Groupes linéaires finis permutant deux fois transitivement un ensemble de droites
aa r X i v : . [ m a t h . G R ] D ec Groupes lin´eaires finis permutant deux foistransitivement un ensemble de droites
Lucas Vienne
Departement de math´ematiques. Universit´e d’Angers. France
R´esum´e
Let n ≥ G a doubly transitive subgroup of the symmetricgroup on X = { , . . . , n } . In this paper we find all linear group representations ρ of G on an euclidean vector space V which contains a set of equiangular vector lines G = {h v i , . . . , h v n i} such that :(1) V is generated by v , . . . , v n ,(2) for all i in X and all σ in G , h ρ σ ( v i ) i = h v σ ( i ) i .Then we illustrate our construction when G = SL d ( q ), q odd and d ≥ Key words: groupe, permutation group, groupe de permutations, groupedoublement transitif, Paley graphs, equiangular lines
Un entier n ≥ G sur l’ensemble X = { , . . . , n } . Nous dirons (par abus) qu’une repr´esentation lin´eaire γ de G dans un espace vectoriel V est deux fois transitive s’il existe une gerbe dedroites vectorielles G = {h v i , . . . , h v n i} de V telle que :(1) L’espace V est engendr´e par les vecteurs v , . . . , v n . (2) Pour tout indice i dans X et tout σ dans G on a h γ σ ( v i ) i = h v σ ( i ) i . Notations
1. Lorsque le contexte est sans ambigu¨ıt´e sur l’action γ d’un groupe G surun ensemble Y , on utilise, pour σ dans G et y dans Y , la notation simplifi´ee γ σ ( y ) = σ ( y ). Par exemple, la relation (2) pr´ec´edente s’´ecrit plus simplement σ h v i i = h σ ( v i ) i = h v σ ( i ) i . Email address: [email protected] (Lucas Vienne).
Preprint submitted to Elsevier 21 novembre 2018 . Le groupe G ´etant fini, son image γ ( G ) est contenue dans le groupe ortho-gonal d’un produit scalaire sur V qui sera not´e ϕ = ( . | . ) dans la suite. Quelques remarques
Choisissons des g´en´erateurs v , . . . , v n de mˆeme norme pour les droites de lagerbe G . La double transitivit´e de G nous montre qu’il existe des scalaires ω, c (o`u ω = 0) et des coefficients ε i,j ( i = j , dans X ), tous dans {− , +1 } tels que( R ∀ i, j ∈ X, ( v i | v j ) = ω si i = jε i,j .c si i = j .De plus, pour chaque ´el´ement σ dans G , il existe une liste de coefficients ν σ = ( ν σ , . . . , ν σn ) tous pris dans {− , +1 } tels que( R ∀ j ∈ X, σ ( v j ) = ν σj .v σ ( j ) .Utilisant la relation ( R i = j , ε i,j .c = ( v i | v j ) = ( σ ( v i ) | σ ( v j )) = ( ν σi .v σ ( i ) | ν σj .v σ ( j ) ) = ν σi .ν σj .ε σ ( i ) ,σ ( j ) .c ,( R
3) donc, si c = 0, ε σ ( i ) ,σ ( j ) = ν σi .ν σj .ε i,j . La double transitivit´e de G nous montre que les coefficients ε i,j sont d´etermin´espar la connaissance de l’un d’eux et des coefficients ν σj introduits en ( R E = ( ε i,j ) la matrice dont la diagonale principale est nulle ( ε i,i = 0) etles autres coefficients sont les ε i,j , d´esignant par I n , la matrice de Gram dusyst`eme de vecteurs ( v , . . . , v n ) est donc de la forme( R
