit m ≥ un entier. On supposeque le diviseur L = m r X i =1 D i est libre et gros sur X et que ν ( L ; D ; · · · ; D r ) > m . Alors Y estarithmétiquement quasi-hyperbolique.Démonstration : On pro ède en deux étapes : dans la première, on onstruit un fermé Z = X andidat à ontenir (cid:16)presque tous les points entiers(cid:17) ; dans la se onde, on prouve que Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique.Étape 1 : On pose ε = 14 m ( ν ( L ; D ; · · · ; D r ) − m ) et q = h ( X ; L ) , on hoisit un entier c ≥ tel que h ( X ; L − cD i ) = 0 pour tout i ∈ { · · · ; r } , et on (cid:28)xe un entier b ≥ crmε .Choisissons aussi une base B de Γ( X ; L ) .Désignons par P l'ensemble des parties I non vides de { · · · ; r } telles que \ i ∈ I D i soit nonvide. Soit I ∈ P . On note ∆ I l'ensemble des a = ( a i ) i ∈ N I tels que X i ∈ I a i = b . Soit a ∈ ∆ I .Pour k ∈ N ∗ , on pose F k = [ b Γ (cid:16) X ; L − X i ∈ I b i D i (cid:17) où la réunion porte sur les b ∈ N I tels que X i ∈ I a i b i ≥ k , et on note V I ; a ; k = Vect( F k ) . Le lemme 3.1 fournit une base B I ; a de Γ( X ; L ) adaptée à la suite ( F k ) k ≥ .On munit haque fais eau O X ( D i ) d'une métrique adélique. Appliquons le théorème dusous-espa e (proposition 3.2) ave { s ; · · · ; s N } = B ∪ [ I ; a B I ; a (remarquons que ette réunionest (cid:28)nie puisque P et les ∆ I le sont) :Il existe un fermé Z = X tel que pour toute extension (cid:28)nie K ′ de K et tout ensemble (cid:28)ni7 de pla es de K ′ , l'ensemble des points P ∈ ( X − Z )( K ′ ) véri(cid:28)ant l'inégalité (1) est (cid:28)ni.Étape 2 : Soient K ′ une extension (cid:28)nie de K et S un ensemble (cid:28)ni de pla es de K ′ ontenant les pla es ar himédiennes. Soit E ⊂ Y ( K ′ ) un ensemble S -entier sur Y . Raisonnonspar l'absurde en supposant E − Z ( K ′ ) in(cid:28)ni. On hoisit une suite inje tive ( P n ) n ≥ d'élémentsde E − Z ( K ′ ) .Quitte à extraire, on peut supposer (par ompa ité) que pour tout v ∈ S , la suite ( P nv ) n ≥ onverge dans X ( K ′ v ) vers un y v ∈ X ( K ′ v ) .Pour tout v ∈ S , on note I v l'ensemble des i ∈ { · · · ; r } tels que y v ∈ D i . Quitte à extrairede nouveau, on peut supposer que pour tout v ∈ S tel que I v soit non vide et tout i ∈ I v , lasuite (cid:18) ln k D i ( P n ) k v X j ∈ I v ln k D j ( P n ) k v (cid:19) n ≥ onverge vers un t vi ∈ [0; 1] . Remarquons que l'on a X i ∈ I v t vi = 1 .Fait : Soit v ∈ S . Il existe une base ( s v ; · · · ; s qv ) de Γ( X ; L ) ontenue dans { s ; · · · ; s N } telle que l'on ait la minoration suivante pour tout n ≥ : − q X k =1 ln k s kv ( P n ) k v ≥ − ( q + 2 qε ) ln k L ( P n ) k v − O (1) , (2) où le O (1) est indépendant de n .Prouvons e fait. Si I v est vide, on prend { s v ; · · · ; s qv } = B et on obtient la minoration (2) en remarquant que ln k L ( P n ) k v = O (1) (puisque y v / ∈ L ).On suppose maintenant I v non vide. On a don I v ∈ P . Choisissons un a v = ( a vi ) i ∈ ∆ I v tel que | bt vi − a vi | ≤ pour tout i ∈ I v . On prend alors { s v ; · · · ; s qv } = B I v ; a v . Véri(cid:28)ons que e hoix