Isomorphismes de graphes en temps quasi-polynomial (d'après Babai et Luks, Weisfeiler-Leman...)
aa r X i v : . [ m a t h . G R ] O c t S´eminaire BOURBAKI Janvier 201769`eme ann´ee, 2016-2017, n o ISOMORPHISMES DE GRAPHES EN TEMPS QUASI-POLYNOMIAL[d’apr`es Babai et Luks, Weisfeiler-Leman, . . .] par
Harald Andr´es HELFGOTT
R´esum´e :
Soient donn´es deux graphes Γ , Γ `a n sommets. Sont-ils isomorphes ? S’ils lesont, l’ensemble des isomorphismes de Γ `a Γ peut ˆetre identifi´e avec une classe H · π du groupe sym´etrique sur n ´el´ements. Comment trouver π et des g´en´erateurs de H ?Le d´efi de donner un algorithme toujours efficace en r´eponse `a ces questions estrest´e longtemps ouvert. Babai a r´ecemment montr´e comment r´esoudre ces questions– et d’autres qui y sont li´ees – en temps quasi-polynomial, c’est-`a-dire en temps exp (cid:0) O (log n ) O (1) (cid:1) . Sa strat´egie est bas´ee en partie sur l’algorithme de Luks (1980/82),qui a r´esolu le cas de graphes de degr´e born´e.
1. INTRODUCTION
Soient x , y deux chaˆınes de caract`eres, `a savoir, deux applications Ω → Σ , o`u Σ (l’ alphabet ) et Ω (le domaine ) sont des ensembles finis. Tout groupe de permutations (1) G <
Sym(Ω) agit sur l’ensemble Σ Ω des chaˆınes de domaine Ω sur un alphabet Σ . Pournous, d´ecrire un groupe G , ou ˆetre donn´e un groupe G , voudra toujours dire « donner,voire ˆetre donn´e, un ensemble de g´en´erateurs de G » ; d´ecrire une classe Hπ voudradire « donner un ´el´ement π de la classe et un ensemble de g´en´erateurs de H ».Le probl`eme de l’isomorphisme de chaˆınes consiste `a d´eterminer, ´etant donn´es x , y et G , s’il y a au moins un ´el´ement π de G qui envoie x sur y , et, si de tels ´el´ements ( isomor-phismes ) existent, `a les d´ecrire. Il est clair que l’ensemble des isomorphismes Iso G ( x , y ) forme une classe Aut G ( x ) π du groupe Aut G ( x ) d’automorphismes de x dans G , c’est-`a-dire du groupe consistant dans les ´el´ements de G qui envoient x sur lui-mˆeme.Le d´efi consiste `a donner un algorithme qui r´esolve le probl`eme en temps polynomialen la taille n = | Ω | de Ω , voire en temps raisonnable. Par exemple, le temps employ´epourrait ˆetre quasi-polynomial en n , ce qui veut dire exp (cid:0) O (log n ) O (1) (cid:1) . Ici, commetoujours, O ( f ( n )) d´esigne une quantit´e born´ee par C · f ( n ) , pour n assez grand et C > une constante, et O ǫ indique que la constante C d´epend de ǫ .Une grande partie de la motivation pour le probl`eme de l’isomorphisme de chaˆınesvient du fait que le probl`eme de l’isomorphisme de graphes se r´eduit `a lui. Ce probl`eme
1. Pour nous,
G < S (ou
S > G ) veut dire « G est un sous-groupe de S , pas forcement propre. » Γ et Γ sont isomorphes, et, s’ils le sont,`a d´ecrire la classe de leurs isomorphismes. (Un isomorphisme π : Γ → Γ est unebijection π de l’ensemble de sommets de Γ vers celui de Γ telle que π (Γ ) = Γ .) Unesolution permettrait, par exemple, de trouver une mol´ecule dans une base de donn´ees.Le probl`eme de l’isomorphisme de graphes se r´eduit en temps polynomial au probl`emede l’isomorphisme de chaˆınes, de la fa¸con suivante. Supposons sans perte de g´en´eralit´eque Γ et Γ ont le mˆeme ensemble de sommets V . Alors, nous pouvons d´efinir Ω comme l’ensemble des paires d’´el´ements de V (ordonn´es ou non ordonn´es, suivant quenos graphes sont orient´es ou pas). La chaˆıne x i , i = 1 , , est d´efinie comme suit : pourla paire a = { v , v } (ou a = ( v , v ) , si nos graphes sont orient´es), la valeur de x i ( a ) est s’il y a une arˆete entre v et v en Γ , et dans le cas contraire. Soit G l’image del’homomorphisme ι : Sym( V ) → Sym(Ω) d´efinie par σ ι ( { v , v } ) = { σ ( v ) , σ ( v ) } , o`u σ ι = ι ( σ ) . Alors ι induit une bijection entre la classe des isomorphismes de Γ `a Γ etla classe Iso G ( x , x ) . Th´eor`eme 1.1 (Babai). —
Le probl`eme de l’isomorphisme de chaˆınes Ω → Σ peut ˆetrer´esolu en temps quasi-polynomial en le nombre d’´el´ements du domaine Ω . En novembre 2015, Babai a annonc´e une solution en temps quasipolynomial, avecun algorithme explicite. La pr´eparation de cet expos´e m’a conduit `a trouver une erreurnon triviale dans l’analyse du temps, mais Babai a r´eussi `a le r´eparer en simplifiantl’algorithme. La preuve est maintenant correcte.
Corollaire 1.2 (Babai). —
Le probl`eme de l’isomorphisme de graphes peut ˆetre r´esoluen temps quasi-polynomial en le nombre de sommets.
Notre r´ef´erence principale sera [Ba] ; nous nous servirons aussi de la version courte[Ba2]. Nous essayerons d’examiner la preuve de la fa¸con la plus d´etaill´ee possible dansun expos´e de ce format, en partie pour aider `a ´eliminer tout doute qui pourrait restersur la forme actuelle du r´esultat.La meilleure borne g´en´erale connue ant´erieurement pour le temps requis par leprobl`eme de l’isomorphisme de graphes, due `a Luks [BKL], ´etait exp( O ( √ n log n )) ,* * *L’usage de la canonicit´e joue un rˆole crucial dans la strat´egie de Babai. Commedans la th´eorie de cat´egories, voire dans l’usage courant, un choix est canonique s’il estfonctoriel. La situation typique pour nous sera la suivante : un groupe G <
Sym(Ω) agit sur Ω , et donc sur Σ Ω ; il agit aussi sur un autre ensemble S , et donc aussi surles applications S → C , o`u C est un ensemble fini. Une application S → C s’appelleun coloriage ; l’ensemble C s’appelle l’ensemble de couleurs . Un choix canonique (enrelation `a G ) d’un coloriage de Ω pour chaque chaˆıne x ∈ Σ Ω est une application quiva de Σ Ω aux coloriages et qui commute avec l’action de G .En particulier, un choix canonique peut ˆetre un outil pour d´etecter des non-isomorphismes : si les coloriages C ( x ) et C ( y ) induits canoniquement par x et y x et y ne sont pas isomorphes l’un `a l’autre. Mˆeme quand ily a des isomorphismes dans G qui envoient C ( x ) sur C ( y ) , la classe Iso G ( C ( x ) , C ( y )) de tels isomorphismes sert `a d´elimiter la classe d’isomorphismes Iso G ( x , y ) de x `a y ,puisque cette derni`ere est forc´ement un sous-ensemble de Iso G ( C ( x ) , C ( y )) .La preuve assimile aussi plusieurs id´ees d´evelopp´ees lors d’approches ant´erieures auprobl`eme. La premi`ere ´etape de la proc´edure consiste `a essayer de suivre ce qui esten essence l’algorithme de Luks [Lu]. Si cet algorithme s’arrˆete, c’est parce qu’il s’estheurt´e contre un quotient H /H isomorphe `a Alt(Γ) , o`u H ⊳ H < G et Γ est plutˆotgrand.Notre tˆache majeure consiste `a ´etudier ce qui se passe `a ce moment-l`a. La strat´egieprincipale sera de chercher `a colorier Γ d’une fa¸con qui d´epend canoniquement de x .Cela limitera les automorphismes et isomorphismes possibles `a consid´erer. Par exemple,si la moiti´e de Γ est colori´ee en rouge et l’autre en noir, le groupe d’automorphismespossibles se r´eduit `a Sym( | Γ | / × Sym( | Γ | / . Un coloriage similaire induit par y limiteles isomorphismes aux applications qui alignent les deux coloriages. Nous trouveronstoujours des coloriages qui nous aident, sauf quand certaines structures ont une tr`esgrande sym´etrie, laquelle, en revanche, permettra une descente `a Ω consid´erablementplus petit. Cette double r´ecursion – r´eduction du groupe H /H ou descente `a deschaˆınes consid´erablement plus courtes – r´esoudra le probl`eme.
2. FONDEMENTS ET TRAVAUX PR ´EC ´EDENTS
En suivant l’usage courant pour les groupes de permutations, nous ´ecrirons r g pourl’´el´ement g ( r ) auquel g ∈ Sym(Ω) envoie r ∈ Ω . ´Etant donn´es une chaˆıne x : Ω → Σ etun ´el´ement g ∈ Sym(Ω) , nous d´efinissons x g : Ω → Σ par x g ( r ) = x (cid:16) r g − (cid:17) .Par contre, nous ´ecrivons Ω k pour l’ensemble des ~x = ( x , . . . , x k ) avec l’action `agauche donn´ee par ( φ ( ~x )) r = ~x φ ( r ) . L’id´ee est que ceci est d´efini non pas seulement pour φ une permutation, mais pour toute application φ : { , . . . , k } → { , . . . , k } , mˆeme noninjective. Nous appelons les ´el´ements de Ω k tuples plutˆot que chaˆınes . Schreier-Sims . — Plusieurs algorithmes essentiels se basent sur une id´ee deSchreier [Sch]. Il a remarqu´e que, pour tout sous-groupe H d’un groupe G et toutsous-ensemble A ⊂ G qui engendre G et contient des repr´esentants de toutes les classesde H dans G , A ′ = AAA − ∩ H = (cid:8) σ σ σ − : σ i ∈ A (cid:9) ∩ H est un ensemble de g´en´erateurs de H .125–04L’´etape suivante est celle de Sims [Si1], [Si2], qui a montr´e l’utilit´e de travailler avecun groupe de permutations G <
Sym(Ω) , Ω = { x , . . . , x n } , en termes d’une chaˆıne destabilisateurs G = G > G > G > . . . > G n − = { e } , o`u G k = G ( x ,x ,...,x k ) = { g ∈ G : ∀ ≤ i ≤ k x gi = x i } ( stabilisateur de points ).L’algorithme de Schreier-Sims (Algorithme 1 ; description bas´ee sur [Lu, §1.2])construit des ensembles C i de repr´esentants de G i /G i +1 tels que ∪ i ≤ j Schreier-Sims : construction d’ensembles C i fonction SchreierSims ( A , ~x ) ⊲ A engendre G < Sym( { x , . . . , x n } ) assure ∪ i ≤ j 2. Nous supposons que l’ensemble de g´en´erateurs initial, sp´ecifiant le groupe G du probl`eme, estde taille O ( n C ) , C une constante. Le temps pris par la premi`ere utilisation de l’algorithme est donc O (cid:0) n max(5 , C ) (cid:1) . C i construits, il devient possible d’accomplir plusieurs tˆachesessentielles rapidement. Exercice 2.1 . — Montrer comment accomplir les tˆaches suivantes en temps polyno-mial, ´etant donn´e un groupe G < Sym(Ω) , | Ω | = n :(a) D´eterminer si un ´el´ement g ∈ Sym(Ω) est dans G .(b) ´Etant donn´es un homomorphisme φ : G → Sym(Ω ′ ) , | Ω ′ | ≪ | Ω | O (1) , et un sous-groupe H < Sym(Ω ′ ) , d´ecrire φ − ( H ) .(c) [FHL] Soit H < G avec [ G : H ] ≪ n O (1) . ´Etant donn´e un test qui d´etermineen temps polynomial si un ´el´ement g ∈ G appartient `a H , d´ecrire H . Astuce : travailler avec G > H > H > H > . . . `a la place de G = G > G > G > . . . . Ici, comme toujours, « d´ecrire » veut dire « trouver un ensemble de g´en´erateurs », etun groupe nous est « donn´e » si un tel ensemble nous est donn´e.L’algorithme de Schreier-Sims d´ecrit le stabilisateur de points G ( x ,...,x k ) pour x , . . . , x k ∈ Ω arbitraires. Par contre, nous ne pouvons pas demander all`egrementun ensemble de g´en´erateurs d’un stabilisateur d’ensemble G { x ,...,x k } = { g ∈ G : { x g , . . . , x gk } = { x , . . . , x k }} pour G , x i arbitraires : faire ceci serait ´equivalent `ar´esoudre le probl`eme de l’isomorphisme lui-mˆeme. Orbites et blocs . — Soit donn´e, comme toujours, un groupe de permutations G agissant sur un ensemble fini Ω . Le domaine Ω est l’union disjointe des orbites { x g : g ∈ G } de G . Ces orbites peuvent ˆetre d´etermin´ees en temps polynomial (3) en | Ω | . Ceci est un exercice simple. La tˆache se r´eduit `a celle – simple elle aussi – detrouver les composantes connexes d’un graphe.Supposons que l’action de G soit transitive. (Il y a donc une seule orbite.) Un bloc de G est un sous-ensemble B ⊂ Ω , B / ∈ {∅ , Ω } , tel que, pour g, h ∈ G quelconques,soit B g = B h , soit B g ∩ B h = ∅ . La collection { B g : g ∈ G } ( syst`eme de blocs ) pour B donn´e partitionne Ω . L’action de G est primitive s’il n’y a pas de blocs de taille > ;autrement, elle s’appelle imprimitive . Un syst`eme de blocs est minimal (4) si l’action de G sur lui est primitive.Voyons comment d´eterminer si l’action de G est primitive, et, s’il ne l’est pas, com-ment trouver un syst`eme de blocs de taille > . En it´erant la proc´edure, nous obtien-drons un syst`eme de blocs minimal en temps polynomial. (Nous suivons [Lu], qui cite[Si1].)Pour a, b ∈ Ω distincts, soit Γ le graphe avec Ω comme son ensemble de sommets etl’orbite {{ a, b } g : g ∈ G } comme son ensemble d’arˆetes. La composante connexe qui 3. Pour ˆetre pr´ecis : O (cid:0) | Ω | O (1) + | A || Ω | (cid:1) , o`u A est la taille de l’ensemble de g´en´erateurs de G quinous est donn´e. Nous omettrons toute mention de cette taille par la suite, puisque, comme nous l’avonsd´ej`a dit, nous pouvons la garder toujours sous contrˆole.4. Pour paraphraser [Lu, §1.1] : il faut avouer qu’un tel syst`eme pourrait s’appeler plutˆot maximal.La taille des blocs est maximale, leur nombre est minimal. a et b est le bloc le plus petit qui contient a et b . (Si Γ est connexe, alors le« bloc » est Ω .) L’action de G est imprimitive ssi Γ est non connexe pour un a arbitraireet au moins un b ; dans ce cas-l`a, nous obtenons un bloc qui contient a et b , et donctout un syst`eme de blocs de taille > .Un dernier mot : si G < Sym(Ω) , nous disons que G est transitif , voire primitif , sison action sur Ω l’est. Luks a montr´e comment r´esoudre le probl`eme de l’isomorphisme de graphes en tempspolynomial dans le cas sp´ecial de graphes de degr´e born´e. (Le degr´e , ou valence , d’unsommet dans un graphe non orient´e est le nombre d’arˆetes qui le contiennent.) Il r´eduitceci au probl`eme de d´ecrire le groupe d’automorphismes de chaˆınes dans le cas d’ungroupe G tel que tout facteur de composition de G – c’est-`a-dire, tout quotient dans unesuite principale (Jordan-H¨older) de G – est born´e. Le processus de r´eduction, ´el´egantet loin d’ˆetre trivial, ne nous concerne pas ici. Voyons plutˆot comment Luks r´esout cecas du probl`eme de l’isomorphisme de chaˆınes.Nous suivrons la notation de [Ba], mˆeme si les id´ees viennent de [Lu]. D´efinition 2.2 . — Soient K ⊂ Sym(Ω) et ∆ ⊂ Ω (la « fenˆetre »). L’ensembled’ isomorphismes partiels Iso ∆ K est Iso ∆ K ( x , y ) = { τ ∈ K : x ( x ) = y ( x τ ) ∀ x ∈ ∆ } . L’ensemble d’ automorphismes partiels Aut ∆ K ( x ) est ´egal `a Iso ∆ K ( x , x ) . Iso ∆ K est donc l’ensemble de toutes les permutations g ∈ K qui envoient x sur y – aumoins `a en juger par ce qui peut se voir par la fenˆetre ∆ . Nous travaillerons en g´en´eralavec K de la forme Hπ , o`u H laisse ∆ invariante (en tant qu’ensemble).Il est clair que, pour K, K , K ⊂ Sym(Ω) et σ ∈ Sym(Ω) ,(1) Iso ∆ Kσ ( x , y ) = Iso ∆ K (cid:16) x , y σ − (cid:17) σ, (2) Iso ∆ K ∪ K ( x , y ) = Iso ∆ K ( x , y ) ∪ Iso ∆ K ( x , y ) . Il est aussi clair que, si G est un sous-groupe de Sym(Ω) et ∆ est invariant sous G ,alors Aut G ( x ) est un sous-groupe de G , et, pour tout σ ∈ Sym(Ω) , Iso Gσ ( x , y ) est soitvide, soit une classe `a droite de la forme Aut G ( x ) τ , τ ∈ Sym(Ω) . Soient ∆ , ∆ ⊂ Ω , ∆ invariant sous G . Pour G ′ = Aut G ( x ) et σ, τ tels que Iso ∆ Gσ ( x , y ) = G ′ τ ,(3) Iso ∆ ∪ ∆ Gσ ( x , y ) = Iso ∆ G ′ τ ( x , y ) = Iso ∆ G ′ (cid:16) x , y τ − (cid:17) τ, o`u la deuxi`eme ´equation est une application de (1). Babai appelle (3) la r`egle de lachaˆıne .L’´enonc´e suivant n’utilise pas la classification de groupes finis simples.125–07 Th´eor`eme 2.3 ([BCP] (6) ). — Soit G < Sym(Ω) un groupe primitif. Soit n = | Ω | . Sitout facteur de composition de G est d’ordre ≤ k , alors | G | ≤ n O k (1) . Ici, comme d’habitude, O k (1) d´esigne une quantit´e qui d´epend seulement de k . Th´eor`eme 2.4 (Luks [Lu]). — Soient Ω un ensemble fini et x , y : Ω → Σ deux chaˆınes.Soit donn´e un groupe G < Sym(Ω) tel que tout facteur de composition de G est d’ordre ≤ k . Il est possible de d´eterminer Iso G ( x , y ) en temps polynomial en n = | Ω | . Preuve — Cas 1 : G non transitif. Soit ∆ ( Ω , ∆ = ∅ , ∆ stable sous l’actionde G . D´efinissons ∆ = Ω \ ∆ . Alors, par (3), il suffit de calculer Iso ∆ G ( x , y ) (´egal `aune classe que nous notons G ′ τ ) et Iso ∆ G ′ ( x , y ′ ) pour y ′ = y τ − . Or, pour d´eterminer Iso ∆ G ( x , y ) , nous d´eterminons, de fa¸con r´ecursive, Iso G ( x | ∆ , y | ∆ ) , puis, par Schreier-Sims, le stabilisateur de points G (∆ ) . De la mˆeme mani`ere, d´eterminer Iso ∆ G ′ ( x , y ′ ) pour y ′ = y τ − se r´eduit `a d´eterminer le groupe d’isomorphismes (dans un groupe G ′ ) entredeux chaˆınes de longueur | ∆ | . Comme | ∆ | + | ∆ | = n et Schreier-Sims prend du temps O ( n ) , tout va bien. (La comptabilit´e est laiss´ee au lecteur.) Cas 2 : G transitif. Soit N le stabilisateur d’un syst`eme de blocs minimal pour G ;donc, G/N est primitif. Par le Th´eor`eme 2.3, | G/N | ≤ m O k (1) , o`u m est le nombre deblocs. Or, pour σ , . . . , σ ℓ ( ℓ = | G/N | ) tels que G = ∪ ≤ i ≤ ℓ N σ i ,(4) Iso G ( x , y ) = Iso ∪ i Nσ i ( x , y ) = [ ≤ i ≤ ℓ Iso Nσ i ( x , y ) = [ ≤ i ≤ ℓ Iso N ( x , y σ − i ) σ i par (1) et (2). Comme les orbites de N sont contenues dans les blocs, qui sont de taille n/m , d´eterminer Iso N ( x , y i ) ( y i = y σ − i ) se r´eduit – par la r`egle (3) – `a d´eterminer lesgroupes d’isomorphismes de m paires de chaˆınes de longueur n/m . Nous avons doncr´eduit le probl`eme `a la solution de ℓ · m = m O k (1) probl`emes pour des chaˆınes de longueur n/m .Le pas final consiste `a faire l’union de classes en (4). Nous avons une description dechaque Iso N ( x , y i ) , soit comme l’ensemble vide, soit comme une classe `a droite Hτ i dugroupe H = Aut N ( x ) , dont nous avons trouv´e une description, c’est-`a-dire un ensemblede g´en´erateurs A . Alors Iso G ( x , y ) = [ ≤ i ≤ ℓ Iso N ( x , y i ) σ i = [ ≤ i ≤ ℓ Hτ i σ i = (cid:10) A ∪ (cid:8) τ i σ i ( τ σ ) − : 1 ≤ i ≤ ℓ (cid:9)(cid:11) τ σ . Nous aurions pu ´eviter quelques appels `a Schreier-Sims en travaillant toujours avecdes isomorphismes partiels, mais cela a peu d’importance qualitative. 6. `A vrai dire, [BCP, Thm 1.1] est plus g´en´eral que ceci ; par exemple, des facteurs ab´eliens arbi-traires (non born´es) sont admis. Cela donne une g´en´eralisation du Th´eor`eme 2.4. Soit C (« couleurs ») un ensemble fini que nous pouvons supposer ordonn´e (disons, derouge `a violet). Une relation k -aire sur un ensemble fini Γ est un sous-ensemble R ⊂ Γ k .Une structure (relationnelle) k -aire est une paire X = (Γ , ( R i ) i ∈ C ) , o`u, pour chaque i ∈ C , R i est une relation k -aire sur Γ . Si les R i sont tous non vides et partitionnent Γ k ,nous disons que X est une structure de partition k -aire . Dans ce cas-l`a, nous pouvonsd´ecrire X par une fonction c : Γ k → C qui assigne `a chaque ~x ∈ Γ k l’indice i de larelation R i `a laquelle il appartient. Nous disons que c ( ~x ) est la couleur de ~x .Un isomorphisme entre deux structures k -aires X = (Γ , ( R i ) i ∈ C ) et X ′ = (Γ ′ , ( R ′ i ) i ∈ C ) est une bijection Γ → Γ ′ qui envoie R i `a R ′ i pour chaque i . Il est possible de construireun foncteur F qui envoie chaque structure k -aire X sur Γ `a une structure de partition k -aire F ( X ) sur Γ ; qui plus est, Iso( X , Y ) = Iso( F ( X ) , F ( Y )) . La proc´edure est plutˆottriviale ; nous la d´etaillons (Algorithme 2) pour montrer ce qu’ indexer veut dire. Celanous permet de ne pas utiliser plus de min (cid:0) | Γ | k , | C | (cid:1) couleurs, o`u n = | Ω | , tout en gar-dant leur signification en termes des couleurs originales C . Le temps pris pour calculer F ( X ) est O ( | C || Γ | O ( k ) ) . Nous ne nous occupons pas des d´etails d’impl´ementation de lacollection de tuples I , mais il peut s’agir tout simplement d’une liste ordonn´ee lexi-cographiquement ; dans ce cas, | Γ | O ( k ) est | Γ | k . (Dans la r´ealit´e, I serait impl´ement´eeavec du hachage , ce qui n’est que l’art de bien organiser une biblioth`eque.) Algorithme 2 Raffinement d’une structure de relation. Indexeur. fonction F ( Γ , k , C , ( R i ) i ∈ C ) I ← ∅ pour ~x ∈ Γ k a ← { i ∈ C : ~x ∈ R i } c ( ~x ) ← Indexeur ( I , a ) retourner ( I , c ) ⊲ retourne c : Γ k → C ′ ⊲ C ′ est l’ensemble d’indices de I ; I explique C ′ en termes de C fonction Indexeur ( I , a ) ⊲ I est une collection modifiable si a n’est pas dans I alors ajouter a `a I retourner indice de a dans I Un ´el´ement ~x ∈ Γ k d´efinit une relation d’´equivalence ρ ( ~x ) sur { , . . . , k } : i ∼ j ssi x i = x j . Le mono¨ıde M ( S ) ( S un ensemble) consiste en les applications S → S , avec lacomposition comme op´eration. D´efinition 2.5 . — Une structure de partition k -aire X = (Γ , c ) est dite configuration k -aire si(a) Pour tous ~x, ~y ∈ Γ k , si c ( ~x ) = c ( ~y ) , alors ρ ( ~x ) = ρ ( ~y ) .(b) Il y a un homomorphisme de mono¨ıdes η : M ( { , . . . , k } ) → M ( C ) tel que, pourtout τ ∈ M ( { , . . . , k } ) , c ( τ ( ~x )) = τ η ( c ( ~x )) pour tout ~x ∈ Γ k . k = 2 , (a) veut dire que la couleur de ~x = ( x , x ) « sait » si x = x ou pas, dans le sens o`u, si nous connaissons c ( ~x ) , alors nous savons si x = x ou pas. De la mˆeme fa¸con, (b) nous indique que la couleur de ~x connaˆıt les couleurs de ( x , x ) , ( x , x ) et ( x , x ) .Nous pouvons d´efinir un foncteur F qui envoie chaque structure de partition k -aire X sur Γ `a une configuration k -aire ; comme pour F , le fait que F ( X ) est un raffinementde X implique que Iso( X , Y ) = Iso( F ( X ) , F ( Y )) . La proc´edure pour calculer F esttr`es similaire `a celle pour calculer F (Algorithme 2). Au lieu d’assigner `a ~x la couleur { i ∈ C : ~x ∈ R i } , nous lui assignons la couleur (cid:0) ρ ( ~x ) , ( c ( φ ( ~x ))) φ ∈ M ( { ,...,k } ) (cid:1) .Il est ais´e de voir que F ( X ) est le raffinement le plus grossier d’une structure departition X qui est une configuration, de la mˆeme mani`ere que F ( X ) est le raffinementle plus grossier d’une structure X qui est une structure de partition. D´efinition 2.6 . — Soit X = (Γ , c ) , c : Γ k → C , une structure de partition k -aire.Pour ≤ l ≤ k , nous d´efinissons c ( l ) : Γ l → C comme suit : c ( l ) ( ~x ) = c ( x , x , . . . , x l , x l , . . . x l ) . La structure de partition l -aire X ( l ) = (cid:0) Γ , c ( l ) (cid:1) est dite le ( l -)squelette de X . La chaˆıne vide sera viride. Exercice 2.7 . — Tout squelette d’une configuration est une configuration. Ici le fait que l’axiome (b) dans la d´efinition de configuration soit valable mˆeme pour η non injectif est crucial.Pour X = (Γ , c ) une structure de partition et Γ ′ ⊂ Γ , la sous-structure induite X [Γ ′ ] est la structure (Γ ′ , c | Γ ′ ) d´efinie par la restriction de c `a Γ ′ . Il est clair que, si X est uneconfiguration, alors X [Γ ′ ] l’est aussi. * * *Il ne faut pas confondre une structure de partition ( partition structure ) avec ce quenous appellerons un d´ecoupage ( colored partition ). Un d´ecoupage d’un ensemble Γ estun coloriage de Γ suppl´ement´e d’une partition de chaque classe de couleur. (Une classede couleur est l’ensemble de sommets d’une couleur donn´ee.) Un d´ecoupage est dit admissible si chaque ensemble B dans chaque partition est de taille ≥ . Pour α < ,un α -d´ecoupage est un d´ecoupage admissible tel que | B | ≤ α | Γ | pour chaque B .Un d´ecoupage est une structure plus fine que le coloriage qu’il raffine, mais moins fineque la structure que nous obtiendrions si nous donnions `a chaque ´el´ement de chaquepartition une couleur diff´erente. Un automorphisme ou isomorphisme d’un d´ecoupagedoit pr´eserver les couleurs de celui-ci, mais pourrait permuter les ensembles de la mˆemetaille qui appartiennent `a la partition d’une couleur. Comme les ensembles de taillediff´erente ne peuvent, ´evidemment, ˆetre permut´es, il est clair que nous pouvons supposersans perte de g´en´eralit´e que toute couleur est partitionn´ee en ensembles de la mˆemetaille. Nous ajoutons ceci `a la d´efinition de α -d´ecoupage `a partir de maintenant.125–10 k -aires Pour ~x ∈ Γ k , z ∈ Γ et ≤ i ≤ k , nous d´efinissons ~x i ( z ) ∈ Γ k comme suit : ~x i ( z ) = ( x , x , . . . , x i − , z, x i +1 , . . . , x k ) . D´efinition 2.8 . — Une configuration coh´erente k -aire X = (Γ , c ) est une configuration k -aire ayant la propri´et´e suivante : il y a une fonction γ : C k × C → Z ≥ telle que,pour ~k ∈ C k et j ∈ C arbitraires et tout ~x ∈ Γ k tel que c ( ~x ) = j , |{ z ∈ Γ : c ( ~x i ( z )) = k i ∀ ≤ i ≤ k }| = γ ( ~k, j ) . Les valeurs γ ( ~k, j ) sont appel´ees nombres d’intersection de X . Une configuration coh´erente est dite classique si k = 2 . Remarque 2.9 . — Les configurations coh´erentes classiques ont ´et´e introduites par Hig-man [Hi]. Les premiers exemples ´etaient du type schurien : une configuration est schu-rienne si elle est la partition de Γ dans ses orbites (« orbitales ») sous l’action d’ungroupe G < Sym(Γ) . D´efinition 2.10 . — Si une configuration coh´erente classique n’a que deux couleurs,une pour { ( x, x ) : x ∈ Γ } et l’autre pour son compl´ement, la configuration est dite uneclique , ou triviale . Exercice 2.11 . — Tout squelette d’une configuration coh´erente est coh´erent. Encore une fois, l’axiome (b) des configurations joue un rˆole cl´e. Exercice 2.12 . — Soient X = (Γ , c ) une configuration coh´erente et Γ ′ ⊂ Γ une classede couleurs en relation au coloriage induit par c sur Γ . Alors la sous-structure induite X [Γ ′ ] est une configuration coh´erente. Ici, c’est un cas sp´ecial de (b) qu’il faut utiliser : la couleur c ( x , . . . , x n ) « connaˆıt »les couleurs c ( x ) , . . . , c ( x n ) , puisque c ( x i ) = c ( x i , . . . , x i ) .Soient ≤ l < k et ~x ∈ Γ l . Nous colorions Γ k − l comme suit : pour ~y ∈ Γ k − l , c ~x ( ~y ) = c ( ~x~y ) . En r´esulte une structure de partition ( k − l ) -aire X ~x = (Γ , c ~x ) . Exercice 2.13 . — Soit X = (Γ , c ) une structure de partition ; soit ~x ∈ Γ l , ≤ l < k .Alors(a) c ~x est un raffinement du coloriage du squelette X ( k − l ) .(b) Si X est coh´erente, X ~x l’est aussi. Il est clair que, de plus, X ~x est canonique en relation `a ~x , ce qui veut dire que X → X ~x commute avec l’action sur Γ du stabilisateur dans Sym(Γ) des points x , . . . , x l .125–11 D´efinition 2.14 . — Une configuration coh´erente (Γ , c ) est dite homog`ene si la couleur c ( x, x, . . . , x ) de tout sommet x ∈ Γ est la mˆeme. Une configuration coh´erente classiqueest dite primitive si elle est homog`ene et les graphes G r = { ( x, y ) : x, y ∈ Γ , c ( x, y ) = r } (pour toute couleur r telle que c ( x, y ) = r pour au moins une paire ( x, y ) avec x = y )sont tous connexes. Elle est dite uniprimitive si elle est primitive et non triviale. Nous n’avons pas besoin de pr´eciser si ces graphes son connexes dans le sens propre(`a savoir, il y a un chemin de tout sommet `a tout autre, respectant l’orientation)ou dans le sens faible (sans compter l’orientation) : le fait que (Γ , c ) soit coh´erente,classique et homog`ene implique que d + r ( x ) = |{ y ∈ Γ : ( x, y ) ∈ G r }| est ind´ependantde x (pourquoi ?), ce qui implique que toute composante faiblement connexe de G r estconnexe (exercice). Exercice 2.15 . — Soit X = (Γ , c ) une configuration coh´erente classique uniprimitive.Il n’y a aucun ensemble B ⊂ Γ , | B | > | Γ | / , tel que la restriction de X `a B soit uneclique. Solution – Si les arˆetes de la grande clique sont sens´ees ˆetre blanches, soit noir uneautre couleur d’arˆetes de X , et soit G = G noir . Or, pour un graphe orient´e bir´egulier (7) G non vide avec Γ comme ensemble de sommets, il est impossible qu’il y ait un ensemble B ⊂ Γ , | B | > | G | / , tel que la r´eduction du graphe `a B soit vide (pourquoi ?). Exercice 2.16 . — Soit (Γ , c ) une configuration coh´erente classique homog`ene.(a) Soit r , . . . , r k une s´equence de couleurs. Alors, si x , x k ∈ Γ sont tels que c ( x , x k ) = r , le nombre de x , . . . , x k − ∈ Γ tels que c ( x i − , x i ) = r i pour tout ≤ i ≤ k d´epend seulement de r , . . . , r k .(b) Pour toute couleur r , toute composante connexe de G r est de la mˆeme taille. Solution (esquisse) — En (a), le cas k = 2 vaut par la d´efinition de « coh´erent » ;prouvez les cas k > par induction. Pour prouver (b), utilisez (a). k -aire `a la fa¸con de Weisfeiler-Leman D´efinissons un foncteur F qui envoie une configuration X = (Γ , c ) `a une configura-tion coh´erente F ( X ) = (Γ , c ′ ) . Comme F ( X ) sera un raffinement de X , nous aurons Iso( X , Y ) = Iso( F ( X ) , F ( Y )) .L’algorithme 3, qui calcule F , est bas´e sur une id´ee de Weisfeiler et Leman (8) [WL].Il s’agit d’it´erer une proc´edure de raffinement. Si, dans une it´eration, aucun raffinementne se produit – c’est-`a-dire, si les classes d’´equivalence du nouveau coloriage C i sont lesmˆemes que celles de l’ancien coloriage C i − – alors, (a) aucun raffinement ne se produiradans le futur, (b) le coloriage C i − est d´ej`a coh´erent. 