High density QCD and nucleus-nucleus scattering deeply in the saturation region
aa r X i v : . [ h e p - ph ] J u l Preprint typeset in JHEP style - HYPER VERSION
TAUP 2919/10October 29, 2018
High density QCD and nucleus-nucleus scattering deeply in thesaturation region
Andrey Kormilitzin a ∗ , Eugene Levin a,b † and Jeremy S. Miller a,c ‡ a Department of Particle Physics, School of Physics and Astronomy, Tel Aviv University, Tel Aviv,69978, Israel b Departamento de F´ısica, Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa, Avda. Espa˜na 1680, Casilla110-V, Valparaiso, Chile c CENTRA, Departamento de F´ısica, Instituto Superior T´ecnico (IST), Av. Rovisco Pais, 1049-001Lisboa, Portugal
Abstract:
In this paper we solve the equations that describe nucleus-nucleus scattering, in high densityQCD, in the framework of the BFKL Pomeron Calculus. We found that (i) the contribution of shortdistances to the opacity for nucleus-nucleus scattering dies at high energies, (ii) the opacity tends to unityat high energy, and (iii) the main contribution that survives comes from soft (long distance) processes forlarge values of the impact parameter. The corrections to the opacity Ω (
Y, b ) = 1 were calculated andit turns out that they have a completely different form, namely ( 1 − Ω → exp (cid:16) − Const √ Y (cid:17) ) than theopacity that stems from the Balitsky-Kovchegov equation, which is ( 1 − Ω → exp (cid:0) − Const Y (cid:1) ). Wereproduce the formula for the nucleus-nucleus cross section that is commonly used in the description ofnucleus-nucleus scattering, and there is no reason why it should be correct in the Glauber-Gribov approach. Keywords: high density QCD, BFKL Pomeron, non-linear equation, nucleus-nucleus collisions.
PACS: 13.85.-t, 13.85.Hd, 11.55.-m, 11.55.Bq ∗ Email: [email protected]. † Email: [email protected]., [email protected] ‡ Email: [email protected]., [email protected] ontents
1. Introduction 12. The BFKL Pomeron Calculus 2
3. Solution to the main equations deeply in the saturation region. 11
4. The nucleus-nucleus scattering amplitude deeply in the saturation region 235. Conclusions 26
1. Introduction
High density QCD has been developed for the scattering of the dilute system of partons with the densesystem of partons [1–8]. The typical example of such processes are deep inelastic scattering at low x inwhich one colorless dipole scatters with the dense target, and/or the hadron-nucleus interaction wherethe dilute system of partons in a hadron interacts with the dense partonic system of the target. Themain non-linear equations that govern these interactions have been found [5–7] and studied in great detail.On the other hand, the scattering of the dense system of partons with the dense system of partons hasbeen actively studied [9–16] but with limited success, in spite of the fact that this scattering is closelyrelated to nucleus-nucleus scattering. The latter is a well known process that has been studied at RHICexperimentally, and in which the key property of high density QCD has been observed.In this paper we revisit the nucleus-nucleus interaction in the framework of high density QCD. Weassume that the dense-dense system interacts at high energy with the effective Lagrangian that can beobtained from the BFKL Pomeron Calculus. The final form of the effective action for this type of Pomeron– 1 – A g g G Figure 1:
The full set of the diagrams that contribute to the scattering amplitude in the kinematic region Eq. (1.1)or Eq. (2.20). interaction was formulated in Ref. [9] which we will use in this paper. We will discuss the BFKL PomeronCalculus [17, 18] in the next section, and we will show that this approach provides the set of equations thatdescribes nucleus-nucleus interactions, which was originally derived in Ref. [9] (see also Ref. [19] and ∗ ).We solve the main equations for the nucleus-nucleus interaction, which is possible thanks to the suc-cess in solving the nucleus-nucleus interaction in the framework of the BFKL Pomeron Calculus in zerotransverse dimensions. This Calculus models the real QCD case, if we neglect the fact that the sizes of theinteracting dipoles could change during the “one-dipole” to “two-dipoles” decay [4]. The equations thathave been proven in the kinematic region [22, 23] are: g S A ( b ) G IP e ω (0) Y ∝ g G IP A / i e ω (0) Y ≈ G IP e ω (0) Y ≪ g i is the vertex of the Pomeron-nucleon interaction, G IP is the triple Pomeron vertex, S A ( b ) is thenumber density of nucleons at fixed impact parameter b and Y = ln(1 /x ) is the rapidity. In this region thenucleus-nucleus scattering amplitude reduces to the sum over the class of net diagrams shown in Fig. 1.
2. The BFKL Pomeron Calculus
The main ingredients of the BFKL Pomeron Calculus are the same as in the Pomeron Calculus in zerotransverse dimensions (see Fig. 1), including the Green function of the Pomeron and the vertices of the ∗ Unfortunately, the set of equations derived in Ref. [9] has not attracted the attention that it deserves, taking into accountthat it is the first theoretical example of treating the dense-dense system of scattering. We can mention only two papers wherethe numerical solutions to the equations have been discussed and some properties of the general solution have been suggested(see Refs. [20, 21]). Part of these properties are based on the solution for the BFKL Pomeron Calculus in zero transversedimensions, which does not reflect the analytical solution for this problem given in Ref. [22] – 2 –omeron interaction. In the BFKL Pomeron Calculus only the triple Pomeron vertex and the vertex ofthe Pomeron interaction with the nucleon contribute. The first one can be calculated in perturbative QCDwhich is discussed later on, while the Pomeron - nucleon vertex is a pure non-perturbative input. However,in order to make all of the calculations more transparent, we will assume the model where the nucleus isa bag of A onia, where each of them consists of a heavy quark and antiquark. The typical distances inthe onium are small and of the order of 1 /m Q , where m Q is the heavy quark mass. Therefore, in thisoversimplified model we can perform all estimates in the framework of perturbative QCD. x x x’ x’ G = x x x’ x’ a) b) G = x x x x x’ x’ x’ x’ Y’ Y’ x" x" x" x Y’ x’ x’
11 1 Y’ Y’ x x xx x"x" x" x" x’ Y’Y Yx" x’x G GGGG G
Figure 2:
The graphical form of the BFKL PomeronGreen function in the coordinate representation(Fig. 2(a)) and the amplitude for onium-onium scat-tering (Fig. 2(b)).
Figure 3:
The graphical form of the triple Pomeronvertex in the coordinate representation.
One of the main ingredients of this approach is the Green function of the BFKL Pomeron G ( x , x | x ′ , x ′ )(see Fig. 2). The explicit expression for this Green function can be found in Ref. [18]. The onium-oniumforward scattering amplitude can be easily written using the Green function in the following form; A ( Y = lns, t = 0) = α S Z d b Z d r Z d R | Ψ ( r ) | | Ψ ( r ) | G (cid:0) x ′ , x ′ ; 0 | x , x ; Y (cid:1) (2.1)where α S is the QCD coupling , Ψ is the wave function of the onium, b is the impact parameter which isequal to ~b = ( ~x + ~x + ~x ′ + ~x ′ ) and ~r = ~x − ~x and ~R = ~x ′ − ~x ′ are the transverse sizes of the twoscattering colorless dipoles. The Green function has a simple form in this particular case, namely G ( r, R ; t = 0 , Y ) ≡ Z d b G ( x , x ; 0 | x , x ; Y ) = Z iǫ + ∞ iǫ −∞ dν π λ (0 , ν ) 1 √ r R (cid:18) r R (cid:19) iν e ω ( ν ) Y (2.2)The energy levels ω ( ν ) are the BFKL eigenvalues ω ( ν ) = 2 ¯ α S (cid:18) ψ (1) − Re ψ (cid:18)
12 + iν (cid:19)(cid:19) = ¯ α S (2 ψ (1) − ψ ( γ ) − ψ (1 − γ )) = ¯ α S χ ( γ ) (2.3)where ψ ( z ) = d ln Γ( z ) /dz and Γ( z ) is the Euler gamma function, γ = + iν is the anomalous dimension,and ¯ α S = α S N c /π where N c is the number of colors. Finally λ (0 , ν ) = 1[1 + 4 ν ] (2.4)– 3 –e do not need to know the explicit expression for the more general case. Instead of this we will discusssome key properties of the more generalized Green function. However before this we give the expression forthe triple Pomeron interaction [9] which can be written in the coordinate representation for the followingprocess. Two reggeized gluons with coordinates x ′ and x ′ at rapidity Y ′ , which we denote as { x ′ , x ′ | Y ′ } ,decays into two gluon pairs { x ′′ , x ′′ | Y ′ } and { x ′′ , x ′′ | Y ′ } due to the Pomeron splitting at rapidity Y . ThisPomeron splitting is shown pictorially in Fig. 3.2 π ¯ α S N c Z d x d x d x x x x (cid:0) L G ( x ′ , x ′ ; Y ′ | x , x ; Y ) (cid:1) × (2.5) × G ( x , x ; Y | x ′′ , x ′′ ; Y ′ ) G ( x , x ; Y | x ′′ , x ′′ ; Y ′ )where L = x p p with p = −∇ and x = ( ~x − ~x ) (2.6)For further presentation we require some properties of the BFKL Green function, which are listedbelow [18]:1. The general definition of the Green function leads to G − ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ) = p p (cid:18) ∂∂Y + H (cid:19) = (cid:18) ∂∂Y + H + (cid:19) p p (2.7) Hf ( x , x ; Y ) = ¯ α S π Z d x K ( x , x | x ) { f ( x , x ; Y ) − f ( x , x ; Y ) − f ( x , x ; Y ) } (2.8) K ( x , x | x ) = x x x (2.9)2. The initial Green function G that corresponds to the exchange of two gluons, is equal to G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ) = π ln x , ′ x , ′ x , ′ x ′ , ! ln x , ′ x , ′ x , x ′ , ′ ! (2.10)This form of G has been discussed in Ref. [18].3. It should be stressed that ∇ ∇ G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ) = (2.11)= (2 π ) (cid:16) δ (2) ( x − x ′ ) δ (2) ( x − x ′ ) + δ (2) ( x − x ′ ) δ (2) ( x − x ′ ) (cid:17)
4. At high energy the Green function is also the eigenfunction of the operator L : L G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ) = 1 λ (0 , ν ) G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ) ≈ G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ); (2.12)– 4 –he last equation holds only approximately in the region where ν ≪
1, but this is the most interestingregion which is responsible for the high energy asymptotic behavior of the scattering amplitude.
The theory with the interaction given by Eq. (2.2) and Eq. (2.5) can be written through the functionalintegral [9] Z [Φ , Φ + ] = Z D Φ D Φ + e S with S = S + S I + S E (2.13)where S describes free Pomerons, S I corresponds to their mutual interaction while S E relates to theinteraction with the external sources (target and projectile). From Eq. (2.5) and Eq. (2.13) it is clear that S = Z dY dY ′ d x d x d x ′ d x ′ Φ + ( x , x ; Y ) G − ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ) Φ( x ′ , x ′ ; Y ′ ) (2.14) S I = 2 π ¯ α S N c Z dY ′ Z d x d x d x x x x { (cid:0) L Φ( x , x ; Y ′ ) (cid:1) Φ + ( x , x ; Y ′ ) Φ + ( x , x ; Y ′ ) + h.c. } (2.15)For S E we have the local interaction both in terms of rapidity and coordinates, namely S E = − Z dY ′ d x d x { Φ( x , x ; Y ′ ) τ pr ( x , x ; Y ) + Φ + ( x , x ; Y ′ ) τ tar ( x , x ; Y ) } (2.16)where τ pr ( τ tar ) stands for the projectile and target, respectively. The form of the functions τ depend onthe non-perturbative input in our problem. In our simple model of the nucleus they have the followingform τ pr = δ (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) | Ψ ( x ) | S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) ; τ tar = δ (cid:0) Y ′ − (cid:1) | Ψ ( x ) | S A (cid:16) ~b (cid:17) (2.17)where Y = lns and S A i ( b ) is the number of nucleons at a given impact parameter b in the nucleus A i . ~B isthe impact parameter between the centers of the two nuclei and b is the position of the interacting nucleon(onium) in the target. In Eq. (2.17) we neglect the impact parameter of the onium - onium interaction incomparison with the impact parameters of the nucleons (onia) in the nuclei. Indeed, the impact parameterof the onium - onium interaction is of the order of the typical onium (nucleon) size, which is much less thanthe nucleus size. This is a key assumption of the Glauber approach [24] which restricts the value of energyuntil we can trust this approach. The radius of the onium-onium interaction increases with energy, and atultra high energy it will be larger than the nucleus size. A discussion of this increase in the framework ofQCD can be found in Ref. [25]. This assumption means that we can integrate over all impact parametersin the Pomeron interaction, and actually all fields Φ ( x , x ) and Φ + ( x , x ) can be considered to be thefields that depend only on the dipole sizes (Φ ( x ) and Φ + ( x )).– 5 – .3 The equation for nucleus-nucleus scattering Fig. 4 shows the Glauber re-scatterings that give the largest contribution to the nucleus-nucleus scatteringamplitude. The onium (nucleon) - onium (nucleon) scattering amplitude is of the order of α S and theexchange of one BFKL Pomeron leads to the following contribution to the nucleus-nucleus scatteringamplitude A IP ( Y, B ) = α S Z d b S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) S A ( b ) Z d r d R | Ψ ( r ) | | Ψ ( R ) | Z d b ′ G (cid:0) R ; 0 | r, b ′ ; Y (cid:1) (2.18)= α S Z d b S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) S A ( b ) Z d r | Ψ ( r ) | G ( r ; Y ) ∝ α S A / A / A / (for A < A ) e ω (0) Y Notice that the factor A / stems from the b integration. The contribution of the triple Pomeron interactionleads to the amplitude shown in Fig. 5. Using Eq. (2.5) and the function G ( r ; Y ) that has been introducedin Eq. (2.18), this contribution can be rewritten in the form2 ¯ α S α S Z d b S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) S A ( b ) Z Y dY ′ Z d x d x d x x x x L G (cid:0) x ; Y − Y ′ (cid:1) (2.19) ×G (cid:0) x ; Y ′ − (cid:1) G (cid:0) x ; Y ′ − (cid:1) ∝ (cid:16) α S A / A / A / e ω (0) Y (cid:17) (cid:16) α S A / e ω (0) Y (cid:17) ∼ A IP ( Y, B ) (cid:16) α S A / e ω (0) Y (cid:17) Eq. (2.19) shows that if α S A / A / e ω (0) Y ∼
1; but α S A / e ω (0) Y ≤ α S A / e ω (0) Y ∼ α S e ω (0) Y ≤ s -channel; and (2) the smallness of each triplePomeron vertex ( G IP ∝ α S ) is compensated by a large factor of A / or A / . The smallness of α S e ω (0) Y leads to the fact that we can neglect the BFKL Pomeron loops or corrections to Pomeron vertices whichare of the order of R dY dY G IP ( Y ) G IP ( Y ) exp ( ω (0)( Y − Y )) ∝ α S exp ( ω (0) Y ).It is obvious that in order to sum both the Glauber re-scatterings and the net diagrams, we need tosearch for the nucleus-nucleus scattering amplitude in the form † † The proof of this form can be found in Ref. [9] in the framework of the BFKL Pomeron Calculus and in Ref. [22], wherean explanation can be found of how Eq. (2.22) derives from the parton cascade in the Pomeron Calculus in zero transversedimensions. – 6 – ( AA ; s, B ) = i (cid:16) − exp (cid:18) −
12 Ω ( s, B ) (cid:19) (cid:17) (2.22)where Ω ( s, B ) = A IP ( Y, B ) + . . . = net diagrams (2.23)= α S A / A / A / s ω (0) Σ (cid:16) α S A / s ω (0) , α S A / e ω (0) (cid:17) (for A < A )Indeed, the Glauber form of Eq. (2.22) sums all two nuclei reducible diagrams (see Fig. 4 and Fig. 5)while net diagrams, being two nuclei irreducible, provide the contribution Ω / σ tot ( AA ; s ) = 2 Z d B Im A ( AA ; s, B ) (2.24) G G G G A A G G G A A GG G
Figure 4:
The Glauber-type re-scattering for thenucleus-nucleus scattering amplitude
Figure 5:
The contribution of the triple Pomeronvertex to the Glauber-type formula.