onvient.Soit s ∈ Γ( X ; L ) − { } . Pour tout i ∈ { · · · ; r } , notons µ i ( s ) le plus grand entier µ telque le diviseur div( s ) − µD i soit e(cid:27)e tif. Puisque les diviseurs D i se oupent proprement deuxà deux, le diviseur div( s ) − X i ∈ I v µ i ( s ) D i est en ore e(cid:27)e tif. Ce i implique − ln k s ( P n ) k v ≥ − X i ∈ I v µ i ( s ) ln k D i ( P n ) k v − O (1) . En remarquant que t vi > a vi b − mεcr et que µ i ( s ) ≤ c pour tout i ∈ I v , on a, par dé(cid:28)nitiondes t vi : − µ i ( s ) ln k D i ( P n ) k v ≥ − (cid:16) a vi b µ i ( s ) − mεr (cid:17) X j ∈ I v ln k D j ( P n ) k v pour tout n assez grand et tout i ∈ I v .On en déduit l'inégalité (pour tout n ≥ ) − ln k s ( P n ) k v ≥ − (cid:16) b X i ∈ I v a vi µ i ( s ) − mε (cid:17) X j ∈ I v ln k D j ( P n ) k v − O (1) .
8n é rit ette inégalité pour s = s kv , puis on somme sur k . En observant que pour i ∈ I v ,on a q X k =1 X i ∈ I v a vi µ i ( s kv ) = X µ ≥ n k ∈ { · · · ; q } (cid:12)(cid:12)(cid:12) X i ∈ I v a vi µ i ( s kv ) ≥ µ o = X µ ≥ dim V I v ; a v ; µ ≥ ν ( L ; D ; · · · ; D r ) qb = (1 + 4 ε ) qbm , on trouve alors − q X k =1 ln k s kv ( P n ) k v ≥ − ( q + 2 qε ) m X j ∈ I v ln k D j ( P n ) k v − O (1) . Le fait énon é (2) s'en déduit en remarquant que ln k D j ( P n ) k v = O (1) pour tout j / ∈ I v .Maintenant, l'ensemble E est S -entier sur Y , don pour tout n ≥ , on a [ K ′ : Q ]h ˆ L ( P n ) = − X v ∈ S ln k L ( P n ) k v + O (1) . En utilisant la minoration (2) , on obtient (pour tout n ≥ ) − X v ∈ S q X k =1 ln k s kv ( P n ) k v ≥ ( q + 2 qε )[ K ′ : Q ]h ˆ L ( P n ) − O (1) . D'où une ontradi tion ave (1) . (cid:3) X une variété omplexe proje tive de dimension d ≥ .Proposition 3.4 : Soit L ∈ Pic( X ) libre et gros. Notons q = h ( X ; L ) . On munit L d'unemétrique k k . Soient s ; · · · ; s N des se tions non nulles engendrant Γ( X ; L ) . Soit ε > . Ilexiste alors un fermé Z = X tel que pour toute ourbe entière f sur X d'image non ontenuedans Z ( C ) , l'ensemble des réels r ≥ véri(cid:28)ant Z π max J ∈L X j ∈ J ln k s j ( f ( re iθ )) k − d θ π ≥ ( q + qε )T ˆ L ; f ( r ) (1 ′ ) est de mesure de Lebesgue (cid:28)nie, où L désigne l'ensemble des parties J de { · · · ; n } telles que ( s j ) j ∈ J soit une base de Γ( X ; L ) .Démonstration : En posant V = Γ( X ; L ) , on a un morphisme Φ L : X → P ( V ) générique-ment (cid:28)ni. Il existe don un fermé Z = X tel que Φ L | X − Z soit à (cid:28)bres (cid:28)nies. On appliquealors la version de Vojta ( f théorème 2 de [20℄) du théorème de Cartan :Il existe une réunion (cid:28)nie H d'hyperplans de P ( V ) ≃ P q − C telle que pour toute ourbeentière d'image non ontenue dans Z ∪ Φ − L ( H ) , l'ensemble des réels r ≥ véri(cid:28)ant (1 ′ ) est9e mesure de Lebesgue (cid:28)nie. (cid:3) Théorème 3.5 : Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs non nuls sur X qui se oupentproprement deux à deux. Posons Y = X − D ∪ · · · ∪ D r . Soit m ≥ un entier. On supposeque le diviseur L = m r X i =1 D i est libre et gros sur X et que ν ( L ; D ; · · · ; D r ) > m . Alors Y estBrody quasi-hyperbolique.Démonstration : On pro ède en deux étapes : dans la première, on onstruit un fermé Z = X andidat à ontenir toutes les ourbes entières ; dans la se onde, on prouve que Y estBrody quasi-hyperbolique.