Introducción al Cálculo Fraccional
UUNAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
El siguiente material fue creado con la idea de ser usado para un curso introductorio de c´alculo fraccional.1 a r X i v : . [ m a t h . G M ] N ov ntroducci ´on al C ´alculo Fraccional NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias ´Indice
P´agina1. C´alculo Fraccional 2 ffl er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.5. Integral Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.6. Operadores Diferointegrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.7. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.8. Transformada de Laplace para los Operadores Diferointegrables . . . . . . . . . . . . . . 341.2.9. Transformada de Laplace a trav´es de la Convoluci ´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.2.10. Ca´ıda libre con resistencia del aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.3. Definiciones B´asicas de las Derivadas Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.1. Introducci ´on a los Enfoques de Riemann-Liouville y Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.2. Introducci ´on a la Derivada Fraccionaria de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.3.3. Regla de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4. Ejemplos B´asicos de la Derivada Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.4.1. Problema de la Taut ´ocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 ntroducci ´on al C ´alculo Fraccional A. Torres-Hernandez F. [email protected] [email protected]
1. C ´alculo Fraccional
La pregunta que llev ´o al surgimiento de una nueva rama del an´alisis matem´atico conocida como c´alculofraccional fue: ¿Puede la definici ´on de una derivada de orden entero (cid:16) ddx (cid:17) n f ( x ) ser extendida para el caso enque n sea una fracci ´on y tener alg ´un significado? Posteriormente la pregunta se volvi ´o: ¿Puede el orden dela derivada n ser cualquier n ´umero: racional, irracional o complejo? Debido a que la pregunta fue contestadade forma afirmativa, el nombre de c´alculo fraccional se ha convertido en un nombre incorrecto y seria m´asapropiado llamarlo integraci ´on y diferenciaci ´on de orden arbitrario.Leibniz invent ´o la notaci ´on (cid:16) ddx (cid:17) n f ( x ). Quiz´as fue un juego por medio de s´ımbolos lo que llev ´o a L’Hopitalen 1695 a preguntarle a Leibniz: “¿Qu´e pasa si n es ?” Leibniz respondi ´o “Usted puede ver con eso, se ˜nor,que uno puede expresar por una serie infinita una cantidad tal como d xy o d xy . Aunque la serie infinita yla geometr´ıca son relaciones distantes, la serie infinita admite solamente el uso de exponentes que son enterospositivos y negativos, y a ´un no conoce el uso de exponentes fraccionarios.” [1]Posteriormente, en dicha carta, Leibniz contin ´ua de forma prof´etica: “Por lo tanto, d x ser´a igual a x √ dx : x .Esta es una aparente paradoja de la cual, un d´ıa, ´utiles consecuencias ser´an extra´ıdas.”[1]El tema del c´alculo fraccional no paso desapercibido de la atenci ´on de Euler. En 1730 ´el escribio “Cuando n es un n ´umero entero positivo, y p es una funci ´on de x , la raz ´on d n p a dx n siempre se puede expresar alge-braicamente, de modo que si n = 2 y p = x , entonces la raz ´on d x a dx es 6 x a 1 . Ahora me pregunto qu´etipo de relaci ´on se puede hacer si n es una fracci ´on. La dificultad en este caso puede ser f´acilmente entendida.Si n es un entero positivo d n se puede encontrar por diferenciaci ´on continua. Tal manera, sin embargo, no esevidente si n es una fracci ´on. Pero a ´un con la ayuda de la interpolaci ´on que ya he explicado en esta disertaci ´on,uno puede ser capaz de agilizar el asunto.”[1]Lagrange contribuy ´o indirectamente al c´alculo fraccional ya que en 1772 desarroll ´o la ley de exponentespara operadores diferenciales de orden entero: (cid:32) ddx (cid:33) m (cid:32) ddx (cid:33) n f ( x ) = (cid:32) ddx (cid:33) m + n f ( x ) . M´as tarde, cuando se desarroll ´o la teor´ıa del c´alculo fraccional, los matem´aticos se interesaron en saber qu´erestricciones deb´ıan imponerse sobre funciones f ( x ) para que una regla an´aloga a la de ordenes enteros fuerav´alida para ordenes arbitrarios.En 1812 Laplace defini ´o una derivada fraccionaria por medio de una derivada de orden entero, la primeramenci ´on de una derivada de orden arbitrario aparece en uno de los textos de Lacroix [1819 , pp. − f ( x ) = x m con m un entero positivo, Lacroixdesarroll ´o f´acilmente la derivada n -´esima de f(x) 2 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias (cid:32) ddx (cid:33) f ( x ) = mx m − , (cid:32) ddx (cid:33) f ( x ) = m ( m − x m − , (cid:32) ddx (cid:33) f ( x ) = m ( m − m − x m − ,... (cid:32) ddx (cid:33) n f ( x ) = m ( m − m − · · · ( m − ( n − x m − n = m !( m − n )! x m − n , m ≥ n. Haciendo uso del s´ımbolo de Legendre para la generalizaci ´on del factorial (la funci ´on Gamma), ´el obtiene (cid:32) ddx (cid:33) n f ( x ) = Γ ( m + 1) Γ ( m − n + 1) x m − n . (1)Despu´es, da el ejemplo para el caso f ( x ) = x con n = , obteniendo (cid:32) ddx (cid:33) f ( x ) = Γ (2) Γ (cid:16) (cid:17) x = 2 √ π x . Cabe resaltar que el resultado obtenido por Lacroix es el mismo que se obtiene al utilizar la definici ´onactual de una derivada fraccionaria de Riemann-Liouville.Fourier (1822) fue el siguiente en hacer menci ´on sobre las derivadas de orden arbitrario. Su definici ´on deun operador fraccionario se obtuvo de su representaci ´on de orden entero para f ( x ) : f ( x ) = 12 π (cid:90) ∞−∞ f ( α ) dα (cid:90) ∞−∞ cos ( p ( x − α )) dp. ya que (cid:32) ddx (cid:33) n cos ( p ( x − α )) = p n cos (cid:18) p ( x − α ) + n π (cid:19) , para n un entero. Sustituyendo n con ν ( ν arbitrario), se obtiene la generalizaci ´on (cid:32) ddx (cid:33) ν f ( x ) = 12 π (cid:90) ∞−∞ f ( α ) dα (cid:90) ∞−∞ p ν cos (cid:18) p ( x − α ) + ν π (cid:19) dp. El n ´umero ν que aparece en la ecuaci ´on anterior se considerar´a como cualquier cantidad, ya sea positiva onegativa. Leibniz, Euler, Laplace, Lacroix y Fourier hicieron menci ´on sobre derivadas de orden arbitrario, pero elprimer uso para operaciones fraccionarias fue hecho por Abel en 1823, Abel aplic ´o el c´alculo fraccional en lasoluci ´on de una ecuaci ´on integral que surge en la formulaci ´on del problema de la taut ´ocrona, i.e., el problemade determinar la forma de una curva de manera que el tiempo de descenso de una masa puntual sin fricci ´onque se deslice por la curva bajo la acci ´on de la gravedad sea independiente del punto de partida. Si el tiempode deslizamiento es una constante conocida, entonces la ecuaci ´on integral de Abel es: k = (cid:90) x ( x − t ) − f ( t ) dt. (2)3 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
La integral en la ecuaci ´on (2) es, excepto por el factor multiplicativo Γ (cid:16) (cid:17) − , un caso particular de unaintegral fraccionaria de orden [1]. Generalmente en ecuaciones integrales como en el caso anterior, la funci ´on f en el integrando es desconocida y debe ser determinada. Abel escribi ´o el lado derecho de la ecuaci ´on como √ π (cid:16) ddx (cid:17) f ( x ). Entonces ´el aplico a ambos lados de la ecuaci ´on (cid:16) ddx (cid:17) para obtener (cid:32) ddx (cid:33) k = √ πf ( x ) , (3)estos operadores fraccionarios (con condiciones adecuadas en las funciones f ) tienen la propiedad de que (cid:16) ddx (cid:17) (cid:16) ddx (cid:17) − f = (cid:16) ddx (cid:17) f = f . As´ı, cuando la derivada fraccionaria de orden de la constante k en (3) es obteni-da, la funci ´on f ( x ) est´a determinada. Este es un logro notable de Abel en el c´alculo fraccional. Es importantese ˜nalar que la derivada fraccionaria de una constante no siempre es igual a cero.El tema del c´alculo fraccional permaneci ´o inactivo durante un periodo de casi una d´ecada hasta que apa-recieron las obras de Liouville. Pero fue en 1974 que el primer texto [Oldham and Spanier][2] dedicado exclu-sivamente a este tema fue publicado, durante estos a ˜nos se imparti ´o la primera conferencia relacionada con elc´alculo fraccional.Tal vez la f ´ormula integral de Fourier y la soluci ´on de Abel fueron unos de los principales trabajos quellamaron la atenci ´on de Liouville hacia el c´alculo fraccional, quien realizo el primer estudio importante deeste tema. Liouville tuvo ´exito en la aplicaci ´on de sus definiciones a los problemas de la teor´ıa potencial.El punto de partida para su desarrollo te ´orico fue el resultado conocido para las derivados de orden enterode la funci ´on exponencial (cid:32) ddx (cid:33) m exp ( ax ) = a m exp ( ax ) , que extendi ´o de una forma natural a derivadas de orden arbitrario (cid:32) ddx (cid:33) ν exp ( ax ) = a ν exp ( ax ) . ´El asumi ´o que la derivada de orden arbitrario de una funci ´on f ( x ), la cual se puede extender en una seriede la forma f ( x ) = ∞ (cid:88) k =0 c k exp ( a k x ) , Re ( a k ) > , (4)deber´ıa ser (cid:32) ddx (cid:33) ν f ( x ) = ∞ (cid:88) k =0 c k a νk exp ( a k x ) . (5)La ecuaci ´on (5) es conocida como la primera definici ´on de Liouville para una derivada fraccionaria. Estaformula generaliza de manera natural una derivada de orden arbitrario ν , donde ν es cualquier n ´umero: ra-cional, irracional o complejo. Pero tiene la obvia desventaja de ser aplicable s ´olo a las funciones que puedentomar la forma (4). Tal vez Liouville era consciente de esta desventaja, pues formul ´o una segunda definici ´on.Para obtener su segunda definici ´on comenz ´o con una integral definida relacionada con la funci ´on Gamma: I = (cid:90) ∞ u a − exp ( − xu ) du, a, x > . Tomando el cambio de variable t = xu se obtiene I = x − a (cid:90) ∞ t a − exp ( − t ) dt = x − a Γ ( a ) , NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias o x − a = 1 Γ ( a ) I. Despu´es ´el aplico (cid:16) ddx (cid:17) ν a ambos lados de la ecuaci ´on anterior, para obtener, seg ´un el supuesto b´asico deLiouville (cid:32) ddx (cid:33) ν x − a = ( − ν Γ ( a ) (cid:90) ∞ u a + ν − exp ( − xu ) du. De esta forma Liouville obtiene su segunda definici ´on de una derivada fraccionaria: (cid:32) ddx (cid:33) ν x − a = ( − ν Γ ( a + ν ) Γ ( a ) x − a − ν , a > . Pero estas definiciones de Liouville eran demasiado restrictivas para permanecer un largo tiempo. La pri-mera definici ´on se restringe solo a funciones de la forma (4), y la segunda definici ´on es ´util s ´olo para la funci ´ondel tipo x − a (con a > Riemann desarroll ´o principalmente su teor´ıa sobre la integraci ´on fraccionaria durante su ´epoca como estu-diante, pero rechaz ´o la publicaci ´on de sus trabajos. Estos fueron publicados p ´ostumamente en 1892. ´El busc ´ouna generalizaci ´on de una serie de Taylor y sus derivadas D − ν f ( x ) = 1 Γ ( ν ) (cid:90) xc ( x − t ) ν − f ( t ) dt + Ψ ( x ) . (6)Debido a la ambig ¨uedad en el l´ımite inferior c de la integral, Riemann consider ´o conveniente a ˜nadir unafunci ´on complementaria Ψ ( x ). Esta funci ´on complementaria es en esencia un intento de proporcionar unamedida de la desviaci ´on de la ley de los exponentes c D − µx c D − νx f ( x ) = c D − µ − νx f ( x ) , (donde los sub´ındices c y x en D se refieren a los l´ımites de integraci ´on en (6)) la cual es v´alida cuando loslimites inferiores c son iguales. Riemann se preocup ´o por una medida de desviaci ´on para el caso c D − µx c (cid:48) D − νx f ( x )cuando c (cid:44) c (cid:48) .A. Cayley (1880) coment ´o: “La mayor dificultad de la teor´ıa de Riemann, me parece, es la cuesti ´on delsignificado de una funci ´on complementaria que contiene una infinidad de constantes arbitrarias [1].” Cual-quier definici ´on satisfactoria de una operaci ´on fraccionaria exigir´a que se elimine esta dificultad. De hecho, ladefinici ´on actual de integraci ´on fraccionaria se presenta sin la funci ´on complementaria. El primer trabajo que llev ´o a lo que ahora se conoce como la definici ´on de Riemann-Liouville parece ser eltrabajo de Sonin (1869) “Sobre diferenciaci ´on con ´ındice arbitrario.” Su punto de partida fue la f ´ormula inte-gral de Cauchy. Letnikov escribi ´o cuatro art´ıculos sobre este tema de 1868 a 1872. Su trabajo “Una explicaci ´onde los principales conceptos de la teor´ıa de la diferenciaci ´on de ´ındice arbitrario” (1872) es una extensi ´on deltrabajo de Sonin [1]. La n -´esima derivada de la f ´ormula integral de Cauchy viene dada por D n f ( z ) = n !2 πi (cid:90) C f ( ζ )( ζ − z ) n +1 dζ. (7)No presenta ning ´un problema la generalizaci ´on de n ! a valores arbitrarios debido a que ν ! = Γ ( ν + 1). Sinembargo, cuando n no es un entero, el integrando en (7) ya no presenta un polo, sino un punto de ramificaci ´on.El contorno apropiado requerir´ıa entonces un corte de rama que no se incluy ´o en el trabajo de Sonin y Letnikov,aunque se discuti ´o. 5 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
No fue hasta que Laurent (1884) public ´o su trabajo, que la teor´ıa de operadores generalizados alcanz ´oun nivel adecuado como punto de partida para el matem´atico moderno. La teor´ıa del c´alculo fraccional est´a´ıntimamente conectada con la teor´ıa de los operadores. El operador D = ddx y D = (cid:16) ddx (cid:17) denotan una reglade transformaci ´on que es familiar para cualquiera que haya estudiado el c´alculo convencional. El punto departida de Laurent fue tambi´en la f ´ormula integral de Cauchy. Su contorno era un circuito abierto en unasuperficie de Riemann, en contraste con el circuito cerrado de Sonin y Letnikov. El m´etodo de integraci ´on decontornos produjo la definici ´on c D − νx f ( x ) = 1 Γ ( ν ) (cid:90) xc ( x − t ) ν − f ( t ) dt, Re ( ν ) > , (8)para la integraci ´on de orden arbitrario.Cuando x > c en la ecuaci ´on (8), tenemos la definici ´on de Riemann pero sin una funci ´on complementaria.La versi ´on m´as usual se presenta cuando c = 0, D − νx f ( x ) = RL D − νx f ( x )= 1 Γ ( ν ) (cid:90) x ( x − t ) ν − f ( t ) dt, Re ( ν ) > . (9)Esta forma de la integral fraccionaria a menudo se conoce como la integral fraccionaria de Riemann-Liouville. Una condici ´on suficiente para que la ecuaci ´on (9) converja es [1] f (cid:16) x − (cid:17) ∼ O ( x − (cid:15) ) , (cid:15) > . Las funciones integrables con la propiedad anterior se conocen a veces como funciones de la clase deRiemann. Por ejemplo, las constantes son de la clase de Riemann, al igual que x a , a > − . Cuando c es el infinito negativo, la ecuaci ´on (8) se convierte en −∞ D − νx f ( x ) = 1 Γ ( ν ) (cid:90) x −∞ ( x − t ) ν − f ( t ) dt, Re ( ν ) > . (10)Una condici ´on suficiente para que (10) converja es [1] f ( − x ) ∼ O ( x − ν − (cid:15) ) , (cid:15) > , x → ∞ . Las funciones integrables con la propiedad anterior se conocen a veces como funciones de la clase deLiouville. Por ejemplo x − a , a > ν > , es de clase Liouville. Una constante no lo es. Sin embargo, si a est´a entre − ν , las dos clases pueden coincidir. Tomando f ( t ) = exp ( at ) , Re ( a ) >