The equations that sum the net diagrams of Fig. 1 can be derived from [9, 19] from the followingequations of motion δSδ
Φ ( x, y ) = 0; δSδ Φ + ( x, y ) = 0; (2.25)Using the action of Eq. (2.13), one can derive from Eq. (2.25) the system of two equations of motionfor the theory given by Eq. (2.13): – 7 – h Φ( x, y ; Y ′ ) i ∂ Y ′ = (2.26)¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n h Φ( x, z ; Y ′ ) i + h Φ( z, y ; Y ′ ) i − h Φ( x, y ; Y ′ ) i − πα S h Φ( z, y ; Y ′ )Φ( z, y ; Y ′ ) i o − π ) ¯ α S π πα S Z d z d x ′ d y ′ ( x ′ − y ′ ) G (cid:0) x, y ; Y ′ | x ′ , y ′ ; Y ′ (cid:1) K (cid:0) x ′ , y ′ | z (cid:1) h (cid:8) L zy ′ Φ + (cid:0) z, y ′ , Y − Y ′ (cid:1)(cid:9) Φ( x ′ , z ; Y ′ ) i− ∂ h Φ + ( x, y ; Y − Y ′ ) ∂ Y ′ = (2.27)= ¯ α S π Z d zK ( x, y | z ) n h Φ + ( x, z ; Y − Y ′ ) i + h Φ + ( z, y ; Y − Y ′ ) i − h Φ + ( x, y ; Y − Y ′ ) i −− πα S h Φ + ( z, y ; Y − Y ′ )Φ + ( z, y ; Y − Y ′ ) i o − π ) ¯ α S π πα S Z d z d x ′ d y ′ ( x ′ − y ′ ) G (cid:0) x, y ; Y ′ | x ′ , y ′ ; Y ′ (cid:1) K (cid:0) x ′ , y ′ | z (cid:1) h (cid:8) L zy ′ Φ (cid:0) z, y ′ ; Y ′ (cid:1)(cid:9) Φ + ( x ′ , z ; Y − Y ′ ) i In Eq. (2.26) and Eq. (2.27) the procedure of averaging is defined as h O ( x, z ; Y ′ ) i ≡ R D Φ D Φ + O ( x, z, Y ) e S [ Φ , Φ + ] R D Φ D Φ + e S [Φ , Φ + ] | S E =0 (2.28)Eq. (2.26) and Eq. (2.27) are general equations for the theory of interacting BFKL Pomerons whichsum all possible diagrams. For the net diagrams we have the additional property that h Φ( x, z ; Y ) Φ( z, y ; Y ) i = h Φ( x, z ; Y ) i h Φ( z, y ; Y ) i ; h Φ + ( x, z ; Y ) Φ + ( z, y ; Y ) i = h Φ + ( x, z ; Y ) i h Φ + ( z, y ; Y ) i ; h Φ + ( x, z ; Y ) Φ( z, y ; Y ) i = h Φ + ( x, z ; Y ) i h Φ( z, y ; Y ) i (2.29)Indeed, drawing all diagrams in the kinematic region of Eq. (2.21) for h Φ( x, z ; Y ) Φ( z, y ; Y ) i one can seethat we have two sets of diagrams, that are disconnected from each other. Introducing N ( x, y ; Y ) = − πα S R D Φ D Φ + Φ( x, z, Y ) e S [ Φ , Φ + ] R D Φ D Φ + e S [Φ , Φ + ] | S E =0 and N + ( x, y ; Y ) = − πα S R D Φ D Φ + Φ + ( x, z, Y ) e S [ Φ , Φ + ] R D Φ D Φ + e S [Φ , Φ + ] | S E =0 (2.30)and using Eq. (2.29) we rewrite Eq. (2.26) and Eq. (2.27) in the form– 8 – N ( x, y ; Y ′ ) ∂ Y ′ = (2.31)= ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n N ( x, z ; Y ′ ) + N ( z, y ; Y ′ ) − N ( x, y ; Y ′ ) − N ( z, y ; Y ′ ) N ( z, y ; Y ′ ) o − π ) ¯ α S π Z d z d x ′ d y ′ ( x ′ − y ′ ) G (cid:0) x, y ; Y ′ | x ′ , y ′ ; Y ′ (cid:1) K (cid:0) x ′ , y ′ | z (cid:1) (cid:8) L zy ′ N + (cid:0) z, y ′ , Y − Y ′ (cid:1)(cid:9) N ( x ′ , z ; Y ′ ) − ∂N + ( x, y ; Y − Y ′ ) ∂ Y ′ = (2.32)= ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n N + ( x, z ; Y − Y ′ ) + N + ( z, y ; Y − Y ′ ) − N + ( x, y ; Y − Y ′ ) −− N + ( z, y ; Y − Y ′ ) N + ( z, y ; Y − Y ′ ) o − π ) ¯ α S π Z d z d x ′ d y ′ ( x ′ − y ′ ) G (cid:0) x, y ; Y ′ | x ′ , y ′ ; Y ′ (cid:1) K (cid:0) x ′ , y ′ | z (cid:1) (cid:8) L zy ′ N (cid:0) z, y ′ ; Y ′ (cid:1)(cid:9) N + ( x ′ , z ; Y − Y ′ ) = − N − N N − N N + YY’0
Figure 6:
The pictorial representation of Eq. (2.31) )(see Fig. 6-A). Fig. 6-B shows the initial condition for thisequation. The black blob denotes the triple gluon vertex while the wavy lines describe BFKL Pomerons.
The graphical form of the first equation (Eq. (2.31)) is shown in Fig. 6-A. The equation for N + hasthe same graphical form with the replacement N → N + and N + → N . Note, that the initial condition for N + has the form of Fig. 6-B but with the Pomeron attached to the upper nucleus.Using the initial condition of Fig. 6-B one can check that the iterations of Eq. (2.31) reproduce the setof net diagrams of Fig. 1. Comparing Fig. 1 with Fig. 6 one can see that Eq. (2.31) sums the net diagrams,proving that the set of equations of Eq. (2.31) and Eq. (2.32) describe the nucleus-nucleus scattering.Eq. (2.29) leads to the second and the third terms of equation. These terms reflect the key property of thenet diagrams, namely that three Pomerons in a triple Pomeron vertex generates the two sets of diagramsthat are disconnected from each other (see Fig. 7-A, where these two sets of diagrams are shown in boldand normal wavy lines). In other words, each Pomeron line that connects two sets of diagrams gives thecontribution of the order of α S e ω (0) Y ≤ N + is small, Eq. (2.31) reduces to the familiar Balitsky-Kovchegov (BK) equation.– 9 – ) B) A A A A Figure 7:
The diagrams for N . In Fig. 7-A we denote by bold wavy lines and by normal lines, the Pomerons thatcontribute to the different N and N terms of Eq. (2.31) (see Fig. 6-A). In Fig. 7-B the Pomeron that connects thetwo sets of diagrams is shown in blue. One can see that its contribution is suppressed by a factor of α S s ω (0) . The typical example of this type of situation is deep inelastic scattering (DIS), but even in this casewe have to be careful [26]. Indeed, the BK equation sums the class of “fan” diagrams shown in Fig. 8.For large photon virtualities Q , it is sufficient to take into account just the scattering of one dipole whosetransverse size is of the order of 1 /Q . However, the typical sizes of the dipoles inside of the diagrams ofFig. 8 can reach values, such that it is no longer justified to use this class of “fan” diagrams [1, 26].It is interesting to notice that in the B-K limit, N being the Green function of two gluons can beviewed as the amplitude of the dipole scattering. In the case of nucleus-nucleus scattering the scatteringamplitude of a dipole that interacts with two nuclei is a more complicated observable which for small N and N + is equal to N + N + .It should be stressed that the proof of Eq. (2.31) and Eq. (2.32), as well as the relation to BFKLPomeron diagrams were discussed in Refs. [9,19–21] as well as in Ref. [22] for the BFKL Pomeron Calculusin zero transverse dimensions. In this section we just introduce notations and the main ingredients of thisapproach for completeness of presentation. Y0 = rRrR G Y0 GG Y’ r ’
Figure 8:
The “fan” diagrams that are summed bythe Balitsky-Kovchegov equation. The zig zag linesdenote the BFKL Pomeron.
Figure 9:
The graphical form of the BFKL contri-bution of Eq. (3.1). – 10 – . Solution to the main equations deeply in the saturation region.
In Ref. [26], it is shown that actually we are dealing with two saturation scales even in the dilute-densescattering system. Indeed, let us consider the BFKL Pomeron contribution to the case of DIS. From thecomplete set of eigenfunctions of the BFKL equation, one can conclude that (see Eq. (2.2)) G ( r, R ; t = 0 , Y ) = Z d r ′ G (cid:0) r, r ′ ; t = 0 , Y − Y ′ (cid:1) G (cid:0) r ′ , R ; t = 0 , Y ′ − (cid:1) (3.1)= 1 √ r R Z iǫ + ∞ iǫ −∞ dν ′ π Z iǫ + ∞ iǫ −∞ dν π Z d r ′ r ′ (cid:18) r r ′ (cid:19) iν (cid:18) r ′ R (cid:19) iν ′ exp n ω ( ν )( Y − Y ′ ) + ω ( ν ′ )( Y ′ − o Integrating over r ′ leads to δ ( ν − ν ′ ) and provides the relation given in Eq. (3.1), which is the generalproperty of the Green function. On the other hand, each of the Green functions in Eq. (3.1) has its ownsaturation momentum. It is well known [1,27–29] that the equation for the saturation scale does not dependon the non-linear terms and can be derived from the knowledge of only the linear part of the equation withthe BFKL kernel. Using the general equation for the saturation scale [1, 27–29], one finds two saturationscales for the two Green functions G (cid:0) r, r ′ ; t = 0 , Y − Y ′ (cid:1) → ln (cid:0) r /r ′ s (cid:1) = − ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ; (3.2) G (cid:0) r ′ , R ; t = 0 , Y ′ − (cid:1) → ln (cid:0) r ′ s /R (cid:1) = − ω ( γ cr )1 − γ cr ( Y −
0) ; (3.3)where Q s = 1 /r s and γ = + iν while γ cr can be found from the equation − dω ( γ ) dγ | γ = γ cr = ω ( γ cr )1 − γ cr (3.4)resolving these equations we obtain two saturation scales:ln (cid:0) Q ,s r (cid:1) = − ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ; (3.5)ln (cid:0) Q ,s R (cid:1) = ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y ′ − (cid:1) ; (3.6)Eq. (3.5) and Eq. (3.6) can be rewritten in the form Q ,s = Q exp (cid:16) − ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) (cid:17) ; (3.7) Q ,s = Q ,s ( Y = 0) exp (cid:16) ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y ′ − (cid:1) (cid:17) ; (3.8)It is useful to introduce two scaling variables:– 11 – (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) YY’0 x s= 2 ln(r’Q (A;Y’=0)) z > 0 z > 0+ z =0+ B F K L B F K L z=0 Figure 10:
Two saturation scales for DIS. z + = ln (cid:0) r ′ Q ,s (cid:1) = λ s Y ′ + ξ ; z = − ln (cid:0) r ′ Q ,s (cid:1) = λ s (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) − ξ (3.9)where ξ = ln (cid:0) r ′ Q ,s ( Y ′ = 0) (cid:1) and λ s = ω ( γ cr ) / (1 − γ cr ). The saturation effects start to be essentialwhen both z and z + are positive. For negative z and z + we can safely use the linear (BFKL) evolutionequation (see Fig. 10). For DIS due to the large value of the photon virtuality, we have the region wherethe size of the dipole is smaller than both of the inverse saturation scales [26, 30] (see Fig. 10). However, inthe case of nucleus-nucleus scattering the situation is quite different. In this case in the entire kinematicregion of low x we cannot neglect the saturation effects, rather we have to solve the non-linear equations(see Fig. 11). It is worth mentioning that z + z + = ln (cid:0) r Q s ( Y ) (cid:1) ≡ ζ where Q s = Q ,s ( Y = 0) e λ s Y (3.10)One recognizes that Q s is the saturation momentum in the Balitsky-Kovchegov equation for DIS. Althoughthe idea of two saturation scales has been on the market during the past six years starting with the paperof Mueller and Shoshi [26], it still needs some demystifying. For this purpose let us consider deep inelasticscattering at low x in the double log approximation (DLA). The main contribution stems from the kinematicregion where1 ≫ x ≫ . . . ≫ x i ≫ . . . ≫ x ; Q ≪ k , ⊥ ≪ . . . k i, ⊥ ≪ . . . ≪ k n, ⊥ ≪ Q ; (3.11)The dipole amplitude in the momentum representation in the DLA looks as follows N ( Q ; Q ; Y ) = Const Q Q exp (cid:16) q ¯ α S Y ln (cid:0) Q /Q (cid:1)(cid:17) (3.12)and this amplitude satisfies the unitarity constraints N < Q > Q s = Q e α S Y (3.13)– 12 –q. (3.1) can be written in the form N ( Q ; Q ; Y ) ∝ Z d ln (cid:0) k i, ⊥ /Q (cid:1) N (cid:0) Q, k i, ⊥ ; Y − Y ′ (cid:1) N (cid:0) k i, ⊥ , Q ; Y ′ (cid:1) (3.14)The amplitude N ( k i, ⊥ , Q ; Y ′ ) < k i, ⊥ > Q s = Q e α S Y ′ (3.15)while the amplitude N ( Q, k i, ⊥ ; Y − Y ′ ) < Q > k i, ⊥ e α S ( Y − Y ′ ) (3.16)One can see that the value of k i, ⊥ for which both amplitudes are in the region where we can apply pertur-bative QCD or, in other words, where both amplitudes are small, has to satisfy the following inequality Q ,s = Q e − α S ( Y − Y ′ ) > k i, ⊥ > Q ,s = Q e α S Y ′ (3.17)It should be stressed that even when Q is large ( Q > Q s , see Eq. (3.13)) and the solution of Eq. (3.12)turns out to be small enough to satisfy the unitarity constraints, the partons inside the DGLAP cascadewith transverse momenta given in Eq. (3.17), violate unitarity. If Q = Q s (see Eq. (3.13)) both parts ofthe inequality of Eq. (3.17) are equal and all partons violate unitarity. For Q < Q s we have the situationshown in Fig. 11. We hope that this equation clarified the appearance of two saturation scales and explainsFig. 10 and Fig. 11.It should be stressed that Eq. (3.2) as well as the entire discussion in this section, including Fig. 10 andFig. 11, are related to the partons (dipoles) that give the main contribution to the total cross section (BFKLPomeron). To illustrate this point, it is instructive to consider partons with k i, ⊥ >> Q and k i, ⊥ >> Q ,for which we expect that saturation effects will be small, which would seem to disagree with Eq. (3.17) ‡ . These partons do not contribute to the deep inelastic scattering in the DLA approach, as we have seenin Eq. (3.11), and therefore, we do not consider them. However, it is worthwhile to discuss why and howthese parton are not essential. For these partons that we are discussing, Eq. (3.1) looks like Eq. (3.14),however N (cid:0) Q ; k i, ⊥ , Y − Y ′ (cid:1) = Const Q k i, ⊥ exp (cid:16) r ¯ α S ( Y − Y ′ ) ln (cid:16) k i, ⊥ /Q (cid:17) (cid:17) (3.18)Taking Eq. (3.18) into account, we can rewrite Eq. (3.1) for these partons as N ( Q ; Q ; Y ) ∝ Z Q d ln (cid:16) k i, ⊥ /Q (cid:17) k i, ⊥ exp (cid:16) r ¯ α S ( Y − Y ′ ) ln (cid:16) k i, ⊥ /Q (cid:17) + 2 r ¯ α S Y ′ ln (cid:16) k i, ⊥ /Q (cid:17) (cid:17) (3.19)Integration over k i, ⊥ in Eq. (3.19) leads to k i, ⊥ → Q , and hence the resulting contribution to N ( Q ; Q ; Y )is proportional to exp (cid:16) q ¯ α S Y ′ ln (cid:0) Q /Q (cid:1)(cid:17) ≪ exp (cid:16) q ¯ α S Y ln (cid:0) Q /Q (cid:1)(cid:17) (Eq. (3.12)). In the general ‡ We thank our referee, who drew our attention to this point. – 13 –ase of Eq. (3.1), the integration measure changes from d r ′ /r ′ , to d r ′ / √ r R . Consequently the integra-tion over r ′ leads to δ ( ν − ν ′ − i ) instead of δ ( ν − ν ′ ). Thus the ν ′ integration leads to the contributionof such partons that forms a negligible part of the total cross section. It should be mentioned that a muchmore detailed analysis can be found in Ref. [26]. The last item that we wish to mention, is that we arediscussing the total cross section, whereas the contribution to the inclusive cross section has a completelydifferent form, with two saturation momenta, which are different. One can see that in the kinematic region where (see Fig. 11) z > z + >
0, then both amplitudes N ( r, R ; Y ′ ) and N + ( R, r ; Y − Y ′ ) are deeply in the saturation region. We can find the solution toEq. (2.31) and Eq. (2.32) in this region, using experience of solving the Balitsky-Kovchegov equation [31]. Inthis approach N is replaced with N = 1 + ∆ N (and similarly for N + ). This, together with the observationthat constant N + in Eq. (2.31), and constant N in Eq. (2.32) don’t contribute, we see that the asymptoticsolution is N = 1. Replacing N with 1 + ∆ N in Eq. (2.31) and acting with L xy on both sides, and usingEq. (2.11) leads to; ∂ ( L xy ∆ N ( x, y ; Y ′ )) ∂ Y ′ = (3.20) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) (cid:0) L xy ∆ N ( x, y ; Y ′ ) (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) (cid:0) L xz ∆ N + ( x, z ; Y ′ ) (cid:1) In Eq. (3.20) we neglect all contributions of the order (∆ N ) , ∆ N ∆ N + and (∆ N + ) . A similar result isfound by using the analogous above mentioned approach on Eq. (2.32). (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) YY’0 x s(one scale)Saturation Saturation(one scale)z =0+z=0 = 2 ln(r’Q (A;Y’=0)) z > 0 z > 0 + z > 0 + z > 0 Saturation(two scales)
