Homogeneous sub-Riemannian geodesics on the group of motions of the plane
ООднородные субримановы геодезическиена группе движений плоскости Ю. Л. Сачков12 января 2021 г.
Аннотация
Описаны однородные субримановы геодезические для стандартной субримановой струк-туры на группе собственных движений плоскости
SE(2) . Показано, что эта структура не яв-ляется геодезически орбитальной, несмотря на инвариантность времени разреза при сдвигеначальной точки вдоль геодезических.
В римановой геометрии известны понятия однородных геодезических и геодезически орби-тальных пространств [1, 2]. В субримановой геометрии они практически не исследованы, намизвестна на эту тему только работа [3]. Цель данной заметки — изучение этих свойств длястандартной субримановой структуры на группе собственных движений плоскости, включаяих связь с инвариантностью времени разреза при сдвиге начальной точки вдоль геодезических.
Пусть на гладком многообразии 𝑀 задана субриманова структура [4, 5]. Обозначим через Isom( 𝑀 ) группу изометрий субриманова многообразия 𝑀 . Определение 1.
Субриманова геодезическая 𝛾 ⊂ 𝑀 называется однородной , если она явля-ется однородным пространством некоторой однопараметрической подгруппы в Isom( 𝑀 ) , т.е.существует однопараметрическая подгруппа { 𝜙 𝑠 | 𝑠 ∈ R } ⊂ Isom( 𝑀 ) такая, что:1. ∀ 𝑠 ∈ R 𝜙 𝑠 ( 𝛾 ) ⊂ 𝛾 ,2. ∀ 𝑔 , 𝑔 ∈ 𝛾 ∃ 𝑠 ∈ R : 𝜙 𝑠 ( 𝑔 ) = 𝑔 .Субриманово многообразие называется геодезически орбитальным , если все его геодезиче-ские однородны. Определение 2.
Временем разреза для геодезической 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑡 (cid:62) , соответствующим начально-му моменту 𝑡 = 0 , называется величина 𝑡 cut ( 𝑔 ( · )) = sup { 𝑇 > | 𝑔 ( 𝑡 ) оптимальна при 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] } . Геодезическая 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] , 𝑇 = 𝑡 cut ( 𝑔 ( · )) , называется непродолжаемой кратчайшей .Пусть на группе Ли 𝐺 задана левоинвариантная субриманова структура с ортонормиро-ванным репером ( 𝑋 , . . . , 𝑋 𝑘 ) , 𝑋 𝑖 ∈ Vec( 𝐺 ) . Будем говорить, что геодезическая { 𝑔 ( 𝑡 ) } ⊂ 𝐺 соответствует управлению 𝑢 ( 𝑡 ) = ( 𝑢 ( 𝑡 ) , . . . , 𝑢 𝑘 ( 𝑡 )) , 𝑢 𝑖 ∈ 𝐿 ∞ , если ˙ 𝑔 ( 𝑡 ) = ∑︀ 𝑘𝑖 =1 𝑢 𝑖 ( 𝑡 ) 𝑋 𝑖 ( 𝑔 ( 𝑡 )) . Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01387-П) в Институтепрограммных систем им. А.К. Айламазяна Российской академии наук. a r X i v : . [ m a t h . O C ] J a n огласно принципу максимума Понтрягина [6, 7], любая нормальная геодезическая { 𝑔 ( 𝑡 ) } ⊂ 𝐺 есть проекция нормальной экстремали { 𝜆 ( 𝑡 ) } ⊂ 𝑇 * 𝐺 : ˙ 𝜆 ( 𝑡 ) = ⃗𝐻 ( 𝜆 ( 𝑡 )) , 𝜆 ( 𝑡 ) ∈ 𝑇 * 𝑔 ( 𝑡 ) 𝐺, (1)где ⃗𝐻 ∈ Vec( 𝑇 * 𝐺 ) есть гамильтоново векторное поле с гамильтонианом 𝐻 = ∑︀ 𝑘𝑖 =1 ℎ 𝑖 ∈ 𝐶 ∞ ( 𝑇 * 𝐺 ) , ℎ 𝑖 ( 𝜆 ) = ⟨ 𝜆, 𝑋 𝑖 ( 𝜋 ( 𝜆 )) ⟩ , и 𝜋 : 𝑇 * 𝐺 → 𝐺 есть каноническая проекция.