Harer-Zagier generating functions, the Redfield-Polya cycle index and Cohen semilinear congruences
aa r X i v : . [ m a t h . C O ] D ec Производящие функции Харера-Цагира,цикловой индекс Редфилда-Пойа иполулинейные сравнения Коэна
Г. Г. Ильюта
Аннотация.
Производящие функции Харера-Цагира для эй-леровых характеристик пространств модулей кривых содержат n -ожерельные многочлены. Разложения Тейлора для этих мно-гочленов зависят от количеств решений полулинейных сравне-ний Коэна.Harer-Zagier generating functions for Euler characteristics ofmoduli spaces of curves contain n -necklace polynomials. Taylorexpansions for these polynomials depend on numbers of solutionsof Cohen semilinear congruences. В производящих функциях для эйлеровых характеристик про-странств модулей кривых [ ], Th. 4’, Th. 5’; [ ], Th. 4.5, Remark 4.6,появляются многочлены β k,d ( t ) . Мы докажем в п. 1, что они от-личаются простым преобразованием от обобщённых цикловых ин-дексов Редфилда-Пойа, отвечающих регулярному представлениюциклической группы C k порядка k и её неприводимым характерам.Обобщённые цикловые индексы известны также как симметриче-ские функции Шура конечной группы перестановок (характеры об-щей линейной группы) [ ] или как образы при отображении Фро-бениуса индуцированных характеров симметрической группы [ ],p. 395. Многочлены β k,d ( t ) были введены для алгебраического упро-щения производящих функций для эйлеровых характеристик. На-чальные варианты этих производящих функций содержали коли-чества решений некоторых линейных сравнений (они появляютсяпри гомоморфизме в циклическую группу как образы соотношенийв исходной группе), которые затем были "упакованы" в многочле-ны ( β k,d ( t )) s , s ∈ Z > . Одна из частей равенства, приводящего к Работа поддержана грантом РФФИ-16-01-00409. упрощению производящих функций [ ], р. 482, определяется коли-чествами решений линейных сравнений – в п. 3 мы свяжем дру-гую часть с количествами решений полулинейных сравнений Ко-эна. Возможно, поиск прямой связи между полулинейными срав-нениями Коэна и комбинаторной топологией из [ ] и [ ] мог бы при-вести к сжатию информации не только на алгебраическом уровнепроизводящих функций, но и на уровне комбинаторной топологии,что позволило бы упростить доказательства в [ ] и [ ]. Полулиней-ные сравнения Коэна можно рассматривать как семейства линей-ных сравнений в следующем смысле. Если ( x , . . . , x m ; y , . . . , y m ) – решение сравнения Коэна (7) для r = 1 , то ( x , . . . , x m ) – ре-шение линейного сравнения, коэффициенты которого зависят от ( y , . . . , y m ) (формула для количества решений линейного сравне-ния с произвольными коэффициентами имеется в [ ], p. 138). Такаяинтерпретация может быть полезной для комбинаторных (биектив-ных) доказательств формул из п. 3.Для t ∈ Z > специализация обобщённого циклового индекса вправой части формулы (4) совпадает с размерностью отвечающе-го неприводимому характеру класса симметрии тензоров, причём,это верно для обобщённого циклового индекса любого неприводи-мого характера любой конечной группы перестановок [ ], p. 226.Поэтому для регулярного представления циклической группы фор-мулы из п. 3 связывают размерности классов симметрии тензоров,отвечающие неприводимым характерам циклической группы, с ко-личествами решений полулинейных сравнений Коэна. Интереснобыло бы найти категорификацию этих формул.