Figure 11:
Two saturation scales for nucleus-nucleus scattering. – 14 –ntroducing the new functions ˜ n = L xy ∆ N and ˜ n + = L xy ∆ N + we see that Eq. (2.31) and Eq. (2.32)reduce to two linear equations ∂ ˜ n ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n + (cid:0) z, y, Y ′ (cid:1) (3.21) − ∂ ˜ n + ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n (cid:0) z, y, Y ′ (cid:1) (3.22)We first rewrite these equations in a more convenient form: ∂ ˜ n ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) (3.23) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n n + (cid:0) x, z, Y ′ (cid:1) − ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o − ∂ ˜ n + ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) (3.24) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n n (cid:0) x, z, Y ′ (cid:1) − ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o We calculate R d z K ( x, y | z ) taking into account that the main contribution in the saturation regionstems from the decay of the large size dipole into one small size dipole and one large size dipole. Indeed, Z d z K ( x , x | z ) → π Z x dx x | x − x | = π Z x ρ dx x + π Z x ρ d | x − x || x − x | (3.25)= 2 π ln (cid:0) x /ρ (cid:1) = 2 π ξ It should be noted that the ξ which is defined in Eq. (3.25), is different from the ξ that appears in Fig. 10and Fig. 11. At this stage we have introduced the artificial cutoff at small values of the dipole size ( ρ ), butthe physical cutoff is ρ = 1 /Q s , as discussed in Ref. [31]. It should be noticed that for the opposite case,when a dipole decays to two dipoles of larger sizes, there is no logarithmic contribution, since Z d z K ( x , x | z ) → π Z /Q s x dx x ′ (3.26)In the two scale kinematic region, the size of the dipole is restricted as follows (see Fig. 11 and Eq. (3.7)and Eq. (3.8)); 1 /Q ,s ≥ r ′ ≥ /Q ,s (3.27)Therefore, the natural choice is ρ = 1 /Q ,s . Using Eq. (3.25), then Eq. (3.23) and Eq. (3.24) simplify tothe following; – 15 – ˜ n ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S z + n ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) + ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o (3.28) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n n + (cid:0) x, z, Y ′ (cid:1) − ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o − ∂ ˜ n + ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S z + n ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) + ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o (3.29) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n n (cid:0) x, z, Y ′ (cid:1) − ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o We use the double Mellin transform to solve Eq. (3.28) and Eq. (3.29), namely˜ n (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜ n ( ω, γ ) e ωY ′ +(1 − γ ) z + (3.30)˜ n + (cid:0) z, Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜ n + ( ω, γ ) e ωY ′ +(1 − γ ) z + (3.31)Substituting Eq. (3.30) and Eq. (3.31) into Eq. (3.28) and Eq. (3.29), adding and subtracting these twoequations we obtain for Σ (cid:16) ω, γ (cid:17) = ˜ n ( ω, γ ) + ˜ n + ( ω, γ ) and ∆ (cid:16) ω, γ (cid:17) = ˜ n ( ω, γ ) − ˜ n + ( ω, γ ) the following;( ω + λ s (1 − γ )) ∆ ( ω, γ ) = − α S ∂ Σ ( ω, γ ) ∂γ − ω ( γ ) Σ ( ω, γ ) (3.32)( ω + λ s (1 − γ )) Σ ( ω, γ ) = ω ( γ ) ∆ ( ω, γ ) ; (3.33)where ω ( γ ) is given by Eq. (2.3). Solving Eq. (3.32) we findΣ ( ω, γ ) = Σ ( γ ) exp n − Z γ dγ ′ (cid:16) ω + λ s (1 − γ ′ ) (cid:17) + ω ( γ ′ )2 ¯ α S ω ( γ ′ ) o (3.34)= Σ ( γ ) exp n L ( γ ) ω + F ( γ ) ω + K ( γ ) o (3.35)where we define L ( γ ) = −
12 ¯ α S Z γ dγ ′ ω ( γ ′ ) (3.36) F ( γ ) = − α S Z γ dγ ′ λ s (1 − γ ′ ) ω ( γ ′ ) (3.37) K ( γ ) = −
12 ¯ α S Z γ dγ ′ λ s (1 − γ ′ ) ω ( γ ′ ) −
12 ¯ α S Z γ dγ ′ ω (cid:0) γ ′ (cid:1) (3.38)– 16 –nd where Σ ( γ ) has to be found from the matching with the regions with one saturation scale (seeFig. 11). Using Eq. (3.34) we obtain the solution in the formΣ (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi Σ ( γ ) e Ψ ( ω,γ,Y ′ ,z + ) (3.39)Ψ (cid:0) ω, γ, Y ′ , z + (cid:1) = ω (cid:0) Y ′ + F ( γ ) (cid:1) + (1 − γ ) z + + ω L ( γ ) (3.40)where the function K ( γ ) which appears in the exponential function in Eq. (3.35) has been absorbedinto the function Σ ( γ ) in Eq. (3.39). The integral over ω in Eq. (3.39) can be taken explicitly leading tothe following expressionΣ (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = − Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi Σ ( γ ) r πL ( γ ) exp (cid:16) (1 − γ ) z + − ( Y ′ + F ( γ )) L ( γ ) (cid:17) (3.41)= − Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) exp (cid:16) (1 − γ ) z + − Y ′ L ( γ ) (cid:0) Y ′ + 2 F ( γ ) (cid:1) (cid:17) (3.42)where passing from Eq. (3.41) to Eq. (3.42), a factor of ( π/L ( γ )) / and exp (cid:0) − F ( γ ) / L ( γ ) (cid:1) havebeen absorbed into the function ˜Σ ( γ ). From Eq. (3.32) and Eq. (3.35) we can deduce ∆ ( ω, γ ), viz;∆ ( ω, γ ) = ( ω + λ s (1 − γ )) ω ( γ ) Σ ( γ ) exp n L ( γ ) ω + F ( γ ) ω + K ( γ ) o (3.43)Using the double Mellin transform of Eq. (3.30) we can transform ∆ ( ω, γ ) to ∆ ( z + , Y ′ ) which is afunction of z + and Y ′ as∆ (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ( ω + λ s (1 − γ )) ω ( γ ) Σ ( γ ) (3.44) × exp n (1 − γ ) z + + (cid:0) Y ′ + F ( γ ) (cid:1) ω + L ( γ ) ω o where a factor of exp ( K ( γ )) has been absorbed into the function Σ ( γ ). The integration over ω canbe solved analytically, leading to∆ (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = − Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi Σ ( γ ) r πL ( γ ) (cid:18) − Y ′ + F ( γ )2 ω ( γ ) L ( γ ) + λ s (1 − γ ) ω ( γ ) (cid:19) (3.45)exp n (1 − γ ) z + − ( Y ′ + F ( γ )) L ( γ ) o = − Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) (cid:18) − Y ′ + F ( γ )2 ω ( γ ) L ( γ ) + λ s (1 − γ ) ω ( γ ) (cid:19) (3.46)exp n (1 − γ ) z + − Y ′ ( Y ′ + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) o – 17 –here in passing from Eq. (3.45) to Eq. (3.46), a factor of ( π/L ( γ )) / and exp (cid:0) − F ( γ ) / L ( γ ) (cid:1) hasbeen absorbed into the function ˜Σ ( γ ). From the definition Σ ( z + , Y ′ ) = ˜ n ( z + , Y ′ ) + ˜ n + ( z + , Y ′ ) and∆ ( z + , Y ′ ) = ˜ n ( z + , Y ′ ) − ˜ n + ( z + , Y ′ ), then using Eq. (3.42) and Eq. (3.46) we can obtain ˜ n ( z + , Y ′ ) and˜ n + ( z + , Y ′ ) as˜ n (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) 12 (cid:16) θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) (cid:17) exp (cid:16) (1 − γ ) z + + Y ′ τ (cid:0) Y ′ , γ (cid:1) (cid:17) (3.47)˜ n + (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) 12 (cid:16) − θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) (cid:17) exp (cid:16) (1 − γ ) z + + Y ′ τ (cid:0) Y ′ , γ (cid:1) (cid:17) (3.48)where we define θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) = − Y ′ + F ( γ )2 ω ( γ ) L ( γ ) + λ s (1 − γ ) ω ( γ ) = − ¯ α S L ( γ ) ddγ (cid:16) Y ′ + F ( γ ) L ( γ ) (cid:17) (3.49) τ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) = − ( Y ′ + 2 F ( γ ) )4 L ( γ ) (3.50)where we have absorbed all factors that depend on γ in the function ˜Σ ( γ ), which should be foundfrom the boundary conditions. For z + = 0 the solution reduces to˜ n (cid:0) z + = 0 , Y ′ − Y (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) 12 (cid:16) θ (cid:0) γ, Y ′ − Y (cid:1) (cid:17) exp (cid:16) (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) τ (cid:0) γ, Y ′ − Y (cid:1) (cid:17) (3.51)In Eq. (3.51) we introduced the initial value of rapidity Y = Y which was assumed to be equal tozero above. Let us find the Green function demanding that ˜ n ( z + = 0 , Y ′ − Y ) = δ ( Y ′ − Y ). If we findsuch a solution, then integrating it over Y with an arbitrary function will lead to any boundary condition.Actually, as we know at z + = 0, then ˜ n = Const (see Ref. [31]) but we will discuss this condition below inmore detail. Choosing ˜Σ ( γ ) = Σ ¯ α S L ( γ ) (3.52)we can rewrite the pre-exponential factor in Eq. (3.51) in the form˜Σ ( γ ) 12 (cid:16) θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) (cid:17) → Σ (cid:16)
12 ¯ α S L ( γ ) + 12 dτ ( γ, Y ′ ) dγ − ddγ (cid:18) F ( γ ) L ( γ ) (cid:19) + h ( γ ) (cid:17) (3.53)where h ( γ ) is another arbitrary function of γ to be determined by boundary conditions. It is clearthat the dτ ( γ, Y ′ ) /dγ term in Eq. (3.53) leads to δ ( Y ′ − Y ) after integration over γ , since we have the– 18 –reedom to change the integration variable in Eq. (3.51) to τ = − ( Y ′ − Y + 2 F ( γ )) / (4 L ( γ )). The secondterm as well as h ( γ ) gives the function that falls down as e − Y ′ / at large Y ′ . Finally, the solution toEq. (3.47) with the boundary condition ˜ n ( z + = 0 , Y ′ − Y ) = δ ( Y ′ − Y ) has the form˜ n (cid:0) z + , Y ′ − Y (cid:1) = Σ Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi n dτ ( γ ) dγ + ˜ h ( γ ) o exp (cid:16) (1 − γ ) z + + (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) τ (cid:0) γ, Y ′ − Y (cid:1) (cid:17) (3.54)where Σ is a constant with respect to Y ′ and ξ and˜ h ( γ ) = 12 ¯ α S L ( γ ) − ddγ (cid:18) F ( γ ) L ( γ ) (cid:19) + h ( γ ) (3.55)The next step is to satisfy to the initial condition for Y ′ = Y . Along this line the initial condition is givenby Eq. (2.17), namely, § ˜ n (cid:0) ξ, Y ′ = Y (cid:1) = 2 α S C F N c x ln (cid:0) x /r (cid:1) S A ( b ) = 2 α S C F N c S A ( b ) Q s ( A, Y ′ = Y ) ξ e ξ = ζ ( b ) ξe ξ (3.56)Note that when Y ′ = Y , then Eq. (3.50) implies that dτ ( γ, Y ′ = Y ) /dγ = − d/dγ { F ( γ ) / L ( γ ) } .Therefore, we need to find Σ from the condition˜ n (cid:0) ξ, Y ′ = Y (cid:1) = Σ Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi (cid:18)
12 ¯ α S L ( γ ) − ddγ (cid:18) F ( γ ) L ( γ ) (cid:19) + h ( γ ) (cid:19) e (1 − γ ) ξ = ζ ( b ) ξe ξ ⇒ ˜ n (cid:0) ξ, Y ′ = Y (cid:1) = Σ Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi (cid:18)
12 ¯ α S L ( γ ) − F ( γ )4 ¯ α S L ( γ ) ω ( γ ) + λ s (1 − γ )2 ¯ α S ω ( γ ) L ( γ ) + h ( γ ) (cid:19) e (1 − γ ) ξ (3.57)= ζ ( b ) ξe ξ At γ → F ( γ ) → λ s L ( γ ) + O (cid:0) γ (cid:1) and therefore, the only singularity 1 /γ stems from the1 /L ( γ ) term in Eq. (3.57), (assuming that h ( γ ) has no such singularity). Therefore, we need to find Σ from the condition ˜ n (cid:0) ξ, Y ′ = Y (cid:1) = Σ Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi
12 ¯ α S L ( γ ) e (1 − γ ) ξ = ζ ( b ) ξe ξ (3.58)Assuming that γ in Eq. (3.58) will be small we see that (see Eq. (3.36)) L ( γ ) = Z γ dγ ′
12 ¯ α S ω ( γ ′ ) γ ≪ −−−→
14 ¯ α S γ (3.59)Using Eq. (3.59), one can see that Eq. (3.57) is satisfied if;Σ = ζ ( b ) / α S (3.60) § We hope that the notation ζ ( b ) that we use below, will not be confused with ζ in Eq. (3.10). – 19 –herefore, we can consider h ( γ ) = 0 if we are not interested in the correction of the order of 1 /ξ tothe initial condition of Eq. (3.56). Finally, the solution which takes into account both initial and boundaryconditions takes the form˜ n (cid:0) z + , Y ′ − Y (cid:1) = ζ ( b )4 ¯ α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) o (3.61) × exp (cid:16) (1 − γ ) z + − (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) ( Y ′ − Y + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) = ζ ( b )4 ¯ α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) o e Ψ ( Y ′ ,z + ,γ )In order to find ˜ n ( z, Y − Y ′ ), we notice that Eq. (3.47) at the rapidity Y − Y ′ is also a solution to theequation. Using the fact that from Eq. (3.9) z + = λ s Y − z , then Eq. (3.61) can be recast as˜ n (cid:0) z + , Y − Y ′ (cid:1) = Σ ( Y ) Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi
12 ¯ α S L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y − Y ′ (cid:1) o (3.62) × exp (cid:16) (1 − γ ) ( λ s Y − z ) − (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ( Y − Y ′ + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) However generally speaking, Σ in Eq. (3.62) is not a constant, but rather a function of Y . Using Eq. (3.60)and by choosing this function to take the formΣ ( Y ) = Σ (cid:16) ; ~B − ~b (cid:17) exp ( − λ s Y ) = ζ (cid:16) ~B − ~b (cid:17) α S exp ( − λ s Y ) (3.63)we obtain the required solution for ˜ n + ( z, Y − Y ′ ). Finally˜ n + (cid:0) z, Y − Y ′ (cid:1) = ζ (cid:16) ~B − ~b (cid:17) α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y − Y ′ (cid:1) o (3.64) × exp (cid:16) − (1 − γ ) z − (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ( Y − Y ′ + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) Using the steepest decent method we can estimate the typical value of γ in the integral of Eq. (3.61).The saddle point equation looks as follows ∂ Ψ ( Y ′ , z + , γ ) ∂γ = − z + − ( Y ′ − Y ) L ( γ SP ) L ′ γ ( γ SP ) − (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) (cid:18) F ( γ SP )4 L ( γ SP ) (cid:19) ′ γ = 0 (3.65)– 20 –he solution to Eq. (3.65) leads to larger values of γ SP . Indeed, at large γ we have ω ( γ ) γ = iκ ; κ ≫ −−−−−−−→ − α S ln( κ ); L ( γ ) γ = iκ ; κ ≫ −−−−−−−→