4) Gram( v , . . . , v n ) = S E ( ω, c ) = ω.I n + c. E .Dans cet article nous d´eterminons quels choix des syst`emes de coefficients(3) ν σ = ( ν σ , . . . , ν σn ),satisfaisant aux relations ( R
2) d´efinissent une repr´esentation lin´eaire de G sur V , puis nous ´etudions la nature, irr´eductible ou non, de ces repr´esentations.Pour ´enoncer nos r´esultats, introduisons le groupe multiplicatif produitΠ n = { ν = ( ν , . . . , ν n ) | ∀ j, ν j = ± } ,sur lequel on fait agir G ; pour tout ν = ( ν , . . . , ν n ) dans Π n et toute permu-tation σ de X notons ν σ = ( ν σ (1) , . . . , ν σ ( n ) ), puis posons(4) ∀ ( σ, ν ) ∈ G × Π n , θ σ ( ν ) = ν σ − .La relation imm´ediate ( ν.ν ′ ) σ = ν σ .ν ′ σ nous montre que θ σ est un morphisme.Noter que dans la d´efinition (4), l’exposant ( −
1) est l`a pour s’assurer que θ un morphisme et non un anti-morphisme ( θ σ.σ ′ = θ σ .θ σ ′ ). Notons G ⋉ Π n leproduit semi-direct de G par Π n sous cette action.Les th´eor`emes 1 et 2 donnent nos principaux r´esultats. Nous les ferons suivrepar quelques exemples. 2 h´eor`eme 1 Soit G un groupe de permutation -transitif sur l’ensemble X = { , . . . , n } , ( e , . . . , e n ) une base orthonorm´ee d’un espace vectoriel E et J : G → G ⋉ Π n un morphisme de groupes de la forme (5) ∀ σ ∈ G, J ( σ ) = ( σ, ν σ )1 . Il existe une unique repr´esentation lin´eaire ρ : G → GL ( E ) dite associ´ee au morphisme J , satisfaisant aux relations ( R : ∀ j ∈ X, ρ σ ( e j ) = ν σj .e σ ( j ) . . Le nombre de matrices E = ( ε i,j ) , sym´etriques, `a coefficients dans {± } etde diagonale principale nulle satisfaisant aux relations ( R ∀ σ ∈ G, ∀ i, j ∈ X, ε σ ( i ) ,σ ( j ) = ν σi .ν σj .ε i,j est ou . Si E est l’une d’elles l’autre est −E . . Si la repr´esentation ρ : G → GL ( E ) n’est pas irr´eductible, alors : a. Il existe une matrice E satisfaisant aux conditions ( R . b. Cette matrice poss`ede exactement deux valeurs propres λ et λ . c. Les sous-espaces propres E et E associ´es sont des sous- G -modulesirr´eductibles de E sur lesquels le groupe G induit des repr´esentations dou-blement transitives. Th´eor`eme 2
Soit G un groupe de permutation de l’ensemble X = { , . . . , n } , et une repr´esentationlin´eaire γ : G → GL ( V ) doublement transitive de ( G, X ) sur un espace vecto-riel euclidien V de dimension finie.Il existe un morphisme J : G → G ⋉ Π n de la forme (5) tel que : . Si dim( V ) = n , la repr´esentation γ est semblable `a la repr´esentation ρ as-soci´ee au morphisme J . . Si dim( V ) < n , la repr´esentation γ est semblable `a l’une des deux compo-santes irr´eductibles de ρ d´ecrites dans la partie du th´eor`eme . Nous appliquerons ensuite ces th´eor`emes aux sous groupes G de GL d ( q ) conte-nant SL d ( q ), agissant deux fois transitivement sur l’espace projectif P d − ( q ). Soit E un espace euclidien r´eel muni d’une base orthonorm´ee ( e ) = ( e , . . . , e n ) , S une matrice sym´etrique r´eelle de type n × n , et pour tout couple de scalaires ( ω, c ) , posons S ( ω, c ) = ω.I n + c.S . Notons ψ k,c et e ψ k,c la forme bilin´eaire etl’endomorphisme sym´etrique associ´es `a la matrice S ( ω, c ) dans la base ( e ) . n suppose c = 0 . .a. L’application affine α : λ → ω + c.