0, en la ecuaci ´on (10), se obtiene −∞ D − νx exp ( ax ) = a − ν exp ( ax ) . (11)Asumiendo que la ley de exponentes D [ D − ν f ( x )] = D − ν f ( x ) se cumple, entonces si 0 < ν <
1, se obtiene µ = 1 − ν > −∞ D µx exp ( ax ) = a µ exp ( ax ) , Re ( a ) > . Cabe resaltar que la primera definici ´on de Liouville se encuentra incluida en la ecuaci ´on (10).Sin embargo, si f ( x ) = x − a , a > ν >
0, entonces 6
NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias −∞ D − νx x − a = ( − ν Γ ( a − ν ) Γ ( a ) x − a + ν , (12)para x <
0, y si 0 < ν <
1, entonces µ = 1 − ν > −∞ D µx x − a = ( − µ Γ ( a + µ ) Γ ( a ) x − a − µ . Este es el mismo resultado que se obtiene para la segunda definici ´on de Liouville, excepto que ´el asumi ´oque x >
0. Si x >
0, (12), es cierto s ´olo para el rango 0 < ν < a < f ( x ) = x a y ν >
0, tenemos de (9) que RL D − νx x a = Γ ( a + 1) Γ ( a + ν + 1) x a + ν , a > − , y asumiendo nuevamente que D [ D − ν f ( x )] = D − ν f ( x ), se observa que si 0 < ν < RL D νx x a = Γ ( a + 1) Γ ( a − ν + 1) x a − ν , a > − . (13)Cabe se ˜nalar que para f ( x ) = x con ν = , la ecuaci ´on (13) produce el mismo resultado obtenido porLacroix. Tambi´en se puede considerar la observaci ´on de Center [1] sobre la derivada de orden arbitrario deuna constante. Pero si f ( x ) = 1 con ν = , entonces (13) da como resultado RL D x (1) = 1 √ π x − . Pero Center estaba equivocado cuando dijo que la definici ´on de Liouville da cero para la derivada arbitrariade una constante. Porque usaba D ν x − a = ( − ν Γ ( a + ν ) Γ ( a ) x − a − ν , a >
0. Pero 1 = x = ( − x ) no est´a en la clase deLiouville. Heaviside (1892) public ´o una serie de art´ıculos en los que mostr ´o c ´omo ciertas ecuaciones diferencialeslineales pueden resolverse mediante el uso de operadores generalizados. Sus m´etodos han demostrado ser´utiles en la teor´ıa sobre la transmisi ´on de corrientes el´ectricas en cables, y han sido adoptados bajo el nombrede c´alculo operacional de Heaviside.El c´alculo operacional de Heaviside se refiere a operadores funcionales lineales. ´El denotaba al operador dediferenciaci ´on por la letra p y hacia uso de el como si se tratase de una constante en la soluci ´on de ecuacionesdiferenciales. Por ejemplo, para la ecuaci ´on de calor en una dimensi ´on (cid:32) ddx (cid:33) u = a ddt u, (14)donde a es una constante y u es la temperatura. Tomando ddt = p, entonces la ecuaci ´on (14) toma la forma D u = a pu. (15)Gregory (1841), dijo ser el fundador del llamado c´alculo de operaciones, hab´ıa puesto la soluci ´on de de laecuaci ´on (14) en forma de un operador: 7 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias u ( x, t ) = A exp (cid:18) axp (cid:19) + B exp (cid:18) − axp (cid:19) . Esto es lo que se obtendr´ıa si se resolviera la ecuaci ´on (15) asumiendo que p es una constante.Pero fueron las brillantes aplicaciones de Heaviside las que aceleraron el desarrollo de la teor´ıa de estosoperadores generalizados. ´El obtuvo resultados correctos al expandir la exponencial en serie de potencias de p , donde p = (cid:16) ddx (cid:17) = D . En la teor´ıa de circuitos el´ectricos, Heaviside encontr ´o un uso frecuente para losoperadores p . ´El interpret ´o que p →
1, es decir D (1), obteniendo ( πt ) − . Ya que f ( t ) = 1 es una funci ´on dela clase de Riemann, est´a claro que el operador de Heaviside debe interpretarse en el contexto del operador deRiemann D νx .Su resultado era correcto, pero no pudo justificar sus procedimientos, coment ´o Kelland, en el intervalode diez a ˜nos entre la publicaci ´on de Fourier y las aplicaciones de Liouville una situaci ´on similar sigui ´o a laspublicaciones de Heaviside, salvo que en este caso, un tiempo mucho m´as largo transcurri ´o antes de que susprocedimientos estuvieran justificados por Bromwich (1919).Harold T. Davis (1939) dijo: “El per´ıodo de desarrollo formal de los m´etodos operativos puede considerarsecomo terminado por 1900. La teor´ıa de las ecuaciones integrales estaba comenzando a despertar la imaginaci ´onde los matem´aticos y a revelar las posibilidades de los m´etodos operacionales.”[1]En el periodo de 1900 a 1970 una modesta cantidad de trabajos publicados aparecieron sobre el temadel c´alculo fraccional. Algunos de los que contribuyeron fueron Al-Bassam, Davis, Erd´elyi, Hardy, Kober,Littlewood, Love, Osler, Riesz, Samko, Sneddon, Weyl y Zygmund.En el a ˜no de 1974 se dio la primera conferencia internacional sobre el c´alculo fraccional, celebrada en laUniversidad de New Haven, Connecticut, y fue patrocinado por la Fundaci ´on Nacional de Ciencias. Se pre-sento una cantidad moderada de trabajos relacionadas con el calculo fraccionario, incluyendo desigualdadesobtenidas mediante el uso del c´alculo fraccional, trabajos sobre el c´alculo fraccional y las funciones generali-zadas y aplicaciones del c´alculo fraccional a la teor´ıa de probabilidades.En 1984 la segunda conferencia internacional sobre c´alculo fraccional fue patrocinada por la Universidadde Strathclyde, Glasgow, Scotland. Entre los que contribuyeron se incluyen P. Heywood, S. Kalla, W. Lamb,J. S. Lowndes, K. Nishimoto, P. G. Rooney, y H. M. Strivastada, as´ı como algunos de los matem´aticos queparticiparon en la conferencia de New Haven.Una considerable actividad matem´atica relacionada con el c´alculo fraccional se desarrollo en Japon en losa ˜nos 80 con publicaciones de S. Owa (1990), M. Saigo (1980), y K. Nishimoto. El ´ultimo autor public ´o untrabajo de cuatro vol ´umenes (1984 , , , , NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
La funci ´on Gamma Γ ( z ) juega un papel importante en la teor´ıa de la diferenciaci ´on. En consecuencia, esconveniente recopilar ciertas f ´ormulas y propiedades relacionadas con esta funci ´on. Una definici ´on de Γ ( z )con z ∈ C , es proporcionada por el l´ımite infinito de Euler [2, 3] Γ ( z ) = l´ım n →∞ n ! z ( z + 1)( z + 2) · · · ( z + n ) n z , (16)Figura 1: Grafica de la funci ´on Gamma Γ ( x ) en el intervalo [ − , Γ ( z ) = l´ım n →∞ n !( z − z + n )! n z , haciendo z → z + 1 en la ecuaci ´on anterior Γ ( z + 1) = l´ım n →∞ n ! · z !( z + n + 1)! n z +1 = l´ım n →∞ znz + n + 1 · n !( z − z + n )! n z = l´ım n →∞ znz + n + 1 · l´ım n →∞ n !( z − z + n )! n z = z l´ım n →∞ nn + ( z + 1) · l´ım n →∞ n !( z − z + n )! n z = z l´ım n →∞ n !( z − z + n )! n z = z Γ ( z ) , se demuestra una de las propiedades fundamentales de la funci ´on Gamma Γ ( z + 1) = z Γ ( z ) , NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias otra propiedad importante es la siguiente Γ (1) = l´ım n →∞ n !( n + 1)! n = l´ım n →∞ nn + 1= 1 , de las dos propiedades anteriores se obtiene Γ ( z + 1) = z ( z − · · · · z ! . Pero la definici ´on integral, conocida como integral definida de Euler, es a menudo m´as ´util, aunque serestringe a valores de z ∈ C con Re ( z ) > Γ ( z ) = (cid:90) ∞ exp ( − t ) t z − dt, Re ( z ) > t = u [3] en la ecuaci ´on anterior Γ ( z ) = (cid:90) ∞ exp ( − t ) t z − dt = (cid:90) ∞ exp (cid:16) − u (cid:17) ( u ) z − (2 udu )= 2 (cid:90) ∞ exp (cid:16) − u (cid:17) u z − udu = 2 (cid:90) ∞ exp (cid:16) − t (cid:17) t z − dt, Re ( z ) > , si ahora se toma el cambio de variable t = − ln u [3] Γ ( z ) = (cid:90) ∞ e − t t z − dt = (cid:90) u ( − ln u ) z − (cid:18) − u du (cid:19) = − (cid:90) (cid:18) ln 1 u (cid:19) z − du = (cid:90) (cid:18) ln 1 t (cid:19) z − dt, Re ( z ) > , estas formas equivalentes son de ayudan en ocasiones, por ejemplo tomando la primera es f´acil obtener elvalor de Γ (cid:16) (cid:17) Γ (cid:18) (cid:19) = 2 (cid:90) ∞ exp (cid:16) − t (cid:17) t · − dt = 2 (cid:90) ∞ exp (cid:16) − t (cid:17) dt = 2 (cid:32) √ π (cid:33) = √ π, para mostrar la equivalencia de las ecuaciones (16) y (17) se considera le ecuaci ´on de dos variables [3]10 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias F ( z, n ) = (cid:90) n (cid:18) − tn (cid:19) n t z − dt, Re ( z ) > , (18)tomando el limite cuando n → ∞ en la ecuaci ´on (18)l´ım n →∞ F ( z, n ) = l´ım n →∞ (cid:90) n (cid:18) − tn (cid:19) n t z − dt = (cid:90) n l´ım n →∞ (cid:18) − tn (cid:19) n t z − dt = (cid:90) ∞ exp ( − t ) t z − dt = Γ ( z ) , por otra parte tomando el cambio de variable t = nuF ( z, n ) = (cid:90) n (cid:18) − tn (cid:19) n t z − dt = (cid:90) (1 − u ) n ( nu ) z − ndu = n z (cid:90) (1 − u ) n u z − du, integrando por partes se obtiene F ( z, n ) = n z (cid:32) (1 − u ) n u z z (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) + nz (cid:90) (1 − u ) n − u z du (cid:33) = n z (cid:32) nz (cid:90) (1 − u ) n − u z du (cid:33) , entonces se puede deducir que F ( z, n ) = n z (cid:32) n ( n − · · · · z ( z + 1) · · · ( z + n − (cid:90) u z + n − du (cid:33) = n z (cid:32) n ( n − · · · · z ( z + 1) · · · ( z + n − u z + n z + n (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:33) = (cid:32) n ( n − · · · · z ( z + 1) · · · ( z + n − z + n ) (cid:33) n z = n !( z − z + n )! n z , tomando el limite cuando n → ∞ l´ım n →∞ F ( z, n ) = l´ım n →∞ n !( z − z + n )! n z = Γ ( z ) . Debido a la relaci ´on de recurrencia Γ ( z + 1) = z Γ ( z ) se puede mostrar que para un entero positivo n Γ ( n + 1) = n Γ ( n )= n ( n − Γ ( n − ... = n ( n − · · · · Γ (1)= n ! , NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias reescribiendo la relaci ´on de recurrencia como Γ ( z −
1) = Γ ( z )( z − , la relaci ´on de recurrencia tambi´en ayuda a extender la definici ´on de la funci ´on Gamma a valores negativospara los cuales la definici ´on (17) no es valida. Esta relaci ´on muestra que Γ (0) es infinito, as´ı como Γ ( −
1) ycualquier valor de la funci ´on Gamma en los enteros negativos. Sin embargo los cocientes entre funcionesGamma para enteros negativos son finitos [2], entonces si N y n son enteros positivos Γ ( − n ) Γ ( − N ) = Γ (1 − n ) Γ (1 − N ) ( − N )( − n )= Γ (2 − n ) Γ (2 − N ) (1 − N )( − N )(1 − n )( − n )= Γ (3 − n ) Γ (3 − N ) (2 − N )(1 − N )( − N )(2 − n )(1 − n )( − n ) ... = Γ ( − Γ ( −
1) ( − − − · · · (2 − N )(1 − N )( − N )( − − − · · · (2 − n )(1 − n )( − n )= ( − N − n N ! n != ( − N − n Γ ( N + 1) Γ ( n + 1) . El rec´ıproco de la funci ´on Gamma es univaluda y finita para todo z ∈ C , es conocido como el productoinfinito de Weierstrass [3] 1 Γ ( z ) = z exp ( γz ) ∞ (cid:89) n =1 (cid:18) zn (cid:19) exp (cid:18) − zn (cid:19) , Figura 2: Grafica de la funci ´on Γ ( x ) en el intervalo [ − , . donde γ es la constante de Euler-Mascheroni, esta forma se puede deducir a partir del producto infinito deEuler, ya que 12 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias Γ ( z ) = l´ım n →∞ n ! z ( z + 1)( z + 2) · · · ( z + n ) n z = l´ım n →∞ z (cid:34) ( z + 1)( z + 2) · · · ( z + n ) n ! (cid:35) − n z = l´ım n →∞ z (cid:20)(cid:18) z (cid:19) (cid:18) z (cid:19) · · · (cid:18) n + zn (cid:19)(cid:21) − n z = l´ım n →∞ z n (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) − n z , invirtiendo la expresi ´on anterior se obtiene1 Γ ( z ) = l´ım n →∞ z n (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) n − z , (19)multiplicando por 1 = n (cid:89) m =1 exp (cid:18) − zm (cid:19) exp z n (cid:88) m =1 m , la ecuaci ´on (19) se puede reescribir como1 Γ ( z ) = l´ım n →∞ z n (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) n − z = l´ım n →∞ z n (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) n − z n (cid:89) m =1 exp (cid:18) − zm (cid:19) exp z n (cid:88) m =1 m = l´ım n →∞ z exp z n (cid:88) m =1 m n − z n (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) n (cid:89) m =1 exp (cid:18) − zm (cid:19) = z l´ım n →∞ exp z n (cid:88) m =1 m exp ( − z ln ( n )) n (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) exp (cid:18) − zm (cid:19) = z l´ım n →∞ exp z n (cid:88) m =1 m − z ln ( n ) l´ım n →∞ n (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) exp (cid:18) − zm (cid:19) , como la funci ´on exponencial es continual´ım n →∞ exp z n (cid:88) m =1 m − z ln ( n ) = l´ım n →∞ exp z n (cid:88) m =1 m − ln ( n ) = exp z l´ım n →∞ n (cid:88) m =1 m − ln ( n ) , de donde se obtiene la constante de Euler-Mascheroni γ = l´ım n →∞ n (cid:88) m =1 m − ln ( n ) (cid:39) . · · · , entonces 13 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias Γ ( z ) = z l´ım n →∞ exp z n (cid:88) m =1 m − z ln ( n ) l´ım n →∞ n (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) exp (cid:18) − zm (cid:19) = z exp ( zγ ) l´ım n →∞ n (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) exp (cid:18) − zm (cid:19) = z exp ( zγ ) ∞ (cid:89) m =1 (cid:18) zm (cid:19) exp (cid:18) − zm (cid:19) . La figura (2) muestra una gr´afica de esta funci ´on para valores de x ∈ R . Se debe notar que se alternanlos signos para argumentos negativos de la funci ´on y que se presenta un acercamiento asintom´atico a ceroconforme x se acerca infinito [2], un comportamiento que puede ser descrito por1 Γ ( x ) ∼ x − x √ π e x , x → ∞ . Como se ha visto, la funci ´on Gamma de un entero positivo n es un entero positivo, mientras que para unentero negativo es invariablemente infinito. Las funciones Γ (cid:16) + n (cid:17) y Γ (cid:16) − n (cid:17) resultan ser m ´ultiplos de √ π Γ (cid:18) (cid:19) = √ π, Γ (cid:18)