14 ¯ α S γ ln ( κ ) ; F ( γ ) γ = iκ ; κ ≫ −−−−−−−→ − λ s α S γ ln ( κ ) (3.66)After substituting these expressions into Eq. (3.65) we obtain that γ SP = s ( Y ′ − Y ) ¯ α S ln( κ ) z + − λ s ( Y ′ − Y ) / n (cid:0) z + , Y ′ − Y (cid:1) ∝ H (cid:0) Y ′ − Y , z + (cid:1) exp (cid:0) z + − Z (cid:1) (3.68)where Z = q Y ′ − Y ) ¯ α S ln(˜ κ ) ( z + − λ s ( Y ′ − Y ) / κ = s ( Y ′ − Y ) ¯ α S z + − λ s ( Y ′ − Y ) / H is a function which varies slowly with Y ′ − Y and z + . Using the same approach we obtain for˜ n + ( z, Y − Y ′ ) the following expression˜ n + (cid:0) z, Y − Y ′ (cid:1) ∝ H + (cid:0) Y − Y ′ , z (cid:1) exp (cid:0) − z − Z + (cid:1) (3.69)where Z + = q Y − Y ′ ) ¯ α S ln(˜ κ + ) ( − z + λ s ( Y − Y ′ ) / κ + = s ( Y − Y ′ ) ¯ α S z − λ s ( Y − Y ′ ) / κ ) by ln (˜ κ ) one can calculate the pre-exponential factors in Eq. (3.68) and Eq. (3.69)using Eq. (3.66) and the formula of Ref. [32], namely˜ n ( Z ) = 2 ζ ( b ) ln (˜ κ ) e z + n ¯ α S (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) ( z + − λ s ( Y ′ − Y ) / Z K ( Z ) + K ( Z ) o (3.70)˜ n + (cid:0) Z + (cid:1) = 2 ζ ( ~B − ~b ) ln (cid:0) ˜ κ + (cid:1) e − z n ¯ α S (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ( − z + λ s ( Y − Y ′ ) / Z + K (cid:0) Z + (cid:1) + K (cid:0) Z + (cid:1) o (3.71) The solution given by Eq. (3.68), is correct in the region with two saturation scales, or in other words, theregion between the two lines z + = 0 and z = 0 in Fig. 11. In the region to the right of the line z = 0, then z + becomes negative and ˜ n + is small here. Therefore, the equation for ˜ n takes the form ω ˜ n ( ω, γ ) = − ¯ α S ∂ ˜ n ( ω, γ ) ∂ γ (3.72)– 21 –nstead of Eq. (3.32) and Eq. (3.33). The solution to this equation is very simple˜ n ( ω, γ ) = ˜ n ( γ ) exp n − ¯ α S ω γ o (3.73)where we need to find ˜ n ( ω, γ ) from the matching of this solution with the solution in the kinematic regionwith two saturation scales at z = 0 (see Eq. (3.68)). Substituting Eq. (3.73) into Eq. (3.30) we obtain˜ n (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜ n ( γ ; Y ) e ωY ′ +(1 − γ ) z + − ¯ α S ω γ (3.74)Integrating over ω we see that ¯ α S γ = Y ′ and finally we have˜ n (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = ˜ n (cid:0) Y ′ ; Y (cid:1) e z + − ( Y ′ − Y ) z + / ¯ α S (3.75)which coincides with the solution given in Ref. [33]. At z = 0, then z + = ζ , Z = r ¯ α S ln (cid:16) ( Y ′ − Y ) / √ ζ − λ s Y ′ / (cid:17) ζ − λ s Y ′ / ( Y ′ − Y ) , and keeping only the factors in the exponent, we obtain˜ n (cid:0) Y ′ ; Y (cid:1) = e η ( Y ′ ,Y ) (3.76)with η (cid:0) Y ′ , Y (cid:1) = − ζ + ( Y ′ − Y ) ζ/ ¯ α S + vuut ¯ α S ln (cid:16) ( Y ′ − Y ) / p ζ − λ s ( Y ′ − Y ) (cid:17) ζ − λ s ( Y ′ − Y ) ( Y ′ − Y ) (3.77)Therefore, the answer in the kinematic region with z <
0, is˜ n (cid:0) z + , Y ′ , Y | z + < (cid:1) = H (smooth function of z + and Y ′ ) e η ( Y ′ ,Y )+ z + − z + ( Y ′ − Y ) / ¯ α S (3.78)It is easy to see that the solution for ˜ n + ( z, Y ′ , Y | z <
0) can be obtained from Eq. (3.78) with thereplacement: Y ′ → Y − Y ′ and z + → z which yields;˜ n (cid:0) z, Y ′ , Y | z < (cid:1) = H (smooth function of z and Y − Y ′ ) e η + ( Y ′ ,Y | Eq. (3 . z − z ( Y − Y ′ ) / ¯ α S (3.79)with η + (cid:0) Y ′ , Y (cid:1) = − ζ + (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ζ/ ¯ α S + vuut ¯ α S ln (cid:16) ( Y − Y ′ ) / p λ s ( Y − Y ′ ) − ζ (cid:17) ζ − λ s ( Y − Y ′ ) ( Y − Y ′ ) (3.80)It should be stressed that the variable ξ ( b ) that we use in the definition of z + and z is equal to ξ (cid:16) ~b (cid:17) = ln (cid:16) r ′ S A (cid:16) ~b (cid:17) Z d b ′ Q ,s (cid:0) proton , Y ′ = 0; b ′ (cid:1) (cid:17) for z + (3.81) ξ (cid:16) ~B − ~b (cid:17) = ln (cid:16) r ′ S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) Z d b ′ Q ,s (cid:0) proton , Y − Y ′ = 0; b ′ (cid:1) (cid:17) for z – 22 – . The nucleus-nucleus scattering amplitude deeply in the saturation region Recalling that ˜ n = L xy ∆ N and ˜ n + = L xy ∆ N + we first need to find ∆ N and ∆ N + . Using Eq. (2.12)and Eq. (3.61) we can see that∆ N (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = ζ ( b )4 ¯ α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi λ (0 , ν ) 1 L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) o (4.1) × exp (cid:16) (1 − γ ) z + − (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) ( Y ′ − Y + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) = ζ ( b )4 ¯ α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi γ (1 − γ ) L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) o × exp (cid:16) (1 − γ ) z + − (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) ( Y ′ − Y + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) ∆ N + (cid:0) z, Y − Y ′ (cid:1) = ζ (cid:16) ~B − ~b (cid:17) α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi γ (1 − γ ) L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y − Y ′ (cid:1) o (4.2) × exp (cid:16) (1 − γ ) z − (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ( Y − Y ′ + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) Assuming that large values of γ contribute to the integrals in Eq. (4.1) and Eq. (4.2), we can rewrite theseequations in a more economical format, after using the formulae and in Ref. [32]. Inthis approach, after integrating over γ , then Eq. (4.1) and Eq. (4.2) lead to the following expressions for∆ N and ∆ N + ∆ N (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = 2 ζ ( b ) ln (˜ κ ) e z + n (cid:18) z + − λ s ( Y ′ − Y ) / Z (cid:19) K ( Z ) (4.3)+ 2 ¯ α S (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) (cid:18) z + − λ s ( Y ′ − Y ) / Z (cid:19) K ( Z ) o ∆ N + (cid:0) z, Y − Y ′ (cid:1) = 2 ζ ( ~B − ~b ) ln (cid:0) ˜ κ + (cid:1) e − z n (cid:18) − z + λ s ( Y − Y ′ ) / Z + (cid:19) K (cid:0) Z + (cid:1) (4.4)+ 2 ¯ α S (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) (cid:18) − z + λ s ( Y − Y ′ ) / Z + (cid:19) K (cid:0) Z + (cid:1) o In Eq. (4.3) and Eq. (4.4) we use the same notation convention that was used in Eq. (3.70) andEq. (3.71). The obvious way to calculate Ω (see Eq. (2.22)) is to find N ( z + = z, Y ′ = Y ), sinceΩ / Z d x τ pr N (cid:0) z + = z, Y ′ = Y (cid:1) (4.5)– 23 – + N Figure 12:
The graphical representation of the equation used for calculating the scattering amplitude using the t -channel unitarity. Y0Y’ N + N N + NN + NN + N + + Figure 13:
The example of the diagram which is described in terms of Eq. (4.6).
However, in order to use Eq. (4.5) one needs to know the value of N near to the saturation scale, whereasour approach has been developed inside of the two regions of saturation scales. We use the method relatedto t -channel unitarity (see Fig. 12) which was suggested and adjusted to high density QCD in Refs. [26,34].In this approach ∆Ω ( ζ ) / Z dz ∆ N (cid:0) Y ′ , z (cid:1) ∆ N (cid:0) Y − Y ′ , z (cid:1) (4.6)It should be stressed that the “net diagrams” of Fig. 1 possess the following remarkable property, thatby cutting one BFKL Pomeron line we do not change the integration over the kinematic variables thatdescribe other Pomerons. Therefore, these Pomerons are included in the description given by equationEq. (4.3) and Eq. (4.4) for N and N + . In Fig. 13 we give an example of the diagram which is described interms of Eq. (4.6). This figure illustrates the fact that the topology of the net diagrams (see Fig. 1) is veryessential to the derivation of Eq. (4.6). The Pomeron loops cannot be taken into account using Eq. (4.6).The net diagrams have another remarkable feature, namely that all paths in the diagram that start fromone nucleus, also finish at the other nucleus. In other words, there are no loops in the diagram. Each pathcan be cut at some value of rapidity, and contributes to Eq. (4.6). Keeping only the factor in the exponentwe obtain that – 24 –Ω ( ζ ) / Z d ¯ z exp (cid:16) − Z − Z + (cid:17) (4.7)= Z d ¯ z exp (cid:16) − vuut ¯ α S ln (cid:16) ( Y − Y ′ ) / q ζ − ¯ z (cid:17) ζ − ¯ z ( Y − Y ′ ) − s ¯ α S ln (cid:0) Y ′ / √ ¯ z (cid:1) ¯ z ( Y ′ ) (cid:17) where ¯ z = z + − λ s Y ′ . Integrating over ¯ z using the steepest decent method we obtain that the saddlepoint in the ¯ z -integration is ¯ z SP = ζ/
4, which leads to∆Ω ( ζ ) / H exp n − vuut ¯ α S ln Y / p ζ/ ! Y p ζ/ o (4.8)It is interesting to note that the dependence on Y ′ disappears, and the approach to the unitarity boundis much milder than in the case of the solution to the BK equation. Indeed, in the saturation region withtwo saturation scales ∆Ω ∝ exp (cid:16) − Const √ Y (cid:17) while for the BK equation ∆Ω ∝ exp (cid:16) − Const Y (cid:17) .The function ˜ H absorbs all the pre-exponential factors that depend on Y and impact parameters. Thenucleus-nucleus scattering amplitude can be written using Eq. (2.22) - Eq. (2.24) in the formIm A ( Y ; B ) = 1 − exp (cid:16) − Z d b d b ′ (cid:16) ˜ S A ( b ) ˜ S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) − ∆Ω (cid:17) (cid:17) (4.9)where b is the impact parameter of the nucleon inside of one nucleus and B is the distance between thecenters of two nucleons. b ′ in Eq. (4.9) is the impact parameter of the dipole inside of the nucleon. Aswe have discussed above, in our approach we integrated over this impact parameter. The typical value of b ′ is our new dimensional parameter, that determines the range of energy which we can reach within thisapproach. Generally speaking the average b ′ increases with energy, but we assume that < b ′ > ≪ R A .This inequality determines the range of energies where we can trust our approach. The energy dependenceof < b > cannot be found in our approach, since in the framework of perturbative QCD, < b > ∝ s ∆ .However we know (see the Froissart theorem in ref. [35]) that < b ′ > can increase only logarithmically, butthe parameters of such an increase will depend crucially on the non-perturbative parameter: the mass ofthe lightest hadron. The best estimate is to insert into Eq. (4.9) the experimental value of the inelasticcross section for the proton-proton interaction. In doing so we obtainIm A ( Y ; B ) = 1 − exp (cid:16) − σ in ( pp ) Z d b ˜ S A ( b ) ˜ S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) (cid:17) (4.10)It should be stressed that Eq. (4.10) flows naturally from our approach, whereas however it is certainlyincorrect in the usual Glauber-Gribov [36] approximation (see Refs. [37]). However, we would like to stressthat the form factors ˜ S A i are different from the usual nucleus form factor S A ( b ). Indeed, S A ( b ) gives thenumber of nucleons that have impact parameter b and it is equal to S A ( b ) = Z ∞−∞ dz ρ A ( z, b ) (4.11)– 25 –here ρ is the density of nucleons in the nucleus. ˜ S A ( b ) is equal to˜ S A ( b ) = Z R N − R N dz ρ A ( z, b ) (4.12)and it characterizes the situation when all nucleons with the impact parameter b interact as one.
5. Conclusions
In this paper we consider nucleus-nucleus scattering at high energies in the framework of the BFKL PomeronCalculus, given by Eq. (2.13), which follows from the direct sum over Feynman diagrams. It turns outthat for the dilute-dense system scattering, this approach gives the same results as other approaches, suchas the dipole approach and the JIMWLK equation. Therefore, it seems reasonable to discuss nucleusscattering using the BFKL Pomeron Calculus, since other approaches have failed to successfully derivethe set of equations for the dense-dense scattering amplitude. However, we would like to mention that inspite of the fact that we believe that the BFKL Pomeron Calculus describes the high energy interactionin QCD, we cannot exclude the opposite. In particular, it is possible that the four- Pomeron interactioncould contribute at high energies. The most important result of this paper is the statement that at highenergies, the equations in the BFKL Pomeron Calculus do not contradict either the s -channel unitarity, orthe property of crossing symmetry. The main properties of our solution for the nucleus-nucleus scatteringamplitude, can be summarized as follows.1. The contribution of short distances to the opacity Ω, dies at high energies.2. The opacity tends to unity at high energies.3. The main contribution that survives, originates from soft (long distance) processes for large valuesof the impact parameter.The corrections to the opacity Ω = 1 − ∆ N that stem from short distances, have been discussed inthis paper and it was shown that they behave differently from the corrections to the Balitsky-Kovchegovequation. Indeed, it turns out that ∆ N ∝ exp (cid:16) − Const √ Y (cid:17) while for the BK equation, ∆ N ∝ exp (cid:0) − ConstY (cid:1) .The most salient result of this paper is the formula of Eq. (4.10) that describes nucleus-nucleus colli-sions. This formula is instructive, especially since in the usual Glauber-Gribov approach, there is no reasonto expect that this formula works [37].All of these above mentioned results are based on the BFKL Pomeron Calculus . It should be stressedthat this Calculus and the action of Eq. (2.13) has been proven only at N c ≫
1. However, we shouldemphasize that the equivalence of this approach with other approaches (see refs. [10, 13] for example)that originate from the JIMWLK equation [7], have not been proven. It should be stressed that the two– 26 –trategies reflect two different fundamental features of QCD, namely that the BFKL Pomeron Calculussatisfies, by construction, the t -channel unitarity whereas JIMWLK-based approaches are precise fromthe point of view of s -channel unitarity. In general Eq. (2.31) and Eq. (2.32) give the equations for thedense-dense system of scattering, in the mean field approximation which replaces the BK equation, whilethe solution that was found in this paper has the same legacy as the solution to the BK equation deeplyin the saturation region, given in Ref. [31].However, the mean field approximation cannot be trusted at extremely high energies. Strictly speakingstarting from Y = Y m where α S exp (cid:16) ω (0) Y m (cid:17) = 1, both solutions are not valid and we need to take intoaccount all kind of enhanced diagrams (see Fig. 7-b for example). However, to calculate such diagrams weneed to find the Green function of the Pomeron in the mean field approximation. Since at Y = Y m thesesolutions give the amplitude which is close to the unitarity boundary , the Green function can be small ¶ show that such a scenario looks very plausible. Therefore, the problem of taking into account of Pomeronloops could be not important for the understanding of the phenomena of saturation. Acknowledgements
This work was supported in part by the Fondecyt (Chile) grant
References [1] L. V. Gribov, E. M. Levin and M. G. Ryskin, Phys. Rep. (1983) 1.[2] A. H. Mueller and J. Qiu, Nucl. Phys.
B268 (1986) 427.[3] L. McLerran and R. Venugopalan, Phys. Rev.
D49 (1994) 2233, 3352;
D50 (1994) 2225;
D53 (1996) 458;
D59 (1999) 09400.[4] A. H. Mueller, Nucl. Phys. B , 373 (1994); Nucl. Phys. B (1995) 107 [arXiv:hep-ph/9408245].[5] I. Balitsky, [arXiv:hep-ph/9509348];
Phys. Rev.
D60 , 014020 (1999) [arXiv:hep-ph/9812311][6] Y. V. Kovchegov,
Phys. Rev.
D60 , 034008 (1999), [arXiv:hep-ph/9901281].[7] J. Jalilian-Marian, A. Kovner, A. Leonidov and H. Weigert,
Phys. Rev.
D59 , 014014 (1999),[arXiv:hep-ph/9706377];
Nucl. Phys.
B504 , 415 (1997), [arXiv:hep-ph/9701284]; J. Jalilian-Marian,A. Kovner and H. Weigert,
Phys. Rev.
D59 , 014015 (1999), [arXiv:hep-ph/9709432]; A. Kovner,J. G. Milhano and H. Weigert,
Phys. Rev.
D62 , 114005 (2000), [arXiv:hep-ph/0004014] ; E. Iancu,A. Leonidov and L. D. McLerran,
Phys. Lett.