λ ´etablit une bijection entre les valeurspropres de S = S (0 , et celles de S ( ω, c ) . .b. Les sous-espaces propres de e ψ k,c sont ind´ependants du couple ( ω, c ) . Pluspr´ecis´ement, si E k,c ( µ ) d´esigne le sous-espace propre de e ψ ω,c associ´e `a la va-leur propre µ on a : E ω,c ( ω + c.λ ) = E , ( λ )2 . Soit E = E ⊕ . . . ⊕ E s la d´ecomposition de E en somme des sous-espacespropres de S associ´es aux valeurs propres λ , . . . , λ s qu’on suppose rang´ees enfonction de leurs multiplicit´es croissantes m ≤ . . . ≤ m s . Le noyau de e ψ ω,c est (0) ou l’un des E i (1 ≤ i ≤ s ) . . Le rang de e ψ ω,c est toujours sup´erieur ou ´egal `a n − m s .D´emonstration. Simple, on la laisse au lecteur. (cid:3)
On se place dans la situation d´ecrite dans l’introduction : le groupe G op`eredeux fois transitivement sur l’ensemble X = { , . . . , n } . La repr´esentationlin´eaire γ : G → GL ( V ) est doublement transitive dans un espace vectorieleuclidien V et il existe des g´en´erateurs v , . . . , v n de V et des scalaires ν σi (pour( σ, i ) ∈ G × X ) tels que les relations ( R
2) soient satisfaites. Le lemme suivantnous informe sur les sous-modules de V . Lemme 1
Supposons que U est un sous- G -module de V distinct de V . . Il existe un projecteur p U de V sur U qui commute aux op´erations de G : ∀ σ ∈ G, p ◦ σ = σ ◦ p. . Notant, pour tout indice i ∈ X , u i = p ( v i ) , alors ∀ σ ∈ G, σ ( u i ) = ν σi u σ ( i ) . . Il existe une matrice E = ( ε i,j ) de diagonale principale nulle, dont les coef-ficients, pour i = j , sont dans {− , +1 } et satisfont aux relations ( R ∀ σ ∈ G, ∀ i, j ∈ X, ε σ ( i ) ,σ ( j ) = ν σi .ν σj .ε i,j . Pour des constantes non nulles convenablement choisies ω U et c U on a Gram( u , . . . , u n ) = S E ( ω U , c U ) = ω U I n + c U E D´emonstration.
La premi`ere affirmation vient d’un r´esultat classique : toutsous- G -module U de V admet un suppl´ementaire W qui est aussi un G -module.Alors les projecteurs p U et p W associ´es `a la d´ecomposition V = U ⊕ W com-mutent aux op´erations de G . La deuxi`eme affirmation en d´ecoule directementpuisque pour tout indice i ∈ X , l’´egalit´e σ ( v i ) = ν σi v σ ( i ) conduit `a σ ( u i ) = σ ◦ p ( v i ) = p ◦ σ ( v i ) = p ( ν σi v σ ( i ) ) = ν σi p ( v σ ( i ) ) = ν σi u σ ( i ) . On en d´eduit que les vecteurs u i sont tous de mˆeme norme et de la doubletransitivit´e de G sur X , on d´eduit l’existence des constantes ω U et c U tellesque le syst`eme de vecteurs ( u , . . . , u n ) satisfasse aux relations ( R ω U est non nul puisque c’est le carr´e des vecteurs non nuls u i , et lecoefficient c U est aussi non nul puisque le rang de la matrice Gram( u , . . . , u n )´etant inf´erieur `a la dimension du module U , il est strictement inf´erieur `a n . Finalement la matrice E = ( ε i,j ) satisfait aux relations ( R ψ ( u , . . . , u n ) = S E ( ω U , c U ) comme voulu. (cid:3) On adopte les hypoth`eses et notations de ce th´eor`eme .1. Pour chaque ´el´ement σ de G la relation ( R