Кокасательное расслоение 𝑇 * 𝐺 группы Ли 𝐺 тривиализуется левыми сдвигами 𝐿 𝑔 : 𝑔 ↦→ 𝑔𝑔 , 𝑔, 𝑔 ∈ 𝐺 : Φ : g * × 𝐺 → 𝑇 * 𝐺, ( 𝑝, 𝑔 ) ↦→ 𝐿 * 𝑔 𝑝, ⟨ 𝐿 * 𝑔 𝑝, 𝐿 𝑔 * 𝜉 ⟩ = ⟨ 𝑝, 𝜉 ⟩ , 𝑝 ∈ g * , 𝜉 ∈ g , 𝑔 ∈ 𝐺. В этой тривиализации гамильтонова система (1) становится треугольной, см. [7]: ˙ 𝑝 = (︂ ad 𝜕𝐻𝜕𝑝 )︂ * 𝑝, 𝑝 ∈ g * , (2) ˙ 𝑔 = 𝐿 𝑔 * 𝜕𝐻𝜕𝑝 , 𝑔 ∈ 𝐺. Обозначим вертикальную компоненту гамильтонова поля в правой части уравнения (2) через ⃗𝐻 𝑣 ∈ Vec( g * ) .Переходя к натурально параметризованным геодезическим ( ∑︀ 𝑘𝑖 =1 𝑢 𝑖 ( 𝑡 ) ≡ ), будем считать,что 𝑝 ∈ 𝐶 := g * ∩{ 𝐻 = } . Тогда время разреза на нормальных геодезических 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝜋 ∘ 𝑒 𝑡 ⃗𝐻 ( 𝑝, Id) становится функцией 𝑡 cut : 𝐶 → (0 , + ∞ ] . Определение 3.
Пусть 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑡 ∈ R , есть натурально параметризованная геодезическая в суб-римановом многообразии 𝑀 . Геодезическая 𝑔 ( 𝑡 ) называется эквиоптимальной , если она удо-влетворяет следующему свойству: если 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] , есть непродолжаемая кратчайшая, тодля любого 𝜏 ∈ R геодезическая 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 ) , 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] , есть также непродолжаемая кратчайшая.Субриманово многообразие 𝑀 называется эквиоптимальным , если любая его натуральнопараметризованная геодезическая эквиоптимальна. Лемма 1.
Пусть { 𝑔 ( 𝑡 ) } ⊂ 𝐺 есть субриманова геодезическая с управлением 𝑢 ( 𝑡 ) , и пусть 𝑔 ∈ 𝐺 . Тогда кривая ̃︀ 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝑔 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 ) есть субриманова геодезическая с управлением ̃︀ 𝑢 ( 𝑡 ) = 𝑢 ( 𝑡 + 𝜏 ) .Доказательство. Кривая 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 ) есть геодезическая по определению геодезической, а ее ле-вый сдвиг ̃︀ 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝐿 𝑔 ( 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 )) есть геодезическая в силу левоинвариантности субримановойструктуры. Вычислим управление ̃︀ 𝑢 ( 𝑡 ) , соответствующее геодезической ̃︀ 𝑔 ( 𝑡 ) : ˙ ̃︀ 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝑑𝑑𝑡 𝐿 𝑔 ( 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 )) = 𝐿 𝑔 * ˙ 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 ) = 𝐿 𝑔 * 𝑘 ∑︁ 𝑖 =1 𝑢 𝑖 ( 𝑡 + 𝜏 ) 𝑋 𝑖 ( 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 )) == 𝑘 ∑︁ 𝑖 =1 𝑢 𝑖 ( 𝑡 + 𝜏 ) 𝐿 𝑔 * 𝑋 𝑖 ( 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 )) = 𝑘 ∑︁ 𝑖 =1 𝑢 𝑖 ( 𝑡 + 𝜏 ) 𝑋 𝑖 ( ̃︀ 𝑔 ( 𝑡 )) , поэтому ̃︀ 𝑢 ( 𝑡 ) = 𝑢 ( 𝑡 + 𝜏 ) . Предложение 1.