7. Voir la d´efinition du §2.6.8. Aussi appel´e Lehman, mais [Ba] indique que le deuxi`eme auteur pr´ef´erait Leman . Deux trans-formations naturelles L → Л, Л → L peuvent ne pas ˆetre l’inverse l’une de l’autre. C = C a r couleurs diff´erentes du d´ebut, il est clair qu’il ne peutˆetre raffin´e que | Γ | k − r fois. Alors, | Γ | k − r it´erations sont suffisantes pour produire uneconfiguration coh´erente. En particulier, si l’indexation est faite en temps logarithmique,et le vecteur dans le pas 6 de l’algorithme 3 est repr´esent´e comme un vecteur creux(puisque son nombre d’entr´ees non-nulles est au plus | Γ | ), le temps pris par l’algorithmeest O ( k | Γ | k +1 log | Γ | ) . (En outre, [Ba, §2.8.3] affirme une borne plus forte.)Les algorithmes de type Weisfeiler-Leman ´etaient autrefois regard´es comme une ap-proche plausible au probl`eme de l’isomorphisme de graphes. Depuis [CFI], [EvP], il estclair qu’il ne se suffisent pas `a eux-mˆemes. Ils sont quand mˆeme un outil pr´ecieux. Laversion k -aire ici est due `a Babai-Mathon [Ba3] et Immerman-Lander [ImL]. Algorithme 3 Weisfeiler-Leman pour les configurations k -aires. fonction WeisfeilerLeman ( Γ , k , c : Γ k → C ) C ← C ; c ← c ; i ← | Γ k | − | c (Γ k ) | pour i = 1 jusqu’`a i I i ← ∅ pour ~x ∈ Γ k ν ← (cid:16) c i − ( ~x ) , ( |{ z ∈ Γ : c i − ( ~x j ( z )) = r j ∀ ≤ j ≤ k }| ) ~r ∈ C ki − (cid:17) c i ( ~x ) = Indexeur ( I i , ν ) ⊲ Indexeur est comme dans l’algorithme 2 C i ← indices de I i retourner (cid:0) c n − i : Γ k → C n − i , ( I i ) ≤ i ≤ n − i (cid:1) ⊲ ( I i ) donne du sens `a C n − r designs en blocs Nous savons d´ej`a qu’un graphe est une paire ( V, A ) , o`u V est un ensemble (« som-mets ») et A est une collection de paires d’´el´ements de V (voire de sous-ensembles de V avec deux ´el´ements, si le graphe est non orient´e). Un graphe non orient´e est dit r´egulier sile degr´e de tout sommet est le mˆeme ; un graphe orient´e est dit bir´egulier si le degr´e sor-tant d + ( v ) = |{ w ∈ V : ( v, w ) ∈ A }| et le degr´e entrant d − ( v ) = |{ w ∈ V : ( v, w ) ∈ A }| sont ind´ependants de v . (Pour V fini, ils sont forc´ement la mˆeme constante.)Un graphe biparti est un triplet ( V , V ; A ) avec A ⊂ V × V . Un graphe biparti est semir´egulier si le degr´e (9) d + ( v ) est ind´ependant de v ∈ V , et le degr´e d − ( v ) estind´ependant de v ∈ V . Exercice 2.17 . — Soit X = (Γ , c ) une configuration coh´erente classique homog`ene.(a) Soient C , C deux classes de couleur, et soit vert une couleur d’arˆetes en C × C .Alors, le graphe biparti ( C , C ; G vert ) est semir´egulier. 9. Nous omettons les mots « entrant » et « sortant », puisqu’il est ´evident qu’il s’agit du degr´eentrant dans le cas de v et du degr´e sortant dans le cas de v . (b) Soit y ∈ Γ , et L i ( y ) = { x ∈ Γ : c ( x, y ) = i } . Soient lin , bis et terre trois couleursd’arˆetes. Alors, pour L = L lin ( y ) et L = L bis ( y ) , le graphe biparti ( L , L ; R terre ∩ ( L × L )) est semir´egulier. Exercice 2.18 . — Soit X une configuration coh´erente classique homog`ene. Soient C , C deux classes de couleur. Soient vert une couleur d’arˆetes en C × C et rouge unecouleur d’arˆetes en C × C . Soient B , . . . , B m les composantes connexes de G rouge en C . D´efinissons le graphe biparti Y = ( C , { , . . . , m } ; D ) comme suit : ( x, y ) ∈ D ssi ( x, y ) ∈ G vert pour au moins un y ∈ B i . Alors Y est semir´egulier. Solution — Notez que, pour y ∈ B i et x ∈ C , ( x, y ′ ) est vert pour au moins un y ′ ∈ B i ssi il existe x = x, x , . . . , x m tels que ( x i , x i +1 ) est rouge pour ≤ i < m et ( x m , y ) est vert. Concluez par l’exercice 2.16a que tous les sommets en { , . . . , m } ontle mˆeme degr´e en Y .De fa¸con analogue, montrez que, pour x ∈ V et y ∈ B i tels que ( x, y ) est rouge,le nombre de z ∈ B i tels que ( x, z ) est rouge ne d´epend pas de x , y ou i . Notons cenombre q . Alors, le degr´e de tout v ∈ C est son degr´e en X , divis´e par q . Par (a), il ned´epend donc pas de v .Un graphe biparti est complet (en tant que graphe biparti) si A = V × V . Un graphebiparti qui n’est ni vide ni complet est appel´e non trivial .Un hypergraphe H = ( V, A ) consiste en un ensemble V (« sommets ») et une collec-tion A de sous-ensembles de V (« arˆetes »), peut-ˆetre avec des sous-ensembles r´ep´et´es.Un hypergraphe est dit u -uniforme si | A | = u pour tout A ∈ A . Il est dit r´egulier dedegr´e r si tout v ∈ V appartient `a exactement r ensembles A dans A .L’hypergraphe u -uniforme complet sur V est ( V, { A ⊂ V : | A | = u } ) , o`u chaqueensemble A est compt´e une fois. Un coloriage des arˆetes de l’hypergraphe complet estune application de { A ⊂ V : | A | = u } `a un ensemble fini C .Un block design ´equilibr´e (BDE) de param`etres ( v, u, λ ) est un hypergraphe avec | V | = v sommets, u -uniforme et r´egulier de degr´e r ≥ , tel que toute paire { v , v } desommets distincts est contenue dans exactement λ ≥ arˆetes (« blocks »). Un blockdesign d´eg´en´er´e a la mˆeme d´efinition, mais avec λ = 0 , et la condition additionnelled’ˆetre un hypergraphe r´egulier. (La r´egularit´e peut ˆetre d´eduite de la d´efinition si λ ≥ .)Un block design est incomplet si u < v . Notons b le nombre | A | d’arˆetes d’un BDE. Proposition 2.19 (In´egalit´e de Fisher (11) [F]). — Pour tout block design ´equilibr´eincomplet, b ≥ v . Il est ais´e de voir que cette in´egalit´e est vraie mˆeme pour les designs d´eg´en´er´es.Les blocks designs admettent une g´en´eralisation. Un design t - ( v, u, λ ) est un hyper-graphe ( V, A ) u -uniforme avec v = | V | sommets tel que tout T ⊂ V de taille t estcontenu dans exactement λ arˆetes. Ici t ≥ et λ ≥ . Nous ´ecrivons toujours b = | A | . 11. Si, R. A. Fisher, le statisticien. Ici design vient d’ experimental design . Proposition 2.20 ([RChW]). — Pour tout design t - ( v, u, λ ) et tout s ≤ min( t/ , v − u ) ,nous avons b ≥ (cid:0) vs (cid:1) . Un sch´ema d’association est une configuration coh´erente classique (Γ , c : Γ → C ) telle que c ( x, y ) = c ( y, x ) ∀ x, y ∈ Γ . (Il s’agit donc d’un sens du mot sch´ema qui n’arien `a voir avec les sch´emas de la g´eom´etrie alg´ebrique.)Soient s ≥ et r ≥ s + 1 . Un sch´ema de Johnson J ( r, s ) = (Γ , c ) est donn´e par Γ = S s (Λ) = { S ⊂ Λ : | S | = s } , c ( S , S ) = | S \ ( S ∩ S ) | , o`u Λ est un ensemble `a r ´el´ements. La relation R i est bien sˆur l’ensemble R i = { ( S , S ) : c ( S , S ) = i } . Notons que nous avons d´efini implicitement un foncteur de la cat´egorie d’ensembles Λ avec | Λ | = r `a la cat´egorie de sch´emas de Johnson. Ceci est un foncteur plein ; autrementdit, les seuls automorphismes de J ( r, s ) sont ceux qui sont induits par Sym(Λ) . Il est une chose de d´emontrer que deux groupes G , H sont isomorphes, et une autrede construire un isomorphisme φ de fa¸con explicite entre eux. Cette derni`ere tˆacheimplique, au moins, de donner les images φ ( g ) , . . . , φ ( g r ) de g´en´erateurs g , . . . , g r de G .Voyons un cas particulier qui nous sera crucial. Nous aurons un groupe de permutation G < Sym(Γ) , et nous saurons qu’il est isomorphe au groupe abstrait Alt m . Commentconstruire un isomorphisme ?Si m n’est pas trop petit en relation `a n = | Γ | , il est connu que G doit ˆetre isomorphe`a un groupe de permutation de la forme Alt ( k ) m , qui n’est autre que le groupe Alt m agissant sur l’ensemble S k (Λ ) = { S ⊂ Λ : | S | = k } `a (cid:0) mk (cid:1) ´el´ements, o`u Λ est unensemble `a m ´el´ements. (12) En d’autres termes, il existe une bijection ι : Γ → S k (Λ ) et un isomorphisme φ : G → Alt(Λ ) tels que ι ( ω g ) = ι ( ω ) φ ( g ) . Le probl`eme consiste `a construire ι : Γ → S k (Λ) et φ : G → Alt(Λ) , calculables entemps polynomial, avec ces mˆemes propri´et´es.Nous suivons [BLS]. Soient Υ ⊂ Γ × Γ l’orbitale la plus petite de G (hors la diagonale ( { ω, ω } : ω ∈ Γ } ) ; soit ∆ ⊂ Γ × Γ l’orbitale la plus grande. Nous supposerons que 12. Babai nomme les groupes Alt ( k ) m groupes de Johnson , par analogie avec les sch´emas de John-son. Puisque Alt ( k ) m n’est qu’un d´eguisement de Alt m , ne faudrait-il pas appeler ce dernier groupe deRamerrez ? m > ( k + 1) − , ce qui revient `a dire que n n’est pas trop grand en relation `a m . (13) Alors,(5) φ (Υ) = R = { ( S , S ) ∈ S k (Λ ) : | S ∩ S | = k − } ,φ (∆) = R k = { ( S , S ) ∈ S k (Λ ) : S ∩ S = ∅} . D´efinissons, pour ( x, y ) ∈ Υ , B ( x, y ) = { z ∈ Γ : ( x, z ) / ∈ ∆ , ( y, z ) ∈ ∆ } . Ceci est l’ensemble de tous les z tels que ι ( z ) intersecte ι ( x ) mais pas ι ( y ) . Soit C ( x, y ) = Γ \ [ z ∈ B ( x,y ) { r : ( z, r ) ∈ ∆( z ) } . Alors ι ( C ( x, y ))= { S ∈ S k (Λ ) : S ∩ S ′ = ∅ ∀ S ′ ∈ S k (Λ ) t.q. S ′ ∩ ι ( x ) = ∅ , S ′ ∩ ι ( y ) = ∅} = { S ∈ S k (Λ ) : i ∈ S } , o`u i est l’´el´ement de ι ( x ) qui n’est pas dans ι ( y ) .Soit Λ la collection { C ( x, y ) : ( x, y ) ∈ Υ } , sans multiplicit´es. Nous pouvons calculer etcomparer C ( x, y ) pour ( x, y ) donn´e, et calculer et indexer Λ , tout en temps polynomial.Nous calculons, aussi en temps polynomial, l’action de G sur Λ induite par l’action de G sur Υ . Ceci d´efinit φ : G → Alt(Λ) .Il y a une bijection naturelle j : Λ → Λ qui commute avec l’action de G : elle envoie C ( x, y ) `a i , o`u i est l’´el´ement de Λ tel que ι ( C ( x, y )) = { S ∈ S k (Λ ) : i ∈ S } . Ilest clair que, pour ω ∈ Γ , ω ∈ C ( x, y ) ssi j ( C ( x, y )) ∈ ι ( ω ) . Ainsi, nous obtenons labijection ι : Γ → S k (Λ) , donn´ee par ι ( ω ) = { γ ∈ Λ : ω ∈ γ } . Celle-ci satisfait ι ( ω g ) = ι ( ω ) φ ( g ) .Les applications φ , ι sont donc celles que nous d´esirions ; nous avons construit unisomorphisme explicite entre G et Alt(Λ) . Notons que cette mˆeme proc´edure nous per-met de construire un isomorphisme explicite entre, d’un cˆot´e, un sch´ema d’association(§2.7) qu’on sait ˆetre isomorphe `a un sch´ema de Johnson J ( m, k ) , et, de l’autre cˆot´e,ce mˆeme sch´ema. 13. Si m ≤ ( k + 1) − , alors n est si grand que m ! = n O (log n ) . En ce cas, nous pouvons enleverle groupe G (c’est-`a-dire, dans l’application qui nous int´eressera, un quotient G/N ) de fa¸con brutale,comme dans le cas 2 de la preuve du th´eor`eme 2.4 (Luks). Nous pourrions aussi nous passer de lasupposition m > ( k + 1) − au coˆut de quelques complications en ce qui suit. En particulier, φ (∆) ne serait pas R k comme dans (5), sinon un autre R j . 3. LA PROC ´EDURE PRINCIPALE Fonction Isomorphisme-de-Chaˆınesinput : G < Sym(Ω) x , y : Ω → Σ output : Iso G ( x , y ) G transitif ? G/N ∼ Alt m ? r´ecursion n ′ ≤ n/ r´ecursion n ′ < n aligner m petit ?blocs ∼ (cid:0) Γ k (cid:1) G primitif ? k = 1 ? cas trivial sym´etrie > / ? pullback x , y → relations k -airessur Γ Weisfeiler- Leman k -airecertificatslocauxcoupe ourelations ?pl´enitude > / ? r´eductionde G/N `a Alt m ′ m ′ ≪ √ m coupe ou J ohnson ? r´eductionde G/N `a Alt m ′ m ′ ≤ | m | / unecouleurdomine ?Lemmedes designs nonoui nonoui : G/N ∼ Alt(Γ) ouinonoui ouinon ouinonnonnon rels. oui nonouicoupe J coupe125–17 G transitif ? G/N ∼ Alt m ? r´ecursion n ′ < n r´ecursion n ′ ≤ n/ m petit ? nonouioui nonoui Les premiers pas de la proc´edure sont ceux de la preuve du Th´eor`eme 2.4 (Luks). Enparticulier, si G < Sym(Ω) n’est pas transitif, nous proc´edons exactement comme dansle cas non transitif de la preuve du Th´eor`eme 2.4. Bien qu’il soit possible que n = | Ω | ne d´ecroisse que tr`es l´eg`erement, la r´ecursion marche, puisque son coˆut est aussi tr`esl´eger dans ce cas : nous n’avons qu’`a subdiviser le probl`eme selon les orbites de G .Supposons que G soit transitif. Nous savons que nous pouvons trouver rapidementun syst`eme de blocs minimal R = { B i : 1 ≤ i ≤ r } , B i ⊂ Ω (§2.1.2). Par Schreier-Sims,nous trouvons aussi, en temps polynomial, le sous-groupe N ⊳ G des ´el´ements g ∈ G tels que B gi = B i pour tout i . Le groupe H = G/N agit sur R .Au lieu du Th´eor`eme 2.3 [BCP], nous utiliserons une cons´equence de la Classificationdes Groupes Finis Simples (CGFS). Elle a ´et´e d´eriv´ee pour la premi`ere fois par Cameron,puis raffin´ee par Mar´oti. Th´eor`eme 3.1 ([Cam], [Ma]). — Soit H < Sym( R ) un groupe primitif, o`u | R | = r estplus grand qu’une constante absolue. Alors, soit (14) (a) | H | < r r , soit(b) il y a un M ⊳ H tel que R se subdivise (15) en un syst`eme de (cid:0) mk (cid:1) blocs sur lequel M agit comme un groupe Alt ( k ) m , m ≥ . En plus, [ H : M ] ≤ r . La borne [ H : M ] ≤ r se d´eduit de m > , | H | ≥ r r , | H | ≤ m ! s s ! , m s ≤ r et [ H : M ] ≤ s s ! , o`u s ≥ est un param`etre dans Cameron-Mar´oti.Il est possible [BLS] de trouver en temps polynomial le sous-groupe normal M et lesblocs de l’action de M . Nous avons d´ej`a vu au §2.8 comment identifier explicitementl’action de M avec celle de Alt ( k ) m .Par ailleurs, l’algorithme de Schreier-Sims nous permet de calculer | H | en tempspolynomial, et donc nous dit aussi si nous sommes dans le cas (a). Si c’est le cas, nous 14. Pour nous, log d´esigne le logarithme en base , et non pas le logarithme it´er´e log log .15. L’´enonc´e dans [Cam], [Ma] est plus fort : il d´ecrit toute l’action de H sur R . `A vrai dire, le groupe M est isomorphe, en tant que groupe de permutation, `a (Alt ( k ) m ) s , s ≥ . Nous avons r = (cid:0) mk (cid:1) s . r r instances du probl`eme pour des chaˆınes de longueur ≤ n/r .Si nous sommes dans le cas (b) nous commen¸cons toujours par r´eduire le probl`eme `a [ H : M ] instances du probl`eme avec M `a la place de H : par l’´equation (2) et commedans l’´equation (4), Iso H ( x , y ) = [ σ ∈ S Iso M (cid:16) x , y σ − (cid:17) σ, o`u S est un syst`eme de repr´esentants des classes de M dans H .Si m ≤ C log n , o`u C est une constante, | M | = m !2 < m m ≤ m C log n ≤ ( m ′ ) C log n , o`u m ′ = (cid:0) mk (cid:1) . Donc, ici comme dans le cas (a), nous nous permettons de proc´edercomme dans le cas transitif de la preuve du Th´eor`eme 2.4. Nous obtenons une r´eduction`a ≤ r · ( m ′ ) C log n = ( m ′ ) O (log n ) instances du probl`eme pour des chaˆınes de longueur n/m ′ . Ceci est tout `a fait consistant avec l’objectif d’avoir une solution en temps quasi-polynomial en n (ou mˆeme en temps n O (log n ) ).Il reste `a savoir que faire si nous sommes dans le cas suivant : il y a un isomorphisme φ : G/N → Alt(Γ) , | Γ | > C log n , C une constante. (Ici nous avons d´ej`a (i) remplac´e G par la pr´eimage de M dans la r´eduction G → G/N , et, apr`es cela, (ii) remplac´e N parle stabilisateur des blocs dans la partie (b) du Th´eor`eme 3.1.) Ce cas nous occuperapour le reste de l’article. * * *Babai indique comment enlever la d´ependance de CGFS `a cette ´etape. Soient G et N comme avant, avec G transitif. Alors G/N est un groupe primitif agissant sur l’ensemblede blocs R .Si un groupe de permutations sur un ensemble R est tel que son action sur l’ensembledes paires d’´el´ements distincts de R est transitive, le groupe est dit doublement transitif .Or, un r´esultat de Pyber qui ne d´epend pas de CGFS [Py2] nous dit qu’un tel groupeest soit Alt( R ) , soit Sym( R ) , soit d’ordre ≤ | R | O (log | R | ) .Si G/N est Alt( R ) ou Sym( R ) , nous sommes dans le cas que nous discuterons d’icijusqu’`a la fin. Si G/N est doublement transitif, mais n’est ´egal ni `a Alt( R ) ni `a Sym( R ) ,nous pouvons proc´eder comme dans le cas transitif de la preuve du Th´eor`eme 2.4,puisque | G/N | ≤ r O (log r ) , r = | R | ≤ n . (Babai propose aussi un traitement alternatif,mˆeme plus efficace et ´el´ementaire.)Supposons donc que G/N n’est pas doublement transitif. Alors la configurationcoh´erente schurienne (§2.4) qu’elle induit n’est pas une clique. En cons´equence, nouspouvons donner cette configuration `a la proc´edure Coupe-ou-Johnson (§5.2), et re-prendre le fil de l’argument `a ce point-l`a.125–19 4. LA STRUCTURE DE L’ACTION DE Alt Nous aurons besoin de plusieurs r´esultats sur les ´epimorphismes G → Alt k . Ils joue-ront un rˆole crucial dans la m´ethode des certificats locaux (§6.1). Dans la version ori-ginale [Ba], ils ont aussi ´et´e utilis´es dans le rˆole jou´e par [BLS] dans cet expos´e. Lemme 4.1 . — Soit G < Sym(Ω) primitif. Soit φ : G → Alt k un ´epimorphisme avec k > max(8 , | Ω | ) . Alors φ est un isomorphisme. Prouver ce lemme est `a peu pr`es un exercice en th´eorie des groupes finis ; il faututiliser [BaPS, Prop. 1.22] pour le cas de socle ab´elien et la conjecture de Schreier pourle cas de socle non ab´elien. La conjecture de Schreier est un th´eor`eme, mais un th´eor`emedont la preuve d´epend, `a son tour, de CGFS.Par contre, Pyber [Py] a donn´e une preuve du Lemme 4.1 qui n’utilise pas CGFS,avec une condition plus stricte : k > max( C, (log | Ω | ) ) , C constante. La d´ependancede CGFS a donc ´et´e compl`etement enlev´ee de la preuve du th´eor`eme principal. D´efinition 4.2 . — Soit G < Sym(Ω) . Soit φ : G → Sym k un homomorphisme dontl’image contient Alt k . Alors x ∈ Ω est dit atteint si φ ( G x ) ne contient pas Alt k . Lemme 4.3 . — Soit G < Sym(Ω) . Soit φ : G → Alt k un ´epimorphisme avec k > max(8 , n ) , o`u n est la taille de la plus grande orbite de G .