2) : ∀ j ∈ X, ρ σ ( e j ) = ν σj .e σ ( j ) d´efinit une fonction ρ σ envoyant la base orthonorm´ee ( e ) = ( e , . . . , e n ) surune base orthonorm´ee de E , qui s’´etend donc en une isom´etrie lin´eaire de E .Ceci montre bien sˆur l’unicit´e de ρ , mais il nous reste `a v´erifier que ρ est unmorphisme. Or, comme J est un morphisme on a J ( σ.δ ) = σδ.ν σδ = J ( σ ) . J ( δ ) = σν σ .δν δ = σδ.ν σδ ν δ ,donc ν σδ = ν σδ ν δ . Par ailleurs : ρ σδ ( e i ) = ν σ.δi e σ.δ ( i ) et ρ σ .ρ δ ( e i ) = ρ σ ( ν δi .e δ ( i ) ) = ν δi .ν σδ ( i ) e σ.δ ( i ) , D’o`u l’´egalit´e recherch´ee, ρ σδ ( e i ) = ρ σ .ρ δ ( e i ).2. Le groupe G op´erant deux fois transitivement sur l’ensemble X , il est clair,d’apr`es la relation ( R ε i,j d´eterminetous les autres. Par ailleurs si E est une matrice satisfaisant aux relations ( R −E , ce qui prouve l’assertion 2.3 .a. Pour tout sous- G -module U de E , distinct de E , le lemme 1 nous montrequ’il existe une matrice E satisfaisant aux relations ( R a. Dans la suite, si ( u , . . . , u n ) est l’image de la base orthonorm´ee ( e , . . . , e n )par la projection orthogonale p U : E → U sa matrice de Gram sera simplementnot´ee Gram U = Gram( u , . . . , u n ).Toujours d’apr`es le lemme 1, la matrice Gram U est de la formeGram U = S ( ω, c ) = ωI n + c. E pour des constantes non nulles ω et c . L’endomorphisme sym´etrique e ψ ω,c dematrice S ( ω, c ) dans la base ( e ) = ( e , . . . , e n ) se diagonalise sur E et sessous-espaces propres sont clairement des sous- G -modules de E , or d’apr`es laproposition 1, ce sont les mˆemes que ceux de la matrice E = S (0 , λ , . . . , λ s les valeurs propres de E , rang´ees dans l’ordre de leur multiplicit´escroissantes m ≤ · · · ≤ m s , et E , , . . . , E s les sous-espaces propres associ´es.Remarquons que E n’´etant pas une homoth´etie, on a s ≥
2. Comme les E u sontdes sous- G -modules de E , le projecteur orthogonal p u de E sur E u (1 ≤ u ≤ s )commute avec l’action de G donc, toujours d’apr`es le lemme 1, la matriceGram E u est de la forme Gram( u , . . . , u n ) = S E ( ω u , c u ) pour des constantesnon nulles ω u et c u . D’apr`es la proposition 1, le noyau de S E ( ω u , c u ) est l’un5es espaces propres E t (1 ≤ t ≤ s ) de E et son rang est sup´erieur ou ´egal `a n − m s . Or ce rang est aussi inf´erieur ou ´egal `a la dimension m u de E u . Donc n − m s ≤ m u soit n ≤ m u + m s .Mais comme s ≥ u = s et il vient alors n ≤ m u + m s ≤ n ,donc n = m u + m s , ce qui implique s = 2 , u = 1, et prouve b .Le module E est donc la somme directe orthogonale des sous-espaces propres E et E de la matrice E de dimensions respectives m et m (o`u m ≤ m ) quisont des sous- G -modules de E . Pour achever la d´emonstration du th´eor`eme 1,il nous faut montrer que les sous-modules E et E sont irr´eductibles.Soit W un sous-module irr´eductible de E . D’apr`es le lemme 1, sa matrice deGram est de la formeGram W = S ( ω W , c W ) = ω W I n + c W E ,et, n’´etant pas de