Нормальная геодезическая 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝜋 ∘ 𝑒 𝑡 ⃗𝐻 ( 𝑝, Id) , 𝑡 ∈ R , эквиоптимальна тогдаи только тогда, когда время разреза инвариантно относительно выбора начального момента,т.е. 𝑡 cut ∘ 𝑒 𝜏 ⃗𝐻 𝑣 ( 𝑝 ) = 𝑡 cut ( 𝑝 ) , 𝑝 ∈ 𝐶, 𝜏 ∈ R . (3)2 оказательство. Геодезическая 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 ) , 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] , есть непродолжаемая кратчайшаятогда и только тогда, когда таковой является геодезическая ̃︀ 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝑔 − 𝑔 ( 𝑡 ) = 𝑔 − 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 ) , 𝑔 = 𝑔 ( 𝜏 ) , 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] . Если геодезическая 𝑔 ( 𝑡 ) соответствует управлению 𝑢 ( 𝑡 ) , то геодезическая ̃︀ 𝑔 ( 𝑡 ) соответствует управлению ̃︀ 𝑢 ( 𝑡 ) = 𝑢 ( 𝑡 + 𝜏 ) , см. лемму 1. Наконец, равенство (3) означает, чтодля любого 𝑇 > управления 𝑢 ( 𝑡 ) , 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] , и 𝑢 ( 𝑡 + 𝜏 ) , 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] , одновременно оптимальныили неоптимальны. Следствие 1.
Стандартные левоинвариантные субримановы структуры на следующих груп-пах Ли эквиоптимальны:1. группа Гейзенберга,2. группы
SO(3) , SU(2) , SL(2) с осесимметричной субримановой метрикой,3. группы
SE(2) и SH(2) ,4. группы Энгеля и Картана.Доказательство.
Все геодезические для указанных групп Ли нормальны. Инвариантное свой-ство времени разреза (3) для этих групп Ли доказано в соответствующих статьях:1. [8],2. [9],3. [11, 13],4. [14, 15].
Предложение 2.
Если субриманова геодезическая однородна, то она эквиоптимальна.Доказательство.
Пусть геодезическая 𝛾 = { 𝑔 ( 𝑡 ) | 𝑡 ∈ R } , однородна, и пусть { 𝜙 𝑠 | 𝑠 ∈ R } есть однопараметрическая подгруппа в Isom( 𝐺 ) , для которой 𝛾 есть однородное пространство.Далее, пусть 𝑔 ( 𝑡 ) , 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] есть непродолжаемая кратчайшая. Возьмем любое 𝜏 ∈ R и найдемтакое 𝑠 ∈ R , что 𝜙 𝑠 ( 𝑔 (0)) = 𝑔 ( 𝜏 ) . Тогда 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 ) , 𝑡 ∈ [0 , 𝑇 ] , есть непродолжаемая кратчайшаятак как 𝑔 ( 𝑡 + 𝜏 ) = 𝜙 𝑠 ( 𝑔 ( 𝑡 )) , 𝑡 ∈ R .В следующем разделе мы покажем ложность импликации, обратной к предложению 2, напримере стандартной субримановой структуры на группе SE(2) [10, 12, 13].
SE(2)
Группа собственных движений евклидовой плоскости
SE(2) есть полупрямое произведениегруппы параллельных переносов R и группы вращений плоскости SO(2) : SE(2) = R (cid:110) SO(2) .Эта группа имеет линейное представление
SE(2) = ⎧⎨⎩⎛⎝ cos 𝜃 − sin 𝜃 𝑥 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑦 ⎞⎠ | 𝜃 ∈ 𝑆 , 𝑥, 𝑦 ∈ R ⎫⎬⎭ . Наряду с матричным обозначением, будем обозначать элементы этой группы как ( 𝑥, 𝑦, 𝜃 ) .Рассмотрим на группе SE(2) стандартную левоинвариантную субриманову структуру, по-рожденную ортонормированным репером 𝑋 = cos 𝜃 𝜕𝜕 𝑥 + sin 𝜃 𝜕𝜕 𝑦 , 𝑋 = 𝜕𝜕 𝜃 . Субримановы геодезические и оптимальный синтез для этой структуры построены в работах[10, 12, 13]. 3 ример 1.