(a) Si G est transitif, tout x ∈ Ω est atteint.(b) Au moins un x ∈ Ω est atteint. Preuve (esquisse) — (a) Ceci d´ecoule imm´ediatement du Lemme 4.1 si G est primitif,ou si K < ker( φ ) pour K le stabilisateur d’un syst`eme de blocs minimal. Il reste le casde φ : K → Alt k surjectif. En g´en´eral : Lemme. — Pour K i arbitraires, K < K × · · · × K s et un ´epimorphisme φ : K → S , S simple, il doit y avoir un i tel que φ se factorise comme suit : K → K i ψ → S , ψ un ´epimorphisme.En utilisant ce lemme pour les restrictions K i de K aux orbites de K , nous passons `aune orbite K i , et proc´edons par induction.(b) Soient Ω , . . . , Ω m les orbites de G , et soit G i = G | Ω i la restriction de G `a Ω i . Parle Lemme en (a), il doit y avoir un i tel que φ se factorise en G → G i ψ → Alt k , ψ un´epimorphisme. Alors, par (a), ( G x ) ψ = (( G i ) x ) ψ = Alt k pour tout x ∈ Ω i .La proposition suivante jouera un rˆole crucial au §6. Proposition 4.4 . — Soient G < Sym(Ω) transitif et φ : G → Alt k un ´epimorphisme.Soit U ⊂ Ω l’ensemble des ´el´ements non atteints.(a) Supposons que k ≥ max(8 , n ) , o`u n est la taille de la plus grande orbitede G . Alors ( G ( U ) ) φ = Alt k . (b) Supposons que k ≥ . Si ∆ est une orbite de G qui contient des ´el´ements atteints,alors chaque orbite de ker( φ ) contenue dans ∆ est de longueur ≤ | ∆ | /k . Rappelons que G ( U ) = { g ∈ G : x g = x ∀ x ∈ U } (stabilisateur de points). Preuve — (a) Il est facile de voir que G fixe U en tant qu’ensemble. Alors, G ( U ) ⊳ G ,et donc ( G ( U ) ) φ ⊳ G φ . Or, G φ = Alt k . Supposons que ( G ( U ) ) φ = { e } . Alors φ se factorisecomme suit : G → G | U ψ → Alt k , puisque G ( U ) est le noyau de G → G | U . Ici ψ est un ´epimorphisme, et donc, par le Lemme4.3 (b), il existe un x ∈ U tel que (( G | U ) x ) ψ = Alt k . Or (( G | U ) x ) ψ = ( G x ) φ = Alt k ,parce que x est dans U , c’est-`a-dire non atteint. Contradiction.(b) Comme ∆ contient des ´el´ements atteints et est une orbite de G , tout ´el´ement de ∆ est atteint. Soit N = ker( φ ) , x ∈ ∆ . La longueur de l’orbite x N est (cid:12)(cid:12) x N (cid:12)(cid:12) = [ N : N x ] = [ N : ( N ∩ G x )] = [ N G x : G x ] = [ G : G x ][ G : N G x ]= | ∆ | [ G φ : ( G x ) φ ] = | ∆ | [Alt k : ( G x ) φ ] . Or, tout sous-groupe propre de Alt k est d’indice ≥ k . Donc (cid:12)(cid:12) x N (cid:12)(cid:12) ≤ | ∆ | /k . G primitif ? k = 1 ? cas trivial sym´etrie > / ? pullbackoui ouinon oui Consid´erons le cas de G primitif. Nous pouvons supposer que G est isomorphe entant que groupe de permutation `a Alt ( k ) m , puisque nous avons d´ej`a ´elimin´e les autrescas au §3 (peut-ˆetre en passant `a un groupe non primitif M ; le cas non primitif seratrait´e au §6). Comme nous l’avons vu au §2.8, nous pouvons construire une bijection ι entre Ω et l’ensemble S k (Γ) des sous-ensembles avec k ´el´ements d’un ensemble Γ . Cettebijection induit un isomorphisme φ : G → Alt(Γ) .Si k = 1 , alors Ω est en bijection avec Γ , et G ∼ Alt n = Alt m . Nous sommes doncdans le cas trivial : le groupe Aut G ( x ) consiste en les ´el´ements de Alt n qui permutentles lettres de x de la mˆeme couleur, et Iso G ( x , y ) est non vide ssi x et y ont exactementle mˆeme nombre de lettres de chaque couleur – o`u, si aucune lettre n’est r´ep´et´ee ni en x ni en y , nous ajoutons la condition que la permutation de { , . . . , n } qui induit x y soit dans Alt n .Alors, soit G primitif, k > .125–21Deux ´el´ements γ , γ ∈ Γ sont des jumeaux par rapport `a un objet si la transposition ( γ γ ) le laisse invariant. Il est clair que les jumeaux forment des classes d’´equivalence,et que, pour toute telle classe d’´equivalence C , tout Sym( C ) laisse l’objet invariant.Notre objet sera la chaˆıne x (ou y ) : γ , γ sont des jumeaux par rapport `a x si, pourtout i ∈ Ω , x ( i ) = x ( τ φ − ( i )) , o`u τ = ( γ γ ) .Nous pouvons donc d´eterminer facilement (et en temps polynomial) les classesd’´equivalence en Γ (dites classes de jumeaux ), et v´erifier s’il y a une classe d’´equivalence C de taille > | Γ | / . Examinons cette possibilit´e puisque nous devrons l’exclure apr`es.La classe C de taille > | Γ | / est ´evidemment unique et donc canonique. Si x a unetelle classe et y ne l’a pas, ou si les deux ont de telles classes, mais de tailles diff´erentes,alors x et y ne sont pas isomorphes.Si x , y ont des classes de jumeaux C x , C y de la mˆeme taille > | Γ | / , nous choisissons σ ∈ Alt(Γ) tel que C x = ( C y ) σ . (Nous supposons m > .) En rempla¸cant y par y σ ′ , o`u σ ′ = φ − ( σ − ) , nous r´eduisons notre probl`eme au cas C x = C y . (Voil`a l’exemple le plussimple de ce que Babai appelle aligner ; nous avons align´e C x et C y .)Alors, soit C = C x = C y . La partition { C, Γ \ C } de Γ induit une partition { Ω j } ≤ j ≤ k de Ω : ω ∈ Ω j ssi ψ ( ω ) contient k − j ´el´ements de C et j ´el´ements de Γ \ C . Il est ais´ede montrer que α k − j (1 − α ) j (cid:0) kj (cid:1) < / pour α ∈ (1 / , , ≤ j ≤ k ; donc, | Ω j | < n/ pour ≤ j ≤ k .Nous avons r´eduit notre probl`eme `a celui de d´eterminer Iso H ( x , y ) , o`u H = φ − (Alt(Γ) C ) . Ici le besoin de prendre un stabilisateur d’ensemble (`a savoir, Alt(Γ) C )ne pose aucun souci : nous engendrons H en prenant des pr´eimages φ − ( h ) , . . . , φ − ( h ) de deux g´en´erateurs h , h de Alt( C ) < Alt(Γ) , deux g´en´erateurs h , h de Alt(Γ \ C ) < Alt(Γ) et un ´el´ement h ∈ Alt(Γ) de la forme ( γ γ )( γ γ ) , o`u γ , γ ∈ C , γ , γ ∈ Γ \ C . (Si | Γ | < , le nombre de g´en´erateurs est moindre, et la discussion sesimplifie.) Notre probl`eme se r´eduit `a celui de d´eterminer Iso H ′ ( x , y ′ ) pour y ′ = y et y ′ = y h , o`u H ′ = φ − (Alt( C ) × Alt(Γ \ C )) = φ − ( h h , . . . , h i ) .Comme C est une classe de jumeaux pour x , tout ´el´ement de φ − (Alt( C )) laisse x invariant. Si x | Ω = y | Ω , alors Iso H ′ ( x , y ) = ∅ .Soit alors x | Ω = y | Ω . Nous avons r´eduit notre probl`eme `a celui de d´eterminer Iso H ′ | Ω ′ ( x | Ω ′ , y | Ω ′ ) , o`u Ω ′ = Ω \ Ω . Rappelons que H ′ | Ω ′ agit sur Ω ′ avec des orbitesde longueur | Ω i | < n/ . Nous proc´edons donc comme dans le cas non transitif de lam´ethode de Luks (preuve du Thm. 2.4).125–22 5. DES CHAˆINES AUX SCH ´EMAS DE JOHNSON x , y → relations k -airessur Γ Weisfeiler- Leman k -aire Lemmedes designs unecouleurdomine ? coupe ou J ohnson ? r´ecursion n ′ ≤ n/ ouinon Discutons maintenant le cas de G primitif et, plus pr´ecis´ement, G isomorphe `a Alt ( k ) m , k ≥ . Maintenant nous pouvons supposer que nos chaˆınes x , y n’ont pas de classes dejumeaux de taille > m/ . Les outils principaux que nous d´evelopperons (Lemme desdesigns, coupe-ou-Johnson) nous seront utiles, voire essentiels, aussi dans le cas de G imprimitif.Nous avons une bijection entre les ´el´ements de Ω et { S ⊂ Γ : | S | = k } . Pour x : Ω → Σ donn´e, nous avons donc une structure relationnelle X = (Γ , ( R i ) i ∈ Σ ) k -airesur Γ : ( x , . . . , x k ) ∈ R i si x , . . . , x k sont tous diff´erents et x ( ω ) = i , o`u ω est l’´el´ementde Ω qui correspond `a { x , . . . , x k } .Nous appliquons `a X le foncteur F (§2.3), qui fait d’elle une structure de partition,puis le foncteur F (encore §2.3), qui nous donne une configuration k -aire, et, finale-ment, le foncteur F d´efini par Weisfeiler-Leman k -aire (§2.5). Nous obtenons ainsi unraffinement F ( F ( F ( X ))) = (Γ , c x : Ω k → C ) qui est une configuration coh´erente k -aire.Comme F , F , F sont des foncteurs, l’assignation de c x `a x est canonique. Elle noussera donc utile : si c x et c y ne sont pas isomorphes sous l’action de Alt m , alors x et y ne sont pas isomorphes sous l’action de Alt ( k ) m non plus.Nous obtiendrons une configuration coh´erente classique de fa¸con canonique `a partirde c x (Lemme des designs ). Soit cette nouvelle configuration sera non triviale, soit nousobtiendrons un coloriage canonique sans couleur dominante, ce qui nous permettraimm´ediatement de r´eduire le probl`eme `a un certain nombre de probl`emes pour deschaˆınes plus courtes, comme dans l’algorithme de Luks.Supposons, alors, que nous disposons d’une configuration coh´erente classique non tri-viale assign´ee de fa¸con canonique `a x . La proc´edure Coupe-ou-Johnson nous donneral’un ou l’autre de ces deux r´esultats : soit un d´ecoupage canonique de Γ , soit un sch´emade Johnson plong´e de fa¸con canonique dans Γ . Dans un cas comme dans l’autre, avoirune telle structure canonique limite fortement l’ensemble d’isomorphismes et automor-phismes possibles. Nous pourrons r´eduire G `a un sous-groupe ∼ Alt m ′ , avec m ′ ≤ m/ ,dans le cas du d´ecoupage, ou m ′ ≪ √ m , dans le cas de Johnson. D´ej`a m ′ ≤ m/ estsuffisante pour une r´ecursion r´eussie.125–23 ´Etant donn´es une configuration X = (Γ , c : Γ k → C ) et un param`etre / ≤ α < ,une couleur i est dite α -dominante si c ( γ, . . . , γ ) = i pour ≥ α | Γ | valeurs de γ ∈ Γ . Laclasse de couleurs { γ ∈ Γ : c ( γ, . . . , γ ) = i } est, elle aussi, dite dominante . Par contre,si, pour toute couleur i , la classe { γ ∈ Γ : c ( γ, . . . , γ ) = i } est de taille < α | Γ | , lecoloriage est dit un α -coloriage .Comme avant, deux ´el´ements γ , γ ∈ Γ sont des jumeaux par rapport `a une struc-ture X (ici, une configuration coh´erente sur Γ ) si ( γ γ ) ∈ Aut( X ) . Proposition 5.1 (Lemme des designs). — Soit X = (Γ , c : Γ k → C ) une configurationcoh´erente k -aire, o`u ≤ k ≤ | Γ | / . Soit / ≤ α < . Supposons qu’il n’y a aucuneclasse de jumeaux dans Γ avec > α | Γ | ´el´ements.Alors, au moins une des options suivantes est vraie :(a) il existe x , . . . , x ℓ ∈ Γ , ≤ ℓ < k , tels que X (1) ~x n’a pas de couleur α -dominante ;(b) il existe x , . . . , x ℓ ∈ Γ , ≤ ℓ < k − , tels que X (1) ~x a une couleur α -dominante C et ( X ~x ) (2) [ C ] n’est pas une clique. La notation a ´et´e d´efinie dans les sections 2.3 – 2.4 . En particulier, le -squelette X (1) ~x est tout simplement un coloriage de Γ . Lemme 5.2 (Lemme de la grande clique). — Soit X = (Γ , c ) une configuration coh´erenteclassique. Soit C ⊂ Γ une classe de couleurs avec | C | ≥ | Γ | / . Si X [ C ] est une clique,alors C est une classe de jumeaux. Preuve — Supposons que C n’est pas une classe de jumeaux. Il y a donc un x ∈ Γ et une couleur (disons, azur ) telle que c ( x, y ) est de cette couleur pour au moins un y ∈ C mais pas pour tous. Comme X [ C ] est une clique, x / ∈ C . Appelons la couleur de C carmin , et celle de x bronze . Soit B ⊂ Γ l’ensemble des ´el´ements de couleur bronze.Il s’agit de construire un block design ´equilibr´e (§2.6) qui contredise l’in´egalit´e deFisher (Prop. 2.19). D´efinissons A b = { y ∈ Γ : c ( by ) = azur } pour b ∈ B . Comme x ∈ B et c ( xy ) = azur pour au moins un y ∈ C , et c ( xy ) connaˆıt la couleur de y , tousles ´el´ements de A b sont carmin.Par la coh´erence de X et la d´efinition des nombres d’intersection (Def. 2.8), | A b | = γ ( azur , azur − , bronze ) , et donc | A b | ne d´epend pas de b . Comme nous l’avons dit au d´ebut, ≤ | A x | < | C | ;donc, ≤ | A b | < C pour tout b ∈ B .Montrez de fa¸con similaire que, pour v ∈ C , la taille de { b ∈ B : v ∈ A b } = { b ∈ B : c ( bv ) = azur } ne d´epend pas de b . Comme X [ C ] est une clique, c ( v, v ′ ) est de la mˆemecouleur pour tous v, v ′ ∈ C , v = v ′ ; appelons cette couleur dor´e . Montrez que { b ∈ B : v, v ′ ∈ A b } = γ ( azur , azur − , dor´e ) . Alors ( C, { A b } b ∈ B ) est un block design ´equilibr´e incomplet.125–24En cons´equence, par l’in´egalit´e de Fisher, | B | ≥ | C | . Or, nous savons que | C | > | Γ | / , B, C ⊂ Γ et B ∩ C = ∅ . Contradiction. Preuve du Lemme des designs (Prop. 5.1) — Supposons que pour chaque ~x ∈ Ω ℓ , ≤ ℓ < k , C ~x a une couleur α -dominante C ( ~x ) , et, en plus, si ℓ < k − , ( X ~x ) (2) [ C ] estune clique. Nous arriverons `a une contradiction.Soit C = C ( vide ) . Comme | C | > α | Γ | , C est trop grande pour ˆetre un ensemble dejumeaux. Donc il existe u, v ∈ C , u = v , tels que τ = ( uv ) / ∈ Aut( X ) . Soit ~y de longueurminimale r entre les chaˆınes satisfaisant c ( ~y τ ) = c ( ~y ) . Par cette minimalit´e et les r`eglesdans la d´efinition 2.5, y , . . . y r sont tous distincts. En les permutant, nous pouvonsassurer que u, v / ∈ { y , y , . . . , y r − } , et, sans perte de g´en´eralit´e, que soit (i) y r − = u, v , y r = u , soit (ii) y r − = u , y r = v . Dans le cas (i), nous choisissons ~x = y , . . . , y r − , ℓ = r − , et voyons que c ~x ( u ) = c ~x ( v ) ; dans le cas (ii), nous choisissons ~x = y , . . . , y r − , ℓ = r − , et obtenons c ~x ( u, v ) = c x ( v, u ) . Nous aurons donc une contradiction avec notresupposition une fois que nous aurons prouv´e que u, v ∈ C ( ~x ) .Le fait que u, v ∈ C ( ~x ) s’ensuivra imm´ediatement de l’´egalit´e C ( ~x ) = C \{ x , . . . , x ℓ } ;cette ´egalit´e, `a son tour, se d´eduit par it´eration du fait que, pour ~y de longueur ≤ k − et ~x = ~yz , z ∈ Ω ,(6) C ( ~x ) = C ( ~y ) \ { z } . Pourquoi (6) est-il vrai ? Nous sommes en train de supposer que X (2) ~y [ C ( ~y )] est uneclique, et que | C ( ~y ) | > α | Γ | ≥ | Γ | / . Donc, par le lemme de la grande clique, tousles ´el´ements de C ( ~y ) sont des jumeaux en X (2) ~y . En particulier, pour u ∈ C ( ~y ) \ { z } , c ~x ( u ) = c ~y ( zu ) ne d´epend pas de u . Puisque le coloriage de sommets en C ~x est unraffinement de celui en C ~y (par la deuxi`eme r`egle de la d´efinition 2.5), il s’ensuit que,soit C ( ~x ) = C ( ~y ) \ { z } , soit C ( ~x ) ⊂ Γ \ C ( ~y ) , soit C ( ~x ) = { z } . Comme | C ( ~x ) | , | C ( ~y ) | >α | Γ | ≥ | Γ | / , les deux derni`eres possibilit´es sont exclues.Nous appliquons le Lemme des designs (avec α = 1 / ) `a la configuration coh´erente k -aire X ′ = F ( F ( F ( X ))) , o`u X est donn´ee par x de la fa¸con d´ecrite au d´ebut de lasection. Nous parcourons tous les tuples possibles ~x = ( x , . . . , x ℓ ) ∈ Γ ℓ , ≤ ℓ < k ,jusqu’`a trouver un tuple pour lequel la premi`ere ou la deuxi`eme conclusion du Lemmedes designs est vraie.Si la premi`ere conclusion est vraie, nous d´efinissons c X = X (1) ~x et sautons `a la section5.3.1. Si la deuxi`eme conclusion est vraie, nous passons au §5.2, ayant d´efini X ′′ = X (2) ~x [ C ] , o`u C est la couleur α -dominante de X (1) ~x . Nous avons une configuration classique coh´erente homog`ene non triviale X ′′ = (Γ , c ) .