rang n , elle est li´ee `a G E ou G E . Son rang m = dim( W ) estdonc ´egal `a m ou m , ce qui prouve d´ej`a que E est irr´eductible. Raisonnantpar l’absurde, si E ne l’est pas, il se d´ecompose en somme orthogonale desous-modules E = E ⊕ · · · ⊕ E k qui sont tous de dimension m et admettentdes matrices de Gram de rang m , donc li´ees `a la matrice Gram E de E .L’espace E ´etant somme orthogonale de E et des E j (1 ≤ j ≤ k ), il estfacile de v´erifier que sa matrice de Gram, qui n’est autre que l’identit´e, estla somme des matrices de Gram de chacun des termes de la somme directe.Or cette somme bien sˆur une matrice li´ee `a Gram E qui ne peut pas ˆetrel’identit´e. Ceci prouve, par l’absurde, que E n’est pas r´eductible et ach`eve lad´emonstration du th´eor`eme 1. (cid:3) D’apr`es l’introduction, on peut choisir des vecteurs v , . . . , v n dans V tels que :* V = h v , . . . , v n i .* Le groupe G op`ere 2-transitivement la gerbe de droites G = {h v i , . . . , h v n i} .* Les relations ( R R
3) et ( R
4) sont satisfaites, pour des constantes ω, c et une matrice E = ( ε i,j ) convenablement choisies.Reprenant un raisonnement fait plus haut on voit que pour tout indice i ∈ X , γ σδ ( v i ) = ν σ.δi v σ.δ ( i ) et γ σ .γ δ ( v i ) = γ σ ( ν δi .v δ ( i ) ) = ν δi .ν σδ ( i ) v σ.δ ( i ) , d’o`u l’on d´eduit que ν σδ = ν σδ ν δ , puis que l’application J : σ → σ.ν σ est unmorphisme de G dans le produit semi-direct G ⋉ Π n puisque J ( σ.δ ) = σδ.ν σδ et J ( σ ) . J ( δ ) = σν σ .δν δ = σδ.ν σδ ν δ .Soit ρ : G → GL ( E ) la repr´esentation associ´ee au morphisme J (cf. thm 1).L’espace E est donc euclidien, muni d’une base orthonorm´ee e , . . . , e n telleque la repr´esentation ρ satisfasse aux relations ( R
2) : ∀ j ∈ X, ρ σ ( e j ) = ν σj .e ρ σ ( j ) .6omme la repr´esentation γ satisfait aux mˆemes relations, l’application π : e j → v j (pour j ∈ X ) se prolonge en un morphisme du G -module E sur le G -module V .1. Si dim V = n , π est un isomorphisme.2. Sinon le noyau de π est un sous-module de E qui ne peut qu’ˆetre E ou l’undes deux sous-modules E et E de E d´ecrits dans le th´eor`eme 1. Son imageest donc aussi soit nulle, soit isomorphe `a l’un de ces deux modules. (cid:3) Voici un exemple de repr´esentation lin´eaire γ : G → GL ( E ), associ´ee `a unmorphisme J : G → G ⋉ Π n , qui est doublement transitive et irr´eductible.Nous utiliserons le r´esultat classique suivant (voir par exemple [1]) : Lemme 2
Soit G un groupe de permutation de Y = { , . . . , m } et ρ la repr´esentationlin´eaire de G sur R m associ´ee qui, pour une base orthonorm´ee ( e , . . . , e m ) s’´ecrit : ∀ σ ∈ G, ∀ i ∈ Y, ρ σ ( e i ) = e σ ( i ) .Notons χ le caract`ere de la repr´esentation ρ , χ , . . . , χ k , les caract`eres irr´eductiblesdu groupe G , et pour pour chaque indice j (1 ≤ j ≤ k ) , soit µ j = ( χ | χ j ) lamultiplicit´e du caract`ere χ j dans la repr´esentation ρ .Alors la somme P j µ j est ´egale au nombre d’orbites de G dans son actionnaturelle sur Y × Y . Appliquons ce r´esultat dans la situation suivante :Soit F le corps `a trois ´el´ements, V l’espace vectoriel F , et G le groupe SL ( V )agissant naturellement sur l’ensemble Y = V ∗ des 26 vecteurs non nuls de V .Il est facile de v´erifier que le groupe G poss`ede trois orbites dans son actionnaturelle sur Y × Y qui sont :* L’ensemble des couples de vecteurs ( v, v ) pour v ∈ V ∗ .