12 + n (cid:19) = (2 n )! √ π n n ! , Γ (cid:18) − n (cid:19) = ( − n n n ! √ π (2 n )! . Dos propiedades m´as de la funci ´on Gamma que resultan ser ´utiles son la reflexi ´on Γ ( x ) = π csc( πx ) Γ (1 − x ) = π Γ (1 − x ) sin ( πx ) , y la duplicaci ´on Γ (2 x ) = 2 x − √ π Γ ( x ) Γ (cid:18) x + 12 (cid:19) siendo esta ´ultima una instancia de la f ´ormula de multiplicaci ´on de Gauss Γ ( nx ) = (cid:114) πn (cid:34) n x √ π (cid:35) n n − (cid:89) k =0 Γ (cid:32) x + kn (cid:33) . En los cursos convencionales de c´alculo diferencial estamos acostumbrados al uso de la notaci ´on (cid:32) ddx (cid:33) n f , para la derivada n -´esima de una funci ´on f con respecto a la variable x cuando n es un entero no negativo.Dado que la integraci ´on y la diferenciaci ´on son operaciones inversas, es natural asociar la notaci ´on (cid:32) ddx (cid:33) − f , NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias a la integral indefinida de f con respecto a x . Sin embargo, es necesario proporcionar un l´ımite inferiorde integraci ´on para que una integral indefinida este completamente determinada. Se suele asociar la notaci ´onanterior con el l´ımite inferior cero. Por lo tanto, se define D − x f = (cid:32) ddx (cid:33) − f ≡ (cid:90) x f ( y ) dy. La integraci ´on m ´ultiple con el l´ımite inferior cero puede ser simbolizada por D − x f ≡ (cid:90) x dx (cid:90) x f ( x ) dx , D − x f ≡ (cid:90) x dx (cid:90) x dx (cid:90) x f ( x ) dx ,... D − nx f ≡ (cid:90) x dx n − (cid:90) x n − dx n − (cid:90) x n − dx n − · · · (cid:90) x dx (cid:90) x f ( x ) dx . Teniendo en cuenta la identidad [2] (cid:90) xa f ( y ) dy = (cid:90) x − a f ( y + a ) dy, se puede extender el simbolismo anterior para casos en que el limite inferior de la integral sea menor a cero a D − x f = (cid:32) dd ( x − a ) (cid:33) − f ≡ (cid:90) xa f ( y ) dy, a D − x f = (cid:32) dd ( x − a ) (cid:33) − f ≡ (cid:90) xa dx (cid:90) x a f ( x ) dx ,... a D − nx f = (cid:32) dd ( x − a ) (cid:33) − n f ≡ (cid:90) xa dx n − (cid:90) x n − a dx n − (cid:90) x n − a dx n − · · · (cid:90) xa dx (cid:90) x a f ( x ) dx . Se debe tener cuidado con la equivalencia (cid:32) dd ( x − a ) (cid:33) n = (cid:32) ddx (cid:33) n , que es una caracter´ıstica de un operador local, ya que en general para ´ordenes negativos (cid:32) dd ( x − a ) (cid:33) − n (cid:44) (cid:32) ddx (cid:33) − n . El s´ımbolo f ( n ) tiene un uso frecuente en la literatura como abreviatura de (cid:32) ddx (cid:33) n f . Asimismo, se utilizaocasionalmente f ( − n ) para simbolizar una integral n -foleada de f con respecto a x , estando los l´ımites inferioressin especificar f ( − n ) ≡ (cid:90) xa n dx n − (cid:90) x n − a n − dx n − (cid:90) x n − a n − dx n − · · · (cid:90) x a dx (cid:90) x a f ( x ) dx , donde a , a , · · · , a n son valores completamente arbitrarios. Sin embargo, cuando se tiene en cuenta unadiferencia como f ( − n ) ( x ) − f ( − n ) ( a ) se asume que los l´ımites inferiores a , a , · · · , a n de cada integral son losmismos. 15 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Tomando la definici ´on convencional de la primera derivada en t´erminos de una diferencia hacia atr´as (cid:32) ddx (cid:33) f = ddx f ( x ) ≡ l´ım δx → f ( x ) − f ( x − δx ) δx . De igual forma se pueden obtener (cid:32) ddx (cid:33) f = d dx f ( x )= l´ım δx → ddxf ( x ) − ddxf ( x − δx ) δx = l´ım δx → l´ım δx → f ( x ) − f ( x − δx ) δx − l´ım δx → f ( x − δx ) − f ( x − δx ) δxδx ≡ l´ım δx → f ( x ) − f ( x − δx ) + f ( x − δx ) δx , an´alogamente (cid:32) ddx (cid:33) f = d dx f ( x )= l´ım δx → d dx f ( x ) − d dx f ( x − δx ) δx = l´ım δx → l´ım δx → f ( x ) − f ( x − δx ) + f ( x − δx ) δx − l´ım δx → f ( x − δx ) − f ( x − δx ) + f ( x − δx ) δx δx ≡ l´ım δx → f ( x ) − f ( x − δx ) + 3 f ( x − δx ) − f ( x − δx ) δx , e.t.c., donde, se ha asumido que los l´ımites indicados existen.N ´otese que cada derivada posee una evaluaci ´on m´as en la misma funci ´on que el orden de la derivada, loscoeficientes se acumulan como coeficientes binomiales y alternan en signo. De lo anterior se asume que laf ´ormula general de la derivada para un entero positivo n es [2] (cid:32) ddx (cid:33) n f ≡ l´ım δx → δx n n (cid:88) k =0 ( − k (cid:32) nk (cid:33) f ( x − kδx ) . Si la derivada n -´esima de f existe, esta ´ultima ecuaci ´on define (cid:32) ddx (cid:33) n f como un l´ımite sin restricciones, esdecir, como un l´ımite donde δx tiende a cero a trav´es de valores sin restricciones. Para unificar esta f ´ormulacon la que define una integral como el l´ımite de una suma, es deseable definir las derivadas en t´erminos de unl´ımite restringido. Para ello, se elige δ N x ≡ ( x − a ) N , N = 1 , , · · · , donde a es un n ´umero menor que x y desempe ˜naun papel equivalente a un l´ımite inferior. Entonces, si el l´ımite no restringido existe tambi´en existe el l´ımiterestringido y son iguales, la n -´esima derivada puede definirse entonces como (cid:32) ddx (cid:33) n f ≡ l´ım δ N x → δ N x ) n n (cid:88) k =0 ( − k (cid:32) nk (cid:33) f ( x − kδ N x ) . Ahora ya que (cid:0) nk (cid:1) = 0 si k > n cuando n es un entero, la ecuaci ´on anterior puede escribirse como16 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias (cid:32) ddx (cid:33) n f ≡ l´ım δ N x → δ N x ) n N − (cid:88) k =0 ( − k (cid:32) nk (cid:33) f ( x − kδ N x ) ≡ l´ım N →∞ (cid:16) x − aN (cid:17) n N − (cid:88) k =0 ( − k (cid:32) nk (cid:33) f (cid:18) x − k (cid:18) x − aN (cid:19)(cid:19) . (20)La ecuaci ´on (20) se tomara como (cid:32) ddx (cid:33) n f con el entendido de que el l´ımite indicado existe en el sentidousual, sin restricciones.Regresando nuestra atenci ´on a las derivadas e integrales, comenzamos con la definici ´on usual de una inte-gral como l´ımite de una suma de Riemann [2] a D − x f = (cid:90) xa f ( y ) dy, = l´ım δ N x → δ N x ( f ( x ) + f ( x − δ N x ) + f ( x − δ N x ) + · · · + f ( a + δ N x )) ≡ l´ım δ N x → δ N x N − (cid:88) k =0 f ( x − kδ N x ) , donde δ N x ≡ ( x − a ) N . La misma definici ´on sobre una integral doble da a D − x f = (cid:90) xa dx (cid:90) x a f ( x ) dx = l´ım δx → ( δ N x ) ( f ( x ) + 2 f ( x − δ N x ) + 3 f ( x − δ N x ) + · · · + N f ( a + δ N x )) ≡ ( δ N x ) N − (cid:88) k =0 ( k + 1) f ( x − kδ N x ) , tomando una iteraci ´on m´as para obtener una imagen m´as clara de la f ´ormula general a D − x f = (cid:90) xa dx (cid:90) x a dx (cid:90) x a f ( x ) dx = l´ım δx → ( δ N x ) (cid:32) f ( x ) + 3 f ( x − δ N x ) + 6 f ( x − δ N x ) + · · · + N ( N + 1)2 f ( a + δ N x ) (cid:33) ≡ l´ım δ N x → ( δ N x ) N − (cid:88) k =0 ( k + 1)( k + 2)2 f ( x − kδ N x ) . Se observa que los coeficientes son construidos de la forma (cid:0) k + n − k (cid:1) , donde n es el orden de la integral, ytodos los signos son positivos. Por lo tanto, a D − nx f ≡ l´ım δ N x → ( δ N x ) n N − (cid:88) k =0 (cid:32) k + n − k (cid:33) f ( x − kδ N x ) ≡ l´ım N →∞ (cid:18) x − aN (cid:19) n N − (cid:88) k =0 (cid:32) k + n − k (cid:33) f (cid:18) x − k (cid:18) x − aN (cid:19)(cid:19) . (21)Comparando los coeficientes de las ecuaciones (20) y (21)( − k (cid:32) nk (cid:33) = (cid:32) k − n − k (cid:33) = Γ ( k − n ) Γ ( k + 1) Γ ( − n ) , se puede construir una ecuaci ´on general que involucre tanto a la derivada como a la integral17 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias a D qx f ≡ l´ım N →∞ Γ ( − q ) 1 (cid:16) x − aN (cid:17) q N − (cid:88) k =0 Γ ( k − q ) Γ ( k + 1) f (cid:18) x − k (cid:18) x − aN (cid:19)(cid:19) , donde q es un entero de cualquiera signo. ffl er Una funci ´on que es de gran utilidad en la resoluci ´on de ecuaciones diferenciales fraccionarias es la funci ´onde Mittag-Le ffl er, esta funci ´on act ´ua de forma similar a como lo hace la funci ´on exponencial en la resoluci ´onde ecuaciones diferenciales ordinarias, esta funci ´on se define por E α,β ( t ) = ∞ (cid:88) k =0 t k Γ ( αk + β ) , α, β > , (22)Figura 3: Gr´afica de la funci ´on de Mittag-Le ffl er E α,β ( x ) para diferentes valores de α y β .para obtener la transformada de Laplace de la ecuaci ´on de Mittag-Le ffl er tomemos la funci ´on para elpar´ametro at α con a = cte. E α,β ( at α ) = ∞ (cid:88) k =0 ( at α ) k Γ ( αk + β )= ∞ (cid:88) k =0 a k t αk Γ ( αk + β ) , multiplicando por t β − la expresi ´on anterior se obtiene t β − E α,β ( at α ) = ∞ (cid:88) k =0 a k t β − t αk Γ ( αk + β )= ∞ (cid:88) k =0 a k t αk + β − Γ ( αk + β ) , NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias aplicando la transformada de Laplace y utilizando (62) L (cid:110) t β − E α,β ( at α ) (cid:111) = ∞ (cid:88) k =0 a k Γ ( αk + β ) L (cid:110) t αk + β − (cid:111) = ∞ (cid:88) k =0 a k Γ ( αk + β ) Γ ( αk + β ) s αk + β = ∞ (cid:88) k =0 a k s αk + β = s − β ∞ (cid:88) k =0 (cid:18) as α (cid:19) k = s − β − as α , por tanto L (cid:110) t β − E α,β ( at α ) (cid:111) = s α − β s α − a , (23)tomando β = 1 obtenemos la transformada de Laplace para la funci ´on de Mittag-Le ffl er de un par´ametro L { E α ( at α ) } = L ∞ (cid:88) k =0 ( at α ) k Γ ( αk + 1) = s α − s α − a , (24)analizando la derivada de la funci ´on de Mittag-Le ffl er de un par´ametro ddt E α ( at α ) = ddt ∞ (cid:88) k =0 a k t αk Γ ( αk + 1)= ∞ (cid:88) k =1 a k Γ ( αk + 1) ddt t αk = ∞ (cid:88) k =1 a k Γ ( αk + 1) Γ ( αk + 1) Γ ( αk ) t αk − = ∞ (cid:88) k =1 a k Γ ( αk ) t αk − = ∞ (cid:88) k =0 a k +1 Γ ( αk + α ) t αk + α − = at α − E α,α ( at α ) , entonces ddt E α ( αt α ) = at α − E α,α ( at α ) , (25)analizando la derivada de la funci ´on de Mittag-Le ffl er de un par´ametro19 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias ddt E α ( at α ) = ddt ∞ (cid:88) k =0 a k t αk Γ ( αk + 1)= ∞ (cid:88) k =1 a k Γ ( αk + 1) ddt t αk = ∞ (cid:88) k =1 a k Γ ( αk + 1) Γ ( αk + 1) Γ ( αk ) t αk − = ∞ (cid:88) k =1 a k Γ ( αk ) t αk − = ∞ (cid:88) k =0 a k +1 Γ ( αk + α ) t αk + α − = at α − E α,α ( at α ) , entonces ddt E α ( αt α ) = at α − E α,α ( at α ) , (26) Sea f ( x ) una funci ´on continua de x ∈ R , entonces se puede definir F ( x ) = (cid:90) xa f ( t ) dt, integrando la funci ´on F ( x ) se obtiene (cid:90) xa F ( t ) dt = (cid:90) xa (cid:32)(cid:90) ta f ( s ) ds (cid:33) dt, (27)realizando una integraci ´on por partes tomando u = F ( t ) → du = ddt F ( t ) dt = f ( t ) dt,dv = dt → v = t, entonces (cid:90) xa F ( t ) dt = vF ( t ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa − (cid:90) xa tf ( t ) dt = xF ( x ) − (cid:90) xa tf ( t ) dt = x (cid:90) xa f ( t ) dt − (cid:90) xa tf ( t ) dt = (cid:90) xa ( x − t ) f ( t ) dt por lo tanto la integral de (27) es (cid:90) xa F ( t ) dt = (cid:90) xa (cid:32)(cid:90) ta f ( s ) ds (cid:33) dt = (cid:90) xa ( x − t ) f ( t ) dt. (28)Definiendo ahora 20 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias G ( x ) = (cid:90) xa F ( t ) dt, integrando la funci ´on G ( x ) se obtiene (cid:90) xa G ( t ) dt = (cid:90) xa (cid:32)(cid:90) ta F ( s ) ds (cid:33) dt = (cid:90) xa (cid:32)(cid:90) ta (cid:32)(cid:90) sa f ( r ) dr (cid:33) ds (cid:33) dt, realizando una integraci ´on por partes tomando u = G ( t ) → du = ddt G ( t ) dt = F ( t ) dt,dv = dt → v = t, entonces (cid:90) xa G ( t ) dt = vG ( t ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa − (cid:90) xa tF ( t ) dt = xG ( x ) − (cid:90) xa tF ( t ) dt = x (cid:90) xa F ( t ) dt − (cid:90) xa tF ( t ) dt = (cid:90) xa ( x − t ) F ( t ) dt realizando una integraci ´on por partes tomando u = F ( t ) → du = ddt F ( t ) dt = f ( t ) dt,dv = ( x − t ) dt → v = − ( x − t ) , entonces (cid:90) xa G ( t ) dt = − ( x − t ) F ( t ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa − (cid:90) xa − ( x − t ) f ( t ) dt = 12 (cid:90) xa ( x − t ) f ( t ) dt, por lo tanto la integral de (28) es (cid:90) xa G ( t ) dt = (cid:90) xa (cid:32)(cid:90) ta F ( s ) ds (cid:33) dt = (cid:90) xa (cid:32)(cid:90) ta (cid:32)(cid:90) sa f ( r ) dr (cid:33) ds (cid:33) dt = 12 (cid:90) xa ( x − t ) f ( t ) dt (29)con el desarrollo anterior podemos deducir (cid:90) xa (cid:32)(cid:90) ta (cid:32)(cid:90) sa (cid:32)(cid:90) xa f ( n ) dn (cid:33) dr (cid:33) ds (cid:33) dt = 13 · (cid:90) xa ( x − t ) f ( t ) dt tomando como a I x el operador integral definido en el intervalo ( a, x ) podemos escribir a I x f ( x ) = (cid:90) xa (cid:32)(cid:90) ta (cid:32)(cid:90) sa (cid:32)(cid:90) xa f ( n ) dn (cid:33) dr (cid:33) ds (cid:33) dt = 13! (cid:90) xa ( x − t ) f ( t ) dt, lo que nos lleva a deducir una formula para la n -´esima integral de la funci ´on f ( x )21 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias a I nx f ( t ) = 1( n − (cid:90) xa ( x − t ) n − f ( t ) dt. (30)Procedemos a demostrar mediante el proceso de inducci ´on que la ecuaci ´on anterior se cumple para todo n ∈ N . Como los casos para n = 1 y n = 2 se obtuvieron durante la construcci ´on de (30) procedemos a suponerque la ecuaci ´on es valida para n = k con k ∈ N a I kx f ( t ) = 1( k − (cid:90) xa ( x − t ) k − f ( t ) dt, entonces aplicando nuevamente el operador integral y utilizando ´algebra de operadores obtenemos a I x (cid:16) a I kx f ( t ) (cid:17) = a I x (cid:16) a I k − x a I x f ( t ) (cid:17) = a I kx ( a I x f ( t ))= 1( k − (cid:90) xa ( x − t ) k − ( a I t f ( s )) dt, realizando una integraci ´on por partes tomando u = a I t f ( s ) → du = f ( t ) dt,dv = ( x − t ) k − dt → v = − ( x − t ) k k , entonces a I x (cid:16) a I kx f ( t ) (cid:17) = 1( k − (cid:90) xa ( x − t ) k − ( a I t f ( s )) dt = 1( k − (cid:34) − ( x − t ) k k a I t f ( s ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa − (cid:90) xa − ( x − t ) k k f ( t ) dt (cid:35) = 1 k ! (cid:90) xa ( x − t ) k f ( t ) dt = a I k +1 x f ( t ) , lo cual demuestra que la ecuaci ´on (30) es valida para todo n ∈ N . Tomando el hecho de que la funci ´onGamma esta relacionada con el factorial por la igualdad Γ ( n ) = ( n − a I nx f ( t ) = 1 Γ ( n ) (cid:90) xa ( x − t ) n − f ( t ) dt, n ∈ R \ ( Z − ∪ { } ) , como el rec´ıproco de la funci ´on Gamma, conocido como el producto infinito de Weierstrass, es univaludoy finito para todo z ∈ C \ ( Z − ∪ { } ) [3], podemos reescribir la ecuaci ´on (30) como a I αx f ( t ) = 1 Γ ( α ) (cid:90) xa ( x − t ) α − f ( t ) dt, α ∈ C \ ( Z − ∪ { } ) , (31)por otro lado si se considera el intervalo ( x, b ) y se lleva a cabo el mismo desarrollo se obtiene x I αb f ( t ) = 1 Γ ( α ) (cid:90) bx ( t − x ) α − f ( t ) dt, α ∈ C \ ( Z − ∪ { } ) . (32) Comencemos por analizar el comportamiento de las funciones trigonom´etricas seno y coseno para las deri-vadas e integrales de orden entero, para eso primero hay que notar como est´an relacionadas dichas funciones22
NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias sin (cid:18) x ± n π (cid:19) = sin ( x ) cos (cid:18) n π (cid:19) ± sin (cid:18) n π (cid:19) cos ( x ) , cos (cid:18) x ± n π (cid:19) = cos ( x ) cos (cid:18) n π (cid:19) ∓ sin ( x ) sin (cid:18) n π (cid:19) , sin perdida de generalidad tomemos la funci ´on seno y obtengamos sus primeras derivadas (cid:32) ddx (cid:33) sin ( x ) = cos ( x ) = sin (cid:18) x + 12 π (cid:19) , (cid:32) ddx (cid:33) sin ( x ) = − sin ( x ) = sin ( x + π ) , (cid:32) ddx (cid:33) sin ( x ) = − cos ( x ) = sin (cid:18) x + 32 π (cid:19) , (cid:32) ddx (cid:33) sin ( x ) = sin ( x ) = sin ( x + 2 π ) , Figura 4: Comportamiento de la funci ´on Seno para las derivadas enteras (cid:16) ddx (cid:17) n sin( x ) con n = 0 , , , , (cid:90) sin ( x ) dx = − cos ( x ) + a = sin (cid:18) x − π (cid:19) + a , (cid:32)(cid:90) (cid:33) sin ( x ) d x = − sin ( x ) + (cid:88) k =0 a k x k = sin ( x − π ) + (cid:88) k =0 a k x k , (cid:32)(cid:90) (cid:33) sin ( x ) d x = cos ( x ) + (cid:88) k =0 a k x k = sin (cid:18) x − π (cid:19) + (cid:88) k =0 a k x k , (cid:32)(cid:90) (cid:33) sin ( x ) d x = sin ( x ) + (cid:88) k =0 a k x k = sin ( x − π ) + (cid:88) k =0 a k x k , se puede deducir entonces las formula para la n -´esima derivada y la n -´esima integral de la funci ´on seno23 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias (cid:32) ddx (cid:33) n sin ( x ) = sin (cid:18) x + n π (cid:19) , (cid:32)(cid:90) (cid:33) n sin ( x ) d n x = sin (cid:18) x − n π (cid:19) + n − (cid:88) k =0 a k x k , de las ecuaciones anteriores obtenemos que el operador derivada induce un corrimiento hacia la derechapara la funci ´on seno mientas que el operador integral induce un corrimiento hacia la izquierda, considerandoque la derivada es el operador inverso por la izquierda de la integral podemos definir (cid:32) ddx (cid:33) n (cid:32)(cid:90) (cid:33) n f ( x ) d n x = D n I n f ( x )= I − n I n f ( x )= D n D − n f ( x )= f ( x ) , de lo anterior se puede escribir a I αx f ( t ) = a D − αx f ( t )= D na I nx a I αx f ( t ) = D na I n + αx f ( t )= 1 Γ ( n + α ) (cid:32) ddx (cid:33) n (cid:90) xa ( x − t ) n + α − f ( t ) dt (33)aunque en general la integral no es un operador por la izquierda de la derivada ( t ´omese por ejemplo unpolinomio de grado k < n ), para las funciones en las cuales se satisface I n D n f ( x ) = f ( x ) podemos escribir a I αx f ( t ) = a D − αx f ( t )= a I αx a I nx D n f ( t ) = a I n + αx D n f ( t )= 1 Γ ( n + α ) (cid:90) xa ( x − t ) n + α − (cid:32) ddt (cid:33) n f ( t ) dt, (34)por ultimo se puede restringir el valor de n utilizando la funci ´on piso, finalmente tomando n = (cid:98) α (cid:99) + 1 ybajo el s´ımbolo del operador derivada las ecuaciones (33) y (34) se pueden reescribir como a D αx f ( t ) = 1 Γ ( n − α ) (cid:32) ddx (cid:33) n (cid:90) xa ( x − t ) n − α − f ( t ) dt, (35) Ca D αx f ( t ) = 1 Γ ( n − α ) (cid:90) xa ( x − t ) n − α − (cid:32) ddt (cid:33) n f ( t ) dt, (36)las ecuaciones anteriores se conocen como derivada fraccionarias de Riemann-Liouville y derivada fraccio-naria de Caputo respectivamente.Tomando α ∈ (0 ,
1) y f ( x ) = x , se obtiene para la ecuaci ´on (35) a D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:90) xa ( x − t ) − α tdt, realizando una integraci ´on por partes tomando u = t → du = dt,dv = ( x − t ) − α dt → v = − − α ( x − t ) − α , entonces 24 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias a D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:90) xa ( x − t ) − α tdt = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:34) − − α t ( x − t ) − α (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa + 11 − α (cid:90) xa ( x − t ) − α dt (cid:35) = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:20) − α a ( x − a ) − α − − α − α ( x − t ) − α (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa (cid:21) = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:34) − α a ( x − a ) − α + 1(1 − α )(2 − α ) ( x − a ) − α (cid:35) = 1 Γ (1 − α ) (cid:20) a ( x − a ) − α + 11 − α ( x − a ) − α (cid:21) = 1 Γ (1 − α ) (1 − α ) ( x − a ) − α [ a (1 − α ) + ( x − a )]= 1 Γ (2 − α ) ( x − a ) − α ( x − αa ) , mientras que para la ecuaci ´on (36) se obtiene Ca D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α ddt tdt = 1 Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α dt = − Γ (1 − α ) 11 − α ( x − t ) − α (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa = 1 Γ (2 − α ) ( x − a ) − α , tomando el intervalo (0 , x ) se obtiene D αx f ( t ) = C D αx f ( t ) = 1 Γ (2 − α ) x − α . Ahora obtengamos un resultado un poco mas general, tomando α ∈ (0 ,
1) y f ( x ) = ( x − c ) m , se obtiene parala ecuaci ´on (35) a D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:90) xa ( x − t ) − α ( t − c ) m dt, tomando el cambio de variable t = c + ( x − c ) u a D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:90) a − c x − c (( x − c ) − ( x − c ) u ) − α (( x − c ) u ) m ( x − c ) du = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:90) (1 − u ) − α u m du − (cid:90) a − c x − c (1 − u ) − α u m du ( x − c ) m − α +1 = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:40)(cid:34) B (1 − α, m + 1) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, m + 1 (cid:33)(cid:35) ( x − c ) m − α +1 (cid:41) = 1 Γ (1 − α ) B (1 − α, m + 1) ddx − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, m + 1 (cid:33) B (1 − α, m + 1) ( x − c ) m − α +1 = Γ ( m + 1) Γ ( m − α + 2) ddx − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, m + 1 (cid:33) B (1 − α, m + 1) ( x − c ) m − α +1 , NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Figura 5: Derivada fraccionaria de Riemann-Liouville de la funci ´on identidad en el intervalo (1 , x ) para valoresde α ∈ [0 , , x ) para valores de α ∈ [0 , a D αx ( x − c ) m = Γ ( m + 1)( m − α + 1) Γ ( m − α + 1) ddx − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, m + 1 (cid:33) B (1 − α, m + 1) ( x − c ) m − α +1 , (37)mientras que para la ecuaci ´on (36) se obtiene 26 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Figura 7: Derivada fraccionaria de la funci ´on identidad en el intervalo (0 , x ) para valores de α ∈ [0 , Ca D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α ddt ( t − c ) m dt = 1 Γ (1 − α ) Γ ( m + 1) Γ ( m ) (cid:90) xa ( x − t ) − α ( t − c ) m − dt, tomando el cambio de variable t = c + ( x − c ) u Ca D αx f ( t ) = Γ ( m + 1) Γ (1 − α ) Γ ( m ) (cid:90) a − c x − c (( x − c ) − ( x − c ) u ) − α (( x − c ) u ) m − ( x − c ) du = Γ ( m + 1) Γ (1 − α ) Γ ( m ) (cid:90) (1 − u ) − α u m − du − (cid:90) a − c x − c (1 − u ) − α u m − du ( x − c ) m − α = Γ ( m + 1) Γ (1 − α ) Γ ( m ) (cid:34) B (1 − α, m ) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, m (cid:33)(cid:35) ( x − c ) m − α = Γ ( m + 1) Γ (1 − α ) Γ ( m ) B (1 − α, m ) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, m (cid:33) B (1 − α, m ) ( x − c ) m − α , entonces Ca D αx ( x − c ) m = Γ ( m + 1) Γ ( m − α + 1) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, m (cid:33) B (1 − α, m ) ( x − c ) m − α , (38)tomando c = a se obtiene a D αx ( x − a ) m = Ca D αx ( x − a ) m = Γ ( m + 1) Γ ( m − α + 1) ( x − a ) m − α . (39)27 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Figura 8: Derivada fraccionaria de la funci ´on x en el intervalo (0 , x ) para valores de α ∈ [0 , x en el intervalo (0 , x ) para valores de α ∈ [0 , α ∈ (0 ,
1) y f ( x ) = sin ( c ( x − c )), se obtiene para la ecuaci ´on (35) a D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:90) xa ( x − t ) − α sin ( c ( t − c )) dt = 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:90) xa ( x − t ) − α ∞ (cid:88) k =0 ( − k (2 k + 1)! ( c ( t − c )) k +1 dt = 1 Γ (1 − α ) ddx ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 2) c k +1 (cid:90) xa ( x − t ) − α ( t − c ) k +1 dt , tomando el cambio de variable t = c + ( x − c ) u NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias a D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) ddx ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 2) c k +1 (cid:90) a − c x − c (( x − c ) − ( x − c ) u ) − α (( x − c ) u ) k +1 ( x − c ) du = ddx ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (1 − α ) Γ (2 k + 2) (cid:90) (1 − u ) − α u k +1 du − (cid:90) a − c x − c (1 − u ) − α u k +1 du c k +1 ( x − c ) k − α +2 = ddx ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (1 − α ) Γ (2 k + 2) (cid:34) B (1 − α, k + 2) − B (cid:32) a − c x − c , − α, k + 2 (cid:33)(cid:35) c k +1 ( x − c ) k +2 − α = ddx ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (1 − α ) Γ (2 k + 2) B (1 − α, k + 2) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 2 (cid:33) B (1 − α, k + 2) c k +1 ( x − c ) k +2 − α entonces a D αx sin ( c ( x − c )) = ddx ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 3 − α ) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 2 (cid:33) B (1 − α, k + 2) c k +1 ( x − c ) k +2 − α , (40)tomado c = a en la expresi ´on anterior se obtiene a D αx sin ( c ( x − a )) = ddx ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 3 − α ) c k +1 ( x − a ) k +2 − α = c ddx ( x − a ) − α ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 3 − α ) c k ( x − a ) k = c ddx (cid:110) ( x − a ) − α E , − α (cid:16) − c ( x − a ) (cid:17)(cid:111) , (41)mientras que para la ecuaci ´on (36) se obtiene Ca D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α ddt sin ( c ( t − c )) dt = c Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α cos ( c ( t − c )) dt = c Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α ∞ (cid:88) k =0 ( − k (2 k )! ( c ( t − c )) k dt = c Γ (1 − α ) ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 1) c k (cid:90) xa ( x − t ) − α ( t − c ) k dt, tomando el cambio de variable t = c + ( x − c ) u Ca D αx f ( t ) = c Γ (1 − α ) ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 1) c k (cid:90) a − c x − c (( x − c ) − ( x − c ) u ) − α (( x − c ) u ) k ( x − c ) du = c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (1 − α ) Γ (2 k + 1) (cid:90) (1 − u ) − α u k du − (cid:90) a − c x − c (1 − u ) − α u k du c k ( x − c ) k − α +1 = c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (1 − α ) Γ (2 k + 1) (cid:34) B (1 − α, k + 1) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 1 (cid:33)(cid:35) c k ( x − c ) k − α +1 = c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (1 − α ) Γ (2 k + 1) B (1 − α, k + 1) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 1 (cid:33) B (1 − α, k + 1) c k ( x − c ) k +1 − α , NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Figura 10: Derivada fraccionaria de Riemann-Liouville de la funci ´on sin ( x ) en el intervalo (0 , x ) para valoresde α ∈ [0 , Ca D αx sin ( c ( x − c )) = c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 2 − α ) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 1 (cid:33) B (1 − α, k + 1) c k ( x − c ) k +1 − α . (42)tomado c = a en la expresi ´on anterior se obtiene Ca D αx sin ( c ( x − a )) = c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 2 − α ) c k ( x − a ) k +1 − α = c ( x − a ) − α ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 2 − α ) c k ( x − a ) k = c ( x − a ) − α E , − α (cid:16) − c ( x − a ) (cid:17) . (43)Tomando α ∈ (0 ,
1) y f ( x ) = cos ( c ( x − c )), se obtiene para la ecuaci ´on (36) Ca D αx f ( t ) = 1 Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α ddt cos ( c ( t − c )) dt = − c Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α sin ( c ( t − c )) dt = − c Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α ∞ (cid:88) k =0 ( − k (2 k + 1)! ( c ( t − c )) k +1 dt = − c Γ (1 − α ) ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 2) c k +1 (cid:90) xa ( x − t ) − α ( t − c ) k +1 dt, tomando el cambio de variable t = c + ( x − c ) u NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Figura 11: Derivada fraccionaria de Caputo de la funci ´on sin ( x ) en el intervalo (0 , x ) para valores de α ∈ [0 , Ca D αx f ( t ) = − c Γ (1 − α ) ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 2) c k +1 (cid:90) a − c x − c (( x − c ) − ( x − c ) u ) − α (( x − c ) u ) k +1 ( x − c ) du = − c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (1 − α ) Γ (2 k + 2) (cid:90) (1 − u ) − α u k +1 du − (cid:90) a − c x − c (1 − u ) − α u k +1 du c k +1 ( x − c ) k − α +2 = − c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (1 − α ) Γ (2 k + 2) (cid:34) B (1 − α, k + 2) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 2 (cid:33)(cid:35) c k +1 ( x − c ) k − α +2 = − c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (1 − α ) Γ (2 k + 2) B (1 − α, k + 2) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 2 (cid:33) B (1 − α, k + 2) c k +1 ( x − c ) k +2 − α , entonces Ca D αx cos ( c ( x − c )) = − c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 3 − α ) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 2 (cid:33) B (1 − α, k + 2) c k +1 ( x − c ) k +2 − α . (44)tomado c = a en la expresi ´on anterior se obtiene Ca D αx cos ( c ( x − a )) = − c ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 3 − α ) c k +1 ( x − a ) k +2 − α = − c ( x − a ) − α ∞ (cid:88) k =0 ( − k Γ (2 k + 3 − α ) c k ( x − a ) k = − c ( x − a ) − α E , − α (cid:16) − c ( x − a ) (cid:17) . (45) Para funciones suaves de una variable, el teorema de Taylor nos garantiza que31
NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias f ( x ) = m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) k ! ( x − c ) k + R m ( x, c ) , (46)donde R m ( x, c ) es el residuo R m ( x, c ) = (cid:90) xc ( x − t ) m m ! f ( m +1) ( t ) dt = 1 Γ ( m + 1) (cid:90) xc ( x − t ) m (cid:32) ddt (cid:33) m +1 f ( t ) dt = c I m +1 x D m +1 f ( t ) , (47)entonces f ( x ) = m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) k ! ( x − c ) k + c I m +1 x D m +1 f ( t ) , (48)para x pr ´oximo a c , el erro R n ( x, c ) es peque ˜no.Tomando la derivada fraccionara de Riemann-Liouville de orden α , con α ∈ (0 , a, x ) obtenemos a D αx f ( t ) = a D αx m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) k ! ( t − c ) k + a D αx c I m +1 x D m +1 f ( t )= 1 Γ (1 − α ) ddx (cid:90) xa ( x − t ) − α m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) k ! ( t − c ) k dt + D a I − αx c I m +1 x D m +1 f ( t )= ddx m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) Γ (1 − α ) Γ ( k + 1) (cid:90) xa ( x − t ) − α ( t − c ) k dt + D a I − αx c I m +1 x D m +1 f ( t ) , tomando el cambio de variable t = c + ( x − c ) u en la integral de la suma a D αx f ( t ) = ddx m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) Γ (1 − α ) Γ ( k + 1) (cid:90) a − c x − c (( x − c ) − ( x − c ) u ) − α (( x − c ) u ) k ( x − c ) du + D a I − αx c I m +1 x D m +1 f ( t )= ddx m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) Γ (1 − α ) Γ ( k + 1) (cid:90) (1 − u ) − α u k du − (cid:90) a − c x − c (1 − u ) − α u k du ( x − c ) k − α +1 + D a I − αx c I m +1 x D m +1 f ( t )= ddx m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) Γ (1 − α ) Γ ( k + 1) (cid:34) B (1 − α, k + 1) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 1 (cid:33)(cid:35) ( x − c ) k − α +1 + D a I − αx c I m +1 x D m +1 f ( t )= ddx m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) Γ (1 − α ) Γ ( k + 1) B (1 − α, k + 1) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 1 (cid:33) B (1 − α, k + 1) ( x − c ) k − α +1 + D a I − αx c I m +1 x D m +1 f ( t ) , entonces a D αx f ( t ) = ddx m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) Γ ( k − α + 2) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 1 (cid:33) B (1 − α, k + 1) ( x − c ) k − α +1 + D a I − αx c I m +1 x D m +1 f ( t ) , (49)tomando c = a en la expresi ´on anterior y la propiedad de semigrupo de la integral iterada32 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias a D αx f ( t ) = ddx m (cid:88) k =0 f ( k ) ( a ) Γ ( k − α + 2) ( x − a ) k − α +1 + D a I m − α +2 x D m +1 f ( t ) , (50)tomando el caso en que la funci ´on se expande en serie alrededor de c = a , tal que cuando m → ∞ entonces R m ( x, a ) → a D αx f ( t ) = ddx ∞ (cid:88) k =0 f ( k ) ( a ) Γ ( k − α + 2) ( x − a ) k − α +1 , (51)Tomando la derivada fraccionara de Caputo de orden α , con α ∈ (0 , a, x ) obtenemos Ca D αx f ( t ) = Ca D αx m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) k ! ( t − c ) k + Ca D αx c I m +1 x D m +1 f ( t )= 1 Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α ddt m (cid:88) k =0 f ( k ) ( c ) k ! ( t − c ) k dt + a I − αx D c I m +1 x D m +1 f ( t )= m (cid:88) k =1 f ( k ) ( c ) Γ (1 − α ) ( k − (cid:34)(cid:90) xa ( x − t ) − α ( t − c ) k − dt (cid:35) + a I − αx c I mx D m +1 f ( t ) , tomando el cambio de variable t = c + ( x − c ) u en la integral de la suma Ca D αx f ( t ) = m − (cid:88) k =0 f ( k +1) ( c ) Γ (1 − α ) Γ ( k + 1) (cid:90) a − c x − c (( x − c ) − ( x − c ) u ) − α (( x − c ) u ) k ( x − c ) du + a I − αx c I mx D m +1 f ( t )= m − (cid:88) k =0 f ( k +1) ( c ) Γ (1 − α ) Γ ( k + 1) (cid:90) (1 − u ) − α u k du − (cid:90) a − c x − c (1 − u ) − α u k du ( x − c ) k − α +1 + a I − αx c I mx D m +1 f ( t )= m − (cid:88) k =0 f ( k +1) ( c ) Γ (1 − α ) Γ ( k + 1) (cid:34) B (1 − α, k + 1) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 1 (cid:33)(cid:35) ( x − c ) k − α +1 + a I − αx c I mx D m +1 f ( t )= m − (cid:88) k =0 f ( k +1) ( c ) Γ (1 − α ) Γ ( k + 1) B (1 − α, k + 1) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 1 (cid:33) B (1 − α, k + 1) ( x − c ) k − α +1 + a I − αx c I mx D m +1 f ( t ) , entonces Ca D αx f ( t ) = m − (cid:88) k =0 f ( k +1) ( c ) Γ ( k − α + 2) − B (cid:32) a − c x − c ; 1 − α, k + 1 (cid:33) B (1 − α, k + 1) ( x − c ) k − α +1 + a I − αx c I mx D m +1 f ( t ) , (52)tomando c = a en la expresi ´on anterior y la propiedad de semigrupo de la integral iterada Ca D αx f ( t ) = m − (cid:88) k =0 f ( k +1) ( a ) Γ ( k − α + 2) ( x − a ) k − α +1 + a I m − α +1 x D m +1 f ( t ) , (53)tomando el caso en que la funci ´on se expande en serie alrededor de c = a , tal que cuando m → ∞ entonces R m ( x, a ) → Ca D αx f ( t ) = ∞ (cid:88) k =0 f ( k +1) ( a ) Γ ( k − α + 2) ( x − a ) k − α +1 . (54)33 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Para una funci ´on F ( t ) definida para t >
0, la transformada de Laplace de F ( t ) se define como L{ F ( t ) } = f ( s ) = (cid:90) ∞ exp ( − st ) F ( t ) dt, tomando la derivada de F ( t ) y aplicando la transformada de Laplace se obtiene L (cid:40) ddt F ( t ) (cid:41) = (cid:90) ∞ exp ( − st ) ddt F ( t ) dt, integrando por partes tomando u = exp ( − st ) → du = − s exp ( − st ) dt,dv = ddt F ( t ) dt → v = F ( t ) , entonces L (cid:40) ddt F ( t ) (cid:41) = exp ( − st ) F ( t ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ∞ − (cid:90) ∞ − s exp ( − st ) F ( t ) dt = s (cid:90) ∞ exp ( − st ) F ( t ) dt − F (0)= s L { F ( t ) } − F (0) , por lo tanto L (cid:40) ddt F ( t ) (cid:41) = s L { F ( t ) } − F (0) , (55)tomando la segunda derivada de F ( t ), aplicando la transformada de Laplace y ocupando (55) se obtiene L (cid:32) ddt (cid:33) F ( t ) = s L (cid:40) ddt F ( t ) (cid:41) − ddt F (0)= s [ s L { F ( t ) } − F (0)] − ddt F (0)= s L { F ( t ) } − sF (0) − ddt F (0)= s L { F ( t ) } − (cid:88) k =0 s − k (cid:32) ddt (cid:33) k F (0)= s L { F ( t ) } − (cid:88) k =0 s k (cid:32) ddt (cid:33) − k F (0) , tomando la tercera derivada de F ( t ), aplicando la transformada de Laplace y ocupando (55) se obtiene34 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias L (cid:32) ddt (cid:33) F ( t ) = s L (cid:32) ddt (cid:33) F ( t ) − (cid:32) ddt (cid:33) F (0)= s (cid:34) s L (cid:40) ddt F ( t ) (cid:41) − ddt F (0) (cid:35) − (cid:32) ddt (cid:33) F (0)= s L (cid:40) ddt F ( t ) (cid:41) − s ddt F (0) − (cid:32) ddt (cid:33) F (0)= s [ s L { F ( t ) } − F (0)] − s ddt F (0) − (cid:32) ddt (cid:33) F (0)= s L { F ( t ) } − s F (0) − s ddt F (0) − (cid:32) ddt (cid:33) F (0)= s L { F ( t ) } − (cid:88) k =0 s − k (cid:32) ddt (cid:33) k F (0)= s L { F ( t ) } − (cid:88) k =0 s k (cid:32) ddt (cid:33) − k F (0) , de los pasos anteriores podemos intuir una formula para la transformada de Laplace de la derivada n -´esimade la funci ´on F ( t ) L (cid:40)(cid:32) ddt (cid:33) n F ( t ) (cid:41) = s n L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s ( n − − k (cid:32) ddt (cid:33) k F (0)= s n L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s k (cid:32) ddt (cid:33) ( n − − k F (0) , (56)procedemos a demostrar la ecuaci ´on (56) por inducci ´on, los casos para n = 1 y n = 2 se obtuvieron durantela construcci ´on, supongamos que la formula es valida para n = k (con k < n ), sea n = k + 1 y ocupando laecuaci ´on (55) se obtiene L (cid:32) ddt (cid:33) k +1 F ( t ) = s L (cid:32) ddt (cid:33) k F ( t ) − (cid:32) ddt (cid:33) k F (0) , ocupando la hip ´otesis de inducci ´on se obtiene L (cid:32) ddt (cid:33) k +1 F ( t ) = s s k L { F ( t ) } − k − (cid:88) m =0 s ( k − − m (cid:32) ddt (cid:33) m F (0) − (cid:32) ddt (cid:33) k F (0)= s k +1 L { F ( t ) } − k − (cid:88) m =0 s k − m (cid:32) ddt (cid:33) m F (0) − (cid:32) ddt (cid:33) k F (0)= s k +1 L { F ( t ) } − k (cid:88) m =0 s k − m (cid:32) ddt (cid:33) m F (0)= s k +1 L { F ( t ) } − k (cid:88) m =0 s m (cid:32) ddt (cid:33) k − m F (0) , con lo cual se demuestra la validez de la ecuaci ´on (56) para todo n ∈ N .Analicemos ahora el comportamiento de la transformada de Laplace para la integral de F ( t ) en el intervalo( a, t ), sea G ( t ) = (cid:90) ta F ( u ) du, NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias ocupando (55) se obtiene L (cid:40) ddt G ( t ) (cid:41) = s L { G ( t ) } − G (0) , entonces L (cid:40)(cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) = 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + 1 s (cid:90) ta F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 , (57)aplicando la ecuaci ´on (57) a la ecuaci ´on (30) para n = 2 obtenemos la transformada de Laplace para 2-´esimaintegral de una funci ´on F ( t ) L (cid:110) a I t F ( u ) (cid:111) = L (cid:40) − (cid:90) ta ( t − u ) − F ( u ) du (cid:41) = L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) = 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) + 1 s (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 = 1 s L (cid:90) ta ∂∂t ( t − u ) F ( u ) du + (cid:34) ( t − u ) F ( u ) ddt u (cid:35)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ta + 1 s (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 = 1 s L (cid:40)(cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + 1 s (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 = 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + 1 s (cid:90) ta F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 + 1 s (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 = 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =0 s − k (cid:90) ta ( t − u ) k F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 = 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =1 s k (cid:90) ta ( t − u ) − k F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 , aplicando la ecuaci ´on (57) a la ecuaci ´on (30) para n = 3 obtenemos la transformada de Laplace para 3-´esimaintegral de una funci ´on F ( t ) 36 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias L (cid:110) a I t F ( u ) (cid:111) = L (cid:40) − (cid:90) ta ( t − u ) − F ( u ) du (cid:41) = 12! L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) = 12! (cid:34) s L (cid:40) ddt (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) + 1 s (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 (cid:35) = 12! s L (cid:90) ta ∂∂t ( t − u ) F ( u ) du + (cid:34) ( t − u ) F ( u ) ddt u (cid:35)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ta + 12! s (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 = 12! s L (cid:40)(cid:90) ta t − u ) F ( u ) du (cid:41) + 1 s a I t F (0)= 1 s L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) + 1 s a I t F (0)= 1 s L (cid:110) a I t F ( u ) (cid:111) + 1 s a I t F (0)= 1 s s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =0 s − k (cid:90) a ( t − u ) k F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 + 1 s a I t F (0)= 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =0 s − k a I k +1 t F (0) + 1 s a I t F (0)= 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =0 s − k a I k +1 t F (0)= 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =1 s k a I − kt F (0) , aplicando la ecuaci ´on (57) a la ecuaci ´on (30) para n = 4 obtenemos la transformada de Laplace para 4-´esimaintegral de una funci ´on F ( t ) 37 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias L (cid:110) a I t F ( u ) (cid:111) = L (cid:40) − (cid:90) ta ( t − u ) − F ( u ) du (cid:41) = 13! L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) = 13! (cid:34) s L (cid:40) ddt (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) + 1 s (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 (cid:35) = 13! s L (cid:90) ta ∂∂t ( t − u ) F ( u ) du + (cid:34) ( t − u ) F ( u ) ddt u (cid:35)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ta + 13! s (cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 = 13! s L (cid:40)(cid:90) ta t − u ) F ( u ) du (cid:41) + 1 s a I t F (0)= 12! s L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) + 1 s a I t F (0)= 1 s (cid:34) L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) F ( u ) du (cid:41)(cid:35) + 1 s a I t F (0)= 1 s L (cid:110) a I t F ( u ) (cid:111) + 1 s a I t F (0)= 1 s s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =0 s − k a I k +1 t F (0) + 1 s a I t F (0)= 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =0 s − k a I k +1 t F (0) + 1 s a I t F (0)= 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =0 s − k a I k +1 t F (0)= 1 s L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:88) k =1 s k a I − kt F (0) , del procedimiento anterior se puede deducir una formula para la transformada de Laplace de la n -´esimaintegral de F ( t ) L { a I nt F ( u ) } = 1( n − L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) n − F ( u ) du (cid:41) = 1 s n L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + n − (cid:88) k =0 s n − k a I k +1 t F (0)= 1 s n L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + n (cid:88) k =1 s k a I ( n +1) − kt F (0) , (58)procedemos a demostrar la ecuaci ´on (58) por medio de el proceso de inducci ´on, los casos para n = 1 y n = 2se obtuvieron durante la construcci ´on de la formula anterior, suponemos que la formula es cierta para n = k (con k < n ), sea n = k + 1, entonces 38 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias L (cid:110) a I k +1 t F ( u ) (cid:111) = L (cid:40) k + 1) − (cid:90) ta ( t − u ) ( k +1) − F ( u ) du (cid:41) = 1 k ! L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) k F ( u ) du (cid:41) = 1 k ! (cid:34) s L (cid:40) ddt (cid:90) ta ( t − u ) k F ( u ) du (cid:41) + 1 s (cid:90) ta ( t − u ) k F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 (cid:35) = 1 k ! s L (cid:90) ta ∂∂t ( t − u ) k F ( u ) du + (cid:34) ( t − u ) k F ( u ) ddt u (cid:35)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ta + 1 k ! s (cid:90) ta ( t − u ) k F ( u ) du (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) t =0 = 1 k ! s L (cid:40)(cid:90) ta k ( t − u ) k − F ( u ) du (cid:41) + 1 s a I k +1 t F (0)= 1( k − s L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) k − F ( u ) du (cid:41) + 1 s a I k +1 t F (0)= 1 s (cid:34) k − L (cid:40)(cid:90) ta ( t − u ) k − F ( u ) du (cid:41)(cid:35) + 1 s a I k +1 t F (0)= 1 s L (cid:110) a I kt F ( u ) (cid:111) + 1 s a I k +1 t F (0)= 1 s s k L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + k − (cid:88) m =0 s k − m a I m +1 t F (0) + 1 s a I k +1 t F (0)= 1 s k +1 L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + k − (cid:88) m =0 s ( k +1) − m a I m +1 t F (0) + 1 s a I k +1 t F (0)= 1 s k +1 L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + k (cid:88) m =0 s ( k +1) − m a I m +1 t F (0)= 1 s k +1 L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + k +1 (cid:88) m =1 s m a I (( k +1)+1) − mt F (0) , con lo cual se demuestra la validez de la ecuaci ´on (58) para todo n ∈ N .Una vez obtenidas las formulas de las transformadas de Laplace de las derivadas e integrales n -´esimas pro-cedemos a calcular las transformadas de los operadores diferointegrables, comenzamos tomando la ecuaci ´on(35) a D αt F ( u ) = D na I n − αt F ( u )= 1 Γ ( n − α ) (cid:32) ddt (cid:33) n (cid:90) ta ( t − u ) n − α − F ( u ) du, aplicando la transformada de Laplace y utilizando la ecuaci ´on (56) se obtiene L { a D αt F ( u ) } = L { D na I n − αt F ( u ) } = s n L { a I n − αt F ( u ) } − n − (cid:88) k =0 s ( n − − k (cid:32) ddt (cid:33) k a I n − αt F (0)= s n L { a I n − αt F ( u ) } − n − (cid:88) k =0 s k (cid:32) ddt (cid:33) ( n − − k a I n − αt F (0) , utilizando la ecuaci ´on (58) y tomando la funci ´on techo en el extremo superior de la suma se obtiene39 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