B510 , 133 (2001); [arXiv:hep-ph/0102009];
Nucl. Phys.
A692 ,583 (2001), [arXiv:hep-ph/0011241]; E. Ferreiro, E. Iancu, A. Leonidov and L. McLerran,
Nucl. Phys.
A703 ,489 (2002), [arXiv:hep-ph/0109115]; H. Weigert,
Nucl. Phys.
A703 , 823 (2002), [arXiv:hep-ph/0004044]. ¶ The Green function in the mean field approximation has not been found in the BFKL Pomeron calculus. Howevernumerical estimates [38] and examples of analytical solution for this Green function in the BFKL Pomeron calculus in zerotransverse dimension []GKLM – 27 –
8] E. Gotsman, E. Levin, U. Maor and E. Naftali, Nucl. Phys. A (2005) 391 [arXiv:hep-ph/0411242].[9] M. A. Braun, Phys.Lett. B 483 (2000) 115, [arXiv:hep-ph/0003004]; Eur.Phys.J C (2004) 113[arXiv:hep-ph/0309293] ; Phys. Lett. B (2006) 297, [Eur. Phys. J. C (2006) 511],[arXiv:hep-ph/0512057].[10] T. Altinoluk, A. Kovner, M. Lublinsky and J. Peressutti, JHEP (2009) 109 [arXiv:0901.2559 [hep-ph]];A. Kovner and M. Lublinsky, Phys. Rev. Lett. (2005) 181603 [arXiv:hep-ph/0502119]; Phys. Rev. D (2005) 085004 [arXiv:hep-ph/0501198].[11] E. Levin and M. Lublinsky, Nucl. Phys. A (2005) 172 [arXiv:hep-ph/0501173].[12] J. P. Blaizot, E. Iancu, K. Itakura and D. N. Triantafyllopoulos, Phys. Lett. B (2005) 221[arXiv:hep-ph/0502221].[13] Y. Hatta, E. Iancu, L. McLerran, A. Stasto and D. N. Triantafyllopoulos, Nucl. Phys. A (2006) 423[arXiv:hep-ph/0504182].[14] C. Marquet, A. H. Mueller, A. I. Shoshi and S. M. H. Wong, Nucl. Phys. A (2005) 252[arXiv:hep-ph/0505229].[15] E. Levin, J. Miller and A. Prygarin, Nucl. Phys. A (2008) 245 [arXiv:0706.2944 [hep-ph]].[16] E. Levin, Nucl. Phys. B (1995) 303 [arXiv:hep-ph/9412345].[17] E. A. Kuraev, L. N. Lipatov, and F. S. Fadin, Sov. Phys. JETP , 199 (1977); Ya. Ya. Balitsky and L. N.Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. , 22 (1978).[18] L. N. Lipatov, Phys. Rep. (1997) 131; Sov. Phys. JETP (1986) 904 and references therein.[19] M. Kozlov, E. Levin and A. Prygarin, Nucl. Phys. A , 122 (2007) [arXiv:0704.2124 [hep-ph]]; “The BFKLpomeron calculus: Probabilistic interpretation and high energy amplitude,” arXiv:hep-ph/0606260.[20] S. Bondarenko and L. Motyka, Phys. Rev. D (2007) 114015 [arXiv:hep-ph/0605185].[21] S. Bondarenko and M. A. Braun, Nucl. Phys. A (2008) 151 [arXiv:0708.3629 [hep-ph]].[22] E. Gotsman, A. Kormilitzin, E. Levin and U. Maor, Nucl. Phys. A (2010) 82 [arXiv:0912.4689 [hep-ph]].[23] A. Schwimmer, Nucl. Phys. B (1975) 445.[24] R.J.Glauber, in “Lectures in Theoretical Physics” , edited by by W. E. Britten et al. (Interscience, New York) , (1959) 315.[25] A. Kovner and U. A. Wiedemann, Phys. Lett. B (2003) 311 [arXiv:hep-ph/0207335]; Phys. Rev. D (2002) 034031 [arXiv:hep-ph/0204277]; Phys. Rev. D (2002) 051502 [arXiv:hep-ph/0112140].[26] A. H. Mueller and A. I. Shoshi, Nucl. Phys. B (2004) 175 [arXiv:hep-ph/0402193].[27] A. H. Mueller, Nucl. Phys. A (2003) 223 [arXiv:hep-ph/0301109];Nucl. Phys. B (1999) 285[arXiv:hep-ph/9904404]; D. Kharzeev, E. Levin and L. McLerran, Phys. Lett. B (2003) 93[arXiv:hep-ph/0210332]; E. M. Levin and M. G. Ryskin, Nucl. Phys. B (1988) 805; Sov. J. Nucl. Phys. 41(1985) 472.[28] A. H. Mueller and D. N. Triantafyllopoulos, Nucl. Phys.
B640 (2002) 331[arXiv:hep-ph/0205167]; D. N. Triantafyllopoulos,
Nucl. Phys.
B648 (2003) 293 [arXiv:hep-ph/0209121]. – 28 –
29] S. Munier and R. Peschanski,
Phys. Rev.
D70 (2004) 077503;
D69 (2004) 034008 [arXiv:hep-ph/0310357];
Phys. Rev. Lett. (2003) 232001 [arXiv:hep-ph/0309177].[30] V. A. Khoze, A. D. Martin, M. G. Ryskin and W. J. Stirling, Phys. Rev. D (2004) 074013[arXiv:hep-ph/0406135].[31] E. Levin and K. Tuchin, Nucl. Phys. B (2000) 833 [arXiv:hep-ph/9908317].[32] I. Gradstein and I. Ryzhik, ”Tables of Series, Products, and Integrals” , Verlag MIR, Moskau,1981.[33] E. Levin and K. Tuchin, Nucl. Phys. A (2001) 787 [arXiv:hep-ph/0101275].[34] E. Iancu and A. H. Mueller, Nucl. Phys. A730 (2004) 460 [arXiv:hep-ph/0308315]; 494[arXiv:hep-ph/0309276].[35] M. Froissart,
Phys. Rev. (1961) 1053;A. Martin, “Scattering Theory: Unitarity, Analitysity and Crossing.” Lecture Notes in Physics,Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York, 1969.[36] R.J. Glauber, In: Lectures in Theor. Phys., v. 1, ed. W.E. Brittin and L.G. Duham. NY: Intersciences, 1959;Gribov, V. N., Sov. Phys. JETP
892 (1969)]; Sov. Phys. JETP
709 [Zh.Eksp. Teor. Fiz. (1969) 1306].[37] A. Kaidalov, Nucl. Phys. A (1991) 39; K. G. Boreskov and A. B. Kaidalov, Sov. J. Nucl. Phys. (1988)367 [Yad. Fiz. (1988) 575]; Acta Phys. Polon. B (1989) 397 and references therein.[38] M. A. Braun, A. Tarasov, [arXiv:1010.2586 [hep-ph]]. – 29 – r X i v : . [ h e p - ph ] J u l Preprint typeset in JHEP style - HYPER VERSION
TAUP 2919/10October 29, 2018
High density QCD and nucleus-nucleus scattering deeply in thesaturation region
Andrey Kormilitzin a ∗ , Eugene Levin a,b † and Jeremy S. Miller a,c ‡ a Department of Particle Physics, School of Physics and Astronomy, Tel Aviv University, Tel Aviv,69978, Israel b Departamento de F´ısica, Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa, Avda. Espa˜na 1680, Casilla110-V, Valparaiso, Chile c CENTRA, Departamento de F´ısica, Instituto Superior T´ecnico (IST), Av. Rovisco Pais, 1049-001Lisboa, Portugal
Abstract:
In this paper we solve the equations that describe nucleus nucleus scattering, in high densityQCD, in the framework of the BFKL Pomeron calculus. We found that (i) the contribution of shortdistances to the opacity for nucleus-nucleus scattering dies at high energies, (ii) the opacity tends to unityat high energy, and (iii) the main contribution that survives comes from soft (long distance) processes forlarge values of the impact parameter. The corrections to the opacity Ω (
Y, b ) = 1 were calculated and itturns out that they have a completely different form, namely ( 1 − Ω → exp (cid:16) − Const √ Y (cid:17) ) than the opacitythat stems from the Balisky-Kovchegov equation, which is ( 1 − Ω → exp (cid:0) − Const Y (cid:1) ). We reproduce theformula for the nucleus-nucleus cross section that is commonly used in the description of nucleus-nucleusscattering, and there is no reason why it should be correct in the Glauber-Gribov approach. Keywords: high density QCD, BFKL Pomeron, non-linear equation, nucleus-nucleus collisions.
PACS: 13.85.-t, 13.85.Hd, 11.55.-m, 11.55.Bq ∗ Email: [email protected]. † Email: [email protected]., [email protected] ‡ Email: [email protected]., [email protected] ontents
1. Introduction 12. The BFKL Pomeron Calculus 2
3. Solution to the main equations deeply in the saturation region. 8
4. The nucleus-nucleus scattering amplitude deeply in the saturation region 195. Conclusions 22
1. Introduction
High density QCD has been developed for the scattering of the dilute system of partons with the densesystem of partons [1–7]. The typical example of such processes are deep inelastic scattering at low x inwhich one colorless dipole scatters with the dense target, and/or the hadron-nucleus interaction wherethe dilute system of partons in a hadron interacts with the dense partonic system of the target. Themain non-linear equations that govern these interactions have been found [5–7] and studied in great detail.On the other hand, the scattering of the dense system of partons with the dense system of partons hasbeen actively studied [8–14] but with limited success, in spite of the fact that this scattering is closelyrelated to nucleus-nucleus scattering. The latter is a well known process that has been studied at RHICexperimentally, and in which the key property of high density QCD has been observed.In this paper we revisit the nucleus-nucleus interaction in the framework of high density QCD. Weassume that the dense-dense system interacts at high energy with the effective Lagrangian that can beobtained from the BFKL Pomeron Calculus. The final form of the effective action for this type of Pomeron– 1 – A g g G Figure 1:
The full set of the diagrams that contribute to the scattering amplitude in the kinematic region Eq. (1.1)or Eq. (2.19). interaction was formulated in Ref. [8] which we will use in this paper. We will discuss the BFKL PomeronCalculus [17, 18] in the next section, and we will show that this approach provides the set of equations thatdescribes nucleus-nucleus interactions, which was originally derived in Ref. [8] (see also Ref. [19] and ∗ ).We solve the main equations for the nucleus-nucleus interaction, which is possible thanks to the suc-cess in solving the nucleus-nucleus interaction in the framework of the BFKL Pomeron Calculus in zerotransverse dimensions. This Calculus models the real QCD case, if we neglect the fact that the sizes of theinteracting dipoles could change during the one dipole to two dipoles decay [4]. The equations have beenproven in the kinematic region [20, 21] are: g S A ( b ) G IP e ∆ Y ∝ g G IP A / i e ∆ Y ≈ G IP e ∆ Y ≪ g i is the vertex of the Pomeron-nucleon interaction, G IP is the triple Pomeron vertex, S A ( b ) is thenumber density of nucleons at fixed impact parameter b and Y = ln(1 /x ) is the rapidity. In this region thenucleus-nucleus scattering amplitude reduces to the sum over the class of net diagrams shown in Fig. 1.
2. The BFKL Pomeron Calculus
The main ingredients of the BFKL Pomeron Calculus are the same as in the Pomeron Calculus in zerotransverse dimensions (see Fig. 1), including the Green function of the Pomeron and the vertices of the ∗ Unfortunately, the set of equations derived in Ref. [8] has not attracted a deserved atention, being the first theoreticalexample of treating dense-dense system scattering. We can mention only two papers where the numerical solutions to theequations have discussed and some properties of the general solution have been suggested (see Refs. [15, 16]). Part of theseproperties are based on the solution for the BFKL Pomeron Calculus in zero transverse dimensions which does not reflect theanalitical solution for this problem given in Ref. [21] – 2 –omeron interaction. In the BFKL Pomeron Calculus only the triple Pomeron vertex and the vertex ofthe Pomeron interaction with the nucleon contribute. The first one can be calculated in perturbative QCDwhich is discussed later on, while the Pomeron - nucleon vertex is a pure non-perturbative input. However,in order to make all of the calculations more transparent, we will assume the model where the nucleus isa bag of A onium, where each of them consists of a heavy quark and antiquark. The typical distancesin the onium are small and of the order of 1 /m Q , where m Q is the heavy quark mass. Therefore, in thisoversimplified model we can perform all estimates in the framework of perturbative QCD. x x x’ x’ G = x x x’ x’ a) b) G = x x x x x’ x’ x’ x’ Y’ Y’ x" x" x" x Y’ x’ x’
11 1 Y’ Y’ x x xx x"x" x" x" x’ Y’Y Yx" x’x G GGGG G
Figure 2:
The graphical form of the BFKL PomeronGreen function in the coordinate representation(Fig. 2-a) and the amplitude for onium-onium scat-tering (Fig. 2-b).
Figure 3:
The graphical form of the triple Pomeronvertex in the coordinate representation.
One of the main ingredients of this approach is the Green function of the BFKL Pomeron G ( x , x | x ′ , x ′ )(see Fig. 2). The explicit expression for this Green function can be found in Ref. [18]. The onium-oniumforward scattering amplitude can be easily written using the Green function in the following form; A ( Y = lns, t = 0) = α S Z d b Z d r Z d R | Ψ ( r ) | | Ψ ( r ) | G (cid:0) x ′ , x ′ ; 0 | x , x ; Y (cid:1) (2.1)where α S is the QCD coupling , Ψ is the wave function of the onium, b is the impact parameter which isequal to ~b = ( ~x + ~x + ~x ′ + ~x ′ ) and ~r = ~x − ~x and ~R = ~x ′ − ~x ′ are the transverse sizes of the twoscattering colorless dipoles. The Green function has a simple form in this particular case, namely G ( r, R ; t = 0 , Y ) ≡ Z d b G ( x , x ; 0 | x , x ; Y ) = Z iǫ + ∞ iǫ −∞ dν π λ (0 , ν ) 1 √ r R (cid:18) r R (cid:19) iν e ω ( ν ) Y (2.2)The energy levels ω ( ν ) are the BFKL eigenvalues ω ( ν ) = 2 ¯ α S (cid:18) ψ (1) − Re ψ (cid:18)
12 + iν (cid:19)(cid:19) = ¯ α S (2 ψ (1) − ψ ( γ ) − ψ (1 − γ )) = ¯ α S χ ( γ ) (2.3)where ψ ( z ) = d ln Γ( z ) /dz and Γ( z ) is the Euler gamma function, γ = + iν is the anomalous dimension,and ¯ α S = α S N c /π where N c is the number of colors. Finally λ (0 , ν ) = 1[1 + 4 ν ] (2.4)– 3 –e do not need to know the explicit expression for the more general case. Instead of this we will discusssome key properties of the more generalized Green function. However before this we give the expression forthe triple Pomeron interaction [8] which can be written in the coordinate representation for the followingprocess, namely two reggeized gluons with coordinates x ′ and x ′ at rapidity Y ′ which we denote as { x ′ , x ′ | Y ′ } decay into two gluon pairs { x ′′ , x ′′ | Y ′ } and { x ′′ , x ′′ | Y ′ } due to the Pomeron splitting at rapidity Y . This Pomeron splitting is shown pictorially in Fig. 3.2 π ¯ α S N c Z d x d x d x x x x (cid:0) L , G ( x ′ , x ′ ; Y ′ | x , x ; Y ) (cid:1) · (2.5) G ( x , x ; Y | x ′′ , x ′′ ; Y ′ ) G ( x , x ; Y | x ′′ , x ′′ ; Y ′ )where L = r p p with p = −∇ and r = ( ~x − ~x ) (2.6)For further presentation we need some properties of the BFKL Green function [18]:1. The general definition of the Green function leads to G − ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ) = p p (cid:18) ∂∂Y + H (cid:19) = (cid:18) ∂∂Y + H + (cid:19) p p ; (2.7) Hf ( x , x ; Y ) = ¯ α S π Z d x K ( x , x | x ) ( f ( x , x ; Y ) − f ( x , x ; Y ) − f ( x , x ; Y )) ; (2.8)with K ( x , x | x ) = x x x (2.9)2. The initial Green function ( G ). which corresponds to exchange of two gluons, is equal to G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ) = π ln x , ′ x , ′ x , ′ x ′ , ! ln x , ′ x , ′ x , x ′ , ′ ! (2.10)This form of G has been discussed in Ref. [18].3. It should be stressed that ∇ ∇ G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ) = (2 π ) (cid:16) δ (2) ( x − x ′ ) δ (2) ( x − x ′ ) + δ (2) ( x − x ′ ) δ (2) ( x − x ′ ) (cid:17) (2.11)4. At high energy the Green function is also the eigenfunction of operator L : L G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ) = 1 λ (0 , ν ) G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ) ≈ G ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ); (2.12)The last equation holds only approximately in the region where ν ≪
1, but this is the most interestingregion which is responsible for the high energy asymptotic behavior of the scattering amplitude.– 4 – .2 Functional integral formulation of the BFKL Pomeron Calculus.
