aa r X i v : . [ m a t h . A T ] J a n CARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES,ET D´ERIVATEURS par
Georges Maltsiniotis
R´esum´e . —
Le but de ce texte est d’introduire une variante homotopique de lanotion de carr´e exact, ´etudi´ee par Ren´e Guitart, et d’expliquer le rapport de cetteg´en´eralisation avec la th´eorie des d´erivateurs.
Abstract (Homotopical exact squares and derivators). —
The aim of thispaper is to generalize in a homotopical framework the notion of exact square intro-duced by Ren´e Guitart, and explain the relationship between this generalization andthe theory of derivators.
Table des mati`eres
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Rappels sur les localisateurs fondamentauxet les notions qui en d´ecoulent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Th´eorie ´el´ementaire des carr´es exacts homotopiques. . . . . . . . . . . . . 93. Structures de carr´es exacts sur C at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214. Carr´es exacts homotopiques et d´erivateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31R´ef´erences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Classification math´ematique par sujets (2000). — , , 18G10, , , 55N30, , . Mots clefs . —
Carr´e exact, carr´e comma, carr´e de Beck-Chevalley, d´erivateur, foncteur lisse, fonc-teur propre, propri´et´es de changement de base.
GEORGES MALTSINIOTIS
Introduction
Cet article est consacr´e `a une g´en´eralisation homotopique de la notion de carr´eexact de Guitart [
12, 13, 14, 15, 16, 17 ]. Si A est une petite cat´egorie, on note b A la cat´egorie des pr´efaisceaux d’ensembles sur A , et si u : A / / B est un foncteur entrepetites cat´egories, on note u ∗ le foncteur image inverse par u . u ∗ : b B / / b A , F (cid:31) / / F u
Le foncteur u ∗ admet un adjoint `a gauche u ! : b A / / b B , et un adjoint `a droite u ∗ : b A / / b B . Pour tout carr´e dans la 2-cat´egorie des petites cat´egories D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B , consistant en la donn´ee de quatre petites cat´egories A , B , A ′ , B ′ , de quatre foncteurs u : A / / B , u ′ : A ′ / / B ′ , v : A ′ / / A , w : B ′ / / B , et d’un morphisme de foncteurs α : uv / / wu ′ , on a des morphismes de ≪ changement de base ≫ c D : w ∗ u ∗ / / u ′∗ v ∗ et c ′D : v ! u ′∗ / / u ∗ w ! , transpos´es l’un de l’autre. Le carr´e D est exact au sens de Guitart si l’un de sesmorphismes de foncteurs (donc les deux) est un isomorphisme.Pour toute cat´egorie C , et toute petite cat´egorie A , on note C ( A ) la cat´egorie despr´efaisceaux sur A `a valeurs dans C (cat´egorie des foncteurs de la cat´egorie oppos´ee A ◦ de A , vers C ), de sorte que si E ns d´esigne la cat´egorie des ensembles, alors b A = E ns ( A ).Un morphisme u : A / / B de C at (la cat´egorie des petites cat´egories) d´efinit unfoncteur image inverse u ∗C : C ( B ) / / C ( A ), not´e plus simplement u ∗ , quand aucuneconfusion n’en r´esulte. Si la cat´egorie C est compl`ete (resp. cocompl`ete), alors lefoncteur u ∗ admet un adjoint `a droite u ∗ = u C∗ : C ( A ) / / C ( B ) (resp. un adjoint`a gauche u ! = u C ! : C ( A ) / / C ( B )), et si le carr´e D ci-dessus est exact au sens deGuitart, le morphisme de changement de base c CD : w ∗C ◦ u C∗ / / u ′C∗ ◦ v ∗C (resp. c ′CD : v C ! ◦ u ′∗C / / u ∗C ◦ w C ! )est un isomorphisme.Soit C une cat´egorie de mod`eles de Quillen [ ] compl`ete et cocompl`ete. Pour toutepetite cat´egorie A , on note D C ( A ), ou plus simplement D ( A ), la cat´egorie homoto-pique de C ( A ), localisation de C ( A ) par les ´equivalences faibles argument par argu-ment. Pour tout morphisme u : A / / B de C at , le foncteur u ∗ = u ∗C : C ( B ) / / C ( A )respecte les ´equivalences faibles argument par argument, et induit donc par locali-sation un foncteur u ∗ = u ∗ D : D ( B ) / / D ( A ). Ce foncteur admet un adjoint `a droite u ∗ = u D ∗ : D ( A ) / / D ( B ), et un adjoint `a gauche u ! = u D ! : D ( A ) / / D ( B ) [ ], [ ]. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS On dit que le carr´e D ci-dessus est homotopiquement exact (pour la cat´egorie demod`eles C ) si les morphismes de changement de base (transpos´es l’un de l’autre) c D D : w ∗ D ◦ u D ∗ / / u ′ D ∗ ◦ v ∗ D et c ′ D D : v D ! ◦ u ′∗ D / / u ∗ D ◦ w D ! sont des isomorphismes. On d´emontre que cette notion d´epend assez peu de lacat´egorie de mod`eles C . De fa¸con plus pr´ecise, elle ne d´epend que de la classe W C des fl`eches u : A / / B de C at induisant, pour tout objet X de C , un isomorphismeholim −−−→ A X / / holim −−−→ B X de la colimite homotopique du foncteur constant de valeur X index´e par A , vers celle de celui index´e par B . La classe W C satisfait les propri´et´esde ce que Grothendieck appelle un localisateur fondamental [ ], [ ], [ ]. Ainsi,les localisateurs fondamentaux fournissent un cadre naturel pour d´efinir la notion decarr´e exact homotopique.Le foncteur D = D C qu’on vient d’associer `a une cat´egorie de mod`eles de Quillencompl`ete et cocompl`ete C A (cid:31) / / D ( A ) , u (cid:31) / / u ∗ D s’´etend facilement aux transformations naturelles, d´efinissant ainsi un d´erivateur deGrothendieck [ ]. Un d´erivateur est un 2-foncteur contravariant de la 2-cat´egorie despetites cat´egories vers celle des cat´egories (non n´ecessairement petites), satisfaisantune liste d’axiomes [ ], [ ], [ ]. Le concept de d´erivateur a ´et´e introduit par Gro-thendieck comme l’objet principal de l’alg`ebre homotopique, les cat´egories de mod`elesjouant le mˆeme rˆole vis-`a-vis des d´erivateurs que les pr´esentations par g´en´erateurs etrelations vis-`a-vis des groupes. Des notions proches de celle de d´erivateur ont ´et´e´etudi´ees par Heller [
18, 19, 20, 21 ], Keller [ ] et Franke [ ]. Les principales appli-cations de la th´eorie des carr´es exacts homotopiques se situent dans la probl´ematiquedes d´erivateurs, o`u les propri´et´es de changement de base, analogues `a celles des mor-phismes propres ou lisses en g´eom´etrie alg´ebrique [ , expos´es 12, 13 et 16], jouentun rˆole capital. Un des buts du pr´esent article est de montrer l’enchaˆınement duformalisme des d´erivateurs avec celui des carr´es exacts homotopiques.Dans la premi`ere section, on rappelle la d´efinition d’un localisateur fondamental etdes nombreuses notions qui lui sont attach´ees, et on pr´esente les principaux exemplesde localisateurs fondamentaux. Dans la deuxi`eme section, on associe, `a chaque locali-sateur fondamental, une notion de carr´e exact, et on explique comment retrouver le casparticulier des carr´es exacts de Guitart. On d´emontre, de fa¸con ´el´ementaire, les pro-pri´et´es les plus importantes des carr´es exacts. En particulier, on obtient que pour toutlocalisateur fondamental, les carr´es comma ainsi que les carr´es de Beck-Chevalley sontexacts. En revanche, contrairement au cas des carr´es exacts de Guitart, les carr´es co-comma ne sont pas en g´en´eral exacts. On ´etudie le rapport de la notion de carr´e exactavec celle de foncteur propre ou lisse, introduite par Grothendieck [ ], [ ], [ ], [ ].Enfin, on introduit une tr`es l´eg`ere variante de la notion de carr´e exact, celle de carr´eexact faible, qui apparaˆıt naturellement dans la th´eorie des d´erivateurs. GEORGES MALTSINIOTIS
La troisi`eme section est consacr´ee aux structures d´efinies sur la 2-cat´egorie despetites cat´egories par la donn´ee d’une classe de carr´es, qu’on appellera carr´es exacts,satisfaisant `a divers propri´et´es de stabilit´e et de non trivialit´e ou ≪ d’initialisation ≫ .On caract´erise la classe des carr´es exacts homotopiques comme la plus petite classede carr´es satisfaisant `a toutes ces propri´et´es, et on obtient, en particulier, une ca-ract´erisation analogue de la classe des carr´es exacts de Guitart. Par ailleurs, ond´emontre, `a l’aide de manipulations ≪ g´eom´etriques ≫ de carr´es, des lemmes utiles `ala th´eorie des d´erivateurs.Le but de la derni`ere section est de pr´esenter la th´eorie des d´erivateurs dupoint de vue des carr´es exacts homotopiques. On montre que la plupart desr´esultats ´el´ementaires sur les d´erivateurs, d´emontr´es par Grothendieck dans [ ],sont cons´equences des propri´et´es formelles des structures de carr´es exacts, et despropri´et´es des carr´es exacts homotopiques. Inversement, ces propri´et´es prennent toutleur sens sous l’´eclairage des d´erivateurs. On s’applique `a isoler soigneusement ceuxparmi les axiomes des d´erivateurs utiles pour chaque ´enonc´e, ce qui s’av`ere crucialpour les applications, vu que souvent dans les exemples une partie seulement de cesaxiomes est satisfaite.
1. Rappels sur les localisateurs fondamentauxet les notions qui en d´ecoulent . —
La d´efinition des localisateurs fondamentaux.
On note C at la cat´egoriedes petites cat´egories, et e la cat´egorie ponctuelle, objet final de C at . On dit qu’unepartie W de Fl ( C at ) est faiblement satur´ee si elle satisfait aux conditions suivantes :FS1 Les identit´es sont dans W .FS2 Si deux des trois fl`eches d’un triangle commutatif sont dans W , il en est demˆeme de la troisi`eme.FS3 Si i : A ′ / / A et r : A / / A ′ sont deux morphismes de C at tels que ri = 1 A ′ , etsi ir est dans W , il en est de mˆeme de r .On rappelle qu’un localisateur fondamental [ ], [ ], [ ] est une classe W de fl`echesde C at satisfaisant aux conditions suivantes :LA La partie W de Fl ( C at ) est faiblement satur´ee.LB Si A est une petite cat´egorie admettant un objet final, alors A / / e est dans W .LC Si A u / / v (cid:26) (cid:26) B w (cid:4) (cid:4) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8) C est un triangle commutatif de C at , et si pour tout objet c de C , le foncteur u/c : A/c / / B/c induit par u est dans W , alors u est dans W . ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS On dit que la classe des fl`eches W est un localisateur fondamental faible si elle satisfaitaux conditions LA et LB, et `a la condition LC seulement pour C = B et w = 1 B ,autrement dit `a la condition :LC f Si u : A / / B est un morphisme de C at , et si pour tout objet b de B , le foncteur A/b / / B/b induit par u est dans W , alors u est dans W .Les ´el´ements de W s’appellent des W -´equivalences , ou ´equivalences faibles , quandaucune ambigu¨ıt´e n’en r´esulte. . — Exemples de localisateurs fondamentaux.
Il existe de nombreuxexemples de localisateurs fondamentaux. . —
Le localisateur fondamental W ∞ . Le localisateur fondamental le plusimportant est celui des ´equivalences faibles usuelles de C at , classe des foncteurs entrepetites cat´egories dont l’image par le foncteur nerf est une ´equivalence faible sim-pliciale, autrement dit, un morphisme d’ensembles simpliciaux dont la r´ealisationtopologique est une ´equivalence d’homotopie. Il sera not´e W ∞ , et ses ´el´ements serontsouvent appel´es des ∞ - ´equivalences . Le fait que W ∞ est un localisateur fondamental faible r´esulte directement du th´eor`eme A de Quillen [ ], qui n’est autre que la condi-tion LC f . La preuve de Quillen s’adapte facilement pour montrer la condition plusforte LC, qui est une version relative du th´eor`eme A [ , th´eor`eme 2.1.13], et Cisinskid´emontre que W ∞ est le plus petit localisateur fondamental [ , th´eor`eme 2.2.11], etmˆeme le plus petit localisateur faible [ , th´eor`eme 6.1.18]. . — Les localisateurs fondamentaux W n , n > . On rappelle que pourun entier n >
0, une n -´equivalence d’espaces topologiques est une application continueinduisant une bijection des π , et un isomorphisme des i -`emes groupes d’homotopiepour tout i , 1 i n , et tout choix de point base. On dit qu’un foncteur entrepetites cat´egories est une n - ´equivalence si la r´ealisation topologique de son nerf estune n -´equivalence topologique. Les n -´equivalences de C at forment un localisateur fon-damental [ , section 9.2], not´e W n . Le localisateur fondamental W ∞ est l’intersectiondes W n , n > . — Les localisateurs fondamentaux W t r et W g r . La classe de toutesles fl`eches de C at est un localisateur fondamental, qu’on appelle trivial . Les foncteursentre petites cat´egories toutes deux non vides, ou toutes deux vides, forment un loca-lisateur fondamental, qu’on appelle grossier . On d´emontre que les seuls localisateursfondamentaux qui ne sont pas contenus dans W sont le localisateur fondamental tri-vial W t r = Fl C at et le localisateur fondamental grossier W g r [ , proposition 9.3.2].On a des inclusions W ∞ ⊂ W n ⊂ W m ⊂ W ⊂ W g r ⊂ W t r , m n . GEORGES MALTSINIOTIS . —
Localisateur fondamental associ´e `a une cat´egorie de mod`eles.
Il existe beaucoup d’autres localisateurs fondamentaux. Par exemple, pour toutecat´egorie de mod`eles de Quillen C , la classe W C des fl`eches u : A / / B de C at indui-sant, pour tout objet X de C , un isomorphisme holim −−−→ A X / / holim −−−→ B X de la colimitehomotopique du foncteur constant de valeur X index´e par A , vers celle de celui in-dex´e par B , est un localisateur fondamental. Cela est une cons´equence imm´ediate despropri´et´es formelles des colimites homotopiques. . — Localisateur fondamental associ´e `a un d´erivateur. `A toutd´erivateur D , on associe un localisateur fondamental W D [ ], [ ]. Cet exempleg´en´eralise le pr´ec´edent. En effet, `a toute cat´egorie de mod`eles de Quillen, on associeun d´erivateur D C [ ], et on a (essentiellement par d´efinition) W D C = W C . Remarque 1.3 . — On ne connaˆıt pas d’exemple de localisateur fondamental faiblequi ne soit pas un localisateur fondamental. . —
Propri´et´es de stabilit´e des localisateurs fondamentaux. Si W estun localisateur fondamental faible (et a fortiori s’il est un localisateur fondamen-tal) une fl`eche u : A / / B de C at est une W -´equivalence si et seulement si le foncteur u ◦ : A ◦ / / B ◦ , obtenu par passage aux cat´egories oppos´ees, est une W -´equivalence [ ,proposition 1.1.22]. Autrement dit, on a W ◦ = W . Si W est un localisateur fon-damental, alors il est stable par produits finis [ , proposition 2.1.3], par petitessommes [ , proposition 2.1.4], et par petites limites inductives filtrantes [ , propo-sition 2.4.12, ( b )] et en particulier par r´etractes. . — Notions associ´ees `a un localisateur fondamental.
Soit W un locali-sateur fondamental faible. . — Cat´egories asph´eriques.
On dit qu’une petite cat´egorie A est W - asph´erique , ou plus simplement asph´erique , si le foncteur A / / e de A vers lacat´egorie finale est une W -´equivalence. L’axiome LB affirme qu’une petite cat´egorieadmettant un objet final est W -asph´erique, et il r´esulte de la stabilit´e de W parpassage aux cat´egories oppos´ees qu’une petite cat´egorie admettant un objet initial est W -asph´erique. La classe des petites cat´egories W -asph´eriques est stable par passage`a la cat´egorie oppos´ee, par produits finis [ , corollaire 1.1.5], et par petites limitesinductives filtrantes [ , proposition 2.4.12, ( a )]. . — Foncteurs asph´eriques, coasph´eriques.
