aa r X i v : . [ m a t h . C V ] J a n Inégalité d'Ahlfors en dimension supérieure1Benoît Saleur2Abstra tWe prove an Ahlfors' like inequality for the holomorphi urves with boundary of a omplex ompa tKobayashi-hyperboli manifold.1 Introdu tionL'inégalité d'Ahlfors (voir par exemple [6℄, [11℄) ontient sous une forme géométrique l'essentiel dela théorie de distribution des valeurs des fon tions analytiques. Dans le as d'une surfa e d'arrivée sansbord, elle s'énon e ainsi :Théorème 1. Soit Σ une surfa e de Riemann ompa te munie d'une métrique hermitienne (cid:28)xée. Alorsil existe une onstante h > telle que pour toute surfa e de Riemann ompa te à bord Σ et toute fon tion Σ f → Σ holomorphe à l'intérieur de Σ et lisse au bord, l'inégalité suivante soit véri(cid:28)ée : min(0 , χ (Σ)) ≤ χ (Σ ) S + hL. On a noté S = Aire( f (Σ))Aire(Σ ) le nombre moyen de feuillets au-dessus de Σ , L = Longueur( f ( ∂ Σ)) la longueurdu bord de f (Σ) , et χ (Σ ) , χ (Σ) les ara téristiques d'Euler-Poin aré des surfa es Σ et Σ .On se propose i i d'établir une inégalité de type Ahlfors pour les ourbes holomorphes d'une variété omplexe ompa te hyperbolique au sens de Kobayashi, 'est à dire ne ontenant pas de ourbe entière.On (cid:28)xera don une variété omplexe ompa te hyperbolique X munie d'une forme hermitienne ω .Une inégalité isopérimétrique linéaire pour les disques holomorphes a déjà été établie par Julien Duval(voir [7℄), à l'aide d'un lemme à la Brody. Elle est également une onséquen e impli ite d'un résultatétabli par Bru e Kleiner dans son preprint "Hyperboli ity using minimal surfa es"(voir [9℄). Le lemme deBrody a également permis à Jean-Pierre Demailly d'obtenir une inégalité de type Ahlfors pour les ourbesholomorphes sans bord (voir [5℄). L'inégalité i i démontrée ombine es deux résultats. La démonstrationrepose sur des estimations longueur-aire et sur le théorème de Gauss-Bonnet, et emprunte beau oup auxméthodes utilisées par Bru e Kleiner (voir [9℄).Soient Σ une surfa e de Riemann ompa te à bord, de ara téristique d'Euler-Poin aré χ , et f : Σ X une fon tion holomorphe sur l'intérieur de Σ et lisse au bord (on parlera de ourbe holomorphe à bord).On munit Σ de sa métrique de Poin aré h , de ourbure − . La pseudo-métrique g = f ∗ ω est onforme à h : il existe sur Σ une fon tion lisse Φ telle que : g = Φ h . De plus, par le lemme de Brody (voir [3℄) ilexiste une onstante M ≥ √ ne dépendant que de ( X, ω ) telle que Φ ≤ M √ .Nous pouvons alors énon er le théorème suivant :Théorème 2. L'une des deux inégalités suivantes est véri(cid:28)ée : Aire ω ( f (Σ)) ≤ − πM min(0 , χ (Σ)) ou Aire ω ( f (Σ)) ≤ e M Longueur ω ( f ( ∂ Σ)) . K g de la pseudo-métrique g = f ∗ ω , dé(cid:28)nie horsde l'ensemble ritique de f , peut être supposée inférieure ou égale à : en e(cid:27)et, f (Σ) est alors lo alementune sous-variété omplexe de X , et sa ourbure est don majorée par une onstante (voir l'arti le de J.Lafontaine dans [2℄ pour plus de détails). Il su(cid:30)t alors de normaliser ω pour obtenir