(Nous rappelons que ceci est un coloriage c du graphe complet sur Γ tel que (a) les som-mets ont leur couleur propre (« couleur diagonale »), (b) les arˆetes ( x, y ) , x = y , ne sontpas toutes de la mˆeme couleur, (c) la couleur c ( x, y ) de l’arˆete ( x, y ) d´etermine c ( y, x ) ,et (d) l’axiome de coh´erence (2.8) se v´erifie.) Nous voudrions trouver des structures quid´ependent canoniquement de X ′′ et qui contraignent son groupe d’automorphismes.125–25Il est raisonnable de s’attendre `a ce que de telles structures existent : par le Th´eor`eme3.1, si le groupe d’automorphismes est transitif, soit il est imprimitif (et donc il laisseune partition invariante), soit il est pr`es d’ˆetre Alt ( k ) m , k ≥ , (qui laisse invariant unsch´ema de Johnson), soit il est petit (et donc le stabilisateur de quelques points aurades orbites petites, et ainsi nous donnera un coloriage sans couleur dominante). Le d´efiest de trouver de telles structures, et de le faire canoniquement.Si X ′′ n’est pas primitif (D´ef. 2.14), la tˆache est plutˆot facile : soit r la couleur nondiagonale la plus rouge telle que le graphe G r = { ( x, y ) : x, y ∈ Γ , c ( x, y ) = r } estconnexe ; par l’exercice 2.16, ceci donne une partition de Γ dans des ensembles de lamˆeme taille ≤ | Γ | / . Th´eor`eme 5.3 (Coupe ou Johnson). — Soit X = (Γ , c ) une configuration classiquecoh´erente uniprimitive. Soit / ≤ α < . En temps | Γ | O (1) , nous pouvons trouver— soit un α -d´ecoupage de Γ ,— soit un sch´ema de Johnson plong´e sur Γ ⊂ Γ , | Γ | ≥ α | Γ | ,et un sous-groupe H < Sym(Γ) avec [Sym(Γ) : H ] = | Γ | O (log | Γ | ) tel que le d´ecoupage, voire le sch´ema, est canonique en relation `a H . Le groupe H sera d´efini comme un stabilisateur de points en Γ . La valeur / dansl’´enonc´e est assez arbitraire ; toute valeur > / serait valable. Une valeur proche `a / affecterait les constantes implicites. Preuve — Choisissons un x ∈ Γ arbitraire. Donnons `a chaque y ∈ Γ la couleur de c ( x, y ) . Ce coloriage est canonique en relation `a G x . S’il n’y a aucune classe de couleur C de taille > α | Γ | , la partition triviale (non-partition) de chaque classe nous donne un α -d´ecoupage de Γ , et nous avons fini.Supposons, par contre, qu’il y ait une classe de couleur – disons, C lin – de taille > α | Γ | .Comme αn > n/ , la relation R lin de cette couleur est non orient´ee ( c ( y, z ) = lin ssi c ( z, y ) = lin). Le compl´ement de R lin (ou de toute autre relation) est de diam`etre (exercice). Soient x, z ∈ Γ tels que c ( x, z ) = lin, et soit y ∈ Γ tel que c ( x, y ) , c ( z, y ) = lin.Appelons c ( x, y ) bis et c ( z, y ) terre .Consid´erons le graphe biparti ( V , V ; A ) avec sommets V = C lin , V = C bis et arˆetes R terre ∩ ( V × V ) . Le graphe est non vide par d´efinition et semir´egulier par l’exercice2.17b. Par homog´en´eit´e et coh´erence, le nombre de y tels que c ( y, w ) est d’une couleurdonn´ee c est ind´ependant de w . Donc, il est toujours ≤ (1 − α ) n < n/ pour c = lin.Appliquant ceci `a c = terre et V , nous voyons que le degr´e |{ v ∈ V : ( v , v ) ∈ A }| est < n/ , et donc, comme | V | > n/ , le graphe n’est pas complet.Nous appliquons donc la Proposition 5.7 `a ( V , V ; A ) avec β = α | Γ | / | V | . Notons que | V | ≤ β | V | .Nous travaillerons donc avec un graphe biparti ( V , V ; A ) . La strat´egie sera d’essayer,soit de rendre V plus petit (par au moins un facteur constant), soit de trouver desstructures en lui. Soit ces structures nous permettront de r´eduire V quand mˆeme, soit125–26elles nous aideront `a d´ecouper V , ou `a trouver un sch´ema de Johnson assez grandsur V .Tout d’abord, nous devrons borner la sym´etrie en V , c’est-`a-dire r´eduire, voire´eliminer les jumeaux. Il y a deux raisons `a ceci.— Mˆeme si nous d´ecouvrions une structure assez riche en V , cela impliquerait peuou rien sur V si beaucoup d’´el´ements de V se connectent `a V de la mˆeme fa¸con.— Si V est petit, nous colorierons chaque sommet de V par son ensemble de voisinsen V . Ceci nous donnera un coloriage canonique en relation `a G ( V ) . Or, dans cecoloriage, deux sommets en V auront la mˆeme couleur ssi ils sont des jumeaux ;donc, si aucune classe de jumeaux en V n’a > α | V | ´el´ements, nous aurons un α -coloriage. Exercice 5.4 . — Soit ( V , V ; A ) un graphe biparti semir´egulier et non trivial. Alors,aucune classe de jumeaux en V n’a plus de | V | / ´el´ements. Solution — Nous assurons que | A | ≤ | V || V | / en prenant le compl´ement s’il estn´ecessaire. Soient d le degr´e des sommets en V et S une classe de jumeaux en V .Montrez que d ≥ | S | , et donc | A | ≥ | S || V | . Exercice 5.5 . — Soit ( V , V ; A ) un graphe biparti sans jumeaux en V . Soient V = C ∪ C , C ∪ C = ∅ . Montrez que, pour au moins un i = 1 , , il n’y a aucune classede ≥ | V | / jumeaux en V dans le graphe ( V , C i ; A ∩ ( V × C i )) . Exercice 5.6 . — Soit X = (Γ , c ) une configuration coh´erente. Soient C , C deuxclasses de couleurs en Γ . Soit brun une couleur d’arˆetes en A × B . Alors, pour x, y ∈ C , la couleur c ( x, y ) d´etermine si x et y sont des jumeaux dans le graphe biparti ( C , C ; G brun ) . Proposition 5.7 (Coupe ou Johnson biparti, ou « Una partita a poker ») Soit X = ( V , V ; A ) un graphe biparti avec | V | < β | V | , o`u / ≤ β < , et telqu’aucune classe de jumeaux en V n’ait plus de | V | / ´el´ements. Alors, nous pouvonstrouver, en temps | V | O (1) ,— soit un β -d´ecoupage de V ,— soit un sch´ema de Johnson plong´e sur V ⊂ V , | V | ≥ β | V | ,et un sous-groupe H < G , G = Sym( V ) × Sym( V ) , avec [ G : H ] = | V | O (log | V | ) tel que le d´ecoupage, voire le sch´ema, est canonique en relation `a H . La condition sur les classes de jumeaux ici ´etait remplie (mˆeme avec / `a la placede / ) `a la fin de la preuve du Thm. 5.3, grˆace `a l’exercice 5.4.En ce qui concerne le temps de la proc´edure, nous expliciterons quelques d´etails quipourraient ne pas ˆetre ´evidents. Ce qui sera le d´etail le plus d´elicat est l’indice [ G : H ] .Le groupe H sera d´efini comme un stabilisateur de points ; nous devons bien contrˆolerle nombre de points que nous stabilisons.125–27Esquissons la strat´egie g´en´erale de la preuve. Ce que nous voulons est une r´eduction`a la Proposition 5.8, “Coupe-ou-Johnson coh´erent”. Nous pouvons produire une configu-ration coh´erente classique sur V ∪ V `a partir du graphe X , tout simplement en utilisantWeisfeiler-Leman. Ce qui demande de la ruse est de garantir que la restriction X [ C ] `ala classe de couleurs dominante (s’il y a une) soit non triviale.Pour obtenir une configuration non-triviale sur C , nous noterons que le graphe X induit lui-mˆeme une relation d -aire sur C , o`u d est au plus le degr´e de la majorit´ed’´el´ements de V (si telle chose existe ; sinon, les degr´es nous donnent une partition de V ). Si la relation est triviale, dans le sens de contenir toutes les d -tuples d’´el´ementsdistincts dans C , nous obtenons un sch´ema de Johnson. Si elle est non triviale maiscontient beaucoup de jumeaux, elle nous donne une mani`ere de descendre `a un C plus petit. S’il n’y a pas beaucoup de jumeaux, nous utilisons le Lemme des Designs(suppl´ement´e par un lemme standard sur les designs) pour obtenir une configurationcoh´erente classique non-triviale sur C , ce qui ´etait `a trouver. Preuve — Si | V | ≤ c , o`u c est une constante, nous colorions chaque v ∈ V parlui-mˆeme. Ce coloriage est canonique en relation `a H = { e } ; autrement dit, il n’estpas canonique du tout. Peu importe : trivialement, | G | ≤ ( c !) ≤ | V | O (log | V | ) . Nouspouvons donc supposer que | V | > c .Si | V | ≤ (6 log | V | ) / (disons), alors, par la discussion ci-dessus, nous obtenons un (2 / -coloriage de V (et donc : un (2 / -d´ecoupage de V ). Ce coloriage est canoniqueen relation `a un H d’indice | V | ! ≤ | V | | V | ≤ (6 log | V | ) (6 log | V | ) ≪ | V | log | V | . Nous pouvons donc supposer que | V | > (6 log | V | ) / .Notre premi`ere tˆache est d’´eliminer les jumeaux. Nous divisons V dans ses classesde jumeaux et colorions chaque v ∈ V par son nombre de jumeaux et par son degr´edans le graphe ( V , V ; A ) . Nous obtenons un β -d´ecoupage de V , sauf s’il y a un entier d tel que l’ensemble V ′ des sommets v sans jumeaux et de degr´e d est de taille | V ′ | > β | V | . Supposons dor´enavant que cela est le cas. Comme | V ′ | > | V | et qu’il n’ya pas de jumeaux en V ′ , nous voyons que < d < | V | − ; nous pouvons supposerque d ≤ | V | / en rempla¸cant A par son compl´ement, si n´ecessaire.Soit H = ( V , A ) l’hypergraphe dont les arˆetes sont les voisinages en ( V , V ; A ) dessommets dans V ′ . (Elles sont toutes contenues en V .) L’hypergraphe est d -uniforme.Comme il n’y a pas de jumeaux dans V ′ , il n’y a pas d’arˆetes identiques. Si H est l’hy-pergraphe complet d -uniforme, alors V ′ peut ˆetre identifi´e avec le sch´ema de Johnson S d ( V ) . (Scoppia in un pianto angoscioso e abbraccia la testa di Johnson.) Supposons alors que H n’est pas complet. Nous voudrions avoir un coloriage cano-nique sur V d pour un d ≪ l , l = (log | V ′ | ) / log | V | , tel que les ´el´ements de V ne soientpas tous jumeaux. Si d ≤ ⌈ l ⌉ , nous d´efinissons d = d et colorions { ( v , . . . , v d ) ∈ V d : { v , . . . , v d } ∈ H } en ´ecarlate, et tout le reste en gris.Supposons, par contre, que d > ⌈ l ⌉ . Soit d = 6 ⌈ l ⌉ . Nous colorions ~v = ( v , . . . , v d ) en gris si les v i ne sont pas tous distincts ; dans le cas contraire, nous donnons `a ~v la125–28couleur(7) |{ H ∈ H : { v , . . . , v d } ⊂ H }| . Cette op´eration de coloriage peut ˆetre faite en temps de l’ordre de | V | · (cid:18) d d (cid:19) ≤ | V | · | V | d = | V | · | V | (cid:24) log | V ′ | log | V | (cid:25) = | V | · | V ′ | O (1) = | V | O (1) . Si les tuples avec v , . . . , v d distincts n’avaient pas tous la mˆeme couleur λ , nousaurions un design d − ( | V | , d , λ ) avec | V ′ | arˆetes. Donc, par la Proposition 2.20, | V ′ | ≥ (cid:0) | V | s (cid:1) pour s = 3 ⌈ l ⌉ . Comme | V | ≥ (6 log | V ′ | ) / et | V ′ | peut ˆetre suppos´e plus grandqu’une constante, (cid:18) | V | s (cid:19) ≥ (cid:18) | V | s (cid:19) s > (cid:18) | V | l (cid:19) s > (cid:0) | V | / (cid:1) l = | V | log | V ′ | log | V | = | V ′ | , ce qui donne une contradiction.Donc, pour d arbitraire, les tuples avec v , . . . , v d distincts n’ont pas tous la mˆemecouleur ; en d’autres termes, les ´el´ements de V ne sont pas tous jumeaux en relation`a notre nouvelle structure d -aire. S’il y a une classe S de jumeaux de taille > | V | / ,alors, par l’exercice 5.5, au moins un des deux graphes ( V ′ , S ; A ∩ ( V ′ × S )) , ( V ′ , V \ S ; A ∩ ( V ′ × ( V \ S ))) n’a aucune classe de > | V ′ | / jumeaux dans V . Comme | V ′ | / ≥ | V ′ | / pour | V | ≥ , nous appliquons la Proposition 5.7 elle-mˆeme `a unde ces deux graphes (disons, celui sur V ′ × S si les deux sont valables), et terminons.