Soit u : A / / B un morphismede C at . On dit que le foncteur u est W - asph´erique , ou plus simplement asph´erique , sipour tout objet b de B le morphisme A/b / / B/b , induit par u , est une W -´equivalence.Comme la cat´egorie B/b admet un objet final, il r´esulte de LA et LB que cela revient`a demander que la cat´egorie
A/b soit W -asph´erique. La condition LC f affirme qu’unfoncteur W -asph´erique est une W -´equivalence. Un foncteur admettant un adjoint `adroite est W -asph´erique [ , proposition 1.1.9]. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS Dualement, on dit que le foncteur u est W - coasph´erique ou plus simplement coasph´erique , si pour tout objet b de B le morphisme b \ A / / b \ B , induit par u ,est une W -´equivalence, ou de fa¸con ´equivalente (puisque la cat´egorie b \ B admetun objet initial) si la cat´egorie b \ A est W -asph´erique. Il r´esulte de l’isomorphismecanonique ( b \ A ) ◦ ≃ A ◦ /b et de la stabilit´e de W par passage aux cat´egories oppos´eesque le foncteur u est W -coasph´erique si et seulement si le foncteur u ◦ : A ◦ / / B ◦ est W -asph´erique. En particulier, un foncteur W -coasph´erique est une W -´equivalence.Un foncteur admettant un adjoint `a gauche est W -coasph´erique.Une petite cat´egorie A est W -asph´erique si et seulement si le foncteur A / / e est W -asph´erique, ou de fa¸con ´equivalente W -coasph´erique. Si u : A / / B est un fonc-teur W -asph´erique (resp. W -coasph´erique), alors pour tout objet b de B , le foncteur A/b / / B/b (resp. b \ A / / b \ B ), induit par u , l’est aussi [ , lemme 1.1.7]. Si A u / / v (cid:26) (cid:26) B w (cid:4) (cid:4) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8) C d´esigne un triangle commutatif de C at , et si u est un foncteur W -asph´erique(resp. W -coasph´erique), alors pour que le morphisme v soit W -asph´erique (resp. W -coasph´erique), il faut et il suffit que w le soit [ , proposition 1.1.8]. En parti-culier, la classe des foncteurs W -asph´eriques (resp. W -coasph´eriques) est stable parcomposition. Elle est ´egalement stable par produits finis [ , corollaire 1.1.6]. . — ´Equivalences faibles universelles. On dit qu’une fl`eche u : A / / B de C at est une W - ´equivalence universelle si elle est une W -´equivalence et le reste apr`estout changement de base, autrement dit, si pour tout carr´e cart´esien A ′ / / u ′ (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) B ′ / / B ,u ′ est une W -´equivalence. Une W -´equivalence universelle est en particulier un foncteur`a la fois asph´erique et coasph´erique. Si A est une cat´egorie asph´erique alors le foncteur A / / e est une W -´equivalence universelle [ , proposition 1.1.4]. . — ´Equivalences faibles locales, colocales. ´Etant donn´e un triangle com-mutatif dans C at A u / / v (cid:26) (cid:26) B w (cid:4) (cid:4) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8) C ,
GEORGES MALTSINIOTIS on dit que le foncteur u est une W - ´equivalence (ou une ´equivalence faible ) localement (resp. colocalement ) sur C si pour tout objet c de C , le foncteur A/c / / B/c (resp. c \ A / / c \ B ), induit par u , est une W -´equivalence. Le foncteur u est une W -´equivalencecolocalement sur C si et seulement si le foncteur u ◦ : A ◦ / / B ◦ est une W -´equivalencelocalement sur C ◦ . Si le foncteur u est W -asph´erique (resp. W -coasph´erique), alorsil est a fortiori une W -´equivalence localement (resp. colocalement) sur C [ ,lemme 1.1.7]. La condition LC affirme que si le foncteur u est une W -´equivalencelocalement sur C , alors il est une W -´equivalence. Ainsi, si le localisateur fondamentalfaible W est un localisateur fondamental, un foncteur qui est une W -´equivalencelocalement ou colocalement sur C est une W -´equivalence. Plus g´en´eralement, souscette hypoth`ese, pour toute fl`eche C / / C ′ de C at , une W -´equivalence localement(resp. colocalement) sur C l’est aussi sur C ′ [ , lemme 3.1.5]. Un foncteur u : A / / B est W -asph´erique (resp. W -coasph´erique) si et seulement si il est une W -´equivalencelocalement (resp. colocalement) sur B . Pour que u soit une W -´equivalence, il faut etil suffit qu’il soit une W -´equivalence localement (ou colocalement) sur la cat´egorieponctuelle e . . — Foncteurs propres, lisses.
Soit u : A / / B un morphisme de C at . Pourtout objet b de B , on note A b la fibre de u en b , autrement dit, la sous-cat´egorie(non pleine) de A dont les objets sont les objets a de A tels que u ( a ) = b , et dont lesmorphismes sont les fl`eches f de A telles que u ( f ) = 1 b . On dit que le foncteur u est W - lisse (resp. W - propre ), ou plus simplement lisse (resp. propre ), si pour tout objet b de B , le morphisme canonique A b / / b \ A , a (cid:31) / / ( a, b : b / / u ( a )) , a ∈ Ob A b , (resp. A b / / A/b , a (cid:31) / / ( a, b : u ( a ) / / b ) , a ∈ Ob A b , )est W -asph´erique (resp. W -coasph´erique) [ ], [ , section 3.2]. Le foncteur u : A / / B est propre si et seulement si le foncteur u ◦ : A ◦ / / B ◦ est lisse.Les foncteurs u : A / / B dans C at faisant de A une cat´egorie pr´efibr´ee (resp. pr´eco-fibr´ee ) [ , expos´e VI] sont des exemples de foncteurs lisses (resp. propres), car alors lemorphisme canonique A b / / b \ A (resp. A b / / A/b ) admet un adjoint `a droite (resp. `agauche), et est donc en particulier W -asph´erique (resp. W -coasph´erique). On diraalors que u est une pr´efibration (resp. une pr´ecofibration ). . — Notions associ´ees `a des localisateurs fondamentaux comparables.
Soient W et W ′ deux localisateurs fondamentaux faibles tels que W ⊂ W ′ .Il est imm´ediat que toute cat´egorie W -asph´erique est W ′ -asph´erique, et quetout foncteur W -asph´erique (resp. W -coasph´erique) est W ′ -asph´erique (resp. W ′ -coasph´erique). En particulier, pour tout localisateur fondamental faible W ,une cat´egorie W ∞ -asph´erique est W -asph´erique, et un foncteur W ∞ -asph´erique(resp. W ∞ -coasph´erique) est W -asph´erique (resp. W -coasph´erique). De mˆeme, si W est un localisateur fondamental distinct de W t r et de W g r , toute cat´egorie ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS W -asph´erique est W -asph´erique, et tout foncteur W -asph´erique (resp. W -coasph´e-rique) est W -asph´erique (resp. W -coasph´erique).
2. Th´eorie ´el´ementaire des carr´es exacts homotopiques . —
Carr´es dans C at . On appellera carr´e un ≪ ≫ dans C at de laforme A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B , autrement dit, la donn´ee de quatre petites cat´egories
A, A ′ , B, B ′ , de quatre foncteurs u : A / / B , u ′ : A ′ / / B ′ , v : A ′ / / A , w : B ′ / / B , et d’un morphisme de foncteurs α : uv / / wu ′ . On dira que ce carr´e est commutatif si α = 1 uv , ce qui implique enparticulier que uv = wu ′ , et on dira qu’il est cart´esien , s’il est commutatif, et sile morphisme induit de A ′ vers le produit fibr´e B ′ × B A est un isomorphisme decat´egories. Enfin, on dira qu’il est un carr´e comma si le morphisme canonique de A ′ vers la cat´egorie comma u ↓ w est un isomorphisme. On rappelle que la cat´egorie u ↓ v a comme objets les triplets ( a, b ′ , g ), o`u a est un objet de A , b ′ un objet de B ′ , et g : u ( a ) / / w ( b ′ ) une fl`eche de B , un morphisme d’un objet ( a , b ′ , g ) vers un autre( a , b ′ , g ) ´etant un couple ( f, g ′ ), o`u f : a / / a est une fl`eche de A et g ′ : b ′ / / b ′ une fl`eche de B ′ , tel que le carr´e u ( a ) g / / u ( f ) (cid:15) (cid:15) w ( b ′ ) w ( g ′ ) (cid:15) (cid:15) u ( a ) g / / w ( b ′ )soit commutatif. Le morphisme canonique de A ′ vers u ↓ w associe `a un objet a ′ de A ′ le triplet ( v ( a ′ ) , u ′ ( a ′ ) , α a ′ ) et `a une fl`eche f ′ de A ′ le couple ( v ( f ′ ) , u ′ ( f ′ )). . — Foncteurs induits par un carr´e.
Soit A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B un carr´e de C at . Pour tout objet b ′ de B ′ , le morphisme v induit un foncteur A ′ /b ′ / / A/w ( b ′ ), associant `a un objet ( a ′ , g ′ : u ′ ( a ′ ) / / b ′ ) de A ′ /b ′ , l’objet (cid:0) v ( a ′ ) , uv ( a ′ ) w ( g ′ ) α a ′ / / w ( b ′ ) (cid:1) GEORGES MALTSINIOTIS de A/w ( b ′ ), et `a une fl`eche f ′ , la fl`eche v ( f ′ ). Dualement, pour tout objet a de A , lefoncteur u ′ induit un foncteur a \ A ′ / / u ( a ) \ B ′ , associant `a un objet ( a ′ , f : a / / v ( a ′ ))de a \ A ′ , l’objet (cid:0) u ′ ( a ′ ) , u ( a ) α a ′ u ( f ) / / wu ′ ( a ′ ) (cid:1) de u ( a ) \ B ′ , et `a une fl`eche f ′ , la fl`eche u ′ ( f ′ ). On remarquera que ces foncteursinduits d´ependent, non seulement des foncteurs v et u ′ respectivement, mais aussi dela transformation naturelle α , mˆeme si on ne le pr´ecise pas quand aucune ambigu¨ıt´en’en r´esulte. Dans la suite, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W . Proposition 2.3 . —
Soit A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B un carr´e dans C at . Les conditions suivantes sont ´equivalentes : a) pour tout objet b ′ de B ′ , le foncteur A ′ /b ′ / / A/w ( b ′ ) , induit par v , est W -coasph´erique ; b) pour tout objet a de A , le foncteur a \ A ′ / / u ( a ) \ B ′ , induit par u ′ , est W -asph´erique ; c) pour tout objet a de A , tout objet b ′ de B ′ , et toute fl`eche g : u ( a ) / / w ( b ′ ) de A ,la cat´egorie A ′ ( a,b ′ ,g ) dont les objets sont les triplets ( a ′ , f, g ′ ) , o`u a ′ est un objetde A ′ , f : a / / v ( a ′ ) une fl`eche de A et g ′ : u ′ ( a ′ ) / / b ′ une fl`eche de B ′ , tels que w ( g ′ ) α a ′ u ( f ) = g , et les morphismes ( a ′ , f , g ′ ) f ′ / / ( a ′ , f , g ′ ) les fl`eches f ′ : a ′ / / a ′ de A ′ rendant commutatifs les deux triangles suivants v ( a ′ ) v ( f ′ ) (cid:15) (cid:15) u ′ ( a ′ ) u ′ ( f ′ ) (cid:15) (cid:15) g ′ ( ( QQQQQQ a f nnnnnn f ' ' PPPPPP b ′ v ( a ′ ) u ′ ( a ′ ) g ′ mmmmmm , est W -asph´erique.D´emonstration . — Une v´erification imm´ediate montre que pour tout objet b ′ de B ′ , ettout objet ( a, g : u ( a ) / / w ( b ′ )) de A/w ( b ′ ), la cat´egorie ( a, g ) \ ( A ′ /b ′ ) est isomorphe `ala cat´egorie A ( a,b ′ ,g ) , ce qui prouve l’´equivalence des conditions ( a ) et ( c ). Dualement,pour tout objet a de A , et tout objet ( b ′ , g : u ( a ) / / w ( b ′ )) de u ( a ) \ B ′ la cat´egorie( a \ A ′ ) / ( b ′ , g ) est isomorphe `a la cat´egorie A ( a,b ′ ,g ) , ce qui ach`eve la d´emonstration. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS . — Carr´es W -exacts. On dit qu’un carr´e est W - exact s’il satisfait aux condi-tions ´equivalentes de la proposition ci-dessus. Les carr´es exacts ´etudi´es par Gui-tart [
12, 13, 14, 15, 16, 17 ] sont exactement les carr´es W -exacts [ , th´eor`eme 1.3],qu’on appellera aussi carr´es exacts au sens de Guitart [ , section 4], ou plus simple-ment carr´es exacts de Guitart . . — Exemples triviaux de carr´es W -exacts. Un carr´e de la forme A u (cid:15) (cid:15) / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) e (cid:15) (cid:15) = (resp. B / / e A (cid:15) (cid:15) u / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) B ), (cid:15) (cid:15) = e / / e o`u e d´esigne la cat´egorie ponctuelle, est W -exact si et seulement si le foncteur u est W -asph´erique (resp. W -coasph´erique). En particulier, un carr´e de la forme A (cid:15) (cid:15) / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) e (cid:15) (cid:15) = e / / e est W -exact si et seulement si la cat´egorie A est W -asph´erique. Proposition 2.6 . —
Pour qu’un carr´e A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B soit W -exact, il faut et il suffit que le carr´e A ′◦ u ′◦ / / v ◦ (cid:15) (cid:15) (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) α ◦ B ′◦ w ◦ (cid:15) (cid:15) A ◦ u ◦ / / B ◦ , obtenu du pr´ec´edent par passage aux cat´egories oppos´ees, soit W -exact.D´emonstration . — La proposition r´esulte aussitˆot de l’´equivalence des conditions ( a )et ( b ) de la proposition 2.3, et du fait qu’un foncteur est W -coasph´erique si et seule-ment si le foncteur obtenu par passage aux cat´egories oppos´ees est W -asph´erique( cf. Proposition 2.7 . —
La classe des carr´es W -exacts est stable par composition hori-zontale et verticale. GEORGES MALTSINIOTIS
D´emonstration . — Montrons par exemple la stabilit´e par composition horizontale.Consid´erons donc deux carr´es composables horizontalement et leur compos´e A ′′ (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) α ′ v ′ / / u ′′ (cid:15) (cid:15) A ′ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) αv / / u ′ (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) A ′′ (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) α ′′ v ′′ = vv ′ / / u ′′ (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) B ′′ w ′ / / B ′ w / / B B ′′ w ′′ = ww ′ / / B , D ′ D D ◦ h D ′ avec α ′′ = ( w ⋆ α ′ )( α ⋆ v ′ ), supposons que les carr´es D et D ′ soient W -exacts, etmontrons qu’il en est de mˆeme du carr´e D ◦ h D ′ . Soit b ′′ un objet de B ′′ . On v´erifieaussitˆot que le foncteur A ′′ /b ′′ / / A/w ′′ ( b ′′ ), induit par la fl`eche v ′′ du carr´e D ◦ h D ′ ,est le compos´e A ′′ /b ′′ / / A ′ /w ′ ( b ′′ ) / / A/w ( w ′ ( b ′′ )) = A/w ′′ ( b ′′ )des foncteurs induits par les fl`eches v ′ et v des carr´es D et D ′ respectivement. L’asser-tion r´esulte donc du crit`ere ( a ) de la proposition 2.3, et de la stabilit´e des foncteurs W -coasph´eriques par composition ( cf. W -exacts parcomposition verticale r´esulte de ce qui pr´ec`ede et de la proposition 2.6. Proposition 2.8 . —
Soient J un ensemble, et A ′ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) αv / / u ′ (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) A j (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) α j v j / / u j (cid:15) (cid:15) A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) D = et D j = , j ∈ J ,B ′ w / / B B j w j / / B ′ des carr´es dans C at. On suppose que pour tout j ∈ J le carr´e D j est W -exact, et que Ob B ′ = S j ∈ J w j ( Ob B j ) . Alors les conditions suivantes sont ´equivalentes : a) le carr´e D est W -exact ; b) pour tout j , j ∈ J , le carr´e compos´e D ◦ h D j est W -exact.D´emonstration . — L’implication ( a ) ⇒ ( b ) r´esulte de la proposition 2.7. Montronsla r´eciproque. Soit b ′ un objet de B ′ . Par hypoth`ese, il existe j ∈ J et un objet b j de B j tels que b ′ = w j ( b j ). Comme les carr´es D j et D ◦ h D j sont W -exacts, il r´esultedu crit`ere ( a ) de la proposition 2.3 que le morphisme B j /b j / / B ′ /b ′ , ainsi que lemorphisme compos´e B j /b j / / B ′ /b ′ / / B/w ( b ′ )sont W -coasph´eriques. Il en est donc de mˆeme du morphisme B ′ /b ′ / / B/w ( b ′ )( cf. a ) de la proposition 2.3 montre alorsque le carr´e D est W -exact. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS Remarque 2.9 . — On laisse le soin au lecteur d’´enoncer et prouver l’assertion dualede la proposition pr´ec´edente, concernant la composition verticale.