The theory with the interaction given by Eq. (2.2) and Eq. (2.5) can be written through the functionalintegral [8] Z [Φ , Φ + ] = Z D Φ D Φ + e S with S = S + S I + S E (2.13)where S describes free Pomerons, S I corresponds to their mutual interaction while S E relates to theinteraction with the external sources (target and projectile). From Eq. (2.5) and Eq. (2.5) it is clear that S = Z dY dY ′ d x d x d x ′ d x ′ Φ + ( x , x ; Y ) G − ( x , x ; Y | x ′ , x ′ ; Y ′ ) Φ( x ′ , x ′ ; Y ′ ) (2.14) S I = 2 π ¯ α S N c Z dY ′ Z d x d x d x x x x ·{ (cid:0) L , Φ( x , x ; Y ′ ) (cid:1) · Φ + ( x , x ; Y ′ ) Φ + ( x , x ; Y ′ ) + h.c. } (2.15)For S E we have the local interaction both in terms of rapidity and coordinates, namely, S E = − Z dY ′ d x d x { Φ( x , x ; Y ′ ) τ pr ( x , x ; Y ) + Φ + ( x , x ; Y ′ ) τ tar ( x , x ; Y ) } (2.16)where τ pr ( τ tar ) stands for the projectile and target, respectively. The form of the functions τ depend onthe non-perturbative input in our problem. In our simple model of the nucleus they have the followingform; τ pr = δ (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) | Ψ ( x ) | S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) ; τ tar = δ (cid:0) Y ′ − (cid:1) | Ψ ( x ) | S A (cid:16) ~b (cid:17) (2.17)where Y = lns and S A ( b ) is the number of nucleons at a given impact parameter b in the nucleus A . ~B isthe impact parameter between the centers of the two nuclei and b is the position of the interacting nucleon(onium) in the target. In Eq. (2.17) we neglect the impact parameter of the onium - onium interaction incomparison with the impact parameters of the nucleons (onia) in the nuclei. Indeed, the impact parameterof the onium - onium interaction is of the order of the typical onium (nucleon) size, which is much less thanthe nucleus size. This is a key assumption of the Glauber approach [22] which restricts the value of energyuntil we can trust this approach. The radius of the onium-onium interaction increases with energy, and atultra high energy it will be larger than the nucleus size. A discussion of this increase in the framework ofQCD can be found in Ref. [23]. This assumption means that we can integrate over all impact parametersin the Pomeron interaction, and actually all fields Φ ( x , x ) and Φ + ( x , x ) can be considered to be thefields that depend only on the dipole sizes (Φ ( x ) and Φ + ( x )). Fig. 4 shows the Glauber rescatterings that give the largest contribution to the nucleus-nucleus scatteringamplitude. The onium(nucleon)-onium(nucleon) scattering amplitude is of the order of α S and the exchangeof one BFKL Pomeron leads to the following contribution to the nucleus-nucleus scattering amplitude;– 5 – IP ( Y, B ) = α S Z d bS A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) S A ( b ) Z d rd R | Ψ ( r ) | | Ψ ( R ) | Z d b ′ G (cid:0) R ; 0 | r, b ′ ; Y (cid:1) ∝ α S A / A / e ω (0) Y (2.18)The contribution of the triple Pomeron interaction leads to the amplitude (see Fig. 5) which is of the orderof α S A / A / e ω (0) Y . Therefore if α S A / A / e ω (0) Y ∼
1; but α S A / e ω (0) Y ≤ α S A / e ω (0) Y ∼ α S e ω (0) Y ≤ A ( AA ; s, B ) = i (cid:16) − exp (cid:18) −
12 Ω ( s, B ) (cid:19) (cid:17) (2.21)where Ω ( s, B ) = A IP ( Y, B ) + . . . = net diagrams (2.22)The normalization of Eq. (2.21) is the following σ tot ( AA ; s ) = 2 Z d B Im A ( AA ; s, B | Eq. (2.21)) (2.23)
G G G G A A G G G A A GG G
Figure 4:
The Glauber-type re-scattering for thenucleus-nucleus scattering amplitude
Figure 5:
The contribution of the triple Pomeronvertex to the Glauber-type formula.
The equations that sum the net diagrams of Fig. 1 can be derived from [8,19] under the condition that δSδ
Φ ( x, y ) = 0; δSδ Φ + ( x, y ) = 0; (2.24)– 6 –sing the action of Eq. (2.13), one can derive from Eq. (2.24) the system of two equations that describesthe dense-dense scattering in the semiclassical approximation: ∂N ( x, y ; Y ′ ) ∂ Y ′ = (2.25)= ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) (cid:0) N ( x, z ; Y ′ ) + N ( z, y ; Y ′ ) − N ( x, y ; Y ′ ) − N ( z, y ; Y ′ ) N ( z, y ; Y ′ ) (cid:1) − π ) ¯ α S π Z G (cid:0) x, y ; Y ′ | x ′ , y ′ ; Y ′ (cid:1) d x ′ d y ′ ( x ′ − y ′ ) K (cid:0) x ′ , y ′ | z (cid:1) d z (cid:0) L z,y ′ N + (cid:0) z, y ′ , Y − Y ′ (cid:1)(cid:1) N ( x ′ , z ; Y ′ ) − ∂N + ( x, y ; Y − Y ′ ) ∂ Y ′ = (2.26)= ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) (cid:0) N + ( x, z ; Y − Y ′ ) + N + ( z, y ; Y − Y ′ ) − N + ( x, y ; Y − Y ′ ) −− N + ( z, y ; Y − Y ′ ) N + ( z, y ; Y − Y ′ ) (cid:1) − π ) ¯ α S π Z G (cid:0) x, y ; Y ′ | x ′ , y ′ ; Y ′ (cid:1) d x ′ d y ′ ( x ′ − y ′ ) K (cid:0) x ′ , y ′ | z (cid:1) d z (cid:0) L z,y ′ N (cid:0) z, y ′ ; Y ′ (cid:1)(cid:1) N + ( x ′ , z ; Y − Y ′ ) = − N − N N − N N + YY’0
Figure 6:
The pictorial representation of Eq. (6). The black blob denotes the triple gluon vertex while the helixlines describe gluons.
In these equations we use the notation N and N + to mean the following. Φ ( x, y ; Y ) = N ( x, y ; Y ) /πα S and Φ + ( x, y ; Y ) = N + ( x, y ; Y ) /πα S , since with this normalization convention, N has the meaning thatit gives the dipole scattering amplitude. The graphical form of the first equation (Eq. (2.25)) is shown inFig. 6. Comparing Fig. 1 with Fig. 6 one can see that Eq. (2.25) sums the net diagrams, proving that theset of equations of Eq. (2.25) and Eq. (2.26) describe the nucleus-nucleus scattering.By assuming that N + is small, Eq. (2.25) reduces to the familiar Balitsky-Kovchegov (BK) equation.The typical example of this type of situation is deep inelastic scattering (DIS), but even in this case wehave to be careful [24]. Indeed, the BK equation sums the class of ‘fan’ diagrams shown in Fig. 7. For largephoton virtualities Q it is sufficient to take into account just the scattering of one dipole whose transversesize is of the order of 1 /Q . However, the typical sizes of the dipoles inside of the diagrams of Fig. 7 canreach values, such that it is no longer justified to use these types of ‘fan’ diagrams [1, 24].– 7 – = rRrR G Y0 GG Y’ r ’
Figure 7:
The ‘fan’ diagrams that are summed bythe Balitsky-Kovchegov equation. The zig zag linesdenote the BFKL Pomeron.
Figure 8:
The graphical form of the BFKL contri-bution of Eq. (3.1).
3. Solution to the main equations deeply in the saturation region.
In Ref. [24] it is shown that actually we are dealing with two saturation scales even in the dilute-densescattering system. Indeed, let us consider the BFKL Pomeron contribution to the case of DIS. To completeof the set of eigenfunctions of the BFKL equation, one can conclude that (see Eq. (2.2)) G ( r, R ; t = 0 , Y ) = Z d r ′ G (cid:0) r, r ′ ; t = 0 , Y − Y ′ (cid:1) G (cid:0) r ′ , R ; t = 0 , Y ′ − (cid:1) (3.1)= 1 √ r R Z iǫ + ∞ iǫ −∞ dν ′ π Z iǫ + ∞ iǫ −∞ dν π Z d r ′ r (cid:18) r r ′ (cid:19) iν (cid:18) r ′ R (cid:19) iν ′ exp n ω ( ν )( Y − Y ′ ) + ω ( ν ′ )( Y ′ − o Integrating over r ′ leads to δ ( ν − ν ′ ) and provides the relation given in Eq. (3.1), which is the generalproperty of the Green function. On the other hand each of the Green functions in Eq. (3.1) has its ownsaturation momentum. It is well known [1,25,26] that the equation for the saturation scale does not dependon the non-linear terms and can be derived from the knowledge of only the linear part of the equation withthe BFKL kernel. Using the general equation for the saturation scale [1, 25, 26], one finds two saturationscales for the two Green functions; G (cid:0) r, r ′ ; t = 0 , Y − Y ′ (cid:1) → ln (cid:0) r /r ′ s (cid:1) = − ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ; (3.2) G (cid:0) r ′ , R ; t = 0 , Y ′ − (cid:1) → ln (cid:0) r ′ s /R (cid:1) = − ω ( γ cr )1 − γ cr ( Y −
0) ; (3.3)where Q s = 1 /r s and γ = + iν while γ cr can be found from the equation − dω ( γ ) dγ | γ = γ cr = ω ( γ cr )1 − γ cr (3.4)– 8 –esolving these equations we obtain two saturation scales:ln (cid:0) Q ,s r (cid:1) = − ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ; (3.5)ln (cid:0) Q ,s R (cid:1) = ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y ′ − (cid:1) ; (3.6)Eq. (3.5) and Eq. (3.6) can be rewritten in the form Q ,s = Q exp (cid:16) − ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) (cid:17) ; (3.7) Q ,s = Q ,s ( Y = 0) exp (cid:16) ω ( γ cr )1 − γ cr (cid:0) Y ′ − (cid:1) (cid:17) ; (3.8) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) YY’0 x s= 2 ln(r’Q (A;Y’=0)) z > 0 z > 0+ z =0+ B F K L B F K L z=0 Figure 9:
Two saturation scales for DIS.
It is useful to introduce two scaling variables: z + = ln (cid:0) r ′ Q ,s (cid:1) = λ s Y ′ + ξ ; z = − ln (cid:0) r ′ Q ,s (cid:1) = λ s (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) − ξ (3.9)where ξ = ln( r ′ Q s, ( Y ′ = 0) and λ s = ω ( γ cr )1 − γ cr . The saturation effects start to be essential when both z and z + are positive. For negative z and z + we can safely use the linear (BFKL) evolution equation (seeFig. 9). For DIS due to the large value of the photon virtuality, we have the region where the size ofthe dipole is smaller than both of the inverse saturation scales [24] (see Fig. 9). However, in the case ofnucleus-nucleus scattering the situation is quite different. In this case in the entire kinematic region of low x we cannot neglect the saturation effects, rather we have to solve the non-linear equations (see Fig. 10).It is worth mentioning that z + z + = ln (cid:0) r Q s ( Y ) (cid:1) ≡ ζ where Q s = Q ,s ( Y = 0) e λ s Y (3.10)One recognizes that Q s is the saturation momentum in the Balitsky-Kovchegov equation for DIS.– 9 – .2 Solution deeply in the saturation region : linearized equations One can see that in the kinematic region where (see Fig. 10) z > z + > N ( r, R ; Y ′ )and N ( R, r ; Y − Y ′ ) are deeply in the saturation region. We can find the solution to Eq. (2.25) andEq. (2.26) in this region, using experience of solving the Balitsky-Kovchegov equation [27]. In this approach N is replaced with N = 1 + ∆ N (and similarly for N + ). This, together with the observation that constant N + in Eq. (2.25), and constant N in Eq. (2.26) don’t contribute, we see that the asymptotic solution is N = 1, and for ∆ N we have the following equation; ∂ ( L x,y ∆ N ( x, y ; Y ′ )) ∂ Y ′ = (3.11) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) (cid:0) L x,y ∆ N ( x, y ; Y ′ ) (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) (cid:0) L x,z ∆ N + ( x, z ; Y ′ ) (cid:1) In Eq. (3.11) we neglect all contributions of the order (∆ N ) , ∆ N ∆ N + and (∆ N + ) . (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) YY’0 x s(one scale)Saturation Saturation(one scale)z =0+z=0 = 2 ln(r’Q (A;Y’=0)) z > 0 z > 0 + z > 0 + z > 0 Saturation(two scales)
Figure 10:
Two saturation scales for nucleus-nucleus scattering.