* L’ensemble des couples de vecteurs ( v, − v ) pour v ∈ V ∗ .* L’ensemble des couples de vecteurs ( v, w ) pour v, w ∈ V ∗ , non colin´eaires.Choisissons un syst`eme de repr´esentants v , . . . v des droites vectorielles de V et notons v , . . . v leurs oppos´es. La repr´esentation lin´eaire γ : G → GL ( R )associ´ee `a l’action de naturelle de G sur Y = V ∗ = { v , . . . v , v , . . . v } permute la base Y de R . D’apr`es le lemme 2, cette repr´esentation γ sed´ecompose en une somme de repr´esentations irr´eductibles γ j intervenant avecdes multiplicit´es µ j telles que 3 = P j µ j . On en d´eduit imm´ediatement que γ est une somme de trois repr´esentations irr´eductibles non semblables. Oril n’est pas difficile de les d´ecrire car la repr´esentation γ admet clairementcomme sous-repr´esentation l’espace U engendr´e par les vecteurs de la forme7 i + v i , dans lequel la droite vectorielle P i v i + P i v i (1 ≤ i ≤
13) est elle mˆemeun sous espace stable par G . Il s’ensuit que l’orthogonal E de U dans V estlui-mˆeme un sous espace stable par G et irr´eductible, puisque V est sommed’exactement trois sous G -modules irr´eductibles. Regardons comment G agitsur E . Comme E = U ⊥ , il admet pour base l’ensemble des 13 vecteurs de laforme e i = v i − v i , et l’action de G sur E est donn´ee par des relations ∀ σ ∈ G, σ ( e i ) = σ ( v i − v i ) = ν σi ( v σ ( i ) − v σ ( i ) ) = ν σi .e σ ( i ) ,o`u les coefficients ν σi valent tous ±
1. Donc la repr´esentation de G = SL (3)sur E donn´ee par ces relations est irr´eductible et associ´ee au morphisme J : G → G ⋉ Π n donn´e par J ( σ ) = σ.ν σ . Exemple 2
G´en´eralisons maintenant l’id´ee utilis´ee dans l’exemple 1.Soit F q un corps fini `a q ´el´ements, de caract´eristique impaire, C l’ensemble deses carr´es non nuls et C l’ensemble de ses non-carr´es. Choisissons un entier d ≥
2, notons V l’espace vectoriel F dq , n le nombre de droites vectorielles de V , chacune d’elle ´etant engendr´ee par un vecteur v i ( i ∈ X = { , . . . , n } ). Soitenfin G un sous-groupe de GL ( V ) contenant le groupe sp´ecial lin´eaire SL ( V ).L’action naturelle de SL ( V ) sur l’espace projectif P ( V ) ´etant doublementtransitive, il en de mˆeme de celle de G . Elle se transmet aussi `a X en notant σ ( i ), pour tout indice i dans X et tout σ dans G , l’unique indice tel que σ ( h v i i ) = h v σ ( i ) i . Plus pr´ecis´ement, il existe un scalaire non nul λ i tel que σ ( v i ) = λ i .v σ ( i ) . On d´efinit alors une repr´esentation γ de G comme groupe de permutations del’ensemble Y = { v , − v , . . . , v n , − v n } en posant(6) ∗ γ σ ( v i ) = ν σi .v σ ( i ) ou ν σi = λ i ∈ C − λ i ∈ C , ∗ γ σ ( − v i ) = − γ σ ( v i ) . Pour ´eviter toute confusion posons maintenant pour chaque indice i , v i = − v i ,notons encore γ la repr´esentation lin´eaire du groupe G sur l’espace R n as-soci´ee `a l’action du groupe G sur Y et soit χ son caract`ere. D’apr`es le lemme2, le nombre ω d’orbites de G dans son action naturelle sur Y × Y vaut ω = X j µ j , o`u µ j = ( χ | χ j )repr´esente la multiplicit´e du caract`ere irr´eductible χ j dans la repr´esentation γ .Regardons comment G agit sur R n .L’´egalit´e { γ σ ( v i ) , γ σ ( v i ) } = { v σ ( i ) , v σ ( i ) } valable pour tout σ dans G nousmontre que le sous-espace U engendr´e par les vecteurs u i = v i + v i ( i ∈ X )8st stable par l’action de G , ainsi que la droite vectorielle D engendr´ee par levecteur P i u i , et son orthogonal dans U , D ⊥ ∩ U . L’orthogonal E de U dans R n est lui-mˆeme stable par G , engendr´e par les n vecteurs e i = v i − v i , etl’action de G sur E est donn´ee par les relations(7) ∀ σ ∈ G, γ σ ( e i ) = γ σ ( v i − v i ) = ν σi ( v σ ( i ) − v σ ( i ) ) = ν σi .e σ ( i ) Donc la repr´esentation de G sur E donn´ee par ces relations est associ´ee aumorphisme J : G → G ⋉ Π n donn´e par J ( σ ) = σ.ν σ . Le th´eor`eme suivantd´ecrit, suivant les diff´erentes situations, la d´ecomposition de γ en somme derepr´esentations irr´eductibles. Th´eor`eme 3
Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, soit γ : G → GL ( E ) la repr´esentation de G donn´ee par les relations (7) ∀ i ∈ X, ∀ σ ∈ G, γ σ ( e i ) = ν σi .e σ ( i ) − Si d ≥ la repr´esentation γ est irr´eductible. − Supposons d = 2 et notons GL +2 ( q ) le sous-groupe de GL ( q ) form´e desautomorphismes dont le d´eterminant est un carr´e dans F q . ( a ) Si G GL +2 ( q ) , la repr´esentation γ est irr´eductible. ( b ) Si G ⊂ GL +2 ( q ) , la repr´esentation γ est r´eductible.Dans le cas ( b ) le G -module E se d´ecompose en somme directe E = E ⊕ E de deux sous-modules irr´eductibles de mˆeme dimension, ´echang´es par l’actionsur E du groupe GL ( q ) . De plus, ∗ si q , le module E reste irr´eductible sur R , ∗ si q ≡ , la d´ecomposition `a lieu sur R et les repr´esentations de G sur E et E sont associ´ees aux graphes de Paley P ( q ) ( voir [5]) .D´emonstration. Sous les hypoth`eses g´en´erales du th´eor`eme 3, l’action de G sur X ´etant doublement transitive, le th´eor`eme 1 nous dit que la repr´esentation γ de G sur E est soit irr´eductible sur R , soit somme directe de deux repr´esentationsirr´eductibles, non semblables. Mais d’apr`es le lemme 2, dans le premier casle groupe G poss`ede trois orbites sur Y × Y tandis que dans le second il enposs`ede quatre. Or l’action de G sur Y × Y poss`ede au moins trois partiesstables qui sont :* L’ensemble ∆ des couples de vecteurs ( v, v ) pour v ∈ Y .* L’ensemble ∆ ′ des couples de vecteurs ( v, − v ) pour v ∈ Y .