L { a D αt F ( u ) } = s n L { a I n − αt F ( u ) } − n − (cid:88) k =0 s k (cid:32) ddt (cid:33) ( n − − k a I n − αt F (0)= s n s n − α L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:100) ( n − α ) − (cid:101) (cid:88) k =0 s ( n − α ) − k a I k +1 t F (0) − n − (cid:88) k =0 s k (cid:32) ddt (cid:33) ( n − − k a D α − nt F (0)= s n s n − α L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:100) n − α (cid:101) (cid:88) k =1 s k a I ( n − α +1) − kt F (0) − n − (cid:88) k =0 s ka D ( α − − kt F (0)= s α L (cid:40) ddt (cid:90) ta F ( u ) du (cid:41) + (cid:100) n − α (cid:101) (cid:88) k =1 s n − ka I ( n − α +1) − kt F (0) − n − (cid:88) k =0 s ka D ( α − − kt F (0)= s α L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s ka D ( α − − kt F (0) + (cid:100) n − α (cid:101) (cid:88) k =1 s n − ka I ( n − α +1) − kt F (0) , (59)tomando ahora la ecuaci ´on (36) Ca D αt F ( u ) = a I n − αt D n F ( u )= 1 Γ ( n − α ) (cid:90) ta ( t − u ) n − α − (cid:32) ddu (cid:33) n f ( u ) du, aplicando la transformada de Laplace y utilizando la ecuaci ´on (58) y tomando la funci ´on techo en el extre-mo superior de la suma se obtiene L (cid:110) Ca D αt F ( u ) (cid:111) = L { a I n − αt D n F ( u ) } = 1 s n − α L (cid:40) ddt (cid:90) ta D n F ( u ) du (cid:41) + (cid:100) ( n − α ) − (cid:101) (cid:88) k =0 s ( n − α ) − k a I k +1 t D n F (0)= 1 s n − α L (cid:40)(cid:32) ddt (cid:33) n F ( t ) (cid:41) + (cid:100) n − α (cid:101) (cid:88) k =1 s k a I ( n − α +1) − kt D n F (0) , utilizando la ecuaci ´on (56) en la expresi ´on anterior obtenemos L (cid:110) Ca D αt F ( u ) (cid:111) = 1 s n − α L (cid:40)(cid:32) ddt (cid:33) n F ( t ) (cid:41) + (cid:100) n − α (cid:101) (cid:88) k =1 s k a I ( n − α +1) − kt D n F (0)= 1 s n − α s n L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s ( n − − k (cid:32) ddt (cid:33) k F (0) + (cid:100) n − α (cid:101) (cid:88) k =1 s k a I (1 − α ) − kt F (0)= s α L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s ( α − − k (cid:32) ddt (cid:33) k F (0) + (cid:100) n − α (cid:101) (cid:88) k =1 s k a I (1 − α ) − kt F (0) , (60) A menudo al tratar de obtener la transformada de Laplace de una funci ´on G ( t ) se obtiene que la transfor-mada es el producto de las transformadas de dos funciones, enti´endase por L { G ( t ) } = L { F ( t ) } L { F ( t ) } , esto nos lleva a deducir que existe una relaci ´on entre la funci ´on G ( t ) y el producto de las funciones F ( t )y F ( t ), esta relaci ´on se da a trav´es de un producto generalizado conocido como convoluci ´on la cual se definepor 40 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias F ( t ) ∗ F ( t ) = (cid:90) t F ( t − u ) F ( u ) du, para comprobar que la ecuaci ´on (1.2.9) satisface lo pedido comencemos analizando el producto de lastransformadas de las funciones F ( t ) y F ( t ) L { F ( t ) } L { F ( t ) } = (cid:90) ∞ e − st F ( t ) dt (cid:90) ∞ e − st F ( t ) dt = (cid:90) ∞ e − sx F ( x ) dx (cid:90) ∞ e − sy F ( y ) dy = (cid:90) ∞ (cid:90) ∞ e − s ( x + y ) F ( x ) F ( y ) dxdy, tomando el cambio de variable u = y,t = x + y = x + u, entonces x > → t − u > → t > u,y > → u > , adem´as dxdy = ∂ ( x, y ) ∂ ( t, u ) dtdu = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ∂x∂t ∂y∂t∂x∂u ∂y∂u (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) dtdu = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) − (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) dtdu, = dtdu, lo que implica L { F ( t ) } L { F ( t ) } = (cid:90) ∞ (cid:90) ∞ e − s ( x + y ) F ( x ) F ( y ) dxdy = (cid:90) ∞ (cid:90) t e − st F ( t − u ) F ( u ) dtdu = (cid:90) ∞ e − st (cid:40)(cid:90) t F ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) dt = L (cid:40)(cid:90) t F ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) , entonces obtenemos que la transformada de Laplace de la convoluci ´on de dos funciones es el producto delas transformaciones de cada una de las funciones L { F ( t ) ∗ F ( t ) } = L (cid:40)(cid:90) t F ( t − u ) F ( u ) du (cid:41) = L { F ( t ) } L { F ( t ) } , (61)un resultado que nos sera de utilidad mas adelante es la transformada de Laplace de el monomio t n con n > NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
L { t n } = (cid:90) ∞ e − st t n dt = (cid:90) ∞ ( − n (cid:32) ∂∂s (cid:33) n e − st dt = ( − n (cid:32) ∂∂s (cid:33) n (cid:90) ∞ e − st dt = ( − n (cid:32) ∂∂s (cid:33) n s − = ( − n Γ (0) Γ ( − n ) s − − n = ( − n ( − n Γ ( n + 1) Γ (1) s − − n = Γ ( n + 1) s n +1 . (62)Una vez obtenida la transformada de Laplace de la convoluci ´on procedemos a calcular las transformadasde los operadores diferointegrables, comenzamos tomando la ecuaci ´on (35) en el intervalo (0 , t ) D αt F ( u ) = D n I n − αt F ( u )= 1 Γ ( n − α ) (cid:32) ddt (cid:33) n (cid:90) t ( t − u ) n − α − F ( u ) du, aplicando la transformada de Laplace y utilizando la ecuaci ´on (56) se obtiene L (cid:8) D αt F ( u ) (cid:9) = L (cid:8) D n I n − αt F ( u ) (cid:9) = s n L (cid:8) I n − αt F ( u ) (cid:9) − n − (cid:88) k =0 s ( n − − k (cid:32) ddt (cid:33) k I n − αt F (0)= s n L (cid:8) I n − αt F ( u ) (cid:9) − n − (cid:88) k =0 s k (cid:32) ddt (cid:33) ( n − − k I n − αt F (0) , utilizando la ecuaciones (61) y (62) se obtiene L (cid:8) D αt F ( u ) (cid:9) = s n L { a I n − αt F ( u ) } − n − (cid:88) k =0 s k (cid:32) ddt (cid:33) ( n − − k I n − αt F (0)= s n Γ ( n − α ) L (cid:40)(cid:90) t ( t − u ) n − α − F ( u ) du (cid:41) − n − (cid:88) k =0 s k (cid:32) ddt (cid:33) ( n − − k D α − nt F (0)= s n Γ ( n − α ) L (cid:110) t n − α − (cid:111) L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s k D ( α − − kt F (0)= s n Γ ( n − α ) Γ ( n − α ) s n − α L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s k D ( α − − kt F (0)= s α L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s k D ( α − − kt F (0) , (63)tomando ahora la ecuaci ´on (36) en el intervalo (0 , t ) C D αt F ( u ) = I n − αt D n F ( u )= 1 Γ ( n − α ) (cid:90) t ( t − u ) n − α − (cid:32) ddu (cid:33) n F ( u ) du, NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias aplicando la transformada de Laplace y utilizando la ecuaciones (61) y (62) se obtiene L (cid:110) C D αt F ( u ) (cid:111) = L (cid:40) Γ ( n − α ) (cid:90) t ( t − u ) n − α − (cid:32) ddu (cid:33) n F ( u ) du (cid:41) = 1 Γ ( n − α ) L (cid:40)(cid:90) t ( t − u ) n − α − (cid:32) ddu (cid:33) n F ( u ) du (cid:41) = 1 Γ ( n − α ) L (cid:110) t n − α − (cid:111) L (cid:40)(cid:32) ddt (cid:33) n F ( t ) (cid:41) = 1 Γ ( n − α ) Γ ( n − α ) s n − α L (cid:40)(cid:32) ddt (cid:33) n F ( t ) (cid:41) = 1 s n − α L (cid:40)(cid:32) ddt (cid:33) n F ( t ) (cid:41) , utilizando la ecuaci ´on (56) en la expresi ´on anterior obtenemos L (cid:110) C D αt F ( u ) (cid:111) = 1 s n − α L (cid:40)(cid:32) ddt (cid:33) n F ( t ) (cid:41) = 1 s n − α s n L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s ( n − − k (cid:32) ddt (cid:33) k F (0) = s α L { F ( t ) } − n − (cid:88) k =0 s ( α − − k (cid:32) ddt (cid:33) k F (0) . (64) T ´omese un cuerpo en ca´ıda libre en el cual suponemos que las ´unicas fuerzas a las que esta sometido son lagravedad y la resistencia del aire, procedemos a calcular la velocidad bajo la condici ´on v (0) = v , la aceleraci ´ona la que esta sometido el cuerpo es la gravedad y la resistencia del aire se expresa por − bv con b >
0, por lsegunda ley de Newton se obtiene F = m ddt v = mg − bv, tomando la derivada fraccionara de Caputo con a = 0 en la expresi ´on anterior y con 0 < α <
1, colocaremosun sub´ındice del lado izquierdo del s´ımbolo de la velocidad para dejar en claro la dependencia con el valor de α y dejar libre el lado derecho por si se consideran diferentes cuerpos m C D αt α v = mg − b α v, aplicando la transformada de Laplace y la ecuaci ´on (59) m L (cid:110) C D αt α v (cid:111) = L { mg − b α v } ms α L { α v } − ms α − v (0) = mg s − b L { α v } ( ms α + b ) L { α v } = mg s + mv s α − L { α v } = mg s ( ms α + b ) + mv s α − ( ms α + b )= g Γ ( α ) Γ ( α ) s α s α − (cid:16) s α + bm (cid:17) + v s α − (cid:16) s α + bm (cid:17) , ocupando las ecuaciones (62) y (24) as´ı como la convoluci ´on43 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
L { α v } = g Γ ( α ) Γ ( α ) s α s α − (cid:16) s α + bm (cid:17) + v s α − (cid:16) s α + bm (cid:17) = g Γ ( α ) L (cid:110) t α − (cid:111) L (cid:40) E α (cid:32) − bm t α (cid:33)(cid:41) + v L (cid:40) E α (cid:32) − bm t α (cid:33)(cid:41) = g Γ ( α ) L (cid:40) t α − ∗ E α (cid:32) − bm t α (cid:33)(cid:41) + v L (cid:40) E α (cid:32) − bm t α (cid:33)(cid:41) , aplicando la transformada inversa de Laplace a la ecuaci ´on anterior α v ( t ) = g Γ ( α ) t α − ∗ E α (cid:32) − bm t α (cid:33) + v E α (cid:32) − bm t α (cid:33) = g Γ ( α ) (cid:90) t ( t − u ) α − E α (cid:32) − bm u α (cid:33) du + v E α (cid:32) − bm t α (cid:33) = g Γ ( α ) (cid:90) t ( t − u ) α − ∞ (cid:88) k =0 Γ ( αk + 1) (cid:32) − bm u α (cid:33) k du + v E α (cid:32) − bm t α (cid:33) = g Γ ( α ) ∞ (cid:88) k =0 Γ ( αk + 1) (cid:32) − bm (cid:33) k t α − (cid:90) t (cid:18) − ut (cid:19) α − u αk du + v E α (cid:32) − bm t α (cid:33) , tomando el cambio de variable s = u/t α v ( t ) = g Γ ( α ) ∞ (cid:88) k =0 Γ ( αk + 1) (cid:32) − bm (cid:33) k t α − (cid:90) t (cid:18) − ut (cid:19) α − u αk du + v E α (cid:32) − bm t α (cid:33) = g ∞ (cid:88) k =0 Γ ( α ) Γ ( αk + 1) (cid:32) − bm (cid:33) k t αk + α (cid:90) (1 − s ) α − s αk ds + v E α (cid:32) − bm t α (cid:33) = g ∞ (cid:88) k =0 Γ ( α ) Γ ( αk + 1) (cid:32) − bm (cid:33) k B ( α, αk + 1) t αk + α + v E α (cid:32) − bm t α (cid:33) = gt α ∞ (cid:88) k =0 Γ ( αk + α + 1) (cid:32) − bm t α (cid:33) k + v E α (cid:32) − bm t α (cid:33) , entonces α v ( t ) = gt α E α,α +1 (cid:32) − bm t α (cid:33) + v E a (cid:32) − bm t α (cid:33) , (65)tomando α = 1 en la ecuaci ´on (65) v ( t ) = gtE , (cid:32) − bm t (cid:33) + v E (cid:32) − bm t (cid:33) = gt exp (cid:32) − bm t (cid:33) − − bm t + v exp (cid:32) − bm t (cid:33) = − mgb (cid:34) exp (cid:32) − bm t (cid:33) − (cid:35) + v exp (cid:32) − bm t (cid:33) = mgb + (cid:20) v − mgb (cid:21) exp (cid:32) − bm t (cid:33) , que corresponde a la soluci ´on para el caso cl´asico. 44 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Figura 12: Gr´afica de v ( t ), tomando m/b = 4 s, g = 9 . m/s , para 7 velocidades iniciales distintas. De la gr´aficapodemos apreciar que cuando v es mayor que la velocidad terminal el objeto reduce su velocidad, mientrasque para el caso en que v es menor que la velocidad terminal el objeto aumenta su velocidad. A continuaci ´on se consideraran algunos puntos de partida para comenzar el estudio del c´alculo fraccional.Se comienza con una generalizaci ´on de la integral iterada. Si f es una funci ´on integrable localmente en elintervalo ( a, ∞ ), la integral n -foleada esta dada por [4] a I nx f ( x ) := (cid:90) xa du (cid:90) u a du · · · (cid:90) u n − a f ( u n ) du n = 1( n − (cid:90) xa ( x − u ) n − f ( u ) du, tomando en cuenta que ( n − Γ ( n ), de manera natural se puede obtener una generalizaci ´on de la integralde f para un orden arbitrario α > a I αx f ( x ) = 1 Γ ( α ) (cid:90) xa ( x − u ) α − f ( u ) du, (derecha) , (66)de manera similar en el caso en que f sea una funci ´on integrable localmente en el intervalo ( −∞ , b ) se tiene x I αb f ( x ) = 1 Γ ( α ) (cid:90) bx ( u − x ) α − f ( u ) du, (izquierda) , (67)ambas formas est´an definidas para f . Cuando a = −∞ la ecuaci ´on (66) es equivalente a la definici ´on deLiouville, y cuando a = 0 se tiene la definici ´on de Riemann (sin la funci ´on complementaria). Generalmen-te se habla de a I αx f como la integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α de f . Por otra parte lasexpresiones x W α ∞ f ( x ) = x I α ∞ f ( x )= 1 Γ ( α ) (cid:90) ∞ x ( u − x ) α − f ( u ) du, NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias −∞ W αx f ( x ) = −∞ I αx f ( x )= 1 Γ ( α ) (cid:90) x −∞ ( x − u ) α − f ( u ) du, son conocidas como integrales fraccionarias de Weyl de orden α .Las integrales fraccionarias derecha e izquierda a I αx f ( x ) y x I αb f ( x ) est´an relacionadas por la igualdad deParseval (integraci ´on fraccionaria por partes) [4] que se da de forma conveniencia para los casos en que a = 0 y b = ∞ (cid:90) ∞ f ( x ) ( I αx g ) ( x ) dx = (cid:90) ∞ ( x W α ∞ f ) ( x ) g ( x ) dx. Las siguientes propiedades son validas para integrales fraccionarias derechas (para el caso de integralesfraccionarias izquierdas se presentan algunos cambios).Con respecto a la existencia de integrales fraccionarias para f ∈ L loc ( a, ∞ ). Si a > −∞ , la integral fraccionaria a I αx f ( x ) es finita en casi todas partes del intervalo ( a, ∞ ) y pertenece a L loc ( a, ∞ ). Si a = −∞ , se asume que f secomporta en −∞ de tal manera que la integral en la ecuaci ´on (67) es convergente bajo las mismas suposiciones,las integrales fraccionarias satisfacen la propiedad de semigrupo a I αx a I βx = a I α + βx , ( α, β > a I αx a I βx f ( x ) = 1 Γ ( α ) (cid:90) xa ( x − u ) α − (cid:34) Γ ( β ) (cid:90) ua ( u − t ) β − f ( t ) dt (cid:35) du = 1 Γ ( α ) Γ ( β ) (cid:90) xa f ( t ) dt (cid:90) ut ( x − u ) α − ( u − t ) β − du tomando el cambio de variable y = u − tx − t en la segunda integral de la derecha a I αx a I βx f ( x ) = 1 Γ ( α ) Γ ( β ) (cid:90) xa f ( t ) dt (cid:90) ut ( x − u ) α − ( u − t ) β − du = 1 Γ ( α ) Γ ( β ) (cid:90) xa ( x − t ) α + β − f ( t ) dt (cid:90) (1 − y ) α − y β − dy = 1 Γ ( α ) Γ ( β ) (cid:90) xa ( x − t ) α + β − f ( t ) dtB ( α, β )= 1 Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) (cid:90) xa ( x − t ) α + β − f ( t ) dt = 1 Γ ( α + β ) (cid:90) xa ( x − t ) α + β − f ( t ) dt, en particular, se tiene a I n + αx = a I nx a I αx f , ( n ∈ N , α > , lo que implica una diferenciaci ´on n -foleada para casi cualquier x (cid:32) ddx (cid:33) n a I n + αx f ( x ) = a I αx f ( x ) , ( n ∈ N , α > . Los resultados anteriores tambi´en son v´alidos para valores complejos α con Re ( α ) >