K g ≤ .Il sera né essaire par la suite de disposer d'une vraie métrique : en posant g ε = (Φ + ε ) h , on obtientune famille de métriques très pro hes de g , dont la ourbure véri(cid:28)e : lim ε → K g ε ≤ . Il su(cid:30)t alors de démon-trer le théorème pour les g ε et de passer à la limite. Par sou i de larté, nous supposerons dire tementque g est une métrique.Notons d la distan e asso iée à la métrique g . Pour tout réel t > , posons : Σ( t ) = { p ∈ Σ | d ( p, ∂ Σ) ≥ t } . Les frontières ∂ Σ( t ) de es domaines sont appelées " ourbes parallèles"' au bord ∂ Σ . Elles peuventprésenter des points angulaires : eux- i apparaissent à un temps t et se propagent aux temps t > t .Deux phénomènes ausent l'apparition de points angulaires au temps t (voir [1℄ ainsi que l'arti le deM.P. Muller dans [2℄) :1. L'existen e de points de onta t pour la ourbe ∂ Σ( t ) , 'est à dire de points P de Σ pour lesquelsil existe deux points distin ts P et P de ∂ Σ et deux ar s de géodésiques de même longueur t ,orthogonaux à ∂ Σ , et reliant P à P et P . Pour tout t > t , la ourbe ∂ Σ( t ) présente un pointangulaire issu du point de onta t. La topologie de Σ( t ) est modi(cid:28)ée au passage de telles valeurs de t .2. L'existen e de points en lesquels la ourbure géodésique est in(cid:28)nie, 'est à dire de points singulierspour la ourbe ∂ Σ( t ) . Si P est un point singulier de ∂ Σ( t ) , la ourbe ∂ Σ( t ) présente un pointangulaire issu de P pour tout t > t .En un point angulaire d'une parallèle ∂ Σ( t ) , l'angle entre les normales entrantes est inférieur à π . Ene(cid:27)et, pour un réel ε > assez petit, la ourbe ∂ Σ( t ) est l'enveloppe des frontières des boules de rayon ε et de entres les points de ∂ Σ( t − ε ) , et en un point d'interse tion entre deux boules, l'angle entre lesnormales sortantes est inférieur à π .D'après [1℄, on peut approximer la ourbe ∂ Σ par une ourbe lisse en position générale pour les pointsdoubles des parallèles omme pour les points singuliers. On supposera don par la suite qu'il n'y a qu'unnombre (cid:28)ni de points angulaires.Notons χ ( t ) la ara téristique d'Euler-Poin aré de la surfa e Σ( t ) . On onstate que la fon tion χ est roissante. En e(cid:27)et, il existe deux types de onta ts :1. Un onta t entre deux omposantes onnexes distin tes de ∂ Σ( t ) . Alors Σ( t + ) a une omposantede bord de moins que Σ( t − ) .2. Un onta t d'une même omposante onnexe de ∂ Σ( t ) ave elle-même. Alors on obtient la surfa e Σ( t + ) en retirant un disque à deux trous de Σ( t − ) .Dans les deux as, on a bien χ ( t + ) = χ ( t − ) + 1 .Par la suite on notera a ( t ) l'aire de la surfa e Σ( t ) et l ( t ) la longueur de son bord ∂ Σ( t ) (pour lamétrique g ). La fon tion a est dérivable, et on a la relation lassique : a ′ ( t ) = − l ( t ) . La fon tion l est ontinue ( ar la ourbe ∂ Σ est en position générique) et dérivable à droite (la notation l ′ désignera ladérivée à droite de l ).On notera en(cid:28)n χ − = min(0 , χ ) .Les trois propriétés suivantes sont alors véri(cid:28)ées et permettent de on lure :1. a ′ = − l .2. a − l ′ ≥ πχ − .3. ∀ T ≥ , a ( T ) + πM χ − ≤ M R T dtl ( t ) . 