Introducing the new functions ˜ n = L xy ∆ N and ˜ n + = L xy ∆ N + we see that Eq. (2.25) and Eq. (2.26)reduce to two linear equations ∂ ˜ n ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n + (cid:0) z, y, Y ′ (cid:1) ; (3.12) − ∂ ˜ n + ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n (cid:0) z, y, Y ′ (cid:1) . (3.13)We first rewrite these equation in a more convenient form:– 10 – ˜ n ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) (3.14) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n n + (cid:0) x, z, Y ′ (cid:1) − ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o ; − ∂ ˜ n + ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) (3.15) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n n (cid:0) x, z, Y ′ (cid:1) − ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o ;We calculate R d z K ( x, y | z ) taking into account that the main contribution in the saturation regionstems from the decay of the large size dipole into one small size dipole and one large size dipole. Indeed, Z d z K ( x , x | z ) → π Z x dx x | x − x | = π Z x ρ dx x + π Z x ρ d | x − x || x − x | = 2 π ln (cid:0) x /ρ (cid:1) = 2 π ξ (3.16)It should be noted that the ξ which is defined in Eq. (3.16), is different from the ξ that appears in Fig. 9and Fig. 10. At the moment we introduced the artificial cutoff at small values of the dipole size ( ρ ), butthe physical cutoff is ρ = 1 /Q s , as discussed in Ref. [27]. It should be noticed that the opposite case, whena dipole decays to two dipoles of larger sizes, there is not a logarithmic contribution, since Z d z K ( x , x | z ) → π Z /Q s x dx x ′ (3.17)In the two scale kinematic region, the size of the dipole is restricted as follows (see Fig. 10 and Eq. (3.7)and Eq. (3.8)); 1 /Q ,s ≥ r ′ ≥ /Q ,s (3.18)Therefore, the natural choice is ρ = 1 / /Q ,s . Using Eq. (3.16), then Eq. (3.14) and Eq. (3.15) simplifyto the following; ∂ ˜ n ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S z + n ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) + ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o (3.19) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n n + (cid:0) x, z, Y ′ (cid:1) − ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o − ∂ ˜ n + ( x, y, Y ′ ) ∂ Y ′ = − ¯ α S z + n ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) + ˜ n + (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o (3.20) − ¯ α S π Z d z K ( x, y | z ) n n (cid:0) x, z, Y ′ (cid:1) − ˜ n (cid:0) x, y, Y ′ (cid:1) o – 11 –e use the double Mellin transform to solve Eq. (3.19)and Eq. (3.20), namely˜ n (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜ n ( ω, γ ) e ωY ′ +(1 − γ ) z + (3.21)˜ n + (cid:0) z, Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜ n + ( ω, γ ) e ωY ′ +(1 − γ ) z + (3.22)Substituting Eq. (3.21) and Eq. (3.22) into Eq. (3.19) and Eq. (3.20), and adding and subtractingthese two equations we obtain for Σ ( ω, γ ) = ˜ n ( ω, γ ) + ˜ n + ( ω, γ ) and ∆ ( ω, γ ) = ˜ n ( ω, γ ) − ˜ n + ( ω, γ ) thefollowing; ( ω + λ s (1 − γ )) ∆ ( ω, γ ) = − α S ∂ Σ ( ω, γ ) ∂γ − ω ( γ ) Σ ( ω, γ ) (3.23)( ω + λ s (1 − γ )) Σ ( ω, γ ) = ω ( γ ) ∆ ( ω, γ ) ; (3.24)where ω ( γ ) is given by Eq. (2.3). Solving Eq. (3.23) we findΣ ( ω, γ ) = Σ ( γ ) exp n − Z γ dγ ′ ( ω + λ s (1 − γ ′ )) + ω ( γ ′ )2 ¯ α S ω ( γ ′ ) ! o (3.25)= Σ ( γ ) exp n L ( γ ) ω + F ( γ ) ω + K ( γ ) o (3.26)where we define; L ( γ ) = −
12 ¯ α S Z γ dγ ′ ω ( γ ′ ) (3.27) F ( γ ) = − α S Z γ dγ ′ λ s (1 − γ ′ ) ω ( γ ′ ) (3.28) K ( γ ) = −
12 ¯ α S Z γ dγ ′ λ s (1 − γ ′ ) ω ( γ ′ ) −
12 ¯ α S Z γ dγ ′ ω (cid:0) γ ′ (cid:1) (3.29)and where Σ ( γ ) has to be found from the matching with the regions with one saturation scale (seeFig. 10). Using Eq. (3.25) we obtain the solution in the formΣ (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi Σ ( γ ) e Ψ ( ω,γ,Y ′ ,z + ) (3.30)Ψ (cid:0) ω, γ, Y ′ , z + (cid:1) = ω (cid:0) Y ′ + F ( γ ) (cid:1) + (1 − γ ) z + + ω L ( γ ) (3.31)– 12 –here the function K ( γ ) which appears in the exponential function in Eq. (3.26) has been absorbedinto the function Σ ( γ ) in Eq. (3.30). The integral over ω in Eq. (3.30) can be taken explicitly leading tothe following expressionΣ (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = − Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi Σ ( γ ) r πL ( γ ) exp (cid:16) (1 − γ ) z + − ( Y ′ + F ( γ )) L ( γ ) (cid:17) (3.32)= − Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) exp (cid:16) (1 − γ ) z + − Y ′ L ( γ ) (cid:0) Y ′ + 2 F ( γ ) (cid:1) (cid:17) (3.33)where passing from Eq. (3.32) to Eq. (3.33), a factor of ( π/L ( γ )) / and exp (cid:0) − F ( γ ) / L ( γ ) (cid:1) hasbeen absorbed into the function ˜Σ ( γ ). From Eq. (3.23) and Eq. (3.26) we can deduce ∆ ( ωγ );∆ ( ω, γ ) = ( ω + λ s (1 − γ )) ω ( γ ) Σ ( γ ) exp n L ( γ ) ω + F ( γ ) ω + K ( γ ) o (3.34)Using the double Mellin transform of Eq. (3.21) we can transform ∆ ( ω, γ ) to ∆ ( z + , Y ′ ) which is afunction of z + and Y ′ as;∆ (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ( ω + λ s (1 − γ )) ω ( γ ) Σ ( γ ) (3.35) × exp n (1 − γ ) z + + (cid:0) Y ′ + F ( γ ) (cid:1) ω + L ( γ ) ω o where a factor of exp ( K ( γ )) has been absorbed into the function Σ ( γ ). The integration over ω canbe solved analytically, leading to;∆ (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = − Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi Σ ( γ ) r πL ( γ ) (cid:18) − Y ′ + F ( γ )2 ω ( γ ) L ( γ ) + λ s (1 − γ ) ω ( γ ) (cid:19) (3.36)exp n (1 − γ ) z + − ( Y ′ + F ( γ )) L ( γ ) o = − Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) (cid:18) − Y ′ + F ( γ )2 ω ( γ ) L ( γ ) + λ s (1 − γ ) ω ( γ ) (cid:19) (3.37)exp n (1 − γ ) z + − Y ′ ( Y ′ + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) o where in passing from Eq. (3.36) to Eq. (3.37), a factor of ( π/L ( γ )) / and exp (cid:0) − F ( γ ) / L ( γ ) (cid:1) hasbeen absorbed into the function ˜Σ ( γ ). From the definition Σ ( z + , Y ′ ) = ˜ n ( z + , Y ′ ) + ˜ n + ( z + , Y ′ ) and∆ ( z + , Y ′ ) = ˜ n ( z + , Y ′ ) − ˜ n + ( z + , Y ′ ), then using Eq. (3.33) and Eq. (3.37) we can obtain ˜ n ( z + , Y ′ ) and˜ n + ( z + , Y ′ ) as – 13 – n (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) 12 (cid:16) θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) (cid:17) exp (cid:16) (1 − γ ) z + + Y ′ τ (cid:0) Y ′ , γ (cid:1) (cid:17) (3.38)˜ n + (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) 12 (cid:16) − θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) (cid:17) exp (cid:16) (1 − γ ) z + + Y ′ τ (cid:0) Y ′ , γ (cid:1) (cid:17) (3.39)where we define; θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) = − Y ′ + F ( γ )2 ω ( γ ) L ( γ ) + λ s (1 − γ ) ω ( γ ) = − ¯ α S L ( γ ) ddγ (cid:16) Y ′ + F ( γ ) L ( γ ) (cid:17) (3.40) τ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) = − ( Y ′ + 2 F ( γ ) )4 L ( γ ) (3.41)where we have absorbed all factors that depend on γ in the function ˜Σ ( γ ), which should be foundfrom the boundary conditions. For z + = 0 the solution reduces to;˜ n (cid:0) z + = 0 , Y ′ − Y (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜Σ ( γ ) 12 (cid:16) θ (cid:0) γ, Y ′ − Y (cid:1) (cid:17) exp (cid:16) (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) τ (cid:0) γ, Y ′ − Y (cid:1) (cid:17) (3.42)In Eq. (3.42) we introduced the initial value of rapidity Y = Y which was assumed to be equal tozero above. Let us find the Green function demanding that ˜ n ( z + = 0 , Y ′ − Y ) = δ ( Y ′ − Y ). If we findsuch a solution, then integrating it over Y with an arbitrary function will lead to any boundary condition.Actually, as we know at z + ˜ n = Const (see Ref. [27]) but we will discuss this condition below in moredetail. Choosing ˜Σ ( γ ) = Σ ¯ α S L ( γ ) (3.43)we can rewrite the pre-exponential factor in Eq. (3.42) in the form˜Σ ( γ ) 12 (cid:16) θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) (cid:17) → Σ (cid:16)
12 ¯ α S L ( γ ) + 12 dτ ( γ, Y ′ ) dγ − ddγ (cid:18) F ( γ ) L ( γ ) (cid:19) + h ( γ ) (cid:17) (3.44)where h ( γ ) is another arbitrary function of γ to be determined by boundary conditions. It is clearthat the dτ ( γ, Y ′ ) /dγ term in Eq. (3.44) leads to δ ( Y ′ − Y ) after integration over γ , since we have thefreedom to change the integration variable in Eq. (3.42) to τ = − Y ′ − Y +2 F ( γ )4 L ( γ ) . The second term as well as h ( γ ) gives the function that falls down as e − Y ′ / at large Y ′ . Finally, the solution to Eq. (3.38) with theboundary condition ˜ n ( z + = 0 , Y ′ − Y ) = δ ( Y ′ − Y ) has the form– 14 – n (cid:0) z + , Y ′ − Y (cid:1) = Σ Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi n dτ ( γ ) dγ + ˜ h ( γ ) o exp (cid:16) (1 − γ ) z + + (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) τ (cid:0) γ, Y ′ − Y (cid:1) (cid:17) (3.45)where Σ is a constant with respect to Y ′ and ξ and˜ h ( γ ) = 12 ¯ α S L ( γ ) − ddγ (cid:18) F ( γ ) L ( γ ) (cid:19) + h ( γ ) (3.46)The next step is to satisfy to the initial condition for Y ′ = Y . Along this line the initial condition is givenby Eq. (2.17), namely, † ˜ n (cid:0) ξ, Y ′ = Y (cid:1) = 2 α S C F N c x ln (cid:0) x /r (cid:1) S A ( b ) = 2 α S C F N c S A ( b ) Q s ( A, Y ′ = Y ) ξ e ξ = ζ ( b ) ξe ξ (3.47)Note that when Y ′ = Y then from Eq. (3.41) dτ ( γ, Y ′ = Y ) /dγ = − d/dγ { F ( γ ) / L ( γ ) } . Therefore,we need to find Σ from the condition˜ n (cid:0) ξ, Y ′ = Y (cid:1) = Σ Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi (cid:18)
12 ¯ α S L ( γ ) − ddγ (cid:18) F ( γ ) L ( γ ) (cid:19) + h ( γ ) (cid:19) e (1 − γ ) ξ = ζ ( b ) ξe ξ ⇒ ˜ n (cid:0) ξ, Y ′ = Y (cid:1) = Σ Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi (cid:18)
12 ¯ α S L ( γ ) − F ( γ )4 ¯ α S L ( γ ) ω ( γ ) + λ s (1 − γ )2 ¯ α S ω ( γ ) L ( γ ) + h ( γ ) (cid:19) e (1 − γ ) ξ = ζ ( b ) ξe ξ (3.48)At γ → F ( γ ) → λ s L ( γ ) + O (cid:0) γ (cid:1) and, therefore, the only singularity 1 /γ stems from the1 /L ( γ ) term in Eq. (3.48), (assuming that h ( γ ) has no such singularity). Therefore, we need to find Σ from the condition ˜ n (cid:0) ξ, Y ′ = Y (cid:1) = Σ Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi
12 ¯ α S L ( γ ) e (1 − γ ) ξ = ζ ( b ) ξe ξ (3.49)Assuming that γ in Eq. (3.49) will be small we see that (see Eq. (3.27)) L ( γ ) = Z γ dγ ′
12 ¯ α S ω ( γ ′ ) γ ≪ −−−→
14 ¯ α S γ (3.50)Using Eq. (3.50), one can see that Eq. (3.48) is satisfied if;Σ = ζ ( b ) / α S (3.51)Therefore, we can consider h ( γ ) = 0 if we are not interested in the correction of the order of 1 /ξ tothe initial condition of Eq. (3.47). Finally, the solution which takes into account both initial and boundaryconditions takes the form † We hope that the notation ζ ( b ) that we use below, will not be confused with ζ in Eq. (3.10). – 15 – n (cid:0) z + , Y ′ − Y (cid:1) = ζ ( b )4 ¯ α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) o (3.52) × exp (cid:16) (1 − γ ) z + − (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) ( Y ′ − Y + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) = ζ ( b )4 ¯ α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) o e Ψ ( Y ′ ,z + ,γ )In order to find ˜ n ( z, Y − Y ′ ), we notice that Eq. (3.38) at the rapidity Y − Y ′ is also a solution to theequation. Using the fact that from Eq. (3.9) z + = λ s Y − z , then Eq. (3.52) can be recast as;˜ n (cid:0) z + , Y − Y ′ (cid:1) = Σ ( Y ) Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi
12 ¯ α S L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y − Y ′ (cid:1) o (3.53) × exp (cid:16) (1 − γ ) ( λ s Y − z ) − (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ( Y − Y ′ + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) However generally speaking, Σ in Eq. (3.53) is not a constant, but rather a function of Y . By choosingthis function to take the formΣ ( Y ) = Σ (cid:16) Eq. (3 . ~B − ~b (cid:17) exp ( − λ s Y ) = ζ (cid:16) ~B − ~b (cid:17) α S exp ( − λ s Y ) (3.54)we obtain the required solution for ˜ n + ( z, Y − Y ′ ). Finally,˜ n + (cid:0) z, Y − Y ′ (cid:1) = ζ (cid:16) ~B − ~b (cid:17) α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y − Y ′ (cid:1) o (3.55) × exp (cid:16) − (1 − γ ) z − (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ( Y − Y ′ + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) Using the steepest decent method we can estimate the typical value of γ in the integral of Eq. (3.52).The saddle point equation looks as follows ∂ Ψ ( Y ′ , z + , γ ) ∂γ = − z + − ( Y ′ − Y ) L ( γ SP ) L ′ γ ( γ SP ) − (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) (cid:18) F ( γ SP )4 L ( γ SP ) (cid:19) ′ γ = 0 (3.56)The solution to Eq. (3.56) leads to larger values of γ SP . Indeed, at large γ we have ω ( γ ) γ = iκ ; κ ≫ −−−−−−−→ − α S ln( κ ); L ( γ ) γ = iκ ; κ ≫ −−−−−−−→
14 ¯ α S γ ln ( κ ) ; F ( γ ) γ = iκ ; κ ≫ −−−−−−−→ − λ s α S γ ln ( κ ) . (3.57)After substituting these expression into Eq. (3.56) we obtain that γ SP = s ( Y ′ − Y ) ¯ α S ln( κ ) z + − λ s ( Y ′ − Y ) / n (cid:0) z + , Y ′ − Y (cid:1) ∝ H (cid:0) Y ′ − Y , z + (cid:1) exp (cid:0) z + − Z (cid:1) (3.59)where Z = q Y ′ − Y ) ¯ α S ln(˜ κ ) ( z + − λ s ( Y ′ − Y ) / κ = s ( Y ′ − Y ) ¯ α S z + − λ s ( Y ′ − Y ) / H is a function which varies slowly with Y ′ − Y and z + . Using the same approach we obtain for˜ n + ( z, Y − Y ′ ) the following expression;˜ n + (cid:0) z, Y − Y ′ (cid:1) ∝ H + (cid:0) Y − Y ′ , z (cid:1) exp (cid:0) − z − Z + (cid:1) (3.60)where Z + = q Y − Y ′ ) ¯ α S ln(˜ κ + ) ( − z + λ s ( Y − Y ′ ) / κ + = s ( Y − Y ′ ) ¯ α S z − λ s ( Y − Y ′ ) / κ ) by ln (˜ κ ) one can calculate the pre-exponential factors in Eq. (3.59) and Eq. (3.60)using Eq. (3.57) and the formula of Ref. [33], namely˜ n ( Z ) = 2 ζ ( b ) ln (˜ κ ) e z + n ¯ α S (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) ( z + − λ s ( Y ′ − Y ) / Z K ( Z ) + K ( Z ) o (3.61)˜ n + (cid:0) Z + (cid:1) = 2 ζ ( ~B − ~b ) ln (cid:0) ˜ κ + (cid:1) e − z n ¯ α S (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ( − z + λ s ( Y − Y ′ ) / Z + K (cid:0) Z + (cid:1) + K (cid:0) Z + (cid:1) o (3.62) The solution given by Eq. (3.59), is correct in the region with two saturation scales, or in other words, theregion between two lines z + = 0 and z = 0 in Fig. 10. In the region to the right of the line z = 0, then z becomes negative and ˜ n + is small here. Therefore, the equation for ˜ n takes the form; ω ˜ n ( ω, γ ) = − ¯ α S ∂ ˜ n ( ω, γ ) ∂ γ (3.63)instead of Eq. (3.23) and Eq. (3.24). The solution to this equation is very simple˜ n ( ω, γ ) = ˜ n ( γ ) exp n − ¯ α S ω γ o (3.64)where we need to find ˜ n ( ω, γ ) from the matching of this solution with the solution in the kinematic regionwith two saturation scales at z = 0 (see Eq. (3.59)). Substituting Eq. (3.64) into Eq. (3.21) we obtain˜ n (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dω πi Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi ˜ n ( γ ; Y ) e ωY ′ +(1 − γ ) z + − ¯ α S ω γ (3.65)– 17 –ntegrating over ω we see that ¯ α S γ = Y ′ and finally we have˜ n (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = ˜ n (cid:0) Y ′ ; Y (cid:1) e z + − ( Y ′ − Y ) z + / ¯ α S (3.66)which coincides with solution given in Ref. [31]. At z = 0 then z + = ζ Z = r ¯ α S ln (cid:16) ( Y ′ − Y ) / √ ζ − λ s Y ′ / (cid:17) ζ − λ s Y ′ / ( Y ′ − Y ) ,and keeping only factors in the exponent, we obtain˜ n (cid:0) Y ′ ; Y (cid:1) = e η ( Y ′ ,Y ) (3.67)with η (cid:0) Y ′ , Y (cid:1) = − ζ + ( Y ′ − Y ) ζ/ ¯ α S + vuut ¯ α S ln (cid:16) ( Y ′ − Y ) / p ζ − λ s ( Y ′ − Y ) (cid:17) ζ − λ s ( Y ′ − Y ) ( Y ′ − Y ) (3.68)Therefore, the answer in the kinematic region with z <
0, is˜ n (cid:0) z + , Y ′ , Y | z + < (cid:1) = H (smooth function of z + and Y ′ ) e η ( Y ′ ,Y | Eq. (3 . z + z + ( Y ′ − Y ) / ¯ α S (3.69)It is easy to see that the solution for ˜ n + ( z, Y ′ , Y | z <
0) can be obtained from Eq. (3.69) with thereplacement: Y ′ → Y − Y ′ and z + → z which yields;˜ n (cid:0) z, Y ′ , Y | z < (cid:1) = H (smooth function of z and Y − Y ′ ) e η + ( Y ′ ,Y | Eq. (3 . z − z ( Y − Y ′ ) / ¯ α S (3.70)with η + (cid:0) Y ′ , Y (cid:1) = − ζ + (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ζ/ ¯ α S + vuut ¯ α S ln (cid:16) ( Y − Y ′ ) / p λ s ( Y − Y ′ ) − ζ (cid:17) ζ − λ s ( Y − Y ′ ) ( Y − Y ′ ) (3.71)It should be stressed that the variable ξ ( b ) that we use in definition of z + and z is equal to ξ (cid:16) ~b (cid:17) = ln (cid:16) r ′ S A (cid:16) ~b (cid:17) Z d b ′ Q ,s (cid:0) proton , Y ′ = 0; b ′ (cid:1) (cid:17) for z + (3.72) ξ (cid:16) ~B − ~b (cid:17) = ln (cid:16) r ′ S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) Z d b ′ Q ,s (cid:0) proton , Y − Y ′ = 0; b ′ (cid:1) (cid:17) for z – 18 – . The nucleus-nucleus scattering amplitude deeply in the saturation region Recalling that ˜ n = L xy ∆ N and ˜ n + = L xy ∆ N + we first need to find ∆ N and ∆ N + . Using Eq. (2.12)and Eq. (3.52) we can see that∆ N (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = ζ ( b )4 ¯ α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi λ (0 , ν ) 1 L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) o (4.1) × exp (cid:16) (1 − γ ) z + − (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) ( Y ′ − Y + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) = ζ ( b )4 ¯ α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi γ (1 − γ ) L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y ′ (cid:1) o × exp (cid:16) (1 − γ ) z + − (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) ( Y ′ − Y + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) ;∆ N + (cid:0) z, Y − Y ′ (cid:1) = ζ (cid:16) ~B − ~b (cid:17) α S Z ǫ + i ∞ ǫ − i ∞ dγ πi γ (1 − γ ) L ( γ ) n θ (cid:0) γ, Y − Y ′ (cid:1) o (4.2) × exp (cid:16) (1 − γ ) z − (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) ( Y − Y ′ + 2 F ( γ ))4 L ( γ ) (cid:17) Assuming that large values of γ contribute to the integrals in Eq. (4.1) and Eq. (4.2), we can rewrite theseequation in a more economical format, after using the formulae and in Ref. [33]. Inthis approach, after integrating over γ Eq. (4.1) and Eq. (4.2) lead to the following expressions for ∆ N and ∆ N + ; ∆ N (cid:0) z + , Y ′ (cid:1) = 2 ζ ( b ) ln (˜ κ ) e z + n (cid:18) z + − λ s ( Y ′ − Y ) / Z (cid:19) K ( Z ) (4.3)+ 2 ¯ α S (cid:0) Y ′ − Y (cid:1) (cid:18) z + − λ s ( Y ′ − Y ) / Z (cid:19) K ( Z ) o ∆ N + (cid:0) z, Y − Y ′ (cid:1) = 2 ζ ( ~B − ~b ) ln (cid:0) ˜ κ + (cid:1) e − z n (cid:18) − z + λ s ( Y − Y ′ ) / Z + (cid:19) K (cid:0) Z + (cid:1) (4.4)+ 2 ¯ α S (cid:0) Y − Y ′ (cid:1) (cid:18) − z + λ s ( Y − Y ′ ) / Z + (cid:19) K (cid:0) Z + (cid:1) o In Eq. (4.3) and Eq. (4.4) we use the same notation convention that was used in Eq. (3.61) andEq. (3.62). – 19 – + N Figure 11:
The graphical representation of the equation used for calculating the scattering amplitude using the t -channel unitarity. Y0Y’ N + N N + NN + NN + N + + Figure 12:
The example of the diagram which is described in terms of Eq. (4.6).