0. Entonces a I αx seraconsiderada como una funci ´on holomorfa de α con Re ( α ) > f lo suficientemente suave.46 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Para entender este hecho, se asume por conveniencia, que f es una funci ´on infinitamente diferenciabledefinida en R con soporte compacto contenido en [ a, ∞ ], si α > −∞ , f ( n ) ( a ) = 0 para n ∈ N ∪ { } . Entonces, paracualquier x > a la integral (66) es una funci ´on holomorfa en α para Re ( α ) >
0. Ahora, la integraci ´on por partes n -veces da como resultado a I αx f ( x ) = a I n + αx f ( n ) ( x ) , ( n ∈ N , Re ( α ) > . (68)Aplicando la propiedad de semigrupo a la expresi ´on de la derecha en la ecuaci ´on (68) y diferenciando elresultado n -veces con respecto a x , se obtiene (cid:32) ddx (cid:33) n a I αx f ( x ) = a I αx f ( n ) ( x ) , ( n ∈ N , Re ( α ) > , (69)mostrando que bajo las hip ´otesis asumidas las operaciones de integraci ´on de orden fraccionario α y dife-renciaci ´on de orden entero n conmutan.Regresando a la ecuaci ´on (68) nos damos cuenta de que su lado derecho es una funci ´on holomorfa de α en el dominio m´as amplio { α ∈ C , Re ( α ) > − n } . As´ı podemos extender anal´ıticamente a I αx f ( x ) en el dominio { α ∈ C , Re ( α ) ≤ } , definiendo para α ∈ C con Re ( α ) ≤ a I αx f ( x ) := a I n + αx f ( n ) ( x )= (cid:32) ddx (cid:33) n a I n + αx f ( x ) , (70)para cualquier entero n > − Re ( α ). En particular, se tiene que a I x f ( x ) = f ( x ) , a I − nx f ( x ) = f ( n ) ( x ) , ( n ∈ N ) . El m´etodo elegante de la extension anal´ıtica desarrollado por Riesz [4] se limita a una clase de funcionesbastante peque ˜na. Pero las expresiones que ocurren en la ecuaci ´on (70) son significativamente para clasesmucho m´as generales de funciones y esto da lugar a las siguientes definiciones de derivadas fraccionarias quese remontan a Liouville.Sea α ∈ C con Re ( α ) > (cid:98) Re ( α ) (cid:99) + 1, donde (cid:98) Re ( α ) (cid:99) representa la parte entera de Re ( α ). Entonces, laderivada fraccionaria de orden α esta definida por a D αx f ( x ) = (cid:32) ddx (cid:33) n a I n − αx f ( x ) , ( n = (cid:98) Re ( α ) (cid:99) + 1) , (71)para cualquier f ∈ L loc ( a, ∞ ).Se pueden unificar las definiciones sobre integrales y derivadas de orden arbitrario α, Re ( α ) (cid:44)
0, para n ∈ N , a D αx f ( x ) = Γ ( − α ) (cid:82) xa ( x − u ) − α − f ( u ) du, ( Re ( α ) < (cid:32) ddx (cid:33) n a I n − αx f ( x ) , ( Re ( α ) > , Re ( α ) ∈ ( n − , n ))esta expresi ´on suele ser conocida como diferointegral de f de orden α o tambi´en se conoce como integro-diferenciaci ´on fraccionaria de orden α .N ´otese que la derivada fraccionaria izquierda de orden α se define por x D αb f ( x ) = ( − n (cid:32) ddx (cid:33) n x I n − αb f ( x ) , con n = (cid:98) Re ( α ) (cid:99) + 1. La derivada fraccionaria de orden imaginario α = iθ, θ (cid:44)
0, se define como a D iθx f ( x ) = 1 Γ (1 − iθ ) ddx (cid:90) xa ( x − u ) − iθ f ( u ) du, NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias debido que la integral fraccionaria de la ecuaci ´on (66) diverge para α = iθ [4], la integral fraccionaria deorden α = iθ esta definida por a I iθx f ( x ) = ddx a I iθx f ( x )= 1 Γ (1 + iθ ) ddx (cid:90) xa ( x − u ) iθ f ( u ) du, la definici ´on de integro-diferenciaci ´on fraccionaria para α ∈ C se completa con la introducci ´on del operadoridentidad a D x f := a I x = f , los operadores fraccionarios tambien son lineales a D αx [ c f ( x ) + c f ( x )] = c a D αx f ( x ) + c a D αx f ( x ) , con c , c constantes.Con respecto a condiciones suficientes para la existencia de las derivadas fraccionarias del tipo de la ecua-ci ´on (71) y su relaci ´on con la ecuaci ´on (73), consid´erese el caso 0 < Re ( α ) <
1, con α > −∞ . Suponiendo que f es absolutamente continua en el intervalo finito [ a, b ], esto es f ∈ AC [ a, b ], significa que f es diferenciable casien todas partes en el intervalo ( a, b ) con f (1) ∈ L ( a, b ) y tiene la representaci ´on en [ a, b ] f ( x ) = (cid:90) xa f (1) ( u ) du + f ( a ) = a I x f (1) ( x ) + f ( a ) . Sustituyendo esta expresi ´on en a I − αx f(x) y notando que por la propiedad de semigrupo los operadores I − α y I conmutan, se obtiene a I − αx f ( x ) = a I x a I − αx f (1) ( x ) + 1 Γ (2 − α ) f ( a )( x − a ) − α . Al diferenciar con respecto a x se obtiene a D αx f ( x ) = ddx a I − αx f ( x )= a I − αx f (1) ( x ) + 1 Γ (1 − α ) f ( a )( x − a ) − α , (72)Lo que demuestra que, en general, los operadores a I − αx y ddx no conmutan.Por la desigualdad de H¨older [4] se deriva f´acilmente de la ecuaci ´on (72) que a D αx f ∈ L r ( a, b ) para 1 < r < Re ( α ) .La expresi ´on en la ecuaci ´on (72) puede extenderse a α con Re ( α ) ≥
1. Los resultados se resumen en lasiguiente proposici ´on. De antemano se introduce la siguiente notaci ´on: Para n ∈ N , AC n − [ a, b ] representa elconjunto de las funciones f que son ( n − a, b ] tal que f , f (1) , · · · , f ( n − son absoluta-mente continuas en [ a, b ]. Teniendo en cuenta que AC [ a, b ] es igual a AC [ a, b ] . Proposici ´on 1 a) Si f ∈ AC [ a, b ] esta dada en el intervalo finito [ a, b ] , entonces a D αx f y x D αb f existen para < Re ( α ) < .Adem´as, a D αx f ∈ L r para ≤ r < Re ( α ) con a D αx f ( x ) = 1 Γ (1 − α ) (cid:34) f ( a )( x − a ) α + (cid:90) xa ( x − u ) − α f (1) ( u ) du (cid:35) . NAM C´alculo Fraccional Facultad de Cienciasb) Si f ∈ AC n − [ a, b ] , n = (cid:98) Re ( α ) (cid:99) + 1 , entonces a D αx f existe para Re ( α ) ≥ y tiene la representaci´on a D αx f ( x ) = n − (cid:88) k =0 f ( k ) ( a ) Γ (1 + k − α ) ( x − a ) k − α + 1 Γ ( n − α ) (cid:90) xa ( x − u ) n − α − f ( n ) ( u ) du. Una forma alternativa de definir una derivada fraccionaria de orden α , tambi´en debido a Liouville, es a D αx f ( x ) := a I n − αx f ( n ) ( x ) , (73) con n = (cid:98) Re ( α ) (cid:99) + 1 , adem´as f tiene que ser n -veces diferenciable para que el lado derecho de la ecuaci´on (73) exista. Michele Caputo (1969) public ´o un libro en el que introdujo una nueva derivada fraccionaria, que hab´ıa sidodescubierta de forma independiente por Gerasimov (1948). Esta derivada fraccionaria es de suma importancia,ya que permite dar una interpretaci ´on f´ısica a problemas de condiciones iniciales, adem´as se utiliza paramodelar el tiempo fraccionario. En algunos textos se conoce como la derivada fraccionaria de Gerasimov-Caputo.Sea [ a, b ] un intervalo finito de la recta real R , para α ∈ C ( Re ( α ) ≥ (cid:16) Ca D αx y (cid:17) ( x ) = (cid:16) RLa I n − αx D n y (cid:17) ( x )= 1 Γ ( n − α ) (cid:90) xa ( x − t ) n − α − y ( n ) ( t ) dt, (cid:16) Cx D αb y (cid:17) ( x ) = ( − n (cid:16) RLx I n − αb D n y (cid:17) ( x )= ( − n Γ ( n − α ) (cid:90) bx ( t − x ) n − α − y ( n ) ( t ) dt, donde D = ddx y n = −(cid:98)− Re ( α ) (cid:99) , i.e., n = Re ( α ) + 1 para α ∈ N y n = α para α (cid:60) N . Y si 0 < Re ( α ) < (cid:16) Ca D αx y (cid:17) ( x ) = (cid:16) RLa I − αx Dy (cid:17) ( x )= 1 Γ (1 − α ) (cid:90) xa ( x − t ) − α y (1) ( t ) dt, (cid:16) Cx D αb y (cid:17) ( x ) = − (cid:16) RLx I − αb Dy (cid:17) ( x )= − Γ (1 − α ) (cid:90) bx ( t − x ) − α y (1) ( t ) dt. La conexi ´on entre las derivadas fraccionarias de Caputo y de Riemann est´a dada por las relaciones: (cid:16) Ca D αx y (cid:17) ( x ) = RLa D αx y ( t ) − n − (cid:88) k =0 y ( k ) ( a ) k ! ( t − a ) k ( x ) , (74) (cid:16) Cx D αb y (cid:17) ( x ) = RLx D αb y ( t ) − n − (cid:88) k =0 y ( k ) ( b ) k ! ( b − t ) k ( x ) , (75)En particular, si 0 < Re ( α ) <
1, las relaciones (74) y (75) toman las siguientes formas:49
NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias (cid:16) Ca D αx y (cid:17) ( x ) = (cid:16) RLa D αx [ y ( t ) − y ( a )] (cid:17) ( x ) , (cid:16) Cx D αb y (cid:17) ( x ) = (cid:16) RLx D αb [ y ( t ) − y ( b )] (cid:17) ( x ) . Para α = n , las derivadas fraccionarias de Caputo corresponden a las derivadas cl´asicas, excepto por elsigno de la derivada derecha.Sin embargo, para k = 0 , , . . . , n −
1, se tiene: (cid:16) Ca D αx ( t − a ) k (cid:17) ( x ) = 0 , (cid:16) Cx D αb ( b − t ) k (cid:17) ( x ) = 0 , en particular (cid:16) Ca D αx (cid:17) ( x ) = 0 , (cid:16) Cx D αb (cid:17) ( x ) = 0 . Por otro lado, si Re ( α ) > λ >
0, entonces (cid:16) Ca D αx exp ( λt ) (cid:17) ( x ) (cid:44) λ α exp ( λt ) , ( α ∈ R ) . Las derivados fraccionarias de Caputo se comportan como operadores inversos por la izquierda para lasintegrales fraccionarias de Riemann-Liouville
RLa I αx y RLx I αb , si Re ( α ) > y ( x ) ∈ C [ a, b ] (cid:16) Ca D αx (cid:16) RLa I αx y (cid:17)(cid:17) ( x ) = y ( x ) , (cid:16) Cx D αb (cid:16) RLx I αb y (cid:17)(cid:17) ( x ) = y ( x ) . Por otro lado, si Re ( α ) > n = −(cid:98)− Re ( α ) (cid:99) , entonces para condiciones apropiadas para y ( x ) (cid:16) RLa I αx (cid:16) Ca D αx y (cid:17)(cid:17) ( x ) = y ( x ) − n − (cid:88) k =0 y ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k , (cid:16) RLx I αb (cid:16) Cx D αb y (cid:17)(cid:17) ( x ) = y ( x ) − n − (cid:88) k =0 ( − k y ( k ) ( b ) k ! ( b − x ) k . En particular si, 0 < Re ( α ) ≤
1, entonces (cid:16)
RLa I αx (cid:16) Ca D αx y (cid:17)(cid:17) ( x ) = y ( x ) − y ( a ) , (cid:16) RLx I αb (cid:16) Cx D αb y (cid:17)(cid:17) ( x ) = y ( x ) − y ( b ) . En sus primeros art´ıculos y varios despu´es de eso, Caputo utiliz ´o una transformada de Laplace de la deri-vada fraccionaria de Caputo, que esta dada por: (cid:16) L (cid:110) C D αx y (cid:111)(cid:17) ( s ) = s α ( L y )( s ) − n − (cid:88) k =0 s α − k − ( D k y )(0) . Cuando 0 < α ≤
1, entonces (cid:16) L (cid:110) C D αx y (cid:111)(cid:17) ( s ) = s α ( L y )( s ) − s α − y (0) . Estas derivadas fraccionarias se pueden definir sobre todo el eje real dando como resultado las expresiones: (cid:16) C −∞ D αx y (cid:17) ( x ) = 1 Γ ( n − α ) (cid:90) x −∞ ( x − t ) n − α − y ( n ) ( t ) dt, (cid:16) Cx D α ∞ y (cid:17) ( x ) = ( − n Γ ( n − α ) (cid:90) ∞ x ( t − x ) n − α − y ( n ) ( t ) dt, con x ∈ R . 50 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
La regla cl´asica de Leibniz para la derivada n -´esima de un producto de dos funciones f , g como suma deproductos de operaciones realizadas en cada funci ´on viene dada, siempre que f y g sean n -veces diferenciablesen z , por D nz ( f ( z ) g ( z )) = n (cid:88) k =0 (cid:32) nk (cid:33) D n − kz f ( z ) D kz g ( z ) , donde D nz = (cid:16) ddz (cid:17) n .Esta regla puede extenderse a valores fraccionarios de α : reemplazando n por α tenemospara funciones holomorfas f , g a D αz ( f ( z ) g ( z )) = ∞ (cid:88) k =0 (cid:32) αk (cid:33) a D α − kz f ( z ) a D kz g ( z ) , α ∈ C , (76)Un resultado que b´asicamente se remonta a Liouville (1832), donde a D αz se entiende ahora en el sentido deOsler. Esta f ´ormula sufre el aparente inconveniente de que el intercambio de f ( z ) y g ( z ) en el lado derechos de(76) no es obvio. Una generalizaci ´on interesante de esta regla sin el inconveniente, debido a Y.Watanabe (1931)y Osler (1970), es a D αz ( f ( z ) g ( z )) = ∞ (cid:88) k = −∞ (cid:32) αk + µ (cid:33) a D α − k − µz f ( z ) a D k + µz g ( z ) , α ∈ C , (77)donde µ es un n ´umero arbitrario, racional, irracional o complejo. El caso especial µ = 0 se reduce a (76).Observe que si Re ( α ) <
0, entonces la f ´ormula (76) es realmente la contraparte de la regla de Leibniz paralas integrales fraccionales. Existe tambi´en una regla Leibniz fraccional sim´etrica en la forma a D αz ( f ( z ) g ( z )) = ∞ (cid:88) k = −∞ c (cid:32) αck + µ (cid:33) a D α − ck − µz f ( z ) a D ck + µz g ( z ) , α ∈ C , (78)donde α, µ ∈ C para el cual (cid:0) αck + µ (cid:1) est´a bien definido, y 0 < c ≤