Отметим следующие геодезические для этой структуры: (1) «движение вперед» ( 𝑥, 𝑦, 𝜃 ) = ( 𝑡, , , 𝑡 ∈ R , (2) «поворот на месте» ( 𝑥, 𝑦, 𝜃 ) = (0 , , 𝑡 ) , 𝑡 ∈ R .Проекции всех остальных геодезических на плоскость ( 𝑥, 𝑦 ) являются некомпактнымикусочно-гладкими кривыми с точками возврата, см. Рис. 1–3.Рис. 1: Неинфлексионная гео-дезическая в SE(2)
Рис. 2: Инфлексионная геоде-зическая в
SE(2)
Рис. 3: Критическая геодези-ческая в
SE(2)
Группа
Isom(SE(2)) была вычислена в работе [16]: там показано, что
Isom(SE(2)) ∼ = SE(2) (cid:111) ( Z × Z ) . Группа
SE(2) действует на себе левыми сдвигами. Один сомножитель Z означает отражениев какой-либо оси на плоскости ( 𝑥, 𝑦 ) , а другой сомножитель Z — разворот. В частности, всеоднопараметрические подгруппы в Isom(SE(2)) суть однопараметрические подгруппы в груп-пе
SE(2) . Теорема 1.
Однородными геодезическими в группе
SE(2) являются только геодезические (1) и (2) , указанные в примере .Поэтому SE(2) не является геодезически орбитальным пространством.Доказательство.
Вычислим однопараметрические подгруппы в
Isom(SE(2)) , т.е. в
SE(2) . Ал-гебра Ли группы Ли
SE(2) есть g = se (2) = span( 𝐸 , 𝐸 , 𝐸 − 𝐸 ) , где 𝐸 𝑖𝑗 есть × матрица с единственным ненулевым элементом с строке 𝑖 и столбце 𝑗 , равным 1.Однопараметрическая подгруппа, соответствующая ее элементу 𝑋 = 𝑎𝐸 + 𝑏𝐸 + 𝑐 ( 𝐸 − 𝐸 ) есть 𝑒 𝑠𝑋 = ( 𝑥 ( 𝑠 ) , 𝑦 ( 𝑠 ) , 𝜃 ( 𝑠 )) , где координаты 𝑥, 𝑦, 𝜃 удовлетворяют задаче Коши ˙ 𝑥 = − 𝑐𝑦 + 𝑎, 𝑥 (0) = 0 , ˙ 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑏, 𝑦 (0) = 0 , ˙ 𝜃 = 𝑐, 𝜃 (0) = 0 . Поэтому 𝜃 ( 𝑠 ) = 𝑐𝑠 и 𝑥 ( 𝑠 ) = 𝑎𝑠, 𝑦 ( 𝑠 ) = 𝑏𝑠 при 𝑐 = 0 ,𝑥 ( 𝑠 ) = 𝑏𝑐 (cos 𝑐𝑠 −
1) + 𝑎𝑐 sin 𝑐𝑠, 𝑦 ( 𝑠 ) = 𝑏𝑐 sin 𝑐𝑠 + 𝑎𝑐 (1 − cos 𝑐𝑠 ) при 𝑐 ̸ = 0 . { 𝑒 𝑠𝑋 } ⊂ SE(2) , проходящая через точку ( 𝑥 , 𝑦 , 𝜃 ) ∈ SE(2) , имеет вид: ( 𝑥 + 𝑎𝑠, 𝑦 + 𝑏𝑠, 𝜃 ) при 𝑐 = 0 , (︂(︂ 𝑥 + 𝑏𝑐 )︂ cos 𝑐𝑠 + (︁ 𝑎𝑐 − 𝑦 )︁ sin 𝑐𝑠 − 𝑏𝑐 , (︁ 𝑦 − 𝑎𝑐 )︁ cos 𝑐𝑠 + (︂ 𝑏𝑐 + 𝑥 )︂ sin 𝑐𝑠 + 𝑎𝑐 , 𝜃 + 𝑐𝑠 )︂ при 𝑐 ̸ = 0 . Проекция этой орбиты на плоскость ( 𝑥, 𝑦 ) есть следующая кривая: (1) прямая при 𝑐 = 0 , 𝑎 + 𝑏 ̸ = 0 , (2) точка при 𝑐 ̸ = 0 , (︀ 𝑥 + 𝑏𝑐 )︀ + (︀ 𝑎𝑐 − 𝑦 )︀ = 0 , (3) окружность при 𝑐 (︁(︀ 𝑥 + 𝑏𝑐 )︀ + (︀ 𝑎𝑐 − 𝑦 )︀ )︁ ̸ = 0 .Из описания проекций геодезических на плоскость ( 𝑥, 𝑦 ) следует, что однопараметрические под-группы в случае (3) не могут быть геодезическими. Значит, только геодезические из примера 1однородны (случаи (1), (2)).Таким образом, на группе SE(2) :• все геодезические эквиоптимальны (следствие 1),• однородны только геодезические типов (1), (2) примера 1 (теорема 1).Поэтому группа
SE(2) эквиоптимальна, но не геодезически орбитальна.Глубинная причина эквиоптимальности группы