* L’ensemble ∇ des couples de vecteurs ( v, w ) pour v, w ∈ Y, non colin´eaires.De plus l’action γ de G sur Y est n´ecessairement transitive sinon ∆ et ∆ ′ seraient form´ees d’au moins deux orbites, si bien que l’action γ × γ de G sur Y × Y aurait au moins cinq orbites, ce qui est impossible. Donc seule la partie ∇ peut ˆetre form´ee d’une ou deux orbites sous l’action γ × γ de G .Discutons suivant les valeurs de la dimension d de l’espace V . − Supposons d ≥ . SL d ( q ) sur l’ensemble des couples ( v, w ) de vec-teurs non li´es dans V est transitive, tout comme celle de G , donc l’action γ × γ de G sur ∇ est transitive. Le lemme 2 nous montre que dans ce cas larepr´esentation γ de G sur E est irr´eductible. − Supposons d = 2 . Lemme 3
Le nombre θ d’orbites du groupe G , agissant sur l’ensemble ∇ des couples devecteurs ( v, w ) pour v, w dans Y non colin´eaires est ∗ θ = 2 , si G ⊂ GL +2 ( q ) , ∗ θ = 1 , si G GL +2 ( q ) .D´emonstration. On sait d´ej`a que G poss`ede une ou deux orbites dans sonaction γ × γ sur ∇ . De plus comme G op`ere transitivement sur les couples dedroites ( h v i i , h v j i ) distinctes, il op`ere transitivement sur ∇ si et seulement sil’orbite de ( v i , v j ) sous l’action de G par γ × γ contient ( v i , − v j ), ( − v i , v j ) et( − v i , − v j ), ce qui revient `a dire que G contient un ´el´ement σ tel que σ ( v i ) = v i et σ ( v j ) = λ.v j o`u le scalaire λ n’est pas un carr´e (d’apr`es la d´efinition (5) del’action γ ). Mais comme G contient le groupe SL ( q ), ceci signifie aussi que G contient un ´el´ement dont le d´eterminant n’est pas un carr´e, ce qui prouvele lemme. (cid:3) Pour achever la preuve du th´eor`eme 3, on se place maintenant dans le cas ( b )de ce th´eor`eme pour lequel d = 2 et G ⊂ GL +2 ( q ).D’apr`es le lemme 2, l’action γ de G sur E est r´eductible, et plus pr´ecis´ement E est somme de deux sous- G -modules irr´eductibles E et E . Mais, toujours,d’apr`es le lemme 2, l’action γ × γ du groupe lin´eaire GL ( q ) ´etant transitive surl’ensemble ∇ , la repr´esentation de GL ( q ) sur E est irr´eductible. Or le sous-groupe G est invariant dans GL ( q ) puisqu’il contient SL ( q ), donc GL ( q )permute les deux sous-espaces E et E . Distinguons deux cas : Premier cas : q . L’automorphisme σ qui envoie la base ( v , v ) de V sur ( v , − v ) est dans SL ( q ) donc dans G , et comme − F q les relations (6)et (7) nous conduisent `a γ σ ( v ) = v , γ σ ( v ) = − v puis γ σ ( e ) = e = ν σ e et γ σ ( e ) = − e = ν σ .S’il existait une matrice E = ( ε i,j ) satisfaisant aux relations ( R
4) du th´eor`eme 1,on devrait avoir ε σ (1) ,σ (2) = ε , = ε , = ν σ ν σ .ε , = − ε , ,ce qui est faux. Donc E n’existe pas et d’apr`es le th´eor`eme 1 la repr´esentation γ de G sur E est irr´eductible sur R . Sa d´ecomposition en somme directe E = E ⊕ E a donc lieu sur le corps C des complexes.10 euxi`eme cas : q ≡ . La d´ecomposition E = E ⊕ E a maintenant lieu sur le corps des r´eels et lesrepr´esentations de G sur E et E sont associ´ees `a des familles ´equiangulairesde droites li´ees aux graphes de Paley P ( q ) (voir [5] pour une construction deces familles de droites). (cid:3) Articles [1] Dominique de Caen,
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