1. Se obtiene (77) para c = 1, y se reduce a(76) para c = 1 y µ = 0.Como casos especiales de (77), se tiene para f ( z ) = 1, y g ( z ) renombrado como f ( z ), a D αz f ( z ) = Γ ( α + 1) sin (( α − µ ) π ) π ∞ (cid:88) k = −∞ ( − k ( z − a ) k + µ − α ( α − µ − k ) Γ ( µ + k + 1) α D µ + kz f ( z ) , para Re ( α ) > − α − µ (cid:60) Z , notando que Γ ( z ) Γ (1 − z ) = π csc( πz ) para z (cid:60) Z .Un resultado adicional, tambi´en debido a Osler, en el caso α = 0 de (77), es f ( z ) g ( z ) = sin ( µπ ) π ∞ (cid:88) k = −∞ ( − k a D − ( µ + k ) z f ( z ) a D µ + kz g ( z ) µ + k , µ (cid:60) Z . Obs´ervese que (77) tiene bajo condiciones adecuadas el an´alogo integral interesante a D αz ( f ( z ) g ( z )) = (cid:90) ∞−∞ (cid:32) ατ + µ (cid:33) a D α − µ − τz f ( z ) a D τ + µz g ( z ) dτ, (79)donde α, µ ∈ C \ Z − . Asume una forma elegante para µ = 0. Al establecer α = 0 la formula (79) se reducef´acilmente a f ( z ) g ( z ) = 1 π (cid:90) ∞−∞ sin ( π ( µ + τ )) µ + τ a D − ( µ + τ ) z f ( z ) a D µ + τz g ( z ) dτ, µ (cid:60) Z − . NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Recientemente Kalia y su compa ˜nero de trabajo deducen de la regla de Leibniz (78) un n ´umero de f ´ormulasde expansi ´on interesantes asociadas con la funci ´on gamma Γ ( z ), la funci ´on Psi ψ ( z ) = Γ (cid:48) ( z ) Γ ( z ) , con la funci ´onGamma incompleta γ ( a, z ), definida por γ ( a, z ) = (cid:90) a t z − t e − t dt, Re ( z ) > , as´ı como con la funci ´on Gamma incompleta entera γ ∗ ( a, z ), definida por a z γ ∗ ( a, z ) = γ ( a, z ) Γ ( z ) , ( | arg ( z ) | ≤ π − (cid:15), < (cid:15) < π ) . Uno es el resultado bien conocido con respecto a la funci ´on psi ψ ( β − α + 1) − ψ ( β + 1) = ∞ (cid:88) k =1 ( − α ) k k ( β − α + 1) k , valido para Re ( β ) > − β − α + 1 (cid:60) Z − . aqu´ı( α ) k = α ( α + 1) · · · ( α + k − , con k ∈ N . Una expansi ´on para la funci ´on Gamma incompleta entera, esta dada para Re ( β ) > − α (cid:60) Z − , α − ν (cid:60) Z por γ ∗ ( β − α, z ) = sin ( π ( α − ν )) π Γ ( α + 1) ∞ (cid:88) k = −∞ ( − k γ ∗ ( β − ν − k, z )( α − ν − k ) Γ ( ν + k + 1) . (80)El caso especial de (80) cuando β = 0, que se reduce f´acilmente a γ ( α, z ) = − sin ( π ( α + ν )) sin ( πν ) π sin ( πα ) ∞ (cid:88) −∞ z α + ν + k α + ν + k γ ( − ν − k, z ) , con α, α + ν (cid:60) Z . El caso particular ν = 0 de la ecuaci ´on (80) da γ ∗ ( β − α, z ) = sin ( πα ) π Γ ( α + 1) ∞ (cid:88) k =0 ( − k γ ∗ ( β − k, z )( α − k ) k ! , valido para Re ( β ) > , α (cid:60) Z .Una interesante aplicaci ´on de la regla de Leibniz para las funciones hipergeom´etricas viene dada por laidentidad F ( a, b, c ; 1) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) , (81)v´alida para Re ( c ) > Re ( a + b ) , c (cid:60) Z − , que se deriva directamente de la representaci ´on integral que puedeser establecida por la regla de Leibniz F ( a, b, c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) (cid:90) u a − (1 − u ) c − a − (1 − uz ) − b du, con 0 < Re ( a ) < Re ( c ) , | z | <
1, o aplicando la regla de Leibniz para las integrales fraccionales al producto de f ( x ) = x µ y g ( x ) = x λ , λ, µ ≥
0, se obtiene Γ ( λ + µ + 1) Γ ( λ + µ + ν + 1) = Γ ( µ + 1) Γ ( µ + ν + 1) F ( − λ, ν, µ + ν + 1; 1) . NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
La notaci ´on m´as convencional con a = − λ, b = ν, c = µ + ν + 1 da la ecuaci ´on (81). Obs´ervese que la f ´ormula(81) es en realidad un caso particular del teorema de muestreo de Shannon para el an´alisis de se ˜nales. Otrocaso es dado por F ( a, b, c ; z ) = (1 − z ) − b F (cid:18) c − a, b, c ; zz − (cid:19) . A ˜nadamos finalmente un an´alogo integral inusual de la versi ´on fraccionaria del teorema de Taylor f ( z ) = c ∞ (cid:88) k = −∞ a D ck + µw f ( w ) Γ ( ck + µ + 1) ( z − w ) ck + µ , < c ≤ , µ ∈ C , Comencemos analizando la derivada cl´asica de un monomio de la forma ( ax + b ) m con m ∈ Z (cid:32) ddx (cid:33) ( ax + b ) m = am ( ax + b ) m − , (cid:32) ddx (cid:33) ( ax + b ) m = a m ( m − ax + b ) m − , (cid:32) ddx (cid:33) ( ax + b ) m = a m ( m − m − ax + b ) m − ,... (cid:32) ddx (cid:33) n ( ax + b ) m = a n m ( m − m − · · · [ m − ( n − ax + b ) m − n , multiplicando tanto el numerador como el denominador de la ultima expresi ´on por ( m − n )! se obtiene (cid:32) ddx (cid:33) n ( ax + b ) m = a n m ( m − m − · · · [ m − ( n − m − n )!( m − n )! ( ax + b ) m − n = a n m !( m − n )! ( ax + b ) m − n , reemplazando los enteros m y n por n ´umeros arbitrarios µ y ν , as´ı como utilizando la funci ´on Gamma seobtiene (cid:32) ddx (cid:33) ν ( ax + b ) µ = a ν Γ ( µ + 1) Γ ( µ − ν + 1) ( ax + b ) µ − ν . (82)Para el siguiente ejemplo se evalua la derivada fraccionaria D αx f ( x ) tomando la funci ´on f ( x ) = x µ con µ > −
1. Haciendo uso de la funci ´on Beta, v´alida para p, q ∈ C con Re ( p ) , Re ( q ) > B ( p, q ) = (cid:90) u p − (1 − u ) q − du = Γ ( p ) Γ ( q ) Γ ( p + q ) , se tiene para m − ≤ α < m con m ∈ N , D αx x µ = (cid:32) ddx (cid:33) m (cid:34) Γ ( m − α ) (cid:90) x ( x − u ) m − α − u µ du (cid:35) tomando el cambio de variable u = xv NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias D αx x µ = 1 Γ ( m − α ) (cid:32) ddx (cid:33) m (cid:34) x m − α + µ (cid:90) (1 − v ) m − α − v µ dv (cid:35) = 1 Γ ( m − α ) B ( m − α, µ + 1) (cid:32) ddx (cid:33) m x m − α + µ = 1 Γ ( m − α ) Γ ( m − α ) Γ ( µ + 1) Γ ( m − α + µ + 1) (cid:32) ddx (cid:33) m x m − α + µ , utilizando la ecuaci ´on (82) se obtiene D αx x µ = Γ ( µ + 1) Γ ( m − α + µ + 1) Γ (( m − α + µ ) + 1) Γ (( m − α + µ ) − m + 1) x ( m − α + µ ) − m = Γ ( µ + 1) Γ ( µ − α + 1) x µ − α . (83)Utilizando la ecuaci ´on (83) para el caso en que f ( x ) = K , con K una constante, se obtiene D αx K = K D αx x = K Γ (0 + 1) Γ (0 − α + 1) x − α = K Γ (1 − α ) x − α , para cualquier α >
0. As´ı, la derivada fraccionaria de una constante K es cero s ´olo para valores enterospositivos de α = n ∈ N ya que Γ (1 − n ) → ∞ . Por otra parte, para cualquier α >
0, se tiene que D αx f ( x ) ≡ f ( x ) = x α − k con k ∈ { , , · · · ( (cid:98) α (cid:99) + 1) } .Para el siguiente ejemplo consid´erese I αx f para f ( x ) = log x I αx f ( x ) = 1 Γ ( α ) (cid:90) x ( x − u ) α − log udu, tomando el cambio de variable u = x (1 − v ) e integrando por partes se obtiene I αx f ( x ) = x α log x Γ ( α ) (cid:90) v α − dv + x α Γ ( α ) (cid:90) v α − log(1 − v ) dv = x α Γ ( α + 1) log x − x α α Γ ( α ) (cid:90) log(1 − v ) d (1 − v α )= x α Γ ( α + 1) (cid:34) log x − (1 − v α ) log(1 − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) − (cid:90) − v α − v dv (cid:35) , teniendo en cuenta la relaci ´on [4] (cid:90) v x − v y − v dv = ψ ( y + 1) − ψ ( x + 1) , ( Re ( x ) , Re ( y ) > − ψ , esta definida por ψ ( x ) = 1[ Γ ( x )] ddx Γ ( x ) , adem´as, satisface la relaci ´on de recurrencia ψ ( x + 1) − ψ ( x ) = 1 x , NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias con − ψ (1) = γ = 0 . · · · , con lo cual se obtiene I αx f ( x ) = x α Γ ( α + 1) (cid:34) log x − (1 − v α ) log(1 − v ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) − (cid:90) − v α − v dv (cid:35) = x α Γ ( α + 1) (log x − ψ ( α + 1) + ψ (1)) . Por lo tanto, para m − ≤ Re ( α ) < m , D αx log x = (cid:32) ddx (cid:33) m I m − αx log x = (cid:32) ddx (cid:33) m x m − α Γ ( m − α + 1) (log x − ψ (1 − α ) − γ ) , en el caso α = n ∈ N la expresi ´on a la derecha debe interpretarse como el caso l´ımite en el que α → n . Dehecho l´ım α → n ψ (1 − α ) Γ (1 − α ) = ( − − n Γ ( n ) , la formula (cid:32) ddx (cid:33) n log x = − Γ ( n )( − x ) n , se sigue f´acilmente. Sin embargo, para α = − n ∈ N se obtiene el resultado cl´asico [4] D − nx log x = I nx log x = x n n ! log x − n (cid:88) k =1 k . Para el ultimo ejemplo se toma la definici ´on de Weyl, m − ≤ α < m, m ∈ N , x D α ∞ f ( x ) = ( − m (cid:32) ddx (cid:33) m x W m − α ∞ f ( x ) , para f ( x ) = exp ( − px ) , p >
0, tomando el cambio de variable u − x = yp , x W α ∞ exp ( − px ) = 1 Γ ( α ) (cid:90) ∞ x ( u − x ) α − exp ( − pu ) du = exp ( − px ) p α Γ ( α ) (cid:90) ∞ y α − exp ( − y ) dy = exp ( − px ) p α Γ ( α ) Γ ( α )= exp ( − px ) p α , ( α > , obteniendo finalmente para el caso p > x D α ∞ exp ( − px ) = ( − m (cid:32) ddx (cid:33) m p − ( m − α ) exp ( − px )= p α exp ( − px ) , ( m − ≤ α < m ) . NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Terminamos esta secci ´on estudiando la primera aplicaci ´on del c´alculo fraccional hecha por Abel en 1823para resolver el problema de la taut ´ocrona, i.e., el problema de determinar la forma de una curva de maneraque el tiempo de descenso de una masa puntual sin fricci ´on que se deslice por la curva bajo la acci ´on de lagravedad sea independiente del punto de partida.Sea una curva suave y una part´ıcula de masa m la cual parte del reposo en el punto P = ( x , y ), asumiendoque la part´ıcula se desliza hacia el origen sin fricci ´on sobre la curva bajo la acci ´on de su propio peso en elpunto P = ( x, y ) [5] Figura 13: Esquema para simplificar el problema de la taut ´ocronaPartiendo del principio de conservaci ´on de la energ´ıa mec´anica H ( x, y ) = K ( x, y ) + U ( x, y ) , donde K ( x, y ) y U ( x, y ) representan la energ´ıa cin´etica y potencial respectivamente, debido a que el Hamil-toniano es una constante H ( x, y ) = H ( x , y ) , se puede obtener K ( x, y ) + U ( x, y ) = K ( x , y ) + U ( x , y )12 m (cid:32) ddt x (cid:33) + mgy = 12 m (cid:32) ddt x (cid:33) + mgy , ya que la part´ıcula parte del reposo ddt x = 0 , tomando S como el segmento de curva que recorre la part´ıcula desde la posici ´on inicial hasta el origen ddt x (cid:39) ddt S, de lo anterior se tiene que 12 m (cid:32) ddt x (cid:33) + mgy = 12 m (cid:32) ddt x (cid:33) + mgy m (cid:32) ddt S (cid:33) + mgy = mgy (cid:32) ddt S (cid:33) = gy − gy, NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias despejando ddt S de la relaci ´on anterior (cid:32) ddt S (cid:33) = 2 g ( y − y ) ddt S = ± ( g ( y − y )) , como consecuencia de que la part´ıcula se acerca al origen conforme el tiempo t aumenta se tiene que ladistancia S disminuye, lo que implica que ddt S <
0, debido a esto se toma la parte negativa de la ra´ız ddt S = − (2 g ( y − y )) , invirtiendo la expresi ´on anterior y despejando dt se obtiene dt = − (2 g ) − ( y − y ) − dS, sea T el tiempo total que la part´ıcula necesita para llegar desde el punto P hasta el origen [5] T = (cid:90) y dt, = (cid:90) y − (2 g ) − ( y − y ) − dS = (2 g ) − (cid:90) y ( y − y ) − dS. Sea φ ( y ) = (2 g ) T , entonces φ ( y ) = (cid:90) y ( y − y ) − dS, haciendo tender → n (con n ∈ [0 , φ ( y ) = (cid:90) y ( y − y ) − n dS, Se la funci ´on Beta para los par´ametros α y β = 1 − nB ( α, − n ) = (cid:90) t α − (1 − t ) (1 − n ) − dt = (cid:90) t α − (1 − t ) − n dt, tomando el cambio de variable z = y t en la ecuaci ´on anterior B ( α, − n ) = (cid:90) y ( y − z ) α − (1 − y − z ) − n ( y − dz )= y − α y − y n (cid:90) y z α − ( y − z ) − n dz = y n − α (cid:90) y z α − ( y − z ) − n dz, de lo anterior se obtiene 57 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias B ( α, − n ) y α − n = (cid:90) y z α − ( y − z ) − n dz, ahora multiplicando por ( y − y ) n − e integrando con respecto a y desde 0 a yB ( α, − n ) (cid:90) y y α − n ( y − y ) n − dy = (cid:90) y ( y − y ) n − dy (cid:90) y z α − ( y − z ) − n dz, (84)tomando el cambio de variable y = yt en el lado izquierdo de la ecuaci ´on (84) B ( α, − n ) (cid:90) y y α − n ( y − y ) n − dy = B ( α, − n ) (cid:90) ( yt ) α − n ( y − ty ) n − ydt = B ( α, − n ) (cid:90) y n − y α − n yt α − n (1 − n ) n − dt = y α B ( α, − n ) (cid:90) t ( α +1 − n ) − (1 − t ) n − dt, el cambio de variable anterior permite obtener una funci ´on Beta para los par´ametros ( α + 1 − n ) y nB ( α, − n ) (cid:90) y y α − n ( y − y ) − n dy = y α B ( α, − n ) (cid:90) t ( α +1 − n ) − (1 − t ) n − dt = y α B ( α, − n ) B ( α + 1 − n, n )= y α (cid:34) Γ ( α ) Γ (1 − n ) Γ ( α + 1 − n ) (cid:35) (cid:34) Γ ( α + 1 − n ) Γ ( n ) Γ ( α + 1) (cid:35) = y α Γ ( α ) Γ ( n ) Γ (1 − n ) Γ ( α + 1)= y α Γ ( α ) Γ ( n ) Γ (1 − n ) α Γ ( α )= y α α Γ ( n ) Γ (1 − n ) , por otro lado se tiene que la funci ´on Gamma satisface la relaci ´on [3] Γ ( n ) Γ (1 − n ) = π sin( nπ ) , entonces el lado izquierdo de la ecuaci ´on (84) toma la forma B ( α, − n ) (cid:90) y y α − n ( y − y ) n − dy = Γ ( n ) Γ (1 − n ) y α α = π sin( nπ ) y α α , en consecuencia la ecuaci ´on (84) se reescribe como π sin( nπ ) y α α = (cid:90) y ( y − y ) n − dy (cid:90) y z α − ( y − z ) − n dz, despejando y α α en la expresi ´on anterior y α α = sin( nπ ) π (cid:90) y ( y − y ) n − dy (cid:90) y z α − ( y − z ) − n dz, multiplicando por αφ ( α ) dα e integrando de forma indefinida se obtiene58 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias (cid:90) y α φ ( α ) dα = sin( nπ ) π (cid:90) y ( y − y ) n − dy (cid:90) y (cid:34)(cid:90) z α − αφ ( α ) dα (cid:35) ( y − z ) − n dz, (85)tomando [5] f ( y ) = (cid:90) y α φ ( α ) dα,ddy f ( y ) = (cid:90) y α − αφ ( α ) dα, y sustituyendo en la ecuaci ´on (85) se obtiene f ( y ) = sin( nπ ) π (cid:90) y ( y − y ) n − dy (cid:90) y (cid:34) ddz f ( z ) (cid:35) ( y − z ) − n dz. (86)Recordando que φ ( y ) = (cid:90) y ( y − y ) − n dS, y multiplicando por sin( nπ ) π ( y − y ) n − e integrando con respecto a y desde 0 a y sin( nπ ) π (cid:90) y ( y − y ) n − φ ( y ) dy = sin( nπ ) π (cid:90) y ( y − y ) n − dy (cid:90) y ( y − y ) − n dS, (87)comparando las ecuaciones (86) y (87) se obtiene que S = sin( nπ ) π (cid:90) y ( y − y ) n − φ ( y ) dy . Para el caso particular en que n = se obtiene φ ( y ) = (cid:90) y ( y − y ) − dS,S = 1 π (cid:90) y ( y − y ) − φ ( y ) dy , (88)cuando el tiempo de deslizamiento es una constante conocida, la ecuaci ´on integral de Abel se obtienemultiplicando la ecuaci ´on (88) por π πS = (cid:90) y ( y − y ) − φ ( y ) dy , la integral en la ecuaci ´on anterior es, excepto por el factor multiplicativo Γ (cid:16) (cid:17) − , un caso particular de unaintegral fraccionaria de orden [1]. 59 NAM C´alculo Fraccional Facultad de Ciencias
Referencias [1] Kenneth S Miller and Bertram Ross.
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Applications of fractional calculus in physics . World Scientific, 2000.[5] Gonzalo Aguilar. El problema mec´anico de abel.