Proposition 2.10 . —
Tout carr´e comma est W -exact.D´emonstration . — Soient A, B, B ′ trois cat´egories, u : A / / B , w : B ′ / / B deuxfoncteurs, et formons le carr´e comma A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B , la cat´egorie A ′ ayant comme objets les triplets ( a, b ′ , g : u ( a ) / / w ( b ′ )), a ∈ Ob A , b ′ ∈ Ob B ′ , g ∈ Fl B , une fl`eche ( a , b ′ , g ) / / ( a , b ′ , g ) ´etant un couple ( f, g ′ ), f : a / / a ∈ Fl A , g ′ : b ′ / / b ′ ∈ Fl B ′ , tel que g u ( f ) = w ( g ′ ) g , et les foncteurs v , u ′ et la transformation naturelle α ´etant d´efinis par les formules v ( a, b ′ , g ) = a , ( a, b ′ , g ) ∈ Ob A ′ , v ( f, g ′ ) = f , ( f, g ′ ) ∈ Fl A ′ ,u ′ ( a, b ′ , g ) = b ′ , ( a, b ′ , g ) ∈ Ob A ′ , u ′ ( f, g ′ ) = g ′ , ( f, g ′ ) ∈ Fl A ′ ,α ( a,b ′ ,g ) = g , ( a, b ′ , g ) ∈ Ob A ′ . Pour montrer que ce carr´e est W -exact, on va utiliser le crit`ere ( c ) de la proposi-tion 2.3. Dans les notations de ce crit`ere, il s’agit de prouver que pour tout objet a de A , tout objet b ′ de B ′ , et toute fl`eche g : u ( a ) / / w ( b ′ ) de B , la cat´egorie C = A ′ ( a ,b ′ ,g ) est W -asph´erique. Les objets de C sont les quintuplets( a, b ′ , u ( a ) g / / w ( b ′ ) , a f / / a, b ′ g ′ / / b ′ ) , avec a ∈ Ob A , b ′ ∈ Ob B ′ , g ∈ Fl B , f ∈ Fl A , g ′ ∈ Fl B ′ , tels que w ( g ′ ) g u ( f ) = g , un morphisme ( a , b ′ , g , f , g ′ ) / / ( a , b ′ , g , f , g ′ )´etant un couple ( f, g ′ ), f : a / / a ∈ Fl A , g ′ : b ′ / / b ′ , tel que les diagrammes a f (cid:15) (cid:15) u ( a ) g / / u ( f ) (cid:15) (cid:15) w ( b ′ ) w ( g ′ ) (cid:15) (cid:15) b ′ g ′ (cid:15) (cid:15) g ′ & & MMMMMM a f qqqqqq f & & MMMMMM b ′ a u ( a ) g / / w ( b ′ ) b ′ g ′ qqqqqq soient commutatifs. On va construire un d´ecalage sur C C α / / D β o o K GEORGES MALTSINIOTIS (diagramme d’endofoncteurs de C et transformations naturelles, avec K endofonc-teur constant [ , 3.1]), ce qui impliquera que la cat´egorie C est W ∞ -asph´erique [ ,proposition 3.6] et en particulier W -asph´erique ( cf. D´efinition du foncteur D . L’endofoncteur D est d´efini par les formules : D ( a, b, g, f, g ′ ) = ( a, b ′ , w ( g ′ ) g, f, b ′ ) , ( a, b, g, f, g ′ ) ∈ Ob C ,D ( f, g ′ ) = ( f, b ′ ) , ( f, g ′ ) ∈ Fl C .
D´efinition du morphisme de foncteurs α . La transformation naturelle α : 1 C / / D est d´efinie par l’´egalit´e : α ( a,b,g,f,g ′ ) = (1 a , g ′ ) , ( a, b, g, f, g ′ ) ∈ Ob C .
D´efinition du foncteur P . Le foncteur P est l’endofoncteur constant de C d´efinipar l’objet ( a , b ′ , u ( a ) g / / w ( b ′ ) , a , b ′ ) . D´efinition du morphisme de foncteurs β . La transformation naturelle β : P / / D est d´efinie par l’´egalit´e β ( a,b,g,f,g ′ ) = ( f, b ′ ) , ( a, b, g, f, g ′ ) ∈ Ob C .
On laisse le soin au lecteur de v´erifier que ces formules d´efinissent bien des endofonc-teurs de C et des transformations naturelles. Remarque 2.11 . — Guitart montre que tout carr´e cocomma est W -exact [ ]. Cer´esultat ne se g´en´eralise pas aux carr´es W -exacts, pour un localisateur fondamentaldistinct de W , W g r et W t r . En effet, alors W $ W ( cf. W ( cf. A , 0-connexe maisnon W -asph´erique. Or, pour toute cat´egorie 0-connexe A , le carr´e A (cid:15) (cid:15) / / e (cid:15) (cid:15) {{{{ y (cid:1) e / / { / / } est un carr´e cocomma. En revanche, en vertu du crit`ere ( b ) de la proposition 2.3, cecarr´e n’est pas W -exact si la cat´egorie A n’est pas W -asph´erique. Proposition 2.12 . —
Soit D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = B ′ w / / B un carr´e cart´esien de C at. Si u est W -propre ou si w est W -lisse, alors le carr´e D est W -exact. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS D´emonstration . — Supposons que u soit W -propre, et soit a un objet de A . La fl`eche a \ A / / u ( a ) \ B est alors une W -´equivalence universelle [ , proposition 3.2.8]. Commele carr´e a \ A ′ / / (cid:15) (cid:15) a \ A (cid:15) (cid:15) u ( a ) \ B ′ / / u ( a ) \ B , induit par D , est cart´esien [ , lemme 3.2.11], il en est de mˆeme de la fl`eche a \ A ′ / / u ( a ) \ B ′ , qui est donc en particulier W -asph´erique. Le crit`ere ( b ) de laproposition 2.3 implique alors que le carr´e D est W -exact. Le cas o`u w est lisse sed´eduit de ce qui pr´ec`ede et de la proposition 2.6 ( cf. Proposition 2.13 . —
Soit u : A / / B une fl`eche de C at. Les conditions suivantessont ´equivalentes : a) u est W -propre ; b) tout carr´e cart´esien de la forme A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = B ′ w / / B est W -exact.D´emonstration . — L’implication ( a ) ⇒ ( b ) r´esulte de la proposition 2.12. Pour prou-ver l’implication ( b ) ⇒ ( a ), soit b un objet de B , et consid´erons le carr´e cart´esien A b / / (cid:15) (cid:15) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = e b / / B , o`u b : e / / B d´esigne le foncteur de la cat´egorie ponctuelle vers B , d´efini par l’objet b de B , et A b la fibre de u en b . En vertu de la condition ( b ), ce carr´e est W -exact,et il r´esulte alors du crit`ere ( a ) de la proposition 2.3 que la fl`eche A b / / A/b est W -coasph´erique, ce qui prouve que u est W -propre. Remarque 2.14 . — On laisse le soin au lecteur d’´enoncer et prouver l’assertionduale de la proposition pr´ec´edente, caract´erisant les foncteurs lisses.
Proposition 2.15 . — Si W et W ′ sont deux localisateurs fondamentaux faibles telsque W ⊂ W ′ , alors tout carr´e W -exact est W ′ -exact. GEORGES MALTSINIOTIS
D´emonstration . — La proposition est cons´equence imm´ediate des crit`eres de la pro-position 2.3, et des consid´erations de 1.6. . —
Carr´es de Beck-Chevalley.
On dit qu’un carr´e D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B de C at est de Beck-Chevalley `a gauche si u et u ′ admettent des adjoints `a droite r et r ′ respectivement, et si le morphisme canonique ≪ de changement de base ≫ c : vr ′ / / rw ,d´efini par la formule c = ( rw ⋆ ε ′ )( r ⋆ α ⋆ r ′ )( η ⋆ vr ′ ) vr ′ c / / η⋆vr ′ (cid:15) (cid:15) rwruvr ′ r⋆α⋆r ′ / / rwu ′ r ′ rw⋆ε ′ O O , o`u ε : ur / / B , η : 1 A / / ru , ε ′ : u ′ r ′ / / B ′ , η ′ : 1 A ′ / / r ′ u ′ d´esignent les morphismes d’adjonction, est un isomorphisme. On v´erifie facilementque cette propri´et´e est ind´ependante du choix des foncteurs adjoints r et r ′ , ainsique du choix des morphismes d’adjonction. Dualement, on dit que le carr´e D est de Beck-Chevalley `a droite si le carr´e obtenu par passage aux cat´egories oppos´ees estde Beck-Chevalley `a gauche. Cela revient `a demander que les foncteurs v et w ad-mettent des adjoints `a gauche v ′ et w ′ respectivement, et que le morphisme canonique c ′ : w ′ u / / u ′ v ′ , d´efini de fa¸con analogue, est un isomorphisme. Si les foncteurs u et u ′ admettent des adjoints `a droite et les foncteurs v et w des adjoints `a gauche, alorsle carr´e D est de Beck-Chevalley `a droite si et seulement si il est de Beck-Chevalley `agauche, puisque alors c et c ′ sont transpos´es l’un de l’autre. Proposition 2.17 . —
Soit D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B un carr´e dans C at tel que u et u ′ admettent des adjoints `a droite. Alors les conditionssuivantes sont ´equivalentes : a) le carr´e D est de Beck-Chevalley `a gauche ; b) le carr´e D est W ∞ -exact ; ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS c) le carr´e D est W -exact ; d) pour tout objet a de A , le foncteur a \ A ′ / / u ( a ) \ B ′ , induit par u ′ , admet unadjoint `a droite ; e) pour tout objet a de A , tout objet b ′ de B ′ , et toute fl`eche g : u ( a ) / / w ( b ′ ) de A ,la cat´egorie A ′ ( a,b ′ ,g ) (du crit`ere ( c ) de la proposition 2.3) admet un objet final.D´emonstration . — Soit a un objet de A . Dire que le foncteur a \ A ′ / / u ( a ) \ B ′ admetun adjoint `a droite ´equivaut `a dire que pour tout objet ( b ′ , g : u ( a ) / / w ( b ′ )) de u ( a ) \ B ′ , la cat´egorie ( a \ A ′ ) / ( b ′ , g ) admet un objet final. Comme cette derni`ere estisomorphe `a la cat´egorie A ′ ( a,b ′ ,g ) , cela prouve l’´equivalence des conditions ( d ) et ( e ).L’implication ( d ) ⇒ ( b ) r´esulte du crit`ere ( b ) de la proposition 2.3, et du fait qu’unfoncteur admettant un adjoint `a droite est W ∞ -asph´erique ( cf. b ) ⇒ ( c ) est un cas particulier de la proposition 2.15.Il reste `a prouver les implications ( a ) ⇒ ( d ) et ( c ) ⇒ ( a ). Choisissons r et r ′ desadjoints `a droite de u et u ′ respectivement, et des morphismes d’adjonction ε : ur / / B , η : 1 A / / ru , ε ′ : u ′ r ′ / / B ′ , η ′ : 1 A ′ / / r ′ u ′ . La condition ( a ) signifie que le morphisme de foncteurs c = ( rw ⋆ ε ′ )( r ⋆ α ⋆ r ′ )( η ⋆ vr ′ ) : vr ′ / / rw est un isomorphisme. Pour tout objet a de A , on v´erifie alors facilement que le foncteur u ( a ) \ B ′ / / a \ A ′ , (cid:0) b ′ , u ( a ) g / / w ( b ′ ) (cid:1) (cid:31) / / (cid:0) r ′ ( b ′ ) , a c − b ′ r ( g ) η a / / vr ′ ( b ′ ) (cid:1) , est un adjoint `a droite du foncteur a \ A ′ / / u ( a ) \ B ′ , induit par u ′ , ce qui prouvel’implication ( a ) ⇒ ( d ).L’implication ( c ) ⇒ ( a ) r´esultera de la th´eorie g´en´erale des d´erivateurs ( cf. re-marque 4.33). Voici n´eanmoins une preuve ´el´ementaire. Soit b ′ un objet de B ′ . Onobserve que les isomorphismes A ′ /b ′ ≃ A ′ /r ′ ( b ′ ) et A/w ( b ′ ) ≃ A/rw ( b ′ ), d´eduits desadjonctions, identifient le foncteur A ′ /b ′ / / A/w ( b ′ ), induit par v , au foncteur A ′ /r ′ ( b ′ ) / / A/rw ( b ′ ) , (cid:0) a ′ , a ′ f ′ / / r ′ ( b ′ ) (cid:1) (cid:31) / / (cid:0) v ( a ′ ) , v ( a ′ ) c b ′ v ( f ′ ) / / rw ( b ′ ) (cid:1) . En vertu du crit`ere ( a ) de la proposition 2.3, la condition ( c ) signifie que pour toutobjet ( a, f : a / / rw ( b ′ )) de A/rw ( b ′ ), la cat´egorie ( a, f ) \ (cid:0) A ′ /r ′ ( b ′ ) (cid:1) est 0-connexe.D´ecrivons cette derni`ere. Ses objets sont les triplets (cid:0) a ′ , a ′ f ′ / / r ( b ′ ) , a f / / v ( a ′ ) (cid:1) , a ′ ∈ Ob A ′ , f ′ ∈ Fl A ′ , f ∈ Fl A , GEORGES MALTSINIOTIS tels que f = c b ′ v ( f ′ ) f . Un morphisme de ( a ′ , f ′ , f ) vers ( a ′ , f ′ , f ) est une fl`eche f ′ : a ′ / / a ′ de A ′ rendant commutatifs les triangles suivants v ( a ′ ) v ( f ′ ) (cid:15) (cid:15) a ′ f ′ (cid:15) (cid:15) f ′ ' ' PPPPPP a f oooooo f ' ' OOOOOO r ′ ( b ′ ) v ( a ′ ) a ′ f ′ nnnnnn . En particulier cela implique que(2.17.1) v ( f ′ ) f = v ( f ′ ) f , et comme la cat´egorie ( a, f ) \ (cid:0) A ′ /r ′ ( b ′ ) (cid:1) est connexe, on a cette ´egalit´e pour tout couple d’objets ( a ′ , f ′ , f ) et ( a ′ , f ′ , f ). Consid´erons l’objet final ( rw ( b ′ ) , rw ( b ′ ) ) de A/rw ( b ′ ). Comme la cat´egorie ( rw ( b ′ ) , rw ( b ′ ) ) \ (cid:0) A ′ /r ′ ( b ′ ) (cid:1) est 0-connexe, elle est enparticulier non vide. Soit donc ( a ′ , f ′ , f ) un objet de cette cat´egorie, de sorte que1 rw ( b ′ ) = c b ′ v ( f ′ ) f . On va montrer qu’on a aussi v ( f ′ ) f c b ′ = 1 vr ′ ( b ′ ) , ce qui prouveraque c b ′ est un isomorphisme. Pour cela, consid´erons l’objet (cid:0) vr ′ ( b ′ ) , vr ′ ( b ′ ) c b ′ / / rw ( b ′ ) (cid:1) de A/rw ( b ′ ) et les objets (cid:0) r ′ ( b ′ ) , r ′ ( b ′ ) r ′ ( b ′ ) / / r ′ ( b ′ ) , vr ′ ( b ′ ) vr ′ ( b ′ ) / / vr ′ ( b ′ ) (cid:1) , (cid:0) r ′ ( b ′ ) , r ′ ( b ′ ) r ′ ( b ′ ) / / r ′ ( b ′ ) , vr ′ ( b ′ ) v ( f ′ ) fc b ′ / / vr ′ ( b ′ ) (cid:1) de la cat´egorie ( vr ′ ( b ′ ) , c b ′ ) \ (cid:0) A ′ /r ′ ( b ′ ) (cid:1) . L’´egalit´e 2.17.1 implique alors l’assertion, cequi ach`eve la d´emonstration. Dans la suite, on suppose que le localisateur fondamental faible W est un localisateurfondamental. Proposition 2.18 . —