The obvious way to calculate Ω (see Eq. (2.21)) is to find N ( z + = z, Y ′ = Y ), sinceΩ / Z d x , τ pr N (cid:0) z + = z, Y ′ = Y (cid:1) (4.5)However, in order to use Eq. (4.5) one needs to know the value of N near to the saturation scale, whereasour approach has been developed inside of the two scales saturation regions. We use the method related to t -channel unitarity (see Fig. 11) which was suggested and adjusted to high density QCD in Refs. [24, 32].In this approach; ∆Ω ( ζ ) / Z dz ∆ N (cid:0) Y ′ , z (cid:1) ∆ N (cid:0) Y − Y ′ , z (cid:1) (4.6)It should be stressed that the ‘net diagrams’ of Fig. 1 possess the following remarkable property, thatby cutting one BFKL Pomeron line we do not change the integration over the kinematic variables thatdescribe other Pomerons. Therefore, these Pomerons are included in the description given by equationEq. (4.3) and Eq. (4.4) for N and N + . In Fig. 12 we give an example of the diagram which is describedin terms of Eq. (4.6). This figure illustrates the fact that the topology of net diagrams (see Fig. 1) is veryessential in the derivation of Eq. (4.6). The Pomeron loops cannot be taken into account using Eq. (4.6).The net diagrams have another remarkable feature, namely that all paths in the diagram that start fromone nucleus finish at the other nucleus. In other words, there are no loops in the diagram. Each path can– 20 –e cut at some value of rapidity, and contributes to Eq. (4.6). Keeping only the factor in the exponent weobtain that∆Ω ( ζ ) / Z d ¯ z exp (cid:16) − Z − Z + (cid:17) (4.7) , = Z d ¯ z exp (cid:16) − vuut ¯ α S ln (cid:16) ( Y − Y ′ ) / q ζ − ¯ z (cid:17) ζ − ¯ z ( Y − Y ′ ) − s ¯ α S ln (cid:0) Y ′ / √ ¯ z (cid:1) ¯ z ( Y ′ ) (cid:17) where ¯ z = z + − λ s Y ′ .Integrating over ¯ z using the steepest decent method we obtain that the saddle point in the ¯ z -integrationis ¯ z SP = ζ/ ζ ) / H exp n − vuut ¯ α S ln Y / p ζ/ ! Y p ζ/ o (4.8)It is interesting to note that the dependence on Y ′ disappears, and the approach to the unitarity boundis much milder than in the case of the solution to the BK equation. Indeed, in the saturation region withtwo saturation scales ∆Ω ∝ exp (cid:16) − Const √ Y (cid:17) while for the BK equation ∆Ω ∝ exp (cid:16) − Const Y (cid:17) .The function ˜ H absorbs all the pre-exponential factors that depend on Y and impact parameters. Thenucleus-nucleus scattering amplitude can be written using Eq. (2.21) - Eq. (2.23) in the formIm A ( Y ; B ) = 1 − exp (cid:16) − Z d b d b ′ (cid:16) S A ( b ) S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) − ∆Ω (cid:17) (cid:17) (4.9)where b is the impact parameter of the nucleon inside of one nucleus and B is the distance between thecenters of two nucleons. b ′ in Eq. (4.9) is the impact parameter of the dipole inside of the nucleon. Aswe have discussed above, in our approach we integrated over this impact parameter. The typical value of b ′ is our new dimensional parameter, that determines the range of energy which we can reach within thisapproach. Generally speaking the average b ′ increases with energy, but we assume that < b ′ > ≪ R A .This inequality determines the range of energies where we can trust our approach. The energy dependenceof < b > cannot be found in our approach, since in the framework of perturbative QCD, < b > ∝ s ∆ .However we know (see the Froissart theorem in ref. [35]) that < b ′ > can increase only logarithmically, butthe parameters of such an increase will depend crucially on the non-perturbative parameter: the mass ofthe lightest hadron. The best estimate is to insert into Eq. (4.9) the experimental value of the inelasticcross section for the proton-proton interaction. In doing so we obtainIm A ( Y ; B ) = 1 − exp (cid:16) − σ in ( pp ) Z d bS A ( b ) S A (cid:16) ~B − ~b (cid:17) (cid:17) (4.10)It should be stressed that Eq. (4.10) came naturally from our approach, whereas however it is certainlyincorrect in the usual Glauber-Gribov [36] approximation (see Refs. [37]).– 21 – . Conclusions In conclusion we can summarize our results for the nucleus-nucleus scattering amplitude as follows.1. The contribution of short distances to the opacity Ω dies at high energies.2. The opacity tends to unity at high energies.3. The main contribution that survives comes from the soft (long distance) processes for large values ofimpact parameters.The corrections to the opacity Ω = 1 − ∆ N that stem from short distances, have been discussed in thispaper and it was shown that they behave differently from the corrections to the Balitsky-Kovchegov equa-tion. Indeed, it turns out that ∆ N ∝ exp (cid:16) − Const √ Y (cid:17) while for the BK equation ∆ N ∝ exp (cid:0) − ConstY (cid:1) .The most salient result of this paper is the formula of Eq. (4.10) that describes nucleus-nucleus colli-sions. This formula is instructive, especially since in the usual Glauber-Gribov approach, there is no reasonto expect that this formula works [37]. It should be mentioned that Eq. (4.10) is used in the interpretationof all nucleus-nucleus scattering experiments, including the experiments at RHIC.All of these above mentioned results are based on the BFKL Pomeron calculus, which follows from thedirect sum over Feynman diagrams. However, we should emphasize that the equivalence of this approachwith other approaches (see refs. [9, 12] for example,) that originate from the JIMWLK equation [7], havenot been proven. It should be stressed that the two strategies reflect two different fundamental featuresof QCD, namely the BFKL Pomeron calculus satisfies, by construction, the t -channel unitarity while theJIMWLK-based approaches are precise from the point of view of s -channel unitarity. Acknowledgements
This work was supported in part by the Fondecyt (Chile) grant
References [1] L. V. Gribov, E. M. Levin and M. G. Ryskin, Phys. Rep. (1983) 1.[2] A. H. Mueller and J. Qiu, Nucl. Phys.
B268 (1986) 427.[3] L. McLerran and R. Venugopalan, Phys. Rev.
D49 (1994) 2233, 3352;
D50 (1994) 2225;
D53 (1996) 458;
D59 (1999) 09400.[4] A. H. Mueller, Nucl. Phys. B , 373 (1994); Nucl. Phys. B (1995) 107 [arXiv:hep-ph/9408245].[5] I. Balitsky, [arXiv:hep-ph/9509348];
Phys. Rev.
D60 , 014020 (1999) [arXiv:hep-ph/9812311] – 22 –
6] Y. V. Kovchegov,
Phys. Rev.
D60 , 034008 (1999), [arXiv:hep-ph/9901281].[7] J. Jalilian-Marian, A. Kovner, A. Leonidov and H. Weigert,
Phys. Rev.
D59 , 014014 (1999),[arXiv:hep-ph/9706377];
Nucl. Phys.
B504 , 415 (1997), [arXiv:hep-ph/9701284]; J. Jalilian-Marian,A. Kovner and H. Weigert,
Phys. Rev.
D59 , 014015 (1999), [arXiv:hep-ph/9709432]; A. Kovner,J. G. Milhano and H. Weigert,
Phys. Rev.
D62 , 114005 (2000), [arXiv:hep-ph/0004014] ; E. Iancu,A. Leonidov and L. D. McLerran,
Phys. Lett.
B510 , 133 (2001); [arXiv:hep-ph/0102009];
Nucl. Phys.
A692 ,583 (2001), [arXiv:hep-ph/0011241]; E. Ferreiro, E. Iancu, A. Leonidov and L. McLerran,
Nucl. Phys.
A703 ,489 (2002), [arXiv:hep-ph/0109115]; H. Weigert,
Nucl. Phys.
A703 , 823 (2002), [arXiv:hep-ph/0004044].[8] M. A. Braun, Phys.Lett. B 483 (2000) 115, [arXiv:hep-ph/0003004]; Eur.Phys.J C (2004) 113[arXiv:hep-ph/0309293] ; Phys. Lett. B (2006) 297, [Eur. Phys. J. C (2006) 511],[arXiv:hep-ph/0512057]. .[9] T. Altinoluk, A. Kovner, M. Lublinsky and J. Peressutti, JHEP (2009) 109 [arXiv:0901.2559 [hep-ph]];A. Kovner and M. Lublinsky, Phys. Rev. Lett. (2005) 181603 [arXiv:hep-ph/0502119]; Phys. Rev. D (2005) 085004 [arXiv:hep-ph/0501198].[10] E. Levin and M. Lublinsky, Nucl. Phys. A (2005) 172 [arXiv:hep-ph/0501173].[11] J. P. Blaizot, E. Iancu, K. Itakura and D. N. Triantafyllopoulos, Phys. Lett. B (2005) 221[arXiv:hep-ph/0502221].[12] Y. Hatta, E. Iancu, L. McLerran, A. Stasto and D. N. Triantafyllopoulos, Nucl. Phys. A (2006) 423[arXiv:hep-ph/0504182].[13] C. Marquet, A. H. Mueller, A. I. Shoshi and S. M. H. Wong, Nucl. Phys. A (2005) 252[arXiv:hep-ph/0505229].[14] E. Levin, J. Miller and A. Prygarin, Nucl. Phys. A (2008) 245 [arXiv:0706.2944 [hep-ph]].[15] S. Bondarenko and L. Motyka, Phys. Rev. D (2007) 114015 [arXiv:hep-ph/0605185].[16] S. Bondarenko and M. A. Braun, Nucl. Phys. A (2008) 151 [arXiv:0708.3629 [hep-ph]].[17] E. A. Kuraev, L. N. Lipatov, and F. S. Fadin, Sov. Phys. JETP , 199 (1977); Ya. Ya. Balitsky and L. N.Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. , 22 (1978).[18] L. N. Lipatov, Phys. Rep. (1997) 131; Sov. Phys. JETP (1986) 904 and references therein.[19] M. Kozlov, E. Levin and A. Prygarin, Nucl. Phys. A , 122 (2007) [arXiv:0704.2124 [hep-ph]]; “The BFKLpomeron calculus: Probabilistic interpretation and high energy amplitude,” arXiv:hep-ph/0606260.[20] A. Schwimmer, Nucl. Phys. B (1975) 445.[21] E. Gotsman, A. Kormilitzin, E. Levin and U. Maor, Nucl. Phys. A (2010) 82 [arXiv:0912.4689 [hep-ph]].[22] R.J.Glauber, in “Lectures in Theoretical Physics” , edited by by W. E. Britten et al. (Interscience, New York) , (1959) 315.[23] A. Kovner and U. A. Wiedemann, Phys. Lett. B (2003) 311 [arXiv:hep-ph/0207335]; Phys. Rev. D (2002) 034031 [arXiv:hep-ph/0204277]; Phys. Rev. D (2002) 051502 [arXiv:hep-ph/0112140].[24] A. H. Mueller and A. I. Shoshi, Nucl. Phys. B (2004) 175 [arXiv:hep-ph/0402193]. – 23 –
25] A. H. Mueller and D. N. Triantafyllopoulos,
Nucl. Phys.
B640 (2002) 331[arXiv:hep-ph/0205167]; D. N. Triantafyllopoulos,
Nucl. Phys.
B648 (2003) 293 [arXiv:hep-ph/0209121].[26] S. Munier and R. Peschanski,
Phys. Rev.
D70 (2004) 077503;
D69 (2004) 034008 [arXiv:hep-ph/0310357];
Phys. Rev. Lett. (2003) 232001 [arXiv:hep-ph/0309177].[27] E. Levin and K. Tuchin, Nucl. Phys. B (2000) 833 [arXiv:hep-ph/9908317].[28] E. Levin, Nucl. Phys. B (1995) 303 [arXiv:hep-ph/9412345].[29] E. Gotsman, E. Levin, U. Maor and E. Naftali, Nucl. Phys. A (2005) 391 [arXiv:hep-ph/0411242].[30] V. A. Khoze, A. D. Martin, M. G. Ryskin and W. J. Stirling, Phys. Rev. D (2004) 074013[arXiv:hep-ph/0406135].[31] E. Levin and K. Tuchin, Nucl. Phys. A (2001) 787 [arXiv:hep-ph/0101275].[32] E. Iancu and A. H. Mueller, Nucl. Phys. A730 (2004) 460 [arXiv:hep-ph/0308315]; 494[arXiv:hep-ph/0309276].[33] I. Gradstein and I. Ryzhik, ”Tables of Series, Products, and Integrals” , Verlag MIR, Moskau,1981.[34] A. H. Mueller, Nucl. Phys. A (2003) 223 [arXiv:hep-ph/0301109];Nucl. Phys. B (1999) 285[arXiv:hep-ph/9904404]; D. Kharzeev, E. Levin and L. McLerran, Phys. Lett. B (2003) 93[arXiv:hep-ph/0210332]; E. M. Levin and M. G. Ryskin, Nucl. Phys. B (1988) 805; Sov. J. Nucl. Phys. 41(1985) 472.[35] M. Froissart,
Phys. Rev. (1961) 1053;A. Martin, “Scattering Theory: Unitarity, Analitysity and Crossing.” Lecture Notes in Physics,Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York, 1969.[36] R.J. Glauber, In: Lectures in Theor. Phys., v. 1, ed. W.E. Brittin and L.G. Duham. NY: Intersciences, 1959;Gribov, V. N., Sov. Phys. JETP
892 (1969)]; Sov. Phys. JETP
709 [Zh.Eksp. Teor. Fiz. (1969) 1306].[37] A. Kaidalov, Nucl. Phys. A (1991) 39; K. G. Boreskov and A. B. Kaidalov, Sov. J. Nucl. Phys. (1988)367 [Yad. Fiz. (1988) 575]; Acta Phys. Polon. B (1989) 397 and references therein.(1989) 397 and references therein.