(Peut-ˆetre que la taille de V est descendue seulement `a | V | − , mais tous nos choixont ´et´e canoniques – des non-choix, si l’on veut – donc gratuits. Nous n’avons perduque du temps ; pour ˆetre pr´ecis, | V | O (1) de temps, ce qui est acceptable.)Alors, nous avons un coloriage de V d en relation auquel il n’y a aucune classe dejumeaux en V de taille > | V | / . Nous appliquons les foncteurs F , F , F (Weisfeiler-Leman) `a ce coloriage. Puis nous utilisons le Lemme des designs (Prop. 5.1) avec α =2 / . Nous trouvons les ´el´ements x , . . . , x ℓ ∈ V ( ℓ = d − ou ℓ = d − ) dans l’´enonc´ede la Proposition 5.1 par force brute, en temps proportionnel `a | V | d = | V | O (1) . Nousles fixons, et nous imposons que H fixe x , . . . , x ℓ , ce qui a un coˆut de | V | O (1) , dans lesens o`u [ G : G x ,...,x ℓ ] ≤ | V | d = | V | O (1) . Si nous sommes dans le premier cas du Lemme de designs (pas de couleur dominante),nous cueillons les classes de couleur, en commen¸cant par la plus rouge (interpr´etezla quantit´e en (7) comme une longueur d’onde), jusqu’`a avoir une union des classes S ⊂ V avec | V | / < | S | ≤ | V | / . (Ceci marche s’il n’y a aucune classe de taille > | V | / ; si telles classes existent, nous d´efinissons S comme la classe la plus grande dece type.) Nous appliquons l’exercice 5.5, et obtenons un graphe ( V ′ , V ′ , A ∩ ( V ′ ∩ V ′ )) remplissant les conditions de notre Proposition 5.7 avec V ′ = S ou V ′ = V \ S , etdonc | V ′ | ≤ α | V | . Donc, nous appliquons la Proposition 5.7 `a ce graphe ; la r´ecursionmarche. (Il est important ici que | V ′ | ≤ α | V | , puisque nous avons d´ej`a encouru un coˆutconsid´erable ( | V | O (1) ) dans l’indice.)125–29Restons donc dans le deuxi`eme cas du Lemme des designs : nous avons un coloriagede V avec une classe de couleurs C ⊂ V telle que | C | ≥ | V | / , et une configurationcoh´erente homog`ene classique Y non triviale sur C .Nous d´efinissons un graphe avec des sommets V ′ ∪ V , o`u V ′ est de couleur nacr´ee et V vient d’ˆetre colori´e par le Lemme des Designs ; les arˆetes seront non pas seulementcelles en A ∩ ( V ′ × V ) (colori´ees en noir) mais aussi les arˆetes entre les ´el´ements de V , dans les couleurs donn´ees par Y . Nous appliquons les raffinements F , F et F (Weisfeiler-Leman) `a ce graphe, et obtenons une configuration coh´erente X .La configuration X [ V ] est un raffinement de Y . Si elle n’a pas de couleur α -dominante,nous r´eduisons notre probl`eme `a celui pour ( V ′ , V ′ , A ∩ ( V ′ ∩ V ′ )) , | V ′ | ≤ α | V | , commeavant ; nous pouvons appliquer la proposition 5.7 `a un tel graphe sans changer β parceque | V ′ | ≤ | V | ≤ β | V | < β | V ′ | . La r´ecursion marche ici aussi parce que | V ′ | ≤ | V | / : il est important que V ′ soitplus petit que V par un facteur constant, puisque le coˆut entraˆın´e jusqu’`a maintenantdans l’index [ G : H ] est d´ej`a consid´erable ( | V | O (1) ).Supposons donc qu’il y a une classe de couleurs (2 / -dominantes C dans X [ V ] . Elledoit ˆetre un sous-ensemble de C car / / > . La restriction de X [ C ] n’est pas uneclique : si elle l’´etait, la restriction de Y `a C l’aurait ´et´e aussi, et cela est impossiblepar l’exercice 2.15.Nous pouvons supposer qu’il existe une classe de couleurs C ⊂ V ′ en X qui satisfait | C | > β | V | ; sinon, nous avons un β -coloriage de V , et pouvons finir. Le fait que | C | > β | V | implique que | C | > | V | ≥ | C | .Nous pouvons supposer aussi que les arˆetes de X en C × C ne sont pas toutes dela mˆeme couleur. Si elles l’´etaient, il y aurait une classe de ≥ | C | > β | V | > | V | / jumeaux en V dans le graphe ( V , C ; A ∩ ( V × C )) , dont X [ V × C ] est un raffinement.Dans ce cas, par l’exercice 5.5, nous aurions une r´eduction `a ( V , V \ C ; A ∩ ( V × ( V \ C ))) , et nous pourrions finir en utilisant la Proposition 5.7 de fa¸con r´ecursive.Ainsi, nous avons tout r´eduit `a la Proposition 5.8 : nous l’appliquons `a X [ C ∪ C ] .Nous obtenons, soit un (1 / -d´ecoupage de C , soit un graphe biparti ( W , W ; A ′ ) , W ⊂ C , W ⊂ C , avec | W | ≥ | C | / , | W | ≤ | C | / ≤ | V | / , tel qu’aucuneclasse de jumeaux en W n’a plus que | W | / ´el´ements. Nous pouvons supposer que | W | > β | V | , parce que, dans le cas contraire, nous avons obtenu un β -d´ecoupage de W . Alors, | W | < | W | / . Nous pouvons, alors, faire de la r´ecursion : nous appliquonsla Proposition 5.7 avec ( W , W ; A ′ ) `a la place de ( V , V ; A ) .La r´ecursion se finit apr`es pas plus que O (log | V | ) pas puisque | W | ≤ | V | / . Si lataille de W (ou de V ) d´ecroˆıt en dessous de β | V | (pour la valeur originale de | V | ),alors nous avons obtenu un β -d´ecoupage de V .Comme nous l’avons vu, Coupe ou Johnson biparti utilise Coupe ou Johnson coh´erent.`A son tour, Coupe ou Johnson coh´erent se r´eduira `a Coupe ou Johnson biparti pour ungraphe biparti ( V , V ; A ) avec V de taille au plus une moiti´e de la taille du V original.125–30 Proposition 5.8 (Coupe ou Johnson coh´erent). — Soit X = ( C ∪ C ; c ) une confi-guration coh´erente avec des classes de couleurs de sommets C , C , o`u | C | > | C | .Supposons que ni c | C × C ni c | C × C est une fonction constante.Alors, nous pouvons trouver, en temps | C | O (1) , soit— un (1 / -d´ecoupage de C , ou— un graphe biparti ( V , V ; A ) , V i ⊂ C i , | V | ≥ | C | / , | V | ≤ | C | / , tel que touteclasse de jumeaux en V contient au plus | V | / ´el´ements,et un ´el´ement y ∈ C , tel que le d´ecoupage, voire le graphe biparti, est canonique enrelation `a G y , o`u G = Sym( C ) × Sym( C ) . Il va de soi que dire que c | C × C est constant ´equivaut `a dire que X [ C ] est une clique. Preuve —Si la restriction X [ C ] ´etait une clique, alors, par coh´erence, pour toute couleur en C × C – pourpre, disons – les voisinages dans ( C , V ; G pourpre ) des sommets en C nous donneraient un block design ´equilibr´e (et peut-ˆetre d´eg´en´er´e) sur C . Le designest incomplet parce que c n’est pas monochrome sur C × C . L’in´egalit´e de Fisher nousdonne que | C | ≥ | C | , en contradiction avec nos suppositions. Donc, X [ C ] n’est pasune clique.Si X [ C ] n’est pas primitive, la plus rouge de ses relations non connexes nous donneun (1 / -d´ecoupage canonique de V , par l’exercice 2.16. Nous pouvons donc supposerque X [ C ] est primitif.Nous avons deux cas `a consid´erer : X [ C ] primitive et X [ C ] imprimitive.Supposons d’abord que X [ C ] est imprimitive. La relation non connexe la plus rougedans X [ C ] nous donne une partition de C dans des ensembles B , . . . , B m , m ≥ , tousde la mˆeme taille ≥ . Nous avons donc trouv´e une structure en C , et nous l’utiliserons,soit pour d´ecouper C , soit pour r´eduire | C | par un facteur constant. Le premier pasconsiste `a montrer qu’il n’y a pas de jumeaux dans C .Comme notre configuration est coh´erente, la couleur d’une arˆete en C sait si sessommets sont des jumeaux en relation `a C (Ex. 5.6) ; donc, s’il y avait des jumeauxdans C en relation `a C , nous aurions, soit qu’une des couleurs d’arˆetes en C donneune relation non connexe – ce qui contredit le fait que X [ C ] est uniprimitive – soit quetous les ´el´ements de C sont des jumeaux en relation en C . Dans ce dernier cas, parl’exercice 5.4, c | C × C serait monochrome, ce qui n’est pas le cas. En conclusion, il n’ya pas de jumeaux dans C en relation `a C .Notre intention est d’appliquer l’exercice 2.18 pour obtenir un graphe biparticontract´e C × { , , . . . , m } avec m ≤ | C | / . Nous devons seulement faire attention `ace que ce graphe ne soit pas trivial.Soit d k le degr´e de tout w ∈ C dans le graphe biparti ( C , C ; G k ) pour une couleur k donn´ee, o`u G k consiste en les arˆetes de couleur k . (Par l’ex. 2.17a, le degr´e d k ned´epend pas de w .) Si d k ≤ | C | / pour tout k , nous fixons un w ∈ C (non canonique)et obtenons un (1 / -coloriage de C en assignant la couleur c ( x, w ) au sommet x ∈ C . Supposons donc qu’il y a une couleur – que nous appellerons violet – telle que125–31 d violet > | C | / . S’il y a un ≤ i ≤ m tel qu’il n’y a aucune classe de plus que | C | / jumeaux dans C en relation `a B i , nous fixons un ´el´ement y ∈ B i d’un tel i (noncanoniquement), fixant ainsi cet i . De cette fa¸con, nous obtenons une r´eduction augraphe biparti ( C , B i ; G violet ∩ ( C × B i )) .Supposons que cela n’est pas le cas. Donc, pour chaque i , il existe une classe T i ⊂ C de jumeaux en relation `a B i telle que | T i | > | C | / . Pour chaque w ∈ B i , les arˆetesde w `a tout v ∈ T i sont de la mˆeme couleur ; alors, elles doivent ˆetre violettes. Soit vert une couleur d’arˆetes en C × C qui ne soit pas violet. Alors, le graphe X =( C , { , . . . , m } ; D ) dans l’exercice 2.18 n’est pas vide ; comme ( v i , i ) est violet pourtout v ∈ T i , X n’est pas complet non plus. Comme X est bir´egulier, il n’y a aucuneclasse de jumeaux en C en relation `a { , . . . , m } avec > | C | / ´el´ements (ex. 5.4). Nousavons donc tout r´eduit `a un graphe biparti X du type que nous d´esirions.Consid´erons maintenant le cas de X [ C ] primitive (16) . Fixons un y ∈ C arbitraire(non canoniquement). Nous pouvons supposer qu’il y a une couleur – disons, violet– telle que d violet > | C | / , puisque, sinon, les couleurs des arˆetes qui connectent les´el´ements de C avec y nous donneraient un (1 / -coloriage de C . ´Ecrivons V = L violet ( y ) = { x ∈ C : c ( x, y ) = violet } . Donc | V | > | C | / . Soit bleu une couleurd’arˆetes en X [ C ] telle que le degr´e de G bleu est (positif et) < | C | / ; une telle cou-leur existe parce que X [ C ] n’est pas une clique. (S’il y a plusieurs couleurs commecela, nous choisissons la plus bleue d’entre elles.) Alors, V = L bleu ( y ) ⊂ C satisfait ≤ | V | < | C | / .Le graphe biparti ( V , V ; G violet ∩ ( W × U )) est semir´egulier par l’exercice 2.17b. Il estnon vide parce que, pour tout u ∈ V , | L violet ( u ) | > | C | / , et donc L violet ( u ) ∩ V = ∅ .S’il ´etait complet, nous aurions V ⊂ L violet ( u ) pour tout u ∈ V ; comme | V | = | L violet ( y ) | = | L violet ( u ) | , ceci impliquerait que V = L violet ( u ) . Or, cela voudrait direque y et u sont des jumeaux dans le graphe ( C , C ; G violet ) . Par le mˆeme argumentqu’avant (bas´e sur l’exercice 5.6), la primitivit´e de X [ C ] et le fait que c | C × C ne soitpas monochrome impliquent qu’il n’y a pas de jumeaux dans C en relation au graphe ( C , C ; G violet ) . Donc, ( V , V ; G violet ∩ ( V × V )) n’est pas complet. Par l’exercice 5.4,nous obtenons qu’aucune classe de jumeaux dans ( V , V ; G violet ∩ ( V × V )) n’a plus de | V | / ´el´ements. Nous avons donc termin´e. 16. Le probl`eme dans la preuve originale de Babai ´etait `a ce point pr´ecis. Ce qui suit est un argumentalternatif propos´e par lui ( col rumore sordo di un galoppo ) lorsque cet article ´etait en train d’ˆetre ´edit´e.Il est plus concis et ´el´egant que l’argument d’origine, en plus d’ˆetre correct. Avant, la preuve faisaitdeux fois (ou plus) recours `a la proposition elle-mˆeme, ce qui faisait croˆıtre l’indice [ G : H ] de fa¸concatastrophique. G transitif ?, etc.aligner r´eductionde G/N `a Alt m ′ m ′ ≤ | m | / r´eductionde G/N `a Alt m ′ m ′ ≪ √ m unecouleurdomine ? r´ecursion n ′ ≤ n/ non Le cas sans couleurs dominantes . — Nous sommes dans le cas dans lequel uncoloriage c X : Γ → C n’a pas de couleur dominante. Ici c X est l’image d’une structure X sous un foncteur F qui commute avec l’action de H ( x ,...,x ℓ ) , o`u H = Alt(Γ) , x i ∈ Γ .Le fait que c X n’a pas de couleur dominante nous servira pour trouver ou ´ecarter sesisomorphismes possibles en H ~x = H ( x ,...,x ℓ ) . Pour trouver ou ´ecarter des isomorphismesen tout H = Alt(Γ) , nous n’avons qu’`a travailler avec un ensemble de repr´esentants { σ , . . . , σ s } , s ≤ | Γ | ℓ = m ℓ , des classes de H ~x dans H , et `a faire l’union de Iso H ~x ( c X , c Y i ) pour Y i = Y σ − i :(8) Iso H ( X , Y ) = [ ≤ i ≤ s Iso H ~x ( X , Y i ) σ i , Iso H ~x ( X , Y i ) ⊂ Iso H ~x ( c X , c Y i ) . Ceci est similaire `a l’´equation (4), en §2.2. Le coˆut de la proc´edure est multipli´e par s ≤ m ℓ .Si le coloriage c X n’est pas une permutation (en H ~x ) du coloriage c Y i , alors Iso H ~x ( c X , c Y i ) = ∅ . Supposons, par contre, qu’il y a au moins un τ i ∈ H ~x tel que c X = c τ i Y i . (Nous disons que τ i aligne c X et c Y i .) Il est trivial de trouver τ i . Or Iso H ~x ( X , Y i ) = Iso H ~x ( X , Y τ i i ) τ − i ⊂ Aut H ~x ( c X ) τ − i . Comme c X n’a pas de couleur dominante, ceci est assez contraignant, ce que nousvoulions.Appliquons cette proc´edure g´en´erale au cas de G primitif que nous sommes en trainde discuter. Il y a une bijection ι : Ω → { S ⊂ Γ : | S | = k } ; donc, c X induit un coloriage c ′ : Ω → { ( k i ) i ∈ C : k i ≥ , P i k i = k } . Nous sommes dans une situation similaire `a cellede la fin du §4.2, mais en mieux : il est facile de montrer que, comme aucune classe decouleur de c poss`ede plus de α | Γ | ´el´ements, aucune classe de couleur de c ′ poss`ede plusde α | Ω | ´el´ements.Nous proc´edons alors comme dans le cas intransitif de la preuve de Luks (Thm. 2.4),ce qui r´eduit le probl`eme `a ≤ n probl`emes d’isomorphisme de chaˆınes pour des chaˆınesde longueur ≤ αn et de longueur totale ≤ n . Le dernier pas ( lifting , « rel`evement »)consiste `a trouver des ´el´ements de G qui induisent τ i . ´Etant donn´ee une bijection ι , ceciest trivial.125–33 Le cas du d´ecoupage . — Consid´erons maintenant un α -d´ecoupage (fin de §2.3)d’un ensemble de sommets Γ . Ce d´ecoupage sera donn´e canoniquement, `a savoir, en tantque l’image d’une structure X sous un foncteur, tout comme le coloriage au §5.3.1. Nouspouvons supposer que le d´ecoupage a une classe de couleurs C dominante ( | C | > α | Γ | , α > / ), puisque, dans le cas contraire, nous pouvons passer au §5.3.1.Nous voulons savoir quels ´el´ements de Alt(Γ) respectent le α -d´ecoupage ; ceci nousaidera `a contraindre les isomorphismes de X , tout comme en (8). Par la d´efinition de α -d´ecoupage, C est partitionn´e en ℓ ≥ ensembles de la mˆeme taille ≥ . Les seulespermutations en Alt m , m = C , qui sont permises sont celles qui respectent la partition.Le groupe qui respecte la partition est isomorphe `a Alt m /ℓ .Nous avons donc r´eduit notre probl`eme `a un probl`eme avec m ′ = m /ℓ ≤ m/ . Apr`esavoir r´esolu ce probl`eme, nous travaillons – comme dans le §5.3.1 – sur les autres classesde couleurs.´Etant donn´es deux α -d´ecoupages, nous v´erifions si les partitions des deux d´ecoupagesont le mˆeme nombre d’ensembles de la mˆeme taille pour chaque couleur, puis nousalignons les deux d´ecoupages, et proc´edons exactement comme pour le probl`eme del’automorphisme. Le cas du sch´ema de Johnson . — Soit donn´e un sch´ema de Johnson sur unensemble de sommets Γ , ou plutˆot deux sch´emas de Johnson J ( m i , k i ) , ≤ k i ≤ m i / ,sur des ensembles de sommets Γ , Γ de la mˆeme taille. Nous avons vu au §2.8 commentidentifier Γ i (l`a, Ω ) explicitement avec les ensembles de taille k i d’un ensemble Λ i (l`a, Γ )de taille m i . Si k = k et m = m , nos structures ne sont pas isomorphes. Si k = k et m = m , nous ´etablissons une bijection entre Λ et Λ et alignons les deux structures.Nous avons r´eduit notre probl`eme `a un probl`eme avec m ′ ≪ √ m `a la place de m .La situation nous est donc mˆeme plus favorable que dans le cas du d´ecoupage. `Anouveau, nous laissons la comptabilit´e au lecteur.* * *Une petite confession : le cas de G primitif, que nous venons de finir de traiter,pourrait ˆetre trait´e exactement comme le cas de G imprimitif, que nous examineronsmaintenant. La motivation du traitement s´epar´e pour G primitif est p´edagogique. Au-cune peine n’est perdue, puisque toutes les techniques que nous avons ´etudi´ees nousseront essentielles dans le cas imprimitif. 