Soit D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B un carr´e dans C at . Les conditions suivantes sont ´equivalentes : a) pour tout objet b ′ de B ′ , le foncteur A ′ /b ′ / / A/w ( b ′ ) , induit par v , est une W -´equivalence colocalement sur A ; b) pour tout objet a de A , le foncteur a \ A ′ / / u ( a ) \ B ′ , induit par u ′ , est une W -´equivalence localement sur B ′ .De plus, ces conditions sont impliqu´ees par la condition : ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS c) le carr´e D est W -exact ;et si le localisateur fondamental W n’est pas le localisateur fondamental grossier W g r ,elles lui sont ´equivalentes.D´emonstration . — En vertu des crit`eres ( a ) et ( b ) de la proposition 2.3, il estimm´ediat que si le carr´e D est W -exact, alors les conditions ( a ) et ( b ) ci-dessus sontsatisfaites ( cf. a ) (resp. ( b )). Ellesignifie que pour tout objet a de A et tout objet b ′ de B ′ , le foncteur a \ (cid:0) A ′ /b ′ (cid:1) / / a \ (cid:0) A/w ( b ′ ) (cid:1) (resp. (cid:0) a \ A ′ (cid:1) /b ′ / / (cid:0) u ( a ) \ B ′ (cid:1) /b ′ ) , induit par v (resp. par u ′ ), est une W -´equivalence. On remarque que les cat´egories a \ (cid:0) A ′ /b ′ (cid:1) et (cid:0) a \ A ′ (cid:1) /b ′ sont canoniquement isomorphes, et que la cat´egorie a \ (cid:0) A/w ( b ′ ) (cid:1) est non vide si et seulement si (cid:0) u ( a ) \ B ′ (cid:1) /b ′ l’est (dans les deuxcas cela signifie que Hom B ( u ( a ) , w ( b ′ )) = ∅ ), ce qui prouve l’´equivalence des condi-tions ( a ) et ( b ) dans le cas du localisateur grossier W g r ( cf. W 6 = W g r , alors la condition( a ) implique la condition ( c ), ce qui prouvera l’´equivalence de ces deux conditions,et dualement celle de ( b ) et ( c ). Comme l’implication ( a ) ⇒ ( c ) est ´evidente pour lelocalisateur trivial W t r = Fl C at , il suffit de la montrer en supposant que W ⊂ W ( cf. a \ (cid:0) A ′ /b ′ (cid:1) / / a \ (cid:0) A/w ( b ′ ) (cid:1) s’identifiecanoniquement au foncteur somme ` g : u ( a ) → w ( b ′ ) ( a, g ) \ (cid:0) A ′ /b ′ (cid:1) / / ` g : u ( a ) → w ( b ′ ) ( a, g ) \ (cid:0) A/w ( b ′ ) (cid:1) (o`u le couple ( a, g ) est vu comme objet de A/w ( b ′ )). Si ce foncteur est une W -´equivalence, il est `a plus forte raison une W -´equivalence, et en particulier pourtoute fl`eche g : u ( a ) / / w ( b ′ ), la cat´egorie ( a, g ) \ (cid:0) A ′ /b ′ (cid:1) est non vide. Par suite, lefoncteur ( a, g ) \ (cid:0) A ′ /b ′ (cid:1) / / ( a, g ) \ (cid:0) A/w ( b ′ ) (cid:1) est un r´etracte du foncteur somme, et estdonc une W -´equivalence ( cf. A ′ /b ′ / / A/w ( b ′ ) est W -coasph´erique, ce qui implique, en vertu du crit`ere ( a ) de la proposition 2.3, que lecarr´e D est W -exact, et ach`eve la d´emonstration. . — Carr´es exacts faibles. Un carr´e W -exact faible est un carr´e satisfaisantaux conditions ´equivalentes ( a ) et ( b ) de la proposition pr´ec´edente. En vertu de cetteproposition, si le localisateur fondamental W n’est pas le localisateur fondamentalgrossier W g r , cette notion co¨ıncide avec celle de carr´e W -exact. L’int´erˆet de cette no-tion serait donc extrˆemement limit´e si ce n’´etait pas elle qui apparaˆıt naturellementdans la th´eorie des d´erivateurs, et non pas celle de carr´e exact ( cf. th´eor`eme 4.32).On laisse comme exercice au lecteur d’´enoncer et d´emontrer les analogues des pro-positions 2.6, 2.7, 2.8 et 2.15, pour les carr´es W -exacts faibles. En revanche, la ca-ract´erisation des foncteurs W -propres de la proposition 2.13 n’est plus vraie si on GEORGES MALTSINIOTIS remplace carr´e W -exact par carr´e W -exact faible. Elle doit ˆetre remplac´ee par lacaract´erisation suivante : Proposition 2.20 . —
Soit u : A / / B une fl`eche de C at. Les conditions suivantessont ´equivalentes : a) u est W -propre ; b) pour tout diagramme de carr´es cart´esiens de la forme A ′′ u ′′ (cid:15) (cid:15) v ′ / / (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = B ′′ w ′ / / B ′ w / / B , le carr´e de gauche est W -exact faible.D´emonstration . — L’implication ( a ) ⇒ ( b ) r´esulte des propositions 2.12 et 2.18, et dela stabilit´e des foncteurs propres par changement de base [ , corollaire 3.2.4]. Pourprouver l’implication ( b ) ⇒ ( a ), soit b un objet de B , et consid´erons le diagrammede carr´es cart´esiens A b (cid:15) (cid:15) / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) A/b (cid:15) (cid:15) / / = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = e ( b, b ) / / B/b / / B , o`u
B/b / / B est le foncteur d’oubli, et la fl`eche e / / B/b est d´efinie par l’ob-jet final ( b, b ) de B/b . En vertu de la condition ( b ), le carr´e de gauche est W -exact faible, et il r´esulte alors du crit`ere ( a ) de la proposition 2.18 que la fl`eche A b / / (cid:0) A/b (cid:1) / ( b, b ) ≃ A/b est une W -´equivalence colocalement sur A/b , autrementdit qu’elle est W -coasph´erique, ce qui prouve que u est W -propre. Exemple 2.21 . — Pour le localisateur fondamental grossier W = W g r ( cf. W -exact et carr´e W -exact faible sont bien distinctes. En effet,consid´erons le carr´e A ′ = e (cid:15) (cid:15) / / e (cid:15) (cid:15) = A {{{{ y (cid:1) α B ′ = e / / { α ) ) β } = B . Si b ′ d´esigne l’unique objet de B ′ = e , le foncteur A ′ /b ′ / / A/
1, induit par la fl`echehorizontale du haut, s’identifie au morphisme A ′ /b ′ ≃ e α / / { α, β } ≃ A/ ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS de la cat´egorie ponctuelle e vers la cat´egorie discr`ete ayant comme objets α et β , d´efinipar l’objet α . Ce morphisme est une W -´equivalence colocalement sur A = e , autrementdit, une W -´equivalence, puisque les cat´egories source et but sont toutes deux nonvides. En revanche, il n’est pas W -coasph´erique, puisque la cat´egorie β \ ( A ′ /b ′ ) estvide. Ainsi, le carr´e D est W -exact faible, mais pas W -exact.
3. Structures de carr´es exacts sur C at3.1 . — Classes de carr´es.
Dans cette section, on va consid´erer des classes Q decarr´es dans C at , des propri´et´es de stabilit´e de telles classes, ainsi que des conditionsde non trivialit´e, ou ≪ d’initialisation ≫ , affirmant que les carr´es d’un type donn´eappartiennent `a Q . ´Etant donn´ee une telle classe Q , on dira qu’un carr´e de C at est Q - exact s’il appartient `a cette classe. On notera Q ◦ la classe form´ee des carr´es obtenuspar passage aux cat´egories oppos´ees `a partir de carr´es appartenant `a Q . Toutes lesclasses Q consid´er´ees seront stables par isomorphisme de carr´es. . — Propri´et´es de stabilit´e de classes de carr´es.
Soit Q une classe de carr´esde C at . Les conditions de stabilit´e les plus importantes qu’on aura `a consid´erer sontles suivantes : CS 1 h ( Composition horizontale. ) La classe Q est stable par composition hori-zontale : Consid´erons deux carr´es composables horizontalement et leur compos´e A ′′ (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) α ′ v ′ / / u ′′ (cid:15) (cid:15) A ′ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) αv / / u ′ (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) A ′′ (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) α ′′ v ′′ = vv ′ / / u ′′ (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) B ′′ w ′ / / B ′ w / / B , B ′′ w ′′ = ww ′ / / B , D ′ D D ◦ h D ′ o`u α ′′ = ( w ⋆ α ′ )( α ⋆ v ′ ). Si D et D ′ sont Q -exacts, il en est de mˆeme de D ◦ h D ′ . CS 1 v ( Composition verticale. ) La classe Q est stable par composition verticale :Consid´erons deux carr´es composables verticalement et leur compos´e A ′ f / / u ′ (cid:15) (cid:15) (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) α A u (cid:15) (cid:15) A ′ f / / v ′ u ′ (cid:15) (cid:15) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) ~ (cid:6) γ A vu (cid:15) (cid:15) D B ′ g / / v ′ (cid:15) (cid:15) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) β B v (cid:15) (cid:15) C ′ h / / C ,
E E ◦ v D C ′ h / / C , GEORGES MALTSINIOTIS o`u γ = ( β ⋆ u ′ )( v ⋆ α ). Si D et E sont Q -exacts, il en est de mˆeme de E ◦ v D . CS 2 h ( Descente horizontale. ) Soient J un ensemble, et A ′ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) αv / / u ′ (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) A j (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) α j v j / / u j (cid:15) (cid:15) A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) D = et D j = , j ∈ J ,B ′ w / / B B j w j / / B ′ des carr´es dans C at tels que Ob B ′ = S j ∈ J w j ( Ob B j ). Si pour tout ´el´ement j de J , lescarr´es D j et D ◦ h D j sont Q -exacts, il en est de mˆeme de D . CS 2 v ( Descente verticale. ) Soient J un ensemble, et A ′ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) αv / / u ′ (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) A ′ j (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) α j v j / / u ′ j (cid:15) (cid:15) A ju j (cid:15) (cid:15) D = et D j = , j ∈ J ,B ′ w / / B A ′ v / / A des carr´es dans C at tels que Ob A = S j ∈ J u j ( Ob A j ). Si pour tout ´el´ement j de J , lescarr´es D j et D ◦ v D j sont Q -exacts, il en est de mˆeme de D . CS 3 h ( Descente locale. ) Soit D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B un carr´e dans C at . Si pour tout objet b ′ de B ′ , le compos´e horizontal D ◦ h D g u ′ ,b ′ , o`u D g u ′ ,b ′ d´esigne le carr´e comma D g u ′ ,b ′ = A ′ /b ′ (cid:15) (cid:15) / / (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) ~ (cid:6) A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) e b ′ / / B ′ , est Q -exact, il en est de mˆeme de D . CS 3 v ( Descente colocale. ) Soit D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS un carr´e dans C at . Si pour tout objet a de A , le compos´e vertical D ◦ v D d v,a , o`u D d v,a d´esigne le carr´e comma D d v,a = a \ A ′ (cid:15) (cid:15) / / (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) e a (cid:15) (cid:15) A ′ v / / A , est Q -exact, il en est de mˆeme de D . CS 4 (
Passage `a l’oppos´e. ) Si le carr´e D de C at est Q -exact, il en est de mˆeme ducarr´e D ◦ , obtenu par passage aux cat´egories oppos´ees, ce qui implique que Q ◦ = Q . . — Propri´et´es ≪ d’initialisation ≫ . Les conditions du paragraphe pr´ec´edent´etant des conditions de stabilit´e, elles sont toutes satisfaites par la classe vide. Pourobtenir des classes Q non triviales, il faut imposer qu’elles contiennent certains typesde carr´es. Parmi ces conditions ≪ d’initialisation ≫ , les plus importantes envisag´eessont ´enum´er´ees ci-dessous. Certaines de ses conditions sont ≪ absolues ≫ , et certainesd´ependent de la donn´ee d’un localisateur fondamental faible W , donn´e une fois pourtoutes. On rappelle que e d´esigne la cat´egorie ponctuelle. CI 1g Si u : A / / B est un foncteur W -asph´erique, alors le carr´e A u (cid:15) (cid:15) / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) e (cid:15) (cid:15) = B / / e est Q -exact. CI 1d Si u : A / / B est un foncteur W -coasph´erique, alors le carr´e A (cid:15) (cid:15) u / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) B (cid:15) (cid:15) = e / / e est Q -exact. CI 1 Si A est une cat´egorie W -asph´erique, alors le carr´e A (cid:15) (cid:15) / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) e (cid:15) (cid:15) = e / / e est Q -exact. GEORGES MALTSINIOTIS
CI 1 ′ g Si u : A / / B est un foncteur admettant un adjoint `a droite, alors le carr´e A u (cid:15) (cid:15) / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) e (cid:15) (cid:15) = B / / e est Q -exact. CI 1 ′ d Si u : A / / B est un foncteur admettant un adjoint `a gauche, alors le carr´e A (cid:15) (cid:15) u / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) B (cid:15) (cid:15) = e / / e est Q -exact.On observe qu’on a le diagramme d’implications tautologiques suivant ( cf. CI 1g x (cid:0) yyyyyyyyyy (cid:29) % DDDDD DDDDD
CI 1d x (cid:0) zzzzzzzzzzzz (cid:30) & FFFFFF FFFFFF
CI 1 ′ g CI 1 CI 1 ′ d . CI 2g
Pour toute fl`eche u : A / / B de C at , et tout objet b de B , le carr´e comma D g u,b = A/b p (cid:15) (cid:15) j / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) α A u (cid:15) (cid:15) e b / / B (o`u b : e / / B d´esigne la fl`eche d´efinie par l’objet b de B ) est Q -exact. CI 2d
Pour toute fl`eche u : A / / B de C at , et tout objet b de B , le carr´e comma D d u,b = b \ A k (cid:15) (cid:15) q / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) β e b (cid:15) (cid:15) A u / / B (o`u b : e / / B d´esigne la fl`eche d´efinie par l’objet b de B ) est Q -exact.On observe qu’en pr´esence de CI 2g (resp. de
CI 2d ) la condition de descentehorizontale (resp. verticale) implique la condition de descente locale (resp. colocale) :(3.3.1) (
CI 2g et CS 2 h ) = ⇒ CS 3 h , ( CI 2d et CS 2 v ) = ⇒ CS 3 v . . — Exemples de classes de carr´es.
On s’int´eresse plus particuli`erement auxclasses de carr´es suivantes.
ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS . — La classe des carr´es exacts homotopiques.
On a vu dans la sectionpr´ec´edente que pour tout localisateur fondamental faible W , la classe Q des carr´es W -exacts satisfait `a toutes les conditions de stabilit´e et d’initialisation consid´er´eesdans les paragraphes 3.2 et 3.3 ( cf. . — La classe des carr´es exacts homotopiques faibles.