Étape 1 : On reprend la démonstration du théorème 3.3, jusqu'à la onstru tion des bases B I ; a . On munit haque fais eau O X ( D i ) d'une métrique k k . Appliquons le théorème de Cartanet Vojta (proposition 3.4) ave { s ; · · · ; s N } = B ∪ [ I ; a B I ; a :Il existe un fermé Z = X tel que pour toute ourbe entière f sur X d'image non ontenuedans Z ( C ) , l'ensemble des réels r ≥ véri(cid:28)ant l'inégalité (1 ′ ) est de mesure de Lebesgue (cid:28)nie.Étape 2 : Soit f une ourbe entière sur Y . Raisonnons par l'absurde en supposant f ( C ) Z ( C ) .Par ompa ité de X ( C ) , il existe un réel M > tel que pour tout y ∈ X ( C ) , l'ensembled'indi es I y = { i ∈ { · · · ; r } | − ln k D i ( y ) k ≥ M } appartienne à P ∪ {∅} (il su(cid:30)t d'extrairedu re ouvrement ouvert (cid:16)n y ∈ X ( C ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) ∃ I ∈ P ∪ {∅} ∀ i / ∈ I − ln k D i ( y ) k < M o(cid:17) M> unre ouvrement (cid:28)ni).Fait : Soit y ∈ Y ( C ) . Il existe une base ( s y ; · · · ; s qy ) de Γ( X ; L ) ontenue dans { s ; · · · ; s N } telle que l'on ait la minoration suivante : − q X k =1 ln k s ky ( y ) k ≥ − ( q + 3 qε ) ln k L ( y ) k − O (1) , (2 ′ ) où le O (1) est indépendant de y .Prouvons e fait. Si I y est vide, on prend { s y ; · · · ; s qy } = B et on obtient la minoration (2 ′ ) en remarquant que − ln k L ( y ) k < M r .On suppose maintenant I y non vide. On a don I y ∈ P . Pour tout i ∈ I y , on pose t yi = ln k D i ( y ) k X j ∈ I y ln k D j ( y ) k . Remarquons que l'on a X i ∈ I y t yi = 1 . Choisissons un a y = ( a yi ) i ∈ ∆ I y tel que | bt yi − a yi | ≤ pour tout i ∈ I y . On prend alors { s y ; · · · ; s qy } = B I y ; a y . Véri(cid:28)ons que e hoix onvient.Soit s ∈ Γ( X ; L ) − { } . Puisque les diviseurs D i se oupent proprement deux à deux, le10iviseur div( s ) − X i ∈ I y µ i ( s ) D i est e(cid:27)e tif. Ce i implique − ln k s ( y ) k ≥ − X i ∈ I y µ i ( s ) ln k D i ( y ) k − O (1) . En remarquant que t yi ≥ a yi b − mεcr et que µ i ( s ) ≤ c pour tout i ∈ I y , on a, par dé(cid:28)nitiondes t yi : − µ i ( s ) ln k D i ( y ) k ≥ − (cid:16) a yi b µ i ( s ) − mεr (cid:17) X j ∈ I y ln k D j ( y ) k pour tout i ∈ I y .On en déduit l'inégalité − ln k s ( y ) k ≥ − (cid:16) b X i ∈ I y a yi µ i ( s ) − mε (cid:17) X j ∈ I y ln k D j ( y ) k − O (1) . On é rit ette inégalité pour s = s ky , puis on somme sur k . En observant que pour i ∈ I y ,on a q X k =1 X i ∈ I y a yi µ i ( s ky ) ≥ ν ( L ; D ; · · · ; D r ) qb = (1 + 4 ε ) qbm omme dans la démonstration du théorème 3.3, on trouve alors − q X k =1 ln k s ky ( y ) k ≥ − ( q + 3 qε ) m X j ∈ I y ln k D j ( y ) k − O (1) . Le fait énon é (2 ′ ) s'en déduit en remarquant que − ln k D j ( y ) k < M pour tout j / ∈ I y .Maintenant f est une ourbe entière sur Y , don pour tout r ≥ , on a T ˆ L ; f ( r ) = − Z π ln k L ( f ( re iθ )) k d θ π + O (1) . En utilisant la minoration (2 ′ ) , on obtient (pour tout r ≥ ) Z π max J ∈L X k ∈ J ln k s k ( f ( re iθ )) k − d θ π ≥ ( q + 3 qε )T ˆ L ; f ( r ) − O (1) . D'où une ontradi tion ave (1 ′ ) (puisque T ˆ L ; f ( r ) tend vers + ∞ lorsque r tend vers + ∞ ). (cid:3) K un orps de ara téristique nulle et X une variété proje tive sur K de dimension d ≥ . Pour tous diviseurs L ; · · · ; L d sur X , on désigne par (cid:10) L · · · L d (cid:11) leur nombre d'inter-se tion. Lorsque L est un diviseur sur X tel que q = h ( X ; L ) ≥ et E un diviseur e(cid:27)e tif11on nul sur X , on pose α ( L ; E ) = 1 q X k ≥ h ( X ; L − kE ) .Proposition 4.1 : Soit L un diviseur sur X tel que q = h ( X ; L ) ≥ . Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs non nuls sur X qui se oupent proprement deux à deux ; supposons quetoute interse tion de δ + 1 quel onques d'entre eux est vide (ave ≤ δ ≤ r ). On a alors ν ( L ; D ; · · · ; D r ) ≥ δ inf i α ( L ; D i ) . Démonstration : On utilise les notations de la se tion 2.1. Lorsque x est un réel, on désignepar ⌈ x ⌉ le plus petit entier ≥ x . Soient I ∈ P et a ∈ N I − { } . Quitte à réduire I , on peutsupposer que a i ≥ pour tout i ∈ I . Observons que I ≤ δ .Si I est un singleton { i } , alors V I ; a ; k = Γ (cid:16) X ; L − l ka i m D i (cid:17) , don on a bien X k ≥ V I ; a ; k = a i X k ≥ h ( X ; L − kD i ) ≥ a i q δ inf j α ( L ; D j ) . On suppose maintenant I ≥ . On hoisit deux indi es j < l dans I tels que a l ≥ a j ≥ a i pour tout i ∈ I − { j ; l } . Pour ( b ; b ) ∈ N , on pose W ( b ; b ) = Γ( X ; L − b D j − b D l ) .Soit k un entier ≥ . L'espa e ve toriel V I ; a ; k ontient alors le sous-espa e V ′ k = W (cid:16) l ka l m(cid:17) + ⌈ k/a l ⌉− X b =0 W (cid:16)l k − a l ba j m ; b (cid:17) . Puisque les diviseurs D j et D l se oupent proprement, on a l'égalité suivante pour tout b ′ ∈ { · · · ; ⌈ k/a l ⌉ − } : W (cid:16)l k − a l b ′ a j m ; b ′ (cid:17) \h W (cid:16) l ka l m(cid:17) + ⌈ k/a l ⌉− X b = b ′ +1 W (cid:16)l k − a l ba j m ; b (cid:17)i = W (cid:16)l k − a l b ′ a j m ; b ′ + 1 (cid:17) . En utilisant ⌈ k/a l ⌉ fois la formule dim( W + W ) = dim W + dim W − dim W ∩ W , onobtient que la dimension de V ′ k vaut dim W (cid:16) l ka l m(cid:17) + ⌈ k/a l ⌉− X b =0 h dim W (cid:16)l k − a l ba j m ; b (cid:17) − dim W (cid:16)l k − a l ba j m ; b + 1 (cid:17)i . Maintenant, on somme sur k l'égalité pré édente. Après simpli(cid:28) ations, on trouve X k ≥ dim V ′ k = a l X k ≥ h ( X ; L − kD l ) + a j X k ≥ h ( X ; L − kD j ) . On en on lut la minoration X k ≥ dim V I ; a ; k ≥ X k ≥ dim V ′ k ≥ ( a j + a l ) q inf i α ( L ; D i ) ≥ (cid:16)X i ∈ I a i (cid:17) q δ inf j α ( L ; D j ) . (cid:3) On aura besoin dans la suite d'une variante des (cid:16)inégalités de Morse holomorphes(cid:17) ( f [6℄Ÿ12 et [1℄) :Lemme 4.2 : Soient E un diviseur libre et gros sur X et L un diviseur sur X tel que L − E soit nef. Soit β un réel > . Pour tout ouple d'entiers ( n ; k ) véri(cid:28)ant ≤ k ≤ βn , ona alors la minoration h ( X ; nL − kE ) ≥ (cid:10) L d (cid:11) d ! n d − (cid:10) L