SE(2) остается скрытой. С другой стороны,группы, перечисленные в п. 1, 2 следствия 1 геодезически орбитальны и эквиоптимальны [3].Отметим также, что стандартная левоинвариантная субриманова структура на свободной дву-ступенной группе Карно с 3-мя образующими (вектор роста (3 , ) [17] эквиоптимальна [3],потому геодезически орбитальна по следствию 1.Автор выражает благодарность А.В. Подобряеву за полезные обсуждения этой работы. Список литературы [1] O. Kowalski, L. Vanhecke. Riemannian manifolds with homogeneous geodesics // Boll. Un. Mat.Ital. 5. 1991. pp. 189–246.[2] D. Kowalski, J. Szenthe. On the existence of homogeneous geodesics in honogeneous Riemannianmanifolds // Geom. Dedicata. 81, 1–3. 2000. pp. 209–214.[3] A.V. Podobryaev, Homogeneous geodesics in sub-Riemannian geometry (в работе).[4] R. Montgomery,
A tour of subriemannnian geometries, their geodesics and applications , Amer.Math. Soc., 2002.[5] A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain,
A Comprehensive Introduction to sub-RiemannianGeometry from Hamiltonian viewpoint , Cambridge University Press, 2019.[6] Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф.
Математическаятеория оптимальных процессов , М.: Наука, 1961.[7] А.А. Аграчев, Ю. Л. Сачков,
Геометрическая теория управления , Физматлит, 2005.58] Вершик А.М., Гершкович В.Я.
Неголономные динамические системы. Геометрия распре-делений и вариационные задачи . Итоги науки и техники: Современные проблемы матема-тики, Фундаментальные направления, т. 16, ВИНИТИ, Москва, 1987, 5–85.[9] U. Boscain, F. Rossi. “Invariant Carnot–Caratheodory metrics on 𝑆 , SO(3) , SL(2) and lensspaces”, SIAM J. Control Optim., 47 (2008), pp. 1851–1878[10] I. Moiseev, Yu. L. Sachkov, Maxwell strata in sub-Riemannian problem on the group of motionsof a plane,
ESAIM: COCV , 16 (2010), 380–399.[11] Y.A.Butt, A.I. Bhatti, Yu. L. Sachkov, Cut Locus and Optimal Synthesis in Sub-RiemannianProblem on the Lie Group
SH(2) , Journal of Dynamical and Control Systems , 23 (2017), 155–195.[12] Yu. L. Sachkov, Conjugate and cut time in the sub-Riemannian problem on the group of motionsof a plane,
ESAIM: COCV , 16 (2010), 1018–1039.[13] Yu. L. Sachkov, Cut locus and optimal synthesis in the sub-Riemannian problem on the groupof motions of a plane,
ESAIM: COCV , 17 (2011), 293–321.[14] Ardentov, A. A. and Sachkov, Yu. L., Cut time in sub-Riemannian problem on Engel group,
ESAIM: COCV , 2015, vol. 21, no. 4, pp. 958–988.[15] Ardentov, A. A. and Hakavuori E., Cut time in sub-Riemannian problem on Cartan group, inpreparation .[16] A. Ardentov, G. Bor, E. Le Donne, R. Montgomery, Yu. Sachkov, Bicycle paths, elasticae andsub-Riemannian geometry, arXiv:2010.04201 .[17] O. Myasnichenko, Nilpotent (3 ,6)