6. LE CAS IMPRIMITIF Nous avons une application surjective explicite φ : G → Alt(Γ) , G < Sym(Ω) est un groupe de permutation, | Γ | = m , | Ω | = n . Nous pouvonssupposer que | Γ | ≥ C log n , C arbitraire. L’application φ se factorise comme suit G → G/N → Alt(Γ) , o`u N est le stabilisateur d’un syst`eme de blocs, et G/N → Alt(Γ) est un isomorphisme.Nous devons d´eterminer Iso G ( x , y ) , o`u x , y sont des chaˆınes. Nous avons d´ej`a r´esolule cas N = { e } .Nous attaquerons le probl`eme de fa¸con locale : pour T ⊂ Γ , nous arriverons `a obtenirun certificat, soit du fait que φ (Aut G T ( x )) | T contient Alt( T ) (« certificat de pl´enitude »),soit du contraire. (Ici G T d´esigne le groupe { g ∈ G : T φ ( g ) = T } .) Nous calculerons tousces certificats pour T d’une taille k mod´er´ee. Si le nombre de certificats de pl´enitude esttr`es grand, nous aurons prouv´e que φ (Aut G ( x )) contient un grand groupe alternant ; cequi restera `a faire sera une version de la proc´edure du §4.2 (« pull-back »).Dans le cas contraire, les certificats formeront une structure k -aire dont la sym´etrieest born´ee. Nous pourrons donc appliquer le Lemme des designs, suivi de Coupe-ou-Johnson, comme avant. Il y a aussi quelques autres cas particuliers, mais ils nousam`enent `a des α -d´ecoupages, α < , ce qui est aussi bien. Certificats d’automorphismes . — Un certificat local (17) pour T ⊂ Γ est— soit une paire ( « pas plein » , W, M ( T )) , o`u W ⊂ Ω , M ( T ) < Sym( T ) , M ( T ) =Alt( T ) (donc « pas plein ») et φ (cid:0) Aut WG T ( x ) (cid:1) | T < M ( T ) ,— soit une paire ( « plein » , K ( T )) , o`u K ( T ) < Aut G T ( x ) , et φ ( K ( T )) | T = Alt( T ) .Le certificat local d´epend de x de fa¸con canonique. Il est clair qu’un certificat plein,voire pas plein, garantit que φ (Aut G T ( x )) | T est Alt( T ) , voire ne l’est pas.Si T est donn´e en tant que tuple ordonn´e, son certificat d´epend de l’ordre de T seule-ment dans le sens de ne pas en d´ependre : le mˆeme groupe { (23) , e } < Sym( { , , } ) (disons) a une apparence diff´erente si nous le regardons du point de vue de l’ordre (1 , , ou de l’ordre (2 , , .Nous construisons le certificat par une proc´edure it´erative. Au d´ebut de chaque pas, W ⊂ Ω et A ( W ) est le groupe Aut WG T ( x ) ; la fenˆetre W sera invariante sous A ( W ) . Autout d´ebut de la proc´edure, W = ∅ et A ( W ) = G T . (Nous pouvons calculer G T commedans l’exercice 2.1c en temps | Ω | O ( k ) , o`u k = | T | .) `A chaque pas, nous ajoutons `a W tous les ´el´ements atteints par A ( W ) (voir §4.1), puis nous mettons A ( W ) `a jour, selonle nouveau W . Nous nous arrˆetons si φ ( A ( W )) | T = Alt( T ) (non-pl´enitude) ou si W necroˆıt plus, ce qui veut dire qu’aucun ´el´ement de Ω \ W n’est atteint par A ( W ) .Il est clair qu’il y aura ≤ | Ω | it´erations. `A la fin, dans le cas de non-pl´enitude,nous retournons ( « pas plein » , W, φ ( A ( W ))) ; dans le cas de pl´enitude, nous retournons (cid:0) « plein » , A ( W ) (Ω \ W ) (cid:1) . Il est clair que le stabilisateur des points A ( W ) (Ω \ W ) est contenu 17. Ou « local-global », dans la nomenclature de Babai. « Global » fait r´ef´erence `a Aut G T ( x ) < Sym(Ω) . Aut WG T ( x ) , mais aussi dans Aut G T ( x ) , puisqu’il fixe tous lespoints de Ω \ W . Nous savons que φ (cid:0) A ( W ) (Ω \ W ) (cid:1) = Alt( T ) par la Proposition 4.4a,sous la condition que | T | ≥ max(8 , | Ω | ) .V´erifier si φ ( A ( W )) | T = Alt( T ) est facile : nous n’avons qu’`a v´erifier, en utilisantSchreier-Sims, si deux g´en´erateurs arbitraires de Alt( T ) sont en φ ( A ( W )) | T . De la mˆemefa¸con, il est simple de d´eterminer quels ´el´ements sont atteints par A ( W ) : nous calculons A ( W ) x pour chaque x ∈ Ω (par Schreier-Sims) et, toujours par Schreier-Sims, v´erifionssi φ ( A ( W ) x ) | T = Alt( T ) . Ceci prend du temps polynomial en | Ω | .Il reste `a voir comment mettre `a jour A ( W ) , ´etant donn´e A ( W − ) , o`u nous ´ecrivons W − pour l’ancienne valeur de W . Tout ´el´ement de A ( W ) est dans A ( W − ) , et donc A ( W ) = Aut WA ( W − ) ( x ) . Comme dans l’´equation (4),(9) Aut WA ( W − ) ( x ) = [ σ Aut WNσ ( x ) = [ σ Iso WN (cid:16) x , x σ − (cid:17) , o`u N est le noyau de φ | A ( W − ) et σ parcourt des repr´esentants des k ! / classes de N en A ( W ) . Nous pouvons trouver rapidement un σ ∈ A ( W − ) ∩ φ − ( { τ } ) pour tout τ ∈ Sym(Γ) , par Schreier-Sims.La Proposition 4.4b nous donne que toute orbite de N contenue en W (l’ensembled’´el´ements atteints par A ( W − ) ) est de longueur ≤ | W | /k ≤ | Ω | /k . En cons´equence, parla r`egle (3), mettre A ( W ) `a jour se r´eduit `a | Ω | · ( k ! / probl`emes de d´etermination de Iso pour des chaˆınes de longueur ≤ | Ω | /k .Comme le nombre d’it´erations est ≤ | Ω | , la proc´edure fait appel `a Isomorphisme-de-Chaˆınes ≤ | Ω | · ( k ! / fois pour des chaˆınes de longueur ≤ | Ω | /k . Ceci – commela routine qui prenait | Ω | O ( k ) de temps – est acceptable pour k ≪ (log | Ω | ) κ . Nouschoisirons κ = 1 . Comparaisons de certificats . — Une l´eg`ere modification de la proc´edure ci-dessus nous permet d’´elucider la relation entre deux certificats locaux pour deuxchaˆınes. Soient x , x ′ : Ω → Σ , T, T ′ ⊂ Σ , | T | = | T ′ | = k . Pour S ⊃ T , soit x S la chaˆıne x S ( i ) = ( x ( i ) si i ∈ S ,glauque si i / ∈ S o`u glauque / ∈ Σ . Nous voulons calculer(10) Iso G T · τ T,T ′ (cid:16) x W , x W ′ (cid:17) , o`u G T · τ T,T ′ est la classe des ´el´ements de G qui envoient l’ensemble T `a T ′ , et W ′ estla valeur de W retourn´ee quand la donn´ee est T ′ `a la place de T .Pour d´eterminer (10), nous suivons la proc´edure (§6.1.1), modifi´ee de la fa¸con sui-vante : nous mettrons `a jour, dans chaque it´eration, non pas seulement A ( W ) , maisaussi la classe A ( W ) τ d’isomorphismes en G T · τ T,T ′ de x W `a ( x ′ ) W ′ . Voil`a comment le125–36faire, de fa¸con analogue `a (9) :(11) [ σ Iso Nσ (cid:16) x W , ( x ′ ) W ′ (cid:17) = [ σ Iso N (cid:18) x W , (cid:16) ( x ′ ) W ′ (cid:17) σ − (cid:19) , o`u N est le noyau de φ | A ( W − ) et σ parcourt des repr´esentants des k ! / classes de N contenues en A ( W − ) τ − . Comme W est stabilis´e par A ( W − ) (et donc par N ), le fait que σ envoie W sur W ′ ou non d´epend seulement de la classe de N `a laquelle σ appartient.(La classe Iso dans la derni`ere expression de (11) est vide si W σ = W ′ .)Comme avant, toute orbite de N contenue en W est de longueur ≤ | W | /k , et leprobl`eme se r´eduit `a | Ω | · ( k ! / appels par it´eration `a Isomorphisme-de-Chaˆınes pourdes chaˆınes de longueur ≤ | W | /k ≤ | Ω | /k .Par ailleurs, si T et T ′ nous sont donn´ees comme tuples ordonn´es ( T ) , ( T ′ ) , il estfacile de d´eterminer(12) I ( x , x ′ , T, T ′ ) = Iso G ( T ) · τ ( T ) , ( T ′ ) (cid:16) x W , ( x ′ ) W ′ (cid:17) , o`u G ( T ) · τ ( T ) , ( T ′ ) est la classe des ´el´ements de G qui envoient le tuple ordonn´e ( T ) `a ( T ′ ) .En effet, nous n’avons qu’`a d´eterminer (10), puis utiliser Schreier-Sims pour d´eceler les´el´ements de (10) qui envoient ( T ) `a ( T ′ ) dans le bon ordre. certificatslocaux pl´enitude > / ?pullback coupe ourelations ? Weisfeiler-Leman,Lemme desdesigns,etc. r´eductionde G/N `a Alt m ′ m ′ ≪ √ m r´ecursion n ′ ≤ n/ r´eductionde G/N `a Alt m ′ m ′ ≤ | m | / relationsoui coupe coupepas de couleur dominante Johnson En suivant la proc´edure du §6.1.1 pour une chaˆıne x , nous trouvons des certificatslocaux pour chaque T ⊂ Γ de taille k , o`u k est une constante ∼ C log | Ω | ( C > / log 2 )et k < | Γ | / . Soit F < Aut G ( x ) le groupe engendr´e par les certificats pleins K ( T ) .Soit S ⊂ Γ le support de φ ( F ) , c’est-`a-dire l’ensemble des ´el´ements de Γ qui ne sontpas fix´es par tout ´el´ement de φ ( F ) .Notre objectif est de d´eterminer les isomorphismes Iso G ( x , x ′ ) de x `a une autrechaˆıne x ′ . Puisque les certificats sont canoniques, l’assignation de F et S `a une chaˆınel’est aussi. Donc, si nous arrivons `a deux cas diff´erents ci-dessous en suivant la proc´edurepour x et pour x ′ , les deux chaˆınes ne sont pas isomorphes.Cas 1 : | S | ≥ | Γ | / , mais aucune orbite de φ ( F ) n’est de longueur > | Γ | / .Alors, nous colorions chaque ´el´ement de Γ par la longueur de l’orbite qui le contient.Ceci est un coloriage canonique. Soit aucune classe de couleurs n’est de taille > | Γ | / ,125–37soit une classe de couleurs de taille > | Γ | / est d´ecoup´ee en ≥ ensembles de la mˆemetaille ≥ . Dans un cas comme dans l’autre, nous passons `a une r´eduction/r´ecursion.Cas 2 : | S | ≥ | Γ | / et une orbite Φ de φ ( F ) est de longueur > | Γ | / . Cas 2a : Alt(Φ) < φ ( F ) | Φ . Nous sommes dans le cas de grande sym´etrie. Nousproc´edons comme au §4.2, jusqu’au point o`u nous devons d´eterminer Iso H ( x , y ) (o`u y est ( x ′ ) σ ′ , σ ′ ∈ G , et H = φ − (Alt(Γ) Φ ) ). D´efinissons K = φ − (cid:0) Alt(Γ) (Φ) (cid:1) , et soient σ , σ ∈ G des pr´eimages (arbitraires) sous φ de deux g´en´erateurs de Alt(Φ) < Alt( G ) ,trouv´ees par Schreier-Sims. Nous savons que les classes Aut Kσ i ( x ) , i = 1 , , sont nonvides, puisque Alt(Φ) < φ ( F ) | Φ . Comme K n’a pas d’orbites de longueur > | Ω | / , nouspouvons d´eterminer ces deux classes par des appels `a Isomorphisme-de-Chaˆınes pourdes chaˆınes de longueur ≤ | Ω | / et longueur totale ≤ | Ω | . Elles engendrent Aut H ( x ) .Encore par le fait que Alt(Φ) < φ ( F ) | Φ , la classe Iso H ( x , y ) sera non vide ssi Iso K ( x , y ) est non vide. Nous pouvons d´eterminer cette derni`ere classe par des appels`a Isomorphisme-de-Chaˆınes comme ci-dessus, puisque K n’a pas d’orbites de longueur > | Ω | / . Si elle est non vide, nous obtenons la r´eponse Iso H ( x , y ) = Aut H ( x ) Iso K ( x , y ) . Cas 2b : Alt(Φ) ≮ φ ( F ) | Φ . Soit d ≥ l’entier maximal avec la propri´et´e que φ ( F ) | Φ est d -transitif, c’est-`a-dire, φ ( F ) | Φ agit transitivement sur l’ensemble des d -tuples d’´el´ements distincts de Φ . Par CGFS, d ≤ ; si nous ne voulons pas utiliserCGFS, nous avons la borne classique d ≪ log | Γ | .Choisissons x , . . . , x d − ∈ Φ arbitrairement. Le reste de notre traitement de ce cassera donc seulement canonique en relation `a G ( x ,...,x d − ) = { g ∈ G : x φ ( g ) i = x i ∀ ≤ i ≤ d − } , ce qui, comme nous le savons, n’est pas un probl`eme ; voir le d´ebut du §5.3.1.La restriction du groupe φ ( F ) ( x ,...,x d − ) `a Φ ′ = Φ \ { x , . . . , x d − } est transitive sur Φ ′ ,mais elle n’est pas doublement transitive. Donc, la configuration coh´erente schuriennequi lui correspond n’est pas une clique. Nous livrons cette configuration `a Coupe-ou-Johnson (§5.2), tout comme `a la fin du §5.2.Pour comparer les configurations qui correspondent `a deux chaˆınes x , x ′ , nous ali-gnons leurs classes Φ d’abord. (Si elles ne sont pas de la mˆeme taille, ou si une chaˆınenous donne le cas 2a et l’autre pas, les chaˆınes ne sont pas isomorphes.) Les isomor-phismes seront donc contenus dans le stabilisateur H < G de l’ensemble Φ (facile `ad´eterminer, comme vers la fin du §4.2, puisque φ est surjective). Nous pouvons remplacer φ par l’application g φ ( g ) | Φ de H `a Alt(Φ) . Puis nous construisons les configurationscomme ci-dessus, et comparons ce que Coupe-ou-Johnson nous donne.Tout `a la fin, nous nous occupons du compl´ement de C . Il s’agit, comme d’habitude,d’appels `a Isomorphisme-de-Chaˆınes pour des chaˆınes de longueur ≤ | Ω | / et longueurtotale < | Ω | .Cas 3 : | S | < | Γ | / . Nous commen¸cons en alignant les supports S pour les chaˆınes x , x ′ , et en rempla¸cant φ par g φ ( g ) | Γ \ S , tout comme dans le cas 2(b).125–38Nous allons d´efinir une relation k -aire avec tr`es peu de jumeaux, pour la donner apr`esau Lemme des designs.Regardons la cat´egorie de toutes les chaˆınes Ω → Σ , o`u Ω et Σ sont fixes, une actionde G sur Ω est donn´ee, et φ : G → Γ est aussi donn´ee. Nous la regardons depuislongtemps, puisque nous devons comparer les couleurs sur des configurations induitespar des chaˆınes diff´erentes pour d´ecider si ces derni`eres sont isomorphes.Cette fois-ci, nous d´efinirons des couleurs par des classes d’´equivalence : deux paires ( x , ( T )) , ( x ′ , ( T ′ )) ( T, T ′ ⊂ Γ \ S , | T | = | T ′ | = k ) sont ´equivalentes si l’ensemble desisomorphismes en (12) est non vide. Nous colorions ( T ) – dans le coloriage de (Γ \ S ) k correspondant `a x – par la classe d’´equivalence de ( x , ( T )) . Ici, ( T ) est un k -tupleordonn´e sans r´ep´etitions ; si ( T ) a des r´ep´etitions, elle est colori´ee en gris.Pour x donn´e, aucune classe de jumeaux en Γ ne peut avoir ≥ k ´el´ements : s’il existaitun tel ensemble avec ≥ k ´el´ements, il contiendrait un ensemble T avec k ´el´ements, ettous les ordres ( T ) de T auraient la mˆeme couleur. Ceci voudrait dire que l’ensembledes isomorphismes en (12) serait non vide pour n’importe quels ordres ( T ) , ( T ′ ) de T .En cons´equence, Aut G T ( x W ) contiendrait des ´el´ements donnant toutes les permutationspossibles de T . Ceci nous donnerait une contradiction, puisque T , ´etant contenu en Γ \ S ,n’est pas plein.Alors, pourvu que k ≤ | Γ | / , nous avons un coloriage de (Γ \ S ) k sans aucune classe dejumeaux avec ≥ | Γ \ S | ´el´ements. Nous pourrons donc appliquer le Lemme des designs,apr`es une application de raffinements habituels F , F (Weisfeiler-Leman).Mais – pouvons-nous calculer ces coloriages ? Les classes d’´equivalence sont ´enormes.Par contre, il n’y a aucun besoin de les calculer. Tout ce dont nous aurons besoin,pour comparer des structures qui viennent de chaˆınes x , y , sera d’ˆetre capables decomparer deux tuples ( T ) (sur la configuration donn´ee par x ou y ) et ( T ′ ) (sur laconfiguration donn´ee par x ′ = x ou x ′ = y ) et dire si elles sont de la mˆeme couleur.En d’autres termes, nous devrons calculer – au tout d´ebut de la proc´edure, pour toutepaire (( T ) , ( T ′ )) , | T | = | T ′ | = k , et pour les paires de chaˆınes ( x , x ) , ( x , y ) , ( y , y ) –l’ensemble d’isomorphismes en (12), ce que nous savons d´ej`a faire. Les couleurs sontdonc, dans la pratique, des entr´ees dans un index que nous enrichissons et auquel nousfaisons r´ef´erence durant nos proc´edures.Nous invoquons donc le Lemme des Designs, suivi par Coupe-ou-Johnson, et le restede la proc´edure. — Fine dell’opera —Le lecteur peut v´erifier que les informations pr´ecis´ees jusqu’`a ici (temps prispar des proc´edures, type