d − E (cid:11) ( d − n d − k + d − d ! (cid:10) L d − E (cid:11) n d − min( k ; n ) − O ( n d − ) , où le O ne dépend pas de ( n ; k ) .Démonstration : On a deux as.Cas k ≤ n : La formule de Hirzebru h-Riemann-Ro h donne que χ ( X ; nL − kE ) est unefon tion polynomiale en ( n ; k ) dont on peut expli iter la omposante homogène dominante :Pour tout ( n ; k ) tel que ≤ k ≤ n , on a χ ( X ; nL − kE ) = 1 d ! (cid:10) ( nL − kE ) d (cid:11) + O ( n d − ) .Par ailleurs, d'après le théorème 1.4.40 de [12℄ p. 69 (ou plutt d'après sa démonstration),on a h i ( X ; nL − kE ) = O ( n d − i ) pour tout i ≥ , puisque L et L − E sont nefs. On a enparti ulier h ( X ; nL − kE ) = 1 d ! (cid:10) ( nL − kE ) d (cid:11) + O ( n d − ) .Or un al ul montre (par multilinéarité) la formule (cid:10) ( nL − kE ) d (cid:11) = (cid:10) L d (cid:11) n d − d (cid:10) L d − E (cid:11) n d − k + d X i =2 ( i − (cid:10) L i − ( nL − kE ) d − i E (cid:11) n i − k . L'inégalité de l'énon é s'en déduit fa ilement : les diviseurs L , nL − kE et E sont nefs,don on a (cid:10) L i − ( nL − kE ) d − i E (cid:11) ≥ pour tout i ∈ { · · · ; d − } .Cas k > n : D'après le théorème de Bertini ( f orollaire 6.11 de [10℄ p. 89), il existe s ∈ Γ( X ; E ) − { } tel que Z = div( s ) soit géométriquement intègre sur K .Soit i un entier tel que n ≤ i ≤ βn . On a la suite exa te de O X -modules suivante : → O X ( nL − ( i + 1) E ) → O X ( nL − iE ) → O X ( nL − iE ) | Z → . On en déduit une suite exa te en ohomologie qui fournit l'inégalité h ( X ; nL − ( i + 1) E ) ≥ h ( X ; nL − iE ) − h ( Z ; ( nL − iE ) | Z ) . En utilisant la majoration h ( Z ; ( nL − iE ) | Z ) ≤ h ( Z ; nL | Z ) = (cid:10) L d − E (cid:11) ( d − n d − + O ( n d − ) h ( X ; nL − kE ) ≥ h ( X ; nL − nE ) − k − X i = n h ( Z ; ( nL − iE ) | Z ) ≥ (cid:10) L d (cid:11) d ! n d − (cid:10) L d − E (cid:11) ( d − n d − k + d − d ! (cid:10) L d − E (cid:11) n d − O ( n d − ) (la minoration de h ( X ; nL − nE ) est donnée par le premier as). D'où le résultat. (cid:3) Remarque : La démonstration fournit en fait une minoration de h ( X ; nL − kE ) − h ( X ; nL − kE ) .On note i i g : R + → R + l'appli ation ontinue dé(cid:28)nie par g ( β ) = β si β ≤ et g ( β ) = β − si β ≥ .Corollaire 4.3 : Soient E un diviseur e(cid:27)e tif libre et gros sur X et L un diviseur sur X tel que L − E soit nef. On a alors lim inf n → + ∞ n α ( nL ; E ) ≥ (cid:10) L d (cid:11) d (cid:10) L d − E (cid:11) + ( d − (cid:10) L d − E (cid:11)(cid:10) L d (cid:11) g (cid:16) (cid:10) L d (cid:11) d (cid:10) L d − E (cid:11) (cid:17) . Démonstration : On pose β = (cid:10) L d (cid:11) d (cid:10) L d − E (cid:11) et M = ( d − (cid:10) L d − E (cid:11) . Grâ e au lemme 4.2,on a les estimations suivantes : X k ≥ h ( X ; nL − kE ) ≥ ⌊ βn ⌋ X k =1 (cid:16) (cid:10) L d (cid:11) d ! n d − (cid:10) L d − E (cid:11) ( d − n d − k + Md ! n d − min( k ; n ) (cid:17) − O ( n d )= (cid:16) (cid:10) L d (cid:11) d ! β − (cid:10) L d − E (cid:11) ( d − β Md ! g ( β ) (cid:17) n d +1 − O ( n d ) . D'où la minoration α ( nL ; E ) ≥ (cid:16) β M (cid:10) L d (cid:11) g ( β ) (cid:17) n − O (1) . (cid:3) Montrons maintenant le résultat prin ipal de ette se tion :Théorème 4.4 : Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs presque amples sur X . Il existealors des entiers m ; · · · ; m r tels qu'en posant L = r X i =1 m i D i , on ait m i ≥ et lim inf n → + ∞ n α ( nL ; m i D i ) > r d pour tout i ∈ { · · · ; r } . ∆ = { ( t ; · · · ; t r ) ∈ R r + | t + · · · + t r = 1 } . Pour tout t = ( t ; · · · ; t r ) ∈ ∆ , on désigne par L t le R -diviseur L t = r X j =1 t j D j et on pose φ ( t ) = (cid:16) r X i =1 (cid:10) L d − t D i (cid:11) (cid:17) − .On note f : ∆ → ∆ l'appli ation ontinue dé(cid:28)nie par f ( t ) = (cid:16) φ ( t ) (cid:10) L d − t D (cid:11) ; · · · ; φ ( t ) (cid:10) L d − t D r (cid:11) (cid:17) pour tout t ∈ ∆ . D'après le théorème de Brouwer, f admet un point (cid:28)xe x = ( x ; · · · ; x r ) . Ona alors φ ( x ) = (cid:10) L d − x D i (cid:11) x i pour tout i ∈ { · · · ; r } , don φ ( x ) r = (cid:10) L dx (cid:11) .On en déduit l'inégalité (cid:10) L dx (cid:11) d (cid:10) L d − x D i (cid:11) x i + ( d − (cid:10) L d − x D i (cid:11) x i (cid:10) L dx (cid:11) g (cid:16) (cid:10) L dx (cid:11) d (cid:10) L d − x D i (cid:11) x i (cid:17) > r d pour tout i ∈ { · · · ; r } . On appro he x par un y ∈ Q ∗ r + ∩ ∆ de la forme y = (cid:16) m m ; · · · ; m r m (cid:17) de telle sorte quel'inégalité pré édente soit en ore valable ave y au lieu de x , et on on lut en appliquant le orollaire 4.3. (cid:3) On en déduit le théorème 2.1 en appliquant la proposition 4.1.5 Géométrie bis5.1 PréliminairesSoient r et m des entiers ≥ . On pose ∆ = { · · · ; m } r . On munit ∆ de l'ordre lexi ogra-phique. Notons m = ( m ; · · · ; m ) le plus grand élément de ∆ . Pour tout b = ( b ; · · · ; b r ) ∈ ∆ ,on désigne par J b l'ensemble des i ∈ { · · · ; r } tels que b i < m .Commençons par la variante suivante du lemme 2.2 de [4℄ :Lemme 5.1 : Soit A un anneau lo al. Soit ( ϕ ; · · · ; ϕ r ) une suite régulière de A . Pourtout b ∈ ∆ , on a alors l'in lusion d'idéaux ( ϕ b · · · ϕ b r r A ) ∩ (cid:16)X c>b ϕ c · · · ϕ c r r A (cid:17) ⊂ X j ∈ J b ϕ b · · · ϕ b r r ϕ j A .
Démonstration : On raisonne par ré urren e sur r . Si r = 1 , alors l'in lusion est évidente.Supposons r ≥ et le résultat au ran r − . Posons ∆ ′ = { · · · ; m } r − et b ′ = ( b ; · · · ; b r ) .Soit x ∈ ( ϕ b · · · ϕ b r r A ) ∩ (cid:16)X c>b ϕ c · · · ϕ c r r A (cid:17) . On a deux as.15as b = m : L'élément x s'é rit x = ϕ m y = X c ′ >b ′ ϕ m a c ′ ave un y ∈ ϕ b · · · ϕ b r r A et des a c ′ ∈ ϕ c · · · ϕ c r r A . En simpli(cid:28)ant par ϕ m , on obtient que y appartient à X c ′ >b ′ ϕ c · · · ϕ c r r A . Or ( ϕ ; · · · ; ϕ r ) est une suite régulière de A , don y est un élément de X j ∈ J b ϕ b · · · ϕ b r r ϕ j A parhypothèse de ré urren e.Cas b < m : L'élément x s'é rit x = ϕ b y = ϕ b +11 z + X c ′ >b ′ ϕ b a c ′ ave un y ∈ ϕ b · · · ϕ b r r A ,un z ∈ A et des a c ′ ∈ ϕ c · · · ϕ c r r A . On é rit y = ϕ b · · · ϕ b r r w ave w ∈ A . On simpli(cid:28)e par ϕ b puis on réduit modulo ϕ ; on trouve ainsi