Pour tout locali-sateur fondamental W , la classe Q des carr´es W -exacts faibles satisfait aussi `a toutesles conditions consid´er´ees dans les paragraphes 3.2 et 3.3. . — La classe des carr´es de Beck-Chevalley `a gauche.
On v´erifie facile-ment que la classe Q des carr´es de Beck-Chevalley `a gauche est stable par compositionhorizontale et verticale (conditions CS 1 h et CS 1 v ), et satisfait tautologiquement `ala condition CI 1 ′ g . . — La classe des carr´es de Beck-Chevalley `a droite.
Dualement, laclasse Q des carr´es de Beck-Chevalley `a droite est stable par composition horizontale et verticale (conditions CS 1 h et CS 1 v ), et satisfait `a la condition CI 1 ′ d . . — La classe des carr´es de Beck-Chevalley.
La classe Q des carr´es deBeck-Chevalley `a gauche et `a droite est stable par composition horizontale et verticale,et par passage aux cat´egories oppos´ees (conditions CS 1 h , CS 1 v et CS 4 ). . — La classe des carr´es comma.
La classe Q des carr´es comma ne satisfaitque la condition de stabilit´e par passage aux cat´egories oppos´ees (condition CS 4 ), ettautologiquement les conditions
CI 2g et CI 2d . Lemme 3.5 . —
Soient W un localisateur fondamental faible, et Q une classe decarr´es de C at satisfaisant aux conditions CS 1 h , CS 3 h , CI 1d et CI 2g . Alors Q contient la classe des carr´es W -exacts.D´emonstration . — Soient donc D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B un carr´e W -exact, b ′ un objet de B ′ , et consid´erons les diagrammes A ′ /b ′ (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) / / (cid:15) (cid:15) A ′ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) αv / / u ′ (cid:15) (cid:15) A u et (cid:15) (cid:15) e b ′ / / B ′ w / / B D g u ′ ,b ′ D A ′ /b ′ (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) / / (cid:15) (cid:15) A/w ( b ′ ) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) ~ (cid:6) / / (cid:15) (cid:15) = A u (cid:15) (cid:15) e / / e w ( b ′ ) / / B . D ′ D g u,w ( b ′ ) GEORGES MALTSINIOTIS
On observe qu’on a l’´egalit´e
D ◦ h D g u ′ ,b ′ = D g u,w ( b ′ ) ◦ h D ′ . Comme le carr´e D est W -exact, en vertu du crit`ere ( a ) de la proposition 2.3, la fl`eche A ′ /b ′ / / A/w ( b ′ ) est W -coasph´erique. Il r´esulte donc de la condition CI 1d que lecarr´e D ′ est Q -exact. D’autre part, la condition CI 2g implique que les carr´es comma D g u,w ( b ′ ) et D g u ′ ,b ′ sont Q -exacts. En vertu de la condition CS 1 h , le carr´e compos´e D g u,w ( b ′ ) ◦ h D ′ est donc aussi Q -exact. L’´egalit´e ci-dessus, et la condition CS 3 h im-pliquent alors que le carr´e W -exact D appartient `a la classe Q . Th´eor`eme 3.6 . —
Soit W un localisateur fondamental faible. La classe des carr´es W -exacts est la plus petite classe de carr´es, stable par composition horizontale, satis-faisant `a la condition de descente locale et contenant les carr´es comma, ainsi que lescarr´es de la forme A (cid:15) (cid:15) u / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) B (cid:15) (cid:15) = e / / e , avec u morphisme W -coasph´erique de C at.D´emonstration . — Le th´eor`eme est cons´equence imm´ediate du lemme pr´ec´edent, despropositions 2.7, 2.8, 2.10, et de l’exemple 2.5. Lemme 3.7 . —
Soient W un localisateur fondamental faible, et Q une classe decarr´es de C at satisfaisant aux conditions CS 3 v et CI 1 . Alors Q satisfait aussi `a lacondition CI 1d .D´emonstration . — Soient u : A / / B un morphisme W -coasph´erique de C at , b unobjet de B , et consid´erons le diagramme b \ A (cid:15) (cid:15) / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) e (cid:15) (cid:15) A (cid:15) (cid:15) u / / (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) ~ (cid:6) B (cid:15) (cid:15) = e / / e . Comme la cat´egorie b \ A est W -asph´erique, la condition CI 1 implique que le carr´ecompos´e est Q -exact, et par suite, en vertu de la condition de descente colocale CS 3 v ,il en est de mˆeme du carr´e du bas, ce qui prouve la condition CI 1d . Lemme 3.8 . —
Soient W un localisateur fondamental faible, et Q une classe decarr´es de C at satisfaisant aux conditions CS 1 h , CS 3 h , CS 3 v , CI 1 et CI 2g .Alors Q contient la classe des carr´es W -exacts. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS D´emonstration . — Le lemme s’obtient en combinant les lemmes 3.5 et 3.7.
Th´eor`eme 3.9 . —
Soit W un localisateur fondamental faible. La classe des carr´es W -exacts est la plus petite classe de carr´es stable par passage aux cat´egories oppos´ees,par composition horizontale, satisfaisant `a la condition de descente locale et contenantles carr´es comma, ainsi que les carr´es de la forme A (cid:15) (cid:15) / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) e (cid:15) (cid:15) = e / / e , avec A une petite cat´egorie W -asph´erique.D´emonstration . — Le th´eor`eme est cons´equence imm´ediate du lemme pr´ec´edent, despropositions 2.6, 2.7, 2.8, 2.10, et de l’exemple 2.5. Corollaire 3.10 . —
La classe des carr´es exacts de Guitart est la plus petite classede carr´es stable par passage aux cat´egories oppos´ees, par composition horizontale,satisfaisant `a la condition de descente locale et contenant les carr´es comma, ainsi queles carr´es de la forme A (cid:15) (cid:15) / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) e (cid:15) (cid:15) = e / / e , avec A une petite cat´egorie -connexe.D´emonstration . — C’est le cas particulier du th´eor`eme, appliqu´e au localisateur fon-damental W .Les lemmes suivants seront utiles `a la th´eorie des d´erivateurs dans la section suivante. Lemme 3.11 . —
Toute classe Q de carr´es satisfaisant aux conditions CS 1 h , CS 2 h , CI 1 ′ d et CI 2g contient la classe des carr´es comma.D´emonstration . — Soit D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B , un carr´e comma. On remarque que la cat´egorie A ′ s’identifie `a la cat´egorie cofibr´eesur B ′ , d´efinie par le foncteur B ′ / / C at , b ′ (cid:31) / / A/w ( b ′ ) , GEORGES MALTSINIOTIS (et aussi, dualement, `a la cat´egorie fibr´ee sur A , d´efinie par le foncteur A ◦ / / C at , a (cid:31) / / u ( a ) \ B ′ ), et en particulier pour tout objet b ′ de B ′ , le foncteur canonique A/w ( b ′ ) / / A ′ /b ′ , de la fibre vers la cat´egorie comma, admet un adjoint `a gauche(qui n’est autre que le foncteur A ′ /b ′ / / A/w ( b ′ ), induit par v ). Consid´erons lediagramme : A/w ( b ′ ) (cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:127) (cid:7) / / (cid:15) (cid:15) A ′ /b ′ (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) / / = (cid:15) (cid:15) A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) ~ (cid:6) αv / / A u (cid:15) (cid:15) e / / e b ′ / / B ′ w / / B . D ′ D g u ′ ,b ′ D On v´erifie facilement que le carr´e compos´e
D ◦ h D g u ′ ,b ′ ◦ h D ′ n’est autre que le carr´ecomma D g u,w ( b ′ ) , d´efini par le foncteur u et l’objet w ( b ′ ) de B . En vertu de la condi-tion CI 2g , les carr´es D g u ′ ,b ′ et D g u,w ( b ′ ) sont Q -exacts, et il en est de mˆeme du carr´e D ′ , grˆace `a la condition CI 1 ′ d . La condition CS 1 h implique alors que le compos´e D g u ′ ,b ′ ◦ h D ′ est Q -exact, et par suite, il r´esulte de la condition CS 2 h que le carr´e D est aussi Q -exact. Lemme 3.12 . —
Soit W un localisateur fondamental faible. Toute classe Q decarr´es satisfaisant aux conditions CS 1 h , CS 2 h , CI 2g et CI 1d ( resp . CI 1 ′ d ) contient la classe des carr´es cart´esiens D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = B ′ w / / B , avec u un morphisme W -propre ( resp. une pr´ecofibration ) .D´emonstration . — Soient D un tel carr´e cart´esien, b ′ un objet de B ′ , et consid´eronsles diagrammes A b ′ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) / / (cid:15) (cid:15) A ′ /b ′ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) / / = (cid:15) (cid:15) A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) v / / A u (cid:15) (cid:15) = (cid:15) (cid:15) A w ( b ′ ) (cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:127) (cid:7) / / (cid:15) (cid:15) A/w ( b ′ ) = (cid:15) (cid:15) / / (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) A u (cid:15) (cid:15) et e / / e b ′ / / B ′ w / / B e / / e w ( b ′ ) / / B . D ′ D g u ′ ,b ′ D D ′′ D g u,w ( b ′ )ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS Comme le carr´e D est cart´esien, les fibres A ′ b ′ et A w ( b ′ ) sont canoniquement iso-morphes, et on a un isomorphisme D ◦ h D g u ′ ,b ′ ◦ h D ′ ≃ D g u,w ( b ′ ) ◦ h D ′′ des carr´es compos´es. En vertu de la condition CI 2g , les carr´es comma D g u ′ ,b ′ et D g u,w ( b ′ ) sont Q -exacts. Comme le morphisme u est W -propre (resp. unepr´ecofibration), il en est de mˆeme du foncteur u ′ [ , corollaire 3.2.4], et lesmorphismes A ′ b ′ / / A ′ /b ′ et A w ( b ′ ) / / A/w ( b ′ )sont W -coasph´eriques (resp. admettent un adjoint `a gauche). Il r´esulte donc de lacondition CI 1d (resp.
CI 1 ′ d ) que les carr´es D ′ et D ′′ sont Q -exacts. Les condi-tions CS 1 h et CS 2 h impliquent alors qu’il en est de mˆeme du carr´e D . Remarque 3.13 . — Ce lemme et son dual fournissent une nouvelle preuve de laproposition 2.12, puisque la classe des carr´es W -exacts satisfait `a toutes les conditionsdu lemme, ainsi qu’aux conditions duales ( cf. Lemme 3.14 . —
Toute classe Q de carr´es satisfaisant aux conditions CS 3 h et CI 2g contient la classe des carr´es cart´esiens D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = B ′ w / / B , avec w une fibration discr`ete.D´emonstration . — Soient D un tel carr´e cart´esien, b ′ un objet de B ′ , et consid´eronsles diagrammes A ′ /b ′ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) / / (cid:15) (cid:15) A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) v / / A u (cid:15) (cid:15) = (cid:15) (cid:15) A/w ( b ′ ) (cid:15) (cid:15) / / (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) ~ (cid:6) A u (cid:15) (cid:15) et e b ′ / / B ′ w / / B e w ( b ′ ) / / B . D g u ′ ,b ′ D D g u,w ( b ′ ) Comme w est une fibration `a fibres discr`etes, la fl`eche B ′ /b ′ / / B/w ( b ′ ), induite par w , est un isomorphisme, et comme le carr´e A ′ /b ′ / / (cid:15) (cid:15) A/w ( b ′ ) (cid:15) (cid:15) B ′ /b ′ / / B/w ( b ′ ) , GEORGES MALTSINIOTIS induit par D , est cart´esien [ , dual du lemme 3.2.11], il en est de mˆeme de la fl`eche A ′ /b ′ / / A/w ( b ′ ), induite par v , et on a un isomorphisme D ◦ h D g u ′ ,b ′ ≃ D g u,w ( b ′ ) . En vertu de la condition
CI 2g , les carr´es D g u ′ ,b ′ et D g u,w ( b ′ ) sont Q -exacts, et lacondition CS 3 h implique alors qu’il en est de mˆeme de D . Remarque 3.15 . — Le lemme pr´ec´edent implique en particulier que si Q est uneclasse de fl`eches satisfaisant aux conditions CS 3 h et CI 2g , alors pour tout mor-phisme u : A / / B de C at , et tout objet b de B , le carr´e cart´esien A/b (cid:15) (cid:15) / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = B/b / / B est Q -exact. Lemme 3.16 . —
Soit Q une classe de carr´es de C at satisfaisant `a la condition CS 1 h , et contenant les carr´es de Beck-Chevalley `a droite et les carr´es cart´esiensde la forme A/b (cid:15) (cid:15) / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = B/b / / B , pour u : A / / B fl`eche de C at, et b objet de B . Alors la classe Q satisfait aussi `a lacondition CI 2g . D´emonstration . — Soient u : A / / B une fl`eche de C at , b un objet de B , et consid´eronsle diagramme A/b (cid:15) (cid:15) = / / (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) A/b (cid:15) (cid:15) / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = e ( b, b ) / / B/b / / B .
Comme ( b, b ) est un objet final de B/b , la fl`eche e / / B/b d´efinie par cet objet ad-met un adjoint `a gauche, et il en est tautologiquement de mˆeme pour l’endofoncteuridentique de
A/b . La cat´egorie but du morphisme de ≪ changement de base ≫ corres-pondant ´etant la cat´egorie ponctuelle, ce dernier est forc´ement un isomorphisme. Onen d´eduit que le carr´e de gauche est de Beck-Chevalley `a droite, et par suite Q -exact.La condition CS 1 h implique alors qu’il en est de mˆeme du carr´e compos´e, ce quiprouve le lemme. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS
4. Carr´es exacts homotopiques et d´erivateurs . —
Pr´ed´erivateurs.
On rappelle qu’un pr´ed´erivateur (de domaine C at ) est un2-foncteur (strict) D : C at ◦ / / CAT de la 2-cat´egorie des petites cat´egories vers celledes cat´egories (non n´ecessairement petites), contravariant en les 1-fl`eches et en les2-fl`eches. Si u : A / / B est un morphisme de C at , le foncteur D ( u ) : D ( B ) / / D ( A )est not´e le plus souvent u ∗ D , ou mˆeme simplement u ∗ , quand aucune confusion n’enr´esulte. De mˆeme, si α est une transformation naturelle dans C at , alors D ( α ) est not´e α ∗ D ou α ∗ . A u % % v (cid:31)(cid:31) (cid:31)(cid:31) (cid:11) (cid:19) α B (cid:31) / / D ( A ) D ( B ) v ∗ g g u ∗ w w (cid:31) (cid:31)(cid:31) (cid:31) K S α ∗ Un pr´ed´erivateur D transforme un carr´e D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B de C at en un carr´e D ( D ) = D ( B ) u ∗ (cid:15) (cid:15) w ∗ / / (cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:7) (cid:127) (cid:7) α ∗ D ( B ′ ) u ′∗ (cid:15) (cid:15) D ( A ) v ∗ / / D ( A ′ )de CAT . Si D et D ′ sont deux carr´es de C at composables horizontalement (resp.verticalement), alors les carr´es D ( D ′ ) et D ( D ) de CAT le sont aussi, et on a les´egalit´es(4.1.1) D ( D ◦ h D ′ ) = D ( D ′ ) ◦ h D ( D ) (resp. D ( D ◦ v D ′ ) = D ( D ′ ) ◦ v D ( D ) ) . Si D est un carr´e de Beck-Chevalley `a gauche (resp. `a droite) de C at , il en est demˆeme, par 2-fonctorialit´e, du carr´e D ( D ) de CAT . . — D´erivateurs.