de r´ecursion) sont assez pour donner une borne du type exp( O (log | Ω | ) c ) pour le temps de l’algorithme qui r´esout le probl`eme de l’isomorphismede chaˆınes. Ceci donne une borne exp( O (log n ) c ) pour le probl`eme de l’isomorphisme degraphes avec n sommets. Avec un peu plus de travail, il devient clair que, dans un cascomme dans l’autre, c = 3 . Nous donnons les d´etails dans l’appendice. L’exposant c = 3 APPENDICE A. ANALYSE DU TEMPS D’EX ´ECUTIONA.1. Quelques pr´ecisions sur la proc´edure principale `A tout moment donn´e, nous travaillons avec un groupe transitif G < Sym(Ω) quiagit sur un syst`eme de blocs B = { B i } , Ω = S i B i , B i disjoints ; nous notons N lenoyau de l’action sur B . `A vrai dire, nous aurons toute une tour de syst`emes de blocs B , B , . . . , B k , o`u B i est un raffinement de B i +1 ; B signifiera B k , le syst`eme le moinsfin. Au d´ebut, il n’y a qu’un syst`eme, B , dont les blocs B i sont tous de taille , et dontle noyau N est trivial.Nous voudrions que l’action de G sur B soit primitive. Donc, si elle ne l’est pas, nousajoutons `a la tour un syst`eme minimal B k +1 tel que B k soit un raffinement de B k +1 .Nous red´efinissons B = B k +1 ; N sera le noyau du nouveau B .Si G/N est petit ( ≤ b O (log b ) , o`u b = | B | ; cas (a) du Th´eor`eme 3.1 (Cameron)), nousr´eduisons notre probl`eme `a plusieurs instances du probl`eme avec N `a la place de G .Chacune de ces instances se d´ecompose en plusieurs instances – une pour chaque orbitede N . Chaque orbite Ω ′ de N est contenue dans un bloc de B . Les intersections de Ω ′ avec les blocs de B , B , . . . nous donnent une tour de syst`emes de blocs pour N | Ω ′ .Si nous sommes dans le cas (b) du Th´eor`eme 3.1, nous passons `a ≤ b instances duprobl`eme avec M ⊳ G (o`u [ G : M ] ≤ b ) `a la place de G . Nous passons `a un nouveausyst`eme (18) B ′ de m ′ = (cid:0) mk (cid:1) ≤ b blocs, et l’ajoutons `a la tour comme son nouveau dernierniveau. Nous notons N ′ le noyau de l’action de M sur B ′ . Alors, M/N ′ = Alt ( k ) m . Nousrempla¸cons G par M et red´efinissons B = B ′ , N = N ′ .Donc, nous avons un isomorphisme de G/N `a Alt m . Nous sommes dans le cas principalque Babai attaque. Ses m´ethodes am`enent `a une r´eduction de Alt m , soit `a un groupeintransitif sans grandes orbites, soit `a un produit Alt s ≀ Alt s , s , s > , s s ≤ m , soit`a un groupe Alt m ′ , m ′ ≪ √ m . (Nous simplifions quelque peu. Nous pourrions avoir,disons, un produit Alt s ≀ Alt s , agissant sur une orbite de grande taille s s ≤ m , et 18. Ce syst`eme peut ˆetre ´egal `a B seulement si M = G ; voir la deuxi`eme note de pied de page dansl’´enonc´e du Th´eor`eme 3.1. Dans ce cas-l`a, le passage de G `a M est bien sˆur gratuit. Alt m ′ , m ′ ≪ √ m , nous it´erons la proc´edure. Dans le cas de Alt s ≀ Alt s – qui correspond `a und´ecoupage dans des ensembles de taille r de la mˆeme couleur – nous avons une actionprimitive de Alt s sur un syst`eme de s blocs de taille r . Nous passons, alors, `a cetteaction et `a ces blocs, sans oublier les blocs B ′ , auxquels nous retournons plus tard,apr`es avoir fini de travailler sur Alt s .Il est clair que ce type de proc´edure r´eduit compl`etement Alt k en un nombred’it´erations qui n’est pas sup´erieur `a log m . A.2. R´ecursion et temps Examinons le temps total d’ex´ecution de l’algorithme qui trouve les isomorphismesentre deux chaˆınes. Les pas individuels sont peu on´ereux ; aucun ne pr´ecise plus de n O (log n ) de temps. Notre attention doit se porter avant tout sur la r´ecursion.Dans la proc´edure g´en´erale, une r´ecursion est toujours d’une descente, soit vers deschaˆınes plus courtes, soit vers un groupe plus petit, ou au moins coup´e dans des tranchesplus fines par une tour de syst`emes de blocs ayant plus de niveaux. Dans le premiertype de descente, le groupe reste le mˆeme ou, plutˆot, est remplac´e par une restriction delui-mˆeme. Dans le deuxi`eme cas, la longueur des chaˆınes reste la mˆeme. (Nous pouvonsaussi avoir un m´elange des deux cas – tant mieux : le groupe devient plus petit et leschaˆınes se raccourcissent aussi.)La descente la moins coˆuteuse, et moins avantageuse, est celle du cas intransitif dela proc´edure de Luks. Il pourrait arriver que G ait deux orbites sur Ω ( | Ω | = n ), unede longueur n − et une de longueur . Ceci serait mˆeme compatible avec une bornepolynomiale sur le temps, pourvu que le temps pris avant la descente soit lui-mˆemepolynomial : n c +1 ≤ ( n − c +1 + 1 c +1 + n c pour c ≥ .D’autres types de descente sont plus coˆuteux, mais aussi plus avantageux : nousdescendons `a des chaˆınes de longueur ≤ n/ (ou ≤ n/ ), ou de Alt m `a Alt s ≀ Alt s , s s ≤ m , s , s ≤ m/ , par exemple. Il est clair qu’il est impossible de descendre plusqu’un nombre logarithmique de fois de cette fa¸con.Il est crucial de ne pas oublier qu’un coˆut (consid´erable) peut ˆetre cach´e dans uneperte de canonicit´e. Si nos choix ne sont canoniques qu’en relation `a un sous-groupe H de notre groupe G , le coˆut de leur application sera multipli´e par [ G : H ] . (Voir §5.3.1.)* * *Consid´erons, alors, le coˆut de chaque proc´edure. Le cas intransitif de Luks est, commenous l’avons d´ej`a vu, compatible mˆeme avec une borne polynomiale. Concentrons-nousalors sur le cas o`u G agit de fa¸con primitive sur un syst`eme de blocs ; soit N le noyau.125–41Si nous sommes dans le cas (a) du Th´eor`eme 3.1, ou dans le cas (b), mais avec m ≤ C log n , nous faisons appel `a ( m ′ ) O (log n ) instances de la proc´edure principale pourdes chaˆınes de longueur n/m ′ (o`u m ′ ≥ m ). Ceci est consistant avec une borne totaledu type exp( O ((log n ) c )) , c ≥ . Nous pouvons, donc, nous concentrer sur le cas o`u ilexiste un isomorphisme φ : G/N → Alt(Γ) , | Γ | = m > C log n . (La proc´edure du §2.8rend cet isomorphisme explicite.)Le premier pas `a consid´erer est la cr´eation de certificats locaux, avec, comme objectif,la cr´eation d’une relation k -aire sur Γ . (Si G est primitif, cr´eer une telle relation esttrivial ; voir le d´ebut du §5.) Il y a n k certificats locaux, o`u k = 2 log n (disons) ; nousdevons les calculer et aussi comparer toute paire de certificats. D´ej`a le premier pas ducalcul d’un certificat, `a savoir le calcul de G T , prend un temps n O ( k ) (plus pr´ecis´ement, O (( n/k ) O ( k ) ) ). D’autres calculs prennent moins de temps. L’usage de la r´ecursion, parcontre, est relativement lourd : nous faisons appel `a la proc´edure principale ≤ n · k ! fois pour des chaˆınes de longueur ≤ n/k . Ceci se passe pour chaque ensemble T detaille k , c’est-`a-dire ≤ n k /k ! fois. La proc´edure pour comparer des paires de certificatsest analogue.Nous faisons donc appel `a la proc´edure principale O ( n k +1 ) fois pour des chaˆınes delongueur ≤ n/k . Dans chacun de ces appels, notre tour de stabilisateurs est h´erit´ee :notre groupe est un groupe transitif, ´egal `a la restriction de N − `a une de ses orbites,o`u N − (not´e N au §6) est un sous-groupe d’un sous-groupe A ( W − ) de G .Pour deux syst`emes de blocs cons´ecutifs B i , B i +1 , notons r i le nombre de blocs de B i dans chaque bloc de B i +1 . Il est clair que ce nombre n’augmente pas quand nouspassons `a la restriction d’un sous-groupe de G (par exemple, N − ) `a une de ses orbites.Examinons maintenant l’agr´egation des certificats locaux (§6.2). Il y a trois cas. Dansle premier, le temps de calcul additionnel est `a peu pr`es trivial, et nous obtenons uner´eduction, soit `a un groupe intransitif sans grandes orbites, soit `a un produit Alt s ≀ Alt s sur une grande orbite et ´eventuellement d’autres groupes sur des orbites plus petites.Ici, d´ej`a, l’analyse devient d´elicate. Nous devons prendre en consid´eration non seule-ment la taille du domaine mais aussi le groupe qui agit sur lui. Plus pr´ecis´ement, nousdevons borner le nombre de fois que notre tour B , B , . . . , B k pourrait ˆetre raffin´e ouraccourci encore. Ceci sera mesur´e par ρ = X ≤ i ≤ k − (2 ⌊ log r i ⌋ − , o`u nous supposons que nous avons enlev´e des syst`emes r´ep´et´es de la tour (donc r i > ).Notons F ( n, r ) le temps d’ex´ecution de la proc´edure principale pour des chaˆınes delongueur n et pour une tour de syst`emes de blocs pour G telle que le param`etre ρ est ≤ r . Une r´eduction de G/N fait d´ecroˆıtre r par au moins ; un coloriage sans aucunegrande classe de couleurs assure une descente vers des chaˆınes de longueur ≤ n/ . Nousdevrons aussi inclure un facteur de log n k , prenant en consid´eration le temps requis125–42pour acc´eder `a nos comparaisons de paires de certificats locaux (19) . Donc, dans le casque nous examinons, F ( n, r ) est born´e par n O ( k ) + n k +1 F ( n/k, r ) + F ( n , r − 1) + X i ≥ F ( n i , r ) ! · O ( k log n ) , o`u P n i = n et n i ≤ n/ pour i ≥ , ou n O ( k ) + n k +1 F ( n/k, r ) + X i F ( n i , r ) ! · O ( k log n ) , o`u P n i = n et n i ≤ n/ pour i ≥ . Puisque k ≪ log n , ceci est consis-tant avec F ( n, r ) = exp ( O ( r + log n ) c ) pour c ≥ , ou mˆeme avec F ( n, r ) =exp ( O ((log n ) c + (log r ) c )) pour c ≥ et c ≥ , par exemple.Le cas 2a a un coˆut tr`es similaire, `a un facteur constant pr`es. Le cas 2b et 3 sontdiff´erents. Dans les deux cas, nous arrivons `a construire une relation d -aire, avec d ≤ ,dans le cas 2b, et d = k ≪ log n dans le cas 3. Puis, nous appelons Weisfeiler-Leman,suivi du Lemme des Designs pour des configurations d -aires, et, finalement, Coupe-ou-Johnson.Weisfeiler-Leman prend un temps | Γ | O ( d ) = m O ( d ) . Le Lemme des designs garantitl’existence d’un tuple ( x , . . . , x ℓ ) ∈ Γ , ℓ ≤ d − , avec certaines propri´et´es. Nouscherchons un tel tuple par force brute, ce qui prend un temps O ( m d ) . Ce qui est plusimportant est que ce choix n’est pas canonique. Donc, le temps d’ex´ecution de tout cequi reste est multipli´e par m d = m O (log n ) .Coupe-ou-Johnson prend un temps O ( m d ) . Ici, `a nouveau, nous faisons des choix quine sont pas compl`etement canoniques ; ils imposent un facteur de m O (log m ) sur tout cequi suit. Le r´esultat de Coupe-ou-Johnson est soit un β -d´ecoupage, ce qui implique uner´eduction `a un produit du type Alt s ≀ Alt s et/ou `a des chaˆınes plus courtes, soit unsch´ema de Johnson, ce qui implique une r´eduction `a Alt m ′ , m ′ ≪ √ m . Donc, soit(13) F ( n, r ) ≤ n O ( k ) + O (cid:0) kn k +2 F ( n/k, r ) (cid:1) + m O (log n ) F ( n , r − 1) + X i ≥ F ( n i , r ) ! , o`u P n i = n , et n i ≤ n/ pour i ≥ , ou(14) F ( n, r ) ≤ n O ( k ) + O (cid:0) kn k +2 F ( n/k, r ) (cid:1) + m O (log n ) X i F ( n i , r ) ! , o`u P n i = n et n i ≤ n/ pour i ≥ .Ici m ≤ n . (Nous pourrions travailler avec une borne moins grossi`ere, mais celanous servirait peu.) Donc, les in´egalit´es (13) et (14) sont consistantes avec F ( n, r ) =exp ( O ( r + log n ) c ) pour c ≥ . 19. Faire ce type de comparaisons `a l’avance nous aide, mais ne pas les faire `a l’avance ne changeraitpas l’ordre du temps utilis´e, asymptotiquement. r ≤ n , nous concluons que le temps total d’ex´ecution de la proc´edurepour d´eterminer les isomorphismes entre deux chaˆınes de longueur n est F ( n, r ) ≤ e O (log n ) . R ´EF ´ERENCES [Ba] L. BABAI – Graph Isomorphism in Quasipolynomial time , pr´epublication,disponible en ligne sur arxiv.org:1512.03547 .[Ba2] L. BABAI – Graph Isomorphism in Quasipolynomial time (Extended Abstract) ,dans Proc. 48th ACM STOC (2016), 684–697.[Ba3] L. BABAI – Lectures on Graph Isomorphism , University of Toronto, Dept. ofComputer Science, notes polycopi´ees, 1979.[BCP] L. BABAI, P. J. CAMERON et P. P. P ´ALFY – On the orders of primitivegroups with restricted nonabelian composition factors , Journal of Algebra (1982), 161–168.[BKL] L. BABAI, W. M. KANTOR et E. M. LUKS – Computational complexity andthe classification of finite simple groups , dans Proc. 24th IEEE FOCS (1983),162–171.[BLS] L. BABAI, E. M. LUKS et ´A. SERESS – Permutation groups in NC , dans Proc. 19th ACM STOC (1987), 409–420.[BaPS] L. BABAI, P. P. P ´ALFY et J. SAXL – On the number of p -regular elementsin finite simple groups , LMS J. Comput. and Math. (2009), 82–119.[CFI] J. CAI, M. FURER et N. IMMERMAN – An optimal lower bound on thenumber of variables for graph identification , Combinatorica (1992), 389–410.[Cam] P. J. CAMERON – Finite permutation groups and finite simple groups , Bull.London Math Soc. (1981) 1–22.[EvP] S. EVDOKIMOV et I. N. PONOMARENKO – On highly closed celular alge-bras and highly closed isomorphisms , Electr. J. Comb. (1999).[F] R. A. FISHER – An examination of the different possible solutions of a problemin incomplete blocks , Ann. of Eugenics, (1940), 52–75.[FHL] M. FURST, J. HOPCROFT et E. LUKS – Polynomial-time algorithms forpermutation groups , dans Proc. 21st IEEE FOCS (1980), 36–41.[Hi] D. G. HIGMAN – Finite permutation groups of rank , Math. Z. (1964),145–156.[ImL] N. IMMERMAN et E. S. LANDER – Describing graphs : a first-order approachto graph canonization , dans Complexity Theory Retrospective — in honor ofJuris Hartmanis on the occasion of his 60th birthday , Springer, 1990, 59—81.125–44[Lu] E. LUKS – Isomorphism of graphs of bounded valence can be tested in polyno-mial time , J. of Comput. and Sys. Sci. (1982), 42–65.[Ma] A. MAR ´OTI – On the orders of primitive groups , J. Algebra 258 (2) (2002),631–640.[Py] L. PYBER – A CGFS-free analysis of Babai’s quasipolynomial GI algorithm ,disponible en ligne sur arxiv.org:1605.08266 .[Py2] L. PYBER – On the orders of doubly transitive permutation groups, elementaryestimates , J. of Combin. Th. A (1993), 361–366.[RChW] D. K. RAY-CHAUDHURI et R. M. WILSON – On t -designs , Osaka J. Math. (1975), 737–744.[Sch] O. SCHREIER – Die Untergruppen der freien Gruppen , Abh. Math. Semin.Univ. Hambg. (1927), 161–183.[Si1] C. C. SIMS – Graphs and finite permutation groups , Math. Z. (1967), 76–89.[Si2] C. C. SIMS – Computational methods for permutation groups , dans « Com-putational Problems in Abstract Algebra », pp. 169–184, Pergamon, Oxford,1970.[SW] X. SUN et J. WILMES - Faster canonical forms for primitive coherent confi-gurations , dans Proc. 47th ACM STOC (2015), 693–702.[WL] Б. Ю. ВЕЙСФЕЙЛЕР и А. А. ЛЕМАН – Приведение графа к канониче-скому виду и возникающая при этом алгебра , НТИ, сер. 2, (1968), 12–16.Harald Andr´es HELFGOTTUniversit¨at G¨ottingenMathematisches InstitutBunsenstrasse 3-5D-37073 G¨ottingenAllemagne E-mail ::