dans A ′ = A/ϕ A l'égalité ¯ y = X c ′ >b ′ ¯ a c ′ .On en déduit que ¯ y appartient à ( ¯ ϕ b · · · ¯ ϕ rb r A ′ ) ∩ (cid:16) X c ′ >b ′ ¯ ϕ c · · · ¯ ϕ rc r A ′ (cid:17) . Or ( ¯ ϕ ; · · · ; ¯ ϕ r ) est une suite régulière de A ′ , don ¯ y est un élément de X j ∈ J b −{ } ¯ ϕ b · · · ¯ ϕ rb r ¯ ϕ j A ′ par hypothèsede ré urren e. En simpli(cid:28)ant par ¯ ϕ b · · · ¯ ϕ rb r , on obtient que ¯ w est dans X j ∈ J b −{ } ¯ ϕ j A ′ . On en on lut que w appartient à X j ∈ J b ϕ j A .D'où le résultat. (cid:3) Soient K un orps de ara téristique nulle et X une variété proje tive sur K de dimension d ≥ .Dé(cid:28)nition : Un O X -module ohérent C sur X est dit a y lique lorsque h i ( X ; C ) = 0 pour tout i ≥ .Soit L un diviseur sur X tel que q = h ( X ; L ) ≥ . Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifsnon nuls sur X qui se oupent proprement.Pour tout b ∈ ∆ , on pose L b = O X (cid:16) L − r X i =1 b i D i (cid:17) . Pour b ∈ ∆ , on dé(cid:28)nit le sous-module C b de L b par C b = X j ∈ J b O X (cid:16) L − D j − r X i =1 b i D i (cid:17) . Soit ( a ; · · · ; a r ) ∈ N r . Pour k ∈ N ∗ , on note V k le sous-espa e de Γ( X ; L ) dé(cid:28)ni par V k = X b Γ( X ; L b ) où la somme porte sur les b ∈ N r tels que r X i =1 a i b i ≥ k . Lemme 5.2 : Ave es notations, on a la minoration suivante : X k ≥ dim V k ≥ r X i =1 a i X b ∈ ∆ h h ( X ; L b ) − h ( X ; C b ) i b i . k un entier tel que ≤ k ≤ r X i =1 a i m . Notons D k l'ensemble des b ∈ ∆ tels que r X i =1 a i b i ≥ k . L'espa e ve toriel V k ontient alors le sous-espa e V ′ k = X b ∈D k Γ( X ; L b ) .Soit b ∈ D k − { m } . Le lemme 5.1 fournit l'in lusion de O X -modules L b ∩ X c>b L c ⊂ C b ,puisque les diviseurs D ; · · · ; D r se oupent proprement. On a en parti ulier l'in lusion d'es-pa es ve toriels Γ( X ; L b ) ∩ X c>b Γ( X ; L c ) ⊂ Γ( X ; C b ) . En utilisant D k − fois la formule dim( W + W ) = dim W + dim W − dim W ∩ W , ontrouve l'inégalité dim V ′ k ≥ h ( X ; L m ) + X b ∈D k −{ m } h h ( X ; L b ) − h ( X ; C b ) i . On obtient le résultat en sommant sur k ette inégalité. (cid:3) Proposition 5.3 : On suppose de plus que L b est a y lique pour tout b ∈ ∆ . On a alors X k ≥ dim V k ≥ r X i =1 a i m X k =1 h ( X ; L − kD i ) . On a en parti ulier ν ( L ; D ; · · · ; D r ) ≥ q inf i m X k =1 h ( X ; L − kD i ) .Démonstration : Soit b ∈ ∆ − { m } . Pour toute partie I de J b , posons i i L b ; I = O X (cid:16) L − X j ∈ J b D j − r X i =1 b i D i (cid:17) . On pose aussi p = J b et E b = M j ∈ J b L b ; { j } .Les diviseurs ( D j ) j ∈ J b se oupent proprement, don on a la suite exa te de Koszul suivante( f [9℄ p. 431) : → Λ p E b → · · · → Λ E b → C b → . On remarque que Λ j E b = M I = j L b ; I (qui est en parti ulier a y lique) pour tout j ∈{ · · · ; p } . La suite de Koszul pré édente induit don par a y li ité une suite exa te en imagedire te : → Γ( X ; Λ p E b ) → · · · → Γ( X ; Λ E b ) → Γ( X ; C b ) → . On en déduit la relation h ( X ; L b ) − h ( X ; C b ) = X I ⊂ J b ( − I h ( X ; L b ; I ) . i ∈ { · · · ; r } et c ∈ { · · · ; m } , et on somme sur