В п. 1 в качестве промежуточных объектов между обобщённы-ми цикловыми индексами Редфилда-Пойа и многочленами Харера-Цагира β k,d ( t ) вводятся n -ожерельные многочлены M ( t ; n, k ) (ониопределяются классическими суммами Рамануджана c ( n, k ) ). Вы-деление этих многочленов мотивируется связями ожерельных мно-гочленов M ( t ; 1 , k ) с различными разделами математики (обзоримеется в [ ]) – возникает вопрос о связях этих разделов с простран-ствами модулей кривых. Другие обобщения многочленов M ( t ; 1 , k ) [ ] определяют эйлеровы характеристики пространств модулейнеприводимых многочленов от нескольких переменных над R инад C – вопрос о связи этих пространств с пространствами моду-лей кривых также остаётся открытым. Для t ∈ Z > производящиймногочлен для чисел M ( t ; n, k ) k X n =1 M ( t ; n, k ) q n РОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ХАРЕРА-ЦАГИРА 3 является специализацией симметрической функции Краскиевича-Веймана [ ], p. 9, [ ], p. 9 (полагаем t переменных этой функцииравными , а остальные – равными ).В п. 2 мы покажем как зависит от многочленов M ( t ; n, k ) произ-водящая функция для эйлеровых характеристик e (Γ g ) групп клас-сов отображений Γ g кривых рода g с одной отмеченной точкой[ ], Th. 4’. Используется равенство (3), связывающее многочлены M ( t ; n, k ) и β k,d ( t ) . Также из этого равенства вытекает, что появ-ляющиеся в [ ], p. 447, многочлены являются обобщениями длялюбой конечной группы многочленов Харера-Цагира β k,d ( t ) (с за-меной t a → t k − a для всех a ). Роль сумм Рамануджана играют сум-мы значений неприводимого характера группы на всех элементахэтой группы, имеющих фиксированный порядок.В п. 3 доказаны формулы, связывающие количества реше-ний Q r ( n, k, m ) полулинейных сравнений Коэна с многочленами M r ( t ; n, k ) (они определяются r -суммами Рамануджана c r ( n, k ) из[ ]). С многочленами Харера-Цагира β k,d ( t ) связан частный случай Q ( n, k, s ) и M ( t ; n, k ) = M ( t ; n, k ) , но многочлены M r ( t ; n, k ) поз-воляют использовать числа Q r ( n, k, m ) для всех r . Доказанные в п.3 формулы вытекают из равенства (cid:18) t ddt (cid:19) m M r ( t ; n, k ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = Q r ( n, k, m ) k rm . (1) Соотношения между числами Q r ( n, k, m ) и многочленами M r ( t ; n, k ) можно разными способами представить как соотношения междупроизводящими функциями для них, мы рассмотрим один такойпример. В [ ], p. 548, получена формула для производящего ря-да Дирихле чисел Q r ( n, k, m ) , мы докажем аналогичную формулудля многочленов M r ( t ; n, k ) . Для соотношений между этими ряда-ми Дирихле формула (1) сводится к равенству (cid:18) t ddt (cid:19) m Li s ( t ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = ζ ( s − m ) , где ζ ( s ) = Li s (1) – дзета-функция Римана и Li s ( t ) – полилогарифм, Li s ( t ) := X k > t k k s .
1. Многочлены Харера-Цагира и n -ожерельные многочлены.Для n, k ∈ Z > определим n -ожерельные многочлены M ( t ; n, k ) Г. Г. ИЛЬЮТА формулой M ( t ; n, k ) := 1 k X d | k c ( n, k/d ) t d , где c ( n, k ) – суммы Рамануджана, c ( n, k ) := X m k ( m,k )=1 ǫ mnk ,ǫ k := e πik , ( n, k ) – наибольший общий делитель чисел n и k . В част-ности, c (0 , k ) = φ ( k ) – функция Эйлера, c (1 , k ) = µ ( k ) – функцияМёбиуса.Многочлены β k,d ( t ) определяются формулой [ ], p. 482, β k,d ( t ) := k − X r =1 ǫ rd t k − ( k,r ) = X l | k,l 2. Производящие функции Харера-Цагира. Согласно [ ], Th. 4’,производящая функция для эйлеровых характеристик e (Γ g ) группклассов отображений Γ g кривых рода g с одной отмеченной точкойимеет вид X g > e (Γ g ) t g − = X k > φ ( k ) k X d | k µ ( d )Φ ( β k,d ( t ) , kt k ) , (5) где Φ ( X, Y ) := X s > ( − s X s s ( s − Y − X h > s > (cid:18) s + 2 h − s (cid:19) ( − s B h X s Y h − h = 1 Y ((1 + X ) log(1 + X ) − X ) + B (cid:18) Y X (cid:19) , B ( T ) = − X h > B h h T h − ∈ Q [[ T ]] ,B h – числа Бернулли. С помощью Предложения 1 формула (5)преобразуется к следующему виду. Предложение . X g > e (Γ g ) t g − = X k > φ ( k ) k X d | k µ ( d ) ¯Φ ( M (1 /t ; k/d, k ) , kt k ) , где ¯Φ ( Z, Y ) = Φ ( Y Z − , Y ) = Z log( Y Z ) − Z + 1 /Y + B (1 /Z ) . (cid:4) Г. Г. ИЛЬЮТА Аналогично зависит от многочленов M ( t ; n, k ) производящаяфункция для эйлеровых характеристик e (Γ g ) групп классов отоб-ражений Γ g кривых рода g без отмеченных точек [ ], Th. 5’, X g > e (Γ g ) t g − = X k > X m,d | k φ ( d ) µ ( m ) m Φ (cid:18) β k/m,d/ ( d,m ) ( t m ) , kt k m (cid:19) , где Φ( X, Y ) := X s > ( − s − X s s ( s − s − 2) + X s > ( − s X s Y s + X h > B h h (2 h − (cid:18) Y X (cid:19) h − . 