2ommençons par établir le Théorème avant de démontrer les propriétés et :Supposons que a (0) ≥ πM χ − . En intégrant la relation l ′ ≤ a − πχ − entre et T et en majorant a ( t ) par a (0) pour tout t ≥ , on obtient : l ( T ) ≤ l (0) + T ( a (0) − πχ − ) ≤ l (0) + 2 T a (0) . D'une part, on en déduit : R T dtl ( t ) ≤ a (0)log(1 + 2 T a (0) l (0) ) . D'autre part, en intégrant la relation , on obtient l'inégalité suivante, valable même lorsque a ( T ) = 0 et l ( T ) = 0 : a ( T ) ≥ a (0) − T l (0) − T a (0) . L'inégalité s'é rit alors, en notant x = a (0) l (0) : x − T − T x + πM χ − l (0) ≤ M x log(1 + 2 T x ) . Comme a (0) ≥ − πM χ − , ela s'é rit : x ( 12 − T ) − T ≤ M x log(1 + 2 T x ) . Posons T = . Distinguons deux as : soit le terme de gau he de l'inégalité i-dessus est négatif ou nul,auquel as x ≤ , soit il est stri tement positif, auquel as : log (1 + x ) ≤ M xx ( − T ) − T ≤ M xx − M + 4 M x − . Pour x ≥ , ette inégalité devient : x ≤ e M omme annon é.Démonstration de la propriété 2. Elle est une onséquen e presque immédiate du théorème de Gauss-Bonnet et suit l'arti le de M.P. Muller dans [2℄. On note α i les valeurs des éventuels angles intérieurs dubord. Le théorème de Gauss-Bonnet s'é rit alors : Z Σ( t ) K g v g + Z ∂ Σ( t ) kds g + X i ( π − α i ) = 2 πχ ( t ) où K g est la ourbure de la métrique g et k est la ourbure géodésique de la ourbe ∂ Σ( t ) .Or, un dessin montre que l est dérivable à droite et que : R ∂ Σ( t ) kds g = − l ′ ( t ) − P i cotan( α i ) . Comme K g ≤ , on a : a ( t ) − l ′ ( t ) ≥ πχ ( t ) + 2 X i (cid:18) cotan α i − π − α i (cid:19) . ≤ α i < π , soit X i (cid:18) cotan α i − π − α i (cid:19) ≥ , et d'autre part χ ( t ) ≥ χ − . La propriétéest don démontrée.Démonstration de la propriété 3. Elle dé oule de l'existen e d'une inégalité isopérimétrique pour la mé-trique de Poin aré h de ourbure − et suit elle de B. Kleiner dans [9℄.Notons v g la forme d'aire de la métrique g . Notons a h ( t ) et l h ( t ) respe tivement l'aire de Σ( t ) et lalongueur de ∂ Σ( t ) pour la métrique hyperbolique h . Soit t > . Comme a h ( t ) = R Σ( t ) Φ − v g , alors a ′ h ( t ) = − R ∂ Σ( t ) Φ − ds g . l'inégalité de Cau hy-S hwarz s'é rit : l h ( t ) = Z ∂ Σ( t ) Φ − ds g ! ≤ Z ∂ Σ( t ) Φ − ds g ! Z ∂ Σ( t ) ds g ! = − a ′ h ( t ) l ( t ) − a ′ h ( t ) l h ( t ) ≥ l ( t ) . On (cid:28)xe un réel T ≥ . Comme a h est dé roissante, soit a h ( T ) + 2 πχ − ≤ , auquel as l'inégalité esttriviale pour T , soit pour tout ≤ t ≤ T , a h ( t ) + 2 π min χ − > . L'inégalité isopérimétrique véri(cid:28)ée parla métrique de Poin aré s'é rit : a h ( t ) ≤ l h ( t ) − πχ − (voir par exemple [4℄). En l'inje tant, on obtient : l ( t ) ≤ − a ′ h ( t ) l h ( t ) ≤ − a ′ h ( t )( a h ( t ) + 2 πχ − ) , e qui donne par intégration : Z T dtl ( t ) ≤ Z T − a ′ h ( t )( a h ( t ) + 2 πχ − ) dt ≤ a h ( T ) + 2 πχ − − a h (0) + 2 πχ − ≤ a h ( T ) + 2 πχ − ..