l'ensemble ∆ ′ c des b ∈ ∆ tels que b i = c . Un réarrangement des termes permet de simpli(cid:28)er et montre que : X b ∈ ∆ ′ c X I ⊂ J b ( − I h ( X ; L b ; I ) = ( h ( X ; L − cD i ) − h ( X ; L − ( c + 1) D i ) si c < m ; h ( X ; L − mD i ) si c = m. (En e(cid:27)et, si p ′ = { j = i | b j ≥ } ≥ , alors le terme h ( X ; L b ) apparaît p ′ − fois ave lesigne plus et p ′ − fois ave le signe moins ; de même ave le terme h ( X ; L b ; { i } ) dans le as c < m ).On en déduit l'égalité X b ∈ ∆ h h ( L b ) − h ( C b ) i b i = h ( L − mD i ) m + m − X c =0 h h ( L − cD i ) − h ( L − ( c + 1) D i ) i c = m X k =1 h ( X ; L − kD i ) . On on lut en appliquant le lemme 5.2. (cid:3) K un orps de ara téristique nulle et X une variété proje tive sur K de dimension d ≥ . Soient D ; · · · ; D r des diviseurs e(cid:27)e tifs non nuls sur X qui se oupent proprement (ave r ≥ ). Notons P l'ensemble des parties I non vides de { · · · ; r } telles que \ i ∈ I D i soit non vide.Théorème 5.4 : Soit L un diviseur ample sur X . On suppose que D i est nef pour tout i ∈ { · · · ; r } . Soit θ > un réel tel que le R -diviseur L − θ X i ∈ I D i soit nef pour tout I ∈ P .On a alors l'inégalité lim inf n → + ∞ n ν ( nL ; D ; · · · ; D r ) ≥ θ ( d + 1) (cid:10) L d (cid:11) inf i d X j =0 (cid:10) L d − j ( L − θD i ) j (cid:11) . Démonstration : D'après le théorème d'annulation de Fujita ( f théorème 1.4.35 de [12℄ p.66), il existe n ≥ tel que n L + N soit a y lique pour tout N ∈ Pic( X ) nef.On pose n ′ = ⌊ ( n − n ) θ ⌋ pour tout n > n . En appliquant la proposition 5.3 (ave m = n ′ ), on obtient (pour tout n > n ) ν ( nL ; D ; · · · ; D r ) ≥ h ( X ; nL ) inf i n ′ X k =1 h ( X ; nL − kD i ) . Soit i ∈ { · · · ; r } . Grâ e à la formule de Hirzebru h-Riemann-Ro h, on a les estimations18uivantes : n ′ X k =1 h ( X ; nL − kD i ) = 1 d ! n ′ X k =1 h(cid:10) ( nL − kD i ) d (cid:11) + O ( n d − ) i = 1 d ! d X j =0 n ′ X k =1 C jd (cid:10) L d − j D ji (cid:11) n d − j ( − k ) j + O ( n d )= 1 d ! d X j =0 C jd (cid:10) L d − j D ji (cid:11) ( − j j + 1 θ j +1 n d +1 + O ( n d ) . Or un al ul montre la formule d X j =0 C jd (cid:10) L d − j D ji (cid:11) ( − j j + 1 θ j +1 = θd + 1 d X j =0 (cid:10) L d − j ( L − θD i ) j (cid:11) . D'où l'inégalité de l'énon é. (cid:3)
Corollaire 5.5 : Soit L un diviseur ample sur X . On suppose que D i est nef pour tout i ∈ { · · · ; r } . Soit θ > un réel tel que le R -diviseur L − dθD i soit nef pour tout i ∈ { · · · ; r } .On a alors lim inf n → + ∞ n ν ( nL ; D ; · · · ; D r ) ≥ λ d θ . Démonstration : Pour tout I ∈ P , le R -diviseur L − θ X i ∈ I D i est nef puisque I ≤ d . Soit i ∈ { · · · ; r } . Les R -diviseurs L − θD i − (cid:16) − d (cid:17) L et L sont nefs, don on a (cid:10) L d − j ( L − θD i (cid:1) j (cid:11) ≥ (cid:16) − d (cid:17) j (cid:10) L d (cid:11) pour tout j ∈ { · · · ; d } . En appliquant le théorème 5.4, on trouve ainsi lim inf n → + ∞ n ν ( nL ; D ; · · · ; D r ) ≥ θd + 1 d X j =0 (cid:16) − d (cid:17) j = λ d θ . D'où le résultat. (cid:3)
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