3. Полулинейные сравнения Коэна. Для делителей l , . . . , l s чис-ла k пусть N k ( b ; l , . . . , l s ) – количествo решений сравнения x + · · · + x s = b mod k, ( x i , k ) = l i , i = 1 , . . . , s. Согласно [ ], p. 137, N k ( b ; l , . . . , l s ) = 1 k X d | k c ( b, d ) s Y i =1 c ( k/d, k/l i ) . В [ ], p. 479, появляются частные случаи чисел N k ( b ; l , . . . , l s ) и ониудаляются из производящих функций [ ], p. 481, с помощью соот-ветствующих частных случаев равенства (мы используем формулы(2) и (3)) X l ,...,l s | kl i = k,i =1 ,...,s N k ( b ; l , . . . , l s ) t ks − P l i = 1 k X d | k c ( b, d ) X l ,...,l s | kl i = k,i =1 ,...,s c ( k/d, k/l ) t k − l . . . c ( k/d, k/l s ) t k − l s = 1 k X d | k c ( b, d )( β k,d ( t )) s . Аналогично для многочленов M ( t ; n, k ) имеем X l ,...,l s | k N k ( b ; l , . . . , l s ) t P l i = 1 k X d | k c ( b, d ) X l ,...,l s | k c ( k/d, k/l ) t l . . . c ( k/d, k/l s ) t l s РОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ХАРЕРА-ЦАГИРА 7 = 1 k X d | k c ( b, d )( kM ( t ; k/d, k )) s . (6) Пусть Q r ( n, k, m ) – количество решений x i mod k, y i mod k r , i = 1 , . . . , m, полулинейного сравнения Коэна a x r y + · · · + a s x rm y m = n mod k r , (7) где ( a i , k ) = 1 для всех i . Согласно [ ], p. 547, Q r ( n, k, m ) k rm = 1 k r X d | k c r ( n, k/d ) d m . (8) В Предложении 3 мы свяжем числа Q r ( n, k, m ) с более общимимногочленами M r ( t ; n, k ) := 1 k r X d | k c r ( n, k/d ) t d , где c r ( n, k ) – r -суммы Рамануджана [ ], c r ( n, k ) := X m k r ( m,k r ) r =1 ǫ mnk r , ( a, b ) r – наибольший общий делитель чисел a и b , являющийся r -йстепенью. В частности, c ( n, k ) = c ( n, k ) и M ( t ; n, k ) = M ( t ; n, k ) .Числа Стирлинга первого рода s ( n, m ) определяются равен-ством n − Y i =0 ( t − i ) = n X m =0 s ( n, m ) t m . Пусть δ k r | n := M r (1; n, k ) = 1 k r X d | k c r ( n, k/d ) . Согласно [ ], p. 546, сумма в правой части равна , если k r | n , иравна в других случаях. Предложение . d l dt l M r ( t ; n, k ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = l X m =1 s ( l, m ) Q r ( n, k, m ) k rm , l > , (9) M r ( t ; n, k ) = δ k r | n + k X l =1 ( t − l l ! l X m =1 s ( l, m ) Q r ( n, k, m ) k rm , (10) Г. Г. ИЛЬЮТА M r ( e λ ; n, k ) = δ k r | n + ∞ X l =1 λ l l ! Q r ( n, k, l ) k rl , (11) в частности, для r = 1 d l dt l M ( t ; n, k ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = l X m =1 s ( l, m ) Q ( n, k, m ) k m , l > ,M ( t ; n, k ) = δ k | n + k X l =1 ( t − l l ! l X m =1 s ( l, m ) Q ( n, k, m ) k m ,M ( e λ ; n, k ) = δ k | n + ∞ X l =0 λ l l ! Q ( n, k, l ) k l . Доказательство. (cid:18) t ddt (cid:19) m M r ( t ; n, k ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = 1 k r (cid:18) t ddt (cid:19) m X d | k c r ( n, k/d ) t d (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = 1 k r X d | k c r ( n, k/d ) d m t d (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = Q r ( n, k, m ) k rm . Используя равенство [ ], p. 4, t l (cid:18) ddt (cid:19) l = l X m =1 s ( l, m ) (cid:18) t ddt (cid:19) m , получим формулу (9). Формулы (10) и (11) представляют собойразложения Тейлора с учётом равенства (cid:18) ddλ (cid:19) l M r ( e λ ; n, k ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) λ =0 = (cid:18) t