On rappelle qu’un d´erivateur [ ], [ ] est un pr´ed´erivateur D satisfaisant les axiomes suivants. Der 1 (
Normalisation. ) Pour toute famille finie ( A i ) i ∈ I de petites cat´egories lefoncteur canonique D (cid:0)` i A i (cid:1) / / Q i D ( A i )est une ´equivalence de cat´egories. GEORGES MALTSINIOTIS
Der 2 (
Conservativit´e. ) Pour toute petite cat´egorie A , et toute fl`eche ϕ : X / / Y de D ( A ), si pour tout objet a de A , la fl`eche a ∗ ( ϕ ) : a ∗ ( X ) / / a ∗ ( Y ) (o`u a : e / / A d´esigneaussi le foncteur de la cat´egorie ponctuelle e vers A , d´efini par a ) est un isomorphismede D ( e ), alors ϕ est un isomorphisme de D ( A ) (autrement dit, la famille des foncteurs a ∗ : D ( A ) / / D ( e ), a ∈ Ob A , est conservative). Der 3g (
Existence d’images directes cohomologiques. ) Pour toute fl`eche u : A / / B de C at , le foncteur image inverse u ∗ : D ( B ) / / D ( A ) admet un adjoint `adroite u ∗ = u D ∗ : D ( A ) / / D ( B ), foncteur image directe cohomologique . Der 3d (
Existence d’images directes homologiques. ) Pour toute fl`eche u : A / / B de C at , le foncteur image inverse u ∗ : D ( B ) / / D ( A ) admet un adjoint `agauche u ! = u D ! : D ( A ) / / D ( B ), foncteur image directe homologique . Der 4g (
Calcul des fibres des images directes cohomologiques. ) Pour toutefl`eche u : A / / B de C at , et tout objet b de B , l’image par D du carr´e comma D g u,b = A/b p (cid:15) (cid:15) j / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) α A u (cid:15) (cid:15) e b / / B est un carr´e de Beck Chevalley `a gauche (autrement dit, le morphisme canonique b ∗ u ∗ / / p ∗ j ∗ est un isomorphisme). Der 4d (
Calcul des fibres des images directes homologiques. ) Pour toutefl`eche u : A / / B de C at , et tout objet b de B , l’image par D du carr´e comma D d u,b = b \ A k (cid:15) (cid:15) q / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) β e b (cid:15) (cid:15) A u / / B est un carr´e de Beck Chevalley `a droite (autrement dit, le morphisme canonique b ∗ u ! o o q ! k ∗ est un isomorphisme). . — Terminologie plus pr´ecise.
Soit D un pr´ed´erivateur. On dit que D est conservatif s’il satisfait `a l’axiome Der 2 , on dit qu’il admet des imagesdirectes cohomologiques (resp. homologiques ) s’il satisfait `a l’axiome
Der 3g (resp.
Der 3d ). De fa¸con plus pr´ecise, on dit qu’un morphisme u : A / / B de C at admet une image directe cohomologique (resp. homologique ) pour D si le foncteur u ∗ : D ( B ) / / D ( A ) admet un adjoint `a droite (resp. `a gauche) u ∗ : D ( A ) / / D ( B ) (resp. u ! : D ( A ) / / D ( B )). On dit que le pr´ed´erivateur D est complet (resp. cocomplet ) s’ilsatisfait aux axiomes Der 3g et Der 4g (resp.
Der 3d et Der 4d ). Un pseudo-d´erivateur faible `a gauche (resp. `a droite ) est un pr´ed´erivateur conservatif etcomplet (resp. cocomplet). S’il satisfait de plus `a l’axiome
Der 1 , on dit qu’il est
ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS un d´erivateur faible `a gauche (resp. `a droite ). Un d´erivateur est donc un d´erivateurfaible `a gauche et `a droite. Un pseudo-d´erivateur est un pseudo-d´erivateur faible `agauche et `a droite, autrement dit, un pr´ed´erivateur satisfaisant `a tous les axiomesd’un d´erivateur sauf Der 1 . La raison d’ˆetre de l’adjectif ≪ faible ≫ sera expliqu´eeult´erieurement (4.28), o`u les variantes ≪ non faibles ≫ seront introduites. Dans cetarticle, l’axiome de normalisation Der 1 ne joue aucun rˆole. On s’int´eressera doncsurtout aux pseudo-d´erivateurs, ainsi qu’`a leurs variantes `a gauche ou `a droite. . —
Exemples de d´erivateurs.
Il existe de nombreux exemples de d´erivateurs. . —
Le d´erivateur des pr´efaisceaux.
Soit C une cat´egorie. On d´efinit unpr´ed´erivateur D C , associant `a toute petite cat´egorie A la cat´egorie D C ( A ) = Hom ( A ◦ , C )des pr´efaisceaux sur A `a valeurs dans C , `a tout foncteur u : A / / B entre petitescat´egories le foncteur u ∗ : D C ( B ) / / D C ( A ) , G (cid:31) / / G ◦ u ◦ et `a toute transformation naturelle α : u / / v entre foncteurs de A vers B dans C at ,le morphisme de foncteurs α ∗ : v ∗ / / u ∗ , d´efini par α ∗ G,a = G ( α a ) : v ∗ ( G )( a ) = G ( v ( a )) / / G ( u ( a )) = u ∗ ( G )( a ) , G : B ◦ / / C , a ∈ Ob A .
Ce pr´ed´erivateur satisfait toujours, sans aucune hypoth`ese sur C , les axiomes Der 1 et Der 2 . Si la cat´egorie C est compl`ete, il satisfait aussi aux axiomes Der 3g et Der 4g ,le premier exprimant l’existence des extensions de Kan `a droite, et le second leur calculhabituel (le foncteur p ∗ , dans les notations de cet axiome, ´etant alors simplement lefoncteur limite projective lim ←− ( A/b ) ◦ ). Dualement, si la cat´egorie C est cocompl`ete, lesaxiomes Der 3d et Der 4d sont satisfaits. Ainsi, si la cat´egorie C est `a la fois compl`eteet cocompl`ete, D C est un d´erivateur. . — Le d´erivateur associ´e `a une cat´egorie de mod`eles.
Soient C unecat´egorie et W une classe de fl`eches de C . On d´efinit un pr´ed´erivateur D C ,W en as-sociant `a toute petite cat´egorie A la cat´egorie D C ,W ( A ), obtenue de la cat´egorie despr´efaisceaux sur A `a valeurs dans C en inversant formellement les morphismes depr´efaisceaux qui sont dans W argument par argument : D C ,W ( A ) = W − A D C ( A ) = W − A Hom ( A ◦ , C ) ,W A = { ϕ ∈ Fl Hom ( A ◦ , C ) | ∀ a ∈ Ob A, ϕ a ∈ W } , les foncteurs et morphismes de foncteurs u ∗ D C ,W et α ∗ D C ,W ´etant d´eduits des u ∗ D C et α ∗ D C `a l’aide de la propri´et´e universelle de la localisation. Si la cat´egorie C est compl`eteet cocompl`ete, et s’il existe une structure de cat´egorie de mod`eles de Quillen sur C [ ], avec W comme classe d’´equivalences faibles, alors le pr´ed´erivateur D C ,W estun d´erivateur [ ]. En fait, il suffit des conditions beaucoup plus faibles [ ]. GEORGES MALTSINIOTIS . —
Localisateur fondamental associ´e `a un d´erivateur.
Soit D unpr´ed´erivateur. On dit qu’une fl`eche u : A / / B de C at est une D - ´equivalence si lefoncteur u ∗ : D ( B ) / / D ( A ) induit un foncteur pleinement fid`ele sur la sous-cat´egoriede D ( B ) form´ee des objets de la forme q ∗ ( X ) avec X objet de D ( e ), q ´etant lefoncteur B / / e de B vers la cat´egorie ponctuelle. En d’autres termes, si l’on pose p = qu : A / / e , A u / / p (cid:24) (cid:24) B q (cid:6) (cid:6) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) e pour que la fl`eche u soit une D -´equivalence, il faut et il suffit que pour tout coupled’objets X, Y de D ( e ), l’application Hom D ( B ) ( q ∗ ( X ) , q ∗ ( Y )) / / Hom D ( A ) ( p ∗ ( X ) , p ∗ ( Y )) , induite par u ∗ , soit bijective. On en d´eduit que si le pr´ed´erivateur D admet des imagesdirectes cohomologiques (resp. homologiques), alors la fl`eche u est une D -´equivalencesi et seulement si le morphisme canonique de foncteurs q ∗ q ∗ / / p ∗ p ∗ (resp. p ! p ∗ / / q ! q ∗ )est un isomorphisme. On note W D la partie de Fl ( C at ) form´ee des D -´equivalences.On d´emontre que si le pr´ed´erivateur D est conservatif et complet (ou cocomplet),alors W D est un localisateur fondamental [ ], [ ]. Ainsi, on dispose alors detoutes les notions associ´ees `a un localisateur fondamental. On dira que la petitecat´egorie A est D - asph´erique si elle est W D -asph´erique, autrement dit, si le foncteur p ∗ : D ( e ) / / D ( A ) est pleinement fid`ele. De mˆeme, on dira que la fl`eche u : A / / B est D - asph´erique , D - coasph´erique , une D - ´equivalence universelle , D - lisse , ou D - propre , sielle est W D -asph´erique, W D -coasph´erique, une W D -´equivalence universelle, W D -lisse,ou W D -propre respectivement. Si A u / / v (cid:25) (cid:25) B w (cid:5) (cid:5) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) C est un triangle commutatif dans C at , on dira que u est une D - ´equivalence localement ,ou colocalement , sur C si elle est respectivement une W D -´equivalence localement, oucolocalement, sur C . Enfin, on dira qu’un carr´e de C at est D - exact (resp. D - exactfaible ) s’il est W D -exact (resp. W D -exact faible). ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS Exemple 4.6 . — Soient C une cat´egorie, et D = D C le pr´ed´erivateur des pr´efaisceaux`a valeurs dans C ( cf. W D = W , si C n’est pas une cat´egorie associ´ee `a un ensemble pr´eordonn´e ; W g r , si C est une cat´egorie associ´ee `a un ensemble pr´eordonn´e non vide,et n’est pas ´equivalente `a la cat´egorie ponctuelle ; W t r , si C est vide ou ´equivalente `a la cat´egorie ponctuelle.En effet, on observe que pour toute petite cat´egorie A , et tout couple X et Y d’objetsde C , l’ensemble des morphismes du pr´efaisceau constant sur A de valeur X verscelui de valeur Y est en bijection avec l’ensemble Hom C ( X, Y ) π ( A ) , o`u π ( A ) d´esignel’ensemble des composantes connexes de la cat´egorie A . Par d´efinition, dire qu’unefl`eche u : A / / B de C at est une D -´equivalence signifie donc que pour tout couple X et Y d’objets de C , l’application Hom C ( X, Y ) π ( B ) / / Hom C ( X, Y ) π ( A ) , d´efinie en pr´ecomposant avec l’application π ( u ) : π ( A ) / / π ( B ), est bijective. S’ilexiste des objets X , Y de C tels que Hom C ( X, Y ) ait au moins deux ´el´ements, on v´erifiefacilement que cela ´equivaut `a la bijectivit´e de l’application π ( u ) elle-mˆeme. Si pourtout couple X et Y d’objets de C , l’ensemble Hom C ( X, Y ) a au plus un ´el´ement, maisil existe un couple pour lequel cet ensemble est vide, cela signifie simplement que lesensembles π ( A ) et π ( B ) sont tout deux vides ou tout deux non vides. Exemple 4.7 . — Soient W un localisateur fondamental, et D = D C at , W le pr´e-d´erivateur associ´e ( cf. W D = W [ , proposi-tion 3.1.10, ( a )] . — Carr´es satisfaisant `a la propri´et´e de changement de base.
Soit D un pr´ed´erivateur. On dit qu’un carr´e D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B de C at satisfait `a la propri´et´e de changement de base cohomologique (resp. homolo-gique ) pour D si le carr´e D ( D ) ( cf. cf. u et u ′ (resp. v et w ) admettentdes images directes cohomologiques (resp. homologiques), et si le ≪ morphisme dechangement de base ≫ w ∗ u ∗ / / u ′∗ v ∗ (resp. v ! u ′∗ / / u ∗ w ! ) GEORGES MALTSINIOTIS est un isomorphisme. Quand aucune ambigu¨ıt´e n’en r´esulte, on omettra la mentionexplicite du pr´ed´erivateur D . Si les morphismes u , u ′ admettent des images directes co-homologiques et v , w des images directes homologiques, alors D satisfait `a la propri´et´ede changement de base cohomologique si et seulement si il satisfait `a la propri´et´e dechangement de base homologique ( cf. propri´et´e de changement de base . On a la proposition soritalesuivante. Proposition 4.9 . —
Soit D un pr´ed´erivateur. i) Tout carr´e de Beck-Chevalley `a gauche ( resp. `a droite ) satisfait `a la propri´et´ede changement de base cohomologique ( resp. homologique ).ii) La classe des carr´es de C at satisfaisant `a la propri´et´e de changement de basecohomologique ( resp. homologique ) est stable par composition horizontale et verticale. iii) Si le pr´ed´erivateur D est complet ( resp. cocomplet ), pour toute fl`eche u : A / / B de C at, et tout objet b de B , le carr´e comma D g u,b ( resp. D d u,b ) satisfait `a la propri´et´ede changement de base cohomologique ( resp. homologique ) .D´emonstration . — La premi`ere assertion r´esulte simplement de la 2-fonctorialit´ede D , la deuxi`eme de la stabilit´e de la classe des carr´es de Beck-Chevalley `a gauche(resp. `a droite) par composition horizontale et verticale ( cf. Der 4g (resp.
Der 4d ). Corollaire 4.10 . —
Soit D un pr´ed´erivateur admettant des images directes coho-mologiques. Alors tout carr´e de Beck-Chevalley `a droite satisfait `a la propri´et´e dechangement de base cohomologique.D´emonstration . — En vertu de l’assertion ( i ) de la proposition pr´ec´edente, l’imagepar D d’un tel carr´e est un carr´e de Beck-Chevalley `a droite, et comme par hypoth`eseles foncteurs figurant dans ce carr´e admettent des adjoints `a droite, ce carr´e est aussiun carr´e de Beck-Chevalley `a gauche ( cf. Lemme 4.11 . —
Soient D un pr´ed´erivateur conservatif, et w j : B j / / B , j ∈ J , unefamille de fl`eches de C at, de mˆeme but B . Si Ob B = S j ∈ J w j ( Ob B j ) , alors la familledes foncteurs w ∗ j est conservative.D´emonstration . — Soit ϕ : X / / Y une fl`eche de D ( B ) telle que pour tout j ∈ J , w ∗ j ( ϕ ) soit un isomorphisme. Pour tout objet b de B , il existe j ∈ J , et un objet b j de B j tel que b = w j ( b j ). Si on note aussi b : e / / B et b j : e / / B j les foncteurs d´efinispar les objets b et b j respectivement, on a b ∗ ( ϕ ) = b ∗ j w ∗ j ( ϕ ), et par suite, b ∗ ( ϕ ) est unisomorphisme. Comme le pr´ed´erivateur D est conservatif, on en d´eduit que ϕ est unisomorphisme. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS Proposition 4.12 . —
Soit D un pr´ed´erivateur conservatif admettant des images di-rectes cohomologiques. Alors la classe des carr´es satisfaisant `a la propri´et´e de chan-gement de base cohomologique v´erifie la condition de descente horizontale.D´emonstration . — Soient J un ensemble, et A ′ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) αv / / u ′ (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) A j (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) α j v j / / u j (cid:15) (cid:15) A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) D = et D j = , j ∈ J ,B ′ w / / B B j w j / / B ′ des carr´es dans C at tels que Ob B ′ = S j ∈ J w j ( Ob B j ), et tels que pour tout ´el´ement j de J , les carr´es D j et D ◦ h D j satisfassent `a la propri´et´e de changement de basecohomologique. Notons c D : w ∗ u ∗ / / u ′∗ v ∗ et c D j : w ∗ j u ′∗ / / u j ∗ v ∗ j les morphismes de changement de base relatifs aux carr´es D et D j . On v´erifie aussitˆotque le morphisme de changement de base relatif au carr´e compos´e D ◦ h D j est d´efini(pour un choix convenable des morphismes d’adjonction) par la formule c D◦ h D j = ( c D j ⋆ v ∗ ) ◦ ( w ∗ j ⋆ c D ) : ( ww j ) ∗ u ∗ = w ∗ j w ∗ u ∗ / / u j ∗ v ∗ j v ∗ = u j ∗ ( vv j ) ∗ . Or par hypoth`ese, pour tout j ∈ J , les morphismes c D j et c D◦ h D j sont des isomor-phismes, donc w ∗ j ⋆ c D aussi. Le lemme pr´ec´edent implique alors que c D est un iso-morphisme. Corollaire 4.13 . —
Soit D un pr´ed´erivateur conservatif et complet. Alors la classedes carr´es satisfaisant `a la propri´et´e de changement de base cohomologique v´erifie lacondition de descente locale.D´emonstration . — Le corollaire r´esulte aussitˆot de la proposition pr´ec´edente, et dela proposition 4.9, ( iii ) ( cf. Th´eor`eme 4.14 . —
Soit D un pr´ed´erivateur conservatif et complet. i) Tout carr´e comma satisfait `a la propri´et´e de changement de base cohomologique. ii)
Tout carr´e cart´esien de la forme A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = B ′ w / / B , avec u pr´ecofibration ou w fibration discr`ete, satisfait `a la propri´et´e de changementde base cohomologique. GEORGES MALTSINIOTIS
D´emonstration . — Le th´eor`eme r´esulte des lemmes 3.11, 3.12 et 3.14, en observantque les hypoth`eses de ces lemmes sont satisfaites, grˆace aux propositions 4.9, ( ii ),( iii ) et 4.12, et aux corollaires 4.10 et 4.13, en tenant compte de l’exemple 3.4.4. Remarque 4.15 . — La premi`ere partie du th´eor`eme pr´ec´edent implique aussitˆot quesi un pr´ed´erivateur conservatif et complet admet des images directes homologiques,alors il est forc´ement cocomplet. En particulier, dans la d´efinition d’un d´erivateur,l’axiome
Der 4d est superflu, ´etant cons´equence des autres axiomes. Dualement, onpeut omettre l’axiome
Der 4g (mais pas les deux `a la fois !).
Proposition 4.16 . —
Soit D un pr´ed´erivateur conservatif admettant des images di-rectes cohomologiques. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : a) D est complet ; b) pour toute fl`eche u : A / / B , et tout objet b de B , le carr´e comma D g u,b = A/b (cid:15) (cid:15) / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) A u (cid:15) (cid:15) e b / / B satisfait `a la propri´et´e de changement de base cohomologique ; c) pour toute fl`eche u : A / / B , et tout objet b de B , le carr´e cart´esien A/b (cid:15) (cid:15) / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) A u (cid:15) (cid:15) = B/b / / B , satisfait `a la propri´et´e de changement de base cohomologique.D´emonstration . — L’´equivalence des conditions ( a ) et ( b ) vient d’une simple refor-mulation des d´efinitions. L’implication ( b ) ⇒ ( c ) r´esulte de la remarque 3.15, de laproposition 4.9, ( iii ), et du corollaire 4.13. L’implication ( c ) ⇒ ( b ) est cons´equencedu lemme 3.16, dont les hypoth`eses sont satisfaites, grˆace `a la proposition 4.9, ( ii ),et au corollaire 4.10 Remarque 4.17 . — La proposition pr´ec´edente implique que dans la d´efinition d’und´erivateur, l’axiome
Der 4g peut ˆetre remplac´e par la condition ( c ) ci-dessus, etdualement pour l’axiome Der 4d . ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS Proposition 4.18 . —
Soient D un pr´ed´erivateur conservatif et complet, et A unepetite cat´egorie. Consid´erons le carr´e D = A p (cid:15) (cid:15) p / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) e (cid:15) (cid:15) = e = / / e , o`u e d´esigne la cat´egorie ponctuelle. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : a) A est D -asph´erique ; b) le carr´e D est D -exact ; c) le carr´e D satisfait `a la propri´et´e de changement de base cohomologique ; d) le morphisme d’adjonction D ( e ) / / p ∗ p ∗ est un isomorphisme.D´emonstration . — L’´equivalence des conditions ( a ) et ( b ) est imm´ediate ( cf. c ) et ( d ) est tautologique, puisque le mor-phisme d’adjonction 1 D ( e ) ≃ (1 e ) ∗ (1 e ) ∗ / / p ∗ p ∗ n’est autre que le morphisme de chan-gement de base relatif au carr´e D . Enfin, par d´efinition ( cf. A est D -asph´erique si et seulement si le foncteur p ∗ est pleinement fid`ele, ce qui prouvel’´equivalence des conditions ( a ) et ( d ). Proposition 4.19 . —
Soient D un pr´ed´erivateur conservatif et complet, et u : A / / B une fl`eche de C at. Consid´erons le carr´e D = A u (cid:15) (cid:15) p / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) e (cid:15) (cid:15) = B q / / e , o`u e d´esigne la cat´egorie ponctuelle. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : a) u est D -asph´erique ; b) le carr´e D est D -exact ; c) le carr´e D satisfait `a la propri´et´e de changement de base cohomologique ; d) le morphisme canonique q ∗ / / u ∗ p ∗ = u ∗ u ∗ q ∗ , d´efini par le morphisme d’adjonc-tion, est un isomorphisme.D´emonstration . — L’´equivalence des conditions ( a ) et ( b ) est imm´ediate ( cf. c ) et ( d ) est tautologique, puisque le morphismecanonique q ∗ ≃ q ∗ e ∗ / / u ∗ p ∗ n’est autre que le morphisme de changement de baserelatif au carr´e D . Montrons l’´equivalence des conditions ( a ) et ( c ). Soit b un objet GEORGES MALTSINIOTIS de B , et consid´erons le diagramme A/b (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) / / (cid:15) (cid:15) A u (cid:15) (cid:15) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) } (cid:5) p / / e (cid:15) (cid:15) = (cid:15) (cid:15) e b / / B q / / e . D g u,b D Il r´esulte de la proposition 4.9, ( ii ), ( iii ), et du corollaire 4.13, que le carr´e D satisfait`a la propri´et´e de changement de base cohomologique si et seulement si pour tout objet b de B , le carr´e compos´e D ◦ h D g u,b v´erifie cette propri´et´e, autrement dit en vertu dela proposition pr´ec´edente, si et seulement si la cat´egorie A/b est D -asph´erique, ce quiprouve l’assertion. Remarque 4.20 . — Soit D un pr´ed´erivateur conservatif et complet. Dans les no-tation de la section pr´ec´edente, on a montr´e que la classe des carr´es satisfaisant `ala propri´et´e de changement de base cohomologique pour D v´erifie les conditions destabilit´e CS 1 h , CS 1 v , CS 2 h , CS 3 h ( cf. propositions 4.9, ( ii ), et 4.12, et corol-laire 4.13) et les conditions ≪ d’initialisation ≫ CI 1g (relativement au localisateurfondamental des D -´equivalences), CI 1 ′ d , CI 2g ( cf. propositions 4.9, ( iii ), et 4.19, etcorollaire 4.10), et donc aussi, `a plus forte raison, les conditions CI 1 (relativementau localisateur fondamental des D -´equivalences) et CI 1 ′ g . Remarque 4.21 . — Dualement, si D est un pr´ed´erivateur conservatif et cocomplet,un foncteur entre petites cat´egories u : A / / B est D -coasph´erique si et seulement sile carr´e D = A p (cid:15) (cid:15) u / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) B q (cid:15) (cid:15) = e = / / e satisfait `a la propri´et´e de changement de base homologique, autrement dit si le mor-phisme canonique u ! p ∗ / / q ∗ est un isomorphisme. Si de plus le pr´ed´erivateur D admetaussi des images directes cohomologiques (en particulier si D est un d´erivateur), cela´equivaut `a demander que le morphisme transpos´e q ∗ / / p ∗ u ∗ soit un isomorphisme,autrement dit, que le carr´e D satisfasse `a la propri´et´e de changement de base coho-mologique. On est ainsi conduit `a poser la d´efinition suivante. D´efinition 4.22 . — Soit D un pr´ed´erivateur admettant des images directes coho-mologiques. On dit que D satisfait le crit`ere cohomologique pour les morphismes ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS coasph´eriques si pour toute fl`eche D -coasph´erique u : A / / B de C at , le carr´e A (cid:15) (cid:15) u / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) B (cid:15) (cid:15) = e / / e satisfait `a la propri´et´e de changement de base cohomologique. Remarque 4.23 . — On ne connaˆıt pas de pr´ed´erivateur conservatif et complet nesatisfaisant pas ce crit`ere. N´eanmoins, il ne semble pas ˆetre automatique si on nesuppose pas ´egalement l’existence d’images directes homologiques.
Th´eor`eme 4.24 . —
Soit D un pr´ed´erivateur conservatif et complet satisfaisantle crit`ere cohomologique pour les morphismes coasph´eriques (par exemple und´erivateur) . Alors tout carr´e D -exact satisfait `a la propri´et´e de changement debase cohomologique.D´emonstration . — Le th´eor`eme est cons´equence directe du th´eor`eme 3.6, dont leshypoth`eses sont satisfaites grˆace `a la proposition 4.9, ( ii ), au corollaire 4.13, auth´eor`eme 4.14, ( i ), et `a la d´efinition 4.22. Remarque 4.25 . — Contrairement aux foncteurs D -asph´eriques, les morphismes de C at qui sont des D -´equivalences localement sur une petite cat´egorie n’admettent pasune caract´erisation en termes de carr´es exacts. N´eanmoins, on a une g´en´eralisationde l’´equivalence des conditions ( a ) et ( d ) de la proposition 4.19 : Proposition 4.26 . —
Soient D un pr´ed´erivateur conservatif et complet, et A u / / v (cid:26) (cid:26) B w (cid:4) (cid:4) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8) C un triangle commutatif de C at. Notons p : A / / e , q : B / / e les fl`eches vers lacat´egorie ponctuelle. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : a) u est une D -´equivalence localement sur C ; b) le morphisme canonique w ∗ q ∗ / / v ∗ p ∗ est un isomorphisme.D´emonstration . — En vertu de l’axiome Der 2 , pour que le morphisme canonique w ∗ q ∗ / / w ∗ u ∗ u ∗ q ∗ ≃ ( wu ) ∗ ( qu ) ∗ = v ∗ p ∗ soit un isomorphisme, il faut et il suffit que pour tout objet c de C , la fl`eche(4.26.1) c ∗ w ∗ q ∗ / / c ∗ v ∗ p ∗ GEORGES MALTSINIOTIS le soit. Or, en vertu de l’axiome
Der 4g , on a des isomorphismes canoniques
B/c t (cid:15) (cid:15) l / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) B w (cid:15) (cid:15) e c / / c ∗ w ∗ q ∗ ≃ t ∗ l ∗ q ∗ = t ∗ t ∗ ,C A/c s (cid:15) (cid:15) k / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) A v (cid:15) (cid:15) e c / / c ∗ v ∗ p ∗ ≃ s ∗ k ∗ p ∗ = s ∗ s ∗ .C On laisse au lecteur le soin de v´erifier que ces isomorphismes identifient la fl`eche 4.26.1au morphisme canonique t ∗ t ∗ / / s ∗ s ∗ . Comme ce dernier est un isomorphisme si etseulement si le foncteur A/c / / B/c est une D -´equivalence ( cf. Remarque 4.27 . — Dualement, si D est un pr´ed´erivateur conservatif et cocomplet,et A u / / v (cid:26) (cid:26) B w (cid:4) (cid:4) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8) C un triangle commutatif dans C at , et si on note toujours p : A / / e et q : B / / e lesfl`eches vers la cat´egorie ponctuelle, le foncteur u est une D -´equivalence colocalementsur C si et seulement si le morphisme canonique v ! p ∗ / / w ! q ∗ est un isomorphisme. Side plus le pr´ed´erivateur D admet aussi des images directes cohomologiques (en parti-culier si D est un d´erivateur), cela ´equivaut `a demander que le morphisme transpos´e q ∗ w ∗ / / p ∗ v ∗ soit un isomorphisme. On est ainsi conduit `a poser la d´efinition suivante. D´efinition 4.28 . — Soit D un pr´ed´erivateur admettant des images directes cohomo-logiques. On dit que D satisfait le crit`ere cohomologique pour les ´equivalences colocales si pour tout triangle commutatif dans C at A u / / v (cid:26) (cid:26) B w (cid:4) (cid:4) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8) C tel que u soit une D -´equivalence colocalement sur C , le morphisme canonique q ∗ w ∗ / / p ∗ v ∗ , o`u p : A / / e et q : B / / e d´esignent les fl`eches vers la cat´egorieponctuelle, est un isomorphisme. De fa¸con ´equivalente, cette condition signifie quepour tout objet X de D ( e ), et tout objet Y de D ( C ), l’application Hom D ( B ) ( q ∗ ( X ) , w ∗ ( Y )) / / Hom D ( A ) ( p ∗ ( X ) , v ∗ ( Y )) , induite par u ∗ , est bijective. Un pseudo-d´erivateur `a gauche est un pseudo-d´erivateurfaible `a gauche satisfaisant le crit`ere cohomologique pour les ´equivalences colocales,autrement dit, un pr´ed´erivateur conservatif et complet satisfaisant ce crit`ere. Un ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS d´erivateur `a gauche est un pseudo-d´erivateur `a gauche satisfaisant de plus l’axiomede normalisation Der 1 , autrement dit, un d´erivateur faible `a gauche satisfaisant lecrit`ere cohomologique pour les ´equivalences colocales.