ddt (cid:19) l M r ( t ; n, k ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = Q r ( n, k, l ) k rl . (cid:4) Отметим ещё один способ связать числа N k ( b ; l , . . . , l s ) и Q ( n, k, s ) . Заменяя в правой части формулы (6) t d на d t для всех d , получим следующий её аналог X l ,...,l s | k N k ( b ; l , . . . , l s )( Y l i ) t = 1 k X d | k c ( b, d )( X δ | k c ( k/d, k/δ ) δ t ) s . Значения левой части этой формулы в точках t ∈ Z > , а значити коэффициенты интерполяционного ряда Ньютона этой функции,определяются числами Q ( n, k, s ) (это следует из формулы (8)).Напомним, что ряд Ньютона для функции h ( t ) определяется по РОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ХАРЕРА-ЦАГИРА 9 любой последовательности a , a , a , . . . различных чисел (в нашемслучае из Z > ) h ( t ) = h ( a ) + ∞ X i =1 ∆ h [ a , . . . , a i ] i − Y j =0 ( t − a j ) , где ∆ h [ a , . . . , a i ] := i X j =0 h ( a j ) Q ip =0 ,p = j ( a j − a p ) . Согласно [ ], p. 548, для p ∈ C Q r ( n, m ) := X k > Q r ( n, k, m ) k r ( p + m ) = ζ ( rp + r − m ) ζ ( rp + r ) σ − p ( n, r ) , (9) где σ p ( n, r ) := X d r | n d rp . Докажем аналогичную формулу для многочленов M r ( t ; n, k ) . Предложение . M r ( t ; n ) := X k > M r ( t ; n, k ) k rp = Li rp + r ( t ) ζ ( rp + r ) σ − p ( n, k ) . (9) Доказательство. Используя правило умножения рядов Дирихле(коэффициенты произведения являются свёртками Дирихле коэф-фициентов сомножителей) и равенство [ ], p. 548, X k > c r ( n, k ) k rp = σ − p ( n, r ) ζ ( rp ) получим X k > M r ( t ; n, k ) k rp = X k > k rp + r X d | k c r ( n, k/d ) t d = X k > c r ( n, k ) k rp + r X k > t k k rp + r = Li rp + r ( t ) ζ ( rp + r ) σ − p ( n, k ) . (cid:4) Для производящих рядов Дирихле Q r ( n, m ) и M r ( t ; n ) Предло-жение 3 примет следующий вид (полагаем M ( t ; n ) := M ( t ; n ) и Q ( n, m ) := Q ( n, m ) ). Предложение . (cid:18) ddt (cid:19) l M r ( t ; n ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = l X m =1 s ( l, m ) Q r ( n, m ) , l > , M r ( t ; n ) = X k : k r | n k rp + X l > ( t − l l ! l X m =1 s ( l, m ) Q r ( n, m ) ,M r ( e λ ; n ) = X k : k r | n k rp + ∞ X l =1 λ l l ! Q r ( n, l ) , в частности, для r = 1 (cid:18) ddt (cid:19) l M ( t ; n ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =1 = l X m =1 s ( l, m ) Q ( n, m ) , l > ,M ( t ; n ) = X k : k | n k p + X l > ( t − l l ! l X m =1 s ( l, m ) Q ( n, m ) ,M ( e λ ; n ) = X k : k | n k p + ∞ X l =1 λ l l ! Q ( n, l ) . (cid:4) Список литературы [1] C. Ahlbach, J. P. Swanson, Cyclic sieving, necklaces, and branching rulesrelated to Thrall’s problem, arXiv:1808.06043.[2] K. Bibak, B. M. Kapron, V. Srinivasan, R. Tauraso, L. Toth, Restricted linearcongruences, J. Number Theory 171 (2017), 128-144.[3] G. Bini, J. Harer, Euler characteristics of moduli spaces of curves, J. Eur.Math. Soc. 13 (2011), 487–512.[4] E. Cohen, An extension of Ramanujan’s sum. II. Additive properties, DukeMath. J. 22 (1955), 543-550.[5] I. P. Goulden, J. H. Kwak, J. Lee, Distributions of regular branched surfacecoverings, European J. Combin. 25 (2004), 437-455.[6] J. Harer, D. Zagier, The Euler characteristic of the moduli space of curves,Invent. Math. 85 (1986), 457–485.[7] T. Hyde, Cyclotomic factors of necklace polynomials, arXiv:1811.08601.[8] W. Lang, On generalizations of the Stirling number triangles, J. Integer Seq.3 (2000), Article 00.2.4.[9] A. Lascoux, B. Leclerc, J.-Y. Thibon, Ribbon tableaux, Hall-Littlewoodfunctions and unipotent varieties, Sem. Lothar. Combin. 34 (1995), Art. B34g.[10] R. Merris, Manifestations of Polya’s counting theorem, Linear Algebra Appl.32 (1980), 299-234.[11] R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. II, Cambridge Univ. Press1999. E-mail address ::