Remarque 4.29 . — Soit D un pr´ed´erivateur admettant des images directes coho-mologiques. Si D satisfait le crit`ere cohomologique pour les ´equivalences colocales,il satisfait aussi, tautologiquement, le crit`ere cohomologique pour les morphismescoasph´eriques. L’appellation de ≪ crit`ere ≫ pour ces deux conditions est justifi´ee parla proposition suivante. Proposition 4.30 . —
Soit D un pr´ed´erivateur conservatif et complet, et A u / / v (cid:26) (cid:26) B w (cid:4) (cid:4) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8) C un triangle commutatif dans C at. Si le morphisme canonique q ∗ w ∗ / / p ∗ v ∗ , o`u p : A / / e et q : B / / e d´esignent les fl`eches vers la cat´egorie ponctuelle, est unisomorphisme, alors u est une D -´equivalence colocalement sur C .D´emonstration . — Supposons que le morphisme canonique q ∗ w ∗ / / p ∗ v ∗ soit un iso-morphisme. En vertu du th´eor`eme 4.14, ( i ), pour tout objet c de C , les carr´es comma c \ A i (cid:15) (cid:15) s / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) e c (cid:15) (cid:15) et A v / / C c \ B j (cid:15) (cid:15) t / / (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) } (cid:5) e c (cid:15) (cid:15) B w / / C satisfont `a la propri´et´e de changement de base cohomologique. On en d´eduit un dia-gramme commutatif d’isomorphismes q ∗ w ∗ c ∗ ∼ / / ≀ (cid:15) (cid:15) p ∗ v ∗ c ∗≀ (cid:15) (cid:15) q ∗ j ∗ t ∗ / / ≀ (cid:15) (cid:15) p ∗ i ∗ s ∗≀ (cid:15) (cid:15) t ∗ t ∗ / / s ∗ s ∗ . On laisse au lecteur le soin de v´erifier que la fl`eche horizontale du bas n’est autre que lemorphisme canonique. Comme elle est un isomorphisme, on en d´eduit que le foncteur c \ A / / c \ B est une D -´equivalence ( cf. Exemple 4.31 . — Soient C une cat´egorie, et D = D C le pr´ed´erivateur despr´efaisceaux `a valeurs dans C ( cf. C est compl`ete, alors D est un d´erivateur `a gauche. En effet, comme on a d´ej`a vu que D est un d´erivateur GEORGES MALTSINIOTIS faible `a gauche ( loc. cit. ), il suffit de v´erifier que D satisfait le crit`ere cohomologiquedes ´equivalences colocales. Soit donc A u / / v (cid:26) (cid:26) B w (cid:4) (cid:4) (cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:8) C un triangle commutatif dans C at tel que u soit une D -´equivalence colocalement sur C ,et notons p : A / / e , q : B / / e les foncteurs vers la cat´egorie ponctuelle. On veut mon-trer que la fl`eche canonique q ∗ w ∗ / / p ∗ v ∗ est un isomorphisme, ou de fa¸con ´equivalenteque pour tout objet X de C , et tout pr´efaisceau Y sur C `a valeurs dans C , l’application Hom D ( B ) ( q ∗ ( X ) , w ∗ ( Y )) / / Hom D ( A ) ( p ∗ ( X ) , v ∗ ( Y )) , ϕ (cid:31) / / u ∗ ( ϕ ) , est bijective. On va montrer que cette application est bijective pour C une cat´egorie arbitraire , sans utiliser l’hypoth`ese qu’elle soit compl`ete. On observe d’abord quedans le cas o`u elle est compl`ete et cocompl`ete, cela r´esulte des consid´erations de laremarque 4.27, ce qui en particulier r`egle le cas o`u C est ´equivalente `a la cat´egorie ponc-tuelle. Ensuite, on montre qu’il existe un foncteur pleinement fid`ele i : C / / C ′ , avec C ′ cat´egorie compl`ete et cocompl`ete telle que si D ′ d´esigne le d´erivateur des pr´efaisceaux`a valeurs dans C ′ , on ait W D ′ = W D . Si C n’est pas un ensemble pr´eordonn´e, on peutprendre pour C ′ la cat´egorie des pr´efaisceaux d’ensembles sur C , et pour i le plonge-ment de Yoneda, puisque alors W D ′ = W D = W ( cf. C est une cat´egorie, nonvide et non ´equivalente `a la cat´egorie ponctuelle, associ´ee `a un ensemble pr´eordonn´e,alors on peut prendre pour C ′ la cat´egorie des pr´efaisceaux `a valeurs dans la cat´egorie { / / } , consid´er´ee comme sous-cat´egorie pleine de celle des ensembles, form´ee del’ensemble vide et d’un ensemble ponctuel, et pour i le foncteur induit par le plonge-ment de Yoneda, puisque alors W D ′ = W D = W g r ( cf. u est aussi une D ′ -´equivalence colocalement sur C , et en notant pour toutepetite cat´egorie K , i K : D ( K ) / / D ′ ( K ) le foncteur pleinement fid`ele induit par i , onconclut en consid´erant le carr´e commutatif Hom D ( B ) ( q ∗ ( X ) , w ∗ ( Y )) ≀ (cid:15) (cid:15) / / Hom D ( A ) ( p ∗ ( X ) , v ∗ ( Y )) ≀ (cid:15) (cid:15) Hom D ( B ) ( i B q ∗ ( X ) , i B w ∗ ( Y )) Hom D ( A ) ( i A p ∗ ( X ) , i A v ∗ ( Y )) Hom D ( B ) ( q ∗ i e ( X ) , w ∗ i C ( Y )) ∼ / / Hom D ( A ) ( p ∗ i e ( X ) , v ∗ i C ( Y )) , dont les fl`eches verticales, ainsi que la fl`eche horizontale du bas, sont des bijections. Th´eor`eme 4.32 . —
Soit D un pr´ed´erivateur conservatif et complet, satisfaisant lecrit`ere cohomologique pour les ´equivalences colocales (par exemple un d´erivateur). Alors un carr´e de C at satisfait `a la propri´et´e de changement de base cohomologique siet seulement s’il est D -exact faible. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS D´emonstration . — Soit A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B un carr´e dans C at , et consid´erons le morphisme de changement de base w ∗ u ∗ / / u ′∗ v ∗ .En vertu de Der 2 , pour qu’il soit un isomorphisme, il faut et il suffit que pour toutobjet b ′ de B ′ , la fl`eche(4.32.1) b ′∗ w ∗ u ∗ / / b ′∗ u ′∗ v ∗ soit un isomorphisme. Or, en vertu de Der 4g , on a des isomorphismes canoniques
A/w ( b ′ ) r (cid:15) (cid:15) j / / (cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:7) (cid:127) (cid:7) A u (cid:15) (cid:15) e w ( b ′ ) / / b ′∗ w ∗ u ∗ = w ( b ′ ) ∗ u ∗ ≃ r ∗ j ∗ ,B A ′ /b ′ r ′ (cid:15) (cid:15) j ′ / / (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4) ~ (cid:6) A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) e b ′ / / b ′∗ u ′∗ v ∗ ≃ r ′∗ j ′∗ v ∗ = r ′∗ ( vj ′ ) ∗ ,B ′ identifiant le morphisme 4.32.1 `a une fl`eche(4.32.2) r ∗ j ∗ / / r ′∗ ( vj ′ ) ∗ . D’autre part, on a un carr´e commutatif A ′ /b ′ j ′ (cid:15) (cid:15) v ′ / / A/w ( b ′ ) j (cid:15) (cid:15) A ′ v / / A , o`u v ′ d´esigne le morphisme induit par v . On laisse au lecteur le soin de v´erifier que lemorphisme 4.32.2 n’est autre que le morphisme canonique r ∗ j ∗ / / r ∗ v ′∗ v ′∗ j ∗ ≃ ( rv ′ ) ∗ ( jv ′ ) ∗ = r ′∗ ( vj ′ ) ∗ , lequel, en vertu de l’hypoth`ese que D satisfait le crit`ere cohomologique des ´equi-valences colocales, est un isomorphisme si et seulement si v ′ est une D -´equivalencecolocalement sur A . Le crit`ere ( a ) de la proposition 2.18 permet alors de conclure. Remarque 4.33 . — Soit D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B GEORGES MALTSINIOTIS un carr´e dans C at tel que u et u ′ admettent des adjoints `a droite r et r ′ respectivement,et c : vr ′ / / rw le morphisme ≪ de changement de base ≫ . Pour tout pr´ed´erivateur D , la2-fonctorialit´e implique que ( u ∗ , r ∗ ) et ( u ′∗ , r ′∗ ) sont des couples de foncteurs adjoints,de sorte que u et u ′ admettent des images directes cohomologiques u ∗ ≃ r ∗ et u ′∗ ≃ r ′∗ respectivement, le morphisme de changement de base w ∗ u ∗ / / u ′∗ v ∗ s’identifiant `a c ∗ : w ∗ r ∗ / / r ′∗ v ∗ . Si D est le d´erivateur des pr´efaisceaux d’ensembles, et si le carr´e D est W -exact, il r´esulte donc du th´eor`eme pr´ec´edent ( cf. exemple 4.6) que le morphisme c ∗ est un isomorphisme. Le plongement de Yoneda ´etant un foncteur conservatif, on end´eduit que le morphisme c est lui-mˆeme un isomorphisme, autrement dit, que le carr´e D est de Beck-Chevalley `a gauche, ce qui fournit une nouvelle preuve de l’implication( c ) ⇒ ( a ) de la proposition 2.17. Le lecteur v´erifiera l’absence de cercle vicieux. Corollaire 4.34 . —
Soit D = A ′ u ′ (cid:15) (cid:15) v / / (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) | (cid:4) α A u (cid:15) (cid:15) B ′ w / / B un carr´e dans C at . Les conditions suivantes sont ´equivalentes : a) D est un carr´e exact de Guitart, autrement dit un carr´e W -exact ; b) le carr´e b D = b B u ∗ (cid:15) (cid:15) w ∗ / / (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) | (cid:4) α ∗ b B ′ u ′∗ (cid:15) (cid:15) b A v ∗ / / b A ′ (o`u pour toute petite cat´egorie C , b C d´esigne la cat´egorie des pr´efaisceaux d’en-sembles sur C ) est un carr´e exact de Guitart ; c) pour toute cat´egorie compl`ete ou cocompl`ete C , le carr´e Hom ( D ◦ , C ) = Hom ( B ◦ , C ) u ∗ (cid:15) (cid:15) w ∗ / / (cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10) (cid:1) (cid:9) α ∗ Hom ( B ′◦ , C ) u ′∗ (cid:15) (cid:15) Hom ( A ◦ , C ) v ∗ / / Hom ( A ′◦ , C )(o`u pour toute petite cat´egorie C , Hom ( C ◦ , C ) d´esigne la cat´egorie despr´efaisceaux sur C `a valeurs dans C ) est un carr´e exact de Guitart ; d) il existe une cat´egorie compl`ete ou cocompl`ete C , qui ne soit pas un ensemblepr´eordonn´e, et telle que Hom ( D ◦ , C ) soit un carr´e exact de Guitart. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS D´emonstration . — Les implications ( c ) ⇒ ( b ) et ( b ) ⇒ ( d ) sont tautologiques. Envertu des exemples 4.6 et 4.31, et des propositions 2.17 et 2.18, les implications( a ) ⇒ ( c ) et ( d ) ⇒ ( a ) r´esultent, dans le cas complet, du th´eor`eme 4.32. Dans lecas cocomplet, elles se d´emontrent de fa¸con duale. Remarque 4.35 . — En gardant les hypoth`eses et les notations du corollairepr´ec´edent, si C n’est pas une cat´egorie compl`ete ou cocompl`ete, il n’est pas vraien g´en´eral que pour un carr´e W -exact D , le carr´e Hom ( D ◦ , C ) soit exact au sensde Guitart, et cela mˆeme si l’on suppose que D est un carr´e comma. Voici uncontre-exemple : Soient A et B deux petites cat´egories, et consid´erons le carr´e D = A × B pr (cid:15) (cid:15) pr / / (cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:127) (cid:7) B (cid:15) (cid:15) = A / / e , qui est `a la fois un carr´e cart´esien et un carr´e comma. Pour une cat´egorie C , dire quele carr´e Hom ( D ◦ , C ) = C ≃
Hom ( e ◦ , C ) (cid:15) (cid:15) / / (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) (cid:2) (cid:10) Hom ( A ◦ , C ) pr ∗ (cid:15) (cid:15) = Hom ( B ◦ , C ) pr ∗ / / Hom ( A ◦ × B ◦ , C )est un carr´e exact de Guitart, revient `a demander, en vertu du crit`ere ( c ) de laproposition 2.3, que pour tous pr´efaisceaux F sur A et G sur B , `a valeurs dans C , ettout morphisme ϕ : pr ∗ ( F ) / / pr ∗ ( G ) de pr´efaisceaux sur A × B , la cat´egorie C F,G,ϕ (dont les objets sont les triplets ( c, β, γ ), avec c objet de C , β morphisme de pr´efai-sceaux de F vers le pr´efaisceau constant sur A , de valeur c , et γ morphisme du pr´e-faisceau constant sur B , de valeur c , vers le pr´efaisceau G , tels que pr ∗ ( γ ) pr ∗ ( β ) = ϕ ,un morphisme de ( c, β, γ ) vers ( c ′ , β ′ , γ ′ ) ´etant une fl`eche f : c / / c ′ telle que β ′ = f β et γ = γ ′ f ) est 0-connexe. Or, si A = { a , a } et B = { b , b } sont des cat´egoriesdiscr`etes `a deux objets, C la cat´egorie C = a / / % % LLLLLLLLL b a / / rrrrrrrrr b ,F : A ◦ = A / / C et G : B ◦ = B / / C les inclusions ´evidentes, et ϕ l’unique morphismede pr´efaisceaux sur A × B de pr ∗ ( F ) vers pr ∗ ( G ), alors on v´erifie aussitˆot que lacat´egorie C F,G,ϕ est vide, et donc n’est pas 0-connexe. On en d´eduit que dans ce cas
Hom ( D ◦ , C ) n’est pas un carr´e exact de Guitart (et mˆeme pas un carr´e W g r -exact). GEORGES MALTSINIOTIS
R´ef´erences [1]
M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier – Th´eorie des topos et cohomologie ´etaledes sch´emas (SGA4), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269, 270, 305, Springer-Verlag,1972-1973.[2]
D.-C. Cisinski – ≪ Images directes cohomologiques dans les cat´egories de mod`eles ≫ , Annales Math´ematiques Blaise Pascal (2003), p. 195–244.[3] , ≪ Le localisateur fondamental minimal ≫ , Cahiers Topologie G´eom. Diff´erentielleCat´eg.
XLV (2) (2004), p. 109–140.[4] ,
Les pr´efaisceaux comme mod`eles des types d’homotopie , Ast´erisque, Vol. 308,Soc. Math. France, 2006.[5] , ≪ Cat´egories d´erivables ≫ , Bull. Soc. Math. France (2010), p. 317–393.[6]
D.-C. Cisinski & G. Maltsiniotis – ≪ La cat´egorie Θ de Joyal est une cat´egorie test ≫ , J. Pure Appl. Algebra (2011), p. 962–982.[7]
W. G. Dwyer, P. S. Hirschhorn, D. M. Kan & J. H. Smith – Homotopy limitfunctors on model categories and homotopical categories , Mathematical Surveys and Mo-nographs, Vol. 113, American Mathematical Society, 2004.[8]
J. Franke – ≪ Uniqueness theorems for certain triangulated categories possessing anAdams spectral sequence ≫ , K-theory Preprint Archives, 139, 1996.[9] A. Grothendieck – Revˆetements ´etales et groupe fondamental (SGA1), Lecture Notesin Mathematics, Vol. 224, Springer-Verlag, 1971.[10] , ≪ Pursuing stacks ≫ , Manuscrit, 1983, `a paraˆıtre dans Documents Math´ema-tiques .[11] , ≪ Les d´erivateurs ≫ e maltsin/groth/Derivateurs.html.[12] R. Guitart – ≪ Relations et carr´es exacts ≫ , Ann. sc. math. Qu´ebec
IV, 2 (1980),p. 103–125.[13] , ≪ Carr´es exacts et carr´es d´eductifs ≫ , Diagrammes (1981), p. G1–G17.[14] , ≪ Split exact squares and torsion ≫ , Preprint, 1988.[15] R. Guitart & L. Van den Bril – ≪ Note sur la d´etermination des homologies par lescarr´es exacts ≫ , Diagrammes (1981), p. GV1–GV7.[16] , ≪ Calcul des satellites et pr´esentations des bimodules `a l’aide des carr´esexacts ≫ , Cahiers Topologie G´eom. Diff´erentielle
XXIV, 3 (1983), p. 299–330.[17] , ≪ Calcul des satellites et pr´esentations des bimodules `a l’aide des carr´esexacts, II ≫ , Cahiers Topologie G´eom. Diff´erentielle
XXIV, 4 (1983), p. 333–369.[18]
A. Heller – ≪ Homotopy theories ≫ , Mem. Amer. Math. Soc. (1988), no. 383.[19] , ≪ Stable homotopy theories and stabilization ≫ , J. Pure Appl. Algebra (1997), p. 113–130.[20] , ≪ Homological algebra and (semi)stable homotopy ≫ , J. Pure Appl. Algebra (1997), p. 131–139.[21] , ≪ Semistability and infinite loop spaces ≫ , J. Pure Appl. Algebra (2000),p. 213–220.[22]
B. Kahn & G. Maltsiniotis – ≪ Structures de d´erivabilit´e ≫ , Adv. in Math. (2008), p. 1286–1318.[23]
B. Keller – ≪ Derived categories and universal problems ≫ , Comm. Algebra (1991),p. 699–747.[24] G. Maltsiniotis – ≪ Introduction `a la th´eorie des d´erivateurs ≫ e maltsin/. ARR´ES EXACTS HOMOTOPIQUES, ET D´ERIVATEURS [25] , La th´eorie de l’homotopie de Grothendieck , Ast´erisque, Vol. 301, Soc. Math.France, 2005.[26] , ≪ Structures d’asph´ericit´e, foncteurs lisses, et fibrations ≫ , Annales Math´ema-tiques Blaise Pascal (2005), p. 1–39.[27] D. Quillen – Homotopical algebra , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 43, Springer-Verlag, 1967.[28] , ≪ Higher algebraic K-theory : I ≫ , Algebraic K-theory I , Lecture Notes in Ma-thematics, Vol. 341, p. 85-147, Springer-Verlag, 1973.
Georges Maltsiniotis , Institut de Math´ematiques de Jussieu, Universit´e Paris 7 Denis Diderot,Case Postale 7012, Bˆatiment Chevaleret, 75205 PARIS Cedex 13, FRANCE
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